Алгебра логики. Элементы цифровой схемотехники

Министерство образования и науки РФ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Белгородский государственный технологический университет 

им. В.Г. Шухова

ИИТУС

	Кафедра: «Техническая кибернетика»









Лабораторная работа №7

Дисциплина: Информатика

Тема:

Алгебра логики. Элементы цифровой схемотехники









Выполнил: студент группы УС-11

Лукьянов Л.В.

Принял: ст. препод. кафедры ТК

Крюков А.В.











Белгород 2010




Содержание

	

				Цель работы 

				Список индивидуальных заданий 

				Примеры практической работы 

			Задание 1

			Задание 2

				Задание 3

			Заключение

	


1. Цель работы



Изучение логических операций и правил их преобразований. Получение навыков практической работы по моделированию цифровых схем, состоящих из логических вентилей. Ознакомление с различными способами описания логики работы логического устройства – таблицами истинности, временными диаграммами, аналитическими функциями, цифровыми схемами.




2. Список индивидуальных задач



Задание 1

Задано булева функция от трех переменных: 







А) Постройте таблицу истинности (в среде Microsoft Excel) для заданной булевой функции (таблицу истинности строить без каких-либо упрощений, пользуясь лишь встроенными логическими функциями И, ИЛИ, НЕ, ЕСЛИ).

Б) Смоделировать данную логическую функцию в среде Electronics Workbench. Построить соответствующую цифровую схему и временные диаграммы.

В) Упростить данное логическое выражение.

Задание 2

Используя пакет Electronics Workbench спроектировать схемы соответствующие обоим частям тождества (№2,№7,№16) (см. приложение), и с помощью проведения анализа доказать тождество. В отчет включить построенные схемы и диаграммы входных и выходных сигналов каждой из выполненных схем.



Приложение

№

Логическое выражение

Формулировка

1

F1=X*0=0

Логическое произведение любого аргумента на 0 равно 0

2

F2=X*1=X

Логическое произведение любого аргумента на 1 равно значению аргумента

3

F3=X*X=X

Логическое произведение одних и тех же аргументов равно аргументу

4

F4=X*X’=0

Логическое произведение аргумента с его инверсией равно 0

5

F5=X+0=X

Логическая сумма любого аргумента с 0 равна аргументу

6

F6=X+1=1

Логическая сумма любого аргумента с 1 равна 1

7

F7=X+X=X

Логическая сумма аргумента с самим собой равна аргументу

8

F8=X+X’=1

Логическая сумма аргумента с его инверсией равна 1

9

F9=X’’=Х

Двойная инверсия аргумента дает его истинное значение

10

F10=X1*X2=X2*X1

Переместительный закон

11

F11=X1+X2=X2+X1

Переместительный закон

12

F12=(X1*X2)*X3=X1*(X2*X3)

Сочетательный закон

13

F13=(X1+X2)+X3=X1+(X2+X3)

Сочетательный закон

14

F14=X1*(X2+X3)=X1*X2+X1*X3

Раскрытие скобок

15

F15=X1+(X2*X3)=(X1+X2)*(X1+X3)

Исключенное третье

16

F16=X1+X1*X2=X1

Поглощение

17

F17=X1+X1’*X2=X1+X2

Поглощение

18

F18=(X1*X2)’=X1’+X2’

1 правило де Моргана

19

F19=(X1+X2)’=X1’*X2’

2 правило де Моргана



Задание 3

Спроектировать цифровую схему, выполняющая указанные действия и состоящую из простейших элементов И, ИЛИ, НЕ. Результаты подтвердить построением таблицы истинности и соответствующими временными диаграммами.

Спроектировать цифровую схему сравнения двухразрядных двоичных чисел А и В. На выходе схемы «1» – если А>B и «0» – в противном случае.






3. Примеры практической работы



3.1 Задание 1



Задано булева функция от трех переменных: 







А) Постройте таблицу истинности (в среде Microsoft Excel) для заданной булевой функции (таблицу истинности строить без каких-либо упрощений, пользуясь лишь встроенными логическими функциями И, ИЛИ, НЕ, ЕСЛИ).

Б) Смоделировать данную логическую функцию в среде Electronics Workbench. Построить соответствующую цифровую схему и временные диаграммы.

В) Упростить данное логическое выражение.

