Розв’язання задач з елементарної математики в пакеті Maple-8

Міністерство освіти і науки України

Дніпропетровський національний університет











КОНТРОЛЬНА РОБОТА

з дисципліни „Інформатика”

Розв’язання задач з елементарної математики в пакеті MAPLE-8

(варіант №6)











Виконав студент групи____________________

______________________

До захисту__________________200 __року

Викладач_______________________________











Дніпропетровськ

2010


Зміст



Вихідні дані завдань варіанту №6

1. Завдання №1

1.1. Задача 1.1 (вар. №6)

1.2. Задача 1.2 (вар. №6)

2. Завдання №2

2.1. Задача 2.1 (вар. №6)

2.2. Задача 2.2 (вар. №6)

3. Завдання №3

3.1. Задача 3.1 (вар. №6)

3.2. Задача 3.2 (вар. №6)

4. Завдання №4

4.1. Задача 4.1 (вар. №6)

4.2. Задача 4.2 (вар. №6)

5. Завдання №5

5.1. Задача 5.1 (вар. №6)

5.2. Задача 5.2 (вар. №6)

6. Завдання №6

6.1. Задача 6.1 (вар. №6)

6.2. Задача 6.2 (вар. №6)

7. Завдання №7

7.1. Задача 7.1 (вар. №6)

7.2. Задача 7.2 (вар. №6)

8. Завдання №8

8.1. Задача 8.1 (вар. №6)

8.2. Задача 8.2 (вар. №6)

9. Завдання №9

9.1. Задача 9.1 (вар. №6)

9.2. Задача 9.2 (вар. №6)

10. Завдання №10

10.1. Задача 10.1 (вар. №6)

10.2. Задача 10.2 (вар. №6)

11. Завдання №11

Список використаної літератури


Вихідні дані завдань варіанту №6











1. Завдання №1



1.1 Задача 1.1 (вар. №6)



Спростити вираз







Розв’язання.

Використовуємо встроені функції елементарних перетворень пакету MAPLE:

simplify-спростити,

expand-розкрити скобки,

factor-розкласти на множники

normal-привести к спільному знаменнику

combine-перетворення ступеня

collect-привести подібні члени



> (sqrt(2)/(1-x^2)^(-1)+2^(3/2)/x^(-2))/(x^(-2)/(1+x^(-2)));





Спрощуємо вираз за допомогою оператора simplify – спростити (останній результат Maple зберігає під ім’ям %)



> simplify(%);




Відповідь: 



1.2 Задача 1.2 (вар. №6)



Спростити вираз







Розв’язання.



> (sqrt(1+a)/(sqrt(1+a)-sqrt(1-a))+((1-a)/(sqrt(1-a^2)-1+a)))*(sqrt(1/a^2-1)-1/a);





Позначимо перший множник через q1



> q1:=(sqrt(1+a)/(sqrt(1+a)-sqrt(1-a))+((1-a)/(sqrt(1-a^2)-1+a)));





Позбавляємося від ірраціональності в знаменниках за допомогою оператора rationalize



> rationalize(sqrt(1+a)/(sqrt(1+a)-sqrt(1-a)))+rationalize((1-a)/(sqrt(1-a^2)-1+a));




Розкриваємо дужки в останньому виразі за допомогою оператора expand



> q1:=expand(%);



> q1 := 1/2*(1+a)^(1/2)/a*(1-a)^(1/2)+1/a+1/2/a*(1-a)^(1/2)*(1+a)^(1/2);





Приводимо до спільного знаменника вираз q1 за допомогою оператора normal



> q1:=normal(q1);





Розкладаємо на множники вираз q1 за допомогою оператора factor



> q1 := factor(q1);





Позначимо другий множник через q2



> q2:=(sqrt((1-a)*(1+a)/a^2)-1/a);





Спрощуємо вираз q2, припускаючи, що 0<a<1 за допомогою оператора assume(a>0,a<1)


> q2:=simplify(q2,assume(a>0,a<1));





Перемножуємо вирази q1 та q2



> q3:=q1*q2;





Розкладаємо на множники вираз q3



> q3:=factor(q3);





Розкриваємо дужки в останньому виразі



> q3:=expand(%);





Відповідь: -1.




2. Завдання №2



2.1 Задача 2.1 (вар. №6)



Спростити вираз, а потім знайти чисельні значення при а =2







Розв’язання.

