Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях

2





Министерство образования и науки Украины

Донбасская государственная машиностроительная академия

Кафедра электротехники и электрооборудования

















Расчетно-графическая работа

Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях











Выполнил:

Проверил:

















Краматорск


Задание



В заданных вариантах необходимо: для каждой цепи рассчитать токи и напряжения во время переходного процесса вызванного коммутацией - определить их аналитические выражения и построить временные графики i (t), u (t). Задачи решить классическим и операторным методами.

Задача №1



U0=1000 В

R1=120 Ом

R2=50 Ом

R3=10 Ом

L=0.4 Гн

Рис. 1.



Решение задачи классическим методом



Составим уравнения по 1-му и 2-му законам Кирхгофа в дифференциальной форме для послекоммутационного режима.







Составленную систему уравнений называют математической моделью динамического режима работы цепи.

Токи и напряжения до коммутации:







Принужденные составляющие токов и напряжения







Определим полные значения токов и напряжений в первый момент после коммутации. На основании первого закона коммутации:







Свободные составляющие токов и напряжений в первый момент после коммутации.







Составляем характеристическое уравнение и определяем показатель затухания:







Постоянная времени переходного процесса







7. Выражения для свободных токов и напряжений:







8. Определяем постоянные интегрирования:







9. Свободные токи и напряжения:







10. Полные токи и напряжения во время переходного процесса







11. Построим графики токов и напряжений во время переходного процесса:



График тока i1




График тока i2





График тока i3




График напряжения на индуктивности ul





Решение задачи операторным методом





Рис.2.



Представим схему замещения цепи в операторной форме (рис.2) для после коммутационного режима.

Для расчета токов и напряжения U1в операторной форме используем метод непосредственного применения законов Кирхгофа. Составим уравнения по 1-му и 2-му законам Кирхгофа в операторной форме:







Так как напряжение на индуктивности до коммутации было равно нулю, внутренняя ЭДС  также равна нулю, в дальнейших расчетах ее не учитываем.

Из второго уравнения:







Из третьего уравнения:







Значения I2 (р) и I3 (р) подставим в первое уравнение:







Выражение для тока первой ветви в операторной форме:







Выражение для I1 (р) получено в виде дроби, числитель и знаменатель которой полиномы.





N (p) =150000 + 400р – полином числителя, где

М (р) = 23000р + 68p2 - полином знаменателя



Определяем корни полинома знаменателя:



23000p + 68 p2 = p (23000 + 68 p)

p1=0; p2=



Для перевода тока I2 (р) из области изображений в область временных функций применяем формулу







где N (р1) и N (р2) - соответственно значения полиномов числителя при корнях р1 и р2 М' (р1) и М' (р2) - значения производной от полинома знаменателя соответственно при корнях р1 и р2. Полиномы числителя при корнях р1 и р2:



N (р1) = 150000; N (р2) = 14706



Производная от полинома знаменателя:



М (р) = 23000 + 136p



Производная от полинома знаменателя при корнях р1 и р2.



м' (р1) = 23000; М' (р2) = - 23000;



Ток i1 во время переходного процесса:







Остальные токи и напряжения определим используя законы Ома и Кирхгофа







При расчете операторным методом получены те же выражения для токов и напряжения как и при расчете классическим методом, что подтверждает правильность выполненного расчета переходного процесса.

Задача №2





U0=160 B

R=80 Oм

L=0.8 Гн

С=20*10-6 Ф

Рис 3.



Необходимо найти закон изменения токов во всех ветвях и напряжений UL и UC в зависимости от времени и построить графики.



Решение задачи классическим методом



Математическая модель динамического режима работы цепи для послекоммутационного режима:







Решая данную систему дифференциальных уравнений, можно получить закон изменения токов и напряжений во времени в момент переходного процесса, не используя специальных методов. Доя упрощения решения системы воспользуемся классическим методом.

Токи и напряжения до коммутации.







Принужденные значения токов и напряжений






3. Полные значения токов и напряжений в первый момент после коммутации: 









3. Свободные значения токов и напряжений в первый момент после коммутации:







Определим производные свободных токов и напряжений в момент времени непосредственно после коммутации, для чего составим систему уравнений, используя законы Кирхгофа.







Производные от тока на индуктивности и напряжения на емкости:







Отсюда







Все полученные результаты занесем в таблицу:





i1

i2

i3

UL

uс

t = 0 +

1

0

1

80

0

t=∞

1

1

0

0

80

Iсв (0+) 

0

-1

1





Uсв (0+) 







80

-80

I’св (0+) 

100

625







U’св (0+) 







-58000

50000



Составим характеристическое уравнение (для послекоммутационного режима) и определим его корни:









Подставим численные значения параметров цепи:







Решив квадратное уравнение получаем:



р1 = - 282.461

р2 = - 442.539



7. Определим постоянные интегрирования А1 и А2, и запишем выражения для токов и напряжений а) Для тока i1св: