Фізична оптика

Реферат з теми:

ФІЗИЧНА ОПТИКА


1. Природа світла і закони його розповсюдження



Фізичною оптикою звичайно називають науку, пов'язану з вивченням природи оптичного випромінювання, законів його розповсюдження і взаємодії з іншими матеріальними об'єктами. Оптичне випромінювання, зумовлене коливаннями вхідних до складу речовин електронів і іонів, володіє одночасно корпускулярними і хвильовими властивостями. На базі вивчення цих властивостей розроблені корпускулярна (квантова) і хвильова (електромагнітна) теорії світла. Ці теорії не можна протиставляти одна одній, і лише в своїй сукупності вони дозволяють пояснити всі відомі оптичні явища. Хвильова теорія добре пояснює дифракцію, інтерференцію і поляризацію світла. За допомогою квантової теорії зручно описувати поглинання світла, фотоефект і різні енергетичні характеристики випромінювання. Деякі явища, наприклад тиск світла, можна пояснити в рамках як тієї, так і іншої теорії.

Основу хвильової теорії складає система чотирьох диференціальних рівнянь Максвелла, які описують у взаємозв'язку диференціальні властивості напруженості електричного  і магнітного  полів, електричного зміщення , магнітної індукції  і щільності електричного заряду . У систему рівнянь Максвелла також входять матеріальні рівняння, що характеризують поведінку різних середовищ в електромагнітному полі:



; ; , (1)



де  – відносна діелектрична проникність середовища;

 – електрична постійна вакууму;

 – відносна магнітна проникність середовища;

 – магнітна постійна вакууму;

 – щільність електричного струму;

 – питома провідність.

На межі розподілу двох середовищ для рівнянь електромагнітного поля виконуються граничні умови, з яких найбільш широко використовується рівність в будь-який момент часу по обидві сторони межі розподілу тангенціальних складових  і , тобто



; ,(2)



де індекси 1 і 2 відносяться до першого і другого середовищ відповідно.





Рисунок 1 – Напрямок коливань векторів Е і Н у вільній електромагнітній хвилі



З урахуванням матеріальних рівнянь і граничних умов система рівнянь Максвелла є повною і дозволяє вивчити всі властивості електромагнітного поля. З системи рівнянь Максвелла випливає, що змінне магнітне поле породжує змінне електричне поле і навпаки. У результаті в просторі розповсюджується змінне електромагнітне поле, зване електромагнітними хвилями. Такі хвилі розповсюджуються як у вакуумі, так і в різних середовищах.

Електромагнітну хвилю у вакуумі можна охарактеризувати двома векторами  і . Електромагнітні хвилі є поперечними, тобто коливання векторів  і  здійснюються у взаємно перпендикулярних напрямах, які в свою чергу перпендикулярні напряму поширення хвилі. Вектори  і  напрям поширення хвилі утворять праву трійку векторів. Вільна електромагнітна хвиля, що розповсюджується вздовж осі , яку називають хвилею, що біжить, зображена на рис. . Вектори  і  в такій хвилі синфазні, тобто вони одночасно і в одних і тих же точках простору досягають максимального і мінімального значень, причому



 (3)



Поширення хвиль відбувається відповідно до хвильового рівняння, що має такий вигляд:



, (4)



де  або ;  – швидкість поширення хвилі.

Електромагнітна хвиля переносить енергію. Цей процес зручно пояснити за допомогою вектора Пойнтінга , пов'язаного з векторами  і  векторним твором:



 (5)



Напрям вектора Пойнтінга співпадає з напрямом поширення енергії випромінювання, а абсолютне значення дорівнює відношенню потужності випромінювання, що проходить крізь перпендикулярну до напряму вектора поверхню, до площі цієї поверхні, тобто являє собою щільність потоку енергії. Відповідний направлений відрізок, співпадаючий у напрямі у вибраній точці простору з вектором Пойнтінга, характеризує світловий промінь, який є основним поняттям геометричної оптики.

