Применение экономико-математических методов для решения экономических задач

Содержание



Введение	4

1.Область применения экономико-математических методов	6

2.Методические основы экономико-математических методов	12

3.Исследование задач выбора производственного решения	22

Заключение	28

Список литературы	31





































































Введение



Потребители все в большей мере становятся нетерпимыми к низкому качеству, длительным срокам поставки.

Компании, которым не удается обеспечить требуемый уровень качества, несут высокие затраты и подвергают свой бизнес значительному риску. Чтобы удовлетворить покупателей и быть конкурентоспособными, руководству предприятий необходимо изыскивать наименее затратные пути непрерывного улучшения качества продукции. Руководство предприятий в этих условиях хозяйствования сосредотачивает свое действенное внимание на проблеме качества, что приводит к сокращению затрат и увеличивает удовлетворенность потребителя. Владельцы бизнеса и управляющие фирмами осознают, что управление качеством продукции (услуг), основанное на планировании, учете, анализе и аудите затрат, "вкладываемых" в качество – единственная основа их процветания.

Одним из направлений совершенствования анализа хозяйственной деятельности  для всех видов предприятий является внедрение экономико-математических методов. Их применение повышает эффективность экономического анализа за счет расширения факторов, обоснования принимаемых управленческих решений, выбора оптимального варианта использования хозяйственных ресурсов, выявления и мобилизации резервов повышения эффективности производства.

Основной целью написания курсовой работы является определение области применения экономико-математических методов в деятельности предприятия.

В связи с поставленной целью необходимо решить следующие задачи:

изучить основы экономико-математического анализа;

определить задачи предприятия;

определить области применения экономико-математических методов;

описать методические основы экономико-математических методов;

применить метод теории игр для задачи выбора производственного решения;

применение симплексного метода для задачи выбора производственного решения.

Актуальной тему применения экономико-математических моделей при решения экономических задач делает то, что применение математических методов существенно расширяет возможности экономического анализа, позволяет сформулировать новые постановки экономических задач, повышает качество принимаемых управленческих решений.

Математические модели экономики, отражая с помощью математических соотношений основные свойства экономических процессов и явлений, представляют собой эффективный инструмент исследования сложных экономических проблем.

































1.Область применения экономико-математических методов



Экономика - развивающаяся в рамках общественно-исторической формации на базе сложившихся производительных сил и производственных отношений стратегия и тактика хозяйственной деятельности, охватывающие все звенья товарного производства, распределения, товародвижения и потребления материальных благ.

Причиной появления экономико-математических методов послужило усложнение экономики и управления хозяйством. Принимаемые в сфере хозяйственной деятельности решения уже не могут основываться исключительно на опыте и интуиции. Практика выявила многогранные возможности экономико-математических методов в разработке и выполнении планов на различных уровнях управления.

К середине 60-х годов исследования по применению математического метода в советской экономической науке имели уже длительную историю. Экономико-математическое направление развивалось от постановки и анализа отдельных моделей в 20-е годы, через негативное отношение экономистов к математике в период с 1930 до 1953 год к быстрому формированию сильной советской экономико-математической школы в конце 50-х - начале 60-х годов.

Исключительно важной чертой экономико-математических исследований второй половины 60-х годов стал переход от постановки задач оптимального планирования к выработке концепции оптимального функционирования социалистической экономики (СОФЭ).

Важнейшими исходными положениям этой концепции были следующие: признание невозможности полностью централизованного планирования экономики, являющейся сложной системой; идея существования целевой функции социалистического производства, определявшей необходимость оптимизации; рассмотрение экономики как иерархической системы, что приводило к итеративным процессам составления плана, а его выполнение стимулировалось хозрасчетными отношениями. 

В течение 70-х - начале 80-х годов тезис о социалистической экономике как сознательно оптимизируемой системе приходил все в большее противоречие с реально проходившим сползанием к экономическому кризису.

Тот крутой перелом в развитии советского общества, произошедший на рубеже 1929 - 1930 годы, который привел к фактическому запрету на применение математики в экономике, оказал глубокое воздействие на всю экономическую науку, воздействие, масштаб и последствия которого еще предстоит изучить историкам экономической мысли.

Для того чтобы экономико-математические методы получили действительно широкое распространение, необходимо сочетание различных факторов. Главный из них - осуществление экономической реформы. Командно-административная система управления не нуждается в математических методах. Экономические же методы управления предполагают осуществление расчетов по рациональному использованию ресурсов. Принято считать, что математические модели лучше всего применяются для решения технико-экономических задач.

