Рішення транспортної задачі за методом ПЗК і в Excel

Рішення транспортної задачі за методом ПЗК і в Excel

Зміст

Моделювання економіки. Транспортна задача.

Список використаної літератури



Моделювання економіки. Транспортна задача

Опишемо як вирішуються транспортні задачі та наведемо приклад рішення за допомогою надбудови „Поиск решения” у MS Excel. 

Нехай існує [m] пунктів, у яких зосереджено деякий однорідний вантаж. Номер пункту зосередження [i] = 1,m. Нехай відома кільккість вантажу, що знаходиться у кожному пункті зосередження [ai]. Цей вантаж треба доставити до [n] пунктів споживання. Номер пункту споживання [j]=1,n. Нехай відома потреба [bij] у цьому вантажі у кожному пункті споживання. Також відомі питомі витрати на перевезення вантажу з i-того пункту зосередження до j-того пункту споживання [cij]. Треба визначити, скільки вантажу треба везти з кожного з пунктів зосередження до кожного з пунктів споживання таким чином, щоб з кожного пункту зосередження загалом вивозилоси не більше, ніж там є, а до кожного пункту споживання не менше від потреби (), і загальна вартість перевезень була якомога меншою.

Розв’язок:

Позначимо невідомі обсяги перевезень з кодного пункту зосередження до кожного пункту споживання [xij]. Отже, умова про те, що загальна кількість вантажу, вивезена з кожного пункту зосередження, не перевищує кільксітвантажу в ньому:



Умова про те, що потреба кожного пункту споживання має задовільнятися:



Обсяги перевезень між кожним пунктом зосередження і споживання – невід’мні величчини:



Розглянуті нерівності визначають деяку множину, до якої належить багато варіантів перевезень. Серед цих варіантів треба обрати такі, що мінімізували б функцію:

 

(пошук умовного мінімуму для функції багатьох змінних).

 

Приклад

Заводи деякої автомобільної фірми розміщено у містах А, В, С та D. Основні центри розподілення продукції сконцентровано у містах 1, 2, 3 та 4. Обсяги виробництва заводів наведено у таблиці, так само як величини попиту у центрах розподілення. Вартість перевезення автомобілів залізницею по кожному із маршрутів або час перевезення по кожному із маршрутів наведено у таблиці.

Побудуйте математичну модель, яка дозволить визначити кількість автомобілів, що перевозиться з кожного заводу у кожен розподільчий центр, та оптимальний план перевезень таким чином, щоб загальні транспортні витрати були мінімальними.

Пункт

71

Місто А

1000

Місто В

1300

Місто С

1400

Місто D

800

Розподільчий центр (РЦ) у місті 1

1300

РЦ у місті 2

1500

РЦ у місті 3

500

РЦ у місті 4

1200



Пункт

Критерій оптимальності – вартість перевезення автомобілів, $/шт



71

A-1

150

A-2

95

A-3

100

A-4

50

B-1

65

B-2

45

B-3

55

B-4

130

С-1

65

С-2

80

С-3

75

С-4

65

D-1

55

D-2

80

D-3

60

D-4

40

Для рішення задачі побудуємо її математичну модель.

Невідомими є обсяги перевезень. Нехай xij – обсяги перевезень з і-го постачальника до j-го продавця. Цільовою функцією є залежність вартості від розміру партії постачання:

  (1), 

де  cij – вартості перевезень с i-го постачальника до j-го продавця.

Цільова функція 

F = 150x11 + 95x12 + 100x13 +50x14 + 65x21 +45x22 +55x23 +130x24 +65x31 + 80x32 +75x33 +65x34 +55x41 +80x42 +60x43 +40x44 → min.

Крім цього, невідомі повинні задовольняти таким обмеженням:

- ненегативність обсягів постачань

xij≥0.

- розглянемо модель типу:

 ,  

Розмістимо дані ситуаційної задачі в спеціальній таблиці:

Покупці

Постачальники

1

2

3

4

Виробництво

А

150

95

100

50

1000

B

65

45

55

130

1300

C

65

80

75

65

1400

D

55

80

60

40

800

Попит

1300

1500

500

1200



У клітинах, що стоять на перетині постачальника  й покупця, ставимо довільні цифри, відстань від споживача до постачальника. 

Перевіримо ситуацію на баланс:

Виробництво = 1000 + 1300 + 1400 + 800 = 4500

Попит = 1300 + 1500 + 500 + 1200 = 4500

Баланс виконується, тому не треба додавати фіктивні пункти споживання чи попиту.

Побудуємо план перевезень методом північно-західного кута:

Покупці

Постачальники

а

б

в

г

Виробництво

А

1000







1000

B

300

1000





1300

C



500

500

400

1400

D







800

800

Попит

1300

1500

500

1200



Розрахуємо середню вартість, на яку перевозиться вантаж:

 

 

Ще раз побудуємо план:

ПокупціПостачальники

а

б

в

г

Виробництво

А







1000

1000

B

300

800

200



1300

C

200

700

300

200

1400

D

800







800

Попит

1300

1500

500

1200



Розрахуємо середню вартість:



Як бачимо, другий план значно краще, вартісь перевезення вантажу скоротилася на 18,89 $.

Для перевірки оптимальності складеного плану перевезень скористаємося надбудовою „Поиск решения” MS Excel (рис.1.1 і.1.3).

До комірки F10 внесено формулу =СУММ(B10:E10) і простягнуто її до комірки F13, до комірки В14 внесено формулу =СУММ(B10:B13) і простягнуто її до комірки Е14. До цільовій комірці G14 введено формулу (1) у вигляді виразу =СУММПРОИЗВ(B4:E7;B10:E13).



Рис.1.1.

На рис.1.2. наведено внесення обмежень моделі у діалоговому вікні надбудови „Поиск решения”.







Рис.1.3.

Розрахуємо середню вартість:



Як бачимо, останній план значно краще, вартісь перевезення вантажу скоротилася на 23,11 $.

 



Список використаної літератури

1. Николин В.И.   Автотранспортный процесс и оптимизация его элементов. - М.: Транспорт, 1990.

2. Боборыкин В.А. Математические методы решения транспортных задач. - Л.: СЗПИ, 1986.

3. Геронимус Б.А. Экономико-математические методы в планировании на автомобильном транспорте. - М.: Транспорт, 1982.

4. Аникин Б.А., Тяпухин А.П. Коммерческая логистика // Издательство Велби. М.: – 2005. – 432 с.