Анализ экономических данных в странах третьего мира

Анализ экономических данных в странах третьего мира

Задание для выполнения практической работы по дисциплине эконометрика

корреляция регрессия гетероскедастичность

Работа включает в себя анализ реальных экономических данных при помощи изученных эконометрических моделей.

Работа должны быть выполнена в соответствии со следующими этапами:

1) Рассчитайте корреляцию между, экономическими показателями (не менее 5) из статистических данных по выборке не менее 30 наблюдений (из Интернета, печатных источников или Вашего предприятия). Интерпретируйте полученные данные.

2) Постройте линейную и не линейную (на свой выбор) множественную регрессию. Определите теоретическое уравнение множественной регрессии. Оцените адекватность построенной модели. Определите значимость переменных, найдите среднюю ошибку аппроксимации (вручную в экселе), коэффициент детерминации, линейные коэффициенты корреляции между всеми членами регрессии, найти критерий Фишера, Т-статистику и т. д.

3) Проверьте модели на отсутствие автокорреляции.

4) Проверка на гетероскедастичность моделей.

5) Сравните модели между собой выберете лучшую

Работа выполняется на листах формата А4, с титульным листом и обязательными выводами по работе. Решение: Сбор данных из интернет – источников получены данные средней продолжительности жизни, ВВП в паритетах покупательной способности, темпы прироста населения по сравнению с предыдущим годом, %; темпы прироста рабочей силы по сравнению с предыдущим годом, %; коэффициент младенческой смертности. Изучим зависимость продолжительности жизни от нескольких факторов по данным за 2005 г., представленным в табл.1.



Таблица 1. Обзор социальных показателей стран третьего мира.

Страна

У

Х1

Х2

Х3

Х4

Мозамбик

47

3,0

2,6

2,4

113

Бурунди

49

2,3

2,6

2,7

98

Чад

48

2,6

2,5

2,5

117

Непал

55

4,3

2,5

2,4

91

Буркина-Фасо

49

2,9

2,8

2,1

99

Мадагаскар

52

2,4

3,1

3,1

89

Бангладеш

58

5,1

2,0

2,1

79

Гаити

57

3,4

2,0

1,7

72

Мали

50

2,0

2,9

2,7

123

Нигерия

53

4,5

2,9

2,8

80

Кения

58

5,1

2,7

2,7

58

Того

56

4,2

3,0

2,8

88

Индия

62

5,2

1,8

2,0

68

Бенин

50

6,5

2,9

2,5

95

Пакистан

68

7,4

3,1

4,0

46

Мавритания

59

7,4

2,8

2,7

73

Зимбабве

47

4,9

3,1

2,8

124

Гондурас

60

8,3

2,9

3,3

90

Китай

51

5,7

2,5

2,7

96

Камерун

57

7,5

2,4

2,2

55

Конго

67

7,0

3,0

3,8

45

Шри-Ланка

69

10,8

1,1

1,1

34

Египет

57

7,8

2,9

3,1

56

Индонезия

51

7,6

2,9

2,6

90

Филиппины

72

12,1

1,3

2,0

16

Марокко

63

14,2

2,0

2,7

56

Папуа - Новая

64

14,1

1,6

2,5

51

Гвинея

66

10,6

2,2

2,7

39

Гватемала

65

12,4

2,0

2,6

55

Эквадор

57

9,0

2,3

2,3

64

Доминиканская Республика

66

12,4

2,9

3,5

44

Ямайка

69

15,6

2,2

3,2

36

Принятые в таблице обозначения:

у — средняя продолжительность жизни, лет;

х1 - ВВП в паритетах покупательной способности, млрд. долл.;

х2 - темпы прироста населения по сравнению с предыдущим годом, %;

х3 - темпы прироста рабочей силы по сравнению с предыдущим годом;

х4 - коэффициент младенческой смертности, %с.

1.         Корреляционный анализ 

Корреляционный анализ проводился с использованием компьютерной программы EXCEL с помощью пакета анализа данных

Таблица 2. Корреляционная зависимость продолжительности жизни от различных факторов.

 

У

Х1

Х2

Х3

Х4

У

1









Х1

0,7782

1







Х2

-0,524

-0,49

1





Х3

0,1123

0,096

0,6963

1



Х4

-0,928

-0,763

0,523

-0,032

1

На основании полученных данных можно сделать вывод, что наибольшее влияние на продолжительность жизни оказывает фактор Х1- ВВП в паритетах покупательной способности, у остальных факторов наблюдается слабый корреляционный отклик.

