Комплексная статистическая обработка экспериментальных данных

Министерство образования и науки Украины

















Пояснительная записка

к курсовой работе

по дисциплине Статистика



Комплексная статистическая обработка экспериментальных данных


Реферат



Объектом исследования данной работы является комплексный анализ сгенерированных выборок случайных величин и подбор их закона распределения.

Целью работы является изучение методов и приемов анализа статистической информации, получение навыков и опыта работы в пакете STATISTICA.

В данной работе применялись широко используемые статистические методы обработки и анализа данных.

Результатом работы является освоение методов обработки данных статистического наблюдения, их анализа с помощью обобщающих показателей, установление теоретических законов распределения случайных величин и доказательство адекватности этих законов.

Данную курсовую работу можно использовать в качестве наглядного пособия по обработке статистических данных для различных учебных целей и задач.


Задание на курсовой проект



По специально сгенерированному имитатору получить последовательности случайных чисел двух типов:

	

	а) , 

	

	где  – номер варианта,

	 - номер измерения случайной величины,

	 – случайное число, возвращаемое при обращении к стандартной функции выбранного языка программирования – датчику случайных чисел.

	

	б) .



Для исследований предусмотреть следующие объёмы измерений для каждой из случайных величин: 100, 200, …, 1000 (объёмы выборок).

Произвести статистический анализ каждой из полученных выборок для двух случайных величин в следующей последовательности:

а) найти размах варьирования;

б) определить целесообразное количество групп по формуле Стерджесса, построить группировку и интервальный ряд;

в) привести графическое изображение полигона частот, гистограммы, кумуляты и эмпирической функции распределения;

г) вычислить и проанализировать точечные оценки  и  для простого и интервального рядов; построить и проанализировать зависимость величины точечной оценки от объема выборки и от номера эксперимента (10 выборок для объема выборки 1000);

д) построить доверительные интервалы для  и , используя различные значения доверительной вероятности (0,9; 0,95; 0,975; 0,995; 0,999) и проанализировать зависимость длины доверительного интервала от объёма выборки и от величины доверительной вероятности;

е) вычислить и проанализировать медиану, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии и эксцесс, моду; проанализировать зависимости числовых характеристик от объема выборки;

ж) оценить однородность каждой из выборок, используя:

1) коэффициент вариации;

2) метод -статистик Ирвина.

з) определить, близки ли к нормальному распределению полученные эмпирические распределения на основе:

1) анализа числовых характеристик положения и вариации;

2) на основе критерия согласия Пирсона;

и) по виду гистограмм выдвинуть гипотезу о предполагаемых законах распределений исследуемых случайных величин, определить оценки параметров предполагаемых распределений (метод моментов и максимального правдоподобия) и проверить гипотезу о законе распределения по критерию Пирсона.


Введение



С давних пор человечество осуществляло учет многих сопутствующих его жизнедеятельности явлений и предметов, а также связанных с ними вычислений. Люди получали разносторонние, хотя и различающиеся полнотой сведения на различных этапах общественного развития. Данные учитывались повседневно в процессе принятия хозяйственных решений, а в обобщенном виде и на государственном уровне – при определении направления экономической и социальной политики, характера внешнеполитической деятельности.

	Выполняя самые разнообразные функции сбора, систематизации и анализа сведений, характеризующих экономическое и социальное развитие общества, статистика всегда играла роль главного поставщика факторов для управленческих, научно-исследовательских и прикладных практических нужд различного рода структур, организаций и населения. Роль статистики в нашей жизни настолько значительна, что люди, часто не задумываясь и не осознавая, постоянно используют элементы статистической методологии в повседневной практике. 

Применяя статистические методы в экономических исследованиях, можно осуществлять стратегическое планирование, а также анализировать и прогнозировать рыночную конъюнктуру, уменьшая степень неопределенности в отношении внешнего окружения.

	С увеличением объемов информации, становится актуальным вопрос ее компьютерной обработки. Получение навыков обработки и анализа экспериментальных данных с помощью компьютера, например, в пакете STATISTICA дает возможность получить полную информацию об исследуемом объекте и найти оптимальное решение конкретной поставленной задачи.


1. Генерация исходных данных



В данной курсовой работе вместо статистического наблюдения используются случайные величины, сгенерированные по следующим формулам:

1) непрерывная случайная величина X, определяемая по формуле 1.1;



 (1.1)



2) непрерывная случайная величина У, определяемая по формуле 1.2.



 (1.2)



где ,  - значения случайной величины X и У в различных опытах; 

 - случайное число, равномерно распределенное на отрезке [0, 1], возвращаемое при обращении к стандартной функции на выбранном языке программирования к датчику случайных чисел;  Для генерации исходных данных были использованы следующие методы:

1) Для случайной величины  в окне Variable в поле Long Name была введена формула 1.3:



 (1.3)



2) Для случайной величины  был создан программный имитатор в модуле STATISTICA BASIC. Реализация алгоритма генерации данных в модуле STATISTICA BASIC приведена в приложении А.

	В результате были получены выборки, объемом 100, 200…1000 значений для каждой из случайных величин.


2. Первичная обработка результатов наблюдения



2.1 Построение вариационного ряда



Вариационный ряд - упорядоченные по возрастанию значения признака.

Построение вариационного ряда в пакете STATISTICA производилось следующим образом:

в модуле Basic Statistics and Tables: Analysis → Frequency tables → кнопка Variables для выбора переменной → отметили All distinct values → ОК.

Размах варьирования  – абсолютная величина разности между максимальным  и минимальным  значениями (вариантами) изучаемого признака:



 (2.1)



Построение размаха варьирования в пакете STATISTICA производилось следующим образом:

в модуле Basic Statistics and Tables: Analysis → Descriptive statistics → Variables (выбрать переменную) → нажали Box & whisker plot for all variables → выбрали Median / Quart. / Range → ОК. 

	Значения размаха варьирования для заданных выборок в таблице 2.1.