Квантова теорія світла базується на припущенні про те, що енергія випромінюючих атомів і молекул може змінюватися не на будь-яке значення, а тільки на окремі порції, і тому кожна молекула при променеспусканні може виділяти тільки ціле число таких порцій. Це припущення було зроблено на початку XX ст. М. Планком і отримало подальший розвиток в працях А. Ейнштейна. Порції світлової енергії, що випромінюються, існують у вигляді нейтральних часток, які називають світловими квантами або фотонами. При взаємодії з речовиною фотони світла поглинаються і їх енергія передається елементарним часткам речовини. Таким чином, з позицій хвильової теорії світло – це електромагнітні хвилі, а згідно з квантовою теорією – це потік фотонів. У найпростішому випадку один фотон можна зіставити з плоскою монохроматичною хвилею, причому енергія фотона – квант  і частота хвилі  пов'язані таким співвідношенням:



 (6)



де  – постійна Планка.

Співвідношення (6) дозволило зрозуміти багато явищ, що нез'ясовні з позицій хвильової теорії. До таких явищ відноситься, наприклад, фотоелектричний ефект, при якому не відбувається передачі окремій частці енергії, пропорційної інтенсивності світла, як цього вимагає хвильова теорія: повідомлена часткам енергія визначається лише частотою оптичного випромінювання. Представлення світла у вигляді хвилі і корпускул не виключає одне інше і є наближеним описом одних і тих же процесів, причому квантово-хвильовий дуалізм властивий природі загалом. У одних випадках більшою мірою виявляються корпускулярні властивості і зручніше користуватися поняттям частки. В інших випадках сильніше виявляються хвильові властивості матерії і доцільніше користуватися хвильовими уявленнями.

При розв’язанні більшості задач прикладної оптики корпускулярними властивостями оптичного випромінювання можна нехтувати. Виключенням є лише питання, пов'язані з описом механізму випромінювання джерел світла. Більше того для розгляду різних прикладних питань хвильову теорію можна використати в спрощеному варіанті і вважати світлову хвилю не векторною, а скалярною хвилею, що переносить деяке світлове обурення. Це дозволяє успішно пояснити інтерференцію і дифракцію світла, і лише у разі вивчення поляризації необхідно використати властивості поперечности світлових хвиль. Розрахунок оптичних систем найбільш зручно виконувати за допомогою представлень геометричної оптики, основним поняттям якої є світловий промінь, що підкоряється законам відображення і заломлення.



2. Світлові хвилі. Поляризація світла



Будь-які хвилі, включаючи електромагнітні, утворюються за одним загальним принципом. Обурення, що виникає в будь-якій точці у відомий момент часу, виявляється пізніше на деякій відстані від початкової точки. У електромагнітній хвилі обуреннями є вектори  і . Найпростіша електромагнітна хвиля це плоска хвиля, в якій вектори  і  залежать тільки від часу і однієї декартової координати. Оскільки у вільній хвилі вектори  і  змінюються синфазно, досить розглядати тільки електричну складову хвилі (вектор ), що має певне фізичне значення, оскільки взаємодія випромінювання з речовиною визначається в основному електричним, а не магнітним полем. Якщо вектор  змінюється згідно з гармонічним законом, тобто зміни його модуля описуються синусоїдальною функцією, хвилю називають монохроматичною.

Плоска монохроматична хвиля, що розповсюджується в напрямі осі , може бути записана у такому вигляді:



.(7)





Рис.2 – Діапазон довжини хвиль



Безпосередньою підстановкою функції (7) у хвильове рівняння (4) можна пересвідчитися, що функція (7) є розв’язком цього рівняння. Величину  називають амплітудою хвилі, аргумент  – фазою, а – початковою фазою. Вигляд функції (7) показує, що вона періодична у часі з періодом Т. Ця функція періодична також в просторі з періодом , званим довжиною хвилі. Параметр  являє собою швидкість поширення поверхні рівної фази коливання і називається фазовою швидкістю хвилі. Крім перерахованих використовуються такі параметри хвилі:  – частота,  – кругова частота,  – хвильове число, а також параметр . Вектор , за модулем рівний  і вказуючий напрям поширення хвилі, називають хвильовим вектором.

