Рішення задач з елементарної математики в пакеті MAPLE-8

Міністерство освіти і науки України

Дніпропетровський національний університет













КОНТРОЛЬНА РОБОТА

з дисципліни „Інформатика”

Рішення задач з елементарної математики в пакеті MAPLE-8

(варіант №7)















Виконав студент групи____________________

______________________

До захисту__________________200 __року

Викладач_______________________________











Дніпропетровськ

2010


Зміст



Вихідні дані завдань варіанту №7

1. Завдання №1

1.1. Задача 1.1 (вар. №7)

1.2. Задача 1.2 (вар. №7)

2. Завдання №2

2.1. Задача 2.1 (вар. №7)

2.2. Задача 2.2 (вар. №7)

3. Завдання №3

3.1. Задача 3.1 (вар. №7)

3.2. Задача 3.2 (вар. №7)

4. Завдання №4

4.1. Задача 4.1 (вар. №7)

4.2. Задача 4.2 (вар. №7)

5. Завдання №5

5.1. Задача 5.1 (вар. №7)

5.2. Задача 5.2 (вар. №7)

6. Завдання №7

6.1. Задача 6.1 (вар. №7)

6.2. Задача 6.2 (вар. №7)

7. Завдання №7

7.1. Задача 7.1 (вар. №7)

7.2. Задача 7.2 (вар. №7)

8. Завдання №8

8.1. Задача 8.1 (вар. №7)

8.2. Задача 8.2 (вар. №7)

9. Завдання №9

9.1. Задача 9.1 (вар. №7)

9.2. Задача 9.2 (вар. №7)

10. Завдання №10

10.1. Задача 10.1 (вар. №7)

10.2. Задача 10.2 (вар. №7)

11. Завдання №11

Список використаної літератури




Вихідні дані завдань варіанту №7











1. Завдання №1



1.1 Задача 1.1 (вар. №7)



Спростити вираз







Розв’язання. 

Алгебраїчні перетворення в Maple проводяться за допомогою вбудованих функцій елементарних перетворень таких як simplify - спростити, expand - розкрити дужки, factor -розкласти на множники, normal - привести до спільного знаменника, combine-перетворення ступеня, collect-привести подібні члени, rationalize – позбавитися від ірраціональності в знаменнику.



> (3*x^4-10*a*x^3+22*a^2*x^2-24*a^3+10*a^4)/(x^2-2*a*x+3*a^2);





Позначимо чисельник через u1



> u1:=3*x^4-10*a*x^3+22*a^2*x^2-24*a^3+10*a^4;





Позначимо знаменник через u2



> u2:=x^2-2*a*x+3*a^2;




Спрощуємо знаменник u2: збираємо повний квадрат



> with(student):completesquare(u2,x);





Спрощуємо чисельник u1



> simplify(u1);





Розкладаємо чисельник u1 на множники



> factor(u1);





Перетворюємо степені в чисельнику u1



> combine(u1);





Приводимо подібні члени в чисельнику u1 відносно a



> collect(u1,a);





Приводимо подібні члени в чисельнику u1 відносно x



> collect(u1,x);




Збираємо повний квадрат в числівнику u1



> with(student):completesquare(u1,x);





Відповідь: жодна функція елементарних перетворень simplify, factor, combine, collect, completesquare не працює, тому є всі підстави вважати, що в умову задачі вкралася помилка.



1.2 Задача 1.2 (вар. №7)



Спростити вираз







Розв’язання.



