Определение статистических данных

Задача 1



За отчетный период имеются данные о розничном товарообороте и издержках обращения по магазинам торга:



№ магазина

Объем розничного товарооборота, тыс. грн.

Издержки обращения, тыс. грн.

№ магазина

Объем розничного товарооборота, тыс. грн.

Издержки обращения, тыс. грн.

1

200

16,2

11

570

38,9

2

590

37,3

12

472

28,6

3

825

46,6

13

278

18,2

4

463

38,8

14

665

39,0

5

245

15,1

15

736

37,8

6

392

27,4

16

562

36,6

7

511

30,9

17

338

26,7

8

404

29,5

18

560

29,0

9

642

44,7

19

695

40,0

10

425

37,2

20

580

36,5



Для выявления зависимости между объемом розничного товарооборота и уровнем издержек обращения сгруппируйте магазины по размеру розничного товарооборота, образовав 5 групп с равными интервалами. По каждой группе и в целом по совокупности магазинов подсчитайте: а) число магазинов; б) объем розничного товарооборота – всего и в среднем на один магазин; в) Сделайте выводы.

		Решение

Определим величину интервала.



i = (Xmax – Xmin) / n , где



Хmax – максимальный розничный товарооборот;

Xmin – минимальный розничный товарооборот;

n – количество групп;

i = (825 – 200) / 5 = 125;



Определим границы интервалов:



1









200 - 325

325 - 450

450 - 575

575 - 700

700 - 825



По каждой группе необходимо подсчитать количество магазинов, объем розничного товарооборота – всего и в среднем на один магазин, сумму издержек обращения – всего и на один магазин. и оформить результаты в виде таблицы. 

Вывод: Из результатов, приведенных в таблице, видна прямая зависимость между объемом розничного товарооборота и издержками обращения.



№ п/п

Интервалы

№№ магазинов

Объем товарооборота, т.грн

Издержки обращения,

т.грн



200 - 325

1

200

16,2





5

245

15,1





13

278

18,2

Итого

3

723

49,5

В среднем по группе

241

16,5



325 - 450

17

338

26,7





6

392

27,4





8

404

29,5





10

425

37,2

Итого

4

1559

120,8

В среднем по группе

389,75

30,2



450 - 575

4

463

38,8





12

472

28,6





7

511

30,9





18

560

29





16

562

36,6





11

570

38,9

Итого

6

3138

202,8

В среднем по группе

523

33,8



575 - 700

20

580

36,5





2

590

37,3





9

642

44,7





14

665

39





19

695

40

Итого

5

3172

197,5

В среднем по группе

634,4

39,5



700-825

15

736

37,8





3

825

46,6

Итого

2

1561

84,4

В среднем по группе

780,5

42,2

Всего

20

10153

655

В среднем по совок-ти на 1 магазин 

507,65

32,8



Задача 2



Имеются следующие данные о распределении заводов области по уровню коэффициента сменности:



№ п/п

Группа предприятий по уровню коэффициента сменности работы оборудования

Число единиц оборудования, %

Середина интервала

1

До 1,7

2,2

1,65

2

1,7 – 1,8

12,8

1,75

3

1,8 – 1,9

32,6

1,85

4

1,9 – 2,0

24,9

1,95

5

2,0 – 2,1

23,4

2,05

6

2,1 – 2,2

4,1

2,15

Итого



100,0





Определить средний уровень коэффициента сменности по области. Сделать выводы.

Решение

Определяем величину интервала i=0,1. Вычисляем середины интервалов. Данные заносим в таблицу.

Среднее средний уровень коэффициента сменности по области определяется по формуле средней арифметической взвешенной. 



(1,65*2,2+1,75*12,8+1,85*32,6+1,95*24,9+

+2,05*23,4+2,15*4,1)/100=1,91



Т.о. средний размер затрат на гривну товарной продукции равен 1,91.



