Сопромат

14



Задача № 1



Тема: Расчет на прочность статически определимых систем при растяжении и сжатии

Требуется: 

1. Построить эпюру продольного усилия Ni 

2. По условию прочности подобрать размер поперечного сечение «а», если =160 МПа

3. Для рассчитанного размера поперечного сечения построить эпюру нормальных напряжений  

4. Построить эпюру осевых перемещений W и найти наибольшую величину относительных деформаций , если 

5. Определить потенциальную энергию упругих деформаций U

	
Дано:                                       	7

	Р1 = 50 кН;   l1 = 3 м ;        Øa                                                                                     2a



			Р2 =65 кН;   l2 = 2 м ;                                                Ø2a	              a	  2a

		Р3 =40 кН;   l3 = 3 м ;                   	 a	

	Р4 =10 кН;   l4 = 1м ;                                       D                             C                          B                         A	

				Формы сечения:                   Ra	P4	P3	P2	P1

А1 № 11    А3 № 4

			А2 №  9    А4 № 7	IV                               III            	II	I

		   l 1                        l2                                     l3                         l4

Ni = ? ;  = ? ;  = ?;                                                                                                    N1     P1

			 = ? ; “a” = ? ;                                        45                           55                     

			                                                 15	

	                                            +                                                                                    Эп.N (kH)

	                                            -

	

	

	

	                                                      16	  50

                                                                         3,69                  2

	                                           +                                                                                     Эп.σ(МПа)

	                                           -		

		

	                                                                                                                         13

		                                                                            1,99                    2,986                 3,534                     6,9

		                                                             0                                 	

	Эп.∆l(мм)	+

	



Решение: 

Определяется сила реакции опор RА из уравнения статики: 







Делим на 4 участка, обозначая их римскими цифрами (I, II, III, IV), а также характерные сечения через заглавные буквы (А, В, С, D, Е). 

Определяется продольная сила на каждом участке методом сечения: 











Строится эпюра продольных сил Ni 

Определяется площадь поперечных сечений на каждом участке 

А1=а*а=а2

А2=2а*а=2а2

А3=2а*2а=4а2



Определяется нормальное напряжение на каждом участке через 1/а2 









Определяется максимальное значение нормального напряжения, не превышающее допускаемого напряжения, равное 160 МПа: 

Максимальное значение напряжения на третьем участке 

Находится значение «а»: 



Принимается а = 19,4мм

Определяются действительные значения площадей поперечных сечений: 









Определяются истинные значения нормального напряжения на каждом участке: 









10. Строится эпюра нормального напряжения  

11. Определяется относительная продольная деформация на каждом участке: 

, где Е = 2 105МПа 









12. Определяется относительная продольная деформация  по сечениям: 











13. Определяется относительное удлинение  и строится эпюра этих значений (Рис 1д): 









Определяется максимальное значение относительного удлинения: 

14. Определяется удельная потенциальная энергия













15. Определяется полная удельная потенциальная энергия







16. Определяется относительная погрешность нормального напряжения: 







Задача №2



Тема: Расчет на прочность статически неопределимых систем при сжатии и растяжении

Дано: 

Схема бруса

Размеры и нагрузки

Материал брусьев – сталь 3

Допускаемое напряжение 

Модуль продольной упругости 


Требуется:

Определить допускаемую нагрузку для ступенчатого бруса



Дано:

l = 30 см = 0,3 м = 300 мм

А = 10 см2 = 

К = 0,15









[Р] = ?

	                                                                                         Эп. N (kH)            Эп. σ (kH)                           Эп. l (мм)    

		Ra

                                                                                             +   -                       + -                                    + -

		

	                      A                                                                                                                                          A

1.5l                                                 3A      I               255                            53

	                                                                                                                                                                   0,02

	                                                                                                                                                                       

        B                          2A           II                                      133                                              В

	    l                                                                                                                                                          0,047

	                                                                                                                                                                 C

               C                                                          425                                                                       С



1.5l                                   4P           4A   III                                              66,4                                       0,066

	                                                                                                                                                           D

                 D

     l                                          A             IV                                      255                               159

	                             E                                                                                                                             0,035

	                                                                                                                                                            E



    ∆                                    Re







Решение: 

Составляется уравнение статики



Составляется уравнение совместности деформации УСД: 

 - от заданных сил

 - УСД (1) 



Определяются продольные силы на каждом участке: 



 =? когда нет RE

Находим относительное удлинение на каждом участке





Определяется  - относительное удлинение силы реакции опор, когда нет сил Р и 2Р: 







Подставляем значения  и  в уравнение (1) 







Подставляем значение силы  в уравнение статики 

Определяем значения продольных сил, подставляя значения 









Определяется значение нормального напряжения на каждом участке 









Находим максимальное значение нормально напряжения 



Принимаем Р = 170 кН

Определяются действительные значения продольных сил: 







10. Определяются истинные значения нормального напряжения на каждом участке : 









Находим относительное удлинение 











Находим относительное удлинение по сечениям 











Определяем относительное удлинение 









По заданной формуле вычисляем значение зазора , оно должно соответствовать значению 



Проверка



Задача № 3

Тема: Расчет на прочность статически неопределимых систем при растяжении и сжатии. 

