Группировочные (факторные) и результативные признаки. Размах и коэффициент вариации

Задание 1



Сгруппируйте 30 совхозов по факторному признаку, образовав 5 – 6 групп с равными интервалами. Сделайте выводы относительно наличия (или отсутствия) связи между группировочным (факторным) и результативным признаком.

Решение

Группировка является основой научной сводки и обработки статистических данных. Группировочный (факторный) признак в нашем примере – среднегодовая стоимость основных фондов сельскохозяйственного назначения, млн. руб., результативный признак – выручка от реализации всей продукции совхоза, млн. руб. 

Исходные данные представлены в табл. 1.



Таблица 1 - Основные показатели работы совхозов

№

п/п

Среднегодовая стоимость основных фондов, млн. руб.

Выручка от реализации всей продук-ции совхоза, млн. руб.

№

п/п

Среднегодовая стоимость основных фондов, млн. руб.

Выручка от реализации всей продук-ции совхоза, млн. руб.

1

7,1

24,6

16

6,6

16,3

2

5,8

14,1

17

6,9

22,0

3

4,2

12,2

18

6,5

26,7

4

7,0

13,5

19

6,8

20,9

5

6,6

14,2

20

7,2

23,6

6

11,0

30,9

21

10,5

40,5

7

6,9

21,8

22

10,6

33,6

8

6,7

16,3

23

6,8

23,5

9

4,6

17,0

24

6,8

25,7

10

6,9

24,8

25

6,5

22,5

11

6,1

20,2

26

7,0

20,5

12

6,6

12,5

27

4,7

12,5

13

6,9

17,5

28

7,9

32,3

14

7,2

24,6

29

4,2

13,9

15

5,8

16,2

30

3,3

6,6


Количество групп принимаем = 5 групп.

Необходимо определить интервалы группировки и их величины.

Величина интервала определяется по формуле:



i = , (1)



где хmax – максимальное значение группировочного признака;

xmin – минимальное значение группировочного признака;

n – число намечаемых групп.

Величина интервала составит:

i =  млн. руб.

После расчета шага интервала распределим все предприятия в рабочей таблице (табл. 2). После построим аналитическую таблицу (табл. 3).



Таблица 2 - Рабочая таблица

Номер группы

Группы совхозов по среднегодовой стоимости основных фондов

Порядковые номера совхозов

Среднегодовая стоимость основных фондов, млн. руб.

Выручка от реализации всей продукции совхоза, млн. руб.

1

3,3 – 4,84 

3,9,27,29,30

21,0

62,2

2

4,84 – 6,38

2,11,15

17,7

50,5

3

6,38 – 7,92

1,4,5,7,8,10,

12,13,14,16,

17,18,19,20,

23,24,25,26,

28

130,9

403,8

4

7,92 – 9,46

─

─

─

5

9,46 – 11,0

6,21,22

32,1

105,0


Таблица 3 - Аналитическая таблица

Номер группы

Группы совхозов по среднегодовой стоимости основных фондов

Число совхозов

Среднегодовая стоимость основных фондов, млн. руб.

Выручка от реализации всей продукции совхоза, млн. руб.







Всего

На 1 совхоз

Всего

На 1 совхоз

1

3,3 – 4,84 

5

21,0

4,2

62,2

12,4

2

4,84 – 6,38

3

17,7

5,9

50,5

16,8

3

6,38 – 7,92

19

130,9

6,9

403,8

21,2

4

7,92 – 9,46

0

─

─

─

─

5

9,46 – 11,0

3

32,1

10,7

105,0

35,0

ИТОГО:

─

30

201,7

─

621,5

─



Изучив данные 30-ти совхозов о среднегодовой стоимости основных фондов и величине выручки от реализации всей продукции совхоза, можно сказать, что между этими показателями существует зависимость и она прямая, так как с ростом среднегодовой стоимости основных фондов растет величина выручки от реализации всей продукции совхоза.



Задание 2



Используя, данные задачи 1, рассчитайте:

1. По факторному признаку – размах вариации и коэффициент вариации;

2. По результативному признаку – коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

Решение

Размах вариации (или размах колебаний) представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности:


R = хmax – xmin (2)



R = 11,0 – 3,3 = 7,7 млн. руб.

