Мощности гармонических колебаний в электрических цепях

2



Академия России

Кафедра Физики























Лекция: "Мощности гармонических колебаний в ЭЦ"



























Орел-2009


Мгновенная, средняя и полная мощности ГК



Пусть в ЭЦ под воздействием гармонического напряжения: 

,

возникает гармонический ток: 

. 

При согласном выборе направлений отсчета напряжения и тока мгновенная мощность в этой цепи определяется выражением: 

. 

Если в этом равенстве заменить произведение тригонометрических функций их суммой, то из выражения: 

,

следует, что в режиме ГК мгновенная мощность потребляемая цепью, содержит постоянную составляющую, относительно которой она претерпевает периодические колебания с частотой 2. 

Положительным значением мгновенной мощности соответствует потребление цепью электрической энергии. Отрицательные же ее значения свидетельствуют о том, что в данный момент цепь не потребляет, а отдает электрическую энергию. В ЭЦ содержащих реактивные (пассивные) элементы это возможно за счет энергии, запасенной в магнитном (L) и (или) электрических (С) полях данных элементов на протяжении предшествующей части периода колебаний, когда значения мгновенной мощности были положительны. В ТЭЦ широко используется понятия средней или активной мощности. Применительно к рассматриваемому режиму ГК это постоянная составляющая последнего выражения: 

. 

Здесь  представляет собой разность фаз колебаний напряжения и тока. Таким образом, средняя мощность пропорциональна амплитуде напряжения и тока в ЭЦ и косинуса сдвига фазы между ними. 

В пассивной ЭЦ средняя мощность не может принимать отрицательных значений, иначе нарушался бы принцип сохранения энергии . Разность фаз гармонического напряжения и тока в цепи не может выходить за пределы: 

, т.к  и  положительны. 

Для периодических, и в частности, ГК средняя мощность определяется как отношение энергии за период к величине этого периода: 

. 

Средняя мощность относится к числу усредненных, т.е. статистических характеристик колебательных процессов. В ЭЦ к ним же относятся и среднеквадратические значения напряжений и токов. 

; . 

Подставляя в эти выражения гармонические напряжения и ток, находим: 

; . 

U и I – называют действующими (эффективными) значениями напряжения и тока ГК. 

Если перейти от амплитуд колебаний к их действующим значениям, то для средней мощности потребляемой пассивным двухполюсником находится типовое выражение: 

. 

Действующее значение напряжения и тока на входе двухполюсника связаны зависимостью: 

 поэтому, 

Т. к.  и  где R и G активные составляющие соответственно сопротивления и проводимости двухполюсника, то

. 

В этих выражениях квадрат действующего значения тока  можно представить как произведение комплексного тока  на сопряженную с ним комплексную величину . 

Тогда , т.к по закону Ома , то . 

Следовательно, средняя мощность, потребляемая двухполюсником, равна вещественной части произведения комплексного напряжения на входе двухполюсника и комплексной величины, сопряженной с комплексным током, проходящим через входные зажимы двухполюсника. 

Пример: определить среднюю мощность ГК при 

 и . 

Найдем комплексно сопряженный ток , тогда

если действующее значение напряжения выбрано в вольтах, а тока – в амперах. 

Рассмотрим произведение вида: 



Сумма  получило название комплексной мощности, а произведение – мощность в ЭЦ гармонического тока в комплексной форме. 

Действительная часть комплексной мощности  – средняя (активная) мощность. 

Мнимая часть комплексной мощности  – реактивная мощность. 

Произведение действующих значений напряжения и тока – называется полной или кажущейся мощностью : 

. 

Полная и реактивная мощности оцениваются в вольт - амперах. 

Реактивная мощность может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Для элемента индуктивности  реактивная мощность положительна. Она характеризует максимальное значение энергии, запасаемой в индуктивности при гармоническом токе с амплитудой : 

. 

Для элемента емкости, реактивная мощность отрицательна. Связь полной, средней и реактивной мощностей определяется соотношением

;  . 

Значения средней мощности и полной мощности равны, если  т.е. когда сопротивление двухполюсника чисто активно (резистивно). В общем же случае  т.к . 

Проблема повышения значения “косинуса Фu” (коэффициент мощности) является одной из важнейших проблем энергетики. Это и понятно, т.к если , то необходимую полезную работу можно получить от приемника энергии при наименьшем токе в соединительных проводах, т.е. при данных значениях U и I от источника в нагрузку поступает необходимая средняя мощность. 

