Оптимизация считывания состояний джозефсоновского кубита

Реферат

ОПТИМИЗАЦИЯ СЧИТЫВАНИЯ СОСТОЯНИЙ ДЖОЗЕФСОНОВСКОГО КУБИТА.

























2010


Оглавление



	Введение

	1. Джозефсоновский контакт и фазовый кубит

	1.1 Теоретические сведения

	1.2 Вольтамперная характеристика

	1.3 Устройство фазового кубита

	2. Гистерезисный СВЧ СКВИД

	2.1 Теоретические сведения

	2.2 Характеристики СВЧ СКВИДа

	3. СКВИД постоянного тока

	3.1 Теоретические сведения

	3.2 Характеристики СКВИДа постоянного тока

	4. Считывание информационного сигнала с кубита

	4.1 Модель фазового кубита

	4.2 Параметры системы

	Заключение

	Список литературы


Введение



	Элементная база современных информационных систем построена на транзисторах, лазерах, фотоэлементах, являющихся классическими, в том смысле, что их внешние параметры (токи, напряжение, излучение) являются классическими величинами. С этими величинами связываются информационные символы, что позволяет отображать информационные процессы на физические системы. Аналогично, информационные символы можно связать с дискретными состояниями квантовых систем, подчиняющихся уравнению Шредингера, а с их управляемой извне квантовой эволюцией связать информационный (вычислительный) процесс. Такое отображение превращает квантовую систему (частицу) в квантовый прибор.

	В канун XX века 14 декабря 1900 года немецкий физик и будущий нобелевский лауреат Макс Планк доложил на заседании Берлинского физического общества о фундаментальном открытии квантовых свойств теплового излучения. Этот день считается днем рождения квантовой теории. В физике родилось понятие кванта энергии и среди других фундаментальных постоянных поля появилась постоянная Планка h = 1,38062*10-23Дж/К.

	В 1925 году В. Гайзенберг предложил матричный вариант квантовой механики, а в 1926 году Э. Шредингер сформулировал свое знаменитое волновое уравнение для описания движения электрона во внешнем поле. В это же время Э. Ферми и П. Дирак получили квантово-статистическое распределение для электронного газа, учитывающее при заполнении отдельных квантовых состояний квантовый принцип, сформулированный тогда же В. Паули. Это привело к существенным изменениям наших представлений о Природе вообще и о твердом теле, в частности.

	Кардинально новой оказалась идея о квантовых вычислениях, впервые высказанная советским математиком Ю.И. Маниным в 1980 году, которая стала активно обсуждаться лишь после опубликования в 1982 году статьи американского физика-теоретика нобелевского лауреата Р. Фейнмана. Он обратил внимание на способность изолированной квантовой системы из L двухуровневых квантовых элементов находиться в когерентной суперпозиции из 2L булевых состояний, характеризующейся 2L комплексными числами и увеличенной до 2L размерностью соответствующего гильбертова пространства. Ясно, что для описания такого квантового состояния в классическом вычислительном устройстве потребовалось бы задать 2L комплексных чисел, то есть, понадобились бы экспоненциально большие вычислительные ресурсы. Отсюда был сделан обратный вывод о том, что эффективное численное моделирование квантовых систем, содержащих до сотни двухуровневых элементов, практически недоступно классическим компьютерам, но может эффективно осуществляться путем выполнения логических операций на квантовых системах, которые действуют на суперпозиции многих квантовых состояний.

	Одна из возможных физических реализаций квантового компьютера основана на использовании в качестве квантовых битов (кубитов) сверхпроводящих приборов джозефсоновской электроники.

	В 1962 году аспирант Кембриджского университета Брайан Джозефсон предсказал, что в слабых электрических контактах сверхпроводников должен наблюдаться ряд новых явлений. Эти явления обусловлены тем, что ток Ι через контакт содержит специфическую компоненту - так называемый сверхток Ιs, который связан с напряжением V на контакте очень необычными соотношениями, прямо следующими из квантовой механики и в явном виде содержащими постоянную Планка.

	В работе кубита используются сверхпроводящие квантовые интерферометры (СКВИДы) - наиболее чувствительные датчики магнитного потока, представляющие собой один или несколько джозефсоновских контактов, замкнутых в сверхпроводящем кольце.

кубит джозефсоновский фазовый квантовый

	Сложность создания и использования кубита заключается в квантовой природе устройства. Так, например, на стадии считывания информации нахождение кубита в том или ином состоянии носит вероятностный характер. Кроме того, из-за высокой чувствительности джозефсоновских переходов к электромагнитному полю на их свойства большое влияние оказывают флуктуации. Флуктуации приводят к ограничению чувствительности сверхпроводящих квантовых интерферометров. Поэтому разработка теоретического описания, помогающего более полному пониманию природы флуктуационных явлений в устройствах джозефсоновской электроники, и позволяющего минимизировать влияние флуктуаций, является чрезвычайно важной.

