Разнообразие кристаллографических форм

Министерство образования Российской Федерации

ГОУ ВПО "Уральский государственный технический университет - УПИ"









КРИСТАЛЛОГРАФИЯ И МИНЕРАЛОГИЯ



Методические указания

к лабораторным работам по дисциплине -

Кристаллография и минералогия, для направления - 651300, специальности 110100- Металлургия черных металлов, специальности 110200 -металлургия цветных металлов; направления 654900 -Химическая технология неорганических веществ и минералов, специальности 250200 - Химическая технология тугоплавких неметаллических и силикатных материалов; направление564000 - Оптотехника, специальности 191100 - Оптические технологии и материалы; направление654700 - Информационные системы, специальности 071900 - Информационные системы в технике и технологиях (материаловедение); направление 52 , специальности 250900 - Химическая технология материалов современной энергетики. Для студентов всех форм обучения



(часть 1)













Екатеринбург 2004


УДК

Составители В.Н. Логинов, О.И. Корженко

Научный редактор профессор Ф.Л. Капустин 









Кристаллография и минералогия:

Методические указания к лабораторным работам по дисциплине "Кристаллография и минералогия".

В.Н. Логинов, О.И. Корженко

Екатеринбург; ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2004.







Пособие предназначено для изучения кристаллографии, минералогии и имеет своей целью закрепить теоретические положения, данные в лекциях, познакомить студентов с разнообразием кристаллографических форм, научить индицировать грани, ребра и простые формы кристалла, графически изображать кристалл в виде рисунка и на плоскости - в виде стереографической проекции.

Пособие может быть использовано для проведения лабораторных и практических работ по кристаллографии и минералогии.



Библиограф.: 5 назв. Рис. 4. Табл. 5. Прил. 6.

Подготовлено кафедрой материаловедение в строительстве.





© ГОУ ВПО "Уральский государственный

технический университет - УПИ", 2004.


1. Геометрическая кристаллография



Введение



Лабораторная работа "Описание моделей кристалла" дает возможность студенту на примере деревянных моделей конечных многогранников ознакомиться с симметрией кристаллов, тридцатью двумя видами симметрии, сгруппированными в 7 сингоний и 3 категории, правилами выбора системы кристаллографических координат, способом графического изображения кристаллов при помощи стереографической проекции, методом расчета символов граней и простых форм.

Кристаллическое состояние - наиболее распространенное состояние вещества на Земле и в Космосе. Кристаллическим называется такое состояние вещества, в строении которого наблюдается закономерное расположение частиц - молекул, атомов, ионов, образующих ряды, плоские сетки, пространственную решетку. В веществе, находящемся в аморфном состоянии закономерного расположения частиц в полной мере не обнаруживается. Другими словами, в строении вещества, находящегося в кристаллическом состоянии обнаруживается ближний и дальний порядок. Вещество в аморфном состоянии имеет в строении только ближний порядок и не имеет дальнего порядка.

Кристаллическое строение имеют горные породы, минералы, технические камни (цемент, огнеупоры, металлы). В аморфном состоянии находятся стекла: природные (обсидиан) и технические - смолы, гудрон, парафин, воск, стекло.

Кристалл - это физическое тело, частицы которого образуют кристаллическую решетку, имеют определенную геометрическую форму. В идеальном случае - вершина кристалла соответствует атому, молекуле, иону; ребро - ряду атомов, молекул, ионов; грань - плоской сетке. В реальных кристаллах при большом увеличении можно увидеть, что вершина состоит из многих частиц, ребро - из многих рядов, грань - из многих плоских сеток, расположенных параллельно.

Макроскопически заметные параллельные грани называются вациналями.



	Элементы симметрии



	Закономерное расположение частиц обуславливает внутреннюю и внешнюю симметрию. Симметрия - в переводе означает соразмерность. Симметричной фигурой - кристаллом - называется совокупность закономерно повторяющихся физически и геометрически равных частей. Вспомогательные геометрические образы - точки, прямые, плоскости, позволяющие установить симметрию кристалла, называются элементами симметрии.

Плоскостью симметрии называется такая плоскость, которая делит фигуру на две зеркально совместимые части. Для конечных многогранников плоскость симметрии обозначается латинской буквой P - начальной от слова "plane". Для бесконечных структур по международной номенклатуре этот элемент обозначается буквой "m" - начальной буквой слова "miror" - зеркало.

Центром инверсии называется такая точка внутри фигуры, которая делит отрезки, соединяющие соответственные точки фигуры, пополам. Для конечных многогранников центр инверсии обозначается буквой "C", для бесконечных структур "".

