Метод наименьших квадратов для однофакторной линейной регрессии

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ



КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ











КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«ЭКОНОМЕТРИКА»





































2007


Задания к контрольной работе:



1. Метод наименьших квадратов для однофакторной линейной регрессии

2. Найти коэффициент эластичности для указанной модели в заданной точке X. Сделать экономический анализ.

Модель: Y = (2/X) + 5; X = 0;

3. Убыточность выращивания овощей в сельскохозяйственных предприятиях и уровни факторов (сбор овощей с 1 га, ц и затраты труда, человеко-часов на 1 ц), ее формирующих, характеризуются следующими данными за год:



№ района

Фактор

Уровень убыточности, %



Сбор овощей с 1 га, ц

Затраты труда, человеко-часов на 1 ц



1

93,2

2,3

8,8

2

65,9

26,8

39,4

3

44,6

22,8

26,2

4

18,7

56,6

78,8

5

64,6

16,4

34

6

25,6

26,5

47,6

7

47,2

26

43,7

8

48,2

12,4

23,6

9

64,1

10

19,9

10

30,3

41,7

50

11

28,4

47,9

63,1

12

47,8

32,4

44,2

13

101,3

20,2

11,2

14

31,4

39,6

52,8

15

67,6

18,4

20,2



Нелинейную зависимость принять 


1. Метод наименьших квадратов для однофакторной линейной регрессии



Линейная регрессия находит широкое применение в эконометрике в виде четкой эконометрической интерпретации ее параметров. Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида:



Ŷ = а + bx или Ŷ = a + bx + ε;



Уравнение вида Ŷ = а + bx позволяет по заданным значениям фактора x иметь теоретические значения результативного признака, подставляя в него фактические значения фактора X. На графике теоретические значения представляют линию регрессии.





dy

Y

a

dx















X



Рисунок 1 – Графическая оценка параметров линейной регрессии



Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров – а и b. Оценки параметров линейной регрессии могут быть найдены разными методами. Можно обратится к полю корреляции и, выбрав на графике две точки, провести через них прямую линию. Далее по графику можно определить значения параметров. Параметр a определим как точку пересечения линии регрессии с осью OY, а параметр b оценим, исходя из угла наклона линии регрессии, как dy/dx, где dy – приращение результата y, а dx – приращение фактора x, т.е. Ŷ = а + bx.

Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов(МНК).

МНК позволяет получить такие оценки параметров a и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака (y) от расчетных (теоретических) минимальна:



∑(Yi – Ŷ xi)2 → min



Иными словами, из всего множества линий линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной.



εi = Yi – Ŷ xi.



следовательно ∑εi2 → min



εi

a

Y

















XРисунок 2 – Линия регрессии с минимальной дисперсией остатков



Чтобы найти минимум функции, надо вычислить частные производные по каждому из параметров a и b и приравнять их к нулю.

Обозначим ∑εi2 через S, тогда


S = ∑ (Y –Ŷ xi)2 =∑(Y-a-bx)2;



Дифференцируем данное выражение, решаем систему нормальных уравнений, получаем следующую формулу расчета оценки параметра b:



b = (ух – у•x)/(x2-x2).



Параметр b называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу. Например, если в функции издержек Ŷ = 3000 + 2x (где x – количество единиц продукции, у – издержки, тыс. грн.) с увеличением объема продукции на 1 ед. издержки производства возрастают в среднем на 2 тыс. грн., т.е. дополнительный прирост продукции на ед. потребует увеличения затрат в среднем на 2 тыс. грн.

Возможность четкой экономической интерпретации коэффициента регрессии сделала линейное уравнение регрессии достаточно распространенным в эконометрических исследованиях.



2. Найти коэффициент эластичности для указанной модели в заданной точке X. Сделать экономический анализ.

Модель: Y = (2/X) + 5; X = 0;



Известно, что коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1%. Формула расчета коэффициента эластичности:



Э = f′(x) X/Y,



где f′(x) – первая производная, характеризующая соотношение прироста результата и фактора для соответствующей формы связи.


Y = (2/X) + 5,

f′(x) = -2/x2;



Следовательно получим следующее математическое выражение





-2

X2 ((2/x)+5)

-2 X



2 + 5XЭ = =



При заданном значении X = 0 получим, что коэффициент эластичности равен Э = -1.

Допустим, что заданная функция Y = (2/X) + 5 определяет зависимость спроса от цены. В этом случае с ростом цены на 1% спрос снижается в среднем на 1%.



