Линейное уравнение регрессии

Всероссийский заочный финансово-экономический институт























Лабораторная работа

по дисциплине "Эконометрика"





























Брянск 2010


Задание



В таблице 1 представлены данные о рынке строящегося жилья в Санкт-Петербурге (по состоянию на декабрь 1996г.).



Таблица 1 – Исходные данные

№ п/п

Х1

Х2

Х3

Х4

Х5

Х6

Х7

Х8

У

1

1

1

39

20

8,2

0

1

0

15,9

2

3

1

68,4

40,5

10,7

0

1

0

27

3

1

1

34,8

16

10,7

0

1

12

13,5

4

1

1

39

20

8,5

0

1

12

15,1

5

2

1

54,7

28

10,7

0

1

12

21,1

6

3

1

74,7

46,3

10,7

0

1

12

28,7

7

3

1

71,7

45,9

10,7

0

0

0

27,2

8

3

1

74,5

47,5

10,4

0

0

0

28,3

9

4

1

137,7

87,2

14,6

0

1

0

52,3

10

1

1

40

17,7

11

1

1

8

22

11

2

1

53

31,1

10

1

1

8

28

12

3

1

86

48,7

14

1

1

8

45

13

4

1

98

65,8

13

1

1

8

51

14

2

1

62,6

21,4

11

1

1

0

34,4

15

1

1

45,3

20,6

10,4

1

1

8

24,7

16

2

1

56,4

29,7

9,4

1

1

8

30,8

17

1

1

37

17,8

8,3

0

1

0

15,9

18

3

1

67,5

43,5

8,3

0

1

0

29

19

1

1

37

17,8

8,3

0

1

3

15,4

20

3

1

69

42,4

8,3

0

1

3

28,6

21

1

1

40

20

8,3

0

0

0

15,6

22

3

1

69,1

41,3

8,3

0

1

0

27,7

23

2

1

38,1

35,4

13

1

1

20

34,1

24

2

1

75,3

41,4

12,1

1

1

20

37,7

25

3

1

83,7

48,5

12,1

1

1

20

41,9

26

1

1

48,7

22,3

12,4

1

1

20

24,4

27

1

1

39,9

18

8,1

1

0

0

21,3

28

2

1

68,6

35,5

17

1

1

12

36,7

29

1

1

39

20

9,2

1

0

0

21,5

30

2

1

48,6

31

8

1

0

0

26,4

31

3

1

98

56

22

1

0

0

53,9

32

2

1

68,5

30,7

8,3

1

1

6

34,2

33

2

1

71,1

36,2

13,3

1

1

6

35,6

34

3

1

68

41

8

1

1

12

34

35

1

1

38

19

7,4

1

1

12

19

36

2

1

93,2

49,5

14

1

1

12

46,6

37

3

1

117

55,2

25

1

1

12

58,5

38

1

2

42

21

10,2

1

0

12

24,2

39

2

2

62

35

11

1

0

12

35,7

40

3

2

89

52,3

11,5

1

1

12

51,2

41

4

2

132

89,6

11

1

1

12

75,9

42

1

2

40,8

19,2

10,1

1

1

6

21,2

43

2

2

59,2

31,9

11,2

1

1

6

30,8

44

3

2

65,4

38,9

9,3

1

1

6

34

45

2

2

60,2

36,3

10,9

1

1

12

31,9

46

3

2

82,2

49,7

13,8

1

1

12

43,6

47

3

2

98,4

52,3

15,3

1

1

12

52,2

48

3

3

76,7

44,7

8

1

1

0

43,1

49

1

3

38,7

20

10,2

1

1

6

25

50

2

3

56,4

32,7

10,1

1

1

6

35,2

51

3

3

76,7

44,7

8

1

1

6

40,8

52

1

3

38,7

20

10,2

1

0

0

18,2

53

1

3

41,5

20

10,2

1

1

0

20,1

54

2

