Разработка программного обеспечения для нахождения корней биквадратного уравнения

Содержание



Введение

1 Постановка задачи

2 Математические и алгоритмические основы решения задачи

3 Программная реализация решения задачи

4 Пример выполнения программы

Заключение

Список использованных источников и литературы




Введение



В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. "Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37...", - поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами. Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений. Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений. Алгебраическое уравнение четвертой степени.



,



где a, b, c – некоторые действительные числа, называется биквадратным уравнением. Заменой  уравнение сводится к квадратному уравнению  с последующим решением двух двучленных уравнений  и  ( и  - корни соответствующего квадратного уравнения).

Если  и , то биквадратное уравнение имеет четыре действительных корня:



,

.



Если ,  то биквадратное уравнение имеет два действительных корня  и мнимых сопряженных корня:



.



Если  и , то биквадратное уравнение имеет четыре чисто мнимых попарно сопряженных корня:

Случай ,  аналогичен разобранному.



,





Целью данной курсовой работы является разработка программного обеспечения для нахождения корней биквадратного уравнения.


1. Постановка задачи



Биквадратным называется уравнение вида ax4+bx2+c=0, где a 0. Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив x2 = y, придем к квадратному уравнению ay2+by+c=0.

Требуется разработать программное обеспечение для нахождения корней биквадратного уравнения.

Пример 1.

Решить уравнение 



x4+4x2-21=0.



Решение:

Положив x2 = y, получим квадратное уравнение y2+4y -21=0, откуда находим y1= -7, y2=3. 

Теперь задача сводится к решению уравнений x2= -7, x2=3. Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим



,



которые являются корнями заданного биквадратного уравнения..

Ответ: .

Пример 2. 

Решить биквадратное уравнение.



2х4 – 5х2+2=0



Решение:

Обозначим х2=t. Тогда х4=(х2)2=t2 и уравнение примет вид:



2t2–5t+2=0

D=(–5)2 – 4(2)(2)=25 – 16 = 9 > 0,

t1=(5+3) / 4=2 и t2=(5 – 3) / 4=1 / 2.



Так как t=x2, то корни исходного уравнения найдем в результате решения уравнений



х1=2 и х2=1/2.

Имеем 

Ответ: 



2. Математические и алгоритмические основы решения задачи



Рассмотрим биквадратное уравнение 



ax4 + bx2 + c = 0.



Введем подстановку 



y = x2.



Получим квадратное уравнение общего вида



ay2 + by + c = 0.



Таким образом, для решения биквадратного уравнения необходимо помнить, что оно свелось к системе двух уравнений второй степени: 



y = x2

ay2 + by + c = 0.



Решим квадратное уравнение относительно переменной "y". Получим три возможных варианта решений: 

дискриминант отрицателен: уравнение не имеет действительных решений;

дискриминант не отрицателен и равен нулю: уравнение имеет один двукратный корень;

дискриминант не отрицателен и равен нулю: уравнение имеет два различных корня.

В первом случае, когда дискриминант квадратного уравнения отрицателен, система не имеет решения, так как одно из входящих в нее уравнений, а именно квадратное уравнение ay2 + by + c = 0, не имеет решения. 

Последние два случая соответствуют неотрицательному дискриминанту квадратного уравнения. Квадратное уравнение имеет действительные решения. Однако, обратите внимание на тот факт, что первое уравнение системы ax2 = y имеет смысл только при значениях y>=0. Поэтому, если оба корня квадратного уравнения ay2 +by +c = 0 отрицательны, система уравнений так же не имеет решения. Кроме того, если хотя бы один из корней квадратного уравнения ay2 +by +c = 0 отрицательный, система уравнений будет иметь только два действительных решения. 

И только в том случае, когда оба корня квадратного уравнения неотрицательны, система уравнений имеет четыре действительных решения. Дадим теперь словесное описание алгоритма.

Словесное описание алгоритма решения задачи:

Ввести a, b, c.

Присвоить d = b2 - 4ac

Если d<0 перейти к 15

Присвоить y1 = (-b - SQRT(d)) / (2*a)

Присвоить y2 = (-b + SQRT(d)) / (2*a)

Если y1<0 и y2< 0 перейти к 15

Если y1<0 и y2>=0 перейти к 9

Если y1>=0 и y2<0 перейти к 13

Присвоить x1 = SQRT(y2)

Присвоить x2 = -x1

Выдать "x1=";x1, "x2=";x2

Перейти к 16

Присвоить y2 = y1

Перейти к 9

Выдать "Действительных решений нет"

Закончить



3. Программная реализация решения задачи



Файл UBikvur.h

//---------------------------------------------------------------------------

#ifndef UBikvurH

#define UBikvurH

//---------------------------------------------------------------------------

#include <Classes.hpp>

#include <Controls.hpp>

#include <StdCtrls.hpp>

#include <Forms.hpp>

#include "HandTuning.h"

#include <ExtCtrls.hpp>

#include <Menus.hpp>

//---------------------------------------------------------------------------

class TfrmBikvur : public TForm

{__published:	// IDE-managed Components

THandTuning *htA;

THandTuning *htB;

THandTuning *htC;

TButton *btnCalc;

TListBox *lbxX;

TLabel *Label1;

TLabel *Label2;

TButton *btnExit;

TButton *btnClear;

TMainMenu *MainMenu1;

TMenuItem *N1;

TMenuItem *N2;

TMenuItem *N3;

TMenuItem *N4;

