Побудова кривих регресій методом парабол

1



10



Міністерство освіти України

Львівський державний університет ім. І. Франка









Факультет прикладної математики 

та інформатики



Кафедра теорії  оптимальних

процесів.







Звіт



про виконання індивідуального завдання  № 3 



“Побудова кривих регресій методом парабол”



з курсу



"Теорія імовірностей та математична статистика"

















Виконав:  студенти групи ПМП-32

Ковальський Д., Шевчук А.

Керівник: Сеньо П.С.















Львів – 1998



Теоритичні відомості



Лінійна залежність є найпростішою і в більшості випадків є початковим, першим наближенням до істини. Часто потрібно встановити більш адекватну залежність між компонентами наприклад двомірного випадкового вектора, яка як правило не лінійна.

Так як у вибіркових данних присутні випадковості, то початковий вигляд нелінійної залежності можна приблизно уявити  побудувавши на міліметровому папері сукупність точок 

Ми будемо шукати залежність у вигляді y = a0  + a1x  + … + akxk , де а0, …, аk – початкові моменти.

Ця передумова обумовлюється теоремою Вейерштраса про наближення будь-якої функції многочленом відповідного степеня (многочленом Берштейна).

Складність полягає в тому, що як правило в статистиці многочлени степеня k > 4 не використовуються, а початкові моменти вище четвертого дають великі похибки, а експериментальних данних багато, отже не можна провести многочлен який би проходив через всі вибіркові точки. Тому параболу будемо будувати таку, щоб сума квадратів відхилень вибіркових значень була найменшою.

Розглянувши пари (xi,yi) скористаємося формулами:

Розв'язавши дану систему, отримаємо рівняння шуканої параболи.

Найбільшу величину похибки при апроксимації початкових данних шукатимемо за наступною формулою:







Приклад дії програми



Початкові данні:

x

o

1

2

3

4

y

1

1.5

1.7

2.1

5.9



При виборі степеня k=1 результат отримано наступний:

а0 = 0.36

а1 = 1.04

d = 4.776

Графік:







При k=2:

a0 = 1.3314; a1 = -0.9029; a2 = 0.4857; d= 1.4731



При k=3:

a0 = 0.9614; a1 = 1.7488; a2 =-1.3643; a3 =-0.3083; d= 0.1041

При k=4:

a0 = 1.2250; a1 = -0.1381; a2 =-0.0495; a3 =0.090; a4 =-0.0002; d= 0.7906



Текст програми (Borland Pascal 7.0):



uses crt, graph;



var xn,yn:array[1..30] of real; n:integer; chr:char; a: array [1..5] of real;



function stepin (x:real; i:integer):real;

var j:integer; temp:real;

begin

  temp:=1;



    for j:=1 to i do

        begin

             temp:=temp*x;

             inc (i);

        end;



  stepin:=temp;



end;



procedure xyread;

var fl:text; i:integer;

begin



TextBackground(3);

TextColor(0);

clrscr;

  assign (fl,'3.txt');

  reset (fl);

  writeln ('Програма знаходження кривих регресiй методом парабол');

  writeln ('Шевчук А., Ковальський Д. ПМП-32, 1998');

{  writeln ('Esc for Exit');}

  writeln;

  writeln;

  writeln ('   x', '        y');

  writeln ;

  i:=1;

  while not EOF (fl) do

  begin

      read (fl,xn[i]);

      read (fl,yn[i]);

      writeln ('x[',i,']=',xn[i]:0:2,' ','   y','[',i,']=',yn[i]:0:2);

      inc (i); n:=i-1;

  end;



  writeln;

  writeln ('Тиснiть ENTER для продовження');

  close (fl);

  repeat

  chr:=readkey;

       if ord(chr)=13 then break;

  until false;

end;





procedure obchysl;



var k :integer; i,j,h:integer;

sx: array [1..6] of real;

sy: array [1..2] of real;

sxy: array [1..3] of real;

matr: array [1..5, 1..5] of real;

b: array [1..5] of real;

s: real;

d:real;

m,v:word;

gd,gm,ch,cv:integer;

x,y:real;

chr:char;

ex:boolean;



   {процедура ўнўцўалўзацў• системи кординат}

   procedure initgrah(m:word);

   var i:integer;

    begin

     setbkcolor(white);

      setcolor(magenta);

      ch:=getmaxx div 2 ;

      cv:=getmaxy div 2 ;

      line(1,cv,getmaxx,cv);

      line(getmaxx,cv,getmaxx-6,cv-3);

      line(getmaxx,cv,getmaxx-6,cv+3);

      line(ch,1,ch,getmaxy);

      line(ch,1,ch-3,6);

      line(ch,1,ch+3,6);

      i:=0;

      while ch+i*m<=getmaxx-6 do

        begin

           line(ch+i*m,cv+2,ch+i*m,cv-2);

           line(ch-2,cv+i*m,ch+2,cv+i*m);

           line(ch-i*m,cv+2,ch-i*m,cv-2);