	

	Таблица 2.1 – Размах варьирования для заданных выборок







Выборка













100

25,201

6,993

18,209

28,805

2,429

26,376

500

25,110

6,984

18,126

33,695

0,196

33,499

1000

25,237

6,711

18,466

33,962

-1,574

35,536

	
Случайная величина  имеет меньший размах, чем случайная величина .

	

	2.2 Группировка статистических данных

	

Число групп определяется по формуле Стерджесса (2.2):



, (2.2)



где  – количество групп;

 – объем выборки.

После определения числа групп следует определить интервалы группировки - значения варьирующего признака, лежащие в определенных границах. Величина равного интервала определяется по формуле (2.3):





(2.3),



где  – число групп интервалов,

 – размах выборки .

	Ниже приведены значения числа групп интервалов для всех выборок:

	

	При : .

	При : .

	При :.

	При :.

	При : .

	При :.

	При :.

	При :.

	При : .

	При : .



Построение интервального ряда в пакете STATISTICA производилось следующим образом:

а) Analysis→Frequency tables→Variables(выбрали переменную);

б) установили количество интервалов в “No. of exact intervals”, посчитанных по формуле Стерджесса;

в) установили флажки в Display options:

	Cumulative frequencies – накопленные частоты;

	Percentages - частости;

	Cumulative percentages – накопленные частости.

Интервальные ряды по каждой выборке для случайных величин X и Y приведены в таблицах 2.2-2.7 и Д.1-Д.14.



Таблица 2.2 - Интервальный ряд СВ  при 



Частота

Кумул. частота

Процент

Кумул. процент

5,475289<x<=8,510050

8

8

8,00000

8,0000

8,510050<x<=11,54481

15

23

15,00000

23,0000

11,54481<x<=14,57957

16

39

16,00000

39,0000

14,57957<x<=17,61433

18

57

18,00000

57,0000

17,61433<x<=20,64909

20

77

20,00000

77,0000

20,64909<x<=23,68385

13

90

13,00000

90,0000

23,68385<x<=26,71862

10

100

10,00000

100,0000



Таблица 2.3 - Интервальный ряд СВ  при 



Частота

Кумул. частота

Процент

Кумул. процент

5,850935<x<=8,116734

25

25

5,00000

5,0000

8,116734<x<=10,38253

62

87

12,40000

17,4000

10,38253<x<=12,64833

64

151

12,80000

30,2000

12,64833<x<=14,91413

55

206

11,00000

41,2000

14,91413<x<=17,17993

70

276

14,00000

55,2000

17,17993<x<=19,44573

64

340

12,80000

68,0000

19,44573<x<=21,71153

74

414

14,80000

82,8000

21,71153<x<=23,97733

59

473

11,80000

94,6000

23,97733<x<=26,24313

27

500

5,40000

100,0000



Таблица 2.4 - Интервальный ряд СВ  при 



Частота

Кумул. частота

Процент

Кумул. процент

5,745344<x<=7,797069

50

50

5,00000

5,0000

7,797069<x<=9,848795

106

156

10,60000

15,6000

9,848795<x<=11,90052

134

290

13,40000

29,0000

11,90052<x<=13,95225

88

378

8,80000

37,8000

13,95225<x<=16,00397

117

495

11,70000

49,5000

16,00397<x<=18,05570

121

616

12,10000

61,6000

18,05570<x<=20,10742

107

723

10,70000

72,3000

20,10742<x<=22,15915

117

840

11,70000

84,0000

22,15915<x<=24,21087

111

951

11,10000

95,1000

24,21087<x<=26,26260

49

1000

4,90000

100,0000



Таблица 2.5 - Интервальный ряд СВ  при 



Частота

Кумул.

Процент

Кумул.

0,231076<x<=4,627075

1

1

1,00000

1,0000

4,627075<x<=9,023072

6

7

6,00000

7,0000

9,023072<x<=13,41907

20

27

20,00000

27,0000

13,41907<x<=17,81507

31

58

31,00000

58,0000

17,81507<x<=22,21107

22

80

22,00000

80,0000

22,21107<x<=26,60706

17

97

17,00000

97,0000

26,60706<x<=31,00306

3

100

3,00000

100,0000



Таблица 2.6 - Интервальный ряд СВ  при 



Частота

Кумул.

Процент

Кумул.

-1,89766<x<=2,289667

2

2

0,40000

0,4000

2,289667<x<=6,476997

21

23

4,20000

4,6000

6,476997<x<=10,66433

59

82

11,80000

16,4000

10,66433<x<=14,85166

125

207

25,00000

41,4000

14,85166<x<=19,03899

147

354

29,40000

70,8000

19,03899<x<=23,22632

99

453

19,80000

90,6000

23,22632<x<=27,41365

39

492

7,80000

98,4000

27,41365<x<=31,60098

7

499

1,40000

99,8000


Таблица 2.7 - Интервальный ряд СВ  при 



Частота

Кумул.

Процент

Кумул.

-3,54794<x<=0,400491

5

5

0,50000

0,5000

0,400491<x<=4,348925

9

14

0,90000

1,4000

4,348925<x<=8,297359

61

75

6,10000

7,5000

8,297359<x<=12,24579

177

252

17,70000

25,2000

12,24579<x<=16,19423

279

531

27,90000

53,1000

16,19423<x<=20,14266

267

798

26,70000

79,8000

20,14266<x<=24,09110

154

952

15,40000

95,2000

24,09110<x<=28,03953

38

990

3,80000

99,0000

28,03953<x<=31,98797

8

998

0,80000

99,8000

31,98797<x<=35,93640

2

1000

0,20000

100,0000



2.3 Графическое изображение рядов распределения



Графическое изображение интервальных рядов включает построения полигона частот, гистограммы и кумуляты.

В пакете STATISTICA построение полигона происходит следующим образом:

а) Analysis → Frequency tables → Variables (выбрать переменную);

б) установить количество интервалов в “No. of exact intervals”;

в) Frequency tables → Count;

г) нажать правую кнопку мыши и из выпадающего списка выбрать “Custom Graphs”;

д) 2D Graphs → Graph Type → Line Plot. [1]

Построение кумуляты:

а)Analysis → Frequency tables → Variables (выбрать переменную);

б) установить количество интервалов в “No. of exact intervals”;

в) Frequency tables → Cumul. Count;

г) нажать правую кнопку мыши и выбрать “Custom Graphs”;

д) 2D Graphs → Graph Type → Line Plot (Bar ).

