Методи обчислення дисперсії

План



	Методи обчислення дисперсії

	Задача №6

	Задача №12

	Задача №18

	Задача №24

	
1. Методи обчислення дисперсії 



Статистична дисперсія (від англ. statistical dispersion) — ступінь відхилення або зміни значень змінній від центрального пункту. Статистична дисперсія розраховується як різниця між значенням середньою квадратів варіюючої ознаки і квадратом середнього значення цієї ознаки. Дисперсія є базовим інструментом для статистичної оцінки варіації розподілу. Якщо значення ознаки розподілу ідентичні, то дисперсія рівна нулю. Дисперсія не може бути негативною величиною.



	

	

	Умови існування і розвитку окремих одиниць сукупності певною мірою різні, що позначається і на відмінності значень у них узятої нами ознаки. Середня величина відображає ці середні умови.

	Середнє лінійне відхилення дає узагальнену характеристику ступеня тієї, що коливається ознаки в сукупності. Проте при його численні доводиться допускати некоректні з погляду математики дії, порушувати закони алгебри, що спонукало математиків і статистиків шукати інший спосіб оцінки варіації для того, щоб мати справу тільки з позитивними величинами. Найпростіший вихід - звести всі відхилення в другий ступінь.

	

	

	
Отримана міра варіації називається дисперсією, а корінь квадратний з дисперсії - середнім квадратичним відхиленням. Ці показники є загальноприйнятими заходами варіації і часто використовуються в статистичних дослідженнях, а також в техніці, біології і інших галузях знань. Дані показники знайшли також своє широке застосування в міжнародній практиці обліку і статистичного аналізу, зокрема в системі національного рахівництва.

Середнє квадратичне відхилення - це узагальнююча характеристика розмірів варіації ознаки в сукупності. Воно виражається в тих же одиницях вимірювання, що і ознака (у метрах, тоннах, рублях, відсотках і т. д.).

Дисперсія - середній квадрат відхилень індивідуальних значень ознаки від їх середньої величини.

Серед безлічі варіюючих ознак, що вивчаються статистикою, існують ознаки, якими володіють одні одиниці сукупності і не володіють інші. Ці ознаки називаються альтернативними. Прикладом таких ознак є: наявність бракованої продукції, вчений ступінь у викладача вузу, робота по отриманій спеціальності і так далі. Варіація альтернативної ознаки кількісно виявляється в значенні нуля у одиниць, які цією ознакою не володіють, або одиниці у тих, які дану ознаку мають.

	Хай р - частка одиниць в сукупності, що володіють даною ознакою (р = m/n); q - частка одиниць, що не володіють даною ознакою, причому р + q = 1. Альтернативну ознаку приймає всього два значення - 0 і 1 з вагами відповідно q і р. Обчислений середнє значення альтернативної ознаки по формулі середньої арифметичної:

	

	

	

	Дисперсія альтернативної ознаки визначається по формулі:

	


	

	Таким чином, дисперсія альтернативної ознаки рівна твору частки на доповнюючи цю частку до одиниці число. Корінь квадратний з цього показника відповідає середньому квадратичному відхиленню альтернативної ознаки.

	Показники варіації альтернативних ознак широко використовуються в статистиці, зокрема при проектуванні вибіркового спостереження, обробці даних соціологічних обстежень, статистичному контролі якості продукції, у ряді інших випадків.

Буває необхідно прослідкувати кількісні зміни ознаки по групах, на які розділяється сукупність, а також і між групами. Таке вивчення варіації досягається за допомогою обчислення і аналізу різних видів дисперсії.

Виділяють дисперсію загальну, міжгрупову і внутрішньогрупову. Загальна дисперсія вимірює варіацію ознаки у всій сукупності під впливом всіх чинників, що зумовили цю варіацію.

Існує закон, що зв'язує три види дисперсії. Загальна дисперсія рівна сумі середньої з внутрішньогрупових і міжгруповою дисперсій:







Дане співвідношення називають правилом складання дисперсій. Згідно цьому правилу, загальна дисперсія, що виникає під дією всіх чинників, рівна сумі дисперсії, що з'являється під впливом всіх інших чинників, і дисперсії, що виникає за рахунок группировочного ознаки.

Знаючи будь-які два види дисперсій, можна визначити або перевірити правильність розрахунку третього вигляду. 


2. Задача №6



Виробництво хімічних волокон і ниток становили, в млн. грн.:



2003 р.

2004 р.

2005 р.

Штучні волокна і нитки

2,3

1,6

3,5

Синтетичні волокна і нитки

2,7

2,4

4,8



Визначити по кожному волокну: 

	Базисні та ланцюгові темпи зростання та приросту.

	Середньорічні темпи зростання та приросту.

	Здійснити аналіз:

	Зміни виробництва волокон по відношенню до минулого року.

	Зміни виробництва волокон по відношенню до базисного року.

	









Среднегодовой темп роста выпуска товаров:






Среднегодовой темп прироста выпуска товаров:







Показатели



Год

уц



уб



Тц



Тб



Тц

%

Тб

%

2003

-----

-----

-----

1

-----

-----















2004

-0,7

-0,7

69,56

69,56

-30,43

-30,43



-0,3

-0,3

88,89

88,89

-11,11

-11,11

2005

1,9

1,2

218,75

152,17

118,75

52,17



2,4

2,1

200

117,78

100

77,78



Рассчитываем среднегодовые темп роста и темп прироста по формулам







Среднегодовой темп роста



3. Задача № 12



Є такі дані про чисельність населення України і виробництво цукру–піску:

Рік

1994 р.

1995 р.

1996 р.

Чисельність населення на початок року, млн.чол.

52,1

51,7

51,3

Виробництво цукру-піску, млн.т.

3,4

3,9

3,3



Обчисліть:

Середні рівні рядів динаміки;

Середньорічні абсолютні прирости зменшення і середньорічні темпи зростання (зниження). Проаналізуйте обчислені показники.



	4. Задача № 18



Слюсарі ремонтного цеху у березні отримали таку заробітню платню:

З/п, грн.

204

212

215

225

240

244

250

260

Число слюсарів

2

3

4

6

2

3

3

2



Розрахувати розміри середньої заробітньої платні за місяць одного слюсаря:

а) для всієї сукупності слюсарів;

б) для тих слюсарів, які мають заробітню платню вищу загального середнього;

в) для тих слюсарів, які мають заробітню платню нижчу загального середнього.



5. Задача № 24



Собівартість і обсяг продукції підприємства характеризується такими даними:

Вид виробів

Собівартість одиниці продукції, грн.

Вироблено продукції, тис.шт.



Базисний період

Звітний період

Базисний період

Звітний період

А

30

29

120

125

Б

24

20

140

50

В

8

9

90

76



Визначте:

Індивідуальні індекси собівартості і фізичного обсягу продукції; загальний індекс собівартості; суму економії від зміни собівартості.

1