Исследование операций и теория систем 2

Министерство Образования Российской Федерации

Южно-Уральский Государственный Университет

Кафедра Системы Управления















КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине: Исследование операций

Вариант 8







Руководитель:

Плотникова Н.В.

«___»__________2004 г.

Автор проекта:

студентка группы

ПС – 317

Куликова Мария

«___»__________2004 г.

Проект защищен

с оценкой

«___»__________2004 г.



Челябинск

2004 г.
Содержание.

Задача 1………………………………………………………………….3

Задача 2………………………………………………………………….8

Задача 3…………………………………………………………………10

Задача 4…………………………………………………………………13


Задача 1 (№8)



Условие:

На производстве четырёх видов кабеля выполняется пять групп технологических операций. Нормы затрат на 1 км. кабеля данного вида на каждой из групп операций, прибыль от реализации 1 км. каждого вида кабеля, а также общий фонд рабочего времени, в течение которого могут выполняться эти операции, указаны в таблице.

Определить такой план выпуска кабеля, при котором общая прибыль от реализации изготовляемой продукции является максимальной.



Технологическая операция

Нормы затрат времени на обработку 1 км кабеля вида

Общий фонд рабочего  времени (ч)



1

2

3

4



Волочение

а11

а12

а13

а14

А1

Наложение изоляций

а21

а22

а23

а24

А2

Скручивание элементов в кабель

а31

а32

а33

а34

А3

Освинцовывание

а41

а42

а43

а44

А4  

Испытание и контроль

а51

а52

а53

а54

 А5 

Прибыль от реализации 1 км кабеля

В1

В2

В3

В4





№вар.

а11

а12

а13

а14

а21

а22

а23

а24

а31

а32

а33

а34

а41

1

1,5

1

2

1

1

2

0

2

4

5

5

4

2

№ вар.

а42

а43

а44

а51

а52

а53

а54

А1

А2

 А3        

А4  

5

1

1

4

0

1

2

1,5

4

6500

4000

11000

4500

4500





В1

В2

В3

В4

1

2

1,5

1




Решение: 

Составляем математическую модель задачи:

пусть x1 –длина 1-ого кабеля (км);

          x2 – длина 2-ого кабеля (км);

          x3 – длина 3-ого кабеля (км);

          x4 – длина 4-ого кабеля (км)

тогда целевая функция L - общая прибыль от реализации изготовляемой продукции, будет иметь следующий вид

L= В1x1 + В2x2  + В3x3  + В4x4 = x1+ 2x2  + 1,5x3  + x4 → max 

Получим систему ограничений:

1,5x1 +   x2  +   2x3+  x4  6500;

     x1 + 2x2  +   0x3+2x4  4000;

    4x1 + 5x2  +   5x3+4x4 11000;

    2x1 +   x2  +1,5x3+0x4  4500;

     x1 + 2x2  +1,5x3+4x4  4500.

Приведём полученную математическую модель к виду ОЗЛП с помощью добавочных неотрицательных переменных, число которых равно числу неравенств:

1,5x1 +   x2  +   2x3+  x4 + x5 = 6500;

      x1 + 2x2  +   0x3+2x4 + x6= 4000;

    4x1 + 5x2  +   5x3+4x4 + x7=11000;

    2x1 +   x2  +1,5x3+0x4 + x8 =4500;

      x1 + 2x2  +1,5x3+4x4 + x9 =4500.



Итак, выберем x1, x2, x3, x4 - свободными переменными, а x5, x6, x7, x8, x9 - базисными переменными (каждая из них встречаются в системе лишь в одном уравнении с коэффициентом 1, а в остальных с нулевыми коэффициентами). Приведём систему к стандартному виду, выразив для этого все базисные переменные через свободные: 

x5 = 6500 – (1,5x1 + x2  +  2x3+  x4 );

x6 = 4000 – (     x1 + 2x2  +  0x3+2x4);

x7 =11000 - (    4x1 + 5x2  +  5x3+4x4);

x8 =4500  – (    2x1 +   x2  +1,5x3+0x4);

x9 =4500 –  (     x1 + 2x2  +1,5x3+4x4) 

L=0 –(- x1- 2x2  - 1,5x3  - x4)

Решим методом симплекс-таблиц:

Это решение опорное, т.к. все свободные члены положительны.

