Решение краевых задач в среде виртуальной гибридной машины

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ”ХПИ”

Кафедра вычислительной техники и программирования















Курсовая работа

по теме "Решение краевых задач в среде виртуальной 

гибридной машины"

















Харьков – 2008


ВВЕДЕНИЕ



В своем развитии вычислительные средства, рожденные удивительными идеями подобия физических процессов различной природы, прошли множество оригинальных технических реализаций. Опыт развития показывает, что жизнь технических решений в своем материальном воплощении недолговечна. Появляются новые материалы, технологии, физические среды и процессы. На их основе реализуются технические устройства для успешного применения зарекомендовавших себя методик исследований и вычислений. 

Так, благодаря интенсивному развитию цифровой вычислительной техники и сверхмикроминиатюризации электронных элементов, узлов и блоков, “Аналоговые вычислительные машины” расширили свои вычислительные и функциональные возможности, превратившись в гибридные вычислительные системы моделирования, тренажерные комплексы и специализированную периферию. Время проведения исследований динамических объектов уменьшилось на порядки, стало возможным выполнять одновременно оперативную обработку и соответствующее документирование результатов.

В настоящее время в аппаратной среде цифровых машин можно реализовать программную модель универсальной гибридной (аналого-цифровой) вычислительной машины, в которой операционные блоки будут функционировать в квазипараллельном режиме (в режиме разделения времени). Такую модель удобно создавать с помощью профессиональных пакетов моделирования электронных аналоговых и цифровых схем, снабженных развитым графическим интерфейсом пользователя. 

Используя макроопределения для схем операционных блоков и снабжая их соответствующими графическими обозначениями, можно сформировать весь набор операционных блоков, необходимый для представления математических моделей реальных объектов. 

Положительные достоинства работы с псевдооборудованием гибридного вычислительного комплекса состоит в том, что в его среде можно моделировать объекты любой физической природы, лишь бы их можно было описать адекватными математическими моделями. При этом используется отработанная десятилетиями процедура программирования аналоговых устройств и естественное умение разработчика взаимодействовать с объектом, который им же описан математически.

В прошлом программирование аналоговых ЭВМ происходило методом переключения перемычек на коммутационной панели ЭВМ. Это было неудобно и связано с риском поражения электрическим током (напряжением до 100 В). Чтобы просмотреть результаты моделирования или выполнить замеры, необходимо было подключать осциллограф - для анализа переходных процессов, или стрелочные приборы - для анализа установившихся состояний.

Работа в среде виртуальной гибридной вычислительной машины упростила составление схем устройств, повысила наглядность экспериментов, уменьшила риск поражения электрическим током. Результаты моделирования можно просматривать на экране монитора и распечатывать на принтере.

В данном расчетно-графическом задании виртуальная гибридная вычислительная машина будет использована в качестве вычислительного инструмента для решения краевых задач методами математического и аналогового моделирования, с целью демонстрации возможностей аналоговых устройств для исследования физических объектов, описанных уравнениями математической физики в обыкновенных и частных производных.


1 АНАЛИЗ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ



1.1 Анализ задания и постановка задачи исследования



В задании на выполнение расчетно-графического задания приведено краткое описание исходных данных следующего содержания:

Провести исследование конечно-разностных методов решения краевых задач путем моделирования в среде пакета Micro-Cap V. Оценить эффективность и сравнительную точность получения решений методом математического моделирования, аналогового моделирования и численными расчетами. Здесь, во-первых, четко указан класс задач, для которого необходимо разработать методику решения и исследования. Это класс краевых задач, к которым относятся дифференциальные уравнения в обыкновенных и частных производных с условиями, заданными на границе области решения. Во-вторых, названа моделирующая среда, в которой должна функционировать виртуальная аналоговая вычислительная машина. Это профессиональный пакет схемотехнического моделирования электронных схем Micro-Cap V. И, в-третьих, с целью сопоставления результатов решения, рекомендуется применить различные методы, из которых названы три: метод математического моделирования, метод вычислений по аналогии и метод традиционных численных расчетов.

В связи со сказанным, мне необходимо проанализировать наиболее распространенные методы решения краевых задач в обыкновенных производных, выбрать из них удобный для применения в виртуальной гибридной среде и подобрать для демонстрации контрольные задачи. Аналогичную работу необходимо провести с краевыми задачами в частных производных. Описать методику конечно-разностной аппроксимации исходных уравнений и привести алгоритмы или последовательность ее выполнения.

В результате рассмотрения существующих методов решения составить математические модели краевых задач, подобрав в качестве исходных уравнений такие, для которых, с целью контроля, несложно получить и аналитические решения.



