Основные цели, определения и принципы математического моделирования, виды моделей

ПРЕДИСЛОВИЕ



Целью курса моделирование подъемно-транспортных систем является обучение основам моделирования подъемно-транспортных машин (ПТМ), что включает в себя составление математических моделей ПТМ, программную реализацию моделей на ЭВМ, а также получение, обработку и анализ результатов моделирования.

Для самостоятельного ознакомления с перечисленными вопросами рекомендуется следующая литература: Брауде В. И., Тер-Мхитаров М. С. «Системные методы расчета грузоподъемных машин», Игнатьев Н. Б., Ильевский Б. З., Клауз Л. П. «Моделирование системы машин», Рачков Е. В., Силиков Ю. В. «Подъемно - транспортные машины и механизмы», а также справочники и учебные пособия по численным методам вычислительной математики и использованию математического редактора MathCad.



§1. ОСНОВНЫЕ ЦЕЛИ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИНЦИПЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ, ВИДЫ МОДЕЛЕЙ

1.1 Основные определения

Моделирование - это теоретико-экспериментальный метод познавательной деятельности, это метод исследования и объяснения явлений, процессов и систем (объектов-оригиналов) на основе создания новых объектов - моделей.

Моделирование – это замещение исследуемого объекта (оригинала) его условным образом или другим объектом (моделью) и изучение свойств оригинала путем исследования свойств модели.

В зависимости от способа реализации все модели можно разделить на 4 группы: физические, математические, предметно-математические и комбинированные [6, 19].

Физическая модель – реальное воплощение тех свойств оригинала, которые интересует исследователя. Физические модели называют еще макетами, поэтому физическое моделирование называется макетированием.

Математическая модель – это формализованное описание системы (или процесса) с помощью некоторого абстрактного языка (математически), например, в виде графов, уравнений, алгоритмов, математических соответствий и пр.

Предметно-математические модели являются аналоговыми, т.е. при этом для моделирования используется принцип одинакового математического описания процессов, реального и протекающего в модели.

Комбинированные модели представляют собой сочетание математической или предметно-математической и физической модели. Они используются тогда, когда математическое описание одного из элементов исследуемой системы неизвестно или затруднительно, а также по условиям моделирования необходимо ввести в качестве элемента физическую модель (например, тренажер).

Математическое моделирование – это замещение оригинала математической моделью и исследование свойств оригинала на данной модели.

Системой называется объединение нескольких объектов (элементов), взаимосвязанных между собой, образующее определенную целостность. 

Элемент - это относительно самостоятельная часть системы, рассматриваемая на данном уровне анализа как единое целое, предназначенная для реализацию некоторой функции.

Система обладает следующими, т.н. «системными» свойствами:

структурой, т.е. строго определенным порядком объединения элементов в группы;

целенаправленностью или функциональностью, т.е. наличием цели, для которой создана система;

эффективностью, способностью достигать цели с наименьшими затратами ресурсов;

устойчивостью, способностью сохранять характеристики своих свойств неизменными в определенных пределах при изменении внешних условий.

В настоящее время в технике для исследования работы машинных комплексов и машин используется понятие «человеко-машинной системы» (ЧМС), т.е. смешанной системы, составной частью которой наряду с техническими объектами является человек-оператор [13, 20]. Кроме того, ЧМС взаимодействует с окружающей средой. Таким образом, для моделирования ПТС необходимо рассматривать систему Человек-Машина-Среда, которая может быть отображена следующим графом (Рис. 1).



Рис. 1 Граф системы Человек-Машина-Среда.



Стрелками на графе изображены потоки энергии, вещества и информации, которыми обмениваются элементы системы.

Процессы, протекающие в технических системах, образованы совокупностью простейших операций. Операции – преобразования входных физических величин в выходные в низкоуровневом элементе системы (Рис. 2). 

В каждом элементе системы (Ei) происходит преобразование входных воздействий (Xi) в выходные (Yi), причем выходные воздействия одного элемента могут являться входными следующего. Соединение элементов в структурную схему по характеру передачи воздействий происходит последовательно или параллельно.





Рис. 2 Структурная схема системы.



Подъемно-транспортными системами (ПТС), изучаемыми в рамках данного курса, будем называть системы, включающими в себя человека, окружающую среду и подъемно-транспортные машины (ПТМ).

ПТМ – это машины, предназначенные для перемещения груза на относительно небольшие расстояния без его переработки. ПТМ применяются для облегчения, ускорения, повышения эффективности перегрузочных работ.



1.2 Принципы и виды математического моделирования

Математические модели должны обладать следующими свойствами:

адекватность, свойство соответствия модели и объекта исследований;

достоверность, обеспечение заданной вероятности попадания результатов моделирования в доверительный интервал,

точность, незначительное (в пределах допустимой погрешности) расхождение результатов моделирования с показателями реальных объектов (процессов);

устойчивость, свойство соответствия малых изменений выходных параметров малым изменениям входных;

эффективность, способность достижения цели с малыми затратами ресурсов;

адаптабельность, способность легко перестраиваться для решения различных задач.

Для достижения этих свойств существуют некоторые принципы (правила) математического моделирования [17], ряд которых приведен ниже.

