Определение оптимального по квадратичному критерию качества программного управляющего воздействия

2





МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОСCИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

ЮЖНОГО ФЕДЕРАЛЬНОГО УНИВЕРСИТЕТА В Г. ТАГАНРОГЕ

Факультет автоматики и вычислительной техники Кафедра систем автоматического управления











ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ № 1

Дисциплина "Методы оптимизации"

Тема: Определение оптимального по квадратичному критерию качества программного управляющего воздействия.





Выполнил:

Ст-т гр. А-14425.10.07 г

Безродный С.В.

Проверила:

Преподаватель каф. САУ25.10.07 г

Тесленко О.А.





Таганрог 2007 г.


Вариант №5



Дано: 

ОУ

Т1

Т2

k1

k2

tk

m12

m22

x1 (0) 

x1 (tk) 

2

-

1,5

10

3

0,9

0,563

8,39

0

0,3



Структурная схема объекта управления (ОУ).







2. Граничные условия.



,  (1)



3. Критерий качества вида:



 (2)



4. Вид возмущающего воздействия:



 (3)



Требуется определить:

Аналитическое выражение оптимального программного управляющего воздействия u* (t), переводящее ОУ из начального состояния в конечное, за конечный интервал времени t Є [0, tk] по оптимальной траектории



x* (t) = [x1* (t) x2* (t)] Т.



Примечание: f (t) = 0.

Построить временные диаграммы: u* (t), x1* (t), x2* (t) и фазовую траекторию.

Ввести возмущающее воздействие f (t) и произвести моделирование оптимальной СУ. Построить временные диаграммы u* (t), x1* (t), x2* (t) и фазовую траекторию.

Примечание: амплитуду a выбрать произвольно в разумных пределах, а частоту ω0 выбрать из интервала [ (5÷10) ·].

Моделирование СУ производить с помощью пакета MATLAB, программу моделирования представить в отчете.

Сделать выводы.

Выполнение работы:

1) Математическая модель ОУ имеет вид:







Составим выражение расширенного функционала:







Определяем все частные производные  по всем координатам и получаем систему уравнений Эйлера-Лагранжа в виде:







Перепишем систему в форме Коши:







Составляем матрицу коэффициентов этой системы:







Определяем корни характеристического полинома:











Общий вид уравнений искомых экстремалей определяется однозначно, как:







Из граничных условий (1) определяем значения постоянных интегрирования:













Уравнение оптимального программного управления  определяем в силу исходного ОУ с учетом выражений оптимальных программных траекторий в виде:







2) Моделирование оптимальной системы программного управления без учета возмущающего воздействия:







Рис.1. Листинг программы моделирования системы без учета возмущающего воздействия.





Рис.2. Оптимальное программное воздействие u (t).





Рис.3. Переходная характеристика х1 (t).





Рис.4. Переходная характеристика х2 (t).





Рис.5. Фазовая траектория.



3) Моделирование оптимальной системы программного управления с учетом возмущающего воздействия:







Рис.6. Листинг программы моделирования системы с учетом возмущающего воздействия.





Рис.7. Оптимальное программное воздействие u (t).




Рис.8. Переходная характеристика х1 (t).





Рис.9. Отклонение истинной переходной характеристики от программной е (t).





Рис.10. Переходная характеристика х2 (t).




Рис.11. Фазовая траектория.


Выводы по работе



В данной работе определялось аналитическое выражение оптимального программного управляющего воздействия по квадратичному критерию качества. Из графиков рис.3. - рис.5. видно, что характер процесса - апериодический, установившаяся ошибка равна нулю, процесс перевода ОУ из начального состояния х1 (0) = х2 (0) = 0 в конечное х1 (0,9) = 0,3, х2 (0,9) = 0 происходит по оптимальной траектории, доставляя экстремум функционалу в заданный промежуток времени t = 0,9 c.

При действии на систему возмущения (3) наблюдали на рис.8. - рис.11. отклонения истинных переходных характеристик от программных, причем на рис.9. представлен график .