> (sqrt(a)+(b-sqrt(a)*sqrt(b))/(sqrt(a)+sqrt(b)))/(a/ (sqrt(a)* sqrt(b)+b) + b/(sqrt(a)*sqrt(b)-a)-(a+b)/(sqrt(a)*sqrt(b)));





Чисельник дробу позначимо через w1



> w1:=sqrt(a)+(b-sqrt(a)*sqrt(b))/(sqrt(a)+sqrt(b));




Позбавляємося від ірраціональності в чисельнику w1



> w1:=rationalize(w1);





Знаменник дробу позначимо через w2



> w2:=a/(sqrt(a)*sqrt(b)+b)+b/(sqrt(a)*sqrt(b)-a)-(a+b)/a^(1/2)/ b^(1/2);





Позбавляємося від ірраціональності в знаменнику w2



> w2:=rationalize(w2);





Скорочуємо дріб: ділимо чисельник w1 на знаменник w2



> w3:=w1/w2;





Спрощуємо останній вираз і дістаємо відповідь



> simplify(w3);





Відповідь: 


2. Завдання №2



2.1 Задача 2.1 (вар. №7)



Спростити вираз, а потім знайти чисельне значення цього виразу при a=1/16,b=1/81







Розв’язання.



> (a-b)/(a^(3/4)+sqrt(a)*b^(1/4))-(a^(1/2)-b^(1/2))/(a^(1/4)+b^(1/4));





Позбавляємося від ірраціональності в знаменниках



>rationalize((-b+a)/(a^(3/4)+sqrt(a)*b^(1/4)))-rationalize((-sqrt(b)+sqrt(a))/(a^(1/4)+b^(1/4))) ;





Приводимо дробі до спільного знаменника (останній результат Maple зберігає під ім’ям %)



> normal(%);




Спрощуємо вираз



> simplify(%);





Підставляємо а=1/16, b=1/81 в останній вираз



> subs(a=1/16,b=1/81,%);





Спрощуємо вираз



> simplify(%);





Відповідь: 2/27.



2.2 Задача 2.2 (вар. №7)



Спростити вираз, а потім знайти чисельне значення цього виразу при x=1/2







Розв’язання.



> (sqrt(2)/(1-x^2)^(-1)+2^(3/2)/x^(-2))/(x^(-2)/(1+x^(-2)));





Спрощуємо останній вираз



> simplify(%);





Підставляємо x=1/2 в останній вираз



> subs(x=1/2,%);





Відповідь: 




3. Завдання №3



3.1 Задача 3.1 (вар. №7)



Скоротити наступну дріб







Розв’язання.



>(a^2+6*a-91)/(a^2+8*a-105);





Позначимо чисельник дробу через а1



> a1:=a^2+6*a-91;





Розкладаємо чисельник на множники



> a1:=factor(a1);





Позначимо знаменник дробу через а2



> a2:=a^2+8*a-105;




Розкладаємо знаменник на множники



> a2:=factor(a2);



> a3:=a1/a2;





Відповідь: 



3.2 Задача 3.2 (вар. №7)



Скоротити наступну дріб







Розв’язання.



>(x*sqrt(y)-y*sqrt(x))/(sqrt(x)-sqrt(y))/(sqrt(x)*sqrt(y));





Позбавляємося від ірраціональності в знаменнику



> rationalize(%);




Розкриваємо дужки



> expand(%);





Спрощуємо вираз



> simplify(%);





Відповідь: 1.


4. Завдання №4



4.1 Задача 4.1 (вар. №7)



Розв’язати рівняння 1-й степені







Вбудована функція, призначена для розв'язань рівнянь і нерівностей, має вигляд: >solve(рівняння або нерівність, змінна);

Розв’язання.



>(7*x+4)/5-x=abs((3*x-5)/2);





Позначимо рівняння через eq



>eq:=(7*x+4)/5-x-sqrt(((3*x-5)/2)^2)=0;





Розв’язуємо рівняння відносно змінної x



>solve(eq,{x});





Зробимо перевірку: підставляємо в рівняння eq розв'язок x=3


>subs(x=3,eq);





Підставляємо в рівняння eq розв'язок x=17/19



>subs(x=17/19,eq);





Обчислюємо останній вираз



>evalf(%);





Відповідь: 3; 17/19.



4.2 Задача 4.2 (вар. №7)



Розв’язати рівняння 1-й степені







Розв’язання.



