Сравнение эффективности методов сортировки массивов: Метод прямого выбора и метод сортировки с помощью дерева

Сравнение эффективности методов сортировки массивов: Метод прямого выбора и метод сортировки с помощью дерева

Лабораторная работа № 1

Сравнить эффективность методов сортировки массивов:

Метод прямого выбора и метод сортировки с помощью дерева.

Сортировка с помощью прямого выбора 

Этот прием основан на следующих принципах:

1. Выбирается элемент с наименьшим ключом.

2. Он меняется местами с первым элементом ai.

3. Затем этот процесс повторяется с оставшимися n-1 элементами, n-2 элементами и т.д. до тех пор, пока не останется один, самый большой элемент.

Процесс работы этим методом с теми же восемью ключами, что и в табл. 2.1, приведен в табл. 2.2. Алгоритм формулируется так:

FORi:=ITO n-1 DO

присвоить k индекс наименьшего из a[i],,, a[nJ; поменять местами a[i] и a[j]; 

end

Такой метод – его называют прямым выбором – в некотором смысле противоположен прямому включению. При прямом включении на каждом шаге рассматриваются только один очередной элемент исходной последовательности и все элементы готовой последовательности, среди которых отыскивается точка включения; при прямом выборе для поиска одного элемента с наименьшим ключом просматриваются все элементы исходной последовательности и найденный помещается как очередной элемент в готовую последовательность. Полностью алгоритм прямого выбора приводится в прогр. 2.3.

Таблица 2.2. Пример сортировки с помощью прямого выбора

Начальные ключи 

44 55 12 42 94 18 06 67 

06 55 12 42 94 18 44 67 

06 12 55 42 94 18 44 67 

06 12 18 42 94 55 44 67 

05 12 18 42 94 55 44 67

05 12 13 42 44 55 94 67

06 12 18 42 44 55 94 67

06 12 18 42 44 55 67 94

PROCEDURE StraightSfcleclion;

VAR i,j,k: index; x: item; BEGIN 

FORi:=1 TO n-1 DO k:= i; x := a[i]; FORj:= i+1TO n DO 

IF a[j]а[k] := а[i]; a[i] ; = x END END StraightSelection

Прогр. 2.3. Сортировка с помощью прямого выбора,

Анализ прямого выбора. Число сравнений ключей (С), очевидно, не зависит от начального порядка ключей. Можно сказать, что в этом смысле поведение этого метода менее естественно, чем поведение прямого включения. Для С имеем

с = (n2 - n)/2

Число перестановок минимально Mmin=3*(n-l) (2.6)

в случае изначально упорядоченных ключей и максимально

Mmax = n2/4 +3(n-1)

если первоначально ключи располагались в обратном порядке. Для того чтобы определить Mavg, мы должны рассуждать так. Алгоритм просматривает массив, сравнивая каждый элемент с только что обнаруженной минимальной величиной; если он меньше первого, то выполняется некоторое присваивание. Вероятность, что второй элемент окажется меньше первого, равна 1/2, с этой же вероятностью происходят присваивания минимуму. Вероятность, что третий элемент окажется меньше первых двух, равна 1/3, а вероятность для четвертого оказаться наименьшим — 1/4 и т. д. Поэтому полное ожидаемое число пересылок равно Нn—1, где Нn — n-е гармоническое число:

Нn=1+1/2+1/3+ ... +1/nНп можно выразить и так: Нп = In n+g+ 1/2n — 1/12n2 + ...

где g= 0.577216 ... —константа Эйлера. Для достаточно больших n мы можем игнорировать дробные составляющие и поэтому аппроксимировать среднее число присваиваний на i-м просмотре выражением

Fi-ln i+g+l

Среднее число пересылок Mavg в сортировке с выбором есть сумма Fi с i от 1 до n:

Mavg=n*(g+l)+(Si: 1<i

Вновь аппроксимируя эту сумму дискретных членов интегралом Integral (1: п) ln x dx == x * (ln x— 1) == n * ln (п)— n + I

получаем, наконец, приблизительное значение Mavg = n(ln (n) + g)

Отсюда можно сделать заключение, что, как правило, алгоритм с прямым выбором предпочтительнее строгого включения. Однако, если ключи в начале упорядочены или почти упорядочены, прямое включение будет оставаться несколько более быстрым. 

