Основная задача механики

1







Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя, начальное положение системы показано на рис. 1. Учитывая сопротивление качению тела 3, катящегося без скольжения, пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость тела 1 в тот момент времени, когда пройденный путь станет равным s.

В задании приняты следующие обозначения: m1, m2, m3, m4 – массы тел 1, 2, 3, 4; R3 – радиус большой окружности; δ – коэффициент трения качения.

Необходимые для решения данные приведены в таблице 1. Блоки и катки считать сплошными однородными цилиндрами. Наклонные участки нитей параллельны соответствующим наклонным плоскостям.



Таблица 1.

m1, кг

m2, кг

m3, кг

m4, кг

R3

δ, см

s, м

	m

1/2m

5m

	4m

	25

0,20

	2

	





	

	



	



Решение

	

	Применим теорему об изменении кинетической энергии системы:

	

	 (1)

	

	где T0 и T – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях; - сумма работ внешних сил, приложенных к системе; - сумма работ внутренних сил системы.

	Для рассматриваемых систем, состоящих из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями,

	


	

	Так как в начальном положении система находится в покое, то Т0=0.

	Следовательно, уравнение (1) принимает вид:

	

			 (2)

		

	Кинетическая энергия рассматриваемой системы Т в конечном ее положении (рис.2) равна сумме кинетических энергий тел 1, 2, 3 и 4:

	

Т = Т1 + Т2 + 4Т3 + Т4.	 (3)



Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно,



			 (4)

		

Кинетическая энергия барабана 2, совершающего вращательное движение,



		,	 (5)

		

где J2x – момент инерции барабана 2 относительно центральной продольной оси:



		,	 (6)

		

2 – угловая скорость барабана 2:


.(7)

		

После подстановки (6) и (7) в (5) выражение кинетической энергии барабана 2 принимает вид:



		.	 (8)

		

		Кинетическая энергия колеса 3, совершающего плоскопараллельное движение:

		

		,	 (9)

		

где VC3 – скорость центра тяжести С3 барабана 3, J3x – момент инерции барабана 3 относительно центральной продольной оси:



		,	 (10)

		

3 – угловая скорость барабана 3.

Мгновенный центр скоростей находится в точке СV. Поэтому



		, (11)

		.	 (12)

		

		Подставляя (10), (11) и (12) в (9), получим:

		

		. (13)

		Кинетическая энергия груза 4, движущегося поступательно

		

. (14)



		Кинетическая энергия всей механической системы определяется по формуле (3) с учетом (4), (8), (13), (15):

		

		

		

		Подставляя и заданные значения масс в (3), имеем:

		

		

		или

		.	 (15)

		

Найдем сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, на заданном ее перемещении (рис. 3).

		Работа силы тяжести :

		

		 (16)

		

		Работа силы тяжести :

		

			(17)

		

		Работа пары сил сопротивления качению :

			(18)

		

		где

		 (19)

			(20)

			(21)

		

		Подставляя (19), (20) и (21) в (18), получаем:

		

		 (22)

		Работа силы тяжести :

		

		 (17)

		

		Работа силы тяжести :

		

		 (23)

		

		Сумма работ внешних сил определится сложением работ, вычисляемых по формулам (17) – (24):

		

		.

		

		Подставляя заданные значения, получаем:

		

		

		Или

		

		.	 (24)

		

		Согласно теореме (2) приравняем значения Т и , определяемые по формулам (16) и (24):

		

		,

		

		откуда выводим

		

м/с.



Дано:

