Экономико математическая модель

Экономико-математическая модель



Экономико-математическая модель – это выраженная в формально-математических терминах экономическая абстракция, логическая структура которой определяется как объективными свойствами предметами описания, так  и субъективным целевым фактором исследования, для которого это описание предпринимается.

Между моделью и ее прототипом не может существовать взаимооднозначного соответствия, так как модель – это абстракция, связанная с обобщениями и потерей информации. Адекватность реальной действительности  - основное требование ,предъявляемое к модели.

Конструктивно каждая математическая модель представляет собой совокупность взаимосвязанных математических зависимостей , отражающих определенные группы реальных экономических зависимостей.

Классифицируются экономико-математические модели по различным признакам, в том числе и по математическому инструменту, применяемому при моделировании.

Наиболее распространенными и эффективными математическими методами, которые нашли как теоретическое, так и практическое приложение в экономических исследованиях, являются: дифференциальное исчисление, математическая статистика, линейная алгебра, математическое программирование и другие.



Порядок построения экономико-математической модели



Для построения экономико-математической модели определяется объект исследования: экономика государства в целом, отрасль, предприятие, цех и т.п.

Формулируется цель исследования.

В рассматриваемом экономическом объекте выделяются структурные и функциональные элементы и выделяются наиболее существенные качественные характеристики этих элементов, влияющие на достижения поставленной цели.

Вводятся символические обозначения для учитываемых характеристик экономического объекта. Определяется, какие из них будут рассматриваться как зависимые величины, а какие как независимые.

Формализуются взаимосвязи между определенными параметрами модели, т.е. строится собственно экономико-математическая модель.

Проводятся расчеты по модели и анализируются результаты полученных расчетов.

Если результаты оказываются неудовлетворительными с точки зрения неадекватности отображения моделируемого процесса или явления ,то происходит возврат к одному из предшествующих пунктов и процесс повторяется.  



Пример экономико-математической модели



Структуру  предприятия удобно описывать организационной моделью, которая демонстрирует состав функциональных подразделений предприятия и связи их подчинения и взаимодействия.

При функциональной организационной структуре предприятие подразделяется на элементы, каждый из которых имеет свои задачи и обязанности. Характеристики и особенности того или иного подразделения соответствуют наиболее важным направлениям деятельности предприятия.

Функциональная организационная модель предприятия на примере  ОАО швейная фабрика «Березка»:






Служба безопасности



Отдел кадров



Бухгалтерия



















































Отдел сбыта



Производство,

швейный цех



Руководство предприятия

                                                                                                                                                                   









Отдел конструкторов и дизайна











Такой вид организационной модели , как правило, встречается в крупных организациях, когда необходимо обеспечить слаженную  совместную работу большого числа функциональных подразделений.

Объектом исследования будет являться швейная фабрика «Березка», целью исследования – оценка эффективности работы выпуска продукции. Более подробно для разрешения поставленной цели будем рассматривать функциональный и структурный элемент объекта  - производство.

Наиболее существенные и качественные характеристики этого элемента представлены ниже в таблице 1 за временной период с мая 2005 по май 2006.

Для построения экономико-математической модели  применен метод математической статистики.

Расчеты по модели и анализ полученных результатов при использовании данного метода включает в себя этапы:

1.Графическое представление характеристик.

2.Предварительный статистический анализ(анализ данных по выборкам).

3.Корреляционный анализ данных.

4.Регрессионный анализ данных.





сырье, м погонный

затраты на оплату труда,

тыс.руб.

материальные затраты, тыс.руб

амортизация, тыс.руб.

полная себестоимость, тыс.руб

май

230

18729

21516

4642

78164

июнь

303

7415

36225

1951

61068

июль

102

7340

12064

1697

30564

август

175

3156

18770

120

31750

сентябрь

155

31854

32548

5364

93611

октябрь

195

28224

23190

1693

77059

ноябрь

112

19939

17061

2018

53794

декабрь

185

26850

25530

2811

81330

январь

98

18589

21042

4061

57179

февраль

248

25728

35358

3718

89639

март

111

14607

22426

2537

51239

апрель

68

3920

13190

118

21689

май

28

2347

5094

104

10510

Исходные данные ОАО швейная фабрика «Березка»





Таблица 1



Из исходных характеристик экономического объекта являются  независимыми (Х1,Х2,Х3,Х4) или факторными признаками : сырье, затраты на оплату труда, материальные затраты, амортизация, а зависимой или результативным признаком (У) – полная себестоимость. 




1. Графический анализ























Рисунок 1



2. Анализ данных по выборкам.