	Целью данной работы является изучение элемента квантового компьютера, кубита, на стадии считывания информации, и оптимизация параметров системы с целью минимизации ошибки считывания.

	В первой главе приведены краткие теоретические сведения о джозефсоновском контакте и устройстве кубита на основе сверхпроводников. Во второй главе рассматриваются флуктуационные характеристики СВЧ гистерезисного СКВИДа и оптимизация параметров прибора для уменьшения влияния шума. Третья глава посвящена устройству и работе квантового интерферометра на постоянном токе. В четвертой главе приводится оптимизация процесса считывания информационного сигнала с кубита.


1. Джозефсоновский контакт и фазовый кубит



1.1 Теоретические сведения



	Явление сверхпроводимости состоит в том, что при некоторой температуре, близкой к абсолютному нулю, электросопротивление в некоторых материалах исчезает. Эта температура называется критической температурой перехода в сверхпроводящее состояние.

	Джозефсоновский контакт представляет собой систему, состоящую из двух сверхпроводников, разделенных тонкой диэлектрической прослойкой (рис.1). Носителями тока в сверхпроводнике являются так называемые куперовские пары [1].

	

	

	Рис.1.

	

	Движение куперовских пар, как и носителей тока в любых несверхпроводящих веществах, подчиняется квантовым законам. Так, в случае слабовзаимодействующих частиц в пренебрежении спиновыми эффектами, это движение можно описать обычным нестационарным уравнением Шредингера

	

	 (1)

	

	где ψ - комплексная волновая функция данной частицы,

	

	 (2)

	

	а Н - оператор Гамильтона. Согласно основам квантовой механики, модуль волновой функции пропорционален корню из плотности частиц. В стационарном состоянии, когда энергия Е частицы не меняется во времени, |ψ| можно считать постоянным во времени, а Н заменить на Е. В итоге уравнение (1) приобретает вид

	

	 (3)

	

	так что специфика квантовомеханического описания фактически сводится к своеобразному закону изменения во времени фазы волновой функции частицы.

	Куперовская пара в сверхпроводнике представляет собой связанное состояние двух электронов с противоположными спинами и импульсами и, следовательно, имеет нулевой суммарный спин. Такие пары подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна и "конденсируются" на одном нижнем энергетическом уровне. Поэтому скорости движения фаз куперовских пар точно совпадают.

	Вторая характерная особенность куперовских пар - их относительно большой размер, намного превышающий среднее расстояние между парами. В результате, волновые функции куперовских пар сильно перекрыты; пары "синхронизируются", т.е. не только скорости движения, но и их фазы в каждой точке становятся равными друг другу.

	Таким образом, совокупность куперовских пар, или "конденсат", является когерентной, т.е. описывается единой волновой функцией ψ. В этом случае макроскопические величины, и в частности ток, могут явно зависеть от фазы χ единой волновой функции конденсата, так как эта зависимость не выпадает при суммировании по частицам.

	Единственным существенным требованием к джозефсоновскому контакту является малость его длины d, т.е. расстояния между двумя ближайшими точками электродов (dсм). Если это условие выполнено, то ток I, текущий через слабый контакт, содержит "сверхток" Is, который является функцией не от напряжения V, а от разности фаз

	

	 (4)

	

	где  - фазы волновых функций сверхпроводящего конденсата электродов.

	Зависимость Is строго 2π-периодична и в простейшем случае имеет вид

	

	 (5)

	

	где Ic - некоторая константа (существенно зависящая от физической природы и размеров слабой связи), обычно называемая критическим током джозефсоновского перехода. Эта константа положительна, если считать ток положительным при его направлении от электрода 1 к электроду 2 (см. рис.1). Сама величина φ зависит от напряжения по закону

	

	 (6)

	

	который содержит лишь фундаментальные физические постоянные ћ и е ( Дж/Гц,  Кл).

	Но в большинстве задач, связанных с динамикой джозефсоновского перехода, необходимо учитывать не только сверхток, но и другие компоненты тока через контакт. Рассмотрим их подробнее.

	1. Нормальный ток IN. Если температура сверхпроводника Т не равна нулю, то энергия kT (Дж/К - постоянная Больцмана) теплового движения вызывает разрыв некоторого числа куперовских пар и появление в образце некоторого количества неспаренных электронов. В теории сверхпроводимости такие электроны называют квазичастицами, поскольку их свойства отличаются от свойств электронов нормального металла из-за присутствия конденсата.

	Если напряжение на переходе равно нулю, то квазичастицы не дают вклада в ток. Однако, если фаза φ меняется во времени, и напряжение отлично от нуля, то в токе появляется квазичастичная компонента.

