Статистические расчеты общего индекса цен себестоимости и коэффициента детерминации

Задача 1



Имеются данные 24 заводов одной из отраслей промышленности (табл.1.1).



Таблица 1.1 

№ завода

Среднегодовая стоимость ОФ, млн. грн. 

Валовая продукция в сопоставимых ценах, грн. 

№ завода

Среднегодовая стоимость ОФ, млн. грн. 

Валовая продукция в сопоставимых ценах, грн. 

1

2

3

4

5

6

1

1,7

1,5

13

1,2

1,1

2

3,9

4,4

14

7

7,7

3

3,5

4,5

15

4,6

5,6

4

4,9

4,5

16

8,1

7,8

5

3,2

2

17

6,4

6

6

5,1

4,4

18

5,5

8,5

7

3,3

4

19

6,7

6,5

8

0,5

0,2

20

1

0,8

9

3,2

3,6

21

4,8

4,5

10

5,6

7,8

22

2,7

2,5

11

3,6

3

23

2,8

3,2

12

0,9

0,7

24

6,8

6,8



С целью изучения зависимости между среднегодовой стоимостью основных производственных фондов и выпуском валовой продукции произведите группировку по среднегодовой стоимости основных фондов, образовав 4 группы заводов с равными интервалами. По каждой группе и совместимости заводов подсчитайте:

1) число заводов;

2) среднегодовую стоимость основных фондов - всего и в среднем на один завод;

3) стоимость валовой продукции - всего и в среднем на один завод;

4) уровень фондоотдачи по группам. Результаты представьте в виде групповой таблицы. Сделайте выводы.

Решение:

1. Определим величину интервала группировочного признака.

Среднегодовая стоимость основных фондов является группировочным признаком.



 



где xmax - максимальное значение;

xmin - минимальное значение группировочного признака;

 - число образуемых групп.

2. Определим границы интервалов.



xmin  0,5 … 2,4

2,4 … 4,2

4,2 … 6,3

6,3 … 8,1  xmax



Составим вспомогательную таблицу.



Таблица 1.2 Вспомогательная таблица. 

№ п/п

Группы по с/г стоимости ОФ

Номер завода

Среднегодовая стоимость ОФ, млн. грн. 

Валовая продукция в сопост. ценах, грн. 

1

0,5 - 2,4

1

1,7

1,5





8

0,5

0,2





12

0,9

0,7





13

1,2

1,1





20

1

0,8

 

Итого

5

5,3

4,3

2

2,4 - 4,3

2

3,9

4,4





3

3,5

4,5





5

3,2

2





7

3,3

4





9

3,2

3,6





11

3,6

3





22

2,7

2,5





23

2,8

3,2

 

Итого

8

26,2

27,2

3

4,3 - 6,2

4

4,9

4,5





6

5,1

4,4





10

5,6

7,8





15

4,6

5,6





18

5,5

8,5





21

4,8

4,5

 

Итого

6

30,5

35,3

4

6,2 - 8,1

14

7

7,7





16

8,1

7,8





17

6,4

6





19

6,7

6,5





24

6,8

6,8

 

Итого

5

35

34,8

 

Всего

24

97

101,6



Групповые показатели рабочей таблицы и вычисленные на их основе средние показатели занесем в сводную аналитическую таблицу.



Таблица 1.3 Группировка заводов по среднегодовой стоимости ОФ. 

Группы, № п\п

Группы по ср/г стоимости ОФ

Количество заводов, шт. 

Средняя ср/год ст-ть ОФ, млн. грн. 

Валовая продукция в сопоставимых ценах, грн









всего

на один завод

А

Б

1

2

3

4

1

0,5 - 2,4

5

1,06

4,3

0,86

2

2,4 - 4,3

8

3,275

27,2

3,4

3

4,3 - 6,2

6

5,08

35,3

5,88

4

6,2 - 8,1

5

7

34,8

6,96

 

Итого

24

4,1

101,6

4,2



Среднегодовая стоимость ОФ: Стоимость валовой продукции:



5,3/5 = 1,064,3/5 = 0,86

26,2/8 = 3,27527,2/8 = 3,4

30,5/6 = 5,08 35,3/6 = 5,88

35/5 = 7 34,8/5 = 6,96

Итого: 97/24 = 4,1 Итого: 101,6/24 = 4,2



Вывод: с ростом среднегодовой стоимости основных фондов растет стоимость валовой продукции, следовательно, между изучаемыми показателями существует прямая зависимость.



