Электромагнитные поля и волны

Задача №1



Дано: вектор напряжённости электрического поля в воздухе изменяется по закону – 







где Е0=5мВ/м;  10 м-1 ; 40 м-1; f =*106 рад/с задано согласно варианта.


Решение.

Для нахождения вектора напряжённости магнитного поля воспользуемся вторым уравнением Максвелла в дифференциальной форме [1],[2]:



  (1)



В воздухе векторы напряжённости магнитного поля и магнитной индукции связаны материальным уравнением [1], [2] перепишем (1) в виде:



 (2)



Вектор напряжённости электрического поля является гармонической функцией времени поэтому можно записать:



 (3)



 Комплексная амплитуда вектора напряжённости электрического поля:



  (4)



Учитывая, что комплексная амплитуда вектора напряжённости электрического поля имеет лишь одну составляющую  , то раскроем определитель ротора комплексного вектора (4) по первой строке:


 (5)



 Представим комплексный вектор (5) в показательной форме:



  (6)



Выразим из (3) комплексную амплитуду вектора напряжённости магнитного поля:



  (7)



Представим (7) в показательной форме:



   (8)



 Определим мгновенное значение вектора напряжённости магнитного поля по формуле:



 (9)



Следовательно, амплитуда напряжённости магнитного поля в начале координат будет равна:

  (10)



где 0 = 1,256*10-6 Гн/м магнитная постоянная



 Начальную фазу определим по формуле:



  (11)



Окончательно (9) примет вид:







По определению вектор Пойтинга находится как векторное произведение векторов электрического и магнитного полей [1], [2]: 





Рис.1 К определению вектора Пойтинга.



 (12)



Учитывая, что векторное произведение ортов , получим (12) в виде:

 (13)



Тогда согласно (13) амплитуда вектора Пойтинга в начале координат будет равна:



  (14)



Среднее за период значение вектора Пойтинга находится по формуле:



  (15)



Таким образом,  вычислим среднее значение вектора Пойтинга:



   (16) 


Задача№2







Дано: R1=2 мм; R2=7 мм; R3=8 мм; I = 5мА.



Решение.

Введём цилиндрическую систему координат, с осью аппликат, направленной вдоль оси волновода.

Напряжённость магнитного поля имеет отличную от нуля азимутальную компоненту, модуль которой зависит лишь от расстояния до оси волновода т.е:



 (17)



Воспользуемся первым уравнением Максвелла в интегральной форме [1],[2]:



 (18) 



Интеграл в левой части (18) может быть найден для произвольного кругового контура по формуле, выражающую зависимость напряжённости магнитного поля от расстояния от центра волновода:



  (19)



 Плотность тока  в диапазоне   0 <r R1 внутреннем проводнике равна:



  (20)



 Для определения напряжённости магнитного поля введём контур L1, радиус которого лежит в указанном диапазоне расстояний , тогда контур охватывает ток:



  (21)



 Приравняем (19) и (21) и выразим магнитную напряжённость и индукцию и получим для r1=0,5R1 :



  (22)





где для меди, относительная магнитная проницаемость



Запишем (22) в векторной форме:  

 (23)





  В диапазоне расстояний R1< r < R2  контур L2 охватывает полный ток внутреннего проводника (I2 = I). Напряжённость и индукцию магнитного поля на расстоянии r2 = (R1+R2)/2=4,5мм определим аналогично (22):



   (24)



Или в векторной форме:







 (25)



Внутри внешнего проводника  R2< r < R3 плотность тока определяется как:



   (26)



Контур L3  охватывает ток , равный сумме полного тока во внутреннем проводнике и части тока во внешнем проводнике, взятом с противоположным знаком:



I3 I - I*  (27)

Часть тока находится по формуле:



 (28)



Подставим (28) в (27) и приведём к общему знаменателю:



 (29)



Приравняем (19) и (29) получим:



   (30)



Из (30) выразим напряжённость и индукцию и запишем сразу в векторной форме для r3 = (R3+R2)/2=7,5мм  :









В диапазоне расстояний  контур L4 охватывает ток:



I4 I -I 0.  (31)



Итак, H=B=0, - магнитное поле вне волновода отсутствует.





Задача№3



Дано:  Размеры волновода медь t=1,25.



Решение.

Волной первого высшего типа в прямоугольном волноводе является волна Н20 , поэтому условия одноволнового режима имеют вид:





они являются частотными границами.

Здесь с=3*108 м/с – скорость света.

Поверхностное сопротивление и характеристическое сопротивление заполнения определяются из выражений:



 (32)



Коэффициент ослабления в волноводе находится по формуле:



   (33)



	 где 59,5*106 См/м  - удельная проводимость меди;

	относительная магнитная проницаемость меди;

	а =0 = 8,85*10-12*1 = 8,85*10-12 Кл/(В*м) – абсолютная диэлектрическая проницаемость воздуха внутри волновода.

=

	

	для f=2,08ГГц  =0,068 м-1, для f=4,16ГГц  =0,00184 м-1, для f=5ГГц  =0,001816 м-1,

	прировняв первую производную по частоте к нулю получим, что =0,001816 м-1 при f=4,949ГГц

	Воспользуемся программой Maple для построения графика.

	

	

	Рис.4.

	

	Определим  параметры основной волны для частоты f = 1,25 =1,25*2.08=2,6ГГц с длиной волны  с/f = 0,115м

	Коэффициент ослабления за счёт омических потерь в стенках волновода:

	(35)



Коэффициент фазы:



 (36)



Длина волны  в волноводе:



  (37)

	

	Фазовая скорость и скорость переноса электромагнитной энергии соответственно: 



  (38)

 (39)



 Характеристическое сопротивление равно:

 (40)









5.Частота волн и их длина равны:



 (41)

 (42)



Проверим условие  кр для разных мод







 



Следовательно, могут распространятся на этой частоте волны только типа 10.




Список используемых источников



Ю.В. Пименов,  В.И. Вольман, А.Д. Муравцов  «Техническая  электродинамика», М: «Радио и связь», 2000 г. – 536 с.

 Никольский В.В. Электродинамика и распространение радиоволн. – М: «Наука» 1973г – 607с.