Предварительный статистический анализ представлен в таблице 2., в ходе которого по каждому параметру рассчитывались следующие статистические показатели: среднее значение показателя, стандартная ошибка, медиана, мода, стандартное отклонение, дисперсия выборки, эксцесс, ассиметричность, минимум, максимум, интервал, сумма, коэффициент вариации. Брался уровень надежности 95%.


Таблица 2 Результаты расчетов по этапу Статистический анализ: 



СЫРЬЕ, М ПОГОННЫЙ 

ЗАТРАТЫ НА ОПЛАТУ ТРУДА, Т.РУБ. 









Среднее

154,6153846

Среднее

16053,69231

Стандартная ошибка

21,57531188

Стандартная ошибка

2876,404897

Медиана

155

Медиана

18589

Мода

#Н/Д

Мода

#Н/Д

Стандартное отклонение

77,79089328

Стандартное отклонение

10371,02535

Дисперсия выборки

6051,423077

Дисперсия выборки

107558166,7

Эксцесс

-0,406977947

Эксцесс

-1,508916139

Асимметричность

0,302343811

Асимметричность

0,016663109

Интервал

275

Интервал

29507

Минимум

28

Минимум

2347

Максимум

303

Максимум

31854

Сумма

2010

Сумма

208698

Уровень надежности 95,0%

47,00856628

Уровень надежности 95,0%

6267,147886

Коэффициент вариации V,%

50,31251804

Коэффициент вариации V,%

64,60211861

МАТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАТРАТЫ, Т.РУБ. 

АМОРТИЗАЦИЯ,

Т.РУБ. 

ПОЛНАЯ СЕБЕСТОИМОСТЬ,Т.РУБ. 













Среднее

21847,23077

Среднее

2371,846154

Среднее

56738,15385

Стандартная ошибка

2536,823476

Стандартная ошибка

477,0664476

Стандартная ошибка

7447,106319

Медиана

21516

Медиана

2018

Медиана

57179

Мода

#Н/Д

Мода

#Н/Д

Мода

#Н/Д

Стандартное отклонение

9146,647119

Стандартное отклонение

1720,087539

Стандартное отклонение

26850,92369

Дисперсия выборки

83661153,53

Дисперсия выборки

2958701,141

Дисперсия выборки

720972102,8

Эксцесс

-0,31202086

Эксцесс

-0,830489026

Эксцесс

-1,088043769

Асимметричность

0,037275084

Асимметричность

0,204463241

Асимметричность

-0,288180418

Интервал

31131

Интервал

5260

Интервал

83101

Минимум

5094

Минимум

104

Минимум

10510

Максимум

36225

Максимум

5364

Максимум

93611

Сумма

284014

Сумма

30834

Сумма

737596

Уровень надежности 95,0%

5527,26353

Уровень надежности 95,0%

1039,438496

Уровень надежности 95,0%

16225,85077

Коэффициент вариации V,%

41,86639129

Коэффициент вариации V,%

72,52104172

Коэффициент вариации V,%

47,32428157



Расчет производился в оболочке «Excel», Сервис → Анализ данных →     Описательная статистика.

Выводы: стандартные отклонения выборок исходных данных по сравнению со значениями самих данных велики, т.е. разброс точек в выборках большой.

Отклонения максимальных и минимальных значений выборок от соответствующих медиан и среднего также велики. Это означает , что точки выборок расположены рассеяно.

Значения коэффициента вариации выборок позволяет судить об их неоднородности.



3. Корреляционный анализ данных.



На этом этапе осуществляется парное сравнение выборки результирующего показателя с выборками показателей, которые согласно теоретической модели рассматриваются как факторные, а также проверяется степень коррелируемости факторных показателей. Для этих целей строят и анализируют матрицы парных линейных коэффициентов корреляции r, которые изменяются от  -1 до 1. Анализ применим лишь в случае линейной зависимости между признаками. Чем ближе значения коэффициента корреляции к -1 или к 1, тем выше степень коррелируемости соответствующих случайных величин. Однако, при r, близких к 1 или -1, регрессионные связи между соответствующими величинами устанавливаться не могут, так как эта ситуация означает фактически функциональную взаимосвязь показателей.

Значимость (существенность) линейного коэффициента корреляции проверяют на основе t-критерия Стьюдента. При этом выдвигается и проверяется нулевая гипотеза о равенстве коэффициента нулю, т.е. об отсутствии связи между х и у. Для этого определяется расчетное значение критерия: 

                                                          (1)

где  r – коэффициент корреляции,

       n – число наблюденеий,

       σr – среднее квадратическое отклонение кэффициента корреляции.

