Синтез астатических систем

Федеральное агентство по образованию РФ

ГОУ ВПО

"Московский Государственный Текстильный Университет им. А.Н. Косыгина"

ФИТАЭ

Кафедра автоматики и промышленной электроники









Курсовая работа

Тема: "Синтез астатических систем"

Дисциплина: "Теория Автоматического Управления"





























Москва 2009


Исходные данные:







ПИ-закон

1. По заданной системе уравнений получить передаточную функцию объекта управления и составить структурную схему замкнутой САУ, считая регулятор звеном с входной величиной Е, выходной U и передаточной функцией 


















2. Выбрать регулятор таким образом, чтобы система обладала свойством астатизма по отношению к постоянному задающему g(t) и возмущающему f(t) воздействию.

Для того чтобы система обладала астатизмом необходимо выполнение условия – величина установившейся ошибки по заданию и возмущению должна быть равна 0. Проверим это условие на регуляторах:

Выбираем П – регулятор












Т.к. величина установившейся ошибки не равна нулю, то система не обладает астатизмом,, а следовательно считать ошибку по каналу f-E нет необходимости.



Выбираем И – регулятор












Обе ошибки равны нулю следовательно система с И - регулятором является астатической. Данный регулятор нам подходит

Проверим наш ПИ – регулятор












Система так же является астатической, что является тем, что выбранный нами ПИ – регулятор подходит к условию задания.



3. Найти область значений постоянной времени регулятора для И – закона управления, обеспечивающих устойчивость системы.







Найдем передаточную функцию замкнутой системы по каналу g-y и затем выделим ее характеристическое уравнение.





Характеристическое уравнение Q(p):







Уравнение 3 порядка, следовательно, для устойчивости системы необходимо чтобы произведение внутренних коэффициентов характеристического уравнения было больше произведения внешних коэффициентов.







Следовательно область значений  для И – закона можно определить интервалом .




4. Для И – закона регулирования найти минимальную возможную величину установившейся ошибки, если g(t)=2t и f(t)=-3t.

Для определения минимальной установившейся ошибки нам необходимо узнать при каком значении постоянной времени система находится на границе устойчивости. Для этого отыщем передаточную функцию и характеристическое уравнение системы с И – регулятором. И затем найдем значение 















Находим значение постоянной времени на границе устойчивости:








Найдем величину установившейся ошибки при g(t)=2t и f(t)=-3t









Поскольку задающее воздействие у нас g(t)=2t, то используя преобразование Лапласа получаем:







тогда величина установившейся ошибки будет







Подставляем полученное значение  и получаем






Найдем ошибку по каналу f-E









Подставляем  и получаем 

Тогда 

5. Построить, с использованием ЭВМ, область устойчивости, на плоскости, параметров регулятора при использовании ПИ – закона, обосновать возможность и путь получения допустимой установившейся ошибки при и .

Для построение области устойчивости необходимо найти характеристическое уравнение передаточной функции для данного регулятора.








Отсюда:







Запишем условие, при котором система находится на границе устойчивости:







Выразим зависимость



от 





Строим область устойчивости по по лученной зависимости:








Ти

Кп

0,01

4,00

0,02

1,50

0,03

0,67

0,04

0,25

0,05

0,00

0,06

-0,17

0,07

-0,29

0,08

-0,38

0,09

-0,44



Таким образом выбирая значения параметров регулятора над границей устойчивости – мы получаем устойчивую систему, и наоборот.

6. Вычислить значения параметров ПИ – регулятора, обеспечивающих устойчивость и установившуюся ошибку в системе = 0,06 при g(t)=2t и f(t)=0




Поскольку возмущение f(t)=0, то . Найдем :

для этого найдем передаточную функцию замкнутой системы по каналу g-E







По условию , тогда подставим это значение в получившееся выражение:







Таким образом для получения в системе установившейся ошибке равной 0,06 необходимо задать параметру постоянной времени значение 0,03.




7. Для интегрального закона регулирования и начальных условий , выбрать оптимальное значение постоянной времени регулятора по критерию:  (Рассматривается движение в системе при g(t)=f(t)=0 и ненулевых начальных условиях).

Для решения мы будем использовать метод Мондельштама. Для этого нам необходимо найти передаточную функцию замкнутой системы и взять характеристическое уравнение:







Получаем уравнение:







Поочередно умножаем его на  и на Е







Интегрируем полученное уравнение по частям








Получаем:









Интегрируем полученное уравнение по частям








Получаем:







Из полученных уравнений составим систему уравнений:










Выбираем =1,054

8. Для найденного в пункте 7 значения постоянной времени регулятора построить с помощью ЭВМ вещественную частотную характеристику P(ω), приняв входным воздействием g(t) и входной координатой E(t)/

Для нахождения вещественной характеристики нам понадобится передаточная функция замкнутой системы по каналу g-y.







