Золотое сечение гармоническая пропорция

Введение………………………………………………………….………3

Динамическая симметрия в природе и архитектуре……………3

Золотое сечение – гармоническая пропорция…………………..6

Второе золотое сечение…………………………………………..7

История золотого сечения………………………………………..7

Ряд Фибоначчи……………………………………………………11

Природа……………………………………………………………12

Заключение………………………………………………………………13

Список литературы……………………………………………………...15







































































Введение.



Мысль о том, что в физическом мире властвуют гармония и порядок, которые могут быть выражены математически, уходит в античную Грецию. В Европе в эпоху Ренессанса Галилей говорил, что книга вселенной написана на языке математики. Ученые, жившие после него, также выражали изумление перед тем, что все законы вселенной поддавались переложению на математический язык.

Осознавая эту “всеприложимость” математики, неведомую химической и биологической науке, великий физик Джеймс Джонс сказал: “Зодчий вселенной должен был быть математиком”. Известно, что теория относительности Эйнштейна - не просто результат размышлений; она была выдвинута после определенных математических разработок.

Имея в виду ту доходчивость, которую обретают физические законы в переложении на язык математики, Эйнштейн говорил: “Единственное непостижимое качество вселенной - это ее постижимость”.

И как не изумляться даже перед простейшим примером - выражением силы взаимного притяжения тел в виде математической формулы:

F = Y-mi-1712/ r



В этой формуле неизменная величина постоянной “Y” во всех случаях - от силы притяжения между электронами и протонами в атоме до взаимопритяжения звезд, от нашей планеты до миров, отдаленных от нас на миллиарды световых лет, демонстрирует удивительную простоту, то есть феноменальность формулы и ее непреходящую ценность, как некой универсальной валюты.

Чрезвычайно эффективные и неожиданные результаты приложения математики к другим отраслям науки все еще представляются нам тайной. Некоторые ученые связывают это с ориентацией других наук на развитие математических знаний.



1. Динамическая симметрия в природе и архитектуре



Термин «динамическая симметрия» впервые применил американский исследователь архитектуры Д. Хэмбидж, обозначив им некий принцип пропорционирования в архитектуре. Позже этот термин независимо появился в физике, где был введён для описания физических процессов, характеризующихся инвариантами. Наконец, термином динамическая симметрия названа закономерность природного формообразования, что в смысле происхождения также оказывается несвязанным с идеей Хэмбиджа и, тем более, появлением этого термина в физике. Однако все три варианта глубоко связаны между собой по содержанию.

Вначале отметим стратегическую общность нашего с Хэмбиджем направления исследований. Это хорошо известное исторически сложившееся направление, которое в области архитектуры и искусства мотивировано поиском закономерностей гармонии, и поэтому ориентированное на изучение объектов природы. Обычно архитекторов интересуют структурные закономерности природного формообразования и особенно — золотое сечение и числа Фибоначчи

- закономерности, примечательные своей интригующей ролью в архитектурном формообразовании. Не случайно архитекторы-исследователи так часто обращают внимание на ботаническое явление филллотаксис, которое характерно этими закономерностями.

Филлотаксис оказался объектом внимания автора первого варианта концепции динамической симметрии Д. Хэмбиджа. В результате изучения этого явления Д. Хэмбидж выводит закон т. н. однообразного роста, и предлагает его геометрическую интерпретацию — спираль однообразного роста, или иначе

- золотую спираль (рис. 1).


Рис 1. Построение золотой спирали по Хэмбиджу.



Однако главное обобщение, сделанное Д. Хэмбиджем в результате изучения закономерностей природного формообразования (филлотаксиса), а также пропорций классической архитектуры, сводится к идее архитектурного пропорцирования, называемой динамической симметрией. Хэмбидж иллюстрирует ее при помощи несложной геометричекой схемы (рис. 2).


Рис 2. Пропорциональная система «Динамическая симметрия » Д. Хэмбиджа.