	Если температура Т стремится снизу к критической температуре сверхпроводника Тc, то энергия связи куперовской пары стремится к нулю и становится существенно меньше тепловой энергии kT. При этом концентрация куперовских пар относительно мала, а концентрация квазичастиц (а также их свойства) такая же, как в нормальном металле. В этом случае зависимость нормального тока от напряжения при Т≈Тc близка к омической:

	

	 (7)

	

	где GN=1/RN - нормальная проводимость джозефсоновского перехода

	2. В случае, если не только напряжение V, но и производная dV/dt отличны от нуля, становится существенным ток смещения, который обычно можно представить в виде

	

	 (8)

	

	где С - емкость между электродами джозефсоновского перехода. Хотя ток ID и не протекает реально через слабый контакт, для внешней системы, в которую включен джозефсоновский переход, этот ток эффективно складывается с другими компонентами тока.

	Величина емкости С значительно различается не только для разных типов переходов, но и существенно зависит от размеров контакта. Поэтому ее часто удобно характеризовать не абсолютным значением, а безразмерным параметром (параметром Маккамбера - Стюарта), показывающим силу ее влияния на процессы в переходе:

	

	 (9)

	

	Если β<<1, то говорят о джозефсоновских переходах с малой емкостью или большим затуханием, а если β>>1 - о переходах с большой емкостью или малым затуханием.

	3. Джозефсоновский контакт отличается высокой чувствительностью к флуктуациям, поэтому их необходимо учитывать при решении многих задач. С нормальным током связаны флуктуации двух типов: тепловые и дробовые. Для тепловых флуктуаций выражение для спектральной плотности дается формулой Найквиста:

	

	 (10)

	

	справедливой при ћω,eV<<kT.

	Силу воздействия тепловых флуктуаций на переход можно характеризовать величиной

	

	 (11)

	

	Таким образом, если критический ток контакта существенно превышает величину IT (равную ~0,3 мкА при типичной рабочей температуре Т≈4,2 К), то влияние тепловых флуктуаций на переход можно считать малым.

	Если напряжение на контакте становится достаточно большим, и eV превышает kT, существенными становятся дробовые флуктуации, связанные с дискретностью заряда квазичастиц. При больших напряжениях они описываются формулой Шоттки

	

	 (12)

	

	справедливой при условии ћω,kT≤eV.

	Таким образом, выражение для полного тока через контакт имеет следующий вид:

	

	 (13)

	

	Введем определения плазменной ωр и характерной ωс частот:

	

	 (14),  (15)

	

	Используя (14) и (15), равенство (13) удобно переписать в виде

	

	 (16)

	

	где i=I/IC - безразмерный ток. Что касается флуктуационного тока IF, то в данной модели, которая называется резистивной (RN=const), он обычно считается тепловым белым гауссовским шумом со следующими характеристиками:

	

	 (17)

	

	где  - безразмерная интенсивность шума.

	Точечный джозефсоновский контакт с малой емкостью хорошо описывается уравнением Ланжевена [2]

	

	 (18)

	

	где U (φ) =1-cosφ-iφ - безразмерный потенциальный профиль (рис.2), i=I/IС - безразмерный ток, ωС - характерная частота контакта (15), iF=IF/IC - безразмерный флуктуационный ток (17).

	

	

	Рис.2. Безразмерный потенциальный профиль: пунктирная линия - i=0.5; сплошная линия - i=1.2.

	


1.2 Вольтамперная характеристика



	Простейшей из всех электродинамических ситуаций для джозефсоновского контакта является случай протекания через него постоянного тока I (t) =I=const. Если этот ток не слишком велик, │I│<IC, то в отсутствии флуктуаций стационарное решение имеет вид

	

	 (19)

	

	Любое такое решение описывает "сверхпроводящее" или "стационарное" S-состояние джозефсоновского перехода: при протекании не слишком большого тока падение напряжения на переходе отсутствует:

	

	 (20)

	

	Факт существования S-состояния получил специальное название "стационарный эффект Джозефсона". Если же постоянный ток I превышает критическое значение IC, то он, согласно формуле (5), уже не может полностью переноситься сверхтоком IS, и, следовательно, часть его должна переноситься нормальным током IN. Однако IN может быть отличен от нуля лишь при . Таким образом, по крайней мере при │I│>IC переход может находиться только в резистивном (R) состоянии, в котором среднее напряжение отлично от нуля, и, следовательно, происходит процесс генерации с частотой

	

	 (21)

	

	Это явление называется "нестационарным эффектом Джозефсона" или "джозефсоновской генерацией".

	У вольтамперной характеристики при │I│<IC будет "сверхпро-водящая" или "S-ветвь", а при │I│>IC - резистивная или "R-ветвь":

	

	при (22)

	

	При │I│>IC существуют лишь резистивные состояния.

	Ограничиваясь в данном разделе случаем контактов с малой емкостью, рассмотрим следующее уравнение движения фазы:

	

	 (23)

	

	Решение ищем численным методом Хюна:

	

	 (24)

	где .

	

	В отсутствии флуктуаций, R-ветвь ВАХ будет иметь гиперболическую форму (рис.3). Если же учесть флуктуации тока, то на вольтамперной характеристике при токах │I│<IС появляется напряжение, отличное от нуля.