Построение гистограммы происходит следующим образом:

а) Analysis → Frequency tables → Variables (выбрать переменную);

б) установить количество интервалов в “No. of exact intervals”;

в) Frequency tables → Percent;

г) нажать правую кнопку мыши и из выпадающего списка выбрать “Custom Graphs”;

д) 2D Graphs → Graph Type → Bar 



2.4 Точечные оценки средних показателей



Точечная оценка математического ожидания по вариационному ряду вычисляется по формуле (2.4):





(2.4)



где  – значения элементов выборки.

Оценка дисперсии по вариационному ряду вычисляется по формуле (2.5).





(2.5)



Вычисление оценки математического ожидания по интервальному вариационному ряду осуществляется по формуле (2.6):





(2.6)



где – середина -го интервала;

 – статистическая вероятность (частость) попадания в -тый интервал.

Оценка дисперсии для интервального ряда вычисляется по формуле (2.7):





(2.7)



Вычисление точечных оценок по вариационному ряду в пакете STATISTICA:

Analysis → Descriptive statistics → Categorization → Number of intervals (установить количество интервалов) → More statistics → Mean, Variance. [2]

	Значения точечных оценок математического ожидания и дисперсии для простого и интервального рядов приведены в таблице 2.8.

	

	Таблица 2.8 – Оценки математического ожидания и дисперсии

Выборка

Математическое ожидание

Дисперсия



Простой ряд

Интервальный ряд

Простой ряд

Интервальный ряд

()

16,254

16,279

27,849

28,517

()

16,189

16,174

26,259

26,598

()

15,950

16,006

27,608

28,330

()

16,668

16,936

31,125

31,113

()

15,989

16,007

30,406

31,242

()

15,792

15,740

27,059

28,636

	

	Из приведенных данных видно, что полученные оценки математического ожидания и дисперсии по вариационному (простому) и интервальному рядам имеют близкие значения. Причем, чем больше объем выборки, тем более точный результат. От номера эксперимента, то есть от количества испытаний величины точечной оценки не зависят. Это видно на рисунках 2.25 – 2.32.

	

	

	Рисунок 2.25 - Зависимость  от объема выборки для 

	

	

	Рисунок 2.26 - Зависимость  от объема выборки для 

	


	Рисунок 2.27 - Зависимость  от объема выборки для 

	

	

	Рисунок 2.28 - Зависимость  от объема выборки для 

	

	

	Рисунок 2.29 - Зависимость  от номера эксперимента по 

	


	Рисунок 2.30 - Зависимость  от номера эксперимента по 

	

	

	Рисунок 2.31 - Зависимость  от номера эксперимента по 

	

	

	Рисунок 2.32 - Зависимость  от номера эксперимента по 

	
В таблице 2.9 приведены оценки математического ожидания и дисперсии, вычисленные для 10 выборок по 1000 элементов в каждой для случайной величины  и случайной величины .

	

	Таблица 2.9 – Точечные оценки выборок из 1000 элементов для  и 







Выборка









1

15,792

27,832

15,754

27,421

2

16,193

29,501

16,283

29,650

3

16,076

29,006

15,900

28,716

4

16,052

28,884

16,096

26,124

5

15,968

28,508

15,947

30,983

6

16,212

28,710

16,163

29,956

7

16,215

28,747

16,030

30,011

8

15,945

27,243

16,428

29,069

9

16,080

28,103

16,054

28,265

10

15,853

28,369

15,980

28,913

	

	2.5 Доверительные интервалы 

	

Для того чтобы оценить достоверность оценок, вводят понятие доверительный интервал и доверительная вероятность.



(2.7)Доверительный интервал для математического ожидания определяется по формуле (2.7):







где  – математическое ожидание генеральной совокупности;

 - доверительная вероятность;

 - оценка математического ожидания;



 (2.8)  - величина доверительного интервала, вычисляется по формуле (2.8):




где  - квантиль нормального распределения, получается обратным интерполированием из таблицы для функции распределения стандартного нормального закона. Вычисляется по формуле (2.9).





 (2.10)

 (2.9)



 - оценка дисперсии, вычисляется по формуле (2.10).







Доверительный интервал для дисперсии определяется по формуле (2.11).





 (2.12),





где  – дисперсия генеральной совокупности;

 – оценка дисперсии.

 – квантиль нормального распределения. 

Оценка стандартного отклонения в зависимости от закона распределения случайной величины имеет различное значение.

Для нормального закона распределения эта величина будет равна: 






Для равномерного:





	

	Ниже в таблицах 2.10-2.21 приведены доверительные интервалы математического ожидания исследуемых выборок.

	-точный метод

	

Таблица 2.10 - Доверительные интервалы для СВ , 

	

15,378

17,130

	

15,207

17,301

	

15,053

17,455

	

14,739

17,769

	

14,481

18,027

	

	-грубый метод

	

	Таблица 2.11 – Доверительные интервалы для СВ , 

	

15,376

17,132

	

15,207

17,301

	

15,058

17,450

	

14,753

17,755

	

14,508

18,000

	

	-точный метод

	

Таблица 2.12 - Доверительные интервалы для СВ , 

	

15,811

16,566

	

15,738

16,639

	

15,673

16,704

	

15,542

16,835

	

15,408

16,940



-грубый метод



	Таблица 2.13 – Доверительные интервалы для СВ , 

	

15,795

16,553

	

15,722

16,626

	

15,657

16,691

	

15,526

16,822

	

15,420

16,928



-точный метод



Таблица 2.14 - Доверительные интервалы для СВ , 

	

15,677

16,224

	

15,624

16,276

	

15,577

16,323

	

15,483

16,418

	

15,447

16,565



-грубый метод



	Таблица 2.15 – Доверительные интервалы для СВ , 

	

15,729

16,283

	

15,676

16,336

	

