Явления переноса в твердых телах

Содержание

Введение 

§ 1.  Теплопроводность в твердых телах.

	Понятие теплопроводности.

	Теплопроводность металлов.

	Теплопроводность диэлектриков.

§ 2. Перенос массы в твердых телах (диффузия).

§3. Перенос импульса в твердых телах (вязкое трение).

§4. Перекресные процессы переноса  в твердых телах.

Заключение 

Литература



























Введение.

Явления переноса  -  неравновесные процессы, в результате которых в физической  системе происходит пространственный перенос электрического  заряда, вещества, импульса, энергии, энтропии или какой-либо другой физической  величины. 

Общую феноменологическую теорию явлений переноса, применимую к любой системе (газообразной, жидкой или твёрдой), даёт термодинамика неравновесных процессов. Более детально явления переноса изучает кинетика физическая. Явления переноса  в газах рассматриваются на основе кинетической теории газов с помощью кинетического уравнения Больцмана для функции распределения молекул; явления переноса в металлах - на основе кинетического уравнения для электронов в металле; перенос энергии в непроводящих кристаллах - с помощью кинетического  уравнения для фононов кристаллической  решётки. Общая теория явлений переноса развивается в неравновесной статистической механике на основе Лиувилля уравнения для функции распределения всех частиц, из которых состоит система.

Причиной явлений переноса являются - возмущения, нарушающие состояние термодинамического  равновесия: действие внешнего  электрического поля, наличие пространственных  неоднородностей состава, температуры или средней скорости движения частиц системы. 

Перенос физической величины происходит в направлении, обратном её градиенту, в результате чего изолированная от внешних воздействий система приближается к состоянию термодинамического равновесия. Если внешние воздействия поддерживаются постоянными, явления переноса протекают стационарно, которые характеризуются необратимыми потоками Ji физической  величины, например, диффузионным потоком вещества, тепловым потоком или тензором потока импульса, связанного с градиентами скоростей. 

При малых отклонениях системы от термодинамического равновесия потоки линейно зависят от термодинамических сил Хk, вызывающих отклонение от термодинамического равновесия, и описываются феноменологическими  уравнениями 



где Lik - феноменологический коэффициент переноса (в термодинамике неравновесных процессов) или кинетические коэффициенты (в физ. кинетике), вычисляемые с помощью решения кинетических уравнений. Термодинамические  силы Хk вызывают необратимые потоки; например, градиент температурыры вызывает поток теплоты (теплопроводность ),градиент концентрации вещества - поток компонента смеси (диффузия ),градиент массовой скорости - поток импульса (вязкость). 
Перенос вещества, вызванный градиентом температуры, - термодиффузию и обратный ей процесс переноса тепла вследствие градиента концентрации (Дюфура эффект)называют перекрёстными процессами. Для перекрёстных процессов в отсутствии магнитного поля имеет место соотношение симметрии Lik = Lki (Онсагера теорема), являющееся следствием микроскопической обратимости уравнений, описывающих движение частиц. Если магнитное поле отлично от нуля, то при замене ik нужно изменить направление магнитного поля на противоположное. 

Явления переноса  обычно сопровождаются производством энтропии в единицу времени: 



Это выражение является формулировкой второго начала термодинамики для явлений переноса. 
Целью данной курсовой работы является изучение явление переноса в твердых телах, ………………………………………………………………………………………

Основной задачей………………………………

























































§ 1.  Теплопроводность в твердых телах.

	Понятие теплопроводности.

Теплопроводность – это процесс переноса энергии от более нагретых частей тела (или тел) к менее нагретым частям (или телам), осуществляемый хаотически движущимися частицами тела. В газах,                                                                                             жидких и твердых диэлектриках такими частицами являются атомы и молекулы. Хотя атомарно – молекулярный характер переноса энергии является отличительной чертой теплопроводности во всех телах, механизм теплопроводности в различных агрегатных состояниях различен, что связано с различным характером теплового движения атомов и молекул. Механизм теплопроводности в твердых диэлектриках связан с тепловыми колебаниями атомов или молекул около положений равновесия. В области с повышенной температурой частицы тела имеют более высокую энергию и совершают колебания с большей амплитудой. Поскольку частицы связаны между собой упругими силами, то увеличение амплитуды колебаний частиц в одном месте вызывает увеличение амплитуды колебаний соседних частиц. В результате в теле возникает упругая волна, распространяющаяся со скоростью звука и переносящая энергию тепловых колебаний. Механизм распространения тепловых волн аналогичен механизму распространения звуковых волн, поэтому их обычно называют акустическими. 

Теория тепловых волн в кристаллической решетке была разработана в 1912 году Дебаем. В ее основе лежит представление о квантовании энергии. Согласно этим представлениям энергия решетки, в которой распространяется волна с частотой ν (энергия упругой волны) может принимать только дискретные значения:

                         (1)

где n = 0, 1, 2, 3… - квантовое число,

h – постоянная Планка, h = 6,62·10 -34 Дж·с.

Эти значения энергии изображены на рис. 2 в виде энергетических уровней. Минимальная энергия решетки соответствует уровню n = 0 и равна  hν (так называемая, нулевая энергия). Наименьшая порция энергии, которую может испустить или поглотить решетка при тепловых колебаниях, соответствует переходу с данного энергетического уровня на ближайший соседний уровень:

ε = h ν.              (2)

Рис. 1

Эту порцию, или квант энергии тепловых колебаний решетки, называют фононом. В зависимости от степени возбуждения решетки, она может испускать то или иное число фононов. Так, если энергия решетки соответствует 3-му уровню (рис. 1), то есть



то это означает, что решетка испустила три одинаковых фонона с энергией ε = h ν каждый. Среднее число фононов с одинаковой энергией ε при данной температуре Т равно

             (3)

где e – основание натурального логарифма, k – постоянная Больцмана.

