Термодинамическое равновесие гетерогенных плазменных систем с суще

2



Министерство образования и науки Украины

Одесский Национальный Университет им. И.И. Мечникова







Физический факультет                                          

 Кафедра теплофизики







Термодинамическое равновесие  гетерогенных плазменных систем с существенной ионизацией компонентов















   «допустить к защите»                                        Курсовая  работа        

  зав. кафедры теплофизики                                 студентки IV курса

  профессор_____Калинчак В.В.                         физического  факультета

   «__» _________ 2004г.                                      Кобзаренко Л.А.  



                                                                        Научный руководитель

                                                                        доцент Маренков В.И.

		





Одесса   2004 г.

	
Содержание

	

		Введение

		Идеально-газовый подход при описании ионизации в плазме

	 с конденсированными частицами

		1.1.    Ионизация в идеальном газе и плазмозоле. Система идентичных частиц в буферном газе. Учет ионизации атомов легкоионизируемой присадки

		Дебаевский подход моделирования гетерогенных  кулоновских 

	систем

		Объемный заряд и потенциал в плазмозоле. Зависимость электронной концентрации от определяющих параметров плазмы	

	3.    Ячеечные модели плазмы, содержащей частицы	

	       3.1.    Ионизация системы газ – частицы в модели Гибсона

	       3.2.     Режим слабого экранирования	

		Выводы

			Список литературы

	
Введение

	

	Термодинамика рабочих тел МГД-генераторов на твердом топливе, электрические воздействия на процесс горения с целью его интенсификации и управления, высокотемпературная конденсация оксидов в продуктах сгорания металлизированных топлив, проблемы защиты окружающей среды, поведение пылегазованных образований в атмосфере и космосе, плазмохимия – все это далеко не полный перечень областей науки и техники, где требуется знание свойств плазмы с КДФ в различных состояниях.

	Плазма с КДФ – ионизированный газ, содержащий малые частицы или кластеры, при чем эти частицы могут влиять на некоторые свойства плазмы.

	В области температур Т, характерной для приложений НТП с КДФ, важную роль играют процессы переноса заряда; поглощение электромагнитных волн в гетерогенной плазме непосредственно зависит от ее ионизации. Явление переноса – это кинетические процессы, но как известно из статистической физики [1] и физической кинетики  [2], их скорости определяются градиентами соответствующих величин, т.е. в конечном счете их полем.

	Существующие модели ГПС основываются на известных подходах (Саха, Дебая, а также, появившихся в последнее время, ячеечных),которые выходят из предположения о малости потенциальных взаимодействий ГПС, сравнительно с кинетической энергией теплового движения частиц. Однако, как показывает эксперимент в плотной и высокотемпературной ГПС ионизации макрочастиц и газовой фазы становится существенней, и в результате потенциальная энергия заряда плазм в самосогласованном поле сравнивается больше  kT. В этом случаи применение результатов разработанных ранней моделью становится не корректным и требуется их усовершенствование с целью охватить интересную для приложения область высоких концентраций и температур. В работе рассматривается “аналитическая” продолжение статистической ячеечной модели плазмы на эту область термодинамических параметров. В первом разделе рассмотрены существующие подходы к описанию состояния ГПС. Второй раздел посвящен вопросам модификации и распространению статистической модели квазинейтральных ячеек на область высоких температур и концентраций ГПС.

	
Идеально-газовый подход при описании ионизации в плазме с 

	конденсированными частицами.



	Ионизационное  равновесие  идеальных  газов  в  термодинамических равновесных системах определено термодинамическими параметрами газа (Т, Р, V) и рассчитывается методам статистической физики. В системах, находящихся в равновесии, средние концентрации  газовых частиц с течением времени не изменяются. Это значит, что скорости прямых и обратных химических реакций равны и выполняется закон действующих масс [1]. Рассматривая  равновесную термическую ионизацию идеальных газов как баланс различных реакций ионизации и рекомбинации, Саха получил выражение для константы ионизационного равновесия в разреженном газе  [3]. В настоящей главе рассмотрены основные физические аспекты такого подхода и его распространение на системы, содержащие частицы конденсированной дисперсной фазы (КДФ).



Ионизация в идеальном газе и плазмозоле.



Согласно определению идеальный газ – это система, состоящая из точечных молекулярных частиц, взаимодействующих только при столкновении, т.е. при их сближении на расстояния, сравнимые с их собственными размерами, которые пренебрежимо малы по сравнению с межчастичными расстояниями.

Если молекулы газа ионизовать, то в газовой фазе появляются заряды – электроны и ионы, которые взаимодействуют между собой кулоновскими силами. Эти силы дальнодействующие [4], и каждый атомарный заряд (электрон, ион) в данном случае подвергается действию всех других зарядов в системе. Однако, если его электростатическое взаимодействие с полем, создаваемым в  месте локализации этого заряда всеми другими зарядами системы, мало по сравнению со средней кинетической энергией его поступательного движения (κТ), свойства ионизованного газа приближаются к свойствам идеального, а поправки на неидеальность также оказываются малыми  [1, с.264].

Моделирование равновесных электрофизических свойств газа направлено прежде всего на получение зависимостей концентрации заряженных частиц от определяющих параметров системы – температуры Т, исходных концентраций компонентов nj (j нумеруют сорт молекул и атомов, потенциалы ионизации компонентов Iaj).

Действительно, с точки зрения практического использования, электронная и ионная концентрации в газе – наиболее интересные величины, так как ими определяются процессы переноса заряда. Газ содержит электроны, ионы, нейтральные молекулы и атомы. Характерной особенностью такого ионизованного газа является его квазинейтральность, т.е. вследствие электростатических взаимодействий в достаточно малых областях, занятых газом, наблюдается компенсация положительных и отрицательных зарядов (суммарный заряд такой области с точностью до флуктуации равен нулю).