Относительным показателем уровня вариации признака является коэффициент вариации. Он представляет собой отношение среднего квадратического отклонения к средней величине признака и выражается обычно в процентах:



 (3)



где δ – среднее квадратическое отклонение;

– средняя величина.

Если коэффициент вариации больше 33%, то совокупность неоднородна и ее средняя нетипична.

Для расчета показателей вариации составим вспомогательную таблицу (табл. 4).



Таблица 4 - Вспомогательная таблица

Группы предприятий по стоимости среднегодовой стоимости основных фондов

Число совхозов

f

Расчетные показатели





Середина интервала , млн. р.

, млн.р.

х-, млн.р.

(х-)2f, млн. р.

3,3 – 4,84 

5

4,07

20,35

-2,72

36,99

4,84 – 6,38

3

5,61

16,83

-1,18

4,18

6,38 – 7,92

19

7,15

135,85

0,36

2,46

7,92 – 9,46

0

8,69

0

1,9

0

9,46 – 11,0

3

10,23

30,69

3,44

35,50

ИТОГО:

30

−

203,72

−

79,13


Среднюю величину среднегодовой стоимости основных фондов определим по формуле средней арифметической взвешенной:



, (4) 



где х – варианта или значение признака;

f – частота повторения индивидуального значения признака (его вес).

Средняя величина составит:

 млн. руб.

Среднее квадратическое отклонение показывает на сколько в среднем колеблется величина признака у единиц исследуемой совокупности и определяется в зависимости от характера исходных данных.

Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле:



 (5)



Среднее квадратическое отклонение составит:

 млн. руб.

Коэффициент вариации составит:



Таким образом, коэффициент вариации меньше 33%. Следовательно, рассмотренная совокупность однородна.

Коэффициент детерминации и корреляционное отношение рассчитываются на основании проведенной группировки в задаче 1 по результативному признаку (величине выручки от реализации всей продукции совхоза).

Коэффициент детерминации определяется по следующей формуле:



, (6)



где - межгрупповая дисперсия;

- общая дисперсия.

Межгрупповая дисперсия отражает систематическую вариацию, т.е. те различия в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора, положенного в основу группировки:



, (7)

	

	Величина общей дисперсии  характеризует вариацию признака под влиянием всех факторов, формирующих уровень признака у единиц совокупности.



 (8)



где ─ среднее значение результативного признака в группе;

 fi ─ объем группы (число совхозов в группе);

 ─ среднее значение результативного признака для всей совокупности.

Оценить тесноту связи можно по величине эмпирического корреляционного отношения, используя формулу


 (9)



Эмпирическое корреляционное отношение изменяется ,  – при отсутствии связи,  – при функциональной зависимости.

Средняя величина выручки от реализации всей продукции совхоза составит:

 млн. руб.

Составим вспомогательную таблицу 5.



Таблица 5 - Вспомогательная таблица

№ группы

Число совхозов f

Выручка от реализации всей продукции совхоза, млн. руб.

Среднее значение выручки от реализации всей продукции совхоза 

()2

−

(−)2f

1

5

62,2

12,4

399,9

-8,32

346,1

2

3

50,5

16,8

64,5

-3,92

46,1

3

19

403,8

21,2

470,1

0,48

4,4

4

0

─

─

─

─

─

5

3

105,0

35,0

660,7

14,28

611,7

ИТОГО:

30

621,5

─

1595,2

─

1008,3



Межгрупповая дисперсия составит:



Общая дисперсия составит:



Коэффициент детерминации составит:

 или 10,53% 


Коэффициент детерминации показывает, что выручка от реализации продукции совхозов на 10,53% зависит от среднегодовой стоимости основных фондов и на 89,47% от других факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение составит:



Корреляционное отношение показывает, что связь между среднегодовой стоимостью основных фондов и величиной выручки от реализации продукции совхозов не тесная.



