Прикладная механика

3

Задача 1



Для стального трубчатого вала , который оборачивается с постоянной угловой скоростью, требуется:

Определить, пренебрегая трением в подшипниках, мощность на шкиве P0 .

Найти крутящиеся моменты, переданные каждым шкивом.

Построить эпюру моментов.

Из условия жесткости и крепости определить внутренний и внешний диаметры вала.

Построить эпюру углов закручивания по длине вала, приняв за недвижимый срез под первым левым шкивом.



Дано:

P1 = 24 кВт; a = 1,2 м; α = 0,8; G = 0,9·105Мпа.

P2 = 32 кВт; b = 1,0 м; ω = 130 рад/с;

P3 = 27 кВт; c = 0,4 м; [σ] = 180 МПа;

P4 = 12 кВт; d = 1,0 м; [θ] = 3,0º;



Решение:

Схема вала приведена на Рис. 1.





Рис. 1. Вал


Определяем мощность на шкиву P0 :



∑ Pi = P1 – P2 - P0 + P4 - P0 = 0;

P0 = P1 – P2 – P3 + P4 = 24 – 32 – 27 + 12 = - 23 кВт.



Определяем крутящиеся моменты на шкивах:



Т1 =  =  = 0,185 кНм;

Т2 =  =  = 0,246 кНм;

Т3 =  =  = 0,207 кНм;

Т4 =  =  = 0,092 кНм;

Т0 =  =  = - 0,177 кНм.



Определяем крутящиеся моменты на участках вала:



Ткр1 = Т1 = 0,185 кНм;

Ткр2 = Т1 – Т2 = 0,185 – 0,246 = - 0,061 кНм;

Ткр3 = Т1 – Т2 – Т0 = - 0,061 + 0,177 = 0,116 кНм;

Ткр4 = Т1 – Т2 – Т0 – Т3 = 0,116 – 0,207 = - 0,091 кНм.



Строим епюру крутящих моментов. Максимальный крутящий момент на первом участке:



Ткрmax = 0,185 кНм.



Определяем диаметр вала из условия прочности:


τ = 

[τ]= 0,6·[σ] = 0,6·180 = 108 Мпа.



Для трубчатого вала



Wp =  



Тогда условие крепости будет



τ = 



Из условия получаем



D =  =  = 24,25 мм.



Определяем диаметр вала из условия жесткости



Θ =;

Ip = .



Допустимый угол закручивания задан в градусах, а нужно в радианах, поэтому:



[θ]= 3,0 = 0,0523 рад/м.



Условие жесткости:


Θ =



Из условия получаем:



D =  = 32,3 мм.



Принимаем D = 33 мм.



d = α·D = 0,8·33 = 26,4 мм.



Тогда:



Ip =  =  = 6,87·104 мм4



Найдем углы закручивания участков вала по формуле:



φi =  ;

φ1 =  = 0,0359 рад = 2,06º;

φ2 =  = - 0,00987 рад = - 0,565º;

φ3 =  = 0,0075 рад = 0,43º;

φ4 =  = - 0,0147 рад = - 0,84º.



Приняв за недвижимый срез под левым шкивом, строим эпюру угла закручивания:


α1 = 0;

α2 = φ1 = 2,06º;

α0 = φ1 + φ2 = 2,06º + (-0,565º) = 1,495º;

α3 = φ1 + φ2 + φ3 = 1,925º;

α4 = φ1 + φ2 + φ3 + φ4 = 1,085º.





Рис. 2. Вал и его эпюры



Задача 2



Для статически определимого бруса квадратного ступенчато-переменного сечения, нагруженного показанными на рис.3 осевыми сосредоточенными нагрузками, требуется:

1. Построить эпюру продольных сил.

2. Из условия прочности определить площади и размеры сечений участков бруса.

3. Вычислить абсолютные продольные деформации участков бруса и построить эпюру его осевых перемещений.

4. Сделать эскиз ступенчатого бруса.




Рис.3. Ступенчатый брус



Дано:

F1= +94 kH; l1=2,6 м; 

F2=-56 kH; l2=2,0 м; 

F3= +37 кН; l3= 1,2 м; 

F4= +84 кН; l4=3,2 м; 

[σ] = 170 МПа; Е = 1,9·105 МПа.



