Анализ и моделирование цифровых и аналоговых схем

Министерство образования республики Беларусь

Учреждение образования "Полоцкий государственный университет"

Кафедра конструирования и технологии РЭС











Контрольная работа



По курсу " Теоретические основы САПР "







Выполнил

Номер зачетной книжки



Проверил 





















Новополоцк 2008


Задача №1. Оценка статического риска сбоя



Задание: для заданной схемы оценить риск статического сбоя по всем выходным переменным для заданного варианта изменения вектора входных переменных.

Исходные данные:



Схема: 









Заданный вариант изменения вектора входных переменных: 

X=(a,b,c) c (0,0,1) на (1,1,1)



Решение:

Для оценки риска статического сбоя необходимо разработать синхронную модель цифровой схемы в трехзначной логике. Математическая модель заданной схемы имеет вид:







При анализе трехзначных моделей значения всех переменных – входных и выходных вычисляются трижды:

Исходное значение вектора входных переменных X=(a,b,c) задано заданием; исходное значение вектора выходных переменных Y=(e,g) вычисляется по правилам двоичной логики;

Окончательное значение вектора входных переменных X=(a,b,c) задано заданием; окончательное значение вектора выходных переменных Y=(e,g) вычисляется по правилам двоичной логики;

Промежуточные значения входных переменных X=(a,b,c) определяются по следующему правилу: если исходное значение входной переменной совпадает с окончательным, то промежуточное равно исходному и окончательному. Если исходное значение входной переменной не совпадает с окончательным, т.е. имеет место переключение входного сигнала в течение такта модельного времени, то промежуточное равно 2 (неопределенное состояние переключения). Промежуточные значения выходных переменных Y=(e,g) рассчитываются по правилам трехзначной логики. Статический риск сбоя по выходной переменной имеет место в случае, если сочетание значений этой переменной в исходном, промежуточном и окончательном состоянии имеют вид 0-2-0 или 1-2-1.

Правила выполнения основных логических операций И, ИЛИ, НЕ в двоичной и трехзначной логике для произвольных переменных а и b приведены в таблице 1:



Таблица 1

a

0

1

2

0

1

2

0

1

2

b

0

0

0

1

1

1

2

2

2



0

0

0

0

1

2

0

2

2



0

1

2

1

1

1

2

1

2



1

0

2

1

0

2

1

0

2













Результат анализа трехзначной модели заданной схемы приведен в таблице 2. 



Таблица 2

Значения переменных

входные

выходные



a

b

c

e

g

Исходное

0

0

1

1

1

Промежуточное 

2

2

0

2

2

Окончательное

1

1

1

0

1



Таким образом, результат расчета по выходным переменным e и g показывает наличие статистического риска сбоя.



Задача №2. Анализ цифровых схем по методу простой итерации и событийному методу



Задание: выполнить анализ заданной схемы по методу простой итерации и событийному методу для заданного изменения вектора входных переменных.

Исходные данные:



Схема: 













Заданный вариант изменения вектора входных переменных: 

X=(a,b,c,d,e) меняет свое значение с 00100 на 11101



Решение:

Для выполнения анализа схемы необходимо разработать ее синхронную модель в двоичной логике. Математическая модель заданной схемы имеет вид:








Для реализации анализа по методу простой итерации необходимо задать начальное приближение для вектора выходных переменных Y0=(f,g,h,p,q). Для расчета начальных приближений вектора выходных переменных воспользуемся начальным значением вектора входных переменных X=(a,b,c,d,e)=(00100), предварительно расположив уравнения в порядке прохождения сигналов по схеме: 





Y0=(f,g,h,p,q)=( 1,0,1,1,1).



Метод простой итерации состоит в выполнении итераций по формуле: 



Yi= (Yi-1, X),



где Yi - значение вектора Y на i-й итерации, т.е. при вычислении Y1 в правые части уравнений модели поставляются значения выходных переменных из начального приближения Y0, при вычислении Y2 – значения из результата первой итерации Y1 и так далее. Если Yi=Yi-1, то решение найдено; если 

YiYi-1, то выполняется новая итерация; если итерационный процесс не сходится, то это свидетельствует об ошибках проектирования схемы устройства, вызывающих неустойчивость его состояния.

Результат анализа заданной схемы по методу простой итерации приведен в таблице 3.



Таблица 3

№

итерации

Начальное приближение Y0



g

p

f

h

q



0

1

1

1

1

1

2

0

0

1

1

0

0

1

1

1

1



Из таблицы 3 видно, что потребовалось два раза обращаться к каждому из пети уравнений модели, прежде чем результат второй итерации, совпадающий с результатом первой итерации, показал, что решение найдено. 