Осью симметрии называется такая ось, при повороте вокруг которой на определенный угол фигура совмещается сама с собой. Наименьший угол поворота, при котором достигается совмещение, называется элементарным углом - α. Количество совмещений при повороте на 360º называется порядком оси и обозначается значком "n". Порядок оси и элементарный угол связаны соотношением - n = . Ось симметрии обозначается буквой Ln, где значок справа внизу обозначает порядок оси: 

L1 - ось первого порядка с элементарным углом 360º. Таким элементом симметрии обладают самые бесформенные тела - они совмещаются при полном повороте на 360º. Это своеобразный "0" в кристаллографии - отсутствие симметрии;

L2 - ось второго порядка - совмещение достигается при повороте на 180º;

L3 - ось третьего порядка - совмещение достигается при повороте на 120º;

L4 - ось четвертого порядка - совмещение достигается при повороте на 90º;

L6 -ось шестого порядка - совмещение достигается при повороте через 60º.

Осей пятого порядка и выше шестого в кристаллах не существует, из-за их решетчатого строения.

Инверсионной осью симметрии называется такой элемент, действие которого складывается из действия простой оси и центра инверсии, участвующих совместно. Оси симметрии обозначаются также буквой L со значком "in":

Li1 - инверсионная ось первого порядка по определению складывается из L1+C, то есть просто С. По международной номенклатуре обозначается "T";

Li2 - инверсионная ось второго порядка складывается из L2+С, нетрудно убедиться, что эти два элемента можно заменить плоскостью симметрии (Р), перпендикулярной этому направлению;

Li3 - инверсионная ось третьего порядка слагается из L3+С, но они всегда встречаются вместе и проще выявлять L3 и С;

Li4 и Li6 - соответственно инверсионные оси четвертого и шестого порядка.




1.2 Виды, сингонии, категории



Каждый многогранник обладает определенной симметрией. Совокупность элементов симметрии, свойственная многограннику, называется видом симметрии. Всего выведено 32 вида симметрии. Логичный вывод всех видов симметрии был сделан русским ученым А.В.Гадолиным в 1869 году. 

Виды симметрии сгруппированы в сингонии - группы с общими чертами структуры.

В триклинную сингонию объединены два вида симметрии с осями первого порядка -L1 и Li1, то есть - С.

В моноклинную сингонию объединяются виды симметрии с одной осью симметрии второго порядка - простой или инверсионной.

В ромбическую сингонию объединяются виды симметрии с несколькими осями второго порядка - простыми или инверсионными.

Внешняя симметрия кристаллов триклинной, моноклинной, ромбической сингоний, объединяемых в низшую категорию, связана с их структурой.

В тригональную сингонию объединяются виды симметрии, имеющие одну ось третьего порядка, в тетрагональную - одну ось четвертого порядка, в гексагональную - одну ось шестого порядка. Эти три сингонии, характеризующиеся наличием одной оси высшего порядка, объединяются в среднюю категорию.

В высшую категорию включается кубическая сингония, характеризующаяся наличием нескольких осей 3-го и 4-го порядка. Осей шестого порядка в кубической сингонии нет.




1.3 Простые формы кристаллов



Названия геометрических фигур в кристаллографии несколько отличаются от фигур в геометрии. Это связано с тем, что в кристаллографии учитывается структура вещества кристалла.

Простой формой кристалла называется совокупность граней, связанных элементами симметрии. Различается несколько типов простых форм (табл.1):

		Открытые формы - такие формы, грани которых не полностью ограничивают пространство. Примерами таких форм являются: моноэдр, диэдр, пинакоид, призмы и пирамиды.

		Замкнутые формы - такие формы, грани которых полностью ограничивают пространство. Примерами таких форм являются: 

	. дипирамиды, трапецоэдры, скаленоэдры, тетраэдры, все простые 

	формы кубической сингонии.

		Конгруэнтные формы - это совместимые формы. Примеры: гексаэдр, октаэдр, призмы, пирамиды.

		Энантиоморфные формы - зеркально совместимые формы правые и левые. Примеры: ромбический тетраэдр, трапецоэдры, пентагонтриоктаэдр, тетрагонтриоктаэдр.

		Постоянными формами - называются такие формы, грани котороых образуют постоянные углы и постоянные символы. Пример: гексаэдр, октаэдр, кубический тетраэдр.

		Переменными формами - называются формы, грани которых образуют переменные углы и переменные символы. Примерами могут быть пирамиды, дипирамиды, ромбоэдр, тетраэдр.




1.3.1 Простые формы низшей категории



Таблица 1

Определение простых форм низшей категории

№

п/п

Кол-во

граней

Взаимное расположение граней

Названия простых форм

1

2

3

4



5



6



7

1

2

2

4



4



4



8

 -

Параллельны

Пересекаются

Пересекаются в параллельных ребрах, в сечении ромб

Пересекаются в одной точке,

в сечении ромб

Пересекаются в 4-х точках по три, 

грань- косоугольный треугольник

Пересекаются в 2-х точках с 

общим ромбическим сечением

моноэдр

пинакоид

диэдр

призма ромбическая



пирамида ромбическая



тетраэдр ромбический



дипирамида ромбическая



В низшей категории насчитывается 7 простых форм - из них 5 открытых и 2 замкнутые - тетраэдр и дипирамида ромбическая (табл.1, рис.1).






