Плаваючий потенціал електростатичного зонду в плазмовому гетерогенному середовищi

2



	МІНІСТЕРСТВО  ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ

	ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

	ІМ. І.І. МЕЧНИКОВА

	

	                                                                                  Фізичний факультет 

	                                                                                  Кафедра теплофізики

	

	

	





Плаваючий потенціал електростатичного зонду в 

плазмовому гетерогенному середовищі

	

	

	«допустити до захисту»                                              Курсова робота 

	зав. кафедри  теплофізики                                          студента 4-го курсу    

	 професор _______ Калінчак В.В.                             Захарова Д.Є.

	 «___» _______  2003р.                                               Научний керівник

	                                                                                      доцент  Маренков В.І.

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	Одеса – 2003 


Зміст



Вступ

1. Плазма в сучасних технологіях та її характеристики

1.1 Основні поняття фізики плазми

1.2 Основні напрямки застосування низькотемпературної плазми

1.3 Методи зондових вимірювань

1.4 Конструкція зондів

2. Потенціал електростатичного зонду в плазменному гетерогенному середовищі

3. Розв’язок рівняння для потенціалу для електростатичного зонду в ГПС

4. Комп’ютерний експеримент

Висновок

Література


Вступ.



Значний інтерес щодо досліджень властивостей запиленої плазми [1] спричинюється, з одного боку, широким впровадженням плазмових технологій у виробництво, з іншого – у фундаментальному аспекті – бурхливим розвитком нового напрямку у фізиці: теорії та моделювання гетерогенних плазмових систем [2]. Проблеми експериментальної діагностики [3] та зовнішніх впливів ” (з метою оптимізації характеристик гетерогенних плазмових систем, що використовуються як робоче тіло або середовище у сучасних технологічних пристроях [4]) є безпосередньо спряженими з описом обміну електричним зарядом між гетерогенною плазмовою середою та зовнішніми макроскопічними тілами - електричним зондом, розрядним або керуючим електродом, стінкою реакційної камери і т.і. – та найбільш актуальними для впроваджень, і, в той же час, найменш дослідженими. 

Одна з них: заряд та потенціал пасивного зонду – пробного макроскопічного тіла, що контактує та знаходиться у рівновазі із запиленою плазмою – визначає мету та завдання даної роботи.

Великою перевагою зондового методу є простота вимірів, для яких, на відміну від багатьох інших методів, звичайно не потрібно спеціальної складної апаратури. Основний недолік цього методу — збурювання плазми зондом, що приводить до зміни функції розподілу і потенціалу простору в деякій області навколо зонда.

Одне з основних положень зондовой теорії [6] — допущення про те, що ці збурювання в основному локалізуються поблизу зонда, так що він мало впливає на стан плазми і на режим газового розряду в більшій частині розглянутого об’єму. Така локалізація збурювання можлива в зв'язку з тим, що в досить щільній плазмі зонд оточений шаром заряджених частинок, що екранують його від іншого об’єму. Так, наприклад, негативно заряджений щодо плазми зонд відштовхує електрони і притягає іони, що створюють поблизу його поверхні шар з позитивним об'ємним зарядом, у якому в основному і локалізується майже все електричне поле зонда. Заряджені частинки з навколишньої плазми, потрапляючи в цей шар, а потім на зонд, створюють струм у його ланцюгу, що характеризує параметри плазми. Цей струм тим більше, чим вище щільність заряджених частинок і швидкість їхнього руху в незбуреній  плазмі.

Основна задача зондової теорії полягає у тому, щоб знайти зв'язок між струмом зонда і параметрами плазми. Для визначення потоків частинок, що притягаються до зонда, необхідно знати, як розподілений потенціал, а також густину заряджених частинок в збуреній зоні поблизу зонда. Строго вирішити цю задачу важко через її велику складність. Це пояснюється тим, що хід потенціалу і розподіл густини заряджених частинок взаємно зв'язані.

Отже метою даної роботи буде ознайомлення з сучасними зондовими методами вимірювання електрофізичних характеристик гетерогеної плазмової середи, засновуючись на апроксимації Томаса-Фермі для дисперсійного рівняння електронів провідності зонду; розбудування моделі його електричної зарядки в плазмовому середовищі; проведення комп’ютерного експерименту по визначенню залежностей потенціалу усамітненого зонду від визначальних термодинамічних параметрів плазмового середовища.

У подальшому розгляді буде дано статистичне обґрунтування методу визначення рівня Фермі запиленої плазми шляхом порівнювання плаваючих потенціалів електростатичних зондів, що мають однакові розміри, але різні характеристики речовини. На базі даних комп’ютерної симуляції проаналізуємо можливості методу щодо вимірів іонізаційних характеристик  запиленій плазми в актуальній для впроваджень області визначальних термодинамічних параметрів. Таким чином, в рамках моделі, заснованій на квазікласичному наближенні для електронного компоненту макроскопічного металевого тіла, контактуючого з плазмою, буде вирішено проблему термоіонізаційної рівноваги: “ зонд – плазма ”.




1. Плазма в сучасних технологіях та її характеристики.



1.1. Основні поняття фізики плазми.



При дуже низьких температурах усі речовини знаходяться у твердому стані. Нагрівання викликає перехід речовини з твердого стану в рідкий. Подальше підвищення температури приводить до перетворення рідини в газ. При досить великих температурах починається іонізація газу за рахунок зіткнень атомів або молекул що швидко рухаються. Речовина переходить у новий стан, називаний плазмою.

Плазмою називається такий стан іонізованого газу, у якому виконується умова квазинейтральности в досить малому об’ємі у порівнянні з характерним об’ємом.

У різкій відмінності властивостей плазми від властивостей нейтральних газів визначальну роль грають два фактори. По-перше, взаємодія частинок плазми між собою характеризується кулонівськими силами притяжіння і відштовхування, що убувають з відстанню набагато повільніше (тобто значно більш дальне діючими), чим сили взаємодії нейтральних частинок. З цієї причини взаємодія частинок у плазмі є, строго кажучи, не парним, а колективним — одночасно взаємодіє одна з одною велике число частинок. По-друге, електричні і магнітні поля сильно діють на плазму, викликаючи появу в ній об'ємних зарядів і струмів і обумовлюючи цілий ряд специфічних властивостей плазми. Ці відмінності дозволяють розглядати плазму як особливий, «четвертий» стан речовини.

У плазмі позитивними зарядами, як правило, виступають позитивні атомні або молекулярні іони, негативні заряди утворяться в основному з вільних електронів з невеликою добавкою негативних іонів. Таким чином, в одиниці об'єму плазми утримуються позитивні заряди  і негативні заряди  , де  – концентрація вільних `електронів. Звичайно в плазмі . Можна з достатньою точністю припустити, що .

Умова квазинейтральности означає, що сума зарядів у плазмі . З цієї умови випливає, що незважаючи на наявність великого числа зарядів різного знака, плазма поводиться як незаряджене тіло, тобто має нульовий об'ємний заряд, а звідси випливає, що:

                            (1.1)

Квазінейтральність дотримується, якщо лінійні розміри області, займаної плазмою, багато більші дебаївського радіусу екранування

;                         (1.2)

ee і ei — заряди електронів і іонів, ne і ni — електронна й іонна густини. Отже, лише при виконанні цієї умови можна говорити про плазму як таку. Електричне поле окремої частинки в плазмі екранується частинками протилежного знака, тобто практично зникає на відстанях порядку rD від частинки. Величина rD визначає і глибину проникнення зовнішнього електростатичного поля в плазмі. Квазінейтральність може порушуватися поблизу границі плазми, де більш швидкі електрони вилітають по інерції за рахунок теплового руху на довжину ~ rD . 

Під характерним об’ємом треба розуміти таку сферу з мінімальними геометричними розмірами, яку можна вписати в усередину плазменої ділянки. Наприклад, у плазмі циліндричних розмірів – це радіус циліндра, у тороидальній – радіус тора і т.д. У деяких випадках, (наприклад, конічна конфігурації плазми) дуже важко оцінити характерний розмір плазми, тому що плазма може мати великі градієнти  і  по різних вимірах. У цьому випадку як характерні розміри вибирають такі мінімальні об’єми плазми, у яких градієнти   .

Уведемо плазмовий масштаб виміру часу , починаючи з якого в плазмі встановлюється квазінейтральність. При  квазінейтральність може і не виконуватися. Такі явища спостерігаються при швидкому наростанні (або спаді) числа зарядів у плазмі, тобто в процесах тимчасової (релаксационної) зміни ступеня іонізації плазми

                                       (1.3)

де – концентрація незаряджених часток у плазмі.

Поряд з нагріванням іонізація газу й утворення плазми можуть бути викликані різними випромінюваннями або бомбардуванням атомів газу швидкими зарядженими частинками. При цьому виходить так називана низькотемпературна плазма.

Низькотемпературною називають плазму, у якій середня енергія електронів менша характерного потенціалу іонізації атома (< 10 Эв); температура її не перевищує . Звичайно низькотемпературна плазма слабоіонізована, тобто число нейтральних атомів і молекул значно перевищує число заряджених частинок — електронів та іонів. Відношення  числа  іонізованих атомів до повного їхнього числа в одиниці об’єму називається ступенем іонізації плазми. Оскільки кулонівська взаємодія між зарядженими частинками значно сильніше, ніж взаємодія між нейтральними частинками, і ця взаємодія дальнодіюча, то наявність заряджених частинок у низькотемпературній плазмі у великому ступені визначає її властивості, у тому числі електричні й електромагнітні. 

По ступені іонізації  плазма підрозділяється на частково іонізовану ( ), слабоіонізовану ( ) і цілком іонізовану ( ). Цілком іонизованна плазма не містить нейтральних атомів і молекул, у її сполуку входять тільки заряджені частинки (електрони й іони). Цілком іонізована плазма, як правило, містить однократно ( ), двократно ( ) і т.д. заряджені іони. Під цілком іонізованою мають на увазі таку плазму, у якій утримуються тільки електрони і “ голі ” ядра (ядра зі знятою “ обдертою ” електронною оболонкою). Однак такий стан плазми в реальних лабораторних умовах не зустрічається. Він досягається в умовах термоядерної плазми, тобто коли починаються реакції синтезу ядер.