3

48,8

28,5

8

1

0

0

22,7

55

2

3

57,4

33,5

10,1

1

1

0

27,6

56

3

3

76,7

44,7

8

1

1

0

36

57

1

4

37

17,5

8,3

0

1

7

17,8

58

2

4

54

30,5

8,3

0

1

7

25,9

59

3

4

68

42,5

8,3

0

1

7

32,6

60

1

4

40,5

16

11

0

1

3

19,8

61

2

4

61

31

11

0

1

3

29,9

62

3

4

80

45,6

11

0

1

3

39,2

63

1

3

52

21,2

11,2

1

1

18

22,4

64

2

3

78,1

40

11,6

1

1

18

35,2

65

3

3

91,6

53,8

16

1

0

18

41,2

66

1

4

39,9

19,3

8,4

0

1

6

17,8

67

2

4

56,2

31,4

11,1

0

1

6

25

68

3

4

79,1

42,4

15,5

0

1

6

35,2

69

4

4

91,6

55,2

9,4

0

1

6

40,8



Принятые в таблице обозначения:

Y – цена квартиры, тыс.долл.;

Х1 – число комнат в квартире;

Х2 – район города (1 – Приморский, Шувалово-Озерки, 2 – Гражданка, 3 – Юго-запад, 4 - Красносельский);

Х3 – общая площадь квартиры (м2);

Х4 – жилая площадь квартиры (м2);

Х5 – площадь кухни (м2);

Х6 – тип дома (1 – кирпичный, 0 - другой);

Х7 – наличие балкона (1 – есть, 0 - нет);

Х8 – число месяцев до окончания срока строительства.

1) Введите фиктивную переменную z, отражающую местоположение квартиры и позволяющую разделить всю совокупность квартир на две группы: квартиры на севере города (Приморский район, Шувалово-Озерки, Гражданка) и на юге города (Юго-запад, Красносельский район).

2) Составьте матрицу парных коэффициентов корреляции исходных переменных. Вместо переменной х2 используйте фиктивную переменную z.

3) Постройте уравнение регрессии, характеризующее зависимость цены от всех факторов в линейной форме. Установите, какие факторы мультиколлинеарны.

4) Постройте модель у = f(х3, х6, х7, х8, z) в линейной форме. Какие факторы значимо воздействуют на формирование цены квартиры в этой модели?

5) Существует ли разница в ценах на квартиры, расположенных в северной и южной частях Санкт-Петербурга?

6) Оцените статистическую значимость параметров регрессионной модели с помощью t-критерия Стьюдента; нулевую гипотезу о значимости уравнения регрессии проверьте с помощью F-критерия Фишера; оцените качество уравнения регрессии с помощью коэффициента детерминации R2.




Решение



1) Введем фиктивную переменную Z вместо Х2, отражающую местоположение квартиры и позволяющую разделить всю совокупность квартир на две группы. Первые 47 квартир относятся к северной части города (Приморский район, Шувалово-Озерки, Гражданка), а оставшиеся 22 квартиры относятся к южной части города (Юго-запад, Красносельский район). Составим матрицу парных коэффициентов корреляции исходных переменных.



