Метод вращений решения линейных систем

Метод вращений решения линейных систем

	

    Как и в методе Гаусса, цель прямого хода преобразований в этом методе–приведение системы к треугольному виду последовательным обнулением поддиагональных элементов сначала первого столбца, затем второго и т.д.

	

       Умножим первое уравнение исходной системы (1) на с1 ,второе на s1 и сложим их ; полученным уравнением заменим первое уравнение системы. Затем первое уравнение исходной системы умножаем на –s1 , второе на c1  и результатом их сложения заменим второе уравнение . Таким образом, первые два уравнения (1) заменяются уравнениями

          





Отсюда . Эти числа можно интерпретировать как косинус и синус некоторого угла (отсюда название метод вращения, каждый шаг такого преобразования можно рассматривать как вращение расширенной матрицы системы в плоскости обнуляемого индекса). 

В результате преобразований получим систему





где

 

Далее первое уравнение системы заменяется новым, полученным сложением результатов умножения первого и третьего уравнений соответственно на



а третье–уравнением,  полученное  при сложении   результатов умножения  тех же 



где



Выполнив преобразование m-1 раз, придем к системе



      Вид полученной системы такой же, как после первого этапа преобразований методом Гаусса. Эта система обладает следующим свойством: длина любого вектора-столбца (эвклидова норма) расширенной матрицы остается такой же, как у исходной матрицы. Следовательно, при выполнении преобразований не наблюдается рост элементов.

Далее по этому же алгоритму преобразуется матрица



и т.д.

В результате m-1 этапов прямого хода система будет приведена к треугольному виду.



Нахождение неизвестных не отличается от обратного хода метода Гаусса.

Всего метод вращения требует примерно  операций умножения и деления.



Пример:



Дана СЛУ:

х1+2х2+3х3=8

3х1+х2+х3=3

2х1+3х2+х3=5



Умножим первое уравнение на с1, второе на s1, сложим их, а потом умножим первое на ( –s1), а второе на с1 и сложим. Результат : система (1)  из 2 измененных уравнений и 1 оставшегося:



x1(c1+3s1)+x2(2c1+s1)+x3(3c1+s1)=8c1+3s1

x1(3c1-s1)+x2(c1-2s1)+x3(c1-3s1)=3c1-8s1

2x1+3x2+x3=5



Найти c1 и s1 



-s1+3c1=0



c1=1/10^1/2



s1=3/10^1/2



Подставим эти значения в первые два уравнения системы  (1), получим новую систему (2):



10x1+5x2+6x3=17

         -5x2-8x3=-21

2x1+3x2=5



Умножим уравнение 1 из системы(2) на с2, третье на s2, сложим их, а потом умножим первое на ( –s2), а второе на с2 и сложим. Результат : система (3):



2x1(5c2+s2)+x2(5c2+3s2)+x3(6c2+s2)=17c2+5s2

2x1(c2-5s2)+x2(3c2-5s2)+x3(c2-5s2)=5c2-17s2



Найти c2 и s2:



-10s2+2c2=0



c2=5/26^1/2

s2=1/26^1/2



Подставим эти значения в уравнения 1 и 3 системы (3), получим систему (4):



52x1+28x2+31x3=90

-5x2-8x3=-21

-10x2-x3=-8



Теперь, оставляя 1 уравнение без изменений, умножим  второе на с3, третье на s3, сложим их., умножим второе на (-s3), третье на с3, сложим и их. Результат : система (5):



52x1+28x2+31x3=90

5x2(-c3-2s3)+x3(-8c3-s3)=-21c3-8s3

5x2(-2c3+s3)+x3(-c3+8s3)=-8c3+21s3



Найдем c3 и s3:



10s3-5c3=0



c3=-1/5^1/2

s3=-2/5^1/2



Подставим найденные значения во 2 и 3 уравнения системы (5) и найдем результирующую систему (6):



52x1+28x2+31x3=90

            35x2-10x3=15

                   -15x3=-30





Ответы:

х1=0

х2=1

х3=2









2