Квазинейтральность – основное свойство плазменных сред и частично ионизованный газ в состоянии равновесия также обладает этим свойством. Согласно принципу детального равновесия, каждый канал ионизации (процесс, приводящий к появлению свободных электронов в объеме) скомпенсирован противоположным ему процессом рекомбинации так, что средние концентрации атомарных зарядов сохраняются. Таким образом, в газовой плазме непрерывно идут конкурирующие процессы: ионизация – рекомбинация, причем генерация и исчезновение электронов вследствие этих процессов скомпенсированы, а движение молекулярных зарядов происходит так, что в плазме наблюдается квазинейтральность. Обратимая реакция ионизации нейтрального атома:                                   

                            ,                                                 (1.1.1)

где А – нейтральный атом; М – произвольная частица (молекула, электрон, фотон, другой атом и т.д.), А+ - положительный ион, е- - электрон.

    Аналогичным образом можно записать все прочие реакции, сопровождающиеся генерацией и исчезновением заряженных частиц в плазме. Для реакции (1.1.1) условие равновесия принимает вид



                                  ,                                                          (1.1.2)



где μа, μi, μe-химические потенциалы соответственно атома, иона и электрона, μm входят справа и слева в равенство (1.1.2) и могут быть сокращены.

Пренебрегая взаимодействием между компонентами газовой плазмы, химический потенциал компонента α определим по формуле для идеального газа  [1]:



                 ,                                                    (1.1.3)



где Sα – статистическая сумма;



;                                                 (1.1.4)



- число частиц сорта α в объеме плазмы V.

В (1.1.4) суммирование распространено на все состояния n частиц сорта α; qαn – статистический вес, а множитель exp(-Eαn/kT) определяет относительную вероятность состояния частицы с энергией Eαn (величина Eαn должна отсчитываться от общего уровня энергии группы частиц, участвующих в рассматриваемой реакции).`

Подставляя (1.1.3) в ( 1.1.2), получаем условие равновесия







или



 .                                                         (1.1.5) 

  

Уточним (1.1.4) для статистических сумм S (для простоты индекс α опускаем). Входящая в (1.1.4) полная энергия Е частиц слагается из энергии  внутренних степеней свободы j и энергии поступательного движения К. следовательно, (1.1.4) можно записать следующим образом:



,      (1.1.6)



где  означает суммирование по внутренним состояниям, а - по скоростям.

Выделив энергию основного состояния частицы ε0, представим первую из сумм (1.1.6) в виде



,    (1.1.7)



где Q – “внутренняя” статистическая сумма.

Поскольку энергия ε0 отсчитывается от общего уровня системы, то, очевидно, разность энергии системы электрон – ион до и после ионизации равна энергии ионизации атома, т.е.



                             .                                                   (1.1.8)



Именно эта разность энергий (потенциал ионизации атома) входит в выражение для отношения статистических сумм (1.1.5).

Внутренние статистические суммы атомов и ионов можно определить следующим образом  [5, с.102]:



              ,                                            (1.1.9)



где квантовые числа l и s определяют орбитальный момент количества движения и спин. При kT<Δε1 (что обычно выполнено для низкотемпературной плазмы(НТП)) члены суммы (1.1.9) очень быстро уменьшаются. При расчетах для атомов в этой сумме можно ограничится двумя членами, для ионов – одним. Электроны внутренней структуры не имеют, поэтому их внутренний статистический вес Q=2, он соответствует двум направлениям спина.

Статистическую сумму, связанную с поступательными степенями свободы, определим, основываясь на квазиклассическом приближении квантовой механики  [6, с.198]. Размер шестимерной ячейки, соответствующей одному состоянию, находим из соотношения неопределенности



             .                                          (1.1.10) 

  

Найдем число состояний, приходившихся на весь фазовый объем системы, отвечающий интервалу скоростей  ,во всем объеме плазмы V:

      

        .                                               (1.1.11)



Подставляя (1.1.11) в выражение для статистической суммы , получаем



                                     (1.1.12)



Заменяя суммирование по скоростям интегрированием, находим



                                                              (1.1.13)



Используя полученное выражение для частиц всех сортов, участвующих в реакции (1.1.1), и учитывая (1.1.8), преобразуем (1.1.5) к виду



                                                     (1.1.14)



Эта формула, определяющая константу ионизационного равновесия, называется формулой Саха. По аналогии с предыдущим можно получить цепочку уравнений Саха для последовательности степеней ионизации атома, т.е. для реакций



                                 ,



где К – кратность ионизации. При этом в формулах Саха 



                                        (1.1.14’ ) 

будут фигурировать потенциалы ионизации Ik, которые равны энергии ионизации иона с зарядом Кe. Поскольку значения Ik для К>1 быстро возрастают , в области температур 1000…3000 К, характерной для низкотемпературной плазмы, будет в основном наблюдаться однократная ионизация атомов. Закон сохранения числа частиц и заряда α определенного сорта совместно с цепочкой уравнений Саха (1.1.14') представляет замкнутую систему уравнений, описывающую ионизационное равновесие в газовой плазме.

В качестве примера рассмотрим ионизацию атомов калия в аргоне. При неизменной температуре Т плазмы повышение исходного содержания атомов калия nA приведет к увеличению равновесной плотности электронов в плазме. Поскольку , в пренебрежении более высокими степенями ионизации атомов калия запишем систему ионизационных уравнений: 



                      (1.1.15)(1.1.15’)(1.1.15’’) 



где (1.1.15) – уравнение Саха для однократной ионизации; (1.1.15’) – закон сохранения числа частиц (исходное содержание присадки калия в результате реакций ионизации не меняется); (1.1.15’’) – закон сохранение заряда (концентрация электронов в системе определяется числом ионизованных атомов калия).

