Динамика вращательного движения твердого тела

Федеральное Агентство по Образованию ГОУ ВПО

Московский государственный индустриальный университет

























РЕФЕРАТ ПО ФИЗИКЕ

ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ





















Москва, 2010




СОДЕРЖАНИЕ



Введение 

1. Теоретические основы

2. Методические рекомендации по решению задач

3. Классические примеры решения некоторых типовых задач 

Заключение

Список литературы 


ВВЕДЕНИЕ



Решение конкретных физических задач является необходимой практической основой при изучении курса физики. Оно способствует приобщению студентов к самостоятельной творческой работе, учит анализировать изучаемые явления, выделять главные факторы, обуславливающие то или иное явление.

Основная цель практических занятий состоит в том, чтобы научить школьников и студентов самостоятельно использовать физические закономерности и математический аппарат при решении физических и технических задач.

При подготовке к практическим занятиям по курсу общей физики студенты младших курсов технических вузов сталкиваются со слабой методической базой при решении физических и технических задач, с неумением выявлять условия применимости физических законов и положений.




1. Теоретические основы



Момент силы

Момент силы  относительно оси вращения , (1.1) где  – проекция силы  на плоскость, перпендикулярную оси вращения,  – плечо силы  (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).

Момент силы  относительно неподвижной точки О (начала координат) . (1.2) Определяется векторным произведением радиуса-вектора , проведенного из точки О в точку приложения силы , на эту силу;  – псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от  к  («правило буравчика»). Модуль момента силы , (1.3) где  – угол между векторами  и ,  – плечо силы, кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой приложения силы.

Момент импульса

Момент импульса тела, вращающего относительно оси , (1.4) где  – момент инерции тела,  – угловая скорость. Момент импульса системы из  тел есть векторная сумма моментов импульсов всех тел системы: . (1.5)

Момент импульса материальной точки с импульсом  относительно неподвижной точки О (начала координат) . (1.6) Определяется векторным произведением радиуса-вектора , проведенного из точки О в материальную точку, на вектор импульса ;  – псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от  к  («правило буравчика»). Модуль вектора момента импульса , (1.7) где  – угол между векторами  и ,  – плечо вектора  относительно точки О.

Момент инерции относительно оси вращения

Момент инерции материальной точки , (1.8) где  – масса точки,  – расстояние её от оси вращения.

Момент инерции дискретного твердого тела , (1.9) где  – элемент массы твердого тела;  – расстояние этого элемента от оси вращения;  – число элементов тела.

Момент инерции в случае непрерывного распределения массы (сплошного твердого тела) . (1.10) Если тело однородно, т.е. его плотность  одинакова по всему объему, то используется выражение (1.11), где  и  объем тела.

Теорема Штейнера. Момент инерции тела  любой оси вращения равен моменту его инерции  относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы  тела на квадрат расстояния  между ними . (1.12)

Основной закон динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси

, (1.13) где  – момент силы,  – момент инерции тела,  – угловая скорость,  – момент импульса.

В случае постоянного момента инерции тела – , (1.14) где  угловое ускорение.

В случае постоянных момента силы  и момента инерции изменение момента импульса  вращающегося тела, равно произведению среднего момента сил, действующего на тело на время действия этого момента . (1.15)




2. Методические рекомендации по решению задач



В задачах по курсу общей физики обычно рассматривают вращение твердого тела лишь вокруг неподвижной оси или оси, перемещающейся в пространстве параллельно самой себе. В этом случае все векторные величины, характеризующие вращательное движение тела:  направлены вдоль оси вращения, что позволяет сразу переходить к алгебраической (скалярной) записи соответствующих уравнений. Некоторое направление вращения выбирается за положительное, используя, например, направление поступательного движения правого винта (правило буравчика), когда вращение его головки совпадает с направлением вращения твердого тела; естественно, перед величинами, вектора которых антинаправлены положительному направлению, будут использованы знаки «минус». При ускоренном вращении тела знаки всех четырех величин совпадают; при замедленном движении две пары величин   и  имеют противоположные знаки.

Момент силы , действующей на тело, относительно оси вращения определяется по формуле (1.1, раздел 1.1).

Момент импульса  тела, вращающегося относительно неподвижной оси, определяется по формуле (1.4). Для определения момента импульса материальной точки с импульсом  относительно начала координат используют выражение (1.6).

Для системы тел используют выражение  (например, суммарный момент импульса гири массой , прикрепленной на шнуре к вращающемуся маховику радиусом , равен  где  момент импульса движущегося груза  гири, линейная скорость гири и точек цилиндрической поверхности маховика;  момент импульса, вращающегося с угловой скоростью  и обладающего моментом инерции , маховика).

