Рынок вторичного жилья

Исходные данные о продаже квартир на вторичном рынке жилья

№ п/п

y

x1

x2

Задание







1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16







22.5

26

18.5

13.2

25.8

17

18

21

14.5

23

19.5

14.2

13.3

16.1

13.516







29

35

28

30

51

38

30

32

27

39

29.5

29

30

30.8

28

31







15

10

10

25

10

12

15

20

10

5

15

12

5

10

25

10

y – цена квартиры (тыс.$);

x1 – жилая площадь(кв. м);

x2 – время пути до метро (мин).

По имеющимся статистическим данным

отдельно для пар (у,х1) и (у,х2) найти:

а) уравнение линейной регрессии;

б) коэффициент корреляции;

в) среднюю величину у при х1=35 (х2=12);

г) 95% доверительные интервалы для

индивидуального и среднего значения у;

д) с надежностью 0.95 интервальные оценки коэффициента регрессии 1 и дисперсии 2;

е) коэффициент детерминации.



Оценить на уровне 0.05 значимость

уравнения регрессии.





Сделать анализ полученных результатов.



Табличные значения стандартных функций распределения:

t0.05,14 = 2.145 F0.05,1,14 = 4.6

20.025,14 =26.1 20.975,14 =5.63



1. Парная регрессия y на x1. 

	а) Найти уравнение линейной регрессии для x1.

	

№ п/п

yi

xi

y2

x2

x * y

xi – 

(xi –)2

1

22,5

29

506,25

841

652,5

-3,3

10,89

2

26

35

676

1225

910

2,7

7,29

3

18,5

28

342,25

784

518

-4,3

18,49

4

13,2

30

174,24

900

396

-2,3

5,29

5

25,8

51

665,64

2601

1315,8

18,7

349,69

6

17

38

289

1444

646

5,7

32,49

7

18

30

324

900

540

2,3

5,29

8

21

32

441

1024

672

-0,3

0,09

9

14,5

27

210,25

729

391,5

-5,3

28,09

10

23

39

529

1521

897

6,7

44,89

11

19,5

29,5

380,25

870,25

575,25

-2,8

7,84

12

14,2

29

201,64

841

411,8

-3,3

10,89

13

13,3

30

176,89

900

399

-2,3

5,29

14

16,1

30,8

259,21

948,64

495,88

-1,5

2,25

15

13,5

28

182,25

784

378

-4,3

18,49

16

16

31

256

961

496

-1,3

1,69

Сумма

292,1

517,3

5613,87

17273,89

9694,73



548,95

Средняя

18,2

32,3

350,9

1079,6

605,9



34,3



Таким образом, выборочные средние значения = 32,3; = 18,2; = 605,9;

	выборочная дисперсия = 34,3;

	выборочная ковариация cov(x,y) = = 605,9-32,3*18,2 = 18,04;

	Коэффициенты регрессии b1== = 0,53

	= 18,2 – 0,53*32,3 = 1,08

	При увеличении жилой площади на 1 кв.м цена квартиры в среднем возрастает на 0,53 тыс.$.

	Уравнение регрессии = 1,08 + 0,53 * x.

	б) рассчитать коэффициент корреляции

	

	

	

	

	


Между величиной жилой площади квартиры и ценной квартиры наблюдается умеренная положительная зависимость.

	в) определить среднюю величину y при x1=35.

	

	Средняя цена квартиры при жилой площади 35 кв.м составляет 19.63 тыс.$. Промежуточные вычисления для последующих расчетов проводим в таблице.

	

№ п/п

yi

xi











1

22,5

29

16.45

6.05

36.60

4.3

18.49

2

26

35

19.63

6.37

40.58

7.8

60.84

3

18,5

28

15.92

2.58

6.66

0.3

0.09

4

13,2

30

16.98

-3.78

14.29

-5.0

25.00

5

25,8

51

28.11

-2.31

5.34

7.6

57.76

6

17

38

21.22

-4.22

17.81

-1.2

1.44

7

18

30

16.98

1.02

1.04

-0.2

0.04

8

21

32

18.04

2.96

8.76

2.8

7.84

9

14,5

27

15.39

-0.89

0.79

-3.7

13.69

10

23

39

21.75

1.25

1.56

4.8

23.04

11

19,5

29,5

16.72

2.78

7.73

1.3

1.69

12

14,2

29

16.45

-2.25

5.06

-4.0

16.00

13

13,3

30

16.98

-3.68

13.54

-4.9

24.01

14

16,1

30,8

17.40

-1.30

1.69

-2.1

4.41

15

13,5

28

15.92

-2.42

5.86

-4.7

22.09

16

16

31

17.51

-1.51

2.28

-2.2

4.84

Сумма

292,1

517,3





169.59



281.27

Средняя

18,2

32,3









17.58

	

	г) найти 95% доверительные интервалы для индивидуального и среднего значения y.