У плазмі в результаті процесів взаємодії між частинками установлюються визначені їх розподіли по швидкостям і енергіям. Найчастіше плазму представляють сумішшю електронних, іонних і молекулярного “ газів ”. Якщо між окремими (парціальними) складовими цих газів потенційна взаємодія мала, то плазму можна розглядати як ідеальний газ. Така плазма називається ідеальною.

Нехай у якийсь момент часу заряд рівномірно оточений зарядами (мал.1). Якщо навколишні заряди відсутні, то поле заряду q не екранується і розподіляється за законом 

                            (1.4)

де  – потенціал поля, Z – кратність заряду іона.

Наявність навколишніх зарядів обмежує дальність поширення поля, характер поширення якого знаходиться шляхом рішення рівняння Пуассона методом самоузгодженого поля з урахуванням розподілу частинок у полі за законом Больцмана і властивостями квазінейтральної плазми:

                      (1.5)

де gs і g0 – статистичні ваги енергетичних станів s і 0. На відстані r об’ємний заряд

         (1.6)

Підставляючи q у рівняння Пуассона, одержимо:

         (1.7)

Видно, що таке нелінійне рівняння не має рішень, але оскільки ми вирішуємо задачу перебування не миттєвих значеннях розподілу частинок у полі, а середніх концентрацій частинок від середнього значення поля. З вищесказаного випливає, що рівняння (1.7) необхідно вирішувати в лінійному наближенні. Для цього варто розкласти в (1.7) експоненту в ряд і обмежитися лінійним членом:

                                 (1.8)

Підставивши його в (1.7), одержимо

                     (1.9)

З умови  (умова квазінейтральності) випливає:

                        (1.10)

Рішенням цього рівняння є функція виду:

                              (1.11)

де С – константа, 

Зворотна величина  є як би постійна загасання поля (постійна екранування). Відстань rД є масштабом поділу зарядів або довжиною поляризації зарядів плазмі (Дебаєвським радіусом). Дебаєвський радіус – та відстань у плазмі на якому екранований електростатичний потенціал зменшується в е раз (у порівнянні з відповідним кулонівським радіусом неекранованого кулонівського потенціалу цієї частоти).

Постійна С знаходиться з асимптотичного збігу потенціалів по формулі (1.7) і (1.11) на малих відстанях ( ):

                                      (1.12)

При ,  тоді , звідки рішення (1.11) дорівнює

                                        (1.13)

Дебаєвський радіус rД поділу зарядів може бути виражений через ефективний заряд іона :

                          (1.14)

де 

Для неізотермічної плазми ( ) дебаєвський радіус дорівнює:

                        (1.15)

При  (сильно неізотермічна плазма) :

                              (1.16)

З вищенаведених міркувань можна зробити висновок: у результаті хаотичного руху зарядів у плазмі є середня відстань rД, на яку можуть розійтися заряди, тобто rД – це така середня відстань, що характеризує мінімальний об’єм, у якому може спостерігатися порушення квазинейтральності плазми.


1.2. Основні напрямки застосування низькотемпературної плазми.



Низькотемпературна плазма (Т ~ 103 К) знаходить застосування в газорозрядних джерелах світла й у газових лазерах, у термоемісійних перетворювачах теплової енергії в електричних і в магнітогідродинамічних генераторах, де потік плазми гальмується в каналі з поперечним магнітним полем,  що приводить до появи між верхнім і нижнім електродами електричного поля [7].

Плазмотрони, що створюють потоки щільної низькотемпературної плазми, широко застосовуються в різних областях техніки. Зокрема, з їхньою допомогою ріжуть і зварюють метали, наносять покриття. У плазмохімії низькотемпературну плазму використовують для одержання деяких хімічних сполук, наприклад, галогенидів інертних газів, що не вдається одержати другим шляхом. Крім того, високі температури плазми приводять до високої швидкості протікання хімічних реакцій — як прямих реакцій синтезу, так і зворотних реакцій розкладання. Якщо робити синтез «на прольоті» плазменого потоку, розширюючи і тим самим швидко прохолоджуючи нею на наступній ділянці (така операція наз. загартуванням), то можна утруднити зворотні реакції розкладання й істотно підвищити вихід необхідного продукту.



1.3. Методи зондових вимірювань.



Зондом називається металевий електрод невеликих розмірів, поміщений у плазму.

Від інших засобів плазменої діагностики зонди відрізняються тим, що дозволяють робити прямі локальні виміри параметрів плазми.