Из формулы (3) следует, что при Т = 0 в кристалле нет фононов, а с ростом температуры их число быстро увеличивается. В кристалле может одновременно распространяться много слабо связанных между собой волн с различными частотами νi, которым соответствуют разного сорта фононы. Среднее число фононов других сортов (других энергий) также определяется формулой (3).

Введение фононов позволяет рассматривать термически возбужденное твердое тело как сосуд, наполненный газом фононов, свободно перемещающихся внутри него со скоростью звука. Однако фононы отличаются от обычных частиц тем, что они не могут существовать в вакууме – для      фононов нужна среда и этой средой является кристалл. Подобного рода частицы называются квазичастицами. Используя понятие фонового газа, теплопроводность в кристаллических телах (решеточную теплопроводность) можно объяснить следующим образом. В той части тела, где выше температура, плотность фононов, согласно формуле (3), больше, фононы будут двигаться в ту часть тела, где температура ниже (меньше плотность), стремясь выравнять плотность по всему телу. При таком движении фононов от горячего конца к холодному происходит перенос тепла. Поскольку скорость движения фононов, равная скорости звука, велика (порядка 103 м/с), то, казалось бы, тепло должно распространяться в твердом теле очень быстро. Однако  происходит рассеяние фононов на фононах (столкновение фононов), вследствие чего средняя длина свободного пробега фонона (за исключением низких температур) оказывается маленькой. Рассмотренный механизм передачи энергии не обеспечивает ее быстрого переноса и поэтому теплопроводность твердых диэлектриков мала. 

Опыт показывает, что теплопроводность металлов, как правило, значительно больше теплопроводности диэлектриков. Это объясняется тем, что в металлах в переносе тепла кроме фононов участвуют валентные электроны, образующие электронный газ, подобный идеальному атомарному газу. Механизм электронной теплопроводности металла подобен механизму теплопроводности газа: валентные электроны, пролетая большие расстояния между столкновениями с узлами решетки, переносят энергию из одной части в другую. В чистых металлах электронная часть теплопроводности значительно больше решеточной теплопроводности. 

При достаточно высоких температурах решеточная (фононная) теплопроводность составляет 1 –2 % от электронной теплопроводности. В сплавах со структурными неоднородностями кристаллической решетки электронная теплопроводность может быть сравнима с решеточной, а общая теплопроводность   приближается к теплопроводности диэлектриков.

Уравнение теплопроводности Количественно явление теплопроводности во всех телах описывается уравнением Фурье, согласно которому количество тепла dQ, прошедшее за время dt через некоторую площадку s, перпендикулярную направлению распространения тепла, выражается формулой:

                         (4)

Как следует из формулы (4) К  измеряется в системе СИ в единицах Дж/м·с·К.  

Величина dT/dl характеризует быстроту изменения температуры в направлении распространения тепла и численно равна изменению температуры тела на единице длины в этом направлении. Она называется градиентом температуры. 

Знак минус в уравнении Фурье указывает, что поток тепла направлен в сторону, противоположную градиенту температуры. 

Коэффициент К, зависящий от физической природы вещества и его состояния, называется коэффициентом теплопроводности. Физический смысл его можно установить из следующих соображений. Если положить в формуле (4) s = 1; dt = 1; и dT/dl = 1, то dQ = K. Это означает, что коэффициент теплопроводности численно равен количеству тепла, переносимому за 1 секунду через единицу площади, перпендикулярной направлению распространения тепла, если градиент температуры равен единице. 

Метод определения коэффициента теплопроводности.

В данной работе для определения коэффициента теплопроводности К используется уравнение Фурье (4). При этом величины dQ/dt, s , dT/dl измеряются опытным путем. Исследуемый материал взят в виде сплошного медного стержня круглого сечения. Для создания потока тепла вдоль стержня его концы помещены в термостаты А и В (рис. 2).



Рис.2

Термостат А представляет собой металлическую коробку цилиндрической формы, в которую впаяны две трубки для входа и выхода водяного пара. Такое же устройство имеет термостат В, через который протекает холодная вода. Расход воды через термостат В поддерживается постоянным с помощью сосуда Д. Это достигается постоянством уровня воды в сосуде Д, для чего он снабжен трубкой Н, служащей для отвода излишков воды. Контроль за уровнем воды в сосуде Д осуществляется с помощью водомерной стеклянной трубки h. Вода, протекающая через термостат В, служит приемником тепла, переносимого через исследуемый стержень от его горячего конца к холодному. Термометры Т1 и Т2 позволяют определить увеличение  температуры воды. В точках «а» и «в» исследуемого стержня в специальных углублениях помещаются спаи термопары, соединенной с гальванометром Г и служащей для определения градиента температуры. Стержень помещен в ящик, наполненный пористым  веществом лигнином, являющимся хорошим теплоизоляционным материалом. При хорошей изоляции стержня можно пренебречь отдачей тепла через боковую поверхность и считать, что тепло распространяется только вдоль стержня. Через некоторое время после подачи пара в термостат А в стержне устанавливается стационарный процесс переноса тепла, характеризуемый постоянством температуры в каждом сечении стержня. Такое состояние возможно, если через любое поперечное сечение за равные промежутки времени проходит одинаковое количество тепла (dQ/dt = const). 

Из уравнения (4) следует, что при этом градиент температуры dT/dl можно считать одинаковым для всех сечений стержня. Поэтому он может быть определен в виде:

                 (5)

где l – расстояние между двумя сечениями стержня, ΔТ – разность температур в этих сечениях, определяемая по показаниям гальванометра.