Фазова швидкість  пов'язана з іншими параметрами такими співвідношеннями:



.


Електромагнітні хвилі можуть існувати з будь-якою довжиною хвилі . Загальноприйнято розділяти спектр електромагнітних хвиль на радиодиапазон (), оптичний діапазон (), діапазон рентгенівського випромінювання і -променів () (рис. 2). Оптичний діапазон звичайно розділяють на ультрафиолетову (УФ, 1 нм <  < 380 нм), видиму (В, 380 нм <  < 770 нм) і інфрачервону (ИК, 770 нм <  < 1 мм) області. Кордони діапазонів і областей носять умовний характер. Електромагнітні хвилі видимого діапазону викликають у людини зорове відчуття, і їх називають світлом.

При розв’язанні багатьох задач, наприклад при підсумовуванні хвиль, замість тригонометричної форми запису хвилі (7) зручніше використати експонентний запис. Функції  і  згідно з формулою Ейлера є відповідно дійсною  і уявною  частинами комплексної функції . З урахуванням введених параметрів  і  запишемо плоску монохроматичну хвилю (7) в експонентній формі:



.(8)



Символ  звичайно не пишуть в проміжних викладеннях і здійснюють перехід від експонента до її дійсної частини лише в остаточних виразах. Довільну монохроматичну хвилю можна записати у такому вигляді:



, (9)



де  – радіус-вектор довільної точки простору.

Зручним поняттям є комплексна амплітуда , що характеризує і амплітуду і фазу хвилі. Підставляючи вираз (9) в рівняння (4), можна показати, що комплексна амплітуда повинна задовольняти рівнянню Гельмгольца:



,



де  – оператор Лапласа.





Рисунок 3 – Графіки синусоїдальної напруженості електричного і магнітного полів. Щільність потоку енергії для випадку монохроматичної хвилі



Геометричне місце точок, в яких фаза хвилі в даний момент часу має одне і те ж значення , називають хвильовою поверхнею або фронтом хвилі. Нормали до хвильового фронту вільної хвилі співпадають зі світловими променями, вздовж яких здійснюється передача світлової енергії. У плоскій хвилі хвильовий фронт плоский. Світлова хвиля від точкового джерела має сферичний хвильовий фронт. Рівняння сферичної хвилі має вигляд



, (10)


де  – амплітуда на єдиній відстані  від джерела. У практичній оптиці джерело вважають точковим, якщо відстань  перевищує лінійні розміри джерела не менш ніж в 10 раз.

Оптичний діапазон характеризується дуже великою частотою коливань (), і тому миттєве значення амплітуди хвилі вимірювати практично неможливо внаслідок інерційності реальних фотоприймачів. Для людського ока інерційність складає , а для самих швидкодіючих фотоприймачів її значення приблизно дорівнює декільком наносекундам. Внаслідок інерційності фотоприймачів є можливість реєструвати тільки усереднені значення енергетичних величин. Введемо для усередненої в часі щільності потоку енергії таке означення:



.



Графіки синусоїдальної напруженості електричного і магнітного полів, що змінюються в часі, а також щільність потоку енергії для випадку монохроматичної хвилі зображена на рис. 3. З формул (3), (5) і (7) випливає, що , а . Отже, середнє значення щільності потоку енергії



. (11)



Величину, що пропорційна квадрату амплітуди електромагнітного коливання, називають інтенсивністю  світла:



, (12)


де - коефіцієнт пропорціональності, - величина, комплексно зв'язана з комплексною амплітудою . Світлову хвилю в будь-якій точці простору однозначно задає правогвинтова трійка векторів ,  і , однак вектори  і  можуть бути довільно орієнтовані відносно напряму поширення хвилі (вектора ). Цю властивість світлової хвилі характеризують терміном поляризації, введеним на початку XIX ст. Малюсом.

