Решение систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона

5



	

	

	

	

	

	

	

	Решение систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона

	
РЕФЕРАТ

	

Пояснительная записка: 44 с., 14 рис, 2 таблицы, 3 источника, 4 прил.

Данный продукт представляет собой программу, позволяющую решать СНАУ: 

F1(X1, X2, X3)=0,5arctg(X1+X2)+0,2ln(1+X21+ X22+X23)-0,05(X1X2-X1X3-X2X3)+85X1-20X2+35X3-99;

F2(X1, X2, X3)=5arctg(X1+X2+X3)-25,5X1+19,5X2-15,5X3+15;

F3(X1, X2, X3)=-0,3cos(X1-2X2+X3)+0,5exp(-0,25(X21+X22+X23-3))-44,75X1 +20,25X2+5,25X3+18.

Модифицированным методом Ньютона при заданных начальных условиях, где задаётся погрешность вычисления. Кроме вычисления корня уравнения, существует возможность построения графика зависимости приближений двух координат решения. При построении графика задаются промежутки и константы. Программа может использоваться как наглядное пособие для студентов высших учебных заведений.

В программе реализуются:

1) работа с BGI графикой;

2) работа с файлами.


СОДЕРЖАНИЕ



	Введение

	1. Постановка задачи

	1.1. Цель создания программного продукта

	1.2. Постановка задачи

	2. Математическая модель

	3. Описание и обоснование выбора метода решения

	4. Обоснование выбора языка программирования

	5. Описание программной реализации

	
1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ



Цель создания программного продукта



Главной целью работы является разработка программы способной решать СНАУ трёх переменных модифицированным методом Ньютона, что должно являться пособием для студентов высших учебных заведений в снижении ненужной нагрузки, связанной с многочисленными массивами вычислений. 

 

1.2 Постановка задачи



В данном программном продукте необходимо реализовать решение СНАУ:

0,5arctg(X1+X2)+0,2ln(1+X21+ X22+X23)-0,05(X1X2-X1X3-X2X3)+85X1-

-20X2+35X3-99;

5arctg(X1+X2+X3)-25,5X1+19,5X2-15,5X3+15;

-0,3cos(X1-2X2+X3)+0,5exp(-0,25(X21+X22+X23-3))-44,75X1+20,25X2+

+5,25X3+18.

Начальным приближением (X0) должны служить X1,0=0, X2,0=0, X3,0=0. Необходимо ввести точность (ξ) вычисления корня системы уравнений, ограниченную размером (не менее 0,00001). После вычислений с заданной погрешностью возникает множество приближений к корню, последнее из которых будет считаться корнем. После нахождения корня СНАУ и приближений к нему, необходимо построить график зависимости двух любых компонент решения (например, X1 и X3). Для этого третья компонента решения (X3) принимает значение константы. Необходимо указать какая функция будет участвовать в построении графика (например, F1), а также определить промежутки изменения обеих компонент решения (например, [X1min; X1max] и [X3min; X3max]).


2 МАТЕМЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ



Общий вид решения системы нелинейных арифметических уравнений имеет вид:

F1(X1,…,Xn)=0

   …

Fn(X1,…,Xn)=0

, где Fi – функция n переменных.

Решением СНАУ является вектор X=(X1,…,Xn), при подстановке компонент которого в систему каждое её уравнение обращается в верное равенство.

При n=3 – точка пересечения трёх поверхностей.

Модифицированный метод Ньютона – один из методов, применяющихся для нахождения корня СНАУ. Модифицированный метод Ньютона предполагает наличие начального приближения X0. Суть метода заключается в построении последовательности точек X0, …, Xn, сходящихся к решению.

Рекуррентная формула имеет вид:

Xk+1=Xk+W(X0)-1F(Xk), где W(X0)-1 – обратная матрица частных производных уравнений системы уравнений (якобиан I-1) от начального приближения  X0, а F(Xk) – вектор значений функций СНАУ вектора приближения к корню X, высчитанном,  на предыдущем шаге.

Условием окончания выполнения приближений является шаг, на котором k-норма (в данном случае), т.е √F22(Xn+1)+ F22(Xn+1)+ F22(Xn+1), меньше определённой погрешности (ξ):

√F22(Xn+1)+ F22(Xn+1)+ F22(Xn+1) < ξ.


3 ОПИСАНИЕ И ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА МЕТОДА РЕШЕНИЯ



Для решения СНАУ был выбран один из численных методов, который называется модифицированным методом Ньютона.

По сравнению с методом Ньютона модифицированный метод Ньютона сходится дольше, но имеет более простой алгоритм реализации, следовательно, проще реализуем программно на языке программирования.


4 ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА ЯЗЫКА ПРОГРАММИРОВАНИЯ



Реализация поставленной задачи совершается на языке программирования Borland C++ version 3.1.

Система программирования Borland C++, разработанная американской корпорацией Borland, остаётся одной из самых популярных систем программирования в мире. Этому способствует простота лежащая в основе языка программирования C, а также поддержка графического и текстового режимов, что делает Borland C удачным выбором для реализации практически любого программного продукта.