Действия над числами в различных системах счисления

В заданиях 3-5 проверять правильность вычисления переводом исходных данных и результатов в двоичную систему счисления. В задании 1д получить пять знаков после запятой в двоичном представлении.



Таблица 1. Наиболее важные системы счисления.

Двоичная (Основание 2)

Восьмеричная (Основание 8)

Десятичная  (Основание 10)

Шестнадцатиричная (Основание 16)



 

триады



 

тетрады

0 1

0 1 2 3 4 5 6 7

000 001 010 011 100 101 110 111

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111



Перевод целых десятичных чисел в недесятичную систему счисления осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное меньшее этого основания. Число в новой системе записывается в виде остатков деления, начиная с последнего.



Пример.

а) Перевести 18110"8" с.с.







Результат: 18110 = 2658

б) Перевести 62210"16" с.с.








Результат: 62210 = 26E16

Для преобразования в десятичную используют следующую таблицу степеней основания

Преобразование дробных десятичных чисел: 

		Вначале переводится целая часть десятичной дроби;

		Затем дробная часть десятичной дроби умножается на основание системы счисления;

		В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве значения первого после запятой разряда числа в системе счисления;

		Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются с предыдущего шага.

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицами двоичных сложения, вычитания и умножения.



Таблица двоичного сложения

Таблица двоичного вычитания

Таблица двоичного умножения

0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10

0-0=0 1-0=1 1-1=0 10-1=1

00=0 01=0 10=0 11=1



Сложение в восьмеричной системе






Сложение в шестнадцатиричной системе





Умножение в восьмеричной системе





Умножение в шестнадцатеричной системе






1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления



а)945(10)=1110110001(2)=1661(8)=3B1(16)



945

2



















944

472

2

















1

472

236

2

















0

236

118

2

















0

118

59

2

















0

58

29

2





















1

28

14

2

















1

14

7

2

















0

6

3

2

















1

2

1

2

















1

0

0



















1

0

512

256

128

64

32

16

8

4

2

1



1

1

1

0

1

1

0

0

0

1



512

256

128



32

16







1

945



945,000

8,000





944,000

118,000

8,000



1,000

112,000

14,000

8,000



6,000

8,000

1,000





6,000

1,000



4096

512

64

8

1



1,000

6,000

6,000

1,000

945

512

384

48

1





945,000

16,000



944,000

59,000

16,000

1,000

48,000

3,000



11,000

 









B



3,000

11,000

1,000



4096

256

16

1



3

11

1

945

768

176

1



б)85 (10)=1010101(2)=125(8)= 55(16)



85

2













84

42

2











1

42

21

2











0

20

10

2











1

10

5

2











0

4

2

2











1

2

1

2











0

0

0













1

0



512

256

128

64

32

16

8

4

2

1









1

0

1

0

1

0

1









64



16



4



1

85



85,000

8,000



80,000

10,000

8,000

5,000

8,000

1,000



2,000

 

4096

512

64

8

1





1,000

2,000

5,000

85

0

64

16

5





85,000

16,000

80,000

5,000

5,000





4096

256

16

1



 

5

5

85

0

80

5



в)444,125 (10)= 110111100,001(2)=674.1(8)=1BC.2(16)



444

2

















444

222

2















0

222

111

2















0

110

55

2















1

54

27

2















1

26

13

2















1

12

6

2















1

6

3

2















0

2

1

2















1

0

0

















1

0



512

256

128

64

32

16

8

4

2

1





1

1

0

1

1

1

1

0

0





256

128



32

16

8

4





444



0,125

*

2

=

0,250

0

0,250

*

2

=

0,500

0

0,500

*

2

=

1,000

1





444,000

8,000



440,000

55,000

8,000

4,000

48,000

6,000



7,000



4096

512

64

8

1

,

0,125

0,01563

0,00195





6,000

7,000

4,000



1

 



444

0

384

56

4



0,125



0,125



444,000

16,000



432,000

27,000

16,000

12,000

16,000

1,000



11,000





0,125

*

16

=

2,000



4096

256

16

1

,

0,0625



1

11

12



2

444

256

176

12



0,125



									г)989,375 (10)= 111	10111	01 ,011(2)=1735.3(8)=3DD.6(16)

									