15,629

16,383

	

15,533

16,479

	

15,456

16,556




-точный метод



Таблица 2.16 – Доверительные интервалы для СВ , 

	

15,742

17,595

	

15,561

17,775

	

15,399

17,938

	

15,066

18,270

	

15,084

18,788



-грубый метод



	Таблица 2.17 – Доверительные интервалы для СВ , 

	

16,018

17,854

	

15,843

18,029

	

15,687

18,185

	

15,369

18,503

	

15,112

18,760

	

	-точный метод



Таблица 2.18 – Доверительные интервалы для СВ , 

	

15,583

16,396

	

15,505

16,474

	

15,435

16,544

	

15,294

16,685

	

15,177

16,837



-грубый метод

	
Таблица 2.19 – Доверительные интервалы для СВ , 

	

15,596

16,418

	

15,517

16,497

	

15,447

16,567

	

15,305

16,709

	

15,190

16,824

	

	-точный метод



Таблица 2.20 – Доверительные интервалы для СВ , 

	

15,521

16,063

	

15,469

16,115

	

15,423

16,161

	

15,329

16,255

	

15,178

16,302

	

	-грубый метод

	

	Таблица 2.21 – Доверительные интервалы для СВ , 

	

15,462

16,018

	

15,408

16,072

	

15,361

16,119

	

15,264

16,216

	

15,187

16,293

	

	Длины доверительных интервалов для математического ожидания при различных уровнях доверительной вероятности приведены в таблице 2.22.

	

	Таблица 2.22 – Длины доверительных интервалов



Длина интервала













()

1,752

2,094

2,402

3,03

3,546

()

0,755

0,901

1,031

1,293

1,532

()

0,547

0,652

0,746

0,935

1,118

()

1,853

2,214

2,539

3,204

3,704

()

0,813

0,969

1,109

1,391

1,66

()

0,542

0,646

0,738

0,926

1,124

	

	В таблицах 2.23 – 2.34 указаны доверительные интервалы дисперсии исследуемых выборок.

	-точный метод

	

	Таблица 2.23 – Доверительные интервалы для СВ , 

	

25,059

32,793

	

24,452

33,693

	

23,926

34,524

	

22,914

36,280

	

22,095

37,873

	

	-грубый метод

	

	Таблица 2.24 – Доверительные интервалы для СВ , 

	

26,084

30,950

	

25,619

31,415

	

25,205

31,829

	

24,362

32,672

	

23,681

33,353

	

	-точный метод

	
Таблица 2.25 – Доверительные интервалы для СВ , 

	

23,373

30,586

	

22,807

31,426

	

22,316

32,201

	

21,372

33,838

	

20,608

35,324

	

	-грубый метод

	

	Таблица 2.26 – Доверительные интервалы для СВ , 

	

24,329

28,867

	

23,895

29,301

	

23,508

29,688

	

22,722

30,474

	

22,088

31,108

	

	-точный метод

	

	Таблица 2.27 – Доверительные интервалы для СВ , 

	

22,258

29,128

	

21,719

29,928

	

21,252

30,666

	

20,354

32,225

	

19,626

33,640

	

	-грубый метод

	

	Таблица 2.28 – Доверительные интервалы для СВ , 

	

23,169

27,491

	

22,756

27,904

	

22,388

28,272

	

21,639

29,021

	

21,035

29,625

	

	-точный метод

	

	Таблица 2.29 – Доверительные интервалы для СВ , 

	

27,340

35,779

	

26,678

36,761

	

26,104

37,667

	

25,000

39,582

	

24,106

41,321

	

	-грубый метод

	

	Таблица 2.30 – Доверительные интервалы для СВ , 

	

28,459

33,767

	

27,951

34,275

	

27,499

34,727

	

26,579

35,647

	

25,837

36,389

	

	-точный метод

	

	Таблица 2.31 – Доверительные интервалы для СВ , 

	

26,575

34,777

	

25,931

35,732

	

25,374

36,613

	

24,301

38,474

	

23,431

40,164

	

	
-грубый метод

	

	Таблица 2.32 – Доверительные интервалы для СВ , 

	

27,662

32,822

	

27,168

33,316

	

26,729

33,755

	

25,835

34,649

	

25,114

35,370

	

	-точный метод

	

	Таблица 2.33 – Доверительные интервалы для СВ , 

	

25,163

32,930

	

24,554

33,834

	

24,026

34,668

	

23,010

36,431

	

22,187

38,031

	

	-грубый метод

	

	Таблица 2.34 – Доверительные интервалы для СВ , 

	

26,193

31,079

	

25,726

31,546

	

25,310

31,962

	

24,463

32,809

	

23,780

33,492

	

	В таблице 2.35 показано изменение длины доверительного интервала для дисперсии в зависимости от объема выборки и величины доверительной вероятности.

	
Таблица 2.35 – Длины доверительных интервалов



Величина интервала













()

7,734

9,241

10,598

13,366

15,778

()

7,213

8,619

9,885

12,466

14,716

()

4,322

5,148

5,884

7,382

8,590

()

8,439

10,083

11,563

14,582

17,215

()

8,202

9,801

11,239

14,173

16,733

()

7,767

9,280

10,642

13,421

15,844

	

	Анализируя полученные данные можно заметить, что при увеличении уровня доверительной вероятности увеличивается величина доверительного интервала, а при увеличении объема выборки она уменьшается. Это справедливо как для доверительных интервалов математического ожидания, так и для дисперсии. [3]

	

	2.6 Другие точечные оценки интервального ряда (мода, медиана, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии, эксцесс)

	

Модой в вариационном ряду является наиболее часто встречающееся значение признака. 

Мода по интервальному ряду вычисляется по формуле (2.13):



 (2.13)



где  – левая граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частость);

 – величина интервала группировки;

 – частота модального интервала;

 – частота интервала, предшествующего модальному;

 – частота интервала, следующего за модальным.

Медиана – серединное наблюдение в выборке длиной n. 

При нечетном n медиана в вариационном ряду есть значение ряда с номером . 