Момент инерции тела зависит в общем случае от его массы, расположения массы в теле, размеров и формы тела и положения оси вращения.

Момент инерции относительно оси вращения:

а) материальной точки (см. формулу (1.8));

б)дискретного твердого тела (см. формулу (1.9));

в) сплошного твердого тела (см. формулу (1.10)). 

В случае непрерывного распределения массы тела (сплошное однородное твердое тело), тело делится на бесконечно малые участки массы  и, считая их за материальные точки, находятся моменты инерции этих участков относительно оси вращения, а затем производится интегрирование.

Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы приведены в таблице 1.



Таблица 1

Тело

Ось, относительно которой определяется момент инерции

Формула момента инерции

Однородный тонкий стержень массой  и длиной 

 Проходит через центр тяжести стержня перпендикулярно стержню.

 Проходит через конец стержня перпендикулярно стержню.

1/12





1/3

Тонкое кольцо, обруч, труба радиусом  и массой , маховик радиусом  и массой , распределенной по ободу

 Проходит через центр перпендикулярно плоскости основания



Круглый однородный диск (цилиндр) радиусом  и массой 

 Проходит через центр диска перпендикулярно плоскости основания

1/2

Однородный шар массой  и радиусом 

Проходит через центр шара

2/5

Диск массой  и радиусом , толщина которого много меньше его диаметра 

 Относительно оси вращения, совпадающей с диаметром диска

1/4



Если ось вращения не проходит через центр масс тела, то момент инерции тела относительно этой оси можно определить по теореме Штейнера: момент инерции тела  относительно произвольной оси  равен сумме моментов инерции этого тела  относительно оси вращения О1О2, проходящей через центр масс тела С параллельно оси , и произведения массы тела на квадрат расстояния  между этими осями (см. Рис. 1), т.е. .

Момент инерции системы отдельных тел равен  (например, момент инерции физического маятника равен , где  момент инерции стержня, на котором крепится диск с моментом инерции ).

Чаще всего при решении задач основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси в случае постоянных момента силы  и момента инерции  используется в виде , где изменение момента импульса вращающего тела равно произведению среднего момента сил, действующего на тело, на время действия этого момента.

В общем случае в момент сил могут входить: вращающий момент сил, момент сил трения, моменты сил натяжения нитей (при решении задач на блоки, через которые перекинута нить и т.д.). При решении задач на блоки необходимо обычно учитывать массу блока, и, следовательно, момент инерции блока, что приводит к тому, что силы натяжения нитей по обе стороны блока не будут одинаковыми и как следствие к появлению вращающего момента сил, равного разности моментов сил по обе стороны блока. 




3. Классические примеры решения некоторых типовых задач



Пример 1

Чему равен момент инерции  цилиндра с диаметром основания d и высотой Н относительно оси  совпадающей с его образующей? Плотность материала цилиндра .



Дано:

d;

Н;

.

  ?





Рис. 2



Решение: Согласно теоремы Штейнера момент инерции цилиндра  относительно оси  равен сумме его момента инерции  относительно оси симметрии , проходящей через центр цилиндра С, и произведения массы цилиндра  на квадрат расстояния  между осями  и :



.(1)


Момент инерции цилиндра  относительно оси  определяется формулой , где , поэтому



.(2)



Массу цилиндра выразим через его плотность  и объем :

, где , поэтому ; площадь основания цилиндра  и, следовательно, 



.(3)



Расстояние между осями  и  . (4)

Подставив (2), (3) и (4) в (1), получаем



+



Пример 2

Два маленьких шарика массой 10 г каждый скреплены тонким невесомым стержнем длиной 20 см. Определить момент инерции  системы, относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс.

Дано:

10 г10-2 кг;

20 см0,2 м.

?




Рис. 3



Решение: Общий момент инерции, проходящий через центр масс системы (точка С) равен сумме моментов инерции двух материальных точек массой  каждая и вращающихся вокруг оси  на расстоянии .



 2.10-4 кгм2.



Пример 3

Найти момент инерции  плоской однородной прямоугольной пластины массой 800 г относительно оси, совпадающей с одной из её сторон, если длина другой стороны равна а30 см.



Дано:

800 г0,8 кг;

а30 см0,3 м.

 ?




Рис. 4



Решение: Найдем момент инерции пластины относительно оси . Для этого разобьем пластину на бесконечно малые участки массой  (один из них выделен на рис. 4).



,(1)



где  - поверхностная плотность пластины;

 - площадь пластины.

Так как участок массой  можно считать материальной точкой, то момент инерции этого участка относительно оси 



.(2)



После подстановки выражения (1) в (2) получаем



.(3)



Складывая моменты инерции всех участков, проинтегрируем полученное выражение в пределах от 0 до а:



.(4)




Подставив численные значения, найдем



2,410-2 кгм2.



