5 различных задач по программированию

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ

КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине "Прикладная математика"

Москва 2001

ОГЛАВЛЕНИЕ

ЛИНЕЙНАЯ ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ЗАДАЧА

ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА

ЗАДАЧА О "РАСШИВКЕ УЗКИХ МЕСТ ПРОИЗВОДСТВА"

ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАПИТАЛЬНЫХ ВЛОЖЕНИЙ

ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВОМ И  ЗАПАСАМИ... 

МАТРИЧНАЯ МОДЕЛЬ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ  ПРОГРАММЫ ПРЕДПРИЯТИЯ

МАТРИЧНАЯ ИГРА КАК МОДЕЛЬ КОНКУРЕНЦИИ  И СОТРУДНИЧЕСТВА

АНАЛИЗ ДОХОДНОСТИ И РИСКА ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ

ЗАДАЧА ФОРМИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ

ЛИТЕРАТура

ЛИНЕЙНАЯПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ЗАДАЧА

Предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя для этого три вида 

ресурсов. Известна технологическая матрица Азатрат любого ресурса на единицу 

каждой продукции, вектор В объемов ресурсов и вектор С удельной прибыли 

(1)

Требуется составить производственную программу (x1, x2, x3, x4), максимизирующую 

прибыль 

                       (2)    

при ограничениях по ресурсам:                                                  

(3)

где по смыслу задачи                             (4)

Получили задачу на условный экстремум. Для ее решения систему неравенств (3) при 

помощи дополнительных неотрицательных неизвестных х5,х6, х7 заменим системой 

линейных алгебраических

уравнений                                    (5)

где дополнительные переменные имеют смысл остатков соответствующих ресурсов. 

Среди всех решений системы уравнений (5),удовлетворяющих условию 

неотрицательности  х1&#179;0, х2&#179;0,… ,х5&#179;0,…, х7&#179;0.  (6)

надо найти то решение, при котором функция (2) примет наибольшее значение.

Воспользуемся тем, что правые части всех уравнений системы (5) неотрицательны, а 

сама система имеет предпочитаемый вид –дополнительные переменные являются 

базисными. Приравняв к нулю свободные переменные х1, х2, х3, х4, 

получаембазисное неотрицательное решение





     x1=0, x2=0, x3=0,x4=0, x5=103, x6=148, x7=158                          (7)

первые четыре компоненты которого определяют производственную программу x1=0, 

x2=0, x3=0, x4=0(8)

по которой мы пока ничего не производим. Из выражения (2) видно, что наиболее 

выгодно начинать производить продукцию первого вида,так как прибыль на единицу 

продукции здесь наибольшая. Чем больше выпуск в этой продукции, тем больше 

прибыль. Выясним, до каких пор наши ресурсы позволяютувеличить выпуск этой 

продукции. Для этого придется записать для системы уравнений (5) общее решение

                                                (9)

Мы пока сохраняем в общем решении х2=х3=х4=0и увеличиваем только х1. При этом 

значения базисных переменных должны оставаться неотрицательными, что приводит к 

системе неравенств

    или             т.е.        0 &#163; х1 &#163; 37

Дадим х1 наибольшее значение х1 =37, которое она может принять при нулевых 

значениях других свободных неизвестных, иподставим его в (9). Получаем для 

системы уравнений (5) частное неотрицательное решение      х1=37, х2=0,х3=0, 

х4=0; x5=29; x6=0; x7=84             (10)

Нетрудно убедиться, что это решение является новым базисным неотрицательным 

решением системы линейных алгебраических уравнений (5), дляполучения которого 

достаточно было принять в системе (5) неизвестную х1 за разрешающую и перейти к 

новому предпочитаемому виду этой системы, сохранивправые части уравнений 

неотрицательными, для чего за разрешающее уравнение мы обязаны принять второе, 

так как                                  

            ,  а разрешающимэлементом будет а21=4. 

Остается заметить, что процесс решения обычно записывается в виде некоторой 

таблицы 1.

                  ~ 

внений (5) новый предпочитаемый эквивалент

           2x2 + 4x3         + x5  - 1/2x6         = 29

x1 + 1/2x2 +       1/2x4 +         1/4x6         = 37                 (11)

           7x2 + 7x3  -   x4                 -1/2x6 + x7  = 84 

Приравняв к нулю свободные переменные х2, х3, х4, х6, получаем базисное 

неотрицательное решение,совпадающее с (10), причем первые четыре компоненты его 

определяют новую производственную программу                           х1=37, 

х2=0, х3=0,х4=0.             (12)

Представим соотношение (2) в виде уравнения -36х1 - 14х2 - 10х3 - 13х4 = 0 – z   

              (13)

и припишем его к системе (5). Получается вспомогательная система уравнений





 (14)

Напомним, что разрешающую неизвестную в системе (5) мы выбрали х1. Этой 

переменной в последнем уравнении системы (14)отвечает наименьший отрицательный 

коэффициент D1= -36. Затеммы нашли разрешающий элемент а21=4 и исключили 

неизвестную х1 из всех уравнений системы (5), кроме второго. Далее нам пришлось 

х1исключать и из функции (2). Теперь это можно сделать очень просто, если 

посмотреть на систему уравнений (14). Очевидно, достаточно умножить 

второеуравнение системы (14) на 9 и прибавить к четвертому; получим        

  -14х2 - 10х3 + 5х4 - 9х6 = 1332 – z                                            

              (15)

Таким образом, мы преобразовывали вспомогательную систему уравнений (14) к виду

                                                          (16)

Первые три уравнения этой системы представляют некоторый предпочитаемый 

эквивалент (11) системы уравнений (5) и определяютбазисное неотрицательное 

решение (10) и производственную программу (12), а из последнего уравнения 

системы (16) получается выражение функции цели черезсвободные переменные. 

Получим следующий предпочитаемый эквивалент системы условий, который определит 

для системы (5) новое базисное неотрицательноерешение и уже третью 

производственную программу, для исследования которого нам придется выразить 

функцию z=1332+14x2+10x3-5x4-9x6через новые свободные переменные, удалив оттуда 

переменную х2, ставшую базисной.

Очевидно, если имеется хотя бы один отрицательный коэффициент Dj прикакой-нибудь 

переменной xj в последнем уравнении системы (16), то производственная программа 

не является наилучшей и можно далее продолжатьпроцесс ее улучшения. Мы нашли в 

последнем уравнении системы (16) наименьший отрицательный коэффициент     

min(Dj<0) =min(-14,-10) = -14 = D2. Поэтому принимаем х2 в системе (11) за 

разрешающую неизвестную, находимразрешающее уравнение по                     

(17)

и исключаем х2 из всех уравнений системы (11), кроме третьего уравнения. Укажем 

разрешающий элемент а32=7.

