Распределение температуры по сечению балки

2



Министерство образования Российской Федерации

Архангельский государственный технический университет

Факультет промышленной энергетики ПТЭIII-2

Кафедра теплотехники















Реферат

Распределение температуры по сечению балки.







Руководитель работы: С.И. Осташев

Студент Шафоростов А.В.



















Архангельск

2009


Содержание

	

	Задание

	Расчет распределения температуры по сечению балки явным методом

	Расчет распределения температуры по сечению балки неявным методом

	Список литературы

	


Задание



	Необходимо нагреть груз прямоугольного сечения. Теплота с помощью нагревателя подводится с одной из сторон. Нагреватель должен работать до тех пор, пока температура противоположной стороны не достигнет заданного значения Tk. Первоначально груз имел температуру Tн. Остальные 3 поверхности окружены воздухом с температурой T∞. Коэффициент теплоотдачи от этих поверхностей α. Температура нагревания TS.

	Сколько времени должен работать нагреватель, чтобы минимальная температура на противоположной стороне бруса составила Tк. Расчёты выполнить явным и неявным методом.

	



распределение температура сечение балка


Расчет распределения температуры по сечению балки явным методом

	

	Методика численного решения задач нестационарной теплопроводности аналогична рассмотренной методике решения задач стационарной теплопроводности. При решении нестационарных задач для каждого узла необходимо дополнительно учесть аккумулирование энергии - в материале, величина которой определяется теплофизическими свойствами материала. Принцип метода заключается в определении температуры в узле в момент времени τ+Δτ, зная температуру в этом узле и в соседних узлах в предыдущий момент времени τ, поэтому этот метод и называется явным.

	Чтобы решить задачу нестационарной теплопроводности численным методом необходимо знать начальное распределение температуры в твердом теле (временные граничные условия). Обычно в качестве такого условия тело рассматривают изотермичным, а температуры во всех узлах - равными начальной температуре тела. Затем, после расчета всех температур в момент времени Δτ процесс повторяют и рассчитывают температур в момент времени 2Δτ. Эту процедуру повторяют до тех пор, пока не будет достигнут момент времени, для которого требуется знать распределение температуры.

	Следует также иметь в виду, что для выделения единственности решения дифференциального уравнения в частных производных вводят дополнительные условия, при этом:

	1. для избежания противоречивости в условиях постановки задачи убеждаются в решении данной задачи при рассматриваемых условиях путем доказательства теоремы существования решения.

	2. для исключения получения бесчисленного множества решений также убеждаются в единственности решения при рассматриваемых условиях путем доказательства теоремы о единственности решения.

	3. для исключения противоречивости решения проверяют задачу на устойчивость. Устойчивой называется задача математической физики, в которой при достаточно малом изменении аргумента наблюдается сколь угодно малое изменение решения. Из изложенного следует, что в данном методе выбор расстояния между узлами Δx и временного интервала Δτ не является произвольным. В противном случае решение не будет устойчивым, а следовательно можно получить результаты, противоречащие основным законам термодинамики.

	Явные разностные уравнения баланса и критерии устойчивости для десяти узлов поверхности балки имеют следующий вид:

	









































	

	где Bi=α·Δx/λ - число Био, где a - коэффициент теплоотдачи от среды к омываемой поверхности, Вт/ (м К);

	Δх - шаг по пространству, м;

	λ - коэффициент теплопроводности материала стенки, Вт/ (м-К);

	Принимаю Δх=0,05 м (см. рис.1), тогда критерий: Био Bi=84·0,05/69,2=0,06069. Принимаю Δτ=5,248с, тогда критерий Фурье: Fo=69,2·5,248/ (0,052·465·7860) =0,03974. Условие устойчивости, удовлетворяющее всем десяти уравнениям: Fo (l+Bi) <0,25 Проверяем условие устойчивости: 0,03974· (1+0,06069) = 0,04216<0,25

	Условие выполняется, решаем уравнения.

	

	Распределение температуры по сечению балки. 

