Решения к Сборнику заданий по высшей математике Кузнецова Л.А. - 2. Дифференцирование. Зад.15

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15.1. 

x'= 6t*t3-3t2(3t2+1) = -t2-1

               3t6                  t4

y'= cos(t3/3+t)(t2+1)

y'x= cos(t3/3+t)(t2+1)t4 = -t4cos(t3/3+t)

                 -t2-1

15.2. 

x'=    -t   _ 

      √(1-t2)

y'=                 1          _

      2√(1+t)cos2√(1+t)

y'x=          -√(1-t2)          =     -√(1-t2)  _

       2t√(1+t)cos2√(1+t)    2tcos2√(1+t)

15.3. 

x'=    1-t   _

      √(2t-t2)

y'=         2   _

      3 3√(1-t)5

y'x=       2√(2t-t2)   =      2√(2t-t2)  _

       3 3√(1-t)5(1-t)    3 3√(1-t)2(1-t)2

15.4. 

x'=     cost    = 1

     √(1-sin2t)

y'=       sint    = 1

     √(1-cos2t)

y'x= 1

15.5. 

x'= 1+t/√(t2+1) =      1  _

        t+√(t2+1)     √(t2+1)

y'= √(t2+1)+       t2   =  2t2+1_

                   √(t2+1)    √(t2+1)

y'x= (2t2+1)√(t2+1) = 2t2+1

               √(t2+1)      

15.6. 

x'=    1-t   _

      √(2t-t2)

y'=         1      =      1  _

     √(1-(t-1)2)   √(2t-t2)

y'x=     √(2t-t2)    =  1_

       √(t2-t2)(1-t)     1-t

15.7. 

x'=     -2et  _ =          -2et       _

      sin2(2et)     4sin2etcos2et

y'=        et         =       et      _

      tgetcos2et    sinetcoset

y'x=   4et  sin2etcos2et  = -2sinetcoset

           -2etsinetcoset



15.8. 

x'=       -1     =      -1   _

      ctgt sin2t    sint cost

y'= 2sint

      cos3t

y'x=     -cos3t    = -1/2*ctg2t

       2sin2tcost

15.9. 

x'=    et/2_

      2(1+et)

y'=       et    _

      2√(1+et)

 y'x=   2et(1+et)  = √(et+e2t)

        2et/2√(et+1)

15.10. 

x'= √(1+t)*√(1+t)*-1-t-1+t = -1_

      √(1-t)  2√(1-t)   (1+t)2      1-t2

y'=     -t  _

      √(1-t2)

y'x= t(1-t2) = t√(1-t2)

      √(1-t2)

15.11. 

x'= 2t3_

      1-t4

y'= (1+t2)(-2t(1+t2)-2t(1-t2)) = -2

     √(1+2t2+t4-1+2t2-t4)(1+t2)

y'x= -2(1-t4) = t4-1

           2t3         t3

15.12. 

x'=     -t  _

      √(1-t2)

y'= √(1-t2)+t2/√(1-t2) =      1  _

                1-t2               (1-t2)3/2

y'x=  -√(1-t2)_ =   1_

         t(1-t2)3/2        t3-t

 



15.13. 

x'=              -t           =     -1  _

      √(1-1+t2)√(1-t2)    √(1-t2)

y'= -2arccost

        √(1-t2)

y'x= 2arccost√(1-t2) = 2arccost

        √(1-t2)



15.14. 

x'= √(1-t2)+t2/√(1-t2) =      1  _

                1-t2               (1-t2)3/2

y'=         t     *-t2/√(1-t2)-1-√(1-t2) = -1

      1+√(1-t2)              t2                     t

y'x= √(1-t2)

           t2

15.15. 

x'= -4(1+cos2t)costsint

y'= -sin3t-2cos2tsint = -1-cos2t

              sin4t                  sin3t

y'x=             1+cos2t             =        1    _

       4sin3t(1+cos2t)costsint    4sin4tcost

15.16. 



x'= (1+t)(-1-t-1+t) = -2_

          (1-t)(1+t)2       1-t2

y'=     -t  _

      √(1-t2)

y'x=  -t (1-t2)_ = t√(1-t2)

        -2√(1-t2)          2

15.17. 

x'=          1      =       1 _

      t2√(1-1/t2)    t√(t2-1)

y'=       t   +      t    =     2t _

      √(t2-1)  √(t2-1)   √(t2-1)

y'x= 2t2√(t2-1) = 2t2

        √(t2-1)

