Экономико математические методы

Контрольная работа по курсу «Экономико-математические методы»

Вариант 0

Задача 1. Необходимо составить оптимальный суточный рацион кормления на стойловый период для дойных коров живой массой 550 кг. Минимальная потребность коров в кормовых единицах и переваримом протеине в зависимости от суточного удоя приведена в табл. 2.

Таблица 2. Суточная потребность в питательных веществах дойных коров живой массой 550 кг

№ варианта

Среднесуточный удой, кг

Потребность в





кормовых единицах, кг

переваримом протеине, г

0

12

10,3

1136

Рацион составляется из трех видов кормов: комбикорма, сена и силоса. Содержание питательных веществ в единице каждого вида корма показано в табл. 3.

Таблица 3. Содержание питательных веществ в 1 кг корма и себестоимость кормов

Показатель

Комбикорм

Сено

Силос

Кормовые единицы, кг

1

0,5

0,2

Переваримый протеин, г

160

60

30

Себестоимость 1 кг корма, руб.

4,2

0,9

0,6

Согласно физиологическим особенностям животных в рационе должно содержаться следующее допустимое количество концентрированных и грубых кормов (табл. 4)

Таблица 4. Потребность коров в концентрированных и грубых кормах, % от общей потребности в корм. ед.

№ варианта

Концентрированные корма, не менее

№ варианта

Грубые корма, не более

0

26%

0

21%

Составить рацион кормления коров, имеющий минимальную себестоимость. Требуется решить задачу вручную симплексным методом.

Решение:

Выразим все условия задачи в виде системы ограничений и запишем целевую функцию. Для этого обозначим через х1 – искомое содержание комбикорма в рационе (кг), через х2 – сена (кг) и через х3 – силоса (кг).

Составим систему ограничений:

условие по содержанию кормовых единиц в рационе:

1*х1+0,5*х2+0,2*х310,3

условие по содержанию переваримого протеина в рационе:

160*х1+60*х2+30*х31136

условие по содержанию концентратов в рационе (не менее 10,3 кг корм. ед. х 0,26 = 2,678 кг корм. ед.):

1*х12,678

условие по содержанию грубых кормов в рационе (не менее 10,3 кг корм. ед. х 0,21 = 2,163 кг корм. ед.):

0,5*х22,163

Целевая функция – минимум себестоимости рациона:

Z=4,2*х1+0,9*х2+0,6*х3min

Перейдем в системе ограничений от неравенств к равенствам, для этого введем дополнительные переменные:

1*х1+0,5*х2+0,2*х3-х4=10,3

160*х1+60*х2+30*х3-х5=1136

1*х1-х6=2,678

0,5*х2+х7=2,163

Целевая функция – минимум себестоимости рациона:

Z=4,2*х1+0,9*х2+0,6*х3+0*х4+0*х5+0*х6+0*х7min

Дополнительные переменные имеют следующий экономический смысл:

х4 – количество кормовых единиц сверх минимума, кг

х5 – количество переваримого протеина сверх минимума, г

х6 – количество концентрата сверх минимума, кг корм. ед.

х7 – разница между максимальной потребностью в грубых кормах и фактическим содержанием в рационе, кг корм. ед.

В ограничениях, в которых нет дополнительных переменных с коэффициентом «+1», введем искусственные переменные с коэффициентом «+1». В целевую функцию введем их с оценками «М», т.к. задача решается на минимум.

1*х1+0,5*х2+0,2*х3-х4+у1=10,3

160*х1+60*х2+30*х3-х5+у2=1136

1*х1-х6+у3=2,678

0,5*х2+х7=2,163

Z=4,2*х1+0,9*х2+0,6*х3+0*х4+0*х5+0*х6+0*х7+М*у1+М*у2+М*у3min

F=1151,141M-(157,8M*х1+60,1M*х2+29,6M*х3-M*х4-M*х5-M*х6) 0

Разрешим уравнение относительно искусственных и дополнительных переменных с коэффициентами «+1». Аналогично запишем целевую функцию, представив ее для удобства двумя строками:

у1=10,3-(1*х1+0,5*х2+0,2*х3-1*х4)

у2=1136-(160*х1+60*х2+30*х3-1*х5)

у3=2,678-(1*х1-1*х6)

х7=2,163-(0,5*х2)

Z=0-(-4,2*х1-0,9*х2-0,6*х3) min

F=1151,141M-(157,8M*х1+60,1M*х2+29,6M*х3-M*х4-M*х5-M*х6) 0

Заполним симплексную таблицу 1:

i

Базисные переменные

Свободные члены, bi

x1

x2

x3

x4

x5

x6

bi/aij

1

y1

10,300

1,000

0,500

0,200

-1,000

0,000

0,000

10,300

2

y2

1136,000

160,000

60,000

30,000

0,000

-1,000

0,000

7,100

3

y3

2,678

1,000

0,000

0,000

0,000

0,000

-1,000

2,678

4

x7

2,163

0,000

0,500

0,000

0,000

0,000

0,000

-

m+1

Z

0,000

-4,200

-0,900

-0,600

0,000

0,000

0,000

X

m+2

F

1151,141M

157,8M

60,1M

29,6M

-M

-M

-M

x

Разрешающий столбец – х1.

Разрешающая строка – у3.

Заполняется симплексная таблица 2.

Переменная у3 выводится из базиса, переменная х1 вводится в базис.

Расчет элемента, стоящего на месте разрешающего:

1/1=1

Расчет элементов начальной строки, стоящей на месте разрешающей:

 2,678/1=2,678; 0/1=0; 0/1=0; 0/1=0; 0/1=0;-1/1=-1

157,8М/(-1)=157,8М

3.4. Расчет остальных элементов таблицы:

Столбца bi:

10,300-1*2,678=7,622; 1136,000-160,000*2,678=707,520; 2,163-0,000*2,678=2,163;

0-(-4,200)*2,678=11,248; 1151,141M-157,8M*2,678=728,552М;

Столбца х2:

0,500-1,000*0,000=0,5000; 60,000-160,000*0,000=60,000 и т.д. - переписывается без изменения, т.к. при расчете требуется постоянно умножать на 0,000

без изменения также переписываются столбцы х3, х4, х5, поскольку в этих столбцах в начальной строке стоят нулевые элементы.

Расчет элементов столбца х6:

0,000-1,000*(-1,000)=1,000; 0,000-160,000*(-1,000)=160,000; 

0,000-0,000*(-1,000)=0,000; 0,000-(-4,200)*(-1,000)=-4,200;

-М-157,8M*(-1,000)=156,8М.

Аналогично составляем симплексную таблицу 2:

i

Базисные переменные

Свободные члены, bi

y3

x2

x3

x4

x5

x6

bi/aij

1

y1

7,622

-1,000

0,500

0,200

-1,000

0,000

1,000

7,622

2

y2

707,520

-160,000

60,000

30,000

0,000

-1,000

160,000

4,422

3

x1

2,678

-1,000

0,000

0,000

0,000

0,000

-1,000

-2,678

4

x7

2,163

0,000

0,500

0,000

0,000

0,000

0,000

-

m+1

Z

11,248

-4,200

-0,900

-0,600

0,000

0,000

-4,200

X

m+2

F

728,552М

-157,8M

60,1M

29,6M

-M

-M

156,8М

x

Симплексная таблица 3:

i

Базисные переменные

Свободные члены, bi

y3

x2

x3

x4

x5

y2

bi/aij

1

y1

-152,378

 

-159,500

-159,800

-161,000

-160,000

 

0,955

2

x6

4,422

 

0,375

0,188

0,000

-0,006

 

11,792

3

x1

162,678

 

160,000

160,000

160,000

160,000

 

1,017

4

x7

2,163

 

0,500

0,000

0,000

0,000

 

4,326

m+1

Z

683,248

 

671,100

671,400

672,000

672,000

 

X

m+2

F

-24359,448M

 

60,1M

-25058,4M

-25089M

-25089M

 

x

Симплексная таблица 4:

i

Базисные переменные

Свободные члены, bi

y3

х7

x3

x4

x5

y2

bi/aij

1

y1

-153,460

 

