Розробка та аналіз математичної моделі технологічного об єкта із заданими параметрами

Розробка та аналіз математичної моделі технологічного об' єкта із заданими параметрами




1 Аналітичне моделювання статичного режиму





Рис. 1



Розрахувати статичну модель  і побудувати статичну характеристику повітряного ресиверу для випадку ізотермічного розширення газу.

G1=25

G2=25

p0=6

p=2

p1=1,5

Визначимо границі об’єкту моделювання, його виходи і входи. У відповідності з математичною моделю маємо 1 вихідну величину – Р і 2 вхідні  та . Виличини Р0 і Р1 будемо вважати постійними. Складемо рівняння математичного балансу.









Де  та  - коефіцієнти витрати клапанів;  та  значення щільності газу відповідно для Р0 і Р1






Це рівняння є рівнянням статики, яке зв’язує вихідну величину Р зі вхідними  та .

Але в цьому рівняння присутні значення значення щільності газу  та , які для ізотермічного процесу повністю визначаються значеннями тиску Р0 і Р1.

І в зв’язку з тим, що Р0, а значить, і  являються постійними величинами, тиск слід виразити через значення щільності.

Для ізотермічного процесу, який протікає при постійній температурі з рівнянням стану ідеального газу.







З цієї формули слідує, що при постійній температурі і незмінному значенні маси газу і його молярній масі М добуток тиску газу на його об’єм повинно залишатися постійною.







Відомо, що :

























Значення функціональної залежності  отримано в загальному вигляді. Перейдемо до чисельного представлення отриманої функціональної залежності. Для цього визначаємо чисельне значення усіх необхідних величин ( основного статичного режиму).



Таблиця 1

Значення параметрів ресивера в номінальному статичному режимі

№

Назва параметру

Позначення

Розмірність

Дані

1

Витрати повітря на вході

G1

кг/год

20

2

Витрати повітря на виході

G2

кг/год

20

3

Тиск повітря на вході

P0

кг/см2

6

4

Тиск повітря в ресивері

P

кг/см2

4

5

Тиск повітря на виході

P1

кг/см2

3

6

Ступінь відкриття вхідного клапану



-

0.4

7

Ступінь відкриття вихідного клапану



-

0.6

8

Температура повітря

t

оС

20

9

Щільність повітря



кг/см3



10

Щільність повітря в ресивері



кг/см3



11

Коефіцієнт витрати вхідного клапана







12

Коефіцієнт витрати вихідного клапана







13











З довідника відомо, що  при тиску і температури 200С дорівнює  кг/см2



 























Отримана залежність - статична модель об'єкта в явній формі, що відповідає поставленому завданню. Розрахуємо характеристику 













Р кг/см2

0

3

0,1

3,116

0,2

3,386

0,3

3,7

0,4

4

0,5

4,269

0,6

4,5

0,7

4,698

0,8

4,866

0,9

5,008

1

5,128



2 Аналітичне моделювання динамічного режиму



Отримати рівняння динаміки двохємкістного ресивера, схематично зображеного на рис.1. Визначальним параметром даного об’єкта є тиск Р3. Необхідно знайти залежність:

, де  ступінь відкриття клапану на вхідному потоці;  - витрати газу з ресивера, кг/год.





Рис. 2. Розрахункова схема об’єкту моделювання



Основний статичний режим визначається такими значеннями параметрів

Н/см2 ;  Н/см2 ;  Н/см2 ; кг/год 

Ємкості ресивера мають об’єм ; 

На основі матеріальних балансів складаємо рівняння статики для кожної із єкостей







Витрати  та  потрібно виразити через залежності від відповідних значень тиску, та ступеню відкриття клапану на вхідному потоці:



,



де  та  - коефіцієнти витрати;  та  - це значення щільності газу відповідно перед вхідним клапоном та у першій ємкості.







Враховуючи акумулюючу здатність кожної з ємкостей, перетворимо рівняння статики на рівняння динаміки:







За умовою, що



 та ,



Отримуємл наступну систему диференційних рівнянь:







Зробимо аналіз змінних, що входять у рівняння. Змінними є : . Якщо та  будуть змінюватися, то навіть за сталим значенням  будуть змінюватися  та , а в зв’язку з тим, що  - змінна, то змінною буду і . Таким чином, змінними в рівняннях будуть . Рівняння, з врахуванням визначенних змінних, будуть нелінійними. Лінеаризуємо рівняння розкладанням в ряд Тейлора.




