Определение реакции опор твёрдого тела

1



Рассчётно-графическая работа С-7

«Определение реакции опор твёрдого тела»



Cилы, кН

Размеры, см

Q

G

a

b

c

R

r

5

3

20

15

10

30

40





60º

90º

45º



 










 



Результаты вычислений приведены в таблице:

Силы, кН

RA

RB

xA

zA

xB

zB

3,56

3,36

3,53

0,67

-2,41

2,33



При нахождении  получилось, что значение составляющей по оси  отрицательно. Это значит, что при расставлении действующих на данную систему сил было выбрано неверное направление. В итоге правильное построение будет выглядеть следующим образом:





«Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям её траектории».



Уравнения движения

t1,c

x=x(t)

y=y(t)







2



1. Скорость



В общем случае для пространственной системы координат будем иметь: 



=>



Для нашего случая уравнения для составляющих по осям координат будут иметь следующий вид: 



 



После дифференцирования получим: 





Найдём полную скорость точки в момент времени :







2. Ускорение



В общем случае для пространственной системы координат будем иметь: 



=>



Для нашего случая уравнения для составляющих по осям координат будут иметь следующий вид: 







	После дифференцирования получим:

	

 


Найдём полное ускорение точки в момент времени :







С другой стороны ускорение можно найти по формуле:



, где 



тангенциальное ускорение (касательная составляющая полного ускорения), а нормальная составляющая полного ускорения, которые можно найти по формулам:



 , 



где  - радиус кривизны траектории в искомой точке.



-0,0058 при =2 с.



Тогда  найдётся по формуле:



 


Подставив значения, получим:







Найдём уравнение движения точки. Для этого выразим из второго уравнения переменную времени () и подставим полученное выражение в первое уравнение: 







Получившееся уравнение () является гиперболой.

	Найдём начальное положение точки. Для этого подставим в уравнения значение .

	

	

	

	Чтобы определить в какую сторону происходит движение необходимо подставить в уравнение движения время, отличное от (например ).

	

	

	
движение происходит по левой ветви гиперболы в направлении, указанном на рисунке.

	

	

	

	Расставим на графике движения векторы скорости, ускорения и векторы полной скорости и ускорения:

	

	, 

	,

	,

	,

	,

	,

	,

	,

,

	0,1875

	3

	3,0059

	-0,0938

	0

	-0,0058

	0,094

0,0938

96,12

	

	

	
Дано:







m1 = m

m2 = 2m

m3 = 9m

R3 = 0,3 м

i3ξ = 0,2 м

α = 30

f = 0,12

δ = 0,25 см

s = 1,5 м



Найти:

V1 = ?



Решение:

По теореме об изменении кинетической энергии системы:







			 (т.к. система состоит из абсолютно твердых тел и нерастяжимых нитей)

	Кинетическая энергия системы равна:	

				

				

		

	

	

	

	

	

	Сумма работ внешних сил:

	

	

	

	

	

	

	

	м/с


Интегрирование дифференциальных уравнений

		

		Д-1 вар. 9



		Лыжник 

			Vв

			h

		d

	

	Дано 

	=15 ; ; ƒ=0,1 τ=0,3 ;β=45α

	h=42 β

	

	Найти Va, Vв



	Решение



mX=Xi 1						 Fтр=fN

mX=Gsin-Fcoпр 				N=Gcos 



mX=Gsin-fGcos

X=gsin-fgcos

X=(g(sin-fcos) t+ C1

X=(g(sin-fcos)/2) t2+ C1t+ C2



При нормальных условиях : t=0 x=0 



		X=Vв 	X= C2=0; 	C1=Va 

X=g (sin-fcos) t+ C1 		X= (g (sin-fcos)/2) t2+С1*t

X=Vв 				X=L

	Vв=g (sinα-ƒ*cosα)τ+Va2

	L= ((g(sinα-ƒ*cosα)τ)/2)τ +С1*t



Рассмотрим движение лыжника от точки В до точки С, составим дифференциальное уравнение его движения.

	

	Mx=0 my=0



Начальные условия задачи: при t=0



	X0=0 Y0=0

		X0=Vв*cosα ; Y0=Vв*sinα

		

Интегрируем уравнения дважды

		

		Х=C3	Y=gt+C4 2

			X= C3t+ C5 Y=gt /2+C4t+C6

	при t=0

			X=C3;	 Y0=C4

			X=C5;	Y0=C6

		

Получим уравнения проекций скоростей тела.