При четном n медиана есть полусумма значений с номерами  и . В интервальном ряду для нахождения медианы применяется формула (2.14):





(2.14)



где  – нижняя граница медианного интервала (медианным называется интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);

 – величина интервала группировки;

 – частота медианного интервала;

– накопленная частота интервала, предшествующего медианному.

Коэффициент вариации вычисляется по формуле (2.15): 





(2.15)



На основе момента третьего порядка (смотри формулу 2.16) выборочный коэффициент асимметрии находится по формуле (2.17):




(2.16)



(2.17)



С помощью момента четвертого порядка характеризуют свойство рядов распределения, называемое эксцессом. Показатель эксцесса для ранжированного ряда находится по формуле (2.18).





(2.18)



Вычисление точечных оценок по вариационному ряду в пакете STATISTICA происходит следующим образом:

Analysis → Descriptive statistics:

а) Categorization → Number of intervals (установить количество интервалов);

б) нажать кнопку More statistics → откроется окно Statistics, где можно выбрать следующие показатели:

		Mean – выборочное среднее;

		Median – медиана;

		Standard Deviation – стандартное отклонение среднего значения;

		Variance – выборочная дисперсия;

		Skewness – выборочный коэффициент асимметрии;

		Kurtosis – выборочный коэффициент эксцесса;

в) выбрать необходимые параметры и нажать ОК.

	Значения медианы, коэффициента вариации, коэффициента ассиметрии и эксцесса приведены в таблице 2.36.

	
Таблица 2.36 - Медиана, коэффициент вариации, коэффициент ассиметрии и эксцесс

Выборка

Медиана 

Коэф. ассиметрии 

Эксцесс

Коэф. вариации

()

16,587

-0,009

-1,017

0,326

()

16,501

-0,058

-1,160

0,317

()

16,119

0,007

-1,192

0,329

()

16,531

-0,086

-0,449

0,335

()

16,013

-0,022

-0,138

0,345

()

15,795

-0,080

0,170

0,329



Анализируя полученные данные, можно сказать, что обе случайные величины имеют практически симметричное распределение, т. к. коэффициенты асимметрии всех выборок близки к нулю,

	Случайная величина  имеет более пологое распределение (эксцесс для всех ее выборок имеет отрицательное значение). А эксцесс выборок случайной величины  практически равен нулю, т.е. "крутизна" распределения случайной величины Y близка к нормальному распределению.

	

	2.7 Оценка однородности выборки

	

Любая исследуемая совокупность содержит как значения признаков, сложившихся под влиянием факторов, непосредственно характерных для анализируемой совокупности, так и значения признаков, полученных под воздействием иных факторов, не характерных для основной совокупности.

Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному). [4]

Из таблицы 2.36 видно, что однородными можно считать выборки случайной величины  при  равном 100, 500, 1000 и  при n равном 1000.

	Однородность выборки можно проверить, также используя метод Ирвина, основанный на определении -статистики. При его использовании выявление аномальных наблюдений производится по формуле (2.19).





(2.19)

	

	где  – упорядоченная (по возрастанию или по убыванию) исследуемая совокупность;

 – значение ряда;

– предыдущее значение ряда;

 – среднеквадратическое отклонение.

	Если расчетное значение превысит уровень критического, то оно признается аномальным.

	Произведя соответствующие расчёты в Microsoft Excel мы убедились, что ни одно из расчётных значений не превышает уровень критического значения. Это значит, что все выборки случайных величин  и  – однородны.

	

2.8 Проверка нормальности эмпирического распределения



2.8.1 Проверка нормальности эмпирического распределения на основе анализа точечных оценок числовых характеристик

	Если среднее арифметическое, медиана и мода имеют близкие значения, это указывает на вероятное соответствие изучаемого распределения нормальному закону. Для нормального распределения коэффициент асимметрии и эксцесса равны нулю, а для равномерного эксцесс равен -1,2.

	В таблице 2.37 приведены данные для проверки вышеуказанных утверждений.

	

	Таблица 2.37 – Анализ числовых характеристик положения и вариации

равномерный закон (СВ )

нормальный закон (СВ )

выборка







выборка





100

16,254

16,587

-0,009

-1,017

100

16,668

16,531

-0,449

200

16,369

15,840

0,034

-1,264

200

15,688

15,703

0,712

300

16,355

16,335

-0,092

-1,270

300

15,696

15,655

0,472

400

15,658

15,581

0,056

-1,254

400

16,770

16,954

-0,196

500

16,189

16,501

-0,058

-1,160

500

15,989

16,013

-0,138

600

16,048

15,897

-0,022

-1,158

600

16,049

16,008

-0,077

700

15,964

15,956

-0,017

-1,159

700

16,319

16,576

-0,128

800

15,867

15,649

0,072

-1,218

800

15,990

16,082

0,172

900

16,132

16,028

-0,022

-1,243

900

15,885

15,749

-0,092

1000

15,950

16,119

0,007

-1,192

1000

15,792

15,795

0,170

	

	Анализируя полученные данные, можно сделать вывод о том что значения медианы и среднего арифметического для выборок случайной величины  и  имеют практически равное значение. Для выборки  значение коэффициента ассиметрии, а для выборки случайной величины  значение эксцесса практически равно 0. Для случайной величины  значение эксцесса практически -1,2. Таким образом, все это свидетельствует о близости распределения случайной величины  нормальному распределению, а случайной величины  равномерному.

	

2.9 Определение закона распределения случайных величин



2.9.1 Определение закона распределения случайной величины по виду гистограммы

По виду гистограмм, приведенных на рисунках 2.19-2.21 делаем предположение о том, что случайная величина  подчиняется равномерному закону распределения, а случайная величина  соответствует нормальному закону распределения, что можно увидеть на рисунках 2.22-2.24.



2.9.2 Определение оценок параметров распределений

Метод моментов

Метод моментов заключается в том, что определенное количество статистических начальных и (или) центральных моментов приравнивается к соответствующим теоретическим моментам распределения случайной величины. Уравнения метода показано в формуле (2.23).