В рівняннях є залежні між собою змінні. Це тиск  та щільність , тиск  та щільність . Іх однозначана залежність буде визначатися законом розширення газу. Якщо теплообмін з навколішнім середовищем близький до ідеального та не дуже великий перепад тиску, можна прийняти ізотермічний закон розширення газу PV=RT. Тоді можна записати:



, 



Введемо умовне позначення .







Де 



  



Виключивши з рівнянь змінни  та розділивши всі складові рівняння на коефіцієнт при , отримаємо:




Де     



; ; ;

; ; ;



Розмірність всіх додатків рівняння динамікт однакова, що є необхідною, хоч і не достатьньою умовою стверджувати, що рівняння динаміки отримано вірно.

Визначимо із статичних залежностей та з довідників значення величин . Спочатку визначимо . Тиск та щільність для незмінної температури знаходяться у такій залежності:



,



де  - атмосферний тиск, Н/см2;

 - абсолютне значення тиску відповідно перед ресивером, у першій та другій ємкості, ; ; .

Щільність повітря ддля атмосферного тиску за довідником кг/м3.

Враховуючи викладне вище, із залежності вирахуємо числові значення  для основного статичного режиму:

, , 

Визначимо числові значення коефіцієнтів витрати .



 

 .

Знайдемо числове значення виразу , .

Запишимо значення всіх констант та змінних в номінальному (початковому) режимі в табл.2. Користуючись значенням величин, записаних у табл. 2, знайдемо числові значення проміжних коефіцієнтів B, D, C та E.

; ; ; .



Таблиця 2

Значення параметрів ресивера в номінальноу статичному режимі

№ п.п

Назва параметру

Позначення

Розмірність

Числові значення

1.

Тиск повітря на вході



Н/см2

80

2.

Тиск повітря в першій ємкості



Н/см2

50

3.

Тиск повітря в другій ємкості



Н/см2

16

4.

Витрати повітря ()



Кг/год

60

5.

Об'єм першої ємкості



м3

3

6.

Об'єм другої ємкості



м3

5

7.

Ступінь відкриття клапану



-

0.5

8.

Щільність повітря на вході



Кг/м3

11.9

9.

Щільність повітря в перщій ємкості



Кг/м3

7.9

10.

Щільність повітря в другій ємкості.



Кг/м3

3.42

11.

Коефіцієнт витрати через клапан





6.35

12.

Коефіцієнт витрати парубка між ємкостями





3.6

13.







0.133



Користуючись розрахованими значеннями В, D, C та Е, а також значеннями параметрів із таблиці 1, з використанням залежностей обчислимо значення коефіціентів рівняння динаміки.

 год2 ; год; ;  ; .

Підставляючи значення коефіцієнтів у рівняння динаміки запишемо його у числовій формі



.



Це рівняння є рівнянням динамікт ресивера відповідно до залежності .

Знайдемо розв'язання рівняння 







у вигляді , де  - вільна складова;  - примусова складова.

Початкові умови приймемо нульовими: 

Керуючий вплив визначаємо наступним чином: . Збурюючий вплив  та його похідну приймаємо нульовими. Харакеристичне рівняння диференційного рівняння має вид: , ; .

Таким чином вільна складова вирішення має наступний вид:





де, С1 та С2 – сталі інтегрування.

Примусова складова, у урахуванням того, що  не залежить від часу, складе:



Н/см2



Для визначення сталих інтегрування С1 та С2 складемо систему равняння з урахуванням початкових умов та того, що похідна від  має наступний вид:







Система рівнянь формується наступним чином:









Звідси маємо:







Розв'язання системи рівняння дозволяє отримати такі значення С1 та С2:

, .

Таким чином, остаточно запишемо розв'язання рівняння



За цією формулою проведемо розрахунки , результати яких наведені в таблиці.











0

0

1

0,174

2

0,542

3

0,972

4

1,399

5

1,798

6

2,157

7

2,474

8

2,751

9

2,992

10

3,201