3. Убыточность выращивания овощей в сельскохозяйственных предприятиях и уровни факторов (сбор овощей с 1 га, ц и затраты труда, человеко-часов на 1 ц), ее формирующих, характеризуются следующими данными за год:



№ района

Фактор

Уровень убыточности, %



Сбор овощей с 1 га, ц

Затраты труда, человеко-часов на 1 ц



1

93,2

2,3

8,8

2

65,9

26,8

39,4

3

44,6

22,8

26,2

4

18,7

56,6

78,8

5

64,6

16,4

34

6

25,6

26,5

47,6

7

47,2

26

43,7

8

48,2

12,4

23,6

9

64,1

10

19,9

10

30,3

41,7

50

11

28,4

47,9

63,1

12

47,8

32,4

44,2

13

101,3

20,2

11,2

14

31,4

39,6

52,8

15

67,6

18,4

20,2



Нелинейную зависимость принять

Задание №1



Построим линейную зависимость показателя от первого фактора.

Обозначим: сбор овощей с 1 Га как X1, а уровень убыточности как Y.



Сбор овощей с 1 га, ц

Уровень убыточности, %

X1

Y

93,2

8,8

65,9

39,4

44,6

26,2

18,7

78,8

64,6

34

25,6

47,6

47,2

43,7

48,2

23,6

64,1

19,9

30,3

50

28,4

63,1

47,8

44,2

101,3

11,2

31,4

52,8

67,6

20,2



Найдем основные числовые характеристики.

Объем выборки n = 15 – суммарное число наблюдений.

Минимальное значение величины сбора овощей Х=18,7;

Максимальное значение сбора овощей Х=101,3;

Минимальное значение величины уровня убыточности Y=8,8;

Максимальное значение величины уровня убыточности Y=78,8;



1

nСреднее значение:

X = ∑xi.



Среднее значение величины сбора овощей X = 778,9/15 = 51,926.

Среднее значение величины уровня убыточности Y = 563,5/15 = 37,566.

Дисперсия



1

N - 1

1

N - 1



D(X) = 	 ∑	(Xi – X)2 = 588.35 D(Y) = 	 ∑(Yi – Y)2 = 385,57.



Среднеквадратическое отклонение:

σx=√588.35 = 24.25, значит среднее сбора овощей в среднем от среднего значения составляет 24,25%.

σy=√385.17 = 19.63, значит среднее уровня убыточности всей сельскохозяйственной продукции в среднем от среднего значения составляет 19,63%.

Для начала нужно определить, связаны ли X1 и Y между собой, и, если да, то определить формулу связи. По таблице строим корреляционное поле (диаграмму рассеивания). Точка с координатами (X, Y) = (51,926; 37,566) называется центром рассеяния. По виде корреляционного поля можно предположить, что зависимость между X1 и Y линейная (стр.). Для определения тесноты линейной связи найдем коэффициент корреляции:



1

n

∑(Xi – X) (Yi – Y)

	

σx σyrxy =					 = 403.64 / 24.25 х 19,63 = 0,856;

	
Так как 0,6 ≤ ‌‌rxy ‌<0,9 то линейная связь между X1 и Y – достаточная. Попытаемся описать связь между X1 и Y зависимостью Y=b0+b1X. Параметры b0, b1 найдем по МНК.

	

	b1 = rxy σx σy = -0,856 х 19,63. 24,25 = -0,696;

	b0 = y – b1X = 37.566 + 0.696 х 51.92 = 73.70

	

	Так как b1 < 0, то зависимость между X1 и Y обратная: с ростом сбора овощей уровень убыточности сельскохозяйственной продукции падает. Проверим значимость коэффициентов b0, b1.

	Значимость коэффициентов b может быть проверена с помощью критерия Стьюдента:

	

	tнабл = b0/σb0 = 73.70/6.53 = 11.28;

	

	Значимость tнабл равна 0,00000007, т.е. 0,000007%. Так как это значение меньше 5%, то коэффициент b0 статистически значим.

	

	tнабл = b1/σb1 = -0,696/0,1146 = -6,0716;

	

	Значимость tнабл равна 0,000039, т.е. 0,0039%. Так как это значение меньше 5%, то коэффициент b1 статистически значим.

	Получили модель связи сбора овощей и уровня убыточности сельскохозяйственной продукции:

	

	Y = 73.70 – 0.6960X

	

	После того, как была построена модель, необходимо проверить ее на адекватность.

