Определение капитальных вложений

16



Содержание



Введение

1. Экономическая сущность задачи

2. Исходные данные

3. Метод динамического программирования

4. Метод полного перебора вариантов

5. Интуитивные распределения

5.1. Равномерное распределение

5.2. Метод наибольшей плановой эффективности

5.3. Самостоятельное интуитивное распределение

Заключение

Литература




Введение



Цель работы - изучение экономической сущности и математической формализации задачи определения оптимального варианта распределения заданной суммы капитальных вложений между несколькими предприятиями отрасли, выпускающими взаимозаменяемую продукцию.


1. Экономическая сущность задачи



В отрасли имеется М предприятий, выпускающих однотипную взаимозаменяемую продукцию, спрос на которую пока не удовлетворяется полностью. С целью увеличения выпуска данной продукции на модернизацию этих предприятий выделена сумма капиталовложений в размере Х тыс. руб. Каждому предприятию с номером m=1, 2, …, M может быть выделена сумма Xm>=0, при этом сумма капиталовложений распределяется полностью, т.е.



 (1)



Оптимизация распределения капиталовложений производится по критерию максимума суммарного прироста выпуска продукции всеми предприятиями



 (2)



Здесь gm (xm) - прирост выпуска продукции на предприятии с номером m при условии, что ему выделена сумма капиталовложений xm.


2. Исходные данные



Исходными данными для решения задачи служат выполненные на каждом предприятии расчеты по обоснованию зависимостей прироста выпуска от размера капиталовложений gm (xm). Как правило, эти зависимости не удается получить в аналитической форме (в виде непрерывных и аналитических функций) и они представляются таблично, значениями функций при заданных дискретных значениях аргумента.

Для упрощения дальнейших вычислений будем считать, что величины xm кратны некоторой дискрете h=X/N где N - число дискрет в распределяемой сумме X. Дискрета h задается заранее, исходя из разумного компромисса между желательной точностью и трудоемкостью расчетов. Уменьшение величины дискреты h, вообще говоря, увеличивает точность, но при этом растет трудоемкость подготовки исходной информации и её последующей обработки.

С учетом принятого допущения величина капиталовложений xm меняемся дискретно, принимая значения xm=nh, n=0, 1, …, N. Каждое предприятие рассчитывает и представляет в министерство (N+1) М значений, которые удобно свести в табл.1.

При построении табл.1.1 принято М = 5; Х = 300 тыс. руб.; N = 6; h = 50 тыс. руб.



Таблица 1 - Прирост выпуска продукции при заданной величине капиталовложений, тыс. руб. 

Величина капиталовложений тыс. руб. 

Порядковый номер предприятия



1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

6

0

0

0

0

0

0

50

30

20

20

40

30

100

83

75

61

62

72

1

2

3

4

5

6

150

98

100

112

97

108

200

127

150

140

134

122

250

158

165

152

160

148

300

195

20

180

185

190




3. Метод динамического программирования



Идея метода динамического программирования состоит в том, что выделенная сумма Х распределяется не между всеми М предприятиями (иначе получается полный перебор), а между двумя "предприятиями": последним предприятием (имеющем номер М) и группой из (М-1) - го предшествующего предприятия, для которого оптимальное распределение между ними любой частичной суммы уже известно. Это соответствует решению основного функционального уравнения динамического программирования М-го, последнего шага



 (3)



Здесь fM (X) - максимальный суммарный прирост продукции, получаемый от М предприятий при оптимальном распределении суммы Х между M-тым и группой из (М-1) - го первых предприятий, при условии, что выделяемая им частичная сумма (Х-ХМ) распределяется оптимально;

fM-1 (X-ХМ) - максимальный суммарный прирост продукции, получаемый от (М-1) - го первых предприятий при оптимальном распределении между ними частичной суммы (Х-ХМ), оставшейся, от М-го предприятия.

Решить уравнение (3) невозможно, так как функция fM-1 (X-ХМ) неизвестна. Однако её можно выразить с помощью основного функционального уравнения для (М-1) - го шага через функцию максимального суммарного прироста продукции, получаемого при оптимальном распределении частичных сумм в группе из (М-2) - х первых предприятий


 (4)



Снова неизвестна функция fM-2 (nh-ХМ-1) однако, используя основное fM-3 (nh-ХМ-2) функциональное уравнение, её можно определить аналогично через функцию и т.д. Эта процедура рекуррентных подстановок неизвестных функций максимального суммарного прироста продукции заканчивается точно через М шагов. Действительно, на последнем шаге подстановок (его номер m=1) получаем основное функциональное уравнение динамического программирования в виде



 (5)



Функция f0 (nh-Х1) формально есть максимальный прирост продукции при оптимальном распределении частичной суммы (nh-Х1) в группе, состоящей из "0" предприятий. Естественно, такой группе, в которой нет ни одного предприятия, никаких средств не выделяется поэтому



f0 (nh-Х1) =0 (6)



Отсюда следует, что на первом шаге основное функциональное уравнение имеет следующее решение:



 (7)



Это означает, что на первом шаге, когда рассматривается только одно первое предприятие, любая частичная сумма nh выделяется ему целиком, так как ее некому, кроме него, распределять. Таким образом, оптимальное управление на первой шаге



X1* (nh) = nh (8)



Представим найденное решение основного функционального уравнения на первом шаге в виде табл.2.



