Построение аналоговой ЭВМ для решения дифференциального уравнения шестого порядка

СОДЕРЖАНИЕ



Введение

1. Выбор варианта задания

2. Основные этапы программирования задач

3. Моделирование левой части уравнения

3.1 Запись левой части уравнения

3.2 Расчет масштабных коэффициентов

3.3 Расчет напряжений начальных условий

3.4 Расчет коэффициентов передачи

4. Моделирование правой части уравнения

5. Расчет элементов схемы

5.1 Расчет элементов для операционных усилителей

5.2 Расчет элементов для схемы установки начальных условий

6. Расчет параметров с допустимой погрешностью

7. Описание принципиальной схемы 

Заключение




ВВЕДЕНИЕ



Аналоговые вычислительные машины (АВМ) используют непрерывную форму представления информации и аналитический принцип ее переработки, при реализации которого каждой аналитической зависимости между математическими переменными соответствует подобное аналитическое описание связи между машинными переменными. Любая простейшая математическая операция в АВМ – сложение, умножение, интегрирование и т.д. – выполняется отдельным элементарным блоком машины, у которого аналитическая связь между входными и выходными физическими величинами подобна заданной аналитической зависимости.

Непрерывная форма представления информации и аналитический принцип ее переработки обеспечивают непрерывное решение математической задачи на АВМ и высокое быстродействие. Однако точность Работы АВМ ограничена точностью изготовления ее отдельных элементарных блоков и стабильностью их характеристик в процессе решения задачи. Указанные качества АВМ наряду с относительно малым временем и простотой подготовки задачи для машинного решения, простотой обслуживания и несложной конструкцией выгодно отличают АВМ от ЦВМ в тех применениях, когда не требуются высокая точность и универсальность. Особое значение современные АВМ и их отдельные устройства имеют для обеспечения задач моделирования динамических процессов, описываемых различными типами дифференциальных уравнений высоких порядков, и управления этими процессами. 




1. ВЫБОР ВАРИАНТА ЗАДАНИЯ



Вариант курсовой работы формируется путем выбора соответствующих варианту конкретных значений коэффициентов для дифференциального уравнения с переменной правой частью из методических указаний. 

Номер варианта выбирается по журналу - №12.

Для варианта №11 заданы следующие начальные значения:



Таблица 1

№

Е(В)

n

M

N

T(c)

Uдоп(%)

11

1

6

2

8

0,5

0,5



Где Е(В)— напряжение на входе первого интегратора в правой части уравнения;

n— степень дифференциального уравнения;

m— степень полинома правой части уравнения;

N— разрядность АЦП и ЦАП;

Т— время интегрирования;

Uдоп— погрешность решения уравнения.

Общий вид уравнения:







Начальные условия и коэффициенты уравнения:

Начальные условия(В):


Таблица2

Х6

Х5

Х4

Х3

Х2

Х1

Х0

1

1

8

- 3

0

2

- 5



Максимальные значения(В):



Таблица 3

Х6мах

Х5мах

Х4мах

Х3мах

Х2мах

Х1мах

Х0мах

1

- 6

- 1

10

7

9

1



Коэффициенты ак:



Таблица 4

а6

а5

а4

а3

а2

а1

а0

1

1

12

- 9

16

- 19

 -9



Коэффициенты bi:



Таблица 5

B2

B1

B0

14

18

5



Из приведенных данных выписывается следующее уравнение:












2. ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ ЗАДАЧ НА АВМ



Решение задачи на АВМ можно условно разделить на несколько основных этапов программирования. Рассмотрим подробно каждый из них.

Предварительная подготовка исходной задачи. Эта подготовка состоит в приведении исходной математической зависимости к виду удобному для решения на АВМ.

Выбор масштабов переменных величин. Здесь устанавливается однозначное соответствие между диапазонами измерения переменных в уравнениях и машинными переменными.

Расчет коэффициентов передачи операционных блоков. Определение начальных условий т.е. определение начального значения от которого все переменные изменяются в момент времени равный 0.

Составление функциональной и принципиальной схем модели.

