ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции

СОДЕРЖАНИЕ



	Введение

	1. Постановка задачи

			2. Математические и алгоритмические основы решения задачи

	2.1 Понятие гамма-функции

	2.2 Вычисление гамма функции

	3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи

			4. Программная реализация решения задачи

	5. Пример выполнения программы

			Заключение

			Список использованных источников и литературы

	

	
ВВЕДЕНИЕ



Выделяют особый класс функций, представимых в виде собственного либо несобственного интеграла, который зависит не только от формальной переменной, а и от параметра.

Такие функции называются интегралами зависящими от параметра. К их числу относится гамма функции Эйлера.

Гамма функция представляется интегралом Эйлера второго рода:



.



Гамма-функция расширяет понятие факториала на поле комплексных чисел. Обычно обозначается Γ(z).

Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру.

Через гамма-функции выражается большое число определённых интегралов, бесконечных произведений и сумм рядов.




1. Постановка задачи



Требуется реализовать основные способы вычисления гамма-функции:

1. Гамма-функции для целых положительных n равна



Г (n) = (n - 1)! = 1·2... (n - 1). (1)



2. Для x>0 гамма-функция получается из ее логарифма взятием экспоненты.



. (2)



3. Гамма-функции для ряда точек:



 (3)



Пример 1.

Вычислить гамма-функции Г(6).

Решение:

Так как 6 – положительное целое число, воспользуемся формулой (1):



Г(6) =(6-1)! = 5! = 120



Ответ: 120.

Пример 2.

Вычислить гамма-функции Г(0,5).

Решение:

Воспользуемся формулой (2):


.

.

Ответ: .



Пример 3.

Вычислить гамма-функции Г(1,5).

Решение:

Воспользуемся формулой (3):



y = 1.5 + 2 = 3.5.

.

Ответ: .




2. Математические и алгоритмические основы решения задачи



2.1 Понятие гамма-функции



Гамма функцию определяет интеграл Эйлера второго рода



(a) = (2.1)



сходящийся при .





Рисунок 1. График гамма-функции действительного переменного



Положим =ty, t > 0 , имеем



(a) =



и после замены , через  и t через 1+t ,получим








Умножая это равенство и интегрируя по t и пределах от 0 до , имеем:







или после изменения в правой части порядка интегрирования ,получаем:







откуда



 (2.2)



заменяя в (2,1) , на  и интегрируем по частям







получаем рекурентною формулу



 (2.3)



так как










Рисунок 2. График модуля гамма-функции на комплексной плоскости



При целом  имеем



 (2.4)



то есть при целых значениях аргумента гамма-функция превращается в факториал, порядок которого на единицу меньше взятого значения аргумента. При n=1 в (2.4) имеем







2.2 Вычисление гамма функции



Для вычисления гамма-функции используется аппроксимация логарифма гамма-функции. Сама же гамма вычисляется через него.

Для аппроксимации гамма-функции на интервале x>0 используется формула (для комплексных z) такого вида:



.


Она похожа на аппроксимацию Стирлинга, но в ней имеется корректирующая серия. Для значений g=5 и n=6, проверено, что величина погрешности eps не превышает . Кроме того, погрешность не превышает этой величины на всей правой половине комплексной плоскости: Re z > 0.

Для получения действительной гамма-функции на интервале x>0 используется рекуррентная формула Gam(z+1)=z*Gam(z) и вышеприведенная аппроксимация Gam(z+1). Также можно заметить, что удобнее аппроксимировать логарифм гамма-функции, чем ее саму.

Во-первых, при этом потребуется вызов только одной математической функции – логарифма, а не двух – экспоненты и степени (последняя все равно использует вызов логарифма), во-вторых, гамма-функция – быстро растущая для больших x, и аппроксимация ее логарифмом снимает вопросы переполнения.

