Розрахунок кіл трифазного струму та перехідних процесів у лінійних електричних колах

Міністерство освіти та науки України

Донбаська державна машинобудівна академія

Кафедра електротехніки та електроустаткування























КУРСОВА РОБОТА

з дисципліни „Електротехніка та електромеханіка”

Тема: Розрахунок кіл трифазного струму та перехідних процесів у лінійних електричних колах





















Краматорськ


Зміст



1. Розрахунок трифазних ланцюгів

1.1 Загальні положення

1.2 Розрахунок режимів роботи при з’єднанні навантаження в трьохпровідну зірку

1.3 Розрахунок режимів роботи при з'єднанні несиметричного навантаження в зірку

1.4 Розрахунок режимів роботи при з'єднанні несиметричного навантаження в трикутник

2. Розрахунок перехідних процесів в електричних колах

2.1 Загальні положення

2.2 Розрахунок перехідних процесів класичним та операторним методами

Задача 2.2.1

Задача 2.2.2

Задача 2.2.3

Список літератури




1. РОЗРАХУНОК ТРИФАЗНИХ ЛАНЦЮГІВ



1.1 Загальні положення



Головною відмінною рисою трифазного кола є сукупності трьох однофазних кіл, в яких діють три синусоїдальні ЕДС одних частот, є загальне джерело цих трьох ЕДС (напружень). Якщо напруження джерела рівні і здвинуті відносно один одного по фазі на один і той же кут, джерело вважається симетричним, а сукупність напружень, що видається - симетричною системою напружень.

Якщо в кожну фазу включені однакові опори навантаження (наприклад, обмоток статора асинхронного двигуна ), то таке навантаження симетричне, а режим роботи кола називається також симетричним. Біля 90% всієї електроенергії, що виробляється, споживається в симетричних режимах.

Струми і напруження в таких колах розраховуються тими ж методами, що і в однофазних колах. Але в симетричному режимі розрахунок можна здійснити відносно однієї фази і результати розрахунку перенести на дві інші. Випадки несиметричних режимів внаслідок стандартних аварійних ситуацій звичайно аналізуються на основі векторних діаграм симетричного режиму і з ним порівнюються.

Несиметричні режими через несиметрію навантаження розраховуються символічним методом. Що найчастіше зустрічається випадок несиметричного режиму - освітлювальне навантаження житлових приміщень, що виконується по схемі " зірка - зірка " з нульовим проводом (чотирьох провідна зірка). Схема відрізняється симетричною системою фазних напружень на навантаженні. Напруження зміщення нейтралі (між нейтральними (нульовими) точками приймача і джерела) в цьому випадку немає.

Тому фазні (вони ж і лінійні) струми знаходяться згідно із законом












а струм в нульовому проводі - згідно з першим законом Кірхгофа:







При з'єднанні навантажень зіркою без заземленої нейтралі напруження зміщення нейтралі визначається за методом двох вузлів:







При відсутності нульового проводу . Потім знаходять напруження несиметричної системи на приймачах окремих фаз:











Після цього визначають фазні (лінійні) струми згідно із законом Ома і для трьох провідної зірки мають








При з'єднанні несиметричного навантаження трикутників фазні напруження навантаження рівні лінійним напруженням джерела і вважаються відомими. Фазні струми визначаються згідно із законом Ома, а лінійні - згідно з 1 законом Кірхгофа для вершин трикутника навантаження:



  





Сума лінійних струмів в будь-якій трьохпровідній системі завжди дорівнює 0.

В час приведення балансу потужностей при визначенні потужностей джерела символічним методом потрібно мати на увазі, що обмотки генератора звичайно сполучаються в зірку, де фазні напруження відстають по фазі від відповідних лінійних напружень на кут 30°. При несиметричних режимах в трьохпровідних системах рівності потужностей фаз приймача і навантаження звичайно немає, але, безумовно, загальний баланс активних і реактивник потужностей джерела і навантаження завжди має місце.

Для наочності і виконання допоміжних операцій аналізу відношення кутів зсуву фаз, наприклад при прогнозі потужностей, що вимірюються в методі вимірювання двома ватметрами, визначення напружень між різними точками схеми широко використовуються векторні і топографічні діаграми. Звичайно їх починають будувати з однією з симетричних систем напруженні джерела (при з'єднанні навантаження в зірку - фазних, а при з'єднанні навантаження трикутників - лінійних), потім будують векторну діаграму струмів і закінчують векторною або топографічною діаграмою напружень.

