Тематическая разработка «Внимание, параметр» 10-11 класс

Муниципальное бюджетное  учреждение

средняя школа №82

г.о. Тольятти Самарской области









Тематическая разработка 

 «Внимание, параметр»

(различны методы решения задач с параметром)

Класс: 10 -11 









Автор: Родионова Галина Михайловна, 

учитель математики

МБУ СШ № 82  г.о. Тольятти 

 Самарской области



2014





Различные способы решения задач с параметрами

Задачи с параметром вызывают у многих если не панический страх, то по крайней мере, чувство неудобства. Между тем задачи с параметром можно одолеть различными способами. Покажем на примере несколько из них.

Задача 1. Найти все значения параметра а, при которых не имеет корни уравнение

 = x – 1.              (1)

Решение: Данное уравнение равносильно ситстеме

 

Уравнение (1) не имеет корней тогда и только тогда, когда не имеет решения эта система. Это возможно в двух случаях :

а) квадратное уравнение не имеет корней;

б) корни этого уравнения не удовлетворяют условию  x ≥ 1.

Найдем все значения параметра, при котором выполняется хотя бы один случай:

а) уравнение не имеет корней, если D < 0,  т.е. и, значит, a ,

б) корни уравнения  меньше 1.

Рассмотрим три случая решения этой задачи:

1 способ. Корни уравнения меньше 1, если больший корень уравнения меньше 1(достаточное условие):

 < 1   <  a + 4  

 a  [8; + ∞ ).

Объединяя ответа  а) и б) получим ответ:  a  [- 4; + ∞ ).

Ответ: a ϵ (- 4; + ∞ ).

2 способ решения (б). Рассмотрим квадратичную функцию

 f (x) = .

 Её корни (нули функции) меньше 1 тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия: D 0, f(1) > 0, x0 < 1,  где     точка минимума данной функции (вершина параболы). Отсюда 

 a  [8; + ∞ ).

3способ. Пусть t = x – 1. Тогда x < 1  t +1 < 1  t < 0. В таком случае уравнение примет вид         

t2 + (a +4) t + 3a +12 = 0.

Корни уравнения отрицательны, если их сумма отрицательна, а произведение положительно. По теореме Виета заключаем:

   a  [8; + ∞ ).

Объединяя ответа  а) и б) получим ответ:  a  [- 4; + ∞ ).

Ответ: a ϵ (- 4; + ∞ ).

4 способ . Возведем в квадрат обе части уравнения (1) 



Последняя система позволяет графически найти все значения а, при которых система не имеет решения. Мы ищем все такие значения параметра а. при которых  прямые пучка = - a (x + 2) на имеют общих точек с параболой 

у = х2 +2х + 9 на промежутке [1;+ ∞). Для прямой  у =  угловой коэффициент равен  - а0 . Прямая и парабола имеют общие точки на промежутке [1; +∞) при  а   a0 . При a > a0 общих точек нет (сделай рисунок). Значение  a0  найдем из того условия, что прямая  у =  проходит через точку М(1;12), а0 = - 4.

Ответ: а > - 4.

Возможна и несколько иная графическая интерпретация. Из уравнения (1) получим систему:



Далее находим, при каких значениях параметра  а прямая  у = а не имеет общих точек с графиком функции у .

График можно построить, применяя производную.

Задача 2. Найти все значения параметра  а , при которых  уравнение 

a |x  - 1| = x + 2 имеет ровно один корень . Укажите этот корень.

Решение:

Если  х ,  то x =  .  Преобразуем эту дробь:  x =  = 1 +  . Отсюда  видно, что   x > 1 при    a >1.

Если  x < 1, то исходное уравнение примет вид  a(1 – x) = x + 2 . Отсюда 

 x = . Эта дробь меньше 1 при   a > - 1.

Изобразим найденные значения  а на  координатной прямой.

                                                                       а

             - 1                       1

По рисунку видны два случая. В первом случае при  а > 1 уравнение имеет два корня:  x =  и  x2 = 

Промежуток  а (1; + ∞) показан двойной «штриховкой».  Второй случай показан одной  «штриховкой». При a  (-1 ; 1] имеет один корень. Подчеркнём, что  а = 1 относится ко второму случаю, а в первом исключается.

Ответ:  при  a  (-1; 1]   один корень  x = .

Задача 3 . Найти все значения параметра  а , при которых  уравнение 

x4 + (3a + 1) x2 + a  +3 = 0  имеет ровно четыре  различных действительных корня . 

Решение: Введем обозначение  х2  = у и запишем данное уравнение  в виде 

у2  + (3а + 1)у + а +3 = 0.

Из условия  х2  = у следует, что у      -3 < a < - .

Ответ: a  (- 3; - 1).

Задача 4. Найти все значения параметра  а , при которых  уравнение 

 = x2 – 4  имеет хотя бы один корень .  Решение:

данное уравнение равносильно системе :



Первое условие не выполняется при х  (-2; 2). Условие второе не выполняется в двух случаях. Первый:  уравнение не имеет корней, т.е. дискриминант D меньше 0.Тогда    Отсюда

 a . Второй случай: уравнение системы имеет корни, но не те, что требуются, они не удовлетворяют условию  , т.е. принадлежат  интервалу (-2; 2). Этот случай  опишем системой неравенств, обозначив через f(x) подкоренное выражение в исходном уравнении :

 



  < a 

Поскольку  a ( ;   ( ; , утверждаем, что при  a ( ;  решений нет. Значит, при всех других значениях а решение есть. 

Ответ: a (-   [.

Задача 5.   Найти все значения параметра  а, при которых  уравнение 

 (a - 3) = 0  не имеет   корней. 

 Решение:

Путем замены y = (  (где у >0) приведем данное уравнение к виду 

(a - 3) 

Если в  последнем уравнении а =3, то у =  > 0,    = (  – это уравнение имеет корень.

Если в  последнем уравнении,  а  3, то исходное уравнение не имеет корней в двух случаях:

а) когда дискриминант D  уравнения  отрицателен;

б) когда у1  у2  0. Рассмотрим каждый случай. 

а) D < 0,  25 – a2 < 0,     a > 5,  либо a < - 5;

б)



; - 3].

Объединяя случаи а) и б), получим : а  или а > 5.

Ответ:  - 3][5; + .

Список использованной  литературы:

Алгебра  и начала анализа 10: учебник для общеобразоват. учреждений Колягин Ю. М., Сидоров Ю.В., Ткачева М.В, Федорова Н. Е.: –М.: Мнемозина, 2011

Журнал «Математика в школе» 1998 №3, стр.9

Отличник ЕГЭ. Математика. Решение сложных задач: ФИПИ.-М. Интеллект- Центр, 2012.