Суперпозиція хвиль

РЕФЕРАТ



	на тему:”Суперпозиція хвиль”

	

	

	
План



		Принцип суперпозиції хвиль. Групова швидкість

		Інтерференція хвиль

		Стоячі хвилі






1. Принцип суперпозиції хвиль. Групова швидкість



Якщо в середовищі є декілька джерел коливань, то хвилі, які поширюються від них, йдуть незалежно одна від одної і після взаємного перетину розходяться далі так, ніби такої зустрічі і не було. Це положення називається принципом суперпозиції.

При поширенні декількох хвиль в лінійному середовищі, тобто середовищі де властивості хвиль не змінюються під дією різних збурень створюваних хвилями, кожна з них поширюється так, начебто інші хвилі відсутні, а результуюче зміщення частинок середовища в будь-який момент часу дорівнює геометричній сумі зміщень, які одержують частинки, беручи участь у кожному окремому хвильовому процесі.

Виходячи з принципу суперпозиції будь-яка хвиля може бути подана у вигляді системи синусоїдальних хвиль, тобто у вигляді хвильового пакета, або групи хвиль. 

Хвильовим пакетом називається суперпозиція хвиль, які мало відрізняються одна від одної за частотою, і займають в кожен момент часу обмежену область простору.

«Виготовимо» найпростіший хвильовий пакет із двох хвиль, які поширюються уздовж осі х з однаковими амплітудами і близькими частотами і відповідно хвильовими числами. Нехай  і . Тоді



 (1)



Хвиля (1) не є синусоїдальною, тому що її амплітуда повільно змінюється в залежності від координати х і часу t



. (2) 

За швидкість поширення цієї не синусоїдальної хвилі (хвильового пакета) приймають швидкість переміщення максимуму амплітуди хвилі, вважаючи тим самим максимум як центр хвильового пакета. За умови, коли , одержимо



 (3)



Швидкість u є груповою швидкістю. Її можна визначити як швидкість руху групи хвиль, що утворюють у кожен момент часу локалізований у просторі хвильовий пакет.

Знайдемо зв’язок між груповою й фазовою швидкостями хвиль. У формулу (3) підставимо значення циклічної частоти ω, вираженої через хвильове число к і фазову швидкість υ, тобто







або



 (4)



При виведенні (4) враховано що  і .

Аналізуючи формулу (4) можна зробити висновок, що групова швидкість може бути і меншою і більшою фазової швидкості. Все залежить від знаку похідної . 

У середовищі, в якому фазова швидкість не залежить від довжини хвилі, групова швидкість збігається з фазовою швидкістю. 

Поняття групової швидкості дуже важливе, тому що саме вона фігурує при вимірюванні дальності в радіолокації, у системах керування космічними об'єктами і т.д. У теорії відносності доводиться, що групова швидкість , у той час як для фазової швидкості обмежень не існує.



2. Інтерференція хвиль



Узгоджене проходження в часі і просторі декількох коливань або хвильових процесів пов'язується з поняттям когерентності. 

Дві хвилі називаються когерентними, якщо вони мають однакову частоту і різниця їх фаз залишається постійною в часі.

Інтерференцією хвиль називається явище, яке відбувається при накладанні двох або кількох когерентних хвиль, при якому має місце стійке в часі їх взаємне підсилення в одних точках простору і ослаблення в інших в залежності від співвідношення між фазами цих хвиль.

Розглянемо накладення двох плоских хвиль, які випромінюються точковими джерелами S1 і S2 (рис.1) з амплітудами А1 і А2, частотами ω1 і ω2, хвильовими числами к1 і к2. 





Рис. 1



Точкові джерела S1 і S2 випромінюють в напрямі точки М плоскі хвилі, рівняння яких мають вигляд



 (5)

де r1 і r2 – відстані від джерел хвиль до точки М; к1 і к2 – хвильові числа; φ1 і φ2 – початкові фази обох хвиль; ω1 і ω2 – циклічні частоти хвиль. 

Результуючу амплітуду при накладанні двох однаково направлених хвиль (5) знаходимо графічним методом (з допомогою векторної діаграми)



. (6)



Окремі випадки:

Нехай ω1≠ ω2, к1≠к2, φ1≠φ2.

В цьому випадку жодна складова правої сторони рівняння (6) не дорівнює нулю, а тому можна визначити лише середнє значення результуючої амплітуди. Оскільки середнє значення косинуса за час в один період дорівнює нулю, то



 (7)



Рівняння (7) показує, що в цьому випадку в точці М відбувається просте додавання інтенсивностей (I ~ A2)







Нехай ω1 = ω2, к1=к2, φ1= φ2, A1 = A2 = A0.

В цьому випадку рівняння (7) матиме вигляд



. (8)



Вираз під функцією косинуса в рівнянні (8) не залежить від часу, а тому не підлягає усередненню. Результуюча інтенсивність при накладанні двох хвиль в цьому випадку буде дорівнювати



 (9)



Рівність (9) показує, що розподіл інтенсивності при накладанні двох хвиль з рівними циклічними частотами, хвильовими числами й початковими фазами в різних точках простору буде різною. Такі хвилі називаються когерентними, а явище називається інтерференцією. 

