Применение криволинейных интегралов в физике

Лекция 10.Криволинейные интегралы первого и второго рода, их свойства и вычисление.

Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f, определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части Δsi длиной Δsi и выберем на каждой из частей точку Mi. Составим интегральную сумму  . Назовем λ длину наибольшего отрезка кривой.

Определение 10.1. Если существует конечный предел интегральной суммы , не зависящий ни от способа разбиения кривой на отрезки, ни от выбора точек Mi, то он называется криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой L и обозначается

             .                                  (10.1)

 

Например, если функция f(M) задает плотность в точке М, то интеграл (10.1) равен массе рассматриваемой кривой.

 

                      Свойства криволинейного интеграла 1-го рода.

 

Если функция f непрерывна на кривой L, то интеграл существует. 

Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления движения по кривой, то есть от того, какую из точек, ограничивающих кривую, считать начальной, а какую – конечной. Если назвать эти точки А и В, то 

                                                                                  (10.2)

Справедливость этих свойств следует из определения криволинейного интеграла 1-го рода.

 

              Способ вычисления криволинейного интеграла 1-го рода.

 

Выберем на кривой L направление от начальной точки А и отметим, что положение точки М на кривой определяется длиной дуги АМ = s. Тогда кривую L можно задать параметрически: x = x(s), y = y(s), z = z(s), где Функция f(x,y,z) становится при этом сложной функцией одной переменной s: f(x(s), y(s), z(s)). Тогда интегральная сумма

            ,

где - координата точки Mi, является обычной интегральной суммой для определен-ного интеграла Следовательно,

              =                                                         (10.3)

Если же кривая L задана в параметрической форме:

      x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t),       t0 ≤ t ≤ T,  

то, применяя в интеграле (10.3) формулу замены переменной и учитывая, что дифференциал дуги

              

получим:

                     (10.4)

Таким образом, вычисление криволинейного интеграла 1-го рода сводится к вычислению обычного определенного интеграла от функции переменной t в пределах, соответствующих изменению значения этой переменной на рассматриваемой кривой.

 

Пример.

Вычислить где L: Применяя формулу (10.4), получим:





 

             Криволинейный интеграл второго рода.

 

Вновь рассмотрим кривую L, в каждой точке которой задана функция f(M), и зададим разбиение кривой на отрезки. Выберем на каждом отрезке точку Mi и умножим значе-ние функции в этой точке не на длину i-го отрезка, как в случае криволинейного инте-грала 1-го рода, а на проекцию этого отрезка, скажем, на ось Ох, то есть на разность    xi – xi-1 = Δxi. Составим из полученных произведений интегральную сумму .

Определение 10.2. Если существует конечный предел при интегральной суммы , не зависящий от способа разбиения кривой на отрезки и выбора точек Mi, то от называется криволинейным интегралом второго рода от функции f(M) по кривой L и обозначается

                    .                           (10.5)

Подобным образом можно определить и криволинейные интегралы 2-го рода вида

                                 

Определение 10.3. Если вдоль кривой L определены функции P(M) = P(x, y, z),

Q(M) = Q(x, y, z), R(M) = R(x, y, z) и существуют интегралы

        ,

то и их сумму называют криволинейным интегралом второго рода (общего вида) и полагают

  .           (10.6)

 

Замечание. Если считать, что сила действует на точку, движущуюся по кривой (АВ), то работа этой силы может быть представлена как

                               ,

то есть криволинейным интегралом 2-го рода.

 

                     Свойства криволинейного интеграла 2-го рода.

 

Если функции P(M), Q(M), R(M) непрерывны на кривой (АВ), то интеграл (10.6) существует (справедливость этого утверждения следует из определения 10.2). 

 

При изменении направления кривой (то есть перемены местами начальной и конечной ее точек) криволинейный интеграл 2-го рода меняет знак: 

                                                                                 (10.7)

Действительно, при этом изменяется знак Δxi в интегральной сумме.

 

         Способ вычисления криволинейного интеграла 2-го рода.

 

Теорема 10.1. Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями

                         x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t),     α ≤ t ≤ β ,

где φ, ψ, χ – непрерывно дифференцируемые функции, и на ней задана непрерывная функция f(x, y, z). Тогда интеграл (10.5) существует и имеет место равенство

                        .                           (10.8)

Доказательство.

Запишем Δxi = xi – xi-1 = φ(ti) – φ(ti-1) и преобразуем последнюю разность по формуле Лагранжа:   φ(ti) – φ(ti-1) = φ΄(τi)Δti, где τi – некоторое значение t, заключенное между ti-1 и ti. Выберем точку Мi так, чтобы ее координаты соответствовали значению параметра, равному τi : Mi(φ(τi), ψ(τi), χ(τi)). Подставив эти значения в формулу (10.5), получим:          

                         .

Справа получен предел интегральной суммы для функции f(φ(t),ψ(t),χ(t))φ΄(t) на отрезке [α, β], равный определенному интегралу от этой функции:

                         ,

что и требовалось доказать.

 

Следствие. Аналогичные соотношения можно получить для криволинейных интегра-лов вида , откуда следует, что

  

                                            (10.9)

 

Пример.

Вычислим интеграл , где L – отрезок прямой от точки А(1,2,-2) до точки В(0, -1, 0). Запишем уравнение этой прямой в параметрическом виде:

                                   

Следовательно, φ΄(t) = -1, ψ΄(t) = -3, χ΄(t) = 2. Тогда