Рис.1 Простые формы кристаллов низшей категории:

	1 - моноэдр; 2 - пинакоид; 3 - диэдр; 4 - ромбическая призма;

	5 - ромбический тетраэдр; 6 - ромбическая пирамида; 7 - ромбическая 

	дипирамида

	

	1.3.2 Простые формы средней категории

	Из низшей категории в среднюю категорию переходят две простые формы: моноэдр и пинакоид. Они переходят как частные формы, т.е. перпендикулярные главной оси. Другие формы - 6 призм, 6 пирамид, 6 дипирамид, 3 трапецоэдра, 2 скаленоэдра, тетраэдр, ромбоэдр. Своих форм в средней категории - 25, и две переходящие из низшей категории (табл. 2, рис.2). 

	К открытым формам относятся призмы и пирамиды. чтобы образовать из них замкнутые многогранники, требуется моноэдр или пинакоид. 

	Остальные формы - трапецоэдры, скаленоэдры, тетраэдр и ромбоэдр - являются замкнутыми и переменными. 

	

	Таблица 2

	Определение простых форм средней категории 

	Пересечение

	с главной

	осью

	Расположение граней

	относительно главной

	оси

	 Названия простых 

	форм 

	Кол-во

	граней

	не пересекают

	главную ось

	Параллельные

	главной оси

	

 призмытригональная 

	тетрагональная 

	гексагональная

	дитригональная

	дитетрагональная

	дигексагональная 

	3

	4

	6

	6

	8

	12

	пересекают

	главную ось

	Пересекают

	главную ось

	

	

	Пересекают главную

	ось в одной точке

	моноэдр

	пинакоид 

	

	

	

 пирамидытригональная

	тетрагональная

	гексагональная

	дитригональная

	дитетрагональная

	дигексагональная

	1

	2

	

	

	3

	4

	6

	6

	8

	12

	пересекают главную ось в 2-х точках

	А. Нижние грани

	точно под верхними

	

	

	

	

	

	

	

	Б. Нижние грани 

	несимметричны

	верхним

	

	

	

	В. Нижняя грань

	симметрична двум верхним

	

	

	Г. Нижняя пара граней

	симметрична двум парам верхних

	

дипирамиды

тригональная

		тетрагональная

	гексагональная

	дитригональная

	дитетрагональная

	дигексагональная

	

	

	

трапецоэдры

	тригональный	

	тетрагональный 

	гексагональный

	

	

	

	тетраэдр

	ромбоэдр

	

скаленоэдры

	

	

	тетрагональный

	

	дитригональный 

	6

	8

	12

	12

	16

	24

	

	

	

	6

	8

	12

	

	

	

	4

	6

	

	

	

	8

	

	12

	

	


	Рис. 2. Простые формы кристаллов средней категории: 

	1–6 пирамиды: 1–тригональная, 2–дитригональная, 3–тетрагональная, 

	4–дитетрагональная, 5–гексагональная, 6–дигексагональная;

	7–12 дипирамиды: 7–тригональная, 8–дитригональная, 9–тетрагональная, 10–дитетрагональная, 11–гексагональная, 12–дигексагональная;

	13–25 призмы; 13–тригональная, 14–дитригональная, 15–тетрагональная, 16–дитетрагональная, 17–гексагональная, 18–дигексагональная, 19–тригональный трапецоэдр, 20–тетраэдр, 21–тетрагональный трапецоэдр, 22–ромбоэдр, 23–гексагональный трапецоэдр, 24–тетрагональный скаленоэдр, 25–тригональный скаленоэдр 

	
1.3.3 Простые формы высшей категории

В высшей категории - кубической сингонии насчитывается 15 простых форм (табл.3, рис. 3). Ни одна простая форма из низшей и средней категорий не переходит в высшую. Некоторое исключение составляет тетраэдр. В низшей категории его грани косоугольные треугольники, в средней категории - равнобедренные треугольники, в высшей категории - равносторонние треугольники. 



Таблица 3

Определение простых форм высшей категории

№

п/п

 Названия простых форм

 Кол-во

граней

 Форма граней

1



2



3.



4



5



6



7



8



9



10



11



12



13



14



15

Тетраэдр



Тригонтритетраэдр



Тетрагонтритетраэдр



Пентагонтритетраэдр



Тригонгексатетраэдр



Гексаэдр



Тригонтетрагексаэдр



Октаэдр



Тригонтриоктаэдр



Тетрагонтриоктаэдр



Пентагонтриоктаэдр



Тригонгексаоктаэдр



Ромбододекаэдр



Пентагондодекаэдр



Дидодекаэдр

4



12



12



12



24



6



24



8



24



24



24



48



12



12



24

	

	























































	Примечание. Все формы замкнутые. Постоянные формы подчеркнуты, остальные переменные.

