Конспект урока по Алгебре "Производная показательной функции" 11 класс

Конспект урока по теме «Производная показательной функции» в 11 классе.

Цель: Ввести понятие «экспоненты», «натурального логарифма», сформировать понятие о производной показательной функции y=ех. 

Задачи: 

Образовательная: сформировать навык вычисления показательной функции, пользуясь правилами и формулами дифференцирования

Развивающая: развить и совершенствовать применение правил дифференцирования для показательной функции.

Воспитательная: воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения и речи.

Ход урока

1. Организационный момент, объявление темы и цели урока

«Сегодня на уроке мы изучаем новую тему «Производная показательной функции». Наша цель познакомиться с понятием «экспоненты», «натурального логарифма», с теоремой о дифференцировании показательной функции. 

2. Устная работа:

- Вспомним правила дифференцирования функции: 

А) чему равна производная алгебраической суммы двух функций: (u + v)′ = u′ + v′;

Б) чему равна производная произведения функций (u∙v)′= u′∙v + u∙v′;

В) чему равна производная частного двух функций ;

Г) чему равна производная степенной функции (xn)′=n∙xn-1;

Д) чему равна производная тригонометрических функций (синуса, косинуса, тангенса и котангенса);

Е) чему равна производная константы c′= 0;

Ж) чему равна производная произведения константы на функцию (c∙u) ′ = c∙u′;

Все вышеуказанные формулы воспроизводятся на интерактивной доске.

3. Тематический контроль (найти производные функций, выбрать правильный ответ и записать код ответа). Работа выполняется по вариантам.

 

1

2

3

y=2x+5

y′=2x

y′=2

y′=-2 

y=sin

y′=0.5cos

y′= cos

y′=0.5sin 

Y=x4-

y′=3x-

y′=4x3-

y′=4x3+ 



 

1

2

3

y=2x3-6x

y′=6x2-6

y′=2x2-6

y′=6x-6 

y=cos2x

y′=-sin2x

y′= -2sin2x

y′=2sin2x 

y=2

y′=2x

y′=

y′= 

Дети сдают карточки с ответами учителю. Учитель проверяет работы, дети записывают в тетради тему урока.

4. Объяснение нового (с помощью мультимедийного оборудования)









график какой функции изображен на доске (y=2x),

в какой точке к графику функции проведена касательная (х=0),

какой угол образует касательная с положительным направлением оси абсцисс (35°),

какой угол образует касательная к графику функции y=3x (48°),

для функции y=10x в аналогичной ситуации получаем угол 66,5°,

Вывод: если основание показательной функции а увеличивается от 2 до 10, то угол между касательной к графику функции в точки х=0 и осью абсцисс постепенно увеличивается от 35° до 66,5°. 

Логично предположить, что существует основание а, для которого соответствующий угол равен 45°. 

между какими числами лежит основание а (2 и 3),

доказано в математике, что интересующее нас основание существует. Его принято обозначать буквой е. В математике установлено, что число е – иррациональное, т.е. представляет собой бесконечную десятичную непериодическую дробь.

е = 2,7182818284590…

На практике обычно полагают, что е = 2,7

1828 – это год рождения Льва Николаевича Толстого. 



График функции y=ех. Показательная функция с основанием е называется экспонентой.

перечислите свойства функции y=ех,

чему равен tg45°, 

чему равно значение tg45° для функции y=ех (геометрический смысл производной),

дайте определение производной в точке х = 0 (∆y/∆x) при ∆x стремящемся к нулю,

чему равна производная функции y=ех в точке х=0 (y′ =1), т.е.  при ∆x стремящемся к нулю,

Теперь докажем теорему о производной функции y=ех. 

Теорему доказывает ученик. 

- Что использовали в доказательстве теоремы? (определение производной, теоремы о пределах);

Учащиеся записывают доказательство в тетрадь.

 (ех)′ = ех 

Показательная функция с основанием е называется экспонентой. Рост и убывание функции со скоростью экспоненты называется экспоненциальным. Экспоненциальный рост и убывание часто встречается в природе и технике. Иногда формулы для экспоненты записываются в виде exр(х) вместо ех. 

Найти производные функций (учащиеся по очереди выходят к доске и вычисляют:

- (2ех)′ =2ех,

- (е5х)′ = е5х∙5 = 5е5х,

- (10е-3х)′ = 10е-3х∙ (-3) = -30е-3х,

- ,

- ,

– Открыли учебники(стр. 242) и читаем определение натурального логарифма.

На доске записываем 

Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию е.

Вычислить: 











5. Закрепление нового материала (работа с учебником)

Выполнить задание № 538, 540 (а), 543 (а, в), 544 (в).

№538

y’=(4ex+5)’=4ex+5

y’=(3-0.5ex)’=-0.5ex

y’=(2x+3e-x)’=2-3e-x

y’=(5e-x)’=-5e-x

Решаем на доске с комментариями.

Вспомним уравнение касательной к графику функции в точке х0 

№540

f(x)=e-x, x0=0

f(0)=1

f’(0)=-e-x0= -1

y=1-1*(x-0)

y=1-x

№543

y’=(ex2*sinx/2)’=2xex2sinx/2+ex20.5cos0.5x

№544(б)

6. Итог урока: 

с чем познакомились на сегодняшнем уроке,

что такое число е,

как называется функция y=ех,

как читается теорема № 1,

что такое натуральный логарифм,

7. Домашнее задание: индивидуальная работа по карточкам.