Длинная арифметика

"Длинная" арифметика

Известно, что арифметические действия, выполняемые компьютером в ограниченном числе разрядов, не всегда позволяют получить точный результат. Более того, мы ограничены размером (величиной) чисел, с которыми можем работать. А если нам необходимо выполнить арифметические действия над очень большими числами, например, 

30! = 265252859812191058636308480000000?

В таких случаях мы сами должны позаботиться о представлении чисел в машине и о точном выполнении арифметических операций над ними.

Числа, для представления которых в стандартных компьютерных типах данных не хватает количества двоичных разрядов, называются "длинными". Реализация арифметических операций над такими "длинными" числами получила название "длинной арифметики".

Организация работы с "длинными" числами во многом зависит от того, как мы представим в компьютере эти числа. "Длинное" число можно записать, например, с помощью массива десятичных цифр, количество элементов в таком массиве равно количеству значащих цифр в "длинном" числе. Но если мы будем реализовывать арифметические операции над этим числом, то размер массива должен быть достаточным, чтобы разместить в нем и результат, например, умножения.

Существуют и другие представления "длинных" чисел. Рассмотрим одно из них. Представим наше число

30! = 265252859812191058636308480000000

в виде:

30! = 2 * (104)8 + 6525 * (104)7 + 2859 * (104) + 8121 * (104)5 + 9105 * (104)4 + 8636 * (104)3 + 3084 * (104)2 + 8000 * (104)1 + 0000 * (104)0.

Это представление наталкивает на мысль о массиве, представленном в табл. 1. 

Таблица 1

Номер элемента в массиве А

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Значение

9

0

8000

3084

8636

9105

8121

2859

6525

2

Мы можем считать, что наше "длинное" число представлено в 10000-10 системе счисления (десятитысячно-десятичная система счисления, приведите аналогию с восьмерично-десятичной системой счисления), а "цифрами" числа являются четырехзначные числа.

Возникают вопросы. Что за 9 в А [0], почему число хранится "задом наперед"? Ответы очевидны, но подождем с преждевременными объяснениями. Ответы на вопросы будут ясны из текста.

Примечание. Мы работаем с положительными числами!

Первая задача. Ввести "длинное" число из файла. Решение задачи начнем с описания данных.

Const 	MaxDig = 1000; {Максимальное количество цифр — четырехзначных!}

	Osn = 10000; {Основание нашей системы счисления, 

			в элементах массива храним четырехзначные числа} 

Type 	Tlong = Array[0..MaxDig] Of Integer;

	{Максимальное количество десятичных цифр в нашем числе}

Алгоритм ввода "длинного" числа из файла рассмотрим на конкретном примере.

Пусть в файле записано число 23851674 и основанием (Osn) является 1000 (храним по три цифры в элементе массива А). Изменение значений элементов массива А в процессе ввода (посимвольного в переменную Ch) отражено в табл. 2.

Таблица 2

А[0]

А[1]

А[2]

А[3]

Ch

Примечание

3

674

851

23

-

Конечное состояние

0

0

0

0

2

Начальное состояние

1

2

0

0

3

1-й шаг

1

23

0

0

8

2-й шаг

1

238

0

0

5

3-й шаг

2

385

2

0

1

4-й шаг: старшая цифра элемента А [1] перешла в пока "пустой" элемент А[2]

2

851

23

0

6

5-й шаг

2

516

238

0

7

6-й шаг

3

167

385

2

4

7-й шаг

3

674

851

23





Проанализируем таблицу (и получим ответы на поставленные выше вопросы). 

1. В А[0] храним количество задействованных (ненулевых) элементов массива А — это уже очевидно.

2. При обработке каждой очередной цифры входного числа старшая цифра элемента массива с номером i становится младшей цифрой числа в элементе i+1, а вводимая цифра будет младшей цифрой числа из А[1]. В результате работы нашего алгоритма мы получили число, записанное "задом наперед".

