Работа в системе Eureka

РАБОТА В СИСТЕМЕ EUREKA.



                              Введение 



    Интегрированная многооконная система Eureka предназначена для решения  не очень сложных  и  часто  встречающихся математических задач.

     С помощью системы Eureka можно решать следующие задачи:

               1) Решение нелинейного уравнения;

               2) Вычисление корней полинома;

               3) Вычисление определенного интеграла;

               4) Вычисление производных функции;

               5) Поиск экстремумов функций одной или многих переменных;

               6) Решение системы линейных уравнений;

               7) Решение системы нелинейных уравнений;

               8) Аппроксимация функций;

               9) Интерполяция функций;

               10) Линейное и нелинейное программирование;

Система объединяет: редактор, вычислитель, верификатор (проверяет правильность вычислений),генератор отчетов и простой графопостроитель.Система  ориентирована на ПК класса IBM PC XT и AT и  может размещаться на одном гибком диске объемом до  360 Кбайт.  Система может работать на ПК  без  математического  сопроцессора,  однако его использование значительно повышает скорость работы.



                          Загрузка системы 



    Необходимо выполнить файл eureka.exe.

    После запуска на экране  монитора  появляется  табло оболочки системы. Экран оказывается разделенным на четыре окна:

        Edit - для  ввода и редактирования текста задачи;

        Solution - для вывода результатов;

        Report - для вывода отчета о вычислениях на экран,принтер                  или в файл с расширением log;

        Verify - для проверки точности результата.

    Окно в пассивном состоянии обведено  одинарной рамкой,а в активном - двойной.Курсор располагается в активном окне.



.



                             - 2 -



                           Меню системы 



    Кроме окон, табло оболочки  содержит  верхнюю и нижнюю строки меню.

     В верхней строке оболочки перечисляются позиции основного 

меню системы:

     File - работа с файлами;

     Edit - редактирование текущего файла;

     Solve - запуск вычислителя;

     Commands - выбор команды управления;

     Report - подготовка отчета;

     Graph - вывод графиков и таблиц;

     Options - задание опций системы;

     Window - работа с окнами.

Переход в верхнюю строку меню выполняется клавишей ESC.

     Нижняя строка меню показывает возможности работы с ключевыми клавишами  (hot keys). Ee содержимое может меняться в зависимости от режима работы системы.Наибольший интерес эта строка  представляет в режиме редактирования.В этом случае она предлагает следующие команды:

     F1 - Help - помощь по контексту ( можно получать в любой по                 зиции меню и подменю);

     F2 - Save - запись текущего файла на диск;

     F3 - Load - загрузка файла с диска;

     F5 - Zoom - расширение  активного  окна на весь экран и воз                 вращение его (при повторном нажатии) к  исходным                  размерам;

     F6 - Next - переключение активности окон (по циклу);

     F7 - BegBek - отметка начала блока;

     F8 - EndBek - отметка конца блока;

     SCROOL - Size/move - изменение размера и положения окна.

     Нажатие клавиш Ctrl и Alt приводит к высвечиванию иных клю

чевых клавиш.

     Esc - отмена команды (переход в вышестоящее меню);

     Alt+E - переход в окно редактирования;

     Alt+S - начать решение задачи;

     Alt+C - включить встроенный калькулятор;

     Alt+X - выход из системы.



.



                             - 3 -



                        Операции с файлами 



     Если активировать в верхней строке позицию  File,то после 

нажатия клавиши Enter откроется подменю со следующими пунктами:

     Load - загрузка файла;

     New - подготовка к заданию нового файла (очистка окон);

     Save - запись текущего файла;

     Directory - просмотр директории;

     Change dir - смена текущей директории;

     New directory - создание новой директории;

     Rename - переименование текущего файла;

     OS shell - временный выход в MS DOS (возврат по команде 

                Exit);

     Quit - выход из системы по окончании работы.



                    Редактирование текста задачи 



     Если активизировать вторую позицию верхней строки и нажать 

клавишу Enter, то мы окажемся в окне редактирования задач.



                        Решение задачи 



    Третьей позицией верхней строки является команда Solve. После того как редактирование задачи окончено нужно нажать Esc (для попадания в верхнюю строку меню) и активизировав пункт меню  Solve,запустить задачу на счет нажатием клавиши Enter.  Если в описании задачи ошибок с точки зрения системы нет, то начнется процесс решения.  По окончании этого процесса результат работы будет представлен в окне Solution.



                        Команды 



    Четвертая позиция верхней строки - Commands.  При активизации этой позиции и нажатие клавиши Enter открывается следующее подменю:

    Verify - проверка решения (результат работы этой команды 

              выводится в одноименное окно);

   Calculate - включение калькулятора (для выключения - Esc);

   Find other - поиск другого решения (Т.к. итерационные методы 



.