У деяких областях електротехніки аналіз несиметричних режимів проводять методом симетричних складових.




1.2 Розрахунок режимів роботи при з'єднанні симетричного навантаження в трьохпровідну зірку.



Зміст завдання.

Три однакових приймача енергії з опорами R, XL, XC з’єднані зіркою та підключені до симетричного трифазного генератора з лінійними напругами UЛ. Визначити фазні напруги та струми, а також покази ватметрів для наступних випадків: а) навантаження симетричне; б) обірваний провід С; в) приймач В закорочений.

UЛ = 380 В, R = 16 Ом, XL = 12 Ом.



Рішення

a) Схема до задачі 1.2(а) 





O/

W2

W1

IC

IB

IA

C

B

A

R

R

R

XL

XL

XL



Ua

Ub

Uc

UBC

UAB

UCA

a

b

c



Так як нагрузка симетрична, то система фазних напруг генератора та нагрузки співпадають (напруги зміщення нейтралі відсутні UO/O = 0).



; ; , тобто



;

;

.



Кут зсуву фаз між напругою та струмом в усіх фазах



.



Споживана потужність



;



Векторна діаграма до задачі 1.2(а)





UCB

UC









UB

UA

IB

IC



IA

UAB

UCA



60В

5,5А



Потужність, що вимірюється ватметрами



;

.


Кути  дані на векторній діаграмі.









Повна потужність, що вимірюється,







рівна повній потужності, визначеній в розрахунку: .



б) Схема до задачі 1.2(б)





O/

UCA

W2

W1

IC

IB

IA

C

B

A

R

R

R

XL

XL

XL



Ua

Ub

UAB

UBC

a

b

c



При обриві лінійного проводу С точка с втратила потенціал точки С, Uc = 0, приймачі фаз А та В виявилися послідовно ввімкненими на лінійне напруження UCA і при рівності zA = zB точка О/ знахотиться на векторній діаграмі на середині вектора.




Векторна діаграма 

UCB



Ua

Ub



IA

O/

IB

UB

UC

UA

UCA

UAB

O

66 В

5 Адо задачі 1.2 (б)



Напруження в фазах Ua і Ub виявилися рівними і протилежними векторами:







Струми:







Кут φ зберіг своє значення в цих фазах. Споживана потужність знайдеться як сума потужностей фаз А та В:







Вимірювана потужність:






Кути α1 = 970 та α2 = 230 визначені з векторної діаграми.









в) Схема до задачі 1.2(в)





O/

W2

W1

IC

IB

IA

C

B

A

R

R

R

XL

XL

XL



a

b

c



При короткому замиканні в фазі В нульова точка навантаження О/ набуде потенціал точки В генератора при будь-якому струмі.

З векторної діаграми видно, що напруження Ua та Uc виявилися:









тобто виросли до лінійних, як і струми в цих фазах







при збереженні кута зсуву фаз φ.




Струм у фазі В знаходиться згідно з 1-законом Кірхгофа:



, або





Векторна діаграма до задачі 1.2(в)







IA



IB

UC = UCB

UA = UAB

UCA

O





IC

60 В

8 А





З векторної діаграми







Таким чином, при короткому замиканні у фазі, струм в ній зросте у 3 рази, а в двох інших – у  раза.

Споживана потужність








Потужність, що вимірюється ватметрами







Кути α1 = 670 та α2 = 230 визначені з векторної діаграми.









1.3 Розрахунок режимів роботи при з'єднанні несиметричного навантаження в зірку



Зміст завдання.

Три приймачі, опори яких відомі:  Ом,  Ом,  Ом сполучені зіркою. Лінійна напруга симетричного джерела  В.

Визначити покази приладів, споживану потужність. Побудувати векторні діаграми для двох випадків:

а) ключ в нульовому проводі замкнутий;

б) ключ в нульовому проводі розімкнутий.



