Системи числення

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ

Бердичівський політехнічний коледж

















Контрольна робота

«Комп’ютерна схемотехніка»

(варіант №21)





студента групи Пзс-503

Михайлуса Михайла Геннадійовича























2008 р.


1. Принципи побудови систем числення, основні поняття



У числової інформації в персональних комп’ютерах є такі характеристики:

система числення - двійкова, десяткова та інші;

вид числа - дійсні, комплексні та масиви;

тип числа - змішані, цілі та дробові;

форма представлення числа (місце розташування коми) - з природною (змінною), з фіксованою та з плаваючою комами;

розрядна сітка та формат числа;

діапазон і точність подання числа;

спосіб кодування від’ємних чисел - прямий, обернений чи доповняльний код;

алгоритм виконання арифметичних операцій.

Системи числення — це сукупність прийомів та правил запису чисел за допомогою цифр чи інших символів. Запис числа у деякій системі числення називається його кодом.

Усі системи числення поділяють на позиційні та непозиційні.

Непозиційна система числення має необмежену кількість символів. Кількісний еквівалент кожного символу постійний і не залежить від позиції. Найвідомішою непозиційною системою числення є римська. В якій використовується сім знаків: I -1, V - 5, X - 10, L - 50, C - 100, D - 500, M - 1000. Недоліки непозиційної системи числення: відсутність нуля, складність виконання арифметичних операцій. Хоча римськими числами часто користуються при нумерації розділів у книгах, віків в історії та інше.

Позиційна система числення має обмежену кількість символів і значення кожного символу чітко залежить від її позиції у числі. Кількість таких символів q, називають основою позиційної системи числення. Головна перевага позиційної системи числення - це зручність виконання арифметичних операцій.

У системах числення з основою меншою 10 використовують десяткові цифри, а для основи більшої 10 добавляють букви латинського алфавіту.

У позиційних системах числення значення кожного символу (цифри чи букви) визначається її зображенням і позицією у числі.

Окремі позиції в записі числа. називають розрядами, а номер позиції - номером розряду. Число розрядів у записі числа, називається його розрядністю і зберігається з довжиною числа.

Позиційні системи числення діляться на однорідні та неоднорідні.

Неоднорідні системи числення - це такі позиційні системи числення, де для кожного розряду числа основа системи числення не залежить одна від одної і може мати будь-яке значення.

Прикладом є двійково-п’ятиркова система числення (система зі змішаними основами). Вони використовуються у спеціалізованих ЕОМ ранніх поколінь.

Однорідна позиційна система числення - це така система числення, для якої множина допустимих символів для всіх розрядів однакова. Причому, якщо вага в розряді числа складає ряд геометричної прогресії з знаменником (основою р), то це однорідна позиційна система числення з природною порядковою вагою. У даній позиційній системі числення з природною порядковою вагою число може бути представлене у вигляді поліному:







де		 - основа системи числення;

			 - вага позиції;

	- цифри в позиціях числа;

			 - номер розрядів цілої частини;

 - номер розрядів дробової частини.



Система числення з основою 10 - десяткова система. Для її зображення використовують цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Число десять є складеним. Кожне десяткове число можна розкласти по ступенях основи десяткової системи числення. Наприклад, число 5213,6 можна представити як поліном, кожен член якого є добутком коефіцієнта на основу системи числення в деякій степені:

	

	5213,6=5·103+2·102+1·101+3·100+6·10-1



Система числення з основою 2 - двійкова система. Для її зображення використовують цифри: 0, 1. Кожне двійкове число можна розкласти по ступенях основи двійкової системи числення. Наприклад, число 111,01 можна представити як поліном, кожен член якого є добутком коефіцієнта на основу системи числення в деякій степені:

	

	111,012=1·22+1·21+1·20+0·2-1+1·2-2=7,2510

	

Система числення з основою 8 - вісімкова система. Для її зображення використовують цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Кожне вісімкове число можна розкласти по ступенях основи вісімкової системи числення. Наприклад, число 45,21 можна представити як поліном, кожен член якого є добутком коефіцієнта на основу системи числення в деякій степені:

	

	45,218=4·81+5·80+2·8-1+1·8-21=37,265110


Система числення з основою 16 - шістнадцяткова система. Для її зображення використовують цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 та літери: A, B, C, D, E, F. Кожне шістнадцяткове число можна розкласти по ступенях основи шістнадцяткової системи числення. Наприклад, число DE,1B можна представити як поліном, кожен член якого є добутком коефіцієнта на основу системи числення в деякій степені:

	

	DE,1B16=D·161·+E·160+1·16-1·B·16-2=222,105110

	

	Ці записи показують один із способів переведення не десяткових чисел у десяткові.

