Сигналы и их характеристики

2



Тема: "Сигналы и их характеристики"



Сигнал - физический процесс, отображающий сообщение. В технических системах чаще всего используются электрические сигналы. Сигналы, как правило, являются функциями времени.



1. Классификация сигналов



Сигналы можно классифицировать по различным признакам:

1. Непрерывные (аналоговые) - сигналы, которые описываются непрерывными функциями времени, т.е. принимают непрерывное множество значений на интервале определения. Дискретные - описываются дискретными функциями времени т.е. принимают конечное множество значений на интервале определения.

Детерминированные - сигналы, которые описываются детерминированными функциями времени, т.е. значения которых определены в любой момент времени. Случайные - описываются случайными функциями времени, т.е. значения которых в любой момент времени является случайной величиной. Случайные процессы (СП) можно классифицировать на стационарные, нестационарные, эргодические и неэргодические, а так же, гауссовы, марковские и т.д.

3. Периодические - сигналы, значения которых повторяются через интервал, равный периоду



х (t) = х (t+nT), где n = 1,2,...,; T - период.



4. Kаузальные - сигналы, имеющие начало во времени.

5. Финитные - сигналы конечной длительности и равные нулю вне интервала определения.

6. Когерентные - сигналы, совпадающие во всех точках определения.

7. Ортогональные - сигналы противоположные когерентным.



2. Характеристики сигналов



1. Длительность сигнала (время передачи) Тс - интервал времени, в течении которого существует сигнал.

2. Ширина спектра Fc - диапазон частот, в пределах которых сосредоточена основная мощность сигнала.

3. База сигнала - произведение ширины спектра сигнала на его длительность.

4. Динамический диапазон Dc - логарифм отношения максимальной мощности сигнала - Pmax к минимальной - Pmin (минимально-различи-мая на уровне помех): 



Dc = log (Pmax/Pmin).



В выражениях, где может быть использованы логарифмы с любым основанием, основание логарифма не указывается.

Как правило, основание логарифма определяет единицу измерения (например: десятичный - [Бел], натуральный - [Непер]).

5. Объем сигнала определяется соотношением Vc = TcFcDc.

6. Энергетические характеристики: мгновенная мощность - P (t); средняя мощность - Pср и энергия - E. Эти характеристики определяются соотношениями:



P (t) = x2 (t); ;  (1)



где T = tmax-tmin.



3. Математические модели случайных сигнлов



Детерминированное, т.е. заранее известное сообщение, не содержит информации, т.к получателю заранее известно, каким будет переда-ваемый сигнал. Поэтому сигналы носят статистический характер [11].

Случайный (стохастический, вероятностный) процесс - процесс, который описывается случайными функциями времени.

Случайный процесс Х (t) может быть представлен ансамблем неслучайных функций времени xi (t), называемых реализациями или выборками (см. рис.1).



       X(t)





                                                               x1(t)

                                                          

                                                               x2(t) 





                                                               xn(t)



     0                 t1                     t2                  t

















Рис.1. Реализации случайного процесса X (t)



Полной статистической характеристикой случайного процесса является n - мерная функция распределения: Fn (x1, x2,..., xn; t1, t2,..., tn), или плотность вероятности fn (x1, x2,..., xn; t1, t2,..., tn).

Использование многомерных законов связанно с определенными трудностями,поэтому часто ограничиваются использованием одномерных законов f1 (x, t), характеризующих статистические характеристики случайного процесса в отдельные моменты времени, называемые сечениями случайного процесса или двумерных f2 (x1, x2; t1, t2), характеризующих не только статистические характеристики отдельных сечений, но и их статистическую взаимосвязь.

Законы распределения являются исчерпывающими характеристиками случайного процесса, но случайные процессы могут быть достаточно полно охарактеризованы и с помощью, так называемых, числовых характеристик (начальных, центральных и смешанных моментов). При этом наиболее часто используются следующие характеристики: математическое ожидание (начальный момент первого порядка)



; (2)



средний квадрат (начальный момент второго порядка)



; (3)



дисперсия (центральный момент второго порядка)



; (4)



корреляционная функция, которая равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайного процесса



 

. (5)



При этом справедливо следующее соотношение:



 (6)



Стационарные процессы - процессы, в которых числовые характеристики не зависят от времени.

Эргодические процессы - процесс, в которых результаты усреднения и по множеству совпадают.

Гауссовы процессы - процессы с нормальным законом распределения:



 (7)



Этот закон играет исключительно важную роль в теории передачи сигналов, т.к большинство помех являются нормальными.