Таким образом, искомое значение вектора выходных переменных при изменении X=(a,b,c,d,е) с 00100 на 11101 для заданной схемы равно:



Y=(e,g,p,f,h,q)=(0,1,0,1,1).



При использовании событийного метода вычисления на каждой итерации выполняются только по уравнениям активизированных элементов, т.е. элементов, у которых хотя бы на одном входе произошло событие (изменилась входная переменная). В алгоритме событийного метода на каждом шаге вычислительного процесса имеется своя группа активизированных элементов.

В заданном варианте изменения вектора входных переменных изменяются только значения переменных а, b и е, следовательно, на первой итерации при реализации событийного алгоритма анализа должны быть пересчитаны только выходные переменные f и h, в правые части уравнений которых входят аргументами b и d. Если по результатам вычисления значения f и h совпадут с начальным приближением, то решение будет найдено, если хотя бы одна из этих переменных изменится, то на второй итерации должны быть пересчитаны те выходные переменных, в правые части уравнений которых входят изменившиеся в результате первой итерации переменные. Процесс продолжается до тех пор, пока в результате очередной итерации значения рассчитываемых переменных не совпадут с их предыдущими значениями, т.е. до выполнения условия Yi=Yi-1.

Результат анализа заданной схемы по методу простой итерации приведен в таблице 4.



Таблица 4

№

итерации

Начальное приближение Y0

Изменяющиеся переменные

Активизированные уравнения 



e

g

p

f

h

q







0

0

1

1

1

0





0

1

2

3

4

5

6

0

0



1

1





1



0

1

0

1

1



0







0







1



1

b, d

f

g

h

q

p

-

4 и 5

2

5

6

3

6

-

Результат

0

1

0

0

0

1



Как видно из таблицы 4, на 6-ой итерации результат расчета переменной q совпал с ее предыдущим значением, следовательно решение найдено. 

Таким образом, искомое значение вектора выходных переменных при изменении X=(a,b,c,d) с 0110 на 0011 при расчете по событийному методу для заданной схемы совпадает с результатом анализа по методу простой итерации и равно:



Y=(e,g,p,f,h,q)=(0,1,0,0,0,1).



Однако, при вычислении по методу простой итерации, потребовалось на каждой итерации вычислять все выходные переменные, т.е. объем вычислений составил 66=36 операций. Тот же результат при использовании событийного метода потребовал значительно меньшего объема вычислений, а именно выполнения 8 операций. Таким образом, трудоемкость событийного метода значительно меньше.



Задача №3. Анализ цифровых схем по методам Зейделя



Задание: выполнить анализ заданной схемы по методам Зейделя для заданного изменения вектора входных переменных.

Исходные данные:



Схема: 













Заданный вариант изменения вектора входных переменных: 

X=(a,b,c,d,e) меняет свое значение с 00100 на 11101



Математическая модель заданной схемы имеет вид:






При реализации анализа по методу Зейделя при вычислении очередного из элементов вектора Yi в правую часть уравнений системы там, где это возможно, подставляются не элементы вектора Yi-1, а те элементы вектора Yi, которые уже вычислены к данному моменту, т.е. итерации выполняются по формуле: Yi= (Yi,Yi-1, X).

Результат вычислений по методу Зейделя без ранжирования, для исходного произвольного порядка уравнений модели представлен в таблице 5. Для организации вычислений использовалось значение начального приближения вектора выходных переменных Y0, полученное в задаче 2.



Таблица 5

№

итерации

Начальное приближение Y0



g

p

f

h

q



0

1

1

1

1

1

2

0

0

1

1

0

0

1

1

1

1







Задача №4. Моделирование аналоговых схем (метод узловых потенциалов)



Цель: освоение метода узловых потенциалов моделирования аналоговых схем.

Задание: для заданного варианта схемы задачи №6 разработать модель топологии с использованием метода узловых потенциалов: построить матрицу «узел-ветвь», записать топологические уравнения в общем виде; в развернутой матричной форме; в виде системы уравнений по законам Кирхгофа. 



Решение:

В методе узловых потенциалов в вектор базисных координат включаются потенциалы всех узлов схемы, за исключением одного узла, принимаемого за опорный. Топологические уравнения – это уравнения закона токов Кирхгофа, записанные для узлов схемы, и уравнения связи вектора напряжений ветвей U с вектором узловых потенциалов: 



AI=0;

AT+U=0,



где А – матрица «узел-ветвь»; AT - транспонированная матрица «узел-ветвь»; I – вектор токов ветвей. Строки матрицы соответствуют узлам, а столбцы - ветвям схемы. В столбце i-той ветви записываются единицы на пересечении со строками узлов, при чем +1 соответствует узлу, в который ток i-той ветви втекает, а -1 соответствует узлу, из которого этот ток вытекает. Матрица «узел-ветвь» для схемы с введенными обозначениями узлов, полученной в задаче 6 и показанной на рисунке 10, имеет вид, представленный на рисунке 14 (узел 8 принят в качестве опорного).





