Конспект урока по Алгебре "Составление квадратного трехчлена по его корням" 8 класс

Класс: 8 «Б»                      Предмет: Алгебра                          Дата: _______

Урок № 64        Тема: «Составление квадратного трехчлена по  его корням» 

Цели урока: научить составлять квадратный трехчлена по  его корням.

Задачи урока:

	Обучающая: повторить понятие квадратного трехчлена и его корней; формировать умение составлять квадратный трехчлена по  его корням.

		Развивающая: развитие логического мышления, познавательных интересов.

	Воспитательная: воспитание  организованности, дисциплинированности, аккуратности, усидчивости.

Тип урока: урок изучения нового материала и первичного закрепления

Методы и приемы: словесный, наглядный, практический.

Материально-техническое  обеспечение: дидактический материал.

План урока:                                                                                                                         

Организационный момент 

Актуализация  знаний

Первичное усвоение новой учебной информации 

Осознание и осмысление 

Закрепление

Информация о домашнем задании

Подведение итогов урока

Ход урока

І. Организационный момент

 - Здравствуйте ребята, тема сегодняшнего урока: «Составление квадратного трехчлена по  его корням». 

Цели данного урока: научится составлять квадратный трехчлена по  его корням.

Приветствие, проверка готовности учащихся к уроку, сообщение темы и цели урока и требований к уроку.  

ІІ. Актуализация  знаний

 - Давайте вспомним пройденный материал

Разложите на множители выражение:

а) Х2- 9;       б) Х2 – 9Х;

Найдите корень уравнения: 

а) Х2- 9 = 0;  б) Х2 – 9Х = 0;  в) Х2 – 6Х + 9 = 0

Ребята отвечают на вопросы учителя.

ІІІ. Первичное усвоение новой учебной информации 

§  54 . Разложение  квадратного   трехчлена  на линейные множители

В этом параграфе мы рассмотрим следующий вопрос: в каком случае  квадратный  трехчлен  ax2  + bx + c можно представить в   виде   произведения

(a1x + b1) (a2x + b2)

двух линейных  относительно х множителей  с действительными коэффициентами     a1, b1, a2, b2     (a1 =/=0, a2 =/=0) ?

1.  Предположим, что данный  квадратный   трехчлен  ax2  + bx + c  представим в виде

ax2  + bx + c  = (a1x + b1) (a2x + b2).                   (1)

Правая часть формулы (1) обращается в нуль при  х =  —  b1/ a1 и х = —  b2/ a2  (a1иa2 по условию не равны нулю). Но в таком случае числа  —  b1/ a1 и  —  b2/ a2  являются корнями уравнения

ax2  + bx + c = 0.

Следовательно, дискриминант  квадратного   трехчлена  ax2  + bx + c должен  быть  неотрицательным.

2.  Обратно,   предположим,   что   дискриминант  D = b2 — 4ас квадратного трехчлена ax2  + bx + c  неотрицателен.  Тогда этот  трехчлен  имеет действительные корни x1 и x2. Используя  теорему Виета,  получаем:

ax2  + bx + c  = а (x2 + b/a х + c/a) = а [x2 — (x1 + x2) х + x1x2] =

= а [(x2— x1x ) — (x2x — x1x2)] = а [х (х — x1) — x2(х — x1) =

= a(х — x1)(х — x2).

Итак,

ax2  + bx + c = a(х — x1)(х — x2),                 (2)

где x1 и x2 — корни  трехчлена  ax2  + bx + c. Коэффициент а можно отнести к любому из двух линейных множителей,  например,

a(х — x1)(х — x2) = (aх — ax1)(х — x2).

Но это означает, что в рассматриваемом случае  квадратный   трехчлен  ax2  + bx + c представим в виде произведения двух линейных множителей с действительными коэффициентами.

Объединяя результаты, полученные в пунктах 1 и 2, мы приходим к следующей теореме.