           line(ch-2,cv-i*m,ch+2,cv-i*m);

           i:=i+1;

         end;

     end;



begin

writeln;

writeln;

writeln ('Крива регресii описуэться рiвнянням y=g(x), де');

writeln ('g(x)=a[0] + a[1]*x + ... + a[k]*x^k');

writeln ('Введiть cтепiнь k (k < = 4):');



readln (k);

for i:=k+1 to 5 do

a[i]:=0;



for i:=1 to 6 do

begin

     sx[i]:=0;

     for j:=1 to n do

         sx[i]:=sx[i] + stepin (xn[j], i);

end;



for i:=1 to 2 do

begin

     sy[i]:=0;

     for j:=1 to n do

         sy[i]:=sy[i] + stepin (yn[j], i);

end;



for i:=1 to 3 do

begin

     sxy[i]:=0;

     for j:=1 to n do

         sxy[i]:=sxy[i] + yn[j] * stepin (xn[j], i);

end;



b[1]:=sy[1];



for j:=2 to k+1 do

matr[1,j]:=sx[j-1];



for i:=2 to k+1 do

b[i]:=sxy[i-1];



for i:=2 to k+1 do

for j:=1 to k+1 do

matr[i,j]:=sx[j+i-2];



matr[1,1]:=n;



{ МЕТОД ГАУСА РОЗВ'ЯЗАННЯ С.Л.А.Р. }

{ прямий хiд методу гауса }

       for i:=1 to k do

           for j:=i+1 to k+1 do

           begin

              matr[j,i]:= -matr[j,i]/matr[i,i];

              for h:=i+1 to k+1 do

              matr[j,h]:=matr[j,h]+matr[j,i]*matr[i,h];

                 b[j]:=b[j]+matr[j,i]*b[i];

           end;

                  { обернений хiд методу гауса }



             for i:=k+1 downto 1 do

               begin

                 s:=b[i];

                 for j:=i+1 to k+1 do s:=s-a[j]*matr[i,j];

                 a[i]:=s/matr[i,i];

               end;





writeln ('Моменти:');

for i:=1 to k+1 do

writeln ('a[',i-1,']=',a[i]:0:4);



d:=sy[2]-a[1]*sy[1]-a[2]*sxy[1]-a[3]*sxy[2]-a[4]*sxy[3];

writeln ('Похибка:');

writeln ('d = ',d:0:4);



writeln ('Enter для перегляду графiка');



 repeat

  chr:=readkey;

       if ord(chr)=13 then break;

  until false;





    m:=50;v:=160;ex:=false;

    repeat

    gd:=detect;

    initgraph(gd,gm,'');

    initgrah(m);

    highvideo;



    setcolor(green);

    for i:=1 to n do

    begin

    line (round(ch+abs(xn[i]*m))-3, round(cv-yn[i]*m)+3,round(ch+abs(xn[i]*m))+3, round(cv-yn[i]*m)-3);

    line (round(ch+abs(xn[i]*m))+3, round(cv-yn[i]*m)+3,round(ch+abs(xn[i]*m))-3, round(cv-yn[i]*m)-3);

    end;



    setcolor(magenta);

    {лўва частина графўка}

    for i:=(-v) to 0 do

      begin

         x:=i/20;

         y:=a[1] + a[2]*x + a[3]*x*x + a[4]*x*x*x +a[5]*x*x*x*x;

         if abs(ch-abs(x)*m) <32500 then

         if abs(cv-y*m)<32500 then

         lineto(round(ch-abs(x)*m),round(cv-y*m));

      end;

     {права частина графўка}

     for i:=0 to v do

      begin

         x:=i/20;

         y:=a[1] + a[2]*x + a[3]*x*x + a[4]*x*x*x +a[5]*x*x*x*x;

         if abs(ch+abs(x)*m) <32500then

         if abs(cv-y*m)<32500 then

         lineto(round(ch+abs(x)*m),round(cv-y*m));

      end;

       outtextxy(30,30,'graphic');

      {маштабування графўка}

      repeat

       chr:=readkey;

       case ord(chr) of

       {збўльшення графўка}

       43:begin

            case m of

             400:outtextxy(40,40,'no more big');

             10..390:begin

                       m:=m+10;

                       v:=20*trunc(400/m);

                       break;

                      end;

              end;

            end;

       {зменшення графўка}

       45:begin

            case m of

             10:outtextxy(40,40,'no more small');

             10..1000:begin

                       m:=m-10;

                       v:=20*trunc(400/m);

                       break;

                      end;

               end;

            end;

       {повернення в меню}

       27:begin

             ex:=true;

             break;

           end;

          end;

       until false;

       closegraph;

       if ex=true then break;

       until false;

       closegraph;

    end;





BEGIN



xyread;

obchysl;



END.



Список літератури



1. Крамер Гарольд. Математические методы статистики. М.: Мир, 1976.

2. Бух Арлей. Введение в теорию вероятностей и математическую статистику. М., 1951.