Використовуємо встроені функції елементарних перетворень пакету MAPLE:

simplify-спростити,

expand-розкрити скобки,

factor-розкласти на множники

normal-привести к спільному знаменнику

combine-перетворення ступеня

collect-привести подібні члени



> ((a-1)^(-1)/a^(-3)-(1-a)^(-1))*((1+a*(a-2))/(1/a^(-2)-a+1)/(1/sqrt((a+1)^(-2))));





Позначимо через r1 першу частину виразу



> r1:=((a-1)^(-1)/a^(-3)-(1-a)^(-1))*((1+a*(a-2))/(1/a^(-2)-a+1));




Позначимо через r2 другу частину виразу



> r2:=sqrt((a+1)^(-2));





Позначимо через r3 чисельник виразу r1



> r3:=((a-1)^(-1)/a^(-3)-(1-a)^(-1))*((1+a*(a-2)));





Приводимо вираз r3 до спільного знаменника



> r3:=normal(r3);





Розкладаємо на множники вираз r3



> r3:=factor(r3);





Позначимо через r4 знаменник виразу r1



> r4:=(a^2-a+1);





Скорочуємо чисельник r3 та знаменник r4 першої частини виразу



> r5:=r3/r4;



Залишилося r5 помножити на r2



> r6:=r5*r2;





Спрощуємо вираз r6, припускаючи, що a>-1



> simplify(r6,assume(a>-1));





Підставляємо a=2 в останній вираз %



> subs(a=2,%);





Відповідь: 1.



2.2 Задача 2.2 (вар. №6)



Спростити вираз, а потім знайти чисельні значення при а = 4; b = 1.







Розв’язання.



> (a/(a-2*b)+b/(a+2*b))*(a^3+8*b^3)/(a^3+3*a^2*b-2*a*b^2);



Чисельник вихідного дробу позначимо через t1



> t1:=(a/(a-2*b)+b/(a+2*b))*(a^3+8*b^3);





Приводимо вираз, що стоїть в чисельнику t1, до спільного знаменника



> t1:=normal(t1);





Знаменник вихідного дробу позначимо через t2



> t2:=a^3+3*a^2*b-2*a*b^2;





Розкладаємо знаменник t2 на множники



> t2:=factor(t2);





Скорочуємо чисельник t1 та знаменник t2



> t3:=t1/t2;





Виділяємо повний квадрат в чисельнику за допомогою оператора completesquare (попередньо підключивши пакет student)


> with(student):completesquare(t3,a);





Підставляємо в останній вираз % числа a=4, b=1



> subs(a=4,b=1,%);





Відповідь: 3/2.




3. Завдання №3



3.1 Задача 3.1 (вар. №6)



Скоротити слідуючи дроби







Розв’язання.

Використовуємо встроені функції елементарних перетворень пакету MAPLE:

simplify-спростити,

factor-розкласти на множники

combine-перетворення ступеня

collect-привести подібні члени

Розв’язання.



> (x^4-10*x^2+9)/(x^4-13*x^2+36);





Чисельник вихідного дробу позначимо через u1



> u1:=x^4-10*x^2+9;





Розкладаємо чисельник u1 на множники



> u1:=factor(u1);





Знаменник вихідного дробу позначимо через u2



> u2:=x^4-13*x^2+36;





Розкладаємо знаменник u2 на множники



> u2:=factor(u2);





Скорочуємо чисельник u1 та знаменник u2



> u3:=u1/u2;





Відповідь: 



3.2 Задача 3.2 (вар. №6)



Скоротити слідуючи дроби







Розв’язання.



> (a^5+a^4+a^3+a^2+a+1)/((a^2+a+1)*(a+1));





Чисельник вихідного дробу позначимо через v1



> v1:=a^5+a^4+a^3+a^2+a+1;





Розкладаємо чисельник v1 на множники



> v1:=factor(v1);





Знаменник вихідного дробу позначимо через v2



> v2:=(a^2+a+1)*(a+1);





Скорочуємо чисельник v1 та знаменник v2



> v3:=v1/v2;





Відповідь: 




4. Завдання №4



4.1 Задача 4.1 (вар. №6)



Розв’язати рівняння 1-й степені







Розв’язання.

Використовуємо встроені функції елементарних перетворень пакету MAPLE: solve(рівняння або нерівність, змінна),



> ((x/a)-1)/(1-a^2/b^2)=1/(a/b-b/a);





Задаємо рівняння eq



> eq:=((x/a)-1)/(1-a^2/b^2)-1/(a/b-b/a)=0;





Розв'язуємо рівняння eq відносно змінної x



> solve(eq,{x});




Зробимо перевірку: підставляємо у вихідне рівняння eq розв'язок x і одержуємо тотожність



> subs(x=-(-b+a)*a/b,((x/a)-1)/(1-a^2/b^2)-1/(a/b-b/a));





Спрощуємо останній вираз (останній результат Maple зберігає під ім’ям %)



> simplify(%);





Відповідь: 



4.2 Задача 4.2 (вар. №6)



Розв’язати рівняння 1-й степені







Розв’язання.



> (9*sqrt(x)+1)/(6*(6*sqrt(x)-1))=sqrt(x)/(4*sqrt(x)-1);




Задаємо рівняння eq



> eq:=(9*sqrt(x)+1)/(6*(6*sqrt(x)-1))-sqrt(x)/(4*sqrt(x)-1)=0;





Розв'язуємо рівняння eq відносно змінної x



> solve(eq,{x});





Зробимо перевірку: підставляємо у вихідне рівняння eq розв'язок x і одержуємо 0



> subs(x=1,(9*sqrt(x)+1)/(6*(6*sqrt(x)-1))-sqrt(x)/(4*sqrt(x)-1));





Відповідь: 1.




5. Завдання №5



5.1 Задача 5.1 (вар. №6)



Розв’язати системи рівнянь з двома невідомими







Розв’язання.

Використовуємо встроені функції елементарних перетворень пакету MAPLE: solve(рівняння або нерівність, змінна).



> (7*x-3*y)/5=(5*x-y)/3-(x+y)/2;3*(x-1)=5*(y+1);







Задаємо систему рівнянь з двома невідомими



> sistema:={(7*x-3*y)/5=(5*x-y)/3-(x+y)/2, 3*(x-1)=5*(y+1)};





Розв'язуємо систему рівнянь відносно x,y



> s:=solve(sistema,{x,y});





Зробимо перевірку: підставляємо у вихідну систему розв’язок і одержуємо дві тотожності



> eval(sistema,s);





Відповідь: (1; 1).



5.2 Задача 5.2 (вар. №6)



Розв'язати системи рівнянь з двома невідомими







Розв’язання.



> (x+2*y-7)/(2*y-x+15)/(2*x+y+19)=1/2/3;(3*x+y-3)/(4*x-2*y+1)/(5*x-3*y+8)= 6/3/5;







Задаємо систему рівнянь



> sistema:={(x+2*y-7)/(3*x+y-3)=t/6, (2*y-x+15)/(4*x-2*y+1)=2*t/3, (2*x+y+19)/(5*x-3*y+8)=3*t/5};





Розв'язуємо систему рівнянь відносно змінних x,y,t


> s:=solve(sistema,{x,y,t});





Для подання результів розв'язання системи рівнянь Maple використовує спеціальну функцію RootOf( ), яка застосовується для позначення будь-якого кореня виразу, заданого як її параметр. Змінна _Z - системна змінна, згенерована Maple, яка набуває цілих значень. За допомогою функції eval( ) можна отримати наближені числові значення функції RootOf( ).



> evalf(s);






6. Завдання №6



6.1 Задача 6.1 (вар. №6)



Побудувати графіки наступних функцій







Розв’язання.



> f:=x^2-3*abs(x)+2;





Будуємо графік функції f, обираємо проміжок для змінної x від -3 до 3, колір - синій, товщина лінії – 3



> plot(f,x=-3..3,color=blue,thickness=3);







6.2 Задача 6.2 (вар. №6)



Побудувати графіки наступних функцій






Розв’язання.



> y-x^2-y^2+2-abs(y-x^2)=0;





Будуємо графік функції, заданої неявно за допомогою пакету plots



> with(plots):implicitplot(y-x^2-y^2+2-abs(y-x^2),x=-3..3,y=-1..2, color=black, thickness=2);








7. Завдання №7



7.1 Задача 7.1 (вар. №6)



Зобразити наступні геометричні фігури згідно ескізу рис. 7.1 вихідних даних.

Розв’язання.

Використаємо пакет plottools – пакет для створення та роботи з графічними об’єктами. Команда curve([[x1,y1],[x2,y2],…,[xn,yn],options) задає криву координатами своїх точок. Крива відображається лінійними сегментами, що з’єднують сусідні точки. Команда display відображає вивід графічних команд на екран.



> with(plottools): w:=curve([[1,0],[0,1],[-1,0],[0,-1],[1,0]],color=black, linestyle=1, thickness=2): plots[display](w);







7.2 Задача 7.2 (вар. №6)



Зобразити наступні геометричні фігури згідно ескізу рис.7.2 вихідних даних.

Розв’язання.


> with(plottools): u:=curve([[0,0],[1,-1],[0,-1],[-1,0],[0,1],[1,1],[0,0]],color=green, linestyle=1, thickness=2): plots[display](u);








8. Завдання №8



8.1 Задача 8.1 (вар. №6)



Розвязати рівняння 2-ї степені







Розв’язання.



