Емкость резкого p-n перехода

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра микроэлектроники

























Курсовая работа

по курсу ФОМ

Тема

Емкость резкого p-n перехода





















г. Пенза, 2005 г.


Содержание



Задание

Обозначение основных величин

Основная часть

1. Расчет собственной концентрации электронов и дырок

2. Расчет контактной разности потенциалов

3. Расчет толщины слоя объемного заряда

4. Расчет барьерной емкости

Список используемой литературы




Задание



1. Вывести выражение для емкости резкого p-n перехода в случае полностью ионизированных примесей

2. Рассчитать величину барьерной емкости резкого p-n перехода при  300 К и напряжении V. Считать что примеси полностью истощены, а собственная проводимость еще очень мала.

3. Построить график зависимости барьерной емкости от температуры.

4. Составить программу вычисления значений барьерной емкости для графика.



Полупроводник

Ge

V ,В

0

Nd  ,см 

1,010

Na ,см

1,010

S ,мм

0,15



Обозначение основных величин



E – ширина запрещенной зоны.



[E] =1,810 Дж=1,13 эВ.



 – электрическая постоянная.



=8,8610.



 – подвижность электронов.

[]=0,14 м/(Вс)

– подвижность дырок.



[]=0,05 м/(Вс)



m– эффективная масса электрона.



m=0,33 m=0,339,110=3,00310кг



m– эффективная масса дырки.



m=0,55 m=0,559,110=5,00510кг



m – масса покоя электрона.



m =9,110кг.



– время релаксации электрона.

=210с.

– время релаксации дырки.



=10с.



S – площадь p-n перехода.

[S]= 10мм

n– собственная концентрация электронов.

[n]=м

p– собственная концентрация дырок.

[p]=м

N– эффективное число состояний в зоне проводимости, приведенное ко дну зоны.

[N]=м

N– эффективное число состояний в валентной зоне, приведенное к потолку зоны.

[N]=м

k – константа Больцмана.

k = 1,3810.

Т – температура.

[T]=K.

- число Пи.

=3,14.

h – константа Планка.



h = 6,6310Джс.



V–контактная разность потенциалов.

[V]=B.

 – потенциальный барьер.

[]=Дж или эВ.

q – заряд электрона.



q=1,610Кл.

n– концентрация донорных атомов в n-области.

[n]=[N]=2,010м



p– концентрация акцепторных атомов в p-области.



[p]=[N]=9,010м



 – диэлектрическая проницаемость.

=15,4

d – толщина слоя объемного заряда.

[d]=м. 

N– концентрация акцепторов.



[N]=1,010см



N– концентрация доноров.



[N]=1,010см



V – напряжение.

[V]=0 В.

C– барьерная емкость.

[C]=Ф.

– удельная барьерная емкость. 



[]= Ф/м

– уровень Ферми.

[]=Дж или эВ.


Расчет собственной концентрации электронов и дырок



	         Е             Е+dЕ

	

	    Зона проводимости

				Е

			

Е



-      





Е





			 -

Е

Валентная зона.

Рис.1.Положение уровня Ферми в невырожденном полупроводнике.



На рис. 1 показана зонная структура невырожденного полупроводника. За нулевой уровень отсчета энергии принимают обычно дно зоны проводимости Е. Так как для невырожденного газа уровень Ферми  должен располагаться ниже этого уровня, т.е. в запрещенной зоне, то  является величиной отрицательной (- >>kT). При температуре Т, отличной от абсолютного нуля, в зоне проводимости находятся электроны, в валентной зоне – дырки. Обозначим их концентрацию соответственно через n и p. Выделим около дна зоны проводимости узкий интервал энергий dЕ, заключенный между Е и Е+dЕ. Так как электронный газ в полупроводнике является невырожденным, то число электронов dn, заполняющих интервал энергии dЕ (в расчете на единицу объема полупроводника), можно определить, воспользовавшись формулой :



N(E)dE=(2m)eEdE

dn=(2m)eeEdE



где m – эффективная масса электронов, располагающихся у дна зоны проводимости.

Обозначим расстояние от дна зоны проводимости до уровня Ферми через -, а от уровня Ферми до потолка валентной зоны через -. Из рис. 1 видно, что 



,

Е+

где Е(Е) - ширина запрещенной зоны.