Перейдем в частотную область p=jω:







Домножаем на сопряженное знаменателю число и получаем:






Отделяем действительную часть U(ω):







При =1,054









w

p(w)

0

1

0,1

1,010058

0,2

1,039191

 0,3

1,079471

0,4

1,099022

0,5

0,997092

0,6

0,58593

0,7

-0,06976

0,8

-0,48243

0,9

-0,56794

1

-0,5208

1,1

-0,44696

1,2

-0,3782

1,3

-0,32081

1,4

-0,27428

1,5

-0,23666

1,6

-0,20606

1,7

-0,18095

1,8

-0,16013

1,9

-0,14269

2

-0,12796

2,5

-0,08003

3

-0,05481

3,5

-0,03991

4

-0,03037

4,5

-0,02389

5

-0,01929

5,5

-0,0159

6

-0,01334







9. По вещественной характеристике P(ω) пункта 8 построить переходной процесс E(t) при единичном ступенчатом изменении g(t) и нулевых начальных условиях методом трапециидальных частотных характеристик.

Для построения переходного процесса нам необходимо разбить получившуюся вещественную характеристику на трапеции и построить переходный процесс для каждой из полученных трапеций.



 

 

R(0)

Wo

Wd

æ

I

-

0,099021688

0,38

0,1

0,263158

II

+

1,666965285

0,88

0,43

0,488636

III

-

0,567943597

6

0,95

0,158333








1-я трапеция

t табл

h(æ)

t=t табл/Wo

h=R(0)*h(æ)

0

0

0

0

0,5

0,199

1,315789474

-0,019705316

1

0,386

2,631578947

-0,038222372

1,5

0,56

3,947368421

-0,055452145

2

0,709

5,263157895

-0,070206377

2,5

0,833

6,578947368

-0,082485066

3

0,928

7,894736842

-0,091892127

3,5

0,994

9,210526316

-0,098427558

4

1,039

10,52631579

-0,102883534

4,5

1,057

11,84210526

-0,104665924

5

1,067

13,15789474

-0,105656141

5,5

1,067

14,47368421

-0,105656141

6

1,054

15,78947368

-0,104368859

6,5

1,043

17,10526316

-0,103279621

7

1,035

18,42105263

-0,102487447

7,5

1,025

19,73684211

-0,10149723

8

1,024

21,05263158

-0,101398209

8,5

1,022

22,36842105

-0,101200165

9

1,025

23,68421053

-0,10149723

9,5

1,027

25

-0,101695274

10

1,027

26,31578947

-0,101695274

10,5

1,028

27,63157895

-0,101794295

11

1,025

28,94736842

-0,10149723

11,5

1,021

30,26315789

-0,101101144

12

1,015

31,57894737

-0,100507013

12,5

1,01

32,89473684

-0,100011905

13

1,005

34,21052632

-0,099516797

13,5

1

35,52631579

-0,099021688

14

0,997

36,84210526

-0,098724623

14,5

0,996

38,15789474

-0,098625601

15

0,995

39,47368421

-0,09852658

15,5

0,995

40,78947368

-0,09852658

16

0,995

42,10526316

-0,09852658

16,5

0,995

43,42105263

-0,09852658

17

0,995

44,73684211

-0,09852658

17,5

0,995

46,05263158

-0,09852658

18

0,995

47,36842105

-0,09852658

18,5

0,994

48,68421053

-0,098427558

19

0,992

50

-0,098229515

19,5

0,991

51,31578947

-0,098130493

20

0,991

52,63157895

-0,098130493







2-я трапеция

t табл

h(æ)

t=t табл/Wo

h=R(0)*h(æ)

0

0

0

0

0,5

0,24

0,568181818

0,400071669

1

0,461

1,136363636

0,768470997

1,5

0,665

1,704545455

1,108531915

2

0,833

2,272727273

1,388582083

2,5

0,967

2,840909091

1,611955431

3

1,061

3,409090909

1,768650168

3,5

1,115

3,977272727

1,858666293

4

1,142

4,545454545

1,903674356

4,5

1,138

5,113636364

1,897006495

5

1,118

5,681818182

1,863667189

5,5

1,092

6,25

1,820326092

6

1,051

6,818181818

1,751980515

6,5

1,018

7,386363636

1,696970661

7

0,993

7,954545455

1,655296528

7,5

0,974

8,522727273

1,623624188

8

0,966

9,090909091

1,610288466

8,5

0,966

9,659090909

1,610288466

9

0,97

10,22727273

1,616956327

9,5

0,975

10,79545455

1,625291153

10

0,982

11,36363636

1,63695991

10,5

0,987

11,93181818

1,645294737

11

0,993

12,5

1,655296528

11,5

0,997

13,06818182

1,66196439

12

0,997

13,63636364

1,66196439

12,5

0,997

14,20454545

1,66196439

13

0,997

14,77272727

1,66196439

13,5

0,998

15,34090909

1,663631355

14

1

15,90909091

1,666965285

14,5

1,002

16,47727273

1,670299216

15

1,005

17,04545455

1,675300112

15,5

1,008

17,61363636

1,680301008

16

1,011

18,18181818

1,685301904

16,5

1,011

18,75

1,685301904

17

1,012

19,31818182

1,686968869

17,5

1,009

19,88636364

1,681967973

18

1,008

20,45454545

1,680301008

18,5

1,006

21,02272727

1,676967077

19

1,001

21,59090909

1,668632251

19,5

0,998

22,15909091

1,663631355

20

0,996

22,72727273

1,660297424








3-я трапеция



t табл

h(æ)

t=t табл/Wo

h=R(0)*h(æ)