		Этап1.Выполняются следующие действия: анализируются исходные уравнения в процессе этого анализа выясняется существует ли принципиальная возможность получения решения и единственно ли оно. При анализе необходимо определить следующие моменты: Необходимо выяснить соответствует ли число уравнений системы числу неизвестных функций; Для корректного решения задачи должны быть заданы начальные условия для всех неизвестных функций; Число начальных условий должно быть равно обобщенному порядку системы дифференциальных уравнений (обобщенный порядок равен сумме порядков старших производных всех функций). Численные значения всех коэффициентов при переменных должны быть заданы также заданы графики или таблицы описывающие изменение функций входящих в уравнения, должны быть заданы диапазоны изменения всех переменных и их производные для расчета масштабов и коэффициентов передачи блоков. На этом же этапе выбирается наиболее целесообразный способ формирования нелинейной функции. Устанавливают интервал времени решения задачи, определяют частотные характеристики моделирующих сигналов, определяют перечень выходных пременных которые будут контролироваться здесь же устанавливается точность решения задачи. 

		Этап 2. В АВМ масштаб переменной имеет разрядность (В/ед). Например, если имеется некоторая физическая величина х, то Мх= Uх/х, сама физическая величина или диапазон ее изменений, Uх желательно выбирать равным максимальному значению машинной переменной 10В: Мх=10/Хмах.

		Время протекания в реальном процессе и время протекания в решении неодинаковы. Поэтому определяется масштаб времени: Мt=tэл/t , tэл>t , где tэл – электрическое время, t – реальное время. Если tэл<t – позволяется рассматривать решение в ускоренном темпе.

		Частота изменения сигналов в узловых точках схемы не должна превышать 10Hz.

		Время решения задачи не должно быть больше нескольких десятков секунд.

		Этап3. Основной задачей данного этапа является обеспечение подобия структуры решающей схемы моделируемому физическому процессу, т.е. необходимо обеспечить МАХ изменение в точках решения схемы.

		Коэффициент передачи интегрирующего усилителя вычисляется по формуле: Киу=1/RC=(Му/МхМt)*а.

		При построении АВМ следует четко отслеживать увеличение погрешности из-за дрейфа нуля. Величина дрейфа нуля усилителя больше, чем больше его коэффициент усиления, поэтому при составлении программы (схемы) решения задачи вводятся ограничения на величины коэффициентов передачи операционных элементов. Коэффициент передачи интегрирующих усилителей необходимо выбирать не более 10. 

		 Напряжения начальных условий рассчитываются по формуле: Uх(0)=Х(0)*Мх*sign x, где х(0) – заданное начальное значение переменной, Мх – масштаб переменной, sign x – знак напряжений в схеме моделирования.

		Этап 4.Этот этап включает в себя построение схемы решения задачи. 

		При решении на АВМ используют 2 типа схем:

		Схема электрическая структурная.

		Схема электрическая принципиальная.

		Структурная схема представляет собой практическую постановку задачи.

		Принципиальная схема используется для непосредственной реализации решения задачи.

		


3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛЕВОЙ ЧАСТИ УРАВНЕНИЯ



3.1. Запись левой части уравнения.

Уравнение имеет следующий вид:









где у(t)=14t2+18t+5

Построение структурной схемы левой части уравнения











                     -Х5(0)





   

      У1

	                         					       Х4(0)                            х3(0) 

у(t)  к11 



У4

У3

У2-х5   к12

-х4   к13



Ах3    к14        уу1             -Х5  к21                  х5     к31                      -х4   к41                        х3        

-х2   к15        

х1    к16

х      к17









                х2(0)                     х1(0)                      х(0)   

                                               





У5

У6

У7

У8



А                             -х2   к61                  х1    к71                 -х    к81                   х    









Рис.1 Структурная схема левой части уравнения




3.2 Расчет масштабных коэффициентов



Масштабные коэффициенты расчитываются по формуле Мх=Uмах/Хмах , где Uмах – максимальное значение машинной переменной, Хмах-максимальное значение переменной.

Uмах уменьшено на порядок и равно Uмах=1


























3.3 Расчет напряжений начальных условий



Напряжение начальных условий рассчитывается по формуле U(0)=MX*Х(0)(±1), где MX масштаб переменной, Х(0) – начальное значение переменной.















3.4 Расчет коэффициентов передачи



Коэффициенты передачи по каждому входу интегрирующего усилителя вычисляются по формулам К1n=Мх´a/MyMt , Kk1= Мх´/MyMt , для инверторов К=1, МТ=1.



