В даний час існує кілька основних напрямків плазмових досліджень [8], для кожного з яких значення і застосовність зондових вимірів різні. У багатьох задачах газової електроніки здійснюються умови, у яких зондові виміри зберігають домінуючу роль. Це справедливо в тому випадку, коли температура електронів і їхня концентрація не дуже великі, а магнітні поля малі. Теорія й експериментальна техніка зондових вимірів для плазми високої щільності в сильному магнітному полі значно ускладнюється. У цьому випадку важко встановити правильний однозначний зв'язок між величиною зондового струму і параметрами плазми. Слід зазначити збурений вплив зонда на плазму можна зменшити, направляючи останній у короткі проміжки часу з «гарячої» зони в область розташування зонда. Однак у цьому випадку на плазму збурену дію надають електромагнітні поля, за допомогою яких здійснюється такий добір. Нарешті, частинки гарячої плазми, що мають високі енергії, викликають вторинні процеси на поверхні зонда, що приводить до перекручування зондових характеристик.

Зонди застосовувалися для дослідження газових розрядів ще на початку минулого століття (наприклад, Круксом). Однак лише у 20-х роках Ленгмюр і його співробітники, розвивши теорію методу, зробили зондовий метод одним з найбільш ефективних засобів плазмової діагностики.

Дослідження Ленгмюра були обмежені випадком плазми низького тиску, коли зіткненнями між частинками плазми можна знехтувати. У цьому випадку йому вдалося побудувати відносно просту і внутрішньо погоджену теорію. В даний час ясно, що деякі з припущень теорії Ленгмюра навряд чи виконуються при практичних додатках. Проте результати Ленгмюра і понині лежать в основі будь-якого дослідження, зв'язаного з застосуванням зондів.

Суть методу полягала у вимірі струму заряджених частинок на малий заряджений електрод, поміщений у плазму. Залежність цього струму від потенціалу електрода називається зондовой характеристикою. З зондовой характеристики за певних умов можна обчислити основні параметри плазми — температуру і концентрацію заряджених частинок і потенціал простору. У деяких випадках зондові виміри дозволяють визначити функцію розподілу частинок по енергіям.

Створюючи основи зондовой теорії, Ленгмюр виходив із припущення про рівноважну функцію розподілу заряджених частинок по швидкостях у збуреної плазмі. Він розглядав дві характерні зони: область плазми й область слоя поблизу зонда (або стінки).

Для наближеного визначення ходу потенціалу поблизу зонда були зроблені наступні припущення:

1) в області плазми можна знехтувати об'ємним зарядом частинок через її квазінейтральність;

2) в області слоя при негативному потенціалі зонда можна знехтувати зарядом, створюваним електронами;

3)  утворення іонів в слої і вторинних частинок на поверхні зонда не відбувається;

4) на зовнішній границі слоя об'ємного заряду потенціал плазми   звертається в нуль, тобто плазма за межами слоя не возмушена.

Виходячи з цих припущень легко знайти зв'язок між струмом зонда і параметрами плазми, що приводить до таких співвідношень для великого зонда (R0>>D) при не дуже високому негативному потенціалі:

                               (1.17)

                     (1.18)

Тут Ii і Ie — струми іонів і електронів  на  зонд  відповідно; Ti і Ті — температури цих частинок; ni і ne — їх концентрації в невозмушеной плазмі; Мi і me -маса іона й електрона відповідно; U0 і R0 — потенціал і радіус зонда; D — дебаєвський радіус екранування; k — стала Больцмана; е — заряд електрона.

Зі співвідношення (1.18) видно, що по нахилі електронної характеристики в напівлогарифмічному масштабі легко визначити електронну температуру Ті. Іонний струм у випадку великого негативного зонда, по Ленгмюру, не залежить від його потенціалу (U<0). Для узгодження виразу (1.17) з експериментальними даними приходилося допускати, що температура іонів у газовому розряді дуже велика. Це допущення не відповідало основним теоретичним представленням і даним інших експериментальних методів вимірів.

У роботах Ленгмюра фактично не було враховане проникнення електричного поля зонда в квазінейтральну плазму, у зв'язку з чим величина потоку частинок, що притягаються, виявилася заниженою. 

Згодом Бомом був отриман вираз для іонного струму з урахуванням проникнення поля зонда в плазму. Зневажаючи тепловим рухом частинок, що притягаються, Бом одержав для випадку Te>>Ti досить важливе наближене співвідношення, що широко застосовується при обробці результатів зондових вимірів

                                 (1.19)

де  — густина іонного струму насичення. Відповідно до цього співвідношення, потік іонів на зонд залежить лише від температури електронів і практично не залежить від теплового руху іонів у невозмушеной плазмі. 

Найважливішими факторами, що визначають вид зондової характеристики, є середня довжина вільного пробігу заряджених частинок і напруженість магнітного поля в зоні виміру. У зондовій теорії при відсутності магнітного поля розглядають такі співвідношення між довжиною вільного пробігу і розміром зонда:



У першому випадку зіткнення між частинками відіграють незначну роль; у третьому — варто враховувати зіткнення і дифузійні процеси в газі. Другий випадок є проміжним. Магнітне поле викривляє траєкторії частинок і тим самим впливає на величину зондового струму. Коли ларморовський радіус обертання заряджених частинок стає порівнянним або менше розмірів зонда, важливу роль починають грати дифузійні процеси в магнітному полі.