Принцип целенаправленности заключается в том, что модель должна обеспечивать достижение строго определенных целей и, в первую очередь, отражать те свойства оригинала, которые необходимы для достижения цели.

Принцип информационной достаточности заключается в ограничении количества информации об объекте при создании его модели и поиске оптимума между вводимой информацией и результатами моделирования. Он может быть проиллюстрирован следующей схемой.





1

2

3

Наличие информации

об объекте

Информация отсутствует полностью

Информация не полна

Доступна вся информация 

Целесообразность моделирования

Модель невозможна

Моделирование

Модель не нужна



Все возможные случаи моделирования располагаются в столбце 2.

Принцип осуществимости состоит в том, что модель должна обеспечивать достижение поставленной цели с вероятностью близкой к 1 и за конечное время. Этот принцип можно выразить двумя условиями

	 и ,	(1)

где  - вероятность достижения цели,  - время достижения цели,  и  - допустимые значения вероятности и времени достижения цели.

Принцип агрегатирования заключается в том, что модель должна состоять из подсистем 1-го уровня, которые, в свою очередь, состоят из подсистем 2-го уровня и т.д. Подсистемы должны оформляться в виде отдельных самостоятельных блоков. Подобное построение модели позволяет использовать стандартные процедуры расчетов, а также делает более легкой адаптацию модели к решению различных задач.

Принцип параметризации состоит в замене при моделировании определенных параметров подсистем, описанных функциями, соответствующими числовыми характеристиками.

Процесс моделирования с использованием этих правил заключается в выполнении следующих 5 шагов (этапов).

Определение целей моделирования.

Разработка концептуальной модели (расчетной схемы).

Формализация.

Реализация модели.

Анализ и интерпретация результатов моделирования.

Существенные различия в выполнении 3-5 этапов позволяют говорить о двух подходах к построению модели.

Аналитическое моделирование – это использование математической модели в виде дополненных системой ограничений уравнений, связывающих входные переменные с выходными параметрами. Аналитическое моделирование используется, если существует законченная постановка задачи на исследования и необходимо получить один конечный результат, соответствующий ей.

Имитационное моделирование – это использование математической модели для описания функционирования системы во времени при различных сочетаниях параметров системы и различных внешних воздействиях. Имитационное моделирование используется, если конечной постановки задачи не существует и необходимо исследовать протекающие в системе процессы. Имитационное моделирование предполагает соблюдение временного масштаба. Т.е. события на одели происходят через интервалы времени пропорциональные событиям на оригинале с постоянным коэффициентом пропорциональности.

По использованию средств для реализации модели можно выделить еще один вид моделирования, компьютерное моделирование. Компьютерное моделирование – это математическое моделирование с использованием средств вычислительной техники.

1.3 Классификация математических моделей

Все математические модели можно разделить на несколько групп по следующим классификационным признакам.

По виду моделируемой системы модели бывают статические и динамические. Статические модели служат для исследования статических систем, динамические для исследования динамических. Динамические системы характеризуются тем, что обладают множеством состояний, которые изменяют во времени.

По целям моделирования модели подразделяются на нагрузочные, управленческие и функциональные. Нагрузочные модели служат для определения нагрузок, действующих на элементы системы, управленческие – для определения кинематических параметров исследуемой системы, к которым относятся скорости и перемещения элементов системы, функциональные – для определения координат модели в пространстве возможных функциональных состояний системы.

По содержанию модели бывают детерминированные, стохастические и эвристические. Параметры детерминированных моделей определяются как неслучайные величины и функции, параметры стохастических как случайные величины и функции, а эвристические модели в качестве одного из элементов включают в себя человека-оператора.

По степени дискретизации модели подразделяются на дискретные, смешанные и континуальные. Дискретные модели содержат элементы, связанные между собой, характеристики которых сосредоточены в точках. Это могут быть массы, объемы, силовые и прочие воздействия, сосредоточенные в точках. Континуальные модели содержат элементы, параметры которых распределены по длине, по площади или  по объему всего элемента. Смешанные модели содержат элементы обоих типов.



§2 ОБЪЕКТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

2.1 Система ЧМС

Итак, в качестве объекта моделирования выбрана система человек-ПТМ-окружающая среда.

Исследуя взаимосвязи между элементами ПТС (Рис. 3) целесообразно выделить несколько типов связей, которые представляют интерес с точки зрения моделирования ПТС. Это управляющие воздействия, информация, поступающая к оператору, воздействия окружающей среды на ПТМ.



Рис. 3 ПТС.

1 - управляющие воздействия, 2 – воздействия работающей ПТМ на человека-оператора и информация, 3 – воздействия ПТМ на окружающую среду, 4 – внешние воздействия среды на ПТМ, 5 – воздействия окружающей среды на человека-оператора и информация.

Рассмотрим вершины графа по отдельности.

Наиболее сложна, с точки зрения моделирования, задача моделирования деятельности человека-оператора. Изучение роли человека оператора осуществляется методами инженерной психологии. Некоторые вопросы  инженерной психологии можно найти в работах [6] и [35]. Для моделирования работы ПТМ необходимо задать управляющие воздействия оператора. Задание управляющих воздействий в модели осуществляется следующими способами:

математической обработкой экспериментальных данных (массивы характеристик управляющих воздействий за некоторый промежуток работы ПТМ);

включением человека-оператора в модель;

математическими зависимостями, выражающими связь между управляющими воздействиями, характеристиками оператора и воздействиями на него, полученные путем обработки статистической информации об эксплуатации данного типа машин.