и сопоставляется с tтабличное с заданными параметрами (уровнем значимости α, принимается обычно за 0,05, и числом степеней свободы          υ = n – 2, где n – число наблюдений). 

Если tрасчетное › tтабличное , то нулевая гипотеза отвергается и линейный коэффициент считается значимым, а связь между х и у – существенной, если же неравенство обратное, то связь между х и у отсутствует.

Вообще говоря, отсутствие корреляционной связи между факторным признаками и наличие тесной связи (значение парных коэффициентов корреляции  )между результативным и факторными признаками – условие включения этих факторных признаков в регрессионную модель.

Кроме того, при построении модели регрессии необходимо учитывать проблему мультиколлениарности (тесной зависимости между факторными признаками), которая существенно искажает результаты исследования. 

Одним из индикаторов определения наличия мультиколлинеарности между факторными признаками является превышение величины парного коэффициента корреляции 0,8 (r ≤ 0,8).

















 

сырье,м погонный

затраты на заработную плату,т.руб.

материальные затраты,

тыс.руб

амортизация,

тыс.руб.

полная себесто-

имость,

тыс.руб

сырье,м погонный

1









затраты на заработную плату,т.руб.

0,349630305

1







материальные затраты,

тыс.руб

0,830118488

0,587647564

1





амортизация,

тыс.руб.

0,377214053

0,759164207

0,612169366

1



полная себестоимость,

тыс.руб

0,678604269

0,909886866

0,825715323

0,8247215

1



Таблица 3



Для определения наличия мультиколлениарности и устранения мультиколлениарных признаков была построена и проанализирована матрица парных коэффициентов корреляции, см. таблица 3.



Матрица парных коэффициентов корреляции



Расчет производился в оболочке «Excel», Сервис → Анализ данных →    Корреляция.

Из таблицы 3 видно, что между факторными признаками Сырье и Материальные затраты коэффициент корреляции больше 0,8. Для устранения мультиколлинеарности необходимо исключить из корреляционной модели один из этих признаков, расчеты приведены в таблицах 4 и 5.







Матрица парных коэффициентов корреляции  для модели без «Материальных затрат»



 

сырье, м погонный

затраты на оплату труда,

тыс.руб.

амортизация,

тыс.руб.

полная себестоимость,

тыс.руб

сырье, м погонный

1







затраты на оплату труда, тыс.руб.

0,349630305

1





амортизация, тыс.руб.

0,377214053

0,759164207

1



полная себестоимость, тыс.руб

0,678604269

0,909886866

0,824721504

1

Таблица 4



Матрица парных коэффициентов корреляции для модели без «Сырья»



 

затраты на оплату труда,

тыс.руб.

материальные затраты,

тыс.руб

амортизация,

тыс.руб.

полная себестоимость,

тыс.руб

затраты на оплату труда ,тыс.руб.

1







материальные затраты, тыс.руб

0,587647564

1





амортизация,

тыс.руб.

0,759164207

0,612169366

1



полная себестоимость,

тыс.руб

0,909886866

0,825715323

0,824721504

1

Таблица 5



В обеих моделях теперь отсутствует проблема мультиколлениарности, т.к. все парные коэффициенты между факторными признаками < 0,8.

Так как коэффициент корреляции r между результативным и факторными признаками больше  > 0,3, то все признаки дальше участвуют в анализе.

Какую из этих двух модель необходимо выбрать покажет дальнейший анализ.

Для определения признаков рассчитали tрасчетное и  взяли  tтабличное, см. таблицы 6 и 7.



Матрица расчетных значений t – критерия Стьюдента

для модели без «Материальных затрат»

 

 

сырье, м погонный

затраты на оплату труда, тыс.руб.

амортизация, тыс.руб.

полная себестоимость, тыс.руб

сырье, м погонный









Затраты

 на оплату труда,

 тыс.руб.

1,237707018







амортизация,

 тыс.руб.

1,350871631

3,868284073





полная себестоимость, тыс.руб

3,064211348

7,274210595

4,836609752

 

tтабличное

2,200985159







Таблица 6



Матрица расчетных значений t – критерия Стьюдента

для модели без «Сырья»



 

затраты на оплату труда,тыс.руб.

материальные затраты, тыс.руб

амортизация, тыс.руб.

полная себестоимость

,тыс.руб

затраты на оплату труда тыс.руб.









материальные затраты, тыс.руб

2,408806699







амортизация,

тыс.руб.

3,868284073

2,567683844





полная себестоимость,

тыс.руб

7,274210595

4,854902951

4,836609752

 

tтабличное

2,200985159







Таблица 7



 Расчет производился в оболочке «Excel» вручную по формуле (1), tтабличное рассчитывалось с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР исходя из той же формулы.