Надалі теорія зондових вимірів розвивалася в роботах Венцеля, Аллена, Бойда і Рейнольдса, Бернштейна і Рабиновича, Кагана і Переля й інших авторів. У деяких з цих робіт задачу про розподіл потенціалу вирішували чисельно у всій збуреній області поблизу зонда. Цей метод рішення більш точний у порівнянні зі штучним прийомом поділу збуреної зони на області слоя і плазми, що спрощує обчислення.



1.4. Конструкція зондів.



Матеріал колекторної частини зонда повинний бути стійкий стосовно розпиленню, нагріванню і хімічним реакціям [8]. Крім того, робота виходу матеріалу зонда повинна бути досить високою, щоб звести до мінімуму вторинні процеси. До числа таких процесів відносяться електронна емісія під дією бомбардування іонами або метастабільними атомами, фотоефект і термоелектронна емісія. Тому у випадку гарячих і щільних плазм широко використовуються молібден, вольфрам і тантал. У холодних же плазмах низької щільності можливо також використання нікелю, нержавіючої сталі і платини. У таблиці перераховані деякі важливі властивості матеріалів для зондів. 





Вибір матеріалу для ізоляції держателя зонда визначається головним чином температурою плазми. Ізоляційні матеріали варіюються від простого скла або кварцу у випадку холодних плазм до спеціальних керамічних матеріалів, таких, як спеченний окис алюмінію і різні сполуки магнію, кремнію і цирконію у випадку гарячих плазм.


2. Потенціал електростатичного зонду в плазмовому гетерогенному середовищі.



Зазвичай лінійні розміри зондів, що використовуються для діагностики запиленої плазми лежать в інтервалі [0.1, 10.0] мм та помітно перевищують як дебаєвську довжину електронного компоненту запиленої плазми, так і лінійний розмір конденсованих частинок, що їх ансамбль утворює пиловий компонент запиленої плазми. Так наприклад для плазми продуктів згоряння алюмінізованих пальних [9] параметри гетерогенних плазмових систем лежать в області, де температура Т~2000 K, розмір макрочастинок конденсованої дисперсної фази  см, середньооб’ємна концентація електронного компоненту м-3. Отже дебаєвська довжина електронів буде

                    (2.1)

В розріджених системах, наприклад космічній запиленій плазмі [1,10], ця нерівність може бути протилежною. Тому зосереджуємо увагу на головному: дослідженні зарядової рівноваги і стабільності зонду, що контактує з гетерогенною плазмовою середою. Будемо розглядати у подальшому модель необмеженої запиленої плазми, яку утворюють електрони, іони та заряджені частинки конденсованої дисперсної фази і яка перебуває в динамічній рівновазі (щодо обміну електронами) з пасивним сферичним металевим зондом радіуса R. Такі характеристики речовини зонду, як енергія Фермі електронів провідності , діелектрична проникність  та робота виходу  металу зонду будемо вважати відомими для заданої температури плазми T . Крім того, внесення пасивного зонду в необмежену гетерогенну плазмову середу ніяк не може вплинути на її характеристики “на нескінченості”: рівноважну концентрацію електронів запиленої плазми ne, їх електрохімічний потенціал F, середній заряд індивідуальних макрочастинок конденсованої дисперсної фази у плазмі.

Таким чином, у загальному випадку, визначення електрофізичних характеристик зонду (заряду та потенціалу, а також розподілу локального максвелівського електростатичного поля в його околі) буде зводитись до вирішення проблеми зарядової рівноваги індивідуальної сферичної макрочастинки в гетерогенному плазмовому середовищі – запиленій плазмі.   

Згідно з принципом детальної рівноваги [11] в термодинамічній рівновазі, кожен канал зміни зарядового стану зонду: емісія та прилипання газових електронів до зонду;  іонізація та рекомбінація атомів та молекул на його поверхні; перерозподіл заряду між зондом та макрочастинками КДФ - є збалансованим дією протилежного йому каналу, і, загалом, у часі пасивний зонд зберігає з точністю до флуктуацій свій статистично середній заряд  (z - зарядове число, е - модуль елементарного заряда) [12]. Отже, в статистичній рівновазі співвідношення, що виражає факт балансу потоків електронів емісії та прилипання  на поверхні зонду, може бути обраним у якості основного рівняння для опису його зарядової рівноваги з оточуючою запиленою плазмою. Пов’язавши з центром зонду систему координат Лагранжа та здійснюючи в ній статистичне осереднення  миттєвого електростатичного потенціалу, що його визначено миттєвими конфігураціями зарядів у плазмі, отримаємо завдання про розподіл самоузгодженого електростатичного потенціалу та об’ємного заряду в околі та всередині  зонду. Оскільки рівноважні параметри запиленої плазми покладаються відомими, то при вирішенні проблеми основний акцент зосередимо на вирішенні “внутрішньої задачі’ про розподіл самоузгодженого потенціалу та заряду у власному об’ємі зонду. Тоді рівняння Пуасона-Фермі для перенормованого за допомогою енергії Фермі речовини зонда самоузгодженого електростатичного потенціалу  у сферичній, пов’язаній з центром зонду системі координат запишемо як

                                (2.2)

Тут  - густина об’ємного заряду в області зайнятій зондом, у наближенні Томаса-Фермі для електронів провідності металу визначається як

           (2.3)

де  – маса електрона; постійна Планка; F – електрохімічний потенціал електронів запиленої плазми;  електрохімічний потенціал матеріалу зонда ( ).

