Застосування теоретико-польових методів до низькорозмірних квантових систем при скінченній температурі

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені ТАРАСА ШЕВЧЕНКА









ВЛАСІЙ НАДІЯ ДМИТРІВНА



УДК 530.145





ЗАСТОСУВАННЯ ТЕОРЕТИКО-ПОЛЬОВИХ МЕТОДІВ

ДО НИЗЬКОРОЗМІРНИХ КВАНТОВИХ СИСТЕМ

ПРИ СКІНЧЕННІЙ ТЕМПЕРАТУРІ





Спеціальність 01.04.02 – теоретична фізика



Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук



















Київ – 2008


ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ



Актуальність теми. В останні десятиліття область застосування методів квантової теорії поля значно розширюється, охоплюючи поряд із фізикою елементарних частинок, космологією і астрофізикою також і різноманітні галузі фізики конденсованого стану речовини. Це пов'язано з успіхами в експериментальному дослідженні високотемпературної надпровідності, квантового ефекту Хола та різного роду мезоскопічних і нанофізичних ефектів. Спільною рисою цих явищ є те, що вони відбуваються у фізичних системах з просторовою розмірністю, меншою за три, і те, що для свого пояснення вони потребують залучення методів квантової теорії поля.

Розвиток теоретико-польових підходів до низьковимірних фізичних систем набуває ще більшої актуальності у зв'язку з експериментальним відкриттям наприкінці 2004 року строго двовимірної графітової наноструктури – графену, що має унікальні механічні та електропровідні властивості і створює можливості заміни кремнієвих мікросхем на більш міцні вуглецеві наносхеми. Унікальність графену полягає і в тому, що квазічастинкові збудження в ньому описуються не рівнянням Шредінгера, а рівнянням Дірака–Вейля зі швидкістю світла, заміненою на відповідну швидкість Фермі. Отже, графен являє собою двовимірну квазірелятивістську ферміонну систему, і, з огляду на вищесказане, дослідження властивостей таких систем за наявності зовнішніх полів, домішок, дефектів і різного роду взаємодій є надзвичайно актуальною задачею.

В квантовій теорії поля має перспективи напрям, в рамках якого непертурбативна динаміка ферміонів трактується як взаємодія квантованих ферміонних полів з топологічно нетривіальними конфігураціями зовнішніх класичних полів. Топологічні явища мають універсальний характер і зумовлені загальними властивостями простору, а з часу відкриття майже півстоліття тому ефекту Бома–Ааронова стало зрозумілим, що нетривіальна топологія може бути пов'язана з фундаментальними принципами квантової теорії. Зокрема, в двовимірних квантових ферміонних системах нетривіальна топологія може бути зумовлена конфігурацією зовнішнього поля у вигляді вихра, і вплив такої конфігурації на властивості системи заслуговує на досконале вивчення.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалася

	за темою "Теоретично дослідити нелінійні фізичні процеси в середовищах і об'єктах під впливом зовнішньої дії" (державний реєстраційний номер 0106U006361),

	за темою "Електро- і магнітооптика гетероструктурних рідкокристалічних та інших структурно подібних систем" (державний реєстраційний номер 0101U002881),

	за темою "Дослідження структури і динаміки фізичного вакууму та частинкових і колективних збуджень в фізиці високих енергій, квантових макросистемах, космології і астрофізиці" (державний реєстраційний номер 0105U008402).

Мета і завдання дослідження. Мета дисертаційної роботи полягає у з'ясуванні фізичних властивостей 

			завершити розробку теорії квантових релятивістських ферміонних систем з вихровим дефектом при скінченній температурі,

			побудувати теорію індукування кутового моменту в релятивістському фермі-газі з магнітним вихровим дефектом,

			побудувати теорію індукування заряду основного стану в графені з топологічними дефектами.

Об'єктом дослідження є двовимірні квантові квазірелятивістські ферміонні системи з топологічними дефектами.

Предметом дослідження є властивості ферміонних збуджень, спостережувані та їх температурні характеристики.

Методи дослідження полягають у використанні формалізму квантової теорії поля включно з методами регуляризації і перенормування. Для визначення температурних характеристик застосовується метод функцій Гріна при ненульовій температурі. Для визначення граничної умови, якій задовольняє квантоване ферміонне поле у місці топологічного дефекту, використовується метод самоспряженого розширення симетричних операторів.