Теперь мы будем преобразовывать вспомогательную систему (16), по формулам 

исключения. 

a`ij=aij – (ais/ars)*arj

a`iq=aiq – (ais/ars)*arq

b`i=bi - (ais/ars)*br

b`r=br/ars





s=1, r=2 





a`11=0

a`13=4-2/7*7=2

a`14=0+2/7 *1=2/7

a`15=1

a`16= -5/14

a`17=0-2/7*1=-2/7 

a`21=1

a`23= -1/2

a`24=4/7

a`25=0

a`26=2/7

a`27= -1/14

a`31= a31/a32=0

a`32=1

a`33= a33/a32=1 

a`34= -1/7

a`35= 0

a`36=-1/14

a`37=1/7

a`41= 0 

a`42= -14+2*7=0

a`43= 4

a`44=3

a`45=0

a`46=8

a`47=2

a`12=a`22=0

b`1=29-84/7*2=5

b`2=37-84/7*1/2=31

b`3=84/7=12





Эта система преобразуется к виду

                            2 x3  + 2/7 x4 + x5 – 5/14 x6– 2/7 x7  = 5

                 x1   - Ѕ x3  +   x4           + 2/7 x6 – 1/14 x7  = 31          

          (18)

                     x2  +  x3  - 1/7 x4          – 1/14 x6  + 1/7 x7 = 12

                             4 x3 +  3 x4           +     8 x6 +     2x7 = 1500 

- z





Первые три уравнения системы (18) представляют некоторый предпочитаемый 

эквивалент системы уравнений (5) и определяют базисноенеотрицательное решение 

системы условий рассматриваемой задачи

x1=37, x2=0, x3=0, x4=0, x5=29, x6=0, x7=84                                  

(19)

т.е. определяют производственную программу x1=37, x2=0, x3=0, x4=0        (20)

и остатки ресурсов:       

первого вида х5=5

второго вида       х6=0                                                          

      (21)

третьего вида х7=0

Последнее уравнение системы (18) мы получаем, исключая х2. В последнем уравнении 

системы (18) среди коэффициентов принеизвестных в левой части уравнения нет ни 

одного отрицательного. Если из этого уравнения выразить функцию цели z через 

остальные неотрицательныепеременные   

z = 1500 - 4 x3 -  3 x4 - 8 x6 - 2x7                                   (22)

то становится совершенно очевидным (в силу того, что все xj&#179;0), чтоприбыль будет 

наибольшей тогда, когда 

x3=0, x4=0, x6=0, x7=0                                                       

(23)

Это означает, что производственная программа (20) является наилучшей и 

обеспечивает предприятию наибольшую прибыль zmax= 1500                           

                                    (24)

Итак, организовав направленный перебор базисных неотрицательных решений системы 

условий задачи, мы пришли к оптимальнойпроизводственной программе и указали 

остатки ресурсов, а также максимальную прибыль.

Следует обратить внимание на экономический смысл элементов последней строки 

последней симплексной таблицы. Например, коэффициентD3=4 при переменной х3 

показывает, что если произвести одну единицу продукциитретьего вида (она не 

входит в оптимальную производственную программу), то прибыль уменьшится на 4 

единиц.

Воспользуемся тем, что в оптимальной производственной программе x3=0, x4=0. 

Предположим, что четвертую и третьюпродукции мы не намеревались выпускать с 

самого начала. Рассмотрим задачу с оставшимися двумя переменными, сохранивих 

нумерацию. Математическая модельзадачи будет выглядеть следующим образом:        

      







                                                          

Следует при этом обратить внимание на то, что последовательное улучшение 

производственной программы  (x1=0, x2=0) ® (x1=37,x2=0) ® (x1=31, x2=12) на 

графике означает движение от одной вершины многогранникадопустимых решений к 

другой вершине по связывающей их стороне многоугольника.

 

ДВОЙСТВЕННАЯЗАДАЧА

Ранее мы рассмотрели конкретную линейную производственную задачу по выпуску 

четырехвидов продукции с использованием трех видов ресурсов по заданным 

технологиям.

Теперь представим себе, что знакомый предприниматель П, занимающийся 

производством каких-то других видов продукции, но сиспользованием трех таких же 

видов ресурсов, какие имеются у нас, предлагает нам "уступить" по определенным 

ценам все имеющиеся у нас ресурсы иобещает платить у1 рублей за каждую единицу 

первого ресурса, у2 руб – второго, у3 руб – третьего. Возникает вопрос: при 

каких ценаху1, у2, у3 мы можем согласиться с предложением П.

Величины у1, у2, у3принято называть расчетными, или двойственными, оценками 

ресурсов. Они прямо зависят от условий, в которых действует наше предприятие.

Напомним, что в нашей задаче технологическая матрица А, вектор объемов ресурсов 

В и вектор удельной прибыли С имели вид  

Для производства единицы продукции первого вида мы должны затратить, как видно 

изматрицы А, 2 единицы ресурса первого вида, 4 единицы ресурса второго вида и 2 

единицы третьего (элементы первого столбца матрицы). В ценах у1, у2,у3 наши 

затраты составят 2у1 + 4у2 + 2у3, т.е. столько заплатит предприниматель П за все 

ресурсы, идущие на производствоединицы продукции первого вида. На рынке за 

единицу первой продукции мы получили бы прибыль 36 руб. Следовательно, мы можем 

согласиться с предложениемП только в том случае, если он заплатит не меньше 2у1 

+ 4у2 + 2у3 &#179;36.

Аналогично, для трех оставшихся видов продукции:

3у1 + 2у2 + 8у3&#179;32

4у1 +          7у3&#179;10

 у1 + 2у2          &#179;13

Учтем, что за все имеющиеся у нас ресурсы нам должны заплатить   103у1 + 148у2 + 

158у3рублей. При поставленных нами условиях предприниматель П будет искать такие 

значения величин у1, у2, у3, чтобы эта суммабыла как можно меньше. Подчеркнем, 

что здесь речь идет не о ценах,  по которым мы когда-то приобретали этиресурсы, 

а об этих ценах, которые существенно зависят от применяемых нами технологий, 

объемов ресурсов и от ситуации на рынке.

