Финансовая математика 2

2





Задание 1



Правило торговца. 

Кредит в Z = 15 000 руб. выдан на N = 10 месяцев под i = 10% годовых. Договор предусматривает погашение двумя промежуточными платежами. Первая выплата в сумме R1 = 600 руб. производится через n1 = 6 месяцев, вторая выплата в сумме R2 = 9 000 руб. - через n2 = 9 месяцев. Найти выплату в конце срока кредита. 

Решение. 

Продолжительность кредита в долях года равна



T =10/12=5/6. 



Тогда долг (кредит с процентами) составит 15 000(1 + 0,1⋅0,83) = 16 245. 

Интервал времени (в долях года) от момента первого платежа до окончания срока кредита 



t1 =(10-6) /12=1/3. 



Сумма первого платежа с процентами равна



R1=(1+ i t1) = 600(1+0,1·1/3) =620. 



Остаток долга после первого платежа будет равен 



Z1 = 16245-620=15625. 



Интервал времени (в долях года) от момента второго платежа до окончания срока кредита 



t2 =(10-9) /12=1/12. 



Сумма второго платежа с процентами равна



R2=(1+ i t2) =9000(1+0,1·1/12) =9075. 



Остаток долга будет равен 



Z2 = 15625-9075=6550. 



Отсюда следует, что в конце срока кредита погашающий платеж равен 

R3= 6550 руб. 

Таким образом, заемщиком будет выплачена сумма



R1+ R2+R3= 600+9000+6550=16150 руб. 



При этом его долг кредитору составляет 16 245 руб. 



Задание 2



Клиент получил ссуду Р = 200000 руб. сроком на n = 8 лет под 6% процентов годовых. Погашение кредита производится в конце каждого года равными долями. 

Вычислить размер ежегодного платежа и его разбиение на погашение основного долга и погашение процентов. Вычисления по формулам проверить с помощью функций ПЛТ, ОСПЛТ, ПРПЛТ. 

Решение. 

Клиент должен каждый год выплачивать банку сумму



R=P∙ i/(1-(1+i) - n) =200000∙0,06/(1-(1+0,06) - 8) =32207, 19



Этот ответ можно получить, используя таблицу коэффициентов приведения a(i,k),



R=P/(a(6%,8)) =200000/6, 20979=32207, 19



найдем выплаты по процентам и основного долга в конце первого года, т.е. при j = 1, Z0 = P = 200 000: 



D1 = i·Z0 = 0,06·200 000 = 12 000,B1 = R - D1 = 32207,19 - 12000 =20207, 19. 



Тогда остаток долга в конце первого года будет равен



Z1 = Z0 - B1 = 200 000 - 20207,19 = 179792,81. 



В конце второго года, т.е. при j = 2 выплаты по процентам



D2 = i·Z1 = 0,06·179792,81 ≈ 10787,57,выплаты основного долга

B2 = R - D2 = 32207,19 - 10787,57 = 21419,62. 



Тогда остаток долга в конце второго года будет равен



Z2= Z1 - B2 = 179792,81 - 21419,62 = 158373, 19. 



В конце третьего года, т.е. при j = 3 выплаты по процентам



D3= i·Z2 = 0,06·158373,19 ≈ 9502,39, 



выплаты основного долга



B3 = R - D3 =32207,19 -9502,39= 22704,8. 



Тогда остаток долга в конце третьего года будет равен



Z3 = Z2 - B3 = 158373,19 - 22704,8 =135668,39. 



В конце четвертого года, т.е. при j = 4 выплаты по процентам



D4 = i·Z3 = 0,06·135668,39 =8140,10,выплаты основного долга

B4 = R - D4 =32207,19 -8140,10= 24067,08. 



Тогда остаток долга в конце четвертого года будет равен



Z4 = Z3 - B4 = 135668,39 - 24067,08 = 111601,31. 



В конце пятого года, т.е. при j = 5 выплаты по процентам



D5 = i·Z4 = 0,06·111601,31 =6696,08,выплаты основного долга

B5 = R - D5 =32207,19 -6696,08= 25511,11. 



Тогда остаток долга в конце пятого года будет равен



Z5 = Z4 - B5 = 111601,31 - 25511,11 = 86090,2. 



В конце шестого года, т.е. при j = 6 выплаты по процентам



D6 = i·Z5 = 0,06·86090,2 =5165,41,выплаты основного долга

B6 = R - D6 =32207,19 -5165,41= 27041,78. 



Тогда остаток долга в конце шестого года будет равен



Z6 = Z5 - B6 = 86090,2 - 27041,78= 59048,42. 



В конце седьмого года, т.е. при j = 7 выплаты по процентам



D7 = i·Z6 = 0,06·59048,42=3542,91,выплаты основного долга

B7 = R - D7 =32207,19 -3542,91= 28664,28. 



Тогда остаток долга в конце седьмого года будет равен



Z7 = Z6 - B7 = 59048,42 - 28664,28= 30384,14. 



В конце восьмого года, т.е. при j = 8 выплаты по процентам



D8 = i·Z7 = 0,06·30384,14 =1823,05,выплаты основного долга

B8 = R - D8 =32207,19 -1823,05= 30384,14. 



Тогда остаток долга в конце восьмого года будет равен



Z8 = Z7 - B8 = 30384,14 - 30384,14= 0. 