Поскольку комплексные напряжения и токи всегда удовлетворяют законам Кирхгофа, то к ним применима теорема Теледжена, согласно которой: 

*

, и как следствие

 и . 

Здесь можно ввести понятие условий баланса мощностей. Эти условия могут использоваться для проверки решений задач анализа режима ГК символическим методом. 

Вывод: определение необходимых значений мощностей ГК в ЭЦ позволяет осуществить инженерный анализ результатов расчета на их правильность выполнения и оценить энергетическую эффективность всей ЭЦ или ее участка. 



2. Условия передачи максимума средней мощности от генератора к нагрузке 



Пусть дан источник ГК (генератор) с параметрами: 

– комплексное задающее напряжение,

 – внутреннее сопротивление источника. 

Найдем такие значения активной R и реактивной Х составляющей составляющих комплексного сопротивления пассивной нагрузки генератора , при которой в ней выделяется максимальная средняя мощность (рисунок 1). 





Рис. 1. 



В соответствии с законом Ома ток IH в нагрузке с комплексным сопротивлением будет: 

где

. 

При этом в нагрузке цепи выделяется средняя мощность: 

. 

Значение средней мощности изменяется в широких пределах с изменением сопротивления нагрузки. Мощность максимальна, если , т.е. при . 

Это условие выполнимо, поскольку реактивная составляющая сопротивления нагрузки, т.е. двухполюсника, может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Тогда

. 

Дальнейшая задача сводится к исследованию этой зависимости как функции от переменного RH. 

Очевидно, что значение функции обращается в нуль при RH = 0 и . Следовательно, при изменении RH от 0 до  функция имеет по крайней мере один максимум. Используя правила исследования функции, получим условия максимума: RH = R0. 

Примечание: 



Следовательно, в режиме ГК генератор развивает максимальную мощность в нагрузке, комплексное сопротивление которой

. 

Сопряжено с комплексным внутренним сопротивлением генератора

. 

Нагрузку, удовлетворяющую условиям , называют сопряженной нагрузкой. 

Значение максимально возможной средней мощности, которую может развить генератор на нагрузке можно показать на рисунке 2. 

. 




Рис.2. 



На рисунке сплошной линией приведен график зависимости средней мощности от соотношения . При  такая же по величине мощность, как и в нагрузке, выделяется на внутреннем сопротивлении генератора . Поэтому коэффициент полезного действия (КПД) генератора, т.е. отношение отдаваемой в нагрузку и развиваемой генератором мощности, равен  = 0,5. С увеличением RH – средняя мощность уменьшается, но растет КПД. График зависимости КПД генератора показан на рисунке штриховой линией. 

В энергетических системах где чрезвычайно важен высокий КПД, стремятся к тому, чтобы . 

Однако, следует обратить внимание на то, что при таком режиме использование генератора значительное уменьшение RH приводит к опасному (аварийному повышению мощности, расходуемой в самом генераторе). 

В целях связи часто ZH выбирают равных Z0, т.е. . 

В этом случае говорят, что генератор нагружен согласованно, а сопротивление нагрузки называют согласованной. 

Схема генератора, нагруженного согласованно, показана на рисунке 3. При согласованной нагрузке . 





Рис. 3. 



Это по сути условие обеспечения неискаженной передачи формы сигналов. 

. 

При согласованной нагрузке полная, а тем более средняя мощность будет меньше или равна максимально возможной средней мощности, т.к Pcp. max получается при X0 = 0. При чисто активном сопротивлении генератора, что типично для радиотехнических устройств, понятие согласованной и сопряженной нагрузки не различаются. 

Вывод: Т.О., в случае генератора с активным внутренним сопротивлением согласованное включение и максимально возможная средняя мощность в нагрузке достигается при условии равенства сопротивления нагрузки внутреннему сопротивлению генератора гармонических колебаний. 



3. Особенности расчета ЭЦ с индуктивными связями



Как отмечалось ранее, применение различных методов расчета резистивных ЭЦ (МУН, МКТ, МН, МЭГ) справедливо и для режима ГК с использованием метода комплексных амплитуд (МКА). Это находит свое применение при расчетах различных схем усилителей, генераторов и т.д. Остановимся на некоторых особенностях расчета ЭЦ с индуктивными связями. 