	

	

	Рис.3. Вольтамперная характеристика джозефсоновского контакта. Сплошная линия - без учета флуктуаций D = 0, пунктирная D=0.5

	

	При слабом высокочастотном воздействии (амплитуда А тока, воздействующего на переход, достаточно мала) внешний сигнал с частотой  может производить захватывание (синхронизацию) джозефсоновских колебаний перехода. Это явление сопровождается появлением на ВАХ перехода горизонтального участка - "джозефсоновской ступеньки тока" - при напряжениях

	

	 (25)

	

	Вид ВАХ перехода в таком режиме будет рассмотрен в главе об СВЧ СКВИДе.

	

1.3 Устройство фазового кубита



	Любая квантовая двухуровневая система имеет основное |0 и не основное |1 базисные состояния. При этом волновая функция состояний двухуровневой системы - квантового бита, может представлять собой суперпозицию базисных состояний следующего вида | = |0 + |1, где , - комплексные амплитуды состояний, ||2 + ||2 = 1. Помимо вероятностей P (0) = ||2 и P (1) = ||2, заполнения базисных состояний |0 и |1, состояние кубита характеризуется когерентными или интерференционными слагаемыми в вероятности состояния |, определяемых произведениями комплексных амплитуд * и *.

	Принципиальная схема работы любого квантового компьютера может быть представлена следующим образом (рис.4). Основной его частью является квантовый регистр - совокупность некоторого числа L кубитов. До ввода информации в компьютер все кубиты регистра должны быть приведены в основные базисные (булевые) состояния. Эта операция называется подготовкой начального состояния или инициализацией (initializing). Далее каждый кубит подвергается селективному воздействию, например, с помощью импульсов внешнего электромагнитного поля, управляемых классическим компьютером, которое переведет основные базисные состояния определенных кубитов в не основное состояние |0  |1. При этом состояние всего регистра перейдет в суперпозицию базисных состояний вида |n = |n1,n2,n3,. nL, где ni = 0,1.

	

	

	Рис.4. Схематическая структура квантового компьютера

	

	При вводе информации в квантовый компьютер состояние входного регистра, с помощью соответствующих импульсных воздействий преобразуется в соответствующую когерентную суперпозицию базисных ортогональных состояний. В таком виде информация далее подвергается воздействию квантового процессора, выполняющего последовательность квантовых логических операций, определяемую унитарным преобразованием, действующим на состояние всего регистра. К моменту времени t в результате преобразований исходное квантовое состояние становится новой суперпозицией, которая и определяет результат преобразования информации на выходе компьютера.

	Считается, что для реализации полномасштабного квантового компьютера, превосходящего по производительности любой классический компьютер, на каких бы физических принципах он не работал, следует обеспечить выполнение нескольких основных требований. Одно из основных требований и задач квантовых вычислений - проблема измерения конечного квантового состояния.

	Рассмотрим кубит, основанный на использовании джозефсоновских переходов. Джозефсоновские переходы представляют собой некоторую слабую электрическую связь между двумя сверхпроводниками. Все сверхпроводящие электроны образуют связанные парные состояния, получившие название куперовских пар электронов. Куперовская пара объединяет два электрона с противоположными спинами и импульсами и, следовательно, имеет нулевой суммарный спин. Вся совокупность (конденсат) куперовских пар является когерентной, то есть описывается в квантовой механике единой волновой функцией.

	На рис.5 представлена схема фазового кубита [3] (управление кубитом осуществляется на основе фазы волновой функции, а не числа куперовских пар).

	

	Рис.5. Схема фазового кубита

	

	Катушка в левой части схемы обеспечивает магнитный поток Фq через кубит (в центре). Чувствительный датчик магнитного потока (справа на схеме) через взаимную индукцию MR считывает состояние кубита. Разница между |0> и |1> состояниями кубита будет определяться одним квантом внешнего для СКВИДа потока. Регистрация происходит методом переключения прибора в резистивное состояние [4] (R-ветвь на вольт-амперной характеристике). Вероятностное значение измеряемого критического тока и будет являться показателем считывания [5]. На данной схеме изображен СКВИД постоянного тока, но прибор так же будет работать и на основе гистерезисного СКВИДа переменного тока. Подробнее о работе такого интерферометра в следующей главе.


2. Гистерезисный СВЧ СКВИД



2.1 Теоретические сведения



	Гистерезисный СВЧ сверхпроводящий квантовый интерферометр (СКВИД) состоит из сверхпроводящего кольца, замкнутого джозефсоновским переходом и индуктивно связанного с ним СВЧ резонатора с собственной частотой ω0. Через этот контур пропускается переменный ток "накачки" с частотой ω= ω0.

	

	

	Рис.6. Схема кольца СКВИДа, индуктивно связанного с СВЧ резонатором.

