Основні положення статистичного моделювання систем зв'язку

ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ СТАТИСТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ СИСТЕМ ЗВ'ЯЗКУ


1. Процедури та особливості моделювання систем зв’язку на ЕОМ



Моделювання – це метод наукового пізнання, при використанні якого досліджуваний об'єкт заміняється більш простішим об'єктом (його математичною моделлю) і як результат вивчення моделі виникає нова інформація про оригінал. У залежності від способу реалізації математичної моделі розрізняють математичне, фізичне (натурне) та напівнатурне моделювання. Фізичне моделювання – це спосіб дослідження, згідно з яким система заміняється фізично реалізованими елементами, зокрема, макетом системи. При напівнатурному моделюванні частина системи реалізується у вигляді фізичної моделі, а інша її частина - у вигляді математичної моделі. 

Математичне моделювання - це спосіб дослідження, згідно з яким модель системи реалізується у вигляді математичних співвідношень, що характеризують структуру системи та перетворення сигналів і завад у реальній системі. Можливе використання як аналітичних, так і числових методів математичного моделювання. При використанні аналітичних методів необхідні розв’язки та залежності одержуються із математичної моделі системи шляхом послідовного застосування математичних правил та перетворень. Труднощі застосування аналітичних методів пов'язані з відсутністю повних апріорних даних для проведення перетворень, а також складний характер цих перетворень. Однак в останній час появились програми аналітичних перетворень на ЕОМ, що розширює можливості цих методів. Застосування чисельних методів зводиться до заміни математичних операцій відповідними обчислювальними операціями на математичній моделі, реалізованій на ЕОМ. Хоча числові методи дають можливість вирішувати значно більше коло задач, але для них характерна значна трудомісткість обчислень та в ряді випадків нестійкі розв’язки щодо похибок апроксимації та округлення. 

Серед методів досліджень системи на ЕОМ широке застосування знаходять методи імітаційного моделювання, які основані на реалізації та дослідженні математичної моделі у формі алгоритмів та програм, що відображають як структуру системи, так і процеси її функціювання у часі. В ряді випадків можливості алгоритмічних мов дозволяють одержати гнучкіші та доступніші засоби опису складних систем порівняно з мовою математичних функціональних співвідношень. При ймовірнісному підході до моделювання систем на ЕОМ використовується наближений чисельний метод досліджень - метод статистичного моделювання. При цьому математична модель системи реалізується програмно на ЕОМ, а необхідні характеристики системи одержуються шляхом проведення статистичних випробувань системи на вибірках реальних чи модельних сигналів та завад, а також опрацювання результатів досліджень методами математичної статистики. Позитивна властивість цього методу - це універсальність, що гарантує принципову можливість аналізу системи довільної складності і з довільною деталізацією. Негативнм є трудомісткість процесів моделювання та частинний характер результатів, одержаних для конкретних визначених умов роботи системи.

Для проведення досліджень системи методом стастичного моделювання на ЕОМ характерним є виконання таких процедур:

-формулювання задачі моделювання, що включає в себе сукупність відомостей, які необхідно одержати в результаті моделювання;

-визначення меж системи, що підлягає моделюванню, а також сукупності обмежень і допущень, згідно з якими буде проводитись моделювання;

-збір і оцінка апріорної інформації про досліджувану систему, обсяг якої повинен бути достатнім для побудови її математичної моделі;

-вибір критерію для кількісної оцінки результатів дослідження системи методом моделювання на ЕОМ;

-формування математичної моделі системи, яка включає неформальний і формальний опис об'єкту моделювання;

-програмне втілення математичної моделі та її реалізація на ЕОМ;

-оцінювання адекватності вибраної моделі, тобто визначення коректності функціонування моделі і її відповідності реальній системі;

-планування досліджень, тобто така організація процесу статистичного моделювання таким чином, щоб за мінімальний час одержати необхідну інформацію про систему з заданою достовірністю;

-проведення статистичних випробувань системи на відповідних вибірках сигналів та завад; 

-знаходження оцінки критерію, який характеризує якість роботи досліджуваної системи;

-інтерпретація результатів моделювання системи, отриманих в результаті моделювання;

-прийняття рішень за результатами моделювання. 

Отримана в результаті моделювання інформація зіставляється з поставленою метою моделювання. Якщо зіставлення задовільне, то результати моделювання фіксуються в підсумковому протоколі чи документі. Якщо результати незадовільні, то коректуються деякі процедури і процес моделювання повторюється. 



1.1 Формальний опис та оцінювання ефективності системи



Формальний опис системи визначається математичною моделью - наближеним описом роботи системи з використанням відповідних математичних співвідношень. Щоб скласти формальний опис системи, необхідно задати множину параметрів і операторів , які характеризують систему.