E=Е +bТ



Полное число электронов n, находящихся при температуре Т в зоне проводимости, получим, интегрируя (1.2) по всем энергиям зоны проводимости, т.е. в пределах от 0 до Е:

n=4



Так как с ростом Е функция exp(-E/kT) спадает очень быстро, то верхний предел можно заменить на бесконечность:

n=4



Вычисление этого интеграла приводит к следующему результату:



n=2exp                             (1.5)



Введем обозначение



N=2(2mkT/h)                         (1.6)



Тогда (1.5) примет следующий вид:



n=Nexp(/kT)                                 (1.7)



Множитель Nв (1.7) называют эффективным числом состояний в зоне проводимости, приведенным ко дну зоны. Смысл этого числа состоит в следующем. Если с дном зоны проводимости, для которой Е=0, совместить Nсостояний, то, умножив это число на вероятность заполнения дна зоны, равную f(0)=exp(/kT), получим концентрацию электронов в этой зоне.

Подобный расчет, проведенный для дырок, возникающих в валентной зоне, приводит к выражению:



p=2exp=Nexp= Nexp               (1.8)



где

N=2                                  (1.9)



– эффективное число состояний в валентной зоне, приведенное к потолку зоны.

Из формул (1.7) и (1.8) следует, что концентрация свободных носителей заряда в данной зоне определяется расстоянием этой зоны от уровня Ферми: чем больше это расстояние, тем ниже концентрация носителей, так как  и  отрицательны.

В собственных полупроводниках концентрация электронов в зоне проводимости n равна концентрации дырок в валентной зоне p, так как 

каждый электрон, переходящий в зону проводимости, «оставляет» в валентной зоне после своего ухода дырку. Приравнивая правые части соотношения (1.5) и (1.8), находим



2exp =2 exp

Решая это уравнение относительно , получаем



 = +kT ln                                   (1.10)



Подставив из (1.10) в (1.5) и (1.7), получим



n=p=2exp=(NN)exp    (1.11)


Из формулы (6.12) видно, что равновесная концентрация носителей заряда в собственном полупроводнике определяется шириной запрещенной зоны и температурой. Причем зависимость nи pот этих параметров является очень резкой.

Рассчитаем собственную концентрацию электронов и дырок при Т=300К.



Eg=(0,782-3,910 300)1,6 10-19 =1,06410-19 Дж

N=2(2mkT/h)=2=2=    =2=4,710 (см)

N=2=2=2=10,210 (см)

n=p=(NN)exp==

6,9210210=13,810 (см)



2. Расчет контактной разности потенциалов



Для n-области основными носителями являются электроны, для p-области – дырки. Основные носители возникают почти целиком вследствие ионизации донорных и акцепторных примесей. При не слишком низких температурах эти примеси ионизированы практически полностью, вследствие чего концентрацию электронов в n-области nможно считать равной концентрации донорных атомов: nN, а концентрацию дырок в p-области p– концентрация акцепторных атомов в p-области: pN.

Помимо основных носителей эти области содержат не основные носители: n-область – дырки (p), p-область – электроны (n). Их концентрацию можно определить, пользуясь законом действующих масс:



n p= p n=n.



Как видим, концентрация дырок в p-области на 6 порядков выше концентрации их в n-области, точно так же концентрация электронов в n-области на 6 порядков выше их концентрации в p-области. Такое различие в концентрации однотипных носителей в контактирующих областях полупроводника приводит к возникновению диффузионных потоков электронов из n-области в p-область и дырок из p-области в n-область. При этом электроны, перешедшие из n- в p-область, рекомбинируют вблизи границы раздела этих областей с дырками p-области, точно так же дырки, перешедшие из p- в n-область, рекомбинируют здесьс электронами этой области. В результате этого в приконтактном слое n-области практически не остается свободных электронов и в нем формируется неподвижный объемный положительный заряд ионизированных доноров. В приконтактном слое p-области практически не остается дырок и в нем формируется неподвижный объемный отрицательный заряд ионизированных акцепторов. 

