Урок-лекция в 10 классе по алгебре и началам анализа «Производная в физике и технике»

Урок-лекция в 10 классе 

по алгебре и началам анализа «Производная в физике и технике»





   Учитель  математики высшей квалификационной                                                                                                                       

                                    категории Оганесян Р.С.    

























Теория без практики мертва или бесплодна; практика без теории невозможна или пагубна.                                                                  Для теории нужны знания, для практики сверх всего того умение.                                              А.Н. Крылов

План проведения лекции.

1.Исторические сведения, сообщение учителя.

2. Применение производной - различные формулы.

3. Примеры решения различных задач.

Цель урока:   Рассмотреть механический смысл производной и ее применение в физике и технике.

Честь открытия основных законов математического анализа наравне с Ньютоном, принадлежит немецкому математику Т. Лейбницу. К этим законам Лейбниц пришёл, решая задачу проведения касательной, к произвольной кривой.  Математический анализ, созданный Ньютоном и Лейбницем, долго развивался на основе интуитивного понятия производной как «скорости изменения функций». Современное определение производной появилось лишь в  XIX веке после того, как были уточнены основные понятия математического анализа: вещественное число, предел, функции.				

Ясно, что путь и скорость связаны между собой. В конце XVII века великий английский учёный Исаак Ньютон открыл общий способ описания этой связи. Открытие Ньютона стало поворотным пунктом в истории естествознания. Оказалось, что связь между количественными характеристиками самых различных процессов, исследуемых физикой, химией, биологией, техническими науками, аналогична связи между путём и скоростью. Основными математическими понятиями, выражающими эту связь, являются производная и интеграл.

II. Итак, понятие производной возникло как математическое описание скорости движения. Поэтому важнейшим приложением производной является вычисление скорости, а ещё говорят, что производная есть мгновенная скорость изменения функции, поэтому производная широко применяется в физике и технике. Приведём примеры.

1.Если материальная точка движения прямолинейна и её координата применяется по закону X(t), то скорость её движения V(t) равна производной X’(t) в момент времени t:	V(t)=X’(T)                                                                                       2.Скорость движения точки есть функция от времени, а производная этой функции называется ускорением движения. Ускорение есть производная скорости по времени:        	a = V’(t) или a = X’’(t)	                           

 С помощью производных функций, характеризующих физические явления, задаются и другие физические величины, а именно:

3.Работа. Рассмотрим работу, которую совершает заданная сила F при перемещении по отрезку оси x. Сила есть производная работы по перемещению:                                                				F = A’(x)												

4.Заряд. Пусть q – заряд, переносимый электрическим током, через поперечное сечение проводника за время t. Сила тока является производной заряда по времени	I = q’(t)		

5.Масса тонкого стержня. Пусть имеется неоднородный тонкий стержень. Неоднородность стержня означает, что его линейная плотность не является постоянной, а зависит от положения точки lпо некоторому закону ρ	 =ρ(l). Тогда: линейная плотность – это производная массы по длине:		6.Теплота. Рассмотрим процесс нагревания какого-нибудь вещества и будем вычислять количество теплоты Q(T), которое необходимо, чтобы нагреть 1 кг. Этого вещества от 0о до Tо (по Цельсию). Тогда: теплоёмкость – это производная теплоты по температуре.												C = Q’(T)				

7.Работа как функция времени. Нам известно, что характеристика работы, определяющая её скорость по времени – это мощность. Мощность есть производная работы по времени:	N = A’(t)                  	8.Если Q(t) –закон изменения количества вещества, вступившего в химическую реакцию, то скорость V(t) химической реакции в момент времени tравна производной Q’(t):	V(t) = Q’(t)   					

9.Если V(p) – закон изменения объёма жидкости от внешнего давления p, то производная V’(p) есть мгновенная скорость изменения объёма при внешнем давлении, равном p:			Vмгн = V’(p)						10.Пусть точка движется по криволинейной траектории. Обозначим координаты точки x(t) иy(t). Эти координаты зависят от времени tи являются тем самым функциями от t. Тогда координаты вектора мгновенной скорости в момент времени tравны x(t) иy(t).		

11.При движении точки по окружности с угловой скоростью ω(t) по закону µ(t), имеем  ω(t)=φ’(t)

III. Производная широко применяется при решении различных физических задач. Рассмотрим решение нескольких задач.		

1.Тело движется прямолинейно по закону x(t) = 3t2 + 2t + 1, где x(t) измеряется в литрах, время t в секундах. Найти скорость движения тела в момент времени t = 4 с.                               

 Решение.						

V(t) = x’(t)	 ;  V(t) = 6t + 2 ;												V(4) = 6 · 4 + 2 = 26 (м/с).			  Ответ: 26 м/с.								

2.Для машины, движущейся со скоростью 30 м/с, тормозной путь определяется по формуле S(t) = 30t – 16t2, где S(t) – путь в метрах, t – время торможения в секундах. В течении какого времени осуществляется торможение до полной остановки машины? Сколько метров будет двигаться машина с начала торможения до полной её остановки?														Решение.				

