Расчет линейных цепей постоянного тока

Типовой расчет №1

По теме: «Расчет линейных цепей постоянного тока»

Вариант 10




1. Составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для расчётов токов во всех ветвях схемы.

2. Определить токи во всех ветвях схемы методом контурных токов.

3. Определить токи во всех ветвях схемы методом узловых потенциалов.

4. Результаты расчёта токов, проведённого двумя методами, свести в таблицу и сравнить между собой.

5. Составить баланс мощностей в исходной схеме, вычислив суммарную мощность источников и суммарную мощность нагрузок (сопротивлений).

6. Определить ток I1 в заданной по условию схеме, используя теорему об активном двухполюснике и эквивалентном генераторе. 

7. Начертить потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура, включающего обе Э.Д.С. 



R1(Ом)

R2(Ом)

R3(Ом)

R4(Ом)

R5(Ом)

R6(Ом)

Е1(В)

Е2(В)

110

60

45

150

80

50

25

8




Задание №1

Составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для расчета токов во всех ветвях схемы



Приведенная на чертеже схема электрической цепи имеет шесть ветвей, а значит и число неизвестных токов равно шести (следовательно, система должна содержать шесть уравнений); число узлов равно четырем.

Расставим на схеме предполагаемое направление токов в ветвях. Так как число уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, должно быть на единицу меньше числа узлов, значит, составим три уравнения. Первое правило Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле равна 0.



узел а: I1-I2-I3=0

узел d: I3+-I4-I5=0

узел b: I2+I4-I6=0



Выберем направление обхода в трех внутренних контурах по часовой стрелке и составим еще три недостающих уравнения согласно второму закону Кирхгофа (В любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма напряжений на всех участках этого контура равна сумме Э.Д.С. всех источников электрической энергии, включенных в контур.):



Контур acda: I1R1+I3R3+I5R5= -E1

Контур abda: I2R2-I3R3-I4R4= -E2

Контур cbdc: I4R4-I5R5+I6R6= 0



Тогда, получим следующую систему для нахождения токов: 




I1-I2-I3=0

I3+-I4-I5=0

I2+I4-I6=0

I1R1+I3R3+I5R5= -E1

I2R2-I3R3-I4R4= -E2

I4R4-I5R5+I6R6= 0



Задание №2

Определить токи во всех ветвях системы методом контурных токов



Допустим, что в каждом независимом контуре протекает свой независимый ток. Тогда пронумеруем контуры и выберем направление контурных токов. Тогда на основе законов Ома и Кирхгофа, можно составить следующую расчетную систему уравнений: 



R11I11+R12I22+R13I33=E11

R21I11+R22I22+R23I33=E22

R31I11+R32I22+R33I33=E33, где:



I11, I22, I33 – независимые контурные токи,

R11, R22, R33 – собственные сопротивления контуров, равные сумме сопротивлений, входящих в данный контур,

R12, R13, R21, R23, R31, R32 – взаимные сопротивления контуров, равные сумме сопротивлений, соединяющих данные контура,

E11, E22, E33 – суммарные э.д.с. контуров, равные сумме э.д.с., входящих в данный контур.

Тогда согласно приведенной выше схеме


 

   






























Соблюдая направление контурных токов и направление токов в ветвях схемы, найдем значение всех токов.







При этом значение токов, полученных со знаком “-“ означает лишь то, что ток имеет противоположное направление.



Задание №3

Определить токи во всех ветвях схемы методом узловых потенциалов



Составим расчетную систему:

 

G111+G122+G133=I11

G211+G222+G233=I22

G311+G322+G333=I33,


где 

g - проводимость (g=1/R), причем проводимости типа

gnn - сумма проводимостей всех ветвей, сходящихся в соответствующем узле

gnm - сумма проводимостей всех ветвей, соединяющих соответствующие узлы, и проводимость типа gnm=gmn=-1/R.

 - потенциал соответственного узла.

Inn - узловой ток, равный алгебраической сумме токов, полученных от деления ЭДС всех ветвей, подходящих к n узлу, на сопротивление данных ветвей.

Согласно определениям рассчитаем проводимости и узловые токи.


















Подставляя полученные значения в систему, и решая ее, найдем значения узловых напряжений, предварительно заземлив точку 4 (.









Используя закон Ома найдем ток, протекающий через каждый из резисторов:





При этом значение токов, полученных со знаком “-“ означает лишь то, что ток имеет противоположное направление.



Задание №4

Результаты расчета токов, проведенного двумя методами, свести в таблицу и сравнить между собой.