 Для определения dQ/dt (количества тепла, протекающего через поперечное сечение стержня за 1 секунду) поступают следующим образом. При стационарном процессе переноса тепла:

                  (6)

За время t теплота Q будет передана воде, протекающей через термостат В. При этом вода нагреется от Т1 до Т2 (см. рис. 3). Если за это же время через термостат В протечет количество воды, масса которой М, то



Или                                                                                                                 (7)



где с – удельная теплоемкость воды, Т1 и Т2 – показания соответствующих термометров. 

Подставляя формулы (5), (6) и (7) в уравнение Фурье (4). Получим формулу для определения К:

                  (8)

S – площадь поперечного сечения стержня.



	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

   Теплопроводность металла

Наиболее впечатляющим успехом модели Друде в то время, когда она была предложена, явилось объяснение эмпирического закона Видемана и Франца (1853г.). Закон Видемана-Франца утверждает, что соотношение   теплопроводности к электропроводности для большинства металлов прямо пропорционально температуре, причем коэффициент пропорциональности с достаточной точностью одинаков для всех металлов. Эта закономерность видна из таблицы , где приведены измеренные значения теплопроводности и отношение   (называемое числом Лоренца) для некоторых металлов при двух температурах, 273 К и 373К.

Для объяснения этой закономерности в рамках модели Друде предполагают, что основная часть  теплового потока в металле переносится электронами проводимости.  Это предположение  основано на том эмпирическом наблюдении, что металлы проводят тепло гораздо лучше, чем диэлектрики.  Поэтому теплопроводность, обусловленная ионами, которые имеются и в металлах, и в диэлектриках, гораздо менее важна по сравнению с теплопроводностью, обусловленной электронами проводимости (присутствующими только в металлах).

Таблица 1

Экспериментальные значения коэффициента теплопроводности и числа Лоренца некоторых металлов

Элемент

273К

373К





χ/σT, 10-8Вт ∙Ом/К2



χ/σT, 10-8Вт∙Ом/К2

Li

0.71

2.22

0.73

2.43

Na

1.38

2.12





K

1.0

2.23





Rb

0.6

2.42





Cu

3.85

2.20

3.82

2.29

Ag

4.18

2.31

4.17

2.38

Au

3.1

2.32

3.1

2.36

Be

2.3

2.36

1.7

2.42

Mg

1.5

2.14

1.5

2.25

Nb

0.52

2.90

0.54

2.78

Fe

0.80

2.61

0.73

2.88

Zn

1.13

2.28

1.1

2.30

Cd

1.0

2.49

1.0



Al

2.38

2.14

2.30

2.19

In

0.88

2.58

0.80

2.60

Ti

0.5

2.75

0.45

2.75

Sn

0.64

2.48

0.60

2.54

Pb

0.38

2.64

0.35

2.53

Bi

0.09

3.53

0.08

3.35

Sb

0.18

2.57

0.17

2.69



Чтобы дать определение коэффициента теплопроводности и рассчитать его, рассмотрим металлический стержень, вдоль которого температура медленно меняется. Если бы на концах стержня не было источников, и стоков тепла, поддерживающих градиент температуры, то его горячий конец охлаждался бы, а холодный – нагревался, то есть тепловая энергия текла бы в направлении, противоположном градиенты температуры. Подводя тепло к горячему концу с той же скоростью, с которой оно отсюда уходит, можно добиться установления стационарного состояния с градиентом температуры и постоянным потоком тепловой энергии. Мы определяем плотность потока тепла jq  как вектор, параллельный направлению потока тепла и равный по абсолютной величине количеству тепловой энергии, пересекающей за единицу времени единичную площадь, перпендикулярную потоку. Для малых градиентов температуры поток тепла оказывается пропорциональным  (закон Фурье):



где   - коэффициентом теплопроводности. Он положителен, поскольку направление потока тепла противоположно направлению градиента температуры.











  Теплопроводность диэлектриков.

Большинство кинетических свойств металлов не имеет аналогов у диэлектриков. Однако диэлектрики, являясь электрическими изоляторами, все же проводят тепло. Конечно, они проводят не так хорошо, как металлы: верхний конец серебряной ложки, опущенной в кофе, становится горячим гораздо быстрее, чем ручка керамической чашки. Тем не менее с точки зрения модели статистической решетки в диэлектриках вообще не существует механизма, который обеспечивал бы даже небольшой перенос тепла. Действительно,  в частично заполненных зонах диэлектриков содержится столь малое число  электронов, что их недостаточно для выполнения этой задачи. Теплопроводность диэлектриков обусловлена в первую очередь решеточными степенями свободы.

	Теплопроводность реальных диэлектриков не бесконечна по ряду обстоятельств:

Неизбежные несовершенства решетки, примеси, изотопические неоднородности и т.п., всегда присутствующие в реальных кристаллах, играют роль рассеивающих центров для фононов и служат препятствиями тепловому потоку.

Даже в совершенно чистом кристалле фононы обязательно сталкиваются с поверхностью  образца, что также ограничивает тепловой поток.

Даже в совершенно чистом бесконечном кристалле стационарные состояния  гармонического гамильтониана представляют собой всего лишь приближенные стационарные состояния полного ангармонического гамильтониана, поэтому состояние с определенной совокупностью фононных чисел заполнения не будет оставаться неизменным с течением времени.

Предположим, что вдоль оси х в кристалле диэлектрика приложен небольшой градиент температуры. (рис. 3)





Рис. 3: Перенос тепла фононами при наличии постоянного градиента температуры вдоль оси х.