Задача 3



Имеются следующие данные о производстве цемента:



Год

1994

1995

1996

1997

1998

1999

Пр-во цемента, млн. т

33

39

46

51

57

61



Определить аналитические показатели ряда динамики выпуска цемента за 1994 – 1999 г.г.: абсолютные прироста, темпы роста и темпы прироста, абсолютное значение 1% прироста, а также средние обобщающие показатели ряда динамики.

Решение

Основные показатели динамики продукции предприятия



Годы

Производство продукции, млн.грн.

Абсолютные приросты, млн.грн.

Темпы роста, %

Темпы прироста, %

Абсолютное значение 1% прироста, млн.грн.





С предыдущ. годом

С 1994г.

С предыдущ. годом

С 1994г.

С предыдущ. годом

С 1994г.



1

2

3

4

5

6

7

8

9

1994

33

-

-

-

100,00

0,00

-

-

1995

39

6

6

118,18

118,18

18,18

18,18

0,33

1996

46

7

13

117,95

139,39

17,95

39,39

0,39

1997

51

5

18

110,87

154,55

10,87

54,55

0,46

1998

57

6

24

111,76

172,73

11,76

72,73

0,51

1999

61

4

28

107,02

184,85

7,02

84,85

0,57

Итого

287

28

-

-

-

-

-

-



Показатель абсолютного прироста определяется по формуле

 - по сравнению с предыдущим годом (графа 3);

 - по сравнению с предыдущим годом (графа 4),

где	 – показатель i-го года;

 – показатель базового года

Темпы роста определяются по формуле



 (графа 5) или  (графа 6).



Темпы прироста определяются по формуле



 (графа 7) или  (графа 8).



Показатель абсолютного значения одного процента прироста 



 или  (графа 9) .



Средний уровень ряда в случае равноотстоящих уровней во времени определяется по формуле средней взвешенной простой





Средний абсолютный прирост







Среднегодовой темп роста



.



Среднегодовой темп прироста







Задача 4



Имеются следующие данные:

Вид продукции, млн.грн.

Общие затраты на пр-во продукции, млн. грн.

% изменения с/с единицы продукции в отчетном/ базисном периоде 

Индекс

С/с

ip



Базисный

период

Отчетный

период





Железо листовое

460,0

544,8

-1,3

0,987

Рельсы трамвайные

293,0

374,5

+1,2

1,012

Чугун передельный

7,0

6,7

Без изменения

1



Определить: 1) общие индексы себестоимости, затрат на производство и физического объема продукции; 2) общую сумму экономии (перерасхода) за счет изменения себестоимости продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным.

Решение



=121,8%



Т.о. ообщие затраты на производство продукции в отчетный период по сравнению с базовым возросли на 21,8%



; 

=99,7%



Общие затраты на производство продукции уменьшились на 0,3%, что в абсолютном выражении составляет (926-928,73)=-2,73 млн.грн.

Индекс физического объема находим из взаимосвязи индексов:



Iqp=Iq*; 		Iq= Iqp: Ip=1.218:0.997=1.222=122,2%



Задача 5



Имеются следующие данные о распределении по выполнению норм выработки механического цеха:



№ п/п

Выполнение норм выработки, %

Количество рабочих в цехе

Середина интервала

1

95-100

3

97,5

2

100-105

82

102,5

3

105-110

157

107,5

4

110-115

35

112,5

5

Свыше 115

8

117,5

Итого



285





Определить: 1) средний процент норм выработки для всего цеха; 2) среднее линейное отклонение; 3) дисперсию и среднее квадратическое отклонение; 4) коэффициент вариации. Сделать выводы.

Решение

1) Средний процент норм выработки для всего цеха определяется по формуле средней арифметической взвешенной 



,



где	 - значение середины интервала для каждого диапазона выполнения норм;

 - количество рабочих в цехе.



 .



2) Среднее линейное отклонение определяется по формуле









3) Дисперсия определяется по формуле





.

4) Среднеквадратическое отклонение определяем по формуле



.



5) Коэффициент вариации



.



Т.о., можно сделать вывод об однородности представленной совокупности данных.