Наукова новизна одержаних результатів.

	Вперше обчислені температурні кореляції повного кутового моменту зі спіном та з орбітальним кутовим моментом і температурна квадратична флуктуація повного кутового моменту у двовимірному релятивістському фермі-газі з магнітним вихровим дефектом.

	Вперше встановлено, що в залежності від вибору граничної умови в місці магнітного вихра вакуумне значення повного кутового моменту може бути або точно спостережуваним в окремому квантовому вимірюванні, або середнім по багатьох квантових вимірюваннях.

	Вперше показано, що квантова теорія поля при ненульовій температурі однозначно вказує на вибір кінетичного (а не канонічного) означення кутового моменту зарядженої частинки в зовнішньому полі магнітного вихра.

	Вперше визначено клас дисклинацій в графені, який для опису електронних властивостей системи вимагає процедури самоспряженого розширення гамільтонового оператора.

	Вперше отримані точні аналітичні вирази для електронної густини станів графітового листа, скрученого в конус з різними можливими кутами розгортки.

	Вперше показано, що за наявності в графені топологічних дефектів у вигляді одного п'ятикутника, одного семикутника чи трьох семикутників можливе індукування заряду основного стану.

Практичне значення одержаних результатів. Одержані результати мають фундаментальне значення, а також можуть бути використані у подальших теоретичних та експериментальних дослідженнях фізичних ефектів у низькорозмірних системах.

Вирішення в дисертації проблеми адекватного означення кутового моменту зарядженої частинки в зовнішньому полі магнітного вихра може бути використане для обгрунтування і подальшого розвитку застосувань концепції еніонів і подрібненої статистики до фізичних двовимірних систем.

Отримані в дисертації теоретичні передбачення щодо електронних властивостей графену з топологічними дефектами можуть бути використані для теоретичного і експериментального дослідження різного роду форм та конфігурацій вуглецевих наноматеріалів, структура яких базується на двовимірному графітовому листі.

Особистий внесок здобувача. Постановку задач дослідження здійснено науковим керівником, а результати, що складають основу дисертаційної роботи, отримані здобувачем особисто. Публікації [1-6, 8] підготовлені разом з науковим керівником, а публікація [7] – самостійно. В працях, що виконані у співавторстві з науковим керівником, особистий внесок здобувача полягав у проведенні аналітичних розрахунків, аналізі отриманих результатів і підготовці статей до друку. Зокрема, у роботах [1, 3] здобувачем обчислені спектральні густини, що визначають квадратичну флуктуацію повного кутового моменту та кореляції повного кутового моменту зі спіном та орбітальним кутовим моментом, проаналізовано умову, коли повний кутовий момент при нульовій температурі не є точно спостережуваним в окремому квантовому вимірюванні. В роботах [2, 4-6, 8] особистий внесок здобувача полягає у розробці неперервної моделі для ферміонних квазічастинок у графені з топологічними дефектами, визначенні граничної умови для хвильової функції та аналітичному обчисленні електронної густини станів для графену з різного типу топологічними дефектами.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, включених до дисертаційної роботи, доповідались на Літній школі INTAS "Нові напрями у фізиці високих енергій" (Ялта, 10-17 вересня 2005 р.), II Міжнародній конференції з квантової електродинаміки і статистичної фізики QEDSP2006 (Харків, 19-23 вересня 2006 р.), Міжнародній конференції молодих учених і аспірантів ІЕФ-2007 (Ужгород, 14-19 травня 2007 р.), Міжнародній конференції студентів і молодих науковців з теоретичної та експериментальної фізики ЕВРИКА-2007 (Львів, 22-24 травня 2007 р.) і VIII Міжнародній науковій нараді "Квантова теорія поля під впливом зовнішніх умов" QFEXT07 (Лейпциг, Німеччина, 16-21 вересня 2007 р.). Матеріали дисертації доповідались на наукових семінарах кафедри теоретичної фізики фізичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка, Інституту теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова НАН України, Інституту математики НАН України і Інституту теоретичної фізики Бернського університету (Швейцарія).

Публікації. Результати дисертації опубліковані у 5 статтях у наукових фахових виданнях [1-5] та у 3 тезах міжнародних конференцій [6-8].