1.2 Методы решения задач в частных производных



Среди дифференциальных уравнений в частных производных можно выделить уравнения, описывающие стационарные распределения в заданной области некоторой физической величины, и уравнения, описывающие изменение во времени распределенной в заданной области физической величины. Признаком, разделяющим уравнения на эти два подмножества, является присутствие в уравнении частной производной по времени. Принципиальное различие пространственной и временной независимых переменных состоит в том, что в отличие от однонаправленного изменения реального времени ортогональные пространственные переменные могут изменяться независимо друг от друга в обоих направлениях.

Ядром наиболее часто встречающихся дифференциальных уравнений в частных производных служит уравнение Лапласа



,



где 	 (набла в квадрате) - оператор Лапласа, который в двумерной декартовой системе координат имеет вид



 .


Это уравнение описывает стационарное поле некоторой физической величины и относится к уравнениям эллиптического, гиперболического или параболического типа в зависимости от значения определителя дифференциальной формы второй степени



, для которой соответственно	,



где	 - в общем случае функции координат и потенциала u.

К нестационарным уравнениям параболического и гиперболического типов относятся соответственно уравнение теплопроводности с параметрами-функциями  и S 







и уравнения волновое и бигармоническое с параметром С 



 и 



Названные уравнения представлены в канонической форме, которая включает безразмерные относительные переменные, обычно приводимые к диапазонам изменения [0,1] и [-1,1]. Размерности слагаемых согласуются посредством параметров уравнения. 

Основным методом решения дифференциальных уравнений в частных производных является аппроксимация уравнения системой алгебраических уравнений или системой дифференциальных уравнений. Эти два вида аппроксимаций в литературе получили название метод сеток и метод прямых.

Метод сеток реализуется в том случае, когда частные производные, входящие в уравнение, заменяются в каждой точке заданной области конечно-разностными выражениями, полученными из значений искомого решения в окружающих точках. Количество уравнений в системе связано с шагом дискретизации временной и пространственных переменных и формой границы области решения. Число точек, попавших внутрь области решения, определяет число неизвестных и уравнений.

Метод прямых относится к случаю, когда одна из независимых переменных является временем (случай нестационарных задач) или когда одну из пространственных переменных (случай стационарных задач) пропорционально связывают со временем. Частные производные от независимых переменных, не связанных с временем, аппроксимируют конечными разностями. В результате, оставшиеся дискретными независимые переменные сочетанием своих значений определяют общее число дифференциальных уравнений, которые в общем случае являются краевыми.

Аппроксимирующие дифференциальные уравнения с краевыми условиями невозможно интегрировать как систему уравнений Коши. Линейная система краевых задач многократно решается с частными начальными условиями и по результатам решений краевые условия пересчитываются в начальные. Нелинейной системе для приближенного вычисления начальных условий потребуются итерационные процедуры, рассмотренные выше. 

Математические модели, сформированные по методам сеток и прямых, могут быть решены методом математического моделирования с применением аналоговых или псевдо аналоговых операционных блоков, а также методом аналогий.

Метод аналогий (аналоговое моделирование) заключается в том, что для каждого уравнения математической модели подбирается физический объект, переменные состояния которого связаны таким же уравнением. В подавляющем большинстве случаев в качестве аналоговых объектов используются схемы с электрическими и электронными компонентами. Особенно простыми аналогами уравнений математических моделей являются уравнения электрических схем, полученные на основании законов Ома и Кирхгофа.

Итак, все рассмотренные методы используют конечно-разностную аппроксимацию, к рассмотрению которой мы переходим.



1.3 Конечные разности и аппроксимация производных



1.3.1 Определение конечных разностей

Конечная разность "вперед" для таблично заданной функции в i-той точке определяется выражением: , где функция  задана, как функция целочисленного аргумента с единичным шагом по аргументу i.

Для аналитически заданной и протабулированной с постоянным шагом h функции f(x) определяющее соотношение имеет вид:



f(x) = f(x+h) - f(x)



Преобразование таблицы функции f(x) в функцию целочисленного аргумента g(i) осуществляют при помощи линейного соотношения между аргументами x и i :  .

Повторные конечные разности n-го порядка в i-той точке для табличной функции g(i) определяются соотношением






Линейность конечно-разностного оператора  позволяет ввести конечно-разностный оператор сдвига E=(1+) и многочлены от оператора  с целыми коэффициентами, такие, как



 	и т.п.,



где	 должно рассматриваться в качестве оператора повторной разности k-го порядка .

Применение оператора сдвига к g(i) преобразует последнее в g(i+1) :



g(i+1) = Eg(i) = (1+)g(i)= g(i) + g(i). 