Задача 2



Имеются данные по двум заводам, вырабатывающим однородную продукцию (табл.2)



Таблица 2

Номер завода

1998 год

1999 год



Затраты времени на единицу продукции, ч

Изготовление продукции, шт. 

Затраты времени на единицу продукции, ч

Затраты времени на всю продукцию, ч

1

2,5

150

1,9

380

2

3,2

250

3,4

850



Вычислите средние затраты времени на изготовление единицы продукции по двум заводам с 1998 по 1999 годы. 

Укажите, какой вид средней необходимо применить при вычислении этих показателей.

Решение:

Если в статистической совокупности дан признак xi и fi его частота, то расчет ведем по формуле средней арифметической взвешенной.





2,9 (ч)



Если дан признак xi, нет его частоты fi, а дан объем M = xifi распространения явления, тогда расчет ведем по формуле средней гармонической взвешенной:





2,7 (ч)



В среднем затраты времени на изготовление единицы продукции в 1998 году выше, чем в 1999 г.



Задача 3



Для определения средней суммы вклада в сберегательных кассах района, имеющего 9000 вкладчиков, проведена 10% -я механическая выборка, результаты которой представлены в табл.3.



Таблица 3. 

Группы вкладов по размеру, грн. - xi

До 200

200-400

400-600

600-800

Св.800

Итого

Число вкладчиков - fi

85

110

220

350

135

900



100

300

500

700

900



x - A

-600

-400

-200

0

200





-3

-2

-1

0

1





-255

-220

-220

0

135

-560



-475

-275

-75

125

325





225625

75625

5625

15625

105625





19178125

8318750

1237500

5468750

14259375

48462500



По данным выборочного обследования вычислить:

применяя способ моментов:

а) среднюю сумму вкладов;

б) дисперсию и среднее квадратическое отклонение вклада;

коэффициент вариации;

с вероятностью 0,954 возможные границы, в которых находится средняя сумма вкладов в сберкассе района;

с вероятностью 0,954 возможные границы, в которых находится удельный вес вкладчиков, вклад которых не превышает 400 грн.

Решение:

Среднюю сумму вкладов способом моментов определим по формуле:







где А - постоянная величина, на которую уменьшаются все значения признака.

В вариационных рядах с равными интервалами в качестве такой величины принимается варианта ряда с наибольшей частотой.

i = величина интервала.

Находим середины интервалов: 



200 + 400/2 = 300 - для закрытых интервалов;



Для открытых интервалов вторая граница достраивается: 



0 + 200/2 = 100



Величина интервала i = 200.

Наибольшая частота равна 350, следовательно А = 700.







Вывод: в среднем сумма вкладов составляет 575 грн.



Дисперсия: ;

Коэффициент вариации: 

Среднеквадратичное отклонение: ;



Задача 4



Имеются данные о младенческой смертности на Украине (табл.4.1).



Таблица 4.1

Год

1990

1995

1996

1997

1998

1999

Умерло детей в возрасте до 1 года (всего), тыс. чел. 

12,5

11,7

11,9

10,6

9,4

9,2



Для анализа ряда динамики исчислите:

1) абсолютный прирост, темпы роста и прироста (по годам и к базисному 1995 г), абсолютное содержание 1% прироста (полученные показатели представьте в виде таблицы);

2) среднегодовой темп роста и прироста младенческой смертности: а) с 1990 по 1996 годы; б) с 1995 по 1999 годы; в) с 1990 по 1999 годы. Изобразите исходные данные графически. Сделайте выводы.

Решение:

1. Абсолютный прирост (Δi) определяется как разность между двумя уровнями динамического ряда и показывает, на сколько данный уровень ряда превышает уровень, принятый за базу сравнения Δi=yi-yбаз, где yi - уровень сравниваемого периода; yбаз - базисный уровень.

При сравнении с переменной базой абсолютный прирост будет равен Δi=yi-yi-1, где yi - уровень сравниваемого периода; yi-1 - предыдущий уровень.

Темпы роста определяются как процентное отношение двух сравниваемых уровней: 

При сравнении с базисом: 



. 



По годам: 



.



Темп прироста показывает, на сколько процентов уровень данного периода больше (или меньше) базисного уровня. 



По отношению к базисному: 



; 



по годам: 







или можно вычислять так: 



Тп=Тр-100%.



Абсолютное содержание 1% прироста - сравнение темпа прироста с показателем абсолютного роста: 



.