Вводя обозначение



                                                    (1.1.16)



и используя (1.1.15’) и (1.1.15’’), преобразуем (1.1.15) к виду



	                                          .	     (1.1.17)

	

Последнее уравнение имеет очевидное решение



                            ,                                             (1.1.18)



которое и определяет однократную ионизацию атомов калия в плазме по Саха.

На рис.1. показаны расчетные зависимости концентрации электронов в НТП, образованной атомами аргона и калия для температур плазмы Т= 1000, 2000, 3000 К, от исходного содержания атомарного калия nA.

Источниками электронов в высокотемпературном электронейтральном газе могут быть и частицы КДФ с малой работой выхода электронов W. В этом случае появляется специфическая плазменная среда – плазмозоль [7], т.е. система нейтральный молекулярный газ с высоким потенциалом ионизации + свободные электроны, эмиттированные частицами КДФ + заряженные макрочастицы, обменивающиеся электронами с газовой фазой. Отличительные черты такой системы: возможность приобретения частицами КДФ больших (макроскопических)



















Рис.1. Ионизация атомов калия в аргоне (концентрационная зависимость)





зарядов, наличие у макрочастиц собственного объема, сравнимого с размерами микронеоднородностей в системе, фактически всегда наблюдаемая полидисперсность КДФ.

В связи с широким применением гетерогенных плазменных сред в ряде современных областей энергетики(МГД–генераторы на твердом топливе, управление процессом горения  [8]) и технологии (высокотемпературные гетерогенные процессы  [9], плазменное напыление  [10] и др.), описание термоионизации в НТП с КДФ вызывают в настоящее время значительный интерес  [11]. Возможность воздействия на ионизацию среды посредством частиц КДФ была доказана в экспериментах по измерению концентрации электронов в плазме углеводородных пламен  [12,13].



Система идентичных частиц в буферном газе.



Наиболее простая модель плазмозоля  [14]  предполагает, что имеется “ансамбль” идентичных сферических частиц КДФ, обменивающихся электронами с химически нейтральным буферным (несущим) газом. Система неограниченна, и температура всех подсистем: газа, КДФ, электронов – постоянна и равна Т. Равновесная реакция ионизации макрочастицы с зарядовым числом

 

                                                                            (1.2.1)



как и ранее, описывается методами расчета равновесных химических систем. Поскольку конденсированные частицы (КЧ) в такой модели представляют собой фактически гигантские молекулы, то в константы равновесия реакций (1.2.1) (соответствующие константы Саха) должна войти разность энергии до и после ионизации КЧ. Эта размерность и является потенциалом ионизации m – кратно заряженной частицы КДФ, который в моделях выбирается равным



,                                                            (1.2.2)



где W – работа выхода с поверхности вещества частиц; e – заряд электрона; rp – радиус сферической частицы.

Выбор потенциала ионизации частицы КДФ в виде (1.2.2) фактически означает предположение, что электрон, покидающий КЧ, затрачивает энергию, равную работе выхода с поверхности вещества незаряженной частицы, плюс работа, связанная с кулоновским взаимодействием между эмиттирующей КЧ и излучаемым электроном. Она равна кулоновской энергии электрона на поверхности КЧ только для уединенных макрочастиц или для достаточно разреженных систем. Действительно, в этом случае можно пренебречь эффектами объемного заряда и их влиянием на работу по удалению электрона.

На основе идеально-газовых представлений, как и ранее [(1.1.14), (1.1.14’), (1.1.15), (1.1.15’), (1.1.15’’)], получим соотношение для концентраций КЧ:



                                                   (1.2.3)



где Qm, Qm-1 – статистический вес соответственно m- и (m-1) – кратно ионизованной частицы КДФ; me – масса электрона; h и k – постоянные Планка и Больцмана.

Обозначив n0 концентрацию нейтральных КЧ в системе, построим цепочку уравнений Саха (1.2.3), считая что для макрочастиц Qm/Qm-1=1. Частицы плазмозоля с положительными зарядами дают последовательность уравнений, которыми определяются все более высокие степени ионизации отдельной КЧ. Таким образом, получаем набор уравнений для процессов термоэмиссии  электрона с поверхности идентичных сферических частиц с зарядами   qm-1=(m-1)e, где m = 1, 2, 3, …, :



                                           (1.2.4) 

                                                   

В уравнениях (1.2.4) К обозначена константа Саха для процесса термоэмиссии электрона с поверхности незаряженной частицы плазмозоля, т.е. для реакции    . Выражая из m – го уравнения  с помощью , которое в свою очередь, можно выразить    из (m-1) – го уравнения, и так далее, продолжая этот процесс вплоть до первого уравнения системы (1.2.4), получаем  

  

                   .                         (1.2.5)

                          

После некоторых преобразований произведение в последней формуле запишем так:



                            .                                          (1.2.6)



В данном случае введены обозначения

	

                                                                           (1.2.7)



Аналогично для отрицательных степеней ионизации дисперсных частиц получим:



		           (1.2.8) 



По последнему уравнению (1.2.8) найдем . Выразим  далее   из предыдущего уравнения этой системы и подставим его в выражение для . Продолжив, как и ранее, этот процесс вплоть до первого уравнения (1.2.8), окончательно получим



.                                       (1.2.9)



Уравнения (1.2.5) и (1.2.9) связывают концентрацию нейтральных частиц КДФ в плазмозоле с концентрациями m –кратно ионизованных положительных(1.2.9) макрочастиц. Совместно с законом сохранения заряда



	                            	       (1.2.10)

	

	и условием сохранения полного числа КЧ в плазмозоле

	

	                                      	       (1.2.11)

	 (np – концентрация частиц КДФ) они позволяют определить замкнутую систему уравнений термоионизационного равновесия в плазмозоле идентичных частиц. Из (1.2.10) и (1.2.11) можно найти среднюю ионизацию частиц КДФ, т.е. их среднее зарядовое число:

	

                                                            (1.2.12)



и относительную концентрацию электронейтральных макрочастиц в системе



.                                       (1.2.13)



Как показал Саясов, соотношения, аналогичные (1.2.12) и (1.2.13), могут быть преобразованы с помощью эллиптических θ – функций к удобному для математического анализа виду:



                                                                     (1.2.14) 



	                                      (1.2.15)

	 

Здесь 

  

		                                                          (1.2.16) 

		     m=1,2,… .