Поток тепла в точке х0 обусловливается фононами, испытавшими  последнее столкновение в среднем на расстоянии  от х0. Фононы, скорость которых в точке х0 составляет угол θ с осью х, испытали последнее столкновение в точке Р, расположенной на расстоянии  выше по градиенту температуры, и поэтому переносимая ими плотность энергии равна , а компонента скорости вдоль оси х равна    . Полный поток тепла пропорционален произведению этих величин, усредненному по телесному углу.

	В отсутствии процессов переброса диэлектрический кристалл имеет бесконечно большую теплопроводность.

	Теплопроводность совершенного бесконечного ангармонического кристалла конечна при низких температурах лишь из-за того, что в этих условиях имеется небольшая вероятность осуществления нарушающих закон сохранения квазиимпульса процессов переброса,которые уменьшают тепловой поток. С понижением температуры число фононов, способных принять участие в процессах переброса, спадает по экспоненте. Без процессов переброса теплопроводность имела бы бесконечно большую величину.

	Поведение теплопроводности во всем диапазоне температур должно быть следующим. При очень низких температурах теплопроводность будет ограничиваться температурно-независимыми процессами рассеяния, определяемыми геометрией образца и чистотой вещества, из которого он изготовлен. Поэтому он будет расти пропорционально Т3 так же, как удельная теплоемкость. Рост продолжается до тех пор, пока не будет достигнута температура, при которой процессы переброса становятся столь частыми, что длина свободного пробега оказывается меньше не зависящей от температуры длины свободного пробега.  В этой точке теплопроводность достигает максимума, а затем начинает очень быстро падать за счет экспоненциального возрастания частоты процессов переброса с повышением температуры.  Резкое экспоненциальное падение скоро заменяется медленным степенным убыванием (из-за того, что при высоких температурах велико число фононов, способных принять участие в процессе рассеяния (с перебросом)).

	На Рис. 4  Показаны типичные экспериментальные кривые температурной зависимости теплопроводности.



Рис.4: Теплопроводность изотопически чистых кристаллов LiF.

	



§ 2. Перенос массы в твердых телах (диффузия).

Диффузия (от лат. diffusio — распространение, растекание), взаимное проникновение соприкасающихся веществ друг в друга вследствие теплового движения частиц вещества. Диффузия происходит в направлении падения концентрации вещества и ведёт к равномерному распределению вещества по всему занимаемому им объёму (к выравниванию химического потенциала вещества).

Самым известным примером диффузии является перемешивание газов или жидкостей (если в воду капнуть чернил, то жидкость через некоторое время станет равномерно окрашенной). Другой пример связан с твёрдым телом: если один конец стержня нагреть или электрически зарядить, распространяется тепло (или соответственно электрический ток) от горячей (заряженной) части к холодной (незаряженной) части. В случае металлического стержня тепловая диффузия развивается быстро, а ток протекает почти мгновенно. Если стержень изготовлен из синтетического материала, тепловая диффузия протекает медленно, а диффузия электрически заряженных частиц — очень медленно. Диффузия молекул протекает в общем ещё медленнее. Например, если кусочек сахара опустить на дно стакана с водой и воду не перемешивать, то пройдёт несколько недель, прежде чем раствор станет однородным. Ещё медленнее происходит диффузия одного твёрдого вещества в другое. Например, если медь покрыть золотом, то будет происходить диффузия золота в медь, но при нормальных условиях (комнатная температура и атмосферное давление) золотосодержащий слой достигнет толщины в несколько микрометров только через несколько тысяч лет.

  	Диффузия имеет место в газах, жидкостях и твёрдых телах, причём диффундировать могут как находящиеся в них частицы посторонних веществ, так и собственные частицы (самодиффузия).

Самодиффузия, частный случай диффузии в чистом веществе или растворе постоянного состава, при котором диффундируют собственные частицы вещества. При самодиффузии атомы, участвующие в диффузионном движении, обладают одинаковыми химическими свойствами, но могут различаться по своим физическим характеристикам (составом атомного ядра). При различии изотопного состава вещества за процессом самодиффузии можно наблюдать, применяя радиоактивные изотопы или анализируя изотопный состав при помощи масс-спектрометров. Изменение концентрации данного изотопа в рассматриваемом объёме вещества в зависимости от времени описывается обычными уравнениями диффузии, а скорость процесса характеризуется соответствующим коэффициентом самодиффузии. Диффузионные перемещения частиц твёрдого тела могут приводить к изменению его формы и к другим явлениям, если на образец длительно действуют такие силы, как поверхностное натяжение, сила тяжести, упругие силы, электрические силы и т. д. При этом может наблюдаться сращивание двух пришлифованных образцов одного и того же вещества, спекание порошков, растягивание тел под действием подвешенного к ним груза (диффузионная ползучесть материалов) и т. д. Изучение кинетики этих процессов позволяет определить коэффициент самодиффузии  вещества.

 	 Диффузия крупных частиц, взвешенных в газе или жидкости (например, частиц дыма или суспензии), осуществляется благодаря их броуновскому движению. В дальнейшем, если специально не оговорено, имеется в виду молекулярная диффузия.

  	Наиболее быстро она происходит в газах, медленнее в жидкостях, ещё медленнее в твёрдых телах, что обусловлено характером теплового движения частиц в этих средах. Траектория движения каждой частицы газа представляет собой ломаную линию, т.к. при столкновениях частицы меняют направление и скорость своего движения. Неупорядоченность движения приводит к тому, что каждая частица постепенно удаляется от места, где она находилась, причём её смещение по прямой гораздо меньше пути, пройденного по ломаной линии. Поэтому диффузионное проникновение значительно медленнее свободного движения (скорость диффузионного распространения запахов, например, много меньше скорости молекул). Смещение частицы меняется со временем случайным образом, но средний квадрат его `L2 за большое число столкновений растёт пропорционально времени t. Коэффициент пропорциональности D в соотношении: `L2 ~ Dt называется коэффициентом диффузии. Это соотношение, полученное А. Эйнштейном, справедливо для любых процессов диффузии.  

