ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения дифференциального уравнения n-го порядка

2



Министерство Топлива и Энергетики Украины



СЕВАСТОПОЛЬСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЯДЕРНОЙ ЭНЕРГИИ И ПРОМЫШЛЕННОСТИ

	



Практическое занятие №3

по дисциплине

	«Использование ЭВМ в инженерных расчетах электротехнических систем»





Тема : ЭВМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MathCad В СРЕДЕ WINDOWS ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ N-го ПОРЯДКА.





Вариант №8

	

	

	

	

Выполнил: студент группы ЭСЭ 22-В

Левицкий П.В.

Проверил:_______________________









Севастополь 2008


ПЛАН



1. Данные варианта задания.

2. Решение дифференциального уравнения N-го порядка

	2.1. Решение дифференциальных уравнений N-го порядка методом интегрирования при помощи характеристического уравнения:

		при y(t) = 0 и заданных начальных условиях ;

			при y(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях;

			при y(t) = 1(t) и заданных начальных условиях;

			при y(t) = cos(aּπּt) и нулевых начальных условиях;

	2.2. Решение дифференциальных уравнений N-го порядка операторным методом:

				при y(t) = 0 и заданных начальных условиях;

				при y(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях;

				при y(t) = 1(t) и заданных начальных условиях;

			при y(t) = cos(aּπּt) и нулевых начальных условиях;




1. Данные варианта задания



ПРИЛОЖЕНИЕ №1

( к практическому занятию №3)

Дифференциальное уравнения 4-го порядка







Т а б л и ц а № 1

№

вар

Коэффициенты дифференциального

уравнения 4–го порядка

Правая часть уравнения и начальные условия



а0

а1

а2

а3

а4

b0

y(t) = 1(t)

x0(0) = 1

x1(0) = x2(0)= x3(0) = 0

y(t) = cos(aּπּt)

x0(0) = -1

x1(0) = x2(0)= x3(0) = 0

8

10

20

1.7

0.16

0.08

10



a = 0.35






2. Решение дифференциального уравнения N-го порядка

	

	2.1 Решение дифференциальных уравнений N-го порядка методом интегрирования при помощи характеристического уравнения



2.1.1 При y(t) = 0 и заданных начальных условиях

		Дифференциальное уравнение 4-го порядка, описывающее динамические процессы электротехнической системы имеет вид:

Водим уравнение, пользуясь панелью «Исчисления» в Mathcad.







При заданных по условию значениях коэффициентов, уравнение примет вид:























Данное линейное дифференциальное уравнения 4-го порядка преобразуем

в систему дифференциальных уравнений первого порядка (в нормальную форму Коши). Обозначим:



 









		
Зададим вектор начальных значений:







СПРАВКА: В Mathcad 11 имеются три встроенные функции, которые позволяют решать поставленную в форме (2—3) задачу Коши различными численными методами.

rkfixed(y0, t0, t1, M, D) — метод Рунге-Кутты с фиксированным шагом,

Rkadapt(y0, t0, t1, M, D) — метод Рунге-Кутты с переменным шагом;

Buistoer(y0, t0, t1, M, D) — метод Булирша-Штера;

у0 — вектор начальных значений в точке to размера NXI;

t0 — начальная точка расчета,

t1 — конечная точка расчета,

M — число шагов, на которых численный метод находит решение;

D — векторная функция размера NXI двух аргументов — скалярного t и векторного у При этом у — искомая векторная функция аргумента t того же размера NXI.

Таким образом, воспользуемся функцией rkfixed(y0, t0, t1, M, D) -получим матрицу решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений численным методом Рунге-Кута на интервале от t0 до t1 при M фиксированных шагах решения и правыми частями уравнений, записанными в D. Тогда решение уравнения динамики электротехнической системы с помощью встроенной функции rkfixed выглядит так:

		Зададим интервал интегрирования t0 - t1, количество шагов интегрирования М, вектор заданных начальных условий ic и правую часть дифференциального уравнения y(t):

		

		













Сформируем матрицу системы дифференциальных уравнений, соответствующую заданному дифференциальному уравнению 4-го порядка.







Применим функцию:









-Интервал времени.





-Значение искомой координаты.




	Рисунок1. Матрица решений системы уравнений.

	

	По этой таблице можно определять расчётные значения исходного вектора на заданном шаге.

	Результаты численного решения дифференциального уравнения можно вывести в виде таблицы с прокруткой времени и искомой неизвестной (см файл в Mathcad). Согласно выбранному М получили 1500 строк.

	

	

	


Рисунок2. Результаты пошагового решения дифференциального уравнения, представленные в виде таблицы.

	

	Графическое представление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-го порядка в декартовой системе координат представлено на рисунке 3. График изображён так, что можно проверить значения строки 1500. При Т=150, Х=4,563*10^130

	

	 

Рисунок 3. Графическое представление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-го порядка в декартовой системе координат. При y(t) = 0 и заданных начальных условиях.

	
2.1.2 При y(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях

		В этом случае необходимо изменить начальные условия и задать правую часть дифференциального уравнения.

