Построение регрессионной модели

Задание



Таблица 1

Пенсия, тыс. руб., у

131

110

170

141

150

160

200

230

240

260

270

300

Прожиточный минимум тыс. руб., х

100

90

150

31

60

39

40

70

80

150

120

130



Построить линейное регрессионное уравнение.

1. Построить поле корреляции и линию регрессии на одном графике.

Вычислить:

2. коэффициент детерминации;

3. среднюю ошибку аппроксимации;

4. t-статистики;

5. доверительные интервалы.

6. Сделать выводы

Построить показательную зависимость и повторить пункты 1–6.

Сравнить построенные модели.



Решение:

Построим поле корреляции:



Рис. 1. Поле корреляции пенсии от прожиточного минимума


По полю корреляции слабо прослеживается зависимость пенсии от прожиточного минимума.

Рассчитаем параметры уравнения линейной парной регрессии.

Для расчета параметров a и b уравнения линейной регрессии у = а + bx решим систему нормальных уравнений относительно а и b:







По исходным данным рассчитываем х, у, ух, х2, у2.



Таблица 2

№ п/п

y

x

yx

x2

y2



у – 

(у – )2



1

131

100

13100

10000

17161

204,61

-73,61

5418,432

0,562

2

110

90

9900

8100

12100

197,94

-87,94

7733,444

0,799

3

170

150

25500

22500

28900

237,96

-67,96

4618,562

0,400

4

141

31

4371

961

19881

158,587

-17,587

309,303

0,125

5

150

60

9000

3600

22500

177,93

-27,93

780,085

0,186

6

160

39

6240

1521

25600

163,923

-3,923

15,390

0,025

7

200

40

8000

1600

40000

164,59

35,41

1253,868

0,177

8

230

70

16100

4900

52900

184,6

45,4

2061,160

0,197

9

240

80

19200

6400

57600

191,27

48,73

2374,613

0,203

10

260

150

39000

22500

67600

237,96

22,04

485,762

0,085

11

270

120

32400

14400

72900

217,95

52,05

2709,203

0,193

12

300

130

39000

16900

90000

224,62

75,38

5682,144

0,251

Итого

2362

1060

221811

113382

507142

2361,94

0,1

33441,964

3,203

Среднее

196,83

88,33

18484,25

9448,5

42261,83









Обозначение среднего





















Найдем дисперсию переменных:


= 9448,5 – 88,332 = 1646,31 (тыс. руб.)2

= 42261,83 – 196,832 = 3519,78 (тыс. руб.)2



Найдем параметры a и b уравнения линейной регрессии:



 0,667

196,83 – 0,667 · 88,33 = 137,91 тыс. руб.



Уравнение регрессии:

= 137,91 + 0,667 · х

Построим линию регрессии на рис. 1.

С увеличением прожиточного минимума на 1 тыс. руб. пенсия увеличивается на 0,667 тыс. руб.

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:



 0,456



Т.к. коэффициент в интервале от 0,3 до 0,7 связь средняя, прямая.

Определим коэффициент детерминации:

(0,456)2 = 0,208

Т.е. вариация пенсий на 20,8% объясняется вариацией прожиточного минимума.

Найдем среднюю ошибку аппроксимации:



26,7%


Средняя ошибка аппроксимации имеет значение меньше 30% – это говорит о среднем уровне надежности уравнения регрессии.

Рассчитаем F-критерий:



2,628



Критическое значение распределения Фишера определяют либо по таблицам распределения Фишера, либо расчетным путем с использованием функции FРАСПОБР() табличного процессора Excel. Для уровня доверия 0,95, одного фактора и 12 значений:

Fкр = F (0,05; 1; 10) = 4,964

Т.к. Fкр > Fфакт, то необходимо отклонить гипотезу о статистической значимости параметров уравнения. Т.е. использовать данную функцию для аппроксимации нельзя.

Найдем стандартную ошибку остаточной компоненты по формуле:



=  =  = 55,14



Найдем средние квадратичные (стандартные) ошибки оценивания коэффициента b и свободного члена а уравнения регрессии:



 39,99

 0,411


Найдем t – критерий Стьюдента для обоих параметров:



 137,91 / 39,99 = 3,448

 0,667 / 0,411 = 1,623



Сравнивая значения t-статистики для каждого из коэффициентов линейной регрессии с табличным значением (α = 0,05; k = 12) tтабл = 2,228, можно сказать, что с вероятностью 95% коэффициент а надёжен, коэффициент b ненадёжен при данном уровне значимости.

Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку Δ:



 = tтабл ·  = 2,228 * 39,99  89,1

 = tтабл ·  = 2,228 * 0,411  0,916



Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии:



a – Δa < a < a + Δa

48,81 < a < 227,01

b – Δb < b < b + Δb

– 0,249 < b < 1,583



Таким образом, полученные оценки коэффициента регрессии b не являются эффективными и состоятельными, а само уравнение = 137,91 + 0,667·х не может использоваться для моделирования и прогнозирования динамики.