Таким образом, проблема определения расчетных оценок ресурсов приводит к 

задачелинейного программирования: найти вектор двойственных оценок  у(у1, y2, 

y3)минимизирующий общую оценку всех ресурсов                       f =  103у1 + 

148у2 + 158у3                      (1)

при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, 

затрачиваемых на производство единицы продукции, неменьше прибыли, получаемой от 

реализации единицы этой продукции

2у1 + 4у2 + 2у3 &#179; 36

3у1 + 2у2 + 8у3&#179;32                                          (2)

4у1 +          7у3&#179;10

 у1 + 2у2          &#179;13

причем оценки  ресурсов не могут быть отрицательными  y10,  y20,  y30.       (3)

Решение полученной задачи легко найти с помощью второй основной теоремы    

двойственности,  согласно    которой     для     оптимальных решений   (х1, х2, 

х3, х4)    и  (y1, y2, y3) парыдвойственных задач необходимо и достаточно 

выполнение условий

       x 1 (2у1 + 4у2 + 2у3 - 36) = 0                          y1 (2x1 +3x2+ 4x3 

+ x4 - 103) = 0

       x 2 (3у1 + 2у2 + 8у3 - 32) = 0                       y2 (4x1 +2x2         

  + 2x4 - 148) = 0

  x 3  (4у1 +          7у3-  10) = 0                             y3 (2x1 +8x2 + 

7x3              - 158) = 0         .

       x 4  (у1   + 2у2          -  13) = 0              

Ранее было найдено, что в решении исходной задачи х1>0,  x2>0.  Поэтому

                                                          2y1 +4y2 + 2y3 - 36 = 

0

                                                                   3y1 + 2y2 

+8y3  - 32 = 0

Если же учесть, что первый ресурс был избыточным и, согласно той же теореме 

двойственности, ее двойственная оценка равна нулю  у1=0,

то приходим к системе уравнений

                                                             4y2 + 2y3 -36 = 0

                                                            2y2 + 8y3  - 32 = 0

откуда следует     у2=8,  у3=2.

Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов              у1=0;  у2=8;   

у3=2,    (4) 

причем общая оценка всех ресурсов равна 1500.

 Заметим, что решение (4) содержалось в последней строке последней симплексной 

таблицыисходной задачи. Важен экономический смысл двойственных оценок. Например, 

двойственная оценка третьего ресурса у3=2 показывает, что добавлениеодной 

единицы третьего ресурса обеспечит прирост прибыли в 2 единицы. 

ЗАДАЧА О "РАСШИВКЕ УЗКИХ МЕСТ ПРОИЗВОДСТВА"

При выполнении оптимальной производственной программы второй и третий ресурсы 

используются полностью, т.е. образуют &#178;узкиеместа производства&#178;. Будем их 

заказывать дополнительно. Пусть T(t1,t2,t3)-вектор дополнительных объемов 

ресурсов. Так как мы будем использовать найденные двойственные оценки ресурсов, 

то должно выполняться условие            H + Q-1T  0.

Задача состоит в том, чтобы найти вектор    T (0, t2, t3),  максимизирующий 

суммарный приростприбыли             W = 8t2 + 2t3                               

        (1)     при условии сохранения двойственныхоценок ресурсов (и, 

следовательно, структуры производственной программы)

            (2) 



                                          

предполагая,     что      можно       надеяться       получить      

дополнительно не более 1/3 первоначального объема ресурса каждоговида            

                                     (3)    

причем по смыслу задачи                                  t2  0,   t3   0.     

(4)                                                                            

Переписав неравенства (2) и (3) в виде:

                                   (5)

      из  условия (3) следует t2&#163;148/3, t3&#163;158/3   (6)

приходим к задаче ЛП: максимизировать (1) при условиях (5), (6) и (4).

Эту задачу легко решить графически: см. рис. 2. Программа &#178;расшивки&#178; имеет вид

                           t1=0, t2=14, t3=0  и прирост прибыли составит 112.

Сводка результатов приведена в  таблицe 2.

      сj 36 32 10 13 b x4+i yi ti 

      2 3 4 1 103 5 0 0 

      aij 4 2 0 2 148 0 8 14 

      2 8 7 0 158 0 2 0 

      xj 31 12 0 0 1500 112 



      Dj 0 0 4 3 



ТРАНСПОРТНАЯЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Однородный продукт, сосредоточенный в 3 пунктах производства (хранения) в 

количествах 40;60; 70 единиц, необходимо распределить между 4 пунктами 

потребления, которым необходимо соответственно 36; 32; 40; 53 единиц. Стоимость 

перевозки единицыпродукта из пункта отправления в пункт назначения известна для 

всех маршрутов и равна С =      . Необходимо составить план перевозок, при 

котором запросы всех пунктов потребления были бы удовлетворены за счет имеющихся 

продуктов впунктах производства и общие транспортные расходы  по доставке 

продуктов были минимальными. 

Для решения транспортной задачи чаще всего применяется метод потенциалов. 

Общий объем производства &#229;аi =40+60+70=170 больше, чемтребуется всем 

потребителям &#229;bi = 36+32 +40 +53 =161, т.е. имеем открытую модель транспортной 

задачи. Для превращенияее в закрытую вводим фиктивный пункт потребления с 

объемом потребления 170-161 = 9 единиц, причем тарифы на перевозку в этот пункт 

условимся считать равныминулю, помня, что переменные, добавляемые к левым частям 

неравенств для превращения их в уравнения, входят в функцию цели с нулевыми 

коэффициентами.

Первое базисное допустимое решение легко построить по правилу &#178;северо-западного 

угла&#178;.

            Потребление b1  =36 b2  =32 b3  =40 b4  =53 b5  =9 

      Производство 

       а1  =40 36 4 p1 =0 

        a2  =60 28 32   p2 = 

        a3 =70     * 8 53 9   p3 = 

      q1 = q2 = q3 = q4 = q5 = 



Общая стоимость всех перевозок для первого базисного допустимого решения: 

L= 36* 2 + 4 *3 + 28 *2 + 32 + 8* 7+ 53 =281

Один из потенциалов можно выбрать произвольно, так как в системе (3), (4) 

одноуравнение линейно зависит от остальных. Положим, что р1 = 0. Остальные 

потенциалы находим из условия, что для базисных клеток . В данном случае 

получаем

                  D11 = 0,            p1 + q1 - c11= 0,          0+q1 -2 = 0,    

 q1 = 2

                  D12 = 0,            p1 + q2 - c12= 0,          0+q2 -3 = 0,    

 q2 = 3

D22 = 0,      p2 + q2 - c22 = 0,          р2+3-2 = 0,     р2 = -1

и т.д., получим: q3=2, p3=5, q4= -4, q5= -5.