Решение:

А) Для удобства разделим данное выражение на 5 частей: F1, F2, F3, F4, F5, где F1 = x xor y, F2 = не z, F3 = F1 F2, F4 = не F3, F5 = xy+F4*x. Запишем данные формулы на языке MS Excel: 



F1 = ЕСЛИ(x<>y,1,0); F2 = Ч(НЕ(z)); F3 = ЕСЛИ(И(F1=0,F2=0),1,0); 

F4 = Ч(НЕ(F3)); =Ч(ИЛИ(И(x,y),И(F2,x))).



Построим таблицу истинности для данных функций:

логический операция цифровой моделирование






Рис. 3.1 Таблица истинности данной функции



Б) При моделировании будем использовать функцию 



f(x,y,z)=:





Рис. 3.2 Цифровая схема данной функции в среде Electronics Workbench





Рис.3.3 Временная диаграмма данной функции



В) = 







3.2 Задание 2



Используя пакет Electronics Workbench спроектировать схемы соответствующие обоим частям тождества (№2,№7,№16) (см. приложение), и с помощью проведения анализа доказать тождество. В отчет включить построенные схемы и диаграммы входных и выходных сигналов каждой из выполненных схем.



Приложение

№

Логическое выражение

Формулировка

1

F1=X*0=0

Логическое произведение любого аргумента на 0 равно 0

2

F2=X*1=X

Логическое произведение любого аргумента на 1 равно значению аргумента

3

F3=X*X=X

Логическое произведение одних и тех же аргументов равно аргументу

4

F4=X*X’=0

Логическое произведение аргумента с его инверсией равно 0

5

F5=X+0=X

Логическая сумма любого аргумента с 0 равна аргументу

6

F6=X+1=1

Логическая сумма любого аргумента с 1 равна 1

7

F7=X+X=X

Логическая сумма аргумента с самим собой равна аргументу

8

F8=X+X’=1

Логическая сумма аргумента с его инверсией равна 1

9

F9=X’’=Х

Двойная инверсия аргумента дает его истинное значение

10

F10=X1*X2=X2*X1

Переместительный закон

11

F11=X1+X2=X2+X1

Переместительный закон

12

F12=(X1*X2)*X3=X1*(X2*X3)

Сочетательный закон

13

F13=(X1+X2)+X3=X1+(X2+X3)

Сочетательный закон

14

F14=X1*(X2+X3)=X1*X2+X1*X3

Раскрытие скобок

15

F15=X1+(X2*X3)=(X1+X2)*(X1+X3)

Исключенное третье

16

F16=X1+X1*X2=X1

Поглощение

17

F17=X1+X1’*X2=X1+X2

Поглощение

18

F18=(X1*X2)’=X1’+X2’

1 правило де Моргана

19

F19=(X1+X2)’=X1’*X2’

2 правило де Моргана



Решение:

Для тождества 



F2=X*1=X:





Рис.3.4 Логическая схема и временная диаграмма тождества №2



Для тождества 



F7=X+X=X:










Рис.3.5 Логическая схема и временная диаграмма тождества №7



Для тождества 



F16=X1+X1*X2=X1:












Рис.3.6 Логическая схема и временная диаграмма тождества №16



На основе данных временных диаграмм можно сделать вывод, что все тождества верны, так как результаты левой и правой частей совпадают.



3.3 Задание 3



Спроектировать цифровую схему, выполняющая указанные действия и состоящую из простейших элементов И, ИЛИ, НЕ. Результаты подтвердить построением таблицы истинности и соответствующими временными диаграммами.

Спроектировать цифровую схему сравнения двухразрядных двоичных чисел А и В. На выходе схемы «1» – если А>B и «0» – в противном случае.

Решение:

Пусть F1 и F2 числа А и В соответственно. А, В – старший и младший бит F1, a C,D – старший и младший бит F2. Если F1>F2 на выходе мы должны получить «1», иначе – «0». Составим таблицу истинности:






Рис.3.7. Таблица истинности



Составим логическое выражение на основе таблицы истинности:









Для полученной функции в среде Electronics Workbench составим логическую схему:





Рис.3.8 Логическая схема полученной функции








Рис.3.9 Временная диаграмма полученной функции



Данные полученной временной диаграммы и составленной таблицы истинности совпадают, следовательно, поставленная задача решена.






Заключение



В ходе данной работы мы получили навыки практической работы по моделированию цифровых схем, состоящих из логических вентилей. Ознакомились с различными способами описания логики работы логического устройства – таблицами истинности, временными диаграммами, аналитическими функциями, цифровыми схемами. Научились строить логические схемы и получать временные диаграммы в среде Electronics Workbench. Научились анализировать временные диаграммы, и синтезировать логические функции. В целом закрепили теоретические знания и научились применять их на практике, освоив специально ПО для решения данных задач.







2