Статистика, ее основные показатели

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ



Учреждение образования



«Витебский государственный технологический университет»





Кафедра экономики







КОНТРОЛЬАЯ РАБОТА



по дисциплине «Статистика»

ВАРИАНТ № 6


Задание № 1



Используя данные статистического наблюдения о производительности труда рабочих, провести статистическое исследование:

	Исходный эмпирический ряд преобразовать в дискретный и интервальный и по каждому из них (вариационному, дискретному и интервальному), рассчитать среднюю величину.

2) По дискретному ряду исчислить среднюю величину с использованием её свойств.

3) По интервальному ряду определить моду и медиану.

4) По дискретному ряду рассчитать показатели вариации:

– размах,

– среднее линейное отклонение,

– дисперсию,

– среднее квадратическое отклонение,

– коэффициент осцилляции,

– относительное линейное отклонение,

– коэффициент вариации.



№

раб.

Количество вырабатываемых деталей одним рабочим за месяц, ед.



№

раб.

Количество вырабатываемых деталей одним рабочим за месяц, ед.

1

216



21

192

2

168



22

144

3

192



23

144

4

120



24

120

5

216



25

120

6

120



26

120

7

168



27

120

8

120



28

168

9

144



29

216

10

120



30

120

11

192



31

120

12

120



32

192

13

144



33

120

14

168



34

144

15

168



35

120

16

120



36

120

17

120



37

120

18

216



38

120

19

216



39

192

20

120



40

120



Решение задания 1



1) Для нахождения средней величины вариационного ряда воспользуемся формулой:



=  ;	=  = 150 (деталей)



где ∑Х – это сумма всех деталей, вырабатываемых рабочими за месяц,

 n – количество рабочих.



Рассчитаем среднюю величину для дискретного ряда:

Выработка рабочего, Х

Число рабочих, f

Хf

120

20

2400

144

5

720

168

5

840

192

5

960

216

5

1080



f=40

Хf=6000



Рассчитываем среднюю арифметическую взвешенную по сгруппированным данным, используя формулу:



=  ;	=  = 150 (деталей)


Далее для интервального ряда определяем число групп с использованием формулы Стерджесса:



n = 1 + 3,322 lg N; n = 1 + 3,322 lg 40 = 5,92 (≈ 6 групп)



где n – число групп, N – число единиц совокупности (40).



Затем определяем величину интервала (h) по формуле:



h =  =  = 16 (деталей)



И используя таблицу, рассчитываем среднюю величину:

Группы рабочих по уровню выработки, Х

Количество рабочих в группе, f

Центр интервала, Х

Хf

120 – 136

20

128

2560

136 – 152

5

144

720

152 – 168

0

160

0

168 – 184

5

176

880

184 – 200

5

190

950

200 – 216

5

208

1040



 f=40



 Хf=6150



=  , 	=  = 153,8 (деталей)



2) По дискретному ряду исчисляем среднюю величину с использованием её свойств, в том числе по «способу моментов»:



Выработка рабочего, Х

Число

рабочих, f

Хf

Х–Х0

Х0 = 168

А = 

А = 24



b = 5

 * 

120

20

2400

-48

-2

4

-8

144

5

720

-24

-1

1

-1

168

5

840

0

0

1

0

192

5

960

24

1

1

1

216

5

1080

48

2

1

2



f=40

Хf=6000





  =8

  *  = -6



Определяем среднюю величину по «способу моментов»:



 * А + Х0 ,	  * 24 + 168 = 150 (деталей)



3) Для определения моды (Mo) по интервальному ряду, вначале находим ширину модального интервала (iMo):



iMo = , 	iMo =  = 16,



а затем рассчитываем моду по формуле:



Mo = xMo + iMo 



где хMo – начальная граница модального интервала (120),

iMo – ширина модального интервала (16),

fMo – частота модального интервала (20),

fMo-1 – частота интервала, предшествующего модальному (0),

fMo+1 – частота интервала, следующего за модальным (5).



Группы рабочих по уровню выработки, Х

Количество рабочих 

в группе, f



120 – 136

20

– модальный интервал

136 – 152

5



152 – 168

0



168 – 184

5



184 – 200

5



200 – 216

5





Mо = 120 + 16  = 129 (деталей)



Для расчета медианы по интервальному ряду, вначале определяем медианный интервал по способу накопления частот:



Х

f

SMe

120 – 136

20

20

136 – 152

5



152 – 168

0



168 – 184

5



184 – 200

5





 f=40





Медиану находим по формуле:



Me = XMe+ iMе , 	Me =120 + 16  = 136



где XMe – начальная граница медианного интервала (120),

iMе – ширина медианного интервала (16),

 – частота медианного интервала (20),

SMе-1 – сумма накопленных частот интервала, предшествующего медианному (0),

– сумма всех частот ряда (40), 



4) Рассчитываем показатели вариации по дискретному ряду:

Выработка

рабочего, x

Число

рабочих, f



f

(x–x)2

(x–x)2f

х2

х2f

120

20

-30

600

900

18000

14400

288000

144

5

-6

30

36

180

20736

103680

168

5

18

90

324

1620

28224

141120

192

5

42

210

1764

8820

36864

184320

216

5

66

330

4356

21780

46656

233280



f=40



f=1260



(х-х)2f=50400

 

х2f=950400



1) Размах R = x max – x min ,	R = 216 – 120 = 96 (деталей)

2) Среднее линейное отклонение  = 	== 31,5

3) Дисперсия 2 =, 2=  = 1260

4) Среднее квадратическое отклонение == , ==35,496 ≈ 36

5) Коэффициент осцилляции KR =  * 100, KR =  * 100 = 64 %

6) Относительное линейное отклонение Kе =  * 100 %, Kе =  = 21 %

7) Коэффициент вариации V =  * 100, V =  = 23,664 %



Задание № 2



Используя статистическую информацию, приведенную в таблице, проанализировать динамику объема продукции по двум родственным организациям:

по организации № 1 исчислить цепные показатели динамики;

по организации № 2 исчислить базисные показатели динамики;

методом аналитического выравнивания установить общую тенденцию (определить тренд) изменения объема продукции:

3.1) по организации № 1 – за 6 лет;

3.2) по организации № 2 – за последние 5 лет.

По каждому заданию сделать развернутые выводы.

Сравнить динамику выпуска продукции по двум организациям.

№ организации

Выпуск продукции по годам, тыс. шт.



2002

2003

2004

2005

2006

2007

1

520

550

560

620

640

700

2

700

750

780

800

820

830



Решение задания 2

1) Исчисляем цепные показатели динамики по организации № 1:



Наименование

показателей

Ед.

изм.

Формулы

Уровни показателей по годам







2002

2003

2004

2005

2006

2007

Выпуск 

продукции

тыс. шт.



520

550

560

620

640

700

Аналитические показатели динамики:

– абсолютный

прирост

тыс. шт.

∆yц = yi – yi-1

–

30

10

60

20

60

– темп роста

%

Трц = 

–

105,8

101,8

110,7

103,2

109,4

– темп 

прироста

%

Тпрц = 

–

5,8

1,8

10,7

3,2

9,4

– вес 1% 

прироста

тыс. шт.



–

5,2

5,5

5,6

6,2

6,4

Средние показатели динамики:

– средний 

уровень 

ряда динамики

тыс. шт.



598,3

– средний

абсолютный прирост

тыс. шт.



36

– средний 

темп роста

%

= 

1,061 или 106,1%

– средний 

темп прироста

%



6,1%

дискретный интервальный эмпирический вариация


Выводы: выпуск продукции в 2003 году по сравнению с 2002 повысился на 30 тыс.шт., т.е. как мы видим по темпам роста в 1,058 раза или на 5,8%, а 1% прироста давал увеличение продукции на 5,172 тыс.шт.

В 2004 году по сравнению с 2003 выпуск продукции повысился на 10 тыс.шт., т.е. в 1,018 раза или на 1,8%, а 1% прироста давал увеличение продукции на 5,556 тыс.шт.

В 2005 году по сравнению с 2004 выпуск продукции повысился на 60 тыс.шт., т.е. в 1,107 раза или на 10,7%, а 1% прироста давал увеличение продукции на 5,607 тыс.шт.

В 2006 году по сравнению с 2005 выпуск продукции повысился на 20 тыс.шт., т.е. в 1,032 раза или на 3,2%, а 1% прироста давал увеличение продукции на 6,25 тыс.шт.

В 2007 году по сравнению с 2006 выпуск продукции повысился на 60 тыс.шт., т.е. в 1,094 раза или на 9,4%, а 1% прироста давал увеличение продукции на 6,383 тыс.шт.

В течение периода с 2002 г. по 2007 г. в организации №1 согласно расчетам наблюдается увеличение выпуска продукции, средний темп прироста составляет +6,1%, а средний абсолютный прирост +36 тыс.шт.



2) Исчисляем базисные показатели динамики по организации № 2:



Наименование

показателей

Ед.

изм.

Формулы

Уровни показателей по годам







2002

2003

2004

2005

2006

2007

Выпуск 

продукции

тыс. шт.



700

750

780

800

820

830

Аналитические показатели динамики:

– абсолютный

прирост

тыс. шт.

∆yб = yi – y0

–

50

80

100

120

130

– темп роста

%

Трб = * 100%

100,0

107,1

111,4

114,3

117,1

118,6

– темп 

прироста

%

Трб =  * 100%

–

7,1

11,4

14,3

17,1

18,6


Выводы: выпуск продукции в 2003 году по сравнению с 2002 повысился на 50 тыс.шт., т.е. как мы видим по темпам роста в 1,071 раза или на 7,1%. В 2004 году по сравнению с 2002 выпуск продукции увеличился на 80 тыс.шт., т.е. в 1,114 раза или на 11,4%. В 2005 году по сравнению с 2002 происходит увеличение объема выпуска продукции на 100 тыс.шт., т.е. в 1,143 раза или на 14,3%. В 2006 году по сравнению с базисным периодом (2002 г) увеличивается выпуск продукции на 120 тыс. шт., т.е. в 1,171 раза или на 17,1%. В 2007 году по сравнению с 2002 также объем выпуска продукции увеличивается 130 тыс.шт., т.е. в 1,186 раза или на 18,6%.

В течение периода с 2002 г. по 2007 г. в организации №2 согласно расчетам наблюдается повышение выпуска продукции, средний темп прироста составляет 13,6%, а средний абсолютный прирост 96 тыс.шт.

3) Определяем общую тенденцию способом аналитического выравнивания ряда динамики следующим образом:

– выбор математической модели развития явления во времени;

– определение параметров уравнения (тренда) %;

– экономическая интерпретация найденного тренда;

– графическая обработка результатов аналитического выравнивания

Абсолютный прирост уровней ряда происходит в арифметической прогрессии, следовательно, выравнивание ряда динамики следует производить по прямой:  = 

где:	 – выровненные (теоретические ) уровни ряда;

, – параметры уравнения; t – условное обозначение времени.

Установим общую тенденцию (определим тренд) изменения объема продукции по организации № 1 за 6 лет.

Поскольку используется ряд с четным количеством периодов, то:



Значение t

2002

2003

2004

2005

2006

2007

 t = 0

- 5

- 3

- 1

1

3

5


При упрощенном способе расчетов, когда ∑t = 0, параметры прямой определяются по формулам:



 = ,  = = 598,333;	 	 =  ,  =  = 17,571.



где у –исходный уровень ряда динамики;

n – количество периодов ряда.

Уравнение прямой (тренда) будет иметь вид: = 598,333+17,571t



Расчетная таблица выравнивания ряда по прямой для организации № 1:

Годы

Прибыль

тыс. руб.

(у)

Абсолютный прирост,

тыс. руб. (у)

t



t2





tу





Скорость ряда 

(разница теоретических уровней)

2002

520

––

-5

25

-2600

510,45



2003

550

30

-3

9

-1650

545,59



2004

560

10

-1

1

-560

580,73



2005

620

60

1

1

620

615,87



2006

640

20

3

9

1920

651,01



2007

700

60

5

25

3500

686,15





∑у=3590



∑t=0

∑ =70

∑tу=1230

∑=3589,8





Рассчитаем теоретические уровни ряда динамики:



598,333 + 17,571 * (-5) = 598,333 + (- 87,855) = 510,478

598,333 + 17,571 * (-3) = 598,333 + (- 52,713) = 545,62

598,333 + 17,571 * (-1) = 598,333 + (- 17,571) = 580,762

598,333 + 17,571 * 1 = 615,904

598,333 + 17,571 * 3 = 598,333 + 52,713 = 651,046

598,333 + 17,571 * 5 = 598,333 + 87,855 = 686,188



Поскольку  имеет знак «+», то наблюдается тенденция роста.

Определяем скорость ряда для экономической интерпретации найденного тренда, которая при четном количестве периодов времени (6), будет равна:



2 *  = 2 * 17,571 = 35,142



Полученный тренд свидетельствует о наличии положительной тенденции в измерении выпуска продукции (а1 > 0), так как в среднем за год выпуск составил 598,333 тыс. шт., то среднегодовой рост объема выпуска продукции за этот период составляет 35,142 тыс. шт:







Определяем тренд изменения объема продукции по организации № 2 за последние 5 лет, используя ряд с нечетным количеством периодов:



Значение t

2003

2004

2005

2006

2007

 t = 0

- 2

- 1

0

1

2



При упрощенном способе расчетов параметры прямой определяются по формулам:



 = ,  = = 796;

 =  ,  =  = 20.



Уравнение прямой (тренда) будет иметь вид: 



 = 796 + 20t



где у –исходный уровень ряда динамики;

n – количество периодов ряда.



Расчетная таблица выравнивания ряда по прямой для организации № 2:

Годы

Прибыль

тыс. руб.

(у)

Абсолютный прирост,

тыс. руб. (у)

t



t2





tу





Скорость ряда 

(разница теоретических уровней)

2003

750

50

-2

4

-100

756



2004

780

80

-1

1

-80

776



2005

800

100

0

0

0

796



2006

820

120

1

1

120

816



2007

830

130

2

4

260

836





∑у=3980



∑t=0

∑ =10

∑tу=200

∑=3980





Рассчитаем теоретические уровни ряда динамики:



796 + 20 * (-2) = 796 + (- 40) = 756

796 + 20 * (-1) = 796 + (- 20) = 776

796 + 20 * 0 = 796

796 + 20 * 1 = 816

796 + 20 * 2 = 796 + 40 = 836



Поскольку  имеет знак «+», то наблюдается тенденция роста

Определяем скорость ряда для экономической интерпретации найденного тренда, которая при нечетном количестве периодов времени (5), будет равна параметру а1, т.е. 20 тыс.шт.

Полученный тренд свидетельствует о наличии положительной тенденции в измерении выпуска продукции (а1 > 0), если в среднем за год выпуск составил 796 тыс. шт., то его прирост из года в год за исследуемые 5 лет в среднем составляет 20 тыс. шт.:







5) Чтобы сравнить динамику выпуска продукции по двум организациям, необходимо применить способ приведения рядов динамики к единому основанию и исчислить коэффициент опережения:



Годы

Выпуск продукции, тыс. шт.



Организация № 1

Организация № 2

2002

520

700

2003

550

750

2004

560

780

2005

620

800

2006

640

820

2007

700

830



Из таблицы видно, что выпуск продукции по двум организациям происходит неравномерно.

Приведем ряды динамики к единому основанию, т.е. все уровни выразим в процентах к начальному уровню.

Тогда ряд динамики преобразуется в ряд динамики, состоящий из базисных уровней темпов роста:



Годы

Базисные темпы роста, %



Организация № 1

Организация № 2

2002

100

100,0

2003

105,7

107,1

2004

107,6

111,4

2005

119,2

114,3

2006

123,0

117,1

2007

134,6

118,6



Следовательно, выпуск продукции в организации № 1 с 2003 – 2004 г. растет медленнее, чем в организации № 2, а с 2005 – 2007 г. растет быстрее, чем в организации № 2.

Для сравнения рассчитаем коэффициенты опережения (Копер.)



Копер.2004 = 107,6/111,4 = 0,966

Копер.2007 = 134,6/118,6 = 1,135



При сравнении организации № 1 и организации № 2 можно сделать следующие выводы: выпуск продукции в организации № 1 с 2003-2004 г. растет медленнее в 0,966 раз, а с 2005-2007 растет быстрее в 1,135 раз:






Задание № 3



Используя индексный метод по данным, приведенным в таблице, проанализировать деятельность организации:

Определить, как изменились издержки организации в отчётном периоде по сравнению с базисным и как повлияло на эти изменение: 

1.1) изменение объёма выпускаемой продукции;

1.2) изменение себестоимости единицы продукции;

Показать связь индексов и дать развернутый вывод.

Определить индексы средней цены изделия переменного, фиксированного (постоянного) состава и структурных сдвигов. 

Сделать развёрнутый вывод об изменении средней цены единицы продукции и его причинах.



Виды

изделий

Выпуск продукции,

тыс. ед.

Цена единицы

продукции, тыс. руб.

Себестоимость ед. продукции, тыс. руб.



базисный период

отчетный период

базисный период

отчетный период

базисный период

отчетный период

1

3

4

5

6

7

8



А

Б

В



150

160

180



180

180

200



32

28

45



25

30

42



20

18

28



18

19

27



Решение задания 3

При выполнении первого пункта задания целесообразно использование таблицы следующей формы:



Виды 

продукции

Выпуск

продукции, 

тыс. ед.

Себестоимость 

единицы 

продукции, 

тыс. руб.

Издержки, млн. руб.

q1z0







базис. 

период

отчет. 

период

базис. 

период

отчет. 

период

базисный

период

отчетный

период









q 0

q1

z0

z1

q0z0

q1z1







А

150

180

20

18

3000

3240

3600

1,2

0,9

Б

160

180

18

19

2880

3420

3240

1,125

0,055

В

180

200

28

27

5040

5400

5600

1,111

0,964

Итого:

q0z0=10920

q1z1=12060

q1z0=12440







Для того, чтобы определить, как изменились издержки организации в отчетном периоде по сравнению с базисным, следует рассчитать агрегатный индекс издержек (себестоимость всей продукции по организации):



Iz =  , 	Iz =  1,1044 раз или + 10,4 % 



Агрегатный индекс издержек показывает относительное изменение издержек организации. Можно рассчитать абсолютное изменение издержек (в рублях):



∆z =∑ – ∑ , ∆z = 12060 – 10920 = 1140 (млн.рублей)



Индекс издержек организации показывает изменение показателя издержек организации за счет объема выпускаемой продукции, и за счет себестоимости единицы продукции.

При использовании индексного метода проводится факторинговый анализ и оценивается обособленное влияние каждого из этих факторов:

Изменение издержек организации за счет изменения объема выпускаемой продукции рассчитывается по формуле:



Iq =  , 	Iq =  1,1392 или + 13,92 %

∆ = ∑ – ∑ ,	12440-10920=1520 (млн.рублей)


Изменение издержек за счет изменения себестоимости единицы продукции рассчитывается по формуле:



Iz = , 	Iz =  0,9695 или - 3,1 % 

∆ = ∑ – ∑ ,	 = 12060 – 12440 – -380 (млн.рублей)



Таким образом, издержки организации в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличились на 10,4 % или на 1140 млн.рублей. За счет увеличения объема выпускаемой продукции издержки выросли на 13,9 % или на 1520 млн.рублей и за счет уменьшения себестоимости единицы продукции издержки уменьшились на 3,1% или на 380 млн.рублей произошло это изменение.

В отчетном периоде по сравнению с базисным, объем выпускаемой продукции А увеличился на 20%, продукции Б – на 12,5% и продукции В – на 11,1%.

Себестоимость единицы продукции А в отчетном периоде по сравнению с базисным выросла на 10 %; себестоимость единицы продукции Б выросла на 5,6 %, а единица продукции В снизилась на 3,6 %.

Для расчёта индексов средней цены используем следующую таблицу:



Виды продукции

Выпуск 

продукции, 

тыс. ед.

Цена 

ед.продукции, тыс. руб.

p0q0

p1q1

p0q1

d0=

	=

p0d0

p1d1

p0d1



базисный 

период, 

q0

отчётный 

период, 

q1

базисный

период, p0

отчётный 

период, p1

















А

150

180

32

25

4800

4500

5760

0,306

0,321

9,796

8,036

10,286

Б

160

180

28

30

4480

5400

5040

0,327

0,321

9,143

9,643

9,000

В

180

200

45

42

8100

8400

9000

0,367

0,357

16,531

15,000

16,531



∑=490

∑=560

105

97

∑

=17380

∑

=18300

∑

=19800

∑d0=1

∑d1=1

∑

=35,47

∑

=32,68

∑=35,82



Рассчитываем индекс переменного состава средней цены изделия по формуле:



Iрп.с. =  ÷  ,	Iрп.с. =  ÷  = 0,9213 (- 7,87 %)

или 

Iрп.с. =  , 	Iрп.с. =  = 0,9213 (- 7,87 %)



Далее исчисляем индекс фиксированного состава:



Iрф.с. =  ÷,

Iрф.с. =  ÷  = 0,9242 (- 7,58 %)

Или

Iрф.с. = ,

Iрф.с. =  0,9242 (- 7,58 %)



Затем индекс структурных сдвигов: 



Iрс.с. =  ÷,

Iрс.с. =  ÷  = 0,9968 (- 0,32 %)

Или

Iрс.с. =  ,

Iрс.с. =  = 0,9968 (- 0,32 %)



Из этого следует, что средняя цена единицы продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным уменьшилась на 7,87 %. 

Это вызвано непосредственным падением цен на анализируемую продукцию. Индекс фиксированного состава показывает, что непосредственное изменение цен составило их уменьшение на 7,58 %.

Одновременно наблюдается отрицательное влияние на изменение средней цены фактора структурных сдвигов. 

Увеличение в отчетном периоде продукции А и Б, которые имеют более низкую цену, при одновременном уменьшении количества продукции В, имеющей более высокую цену, приводит к снижению средней цены на 0,32%.



Задание № 4



Используя статистические данные производственной деятельности 15-ти организаций отрасли, необходимо установить наличие, характер и тесноту связи между признаком-фактором (х) и признаком-результатом (у).

Исследование зависимости между признаками необходимо провести следующими методами:

4.1) методом параллельных рядов;

4.2) методом аналитических группировок;

4.3) методом корреляционно-регрессионного анализа.

Исследование зависимости по каждому из указанных методов завершается выводом о наличии, характере и тесноте установленной связи между Х и У.




№ 

пр-я

Результативный признак 

(у)

Факторный признак 

(х)



Рентабельность капитала

Коэффициент финансовой независимости



6,4

50,6



6,0

55,4



6,8

60,2



7,2

66,8



5,6

45,9



5,4

45,5



8,0

70,0



4,0

30,0



5,8

55,5



4,8

40,1



5,6

45,9



5,4

45,5



8,0

70,0



4,2

36,0



5,7

55,5



Решение задания 4

Чтобы установить зависимость по методу сравнения параллельных рядов для оценки тесноты связи, воспользуемся коэффициентом ранговой корреляции, который рассчитывается по формуле: 







Для его определения воспользуемся таблицей:

№

предприятия

Признак-фактор Х

Признак-результат У

Ранги

Разность

рангов, d

d 2







Х

У





8

30,0

4,0

1

1

0

0

14

36,0

4,2

2

2

0

0

10

40,1

4,8

3

3

0

0

6

45,5

5,4

4,5

4,5

0

0

12

45,5

5,4

4,5

4,5

0

0

5

45,9

5,6

6,5

6,5

0

0

11

45,9

5,6

6,5

6,5

0

0

1

50,6

6,4

8

11

-3

9

2

55,4

6,0

9

10

-1

1

9

55,5

5,8

10,5

9

1,5

2,25

15

55,5

5,7

10,5

8

2,5

6,25

3

60,2

6,8

12

12

0

0

4

66,8

7,2

13

13

0

0

7

70,0

8,0

14,5

14,5

0

0

13

70,0

8,0

14,5

14,5

0

0













 d 2 = 18,5



В данном случае можно сказать, что связь есть, и она прямая, поскольку с увеличением X просматривается увеличение Y.



 = 0,966



Коэффициент ранговой корреляции позволяет сделать вывод о наличии весьма тесной связи между коэффициентом финансовой независимости и рентабельностью капитала, т.к. 0,7<<1.

Использование метода аналитических группировок предполагает предварительное определение количества групп. В данном случае количество групп равно 5.

Определим ширину интервала группировки по X:



; 	 8 (при К = 5)



Для проведения расчетов воспользуемся таблицей:



Группы предприятий

по признаку-фактору Х

Количество

предприятий в группе, f

Сумма значений

признака-результата по всем предприятиям группы, у

Среднее значение

признака-результата

по группе, Угр

30-38

2

4,0+4,2=12,4

4,1

38-46

5

4,8+5,4*2+5,6*2=26,8

5,36

46-54

1

6,4

6,4

54-62

4

6,0+5,7+5,8+6,8=24,3

6,075

62-70

3

7,2+8,0*2=23,2

7,73



Связь между коэффициентом финансовой независимости и рентабельностью капитала прямая.

Для расчета дисперсии воспользуемся следующей таблицей:









4,0

-1,93

3,73

4,2

-1,73

2,99

4,8

-1,13

1,28

5,4

-0,53

0,28

5,4

-0,53

0,28

5,6

-0,33

0,11

5,6

-0,33

0,11

6,4

0,47

0,22

6,0

0,07

0,01

5,7

-0,23

0,05

5,8

-0,13

0,02

6,8

0,87

0,76

6,8

0,87

0,76

7,2

1,27

1,61

8,0

2,07

4,29

8,0

2,07

4,29





=20,79



= 5,927



Для оценки тесноты связи рассчитаем эмпирическое корреляционное отношение:



 = 1,386;

= 1,223;

; 



Таким образом, можно сделать вывод, что связь между исследуемыми признаками весьма тесная.

Для проведения исследования зависимости с помощью корреляционно-регрессионного анализа определим уравнение регрессии.

Если предполагается, что связь линейная (т.е. урасч.= а0+а1x), то задача нахождения уравнения связи состоит в расчете таких значений коэффициентов а0 и а1, при которых сумма квадратов отклонений расчетных значений у от фактических была бы минимальной:



; 



Построим таблицу следующей формы: 



x

y











()*()

50,6

6,4

-0,9

0,81

0,5

0,25

323,84

-0,45

55,4

6,0

3,9

15,21

0,1

0,01

332,4

0,39

60,2

6,8

8,7

75,69

0,9

0,81

409,36

7,83

66,8

7,2

15,3

234,09

1,3

1,69

480,96

19,89

45,9

5,6

-5,6

31,36

-0,3

0,09

257,04

1,68

45,5

5,4

-6

36

-0,5

0,25

245,7

3

70,0

8,0

18,5

342,25

2,1

4,41

560

38,85

30,0

4,0

-21,5

462,25

-1,9

3,61

120

40,85

55,5

5,8

4

16

-0,1

0,01

321,9

-0,4

40,1

4,8

-11,4

129,96

-1,1

1,21

192,48

12,54

45,9

5,6

-5,6

31,36

-0,3

0,09

257,04

1,68

45,5

5,4

-6

36

-0,5

0,25

245,7

3

70,0

8,0

18,5

342,25

2,1

4,41

560

38,85

36,0

4,2

-15,5

240,25

-1,7

2,89

151,2

26,35

55,5

5,7

4

16

-0,2

0,04

316,35

-0,8

∑x=772,9

∑y=88,9

∑ =0,4

∑ =2009,48

∑ =0,4

∑=20,02

∑=4773,97

∑=193,26



; ; ;



; 



Следовательно, уравнение связи между коэффициентом финансовой независимости и рентабельность капитала имеет вид:







Коэффициент корреляции используется для оценки тесноты связи между исследуемыми показателями.

Для вычисления коэффициента корреляции используется формула:







где – среднеквадратичное отклонение величины x,

 – среднеквадратичное отклонение величины y.



,		 ; , 	 



где n – число значений переменных.

Тогда









Таким образом, между коэффициентом финансовой независимости и рентабельность капитала связь весьма тесная.

Отобранная для анализа группа данных называется выборной, а вся совокупность данных, из которых выделяется выборка, генеральной совокупностью.

Поскольку значения коэффициента корреляции определяются по выборочным данным и, следовательно, будут различными при рассмотрении различных выборок из одной и той же генеральной совокупности, значение коэффициента корреляции следует рассмотреть как случайную величину.

Таким образом, может возникнуть ситуация, когда величина коэффициента корреляции, рассчитанного по данным выборки, отлична от нуля, а истинный коэффициент корреляции равен нулю.