Примечание (методическое): Можно ограничиться этим объяснением и разработку процедуры вынести на самостоятельное задание. Можно продолжить объяснение. Например, выписать фрагмент текста процедуры перенос старшей цифры из A[i] в младшую цифру А[i+1], т.е. сдвиг уже введенной части числа на одну позицию вправо:

	For i := A[0] DownTo 1 Do

	Begin 

		A[i+l] := A[i+l] + (Longint(A[i]) * 10) Div Osn;

		A[i] := (LongInt(A[i]) * 10) Mod Osn;

	End;

Пусть мы вводим число 23851674 и первые 6 цифр уже разместили "задом наперед" в массиве А. В символьную переменную считали очередную цифру "длинного" числа — это "7". По нашему алгоритму эта цифра "7" должна быть размещена младшей цифрой в А[1]. Выписанный фрагмент программы "освобождает" место для этой цифры. В таблице отражены результаты работы этого фрагмента.

i

А[1]

А[2]

А[3]

ch

2

516

238

0

7

2

516

380

2



1

160

385

2



После этого остается только добавить текущую (считанную в ch) цифру "длинного" числа к А[1] и изменить значение А[0]. 

В конечном итоге процедура должна иметь следующий вид:

	Procedure ReadLong(Var A : Tlong);

	Var ch : char; i : Integer;

	Begin

		FillChar(A, SizeOf(A), 0) ;

		Read(ch);

		While Not(ch In ['0'..'9']) Do Read(ch);

		{пропуск не цифр во входном файле}

		While ch In ['0'..'9'] Do

		Begin

			For i := A[0] DownTo 1 Do

			Begin

				{"протаскивание" старшей цифры в числе из A[i] 

				в младшую цифру числа из A[i+l]}

				A[i+l] := A[i+l] + (LongInt(A[i]) * 10) Div Osn;

				A[i] := (LongInt(A[i]) * 10) Mod Osn

			End;

			A[1] := A[l] + Ord(ch) - Ord('0');

			{добавляем младшую цифру к числу из А[1]}

			If A[A[0]+1] > 0 Then Inc(A[0]);

			{изменяем длину, число задействованных элементов массива А}

			Read(ch)

		End

	End;

Вторая задача. Вывод "длинного" числа в файл или на экран.

Казалось бы, нет проблем — выводи число за числом. Однако в силу выбранного нами представления "длинного" числа мы должны всегда помнить, что в каждом элементе массива хранится не последовательность цифр "длинного" числа, а значение числа, записанного этими цифрами. Пусть в элементах массива хранятся четырехзначные числа. Тогда "длинное" число 128400583274 будет в массиве А представлено следующим образом:

A[0]

A[1]

A[2]

A[3]

3

3274

58

1284

При выводе "длинного" числа из массива нам необходимо вывести 0058, иначе будет потеря цифр. Итак, незначащие нули также необходимо выводить. Процедура вывода имеет вид:

	Procedure WriteLong(Const A : Tlong);

	Var 	ls, s : String; i : Integer;

	Begin

		Str(Osn Div 10, Is);

		Write(A[A[0]]; {выводим старшие цифры числа}

		For i := A[0] - l DownTo 1 Do

		Begin

			Str(A[i], s);

			While Length(s) < Length(Is) Do s := '0' + s;

			{дополняем незначащими нулями}

			Write(s)

		End;

		WriteLn

	End;

Третья задача. Предварительная работа по описанию способа хранения, вводу и выводу "длинных" чисел выполнена.

У нас есть все необходимые "кирпичики", например, для написания программы сложения двух "длинных" положительных чисел. Исходные числа и результат храним в файлах. Назовем процедуру сложения SumLongTwo.

Тогда программа ввода двух "длинных" чисел и вывода результата их сложения будет иметь следующий вид:

	Var A, B, C : Tlong;

	Begin

		Assign(Input, 'Input.txt'); Reset(Input);

		ReadLong(A); ReadLong(B) ;

		Close(Input);

		SumLongTwo(A, B, C);

		Assign(Output, 'Output.txt');

		Rewrite(Output);

		WriteLong(C);

		Close(Output)

	End.

Алгоритм процедуры сложения можно объяснить на простом примере. Пусть А=870613029451, В=3475912100517461.

i

A[i]

B[i]

C[1]

C[2]

C[3]

C[4]

1

9451

7461

6912

1

0

0

2

1302

51

6912

1354

0

0

3

8706

9121

6912

1354

7827

1

4

0

3475

6912

1354

7827

3476

Алгоритм имитирует привычное сложение столбиком, начиная с младших разрядов. И именно для простоты реализации арифметических операций над "длинными" числами используется машинное представление "задом наперед".

Результат: С = 3476782713546912.

Ниже приведен текст процедуры сложения двух "длинных" чисел.

