Разработка урока в 9 классе по теме «Уравнение окружности»

Разработка урока в 9 классе по теме «Уравнение окружности» 

Кобзенко Елена Евгеньевна, учитель МОУ СОШ №1 г. Юрюзань Челябинской области.



Тема урока: 

Уравнение окружности



Цели: 

Образовательные:  Вывести уравнение окружности, рассмотрев решение этой задачи как одну из возможностей применения метода координат.   

Уметь: 

– Распознать  уравнение окружности по предложенному уравнению, научить учащихся составлять уравнение окружности по готовому чертежу, строить окружность по заданному уравнению.

Воспитательные: Формирование критического мышления и навыков работы в группе.

Развивающие: Развитие умения составлять алгоритмические предписания и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом.

   Уметь: 

– Видеть проблему и наметить пути её решения. 

– Кратко излагать свои мысли устно и письменно. 



Тип урока: усвоения новых знаний.

Оборудование: ПК , мультимедийный проектор, экран.



План урока: 

1. Вступительное слово – 3 мин.

2. Актуализация знаний – 2 мин.

3. Постановка проблемы и её решение в ходе общеклассной дискуссии –10 мин.

4. Фронтальное закрепление нового материала – 7 мин.

5. Самостоятельная работа в группах – 15 мин.

6. Презентация работы группы 2. Обсуждение – 5 мин.

7. Итог урока. Домашнее задание – 3 мин.



Ход урока:

1. Вступительное слово 

Формулы координат середины отрезка и расстояния между двумя точками можно использовать для решения более сложных геометрических задач. С этой целью следует ввести прямоугольную систему координат и записать условие задачи в координатном виде. После этого решение задачи проводится с помощью алгебраических вычислений.

Такой метод решения задач принято называть методом координат.

Сегодня мы с вами используя метод координат, выведем уравнение окружности.



2.Актуализация знаний   

Повторение материала, изученного ранее на слайде 3:

– Запишите формулу нахождения координат середины отрезка. 

– Запишите формулу вычисления длины вектора.

– Запишите формулу нахождения расстояния между точками (длины отрезка).



3. Постановка проблемы и её решение 

Осуществляется в ходе общеклассной дискуссии по плану, предложенному на слайдах 4 – 7 презентации (Приложение 1.

  – Презентация «Уравнение окружности»).



Слайд 4 презентации 





Как вы считаете, что значит составить уравнение окружности, и что для этого нужно знать?



Всякую фигуру мы рассматриваем как совокупность точек, из которых она состоит, и задать фигуру- это значит задать способ, по которому можно было бы узнавать принадлежит ли та или иная точка рассматриваемой фигуре или нет. 



Какое самое важное условие можно выделить в определении окружности?











Слайд 5 презентации 





Слайд 6 презентации 





Слайд 7 презентации





Итак, что надо знать для составления уравнения окружности?

Предложите алгоритм составления уравнения окружности.



Вывод: слайд8,  записать в тетрадь. 



Слайд 8 презентации





4.Закрепление

Фронтальная работа. Выполнить упражнения, предложенные на слайдах  9 – 12.



Слайд 9 презентации 



















Слайд 10 презентации 





Слайд 11 презентации





Слайд 12 презентации











5. Самостоятельная работа в группах

Для проведения следующего этапа урока класс делится на 3 группы:

– 1 группа с низким уровнем мотивации к учебе;

– 2 группа высокий уровень;

– 3 группа –  средний. 

Задание группам слайды 13-19



Слайды 13, 14 презентации 





Учащиеся группы получают карточки на бумажном носителе и работают на них. Карточки сдаются на проверку.



Слайды 15, 16 презентации 





Решение этой задачи заполняется в таблице на слайде и сразу же проецируется на экран.















 Ответы к заданию для группы 2

Дано

Радиус

Координаты центра

А(0;−6)

В(0; 2)

d 2= (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 

СВ 2=R 2=(0-0)2+(2+2)2=16

R 2=16

R =4

А (0; −6)

В (0;   2)        .

С (  0 ;  -2)-середина АВ

С (  0  ;  -2 )-центр

А(−2;0)

В( 4; 0)

СВ 2=R 2=(4-1)2+(0-0)2=9

R 2=9

R =3

А(−2;0)

В( 4; 0)

С(1;0)-центр



Слайды 17, 18 презентации





Решение оформляется в тетради. Тетрадь сдается на проверку.

Ответы к заданиям группы 3:

№ 1

1. Центр окружности – А(3;2);

2. R = АВ;

АВ2 = (7 – 3)2+ (5 – 2)2 = 25; АВ = 5;

3. Уравнение окружности (х – 3)2 + (у − 2)2= 25.

№2

R2 = ОС2 = (3 – 0)2 + (–1–0)2 = 9 + 1 = 10;

Уравнение окружности: (х – 3)2 + (у + 1)2 = 10.