Таблица 2 - Определение оптимальных управлений и максимальных прирос продукции на первом шаге

Частичная распределяемая сумма

Сумма, выделяемая первому предприятию

Оптимальное управление

Максимальный прирост продукции



0

50

100

150

200

250

300





0

0













0

0

50



30











50

30

100





83









100

83

150



-



98







150

98

200









127





200

127

250











158



250

158

300













195

300

195



В табл.2 заполнена числами только главная диагональ. Эти числа берутся из табл.1 исходных данных для первого предприятия. Пустые клетки левее главной диагонали показывают, что на 1-м шаге вся частичная сумма nh целиком отдается первому предприятию, так как на атом шаге других предприятий нет. Пустые клетки справа от главной диагонали показывают, что не может распределяться частичная сумма, большая имеющейся.

ШАГ 1 тривиален, однако важен в том отношении, что позволяет начать процесс рекуррентного вычисления на последующих шагах по основному функциональному уравнению


fm (nh) =max{gm (xm) +fm-1 (nh-xm) }, n=1, 2, …, N;

0<=xm<=nh, m=1, 2, …, M.



ШАГ 2. Распределение частичных сумм между вторым предприятием и группой из "одного первого предприятия". Для второго шага основное функциональное уравнение имеет вид



F2 (nh) =max{g2 (x2) +f1 (nh-x2) },

0<=x2<=nh; 1<=n<=N



Его решение представлено в табл.3



Таблица 3 - Определение оптимальных управлений и максимальных приростов продукции на 2-м шаге. 

Частичная распределяемая сумма

Сумма, выделяемая второму предприятию

Оптимальное управление

Максимальный прирост продукции



0

50

100

150

200

250

300





0

0+0

0













0

0

50

0+30

30

20+0

20











0

30

100

0+83

83

20+30

50

75+0

75









0

83

150

0+98

98

20+83

103

75+30

105

100+0

100







100

105

200

0+127

127

20+98

118

75+83

158

100+30

130

150+0

150





100

158

250

0+158

158

20+127

147

75+98

173

100+83

183

150+30

180

165+0

165



150

183

300

0+195

195

20+158

178

75+127

204

100+98

198

150+83

233

165+30

195

200+0

200

200

233


В клетках таблицы записываются через знак "+" 2 числа, равные g2 (x2) и f1 (nh-x2). Величины g2 (x2) берутся из табл.1, а величины f1 (nh-x2) из последнего столбца табл.2.

В последнем столбце табл.3 проставлены максимумы сумм в соответствующих строках, предшествующем столбце - соответствующая этому максимуму оптимальная величина капитальных вложений, выделяемых второму предприятию.

ШАГ 3. Зная оптимальное распределение всех частичных сумм между первыми двумя предприятиями, перейдем к их распределению между третьим предприятием и группой из первых двух (табл.4).



Таблица 4 - Определение оптимальных управлений и максимальных прирост продукции на 3-м шаге



Частичная распределяемая сумма

Сумма, выделяемая третьему предприятию

Оптимальное управление

Максимальный прирост продукции



0

50

100

150

200

250

300





0

0+0

0













0

0

50

0+30

30

20+0

20











0

30

100

0+83

83

20+30

50

61+0

61









0

83

150

0+105

105

20+83

103

61+30

91

112+0

112







150

112

200

0+158

158

20+105

125

61+83

144

112+30

142

140+0

140





0 

158

250

0+183

183

20+158

178

61+105

166

112+83

195

140+30

170

152+0

0



150

195

300

0+233

233

20+183

203

61+158

219

112+105

217

140+83

233

152+30

182

180+0

180

0

233


ШАГ 4. Определение оптимального распределения на 4-м шаге.



Таблица 5 - Определение оптимальных управлений и максимальных приростов продукции на 4-м шаге


Частичная распределяемая сумма

Сумма, выделяемая четвертому предприятию

Оптимальное управление

Максимальный прирост продукции



0

50

100

150

200

250

300





0

0+0

0













0

0

50

0+30

30

40+0

40











50

40

100

0+83

83

40+40

80

62+0

62









0

83

150

0+112

112

40+83

123

62+40

102

97+0

97







50

123

200

0+158

158

40+112

152

62+83

145

97+40

137

134+0

134





0

163

250

0+195

195

40+158

198

62+112

174

97+83

180

134+40

174

160+0

160



50

198

300

0+233

233

40+195

235

62+158

220

97+112

220

134+83

217

160+40

200

185+0

185

50

235




ШАГ 5. Определение оптимального распределения на 5-м шаге.



