Параметричний тест Гольдфельда-Квандта

Параметричний тест Гольдфельда-Квандта

Коли сукупність спостережень невелика, то розглянути вище метод не застосовний.

У такому разі Гольдфельд і Квант запропонували розглянути випадок, коли М (ии’)=, тобто дисперсія залишків зростає пропорційно до квадрата однієї з незалежних змінних медалі:

Y=ХА=u.

Для виявлення наявності гетероскедастичності згадані вчені склали параметричний тест, в якому потрібно виконати такі кроки.

Крок 1. Упорядкувати спостереження відповідно до величини елементів вектора Хj.

Крок 2. Відкинути с спостережень, які мітять в центрі вектора. Згідно з експериментальними розрахунками автори знайшли оптимальні співвідношення між параметрами с і n, де n – кількість елементів вектора хj:

.

Крок 3. Побудувати дві економетричні моделі на основі 1МНК за двома утвореними сукупностями спостережень обсягом n1 =за умови, що обсяг n2 =перевищує кількість змінних m.

Крок 4. Знайти суму квадратів залишків за першою (1) і другою (2) моделями S1 і S2:

S1=uu1,

Де u1 – залишки за моделлю (1);

S2=uu2,

Крок 5. Обчислити критерій

,

який в разі виконання гіпотези про гомоскедастичність відповідатиме F-розподілу з (n1-c-2m)/2, (n2-c-2m)/2 ступенями свободи. Це означає, що обчислення R* порівнюється з табличним значенням F-критерію для ступенів свободи (n-с-2m)/2 і (n-с-2m)/2 і вибраного рівня довіри. Якщо R*Fтабл, то гетероскедастичність відсутня.

Приклад 1. У табл. 1. наведено дані про загальні витрати та витрати на харчування. Для цих даних перевірити гіпотезу про відсутність гетероскедастичності.

Таблиця 1.

Номер спостереження

Витрати на харчування, ум.од.

Загальні витрати, ум. од.



u

u2

1

2,30

15

2,16

0,14

0,020

2

2,20

15

2,16

0,04

0,002

3

2,08

16

2,20

-0,12

0,015

4

2,20

17

2,25

-0,05

0,002

5

2,10

7

2,25

-0,15

0,022

6

2,32

18

2,29

0,26

0,0007

7

2,45

19

2,34

0,11

0,012

8

2,50

20







9

2,20

20







10

2,50

22







11

3,10

64







12

2,50

68

2,37

0,13

0,016

13

2,82

72

2,52

1,29

0,085

14

3,04

80

2,68

0,36

0,128

15

2,70

85

2,99

-0,29

0,084

16

3,94

90

3,18

0,76

0,573

17

3,10

95

3,38

-0,28

0,076

18

3,99

100

3,57

0,42

0,178



Розв’язання.

Ідентифікуємо змінні:

Y – витрати на харчування, залежна змінна,

Х – загальні витрати, не6залежна змінна;

Y=f (X,u)

Для перевірки гіпотези про відсутність гетероскедастичності застосуємо параметричний тест Гольдфельда-Квандта.

Упорядкуємо значення незалежної змінної від меншого до більшого і відкинемо с значень, які містяться всередині впорядкованого ряду:

,

Визначимо залишки за цими двома моделями:

u= YІ-І;

u= YІІ-ІІ.

Залишки та квадрати залишків наведено в табл. 7.3.

Обчислимо залишкові дисперсії та знайдемо їх співвідношення:



Порівняємо критерій R* з критичним значенням F-критерію при  і  ступенях свободи і рвані довіри Р=0,99 Fа=0,01=11. Оскільки R*>Fкр, то вихідні дані мають гетероскедастичність.



Непараметричний тести Гольдфельда-Кванта

Гольдфельд і Квант для оцінювання наявності гетероскедастичності запропонували також непараметричний тест. Цей тест базується на числі піків у величини залишків після упорядкування спостережень за хij. 

Закономірність зміни залишків, коли дисперсія є однорідною, - явище гемоскедастичності ілюструє рис. 1, а спостерігається явище гетероскедастичності.

Цей тест, звичайно, не такий надійний, як параметричний, але від досить простий.