Анализ модели на чувствительность

3





























Анализ модели на чувствительность


План



	АННОТАЦИЯ

	ГЛАВА 1. АНАЛИЗ МОДЕЛИ НА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ КАК СПОСОБ МИНИМИЗАЦИИ РИСКА

		1.1 Понятие риска и необходимость его снижения

		1.2 	Анализ чувствительности модели как способ восстановления финансового равновесия

	ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИЗА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ МОДЕЛИ

	2.1 Анализ чувствительности оптимального решения

	2.2 Изменения, влияющие на допустимость решения

	2.3 Изменения, влияющие на оптимальность решения

	2.4 Добавление в модель ЛП нового вида производственной деятельности

	ЗАКЛЮЧЕНИЕ

	СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ




Аннотация



Тема курсового проекта, представленная в пояснительной записке, звучит как «Анализ чувствительности модели».

Объём данной пояснительной записки к курсовому проекту по дисциплине «Исследование операций» составляет 25 страниц, количество используемых источников 7.

Данная пояснительная записка содержит 2 (два) раздела, содержащих следующую информацию: теоретические основы анализа чувствительности модели и место этого анализа в исследовании операций и в экономике в целом, а также описание практического применения указанных методов в исследовании операций.


Глава 1. Анализ модели на чувствительность как способ минимизации риска



Понятие риска и необходимость его снижения



Для начала рассмотрим определение экономических рисков разными авторами.

Б. А. Лагоша. Экономический риск – это вероятность (угроза) потери лицом или организацией части своих ресурсов, недополучения доходов или появления дополнительных расходов в результате осуществления определенной производственной и финансовой политики.

В. В. Витлинский. Экономический риск – это категория в деятельности субъектов хозяйствования, связанная с преодолением неопределенности, конфликтности в ситуациях оценивания, управления, неминуемого выбора. Он имеет диалектическую объективно-субъективную структуру. Оценка риска является многомерной величиной, которая характеризует возможные отклонения от целей, от желательного (ожидаемого) результата, возможную неудачу (ущерб) с учетом влияния контролируемых (управляемых) и неконтролируемых (неуправляемых) факторов, прямых и обратных связей.

Независимо от вида существует два типа рисков:

	Динамический риск - непредусмотренный риск при изменении стоимости основного капитала фирмы при принятии решения или изменению рыночных условий, политических обстоятельств. Такой риск может привести как к потерям, так и к прибылям.

	Статический риск - риск потерь реальных активов в следствие нанесения вреда собственности, а также потерь доходов. Этот риск приводит лишь к потерям.

Риск существует тогда, когда имеются возможности активного оценивания, управления, принятие решений. Когда отсутствуют альтернативы решений, то отсутствующий и риск. Источниками риска являются факторы (предметы, явления, процедуры), которые вызывают неопределенность и конфликтность.

Для понимания природы экономического риска фундаментальное значение имеет связь риска и прибыли. Чтобы получить єкономическую прибыль, предприниматель должен заведомо пойти на принятие рискованного решения, так как вместе с риском потерь существует возможность получения дополнительных доходов. “Кто не рискует, тoт не віигрівает”. Можно выбрать решение, содержащее меньше риска, ири этом будет получена и меньшая прибыль, высший риск чаще всего связан с получением и высшей прибыли.

Принципиальное решение о принятии рискованного проекта зависит от преимуществ между прибыльностью вложенных средств в проект и их надежностью, что, в свою очередь, понимается как не рискованность получения доходов.



Анализ чувствительности модели как способ восстановления финансового равновесия.



Основой сохранения и восстановления финансового равновесия предприятия и снижения уровня риска является анализ чувствительности предложенной модели. Анализ чувствительности состоит из следующих этапов:

		Выбор ключевого показателя, т.е. такого параметра, относительно которого и рассчитывается чувствительность проекта (чаще всего это чистый приведенный доход и внутренняя норма доходности).

		Выбор факторов, которые влияют на эти показатели.

		Расчет значений ключевых показателей на разных этапах реализации проекта (поиск, проектирование, строительство, эксплуатация).

Чем выше чувствительность показателей к факторам внешней среды, тем более рискованным является проект. Для каждого показателя определяется чувствительность каждого момента времени или отрезка времени. Определяется эффективность проекта.

Часто во время анализа чувствительности определяется точка безубыточности проекта, т.е. определяется тот объем выпуска продукции, при котором предприятие выходит из зоны убытка.

