Изучение прямолинейного движения тела на машине Атвуда

Федеральное Агентство по образованию



ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)



Кафедра физики









ОТЧЕТ





Лабораторная работа по курсу "Общая физика"









ИЗУЧЕНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ

НА МАШИНЕ АТВУДА















Преподаватель				Студент группы 645-1



___________ /____________. /	__________ / ____________ /



___________20__ г.			__________ 20__ г.













20__


1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ



Целью работы является изучение закона прямолинейного ускоренного движения тел под действием сил земного тяготения с помощью машины Атвуда.



2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ ЭКСПЕРИМЕНТА





Машина Атвуда

4

1

5

3

2

4

6

7

9

8

Рис.2.1.

1 -стойка; 2 - блок; 3 - нить; 4 - грузы; 5 - средний кронштейн; 6 - фотодатчик; 7 - линейка; 8 - миллисекундомер; 9 - опора.Схема экспериментальной установки на основе машины Атвуда приведена на рис.2.1.

На вертикальной стойке 1 крепится легкий блок 2, через который перекинута нить 3 с грузами 4 одинаковой массы. В верхней части стойки расположен электромагнит, который может удерживать блок, не давая ему вращаться. На среднем кронштейне 5 закреплен фотодатчик 6. На корпусе среднего кронштейна имеется риска, совпадающая с оптической осью фотодатчика. Средний кронштейн имеет возможность свободного перемещения и фиксации на вертикальной стойке. На вертикальной стойке укреплена миллиметровая линейка 7, по которой определяют начальное и конечное положения грузов. Начальное положение определяют по нижнему срезу груза, а конечное - по риске на корпусе среднего кронштейна.

Миллисекундомер 8 представляет собой прибор с цифровой индикацией времени. Регулировочные опоры 9 используют для регулировки положения экспериментальной установки на лабораторном столе.

Принцип работы машины Атвуда заключается в том, что когда на концах нити висят грузы одинаковой массы, то система находится в положении безразличного равновесия. Если на правый груз положить перегрузок, то система грузов выйдет из состояния равновесия и начнет двигаться.



3. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ



Средние значения времени < t >  и квадрата времени < t2 > прохождения грузом с перегрузом пути S:

 				

                        				        (3.1)





                                                                   (3.2)



Абсолютная суммарная  погрешность измерения времени прохождения  пути S:

   					            (3.3)





Абсолютная  случайная погрешность  измерения  времени прохождения  пути S:

σсл(t) = t(, n)  S(t)  ;						              (3.4)

где t(, n)  - коэффициент Стьюдента



Стандартная абсолютная погрешность измерения времени:

                         

 				                           (3.5)





где

 ti  - времени прохождения  пути  при i –ом измерении ( i =1. … , n), 

n – число измерений,    < t > - среднее значение времени прохождения  пути.



Абсолютная суммарная  погрешность косвенного измерения квадрата времени  прохождения  пути S:



   σ(t2) = 2 <t> σ(t) 						              (3.6)



Абсолютная  погрешность косвенного измерения корня квадратного из расстояния: 



 					               (3.7)



Угловой коэффициент экспериментальной прямой:

 =								   (3.8)

Величина ускорения, определяемого из линеаризованного графика:

 a = 22 									  (3.9)



Абсолютную случайную погрешность ускорения сл(a) рассчитываем методом наименьших квадратов.  

Рассчитываем параметры  линеаризованного  графика 

(y = f(x)  =  Ax + B) и случайные абсолютные погрешности параметров.

  

Расчет производится по формулам:    (3.10)



куда входят следующие величины:







                             (3.11) 





где n  – число экспериментальных точек.



Абсолютная случайная погрешность определения углового коэффициента: сл(β):



    						                     (3.12)

   



где вспомогательная величина:



                                                          (3.13)





Абсолютная случайная погрешность ускорения:

(a) = 4 () 							      (3.14)





4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ИХ АНАЛИЗ.





Измеренные значения и результаты их обработки приведены в таблице 4.1. 



Результаты измерений

Таблица 4.1



S1 = 36     , см

S2 = 31     , см

S3 = 26     , см

S4 = 21     , см

S5 = 16     , см

Номер измерения

= 6      , см1/2

=  

5,568

     , см1/2

= 5,099      , см1/2

= 4,583      , см1/2

= 4      , см1/2



t, c

t2, c2

t, c

t2, c2

t, c

t2, c2

t, c

t2, c2

t, c

t2, c2

1

4,857

23,59

4,534

20,56

4,396

19,32

3,756

14,11

3,348

11,21

2

4,991

24,91

4,793

22,97

4,384

19,22

3,958

15,67

3,350

11,22

3

5,184

26,87

4,734

22,41

4,089

16,72

3,661

13,40

3,185

10,14

4

5,066

25,66

4,485

20,12

4,208

17,71

3,985

15,88

3,246

10,54

5

5,084

25,85

4,520

20,43

4,364

19,04

3,975

15,80

3,260

10,63

< t >, c

5,036

4,614

4,288

3,868

3,278

< t2 >, c2

25,36

21,30

18,40

14,97

10,75



Средние значения времени < t >  и квадрата времени < t2 > прохождения пути S, приведенные в таблице 4.1,  рассчитаны по выражениям 3.1 и 3.2 (число точек измерения n=5 ).