                             - 4 -



                приводят только к одному из  возможных решений,

                то для нахождения других надо исключить найден

                ное и заново решить задачу. Именно это и делает 

                данная  команда.  При этом радиус  поиска иного 

                решения задается установкой:  radius = действи

                тельное число. По умолчанию радиус равен нулю.);

   Iterate - пуск итераций после остановки решения (Команда ис

             пользуется  для  уточнения  найденного решения при 

             условии, что  заданная  точность  не достигнута, а 

             время отведенное на процесс решения закончено).



                        Формирование отчета 



    Отчет содержит: титул, листинг программы, результат решения и его верификации и график заданной функции.

    Пятая  позиция верхней строки ( Report ) открывает  следующее подменю:

    Go - составление  отчета (результат этой команды появляется в           окне Report);

    Output - направление  вывода отчета (экран, принтер);

    Formatted - форматирование отчета;

    Capture - запись отчета в файл eureka.log ( По запросу 

               EUREKA.LOG EXIST.A TO ADD,E TO ERASE 

               этот файл  можно дополнить  или стереть. При 

               включенной  команде  в  строке  переключений 

               будет стоять ON, иначе OFF);

    Logfile name - изменение имени log-файла.



                         Построение графика 



     Подменю шестой  позиции  верхней строки ( Gragh ) состоит из четырех пунктов:

     Plot - построение графика ;

     Output - вывод графика на экран или принтер;

     List - вывод таблицы ;

     Function - задание функции, которую надо построить.



     Опишем последовательность действий, необходимых для построения графика функции более подробно.

     Способ N 1



.



                             - 5 -



    Активизируйте (т.е.  подведите курсор и нажмите Enter)  пункт верхнего меню под названием - Graph.  В открывшемся подменю активизируйте пункт - Function. В появившуюся после этого строку введите  название вашей функции (например y(x) или ab) и нажмите Enter.  Во вновь появившуюся строку введите определение вашей функции (например sin(x)+x^2) и нажмите Enter.  После этого активизируйте пункт подменю с названием - Plot. В появившуюся строку введите  начало  интервала  построения  графика и нажмите Enter.  Во вновь появившееся окно введите конец интервала и нажмите Enter. В результате  всех перечисленных действий на дисплее появится окно,содержащее график,  выполненный символами псевдографики. Если теперь  нажать F5,  то график перерисуется на весь экран при помощи истинной графики. Повторное нажатие F5 приводит к возвращению экрана  в состояние,существовавшее до первого нажатия этой клавиши.

График может быть перерисован на весь экран в символах псевдографики,  если перед F5 была нажата клавиша F4.  При этом,  для того чтобы вернуться в режим, позволяющий использовать истинную графику, необходимо нажать F7.



    Способ N 2

    Войдите в окно Edit. Запишите в нем определение одной или нескольких функций (например:

                   z(x)=sin(x)+x^2

                   p(x)=deriv(deriv(5*cos(x),x),x)

                   m(x)=1/x      )

и  любую вычислительную задачу (например t=z(1)).

    Поднимитесь в верхнюю строку меню и активизируйте в ней пункт Solve. После того, как вычислительная задача будет решена активизируйте  пункт  меню  Graph.  В открывшемся подменю активизируйте пункт Plot.  При этом появится меню,  позволяющее выбрать функцию (из числа определенных в окне Edit) для построения графика. Выбор функции осуществляется при помощи курсора.  Его надо  подвести  к названию  функции  и нажать Enter.  Далее выполняются те же действия, что и в 1-ом способе после активизации пункта Plot.

    Если возникает  потребность в построении графика другой функции (из числа определенных в окне Edit),  то необходимо:  войти в окно Edit,  выйти из этого окна (при этом редактировать записи не обязательно),  активизировать пункт Solve и далее повторить  описанные выше действия.



.



                             - 6 -



    Примечание: Для вывода на экран функции в табличном виде пригодны  оба  описанных выше способа.  Отличием является только то,что вместо пункта Plot активизируется пункт List. При этом Eureka потребует ввести:  начало интервала вычислений,  шаг вычисления и число точек, в которых вычисляются значения функции.



                        Параметры системы 



    Седьмая позиция верхней строки (Options) имеет следующее подменю:

     Variables - изменение  значений  переменных  без вхождения в                  редактор;

     Settings - задание  установок  системы:

               accuracy - задание погрешности вычислений;

               complex [yes/no]  -  с  параметром  yes  разрешает                вычисления  с  комплексными  числами;

               casefold [yes/no] -  с  параметром   yes  отменяет                имеющееся  по  умолчанию  различия  между  пропис               ными и строчными буквами;

               digits - определяет число цифр у результатов вычи               слений;

               substlevel=n -  задает  количество  преобразований                переменных,в ходе которых одни переменные  автома               тически выражаются  через  другие. При n = 0 такие                преобразования не выполняются. Допустимые значения                n: 0,1,2,....,6.  По умолчанию эта установка равна                шести.  Если задача  не решается или решается пло               хо,  то варьирование n в указанных пределах в ряде                случаев улучшает ситуацию. Так, в  задаче  N14 для                самостоятельной  работы  рекомендуется  в качестве                первой строки листинга записать $ substlevel=2 .