	Разброс данных, объясняемый регрессией SSR = ∑(ỹ-y)2 = 3990,5;

	Остатки, необъясненный разброс SSЕ = ∑(ỹ-yi)2 = 1407,25;

	Общий разброс данных SSY = ∑(yi-y)2 = 5397,85;

	Для анализа общего качества оценной линейной регрессии найдем коэффициент детерминации: R2 = SSR/SSY = 0.7192;

	Разброс данных объясняется линейной моделью на 72% и на 28% – случайными ошибками.

	Вывод: Качество модели хорошее

	Проверим с помощью критерия Фишера. Для проверки этой гипотезы сравниваются между собой величины:

	MSR = SSR / K1 = 3990.5946/ K1 = 3990.5946. Отсюда K1 = 1.

	MSE = SSE / K2 = 1407.25 / K2 = 108.25. Отсюда K2 = 13.

	Находим наблюдаемое значение критерия Фишера Fнабл= MSR/MSE.

	Значимость этого значения α = 0,00004, т.е. процент ошибки равен 0,004%. Так как это значение меньше 5%, то найденная модель считается адекватной.

	Найдем прогноз на основании линейной регрессии. Выберем произвольную точку из области прогноза [18.7; 101.3]. Допустим это точка X1 = 50.

	Рассчитываем прогнозные значения по модели для всех точек выборки и для точки прогноза Y(х = 50) = 73.7085 – 0.6960 х 50 = 38.9.

	Найдем полуширину доверительного интервала в каждой точке выборки Xпр

	Отсюда получим, что δ = 23,22.

	В приведенной формуле:

	σе = MSE = 108.25 = 10.40 – среднеквадратичное отклонение выборочных точек от линии регрессии.

	ty = 2,16 – критическая точка распределения Стъюдента для надежности γ = 0,95 и K2 = 13 при n = 15.

	SX = ∑(xi-x)2 или

	SX = (n – 1) х D(X) = 14 х 588 х 39 = 8237,46;

	Прогнозируемый доверительный интервал для любого X1 такой (ỹ – δ; ỹ + δ).

	Совокупность доверительных интервалов для всех X1 из области прогнозов образует доверительную область, которая представляет область заключения между двумя гиперболами. Наиболее узкое место в точке X.

	Прогноз для Х1 составит от 15,7 до 62,1 с гарантией 95%. То есть можно сказать, что при сборе овощей 50 центнеров с 1 га уровень убыточности сельскохозяйственной продукции можно спрогнозировать на уровне 15,7% – 62,1%.

	Найдем эластичность Y = 73.70 – 0.6960X.

	В нашем случае (для линейной модели) Ex = -0.6960X/(73.70 – 0.6960X).

	В численном выражении это составит:

	Eх=50 = -0,6960×50 / (73.70 – 0.6960×50) = – 0,8946;

	Коэффициент эластичности показывает, что при изменении величины Х1 на 1% показатель Y уменьшается на 0,8946%.

	Например, если Х1 = 50,5 (т.е. увеличился на 1%), то Y = 38.9 + 38.9×(-0,008946) = 38,5520006.

	Проверим и Yх =50,5 = 73.70 – 0.6960X = 73.70 – 0.6960 × 50,50 = 38,552.

	

Задание №2



Построим нелинейную зависимость показателя от второго фактора.

Обозначим: затраты труда, человеко-часов на 1 ц – X2, а уровень убыточности как Y.



Затраты труда, человеко-часов на 1 ц

Уровень убыточности

X2

Y

2,3

8,8

26,8

39,4

22,8

26,2

56,6

78,8

16,4

34

26,5

47,6

26

43,7

12,4

23,6

10

19,9

41,7

50

47,9

63,1

32,4

44,2

20,2

11,2

39,6

52,8

18,4

20,2







Найдем основные числовые характеристики.

Объем выборки n = 15 – суммарное число наблюдений.

Минимальное значение величины трудоемкости Х2=2,3;

Максимальное значение трудоемкости Х2=56,6;

Минимальное значение величины уровня убыточности Y=8,8;

Максимальное значение величины уровня убыточности Y=78,8;



1

nСреднее значение:



X = ∑xi.



Среднее значение величины трудоемкости X2 = 321,8/15 = 26,816.

Среднее значение величины уровня убыточности Y = 563,5/15 = 37,566.



