Кручение упругопластического стержня

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет























КУРСОВАЯ РАБОТА



Дисциплина: Математические и численные методы 

 механики сплошных сред

Тема: Кручение упругопластического стержня 





























































Санкт-Петербург

2008  

Содержание

	Содержание	2

	1. Физическая мотивация	3

	2. Математическая корректность	5

	2.1 Существование решения	5

	2.2 Единственность решения	6

	2.3 Устойчивость решения	6

	3. Аппроксимация	7

	4. Численный метод	8

	5. Тесты	9

	Выводы	16

	Список литературы	17











































































1. Физическая мотивация



В данной работе исследуется задача о кручении упругопластического стержня. Рассмотрим очень длинный стержень. Выделим участок длины  из его середины, далеко от концов. Получившийся цилиндр приведен на Рис.1.







h









                                Рис.1 Стержень длины h   



 – основание стержня, описываемое уравнением ,

 – основание стержня, описываемое уравнением ,

 – боковая поверхность стержня.

 

Сделаем следующие предположения: 

		стержень сделан из изотропного материала;

		на стержень не действуют объемные силы;

		боковая поверхность свободна от нагружений;

		 на   и ;

		 на ;

		 на ;

		 на ;



Из второго условия следует, что уравнение равновесия запишется в виде:

                                                                                                                      (1.1)

Тогда допустимые поля напряжений принадлежат множеству 

 (1.2)

Последние два условия задают поворот точек верхнего сечения вокруг оси , где  – угол закрутки на единицу длины.

В соответствии с принципом Хаара-Кармана поле  минимизирует функционал 

                                                                                   (1.3)

Можно показать, что решение этой задачи таково, что все компоненты , кроме  и , равны нулю. Тогда из уравнений равновесия остается только одно:

                                                      (1.4)

Введем функцию тока  и положим:

                    

Тогда уравнение (1.4) автоматически выполнено.

Уравнения  на части границы  можно представить в виде:

                                                                                           (1.5)

С другой стороны,                                                                              (1.6) 

Следовательно,  , т.е.  на границе . Не умаляя общности, можем положить  на . Значит, .



Рассмотрим условие пластичности Мизеса:

,  – предел текучести материала.                           (1.7)

В данном примере, . Отсюда,  почти везде на . Переформулировав условие Мизеса в терминах , получаем 

                                                                                                                            (1.8)      



В итоге принцип Хаара-Кармана приводит к следующей вариационной задаче: 



З1: Найти  такое, что достигает минимума функционал

,

где ,                                                                       (1.9)

 – коэффициент Пуассона. Не умаляя общности, можем положить .

Если ввести билинейную форму , элемент  и скалярное произведение , то задача З1 запишется в виде 

                                                                                                            (1.10)

или в форме вариационного неравенства:               (1.11)



2. Математическая корректность



Теперь покажем, что задача З1 математически корректна. 

Задача называется математически корректной, если выполнены три условия:

			ее решение существует (условие существования);

			решение единственно (условие единственности);

			решение задачи непрерывно зависит от данных задачи (условие устойчивости).

Проверим выполнение всех трех условий.



2.1 Существование решения 



Существование решения обеспечивается теоремой вариационного исчисления о том, что полунепрерывный выпуклый функционал достигает своей точной нижней грани на непустом, выпуклом, замкнутом подмножестве рефлексивного банахова пространства.



                                            (2.1.1)    

 – рефлексивное банахово пространство, 

Подмножество  является непустым, замкнутым и выпуклым множеством. 

 

Покажем, что  – непрерывный и выпуклый функционал.

                                                                                       (2.1.2)

Пусть :  в 

Тогда  в  и  в , при 

Следовательно, ,

 т.е. функционал является непрерывным.



Покажем выпуклость функционала, используя его запись в  общем виде.

                                                                                                        (2.1.3)

       

Таким образом, все условия указанной выше теоремы выполнены, и, следовательно, задача З1 имеет решение.

2.2 Единственность решения 



Утверждение 1.  Билинейная форма  – V-эллиптическая.



Доказательство:  (в силу эквивалентности норм в пространстве );

                                 



Утверждение 2.  Решение задачи З1 единственно.



Доказательство: 



Будем доказывать это утверждение от противного.

Пусть существуют различные , которые доставляют минимум функционалу . 

Тогда, из (1.11) выполнено:                               (2.2.1)

                                                                             (2.2.2)

Подставим в (2.2.1)  вместо , в (2.2.2)  вместо .

Получим                                                                            (2.2.3)   

                                                                                           (2.2.4)   

Умножим (2.2.4) на -1: 

Отсюда, 

                

Форма  – эллиптическая, .