Новый импульс развитию экономико-математических разработок дала перестройка и начавшаяся экономическая реформа. Она выдвигает перед экономистами-математиками ряд новых проблем, требует того, чтобы экономическая наука стала наконец точной наукой. [12, 21-52]

Экономические задачи, решаемые в процессе экономического анализа, планирования, проектирования, связанные с определением искомых неизвестных величин на основе исходных данных, в отличие от математических задач экономические задачи не всегда удается формализовать, свести только к расчету. Их решение сопровождается поиском недостающих данных, экспертными оценками, обсуждением, принятием решений.

По общему целевому назначению экономико-математические модели делятся на теоретико-аналитические, используемые при изучении общих свойств и закономерностей экономических процессов, и прикладные, применяемые в решении конкретных экономических задач анализа, прогнозирования и управления. Различные прикладные экономико-математические модели и будут рассматриваться.

Подобные экономические задачи представлены в экономике предприятия в целом, а так же в ее динамике и развитии. 

В процессе своей деятельности предприятие должно принимать ряд решений: 

какой товар или номенклатуру товаров следует выпускать и продавать;

на какие рынки надо выходить с этим товаром и как укрепить свои позиции на рынке;

как выбрать оптимальную технологию производства;

какие материалы приобретать и как их использовать;

как распределить имеющиеся модели и финансовые ресурсы;

каких показателей своей деятельности предприятие предпочитает (должно) достигнуть в отношении технических характеристик выпускаемого товара, его качества, эффективности производства.

На всех уровнях управления предприятием, во всех отраслях используются для решения производственных, организационных и хозяйственных задач производства используют методы экономико-математического моделирования. Можно выделим условно следующие направления их практического применения, по которым предприятия получают наибольшие экономические эффекты.

На отдельном предприятии обычно выпускаются различные виды продукции, используются различные технологии, удельные затраты зависят от объема выпуска и в тех или иных пределах допускается замена одного сырья другим. Для разработки планов выпуска и потребления продукции подобные условия невыполнимы, тем более не верны они для разработки планов на отрасль. Поэтому делаются следующие предположения:

1) все продукты, производимые одной отраслью, однородны и рассматриваются как единое целое, т.е. фактически предполагается, что каждая отрасль производит один продукт; 

2) в каждой отрасли имеется единственная технология производства; 

3) нормы производственных затрат не зависят от объёма выпускаемой продукции; 

4) не допускается замещение одного сырья другим. 

При данных предположениях получил широкое распространение  метод межотраслевого баланса и, как показала практика, они вполне адекватны и применимы для составления планов выпуска продукции.

Деятельность предприятия практически всегда не просто осознанная, а целенаправленная работа совершаемая ради достижения определенной цели (в основном получение прибыли). Конечно, практически всегда ресурсы, необходимые для выполнения данной работы, ограничены. Достаточно часто существует несколько возможностей распорядится ресурсами, и для получения наилучшего результата деятельности необходимо сделать выбор. 

Наиболее удобным и рациональным методом нахождения оптимальной стратегии производства является симплексный метод. На его же основе можно провести анализ остатков ресурсов и рассчитать прибыль при расшивки узких мест производства.

На этом же этапе необходимо определиться с запасом сырья и материалов. Для деятельности любой организации какие либо запасы необходимы. Если их не будет, то при малейшем нарушении сбыта вся деятельность остановится. Хранить же слишком много запасов экономически невыгодно, а закупка небольшими партия существенно увеличит транспортные расходы. Нахождению баланса между этими крайностями посвящен метод управления запасами.

С методом управления запасами, только уже в динамической его интерпретации связано решении задачи предприятия при производстве конечного продукта партия. Проблематика заключается в том, что продукция производится по заказам, размеры которых могут значительно варьироваться от периода к периоду. В этом случае требуется просчитать будет ли выгоднее произвести заказанное количество продукции на несколько периодов вперед, а затем хранить, чем выполнять заказы именно в те периоды, когда они должны быть отправлены. Расчет производится с учетом количества периодов, а так же затрат на производство и хранение.[10, 165]

Для описания комплекса работ проекта, его планирования, анализа, прогнозирования и контроля хода выполнения с учетом логических взаимосвязей между работами и событиями проекта, а также временных, ресурсных, стоимостных и других внутренних и внешних ограничений на работы и проект в целом используют метод сетевого планирования и управления. 

Данный метод позволяет:

сформировать календарный план работ;

выявить и реализовать резервы времени, а также трудовых, материальных и денежных ресурсов;

осуществлять управление работами по принципу «ведущего звена» с прогнозированием и предупреждением возможных срывов в ходе работ;

повысить эффективность управления в целом, при четком распределении ответственности между руководителями разного уровня.