	

	



Рис.3 Простые формы кристаллов высшей категории:

	1–тетраэдр; 2–тригонтритетраэдр; 3–тетрагонтритетраэдр; 4–пентагонтритетраэдр; 5–гексатетраэдр; 6–октаэдр; 7–тригонтриоктаэдр; 8–тетрагонтриоктаэдр; 9–пентагонтриоктаэдр; 10–гексагонтриоктаэдр; 11–гексаэдр; 12–тригонтетрагексаэдр; 13–ромбододекаэдр; 14–пентагондодека- эдр; 15–дидодекаэдр

	
Комбинационной формой - называется такая, которая состоит из 2-х и более простых форм. Действительно, одной плоскостью не ограничить многогранник, двумя и тремя также. Лишь четырьмя плоскостями можно ограничить пространство и получить четырехгранник - тетраэдр. Открытые формы - призмы и пирамиды - также нуждаются в дополнительных плоскостях, чтобы получился многогранник. В замкнутых формах нет такой необходимости.

	

	Установка кристаллов

	

	Установка кристалла - это выбор координатных или кристаллографических осей. В отличие от кристаллофизической системы координат, которая является прямоугольной, кристаллографическая система подчинена внутренней структуре кристалла. Поэтому, в общем виде, она является косоугольной, а в тригональной и гексагональной сингонии принята даже четырехосная система (табл. 4).

	При установке кристаллов следует руководствоваться следующими условиями:

	координатные оси можно совмещать с осями симметрии L2, L3, L4, L6, Li4, Li6;

	координатные оси можно совмещать, когда нет или мало осей симметрии, с нормалями к плоскостям симметрии;

	координатные оси при отсутствии элементов симметрии или их недостаточном количестве, а это характерно для триклинной и моноклинной сингонии, можно совмещать с осями наиболее развитых зон или, что то же самое, параллельно ребрам кристаллов.

	При установке кристаллов в низшей категории удлинение кристаллов необходимо направлять по III кристаллографической оси.

	В ТРИКЛИННОЙ СИНГОНИИ координатные оси совмещаются с осями наиболее развитых зон.

	В МОНОКЛИННОЙ СИНГОНИИ единственный элемент симметрии совмещается со второй кристаллографической осью, остальные - по осям наиболее развитых зон. Ось III ориентируется по удлинению кристалла и по оси развитой зоны.

	В РОМБИЧЕСКОЙ СИНГОНИИ элементов симметрии достаточно, оси или нормали к плоскостям совмещаются с координатными осями. Система координат прямоугольная.

	В ТЕТРАГОНАЛЬНОЙ СИНГОНИИ - ось 4-го порядка совмещается с III кристаллографической осью, а первые две с осями 2-го порядка либо выходящими на ребрах, либо на гранях под углом 90º друг к другу. Система координат прямоугольная. Возможны два рода установки:

	1-го рода - координатные оси совмещаются с осями симметрии, выходящими на ребрах;

	2-го рода - координатные оси совмещаются с осями симметрии, выходящими из середины граней.

	В ТРИГОНАЛЬНОЙ и ГЕКСАГОНАЛЬНОЙ СИНГОНИЯХ установка производится по 4-м осям, причем IV ось совмещается с осью 3го или 6-го порядка, а первые три с осями 2-го порядка через 120º друг к другу. Здесь также возможны два рода установки: 

	1-го рода, когда за I, II, III оси выбираются оси, выходящие на ребрах;

	2-го рода, когда оси, выходящие на серединах граней, принимаются за I, II,III оси.

	В КУБИЧЕСКОЙ СИНГОНИИ для кристаллов кубического облика установка производится по осям 4-го порядка, для кристаллов тетраэдрического облика по осям Li4 или, что то же самое, L2, в кристаллах пентагондодекаэдрического облика - по осям 2-го порядка. Система координат прямоугольная.

		
Таблица 4

		Схемы установки кристаллов в различных сингониях

	    Сингония

	

	             Кристаллографические

	                              оси

	

	             Единичная грань

	Константы

	  кристалли-

	  ческих    

	  решеток

	1

	2

	3

	4

	                       Триклинная

	Оси параллельны действительным или возможным ребрам кристалла,

	Z - параллельна оси наиболее развитого пояса.                              III

	                         С

                III

                                                           II

                                     

                              II

           β                                I

                    γ                

I               

        α = β = γ = 90˚

Отсекает на осях неравные отрезки

	

	

	

	                            III

	

	

	                              c0

	                                 в0                 II

	                         a0

	

	              I            а0 = в0 = с0

	                           

	

	                     α β, γ;        a : 1 : с

	                 Моноклинная

	У - совмещается с L2 или  к Р.

	

	Х и Z в плоскости   У,парал-лельно ребрам кристалла.    III

	Z - вертикальна

	               III        L2PC

                 

                                                      II                             

                    α  90˚

		          β                   II

                γ  90˚               I

   I                          β =α = γ = 90˚







Отсекает на осях неравные отрезки





                            III





                              с0

			      в0                  II

                         а0



                           а0 = в0 = с0

           I        

                       



	                  β;       a : 1 : с

	

	                Ромбическая

	Оси совмещаются с единичными 

	направлениями - с L2 или с L2 и перпендикуляром к 2Р           III

	                        3L23PC



                III

                           II            

                                                         II           



			90˚    α  90˚

		         β	                II         I

 γ  90˚

                               α = β = γ =90˚

	  Отсекает на осях неравные отрезки.                              

