Транспортная задача 2

Лабораторная работа 2

					Теоретическая часть

Задача о размещении (транспортная задача) – это распределительная задача, в которой работы и ресурсы измеряются в одних и тех же единицах. В таких задачах ресурсы могут быть разделены между работами, и отдельные работы могут быть выполнены с помощью различных комбинаций ресурсов. 

Примером типичной транспортной задачи является распределение (транспортировка) продукции, находящейся на складах, по предприятиям-потребителям.

Стандартная транспортная задача - это задача разработки наиболее экономичного плана перевозки продукции одного вида из нескольких пунктов отправления в пункты назначения. При этом величина транспортных расходов прямо пропорциональна объему перевозимой продукции и задается с помощью тарифов на перевозку единицы продукции.

Исходные параметры модели ТЗ:

	n – количество пунктов отправления, m – количество пунктов назначения.

	– запас продукции в пункте отправления  () [ед. тов.].

	 – спрос на продукцию в пункте назначения  () [ед. тов.].

	 – тариф (стоимость) перевозки единицы продукции из пункта отправления  в пункт назначения  [руб./ед. тов.].

Искомые параметры модели ТЗ

 – количество продукции, перевозимой из пункта отправления  в пункт назначения  [ед. тов.].

 – транспортные расходы на перевозку всей продукции [руб.].

Этапы построения модели

Определение переменных.

Проверка сбалансированности задачи.

Построение сбалансированной транспортной матрицы.

Задание ЦФ.

Задание ограничений.

Транспортная модель

;



(7)

Целевая функция представляет собой транспортные расходы на осуществление всех перевозок в целом. 

Первая группа ограничений указывает, что запас продукции в любом пункте отправления должен быть равен суммарному объему перевозок продукции из этого пункта. 

Вторая группа ограничений указывает, что суммарные перевозки продукции в некоторый пункт потребления должны полностью удовлетворить спрос на продукцию в этом пункте. 

Наглядной формой представления модели ТЗ является транспортная матрица (Таблица 27).

Таблица 27

Общий вид транспортной матрицы


Пункты

отправления, 

Пункты потребления, 

Запасы,

[ед. прод.]







…











…











…





…

…

…

…

…

…







…





Потребность

[ед. прод.]





…





Сумма запасов продукции во всех пунктах отправления должна равняться суммарной потребности во всех пунктах потребления, то есть. 

Транспортная задача  называется сбалансированной, если , в противном случае – несбалансированной. 

Поскольку ограничения модели (7) могут быть выполнены только при сбалансированной ТЗ, то при построении транспортной модели необходимо проверять условие баланса. 

В случае, когда суммарные запасы превышают суммарные потребности, необходим дополнительный фиктивный пункт потребления, который будет формально потреблять существующий излишек запасов, то есть:

.

(8)

Если суммарные потребности превышают суммарные запасы, то необходим дополнительный фиктивный пункт отправления, формально восполняющий существующий недостаток продукции в пунктах отправления:

.

(9)

Введение фиктивного потребителя или отправителя повлечет необходимость формального задания фиктивных тарифов  (реально не существующих) для фиктивных перевозок. Поскольку нас интересует определение наиболее выгодных реальных перевозок, то необходимо предусмотреть, чтобы при решении задачи (при нахождении опорных планов) фиктивные перевозки не рассматривались до тех пор, пока не будут определены все реальные перевозки. Для этого надо фиктивные перевозки сделать невыгодными, то есть дорогими, чтобы при поиске решения задачи их рассматривали в самую последнюю очередь. Таким образом, величина фиктивных тарифов должна превышать максимальный из реальных тарифов, используемых в модели, то есть

.

(10)

На практике возможны ситуации, когда в определенных направлениях перевозки продукции невозможны, например, по причине ремонта транспортных магистралей. Такие ситуации моделируются с помощью введения так называемых запрещающих тарифов . Запрещающие тарифы необходимо сделать невозможными, то есть совершенно невыгодными, перевозки в соответствующих направлениях. Для этого величина запрещающих тарифов должна превышать максимальный из реальных тарифов, используемых в модели:

.

(11)

					Решение сбалансированной транспортной задачи

Найдите решение транспортной задачи, суть которой заключается в оптимальной организации транспортных перевозок штучного товара со складов в магазины (Таблица 28).