С1

С2

С3

С4

С5

С6

R1

R2

R3

R4

R5

E1

1

0

0

0

0

0

0

-1

0

0

0

0

+1

2

-1

-1

0

0

0

0

+1

0

0

0

0

0

3

0

+1

0

0

0

0

0

-1

-1

0

0

0

4

0

0

-1

0

0

0

0

+1

0

0

0

0

5

0

0

0

-1

0

0

0

0

+1

-1

0

0

6

0

0

0

0

-1

0

0

0

0

+1

0

0

7

0

0

0

+1

+1

-1

0

0

0

0

-1

0

Рисунок 14



Запишем топологические уравнения по закону токов Кирхгофа

в общем виде: 

AI=0;

в развернутой матричной форм







в виде системы уравнений, которая получена из матричной формы умножением вектора-столбца токов ветвей схемы на матрицу «узел-ветвь»:







Запишем топологические уравнения по закону напряжений через узловые потенциалы:

в общем виде: 



AT+U=0;

в развернутой матричной форме (в транспонированной матрице столбцы соответствуют строкам исходной матрицы «узел-ветвь»):







в виде системы уравнений, которая получена из матричной формы умножением вектора-столбца узловых потенциалов на матрицу «узел-ветвь» после приведения ее к виду U=-AT :







Таким образом, модель топологии заданной схемы получена с использованием метода узловых потенциалов в виде двух систем уравнений - по закону токов Кирхгофа и по закону напряжений через узловые потенциалы.



Задача №5. Моделирование аналоговых схем (метод переменных состояния)



Цель: освоение метода узловых потенциалов моделирования аналоговых схем.

Теория, методы и примеры решения: раздел 3.3.2.3 курса лекций.

Задание: для заданного варианта схемы задачи №6 разработать модель топологии с использованием метода переменных состояния: построить граф, нормальное фундаментальное дерево и матрицу контуров и сечений. Записать топологические уравнения в общем виде; в развернутой матричной форме; в виде системы уравнений по законам Кирхгофа. Записать окончательную математическую модель схемы в виде системы уравнений, в которой ёмкостные токи и индуктивные напряжения выражены явно и заменены производными переменных состояния. 



Решение:

Базисными координатами в этом методе являются переменные состояния, т.е. фазовые переменные, непосредственно характеризующие запасы энергии в элементах электрической схемы. К таким переменным относятся независимые друг от друга емкостные напряжения и индуктивные токи. Исходными топологическими уравнениями являются те же уравнения, что и в табличном методе:



Ux+MUвд=0; Iвд=MТIx=0.



Матрицу М контуров и сечений в методе переменных состояния формируют на основе построения нормального дерева графа схемы. Нормальным деревом называют фундаментальное дерево, в которое включение ветвей производится не произвольно, а в следующем порядке: ветви источников напряжения, емкостные, резистивные, индуктивные, источников тока. Использование нормального дерева облегчает дальнейшее преобразование исходных уравнений с целью получения нормальной формы Коши.

В графе схемы, приведенной на рисунке 12, построенное фундаментальное дерево является нормальным. Топологические уравнения в общем виде и в развернутой матричной форме были получены при решении задачи 6. Топологические уравнения в виде системы уравнений по законам Кирхгофа, полученные с использованием матрицы контуров и сечений, построенной в задаче №6, имеют вид:







Для получения окончательной ММС используют компонентные уравнения. При их преобразовании стремятся получить уравнения, выражающие емкостные токи IС и индуктивные напряжения UL через переменные состояния. Далее, заменяя IC и UL производными переменных состояния, получают окончательную ММС. 

Запишем компонентные уравнения (уравнения сопротивления, емкости и индуктивности) в общем виде:



  



В заданной схеме нет индуктивных ветвей, поэтому уравнение индуктивности нам не понадобится.

В левых частях уравнений второй системы необходимо заменить ICj на СjdUCj/dt, а в правые части вместо IRi подставить величины URi, выраженные из уравнений первой системы путем деления на Ri. Окончательная форма ММС по методу переменных состояния имеет вид:







Таким образом, с использованием метода переменных состояния получена окончательная полная ММС заданной схемы, объединяющая в себе компонентные и топологические уравнения схемы.