	    

	                           III





                              с0

                         а0       в0

                                  

	            I	II



	

                        а0 = в0 = с0

	

	а : 1 : с

	Тетрагональная

	Z - вертикальна и совмещается с 

	      L4 или Li4. X и У    Z или по

	 двойным осям,

		или их   к плоскостям симметрии, ‌‌ребрам                    I

		

		             III

	                                                      II



	                   90˚         

    90˚

                           II     I

	  90˚

      I                   α = β = γ = 90˚

		На осях Х и У - равные отрезки и

	неравные им по оси Z





                               III



                                    

	                                                  c0

	

	                                          а0      в0           II



		I



а0 = в0 = с0

	1 : 1 : с

	Тригональная, гексагональная

	Гексагональная установка:

	IVось совмещается с L3 или L6 ,

	I, II, III   по двойным осям,    Р, 

	 ‌‌‌ребрам                        IV

                               I                       а

          IV

                          III                     II                        



  120˚                         I                  II

I

		60˚           120                    III         б

	        60˚                           

	 -III            II                                  

	



На двух осях равные отрезки, на одной неравный

         IV                                 IV







                                            с0

	I       c0	              I         а0   

	60 а0        а0                                  а0

	                                  60˚      а                                                                        

-Ш    60˚        II                    2  60˚      II

     (011)                   -III       (111)

    1-го рода                           2-го рода

	а	б

	               1 : 1 : 1 :  с

	Кубическая

	Оси совмещаются с 3L4 или 3Li4

	или 3L2	    

         III         III                      III

                                                                            

		II                                      II

	                                         I    

		 I	90˚	

	                90˚	 I

	                          90˚     II       III



	I                                         II



            I

         α = β = γ = 90˚

Отсекает равные отрезки.





                               III







     а0

        а0         

                         а0                        II





		I

а0 = в0 = с0

	

	

	

	1.5 Построение стереографической проекции кристалла

	

	Графическое изображение кристалла на плоскости производится построением стереографической проекции. Для этого кристалл измеряют на гониометре. По составу кристалла определяют минерал, его слагающий. Кристалл помещают внутрь сферы, к его всем граням проводят нормали до пересечения со сферой. Для нанесения проекций граней верхней половины кристалла выбирается точка зрения на южном полюсе сферы. Точки пересечения нормалей верхней половины сферы соединяются с южным полюсом, а точки пересечения линий соединения концов нормалей с экваториальной плоскостью - проекции граней верхней половины кристаллов. Следует отметить, что горизонтальные грани, перпендикулярные оси Z, будут иметь нормали, пересекающие сферу на северном полюсе, и проекции в центре круга проекции. Вертикальные грани будут иметь нормали, лежащие в плоскости экватора, и их проекции будут лежать на круге проекций. Наклонные грани будут иметь проекции между центром и кругом проекции.

	Для нанесения проекции граней нижней половины кристалла, точка зрения переносится с южного полюса на северный. Концы нормалей, пересекающие сферу, соединяются с полюсом, и точки пересечения линий с плоскостью проекции будут проекцией граней нижней половины кристалла. В отличие от проекций граней верхней половины кристалла, которые отмечаются кружочками, проекции нижней половины граней кристалла отмечаются на проекции крестиками. Это принцип построения стереографической проекции (рис.4).

	Последовательность построения стереографической проекции кристалла по конкретным данным измерения следующая:

	измеряются углы между гранями кристалла на гониометре;

	проекции граней наносятся на кальку, наложенную на сетку Вульфа (приложение 5), с учетом элементов симметрии кристалла;

	выбирается единичная или масштабная грань; 

	недостающие грани определяются методом пересечения зон по закону Вейса;

	с имеющимися элементами симметрии и по осям наиболее развитых зон, наносятся выходы кристаллографических осей;

	определяются углы между нормалями граней и соответствующими координатными осями;

	по таблице тригонометрических величин определяются косинусы углов;

	значения углов, косинусов искомой и единичной грани заносятся в таблицу;

	берутся отношения косинусов искомой грани к косинусам единичной грани и заносятся в таблицу.

	общий знаменатель выносится за скобки и отбрасывается. При этом учитывается, что определение углов на стереографической сетке, производится с точностью до 1˚;

	Все данные заносятся в таблицу (см. "Расчет символов граней кристалла ортоклаза" и табл.5).

	

	
Пример расчета 

	символов граней кристалла ортоклаза

по данным измерения углов на гониометре (табл. 5)



	         К[Al Si3O8]. 

	         Сингония моноклинная.