Затем по формуле (6) вычисляем оценки всех свободных клеток:

                  D21 =    p2 + q5 - c21 = -1+2-4 = -3

                  D31 =    p3 + q1 - c31 = 5+2-2 = 5

                  D32 = 1;  D13 =-2;  D14 = -5;  D24 =0;  D15 = -5;  D25 = -6.

Находим наибольшую положительную оценку  max () = 5 = 

Для найденной свободной клетки 31 строим цикл пересчета - замкнутую ломаную 

линию, соседниезвенья которой взаимно перпендикулярны, сами звенья параллельны 

строкам и столбцам таблицы, одна из вершин находится в данной свободной клетке, 

а всеостальные - в занятых клетках. Это будет 31-11-12-22-23-33. Производим 

перераспределение поставок вдоль цикла пересчета

      36 4 36-r 4+r 28 12 

       28 32 28-r 32+r 20 40 

      8 r 8-r 8 



= 8

Получаем второе базисное допустимое решение:

               bj b1  =36  b2  =32 b3  =40 b4  =53   b5=9 

          ai 

       а1  =40      28 12     * p1 =0 

        a2  =60 20 40 p2 = -1 

        a3 =70  8 53 9 p3 =0 

      q1 =2 q2 = 3 q3 = 2 q4 = 1 q5=0 



Находим новые потенциалы, новые оценки. 

D13 = -2;  D14 = 0;  D15 = 0;  D21 = -3;  D24 = -2;  D25 = -1; D32 = -4;  D33 = 

-5,

т.е. все Dij &#163; 0       i = 1,m; j = 1,n

         

 Общая стоимость всех перевозок для второго базисного допустимого решения: 

L= 28* 2 + 12 *3 + 20 *2 + 40 + 8* 2+ 53 =241 – минимальная стоимость.

 

ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕКАПИТАЛЬНЫХ ВЛОЖЕНИЙ

Пусть производственное объединениесостоит из четырех предприятий (n=4). Общая 

сумма капитальных вложений равна700 тыс. рублей (b=700), выделяемые предприятиям 

суммы кратны 100 тыс. рублей.Значения функций fj(xj) приведены в таблице 1, где, 

например, число 50означает, что если третье предприятие получит 600 тыс. руб. 

капитальныхвложений, то прирост прибыли на этом предприятии составит 50 тыс. 

руб.                                                                             

     Таблица I

 

Прежде всего заполняем табл. 2. Значенияf2(x2) складываем со значениями F1(x - 

x2) = f1(x- x2) и на каждойсеверо-восточной диагонали находим наибольшее число, 

которое отмечаемзвездочкой и указываем соответствующее значение  . Заполняем 

таблицу 3.

Продолжая процесс, табулируем функцииF3(x),     (x)  и т.д. В табл. 6 заполняем 

только одну диагональ для значения x=700. 

Таблица 2

x - x2            0    100   200    300    400   500    600    700

x2   F1(x- x2)

f2(x2)             0     15      24      30      36     40      43      45 

0

0        0     15      24      30     36      40      43     45

100            18          18*   33*     42*  48      54      58     61

200            26          26     41      50*   56      62      66

300            34          34     49      58*  64*    70*

400            39          39     54       63    69

500            42          42     57       66

600            44          44     59

700            46          46

                                                                                 

                                     

Таблица 3

x        0     100    200     300     400    500     600     700

F2(x)              0       18       33       42       50       58       64      

70

` (x)

    0         0     100    100     200     300    300     300

Таблица 4 

      x- x3      0   100    200    300   400    500    600   700

x3   F2(x- x3)

f3(x3)             0    18       33      42     50      58      64     70

0

0        0    18*     33      42     50      58      64     70

100            16          16    34*     49*   58      66      74     80

200            27          27    45       60*   69      77      85

300            37          37     55      70*   79*    87*

400            44          44     62      77     86

500            48          48     66      81

600            50          50     68

700            56          56                                                    

               

 

   Таблица 5

x        0     100    200     300     400    500     600     700

F3(x)              0       18       34       49       60      70       79      

87

 (x)

    0        0     100    100     200      300    300     300

Таблица 6

x - x4            0    100   200    300    400   500    600    700

x4   F3(x- x4)

f4(x4)             0     18      34      49     60      70      79    87

0    0                                                                           

    87

100            10                                                                

      89*

200            17                                                            87

300            23                                                    83

400            29                                         78

500            34                               68

600            38                     56

700            41          41                                                    

        .

Наибольшее число на этой диагонали:   Zmax = 89 тыс. руб.,

причем четвертому предприятию должно бытьвыделено   х*4  =  4 (700) = 100 тыс. 

руб.

На долю остальных трех предприятийостается 600 тыс. руб. Из табл. 5 видно, что 

третьему предприятию должно бытьвыделено      x*3 =  3 (700-x*4) =  3 (600) = 

300 тыс. руб.

Продолжая обратный процесс, находим          x*2=  2 (700 - x*4 - x*3) =  2 

(300) = 100 тыс. руб.

На долю первого предприятия остается   x*1 = 700 - x*4 - x*3 - x*2 = 200 тыс. 

руб.

Таким образом, наилучшим являетсяследующее распределение капитальных вложений по 

предприятиям:

x*1 =200; x*2 =100; x*3 = 300; x*4 = 100.

Оно обеспечивает производственномуобъединению наибольший воможный прирост 

прибыли 89 тыс. руб.

выполнение равенства:   f1(x*1) + f2(x*2) + f3(x*3) + f4(x*4) = zmax

                                                                24+18+37+10=89

ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯПРОИЗВОДСТВОМ И  ЗАПАСАМИ

Рассмотрим трехэтапную систему управлениязапасами с дискретной продукцией и 

динамическим детерминированным спросом.

Пусть спрос (заявки) потребителей на нашупродукцию составляют: на первый этап 

d1=3 единицы, на второй –  d2=2, на третий -  d3=3 единицы. К началу первого 

этапа на складе имеется 3 единицыпродукции, т.е. начальный уровень запаса равен 

y1=3. Затраты на хранениеединицы продукции на разных этапах различны и 

составляют соответственно h1=4, h2=3, h3=2. Затраты на производство xjединиц 

продукции на j-м этапе определяются функцией    jj(xj) = xj2 + 2xj + 2           

                                                              

т.е. а=1; b=5; с=2. Требуется указать,сколько единиц продукции на отдельных 

этапах следует производить, чтобы заявкипотребителей были удовлетворены, а наши 

общие затраты на производство ихранение за все три этапа были наименьшими. 