	

	Принцип действия СКВИДа переменного тока прост: измеряемый поток Фх, наложенный на некоторый специально созданный постоянный поток смещения ФB, изменяет среднее значение фазы φ джозефсоновского перехода. Из-за нелинейности перехода это изменение ведет к изменению амплитуды Vω переменного напряжения на контуре. Это изменение превращается в выходной сигнал V, который пропорционален Фх.


2.2 Характеристики СВЧ СКВИДа



	Флуктуационная динамика магнитного потока в кольце СКВИДа, индуктивно связанного с резонатором, может быть описана следующими уравнениями:

	

	 (26)

	

	где  Ф - захваченный поток, , Фm - измеряемый поток и ψ (t) - сигнал накачки, время нормировано на характеристическую частоту СКВИДа   - характеристическая частота джозефсоновского контакта, ηr - коэффициент затухания резонатора, aS и ar соответственно, коэффициенты связи кольца СКВИДа и резонатора и ω0 = ωr/ωs безразмерная частота сигнала накачки.

	Шумовой источник  - белый гауссовский шум:

	

	 (27)

	

	где  - безразмерная интенсивность флуктуаций.

	Система уравнений (26) была решена численно методом Хюна, что позволяет найти вольт-амперную СВЧ характеристику и вольт полевую характеристику.

	На Рис.7 изображена СВЧ вольт-амперная характеристика (т.е. зависимость амплитуды напряжения на резонаторе  от амплитуды СВЧ тока a, при различных значениях измеряемого магнитного поля =0, π/2, π) для случая низкой частоты накачки  = 0.01, при l = 3,  = 0.01, ==. Как видно из графика, для случая γ = 0 на графике существуют ступеньки, и они практически вертикальны. При γ = 0.01 и γ = 0.03 ступенька становятся наклонными и расположены левее кривых γ = 0.

	

	

	Рис.7. Вольт-амперная характеристика СВЧ гистерезисного СКВИДа для

	

	 = 0.01; сплошная линия - γ = 0, серая линия γ = 0.01, пунктирная γ = 0.03.

	Вольт-полевая характеристика для тех же параметров и a = 0.47 представлена на Рис.8. Видно, что при увеличении интенсивности шума γ соответствующие кривые опускаются вниз и их края закругляются.

	

	

v

Ф

	Рис.8. Вольт-полевая характеристика СВЧ гистерезисного СКВИДа для

	

	 = 0.01; сплошная линия - γ = 0, серая линия γ = 0.01, пунктирная γ = 0.03, кругами γ = 1

	К счастью, при увеличении частоты накачки ситуация существенно изменяется и при  = 0.3, точки пересечения движутся к середине плато и для разных γ сближаются. Видно, что существует широкая область 0.7 < < 2.2, где кривые для различных γ совпадают, и, таким образом, шум фактически не оказывает влияния на динамику СКВИДа в данной области параметров. Если, однако, измеряемый магнитный поток имеет значение вне этого интервала, поле может быть увеличено на некоторую известную величину , для того, чтобы сместить рабочую точку в данную область, и измерения проводить с учетом добавленного потока.

	

	

Ф

v

	Рис.9. Вольт-полевая характеристика СВЧ гистерезисного СКВИДа для

	

	 = 0.3; сплошная линия - γ = 0, серая линия γ = 0.01, пунктирная γ = 0.03, кругами γ = 1

	Измеряемый слабый поток Фх изменяет приложенный к СКВИДу внешний поток Ф = ФB + Фх и тем самым меняет напряжение на контуре на малую величину , , которая и служит выходным сигналом СКВИДа. Чувствительность СКВИДа можно характеризовать такой величиной (Фх) min, при которой выходной сигнал равен среднеквадратичному значению её суммарного выходного шума:

	

	 (28)

	

	где под  понимают спектральную плотность шума . Таким образом, мы можем сказать, что мера выходного шума СКВИДа обратно пропорциональна передаточной характеристике │Н│max.

	На Рис.10 показана зависимость передаточной характеристики гистерезисного СКВИДа от шума. Видно, что при увеличении интенсивности шума γ, почти ступенчатая функция становится квазисинусоидальной, а максимум модуля передаточной характеристики уменьшается. │Н│max соответствует середине линейного участка вольт-полевой характеристики.

	

	

	Рис.10. Передаточная характеристика СВЧ СКВИДа. Пунктирная линия - γ = 0.03, сплошная - γ = 0.8

	

	На Рис.11 показана зависимость выходного шума СКВИДа от интенсивности флуктуаций на входе интерферометра. Видно, что в пределах малых шумов увеличение флуктуаций тока на входе линейно увеличивает шумовые характеристики на выходе прибора. На участке γ > 0.5, наблюдается резкий рост выходного шума.

	

	

	Рис.11. Обратная функция передачи СВЧ СКВИДа от интенсивности флуктуаций на входе интерферометра

	

	Хорошо известно [6], что наклон сигнальной характеристики гистерезисного СВЧ СКВИДа H растет с увеличением частоты накачки. На Рис.12 показана эта зависимость для частот  = 0.3,  = 0.01,  = 0.5 и шума γ = 0.3. Таким образом, мы находим, что частота накачки  = 0.3 приближает работу прибора к минимуму ошибки измерения (Рис.13). Подобный результат, используя другую характеристику - отношение сигнал / шум, был получен в работе [7].

