Определение устойчивости равновесия Расчет зависимости напряженности электрического поля от

302



Два положительных точечных заряда  и  закреплены на расстоянии  друг от друга. Определить, в какой точке на прямой, проходящей через заряды, следует поместить третий заряд так, чтобы он находился в равновесии. Указать, какой знак должен иметь этот заряд для того, чтобы равновесие было устойчивым, если перемещение зарядов возможны только вдоль прямой, проходящей через закрепленные заряды.





Дано:



















Решение:

Определим знак заряда, при котором равновесие будет устойчивым.

Если заряд отрицательный, то при смещении его влево сила  (направленная влево) возрастает, а сила (направленная вправо) возрастает. Под действием этой силы заряд удаляется от положения равновесия. То же происходит и при смещении заряда вправо. Равновесие будет неустойчивым.

Если заряд  положителен, то при смещении его влево сила  (направленная вправо) возрастает, а сила  (направленная влево) убывает, следовательно, результирующая сила будет направлена вправо и заряд  возвращается к положению равновесия. То же происходит и при смещении заряда вправо. Равновесие будет устойчивым.




























Предположим, что заряд  находится в точке . Тогда условие равновесия заряда  запишется так:



Подставив в уравнение вместо сил их значения по закону Кулона, и произведя сокращения, получим:







Решая относительно , получаем:







Так как  –эта точка расположена вне отрезка , что невозможно для равновесия заряда .







Произведем вычисления: 

Ответ: положительный.



322



На двух концентрических сферах радиусом  и  равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями  и  соответственно. Используя теорему Гаусса, найти зависимость  напряженности электрического поля от расстояния для трех областей:  и . Принять , . 2) вычислить напряженность  в точке, удаленной от центра на расстояние  и указать направление вектора  для значений , . 3) построить график .





Дано:

















Решение:























1) Для определения напряженности  в области  проведем гауссову поверхность радиусом .

По теореме Остроградского –Гаусса имеем:







Для области :  -заряда внутри сферы нет










Напряженность поля в области  равна нулю.

Для области  проведем гауссову поверхность радиуса :







Площадь гауссовой поверхности: 

Площадь поверхности шара: 









Для области  проведем гауссову поверхность радиуса . Гауссова поверхность охватывает обе сферы:









2) Найдем напряженность для точки, удаленной от центра на расстояние :










3) Строим график :





3) Строим график Е(r):





-9

-6

-3

0

3

-12

-15

-18

-21

I

II

III

R

2R





332



Электрическое поле создано зарядами  и , находящимися в точках  и  соответственно (). Точка  находится на прямой  (). Точка  находится на продолжении отрезка  (). Определить работу сил поля, совершаемую при перемещении заряда  из точки  в точку .





Дано:
























Решение:





+

-





















Для определения работы А12 сил поля воспользуемся соотношением: 

Расстояние между точкой, в которой расположен заряд  и точкой  по теореме Пифагора равно 

Применяя принцип суперпозиции электрических полей, определим потенциалы  и  точек  и  поля:









Разность потенциалов:








Искомая работа:







Проверим единицы измерения:

Произведем вычисления:



Ответ: .



352



Конденсаторы емкостями ,  и  соединены последовательно и находятся под напряжением . Определить напряжение и заряд на каждом из конденсаторов.





Дано:





















Решение:













Так как конденсаторы соединены последовательно, то:










Заряд:







Произведем вычисления:







Разности потенциалов:







Ответ: .



402



По двум скрещенным под прямым углом бесконечно длинным проводам текут токи  и  (). Определить магнитную индукцию  в центре отрезка, перпендикулярного к обоим проводам, если длина его составляет . Указать направление вектора  для выбранных направлений тока.





Дано:





















Решение:

























В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей, магнитная индукция  , создаваемая токами  и  определяется выражениями: 

Направление векторов  и  найдем по правилу буравчика. Вектор , создаваемый 2-м проводом направлен перпендикулярно плоскости рисунка «от нас». Вектор , создаваемый 1-м проводом, направлен вверх от точки . Так как , скалярно получаем: 

Магнитные индукции, создаваемые проводами определим по формулам расчета магнитной индукции для бесконечно длинного прямолинейного провода с током:








В нашем случае: ; 

Получаем:







Искомая магнитная индукция:







Произведем вычисления:



Ответ: 



412



Квадратная проволочная рамка расположена в одной плоскости с длинным прямым проводом так, что две ее стороны параллельны проводу. По рамке и проводу текут одинаковые токи . Определить силу , действующую на рамку, если ближайшая к проводу сторона рамки находится от него на расстоянии, равном ее длине.








Дано:















Решение:



















Сила, действующая на провод с током в магнитном поле:







где  -угол между направлением тока в проводе и вектором магнитной индукции .

На стороны рамки, расположенные перпендикулярно проводу, действуют силы равные по модулю и противоположные по направлению, которые уравновешивают друг друга.

Магнитная индукция поля прямого тока:







Сила, действующая на ближайшую сторону рамки:








Сила, действующая на дальнюю сторону рамки:







Суммарная сила:







Проверим единицы измерения:







Произведем вычисления:



Ответ: .



442



Альфа-частица влетела в скрещенные под прямым углом магнитное () и электрическое  поля. Определить ускорение  альфа-частицы в начальный момент времени, если ее скорость  перпендикулярна векторам  и , причем силы, действующие со стороны этих полей, противоположно направлены.








Дано:



















Решение:





-

















На движущуюся заряженную частицу в скрещенных магнитном и электрическом полях действуют две силы:

Сила Лоренца, направленная перпендикулярно скорости  и вектору магнитной индукции  и кулоновская сила , противоположно направленная вектору напряженности  электростатического поля.

Ускорение можно найти по 2-му закону Ньютона:







Куловская сила: 

Сила Лоренца: 

Искомое ускорение электрона:







 -масса альфа-частицы

 - заряд -частицы

Проверим единицы измерения:







Произведем вычисления:



Ответ: .



462



В проволочное кольцо, присоединенное к баллистическому гальванометру, вставили прямой магнит. При этом по цепи прошел заряд . Определить изменение магнитного потока  через кольцо; если сопротивление цепи гальванометра .





Дано:















Решение:

В тот момент, когда вставили магнит, произошло изменение магнитного поля. В кольце возникнет ЭДС индукции, определяемая основным законом электромагнитной индукции:










Возникшая ЭДС индукции вызовет в рамке индукционный ток, мгновенное значение которого можно определить, воспользовавшись законом Ома для полной цепи:







где  –сопротивление гальванометра







Проинтегрируем последнее равенство:







Откуда искомая величина:







Проверим единицы измерения:







Произведем вычисления:



Ответ:  .




Литература



Трофимова Т.И. Курс физики. М. 2000

Савельев И.В. Курс общей физики, в 5 т. М. 2001

Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике. М., 1981