R2=30; r2=20; R3=40; r3=40

X=C2t2+C1t+C0

При t=0 x0=7 =0

t2=2 x2=557 см

X0=2C2t+C1

C0=7

C1=0

557=C2 *52+0*5+7

25C2=557-7=550

C2=22

X=22t2+0t+7

=V=22t

a==22

V=r22

R22=R33

3=V*R2/(r2*R3)=(22t)*30/20*40=0,825t

3=3=0,825

Vm=r3*3=40*(0,825t)=33t

atm=r3

=0,825t

atm=R3=40*0,825t=33t

anm=R323=40*(0,825t)2=40*(0,825(t)2

a=



***********************************



Дано :R2=15; r2=10; R3=15; r3=15

X=C2t2+C1t+C0

При t=0 x0=6 =3

t2=2 x2=80 см

X0=2C2t+C1

C0=10

C1=7

80=C2 *22+3*2+6

4C2=80-6-6=68

C2=17

X=17t2+3t+6

=V=34t+3

a==34

V=r22

R22=R33

3=V*R2/(r2*R3)=(34t+3)*15/10*15=3,4t+0,3

3=3=3,4

Vm=r3*3=15*(3,4t+0,3)=51t+4,5

atm=r3

=3,4t

atm=R3=15*3,4t=51t

anm=R323=15*(3,4t+0,3)2=15*(3,4(t+0,08)2

a=



Решение второй задачи механики



Дано:

m=4.5 кг;	V0=24 м/с;

R=0.5V H;

t1=3 c;

f=0.2;

Q=9 H;	Fx=3sin(2t) H.



Определить:	x = f(t) – закон движения груза на участке ВС



Решение:



1) Рассмотрим движение на промежутке АВ



 



учитывая, что R=0.5V H;






Разделяем переменные и интегрируем







2) Рассмотрим движение на промежутке ВС (V0=VB)










Дано:

m=36 кг

R=6 см=0,06 м

H=42 см=0,42 м

yC=1 см=0,01 м

zС=25 см=0,25 м

АВ=52 см=0,52

М=0,8 Н·м

t1=5 с

Найти реакции в опорах А и В.



Решение

Для решения задачи используем систему уравнений, вытекающую из принципа Даламбера:



 (1)



Для определения углового ускорения ε из последнего уравнения системы (1) найдем момент инерции тела относительно оси вращения z по формуле



, (2)



где Jz1− момент инерции тела относительно центральной оси Сz1, параллельной оси z; d – расстояние между осями z и z1.

Воспользуемся формулой



, (3)



где α, ,  - углы, составленные осью z1 с осями , ,  соответственно.

Так как α=90º, то



. (4)



Определим моменты инерции тела ,  как однородного сплошного цилиндра относительно двух осей симметрии , 



;

.



Вычисляем



;

.

Определяем угол  из соотношения



;

;

.



Угол  равен



;

.



По формуле (4), вычисляем 



.



Момент инерции тела относительно оси вращения z вычисляем по формуле (2):



,



где d=yC;



.



Из последнего уравнения системы (1)


;

.



Угловая скорость при равноускоренном вращении тела



,



поэтому при ω0=0 и t=t1=5 c



.



Для определения реакций опор следует определить центробежные моменты инерции  и  тела. , так как ось х, перпендикулярная плоскости материальной симметрии тела, является главной осью инерции в точке А.



Центробежный момент инерции тела  определим по формуле



,



где , т.е.



.


Тогда



.



Подставляя известные величины в систему уравнений (1), получаем следующие равенства















Отсюда











Ответ: , , , .



Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения



Задание: по заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t = t1 (с) найти положение точки на траектории, ее скорость, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.



Исходные данные: 

x=5cos(t2/3); 	y= -5sin(t2/3); 	 (1)

t1=1 (x и y – в см, t и t1 – в с). 



Решение:

Уравнения движения (1) можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Получим уравнения траектории в координатной форме.



x2 + y2 = (5cos(t2/3))2 + (-5sin(t2/3))2;



Получаем x2 + y2 = 25, т. е. траекторией точки является окружность, показанная на рис. 1.

Вектор скорости точки



	 (2)


Вектор ускорения точки







Здесь Vx , Vy , ax, ay – проекции скорости и ускорения точки на соответствующие оси координат.

Найдем их, дифференцируя по времени уравнения движения (1)



		(3)	



По найденным проекциям определяем модуль скорости:



V=(Vx2 + Vy2);	 (4)



и модуль ускорения точки:



а =(ах2 +ау2).	 (5)



Модуль касательного ускорения точки



а=|dV/dt|,	 (6)

а= |(Vxax+Vyay)/V| (6’)



Знак “+” при dV/dt означает, что движение точки ускоренное, знак “ - “ - что движение замедленное.

Модуль нормального ускорения точки 



ап= V2/p; (7)



p – радиус кривизны траектории.

