Общая теория статистики

Министерство образования и науки Украины





кафедра “Учет и аудит”





















КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА



Общая теория статистики



















Харьков, 2008 г.


Имеются данные по заводам, изготавливающим одноименную продукцию (табл. 1)



Таблица 1.

Завод

Объем производства, тыс. шт.

Себестоимость единицы продукции, грн.

Завод

Объем производства, тыс. шт.

Себестоимость единицы продукции, грн.

1

2

3

4

5

6

1

16

240

12

9

260

2

8

330

13

7

340

3

6

380

14

15

220

4

3

420

15

10

280

5

7

400

16

12

300

6

4

330

17

8

320

7

10

280

18

4

410

8

12

260

19

2

460

9

5

400

20

10

270

10

14

160

21

12

280

11

7

380

22

18

200



Для выявления зависимости между объемом производства продукции и ее себестоимостью сгруппируйте заводы по объему производства, образовав 4 группы с равными интервалами. По каждой группе и в целом по совокупности заводов подсчитайте:

		число заводов;

		средний объем производства;

		средний уровень себестоимости единицы продукции.

Результаты представьте в виде таблицы. Сделайте выводы.

Решение:

		Определим величину интервала.



i = (Xmax – Xmin) / n , где



Хmax – максимальный объем производства;

Xmin – минимальный объем производства;

n – количество групп;



i = (18 – 2) / 4 = 4;



По каждой группе необходимо подсчитать количество заводов и оформить результаты в виде таблицы. 



Таблица 1.2. Количество заводов по группам

№ группы

Группа заводов по объему производства, тыс. шт.

Количество заводов, шт.

Количество заводов к итогу, %

1

2 – 6 

5

22,7 %

2

6 – 10 

7

31,8 %

3

10 – 14 

6

27,3 %

4

14 – 18 

4

18,2 %

Итого



22

100 %



Вычислим процент к итогу для каждой группы и занесем результаты в таблицу 2.



Для 1-й группы 5 / 22 * 100 = 22,7 %

Для 2-й группы 7 / 22 * 100 = 31,8 %

Для 3-й группы 6 / 22 * 100 = 27,3 %

Для 4-й группы 4 / 22 * 100 = 18,2 %.

Вывод: результаты группировки показывают, что более половины заводов, т.е. 59% имеют объем производства от 6 до 14 тыс. шт. Низкий процент заводов имеет объем производства до 6 тыс. шт. – 22,7%, и свыше 14 тыс. шт. – 18,2%.

2. По данным таблицы 1 для изучения зависимости между объемом производства и себестоимостью единицы продукции произведем группировку заводов по объему производства, образовав 4 группы заводов с равными интервалами. Применяя метод группировок для взаимосвязи, необходимо прежде всего определить факторный признак, охватывающий влияние на взаимосвязанные с ним признаки. Таким факторным признаком является объем производства. По условию требуется выделить 4 группы заводов по объему производства с равными интервалами. В основание аналитической группировки возьмем те же группы.



Таблица 1.3. Сводная таблица данных по заводам

№

п/п

Группа заводов по объему производства

№ завода

Объем производства, тыс. шт.

Себестоимость единицы продукции, грн.

I

2 – 6

4

6

9

18

19

3

4

5

4

2

420

330

400

410

460

ИТОГО

5

18

2020

II

6 – 10

2

3

5

11

12

13

17

8

6

7

7

9

7

8

330

380

400

380

260

340

320

ИТОГО

7

52

2410

III

10 – 14

7

8

15

16

20

21

10

12

10

12

10

12

280

260

280

300

270

280

ИТОГО

6

66

1670

IV

14 – 18

1

10

14

22

16

14

15

18

240

160

220

200

ИТОГО

4

63

820

ВСЕГО

22

199

6920



Определим средний объем производства:



СОПI = 18 / 5 = 3,6 тыс. шт.;

СОПII = 52 / 7 = 7,4 тыс. шт.;

СОПIII = 66 / 6 = 11 тыс. шт.;

СОПIV = 63 / 4 = 15,75 тыс. шт.;

СОП = 199 / 22 = 9 тыс. шт.;



Определим уровень себестоимости единицы продукции:



ССПI = 2020 / 5 = 404 грн.;

ССПII = 2410 / 7 = 344,3 грн.;

ССПIII = 1670 / 6 = 278,3 грн.;

ССПIV = 820 / 4 = 205 грн.;

ССП = 6920 / 22 = 314,5 грн.;



Групповые показатели заводов таблицы 1.3 и исчисленные на их основе средние показатели занесем в сводную аналитическую таблицу 1.4.