Исходные данные задачи можно краткозаписать одной строкой:

      d1        d2        d3                    a          b          c          

            h1        h2        h3                    y1

      3          2          3                      1          2          2       

               4          3          2                      3

Воспользовавшись рекуррентнымисоотношениями, последовательно вычисляем F1 (x = 

y2),  F2 (x = y3),...,  Fk (x = yk+1), ...   и соответственно  находим        1 

(x= y2),  2 (x = y3 ), ..., ` k (x = yk+1), ... 

Положим k = 1. 

Параметр состояния x = у2 может приниматьцелые значения на отрезке

0  у2   d2 + d3         0  y2   2 + 3    т.е.  у2 = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Каждому значению параметра состояниядолжна отвечать определенная область 

изменения переменной x1, характеризуемаяусловием 0   х1   d1 + у2 или 0   х1   3 

+ у2

Из балансового уравнения  х1 + у1 - d1 = у2  непосредственно следует, что объем 

производства связан созначением параметра состояния  x= у2соотношением

                  x1=  y2 + d1 - y1 = y2 + 3 - 3 = y2                            

                        

В этом и состоит особенность первого этапа.Если задан уровень запаса к  

началупервого этапа, то каждому значению у2 отвечает единственное значение х1 

ипотому  F1(x = y2) = W1 (x1, y2)      

Придавая у2 различные целые значения от 0до 6 и учитывая предыдущее соотношение, 

находим

y2 = 0,       x1= 0, W1 (0;0) = 02 + 2&#215;0 + 2 +4&#215;0 = 2*

y2 = 1,       x1= 1, W1 (1;1) = 12 + 2&#215;2 + 2 +4&#215;1 = 11

y2 = 2,       x1= 2, W1 (2;2) = 22 + 2&#215;2 + 2 +4&#215;2 = 18

y2 = 3,       x1= 3, W1 (3;3) = 32 + 2&#215;3 + 2 +4&#215;3 = 29

y2 = 4,       x1= 4, W1 (4;4) = 42 + 2&#215;4 + 2 +4&#215;4 = 42

y2 = 5,       x1= 5, W1 (5;5) = 52 + 2&#215;5 + 2 +4&#215;5 = 57

Значения функции состояния F1(x )представлены в табл. 1 

                                                                                

Таблица 1

x = y2       0          1          2          3          4          5

F1 (x = y2)

2    11        18        29        42        57

x1(x=y2)   0          1          2          3          4          5

Переходим ко второму этапу. Полагаем k =2 и табулируем функцию F2(x = y3)  

Здесь минимум берется по единственнойпеременной х2, которая может изменяться в 

пределах

0 &#163; x2 &#163; d2 + y3    или   0 &#163; x2 &#163; 2 + y3                                        

      (1)

где верхняя граница зависит от параметрасостояния x = у3, который  

принимаетзначения на отрезке

0 &#163; y3 &#163; d3 ,    т.е.  0 &#163; y3 &#163; 3                                                

              

а аргумент у2 связан с х2 и у3 балансовымуравнением         x2 + y2 - d2 = y3   

откуда следует    y2 = y3 + d2 - x2 = =y3 +2 - x2     (2)

Придавая параметру состояния различныезначения от 0 до 3, будем последовательно 

вычислять  W2 (x2, x), а затем определять F2(x ) и  2(x ).              

Положим x = у3 = 0. Тогда, согласно(1),   0 &#163; x2 &#163; 2, т.е.переменная х2 может 

принимать значения: 0, 1, 2, а каждому значению х2 отвечаетопределенное значение 

у2, вычисляемое по формуле (2): у2 = 2 - х2 

Последовательно находим:

если   x2 = 0,   то  у2 = 2 ,                       W2 (0,2) = 02 + 2&#215;0 + 2+  

F1(2) = 2 + 18 = 20, 

x2 = 1,        y2 = 2 - 1 = 1,            W2 (1,2) = 12 + 5&#215;1 + 2 +  F1(1) = 8 + 

11 = 19,

x2 = 2,        y2 = 2 - 2 =0, W2(2,2) = 22 + 5&#215;2 + 2 +  F1(0) = 16+ 2 = 18*,

Наименьшее из полученных значений W2  есть F2 (0), т.е.

      F2(x = y3 = 0) = 18,

причем минимум достигается при значениих2, равном  ` 2 (x = y3 = 0) = 2

Положим x = у3 = 1. Тогда, согласно(1),   0 &#163; x2 &#163; 3, т.е.переменная х2 может 

принимать значения: 0, 1, 2, 3, а каждому значению х2отвечает определенное 

значение у2, вычисляемое по формуле (2): у2 = 3 - х2 

Последовательно находим:

если   x2 = 0,  то   y2 = 3-0 = 3,  W2 (0,1) = 02 + 2&#215;0 + 2 + 3&#215;1 + F1(3) = 5+ 

29 = 34, 

x2 = 1,        y2 = 3-1 = 2, W2 (1,2) = 12 + 2&#215;1 + 2 + 3&#215;1 +F1(2) = 8 + 18 = 26,

x2 = 2,        y2 = 3-2 = 1,   W2(2,1) = 22 + 2&#215;2 + 2 + 3&#215;1 + F1(1) = 13 +11 = 

24,

x2 = 3,        y2 = 3-3 = 0, W2 (3,1) = 32 + 2&#215;3 + 2 + 3&#215;1 +F1(0) = 20 + 2 = 

22*,

Наименьшее из полученных значений W2  есть F2 (1), т.е.

