Конспект урока по алгебре "Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии" 9 класс

Назиева А.П. учитель математики

МБОУ Петрово-Дальневской СОШ

Красногорского района Московской области.



Открытый урок алгебры в 9 классе на тему:

«Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии».



Форма урока – традиционный.

Цель урока: вывести формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии и научить ее применять при решении упражнений.



Ход урока.



 Организационный момент.

Проверка домашней работы. (Проверка с помощью мультимедийного проектора)

№ 389б

     Дано: (xn) – геометрическая прогрессия, x1 = - 810; q = 

           Найти: x8

           Решение:  x8 = x1q7; x8 = - 810 ∙(  )7 = - - 

           Ответ:  x8 = - 

     № 391  

              Дано:  2; -6;… - геометрическая прогрессия

              Найти:   b7  и q

              Решение:   b7 = b1q6 ; b1 =2; q =  = -3;

                                  b7 = 2 ∙ (-3)6 = 2∙ 729 = 1458

            Ответ: b7 = 1458

   № 404

             Дано: (an) -  арифметическая прогрессия

                           a1 = -45,6; a15 = 2

             Найти: S50.

                  Решение:

a15 = a1+14d                  2) S50 =  ∙ 50 = (2∙ (-45,6)+49∙3,4)∙25=1885           

2 = -45,6 +14d

                 14d = 47,6

                  d = 47,6: 14

                  d =3,4

             Ответ: S50 = 1885.



Повторить устно:

Степени чисел 2 и 3;

Свойства степеней с одинаковыми показателями;

Формулу n-го члена геометрической прогрессии.



Объяснение нового материала.

Сообщение ученика из книги Я.И.Перельмана «Живая математика»: «Легенда о шахматной доске» (стр.87-90).

Выводим формулу суммы n – первых членов произвольной геометрической прогрессии.(учитель)

 Пусть дана геометрическая прогрессия (bn).

Обозначим сумму n – первых ее членов через Sn.

              Sn. = b1+ b2+ b3+…+ bn-2+ bn-1+ bn      (1)

             Умножим обе части этого равенства на  q:

                           Sn q = b1 q + b2 q + b3 q +…+ bn-2 q + bn-1 q + bn q

             Учитывая, что b1 q= b2; b2 q= b3; b3 q= b4; …; bn-2 q= bn-1; bn-1 q= bn, получим:

                           Sn q = b2+ b3+…+ bn-2+ bn-1+ bn + bn q         (2)  

      Вычтем почленно из равенства (2) равенство (1)  и приведем подобные члены:

            Sn q - Sn = (b2+ b3+…+ bn-2+ bn-1+ bn + bn q) – (b1+ b2+ b3+…+ bn-2+ bn-1+ bn) = bn q- b1;

            Sn q - Sn = bn q- b1;

            Sn (q – 1) = bn q- b1;

Отсюда, при  q  1:         

            

              Sn = 

Получили:  

             Sn =  q  1 - формула  суммы n первых членов геометрической прогрессии.

 Если q=1, то все члены геометрической прогрессии равны первому члену и Sn = nb1.

Мы знаем, что bn= b1 qn-1.

Подставим это в формулу суммы.



         Sn = =  =  = ,  q  1



            

          Итак,   Sn =  при q  1 - формула  суммы n первых членов геометрической прогрессии.



   Пример1.  

           Дано: геометрическая прогрессия (bn).

                      b1 = 5; q= 

            Найти: S10.

            Решение:       S10 = .

                        S10 =  =  =  = -  +10 = 10 -  = 9.



          Ответ:  S10 = 9.



      Пример2.  

                 Дано:   (bn) - геометрическая прогрессия.         

                               b3 = 12,    b5 = 48

                 Найти:S6

                 Решение: b5 = b1q4 = b3q2; q2 =  =  = 4; q = 2 или  q = -2;

                 Если q = 2, то b1 =  =  = 3; S6 =  =  = 3∙(64-1) = 189;

                 Если q = -2, то b1 =  =  = 3; S6 =  =  = -(64-1) = -63.

            Ответ: 189; -63.



Физкультминутка. Разминка для глаз.

Решение упражнений.



№408б (один учащийся -  у доски, решаем вместе с классом)

           Дано:   (bn) - геометрическая прогрессия,  b1 = 500; q= ;

           Найти:S5

    S5 = 

    S5 =  =  =  =  =  = 624 .

   Ответ: 624 .



№ 410аб (решаем по вариантам, двое учащихся – за крыльями доски, остальные решают самостоятельно, затем вместе проверяем).



Дано: (cn) - геометрическая прогрессия,  c1 = -4; q=3;

 Найти: S9

Решение:    S9 = .

 S9 =  =  = -2 -39364

Дано: (cn) - геометрическая прогрессия, c1 = 1; q=-2;

 Найти: S9

Решение: S9 = .

S9 =  =  =  171



Подведение итогов урока.

 Повторяем формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии.

Д/з  п.19, № 392а,408а,409а,419б