Конспект урока по Геометрии "Геометрическое применение производной"

Тема «Геометрическое применение производной»

Производная функции y = y(x) при данном значении аргумента х = х0 равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой х0 и ординатой y0 = y(x0)

y'(x0) = tg         (1)



Уравнение касательной  к графику функции y = y(x) в точке М0(х0; у0) имеет вид:                                          у – у0 = y'(x0)(х – х0)                (2)

Если y(x) имеет при х = х0 бесконечную производную, то уравнение касательной таково:                           х = х0

Уравнение нормали, т. е. прямой, проходящей через точку касания М0(х0; у0) перпендикулярно касательной, записывается в виде

у – у0 =(х – х0)             (3)

Примеры.

1.  Составить уравнение касательной и нормали к параболе

 у = 2х2-6х+3 в точке М0(1; -1)

Решение: Найдем производную функции у = 2х2-6х+3 при х =1. Имеем 

у' = 4х – 6, откуда у'(1) = -2.

Воспользовавшись уравнением касательной к графику функции, получим искомое уравнение:  у – (-1) = -2(х - 1) или  2х + у – 1= 0.

Уравнение нормали получим, используя уравнение (3)

у + 1 =  (х – 1), или х – 2у – 3 = 0



2. Составить уравнения касательной и нормали (решить самостоятельно):



а) к гиперболе у =   в точке А(2;3)



б) к кривой у = х3 + 4х2 – 1 в точке с абсциссой х0 = -1



в) к параболе у = х2 – 4х + 4 в точках, ординаты которых равны единице.

Тема «Механические приложения производной»

Производная  от функции y = y(x), вычисленная при значении аргумента х = х0, представляет собой скорость изменения этой функции относительно независимой переменной х в точке х = х0. 

В частности, если зависимость между пройденным путем s и временем t при прямолинейном движении выражается формулой s = s(t), то скорость движения в любой момент времени t есть  (т. е. скорость изменения скорости) есть

Пример. 

1. Точка движется прямолинейно по закону s =  (s выражается в метрах,  - в секундах). Найти скорость и ускорение движения через 1 с после начала движения. 

Решение:

Скорость прямолинейного движения равна производной пути по времени: 

v(t) =  = , откуда v(1) = 4 (м/с)

Ускорение прямолинейного движения равно второй производной пути по времени:  a(t) =  = 2t + 4. 

Следовательно, a(1) = 6(м/с2)

Решить самостоятельно следующие задачи:

2. Закон прямолинейного движения точки выражается формулой

 s = 1 + (s выражается в метрах,  - в секундах). Найти скорость и ускорение движения в момент времени 

3. Тело массой 25 кг движется прямолинейно по закону s = ln(1 +  Найти кинетическую энергию тела (0.5m через 2с после начала движения.

4. Точка движется по оси абсцисс по закону x = 0,25(

(х выражается в метрах,  - в секундах). В какой момент времени точка остановится?