Чисельне інтегрування та наближення функцій поліномами вищого порядку

Міністерство освіти і науки України

Житомирський державний технологічний університет









Кафедра ТМ та КТС

Група ЗІМ 03-1т













Курсова робота

з інформатики

на тему: «Чисельне інтегрування. НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ ПОЛІНОМАМИ ВИЩОГО ПОРЯДКУ»





















Житомир


Зміст



Завдання № 1. – Чисельне інтегрування. Формула трапецій та формула Сімпсона

Завдання № 2. – Знаходження коренів рівняння методом Ньютона

Завдання № 3,4. – Наближення функцій поліномами вищого порядку

Завдання № 5. – Метод Ейлера. Модифікації метода Ейлера




Завдання № 1

Чисельне інтегрування. Формула трапецій та формула Сімпсона



Розрахувати за допомогою формул трапецій та Сімпсона значення інтегралу від функції y=f(x)= a0+a1x+a2x2+a3x3+a 4x4+a5x5 з точністю до п’ятого знака. Визначити похибки розрахунків для різних значень n – e8 та e4



Вихідні дані:

Варіант

a0

a1

a2

a3

a4

a5

2

1

0.9

0.8

0.7

0.5

2.3



Реалізація у MS Excel:



Хід виконання:


Визначений інтеграл чисельно рівний площі криволінійної трапеції, яка описується кривою y = f(x), віссю х та двома прямими, паралельними осі ординат x = a, x = b. Тому знаходження розв’язку інтеграла є визначення відповідної площі.

Розіб’ємо відрізок [a, b] = [0, 1] на n=16 рівних елементарних трапецій із площами s. Величину D, що дорівнює основі кожної із елементарних трапецій, позначимо буквою h і називатимемо кроком квадратурної формули, який визначається з формули 

Таким чином, шукана формула трапецій має вигляд







де cj = 1,2,2,2,….2,1.

Для формули парабол (Сімпсона) замість двох прямолінійних трапецій розглядається одна трапеція, яка обмежена параболічною дугою







Елементарна площа визначається інтегралом







Враховуючи, що 

Отримаємо формулу парабол (Сімпсона)






де cj = 1, 4, 2, 4, 2,…..2, 4, 1.

У формулі трапецій n є довільним числом, у формулі Сімпсона воно повинно бути парним.



Завдання № 2

Знаходження коренів рівняння методом Ньютона



Визначити всі дійсні корені поліному P(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3 за допомогою методів Ньютона (дотичних) та методу „січних”. Результати розрахунків звести у таблицю.



Вихідні дані:

Варіант

a0

a1

a2

a3

2

1,3

-7

-4

-4



Реалізація у MS Excel:






Хід виконання:

1. Будуємо графік заданої функції та визначаємо з нього приблизне значення кореня х0 ≈ 0,17

2. Проводимо уточнення коренів за методом Ньютона та січних з точністю e=10-5 .

В розрахунках наближене значення похідної знаходиться за формулою:







При уточненні коренів рівняння методом Ньютона користуємось наступними формулами:

Чергове k-е наближення:







В якості малої величини беремо задану точність обчислень , тоді розрахункова формула має вигляд:







При уточненні коренів рівняння методом січних користуємось наступними формулами:

Для першого наближення:






Для подальших наближень:







Завдання № 3,4

Наближення функцій поліномами вищого порядку



Функція y=f(x) задана таблицею значень  у точках . Використовуючи метод найменших квадратів (МНК), знайти многочлен найменшого середньоквадратичного наближення оптимальної степені m=m*. За оптимальне значення m* прийняти ту степінь многочлена, починаючи з якої величина стабілізується або починає зростати.



Вихідні дані:

Варіант 2

x

0

0,375

0,563

0,75

1,125

1,313

1,5

1,690

1,875

2,063

2,25

2,438

2,625

2,813

3

y

4.568

3,365

2,810

2,624

0,674

0,557

0,384

-0,556

-1,44

-1,696

-1,91

-2,819

-3,625

-3,941

-4,367



Хід виконання:

1. Задаємо вектори x та y вихідних даних.

2. Використовуючи метод найменших квадратів, знаходимо многочлени Pm, m = 0,1,2... Розраховуємо відповідні їм значення .

3. Будуємо гістограму залежності від m, на основі якої вибратємо оптимальну степінь m* многочлена найкращого середньоквадратичного наближення.

4. На одному графіку будуємо многочлени Pm, m = 0,1,2,..., m*, і точковий графік вихідної функції.

Реалізація у MS Excel:

Визначаємо матрицю Х як суму відповідних хі у відповідних степенях та уі*хіj







За допомогою отриманих даних, будуємо, для полінома кожної степені, відповідну матрицю Х:








Визначаємо обернені матриці Х-1 до відповідних матриць Х, використовуючи вбудовану функцію Excel МОБР(....).

Визначаємо коефіцієнти відповідних поліномів, для чого визначаємо добуток матриць Х-1 та B, використовуючи вбудовану функцію МУМНОЖ(....).

Використовуючи визначені коефіцієнти поліномів аі, визначаємо значення даних поліномів у кожній точці хі.






Будуємо графік отриманих поліномів та вихідних даних: вихідні дані – точковий графік, розрахункові дані – лініями різного типу.







Визначаємо величину для кожного полінома та будуємо гістограму:












Вже по побудованій гістограмі можна робити висновки про оптимальність степені полінома для апроксимації вихідних даних (мінімальне значення , але визначимо мінімум за допомогою функції МИН(...) . І по отриманому значенню робимо висновок про оптимальну степінь апроксимуючої функції



Завдання № 5

Метод Ейлера. Модифікації метода Ейлера



Використовуючи метод Ейлера, скласти на відрізку [а, b] таблицю значень інтегралу диференційного рівняння y' = f (x, y), що задовольняє початковим умовам (x0, y0), вибираючи крок інтегрування h, де



y(xi+h)=y(xi)+h·y'(xi)


Розв’язати попереднє диференційне рівняння y' =f(x, y) вдосконаленим методом ломаних та вдосконаленим методом Ейлера-Коші.

Вихідні дані:



Варіант

h

[a, b]

(x0, y0)



2

0,2

[0;1]

(0;1)





Реалізація у MS Excel:







Графіки розрахованих даних: