Характеристика движения тел

СОДЕРЖАНИЕ

	

		Введение

		1. Механика твёрдого тела. Динамика поступательного и вращательного движения твёрдого тела. Определение момента инерции тела с помощью маятника Обербека

		Контрольные вопросы 

			Решение

		2. Колебания и волны

		2.1 Кинематика колебательного движения

			Контрольные вопросы 

			Решение 

				2.2	Динамика колебательного движения

			Контрольные вопросы

			Решение

		Заключение

		Список литературы

		



	

	ВВЕДЕНИЕ

	

	Целью расчётно-графической работы является углубление и закрепление знания основных понятий и законов двух разделов: «Механика твёрдого тела» и «Гармонические колебания». Для того, чтобы укрепить знания по разделу «Механика твёрдого тела» необходимо с помощью маятника Обербека исследовать зависимость углового ускорения от момента внешней силы при условии, что I0=const, и зависимость момента инерции от расстояния грузов до оси вращения, рассчитав при этом момент инерции согласно теореме Штейнера.

	

	

	1. МЕХАНИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА

	

	Контрольные вопросы



	Момент инерции точки относительно данной оси – скалярная величина, равная произведению массы точки на квадрат расстояния от этой точки до оси. (Ii=miri2). Момент инерции тела относительно оси вращения – физическая велиина равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси. (I=ΣIi=Σmiri)

	Роль момента инерции во вращательном движении. Момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении подобно тому, как масса есть мера инертности при поступательном движении. Момент инертности показывает распределение массы в пространстве относительно оси вращения. 

	Рассмотрим сечение твердого тела произвольной формы, изображенное на рисунке

	

	

	

	

	

	

	Выберем координатную систему XY с началом координат O в центре масс C тела. Пусть одна из осей вращения проходит через центр масс C, а другая через произвольную точку P, расположенную на расстоянии d от начала координат. Обе оси перпендикулярны плоскости чертежа. Пусть Δmi – некоторый малый элемент массы твердого тела. По определению момента инерции: 

	

	 

	

	Выражение для IP можно переписать в виде: 	

	

	

	

	Поскольку начало координат совпадает с центром масс C, последние два члена обращаются в нуль. Это следует из определения центра масс. Следовательно, I0=Ic+ma2=0,5mR2+m=1,5mR2

	где m – полная масса тела. 

	Теорема Штейнера: момент инерции тела относительно любой оси вращения равен моменту его инерции Ic относительно оси, проходящей через центр масс плюс произведение массы тела на квадрат расстояния «а» между осями. 

	Момент силы относительно неподвижной оси – скалярная величина М равная проекции на эту ось вектора момента силы , определённого относительно произвольной точки на данной оси Z. Если имеется материальная точка , к которой приложена сила , то момент силы относительно точки равен векторному произведению радиус-вектора , соединяющий точки O и OF, на вектор силы: Направление момента силы совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении.

	Уравнение динамики вращательного движения тела: Элементарная работа всех внешних сил при таком повороте равна элементарному изменению кинетичекой энергии: 

	

	dA=dEk=> M=dε => M=Idω/dt => M=d(Iω)/dt

	

	M=Iε– это основное уравнение динамики вращательного движения тела: угловое ускорение вращающегося тела прямо пропорционально сумме моментов всех действующих на него сил относительно оси вращения тела и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно этой оси вращения. Полученное уравнение аналогично по форме записи выражению второго закона Ньютона для поступательного движения тела:F=ma

	Ускорению поступательного движения тела а соответствует угловое ускорение вращательного движения ε. Аналогом силы F при поступательном движении, является момент силы М во вращательном движении, а аналогом массы тела m при поступательном движении, служит момент инерции тела I при вращательном движении.

	

	Решение



	Вариант

	m0

	m

	m1

	m2

	m3

	l1

	l2

	l3

	a

	R

	22

	0,04

	0,2

	0,2

	0,1

	0,3

	0,3

	0,1

	0,5

	0,3

	0,03

	

		Найдём момент инерции J0 системы, если известны масса груза m, радиус блока R, l=0, трением пренебречь. 

