Дискретний логарифм

Реферат на тему:

Дискретний логарифм




Проблема обчислення дискретного логарифма є не лише цікавою, а й вкрай корисною для систем захисту інформації. Ефективний алгоритм знаходження дискретного логарифму значною мірою знизив би безпеку систем ідентифікації користувача та схеми обміну ключей.



Означення. Нехай G – скінченна циклічна група порядка n. Нехай g – генератор G та b G. Дискретним логарифмом числа b за основою g називається таке число x (0 x n - 1), що gx = b та позначається x = loggb.



Проблема дискретного логарифму. Нехай p – просте число, g – генератор множини Zp*, y  Zp*. Знайти таке значення x (0  x  p - 2), що gx  y (mod p). Число x називається дискретним логарифмом числа y за основою g та модулем p.



Узагальнена проблема дискретного логарифму. Нехай G – скінченна циклічна група порядка n, g – її генератор, b G. Необхідно знайти таке число x (0 x n - 1), що gx = b.

Розширенням узагальненої проблеми може стати задача розв’язку рівняння gx = b, коли знято умову циклічності групи G, а також умову того, що g – генератор G (в такому випадку рівняння може і не мати розв’язку).



Приклад. g = 3 є генератором Z7*: 31 = 3, 32 = 2, 33 = 6, 34 = 4, 35 = 5, 36 = 1.

log34 = 4 (mod 7), тому що розв’язком рівняння 3x = 4 буде x = 4.



Теорема. Нехай а – генератор скінченної циклічної групи G порядка n. Якщо існує алгоритм, який обчислює дискретний логарифм за основою а, то цей алгоритм може також обчислити дискретний логарифм за будь-якою основою b, яка є генератором G.

Доведення. Нехай k  G, x = logak, y = logbk, z = logab. Тоді ax = by = (az)y, звідки x = zy mod n. Підставимо в останню рівність замість змінних логарифмічні вирази:

logak =(logab) (logbk) mod n

або

logbk =(logak) (logab)-1 mod n.

З останньої рівності випливає справедливість теореми.





Примітивний алгоритм

Для знаходження  loggb (g – генератор G порядка n, b G) будемо обчислювати значення g, g2, g3, g4, ... поки не отримаємо b. Часова оцінка алгоритму – O(n). Якщо n – велике число, то час  обчислення логарифму є достатньо великим і тому алгоритм є неефективним.



Алгоритм великого та малого кроку

Першим детермінованим алгоритмом для обчислення дискретного логарифму був алгоритм великого та малого кроку, запропонований Шанком (Shank) [1].



Для обчислення loggb в групі Zn* необхідно зробити наступні кроки: 

1. Обчислити a = ;

2. Побудувати список L1 = 1, ga, g2a, ..., g (за модулем n);

3. Побудувати список L2 = b, bg, bg2, ..., bga - 1 (за модулем n);

4. Знайти число z, яке зустрілося в L1 та L2. 

Тоді z = bgk = gla для деяких k та l. Звідси b = gla - k = gx; x = la - k.



Два питання постає при дослідженні роботи наведеного алгоритму:

1. Чи завжди знайдеться число, яке буде присутнім в обох списках?

2. Як ефективно знайти значення z?



Запишемо x = sa + t для деяких s, t таких що 0  s, t < a. Тоді b = gx = gsa + t. Домножимо рівність на ga - t, отримаємо: bga - t = gs(a + 1). Значення зліва обов’язково зустрінеться в L2, а справа – в L1.

Відсортуємо отримані списки L1 та L2 за час O(a * log a). За лінійний час проглядаємо списки зліва направо порівнюючи їх голови: якщо вони рівні, то значення z знайдене, якщо ні – то видалити менше число і продовжити перевірку.



Приклад. Розв’язати рівняння: 2x  11 (mod 13).

a =  = 4;

L1: 1, 24  3, 28  9, 212  1, 216  3;

L2: 11, 11 * 2  9, 11 * 22  5, 11 * 23  10;

Число 9 зустрілося в обох списках. 11 * 2  28, 11  27, звідки x = 7.

Відповідь: x = 7.



Інший підхід до реалізації алгоритму великого та малого кроку можна отримати якщо рівність b = gsa + t (a = , 0  s, t < a) переписати у вигляді b * (g-a)s = gt. Обчислимо g-a та складемо таблицю значень gt, 0  t < a. Далі починаємо знаходити значення b * (g-a)s, s = 0, 1, … перевіряючи їх наявність у таблиці gt. Як тільки знаходяться такі s та t, алгоритм зупиняється.



Приклад. Обчислити log23 в групі Z19* .

3 = 2x = 2sa+1, 3 * (2-a)s = 2t. Складемо таблицю 2t, 0  t <   = 5:



t

0

1

2

3

4

2t

1

2

4

8

16



2-1  10 (mod 19), оскільки 2 * 10  1 (mod 19).

Тоді 3 * (2-5)s (mod 19)  3 * (105)s (mod 19)  3 * 3s (mod 19)

Обчислюємо 3 * 3s, s = 0, 1, … :



s

0

1

2

3 * 3s

3

9

8



Значення 8, яке отримали при s = 2, присутнє в таблиці 2t, 0  t < 5.

Звідси 3 * (2-5)2 = 23 або 3 = (25)2 * 23 = 25*2+3 = 213.

Відповідь: 3 = 213, тобто log23 = 13.



Алгоритм Полард - ро

Нехай G – циклічна група з порядком n (n – просте). Розіб’ємо елементи групи G на три підмножини S1, S2 та S3, які мають приблизно однакову потужність. При цьому необхідне виконання умови: 1 S2. Визначимо послідовність елементів xi наступним чином:

x0 = 1, xi+1 = , i 0	(1)

Ця послідовність у свою чергу утворить дві послідовності ci та di , що задовольняють умові 

xi = 

та визначаються наступним чином:

с0 = 0, сi+1 = , i 0	(2)

та

d0 = 0, di+1 = , i 0	(3)

Алгоритм буде працювати циклічно шукаючи таке знчення i, для якого xi = x2i. Для таких значень будуть мати місце рівність  =  або  = . Логарифмуючи останню рівність за основою a, матимемо:

(di - d2i) * logab (c2i - ci) mod n

Якщо di  d2i (mod n), то це рівняння може бути ефективно розв’язано для обчислення logab.



Алгоритм

Вхід: генератор a циклічної групи G з порядком n та елемент b G.

Вихід: дискретний логарифм x = logab.

1. x0 1, c0 0, d0 0.

2. for i = 1, 2, ... do

2.1. За значеннями xi-1, ci-1, di-1 та x2i-2, c2i-2, d2i-2 обчислити значення xi, ci, di та x2i, c2i, d2i використовуючи формули (1), (2), (3).

2.2. if (xi = x2i) then

r (di - d2i) mod n;

if (r = 0) then return (FALSE);	// розв’язку не знайдено

x  r -1 (ci - c2i) mod n.

return (x).



Якщо алгоритм завершується невдачею (повертає FALSE), то можна запустити його вибравши інші початкові значення c0, d0 з інтервалу [1; n - 1] та поклавши x0 = .



Приклад. Обчислити log29  в групі Z19*.

Побудуємо наступну таблицю значень послідовностей xi, ci, di:



i

xi

ai

bi

x2i

a2i

b2i

1

9

0

1

18

1

1

2

18

1

1

4

4

2

3

17

2

1

4

8

6

4

4

4

2

4

16

14

5

17

4

3

4

32

30

6

4

8

6

4

64

62



На 6 кроці отримали x6 = x12 . Підставивши їх значення, отримаємо:

28 * 96 = 264 * 962 або 28 – 64 = 962 – 6 , 2-56 = 956

Логарифмуємо рівність: -56 * log29 = 56 (mod 18), оскільки |Z19*| = 18.

Враховуючи що -56 (mod 18) 16, 56 (mod 18) 2, перепишемо рівність у вигляді 16 * log29 = 2 (mod 18) або 8 * log29 = 1 (mod 9). log29 = 8-1 (mod 9) = 8. 

Відповідь: log29  = 8.



Індексний алгоритм

Алгоритм, базований на обчисленні індексів, є найпотужним при обчисленні дискретного логарифму. Необхідно побудувати відносно невелику підмножину S елементів групи G, яка називається множниковою основою. Ця підмножина повинна обиратися таким чином, щоб як можна більша частина елементів G могла бути представлена у вигляді добутку її елементів. При обчисленні значення logab (a – генератор G, b G) спочатку обчислюються значення логарифмів елементів з  S (які заносяться в тимчасову базу даних), а потім на їх основі обчислюється логарифм числа b.



Алгоритм

Вхід: генератор a циклічної групи G порядка n та елемент b G.

Вихід: дискретний логарифм x = logab.

1. Побудувати множину S – множникову основу. Нехай S = {p1, p2, …, pt}. В якості значень pi можна обрати, наприклад, i - те просте число.

