Решение задачи разгона установившегося движения и замедление судна в процессе его эксплуатации

Нижегородский Государственный Технический Университет



Кафедра: "Прикладная математика"















Курсовая работа по информатике

Тема: "Решение задачи разгона установившегося движения и замедление судна в процессе его эксплуатации ("Беларусь-В")"





Выполнил:

Студент

Ткачева Е.С.

Проверила:

Жданова О.С.















Нижний Новгород

2009 г.


Оглавление



1. Постановка задачи и её математическая модель

2. Методика и алгоритмы решения задач

3. Первая модельная задача

4. Вторая модельная задача

5. Третья модельная задача

6. Сводная таблица результатов и выводы




1. Постановка задачи и её математическая модель.



1.1 Общая задача описания динамики разгона (торможения) судна



Из курса теоретической механики известно, что в соответствии с принципом Даламбера неустановившееся движение тела описывается вторым законом Ньютона. Поскольку в данной задаче рассчитывается движение лишь в направлении одной из осей координат, то достаточно записать уравнения движения в проекции на ось Х и решать его относительно скорости V и пройденного по этой координате пути S.



1.2 Физическая и математическая модели неустановившегося движения судна



Основным уравнением задачи в этом случае является уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось координат X. 



ma = F (1)



Здесь:

m – масса тела (судна);

а = dV/dt – ускорение тела;

F – сумма всех сил, действующих на судно, в проекции на ось X.

Равнодействующая сила F складывается из двух сил:

R – сопротивление движению судна;

Т – тяга движения (как правило, гребного винта).

Из физических соображений понятно, что сопротивление R зависит от скорости движения (чем больше скорость V, тем больше сопротивление R) и направлена против скорости V, т.е. в отрицательном направлении оси X. Тяга, создаваемая гребным винтом, также зависит от скорости судна, но действует в противоположном направлении силе сопротивления R, т.е. направлена в положительном направлении оси X. Во время стоянки судна V=0 b R(V)=0.

Тяга, создаваемая гребным винтом, также зависит от скорости движения судна, но действует в противоположном силе сопротивления R направлении, т.е. направлена противоположном направлении оси Х.

С учетом сказанного, уравнение (1) можно записать в виде:



 (2)



Таким образом, получено обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка относительно скорости движения судна V.

Для определения пройденного за время "разгона" пути S к этому уравнению (2) необходимо добавить уравнение dS/dt=V, являющееся определением понятия – "скорость". Математическая модель задачи записывается в виде системы из двух дифференциальных уравнений 1-го порядка, записанных в каноническом виде:



 (3)



Здесь функции R(V) и T(V) являются заданными и находятся по испытаниям моделей судна и гребного винта. Как правило, эти функции задаются либо графически, либо таблично.

Для решения системы уравнений (3) необходимо задать начальные условия. Обычно они задаются в виде t=0 или V=Vn.




2. Методика и алгоритмы решения задачи



2.1 Формирование функций исходных данных



В курсовой работе исходными данными являются функции R(V) и T(V), которые представлены в графическом виде. Решением данной задачи является снятие контрольных точек с графиков (R(V) – 16-20 точек и T(V) – 8-10 точек) включая первую и последнюю и заполнение таблиц исходных данных (расчёты производятся в системе СИ).



2.2 Аппроксимация исходных данных



По сформированным таблицам этих функций необходимо:

выбрать класс аппроксимирующей функции (если выбран полином, то необходимо выбрать его степень исходя из вида кривой по характерным точкам, выбранным из контрольных);

определить коэффициент аппроксимации;

рассчитать и вывести на дисплей графики аппроксимирующих функций.

Модельная задача №1. Линейная аппроксимация исходных функций R(V) и T(V) на всём участке по первой и последней точкам.

Модельная задача №2. Кусочно-линейная аппроксимация исходных функций R(V) (3 участка) и функции T(V) (2 участка).

Модельная задача №3. Кусочо-нелинейная аппроксимация исходных функций R(V) (не менее 3 участков) и T(V) на всём участке. Подобрать оптимальный вариант аппроксимирующих функций с учётом неразрывности функции на границах участков.




2.3 Эталонное аналитическое решение системы дифференциальных уравнений



Для отладки программы решения общей (при произвольных R(V) и T(V)) системы (3) целесообразно задать эти функции в виде полиномов 1-й степени.



 (4)



Здесь коэффициенты аппроксимации находятся по методу интерполяции по первой и последней точкам.

Подставляя соотношения (4) в систему (3) получим: 



 или  (5)



где F0=T0-R0, F1=T1-R1.

Это простейшее дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:



 (6)



Решение этого уравнения:






Здесь начальные условия входят в пределы интегрирования. Вычисляя интегралы, получаем:







Потенцируя, получаем:





 



Это и есть точное решение уравнения (6). При t=0 имеем V=VH, то есть начальное условие выполнено автоматически. При разгоне коэффициент F1<0 и при  получаем:



 при F1<0 и при  (7)



При отладке программы в общем случае получаемое численное решение с линейными аппроксимациями T(V) и R(V) сравнивается с точным для проверки правильности алгоритма решения. На этом этапе расчёта строится график зависимости V=V(t) и график численного решения уравнения (6). Он совпадают с заданной точностью.




