Изучения прямолинейного движения на машине атвуда

Федеральное Агентство по образованию



ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)



Кафедра физики









ОТЧЕТ





Лабораторная работа по курсу "Общая физика"









ИЗУЧЕНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ

НА МАШИНЕ АТВУДА















Преподаватель				Студент группы  220201



___________ /____________. /                   Стороженко Сергей Валерьевич



___________2011 г.			                                2011 г.











2011


1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ



Целью работы является изучение закона прямолинейного ускоренного движения тел под действием сил земного тяготения с помощью машины Атвуда.



2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ ЭКСПЕРИМЕНТА





Машина Атвуда

4

1

5

3

2

4

6

7

9

8

Рис.2.1.

1 -стойка; 2 - блок; 3 - нить; 4 - грузы; 5 - средний кронштейн; 6 - фотодатчик; 7 - линейка; 8 - миллисекундомер; 9 - опора.Схема экспериментальной установки на основе машины Атвуда приведена на рис.2.1.

На вертикальной стойке 1 крепится легкий блок 2, через который перекинута нить 3 с грузами 4 одинаковой массы. В верхней части стойки расположен электромагнит, который может удерживать блок, не давая ему вращаться. На среднем кронштейне 5 закреплен фотодатчик 6. На корпусе среднего кронштейна имеется риска, совпадающая с оптической осью фотодатчика. Средний кронштейн имеет возможность свободного перемещения и фиксации на вертикальной стойке. На вертикальной стойке укреплена миллиметровая линейка 7, по которой определяют начальное и конечное положения грузов. Начальное положение определяют по нижнему срезу груза, а конечное - по риске на корпусе среднего кронштейна.

Миллисекундомер 8 представляет собой прибор с цифровой индикацией времени. Регулировочные опоры 9 используют для регулировки положения экспериментальной установки на лабораторном столе.

Принцип работы машины Атвуда заключается в том, что когда на концах нити висят грузы одинаковой массы, то система находится в положении безразличного равновесия. Если на правый груз положить перегрузок, то система грузов выйдет из состояния равновесия и начнет двигаться.



3. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

  

Средние значения времени < t >  и квадрата времени < t2 > прохождения грузом с перегрузом пути S:

 				

                        				        (3.1)





                                                                   (3.2)



Абсолютная суммарная  погрешность измерения времени прохождения  пути S:

   					            (3.3)





Абсолютная  случайная погрешность  измерения  времени прохождения  пути S:

σсл(t) = t(, n)  S(t)  ;						              (3.4)

где t(, n)  - коэффициент Стьюдента

стандартная абсолютная погрешность измерения времени:

                         

 				                           (3.5)





где

 ti  - времени прохождения  пути  при i –ом измерении ( i =1. … , n), 

n – число измерений,    < t > - среднее значение времени прохождения  пути.



Абсолютная суммарная  погрешность косвенного измерения квадрата времени  прохождения  пути S:



   σ(t2) = 2 <t> σ(t) 						              (3.6)



Абсолютная  погрешность косвенного измерения корня квадратного из расстояния: 



 					               (3.7)



Угловой коэффициент экспериментальной прямой:

 =								   (3.8)

Величина ускорения, определяемого из линеаризованного графика:

 a = 22 									  (3.9)



Абсолютную случайную погрешность ускорения сл(a) рассчитываем методом наименьших квадратов.  

Рассчитываем параметры  линеаризованного  графика 

(y = f(x)  =  Ax + B) и случайные абсолютные погрешности параметров.

  

Расчет производится по формулам:    (3.10)



куда входят следующие величины:







                             (3.11) 





где n  – число экспериментальных точек.



Абсолютная случайная погрешность определения углового коэффициента: сл(β):



    						                     (3.12)

   



где вспомогательная величина:



                                                          (3.13)





Абсолютная случайная погрешность ускорения:

(a) = 4 () 							      (3.14)

 

4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ИХ АНАЛИЗ. 