Для проверки значимости отличия коэффициента корреляции от нуля используется критерий Стьюдента, определяемый по формуле:



;



где – среднеквадратичная ошибка выборочного коэффициента корреляции:



; ;




Расчетная величина t-критерия сопоставляется с табличной величиной, отыскиваемой в таблицах значений этого критерия при числе степеней свободы, равном (n-2) и заданной доверительной вероятностью, которая обычно выбирается равной Р = 0,95 или Р = 0,99.

Если расчетная величина t-критерия окажется больше табличной, то это означает, что полученный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля; если же расчетное значение критерия меньше табличного, то коэффициент корреляции следует считать равным нулю.

Т.о. , однако, не следует утверждать, что коэффициент корреляции равен нулю, т.к. это может быть обусловлено случайной выборкой данных.

Величина  называется коэффициентом регрессии, который является случайной величиной, поэтому возникает необходимость проверки значимости его отличия от нуля. Эта проверка осуществляется с помощью t-критерия.

Проверим значимость коэффициента .

Вычислим ошибку коэффициента регрессии:







Данные для расчета сведем в таблицу:



x









50,6

5,838

6,4

0,562

0,316

55,4

6,298

6,0

-0,298

0,089

60,2

6,759

6,8

0,041

0,002

66,8

7,393

7,2

-0,193

0,037

45,9

5,386

5,6

0,214

0,046

45,5

5,348

5,4

0,052

0,003

70

7,7

8,0

0,3

0,09

30

3,86

4,0

0,14

0,02

55,5

6,308

5,8

-0,508

0,258

40,1

4,83

4,8

-0,03

0,0009

45,9

5,386

5,6

0,214

0,046

45,5

5,348

5,4

0,052

0,003

70

7,7

8,0

0,3

0,9

36

4,436

4,2

-0,236

0,056

55,5

6,308

5,7

-0,608

0,37









∑=2,237





; 



Коэффициент регрессии показывает, на сколько, в среднем, изменяется величина результативного признака у при изменении факторного признака x на единицу.

Таким образом, , но это может быть обусловлено некоторой погрешностью при выборке данных.

Рассчитаем коэффициент эластичности по формуле:



 ,	





Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов увеличится у при увеличении x на 1%.

Таким образом, произведенный анализ показывает, что рентабельность капитала имеет весьма тесную связь с коэффициентом финансовой независимости (коэффициент корреляции = 0,9) , следовательно, связь прямая.

Из полученного уравнения регрессии следует, что увеличение коэффициента финансовой независимости на 1 % приводит к увеличению рентабельности капитала на 0,835 %.



Задание № 5



Используя данные выборочного наблюдения (таблица 5.1), исследовать уровень выполнения норм выработки рабочими предприятия:

С вероятностью до 0,997 определить, в каких пределах будет находиться средний процент выполнения норм выработки всеми рабочими предприятия.

С вероятностью до 0,954 определить, в каких пределах будет находиться доля рабочих, не выполняющих нормы выработки, в целом по предприятию.

Необходимо учитывать, что выборка производилась случайным бесповторным способом из 1000 рабочих предприятия.



№

раб.

% выполнения норм выработки рабочими, х

№

раб.

% выполнения норм выработки рабочими, х

№

раб.

% выполнения норм выработки рабочими, х

1

104

11

97

21

94

2

100

12

125

22

95

3

103

13

118

23

97

4

107

14

115

24

99

5

125

15

96

25

108

6

126

16

118

26

104

7

112

17

99

27

104

8

93

18

100

28

116

9

95

19

100

29

116

10

96

20

100

30

109



1) Определяем средний % выполнения норм выработки по выборке:



 =  ,

 =  105,7



Учитывая, что данные получены путем бесповторного механического отбора, определяем среднюю и предельную ошибку выборки с вероятностью до 0,997 по формуле:







где t – определяется по специальной таблице в зависимости от заданного уровня вероятности (Р) –в данном случае t=3;

 – средняя ошибка выборки.

При бесповторном способе отбора случайной или механической выборки:







где N – число единиц в генеральной совокупности (N=1000),

– дисперсия признака; n – число единиц совокупности (n=30)







где x – индивидуальные значения признака у каждой единицы совокупности,  – среднее значение признака.

Расчетная таблица для исчисления дисперсии для нахождения средней квадратичной ошибки выборки:






№ рабочего

% выполнения норм выработки рабочими





01

104

-1,7

2,89

02

100

- 5,7

32,49

03

103

- 2,7

7,29

04

107

1,3

1,69

05

125

19,3

372,49

06

126

20,3

412,09

07

112

6,3

39,69

08

93

- 12,7

161,29

09

95

- 10,7

114,49

10

96

- 9,7

94,09

11

97

- 8,7

75,69

12

125

19,3

372,49

13

118

12,3

151,29

14

115

9,3

86,49

15

96

- 9,7

94,09

16

118

12,3

151,29

17

99

- 6,7

44,89

18

100

- 5,7

32,49

19

100

- 5,7

32,49

20

100

-5,7

32,49

21

94

- 11,7

136,89

22

95

- 10,7

114,49

1

2

3

4

23

97

- 8,7

75,69

24

99

- 6,7

44,89

25

108

2,3

5,29

26

104

- 1,7

2,89

27

104

- 1,7

2,89

28

116

10,3

106,09

29

116

10,3

106,09

30

109

3,3

10,89



∑x=3171

∑

∑








Определяем среднюю квадратическую ошибку бесповторного отбора:



 



Вычислим предельную ошибку выборки, с вероятностью 0,997 и коэффициентом доверия t=3:



;  (%)



Таким образом, ошибка наблюдения составляет ±5,319 % из всей совокупности выборки (N=1000).