Таблица 1.4. Результаты расчетов

Группа

Группа заводов по объему производства

Число заводов

Объем производства, тыс. шт.

Себестоимость единицы продукции, грн.











I

2 – 6 

5

3,6

404

II

6 – 10 

7

7,4

344,3

III

10 – 14 

6

11

278,3

IV

14 – 18 

4

15,75

205

ИТОГО

22

9

314,5



Вывод: из таблицы 1.4, мы видим, что с увеличением объема производства себестоимость единицы продукции снижается, следовательно, можно предположить, что между изучаемыми признаками существует обратная зависимость.



Задача № 2



Данные об издержках производства и себестоимости изделия «В», выпускаемого однородными предприятиями, за I и II кварталы представлены в таблице 2. 



Таблица 2

Номер предприятия

I квартал

II квартал



Издержки производства, тыс. грн.

Себестоимость единицы продукции, гр.

Количество продукции, тыс. шт.

Себестоимость единицы продукции, грн.

1

25857,0

50,7

550,0

49,5

2

4073,5

48,3

10,8

45,3

3

5450,0

49,0

120,0

48,1

4

10612,0

47,9

235,0

47,5



Определить среднюю себестоимость изделия «В» по всем заводам. Дать краткое обоснование применения соответствующих формул средних величин. Сделать краткие выводы.

Решение:

Определим среднюю себестоимость изделия «В» за I квартал. За I квартал статистическая информация содержит Хi – признак, fi – его частоту. Следовательно вычисления ведем, используя формулу среднеарифметической взвешенной.



Х =  хi * f i /  f i  ,



где хi – себестоимость единицы продукции, гр.; 

f i – издержки производства, тыс. гр.

Каждое значение признака называют вариантой (хi). Имеем ряд распределения, в котором одинаковые варианты объединены в группы и определены их частотой (f i), то есть числами, показывающими сколько раз встречается данная варианта в совокупности.



Х = (25857 * 50,7 + 4073,5 * 48,3 + 5450 * 49 + 10612 * 47,9) / (25857 + 4073,5 + 5450 + 10612) = 2283064,75 / 45992,5 = 49,6 гр.;



Определим среднюю себестоимость изделия «В» за II квартал. Статистическая информация не содержит частоты, а содержит (Хi * fi). Следовательно, вычисления ведем, используя формулу среднегармонической взвешенной.



Х = Мi  / (М i / Хi) , где  М i = Х i * f i



Х i – себестоимость единицы продукции, гр.;

М i – в данном случае количество продукции, тыс. шт..

Х = (550 + 10,8 + 120 + 235) / ((550 / 49,5) + (10,8 / 45,3) + (120 / 48,1) + (235 / 47,5)) = 915,8 / 18,79 = 48,7 гр.



Вывод: средняя себестоимость изделия «В» за II квартал ниже, чем средняя себестоимость изделия «В» за I квартал.



Задача №3.



Для изучения качества пряжи была проведена 2%-я механическая выборка, в результате которой обследовано 100 одинаковых по весу образцов пряжи и получены следующие результаты (таблица 3).



Таблица 3

Крепость нити, г

140-160

160-180

180-200

200-220

220-240

240-260

Число образцов

2

7

24

40

20

7



На основе полученных данных вычислите: 1) по способу моментов: а) среднюю прочность нити; б) дисперсию и среднее квадратичное отклонение;

2) коэффициент вариации; 3) с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборки и пределы, в которых можно ожидать среднюю крепость нити по всей партии пряжи. 

Решение:

1. Для определения средней прочности нити по способу моментов воспользуемся следующей формулой:



Х = m1 * i + A, где



m1 – момент первого порядка;

Х – варианта;

i – величина интервала; 

f – частота;

А – постоянная величина, на которую уменьшаются все значения признака;



m1 = (((X – A) / i)) * f) / f;

X = ((((X – A) / i)) * f) / f) * i + A;

i = 20;

В вариационных рядах с равными интервалами в качестве А принимается варианта ряда с наибольшей частотой: А = 210;



Таблица 3.1

Крепость нити, г

Число образцов

Х’

Х – А = Х’ – 210

((Х – А) / i  )

((Х – А) / i  ) * f

140-160

2

150

-60

-3

-6

160-180

7

170

-40

-2

-14

180-200

24

190

-20

-1

-24

200-220

40

210

0

0

0

220-240

20

230

20

1

20

240-260

7

250

40

2

14



 = 100  = -10

m1 = (((X – A) / i)) * f) / f = -10 / 100 = -0,1;

Х = m1 * i + A = -0,1 * 20 + 210 = 208 г.