Рішення

a) Схема до задачі 1.3(а)






UA



-j10 Ом

O

k

O/

A

А



C

B

A

 j8 Ом

10 Ом



Ua

Ub

Uc

UC

UB

a

b

c

A

6 Ом



V

A





При замкненому ключі k маємо 4-провідну зірку:



; ,



рівність фазних напружень джерела фазним напруженням генератора:



; ; .



Розрахунок проводимо символічним методом:











Фазні струми (вони ж і лінійні):











Струм в нульовому проводі







Векторна діаграма до задачі 1.3(а)





76 В

10 А

+j

O

+1

UA

UB

UC

IA

IB

IC

I0




б) Схема до задачі 1.3 (б)





-j10 Ом

UA



O/

A

А



C

B

A

 j8 Ом

10 Ом



Ua

Ub

Uc

UC

UB

a

b

c

A

6 Ом



V

A



O

k



При розімкненому ключі kмаємо 3-провідну зірку, для якої завжди



,



значить, при зміні одного струму змінюються і два інших, що, в свою чергу, робить систему фазних напружень на навантаженні несиметричною.

Необхідно визначити напруження зміщення нейтралі:



,

де







провідність фаз в символічній формі,








Фазні напруження на навантаженні:











Фазні струми (вони ж ілінійні) знаходимо згідно із законом Ома:











Перевірка рішення згідно з першим законом Кірхгофа:








Векторна діаграма до задачі 1.3 (б)





+j

O

+1

UA

UB

UC

IA

IB

IC

76 В

20 А



Ub

Ua

Uc

O/



При приведенні балансу активних і реактивних потужностей потрібно мати на увазі, що джерело видає потужність при симетричній системі напружень і несиметричній системі лінійних струмів, а споживається потужність при несиметричній системі фазних напружень навантаження і тій же системі струмів. Можливий перерозподіл потужностей між фазами. Потужність джерела зручніше визначити в символічній формі:











Потужність споживачів можливо визначити через квадрати струмів:










Баланс потужностей сходиться, що є надійною перевіркою правильності розрахунку.



1.4 Розрахунок режимів роботи при з'єднанні несиметричного навантаження в трикутник.



Зміст завдання.

Приймач, з'єднаний трикутником, живиться від симетричного генератора з лінійними напругами . Опори фаз приймача ,,  визначені. Визначити показання приладів і побудувати векторну діаграму напруг і струмів.



Рішення



Схема до задачі 1.4





Uca

W2

IC

IB

IA

C

B

A

a

b

c

A3

W1

A2

A1

zab

zbc

zca

Uab

Ubc


















Завдяки тому, що навантаження приєднані трикутником, можна зазначити, що фазні напруги дорівнюють лінійним:







Для визначення струмів на фазах перейдемо до комплексного зображення:











Фазні струми визначимо за допомогою закону Ома:











Для визначення лінійних струмів скористаємося наступними формулами:












Векторна діаграма до задачі 3



IA



34 В

1.5 А







А

В

С











IA



























Визначимо потужність, що розсіюється на навантаженні:













Для перевірки визначимо потужність іншим методом:





, де



- кут зсуву фаз між фазним струмом та напругою




Звідси:









Тобто, баланс потужностей сходиться.




2. РОЗРАХУНОК ПЕРЕХІДНИХ ПРОЦЕСІВ В ЕЛЕКТРИЧНИХ КОЛАХ



2.1 Загальні положення



Перехідний процес - це електромагнітний процес переходу електричного кола від одного сталого стану до іншого. При цьому змінюється розподіл електричної і магнітної енергій на реактивних елементах L і С. Енергія магнітних полів і електричних не може змінюватися вмить, тому перехідні процеси завжди мають ту або іншу тривалість часу і підкоряються двом законам комутації. Вважаючи, що причинами перехідних процесів є різного роду комутації, що відбуваються вмить, перший закон комутації свідчить, що в будь-якій гілці з індуктивністю потоз'єднання і струм не можуть змінюватися стрибком.

Заряд і напруження на ємності не можуть змінюватися стрибком. У перехідному процесі, як і в сталому режимі, стан електричного кола описується диференціальними рівняннями, складеними за законами Кірхгофа.

Рішення систем цих рівнянь і знаходження перехідних функцій i(t), U(t) протягом перехідного процесу і є метою такого розрахунку.

