Нахождение корней уравнения методом Ньютона (ЛИСП-реализация)

СОДЕРЖАНИЕ



	Введение

	1. Постановка задачи

			2. Математические и алгоритмические основы решения задачи

	2.1 Описание метода

	2.2 Недостатки метода

	3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи

			4. Программная реализация решения задачи

	5. Пример выполнения программы

			Заключение

			Список использованных источников и литературы

			

			
ВВЕДЕНИЕ



Метод Ньютона (также известный как метод касательных)— это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643—1727), под именем которого и обрёл свою известность.

Метод был описан Исааком Ньютоном в рукописи De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (лат.Об анализе уравнениями бесконечных рядов), адресованной в 1669 году Барроу, и в работе De metodis fluxionum et serierum infinitarum (лат.Метод флюксий и бесконечные ряды) или Geometria analytica (лат.Аналитическая геометрия) в собраниях трудов Ньютона, которая была написана в 1671 году. В своих работах Ньютон вводит такие понятия, как разложение функции в ряд, бесконечно малые и флюксии (производные в нынешнем понимании). Указанные работы были изданы значительно позднее: первая вышла в свет в 1711 году благодаря Уильяму Джонсону, вторая была издана Джоном Кользоном в 1736 году уже после смерти создателя. Однако описание метода существенно отличалось от его нынешнего изложения: Ньютон применял свой метод исключительно к полиномам. Он вычислял не последовательные приближения xn, а последовательность полиномов и в результате получал приближённое решение x.

Впервые метод был опубликован в трактате Алгебра Джона Валлиса в 1685 году, по просьбе которого он был кратко описан самим Ньютоном. В 1690 году Джозеф Рафсон опубликовал упрощённое описание в работе Analysis aequationum universalis (лат.Общий анализ уравнений). Рафсон рассматривал метод Ньютона как чисто алгебраический и ограничил его применение полиномами, однако при этом он описал метод на основе последовательных приближений xn вместо более трудной для понимания последовательности полиномов, использованной Ньютоном. Наконец, в 1740 году метод Ньютона был описан Томасом Симпсоном как итеративный метод первого порядка решения нелинейных уравнений с использованием производной в том виде, в котором он излагается здесь. В той же публикации Симпсон обобщил метод на случай системы из двух уравнений и отметил, что метод Ньютона также может быть применён для решения задач оптимизации путём нахождения нуля производной или градиента.

В 1879 году Артур Кэли в работе The Newton-Fourier imaginary problem (англ. Проблема комплексных чисел Ньютона-Фурье) был первым, кто отметил трудности в обобщении метода Ньютона на случай мнимых корней полиномов степени выше второй и комплексных начальных приближений. Эта работа открыла путь к изучению теории фракталов.

Целью данной курсовой работы является Лисп – реализация нахождения корней уравнения методом Ньютона.




1. Постановка задачи



Дано уравнение:



.



Требуется решить это уравнение, точнее, найти один из его корней (предполагается, что корень существует). Предполагается, что F(X) непрерывна и дифференцируема на отрезке [A;B].

Входным параметром алгоритма, кроме функции F(X), является также начальное приближение - некоторое X0, от которого алгоритм начинает идти.

Пусть уже вычислено Xi, вычислим Xi+1 следующим образом. Проведём касательную к графику функции F(X) в точке X = Xi, и найдём точку пересечения этой касательной с осью абсцисс. Xi+1 положим равным найденной точке, и повторим весь процесс с начала.

Нетрудно получить следующее выражение:



Xi+1 = Xi - F(Xi) / F'(Xi)



Интуитивно ясно, что если функция F(X) достаточно "хорошая", а Xi находится достаточно близко от корня, то Xi+1 будет находиться ещё ближе к искомому корню.

Пример 1.

Требуется найти корень уравнения , с точностью .

Производная функции  равна



.




Возьмем за начальную точку , тогда



-9.716215;

5.74015;

3.401863;

-2.277028;

1.085197;

0.766033;

0.739241.



Таким образом, корень уравнения



 равен 0.739241.



Пример 2.

Найдем корень уравнения функции методом Ньютона



cosx = x3.



Эта задача может быть представлена как задача нахождения нуля функции




f(x) = cosx − x3.



Имеем выражение для производной



.



Так как  для всех x и x3 > 1 для x > 1, очевидно, что решение лежит между 0 и 1. Возьмём в качестве начального приближения значение x0= 0.5, тогда:



1.112141;

0.90967;

0.867263;

0.865477;

0.865474033111;

0.865474033102.