(2.23)





(2.24)где  – теоретический начальный момент -того порядка для непрерывной случайной величины, вычисляется по формуле (2.24):



.



 – статистическая оценка соответствующего теоретического момента -того порядка, вычисляется по формуле (2.25):





(2.25).



 – теоретический центральный момент s-того порядка, вычисляется по формуле (2.26):




(2.26).



 – статистическая оценка теоретического центрального момента -того порядка, вычисляется по формуле (2.27):





(2.27).



Из системы (2.23) находятся параметры распределения. Число уравнений в системе зависит от количества неизвестных параметров. Для нормального и равномерного законов, система должна содержать два уравнения, для экспоненциального – одно.

Для равномерного закона распределения система (2.23) принимает вид (2.28):





(2.28)

	

	Из системы 2.28 нужно найти параметры  и .

	В таблице 2.38 приведены значения этих параметров, найденные методом моментов и методом максимального правдоподобия.

	

	Таблица 2.38 – Значения параметров  и 

 

(метод 

моментов)

(метод максимального 

правдоподобия)

∆

(метод 

моментов)

(метод максимального 

правдоподобия)

∆



6,993

6,996

0,003

25,201

25,542

0,341



6,984

7,313

0,329

25,110

25,065

0,045



6,711

6,849

0,138

25,237

25,051

0,186

	
Из таблицы видно, что значения параметров, найденные разными методами, практически совпадают. Это подтверждает, что случайная величина  распределена по равномерному закону.

	Метод максимального правдоподобия

По методу максимального правдоподобия, строится так называемая функция правдоподобия (2.29):





(2.29)



где 	 – выборка,

 – вектор параметров.

Необходимо найти такие значения вектора , чтобы функция  достигала максимума. Для этого строят систему правдоподобия (2.30), содержащую частные производные от функции правдоподобия по всем переменным, приравненные к нулю. Для упрощения вычислений переходят к функции , равной логарифму натуральному от :





(2.30) .



Оценки параметров, получаемые из этой системы, называют оценками максимального правдоподобия.

Для равномерного закона функция правдоподобия будет иметь вид (2.31)




(2.31)

	

	где  и  – параметры распределения.

	Данная функция будет достигать максимума при условии (2.32):

	

	

	

	Судя по полученным оценкам параметров распределения, можно сделать вывод, что наше предположение было верно изначально и случайная величина  действительно распределена равномерно. 

	

2.10 Проверка нормальности эмпирического распределения на основе критериев согласия Пирсона

	

Для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения нормальному закону распределения необходимо ввести нулевую гипотезу, которая будет проверяться по критерию Пирсона.

: генеральная совокупность распределена по нормальному закону.

В качестве меры расхождения для критерия  выбирается величина, равная взвешенной сумме квадратов отклонений статистической вероятности от соответствующей теоретической вероятности, рассчитанных по нормальному закону теоретического распределения  вычисляется по формуле (2.20)





(2.20)


где – частота попадания в i-тый интервал;

 – объем выборки;

 – теоретическая вероятность попадания i-тый интервал:





(2.21).



Общая схема применения критерия :

		Определение меры расхождения по формуле 2.20;

		Задание уровня значимости ;

		Определение числа степеней свободы  по формуле 2.22.

	

	, (2.22)

	

	где  – количество интервалов в интервальном ряду;

	 – число налагаемых связей, равное числу параметров 

	предполагаемого закона распределения 

	4. Область принятия основной гипотезы: 

	

	.



Выполнение в пакете STATISTICA.

В модуле Nonparametric Statistics (непараметрическая статистика), Distribution Fitting. В поле Continuous Distributions представлены непрерывные распределения, а в поле Discrete Distributions - дискретные распределения (закон распределения выбираем дважды щелкнув на его название мышью)  Variable (выбрать переменную)  в поле Plot distribution выбираем Frequency distribution (частоты распределения)  в поле Kolmogorov-Smirnov test ставим No → установим необходимые параметры числа интервалов, верхней и нижней границ, среднего и дисперсии → Graph. Результаты проверки соответствия гипотезы приведены в таблице 2.39 и показаны на рисунках 2.41-2.46



Таблица 2.39 – Значения  и χ2крит для случайных величин  и 

Выборка







Гипотеза 

()

4

9,49

7,53

Принимается

()

4

9,49

11,815

Отвергается

()

5

11,1

11,95

Отвергается

()

5

11,1

25,54

Отвергается

()

6

12,59

45,51

Отвергается

()

6

12,59

39,83

Отвергается

()

6

12,59

48,77

Отвергается

()

7

14,1

40,81

Отвергается

()

7

14,1

49,97

Отвергается

()

7

14,1

76,75

Отвергается

()

4

9,49

2,04

Принимается

()

4

9,49

2,12

Принимается

()

5

11,1

2,78

Принимается

()

5

11,1

2,99

Принимается.

()

6

12,59

3,15

Принимается

()

6

12,59

4,61

Принимается

()

6

12,59

5,07

Принимается

()

7

14,1

5,86

Принимается

()

7

14,1

6,32

Принимается

()

7

14,1

7,16

Принимается




На основе полученных данных можно сделать вывод, что случайная величина  распределена по нормальному закону, а случайная величина  не распределена по нормальному закону. 

	Анализируя получившиеся графики, делаем вывод, что случайная величина  распределена по равномерному закону, а случайная величина  – по нормальному.


Заключение



В ходе курсовой работы были освоены методы обработки данных статистического наблюдения, их анализа с помощью обобщающих показателей, установление теоретических законов распределения случайных величин и доказательство адекватности этих законов. Также в результате выполнения данной работы мы приобрели навыки и опыт работы в пакете STATISTICА.

	В ходе анализа данных, были сделаны выводы, что основной частью статистического анализа является выявление закона распределения случайной величины, а также, выявление основных факторов, оказывающих влияние на качество оцениваемых параметров закона распределения (длина выборки, её однородность, величина доверительной вероятности). Был произведен статистический анализ каждой из полученных в ходе генерации выборок данных двух случайных величин, был найден закон их распределения. Рассмотрены основные числовые характеристики положения и вариации нормального и равномерного закона. 