Задача 6



По городской телефонной сети из 1000 абонентов в порядке механической выборки произвели 100 наблюдений и установили, что средняя продолжительность телефонного разговора 4 мин при среднем квадратическом отклонении 2 мин.

Определить: 1) предельную ошибку репрезентативности (с вероятностью 0,954); 2) вероятность того, что предельная ошибка репрезентативности не превысит 0,3 мин.

Решение

N=1000 – генеральная совокупность

n=100 – выборочная совокупность

tср=4 мин. – 

σ=2 мин.

Средняя ошибка выборки



=0,19



Δ=t*μ – предельная ошибка 

t=2 (коэффициент доверия, которому соответствует вероятность 0,954)



Δ=2*0,19=0,38



Это значит, что с вероятностью 0,954 можно гарантировать, что средняя продолжительность генеральной совокупности телефонных разговоров расположится между 3,62 мин. и 4,38 мин.

Задача № 1

Определим величину интервала



I=(8,1-0,5) :4=7,6:4=1,9



Количество заводов по группам.

№

группы

Группировка заводов

Среднегодовая стоимость 

Валовая продукция в сопоставимых ценах, грн.

Уровень фондоотдачи (%)



к-во шт.

№ №

всего

на завод

всего

на завод



1

5

1,8,12,13,20

5,0

1,0

4,5

0,9

90

2

8

2,3,5,7,9,11,22,23,

26,9

3,3625

26,8

3,35

99,6

3

6

4,6,10,15,18,21

30,3

13,3

35

5,833

115,5

4

5

14,16,17,19,24

34,8

6,96

34,5

6,9

99



Интервал для групп заводов:



1-я :0,5…2,4

2-я :2,4…4,3

3-я :4,3…6,2

4-я :6,2…8,1



Уровень фондоотдачи = (Валовая продукция / стоимость ОФ) * 100%

Выводы: 

С ростом стоимости основных фондов (ОФ) растет стоимость валовой продукции следовательно между этими показателями существует прямая зависимость.

Уровень фондоотдачи не зависит от изменения стоимости ОФ и стоимости валовой продукции.



Задача № 2



Имеются данные по двум заводам, вырабатывающим однородную продукцию (табл. 31).



Таблица 31

Номер завода

1998 год

1999 год



Затраты времени на единицу продукции, ч

Изготовление продукции, шт.

Затраты времени на единицу продукции, ч

Затраты времени на всю продукцию, ч

1

2,0

150

1,9

380

2

3,0

250

3,0

840



Вычислите средние затраты времени на изготовление единицы продукции по двум заводам с 1998 по 1999 г.г. Укажите, какой вид средней необходимо применять при вычислении этих показателей.

Решение

Если в статистической совокупности дан признак Xi и его частота fi, то расчет ведется по формуле средней арифметической взвешенной:

 (ч)



Если дан признак xi , нет его частоты fi, а дан объем M = xifi распространения явления, тогда расчет ведем по формуле средней гармонической взвешенной:



(ч)



Вывод: В среднем затраты времени на изготовление единицы продукции в 1998г. выше, чем в 1999г.



Задача 3



Для определения средней суммы вклада в сберегательных кассах района, имеющего 9000 вкладчиков, проведена 10%-я механическая выборка, результаты которой представлены в таблице.



Группы вкладов по размеру, грн. - xi

До 200

200-400

400-600

600-800

Св.800

Σ

Число вкладчиков - fi

80

100

200

370

150

900

Середина интервала 

100

300

500

700

700



x – A=x' - 700

-600

-400

-200

0

+200



(X - A) / i

-3

-2

-1

0

1



((X - A) / I) *f

-240

-200

-200

0

150

-490

((X - A) / I)2 *f

720

400

200

0

150

1470



Решение:

Для определения средней суммы вкладов способов моментов воспользуемся формулой:



= m1Δ*I+Ai



где: m1 – момент первого порядка

x – варианта

i – величина интервала

f – частота

Δ – постоянная величина, на которую уменьшаются все значения признака.



m1 =(Σ((X-A) / i))*f) / Σf

=(( Σ ((X-A) / i*f) / Σf)*i+A



Находим середины интервалов



(200 + 400) / 2 = 300 – для закрытых интервалов;



Для открытых интервалов вторая граница достраивается: (0 + 200) / 2 = 100

Величина интервала i = 200.