Враховуючи симетрію завдання та збереження зондом у рівновазі із запиленою плазмою деякого усталеного (осередненого за часом) розподілу  внутрішнього самоузгодженого електростатичного потенціалу , доповнимо  рівняння Пуасона-Фермі (2.2) граничними умовами у центрі

;                                  (2.4)

приходимо кінцево до задачі Коши  (2.2 – 2.4) щодо визначення поля  в об’ємі зонду.

В праву частину рівняння Пуасона-Фермі входить густина об’ємного заряду  (2.3), яка самоузгодженим чином пов’язана з локальними значеннями потенціалу, позаяк його значення безпосередньо входять до граничних умов (2.4). Отже для остаточного визначення розподілу потенціалу в об’ємі зонду необхідно скористуватись умовами зарядової стабільності зонду у плазмі, що, по-перше, випливають із закону збереження заряду та дають умову неперервності нормальної складової електростатичної індукції на поверхні зонду; по-друге, виражають факт балансу потоків електронів через його поверхню. Математично це зводиться до умов спряження самоузгодженого потенціалу на поверхні зондуючого тіла. Поставлене таким чином завдання має єдиний розв’зок щодо розподілу самоузгодженого потенціалу всередині та околі зонду та однозначно вирішує проблему його електростатичної зарядки. Загалом задача Коши (2.2 – 2.4) не має розв’язків у квадратурах і потребує залучення методів обчислювальної математики. Однак, для більшості видів термічної запиленої плазми електростатична енергія електронів в контактному шарі зонду є за модулем набагато меншою енергії Фермі речовин зонду, при цьому потенціал, і вираз (2.3) для об’ємного заряду допускає лінеаризацію за потенціалом. Не обмежуючись у загальному, в наступному розділі розглянемо вирішення проблеми зарядки електростатичного зонду з використанням лінійної апроксимації за потенціалом для правої частини рівняння Пуасона-Фермі.


3. Розв’язок рівняння для потенціалу для електростатичного зонду в гетерогенному плазмовому середовищі.



Запилена плазма є невпорядкованим середовищем, у якому в системі координат зонду розподіли концентрацій заряджених частинок (електронів, іонів, конденсованих частинок) покладаємо підпорядкованими максвел-больцманівській статистиці. Треба зауважити, що у випадку нерівноважних процесів та дії джерел термостату, питання про розподіл зарядів в газовій підсистемі запиленій плазми потребує окремого дослідження. В нерівноважній запиленій плазмі, яка характеризується стаціонарним полем термодинамічних параметрів в об’ємі, виходячи з принципу локальної термодинамічної рівноваги Кубо [13], формули рівноважної термодинаміки необхідно використовувати для областей локальної термодинамічної рівноваги разом з подальшим осередненням (з врахуванням градієнтів) на макрооб’єми.

     Потенціал зонда та концентрація електронів у приповерхневому  шарі його максвел-больцманівської атмосфери пов’язані співвідношенням 

                             (3.1)

 – локальна концентрація електронів в областях де самоузгоджений потенціал обертається до нуля (в дебаєвських моделях екранування в запиленій плазмі співпадає з середньооб’ємною); ”зовнішній” потенціал поверхні зонда відрахований від рівня вакууму (рівня потенціальної енергії електрона, що покоїться у вакуумі при відсутності зовнішніх полів). В моделі необмеженої слабкоіонізованої запиленої плазми, утвореної електронами, іонами, ідентичними конденсованими частинками та буферним газом [14], рівняння Пуасона-Больцмана для розподілу самоузгодженого електростатичного потенціалу в зовнішній відносно власного об’єму зонда області має дебаєвський розв’язок

 ,                        (3.2)

де: нормований на енергію Фермі речовини зонда потенціал;

      –                 (3.3)

інвертована дебаєвська довжина зарядів плазми,  відповідно середньооб’ємні зліченні концентрації електронів, іонів та макрочастинок сорту “j”; осереднене зарядове число “j - ї” конденсованої частинки:

    –                           (3.4)

значення потенціалу поверхні зонду, отримане із “зовнішньої задачі” (ze - заряд зонду,  діелектрична проникність буферного газу). В умовах статистичної рівноваги заряд зонду та його потенціал досягають певних  сталих величин, які визначаються тільки параметрами плазми та характеристиками зонду і є незалежними від предісторії їх встановлення. Неперервність самоузгодженого електростатичного потенціалу та нормальної складової електростатичної індукції на поверхні зонда є фізичними умовами, що в кінцевому підсумку дають змогу записати функціональні співвідношення між параметрами запиленої плазми та рівноважними значеннями заряду і потенціалу зонда. Оскільки електрони поверхневого (контактного) шару зонду знаходяться в стані динамічної рівноваги з електронним компонентом запиленої плазми, то, згідно з відомим положенням статистичної теорії [15], локальний електрохімічний потенціал електронної підсистеми повинен бути однорідним впродовж запиленої плазми і мати певне усталене значення F. Концентрація електронів на нескінченості, де їх потенціальна енергія покладається нульовою, буде