В ситуации когда известно наличие ресурсов, требуемые объемы и затраты, постановка задачи состоит в определении оптимальном плана перевозки продукта от производителя к заказчику. Оптимизация плана перевозок может быть составлена как для достижения минимум затрат на реализацию, так и для сокращения затрачиваемого времени. Для этого используется метод линейного программирования – транспортная задача.

Важной задачей предприятия является вложение денежных средств в разрабатываемые проекты или финансирование отдельных подразделений и цехов. С учетом размера капительных вложений и  известной суммы прибыли от них необходимо, так распределить средства, чтобы суммарный доход от них был наибольшим. Для этого используется метод динамического программирования. Этим же метод можно воспользоваться для составлении календарных планов текущего и капитального ремонта сложного оборудования и его замены, а так же при разработке долгосрочных правил замены выбывающих из эксплуатации основных фондов. [9, 253]

Для большого числа предприятий и организаций основным методом решения задач являются модели теории массового обслуживания. Основными рассматриваемыми единицами в подобных моделях являются каналы обслуживания (линии связи, рабочие точки, станки и т.п.), их производительность и характер потока заявок. 

Возможность применения теории массового обслуживания для исследования предметной области определяется следующими факторами:

Количество заявок в системе должно быть достаточно велико (массово).

Все поступающие заявки, должны быть однотипными.

Потоки заявок должны быть Пуассоновскими.

Последовательность обработки заявок, должна быть жестко зафиксирована.

Применение теории массового обслуживания позволяет оценить пропускную способность предприятия или организации, количество заказов, находящихся в производстве, время пребывания заявок и т.д.

























2.Методические основы экономико-математических методов



В экономико-математическом анализе используются математические модели, описывающие изучаемое явление или процесс с помощью уравнений, неравенств, функций и других математических средств. Различают математические модели с количественными характеристиками, записанными в виде формул; числовые модели с конкретными числовыми характеристиками; логические, записанные с помощью логических выражений, и графические, выраженные в графических образах.

Систематизировать применяемые в анализе деятельности предприятия методы можно по различным признакам. Наиболее целесообразной представляется классификация экономико-математических методов по содержанию метода, т.е. по принадлежности к определенному разделу современной математики.

Сформулированная математическая задача экономического анализа может быть решена одним из наиболее разработанных математических методов. Поэтому классификация в значительной мере условна. То есть, как уже говорилось ранее, задачи управления запасами могут решаться методами математического программирования и с применением динамических методов.

Эконометрические методы строятся на синтезе трех областей знаний: экономики, математики и статистики. Основа эконометрии – экономическая модель, под которой понимается схематическое представление экономического явления или процесса при помощи научной абстракции, отражения их характерных черт. Наибольшее распространение получил метод анализа «затраты – впуск» (межотраслевого баланса). Это матричные (балансовые) модели, строящиеся по шахматной схеме и позволяющие в наиболее компактной форме представить взаимосвязь затрат и результатов производства. Удобство расчетов и четкость экономической интерпретации – главные особенности матричных моделей.

Математическое программирование – важный раздел современной прикладной математики. Методы математического программирования служат основным средством решения задач оптимизации производственно-хозяйственной деятельности. По своей сути эти методы есть средство плановых расчетов. Их ценность для экономического анализа выполнения планов в том, что они позволяют оценивать напряженность плановых заданий, определять лимитирующие группы оборудования, виды сырья и материалов, получать оценки дефицитности произведенных ресурсов и т.п. Основными являются методы линейного программирования (симплексный метод, транспортная задача) и динамического программирования.

Под исследованием операций подразумеваются разработка методов целенаправленных действий (операций), количественная оценка полученных решений и выбор наилучшего из них. Предметом исследования операций являются экономические системы, в том числе производственно-хозяйственная деятельность предприятий. Цель – такое сочетание структурных взаимосвязанных элементов систем, которое в наибольшей степени отвечает задаче получения наилучшего экономического показателя из ряда возможных. Наиболее распространены методы управления запасами, теории игр и массового обслуживания, сетевые методы планирования и управления.

Математическое моделирование экономических явлений и процессов является важным инструментом экономического анализа. Оно дает возможность получить четкое представление об исследуемом объекте, охарактеризовать и количественно описать его внутреннюю структуру и внешние связи.[22, 43-47]

Экономико-математическая модель должна быть адекватной действительности, отражать существенные стороны и связи изучаемого объекта. Отметим принципиальные черты, характерные для построения экономико-математической модели любого вида. Процесс моделирования можно условно подразделить на три этапа: 

		анализ теоретических закономерностей, свойственных изучаемому явлению или процессу, и эмпирических данных о его структуре и особенностях; на основе такого анализа формируются модели; 

		определение методов, с помощью которых можно решить задачу; 

		анализ полученных результатов.