Електромагнітні перехідні процеси, як правило, швидкоплинні: їх тривалість звичайно вимірюється в мілісекундах і навіть в мікросекундах, рідко становить декілька секунд. Однак в цей час напруження і струми в елементах можуть значно перевищувати сталі значення. Знання цих максимальних значень необхідне для правильного вибору елементів, настройки захисту і т.д.

Основними методами розрахунку перехідних процесів є класичний і операторний.

У класичному методі розрахунку перехідну шукану функцію струму знаходять як суму вільної і примушеної складової.

Операторний метод заснований на використанні перетворення Лапласа і витікаючої з нього теорії операційного числення як методу рішення лінійних диференціальних рівнянь.

Диференціальні рівняння відносно оригіналу (функції-часу) замінюються алгебраїчними рівняннями відносно операторних зображень цих функцій часу. Систему рівнянь відносно зображень можна отримати за операторною схемою, що враховує початкові умови.

Після рішення системи алгебраїчних рівнянь знаходяться зображення шуканих функцій, а потім операцією зворотного перетворення Далласа - оригінали, тобто шукані перехідні функції.



2.2 Розрахунок перехідних процесів класичним та операторним методами



Задача 2.2.1



Зміст завдання.

Визначити струми перехідного процесу в гілках схеми, якщо в колі діє постійна напруга U, а параметри кола такі:

U = 220 (B); R1 =100 (Ом); R2 = 80 (Ом); R3 = 100 (Ом); L = 0,4 (Г);



Рішення

a) Класичний метод.

Схема до задачі 2.2.1 а






i1

R1

R2

R3

k

L

i2

i3

U0













Математична модель кола:







Докомутаційний розрахунок:







 - за I законом комутації.



Розрахунок усталеного режиму та розрахунок примушених складових:












Знайдемо характеристичне рівня шляхом запису опору у символічній формі з подальшою заміною у ньому  на  та прирівнюванні цього опору до нуля. Опір можна записати відносно будь-якого розімкненого кола, наприклад:















Знаходимо вільні складові струмів:







Можемо визначити повні значення струмів:




















Малюнок 1 - Графіки перехідних функцій , , 





Малюнок 2 - Графік перехідної функції 



б) Операторний метод.




Схема заміщення до задачі 2.2.1 б



R3

Li3(0)

I1(t)

R1

R2

I11(p)

I22(p)

L

I3(t)

I2(t)

















Докомутаційний розрахунок:







 - за I законом комутації.



Струми у операторній формі знайдемо методом контурних струмів



,



де
























 

 

 



Звідки (враховуючи, що  є оригіналом ) знаходимо:







Знайдемо струм  (враховуючи, що  є оригіналом ):





 

 

 





Знайдемо струм :







Як бачимо, струми, розраховані класичним та операторним методами, співпадають. Це є надійною перевіркою вірності рішення задачі.


Задача 2.2.2. Знайти закон зміни струмів у всіх гілках схеми в залежності від часу, починаючи з моменту замкнення перемикача. Побудувати криву зміни струма . Параметри кола такі: U = 180 (B); R =80 (Ом); L = 0,8 (Г); с=20 (мкФ).



Рішення

a) Класичний метод.

Схема до задачі 2.2.2 а





U0

i1

R

R

L

i2

i3

k















Математична модель кола складається з рівнянь:







та залежного рівняння:








Докомутаційний розрахунок:





- за II другим законом комутації.

, , 

 - за I законом комутації.



Розрахунок усталеного режиму та розрахунок примушених складових:











Знайдемо характеристичне рівняня шляхом запису опору у символічній формі з подальшою заміною у ньому  на  та прирівнюванні цього опору до нуля. Опір можна записати відносно будь-якого розімкненого кола, наприклад:











Звідси характеристичне рівня:







 



По вигляду коренів рішення для вільних складових візьмемо наступні:



,

	

	де ,  - постійні інтегрування, які визначаються з початкових умов;

	для відшукання яких складемо систему алгебраїчних рівнянь для часу :

	

	

	

	де  за першим законом комутації.

	Друге початкове значення  знайдемо як



  



(з третього рівняння математичної моделі).