Выводы: в  результате сравнения tрасчетное и  tтабличное выяснилось, что с вероятностью 0,95 можно утверждать , что связь между результативным и факторными признаками является существенной (tрасчетное › tтабличное), неслучайной. Какую из этих двух модель лучше выбрать покажет дальнейший анализ.



4. Регрессионный анализ данных.



На этом этапе, используя метод наименьших квадратов, строится многофакторная регрессионная зависимость(уравнение регрессии) результирующего показателя от оставшейся после предшествующих шагов анализа факторных показателей.

Линейная модель ,содержащая независимые переменные только в первой степени, имеет вид:



                   (2)

где  а0 – свободный член,

        а1…аn – параметры уравнения (коэффициенты регрессии),

         х1….хn – значения факторных признаков.

Параметры уравнения регрессии рассчитываются методом наименьших квадратов , при этом решается система нормальных уравнений с к+1 неизвестными.

Для измерения степени совокупности влияния отобранных факторов на результативный признак рассчитывают совокупный коэффициент детерминации R2 и совокупный коэффициент множественной корреляции R – общие показатели тесноты связи признаков. Пределы изменения : 0 ≤ R ≥ 1. Чем ближе R к 1 , тем точнее уравнение множественной линейной регрессии отражает реальную связь. 

Проверка значимости моделей, построенных на основе уравнений регрессии, начинается с проверки значимости каждого коэффициента регрессии. Значимость коэффициента регрессии осуществляется с помощью  t – критерия Стьюдента ( отношение коэффициента регрессии к его средней ошибке):

                                                       (3)

Коэффициент регрессии считается статистически значимым , если tрасчетное › tтабличное с заданными параметрами (уровнем значимости α, = 0,05, и числом степеней свободы  υ = n - к -1, где n – число наблюдений, к – число факторных признаков). 

Проверка адекватности модели осуществляется с помощью F – критерия Фишера и величины средней ошибки аппроксимации, которая не должна превышать 12 – 15% .  Если величина Fрасчетное > Fтабличное , то связь признается существенной. Fтабличное находиться при заданном уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы v1 =k и v2 = n-k-1.         (4)      



Модель без учета «Материальных затрат»




В таблице 8 сгенерированы результаты по регрессионной статистике.



Регрессионная статистика

Множественный R

0,997434896

R-квадрат

0,994876372

Нормированный R-квадрат

0,993168496

Стандартная ошибка

2219,306976

Наблюдения

13

Таблица 8



Эти результаты соответствуют следующим статистическим показателям: 

Множественный R – коэффициент корреляции R,

              R-квадрат – коэффициент детерминации R2;

F табличное

3,862548358

 В таблице 9 сгенерированы результаты дисперсионного анализа, которые используются для проверки значимости коэффициента детерминации R2.







Таблица 9

 

df

SS

MS

F

Значимость F

Регрессия

3

8607337323

2869112441

582,5226438

1,2734E-10

Остаток

9

44327911,1

4925323,455





Итого

12

8651665234

 

 

 



Df – число степеней свободы, SS – сумма квадратов отклонений,

MS - дисперсия MS, F – расчетное значение F-критерия Фишера,

 Значимость F – значение уровня значимости, соответствующее вычисленному F;

 

Коэффи

циенты

Стандарт

ная

 ошибка

t-статистика

P-Значение

Нижние 95%

Верхние 95%

полная

 себесто-

имость,

тыс.руб

2857,593011

1130,014906

2,528810014

0,094646561

603,5411613

6318,727183

сырье, 

м погонный

132,3000047

8,941959918

14,79541464

1,27093E-07

112,071886

152,5281233

затраты

 на оплату

 труда,

тыс.руб.

1,586039072

0,095432478

16,61948958

4,61669E-08

1,370155809

1,801922334

амортизация,

тыс.руб.

3,357368468

0,582082818

5,76785358

0,000270158

2,040605653

4,674131282

 В таблице 10 сгенерированы значения коэффициентов регрессии и их 



статистические оценки.

t табличное

2,306004133

 Таблица 10



Коэффициенты – значения коэффициентов регрессии,

Стандартная ошибка – стандартные ошибки коэффициентов регрессии,

t – статистика – расчетные значения t – критерия Стьюдента, вычисляемые по формуле 2,

Р-значения – значения уровней значимости ,соответствующие вычисленным значениям t,

Нижние 95%  и Верхние 95% - соответствующие границы доверительных интервалов для коэффициентов регрессии.

В таблице 11 сгенерированы предсказанные значения результирующего фактора Y и значения остатков. Последние вычисляются как разность между предсказанным и исходным значениям Y. 