Задание 3



С вероятностью 0,997 определите предельную ошибку выборки и интервал, в котором находится генеральная средняя факторного признака. При этом выборочная совокупность (30 совхозов) составляет 2% от объема генеральной, и была получена механическим способом отбора.

Решение

Предельная ошибка выборки определяется по формуле:



, (10)



где t – коэффициент доверия, t=3 при (Р) 0,997.

σ2 – дисперсия факторного признака;

n – объем выборочной совокупности;

N – объем генеральной совокупности;

– удельный вес объема выборочной совокупности в генеральной.

Так как выборочная совокупность составляет 2% от объема генеральной, то объем генеральной совокупности будет равен 1500 совхозов.

Дисперсия среднегодовой стоимости основных фондов составляет 2,64 млн. руб. (см. задачу 2).

Тогда предельная ошибка выборки составит:



Для определения интервальной оценки генеральной средней используется формула:



, (11)



где – среднее значение факторного признака в генеральной совокупности;

– среднее значение факторного признака выборочной совокупности (средняя по 30 совхозам).

Средняя среднегодовая стоимость основных фондов по 30 совхозам составляет 6,79 млн. руб. (см. задачу 2).

6,79 – 0,44≤≤6,79+0,44

6,35≤≤7,23

Таким образом, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что среднегодовая стоимость основных фондов в генеральной совокупности будет находиться в пределах от 6,35 до 7,23 млн. рублей.



Задание 4



Проведите корреляционно–регрессионный анализ по исходным данным задачи 1 (используете линейную модель).

Решение

При линейной связи регрессионная модель описывается функцией вида: 


, (12)



где а0 и а1 – параметры уравнения регрессии, которые рассчитываются из системы нормальных уравнений.

Найдем параметры а0 и а1, решив систему уравнений:







Составим вспомогательную таблицу (табл. 6).



Таблица 6 - Вспомогательная таблица

x

y

x2

xy

y2



7,1

24,6

50,41

174,66

605,16

15,05

5,8

14,1

33,64

81,78

198,81

43,82

4,2

12,2

17,64

51,24

148,84

73,79

7,0

13,5

49,0

94,5

182,25

52,13

6,6

14,2

43,56

93,72

201,64

43,43

11,0

30,9

121,0

339,9

954,81

103,63

6,9

21,8

47,61

150,42

475,24

1,17

6,7

16,3

44,89

109,21

265,69

19,54

4,6

17,0

21,16

78,2

289,0

13,84

6,9

24,8

47,61

171,12

615,04

16,65

6,1

20,2

37,21

123,22

408,04

0,27

6,6

12,5

43,56

82,5

156,25

67,57

6,9

17,5

47,61

120,75

306,25

10,37

7,2

24,6

51,84

177,12

605,16

15,05

5,8

16,2

33,64

93,96

262,44

20,43

6,6

16,3

43,56

107,58

265,69

19,54

6,9

22,0

47,61

151,8

484,0

1,64

6,5

26,7

42,25

173,55

712,89

35,76

6,8

20,9

46,24

142,12

436,81

0,03

7,2

23,6

51,84

169,92

556,96

8,29

10,5

40,5

110,25

425,25

1640,25

391,25

10,6

33,6

112,36

356,16

1128,96

165,89

6,8

23,5

46,24

159,8

552,25

7,73

6,8

25,7

46,24

174,76

660,49

4,98

6,5

22,5

42,25

146,25

506,25

3,17

7,0

20,5

49,0

143,5

420,25

0,05

4,7

12,5

22,09

58,75

156,25

67,57

7,9

32,3

62,41

255,17

1043,29

134,10

4,2

13,9

17,64

58,38

193,21

46,51

3,3

6,6

10,89

21,78

43,56

199,37

Σ=201,7

621,5

1441,25

4487,07

14475,73

1582,62













Уравнение регрессии принимает следующий вид: 



Коэффициент регрессии (а1) имеет положительное значение, значит, между признаками существует прямая корреляционная зависимость. Уравнение показывает, что при снижении среднегодовой стоимости основных фондов величина выручки от реализации продукции в среднем изменяется на 3,62 млн. руб.