Звідси







З іншого боку, продиференціювавши рішення для вільної складової:



,




і для моменту  маємо:







Таким чином, отримали систему алгебраїчних рівнянь:







Вирішивши цю систему, отримаємо:



, 



Перехідна функція виглядає наступним чином:





	

	Знайдемо напругу на конденсаторі.

По вигляду коренів рішення для вільних складових візьмемо наступні:



,



	де ,  - постійні інтегрування, які визначаються з початкових умов;

	для відшукання яких складемо систему алгебраїчних рівнянь для часу .

	Визначимо . З першого рівняння математичної моделі

	

	

	
Підставляючи сюди , отримаємо:

	

 або .



З другого рівня математичної моделі:



.



Враховуючи, що  (за другим законом комутації), отримаємо:



  ; .



Для того, щоб відшукати  та  складаємо аналогічну систему рівнянь, використовуючи початкові значення вільної складової:







Друге початкове значення  знайдемо як









так як струм , визначений раніше, дорівнює нулю.




Вирішивши систему







Отримаємо



, 



Перехідна функція виглядає наступним чином:







За допомогою отриманих двох функцій, знайдемо функції усіх інших струмів:









Струм  знайдемо за І законом Кірхгофа:












Малюнок 3 - Графіки перехідних функцій , , 

	

	

Малюнок 4 - Графік перехідної функції 

	

б) Операторний метод.

Схема до задачі 2.2.2 б







i1

R

R

L

i2

i3





I11(p)

I22(p)














Докомутаційний розрахунок:



,

, , ,

.



Струм в операторній формі знайдемо методом контурних струмів:



,



де















Вирішимо систему рівнянь:












Знайдемо (враховуючи, що  є оригіналом ):



  

  

  







Знайдемо струм  (враховуючи, що  є оригіналом ):



  

  

  







Знайдемо струм :










Як бачимо, струми, розраховані класичним та операторним методами, співпадають. Це є надійною перевіркою вірності рішення задачі.



Задача 2.2.3. Визначити струми перехідного процесу у гілках схеми. Побудувати графік струму  як функцію часу. Діюча напруга джерела, його початкова фаза та параметри елементів схеми: , , , , .

Напруга джерела змінюється за законом 



Рішення

a) Класичний метод.

Схема до задачі 2.2.3 а



U(t)

i1

R1

R3

i2

i3

k

R2

С

















Докомутаційний розрахунок:







Напруга на конденсаторі до комутації:


































 - за другим законом комутації



Розрахунок усталеного режиму та розрахунок примушених складових:




































Найдемо вільну складову напруги на ємності ():







Знайдемо характеристичне рівняння шляхом запису опору у символічній формі з подальшою заміною у ньому  на  та прирівнюванні цього опору до нуля. Запишемо опір відносно затисків джерела:



;












 знайдемо у вигляді 









Струм  у будь-який момент визначається згідно із законом Ома:







Струм  знайдемо з наступних міркувань:







Струм  знайдемо як:







Перевірка за законом Кірхгофа для моменту часу :










Малюнок 5 - Графіки перехідних функцій , , 





Малюнок 4 - Графік перехідної функції 



б) Операторний метод.



Схема до задачі 2.2.3 б.





i1

R1

i2

i3

R2





I11(p)

I22(p)














Внутрішня ЕРС:







Напругу представимо у вигляді:







Перейшовши до зображення, отримаємо:







Струми знайдемо методом контурних струмів:



, де

























Знайдемо струм , враховуючи, що  є зображенням .









 , 

  

  





Знайдемо струм , враховуючи, що  є зображенням .





, 

 

 






Струм  знайдемо за допомогою І закону Кірхгофа:







Остаточно:











Як бачимо, струми, розраховані класичним та операторним методами, співпадають. Це є надійною перевіркою вірності рішення задачі.




Список літератури



1. Атабеков Г.И. Теоритические основы электротехники. Линейные электрические цепи. – М.: Энергия, 1976. – 592с.

2. Бессонов Л.А. Теоритические основы электротехники. Электрические цепи. – М.: «Гардарики», 2002. – 638с.

3.Будыщев М.С. Електротехніка, електроніка та мікропроцесорна техніка. – Л.: Афіша, 2001. – 424с.

4. Прехач В.С. Теоретична електротехніка. Лінійні кола. – Висш. школа, 1992. – 438с.