Выберем столбец в таблице, который будет разрешающим, пусть это будет x1, выберем в качестве разрешающего элемента тот, для которого отношение к нему свободного члена будет минимально (это x8).





A









L

0

2250

-1

0,5

-2  

0,5

-1,5

2

-1

0



6500

-3375

1,5

-0,75

1

-0,75

2

-3

1

0



4000

-2250

1

-0,5

2

-0,5

0

-2

3

0



11000

-9000

4

-2

5

-2

5

-8

4

0

 x8

4500

2250

2

0,5

1

0,5

4

2

0

		0

x9 

4500

-2250

1

-0,5

2

-0,5

1,5

-2

4

0




Меняем  и 





A

x8







L

2250

1000

0,5

-1

-1,5

0,5

0,5

-1,5

-1

2



3125

-500/3

-0,75

1/6

0,25

-1/12 

-1

0,25

1

-1/3



1750

-1000

-0,5

1 

1,5

-0,5

-2

1,5

3

-2



2000

2000/3

-2

-2/3 

3

1/3 

-3

-1

4

4/3



2250

-1000/3

0,5

1/3

0,5

-1/6

2

0,5

	0

-2/3

x9 

2250

-1000

-0,5

1

1,5

-0,5

-0,5

1,5

4

-2













 

Меняем  и x9





A

x8







L

3250

250

-0,5

0,5

0,5

-0,5

-1

1

1

2



8875/3

187,5

-7/12

0,375

-1/12

-0,375

-0,75

0,75

2/3

1,5



750

125

0,5

0,25

-0,5

-0,25

-0,5

0,5

1

1



2000/3

250

-2/3

		0,5

1/3

-0,5

-1

	1

4/3

2



5750/3

-625

5/6

-1,25

-1/6

1,25

2,5

-2,5

-2/3

	-5

x9



250

250

0,5

0,5

-0,5

-0,5

1

1

2

	2



































A

x8



x9



L

3500

0

0

1

3



18875/6

-5/24

-11/24

0,75

13/6



875

0,75

-0,75

0,5

2



2750/3

		-1/6

-1/6

	1

10/3



3875/3

-5/12

13/12

-2,5

	-17/3



250

0,5

-0,5

1

	2

















Видим, что коэффициенты при переменных в целевой функции положительны, значит, найденное решение будет оптимальным.

Итак, =0, =3875/3, =2750/3, =250, L=3500.

Ответ: если предприятие будет изготавливать только три вида проволоки 1,2,3 причем 3875/3 км, 2750/3 км, 250 км соответственно, то  общая прибыль от реализации изготовляемой продукции будет максимальной и равной 3500(ед).


Задача 2 (№28)



Условие:

С помощью симплекс–таблиц найти решение задачи линейного программирования: определить экстремальное значение целевой функции Q=CTx  при условии  Ax  B, 

где  =  1  2  . . .  6  ,                В =  b1 b2  . . . b6  ,

 =  1  2  . . .   6 ,               А=      (=1,6;  =1,3).



№  вар.

с1

с2

с3

с4

с5

с6

b1

b2

b3

Знаки ограничений

a11

a12

a13

a14





















  1

 2

3









   28

-6

0



  -1

-1

  0

  8





 =

 =

=

4

1

1

2



№  вар.

a15

a16

a21

a22

a23

a24

a25

a26

a31

a32

a33

a34

a35

a36

Тип экстрем.

