Кинематика, динамика статика. Задачи

вправа 14.

1)Тіло масою 2 кг тягнуть гладенькою горизонтальною поверхнею за допомогою пружини, яка лежить горизонтально і під час руху видовжилась на 1 см. Жорсткість пружини 100 Н/м. З яким прискоренням рухається тіло ?
Дано:

m =2 кг

k =100 Н/м

∆l = 1см=0,01 м

Знайти: a

Рішення: На тіло діють наступні сили

- сила натяжіння пружини F1

- сила тяжіння F2

- сила тертя (=0, тому що поверхня гладенька за умови задачі, тобто коефіцієнт тертя дорівнює 0)



За законом Гука сила натяжіння пружини F1 = ∆l ∙ k.

За другим законом Ньютона в проекції на горизонтальну вісь F1 = m ∙ а

m ∙ а = ∆l ∙ k     →     а = ∆l ∙ k/m = 0,01∙м∙100∙Н∙м-1/2∙кг = 0,5∙Н/кг=0,5м/с2

Відповідь: тіло рухається з прискоренням 0,5м/с2.


2)Автомобіль масою 1000кг підчас гальмування зупиняється за 5 с під дією постійної сили, проходячи при цьому відстань 25 м. З яким прискоренням рухається автомобіль ? Яка початкова швидкість автомобіля ? Чому дорівнює сила тертя ?
Дано

m=1000∙кг

t=5∙с

	s=25∙м

	v1=0∙м/с	

a=?

v0=?

F=?

Рішення

При рівноприскореному русі маємо систему рівнянь:

v1= v0+a∙t

s=v0∙t+a∙t2/2



0= v0+a∙5  ↔ v0 =-a∙5  v0 =-(-2)∙5 = 10∙м/с

25= v0∙5+a∙52/2 ↔ 25= -a∙5∙5+a∙52/2  ↔ 1=-a+а/2 ↔ а=-2∙м/с2

За другим законом Ньютона сила F = m ∙ а = 1000∙кг∙-2∙м/с2=-2000∙Н

Відповідь: автомобіль рухається з прискоренням -2∙м/с2, початкова швидкість автомобіля 10∙м/с, сила тертя дорівнює -2000∙Н.


5)Під дією сталої сили 40 Н тіло рухається прямолінійно так, що залежність координати від часу описується рівнянням x= 5 + 2t - t*t( t в квадраті)(м).
З яким прискоренням рухається тіло ? Яка маса рухомого тіла ? Яку швидкість має тіло через 3 с після початку руху ?

Дано

F=-40 Н

x=5+2t-t2
t1=3c	

a=?

m=?

v1=?

Рішення

За другим законом Ньютона прискорення а = F / m, а сила тіла стала за умови задачі (маса також) тому ріло рухається рівноприскорено. Рівняння рівноприскореного руху мають наступний загальний вигляд:

v1= v0+a∙t

s1= s0 + v0∙t+a∙t2/2

Тому s1 = x тотожно для всіх t:

s0 + v0∙t+a∙t2/2 ≡ 5+2t-t2→ s0=5м, v0=2м/с, a/2=-1 → a=-2 м/с2

За другим законом Ньютона m = F / а = -40/(-2)=20кг

v1= v0+a∙t1 = 2-2∙3 = 2-6 = -4 м/с.

Відповідь: тіло рухається з прискоренням -2 м/с2, маса рухомого тіла 20кг, через 3с після початку руху тіло має швидкість -4 м/с.


6)Яку швидкість повинен мати автомобіль, щоб проїхати по опуклому мосту за радіусом кривини 40 м, спричинивши мінімальнудію на нього ?

Дано R=40 м.
Рішення

Прискорення тіла, яке рівномірно рухається по колу дорівнює:

а=v2/R

У верхній частині моста сила тяжіння повинна дорівнювати центробіжній силі:

mg=ma=m∙v2/R ↔ gR=v2 ↔ 

Відповідь: автомобіль повинен мати швидкість приблизно рівну 20м/с = 72км/ч.


7)Тіло починає зісковзувати з вершини сферичної поверхні, радіус якої становить 5 м, зі швидкістю 5 м/с. З яким кутом відхилення від вершини воно відірвться від поверхні ?
Рішення: Умова відриву: центробіжна сила F2 = F1 проекції сили тяжіння F на радіус-вектор (див. малюнок):



F2 = ma = m∙(v12/R)

F1 = mg cos α

F2 = F1



mg cos α = m∙(v12/R)   ↔ v12 =Rg cos α



Додаткова умова: збереження повної енергії системою: зростання кінетичної енергії тіла дорівнює зменшенню його потенційної енергії:

Е1-Е0=∆H∙m∙g ↔ mv12/2-mv02/2 = (R-R cos α)mg ↔ v12-v02=2g(R-R cos α)

Підставляємо в останнє рівняння вираз для v12 отриманий вище і знаходимо cos α:

Rg(cos α) -v02 = 2g(R-R cos α) ↔ cos α= (v02 + 2gR)/(3gR) = 2/3 + v02/(3gR) ≈ 2/3 + 52/(3∙10∙5) = 2/3+1/6= =5/6 

Отже cos α ≈ 5/6. За таблицею значень косинусів знаходимо кут, який відповідає цьому значення косинуса  α ≈ acos(5/6)=34°

Відповідь: тіло відірветься від поверхні з кутом відхилення від вершини приблизно 34°.



вправа 15.

1)До кінців стержня завдовжки 80 см і масою 10 кг підвісили тягарі, маси яких дорівнюють 1кг і 10 кг. У якій точці потрібно підвісити стержень, щоб вінперебував у рівновазі в горизонтальному положенні ?

Нехай точка підвісу знаходиться на відстані х від ваги у 1кг. Тоді довжина плеча ваги у 10кг дорівнюватиме (0,8-х). А плече сили тяжіння на центр мас стержня дорівнюватиме (0,4-х).

Сума моментів повинна дорівнювати нулю:

х∙1= (0,4-х)∙10+(0,8-х)∙10

х= 4-10х+8-10х=12-20х

21х=12

х=12/21=4/7≈0,57м=57см

Відповідь: стержень потрібно підвісити на відстані 57см від кінця з тягарем масою 1кг.


2) Балка вагою 1400 Н підвішена на двох канатах. Яка сила натягу цих канатів, якщо відстань від центра мас балки до точок підвісу 3м і 1м відповідно ?

Вот эта же задача, но в нормальной формулировке:

Однородная балка массой m = 140 кг и длиной l подвешена на двух вертикальных канатах. Первый канат прикреплен на расстоянии l1 = 1,0 м от центра балки, а второй – на расстоянии l2 = 3,0 м. Модуль силы F натяжения первого каната равен: 

Перша умова рівноваги: сума всих сил дорівнює нулю: Т1+Т2+(-1400)=0

Друга умова рівноваги: сума моментів дорівнює нулю: Т1 l1+(- Т2 l2)=0 ↔ Т1 1=3 Т2



Підставляємо вираз для Т1 у перше рівняння:

3 Т2+Т2=1400

4 Т2=1400

Т2=350 Н

Т1 =3 Т2=3 350=1050 Н

Відповідь: сила натягу канату на відстані 3м від центра балки (Т2) дорівнює 350Н, сила натягу другого канату дорівнює 1050Н.