Таблица 6 - Определение оптимальных управлений и максимальных приростов продукции на 5-м шаге


Частичная распределяемая сумма

Сумма, выделяемая пятому предприятию

Оптимальное управление

Максимальный прирост продукции



0

50

100

150

200

250

300





0

0+0

0













0

0

50

0+40

40

30+0

30











0

40

100

0+83

83

30+40

70

72+0

72









0

83

150

0+123

123

30+83

113

72+40

112

108+0

108







0

123

200

0+158

158

30+123

153

72+83

155

108+40

148

122+0

122





0

158

250

0+198

198

30+158

188

72+123

195

108+83

191

122+40

162

148+0

148



0

198

300

0+235

235

30+198

228

72+158

230

108+123

231

122+83

205

148+40

188

190+0

190

0

235



Результаты расчетов на всех 5-и шагах представим в виде табл.7.



Таблица 7 - Сводная таблица оптимальных управлений и максимальных приростов продукции

Распределяемая сумма

Номер шага распределения



1

2

3

4

5



x1*

f1

x2*

F2

x3*

f3

x4*

f4

x5*

f5

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

50

50

30

0

30

0

30

50

40

0

40

100

100

83

0

83

0

83

0

83

0

83

150

150

98

100

105

150

112

50

123

0

123

200

200

127

100

158

0

158

0

158

0

158

250

250

158

150

183

150

195

50

198

0

198

300

300

195

200

233

0

233

50

235

0

235



Таблица 8 - Оптимальное распределение частичных сумм между 5-ю предприятиями.

Распределяемая сумма

Выделяемые предприятиям суммы

Макс. Суммарный прирост продукции



1

2

3

4

5



0

0

0

0

0

0



50

0

0

0

50

0

40

100

100

0

0

0

0

83

150

100

50

0

0

0

123

200

100

100

0

0

0

158

250

100

100

0

50

0

198

300

100

0

150

50

0

235



Оптимальное распределение суммы 300 тыс. руб.: 

X1*

100

x2*

0

x3*

150

x4*

50

x5*

0



Максимальный прирост выпуска продукции при оптимальном распределении равен 235 тыс. руб. Эта величина находится на пересечении строки "Распределяемая сумма - 300"' и столбцов 5-го шага. Задача решена.


4. Метод полного перебора вариантов



Самый простой способ решения распределительных задач подобного типа состоит в полном переборе всех возможных вариантов распределения исходной суммы между предприятиями и выбор того варианта, при котором суммарный прирост выпуска продукции будет максимальным. Недостатком метода полного перебора является то, что число вариантов распределения быстро растет при увеличении количества предприятий и уменьшении дискреты распределения.

По условиям варианта имеем 6 предприятий и 7 дискрет.



Таблица 9 - Расчет числа вариантов распределения между 6-ю предприятиями суммы 300 тыс. руб. с дискретой 37,5 тыс. руб. по методу полного перебора

№

Тип распределения

Число вариантов

1

Одному - 300

С61=6

2

Одному - 262,5, другому - 37,5

С61 С51=30

3

Одному - 225, другому - 75

С61 С51=30

4

Одному - 225, другому - 37,5, третьему - 37,5 

С61 С52=60

5

Одному - 187,5, другому - 112,5

С61 С51 =30

6

Одному - 187,5, второму - 75, третьему - 37,5

С61 С52С52=120

7

Одному - 187,5, трем по - 37,5

С61 С52=60

8

Двум по - 150 

С62=60

9

Одному - 150, второму - 112,5, третему - 37,5 

С61 С51С41=60

10

Одному - 150, второму - 75, двум по - 37,5

С61 С51 С42=180

11

Одному - 150, двум по - 75

С61 С52=60

12

Одному - 150, четырем по - 37,5

С61 С54=30

13

Двум по - 112,5 другому - 75 

С62 С41=68

14

Двум по - 112,5 двум по - 37,5

С62 С42=90

15

Одному - 112,5, второму - 75, трем по - 37,5

С61 С51 С43=120

16

Одному - 112,5, двум по - 75, третьему - 37,5

С61 С52 С32=180

17

Одному - 112,5, пятерым по - 37,5

С61 С55=6

18

Четырем по - 75

С64=15

19

Трем по - 75, двум по - 37,5

С63 С32=60

20

Двум по - 75, четырем по - 37,5 

С62 С44=15

 Итого вариантов: 1287



Число вариантов распределения методом полного перебора можно также подсчитать по формуле коэффициентов биномиального распределения



 (9)



Сколько вариантов распределения пришлось рассмотреть при использовании метода динамического программирования?



