Действие физических сил на конструкцию

1. Определение реакций опор составной конструкции (система двух тел)



Задание: Конструкция состоит из двух частей. Установить, при каком способе соединения частей конструкции модуль реакции  наименьший, и для этого варианта соединения определить реакции опор, а также соединения С.

Дано:  = 9,0 кН; = 12,0 кН; = 26,0 кНм; = 4,0 кН/м.

Схема конструкции представлена на рис.1.





Рис.1. Схема исследуемой конструкции.



Решение:

1) Определение реакции опоры А при шарнирном соединении в точке С.

Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных ко всей конструкции (рис.2.). Составим уравнение моментов сил относительно точки B.





Рис.2.


			(1)



где кН.

После подстановки данных и вычислений уравнение (1) получает вид:



кН			(1’)



Второе уравнение с неизвестными  и  получим, рассмотрев систему уравновешивающихся сил, приложенных к части конструкции, расположенной левее шарнира С (рис. 3):





Рис. 3.



.



Отсюда находим, что 





 кН.



Подставив найденное значение  в уравнение (1’) найдем значение :



 кН.



Модуль реакции опоры А при шарнирном соединении в точке С равен:



 кН.



2) Расчетная схема при соединении частей конструкции в точке С скользящей заделкой, показанной на рис. 4.

















Рис. 4



Системы сил, показанные на рис. 2 и 4, ничем друг от друга не отличаются. Поэтому уравнение (1’) остается в силе. Для получения второго уравнения рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных к части конструкции, располоденной левее скользящей заделки С (рис. 5).


















Рис. 5



Составим уравнение равновесия:



 





и из уравнения (1’) находим:









Следовательно, модуль реакции при скользящей заделке в шарнире С равен:





 кН.



Итак, при соединении в точке С скользящей заделкой модуль реакции опоры А меньше, чем при шарнирном соединении (≈ 13%). Найдем составляющие реакции опоры В и скользящей заделки.

Для левой от С части (рис. 5а)



 ,

 кН.



Составляющие реакции опоры В и момент в скользящей заделке найдем из уравнений равновесия, составленных для правой от С части конструкции.



 

 кН*м

   кН

 ;  кН



Результаты расчета приведены в таблице 1.



Таблица 1.



Силы, кН

Момент, кН*м



XA

YA

RA

XC

XB

YB

MC

Для схемы на рис. 2

-7,5

-18,4

19,9

-

-

-

-

Для схемы на рис. 4

-14,36

-11,09

17,35

-28,8

28,8

12,0

-17,2




2. Определение реакций опор твердого тела



Задание: Найти реакции опор конструкции. Схема конструкции показана на рисунке 1. Необходимые данные для расчета приведены в таблице 1.



Табл. 1

Силы, кН

Размеры, см





a

b

c

R

r

2

1

15

10

20

20

5





Рис. 1. Здесь: , , , .



Решение: К конструкции приложены сила тяжести , силы  и реакции опор шарниров  и : (рис. 2)





Рис. 2.


Из этих сил пять неизвестных. Для их определения можно составить пять уравнений равновесия.

Уравнения моментов сил относительно координатных осей:



;

;

;	 кН.

;

;	 кН.

;

;	 кН.



Уравнения проекций сли на оси координат:



;

 кН

;

кН.



Результаты измерений сведены в табл. 2.













0,43 кН

1,16 кН

3,13 кН

-0,59 кН

3,6 кН



3. Интегрирование дифференциальных уравнений



Дано

=45 ; Vв=2Va ; τ=1c; L=3 м ; h=6

Найти ƒ=? d=?

Решение



mX=Xi 1 Fтр=fN

mX=Gsin-Fcoпр N=Gcos



mX=Gsin-fGcos

X=gsin-fgcos

X=(g(sin-fcos) t+ C1

X=(g(sin-fcos)/2) t2+ C1t+ C2



При нормальных условиях : t=0 x=0



X=C1 X= C2=> C1=0

X=g(sin-fcos) t+ 1 X=(g(sin-fcos)/2) t2

X=Vв X=L

		Vв=g(sinα-ƒ*cosα)τ

	L=((g(sinα-ƒ*cosα)τ)/2)τ

	ƒ=tgα-(2L/τ *g*cosα)=1-0,8=0,2

	Vв=2l/τ=6/1=6м/с



Рассмотрим движение тела от точки В до точки С показав силу тяжести действующую на тело , составим дифференциальное уравнение его движения . mx=0 my=0

Начальные условия задачи: при t=0



	X0=0	 Y0=0

		X0=Vв*cosα ;	 Y0=Vв*sinα



Интегрируем уравнения дважды

		

		Х=C3	Y=gt+C4

			X= C3t+ C5

			Y=gt /2+C4t+C6, при t=0

			X=C3;	 Y0=C4

			X=C5;	Y0=C6

		

Получим уравнения проекций скоростей тела.