Теорема.  Квадратный   трехчлен  ax2  + bx + c тогда и тoлько тогда можно представить в виде произведения двух линейных множителей с действительными коэффициентами,

ax2  + bx + c = (aх — ax1)(х — x2),

когда дискриминант этого  квадратного   трехчлена  неотрицателен (то есть когда этот  трехчлен  имеет действительные корни).

Пример 1.   Разложить на линейные множители 6x2 — х —1.

Корни этого  квадратного   трехчлена  равны x1 = 1/2  и x2 = — 1/3.

Поэтому по формуле (2)

6x2 — х —1 = 6 (х — 1/2)(х + 1/3) = (2х — 1) (3x + 1).

Пример 2.  Разложить на линейные множители x2 + х + 1. Дискриминант    этого     квадратного      трехчлена     отрицателен:

D = 12 — 4•1•1 = — 3 < 0.

Поэтому данный   квадратный   трехчлен   на линейные множители с действительными  коэффициентами   не раскладывается.

Упражнения

Разложить   на   линейные   множители   следующие  выражения (№ 403 — 406):

403. 6x2 — 7х + 2.                  405. x2 — х + 1.

404.   2x2 — 7ах + 6а2.             406. x2 — 3ах + 2а2 — аb— b2.



Предположим, что нам нужно  составить  квадратное уравнение, корнями которого были бы числа x1 и x2. Очевидно, что в качестве искомого уравнения можно выбрать уравнение

a(х — x1)(х — x2) = 0,                      (1)

где а — любое отличное от нуля действительное число. С другой стороны, как было показано в § 54, каждое квадратное уравнение с корнями x1 и x2 можно записать в виде (1).

Таким образом, формула (1) полностью решает поставленную выше задачу. Из всех квадратных уравнений корни x1 и x2 имеют уравнения вида (1) и только, они.

ІV.Осознание и осмысление 

Пример. Составить квадратное уравнение, корни которого равны  1  и — 2.

Ответ.   Корни 1 и —2 имеют все квадратные уравнения вида

а(х — 1)(х + 2) = 0,

или

ах2 + ах — 2а = 0,

где а — любое отличное от нуля действительное число. Например,   при   а = 1   получается   уравнение

х2 + х — 2 = 0.

V. Закрепление

Упражнения

1.  Составить квадратное уравнение, корнями которого были бы  числа:

а) 2 и — 3;    б) — 1 и — 5;      в) 1/4 и 1/6;    г) — 1/2 и — 1/3 .

2.  Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами так, чтобы его корни были равны:

а) — 1/5   и  2/3;    б) 4/7  и 5;    в) — 3/2  и  2/9;    г) — 3/10  и — 2/5.

3.   Составить квадратное уравнение с целыми  коэффициентами, корни которого равны 5/7 и — 1/2, а сумма всех коэффициентов равна 36.

Решение: (х-5/7)(х-1/2)=0    х2-17/14х+5/14=0    14х2-17х+5=0   14+17+5=36

4.  Могут ли  корнями  квадратного уравнения с натуральными коэффициентами   быть  числа 6/5 и — 1/7?

Решение: (х-6/5)(х+1/7)=0      35х2-37х-6=0  (да)

5.  Составить квадратное уравнение с целыми  коэффициентами, если известно, что один из его корней равен:

а) 2 + √3 ;       б) 3 —√2    

в) √3-5

Решение

Второй корень будет сопряжён первому, т. е.   x1 = √3−5; x2 = −√3−5. 
Ищем квадратное уравнение в виде x² + ax + b = 0, 
тогда по теореме Виета    a = −(x1+x2) = −2•(−5) = 10,   b = x1•x2 = (−5)²−(√3)² = 22. 
ОТВЕТ: x²+10x+22 = 0.

Решить №3,№5 на стр.97-98 проверь себя, дополнительно №242 (1,2).

VI.Информация о домашнем задании

 №228, №234+ Повторить пройденную тему§12. 

VII.Подведение итогов урока

Давайте теперь подведем итоги урока : 

Учитель благодарит за урок и объявляет оценки.