Теория игр исследует оптимальные стратегии в различных ситуациях, в которых может находиться предприятие. К ним относятся ситуации, связанные с выбором наиболее выгодных производственных решений системы научных и хозяйственных экспериментов, с организацией статистического контроля, хозяйственных взаимоотношений между предприятиями промышленности и других отраслей. Формализуя конфликтные ситуации математически, их можно представить как игру двух, трех и т. д. игроков, каждый из которых преследует цель максимизации своей выгоды, своего выигрыша за счет другого. Поэтому для поиска производственно-хозяйственных решений на предприятиях чаще используют именно теорию игр.

Решение подобных задач требует определенности в формулировании их условий: установления количества игроков и правил игры, выявления возможных стратегий игроков, возможных выигрышей (отрицательный выигрыш понимается как проигрыш). Важным элементом в условии задач является стратегия, т.е. совокупность правил, которые в зависимости от ситуации в игре определяют однозначный выбор данного игрока. Количество стратегий у каждого игрока может быть конечным и бесконечным, отсюда и игры подразделяются на конечные и бесконечные. При исследовании конечной игры задаются матрицы выигрышей, а бесконечной — функции выигрышей. Для решения задач применяются алгебраические методы, основанные на системе линейных уравнений и неравенств, итерационные методы, а также сведение задачи к некоторой системе дифференциальных уравнений.

На промышленных предприятиях теория игр может использоваться для выбора оптимальных решений, например при создании рациональных запасов сырья, материалов, полуфабрикатов, в вопросах качества продукции и других экономических ситуациях. В первом случае противоборствуют две тенденции: увеличения запасов, в том числе и страховых, гарантирующих бесперебойную работу производства; сокращения запасов, обеспечивающих минимизацию затрат на их хранение; во втором стремления к выпуску большего количества продукции, ведущего к снижению трудовых затрат; к повышению качества, сопровождающемуся часто уменьшением количества изделий и, следовательно возрастанием трудовых затрат. В машиностроительном производстве противоборствующими направлениями являются стремление к максимальной экономии металла в конструкциях, с одной стороны, и обеспечение необходимой прочности конструкций с другой.

Природные условия (условия неопределенности) нередко сказываются на эффективности работы промышленных предприятий.

Данные, необходимо для принятия решения в условии неопределенности, обычно задаются в форме матрицы, строки которой соответствуют возможным действиям, а столбцы – возможным состояниям системы.[2, 270]

Пусть, например, из некоторого материала требуется изготовить изделие, долговечность которого при допустимых затратах невозможно определить. Нагрузки считаются известными. Требуется решить, какие размеры должно иметь изделие из данного материала.

Варианты решения таковы:

Е1 – выбор размеров из соображений максимальной долговечности ;

Еm– выбор размеров из соображений минимальной долговечности ;

Ei– промежуточные решения.

Условия требующие рассмотрения таковы :

F1 – условия, обеспечивающие максимальной долговечность;

Fn– условия, обеспечивающие min долговечность;

Fi– промежуточные условия.

Под результатом решения eij = е(Ei ; Fj) здесь можно понимать оценку, соответствующую варианту Eiи условиям Fjи характеризующие прибыль, полезность или надёжность. 

Тогда семейство (матрица) решений имеет вид :

 

F1

F2

. . .

Fn

E1

e11

e12

. . .

e1n

E2

e21

e22

. . .

e2n

. . .

 . . . . . . . . . . . . . . . .

Em

em1

em2

. . .

emn



Чтобы прийти к однозначному и по возможности наивыгоднейшему варианту решению необходимо ввести оценочную (целевую) функцию. При этом матрица решений  сводится к одному столбцу. 

При поиске оптимальных решений, учитывая специфику игр, обращаются к различным критериям, которые дают некоторую логическую схему принятия решения. Критерии позволяют оценить принимаемое решение с различных позиций, поэтому позволяют избежать грубых ошибок в хозяйственной деятельности.



Минимаксный критерий.

Правило выбора решения в соответствии с минимаксным критерием (ММ-критерием) можно интерпретировать следующим образом: 

Матрица решений дополняется ещё одним столбцом из наименьших результатов каждой строки. Необходимо выбрать те варианты в строках которых стоят наибольшее значение этого столбца.

Выбранные т.о. варианты полностью исключают риск. Это означает, что принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Это свойство позволяет считать ММ-критерий одним из фундаментальных.

Применение ММ-критерия бывает оправдано, если ситуация, в которой принимается решение следующая:

1. О возможности появления внешних состояний Fj ничего не известно;

2. Приходится считаться с появлением различных внешних состояний Fj.