Это последовательная система прямоугольников, первый из которых является квадратом, а каждый следующий строится на стороне исходного квадрата, равной 7, и на диагонали предыдущего прямоугольника. Получается серия прямоугольников, отношение сторон которых выражает ряд . В этой серии Хэмбидж различает два вида прямоугольников - статические и динамические. У статических прямоугольников отношения сторон выражаются целыми числами, у динамических — иррациональными. Динамические прямоугольники, по мнению Д. Хэмбиджа, выражают идею роста, движения и развития. Из их числа он прежде всего выделяет три, у которых длинные стороны равны Но особое значение придаёт прямоугольнику который непосредственно связан с «золотым прямоугольником» Хэмбидж проводит тщательное геометрическое исследование, обнаруживая разнообразные проявления золотого сечения в системе прямоугольника  Исследуя геометричекие свойства этого прямоугольника, он показывает возможность его применения для анализа пропорций объектов классической архитектуры и искусства (рис. 3, 4).



Такова, вкратце, сущность идеи динамической симметрии Д. Хэмбиджа. Как видим, она не вытекает из свойств филлотаксиса непосредственно. Хэмбидж, вообще говоря, не углубляется в математику филлотаксиса. В своих различных схемах, иллюстрирующих закономерности однообразного роста, либо какие-то идеи пропорционирования, он использует известные числовые соотношения, характерные для филлотаксиса, в т. ч. золотое сечение.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ - гармоническая пропорция.

В математике пропорцией называют равенство двух отношений: a : b = c : d.
Отрезок прямой АВ можно разделить точкой C на две части следующими способами:
на две равные части АВ : АC = АВ : ВC; 

на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют); 
таким образом, когда АВ : АC = АC : ВC. 

Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему
a : b = b : c или с : b = b : а.

Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью 0,618..., если c принять за единицу, a = 0,382. Числа 0.618 и 0.382 являются коэффициентами последовательности Фибоначчи. На этой пропорции базируются основные геометрические фигуры. 
Прямоугольник с таким отношением сторон стали называть золотым прямоугольником. Он также обладает интересными свойствами. Если от него отрезать квадрат, то останется вновь золотой прямоугольник. Этот процесс можно продолжать до бесконечности. А если провести диагональ первого и второго прямоугольника, то точка их пересечения будет принадлежать всем получаемым золотым прямоугольникам.
Разумеется есть и золотой треугольник. Это равнобедренный треугольник, у которого отношение длины боковой стороны к длине основания равняется 1.618.
Есть и золотой кубоид - это прямоугольный параллелепипед с ребрами, имеющими длины 1.618, 1 и 0.618.

В звездчатом пятиугольнике каждая из пяти линий, составляющих эту фигуру, делит другую в отношении золотого сечения, а концы звезды являются золотыми треугольниками.

Второе ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ



Деление осуществляется следующим образом. Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения. Из точки С восставляется перпендикуляр СD. Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется линией с точкой А. Прямой угол АСD делится пополам. Из точки С проводится линия до пересечения с линией AD. Точка Е делит отрезок AD в отношении 56 : 44Второе Золотое сечение вытекает из основного сечения и дает другое отношение 44 : 56. Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций изображений удлиненного горизонтального формата.





На рисунке показано положение линии второго золотого сечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника.



Деление прямоугольника линией второго золотого сечения



История ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Kорбюзье нашел, что в рельефе из храма фараонa Cети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Pамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Kвадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.
Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог "Тимей" посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления. В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в "Началах" Евклида. Во 2-й книге "Начал" дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам "Начал" Евклида. Переводчик Дж.Kампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным. 
В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро Делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась "О перспективе в живописи". Его считают творцом начертательной геометрии. Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли "Божественная пропорция" с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее "божественную суть" как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок - бога отца, а весь отрезок - бога духа святого).
Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.
В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет: "Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать". Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица - ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.

Великий астроном XVI в. Иоган Kеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение). Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».
В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы "вместе с водой выплеснули и ребенка". Вновь "открыто" золотое сечение было в середине XIX в.
В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд "Эстетические исследования". Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях «математической эстетикой».





Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа - важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела - длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.
Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были 


Золотые пропорции в фигуре человека 

получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Следующая его книга имела название «Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве». В 1876 г. в России была издана небольшая книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга. Автор укрылся под инициалами Ю.Ф.В. В этом издании не упомянуто ни одно произведение живописи.

В конце XIX – начале XX вв. появилось немало чисто формалистических теории о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры. С развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и т.д





Ряд Фибоначчи

С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:


Месяцы 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 и т.д. 
Пары кроликов 0    1    1    2    3    5    8    13    21    34    55    89    144    и    т.д.


Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д.
известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34 = 0,617, а 34 : 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только это отношение – 0,618 : 0,382 – дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.. Фибоначчи так же занимался решением практических нужд торговли: с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар?

Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16...







Природа.

А теперь перейдем к Природе, которая дает огромное количество проявлений Золотого Сечения и чисел Фибоначчи. Приведем несколько наглядных примеров проявления Золотого Сечения в Природе.











Филлотаксисные структуры, основанные на числах Фибоначчи: сосновая шишка; головка подсолнечника; ананас; головка цветной капусты





«Золотые» спирали в морских раковинах

Эти наглядные примеры можно было бы продолжать до бесконечности. Ясно одно: Золотое Сечение и числа Фибоначчи отражают некоторые фундаментальные закономерности живой природы.

А теперь расскажем еще об одном современном научном открытии, устанавливающим связь генетического кода с числами Фибоначчи и Золотым Сечением. В 1990 г. французский исследователь Jean-Claude Perez, работавший в тот период научным сотрудником фирмы IBM, сделал весьма неожиданное открытие в области генетического кодирования. Он открыл математический закон, управляющий самоорганизацией оснований Т, С, А, G внутри ДНК. Он обнаружил, что последовательные множества нуклеотидов ДНК организованы в структуры дальнего порядка, называемые РЕЗОНАНСАМИ. Резонанс представляет собой особую пропорцию, обеспечивающую разделение ДНК в соответствии с числами Фибоначчи (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …).

Ключевая идея открытия Jean-Claude Perez, названного ДНК SUPRA-кодом, состоит в следующем. Рассмотрим любой отрезок генетического кода, состоящий из базисов типа Т, С, А, G, и пусть длина этого отрезка равна числу Фибоначчи, например, 144. Если число оснований типа Т в рассматриваемом отрезке ДНК равно 55 (число Фибоначчи) и суммарное число оснований типа А, С и G равно 89 (число Фибоначчи), то рассматриваемый отрезок генетического кода образует резонанс, то есть, резонанс есть пропорция между тремя соседними числами Фибоначчи (55-89-144). Открытие состоит в том, что каждая ДНК образует множество резонансов рассмотренного вида, то есть, как правило, отрезки генетического кода длиной, равной числу Фибоначчи Fn, разбиваются золотым сечением на множество оснований типа Т (число которых в рассматриваемом отрезке генетического кода равно Fn-2) и суммарное множество остальных оснований (число которых равно Fn-1). Если произвести систематическое исследование всех возможных «фибоначчиевых» отрезков генетического кода, тогда получим некоторое множество резонансов, называемое SUPRA-кодом ДНК.

Начиная с 1990 г., указанная закономерность была многократно проверена и подтверждена многими выдающимися биологами, в частности профессорами Монтагниером и Шерманом, исследовавшими ДНК вируса СПИДа.

Несомненно, что рассматриваемое открытие относится к разряду выдающихся открытий в области ДНК, определяющих развитие генной инженерии. По мнению автора открытия Jean-Clode Perez SUPRA-код ДНК является универсальным био-математическим законом, который указывает на высочайший уровень самоорганизации нуклеотидов в ДНК согласно принципу «Золотого Сечения».



Заключение.



Итак, Господь, когда создавал вселенную, не довольствовался только лишь радением о совершенстве своих законов, которые предстояло установить, но и придал им красоту, возвышающую дух человеческий. Он вплел в это грандиозное кружево, сотканное силой науки, прекрасный и изящный узор. И по мере того, как сын рода человеческого раскрывал тайны узора на этом кружеве, рождалась математическая наука. Каждый был посвящен к тайне одной нити, отличной от других, и нам явилась грандиозная картина в ее сегодняшнем виде. Почерпнув это знание, мы либо сосредоточим его в единой точке и замкнем в человеческом мозгу, либо же рассыплем по скрижалям книги вселенной. То, что мы приобщаемся к существующим истинам лишь на определенном уровне развития, говорит о принадлежности математики к первозданным.



































































Список литературы.



Д. Пидоу. Геометрия и искусство. – М.: Мир, 1999

Стахов А. Коды золотой пропорции.

Кеплер И. О шестиугольных снежинках. – М., 1982.

Журнал «Математика в школе», 1994, № 2; № 3.

Цеков-Карандаш Ц. О втором золотом сечении. – София, 1983.

www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321053.htm  

http://www.noviyegrani.com/archives_show.php?ID=13&ISSUE=3





2