	

	X=Vв*cosα , Y=gt+Vв*sinα



и уравнения его движения

		

		X=Vв*cosα*t	 Y=gt /2+Vв*sinα*t



Уравнение траектории тела найдем , исключив параметр t из уравнения движения. Получим уравнение параболы.



	Y=gx /2(2Vв*cosα) + xtgα



В момент падения y=h x=d



d=h/tgβ=6/1=6м



Ответ: ƒ=0,2 d=6 м



4. Определение реакций опор составной конструкции (система двух тел)



Задание: Конструкция состоит из двух частей. Установить, при каком способе соединения частей конструкции модуль реакции  наименьший, и для этого варианта соединения определить реакции опор, а также соединения С.

Дано:  = 9,0 кН; = 12,0 кН; = 26,0 кНм; = 4,0 кН/м.

Схема конструкции представлена на рис.1.





Рис.1. Схема исследуемой конструкции.



Решение:

1) Определение реакции опоры А при шарнирном соединении в точке С.

Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных ко всей конструкции (рис.2.). Составим уравнение моментов сил относительно точки B.





Рис.2.



			(1)



где кН.

После подстановки данных и вычислений уравнение (1) получает вид:



кН			(1’)



Второе уравнение с неизвестными  и  получим, рассмотрев систему уравновешивающихся сил, приложенных к части конструкции, расположенной левее шарнира С (рис. 3):





Рис. 3.



.



Отсюда находим, что 





 кН.



Подставив найденное значение  в уравнение (1’) найдем значение :



 кН.



Модуль реакции опоры А при шарнирном соединении в точке С равен:



 кН.



2) Расчетная схема при соединении частей конструкции в точке С скользящей заделкой, показанной на рис. 4.





Рис. 4



Системы сил, показанные на рис. 2 и 4, ничем друг от друга не отличаются. Поэтому уравнение (1’) остается в силе. Для получения второго уравнения рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных к части конструкции, располоденной левее скользящей заделки С (рис. 5).





Рис. 5


Составим уравнение равновесия:



 





и из уравнения (1’) находим:









Следовательно, модуль реакции при скользящей заделке в шарнире С равен:





 кН.



Итак, при соединении в точке С скользящей заделкой модуль реакции опоры А меньше, чем при шарнирном соединении (≈ 13%). Найдем составляющие реакции опоры В и скользящей заделки.

Для левой от С части (рис. 5а)





,

 кН.



Составляющие реакции опоры В и момент в скользящей заделке найдем из уравнений равновесия, составленных для правой от С части конструкции.



 

 кН*м

   кН

 ;  кН



Результаты расчета приведены в таблице 1.



Таблица 1.



Силы, кН

Момент, кН*м



XA

YA

RA

XC

XB

YB

MC

Для схемы на рис. 2

-7,5

-18,4

19,9

-

-

-

-

Для схемы на рис. 4

-14,36

-11,09

17,35

-28,8

28,8

12,0

-17,2



Дано :



R2=15; r2=10; R3=20; r3=20

X=C2t2+C1t+C0

При t=0 x0=8 =4

t2=2 x2=44 см

X0=2C2t+C1

C0=8

C1=4

44=C2 *22+4*2+8

4C2=44-8-8=28

C2=7

X=7t2+4t+8

=V=14t+4

a==14

V=r22

R22=R33

3=V*R2/(r2*R3)=(14t+4)*15/10*20=1,05t+0,3

3=3=1,05

Vm=r3*3=20*(1,05t+0,3)=21t+6

atm=r3

=1,05t

atm=R3=20*1,05t=21t

anm=R323=20*(1,05t+0,3)2=20*(1,05(t+0,28)2

a=



5. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы



Исходные данные.

Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя. Трение скольжения тела 1 и сопротивление качению тела 3 отсутствует. Массой водила пренебречь.