I1, А

I2, А

I3, А

I4, А

I5, А

I6, А

Метод контурных токов

0,173

0,133

0,04

0,012

0,052

0,12

Метод узловых потенциалов

0,173

0,133

0,04

0,012

0,052

0,12



Т.к. значения в обоих методах совпадают, значит, погрешность при расчетах равна 0. 



Задание №5

Составить баланс мощностей в исходной схеме, вычислив суммарную мощность и суммарную мощность нагрузок (сопротивлений)



Составим баланс мощностей для данной цепи. Так как в цепи при постоянном токе не может происходить накопление электромагнитной энергии, поэтому сумма мощностей, расходуемых в пассивных двухполюсниках, и мощностей, теряемых внутри генераторов должна быть равна алгебраической сумме мощностей, развиваемых всеми генераторами, то есть сумме произведений EkIk всех генераторов, действующих в цепи:







Так как в данном задании сопротивление источника Э.Д.С. равно нулю, то







Найдем суммарную мощность, вырабатываемую источниками Э.Д.С.

Так как в данной схеме только два источника, вырабатывающих энергию, то мощность, развиваемая всеми генераторами, будет равна:







(т.к. через второй источник э.д.с. протекает ток I2)

( т.к. через второй источник э.д.с. протекает ток I3)

Найдем суммарную мощность, поглощаемую резисторами. Так как в данной схеме 6 сопротивлений, то суммарная поглощаемая мощность будет равна:



,




где P1, P2, P3, P4, P5, P6 – мощности, расходуемые на соответствующих резисторах.

Тогда, подставляя исходные данные (R1=110 Ом, R2=60 Ом, R3=45 Ом, R4=150 Ом, R5=80 Ом, R6=50 Ом, E1=25 В, E=8 В) и полученные при предыдущих расчетах токи, при расчете берем следующие значения токов, (I1=0,173 А, I2=0,133 А, I3=0,04 А, I4=0,012 А, I5=0,052 А, I6=0,12 А), получим соответствующие значения мощности:







В схеме потребляется мощность:







Источники ЭДС доставляют мощность:








Задание №6 

Определить ток I1 в заданной по условию схеме, используя теорему об активном двухполюснике и эквивалентном генераторе



Представим всю схему в виде активного двухполюсника, у которого Е=Uadxx, а внутреннее сопротивление генератора равно входному сопротивлению двухполюсника. Для этого выделим сопротивление R1 и выберем путь от точки a к точке c и применяя закон Ома найдем разность потенциалов (напряжение) между точками a и c.

Перечертим данную схему, убрав сопротивление R1:

Так как было исключено сопротивление R1, то в схеме появились новые (частичные) токи. Значения которых можно найти, используя метод контурных токов:



R11I11+R12I22=E11

R21I11+R22I22=E22, 



где







Тогда подставляя полученные значения в систему и решая ее получим следующие значения контурных токов:












Согласно полученному результату частичные токи I2=I3=I11, I5=I6=I22. Причем данные токи будут направлены в туже сторону, что и контурные токи. Найдем напряжение между точками a и с, для этого заземлим точку а, ее потенциал будет равен нулю, и по методу узловых потенциалов найдем потенциал точки с:



 



С помощью прямого преобразования (треугольника в звезду) найдем входное сопротивление двухполюсника.

Согласно расчетным формулам преобразования:





Перечертив схему согласно предыдущим преобразованиям, получим:

Согласно данному чертежу имеем смешанное соединение проводников, где резисторы R54 и R3, R64 и R2 соединены последовательно, между собой параллельно, а с резистором R56 последовательно, и их общее сопротивление равно эквивалентному и входному сопротивлению схемы относительно точек a и с. Рассчитаем входное сопротивление относительно точек a и с.







Тогда согласно расчетной формуле, ток, протекающий через первый резистор, будет равен:







Задание №7

Начертить потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура, включающего обе э.д.с.



Для того чтобы начертить потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура, включающего обе э.д.с.:

1) выберем замкнутый контур acba и заземлим точку b 

2) выберем направление тока в этом контуре и найдем его значение как:



Iобщ. = I =Eобщ./Rобщ. , где

Eобщ.=E=E1+E2

Rобщ.=R=R1+R2+R6





Так как в данном контуре проводники R1, R2, R6 соединены последовательно, то ток, протекающий через каждый из проводников, будет равен общему току контура, тогда:



I1=I2=I6= I =0.15 А



Согласно этому найдем падение напряжения на каждом из участков цепи









2