		

		J0=m(g-a)R/ε=m(g-a)R2/a

				

				Вычислим и получим результат: J0=0,0057кгм2

				Строим график зависимости J=f(l) при l1 , l2, l3.

				Момент инерции маятника Обербека согласно теореме Штейнера может быть записан в виде:

			

			J=J0+4m0l2

			

			где l – расстояние центров грузов m от оси вращения.

			Рассчитаем момент инерции системы для различных l: 

		при l=0 	J=J0=0,0057кгм2

		при l1=0,3 	J1=0,0201кгм2

		при l2=0,1 	J2= 0,0073кгм2

			при l3=0,5 	J3= 0,0457кгм2

			Составим таблицу результатов расчётов и отразим это графиком:

			

			l, м

			0

			0,3

			0,1

			0,5

			J, кгм2

			0,0057

			0,0201

			0,0073

			0,0457

			

			

			2. Строим график зависимости ε=f(M) при m1, m2, m3 при J=const

			Вращающий момент равен M = TR, где силу натяжения нити T находим из уравнения T=m(g-a), тогда M=m(g-a)R.

			Из основного уравнения динамики для вращательного движения находим главное угловое ускорение:ε=m/J=m(g-a)R/J, где J=const(по условию)

			Возьмём значение момента инерции из п.2: J=J0=0,0057 кгм2

			Сделаем расчёт вращающего момена М при различных значениях m:

			при m1=0,2	M1=0,2(9,8-0,3)0,03=0,057Нм

			при m2=0,1 	M2=0,1(9,8-0,3)0,03=0,0285Нм

			при m3=0,3 	M3=0,3(9,8-0,3)0,03=0,0855Нм

			Сделаем расчёт для углового ускорения ε:

		при m1=0,2	ε=M1/J0=10с-2

		при m2=0,1	ε=M2/J0=5с-2

		при m3=0,3 	ε=M3/J0=15с-2

	Составим таблицу результатов расчёта и отразим это графиком:

	

			m, кг

			0,1

			0,2

			0,3

			M, Н*м

			0,0285

			0,057

			0,0855

			ε, с-2

			5

			10

			15

			

			

			

			Мы получили линейную зависимость ε от М при J=const и различных массах m1, m2, m3.

	

	

	2. Колебания и волны

	

	2.1 Кинематика колебательного движения 

	

	Контрольные вопросы

		Колебания – это процессы обладающие некоторой повторяемостью во времени. Гармонические колебания – колебания, происходящие по закону синуса и косинуса. Амплитуда – максимальное отклонение колеблющейся величины от положения равновесия в данный момент времени. Фаза – угловое отклонение колеблющейся величины от положения равновесия в данный момент времени. Циклическая частота – число колебаний за 2π единиц времени. Период – время одного полного колебания. 

		Дано: А=5см; Т=4с; φ0=π/2 Уравнение: ω=2π/T=π/2 => х=5sin(π/2t+π/2)

		при t1=0, Х=0; при t2=1,5, Х=-5.

		

		

		

		Дано: А=5 см; Т=8, ω = π/4(по формуле п.2). Написать уравнение гармонического колебания:

		φ0=0; 	x=5cos(π/4t+0)= 5cos(π/4t)

		φ0=π/2; 	x=5cos(π/4t+ π/2)=-5cos(π/4t)

		φ0=π; 	x=5cos(π/4t+π)=-5cos(π/4t)

		φ0=3π/2; 	x=5cos(π/4t+3π/2)=5sin(π/4t)

		φ0=2π; 	x=5cos(π/4t+2π)= 5cos(π/4t)

	Решение:



	X=Acos(ωt+φ0)

	t=5c

	A=5м

	ω=π

	φ0=π

	

	Из уравнения гармонического колебательного движения точки определяем смещение точки и строим график X=f(t) в пределах одного периода:

		X = Acos (ωt+φ0 )= 5cos (πt+π

		

				при t1= 4 c;	X1= -5

				при t2= 4,5с; 	X2= 0

				при t3 = 5с; 	X3=5

				при t4 = 5,5с; 	X4= 0

				при t5 = 6с;	X5=-5

				

				Период равен:T=2π/ω=2c

	Определяем скорость колеблющейся точки и по результатам расчёта строим график  в пределах одного периода:

	

	

	

		При t1=4 c 	V1= 0 

		При t2=4,5 c 	V2=15,7 м/с

		При t3=5 c 	V3 = 0

		При t4=5,5 c 	V4=-15,7 м/с

		При t5=6 c 	V5= 0

		

	t,с

	4

	4,5

	5

	5,5

	6

	V,м/с

	0

	15,7

	0

	-15,7

	0

		

	

	

	Определяем ускорение колеблющейся точки и по результатам расчёта строим a=f(t) график.