6. так, сегодня на уроке мы с вами не только вывели уравнение окружности,но ия на экран.фигуру- это ззначитзадать способ,по котороПрезентация работы группы 2

Обсуждение.

 Таблица и алгоритм решения задачи  представляется группой на экране, записывается в тетрадь как план решения задачи для домашней работы. (Задача №969).



7. Итог урока. Домашнее задание

Итак, сегодня на уроке мы с вами не только вывели уравнение окружности, но и рассмотрели его применение при решении задач. Кроме того, научились сами составлять алгоритмы решения задач. А в работе по готовому алгоритму я предлагаю вам поупражняться при выполнении домашней работы.

 Задание на дом:

1. Повторить: уравнение окружности, уравнение окружности с центром в начале координат.

2. Выполнить №959; №969.






Разработка урока «Применение уравнения окружности к решению задач», геометрия 9 класс



Тема урока: 

Применение уравнения окружности к решению задач



Цели: 

Образовательные: Показать связь между алгеброй и геометрией.

Уметь: 

– Находить уравнение окружности ; приводить формулу к стандартному виду. 

– Применять современные ИКТ для оформления результатов исследования. 

– В комплексе применять полученные знания 

Воспитательные: Формирование критического мышления и навыков работы в группе.

Развивающие: Приобретение навыков работы с большими объёмами информации.

Уметь: 

–Видеть проблему и наметить пути её решения. 

–Кратко излагать свои мысли устно и письменно. 



Тип урока: Обобщение и оценка знаний.

Оборудование: ПК , мультимедийный проектор, экран, оценочные листы для учителя и учащихся.



План урока: 

1. Вступительное слово учителя – 3 мин.

2. Актуализация знаний учащихся (общеклассная дискуссия), составления алгоритма приведения уравнения окружности к стандартному виду – 10 мин. 

3. Самостоятельная работа обучающего характера – 7 мин.

4. Закрепление полученного алгоритма. Рассматривается на примере задачи  Аполлония Пергского, (260-170 гг. до н.э.), объяснение учителя – 7 мин.

5. Защита творческой работы учащихся теме: «Уравнение окружности. Загадочная формула». Обсуждение – 15 мин.

6. Подведение итогов. Задание на дом – 3 мин.



Ход урока:  

1. Вступительное слово

На последних уроках геометрии мы познакомились с еще одним способом решения задач методом координат.

Алгебра и геометрия, которые сейчас большинство школьников воспринимают как совершенно разные науки, на самом деле очень близки. С помощью метода координат можно было бы изложить весь курс геометрии используя только числа и алгебраические операции.

Задавая фигуры уравнением и выражая в координатах геометрические соотношения, мы применяем алгебру к геометрии. Так мы поступили, когда выразили через координаты основную геометрическую величину – расстояние между точками, а затем, когда вывели уравнение окружности и прямой.

Пользуясь координатами, можно истолковывать уравнения и неравенства геометрически и таким образом применять геометрию к алгебре и анализу. Графическое изображение функций – первый пример такого применения метода координат.

Метод координат в соединении с алгеброй составляет раздел геометрии, называемый аналитической геометрией.

Сегодня мы поговорим об уравнении окружности и проследим, как алгебра помогает в решении геометрических задач и наоборот.



2. Актуализация знаний

На доске написаны уравнения. Какие фигуры они задают?  Общеклассная дискуссия сопровождается презентацией (Приложение 2. – «Применение уравнения окружности к решению задач»).



Слайд 3 презентации 





3. Закрепление

Самостоятельная работа, взаимопроверка. Правильные ответы записаны на откидной доске. 











Карточки для самостоятельной работы

1 вариант

2 вариант

(Х+5)2+(у-6)2=1

(Х-9)2+(у-2)2=25

(Х-2)2+(у2-2у+1)=1

(Х+4)2+(у2-6у+9)=25

Х2+у2-6х+2у=2

Х2+4х+у2-4у=2



Задание: выясните, будет ли данные уравнения задавать окружность, если да, то укажите радиус и координаты центра. 



4.Следующую задачу решает учитель

Задача: Что представляет собой множество точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная?

Решение: Впервые эту задачу сформулировал и решил Аполлоний Пергский, (260-170 гг. до н.э.)

Решение получилось очень сложное – поскольку применены геометрические приемы. Однако в работах французского математика Рене Декарта эта задача решена более элегантно. Декарт применил метод координат.

Я предлагаю посмотреть на это решение. Итак, пусть даны две точки ,А и В и некоторое положительное число k, равное отношению расстояний до точки М.

1случай. Если k=1,тогда множество точек М есть серединный перпендикуляр к отрезку АВ. 

2 случай. Пусть k целое не отрицательное число не равное 1

Для удобства решения возьмем k=2 , т.е. МА: МВ=2.