Для аппроксимации LnGam() – логарифма гамма-функции – получается формула:







Значения коэффициентов Ck являются табличными данными (Таблица 1).



k

C

1

2.5066282746310005

2

1.0000000000190015

3

76.18009172947146

4

-86.50532032941677

5

24.01409824083091

6

-1.231739572450155

7

0.1208650973866179e-2

8

-0.5395239384953e-5

Таблица 1. Значения коэффициентов Ck



Сама гамма-функция получается из ее логарифма взятием экспоненты. .




3 Функциональные модели и блок-схемы решения задачи



Функциональные модели и блок-схемы решения задачи представлены на рисунке 3, 4, 5, 6.

Условные обозначения:

		X – параметр функции;

		RS – инкремент;

		GN – список коэффициентов;

		Y – вспомогательная переменная;

		RES – результат вычисления гамма-функции;

		GAM – временная переменная, содержащая вычисление гамма-функции.





Рисунок 3 – Функциональная модель решения задачи для функции GAMMA





Рисунок 4 – Функциональная модель решения задачи для функции GAMMA_ WHOLE




Рисунок 5 – Блок-схема решения задачи для поиска логарифма гамма-функции GAMMA_LN






Рисунок 6 – Блок-схема решения задачи для поиска логарифма гамма-функции GAMMA_POINT



	
4. Программная реализация решения задачи



																																;СПИСОК КОЭФФИЦИЕНТОВ

																																(SETQ CN '(2.5066282746310005 1.0000000000190015 76.18009172947146 -86.50532032941677 24.01409824083091

																																-1.231739572450155 0.1208650973866179e-2 -0.5395239384953e-5))

																																;ЛОГАРИФМ ГАММА ФУНКЦИИ

																																(DEFUN GAMMA_LN (X)

																																(SETQ SER (CADR CN))

																																(SETQ L (CDDR CN))

																																(SETQ Y X)

																																(DO

																																((J 2))

																																((>= J 8))

																																(SETQ Y (+ Y 1))

																																(SETQ CO (CAR L))

																																(SETQ SER (+ SER (/ CO Y)))

																																(SETQ L (CDR L))

																																(SETQ J (+ J 1))

																																)

																																(SETQ Y (+ X 5.5))

																																(SETQ Y (- Y (* (+ X 0.5) (LOG Y))))

																																(SETQ Y (+ (* -1 Y) (LOG (* (CAR CN) (/ SER X)))))

																																)

																																;ВЫЧИСЛЕНИЕ ГАММА-ФУНКЦИИ ЧЕРЕЗ ЕЕ ЛОГАРИФМ

																																;ГАММА ДЛЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ АРГУМЕНТОВ

																																(DEFUN GAMMA (X)

																																(EXP (GAMMA_LN X))

																																)

																																;ГАММА ДЛЯ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

																																(DEFUN GAMMA_WHOLE (X)

																																(SETQ X (- X 1))

																																(DO

																																((RES 1) (RS 1))

																																((EQL X 0) RS)

																																(SETQ RS (* RES RS))

																																(SETQ X (- X 1))

																																(SETQ RES (+ RES 1))

																																)

																																)

																																;ГАММА ДЛЯ МНОЖЕСТВА ТОЧЕК

																																(DEFUN GAMMA_POINT (X)

																																(IF (> X 0)

																																(PROGN

																																(SETQ Y (+ X 2))

																																(SETQ GAM (* (SQRT (* 2 (/ PI Y))) (EXP (+ (* Y (LOG Y)) (- (/ (- 1 (/ 1 (* 30 Y Y))) (* 12 Y)) Y)))))

																																(SETQ RES (/ GAM (* X (+ X 1))))

																																)

																																;ИНАЧЕ

																																(PROGN

																																(SETQ J 0)

																																(SETQ Y X)

																																(DO

																																(())

																																((>= Y 0))

																																(SETQ J (+ J 1))

																																(SETQ Y (+ Y 1))

																																)

																																(SETQ GAM (GAMMA_POINT Y))

																																(DO

																																((I 0))