Линейный коэффициент корреляции является показателем степени тесноты связи и определяется по формуле:


, (13)



где σх – среднеквадратическое отклонение по факторному признаку;

σу – среднеквадратическое отклонение по результативному признаку.



 (14)



Значение коэффициента корреляции изменяется от – 1до 1. 

При | r | >0,8 считают, что связь между признаками достаточно тесная.

Среднеквадратическое отклонение по результативному признаку составит:



Линейный коэффициент корреляции составит:



Коэффициент линейной корреляции далек от единицы, значит, связь между признаками не достаточно тесная. Положительный знак указывает на прямую зависимость.



Задание 5



Рассчитайте производительность труда одного рабочего в среднем по заводу.



Номер цеха

Произведено продукции, тыс. руб.

Производительность труда одного рабочего, тыс. руб.

1

57,0

1,9

2

46,0

2,0

3

65,0

2,5

4

70,0

2,8


Решение

Средняя величина – обобщающая характеристика изучаемого признака в исследуемой совокупности. Она отражает его типичный уровень в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени.

Так как в исходной информации задачи статистический вес (частота повторения признака) не задан в явной форме, а входит сомножителем в один из заданных показателей, то для расчета производительности труда одного рабочего в среднем по заводу будем использовать формулу средней гармонической взвешенной:



 (15)



Таким образом, производительность труда одного рабочего в среднем по заводу составит:

 тыс. руб.



Задание 6



Задание состоит из двух задач. Для его выполнения изучите тему «Индексы».

Задача 1. 

По данным своего варианта рассчитайте:

− индекс товарооборота;

− индекс цен;

− индекс физического объема реализации товара;

− экономию (или перерасход) денежных средств населения в результате изменения цен в отчетном периоде по сравнению с базисным.



Вид товара

Базисный период

Отчетный период



Цена за 1 кг, руб.

Реализовано, ц

Цена за 1 кг, руб.

Товарооборот, тыс. руб.

А

2,55

500

2,60

117,0

Б

2,20

200

2,50

50,0

В

3,50

1300

2,00

410,0



Решение

1) Индекс товарооборота определяется по формуле:



 (16)





Товарооборот в отчетном периоде снизился на 7,9% по сравнению с базисным периодом.

2) Индекс цен определяется по формуле:



 (17)





В отчетном периоде по сравнению с базисным цены на три товара в среднем снизились на 34,15 %.

3) Индекс физического объема реализации товаров определяется по формуле:


 (18)





Количество проданного товара было в отчетном периоде больше, чем в базисном периоде на 40,09 % .

4) экономия (или перерасход) денежных средств населения в результате изменения цен в отчетном периоде по сравнению с базисным составит:

∑(р1 – р0)*q1 = (0,260-0,255)*450,0+(0,250-0,220)*200,0+(0,200-0,350)*2050,0 = -299,25 руб.

В результате изменения цен в отчетном периоде по сравнению с базисным наблюдался перерасход денежных средств населения в размере 299,25 рублей.

Задача 2. 

По данным своего варианта рассчитайте индексы цен переменного состава, постоянного состава и структурных сдвигов. Объясните, почему различаются индексы переменного и постоянного состава.



Государственная торговля

Рынок

Цена за 1 кг, руб.

Реализовано, т

Цена за 1 кг, руб.

Реализовано, т

август

сентябрь

август

сентябрь

август

сентябрь

август

сентябрь

1,80

1,85

200

220

2,50

3,00

30

70



Решение

Индекс цен переменного состава определяется по формуле:


 (19)



 (↑ 12,49%)

Индекс цен постоянного состава определяется по формуле:



 (20)



 (↑ 8,05%)

Индекс цен структурных сдвигов определяется по формуле:



 (21)



 (↑ 4,12%)

Индекс переменного состава – это отношение двух взвешенных средних с меняющимися (переменными) весами, показывающее изменение индексируемой величины. Переменные весы – это количество реализованной продукции базисного и отчетного периода. А индекс постоянного состава – это отношение взвешенных средних с одними и теми же весами. Постоянные весы – это количество реализованной продукции отчетного периода.



