Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Федеральное агентство по образованию

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

























Контрольная работа

по дисциплине «Эконометрика»

























Архангельск

2008


Условие задачи

По предприятиям лёгкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.).

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05). 

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение фактора X составляет 80% от его максимального значения.

7. Представить графически фактические и модельные значения Y точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

Гиперболической;

Степенной;

Показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Х

17

22

10

7

12

21

14

7

20

3

Y

26

27

22

19

21

26

20

15

30

13

регрессия уравнение стьюдент фишер аппроксимация

Решение задачи.

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

Для нахождения параметров уравнения линейной регрессии  решим систему нормальных уравнений:







n=10



x

y

x^2

xy

17

26

289

442

22

27

484

594

10

22

100

220

7

19

49

133

12

21

144

252

21

26

441

546

14

20

196

280

7

15

49

105

20

30

400

600

3

13

9

39

133

219

2161

3211


















Найдём параметры уравнения линейной регрессии, используя надстройку «Мастер диаграмм» в Excel, тип диаграммы – точечная, выделяем столбцы (А1:В11), выбираем команду «Добавить линию тренда», выбираем 2 последние команды:

- показывать уравнение на диаграмме;

- поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации. 

Общий вид уравнения регрессии имеет вид:













коэффициент регрессии.

Величина коэффициента регрессии () показывает, на сколько в среднем изменяется значение результата с изменением фактора на 1 единицу. Т.о в нашем случае, с увеличением объема капиталовложений (Х) на 1 млн.руб. объём выпуска продукции (У) возрастает в среднем на 0,761 млн.руб. (рис. 1).



X

Y

17

26

22

27

10

22

7

19

12

21

21

26

14

20

7

15

20

30

3

13

а0=11,781



а1=0,761







Рис. 1



2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков . Построить график остатков.

Вычислим остатки по формуле: 







x

y





m



17

26

24,718

1,282

*

1,6435

22

27

28,523

-1,523

1

2,3195

10

22

19,391

2,609

1

6,8069

7

19

17,108

1,892

0

3,5797

12

21

20,913

0,087

0

0,0076

21

26

27,762

-1,762

0

3,1046

14

20

22,435

-2,435

1

5,9292

7

15

17,108

-2,108

0

44437

20

30

27,001

2,999

1

8,9940

3

13

14,064

-1,064

*

1,1321

133

219

*

-0,023

4

37,9608



Оценка дисперсии остатков:









По следующим данным строим график остатков (рис. 2):



Y

Е(t)

26

1,282

27

-1,523

22

2,609

19

1,892

21

0,087

26

-1,762

20

-2,435

15

-2,108

30

2,999

13

-1,064




Рис. 2



3. Проверить выполнение предпосылок МНК. 

1. Случайный характер остатков (критерий поворотных точек, критерий пиков):



,



где n- количество наблюдений;

m – количество поворотных точек (пиков).

Точка считается поворотной, если она больше предшествующей и последующей (или меньше).







 является поворотной точкой

 является поворотной точкой

 не является поворотной точкой

	 не является поворотной точкой

 не является поворотной точкой

 является поворотной точкой

 не является поворотной точкой

 является поворотной точкой.

m=4



m=4>2, следовательно неравенство выполняется, свойство выполняется. 

2. Независимость значений остатков (отсутствие автокорреляции). Критерий Дарбина-Уотсона.



 



x

y









17

26

24,718

1,282

1,6435

*

22

27

28,523

-1,523

2,3195

7,8680

10

22

19,391

2,609

6,8069

17,0734

7

19

17,108

1,892

3,5797

0,5141

12

21

20,913

0,087

0,0076

3,2580

21

26

27,762

-1,762

3,1046

3,4188

14

20

22,435

-2,435

5,9292

0,4529

7

15

17,108

-2,108

4,4437

0,1069

20

30

27,001

2,999

8,9940

26,0814

3

13

14,064

-1,064

1,1321

16,5080

133

219

*

-0,023

37,9608

75,2816





 сравниваем с двумя табличными: 

, следовательно, свойство выполняется, остатки независимы.

3. Подчинение остатков нормальному закону (R/S критерий).



















Расчётный критерий сравниваем с двумя табличными, если расчётный критерий попадает внутрь табличного интервала, то свойство выполняется. 

 (2,67;3,57)


1,216 < 2,67, следовательно, свойство не выполняется, остатки не подчинены нормальному закону.