3. Для выбора наилучшей регрессионной функции необходимо ее проанализировать по набору критериев: коэффициенты попарной корреляции, коэффициенты множественной корреляции, критерий Фишера, статистики Стьюдента.

Строим регрессионную функцию по всем регрессорам, использую при этом пакет анализа данных MS Excel «Регрессия»

Таблица 3. Регрессионная статистика

Множественный R

0,9546

R-квадрат

0,9112

Нормированный R-квадрат

0,8981

Стандартная ошибка

2,3541

Наблюдения

32



Пояснения к таблице 2. Регрисеонная статистика содержит строки, характеризующие построенное уравнение регрессии:

Для парной регрессии Множественный R равен коэффициенту корреляции (rxу). Множественный коэффициент корреляции R определяется как коэффициент корреляции между наблюдаемыми значениями Yi и расчетными, прогнозируемыми значениями. По его значению 0,9546 можно сказать, что между X и Y существует сильная линейная зависимость.

Строка R–квадрат равна коэффициенту корреляции в квадрате, он близок к 1, это означает что данная модель хорошо описывает данные

Нормированный R–квадрат рассчитывается с учетом степеней свободы числителя (n-2) и знаменателя (n-1) по формуле: 



Стандартная ошибка (S) регрессии вычисляется по формуле 1.4.



Последняя строка содержит количество выборочных данных (n). Значимость уравнения в целом оценивается с помощью F-критерия Фишера



Если найденное значение F больше табличного для уровня значимости α и степеней свободы (n-m-1) и m, то с вероятность 1 - α делаем заключение о статистической значимости уравнения в целом. 



Таблица 4 Дисперсионный анализ

 

df

SS

MS

F

Значимость F

Регрессия

4

1535,9

383,97

69,285

8,42972E-14

Остаток

27

149,63

5,5418





Итого

31

1685,5







Пояснения к таблице дисперсионного анализа: число регрессоров m = 4 число n-m-1 = 27, где n – число наблюдений

Для уровня значимости α = 0,05 и при степенях свободы 4, 27 табличное значение критерия Фишера Fтаб = 2,71. 

Значение F =69,285 существенно превышает табличное, что говорит о статистической значимости уравнения в целом. 

Таблица 5 Коэффициенты регрессии



Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

P-Значение

Нижние 95%

Верхние 95%

Y-пересечение

72,846

3,4746

20,965

3E-18

65,717

79,976

Х1

0,0031

0,1929

0,0163

0,9871

-0,3925

0,3989

Х2

-6,173

1,9298

-3,199

0,0035

-10,132

-2,213

Х3

5,1218

1,5086

3,395

0,0021

2,02631

8,2173

Х4

-0,18

0,0258

-6,98

2E-07

-0,2326

-0,127

В столбце «Коэффициенты» получены коэффициенты уравнения регрессии. 

Коэффициент b0= 72,846 в Таблице анализа – это Y-пересечение. Таким образом, получили уравнение регрессии: 

У=72,846+0,0031Х1-6,173Х2+5,122Х3-0,18Х4

Коэффициент b1=0,0013 показывает, что при увеличении ВВП на 1 млр. дол. Средняя продолжительность жизни увеличивается в среднем на 0,0031 лет, увеличение темпов прироста населения на 1%,. приводит в среднем уменьшению продолжительности жизни на 6,173 лет, увеличение темпов прироста рабочей силы на 1% приводит к увеличению продолжительности жизни на 5,122 лет, а увеличение коэффициента младенческой смертности, на 1% ведет к уменьшению средней продолжительности жизни на 0,18 лет. 

Стандартные ошибки mi, t-статистики ti могут быть вычислены по формулам





Где σY - среднее квадратическое отклонение для отклика Y, σXi - среднее квадратическое отклонение для регрессора Xi (X1, X2, …)R2- коэффициент детерминации для уравнения множественной регрессии,  - коэффициент детерминации для зависимости отклика Y от всех регрессоров кроме Xi,- коэффициент детерминации для зависимости Xi от всех регрессоров кроме Xi.

Табличные t–критерии Стьюдента зависят от принятого уровня значимости и от числа степеней свободы (n-m-1). Если вычисленные значения t–критерия превышают табличные, то говорят, что соответствующий коэффициент регрессии является статистически значимым и на него можно опираться в анализе и прогнозе.

Более того, используя табличное значение t-критерия и стандартную ошибку mi коэффициента регрессии bi можно с вероятностью 1 - α сделать вывод о том, что истинное значение коэффициента регрессии попадет в интервал (bi – tтаб*mi , bi + tтаб*mi).

Они составляют:

m(X1) =0.192, m(X2) =1,9289, m(X3) =1,5086, m(X4) =0.0258, m(y) =3.4746

t(X1) =0.0163, t(X2) =-3.199, t(X3) =3.395, t(X4) =-6.98, t(y) =20.965

Табличное значение t–критерия Стьюдента при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы 27 tтаб =2,051. Коэффициенты t- статистики при регрессорах Х1 , Х2 и Х4 меньше t таб., и согласно t–критерию не являются статистически значимыми.

По величине Р-значения возможно определять значимость коэффициентов, не находя критическое значение t-статистики. Если значение t-статистики велико, то соответствующее значение вероятности значимости мало – меньше 0,05, и можно считать, что коэффициент регрессии значим. И наоборот, если значение t-статистики мало, соответственно вероятность значимости больше 0,05 – коэффициент считается незначимым. 

Для коэффициентов b0, b2, b3, b4 значения вероятности близко к нулю, следовательно, b1 можно считать значимым, b1- близко к единице, коэффициент не значим.

Далее представлены доверительные интервалы (нижняя и верхняя границы) для рассчитанных коэффициентов.

Таблица 6 Расчет относительной ошибки аппроксимации

Страна

У

у ожидаемое

остатки E

остатки/у

Мозамбик

47

48,735

-1,73

0,0369

Бурунди

49

52,969

-3,97

0,081

Чад

48

49,143

-1,14

0,0238

Непал

55

53,316

1,68

0,0306

Буркина-Фасо

49

48,485

0,52

0,0105

Мадагаскар

52

53,552

-1,55

0,0299

Бангладеш

58

57,027

0,97

0,0168

Гаити

57

56,234

0,77

0,0134

Мали

50

46,617

3,38

0,0677

Нигерия

53

54,877

-1,88

0,0354

Кения

58

59,56

-1,56

0,0269

Того

56

52,819

3,18

0,0568

Индия

62

59,73

2,27

0,0366

Бенин

50

50,647

-0,65

0,0129

Пакистан

68

65,915

2,08

0,0307

Мавритания

59

56,25

2,75

0,0466

Зимбабве

47

45,724

1,28

0,0272

Гондурас

60

55,648

4,35

0,0725

Китай

51

53,956

-2,96

0,058

Камерун

57

59,399

-2,40

0,0421

Конго

67

65,687

1,31

0,0196

Шри-Ланка

69

65,577

3,42

0,0496

Египет

57

60,742

-3,74

0,0657

Индонезия

51

52,062

-1,06

0,0208

Филиппины

72

72,195

-0,20

0,0027

Марокко

63

64,082

-1,08

0,0172

Папуа - Новая

64

66,61

-2,61

0,0408

Гвинея

66

66,082

-0,08

0,0012

Гватемала

65

63,929

1,07

0,0165

Эквадор

57

58,912

-1,91

0,0335

Доминиканская Республика

66

64,964

1,04

0,0157

Ямайка

69

69,197

-0,20

0,0029

сумма

1,0424

средняя ошибка аппроксимации 

3,2574

Средняя ошибка аппроксимации показывает среднее отклонение расчетных значений от фактических и рассчитывается по формуле:



 

Средняя ошибка аппроксимации составляет 3,2574 %. Это значит, что качество тренда, исходя из относительных отклонений по каждому наблюдения, признается хорошим, так в норме средняя ошибка аппроксимации колеблется в пределах до 10%

3) Проверка модели на отсутствие автокорреляции

Автокорреляция (последовательная корреляция) определяется как корреляция между наблюдаемыми показателями

При проверке независимости значений ei определяется отсутствие в остаточном ряду автокорреляции, под которой понимается корреляция между элементами одного и того же числового ряда. В нашем случае автокорреляция - это корреляция ряда e1, e2, e3 ... с рядом eL+1, eL+2, eL+3 Число L характеризует запаздывание (лаг). Корреляция между соседними членами ряда (т.е. когда L = 1) называется автокорреляцией первого порядка. Далее для остаточного ряда будем рассматривать зависимость между соседними элементами ei.

