Конспект урока по Геометрии "Правильные многоугольники"

Открытый урок 

                             по геометрии

      Тема: «Правильные многоугольники»







Провела: учитель математики

Боброва Ю.А.







































































Тема: «Правильные многоугольники».



                                                       И чем труднее доказательство, тем больше

                                                       будет удовольствия тому, кто это доказательство найдет.

                                                                                                                 Рене Декарт.



Цель: обобщить изученный по теме материал; формировать умения применять математические знания к решению практических задач; развивать познавательную активность, творческие способности; воспитывать интерес к предмету.



Ход урока.

1. Организационный момент.

На данном этапе учащиеся формулируют тему и цели урока.

Вопрос: Какая фигура на рисунке лишняя? Почему? 

Сформулируйте тему урока.

Перед тем как перейти к определению многоугольника, вспомним, что такое ломанная?

Ломаной   А1А2А3 … Аn  называется фигура, состоящая из точек А1, А2, А3, …, Аn и соединяющих их отрезков А1А2, А2А3, …, Аn-1 Аn.

Какие элементы ломанной знаем?

			А1А2А3А4А5А6-ломаная.

			Точки А1, А2, А3, А4, А5, А6- вершины ломаной.

			Отрезки А1А2, А2А3, А3А4, А4А5, А5А6, - звенья ломаной. 

	Какая ломанная называется многоугольником?

Определение: Простая замкнутая ломаная называется многоугольником, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой.

Рассмотрим понятие выпуклого многоугольника. 

Вопрос: Какой из многоугольников на слайде является выпуклым?

Определение: Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. 

Вопрос: Достаточно ли провести одну прямую, содержащую сторону многоугольника, чтобы определить является многоугольник выпуклым или нет? А две? 

Приведите примеры известных выпуклых многоугольников.

(Звучит музыка из кинофильма «Приключения Шерлока Холмса».В класс входят Холмс и Ватсон).



Холмс. Здравствуйте, дорогие друзья. Мы только что с Бейкерстрит. Отправились мы с доктором Ватсоном в путь для того, чтобы разгадать дело о похищении персидского шаха.

Ватсон. Но случайно узнали, что ученики 9 класса любят заниматься математикой. Вот и решили с Холмсом заглянуть к вам, поучиться решению сложных задач.

Холмс. Да, Ватсон, я вижу, что вы на время решили забыть о медицине и заняться геометрией.

Ватсон. Но как?..

Холмс. У вас из кармана выглядывает листочек с чертежами. Сразу видно, что вы потратили немало чернил, пытаясь решить хотя бы одну из задач.

Ватсон. Однако, с чего вы взяли, Холмс, что я не решил ни одной задачи? Правда, так оно и есть…

Холмс. Не обижайтесь, дорогой Ватсон. Я, пожалуй, могу рассказать захватывающую историю о том, как с помощью разных методов можно решить любую задачу. Но, думаю, об этом вам расскажут эти юные леди и джентльмены. 

Ватсон. А самую изобретательную, быструю и наблюдательную команду мы возьмем себе в помощники. 



2. Решение задач.



Задача 1. 

Периметр правильного шестиугольника, описанного около окружности, равен 36см. Чему равна площадь квадрата вписанного в эту окружность?





Задача 2.

Холмс. Один джентльмен, увлекающийся математикой, решил разбить клумбу в парке отдыха. Клумба имеет вид правильного шестиугольника без правильного треугольника, вершины которого совпадают с вершинами шестиугольника. Сторона шестиугольника 6 метров. Вычислите площадь этой клумбы.

Ватсон. Холмс, а зачем этому умному джентльмену знать площадь клумбы?

Холмс. Ватсон, это же элементарно. Ему надо вычислить плату за вскапывание клумбы. За вскапывание 1 кв. м  земли надо платить 1,5 фунта стерлингов.

Ватсон. Холмс, эту задачу я хочу решить сам.

Холмс. Друг мой, берегите свое здоровье! Лучше почитайте газету, а с задачей справятся эти юные леди и джентльмены.



Задача 3. 

Ватсон отмахивается от пчел

Холмс. Ватсон, что с вами? Пчела? осторожно, она может и ужалить!