 (10)



В нашем случае это составило 1287 вариантов, т.е. по сравнению с методом полного перебора число рассматриваемых вариантов сократилась более чем в 60 раза.


5. Интуитивные распределения



5.1 Равномерное распределение



При равномерном распределении суммы в 300 тыс. руб. между 5-ю предприятиями получается, что каждому из них нужно выделить по 60 тыс. руб.

Используя данные о приросте выпуска продукции на предприятиях при выделении им 50 и 100 тыс. соответственно, рассчитаем прирост выпуска продукции при выделении им по 60 тыс. рублей.

Из рис.1 можно найти прирост продукции при выделении предприятию 60-ти тыс. руб.

Величина прироста при распределении суммы капитальных вложений по 60тыс. руб. определяется путем решения ряда пропорций.

Для первого предприятия 50/10=53/y y=10,6 величина прироста на дополнительные 10 тыс. руб. капитальных вложений. Всего прирост будет равен 40,6.

Для второго предприятия 50/10=55/y y=11 50/10=22/y y=4,4 величина прироста на дополнительные 10 тыс. руб. капитальных вложений. Всего прирост будет равен 44,4

Для третьего предприятия 50/10=41/y y=8,2 величина прироста на дополнительные 10 тыс. руб. капитальных вложений. Всего прирост будет равен 28,2.

Для четвертого предприятия 50/10=22/y y=4,4 величина прироста на дополнительные 10 тыс. руб. капитальных вложений. Всего прирост будет равен 44,4.

Для пятого предприятия 50/10=42/y y=8,4 величина прироста на дополнительные 10 тыс. руб. капитальных вложений. Всего прирост будет равен 38,4.


Рисунок 1 - Равномерное распределение капиталовложений



10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

тыс

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

1 предприятие

2 предприятие

3 предприятие

4 предприятие

5 предприятие

Итак максимальный прирост при равномерном распределении равен.


38,4+44,4+28,2+40,6+31=182,6тыс. руб.



5.2 Метод наибольшей плановой эффективности



При этом методе вся сумма 300тыс. руб. отдается предприятию с наибольшей плановой эффективностью, то есть тому, которое при капиталовложениях 300тыс. руб. дает максимальный прирост продукции. По данным таблицы 1 видно, что это предприятие № 2. Если ему выделить 300тыс. руб., то максимальный прирост продукции будет 200 тыс. руб.



5.3 Самостоятельное интуитивное распределение



Из предположения о том, что при увеличении суммы капиталовложений, выделяемых конкретному предприятию, увеличивается прирост продукции, которое оно дает. Распределение базирующее на основе оценки фондорентабельности каждого вложения.

Для осуществления данного распределения рассчитаем фондорентабельность. Всех вложений в предприятие. Расчеты представим в таблице 10.



Таблица 10 - фондорентабельность капиталовложений

Распределяемая сумма

Фондорентабельность предприятий



1

2 

3

4

5

0

0

0

0

0

0

50

0,60

0,40

0,40

0,80

0,60

100

0,83

0,75

0,61

0,62

0,72

150

0,65

0,67

0,75

0,65

0,72

200

0,64

0,75

0,70

0,67

0,61

250

0,63

0,66

0,61

0,64

0,59

300

0,65

0,07

0,60

0,62

0,63


Проанализировав величину фондорентабельности выделим максимальные. Максимальная эффективность вложений достигается при вложении во второе предприятие 50 тыс. руб., далее в четвертое 100 тыс. руб., в третье 150 тыс. руб.

Экономический эффект увеличения выпуска продукции.



40+83+112=235. 



Таким образом интуитивное распределение с применением методик финансового анализа дало оптимальное распределение.


Заключение



При выделяемой сумме 300тыс. руб. между пятью предприятиями и с дискретой 50тыс. руб, распределение капиталовложений методом динамического программирования дает оптимальное распределение капиталовложений, которое дает прирост продукции 235тыс. руб. 



X1*

0

x2*

50

x3*

100

x4*

0

x5*

150



При методе динамического программирования число рассматриваемых вариантов - 198, а если бы задача решалась методом полного перебора, то число вариантов возросло бы до 1287.

Равномерное распределение дает максимальный прирост продукции -182,6тыс. руб.

Выделение всей суммы капиталовложений предприятию с наибольшей эффективностью дает прирост продукции 200тыс. руб.

Интуитивное распределение (сформулированное самостоятельно) дает прирост продукции 235тыс. руб.


Литература



	Мешковой Н.П. Лабораторные работы по экономике промышленности: Челябинск 2001.

	Стандарты предприятия. Курсовые и дипломные проекты. Общие требования к оформлению: Челябинск 2007.