Наибольшая частота равна 370, следовательно А = 700.

В вариационных рядах с равными интервалами в качестве А принимается вариант с наибольшей частотой.

Число вкладчиков f=900

	

	m1= (-240-200-200+150) / 900=-0,544

=-0,544*200+700=591,2 грн.



Вывод: в среднем сумма вкладов составляет 591,2 грн.

Определим дисперсию способом моментов:



σ22=i2 * (m2 - )

m1=-0.544; m2 =(Σ((X-A) / i)2 *f) / Σf

m2=1470/900=1,63

σ2=2002*(1,63-(-0,544)2)=53362,56 среднеквадратичное отклонение:

=231 грн.



Соотношение среднеквадратичного отклонения к средней называют квадратичным коэффициентом вариации: 



V=(σ/)*100%=(231/591,2)*100=39,07%



Предельная ошибка выборки средней вычисляется по формуле:



Δx=t*2/n

Δx=2*(грн.)



где: n – выбранной совокупности, n=900

σ2 – дисперсия

t – коэффициент доверия (табличное значение для вероятности 0,954 соответствует t=2)



Δx=2*15,4 (грн)



Т.о. с вероятностью 0,954 можно сказать, что средняя сумма вкладов в сберкассах района находится в пределах


591,2-15,4 ≤ x ≤ 591,2+15,4

575,8 ≤ x ≤ 606,4



Средняя ошибка доли признака

Доля признака в выборочной совокупности:



Р==20%

μ=



Nт=9000 интегральная совокупность

n=900 – выборочная совокупность



μ ==0,01265=1,3%

Δ=t*M=2*1,3=2,6%

20-6 ≤  ≤ 20+2,6 => 17,4 ≤  ≤ 22,6



Задача 4



Имеются данные о младенческой смертности на Украине 



Год

1990

1995

1996

1997

1998

1999

Умерло детей в возрасте до 1 года (всего), тыс. чел.

12,3

11,6

11,1

10,6

9,0

9,3



Для анализа ряда динамики исчислите: 1) абсолютный прирост, темпы роста и прироста (по годам и к базисному 1995 г.), абсолютное содержание 1 % прироста (полученные показатели представьте в виде таблицы); 2) среднегодовой темп роста и прироста младенческой смертности: а) с 1990 по 1996 годы; б) с 1995 по 1999 годы; в) с 1990 по 1999 годы. Изобразите исходные данные графически. Сделайте выводы.

Решение:

1. Абсолютный прирост (Δi) определяется как разность между двумя уровнями динамического ряда и показывает, на сколько данный уровень ряда превышает уровень, принятый за базу сравнения Δi=yi-yбаз, где yi – уровень сравниваемого периода; yбаз – базисный уровень.

При сравнении с переменной базой абсолютный прирост будет равен Δi=yi-yi-1, где yi – уровень сравниваемого периода; yi-1 – предыдущий уровень.

Темпы роста определяются как процентное отношение двух сравниваемых уровней:

При сравнении с базисом: 







По годам:







Темп прироста показывает, на сколько процентов уровень данного периода больше (или меньше) базисного уровня. По отношению к базисному: ; по годам:  или можно вычислять так: Тп=Тр-100%.

Абсолютное содержание 1% прироста - сравнение темпа прироста с показателем абсолютного роста: 


.



2. Среднегодовая младенческая смертность вычисляется по формуле: 



.





3. Среднегодовой абсолютный прирост вычисляется по формуле: 



.





4. Базисный темп роста с помощью взаимосвязи цепных темпов роста вычисляется по формуле:



.



5. Среднегодовой темп роста вычисляется по формуле



.



Среднегодовой темп прироста вычисляется по формуле: 



.

Рассчитанные данные представим в таблице 



Год

Умерло, тыс.чел.

