Исследование некоторых задач в алгебрах и пространствах программ

Исследование некоторых задач в алгебрах и пространствах программ

Казиев В.М. 

Рассмотрим пару алгебр (A,B): алгебру X=<X,,(+),{},{}> событий - алгоритмических процедур (программ) заданную над алфавитом X={x1,x2,...,xn} и В-трехзначную алгебру логики (0,1,2 - неопределенность). В алгебре А определим двухместные операции конъюнкции и условной дизъюнкции и одноместную операцию итерации следующим образом: конъюнкция s1s2 событий s1, s2 состоит из всех слов вида pq, p s1, q s2;  - дизъюнкция (s1+s2) совпадает с s1(s2), если условие  истинно (ложно); итерация с постусловием {s} состоит из пустого события s0=e и всевозможных слов вида p1p2...pk т.е. , {s}=sm, где sm - последний из степеней s, для которого условие  выполнено; итерация с предусловием {s} определяется аналогично. В алгебре А задается событие называемое неопределенным и обозначаемое символом . Элементарные события в А - события е, x1, x2,..., xn. Аксиомы алгебры А ниже рассмотрены. Все аксиомы алгебры B и правила вывода в ней сохраняются. Правила вывода, используемые в алгебре А включают правила вывода, принятые в программировании - см., например, [1]. Событие, получаемое применением конечного числа операций алгебры А над элементарными, называется регулярным.

Имеет место важная теорема Клини [2]: регулярные события и только они представимы в конечных автоматах. 

Рассмотрим задачу построения алгоритма регуляризации во введенной паре алгебр (А,B). Алгоритм в укрупненных шагах состоит в следующем.

Шаг 1. Задается произвольное событие s=s0 s1 s2...sn+1, где si - событие номер i, начальное событие - s0, конечное - sn+1, остальные события - преобразователи и/или события - распознаватели.

Шаг 2. Составляется система уравнений алгебры событий А: записывается функция F события, его дерево D и дерево состояний определяющее все к путей выполнения : , где Fi - функция ветви дерева состояний. Функция ветви дерева - композиция всех функций (событий) данной ветви; программная функция F - объединение всех функций ветвей дерева.

Шаг 3. Система уравнений с помощью подстановок и операций дизъюнкции и конъюнкции представляется в виде : X=XA+B, где X - событие, представленное заключительным состоянием sn+1, .

Шаг 4. Находим решение системы. Используется теорема [3]: если характеристический граф матрицы А (орграф соединяющий ребрами вершины i и j только тогда, когда eaij) не содержит ни одного цикла, то система X=XA+B имеет единственное решение X=B{A}, которое регулярно при регулярных A, B. При решении системы эффективно преобразовывать уравнения, - как и при решении линейных алгебраических уравнений, например, брать дизъюнкцию событий, изменять порядок исключения событий и др.

Шаг 5. По условиям выполнимости событий находим регулярную форму этого решения. Используются аксиомы алгебры логики В и соотношения алгебры событий А, например, следующие (AB=AB, (A) - условие выполнимости события А, A - проверка условия  после события А и для этого условия верны все аксиомы алгебры В,  - отрицание условия ): 

Ae=eA=A,

e=(e)=,

A=A=, 

2(A+B)=,

((A))=,

A(BC)=(AB)C, 

(A+B)=((A)+  (B)),

((A+B))=((A))+( (B)),

(A+B)C=(AC+BC),

A(B+C)=(AB+AC),

(AB)=(A)B(B),

(AB)=A(B),

A{B}={BA}A,

({A})={A},

{A}=(e+A{A}),

{(A)}(B)={A}B,

{A}{A}={A},

{ {A}}={A},

{A}{A}={A},

{{A}}={A} ,

{(A)}={A} ,

{A}+e={A},

A{A}={A}A={A} .

Пример 1. Регуляризуем микропрограмму А деления с фиксированной запятой. Для простоты считаем, что числа неотрицательны, а операция не приводит к переполнению разрядной сетки компьютера фон - Неймановского типа, операционный автомат которого состоит из регистров R1, R2 сумматора R3 и счетчика сдвигов R4. Делимое храниться на R1, делитель - на R2, частное накапливается на R3. Введем обозначения: li - микрооперация сдвига регистра Ri влево (i=1,2,3); s-1ij - микрокоманда вычитания из содержимого регистра Rj содержимого регистра Ri; i - условие заполненности регистра Ri; i - условие отрицательности содержимого регистра Ri; pi - микрооперация занесения единицы в младший разряд Ri; si,j- микрокоманда добавления содержимого регистра Ri к содержимому Rj.

Выпишем систему уравнений, обозначив через xi - событие соответствующее каждому из 11 пунктов алгоритма деления (см., например, [3]): 



Решим эту систему. После очевидных подстановок, вводя обозначения:

x=x3+x7+x10 ,

B=el3s-113,

A=3p2l2p4l3s-113+3l2p4l3s-113 

получим уравнение X=XA+B, решение которого будет X=B{A} и после упрощений с помощью приведенных аксиом, заключительное событие S равно

s=x11l3s-113{3(l2p4l3s13+p2 l2p4l3s13-1)}4 

2. Рассмотрим задачу нахождения оптимальных (например, в смысле операции, длины и т.д.) структурированных программ из заданного набора базовых процедур (некоторые из них - см. в [5]), а также построения грамматик для анализа структур из программных единиц. При решении этой задачи используются аксиомы алгебры А.

Пример 2. Дана программа Р, где А,В,С - процедуры,  - предикаты: 

P=(BA+CA)(A{A}+e)=(B+С)A(A{A}+e)=(B+С)A({A}+e)=(B+С)A{A}=(B+C){A}=T.

