Определение момента инерции твердых тел 3

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ



ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)



Кафедра физики







ОТЧЕТ





Лабораторная работа по курсу "Общая физика"







ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ  ТВЕРДЫХ ТЕЛ















Преподаватель				Студент группы 



___________ / ____________ /	__________/ 



___________2009 г.			____________ 2009 г.













Томск 2009


1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ



Целью настоящей работы является определение момента инерции твердых тел и экспериментальная проверка справедливости теоремы Штейнера на примере физического маятника.



2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ ЭКСПЕРИМЕНТА





1

8

3

4

6

5

2

7

9

Рис.2.1.

Общий вид установки ФПМО-4Для экспериментальной проверки теоремы Штейнера и определения момента инерции в данной работе используется стандартная установка универсального маятника ФПМО - 4. Это настольный прибор (рис. 4.1), на вертикальной стойке основания 1 которого крепится кронштейн 2, который имеет возможность поворота вокруг стойки на 360 и фиксация в любом выбранном положении. С одной стороны кронштейна 2 подвешен математический маятник, а с другой - физический. Математический маятник представляет собой металлический шарик 3 на бифилярном подвесе 4. Физический маятник - стальной стержень 5, подвешенный на опорной призме 6. Опорная призма 6 может перемещаться по всей длине стержня и фиксироваться в требуемом положении.

Стержень 5 имеет кольцевые проточки, которые служат для надежной фиксации опорных призм. Установка снабжена фотоэлектрическим датчиком 7, который закреплен на вертикальной стойке с помощью кронштейна 8 и имеет возможность перемещаться как вдоль, так и вокруг стойки и фиксироваться в любом положении. Датчик предназначен для выдачи сигналов на миллисекундомер 9. Миллисекундомер физический выполнен самостоятельным прибором с цифровой индикацией времени и количества полных периодов колебаний маятника.



3. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ



Средняя величина периода колебаний маятника:

T = t / n ,									(3.1)

где t - продолжительность 10  15 колебаний;

n - число колебаний за время t.

Формула для экспериментального расчета момента инерции прямого тонкого стержня

,									(3.2)

где T - период колебаний маятника;

l - расстояние от центра масс до точки подвеса маятника;

m - масса маятника;

g - ускорение свободного падения.

Формула для теоретического расчета момента инерции прямого тонкого стержня длиной d и массой m относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину:

I0 = md2/12 									(3.3)

Формула для теоретического расчета инерции прямого тонкого стержня длиной d и массой m относительно произвольной оси, параллельной другой оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину:

I = I0 + ml2                                                                                 (3.4)

Формула для расчета погрешности косвенного измерения квадрата расстояния между осями:

(l2)=ml(l)                                                                                 (3.5)

где (l) – абсолютная погрешность измерения между осями.

Формула для расчета экспериментальной абсолютной погрешности косвенного измерения периода колебания стержня:

                                                                                           (3.6)

    Формула для расчета экспериментальной абсолютной погрешности косвенного измерения момента инерции:

                                                                                                                 (3.7)

где σ(m) – абсолютная погрешность измерения массы стержня;

σ(g) – абсолютная погрешность измерения ускорения свободного падения; 

σ(π) – абсолютная погрешность измерения числа π.

                                                    

4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ИХ АНАЛИЗ.



Результаты прямых и косвенных измерений представлены в таблице.

                                                                                               Таблица.4.1

Данные измерений

Номер опыта

n

t, c

T, c

l2, м2

I, кгм2

Примечание

1

10

12,777

1,2777

0,0841

0,04313

m = 358 г

(t) =  2 мс

(m) = 2%

2

10

12,410

1,2410

0,0625

0,03489



3

10

12,156

1,2156

0,0441

0,02837



4

10

12,094

1,2094

0,0289

0,02259



5

10

12,404

1,2404

0,0169

0,01814



6

10

13,471

1,3471

0,0081

0,01489



7

10

16,719

1,6719

0,0025

0,01265





Подсчитаем среднюю величину периода колебаний маятника (3.1)