	

	A=dv/dt=-Aω2cos(ωt+φ0)=-5π2cos(πt+π/2)

	

		При t1=4 c,	a1= 0

		При t2=4,5c, 	a2=49,3 м/с2

		При t3=5 c, 	a3= 0

		При t4=5,5 c, 	a4= -49,3 м/с2

		При t5=6 c, 	a5 = 0

				

	t,c

	4

	4,5

	5

	5,5

	6

	X, м

	-5

	0

	5

	0

	-5

	

	t, c

	4

	4,5

	5

	5,5

	6

	a, м/с2

	0

	49,3

	0

	-49,3

	0

		

		

		4. Для большей наглядности сведём все три графика X=f(t), V=f(t), a=f(t) на одни оси.

		

		

		

		Динамика колебательного движения контрольные вопросы

	

	Сила действующая на колеблющуюся материальную. точку массой m:

	F= - mω0x 

	Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания: Ek=mA2ω2cos2(ωt+φ)/2

	Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания:Eп=E0sin2(ωt+φ) 

	Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания: E=mA2ω2/2

	Дано: x=0,1sin(π/8•t+π/4), m=0,16 кг.

	Fmax=F0=mAω2=0,16*0,1*(π/8)2=0,003H

	F=-F0sin(ωt+φ)=-0,52sin(π/8•t+π/4)

	

		

		

		

		

		

		

		При t1=0c, 	 F1=-0,37H

		При t2=1c, 	F2 = -0,48H

		При t3=2 c, F3 =-0,52H

		При t4=3 c, 	F4 = -0,48H

		При t5=4с, F5=-0,37H

		При t6=5c, 	F6 =-0,2H

		При t7=6, 	F7=0H

			При t8=7, 	F8=0,2H

		При t9=8, F9=0,37

	Дано: m=0,16 кг, x=2sin(π/4·t+π/4)

	E0=Eпол= 0,16·4(π/4)2/2=0,2Дж

	Ek=E0cos2(ωt+φ)=0,2cos2(π/4·t+π/4)

	Eп=E0sin2(ωt+φ) =0,2sin2(π/4·t+π/4)

			При t1=0 c, 	Ek1=0,1Дж 	Eп=0,1Дж

			При t2=0,5 c, Ek2=0,03Дж 	Eп=0,17Дж

				При t3=1 c, 	Ek3=0 		Eп=0,2Дж

			При t4=1,5 c, Ek4=0,03Дж 	Eп=0,17Дж

			При t5=2 c,	Ek5= 0,1Дж 	Eп=0,1Дж

	

	

	

	Решение



	Вариант

	X=f(t)

	m, кг

	t, c

	A, м

	ω, с-1

	φ0, рад

	22

	Asin(ωt+φ0)

	0,12

	3

	7

	π/4

	π/2

	

		Найдём силу для момента времени t и максимальную силу Fm:

	F= - mA(π/4)2sin(π/4·t+π/2)=0,37H

	Fmax=F0=mAω2=0,52H

	F=-F0sin(ωt+φ)= - 0,52 sin(π/4·t+π/2)

		При t1=1 c, 	F1=-0,37H

		При t2=1,5c, 	F2 = -0,2H

		При t3=2 c, 	F3 = 0 

		При t4=2,5 c, F4 =0,2H 

		При t5=3c, 	F5 = 0,37H

		При t6=3,5, 	F6=0,48H

		При t7=4, 	F7=0,52H

		При t8=4,5, 	F8=0,48H

		При t9=5, 	F9=0,37H

		При t10= 5,5c, 	F10=0,2H

		При t11=6c, 	F11 = 0

		При t12=6,5 c, 	F12 = -0,2H

		При t13=7 c, 	F13 = -0,37H

	

	t, c

	1

	1,5

	2

	2,5

	3

	3,5

	4

	4,5

	5

	5,5

	6

	6,5

	7

	F, H

	-0,37

	-0,2

	0

	0,2

	0,37

	0,48

	0,52

	0,48

	0,37

	0,2

	0

	-0,2

	-0,37

		