	С учетом значений из обеих таблиц:

	Остаточная дисперсия 

	Дисперсия среднего значения  

	= 0.920

	Стандартное отклонение  

	Дисперсия индивидуального значения y0 

	

	Стандартное отклонение y0 

	Для доверительной вероятности =0,95 уровень значимости  = 1- = 0,05.

	Табличное значение t-распределения Стьюдента для уровня значимости  = 0,05 и числа степеней свободы k = n-2 =16-2 =14 составляет t0.05,8 = 2,31.

	Доверительный интервал для среднего значения 

	

	

	

	19.63 – 2.1450.96  y  19.63 + 2.1450.96

	17.57 y  21.69

	Доверительный интервал для индивидуального значения 

	

	

	

	19.63 – 2.1453.61  y0  19.63 + 2.1453.61

	11.89  y0  27.37

С учетом возможных ошибок средняя цена квартиры с площадью 35 кв.м с вероятностью 95% лежит в пределах от 17,57 до 21,69 тыс.$; при этом отдельно цена квартиры колебаться от 11,89 до 27,37 тыс.$.

	д) с надежностью 0,95 найти интервальные оценки коэффициента регрессии 1 и дисперсии возмущений 2.

	Дисперсия коэффициента регрессии == 0.022

	Стандартное отклонение 

	Доверительный интервал для коэффициента регрессии 1

	

	

	

	0.53–2.1450.148  1  0.53+ 2.1450.148

	0.21  1  0.85

	С надежностью 0,95 увеличение площади квартиры на 1 кв.м приводит к увеличению цены квартиры на величину от 0,21 до 0,85 тыс.$.

	Табличные значения распределения 2 Пирсона для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы 14 составляют

	

	; 

	

	Доверительный интервал дисперсии возмущений 

	

	

	


	7,42  2  34,42

	Интервал для стандартного отклонения 2,72    5,87.

С надежностью 0,95 дисперсия ошибок расчета находится в пределах от 7,42 до 34,42, а стандартное отклонение цены квартиры от среднего значения лежит в пределах от 2,72 до 5,87.

	Оценить на уровне 0,05 значимость уравнения регрессии.

	Общая сумма квадратов отклонений y = 281,27

	Остаточная сумма квадратов = 169,59

	Сумма квадратов, объясненная регрессией = 281,27–169,59 = 111,68

	Величина F-критерия

	

	= 9,23,

	

	где m – число параметров (коэффициентов), рассчитанных по уравнению регрессии m=2.

	Табличное значение F-распределения Фишера для уровня значимости =0,05 и числа степеней свободы k1=n-m=14 и k2=m-1=1 составляет F0,05,1,14=4,6.

	Так как расчетное значение F-критерия больше табличного критического, то уравнение регрессии y по x1 следует признать значимым, т.е. заслуживающим доверия.

	Определим коэффициент детерминации.

	

	0,40

	
Вариация зависимой переменной (цены квартиры) на 40% определяется фактором x –площадью квартиры.

2. Парная регрессия y на x2. 

	а) Найти уравнение линейной регрессии для x2.

	

№ п/п

yi

xi

y2

x2

x * y

xi – 

(xi –)2

1

22,5

15

506,25

225

337,5

1,9

3,61

2

26

10

676

100

260

-3,1

9,61

3

18,5

10

342,25

100

185

-3,1

9,61

4

13,2

25

174,24

625

330

11,9

141,61

5

25,8

10

665,64

100

258

-3,1

9,61

6

17

12

289

144

204

-1,1

1,21

7

18

15

324

225

270

1,9

3,61

8

21

20

441

400

420

6,9

47,61

9

14,5

10

210,25

100

145

1,9

3,61

10

23

5

529

25

115

-8,1

65,61

11

19,5

15

380,25

225

292,5

1,9

3,61

12

14,2

12

201,64

144

170,4

-1,1

1,21

13

13,3

5

176,89

25

66,5

-8,1

65,61

14

16,1

10

259,21

100

161

-3,1

9,61

15

13,5

25

182,25

625

337,5

11,9

141,61

16

16

10

256

100

160

-3,1

9,61

Сумма

292,1

209

5613,87

3263

3712,4



526,96

Средняя

18,2

13,1

350,9

203,94

232,025



32,9



Таким образом, выборочные средние значения = 13,1; = 18,2; = 232,025;

	выборочная дисперсия = 32,9;

	выборочная ковариация cov(x,y) = = 232,025-13,1*18,2 = -6,4;

	Коэффициенты регрессии b1== = -0,19 

	= 18,2 – (-0,19)*13,1 = 20,7

	При увеличении времени пути до метро на 1 мин. цена квартиры в среднем снижается на 0,19 тыс.$.