	При однаковій розрядності у системах числення з більшою основою можна записати більше різних чисел.

	Перевагою двійкової системи числення є: простота виконання арифметичних операцій, наявність надійних мікроелектронних схем з двома стійкими станами (тригерами), призначеними для зберігання значень двійкового розряду цифр 0 або 1.

Для переведення цілого числа з однієї системи в іншу необхідно поділити перевідне число на нову основу за правилом початкової системи. Одержана перша остача є значенням молодшого розряду в новій системі, п першу частку необхідно знову ділити. Цей процес продовжується аж до появи неподільної частки. Результат записують у порядку оберненому їхньому одержанню:




Наприклад: переведемо число 118 з десяткової системи у війкову

11810=11101102

118

2























118

59

2





















0

58

29

2





















1

28

14

2





















1

14

7

2





















0

6

3

2





















1

2

1

2





















1

0

0























1















Для переведення правильного дробу з однієї системи числення в іншу необхідно діючи за правилами початкової системи помножити перевідне число на основу нової системи. Від результату відокремити цілу частину, а дробову частину, яка залишилася знов помножити на цю основу.

Процес такого множення повторюється до одержання заданої кількості цифр. Результат записують як цілі частин добутку у порядку їхнього одержання.

Наприклад: переведемо число 0,625 з десяткової системи у двійкову



0,62510=0,10102



0,625



2



1,250



2



0,500



2



1,000



2



0,000




Для переведення змішаних чисел у двікову систему потрібно окремо переводити цілу та дробову частини.

У вісімкових і шістнадцятькових чисел основа кратна степеню 2, тому переведення цих чисел у двійкову реалізується наступним чином: кожну цифру записують трьома двійковими цифрами (тріадами) для вісімкових чисел і чотирма - для шістнадцяткових чисел в напрямках вліво та вправо від коми. При цьому крайні незначущі нулі опускаються.



3 0 5, 4 2

Наприклад:	305,428=11 000 101,100 012



7 2 А, E F

72А,EF16=111 0010 1010,1110 11112



Для переведення двійкового числа у вісімкове початкове число розбивають на тріади вліво та вправо від коми, відсутні крайні цифри доповнюють нулями, кожну тріаду записують вісімковою цифрою. Аналогічно здійснюється переведення двійкового числа у шістнадцяткове, при цьому виділяють, які заміняють шістнадцятковими цифрами.

6 3, 4 2

Наприклад:	



110 011,100 0102=63,42

3 А С 7

0011 1010,1100 01112=3А,С716



Критерії вибору

На відміну від аналогових машин, де будь-яка фізична чи математична величина може бути представлена у виді напруги, переміщення і т. п., у цифрових обчислювальних машинах дані задаються у виді цифрових чи буквених символів. При цьому використовується не будь-який набір символів, а визначена система. В електронних обчислювальних машин застосовуються позиційні системи числення. Така система числення, як римська, непозиційна, в обчислювальній техніці не використовується через свою громіздкість і складні правила утворення.

Від вибору системи числення залежить швидкодія ЕОМ та об’єм пам’яті. При виборі враховують такі нюанси:

1) наявність фізичних елементів;

2) економічність системи числення (чим більша основа системи числення, тим потрібна менша кількість розрядів, але більша кількість відображуючих елементів). Найбільш ефективна це трійкова система числення, але двійкова система і системи числення з основою 4 - не гірша;

3) важкість виконання операцій (чим менше цифр, тим простіше);

4) швидкодія (чим більше цифр, тим менша швидкодія);

5) наявність формального математичного апарату для аналізу і синтезу обчислювальних пристроїв.

Класична двійкова система числення - це така система числення, в якій для зображення чисел використовують тільки два символи: 0 та 1, а вага розрядів змінюється по закону 2k, де к—довільне число.

Правило виконання операцій у класичній двійковій системі числення

У загальному вигляді двійкові числа можна представити у вигляді поліному:



А2 = r n*2n + r n-1* 2n-1 + … + r1* 21 + r0*20 + r-1* 2-1,



Додавання у двійковій системі числення проводиться по правилу додавання поліномів, тобто j-тий розряд суми чисел a та b визначається за формулою.

Двійкова арифметика, чи дії над двіковими числами, використовують наступні правила, задані таблицями додавання, віднімання, множення.

Додавання  Віднімання Множення



0 + 0 = 0  0 – 0 = 0 0 * 0 = 0

0 + 1 = 1  1 – 0 = 1 0 * 1 = 0

1 + 0 = 1  1 – 1 = 0 1 * 0 = 0

1 + 1 = 10  10 – 1 = 1 1 * 1 = 1



Логічне додавання



0

1

0

0

1

1

1

1



Додавання по модулю 2



0

1

0

0

1

1

1

0



Додавання двох багаторозрядних двійкових чисел проводиться порозрядно з урахуванням одиниць переповнення від попередніх розрядів.