В окружающей среде можно выделить две составляющих: технологическую и природную.

Технологическая среда представляет собой специально организованные условия, необходимые для выполнения ПТМ своих функций.

В воздействиях природной среды можно выделить энергетические и информационные. В первую группу входят силовые, кинематические, температурные, радиационные и биологические воздействия. Кинематические воздействия – это изменения кинематических связей, накладываемых средой на ПТМ. К температурным относятся воздействия температуры воздуха, к радиационным – действие солнечной радиации, к биологическим – воздействия биосферы на ПТМ: грибковые образования, действия насекомых, животных и птиц. Основной интерес в рамках курса представляют силовые воздействия, среди которых можно выделить следующие типы: 

гравитационные, нагрузки от веса элементов машины и груза;

ветровые, нагрузки, вызванные давлением ветра на элементы ПТМ;

нагрузки от снега и обледенения;

нагрузки, вызванные качкой (для плавучих ПТМ);

экстремальные, нагрузки, вызванные экстремальными ситуациями: землетрясениями, наводнениями, ударами и т.д.

Информация может поступать непосредственно к оператору (зрительная, акустическая) или, опосредованно, через приборы и датчики ПТМ.

Номенклатура ПТМ весьма разнообразна [1, 7, 16, 30, 34]. Они подразделяются по способу действия на два больших класса:

- грузоподъемные машины (ГПМ), машины циклического действия, в которых происходит последовательное повторение движений элементов машины для перемещения груза, называемое циклом;

- машины непрерывного транспорта (МНТ), ПТМ, обеспечивающие непрерывное перемещение грузов без остановки машины для их захвата и выгрузки.

Последние могут работать в полуавтоматическом и автоматическом режиме, что значительно упрощает моделирование управляющих воздействий.

По способу создания движущей силы МНТ бывают механическими, установками трубопроводного транспорта и гравитационными – спускными самотечными устройствами.

По типу движения ГПМ подразделяются на три группы:

- перемещающие груз в вертикальном и горизонтальном направлении (краны и перегружатели);

- перемещающие груз в вертикальном или близком к нему направлении (подъемники: лифты и вагоноопрокидыватели);

- перемещающие груз в горизонтальном или близком к нему наклонном направлении (погрузчики и т.д.).



2.2 Характеристики объектов моделирования.

Для моделирования ПТС необходимо выбрать и задать те характеристики ЧМС, которые позволяют определить состояние исследуемого элемента в зависимости от входных воздействий в любой момент времени.

На рисунке 4 представлена структурная схема модели, где буквами обозначены

X - вектор входных воздействий,

Y - вектор выходных воздействий,

S - вектор, характеристик состояния системы (элемента). 



Рис. 4 Структурная схема модели.

Качественный состав векторов определяется целями моделирования, среди которых можно выделить следующие:

определение оптимальных параметров системы,

установление связей между входными и выходными параметрами системы,

исследование процессов, протекающих в системе при различных характеристиках входных воздействий и моделируемых ситуациях,

тренировка.

После определения целей необходимо составить концептуальную модель или расчетную схему. Ее составление включает следующие этапы.

Сбор и анализ информации о системе:

а) сбор фактических данных и выдвижение гипотез о тех параметрах, данные о которых неизвестны или не достоверны,

б) выбор учитываемых параметров объекта моделирования в соответствии с целями моделирования,

в) выбор типа модели в соответствии с целями моделирования.

Декомпозиция системы:

а) разбиение системы на множество подэлементов,

б) установление связей между элементами системы,

в) математическое описание установленных связей.

После разбиения ЧМС на элементы первого (высшего) уровня, мы получим три составляющих (человек-оператор, среда, ПТМ), которые в свою очередь являются сложными системами. Рассмотрим их по отдельности.



2.3 Человек-оператор, как объект моделирования

Человек-оператор (ЧО), с точки зрения математического моделирования, представляет собой наиболее сложный объект. Если представить ЧО как систему, имеющую вход и выход (Рис. 4), то качественный состав векторов для моделирования, будет выглядеть следующим образом:

X – входные воздействия,

X1 – информационные воздействия,

X1.1 – информационные воздействия от ПТМ (информация о положении элементов ПТМ, показания приборов и т.д.),

X1.2 – информационные воздействия окружающей среды,

X1.3 – стратегическая управляющая информация,

X2 – энергетические воздействия,

X2.1 – энергетические воздействия ПТМ на ЧО,

X2.2 – энергетические воздействия окружающей среды на ЧО,

Y – выходные воздействия,

Y1 – управляющие воздействия (моменты включений/выключений механизмов, положения переключателей или моменты начала воздействий, продолжительность и интенсивность воздействий),

S – характеристики объекта моделирования,

S1 – квалификация,

S2 – личные качества оператора.

С точки зрения моделирования и конструирования ПТМ, наибольший интерес представляют управляющие воздействия. Управляющие воздействия представляют собой набор импульсов, характеризующих работу соответствующих механизмов ПТМ: включение механизма в одном направлении, в обратном направлении и отключение данного механизма / торможение механизма. Обычно, процесс управления состоит из периодически повторяющейся группы операций.