Для первой точки измерения  (S1 =  36 см):

Стандартную абсолютную погрешность измерения времени рассчитываем по формуле 3.5 для  числа измерений n=5:



Δt1= t1−< t>1 = 4,857−5,036 =  -0,179 с;  Δt12 = (-0,179)2 = 0,032 с2;

Δt2= t2−< t>1 = 4,991−5,036 =  -0,045 с;  Δt22 = (-0,045)2 = 0,002 с2;

Δt3= t3−< t>1 = 5,184−5,036 =  0,148 с;  Δt32 =  (0,148)2 = 0,022 с2;

Δt4= t4−< t>1 = 5,066−5,036 =  0,030 с;  Δt42 =  (0,030)2 = 0,001 с2;

Δt5= t5−< t>1 = 5,084−5,036 =  0,048 с;  Δt52 =  (0,048)2 = 0,002 с2;











№

измерения

№  опыта

t, с

Δt, с

Δt2, с2

<t>, с

S(t), с 

σ(t),с

σ(t2), с2

1

1

4,857

-0,179

0,032

5,036

0,055

0,118

1,189



2

4,991

-0,045

0,002











3

5,184

0,148

0,022











4

5,066

0,030

0,001











5

5,084

0,048

0,002











t1 = 5,036 ± 0,118, с

2

6

4,534

-0,080

0,006

4,614

0,063

0,130

1,200



7

4,793

0,179

0,032











8

4,734

0,120

0,014











9

4,485

-0,129

0,017











10

4,520

-0,094

0,009











t2 = 4,614 ± 0,130, с

3

11

4,396

0,108

0,012

4,288

0,063

0,130

1,120



12

4,384

0,096

0,009











13

4,089

-0,199

0,040











14

4,208

-0,080

0,006











15

4,364

0,076

0,006











t3 = 4,288 ± 0,130, с

4

16

3,756

-0,112

0,013

3,868

0,071

0,148

1,145



17

3,958

0,090

0,008











18

3,661

-0,207

0,043











19

3,985

0,117

0,014











20

3,975

0,107

0,012











t4 = 3,868 ± 0,148, с

5

21

3,348

0,070

0,005

3,278

0,032

0,071

0,466



22

3,350

0,072

0,005











23

3,185

-0,093

0,009











24

3,246

-0,032

0,001











25

3,260

-0,018

0,0003











t5 = 3,278 ± 0,071, с

Абсолютная случайная погрешность измерения времени прохождения  пути определяется по формуле 3.4. При доверительной вероятности  =0,9 и  числе измерений n =5 коэффициент Стьюдента t(, n)  = 2,1:

σсл(t)1 = 2,1*0,055 = 0,116 c ;



Результаты расчетов  погрешностей 

прямых и косвенных измерений времени и квадрата времени.

  Таблица 4.2





Абсолютную систематическую приборную погрешность измерения времени определяем как  половину цены наименьшего деления секундомера :  

σсис(t) = 0,0005 с  ;



Абсолютная суммарная  погрешность измерения времени прохождения  пути по формуле 3.3 :



Так как величина σсис(t)  много меньше величины σсл(t)1  (σсис(t) = 0,0005 с  << σсл(t)1 = 0,116 c), то в дальнейшем будем считать, что σ(t)1 ≈ σсис(t)1 .



Абсолютная суммарная  погрешность косвенного измерения квадрата времени  прохождения  пути рассчитываем по формуле 3.6 :

σ(t2)1 = 2×5,036×0,116 = 1,168 с2 ;



Результаты измерений записываем в виде   < t > ±  σ(t) :

t1= 5,036±0,116 с.



Результаты расчетов случайной, приборной и общей погрешности измерений времени и квадрата времени приведены  в таблице 4.2. 



Абсолютную погрешность измерения расстояния определяем как половину цены деления линейки:

 σ(S)  = 0,05 см ;



Абсолютная  погрешность косвенного измерения корня квадратного из расстояния по формуле 3.7 : 







Для остальных точек измерений (при других значениях S) расчет проводится аналогично.



Результаты расчетов приведены в таблицах 4.2 и 4.3.

