Определение момента инерции тела и проверка теоремы Штейнера методом крутильных колебаний

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА И ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ.





Цель работы: изучить метод крутильных колебаний (трифилярный подвес) и применить его для определения момента инерции тела и проверки теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Приборы и принадлежности: установка, секундомер, штангенциркуль, линейка, образцы для измерений.





ТЕОРИЯ МЕТОДА И ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ.



  Установка для определения момента инерции тела, которая применяется в данной работе, называется трифилярным подвесом. Состоит она из диска (платформы) (рис.1), горизонтально подвешенной на трех симметрично расположенных нитях 2. Вверху нити прикреплены к основанию 3, имеющему три симметрично расположенных выступа. Основание с помощью болта 5 и упругой пластины 6 соединено с кронштейном 4.

   Платформа может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси, проходящей через ее середину. При этом центр тяжести платформы перемещается вдоль оси вращения.

  Пусть масса платформы m0, вращаясь в некотором направлении, поднялась на высоту h от положения равновесия. Изменение ее потенциальной энергии при этом составит



                                           E1=m0gh                              (1)   



где g – ускорение силы тяжести.

Возвратившись в положение равновесия, платформа будет иметь угловую скорость 0 и кинетическая энергия ее будет



                                            E2=I                           (2)



где I – момент инерции платформы относительно оси вращения.

Пренебрегая работой сил трения, закон сохранения механической энергии запишется



                                      I= m0gh                                (3)



При малой амплитуде колебания платформы будут гармоническими, т.е. зависимость углового смещения  от времени t имеют вид



                                       =sin                                 (4)



где  - амплитуда;

      Т – период колебаний.

В свою очередь угловая скорость = или =. Максимальное изменение угловой скорости 0 , соответствующее моменту времени, когда платформа проходит через положение равновесия



                           =                                    (5)



Из (3) и (5) имеем



                                      mgh=I()²                         (6)



Найдем h. Пусть l – длина нитей подвеса (рис.2), R – расстояние от центра платформы до точек крепления нитей на ней, r – радиус окружности, на которой лежат точки крепления нитей к основанию.

     Из рис.2 видим, что



h=OO1=BC-BC1=



В свою очередь     

Поэтому                

                                



При малых углах смещения



;      (BC+BC1)=2l



учитывая это, будем иметь 

                                                                                          (7)

тогда из (6) и (7) находим



                                                                                   (8)  







ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ.



Упражнение 1.  ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА.



Убедиться в том, что платформа расположена горизонтально.

Определить R,r,l (масса платформы m0=(1.0250.0005)кг.), R и r удобно определить из известной геометрической формулы, измерив предварительно с помощью линейки расстояние между точками подвеса двух нитей вверху и внизу.

Путем несильного нажатия на край основания 3 (рис.1) сообщить платформе вращательный импульс и при помощи секундомера измерить время 50-70 полных ее колебаний. Опыт повторить 3-5 раз.

Найти период Т0 из этих этих колебаний по формуле (8) определить I0 – момент инерции платформы. Результаты занести в таблицу 1.

Платформу нагрузить исследуемым телом, предварительно определив его массу m. Определить период колебаний T1 системы тело-платформа (масса системы – m+m0) и момент инерции системы I1. Величина момента инерции тела найдется как разница I=I1-I0. Опыт повторить 3-5 раз. Результаты измерений занести в таблицу 2.

Найти ошибку определения I.

Сравнить полученное значение I и I0с теоретическим, вычисленным по формуле момента инерции для данного тела.





Упражнение 2:  ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ГЮЙГЕНСА-                                       ШТЕЙНЕРА (ШТЕЙНЕРА-ЖУРАВСКОГО).



Взять два одинаковых тела и в соответствии с упражнением 1 определить их момент инерции 2I2. Для этого, положив тела одно на другое в центре платформы так, чтобы центры масс тел лежали на одной вертикали с центром масс платформы. Момент инерции одного тела относительно проходящей через центр масс оси будет равен I2. Опыт повторить 3-5 раз. Результаты занести в таблицу 3.   

Расположить тела на некотором расстоянии друг от друга симметрично относительно центра платформы.

Определить расстояние a от центра масс из тел до оси вращения и его момент инерции I3. Из опыта найти момент инерции системы из двух тел 2I3. Опыт повторить 3-5 раз. Результаты измерений занести в таблицу 4.

Найти I3 по теореме Штейнера 

                                                                           (9) 

     где m – масса тела, при этом для I2, m, a берут значения,

     полученные опытным путем.

Сравнить значения I3, полученные по формуле (9) и экспериментально.

Найти ошибки определения I2 и I3.



Таблица 1.





№

п/п

R

м

r

м

l

м

m0

кг

N

t

c

T0

c

I0

кг*м²



кг*м²

I0

кг*м²

























Таблица 2.



№

п/п

R

м

r

м

N

t

c

T1

c

I+I0

кг*м²

I

кг*м²



кг*м²

I

кг*м²























Таблица 3.





№

п/п

m

кг

(m+m0)

кг

N

t

c

T

c

(2I2+I0)

кг*м²

I2

кг*м²



кг*м²

I2

кг*м²

























Таблица 4.





№

п/п

m

кг

(m+m0)

кг

а

м

N

t

c

T

c

(2I3+I0)

кг*м²

I3

кг*м²



кг*м²

I3

кг*м²



























Масса большого цилиндра      mб=(842,50,5)г.

Масса малого цилиндра          mм=(303,150,5)г.