В твёрдом теле могут действовать несколько механизмов диффузии: обмен местами атомов с вакансиями (незанятыми узлами кристаллической решётки), перемещение атомов по междоузлиям, одновременное циклическое перемещение нескольких атомов, прямой обмен местами двух соседних атомов и т.д. Первый механизм преобладает, например, при образовании твёрдых растворов замещения, второй — твёрдых растворов внедрения.

Твёрдые растворы, твёрдые фазы переменного состава, в которых атомы раз личных элементов смешаны в известных пределах или неограниченно в общей кристаллической решётке. Растворимость в твёрдом состоянии свойственна всем кристаллическим твёрдым телам. Б большинстве случаев эта растворимость ограничена узкими пределами, но известны системы с непрерывным рядом Т. р. (например, Cu — Au, Ti — Zr, Ge — Si, GaAs — GaP). По существу все кристаллические вещества, известные как «чистые» или «особо чистые», являются твердыми растворами с очень малым содержанием примесей, поскольку абсолютная чистота практически недостижима. Наличие широкой области твердых растворов на основе соединений или главным образом металлов имеет громадное значение в технике, так как образующиеся при этом сплавы отличаются более высокими механическими, физическими и другими свойствами, чем исходные компоненты. При распаде твердых растворов сплавы приобретают новые, часто особые свойства.

  Коэффициент диффузии в твёрдых телах крайне чувствителен к дефектам кристаллической решётки, возникшим при нагреве, напряжениях, деформациях и других воздействиях. Увеличение числа дефектов (главном образом вакансий) облегчает перемещение атомов в твёрдом теле и приводит к росту коэффициента диффузии, для которого  в твёрдых телах характерна резкая (экспоненциальная) зависимость от температуры. Так, коэффициент диффузии цинка в медь при повышении температуры от 20 до 300°С возрастает в 1014 раз.

Для большинства научных и практических задач существенно не диффузионное движение отдельных частиц, а происходящее от него выравнивание концентрации вещества в первоначально неоднородной среде. Из мест с высокой концентрацией уходит больше частиц, чем из мест с низкой концентрацией. Через единичную площадку в неоднородной среде проходит за единицу времени безвозвратный поток вещества в сторону меньшей концентрации — диффузионный поток j. Он равен разности между числами частиц, пересекающих площадку в том и другом направлениях, и потому пропорционален градиенту концентрации ÑС (уменьшению концентрации С на единицу длины). Эта зависимость выражается законом Фика (1855):                                   j = -DÑC.

 	 Единицами потока j в Международной системе единиц являются 1/м2·сек или кг/м2·сек, градиента концентрации — 1/м4 или кг/м4, откуда единицей коэффициента диффузии является м2/сек. Математически закон Фика аналогичен уравнению теплопроводности Фурье. В основе этих явлений лежит единый механизм молекулярного переноса: в 1-м случае переноса массы, во 2-м — энергии.

  Диффузия возникает не только при наличии в среде градиента концентрации (или химического потенциала). Под действием внешнего электрического поля происходит диффузия заряженных частиц (электродиффузия), действие поля тяжести или давления вызывает бародиффузию, в неравномерно нагретой среде возникает термодиффузия.

  	Все экспериментальные методы определения коэффициента диффузии содержат два основных момента: приведение в контакт диффундирующих веществ и анализ состава веществ, изменённого диффузией. Состав (концентрацию продиффундировавшего вещества) определяют химически, оптически (по изменению показателя преломления или поглощения света), масс-спектроскопически, методом меченых атомов и др.

Рассмотрим влияние точечных дефектов на диффузию. Точечные дефекты оказывают наиболее значительное влияние на скорость диффузии в кристаллах и на электропроводность в диэлектрических кристаллах. Остановимся, прежде всего, на возможных механизмах диффузии в кристаллах. 

     	Атомы в кристаллах могут перескакивать из одного положения в другое. Возможные варианты таких перескоков изображены на рис. 5. Два или четыре атома могут поменяться местами (см. рис. 5 (1, 2)). Однако атому гораздо легче (это показывают как наглядные соображения о том, как "легче протиснуться атому между другими, раздвигая их", так и строгие расчеты) перескакивать в вакансию (см. рис. 5 (3)). Также сравнительно легко перескакивать межузельному атому, особенно если он небольшого размера (см. рис. 5 (4)). Поэтому основными механизмами диффузии в твердых телах считают вакансионный, связанный с перегруппировками атомов вблизи вакансий (см. рис. 5(3)) и межузельный, связанный с перемещениями, как правило, сравнительно мелких атомов по междоузлиям (см. рис. 5 (4)).

             

Рис.5. Наиболее распространенные механизмы диффузии атомов в кристаллах: 1 - обмен местами двух соседних атомов; 2 - обмен местами нескольких соседних атомов; 3 - перескок атома в вакансию; 4 - перескоки межузельных атомов в соседние междоузлия.