2. Среднегодовая младенческая смертность вычисляется по формуле: 



.





3. Среднегодовой абсолютный прирост вычисляется по формуле: 



.





4. Базисный темп роста с помощью взаимосвязи цепных темпов роста вычисляется по формуле: 



.



5. Среднегодовой темп роста вычисляется по формуле: 



.



Среднегодовой темп прироста вычисляется по формуле: 



.



Рассчитанные данные представим в таблице 4.2



Таблица 4.2

Год

Умерло, тыс. чел. 

Абсол. прирост

Ср. год. темп роста

Ср. год. темп прироста

Аі





цепн. 

базисн. 

цепн. 

базисн. 

цепн. 

базисн. 



1990

12,3

-

0,7



102,973



2,973046



1995

11,6

0,7

0

98,83

100

-1,16504

0

0,123

1996

11,1

0,5

0,5

97,82

97,82109

-2,17891

-2,17891

0,116

1997

10,6

0,5

0

97,72

95,59253

-2,2782

-4,40747

0,111

1998

9

1,6

1,6

92,14

88,08303

-7,85573

-11,917

0,106

1999

9,3

-0,3

-1,9

101,65

89,53905

1,653005

-10,461

0,09







В качестве базисного берем 1995 г.



Среднегодовой темп роста

с 1990 по 1996

98,30

с 1995 по 1999

94,63

с 1990 по 1999

96,94

Среднегодовой темп прироста

с 1990 по 1996

-1,70

с 1995 по 1999

-5,37

с 1990 по 1999

-3,06







Задача 5



Реализация товаров на колхозном рынке характеризуется данными представленными в табл.5.



Таблица 5. 

Наименование товара

Базисный период

Отчетный период



Количество, тыс. кг. 

Цена 1 кг., грн

Количество, тыс. грн. 

Цена 1 кг., грн

Картофель

15,5

0,4

21

0,6

Мясо 

3,5

5,5

4

8



Определите:

1) общий индекс физического объема продукции;

2) общий индекс цен и абсолютный размер экономии (перерасхода) от изменения цен;

3) на основании исчисленных индексов определить индекс товарооборота.

Решение.

Индекс представляет собой относительную величину, получаемую в результате сопоставления уровней сложных социально-экономических показателей во времени, в пространстве или с планом.

Индивидуальными называются индексы, характеризующие изменения только одного элемента совокупности.

Общий индекс отражает изменение по всей совокупности элементов сложного явления.

Стоимость - это качественный показатель.

Физический объем продукции - количественный показатель.

Общий индекс физического объема продукции вычисляется по формуле: 



,



где p0 и р1 - цена единицы товара соответственно в базисном и отчетном периодах; q0 и q1 - количество (физический объем) товара соответственно в базисном и отчетном периодах. Количество проданных товаров увеличилось на 19,4%. 

Или в деньгах: 30,4 - 25,45 = 4,95 тыс. грн.

Общий индекс стоимости вычисляется по формуле: 







Следовательно, цены на данные товары в среднем увеличились на 46,7%.

Сумма сэкономленных или перерасходованных денег:

сумма возросла на 46,7%, следовательно, население в отчетном периоде на покупку данных товаров дополнительно израсходует: 44,6 - 30,4 = 14,2 тыс. грн.

Общий индекс товарооборота вычисляется по формуле: 









Товарооборот в среднем возрос на 75,2%.

Взаимосвязь индексов:





1,467 * 1, 194 = 1,752



Задача 6



Имеются данные о выпуске одноименной продукции и её себестоимости по двум заводам (табл.6).




Таблица 6. 

Завод

Производство продукции, тыс. шт. 

Себестоимость 1 шт., грн. 



I квартал

II квартал

I квартал

II квартал

I

120

180

100

96

II

60

80

90

100



Вычислите индексы:

1) себестоимости переменного состава;

2) себестоимости постоянного состава;

3) структурных сдвигов. Поясните полученные результаты.

Решение.

Индекс себестоимости переменного состава вычисляется по формуле:







где z0 и z1 - себестоимость единицы продукции соответственно базисного и отчетного периодов;

q0 и q1 - количество (физический объем) продукции соответственно в базисном и отчетном периодах.







Индекс показывает, что средняя себестоимость по двум заводам повысилась на 0,6%, это повышение обусловлено изменением себестоимости продукции по каждому заводу и изменением структуры продукции (увеличением объема выпуска).

Выявим влияние каждого из этих факторов.