Время

Температура, град С, в узле

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

54

54

54

54

54

54

54

54

54

54

5,248

72,367

72,521

72,521

72,521

72,367

53,691

53,846

53,846

53,846

53,691

10,5

89,185

89,558

89,564

89,558

89,185

54,882

55,17

55,177

55,17

54,882

15,74

104,65

105,28

105,3

105,28

104,65

57,315

57,733

57,749

57,733

57,315

20,99

118,93

119,85

119,9

119,85

118,93

60,77

61,324

61,356

61,324

60,77

26,24

132,16

133,4

133,47

133,4

132,16

65,063

65,766

65,817

65,766

65,063

31,49

144,48

146,03

146,14

146,03

144,48

70,037

70,905

70,979

70,905

70,037

36,74

155,98

157,85

158

157,85

155,98

75,56

76,609

76,711

76,609

75,56

41,98

166,75

168,94

169,14

168,94

166,75

81,519

82,766

82,901

82,766

81,519

47,23

176,88

179,39

179,65

179,39

176,88

87,819

89,279

89,452

89,279

87,819

52,48

186,43

189,26

189,57

189,26

186,43

94,379

96,066

96,282

96,066

94,379

57,73

195,46

198,6

198,97

198,6

195,46

101,13

103,06

103,32

103,06

101,13

62,98

204,02

207,47

207,9

207,47

204,02

108,02

110,2

110,51

110,2

108,02

68,22

212,16

215,9

216,4

215,9

212,16

114,99

117,43

117,8

117,43

114,99

73,47

219,91

223,95

224,51

223,95

219,91

122,01

124,71

125,15

124,71

122,01

78,72

227,32

231,63

232,26

231,63

227,32

129,05

132,02

132,51

132,02

129,05

83,97

234,4

238,99

239,68

238,99

234,4

136,06

139,31

139,87

139,31

136,06

89,22

241,18

246,04

246,8

246,04

241,18

143,03

146,56

147, 19

146,56

143,03

94,46

247,69

252,81

253,64

252,81

247,69

149,95

153,75

154,45

153,75

149,95

99,71

253,95

259,32

260,22

259,32

253,95

156,79

160,86

161,64

160,86

156,79

105

259,97

265,59

266,55

265,59

259,97

163,53

167,89

168,74

167,89

163,53

110,2

265,77

271,63

272,66

271,63

265,77

170,18

174,81

175,74

174,81

170,18

115,5

271,36

277,47

278,56

277,47

271,36

176,72

181,62

182,63

181,62

176,72

120,7

276,77

283,1

284,26

283,1

276,77

183,14

188,32

189,4

188,32

183,14

	

	

	

	И так из результатов расчёта явным методом следует, что следует работать 73,47 сек, чтобы минимальная температура на противоположной стороне балки (узлы 6 и 10) была равна Tк=122˚С.

	

Расчет распределения температуры по сечению балки неявным методом

	

	Основной недостаток явного численного метода состоит в том, что разностные уравнения баланса энергии для каждого узла должны удовлетворять критерию устойчивости. Чтобы удовлетворять критерию устойчивости в практике приходится выбирать очень маленький шаг по времени, и это приводит к значительному возрастанию объёма расчётов. Рассмотрим другой метод, который является устойчивым при любых значениях чисел Bi и Fo. Суть его заключается в том, что уравнение баланса, полученное для явного метода, модифицирует, выражая через температуру в момент времени τ+Δτ. В этом методе разностные уравнения необходимо записывать для всех узлов, поэтому метод получил название неявного. Данный метод в математике называют методом использования левых производных, т.к. производная по времени опраксимируется разностью. Очевидно, что существенное преимущество неявного метода - это отсутствие критериев устойчивости, а недостаток - необходимость решения системы алгебраических уравнений (в отличие от неявного метода в явном можно решать разностные уравнения отдельно для каждого узла).