Макет № 82



Измеренные значения и результаты их обработки приведены в таблице 4.1. 



Результаты прямых и косвенных измерений          Таблица 4.1



S1 = 10, см

S2 = 20, см

S3 = 30, см

S4 = 35, см

S5 =42, см

Номер измерения

=3,16        см1/2

= 4,47       см1/2

= 5,48       см1/2

= 5,92       см1/2

=6,48        см1/2



t, c

t2, c2

t, c

t2, c2

t, c

t2, c2

t, c

t2, c2

t, c

t2, c2

1

1,558

2,427

2,425

5,881

3,186

10,150

3,297

10,870

3,627

13,155

2

1,423

2,025

2,178

4,744

2,964

8,785

3,017

9,102

3,538

12,517

3

1,446

2,091

1,856

3,445

2,585

6,682

3,015

9,090

3,145

9,891

4

1,341

1,798

1,554

2,415

2,662

7,086

2,783

7,745

2,775

7,701

5

1,376

1,893

1,396

1,949

2,505

6,275

2,694

7,257

2,530

6,401

< t >, c

1,43

1,88

2,78

2,96

3,12

< t2 >, c2

2,05

3,69

7,79

8,81

11,33



Средние значения времени < t >  и квадрата времени < t2 > прохождения пути S, приведенные в таблице 4.1,  рассчитаны по выражениям 3.1 и 3.2 (число точек измерения n=5 ).



Для первой точки измерения  (S1 =  10 см):

Стандартную абсолютную погрешность измерения времени рассчитываем по формуле 3.5 для  числа измерений n=5:



Δt1= t1−< t>1 = 1,558−1,43 =  0,13 с;  Δt12 = ( 0,13)2 = 0,0169 с2;

Δt2= t2−< t>1 = 1,423−1,43 =   -0,007 с;  Δt12 = (-0,007)2 = 0,000049 с2;

Δt3= t3−< t>1 = 1,446−1,43 =  0,016 с;  Δt12 =  (0,016)2 = 0,000256 с2;

Δt4= t4−< t>1 = 1,341−1,43 =   -0,089 с;  Δt12 =  (-0,089)2 = 0,00792 с2;

Δt5= t5−< t>1 = 1,376−1,43 =   -0,054 с;  Δt12 =  (-0,0584)2 = 0,002916 с2;



                0,0169 +0,000049+0,000256+0,00792+0,002916   

	S(t)1 =                            5x(5-1)              	= 0,001 с;



Абсолютная случайная погрешность измерения времени прохождения  пути определяется по формуле 3.4. При доверительной вероятности  =0,9 и  числе измерений n =5 коэффициент Стьюдента t(, n)  = 2,1:

σсл(t)1 = 2,1×0,001 = 0,0021 c ;



Результаты расчетов  погрешностей 

прямых и косвенных измерений времени и квадрата времени.

