Решение задачи с помощью математической модели и средств MS Excel

2



Содержание



Введение

Условие задачи

Математическая модель задачи

Аналитическое исследование функции. Нахождение критических точек

Построение графика искомой функции средствами MS Excel

Вывод

Используемая литература




Введение



В данной работе требуется решить математическую задачу двумя способами, один - это привычный для нас вариант, с помощью математических исследований, а второй - с помощью специального офисного приложения MS Excel. Для этого нам необходимо:

составить математическую модель задачи,

определить исследуемую функцию, зависящую от одной переменной,

построить график заданной функции с помощью графического редактора MS Excel,

исследовать функцию по общей схеме, найти критические точки,

найти решение задачи,

сделать вывод, сравнить полученные результаты.




Условие задачи



Кривая полных издержек имеет вид  (где х - объем производства). Рассчитать, при каком объеме производства средние издержки минимальны.



Математическая модель задачи



Целью любого производителя является максимизация прибыли. Главным препятствием к достижению этого является спрос на готовую продукцию и издержки производства.

Средние издержки - это издержки на единицу продукций.

Средние постоянные издержки (AFC) определяются путем деления суммарных постоянных издержек (TFC) на соответствующее количество произведенной продукций (Q).



AFC = TFC / Q



Так как постоянные издержки по определению не зависят от объема выпускаемой продукций, то и средние постоянные издержки будут уменьшаться с увеличением объема производства

Средние переменные издержки (AVC) определяются путем деления суммарных переменных издержек (TVC) на соответствующее количество произведенной продукций Q.



AVC = TVC / Q



AVC сначала падают, достигают своего минимума, а затем начинают расти. Такой наклон кривой объясняется законом убывающей доходности т.е. до четвертой единицы предельные издержки падают, следовательно и AVC так же будут падать, а начиная с пятой единицы как TVC так и AVC начинают возрастать.

Средние общие издержки (ATC) рассчитываются при помощи деления общих издержек TC на объем произведенной продукций Q или же соотношением AFC и AVVC для каждого из возможных способов производства.



ATC = TC / Q = AFC + AVC



Введем необходимые обозначения и составим исходную функцию от одной переменной.

Получим, что средние издержки будут вычисляться по формуле:







Т. е. исследуем функцию вида:







Аналитическое исследование функции. Нахождение критических точек



Воспользуемся общей схемой исследования функции.







1. Найти область определения

Областью определения будут числа больше 0, т.к объем производства должен быть положительным, т.е. . Получим, что







2. Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат.

В нашем случае это невозможно, т.к , а решая квадратное уравнение вида  получаем мнимые корни (т.е. дискриминант меньше 0), следовательно, точек пересечения с осями координат нет.

3. Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых  или ). Координаты вершины параболы (3;

6), значит,  при , и  при .

4. Выяснить является ли функция четной, нечетной или общего вида.

Функция  является функцией общего вида, т.к







5. Найдите асимптоты графика функции.

Функция  не имеет вертикальной, горизонтальной и наклонной асимптот.

6. Найдите интервалы монотонности функции.

Для этого найдем первую производную от заданной функции:







Решим уравнение вида:







Получим, что в точке  функция меняется, т.е. на промежутке  функция монотонно убывает, а на  возрастает.

7. Найти экстремумы функции.

Из пункта 6 следует, что точка  является критической, т. е экстремумом. Причем,  - точка минимума.

Найдем значение функции в критической точке:







8. Найти точки перегиба функции.

Для этого найдем вторую производную от заданной функции:







Производная второго порядка, целое постоянное число, значит, точек перегиба функция не имеет.

Таким образом, получим, что при объеме производства  средние издержки будут минимальными.