	Procedure SumLongTwo(A, B : Nlong; Var C : Tlong);

	Var i, k : Integer;

	Begin

		FillChar(C, SizeOf (C), 0) ;

		If A[0] > B[0] Then k := A[0] Else k : =B[0];

		For i := l To k Do

		Begin 	С [i+1] := (C[i] + A[i] + B[i]) Div Osn;

			C[i] := (C[i] + A[i] + B[i]) Mod Osn

			{Есть ли в этих операторах ошибка?}

		End;

		If C[k+l] = 0 Then C[0] := k Else C[0] := k + l

	End;

Четвертая задача. Реализация операций сравнения для "длинных" чисел (А=В, А<В, А>В, А<=В, А>=В).

	Function Eq(A, B : TLong) : Boolean;

	Var i : Integer;

	Begin

		Eq := False;

		If A[0] <> B[0] Then Exit 

		Else Begin

			i := l;

			While (i <= A[0]) And (A[i] = B[i]) Do Inc(i);

			Eq := i = A[0] + l

		      End

	End;

Реализация функции А > В также прозрачна.

	Function More(A, B : Tlong) : Boolean;

	Var i : Integer;

	Begin If A[0] < B[0] 	Then More := False

				Else 	If A[0] > B[0] Then More := True 

					Else Begin

						i := A[0];

						While (i > 0) And (A[i] = B[i]) Do Dec(i);

						If i = 0 	Then More := False

							Else If A[i] > B[i] Then More := True

						Else More:=False

					End

	End;

Остальные функции реализуются через функции Eq и More.

	Function Less(A, B : Tlong) : Boolean; {A < B}

	Begin

		Less := Not(More(A, B) Or Eq(A, B))

	End;

	Function More_Eq(A, B : Tlong) : Boolean; {A >= B}

	Begin

		More_Eq := More(A, B) Or Eq(A, B)

	End;

	Function Less_Eq(A, B : Tlong) : Boolean; {A <= B}

	Begin

		Less_Eq := Not More(A, B)

	End;

Для самостоятельного решения может быть предложена следующая, более сложная, задача. Требуется разработать функцию, которая выдает 0, если А больше В, 1, если А меньше В, и 2 при равенстве чисел. Но сравнение должно быть выполнено с учетом сдвига. О чем идет речь? Поясним на примере. Пусть А равно 56784, а В — 634. При сдвиге числа В на 2 позиции влево функция должна сказать, что В больше А, без сдвига, что А больше В. Другой пример. При А равном 56700, а В — 567 и сдвиге 2 функция должна "сказать", что числа равны. Решение может иметь следующий вид:

Function More(Const А, В : Tlong; Const sdvig : Integer) : Byte;

Var i : Integer;

Begin

	If A[0] > B[0] + sdvig Then More := 0

				Else 

					If A[0] < B[0] + sdvig Then More := l

					Else Begin

						i := A[0];

						While (i > sdvig) And

							(A[i] = B[i-sdvig]) Do Dec(i);

						If i = sdvig Then Begin

								More:=0;

						{совпадение чисел с учетом сдвига}

								For i := 1 To sdvig Do

									If A[i] > 0 Then Exit;

								More := 2;

						{числа равны, "хвост" числа А равен нулю}

								End

						Else More := Byte(A[i] < B[i-sdvig])

					End

End;

Пятая задача. Умножение длинного числа на короткое. Под коротким понимается целое число типа LongInt.

Процедура очень походит на процедуру сложения двух длинных чисел.

	Procedure Mul(Const A : TLong; Const К : Longlnt; Var С : TLong);

	Var i : Integer;

	{результат - значение переменной С}

	Begin

		FillChar (С, SizeOf(С), 0);

		If K = 0 Then Inc(С[0]){умножение на ноль}

		Else Begin

			For i:= l To A[0] Do

			Begin

				C[i+l] := (LongInt(A[i]) * K + C[i]) Div Osn;

				C[i] := (LongInt(A[i])* K + C[i]) Mod Osn

			End;

			If C[A[0]+1] > 0 Then C[0]:= A[0] + 1

			Else C[0]:= A[0]

			{определяем длину результата}

			End

	End;

Шестая задача. Вычитание двух длинных чисел с учетом сдвига

Если понятие сдвига пока не понятно, то оставьте его в покое, на самом деле вычитание с учетом сдвига потребуется при реализации операции деления. В начале выясните логику работы процедуры при нулевом сдвиге.

Введем ограничение: число, из которого вычитают, больше числа, которое вычитается. Работать с "длинными" отрицательными числами мы не умеем.