Полученный опыт работы со статистическими данными и методами их обработки на компьютере позволит гораздо быстрее и эффективнее применять эти методы обработки информации в повседневной жизни, в частности, для экономических исследований и разработок. 


Перечень ссылок

случайный величина интервальный выборка

		Теория статистики: Учебник / Под ред. проф. Р. А. Шмойловой. - 3-е изд., перераб. -М.: Финансы и статистика, 2000. - 560 с.

		Елисеева И. И., Юзбашев М. М. Общая теория статистики: Учебник / Под ред. чл.-корр. РАН И. И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 1998. – 365 с.: ил.

		Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. – М.: Наука, 1969. – 509 с.

		Гурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для втузов. Изд. 5-е перераб. и доп. – М.: Высш. школа, 1977. – 397 с.

		Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Unity, 2000. – 544 с.

		Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1969. – 576 с.

			Боровиков В. STATISTICA: искусство анализа данных на компьютере. Для профессионалов. - СПб.: Питер, 2001. - 656 с.


Приложение А



Генерация исходных данных СВ  в пакете STATISTICA



Dim ADS As Spreadsheet

Dim STBReport As Report



Dim SUM As Double

Dim LOOP_CASE As Double

Dim I As Double



Sub Main

Set ADS = ActiveDataSet

Set STBReport = Reports.New

For LOOP_CASE = 1 To NCASES(ADS)

For I = 1 To n

SUM = 0

For L = 1 To 300

SUM = SUM + Uniform(1)

Next L

ADS.Value (LOOP_CASE, 1) = N * ((1 / 15) * SUM - 9)

Next I

NEXT_CASE:

Next LOOP_CASE

End Sub


Приложение Б



Интервальные ряды для СВ  и 



Таблица Д.1 - Интервальный ряд СВ , 



Частота

Кумул.

Процент

Кумул.

5,289175<x<=8,355050

14,000

14,000

7,000

7,000

8,355050<x<=11,42093

34,000

48,000

17,000

24,000

11,42093<x<=14,48680

33,000

81,000

16,500

40,500

14,48680<x<=17,55268

33,000

114,000

16,500

57,000

17,55268<x<=20,61855

29,000

143,000

14,500

71,500

20,61855<x<=23,68443

23,000

166,000

11,500

83,000

23,68443<x<=26,75030

34,000

200,000

17,000

100,000



Таблица Д.2 - Интервальный ряд СВ , 



Частота

Кумул.

Процент

Кумул.

5,502861<x<=8,114160

25,000

25,000

8,333

8,333

8,114160<x<=10,72546

37,000

62,000

12,333

20,667

10,72546<x<=13,33676

40,000

102,000

13,333

34,000

13,33676<x<=15,94806

39,000

141,000

13,000

47,000

15,94806<x<=18,55936

39,000

180,000

13,000

60,000

18,55936<x<=21,17066

41,000

221,000

13,667

73,667

21,17066<x<=23,78195

51,000

272,000

17,000

90,667

23,78195<x<=26,39325

28,000

300,000

9,333

100,000



Таблица Д.3 - Интервальный ряд СВ , 



Частота

Кумул.

Процент

Кумул.

5,555859<x<=8,176674

33,000

33,000

8,250

8,250

8,176674<x<=10,79749

69,000

102,000

17,250

25,500

10,79749<x<=13,41830

54,000

156,000

13,500

39,000

13,41830<x<=16,03912

54,000

210,000

13,500

52,500

16,03912<x<=18,65993

51,000

261,000

12,750

65,250

18,65993<x<=21,28075

58,000

319,000

14,500

79,750

21,28075<x<=23,90156

54,000

373,000

13,500

93,250

23,90156<x<=26,52238

27,000

400,000

6,750

100,000




Таблица Д.4 - Интервальный ряд СВ , 



Частота

Кумул.

Процент

Кумул.

5,616825<x<=7,918099

42,000

42,000

7,000

7,000

7,918099<x<=10,21937

60,000

102,000

10,000

17,000

10,21937<x<=12,52065

79,000

181,000

13,167

30,167

12,52065<x<=14,82192

78,000

259,000

13,000

43,167

14,82192<x<=17,12319

75,000

334,000

12,500

55,667

17,12319<x<=19,42447

69,000

403,000

11,500

67,167

19,42447<x<=21,72574

92,000

495,000

15,333

82,500

21,72574<x<=24,02701

70,000

565,000

11,667

94,167

24,02701<x<=26,32829

35,000

600,000

5,833

100,000



Таблица Д.5 - Интервальный ряд СВ , 



Частота

Кумул.

Процент

Кумул.

5,638499<x<=7,943963

48,000

48,000

6,857

6,857

7,943963<x<=10,24943

80,000

128,000

11,429

18,286

10,24943<x<=12,55489

80,000

208,000

11,429

29,714

12,55489<x<=14,86035

100,000

308,000

14,286

44,000

14,86035<x<=17,16582

91,000

399,000

13,000

57,000

17,16582<x<=19,47128

83,000

482,000

11,857

68,857

19,47128<x<=21,77675

94,000

576,000

13,429

82,286

21,77675<x<=24,08221

89,000

665,000

12,714

95,000

24,08221<x<=26,38767

35,000

700,000

5,000

100,000



Таблица Д.6 - Интервальный ряд СВ , 



Частота

Кумул.

Процент

Кумул.

5,746050<x<=7,794074

50,000

50,000

6,250

6,250

7,794074<x<=9,842099

87,000

137,000

10,875

17,125

9,842099<x<=11,89012

88,000

225,000

11,000

28,125

11,89012<x<=13,93815

110,000

335,000

13,750

41,875

13,93815<x<=15,98617

77,000

412,000

9,625

51,500

15,98617<x<=18,03420

84,000

496,000

10,500

62,000

18,03420<x<=20,08222

83,000

579,000

10,375

72,375

20,08222<x<=22,13025

77,000

656,000

9,625

82,000

22,13025<x<=24,17827

96,000

752,000

12,000

94,000

24,17827<x<=26,22630

48,000

800,000

6,000

100,000




Таблица Д.7 - Интервальный ряд СВ , 



Частота

Кумул.