Приклад:



+

1011



1011



10110



Віднімання багаторозрядних двійкових чисел, аналогічно додаванню, починається з молодших розрядів. Якщо зайняти одиницю в старшому розряді, утвориться дві одиниці в молодшому розряді.


Приклад.

-

1010



0110



0100



Множення являє собою багаторазове додавання проміжних сум і зсувів.



Приклад.

x

10011



101

+

10011



00000



10011



1011111



Перевірка за вагами розрядів числа 1011111(2) дає 64 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 95(10).

Процес ділення складається з операцій віднімання, що повторюють.



Приклад.

101010

111

111



110

0111



111



0000





Позиційні системи числення з непостійною штучною вагою

Для ЦОМ розроблені допоміжні системи числення, що одержали назву "двійково-кодовані десяткові системи" (ДКДС). У цій системі кожна десяткова цифра представляється двійковим еквівалентом. Чотирьохрозрядне двійкове число може мати ваги розрядів: 2, 4, 2, 1 чи 8, 4, 2, 1, і ін. Десяткове число 7 у залежності від прийнятої системи ваги війкового розряду буде зображено у виді:



А) 1101	і	Б) 0111

2421		 8421(2-10)



Недоліком ДКДС є використання зайвих двійкових розрядів для десяткових чисел від 0 до 7. Більш раціональне застосування вісімкової системи, але вісімкові числа доводиться переводити в десяткові, а числа в ДКДС відразу читаються в десятковому коді.

Такі системи числення найчастіше використовуються в спеціалізованих ЕОМ як коди. Прикладом є двійково-десяткова системи числення.

Щоб перекласти десяткове число у двйково-десяткову систему числення, необхідно кожну цифру десяткового числа замінити.

Щоб перекласти число з двійково-десяткової системи числення необхідно спочатку перекласти його у десяткову систему числення, а потім за загальним правилом в іншу систему числення.

Щоб перекласти двійково-десяткове число у десяткову систему числення, необхідно кожні чотири цифри двійкової системи числення замінити однією цифрою десяткової системи числення, для цілої частини, починаючи з молодшого розряду, для дробової - з старшого.

	

Таблиця кодів

(10)

8-4-2-12

8-4-2-1

(спеціалізована)

8-4-2-1+”3”

8-4-2-1+”6”

Грея

0

0000

0000

0011

0110

0000

1

0001

0001

0100

0111

0001

2

0010

0010

0110

1000

0011

3

0011

0011

0111

1001

0010

4

0100

0100

1000

1010

0110

5

0101

1011

1001

1011

0111

6

0110

1100

1001

1100

0101

7

0111

1101

1010

1101

0100

8

1000

1110

1011

1110

1100

9

1001

1111

1100

1111

1101



2. Визначення та призначення тригерів. Класифікація тригерів



Тригери - це мікроелектроні схеми з двома стійкими станами. Вони призначені для зберігання значень двійкового розряду цифр 0 або 1.

Тригери мають динамічне і потенційне керування. Кожен компонент може містити один чи кілька тригерів у корпусі, у яких загальними є сигнали установки, скидання і тактової синхронізації (дивись малюнок). Перелік тригерів приведений нижче у таблиці.





а)





б)




в)



г)

Мал.- Тригери: а) - JK-тригер з негативним фронтом спрацьовування і низьким рівнем сигналів установки і скидання; б) - D-тригер з позитивним фронтом спрацьовування і низьким рівнем сигналів установки і скидання; в) - синхронний двотактний RS-тригер; г) -синхронний однотактний D-тригер



Таблиця. Перелік тригерів

Тип

Параметри

Порядок

перерахування

виводів

Функціональне

призначення

Тригери з динамічним керуванням

JKFF

Кількість тригерів

S,R,C,J,J,...,K,K,...,Q,Q,..., Q, Q,...

JK-тригер з негативним фронтом спрацьовування і низьким рівнем сигналу установки і скидання

DFF

Кількість тригерів

S, R, C, D, D,..., Q, Q,..., Q, Q,...

D-тригер з позитивним фронтом спрацьовування і низьким рівнем сигналу установки і скидання

Тригери з потенційним управлінням

SRFF

Кількість тригерів

S, R, G, S, S,..., R, R,...,Q,Q,..., Q,Q,...

Двотактний синхронний RSтригер

DLTCH

Кількість тригерів

S,R,G,D,D,..., Q, Q,..., Q, Q,...