	

		(1+2Fo· (2+Bi)) · (T1) τ+Δτ-2·Fo· (1/2· (T6) τ+Δτ + (T2) τ+Δτ + Bi·T∞ + 1/2·Ts) - (T1) τ =0

		(1+4Fo) · (T2) τ+Δτ - Fo· ( (T1) τ+Δτ + (T3) τ+Δτ + (T7) τ+Δτ + Ts) - (T2) τ =0

		(1+4Fo) · (T3) τ+Δτ - Fo· ( (T2) τ+Δτ + (T4) τ+Δτ + (T8) τ+Δτ + Ts) - (T3) τ =0

		(1+4Fo) · (T4) τ+Δτ - Fo· ( (T3) τ+Δτ + (T5) τ+Δτ + (T9) τ+Δτ + Ts) - (T4) τ =0

		(1+2Fo· (2+Bi)) · (T5) τ+Δτ-2·Fo· (1/2· (T10) τ+Δτ+ (T4) τ+Δτ + Bi·T∞ + 1/2·Ts) - (T5) τ =0

		(1+4Fo· (1+Bi)) · (T6) τ+Δτ - 4·Fo· (1/2· (T1) τ+Δτ + 1/2· (T7) τ+Δτ + Bi·T∞) - (T6) τ =0

		(1+2Fo· (2+Bi)) · (T7) τ+Δτ-2·Fo· (1/2· (T6) τ+Δτ+1/2· (T8) τ+Δτ+Bi·T∞+ (T2) τ+Δτ) - (T7) τ =0

		(1+2Fo· (2+Bi)) · (T8) τ+Δτ-2·Fo· (1/2· (T7) τ+Δτ+1/2· (T9) τ+Δτ+Bi·T∞+ (T3) τ+Δτ) - (T8) τ =0

		(1+2Fo· (2+Bi)) · (T9) τ+Δτ-2·Fo· (1/2· (T8) τ+Δτ+1/2· (T10) τ+Δτ+Bi·T∞+ (T4) τ+Δτ) - (T9) τ =0

		(1+4Fo· (1+Bi)) · (T10) τ+Δτ - 4·Fo· (1/2· (T5) τ+Δτ + 1/2· (T9) τ+Δτ + Bi·T∞) - (T10) τ =0

	1.95-0.460.000.000.00-0.230.000.000.000.00 120,21

	0.231.92-0.230.000.000.00-0.230.000.000.00 119,6

	0.00-0.231.92-0.230.000.000.00-0.230.000.00 119,6

	0.000.00-0.231.92-0.230.000.000.00-0.230.00 119,6

	0.000.000.00-0.461.950.000.000.000.00-0.23 120,21

	0.460.000.000.000.001.98-0.460.000.000.00 1,23

	0.00-0.460.000.000.00-0.231.95-0.230.000.00 0,61

	0.000.00-0.460.000.000.00-0.231.95-0.230.00 0,61

	0.000.000.00-0.460.000.000.00-0.231.95-0.23 0,61

	0.000.000.000.00-0.460.000.000.00-0.461.98 1,23

	

	шаг по пространству - 0.05

	шаг по времени - 30.00

	начальная температура - 54.0

	

	Распределение температуры по сечению балки

Время

Температура, град С, в узле

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

54

54

54

54

54

54

54

54

54

54

30

129,13

130,78

130,98

130,78

129,13

75,75

76,88

77,04

76,88

75,75

60

184,96

188,34

188,84

188,34

184,96

107,37

109,88

110,28

109,88

107,37

90

228,22

233,21

234,06

233,21

228,22

141,71

145,64

146,44

145,64

141,71

120

262,88

269,29

270,5

269,29

262,88

175,23

180,64

181,83

180,64

175,23

150

291,32

298,98

300,53

298,98

291,32

206,32

213,14

214,73

213,14

206,32

180

315,07

323,81

325,68

323,81

315,07

234,35

242,48

244,46

242,48

234,35

210

335,14

344,82

346,98

344,82

335,14

259,23

268,53

270,87

268,53

259,23

240

352,23

362,73

365,15

362,73

352,23

281,08

291,43

294,11

291,43

281,08

270

366,87

378,08

380,72

378,08

366,87

300,17

311,44

314,42

311,44

300,17

300

379,45

391,27

394,11

391,27

379,45

316,78

328,86

332,1

328,86

316,78

330

390,28

402,63

405,64

402,63

390,28

331,2

343,98

347,45

343,98

331,2

360

399,62

412,43

415,59

412,43

399,62

343,69

357,1

360,77

357,1

343,69

	

	

	

	И так из результатов расчёта неявным методом следует, что следует работать 73,47 сек, чтобы минимальная температура на противоположной стороне балки (узлы 6 и 10) была равна Tк=122˚С.

	


Список литературы



Лекции “Моделирование процессов теплообмена”.