Теория кодирования в среде MATLAB

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Владимирский Государственный Университет





















Доклад

по теории кодирования

на тему:

Теория кодирования в среде MATLAB





















Владимир 2010


Пакет Communications Toolbox



Применяется научными, коммерческими и военными организациями для разработки новых алгоритмов кодирования, шифрования, модуляции и передачи данных с учетом различных эффектов искажения и интерференции. Ключевые возможности 

Средства вычислений в конечных полях Галуа. 

Средства визуализации сигналов: глазковая диаграмма, сигнальное созвездие и др. 

Специальные средства визуализации нестационарных параметров канала. 

Средства вычисления, анализа и сравнения коэффициента битовой ошибки (BER).

 Готовые функции и средства разработки алгоритмов кодирования источника, помехоустойчивого кодирования, перемежения, модуляции, демодуляция и эквализации.



Генерация проверочной и порождающей матриц для кода Хэмминга



Синтаксис: 

 h = hammgen(m); h = hammgen(m,pol); [h,g] = hammgen(...); [h,g,n,k] = hammgen(...); 

Описание: 

Для всех вариантов синтаксиса длина кодового слова обозначается как n. Величина n равна 2m – 1 для некоторого целочисленного m, большего или равного трем. Длина блока исходного сообщения обозначается как k, она равна n – m. 

Пример:

Приведенная ниже команда выводит на экран проверочную и порождающую матрицы для кода Хэмминга с длиной кодового слова 7 = 23 – 1 и длиной блока исходного сообщения 4 = 7 – 3.



[h,g,n,k] = hammgen(3) 

h = 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 g = 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 n = 7 k = 4



Следующая команда использует явно заданный примитивный полином 1 + x2 + x3, показывая тем самым, что вид проверочной матрицы зависит от выбора примитивного полинома. Чтобы в этом убедиться, сравните выведенную ниже матрицу h1 с матрицей h из предыдущего примера.



h1 = hammgen(3,[1 0 1 1])

h1 = 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1



Генерация порождающего полинома для циклического кода



Синтаксис: 



pol = cyclpoly(n,k); pol = cyclpoly(n,k,opt);



Описание: 

Для всех вариантов синтаксиса полином представляется в виде строки, содержащей коэффициенты полинома в порядке возрастания степеней. 



pol = cyclpoly(n,k)


Возвращает вектор-строку, представляющий один из нетривиальных порождающих полиномов для циклического кода с длиной кодового слова n и длиной блока исходного сообщения k. 



pol = cyclpoly(n,k,opt) 



Производит поиск одного или нескольких нетривиальных порождающих полиномов для циклических кодов с длиной кодового слова n и длиной блока исходного сообщения k. Результат pol зависит от входного параметра opt.

Пример:

Первая из приведенных ниже команд дает представления для трех порождающих полиномов циклического кода (15, 4). 

Вторая команда показывает, что порождающим полиномом с максимальным весом (числом ненулевых коэффициентов) является 1 + x + x2 + x3+ x5+ x7+ x8+ x11. 

Третья команда демонстрирует, что для циклического кода (15, 4) не существует порождающих полиномов с весом (числом ненулевых коэффициентов), равным трем.



c1 = cyclpoly(15,4,'all') c1 = 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 c2 = cyclpoly(15,4,'max') c2 = 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 c3 = cyclpoly(15,4,3) No generator polynomial satisfies the given constraints. c3 = [] 



Генерация проверочной и порождающей матриц для циклического кода



Синтаксис: 

parmat = cyclgen(n,pol); parmat = cyclgen(n,pol,opt); [parmat,genmat] = cyclgen(...); [parmat,genmat,k] = cyclgen(...); 

Описание: 

n - длина кодового слова 

k - размер блока исходного сообщения. 

Полином может породить циклический код с длиной кодового слова n и размером блока исходного сообщения k тогда и только тогда, когда этот полином имеет степень (n – k) и является делителем полинома xn – 1. (В двоичном конечном поле GF(2) xn – 1 — это то же самое, что и xn + 1.) Отсюда следует, что k равняется n минус степень порождающего полинома. Входной параметр opt определяет, должна итоговая матрица соответствовать систематическому или несистематическому коду. 