Критерий Лапласа. 

Предположим, что игрок не располагает достоверной информацией об априорных вероятностях состояний природы. Оптимальной считается чистая стратегия, обеспечивающая максимальный средний выигрыш  игрока при равенстве всех априорных вероятностей . Этот прием называется принципом недостаточного основания Лапласа.

Матрица решений дополняется ещё одним столбцом  содержащим математическое ожидание значений каждой из строк. Выбираются те варианты, в строках которых стоит наибольшее значение этого столбца.



Критерий  Сэвиджа.



Величину aij можно трактовать как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в состоянии Fj вместо варианта Ei выбирать другой, оптимальный для этого внешнего состояния вариант. Величину aij можно интерпретировать и как потери (штрафы) возникающие в состоянии Fj при замене оптимального для него варианта на вариант Ei. В последнем случае максимально возможные (по всем внешним состояниям Fj , j =) потери в случае выбора варианта Ei. 

Соответствующее критерию Сэвиджа правило выбора теперь трактуется так:

1) Каждый элемент матрицы решений  вычитается из наибольшего результата maxeij соответствующего столбца.

2) Разности aij образуют матрицу остатков. Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей. Выбирают те варианты, в строках которых стоит наименьшее для этого столбца значение.

Из критериев становится ясно, что в следствии их жёстких исходных позиций они применимы только для идеализированных практических решений. В случае, когда возможна слишком сильная идеализация, можно применять одновременно поочерёдно различные критерии. После этого среди нескольких вариантов выбирает окончательное решение. Такой подход позволяет, во-первых, лучше проникнуть во все внутренние связи проблемы принятия решений и, во-вторых, ослабляет влияние субъективного фактора.

Для линейного программирования характерны математическое выражение переменных величин, определенный порядок, последовательность расчетов (алгоритм), логический анализ. Применять его можно только в тех случаях, когда изучаемые переменные величины и факторы имеют математическую определенность и количественную ограниченность, когда в результате известной последовательности расчетов происходит взаимозаменяемость факторов, когда логика в расчетах, математическая логика совмещаются с логически обоснованным пониманием сущности изучаемого явления.

Все экономические задачи, решаемые с применением линейного программирования, а в частности симплексного метода, отличаются альтернативностью решения и определенными ограничивающими условиями. Решить такую задачу — значит выбрать из всех допустимо возможных (альтернативных) вариантов лучший, оптимальный. Важность и ценность использования в экономике метода линейного программирования состоят в том, что оптимальный вариант выбирается из весьма значительного количества альтернативных вариантов. При помощи других способов решать такие задачи практически невозможно.[2, 260]

	Предприятие может выпускать n видов продукции, используя m видов ресурсов. Пусть  – расход i ресурса на единицу j продукции,  – имеющееся количество i ресурса,  – прибыль на единицу j продукции,  – искомое количество единиц j продукции. Задача состоит в том, чтобы найти производственную программу



			максимизирующую прибыль

		(1)

	      при ограничениях по ресурсам

	, i= 1, …m 	(2)

	      где по смыслу задачи

		(3)

Решаем задачу симплексным методом, для этого:

Приводим задачу к каноническому виду

максимизируем целевую функцию  

приводим ограничения к виду 

составляем систему уравнений путем введения дополнительных переменных

Если ,    то  

Если ,       то 



составляем первоначальное решение и таблицу



Базис

План



Свободные переменные

Разрешающий коэффициент

















































































f

















проверяем полученное решение на оптимальность

Критерий оптимальности выполнен и задача решена если все коэффициенты индексной строки . Если хотя бы один коэффициент индексной строки  < 0, то решение не оптимально, его можно улучшить построением другого решения.



Для построения нового решения требуется:

среди < 0 коэффициентов индексной строки выбрать наибольшее по абсолютной величине. Столбец в котором находится выбранный коэффициент – разрешающий.

для всех элементов разрешающего столбца имеющих одинаковые знаки со значением  находятся разрешающие коэффициенты 

среди всех разрешающих коэффициентов выбирают наименьший, ему соответствует разрешающая строка и переменная выводимая из базиса.

на пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца находится разрешающий элемент 

происходит пересчет симплексной таблицы

меняется одна базисная переменная

находятся элементы разрешающей строки 

коэффициенты системных ограничений при базисных переменных образуют единичную матрицу

все остальные клетки симплексной таблицы, включая индексную строку, находятся по правилу прямоугольника





Каждому новому решению задачи соответствует один итерационный процесс и одна симплексная таблица.