Проведемо аналіз співвідношення (9).

1. Якщо кΔr =± 2nπ, де n = 1, 2, 3, … і к =  ─ інтенсивність при накладанні двох когерентних хвиль буде дорівнювати



. (10)



Якщо в різниці ходу двох когерентних хвиль вкладається ціле число хвиль, то при їх накладанні інтенсивність зростає в 4 рази. Ця умова є умовою максимумів інтерференції, тобто



, де n = 0, 1, 2, 3, … ─ умова максимумів інтерференції.



2. Якщо кΔr = ± (2n +1), де n = 1, 2, 3, … і к = ─ інтенсивність при накладанні двох когерентних хвиль буде дорівнювати



 (11)



Якщо в різниці ходу двох когерентних хвиль вкладається непарне число півхвиль, то при їх накладанні результуюча інтенсивність буде дорівнювати нулю. Ця умова є умовою мінімумів інтерференції, тобто

Δr= ±(2n+1), де n=0, 1, 2, 3,… ─ умова мінімумів інтерференції.


3. Стоячі хвилі



Особливим випадком інтерференції є стоячі хвилі. Стоячі хвилі - це хвилі, які утворюються при накладанні двох біжучих хвиль, що поширю-ються назустріч одна одній з однаковими частотами і амплітудами.

Нехай дві плоскі хвилі поширюються назустріч одна одній вздовж осі х в пружному середовищі без затухання, при цьому виберемо початок відліку х так, щоб початкова фаза φ дорівнювало нулю, тобто



 (12)



Додамо ці рівняння і враховувавши, що , отримаємо рівняння стоячої хвилі



 (13)



Множник  показує, що в точках середовища виникає коливання з тією самою ж частотою ω, що і коливання зустрічних хвиль.

	Множник , який не залежить від часу, виражає амплітуду Аст результуючих хвиль, точніше ─ амплітуда як величина позитивна, дорівнює абсолютному значенню цього множника:

	

	 (14)



Амплітуда результуючого коливання залежить від координати х, що визначає положення точок середовища. Точки середовища, де амплітуда Аст досягає максимального значення 2А, називаються пучностями стоячої хвилі. Координати пучностей визначають із умови



 (m=0, 1, 2, …). (15)



Точки середовища, де Аст = 0 називаються вузлами стоячої хвилі. Точки середовища, що знаходяться у вузлах, не коливаються. Координати вузлів визначаються із умови



 (m = 0, 1, 2, …). (16)



Із співвідношень (15) і (16) координати пучностей і вузлів відповідно дорівнюють



, і  (17)



Відстань між двома сусідніми пучностями отримаємо, якщо знайдемо різницю двох значень хп для двох послідовних значень т:

тобто відстань між сусідніми пучностями дорівнює половині довжини тих хвиль, в результаті інтерференції яких утворюється дана стояча хвиля



 (18)



Відстань вузла від найближчої пучності дорівнює:



 (19)

На рис. 2 наведено характер руху частинок середовища при встановленні в ньому поперечної стоячої хвилі через проміжок часу T/2. Стрілками показано напрямки руху частинок, які викликані тією чи іншою хвилею. 





Рис. 2



Отже, в стоячій хвилі є ряд нерухомих вузлових точок, які розміщені на відстані півхвилі одна від одної. Частинки між вузлами коливаються з різними амплітудами, від нуля у вузлі до подвійної амплітуди у пучноcті. Всі частинки одночасно проходять через положення рівноваги і одночасно досягають максимальних відхилень, отже, коливаються в однакових фазах. В суміжному інтервалі між вузлами характер коливань такий самий, але фаза протилежна.

У стоячій хвилі енергія не переноситься - повна енергія коливань кожного елемента об'єму середовища, обмеженого сусіднім вузлом і пучністю, не залежить від часу. Вона лише переходить з кінетичної енергії в потенціальну енергію пружно деформованого середовища і навпаки. Відсутність перенесення енергії стоячою хвилею є результатом того, що падаюча і відбита хвилі, які утворюють цю стоячу хвилю, переносять енергію в рівних кількостях і в протилежних напрямках. Лише в межах відстаней, рівних половині довжини хвилі, відбуваються взаємні перетворення кінетичної енергії в потенційну і навпаки.

На межі, де відбувається відбивання хвилі, може утворюватись як вузол так і пучність. Якщо середовище, від якого відбувається відбивання хвилі менш густе, то в місці відбивання буде утворюватись пучність (рис.3,а). Утворення вузла можливе лише при відбивання хвилі від більш густого середовища (рис.3,б).



Утворення вузла пов’язане з тим, що хвиля, відбиваючись від більш густого середовища, змінює свою фазу на протилежну. Тому накладання хвиль різних напрямків приводить до утворення вузла. 





Рис. 3



Якщо ж хвилі відбиваються від менш густого середовища, то зміни фази хвиль не відбувається. Хвилі тут накладаються в тій самій фазі, а тому в місці накладання утворюється пучність.