989

2



















988

494

2

















1

494

247

2

















0

246

123

2

















1

122

61

2

















1

60

30

2





















1

30

15

2

















0

14

7

2

















1

6

3

2

















1

2

1

2

















1

0

0



















1







512

256

128

64

32

16

8

4

2

1



1

1

1

1

0

1

1

1

0

1



512

256

128

64



16

8

4



1

989

0,375

*

2



=



0,750

0,750

*

2

=

1,500

0,500

*

2

=

1,000















989,000

8,000





984,000

123,000

8,000



5,000

120,000

15,000

8,000



3,000

8,000

1,000





7,000

1,000

4096

512

64

8

1

,

0,125

0,01563

0,00195



1,000

7,000

3,000

5,000



3

 



989

512

448

24

5



0,375



0,375











989,3750









989,000

16,000



976,000

61,000

16,000

13,000

48,000

3,000



13,000



3

D

D

0,375

*

16

=

6,000

6,000



4096

256

16

1

,

0,0625

0,0039063

0,0002441



3

13

13



6

 



989

768

208

13



0,375

0

0,375









989,375










							д)237,73 (10)= 11101101,10111(2)=355.5656(8)=ED.BAE(16)

							

237,0

2,0















236,0

118,0

2,0













1,0

118,0

59,0

2,0













0,0

58,0

29,0

2,0













1,0

28,0

14,0

2,0













1,0

14,0

7,0

2,0

















0,0

6,0

3,0

2,0













1,0

2,0

1,0

2,0













1,0

0,0

0,0















1,0





512

256

128

64

32

16

8

4

2

1







1

1

1

0

1

1

0

1







128

64

32



8

4



1

237

0,730

*

2



=



1,460

0,460

*

2

=

0,920

0,920

*

2

=

1,840

0,840

*

2

=

1,680

0,680

*

2

=

1,360

237,000

8,000



232,000

29,000

8,000

5,000

24,000

3,000



5,000

3,000

4096

512

64

8

1

,

0,125

0,01563

0,00195

0,00024

3,1E-05





3,000

5,000

5,000



5

6

5

6



237

0

192

40

5



0,625

0,09375

0,00977

0,00146

0,72998











237,7300















237,000

16,000

224,000

14,000

13,000



4096

256

16

1

,

0,0625

0,0039063

0,0002441



 

14

13



11

10

14

237

0

224

13



0,6875

0,0390625

0,7265625









237,727







0,730

*

16

=

11,680

B

0,680

*

16

=

10,880

A

0,880

*

16

=

14,080

E



2. Перевести данное число в десятичную систему счисления



а)110001111(2)=399(10)



512

256

128

64

32

16

8

4

2

1





1

1

0

0

0

1

1

1

1





256

128







8

4

2

1

399



б)111010001(2)=465(10)



512

256

128

64

32

16

8

4

2

1





1

1

1

0

1

0

0

0

1





256

128

64



16







1

465



в)100110101,1001(2)=309,5625(10)



512

256

128

64

32

16

8

4

2

1





1

0

0

1

1

0

1

0

1





256





32

16



4



1

309







1

0

0

1















0,5

0,25

0,125

0,063

0,031

0,02

0,01

0,0039

0,002

0,001























0,5625

0,5

0

0

0,063















г)1000010,01011(2)=66,34375(10)



512

256

128

64

32

16

8

4

2

1









1

0

0

0

0

1

0









64









2



66





0

1

0

1

1













0,5

0,25

0,125

0,063

0,031

0,02

0,01

0,0039

0,002

0,001























0,34375

0

0,25

0

0,063

0,031













д)176,5(8)=126.625(10)



4096

512

64

8

1

,

0,125

0,01563

0,00195

0,00024

3,1E-05





1,000

7,000

6,000



5

 







126

0

64

56

6



0,625

0

0

0

0,625











126,6250













е)3D2,04(16)=978.016(10)



4096

256

16

1

,

0,0625

0,0039063

0,0002441



3

13

2



0

4



978

768

208

2



0

0,015625

0,015625









978,016







978,000

16,000



976,000

61,000

16,000

2,000

48,000

3,000



13,000



0,016

*

16

=

0,256

0,000

0,256

*

16

=

4,096

4



3. Сложить все числа



а)1000011101(2)+101000010(2)=541(10)+322(10)= 1101011111 (2) =863(10)