                   Кроме перечисленных, этот пункт подменю содер               жит еще ряд установок, о назначении которых  можно                узнать, воспользовавшись клавишей F1 (т.е. Help).



     Сolors - установка окраски окон, рамок и текстов;

     Directories - установка директории (Система и отдельные фай                   лы могут храниться в разных директориях.В этом                    случае нужно указать системе, где находятся ее                    файлы и файлы с примерами расчетов.);

     Load SETUP - загрузка установочного файла;

     Write SETUP - запись установочного файла.



.



                             - 7 -



                        Работа с окнами 



     Восьмая позиция верхней строки (Window) также имеет подменю:

     Open - открывает активное или указанное окно;

     Close - закрывает активное или указанное окно;

     Next - делает активным следующее окно;

     Zoom - расширяет активное окно;

     Tile - делает размеры окон равными;

     Stack - располагает окна друг за другом;

     Goto - переход в активное окно из меню.



                        Сведения о системе 



     Eureka имеет следующие ограничения:

     - максимальная длина идентификатора до 40 символов,из них 10       являются основными;

     - число определенных пользователем функций не более 10;

     - число используемых числовых констант не более 200;

     - число переменных не более 12;

     - число подстановок одних переменных в другие до 6.

     При этом может использоваться подстановка одних переменных в      другие, нередко сводящая задачу к точному решению.



     Алфавит системы Eureka содержит стандартный набор  символов.

Это латинские прописные (от А до Z) и строчные (от а до z) буквы,а также ряд спецзнаков:

     : - разделитель для выражений размещенных в одной строке;

     ; - отмечает начало строки комментария;

     { } - внутри скобок размещается комментарий;

     [] - используется для работы с размерными комментариями;

     $ - указывает, что следующее слово - директива (установка);

     = - операция присваивания;

     := -  задание (определение) функции пользователя или началь           ных значений переменных.

     Длинные выражения после символа арифметической операции можно переносить на другую строку.

     Eureka может производить следующие операции:

    + сложение;

    - вычитание;



.



                             - 8 -



    * умножение;

    / деление;

    ^ возведение в степень;

    ()  изменение  приоритета операций;

    < меньше; > больше; <= меньше или равно; >= больше или равно.



                           Элементарные функции 



     Eureka имеет функции re(z) и  im(z),  возвращающие  действительную и мнимую части комплексного числа z=x+iy.  Перед применением этих функций необходимо  ввести  директиву:   $ complex=yes 

и обозначить мнимую единицу i^2=-1 или i = sqrt(-1).

abs(z) - модуль ;  exp(z) - вычисление  e=2,71828... в степени z;floor(x) - целая часть  х;   ln(z) - вычисление  натурального логарифма  z;  log10(z)  -  вычисление   десятичного  логарифма  z;sqrt(z) - вычисление корня квадратного из z;  pos(x) - возвращает х при х>0 и 0 в противном случае; sgn(x) - возвращает: 1 при х>0,-1  при х<0 и 0  при x=0; atan2(y,x) - вычисление арктангенса  по координатам  x  и  у  (угол заключенный между осью Ох и отрезком,концы  которого  (0,0)  и  (х,у));   polar(x,y)  - преобразование декартовых координат в полярные;  sin(z), cos(z), tan(z) - вычисление: синуса, косинуса и тангенса z;  sinh(z), cosh(z),tanh(z) -вычисление   гиперболических:   синуса,  косинуса  и  тангенса z.

Кроме  перечисленных  выше  функций  Eureka имеет еще ряд функций и  процедур:

     fact(n) - вычисление факториала числа n;

     ncum(x) - вычисляет специальную функцию ошибок Р(х) для нормального распределения;

     sum(f(i),i,n,k) - вычисляет сумму f(i) при индексе i, меняющемся от n до k.



     В системе Eureka пользователь имеет возможность задавать необходимые ему функции через имеющиеся встроенные. Функции пользователя задаются в виде:

     Имя функции (список переменных) = выражение 

     или 

     Имя функции (список переменных) := выражение 

     Вторая форма используется,  если заданная функциональная зависимость рассматривается как приближенная.



.



