Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях

Задание K2. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях



Дано:

x=c2t2+c1t+c0,

R2=40см,

r2=25 см,

R3=20 см,

x0=9 см,

V0=8 см/с,

x2=65 см,

t1=1с,

t2=2с.

c1-?	c2-?	c3-? 

V-?	a-?	-?

-?	VM-?



Уравнение груза 1 имеет вид: 		(1)



x=c2t2+c1t+c0. 



Коэффициенты c2 , c1 , c0 могут быть определены из следующих условий:

При t=0c x=9  =V0=8; 				(2)

При t=2c x=65. 					(3)

Скорость груза 1 



V == 2c2t+c1 					(4) 



Подставляя (2) и (3) в (1) и (4) получим систему уравнений, из которой найдем коэффициенты 



c2, c1, c0 





Таким образом, уравнение движения груза 1 имеет вид:



x= 10 t2+8t+9. 					(5)



Скорость груза 1:



V ==20t+8 

При t=1c V=28см/c. 				(6)

Ускорение груза 1:

a=20см/с2.



Для определения скорости и ускорения точки М запишем уравнения, связывающие скорость груза V и угловые скорости колес  и . 



 



откуда имеем:



 				(7)

Т.к. V =20t+8 , то 




;



При t=1c =2,24рад/с. 

Угловое ускорение колеса 3: 







Скорость точки М, ее вращательное, центростремительное и полное ускорения определяются по формулам:



VМ=см/с.

см/с2.

см/с2

см/с2

				

				

				

				

				

				

				

				

				28

				20

				2,24

				1,6

				44,8

				100,35

				32

				105,33




Задание:

Найти скорость 1 тела в конце отрезка s.



Дано:

 кг

 кг

 кг

м

 м







 м

 м





Решение:

Применим теорему об изменении кинетической энергии системы







(т.к. система состоит из абсолютно твёрдых тел)

T0=0(т.к. в начальный момент времени система покоилась)







Определим кинетическую энергию системы в конечный момент времени

































Определим работу сил в конечный момент времени













A











A











Определим скорость в конечный момент времени





 (м/с)



Ответ:  м/с


К4. Кинематический анализ многозвенного механизма



Дано:

=2рад/с.

	=

	a=50см

	b=30см

	O1A=14см

		O2B=29см

	AB=45см

	BC=54см

	CD=34см

	DE=37см

	

	Найти:

	1) скорости точек А, В, С и D механизма и угловые скорости всех его звеньев с помощью плана скоростей;

	2) скорости точек А, В, С и D механизма и угловые скорости всех его звеньев с помощью мгновенных центров скоростей;

	3) ускорения точек А и В и угловое ускорение звена АВ;

	4) положение мгновенного центра ускорений звена АВ;

	5) ускорение точки М, делящей звено АВ пополам.

	

	

	Определние скоростей точек и угловых ускорений звеньев с помощью плана скоростей.

	Определяем скорости точек.

	Строим схему механизма в выбранном масштабе (рис1). Вычисляем модуль скорости точки А кривошипа О1А:

	

		=м/с.

	

	Вектор  перпендикулярен О1А и направлен в сторону вращения кривошипа.

	

	

	

	Строим план скоростей. Из произвольно выбранного полюса О проводим луч Оа, изображающий в выбранном масштабе скорость точки А. 

	Для определения скорости точки В через

	полюс О проводим прямую, параллельную

	скорости , через точку а- прямую, 

	перпендикулярную АВ. Получаем точку b; 

	отрезок Оbопределяет скорость точки В. 

	Измеряем длину луча Оb и, пользуясь масштабом скоростей, находим =13см/с

	Продолжая построение плана скоростей, находим , , 

	=13 см/с.

	=13 см/с.

		=5,3 см/с.

	

	Определяем угловые скорости звеньев механизма.

	Отрезок ab плана скоростей выражает вращательную скорость точки В вокруг точки А:

	

	ab=;

	

	отсюда угловая скорость звена АВ

	

			=ab/AB=14,5/45=0,32 рад/с

		

		Аналогично определяются угловые скорости звеньев ВС и ED:

		

		=bc/BC=0/54=0

			=ed/ED=14/37=0,38 рад/с

		

		Угловая скорость звена О2В определяется по вращательной скорости точки В вокруг неподвижного центра О2.