Определим дисперсию способом моментов:



2 = i2 * (m2 – m12);

m1 = (((X – A) / i)) * f) / f;

m2 = (((X – A) / i)2) * f) / f;

m1 = -0.1;

m2 = 118 / 100 = 1.18;

2 = 202 * (1,18 – (-0,1)2) = 468;

Определим среднее квадратичное отклонение:



 = √2 = 21,6;



3. Отношение среднего квадратичного отклонения к средней называют квадратичным коэффициентом вариации:

V = ( / X ) * 100 %;

V = (21,6 / 208) * 100% = 10,38%;



4. Предельная ошибка выборки средней вычисляется по формуле:



х = t * 2 / n ,



где n – объем выбранной совокупности, n = 100;

2 – дисперсия;

t – коэффициент доверия (табличное значение для вероятности 0,997 соответствует t = 3);



Х = 3 * 468 / 100 = 6,49 г.

тогда: 208 – 6,49 < Х < 208 + 6,49

201,51 < Х < 214,49



Для бесповторной выборки :



 = t * (2 / n ) * (1 – (n / N))  ,



где n = 100; N = 5000; 

 = 3 * 468 / 100 * (1 – (100 / 5000)) = 3 * 4,68 * 0,98 = 6,42 г.

тогда : 208 – 6,42 < Х < 208 + 6,42

201,58 < Х < 214,42



Задача №4



Имеются данные об урожайности нового сорта пшеницы из ферм области (таблица 4). 



Таблица 4.

Год

1999

2004

2005

2006

2007

Урожайность, ц\га

35

40

39

40

42



Для анализа динамики урожайности пшеницы вычислите: 

Абсолютный прирост, темпы роста и прироста по годам и к 2004 году; абсолютное содержание 1% прироста (полученные данные представьте в виде таблицы);

Среднегодовой темп роста и прироста урожайности:

а) с 1999 по 2005 гг.;

б) с 2004 по 2007 гг.;

в) с 1999 по 2007 гг.

Постройте график динамики урожайности пшеницы. Сделайте выводы.

Решение:

Абсолютный прирост (i) определяется как разность между двумя уровнями ряда и показывает насколько данный уровень превосходит уровень, принятый за базу.

Базисный прирост:	 = у i – у б

где  у б = 40 ц\га; примем за базисный год – 2004 г.



 90 = 35 – 40 = -5 ц\га

 97 = 39 – 40 = -1 ц\га

 98 = 40 – 40 = 0 ц\га

 99 = 42 – 40 = 2 ц\га



Цепной прирост:	 = у i – у  i-1



 96 = 40 – 35 = 5 ц\га 

 97 = 39 – 40 = -1 ц\га 

 98 = 40 – 39 = 1 ц\га

 99 = 42 – 40 = 2 ц\га



Темп роста определяется делением сравниваемого уровня на предыдущий уровень или базовый, определяется в %.

Цепной: 



Т = (уi / уi-1 ) * 100 %;

Т96 = (40 / 35) * 100% = 114,3%;

Т97 = (39 / 40) * 100% = 97,5 %;

Т98 = (40 / 39) * 100% = 102,6%;

Т99 = (42 / 40) * 100% = 105%;



Базисный



Т = (у i / у  б ) * 100 %;

Т90 = (35 / 40) * 100% = 87,5%;

Т97 = (39 / 40) * 100% = 97,5%;

Т98 = (40 / 40) * 100% = 100%;

Т99 = (42 / 40) * 100% = 105%;



Темпы прироста: Тпр = Тпр  - 100%;



Цепной:

Тпр96 = 114,3 – 100 = 14,3%

Тпр97 = 97,5 – 100 = -2,5%

Тпр98 = 102,6 – 100 = 2,6%

Тпр99 = 105 – 100 = 5%



Базисный:	



Тпр90 = 87,5 – 100 = -12,5%

Тпр97 = 97,5 – 100 = -2,5%

Тпр98 = 100 – 100 = 0%

Тпр99 = 105 – 100 = 5%



Для того, чтобы правильно оценить значение полученного темпа роста его рассматривают в сопоставлении с показателем абсолютного прироста.