		

		Найдём максимальную кинетическую энергию:

	

	E0=Ekmax=mA2ω2/2=1,81Дж

	

		Найдём кинетическую и потенциальную энергию для момента времени t=3c: 

		

		Ek=mV2/2=mA2ω2cos2(ωt+φ)/2=0,86Дж

		Eп(max)=E0=1,81Дж

		Ek= E0cos2(ωt+φ)= E0cos2(π/4·t+π/2)

		При t1=0 c, 	Ek1=0 Дж

		При t2=0,5c,	Ek2=0,27Дж

		При t3=1 c, 	Ek3=0,9Дж

		При t4=1,5 c, 	Ek4=1,53Дж

		При t5=2 c, 	Ek5= 1,81Дж

		При t6=2,5 	Ek6=1,53Дж

		При t7=3 	Ek7=0,9Дж

		При t8=3,5 	Ek8=0,27Дж

		При t9=4, 	Ek9=0

		При t10=4,5 	Ek10=0,27Дж

		При t11=5 	Ek11=0,9Дж

		При t12=5,5 	Ek12=1,53Дж

		При t13=6 	Ek13= 1,81Дж

		При t14=6,5 	Ek14=1,53Дж

		При t15=7 	Ek15=0,9Дж

		При t16=7,5	Ek16=0,27Дж

		При t17=8, 	Ek17=0 

	Т.к E0=1,81 Дж (из п.2)

	

	t,с

	0

	0,5

	1

	1,5

	2

	2,5

	3

	3,5

	4

	4,5

	5

	5,5

	6

	6,5

	7

	7,5

	8

	F,Н

	0

	0,27

	0,9

	1,53

	1,81

	1,53

	0,9

	0,27

	0

	0,27

	0,9

	1,53

	1,81

	1,53

	0,9

	0,27

	0

	

	

	

	Найдём значение потенциальной энергии для отдельных моментов времени в пределах одного периода:

	

	Eп=Епол-Ек=mA2ω2/2 – mA2ω2cos2(ωt+φ)/2=E0sin2(π/4·t+π/2)

		При t1=0 c, 	Eп1=1,81Дж

		При t2=0,5 c, Eп2=1,53Дж

		При t3=1 c, 	Eп3=0,9Дж

		При t4=1,5 c, 	Eп4=0,27Дж

		При t5=2 c, 	Eп5= 0

		При t6=2,5 	Eп6=0,27Дж

		При t7=3 	Eп7=0,9Дж

		При t8=3,5 	Eп8=1,53Дж

		При t9=4, 	Eп9=1,81Дж

		При t10=4,5 	Eп10=1,53Дж

		При t11=5 	Eп11=0,9Дж

		При t12=5,5 	Eп12=0,27Дж

		При t13=6 	Eп13= 0

		При t14=6,5 	Eп14=0,27Дж

		При t15=7 	Eп15=0,9Дж

		При t16=7,5 	Eп16=1,53Дж

		При t17=8, 	Eп17=1,81Дж 





	

	Заключение

	

	В этой расчётно-графической работе мы исследовали зависимости при определении момента инерции тела с помощью маятника Обербека, а также на примере проследили действие законов из таких разделов физики, как «Механика твёрдого тела» и «Колебания и волны». Данная расчётно-графическая работа актуальна, так как она помогает овладеть аналитико-синтетическим методом, усилив внимание на качественной стороне физической сущности явлений; развивает практические навыки работы со справочной литературой; помогает овладеть элементами научно-исследовательской и самостоятельной творческой работы; позволяет использовать один из вариантов внедрения ПК в учебный процесс с помощью решения задач и построения графиков.

	

	

	Список литературы



		Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1999 г.

		Бачище А.В. Краткий курс общей физики. Механика. Молекулярная физика. Термодинамика. – Новороссийск: НГМА, 1999 г.