Однотактний синхронний Dтригер



Моделі динаміки тригерів з динамічним керуванням мають формат:

MODEL <ім'я моделі> UEFF [(параметри)]

Параметри моделі тригерів з динамічним керуванням типу UEFF приведені нижче в таблиці (значення за замовчуванням - 0, одиниця виміру - c). Коса риса "/" означає "чи"; наприклад, запис S/R означає сигнал S чи R.

Моделі динаміки тригерів з потенційним керуванням має формат:

MODEL <ім'я моделі> UGFF [(параметри)]

Параметри моделі тригерів з потенційним керуванням типу UGFF приведені в таблиці 5 (значення за замовчуванням - 0, одиниця виміру  с).

За замовчуванням у початковий момент часу вихідні стани тригерів прийняті невизначеними (стани X). Вони залишаються такими до подачі сигналів чи установки чи скидання переходу тригера у визначений стан. У МС5 мається можливість установити визначений початковий стан за допомогою параметра DIGINITSTATE діалогового вікна Global Settings.

У моделях тригерів маються параметри, що характеризують мінімальні тривалості сигналів установки і скидання і мінімальну тривалість імпульсів. Якщо ці параметри більше нуля, то в процесі моделювання обмірювані значення длительностей імпульсів порівнюються з заданими даними і при наявності занадто коротких імпульсів на екран видаються попереджуючі повідомлення.


Завдання №1



1. Перевести 121,37 з десяткової системи числення у двійкову: 121,3710=1111001,01012

121

2



















0,37

120

60

2

















2

1

60

30

2















0,74



0

30

15

2













2





0

14

7

2











1,48







1

6

3

2









2









1

2

1

2







0,96











1

0

0







2













1









1,92



вісімкову: 121,3710=171,27538

121

8











0,37

120

15

8









8

1

8

1

8







2,96



7

0

0







8





1









7,68















8















5,44















8















3,52




шістнадцяткову: 121,3710=79,5ЕВ816

121

16











0,37

112

7

16









16

9

0

0









5,92



7











16















14,72















16















11,52















16















8,32



двійково-десяткову: 121,3710=1 0010 0001,0011 01112-10



2. Перевести з двійкової системи числення у десяткову:



110111002=1·27+1·26+0·25+1·24+1·23+1·22+0·21+0·20= +1·128+1·64+0·32+1·16+1·8+1·4+0·2+0·1=128+64+0+16+8+4+0+0=22010



вісімкову: 110111002=011 011 1002=3348



шістнадцяткову: 110111002=1101 11002=DC16



Завдання №2



		записати всі константи одиниці;

		записати всі константи нуля;

		записати досконалу диз’юнктивну нормальну форму;

		записати досконалу кон’юктивну нормальну форму;

		мінімізувати функцію за допомогою карт Карно;

		побудувати комбінаційну схему заданої функції у базисі "І-ЧИ-НЕ"



Х1

Х2

Х3

Х4

f

константа 1

константа 0

0

0

0

0

1

x1x2x3x4



0

0

0

1

1

x1x2x3x4



0

0

1

0

1

x1x2x3x4



0

0

1

1

1

x1x2x3x4



0

1

0

0

0



x1x2x3x4

0

1

0

1

0



x1x2x3x4

0

1

1

0

0



x1x2x3x4

0

1

1

1

1

x1x2x3x4



1

0

0

0

1

x1x2x3x4



1

0

0

1

1

x1x2x3x4



1

0

1

0

0



x1x2x3x4

1

0

1

1

1

x1x2x3x4



1

1

0

0

0



x1x2x3x4

1

1

0

1

1

x1x2x3x4



1

1

1

0

0



x1x2x3x4

1

1

1

1

1

x1x2x3x4





ДДНФ: F = x1x2x3x4  x1x2x3x4  x1x2x3x4  x1x2x3x4  x1x2x3x4   x1x2x3x4  x1x2x3x4  x1x2x3x4  x1x2x3x4  x1x2x3x4



ДДКНФ: F = (x1x2x3x4)(x1x2x3x4)(x1x2x3x4) (x1x2x3x4)(x1x2x3x4)(x1x2x3x4)



x3x4



х1х2

00

01

11

10

00

1

1

1

1

01





1



11



1

1



10

1

1

1






МДНФ: F = x1x2  x3x4  x1x3x4  x1x2x3

Комбінаційна схема:



1

1

1x1

x2

x3

x4



1

1







&

&

&



F

1

1

1

&

&

&
















Список використаної літератури



	"Комп’ютерна схемотехніка". М.П.Бабич, І.А.Жуков. МК-Прес. 2004 рік.

	Конспект лекцій.

	Інтернет.

17