-319,000

-159,800

-161,000

-160,000

 

0,960

2

x6

3,341

 

0,750

0,188

0,000

-0,006

 

-0,021

3

x1

1,082

 

320,000

160,000

160,000

160,000

 

-0,007

4

х2

4,326

 

1,000

0,000

0,000

0,000

 

-0,006

m+1

Z

682,167

 

1342,200

671,400

672,000

672,000

 

-4,269

m+2

F

-243360,53М

 

120,2М

160,4M

-25089M

-25089M

 

x

Симплексная таблица 5:

i

Базисные переменные

Свободные члены, bi

y3

х7

у1

x4

x5

y2

bi/aij

1

х3

27,295

 

-319,000

1,000

-1,200

-25728,000

 

- 

2

x6

-0,986

 

0,750

-0,001

0,000

-25568,006

 

- 

3

x1

2,678

 

320,000

-1,001

-25567,800

-25408,000

 

- 

4

х2

4,326

 

1,000

0,000

0,000

-25568,000

 

- 

m+1

Z

677,841

 

1342,200

-4,202

-25055,800

-24896,000

 

х 

m+2

F

0М

 

0М

0M

0M

0M

 

x

Ответ: оптимальный суточный рацион кормления коров на стойловый период состоит из 2,678 кг комбикорма, 4,326 кг сена и 27,295 кг силоса. При этом его себестоимость составляет 31,518 руб.


Задача 2. В хозяйстве необходимо за время уборки при заготовке силоса перевезти 4000т зелено	й массы с пяти полей (табл. 5) к четырем фермам (табл. 6). Растояние перевозки зеленой массы с полей к фермам приведено в табл. 7.

Таблица 5. Количество зеленой массы с полей, т

№ варианта

Поле



1-е

2-е

3-е

4-е

5-е

0

800

1000

1200

400

600

Таблица 6. Потребность ферм в зеленой массе, т

№ варианта

Ферма



1-я

2-я

3-я

4-я

0

1000

600

800

1600

Таблица 7. Расстояние от полей до ферм, км

Поля

Ферма



1-я

2-я

3-я

4-я

1-е

5

6

2

2

2-е

9

7

4

6

3-е

7

1

4

5

4-е

5

2

2

4

5-е

6

4

3

4

Составить такой план перевозок, чтобы общие транспортные расходы были минимальными. Требуется решить задачу методом потенциалов.

Решение. Заполним расчетную таблицу и составим первый опорный план методом «наилучшего» элемента в таблице. Заполнение таблицы начинается с клетки 3,2 с наименьшим расстоянием, в которую записывается поставка 600 т. Затем последовательно заполняются клетки 4,3; 1,3; 1,4; 5,4; 3,5; 2,1

Поле

Ферма

Наличие зеленой массы, т

Ui



1-я

2-я

3-я

4-я





1-е

5

6

2-

2-

 

0

 

 

 

400

400

800

 

2-е

9-

7

4+

6+



5

 

1000

 

 

 

1000

 

3-е

7+

1

4

5



3

 

 

600

 

600

1200

 

4-е

5

2

2

4



0

 

 

 

400-

 

400

 

5-е

6

4

3

4-



2

 

 

 

 

600

600

 

Потребность в зеленой массе, т

1000

600

800

1600

4000

Z

Vj

4

-2

2

2

 

17400

Переходим к анализу первого опорного плана. Значение целевой функции 17400 тонна-километров.

Проверим, является ли план оптимальным. Если нет – улучшим его.

1. Рассчитаем значения потенциалов:

u1=0; v4=2-0=2; u3=5-2=3; u5=4-2=2; v1=7-3=4; v2=1-3=-2;

v3=2-0=2; u2=9-4=5; u4=4-2=2

2. Рассчитаем характеристики для свободных клеток:

d

1

2

3

4

1

5

8

0

0

2

0

4

-1

-1

3

0

0

0

0

4

1

4

0

2

5

0

4

-1

0

3. Максимальная по абсолютной величине отрицательная характеристика в клетке 2,3, для которой строим цепь.

