Исследование функции

Лист







АННОТАЦИЯ



Курсовой проект по информатике призван показать освоение студентом основ алгоритмизации технических задач, умение решать их с использованием средств современной вычислительной техники и анализировать полученные результаты.


СОДЕРЖАНИЕ



	ВВЕДЕНИЕ	6

	ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ	8

		1.	Теоретические аспекты численных методов	8

		2.	Программная реализация	10

		3.	Вычислительные эксперименты	12

		1.	Проектирование эксперимента и результаты	12

		2.	Отчет о результатах	14

		3.	Сформулированные заключения	15

	ЗАКЛЮЧЕНИЕ	17

	СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ	18






ВВЕДЕНИЕ

	

	Успешная интеграция России в мировую экономическую систему во многом зависит от научно - технического потенциала страны, развитие которого определяется формирующимся инженерным корпусом, уровнем и качеством новых инженерных решений. В связи с этим существенно изменяются требования к квалификации современного инженера. 

	Инженер имеет дело с разнообразными техническими объектами и системами. В настоящее время во всех развитых странах создаются уже не отдельные машины, а технические системы, обеспечивающие нормальную эксплуатацию создаваемых машин. Эти системы становятся все более сложными, что влечет за собой изменение и усложнение труда инженеров. Объемы информации, необходимые для проектирования отдельного объекта, машины и системы несопоставимы. Создание сложных технических систем старыми методами практически невозможно. Необходимы новые подходы, способы, средства проектирования, предполагающие использование современных информационных технологий. Одним из ключевых требований к современному инженеру является ныне умение использовать сложные программные системы, которые устанавливаются на высокопроизводительные компьютеры, рабочие станции или локальные компьютерные сети. 

	В то же время в России ощущается острый дефицит квалифицированных инженеров, способных работать с современной техникой. Для преодоления возникшего отставания реализуется Федеральная целевая Программа «Электронная Россия». В концепции модернизации российского образования на период до 2010 года также подчеркивается необходимость всемерной компьютеризации и информатизации образования и повышения качества подготовки специалистов для наукоемких производств. 

	Традиционные методы обучения, разработанные в свое время для умеренных объемов информации, оказались малопригодными в условиях современного информационного взрыва. Возникла проблема острой нехватки учебного времени, необходимого для изучения сложных систем старыми методами. Таким образом, налицо противоречие между изменившимися требованиями к квалификации инженеров и традиционными методами преподавания, которые оказываются неэффективными при резком увеличении объемов информации. 

	Внедрение сложных систем в большинстве отраслей сдерживается их высокой стоимостью. В электроэнергетической сфере финансовое положение существенно лучше, чем в других отраслях, поэтому внедрение различных систем идет более быстрыми темпами, чем в среднем по стране. Современные компьютеры имеются в электроэнергетической отрасли в достаточном количестве, причем не только на предприятиях и в организациях. Все чаще инженерам-электрикам приходится иметь дело с чертежами, сложными схемами и другой документацией, представленной не на бумаге, а в электронном виде.

	Новые системы, прикладные программы, требования к рабочим характеристикам и инфраструктурные технологии преобразуют оборудование современных центров обработки данных. В связи с резким ростом стоимости энергоносителей и требованиями снижения выброса углерода, влиянием блэйд-серверов, ролью виртуализации, компьютеризацией электроэнергетических систем и коммунальных служб, задачами управления возрастающим внутренним тепловым излучением, ростом энергорасходов на каждый отдельный блок и необходимостью использования новейшей автоматики и средств управления повышаются требования к эффективности работы организаций, эксплуатирующих центры обработки данных.




ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ



Теоретические аспекты численных методов

	Многие технические задачи можно свести к вычислению определенного интеграла. Величина определенного интеграла  находится по формуле:

	.

	

b

a

y

x

f(x)

	Рис. 1.1.

	На практике, однако, это может привести к существенным затруднениям, если формула F(x) имеет сложный вид. Указанный способ может оказаться и вовсе непригодным, если не удается получить формулу для неопределенного интеграла. В таких случаях широко применяются различные методы численного интегрирования. Из курса высшей математики, интеграл с заданными пределами a  и b от функции f(x) численно равен площади криволинейной трапеции. Определить величину этой площади можно несколькими способами:

	Методом левых прямоугольников

	Методом правых прямоугольников

	Методом средних прямоугольников

	Методом трапеций

	Методом Симпсона

	Задание1 Вариант №14

	Составить программу вычисления определенного интеграла функции на заданном отрезке, используя данный метод. Программа должна быть составлена по модульному принципу с обязательным опережением функции, интеграл которой вычисляется.