4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРАВОЙ ЧАСТИ УРАВНЕНИЯ



Правая часть уравнения которая представляет собой полином 2-ого порядка моделируется с помощью цепочки интеграторов с соответствующими инверторами которые интегрируют постоянное напряжение. Подав на вход первого интегратора сигнал Е на его выходе получим



U1(t)= -K11∫Edt= - K11Et.



На выходе второго интегратора получим



U2(t)= K21∫ K11Etdt=K11K21Et2/2

Y(t)=14t2+18t+5





У2

У1                              

Е    к11                     -U1  к21                       U2





У3								

							+	

								-         y(t)  

						        К31	         																

Рис.2 Структурная схема правой части уравнения





o












5. РАСЧЁТ ЭЛЕМЕНТОВ СХЕМЫ



5.1 Расчёт элементов для операционных усилителей



Резисторы на схеме находятся из соответствующих коэффициентов передачи при помощи выражения:



К=1/RC → R=1/KC



При этом ёмкость конденсатора выбирается равной 1 мкФ. 

Для сумматоров и инверторов К определяется как отношение резистора обратной связи к резистору через который подключается потенциал.

Емкость конденсатора С1=1*10-6Ф



 К=1/RC → R=1/KC



Расчет для первого ОУ:
































Расчет для второго ОУ(инвертора):







Расчет для третьего ОУ:



Коэффициенты для правой части
















5.2 Расчёт элементов для схемы установки начальных условий



Начальные условия вводятся с помощью схемы:





ЦАП 

Data                    E        R1                  R2



                                       C1                        C        





   У				2

 	                       R     1 

				K



Рис.2 Схема задания начальных условий



При нахождении ключа К в положении 1 выходной сигнал схемы с 





достаточной точностью описывается уравнением идеального интегратора.

При нахождении ключа в положении 2 выходной сигнал схемы описывают уравнением которое позволяет задавать начальные условия: 

где U(0) - напряжение начальных условий ,E – напряжение выхода ЦАП.



U(0)/E= - R2/R1 при R1C1=R2C.



Выбранный тип ЦАП (К572ПА1А) имеет возможность вывода напряжения в 

диапазоне 15В. При этом его погрешность составляет:



В зависимости от этих данных выбираются напряжения начальных условий и рассчитываются элементы:

Расчеты операционных блоков


































6. РАСЧЁТ ПАРАМЕТРОВ С ДОПУСТИМОЙ ПОГРЕШНОСТЬЮ



При проектировании необходимо учитывать, что за время интегрирования значение интеграла может выйти за пределы 10 В. Также операционный усилитель отличается от идеального интегратора с некоторой погрешностью, которая может превысить допустимую быстрее времени интегрирования.

Для проверки таких случаев применяют следующие формулы:







Где Ку – коэффициент усиления операционного усилителя (50000 для К140УД8);

Е – напряжение начального условия на данном интеграторе;

t – время интегрирования (1 с);

R и C – номиналы элементов данного интегратора.

Подставляя величины для каждого интегратора получаем:















Напряжения на интеграторах входящих в состав правой части уравнения будут равны 0, так как начальные установки на них нулевые.

Полезное время интегрирования определяется по формуле:






где Ку – коэффициент усиления;

Uдоп – допустимая погрешность;

R и C – номиналы элементов данного интегратора.

Для правой части:









Для левой части:













Из расчетов видно что полезное время интегрирования больше необходимого, а следовательно результат будет получен с погрешностью меньшей чем допустимая.




7. ОПИСАНИЕ ПРИНЦИПИАЛЬНОЙ СХЕМЫ



Для построения принципиальной схемы были выбраны следующие элементы:

Операционный усилитель — К140УД8 с коэффициентом усиления 50000, напряжением питания 15 В.

Восьмиразрядный регистр – К555ИР35.

Аналоговый коммутатор – КР580КН9.

ЦАП – K572ПА1A 10-разрядный.

АЦП – К1113ПВ1А 10-разрядный.




ЗАКЛЮЧЕНИЕ



В ходе выполнения работы были получены практические навыки в построении аналоговой ЭВМ. Была спроектирована схема решения дифференциального уравнения, которая обеспечивает управление процессом решения и задания начальных условий с помощью ЦВМ. Предусмотрено проверка результатов моделирования в заданных точках схемы.