Это обусловлено большой ошибкой уравнения регрессии.

Для построения уравнения показательной кривой у = а · еbх линеризуем переменные логарифмированием обеих частей уравнения:

ln у = ln а + b·x

Y = A + b·x

Где Y = ln y, A = ln a.

Для расчетов будем использовать данные таблицы 4.



Таблица 4

№

y

Y

x

Yx

x2

Y2



у – 

(у – )2

 – 

( - )2



1

131

4,875

100

487,52

10000

23,7675

194,81

-63,81

4071,1

-2,025

4,1

0,487

2

110

4,700

90

423,043

8100

22,0945

188,78

-78,78

6206,8

-8,047

64,7

0,716

3

170

5,136

150

770,37

22500

26,3764

227,92

-57,92

3354,9

31,091

966,7

0,341

4

141

4,949

31

153,412

961

24,4902

156,86

-15,86

251,5

-39,972

1597,8

0,112

5

150

5,011

60

300,638

3600

25,1065

171,81

-21,81

475,8

-25,018

625,9

0,145

6

160

5,075

39

197,932

1521

25,7574

160,85

-0,85

0,7

-35,982

1294,7

0,005

7

200

5,298

40

211,933

1600

28,0722

161,35

38,65

1493,5

-35,476

1258,6

0,193

8

230

5,438

70

380,666

4900

29,5727

177,29

52,71

2778,1

-19,538

381,7

0,229

9

240

5,481

80

438,451

6400

30,0374

182,95

57,05

3255,0

-13,882

192,7

0,238

10

260

5,561

150

834,102

22500

30,9212

227,92

32,08

1029,0

31,091

966,7

0,123

11

270

5,598

120

671,811

14400

31,3423

207,43

62,57

3914,8

10,601

112,4

0,232

12

300

5,704

130

741,492

16900

32,5331

214,05

85,95

7387,8

17,218

296,5

0,287

Итого

2362

62,83

1060

5611,37

113382

330,0715

2272,02

90,0

34219,0

-89,938

7762,4

3,109

Среднее

196,83

5,235

88,33

467,614

9448,5

27,506













Обозначение среднего



























Найдем дисперсию переменных:



= 9448,5 – 88,332 = 1646,31

= 27,506 – 5,2352 = 0,0955



Найдем параметров А и В регрессии составили:



b =0,00314

5,325 – 0,00314 · 88,33 = 4,958



Получено линейное уравнение:

= 4,958 + 0,00314 · х

Произведем потенцирование полученного уравнения и запишем его в обычной форме:

= e4,958 · e0,00314 · х = 142,31 · e0,00314 х

Тесноту связи оценим через индекс корреляции рху:


 0,436



Связь средняя.

Определим коэффициент детерминации:



 0,1838



Т.е. вариация результативного признака на 18,38% объясняется вариацией факторного признака.

Найдем среднюю ошибку аппроксимации:



25,9%



Средняя ошибка аппроксимации имеет значение меньше 30%, т.е. надежность уравнения средняя.

Рассчитаем F-критерий: (m – число параметров при переменной x)



1,8378



Fкр = 4,964

Т.к. Fкр > Fфакт, т.е. необходимо отклонить гипотезу о статистической значимости параметров уравнения.

Найдем стандартную ошибку остаточной компоненты по формуле:



=  =  = 55,77


Найдем средние квадратичные (стандартные) ошибки оценивания коэффициента b и свободного члена а уравнения регрессии:



 40,45

 0,416



Найдем t – критерий Стьюдента для обоих параметров:



 142,31 / 40,45 = 3,518

 0,00314 / 0,411 = 0,0076



Сравнивая значения t-статистики для каждого из коэффициентов линейной регрессии с табличным значением (α = 0,05; k = 12) tтабл = 2,228, можно сказать, что с вероятностью 95% коэффициент а надёжен, коэффициент b ненадёжен при данном уровне значимости.



Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку Δ:



 = tтабл ·  = 2,228 * 40,45  90,12

 = tтабл ·  = 2,228 * 0,0076  0,0169



Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии:


a – Δa < a < a + Δa

52,19 < a < 232,43

b – Δb < b < b + Δb

– 0,01376 < b < 0,02004



Построим линию показательной зависимости на поле корреляции:





Рис. 2. Рассчитанные линии регрессий



У линейной зависимости меньше стандартная ошибка и больше значение F-критерия. Поэтому из двух уравнений регрессий линейное более достоверно. Но низкая надежность коэффициента регрессии b, говорит, что результаты аппроксимации будут иметь достаточно низкую надежность (80%).