Повторное применение оператора сдвига позволяет выразить значение ординаты функции g(i) в точке (i+n) через конечные разности различных порядков:







где	 - число сочетаний из n элементов по k ;



- 



многочлен степени k от целой переменной n (), имеющий k сомножителей. При k=n  .

Относительно начала координат (i=0 - начало таблицы) функция целочисленной переменной g(n) представляется разложением по многочленам различных степеней от 0 до n. Для больших степеней конечные разности равны нулю.







С другой стороны, так как  , то







Таким образом, любая повторная конечная разность выражается взвешенной алгебраической суммой ординат табличной функции.



1.3.2 Взаимосвязь операторов разности и дифференцирования



Значение функции на удалении h от некоторой точки  можно выразить через значения производных в этой точке, разложив ее в ряд Тэйлора:







где	 - оператор дифференцирования,

 - оператор сдвига, выраженный через оператор p .

h- шаг по оси действительной переменной

Из равенства операторов сдвига, выраженных через p и , можно получить взаимосвязь этих линейных операторов:



,



Оператор дифференцирования порядка n, перенесенный в точку, например, на 2 шага вперед представляется так:







Если алгебраически перемножить многочлены с конечно-разностными операторами и ограничиться операторами со степенью не выше n, то получится одна из возможных аппроксимаций оператора дифференцирования. Например, для n=2 и четырех точечном задании функции f(x), отбросив повторные разности выше третьего порядка, получим:



.



Выразив повторные разности через ординаты табличной функции, получим второй вариант аппроксимации оператора дифференцирования:



 .


Для целочисленного аргумента табличной функции запись выражения можно упростить, так как шаг h=1 и :



 .



Для k-той производной в точке m от начала интервала [0,n]: 





После выполнения операций возведения многочленов в степень и их перемножения, конечные разности со степенями больше n отбрасываются, а оставшиеся  заменяются выражением . Раскрыв скобки, подставив  и сгруппировав подобные члены, получим аппроксимирующую сумму из (n+1)-й ординаты функции:



 .



Коэффициенты  минимальны для точек середины интервала (m=n/2) и максимальны - для крайних. Аналогично ведут себя и коэффициенты в выражении погрешности аппроксимации.

Таким образом, для любой внутренней точки из группы выбранных равномерно расположенных ординат можно сформировать выражение, аппроксимирующее производную взвешенной суммой.

1.4 Представление уравнений конечно-разностной моделью



При математическом описании реальных физических объектов чаще всего приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями в обыкновенных или частных производных второго порядка с начальными, краевыми или граничными условиями. 

Для аппроксимации таких уравнений удобно заранее построить таблицы коэффициентов для выражений производных по заданному числу значений функции. В бакалаврской работе воспользуемся аппроксимацией по трем и пяти точкам, коэффициенты для которых приведены в таблицах 1, 2, 3, 4. В крайних справа колонках таблиц приведены коэффициенты выражений, вынесенных в заголовок колонки, для погрешности аппроксимации производной в выбранной точке. В выражениях погрешности присутствуют значения производных функции с порядками выше порядка аппроксимируемой производной.



Таблица 1 - Аппроксимация первой производной по трем точкам



y(0)

y(1)

y(2)



y’(0)

-3

4

-1

2

y’(1)

-1

0

1

-1

y’(2)

1

-4

3

2











Таблица 2 - Аппроксимация второй производной по трем точкам













1

-2

1

-12, 2



1

-2

1

0, -1



1

-2

1

12, -2




Таблица 3 - Аппроксимация первой производной по пяти точкам

















-25

48

-36

16

-3

12



-3

-10

18

-6

1

-3



1

-8

0

8

-1

2



-1

6

-18

10

3

-3



3

-16

36

-48

25

12



Таблица 4 - Аппроксимация второй производной по пяти точкам

















35

-104

114

-56

11

-150, 12



11

-20

6

4

-1

15, -3



-1

16

-30

16

-1

0, 2



-1

4

6

-20

11

15, 3



11

-56

114

-104

35

150, -12



Чтобы получить конечно-разностную модель дифференциального уравнения, необходимо сначала интервал или область решения разделить с постоянным шагом по осям координат на требуемое число подинтервалов и для каждой внутренней точки подставить аппроксимирующие выражения в заданное уравнение. После приведения подобных членов в каждом уравнении, получится система алгебраических уравнений при полной дискретизации всех независимых переменных или система дифференциальных уравнений - при неполной дискретизации. К полученным таким образом уравнениям добавляются соотношения или значения функции и ее производных в точках границы области.

В процессе формирования уравнений особое внимание необходимо обращать на замену производных конечно-разностными эквивалентами в приграничных точках. В выражениях последних должны отсутствовать неизвестные значения функции в точках, расположенных вне области интегрирования. Поэтому аппроксимирующие, выражения производных из таблиц 1-4 для точек у левой границы интервала берутся из верхних строчек, а для точек у правой границы - из нижних строчек.


2. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ



В качестве демонстрационной краевой нестационарной задачи возьмем задачу теплопроводности с непрерывным временем. На этой задаче удобно показывать как динамику нагрева объекта, так и установившееся распределение температурного поля.



2.1 Задача теплопроводности с непрерывным временем



Применение метода прямых рассмотрим на примере решения уравнения теплопроводности следующего вида:



 ,



которое описывает изменение температуры  вдоль металлического стержня длиной в 1 метр (), вваренного своими концами в две металлические пластины с разными, постоянно поддерживаемыми на них температурами 



 и .



Начальное распределение температуры по длине будем задавать для внутренних точек как 



.



Единичную длину стержня разобьем на 8 равных частей 


()



и обозначим изменяющееся значение температуры в каждой точке через . 



2.2 Вариант аппроксимации дифференциальными уравнениями



Применим трех точечную аппроксимацию частной производной второго порядка, воспользовавшись таблицей 2 из раздела 1.4. Для внутренних точек и для приграничных точек коэффициенты в аппроксимирующем выражении второй производной оказываются одинаковыми. Это позволяет для каждой внутренней точки, размеченного на 8 частей стержня, записать следующую систему дифференциальных уравнений первого порядка относительно скорости изменения температур в каждой точке:

Для получения числовых значений зададим конкретные величины. Так коэффициент В для теплоизолированного по боковой поверхности алюминиевого стержня равен теплопроводности этого материала, т.е. =200 вт/(мК). 

Удвоенный квадрат шага по длине стержня равен 20.1252=0.03125 м2.

Вместо температуры введем относительную переменную, разделив левую и правую части на 100:



.



Если все коэффициенты перенести в правую часть и, вычислить, записав результат перед скобками, то система уравнений примет окончательный вид: 







В полученной системе  0=1, а  8=0.



В случае аппроксимации производной по времени конечными разностями «вперед», что в цифровой моделирующей среде может случиться и при непрерывном времени, соотношение между шагом по временной переменной  и по пространственной  должно подчиняться следующему неравенству: . При несоблюдении этого условия решение может оказаться численно неустойчивым.




2.3 Программирование для математического моделирования



Полученная в пункте 2.2 система дифференциальных уравнений, благодаря представлению искомых переменных в относительном виде, при максимальных напряжениях на выходах операционных блоков в 1 вольт и масштабных множителях, равных единице, специального расчета коэффициентов передач не требует. Коэффициенты по входам сумматоров будут такими же, как в уравнениях.

Схема соединения операционных блоков для этой задачи показана на рисунке 1.



Рисунок 1



2.4 Программирование задачи для метода аналогий



Если в окончательной системе дифференциальных уравнений, полученных в п. 4.2, каждое уравнение преобразовать по Лапласу и разрешить относительно переменной с индексом переменной в правой части, то получится система следующего вида:


,



где  - ранее вычисленный коэффициент;

p - комплексный параметр, вызванный применением преобразования Лапласа к производной.





Рисунок 2



Аналогичное выражение получается для напряжений в пассивной электрической цепи, показанной на рисунке 2, если для входных и выходных напряжений использовать одинаковую индексацию.

Зависимость напряжения на внутреннем узле по отношению к общему проводу будет:



.



Если положить равными  и , то достаточно при емкости С=1 мкФ выбрать сопротивление R=160 кОм. В этом случае =6.25 1/с.

Соединив такие ячейки (аналоги дифференциальных уравнений системы) в последовательную электрическую цепь, мы получаем аналоговую модель дифференциального уравнения теплопроводности, которая изображена на рисунке 3.


Рисунок 3



2.5 Моделирование и численное решение задачи



2.5.1 Решение задачи методом моделирования



Рисунок 4




Таблица 5.-Численное представление результатов моделирования



2.5.1 Решение задачи методом аналогий



Рисунок 5



Выводы



Рисунки 4 и 5, представляющие решение задачи теплопроводности двумя методами, оказались практически идентичными. Затраты на подготовку к моделированию в среде виртуальной гибридной вычислительной машины свелись к построению схем соединения операционных блоков и заданию их параметров. Самой громоздкой частью процесса решения задачи в частных производных, независимо от применяемых вычислительных средств, является построение аппроксимирующей математической модели. 

Таким образом, использованию пакета схемотехнического моделирования и созданной в его среде виртуальной гибридной машине альтернативы, на наш взгляд, нет. По крайней мере, это справедливо для задач с числом уравнений до ста. Наибольшим достоинством такого решения состоит в наглядности, оперативности и точности получаемых результатов.