  Таблица 4.2

№

измерения

№  опыта

t, с

Δt, с

Δt2, с2

<t>, с

S(t), с 

σ(t),с

σ(t2), с2

1

1

1,558

0,13

0,0169

1,43

0,001

0,0021

0,006



2

1,423

-0,007

0,000049











3

1,446

0,016

0,000256











4

1,341

-0,089

0,00792











5

1,376

-0,054

0,002916











t1 = 1,43 ± 0,0021, с

2

6

2,425

0,545

0,297025

1,88

0,036

0,076

0,286



7

2,178

0,298

0,088804











8

1,856

-0,024

0,000576











9

1,554

-0,326

0,106276











10

1,396

-0,484

0,234256











t2 = 1,88± 0,076 с

3

11

3,186

0,406

0,164836

2,78

0,012

0,0252

0,14



12

2,964

0,184

0,033856











13

2,585

-0,195

0,038025











14

2,662

-0,118

0,013924











15

2,505

-0,275

0,075625











t3 = 2,78 ± 0,0252, с

4

16

3,297

0,337

0,113569

2,96

0,011

0,0231

0,14



17

3,017

0,057

0,003249











18

3,015

0,055

0,003025











19

2,783

-0,177

0,031329











20

2,694

-0,266

0,070756











t4 = 2,96± 0,0231, с

5

21

3,627

0,507

0,257049

3,12

0,045

0,0945

0,56



22

3,538

0,418

0,174724











23

3,145

0,025

0,000625











24

2,775

-0,345

0,119025











25

2,530

-0,59

0,3481











t5 = 3,12 ± 0,0945, с





























































Абсолютную систематическую приборную погрешность измерения времени определяем как  половину цены наименьшего деления секундомера :  

σсис(t) = 0,0005 с  ;



Абсолютная суммарная  погрешность измерения времени прохождения  пути по формуле 3.3 :

σ(t)1 =     0,0005²+0,0021²  = 0,0021 с;

Так как величина σсис(t)  много меньше величины σсл(t)1  (σсис(t) = 0,0005 с  << σсл(t)1 = 0,0021 c), то в дальнейшем будем считать, что σ(t)1 ≈ σсис(t)1 .



Абсолютная суммарная  погрешность косвенного измерения квадрата времени  прохождения  пути рассчитываем по формуле 3.6 :

σ(t2)1 = 2×1,43×0,0021 = 0,006 с2 ;



Результаты измерений записываем в виде   < t > ±  σ(t) :

t1= 1,43±0,0021 с.



Результаты расчетов случайной, приборной и общей погрешности измерений времени и квадрата времени приведены  в таблице 4.2. 



Абсолютную погрешность измерения расстояния определяем как половину цены деления линейки:

 σ(S)  = 0,05 см ;



Абсолютная  погрешность косвенного измерения корня квадратного из расстояния по формуле 3.7 : 







Для остальных точек измерений (при других значениях S) расчет проводится аналогично.



Результаты расчетов приведены в таблицах 4.2 и 4.3.

Таблица 4.3.

n/n

S , см

σ(S), см

,  см0,5

σ(). см0,5

<t>, c

(<t>)2, c2

(<t>) ,  c см0,5

1

10

0,5

3,16

0,01

1,43

2,05

4,519

2

20

0,5

4,47

0,01

1,88

3,69

8,404

3

30

0,5

5,48

0,01

2,78

7,79

15,234

4

35

0,5

5,92

0,01

2,96

8,81

17,523

5

42

0,5

6,48

0,01

3,12

11,31

20,218



137

 

25,51

 

12,17

33,65

65,90

МНК

S6



S2



S1

S4

S3



На основании данных, приведенных в таблицах 4.2, 4.3 строим графики зависимостей S = f1(t)  ( рис. 4.1.)  и   S = f2(t2) ( рис. 4.2.), на графиках наносим доверительные интервалы.







t, с

S, см

S = f1(t)

0

1

2

3

4

5

6

40

30

20

10



 Рисунок 4.1. Зависимость пройденного пути S от времени t.





S, см

0

4

8

12

16

20

24

40

30

20

10

S = f2(t2)

t2, с2

 	Рисунок 4.2. Зависимость пройденного пути S от  квадрата времени t2.

На рис.4.3. представлен линеаризованный график  = f3(t) зависимости квадратного корня   пройденного пути от времени t.







t, с

0

1

2

3

4

5

6

  8

  6

  4

  2



Δt

Рисунок 4.3.  Зависимость    от времени t.   



На графике (рис. 4.3) видно, что прямая пересекает доверительные интервалы для всех экспериментальных точек.

Определим из графика угловой коэффициент прямой по формуле 3.8:

	граф = 4 / 2,3  = 1,73  см0,5/с ;  

 

     Величину ускорения определим по формуле 3.9:

          aграф =  2×1,732  =5,98 см/с2 ;



По методу наименьших квадратов (МНК) рассчитаем параметр     линеаризованного  графика  =   t   и случайную абсолютную погрешность параметра сл( ). 

