Метод виокреслення лінійно незалежних векторів

1.Нехай V – не порожня підмножина векторів із Rm, коли з умов А є V, В є  V випливає, що при L є R, B є R вектор La+ Bb є V.

Візьмемо систему векторів а1, а2..., аn, що належать Rm. Множина всіх лінійних комбінацій цих векторів.

а=Х1а1+Х2а2+...Хnan,Xs є R(1) утворює лінійний підпростір V у Rm.

	

Справді, якщо а= в=, Хs, Ys є R

а, в є V, то виконується рівність

La+Bb =, тобто La+Bb є V.

Підпростір V, утворений лінійними комбінаціями виду (1), називається лінійною оболонкою системи векторів а1, а2,...,аn, або підпростором, породженим векторами а1, а2,...,аn.

2.Означення: Упорядкована сукупність m дійсних чисел а1, а2,...аm називається m-вимірним вектором.

Числа а1, а2,...аm називаються кординатами вектора а. Число m називається розмірністю вектора а. Перехід від запису вектора у вигляді стовпця до запису у вигляді рядка на навпаки називається транспортуванням вектора.

Означення: Два вектори називаються рівними, якщо рівні між собою їх відповідні координати.

Означення: Множина всіх m-вимірних векторів називається m-вимірним простором і назначається Rm.

Векторні простори R1, R2,R3 можна розглядати відповідно як множину векторів на прямій, множину векторів на площині та множину векторів у тривимірному просторі.

Означення: Вектори а1, а2,...,аn називаються лінійно незалежними, якщо рівність Х1а1+Х2а2+...Хnan = О (1)

виконується лише при Х1= 0, Х2= 0,..., Хn=0.

Якщо рівність (1) досягається тоді, коли коефіцієнти  Х1, Х2,...Хn не перетворюються одночасно на нуль, то вектори а1, а2,...,аn. у одновимірному векторному просторі R, тобто на прямій, будь-який ненульовий вектор є лінійно незалежним, а будь-які два вектори вже лінійно залежні.

3.Означення: Найбільше число r лінійно незалежних вектора у системі векторів а1, а2,...,аn називається її рангом і позначається

r= rank (а1, а2,...,аn).

Якщо ранг системи n векторів дорівнює R(r<n), то будь-які (r+1) векторів цієї системи лінійно залежні. Число L = n-r називається дефектом системи векторів.

Обчислюючи ранг системи векторів, можна транспортувати вектори, тобто замінювати вектори – стовпці векторами – рядками. У результаті транспортування ранг системи векторів не змінюється. 

Щоб обчислити ранг системи векторів, виокреслюємо в ній лінійно незалежні вектори.

З огляду на сказане дістаємо такий метод виокреслення лінійно незалежних векторів.

1.У заданій системі векторів а1, а2,...,аn відшукуємо вектор, в якого перша координата відмінна від нуля. Якщо всі перші координати векторів а1, а2,...,аn дорівнюють нулю, то шукаємо вектор, в якого друга координата відмінна від нуля, і т.д. Нехай це буде вектор а1.

2.Множимо вектор а1 на Ві(і=2,...,n) і віднімаємо від вектора аі (і=2,...,n) так, щоб вибрана координата перетворилася на нуль.

3.Зі здобутих векторів ві = аі – Віаі (і= 2,..., n) знову виокремлюємо вектор, лінійно незалежний від інших векторів, способом, зазначеним у nю 1 і 2.

Кількість лінійно незалежних векторів дорівнює рангу системи векторів.