Выполнение всех движений, связанных с перемещением груза в заданную точку и возвращение машины в исходное состояние, называется полным циклом работы машины. [34]

Основной характеристикой цикла является время цикла.

Время цикла определяется как сумма времен, затраченных на выполнение отдельных операций.

При различных технологических вариантах перегрузки и различных родах груза время, затрачиваемое на отдельные операции, будет различно, а, значит, и время цикла будет разным. С временем цикла тесно связано понятие производительности машины. Производительность машины является важной характеристикой ее качества.

Производительностью грузоподъемной машины (ГПМ) называется количество груза, перегружаемое в единицу времени. [34]

	Технической производительностью называют количество груза, которое машина может перегрузить за час непрерывной работы при полном использовании ее технической характеристики и производственного опыта.

	 Эксплуатационная производительность – это производительность работы машины с учетом использования ее по загрузке и по времени.

	Техническая производительность определяется по формуле

	,	(2)

	где G – вес груза, т, nц- число циклов, выполняемых машиной за час, Tц – средняя продолжительность цикла для заданных условий, с. Число циклов определяется по формуле

	.	(3)

Для увеличения производительности машины необходимо максимально уменьшить время цикла или увеличить грузоподъемность. Время цикла зависит от деятельности ЧО или выдачи им управляющих воздействий. Также деятельность ЧО влияет на процессы, протекающие в элементах машины, на окружающую среду и т.д. Поэтому, при моделировании ПТС, необходимо учитывать деятельность ЧО.

Деятельность ЧО как функционирование любой кибернетической системы может быть сведена к восприятию информации, ее переработке и использованию для управления машиной [35]. Моделирование выдачи управляющих воздействий оператором может осуществляться следующими тремя способами: включением человека в модель, математическим описанием процесса выдачи воздействий и комбинированным способом, заключающимся в использовании статистических обработок реального процесса управления. При использовании второго способа необходимо выстроить зависимости между параметрами управляющих воздействий и воздействиями на ЧО с учетом характеристик объекта. В управлении можно выделить две стадии. На первой стадии происходит выработка стратегии управления, на второй реализация данной стратегии.

Стратегия – способ проведения операции или группы операций, направленных на достижение цели.

Эффективность – свойство системы достигать максимума целей с минимальными затратами ресурсов.

Оптимальной называется наилучшая (экстремальная) стратегия, приводящая к желаемому наилучшему результату. Величина, характеризующая этот результат, называется критерием оптимальности. [27]

Мерой эффективности, выбранной стратегии, служит E, показатель эффективности. Он отражает результат осуществления стратегии и является функцией трех параметров: полезного эффекта (q), затрат ресурсов (c) и затраченного на выполнение операций времени (t). Значения q, c и t зависят от u, выбранной стратегии, и , возможных ошибок при осуществлении данной стратегии. Т.е., показатель эффективности можно записать (4)

	.	(4)

	В зависимости от целей проведения операций параметрами q, c и t могут становиться различные характеристики системы или процесса. Также, при определенных условиях, некоторые аргументы могут быть опущены.

	Как правило, выбор оптимальной стратегии связан в управлении ПТМ с наименьшими затратами времени на достижение цели, а остальные составляющие входят в условие выбора оптимальной стратегии в качестве дополнительных ограничений

	,	(5)

	где  и  - допустимые значения соответствующих величин.

	Таким образом, будем считать основным вариантом оптимальную стратегию, а отклонения выбранных стратегий управления от оптимальной учитывать с помощью соответствующих коэффициентов (Kоткл), зависящих от технологических вариантов перегрузки, рода груза и квалификации крановщика и определяемых по результатам экспериментов.

	На стадии реализации выбранной стратегии появляется суммарная ошибка, вызванная неверной визуальной оценкой координат объекта и замедлением реакции ЧО. Так, оценка расстояния между объектами по высоте в трехмерном пространстве происходит с ошибкой, равной 0,1-0,2 определяемой величины. Время реакции на изменение скорости находится в обратной зависимости от величины ее изменения. Величины ошибок также определяются экспериментально и нормируются в зависимости от технологических вариантов перегрузки, рода груза и квалификации крановщика.

	В соответствии с выбранной стратегией с учетом возможных ошибок при ее осуществлении производится выдача ЧО управляющих воздействий. Управляющие воздействия являются случайными событиями, которые характеризуются временем воздействия (моментами начала и конца воздействия) и величиной (уровнем) воздействия. Эти характеристики являются случайными величинами.

	Случайным называется событие, которое при осуществлении определенных условий, может либо произойти, либо не произойти. Вероятность события есть численная мера степени объективной возможности этого события.

	Случайная величина – величина, которая может принять какое-либо неизвестное заранее значение из некоторого интервала, зависящее от случайных причин, которые не могут быть учтены. Случайные величины могут быть дискретными и непрерывными. [8]

	Главной вероятностной характеристикой случайной величины является закон распределения.

	Законом распределения случайной величины называется соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

	Закон распределения может быть представлен в виде ряда распределения, функции распределения и плотности распределения.

	Таблица, в которой перечислены все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности называется рядом распределения.