Программа Т - более оптимальна и ее правильность доказываема формально.

Доказана теорема (доказательство не приводим из-за объема).

Теорема 1. Если R,A,S  A, ,,B, A и S - коммутативны, то:

а)AX=A(R+SX)AX=A{S}R, б)A=A(+S)A=A{S}, 

в)A=A(+S )A=A{S2}(+S ),=+S,

г)A=A{S2}A=A(e+S2), =(+S), =+S.

Рассмотрим задачу исследования разрешимости в пространствах программ.

Пусть x=<X, Y, M, S> - программа, определенная на входном алфавите Х, выходном алфавите Y и состоящая из подпрограмм (процедур) М с логической схемой (структурой) S. Структуре S поставим в соответствие орграф: Вершины - подпрограммы, ребра - в соответствии со структурой их взаимодействий. Метрика (x,y) в этом пространстве - сумма всех весов ребер орграфов программ не совпадающих при заданной структуре S или отклоняющихся от оптимальной структуры, т.е.  Аксиомы метрики проверяемы.

Отметим метризуемость пространства и по некоторым характеристикам качества программ Холстеда [6], а также с помощью понятия интеллектуальной работы программы, оцениваемой как разность энтропии до работы (статической формы программы) и после работы (динамической формы). У идеальной программы энтропия равна нулю. Отметим, что если ds/dt - общее изменение энтропии программного комплекса при отладке, ds1/dt - изменение энтропии за счет необратимых изменений структуры, потоков внутри комплекса (рассматриваемую как открытую систему), ds2/dt - изменение энтропии за счет усилий по отладке и тестированию, то справедливо уравнение Пригожина: ds/dt = ds1/dt + ds2/dt. Последовательность программ {xi}, сходится по схеме (структуре) к программе х (обозначим ), если (xn,x) 0, при n, т.е. дерево программы xn при n стремится к дереву программы х. Последовательность {xi} сходится функционально к программе х (обозначим ), если F(xn) F(x) при n (программная функция xn стремится к программной функции х). Нетрудно видеть, что из сходимости по схеме следует сходимость функциональная, но обратное неверно.

Пусть M = {x1, x2, ..., xn,...} - последовательность программ с общей функцией (эквивалентных функционально). На этом множестве рассмотрим множество операторов А преобразования (композиции, суперпозиции) программ. Последовательность {An} сходится к А функционально (по схеме, структуре), если верно: xМ: 

С точки зрения исследования существования, единственности оптимальной (в каком-то смысле) программы можно рассмотреть: операторы минимизации числа операндов; операторы минимизации числа типов операторов; операторы минимизации числа вызовов процедур; минимизации числа ошибок в программе; минимизации сложности (разных способов определения) и др. При исследовании программных систем важно рассматривать пространства векторов х=(х1,x2,...,xn), где xi - характеристика ошибок в программе или структурной связностипроцедур, ui - количество ошибок в i-ом модуле программного комплекса P(u)=P(u1,u2,...,un).

Пусть u(x,t) - количество ошибок, обнаруженных в программе (системе) в момент времени t, а х - характеристика уровня ошибок. Рассмотрим модель обнаружения ошибок при отладке, представимая уравнением (см. также [7]): Lu+Tu=f, где T - оператор, определяющий первоначальный уровень ошибок в программе или их некоторую характеристику, L - некоторый линейный ограниченный оператор отладки, L:UV, U,V - линейные нормированные пространства D(L) U, R(L)V.

Теорема 2. Если R(L)=V и для каждого uD(L) существует постоянная c такая, что , то Lu+Tu=f имеет единственное решение uU.

Доказательство. Условия теоремы гарантируют существование непрерывного обратного оператора L-1, причем . Тогда u=L-1(f-Tu). Для однородного уравнения: . Отсюда следует, что , т.е. u=0. Следовательно, неоднородное уравнение имеет единственное решение.

Пример 3. Пусть umax - максимальный уровень синтаксических ошибок в программе Р, u(t) - их оставшееся количество к моменту времени t. Исходя из модели du/dt+umax=0, u(t0)=u0 можно заключить, что уровень ошибок убывает при (c-t0)  -1 (t0<c<T) по закону: u(t) = u0(1+ (c-t))/(1+(c-t0)).

Если задать дополнительно u(t*)=u*, (umax - неизвестная величина), то закон изменения уровня ошибок находится однозначно, так как: с=(u*t0-u0t*)/(u*-u0)-1/.

Вопросы разрешимости некоторых уравнений Lx=y, где х - неизвестная программа, y - заданная программа, L - оператор, например, оптимизации, будут изложены в другой работе.

Список литературы

1. Алагич С., Арбиб М. Проектирование корректных структурированных программ. - М., Радио и связь, 1984.

2. Клини С.К. Представление событий в нервных сетях и конечных автоматах. - Автоматы, ИЛ, М., 1956.

3. Бондарчук В.Г. Системы уравнений в алгебре событий. - Журнал вычислительной математики и математической физики, N6, т.3, 1963.

4. Глушков В.М. О применении абстрактной теории автоматов для минимизации микропрограмм. - Изв. АН СССР, Технич. кибернетика, N1, 1964.

5. Казиев В.М. Дидактические алгоритмические единицы. - Информатика и образование, N5, 1991.

6. Холстед М. Начала науки о программах. - М., Финансы и статистика, 1981.

7. Казиев В.М. Один класс математических моделей переработки информации и некоторые его приложения. - Нелинейные эволюционные уравнения в прикладных задачах, Киев, 1991.