Вычисление интеграла

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ





























КУРСОВАЯ РАБОТА

тема:

«Вычисление определённого интеграла

 с помощью метода трапеций

на компьютере»













	

Выполнил:

 студент ф-та

 ЭОУС-1-12

Зыков И.



Принял:

Зоткин С. П.



































Москва 2001

Введение:



Определенный интеграл от функции, имеющей неэлементарную первообразную, можно вычислить с помощью той или иной приближенной формулы. Для решения этой задачи на компьютере, можно воспользоваться формулами прямоугольников, трапеций или формулой Симпсона. В данной работе рассматривается формула трапеций.

Пусть I= f(x)dx, где f(x) – непрерывная функция, которую мы для наглядности будем предполагать положительной. Тогда I представит собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями x=a, x=b, y=0, y=f(x). Выберем какое-нибудь натуральное число n и разложим отрезок [a,b] на n равных отрезков при помощи точек x0=a<x1<…<xn=b. Прямые x=xi разбивают интересующую нас криволинейную трапецию на n полосок. Примем каждую из этих полосок за обыкновенную прямолинейную трапецию (рис. 1, где n=4). 



рис. 1

Тогда площадь первой слева полоски будет приближенно выражаться числом

((f(x0)+f(x1))/2)*(x1-x0)=((y0+y1)/2)*((b-a)/n),

ибо основания трапеции, за которую мы принимаем полоску, равны f(x0)=y0 и f(x1)=y1, а высота её 

x1-x0=(b-a)/n.

Аналогично площади дальнейших полосок выразятся числами

(y1+y2)*((b-a)/2*n), (y2+y3)*((b-a)/2*n), … , (yn-1+yn)*((b-a)/2*n).

Значит, для нашего интеграла получается формула

I((b-a)/2*n)*[y0+2*(y1+…+yn-1)+yn].

Пологая для краткости y0+yn=Yкр (крайние), y1+y2+…+yn-1=Yпром (промежуточные), получим 



 ydx  ((b-a)/2* n)*(Yкр+2*Yпром)   



					

Эту формулу можно записать в другом виде 



 f(x)dx  (h/2)*[f(a)+f(b)+2f(xi)]

(где h – длина одного из n равных отрезков, xi=a+i*h). Эта приближенная формула и  называется формулой трапеций. Она оказывается тем более точной, чем больше взятое нами число n. Погрешность одного шага вычисляется по формуле: -(h^3)/12.

        Задача. Пусть нужно проинтегрировать функцию f(x) = x³ +2x²-3x-8  на отрезке [0, 6]. На этом отрезке функция непрерывна. 

Для выполнения поставленной задачи составлена нижеописанная программа,  приближенно вычисляющая определенный интеграл с помощью метода трапеций. Программа состоит из трех функций main, f и trap. Функция main позволяет ввести интервалы интегрирования и задать точность вычисления интеграла, а также вызывает функцию trap для вычисления интеграла и распечатывает на экране результат. Функция f принимает аргумент x типа float и возвращает значение интегрируемой функции в этой точке. Trap – основная функция программы: она выполняет все вычисления, связанные с нахождением определенного интеграла. Trap принимает четыре параметра: пределы интегрирования типа float (a и b), допустимую относительную ошибку типа float и указатель на интегрируемую функцию. Вычисления выполняются до тех пор, пока относительная ошибка, вычисляемая по формуле | S-Sn |,  не будет меньше или равна требуемой. Функция реализована с экономией вычислений, т. е. учитывается, что S0 постоянная и S1=S1+f(a+(2*i+1)*h), поэтому эти значения вычисляются единожды. Метод трапеций обладает высокой скоростью вычисления, но меньшей точностью, чем метод Симпсона, поэтому его применение удобно там, где не требуется очень высокая точность.

	Ниже предлагается блок-схема, листинг, спецификации, ручной счет и результат работы программы на примере поставленной выше задачи. Блок-схема позволяет отследить и понять особенности алгоритма программы, спецификации дают представление о назначении каждой переменной в основной функции trap, листинг -  исходный код работающей программы с комментариями, а ручной счет предоставляет возможность проанализировать результаты выполнения программы. 



































































Блок-схема программы:







Ввод a, b, eps









n = 4, S=1, Sn = 101









S0=(f(a)+f(b))*0.5

S1=f(0.5*(a+b))









| S-Sn | > eps                                                                                                          

                                                                                                                      ДА 





                                                                  НЕТ

                                                                        



Вывод S







Sn=S

h=(b-a)/n







                                                                                                                             i=1



S1=S1+f(a+(2*i+1)*h)  

                                                                                                                         

                                                                                                                             i=n/2 







S=h*(S0+S1)

n=n*2







                                                                          















Листинг:



	

	

	#include<stdio.h>

	#include<math.h>

	#include<conio.h>

	main()

	{

	double a,b,er,eps,f(double),s,trap(double,double,double,double(*)(double));

	clrscr();

	printf("\n Задайте пределы интегрирования и точность: ");

	scanf ("%lf%lf%lf",&a,&b,&eps);

	s=trap(a,b,eps,f);

	printf("\n Интеграл от a=%3.2lf до b=%3.2lf равен %lf",a,b,s);

	getch();

	}

	double f(double x)

	{

	return x*x*x+2*(x*x)-3*x-8;

	}

	double trap(double a,double b,double eps,double(*f)(double))

	{

	double h,s,s0,s1,sn;

	int i,n;

	s=1; sn=101;

	n=4;

	s0=(f(a)+f(b))/2;

	s1=f((a+b)/2);

	while(fabs(s-sn)>eps){

	         sn=s;

	         h=(b-a)/n;

	         for(i=0; i<n/2; i++)

	            s1+=f(a+(2*i+1)*h);

	        s=h*(s0+s1);

	        n*=2;

	                                  }

	return s;

	}

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

Спецификации:



Имя переменной

Тип

Назначение

n

int

число разбиений отрезка [a, b]

i

int

счетчик циклов

a

double

Нижний предел интегрирования

b

double

Верхний предел интегрирования

h

double

шаг разбиения отрезка

eps

double

допустимая относительная ошибка

f

double(*)

указатель на интегрируемую фун - цию

x

double

аргумент ф-ии f

s

double

текущий результат интегрирования

s0

double

половина суммы значений функции в точках a и b

s1

double

сумма значений функции в промежуточных точках

sn

double

предыдущий результат интегрирования

	

	

Ручной счет:



Xi

Yi

0

-8

0,75

-8,703125

1,5

-4,625

2,25

6,765625

3

28

3,75

61,609375

4,5

110,125

5,25

176,078125

6

262









Результат работы программы:

                                                                                                                                          

                       при eps = 0.1                                                          при eps = 0.001 

 

                Введите a, b, eps:                                 Введите a, b, eps:        

                0                                                                                  0 

                6                                                                                  6

                .1                                                                                 .001

  

             Интеграл= 366.024170                                     Интеграл= 366.000094          



            т.е с помощью этой программы можно вычислить интеграл от функции с точностью до 1/10000.