	Для заданной функции  найти значение определенного интеграла аналитически.

	Провести вычислительный эксперимент. Отрезок интегрирования разбивается на N интервалов, где N = 6, 10, 50, 100, 500, 1000. для полученного в каждом случае результата определить относительную погрешность вычисления ε. Построить график зависимости ε от количества интервалов разбиения N.

	Для данной функции  будет использован Метод левых прямоугольников.

	Суть метода заключается в том, что интервал интегрирования разбивается на N подинтервалов (метод не требует, чтобы все интервалы были одинаковыми). Величину H=(b-a)/N назовем шагом интегрирования. Интеграл на каждом из подинтервалов можно приблизительно считать равным площади прямоугольника со сторонами h и .

	

b

a

y

x

f(x)

	Рис.1.2

	Погрешность расчета тем меньше, чем больше число интервалов N. Формула для вычисления этим методом имеет вид:

	, где 

	Задание2 Вариант №14

	Внести необходимые модификации в программу, позволяющие найти значение определенного интеграла для функции . Построить вычислительные эксперименты. При вычислении погрешности в качестве точного значения интеграла использовать результат вычисления при достаточно большом значении N.

	Для данной функции  будет использован Метод трапеций. При подсчете по этому методу, функция на каждом из подинтервалов заменяется отрезком линии.

	

b

a

y

x

f(x)

	Рис.1.3

	Формула записывается в виде:

	, где , .

	При вычислении результата, также необходимо узнать погрешность вычислений, которая будет вычислена в разделе Вычислительные эксперименты.

Программная реализация

	Согласно заданию, необходимо было для заданной функции  найти значение определенного  интеграла.

	Таблица 2.1

	Переменные

	Описание

	Даны

	a, b

	Пределы функции 

	По условию а=0, b=3

	n

	Количество подинтервалов

	Вводится пользователем

	i

	Узлы интегрирования

	Счетчик от 0 до n-1

	intvalue

	Конечное значение интеграла

	Вычисляется по формуле интеграла

	h

	Шаг интегрирования

	Вычисляется по формуле H=(b-a)/N

	xi

	Значение переменной Х в i-том узле

	Вычисляется 

	f1

	Значение функции f1

	По условию 

	

	
Текст программы:

	program v14_1;

	var n,i:integer;

	    a,b,intvalue,h,xi:real;

	function f1(xi:real):real;

	 begin

	  f1:=sqrt(3+sqr(xi));

	 end;

	begin

	 write('Zadayte kol-vo intervalov ');

	 readln(n);

	 a:=0;

	 b:=3;

	 intvalue:=0.0;

	 h:=(b-a)/n;

	 for i:=0 to n-1 do

	 begin

	  xi:=a+h*i;

	  intvalue:=intvalue+f1(xi);

	 end;

	 intvalue:=intvalue*h;

	 writeln('znachenie integrala ravno ',intvalue:6:2);

	end.

	

	Согласно заданию, необходимо было для заданной функции  найти значение определенного  интеграла.

	Таблица 2.2

	Переменные

	Описание

	Даны

	a, b

	Пределы функции 

	По условию а=0, b=1

	n

	Количество подинтервалов

	Вводится пользователем

	i

	Узлы интегрирования

	Счетчик от 0 до n-1

	intvalue

	Значение интеграла

	Вычисляется по формуле интеграла

	h

	Шаг интегрирования

	Вычисляется по формуле H=(b-a)/N

	xi

	Значение переменной Х в i-том узле

	Вычисляется 

	F2

	Значение функции f2

	По условию 

	

	Текст программы:

	program v14_2;

	var n,i:integer;

	    a,b,intvalue,h,xi:real;

	function f2(xi:real):real;

	 begin

	  if xi<>0 then f2:=arctan((1-sqr(xi))/sqr(xi));

	 end;

	begin

	 write('Zadayte kol-vo intervalov ');

	 readln(n);

	 a:=0;

	 b:=1;

	 intvalue:=0.0;

	 h:=(b-a)/n;

	 {metod trapeciy}

	 for i:=1 to n-1 do

	 begin

	  xi:=a+h*i;

	  intvalue:=intvalue+f2(xi);

	 end;

	 intvalue:=intvalue+(f2(a)+f2(b))/2.0;

	 intvalue:=intvalue*h;

	 writeln('znachenie integrala ravno ',intvalue);

	end.