Доверительный интервал для x будет:



; ;





Следовательно, с вероятностью Р = 0,997 можно утверждать, что % выполнения норм выработки на предприятии в отрасли будет заключен в пределах от 100,381 % до 111,019 %.

2) Определяем долю рабочих, не выполняющих норму выработки (), т.е. :



 ,



где m – количество рабочих, не выполняющих норму выработки,

n – число единиц совокупности (n=30).



 0,3




Учитывая, что данные получены путем бесповторного отбора, определим среднюю и предельную ошибки выборки с вероятностью Р = 0,954 и t = 2; N=1000

Средняя ошибка:



; ;



Предельная ошибка:



;  (%)



Определим границы доли рабочих, не выполняющих нормы выработки, в генеральной совокупности:



=> 0,3 – 0,1648 < P < 0,3 + 0,1648

 => 0,1352 < P < 0,4648





Следовательно, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля рабочих, не выполняющих норму выработки на предприятии будет находиться в пределах 0,1352 ÷ 0,4648.



Задание № 6



Имеются следующие показатели результатов экономической деятельности страны за отчётный год (в действующих ценах, млрд. руб.):



№ п/п

Показатели

Сумма

1.

Валовой выпуск в основных ценах:

– в сфере производства товаров

– в сфере производства услуг



17798

12750

2.

Промежуточное потребление:

– в сфере производства товаров

– в сфере производства услуг



9560

4210

3.

Налоги на продукты и импорт

2602

4.

Субсидии на продукты и импорт

1050

5.

Оплата труда наёмных работников

6725

6.

Налоги на производство

2890

7.

Субсидии на производство

1200

8.

Доходы от собственности:

– полученные от «остального мира»

– переданные «остальному миру»



2493

1512

9.

Текущие трансферты:

– полученные от «остального мира»

– переданные «остальному миру»



180

93

10.

Расходы на конечное потребление

10680

11.

Капитальные трансферты:

– полученные от «остального мира»

– переданные «остальному миру»



5920

17

12.

Валовое накопление:

– основного капитала

– материальных оборотных средств



4240

560

13.

Экспорт товаров и услуг

6590

14.

Импорт товаров и услуг

1600



Постройте «Счёт операций с капиталом» и определите его балансирующую статью (чистое кредитование или чистое заимствование)

Решение задания № 6.

1. Счёт производства:



Использование

Ресурсы

4. Промежуточное потребление 

9560 + 4210 = 13770

1. Валовой выпуск в основных ценах 

17798 + 12750 = 30548

2. Налоги на продукты и импорт 2602

3. Субсидии на продукты и импорт - 1050

5. ВВП = 1+ 2 + 3 + 4 = 45870



Итого: 32100

Итого: 32100


2. Счёт образования доходов:

Использование

Ресурсы

3. Оплата труда 6725

4. Налоги на продукты и импорт 2602

1. ВВП 32100

2. Субсидии на продукты и импорт 1050

5. ВПЭ = 1 + 2 – 3 – 4 = 23823



Итого: 33150

Итого: 33150



3. Счёт первичного распределения доходов:

Использование

Ресурсы

5. Доходы от собственности переданные «остальному миру» 1512



1. ВПЭ 23823

2. Доходы от собственности, полученные от «остального мира» 2493

3. Оплата труда 6725

4. Чистые налоги 3242

6. ВНД = 1 + 2 + 3 + 4 – 5 = 34771



Итого: 36283

Итого: 36283



4. Счёт вторичного распределения доходов:

Использование

Ресурсы

3. Текущие трансферты, переданные «остальному миру» 93

1. ВНД 34771

2. Текущие трансферты, полученные от «остального мира» 180

4. ВНРД = 1 + 2 – 3 = 34858



Итого: 34951

Итого: 34951



5. Счёт использования доходов:

Использование

Ресурсы

2. РКП 10680

1. ВНРД 34858

3. ВНС = 1 – 2 = 24178



Итого: 34858

Итого: 34858



6. Счёт операций с капиталом:

Использование

Ресурсы

3. Капитальные трансферты, переданные «остальному миру» 17

4. ИЗМОС 560

5. ВНОК 4240

1. ВНС 24178

2. Капитальные трансферты, полученные от «остального мира» 5920

6. ЧК/ЧЗ = 1 + 2 – 3 – 4 – 5 = 25281



Итого: 30098

Итого: 30098



Балансирующей статьей является чистое кредитование.