                      (3.5)

Поблизу поверхні зонда у відповідності з больцманівським розподілом (3.1)

                      (3.6)

Поверхнева концентрація електронів газової фази (3.6) утворює потік електронів прилипання, який врівноважується електронами емісії, що інжектуються поверхнею зонду у газову фазу. Динамічна рівновага цих потоків реалізується для певного значення заряду зонда Z, і є умовою його зарядової стійкості. 

Розв’язок задачі Коши  (2.2 – 2.4) з використанням лінійної апроксимації для правої частини рівняння Пуасона-Фермі (2.2) за “внутрішнім потенціалом”  доцільно проводити в термінах допоміжних змінних

        (3.7)

В  (3.7) і далі позначкою “~” відмічаємо нормування “енергетичних” величин на .  У змінних (3.7) задача Коши для розподілу самоузгодженого потенціалу в об’ємі зонда має вид

                      (3.8)

Загальний розв’язок (3.8) буде

                                             (3.9)

Таким чином, повертаючись до  вихідних змінних  , запишемо

                           (3.10)

Функція (3.10) описує розподіл самоузгодженого електростатичного потенціалу всередині зонду. Із умови спряження для нормальної похідної потенціалу Ф на поверхні сферичного зонду отримаємо

  (3.11)

Формула (3.11) встановлює зв’язок між потенціалом   в центрі зонду та  його зарядовим числом Z. З умови неперервності електростатичного потенціалу на поверхні  зондуючого тіла (умови спряження “зовнішнього” – (3.3), та “внутрішнього” – (3.10), потенціалів  після підстановки  з (3.11) в (3.10) ) кінцево отримуємо трансцендентне рівняння для потенціалу поверхні зонду як функції заряду та визначальних параметрів запиленої плазми

            (3.12)

Для певного значення електрохімічного потенціалу (рівня Фермі) електронів плазми F рівняння (3.12) встановлює однозначний зв’язок між потенціалом  та зарядом , що їх набуває зонд в результаті взаємодії з плазмовим середовищем. Незалежні експериментальні виміри цих величин дозволили б, шляхом вирішення оберненої задачі (3.12) для рівня Фермі запиленої плазми, за допомогою рівняння (3.5) отримати з даних експерименту невідоме значення електронної концентрації в об’ємі запиленої плазми.

У розділі 4 обговоримо можливу принципову схему та деталі експерименту з визначення рівня іонізації запиленої плазми з використанням  двох пасивних зондів.

4. Комп’ютерний експеримент



Параметри ізольованого металевого зонду в запиленій плазмі можна експериментально визначити, грунтуючись на класичній методиці зондових вимірювань [3] у якій пасивний зонд з’єднується з землею через дуже великий опір RZ, такий, щоб струм витоку практично не змінював рівноважні параметри зонду, і в той  же час був достатнім для вимірів падіння напруги на RZ (мал. 2) . 



П л а з м а

Зонд з параметрами:





До осцилографа

 Мал. 2 . Схема зондових вимірів у запиленій плазмі.

,  відповідно:  температура та радіус зонда і енергія Фермі та діелектрична проникність його речовини

























Різниця потенціалів між поверхнею зонду та землею за вирахуванням термоелектричних падінь напруги, що виникають у з’єднувальних провідниках,  дає так званий “плаваючий потенціал”  зонду, що контактує з плазмою [9]. В умовах слабкоіонізованої дебаєвської запиленої плазми осереднене за часом значення потенціалу зонда з одного боку обчислюється за формулою (3.4), з іншого - може бути визначеним з рівняння (3.12). Оскільки в дебаєвському наближенні потенціал (3.4) є функцією від заряда та радіуса зонда, а також енергії Фермі та діелектричної проникності його речовини, то помістивши в плазму два незалежних зонди, виготовлених з різних металів, але такі, що мають однаковий геометричний розмір, базпосередньо з формул (3.4) та (3.12) отримаємо

 (3.13)

Для металів ~  см-1 , і останніми доданками в чисельнику та знаменнику даної формули можна  знехтувати. В результаті остаточно, в рамках пропонуємої двозондової методики, отримуємо рівняння для визначення рівня Фермі електронів запиленої плазми

                    (3.14)

Електрохімічний потенціал F, що входить як невідоме в трансцендентне рівняння (3.14), згідно з формулою (3.5) є безпосередньо пов’язаним з рівнем іонізації плазми . Отже, отримавши потенціали незалежних зондів  в експерименті, шляхом розв’язку рівняння (3.14) отримуємо невідомий рівень Фермі електронів F  у запиленій плазмі .