Абсол. прирост

Ср.год.темп роста

Ср.год.темп прироста

Аі





цепн.

базисн.

цепн.

базисн.

цепн.

базисн.



1990

12,3

-

0,7

-

106,8

-

6,8

-

1995

11,6

0,7

0

94

100

-6

-

0,125

1996

11,1

0,5

0,5

102

102

2

2

0,12

1997

10,6

0,5

0,8

89

90,6

-11

-0,4

0,12

1998

9.0

1,6

0,8

89

80,3

-11

-19,7

0,11

1999

9,3

-0,3

-1,1

99

78,6

-1

-21,4

0,09



В качестве базисного берем 1995 г. 



Среднегодовой темп роста

с 1990 по 1996

98,30

с 1995 по 1999

94,63

с 1990 по 1999

96,94

Среднегодовой темп прироста

с 1990 по 1996

-1,70

с 1995 по 1999

-5,37

с 1990 по 1999

-3,06

	

Задача 5



Реализация товаров на колхозном рынке характеризуется данными 



Наименование товара

Базисный период

Отчетный период



Количество, тыс.кг.

Цена 1 кг., грн

Количество, тыс.грн.

Цена 1 кг.,грн

Картофель

15,0

0,3

20

0,5

Мясо 

3,0

3,5

4

5



Определите: 1) общий индекс физического объема продукции; 2) общий индекс цен и абсолютный размер экономии (перерасхода) от изменения цен; 3) на основании исчисленных индексов определить индекс товарооборота.

Решение.

Индекс представляет собой относительную величину, получаемую в результате сопоставления уровней сложных социально-экономических показателей во времени, в пространстве или с планом.

Индивидуальными называются индексы, характеризующие изменения только одного элемента совокупности.

Общий индекс отражает изменение по всей совокупности элементов сложного явления.

Стоимость – это качественный показатель.

Физический объем продукции – количественный показатель.

Общий индекс физического объема продукции вычисляется по формуле: 



, 



где p0 и р1 – цена единицы товара соответственно в базисном и отчетном периодах;

q0 и q1 - количество (физический объем) товара соответственно в базисном и отчетном периодах.

Количество проданных товаров увеличилось на 33,3 %.

Или в деньгах: 20 – 15 = 5,0 тыс.грн.

Общий индекс стоимости вычисляется по формуле: 







Следовательно, цены на данные товары в среднем увеличились на 50 %.

Сумма сэкономленных или перерасходованных денег:

сумма возросла на 50 %, следовательно, население в отчетном периоде на покупку данных товаров дополнительно израсходует: 30 – 20 = 10 тыс. грн.

Общий индекс товарооборота вычисляется по формуле:





 



Товарооборот в среднем возрос на 100 %.

Взаимосвязь индексов:





1,333 * 1,5 = 2,0



Задача 6



Имеются данные о выпуске одноименной продукции и её себестоимости по двум заводам 



Завод

Производство продукции, тыс. шт.

Себестоимость 1 шт., грн.



I квартал

II квартал

I квартал

II квартал

I

100

180

100

96

II

60

90

90

80



Вычислите индексы: 1) себестоимости переменного состава; 2) себестоимости постоянного состава; 3) структурных сдвигов. Поясните полученные результаты.

Решение.

Индекс себестоимости переменного состава вычисляется по формуле:







где z0 и z1 - себестоимость единицы продукции соответственно базисного и отчетного периодов;

q0 и q1 - количество (физический объем) продукции соответственно в базисном и отчетном периодах.







Индекс показывает, что средняя себестоимость по двум заводам повысилась на 71,6%, это повышение обусловлено изменением себестоимости продукции по каждому заводу и изменением структуры продукции (увеличением объема выпуска).

Выявим влияние каждого из этих факторов.

Индекс себестоимости постоянного состава вычисляется по формуле:







То есть себестоимость продукции по двум заводам в среднем возросла на 70 %.