T1=12,777 / 10 = 1, 2777 с

T2=12,410/ 10 = 1, 2410 с
T3=12,156 / 10 = 1, 2156 с
T4=12,094 / 10 = 1, 2094 с
T5=12,404 / 10 = 1,2404 с
T6=13,471 / 10 = 1,3471 с
T7=16,719 / 10 = 1,6719 с



Теперь найдем момент инерции прямого тонкого стержня по формуле (3.2)



I1 =  ≈ 0,04313 кг*м2

I2 =  ≈ 0,03489 кг*м2

I3 =  ≈ 0,02837 кг*м2

I4 =  ≈ 0,02259 кг*м2

I5 =  ≈ 0,01814 кг*м2

I6 =  ≈ 0,01489 кг*м2

I7 =  ≈ 0,01265 кг*м2



Абсолютная погрешность замера времени колебаний составляет ± 2 мс, а с учётом вычисления периода ± 2×10-4 , то вычисляем результаты с точностью до пяти знаков.



Расчёт случайной погрешности измерения для построения графика



t1 = < t1 > σ (t) = 12,777 0,02с

t2 = < t2 > σ (t) = 12,410 0,02с

t3 = < t3 > σ (t) = 12,156 0,02с

t4 = < t4 > σ (t) = 12,094 0,02с

t5 = < t5 > σ (t) = 12,404 0,02с

t6 = < t6  > σ (t) = 13,471 0,02с

      t7 = < t7 > σ (t) = 16,719 0,02с

От абсолютной погрешности замера времени колебаний зависит момент инерции прямого тонкого стержня, а расстояние от масс до точки подвеса маятника не зависит.

          T1 = < T1 >  σ (t) / n = 1,27770,002с

T2 = < T2 >  σ (t) / n = 1,24100,002с

T3 = < T3 >  σ (t) / n = 1,21560,002с

T4 = < T4 >  σ (t) / n = 1,20940,002с

T5 = < T5 >  σ (t) / n = 1,24040,002с

T6 = < T6  >  σ (t) / n = 1,34710,002с

T7 = < T7 >  σ (t) / n = 1,67190,002с



I1 max = 0,04315  кг*м2      I1 min = 0,04311 кг*м2 

I2 max  = 0,03491 кг*м2      I2 min = 0,03487 кг*м2

I3 max  = 0,02839 кг*м2      I3 min = 0,02835 кг*м2

I4 max  = 0,02261 кг*м2       I4 min = 0,02257 кг*м2

I5 max  = 0,01816 кг*м2       I5 min = 0,01812 кг*м2

I6 max  = 0,01491 кг*м2       I6 min = 0,01487 кг*м2

      I7 max  = 0,01267 кг*м2       I7 min = 0,01263 кг*м2



Теоретический расчет момента инерции прямого тонкого стержня длиной d и массой m относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину находим по формуле (3.5).

(I0)=(0.62 2 /12)*0.007=0.0002 кг*м2

Расчет погрешности косвенного измерения l2 производим по формуле (3.5). Величину погрешности измерения l принимаем равной половине величины наименьшего деления шкалы расстояний или (l)= 0,005.

	Находим погрешности l2 для каждого измерения:

 (l2)=2*0,29*0,005=0,0029 м2

 (l2)=2*0,25*0,005=0,025 м2

 (l2)=2*0,21*0,005=0,0021 м2

 (l2)=2*0,17*0,005=0,0017 м2

 (l2)=2*0,13*0,005=0,0013 м2

 (l2)=2*0,09*0,005=0,0009 м2

(l2)=2*0,05*0,005=0,0005 м2

Экспериментальный расчет погрешностей косвенного измерения I произ-

водится по формуле (3.7), где (g)=0,01 и (П)=0,01 (из справочников). (T)=1/10*0,002=0,0002 (найдено по формуле (3.6).  (l)= 0,005 половина деления прибора.

