Моделирование линейных систем

Министерство образования РФ

Тульский Институт Экономики и Информатики

Кафедра информационных технологий













Контрольная работа

По дисциплине «Теория систем и системный анализ»

По теме «Моделирование линейных систем»









Выполнил: студентка 1-го курса

Специальности ПИвЭ05

Андрианова К.Г.



Проверил: 

Токарев В.Л.















Тула 2006


Введение



Целью системного анализа является моделирование системы.

Существуют два способа моделирование системы:

-аналитический;

-имитационный.

Аналитический способ применяется тогда, когда закономерности процессов, протекающих в системе, известны.

Имитационный способ применяется тогда, когда такие закономерности не известны, но в процессе функционирования системы, может быть накоплена выборка данных, содержащих информацию о поведении системы.

В контрольной работе решается задача построения имитационной модели статической линейной системы, имеющей три входа и один выход. Предполагается, что на систему действуют случайные возмущения, результатом которых являются случайные составляющие с нормальным разделением.


Построение математической модели системы



В контрольной работе решается задача построения имитационной модели статической решеткой системы, имеющей 3 входа и 1 выход.

Предполагается, что на систему действует случайное вращение, результатом которого является случайное составление с нормальным распределением.

Формирование матриц Х и Y по исходным данным (обучающая выборка – первые 20 строк матрицы):







Найдем вектор исходных параметров:

1) Транспонируем матрицу Х. 






2) 

 

	

3)





Получаем вектор исходных параметров:



 



Сформируем матрицы X1 и Y1, полученные из контрольной выборки (следующие 20 чисел):

	
 



	Для оценки случайности значений временного ряда ошибки необходимо сформировать матрицу Е по контрольной выборке.	

Для того, чтобы сформировать матрицу Е нужно:

- найти скалярную величину У2(матрицу Х1 умножить на вектор случайных параметров Р) 






- найдем саму матрицу по формуле: 

	Получим:





	





















	Сравним значения в матрице Е (значение сравнивается с предыдущим):







Длина серий получилась равно двум ().

Число серий получилось равное двенадцати().

По формуле должно быть: n > n1 и τ <τ1

Найдем n1 по формуле: 

 





Найдем τ1 по формуле:






Получаем: 15 > 9.476 и 2 < 7.593

Следовательно: n > n1 и τ <τ1 – верно.

Гипотеза об адекватности не отвергается.

Для оценки взаимной зависимости значений ременного ряда, необходимо найти d. Чтобы его найти нужно выполнить следующие действия: 

- сформировать матрицы Е1 и Е2

Для того, чтобы получить матрицу Е1 нужно скопировать значения из матрицы Е с 1 по 19; для получения матрицы Е2 мы скопируем значения из матрицы Е, начиная с 0 и заканчивая 18 значением, при этом получим:







Затем по формуле найдем матрицу Е3:






Теперь транспонируем Е3, получим:





Транспонируем матрицу Е, получим:







Затем по формулам находим d:









d=0..2, этом говорит о том, что имеется отрицательная взаимозависимость между ошибками. Гипотеза об адекватности модели не отвергается.

Проверка распределения случайной величины Е на нормальность заключается в оценке двух статистик: асимметрии и эксцесса.

Для того, чтобы найти асимметрию необходимо знать S, она является среднеквадратичной. Среднеквадратичная вычисляется по формуле:







Из этой формулы нам известно Е4.Для того, чтобы найти выполним следующие действия: 
















Теперь транспонируем полученную матрицу Е4, получим:





Теперь мы можем найти S:









Мы нашли S, теперь можем найти асимметрию (А), подставив Е4 в формулу:








Далее находим эксцесс по формуле, подставляя S. Эксцесс обозначим буквой В. 

Получим:





 



Чем ближе эксцесс к 0, то считается это нормально.





















Если выполняется следующее условие  	

	То гипотеза об адекватности не отвергается. Следовательно, гипотеза, об адекватности модели отвергается.


Заключение



В контрольной работе решалась задача построения имитационной модели статической системы, имеющей 3 входа и 1 выход.

Предполагалось, что на систему действует случайное возмещение, результатом которого является случайное составление с нормальным распределением.

В контрольной работе производилась проверка адекватности модели системы. Проверка состояла из трёх этапов:

1. Оценки случайности значений временного ряда ошибки (здесь были выполнены оба неравенства n > n1 и τ <τ1 – это означает, что гипотеза об адекватности не отвергается).

2. Оценка взаимной зависимости значений временного ряда (d=0..2(2.011) - -это означает, что имеется отрицательная взаимозависимость между ошибками).

3. Проверка распределения случайной величины на нормальность (условие, при котором гипотеза об адекватности не отвергается, не выполняется).