Інженерні розрахунки в MathCad

Вступ



	Тема контрольної роботи "Інженерні розрахунки в MathCad" з дисципліни "Інформатика".

	Мета роботи - придбання навичок роботи з системою MathCad.

	Завданні 1 передбачає розв’язання системи лінійних рівнянь у програмі MathCAD.

	Завданні 2 передбачає розв’язання нелінійного рівняння за допомогою програми MathCAD.

	Завданні 3 потребує знайти дійсні розв’язки системи нелінійних рівнянь із заданим ступенем точності в середовищі MathCAD.


Завдання



	Завдання 1.

	Задана система трьох лінійних рівнянь.

	

	

	

	Знайти розв’язок системи матричним методом в середовищі MathCAD.

	Розв’язання:

	Розв’язання системи рівнянь у матричному виді проводиться за формулою

	

	X=A-1B,

	

	деA - матриця, що складається з коефіцієнтів при невідомих,

	А-1 - обернена матриця до матриці А,

	B - вектор вільних членів,

	X - вектор розв'язків системи.

	Для реалізації розрахунків в системі MathCAD необхідно скористатися панеллю інструментів Математика (Math):

	

	

	

	яка визивається командою ViewToolbarsMath:

mathcad інженерний розрахунок рівняння

	

	

	Кнопками панелі Математика необхідно визвати панелі:

	Калькулятор (кнопкою ):

	

	

	

	Матриця (кнопкою ):

	

	

	

А потім виконати наступні дії:

1. Створимо матрицю А:





Пояснення до виконуваних дій:

Використавши кнопку панелі Matrix:



Задаємо 4 рядки і 4 стовпці. А потім заповнюємо шаблон матриці коефіцієнтами системи:



2. Створюємо вектор В:





Задаємо 4 рядки 1 стовпець:

Після чого заповнюємо маркери шаблону значеннями вільних членів системи:





3. Обраховуємо вектор Х:







Знак присвоєння: = вибираємо на панелі Calculator, обернену матрицю до матриці А створюємо за допомогою кнопки  на панелі Matrix. 

4. Виводимо результат розрахунків:



Результати рішення системи:

x = 0.091

y = - 0.243

z = - 0,601

t = 0.210

5. Робимо перевірку:



Розв’язок вірний, оскільки результат перемноження матриці А на вектор Х дорівнює вектору В. 

	

	Завдання 2

	Знайти корінь нелінійного рівняння x3 + sin (x - 3) +1 = 0 з точністю  =0.0001

	Розв’язання:

	Всяке рівняння з одним невідомим може бути записане у вигляді f (x) = 0.

	Знаходження наближеного значення дійсних коренів рівняння складається з двох етапів:

	1 етап - відділення коренів - виділення відрізка, що належить області існування функції f (x), на якому розташований один і тільки один корінь. Для відділення коріння будують графік функції f (x). Абсциси точок перетину графіка функції y = f (x) з віссю ОХ і будуть наближеними значеннями коренів. По графіку легко вказати відрізки, на яких знаходиться один і тільки один корінь.

	2 етап - уточнення наближених корінь, тобто обчислення їх із заданою точністю .

	1 етап. Графічне відділення коренів рівняння.

	Побудуємо графік функції f (x) = x3 + sin (x - 3) +1.

	Опишемо функцію в виді функції користувача:

	

	

	

	Вставимо в документ графічну область командою InsertGraphXY-Plot:

	

	

	

	Маркери () отриманого шаблону заповнимо відповідно іменем аргументу х і іменем функції f (x):

	

	

	

	Відформатуємо графік командою FormatGraphXY-Plot:

	

	

	

	Виберемо опцію Grossed (показувати осі координат):

	

	

	

	Як видно із графіка функція f (x) перетинає вісь абсцис на інтервалі [-2; - 1]. Для подальших розрахунків приймемо наближене значення кореня x = - 1

	2 етап - уточнення кореня до точністі  =0.0001.

	Уточнення кореня, тобто доведення його до заданого ступеню точності проведемо за допомогою функції root (f (x), x).

	Функція реалізує обчислення ітераційним методом, причому спочатку необхідно задати:

	точність обчислень за допомогою системної змінної TOL;

	початкове значення змінної х (будь-яке значення з відрізку визначеного на графіку).

	

Порядок дій:

TOL: =0.0001

Пояснення:

TOL - системна змінна, за допомогою якої задається точність обчислень в системі MathCAD. 

x: = - 1

Початкова умова, знайдена із графіка.



x: = root (f (x), x)

x= - 1.2361

Застосування функції root для уточнення кореня.

Вивід значенння уточненого кореня х.

В установленому режимі MathCAD як правило виводить 3 десяткові знаки після коми. Оскільки задана точність  потребує 4 знаки, необхідно командою FormatResult… в вікні Result Format задати необхідне число знаків:



Отже корінь рівняння х= - 1,2361. 

	

	Завдання 3

	Розв’язати систему нелінійних рівнянь:

	

	sin (x) + sin (y) - 1.3 = 0

	y2 - x2 +x = 0

	

	с точністю =0.00001.

	Розв’язання:

	Відомо, що розв’язком системи є такі значення х і у, які перетворюють одночасно обидва рівняння в тотожності.

	Для знаходження розв’язку системи необхідно спочатку графічно знайти грубе наближення цих значень для х і у.

	Очевидно, що потрібно побудувати криві, які описуються рівняннями системи. Координати точки перетину цих кривих (як спільна їх точка) і являтимуть розв’язком системи.

	Щоб побудувати ці криві необхідно рівняння системи привести до виду:

	

	y = f1 (x)

	y = f2 (x),

	

	тобто в нашому випадку:

	

	.

	

	Після цього побудувати графіки функцій:

	

	.

	

Порядок дій: 

Пояснення: 

Описуємо дві функції користувача



Функції asin, sin і  вибрати з панелі Calculator. 

Будуємо графіки функцій: y1 (x) і y2 (x) 



Довільно вибираємо відрізок [a,b], на якому будуємо графік функцій. Задаємо розбиття відрізку точками, описавши х як ранжовану змінну, яка змінюватиметься від а до b з кроком h.

Якщо на вибраному відрізку [a,b] криві не перетнуться змінюмо до тих пір а і b поки не віднайдемо точку перетину. 



Із графіка приблизно знайти значення:

х=1,2 і у = 0,4

координати точки перетинання графіків

Задаємо початкові значення розвязку:

x: =1.2 y: = 0.4

Задаємо початкові значення для х і у. 



Задаємо точність обчислень

 Уточнюємо розвязок до задоного ступеня точності.













Для уточнення розв’язку використовуємо блок рішення, який відкривається директивою Given, а закривається функцією Find. В самому блоці записуються рівняння системи, в яких знак = вставляється з панелі

.

Вектору R присвоюється рішення системи.

Отже х = 1,1413 і у = 0,4015. 

 Проводимо перевірку розв’язку:





Перевірка розв’язку:

Замість х і у підставляємо в рівняння R0 і R1, які являються елементами вектора R (нумерація елементів починається з нуля).

Оскільки справа отримали нулі - розв’язок задовольняє обидва рівняння. 

	


Література



Симонович С. Информатика: базовый курс. - СПб.: Питер, 1999, 640 с.

Дьяконов В. MATHCAD 8/2000: специальный справочник - СПБ: Питер, 2001. - 592 с.