Окончательно, 

 

2.3 Устойчивость решения 



Решение  должно удовлетворять неравенству   (2.3.1)

Перепишем неравенство (2.3.1) как                         (2.3.2)

Неравенство (2.3.2) выполняется для :                           (2.3.3)  

Оценим правую часть неравенства (2.3.3) сверху: 

                                                                            (2.3.4)

Левую часть (2.3.3) оценим снизу:

                                                                                      (2.3.5) 

Тогда                                                      (2.3.6)

              - первое основное неравенство



3. Аппроксимация

, иначе 

Рассмотрим семейство конечномерных пространств , каждое из которых является внутренней аппроксимацией пространства .

Будем строить  по схеме метода конечных элементов.

Построим триангуляцию области . В результате получим область, где  – число треугольников в разбиении,  – i-тый треугольник разбиения.

Для каждого узла триангуляции  построим аффинную функцию , обладающую следующими свойствами:

		

		, где  – вершины, смежные с      

		, где  – семейство полиномов первого порядка.

Составим пространство  из построенных функций .

Теперь необходимо аппроксимировать множество , заданное формулой (1.9).

Пусть . Тогда .

Покажем, что множество  аппроксимирует .

  

От противного: Пусть  такие, что  

            Но, по свойству предельной плотности  

            . Следовательно, , т.е. .   

Отсюда, по лемме о сохранении строгих неравенств  требуемое свойство выполнено.

2)    слабо. 

       (конечномерное пространство), значит  сильно,   

   





Запишем задачу З1: найти такое, что  

Наряду с ней сформулируем задачу З2: 

найти  такое, что  

При сделанных предположениях относительно  .



4. Численный метод



Для решения задачи З2 будем использовать метод штрафа. 

Исходная вариационная задача:                    (4.1)

Построим вспомогательный функционал

                        (4.2)

 – функция штрафа.                                                    (4.3)

, если 

, если 

Тогда вместо решения задачи (4.1) можем решать задачу . По свойствам  функционала  ее решение  существует и единственно.



Кроме того,  – выпуклая, дифференцируемая по Гато функция [2].

Производная Гато функции :  

  

Тогда задача  эквивалентна решению уравнения

                                                                         (4.4)

         (4.5)

Можно показать, что  – монотонный оператор и , если  [3].

Следовательно, решение вариационной задачи  .

 

Замечания по реализации:

Неизвестную функцию решения будем искать в виде:

                                                   ,                                                                (4.6) где  – число узлов триангуляции,  

        – значение функции в i-том узле,

        – базисная функция из пространства .  

Тогда задача минимизации функционала (4.2) превратится в задачу многомерной минимизации по :



5. Тесты 



Алгоритм для нахождения минимума функционала (4.2) реализован в среде Matlab.

Были проведены расчеты для различных форм сечений стержня (области ): круга, квадрата и треугольника.

В случае если сечение стержня – круг, то известно аналитическое решение задачи. 



  







1) . Точное решение задачи .

На рис. 2-5 продемонстрированы численные решения задачи при разных разбиениях .  





Рис.2 Число узлов = 29

         



Рис.3 Число узлов = 146



Рис.4 Число узлов = 270







Рис.5 Число узлов = 549



Для оценки погрешности решения введем величину , характеризующую относительную погрешность.

Здесь  – точное решение,  – численное решение;

, где  – число узлов.

В таблице 1 приведены результаты сравнения численного и точного решения.



№ теста

Число элементов

Число узлов

Относит.погрешность 

1

40

29

0.03035

2

258

146

0.00631

3

490

270

0.01735

4

1032

549

0.00219

                                   

                                         Таблица 1 Результаты сравнения (1).



2) . Точное решение задачи .

На рис. 6-9 продемонстрированы численные решения задачи при разных разбиениях .  





Рис.6 Число узлов = 29







Рис.7 Число узлов = 146







Рис.8 Число узлов = 270



Рис.9 Число узлов = 549

  

Как и в первом примере, вычислена относительная ошибка, см. Таблицу 2.   



№ теста

Число элементов

Число узлов

Относит.погрешность 

1

40

29

0.18035

2

258

146

0.08561

3

490

270

0.04981

4

1032

549

0.03484



                                                Таблица 2 Результаты сравнения (2).



3) На Рис.10-11 изображены численные решения задачи для стержня с квадратным сечением,

Рис.10 Число узлов = 27



Рис.11 Число узлов = 177





		На Рис.12 изображено численное решение задачи для стержня с треугольным сечением,  



Рис.12 Число узлов = 144





Выводы



В ходе выполнения данной работы была изучена задача о кручении упругопластического стержня. 



Показано, что решение задачи существует и единственно. 



Предложен метод численного решения поставленной задачи, основанный на применении конечноэлементного подхода для перехода от бесконечномерной задачи к конечномерной, а также на применении метода штрафа для минимизации целевого функционала.



Проведены различные численные эксперименты; для случая, когда известно аналитическое решение задачи, вычислена относительная ошибка численного решения по сравнению с точным.



















Список литературы



Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. – М.:Мир, 1980.

Гловински Р., Лионс Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. – М.:Мир, 1979.

Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – М.:Мир, 1972.





2