Таким образом, корень уравнения функции



cosx = x3 равен 0.86547403.



Пример 3.

Требуется найти корень уравнения , с точностью .

Производная функции



 равна .



Возьмем за начальную точку , тогда



-2.3;

-2.034615;

-2.000579;

-2.0.



Таким образом, корень уравнения



 равен -2.




2. Математические и алгоритмические основы решения задачи



2.1 Описание метода



Пусть корень x уравнения отделен на отрезке [a, b], причем  и  непрерывны и сохраняют определенные знаки при . Если на некотором произвольном шаге n найдено приближенное значение корня



,



то можно уточнить это значение по методу Ньютона. Положим



,		(1)



где  считаем малой величиной. Применяя формулу Тейлора, получим:



.



Следовательно,



.



Внеся эту поправку в формулу (1), найдем следующее (по порядку) приближение корня




	.	(2)



Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене дуги кривой касательной, проведенной в некоторой точке кривой. В самом деле, положим для определенности, что  при  и  (рисунок 1).

Выберем, например, , для которого . Проведем касательную к кривой  в точке B0 с координатами .





Рисунок 1. Геометрически показан метод Ньютона



В качестве первого приближения  корня x возьмем абсциссу точки пересечения касательной с осью Ox. Через точку  снова проведем касательную, абсцисса точки пересечения которой даст второе приближение корня x и т.д.

Формулу для уточнения корня можно получить из прямоугольного треугольника , образованного касательной, проведенной в точке B0, осью абсцисс и перпендикуляром, восстановленным из точки .

Имеем




.



Так как угол  образован касательной и осью абсцисс, его тангенс численно равен величине производной, вычисленной в точке, соответствующей абсциссе точки касания, т.е.



.



Тогда







или для любого шага n



.



В качестве начальной точки  можно принять либо один из концов отрезка [a, b], либо точку внутри этого интервала. В первом случае рекомендуется выбирать ту границу, где выполняется условие



,



т.е. функция и ее вторая производная в точке  должны быть одного знака.

В качестве простейших условий окончания процедуры уточнения корня рекомендуется выполнение условия


.



Как следует из последнего неравенства, требуется при расчете запоминать три значения аргумента . В практических инженерных расчетах часто применяют сравнение аргументов на текущей и предыдущей итерациях:



.



При составлении программы решения уравнения методом Ньютона следует организовать многократный расчет приближений для корня . Если удается получить аналитическое выражение для производной, то ее вычисление, а также вычисление можно оформить в виде функций.



2.2 Недостатки метода



Пусть



.



Тогда



.



Возьмём нуль в качестве начального приближения. Первая итерация даст в качестве приближения единицу. В свою очередь, вторая снова даст нуль. Метод зациклится, и решение не будет найдено. В общем случае построение последовательности приближений может быть очень запутанным.





Рисунок 2. Иллюстрация расхождения метода Ньютона, примененного к функции  с начальным приближением в точке 



Если производная не непрерывна в точке корня, то метод может расходиться в любой окрестности корня.

Если не существует вторая производная в точке корня, то скорость сходимости метода может быть заметно снижена.

Если производная в точке корня равна нулю, то скорость сходимости не будет квадратичной, а сам метод может преждевременно прекратить поиск, и дать неверное для заданной точности приближение.

Пусть



.



Тогда  и следовательно . Таким образом сходимость метода не квадратичная, а линейная, хотя функция всюду бесконечно дифференцируема.

		


3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи



Функциональные модели и блок-схемы решения задачи представлены на рисунке 3, 4.

Условные обозначения:

		FUNCTN, FX – функция;

		DFUNCTN, DFDX – производная функции;

		A – рабочая переменная;

		START, X0 – начальное значение;

		PRES, E –точность вычисления.





Рисунок 3 – Функциональная модель решения задачи для поиска корня уравнения методом Ньютона






Рисунок 4 – Блок-схема решения задачи для функции NEWTOM



	
4. Программная реализация решения задачи



																																Файл FUNCTION.txt (Пример 1)

;ФУНКЦИЯ COSX - X3

(DEFUN F(X)

(- (COS X) (* X X X))

)

;ПРОИЗВОДНАЯ -sinx-3x2

(DEFUN DFDX (X)

(- (* -1 (SIN X)) (* 3 X X))

)

(SETQ X0 0.5)

																																(SETQ E 0.0001)

																																Файл FUNCTION.txt (Пример 2)

;ФУНКЦИЯ x-cosx

(DEFUN F(X)

(- X (COS X))