512

256

128

64

32

16

8

4

2

1





1

0

0

0

0

1

1

1

0

1





512

0

0

0

0

16

8

4

0

1

541



























512

256

128

64

32

16

8

4

2

1







1

0

1

0

0

0

0

1

0





0

256

0

64

0

0

0

0

2

0

322















































863

















































+

1

0

0

0

0

1

1

1

0

1







1

0

1

0

0

0

0

1

0





1

1

0

1

0

1

1

1

1

1





























512

256

128

64

32

16

8

4

2

1





1

1

0

1

0

1

1

1

1

1





512

256

0

64

0

16

8

4

2

1

863



									б)100000001(2)+1000101001(2)= 257(10)+553(10)= 1100101010 (2) =810(10)





512

256

128

64

32

16

8

4

2

1







1

0

0

0

0

0

0

0

1





0

256

0

0

0

0

0

0

0

1

257



























512

256

128

64

32

16

8

4

2

1





1

0

0

0

1

0

1

0

0

1





512

0

0

0

32

0

8

0

0

1

553















































810

















































+



1

0

0

0

0

0

0

0

1





1

0

0

0

1

0

1

0

0

1





1

1

0

0

1

0

1

0

1

0





























512

256

128

64

32

16

8

4

2

1





1

1

0

0

1

0

1

0

1

0





512

256

0

0

32

0

8

0

2

0

810



в)101111011,01(2)+1000100,101(2)= 379,25(10)+68,625(10)= (2) =447,875(10)



 

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 







 

0,5

0,25

0,125

0,063

0,031

0,02

0,01

0,0039

0,002

0,001

 







 





















 







0,25

0

0,25

















 







 





















 







 

512

256

128

64

32

16

8

4

2

1

 







 



1

0

1

1

1

1

0

1

1

 







 

0

256

0

64

32

16

8

0

2

1

379







 





















 







 

379,25

 







 

1

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 







 

0,5

0,25

0,125

0,063

0,031

0,02

0,01

0,0039

0,002

0,001

 







 





















 







0,625

0,5

0

0,125















 







 





















 







 

512

256

128

64

32

16

8

4

2

1

 







 







1

0

0

0

1

0

0

 







 

0

0

0

64

0

0

0

4

0

0

68







 

68,625

 







































447,875



































































+



1

0

1

1

1

1

0

1

1

,

0

1











1

0

0

0

1

0

0

,

1

0

1



 

1

1

0

1

1

1

1

1

1

,

1

1

1

































512

256

128

64

32

16

8

4

2

1











 

1

1

0

1

1

1

1

1

1











0

256

128

0

32

16

8

4

2

1

447





































 

1

1

1























 

0,5

0,25

0,125

0,063

0,031

0,02

0,01

0,0039

0,002

0,001









 





























0,875

0,5

0,25

0,125

























г)1532,14(8)+730,16(8)=858.1875(10)+472.2188(10)=1330.41 (10)=2462.32172(8)



32768

4096

512

64

8

1

,

0,125

0,01563

0,00195









1,000

5,000

3,000

2,000



1

4







858

0

512

320

24

2



0,125

0,0625

0



0,1875













858,1875













32768

4096

512

64

8

1

,

0,125

0,01563

0,00195











7,000

3,000

0,000



1

6







472

0

0

448

24

0



0,125

0,09375

0



0,21875













472,2188



























+

1

5

3

2

,

1

4

 

 

7

3

0

,

1

6



2

4

6

2

,

3

2





4+6=12

5+7=14













32768

4096

512

64

8

1

,

0,125

0,01563

0,00195

0,00024

3,1E-05





2,000

4,000

6,000

2,000



3

2

1

7

2

1330

0

1024

256

48

2



0,375

0,03125

0,00195

0,00171

6,1E-05













1330,4100













д) BB,4(16)+2F0,6(16)= 187,25(10)+752.375(10)=939.625(10)=



4096

256

16

1

,

0,0625

0,0039063

0,0002441



 

11

11



4

 



187

0

176

11



0,25

0

0,25









187,250









4096

256

16

1

,

0,0625

0,0039063

0,0002441



2

15

0



6

 



752

512

240

0



0,375

0

0,375









752,375







+

2

F

0

,

6



 