В соответствии с центральной предельной теоремой большинство случайных процессов являются гауссовыми.

Марковский процесс - случайный процесс, у которых вероятность каждого последующего значения определяется только одним предыдущим значением.



4. Формы аналитического описания сигналов



Сигналы могут быть представлены во временной, операторной или частотной области, связь между которыми определяется с помощью преобразований Фурье и Лапласа (см. рис.2).

Преобразование Лапласа:



L:  L-1:  (8)



Преобразования Фурье:



F:  F-1:  (9)



                                                        L:



 t

   p

       

                                                                         

                                                         L-1:

                                            F-1 :                      p=j   

                         

                                     F:                                    j=p    

Рис.2 Области представления сигналов



При этом могут быть использованы различные формы представления сигналов с виде функций, векторов, матриц, геометрическое и т.д.

При описании случайных процессов во временной области используется, так называемая, корреляционная теория случайных процессов, а при описании в частотной области - спектральная теория случайных процессов.

С учетом четности функций  и  и в соответствии с формулами Эйлера:



 (10)



можно записать выражения для корреляционной функции Rx () и энергетического спектра (спектральной плотности) случайного процесса Sx (), которые связанны преобразованием Фурье или формулами Винера - Хинчина



; (11)

. (12)



5. Геометрическое представление сигналов и их характеристик



Любые n - чисел можно представить в виде точки (вектора) в n -мерном пространстве, удаленной от начала координат на расстоянии D,



где . (13)



Сигнал длительностью Tс и шириной спектра Fс, в соответствии с теоремой Котельникова определяется N отсчетами, где N = 2Fc Tc.

Этот сигнал может быть представлен точкой в n - мерном пространстве или вектором, соединяющим эту точку с началом координат [5].

Длина этого вектора (норма) равна:



; (14)



где xi = x (nt) - значение сигнала в момент времени t = n. t.

Допустим: X - передаваемое сообщение, а Y - принимаемое. При этом они могут быть представлены векторами (рис.3).



                      X2 ,Y2          

                           

                       x2                        X



                                                      d

                                          

                       y2                               Y   

                                    

                                                                    X1 , Y1

                           0   1  2       x1         y1          

Рис.3. Геометрическое представление сигналов



Определим связи между геометрическим и физическим представлением сигналов. Для угла между векторами X и Y можно записать



cos = cos (1-2) = cos1 cos2 + sin1 sin2 =

= (15)



Для N - отсчетов: 



cos  (16)



Найдем модуль формального вектора. Для этого рассмотрим кванто-ванный сигнал (рис. 4).





 X











 0     t                                       t

                   T              







      Рис. 4. График сигнала



Рис.4. График сигнала



Средняя мощность сигнала 



.



Энергия сигнала



.



Энергия кванта



.



Энергию квантованного сигнала можно определить по формуле



.



При этом модуль сигнала равен



.



Взаимная корреляционная функция равна



.



При этом



.



Это нормированная корреляционная функция



Если  = 90о, то xy () = 0 - сигналы ортогональны, т.е. независимы;

Если  = 0, то xy () = 1 - передаваемый сигнал равен принятому;

Вектор d - характеризует (помеху) ошибку. Определим дисперсию ошибки:







По вектору ошибки определяют, допустима ли ее величина.


Список литературы



Hayes, M. H. Statistical Digital Signal Processing and Modeling. New York: John Wiley & Sons, 1996.

Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб. для вузов по спец. "Радиотехника". - М.: Высш. шк., 2000.

Голд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов / Пер. с англ., под ред.А.М. Трахтмана. - М., "Сов. радио", 1973, 368 с.

Гринченко А.Г. Теория информации и кодирование: Учебн. пособие. - Харьков: ХПУ, 2000.

Карташев В.Г. Основы теории дискретных сигналов и цифровых фильтров. - М.: Высш. шк., 1982.

Колесник В.Д., Полтырев Г.Ш. Курс теории информации. -М.: Наука, 1982.

Куприянов М.С., Матюшкин Б.Д. - Цифровая обработка сигналов: процессоры, алгоритмы, средства проектирования. - СПб.: Политехника, 1999.

Марпл С.Л. Цифровой спектральный анализ. М.: Мир, 1990.

Рудаков П. И, Сафонов В.И. Обработка сигналов и изображений Matlab 5. x. Диалог-МИФИ. 2000.

Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. - СПб.: Питер, 2002.