	         Элементы симметрии - L2PC



                                                                           Результаты измерения углов между гранями:

	

				                           m11                  m1                                       mm111 - 61˚ 13′

				                                                                            cm      - 67˚ 47′      Единичная грань "0"

		                                     у                                     cx       - 50˚ 16′



x                                                                            cу       - 80˚ 18′

				                            01              0                            cn       - 44˚ 56′

                                                                            xo       - 26˚ 52′





	                 в    n1          c           n     в











	                         m111              m

                              вид   сверху



Таблица 5

№

п/п

Грани

Углы граней с

      осями



X          У          Z

Косинусы углов





X            У           Z

Частное от деления сos (XXX)

         сos (111)

X           У          Z



Символы

  граней

1

2   

3 

4 

5  

6

7         

о

в     

с

m 

n

х

y

133   63         36 

90       0         90 

90     90         26

29     35         90 

90     45         50

147   90         24 

171   90         54   



  0,454   0,809

0          1          0  

0          0          0,899

0,777   0,515   0

0          0,707   0,643

  0          0,914 

  0          0,588

          1          1

 -          -          -  

 -          -          -

1,14      1,13    0

0           1,56   0,79

      0        1,13

      0        0,73

( 1 1)

(0 1 0)

(0 0 1)

(1 1 0)

(0 2 1)

( 0 1)

(0 1)




Простые формы:

пинакоид в - {0 1 0} 

пинакоид с - {0 0 1}

пинакоид х - { 0 1}

пинакоид у - { 0 1}

призма ромбическая m - {1 1 0}

призма ромбическая n - {0 2 1}

призма ромбическая о - { 1 1}



                                                                                                                                                              



    m11

      б,б   в,в      б,б

                                                                                                                                                              

                                                                                                                                                                  

                                                                                                                                                                   

                                                                             y

                                                                            

		      

                                                                               x                  



                               o1                                                                                                                      o







                

                в1                                                           III                                              в





               n1                                                                                                                  n

                                                                             с









				              m

       m111                                                            Х  I









Рис.4 Стереографическая проекция кристалла ортоклаза


Простые формы:



пинакоид в {0 1 0}

пинакоид с {0 0 1}

пинакоид х { 0 1}

пинакоид у {0 1}

призма ромбическая m {1 2 0}

призма ромбическая n {0 2 1}

призма ромбическая о { 1 1}



1.6 Определение символов граней, ребер и простых форм



На основе построения стереографических проекций кристалла определяются символы граней. Символы граней - это математическое выражение граней, с которыми можно делать определенные математические операции. На основе закона Р.Ж.Гаюи определяются символы граней. Двойные отношения параметров, отсекаемые двумя гранями кристалла на трех его пересекающихся ребрах, относятся между собой как малые и целые числа. Три ребра - это координатные оси, выбираемые по рядам пространственной решетки. Одна из граней выбирается как масштабная, символы любой другой грани определяются по отношению к масштабной. Масштабную или единичную грань можно выбрать самым наивыгодным образом, но искомая грань может быть параллельна одной или даже двум координатным осям, и тогда отношение отсекаемых параметров будет иметь вид:

		
  	Cх	Ш

              С1                                                  ОАх  :   ОВх  :  ОСх  = ОАх  :  ∞__  :  ОСх

    О                                                             ОА1     ОВ1    ОС1    ОА1   ОВ1     ОС1

               В1

     А1

      Ах

		II

	              I



Второй член этого соотношения - неопределенность - неудобное число. Поэтому Миллером было предложено брать обратные отношения - числа - все равноотносительные. 

	Запишем это уравнение в другой форме:

	

	ОАх = а m ОА1 = а r

	ОВх = в  ОВ1 = в s

	ОСх = с р ОС1 = с t

	ОА1 : ОВ1 : ОС1 = а r : в s : с р = r : s : р = r : 0 : t = 

	ОАх ОВх ОСх а m в  с t m  t m p 

	(r p : 0 : m t) = (h : 0 : ) 

	

	Отношение целого числа к бесконечности определяется как нуль, который указывает, что искомая грань параллельна второй оси. Если искомая грань параллельна третьей оси, то символ будет иметь вид (h : k : 0), параллельно двум осям (h : 0 : 0). Для переменных форм: углы между гранями, которые мы не измеряли и пока не можем рассчитать, обозначаются буквами. Для постоянных форм: углы между гранями постоянные, символы выглядят следующим образом: грань гексаэдра - {1 0 0}, грань ромбододекаэдра - {1 1 0}, грань кубического тетраэдра - {1 1 1}.

	Для переменных форм: ромбическая призма - {h k 0}, ромбическая пирамида - {h k }, ромбический тетраэдр -{h k }. Символы ребер, в отличие от символов граней, определяются прямыми отношениями. Так, например, символ первой координатной оси или ребра, параллельного этой оси, определяется как [1 0 0]. Символ ребра , лежащего в плоскости первой и второй оси, но перпендикулярно третьей, - [1 1 0]. Символ диагонали куба тогда определится как [1 1 1].

	Символы ребер заключаются в квадратные скобки, в отличие от символов граней, которые всегда обозначаются в круглых скобках.

	Символы простых форм являются обобщенными символами всех граней этих форм. Например: символы граней гексаэдра, конкретным образом расположенных по отношению к координатным осям, обозначаются так: (1 0 0), (0 1 0), (0 0 1), ( 0 0), (0  0), (0 0 ).

	Все шесть граней пересекают положительные или отрицательные концы осей и имеют разные символы.