B

B

,

4



3

A

B

,

A





10

11



10



F+B=1A



4096

256

16

1

,

0,0625

0,0039063

0,0002441



3

10

11



10

 



939

768

160

11



0,625

0

0,625









939,625









4. Выполнить вычитание



								а)1000101110(2)-1111111(2)= 558(10)-127(10)= 110101111 (2) =431(10)



512

256

128

64

32

16

8

4

2

1

 

1

0

0

0

1

0

1

1

1

0

 

512

0

0

0

32

0

8

4

2

0

558



512

256

128

64

32

16

8

4

2

1

 







1

1

1

1

1

1

1

 

0

0

0

64

32

16

8

4

2

1

127



-

1

0

0

0

1

0

1

1

1

0





 

 

 

1

1

1

1

1

1

1







1

1

0

1

0

1

1

1

1





























512

256

128

64

32

16

8

4

2

1







1

1

0

1

0

1

1

1

1





0

256

128

0

32

0

8

4

2

1

431



							б)1011101000(2)-1001000000(2)= 744(10)-576(10)= 10101000 (2) =168(10)



512

256

128

64

32

16

8

4

2

1

 

1

0

1

1

1

0

1

0

0

0

 

512

0

128

64

32

0

8

0

0

0

744



512

256

128

64

32

16

8

4

2

1

 

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

 

512

0

0

64

0

0

0

0

0

0

576



-

1

0

1

1

1

0

1

0

0

0





1

0

0

1

0

0

0

0

0

0









1

0

1

0

1

0

0

0





























512

256

128

64

32

16

8

4

2

1









1

0

1

0

1

0

0

0









128

0

32

0

8

0

0

0

168



										в)1000101001,1(2)-1111101,1(2)= 553.5(10)-125.5(10)= 110101100,0 (2) =428.0(10)





 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



 

0,5

0,25

0,125

0,063

0,031

0,02

0,01

0,0039

0,002

0,001

 



 





















 



0,5

0,5



















 



 





















 



 

512

256

128

64

32

16

8

4

2

1

 



 

1

0

0

0

1

0

1

0

0

1

 



 

512

0

0

0

32

0

8

0

0

1

553



 





















 



 

553,50

 



 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



 

0,5

0,25

0,125

0,063

0,031

0,02

0,01

0,0039

0,002

0,001

 



 





















 



0,5

0,5



















 



 





















 



 

512

256

128

64

32

16

8

4

2

1

 



 







1

1

1

1

1

0

1

 



 

0

0

0

64

32

16

8

4

0

1

125



 

125,500

 































428,000























































-

1

0

0

0

1

0

1

0

0

1

,

1



 

 

 

1

1

1

1

1

0

1

,

1





1

1

0

1

0

1

1

0

0

,

0





























512

256

128

64

32

16

8

4

2

1









1

1

0

1

0

1

1

0

0









256

128

0

32

0

8

4

0

0

428





г)1265,2(8)-610,2(8)=693.25(10)-392.25(10)=301.00(10)=455.0(8)



32768

4096

512

64

8

1

,

0,125

0,01563

0,00195

0,00024





1,000

2,000

6,000

5,000



2

 





693

0

512

128

48

5



0,25

0

0

0,25













693,2500











32768

4096

512

64

8

1

,

0,125

0,01563

0,00195

0,00024







6,000

1,000

0,000



2

 





392

0

0

384

8

0



0,25

0

0

0,25













392,2500























-

1

2

6

5

,

2

 

 

6

1

0

,

2





4

5

5

,

0





8+2-6=4







32768

4096

512

64

8

1

,

0,125

0,01563

0,00195

0,00024







4,000

5,000

5,000



2

 





301

0

0

256

40

5



0,25

0

0

0,25













301,2500











д) 409,D(16)-270,4(16)=1033.813(10)-624.25(10)= 409.563(10)=199.9(16)



4096

256

16

1

,

0,0625

0,0039063

0,0002441



4

0

9



13

 



1033

1024

0

9



0,8125

0

0,8125









1033,813









4096

256

16

1

,

0,0625

0,003906

0,000244

1,53E-05



2

7

0



4

 





0

512

112

0



0,25

0

0

0

624

 

 

 

624,2500

 

 

0,25

 