Анализ чувствительности проекта разрешает специалистам учитывать риск и неопределенность. Например, если цена продукции оказалась критической, то возможно усилить программу маркетинга или снизить стоимость проекта. Если критическим окажется объем выпущенной продукции, то необходимо повысить квалификацию рабочих, уделить внимание обучению персонала, менеджерам и другим факторам повышения производительности.

Недостатки метода анализа чувствительности:

Метод не рассчитан на все случайное и возможное обстоятельства.

2. Метод не уточняет вероятность реализации альтернативных проектов.


Глава 2. Практическое применение анализа чувствительности модели



2.1 Анализ чувствительности оптимального решения



Анализ чувствительности выполняется уже после получения оптимального решения задачи линейного программирования (ЛП). Его цель — определить, приведет ли изменение коэффициентов исходной задачи к изменению текущего оптимального решения, и если да, то, как эффективно найти новое оптимальное решение (если оно существует).

В общем случае изменение коэффициентов исходной задачи может привести к одной из следующих четырех ситуаций.

			 Текущее базисное решение остается неизменным.

				 Текущее решение становится недопустимым.

			 Текущее решение становится неоптимальным.

			 Текущее решение становится неоптимальным и недопустимым.

Во второй ситуации можно использовать двойственный симплекс-метод для восстановления допустимости решения. В третьей ситуации мы используем прямой симплекс-метод для получения нового оптимального решения. В четвертой для получения нового оптимального и допустимого решения следует воспользоваться как прямым, так и двойственным симплекс-методом. 

Для объяснения различных процедур анализа чувствительности используем модель фабрики игрушек TOYCO. Фабрика TOYCO собирает три вида детских игрушек: модели поездов, грузовиков и легковых автомобилей. Сборка модели каждого вида требует последовательного применения трех операций. В задаче необходимо определить объемы производства каждого вида игрушек, максимизирующие общий доход. Для удобства изложения материала повторим формулировки прямой и двойственной задач (табл.2.1).


Таблица 2.1.

Прямая задача

Двойственная задача

Максимизировать  при ограничениях

, (операция 1)

, (операция 2)

, (операция 3)

.

Минимизировать 

 при ограничениях

,

,

,

.

Оптимальное решение



Оптимальное решение





Приведем симплекс-таблицу, содержащую оптимальное решение прямой задачи.



Таблица 2.2.

Базис       Решение

        

        

        

        



Изменения, влияющие на допустимость решения.

К недопустимости текущего оптимального решения может привести (1) изменение правых частей ограничений (т.е. изменение элементов вектора ) и (2) введение в множество ограничений задачи нового ограничения. В любом случае недопустимость решения проявится в том, что, по крайней мере, один элемент в векторе  станет отрицательным, т.е. одна или несколько базисных переменных примут отрицательные значения.

Изменение элементов вектора  правых частей ограничений. В следующем примере проиллюстрирован подход к исследованию ситуации, когда изменяется несколько элементов вектора Ь, содержащего значения правых частей ограничений.

Предположим, что фабрика игрушек TOYCO планирует расширить производство своей продукции путем увеличения возможностей сборочных линий на , что даст следующий фонд рабочего времени для каждого вида сборочной операции: ,  и  минут соответственно. Эти изменения влияют только на правые части неравенств ограничений. По формуле  найдем новое решение задачи.







Таким образом, текущие базисные переменные ,  и  с новыми значениями ,  и  по-прежнему составляют допустимое решение. Соответствующее этому решению оптимальное значение целевой функции (максимальный доход) равно .

Хотя новое решение и приводит к увеличению дохода фабрики, реализация мероприятий, необходимых для такого наращивания производства, требует определенного времени. Временной альтернативой такой модернизации производства может служить «перенос» неиспользуемого фонда рабочего времени третьей операции ( минут) в фонд первой. Тогда фонд рабочего времени трех сборочных операций будет равен ,  и  минут соответственно. С учетом новых ограничений получаем следующее решение.





Полученное решение не является допустимым, поскольку теперь . Для возврата в область допустимых решений применим двойственный симплекс-метод. Сначала изменим значения в столбце «Решение» симплекс-таблицы (эти новые значения выделены в следующей симплекс-таблице). Отметим, что соответствующее значение целевой функции равно .



Базис       Решение

        

        

        

        



В соответствии с двойственным симплекс-методом исключаемой переменной будет , а вводимой – . В результате получим следующую симплекс-таблицу с оптимальным допустимым решением. (В общем случае для получения допустимого решения может потребоваться несколько итераций двойственного симплекс-метода).



Базис       Решение

        

        

        

        


По существу, оптимальное решение осталось неизменным. Это означает, что в данном случае «перенос» части фонда рабочего времени третьей операции в фонд рабочего времени первой операции не приводит к улучшению целевой функции.

