Применение скалярного произведения векторовна уроках алгебры

Применение скалярного произведения векторов

                       на уроках алгебры.   

                                                         Учитель математики лицея №344 

                                                                               г. Санкт-Петербург, Воробей И.М.





Основная цель : ознакомить с данным методом и показать его эффективность при решении уравнений , систем уравнений и некоторых других алгебраических  задач.

                             













 Векторный метод может быть успешно применен не только в геометрии , но и в алгебре.

 Сначала напомним определение и свойства скалярного произведения векторов.

 Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними :

   =|||| , где α – угол между векторами и

 Так как |, то |||||||  , следовательно ,

  ≤||||   .

  Если векторы  и  коллинеарные , то |= |||. В случаи , когда

  ,   = |||.

  Если векторы имеют известные в прямоугольной системе координат координаты , т.е. {и    { , то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат :

   =   ,   ||=  ;   ||= .

  Значит,  .

  В пространстве справедливы аналогичные формулы 

  .

 Наличие радикалов позволяет предположить , что некоторые  математические задачи , например , иррациональные уравнения можно решать с помощью скалярного произведения векторов.

 Рассмотрим несколько примеров. Покажем эффективность векторного метода при решении уравнений , систем уравнений и при нахождении наименьшего ( наибольшего ) значения функции.







Пример 1. Решить уравнение  +  = 4.

 Решение .  ОДЗ:  . Далее , обычно , возводят обе части уравнения в квадрат. В этом уравнении эту операцию пришлось бы произвести два раза. Можно решить это уравнение методом оценок. Покажем еще один способ , с помощью скалярного произведения векторов.

 Рассмотрим вектор  { ; } и вектор { 1 ; 1 } .

   =  ; | |= =   ; | |=  .

 Т.к. ||,то  . 

 Итак ,  По условию 

 Но  = | || , если векторы  и  сонаправленные , т.е.

  . Откуда  

 Ответ : 1.

Пример 2. Решить уравнение   .

 Решение. ОДЗ:   Пусть { и  { 1; 1}.

 || =   ;  || =   ;   ; 

   ;   .

 Равенство возможно только , если векторы  сонаправленные ,т.е.

   ;   .

 Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

 Ответ: 1  .

 Пример 3. Решить систему уравнений    .

 Решение . Пусть {  , а   ;|   ; .

 По условию следовательно , |  ; | .

   Т.к   ,  то   а по условию 

 Значит, векторы  сонаправленные . Имеем  ; . Из 1-ого уравнения получаем 

 Ответ: 

 Пример 4. Решить систему уравнений   .

 Решение . Рассмотрим вектор  и вектор  ;

 | из условия имеем |  |

  ; | Следовательно, исходя из условия, имеем   . Это равенство возможно , если векторы  и   сонаправленные ,т.е.  ;  . Подставляя во 2-ое уравнение системы получим   . Тогда  . Исходная система имеет восемь  решений.

 Ответ : ( ; 

 ;

 Пример 5. Доказать , что система уравнений не имеет решений.

 Доказательство. Пусть  , | . По условию  значит , | .  Т.к.  , то    Из условия   . Значит , система не имеет решений , что и требовалось доказать.

 Пример 6 . При каком значении  функция   принимает наибольшее значение ?

 Решение . D(y) = [ - 2 ; 6 ] . Рассмотрим векторы { и 

   ; | ; |  ; | .

 Т.к.  , то  Итак , наибольшее возможное значение функции равно 4. Равенство достигается , если  .

 Т.е.   . Решив это уравнение , получим , что  - корень уравнения.

 Ответ : при  функция принимает наибольшее значение.

 Пример 7 . Найти наибольшее значение выражения  .

 Решение . Рассмотрим векторы {и  .

  ;  Т.к.  , то получаем    Итак , наибольшее значение выражения   равно 17 .

 Ответ : 17 .

 Пример 8 . При всех значениях параметра  решить уравнение 

  .

 Решение . ОДЗ ( для параметра  :   . 

 Рассмотрим векторы  и 

  ; | . 

 Т.к.  , то   .

 Равенство возможно , если  ,т.е.   (*) . При  исходное уравнение имеет единственный корень  

 Решая уравнение (*) , получим   .

  Ответ: при  ;

              при   уравнение решений не имеет.



 Пример 9 . При каких значениях параметра уравнение 

   имеет решение. Найти его .

 Решение . ОДЗ ( для параметра ) : 

 Рассмотрим 

  ;

 Т.к.  , то  . Равенство возможно , если векторы сонаправлены , т.е.  .

 Если  , то уравнение примет вид  , откуда 

 Если , то из пропорции получим  ;   ,

 откуда 

 Ответ: 

              

              уравнение не имеет решений , если 

 Пример 10 . Доказать неравенство  

 Доказательство .  Докажем это неравенство с помощью скалярного произведения векторов. Рассмотрим два вектора  и 

   .

 Т.к.  , то , что и требовалось доказать .

 Пример 11 . Доказать , что если 

 Доказательство . Рассмотрим векторы  и  ;     .  Т.к    и  по условию  ,  то  получим  . Что и требовалось доказать .

 

Было рассмотрено несколько математических задач , которые решены «векторным» методом , точнее с помощью скалярного произведения векторов. Главная трудность в использовании этого метода в решении задач заключается в выборе векторов. Нужно выбрать координаты векторов         и   так , чтобы уравнение приняло вид                               .