Конспект урока по Алгебре "КВМ" по квадратным уравнениям" 8 класс

"КВМ" по квадратным уравнениям

Урок-КВМ  расчитан на 2 урока

Цели:

Образовательные :  повторение различных  способов решения квадратных уравнений, проверка умений верно и рационально решать квадратные уравнения, повторение квадратных корней и их свойств. 

Развивающие: способствовать формированию умений обобщать, сравнивать, выделять главное, развивать математический кругозор, мышление, внимание и память.

Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к математике.

Методическое обеспечение:  электронная доска, ноутбук,медиапроектор, высказывание на плакате, ромашка, лепестки ромашки с уравнениями, карточки с уравнениями.

План урока:

1.Представление команд и жюри.

2.Устная разминка команд.

вычислить

конкурс теоретиков

конкурс на лучшего вычислителя.

3.Конкурс " Ромашка"

4. Работа по карточкам

5..Конкурс "Изюминка"

6.Подведение итогов.

7.Рефлексия.

Ход урока:

1.Представление команд.

1команда- "уравнения"

2команда-"корни"

3 команда-"дискриминант"

2.Устная разминка команд.

а) Вычислить

На электронной доске представлены задания командам. К доске выходят по одному представителю команды , решают  задания и  выбирают из предложенных ответов верные.

1команда                        2 команда                           3 команда

                                

                                                                

                                                                       

Варианты ответов:                  

2,1;  4 ;  a2                              1,2;  2 ; 1b2                          0,8; 3; 1с25

2,01;  -  ; 2 a2                        1,02; - ; 2b2                        0,08; - ; 1c2

б)Конкурс теоретиков -задать командам по 2 вопроса (выполняется одновременно с заданием а).Вопросы на электронной доске.

1 команда

1.Дать определение квадратного уравнения..

2.В каком случае квадратное уравнение не имеет корней.

2 команда

1.Сформулировать теорему Виета.

2. В каком случае квадратное уравнение имеет два корня.

3 команда

1.Записать формулу дискриминанта и корней квадратного уравнения.

3.В каком случае квадратное уравнение имеет один корень.

в) Конкурс на лучшего вычислителя.

На доске записан пример, который команды решают вместе за своим столом.

(+ )*

 3.Конкурс "Ромашка"

На доске ромашка из 8 лепестков. На каждом лепестке приведенное квадратное уравнение. Каждому члену команды раздаю по одному лепестку .Необходимо решить  все восемь уравнений по теореме Виета и найти сумму всех найденных корней., должно  получится число, записанное на обратной стороне сердцевины.

Уравнения:

1) x2-7x+12=0          x=3;4.

2) x2+18x+32=0        x=-16;-2.

3 )x2-5x-14=0            x=-2;7.

4) x2+5x+6=0            x=-3;-2.

5) x2-8x+12=0           x=2;6.

6) x2-12x+11=0         x=1;11.

7) x2-7x+10=0           x=5;2.

8) x2+2x-8=0             x=-4;2.

3+4-16-2-2+7-3-2+2+6+1+11+5+2-4+2=14

4.Работа по карточкам под лозунгом "Дорогу осилит идущий, а математику- мыслящий"

Всем членам команды раздаются карточки  с квадратным уравнением, которое надо решить. Жюри проверяет уравнения.

Уравнения:

1)2x2-16x=0  (8;0)                                 10) 2x2+16x=0  (-8;0)

2)5x2-50x=0  (10;0)                               11) x2-12x+27=0  (9;3)

3)x2-4x-32=0  (8;-4)                              12) 2x2-6x-56=0  (7;-4)

4) x2+12x+32=0  (-8;-4)                        13) x2+9x+20=0   (-5;-4)     

5)x2+11x-26=0  (-13;2)                         14) x2+8x=0         (-8;0)

6) 5x2-40x=0  (8;0)                                15) x2-14x+40=0  (4;10)

7) x2-11x+24=0  (8;3)                            16) 3x2-18x+15=0  (1;5)

8) 4x2-12x-40=0  (-2;5)                          17) 4x2-24x+32=0  (2;4)

9) 2x2+13x-24=0  (-8;15)                       18)x2-3x+2,25=0  (1,5;1,5).

5.Конкурс "Изюминка"-другие способы решения квадратных уравнений.

Команды рассказывают о других способах решения квадратных уравнений.

Показывают свои презентации ( темы озвучиваются зараннее).

1) Графическое решение квадратное уравнения

Если в уравнении   х2 + рх + q = 0

перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х2 = - рх - q.

Построим графики зависимостей  у = х2 и у = - рх - q.

График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости - прямая (рис. 1).



Возможны следующие случаи:

-  прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

-  прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т. е. уравнение имеет одно решение;

- прямая и парабола не имеют общих точек, т. е. квадратное уравнение не имеет корней.

 Примеры:

1. Решим графически уравнение х2 - 3х - 4 = 0 (рис. 2).

Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 3х + 4. 

Построим параболу у = x2  и прямую у = 3х + 4. Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М(0; 4) и N(3; 13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и В с абсциссами х1 = - 1 и х2 = 4.

2) Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.

Предлагаем следующий способ нахождения корней квадратного уравнения



 рис.1

  ах2 + вх + с = 0

Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках B(х1;0) и D(x2;0), где х1 и х2 - корни уравнения ах2 + вх +с =0,
и проходит через точки А(0; 1) и С(0; ) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB•OD = OA•ОС, откуда 

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд АС и BD, поэтому



Итак: 1) построим точки (центр окружности) и А(0; 1);

2)проведем окружность с радиусом SA;

3)абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра окружность пересекает ось ОХ в точке В(х1;0), и D(x1; 0), где х1 и х2 -корни квадратного уравнения ах2+bx+c= 0.

2) Радиус окружности равен ординате центра , окружность касается оси Ох в точке В(х1;0), где х1 - корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра 
окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. 3), в этом случае уравнение не имеет решения.



















рис.2.                                            рис.3.

3) Решение квадратных уравнений с помощью номограммы. 

Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений z2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения



 Криволинейная шкала номограммы построена по формулам (рис.11):



Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию 





откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение   z2 + pz + q = 0,

причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Примеры:

1) Для уравнения z2 - 9z + 8 = 0 номограмма дает корни







z1 = 8,0 и z2 = 1,0 (рис.12). 

2) Решим с помощью номограммы уравнение   2z2 - 9z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение

  z2 - 4,5z + 1 = 0. Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 = 0,5.

3) Для уравнения  z2 - 25z + 66 = 0 коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t, получим уравнение t2 - 5t + 2,64 = 0, которое решаем посредством номограммы и получим  t1 = 0,6 и t2 = 4,4, откуда 

z1 = 5t1 = 3,0 и z2 = 5t2 = 22,0.

6.Подведение итогов.

Жюри объявляет счет.  Итоги КВМ. Награждение участников.

7.Рефлексия.

Что понравилось, что не понравилось.