1

N - 1Дисперсия





1

N - 1

D(X) = 	 ∑	(Xi – X)2 = 254,66 D(Y) = 	 ∑(Yi – Y)2 = 385,56



Среднеквадратическое отклонение:

σx=√254,66 = 15,95 значит среднее трудоемкости в среднем от среднего значения составляет 15,95%.

σy=√385.17 = 19.63, значит среднее уровня убыточности всей сельскохозяйственной продукции в среднем от среднего значения составляет 19,63%.

Для начала нужно определить, связаны ли X1 и Y между собой, и, если да, то определить формулу связи. По таблице строим корреляционное поле (диаграмму рассеивания). Точка с координатами (X, Y) = (26,816; 37,566) называется центром рассеяния. По виде корреляционного поля можно предположить, что зависимость между X1 и Y нелинейная (стр.), а именно имеет зависимость .

Путем преобразования нелинейную зависимость приведем к линейной V = b0 + b1U.

Для начала заменим переменные U = x, а V = ln(Y).

Найдем конкретные значения V и U (стр.), затем строим корреляционное поле (стр.) и находим результаты регрессивной статистики.

Для определения тесноты линейной связи V = b0 + b1U найдем коэффициент корреляции:



1

n

∑(Ui – U) (Vi – V)

	

σv σurvu =					 = 403.64 / 24.25 х 19,63 = 0,856;

	

	Так как 0,6 ≤ ‌‌rxy ‌ <0,9 то линейная связь между X1 и Y – достаточная. Попытаемся описать связь между X1 и Y зависимостью Y=b0+b1X. Параметры b0, b1 найдем по МНК.

	

	b1 = rvu σv σu = -0,856 х 19,63. 24,25 = -0,696;

	b0 = y – b1X = 37.566 + 0.696 х 51.92 = 73.70

	
Так как b1 < 0, то зависимость между X1 и Y обратная: с ростом сбора овощей уровень убыточности сельскохозяйственной продукции падает. Проверим значимость коэффициентов b0, b1.

	Значимость коэффициентов b может быть проверена с помощью критерия Стьюдента:

	tнабл = b0/σb0 = 73.70/6.53 = 11.28;

	Значимость tнабл равна 0,00000007, т.е. 0,000007%. Так как это значение меньше 5%, то коэффициент b0 статистически значим.

	tнабл = b1/σb1 = -0,696/0,1146 = -6,0716;

	Значимость tнабл равна 0,000039, т.е. 0,0039%. Так как это значение меньше 5%, то коэффициент b1 статистически значим.

	Получили модель связи сбора овощей и уровня убыточности сельскохозяйственной продукции:

	

	Y = 73.70 – 0.6960X

	

	После того, как была построена модель, необходимо проверить ее на адекватность.

	Разброс данных, объясняемый регрессией SSR = ∑(ỹ-y)2 = 3990,5;

	Остатки, необъясненный разброс SSЕ = ∑(ỹ-yi)2 = 1407,25;

	Общий разброс данных SSY = ∑(yi-y)2 = 5397,85;

	Для анализа общего качества оценной линейной регрессии найдем коэффициент детерминации: R2 = SSR/SSY = 0.7192;

	Разброс данных объясняется линейной моделью на 72% и на 28% – случайными ошибками.

	Вывод: Качество модели хорошее

	Проверим с помощью критерия Фишера. Для проверки этой гипотезы сравниваются между собой величины:

	MSR = SSR / K1 = 3990.5946/ K1 = 3990.5946. Отсюда K1 = 1.

	MSE = SSE / K2 = 1407.25 / K2 = 108.25. Отсюда K2 = 13.

	Находим наблюдаемое значение критерия Фишера Fнабл= MSR/MSE.

	Значимость этого значения α = 0,00004, т.е. процент ошибки равен 0,004%. Так как это значение меньше 5%, то найденная модель считается адекватной.

	Найдем прогноз на основании линейной регрессии. Выберем произвольную точку из области прогноза [18.7; 101.3]. Допустим это точка X1 = 50.

	Рассчитываем прогнозные значения по модели для всех точек выборки и для точки прогноза Y(х = 50) = 73.7085 – 0.6960 х 50 = 38.9.

	Найдем полуширину доверительного интервала в каждой точке выборки Xпр

	Отсюда получим, что δ = 23,20.

	В приведенной формуле:

	σе = MSE = 108.25 = 10.40 – среднеквадратичное отклонение выборочных точек от линии регрессии.

	ty = 2,16 – критическая точка распределения Стъюдента для надежности γ = 0,95 и K2 = 13 при n = 15.