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел з 117 найменувань. Дисертація викладена на 107 сторінках, включає 11 рисунків.






ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ



У вступі обґрунтовано актуальність обраної в дисертації теми досліджень, сформульовано завдання та мету досліджень, розкрито наукову новизну та практичне значення отриманих результатів, наведено зв’язок із науковими програмами, апробацію результатів дисертаційної роботи та визначено основний внесок здобувача.

В першому розділі “Фізичні низькорозмірні системи квазірелятивістських ферміонів” зроблено огляд літератури з теоретичних та експериментальних досліджень двовимірних квантових ферміонних систем. 

В першому підрозділі першого розділу обґрунтовується застосовність неперервної моделі для ефективного опису електронних властивостей графену в довгохвильовому наближенні. Атоми вуглецю в графені утворюють правильну шестикутну гратку з одним валентним електроном на кожному вузлі. Елементарна комірка має ромбічну форму і містить два атоми, отже графенова гратка складається з двох трикутних підграток. Перша зона Брилюена являє собою правильний шестикутник, вершини якого ототожнюються з точками Фермі, з яких дві взаємно протилежні є нееквівалентними. В рамках неперервної моделі одночастинковим гамільтоніаном є гамільтоніан Дірака–Вейля для безмасових електронів у 2+1-вимірному просторі-часі зі швидкістю світла, заміненою на швидкість Фермі:

(1)

де і це 4Ч4 матриці, що належать звідному представленню, утвореному як пряма сума двох нееквівалентних незвідних представлень алгебри Кліфорда у 2+1-вимірному просторі-часі. Одночастинкова хвильова функція, що описує електронні збудження в графені, має чотири компоненти, які відповідають двом підграткам і двом нееквівалентним точкам Фермі.

Другий підрозділ першого розділу знайомить з топологічними дефектами, які приводять до скручення графену у графітові наноконуси. Такими топологічними дефектами є дисклинації в шестикутній атомарній гратці, які відповідають заміні шестикутника на многокутник з кутами, де – ціле число, що менше за 6. Відповідно, із двовимірного кристалу графену вилучається або додається сектор, величина якого кратна. Многокутники з () індукують локально додатню (від’ємну) кривину, в той час як вдалині від дефекту графітова плівка залишається плоскою так само, як і конічна поверхня вдалині від вершини. Звичайно, многокутні дефекти з та є математичною абстракцією, як і конуси з точковою вершиною. В дійсності дефекти згладжуються, і фактично перераховує кількість п’ятикутних дефектів, що скупчені у згладженій вершині вуглецевого наноконуса, а фактично перераховує кількість семикутних дефектів, що скупчені у згладженій вершині сідловидного вуглецевого наноконуса. 

У третьому підрозділі першого розділу обговорюється загальна тематика досліджень фізичних ефектів у двовимірних квантових (квазі)релятивістських ферміонних системах з топологічним дефектом у вигляді магнітного вихра. З’ясовані питання, що залишились не вирішеними, окреслені напрями досліджень у дисертаційній роботі.

У другому розділі “Квантові релятивістські ферміонні системи з вихровим дефектом” викладено основні методи і розроблено загальну методику проведення дисертаційних досліджень. 

В першому підрозділі другого розділу застосовується формалізм квантової теорії поля до релятивістських ферміонних систем при скінченній температурі, що дозволяє визначити середні значення спостережуваних, флуктуації та кореляції в цих системах. Показана необхідність перенормування взаємодії із зовнішнім полем і розкрита роль спектральних густин, що відповідають різним середнім, флуктуаціям та кореляціям. 

У другому підрозділі другого розділу розглядається двовимірна система у зовнішньому полі топологічного дефекту у вигляді точкового магнітного вихра, що задається векторним потенціалом.

У третьому підрозділі другого розділу проведено самоспряжене розширення гамільтоніана Дірака і знайдено сукупність граничних умов, що дозволяють нерегулярну поведінку розв’язку рівняння Дірака. Ця сукупність параметризується значеннями дійсної неперервної величини, яка, власне, і називається параметром самоспряженого розширення. 

У четвертому підрозділі другого розділу обговорюються особливості ультрателятивістської границі, актуальність якої зумовлена лінійністю квазірелятивістського спектру графену. В останньому підрозділі підсумовуються результати розділу.