3.Исследование задач выбора производственного решения



При образовании предприятия основным вопросом является, что производить. Определившись с примерным направлением производства и ассортиментом необходимо просчитать, основываясь на статистики или на данных работающих в данной отрасли предприятий, наиболее рентабельный вид продукта используя теорию игр.

Предприятию,  производящему изделия из водоотталкивающих тканей, необходимо принять решение о производстве  зонтов, плащей, туристических палаток и сумок в зависимости от того, будет ли погода умеренной или дождливой. Доходы от реализации при каждом из состояний погоды, в млн. у.е. составили:

Таблица 3.1.



дождливая

умеренная

зонты

1,05

0,96

плащи

1,3

1,02

палатки

0,8

0,9

сумки

1

1,2



Необходимо принять решение о вложении денежных средств в производство той продукции, которая обеспечит наибольшую возможную прибыль.



Поиск решения с помощью минимаксного критерия.

Составляется платежная матрица:









Таблица 3.2.



F1

F2



Е1

1,05

0,96

0,96

Е2

1,3

1,02

1,02

Е3

0,8

0,9

0,8

Е4

1

1,2

1



1,3

1,2





Получаем что нижняя чистая цена игры = max= 1.02,

а верхняя чистая цена игры = min= 1.2

Таким образом получаем, что α ≠ β следовательно седловая точка отсутствует. Согласно ММ-критерию  следует проводить полную проверку, т.к. упростить платежную матрицу нельзя, потому что нет доминируемых стратегий. Вообще, в играх с природой нельзя отбрасывать те или иные состояния природы, поскольку она может реализовать любое свое состояние независимо, выгодно оно предприятию или нет.



Критерий Байеса – Лапласа.

В нашей задаче . Средние выигрыши помещены в столбце .

Таблица 3.3.



F1

F2



Е1

1,05

0,96

1,005

Е2

1,3

1,02

1,16

Е3

0,8

0,9

0,85

Е4

1

1,2

1,1



Оптимальной по Байесу-Лапласу является чистая стратегия Е2. В интересах объективности можно найти средние значения  вероятностей, определенных квалифицированными экспертами для каждого состояния на основе их субъективного опыта.

Т.о. критерий Байеса-Лапласа более оптимистичен, чем минимаксный критерий, однако он предполагает большую информированность и достаточно длительную реализацию.



Критерий Сэвиджа.

В играх с природой нельзя что либо предсказать, т.к. она может реализовать любое состояние. 

Перейдем к матрице рисков, она позволяет понять преимущество одной стратегии перед другой.

Таблица 3.4.



F1

F2



Е1

0,25

0,24

0,25

Е2

0

0,18

0,18

Е3

0,5

0,4

0,5

Е4

0,3

0

0,3



.

Выбираем стратегию Е2, с минимальной величиной риска.

Из показаний критериев видно, что наиболее прибыльным для предприятия будет производство зонтов, при любых погодных условиях.

Не менее важной и сложной задачей предприятия является определение необходимого объема выпускаемой продукции, особенно если  наименований несколько. В подобных случаях используют симплексный метод.

Предприятие производит 3 вида продукции: А1, А2, А3, используя сырьё двух типов. Известны затраты сырья каждого типа на единицу продукции, запасы сырья на планируемый период, а также прибыль от единицы продукции каждого вида.

Таблица 3.5.

Сырье

Затраты сырья на единицу продукции

Запас сырья



А1

А2

А3



I

3,5

7

4,2

1400

II

4

5

8

2000

Прибыль от ед.прод.

1

3

3





Необходимо определить сколько изделий каждого вида необходимо произвести, чтобы получить максимум прибыли.



Составим математическую модель задачи. Пусть x1, х2, х3 соответственно – количество единиц продукции А1, А2, А3, которую производит предприятие. По смыслу задачи эти переменные неотрицательны.

Тогда f(x1, x2, x3) = x1 + 3 x2 + 3 x3 – совокупная прибыль от продажи произведенной продукции, которую требуется максимизировать.

Подсчитаем затраты сырья:

Сырье 1-го типа: 3,5 х1 + 7 х2 + 4,2 х3, по условию затраты не превосходят 1400,

Сырье 2-го типа: 4 х1 + 5 х2 + 8 х3, по условию затраты не превосходят 2000.

Пришли к задаче линейного программирования:

f(x1, x2, x3) = x1 + 3 x2 + 3 x3 → max,

3,5 х1 + 7 х2 + 4,2 х3 ≤ 1400,

4 х1 + 5 х2 + 8 х3 ≤ 2000,

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0.



Преобразуем первое ограничение:

3,5 х1 + 7 х2 + 4,2 х3 ≤ 1400, (поделим на 7)

0,5 х1 + 1 х2 + 0,6 х3 ≤ 200, (умножим на 10)

5 х1 + 10 х2 + 6 х3 ≤ 2000.