Массы тел - m1, m2, m3, m4; R2, R3, R4 – радиусы окружностей.









m1, кг

m2, кг

m3, кг

m4, кг

R2, см

R3, см

s, м

m

m/10

m/20

m/10

10

12

0.05π



Найти.

Пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определит скорость тела 1 в тот момент, когда пройденный им путь станет равным s.

Решение.

1. Применим к механической системе теорему об изменении кинетической энергии.



,



где T0 и T – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях;  – сумма работ внешних сил, приложенных к системе, на перемещении из начального положения в конечное;  - сумма работ внутренних сил системы на том же перемещении.

Для рассматриваемых систем, состоящих из абсолютно твёрдых тел, соединённых нерастяжимыми нитями и стержнями . Так как в начальном положении система находится в покое, то T0=0.

	Следовательно, уравнение (1) принимает вид:

	

	.

	

	2. Определим угол, на который повернётся водило, когда груз 1 пройдёт расстояние s.



.



То есть когда груз 1 пройдёт путь s, система повернётся на угол 90º.

3. Вычислим кинетическую энергию системы в конечном положении как сумму кинетических энергий тел 1, 2, 3, 4.



T = T1 + T2 + T3 + T4.



а) Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно равна:



.



б) Кинетическая энергия катка 2, вращающегося вокруг своей оси равна:



,



где  - момент инерции катка 2,  - угловая скорость катка 2.

Отсюда получаем, что



.



в) Кинетическая энергия катка 3, совершающего плоско-параллельное движение, равна:



,



где  - скорость центра масс катка 3,

-угловая скорость мгновенного центра скоростей катка 3



 



момент инерции катка 3 относительно мгновенного центра скоростей.

Отсюда получаем, что







г) Кинетическая энергия катка 4, совершающего плоскопараллельное движение, равна:







где  - угловая скорость мгновенного центра скоростей,

 - скорость центра масс катка 4,

 - момент инерции катка 4 относительно мгновенного центра скоростей.

Отсюда получаем, что







Таким образом, кинетическая энергия всей механической системы равна:







4. Найдём работу всех внешних сил, приложенных к системе на заданном перемещении.

а) Работа силы тяжести G1: AG1=m1∙g∙s=m∙980∙5=15386∙m1.

б) Работа силы тяжести G2: AG2=0.

	в) Работа силы тяжести G3: AG3=-m3∙g∙(OA)=-0.05∙m∙980∙36=-1764∙m.

г) Работа силы тяжести G4: AG4=-m4∙g∙OC=-0.1∙m∙980∙72=-7056∙m.

Таким образом, работа всех внешних сил, приложенных к системе равна:



= AG1+AG3+AG4=15386∙m-1764∙m-7056∙m=6566∙m.



5. Согласно теореме об изменении кинетической энергии механической системы приравниваем значения T и .



=6566∙m;

=6566.



Отсюда скорость тела 1 равна:



= 0.31 м/с.



Результаты расчётов.





V1, м/c

0.31











Дано:	 Q=4kH, G=2kH, a=50см, b=30см.

Определить: реакции опор А, В, С.

Решение:



1) ∑FKX=XA+XB-RC∙cos30°+Q·sin45°=0;

2) ∑FKY=YA=0;

3) ∑FKZ=ZA+ZB+RC·sin30°-G-Q·cos45°=0;

4) ∑MKX=ZB·AB-G·AB/2-Q·cos45°·AB=0;

	5) ∑MKY=G·AC/2·cos30°-RC·AC·sin60°+Q·AC·sin75°=0;

	6) ∑MKZ=-XB·АВ-Q·AB·cos45°=0.

	Из (6) XB=(-Q·AB·cos45°)/АВ=-4·50·0,7/50=-2,8кН

	Из (5) RC=(G·AC/2·cos30°+Q·AC·sin75°)/AC·sin60°=

	=(2·30/2·0,87+4·30·0,96)/30·0,87=(26,1+115,2)/26,1=5,4кН

	Из (4) ZB=(G·AB/2+Q·cos45°·AB)/AB=(50+141,4)/50=3,8kH

	Из (3) ZA=-ZB-RC·sin30°+G+Q·cos45°=-3,8-2,7+2+2,8=-1,7кН

	Из (1) XA=-XB+RC∙cos30°-Q·sin45°=2,8+4,7-2,8=4,7кН

	

	Результаты вычислений:

	Силы, кН

	RC

	XA

	YA

	ZA

	XB

	ZB

	5,4

	4,7

	0

	-1,7

	-2,8

	3,8