  	Во всех случаях диффузии атомы должны преодолевать потенциальный барьер; происхождение которого связано главным образом с квантовыми силами отталкивания, сильно увеличивающимися при сближении атомов. Рассмотрим наиболее простой для анализа случай перескакивания межузельного атома в соседнее междоузлие. На рис. 6 схематически изображена зависимость энергии межузельного атома от координаты х. Энергия, необходимая для такого перескока, называется энергией активации Еа. . Она обычно значительно больше средней энергии теплового движения (). Вероятность такого события очень мала и задается формулой Больцмана:

                  (1)

  Поэтому атомы в кристаллах в течение длительного времени испытывают колебания около положения равновесия с некоторой частотой ν, и только очень редко, когда случайно энергия тепловых колебаний превысит энергию активации, могут перепрыгнуть на новое место. Можно приблизительно оценить частоту f таких перескоков как:

                           (2)





 Рис.6 Зависимость энергии межузельного атома от координаты x. Энергия атома минимальна в междоузлиях и максимальна в положениях А.









Таким образом, атом в твердых телах перемещается редкими прыжками, на расстояние a  и частотой  f как это схематически показано на рис 7.









Рис.7. Схематическое изображение процесса диффузии межузельных атомов в примитивной кубической решетке

















С помощью такой модели движения атомов рассчитаем коэффициент диффузии межузельных атомов в случае простой кубической решетки с параметром a . Пусть частота перескоков из данного междоузлия в соседнее равна f .

  Вспомним закон диффузии Фика, связывающий поток числа атомов dN / dt  через площадку S  и градиент концентрации dC /dx:

        (3)

Параметр D  называется коэффициентом диффузии. Он зависит от типа диффундирующего атома и вещества, в котором происходит диффузия заданных атомов. Рассмотрим в кристалле направление [100] и перпендикулярную ему плоскость S, и проходящую через узлы решетки (отмечены кружочками на рис. 8 а). Также рассмотрим две параллельные соседние плоскости 1 и 2, проходящие соответственно слева и справа через ближайшие к выбранной плоскости междоузлия (обозначены квадратиками). Расстояние между плоскостями 1 и 2, равное расстоянию между междоузлиями, равно также параметру решетки и "длине перескока" a. Пусть на участке площади  S плоскости 1 находится N1 межузельных атомов, а на таком же по площади участке плоскости 2 – N2  межузельных атомов (см. рис. 8 а).



Можно рассчитать входящие в закон диффузии концентрации  C1 и  C2 межузельных атомов в точке с координатой  x и . Очевидно:

    ;                        (4)



Рис. 8.Расположение узлов и междоузлий кубической примитивной решетке (а) Расположение междоузлий ближайших к заданному (б) в этой решетке



Вычислим число атомов ΔN1, пересекших за  Δt плоскость S  слева направо. Каждый атом первой плоскости может перепрыгнуть в одно из шести ближайших мест (см. рис. 8 б), только одно из них соответствует пересечению атомом выбранной центральной плоскости. Тогда 

           (5)

  Аналогично вычисляется число атомов ΔN2 , пересекших за  Δt выбранную плоскость S   справа налево:

                  (6)

Общее число атомов, пересекших плоскость, окажется равным:

         (7)

 С учетом, что  C1-C2= - (dC /dx)a , получаем:

                          (8)

Сравнивая (3) и (8), получим, что коэффициент диффузии оказывается равным:

                               (9)

   	Примерно по такой же схеме можно рассчитать коэффициенты диффузии и в других изображенных на рис. 5 случаях, характерная энергия активации будет другой, причем в случаях 1 и 2 она будет больше, чем в случаях 3 и 4. Заметим, что энергия активации при перегруппировке атомов вблизи вакансии будет значительно меньше, чем в случаях 1 и 2. Несмотря на то, что число вакансий в соответствии с (1) обычно небольшое, вклад в диффузию по механизму 3 значительно превосходит вклад в диффузию по механизму 1 и 2 из-за меньшей энергии активации и, следовательно, большей вероятности перескока атомов.

     Общим для всех случаев диффузии, изображенных на рис. 5, окажется экспоненциальная зависимость коэффициента диффузии от температуры вида:

      (10)

  Параметры D0 и Ea этой формулы измерены экспериментально для каждой пары диффундирующий элемент - вещество, в котором происходит диффузия (см. табл. 2).

     Таблица 2.

Параметры  D0 и Ea формулы (10) для некоторых пар диффундирующий элемент - вещество.

Элементы

 , м2/с

 , эВ

 в 



3,0

 в 



2,5

 в 



2,5

 в 



2,5

 в 



4,5

 в 



1,45

 в 



2,05

 в 



1,98

 в  (ОЦК-железо)



0,9

 в 



1,20



На рис. 9 изображена зависимость коэффициента диффузии углерода в ОЦК железе от температуры. Видно, что соотношение (10) выполняется весьма точно.

 

Рис.9 .Зависимость коэффициента диффузии углерода в ОЦК железе от температуры    



С помощью рассмотренной выше модели диффузии можно оценить среднее смещение < x2 > атома в кристалле за время t=Nt1=N/f  (здесь t1=1/f среднее время между последовательными перескоками атома). Для этого вычисляют величину < x2 > в предположении о полной независимости последующих прыжков друг от друга [2]. В этом случае можно получить формулу:

         (11)

Эта формула используется для экспериментального определения величины D.

Диффузию в твердых телах в настоящее время наиболее эффективно изучают с использованием "меченых атомов". Для таких исследований на поверхность вещества наносят определенное количество радиоактивных меченых атомов. Затем образец выдерживается при заданной температуре в течение времени достаточного для диффузии "меченых атомов" на глубину порядка 0,3-1 мм. Затем измеряется активность образца. После удаления шлифованием слоя вещества заданной толщины снова измеряется активность образца, и так несколько раз. Таким образом можно определить среднюю глубину проникновения "меченых атомов" в вещество и вычислить коэффициент диффузии  D при заданной температуре. Проделав серию опытов при различных температурах можно определить параметры D0 и Ea   формулы (10).