TMenuItem *N5;

TLabel *Label3;

TLabel *Label4;

TLabel *Label5;

void __fastcall btnCalcClick(TObject *Sender);

void __fastcall btnExitClick(TObject *Sender);

void __fastcall btnClearClick(TObject *Sender);

private:	// User declarations

list<double> __fastcall Bikvur(double a, double b, double c);

public:		// User declarations

__fastcall TfrmBikvur(TComponent* Owner);};

//---------------------------------------------------------------------------

extern PACKAGE TfrmBikvur *frmBikvur;

//---------------------------------------------------------------------------

#endif

Файл UBikvur.cpp

//---------------------------------------------------------------------------

#include <vcl.h>

#include <math.h>

#include <list.h>

#pragma hdrstop

#include "UBikvur.h"

//---------------------------------------------------------------------------

#pragma package(smart_init)

#pragma link "HandTuning"

#pragma resource "*.dfm"

TfrmBikvur *frmBikvur;

//---------------------------------------------------------------------------

list<double> __fastcall TfrmBikvur::Bikvur(double a, double b, double c)

{double y1, y2;

list<double> x;

//вычислене d дискриминанта

double d = b * b - 4 * a * c;

//корни существуют, если d >= 0

if(d >= 0)

{y1 = (-b - sqrt(d)) / 2 * a;

y2 = (-b + sqrt(d)) / 2 * a;}

if(d < 0 || (y1 < 0 && y2 < 0))

{Application->MessageBoxA(L"Действительных корней нет", L"Информация", MB_OK + MB_ICONINFORMATION);

return x;}

//вычисление корней биквадратного уравнения

else

{if(y1 >= 0 && y2 >= 0)

{x.push_back(sqrt(y1));

x.push_back(-sqrt(y1));

x.push_back(sqrt(y2));

x.push_back(-sqrt(y2));}

else

{if(y1 < 0 && y2 >= 0)

{x.push_back(sqrt(y2));

x.push_back(-sqrt(y2));}

else

{x.push_back(sqrt(y1));

x.push_back(-sqrt(y1));}}}

return x;}

//---------------------------------------------------------------------------

__fastcall TfrmBikvur::TfrmBikvur(TComponent* Owner)

: TForm(Owner)

{}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TfrmBikvur::btnCalcClick(TObject *Sender)

{lbxX->Clear();

list<double> res = Bikvur(htA->Value, htB->Value, htC->Value);

int i = 1;

while(!res.empty())

{lbxX->Items->Add("x" + IntToStr(i) + " = " + FormatFloat("0.000", res.front()));

res.pop_front();

i++;}}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TfrmBikvur::btnExitClick(TObject *Sender)

{this->Close();}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TfrmBikvur::btnClearClick(TObject *Sender)

{htA->Value = 0;

htB->Value = 0;

htC->Value = 0;

lbxX->Clear();}

//---------------------------------------------------------------------------



4. Пример выполнения программы



Пример 1.





Рисунок 1 – Решение биквадратного уравнения 



Пример 2.





Рисунок 2 – Решение биквадратного уравнения 



Пример 3.




Рисунок 3 – Решение биквадратного уравнения 



Пример 4.





Рисунок 4 – Решение биквадратного уравнения 



Пример 5.





Рисунок 5– Решение биквадратного уравнения 



Пример 6.




Рисунок 6 – Очистка из пункта меню



Пример 7.





Рисунок 7 – Выход из программы


Заключение



В рамках данной курсовой работы была поставлена задача: построить алгоритм и реализовать программный продукт для нахождения корней биквадратного уравнения.

В результате проектирования был составлен принципиальный алгоритм для решения поставленной задачи. Далее он был детализован и реализован на ЭВМ. В конце, был проведён анализ полученных результатов, и сделаны необходимые выводы.

Программный продукт был реализован в среде визуального программирования CodeGear RadStudio 2009 под ОС типа Windows для IBM PC-совместимых компьютеров. 

Созданный программный продукт позволяет решить поставленную задачу. Также можно указать о том, что программа имеет интуитивно понятный интерфейс, что дополнительно помогает пользователю с наибольшей результативностью использовать программу.

В заключение после анализа полученных результатов были сделаны выводы, согласно которым алгоритм работает и применим для поставленной задачи.


Список использованных источников и литературы

	

	Архангельский, А.Я. Программирование в С++ Builder 6. [Текст] / А.Я.Архангельский. – М.: Бином, 2003. С. 1154.

	Ахо, А.. Построение и анализ вычислительных алгоритмов [Электронный ресурс] / А. Ахо, Дж. Хопкрофт, Дж.. Ульман. – М.: Мир. 1999. С. 143.

	Бронштейн, И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов [Текст] / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. – М.: Наука, 2007. – 708 с.

	Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов. [Текст] / Н.Ш.Кремер, 3-е издание – М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2006. C. 412.

	Калиткин, Н.Н. Численные методы. [Электронный ресурс] / Н.Н. Калиткин. – М.: Питер, 2001. С. 504.

	Биквадратные уравнения [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://fio.ifmo.ru/archive/group34/c4wu2/pege3-2.htm

	Павловская, Т.А. Программирование на языке высокого уровня. [Текст] / Т.А. Павловская. – М.: Питер, 2003. С. 461.

	Семакин, И.Г. Основы программирования. [Текст] / И.Г.Семакин, А.П.Шестаков. – М.: Мир, 2006. C. 346.