34

1

0

2

-1

0

1

0

0

1

1

0

0

1

0

max



Решение:

Получим систему:

4 x1 + x2 + x3+2x4 + x5 =8;

2x1 - x2 +x4=2;

x1 + x2+x5=3

L= -6x1+ x3 -x4 -x5 → max

Пусть x2, x4 – свободные переменные, а x1, x3, x5 - базисные переменные. Приведем систему и целевую функцию к стандартному виду, для построения симплекс-таблицы:

x5 =2-(1,5x2 -0,5 x4);

x3 =6-(1,5x2 +0,5 x4);  

x1=1-(-0,5x2+0,5x4)

L=-2-(3x2- x4) → max

Составим симплекс-таблицу:

Выберем разрешающим столбцом x4,т.к. только перед этой переменной в целевой функции отрицательное число, выберем в качестве разрешающего элемента тот, для которого отношение к нему свободного члена будет минимально (это x1). Меняем x4 и x1





b

x2

x4



L

-2

2

3

	-1

-1

2



x1

1

2

-0,5

-1

0,5

2

1/0,5=2



6

-1

1,5

0,5

0,5

-1

6/0,5=12



2

1

1,5

-0,5

-0,5

1







b

x2

x1

L

0

	2

2

x4

2

-1

2



5

2

-1



3

1

1



Получили оптимальное решение, т.к. все коэффициенты положительны.

Итак,  x1= x2=0, x3 =5, x4=2, x5 =3, L=0.

Ответ: x1= x2=0, x3 =5, x4=2, x5 =3, L=0.


Задача 3 (№8)



Условие:

Решение транспортной задачи:

1. Записать условия задачи в матричной форме.

2. Определить опорный план задачи.

3. Определить оптимальный план задачи.

4. Проверить решение задачи методом потенциалов.



№вар.

а1

а2

а3

1

2

3

4

5

с11

с12

с13

8

200

200

600

200

300

200

100

200

25

21

20

с14

с15

с21

с22

с23

с24

с25

с31

с32

с33

с34

с35

50

18

15

30

32

25

40

23

40

10

12

21



Решение:

Составим таблицу транспортной задачи. Заполним таблицу методом северо-западного угла:





B1

B2

B3

B4

B5

ai

A1

25

200

21

20

50

18

200

A2

15

30

	200

32

25

40

200

A3

23

40

100

10

200

12

100

21

	200

600

bj

200

300

200

100

200

1000



Количество заполненных ячеек r=m+n-1=6.

Проверим сумму по столбцам, сумму по строкам и количество базисных (заполненных) клеток:

r =6,  ai= bj=1000, всё выполняется, значит, найденный план является опорным.

L=25*200+30*200+40*100+10*200+12*100+21*200=22400

Постараемся улучшить план перевозок.

Рассмотрим цикл (1;1)-(1;2)-(2;2)-(2;1)

Подсчитаем цену цикла: j=15-30+21-25=-19<0







B1

B2

B3

B4

B5

ai

A1

25



21

200

20

50

18

200

A2

15

200

30

	

32

25

40

200

A3

23

40

100

10

200

12

100

21

	200

600

bj

200

300

200

100

200

1000

L=21*200+15*200+40*100+10*200+12*100+21*200=18600

Рассмотрим цикл (2;1)-(2;2)-(3;2)-(3;1)

j=-15+30+23-40=-2<0





B1

B2

B3

B4

B5

ai

A1

25



21

200

20

50

18

200

A2

15

100

30

	100

32

25

40

200

A3

23

100

40



10

200

12

100

21

	200

600

bj

200

300

200

100

200

1000



L=21*200+15*100+30*100+23*100+10*200+12*100+21*200=18400



Проверим методом потенциалов:

Примем α1=0, тогда βj = cij – αi (для заполненных клеток).

Если решение верное, то во всех пустых клетках таблицы Δij = cij – (αi+ βj) ≥ 0

Очевидно, что Δij =0 для заполненных клеток.