Видео



Ватсон. Холмс, меня очень давно мучает этот вопрос.

Холмс. Думаю, что леди и джентльмены помогут нам это понять. Чтобы ответить на этот вопрос надо сравнить периметры разных многоугольников имеющих одинаковую площадь.

 Ватсон Из всех правильных многоугольников только треугольниками, квадратами и шестиугольниками можно заполнить плоскость без пробелов и наложений. Так, как в этом случае сумма углов, сходящихся в одной вершине равна 360. Поэтому пчелы должны выбрать одну из этих фигур. Сравним периметры этих фигур, если они имеют одинаковую площадь. 

Холмс. Ватсон, эти юные леди и джентльмены дадут вам полный ответ.



Имеем

,





,     ;          ;





            S4 = a2;       ;       ;



;     ;      ;



P3:  P4  :   P6   =.



Ватсон. Итак, пчелы, не зная математики, верно «определили», что правильный шестиугольник имеет наименьший периметр среди фигур равной площади. Строя шестиугольные ячейки, пчелы наиболее экономно используют площадь внутри небольшого улья и воск для изготовления ячеек.



Холмс. Ватсон, сейчас мы проверим, насколько хорошо учащиеся знают свойства многоугольников.

  

Участники каждой команды получают 4 конверта  с надписями  «Треугольник», «Квадрат», «Шестиугольник»,  «Для всех многоугольников» и разрезанные карточки со свойствами, которые нужно распределить по конвертам.



каждый его внутренний угол равен 60°

каждый его внутренний угол равен 90°

каждый его внутренний угол равен 120°;

каждый его внешний угол равен 120°

каждый его внешний угол равен 90°

каждый его внешний угол равен 60°;

радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности;

каждая сторона равна радиусу описанной окружности;

каждая сторона в два раза больше радиуса вписанной окружности;

из каждой вершины многоугольника можно  провести две диагонали;

из каждой вершины можно провести три диагонали, две из которых равны между собой;

центральный угол равен 60°, 90°,120°;

центральный угол равен 90°

центральный угол равен 120°;

все его диагонали равны;

середины правильного 12-угольника соединили через одну;

 сумма внешних углов равна 360°;

сумма его внутренних углов равна сумме его внешних углов;

центры вписанной и описанной окружностей совпадают;

каждый его внутренний угол равен центральному углу;

вершины правильного 8-угольника соединили отрезками через одну;

равны все внутренние углы многоугольника;

 многоугольник вписан в окружность и все его стороны равны;

многоугольник вписан в окружность и все его углы равны.

Проверяйте:



«Треугольник»: внутренний угол равен 60°; внешний угол равен 120°; R = 2r; центральный угол равен 120°.
«Квадрат»: внутренний угол равен 90°; внешний угол равен 90°; a = 2R; центральный угол равен 90°; все диагонали равны; сумма внутренних углов равна сумме внешних углов; вершины правильного восьмиугольника соединили через одну.
«Правильный шестиугольник»: внутренний угол равен 120°; внешний угол равен 60°; R = a из каждой вершины можно провести три диагонали, две из которых равны между собой; центральный угол равен 60°; вершины правильного двенадцати угольника соединили через одну.
«Для всех правильных многоугольников»: центры вписанной и описанной окружностей совпадают;  сумма внешних углов 360°; каждый внутренний угол равен центральному; равны все внутренние углы многоугольника; многоугольник вписан в окружность и все его стороны равны; многоугольник вписан в окружность и все его углы равны. 



Холмс. Видите, Ватсон, чтобы научиться решать задачи, надо последовательно и логически мыслить. Это необходимо в математике, как и в криминалистике. Самый главный метод в решении – «метод цели»; надо все время помнить, что осталось сделать для достижения цели. Ну, и еще некоторые мелочи…- опыт и интуиция.

Ватсон (держит в руках газету). Ого, послушайте, Холмс: «Вчера неизвестные злоумышленники украли приз – золотой лист Мёбиуса».

Холмс. Поспешим! Поймать этих негодяев - для нас дело принципа! Прощайте, леди и джентльмены. Мы с доктором Ватсоном еще навестим вас.