		На основе таблиц θ –функций построены зависимости lg(ne/K) от lg(np/K) при 

		

Lg(T)

    4,42

   



    3,42





    2,42





    1,42





    0,42

		

		

		

		

		

		

		

		

-8	    -7            -6           -5            -4            -3           -2

lg(rP)

		

		

Рис.2.Область применимости приближения Эйнбиндера в координатах lg(rp), lg(T)


		

		

		различных значениях параметра σ2, охватывающие достаточно широкий диапазон изменения размеров КЧ rp и температур Т монодисперсного плазмозоля.

		После некоторых преобразований приходим к формуле Эйнбиндера, которая достаточно точна для высоких степеней ионизации частиц.

		На рис.2 в координатах (lg rp, lg T), изображена область применения формулы

		

		                                                                                 (1.2.17)

		

		к описанию ионизационного равновесия в плазмозоле идентичных частиц. Множество точек плоскости (rp, T), соответствующее заштрихованной области I, выделяет состояния плазмозоля, для которых с относительной погрешностью  применима приближенная формула Эйнбиндера (1.2.17).

		Эта формула является следствием идеально-газового приближения, т.е. получена без учета влияния микрополей на ионизацию частиц, а следовательно, корректна для систем газ – макрочастицы, в которых влиянием этих полей на ионизационные процессы можно пренебречь. Точность (1.2.17) повышается с усилением ионизации частиц КДФ, однако при этом все более начинают сказываться эффекты объемного заряда, что ограничивает его применимость “сверху” (в области больших зарядов свойства плазмозоля не могут аппроксимироваться идеально-газовым приближением).

		Область II на рис.2, ограниченная координатными осями и линией ρ=1 (линия I), соответствует состояниям плазмозоля, которые  = 2πσ2  ≤ 1, так что exp(-πρ) ≤ 0.1 и в (1.2.14) для среднего заряда КЧ логарифмическую производную d/dy(lnθ3(y, ρ)) удобнее представить в виде разложения по параметрам y΄ и ρ´ [15, с.96]:

		

		                                                                                               (1.2.18)

		

		Распределение частиц КДФ по зарядам можно найти, используя (1.33), по которой определяют также относительную концентрацию дисперсных частиц с зарядовым числом m. Оно совпадает с нормальным (гауссовским) распределением [16], в котором σ имеет смысл дисперсии распределения. 

		В случае малой дисперсии σ2<<1 или ρ≤1, т.е. состояний плазмозоля, соответствующих  точкам области II, имеем резкое распределение по зарядам и термоионизационное равновесие лимитируется основной реакцией

		

		                                .                                                       (1.2.19)

		Здесь  (E-Entier (целая часть) от y), т.е. большинство частиц в системе имеет кратность ионизации    и , а средний заряд y - центр распределения Гаусса удовлетворяет неравенствам   ≤ y ≤. При высокой степени ионизации частиц  ne/n=z>>1 приближение Эйнбиндера можно распространить на всю область параметров rp, np и значение yz. Причем связь между  ne – средней концентрацией электронов и средним зарядом конденсированной частицы в соответствии с (1.2.19)

		

		                                    (1.2.20)

		где   .

		В случае сильной ионизации частиц , так что (1.2.20) фактически совпадает с формулой, полученной Сагденом и Тращем из решения кинетической задачи о термоэмиссии электронов с идентичных частиц с зарядом ze.

		В газовой фазе могут присутствовать легкоионизующиеся атомы (обычно атомы щелочных металлов) в виде естественных добавок (плазма продуктов сгорания) или вводится дополнительно с целью повышения ионизации. Наличие ионизующихся атомов в газовой подсистеме приводит к необходимости учета сложного баланса объемных и поверхностных процессов, определяющий межфазный обмен энергией, массой, импульсом и электрическим зарядом в НТП с КДФ. При этом частицы КДФ, являясь источниками и стоками электронов, могут как повышать в плазме ne, так и способствовать ее понижению. 

		

		
1.3. Учет ионизации атомов легкоионизируемой присадки.

		

		Основные предположения модели плазмы с макрочастицами, содержащей атомы легко ионизующихся элементов (щелочных металлов), следующие: в состоянии термодинамического равновесия температуры газа и частиц одинаковы;  каждая из макрочастиц с точностью до флуктуаций сохраняет свой равновесный заряд ze; в газовой фазе сохраняются неизменными средние концентрации атомных зарядов – электронов и ионов.

