Урок по алгебре для 9 класса "АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ"

МОУ ЮЛОВСКАЯ ОСНОВНАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА ИНЗЕНСКОГО РАЙОНА УЛЬЯНОВСКОЙ ОБЛАСТИ 



                      УРОК – ЛЕКЦИЯ

                       ПО АЛГЕБРЕ (9 класс)

      НА ТЕМУ 

«  АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ ».

( 2 урока ).





                                       РАЗРАБОТАЛА

                                       УЧИТЕЛЬНИЦА

                                      МАТЕМАТИКИ

                                                     МОУ ЮЛОВСКАЯ ООШ
                                                                    ЗУБКОВА НАТАЛЬЯ ИВАНОВНА





		



УРОК – ЛЕКЦИЯ НА ТЕМУ

 « АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ». ( 2УРОКА ).  





ЦЕЛЬ УРОКА:

    - Расширить знания учащихся о последовательностях, ввести понятие арифметической прогрессии, формулу п-го члена и формулу суммы п первых членов арифметической прогрессии и их вывод.

   - Способствовать воспитанию у учащихся логического мышления, внимания и аккуратности при применении формул

п-го члена и суммы п первых членов арифметической прогрессии. Вызвать интерес учащихся к математике.

   - Способствовать формированию у учащихся:

 умения анализировать математическое предложение;

умения выделять среди последовательностей арифметическую прогрессию;

умения записывать, выполнять вывод формул п-го члена и суммы п первых членов арифметической прогрессии и применять их при решении задач.







ПЛАН:



1.Обосновать необходимость изучения темы.

2.Предоставить возможность учащимся самим дать определение арифметической прогрессии и свойство ее членов.

3. Провести вместе с учащимися вывод формулы п-го члена арифметической прогрессии . Решение ключевых задач.

4.Провести вместе с учащимися вывод формул суммы п первых членов арифметической прогрессии. Решение ключевых задач.

5. Легенда о немецком математике Гауссе.

6. Историческая справка о Колмогорове А.Н.

7. Постановка проблемных вопросов, близко примыкающих к теме, предназначенных для самостоятельной работы( с указанием литературы).

8. Домашнее задание.













ХОД УРОКА.



1.Организационный момент.



2. Постановка цели урока перед учащимися.



Научиться выделять среди всех  последовательностей  

арифметическую  прогрессию и ее свойства.



3.Повторение с целью проверки уровня усвоения пройденного и подведения к новому материалу.



УСТНАЯ ФРОНТАЛЬНАЯ РАБОТА.



          1. Назовите первые пять членов последовательности (  ап), если ап = п2+ 5

          2. Выделите общее свойство членов  последовательностей:

               2;3;4;5;…

              14;12;10;8;…

               -3;-4;-5;….

               0,3;0,6;0,9;…



ВОПРОСЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ ПОДВЕДЕНИИ ИТОГОВ ФРОНТАЛЬНОЙ РАБОТЫ:

       1.Что такое последовательность?

       2. Какие бывают последовательности? Приведите примеры.

      3.Какие существуют способы задания последовательностей?

          Приведите примеры.



4.Ознакомление с новым материалом и его закрепление.



1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ.



ЗАДАЧА.

        Вертикальные стержни фермы имеют такую длину: наименьший  5дм, а каждый следующий на 2дм длиннее. Запишите длину семи стержней фермы (см. рисунок  ).



















1)Запишите последовательность в соответствии с условием задачи.

5;7;9;11;13;15;17. 



2) Запишите последовательность с помощью таблицы.





а1

а2

а3

     а4

а5

а6

а7

5

7

9

11

13

15

17



3) Найдите разность между предыдущим и последующими членами последовательности.

     а2 -  а1 =7-5=2                                      а3  -   а2 =9-7=2

      а4   -  а 3=11-9=2                                   а5    -     а4=13-11=2

     а6     -   а5 =15-13=2                              а7    -  а6 =17-15=2



d-разность ;



d= а2 - а1  = а3 - - а2    =     а4   - а3  = … 



d= ап+1 – ап  



			                                                  - 	разность



4)Задайте эту последовательность с помощью рекуррентной формулы.