Світло називають поляризованим, якщо напрям векторів  і  залишається постійним у часі або змінюється згідно з певним законом. Для неполяризованого (природного) світла напряму коливань векторів  і  швидко і безладно заміняють одна одну, причому ця сукупність коливань статистично симетрична відносно напряму поширення хвилі. Розглянемо можливі стани поляризації світла на прикладі монохроматичної хвилі. Трійка векторів , ,  з довільною орієнтацією векторів  до  відносно вектора , що співпадає з віссю Z прямокутної системи координат , зображена на рис. 4. Проекції вектора  на осі координат  і  можна представити як гармонічні коливання з амплітудами ,  і деякою різницею фаз . Відомо, що кінець вектора  описує в площині  криву, що має таке рівняння:





Рис. 4 – Прямокутна система координат


. (13)



Останнє рівняння задає еліпс, велика вісь якого нахилена під деяким кутом  до осі  (рис. 5, а). Отже, світлова хвиля в загальному випадку поляризована еліптично. Поляризацію називають правою (ПР), коли спостерігачеві, що дивиться назустріч світловому променю, здається, що кінець електричного вектора описує еліпс, рухаючись за годинниковою стрілкою, і лівої – при протилежному русі. Для поляризованого світла різниця фаз  коливань вздовж осей  і  залишається постійною за час спостереження. Якщо , де , то еліпс (13) вироджується в пряму лінію:



.





Рис. 5 – Поляризація світової хвилі



У цьому випадку світло називають лінійно - або плоскополяризованим (рис. 5, б). При виконанні умов  і , де , еліпс (13) перетворюється в коло, і світло називають циркулярно поляризованим або поляризованим по колу (рис. 5, в).

Поняття «поляризація» відноситься до поведінки світлової хвилі в одній точці поля, і в загальному випадку стан поляризації може бути неоднаковим в різних точках поля.

Для виділення лінійно поляризованого світла використовують оптичні пристрої, звані поляризаторами. Дія будь-якого поляризатора полягає в тому, що він розділяє пучки світла на два ортогонально поляризованих пучок, пропускає один з них і поглинає або відхиляє інший. Поляризатори, що застосовуються для аналізу стану поляризації світла, називають аналізаторами. При послідовному проходженні природного світла через поляризатор П і аналізатор А інтенсивності  і , що входить в поляризатор, і що виходить з аналізатора пучка, пов'язані законом Малюса:



,



де  – кут між напрямками поляризації пучків, що пропускаються поляризатором і аналізатором відповідно.

Закон Малюса виходить з того, що поляризатор і аналізатор пропускають тільки проекцію коливання на свою площину поляризації. Для зміни стану поляризації застосовують фазовій пластини, дія яких основана на розділенні поляризованих пучок світла на два взаємно ортогонально лінійно поляризованих пучки, що введені різниці фаз між цими пучками і повторному з'єднанні їх в єдині пучок. У залежності від введеної різниці фаз ,  і  фазову пластину називають чвертьхвильовою, напівхвильовою і хвильовою. Широке застосування отримали чвертьхвильові пластини (пластини ), що дозволяють трансформувати лінійну поляризацію в кругову і навпаки.


3. Поширення світла в ізотропному середовищі. Відображення і заломлення на межі двох середовищ



Монохроматичні хвилі розповсюджуються в оптичному середовищі з фазовою швидкістю , яка пов'язана з параметрами середовища , , і швидкістю світла у вакуумі () такою формулою:



. (14)



Величину , що дорівнює відношенню , називають показником заломлення середовища, причому оптичні середовища в більшості випадків немагнітні, і можна вважати, що . Якщо показник заломлення середовища не залежить від напряму поширення світлової хвилі, то середовище називають ізотропним. При поширенні електромагнітної хвилі в різних середовищах її частота  залишається незмінною і тому довжина світлової хвилі в середовищі  і довжина хвилі у вакуумі , пов'язані між собою співвідношенням .

Залежність показника заломлення від довжини хвилі  називають дисперсією речовини. Розрізнюють нормальну  і аномальну  дисперсії. Більшість оптичних матеріалів, включаючи оптичне скло, у видимому діапазоні мають нормальну дисперсію.

