Соотношения синусоидальных напряжений и токов в цепи с последовательным соединением элементов

СООТНОШЕНИЯ СИНУСОИДАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ И ТОКОВ В ЦЕПИ С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ЭЛЕМЕНТОВ






1. Проводимость цепи



К цепи подведено напряжение .

По 2 закону Кирхгофа запишем для мгновенных значений величин:











Комплекс действующего напряжения равен сумме комплексных значений падений напряжений:







Построим векторную диаграмму для этой схемы






Из векторной диаграммы ( 0АВ):



;



Отсюда:  – закон Ома для цепи переменного тока.

 – полное сопротивление цепи.

Если сопротивлений много, то .

Аналогично можно записать из исходного уравнения:



,



где  – реактивное сопротивление цепи.

 0АВ – треугольник напряжений:







Разделив каждую строчку треугольника напряжений на ток, получим треугольник сопротивлений:






Угол  представляет собой угол сдвига фаз между током и напряжением:



.







Активные, реактивные и полные проводимости цепи

 – комплексная проводимость цепи.





,



где  – активная проводимость цепи (при X=0 G=1/R).

 – реактивная проводимость цепи.

При X=XL - XC > 0 B > 0,

а при X=XL - XC < 0 B < 0.

С учетом проводимостей закон Ома принимает вид:







,



где Ia – активная составляющая тока I;

Ip – реактивная составляющая тока I.

Векторная диаграмма имеет вид:











Треугольник проводимостей:



.



2. Законы Кирхгофа для цепей синусоидального тока



1-й закон Кирхгофа: Алгебраическая сумма комплексных значений токов в узле равна нулю.

Или геометрическая сумма векторов, изображающих токи в узле, равна нулю.

Для действующих значений: ;

для мгновенных значений: .

2-й закон Кирхгофа: Если каждый участок контура электрической цепи содержит R, L, C элементы, тогда мгновенные значения ЭДС, действующие в замкнутом контуре, равны алгебраической сумме мгновенных значений падений напряжений на участках этого контура:



.



Сумма комплексных значений ЭДС, действующих в замкнутом контуре, равна сумме комплексных значений падений напряжений на участках этого контура:



.



3. Энергия и мощность в цепи синусоидального тока с идеальными R, L, C элементами



В цепи постоянного тока мощность определялась выражением .

Рассмотрим цепь переменного тока с последовательным соединением R, L, C элементов.







Запишем подведенное напряжение:  и ток .

. При i=0 u=.

Если XL >XC, то  > 0 и наоборот.

Для мгновенных значений справедливо выражение:



.



Отдельно здесь запишем: .



.



Результат:  – это выражение для мгновенной мощности.

Энергия, которая поступает в цепь, определяется средним значением мощности за период:



.



Но , поэтому .

 – коэффициент мощности.

Из треугольника напряжений , поэтому

 активная мощность.

Таким образом, среднюю мощность называют активной мощностью.

Рассмотрим цепь с активным элементом, т.е.  = 0.



.


Построим график этой функции:











Мощность больше нуля, значит на активном элементе энергия поступает от источника в цепь и здесь тратится. Что это за энергия?:



 – это энергия тепловая.



Рассмотрим цепь с индуктивным элементом, т.е.  = /2.



.




Но и первое и второе выражения равны нулю, т.е. среднее значение мощности за период равно нулю. Из общего выражения для мгновенной мощности:











	



За период мощность дважды меняет знак.

Положительное значение мощности соответствует режиму, при котором энергия поступает в цепь. Отрицательное значение мощности соответствует режиму, при котором энергия возвращается источнику. Таким образом идеальный индуктивный элемент энергии не потребляет.

Найдем значение энергии, поступающей с цепь за четверть периода:

 – это выражение для энергии магнитного поля.

Здесь мы сделали замену пределов интеграла: при t=0 i=0; при t=T/4 i=Im.

Таким образом, энергия, поступившая в цепь с идеальным индуктивным элементом, преобразуется в энергию магнитного поля. Мощность положительна, когда ток растет по абсолютной величине.

В этот момент энергия поступает в цепь и преобразуется в энергию магнитного поля.

При уменьшении тока запасенная энергия в индуктивном элементе возвращается источнику, т.е. в такой цепи между источником и потребителем происходит непрерывный обмен энергиями.

Рассмотрим цепь с емкостным элементом, т.е.  = -/2.

Из общего выражения для мгновенной мощности:

. Здесь ток опережает напряжение. Тот же рисунок, но ток и напряжение поменяли местами








 – это энергия электрического поля.

Таким образом, в цепи с идеальным емкостным элементом имеют место процессы, аналогичные процессам в цепи с индуктивным элементом, но здесь колеблется энергия электрического поля.

В реальной электрической цепи имеют место одновременно оба явления: и необратимое преобразования энергии источника в тепло и обмен энергиями между источником и потребителями.

Полная, активная и реактивная мощности







– треугольник напряжений.

Умножим каждую сторону треугольника напряжений на ток и получим треугольник мощностей.







 – активная мощность, которая преобразуется в тепло или механическую работу [Вт].

 – реактивная мощность, которая затрачивается на создание магнитных и электрических полей, а затем возвращается к источнику, [вар].

 – полная мощность [ВА].



Мощность в символической форме

Пусть ;



.



В комплексной форме эти выражения:

; ; .



Комплексно сопряженное значение тока: .



Запишем выражение



.



 – комплекс полной мощности.

Вещественная часть этого комплекса представляет активную мощность, а мнимая часть – реактивную мощность.



4. Уравнение баланса мощностей



В электрической цепи сумма активных мощностей, отдаваемых источником, равна сумме активных мощностей, потребляемых приемниками.

Аналогично утверждение и для реактивных мощностей.

 – для активных мощностей (реальная часть комплекса);

 – для реактивных мощностей (мнимая часть комплекса).