		В модели Лукьянова предполагается, что равновесная система неограниченна, а “частичная” подсистема (ансамбль частиц КДФ) состоит из однородно ионизованных (имеющих один и тот же заряд q=ze) идентичных сферических частиц радиуса rp с работой выхода W. Связь между концентрацией электронов ne в газовой фазе и зарядом отдельной дисперсной частицы определяется с помощью формулы Ричардсона – Дешмана [17,с.213] для плотности тока термоэлектронной эмиссии с поверхности КЧ. Этот ток уравновешивается потоком электронов прилипания, т.е. тех газовых электронов, которые за единицу времени “оседает” на частицы КДФ. В результате получаем уже известную формулу (1.2.20), в которой  заменено :

		

		                          .                          (1.3.1) 

		

		Кроме частиц КДФ, в газовой фазе присутствуют легко ионизующиеся щелочные атомы, которые также вносят свой вклад в равновесную концентрацию электронов ne. Пренебрегая влиянием микрополей на ионизацию атомарных частиц запишем для них  формулу Саха (см. (1.1.16)):  

		

		                   .                                    (1.3.2) 

		

		Учитывая более высокие степени ионизации атомов, получаем цепочку уравнений Саха. Однако для интервала температур Т=2000….3500 К вклад этих степеней пренебрежимо мал, и в систему ионизационных уравнений входит только первое – (1.3.2). Используя условия электронейтральности плазмы и закон сохранения массы для щелочной компоненты, получаем замкнутую систему термоионизационного равновесия:

		

		                                    (1.3.3)                                                                                                                             

Система (1.3.3) записана в принятых обозначениях и представляет собой систему ионизационных уравнений Лукьянова [18].

На рис.3 показаны расчетные зависимости концентрации электронов (рис.3.а) и заряда частиц окиси алюминия (рис.3.б) от исходного содержания щелочных атомов (атомов калия), полеченных в [18]. Линии I и 2 соответствуют размерам rp  частиц Al2O3. Штриховая линия 3 определяет ионизацию в чисто газовой плазме с теми же параметрами. Она проведена для наглядности несколько выше, поскольку для nA>1012cм-3 практически сливается с линиями 1,2. Видно, что при малых концентрациях щелочных атомов (nA<2108см-3) частицы КДФ способствуют повышению концентрации электронов в газовой фазе по сравнению с чисто газовой системой в тех же условиях (при таких же температуре и парциальном давлении щелочных атомов).





















а



ne

Z















nA, м-3

б



Рис.3. Зависимости ne и Z от концентрации калия для двухфазной плазмы при Т=2·103 К; rp=10-6 м, W=4.7 эВ, ne=1012 м-3 (кривые 1) и ne=1013 м-3 (кривые 2). Для сравнения приведены значения ne в однофазной плазме, вычисленные по формуле Саха (кривая 3)







При более высоких концентрациях атомов щелочной присадки оказывается деонизирующее влияние дисперсных частиц: их заряд отрицателен и они служат стоками электронов (рис.3.б). Дальнейшее  повышение концентрации легко ионизующихся атомов приводит к росту ne и его асимптотическому приближению (“снизу”) к зависимости по Саха, т.е. формулой (1.1.18). Вне зависимости от размера заряд дисперсных частиц проходит через 0 при значении ne=ns.

Преобразуем систему (1.3.3) к удобному для аналитического рассмотрения виду. Из первого и четвертого уравнений .Используя второе и третье уравнения (подставляем выражение для ni в третье уравнение, из него ne выражаем z и определяющие параметры системы KS, np, nA; подставляем это соотношение в левую часть второго уравнения), окончательно получаем



        (1.3.4)



Трансцендентное уравнение   (1.3.4) относительно зарядового числа z дисперсной частицы в символическом виде запишем так:



	                                       Ψ(z)=0                             	     (1.3.5)

	

	Уравнение (1.3.5) однозначно решает вопрос об ионизации частиц и газа в модели, в которой не учитываются эффекты объемного заряда, существенно влияющие на электрон-ионные процессы в плазме. Как показывают эксперименты, отрицательные заряды частиц КДФ в плазме со щелочными присадками достаточно велики (z≥104), что ограничивает применимость этой модели. По характеру используемых физических допущений ее следует отнести к классу идеально-газовых моделей.


2. Дебаевский подход моделирования гетерогенных  кулоновских систем.



Модели дебаевского типа заимствуют представления из теории слабых электролитов Дебая – Хюнкеля [19]. Каждая частица КДФ, как и ион [19], поляризует свое окружение, что приводит к появлению избыточного усредненного заряда в окрестности выделенного (рассматриваемой частицы КДФ), т.е. к эффектам электростатического экранирования. Закон распределения избыточного заряда в окрестности КЧ определяется больцмановской  статистикой для концентраций заряженных частиц в самосогласованном  электростатическом поле в системе координат частицы. Распределение потенциала φ и объемного заряда ρ (избыточного заряда) подчинены уравнению Пуассона. Совместно с законом сохранения заряда для объема, занятого плазмой, а также больцмановскими распределениями зарядов в поле  частицы, оно составляет замкнутую систему уравнений для зарядового числа z выделенной КЧ.



2.1. Объемный заряд и потенциал в плазмозоле.



Рассмотрим бесконечную среду, содержащую идентичные сферические частицы КДФ, равномерно распределенные в нейтральном газе с высоким потенциалом ионизации (Iq>>kT), T – температура газа и частиц. В результате электростатических взаимодействий локальные концентрации электронов и дисперсных частиц в окрестности выделенной КЧ отличаются от средних по объему, и избыточный заряд  вблизи КЧ (фактически усредненная по времени плотность электростатического заряда среды  в системе координат КЧ) будет



                                                (2.1.1)



где - радиус вектор точки, z – средний заряд КЧ, e – элементарный заряд.

В (2.1.1) предполагается, что все частицы КДФ имеют один и тот же –заряд z.

Распределение избыточного заряда (2.1.1) и самосогласованного потенциала  связаны уравнением Пуассона



.                                                   (2.1.2)



Электронейтральные молекулы буферного газа, поляризуясь в поле КЧ, также вносят свой вклад в экранирование. Поэтому в правую часть (2.1.2) должна входить (в общем случае) диэлектрическая проницаемость . Однако, для рассматриваемых давлений (р~1….10 МПа) 1 и не учитывается.

