Полиномы Лагерра в квантовой механике

Министерство образования Российской Федерации

Иркутский Государственный Технический Университет

Физико-технический институт

Кафедра Квантовой физики и нанотехнологий



КУРСОВАЯ РАБОТА

Тема:

Полиномы. 

Полиномы Лагерра в квантовой механике







Выполнил (а) студент (ка) 

2 курса, группы НТ-08,

.

Научный руководитель 

.,ДФМН, профессор кафедры квантовой физики



Иркутск

2010



 

Содержание

Введение                                                                                                            3

Глава I . Ортогональные полиномы.                                                          4

Понятие ортогональных полиномов                                             4

Классические ортогональные полиномы                                      5

Общие свойства ортогональных полиномов                                7

Глава II. Полиномы Лагерра                                                                       8

Глава III. Применение полиномов Лагерра в квантовой механике  10

       3.1. В радиальной части решения уравнения Шредингера для атома с одним электроном.                                                                                           10

        3.2. Переход в осцилляторе                                                                     12

Заключение                                                                                                     13           

Используемая литература                                                                           14

Приложение                                                                                                    15

















Введение

В представленной работе, я рассмотрела виды полиномов, в частности полиномы Лагерра, их основные свойства и применение в квантовой механике через математические выкладки решений уравнений Шредингера для атома водорода и гармонического осциллятора.

По своей сути полином - это алгебраическая сумма конечного числа одночленов, т.е. выражений вида Axkyl...wm где x, y, ..., w -переменные, А (коэффициент многочлена) и k, l, ..., m (показатели степеней - целые неотрицательные числа)- постоянные. Многочлен от одного переменного x всегда можно записать в виде а0хn + а1хn-1 + ... + аn-1х + аn.

К классическим ортогональным полиномам относятся полиномы Якоби, Эрмита, Лагерра 

Они часто встречаются в теоретической и математической физике. Классические ортогональные полиномы удовлетворяют уравнениям вида 



где - полином степени не выше 2,  - полином степени не выше 1, - постоянная.

В ходе работы использовала учебник Никифорова А.Ф.,Специальные функции математической физики; Фока. Начало квантовой механики.





	

	

	

	Глава I. Ортогональные полиномы

	1.1.Понятие ортогональных полиномов

	Ортогональные полиномы - системы полиномов , n = 0, 1, ...,  ортогональных с весом на интервале (а, b) 



где - квадрат нормы. Подобные системы возникают в различных задачах математики, физики: в теории представлений групп, в вычислит. математике, при решении задач на собственные значения в теории волн, квантовой механике и др. 

Задание веса и интервала (а,b) определяет полином рn(х), удовлетворяющий соотношению ортогональности (1) однозначно, с точностью до нормировочного множителя. Для полиномов рn(х)справедливо след. явное выражение в виде определителя:



где Аn - нормировочная постоянная, - момент весовой функции. Из соотношений ортогональности (1) можно получить  свойства Ортогональных полиномов.







1.2.Классические ортогональные полиномы.

Полиномы Якоби, Лагерра и Эрмита – полиномы типа yn(z) являются решениями уравнения  . Явные выражения для этих полиномов даются формулой Родрига  , где Bn – нормировочная постоянная, а функция p(z) удовлетворяет дифференциальному уравнению . 

Решая эти уравнения, получим в зависимости от степени полинома  следующие возможные виды функции p(z): 



	

	

	где – некоторые постоянные. 	

	В зависимости от вида функции  получаются следующие системы полиномов:

	1.Пусть                                 

	Тогда

	Соответствующие полиномы yn(z)  при  называются полиномами Якоби и обозначаются 

	

	2.Пусть                  Тогда

	 Полиномы yn(z) при  называются полиномами 

	

	Эрмита  и  обозначаются        

	

	

	

	3.Пусть        Тогда

	Полиномы yn(z)  при  называются полиномами Лагерра  и обозначаются :

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	1.3.Общие свойства ортогональных полиномов

	Классические ортогональные* полиномы обладают целым рядом свойств, которые вытекают непосредственно из свойств ортогональности полиномов. Таким свойствами обладают любые полиномы на интервале (a,b) с произвольным весом p(x)>0.