2.3.2. Сортировка с помощью дерева

Метод сортировки с помощью прямого выбора основан на повторяющихся поисках наименьшего ключа среди n элементов, среди оставшихся n —1 элементов и т. д. Обнаружение наименьшего среди п элементов требует—это очевидно — n — 1 сравнения, среди n — 1 уже нужно n — 2 сравнений и т. д. Сумма первых n — 1 целых равна 1/2*(n2 — n). Как же в таком случае можно усовершенствовать упомянутый метод сортировки? Этого можно добиться, только оставляя после каждого прохода больше информации, чем просто идентификация единственного минимального элемента. Например, сделав n/2 сравнений, можно определить в каждой паре ключей меньший. С помощью n/4 сравнений — меньший из пары уже выбранных меньших и т. д. Проделав n — 1 сравнений, мы можем построить дерево выбора вроде представленного на рис. 2,3 и идентифицировать его корень как нужный нам наименьший ключ [2.21.

Второй этап сортировки — спуск вдоль пути, отмеченного наименьшим элементом, и исключение его из дерева путем замены либо на пустой элемент (дырку) в самом низу, либо на элемент из соседней ветви в промежуточных вершинах (см. рис. 2.4 и 2.5). Элемент, передвинувшийся в корень дерева, вновь будет наименьшим (теперь уже вторым) ключом, и его можно исключить. После п таких шагов дерево станет пустым (т. е. в нем останутся только дырки), и процесс сортировки заканчивается. Обратите внимание — на каждом из n шагов выбора требуется только log n сравнений. Поэтому на весь процесс понадобится порядка n*log n элементарных операций плюс еще n шагов на построение дерева. Это весьма существенное улучшение не только прямого метода, требующего п2 шагов, но и даже метода Шелла, где нужно п^1.2 шага. Естественно, сохранение дополнительной информации делает задачу более изощренной, поэтому в сортировке по дереву каждый отдельный шаг усложняется. Ведь в конце концов для сохранения избыточной информации, получаемой при начальном проходе, создается некоторая древообразная структура. Наша следующая задача — найти приемы эффективной организации этой информации.

Конечно, хотелось бы, в частности, избавиться от дырок, которыми в конечном итоге будет заполнено все дерево и которые порождают много ненужных сравнений. Кроме того, надо было бы поискать такое представление дерева из п элементов, которое требует лишь п единиц памяти, а не 2n—1, как это было раньше. Этих целей действительно удалось добиться в методе Heapsort1*) изобретенном Д. Уилльямсом (2.14), где было получено, очевидно, существенное улучшение традиционных сортировок с помощью деревьев. Пирамида определяется как последовательность ключей hi., hL+1, .. , hr, такая, что



Если любое двоичное дерево рассматривать как массив по схеме на рис. 2.6, то можно говорить, что деревья сортировок на рис. 2.7 и 2.8 суть пирамиды, а элемент h1, в частности, их наименьший элемент: hi==min(hi, h2, ..., hn). Предположим, есть некоторая пирамида с заданными элементами hL+1, ..., hR для некоторых значений L и R и нужно добавить новый элемент х, образуя расширенную пирамиду hi., .. . ..., li R. Возьмем, например, в качестве исходной пирамиду hi, ..., hr, показанную на рис. 2.7, и добавим к ней слева элемент h1==442 Новая пирамида получается так: сначала х ставится наверх древовидной структуры, а затем он постепенно опускается вниз каждый раз по направлению наименьшего из двух примыкающих к нему элементов, а сам этот элемент передвигается вверх. В приведенном примере значение 44 сначала меняется местами с 06, затем с 12 ц в результате образуется дерево, представленное на рис. 2.8. Теперь мы сформулируем этот сдвигающий алгоритм так: i, j — пара индексов, фиксирующих элементы, меняющиеся на каждом шаге местами. Читателю остается лишь убедиться самому, что предложенный метод сдвигов действительно сохраняет неизменным условия (2.13), определяющие пирамиду.

Р. Флойдом был предложен некий «лаконичный» способ построения пирамиды «на том же месте». Его процедура сдвига представлена как прогр. 2.7. Здесь hi . .. hn — некий массив, причем Ьщ ...hn (пп = ==(nDIV2)+1) уже образуют пирамиду, поскольку индексов i, j, удовлетворяющих отношениям j = 2i (или j = 2i+1), просто не существует. Эти элементы образуют как бы нижний слой соответствующего двоичного дерева (см. рис. 2.6), для них никакой

PROCEDURE sift(L, R; index); 

VAR i, j: index; x: item; 

BEGIN i : = L; J:= 2*L; x := a[L]; 

IF (j < R) & (a[J+l] < a[j] THEN j:=j+l END;

WHILE (j < =R)&(a[j]

a[i]:= a[j]: i:=j; i := 2*j;

IF(j<R)&(a[j+1]

END 

END sift

Прогр. 2.7. Sift.

упорядоченности не требуется. Теперь пирамида расширяется влево; каждый раз добавляется и сдвигами ставится в надлежащую позицию новый элемент. Табл. 2.6 иллюстрирует весь этот процесс, а получающаяся пирамида показана на рис. 2.6.

