Графический метод решения задач линейного программирования

Министерство науки и образования Украины

Днепропетровский Национальный Университет

Факультет электроники, телекоммуникаций и компьютерных систем

Кафедра автоматизированных систем обработки информации













Расчётная работа №1

Графический метод решения задач линейного программирования











Выполнил: ст. гр. РС-05,

Паляруш А.Б.

Проверил:

Доцент кафедры АСОИ

Саликов В.А











Г. Днепропетровск

2007 г.


Постановка задачи



Для производства двух видов продукции А и В предприятие использует 4 группы оборудования (1, 2, 3, 4) на производство одной штуки продукции А требуется занять в течение рабочей смены 1, 0, 5 и 3 единиц соответственно 1, 2, 3, 4 оборудования, а на производство одной штуки продукции В требуется 1, 1, 0, 2 единиц оборудования 1, 2, 3, 4. Имеется оборудование по группам 1 – 18, 2 – 12, 3 – 24, 4 – 18 единиц. Предприятие получает с одной штуки продукции А 4 гривны чистого дохода и 6 гривен - с одной штуки продукции В.

Сколько штук продукции каждого вида должно производить предприятие, чтобы получить наибольшую прибыль?





Группа оборудования, штук для производства единицы продукции

Прибыль, грн



1

2

3

4



А

1

0

5

3

4

В

1

1

0

2

6



Построение математической модели



Для реализации графического метода решения задач линейного программирования необходимо определить целевую функцию:



Z=4*x1+6*x2, где Z→max – целевая функция,



x1 – количество изготовленной продукции вида А,

x2 – количество изготовленной продукции вида В.

Далее необходимо определить ограничения, задающие ОДР:

	x1+ x2 ≤ 18; вытекает из доступного количества оборудования первой группы

	x2 ≤ 12; вытекает из доступного количества оборудования второй группы

	5*x1 ≤ 24; вытекает из доступного количества оборудования третей группы

	2*x1+2*x2 ≤ 18; вытекает из доступного количества оборудования четвёртой группы

	x1 ≥ 0 ; условие неотрицательности;

	x2 ≥ 0 ; условие неотрицательности;

	Построим все полученные ограничения и целевую функцию:

	





Теперь можно увидеть, что ОДР ограничена (4) x1+x2 ≤ 9, (3) x1 ≤ 4.8, x1 ≤ 0, x2≤ 0.

Наилучшее (оптимальное) решение отмечено красным крестиком. Максимальная прибыль достигается в точке (0, 9), А=0, В=9; при нахождении оптимального решения данной задачи следует помнить, что количество продукции (равно как и количество ресурса) целое число.

Z(0,9)=4*0+9*6=54 (грн).



Чувствительность модели



Благодаря исследованию чувствительности модели, мы получаем информацию о ценности ресурса.

Оборудование группы 1 (голубой цвет на графике) не является дефицитным и не влияет на оптимальную точку т.к. вышло далеко за ОДР, его очень много. Это оборудование станет дефицитным при уменьшении его количества на 9 единиц.

Оборудование группы 2 (зелёный цвет на графике) так же не является дефицитным, однако, при уменьшении его количества на 3 единицы оно начнёт влиять на результат.

Оборудование группы 3 (синий цвет на графике) не дефицитно. Изменяя его количество, при неизменном количестве других ресурсов, мы не повлияем на результат т.к. для производства продукции А (именно она должна производиться для максимальной прибыли) его расход равен 0.

Оборудование группы 4 (чёрный цвет на графике) является дефицитным, ценность данного ресурса можно определить, увеличив его количество на 2 единицы (т.к. именно столько необходимо для производства одной единицы продукции А):








Следовательно, при изменении количества ресурса 4 на единицу прибыль растёт на 3 гривны. Данный ресурс можно увеличивать до 24 единиц, потом он перестанет быть дефицитным, значит, не будет влиять на оптимальное решение.