	Символ простой формы гексаэдра должен отражать особенность этой формы, и достаточно взять символ положительной грани и заключить его в фигурные скобки, чтобы сказать, что это обобщенный символ гексаэдра - {1 0 0}. Хотите знать конкретное положение граней по отношению к координатным осям, смотрите символы граней в круглых скобках, где определено место единицы, где отмечены отрицательные и положительные пересечения осей.

	Если по теореме косинусов Г.В.Вульфа рассчитаны символы граней, то можно при помощи определенных методов определить символы других граней и ребер.

	 По закону Гольдшмидта при наличии символов двух граней можно определить символ третьей грани, притупляющей ребро этих граней, принадлежащих одной зоне.

	
                                        Символ такой грани, по закону Гольдшмидта - 

	                                    n p(1 0 2)  -  определяется как их алгебраическая сумма:

	                                                                                     m n p           (1 0 2)

			  r s t               h k                                                    + r s t             +(3 0)

			 (3  0)                                                                          h k             (4  2)                   

         Способ Вейса

         Заключается в том, что если имеется символ двух граней, можно определить символ ребра. 

               [h k ]                                    r  s   t   r   s     t

                                                                                   

                                                           m    n  p  m  n  p

                             (m n p)             (s p - t n) : (t m - r p) : (r n - s m) = [h k  ]                   

  (r s t)                                             Этот способ применим и к обратному варианту:                        

                  (h k )                          известно два ребра, и по их значениям можно

	                                                       определить символ граней, вмещающие эти        

	                                                       ребра                                                     

	   [r s t]                                       

	                                         [m n p]    

	                                                                 r  s   t   r   s      t

	

		                                                            m      n  p  m  n  p	

		                                                           [(s p - t n)] : (t m - r p) (r n - s m) = (h k )

		

	


Заключение



		На моделях кристаллов студент знакомится с элементами симметрии и формами кристаллов, с 32мя видами симметрии, сгруппированными в 7 сингоний и 3 категории, познает закон симметрии и получает представление о большом разнообразии в "царстве" кристаллов. 

		

		
Библиографический список

		

				Попов Г.М., Шафрановский И.И. Кристаллография. М.: Высшая школа, 1964. 352 с.

				Шаскольская М.П. Кристаллография. М.: Высшая школа, 1976. 392 с. 

				Флинт Е.Е. Практическое руководство по геометрической кристаллографии. М.: Госгеолтехиздат, 1956.

				Шубников А.В. Кристаллография. М.: 1956. Т.1.

			Гумилевский С.А., Киршон В.М., Луговской Г.П. Кристаллография и минералогия. М.: Высшая школа, 1972. 607 с.

		
Приложение 1

		

		СХЕМА ОПИСАНИЯ МОДЕЛИ КРИСТАЛЛА

		

		Определение элементов симметрии кристалла (по модели).

		Определение вида, сингонии, категории (по таблице 32 точечные группы симметрии).

		Определение простых форм кристалла (по таблицам простых форм кристаллов, по соответствующим категориям).

		Рисунок кристалла.

		Установка кристалла с указанием выбора кристаллографических осей нарисунке и параметров установки по соответствующей категории.

		Стереографическая проекция кристалла.

	Символы граней и простых форм (с указанием на рисунке напротив определенной соответствующей формы).

			
Приложение 2

			

			ПРИМЕР ОПИСАНИЯ МОДЕЛИ КРИСТАЛЛА НИЗШЕЙ КАТЕГОРИИ

			

			L22Р

			

			Планальный вид,

			               ромбическая сингония,

			               низшая категория

			

			а.моноэдр                      открытая,  постоянная

			

			б)  диэдр                                          открытая,  переменная

			

			в)  пинакоид                                    открытая,  постоянная               формы                                                

	

			г)  призма ромбическая                  открытая,  переменная

			

					д) призма ромбическая                  открытая,  переменная

					

					                (h  )                (h k )

					          4.                                                  5. α = β = γ = 90˚                      6.          в

					

  д                д

 б          III  б      



   д               д                           д           д                         а0 ≠ в0 ≠ с0                                                               

					                                                                   а : 1 : с                            г

		                                                                                                                                                    г

                            (1 0 0)                                                                  

	                                                                                                                                                     II

                      г         в          г                                                                        



			г	г

	                  б                              б                                                      

	              (0 )                        (0 k )                                                                 в

		                                а                                                                                              I

	                             (0 0 )

	

	7. Символы простых форм:

	

	а)  моноэдр                                       {0 0 }

	

	6)  диэдр                                           {0 k }

	

	в)  пинакоид                                     {1 0 0}

	

		г)  ромбическая призма                   {h k 0}

	

	д)  ромбическая пирамида              { h k }

	
Приложение 3

		

		ПРИМЕР ОПИСАНИЯ МОДЕЛИ СРЕДНЕЙ КАТЕГОРИИ

		L33L23PC

		

		               2.   Планаксиальный вид,

		тригональная сингония,

		средняя категория.