(I)= 0,0059≈0,006 кг*м2

(I)= 0.0012≈0,001 кг*м2

(I)= 0.00082≈0,001 кг*м2

(I)= 0.00067≈0,001 кг*м2

(I)= 0.00064≈0,001 кг*м2

(I)= 0.00064≈0,001 кг*м2

(I)= 0.00067≈0,001 кг*м2

Теоретический расчет момента инерции прямого тонкого стержня длиной d и массой m относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину находим по формуле (3.3):

I0 =(0,358*0,622)/12=0,0114 кг*м2

	Используя график на (рис.1) определим собственный момент инерции I0 и массу стержня m:









из графика











b-это отрезок, который прямая линия графика отсекает от оси ординат (на вертикальной оси). Нужно определить ординату их точки пересечения. Но это правило справедливо в том случае, когда координатные оси пересекаются в начале координат, т.е. в точке с координатами (0;0). В нашем случае надо использовать другое правило: надо выбрать две точки на прямой, например точки с координатами  и  и записать уравнение прямой, проходящей через эти точки:





Приведение этого уравнения к виду y=ax+b дает следующие выражение для b: 



Следовательно: b=

Где: 



Найденные из графика: собственный момент инерции I0 и масса стержня m совпадают  в пределах погрешности с теоретическими.



0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

l2,м2 (10-3)

I, кг*м2(10-3)

Рис. 1

5. ВЫВОДЫ

В результате проделанной работы мы убедились в справедливости теоремы Штейнера I = I0 +ml2 , так как смогли в пределах погрешностей измерений построить линеаризованный график зависимости I = f (l2).



     6. Контрольные вопросы.

6.1. Как формируются понятия инерции материальной точки и твердого тела?

       Моментом инерции материальной точки относительно неподвижной оси вращения называется физическая величина I, равная произведению массы m материальной точки на квадрат расстояния r² до оси: 

I = m r²

Момент инерции твёрдого тела относительно неподвижной оси вращения, складывается из моментов инерции отдельных его материальных точек:

I =Σ mi ri².

6.2. В каких ситуациях применима теорема Штейнера?

Если известен момент инерции тела относительно любой оси проходящей через центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера.

6.3. Как формируется теорема Штейнера?

       Момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела и произведения массы тела m на квадрат расстояния l между осями:

	I = I0 + m l².

6.4. Под действием какой силы совершается колебательное движение маятника?

Под действием составляющей силы тяжести  P1 = Psinφ .

6.5. Является ли момент инерции аддитивной величиной? 

Является. Так как к аддитивным величинам относятся масса, энергия, импульс, момент импульса, объем, момент энергии.

6.6. Объяснить метод определения момента инерции с помощью физического маятника.

       По основному закону динамики вращательного движения: 

M = I∙β = - m∙g∙l∙φ (для малых углов отклонения); так как β = d2φ/dt2, то получаем дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

, где ; период колебаний 

; отсюда получаем выражение 

Зная ускорение свободного падения g, массу m, экспериментально измерив l и определив Т, тогда можно вычислить момент инерции маятника .

6.7. Какой маятник называется физическим?

Физическим маятником называется любое твёрдое тело, которое под действием силы тяжести может свободно качаться вокруг неподвижной оси, не проходящей через центр масс.

6.8. При каких формальных допущениях справедлива формула (3,7)?



Период колебаний маятника равен:. Эта формула справедлива когда моментом силы трения можно пренебречь а также силой сопротивления воздуха, так маятник отклоняется на малые углы φ, то допускается sin φ ≈ φ.

6.9. Как записывается основной закон динамики вращательного движения?

Основной закон динамики вращательного движения записывается так: , что является аналитической формой основного уравнения (закона) динамики вращательного движения: при воздействии момента внешних сил твердое тело вращается вокруг неподвижной оси с угловым ускорением, прямо пропорционально моменту сил и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно данной оси.