Розрахунок обємного напруженого стану в точці тіла

Міністерство освіти і науки України

Національний авіаційний університет

Інститут аеропортів

Кафедра комп’ютерних технологій будівництва















Розрахунково-графічна робота №1





Виконав: ст. групи ІАП 308

Шепа В. В.

Перевірив: Яковенко І. А.























Київ 2010р.


Задача №1



Визначення об’ємного напруженого стану в точці тіла



Для напруженого стану в точці тіла задано 6 компонентів:



=65 кН;  кН;

 кН;  кН;

;  кН;



Необхідно знайти зн-ня головних напружень та положення головних площадок.



Рішення:



				(1.1)



1.З р-ня (1.1) коефіцієнти є інваріантами перетвор. Координат





Р-ня (1.1) підстановкою  зводимо до наступного вигляду:



; 									(1.3)


У р-ні (1.3) нові коефіцієнти відповідно дорівнюють:



P=					(1.4)

q= -  

 



Корені кубічного рівняння (1.3) виражаємо через допоміжний кут , який визначаємо з р-нь:



= r==78,12;



  (1.4) 





Перевірка:



=0;

++



2. Визначимо головні напруження за формулою:





	(1.7)





Цим трьом головним напруженням в подальшому робимо наступне позначення : .



 кН,

 кН,

 кН,



Контроль якості вирішення кубічного рівняння (1.1) проводимо, використовуючи інваріантність коефіцієнтів так щоб:











3.З системи 1.9 з трьох рівнянь тільки 2 невідомих і  із рішення двох рівнянь третє використовується для перевірки знайдених відношень. Запишемо рішення системи 1.9 в загальному вигляді:







  





Значення співвідношення



; 



і з цього рівняння знаходимо 2 корені 

Перевірка:



-65(-1,42608)+65(-0,751526)+(65-144,83)=0.



З р-ня 1.1 маємо:





.

Тоді:







 м.



;





Тоді:  









Тоді:  



Перевірка напрямних косинусів:



;

-0,75183+(-0,3962)





Рис.1.3


На рисунку 1.3 зображено нормалі до головних площадок , головні площадки та головні напруження .



Задача №2



Плоска задача теорії пружності



Нехай задано прямокутну балку довжиною l, висотою h та товщиною, що дорівнює 1.

Необхідно:

	Перевірити можливість використовувати ф-ї f=(x, y) для рішення плоскої задачі теорії пружності.

	Знайти вирази для напружень 

	Побудувати епюри напружень для перерізів x=

	Визначити внутрішні сили (нормальні та дотичні, які прикладені до всіх чотирьох граней балки, дати їх зображення на рисунку.

Виконати статичну перевірку для знайдених сил (зовнішні).

Теоретичні відомості:

Ф-я f=(x, y) повинна задовольняти наступне дегармонічне рівняння.



						(2.1)

З цього рівняння вирази для напружень  знаходимо за формулою:



 

								(2.2)


Для визначення зовнішніх сил нормальних та дотичних, які прикладені до всіх чотирьох граней балки, використовуєм умови на поверхні тіла (умови на контурі тіла або статичні і граничні умови).

		

			(2.2)

		

		

		У рівнянні (2.3 )  - проекції на вісі Ox і Oy внутрішніх сил, що діють на грані балки.

		- нормаль до грані, - напрямні косинуси нормалі 

		Для перевірки знайдених зовнішніх сил можна використовувати умови рівноваги балки під їх дією:

		

		

		

		



Рішення:



		1.Нехай задана балка з ф-ю напруження:

		

		

		a=2, b=1, l=5, 

		

		2ay;

		

		0;

		;

		;

		

		

		2.; 

		2ay; 

		

		3. Побудуємо епюри напружень в перерізах.

		

		

		

		
При x==2,5 м. 

		2ay=4y; 

		

		4. Визначимо зовнішні сили (нормальні та дотичні).

		Верхня грань:

		

		y= 

		;

		; 

		;

		

		2. Нижня грань:

		

		y= 

		;

		; 

		;

		l=0; l=5.

		

		Ліва грань: x=0;

		 

		;

		; 

		;

		l=-; l=.

		Права грань:x=l=5 м

		 

		;

		; 

		;

		l= -; l=

		

		

		

		5. Перевіримо умови рівноваги балки:

		

		


		++=0.

		

		Отже, умови рівноваги балки зберігаються, а значить зовнішні сили та напруження в перерізах знайдені правильно.

Для визначення зовнішніх сил нормальних та дотичних, які прикладені до всіх чотирьох граней балки, я використала умови на поверхні тіла (умови на контурі тіла або статичні і граничні умови).

Побудувала епюри напружень в перерізах, визначила зовнішні сили (нормальні та дотичні). Перевірила умови рівноваги балки.

		

		
Міністерство освіти і науки України

Національний авіаційний університет

Інститут аеропортів

Кафедра комп’ютерних технологій будівництва

















Розрахунково-графічна робота №2





Виконав: ст. групи ІАП 308

Шепа В. В.

Перевірив: Яковенко І. А





















Київ 2010р.

		
Задача №1



Изгиб прямоугольной пластинки



Прямоугольная пластинка изгибается под действием поперечной нагрузки интенсивности q (x, y):



;





Задано уравнение упругой поверхности пластинки



;

C=const; a=4 м, b=2 м,  =0,21.



Жесткость пластинки D=const. Требуется: установить, каким граничным условиям удовлетворяет предложенное уравнение упругой поверхности w(x,y); определить постоянный коэффициент C; составить выражения моментов и поперечных сил, построить эпюры моментов и поперечных сил в сечении 



Решение:



Определяем условия на контуре пластинки (граничные условия):



При x=a w=0;

y= w=0;


Следовательно, пластинка оперта по всем четырем краям. Выясним, как она оперта: шарнирно или жостко. Уравнение углов поворота в направлении, паралельном Ox,



=C

При x=



Это значит, что левый и правый края защемлены.

Уравнение углов поворота в направлении, параллельном ,



=-C;

При y=



Получаем, что верхний и нижний края тоже защемлены. Итак, пластинка жестко защемлена по всем четырем краям.

Определяем постоянную С. Для этого воспользуемся уравнением и составим соответствующие производные:



;



;

=C;

;


;

;

;

;





Левая часть уравнения принимает следующий вид



D+2;

DC; (4.2)



Подставив в уравнение левую и правую части, после сокращений получаем







Составляем выражение для внутренних усилий по формулам:

Изгибающие моменты:










Крутящий момент:







Поперечные силы:











;



(



Выражения для внутренних усилий с учетом найденного значения С имеют вид
















		
 

		

		Отже, я побудував епюри моментів і поперечних сил, знайшов граничне значення напруги, що задовольняє рівнянням пружної поверхні , визначив постійний коефіцієнт C; склав вираз моментів і поперечних сил , побудував епюри моментів і поперечних сил в розрізі Склав вираз для внутрішніх зусиль.