Поскольку система неограниченна и в ней нет выделенных направлений, оператор Лапласа Δ в (2.1.2) содержит только радиальную часть, а функции точки  - локальные концентрации электронов  и частиц   будут зависеть только от расстояния . Интегрируя уравнение (2.1.1) по всему объему плазмы, не содержащему выделенной КЧ, для изотропного случая (сферически симметричное распределение избыточного заряда) получаем



.                                                (2.1.3)



Уравнение (2.1.3) отражает факт электронейтральности плазмозоля. Локальные концентрации   и  связанны с усредненными по объему концентрациями ne  и np больцмановскими соотношениями: 



                                            (2.1.4)



Отметим, что (2.1.4) справедливы только в случае слабой ионизации дисперсных частиц, т.е. при . В этом приближении они допускают линеаризацию.

Из уравнения (2.1.1), которое определяет избыточный заряд в окрестности рассматриваемой КЧ и условия, вытекающего из закона сохранения заряда для среды в целом, 

       

znp-ne=0 ,                                                       (2.1.5)



находим связь между распределением усредненного электростатического потенциала  и избыточного заряда . Окончательно приходим к дифференциальному уравнению 2-го порядка для избыточного заряда   в окрестности заданной КЧ:



.                                                  (2.1.6)



Посредством D2 (квадрат дебаевского радиуса для плазмозоля идентичных частиц) обозначена константа



	                 (2.1.7)

	

	Граничные условия для дифференциального уравнения (2.1.6) можно записать из следующих физических соображений: 

1) в    плазмозоле    идентичных   эмитирующих частиц  усредненная плотность   объемного заряда  у поверхности   КЧ должна определяться  балансом потоков  электронов   эмиссии и прилипания (потока  газовых электронов, поглощенных  поверхностью КЧ);

         2) на бесконечности  (при  r)плотность избыточного  заряда  должна  обращаться в нуль. Таким  образом, приходим к граничным   условиям Дирихле  (задаются значения самой функции – плотности избыточного заряда  (r) на    поверхности    КЧ    и вдали от нее): 



	                                        θ(r)=θ;       θ()=0.	(2.1.8)

	

	Отбросив растущее  на бесконечности частное  решение (2.1.6), представим  выражение  для избыточного заряда  θ(r) в виде 

	

	

	                                          (2.1.9)

	

	 Подставляя    его в уравнение электронейтральности   плазмоля (2.1.3) и производя интегрирование, получаем  

	

	.                                           (2.1.10) 

	

Таким образом, имеем трансцендентное уравнение для зарядового числа КЧ в плазмозоле. Поверхностная плотность избыточного заряда  параметрически зависит от электростатического заряда z и определяется как 



                               (2.1.11)



где Q – отношение статистических весов частицы  p в зарядовых состояниях z+1 и z; Фz – работа выхода электрона с поверхности заряженной частицы радиуса rp. 

Вследствие наличия собственных размеров частицы КДФ не могут приблизиться на расстояния r<2rp и поэтому объемный заряд на поверхности (при r=rp+0) КЧ равен плотности электронной компоненты.

Подставляя (2.1.11) в (2.1.10), получаем уравнение для среднего зарядового числа z КЧ в плазмозоле. Решив это уравнение относительно z и подставив найденное значение корня в условие электронейтральности среды (2.5), получим среднее значение концентрации электронов в газовой фазе:



ne=znp.                                                           (2.1.12)



Таким образом, уравнения (2.1.10) – (2.1.12) полностью решают вопрос об ионизационном равновесии в плазмозоле идентичных сферических частиц в рамках дебаевского рассмотрения. 



2.2. Зависимость электронной концентрации от определяющих параметров плазмы.



Гетерогенная плазма, состоящая из двух подсистем: “частичной” – заряженных частиц КДФ и газовой – нейтрального буферного газа с эмитированными КДФ электронами, характеризуется параметрами, на     основе которых можно однозначно в рамках той или иной модели рассчитать ее равновесный состав. Кроме термодинамических параметров (T, P, V), характеризующих плазму в целом, каждая из подсистем определяется своими параметрами. Для ансамбля макрочастиц КДФ – это их размер или функция распределения по размерам в полидисперсной системе, работа выхода W вещества частиц. Свойства атомарных частиц в газовой фазе определяются потенциалами ионизации Ij парциальными давлениями компонент Pj, т.е. счетными концентрациями атомарных частиц каждого сорта nAj.

Основная цель описания термической ионизации в любой из моделей – построение зависимостей электрофизических параметров системы (плазмы с КДФ) от ее определяющих параметров. При математической формулировке задачи физическая модель обычно сводится к решению соответствующей системы уравнений сохранения и кинетики, записанной для термодинамического равновесия. После преобразований системы ионизационных уравнений приходят в конечном итоге к решению трансцендентного уравнения (см., например (1.2.14)), выражающего функциональную связь между определяющими – исходными параметрами задачи и искомыми (в данном случае электрофизическими). Так, уравнение 



                          (2.2.1)



связывает усредненный заряд дисперсной частицы, а значит, и концентрацию электронов  ne=znp, со всеми остальными параметрами, характеризующими плазмозоль, а именно: температурой Т, размером частиц КДФ rp, их концентрацией np (входит в определение D), работой выхода с поверхности материала частиц W.

Таким образом, исследование зависимости концентрации электронов ne в равновесном плазмозоле идентичных частиц от определяющих параметров (Т, rp, np, W) можно проводить на основе анализа решения (2.2.1) в пространстве параметров задачи. Общие параметры Т, np  характеризуют систему в целом, а  rp, W определяют свойства отдельных макрочастиц. Если добавить сюда искомые параметры z и np, то каждая точка (Т, rp, np, W, z, ne) в пространстве параметров задачи будет определять некоторое состояние ионизации в плазмозоле. Причем реализующимся состояниям соответствуют точки, которые лежат на “поверхности”, задаваемой в пространстве параметров (2.2.1). Это уравнение множеству точек (Т, rp, np, W) ставит в соответствие множество решений задачи (z, ne). 