У третьому розділі “Подрібнення кутового моменту двовимірного релятивістського фермі-газу з магнітним вихром” розглядаються температурні ефекти в індукуванні спіну, орбітального та повного кутових моментів топологічним дефектом у вигляді точкового магнітного вихра.

В першому підрозділі третього розділу обговорюються дві альтернативні можливості (канонічного чи кінетичного) означення в квантовій механіці кутового моменту зарядженої частинки в зовнішньому полі магнітного вихра.

У другому підрозділі третього розділу введені оператори спіну, орбітального та повного кутового моменту у вторинно квантованій теорії, що відповідає двовимірному релятивістському фермі-газу з точковим магнітним вихром.

У третьому підрозділі третього розділу розглядається ядро резольвенти діраківського гамільтоніана такої системи. Показано, що поряд із регулярними радіальними компонентами ядра резольвенти існують також і нерегулярні в точці вихра радіальні компоненти, і визначена гранична умова для нерегулярних компонент, яка містить параметр самоспряженого розширення діраківського гамільтоніана. Наведено явний вигляд усіх радіальних компонент ядра резольвенти. 

Четвертий підрозділ третього розділу присвячений аналізу спектральних густин, що визначатимуть температурні характеристики спіну, орбітального та повного кутових моментів. Грунтуючись на результатах попереднього підрозділу, показано, що спектральні густини складаються з двох частин: екстенсивної, тобто залежної від розмірів системи, і розбіжної, коли ці розміри прямують до нескінченності, та інтенсивної, тобто не залежної від розмірів системи, і, отже, скінченої у випадку нескінченних розмірів. Екстенсивна частина визначається виключно внеском ідеального газу і тому не залежить від величини потоку магнітного вихра, а інтенсивна частина визначається перенормованим внеском взаємодії з вихром і залежить періодично від величини потоку вихра. 

У п’ятому підрозділі третього розділу ці результати використовуються для одержання температурних середніх спіна, орбітального та повного кутових моментів. Ці середні залишаються незмінними при переході до еквівалентних представлень алгебри Кліфорда і змінюють знак на протилежний при переході до нееквівалентного представлення. Спін та повний кутовий момент складаються з двох частин: одна, що не залежить від вихрового потоку, зростає зі зростанням розмірів системи, і друга, що залежить періодично від величини вихрового потоку, залишається скінченною зі зростанням розмірів системи. 

Шостий підрозділ третього розділу займає ключове місце в третьому розділі, оскільки в ньому розглядаються температурні квадратичні флуктуації спостережуваних, що зберігаються, та температурні кореляції між спостережуваними, що зберігаються і не зберігаються. Показано, що ці температурні характеристики залишаються незмінними при переході до будь-якого іншого (еквівалентного чи нееквівалентного) представлення алгебри Кліфорда. Зокрема для квадратичної флуктуації повного кутового моменту отриманий вираз тут, де два значення параметра відповідають двом нееквівалентним незвідним представленням алгебри Кліфорда у 2+1-вимірному просторі-часі. Також отримані вирази для кореляцій повного кутового моменту зі спіном та орбітальним кутовим моментом. Узагальнюючи ці результати, можна зазначати, що кореляції і флуктуація складаються з двох частин: одна, що не залежить від вихрового потоку, зростає зі зростанням розмірів системи, і друга, що залежить періодично від величини вихрового потоку, залишається скінченною зі зростанням розмірів системи. Показано, що скінченні частини виражаються через кореляції відповідних спостережуваних з ферміонним числом.

В сьомому підрозділі третього розділу, грунтуючись на результатах щодо квадратичної флуктуації повного кутового моменту і кореляції повного кутового моменту з ферміонним числом, показана неприйнятність канонічного означення кутового моменту.

У восьмому підрозділі третього розділу підводяться підсумки дослідження подрібнення кутового моменту в релятивістському фермі-газі з магнітним вихром. Встановлено, що в залежності від вибору граничної умови у місці магнітного вихра вакуумне значення повного кутового моменту може бути або точно спостережуваним в окремому квантовому вимірюванні, або результатом усереднення по багатьох квантових вимірюваннях.

Четвертий розділ “Електронні властивості двовимірних графітових наноструктур з топологічними дефектами” присвячений дослідженню графену з дисклинаціями, що приводять до скручення графітового листа в наноконус.