		











	

	







	

	

	Рисунок 4. Графическое представление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-го порядка в декартовой системе координат. При y(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях.

	

	2.1.3 При y(t) = 1(t) и заданных начальных условиях

		Изменим условия решения дифференциального уравнения. Зададим начальные условия для искомой переменной х0(0) = 1, начальные условия для других переменных равны нулю.( x1(0) = x2(0)= x3(0) = 0).См.таблицу1.

	


	Рисунок 5. Графическое представление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-го порядка в декартовой системе координат. При y(t) = 1(t) и ненулевых начальных условиях. х0(0) = 1

	

	Зададим начальные условия для искомой переменной х0(0) =- 1, начальные условия для других переменных равны нулю.( x1(0) = x2(0)= x3(0) = 0).

	

	

	


	Рисунок 6. Графическое представление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-го порядка в декартовой системе координат. При y(t) = 1(t) и ненулевых начальных условиях х0(0) =- 1.

	

	2.1.4 При y(t) = cos(aּπּt) и нулевых начальных условиях.

	a = 0.35







	

	

	

	

	

	Рисунок 7. Графическое представление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-го порядка в декартовой системе координат. 

	При y(t) = cos(aּπּt) и нулевых начальных условиях(a = 0.35)._

	При y(t) = cos(aּπּt) и ненулевых начальных условиях.

	a = 0.35

	

	

Рисунок 8. Графическое представление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-го порядка в декартовой системе координат. При y(t) = cos(aּπּt) и нулевых начальных условиях(a = 0.35; x0(0) = -1).

	

2.2. Решение дифференциальных уравнений N-го порядка операторным методом.

	

	2.2.1 При y(t) = 0 и заданных начальных условиях (см. Табл.№1 )

К дифференциальному уравнению 4-го порядка применим преобразование Лапласа при заданных начальных условиях и у(t) = 0 и запишем его относительно изображения искомой переменной:

	К линейные дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами применим преобразование Лапласа, чтобы переменные вещественного аргумента t заменить на переменные комплексного аргумента S, дифференцирование заменим умножением на S, повторное дифференцирование- умножением на S^2 и т.д.

	




	

Используя обратное преобразование Лапласа, найдем оригинал искомой переменной:



	

	

	

На рис. 9. показаны графики изменения переменной, полученных в результате решения заданного дифференциального уравнения путем интегрирования (кривая Х) и операторным методом (Н(t)).

	

	

Рисунок 9. Графики изменения искомой переменной, полученные в результате решения дифференциального уравнения двумя методами. При y(t) = 0 и заданных начальных условиях.

	
2.2.2 При y(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях

	-Изображение по Лапласу y(t) = 1(t)

	

	

	

	

	

	

	Рисунок10. Графики изменения искомой переменной, полученные в результате решения дифференциального уравнения двумя методами. При y(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях.

	

	2.2.3 При y(t) = 1(t) и заданных начальных условиях

	

	

	

	

	

	Рисунок11. Графики изменения искомой переменной, полученные в результате решения дифференциального уравнения двумя методами. При y(t) = 1(t) и заданных начальных условиях.

	

2.2.4 При y(t) = cos(aּπּt) и нулевых начальных условиях

	

	

	

	

	

	

			Рисунок11. Графики изменения искомой переменной, полученные в результате решения дифференциального уравнения двумя методами. При y(t) = cos(aּπּt) и нулевых начальных условиях;

	3. Выводы по работе №3



В процессе данной практической работы я изучил возможности математического пакета MathCad в среде Windows для решения дифференциальных уравнений N-го порядка, используемых в инженерных расчетах электротехнических систем. Были выполнены численные методы решения дифференциальных уравнений N-го порядка. Заданное уравнение 4-го порядка описывает динамические процессы электротехнической системы. Оно было преобразовано в систему дифференциальных уравнений первого порядка (в нормальную форму Коши). Мы воспользовались функцией rkfixed(y0, t0, t1, M, D) -получили матрицу решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений численным методом Рунге-Кута на интервале от t0 до t1 при M фиксированных шагах решения и правыми частями уравнений, записанными в D. Получено численное и графическое представление результатов.

Решение уравнения операторным методом предполагает применение преобразования Лапласа. В данной работе мы использовали преобразование Лапласа к искомой переменной системы, в частности, теорему о дифференцировании оригинала и свойство линейности преобразования Лапласа. Мы применили преобразование Лапласа (функция laplace), чтобы переменные вещественного аргумента t заменить на переменные комплексного аргумента s, дифференцирование заменить умножением на s, повторное на s в квадрате и т.д. Из полученных в комплексной области алгебраических уравнений нашли отношение выходной характеристики к входной. Это изображение обычно представляет собой передаточную функцию системы автоматического управления. Используя обратное преобразование Лапласа( функция invlaplace), найден оригинал искомой переменной.

	Графики изменения искомой переменной, полученные в результате решения дифференциального уравнения двумя методами совпадают.

2