Символически связь между  z и определяющими параметрами запишем так:



                                 F(z, T, W, np, rp)=0                                               (2.2.2)


3. Ячеечные модели плазмы, содержащей частицы.



Расчет равновесных состояний ионизации в системах с сильным кулоновским взаимодействием частиц конденсированной фазы (К-фазы) и газа, т.е. в случае, когда



                                      ,                                                            (3.1)



не может быть реализован в рамках дебаевского рассмотрения, так как в правой части уравнения Пуассона (2.1.2) не представляется возможным связать средние по объему концентрации заряженных частиц с их локальными концентрациями в системе координат выделенной КЧ. Это привело к появлению моделей, использующих решение нелинейного уравнения Пуассона в ограниченной области – ячейке [20]. В существующих моделях этого класса для плазмозолей концентрация электронов вблизи поверхности КЧ определена законом термоэмиссии, а область электронейтральности содержит одну – сферическая симметрия (модель Гибсона [20], ее модификация) или две – цилиндрическая симметрия – частицы КДФ одинакового размера, которые в последнем случае могут отличаться сортом.

Главная особенность этих моделей в сферически симметричном случае – предположение о  том, что весь объем плазмы можно заменить совокупностью сферических ячеек, каждая из которых содержит строго одну из идентичных сферических частиц. Для случая двух сортов частиц К-фазы объем плазмозоля заменяется совокупностью цилиндрических ячеек, содержащих две либо одинаковые, либо различающиеся сортом дисперсные частицы. Граничные условия для нелинейного уравнения Пуассона (2.1.2) выбираются на поверхности КЧ и на границе ячейки. Эти идеи распространяются на случай существенной нелинейности в правой части (2.1.2).

Статистический подход к моделированию электрофизических свойств НТП с КДФ, по характеру используемых представлений также может быть отнесен к классу ячеечных. Здесь ограниченная область экранирования выделенной КЧ является усредненным по ансамблю Гиббса электронейтральным объемом,  в котором КЧ находится в последовательные моменты времени. Рассмотрим специфические особенности ячеечного подхода согласно работе  Гибсона [20], в которой впервые изучена возможность распространения результатов, полученных для индивидуальных частиц К-фазы в ячейке на весь объем, занятый гетерогенной плазмой.



3.1. Ионизация системы газ – частицы в модели Гибсона.



В состоянии термодинамического равновесия распределение потенциала  и объемного заряда  тесно связаны между собой и подчинены уравнению Пуассона (2.1.2). Термоионизационное равновесие системы газ – частицы будет полностью определено, если одновременно найдены оба распределения: заряда ρ и потенциала φ. Таким образом, описать ионизацию в плазме газ – частицы – значит решить уравнение Пуассона при некоторых упрощающих предположениях, используемых в модели.

В [20] предполагается, что в плазмозоле идентичных частиц (в системе макрочастицы + излученные ими электроны + электрически и химически нейтральный буферный газ) в состоянии термодинамического равновесия наблюдается однородная ионизация дисперсных частиц (все частицы К-фазы имеют один и тот же заряд q=ze, z – зарядовое число, е – элементарный заряд). Плазма электрически нейтральна, а распределения объемного заряда электронов и потенциала в плазме связаны больцмановским коэффициентом, т.е. электроны в поле частиц распределены по Больцману:



,                                                  (3.1.1)

где r – расстояние от центра макрочастицы; neb – концентрация электронов на расстоянии b от выделенной КЧ;  - электростатический потенциал; k – постоянная Больцмана; T – температура; b – радиус сферически-симметричной ячейки, в которой, согласно основному допущению модели [20], частица КДФ оказывается полностью за экранированной электронным газом, т.е.



                                                                                  (3.1.2)



Радиус b определяется объемом, отведенным в плазмозоле на одну дисперсную частицу:



                                   .                                                       (3.1.3)



Связь электронной плотности в ячейке с распределением электростатического потенциала   задается уравнением (2.1.2), которое запишем:



.                                         (3.1.4)



Учитывая граничные условия (3.1.2), имеем задачу Коши. Ее решение  параметрически зависит от концентрации электронов на границе ячейки neb. Если при этом известна электронная концентрация на поверхности КЧ, т.е. для r=rp – радиусу частиц конденсата, приходим к замкнутой системе уравнений для определения концентрации электронов в плазме. Действительно, из уравнения Пуассона (3.1.4) находим параметрическую зависимость потенциала в ячейке от  neb. Подставляя эту зависимость в распределение Больцмана (3.1.1) и учитывая, что , можно в символическом виде записать



                 .                                          (3.1.5)



Таким образом, получили трансцендентное уравнение относительной переменной neb. Разрешив его относительно neb и подставив  neb в уравнение, выражающее факт электронейтральности ячейки, получим значение среднего заряда КЧ в плазме:



                                .                                                     (3.1.6)



Окончательно средняя по объему концентрация электронов в плазмозоле:



.                                                           (3.1.7)



Изложенная последовательность шагов расчета ионизации плазмозоля дает возможность строить конкретные  алгоритмы числовых расчетов, предполагающих их реализацию на ЭВМ. Расчеты, приведенные в [20] реализованы на основе подпрограмм, содержащих в своей основе три основных момента: вычисление зависимости    ; определение концентрации электронов на границе ячейки решением трансцендентного уравнения относительно  neb; вычисление заряда КДФ – z и средней концентрации электронов в объеме плазмозоля – ne. Концентрация электронов на внутренней границе ячейки в модели определяется законом термоэмиссии Ричардсона-Дешмана:

                                .                                            (3.1.8)



Здесь К – коэффициент коррекции, учитывающий свойства поверхности КЧ (содержит коэффициент отражения электронов поверхностью дисперсных частиц); В=4,83·1021К-3/2.