-

4

0

9

,

D



2

7

0

,

4



1

9

9

,

9

13-4=9

7+9=10→10-7=9

3-2=1









4096

256

16

1

,

0,0625

0,0039063

0,0002441



1

9

9



9

 



409

256

144

9



0,5625

0

0,5625









409,563









5. Выполнить умножение

												

												а)111010(2)=*1100000(2)= 58(10)*96(10)= 1010111000000(2) =5568 (10)



512

256

128

64

32

16

8

4

2

1

 









1

1

1

0

1

0











32

16

8

0

2

0

58



512

256

128

64

32

16

8

4

2

1

 







1

1

0

0

0

0

0

 







64

32

0

0

0

0

0

96













*

1

1

0

0

0

0

0













 

1

1

1

0

1

0













0

0

0

0

0

0

0











1

1

0

0

0

0

0











0

0

0

0

0

0

0











1

1

0

0

0

0

0











1

1

0

0

0

0

0











1

1

0

0

0

0

0

 

 

 

 

 

1

0

1

0

1

1

1

0

0

0

0

0

0



4096

2048

1024

512

256

128

64

32

16

8

4

2

1



1

0

1

0

1

1

1

0

0

0

0

0

0



4096

0

1024

0

256

128

64

0

0

0

0

0

0

5568



б)1005.5(8)*63.3(8)= 517,6250(10)*51,3750(10)=26592.98(10)= 63740.7656(8)



32768

4096

512

64

8

1

,

0,125

0,01563

0,00195

0,00024





1,000

0,000

0,000

5,000



5

 





517

0

512

0

0

5



0,625

0

0

0,625













517,6250













32768

4096

512

64

8

1

,

0,125

0,01563

0,00195

0,00024









6,000

3,000



3

 





51

0

0

0

48

3



0,375

0

0

0,375













51,3750











32768

4096

512

64

8

1

,

0,125

0,015625

0,0019531

0,0002441



6,000

3,000

7,000

4,000

0,000



7

6

5

6

26592

24576

1536

448

32

0



0,875

0,09375

0,0097656

0,9785156













26592,9785

























*

1

0

0,

5

5





 

 

6,

3

3





3

0

2

0

7



3

0

2

0

7



6

0

4

2

6

 

 

6

3

7

4

0,

7

7



3*5=17

3*5+1=17+1=18→(2)0

3*0+2=2

3*0=0

3*1=3

2+6=0

6*5=36

6*5+6=(4)2

6*0+4=4

6*0=0

6*1=6





в)4A,3(16)*F,6(16)= 74.188(10)*15.375(10)=1140.64(10)=474.A2(16)



4096

256

16

1

,

0,0625

0,0039063

0,0002441



 

4

10



3

 



74

0

64

10



0,1875

0

0,1875









74,188









4096

256

16

1

,

0,0625

0,0039063

0,0002441



 

 

15



6

 



15

0

0

15



0,375

0

0,375









15,375









*

4

A,

3



 

 

F,

6



1

B

D

2

4

5

8

D

 

4

7

4,

A

2



6*3=18=1*16+2

6*A=60+1=61=3*16+13→D

6*4=24+3=27=1*16+11→B

F*3=15*3=45=2*16+13→D

F*A=15*10=150+2=9*16+8

F*4=15*4=60+9=69=4*16+5

2+0=2

13+13=26=1*16+10→A

11+8=19+1=20=1*16+4

1+5+1=7

4



4096

256

16

1

,

0,0625

0,0039063

0,0002441



4

7

4



10

2



1140

1024

112

4



0,625

0,0078125

0,6328125









1140,633









Список литературы



	Пономарёв В.С., Красников В.В. Методические указания по теме: "Арифметические основы ЭВМ":http://static.dstu.edu.ru/informatics/mtdss/part1.html

	Википедия: http://ru.wikipedia.org/wiki/Двоичная_система_счисления

	Шауцукова Л.З. Информатика 10 - 11. — М.: Просвещение, 2000 г.: http://www.rus-edu.bg/edu/online/inf/bookinf/theory/chapter4/1_4_10.html

	Системы счисления Анжелиной Латышевой : http://logika.weebly.com/10571083108610781077108510801077-1074-107410861089110010841077108810801095108510861081-1089108010891090107710841077.html