Наблюдение

Предсказанное Y

Остатки

1

78576,42428

-412,4242814

2

61255,20002

-187,2000206

3

33691,17456

-3127,174561

4

31418,51735

331,4826465

5

91894,70678

1716,293221

6

79104,48549

-2045,485491

7

56074,39615

-2280,396148

8

79355,80571

1974,194293

9

58940,14712

-1761,147116

10

88956,30336

682,6966372

11

49227,81005

2011,189951

12

18467,43597

3221,564032

13

10633,59316

-123,5931632

                               Таблица 11



Расчет производился в оболочке «Excel», Сервис → Анализ данных →  Регрессия. 

 tтабличное рассчитывалось с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР исходя из формулы (3).

Fтабличное рассчитывалось с помощью функции FРАСПОБР исходя из формулы (4).



Модель без учета «Сырья»



Регрессионная статистика

Множественный R

0,983232832

R-квадрат

0,966746802

Нормированный R-квадрат

0,955662403

Стандартная ошибка

5653,863353

Наблюдения

13

                                          Таблица 12





 

df

SS

MS

F

Значимость F

Регрессия

3

8363969696

2787989899

87,21688674

5,68904E-07

Остаток

9

287695537,3

31966170,81





Итого

12

8651665234

 

 

 

Таблица 13

 

Коэффи

циенты

Станда

ртная

 ошибка

t-статистика

P-Значение

Нижние

 95%

Верхние 95%

полная

 себесто

имость,

тыс.руб

1992,888488

4236,311712

0,470430087

0,649239402

-7590,314376

11576,09135

затраты 

на оплату 

труда, тыс.руб.

1,430363491

0,248983274

5,744817576

0,000278107

0,867124195

1,993602788

матери

альные

 затраты, 

тыс.руб

1,187585684

0,232389908

5,11031521

0,000636233

0,661883189

1,713288179

аморти

зация,

тыс.руб.

2,461032929

1,536123969

1,602105675

0,143596048

-1,013920904

5,935986761





t табличное

2,306004133



Таблица 14




Наблюдение

Предсказанное Y

Остатки

1

65758,37475

12405,62525

2

60420,80042

647,1995839

3

30995,16308

-431,1630845

4

29093,4229

2656,577097

5

99410,20661

-5799,206609

6

74070,10843

2988,891574

7

55740,66995

-1946,669945

8

77635,1743

3694,825697

9

63565,34811

-6386,348112

10

89934,05543

-295,0554319

11

55762,64509

-4523,645092

12

23554,57043

-1865,57043

13

11655,4605

-1145,460501



                         Таблица 15



Все пояснения к таблицам , а также способ расчета, указаны в модели без учета «Материальных затрат» .

Перейдем к анализу сгенерированных таблиц обеих моделей.

Значение множественного коэффициента регрессии R в модели без учета «Материальных затрат» равно 0, 997, а в модели без учета «Сырья»  равно  0,983. Это позволяет сделать вывод, что  первая модель точнее отражает реальную связь.

 При оценке значимости коэффициентов регрессии с помощью сравнения расчетного и табличного значений t – критерия Стьюдента стало очевидно, что следует выбрать  модель «Материальных затрат». В данной модели  tрасчетное  найденных коэффициентов  превышает  tтабличное (см. таблицу 10) t – критерия Стьюдента, что позволяет сделать вывод, что коэффициенты регрессии в уравнении являются значимыми.

 Тогда как в модели без учета «Сырья» два коэффициента регрессии ниже tтабличное ( см. таблицу 14), что говорит об отсутствии  их значимости.



Проверку адекватности модели осуществляем уже только  с моделью без учета «Материальных затрат».

Значение средней ошибки аппроксимации не превышает 12-15 %, что хорошо видно на рисунке 2, так как разница между предсказанным и исходным результирующим фактором  Y очень небольшая.

Рассчитанный уровень значимости (см. таблицу 9) равен 1,2734E-10 < 0,05, это подтверждает значимость R2. Значение  Fрасчетное – критерия Фишера больше Fтабличное, значит связь между признаками признается существенной.















Рисунок 2



Таким образом, получаем искомое уравнение регрессии:





Выводы: Выполнив данную работу по этапам, была построена экономико-математическая модель методом математической статистики на примере ОАО швейной фабрики «Березка». Модель имеет вид:

.

Выбранные факторы Х1,Х2 и Х3 существенно влияют на У, что подтверждает правильность их включения в построенную модель.

Так как коэффициент детерминации R2  значим, то это свидетельствует о существенности связи между рассматриваемыми признаками.

Отсюда следует, что построенная модель эффективна.