Система счисления 2

Содержание



Что такое система счисления? 

Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления? 

Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры — двоичной? 

Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления? 

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Сложение в различных системах счисления

Вычитание в различных системах счисления

Умножение в различных системах счисления

Деление в различных системах счисления


Что такое система счисления?



Система счисления — это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются.

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления. 

В непозиционных системах счисления вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти. 

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая — 7 единиц, а третья — 7 десятых долей единицы. 

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения:



Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием. 

Основание позиционной системы счисления — количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. 

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. 



Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?



В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.

Продвижением цифры называют замену её следующей по величине.

Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры — 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 — замену её на 0.

Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.

Применяя это правило, запишем первые десять целых чисел 

		в двоичной системе:  0,   1,   10,   11,   100,   101,   110,   111,   1000,   1001;

		в троичной системе:         0,   1,   2,   10,   11,   12,   20,   21,   22,   100;

		в пятеричной системе:     0,   1,   2,   3,   4,   10,   11,   12,   13,   14;

		в восьмеричной системе: 0,   1,   2,   3,   4,   5,   6,   7,   10,   11.

Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:



Двоичная система

Четверичная система

Восьмеричная система

Десятичная система

Шестнадцатиричная система

1

1

1

1

1

10

2

2

2

2

11

3

3

3

3

100

10

4

4

4

101

11

5

5

5

110

12

6

6

6

111

13

7

7

7

1000

20

10

8

8

1001

21

11

9

9

1010

22

12

10

A

1011

23

13

11

B

1100

30

14

12

C

1101

31

15

13

D

1110

32

16

14

E

1111

33

17

15

F

10000

40

20

16

10



Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры — двоичной?



Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде люди пользуются десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время пользовались пятеричной системой счисления. 

А компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами: 

		для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, — как в десятичной;

		представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

		возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

		двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.


Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?



Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи. 

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы. 

Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 — соответственно, третья и четвертая степени числа 2). 



Перевод чисел из одной системы счисления в другую



Количество p различных цифр, употребляемых в позиционной системе определяет название системы счисления и называется основанием системы счисления – "p". Любое число N в позиционной системе счисления с основанием p может быть представлено в виде полинома от основания p:

N = anpn+an-1pn-1+ ... +a1p+a0+a-1p-1+a-2p-2+ ...	(1.1)

здесь N – число, aj – коэффициенты (цифры числа), p – основание системы счисления (p>1). Принято представлять числа в виде последовательности цифр: 

N = anan-1 ... a1a0 . a-1a-2 ...

Перевод чисел в десятичную систему осуществляется путем составления степенного ряда с основанием той системы (см. формулу 1.1), из которой число переводится. Затем подсчитывается значение суммы.









Перевод целых десятичных чисел в недесятичную систему счисления осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное меньшее этого основания. Число в новой системе записывается в виде остатков деления, начиная с последнего.

Пример: Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:







Ответ: 7510 = 1 001 0112   =  1138  =  4B16.

Перевод правильных дробей из десятичной системы счисления в недесятичную. Для перевода правильной десятичной дроби в другую систему эту дробь надо последовательно умножать на основание той системы, в которую она переводится. При этом умножаются только дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частей произведений, начиная с первого.

Пример. Переведем число 0,36 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:





Для перевода неправильной десятичной дроби в систему счисления с недесятичным основанием необходимо отдельно перевести целую часть и отдельно дробную. Перевести 23.125102 с.с.



1. Переведем целую часть:

2. Переведем дробную часть:

3. Таким образом: 





2310 = 101112;

0.12510 = 0.0012.



Результат:  

23.12510 = 10111.0012.



Системы счисления называются кратными, если выполняется соотношение: S = RN, где S, R – основания систем счисления, N – степень кратности (целое число: 2, 3 … ).

Для перевода числа из системы счисления R в кратную ей систему счисления S поступают следующим образом: двигаясь от точки влево и вправо, разбивают число на группы по N разрядов, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем группу заменяют соответствующей цифрой из системы счисления S.


Таблица

Перевести 1101111001.11012"8" с.с.

Перевести 11111111011.1001112"16" с.c.







Для перевода числа из системы счисления S в кратную ей систему счисления R достаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим числом из системы счисления R, при этом отбрасывают незначащие нули в старших (00512) и младших (15,124000) разрядах.



Перевести 305.48"2" с.с.

Перевести 7B2.E16"2" с.с.







Если требуется выполнить перевод из системы счисления S в R, при условии что они не являются кратными, тогда нужно попробовать подобрать систему счисления K, такую что: S = KN и R = KN.

Перевести 175.248"16" с.с.







Результат: 175.248 = 7D.516.

Если систему счисления K подобрать не удается, тогда следует выполнить перевод используя в качестве промежуточной десятичную систему счисления.



Для всего этого примеры

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).

Например:







Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на  триады  (для восьмеричной) или  тетрады  (для шестнадцатеричной)  и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой. Например:







Сложение в различных системах счисления



Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.

























Вычитание в различных системах счисления





Умножение в различных системах счисления



Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.













Деление в различных системах счисления



Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.









13