		

		=13/29=0,45 рад/с

		

	Определение скоростей точек и угловых ускорений звеньев с помощью мгновенных центров скоростей.

	а) Определяем положения мгновенных центров скоростей звеньев механизма.

	Строим схему в выбранном масштабе(рис3)

	Звенья О1А, O2B вращаются вокруг неподвижных центров О1 и О2.

	

		

	Рис3

	

	Мгновенный центр скоростей РАВ звена АВ находится на как точка пересечения перпендикуляров, проведенных из точек А и В к их скоростям. Аналогично определяется положение мгновенного центра скоростей РDE. Мгновенный центр скоростей звена АВ находится в бесконечности.

	Б) Определяем скорости точек. Скорости точек звеньев механизма пропорциональны расстояниям от этих точек до мгновенных центров скоростей соответствующих звеньев. Эти расстояния измеряются на чертеже.

	Для определения скорости точки В звена АВ имеем пропорции

	

	АРАВ/ВРАВ.

	Следовательно , 

	ВРАВ/АРАВ.

	см/с.

	

	Т.к. мгновенный центр скоростей звена ВС находится в бесконечности, то 

	


	

	Для определения скорости точки Е звена ED имеем пропорции

	

	ЕРED/DPED.

	

	Следовательно,

	

	DPED/EPED.

	см/с.

	

	Одновременно с определением модулей скоростей точек находим их направления, а также направления вращений звеньев механизма. Например, по направлению скорости точки А и положению мгновенного центра скоростей РАВ устанавливаем, что вращение звена АВ происходит по часовой стрелке. Поэтому скорость точки В при данном положении механизма направлена влево.

Аналогично определяем направления вращений остальных звеньев и направления скоростей точек механизма.

	в) Определяем угловые скорости звеньев механизма 

	Скорость любой точки звена равна произведению угловой скорости этого звена на расстояние от точки до мгновенного центра скоростей:

	

	АРАВ.

			 АРАВ.

		28/64=0,43 рад/с.

		

		Угловая скорость звена О2В определяется по скорости точки В:

		


		13,1/29=0,45 рад/с.

		

		Угловая скорость звена ВС равна нулю, т.к. мгновенный центр скоростей звена ВС находится в бесконечности:

		

		

		

		Аналогично вычисляем угловую скорость звена ED:

		

		EPED.

			5,4/14=0,38 рад/с.

		

		3. Определение ускорений точек A и B и угловое ускорение звена АВ.

		Определяем  и . 

		С помощью теоремы об ускорениях точек плоской фигуры определяем ускорение точки В:

		

		.

		

		Т.к. кривошип О1А вращается равномерно, то ускорение точки А направлено к центру О1 и равно

		

		см/с2.

		

		Центростремительное ускорение точки В во вращательном движении шатуна АВ вокруг полюса А направлено от точки В к точке А и равно

		

		0,43=19,43 см/с2. 

		Откладываем от точки В в соответствующем масштабе ускорение полюса . Из конца вектора  строим вектор , проводя его параллельно ВА. Через конец вектора  проводим прямую JK, перпендикулярную ВА, т.е. параллельную вращательному ускорению . Однако определить ускорение  этим построением невозможно, т.к. его направление неизвестно.

		Чтобы найти ускорение точки В, необходимо выполнить второе построение, рассматривая эту точку как принадлежащую О2В. В этом случае

		

		 

		

		Центростремительное ускорение точки В:

		

		 см/с2.

		

		Откладываем от точки В вектор , направив его к центру О2. Через конец вектора  проводим прямую LN перпендикулярно О2В, т.е. параллельно вращательному ускорению  .

		Точка пересечения этой прямой с JK определяет концы векторов  , 

		Измерением на чертеже получаем 

		

			80 см/с2.

		49 см/с2.

		

		Т.к. =АВ, то угловое ускорение звена АВ

		

			/АВ=49/45=1,09 рад/с2.