3.2. Режим слабого экранирования



Прежде чем составлять алгоритм решения задачи с термической ионизации монодисперсного плазмозоля в рамках ячеечной модели, преобразуем (3.1.1) – (3.1.8) к виду, удобному для программирования. Если нормировать значения потенциала на kT, а расстояния посредством b – радиуса ячейки, то математическую модель задачи можно записать как 



                                                         (3.2.1)



где введены обозначения:



                              (3.2.2)

Db – дебаевский радиус электронов, локализующихся на границе ячейки. Так как вблизи этой границы вследствие непрерывности нормированного потенциала у и его производной dy/dx они оказываются близкими к нулю, экспоненту, входящую в правую часть  уравнения Пуассона (3.1.1), разложим в ряд по малому параметру (x-1):



               (3.2.3)



После дважды интегрированного уравнения, вернемся к безразмерному потенциалу у (умножим выражение на 3/с и разделив на x), приходим к зависимости



                  (3.2.4)



Уравнение (3.2.4) определяет связь безразмерного потенциала у в ячейке с концентрацией свободных электронов на ее внешней границе neb, которая входит в выражение для константы с. 

Режим слабого экранирования, описываемый (3.2.4), наиболее часто реализуется на практике в гетерогенной плазме (плазме с КДФ) для микрочастиц в случае, когда rp/DS<5. В таком режиме плотность электронов в ячейке изменяется незначительно (практически однородна), а потенциал в окрестности КЧ кулоновский, т.е. . Таким образом, если среднее по объему значение плотности электронов  равно их концентрации на границе ячейки neb, имеем однородное распределение электронной компоненты и отсутствие экранирования. Малое отличие этих плотностей указывает на слабое экранирование КЧ.  


Выводы



	С учетом областей термодинамических параметров реально действующих плазменных устройств существующая модель идеально – газового и дебаевского подхода, должны быть уточнены и расширены на случай плотных плазменных систем с существенным вкладом электростатического взаимодействия термодинамических параметров.

	  Наиболее естественным образом, такое расширение может быть осуществлено для статистической ячеечной модели квазинейтральных ячеек с использованием условного разбиения пространства в не макрочастицы на две области: линейного и не линейного экранирования. В таком подходе аналитическое сопряжение двух решений на границе этих областей дает возможность сформулировать и решить задачу не линейного экранирования макрочастицы в ГПС в замкнутом виде. Полученное решение характеризуется дебаевскими ассимптотиками, а расчетные данные хорошо согласуются с имеющимся экспериментальным материалом.  


Список литературы



		Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. – М.: Наука, 1978. –583 с.

		Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. – М.: Наука, 1979. –528 с.

		Saha M.N. Ionisation in the solar chramosphorell Philosophycal Magazin. –1920.-v.40 – P.472-488.

		Тамм И.Е. Основы теории электричества. – М.: Наука, 1976. –616 с.

		 Голант В.Е., Жилинский А.П., Сахаров С.А. Основы физики плазмы. – М.: Автомиздат, 1977. –384 с.

		Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. – М.: Наука, 1974. –752 с.

		Самуйлов Е.В. Сечение прилипания электронов к сферическим частицам и теоретическая ионизация частиц // Теплофизика высоких температур. –1966. – Т.4. - №2. – с.143-147.

		Фиалков Б.С., Щербаков Н.Д., Акст Н.К., Беседин В.И. Использование электрофизических явлений для контроля и управления теплотехническими и технологтческими процессами // Физика горения и взрыва. – 1983. - № 5. – с. 29.

		Цветков Ю. В., Панфилов С. А. Низкотемпературная плазма в процессах восстановления.  – М.: Наука, 1980. – 350 с.

		Boxman R.L., goldsmith S. The interaction between plasma and microparticles in a multi-cathode-spot // Vacuum arc. // G. Appol. Phys. –1981. –V.52. N1. P151 157/

		Красников Ю. Г., Кучеренко В. И. Термодинамика не идеальной низкотемпературной многокомпонентной плазмы на основе химической модели // Теплофизика высоких темтератур. – 1978. – Т. 16. - № 1. – С. 45 – 53.

		Dimick R.C., Soo S.L. Scattering of electrons and ions by dust particles in a gas // Phys. Fluids. 1964. –V.7.№1. P – 1638 – 1640/

		Sodha M.N., Kaw P.K., Srivastava H.K. Conductivity of dust – loden gases // Brit. G.Appl.Phys. – 1965. – V.16. - №5.- P.721 – 723.

		Самуйлов Е. В. О константе равновесия ионизации частиц // Теплофизика высоких температур. – 1965. – Т. 3. - № 2. – С.216 – 222.

		Журавский А. М. Справочник по эллепт ическим функциям. – М. – Л.: Изд – во. АН СССР, 1941. – 235 с.

		Аршинов А. А., Мусин А. К. Равновесная ионизация частиц // Доклады Академи Наук СССР. – 1958. – Т. 120. - № 4. – С.747 – 750.

		Добрецов Л. Н., Гомоюнова М. В. Эмиссионная электроника. – М.: Наука, 1966. – 564 с.

		Лукьянов Г А. Ионизация в разряженной низкотемпературной плазмы при наличии твердой фазы и примеси щелочного металла // Теплофизика высоких температур. – 1976. – Т. 14 - № 3. – С. 462 – 468.

		Debye P., Huckel E. Zur Fheorie der Electrolyte. I.Gefrierpunktsniedrigung und vervandte Erscheinungen // Phys. Zschr. –1923 –B.24. –S.185 –206.

		Gibson E. Ionisation phenomena in a – gas – particle – plasmall Phys. Fluids. – 1966.-V.9. - №12. – P.2389 – 2399.