0

0

0,0000

0,0000

0,5

0,184

0,0833

-0,1045

1

0,256

0,1667

-0,1454

1,5

0,516

0,2500

-0,2931

2

0,655

0,3333

-0,3720

2,5

0,833

0,4167

-0,4731

3

0,863

0,5000

-0,4901

3,5

0,928

0,5833

-0,5271

4

0,974

0,6667

-0,5532

4,5

0,977

0,7500

-0,5549

5

1,012

0,8333

-0,5748

5,5

1,019

0,9167

-0,5787

6

1,013

1,0000

-0,5753

6,5

1,009

1,0833

-0,5731

7

1,006

1,1667

-0,5714

7,5

1,006

1,2500

-0,5714

8

1,008

1,3333

-0,5725

8,5

1,01

1,4167

-0,5736

9

1,016

1,5000

-0,5770

9,5

1,022

1,5833

-0,5804

10

1,025

1,6667

-0,5821

10,5

1,028

1,7500

-0,5838

11

1,029

1,8333

-0,5844

11,5

1,027

1,9167

-0,5833

12

1,025

2,0000

-0,5821

12,5

1,022

2,0833

-0,5804

13

1,019

2,1667

-0,5787

13,5

1,017

2,2500

-0,5776

14

1,016

2,3333

-0,5770

14,5

1,015

2,4167

-0,5765

15

1,014

2,5000

-0,5759

15,5

1,014

2,5833

-0,5759

16

1,014

2,6667

-0,5759

16,5

1,014

2,7500

-0,5759

17

1,013

2,8333

-0,5753

17,5

1,012

2,9167

-0,5748

18

1,011

3,0000

-0,5742

18,5

1,009

3,0833

-0,5731

19

1,008

3,1667

-0,5725

19,5

1,006

3,2500

-0,5714

20

1,005

3,3333

-0,5708

20,5

1,004

3,4167

-0,5702

21

1,003

3,5000

-0,5696

21,5

1,003

3,5833

-0,5696

22

1,002

3,6667

-0,5691

22,5

1,002

3,7500

-0,5691

23

1,002

3,8333

-0,5691

23,5

1,002

3,9167

-0,5691

24

1,001

4,0000

-0,5685

24,5

1

4,0833

-0,5679

25

1

4,1667

-0,5679

25,5

0,999

4,2500

-0,5674

26

0,999

4,3333

-0,5674








Суммируем графически полученные процесы и получаем






10. Определить время регулирования и максимальное перерегулирование в системе.







11. Разработать и начертить структурную схему комбинированной САУ, инвариантной по отношению к контролируемому возмущению .

Привести передаточную функцию устройства управления.

Проверить выполнение условия инвариантности.







Условия инвариантности:



, если 

, если 








При выборе корректирующих звеньев в виде обратных передаточных функций возникает проблема. Она обычно связана с тем, что порядок числителя корректирующего звена становится больше порядка знаменателя. Это означает, что частотные характеристики таких звеньев являются расходящимися, что говорит о том, что физически такие звенья нереализуемы. В тех случаях, когда корректирующие звенья применять необходимо, порядок числителя этих звеньев искусственно приравнивают к порядку знаменателя, отбрасывая в числители высшие порядки.

12. Предложить и обосновать методы компенсации действия неконтролируемых возмущений, если известен класс функций, которыми они описываются.

астатический автоматический управление моделирование программа





Решить проблему инвариантности можно, если известна предварительная информация о классе возмущающих воздействий. В частности, если известен математический аппарат, описывающий функцию f(t), заданный в виде решения некоторого дифференциального уравнения.


Процедура синтеза предусматривает:

восстановление вида дифференциального уравнения по заданному решению;

получение характеристического уравнения;

выбор передаточной функции регулятора, в которой знаменатель совпадает с видом полученного характеристического уравнения. Числитель передаточной функции регулятора выбирается того же порядка, что и знаменатель;

неизвестные коэффициенты числителя передаточной функции регулятора определяются из условий устойчивости замкнутой системы.

13. Провести моделирование в программе MatLab. Определить настройки регулятора, обеспечивающего минимизацию времени регулирования.







При нулевом задающем воздействии со значением регулятора, полученными в 7 пункте:








При единичном задающем воздействии:






Для снижения времени регулирования можно немного увеличить значения регулятора  примерно до 1,085.

Так же значительно уменьшает время регулирование и  введение пропорциональной составляющей, т.е. использование ПИ – регулятора. С его помощью легко можно уменьшить время регулирования примерно в 1,7 раза.








Список используемой литературы

	

	Лекции по курсу ТАУ, Румянцев Ю.Д.

	"Теория автоматического управления", Воронов А.А.

	"Теория систем автоматического управления", Бесекерский В.А.




Приложение