Задание 7



По приведенным рядам динамики рассчитайте:

− абсолютные приросты (цепные);

− цепные темпы роста и прироста;

− средний абсолютный прирост;

− средний темп роста и прироста;

− абсолютное значение одного процента прироста.

Рассчитанные показатели предоставьте в таблице.



Таблица 7 - Динамика производства нефти в России

Год

Добыча нефти, млн. т

1985

490,8

1986

519,7

1987

545,8

1988

571,5

1989

585,6

1990

603,2

1991

608,8

1992

612,6

1993

616,3

1994

612,7

1995

595,0

1996

615,0

1997

624,0

1998

624,0

1999

607,0



Решение

1) Абсолютный прирост цепной определяется по формуле:



∆ц =Yi – Yi-1, (22)



где ∆ц − абсолютный прирост цепной;

Yi − уровень сравниваемого периода;

Yi-1− уровень непосредственно предшествующего периода.

∆i 1986 = 519,7 – 490,8 = 28,9 млн. т

∆i 1987 = 545,8 – 519,7 = 26,1 млн. т


∆i 1988 = 571,5 – 545,8 = 25,7 млн. т

Абсолютные приросты цепные за остальные годы рассчитаны в таблице 8.

Цепной темп роста (Тр) определяется по формуле:



Трц =*100 (23)



 

 



Цепные темпы роста за остальные годы рассчитаны в таблице 8.

Цепной темп прироста (Тпр) определяется по формуле:



Тпр = Тр – 100% (24) 



Тпр1986 = 105,89 – 100 = 5,89%

Тпр1987 = 105,89 – 100 = 5,89%

Тпр1988 = 105,89 – 100 = 5,89%

Цепные темпы прироста за остальные годы рассчитаны в таблице 8.

Средний уровень ряда динамики определяется по формуле:



, (25)



где n – число уровней ряда динамики.




Средний абсолютный прирост определяется по формуле:



, (26)



где Уn – последний уровень ряда динамики;

У1 – первый уровень ряда динамики;

∆ц – цепные абсолютные приросты.



Средний темп роста определяется по формуле:

		

		 (27)

		

		где Крц1, Крц2, Крцn-1 – цепные коэффициенты роста.

		

или 101,53%

Средний темп прироста определяется по формуле:



 (28)




Абсолютное значение одного процента прироста определяется по формуле:



, (29)



А1986 = 0,01*490,8 = 4,91

А1987 = 0,01*519,7 = 5,20

А1988 = 0,01*545,8 = 5,46

Абсолютные значения одного процента прироста за остальные годы рассчитаны в таблице 8.



Таблица 8 - Показатели динамики

Годы

Добыча нефти, млн. т

Абсолютный прирост, млн. т

Темп роста, %

Темп прироста, %

Абсолютное значение прироста, % млн. т

1985

490,8

─

─

─

─

1986

519,7

28,9

105,89

5,89

4,91

1987

545,8

26,1

105,02

5,02

5,20

1988

571,5

25,7

104,71

4,71

5,46

1989

585,6

14,1

102,47

2,47

5,71

1990

603,2

17,6

103,01

3,01

5,86

1991

608,8

5,6

100,93

0,93

6,03

1992

612,6

3,8

100,62

0,62

6,09

1993

616,3

3,7

100,60

0,60

6,13

1994

612,7

-3,6

99,41

-0,59

6,16

1995

595,0

-17,7

97,11

-2,89

6,13

1996

615,0

20,0

103,36

3,36

5,95

1997

624,0

9,0

101,46

1,46

6,15

1998

624,0

0,0

100,00

0,0

6,24

1999

607,0

-17,0

97,28

-2,72

6,24

В среднем

588,8

8,3

101,53

1,53

─


Список литературы



1. Гусаров В.М. Теория статистики. – М.: ЮНИТИ, 1998. – 448 с.

2. Едронова Н.Н. Общая теория статистики. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 648 с.

3. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики. – М.: Финансы и статистика, 1998. – 368 с.

4. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики. – М.: ИНФРА-М. 2000. – 414 с.

5. Теория статистики / Под редакцией Громыко Г.Л. – М.: ИНФРА-М, 2002. – 576 с.