Решение задачи оптимального резервирования системы методом динамического программирования

Надежность АСО и У

Лабораторная работа № 3

Решение задачи оптимального резервирования системы методом динамического программирования 

Вариант №1









Студент

Корнеева М.С.

(шифр605596)

Группа

АУЗ– 562




Введение



Цель работы

Изучение влияния структурного резервирования на показатели надежности системы, освоение метода динамического программирования для решения задачи оптимального резервирования

Задание на работу

1. Освоить методы решения задачи оптимального резервирования технической системы.

2. Для заданного варианта построить оптимальную схему системы при нагруженном резервировании ее элементов. Для этого решить задачу методами неопределенных множителей Лагранжа и динамического программирования.

3. Составить отчет по работе, содержащий все этапы выполнения задания

Задача

Система управления содержит блок обработки и блок выдачи команд. Величины вероятностей безотказной работы и приведенных затрат на эти блоки P1(ti)=0,5, P2(ti)=0,7, с1= 3 усл.ед., с2= 1 усл.ед

Найти оптимальный нагруженный резерв для каждого блока при условии, что вероятность безотказной работы системы должна быть не менее 0,98 при минимальных затратах.




Ход выполнения работы



Теоретические положения.

Большая группа задач оптимизации связана с определением числа резервных элементов (подсистем) с учетом ограничивающих факторов (затрат). Подобные задачи могут быть двух видов.

Задачи оптимального резервирования первого вида состоят в определении требуемого количества резервных элементов, обеспечивающих заданное значение показателя надежности системы при минимальных затратах.

Задачи второго вида - определение требуемого количества резервных элементов, обеспечивающих максимум значения показателя надежности системы при величине затрат, не превышающей заданную.

Для решения перечисленных задач используют метод неопределенных множителей Лагранжа, а также методы: градиентный, перебора и динамического программирования.

Метод неопределенных множителей Лагранжа позволяет аналитически получить приближенное решение задачи. Погрешность результатов обусловлена тем, что данный метод оперирует действительными числами, в то время как количество резервных элементов системы выражается как целое число. Округление результатов до целых чисел вызывает сдвиг экстремума в пространстве параметров, вследствие чего возникает погрешность решения. Кроме того метод неопределенных множителей Лагранжа дает решение в явном виде только при простейших моделях надежности.

Метод динамического программирования является модификацией метода простого перебора. В этом методе для сокращения числа вариантов при переборе вводится понятие доминирующая последовательность – подмножество вариантов, перспективных с точки зрения поиска оптимального решения.

Применительно к задаче оптимального резервирования будем считать, что один состав системы, представляющий собой некоторую комбинацию расположения резервных элементов, доминирует над другим, если для одного и того же уровня надежности обеспечение этого состава связано с минимальными затратами. Все неоптимальные решения, не входящие в состав доминирующей последовательности в силу того, что они обладают большей величиной затрат при той же надежности или меньшей надежностью при тех же затратах, чем члены доминирующей последовательности, исключаются из рассмотрения.

Решение задачи методом неопределенных множителей Лагранжа.

Пусть система состоит из  подсистем и каждая подсистема имеет  резервов. Вероятность отказа системы .







Затраты на резервную подсистему .

Оптимальный резерв i-ой подсистемы имеет вид:



,



где 

Занесем исходные данные и промежуточные расчеты в таблицу





i

1

2



3

1



0,5

0,3



-0,6932

-1,204



-4,3281

-0,8306



Первоначальное состояние системы, когда нет резервов, описывается вектором состояния , поскольку изначально генератор состоит из двух блоков. .

При этом









Определяем оптимальное количество элементов каждой подсистемы:









Округляя результаты до ближайших целых значений, получим приближенный оптимальный состав системы: . При таком составе системы параметры системы будут следующими:









При таком составе системы вероятность отказа составляет Q=0.018, что меньше заданной величины Qзад=0,02, значит условие выполняется

Решение задачи методом динамического программирования

Примем, что для блока № 1 максимальное число резервных блоков равно 6, а для блока № 2 максимальное число резервных блоков равно 5. Для построение доминирующей последовательности построим таблицу

































Число К1 резервных блоков к блоку 1



























0



1



2



3



4



5



6

























1

3,0000

2

6,0000

3

9,0000

4

12,0000

5

15,0000

6

18,0000

7

21,0000



























0,5000



0,2500



0,1250



0,0625



0,0313



0,0156



0,0078

Число К2 резервных блоков к блоку 2

0

8

1,0000

14

4,0000

15

7,0000

16

10,0000

17

13,0000

18

16,0000

19

19,0000

20

22,0000







0,3000



0,8000



0,5500



0,4250



0,3625



0,3313



0,3156



0,3078







































1

9

2,0000

21

5,0000

22

8,0000

23

11,0000

24

14,0000

25

17,0000

25

20,0000

27

23,0000











































0,0900



0,5900



0,3400



0,2150



0,1525



0,1213



0,1056



0,0978







































2

10

3,0000

28

6,0000

29

9,0000

30

12,0000

31

15,0000

32

18,0000

33

21,0000

34

24,0000











































0,0270



0,5270



0,2770



0,1520



0,0895



0,0583



0,0426



0,0348







































3

11

4,0000

35

7,0000

36

10,0000

37

13,0000

38

16,0000

39

19,0000

40

22,0000

41

25,0000











































0,0081



0,5081



0,2581



0,1331



0,0706



0,0394



0,0237



0,0159







































4

12

5,0000

42

8,0000

43

11,0000

44

14,0000

45

17,0000

46

20,0000

47

23,0000

48

26,0000











































0,0024



0,6170



0,3670



0,2420



0,1795



0,1483



0,1326



0,1248







































5

13

6,0000

49

9,0000

50

12,0000

51

15,0000

52

18,0000

53

21,0000

54

24,0000

55

27,0000











































0,0007



0,5540



0,3040



0,1790



0,1165



0,0853



0,0696



0,0618





В клетках 14-55 записываем значения вероятностей отказов и затрат для последовательно соединенных блоков 1 и 2.

В таблице темно-серым цветом обозначены клетки-варианты реализации устройства, подходящие под условие отказоустойчивости. Из них выбираем вариант с наименьшими затратами 



	
Выводы



Решив задачу методом неопределенных множителей Лагранжа и методом динамического программирования пришел к следующему оптимальному по затратам и отказоустойчивости составу системы, с учетом введенных нагруженных блоков: .

Графически:





 1

 1

 1

 1

 1

 1

 2

 2

 2