2.4 Вычисление кинетической энергии



Для расчёта кинетической энергии затрачиваемой на разгон судна используется известное соотношение







Такой же расчёт необходимо произвести для задачи торможения.

Вычисление интеграла производится одним из численных методов на основании результатов, полученных в третьей модельной задаче.



Контрольные точки с графиков

 

V

R(V)

T(V)



км/ч

м/с

кг

Н

кг

Н

1

0

0

0

0

1950

19110

2

4

1,1112

20

196

1940

19012

3

8

2,2224

100

980

1915

18767

4

12

3,3336

260

2548

1900

18620

5

16

4,4448

590

5782

1885

18473

6

20

5,556

1060

10388

1860

18228

7

24

6,6672

1340

13132

1820

17836

8

28

7,7784

1460

14308

1795

17591

9

30

8,334

1490

14602

1780

17444

10

32

8,8896

1500

14700

1730

16954

11

34

9,4452

1490

14602

1705

16709

12

36

10,0008

1475

14455

1690

16562

13

40

11,112

1390

13622

1610

15778

14

44

12,2232

1295

12691

1540

15092

15

48

13,3344

1195

11711

1460

14308

16

52

14,4456

1090

10682

1380

13524

17

56

15,5568

1010

9898

1285

12593

18

60

16,668

1005

9849

1185

11613

19

65

18,057

1060

10388

1060

10388

20

70

19,446

1190

11662

960

9408






	
3. Первая модельная задача

	





	Нахождение корня шаговым методом:

	

V

F(V)

37,5

400,5

37,75

275,77

38

151,04

38,25

26,31

38,5

-98,42







	
Уточнение корня методом Ньютона:

	

 

 

e=

0,001

Метод Ньютона

V

F(V)

F'(V)

|F(V)<=e

38,25

26,31

-498,92

 

38,302734

0

-498,92

скорость!

	

	Время разгона: метод Симпсона (парабол)

	

V

F(V)

V

F(V)

0

0,758765

7

0,9284421

4

0,8472437

15

1,2471831

12

1,1049336

25

2,184722

20

1,5878926

35

8,7996116

30

3,5003862

45

-4,3394984

40

-17,12329

 

 

Sum1=

7,0404562

Sum2=

8,8204604

 

t_разгона=

50,29

 

	

	Время торможения: метод Симпсона (парабол)

	

38,5

-0,754877

36

-0,8072993

33,5

-0,867546

31

-0,9375089

28

-1,037956

25,5

-1,1397167

23

-1,263599

20,5

-1,4176964

18

-1,614599

15,5

-1,8750178

13

-2,235598

10,5

-2,7678834

8

-3,632847

6

-4,8437959

5

-5,812555

4

-7,2656939

3

-9,687592

2

-14,531388

1

-29,06278

0,5

-58,125551

Sum1=

-55,21507

Sum2=

-35,586

t_торможения=

73,75825

 

	

	
Энергия разгона судна:

	

V(t)

V(t)^2





3,8

14,44





7,6

57,76





11,4

129,96





15,2

231,04





19

361





22,8

519,84





26,6

707,56





30,4

924,16





34,2

1169,64





38

1444





E_разгона=

40305650

[Дж]

	

	
4. Вторая модельная задача

	

	

	

	Нахождение корня шаговым методом:

	

V

F(V)

77

67

77,11

47,42

77,22

27,84

77,33

8,26

77,44

-11,32

	

	

	

	
Уточнение корня:

	





e=

0,001

Метод Ньютона

V

F(V)

F'(V)

|F(V)<=e

77,33

8,26

-178

 

77,376404

0

-178

скорость!

	

	
5. Третья модельная задача

	

	

	

	Нахождение корня:

	

V

F(V)

28

197,3728

28,11

67,90212

28,22

-61,82168

28,33

-191,7965

28,44

-322,0201

	

	




6.Сводная таблица результатов и выводы



Таблица полученных результатов:

Реализация

Vст

Разгон

Торможение





T, c

S, м

E, МДж

T, c

S, м

Модельная задача №1

MathCAD

14,964

2,165

2,118

0,5

12,892 

4,525



Visual C++

15,33

2,16

x

0,14

3,56

x

Модельная задача №2

MathCAD

18,1

2,714

1,386

0,237

21,025

3,317



Visual C++

18,25

1,64

x

x

x

x

Модельная задача №3

MathCAD

11,078

1,825

-9,714

13,44

11,679

-15,637



Visual C++

11,31

1,87

x

18,28

3,63

x



Вывод: результаты вычислений могут меняться в зависимости от метода и программы, которыми мы считаем. Причем некоторые методы не дадут нам вовсе правильного результата.