15.18. 

x'=   1_

      tln2t

y'=         t     *-t2/√(1-t2)-1-√(1-t2) = -1

      1+√(1-t2)              t2                     t

y'x= -tln2t = -ln2t

          t 

15.19. 

x'=        1   _

      2√t√(1-t)

y'=          1    _

      4√t√(1+√t)

y'x=  2√t√(1-t)  = √(1-√t)

      4√t√(1+√t)          2

15.20. 

x'= 2arcsint

       √(1-t2)

y'= √(1-t2)+t2/√(1-t2) =      1  _

               1-t2                (1-t2)3/2

y'x=          √(1-t2)     =          1       _

       2(1-t2)3/2arcsint    2(1-t2)arcsint

15.21. 

x'= √(t2+1)+t2/√(t2+1) = 2t2+1

                                      √(t2+1)

y'=         t     *-t2/√(1-t2)-1-√(1-t2) = -1

      1+√(1-t2)              t2                     t

y'x=      -√(t2+1)     =   -1 _

       (2t2+1)√(t2+1)    2t2+1

15.22. 

x'= 1/(1+t2)

y'= (t+1)(t(t+1)/√(t2+1)-√(1+t2)) =        t-1    _

                 √(1+t2)(1+t)                  √(t2+1)(1+t)

y'x= (t-1)(1+t2) = (t-1)√(1+t2)

     √(1+t2)(t+1)          1+t

15.23. 

x'= -2t/(1-t2)

y'=             -t           = -1/√(1-t2)

      √(1-1+t2)√(1-t2)

y'x=      1-t2    = √(1-t2)

       2t√(1-t2)       2t

15.24. 

x'=     (t-1)2(t-1-t-1)     =  -1_

      ((t-1)2+(t+1)2)(t-1)2   t2+1

y'=             -t           = -1/√(1-t2)

      √(1-1+t2)√(1-t2)

y'x=  t2+1_

      √(1-t2)

15.25. 

x'= √(1+sint)√(1+sint)(-cost(1+sint)-cost(1-sint)) = -1_

           2√(1-sint)√(1-sint)(1+sint)2                           cost

y'= tgt/cos2t-tgt= tg3t

y'x= -tg3tcost

15.26. 

x'=    1-2t   _      t√t(-t-1+t)    = √(1-t)

      2√(t-t2)    2(t+1-t)√(1-t)t2      2√t

y'=   1  + arcsin√t _   √(1-t)   = arcsin√t

      2√t     2√(1-t)    2√t√(1-t)    2√(1-t)

y'x= 2√t arcsin√t = √t arcsin√t

          2(1-t)                (1-t)

15.27. 

x'=        1    =       1  _

      tgtcos2t    sintcost

y'= -2cost

       sin3t

y'x=   -2cost  =  -2_

       sin4tcost    sin4t

15.28. 

x'= (2tlnt+t)(1-t2)+2t3lnt –      2t    = 2tlnt

                  (1-t2)2              2√(1-t2)   (1-t2)

y'= √(1-t2)+t2/√(1-t2) arcsint + t/(1-t2) – t/(1-t2) = arcsint

                1-t2                                                                (1-t2)3/2

y'x= arcsint(1-t2)2 = arcsint√(1-t2)

        2tlnt(1-t2)3/2           2tlnt

15.29. 

x'= 2esec^2tsec2t tgt= 2esec^2tsint

                                    cos3t

y'= lncost _ sint + 1/cos2t-1= lncost-sintcost+sin2t

      cos2t     cost                                cos2t

y'x= 1/2*e-sec^2tctgt(lncost-sintcost+sin2t)

15.30. 

x'= √(1-t2)+t2/√(1-t2) arcsint + t/(1-t2) – t/(1-t2) = arcsint

                1-t2                                                                (1-t2)3/2

y'= √(1-t2)+t2/√(1-t2) =      1  _

               1-t2                (1-t2)3/2

y'x=        (1-t2)3/2     =     1  _

       (1-t2)3/2 arcsint   arcsint





15.31. 

x'= 1+t/√(t2+1) =      1  _

        t+√(t2+1)     √(t2+1)

y'=         t     _         t     *-t2/√(1-t2)-1-√(1-t2) =        t     + 1 = t2+2√(1-t2)

      2√(1+t2)    1+√(1-t2)              t2                   2√(1+t2)    t       2t√(1-t2)



y'x= (t2+2√(1-t2))√(1+t2)

                 2t√(1-t2)