)

;ПРОИЗВОДНАЯ 1+sinx

(DEFUN DFDX (X)

(+ 1 (SIN X))

)

(SETQ X0 -1)

(SETQ E 0.0001)

																																Файл FUNCTION.txt (Пример 3)

;ФУНКЦИЯ X2+2X

(DEFUN F(X)

(+ (* X X) (* 2 X))

)

;ПРОИЗВОДНАЯ 2X+2

(DEFUN DFDX (X)

(+ 2 (* 2 X))

)

(SETQ X0 -2.3)

(SETQ E 0.0001)

																																Файл NEWTON.txt

;ПОДГРУЖАЕМ ФУНКЦИЮ

(LOAD "D:\\FUNCTION.TXT" )

;РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА НЬЮТОНА

(DEFUN NEWTOM (START PRES FUNCTN DFUNCTN)

;ОБЪЯВЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ

(DECLARE (SPECIAL X))

(DECLARE (SPECIAL A))

;ЗАДАЕМ НАЧАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ

(SETQ X START)

(SETQ A (/ (FUNCALL FUNCTN X) (FUNCALL DFUNCTN X)))

(LOOP

(SETQ X (- X A))

(SETQ A (/ (FUNCALL FUNCTN X) (FUNCALL DFUNCTN X)))

;ЕСЛИ ДОСТИГЛИ ТРЕБУЕМОЙ ТОЧНОСТИ ВЫХОДИМ ИЗ ЦИКЛА

(IF (<= (ABS A) PRES) (RETURN X))

)

)

;ОТКРЫВАЕМ ФАЙЛ

(SETQ OUTPUT_STREAM (OPEN "D:\KOREN.TXT" :DIRECTION :OUTPUT))

;ВЫЗЫВАЕМ МЕТОД НЬЮТОНА ДЛЯ РАСЧЕТА КОРНЯ

(SETQ KOREN (NEWTOM X0 E (FUNCTION F) (FUNCTION DFDX)))

;ВЫВОДИМ КОРЕНЬ В ФАЙЛ

(PRINT 'KOREN OUTPUT_STREAM)

(PRINT KOREN OUTPUT_STREAM)

;ЗАКРЫВАЕМ ФАЙЛ

(TERPRI OUTPUT_STREAM)

(CLOSE OUTPUT_STREAM)

																																


5. Пример выполнения программы



Пример 1.





Рисунок 5 – Входные данные.





Рисунок 6 – Выходные данные.



Пример 2.





Рисунок 7 – Входные данные.




Рисунок 8 – Выходные данные.



Пример 3.





Рисунок 9 – Входные данные.





Рисунок 10 – Выходные данные.




ЗАКЛЮЧЕНИЕ



Проблема повышения качества вычислений, как несоответствие между желаемым и действительным, существует и будет существовать в дальнейшем. Ее решению будет содействовать развитие информационных технологий, которое заключается как в совершенствовании методов организации информационных процессов, так и их реализации с помощью конкретных инструментов – сред и языков программирования.

Итогом работы можно считать созданную функциональную модель нахождения корней уравнения методом Ньютона. Данная модель может быть использована для решения задач оптимизации, в которых требуется определить нуль первой производной либо градиента в случае многомерного пространства. Созданная функциональная модель и ее программная реализация могут служить органической частью решения более сложных задач.




СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ и литературы

	

	Бронштейн, И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов [Текст] / И.Н.Бронштейн, К.А.Семендяев. – М.: Наука, 2007. – 708 с.

	Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов. [Текст] / Н.Ш.Кремер, 3-е издание – М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2006. C. 412.

	Калиткин, Н.Н. Численные методы. [Электронный ресурс] / Н.Н. Калиткин. – М.: Питер, 2001. С. 504.

			Метод Ньютона – Википедия [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Метод_Ньютона

	Семакин, И.Г. Основы программирования. [Текст] / И.Г.Семакин, А.П.Шестаков. – М.: Мир, 2006. C. 346.

	Симанков, В.С. Основы функционального программирования [Текст] / В.С.Симанков, Т.Т.Зангиев, И.В.Зайцев. – Краснодар: КубГТУ, 2002. – 160 с.

	Степанов, П.А. Функциональное программирование на языке Lisp. [Электронный ресурс] / П.А.Степанов, А.В. Бржезовский. – М.: ГУАП, 2003. С. 79.

	Хювенен Э. Мир Лиспа [Текст] / Э.Хювенен, Й.Сеппянен. – М.: Мир, 1990. – 460 с.