> 1-8/(x-4)-5/(3-x)-(8-x)/(x+2)=0;





Позначимо рівняння через eq


> eq:=1-8/(x-4)-5/(3-x)-(8-x)/(x+2)=0;





Розв'язуємо рівняння відносно змінної x



> solve(eq,{x});





Зробимо перевірку: підставляємо розв'язок x = 8 в рівняння eq



> subs(x=8,eq);





Підставляємо розв'язок x = 7/4+1/4*I*sqrt(15) в рівняння eq



> subs(x = 7/4+1/4*I*sqrt(15),eq);





Спрощуємо



> simplify(%);





Підставляємо розв'язок x = 7/4-1/4*I*sqrt(15) в рівняння eq



> subs(x = 7/4-1/4*I*sqrt(15),eq);





Спрощуємо



> simplify(%);





Відповідь: 8; 7/4+1/4*I*sqrt(15); 7/4-1/4*I*sqrt(15).




5. Завдання №5



5.1 Задача 5.1 (вар. №7)



Розв’язати систему рівнянь з двома невідомими







Розв’язання.



> abs(x-1)+abs(y-5)=1;abs(x-1)-abs(y-5)=0;







Позначимо систему рівнянь через sistema



> sistema:={sqrt((x-1)^2)+sqrt((y-5)^2)=1,sqrt((x-1)^2)-sqrt((y-5)^2)=0};





Розв'язуємо систему відносно змінних x, y



> s:=solve(sistema,{x,y});





Для перевірки розв'язання можна використати функцію map( ) разом з функцією subs( ), яка за одну операцію виконує перевірку всіх розв'язків



>map(subs,[s],sistema);





Відповідь: (3/2, 9/2), (1/2, 9/2), (3/2, 11/2), (1/2, 11/2).



5.2 Задача 5.2 (вар. №7)



Розв’язати систему рівнянь з двома невідомими







Розв’язання.



>(x^2+y+1)/(y^2+x+1)=3/2;x-y=1;







Позначимо систему рівнянь через sistema



>sistema:={(x^2+y+1)/(y^2+x+1)=3/2,x-y=1};





Розв'язуємо систему рівнянь відносно x,y



>s:=solve(sistema,{x,y});




Зробимо перевірку: підставляємо знайдені розв'язки в систему й одержуємо тотожності



>subs(s[1],sistema);subs(s[2],sistema);







Відповідь: (2,1), (3,2).




6. Завдання №7



6.1 Задача 6.1 (вар. №7)



Побудувати графік наступної функції







Розв’язання.



> f:=1/(x^2-2*x+2);





Будуємо графік функції f: обираємо проміжок для змінної x від -1 до 2, колір - синій, товщина лінії - 3



> plot(f,x=-1..2,color=blue,thickness=3);







6.2 Задача 6.2 (вар. №7)



Побудувати графік наступної функції






Розв’язання.



> 5-x^2-y^2-x*y+abs(3-x^2-y^2+x*y)=0;





Будуємо графік неявно заданої функції за допомогою пакету plots



> with(plots):implicitplot(5-x^2-y^2-x*y+sqrt((3-x^2-y^2+x*y)^2)=0,x=-2..2,y=-2..2, color= brown, thickness=2);







> implicitplot(5-x^2-y^2-x*y+sqrt((3-x^2-y^2+x*y)^2)=0,x=-2..2,y=-10..10, color=brown, thickness=2);






7. Завдання №7



7.1 Задача 7.1 (вар. №7)



Зобразити наступну геометричну фігуру. Використаємо пакет plottools – пакет для створення та роботи з графічними об’єктами. Команда curve([[x1,y1],[x2,y2],…,[xn,yn],options) задає криву координатами своїх точок. Крива відображається лінійними сегментами, що з’єднують сусідні точки. Команда display відображає вивід графічних команд на екран.



> with(plottools): w:=curve([[1,0],[1,1/2],[1/2,1],[0,1],[-1/2,1],[-1,1/2],[-1,0],[-1,-1/2 ], [-1/2,-1], [0,-1],[1/2,-1],[1,-1/2],[1,0]],color=black, linestyle=1, thickness=2): plots[display](w);







7.2 Задача 7.2 (вар. №7)



Зобразити наступну геометричну фігуру



> with(plottools): w:=curve([[0,2],[-2,2],[-1,1],[-2,0],[-1,-1],[-2,-2],[0,-2]], color= black, linestyle=1, thickness=2): plots[display](w);







8. Завдання №8



8.1 Задача 8.1 (вар. №7)



Розв’язати рівняння 2-ї степені







Розв’язання.