Можно по формулам (1) и (2) и данным таблицы получить оценки частот перескоков атомов при различных температурах. Так атом углерода в альфа-железе при температуре 1800 К перескакивает 1011 раз в секунду, при комнатной температуре - 1 раз за десятки секунд. Таким образом, заметную роль диффузия играет только при высоких температурах, сопоставимых с температурой плавления вещества. Известно, что защитное никелевое или хромовое покрытие железа при комнатной температуре практически не "впитывается" в железо, а при температуре 1000-1300 К этот процесс сильно ускоряется. Кратковременные нагревы для легирования полупроводника примесями используются в полупроводниковой технике изготовления интегральных схем: нанесенные напылением на нужные участки поверхности полупроводникового кристалла легирующие примеси при нагреве на несколько сотен градусов диффундируют в полупроводник и легируют его, образуя в кристалле сложную систему областей полупроводников p- и n- типа.

   Диффузия, происходящая главным образом за счет перемещения дефектов, является механизмом постепенного изменения числа дефектов в веществе. Известно, что вероятность образования дефекта при температуре, значительно меньшей температуры плавления вещества, очень мала. Однако обычно число дефектов во много раз больше, так как дефекты зарождались при высоких температурах: либо во время роста кристаллов, либо после закалки от высокой температуры. Постепенно плотность дефектов уменьшается. Происходит это благодаря либо попаданию межузельных атомов в вакансию (рекомбинация дефектов, подобная рекомбинации электронов и дырок в полупроводниках), либо благодаря перемещению дефекта на поверхность кристалла или границы кристаллического зерна. В некоторых случаях точечные дефекты - примесные атомы группируются, образуя выделения новой фазы. Перечисленные процессы называют залечиванием дефектов. 

     Часто проводят специальные термообработки, состоящие в длительных выдержках детали при постепенно понижающейся температуре, имеющие целью ускорить залечивание дефектов. После такой термообработки количество дефектов меньше меняется впоследствии, а значит, меньше изменяются и свойства материала в процессе его эксплуатации. По таким схемам обрабатывают, например, калиброванные электросопротивления точных приборов, постоянные магниты и т. п.













§3. Перенос импульса в твердых телах (вязкое трение).

Явление вязкости или внутреннего трения наблюдается как в газах и жидкостях, так и в твердых телах. Оно приводит к возникновению силы сопротивления при движении тела в жидкости или газе, и к затуханию звуковых волн при прохождении их через различные среды. В частности, с явлением вязкого трения связан процесс затухания колебаний в механических осцилляторах.

Рассмотрим твердое тело, движущееся в жидкости. Как показывает опыт, слои жидкости, непосредственно примыкающие к движущемуся телу, как бы прилипают к нему и вовлекаются в направленное движение. За счет обмена молекулами между слоями это движение передается соседним слоям, от них — следующим и т. д. Таким образом возникает поток импульса от слоев, обладающих большей скоростью, к слоям с меньшей скоростью. Именно в этом и состоит механизм жидкого трения, или вязкости. 

Действительно, увеличение импульса жидкости означает, что на нее со стороны тела действует какая-то сила (изменение импульса системы равно импульсу внешних сил, действующих на нее). Следовательно, согласно третьему закону Ньютона со стороны жидкости на тело действует сила, направленная в противоположную сторону. Это и есть сила жидкого трения. 

Причина возникновения вязкого трения - это внутреннее трение. 

Если твёрдое тело движется в неподвижной среде, прилипший к нему слой воды или воздуха перемещается вместе с ним. При этом он скользит вдоль соседнего слоя. Возникает сила трения, увлекающая этот слой. Он приходит в движение и в свою очередь увлекает следующий слой и т. д.

Чем дальше от поверхности тела, тем медленнее движутся слои жидкости или газа. 

Сила трения между слоями тормозит более быстрые слои и, значит, само твёрдое тело. Оно тормозится непосредственно вязким трением. 

То же самое происходит, когда поток жидкости или газа течёт мимо неподвижного тела.

Поток импульса от слоев, движущихся быстро, к слоям, движущимся с меньшей скоростью, пропорционален разности скоростей этих слоев. Коэффициент пропорциональности между потоком импульса и разностью скоростей называется коэффициентом вязкости жидкости η. 

Это явление возникновения касательных сил, препятствующих перемещению частей жидкости или газа друг по отношению к другу. Смазка между двумя твердыми телами заменяет сухое трение скольжения трением скольжения слоев жидкости или газа по отношению друг к другу. Скорость 

частиц среды плавно меняется от скорости одного тела до скорости другого тела. 

Величина силы вязкого трения пропорциональна скорости относительного движения V тел, пропорциональна площади S и обратно пропорциональна расстоянию между плоскостями h.

F= - VS/h                     (1)

Коэффициент пропорциональности, зависящий от сорта жидкости или газа, называют коэффициентом динамической вязкости . Самое важное в характере сил вязкого трения то, что при наличии любой сколь угодно малой силы тела придут в движение, то есть не существует трения покоя. 

Если движущееся тело полностью погружено в вязкую среду и расстояния от тела до границ среды много больше размеров самого тела, то в этом случае говорят о трении или сопротивлении среды. При этом участки среды (жидкости или газа), непосредственно прилегающие к движущемуся телу, движутся с такой же скоростью, как и само тело, а по мере удаления от тела скорость соответствующих участков среды уменьшается, обращаясь в нуль на бесконечности. Сила сопротивления среды зависит от ее вязкости, от формы тела, от скорости движения тела относительно среды. Например, при медленном движении шарика в вязкой жидкости силу трения можно найти, используя формулу Стокса:

F= - 6RV            (2)

Пропорциональность силы трения скорости движения тела в среде выполняется только при малых скоростях движения. Критерием малости служит безразмерное число Рейнольдса:

Re=VR            (3)

Здесь  - плотность среды, а R- характерный размер тела. Для шара таким размером является его радиус. Для тела определенной формы существует максимальное (критическое) число Рейнольдса,  при котором трение остается вязким, например, для шара это число 100. При больших скоростях движения характер силы трения меняется  величина силы трения перестает быть пропорциональной скорости движения тела.







































§4. Перекрестные процессы переноса  в твердых телах.