4. Проверка равенства М(Е)=0, средняя величина остатков равна 0 (критерий Стьюдента).











Если  < , то свойство выполняется. 



2,2281

, следовательно, свойство выполняется. 

5. Гомоскедастичность остатков, то есть дисперсия остатков () одинаково для каждого значения (остатки имеют постоянную дисперсию). 

Если дисперсия остатков неодинакова, то имеет место гетероскедастичность. 

Если предпосылки не выполняются, то модель нужно уточнять. Применяем тест Голдфельд-Квандта:

упорядочить (ранжировать) наблюдения по мере возрастания фактора «Х».

2) исключить d-средних наблюдений. 


, 



где n – количество наблюдений.

разделить совокупность на две группы: с малыми и большими значениями «Х» и для каждой из частей найти уравнение регрессии.

найти остаточную сумму квадратов отклонений () для каждого уравнения регрессии. 









применяют критерий Фишера:



 



Если , то гетероскедастичность имеет место, то есть пятая предпосылка не выполняется. 





X

Y

17

22

22

27

10

22

7

19

12

21

21

26

14

20

7

15

20

30

3

13

	

Упорядочим наблюдениям по мере возрастания переменной Х:



X

Y

3

13

7

19

7

15

10

22

12

21

14

20

17

22

20

30

21

26

22

27

	

X5=12; Y5=21 и Х6=14; Y6=20 исключаем.

; n=10



x

y









3

13

9

12,517

0,483

0,2333

7

19

49

17,569

1,431

2,0478

7

15

49

17,569

-2,569

6,5998

10

22

100

21,358

0,642

0,4122

27

69

207

*

-0,013

9,2930






n=4

















x

y









17

22

289

23,25

-1,25

1,5625

20

30

400

26,25

3,75

14,0625

21

26

441

27,25

-1,25

1,5625

22

27

484

28,25

-1,25

4,5625

80

105

1614

*

0

18,75






n=4



















, так как 





, значит, пятая предпосылка выполняется, следовательно, модель нужно адекватна. 

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05). 










;











x

y











17

26

289

24,718

1,282

1,6435

13,69

22

27

484

28,523

-1,523

2,3195

75,69

10

22

100

19,391

2,609

6,8069

1,89

7

19

49

17,108

1,892

3,5797

39,9

12

21

144

20,913

0,087

0,0076

1,69

21

26

441

27,762

-1,762

3,1046

59,29

14

20

196

22,435

-2,435

5,9292

0,49

7

15

49

17,108

-2,108

4,4437

39,69

20

30

400

27,001

2,999

8,9940

44,89

3

13

9

14,064

-1,064

1,1321

106,09

133

219

2161

*

-0,023

37,9608

392,1












 



, следовательно, параметр  значим.













 

, следовательно, коэффициент регрессии значим.

Интервальная оценка:



 








а0: 11,781 2,31*1,617

а0: 11,781 3,735

Нижняя граница: 11,781-3,735=8,046

Верхняя граница: 11,781+3,735=15,516

а0: (8,04615,516), следовательно, параметр а0 значим, так как в эти границы не попадает 0. 









а1: 0,761 2,31*0,11

а1: 0,7610,2541

Нижняя граница: 0,761-0,254=0,507

Верхняя граница: 0,761+0,254=1,015

а1: (0,5071,015), следовательно, коэффициент регрессии а1 значим, так как в эти границы не попадает 0. 

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Для нахождения коэффициента детерминации найдём коэффициент парной корреляции: 
































Проверяем значимость по критерию Стьюдента:














, следовательно, значим. 

=0,926, то есть связь между переменными y и x очень тесная (то есть близко к 1) и прямая (так как больше 0).

Находим коэффициент детерминации:

, то есть 85,8% - изменение объёма выпуска продукции (зависимой переменной «y») происходит под влиянием объёма капиталовложений (фактора «х», включённого в модель).

Значимость уравнения регрессии по критерию Фишера:













, следовательно, уравнение регрессии значимо, модель адекватна. 

Средняя относительная ошибка аппроксимации:






x

y







17

26

24,718

1,282

0,0493

22

27

28,523

-1,523

0,0564

10

22

19,391

2,609

0,1186

7

19

17,108

1,892

0,0996

12

21

20,913

0,087

0,0041

21

26

27,762

-1,762

0,0678

14

20

22,435

-2,435

0,1218

7

15

17,108

-2,108

0,1405

20

30

27,001

2,999

0,1000

3

13

14,064

-1,064

0,0818

133

219

*

-0,023

0,7332





Так как , значит модель не достаточно точная. 