Теперь проверим вычисления с помощью функций ПЛТ, ОСПЛТ, ПРПЛТ



кредит

200 000,00









срок

8



ежегодная выплата R

проц ставка

6%



-32 207, 19р. 



















год

основные Bi 

проценты Di

остатки долга Zi





0





200 000,00





1

-20 207, 19р. 

-12 000,00р. 

179 792,81р. 





2

-21 419,62р. 

-10 787,57р. 

158 373, 19р. 





3

-22 704,80р. 

-9 502,39р. 

135 668,39р. 





4

-24 067,08р. 

-8 140,10р. 

111 601,31р. 





5

-25 511,11р. 

-6 696,08р. 

86 090, 20р. 





6

-27 041,78р. 

-5 165,41р. 

59 048,42р. 





7

-28 664,28р. 

-3 542,91р. 

30 384,14р. 





8

-30 384,14р. 

-1 823,05р. 

0,00р. 

















Задание 3



Проект рассчитан на два года и требует инвестиции в I0 = $ 15 000. В конце первого года доход составит R1= $ 7 000, а в конце второго года - R2= $ 12 000. 

Найти при заданной ставке приведения i=10%: 

1) чистый приведенный доход NPV; 

2) чистый наращенный доход NFV; 

3) cрок окупаемости без учета и с учетом времени; 

4) внутреннюю ставку дохода. 

Вычисления по формулам проверить помощью функций ЧПС и ВСД. 

Решение. 

Из формулы при n = 2, i = 10% найдем чистый приведенный доход n



NPV=∑ * Rk / (1+i) k-I0

k=1

NPV=7000/1,1+12000/1,12-15000=6363,64+9917,36-15000=1281

или NPV=R1*v(10%,1) +R2*v(10%,2) - I0

=7000*0,909091+12000*0,826446-15000=6363,64+9917,36-15000=1281



Заметим, что величина $ 6363,64 соответствует современной стоимости $ 7 000, а величина инвестиции $ 9 917,36 соответствует современной стоимости $ 12 000. 



NFV = (1+i) 2 ·NPV = 1,12 · 1281 = 1550,01



Найдем срок окупаемости без учета времени по формуле

R1+R2+…+R [nok] +R [nok] +1=I0, 



что приводит к уравнению 



7000 + 12000x = 15 000. 



Отсюда дробная часть срока окупаемости



x=7000/12000=0,58



Срок окупаемости равен 1 + x = 1,58. 

Срок окупаемости с учетом времени по формуле: 



v(i,1) R1+v(i,2) R2+…+v(i, [nok]) R [nok] +xv(i, [nok] +1) R [nok] +1=I0



приводит к уравнению



7000/1,1+12000/1,12x=15000; 7000*v(10%,1) +12000*v(10%,2) x=15000; 

6363,64+9917,36x=15000; x=(15000-6363,64) /9917,36=0,87



Срок окупаемости с учетом времени поступления доходов равен 1,87. 

Внутреннюю ставку дохода по определению находим из решения уравнения относительно i. 



7000/(1+i) +12000/(1+i) 2=15000 или

15000х2-7000х-12000=0



где x = 1 + i. Сокращая на 1000, получим квадратное уравнение 



15x2 - 7x - 12 = 0. 

Положительный корень этого уравнения x1= 1,1577

Отсюда находим, что внутренняя ставка дохода 



IRR = x1- 1 = 1,1577 - 1 =0,1577. 



Вычисления по формулам проверим в Excel с помощью функций ЧПС и ВСД. 



 

Исходные данные

 

 

 

ставка приведения

инвестиции

доходы

 

 

 

в конце 1 года 

в конце 2 года 

 

10%

-15 000,00р. 

7000

12000

 

 

Решение

 

 

 

приведенные доходы

16 280,99р. 

 

 

 

чистый приведенный доход

1 280,99р. 

 

 

 

внутренняя ставка дохода

16%

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



Задание 4



На финансовом рынке может сложиться одна из четырех ситуаций A1, A2, A3, A4. 

В условиях полной неопределенности инвестор выбирает из четырех финансовых операций F1, F2, F3, F4. Доходы инвестора определяются матрицей 



 





Определить оптимальный выбор финансовой операции по критериям Вальда и Сэвиджа. 

1. Оптимальный выбор финансовой операции по критерию Вальда. 

Найдем наихудший исход каждой финансовой операции, т.е. определим наименьшее число в каждой строке матрицы доходов: 

a1= 14, a2= 8, a3= 11, a4= 12. 

Согласно правилу Вальда, наибольшее среди найденных чисел определяет оптимальный доход. Следовательно, оптимальный доход равен 14, и он гарантируется выбором финансовой операции F1. 

2. Оптимальный выбор финансовой операции по критерию Сэвиджа. 

Сначала получим из матрицы доходов матрицу рисков. Для этого в каждом столбце матрицы доходов найдем наибольшее число 

b1=17, b2=18, b3=18, b4=17. 

Вычитая из наибольшего значения столбца все его элементы, получаем столбец матрицы рисков. Следовательно, матрица рисков имеет вид



Q=



Найдем наихудший исход каждой финансовой операции, т.е. определим наибольший риск в каждой строке матрицы рисков: 

q1= 4, q2= 9, q3= 7, q4= 6. 

Согласно правилу Сэвиджа наименьшее среди найденных чисел определяет оптимальный доход. Следовательно, оптимальный доход равен 4, и он гарантируется выбором финансовой операции F1.