> x-7+(x-6)^2/3=(x+4)^2/2-(x+2)*(x+6)/4;





Задаємо рівняння eq



> eq:=x-7+(x-6)^2/3-(x+4)^2/2-(x+2)*(x+6)/4=0;





Розв'язуємо рівняння eq відносно змінної x



> s:=solve(eq,{x});





Зробимо перевірку: підставляємо розв'язок  у вихідне рівняння й одержуємо 0


> evalf(subs(x=-54/5-6/5*sqrt(71),x-7+(x-6)^2/3-(x+4)^2/2-(x+2)*(x+6)/4));





Далі підставляємо розв'язок  у вихідне рівняння, одержуємо 0



> evalf(subs(x=-54/5+6/5*sqrt(71),x-7+(x-6)^2/3-(x+4)^2/2-(x+2)*(x+6)/4));





Відповідь: 



8.2 Задача 8.2 (вар. №6)



Розв’язати рівняння 2-ї степені







Розв’язання.



> (20+x)/(2*x-2)-(9*x^2+x+2)/(6*x^2-6)=(5-3*x)/(x+1)-(10-4*x)/(3*x+3);





Задаємо рівняння eq


> eq:=(20+x)/(2*x-2)-(9*x^2+x+2)/(6*x^2-6)-(5-3*x)/(x+1)+(10-4*x)/(3*x+3)=0;





Розв'язуємо рівняння eq відносно змінної x



> s:=solve(eq,{x});





Зробимо перевірку: підставляємо розв'язок у вихідне рівняння й одержуємо 0



> subs(x=-2,(20+x)/(2*x-2)-(9*x^2+x+2)/(6*x^2-6)-(5-3*x)/(x+1)+(10-4*x)/(3*x+3));





Підставляємо розв'язок  у вихідне рівняння й одержуємо 0



> subs(x=-17/2,(20+x)/(2*x-2)-(9*x^2+x+2)/(6*x^2-6)-(5-3*x)/(x+1)+(10-4*x)/(3*x+3));





Відповідь: -2; -17/2.




9. Завдання №9



9.1 Задача 9.1 (вар. №6)



Привести наступні вирази к простішому виду







Розв’язання.



> a/(sqrt(a*c)+c)+c/(sqrt(a*c)-a)-(a+c)/sqrt(a*c);





Позбавляємося від ірраціональності в знаменнику



> rationalize(%);





Спрощуємо останній вираз



> simplify(%);





Відповідь: 




9.2 Задача 9.2 (вар. №6)



Привести наступні вирази к простійшому виду







Розв’язання.



> (a-b)/(a^(3/4)+a^(1/2)*b^(1/4))-(a^(1/2)-b^(1/2))/(a^(1/4)+b^(1/4));





Позбавляємося від ірраціональності в знаменниках



> rationalize((a-b)/(a^(3/4)+a^(1/2)*b^(1/4)))-rationalize((a^(1/2)-b^(1/2))/(a^(1/4)+b^(1/4)));





Спрощуємо останній вираз



> simplify(%);





Відповідь: 




10. Завдання №10



10.1. Задача 10.1 (вар. №6)



Привести к раціональному виду наступні вирази



.



Розв’язання.



> n/(a^(2/3)+a^(1/3)*b^(1/3)+b^(2/3));





Позбавляємося від ірраціональності в знаменнику



> rationalize(%);





Відповідь: 



10.2 Задача 10.2 (вар. №6)



Привести к раціональному виду наступні вирази






Розв’язання.



> 1/(sqrt(2)-sqrt(3)+sqrt(5));





Позбавляємося від ірраціональності в знаменнику



> rationalize(%);





Розкриваємо дужки



> expand(%);





Відповідь: 




11. Завдання №11



Скласти програму, яка видає на печать таблицю значень  для 

Розв’язання.



> for n from 1 to 50 do sqrt(10*n) end do;














Список використаної літератури

	

	Аладьев В.З., Богдявичюс М.А. Решение физико-технических и математических задач с пакетом Maple V. В.:Техника, 1999. – 686 с.

	Васильев А.Н. Maple 8. СПб.:Диалектика, 2003. – 352 с.

	Дьяконов В.П. Maple 9 в математике, физике и образовании. М.:СОЛОН-Пресс, 2004. – 688 с.

	Дьяконов В.П. Maple 8 в математике, физике и образовании. М.:СОЛОН-Пресс, 2003. – 656 с.

	Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. – СПб.: БХВ-Петербург, 2001. – 528 с.

	Сдвижков О.А. Математика на компьютере: Maple 8. М.: СОЛОН-Пресс, 2003. – 176с.