Решение:

Изображаем в масштабе (по длине) брус и указываем нагрузку и размеры участков. На каждом участке проводим сечение и рассматриваем равновесие нижней отсеченной части, находим продольную силу в этих сечениях. Так как на исходном рисунке все силы направлены вниз, то продольная сила в любом сечении будет равна алгебраической сумме всех заданных сил, находящихся ниже данного сечения.



Сечение 1-1: 

N1=F1=94 кН; 

Сечение 2-2: 

N2=F1+F2=90+(-56)= 38 кН; 

Сечение 3-3: N3= F1 + F2+ F3 = 90 + (-56) + 37 = 75 кН;

Сечение 4-4: N4=F1+ F2+ F3+ F4= 90 + (-56) + 37 + 84 = 159 кН. 


По этим данным строим эпюру N, учитывая, что на протяжении участка продольная сила постоянна.

Из условия прочности:



σ =



находим площади поперечных сечений участков бруса:



A1 ≥  =  = 552,9 мм2;

а1 = =  =23,51 мм;

A2 ≥  =  = 223,53 мм2;

а2 = =  = 14,95 мм;

A3 ≥  =  = 441,18 мм2;

а3 = =  =21 мм;

А4 ≥  =  = 935,29 мм2;

а4 = =  = 30,58 мм.



Примечание: N и [σ] имеют одинаковый знак поэтому при вычислении площади поперечного сечения их значения берутся по модулю. 

3.Определяем удлинения (укорочения) участка бруса: 



Δl1 = = = 23,2 мм;

Δl2 = = = 17,89 мм;

Δl3 = = = 10,73 мм;

Δl4 = = = 28,63 мм .



Строим эпюру перемещений, для чего определяем перемещение точек А, В, С. D и Е.



σA = 0;

σВ = σА + Δl4 = 0 + 28,63 = 28,63 мм ;

σC = σВ + Δl3 = 28,63 + 10,73 = 39,36 мм ;

σD = σC + Δl2 = 39,36 + 17,89 = 57,25 мм;

σE = σD + Δl1= 57,25 + 23,2 = 80,45 мм .



Делаем эскиз ступенчатого бруса. 



Задача 3



Для заданной двухопорной балки, нагруженной двумя сосредоточенными силами F1 и F2, равномерно распределенной нагрузкой q и парой сил М, требуется определить опорные реакции (Рис.5).

Рис.5. Схема нагрузки балки



Дано:

F1 = 32 кН; а = 1,0 м;

F2 = 12 кН; b = 1,2 м;

q = 20 кН/м; с = 1,6 м;

М = 32 кН·м; d = 1,4 м;

 l = 1,2 м.



Решение: 

Составляем уравнение равновесия балки:



∑МА = 0;

- F1·a – q(c+d) () – F2 (b+c) – M + RB (b+c+d+l) = 0;

∑МВ = 0;

- F1 (a+b+c+d+l) – RA (b+c+d+l) + F2 (d+l) + q(c+d) () – M= 0;



2. Определяем реакции опор:

RB= ==

= 48,07 кН;

RA = ==

= - 8,07 кН;


Отрицательное значение RA указывает, что направление силы RA противоположно тому, которое изображено на рисунке, т.е. опорная реакция RA направлена по вертиккали вниз.



Проверка:

∑ Fiy = 0;

F1 + RA - F2 –q(c+d) + RB =0;

32 – 8,07 – 12 - 20·3,0 + 48,07 = 0,

Потому

RA = - 8,07 кН;

RB = 48,07 кН.



Задача 4



Для заданной двухопорной балки, нагруженной двумя сосредоточенными силами, распределенной нагрузкой и парой сил, требуется: 

1. Определить опорные реакции.

2.Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов и определить сечение, в котором действует наибольший изгибающий момент.

3.Исходя из условия прочности по нормальным напряжениям, определить требуемый момент сопротивления и подобрать двутавровое, круглое и прямоугольное сечение (с заданным соотношением h/b) и сравнить их по экономичности, приняв для стали [σ]= 160 МПа.

Схема балки приведена на рис.6.



Дано:

а = 1,6 м; 

b = 1,2 м; 

с = 1,0 м;

d = 1,6 м;

l = 1,4 м.

F1= 26 кН; 

F2= 12 кН;

q = 16 кН /м; 

М = 32 кН·м;

h/b = 2.