а1    =   5,      ап+1  = ап  +2



УЧИТЕЛЬ: 



Такая последовательность называется арифметической прогрессией. Термин «прогрессия» (от лат.  рrogressio — движение вперед) был введен римским философом Боэцием в VI в. и понимался просто как последовательность чисел, построенная по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин «прогрессия» в этом широком смысле не применяется; вместо этого употребляют слово последовательность. Но два простых и важных для практических нужд вида последовательностей сохранили свои старые названия, правда, их уже дополнили прилагательными — арифметическая и геометрическая.

       Арифметическая прогрессия появилась с возникновением натуральных чисел, так как каждое следующее натуральное число на 1 больше предыдущего.



5) Попробуйте дать определение арифметической прогрессии.

                      Учащиеся пытаются сформулировать      

                         определение, учитель им  помогает.



 6) Работа с учебником.

                     Учащиеся находят правило в учебнике, один из учащихся 

                 читает определение вслух.

7) Найдите среднее арифметическое чисел 5 и 9.

                (5+9):2=7.

8) Справедлива ли такая закономерность для любых трех членов арифметической прогрессии?

 (а1+ а3 ) :2= а2         (5+9):2=7, а2=7,



9) Докажите, что для членов арифметической прогрессии справедлива закономерность    

d= ап+1  - ап =  ап+2  - ап+1=…

ап+1  - ап =  ап+2  - ап+1

2 ап+1  = ап+2  + ап

ап+1  =( ап+2  + ап):2



ап+1  =( ап+2  + ап):2



	                                                         -  свойство членов арифметической                                               прогрессии.





ВЫВОД:

         Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, есть среднее      арифметическое между предыдущим и последующим членами прогрессии. Отсюда и произошло название прогрессии- арифметическая.



ПРИМЕР.1.     Дано:( ап)-арифметическая прогрессия,  

                          а1 =4,  d= 7.

                          Найти: первые пять членов, т.е. а2, а3, а4, а5 

                          Решение:

а2 = а1+ d=4+7=11

 а3= а2+ d=11+7=18

 а4 = а3+ d=18+7=25

а5 = а4+ d=25+7=32

Ответ: 4;11;18;25;32.



2.ВЫВОД ФОРМУЛЫ  п-го  ЧЛЕНА АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ. 



(  ап  )- арифметическая прогрессия, 

d-разность прогрессии,

 а1  - первый член .

а2  = а1 + d  

а3= а2+ d = а1+ d + d = а1 +2 d

а4 = а3+ d  = а1 +2 d + d = а1 +3d

………………………………

ап              ап  =  а1  + (п-1) d







 - формула п-го члена арифметической прогрессии.

  



ПРИМЕР.2.    Дано: (ап   )-арифметическая прогрессия,d=3, а1=20,

                          Найти: а5 ,а12  .

                          Решение: ап  =  а1  + (п-1) d

а5= а1  + (5-1) d

а5=20+4*3=32

а12= а1  + (12-1) d

а12=20+11*3=53

Ответ: а5=32, а12=53.



ПРИМЕР.3.     Дано: 15; 13; 11;… -арифметическая прогрессия.

                          Найти: а11

                          Решение:                                                    

а1=15, а2=13, d= а2 – а1

	d=13-15= - 2,

  ап  =  а1  + (п-1) d

а11 =  а1  + (11-1) d

а11 =  15  + 10*(-2)=-5.

Ответ: а11=-5.





3.ВЫВОД ФОРМУЛЫ СУММЫ п ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ.



1)Постановка проблемы. 

              2;5;8;11;14.-арифметическая прогрессия. Найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии.

 

2)Изобразим эти числа с помощью ступенчатой фигуры (используя клетки тетради).

В          Д                                                                                                  О     

































































































































































А                                                                                                    С        Е



3) Дополним эту фигуру АВДС до прямоугольника АВОЕ.



4) Получим две равные фигуры: АВДС=ОЕСД.

    Следовательно, равны их площади: S(АВДС)=S(ОЕСД).



5) Найдем площадь фигуры АВОД как площадь прямоугольника.

S(ABGE)= AE*AB

S(ABGE)=(AC +CE)*AB
2 S(ABDC)=( первый член + п-й член) * число членов 

S(ABDC)=n







Sn-  сумма  n – первых членов арифметической прогрессии.