      F2(x = y3 = 1) = min W2 (x2,1) = 22,

причем минимум достигается при значениих2, равном  ` 2 (x = y3 = 1) = 3

Положим x = у3 = 2. Тогда, согласно(1),   0 &#163; x2 &#163; 4, т.е.переменная х2 может 

принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4, а каждому значению х2отвечает определенное 

значение у2, вычисляемое по формуле (2): у2 = 4 - х2 

если   x2 = 0,  то   y2 = 4-0 = 4,  W2 (0,2) = 02 + 2&#215;0 + 2 + 3&#215;2 + F1(4) = 8+ 

42 = 50, 

x2 = 1,        y2 = 4-1 = 3, W2 (1,2) = 12 + 2&#215;1 + 2 + 3&#215;2 +F1(3) = 11 + 29 = 

40,

x2 = 2,        y2 = 4-2 =2,    W2(2,2) = 22 + 2&#215;2 + 2 + 3&#215;2 + F1(2) = 16 + 18 = 

34,

x2 = 3,        y2 = 4-3 = 1, W2 (3,2) = 32 + 2&#215;3 + 2 + 3&#215;2 +F1(1) = 23 + 11 = 

34*,

x2 = 4,         y2 = 4-4 = 0, W2(4,2) = 42 + 2&#215;4 + 2 + 3&#215;2 + F1(0) = 32 + 2 = 

40.

Наименьшее из полученных значений W2  есть F2 (2), т.е.

      F2 (x = y3 = 2) = min W2 (x2,2) = min (64,55, 50, 49, 52) = 49,

                                          x2

причем минимум достигается при значениих2, равном  ` 2 (x = y3 = 2) = 3

Положим x = у3 = 3. Тогда, согласно(1),   0 &#163; x2 &#163; 5, т.е.переменная х2 может 

принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5, а каждому значению х2отвечает определенное 

значение у2, вычисляемое по формуле (2): у2 = 5 - х2 

если   x2 = 0,  то   y2 = 5-0 = 5,  W2 (0,3) = 02 + 2&#215;0 + 2 + 3&#215;3 + F1(5) = 11+ 

57 = 68, 

x2 = 1,        y2 = 5-1 = 4, W2 (1,3) = 12 + 2&#215;1 + 2 + 3&#215;3 +F1(4) = 14 + 42 = 

56,

x2 = 2,        y2 = 5-2 = 3,   W2(2,3) = 22 + 2&#215;2 + 2 + 3&#215;3 + F1(3) = 19 + 29 = 

48,

x2 = 3,        y2 = 5-3 = 2, W2 (3,3) = 32 + 2&#215;3 + 2 + 3&#215;3 +F1(2) = 26 + 18 = 

44*,

x2 = 4,        y2 = 5-4 = 1,   W2(4,3) = 42 + 2&#215;4 + 2 + 3&#215;3 + F1(1) = 35 + 11 = 

46. 

x2 = 5,        y2 = 5-4 = 0,   W2(5,3) = 52 + 2&#215;5 + 2 + 3&#215;3 + F1(0) = 46 +  2 = 

48.

Наименьшее из полученных значений W2  есть F2 (3), т.е.

      F2(x = y3 = 3) = min W2 (x2,3) = 44,

причем минимум достигается при значениих2, равном  ` 2 (x = y3 = 3) = 3

Результаты табулирования функции F2 (x =y3)сведены в табл. 2.          

                                                                                 

                       Таблица2

x= у3        0          1          2          3

F2 (x= y3) 18        22        34        44

 (x= y3)

2    3          2 или 3            3

 

Переходим к следующему этапу. Полагаемk=3 и табулируем функцию F3 (x = y4):

 

Вычисляем значение функции состояниятолько для одного значения аргумента x = у4 

= 0, так как не хотим оставлятьпродукцию в запас в конце исследуемого периода. 

0&#163;y4&#163;0;   x=y4;  0 &#163; x3 &#163; d3 + y4 &#8594; 0 &#163; x3 &#163; 3;   y3 = y4 + d3-x3= y4+3- x3;    

W3(x3, y4) = a  + bx3 + c + h3y4 + F2(y3)=  +2 x3+2 + 2 y4 + F2(y3)

x3=0                     y3=3                W3(0;0)=02 + 2&#215;0 +2 +2&#215;0 +F2(3)=2 

+44=46

x3=1                     y3=2                W3(1;0)=12 + 2&#215;1 +2+2&#215;0 + F2(2)=5 

+34=39

x3=2                     y3=1                W3(2;0)=22 + 2&#215;2 +2+2&#215;0 + 

F2(1)=10+22=32*

x3=3                     y3=0                W3(3;0)=32 + 2&#215;3 +2+2&#215;0 +F2(0)=17 

+18=35

Получаем F3 (x = y4) = min W3 (x3,0) =32,  причем минимум достигается при ` 3(x 

= y4 = 0) = 2.

Таким образом, мы получили не толькоминимальные общие затраты на производство и 

хранение продукции, но и последнююкомпоненту оптимального решения. Она равна  = 

2.

Остальные компоненты оптимального решениянайдем по обычным правилам метода 

динамического программирования. Чтобы найтипредпоследнюю компоненту, учтем, что 

х3 + у3 - -d3 = y4 или 2 + у3 - 3 = 0,oткуда у3 = 1. Из   таблицы  (2) значений  

 находим       

Аналогично, продолжая двигаться вобратном направлении и учтя, что х2 + у2 - d2 = 

y3 или 3 + у2 - 2 = 1,получаем   у2 = 0; из таблицы (1)значений х1(x) находим   

.

Итак, оптимальный план производства имеетвид х1 = 0, х2 = 3, х3 = 2, а 

минимальные общие 

затраты составляют 32 единицы.

Полезна самопроверка полученногорезультата. Для этого по исходным данным и 

найденному 

плану производства заполняем таблицу 5 иубеждаемся, что заявки потребителей на 

каждом 

этапе выполняются         у1 + х1 &#179; d1               у2 + х2 &#179;d2               

у3 + х3 &#179; d3   

                                          3  + 0  &#179; 3                  0  + 3   

&#179; 2                  1  + 2   &#179; 3

и что суммарный объем производства иимевшегося к началу первого этапа запаса 

продукции равен суммарной потребностиу1 + х1 + х2 + х3 = d1 + d2 + d3            

         3 + 0  + 3  + 2  =  3 + 2   + 3

причем это достигается при наименьшихвозможных затратах на производство и 

хранение продукции

j(х1) + j(х2) + j(х3) + h1у2 + h2у3 =F3(y4=0)

                                2  +   17    +   10   +  0    +   3    =  32

Самопроверка результатов                                                         

                                                                         

ЭТАПЫ    январь февраль           март    Итого за 3 месяца      

Имеем продукции к началу месяца, шт.            у1 = 3  у2 = 0  у3 = 1  у1 = 3  

Производим в течение месяца, шт.       х1 = 0  х2= 3  х3 = 2  х1+ х2+ х3 = 5     

       

Отпускаем заказчикам, шт.         d1 = 3  d2= 2  d3 = 3  d1+ d2+ d3 = 8          

 

Остаток к концу месяца (храним в течениетекущего месяца), шт.    у2 = 0  у3 = 1  

у4= 0              

Затраты на производство, руб.  j(х1)=2           j(х2)=17         j(х3)=10       

  j(х1) + j(х2) + j(х3)= 29        

Затраты на хранение, руб.          h1у2 = 0          h2у3 = 3          0         

 h1у2 + h2у3 = 3           

МАТРИЧНАЯ МОДЕЛЬ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ  ПРОГРАММЫ ПРЕДПРИЯТИЯ

-     производственнаяпрограмма 

0*80+ 0,1*60 +0,2*70=20

0,4*80 +0*60 +0,1*70=39

0,2*80 +0,3*60 +0,2*70=48

где Y - объем товарной продукции.