Результат выражают показателем, который называется абсолютным значением 1% прироста:



Аi = i / Тпрi или Аi = 0,01 * уi-1

А96 = 35 * 0,01 = 0,35;

А97 = 40 * 0,01 = 0,4;

А98 = 39 * 0,01= 0,39;

А99 = 40 * 0,01 = 0,4;



Расчетные данные представим в виде таблицы 4.1.

Год

Урожайность, ц\га

Абсолютный прирост, i

Темп роста, 

Тр   %

Темп прироста, 

Тпр   %

Абс. Знач. 1% прироста, Аi





Базисный

цепной

базисный

цепной

базисный

цепной



1999

35

-5

-

87,5

-

-12,5

-

-

2004

40

Б

5

Б

114,3

-

14,3

0,35

2005

39

-1

-1

97,5

97,5

-2,5

-2,5

0,4

2006

40

0

1

100

10,26

0

2,6

0,39

2007

42

2

2

105

105

5

5

0,4



Среднегодовые темпы роста и прироста урожайности:

с 1999 по 2005 гг.;

с 2004 по 2007 гг.;

с 1999 по 2007 гг.;



Т = n-1 уn / уi ,



где  n – количество значений

с 1999 по 2005 (n = 8)



Т = 8-1 39 / 35 =  7 39 / 35 = 1,02;



c 2004 по 2007 (n = 4)



Т = 4-1 42 / 40 = 3 42 / 40 = 1,02;



c 1999 по 2007 (n = 10)



Т = 10-1 42 / 35 = 9 42 / 35 = 1,02;

Темп прироста: Тпр = Тр – 1  (%) ,

1999 – 2005 гг. Тпр = (1,02 – 1) * 100 = 2%;

1969 – 2007 гг. Тпр = (1,02 – 1) * 100 = 2%;

1999 – 2007 гг. Тпр = (1,02 – 1) * 100 = 2%;



Вывод: график динамики урожайности имеет тенденцию к росту. Объем бытовых услуг в 2007 г. по сравнению с 1999 г. повысился на 42 – 35 = 7 ц\га.




Задача №5



В таблице 5 представлены данные о выработке тканей на ткацкой фабрике.



Таблица 5.

Ткань

Базисный период

Отчетный период



Количество, тыс. м (q0)

Оптовая цена за 1 м, грн. (z0)

Количество, тыс. м (q1)

Оптовая цена за 1 м, грн. (z1)

Сатин

5000

15,0

5400

14,0

Репс

3800

24,0

4200

20,0



Определить на основе индексного метода абсолютное изменение стоимости продукции, в том числе за счет изменения оптовых цен и количества произведенных тканей.

Решение:

 Общий индекс стоимости рассчитывается по формуле:



Iz = q1 * z1 / q1 * z0  ,

где q1, q0 – количество продукции данного вида соответственно в отчетном и базисном периоде;

z1, z0 – стоимости единицы продукции соответственно в отчетном и базисном периоде.



Iz = (5400 * 14 + 4200 * 20) / (5400 * 15 + 4200 * 24) = 159600 / 181800 = 0,878;

Iz = 0,878 * 100 = 87,8%;

Общая стоимость продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным уменьшилась на 12,2%.

Разность между числителем и знаменателем агрегатных индексов характеризует в абсолютном выражении изменение сложного показателя:

q1 * z1 - q1 * z0  = 159600 – 181800 = -22200 гр.



Общая стоимость продукции снизилась на 22200 гр.

Для выявления влияния факторов на изменение стоимости продукции строится общий индекс физического объема (количества) продукции.

		Рассчитаем общий индекс физического объема продукции:



Iq =  q1 * z0 /  q 0 * z0  

Iq = (5400 * 15 + 4200 * 24) / (5000 * 15 + 3800 * 24) = 181800 / 166200 = 1,094    109,4 %



Физический объем продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличился на 9,4% или на 15600 гр.



q1 * z1 - q0 * z0  = 181800 – 166200 = 15600 гр.



Задача №6



Имеются следующие данные по заводам города (таблица 6)



Таблица 6

Номер завода

Базисный период

Отчетный период



Валовая продукция в сопоставимых ценах, тыс. грн.

Промышленно-производственный персонал, чел.

Валовая продукция в сопоставимых ценах, тыс. гр.

Промышленно-производственный персонал, чел.

I

50800

7600

58000

9000

II

40500

8000

42600

8200



Определить:

индексы производительности труда по каждому предприятию;

общие индексы производительности труда переменного и фиксированного состава по 2 предприятиям вместе;

через взаимосвязь индексов – индекс структурных сдвигов.