Построение графика искомой функции средствами MS Excel



Для построения графика необходимо составить таблицу значений переменной и функции. Воспользуемся приложением MS Excel:



Таблица значений

Расстояние от ближайшей точки на шоссе до искомой

Расстояние от искомой точки на шоссе до населённого пункта

Расстояние от буровой до искомой точки на шоссе по полю

Время движения курьера по полю

Время движения курьера по шоссе

Общее время в пути

0

15

9

1,125

1,5

2,625

0,5

14,5

9,013878189

1,126734774

1,45

2,576734774

1

14

9,055385138

1,131923142

1,4

2,531923142

1,5

13,5

9,124143795

1,140517974

1,35

2,490517974

2

13

9,219544457

1,152443057

1,3

2,452443057

2,5

12,5

9,340770846

1,167596356

1,25

2,417596356

3

12

9,486832981

1,185854123

1,2

2,385854123

3,5

11,5

9,656603958

1, 207075495

1,15

2,357075495

4

11

9,848857802

1,231107225

1,1

2,331107225

4,5

10,5

10,0623059

1,257788237

1,05

2,307788237

5

10

10,29563014

1,286953768

1

2,286953768

5,5

9,5

10,54751155

1,318438944

0,95

2,268438944

6

9

10,81665383

1,352081728

0,9

2,252081728

6,5

8,5

11,10180166

1,387725207

0,85

2,237725207

7

8

11,40175425

1,425219281

0,8

2,225219281

7,5

7,5

11,71537451

1,464421814

0,75

2,214421814

8

7

12,04159458

1,505199322

0,7

2, 205199322

8,5

6,5

12,3794184

1,5474273

0,65

2, 1974273

9

6

12,72792206

1,590990258

0,6

2, 190990258

9,5

5,5

13,08625233

1,635781541

0,55

2,185781541

10

5

13,45362405

1,681703006

0,5

2,181703006

10,5

4,5

13,82931669

1,728664586

0,45

2,178664586

11

4

14,2126704

1,7765838

0,4

2,1765838

11,5

3,5

14,60308187

1,825385233

0,35

2,175385233

12

3

15

1,875

0,3

2,175

12,5

2,5

15,4029218

1,925365225

0,25

2,175365225

13

2

15,8113883

1,976423538

0,2

2,176423538

13,5

1,5

16,22498074

2,028122592

0,15

2,178122592

14

1

16,64331698

2,080414622

0,1

2,180414622

14,5

0,5

17,06604817

2,133256021

0,05

2,183256021

15

0

17,49285568

2,186606961

0

2,186606961



На основании таблицы строим график функции:











Найдем максимальное и минимальное значения. Для этого воспользуемся сортировкой. 



минимум

2,175

максимум

2,625



Решим задачу, пользуясь надстройкой "поиск решения". Выполним следующие действия:

1. Введем в любую ячейку целевую функцию







2. В меню Сервис выберем команду Поиск решения.

В появившемся окне уже установлена целевая ячейка.

Отмечаем флажок в поле "равной" на "минимальному значению", т.к наша функция стремится к минимуму.

В поле "Изменяя ячейки" выбираем любую ячейку с заранее введенной единицей.

Нажимаем кнопку "выполнить", не меняя параметров.







3. Просматриваем полученный результат. 









х =

3





2,175











Т. е. курьер должен двигаться в точку, удаленную на 3км от населенного пункта и на 12 км от ближайшей к буровой точке шоссе.


Вывод



В данной работе выполнены все поставленные цели и задачи. В ходе выполнения были сделаны следующие выводы.

Решив данную задачу, двумя способами, мы получили практически равные результаты.

В первом случае, в процессе решения задачи самостоятельно, мы потеряли достаточное количество времени, сохраняя большой риск ошибки в вычислениях.

Во втором же, решение задачи с помощью MS Excel, мы достигли того же результата минимизируя недостатки за считанные минуты.

Во время всеобщей компьютеризации, все пытаются облегчить себе процесс работы, и это действительно работает.


Используемая литература



Бурдюкова Е.В. Основы работы в Microsoft Excel. Хабаровск: ХК ИППК ПК, 2003.

Журнал "Информатика и образование" № 12, 2007.

Журнал "Информатика и образование" № 4, 2008.

Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. М.: Айрис-пресс, 2007.

Практические задания и методические рекомендации по использованию информационных технологий. Хабаровск: ХК ИППК ПК, 2003.