Процент

Кумул.

5,747041<x<=7,795948

46,000

46,000

5,111

5,111

7,795948<x<=9,844855

118,000

164,000

13,111

18,222

9,844855<x<=11,89376

93,000

257,000

10,333

28,556

11,89376<x<=13,94267

84,000

341,000

9,333

37,889

13,94267<x<=15,99158

107,000

448,000

11,889

49,778

15,99158<x<=18,04048

85,000

533,000

9,444

59,222

18,04048<x<=20,08939

108,000

641,000

12,000

71,222

20,08939<x<=22,13830

88,000

729,000

9,778

81,000

22,13830<x<=24,18720

108,000

837,000

12,000

93,000

24,18720<x<=26,23611

63,000

900,000

7,000

100,000



Таблица Д.8 - Интервальный ряд СВ , 



Частота

Кумул.

Процент

Кумул.

-3,85839<x<=1,661475

2,000

2,000

1,000

1,000

1,661475<x<=7,181336

7,000

9,000

3,500

4,500

7,181336<x<=12,70120

47,000

56,000

23,500

28,000

12,70120<x<=18,22106

79,000

135,000

39,500

67,500

18,22106<x<=23,74092

54,000

189,000

27,000

94,500

23,74092<x<=29,26078

8,000

197,000

4,000

98,500

29,26078<x<=34,78064

3,000

200,000

1,500

100,000



Таблица Д.9 - Интервальный ряд СВ , 



Частота

Кумул.

Процент

Кумул.

-3,50252<x<=1,766314

2,000

2,000

0,667

0,667

1,766314<x<=7,035144

13,000

15,000

4,333

5,000

7,035144<x<=12,30397

63,000

78,000

21,000

26,000

12,30397<x<=17,57280

106,000

184,000

35,333

61,333

17,57280<x<=22,84163

91,000

275,000

30,333

91,667

22,84163<x<=28,11046

21,000

296,000

7,000

98,667

28,11046<x<=33,37929

3,000

299,000

1,000

99,667

33,37929<x<=38,64812

1,000

300,000

0,333

100,000



Таблица Д.10 - Интервальный ряд СВ , 



Частота

Кумул.

Процент

Кумул.

1,299935<x<=5,325310

5,000

5,000

1,250

1,250

5,325310<x<=9,350685

31,000

36,000

7,750

9,000

9,350685<x<=13,37606

63,000

99,000

15,750

24,750

13,37606<x<=17,40143

117,000

216,000

29,250

54,000

17,40143<x<=21,42681

109,000

325,000

27,250

81,250

21,42681<x<=25,45218

55,000

380,000

13,750

95,000

25,45218<x<=29,47756

16,000

396,000

4,000

99,000

29,47756<x<=33,50293

4,000

400,000

1,000

100,000



Таблица Д.11 - Интервальный ряд СВ , 



Частота

Кумул.

Процент

Кумул.

-1,98797<x<=1,772650

1,000

1,000

0,167

0,167

1,772650<x<=5,533271

12,000

13,000

2,000

2,167

5,533271<x<=9,293892

54,000

67,000

9,000

11,167

9,293892<x<=13,05451

100,000

167,000

16,667

27,833

13,05451<x<=16,81513

166,000

333,000

27,667

55,500

16,81513<x<=20,57576

154,000

487,000

25,667

81,167

20,57576<x<=24,33638

88,000

575,000

14,667

95,833

24,33638<x<=28,09700

17,000

592,000

2,833

98,667

28,09700<x<=31,85762

8,000

600,000

1,333

100,000



Таблица Д.12 - Интервальный ряд СВ , 



Частота

Кумул.

Процент

Кумул.

-2,68355<x<=1,245110

2,000

2,000

0,286

0,286

1,245110<x<=5,173768

10,000

12,000

1,429

1,714

5,173768<x<=9,102425

41,000

53,000

5,857

7,571

9,102425<x<=13,03108

149,000

202,000

21,286

28,857

13,03108<x<=16,95974

180,000

382,000

25,714

54,571

16,95974<x<=20,88840

178,000

560,000

25,429

80,000

20,88840<x<=24,81705

102,000

662,000

14,571

94,571

24,81705<x<=28,74571

31,000

693,000

4,429

99,000

28,74571<x<=32,67437

7,000

700,000

1,000

100,000



Таблица Д.13 - Интервальный ряд СВ , 



Частота

Кумул.

Процент

Кумул.

-1,52038<x<=2,421483

4,000

4,000

0,500

0,500

2,421483<x<=6,363342

37,000

41,000

4,625

5,125

6,363342<x<=10,30520

69,000

110,000

8,625

13,750

10,30520<x<=14,24706

185,000

295,000

23,125

36,875

14,24706<x<=18,18892

231,000

526,000

28,875

65,750

18,18892<x<=22,13078

175,000

701,000

21,875

87,625

22,13078<x<=26,07264

75,000

776,000

9,375

97,000

26,07264<x<=30,01449

20,000

796,000

2,500

99,500

30,01449<x<=33,95635

3,000

799,000

0,375

99,875

33,95635<x<=37,89821

1,000

800,000

0,125

100,000



Таблица Д.14 - Интервальный ряд СВ , 



Частота

Кумул.

Процент

Кумул.

-1,06170<x<=2,578305

3,000

3,000

0,333

0,333

2,578305<x<=6,218309

36,000

39,000

4,000

4,333

6,218309<x<=9,858313

71,000

110,000

7,889

12,222

9,858313<x<=13,49832

171,000

281,000

19,000

31,222

13,49832<x<=17,13832

277,000

558,000

30,778

62,000

17,13832<x<=20,77832

176,000

734,000

19,556

81,556

20,77832<x<=24,41833

110,000

844,000

12,222

93,778

24,41833<x<=28,05833

47,000

891,000

5,222

99,000

28,05833<x<=31,69833

7,000

898,000

0,778

99,778

31,69833<x<=35,33834

2,000

900,000

0,222

100,000