Неподвижные объемные заряды создают в p–n-переходе контактное электрическое поле с разностью потенциалов V, локализованное в области перехода и практически не выходящее за его пределы. Поэтому вне этого слоя, где поля нет, свободные носители заряда движутся по-прежнему хаотично и число носителей, ежесекундно наталкивающихся на слой объемного заряда, зависит только от их концентрации и скорости теплового движения. Как следует из кинетической теории газов, для частиц, подчиняющихся классической статистике Максвела–Больцмана, это число nопределяется следующим соотношением:



n=nS,                                    (2.1)



где n- концентрация частиц; - средняя скорость теплового движения; S – площадь, на которую они падают.

Неосновные носители – электроны из p-области и дырки из n-области, попадая в слой объемного заряда, подхватываются контактным полем V и переносятся через p–n-переход. 

Обозначим поток электронов, переходящих из p- в n-область, через n, поток дырок, переходящих из n- в p-область, через p.

Согласно (2.1) имеем



n=nS,                                     (2.2)

p=pS.                                     (2.3)



Иные условия складываются для основных носителей. При переходе из одной области в другую они должны преодолевать потенциальный барьер высотой qV, сформировавшийся в p–n-переходе. Для этого они должны обладать кинетической энергией движения вдоль оси , не меньшей qV. Согласно (2.1) к p–n-переходу подходят следующие потоки основных носителей:



n=nS,

p=pS.



В соответствии с законом Больцмана преодолеть потенциальный барьер qVсможет только nexp (-qV/kT) электронов и p exp (-qV/kT) дырок. Поэтому потоки основных носителей, проходящие через p–n-переход, равны



n=n exp (-qV/kT),                         (2.4)

p=p exp (-qV/kT),                         (2.5)



На первых порах после мысленного приведения n- и p-областей в контакт потоки основных носителей значительно превосходят потоки неосновных носителей: n>>n, p>>p. Но по мере роста объемного заряда увеличивается потенциальный барьер p–n-перехода qV и потоки основных носителей согласно (2.4) и (2.5) резко уменьшаются. В то же время потоки неосновных носителей, не зависящие от qV[ см. (2.2) и (2.3)] остаются неизменными. Поэтому относительно быстро потенциальный барьер достигает такой высоты = qV, при которой потоки основных носителей сравниваются с потоками неосновных носителей:



n=n,                                  (2.6)

p=p.                                   (2.7)



Это соответствует установлению в p–n-переходе состояния динамического равновесия.

Подставляя в (2.6) nиз (2.4) и n из (2.2), а в (2.7) p из (2.5) и p из (2.3), получаем



nexp (-qV/kT)= n,                             (2.8)

pexp (-qV/kT)= p.                            (2.9)



Отсюда легко определить равновесный потенциальный барьер p–n-перехода = qV. Из (2.8) находим



= qV= kTln (n/ n)= kTln (n p/n).         (2.10)



Из (2.9) получаем



= kTln (p/ p)=kTln (pn/ n).                    (2.11)



Из (2.10) и (2.11) следует, что выравнивание встречных потоков электронов и дырок происходит при одной и той же высоте потенциального барьера . Этот барьер тем выше, чем больше различие в концентрации носителей одного знака в n- и p-областях полупроводника. 

Рассчитаем контактную разность потенциалов при 300 К.



n=N=1,010 

p=N=1,010

= kTln(pn/n)=1,3810300ln=  

 = 414106,26=2,610(Дж)

V== =0,16 (В) 



3. Расчет толщины слоя объемного заряда



Для определения вида функции  (x), характеризующей изменение потенциальной энергии электрона при переходе его из n- в p-область (или дырки при переходе ее из p- в n-область), воспользуемся уравнением Пуассона



= (x),                                 (3.1)



в котором  (x) представляет собой объемную плотность зарядов, создающих поле. Будем полагать, что донорные и акцепторные уровни ионизированы полностью и слой dпокинули практически все электроны, а слой d– все дырки. Тогда для области n (x>0)  (x)  qNq n, для области p (x<0) )  (x)  - qN -qp. Подставляя это в (3.1), получаем



= N  для x>0,                          (3.2)

= N  для x<0.                          (3.3)



Так как на расстояниях xdи x - d контактное поле в полупроводнике отсутствует, то граничными условиями для этих уравнений являются :

 (x) =0,         (x) =;                     (3.4)

=0,          =0.                           (3.5)



