Движение тел

БИЛЕТ № 3



Движение материальной точки в поле тяжести земли описывается уравнениями . Нарисовать траекторию движения тела .



РЕШЕНИЕ:

Выразим время через х

T(x)=x/10 

Подставим во второе уравнение:

Y(x)=20-4.9*(x/10)2

X	10	20	30	40	0

Y	1.51	0.4			20






Диск радиуса  вращается относительно  оси, проходящей через центр масс, с угловой скоростью . К ободу диска прикладывают касательную тормозящую силу . Масса диска  . Через какой промежуток времени диск остановится?



РЕШЕНИЕ:

Вычислим угловое ускорение В, создаваемое касательной тормозящей силой Fk. Для чего нам необходимо вычислить момент силы Fk:

М=Fk*R

И момент инерции диска:

I=0.5*m*R2

Тогда выведем ускорение (угловое) :

M=I*



Выразим время до остановки t2:

W2=*t2+W0






Определить ускорение тел, связанных нерастяжимой, невесомой нитью, перекинутой через невесомый блок, , , , внешняя сила . (см.рисунок).



РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим силы, действующие на каждое тело, беря за положительное направление – направление движения. 

На тело 3: 

Т2-Ft3 =m3a

T2= m3a+ m3g= m3(a+g)

На тело 2: 

Ft2 +T1-T2= m2a

m2g+T1-T2= m2a

T1= m2(a-g)+ m3(a+g)

На тело 1:

Ft1+F-T1= m1a

m3a+F-T1= m1a

m1a+F- m2a+ m2g- m3a- m3g= m1a

m1a+ m2a+ m3a= m1a+F+ m2g+ m3g










m3

m2

m1

F

F



Тело массой соскальзывает без трения с наклонной плоскости, имеющей высоту . Какую скорость будет иметь тело у подножия  наклонной плоскости?



РЕШЕНИЕ:

Так как м0=0, то на оси ОХ на тело действует лишь проекция силы FТ на ось ОХ. 

ma=FT*sin

a=

Путь S пройденный телом до конца наклонной плоскости:

S=h/sin

Зная выражение пути равноускоренного движения:



Выразим V:

	 так как V0=0

 


Полная энергия тела возросла на . На сколько при этом изменилась его масса?



РЕШЕНИЕ:

Согласно теории относительности полная энергия тела определяется выражением:

E=m*c2				(1)

Где m – релятивистская масса тела, с – скорость света в вакууме (с=3*108 м/c)

 Из выражения (1) получаем:

				(2)

При увеличении полной энергии тела на Е масса тела, согласно (2), возрастает на величину:



Проверим размерность:



Подставим численные значения и произведем вычисления:












+q3

-q2

+q1 



Одинаковые по величине заряды q1, q2 и q3 находятся в трех вершинах квадрата. Как направлена сила, действующая на заряд q2 со стороны двух других зарядов? Ответ обосновать.



РЕШЕНИЕ:

Из закона Кулона следует, что разноименные заряды притягиваются. Следовательно FR1,2, действующая со стороны первого заряда на второй заряд, направлена по линии, соединяющей эти два заряда от второго к первому. Аналогично и сила FR2,3 направлена от второго к третьему. Так как заряды q1=q3  и расстояния Sq1q2=Sq2q3,



 то по закону Кулона следует, что FR1,2 по модулю равна FR2,3 

Используя принцип суперпозиции сил проведем векторное сложение FR1,2 и  FR2,3

F= FR1,2 + FR2,3

Таким образом, сила F будет направлена по диагонали квадрата, как показано на рисунке.






Незаряженное металлическое тело М, смотри рисунок, внесли в электрическое поле положительного заряда , а затем разделили на две части  и . Каким зарядом обладают части тела  и  после их разделения?







РЕШЕНИЕ:

После внесения незаряженного металлического тела М в электрическое поле положительного заряда q, в зону I согласно закону Кулона начнут притягиваться свободные отрицательно заряженные частицы тела М (электроны), а в зону II – положительно заряженные частицы (условно «дырки»). Таким образом после разделения тела М в его I части скопится отрицательный заряд, равный по модулю положительному заряду, скопившемуся в части II.


Электростатическое поле создается равномерно заряженной бесконечной плоскостью. Покажите, что это поле является однородным.



РЕШЕНИЕ:

Пусть поверхностная плотность заряда равна . Очевидно что вектор Е может быть только перпендикулярным заряженной плоскости. Кроме того очевидно, что в симметричных относительно этой плоскости точках вектор Е одинаков по модулю и противоположен по направлению. Такая конфигурация поля подсказывает, что в качестве замкнутой поверхности следует выбрать прямой цилиндр, где предполагается что  больше нуля. Поток сквозь боковую поверхность этого цилиндра равен нулю, и поэтому полный поток через всю поверхность цилиндра будет равным 2*Е*S, где S – площадь каждого торца. Согласно теореме Гаусса 

2*Е*S=*S,

 где  *S – заряд заключенный внутри цилиндра. 

Откуда 

Е=/2*Ео. 

Точнее это выражение следует записать так: 

Еn=/2*Eo, 

где Еn – проекция вектора Е на нормаль n к заряженной плоскости, причем вектор n направлен от этой плоскости.

Тот факт, что Е не зависит от расстояния до плоскости, означает, что соответствующее электрическое поле является однородным.