																																((>= I (- J 1)))

																																(SETQ GAM (/ GAM (+ X I)))

																																(SETQ I (+ I 1))

																																)

																																(SETQ RES GAM)

																																)

																																)

																																RES)

																																;ПОЛУЧАЕМ ЭЛЕМЕНТ ФУНКЦИИ

																																(SETQ FUNC 0)

																																(SETQ INPUT_STREAM (OPEN " D:\GAMMA.TXT" :DIRECTION :INPUT))

																																(SETQ FUNC (READ INPUT_STREAM))

																																(CLOSE INPUT_STREAM)

																																;РЕЗУЛЬТАТ ГАММА-ФУНКЦИИ

																																(SETQ OUTPUT_STREAM (OPEN "D:\RESULT.TXT" :DIRECTION :OUTPUT))

																																(PRINT 'RESULT_OF_GAMMA_FUNCTION OUTPUT_STREAM)

																																;ПРИМЕНЯЕМ ДЛЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

																																(PRINT (MAPCAR 'GAMMA FUNC) OUTPUT_STREAM)

																																;ПРИМЕНЯЕМ ДЛЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

																																(PRINT (MAPCAR 'GAMMA_WHOLE FUNC) OUTPUT_STREAM)

																																;ПРИМЕНЯЕМ ДЛЯ ЛЮБЫХ ЧИСЕЛ

																																(PRINT (MAPCAR 'GAMMA_POINT FUNC) OUTPUT_STREAM)

																																(TERPRI OUTPUT_STREAM)

																																(CLOSE OUTPUT_STREAM)

																																;END


5 Пример выполнения программы



Пример 1.





Рисунок 7 – Входные данные. Вычисление гамма-функции для положительных целых чисел





Рисунок 8 – Выходные данные. Вычисление гамма-функции для положительных целых чисел



Пример 2.







Рисунок 9 – Входные данные. Вычисление гамма-функции для положительных чисел






Рисунок 10 – Выходные данные. Вычисление гамма-функции для положительных чисел



Пример 3.





Рисунок 11 – Входные данные. Вычисление гамма-функции для множества чисел





Рисунок 12 – Выходные данные. Вычисление гамма-функции для множества чисел



	
ЗАКЛЮЧЕНИЕ



Гамма функции являются удобным средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях. Благодаря этому они широко применяются в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях современной науки.

Итогом работы можно считать созданную функциональную модель реализации основных способов вычисления гамма функции. Данная модель применима к гамма-функции с положительным целым параметром, гамма-функции с положительным параметром, гамма-функции для множества точек. Созданная функциональная модель реализации основных способов вычисления гамма функции и ее программная реализация могут служить органической частью решения более сложных задач.




СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ и литературы

	

	Бронштейн, И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов [Текст] / И.Н.Бронштейн, К.А.Семендяев. – М.: Наука, 2007. – 708 с.

		Вычисление гамма-функции и бета-функции [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://www.cyberguru.ru/cpp-sources/algorithms/vytchislenie-gamma-funktsii-i-beta-funktsii.html

		Гамма-функция – Википедия [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Гамма_функция

	Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов. [Текст] / Н.Ш.Кремер, 3-е издание – М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2006. C. 412.

	Семакин, И.Г. Основы программирования. [Текст] / И.Г.Семакин, А.П.Шестаков. – М.: Мир, 2006. C. 346.

	Симанков, В.С. Основы функционального программирования [Текст] / В.С.Симанков, Т.Т.Зангиев, И.В.Зайцев. – Краснодар: КубГТУ, 2002. – 160 с.

	Степанов, П.А. Функциональное программирование на языке Lisp. [Электронный ресурс] / П.А.Степанов, А.В. Бржезовский. – М.: ГУАП, 2003. С. 79.

	Хювенен Э. Мир Лиспа [Текст] / Э.Хювенен, Й.Сеппянен. – М.: Мир, 1990. – 460 с.