Получили задачу:

f(x1, x2, x3) = x1 + 3 x2 + 3 x3 → max,

5 х1 + 10 х2 + 6 х3 ≤ 2000,

4 х1 + 5 х2 + 8 х3 ≤ 2000,

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0.



Решим данную задачу симплекс-методом. Введем дополнительные переменные х4, х5 для приведения задачи к каноническому виду:

f(x1, x2, x3) = x1 + 3 x2 + 3 x3 → max,

5 х1 + 10 х2 + 6 х3 + х4 = 2000,

4 х1 + 5 х2 + 8 х3 + х5 = 2000,

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0, x5 ≥ 0.

В качестве опорного плана выберем Х=(0, 0, 0, 2000, 2000). Составим симплекс-таблицу:

Таблица 3.6.

Базис

План

х1

х2

х3

х4

х5

δ ij

х4

2000

5

10

6

1

0

200

х5

2000

4

5

8

0

1

400

f

0

-1

-3

-3

0

0





В последней оценочной строке есть отрицательные оценки, поэтому нужно делать шаг симплекс-метода. Выбираем столбец с наименьшей оценкой, а затем разрешающий элемент – по наименьшему отношению свободных членов к коэффициентам столбца (отношения записаны в последнем столбце). Результат шага запишем в таблицу (разрешающий элемент будем выделять жирным). Аналогично будем повторять шаги, пока не придем к таблице с неотрицательными оценками.

Таблица 3.7.

Базис

План

х1

х2

х3

х4

х5

δ ij

х2

200

1/2

1

3/5

1/10

0

1000/3

х5

1000

3/2

0

5

-1/2

1

1000/5

f

600

1/2

0

-6/5

3/10

0





Таблица 3.8.

Базис

План

х1

х2

х3

х4

х5

δ ij

х4

80

8/25

1

0

4/25

-3/25

200

х3

200

3/10

0

1

-1/10

1/5

400

f

840

43/50

0

0

9/50

6/25





В последнем плане строка f не содержит отрицательных значений, план x1 = 0, x2 = 80,   x3 = 200 оптимален, целевая функция принимает максимальное значение 840 (совокупная прибыль).

Дадим экономическую интерпретацию оптимального плана. Согласно этому плану необходимо произвести 0 единиц продукции типа А1, 80 единиц продукции типа А2, 200 единиц продукции типа А3.

В строке f оптимального плана в столбцах дополнительных переменных y*=(9/50, 6/25).

Двойственные оценки определяют дефицитность сырья. Так как y1*=9/50>0, y2*=6/25>0, то, согласно второй теореме двойственности сырье и 1го, и 2го типов полностью используется в оптимальном плане и является дефицитным сырьем.

Кроме того, значения двойственных оценок показывают, насколько возрастает доход предприятия при увеличении дефицитного сырья на единицу (соответственно, на 9/50 и на 6/25).



Заключение



Говоря о применении экономико-математических моделей, мы подразумеваем не просто выполнение различного рода экономических расчетов, а использование математики для нахождения наилучших экономических решений, изучения экономических закономерностей, получения новых теоретических выводов (синтез экономических и математических знаний раскрывает новые возможности экономического анализа). Главные преимущества математики как средства научного познания раскрываются при построении математических моделей, заменяющих в определенном отношении исследуемые объекты. Экономико-математические модели, отражающие с помощью математических соотношений основных свойств экономических процессов и явлений, представляют собой эффективный инструмент исследования экономических проблем.

Целью написания курсовой работы было определение области применения экономико-математических методов в деятельности предприятия.

В связи с поставленной целью были решены следующие задачи:

изучены основы экономико-математического анализа;

определены задачи предприятия;

определена области применения экономико-математических методов;

описаны методические основы экономико-математических методов;

применен метод теории игр для задачи выбора производственного решения;

применен симплексный метод для решения задачи выбора производственного решения.

Экономико-математическое модели является неотъемлемой частью любого исследования в области экономики. Бурное развитие математического анализа, исследования операций, теории вероятностей и математической статистики способствовало формированию различного рода моделей экономики.

За последние 30-40 лет методы моделирования экономики разрабатывались очень интенсивно. Они строились для теоретических целей экономического анализа и для практических целей планирования, управления и прогноза. Содержательно модели экономики объединяют такие основные процессы: производство, планирование, управление, финансы и т.д. Однако в соответствующих моделях всегда упор делается на какой-нибудь один процесс (например, процесс планирования), тогда как все остальные представляются в упрощенном виде.