Таблица 4.3.













n/n

S , см

σ(S), см

,  см0,5

σ(). см0,5

<t>, c

(<t>)2, c2

(<t>) ,  c см0,5

1

36

0,05

6

0,004

5,036

25,36

30,22

2

31

0,05

5,568

0,005

4,614

21,29

25,69

3

26

0,05

5,099

0,005

4,288

18,39

21,87

4

21

0,05

4,583

0,006

3,868

14,96

17,73

5

16

0,05

4

0,006

3,278

10,75

13,11



130

 

25,25

 

21,08

90,75

108,6

МНК

S6



S2



S1

S4

S3



На основании данных, приведенных в таблицах 4.2, 4.3 строим графики зависимостей S = f1(t)  ( рис. 4.1.)  и   S = f2(t2) ( рис. 4.2.), на графиках наносим доверительные интервалы.







t, с

S, см

S = f1(t)

0

1

2

3

4

5

6

40

30

20

10



 Рисунок 4.1. Зависимость пройденного пути S от времени t.





S, см

0



120

18

24

30

36

40

30

20

10

S = f2(t2)

t2, с2

6

 	Рисунок 4.2. Зависимость пройденного пути S от  квадрата времени t2.

На рис.4.3. представлен линеаризованный график  = f3(t) зависимости квадратного корня   пройденного пути от времени t.





t, с

0

1

2

3

4

5

6

  8

  6

  4

  2



Δt

Рисунок 4.3.  Зависимость    от времени t.   



На графике (рис. 4.3) видно, что прямая пересекает доверительные интервалы для всех экспериментальных точек.

Определим из графика угловой коэффициент прямой по формуле 3.8:

	граф = 5 / 8,3  = 1,19  см0,5/с ;  

 

     Величину ускорения определим по формуле 3.9:

          aграф =  2×(1,19)2  = 2,83 см/с2 ;



По методу наименьших квадратов (МНК) рассчитаем параметр     линеаризованного  графика  =   t   и случайную абсолютную погрешность параметра сл( ). 

 

По формулам 3.11, используя данные таблицы 4.3, определяем значение величин S1 − S6  для расчета по МНК (число точек n =5):



 S1  =  21,08 c;			S4  =  90,75  c2 ;

  S2  =   25,25 см1/2 ;			S6  =  130 см ;

 S3  = 108,6  cсм1/2 ;		S5  =  5×90,75  − (21,08)2  = 9,4 c  см1/2 . 

По формуле 3.10 определим параметр    линеаризованного графика:



  = (5×108,6 − 21,08 ×25,25) / 9,4 = 1,14  см1/2/c.



Угловой коэффициент прямой   = 1,14  см1/2/c.



 Значение вспомогательной величины S0 по формуле 3.13:



S0  = 130/ 3 – (25,252   + 1,14 2×9,4 ) / 15 = 0,01 см.



По формуле 3.12 определим погрешность вычисления углового коэффициента прямой:



() = (5×0,012 /9,4) 0,5 = 0,01 см1/2/c .



Величина ускорения по формуле 3.9 :

      	

 a = 2×1,142  = 2,6 см/с2.



Абсолютная случайная погрешность ускорения по формуле 3.14 :

(a) =  4×1,14×0,01 = 0,046 см/с2 .



Получаем:

 a =  (2,6 ±  0,046) см/с2  = (2,6 ±  0,046)×10-2 м/с2 .











5. ВЫВОДЫ





В результате проделанной работы мы смогли  в  пределах  погрешностей   измерений    построить     линеаризованный    график   зависимости . Все точки в этой зависимости укладываются на прямую в пределах их погрешностей.

Подтвердили справедливость закона прямолинейного ускоренного движения тел под действием сил земного тяготения с помощью машины Атвуда:

при равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью справедливо выражение    S = at2/2 ,

где S – путь пройденный телом за время движения t,

          a – ускорение  движения.



В ходе работы определена величина ускорения и сделана оценка ее погрешности:

a =  (2,46 ±  0,23)  10-2 м/с2 .



6. ОТВЕТЫ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ





6.1.Какие силы действуют на груз с перегрузом во время движения? 
Сила тяжести и сила натяжения нити. 

6.2.Запишите уравнения движения для  каждого из грузов. 
Уравнения движения грузов имеют вид: 
(M+m)g –T1=(M+m)a1 
Mg –T2 =Ma2. 
А так как нить не растяжима, то а1=;-а2; если блок невесом, то Т1=Т2. 
Данные уравнения получены путем составления основного уравнения динамики для первого и второго грузов. 
6.3.Причина, по которым теоретические выводы не совпадают с результатами измерений. 
Погрешности измерений физических величин  (случайные и погрешности прибора) приводят к несовпадению теоретических результатов и результатов эксперимента 

6.4.Каким образом из линеаризованного графика можно оценить систематическую погрешность измерения времени. 
Систематическая погрешность приводит к тому, что прямая не будет проходить из начала координат. Величина отклонения от начала координат – систематическая погрешность. 
6.5. Укажите физические допущения, используемые при теоретическом анализе движения грузов. 
Блок и нить невесомы, нить нерастяжима, сила трения отсутствует.