Мгновенная скорость V(t) машины при торможении равна производной s’(t).	V(t) = S’(t) = (30t – 16t2)՛ = 30 – 32t							

 В конце тормозного пути V(t) = 0, поэтому имеем: 30 – 32t = 0, откуда t=  с. Значит торможение осуществлялось в течении с. Тормозной путь машины составит: S () = 30 ·= 16 ()2 ≈ 14 (м).							Ответ: t =  с.;  S () ≈ 14 м.								

3.Тело, масса которого m кг. Движется прямолинейно по закону x(t) = 3t2 + t (в м.). Доказать, что движение тела происходит под действием постоянной силы                                                        	Решение.				

Ускорение: а(t) = V’(t) = x’’(t)	V(t) = x’(t) = (3t2 + t)׳ = 6t + 1					a(t) = (6t + 1) = 6.									                При   данном законе движения тело движется с постоянным  ускорением а(t) = 6 (м/с2). Масса тела m  постоянна, значит по второму закону Ньютона действующая на него сила F = ma = 6m (н.) также постоянна, что и требовалось доказать.

4.Тело, массой 5 кг движется прямолинейно по закону  S = t – 3t+2, где t измеряется в секундах, S – в метрах. Найти кинетическую энергию 10с. после начала движения.							Решение.

Кинетическую энергию найдём по формуле: E =		V(t) = S(t) = (t2- 3t+2)՛ = 2t – 3 (м/с)		V(10) = 2 × 10 – 3 = 17  м/с						            E = == 722,5 (Дж)		Ответ: 722,5 Дж

5.Поворот тела вокруг оси совершается по закону: µ(t) = 2t2-3t+1 радиан. Найти угловую скорость   ω(t) в произвольный момент времени t при t = 2 с.

Решение.

ω(t) = φ՛(t) = (2t2- 3t+1)= 4t- 3 (радиан/с.)	ω(2) = 4·2 – 3 = 5 (радиан/с.)    Ответ: ω(t)=4t-3 радиан/с., 5 радиан/с.

6.Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента t=0. задаётся формулой  q = 3t2+t+2. Найти силу тока в момент времени t=3.											Решение.

I = q’(t) ;          I = (3t2+t+2)’= 6t+1

I(3) = 6 ×3 + 1 = 19

Ответ: 19.

7.Измерения величины заряда на обкладках конденсатора показали, что заряд q меняется со временем по закону q(t) = 3,05 +6,11t –

Время в секундах, заряд в микрокулонах. Найти закон изменения силы тока.

Решение.

I = q1(t);    I = (3,05 + 6,11t –) = 6,11 +

Ответ: I = 6,11 + 

8. Пусть Q(T) – количество теплоты, которое необходимо для нагревания 1 кг.воды от 0о до  To (по Цельсию). Известно, что в диапазоне O≤T≤95   формула Q(T) = 0,396T + 2,081 ×10 -3T2-5,024×10-7×T3 даёт хорошее приближение по истинному значению Q(T). Найти, как зависит теплоёмкость воды от температуры.

Решение.

С = Q1(T)  C = (0,396T+2,081·10-3T2-5,024 ㆍ10-7ㆍT3)1= 0,396 + 2ㆍ2,081 ㆍ10-3ㆍT – 3 ㆍ5,024 ㆍ10-7ㆍT2= 0,396 +4,162 ㆍ10-3T – 15,072 ㆍ10-7T2

Ответ: 0,396 + 4,162 ㆍ10-3T – 15,072 ㆍ10-7T2

9. Зенитный снаряд выброшен вертикально вверх с начальной скоростью Vо. На какой высоте h он будет в момент t(вс.)? Определить скорость и ускорение движения снаряда. Через сколько секунд достигнет наивысшей точки и на  каком расстоянии от поверхности земли он будет находиться?

Решение.

Так как S(t) = Vot – qt2/2, то V(t) = S1(t) и 

V(t) = Vo − g(t) – скорость движения снаряда

a(t) = -g – ускорение движенияㆍ

2. Снаряд достигнет наивысшей точки, если V(t) =0 т.е. Vo−g(t)= 0, откуда gt=Vo, t= ,следовательно, черезсекунд после начала движение снаряд достигнет наивысшей точки.

3. Найдём  на каком расстоянии от поверхности он будет находиться

S() = VoㆍV0ㆍ - ㆍ =  -  = 

Ответ: через секунд.  наибольшее удаление от поверхности землим

10. В какие моменты времени ток в цепи равен нулю, если количество электричества,  протекающего через проводник. Задаётся  формулой

q = t –√t + 1?

Решение.

I = q׳(t). I = (t- √t + 1)׳ =1 -  =

I = 0; = 0, откуда следует, что t=0,25.

Ответ: в момент времени t= 0,25  ток в цепи равен 0.