Використання алгебри матриць

Використання алгебри матриць.

В економічний задачах алгебра матриць використовується як засіб збереження інформації в табличній формі.

Приклад 1.

Сезонний продаж товарів трьох видів (α, β, γ) здійснюють три магазини (12 3). Обсяги реалізації цих товарів (в грош. од.) кожним магазином представлено у вигляді матриць

; В = ; С = ,

де в рядках вказано суми, отримані кожним магазином за відповідний сезон (зима, весна, літо, осінь), а в стовпчиках – суми, отримані за продаж відповідного товару (α, β, γ) . Потрібно: 1) перевірити, що суми реалізації товарів першого і третього магазинів разом більші, ніж другого; 2) записати у вигляді матриці сукупні суми реалізації товарів трьома магазинами.

Розв'язування.

Знаходимо обсяг реалізації товарів кожного виду першим і третім магазинами. Він дорівнює сумі А+С:

А+С = 

	Порівнюючи елементи матриці А+С з відповідними елементами матриці В, легко пересвідчитися, що у кожному сезоні перший і третій магазини разом продали кожному виду товарів більше, ніж другий магазин. Щоб записати у вигляді матриці дані про сукупний продаж магазинів, знайдемо матрицю А+В+С:

А+В+С = 

Приклад 2.

Випуск готової продукції п'яти підприємств включає чотири види виробів (α, β, γ, δ). Для їх виробництва використовуються три різні типи сировини (І, ІІ, ІІІ). Дані щоденної продуктивності підприємств з кожного виробу (число виробів за дань) і витрат сировини на одиницю виробу (кг/шт.), а також число днів роботи кожного підприємства і вартість у гривнях 1 кг сировини кожного типу, наведено в таблиці.

Вироби

Продуктивність підприємств шт. /день

Витрати сировини, кг/шт.



1

2

3

4

5

І

ІІ

ІІІ

α

6

10

0

6

2

5

3

4

β

4

3

0

4

5

10

4

6

γ

0

15

10

3

4

2

5

5

δ

3

5

8

7

6

4

8

6



Час роботи підприємств (дн.)

Ціна сировини (грн./кг)



100

200

140

150

170

30

20

50

Потрібно визначити:

а) сумарну продуктивність кожного підприємства по кожному з виробів за весь виробничий період);

б) потреби кожного підприємства у різних типах сировини;

в) розміри кредитування підприємств для закупівлі сировини.

Розв'язування.

Розглянемо матрицю А, що характеризує продуктивність підприємств, матрицю В – витрат сировини і С – матрицю цін, тоді

Продуктивність підприємств			Вид виробу

         1    2    3   4  5 			       1   2   3   4

А = Вид виробу В = Вид сировини

С= (30 20 50).

а) Кожний стовпчик матриці А відповідає денній продуктивності окремого підприємства з кожного виду продукції. Щоб отримати річну продуктивність j-го підприємства (j=1,2,3,4,5), потрібно помножити j-тий стовпець матриці А на кількість робочих днів цього підприємства. Час роботи кожного з підприємств запишемо у вигляді діагональної матриці

Т = 

Тоді загальна продуктивність за виробничий період є добуток матриць А.Т:

АТ =  = 

підприємства



 вироби

б) Витрати сировини кожного підприємства є добуток В.(АТ):

В.АТ =    =



в) Вартість річного запасу сировини одержуємо як добуток матриці цін С на матрицю витрат В(АТ):

D = C.(B.(AT)) = (30 20 50)=

(692000 3038000 1223600 157500 1587800).

Отже, величини кредитування j-го підприємства на закупівлю сировини визначаються компонентами матриці D.

Економічні задачі, що зводяться до систем лінійних рівнянь.

Приклад 3.

Для випуску виробів трьох видів (α, β, γ) підприємство використовує сировину 3-х типів (S1, S2, S3). Норми витрат кожного з типів сировини на один виріб і обсяг витрат сировини за один день задано таблицею:

Вид сировини

Норми витрат сировини на один виріб, ум. од.

Витрати сировини за  день, ум. од



α

β

γ



S1

9

3

4

2700

S2

7

1

6

2700

S3

14

5

6

4200



Знайти щоденний обсяг випуску кожного виду виробів.

Розв'язування.

Припустимо, підприємство щодня виробляє х1 одиниць виробів виду α, х2 одиниць – виду β і х3 одиниць виробів виду γ. Тоді, відповідно з витратами 

Сировини кожного виду, маємо систему: 

	Розв'Язавши цю систему, знайдено х1=100, х2=200, х3=300. Це означає, що підприємство щоденно виробляє 100 виробів виду α, 200 виробів виду β і 300 виробів виду γ.



Приклад 4.

Два заводи виготовляють апарати для двох підприємство. Підприємствам необхідно отримати 120 і 80 апаратів відповідно. Перший завод випустив 150 апаратів, а другий – 50. Витрати на перевезення апаратів із заводів кожного підприємства такі:

Завод

Витрати на перевезення, грош.од.



1

2

1

10

20

2

5

25



Мінімальні витрати на перевезення становлять 2850 грош.од. Знайти оптимальний план перевезення апаратів.

Розв'язування.

Позначимо хij – кількість апаратів, що надходять з і-го заводу до j-го підприємства. Тоді можемо скласти таку систему:



Розв'язавши систему, наприклад, методом Гаусса, знайдемо х11=100, х12=50, х21=20, х22=30.