Вычислительные эксперименты

Проектирование эксперимента и результаты

	Условия эксперимента

	Провести вычислительный эксперимент. Отрезок интегрирования разбивается на N интервалов, где N = 6, 10, 50, 100, 500, 1000. для полученного в каждом случае результата определить относительную погрешность вычисления ε.

	Для определения относительной погрешности расчетов необходимо воспользоваться формулой:

	

	Где а0 – точный результат, полученный либо на основании известной теоретической зависимости, использовании таблиц, более точном расчете и т.д.

	А – результат, полученный на данном этапе расчетов.

	Затем строить зависимость относительной погрешности от количества интервалов разбиения.

Для первой функции  найти значение определенного интеграла.

	Для второй функции , также найти значение определенного интеграла.

	Описание ожидаемых результатов

	Предполагается, что чем больше интервалов будет, тем точнее получится результат вычисления определенного интеграла.

	Таблица 3.1.1

	N

	ε (f1)

	ε(F2)

	6

	=0.057

	=0,14

	10

	=0.035

	=0,08

	50

	=0.007

	=0,02

	100

	=0.003

	=0,01

	500

	=0.00

	=0,00

	1000

	=0.00

	=0,00

Отчет о результатах

	Полученные результаты

	Для функции f1 выведем результаты:

		Таблица 3.2.1

	Количество интервалов (n)

	Результат (intvalue)

	Погрешность (ε)

	6

	6,76

	7,17-6,76=0,41

	10

	6,92

	0,25

	50

	7,12

	0,05

	100

	7,15

	0,02

	500

	7,17

	0,00

	1000

	7,17

	0,00

	

	Для функции f2 выведем результаты:

	Таблица 3.2.2

	Количество интервалов (n)

	Результат (intvalue)

	Погрешность (ε)

	6

	0,92

	1,06-0,92=0,14

	10

	0,98

	0,08

	50

	1,04

	0,02

	100

	1,05

	0,01

	500

	1,06

	0,00

	1000

	1,06

	0,00

	

	Составим график зависимости величины погрешности от количества взятых интервалов для f1:

	

	Рис. 3.2.1. График зависимости ε от количества интервалов разбиения N для f1

	Составим график зависимости величины погрешности от количества взятых интервалов для f2:

	

	Рис. 3.2.2. График зависимости ε от количества интервалов разбиения N для f2

Сформулированные заключения

	Сравним погрешности, вычисленные аналитическим и программным для f1 способом левых прямоугольников:

	Таблица 3.3.1

	аналитически

	Программно

	0,057

	0,41

	0,035

	0,25

	0,007

	0,05

	0,003

	0,02

	0,00

	0,00

	0,00

	0,00

	

	Сравним погрешности, вычисленные аналитическим и программным для f2 способом левых прямоугольников:

	Таблица 3.3.2

	аналитически

	Программно

	0,14

	0,14

	0,08

	0,08

	0,02

	0,02

	0,01

	0,01

	0,00

	0,00

	0,00

	0,00

	

	Расхождения имеются. Однако и аналитический и программный способ показали, что чем большее количество интервалов задается, тем точнее результат вычисления интеграла.




ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе курсовой работы я освоил основы алгоритмизации технических задач, а также научился решать их с использованием средств современной вычислительной техники. Проанализировав полученные результаты, научился делать выводы. 

В ходе курсовой работы мною был рассмотрен алгоритм вычислительной математики – вычисление определенного интеграла. Для реализации данной задачи, состоящей из двух функций, для первой функции я воспользовался методам левых прямоугольников, а для второй функции – методом трапеций. Также, мною были рассчитаны погрешности вычислений, что помогает определить точность вычислений. Курсовая работа включает в себя анализ зависимости величины погрешности от количества взятых интервалов на отрезке, все вычисления подробно расписаны, представлены формулы вычислений, таблицы, графики.


СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ



М.Ю. Кривошеин. Программирование численных методов (Методические рекомендации к курсовому проектированию), Улан-Удэ, 2009г.

А.Г.Трифонов. "Постановка задачи оптимизации и численные методы ее решения", Москва, 2008г.

Н. Бахвалов, И. Жидков, Г. Кобельков Численные методы. ФизМатЛит. 2002.

Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука, 1989.

Банди Б. Методы оптимизации: Вводный курс. М.: Радио и связь, 1988







4