F-критерий намного больше табличного значения, коэффициент детерминации  очень близок к 1, а относительная ошибка аппроксимации составляет 7,33%. На основании рассчитанных критериев можно сделать вывод о хорошем качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение фактора X составляет 80% от его максимального значения.










- прогноз факторного признака (объема капиталовложений).

 - точечный прогноз.

(17,6; 25,2) – точка должна лежать на графике модели.

Интервальный прогноз:





















 

25,21,861,81

25,23,37

Нижняя граница: 25,2-3,37=21,83

Верхняя граница: 25,2+3,37=28,57

То есть при уровне значимости =0,1, если прогнозное значение фактора «Х» составит 80% от его максимального значения или 17,6, точечный прогноз среднего значения «Y» по линейной модели составит 25,2. Доверительный интервал: 21,8328,57.

7. Представить графически фактические и модельные значения Y точки прогноза рис. 3. 





Рис. 3



8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

Гиперболической;

Степенной;

Показательной. 

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Уравнение степенной модели парной регрессии:






Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведём логарифмирование обеих частей уравнения:







Обозначим , , . Тогда уравнение примет вид - линейное уравнение регрессии. 

Рассчитаем его параметры (см. приложение).

















Получим уравнение степенной модели регрессии:



Построим график (рис. 4):




Рис. 4



Определим коэффициент корреляции:



Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно тесной.

Коэффициент детерминации:

 

Вариация результата Y (объёма выпуска продукции) на 57,5% объясняется вариацией фактора X (объёмом капиталовложений).

Средняя относительная ошибка аппроксимации:









В среднем расчётные значения  для степенной модели отличаются от фактических значений на 14,6%.

Коэффициент эластичности для степенной модели регрессии:

, значит, если фактор X (объём капиталовложений) увеличить на 1%, то значение зависимой переменной Y (объём выпуска продукции) увеличится в среднем на 0,16%.

Уравнение показательной модели парной регрессии:







Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения:







Обозначим , , . Тогда уравнение примет вид - линейное уравнение регрессии. 

Рассчитаем его параметры.






















Перейдём к исходным переменным x и y.

 

Построим график (рис. 5):





Рис. 5



Определим индекс корреляции:



Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно тесной.

Коэффициент детерминации:

 


Вариация результата Y (объёма выпуска продукции) на 82,9% объясняется вариацией фактора X (объёмом капиталовложений).

Средняя относительная ошибка аппроксимации:



В среднем расчётные значения  для степенной модели отличаются от фактических значений на 9,5%.

Коэффициент эластичности для показательной модели регрессии:

, значит, если фактор X (объём капиталовложений) увеличить на 1%, то значение зависимой переменной Y (объём выпуска продукции) увеличится в среднем на 0,49%.

Уравнение гиперболической модели парной регрессии:







Произведём линеаризацию модели путём замены . 

В результате получим линейное уравнение:



Рассчитаем его параметры.


















Получим следующее уравнение гиперболической модели:



Построим график (рис. 6):





Рис. 6



Определим индекс корреляции:



Связь между показателем y и фактором x можно достаточно тесной.

Коэффициент детерминации:

 


Вариация результата Y (объёма выпуска продукции) на 67,2% объясняется вариацией фактора X (объёмом капиталовложений).

Средняя относительная ошибка аппроксимации:



В среднем расчётные значения  для степенной модели отличаются от фактических значений на 12,46%.

Коэффициент эластичности для гиперболической модели регрессии:

%, значит, если фактор X (объём капиталовложений) увеличить на 1%, то значение зависимой переменной Y (объём выпуска продукции) увеличится в среднем на 0,18%.

Сравним модели по коэффициенту детерминации, коэффициенту эластичности и средней относительной ошибке аппроксимации:



Модель парной регрессии

Критерий



 

 

 

Степенная 

0,575

14,6%

0,16%

Показательная 

0,829

9,5%

0,49%

Гиперболическая

0,672

12,5%

0,18%



Самое хорошее качество имеет показательная модель. Коэффициент детерминации наиболее близок к 1 (вариация объёма капиталовложений на 82,9% объясняет вариацию объёма выпуска продукции), наименьшая средняя относительная ошибка аппроксимации S=9,5% и среднее значение коэффициента эластичности .