Явления переноса -  необратимые процессы пространственного  переноса массы, импульса, энергии или др. Причины этих процессов- пространственные неоднородности состава, скорости движения частиц системы, температуры. Перенос происходит в направлении, обратном градиенту концентрации, температуры или др., что приближает систему к равновесию.

Явления переноса  в покоящейся среде осуществляются только в результате хаотического движения молекул (молекулярный  перенос). В текущих средах к этому механизму переноса добавляется конвективный перенос, а при высоких числах Рейнольдса еще и турбулентный перенос, связанный с хаотическим перемещением вихрей. Общую феноменологическую теорию явлений переноса, применимую к газообразной, жидкой или твердой системе, дает термодинамика необратимых процессов.

Перенос массы (диффузия) происходит при наличии в системе градиента концентрации, а перенос теплоты (теплопроводность) - вследствие градиента температуры. Строго говоря, движущей силой диффузии является градиент химического потенциала, который лишь вблизи положения равновесия приводится к градиенту концентрации, фигурирующему в уравнении закона Фика. Однако практическая необходимость выражать диффузионный поток через градиент химического потенциала (что существенно усложняет задачу) возникает лишь в специальных случаях, например  при расчете процесса вблизи критической точки. Законы Фика и Фурье не учитывают взаимное влияние потоков при переносе массы и теплоты (перекрестные процессы).

При существенных  градиентах температуры и давления (последнее может быть вызвано, например, внешним полем) необходим учет дополнительного потока массы вследствие градиентов температуры (термодиффузия) и градиентов давления (бародиффузия), а также учет дополнительного потока теплоты, вызванного переносом массы. При определенных условиях для перекрестных потоков выполняется теорема Онсагера.

Гипотезу, согласно которой перенос определяется градиентом параметра в рассматриваемой точке пространства в данный момент времени, используют для самых различных процессов, например при описании диффузии в пористых материалах, продольного перемешивания в каналах, заполненных насадкой или зернистым слоем, и т.д. Из этой гипотезы, в частности, следует, что локальные концентрационные возмущения проявляются мгновенно во всех точках системы. Но скорость распространения концентрационных возмущений не может быть больше средней скорости молекул. Учет конечной скорости переноса массы, импульса или теплоты приводит к релаксационным уравнениям. В простейшем случае одномерной диффузии в отсутствие химических превращений связь между плотностью диффузионного потока и градиентом концентрации в системе координат, неподвижной относительно среды, имеет вид: 



где De - коэффициент эффективной диффузии (при рассмотрении молекулярных процессов перехода Dе следует заменить на коэффициент  D); τ-время релаксации диффузионного процесса, характеризующее "память среды"; t- время. По порядку величины τ совпадает со временем свободного пробега диффундирующих частиц. Аналогичные уравнения могут быть записаны для плотности потока импульса и теплоты.









Заключение

Все рассмотренные примеры характеризуются общим свойством — переносом некоторого признака (энергии в первом примере, вещества во втором и импульса в третьем) из одних областей системы в другие. Неслучайно поэтому, что явления такого рода называются явлениями переноса. Каждое из них характеризуется своим коэффициентом переноса, и задача теории — уметь их вычислять. В общем случае это очень трудная задача, до сих пор полностью не решенная.

Оказывается, все три коэффициента (теплопроводности, диффузии и вязкости) пропорциональны длине свободного пробега молекул (l) и средней скорости их теплового движения (υ): . Такая зависимость коэффициентов переноса от характеристик молекулярного движения очень естественна. Ведь средняя скорость молекул υ определяет скорость переноса того или иного признака в процессе установления равновесия. Длина же свободного пробега l появляется в формуле потому, что после каждого столкновения параметры движения молекулы определяются параметрами системы в тех местах, где эти столкновения происходят, то есть в точках, отстоящих друг от друга на расстояние l. Так, в нашем примере с теплопроводностью величина энергии, передаваемой молекулой при очередном столкновении, определяется разностью температур в тех точках среды, где произошло это и предыдущее столкновение. 

В данной курсовой работе были рассмотрены явления переноса в твердых телах. Явления переноса объединяют группу процессов, связанных с выравниванием неоднородностей плотности, температуры или скорости упорядоченного перемещения отдельных слоев вещества.









СПИСОК  ИСПОЛЬЗОВАННОЙ  ЛИТЕРАТУРЫ

Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела: Пер. с англ. В 2-х т. М.: Мир, 1979. Т. 1, Т. 2

Городецкий Е.Е. О явлениях переноса //Квант. — 1986. — № 9. — С. 27-29. 

Епифанов. Г. И. Физика твердого тела. М.: Высшая школа,1977.

Зисман  Г. А.,  Тодес  О. М.  Курс  общей  физики. В 3 т. – М.:  Наука,  1995. – 343  с.      

Кухлинг  Х. Справочник  по  физике: Пер. с  нем. – М.: Мир,  1983. – 520  с.

Савельев И. В. Курс общей физики. М.: Наука, 1986.Т. III.

Сивухин Д. В. Общий курс физики. М.: Наука, 1979. Т. III.

Толубинский E В Теория процессов переноса. К., 1969;

Шьюмон П., Диффузия в твердых телах, пер. с англ., М., 1966