Пример 4

Обруч массой 1 кг и радиусом  0,2 м вращается равномерно с частотой 3 с-1 относительно оси , проходящей через середину его радиуса перпендикулярно плоскости обруча. Определить момент импульса обруча .

Дано:

1 кг;

 0,2 м;

3 с-1.

 ?



Рис. 5



Решение: Момент импульса твердого тела равен произведению момента инерции этого тела  и его угловой скорости :



.(1)



Момент инерции обруча относительно оси  по теореме Штейнера равен сумме момента инерции этого обруча  относительно оси , проходящей через его центр С, и произведения массы обруча  на квадрат расстояния  между осями  и , которое, как следует из рисунка, равно



:

,(2)



где . (3)

Угловая скорость  обруча связана с его частотой вращения  соотношением



.(4)



Подставив выражение (2), (3) и (4) в (1), получаем



0,94 кгм2с-1.



Пример 5

Вал в виде сплошного цилиндра массой 12 кг насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массой 4 кг. С каким ускорением а будет опускаться гиря, если её предоставить самой себе?






Рис. 6



Дано:

12 кг;

4 кг;

10 м/с2.

____________

а  ?

Решение: Линейное ускорение а гири равно тангенциальному ускорению точек вала, лежащих на его цилиндрической поверхности, и связано с угловым ускорением  вала соотношением



,(1)



где  радиус вала. Угловое ускорение вала выражается основным уравнением динамики вращающегося тела: 



,(2)



где  вращающий момент, действующий на вал;  - момент инерций вала.

Рассмотрим вал как однородный цилиндр. Тогда его момент инерции относительно геометрической оси равен 



.(3)



Вращающий момент М, действующий на вал, равен произведению силы натяжения нити Т шнура на радиус вала:



.(4)



(Учитывая, что шнур невесомый и нерастяжимый, ).

Силу натяжения шнура найдем из следующих соображений. На гирю действуют две силы: силы тяжести , направленная вниз, и сила натяжения  шнура, направленная вверх; равнодействующая этих сил вызывает равноускоренное движение гири. По второму закону Ньютона , откуда 



.(5)



Таким образом, вращающий момент равен 



.(6)



Подставив в (2) выражения (3) и (6), получаем



.(7)


Ускорение гири найдем из (1) после подстановки туда выражения (7) , откуда



 4 м/с2.



Пример 6

Однородный диск радиусом 0,2 м и массой 5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска. Зависимость угла поворота диска от времени даётся уравнением  где С=2 рад/с2. Вращению диска противодействует тормозящий момент сил трения 1 Нм. Определить величину касательной силы , приложенной к ободу диска.



Дано:

0,2 м;

5 кг;

;

С=2 рад/с2;

1 Нм.

 ?





Рис. 7



Решение: Касательная сила , приложенная к ободу диска, создает вращающий момент сил , который по определению момента сил равен произведению величины этой силы  и её плеча; плечом силы  в нашем случае является радиус диска, поэтому 



.(1)



Вращающему моменту сил  противодействует момент сил трения .

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения произведение момента инерции диска  и его углового ускорения  равно векторной сумме моментов сил, приложенных к диску относительно центра вращения тч. О.



(2)



Поскольку векторы моментов сил  и  антинаправлены (в чём можно убедиться, используя правило правого винта), то в проекциях на ось ОХ этот закон примет вид



.(3)

Момент инерции диска относительно оси вращения определяется по формуле



.(4)



Угловое ускорение диска найдем как вторую производную угла поворота диска по времени:




, .(5)



Решая совместно (1) – (5), получаем



.(6)



После подстановки в (6) численных значений

7 Н.

Пример 7

Вследствие действия приливов продолжительность суток на Земле увеличивается за время 100 лет на 10-3 с. Определите приливную силу трения. Землю считать однородным шаром массой 61024 кг и радиусом 6,4106м.

Дано:

100 лет;

10-3 с;

6.1024 кг;

6,4.106м.

 ?

Решение: Из основного уравнения динамики вращательного движения изменение момента импульса Земли  равно произведению момента приливной силы  на время его действия :



	=(1)

	

	Момент инерции Земли (однородный шар массой  и радиусом )

	

	
.(2)

	

	Изменения угловой скорости Земли равно

	

	,(3)

	

	где  - период вращения Земли (24 ч=8,64104 с); .

	Момент приливной силы трения 

	

	.(4)

	

	После подстановки (2), (3) и (4) в выражение (1), получаем

	

	, откуда

	.(5)

	

	После подстановки в (5) численных значений получаем

	6109 Н.