-формула суммы п первых членов арифметической прогрессии.





  ап  =  а1  + (п-1) d













-формула суммы п первых членов арифметической прогрессии.





ПРИМЕР.4.       Дано: (ап)-арифметическая прогрессия,

	а1=-40, а5= -32.

                             Найти:S5.

                             Решение:





=





S5=-180

Ответ: S5=-180.



ПРИМЕР.5.          Дано:8;4;0;…-арифметическая прогрессия.

                               Найти:S20

                               Решение:





20

d= a2 – a1=4-8=-4

20 =- 600 .

Ответ: -600.



4 .СООБЩЕНИЕ    УЧАЩЕГОСЯ.





     Крупнейший немецкий математик Карл Гаусс (1777— 1855) в

раннем возрасте проявил необыкновенные способности к 

изучению арифметики.

    Семи лет Карл начал учиться в народной школе. В этом типе

учебных заведений два первых года обучения почти 

полностью отводились на чтение и письмо.

    И мальчик Гаусс из среды своих одноклассников ничем не 

выделялся.

    Положение изменилось с переходом Карла в третий класс. В этом классе основное внимание уделяли арифметике.

     Учитель, по фамилии Бюттнер, на одном из уроков предложил третьеклассникам найти сумму всех натуральных чисел от единицы до ста.

    Нервно заскрипели на аспидных досках грифели учеников. Их всех, за исключением только одного, пугала нависшая угроза почувствовать на собственном теле сильные удары хлыста учителя. Ведь многие из них очень хорошо знали по личному опыту, что учитель больно хлещет не только за ошибки, но и за отставание от товарищей.

    Этим одним был Карл Гаусс. Ему удалось почти мгновенно решить предложенную учителем задачу.

По установленному в классе распорядку решивший задачу первым клал свою доску на середину большого стола. Туда и положил свое решение маленький Гаусс, едва только учитель договорил последние слова формулировки задачи.

    Насмешливый взгляд Бюттнера, не расстававшегося с хлыстом, был весьма выразительным. Наставник Гаусса даже и не допускал мысли, что на столь поспешно положенной доске может оказаться правильное решение задачи.

    Но Карл оставался совершенно спокойным. Он был уверен в правильности своего ответа.

    Долго сидел маленький Гаусс в ожидании окончания работы своими товарищами. Очень много прошло времени, прежде чем следующая доска легла на его доску. Но в конце концов доски учеников последовательно легли друг на друга.

    Учитель привычным движением рук перевернул эту кучу досок так, чтобы начать просмотр с тех работ, которые были сданы первыми.

     Работа Карла удивила учителя. Решение мальчика было не только правильным, но к тому же весьма простым и оригинальным.

    В решении Карла ярко проявилась его математическая зоркость. Ему оказалось достаточным взглянуть на запись задания 1+2 + 3+ ...  +98 + 99 + 100, чтобы заметить, что сумма каждой  пары слагаемых, которые одинаково отстоят от концов записанного выражения, равна 101  

 ( 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, ...,50 + 51). 

А таких пар, рассуждал дальше мальчик, в два раза меньше, чем слагаемых, т. е. 50. Выходит, что вся искомая сумма

 равна 101-50 = 5050.

     Способности   Гаусса  в области счета всегда удивляли  людей, которым доводилось с ним встречаться. В   развитии   этих способностей очень большую роль сыграли целеустремленность, трудолюбие и тщательность выполнения каждой работы, в том числе и чисто ученических упражнений. При выполнении вычислений  Карл  Гаусс всегда  соблюдал образцовый порядок.   Каждую цифру он  писал четко; каждое число занимало надлежащее ему место.

      Почти неизвестно ошибок в работах Гаусса. Он умел своевременно выявлять и исправлять свои ошибки. С этой целью им широко использовались различные способы проверки.



 















К. Гаусс.











5 .СООБЩЕНИЕ    УЧАЩЕГОСЯ.

 С  арифметической прогрессией связано начало творческого пути другого выдающегося математика — Андрея Николаевича Колмогорова. В своей статье «Как я стал математиком»  он пишет: «Радость математического «открытия» я познал рано, подметив в возрасте пяти-шести  лет закономерность 

1 = 12,

1 + 3 = 22, 

1 + 3 + 5 = З2,

1+3 + 5 + 7 = 42 и так далее. 