Интервалы допустимых изменений для элементов вектора . Другой способ исследования влияния изменения доступности ресурсов (т.е. элементов вектора  правых частей неравенств ограничений) заключается в определении интервалов допустимости для этих элементов, сохраняющих текущее решение допустимым. Следующий пример иллюстрирует метод анализа чувствительности.

Пусть в задаче о фабрике игрушек TOYCO нас интересует интервал допустимости для значения фонда рабочего времени первой операции. Заменим вектор  вектором



.



Переменная  представляет изменения фонда рабочего времени первой операции по сравнению с текущим уровнем в  минут. Для того чтобы текущее базисное решение осталось недопустимым, необходимо выполнение неравенства . Отсюда получаем следующую систему неравенств.



.


Первое неравенство  порождает , второе неравенство  не зависит от , третье  дает условие . Таким образом, текущее базисное решение останется допустимым при выполнении неравенств . Это эквивалентно следующему интервалу допустимости для фонда рабочего времени первой операции.

 Фонд рабочего времени операции 

или

 Фонд рабочего времени операции 

Изменения значения целевой функции, соответствующее изменение , равно , где  – стоимость (в долларах) одной минуты фонда рабочего времени первой операции (т.е. двойственная цена этого ресурса).

Чтобы проиллюстрировать использование данного интервала допустимости, предположим, что фонд рабочего времени первой операции изменился от  до  минут. Текущее базисное решение остается допустимым, поскольку новое значение фонда рабочего времени первой операции принадлежит интервалу допустимости. Для вычисления новых значений переменных воспользуемся значением . Далее получим следующее.



.



Для вычисления нового значения целевой функции сначала найдем значения двойственных цен.

.



Таким образом, стоимость одной минуты фонда рабочего времени первой операции равна . Тогда изменение оптимального дохода составит . Следует помнить, что данная стоимость минуты фонда рабочего времени первой операции, равная , справедлива только для указанного выше интервала изменения . Любое изменение, выходящее за этот интервал, приводит к недопустимому решению. В таком случае следует использовать двойственный симплекс-метод для нахождения нового решения, если оно существует.



2.2 Изменения, влияющие на оптимальность решения



Текущее оптимальное решение перестает быть оптимальным, если разности  не удовлетворяют условию оптимальности. Используя вектор двойственных цен , запишем



.



Отсюда следует, что на оптимальность решения влияют только коэффициенты с, целевой функции (и, следовательно, вектор ) и/или стоимости ресурсов, представленные векторами . Рассмотрим последовательно каждый фактор, влияющий на оптимальность решения.

Изменение коэффициентов целевой функции. Для определения влияния изменений коэффициентов целевой функции следует пересчитать разности  только для небазисных переменных, поскольку при любых изменениях коэффициентов , соответствующих базисным переменным, разности  всегда остаются равными нулю.

Вычислительная процедура заключается в следующем.

	Вычисляется вектор двойственных цен  для нового вектора коэффициентов .

	Вычисляются разности  для текущей небазисной переменной . При этом возможны два варианта.

	Если условие оптимальности выполняется, текущее решение остается оптимальным, но значение целевой функции может измениться.

Если условие оптимальности не выполняется, следует применить (прямой) симплекс-метод для получения нового оптимального решения.

Предположим, что фабрика игрушек TOYCO проводит новую ценовую политику относительно своих изделий. В соответствии с этим доход от одной модели поезда, грузовика и легкового автомобиля составляет соответственно ,  и . Получаем новую целевую функцию для этой модели

Максимизировать



.



Поскольку текущее базисное решение  состоит из переменных х2, х3 и х6, имеем . Вычислим вектор двойственных цен.



.


Разности  для небазисных переменных ,  и  вычисляются по формуле :



,

,

.



Отметим, что здесь использовалось новое значение коэффициента целевой функции .

Вычисления показывают, что текущее решение ,  и  остается оптимальным. Новое значение целевой функции равно 



.



Предположим, что в рассматриваемой задаче целевая функция имеет следующий вид.



Максимизировать .



Эта функция совпадает с предыдущей целевой функцией, за исключением того, что коэффициент при переменной  теперь равен . Поэтому необходимо пересчитать только разность . В результате получаем следующее.



	

	
Отсюда следует, что переменную  необходимо включить в базисное решение. Имеем следующую симплекс-таблицу.