где В – коэффициенты прямых затрат.

h11=4*0+7*0,1+ 2*0,2=1,1

h21=2*0+4*0,1+ 1*0,2=0,6         

h31=20*0+13*0,1+ 16*0,2=4,5

h41=0,2*0+0,3*0,1+0,2*0,2=0,07

h12=4*0,4+7*0+ 2*0,1=1,8

h22=2*0,4+4*0+1*0,1=0,9

h32=20*0,4+13*0+16*0,1=9,6

h42=0,2*0,4+0,3*0+ 0,2*0,1=0,1

h13=4*0,2+7*0,3+2*0,2=3,3

h23=2*0,2+4*0,3+1*0,2=1,8

h33=20*0,2+13*0,3+ 16*0,2=11,1

h43=0,2*0,2+0,3*0,3+0,2*0,2=0,17

 

1,1*80 +1,8*60 +3,3*70=427

0,6*80 +0,9*60 +1,8*70=228

4,5*80 +9,6*60 +11,1*70=1713

0,07*80 +0,1*60 +0,17*70=23,5

где S – полные затраты всех внешнихресурсов.

МАТРИЧНАЯ ИГРА КАК МОДЕЛЬ КОНКУРЕНЦИИ  И СОТРУДНИЧЕСТВА

 

Седловой точки нет. Обозначим искомуюоптимальную стратегию первого игрока (х, 

1-х). Это вектор-столбец, который мызаписываем для удобства в виде строки.

Обозначим nj(x) – средний выигрыш первогов расчете на партию, когда он 

использует стратегию (х, 1-х), а второй – j-юстратегию. Имеем n1(x)=х + 2(1-х); 

n2(x)=2х +3(1-х); n3(x)=4х – 2(1-х);n4(x)=5х – 5(1-х). Возьмем на плоскости 

систему координат, по горизонтальнойоси вправо отложим х, по вертикальной оси – 

значения функции nj(x). Функцииn1(x), n2(x), n3(x), n4(x)- линейные, значит их 

графики – прямые линии 1, 2, 3,4 соответственно. 

Находим нижнюю огибающую огибающуюсемейства четырех прямых. Находим ее высшую 

точку - М. Она и дает решение игры.Ее координаты определяются решением уравнения 

n1(x)=n4(x), откуда х*=7/11,n=n1(x)=n4(x)=15/11.

Таким образом, оптимальная стратегияпервого есть Р*=(7/11, 4/11), а цена игры 

n=15/11. 

Заметим, что при этой стратегии первоговторой игрок не выбирает второй и третий 

столбцы. Обозначим вероятность выборавторым игроком первого столбца через y, а 

четвертого столбца – через (1- y).Учтем, например, что р1*=х*>0 и воспользуемся 

утверждением о том, что еслирк*>0, то М(1; y*)=n, т.е. y* +2(1-y*)=15/11, откуда 

y*=7/11.

Окончательный ответ таков: оптимальнаястратегия первого - Р*=(7/11, 4/11), 

оптимальная стратегия второго –Q=(7/11;0;0;4/11), цена игры n=15/11.

АНАЛИЗ ДОХОДНОСТИ И РИСКА ФИНАНСОВЫХОПЕРАЦИЙ

Финансовой называется операция, начальноеи конечное состояния которой имеют 

денежную оценку и цель проведения которойзаключается в максимизации дохода - 

разности между конечной и начальнойоценками. Почти всегда финансовые операции 

проводятся в условияхнеопределенности и потому их результат невозможно 

предсказать заранее. Поэтомуфинансовые операции рискованны, т.е. при их 

проведении возможны как прибыль таки убыток (или не очень большая прибыль по 

сравнению с той, на что надеялисьпроводившие эту операцию). Существует несколько 

разных способов оценки операциис точки зрения ее доходности и риска. Наиболее 

распространенным являетсяпредставление дохода операции как случайной величины и 

оценка риска операциикак среднего квадратического отклонения этого случайного 

дохода. 

Даны четыре операции Q1, Q2, Q3, Q4.Найдите средние ожидаемые доходы   ириски ri 

операций. Нанесите точки ( , ri) на плоскость, найдите операции,оптимальные по 

Парето. С помощью взвешивающей формулы найдите лучшую и худшуюоперации. 

Взвешивающая формула одна и та же: 

j(Q) = 2 - r.

Q1 :           2          4          6          18                    

                  1/2       1/4       1/8       1/8                   

Q2 :           0          4          6          12                    

                  1/4       1/4       1/3       1/6                   

                                                                              

Q3 :           2          5          8          14                    

                  ј           ј           1/3       1/6                   

Q4

:      0          1          2          8                      

                  1/3       1/3       1/6       1/6                   

Q1 =&#229; qipi =2*1/2+4*1/4+6*1/8+18*1/8=5

Q21 = 25

M [Q21] = 4*1/2+16*1/4+36*1/8+324*1/8=51;          

 

Q2 = 1+2+2=5

Q22 = 25

M [Q22] = 16*1/4+36*1/3+144*1/6=40;         

                                                                                 

                  Q

Q3 = 2+5=7

Q23 = 49

M [Q23] = 4*1/4+36*1/4+64*1/3+196*1/6=64;          

 

Q4 = 2

Q24 = 4 

M [Q24] = 1*1/3+4*1/6+64*1/6=70/6;            

 

Нанесем средние ожидаемые доходы `Q ириски r на плоскость - доход откладываем по 

горизонтали, а риски по вертикали(см. рис.):

Получили 4 точки. Чем правее точка (`Q,r), тем более доходная операция, чем 

точка выше - тем более она рисковая.Значит, нужно выбирать точку правее и ниже. 