                             - 9 -



 +-------------------------------------------------------------+

 |          Примеры задач решаемых системой EUREKA.            |

 |       -------------------------------------------           |

 +-------------------------------------------------------------+



                  Пример N1

                ------------



  Решить нелинейное уравнение: e_5(x^2)_0-5x+1=0.

                  Решение 

  Набираем  в окне Edit:  exp(x^2)-5*x+1=0.  Производим  действия описанные в пункте " Решение задачи " ( далее  это  будет  именоваться " решить задачу ").



  Решив задачу получаем в окне Solution:



                Variables         Values 

                     x    =    1.3086594



При помощи отделения корня можно  попробовать найти другое  решение, т.е. набрать в окне Edit: (exp(x^2)-5*x+1)/(x-1.3086594)=0 и решить задачу заново. Искать  другое  решение можно также при помощи  пункта меню  Find other и установки  radius.



                 Пример N2

               ------------

  Вычислить корни полинома x_56_0-x_54_0-x_53_0+3x_52_0-1, т.е. решить уравнение:

x_56_0-x_54_0-x_53_0+3x_52_0-1=0.

                  Решение 

  Для вычисления значений,  а также  действительных и комплексных корней полинома в системе  Eureka существует специальная функция:

poly(x,an,......,a0).

  Набираем в окне Edit:

   $ settings        ; Начало блока установок 

   complex=yes       ; Работать с комплексными числами 

   accuracy=1.0e-9   ; Задаваемая точность вычислений 

   digits=8          ; Количество знаков у результатов вычислений    $ end             ; Конец блока установок 

   i=sqrt(-1)        ; Определение мнимой единицы 

   p(x):=poly(x,1,0,-1,-1,3,0,-1)



   Решив задачу получаем в окне Solution:



.



                             - 10 -



                 Roots to the polynomial p 



        #      Real part        Imaginary part 

        1      0.69807525        0.0000000

        2     -0.54737816        0.0000000

        3      0.94982970        0.6507578

        4      0.94982970       -0.6507578

        5     -1.0251783         0.9608054

        6     -1.0251783        -0.9608054



   После  нахождения  корней сделаем выборочную проверку. Подставив первый, третий и четвертый корни в полином. Для этого сделаем в окне Edit следующие записи:



      $ settings 

      complex=yes 

      accuracy=1.0e-9

      digits=8

      $ end 

      i=sqrt(-1)

    a=0.69807525

    z1=a^6-a^4-a^3+3*a^2-1

    b=0.94982970+0.6507578*i 

    c=0.94982970-0.6507578*i 

    z2=b*b*b*b*b*b-b*b*b*b-b*b*b+3*b*b-1

    z3=c*c*c*c*c*c-c*c*c*c-c*c*c+3*c*c-1



   Решив задачу убеждаемся в том, что значения полинома в выбранных  точках  практически  равны нулю.  К  сожалению  другая форма записи при работе с комплексными числами в  системе Eureka  может привести  к  ошибочному  результату. Если  Eureka  выдает сообщение  " Error 5: too many formulas ", проверяем  корни по  очереди порциями, доступными для обработки системой.



                 Пример N3

               -------------

                                                    _4_____

    Вычислить   производную  функции   f(x)=3lg(x)-_7?_0(x/2)+x_52 _0  в точке 0,5.



.



                             - 11 -



                 Решение 

   Т.к. в системе Eureka надежнее  работает  функция  вычисляющая натуральный логарифм, то выразим десятичный логарифм  через отношение  натуральных: lg(x)=ln(x)/ln(10).



    Набираем в окне Edit:

          a=1/ln(10)

          f(x)=3*a*ln(x)-sqrt(x/2)+x^2

          x=0.5

          z=deriv(f(x),x)

    Решив задачу получаем в окне Solution:



          Variables       Values 

               a    =     0.43429448

               x    =     0.50000000

               z    =     3.1057669



                  Пример 4

                -----------

                                      lg(1+x)

  Вычислить интеграл от функции f(x)=_7 \\\\\\\ _0 на интервале [0,1].

                                       (1+x_52)



                 Решение 

   Набираем в окне Edit:

          a=1/ln(10)

          f(x)=a*ln(1+x)/(1+x^2)

          z=integ(f(x),x,0,1)

   Решив задачу получаем в окне Solution:



          Variables       Values 

               a    =     0.43429448

               z    =     0.11821420



                  Пример 5

                -----------



   Проверить,что при | a | <= 0,9 выполняется равенство:

         _7p 

         _7!_0             sin_52_0(x)_7                      p 

         _72_0  _7\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ _0 dx   =_7   \\\

         _71_0         1 + 2 a cos x + a_52_0               2

         _50



.



                             - 12 -



   Равенство проверить в точках a = -0,9;-0,45;0;0,45;0,9.