У першому підрозділі четвертого розділу, який має характер вступу до цієї теми, обговорюється питання вибору представлення алгебри Кліфорда для хвильової функції, що описує електронні збудження в графені. Наводиться явний вигляд двох представлень – стандартного планарного та кірального планарного. Вводиться поняття псевдоспіну, з використанням якого можна здійснювати повороти на площині графітового листа. Комбіноване перетворення, що складається з повороту на 180° і взаємозаміни двох підграток та, одночасно, двох нееквівалентних точок Фермі, зберігає симетрію графітового листа і може розглядатися як перетворення парності для графену. Знайдено явний вигляд оператора, що здійснює взаємозаміну підграток та точок Фермі і комутує з одночастинковим гамільтоніаном електронних збуджень.

Топологічний дефект у графені проявляється у скрученні графітового листа в конус і у граничній умові, якій задовольняє електронна хвильова функція на графітовому наноконусі.

При подвійному обході навколо вершини таке переплутування знімається, оскільки. Тому цю умову можна характеризувати, як умову типу листа Мебіуса, для якого потрібен подвійний обхід, щоб повернутися в початкову точку. Здійснюючи сингулярне калібровне перетворення, отримуємо хвильову функцію, що задовольняє тій же умові, що й за відсутності дефекту

Як видно, виникає подовжена (коваріантна) похідна по кутовій змінній, і, отже, з’являється векторний потенціал з відмінною від нуля та не залежною від координат кутовою компонентою. Такий потенціал схожий на потенціал магнітного вихра, однак суттєва відмінність полягає в наявності матриці, яка відмінна від одиничної, але комутує з та і має слід, рівний нулю. Тому конфігурація поля, якій відповідає векторний потенціал, називатиметься нами псевдомагнітним вихром; зауважимо, що потік псевдомагнітного вихра пов’язаний з дефіцитом кута графітового наноконуса. Отже, головний висновок цього підрозділу полягає в тому, що топологічний дефект у графені описується псевдомагнітним вихром з потоком крізь вершину конуса з дефіцитом кута.

У четвертому підрозділі четвертого розділу показано, що у випадках дисклинацій з трьох і більше п’ятикутників () гамільтоніан Дірака–Вейля є суттєво самоспряженим. Як наслідок, густина станів є парною функцією енергії, і заряд основного стану дорівнює нулю, як і у випадку графену без дисклинацій. 

П’ятий підрозділ четвертого розділу присвячений аналізу випадків дисклинацій з менш ніж трьома п’ятикутниками та з від одного до трьох і шістьма семикутниками, коли гамільтоніан Дірака–Вейля не є суттєво самоспряженим, а його самоспряжене розширення параметризується однією дійсною неперервною величиною. Знайдена повна система розв’язків рівняння Дірака–Вейля та визначено ядро резольвенти гамільтоніана Дірака–Вейля в цих випадках. Показано, що у випадках дисклинацій з одним п’ятикутником, одним семикутником та трьома семикутникам густина станів може мати не парну по енергії частину; зокрема, поблизу рівня Фермі () густина станів може бути розбіжною.

В шостому підрозділі четвертого розділу завершується побудова теорії електронних властивостей графену з дисклинаціями. Обчислений заряд основного стану графену у випадках дисклинацій з усіма можливими кількостями (від одного до п’яти) п’ятикутників та дисклинацій з від одного до трьох та шістьма семикутниками. Показано, що тільки у випадках дисклинацій з одним п’ятикутником (), одним семикутником () та трьома семикутниками () заряд основного стану графену може бути відмінним від нуля і цілочисельним, задовольняючи наступному співвідношенню

В сьомому підрозділі четвертого розділу підсумовуються результати побудованої теорії електронних властивостей графену з дисклинаціями і зазначається, що задачею майбутніх експериментів може бути остаточне з’ясування можливості індукування одиничного заряду основного стану в графені з трьома вищевказаними типами дисклинацій.






ВИСНОВКИ



В дисертації проведено систематичне дослідження впливу топологічних дефектів на фізичні властивості двовимірних квантових квазірелятивістських систем на основі застосування методів квантової теорії поля при скінченній температурі. Вирішені наукові завдання, які полягали в побудові теорії індукування кутового моменту в релятивістському фермі-газі з магнітним вихровим дефектом і в побудові теорії індукування заряду основного стану в графені з дисклинаціями. Головні наукові результати та висновки з проведенного дослідження можна сформулювати наступним чином.