Следовательно, процесс формирования пирамиды из п элементов hi ... hn на том же самом месте описывается так:

L :== (n DIV 2) + 1; 

WHILE L > 1 DO L :== L — 1; sift(L, n) END

Для того чтобы получить не только частичную, но и полную упорядоченность среди элементов, нужно проделать n сдвигающих шагов, причем после каждого шага на вершину дерева выталкивается очередной (наименьший) элемент. И вновь возникает вопрос: где хранить «всплывающие» верхние элементы и можно ли или нельзя проводить обращение на том же месте? Существует, конечно, такой выход: каждый раз брать последнюю компоненту пирамиды (скажем, это будет х), прятать верхний элемент пирамиды в освободившемся теперь месте, а х сдвигать в нужное место. В табл. 2.7 приведены необходимые в этом слу-

.Таблица 2.6, Построение пирамиды

44

55

12

42

94

18

06

67

44

55

12

42

94

18

06

67

44

55

06

42

94

18

12

67

44

42

06

55

94

18

12

67

06

42

12

55

94

18

44

67



Таблица 2.7. Пример процесса сортировки с помощью Heapsort

06

42

12

55

94

18

44

67

12

42

18

55

94

67

44

06

18

42

44

55

94

67

12

06

42

55

44

67

94

18

12

06

44

55

94

67

42

18

12

06

55

67

94

44

42

18

12

06

67

94

55

44

42

18

12

06

94

67

55

44

42

18

12

06



чае n — 1 шагов. Сам процесс описывается с помощью процедуры sift (прогр. 2.7) таким образом:

R:=n; WHILE R>1 DO х := а[l]; a[l] := a[R]; a[R] := x: R:=R-l; sift(l,R) END

Пример из табл. 2.7 показывает, что получающийся порядок фактически является обратным. Однако это можно легко исправить, изменив направление «упорядочивающего отношения» в процедуре sift. В конце концов получаем процедуру Heapsort (прогр. 2.8),

PROCEDURE HeapSort; VAR L, R: index; х: item; PROCHDURE sift(L, R: index); VAR i,j:index; x: item; BEGIN i: = L; j := 2*L: x := a[L]; IF(j < R) & (a[j] < a[j+1]) THEN j := j+l END; WHILE(j<=R)&(x<R)&(a[i]

BEGIN L:=:(nDIV2)+l:R:=n; WHILE L > 1 DO L: = L-l; sift(L, R) END; WHILER>1 DO x := a[l]; a[l] := a[R]; a[R] := x; R := R-l; sifl(L, R) END END HeapSort

Прогр. 2.8. HeapsorL 

Анализ Heapsort. На первый взгляд вовсе не очевидно, что такой метод сортировки дает хорошие результаты. Ведь в конце концов большие элементы, прежде чем попадут на свое место в правой части, сначала сдвигаются влево. И действительно, процедуру не рекомендуется применять для небольшого, вроде нашего примера, числа элементов. Для больших же n Heapsort очень эффективна; чем больше п, тем лучше она работает. Она даже становится сравнимой с сортировкой Шелла.

В худшем случае нужно п/2 сдвигающих шагов, они сдвигают элементы на log (n/2), log (п/2—1), ... ..., log(n—l) позиций (логарифм (по основанию 2)] «обрубается» до следующего меньшего целого). Следовательно, фаза сортировки требует n—1 сдвигов с самое большое log(n—1), log(n—2), ..., 1 перемещениями. Кроме того, нужно еще n —1 перемещений для просачивания сдвинутого элемента на некоторое расстояние вправо. Эти соображения показывают, что даже в самом плохом из возможных случаев Heap-sort потребует n*log n шагов. Великолепная производительность в таких плохих случаях—одно из привлекательных свойств Heapsort.

Совсем не ясно, когда следует ожидать наихудшей (или наилучшей) производительности. Но вообще-то кажется, что Heapsort «любит» начальные последовательности, в которых элементы более или менее отсортированы в обратном порядке. Поэтому ее поведение несколько неестественно. Если мы имеем дело с обратным порядком, то фаза порождения пирамиды не требует каких-либо перемещений. Среднее число перемещений приблизительно равно п/2* log(n), причем отклонения от этого значения относительно невелики.



1 Здесь мы оставляем попытки перевести названия соответствующих методов на русский язык, ибо ни уже не более чем собственные имена, хотя в названиях первых упоминавшихся методов еще фигурировал некоторый элемент описания сути самого приема сортировки. — Прим. перев.



2 Это несколько противоречит утверждению, что lu+i ..) ...hr—пирамида, но надеемся, сам читатель разберется, Что хотел сказать автор. — Прим. перев.