	SX = ∑(xi-x)2 или

	SX = (n – 1) х D(X) = 14 х 588 х 39 = 8237,46;

	Прогнозируемый доверительный интервал для любого X1 такой (ỹ – δ; ỹ + δ).

	Совокупность доверительных интервалов для всех X1 из области прогнозов образует доверительную область, которая представляет область заключения между двумя гиперболами. Наиболее узкое место в точке X.

	Прогноз для Х1 составит от 15,7 до 62,1 с гарантией 95%. То есть можно сказать, что при сборе овощей 50 центнеров с 1 га уровень убыточности сельскохозяйственной продукции можно спрогнозировать на уровне 15,7% – 62,1%.

	Найдем эластичность Y = 73.70 – 0.6960X.

	В нашем случае (для линейной модели) Ex = -0.6960X/(73.70 – 0.6960X).

	В численном выражении это составит:

	Eх=50 = -0,6960×50 / (73.70 – 0.6960×50) = – 0,8946;

	Коэффициент эластичности показывает, что при изменении величины Х1 на 1% показатель Y уменьшается на 0,8946%.

	Например, если Х1 = 50,5 (т.е. увеличился на 1%), то Y = 38.9 + 38.9×(-0,008946) = 38,5520006.

	Проверим и Yх =50,5 = 73.70 – 0.6960X = 73.70 – 0.6960 × 50,50 = 38,552.

	

	Задание №3

	

Сбор овощей с 1 га, ц

Затраты труда, человеко-часов на 1 ц

Уровень убыточности

X1

X2

Y

93,2

2,3

8,8

65,9

26,8

39,4

44,6

22,8

26,2

18,7

56,6

78,8

64,6

16,4

34

25,6

26,5

47,6

47,2

26

43,7

48,2

12,4

23,6

64,1

10

19,9

30,3

41,7

50

28,4

47,9

63,1

47,8

32,4

44,2

101,3

20,2

11,2

31,4

39,6

52,8

67,6

18,4

20,2

	

Построим линейную зависимость показателя от двух факторов.

	Обозначим: сбор овощей с 1 га как X1, затраты труда, человеко-часов на 1 ц – X2, а уровень убыточности как Y.

Найдем основные числовые характеристики.

Объем выборки n = 15 – суммарное число наблюдений

2. Минимальное значение величины сбора овощей Х1=18,7;

Максимальное значение сбора овощей Х1=101,3;

Минимальное значение величины трудоемкости Х2=2,3;

Максимальное значение трудоемкости Х2=56,6;

Минимальное значение величины уровня убыточности Y=8,8;

Максимальное значение величины уровня убыточности Y=78,8;

Среднее значение:



1

n

X = ∑xi.



Среднее значение величины сбора овощей X = 778,9/15 = 51,926.

Среднее значение величины трудоемкости X2 = 321,8/15 = 26,816.

Среднее значение величины уровня убыточности Y = 563,5/15 = 37,566.

Дисперсия



1

N - 1

1

N - 1



D(X) = 	 ∑	(Xi – X)2 = 254,66 D(Y) = 	 ∑(Yi – Y)2 = 385,56



Среднеквадратическое отклонение:

σx=√254,66 = 15,95 значит среднее трудоемкости в среднем от среднего значения составляет 15,95%.

σy=√385.17 = 19.63, значит среднее уровня убыточности всей сельскохозяйственной продукции в среднем от среднего значения составляет 19,63%.

Для начала нужно определить, связаны ли X1 и Y между собой, и, если да, то определить формулу связи. По таблице строим корреляционное поле (диаграмму рассеивания). Точка с координатами (X, Y) = (26,816; 37,566) называется центром рассеяния. По виде корреляционного поля можно предположить, что зависимость между X1 и Y нелинейная (стр.), а именно имеет зависимость .

Путем преобразования нелинейную зависимость приведем к линейной V = b0 + b1U.

Для начала заменим переменные U = x, а V = ln(Y).

Найдем конкретные значения V и U (стр.), затем строим корреляционное поле (стр.) и находим результаты регрессивной статистики.

Для определения тесноты линейной связи V = b0 + b1U найдем коэффициент корреляции:



1

n

∑(Ui – U) (Vi – V)

	

σv σurvu =					 = 403.64 / 24.25 х 19,63 = 0,856;

	

	Так как 0,6 ≤ ‌‌rxy ‌ <0,9 то линейная связь между X1 и Y – достаточная. Попытаемся описать связь между X1 и Y зависимостью Y=b0+b1X. Параметры b0, b1 найдем по МНК.