Процедура была бы похожа на процедуры сложения и умножения, если бы не одно "но" — заимствование единицы из старшего разряда вместо переноса единицы в старший разряд. Например, в обычной системе счисления мы вычитаем 9 из 11 — идет заимствование 1 из разряда десятков, а если из 10000 вычитаем 9 — процесс заимствования несколько сложнее.

	Procedure Sub (Var A : TLong; Const B : TLong; Const sp : Integer);

	Var i, j : Integer;

		{из А вычитаем В с учетом сдвига sp, результат вычитания в А}

	Begin

		For i := l To B[0] Do 

		Begin Dec(A[i+sp], B[i]);

			j: = i;{*}

			{реализация сложного заимствования}

			while (A[j+sp] < 0) and (j <= A[0]) Do

			Begin{*}

				Inc(A[j+sp], Osn) ;

				Dec(A[j+sp+l]); Inc(j); {*}

			end; {*}

			{Реализация простого заимствования.

			Если операторы, отмеченные *, заменить

			на нижеприведенные операторы в фигурных скобках, то,

			по понятным причинам, логика не будет работать

			при всех исходных данных. Можно сознательно сделать

			ошибку и предложить найти ее — принцип "обучение через ошибку"}

			{If A[i+sp]<0 Then Begin Inc(A[i+sp], Osn);

			Dec (A[i+sp+l]);End;}

		End;

		i := A[0];

		While (i > l) And (A[i] = 0) Do Dec(i);

		A[0] := i

		{корректировка длины результата операции}

	End;

Рекомендуется выполнить трассировку работы данной процедуры, например, для следующих исходных данных. Число А равно 100000001000000000000, число В — 2000073859998.

Седьмая задача. Деление двух длинных чисел, т.е. нахождение целой части частного и остатка.

Написать исходную (без уточнений) часть логики не составляет труда. Это:

	Procedure Long_Div_Long(Const А, В : TLong; Var Res, Ost : TLong);

	Begin

		FillChar(Res, SizeOf(Res), 0); Res[0] := 1;

		FillChar(Ost, SizeOf(Ost), 0); 0st[0] := 1;

		Case More(A, B, 0) Of 

		0: MakeDel(A, B, Res, Ost);

		{А больше В, пока не знаем, как выполнять операцию - "выносим" в процедуру}

		1: Ost:=A; {А меньше В}

		2: Res[l] := l; {А равно В}

		End;

	End;

А дальше? Дальше начинаются проблемы. Делить столбиком нас научили в школе. Например,

      1000143123567 |73859998

     - 73859998     |----------

       ---------    |13541 (Целая часть частного)

       261543143

     - 221579994

       ----------

        399631495

      - 369299990

         ---------

         303315056

       - 295439992

         ----------

           78750647

         - 73859998

           -------- 

            4890649 (Остаток)

Что мы делали? На каждом этапе в уме подбирали цифру (1, 3, 5 и т.д.), такую, что произведение этой цифры на делитель дает число меньшее, но наиболее близкое к числу... Какому? Это трудно сказать словами, но из примера ясно. Зачем нам это делать в уме, пусть делает компьютер. Однако упростим пример, оставим его для тестирования окончательной логики процедуры, тем более что и числа "длинные". Пусть число А будет меньше В*10, тогда в результате (целой части деления) будет одна цифра. Например, А равно 564, а В — 63 и простая десятичная система счисления. Попробуем подобрать цифру результата, но не методом прямого перебора, а методом деления отрезка пополам. Пусть Down — верхняя граница интервала изменения подбираемой цифры, Up — нижняя граница интервала, Ost равен делимому.

Down

Up

С = В * ( (Down + Up) Div 2)

Ost = 564

0

10

315 = 63 * ( (0 + 10) Div 2)

C < Ost

5

10

441 = 63 * ( (5 + 10) Div 2)

C < Ost

7

10

504 = 63 * ( (7 + 10) Div 2)

C < Ost

8

10

567 = 63 * ( (8 + 10) Div 2)

C > Ost

8

9

504 = 63 * ( (8 + 9) Div 2)

C < Ost

Итак, результат — целая часть частного — равен (Up + Down) Div 2, остаток от деления — разность между значениями Ost и С. Нижнюю границу (Down) изменяем, если результат (С) меньше остатка, верхнюю (Up), — если больше.

Усложним пример. Пусть А равно 27856, а В — 354. Основанием системы счисления является не 10, а 10000.