                 Решение 

   Набираем в окне Edit:



    t=3.1415926/2

    f(a,x)=sin(x)^2/(1+2*a*cos(x)+a^2)

    t1=-0.9 : i1=integ(f(t1,x),x,0,3.1415926)

    t2=-0.45 : i2=integ(f(t2,x),x,0,3.1415926)

    t3=0 : i3=integ(f(t3,x),x,0,3.1415926)

    t4=0.45 : i4=integ(f(t4,x),x,0,3.1415926)

    t5=0.9 : i5=integ(f(t5,x),x,0,3.1415926)



  Решив задачу получаем в окне Solution:



          Variables       Values 



              i1     =     1.5707963

              i2     =     1.5707963

              i3     =     1.5707963

              i4     =     1.5707963

              i5     =     1.5707963

              k      =     1.5707963

              t1     =    -0.9000000

              t2     =    -0.4500000

              t3     =     0.0000000

              t4     =     0.4500000

              t5     =     0.9000000



                  Пример 6

                -----------

   Eureka  позволяет  решать задачу поиска экстремума функции при помощи задания директив:  $min и $max.  При  этом,  если  функция имеет несколько экстремумов, то для нахождения того, который  нужен, имеет смысл нарисовать график функции и исходя из этого графика  задать  начальные  приближения  и  ограничения  для  поиска экстремума. В противном случае поиск экстремума будет происходить от начальных значений, заданных  системой  Eureka  по умолчанию и может  привести не к тому экстремуму, который хотелось бы найти.



  Вычислить  максимум  функции f(x)=5xe_5(-x/2)_0(2+sin(3x)),  причем он должен быть больше 10.



.



                             - 13 -



     Набираем в окне Edit:



       $ max (T)

       V(x)=5*x*exp(-x/2)*(2+sin(3*x))

       x:=2

       V(x)>10

       T=V(x)



     Решив задачу получаем в окне Solution:



                 Variables           Values 



                     T         =     10.629942

                     x         =     2.5805009



                  Пример 7

                -----------

    Вычислить минимум функции  f(x)=x_52_0+y_52_0+z_52_0-1.



    Набираем в окне Edit:



       $ min (Fxyz)

       F(x,y,z) = x^2 +y^2 +z^2 -1

       Fxyz = F(x,y,z)



     Решив задачу получаем в окне Solution:



                 Variables           Values 



                    Fxyz        =    -1.0000

                      x         =     6.1257e-13

                      y         =    -1.3030e-12

                      z         =    -5.9622e-14



                  Пример 8

                -----------



    Имеется   квадратный  лист бумаги  со  стороной a.  Из  листа делается коробка следующим  образом:  по углам  листа  вырезаются четыре  квадрата  и  коробка  cклеивается по  швам. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата, чтобы коробка имела наибольшую вместимость.  Решить задачу при a=6.



.



                             - 14 -



    Набираем в окне Edit:



     $ settings 

       accuracy=1.0e-12

     $ end 

     $ Max(Y)

         a=6

     G(x)=x*(a-2*x)^2

     Y=G(x) : 0<x<a/2



    Решив задачу получаем в окне Solution:



                 Variables           Values 



                     a       =       6.0000000

                     x       =       1.0000000

                     Y       =      16.0000000



                  Пример 9

                -----------_7

                                        _7(

                                        _72 _0 2x + 3y +  z =  11   Решить систему линейны уравнений: _7 _0  _7*   _0x +  y +  z =   4                                        _72_0  7x - 2y - 3z = -37                  Решение_7               9

   Набираем в окне Edit:



       2*x+3*y+z=11

       x+y+z=4

       7*x-2*y-3*z=-37



   Решив задачу получаем в окне Solution:



                 Variables           Values 

                     x        =      -3.000000

                     y        =       5.000000

                     z        =       2.000000



.



                             - 15 -





                  Пример 10

                ------------

                                            | 5   7 |

   Вычислить матрицу обратную к заданной  A=|       | .

                                            | 2   3 |



                  Решение 

   Система  Eureka  не имеет специальной функции  для  вычисления обратной матрицы.  Однако  нам  известно,  что:  A*A_5-1_0=E.  Т.е. :



           | 5   7 |   | a   b |     | 1   0 |

           |       | * |       |  =  |       |        или 

           | 2   3 |   | c   d |     | 0   1 |





   | 5   7 |   | a |   | 1 |     | 5   7 |   | b |   | 0 |

   |       | * |   | = |   |  и  |       | * |   | = |   |

   | 2   3 |   | c |   | 0 |     | 2   3 |   | d |   | 1 |



   Набираем в окне Edit:



       5*a+7*c=1

       2*a+3*c=0

       5*b+7*d=0

       2*b+3*d=1



   Решив задачу получаем в окне Solution:



                 Variables           Values 

                      a      =        3.000000

                      b      =       -7.000000

                      c      =       -2.000000

                      d      =        5.000000



                  Пример 11

                ------------

                                        _7(

                                        _72_0 _7 _0e_52x_0 + sin(3x) - y_52_0 = 0   Решить систему нелинейных уравнений: _7*

                                        _72_0 x_53_0 + 7*y + tg(5*x_52_0) = 0                                        _79

при  начальных  условиях  x_40_0=-1  y_40_0=0,3.