> (3*x-1)*(x+2)=20;





Задаємо рівняння eq



> eq:=(3*x-1)*(x+2)-20=0;





Розв'язуємо рівняння відносно змінної x



> solve(eq,{x});





Зробимо перевірку: підставляємо розв'язок x=2 в рівняння eq



> subs(x=2,eq);




Підставляємо розв'язок x=-11/3 в рівняння eq



> subs(x=-11/3,eq);





Відповідь: 2; -11/3.



8.2 Задача 8.2 (вар. №7)



Розв’язати рівняння 2-ї степені







Розв’язання.



> 30/(x^2-1)-13/(x^2+x+1)=(7+18*x)/(x^3-1);





Задаємо рівняння eq



> eq:=30/(x^2-1)-13/(x^2+x+1)-(7+18*x)/(x^3-1)=0;





Розв'язуємо рівняння відносно змінної x



> solve(eq,{x});




Зробимо перевірку: підставляємо розв'язок x=-4 в рівняння eq



> subs(x=-4,eq);





Підставляємо розв'язок x=9 в рівняння eq



> subs(x=9,eq);





Відповідь: -4; 9.




9. Завдання №9



9.1 Задача 9.1 (вар. №7)



Привести наступний вираз до найпростішого виду







Розв’язання.



> sqrt(a)/(sqrt(a)-sqrt(b))-sqrt(b)/(sqrt(a)+sqrt(b));





Позбавляємося від ірраціональності в знаменниках



> rationalize(a^(1/2)/(sqrt(a)-sqrt(b)))-rationalize(b^(1/2)/(sqrt(a)+sqrt(b)));





Розкриваємо дужки



> expand(%);





Спрощуємо



> simplify(%);





Відповідь: 



9.2 Задача 9.2 (вар. №7)



Привести наступний вираз до найпростішого виду







Розв’язання.



> 1/(a+sqrt(a^2-b^2))+1/(a-sqrt(a^2-b^2));





Позбавляємося від ірраціональності в знаменниках



> rationalize(1/(a+sqrt(a^2-b^2)))+rationalize(1/(a-sqrt(a^2-b^2)));





Спрощуємо вираз



> simplify(%);




Відповідь: 




10. Завдання №10



10.1 Задача 10.1 (вар. №7)



Привести до раціональному виду наступний вираз







Розв’язання.



> n/(a^(1/3)-b^(1/3));





Позбавляємося від ірраціональності в знаменнику



> rationalize(%);





Відповідь: .



10.2 Задача 10.2 (вар. №7)



Привести до раціональному виду наступний вираз






Розв’язання.



> a/(2+sqrt(2)+sqrt(3)+sqrt(6));





Позбавляємося від ірраціональності в знаменнику



> rationalize(%);





Розкладаємо на множники



> factor(%);





Відповідь: 




11. Завдання №11



Скласти програму, яка видає на печать таблицю значень  для 

Розв’язання.



> for n from 1 to 50 do n^3 end do;














Список використаної літератури



	Аладьев В.З., Богдявичюс М.А. Решение физико-технических и математических задач с пакетом Maple V. В.:Техника, 1999. – 686 с.

	Васильев А.Н. Maple 8. СПб.:Диалектика, 2003. – 352 с.

	Дьяконов В.П. Maple 9 в математике, физике и образовании. М.:СОЛОН-Пресс, 2004. – 688 с.

	Дьяконов В.П. Maple 8 в математике, физике и образовании. М.:СОЛОН-Пресс, 2003. – 656 с.

	Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. – СПб.: БХВ-Петербург, 2001. – 528 с.

	Сдвижков О.А. Математика на компьютере: Maple 8. М.: СОЛОН-Пресс, 2003. – 176с.