Down

Up

С

Ost = 27856

0

10000

1770000

C > Ost

0

5000

885000

C > Ost

0

2500

442500

C > Ost

0

1250

221250

C > Ost

0

625

110448

C > Ost

0

312

55224

C > Ost

0

156

27612

C < Ost

78

156

41418

C > Ost

78

117

34338

C > Ost

78

97

30798

C > Ost

78

87

29028

C > Ost

78

82

28320

C > Ost

78

80

27966

C > Ost

78

79

27612

C < Ost

Целая часть частного равна 78, остаток от деления — 27856 минус 27612, т.е. 244.

Пора приводить процедуру. Используемые "кирпичики": функция сравнения чисел (More) с учетом сдвига и функция умножения длинного числа на короткое (Mul) описаны выше.

Function FindBin(Var Ost : Tlong; Const В : TLong; Const sp : Integer) : Longint;

Var Down, Up : Word; C : TLong;

Begin

	Down := 0;Up := 0sn;

	{основание системы счисления}

	While Up - l > Down Do

	Begin

		{Есть возможность преподавателю сделать

		сознательную ошибку. Изменить условие

		цикла на Up>Down. Результат - зацикливание программы.}

		Mul(В, (Up + Down) Div 2, С);

		Case More(Ost, C, sp) Of

		0: Down := (Down + Up) Div 2;

		1: Up := (Up + Down) Div 2;

		2: Begin Up := (Up + Down) Div 2; Down := Up End;

		End;

	End;

	Mul(B, (Up + Down) Div 2, C);

	If More (Ost, C, 0) = 0 Then Sub(Ost, C, sp)

		{находим остаток от деления}

	Else begin Sub (C, Ost, sp); Ost := C end;

	FindBin := (Up + Down) Div 2;

	{целая часть частного}

End;

Осталось разобраться со сдвигом, значением переменной sp в нашем изложении. Опять вернемся к обычной системе счисления и попытаемся разделить, например, 635 на 15. Что мы делаем? Вначале делим 63 на 15 и формируем, подбираем в уме первую цифру результата. Подбирать с помощью компьютера мы научились. Подобрали — это цифра 4, и это старшая цифра результата. Изменим остаток. Если вначале он был 635, то сейчас стал 35. Вычитать с учетом сдвига мы умеем. Опять подбираем цифру. Вторую цифру результата. Это цифра 2 и остаток 5. Итак, результат (целая часть) 42, остаток от деления 5. А что изменится, если основанием будет не 10, а 10000? Логика совпадает, только в уме считать несколько труднее, но ведь у нас же есть молоток под названием компьютер — пусть он вбивает гвозди.

Procedure MakeDel(Const А, В : TLong; Var Res, Ost : TLong);

Var sp : Integer;

Begin

	Ost := A; {первоначальное значение остатка}

	sp := А[0] - В[0];

	If More(А, В, sp) = l Then Dec(sp);

	{B * Osn > A, в результате одна цифра}

	Res[0] := sp + l;

	While sp >= 0 Do

	Begin

		{находим очередную цифру результата}

		Res[sp + 1] := FindBin(Ost, B, sp);

		Dec(sp)

	End

End;

Методические рекомендации. Представленный материал излагается на четырех занятиях по известной схеме: 10-15-минутное изложение идей, а затем работа учащихся под руководством преподавателя.

1-е занятие. Ввод, вывод и сложение длинных чисел (задачи 1, 2, 3).

2-е занятие. Функции сравнения (задача 4).

3-е занятие. Умножение и вычитание длинных чисел (задачи 5, 6).

4-е занятие. Деление длинных чисел (задача 7). Безусловно, эта схема не догма. В зависимости от уровня подготовки учащихся на самостоятельное выполнение может быть вынесена значительная часть материала. Замечу только, что в силу сложившейся традиции в ряде случаев допускаются при изложении сознательные ошибки. В результате работы каждый учащийся должен иметь собственный модуль для работы с "длинными" числами.

Темы для исследований

1. Решение задач: поиск наибольшего общего делителя двух "длинных" чисел; поиск наименьшего общего кратного двух "длинных" чисел; извлечение квадратного корня из "длинного" числа и т.д.

2. "Длинные" числа могут быть отрицательными. Как изменятся описанные выше операции для этого случая?

3. Для хранения "длинных" чисел используется не массив, а стек, реализованный с помощью списка. Модифицировать модуль работы с "длинными" числами.

Список литературы

С.М. Окулов/ "Длинная" арифметика/