	Уравнение регрессии = 20,7 – 0,19 * x.

	б) рассчитать коэффициент корреляции

	

	

	

	

Между временем пути до метро от квартиры и ценной квартиры наблюдается слабая отрицательная зависимость.

	в) определить среднюю величину y при x2=12.

	

	Средняя цена квартиры при времени пути до метро 12 минут составляет 19.63 тыс.$.

	Промежуточные вычисления для последующих расчетов проводим в таблице

	

№ п/п

yi

xi











1

22,5

15

17,85

4,65

21,62

4.3

18.49

2

26

10

18,80

7,2

51,84

7.8

60.84

3

18,5

10

18,80

-0,3

0,09

0.3

0.09

4

13,2

25

15,95

-2,75

7,56

-5.0

25.00

5

25,8

10

18,80

7,0

49,0

7.6

57.76

6

17

12

18,42

-1,42

2,02

-1.2

1.44

7

18

15

17,85

0,15

0,02

-0.2

0.04

8

21

20

16,90

4,1

16,81

2.8

7.84

9

14,5

10

18,80

-4,3

18,49

-3.7

13.69

10

23

5

19,75

3,25

10,56

4.8

23.04

11

19,5

15

17,85

1,65

2,72

1.3

1.69

12

14,2

12

18,42

-4,22

17,81

-4.0

16.00

13

13,3

5

19,75

-6,45

41,60

-4.9

24.01

14

16,1

10

18,80

-2,7

7,29

-2.1

4.41

15

13,5

25

15,95

-2,45

6,003

-4.7

22.09

16

16

10

18,80

-2,8

7,84

-2.2

4.84

Сумма

292,1

209





261,27



281.27

Средняя

18,2

13,1









17.58

	

	г) найти 95% доверительные интервалы для индивидуального и среднего значения y.

	С учетом значений из обеих таблиц:

	Остаточная дисперсия 

	Дисперсия среднего значения  

	= 1,21

	Стандартное отклонение  

	Дисперсия индивидуального значения y0 

	

	Стандартное отклонение y0 

	Для доверительной вероятности =0,95 уровень значимости  = 1- = 0,05.

	Табличное значение t-распределения Стьюдента для уровня значимости  = 0,05 и числа степеней свободы k = n-2 =16-2 =14 составляет t0.05,8 = 2,31.

	Доверительный интервал для среднего значения 

	

	

	
18,42 – 2,1451,1  y  18,42 + 2,1451,1

	16,06 y  20,78

	Доверительный интервал для индивидуального значения 

	

	

	

	18,42 – 2,1454,46  y0  18,42 + 2,1454,46

	8,85  y0  27,99

С учетом возможных ошибок средняя цена квартиры с временем пути до метро 12 минут с вероятностью 95% лежит в пределах от 16,06 до 20,78 тыс.$; при этом отдельно цена квартиры колебаться от 8,85 до 27,99 тыс.$.

	д) с надежностью 0,95 найти интервальные оценки коэффициента регрессии 1 и дисперсии возмущений 2.

	Дисперсия коэффициента регрессии == 0.035

	Стандартное отклонение 

	Доверительный интервал для коэффициента регрессии 1

	

	

	

	-0,19–2,1450,187  1  -0,19 + 2,1450,187

	0,59 1  0,21

	С надежностью 0,95 увеличение времени пути до метро на 1 минуту приводит к увеличению цены квартиры на величину от – 0,59 до 0,21 тыс.$.

	Табличные значения распределения 2 Пирсона для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы 14 составляют

	; 

	Доверительный интервал дисперсии возмущений 

	

	

	

	

	11,44  2  53,03

	Интервал для стандартного отклонения 3,38    7,28.

С надежностью 0,95 дисперсия ошибок расчета находится в пределах от 11,44 до 53,03, а стандартное отклонение цены квартиры от среднего значения лежит в пределах от 3,38 до 7,28.

	Оценить на уровне 0,05 значимость уравнения регрессии.

	Общая сумма квадратов отклонений y = 281,27

	Остаточная сумма квадратов = 261,27

	Сумма квадратов, объясненная регрессией = 281,27–261,27 = 20

	Величина F-критерия

	

	= 1,07,

	

	где m – число параметров (коэффициентов), рассчитанных по уравнению регрессии m=2.

	Табличное значение F-распределения Фишера для уровня значимости =0,05 и числа степеней свободы k1=n-m=14 и k2=m-1=1 составляет F0,05,1,14=4,6.

	Так как расчетное значение F-критерия больше табличного критического, то уравнение регрессии y по x1 следует признать значимым, т.е. заслуживающим доверия.

	Определим коэффициент детерминации.

квартира стоимость регрессия вариация

	0,07

	

	Вариация зависимой переменной (цены квартиры) на 7% определяется фактором x –временем пути до метро.