		

			               3.  а) призма гексагональная                открытая,  постоянная	  формы

		                    б) ромбоэдр                                       замкнутая, переменная

		                                   L3=IV

		               4.                                                     5. γ = 90˚                                   6.

		                                                                           α = β = δ = 120˚                       III

		        L2=III                                                         а0 = в0 =d0 ≠ с0                          а

		

    б            б

 б           IV  б





        б   б                                                                           1 : 1 : 1 : с

				                                                                                                      а                                      а

		                                                                                                        



		L2=II



     L2=I                                                                                            

	                                                                                                     I  а                а                 а II

	

	

	

	Символы простых форм:

	Призма гексагональная     {1  1 0

	

	ромбоэдр                             {1 0  }

	

	               Для ромбоэдра                                     Для гексагональной призмы

	                III ( 0 1 )                                                              III

	

	

        IV



          







	             (0    )                                     (1  0 )

	                                                II                                                                

	                                                                                 

	     (1  0 )                     (0 1 )                    I                                              II

	                       (1 0  )

	              ∞                                                                   ∞

	                                                                                               

	                                                                                                                        

	                                       

	

	
Приложение 4

	

	ПРИМЕР ОПИСАНИЯ МОДЕЛИ КРИСТАЛЛА ВЫСШЕЙ КАТЕГОРИИ

	

	3L44L36L29PC

	

	               2.   планаксиальный вид

	                     кубическая сингония

	                     высшая категория

	

		              3.   а)  гексаэдр                                           замкнутая, постоянная

	                    б) октаэдр                                             замкнутая, постоянная               формы

	                    в) ромбододекаэдр                              замкнутая, постоянная

	                         

	                            L4 =  III                5.  α = β = γ = 90˚

	                                                             а0 = в0 = с0

	                                                             1 : 1 : 1                                      6.

	4.                                                     	а 

	

    m11                    а (0 0 1)      в

	  (1  1)                                                                                   в                                          в

	

б,б   в,в    б,б     б       в(1 0 1)       б                   (1 1 1)                    

	                                                                                  

	                                       а            L4 = II

	

    вв        вв    вв                        в               а            в                    (0 1 0)

		 (1  0)                     (1 0 0)	а                                                           а  II	

                    б                             б             (1 1 0)



      б,б   в,в      б,б

                                     

  (1  )

	                     L4 = I                                                               в                                             в



	                                                                                                                    а

	                                                                                                                     I

	  

	            

	             7.  Символы простых форм:

	

	                   а)  гексаэдр                 {1 0 0}

	

	                   б)  октаэдр                  {1 1 1}

	

	                   в)  ромбододэкаэдр    {1 1 0}

	
Приложение 5

	

Сетка Вульфа

	



	Приложение 6

	

	32 Точечные группы симметрии кристаллов

	 

	Сингония

	

	Категория

	т о ч е ч н ы е г р у п п ы

	

	примитивный

	центральный

	планальный

	аксиальный

	планаксиальный

	инверсионно-примитивный

	инверсионно-планальный

	

	триклинная

	

	2

	

	

	

	

	

	

	 

	

	

	С

	

	

	

	

	

	низшая

	моноклинная

	

	

	3

	4

	5

	

	

	

	 

	

	

	

	Р

	 L2

	L22P

	

	

	

	ромбическая

	

	

	6

	7

	8

	

	

	

	 

	

	

	L22P

	3L2

	3L23PC

	

	

	

	тригональная

	9

	10

	11

	12

	13

	

	

	

	 

	L3

	L3C

	L33P

	 L33L2

	 L33L23PC

	

	

	средняя

	тетрагональная

	14

	15

	16

	17

	18

	19

	20

	

	 

	L4

	 L4PC

	 L44P

	 L44L2

	 L44L25PC

	 Li4(==L2)

	Li4(=L2)2L22P

	

	гексагональная

	21

	22

	23

	24

	25

	26

	27

	

	 

	L6

	 L6PC

	 L66P

	 L66L2

	 L66L27PC

	 Li6==L3P

	Li63L23P=L33L24P

	высшая

	кубическая

	28

	29

	30

	31

	32

	

	

	

	

	

	 4L33L2

	 4L33L23PC

	 4L33L26P

	 3L44L36L2

	 3L44L36L29PC

	

	

	

	 

	

	

	

	

	

	

	

		

		Кристаллография и минералогия

		

		Составители Логинов Валерий Николаевич

		Корженко Ольга Ивановна

		

Рецензент доктор г.-м.н. И.Н. Бушляков

		

		

		Редактор Н.П. Кубыщенко

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		ИД № 06263 от 12.11.2001г.

		_____________________________________________________________

		Подписано в печать 8.01.2004 Формат 60 х 84 1/16

		Бумага типографская Офсетная печать Усл. печ. л. 1.86

		Уч. - изд. л. 1.26 Тираж Заказ Цена "С"

		_____________________________________________________________

		Редакционно - издательский отдел ГОУ ВПО УГТУ-УПИ

		620002, Екатеринбург, Мира 19

		Ризография НИЧ УГТУ-УПИ

		620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19

1