Поняття фазової швидкості дозволяє правильно зрозуміти поширення монохроматичної хвилі в ізотропному середовищі. Однак на практиці оптичне випромінювання розповсюджується у вигляді імпульсів, які за допомогою перетворення Фур’є можна представити у вигляді кінцевої або нескінченної сукупності монохроматичних хвиль. Важливим окремим випадком є квазімонохроматичні хвилі, для яких відносна ширина спектра значно менше одиниці .

У реальних експериментах зручно реєструвати максимум інтенсивності імпульсу випромінювання (хвильового пакета). Швидкість переміщення цього максимуму енергії в групі хвиль, що досліджується, називають груповою швидкістю . Оскільки фазові швидкості монохроматичних хвиль, що складають хвильовий пакет, в диспергуючому середовищі різні, то реальний імпульс при його поширенні деформується. Групова і фазова швидкості пов'язані між собою формулою Релея:



,



де  – центральна довжина хвилі в хвильовому пакеті, що складає імпульс випромінювання;  – фазова швидкість, відповідна центральній довжині хвилі.

Якщо , то , дисперсія відсутня і фазова швидкість співпадає з груповою. Така умова виконується суворо тільки для вакууму і приблизно його можна використати для деяких матеріальних середовищ, наприклад, повітря і води.

Будь-яке середовище тією чи іншою мірою поглинає світлову енергію, що призводить до поступового зменшення інтенсивності хвилі при її поширенні (загасання хвилі). Для затухаючої хвилі, що розповсюджується вздовж осі Z, справедливий закон Бугера:



(15)


де  і  – інтенсивність світла до шара середовища і після нього, відповідно;  – натуральний показник поглинання середовища ( в широкому діапазоні інтенсивностей ).

У багатьох випадках більш зручно характеризувати поглинання речовини безрозмірним головним показником поглинання , пов'язаним з  формулою



. (16)



При  на шляху  інтенсивність світла за рахунок поглинання зменшується в  раз (~ 100 000). Плоска монохроматична хвиля, що розповсюджується вздовж осі Z в поглинаючому середовищі, з урахуванням формул (15) і (16) може бути записана у такому вигляді



 .



Вираз  називають комплексним показником заломлення, а величини  і – оптичними постійними середовища.

Розглянемо проходження електромагнітної хвилі через межу двох середовищ, що характеризуються показниками заломлення  і  відповідно. Хвиля частково відбивається від межі і повертається в перше середовище, а частково проходить у другу середу. Фазова швидкість хвилі в першому середовищі , а у другій – . Відображення відбувається згідно із законом відображення, згідно з яким кути падіння  і відображення  рівні між собою (). Напрямки падаючої на межу і що пройшла у друге середовище хвиль пов'язані законом заломлення:


. (17)



Крім того, падаючий, відображеними заломлений промені, а також нормаль до межі в точці падіння променя лежать в одній площині, яку називатимемо площиною падіння. Закони відображення і заломлення служать основою геометричної оптики.

Знайдемо співвідношення між інтенсивністю падаючою , відображеною  і заломленою , хвиль. Ці співвідношення залежать від стану поляризації падаючої хвилі. Напруженість електричного поля  в будь-який момент часу можна представити у вигляді , де  і - проекції вектора  на площину падіння і площину, їй перпендикулярну. Тому розглянемо окремо два випадки, коли вектор  лежить у площині падіння і в площині, ній перпендикулярній. Об'єднуючи обидва випадки, можна дослідити відображення і заломлення неполяризованої світлової хвилі або світлової хвилі з довільною поляризацією.