2. Побудувати систему лінійних рівнянь, розв’язком якої будуть значення logapi. Для цього виконаємо наступні кроки:

2.1. Обрати деяке ціле k, 0 k n - 1 та обчислити ak .

2.2. Спробувати представити значення ak у вигляді добутку чисел з S:

ak = , ci 0

Якщо така рівність знайдена, то записати рівняння:

k =  (mod n)

2.3. Повторювати кроки 2.1. та 2.2. поки не отримаємо t + c лінійних рівнянь. Невелике ціле число c (1  c  10) обирається таким чином, щоб складена система рівнянь мала єдиний розв’язок з великою ймовірністю (якщо скласти лише t рівнянь з t невідомими, то з великою ймовірністю два з цих рівнянь будуть залежними і тоді система буде мати більше одного розв’язку).

3. Розв’язати утворену систему рівнянь, отримати значення logapi, 1 i  t.

4. Обчислення logab.

4.1. Обрати деяке ціле k, 0 k n - 1 та обчислити b * ak .

4.2. Спробувати представити значення b * ak у вигляді добутку чисел з S:

b * ak = , di 0

Якщо такого представлення знайти не вдається, виконати знову 4.1. Інакше прологарифмірувавши останню рівність, отримаємо:

x = logab = ( - k) mod n



Приклад. Обчислити log212 в групі Z19*.

1. Нехай S = {2, 3, 5} – множникова основа.

2. Будуємо систему рівнянь для знаходження значень log2pi, де pi S. Оскільки множина S містить 3 елементи, то достатньо отримати 3 лінійно незалежні рівняння.

k = 5: 25 (mod 19)  13 – не представимо у вигляді добутку чисел з S.

k = 7: 27 (mod 19)  14 – не представимо у вигляді добутку чисел з S.

k = 2: 22 (mod 19)  4 = 22. Перше рівняння: 2 = 2log22.

k = 10: 210 (mod 19)  17 – не представимо у вигляді добутку чисел з S.

k = 15: 215 (mod 19)  12 = 22 * 3. Друге рівняння: 15 = 2log22 + log23.

k = 11: 211 (mod 19)  15 = 3 * 5. Третє рівняння: 11 = log23 + log25.

3. Система рівнянь за модулем 18 (порядок Z19* дорівнює 18) має вигляд:



Її розв’язком буде:

log22 = 1, log23 = 13, log25 = 16

4. Обчислення log212.

k = 3: 12 * 23 (mod 19)  1 – не представимо у вигляді добутку чисел з S.

k = 7: 12 * 27 (mod 19)  16 = 24.

log212 + 7  4log22 (mod 18), log212  (4log22 – 7) (mod 18) = 15.

Відповідь: log212 = 15.





Алгоритм Поліга – Хелмана

Алгоритм Поліга – Хелмана ефективно розв’язує задачу дискретного логарифма в групі G порядка n, якщо число n має лише малі прості дільники.



Нехай g, h  G, |G| = ps, p – просте.  Тоді значення x = loggh можна подати у вигляді:

x = x0 + x1p + x2p2 + … + xs-1ps-1

Піднесемо рівняння h = gx до степеня ps-1:

 =  =  =

 *  *  * … *  = ,

оскільки  = 1 (g – генератор групи,  ps – її порядок).

Таким чином з рівності  =  знаходимо x0.

Далі маючи значення x0, x1, …, xi-1 можна обчислити xi з рівняння 

 = 



Приклад. Обчислити log37 в Z17*.

Необхідно розв’язати рівняння 3x = 7 в групі, порядок якої дорівнює 16 = 24.

Представимо x у двійковій системі числення: x = x0 + 2x1 + 4x2 + 8x3.

1. Обчислення x0.

Піднесемо рівняння 3x = 7 до степеня 23 = 8:

 = 78,  = -1, 

 *  *  *  = -1.

Оскільки 316 (mod 17)  1, то останнє рівняння прийме вигляд  = -1. Враховуючи що 38 (mod 17)  -1, маємо:  = -1, x0 = 1.

2. Обчислення x1.

Домножимо рівність  = 7 на  = 3-1 (mod 17) = 6, отримаємо: 

 = 7 * 6 або  = 8.

Піднесемо рівняння до степеня 4:  = 84,  = -1, x1 = 1.

3. Обчислення x2.





1. D. Shanks. Class number, a theory of factorization and genera. In Proc. Symposium Pure Mathematics, vol.20, pp.415-440. American Mathematical Society, 1970.