Из курса физики известно, что если две катушки имеют индуктивную связь (рисунок 4, а),



,

а) 				б) 			в) 

Рис. 4



то напряжение на зажимах одной из этих катушек представляет собой результат наложения двух составляющих: напряжения самоиндукции и напряжения взаимоиндукции, т.е. 

 где  – взаимная индуктивность связанных катушек; а К – коэффициент связи, причем  

Знаки  в соотношениях ставятся при согласном и встречном выборе направлений отсчетов токов в катушках  и  соответственно. Выбор направления отсчетов токов будет согласным, если направления отсчета токов одинаковы по отношению к одноименным зажимам катушек. Нетрудно убедиться, что в этом случае (рисунок 4, б) при одинаковых знаках токов  и  магнитные потоки обеих катушек имеют одинаковые направления, т.е. магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции в каждой катушке складываются. На схемах одноименные зажимы индуктивно связанных катушек обозначаются специальным знаком – точкой (рисунок 4, в). Для случая соответствующего этому рисунку, в соотношениях ставится знак “плюс”, т.к напряжения отсчетов токов выбрано одинаково по отношению к одинаковым зажимам обмоток, т.е. согласно. 

При ГК от мгновенных значений напряжений и токов можно перейти к комплексным амплитудам. Тогда получим: 

. 

Отсюда следует, что при наличии взаимной индуктивности, в уравнениях контурных токов необходимо учитывать слагаемые вида



В качестве примера составим систему контурных уравнений для цепи, схема которой изображена на рисунке 5 по МКТ. 





1

L

2

L

M

1

R

2

R

1

C

2

C

0

m

I



0

m

I



1

m

I



2

m

I



Рис.5. 



. 

Слагаемые  и  входят в уравнения со знаками “минус”, потому что здесь имеет место встречный выбор направлений отсчетов контурных токов. 

В частном случае индуктивно связанные катушки могут находиться в одном контуре. Например, пусть последовательно соединены две катушки с индуктивностями L1 и L2, выполненные на общем сердечнике. Эквивалентная индуктивность такого соединения определяется по схеме рисунок 6 а. 





Рис. 6.



Уравнение контурного тока для этого случая составляется с учетом того, что по обеим катушкам протекает один и тот же ток: 

. 

При согласном включении катушек (рисунок 6, б) имеем: 

 где . 

Если считать ,  и когда , то  в четыре раза больше индуктивности одной катушки. Это закономерно, т.к получается одна катушка с вдвое большим числом витков, а индуктивность катушки пропорциональна квадрату числа витков. При встречном включении катушек (рисунок 6, в) 

. 

Для случая одинаковых катушек и жесткой связи эквивалентная индуктивность оказывается равной нулю. 

Переход от согласованного к встречному включению может быть осуществлен в том случае, если изменяется положение одной катушки относительно другой. Этот принцип используется в вариометрах, которые устроены так, что подвижная катушка может поворачиваться относительно неподвижной и тогда изменяется не только значение М, но и характер включения. В результате индуктивность вариометра может плавно измениться от значения: 

 до . 

Вывод: рассмотренные примеры показывают, что метод контурных токов позволяет произвести анализ ЭЦ при наличии индуктивных связей. 




Заключение



От источника в нагрузку поступает наибольшая средняя мощность при условии, что коэффициент  стремится к единице. В промышленности  приблизить к единице представляет важную техническую и экономическую задачи. В режиме ГК генератор развивает в нагрузке максимальную мощность, если сопротивление нагрузки сопряжено с внутренним сопротивлением генератора. При согласованной нагрузке средняя мощность будет меньше максимально возможной, но обеспечивается неискаженная передача формы сигналов. 

Анализ сложных ЭЦ в режиме ГК существенно упрощается при использовании символического метода анализа применением известных методов расчета резистивных цепей. Отличие состоит лишь в написании символов. 


Литература, используемая для подготовки к лекции



	Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1986. (Учебник); 

	Бакалов В.П. и др. Теория электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1998. (Учебник); 

	Качанов Н.С. и др. Линейные радиотехнические устройства. М.: Воен. издат., 1974. (Учебник); 

	В.П. Попов Основы теории цепей – М.: Высшая школа, 2000. (Учебник)