Можно говорить об эффективности применения методов моделирования в многих областях потому, что, во-первых, экономические объекты различного уровня (начиная с уровня простого предприятия и кончая макроуровнем - экономикой страны или даже мировой экономикой) можно рассматривать с позиций системного подхода. Во-вторых, такие характеристики поведения экономических систем:

- изменчивость (динамичность)

- противоречивость поведения

- тенденция к ухудшению характеристик

- подверженность воздействию окружающей среды предопределяют выбор метода их исследования.

Проанализировав совокупность существующих методов, можно сделать следующие выводы. Традиционное управление производственно-хозяйственной и финансовой деятельностью закрытых систем осуществляется с помощью общеизвестных методов планирования и управления. 

Теория игр как раздел исследования операций - это теория математических моделей, принятия оптимальных решений в условиях неопределенности или конфликта нескольких сторон, имеющих различные интересы. Она исследует ситуации, связанные с выбором наивыгоднейших производственных решений, организацией статистического контроля, хозяйственных взаимоотношений между предприятиями и т. д.

На примере видно как с использованием теории игр можно рассчитать производство, каких наименований продукции будет наиболее выгодно независимо от климатических условий.

Методы математического программирования - основное средство решения задач оптимизации производственно-хозяйственной деятельности. Все экономические задачи, решаемые с применением методов математического программирования, отличаются возможностью выбора решения из альтернатив и определенными ограничивающими условиями. Решить такую задачу - значит выбрать из всех допустимо возможных вариантов лучший. Чаще других для этого используется симплексный метод.

Из расчетов видно, что выбор плана производства с использованием симплексного метода дает возможность не только рассчитать какой максимальный объем прибыли сможет получить предприятие при имеющихся производственных показателях, но и сделать выводы об изменении производственных запасов, для большей эффективности производства.

Таким образом, можно сказать, что область применения экономико-математических методов, в настоящее время, представляет собой немалые масштабы, что по большей части связано с развитием предпринимательства во всевозможных сферах, для становления, развития и процветания которых необходимы рациональные экономические решения. 













Список литературы



Алесинская Т.В. Учебное пособие по решению задач по курсу Экономико-математические методы и модели. Таганрог,:ТРУ, 2002.

Баканов М. И., Мельник М. В., Шеремет А. Д. Теория экономического анализа. - М.: Финансы и статистика, 2005,

Гранберг А.Г. Математические модели социалистической экономики. –М.: Экономика, 2008.

Добрынина Г.И., Тарасевич Л.С. Экономическая теория : учебник для вузов – СПб.: Питер, 2009.

Дубов А.М., Лагоша Б.А. и др. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе: Учебное пособие для вузов /Общая редакция Б.А. Лагоши. – М.: Финансы и статистика, 2010

Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник. – М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, ДИС, 2009.

Кантарович Л.В., Горстко А.Б. Оптимальные решения в экономике. –М.: Наука, 2009

Карандаев И.С. и др. Математические методы исследования операций в примерах и задачах. - М.: ГАУ, 2007.

Ковалев В.В. Финансовый анализ: методы и процедуры. –М., Финансы и статистика, 2006.

Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М. и др. Исследование операций в экономике: Учебное пособие для вузов /Общая редакция Н.Ш. Кремера. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2007.

Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М. и др. Высшая математика для экономистов: Учебное пособие для вузов/ Общая редакция Н.Ш Кремера. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2007.

Лотов А.В. Введение в экономико-математическое моделирование. – М.:Наука, 2008.

Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики: Учебно-практическое пособие для вузов. – М.: УРАО, 2008.

Малыхин В.И. Математика в экономике: Учебное пособие. – М: Инфра-М, 2009.

Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике: Учебник: в 3 частях. – М.: Финансы и статистика, 2008.

Сулицкий В.Н. Методы статистического анализа в управлении: Учебное пособие. – М.: Дело, 2006.

Пинегина М.В. Математические методы и модели в экономике: Учебное пособие для вузов. – М.: Изд-во «Экзамен», 2007.

Трояновский В.М. Математическое моделирование в менеджменте: Учебное пособие. – М.: Изд-во РДЛ, 2005.

Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: Учебник. – М.: Финансы и статистика, 2005.

Хазанова Л.Э. Математическое моделирование в экономике: Учебное пособие. – М.: Изд-во Бек, 2008.

Чавкин А.М. Методы и модели рационального управления в рыночной экономике: разработка управленческих решений. – М.: Финансы и статистика, 2010

Шеремет А.Д. Теория экономического анализа: Учебник.-2-е изд.,доп. –М.: ИНФРА-М, 2005.

Экономико-математические методы и модели: Учебное Пособие для Вузов /Общая редакция А.В. М, БГТУ, 2006









3