Вектор лежить в площині падіння електромагнітної хвилі. Падаючу, відображену і заломлену хвилі визначимо трійками векторів ,  і  відповідно (рис. 6, а). На межі середовищ в площині  (z = 0) справедливі граничні умови (2). Для простоти викладу вважатимемо хвилі плоскими і монохроматичними, для яких справедливий запис у вигляді виразу (8). Граничні умови означають рівність проекцій коливань векторів  і  на межу по обидві її сторони в будь-який момент часу:



(18)


У відповідності з (3) маємо також при 



;;,(19)







Рисунок 6 – Падаюча, відображена і заломлена хвилі





де .

Підставляючи вирази (19) у друге рівняння (18) і розв’язуючи систему двох рівнянь, отримуємо формули, зв'язуючі амплітуди відображеної () і заломленої () хвиль з амплітудою падаючої () хвилі для напруженості електричного поля



(20)



Аналогічно можна записати вираз для амплітуд магнітної напруженості відображеної і заломленої хвиль.

Вектор  перпендикулярний площині падіння.

Граничні умови (2) в цьому випадку можна записати у такому вигляді:



(21)



Розв’язуючи систему рівнянь (21), з урахуванням рівності (19) отримаємо



(22)



Вирази (20) і (22) називають формулами Френеля. При нормальному падінні () ці формули не залежать від поляризації падаючої хвилі, в чому можна пересвідчитися, здійснивши граничний перехід  при в формулах (20) і (22) і застосувавши закон заломлення (17):



(23)



Коефіцієнтом відображення р називають відношення потоку випромінювання, відображеного даним тілом, до потоку випромінювання, що падає на нього. Для коефіцієнта відображення кордону двох прозорих середовищ, використовуючи усереднені у часі значення модуля вектора Пойнтінга в падаючій і відображеній хвилях, запишемо


.



Коефіцієнтом пропущення  називають відношення потоку випромінювання, що пройшов крізь тіло, до потоку випромінювання, що падає на нього. З урахуванням усереднених значень модуля вектора Пойнтінга в падаючій і минулій хвилях для коефіцієнта пропущення кордону двох прозорих середовищ можна записати такий вираз:



.



При нормальному падінні на основі виразів (11) і (23) можна записати такі формули для  і :



;(24)

.(25)



З формул (20) і (22) видно, що якщо , то  і, отже, , а . Відповідний кут падіння називають кутом Брюстера , який обчислюють за формулою:



.


При вуглі Брюстера відображена хвиля завжди лінійно поляризована в напрямі, перпендикулярному площині падіння, а хвиля, поляризована в площині падіння, не відбивається взагалі. При  (ковзаюче падіння)  і , тобто світло відбивається повністю. Приклади залежності , ,  і  від кута падіння  при переході з оптично менш щільного в оптично більш щільне середовище ().

Крім розглянутої енергетичної залежності важливу роль відіграють фазові співвідношення в падаючій, відображеній і заломленій хвилях. З формул Френеля випливає, що при відображенні від оптично більш щільного середовища () відображена і падаюча хвилі знаходитимуться у протифазі в діапазоні кутів падіння від  до . Цю властивість називають втратою напівхвилі при відображенні від оптично більш щільного середовища. За допомогою формул Френеля можна також показати, що падаюча і заломлена хвилі завжди у фазі.

У разі падіння світлових хвиль на межу двох середовищ з оптично більш щільного середовища, починаючи з деякого граничного кута падіння , хвилі зазнаватимуть повного внутрішнього відображення. Вираз для граничного кута легко отримати із закону заломлення (17), прийнявши :



.



Якщо світлова хвиля падає на межу двох поглинаючих середовищ, то формули Френеля залишаються справедливими при заміні дійсних показників заломлення  середовищ на комплексні показники заломлення . Амплітуди відображеної і заломленої хвиль, обчислені в цьому випадку за формулами Френеля, також будуть комплексними величинами, що пов'язано з їх еліптичною поляризацією. Отже, якщо на поглинаюче середовище під деяким кутом падає лінійно поляризована хвиля, то як відображена, так і заломлена хвилі будуть еліптично поляризовані.

Проілюструємо використання формул Френеля на прикладі нормального падіння світлової хвилі з вакууму на поглинаюче середовище. Підставляючи у формулу (24)  і , отримаємо



.