4. Проставляем по углам цепи, начиная с выбранной клетки, знаки «+», «-«. В клетках со знаком «-« минимальная поставка. Ее перераспределяем по цепи. Там где стоит знак «+», прибавляем, а где «-« - отнимаем. Заполняем расчетную таблицу 2.

Поле

Ферма

Наличие зеленой массы, т

Ui



1-я

2-я

3-я

4-я





1-е

5

6

2

2

 

0

 

 

 

44

756

800

 

2-е

9

7

4

6



5

 



 

756 

244 

1000

 

3-е

7

1

4

5



3

 

 400

600

 

200

1200

 

4-е

5

2

2

4



0

 

400

 



 

400

 

5-е

6

4

3

4



2

 

200

 

 

400

600

 

Потребность в зеленой массе, т

1000

600

800

1600

4000

Z

Vj

6

-2

2

2

 

15288

Расчеты ведем аналогично. Получены следующие характеристики: d51=-2

Перераспределяем по цепи поставку 400. Строим таблицу 3.

Поле

Ферма

Наличие зеленой массы, т

Ui



1-я

2-я

3-я

4-я





1-е

5

6

2

2

 

0

 

0

0

44

756

800

 

2-е

9

7

4

6



3

 

0

0

756

244

1000

 

3-е

7

1

4

5



1

 

0

600

0

600

1200

 

4-е

5

2

2

4



1

 

400

0

0

0

400

 

5-е

6

4

3

4



2

 

600

0

0

0

600

 

Потребность в зеленой массе, т

1000

600

800

1600

4000

Z

Vj

6

0

1

2

 

15288

Анализ решения: По оптимальному плану необходимо осуществить перевозки в соответсвии с полученной таблицей. В этом случае минимальные затраты на перевозку будут 15288 тонна-километров





Решение методом линейного прораммирования:

1. Проверим, прежде всего условие равенства ресурсов: 

С полей поставляется: 800+1000+1200+400+600=4000т зеленой массы

Потребность ферм в зеленой массе: 1000+600+800+1600=4000т, т.е. ресурсы поставщиков равны ресурсам потребителей.

2. Пусть Xij – количество тонн зеленой массы, которое нужно перевезти с i поля на j ферму. Из условия задачи, получаем ограничения:

х11+х12+х13+х14=800

х21+х22+х23+х24=1000

х31+х32+х33+х34=1200

х41+х42+х43+х44=400

х51+х52+х53+х54=600

Из условия потребностей ферм:

х11+х21+х31+х41+х51=1000

х12+х22+х32+х42+х52=600

х13+х23+х33+х43+х53=800

х14+х24+х34+х44+х54=1600

Целевая функция задачи – количество тонна-километров:

Z= 5*х11+6*х12+2*х13+2*х14+

9*х21+7*х22+4*х23+6*х24+

7*х31+1*х32+4*х33+5*х34+

5*х41+2*х42+2*х43+4*х44+

6*х51+4*х52+3*х53+4*х54min

Решим систему при помощи таблицы Excel (меню «Сервис»/«Поиск решения»). Для этого запишем все ограничения и целевую функцию. В результате выполнения программы, получаем решение:

Поле

Ферма

Наличие зеленой массы, т

Сумма



1-я

2-я

3-я

4-я





1-е

5

6

2

2

 

 

 

0

0

44

756

800

800

2-е

9

7

4

6



 

 

0

0

756

244

1000

1000

3-е

7

1

4

5



 

 

0

600

0

600

1200

1200

4-е

5

2

2

4



 

 

400

0

0

0

400

400

5-е

6

4

3

4



 

 

600

0

0

0

600

600

Потребность в зеленой массе, т

1000

600

800

1600

 

Z

Сумма

1000

600

800

1600

 

15288

Ответ: По оптимальному плану необходимо осуществить перевозки в соответсвии с полученной таблицей. В этом случае минимальные затраты на перевозку будут 15288 тонна-километров.



1