В результате получим следующую таблицу:







B1=6

B2=21

B3=-7

B4=-5

B5=4

ai

A1=0

25-6>0



21-21=0

200

20+7>0

50+5>0

18-4>0

200

A2=9

15-9-6=0

100

30-21-9=0

	100

32-9+7>0

25+5-9>0

40-4-9>0

200

A3=17

23-17-6=0

100

40-21-17>0



10+7-17=0

200

12+5-17=0

100

21-4-17=0

	200

600

bj

200

300

200

100

200

1000

Таким образом, решение верное, т.к. Δij > 0 для всех пустых клеток и Δij =0 для всех заполненных.

Тогда сумма всех перевозок:

L=18400

Ответ: 





B1

B2

B3

B4

B5

ai

A1

25



21

200

20

50

18

200

A2

15

100

30

	100

32

25

40

200

A3

23

100

40



10

200

12

100

21

	200

600

bj

200

300

200

100

200

1000



Задача 4 (№53)

Условие:

Определить экстремум целевой функции вида

 = 1112+2222+1212+11+22

при условиях:

111+122<=>1

211+222<=>2.

Найти стационарную точку целевой функции и исследовать ее (функцию) на выпуклость (вогнутость) в окрестностях стационарной точки.

Составить функцию Лагранжа.

Получить систему неравенств в соответствии с теоремой Куна-Таккера. 

Используя метод искусственных переменных составить симплекс-таблицу и найти решение полученной задачи линейного программирования.

Дать ответ с учетом условий дополняющей нежесткости.



  №

b1

b2

c11

c12

c22

extr

a11

a12

a21

a22

p1

p2

Знаки огр.

1         2

53

6

1,5

-2

-4

–1

max

2,5

-1

3

2,5

7

13







Решение:

Целевая функция: 

F= -212-22-412+61+1,52→max

	Ограничения g1(x) и g2(x):    2,51-27              	2,51-2–70

	31+2,5213	31+2,52-130             

1) определим относительный максимум функции, для этого определим стационарную точку (х10, х20):

	 →

	2) Исследуем стационарную точку на максимум, для чего определяем выпуклость или вогнутость функции

F11 (х10, х20) = -4 < 0 

F12 (х10, х20)=-4

F21 (х10, х20)=-4

F22 (х10, х20)=-2

		F11   F12	-4   -4

			F21  F22            	-4   -2	

Т.к. условие выполняется, то целевая функция является строго выпуклой в окрестности стационарной точки

3) Составляем функцию Лагранжа:

L(x,u)=F(x)+u1g1(x)+u2g2(x)=-212-22-412+61+1,52+u1 (2,51-2–7)+ u2 (31+2,52-13).

Получим уравнения седловой точки, применяя теорему Куна-Таккера:

		i=1;2

Объединим неравенства в систему А, а равенства в систему В:

Система А:  

Система В:

Перепишем систему А:

6-41-42+2,5u1+3u2  <0

1,5-41-22-u1+2,5u2  <0

2,51-2–70

31+2,52–130

4)Введем новые переменные 

V={v1,v2}≥0;  W={w1,w2}≥0 

в систему А для того, чтобы неравенства превратить в равенства:

6-41-42+2,5u1+3u2 + v1=0

1,5-41-22-u1+2,5u2  + v2=0

2,51-2–7- w1=0

31+2,52–13- w2=0

Тогда

- v1=6-41-42+2,5u1+3u2

- v2=1,5-41-22-u1+2,5u2  

w1=2,51-2–7

w2=31+2,52–13

Следовательно, система В примет вид:

 - это условия дополняющей нежесткости.

5) Решим систему А с помощью метода искусственных переменных.

Введем переменные Y={y1; y2} в 1 и 2 уравнения системы

6-41-42+2,5u1+3u2 + v1 -y1=0

1,5-41-22-u1+2,5u2  + v2 -y2=0

2,51-2–7- w1=0

31+2,52–13- w2=0

и создадим псевдоцелевую функцию Y=My1+My2→min

Y’=-Y= -My1-My2→max.