	Пример 8

	 Маховое колесо, имеющее момент инерции 245 кгм2, вращается с частотой 20 с-1. В некоторый момент времени на него стала действовать тормозящая сила, в результате чего колесо через 1 мин остановилось. Радиус колеса 0,2 м. Найти величину тормозящего момента силы  и число полных оборотов , сделанных колесом до остановки.

	Дано:

	245 кг.м2;

	20 с-1;

	1 мин60 с;

	=0,2 м.

	 ?  ?

	

	Рис. 8

	

	Решение: Поскольку, кроме тормозящей силы, на колесо не действуют другие силы, создающие момент сил, то согласно основному закону динамики вращательного движения

	

	(1)

	

	Движение колеса равнозамедленное и, следовательно, угловое ускорение колеса  равно

	

	,(2)

	

	где  начальная угловая скорость колеса, а =0 – его конечная угловая скорость. Следовательно, 

	

	.(3)

	

	После подстановки выражения (3) в (1) получаем

	

	513 Нм.

	

	
Полное число оборотов  можно определить, умножив его среднюю частоту вращения , т.е. среднее число оборотов за единицу времени, на все время вращения :

	

	.(4)

	

	Средняя частота вращения колеса  есть среднее арифметическое начальной  и конечной  частот вращения (это справедливо только при равнопеременном вращении твердого тела):

	

	.(5)

	

	Таким образом,

	

	

	

	Пример 9

	Два груза массами 2 кг и 1 кг связаны невесомой нитью, перекинутой через неподвижный цилиндрический блок массой 0,8 кг. Найти ускорение грузов и силы натяжения нитей  и . Трением пренебречь.

	Дано:

2 кг; 

1 кг;

0,8 кг;

9,8 м/с2.

_____________

а  ?   ?   ?





Рис. 9



Решение: Запишем уравнения движения грузов и блока в отдельности. Груз массой  движется вниз поступательно с ускорением . На него действуют две силы: сила тяжести  и сила натяжения нити . По второму закону Ньютона в векторной и скалярной формах с учетом выбранной системы координат



 и

. (1)



Груз массой  движется вверх тоже поступательно с таким же, как и груз , ускорением .

На него действуют две силы: сила тяжести  и сила натяжения нити .

Поскольку массой блока, а значит и его моментом инерции пренебречь нельзя, момент силы натяжения , направленный согласно правилу правого винта влево, больше момента силы натяжения , направленного вправо.

По второму закону Ньютона в векторной и скалярной формах



 и

. (2)



Блок движется вращательно, поэтому применим к нему основное уравнение динамики вращательного движения



 и

.(3)



Подставим в (3) основные параметры , , , . Момент инерции однородного цилиндра 



,(4)



где  радиус блока. Угловое ускорение 



,(5)



где  тангенциальное ускорение.

Момент  силы натяжения 



.(6)



Момент  силы натяжения 



.(7)




(Учитывая, что нить невесомая и нерастяжимая  и ).

Подставляя (4), (5), (6) и (7) в (3), получаем



.(8)



Решая совместно (1), (2) и (3), получаем



2,9 м/с2,

13,8 Н,

12,7 Н.




ЗАКЛЮЧЕНИЕ



Заметим, что между механикой вращательного движения, и механикой поступательного движения имеет место абсолютная симметрия: любой физической величине, характеризующей первое, можно сопоставить аналог из второго. Аналогичные величины объединяются в аналогичные выражения и подчиняются аналогичным уравнениям. Это позволяет легко запомнить формулы вращательного движения, отталкиваясь от хорошо известных формул поступательного.



Таблица аналогий

Поступательное движение

Вращательное движение

элементарное перемещение 

элементарный заметённый угол 

линейная скорость 

угловая скорость 

ускорение 

угловое ускорение 

масса т

момент инерции J

сила 

момент силы 

основное уравнение динамики поступательного движения 

основное уравнение динамики вращательного движения 

импульс 

момент импульса 

закон изменения импульса 



закон изменения момента импульса

 

работа 

работа 

кинетическая энергия 

кинетическая энергия 




Список литературы



	Демков В.П., Третьякова О.Н. В помощь поступающим в ВУЗы. Физика. Механика. – М.: Издательство МАИ, 1996.

	Калашников Н.П., Смондырев М.А.. Основы физики. Т.1.  М.: Дрофа, 2003

	Калашников Н.П., Смондырев М.А. Основы физики. Упражнения и задачи.  М.: Дрофа, 2004.

	Касаткина И.Л. Репетитор по физике. Т.1.  Ростов н/Д: Феникс, 2002.

	Новодворская Е.М., Дмитриев Э.М. Сборник задач по физике с решениями для втузов.  М.: ООО Издательство «Мир и Образование», 2003.

	Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике.  М.: Высш. шк., 1988.