Рис. 6. Схема нагружения балки



Решение:

1.Определяем опорные реакции:



= 0; 

-RA ·5,4- F1·2,6 – M + q·3,8·1,9 - F2·1,4 = 0

RA = = - 0,16 кН;

= 0;

RВ ·5,4 + F1·2,8- q·3,8·3,5 –М - F2·6,8 = 0

RВ == 46,96 кН.



Проверка:



= 0.

RA - q·3,8 + F1 + RВ - F2 = -0,16 – 60,8 + 26 + 46,96 – 12 = 0.

Значит, 	RA = - 0,16 кН;

RВ = 46,96 кН.



2. Разбиваем балку на 5 участков и, проведя на каждом участке произвольное сечение, определяем поперечную силу и изгибающий момент: 



Участок I: 0≤ х1 ≤ 1,6 м

Qx1 = RA = - 0,16 кН

Мx1 = RA ·х1= - 0,16 · х1

х1 = 0 МА = 0

х1 = 1,6 м МА = -0,256 кН·м

Участок II: 0≤ х2 ≤ 1,2 м

Qx2 = RA - q х2 

Мx2 = RA (1,6 + х2) - q = -0,16(1,6 + х2) - 16·

x2 = 0 Qx2 = - 0,16 кН Мx2 = -0,256 кН·м

x2 = 1,2 м Qк = -19,36 кН Мк = -11,968 кН·м

Участок III: 0≤ х3 ≤ 1,0 м

Q = RA – q (1,2 + х3) + F1 = -0,16 – 16(1,2 + х3) + 26 = 25,84 – 16(1,2 + х3)

М = RA (2,8 + х3) + F1· х3-  = -0,16(2,8+x3) + 26 x3- 

x3 = 0 Qk = 6,64 кН Мk = -11,968 кН·м

x3 = 1,0м Q = - 9,36 кН М = -13,328 кН·м

Участок IV: 0≤ х4 ≤ 1,4 м

Q = F2 =12 кН

М = -F2 х4 = -12 х4

х4 = 0 М = 0

х4 = 1,4 м М = - 16,8 кН·м

Участок V: 0≤ х5 ≤ 1,6 м

Q = F2 – RВ + q· х5 = 12 – 46,96 + 16 х5 = -34,96 + 16 х5

M = -F2(1,4 + х5) + RВ х5 - q· = -12(1,4 + х5) +46,96 х5 - 16

x5 = 0 Q = -34,96 кН М = -16,8 кН·м

x5 = 1,6 м Q = -9,36 кН М = 18,656 кН·м



По полученным данным строим эпюры Q и М (рис.7).

На участке III поперечная сила Q принимает нулевое значение, поэтому в этом положении на эпюре «М» будет екстремум.



Qх3 = 0;

25,84 – 16(1,2+х3) = 0;

Х3 =  = 0,415 м

М (0,415) = - 10,59 кНм; 



Наибольшее значение изгибающего момента Мmax = 18,856 кН·м

Из условия прочности по нормальным напряжениям:



σmax = ≤[σ]



находим требуемый момент сопротивления:



Wx ≥= = 181 см3



По таблицам сортамента выбираем двутавр № 20, у которого Wx = 184 см3 а площадь поперечного сечения А = 26,8 см2.

Подбираем прямоугольное сечение:



Wx =

при h = 2·b

Wx =

Откуда b =  =  = 6,5 см

h = 2b = 13 см

А0 = b·h = 6,5 ·13= 84,5 см2



Подбираем круглое сечение



Wx =

d = = 12,15 см

А0 = == 115,88 см2






Находим отношение площадей, приняв площадь сечения двутавра за единицу:



А1 : Ао : А0 = 1 : 3,15 : 4,32.


Список использованой литературы



1. Степин П.А. Сопротивление материалов: Учебник – М., Высшая школа , 1983 – 303 с.

2. Пособие к решению задач по сопротивлению материалов: Уч. пособие/ Миролюбов И.Н. и др. – М., Высшая школа, 1985 – 399с.

3. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики – М., Высшая школа, 1986 – 416 с.

4. Яблонский А.А. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике – М., Высшая школа, 1985 – 367 с.

5. Архипов О.Г., Кравцова Е.М., Галабурда Н.Ш. Механіка: Навч. посібник- Луганськ: Вид-во Східноукр. Нац. Ун-ту, 2005 – 256с.