Решение

Рассчитаем индексы производительности труда по каждому предприятию



iq = q1 / q0 ,

iq = 58000 / 50800 = 1,14;

iq = 42600 / 40500 = 1,05;



Рассчитаем общие индексы производительности труда переменного и фиксированного состава по двум предприятиям вместе



Iz пер. состава = ((z1 * q1) / q1) / ((z0 * q0) / q0);

Iz пер. состава = (((9000*58000)+(8200*42600)) / (9000+8200)) / (((7600*50800)+(8000*40500)) / (7600+8000)) = 50658,1 / 45518 = 1,11;

Iz пост. состава = ((z1 * q1) / q1) / ((z0 * q1) / q1);

Iz пост. состава = (((9000*58000)+(8200*42600)) / (9000+8200)) / (((9000*50800)+(8200*40500)) / (9000+8200)) = 50658,1 / 45889,5 = 1,10;



Рассчитаем индекс структурных сдвигов через взаимосвязь индексов



Iz = Iz * Iстр. сдвигов ,

Iстр. сдвигов = Iz / Iz ,

Iстр. сдвигов = 1,11 / 1,10 = 1,009;




Задача №7



По исходным данным задачи 1 для изучения тесноты связи между себестоимостью продукции и объемом производства вычислить коэффициент корреляции.

Решение:

Используя данные задачи №1, примем объем производства за «у», а себестоимость единицы продукции за – «х».

Тогда для оценки параметров линейного уравнения регрессии создают систему  нормальных уравнений, которая имеет вид:



 у = n  * b0 + b1 *  x

 уx = b0   x + b1 *  x2



Расчетные данные для решения системы нормальных уравнений приведены в таблице 1.

Подставив значения переменных из таблицы, получим систему уравнений:



199 = 22  * b0 + b1 * 6920

56160 = 6920* b0  + b1 * 2305600



После решения системы уравнений имеем:



у = 24,8 – 0,05х



Таблица 7

№ п/п

у

х

Yх

x2

у2

i

1

16

240

3840

57600

256

12,8

2

8

330

2640

108900

64

8,3

3

6

380

2280

144400

36

5,8

4

3

420

1260

176400

9

3,8

5

7

400

2800

160000

49

4,8

6

4

330

1320

108900

16

8,3

7

10

280

2800

78400

100

10,8

8

12

260

3120

67600

144

11,8

9

5

400

2000

160000

25

4,8

10

14

160

2240

25600

196

16,8

11

7

380

2660

144400

49

5,8

12

9

260

2340

67600

81

11,8

13

7

340

2380

115600

49

7,8

14

15

220

3300

48400

225

13,8

15

10

280

2800

78400

100

10,8

16

12

300

3600

90000

144

9,8

17

8

320

2560

102400

64

8,8

18

4

410

1640

168100

16

4,3

19

2

460

920

211600

4

1,8

20

10

270

2700

72900

100

11,3

21

12

280

3360

78400

144

10,8

22

18

200

3600

40000

324

14,8



199

6920

56160

2305600

2195





При увеличении объема производства, себестоимость единицы продукции снижается в среднем на 0,05 гр. На основании уравнения регрессии вычисляем теоретическое значение «у» для всех элементов совокупности.

Например: 



у1 = 24,8 – 0,05 * 240 = 12,8;



Коэффициент корреляции определяем по формуле:



r = (n *  уx  -  x *   у) / (n * х2 – ( x)2 ) * (n * у2 – ( у)2 )



где	 х – факторный признак;

 у – результативный признак;

 n – 22 шт.

Подставим значения из таблицы 7 получим, что коэффициент корреляции :



r = (22 * 56160 - 6920 * 199) / (22 * 2305600 – 47886400) * (22 * 2195 – 39601) = -0,9;



Значение коэффициента корреляции отрицательное (-0,9), следовательно, зависимость – обратно пропорциональная.

Чем ближе коэффициент корреляции по абсолютной величине к единице, тем теснее корреляционная зависимость.



-1 < r < 1



В нашем случае  r = -0,9 – это свидетельствует о достаточно тесной зависимости факторного и результативного признаков.


Литература



		Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник. – М.: Финансы и статистика, 1995. – 310 с.

		Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики: Учебник. – М.: ИНФРА-М, 2006. – 280 с.

		Практика по теории статистики. Под ред. Проф. Шмойловой Л.А. М.: Финансы и статистика, 2007.