Введем систему прямоугольных координат. Совместим начало отсчета с точкой В. В качестве положительной полуоси x возьмем луч ВА. (рис.2)

Тогда получим следующие координаты точек: В(0,0), А(a,0), М(x,y). Пусть a=3 опять для простоты рассуждений.

Тогда, пользуясь формулами расстояния между двумя точками, запишем: 





Получили уравнение окружности с центром в точке (-1;0) и радиусом r=2.

Значение радиуса не случайно вспомним, что мы выбрали k=2.

Решая задачу в общем виде т.е. при условии ,что точка А имеет координаты (a;0) и k≠1 получим уравнение окружности в виде:







Такая окружность называется окружностью Апполония. 



Окружность Апполония





Таким образом, мы решили геометрическую задачу алгебраическим методом.



5. Защита проекта

За неделю до урока группа учащихся получает индивидуальное задание выполнить проект:  «Уравнение окружности. Загадочная формула». 



Требования к презентации



1. Общие: 

     1.1. Количество слайдов – не менее 6, не более 10 

     1.2. Обязательные слайды: тема и авторы; цели; выводы; используемые источники информации (не менее 3) 

2. Содержание: 

     2.1. Факты изложены чётко, кратко и доступно. 

     2.2. Наличие целей работы и соответствующих целям выводов 

3. Оформление: 

     3.1. Единая цветовая схема. 

     3.2. Размер шрифта: для заголовка–не менее 36, для текста –18. 

     3.3. Количество эффектов анимации – не более 3 на слайд. 

     3.4. Использование картинок, фотографий, видео, а также таблиц, схем и диаграмм. 



Карточка с предварительным заданием группе

Предварительное задание группе:

Тема проекта: «Уравнение окружности. Загадочная формула».

Примерное содержание проекта:

Окружность как модель устройства мира.

Решение алгебраической задачи с помощью геометрии на примере задачи Германа Минковского (1864-1909 г). 

Применение алгебраических и  геометрических методов решения задач в жизненных ситуациях.

Возможные информационные источники:

Математический энциклопедический словарь. Аналитическая геометрия. М., «Советская энциклопедия»,1988

Сикорский К. П.Дополнительные главы по курсу математики. М.,Просвещение,1969

Сайт «Устье Речи», http://ustierechi.ucoz.ru/publ/14-1-0-169

Сайт  bestreferat.ru http://www.bestreferat.ru/referat-135774.html

Результаты своей работы представить в виде презентации, выполненной  в Power Point. 



Сейчас рассмотрим обратный вариант – решение алгебраической задачи с помощью геометрии. На уроке будет представлена  защита творческой работы, которую выполнила  группа учащихся класса. После презентации 2–3 минуты даётся на обсуждение.







Схема обсуждения :

– Перечислить три наиболее сильные стороны представленной презентации.

– Перечислить два момента, требующих доработки.

– Внести свои предложения по усовершенствованию проекта (если такие есть).

– Сделать итоговый вывод и выставить общий балл за выступление на основании листов оценивания.



Критерии оценки проекта



1) обоснованность актуальности темы проекта и предлагаемых решений; 

2) объем, полнота разработок, самостоятельность, законченность; 

3) уровень творчества, оригинальность раскрытия темы; 

4) дизайн, стиль, соответствие стандартным требованиям, структура текста, качество схем, рисунков, диаграмм, анимации и др.; 

5) качество доклада; 

6) проявление глубины и широты знаний по излагаемой теме.





Лист оценивания презентаций



Оценивайте каждый критерий по 5–ти бальной системе. Сложите баллы в каждой колонке и разделите на 5 (количество критериев), округлите полученный результат до целого числа.



	Критерии		 	 

 		 	

Баллы

 Представленные факты точны, полезны и актуальны.



Использована научная терминология



Презентация логично выстроена



В презентации поставлены цели, они достигнуты, сделаны соответствующие выводы.



Использование картинок, видео, звука обосновано, логично, соответствует моменту.	 	 	 



           Сумма баллов	



           Оценка	





6. Итак, подведём итоги

Судя по содержанию вашей презентации объёму переработанного материала, тема усвоена хорошо. Вы убедились, что в окружающей нас действительности возникает много  различных ситуаций, связанных с решением геометрических и  задач. Это делает мир вокруг нас красивым и гармоничным. 

Результаты вашей работы мы подведём на следующем уроке выведением среднего балла за все этапы работы над проектом. 

Подведение итогов. Задание на дом: Повторение материала по теме: «Метод координат в пространстве».









Источники информации:

Математический энциклопедический словарь. Аналитическая геометрия. М., «Советская энциклопедия»,1988

Сикорский К. П.Дополнительные главы по курсу математики. М.,Просвещение,1969

Сайт «Устье Речи», http://ustierechi.ucoz.ru/publ/14-1-0-169

Сайт  bestreferat.ru http://www.bestreferat.ru/referat-135774.html