.



                             - 16 -



   Набираем в окне Edit:



     exp(2*x)+sin(3*x)-y^2=0

     x^3+7*y+tan(5*x^2)=0

       x:=-1  : y:=0.3



   Решив задачу получаем в окне Solution:



                 Variables           Values 

                    x         =      -1.0414127

                    y         =       0.32744950



                  Пример 12

                ------------

   Получены  экспериментальные  данные  зависимости твердости  по Бринеллю Hb от степени деформации e  для одного  из сортов стали.

Эти данные представлены в следующей таблице:



   +-----------------------------------------------------------+

   |  e  | 5   |  10 | 15  |  20 | 25  |  30 | 40  | 50  | 60  |

   +-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----|

   |  Hb | 130 | 141 | 152 | 163 | 170 | 180 | 194 | 206 | 213 |

   +-----------------------------------------------------------+



   Построить эмпирическую зависимость вида:  Hb(e) = 118 + a*e^b.

Вычислить Hb(e) при e=25 для полученной зависимости.



     Набираем в окне Edit:



                  Hb(e) = 118 + a*e^b 

                  Hb(5) = 130 : Hb(10) = 141

                  Hb(15) = 152 : Hb(20) = 163

                  Hb(25) = 170 : Hb(30) = 180

                  Hb(40) = 194 : Hb(50) = 206

                  Hb(60) = 213

                  t = 25 : y = Hb(t)



    Решив задачу получаем в окне Solution:



                 Variables           Values 

                      a        =      5.2800065

                      b        =      0.70583936

                      t        =     25.00000

                      y        =    169.21009



.



                             - 17 -



                  Пример 13

                ------------

   Функция  задана  в  виде  таблицы. Построить  интерполяционный полином Лагранжа и вычислить его значения в точках: 6,9 и 7,9.



         +---------------------------------------------+

         |  x  |   2   |   4   |   6   |   8   |   10  |

         +-----+-------+-------+-------+-------+-------|

         |  y  | 13,14 | 8,28  | 9,91  | 5,976 | 16,68 |

         +---------------------------------------------+



    Если  эмпирическая  зависимость  имеет  вид  полинома  и  при этом  число точек  заданных в таблице  в точности  равно  степени полинома плюс единица, то система Eureka осуществляет  лагранжеву интерполяцию.



     Набираем в окне Edit:



      L(x) = a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + d*x + e 

    L(2) = 13.14 : L(4) = 8.28

    L(6) = 9.91 : L(8) = 5.97

    L(10) = 16.68

    x = 6.9 : y = L(x)

    x1 = 7.9 : y1 = L(x1)



     В окне Solution получаем 



                           Solution 



                 Variables           Values 



                      a       =       0.08406250

                      b       =      -1.93250000

                      c       =      15.59500000

                      d       =     -51.97750000

                      e       =      68.83000000

                      x       =       6.90000000

                      x1      =       7.90000000

                      y       =       8.36504340

                      y1      =       6.11795090



.



                             - 18 -



    +---------------------------------------------------+

    |    Задания для самостоятельной работы студентов.  |

    +---------------------------------------------------+



                   Задача 1

                 -----------



   Решить систему линейных уравнений:



      _7(

      _72_0           3x + 2z + v = 0

      _7*_0      -x + 5y + 4z - v = -14

      _72_0          x +y + z + v = 1

      _79_0  1,5x + 0,5y + z -7*v = -6,5







                   Задача 2

                 -----------



   Найти матрицу обратную к заданной матрице A:





                 |  3   4   2 |

                 |            |

             A = |  2   3   5 |

                 |            |

                 |  1   2   9 |





                   Задача 3

                 -----------



   Определить коэффициенты a, b, c  эмпирической зависимости 



                    y(x) = ax_52_0 + bx + c.



.



                             - 19 -



                    Таблица экспериментальных данных 



       +--------------------------------------------------+

       |     |     |       |     |       |     |     |    |

       |  x  | 1   |  1,5  | 2   | 2,5   | 3   | 4   | 5  |

       +-----+-----+-------+-----+-------+-----+-----+----|

       |     |     |       |     |       |     |     |    |

       | y   | 0,1 | 0,225 | 0,4 | 0,625 | 0,9 | 1,6 | 2,5|

       +--------------------------------------------------+



    Провести  вычисления  по  полученной  формуле  для  точек 

x = 1,5;3 и 5.