Х1

Z

Х3

Х4

Х5

Х6

Х7

Х8

У

1

1

39

20

8,2

0

1

0

15,9

3

1

68,4

40,5

10,7

0

1

0

27

1

1

34,8

16

10,7

0

1

12

13,5

1

1

39

20

8,5

0

1

12

15,1

2

1

54,7

28

10,7

0

1

12

21,1

3

1

74,7

46,3

10,7

0

1

12

28,7

3

1

71,7

45,9

10,7

0

0

0

27,2

3

1

74,5

47,5

10,4

0

0

0

28,3

4

1

137,7

87,2

14,6

0

1

0

52,3

1

1

40

17,7

11

1

1

8

22

2

1

53

31,1

10

1

1

8

28

3

1

86

48,7

14

1

1

8

45

4

1

98

65,8

13

1

1

8

51

2

1

62,6

21,4

11

1

1

0

34,4

1

1

45,3

20,6

10,4

1

1

8

24,7

2

1

56,4

29,7

9,4

1

1

8

30,8

1

1

37

17,8

8,3

0

1

0

15,9

3

1

67,5

43,5

8,3

0

1

0

29

1

1

37

17,8

8,3

0

1

3

15,4

3

1

69

42,4

8,3

0

1

3

28,6

1

1

40

20

8,3

0

0

0

15,6

3

1

69,1

41,3

8,3

0

1

0

27,7

2

1

38,1

35,4

13

1

1

20

34,1

2

1

75,3

41,4

12,1

1

1

20

37,7

3

1

83,7

48,5

12,1

1

1

20

41,9

1

1

48,7

22,3

12,4

1

1

20

24,4

1

1

39,9

18

8,1

1

0

0

21,3

2

1

68,6

35,5

17

1

1

12

36,7

1

1

39

20

9,2

1

0

0

21,5

2

1

48,6

31

8

1

0

0

26,4

3

1

98

56

22

1

0

0

53,9

2

1

68,5

30,7

8,3

1

1

6

34,2

2

1

71,1

36,2

13,3

1

1

6

35,6

3

1

68

41

8

1

1

12

34

1

1

38

19

7,4

1

1

12

19

2

1

93,2

49,5

14

1

1

12

46,6

3

1

117

55,2

25

1

1

12

58,5

1

1

42

21

10,2

1

0

12

24,2

2

1

62

35

11

1

0

12

35,7

3

1

89

52,3

11,5

1

1

12

51,2

4

1

132

89,6

11

1

1

12

75,9

1

1

40,8

19,2

10,1

1

1

6

21,2

2

1

59,2

31,9

11,2

1

1

6

30,8

3

1

65,4

38,9

9,3

1

1

6

34

2

1

60,2

36,3

10,9

1

1

12

31,9

3

1

82,2

49,7

13,8

1

1

12

43,6

3

1

98,4

52,3

15,3

1

1

12

52,2

3

0

76,7

44,7

8

1

1

0

43,1

1

0

38,7

20

10,2

1

1

6

25

2

0

56,4

32,7

10,1

1

1

6

35,2

3

0

76,7

44,7

8

1

1

6

40,8

1

0

38,7

20

10,2

1

0

0

18,2

1

0

41,5

20

10,2

1

1

0

20,1

2

0

48,8

28,5

8

1

0

0

22,7

2

0

57,4

33,5

10,1

1

1

0

27,6

3

0

76,7

44,7

8

1

1

0

36

1

0

37

17,5

8,3

0

1

7

17,8

2

0

54

30,5

8,3

0

1

7

25,9

3

0

68

42,5

8,3

0

1

7

32,6

1

0

40,5

16

11

0

1

3

19,8

2

0

61

31

11

0

1

3

29,9

3

0

80

45,6

11

0

1

3

39,2

1

0

52

21,2

11,2

1

1

18

22,4

2

0

78,1

40

11,6

1

1

18

35,2

3

0

91,6

53,8

16

1

0

18

41,2

1

0

39,9

19,3

8,4

0

1

6

17,8

2

0

56,2

31,4

11,1

0

1

6

25

3

0

79,1

42,4

15,5

0

1

6

35,2

4

0

91,6

55,2

9,4

0

1

6

40,8



2) Проведем корреляционный анализ на выявление зависимости Y от представленных факторов в среде "СтатЭксперт".



Протокол корреляционного анализа





Главная цель анализа данных состоит в выявлении корреляционной связи зависимой переменной Y с независимыми переменными Хi, а также выявление независимых переменных, имеющих высокий уровень корреляции между собой.

Критическое значение коэффициента корреляции rкр = 0,2002. Это означает, что все коэффициенты корреляции, значения которых меньше rкр принимаются равными нулю, а связь между этими параметрами считается незначимой.

Влияние независимой переменной Х3, Х4, включенной в исследование, имеет высокий уровень (r > 0,7), причем это влияние положительно (rух3 = 0,872, rух4 = 0,917).

Х5 оказывает умеренное положительное влияние на величину Y (rух5 = 0,303).

Х1, Х2, Х6, Х7, Х8 не оказывают влияния на величину Y (rух2 = 0,010, rух6 = = -0,104, rух7 = 0,119, rух8 = -0,005).

3) Построим уравнение регрессии, характеризующее зависимость цены от всех факторов, в линейной форме.



Линейная регрессия





Уравнение будет иметь вид:



у(х) = -0,505 – 0,966х1 + 0,824х2 + 0,390х3 + 0,191х4 + 0,091х5 + 5,835х6 + 1,244х7 – 0,011х8



Линейная или близкая к ней связь между факторами называется мультиколлинеарностью. Считают явление мультиколлинеарности в исходных данных установленным, если коэффициент парной корреляции между двумя переменными больше 0,7.