Базис       Решение

        

        

        

        



Новые значения разностей  для небазисных переменных ,  и  в симплекс-таблице выделены. Все остальные элементы таблицы остались такими же, как и в исходной таблице с оптимальным решением. Для нахождения нового оптимального решения следует ввести в базис переменную  и исключить из него переменную . В результате получим решение , ,  и 

Кроме того; для исследования влияния коэффициентов целевой функции на оптимальность решения можно также вычислить (по отдельности) интервалы изменения каждого коэффициента, сохраняющие оптимальность текущего решения. Для этого следует заменить текущий коэффициент су выражением , где  — величина (положительная или отрицательная) изменения коэффициента .

Ограничения на величины  можно определить путем вычисления новых разностей  и наложения на них соответствующего условия оптимальности, которое зависит от того, рассматривается ли задача минимизации или максимизации.

Пусть в задаче о фабрике игрушек TOYCO нас интересует интервал допустимости для значения фонда рабочего времени первой операции. Заменим вектор  вектором



.



Переменная  представляет изменения фонда рабочего времени первой операции по сравнению с текущим уровнем в  минут. Для того чтобы текущее базисное решение осталось недопустимым, необходимо выполнение неравенства . Отсюда получаем следующую систему неравенств.



.



Первое неравенство  порождает , второе неравенство  не зависит от , третье  дает условие . Таким образом, текущее базисное решение останется допустимым при выполнении неравенств . Это эквивалентно следующему интервалу допустимости для фонда рабочего времени первой операции.

 Фонд рабочего времени операции 

или

 Фонд рабочего времени операции 

Изменения значения целевой функции, соответствующее изменение , равно , где  – стоимость (в долларах) одной минуты фонда рабочего времени первой операции (т.е. двойственная цена этого ресурса).

Чтобы проиллюстрировать использование данного интервала допустимости, предположим, что фонд рабочего времени первой операции изменился от  до  минут. Текущее базисное решение остается допустимым, поскольку новое значение фонда рабочего времени первой операции принадлежит интервалу допустимости. Для вычисления новых значений переменных воспользуемся значением . Далее получим следующее.



.



Для вычисления нового значения целевой функции сначала найдем значения двойственных цен.



.



Таким образом, стоимость одной минуты фонда рабочего времени первой операции равна . Тогда изменение оптимального дохода составит . Следует помнить, что данная стоимость минуты фонда рабочего времени первой операции, равная , справедлива только для указанного выше интервала изменения . Любое изменение, выходящее за этот интервал, приводит к недопустимому решению. В таком случае следует использовать двойственный симплекс-метод для нахождения нового решения, если оно существует.

	Достаточное правило допустимости. Это упрощенное правило можно использовать для проверки того, что одновременные изменения , , ,  элементов вектора  (правых частей неравенств ограничений) сохранят допустимость текущего решения. Предположим, что правая часть  -го ограничения была изменена на , причем независимо от изменения правых частей других ограничений, и соответствующий интервал допустимости  рассчитан так, как показано в примере 4.7-2. Очевидно, что , поскольку величина  соответствует максимальному уменьшению (возрастанию) значения . Положим  равным или отношению , или  в зависимости от того, будет ли величина  отрицательной или положительной. По определению . Достаточное правило допустимости гласит, что для данных изменений , , ,  достаточным (не необходимым) условием того, что текущее решение останется допустимым, будет выполнение неравенства . Если это условие не выполняется, то текущее решение может быть как допустимым, так и недопустимым. Сформулированное правило неприменимо, если  выходят из своих интервалов допустимости.

В действительности достаточное правило допустимости является очень слабым критерием допустимости решения и на практике применяется редко. Даже в том случае, когда допустимость решения может быть подтверждена с помощью этого правила, все равно для получения нового оптимального решении будет, использовано условие допустимости прямого симплекс-метода.

Добавление новых ограничений. Добавление нового ограничения в существующую модель ЛП может привести к одной из следующих ситуаций.

Новое ограничение является избыточным. Это означает, что новое ограничение выполняется при текущем оптимальном решении.

	Новое ограничение не выполняется при ткущем оптимальном решении. В этом случае необходимо применить двойственный симплекс-метод, чтобы получить (или хотя бы попытаться получить) новое оптимальное решение.

Отметим, что добавление неизбыточного нового ограничения может только ухудшить текущее оптимальное значение целевой функции.

Предположим, что в модели фабрики игрушек TOYCO время выполнения новой четвертой операции составляет соответственно ,  и  минуту при сборке одной игрушки различных видов. В этом случае четвертое ограничение  не будет избыточным, и текущее оптимальное решение ему не удовлетворяет. Мы должны ввести новое ограничение в симплекс-таблицу, где представлено текущее оптимальное решение.