В качестве свободных выберем х1, х2, v1, v2, u1, u2; 

а в качестве базисных y1, y2, w1, w2.

Приведем систему и целевую функцию к стандартному виду, для построения симплекс-таблицы:

y1=6-(41+42-2,5u1-3u2 - v1)

y2=1,5-(41+22+u1-2,5u2 -v2)

w1=-7-(-2,51+2)

w2=-13-(-31-2,52)

Y’=-Y=-My1-My2=-7,5M-(-81-62+1,5u1+5,5u2+ v1+v2) M

Решим с помощью симплекс-таблицы. Найдем опорное решение:






















-7,5M

4,5M

-8M 

12M

-6M

3M

1,5M

3M

5,5M

-7,5M

M

		0

M

-3M



6

-3

4

-8

4

		-2

-2,5

-2

-3

	5

-1

	0

0

2



1,5

	3/4

4

		2

2

	0,5

1

0,5

-2,5

	-5/4

0

	0

-1

-0,5



-7

-3/4

-2,5

-2

1

	-0,5

0

-0,5

0

5/4

0

	0

0

0,5



-13

15/8

-3

	5

-2,5

5/4

0

5/4

0

	-25/16	

0

	0

0

-5/4



Меняем и 





















-3M

3M

4M

-4M

3M

-2M

4,5M

-4,5M

-2M

M

	M

-M

-2M

2M



3

3/2

-4

-2

	-2

-1

-4,5

-9/4

	2

0,5

	-1

-0,5

2

1



	3/4

15/8 

	2

-2,5

	0,5

-5/4

0,5

-45/16

	-5/4

5/8

	0

-5/8

-0,5

5/4



-31/4

-15/8

-4,5

2,5

	-0,5

5/4

-0,5

45/16

5/4

-5/8

	0

5/8

0,5

-5/4



-89/8

75/32

	2

-25/8

5/4

-25/16

5/4

-225/64

	-25/16

25/32

	0

	-25/32

-5/4

25/16



Меняем  и 





















0

0

0

	0

M

0

0

0

M

0

0

0

0

0



3/2

77/8

-2

-1

-1

	-3/4

-9/4

-37/16

0,5

5/8

-0,5

-5/8

1

3/4



21/8

77/32

-0,5

-1/4

-3/4

-3/16

-37/16

-37/64

5/8

5/32

-5/8

-5/32

3/4

-3/16



-77/8

77/16

-2

-0,5

3/4

-3/8

37/16

-37/32

-5/8

5/16

5/8

-5/16

-3/4

3/8



-281/32

693/128

-9/8

-9/16

-5/16

-27/64

-145/64

-333/256

25/32

45/128

	-25/32

 -45/128

5/16

27/64



Меняем  и 





















0

0

	0

0

M

0

0

0

M

0

0

0

0

0



89/8

431/18

-1

-16/9

	-7/4

-73/16

9/8

-9/8

7/4



161/32

431/72

-1/4

-4/9

-15/16

-185/64

25/32

-25/32

9/16



77/16

431/36

-0,5

-8/9

-3/8

-37/32

5/16

-5/16

3/8



-431/32

431/18

-9/16

-16/9

-47/64

-913/256

145/128

-145/128

47/64



Меняем  и 





















0

0

M



0

M



	0

0



2525/72



	



	

	





	3173/288

	

	



	

	





2417/144



	





	





431/18

	





	

	





Итак, =====, =16,785, =11,017, =23,944, =35,07

6) Условия дополняющей нежесткости выполняются  ,значит, решения исходной задачи квадратичного программирования существует.



Ответ: существует.


Литература.



1) Курс лекций Плотникова Н.В.

2) Пантелеев А.В., Летова Т.А. «Методы оптимизации в примерах и задачах».





2