	

	

	Рис.12. Передаточная характеристика. Красная линия -  = 0.01, черная линия -  = 0.3, синяя - = 0.5.

	

	

	Рис.13. Обратная функция передачи СВЧ СКВИДа от частоты накачки 

	


3. СКВИД постоянного тока



3.1 Теоретические сведения



	На Рис.14 представлена базисная схема двухконтактного интерферометра. Здесь сигнал с датчика можно снимать и на постоянном токе, и поэтому такие СКВИДы часто называют СКВИДами постоянного тока.

	

	

	Рис.14. Базисная схема двухконтактного интерферометра.

	

	В двухконтактном интерферометре задается ток , лишь немного превышающий критическое значение . При этом на интерферометре возникает постоянное напряжение , которое поступает на усилитель. Измеряемый слабый поток  изменяет приложенный к СКВИДу внешний поток  и тем самым меняет напряжение на интерферометре на малую величину , которая, после усиления и пропускания через фильтр низких частот с полосой , и служит выходным сигналом СКВИДа.


3.2 Характеристики СКВИДа постоянного тока



	Флуктуационная динамика магнитного потока в кольце двухконтактного СКВИДа, может быть описана следующими уравнениями [8]:

	

	 (29)

	

	где  - разность фаз параметра порядка джозефсоновских переходов, Ф - захваченный поток, , Фm - измеряемый поток, время нормировано на характеристическую частоту джозефсоновского контакта .

	Шумовой источник  - белый гауссовский шум:

	

	 (30)

	

	где  - безразмерная интенсивность флуктуаций.

	Система уравнений (29) была решена численно методом Хюна [9], что позволяет найти вольт-амперную и вольт-полевую характеристики двухконтактного интерферометра.

	На Рис.15 изображена вольт-амперная характеристика (т.е. зависимость напряжения на СКВИДе  от тока i, при различных значениях измеряемого магнитного поля =0, π/2, π/4) при l = 3. Как видно из графика, при увеличении интенсивности шума γ, ступенька на ВАХ опускается и сглаживается.

	

	

	Рис.15. Вольт-амперная характеристика СКВИДа постоянного тока сплошная линия - γ = 0, пунктирная линия γ = 0.01, серая линия γ = 0.03.

	

	Вольт-полевая характеристика для тех же параметров и i = 2.1 представлена на Рис.16. Видно, что при увеличении интенсивности шума γ соответствующие кривые поднимаются вверх и амплитуда колебаний уменьшается.

	

	

	Рис.16. Вольт-полевая характеристика двухконтактного СКВИДа; сплошная линия - γ = 0, пунктирная линия γ = 0.01, серая γ = 0.03, кругами γ = 0.7

	

	Обратимся к характеристикам выходного шума СКВИДА (Рис.17.).

	

	

	Рис.17. Передаточная характеристика. Черная линия - γ = 0.3, зеленая линия - γ = 1.

	

	На Рис.18. показано, как с увеличением интенсивности входного гауссовского шума уменьшается чувствительность СКВИДа [10], увеличивается влияние флуктуаций на выходные характеристики двухконтактного интерферометра. Из графика видно, что в пределах малых шумов увеличение флуктуаций тока на входе линейно увеличивает шумовые характеристики на выходе прибора. На участке γ > 0.5, наблюдается резкий рост выходного шума.

	

	

	Рис.18. Обратная функция передачи СКВИДа постоянного тока от интенсивности флуктуаций на входе интерферометра


4. Считывание информационного сигнала с кубита



4.1 Модель фазового кубита



	В работе рассматривалась модель [11] с потенциальным полем  (Рис. 19, сплошная линия) где  - Джозефсоновская энергия, x - фаза,  - нормированная индуктивность перехода, внешнее магнитное поле .

	

	

	Рис. 19. Потенциал кубита. Сплошная линия - реальный потенциал. Пунктирная - потенциал с эффективным демпфированием. Вставка - форма импульса f (t)

	

	В начальный момент времени внешнее поле имеет только постоянную компоненту a0 такую, что в левой потенциальной яме помещаются два или более энергетических уровня. Таким образом, кубит будет находиться либо на нулевом, либо на первом уровне, что соответствует базисным состояниям |0 и |1. Считывание состояния кубита происходит методом быстрого импульсного считывания сигналом амплитуды A и различной формы f (t) (Рис. 19). Во время импульса барьер уменьшается так, что в яме остается только нижний уровень, а по окончании импульса в момент , потенциал возвращается в начальное состояние. Таким образом, если кубит находился на первом энергетическом уровне, то после поданного импульса, кубит будет в правой потенциальной яме. Если же базисное состояние кубита было |0, тогда после считывания волновая функция измениться не должна.

	Исследование проведено с помощью компьютерного моделирования [12] уравнения Шредингера для волновой функции Ψ (x,t):

	

	, (31)

	

	где  - обратная нормированная емкость контакта. Граничные условия  задаются для далеко удаленных точек, слева и справа от ямы. Ошибка считывания с кубита N будет определяться суммой вероятностей P10 (не-туннелирование из состояния |1 по окончанию импульса) и P01 (туннелирование из состояния |0),  тогда как надежность  Для предотвращения ошибки вторичного заселения из-за отсутствия демпфирования в нашей модели [13], введем эффективное демпфирование. Так как нас интересует только туннелирование из левой потенциальной ямы, изменим V (x,t) так, что в минимуме правой ямы потенциал не растет, а остается постоянным далеко по оси x. Тогда точки c и d для граничных условий будут - 3 и 797 соответственно.

	Для реальных систем быстрого импульсного считывания, возьмем значение длительности импульса . Ясно, что эволюция волновой функции, и, следовательно, ошибка считывания N будут зависеть от формы импульса, амплитуды импульса А, постоянной компоненты поля a0, и емкости контакта D. Наша задача состоит в разработке метода оптимизации данных параметров для увеличения надежности работы прибора. Особенностью квантовой системы является невозможность использования прямоугольного импульса, который в классической системе дает минимальную шумовую ошибку. Использование меандра приводит к возбуждению системы, переходу на более высокие уровни и туннелированию с них, что в свою очередь приводит к большой ошибке. Рассмотрим компромиссные формы импульсов.

	

4.2 Параметры системы



	Рассмотрим различные формы импульсов:

	1. Трапецоид, изменяющийся по закону  в интервале  (Рис. 20)

	

	

	Рис.20 Форма импульса

	

	На Рис.21 показана зависимость N (A) для постоянной амплитуды смещения a0 = 0.81 и различных значений обратной емкости D. Видно, что зависимость имеет четкий минимум по амплитуде. Это объясняется квантовой природой системы. Так же можно заметить, что, подбирая D, мы можем менять минимум Nmin (A). Таким образом, минимум ошибки считывания Nmin (A,D) ≈ 0.036 при D = 1.15; A = 0.0285. Надежность в этом случае .

	

	

	Рис.21 Ошибка считывания N в зависимости от амплитуды импульса А для различных значений D; a0 = 0.81.

	

	Аналогично, находим кривые с абсолютным минимумом ошибки Nmin (A,D) для других значений a0 (для разных a0 значение D, при котором достигается абсолютный минимум N, различно). На Рис.22 приведены кривые N (A) с минимальной ошибкой для различных a0.

	

	

	Рис.22 Оптимальные кривые N от амплитуды импульса А для различных значений D и a0.

	

	Таким образом, мы получили минимум N = 0.031 для параметров: a0 = 0.77; D = 1.9; A = 0.0625. Видно, при уменьшении a0 увеличивается значение амплитуды импульса A для тех же D. Мы можем дать рекомендацию при известных параметрах a0 и D, где искать минимум N по А. Глубину потенциальной яме можно характеризовать количеством дискретных уровней энергии . В приближении квантового гармонического осциллятора [14]:

	

	 (32)

	

	где  - глубина левой ямы,  - частота осцилляций. Здесь x0 - значение фазы в минимуме ямы. (зависит от формы ямы, от a0 и A), а  - эффективная масса ( - квант потока). Для оптимального считывания нам необходимо, чтобы внешнее максимальное поле φ1 меняло глубину ямы до значения  чуть большего 1. Так, для a0 = 0.82 и D = 1.2 минимум находится в районе A = 0.0166…0.0236; а для a0 = 0.7 и D = 2 минимум - в районе A = 0.131…0.139, что полностью подтверждается результатами численного счета.

	2. Трапецоид, изменяющийся по закону  в интервале  (Рис.23)

	

	

	Рис.23 Форма импульса .

	

	На Рис.24 сплошной линией показана зависимость N (A) для разных D и a0 = 0.81 (пунктирные линии - предыдущий импульс  для тех же параметров).

	

	

	Рис.24. Зависимость N (A) для разных D и a0 = 0.81. Сплошная линия - импульс формы . Пунктирная - 

	

	Как мы и предполагали, чем ближе форма импульса к прямоугольной, тем сильнее проявляется эффект осцилляций: наблюдаются несколько локальных минимумов N (для D = 1.1, N = 0.044; для D = 2.1, N = 0.045). Но по абсолютному значению, ошибка при данной форме импульса больше, чем для предыдущего случая.

	3. Трапецоид, изменяющийся по закону  в интервале  (более узкая полка по сравнению с предыдущими импульсами), Рис.25.

	

	

	Рис.25 Форма импульса

	

	Используя разработанный метод, находим кривые с абсолютным минимум ошибки Nmin (A,D) для различных значений a0. На Рис.26 сплошной линией показана зависимость N (A) для импульса . (пунктирные линии - импульс  с длинной полкой для тех же a0, но своих наилучших параметров D).