Точка (`Q&#162;, r&#162;)доминирует точку (`Q, r) если `Q&#162; &#179;`Q и r&#162; &#163;  r. 

Точка, не доминируемая никакой другойназывается оптимальной по Парето, а 

множество всех таких точек называется множествомоптимальности по Парето. Легко 

видеть, что если из рассмотренных операций надовыбирать лучшую, то ее 

обязательно надо выбрать из операций, оптимальных поПарето.

Для нахождения лучшей операции иногдаприменяют подходящую взвешивающую формулу, 

которая для пар (`Q, r) дает одночисло, по которому и определяют лучшую 

операцию. Например, пусть взвешивающаяформула есть j (Q)= 2&#215;Q - r . Тогда 

получаем:

j (Q1)= 2*5-5,1 = 4,9; j (Q2)=2*5-3,9=6,1; j (Q3)= 2*7-3,9=10,1; j (Q4)= 

2*2-2,8=1,2

Видно, что 3-я операция - лучшая, а 4-я -худшая.

ЗАДАЧА ФОРМИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯЦЕННЫХ БУМАГ

Пусть  V  - матрица ковариаций рисковыхвидов ценных бумаг), M=(mi)  

-вектор-столбец ожидаемых эффективностей долей xi капитала, вкладываемых вi-й  

вид рисковых ценных бумаг, i=1,..,n. Пусть также  I - n-мерныйвектор-столбец, 

компоненты которого есть 1. Тогда оптимальное значениедолей  xi  есть     

                                            .

 Здесь  V-1 - матрица, обратнаяк  V . В числителе дроби стоит число, 

взнаменателе, если выполнить все действия (верхний индекс Т 

означаеттранспонирование вектора-столбца), тоже получится число, причем 

константа,определяемая рынком и не зависящая от инвестора,   V-1(M-m0I) - 

вектор-столбец размерности  n  .Видно, что этот вектор не зависит от 

эффективности портфеля  mp. Таким образом, вектор долей рисковыхвидов ценных 

бумаг пропорциональный этому вектору также не зависит от  mp. Следовательно, 

структура рисковой частипортфеля не зависит от  mp. Однако суммакомпонент 

вектора  X*  зависит от mp, именно, компоненты вектораX*  пропорционально 

увеличиваются сростом  mp, поэтому доля  x0   безрисковых вложений будет при 

этом сокращаться.

 

Сформировать оптимальный портфельзаданной эффективности из трех видов ценных 

бумаг: безрисковых эффективности 3и некоррелированных рисковых ожидаемой 

эффективности 5  и  9и рисками  3  и  6 . Как устроенарисковая часть 

оптимального портфеля? При какой ожидаемой эффективности портфеля возникает 

необходимость воперации  "short sale" и скакими ценными бумагами? Решение.  

Итак,m0 =3, M= , V= . Зададимся эффективностью портфеля  mp. 

Теперь надо найти обратную матрицу кматрице  V . Это просто: V-1  =  .  Вычислим 

знаменатель:

 .

Итак, вектор долей рисковых бумаг есть X*=((mр-3)9/13) 

Для безрисковых бумаг соответственноравняется x*0  =1- 4/26(mр-3) 

–3/26(mр-3)=42-7mр/26. 

Понятно, что необходимость воперации  "short sale"  возникнет, если  x*0 < 0, 

т.е. когда  mр> 6 .

ЛИТЕРАТУРА

1.   Математическиеметоды принятия решений в экономике. Учебник под ред. проф. 

Колемаева В.А. -М.:ЗАО "Финстатинформ", 1999.

2.   КолемаевВ.А., Калинина В.Н.  Теория вероятностейи математическая 

статистика. -М.: Инфра-М, 1999.

3.   ГатауллинТ.М., Карандаев И.С., Статкус А.В. Целочисленное программирование 

в управлении производством. МИУ, М.,1987.

4.   ГмурманВ.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. -М.: Высшая 

школа, 1998.

5.   ГмурманВ.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и 

математическойстатистике. -М.: Высшая школа, 1998.

6.   ЕрмольевЮ.М., Ляшко И.И., Михалевич В.С., Тюптя В.И. Математические методы 

исследования операций. -Киев: Вища школа, 1979.

7.   ЕршовА.Т., Карандаев И.С., Шананин Н.А. Планирование производства и 

линейное программирование. МИУ, М., 1981.

8.   ЕршовА.Т., Карандаев И.С., Статкус А.В. Матричные игры и графы. МИУ, М., 

1986.

9.   ЕршовА.Т., Карандаев И.С., Юнисов Х.Х. Исследование операций. МИУ, М., 

1990.

10.             КалининаВ.Н., Панкин В.Ф.  Математическаястатистика. -М.: Высшая 

         школа,1998.

11.             КарандаевИ.С.  Двойственные оценки в управлении.МИУ, М.,  1980.

12.             КарандаевИ.С.  Решение двойственных задач воптимальном 

планировании. -М.: Статистика, 1976.

13.             КарандаевИ.С.  Начала линейного, нелинейного идинамического 

программирования. -М.: Знание, 1968.

14.             КарандаевИ.С.  Руководство к решению задач поматематическому 

программированию. МИУ, М., 1973.

15.             КарандаевИ.С., Гатауллин Т.М.  Математическийаппарат линейных 

оптимизационных задач в управлении производством. МИУ, М., 1986.

16.             КарандаевИ.С. и др.  Математические методыисследования операций 

в примерах и задачах. ГАУ, М.,1993.

17.             КолемаевВ.А.  Математическая экономика. -М.:Инфра-М, 1998.

18.             МалыхинВ.И. Математика в экономике. -М: Инфра-М, 1999.

19.             МалыхинВ.И. Математическое моделирование экономики. -М: УРАО, 

1998.

20.             МалыхинВ.И. Финансовая математика. -М: Юнити, 1999.

21.             МалыхинВ.И., Статкус А.В. Теория принятия решений. МИУ, М., 

1989.

22.             НейманД., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. 

-М.: Наука, 1970.

23.             ПервозванскийА.А., Первозванская Т.Н.   Финансовыйрынок: расчеты 

и риск. -М.: Инфра -М., 1994.

24.             СаковичВ.А.  Исследование операций. -Минск:Высшая школа, 1985.

25.             СолодовниковА.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в 

экономике. –М.: Финансы и статистика, 1998.

26.             ТахаХ. Введение в исследование операций. –М.: Мир, 1985.