 

По формулам 3.11, используя данные таблицы 4.3, определяем значение величин S1 − S6  для расчета по МНК (число точек n =5):



 S1  =  12,17 c;			S4  =  33,65  c2 ;

  S2  =   25,51см1/2 ;			S6  =  137  см ;

 S3  = 65,90  cсм1/2 ;		S5  =  5×33,65  − 12,17 2  = 20,14  c  см1/2 . 

По формуле 3.10 определим параметр    линеаризованного графика:



  = (5×65,90 − 12,17 ×25,51) / 20,14 = 0,94  см1/2/c.



Угловой коэффициент прямой   = 0,94  см1/2/c.



 Значение вспомогательной величины S0 по формуле 3.13:



S0  = 137/ 3 – (25,512   + 0,94 2×20,14 ) / 15 = 1,03 см.



По формуле 3.12 определим погрешность вычисления углового коэффициента прямой:



() = (5×1,032 /20,14) 0,5 = 0,513   см1/2/c .



Величина ускорения по формуле 3.9 :

      	

 a = 2×0,942  = 1,76 см/с2.



Абсолютная случайная погрешность ускорения по формуле 3.14 :

(a) =   4×0,94×0,513 = 1,93  см/с2 .



Получаем:

 a =  (1,76 ± 1,93) см/с2  = (1,76 ± 1,93)×10-2 м/с2 .
 

 5. ВЫВОДЫ



В результате проделанной работы мы смогли  в  пределах  погрешностей   измерений    построить     линеаризованный    график   зависимости . Все точки в этой зависимости укладываются на прямую в пределах их погрешностей.

Подтвердили справедливость закона прямолинейного ускоренного движения тел под действием сил земного тяготения с помощью машины Атвуда:

при равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью справедливо выражение    S = at2/2 ,

где S – путь пройденный телом за время движения t,

          a – ускорение  движения.



В ходе работы определена величина ускорения и сделана оценка ее погрешности:

a =  (1,76 ±  1,93)  10-2 м/с2 .






 6. ОТВЕТЫ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

		

		1.	 Какие силы действуют на груз с перегрузком во время движения?

	На груз с перегрузом во время движения действует сила тяжести Fтяж2 и противоположно направленная сила натяжения нити T2.

  Сила тяжести Fтяж2 = (M + m)g,  где M – масса груза, m – масса перегрузка, g – ускорение свободного падения.

	



	2.	 Запишите уравнение движения для каждого из грузов.

Уравнение движения грузов имеют вид: 

(M + m)g – T1 = (M + m)a1  -  груз с перегрузом (справа)

Mg – T2 = Ma2                                     -груз (слева)

В силу не растяжимости нити a2= -  a1; при невесомом блоке T1 =  T2 имеем следующие уравнения движения:

(M + m)g – T = (M + m)a

Mg – T = - Ma                                    

			3.	 Укажите возможные причины, обуславливающие несовпадение теоретических выводов с результатами измерений.

- физические допущения,  принятые при теоретическом анализе движения грузов в эксперименте;  погрешности измерения величин;

- точность вычислений. 

			4.	 Каким образом из линеаризованного графика можно оценить систематическую погрешность измерения времени?

Систематическая погрешность измерения времени σсис(t) приводит к тому, что прямая на линеаризованном графике не проходит через начало координат. Величина отрезка, отсекаемого прямой при пересечении с осью t ( от точки пересечения до начала координат), есть величина  систематической погрешности измерения времени σсис(t).

			5.	 Укажите физические допущения, используемые при теоретическом анализе движения грузов в машине Атвуда.

      Идеализация движения грузов на машине Атвуда: 

- нить и блок невесомы, нить не растяжима, сила трения на оси блока мала, можно пренебречь.

 



  





2