	X

	x1

	x2

	x3

	...

	xN

	p(X)

	p1

	p2

	p3

	...

	pN

	Вероятность того, что случайная величина примет значение меньшее некоторого x, является функцией, зависящей от x, и называется функцией распределения или интегральным законом распределения.

	

	Функция распределения является универсальным законом распределения, т.к. существует и для дискретных, и для непрерывных случайных величин.

	Производная от функции распределения характеризует плотность распределения вероятности по случайной величине и называется плотностью распределения вероятности или дифференциальным законом.

	

	Основными числовыми характеристиками случайной величины являются математическое ожидание (МО), дисперсия и среднеквадратическое отклонение (СКО).

	МО характеризует положение случайной величины на числовой оси и определяется как  и  для дискретных и непрерывных величин соответственно.

	Дисперсия характеризует рассеяние случайной величины около МО, является квадратом отклонения случайной величины от ее МО и определяется как  и  для дискретных и непрерывных величин соответственно.

	СКО определяется как квадратный корень из дисперсии и служит для большей наглядности рассеяния величины.

	Ошибки управления зависят от множества случайных факторов. При равном влиянии множества случайных факторов на величину можно говорить о нормальном законе ее распределения [11]. Плотность распределения последнего описывается формулой

	,	(6)

	где  - МО и СКО случайной величины, соответственно.

	Внешний вид нормальной плотности распределения представлен на рис. 5.

	

	Рис. 5 Нормальный закон распределения.

	Управляющие воздействия представляют собой вектора, обладающие следующим набором характеристик

	

где u1 – время начала воздействия, u2 – время конца воздействия, u3 – величина (уровень) воздействия. Эти характеристики - случайные величины, распределение которых также подчинено нормальному закону. МО величин являются их значения в точности соответствующие выбранной стратегии. СКО связаны с отклонениями от выбранной стратегии функциональной зависимостью. Отклонения от выбранной стратегии представляют собой суммарные ошибки оператора, вызванные задержкой реакции, рассогласованием, ошибочной информацией о положении рабочих органов ПТМ и груза. Они нормируются в зависимости от квалификации оператора.

разряд

I

II

III

...

величина ошибки







...

При моделировании характеристики управляющих воздействий определяются либо с учетом распределения их вероятности, либо по зависимости

	,	(7)

	Для получения достоверных и точных результатов необходимо использовать стохастическую модель. Данные, полученные с помощью машинных экспериментов, обрабатываются методами математической статистики [10].

	Пусть есть величина X равномерно распределенная на интервале [0,1]. Для преобразования равномерно распределенных случайных чисел в числа, распределенные по нормальному закону, воспользуемся преобразованием

	,		(8)

	где - МО величины, - СКО величины.

	

2.4 Объект моделирования – окружающая среда



	Окружающая среда воздействует на ЧО и ПТМ. Эти воздействия учитываются множеством Y, в котором Y1 – воздействия на ЧО, влияющие, в основном, на его способность воспринимать информацию и выдавать управляющие воздействия, Y2 – воздействия на ПТМ, складывающиеся из воздействий, меняющих свойства материалов, из которых изготовлены элементы ПТМ, воздействий, меняющих характеристики элементов ПТМ и нагрузок. В зависимости от микроклимата района, сейсмической активности и т.д. выделяют несколько зон [32, 33]. Каждой зоне соответствуют свои параметры воздействий на ПТМ, которые случайны. Основной интерес представляют силовые воздействия окружающей среды на ПТМ.

		Ветровые нагрузки являются распределенными по наветренной площади нагрузками, действующими горизонтально и включающими статическую и динамическую составляющие.

	Наветренной площадью называется проекция площади на плоскость, перпендикулярную направлению ветрового потока (Рис. 6).

	

	Рис. 6 Наветренная площадь

	

	Ветровую нагрузку можно рассматривать как сосредоточенную силу, приложенную в центре тяжести наветренной площади. Положение центра тяжести сечения (площади) определяется по известным зависимостям

	, ,	(9)

	и при переходе к предельным значениям

	() , ,	(10)

	где S - площадь сечения, x и y – координаты по оси абсцисс и оси ординат, соответственно (Рис. 7).

Исходя из этих зависимостей, находим координаты центра тяжести сечения наветренной площади.

Статическая составляющая ветровой нагрузки определяется по формуле

	,	(11)

где  - наветренная площадь,  - коэффициент, учитывающий изменение динамического давления по высоте,  - коэффициент аэродинамической силы, учитывающий аэродинамическую форму элемента,  - динамическое давление (скоростной напор) ветра, принимаемое в зависимости от вида расчета (рабочее/нерабочее состояние) и района установки ПТМ.



Рис. 7 Поперечное сечение элемента

Учет динамической составляющей ветровой нагрузки производится с помощью динамического коэффициента, в зависимости от расчетного случая он принимается равным kд=1.4-1.6.

2) Нагрузки от снега и обледенения – это нагрузки, распределенные по горизонтальной площади ПТМ и ее элементов, действующие вертикально вниз (вес снега и льда). Величины их определяются как произведение данной площади на давление снега и льда, равное 500-2500 Па в зависимости от района установки ПТМ. Точкой (точками) приложения нагрузки (нагрузок) является центр (центры) тяжести сечения горизонтальных проекций площадей ПТМ и ее элементов.