                   Задача 4

                 -----------



   Определить коэффициенты a, b, c и d эмпирической зависимости 



  y(x) = aT_40_0( t ) + bT_41_0( t ) + cT_42_0( t ) + dT_43_0(t ) , где:



   T_40_0(t)=1 , T_41_0(t)=t , T_42_0(t)=2t_52_0-1 , T_43_0(t)=4t_53_0-3t.



                  Таблица экспериментальных данных 

           +-------------------------------------------------+

           |     |      |      |      |      |       |       |

           |  x  |  5   |  6   |  7   |  8   |   9   |  10   |

           +-----+------+------+------+------+-------+-------|

           |     |      |      |      |      |       |       |

           | y   | 50,3 | 60,1 | 80,3 | 91,9 | 101,1 | 110,6 |

           +-------------------------------------------------+



     Провести  вычисления  по  полученной  формуле  для  точек 

x = 6;8 и 10.



                   Задача 5

                 -----------



   Найти значения функции f (x), заданной  таблично, в следующих 

точках:



.



                             - 20 -



            h         3h         5h         7h         9h 

       x_41_0+ _7\\\_0 , x_41_0+ _7\\\\_0 , x_41_0+ _7\\\\_0 , x_41_0+ _7\\\\_0 , x_41_0+ _7\\\\_0 .

            2          2          2          2          2



                     Исходные данные:

                  h = 0,005   x_41_0 = 1,335





                 Функция  задана таблицей 

       +-----------------------------------------------------+

       |     |       |       |       |       |       |       |

       |  x  | 1,335 | 1,340 | 1,345 | 1,350 | 1,355 | 1,360 |

       +-----+-------+-------+-------+-------+-------+-------|

       |     |       |       |       |       |       |       |

       | f(x)| 4,162 | 4,256 | 4,353 | 4,455 | 4,562 | 4,673 |

       +-----------------------------------------------------+





                   Задача 6

                 -----------



    Методом  обратного  интерполирования,  найти  значения аргу

ментов x, для которых  значения  функции y=f(x) известны и равны 

4,21 ; 4,31 ; 4,41 ; 4,51 ; 4,61 .



                  Функция  задана таблично 

   +---------------------------------------------------------+

   |         |       |       |       |       |       |       |

   |      x  | 1,335 | 1,340 | 1,345 | 1,350 | 1,355 | 1,360 |

   +---------+-------+-------+-------+-------+-------+-------|

   |         |       |       |       |       |       |       |

   |  y=f(x) | 4,162 | 4,256 | 4,353 | 4,455 | 4,562 | 4,673 |

   +---------------------------------------------------------+





                   Задача 7

                 -----------



    Определить,  все  ли  корни  уравнения 



.



                             - 21 -



      x_55_0 + 0,5x_54_0 - 3x_53_0 + 27x_52_0 + 13,5x - 81 = 0



          действительны.





                   Задача 8

                 -----------



   Проверить, что  при  | a | <= 0,9 выполняется равенство 

         _7p 

         _7!_0             sin(x)

         _72_0     __________________________ dx   =  2 .

         _72_0       _7|\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

         _71_0      _7?_0   1 - 2 a cos x + a_52

         _50



   Равенство проверить в точках a = -0,9;-0,45;0;0,45;0,9.





                   Задача 9

                 -----------



   Проверить равенство 

             a                         a_52

             _7!_0                      1  _7!

             _72_0  x_53_0 sin(x_52_0) dx   =  _7\\\_0 _72_0  x  sin(x) dx              _72_0                      2  _72

             _71_0                         _71

             _50_0                         _50

      при_5 _0a, изменяющемся от 1 до 2 с шагом h = 0,2 .





                   Задача 10

                 ------------

    Определить, корень  какого  из  уравнений,



            _7|\\\\\\\_0     1

           _7?_0  x + 1   - _7\\\_0  = 0_7 _0 или  x_52_0 - sin(_7p_0x) = 0,                         x 



.



                             - 22 -



  принадлежащий  отрезку   [ 0,7 ; 0,8 ],  больше ?

        Корни  найти  с  точностью  e = 0,00001.





                   Задача 11

                 ------------



   Определить,  корень  какого  из  уравнений,

                                      _7(           |\\\\\ )

               7                      _72_0 0,7854- x_7?_0 1-x_52_7 _0 _72   lg(6x) - _7\\\\\\\\_0=0  или  0,3+x-cos_72\\\\\\\\\\\\\\\\\\2_0=0,             6(2x+1)                  _72_0  _7   _0 1-x_52_7 _0     _7  2                                      _79        _0        _7  0

  принадлежащий  отрезку  [ 0,5 ; 0,6 ],  меньше ?