Рассмотрим матрицу парных коэффициентов корреляции между факторами Хj, включенными в дальнейшем анализ.




Матрица парных корреляций





Явление сильной коллинеарности наблюдается между факторами:



Х1 и Х3, т.к. rх1х3 = 0,872 > 0,7

Х1 и Х4, т.к. rх1х4 = 0,917 > 0,7

Х3 и Х4, т.к. rх3х4 = 0,966 > 0,7



4) Построим модель у = f (х3, х6, х7, х8, z) в линейной форме.








Результаты регрессионного анализа





Модель в линейной форме будет иметь вид:



у(х) = -5,64 + 0,715х2 + 0,475х3 + 6,786х6 + 1,284х7 – 0,037х8



Х6 (тип дома), значимо воздействует на формирование цены квартиры в модели.

5) Оценим статистическую значимость параметров регрессионной модели с помощью t-критерия; нулевую гипотезу о значимости уравнения регрессии проверим с помощью F-критерия; оценим качество уравнения регрессии с помощью коэффициента детерминации R2.



Характеристика остатков линейной регрессии

Характеристика

Значение

Среднее значение

0,000

Дисперсия

10,579

Приведенная дисперсия

12,220

Средний модуль остатков

2,237

Относительная ошибка

7,144

Критерий Дарбина-Уотсона

1,154

Коэффициент детерминации

0,991

F - значение ( n1 = 8, n2 = 58)

764,697

Критерий адекватности

36,993

Критерий точности

47,492

Критерий качества

44,867

Уравнение значимо с вероятностью 0.95



Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. Следовательно, около 99,1% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов.

Табличное значение F-критерия (Fкрит) при доверительной вероятности 0,95 при n1 = 8 и n2 = 58 составляет 2,10. Проверка гипотезы о значимости уравнения регрессии проводится на основании:

если Fфакт > Fкрит, то модель статистически значима;

если Fфакт < Fкрит, то модель статистически незначима.

Fфакт > Fкрит, значит модель статистически значима, т.е. пригодна к использованию.

Оценим с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения регрессии.

Табличное значение t-критерия при 5% уровне значимости и степени свободы k = 69-8-1 = 60 составляет 2,0003.

Если tрасч > tтабл, то коэффициент статистически значим.



Характеристика модели



Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

Y-пересечение

-6,10491

1,867676003

-3,268720937

Переменная Х 1

-0,16426

1,096321271

-0,149825399

Переменная Х 2

0,744173

0,335026167

2,221237839

Переменная Х 3

0,36827

0,092869614

3,965447278

Переменная Х 4

0,147869

0,132602783

1,115126788

Переменная Х 5

0,177213

0,195399452

0,906925347

Переменная Х 6

6,93635

0,869661345

7,975921084

Переменная Х 7

1,777648

1,124095736

1,581402513

Переменная Х 8

-0,04802

0,072432334

-0,662966567


tb0 = 3,2687 > 2,0003 => коэффициент регрессии b0 статистически значим;

tb1 = 0,1498 < 2,0003 => коэффициент регрессии b0 статистически незначим;

tb2 = 2,2212 > 2,0003 => коэффициент регрессии b0 статистически значим;

tb3 = 3,9654 > 2,0003 => коэффициент регрессии b0 статистически значим;

tb4 = 1,1151 < 2,0003 => коэффициент регрессии b0 статистически незначим;

tb5 = 0,9069 < 2,0003 => коэффициент регрессии b0 статистически незначим;

tb6 = 7,9759 > 2,0003 => коэффициент регрессии b0 статистически значим;

tb7 = 1,5814 < 2,0003 => коэффициент регрессии b0 статистически незначим;

tb7 = 0,6630 < 2,0003 => коэффициент регрессии b0 статистически незначим;



6) существует ли разница в ценах на квартиры, расположенных в северной и южной частях Санкт-Петербурга?



tb2 = 2,2212 > 2,0003, tb3 = 3,9654 > 2,0003 и  tb6 = 7,9759 > 2,0003,



значит факторы Х2 (район города), Х3 (общая площадь квартиры) и Х6 (тип дома) значимо влияют на формирование цен на квартиры.

Анализ показал, что разница в ценах на квартиры, расположенные в северной и южной частях Санкт-Петербурга существенна, т.к. tb2 = 2,2212 > 2,0003.