Наличие автокорреляции может быть выявлено при помощи d-критерия Дарбина-Уотсона. Значение критерия вычисляется по формуле:



Таблица 7. Расчет критерия d - Дарбина-Уотсона

Страна

остатки E

(Ei –Ei-1)2

Ei2

Мозамбик

-1,73

3,01

3,01

Бурунди

-3,97

4,9903

15,75

Чад

-1,14

7,9868

1,31

Непал

1,68

7,9914

2,84

Буркина-Фасо

0,52

1,3661

0,27

Мадагаскар

-1,55

4,2746

2,41

Бангладеш

0,97

6,3751

0,95

Гаити

0,77

0,0428

0,59

Мали

3,38

6,8497

11,44

Нигерия

-1,88

27,662

3,52

Кения

-1,56

0,1

2,43

Того

3,18

22,484

10,12

Индия

2,27

0,8299

5,15

Бенин

-0,65

8,5083

0,42

Пакистан

2,08

7,46

4,35

Мавритания

2,75

0,4422

7,56

Зимбабве

1,28

2,1712

1,63

Гондурас

4,35

9,4605

18,94

Китай

-2,96

53,41

8,74

Камерун

-2,40

0,3109

5,75

Конго

1,31

13,775

1,72

Шри-Ланка

3,42

4,4504

11,71

Египет

-3,74

51,337

14,01

Индонезия

-1,06

7,1856

1,13

Филиппины

-0,20

0,7508

0,04

Марокко

-1,08

0,7854

1,17

Папуа - Новая

-2,61

2,3372

6,81

Гвинея

-0,08

6,3933

0,01

Гватемала

1,07

1,3285

1,15

Эквадор

-1,91

8,8971

3,66

Доминиканская Республика

1,04

8,6895

1,07

Ямайка

-0,20

1,5193

0,04

сумма



283,18

149,69

критерий d





1,8918

В таблице значений критерия Дарбина-Уотсона для уровня значимости 5% при m=4и n=32 критические значения d1=1.14, d2=1,74, 

В нашем расчете значение d-критерия попадает в интервал от d2 до 2, автокорреляция отсутствует.

4) Проверка на гетероскедастичность моделей с использованием теста Бреуша-Пагана

Для этого проверки на гетероскедастичность воспользуемся таблицами 6 и 7

Затем строим регрессию, в которой за зависимую переменную берется столбец квадратов остатков еi2, а за зависимые переменные – переменные Х1, Х2, Х3, Х4, 

Результат представлен в таблицах 8,9,10



Таблица 8. Регрессионная статистика

Множественный R

0,222046

R-квадрат

0,049305

Нормированный R-квадрат

-0,09154

Стандартная ошибка

5,309145

Наблюдения

32



Таблица 9. Дисперсионный анализ

 

df

SS

MS

F

Значимость F

Регрессия

4

39,4692

9,867301

0,35006

0,841652584

Остаток

27

761,0497

28,18702





Итого

31

800,5189







Таблица 10. Коэффициенты регресси



Коэффиц

иенты

Стандартная ошибка

t-статистика

P-Значение

Нижние 95%

Верхние 95%

Y-пересечение

3,561922

7,836107

0,454552

0,65306

-12,516

19,6402

Х1

-0,21277

0,434968

-0,48916

0,62868

-1,1052

0,67971

Х2

-2,64445

4,352113

-0,60762

0,54851

-11,574

6,28535

Х3

2,473815

3,402388

0,727082

0,47343

-4,5073

9,45493

Х4

0,036775

0,058082

0,633148

0,53196

-0,0824

0,15595

Найдена статистика:

Х2наб = nR2=32*0.049305=1,578

Так как

Х2набл=1,578< Х2крит =9,48,

То гипотеза о гетероскедастичности отвергается и модель считается гомоскедастичной. 

Критическое значение распределения Хи-квадрат найдено с помощью действий: fx→Статистические→ХИ2ОБР(m), где m – число переменных, входящих в уравнение регрессии (в данном случае 6).

5) Сравните модели между собой выберете лучшую.