В нашем доме под Ярославлем мои тетушки устроили маленькую школу, в которой занимались с десятком детей разного возраста по новейшим рецептам педагогики того времени. В школе издавался журнал «Весенние ласточки». В нем мое открытие было опубликовано. Там же я опубликовал придуманные мною арифметические задачи».

Как была обнаружена эта закономерность, автор приведенных строк не указывает (как и в описанной выше легенде о Гауссе также не ясно, как он заметил нужное свойство). Вполне возможно, что это были только чисто арифметические наблюдения. Может быть, он использовал такой же прием, как и Гаусс, просуммировав прогрессию ап = 2п - 1. Но могло быть и так.

Положим в тождестве

2к - 1 = к2 - (к - 1)2

последовательно  к = 1, 2, 3, ..., п; имеем цепочку равенств

1 = I2,

3 = 22 - I2,

5 = 32 - 22

7 = 42 - З2,

………….

2к - 1 = п2 - (п - I)2. 

Сложив эти равенства, получим нужную формулу:

1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2п - 1) = п2.









6. УЧИТЕЛЬ: 

 Арифметическая   и геометрическая прогрессии — два  важных инструмента, которые используются в различных   построениях и при решении чисто практических задач. Поэтому вполне закономерно, что в знаменитой книге Л.Ф.

 Магницкого «Арифметика», написанной для учеников Математико-навигационной школы (первой специализированной школы в России, которая указом Петра от 14 января 1701 года  была открыта в Москве), пятая часть имеющихся в ней задач отведена учению о прогрессиях.

Свойства прогрессий и задачи, с ними связанные, являются эффективным пропедевтическим средством для изучения основ алгебры, дифференциального и интегрального исчислений. И, тем самым, не случайно, что экзаменационные комиссии различных ВУЗов непременно включали задачи на прогрессии в

 свои варианты вступительных экзаменов (например, в вариантах

 МГУ им. М.В. Ломоносова в период 2000-2005 г. встретилось 34 такие задачи). 

 Задачи, в которых используются определения, свойства, формулы п члена и суммы п первых членов арифметической  прогрессии , встречаются  в КИМах ГИА и ЕГЭ. 

Знание определения и свойств арифметической прогрессии позволяет решать сложные уравнения. А при решении еще, каких задач используются свойства арифметической прогрессии, Вы можете узнать в журнале «Математика в школе»№2 за 1991 год, в газете « Математика» № 6 за 2006 год.  





РЕШИТЕ УРАВНЕНИЕ

   (х+5)+(х+8)+(х+11)+…+(х+32)=200.



х+5,х+8,х+11 … х+32- арифметическая прогрессия,

а1= х+5, а2= х+8

d= а2 – а1

d=  (х+8)-(х+5)=3

 ап  =  а1  + (п-1) d

ап= х+32, то             х+32=(х+5)+ (п-1)*3

	х+32- х-5= 3п- 3

	3п=30

	п=10





7. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА.

  Учитель  повторяет весь теоретический материал    урока и обращает внимание учащихся на основные понятия и формулы  арифметической прогрессии. 

 

8. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:

      Изучить материал учебника ( п.25,п.26) и конспекта лекции;

      рассмотреть другой способ вывода формулы п-первых членов арифметической прогрессии в учебнике ; выучить определение, свойства и формулы.



9. ЛИТЕРАТУРА:



  

Алгебра . 9 класс:  учеб. для общеобразоват. учреждений/ Макарычев и др.-М.: Просвещение,2010.

Глейзер Г.И. История математики в школе, 7-8 классы. Пособие для учителей. – М  .: Просвещение, 1982.

Учебно – методическая газета « Математика» 

          ( приложение к газете     « Первое сентября»).

Журнал « Математика в школе » 

Савин А.П.. Станцо В.В. и др. Я познаю мир: Детская энциклопедия: математика. – М.: АСТ, 1996.

 Коваленко В.Г.Дидактические игры на уроках математики: Кн. для  учителя.- М.: Просвещение, 1990.

Интернет. Википедия.