Модуль нормального ускорения точки можно найти и следующим образом:



an =(а2 -a2); (8)



После того как найдено нормальное ускорение по формуле (8), радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения:



p=V2/ an.	(9)



Результаты вычислений по формулам (3)-(6), (8), (9) для момента времени t1=1с приведены ниже в таблице 



Координаты

см

Скорость

см/с

Ускорение, см/с2

Радиус

см

х

у

Vx

Vy

V

ax

ay

a

a

an

p

2.5

-2.53

-5/3 

-5/3

10/3

-20.04

13.76

24.3

10.5

21.9

5



Ниже на рисунке показано положение точки М в заданный момент времени. 






Дополнительное задание:



z=1.5t x=5cos(t2/3); 	y= -5sin(t2/3); t1=1 (x и y – в см, t и t1 – в с). 



Найдем скорости и ускорения дифференцируя по времени уравнения движения 








По найденным проекциям определяем модуль скорости:



V=(Vx2 + Vy2+Vz2);



и модуль ускорения точки:



а =(ах2 +ау2+ аz2).

V=;

a=24.3 см/с;



Касательное ускорение точки



а= |(Vxax+Vyay+ Vzaz)/V|

a=(-9.069*(-20.04)+(-5.24)*13.76+1.5*0)/10.58=10.36 см/с



Модуль нормального ускорения точки можно найти и следующим образом:



an =(а2 -a2);

an=21.98 см/с2.



Радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения:



p=V2/ an.	р=5.1 см



Результаты вычислений для момента времени t1=1с приведены ниже в таблице 



Координаты

см

Скорость

см/с

Ускорение, см/с2

Радиус

см

x

y

z

Vx

Vy

Vz

V

ax

ay

az

a

a

an

p

2.5

-4.33

1.5

-9.07

-5.24

1.5

10.58

-20.04

13.76

0

24.3

10,36

21.98

5.1

	

Задание: точка М движется относительно тела D. По заданным уравнениям относительного движения точки М и движения тела D определить для момента времени t=t1 абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М.



Дано:



ОМ=Sr=120t2 см;

е=8t2 – 3t рад ;

t1=1/3 c;	R=40 см.



Решение:



1) Положение точки М на теле D определяется расстоянием Sr=ОМ

при	t=1/3 c	Sr=120/9=41.89 см.







При t=1/3с	Vr=80=251.33 см/с.



ar=d2Sr/dt2		ar=240=753.98 см/с2

arn=Vr2/R		arn=(80)2/40=1579.14 см/с2



2) Ve=er ,	где r- радиус окружности, описываемой той точкой тела, с которой в данный момент совпадает точка М.

=OM/R.	r=R*sin=40*sin(/3)=34.64 см.	

е=de/dt=16t-3	при t=1/3 	е=7/3=2.33 с-1

Ve=80.83 см/с.

аец=e2 r	аец=188.6 см/с2.

аев=еr	е= d2e/dt2=16 с-2		аев=554.24 см/с2.

3) 

ас=2*еVrsin(е, Vr)		sin(е, Vr)=90-=/6	ac=585.60 см/с2

4) 

V=(Ve2+Vr2)	V=264.01 см/с



Модуль абсолютного ускорения находим методом проекций.



ax=aев+ас

ay=arncos(/3)+arcos(/6)

az=-аец - arncos(/6)+arcos(/3)

а=(ax2+ay2+az2)	



Результаты расчетов сведены в таблицу



e,

c-1

Скорость см/с

е

с-2

Ускорение , см/с2



Ve

Vr

V



аец

aев

arn

аr

ас

ax

ay

az

а

2.33

80.8

251.3

264

16

188.6

554

1579

754

586

1140

1143

-1179

1999


Определение реакций опор твердого тела



Дано:



Q=10 kH;

G=5 kH;

a=40 см; b=30 см; c=20 см;

R=25 см; r=15 см.



Задание: 

Найти реакции опор конструкции.



Решение:



Для определения неизвестных реакций составим уравнения равновесия.









Из уравнения (4) определяем P, а затем находим остальные реакции опор. Результаты вычислений сведем в таблицу.


Силы, кН

Р

ХА

ZA

XB

ZB

5.15

-0.17

2.08

-3.34

2.92



Проверка.

Составим уравнения относительно точки В.