3) В районах, подверженных землетрясениям, учитываются горизонтальные сейсмические силы, прикладывающиеся к центру тяжести ПТМ

	,	(12)

где - сейсмический коэффициент, принимаемый в зависимости от сейсмической балльности района,  - вес ПТМ, кН.

4) Гравитационные воздействия – это силы тяжести груза и элементов ПТМ, направленные вертикально вниз и распределенные по объему элемента. Сила тяжести груза – случайная величина, вероятность появления которой распределена по некоторому закону, чаще всего близкому к нормальному. Силы тяжести элементов также являются случайными величинами и меняются в пределах 5% от своей величины. Они подчиняются нормальному закону распределения. При моделировании могут заменяться сосредоточенными нагрузками, приложенными в центрах масс элементов. Они определяются по зависимости , где mi – масса i-го элемента ПТМ, g – ускорение свободного падения.

Также при моделировании могут учитываться технологические нагрузки, связанные с выполнением ПТМ технологических операций, и особые нагрузки, вызванные дефектами изготовления, ошибками управления, редкими природными явлениями или деятельностью людей, напрямую не связанной с данной машиной.



2.5 Объект моделирования – ПТМ

ПТМ – система, состоящая из множества элементов. Это множество можно разбить на четыре группы. К ним относятся элементы металлоконструкции, приводы или механизмы, электрооборудование и прочее и вспомогательное оборудование (Рис. 8). В свою очередь, полученные группы содержат подгруппы, состоящие из подгрупп более низкого уровня, и т.д. Степень детализации зависит от целей разработчика.



Рис. 8 Структурная схема ПТМ (мостового крана)

Элементы металлоконструкции ПТМ – это балки, фермы, колонны. Они обладают объемом и массой, которая распределяется по объему элемента по некоторому закону (Рис. 9).



	а) стрела портального крана	б) мост мостового крана

Рис. 9 Металлоконструкции ПТМ.

Однако чаще всего они рассматриваются как стержневые системы, масса которых может быть как распределена по длине, так и сосредоточена в нескольких точках или точке, как правило, центре масс элемента. При этом инерционными характеристиками элементов модели являются приведенная масса или приведенный момент инерции. Приведение последних производится на основании равенства кинетических энергий реального элемента и элемента с приведенной массой и осуществляется по следующим зависимостям

	 или ,	(13)

где mi и Ji – инерционные характеристики элементов конструкции,  и  – скорости движения элементов конструкции в поступательном и вращательном движении, соответственно,  и  - скорости движения элемента с приведенной массой в поступательном и вращательном движении, соответственно.

Также элементы металлоконструкции обладают упругостью, т.е. способностью восстанавливать форму после снятия нагрузки, вызвавшей изменение формы элемента. Реальные элементы металлоконструкции обладают линейной упругостью по осям X, Y, Z и изгибной или крутильной упругостью в плоскостях XOY, XOZ, YOZ. Упругость элементов металлоконструкции характеризуется коэффициентом жесткости, угловым или линейным, в зависимости от вида деформации. Как правило, при моделировании учитывается тот тип упругости элемента, который соответствует наибольшей его деформации. При замене оригинала элементом модели последний характеризуется коэффициентом жесткости, определенным на основании равенства потенциальных энергий реального и моделируемого объектов по зависимостям

	 или ,	(14)

где ci и  – жесткостные характеристики элементов конструкции, xi и  – деформации элементов конструкции в поступательном и вращательном движении, соответственно, xпр и  - деформации элемента с приведенным коэффициентом жесткости в поступательном и вращательном движении, соответственно.

При работе ПТМ элементы ее металлоконструкции совершают сложное пространственное движение. Учет упругости элементов кроме переносного и относительного движения элементов конструкции, соответствующих выполнению основных рабочих движений, предполагает рассмотрение упругих колебаний, возникающих в элементах конструкции из-за взаимодействия сил упругости и сил инерции.

Рассмотрим, к примеру, портальный кран (Рис. 10).



Рис. 10 Портальные перегрузочные краны.



Работая, кран совершает следующие движения: поворот, подъем/опускание груза и изменение вылета. Также возможно перемещение крана вдоль штабеля груза по крановым путям. Для увеличения рабочей площади, которую может обработать кран, применяются т.н. стрелы с рабочим изменением вылета. Качание стрелы происходит в интервале от минимального до максимального вылета. При этом обрабатываемая краном площадь увеличивается, но центры тяжести стреловой системы и груза поднимаются на некоторую величину, что требует дополнительных затрат энергии. Уменьшение или исключение этих затрат достигается при помощи уравновешивания веса груза и собственного веса стрелового устройства. Для уравновешивания веса груза используются специальные устройства, называющиеся уравновешенными стрелами. Уравновешивание веса груза состоит в обеспечении близкой к горизонтали траектории перемещения груза при изменении вылета стрелы. Для чего используются четырехзвенные стреловые системы, называемые шарнирно-сочлененные устройства (ШСУ). ШСУ бывают с прямым и профилированным хоботами, с гибкой и жесткой оттяжками. ШСУ с прямым хоботом и жесткой оттяжкой (рис. 10) представляет собой шарнирный четырехзвенник Чебышева, предназначенный для преобразования вращательного движения входного звена в поступательное выходного. На большей части своей траектории конец выходного звена четырехзвенника перемещается по пологой кривой линии, близкой к горизонтали. Выполнение краном рабочих движений приводит к появлению раскачивания груза на канатах в плоскости вылета и из плоскости вылета стрелы. Если ограничиться плоскостью вылета и не учитывать упругость элементов стреловой системы, ее можно представить следующей расчетной схемой (рис. 11), где реальные элементы металлоконструкции заменены двухопорными балками с сосредоточенными в центрах тяжести элементов массами.