		
4)Определение положения мгновенного центра ускорений звена АВ.

		Примем точку А за полюс. Тогда ускорение точки В

		

		

		

		Строим параллелограмм ускорений при точке В по диагонали  и стороне . Сторона параллелограмма  выражает ускорение точки В во вращении АВ вокруг полюса А. Ускорение  составляет с отрезком АВ угол , который можно измерить на чертеже.

		Направление вектора  относительно полюса А позволяет определить направление , в данном случае соответствующее направлению часовой стрелки Отложив угол  от векторов  и  в этом направлении и проводя два луча, найдем точку их пересечения - мгновенный центр ускорений звена АВ.

		5) Определение ускорения точки М.

		Найдем ускорение точки М с помощью МЦУ.

		Ускорения точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра ускорений:

		

		.

		

		Подставив расстояния, определенные по чертежу


К7. Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки



Дано:

OM=Sr(t)=25sin(t/3);



	4c 

	a=25см

v-?

a-?



Положение точки М на теле D определяется расстоянием Sr=ОМ.

При 4c Sr=25 sin(4/3)= -21,65 см.







Абсолютную скорость точки М найдем как геометрическую сумму относительной и переносной скоростей:



 



Модуль относительной скорости , где  dSr/dt=25cos(t/3) /3

При t=4c -13,08см/с. 



13,08см/с.



Отрицательный знак у  показывает, что вектор направлен в сторону убывания Sr.

Модуль переносной скорости =, где

		-радиус окружности L, описываемой той точкой тела, с которой в данный момент совпадает точка М, 

	-модуль угловой скорости тела.

	Найдем .

	Рассмотрим прямоугольный треугольник .

	

	АМ=ОА-ОМ.

	АМ=25-21,65=3,35см.

	=25см.

	

	По теореме Пифагора имеем:

	

	

=25,22см.



Найдем .



, где 

=d/dt =4t-0,5



При t=4c =15,5рад/с.

Знак ”+” у величины  показывает, что вращение тела D происходит в ту же сторону, в которую ведется отсчет угла .

Тогда модуль переносной скорости 



==390,91 см/с.



Модуль абсолютной скорости v найдем способом проекций.

Через точку М проводим оси X и Y.









Из треугольника :



	=AM/ 

	=3,35/25,22=0,13 

	

	

	Тогда 

	

1,704 см/с

403,86см/с.



Значит v = 



403,86см/с.



Абсолютное ускорение точки М равно геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений.



, где в свою очередь











Относительное движение.

Это движение происходит по закону Sr(t)=25sin(t/3);

Модуль относительного касательного ускорения , 

где =d2Sr/dt=

При t=4c 23,72см/с2.

23,72см/с2.

	Модуль относительного центростремительного ускорения =0, т.к. радиус кривизны относительной траектории стремится к бесконечности.

	Переносное движение.

	Это движение происходит по закону 

	

	

	Модуль переносного вращательного ускорения , где 

	= - модуль углового ускорения тела D

	

	d2/dt2=4рад/с2

	

	Знаки у  и  одинаковые. Значит вращение тела D ускоренное.

	Тогда  см/с2

	Модуль переносного центростремительного ускорения

	

	

	=6059,1 см/с2.

	

	Кориолисово ускорение.

	Модуль кориолисова ускорения определяем по формуле

	

	, где 

	

	- угол между вектором  и осью вращения (вектором ).

	В нашем случае =, т.к. ось вращения перпендикулярна плоскости вращения тела D.

	Тогда 12118,21 см/с2.

	Направление вектора найдем по правилу Н.Е.Жуковского: т.к. вектор  лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то повернем его на  в направлении , т.е. против хода часовой стрелки.

Модуль абсолютной скорости v найдем способом проекций.

Через точку М проводим оси X и Y.



+

=100,88+23,72-6059=-663,3см/с2.

	

	18174,22см/с2.

	

	=18186,32см/с2.



Ответ: 13,08см/с =390,91 см/с. 403,86см/с.

	23,72 см/с2,  см/с2, =6059,1 см/с2, 12118,21 см/с2, =18186,32