Пример:



pol = cyclpoly(7,4); [parmat,genmat,k] = cyclgen(7,pol) parmat = 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 genmat = 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 k = 4 

>> [parmat,genmat,k]= cyclgen(7,cyclpoly(7,4),'nonsys')

parmat =

 1 1 1 0 1 0 0

 0 1 1 1 0 1 0

 0 0 1 1 1 0 1

genmat =

 1 0 1 1 0 0 0

 0 1 0 1 1 0 0

 0 0 1 0 1 1 0

 0 0 0 1 0 1 1

k =

 4 

//полученная проверочная матрица соответствует несистематическому циклическому коду 


Преобразование порождающей матрицы в проверочную и обратно



Синтаксис: 

 parmat = gen2par(genmat); genmat = gen2par(parmat); 

Описание: 

 parmat = gen2par(genmat)

 Преобразует двоичную порождающую матрицу genmat, представленную в стандартной форме, в соответствующую проверочную матрицу parmat.

 genmat = gen2par(parmat)

 Преобразует двоичную проверочную матрицу parmat, представленную в стандартной форме, в соответствующую порождающую матрицу genmat.

Пример:

Приведенные ниже команды преобразуют проверочную матрицу для кода Хэмминга в соответствующую порождающую матрицу и обратно.



parmat = hammgen(3) 

parmat = 

1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 

genmat = gen2par(parmat) 

genmat = 

1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 

parmat2 = gen2par(genmat) % Результат должен быть равен parmat 

parmat2 =

1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1



Расчет кодового расстояния для линейного блокового кода



Синтаксис: 

 wt = gfweight(genmat); wt = gfweight(genmat,'gen'); wt = gfweight(parmat,'par'); wt = gfweight(genpoly,n); 

Описание: 

Кодовое расстояние для линейного блокового кода равно минимальному числу различающихся элементов в произвольной паре кодовых слов.

 wt = gfweight(genmat) 

 Возвращает кодовое расстояние для линейного блокового кода с порождающей матрицей genmat. 

 wt = gfweight(genmat,'gen') 

 Возвращает кодовое расстояние для линейного блокового кода с порождающей матрицей genmat. 

 wt = gfweight(parmat,'par') 

 Возвращает кодовое расстояние для линейного блокового кода с проверочной матрицей parmat. 

 wt = gfweight(genpoly,n) 

 Возвращает кодовое расстояние для циклического кода с длиной кодового слова n и порождающим полиномом genpoly. Параметр genpoly должен быть вектором-строкой, содержащим коэффициенты порождающего полинома в порядке возрастания степеней.

Пример:

Приведенные ниже команды показывают три способа вычисления кодового расстояния для циклического кода (7,4).



 n = 7; % Порождающий полином для циклического кода (7,4) genpoly = cyclpoly(n,4)

genpoly =

 1 0 1 1

>> [parmat, genmat] = cyclgen(n,genpoly)

parmat =

 1 0 0 1 1 1 0

 0 1 0 0 1 1 1

 0 0 1 1 1 0 1

genmat =

 1 0 1 1 0 0 0

 1 1 1 0 1 0 0

 1 1 0 0 0 1 0

 0 1 1 0 0 0 1 wts = [gfweight(genmat,'gen'), gfweight(parmat,'par'), gfweight(genpoly,n)] wts =

 

 3 3 3



Генерация таблицы зависимости векторов ошибок от синдрома (таблицы декодирования) для двоичных кодов



Синтаксис: 

 t = syndtable(parmat);

Описание: 

 t = syndtable(parmat)



Возвращает таблицу декодирования для двоичного корректирующего кода с длиной кодового слова n и длиной сообщения k. Параметр parmat — проверочная матрица кода, имеющая (n – k) строк и n столбцов. Результат t — двоичная матрица, содержащая 2n – k строк и n столбцов. r-я строка матрицы t представляет собой вектор ошибок для принятого двоичного кодового слова, синдром декодирования которого имеет десятичное целочисленное значение r – 1. (Синдром декодирования равен произведению принятого кодового слова и транспонированной проверочной матрицы.) Иными словами, строки матрицы t представляют собой лидеры смежных классов (coset leaders) из стандартного расположения (standard array) для данного кода.

Пример:

Для кода Хэмминга (7, 4).



 m = 3; n = 2^m-1; k = n-m; parmat = hammgen(m) % Проверочная матрица parmat =

 1 0 0 1 0 1 1

 0 1 0 1 1 1 0

 0 0 1 0 1 1 1 

 trt = syndtable(parmat) % Таблица декодирования trt =

 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

 Пусть принятое кодовое слово - [1 1 0 1 1 0 0]

 Путем умножения проверочной матрицы на транспонированное кодовое слово вычисляется синдром декодирования.

parmat*[1;1;0;1;1;0;0]

ans =

 2

 3

 1 

 В двоичной системе счисления получили – [0 1 1]. Десятичное значение синдрома 3. Соответствующий вектор ошибок, таким образом, следует брать из четвертой (3 + 1) строки таблицы декодирования:

trt(4,:)

ans =

 0 0 0 0 1 0 0

Итак следует инвертировать пятый разряд принятого кодового слова –

 [1 1 0 1 0 0 0]