Параметры вращения цилиндров

Задача 1



Испытываемая жидкость заливается в кольцевую щель на высоту h между цилиндрами А и В (см. рис. 1). Для вращения цилиндра В относительно цилиндра А с частотой n нему должен быть приложен момент М. пренебрегая моментом трения в опорах, определить динамический и кинематический коэффициенты вязкости жидкости с плотностью с. При расчете принять d >> D-d, где D и d – диаметры цилиндров.



Номер варианта

M,

H·см

n,

об/мин

D,

Мм

d,

мм

h,

мм

с,

г/см3

9

1500

80

208

200

120

0,72





Рис. 1



Решение



Возникает момент сопротивления:



dMтр = , 



где =; S – площадь цилиндра. S= р·d·h.

По закону Ньютона (для внутреннего трения):



dFтр = .



Приближенно находим



=.



где Vнар. – скорость наружного цилиндра диаметра d; Vвнутр.= 0 – скорость внутреннего цилиндра диаметра D.



Vнар. = 2 р·n·.



Получаем численно:



 =  = .



Получаем для нашего случая, сила трения действующая на внутренний цилиндр:



Fтр = з··S.



Вращающий момент силы трения:



Mтр = Fтр·.


Получаем,



Mтр = з·· р·d·h·.



При установившимся движении М = Mтр:



М = з·· р·d·h·.



Находим динамический коэффициент вязкости:



з = ,

з == = 4,610 Па·с.



Находим кинематическую вязкость жидкости (кинематический коэффициент вязкости жидкости):



д =  =  = 6,40·10-3 .



Ответ: динамический коэффициент вязкости – з = 4,978 Па·с; кинематический коэффициент вязкости д = 6,40·10-3 .




Задача 2



Определить разность давлений в точках А и В, заполненных водой резервуаров (см. рис. 2), если известны показания ртутного дифманометра Д h= 20 см и расстояние между точками Н =0,7 м. Плотность воды св = 1000 кг/м3; ртути срт = 13,544·103 кг/м3.

вращение цилиндр вязкость давление



Рис. 2



Решение



Давление на уровне О- О можем определить так:



Ро = РА + сВg (Н + Дх + Дh),

Ро = РА + сВ·g·Дх +срт·g·Дh).



Получаем из полученных выражений:



РА + сВg (Н + Дh)+ сВ·g·Дх = сВ·g·Дх+ срт·g·Дh+РА – РВ = срт·g·Дh – сВg (Н + Дh) = 13,544·103 кг/м3 ·9,8 м/с2 · 0,2 м – 1000 кг/м3· 9,8 м/с2 · 0,9 м = 17726,24 Па.



Ответ: разность давлений между точками А и В составляет 17726,24 Па.

Задача 3



Прямоугольное отверстие высотой h = 300 мм и шириной b = 800 мм в вертикальной стенке заполненного водой закрытого резервуара закрыто щитком, вращающимся вокруг горизонтальной оси О (см. рис. 3). Щит прижимается грузом, подвешенным на рычаге длиной r = 1000 мм. Определить минимальный вес груза и построить эпюру давлений на щит, если известны глубина погружения нижней кромки отверстия под водой Н = 1000 мм, расстояние от верхней кромки отверстия до оси вращающегося щита а= 90 мм и показание пружинного манометра со = 1,1·104 Па. Весом рычага и трением в опоре пренебречь. Плотность воды св = 1000 кг/м3. момент инерции прямоугольника относительно центральной оси определяется по формуле J = b·h3/12.





Рис. 3



Решение

Манометр показывает избыточное давление по отношению к атмосферному.

Сила давления суммарная, действующая на щит с внутренней стороны щита равна:


F = [Po + с·g (H-)]·b·h.



Находим ее приложение (давление рассчитываем для центра тяжести т. площадки). Сила давления не приложена в центре тяжести площадки, т.е. в точке А.

Сила давления в точке В, где АВ = J/b·h·HA;



НА = = + (H- ).



Находим минимальный подвешенный груз, чтобы щит не раскрылся:



Q ·Г ≥ F·(a+ + АВ).

Qmin = =  =

==

= 3898,69 H



Ответ: минимальный вес груза 3898,69 Н, эпюра давлений на щит показана на рис. 3.



Задача 4



Открытый вертикальный цилиндрический сосуд (рис. 4) радиусом R = 1,2 м с жидкостью равномерно вращается вокруг вертикальной оси со скоростью щ = 80 об/мин. Определить высоту жидкости ho после остановки сосуда и глубину воронок h2, если известна высота жидкости h1 = 1,5 м.





Рис. 4



Решение

Скорость вращения:



щ = = 8,37 с-1.



Высота параболоида (глубина воронки):



h2 = = = 5,1 м.



Объем параболоида вращения равен:



Vпар = р·R2· .



Высота покоящейся жидкости:


ho = h1 –  =1,5 – = 1,05 м.



Ответ: высота жидкости после остановки сосуда ho = 1,05 м.



Задача 5



Вода вытекает из резервуара, в котором поддерживается постоянный уровень, через трубопровод при атмосферном давлении в конце трубопровода. Пренебрегая сопротивлениями, определить уровень в резервуаре, расход воды Q и построить напорную и пьезометрическую линию, если известны показания ртутного дифференциального пьезометра h, диаметры трубопроводов D1 = 200 мм, D2 =190 мм, d = 150 мм, плотность ртути и воды соответственно срт = 13,5 ·103 кг/м3; св = 1000 кг/м3. Атмосферное давление Ра = 105 Па.