Обчислено температурну квадратичну флуктуацію повного кутового моменту і температурні кореляції повного кутового моменту зі спіном та з орбітальним кутовим моментом у двовимірному релятивістському фермі-газі з магнітним вихровим дефектом. Ці температурні характеристики складаються з двох частин: одна, що не залежить від вихрового потоку, зростає зі зростанням розмірів системи, і друга, що залежить періодично від величини вихрового потоку, залишається скінченною зі зростанням розмірів системи.

Показано, що в залежності від вибору граничної умови в місці магнітного вихра вакуумне значення повного кутового моменту може бути або точно спостережуваним в окремому квантовому вимірюванні, або середнім по багатьох квантових вимірюваннях. Визначено граничну умову, за якої вакуумні значення повного кутового моменту і заряду є середніми по багатьох квантових вимірюваннях: ця умова відповідає існуванню зв'язаного стану з нульовою енергією в спектрі одночастинкового діраківського гамільтоніана. Для всіх інших граничних умов вакуумні значення кутового моменту і заряду є точно спостережуваними в окремому квантовому вимірюванні.

Вирішено задачу адекватного означення кутового моменту зарядженої частинки у присутності магнітного вихра. Аналіз, проведений в рамках вторинно квантованої теорії при ненульовій температурі, свідчить на користь кінетичного означення кутового моменту.

Показано, що топологічний дефект, який приводить до скручення графітового листа у наноконус, описується псевдомагнітним вихром у вершині конуса. Знайдено співвідношення між потоком вихра та дефіцитом кута конічної поверхні.

Досліджено вплив топологічних дефектів на електронні властивості графену, і отримано аналітичні вирази для густини станів у випадках дисклинацій, що містять всі можливі кількості (від одного до п'яти) п'ятикутників і від одного до трьох та шість семикутників. Показано, що у випадках дисклинацій у вигляді одного п'ятикутника, одного семикутника та трьох семикутників густина станів суттєво залежить від параметра самоспряженого розширення і може мати не парну по енергії частину, яка степеневим чином розбігається поблизу поверхні Фермі. Як наслідок, в таких наноструктурах можливе індукування одиничного заряду основного стану.






СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ



	1.	Sitenko Yu.A., Vlasii N.D. Fractionalization of angular momentum at finite temperature around a magnetic vortex // Annals of Physics. – 2007.–V. 322, N 4.– P. 977–1004.

	2.	Sitenko Yu.A., Vlasii N.D. Electronic properties of graphene with a topological defect // Nucl. Phys. B.– 2007.–V. 787, N 3.– P. 241–259.

	3.	Власій Н.Д., Ситенко Ю.О. Спін та кутовий момент двовимірного релятивістського фермі-газу з магнітним вихром // Журнал фізичних досліджень.– 2007.– Т. 11, №4.– С. 377–389.

	4.	Власій Н.Д., Ситенко Ю.О. Властивості електронних спектрів у графені з дисклинаціями // Наук. вісник Ужгородського ун-ту. Серія "Фізика".– 2007.– Т. 21.– С. 97–103.

	5.	Sitenko Yu.A., Vlasii N.D. Electronic properties of disclinations in carbon nanostructures // Problems of Atomic Science and Technology.– 2007.– V. 3.– P. 66–70.

	6.	Sitenko Yu.A., Vlasii N.D. Electronic properties of disclinations in carbon nanostructures // Book of Abstracts 2nd Intern. Conf. on Quantum Electrodynamics and Statistical Physics (QEDSP 2006). – Kharkov, 2006.– P.36–37.

	7.	Vlasii N.D. Properties of electronic spectra in graphene with disclinations // Programme and Abstracts Intern. Conf. of Young Scientists and Post-Graduates IEP-2007.– Uzhhorod, 2007.– P. 91.

	8.	Власій Н.Д., Ситенко Ю.О. Електронні властивості топологічних дефектів у графені // Тези доповідей Міжнародної конференції студентів і молодих науковців з теоретичної та експериментальної фізики ЕВРИКА-2007.– Львів, 2007.– С. B20.