Таблица 28

Исходные данные транспортной задачи (транспортная матрица)

Тарифы, руб./шт.

1-й магазин

2-й магазин

3-й магазин

Запасы, шт.

1-й склад

2

9

7

25

2-й склад

1

0

5

50

3-й склад

5

4

100

35

4-й склад

2

3

6

75

Потребности, шт.

45

90

50

					Построение модели

Построим математическую модель для данной транспортной задачи.

1 шаг. Определение переменных

Обозначим через  [шт.] количество штучного товара, которые будут перевезены с i-го склада () в j-тый магазин ( ).

2 шаг. Проверка сбалансированности задачи

Общее количество товара, необходимое для удовлетворения спроса равно: 45+90+50=185 и доступно: 25+50+35+75=185, следовательно, задача сбалансирована.

3 шаг. Задание целевой функции

Формальная ЦФ, то есть суммарные затраты на все возможные перевозки товара, учитываемые в модели, задается выражением (12).



(12)

4 шаг. Задание ограничений

.

(13)

Так как объёмы перевозки товара не могут принимать отрицательные значения и должны быть целыми числами, то появляются условия неотрицательности и целостности:



(14)

		Напоминаем, что символ называется квантором всеобщности (читается «для любого»).

Таким образом, математическая модель задачи представлена в виде: определить объем  , обеспечивающий минимальное значение функции: 



при наличии ограничений:



(15)

					Нахождение решения транспортной задачи в Microsoft Excel

Задание 6

Найдите оптимальный план перевозок, используя Microsoft Excel, для этого выполните следующие действия:

Запустите приложение Microsoft Excel.

Создайте экранную форму для ввода условия задачи (Рис. 13).

Введите исходные данные (Таблица 28) в экранную форму (Рис. 14).

Проверьте выполнение условия баланса, для этого:

в ячейку G10 введите формулу СУММ(C10:F10), а в ячейку H9 введите формулу СУММ(H3:H6);

если суммы равны, то в ячейке H10 напишите БАЛАНС (Рис. 15). 



Рис. 13. Экранная форма транспортной задачи



Рис. 14. Ввод исходных данных



Рис. 15. Экранная форма после введения формул 

Введите зависимости из математической модели (15) в экранную форму, воспользовавшись подсказкой, приведенной ниже  (Таблица 29). 

Таблица 29

Формулы экранной формы задачи

Объект математической модели

Выражение в Excel

Формула ЦФ в целевой ячейке B20

=СУММПРОИЗВ(C3:E6;C13:E16)

Ограничения по строкам в ячейках

F3

F4

F5

F6

=СУММ(C3:E3)

=СУММ(C4:E4)

=СУММ(C5:E5)

=СУММ(C6:E6)

Ограничения по столбцам в ячейках

С8

D8

E8

=СУММ(C3:C6)

=СУММ(D3:D6)

=СУММ(E3:E6)

		В экранной форме (Рис. 15) в ячейках F3, F4, F5, F6, C8, D8, E8, B20 появится текущее значение, вычисленное по введенной формуле, то есть 0 (так как в момент ввода формулы значения переменных задачи нулевые).

Осуществите поиск решения задачи, для этого:

зайдите в меню Сервис  Поиск решения;

в поле «Установить целевую ячейку» укажите целевую ячейку $B$20;

введите направление оптимизации ЦФ, щелкнув один раз левой клавишей мыши по кнопке «минимальному значению»;

укажите диапазон изменения ячеек, для этого в окне  в поле «Изменяя ячейки» впишите адреса $C$3:$E$6;

внесите ограничения, накладываемые на условие задачи (Рис. 16);

запустите «Поиск решения», нажав на кнопку «Выполнить».



Рис. 16. Ограничения и граничные условия задачи

Проанализируйте полученный результат (Рис. 17).



Рис. 17. Решение транспортной задачи

Вывод: c 1-го склада в первый магазин надо перевезти 25 шт. товара, cо 2-го склада во второй магазин надо перевезти 50 шт. товара, c 3-го склада во второй магазин надо перевезти 35 шт. товара, c 4-го склада в первый магазин 20 шт., во второй магазин - 5 шт., в третий магазин – 50 шт. товара, общая стоимость перевозки будет равна 545 рублей.

Задание 7

Сохраните файл в своей папке с именем lab_2.