       Корни  найти  с  точностью  e = 0,00001 .





                   Задача 12

                 -------------



    Найти  решение  системы  нелинейных  уравнений:

          _7(    _0                      _7|\

          _72_0  tg(xyz_52 _0+ 0,4) - x_52_0  + _7?_0z  - 1 = 0 ,          _72

          _72

          _7*_0    0,5x_52_0  + 2y_52_0 + z_52_0 - 2 = 0 ,

          _72

          _72

          _72_0     x + y + z - 2,54732 = 0 ,

          _79

    приняв  за  начальное  приближение  точку (1,1;0,5;0,95)

         и задав точность вычислений е = 0,00001 .







                   Задача 13

                 ------------



    Найти решение системы нелинейных уравнений:



.



                             - 23 -



         _7(_0                  _7|\\

         _72_0   e_5XY_0 - x_52_0z_52_0 + y_7?_0z  - 1,5  = 0 ,

         _72

         _72_0          _7|\

         _7*_0   ( x + _7?_0z  - 0,5 ) + y_52_0 - 1 = 0 ,

         _72

         _72

         _72_0    x + y + z - 1,84643 = 0 ,

         _79

    приняв за начальное приближение  точку (0,4;0,5;0,95)

         и задав точность вычислений е = 0,00001 .





                   Задача 14

                 ------------



   Экспериментальные данные зависимости относительного удлине

ния  от  температуры  для  катанного   молибдена  представлены 

следующими таблицами:



                  Температура      t   , гр. C 

          +-------------------------------------------------+

          |         |         |         |         |         |

          |   27    |   327   |   402   |   477   |   627   |

          +---------+---------+---------+---------+---------|

          |         |         |         |         |         |

          |   777   |   927   |  1077   |  1227   |  1827   |

          +-------------------------------------------------+



                  Относительное удлинение  _7d_0 , %

          +-------------------------------------------------+

          |         |         |         |         |         |

          |   10    |   7,5   |   6     |   5,5   |   5     |

          |---------+---------+---------+---------+---------|

          |         |         |         |         |         |

          |   5     |   5     |   8     |  10 0   |   2     |

          +-------------------------------------------------+



   Аппроксимировать экспериментальные данные зависимостью 



.



                             - 24 -

        _7d_0(t) = a + b*t  + c/t + d*sin(t).



   Выполнить  вычисления  по  полученной  зависимости  для 

   точек t = 402; 627; 1077; 1827.





                   Задача 15

                 ------------



    Значения интегрального синуса 



                         x 

                         _7!_0    sin(u)

              Si( x ) =  _72_0   -------  du 

                         _71_0      u 

                         0

даны в таблице:



    +---------------------------------------------------------+

    |    x   | 0,000| 0,500| 1,000| 1,500| 2,000| 2,500| 3,000|

    +--------+------+------+------+------+------+------+------|

    |  Si(x) | 0,000| 0,493| 0,946| 1,325| 1,605| 1,779| 1,849|

    +---------------------------------------------------------+



      Вычислить   Si ( 2,357 )  при   помощи  аппроксимирующей 

зависимости.   Для  сравнения  вычислить  интеграл  при  помо

щи  встроенной в  систему  Eureka  функции  integ(f(x),x,a,b).

При вычислении интеграла нижний предел брать равным 0,0000001.





                   Задача 16

                 ------------



    Значения  полного  нормального  эллиптического  интеграла 

Лежандра  второго  рода 



                   _7p_0/2

                    _7!_0   _7|\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

            y(t) =  _72_0  _7?_0 1 - sin_52_0(t)sin_52_0(x)  dx 

                    _71

                    0



.



                             - 25 -



даны в таблице:



   +----------------------------------------------------------+

   |    t   | 0,000 | _7p_0/36 | _7p_0/18 | _7p_0/12 |  _7p_0/9 | 5_7p_0/36|  _7p_0/6 |   +--------+-------+------+------+------+------+------+------|

   |  y(t)  | 1,571 | 1,568| 1,559| 1,544| 1,524| 1,498| 1,467|

   +----------------------------------------------------------+



      Методом  обратного  интерполирования,  вычислить_7  _0t 

      при  y(t) = 1,46  и  1,56.

      Проверить   выполнение   равенства:



                     _7p_0/2

                      _7!   |\\\\\\\\\\\\\\\\\\

               y(t) - _72_0  _7?_0 1 - sin_52_0(t)sin_52_0(x) dx = 0 .

                      _71

                      0

      при  полученных значениях.



.



                             - 26 -



       Авторы: Сигитов Евгений Васильевич,

               Гопенгауз Владимир Израильевич 

       Типография МГИСиС. Заказ ___________. Тираж 800 экз.