	

	и1 = кчн σн. σч = -0,856 х 19,63. 24,25 = -0,696;

	b0 = y – b1X = 37.566 + 0.696 х 51.92 = 73.70

	

	Так как b1 < 0, то зависимость между X1 и Y обратная: с ростом сбора овощей уровень убыточности сельскохозяйственной продукции падает. Проверим значимость коэффициентов b0, b1.

	Значимость коэффициентов b может быть проверена с помощью критерия Стьюдента:

	

	tнабл = b0/σb0 = 73.70/6.53 = 11.28;

	

	
tнабл = b1/σb1 = -0,696/0,1146 = -6,0716;

	Значимость tнабл равна 0,000039, т.е. 0,0039%. Так как это значение меньше 5%, то коэффициент b1 статистически значим.

	Получили модель связи сбора овощей и уровня убыточности сельскохозяйственной продукции:

	

	Y = 73.70 – 0.6960X

	

	После того, как была построена модель, необходимо проверить ее на адекватность.

	Разброс данных, объясняемый регрессией SSR = ∑(ỹ-y)2 = 3990,5;

	Остатки, необъясненный разброс SSЕ = ∑(ỹ-yi)2 = 1407,25;

	Общий разброс данных SSY = ∑(yi-y)2 = 5397,85;

	Для анализа общего качества оценной линейной регрессии найдем коэффициент детерминации: R2 = SSR/SSY = 0.7192;

	Разброс данных объясняется линейной моделью на 72% и на 28% – случайными ошибками.

	Вывод: Качество модели хорошее

	Проверим с помощью критерия Фишера. Для проверки этой гипотезы сравниваются между собой величины:

	MSR = SSR / K1 = 3990.5946/ K1 = 3990.5946. Отсюда K1 = 1.

	MSE = SSE / K2 = 1407.25 / K2 = 108.25. Отсюда K2 = 13.

	Находим наблюдаемое значение критерия Фишера Fнабл= MSR/MSE.

	Значимость этого значения α = 0,00004, т.е. процент ошибки равен 0,004%. Так как это значение меньше 5%, то найденная модель считается адекватной.

	Найдем прогноз на основании линейной регрессии. Выберем произвольную точку из области прогноза [18.7; 101.3]. Допустим это точка X1 = 50.

	Рассчитываем прогнозные значения по модели для всех точек выборки и для точки прогноза Y(х = 50) = 73.7085 – 0.6960 х 50 = 38.9.

	Найдем полуширину доверительного интервала в каждой точке выборки Xпр

	

8237.46

(50 – 51.92)2

15

1

SX

(Хпр-Х)2

n

1

	δ = σе ty 1 + + = 10.4 × 2.016 1 + +

	

	Отсюда получим, что δ = 23,20.

	В приведенной формуле:

	σе = MSE = 108.25 = 10.40 – среднеквадратичное отклонение выборочных точек от линии регрессии.

	ty = 2,16 – критическая точка распределения Стъюдента для надежности γ = 0,95 и K2 = 13 при n = 15.

	SX = ∑(xi-x)2 или

	SX = (n – 1) х D(X) = 14 х 588 х 39 = 8237,46;

	Прогнозируемый доверительный интервал для любого X1 такой (ỹ – δ; ỹ + δ).

	Совокупность доверительных интервалов для всех X1 из области прогнозов образует доверительную область, которая представляет область заключения между двумя гиперболами. Наиболее узкое место в точке X.

	Прогноз для Х1 составит от 15,7 до 62,1 с гарантией 95%. То есть можно сказать, что при сборе овощей 50 центнеров с 1 га уровень убыточности сельскохозяйственной продукции можно спрогнозировать на уровне 15,7% – 62,1%.

	Найдем эластичность Y = 73.70 – 0.6960X.

	В нашем случае (для линейной модели) Ex = -0.6960X/(73.70 – 0.6960X).

	В численном выражении это составит:

	Eх=50 = -0,6960×50 / (73.70 – 0.6960×50) = – 0,8946;

	Коэффициент эластичности показывает, что при изменении величины Х1 на 1% показатель Y уменьшается на 0,8946%.

	Например, если Х1 = 50,5 (т.е. увеличился на 1%), то Y = 38.9 + 38.9×(-0,008946) = 38,5520006.

	Проверим и Yх =50,5 = 73.70 – 0.6960X = 73.70 – 0.6960 × 50,50 = 38,552.





2