Индекс себестоимости постоянного состава вычисляется по формуле:









То есть себестоимость продукции по двум заводам в среднем возросла на 0,3%.

Индекс себестоимости структурных сдвигов вычисляется по формуле: 



 или 





Взаимосвязь индексов: 





1,003 * 1,003 = 1,006



Вывод:

Индекс себестоимости переменного состава зависит от изменения уровня себестоимости и от изменения объема производства, т.е. средний прирост себестоимости составил 0,6%.

Индекс себестоимости постоянного состава показывает изменение себестоимости при фиксированном объеме производства, т.е. в среднем по заводам себестоимость повысилась на 0,3%. Индекс себестоимости переменного состава выше, чем индекс себестоимости постоянного состава, это свидетельствует о том, что произошли благоприятные структурные сдвиги. Индекс структурных сдвигов равен 1,003%, т.е. за счет изменения объемов производства по заводам средняя себестоимость повысилась на 0,3%.



Задача 7



Для изучения тесноты связи между выпуском валовой продукции на один завод (результативный признак Y) и оснащенностью заводов основными производственными фондами (факторный признак X) по данным задачи 1 вычислить коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

Решение: показателем тесноты связи между факторами, является линейный коэффициент корреляции. Линейный коэффициент корреляции вычислим по формуле:



.



Линейное уравнение регрессии имеет вид: y=bx-а.

Коэффициент детерминации показывает насколько вариация признака зависит от фактора, положенного в основу группировки и вычисляется по формуле:







где 2 - внутригрупповая дисперсия; 2 - общая дисперсия.

Общая дисперсия характеризует вариацию признака, который зависит от всех условий в данной совокупности. Межгрупповая дисперсия отражает вариацию изучаемого признака, которая возникает под влиянием фактора, положенного в основу группировки и рассчитывается по формуле:







где среднее значение по отдельным группам; fi - частота каждой группы.







Средняя из внутригрупповых дисперсия: 







где  - дисперсия каждой группы.







Эмпирическое корреляционное отношение рассчитывается по формуле:







Все расчетные данные приведены в таблице 7.


Таблица 7

№ завода

Среднегодовая стоимость ОФ, млн. грн. (X) 

Валовая продукция в сопоставимых ценах, грн. (Y) 

X^2

Y^2

XY

1

1,6

1,5

2,56

2,25

2,55

2

3,9

4,2

15,21

17,64

17,16

3

3,3

4,5

10,89

20,25

15,75

4

4,9

4,4

24,01

19,36

22,05

5

3,0

2,0

9

4

6,4

6

5,1

4,2

26,01

17,64

22,44

7

3,1

4,0

9,61

16

13,2

8

0,5

0,4

0,25

0,16

0,1

9

3,1

3,6

9,61

12,96

11,52

10

5,6

7,9

31,36

62,41

43,68

11

3,5

3,0

12,25

9

10,8

12

0,9

0,6

0,81

0,36

0,63

13

1,0

1,1

1

1,21

1,32

14

7,0

7,5

49

56,25

53,9

15

4,5

5,6

20,25

31,36

25,76

16

8,1

7,6

65,61

57,76

63,18

17

6,3

6,0

39,69

36

38,4

18

5,5

8,4

30,25

70,56

46,75

19

6,6

6,5

43,56

42,25

43,55

20

1,0

0,9

1

0,81

0,8

21

4,7

4,5

22,09

20,25

21,6

22

2,7

2,3

7,29

5,29

6,75

23

2,9

3,2

8,41

10,24

8,96

24

6,8

6,9

46,24

47,61

46,24

Итого

95,6

100,8

485,96

561,62

523,49

Среднее

3,824

4,032

19,4384

22,4648

21,81








Подставив вычисленные значения в формулу, получим:

Коэффициент детерминации 2 = 0,87.

Эмпирическое корреляционное отношение имеет вид: у = 1,0873х - 0,161.

Линейный коэффициент корреляции r = 0,93.

a=0,161b=1,0873

Так как значение коэффициента корреляции близко к единице, то между выпуском валовой продукции и оснащенностью заводов основными производственными фондами есть тесная зависимость.

b - коэффициент регрессии, т.к b > 0, то связь прямая.


Список использованной литературы



1. Адамов В.Е. Факторный индексный анализ. - М.: Статистика, 1997.

2. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник. - М.: Финансы и статистика, 2004.

3. Ефимова М.Р., Рябцев В.Ф. Общая теория статистики: Учебник. М.: Финансы и статистика, 1999.