В рамках викладеного методу, на основі програми розв’язку трансцендентних рівнянь PNFFM [9], було проведено комп’ютерну симуляцію щодо визначення іонізації запиленої плазми в широкому діапазоні  її термодинамічних параметрів, що є характерними для впроваджень. На мал. 3а та 3б  наведено графіки залежностей безрозмірного (нормованого на енергію Фермі речовини зонду “1”) F, як функції відношення плаваючих потенціалів, отримані на основі даних обчислювального експерименту. Зазначимо, що фізично, навпаки: відношення потенціалів зондів є функцією F, але в експерименті ми вирішуємо обернену задачу, тому аналізуємо обернені функції .



Мал.3. Значення безрозмірного рівня Фермі електронів запиленої плазми, нормованого на енергію Фермі базового зонду . Графіки відображують варіант обчислювального експерименту для підпростору визначальних параметрів ЗП: (,,4.5, 4.6, 4.0 еВ: [4.2, 5.8] еВ;  [ 2, 5 ].

Радіуси сферичних зондів покладались однаковими, причому такими, що  (для зондів з  мм відносна похибка, яку вносять відкинуті в (3.13) доданки, вже не перевищує 10-5). Роботи виходу металів, що з них виготовлено зонди, та енергії Фермі електронів провідності обирались з інтервалу   еВ, який охоплює практично всі відомі значення цих величин для твердих матеріалів [16] . Якісно графіки електрохімічного потенціалу запиленої плазми, як це видно з мал.3, є подібними, і із збільшенням різниці робіт виходу речовини зондів мають тенденцію до зростання (див. зміщення кривих 18 у напрямку стрілки - мал.3а, та  трансформації просторового графіку впродовж осі   на мал.3б  ). 


Висновок



Запропонований зондовий метод є одним з актуальних сучасних методів вимірювання електрофізичних характеристик гетерогеної плазмової середи, який засновувався  на апроксимації Томаса-Фермі для дисперсійного рівняння електронів провідності зонду. Користуючись комп’ютерною симуляцією експерименту було визначено залежності потенціалу усамітненого зонду від визначальних термодинамічних параметрів плазмового середовища.

Таким чином, для більш точних вимірів F в двозондовій методиці необхідно використовувати зонди з металів, які якомога більше відрізняються за роботою виходу. Оскільки в термічній гетерогенній плазмі електростатичний потенціал пасивного зонду буде ~ kT << , то даний метод вимірювань рівня Фермі є безпосередньо застосовним для багатьох видів запилених плазм у впровадженнях. 


Література



Цытович В. Н. Плазменно-пылевые кристаллы, капли и облака// Успехи физических наук. - 1997.-Т. 167, N 1, С. 57 - 99 .

Маренков В.І. Вплив електронних та діелектричних властивостей металу на іонізацію гетерогенної плазми, утвореної буферним газом та ансамблем емітуючих металевих макрочастинок// Вісник Одеського державного університету.- Одеса, 2000, Т.5, Вип.3, С. 202-208.

Чан П. и др. лектрические зонд в неподвижной и движущейся плазме: (теория и применения/ П. Чан, Л Тлбот, К. Турян . -  М.: Мир, 1978. - 201 с.

Павлов Т. А. Процесс переноса в плазме с сильнм кулоновским взаимодействием. - М.: нергоатомиздат, 1995. - 192 с.

Касаков А. И.  Основные понятия физики плазмы// Методические указания. – Грозный, 1983.- С. 3-14.

Козлов В. И. Электрический зонд в плазме// М.:  Наука, 1978.- 235 c.

Прохоров А. М. Физическая Энциклопедия// М.: Большая Российская Энциклопедии, 1992.-Т.3, С.350 - 355

Лохте-Хольтгревен В.  Методы исследования плазмы// М.: Мир, 1971. С. 459 – 502.

Маренков В.И.,Чесноков М.Н. Физические модели плазмы с конденсированной дисперсной фазой.  -  Киев:  УМК ВО, 1989, 188 с.

Смирнов Б.М. Кластерная плазма. - УФН, 2000, Т. 170, 5, С. 495-534.

Кайзер Дж. Статистическая термодинамика неравновесніх процессов. - М.: Мир, 1990. - 608 с.

Marenkov V.I., Zakharchenko V.L. Physical modelling of ionization state of dense high-temperature plasmasol on the basis of Tomas-Fermi approximation for macroparticles electron component. -  MECO 24, Middle European Cooperation in Statistical Physics, March 8th-10th, 1999.-Lutherstadt-Wittenberg,Germany.-1999.-P.43 .

Кубо Р.  Статистическая механика. - М.: Мир, 1967. - 452 с.    

Маренков В. лектрофизические характеристики плазм с макрочастицами конденсированной дисперсной фаз и атомами щелочнх металлов в газовой фазе// Физика ародисперснх систем. - Вп. 37, 1998. - С. 128 -143 .

Ландау Л.В., Лифшиц Е.М.  Статистическая  физика.  Ч. 1. -  М.: Наука, 1978.-583 с.

Фоменко В.С. Эмиссионное   свойства   материалов  :  справочник.- 4-е.  изд.- перераб. и доп. - Киев : Наукова думка, 1989. - 339 с.