Из медной проволоки изготовлена четверть окружности радиусом 56 см. По проволоке равномерно распределен заряд с линейной плотностью 0,36 нКл/м. Найдите потенциал в центре окружности.



РЕШЕНИЕ:

Так как заряд линейно распределен по проволоке для нахождения потенциала в центре воспользуемся формулой:



Где  - линейная плотность заряда, dL – элемент проволоки.






В электрическом поле, созданном точечным зарядом Q, по силовой линии из точки расположенной на расстоянии r1 от заряда Q в точку, расположенную на расстоянии r2, перемещается отрицательный заряд -q. Найдите приращение потенциальной энергии заряда -q на этом перемещении.



РЕШЕНИЕ:

По определению потенциал – это величина, численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда в данной точке поля. Следовательно потенциальная энергия заряда q2:



Отсюда 




Два одинаковых элемента с э.д.с. 1,2 В и внутренним сопротивлением 0,5 Ом соединены параллельно. Полученная батарея замкнута на внешнее сопротивление 3,5 Ом. Найдите силу тока во внешней цепи.



РЕШЕНИЕ:

Согласно закону Ома для всей цепи сила тока во внешней цепи:



Где E` - ЭДС батареи элементов,

 r` - внутреннее сопротивление батареи, которое равно:



ЭДС батареи равна сумме ЭДС трех последовательно соединенных элементов:

E`=E+E+E=3E

Следовательно:






12 В электрическую цепь включены последовательно медная и стальная проволоки равной длины и диаметра. Найдите отношение количеств тепла выделяющегося в этих проволоках.



РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим проволоку длиной L и диаметром d, изготовленную из материала с удельным сопротивление p. Сопротивление проволоки R можно найти по формуле



Где s= – площадь поперечного сечения проволоки. При силе тока I за время t в проводнике выделяется количество теплоты Q:



При этом, падение напряжения на проволоке равно:



Удельное сопротивление меди:

p1=0.017 мкОм*м=1.7*10-8Ом*м

удельное сопротивление стали:

p2=10-7Ом*м

так как проволоки включены последовательно, то силы тока в них одинаковы и за время t в них выделяются количества теплоты Q1 и Q2:





Отсюда:






В однородном магнитном поле находится круговой виток с током. Плоскость витка перпендикулярна силовым линиям поля. Докажите, что результирующая сил, действующих со стороны магнитного поля на контур, равна нулю.



РЕШЕНИЕ:

Так как круговой виток с током находится в однородном магнитном поле, на него действует сила Ампера. В соответствии с формулой dF=I[dL,B] результирующая амперова сила, действующая на виток с током определяется:



Где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Так как магнитное поле однородно, то вектор В можно вынести из-под интеграла и задача сволится к вычислению векторного интеграла . Этот интеграл представляет замкнутую цепочку элементарных векторов dL, поэтому он равен нулю. Значит и F=0, то есть результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.


По короткой катушке, содержащей 90 витков диаметром 3 см, идет ток. Напряженность магнитного поля, созданного током на оси катушки на расстоянии 3 см от нее равна 40 А/м. Определите силу тока в катушке.



РЕШЕНИЕ:

Считая, что магнитная индукция в точке А есть суперпозиция магнитных индукций, создаваемых каждым витком катушки в отдельности:



 Для нахождения Ввитка воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа. 



Где, dBвитка – магнитная индукция  поля, создаваемая элементом тока IDL в точке, определяемой радиус-вектором r Выделим на конце элемент dL и от него в точку А проведем радиус-вектор r. Вектор dBвитка направим в соответствие с правилом буравчика. 

Согласно принципу суперпозиции:



Где интегрирование ведется по всем элементам dLвитка. Разложим dBвитка на две  составляющие dBвитка(II) – параллельную плоскости кольца и  dBвитка(I) – перпендикулярную плоскости кольца. Тогда 



Заметив, что  из соображений симметрии и что векторы dBвитка(I) сонаправленные, заменим векторное интегрирование скалярным:





Где dBвитка(I) =dBвитка*cos и 



Поскольку dl перпендикулярен r  



Сократим на 2 и заменим cos на R/r1



Выразим отсюда I зная что R=D/2



согласно формуле связывающей магнитную индукцию и напряженность магнитного поля:

В=Мо*Н, 

тогда по теореме Пифагора из чертежа:






В однородное магнитное поле в направлении перпендикулярном силовым линиям влетает электрон со скоростью 10۰106 м/с и движется по дуге окружности радиусом 2,1 см. Найдите индукцию магнитного поля.



РЕШЕНИЕ:

На электрон, движущийся в однородном магнитном поле будет действовать сила Лоренца, перпендикулярная скорости электрона и следовательно направленная к центру окружности:



Так как угол между v и И равен 900:



Так как сила Fл направлена к центру окружности, и электрон двигается по окружности под действием этой силы, то



Выразим магнитную индукцию:




15. Квадратная рамка со стороной 12 см, изготовленная из медной проволоки, помещена в магнитное поле, магнитная индукция которого меняется по закону В=В0·Sin(ωt), где В0=0,01 Тл, ω=2·π/Т и Т=0,02 с. Плоскость рамки перпендикулярна к направлению магнитного поля. Найдите наибольшее значение э.д.с. индукции, возникающей в рамке.



РЕШЕНИЕ:

Площадь квадратной рамки S=a2. Изменение магнитного потока d, при перпендикулярности плоскости рамки d=SdB

ЭДС индукции определяется 



Е будет максимальна при cos(t)=1

=0.46 мк В