	

	

	Рис.26. Зависимость N (A) для разных D и a0. Сплошная линия - импульс , пунктирная - 

	

	Так, если для  с длинной полкой минимум N = 0.031 соответствовал параметрам a0 = 0.77; D = 1.9 То для , минимум смещается в сторону уменьшения a0 и увеличения A: N ≈ 0.034 для параметров: a0 = 0.7; D = 3.2; A = 0.126.

	4. Для более широкого импульса (Рис.27) эволюция кривых N (A) для разных D и a0 такая же, как и для импульса  (Рис.28), но значение ошибки Nmin (a0,A,D) больше: N ≈ 0.033 (a0 = 0.76; D = 2.8; A = 0.065).

	

	

	Рис.27 Форма импульса

	

	

	Рис.28. Зависимость N (A) для разных D и a0. Сплошная линия - импульс , пунктирная - 

	

	Таким образом, удалось разработать методику поиска оптимальных параметров считывания информационного сигнала с кубита методом быстрого единичного импульса с заданной длительностью и понизить ошибку до 0.031 (то есть увеличить надежность почти до 97%).


Заключение



	В работе рассматривался логический элемент квантового компьютера на основе джозефсоновских контактов. Кубит рассматривался как отдельные составляющие: сверхпроводящее кольцо, замкнутое джозефсоновским переходом и чувствительный датчик магнитного потока. Были исследованы модели СВЧ гистерезисного СКВИДа и СКВИДа постоянного тока при учете тепловых флуктуаций. Численно получены основные зависимости СКВИДов, построены графики вольт-амперной и вольт-полевой характеристик. Изучено влияние флуктуаций на выходные характеристики приборов. В частности, построены графики передаточной характеристики и меры выходного шума в зависимости от интенсивности флуктуаций тока на входе прибора. Из графиков видно, что в пределах малых шумов увеличение флуктуаций тока на входе линейно увеличивает шумовые характеристики на выходе прибора. На участке γ > 0.5, наблюдается резкий рост выходного шума.

	Для СВЧ гистерезисного СКВИДа найдена область вольт-полевой характеристики, слабо зависящей от интенсивности шума, показано, что частота накачки  = 0.3 приближает работу прибора к минимуму ошибки измерения магнитного потока. Данные выводы хорошо согласуются с результатами других авторов. Следует отметить, что использованный нами подход для улучшения характеристик СВЧ гистерезисного СКВИДа является более универсальным так как легко может быть проверен на практике.

	Изучен режим считывания информационного сигнала с кубита методом быстрого одиночного импульсного считывания в модели с учетом ошибки туннелирования и введенным эффективным демпфированием. Получен алгоритм выбора параметров системы для заданной длительности импульса. В частности, для импульса  удалось понизить ошибку до 0.031 (то есть увеличить надежность считывания почти до 97%).

	Все результаты работы в целом позволяют снизить влияние шумов на работу прибора и могут быть использованы для реальных экспериментов по измерению и считыванию сигналов с квантовых битов.


Список литературы



Гольцман Г.Н. Эффекты Джозефсона в сверхпроводниках. - Соросовский образовательный журнал, т.6., №4, 2000, стр.96-102.

Лихарев К.К. Введение в динамику джозефсоновских переходов - Москва: Наука, 1985.

Ustinov A. V. High-contrast readout of superconducting qubits beyond the single-shot resolution limit // Applied physics letters 2000. V.15. P.218-314

Castellano M. G. et. al. Magnetic field dependence of thermal excitation in Josephson junctions // IEEE Transactions on applied superconductivity. 1997. V.7. P.2430-2433.

Voss R. F. Macroscopic quantum tunneling in 1 - μm Nb Josephson Junctions // Physical Review Letters 1991. V.47, 265-268.

Barone, A. Physics and Applications of the Josepson Effect // New York: Wiley, 1982. - p.551.

Pankratov A. L. Optimal pump frequency for ac hysteretic SQUID // Physical Review 2003. V.68, 024503-024507.

Braginski A.I. Progress in understanding of high-transition temperature SQUIDs. Physica 2000. V.4. P.341-348.

Mannela R. Integration of stochastic differential equations on a computer // Applied physics letters 1988. V.5. P.218-232.

Koelle D. High-transition-temperature SQUIDs - TRW // Electronics & Technology Division. 1999. V.71. P.631-686.

Pankratov A. L., Gavrilov A. S. Optimal fast single-pulse readout of qubits. // Physical Review B. 2010. V.81. P.052501-1-4.

Press W. Numerical Recipes in C. // Cambridge University 2002.

Kofman G. Theoretical analysis of measurement crosstalk for coupled Josephson phase qubits. // Physical Review B. 2007. V.7. P.524--541

Kofman G. Analysis of measurement errors for a superconducting phase qubit. // Physical Review B. 2006. V.4. P.214518-1-214518-14.