Исследование операций и теория систем

содержание



	Задача 1	4

	Задача 2	6

	Задача 3	8

	Задача 4	11

	Список используемой литературы	15






Задача 1



x – количество тысяч деталей, выпускаемых цехами a, b, c  i-го склада, где i – номер склада.

xa1 - количество тысяч деталей, выпускаемых цехом a c 1-го склада

xa2 - количество тысяч деталей, выпускаемых цехом a c 2-го склада

xa3 - количество тысяч деталей, выпускаемых цехом a c 3-го склада

xa4 - количество тысяч деталей, выпускаемых цехом a c 4-го склада

xb1 - количество тысяч деталей, выпускаемых цехом b c 1-го склада

xb2 - количество тысяч деталей, выпускаемых цехом b c 2-го склада

xb3 - количество тысяч деталей, выпускаемых цехом b c 3-го склада

xb4 - количество тысяч деталей, выпускаемых цехом b c 4-го склада

xc1 - количество тысяч деталей, выпускаемых цехом c c 1-го склада

xc2 - количество тысяч деталей, выпускаемых цехом c c 2-го склада

xc3 - количество тысяч деталей, выпускаемых цехом c c 3-го склада

xc4 - количество тысяч деталей, выпускаемых цехом c c 4-го склада



Так как производительность цехов в день известна, то можно записать следующее:



Зная пропускную способность складов за день, запишем:



Запишем целевую функцию, при которой стоимость перевозок будет минимальна:



Имеем классическую транспортную задачу с числом базисных переменных, равным n+m–1 , где m–число пунктов отправления, а n – пунктов назначения. В решаемой задаче число базисных переменных равно 4+3-1=6

Число свободных переменных соответственно 12-6=6

Примем переменные x1a, x1b, x2a, x1с, x4с, x3b в качестве базисных, а переменные  x2c, x3c, x2b,  x3а, x4а, x4b  в качестве свободных.

Далее в соответствии с алгоритмом Симплекс метода необходимо выразить базисные переменные через свободные:





В задании требуется найти минимум функции L. Так как коэффициент при переменной x3a меньше нуля, значит найденное решение не является оптимальным. 

Составим Симплекс таблицу:





 



Ответ: при перевозке x3a=4, х1b=4, х1с=16, х2а=35, х3b=26, х4с=8, х1а=х4а=x2b=x4b=x2c=x3c=0 тыс/изд стоимость будет минимальна и составлять 86 тыс/руб. 





Задача 2





































7

9

-9

3  

5

-3





2



1

-1



2

-





3



1

3



-1

-





6

-3

3

-1

2

1



Так как все , то это опорное решение. 

Найдем оптимальное решение.

















16

3

2





3









1



-





3

-1

3



Данное решение является оптимальным, так как все коэффициенты при переменных в целевой функции положительные.



Ответ: , , 


Задача 3



Заданная задача – транспортная задача с неправильным балансом (избыток заявок).

Необходимо ввести фиктивный пункт отправления Аф с запасом :



Для нахождения опорного плана используем метод «Северо-западного угла».





В1

В2

В3



А1



12

600

42



25

600

А2

21

100

18

100

35



200

А3



25

15

200

23



200

А4



21

30

100

40



100

А5



20

32

400

50



400

АФ



0

0 200

0

300

500





700

1000

300

2000









Решение является опорным.

 

 







В1

В2

В3



А1



12

600

42



25

600

А2

21



18

200

35



200

А3



25

15

200

23



200

А4



21

100

30



40



100+

А5



20

32

400-

50



400-

АФ



0

0 200

0

300

500





700

1000

300

2000









Решение является опорным, но вырожденным. Для того чтобы свести вырожденный случай к обычному решению, изменим запасы на малую положительную величину  так, чтобы общий баланс не нарушился.





В1

В2

В3



А1



12

600

42



25

600

А2

21



18

200

35



200

А3



25

15

200

23



200

А4



21



30

100+

40



100+

А5



20

100

32

300-

50



400-

АФ



0

0 200

0

300

500





700

1000

300

2000



Получили оптимальное решение.



Проверим правильность решения задачи методом потенциалов.

  

  

  

  

  

  

  

  

Пусть , тогда 

                                 

                                 

                                 

                                 

                                 

                                 

  

            

         

          

        

          

        

            

         

         

         

Так как среди найденных чисел  нет положительных, то найденный план является оптимальным.

Ответ: 28400


Задача 4



Найти 

При ограничениях       

Определение стационарной точки





          

Проверка стационарной точки на относительный максимум или минимум

      

     

, , следовательно, стационарная точка является точкой относительного максимума.

Составление функции Лагранжа





Применяем к функции Лагранжа теорему Куна-Таккера.





  I

         II

Нахождение решение системы I. Оставим все свободные переменные в правой части.



	      (1)





(из II)



Система уравнений II определяется условиями дополняющей нежесткости:

 

Введем искусственные переменные ,  в первые два уравнения системы (1) со знаками, совпадающими со знаками соответствующих свободных членов: 

















Проверяем условие выполнения дополняющей не жесткости:

 Все четыре условия выполняются

Ответ: Решения  и  являются оптимальным решением квадратичного программирования.

Тогда 


Список используемой литературы



Волков И. К., Загоруйко Е. А. Исследование операций. – Москва: Издательство МГТУ имени Баумана Н. Э., 2000г. – 436с.

Кремер Н. Ш. Исследование операций в экономике. – Москва: Издательское объединение «ЮНИТИ», 1997г. – 407с. 

Курс лекций Плотникова Н.В.

3