Рис. 11 Расчетная схема стреловой системы.

На схеме представлены основные элементы стреловой системы: хобот, стрела, оттяжка, противовес, соединенный со стрелой тягой, и груз, подвешенный на канатах. На схеме обозначены: l1 - длина канатной подвески, размеры l2 и l3 - хобота, l4 - стрелы, l5 - оттяжки, l6 - тяги противовеса, l7, l8 и l9 -противовеса, l10 и l11 - положение точки крепления оттяжки, m1, m1, m1, m1 и m1 - массы груза, хобота, стрелы, оттяжки и противовеса, соответственно, l12, l13 и l14 - положения центров масс хобота, оттяжки и стрелы, соответственно. При изменении вылета происходит вращение перечисленных элементов около шарниров, обозначенных буквами O с индексами. Поскольку модель жесткая, т.е. все элементы абсолютно жесткие, то положения всех элементов, а, значит, и их скорости являются функциями вылета (скорости изменения вылета) или угла наклона стрелы (скорости изменения угла наклона стрелы).

				



Таким образом, при составлении расчетной схемы для жесткой модели стреловой системы нет необходимости рассматривать все элементы ШСУ по отдельности и можно ограничиться двухмассовой расчетной схемой с двумя обобщенными координатами (Рис. 12).



Рис. 12 Расчетная схема стреловой системы

На схеме обозначены следующие обобщенные координаты модели: ag - угол отклонения грузовых канатов от вертикали, as - угол наклона стрелы к горизонтали; приведенные массы: mg - масса груза и грузозахватного устройства, ms - приведенная к точке крепления тяги масса элементов стрелового устройства. 

Массу m2 найдем по зависимости (13). Движение масс системы, изображенной на схеме (Рис. 11), является сложным. Для записи выражения для кинетической энергии целесообразно воспользоваться следующим алгоритмом. Сначала определим декартовы координаты масс системы, приняв за начало координат в каждом случае наиболее удобную точку. Затем, дифференцируя по времени полученные координаты, найдем проекции скоростей масс на оси координат и, далее, квадраты абсолютных скоростей масс.

1) Для массы 

	

Для массы 

	

Для массы 

	

Для массы 

	

2) 	

	

	

	

3) 



или упрощая

.

Второе слагаемое выражения характеризует кинетическую энергию массы   при качании относительно точки , оставшиеся относительно точки  и т.д.

Тогда выражение для кинетической энергии масс системы можно записать в виде



а для приведенной массы

, где . Отсюда найдем приведенную массу.

В тех случаях, когда при моделировании необходимо учесть колебательные процессы, протекающие в элементах металлоконструкции, количество степеней свободы и обобщенных координат, а также дискретных масс существенно увеличивается. 



Рис. 13 Виды стержней.



В случаях сложного движения () необходимо учитывать



Воздействия приводов складываются из воздействий двигателей и тормозов механизмов.

При моделировании допускается воздействия тормозов механизмов рассматривать в виде прямоугольных импульсов, т.е. считаем, что момент тормоза прикладывается мгновенно и по величине равен нормативному значению.

Воздействия механизмов задаются с помощью механических характеристик двигателей с учетом передаточного отношения механизма.

Основной характеристикой двигателя является механическая характеристика, функциональная зависимость, выражающая связь между скоростью двигателя и моментом, который он создает.


КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

		Моделирование. Определения, виды моделирования.

		Модель. Определения, виды моделей.

		Математические модели. Определения, виды математических моделей.

		Системы, свойства систем, структура системы.

		Человеко-машинные системы (ЧМС), подъемно-транспортные машины (ПТМ), подъемно-транспортные системы (ПТС).

		Принципы математического моделирования.

		Свойства математических моделей.

		Последовательность этапов математического моделирования.

		Концептуальная модель (расчетная схема).

		Среда, как объект моделирования. Виды воздействий среды на ПТМ и человека-оператора (ЧО).

		Человек-оператор, как объект моделирования. Виды воздействий ЧО на ПТМ и окружающую среду.

		Способы учета ЧО при выдаче управляющих воздействий.

		ПТМ, как объект моделирования.

		Цели моделирования.

		Этапы составления концептуальной модели.

		Способы моделирования процесса осуществления управляющих воздействий.

		Оптимальная стратегия управления. Способы выбора оптимальной стратегии.

		Случайное событие, случайная величина, характеристики случайной величины.

		Моделирование силовых воздействий окружающей среды на элементы ПТМ.

		Моделирование воздействий приводов ПТМ.

		Структура системы ПТМ.

		Свойства элементов металлоконструкции ПТМ, учитывающиеся при моделировании.

		Свойства элементов приводов ПТМ, учитывающиеся при моделировании.

		Структура привода ПТМ.

		Особенности различных типов приводов ПТМ.

		Декомпозиция системы при составлении концептуальной модели.

		Способы представления элементов металлоконструкции ПТМ при составлении расчетной схемы.

		Пример составления расчетной схемы для жесткой модели мостовой тележки.

		Пример составления расчетной схемы для упругой модели мостовой тележки.

		Способы задания модельного времени.

		Способы составления моделей и типы моделей в зависимости от вида информации о моделируемом объекте.

		Регрессионные модели.

		Планируемый факторный эксперимент (ПФЭ).

		Факторы, виды факторов, интервалы варьирования факторов.

		Границы применимости модели.

		Методы оценки степени влияния количественных факторов на отклик.

		Методы оценки степени влияния качественных факторов на отклик.

		Свойства матрицы планирования и определение коэффициентов регрессии.

		Метод наименьших квадратов.

		Проверка адекватности модели.


ЛИТЕРАТУРА

Александров М.П. Подъемно-транспортные машины. - М.: Высшая школа, 1985. 520 с.

Артоболевский И. И. Теория машин и механизмов. - М.: Наука, 1988. 638 с.

Бать М. И., Джанелидзе Г. Ю., Кельзон А. С. Теоретическая механика в примерах и задачах. В 2-х т. Т. 1. М.: Наука, 1966. 632 с.

Бать М. И., Джанелидзе Г. Ю., Кельзон А. С. Теоретическая механика в примерах и задачах. В 2-х т. Т. 2. М.: Наука, 1966. 664 с.

Бидерман В. Л. Теория механических колебаний. - М.: Высшая школа, 1980. 480 с.

Брауде В.И., Тер-Мхитаров М.С. Системные методы расчета грузоподъемных машин. - Л.: Машиностроение, 1985. 181 с.

Вайнсон А.А. Подъемно - транспортные машины. - М.: Машиностроение, 1989. 431 с.

Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1962. 576 с.

Вибрации в технике: Справочник: В 6-ти т. Т. 6 / Под ред. К. В. Фролова. – М.: Машиностроение, 1995. 456 с.

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высш. школа, 1977. 479 с.

Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. - М.: Наука, 1988. 448 с.

Головачев П.А., Гладунко Ю.И. Техническая эксплуатация и монтаж подъемно - транспортных машин. - М.: Транспорт, 1985. 304 с.

ГОСТ 26387-84 Система "человек-машина". Термины и определения.

Гохберг М.М. Металлические конструкции подъемно - транспортных машин. - Л.: Машиностроение, 1976. 450 с.

Григорьев Н.И. Нагрузки кранов. - М. - Л.: Машиностроение, 1964. 168 с.

Грузоподъемные машины / М.П. Александров, Л.Н. Колобов, Н.А. Лобов и др. - М.: Машиностроение, 1986. 395 с.

Гультяев А. К. MATLAB 5.2. Имитационное моделирование в среде Windows: Практическое пособие. – СПб.: КОРОНА принт, 1999. – 288 с.

Дьяконов В.П. Справочник по алгоритмам и программам на языке Бейсик для персональных ЭВМ. - М.: Наука, 1989. 240 с.

Игнатьев Н. Б., Ильевский Б. З., Клауз Л. П. Моделирование системы машин. – Л.: Машиностроение, 1986. 423 с.

Информационно-управляющие человеко-машинные системы: Исследование, проектирование, испытание: Справочник / А. А. Адаменко, А. Т. Ашеров и др. - М.: Машиностроение, 1993. 494 с.

Комаров М. С. Динамика грузоподъемных машин. - М.: Машгиз, 1962. 267 с.

Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1984. 832 с.

Лобов Н. А. Динамика грузоподъемных кранов. - М.: Машиностроение, 1987. 376 с.

Математический энциклопедический словарь. / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. - М.: Советская энциклопедия, 1988. 847 с.

Мостеллер Ф., Тьюки Дж. Анализ данных и регрессия. - М.: Финансы и статистика, 1982. 319 с.

Налимов В. В. Теория эксперимента – М.: Наука, 1971. 207 с.

Научно-технический прогресс. / Словарь. – М.: Политиздат, 1987. 366 с.

Павлов Н. Г. Примеры расчетов кранов. - Л.: Машиностроение, 1976. 320 с.

Правила устройства и безопасной эксплуатации грузоподъемных кранов. - СПб.: Издательтво ДЕАН, 2004. - 272 с.

Рачков Е. В., Силиков Ю. В. Подъемно - транспортные машины и механизмы. - М.: Транспорт, 1989. 240 с.

Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. - М.: Мир, 1980. 456 с.

Справочник по кранам / в 2 т. Т. 1; Под общ. ред. М. М. Гохберга. - Л.: Машиностроение, 1988. 536 с.

Справочник по кранам / в 2 т. Т. 2; Под общ. ред. М. М. Гохберга. - Л.: Машиностроение, 1988. 559 с.

Шерле З. П. Каракулин Г. Г. Справочник механизатора речного порта. – М.: Транспорт, 1980. 391 с.

Тер-Мхитаров М.С. Оператор перегрузочных машин. – Пермь: Кн. изд-во, 1982. – 140 с.