Как уже отмечалось ранее по величине Р-значения возможно определять значимость коэффициентов, не находя критическое значение t-статистики. Если значение t-статистики велико, то соответствующее значение вероятности значимости мало – меньше 0,05, и можно считать, что коэффициент регрессии значим. И наоборот, если значение t-статистики мало, соответственно вероятность значимости больше 0,05 – коэффициент считается незначимым. 

Для коэффициентов b0, b2, b3, b4 полученных при регрессионном анализе в п.4 значения вероятности близко к 1, следовательно, данные коэффициенты не значимы.

Таким образом, модель выраженная уравнением

У=72,846+0,0031Х1-6,173Х2+5,122Х3-0,18Х4 



Выводы

 

Проанализировав данные зависимости средней продолжительности жизни в странах третьего мира ВВП, темпы прироста населения, темпы прироста рабочей силы и коэффициент младенческой смертности можно сделать ряд выводов:

1.         В результате проведенного корреляционного анализа наибольшее

влияние на среднюю продолжительность жизни оказывает ВВП, у остальных факторов наблюдается слабый корреляционный отклик.

2.         В ходе регрессионного анализа было получено уравнение зависимости:

У=72,846+0,0031Х1-6,173Х2+5,122Х3-0,18Х4

При этом коэффициент b1=0,0013 показывает, что при увеличении ВВП на 1 млрд. дол. средняя продолжительность жизни увеличивается в среднем на 0,0031 лет, увеличение темпов прироста населения на 1%,. приводит в среднем уменьшению продолжительности жизни на 6,173 лет, увеличение темпов прироста рабочей силы на 1% приводит к увеличению продолжительности жизни на 5,122 лет, а увеличение коэффициента младенческой смертности, на 1% ведет к уменьшению средней продолжительности жизни на 0,18 лет. 

3.         По значению коэффициента множественной корреляции регрессии равным 0,9546 можно сказать, что между факторными и результативными признаками существует сильная линейная зависимость. 

4.         Значение F =69,285 существенно превышает табличное, что говорит о статистической значимости уравнения в целом.

5.          Табличное значение t–критерия Стьюдента при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы 27 tтаб =2,051. Коэффициенты t- статистики при регрессорах Х1 , Х2 и Х4 меньше t таб., и согласно t–критерию не являются статистически значимыми.

6. Средняя ошибка аппроксимации составляет 3,2574 %. Это значит, что качество тренда, исходя из относительных отклонений по каждому наблюдения, признается хорошим, так в норме средняя ошибка аппроксимации колеблется в пределах до 10%

7. В таблице значений критерия Дарбина-Уотсона для уровня значимости 5% при m=4и n=32 критические значения d1=1.14, d2=1,74, В нашем расчете значение d-критерия = 1,89 попадает в интервал от d2 до 2, значит автокорреляция отсутствует.

8. Проверка на гетероскедастичность моделей проводилась с использованием теста Бреуша-Пагана. Тест показал гетероскедастичность отсутствует и модель считается гомоскедастичной. 



Список используемой литературы

1.         Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 576 с.

2.         Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 344 с.

3.         Эконометрика: Учебно-методическое пособие / Шалабанов А.К., Роганов Д.А. – Казань: Издательский центр Академии управления «ТИСБИ», 2008. – 198 с.

4.         Практикум по эконометрике с применение MS Excel / Шалабанов А.К., Роганов Д.А. – Казань: Издательский центр Академии управления «ТИСБИ», 2008 – 53 с.

5.         Прикладная статистика. Основы эконометрики: Учебник для вузов: В 2-х т. – Т. 1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Теория вероятностей и прикладная статистика. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 656 с.

6.         Прикладная статистика. Основы эконометрики: Учебник для вузов: В 2-х т. – Т. 2. Айвазян С.А. Основы эконометрики. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 432 с.

7.         Эконометрика: Учебник / Тихомиров Н.П., Дорохина Е.Ю. – М.: Издательство «Экзамен», 2003. – 512 с

8.         Берндт Э. Р. Практика эконометрики: классика и современность: Учебник для студентов вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – 863 с.

9.         Эконометрика: учебное пособие / А.В. Гладилин, А.Н. Герасимов, Е.И. Громов. – М.: КНОРУС, 2008. – 232 с.

10.      Введение в эконометрику: учебное пособие / Л.П. Яновский, А.Г. Буховец. – М.: КНОРУС, 2009. – 256 с.

11.      Луговская Л.В. Эконометрика в вопросах и ответах: учебное пособие. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2006. – 208 с.