Требуется: 

Найти усиление и напряжение в стержнях, выразив через силу Р1

Определить допускаемую нагрузку [Р], если [σ] = 160 МПа

Найти предельную нагрузку Рпр, если [σ1] = 240 МПа и h1 = 1,5

Сравнить величины допускаемых нагрузок Рпр и Р, для чего найти их отношения. 



Дано: 

А=14см2 = 14·10 - 4м

а=2,3м

в=2,7см

с=1,7см 

[σ] =160 МПа 

hТ = 1,5



Найти: Р=?, РТ =?, [РТ] =? 

Решение. 

1. Составляется уравнение статики для стержневой системы 

1. Σ Мi = 0; Ν1·a-P(a+c) +N2cos 45·b =0

2. Σ Zi =0; Z0 +Ν2· cos45 = 0

3. Σ Yi =0; Y0 + Ν1– P - N2·cos 45 = 0

В три уравнения равновесия входят четыре неизвестные силы, и, следовательно, задача является статически неопределимой. Для составления уравнения рассмотрим деформацию конструкции. 

2. Рассмотрим подобие двух треугольников ; 


Рассмотрим   для нахождения деформации системы. 





             OB=b       OA=a

		                                                      y0                                                          N1
                                                         В                                                            

                                 N2                                                           Р                   P
















            B1                                                                ∆l1

          B2                  O                                     A

             B                                                                A1            ∆l2











      



3. Подставляем  в уравнение моментов и выражаем их через Р







 

4. Находим значения нормальных напряжений σ1, σ2 

σ1 =  

σ1 =  



Принимаем 

5. Находим действительные значения Ni 



6. Находим действительные значения σi 

σ1 = =678,57=160МПа

σ2 = =339,29=79,7МПа

7. Определяем предельную нагрузку Pпр, исходя из условия равновесия 

Σ Мi = 0; Ν1·а– Р·(a+c) + N2cos 45·b =0, где N1 = σт · А, и N2 = σт · 2А; σт=240МПа



8. Находим предельно допускаемую нагрузку





Задача № 4

Тема: Расчет статически определимых брусьев на прочность и жесткость при кручении. 

Дано: 

Схема бруса. 

Размеры нагрузки. 

Требуется: 

Рассчитать брус на прочность и жесткость

Построить эпюры крутящих моментов, касательных напряжений и углов поворота. 



а

d1

d

  d3

  d2

а

а

а

а

а

  d2

   d1

Дано: 

m1 = 400 Н∙м

m2 = 1200 Н∙м

m3 = 2400 Н∙м

m4 = 400 Н∙м

m5 = m5 Н∙м

[τ] = 40 МПа

[θ] = 0,5 

d = 0,5 

d1 = 1.5b 

d2 = 2b 

d3 = 2.5b 

a = 0.3 м



Найти: Т, τ, θ - ? 

Решение. 

Составим уравнение статики: 

Σ Мi = 0

m1 – m2 – m3 + m4 + m5 = 0

m5 = - m1 + m2 + m3 – m4 = - 400 + 1200 + 2400 – 400 = 2800 H·м

T1 = + m1 = 400 H·м

T2 = m1 – m2 = 400 – 1200 = - 800 H·м

T3 = m1 – m2 – m3 = - 800 – 2400 = - 3200 H·м

T4 = m1 – m2 – m3 = - 800 – 2400 = - 3200 H·м

T5 = m1 – m2 – m3 + m4 = – 2800 H·м

T6 = m1 – m2 – m3 + m4 + m5 = 0 H·м

Определяем полярный момент сопротивления на каждом участке Wpi: 















Определяется касательное напряжение на каждом участке по формуле , выражая каждое значение через 1/b3 



Определяем максимальное значение касательного напряжения из пяти значений: 

τmax = max {τ1, τ2, τ3, τ4, τ5} ≤ [τ] ; 

τ3 ≤ [τ] 



Определяется полярный момент инерции по данной формуле  на каждом участке: 



5. Определяем относительный угол закручивания по формуле 





Определяем максимальное значение: 



Примем максимальное значение из полученных значений b: 

b≥{|b1|,|b2|} = b1 = 54,3 мм = 54,3·10 - 3 м = 55мм

6. Определяем действительные значения касательного напряжения τi: 



Определяем действительные значения относительного угла закручивания θi: 



Определяем по формуле значение перемещения 





Находим числовые значения перемещения Δφi по сечениям: 

φА = 0

φВ = φА + φ1 = 0 + 0,000176053 = 0,000176053 рад; 

φС = φВ + φ2 = 0,000176053 + 0,000149169 = 0,000325222 рад; 

φD = φС + φ3 = 0,000325222 + 0,000168185 = 0,000493407 рад; 

φЕ = φD + φ4 = 0,000493407 + 0,000168185 = 0,000661592 рад; 

φF = φЕ + φ5 = 0,000661592 + 0,003477358 = 0,00413895 рад; 

φG = φF + φ6 = 0,00413895 + 0= 0,00413895 рад.