Закон динамики вращательного движения. Скорость и энергия внешних сил. Расчет КПД

Частица вращается по окружности , и уравнение движения . Найти тангенциальное, нормальное и полное ускорение в момент .

Найдем угловую скорость



:

;



Линейная скорость находиться по формуле 









Тангенциальное ускорение



:

, 



Нормальное ускорение 



:

, 


Полное ускорение



:

, 



Ответ: тангенциальное ускорение , нормальное ускорение , полное ускорение .

Тело движется вдоль прямой, замедляясь при . В начальной точке скорость была . Какой путь пройдет тело до остановки.

Мгновенная скорость , следовательно 

Мгновенное ускорение , следовательно 

Получаем равенство 

Проинтегрируем равенство 







Ответ: тело пройдет путь равный 

На брусок массой , лежащий на гладкой горизонтальной поверхности, действует сила . При прямолинейном движении угол между силой и горизонтом изменяется по закону , где  - постоянная. Найти скорость бруска как функцию от .

Уравнение движения в проекции  имеет вид








Заменим в уравнении , тогда







Ответ: скорость бруска равна 

Конькобежец массой  кг, стоя на коньках на льду, толкает камень  кг под углом 30° к горизонту со скоростью . Найти начальную скорость движения конькобежца.

Импульс и закон сохранения импульса



; ;



Перед броском все тела находились в покое: импульс каждого из них был равен 0, равнялась 0 и их векторная сумма



В конце броска импульс груза равен , конькобежца - 

В проекции на ось Ox импульс груза равен , конькобежца - .

т.к. , то 

.

Ответ: ;

Тело массой  начинает двигаться вдоль оси  со скоростью , где  - перемещение. Найти выражение для работы и вычислить работу при  кг за 3с движения.

Найдем ускорение как производную от скорости



; ;



Ускорение постоянно, значит движение равноускоренное. Зависимость скорости от времени.







Через 3с скорость будет:



Работа равна изменению кинетической энергии. Т.к. в начале тело находилось в состоянии покоя:



; кДж



Ответ: , ;

Диск массой 10 кг и радиусом 20 см вращается относительно оси симметрии под действием момента сил М = 1,8t2. Найти угловую скорость колеса через 3 с после начала движения.

Момент инерции диска вычисляется по формуле

; 

Основной закон динамики вращательного движения






Проинтегрируем выражение по :







Т.к. , то 

Через 3с угловая скорость будет



Ответ: 

Найти момент инерции стержни сечением S и плотностью р = p0(1-r/l) , где l - длина, r - расстояние до оси вращения, проходящей черев конец стержня. Вычислить при р = 7800 кг/м3, S = 2 см2 и I= 80 см.

Выделим бесконечно тонкий участок стержня толщиной . Его момент инерции:



, 



где - масса участка.

Т.к. момент инерции аддитивен, момент инерции всего стержня равен сумме моментов инерции всех его участков.











Ответ: 

На скамье Жуковского I = 50 кг-м2 стоит человек и держит в руках колесо, момент инерции которого 0,25 кг-м2 и скорость вращения 25 рад/с. Ось колеса совпадает с осью скамьи. Найти угловую скорость вращения скамьи и работу внешних сил, если колесо расположить горизонтально.

Когда колесо повернули горизонтально, момент импульса вокруг вертикальной оси сохранился. То есть



, 



где  - момент инерции колеса,  - угловая скорость скамьи,  - угловая скорость колеса.

Скамья начала вращаться с угловой скоростью



, 



Скорость и энергия внешних сил колеса почти не изменилась. Работа внешних сил пошла на изменение энергии вращения скамьи и равна:



, 



Ответ: , .

Колебания точки происходят по закону х = Acos(w t+j ). В некоторый момент времени смещение точки равно 5 см, ее скорость V = 20 см/с и ускорение а = - 80 см/с2. Найти амплитуду А. циклическую частоту w , период колебаний Т и фазу (w t+j ) в рассматриваемый момент времени.

Запишем закон движения и его производные:


(1),

(2),

(3).



Подставив  и в (3), найдем :



, 



Преобразуем формулу (2) следующим образом:



(2’).



Возведем в квадрат (1) и (2’) и сложим:





см



Период колебаний с.

Найдем фазу: , 

Что соответствует точке на окружности с углом - 

Ответ: см, , с, .

Уравнение колебаний частицы массой 1.6-10 -2 кг имеет вид х = 0,lsin(p t/8 + л/4) (м). Построить график зависимости от времени силы F, действующей на частицу. Найти значение максимальной силы.

Найдем ускорение как вторую производную по :






Произведение ускорения на массу даст силу:



,





Значение максимальной силы при 









График – синусоида с периодом 16 и смещенная на 2 влево.



Диск радиусом 20 см колеблется около горизонтальной оси, походящей через середину радиуса перпендикулярно плоскости диска. Определить приведенную длину и период колебаний.

Пусть диск повернулся на малый угол , тогда возвращающий момент сил:


, где  - плечо силы.



Момент инерции диска относительно центра:







относительно оси вращения:







Тогда уравнение движения имеет вид:



 или 



Это уравнение колебаний с частотой:







У математического маятника 

Значит приведенная длина:



, м.



Период колебаний:






Ответ: , .

Определить скорость, если разность фаз D j колебаний двух точек среды, отстоящих друг от друга на D x = 10 см, равна p /З. Частота колебаний равна 25 Гц.

Отношение разности фаз к расстоянию между точками есть волновое число 



,   - длина волны.



Выразим частоту:



,



где  - скорость распространения.







Ответ: .

При изменении давления газа на 200 Па объем газа изменится на 3 л. Если давление изменить на 500 Па, объем изменится на 5 л. Найти начальный объем и давление гaзa. Температура газа сохраняется постоянной.

Используем, что при . Тогда






.



Аналогично для (2)







Выразим из (1) и подставим в (2).





, отсюда .



При и  положительных мы не знаем, когда газ сжимается, а когда расширяется. Поэтому выберем все величины отрицательными.

Тогда л. Подставив в формулу для , получим Па.

В обоих случаях газ сжимали.

Ответ: , Па.

Найти с помощью распределения Максвелла <V2x> среднее значение квадрата проекции скорости молекулы газа при температуре Т.

Распределение Максвелла по проекциям:







Среднее значение квадрата проекции ищем по формуле:






Введем новую переменную 



, , 





 - табличный интеграл.







Ответ: .

Найти работу, совершающуюся при изотермическом расширении водорода массой 5 г, при температуре 290°К. при увеличении объема газа в три раза.

Количество водорода моль.







 - при расширении от  до .



кДж.

Ответ: кДж.

Во сколько раз увеличится КПД цикла Карно при увеличении температуры нагревателя от t1 = 300°К до T 2 = 380 К при температуре холодильника T2 = 200°К?

КПД находим по формуле



, 



где  - температура нагревателя, а  - температура холодильника.







 - во столько раз увеличивается КПД.

Ответ: 1,42.