Решение уравнений (3.2) и (3.3) с граничными условиями (3.4) и (3.5) приводит к следующим результатам:



= N(d- x)        для 0<x< d,                         (3.6)

= -  N(d+ x)         для - d<x<0,                (3.7)

d==,        (3.8)

d/d=N/N,                                  (3.9)



Из уравнений (3.6) и (3.7) видно, что высота потенциального барьера  (x) является квадратичной функцией координаты x. Толщина слоя объемного заряда согласно (3.8) тем больше, чем ниже концентрация основных носителей, равная концентрации легирующей примеси. При этом глубина проникновения контактного поля больше в ту область полупроводника, которая легирована слабее. При N<<N, например, практически весь слой локализуется в n-области:



d  d==.                     (3.10)


Произведенный расчет толщины слоя объемного заряда относится к резкому p–n-переходу, в котором концентрация примесей меняется скачкообразно. 	Рассчитаем толщину слоя объемного заряда резкого p–n-перехода при 300 К.



d=====5,2610(см)



4. Расчет барьерной емкости



Электронно–дырочный переход обладает барьерной, или зарядовой, емкостью, связанной с изменением величины объемного заряда p–n-перехода под влиянием внешнего смещения.

Толщина слоя объемного заряда d перехода связана с высотой потенциального барьера = qV соотношением (3.8) (или (3.10) для несимметричного перехода). Поэтому повышение потенциального барьера p–n-перехода при обратном смещении происходит за счет расширения слоя объемного заряда.

При прямом смещении потенциальный барьер p–n-перехода уменьшается за счет суждения слоя объемного заряда.

Для асимметричного p–n-перехода, например, в том и другом случае толщина слоя объемного заряда определяется соотношением, аналогично (3.10):



d = =,                 (4.1)

Здесь V>0 при прямом и V<0 при обратном смещении.

Установление стационарного состояния при наличии смещения происходит следующим образом. Обратное смещение V, приложенное к полупроводнику, создает в n- и p-областях внешнее поле Е, вызывающее дрейф основных носителей к омическим контактам, с помощью которых полупроводник подключается в цепь. Отток основных носителей от p–n-перехода приводит к обнажению новых слоев ионизированных доноров и акцепторов и расширению области объемного заряда. Этот процесс продолжается до тех пор, пока все внешнее смещение V не окажется приложенным к p–n-переходу.

Прямое смещение вызывает приток основных носителей к области объемного заряда, в результате которого заряды, созданные внешним источником э.д.с. на омических контактах, переносятся к p–n-переходу и сужают его.

После установления стационарного состояния практически все напряжение V падает на p–n-переходе, так как его сопротивление на много порядков выше сопротивления остальных областей полупроводника. 

Таким образом, приложенное к p–n-переходу внешнее напряжение вызывает появление в первый момент времени импульса тока во внешней цепи, приводящего, в конечном счете, к увеличению или уменьшению объемного заряда p–n-перехода. Поэтому переход ведет себя как емкость. Ее называют барьерной, или зарядовой, емкостью, так как она связана с изменением потенциального барьера p–n-перехода. При подаче на переход обратного смещения барьерная емкость заряжается, при подаче прямого смещения – разряжается.

Величину барьерной емкости можно вычислять по формуле плоского конденсатора



С=S/d,                                         (4.2)


где S- площадь p–n-перехода;  - диэлектрическая проницаемость полупроводника; d – толщина слоя объемного заряда, играющая роль расстояния между обкладками конденсатора. Отличие от конденсатора состоит в том, что d  в выражении (4.3) не является величиной постоянной, а зависит от внешнего смещения V. Поэтому и барьерная емкость Стакже зависит от внешнего смещения V. Подставляя в (4.2) d из (4.1), получаем 



С=S= S .                  (4.3)

С=S=0,15==0,15  =0,153,44=0,516 (Ф)


Cписок используемой литературы



Епифанов Г.И., Мома Ю.А. Физические основы конструирования и технологии РЭА и ЭВА. - М.: Советское радио, 1979.

Пасынков В.В., Сорокин В.С. Материалы электронной техники. – М.: Высшая школа, 1986.

Пасынков В.В., Чиркин Л.К. полупроводниковые приборы. – М.: Высшая школа, 1987.

Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов. – М.:Наука,1971.