Базис        Решение

         

         

         

         

         



Поскольку переменные  и  являются базисными, из -строки следует исключить соответствующие им коэффициенты (т.е. надо сделать их нулевыми). Для этого надо выполнить следующую операцию.

Новая -строка  Старая -строка (-строка)(-строка)

В результате получим новую симплекс-таблицу.



Базис        Решение

         

         

         

         

         


С помощью двойственного симплекс-метода находим новое оптимальное решение , ,  и 



2.4 Добавление в модель ЛП нового вида производственной деятельности



	Введение в модель линейного программирования нового вида производственной деятельности эквивалентно добавлению новой переменной в задачу ЛП. Добавление нового вида производственной деятельности интуитивно обосновано только в том случае, если эта деятельность экономически рентабельна, т.е. улучшает оптимальное значение целевой функции. Это условие можно проверить путем вычисления для новой переменной разности , где  – вектор оптимальных значений двойственной задачи,  и  – соответственно ресурсы, используемые для обеспечения нового вида деятельности, и доход от единицы "выхода" этой деятельности. Если вычисленное значение разности  удовлетворяет условию оптимальности, то новая деятельность нежелательна, поскольку не улучшает оптимального решения. Если же вычисленное значение разности  не удовлетворяет условию оптимальности, то новый вид деятельности является рентабельным и соответствующая ему переменная должна быть включена в базисное решение.

Оптимальное решение задачи ЛП о фабрике игрушек TOYCO показывает, что производство моделей поездов нерентабельно. Поэтому фабрика планирует заменить производство этих моделей выпуском новых игрушек, а именно моделью пожарной машины, причем ее сборка будет осуществляться с использованием тех же производственных мощностей. Фабрика подсчитала доход от новой игрушки в  за одну модель. Ее время сборки на каждой из трех технологических операций составляет соответственно ,  и  минуты.

Обозначим через  объем производства новой продукции. Поскольку в этой ситуации текущий базисный вектор  не изменился, можно для дальнейших использовать текущий вектор значений переменных двойственной задачи . Вычисляем разность .







Полученный результат показывает, что экономически целесообразно включить переменную  в оптимальное базисное решение. Для нахождения нового оптимального решения сначала вычисляем



.



Отсюда следует, что текущая симплекс-таблица должна быть приведена к следующему виду.



Базис        Решение

         

         

         

         

	

	Теперь новое оптимальное решение можно найти путем введения в базис переменной и исключения из него переменной. Введение в модель ЛП нового вида деятельности, как видно из приведенной выше, можно рассматривать как обобщение ситуации, когда происходит изменение в векторе ресурсов, используемых для существующей деятельности. Поэтому изменение параметров существующего вида деятельности отдельно мы не рассматриваем.

	Предположим, что фабрика игрушек TOYCO изменила конструкцию выпускаемых моделей, и теперь для их производства необходима четвертая сборочная операция. Ежедневный фонд рабочего времени этой операции составляет минут. Время выполнения этой операции при сборке одной игрушки различных видов составляет соответственно ,  и  минуту. В результате получаем новое ограничение: . Это ограничение является избыточным, поскольку оно удовлетворяется при текущем оптимальном решении ,  и . Таким образом, текущее оптимальное решение остается неизменным.


Заключение



В данной работе нашел свое отражение такой способ минимизации риска как анализ модели на чувствительность. На практическом примере работы игрушечной фабрики мы рассмотрели основные способы анализа чувствительности модели. Все они имеют свои преимущества и недостатки, которые должно оценивать лицо, принимающее решение о целесообразности применения того или иного метода в качестве минимизирующего риск. Также в данной работе рассмотрены основные сферы применения анализа модели на чувствительность, то есть – экономические (предпринимательские) риски.


Список использованной литературы



1. Bradley S., Hax A., Magnanti T. Applied Mathematical Programming, Addison-Wesley, Reading, Mass, 1977.

2. Bazaraa M., Jarvis J., Sheraii M. Linear Programming and Network Flows, 2nd ed., Wiley, New York, 1990.

3. Nering E., Tucker A. Linear Programming and Related Problems, Academic Press, Boston, 1992.

4. Ашманов С.А. Линейное программирование. — М.: Наука, 1981.

5. Гольдштейн Е.Г. Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения. — М.: Наука, 1971.

6. Гольдштейн Е.Г., Юдин Д.Б. Линейное программирование: Теория, методы и приложения.— М.: Наука, 1969.

7. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе: Учеб. пособие /А.М. Дубров, Б.А. Лагоша, Е.Ю. Хрусталев, Т.П. Барановская; Под ред. БА. Лагоши. – 2-е изд., пере раб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2001.