Индекс себестоимости структурных сдвигов вычисляется по формуле: 






Или 







Взаимосвязь индексов: 





170*100,9=171,6



Вывод:

Индекс себестоимости переменного состава зависит от изменения уровня себестоимости и от изменения объема производства, т.е. средний прирост себестоимости составил 71,6 %. 

Индекс себестоимости постоянного состава показывает изменение себестоимости при фиксированном объеме производства, т.е. в среднем по заводам себестоимость повысилась на 71% . Индекс себестоимости переменного состава выше, чем индекс себестоимости постоянного состава, это свидетельствует о том, что произошли благоприятные структурные сдвиги. Индекс структурных сдвигов равен 1,009 %, т.е. за счет изменения объемов производства по заводам средняя себестоимость повысилась на 0,9 %.



Задача 7



Для изучения тесноты связи между выпуском валовой продукции на один завод (результативный признак Y) и оснащенностью заводов основными производственными фондами (факторный признак X) по данным задачи 1 вычислить коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

Решение. 

Показателем тесноты связи между факторами, является линейный коэффициент корреляции.

Линейный коэффициент корреляции вычислим по формуле:



.



Линейное уравнение регрессии имеет вид: y=bx-а. 

Коэффициент детерминации показывает насколько вариация признака зависит от фактора, положенного в основу группировки и вычисляется по формуле:







где 2 – внутригрупповая дисперсия;

2 – общая дисперсия.

Общая дисперсия характеризует вариацию признака, который зависит от всех условий в данной совокупности.

Межгрупповая дисперсия отражает вариацию изучаемого признака, которая возникает под влиянием фактора, положенного в основу группировки и рассчитывается по формуле:






где среднее значение по отдельным группам;

fi – частота каждой группы.







Средняя из внутригрупповых дисперсия: 







где - дисперсия каждой группы.







Эмпирическое корреляционное отношение рассчитывается по формуле:







Все расчетные данные приведены в таблице 7.



Таблица 7

№ завода

Среднегодовая стоимость ОФ, млн.грн. (X)

Валовая продукция в сопоставимых ценах, грн. (Y)

X^2

Y^2

XY

1

1,6

1,5

2,56

2,25

2,55

2

3,9

4,2

15,21

17,64

17,16

3

3,3

4,5

10,89

20,25

15,75

4

4,9

4,4

24,01

19,36

22,05

5

3,0

2,0

9

4

6,4

6

5,1

4,2

26,01

17,64

22,44

7

3,1

4,0

9,61

16

13,2

8

0,5

0,4

0,25

0,16

0,1

9

3,1

3,6

9,61

12,96

11,52

10

5,6

7,9

31,36

62,41

43,68

11

3,5

3,0

12,25

9

10,8

12

0,9

0,6

0,81

0,36

0,63

13

1,0

1,1

1

1,21

1,32

14

7,0

7,5

49

56,25

53,9

15

4,5

5,6

20,25

31,36

25,76

16

8,1

7,6

65,61

57,76

63,18

17

6,3

6,0

39,69

36

38,4

18

5,5

8,4

30,25

70,56

46,75

19

6,6

6,5

43,56

42,25

43,55

20

1,0

0,9

1

0,81

0,8

21

4,7

4,5

22,09

20,25

21,6

22

2,7

2,3

7,29

5,29

6,75

23

2,9

3,2

8,41

10,24

8,96

24

6,8

6,9

46,24

47,61

46,24

Итого

95,6

100,8

485,96

561,62

523,49

Среднее

3,824

4,032

19,4384

22,4648

21,81

						

						Подставив вычисленные значения в формулу, получим:

					Коэффициент детерминации 2 = 0,87.

					Эмпирическое корреляционное отношение имеет вид: у = 1,0873х – 0,161.

					Линейный коэффициент корреляции r = 0,93.

					

					a=0,161	b=1,0873

						

						Так как значение коэффициента корреляции близко к единице, то между выпуском валовой продукции и оснащенностью заводов основными производственными фондами есть тесная зависимость.

						b – коэффициент регрессии, т.к. b > 0 , то связь прямая.