	X=Vв*cosα , Y=gt+Vв*sinα



и уравнения его движения

		

		X=Vв*cosα*t Y=gt /2+Vв*sinα*t



Уравнение траектории тела найдем , исключив параметр t из уравнения движения получим уравнение параболы.

	

	Y=gx /2(2Vв*cosα) + xtgα

			Y=h x=d	 h=tgβ*d	d=h/tgβ

			

			Найдём Vв из уравнения 	2	 2 	2

	

	Y=gx /2(2Vв*cosα) + xtgα

	Vв=18м/с	и найдём Va

	Vв=g(sinα-ƒ*cosα)τ+Va

Va=11,3м/с



	Ответ: Va=11,3м/с	Vв=18м/с



Задание Д.3

Исследование колебательного движения материальной точки 



Дано: 





Найти: Уравнение движения


Решение:







Применим к решению задачи дифференциальное уравнение движения точки. Совместим начало координатной системы с положением покоя груза, соответствующим статической деформации пружины, при условии что точка В занимает свое среднее положение . Направим ось  вниз вдоль наклонной плоскости. Движение груза определяется по следующему дифференциальному уравнению:



, 



где -сумма проекций на ось  сил, действующих на груз.

Таким образом







Здесь ,

где  - статическая деформация пружины под действием груза; -перемещение точки прикрепления нижнего конца пружины, происходящее по закону  .

Статическую деформацию пружины  найдем из уравнения, соответствующего состоянию покоя груза:



 



т.е.  

Откуда  

Дифференциальное уравнение движения груза примет вид:







или после преобразования 







Разделив все члены уравнения на получим:







Введем обозначения:









Получаем, что 

Имеем неоднородное уравнение

, 



где - общее решение, соответствующего однородного уравнения; 

- частное решение данного неоднородного уравнения.

Общее решение однородного уравнения имеет вид:







Частное решение неоднородного уравнения:







Общий интеграл







Для определения постоянных интегрирования найдем, кроме ого, уравнение для :



 



и используем начальные условия задачи.

Рассматриваемое движение начинается в момент , когда деформация пружины является статической деформацией под действием груза.

Таким образом, при  



 



Составим уравнения и для :







Откуда 

Тогда уравнение движения груза примет вид:







Ответ: 

Применение теоремы об изменении количества движения к исследованию движения механической системы.

Дано: 





Найти: Скорость .


Решение:







На механическую систему действуют внешние силы: - сила сухого трения в опоре А; - силы тяжести тел 1, 2 и 3; -сила нормальной реакции в точке А; -реактивный момент в опоре В.

Применим теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме. В проекциях на оси координат



, (1)



где - проекции вектора количества движения системы на оси координат; - суммы проекций внешних сил на соответствующие оси.

Количество движения системы тел 1, 2 и 3



 (2)



где 

. (3)

Здесь - скорости центров масс тел 1, 2, 3; - соответственно переносные и относительные скорости центров масс.

Очевидно, что



 (4)



Проецируя обе части векторного равенства (2) на координатные оси, получаем с учетом (3) и (4)



 (5)



где - проекция вектора  на ось ;







Проекция главного вектора внешних сил на координатные оси



 (6)



Знак « - » соответствует случаю, когда , а знак «+» - случаю, когда .

Подставляя (5) и (6) в (1), получим



 (7)



Выразим из второго уравнения системы (7) величину нормальной реакции и подставим ее в первое уравнение. В результате получим 

 при ; (8)

 при . (9)



где 







Рассмотрим промежуток времени , в течении которого тело 1 движется вправо . Из (8) следует, что



,



где С- постоянная интегрирования, определяемая из начального условия: при  



.



При  скорость тела 1 обращается в ноль, поэтому .

Найдем значения  и : 







Т.е. , . Значит, тело при  начинает двигаться в обратном направлении. Это движение описывается дифференциальным уравнением (9) при начальном условии: ;  (10)

Интегрируя (9) с учетом (10), получим, при 



 (11)



При  получим из (11) искомое значение скорости тела 1 в момент, когда 

 .



Точное решение задачи. Воспользовавшись методикой, изложенной выше, получим дифференциальное уравнение движения тела 1:



 при  (12)

; при , (13)



где 

Из (12) и учитывая, что получаем, при 







откуда  или 

Из (13) и учитывая, что  получаем, при 






При  находим







Ответ:  .