Рис. 5



Решение

Давление статическое в сечении трубки диаметром D1:



P1 = Pa + сgH – .


Давление статическое в сечении трубки диаметром d:



P = Pa + сgH – .



Используя дифференциальный пьезометр, находим:



P1 – P = (срт – св) gh,

т.е. = (срт – св) gh (1)



при выходе из трубы имеем:



Pa + сgH –  = Pa (2)



Исходя из неразрывности струи, имеем:



= = .



После сокращения получаем:



 = d2·V =  (3).



На основании выражения (3), можем записать:



= d2·V.

V1 = .


Подставляем полученное выражение в выражение (1), получаем:



V2-= .

V=  =  = 71,67 м/с.



Находим расход воды:



Q = =  = 0,081240 м3/с = 81,24 л/с.



Находим высоту столба воды Н в резервуаре:



сgH = 

gH = ; H = . (атмосферное давление не учитывается).



Из уравнения (3), имеем:



V2 = .



Получаем:



Н =  =  = 130,48 м.


Ответ: высота воды в резервуаре Н = 130,48 м; расход воды Q = 81,24 л.



Задача 6



В водопроводной сети имеется участок АВ с тремя параллельными ветвями (см. рис. 6). Определить потерю напора h на этом участке и расходы ветвей Q1, Q2, и Q 3, если расход магистрали Q = 110 л/с, диаметры и длины участков D1 = 275 мм; D2 = 175 мм; D3 = 200 мм; l1 = 500 м; l2 = 1100 м; l3 = 1300 м. Трубы нормальные.





Рис. 6



Решение

В соответствии с уравнением неразрывности потока расход жидкости по данному трубопроводу будет:



Q = Q1 + Q2 + Q3 (1)



Рассчитаем потери напора в каждом трубопроводе:



Нпот.1 = б1·Q, где Q1 = ,

Нпот.2 = б1·Q, где Q2 = , (3)

Нпот.3 = б1·Q, где Q3 = .



Потери напора в любом из простых трубопроводов, а также общие потери напора в рассматриваемом сложном трубопроводе будут равны разности полных напоров в сечениях А иВ:



НА – НВ = Нпот.1 = Нпот.2 = Нпот.2 = Нпот. (4).



Подставляем в выражение (1) выражение (3) получаем:



Q = = = = . (5)



Поскольку местными сопротивлениями можно пренебречь, сопротивления отдельных простых трубопроводов могут быть найдены по одной из формул:



А = Адл·l; a= .



Из формулы (5) имеем:



Нпот = .



Из таблицы для нормальных труб, имеем:

D1 = 275 мм; 0,613 м6/с.

D2 = 175 мм; 0,212 м6/с.

D3 = 200 мм; 0,116 м6/с.

Находим потери напора по формуле (5):



а1= =  = 815,66

а2= =  = 5188,67

а1= =  = 11206,89

Нпот =  = 6,032

Q1 = = 0,085 м3/с = 85 л/с.

Q2 = = 0,0340 м3/с = 34 л/с.

Q3 = = 0,0231 м3/с = 23,1 л/с.

Q1 + Q2 + Q3 = 0,14 м3/с = 142,1 л/с.



Ответ: потеря напора на участке АВ составляет 6,032 м. рт. столба, а расходы Q1 = 85 л, Q2 = 34 л/с; Q3 = 23,1 л/с.



Задача 7



Вода под давлением Po подводится по трубе диаметром dc = 13 мм, в котором происходит увеличение скорости и понижение давления (см. рис. 7). Затем в диффузоре поток расширяется до диаметра d= 50 мм. Вода выходит в атмосферу на высоте Н2 = 1,3 м и поднимается из нижнего резервуара на высоту Н1 = 2,5 м. определить минимальное давление Ро перед эжектором с учетом потерь напора в сопле (ос = 0,06), диффузоре (одиф = 0,25), коленах (ок = 0,25).




Рис. 7



Решение

Запишем уравнение Бернулли (перед соплом и на выходе):



1) Ро + = Ра + +сg(H1 + H2) +(0,06+2·0,25) .



Давление в струе после сопла будет:



2) Рс  Ра – сgH1.



Запишем уравнение Бернулли (перед соплом и после сопла в сечениях):



3) Ро + = Ра – сgH1 + +0,06.



Уравнение неразрывности струи:



4) = ; d2V = Vc; Vc = ·V.



Численная связь Vc = ·V.

Решаем систему:

Из уравнения (1) отнимаем уравнение (3) и находим



0=+ сg(2H1 + H2) +  – с· .

·  –  = g(2H1 + H2).

V2 = = = 0,56 м2/с2.



Из первого уравнения имеем:



Р0  Ра + сg(H1 + H2) + = Ра + 1000·9,81 (2,5+1,3) + = Ра + 37434,8 Па.



Ответ: минимальное давление перед инжектором Po = Pa + 37434,8 Па.






Литература



		Р.Р. Чугуев. Гидравлика. М., 1991 г.

		В.Г. Гейер, В.С. Дулин, А.П. Заря. Гидравлика и гидропривод. М. «Недра», 1991 г.

		К.Г. Асатур. Гидравлика, конспект лекций, Л., ЛГИ., ч. 1 и 2.