	1.Разложение произвольных полиномов по ортогональным. (Произвольный полином n-й степени qn(x) можно представить в виде линейной комбинации ортогональных полиномов  pn(x)) 

	2.Единственность системы полиномов при заданном весе.

	3.Рекуррентные соотношения (для произвольных ортогональных полиномов имеет место рекуррентная формула, связывающая три последовательных полинома  

                  

где  - некоторые постоянные

















Глава II. Полиномы Лагерра

В математике, многочлены Лагерра, названные в честь Эдмона Лагерра (1834—1886), являются каноническими решениями Уравнения Лагерра:



являющегося линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Многочлены Лагерра, обычно обозначающиеся как , являются последовательностью полиномов, которая может быть найдена по Формуле Родрига



Эти полиномы ортогональны друг другу со скалярным произведением:



Многочлены Лагерра применяются в квантовой механике, в радиальной части решения уравнения Шредингера для атома с одним электроном. Имеются и другие применения многочленов Лагерра.

Полиномы Лагерра можно определить рекуррентной формулой:



предопределив первые два полинома как:





Обобщенные полиномы Лагерра.



где:

**— главное (радиальное) квантовое число; 

***— орбитальное (азимутальное) квантовое число. 

Обобщённые полиномы Лагерра являются решениями уравнения:



так что .

























ГлаваIII.   Применение полиномов Лагерра в квантовой

механике.

 Многочлены Лагерра нашли свое применение в квантовой механике:

3.1.В радиальной части решения уравнения Шредингера для атома с одним электроном (нормирование волновой функции). 

Разложение волновой функции на множители, каждый из которых зависит либо от радиальной, либо от угловых координат, позволяет разбить общее условие нормировки 

 

на два: по радиальной координате 



и по угловым: 

.  

Для справочных целей выпишем полные выражения для нормированных волновых функций. Сумма может быть выражена через так называемую гипергеометрическую функцию. Радиальная часть волновой функции с учётом условия нормировки равна

 





 

Здесь F — вырожденная (конфлюэнтная) гипергеометрическая функция (функция Куммера):

 



 

которая сходится при всех конечных z; параметр α произволен, а β предполагается не равным нулю или целому отрицательному числу. Если α есть целое отрицательное число (или нуль), то F(α, β, z) сводится к полиному степени |α|. Радиальные волновые функции выражаются также через обобщённые полиномы Лагерра : 

 



 



















3.2.Переход в осцилляторе.

Расчет переходов в осцилляторе под действием внешней силы.

Под влиянием внешней силы квантовый осциллятор может переходить с одного уровня энергии () на другой (). Вероятность этого перехода для осциллятора без затухания даётся формулой:

, 

где функция определяется как:

, 

а — полиномы Лагерра.



















Заключение

В данной работе были рассмотрены полиномы  - алгебраические многчлены Якоби, Эрмита и Лагерра, их форма записи, общие свойства. Более подробно рассматривались полиномы Лагерра, они нашли свое применение в квантовой механике  - являются частью рассчетов вывода уравнения Шредингера и уравнения переходов в осцилляторе под действием внешней силы. 



































Используемая литература

Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Специальные функции математической физики, 2 изд., М., 1984

Суетин П. К., Классические ортогональные многочлены, 2 изд., М., 1979 

Фок. Начало квантовой механики.































Приложение

*     Если скалярное произведение двух элементов пространства равно нулю, то они называются ортогональными друг другу

**  Главное (радиальное) квантовое число — целое число, обозначающее номер энергетического уровня. Характеризует энергию электронов, занимающих данный энергетический уровень. Является первым в ряду квантовых чисел, который включает в себя главное, орбитальное и магнитное квантовые числа, а также спин. Эти четыре квантовые числа определяют уникальное состояние электрона в атоме (его волновую функцию). Главное квантовое число характеризует энергию электрона. Оно обозначается как n. При увеличении главного квантового числа возрастают радиус орбиты и энергия электрона.

Наибольшее число электронов на энергетическом уровне, с учетом спина электрона определяется по формуле 

***    Орбитальное квантовое число (азимутальное) - определяет азимутальное распределение плотности вероятности локализации электрона в атоме, то есть форму электронного облака и определяет энергетический подуровень данного энергетического уровня. 

Связано с n -главным (радиальным) квантовым числом соотношением:











1