Оператор системи - це правило, згідно з яким кожному елементу  множини вхідних фазових змінних  однозначно чи взаємнооднозначно зіставляється елемент  множини вихідних фазових змінних . При цьому має місце операторне рівняння , де  -оператор системи. В системах зв'язку маємо місце з повідомленнями, сигналами та завадами, що є функціями часу. Якщо ці функції розглядати як елементи відповідних множин, то оператор системи визначає правила перетворення вхідних сигналів у вихідні сигнали  системи.

Під параметрами системи розуміють сталі чи змінні у часі величини, які характеризують стан системи в даний момент часу і задають її властивості та характеристики. Уся множина параметрів системи  розбивається на чотири підмножини: підмножину фазових змінних ; підмножину зовнішніх параметрів ; підмножину внутрішніх параметрів системи ; підмножину вихідних параметрів системи .

Фазові змінні системи – це деякі функції часу, що визначають стан системи в будь-який заданий момент часу. Наприклад, якщо розглядати систему передавання повідомлень, то в ролі фазових змінних можуть виступати: повідомлення , модульований сигнал на виході модулятора , завада в КЗ , адитивна суміш сигналу та завади на вході приймального пристрою . 

Зовнішні параметри системи  - це фізичні величини, значення яких визначають характеристики вхідних фазових змінних . Внутрішні параметри системи  - це фізичні величини, значення яких визначає внутрішні фазові змінні та характеризують властивості функціональних ланок та системи в цілому . Вихідні параметри системи – це фізичні величини, значення яких характеризує якість роботи системи. Множина вихідних параметрів дає можливість кількісно оцінювати правильність роботи системи та якість виконання системою поставленої задачі. Часто вихідні параметри називають показниками якості системи. Вектор вихідних параметрів  оцінюється за результатами роботи системи, зокрема, за вихідними фазовими змінними . У загальному випадку не вдається одержати аналітичний вираз для показників якості складної системи. Тому вихідні параметри (показники якості) оцінюють за результатами моделювання системи на ЕОМ. 

Як правило, робота системи носить стохастичний характер. Тому ефективність системи варто оцінювати з використанням імовірнісних показників якості. Зокрема, це такі показники як імовірність настання такої події , що система виконає поставлену задачу повністю ; математичне сподівання деякої випадкової величини (ВВ) чи випадкового процессу (ВП) на виході системи ; дисперсія ВВ або ВП .

Для прикладу розглянемо передавання системою повідомлення  в умовах дії завад . При цьому показником ефективності системи може служити середньоквадратична похибка передавання повідомлення



,	(1)



що оцінюється шляхом порівняння переданого та прийнятого повідомлення, одержаних шляхом моделювання системи зв’язку на ЕОМ.

При моделюванні системи передавання дискретних повідомлень в умовах дії завад показником ефективності системи служить середня імовірність похибки передавання, що оцінюється у вигляді



,	(2)



де  - число випробувань, в яких відбулася похибка передавання;  - загальна кількість статистичних випробувань, що вибирається із умови забезпечення необхідної достовірності оцінки (2).

При моделюванні систем на ЕОМ можуть бути вирішені різні задачі проектування, зокрема:

-дослідження систем в екстремальних умовах роботи; 

-оптимізація структури і параметрів системи за заданим критерієм оптимальності; 

-вибір кращого варіанту системи з множини допустимих варіантів; 

-аналіз характеристик вихідних фазових змінних для різних видів вхідних фазових змінних; 

-оцінка окремих показників якості та ефективності роботи системи в цілому.

Щоб побудувати формальний опис при моделюванні системи зв'язку на ЕОМ можна скористатися її функціональною схемою, яка включає інформацію про оператор системи, а також про фазові змінні. У випадку складних систем зв'язку записати вираз для оператора системи в цілому  складно. Тому виконується декомпозиція системи, при якій розриваються несуттєві динамічні, інформаційні та конструктивні зв'язки. Декомпозиція динамічних зв'язків базується на тому, що процес роботи системи може бути розділений на ряд процесів, які протікають у часі послідовно чи паралельно. Інформаційні зв'язки характеризують взаємодії окремих елементів системи. При цьому система розділяється на окремі функціональні блоки. Кожен з них виконує окремі операції над внутрішніми фазовими змінними. Як приклад можна навести декомпозицію цифрової системи зв'язку на окремі функціональні блоки: джерело повідомлення; блок дискретизації та квантування неперевних сигналів; блок завадостійкого кодування; модулятор; передавач; канал зв'язку, оптимальний приймач дискретних сигналів; декодер; цифро-аналоговий перетворювач; споживач повідомлень.

Шляхом подальшої декомпозиції окремих функціональних блоків їх можна зобразити та описати через функціональні ланки. 


1.2 Особливості цифрового зображення сигналів



Сигнали  в системах зв'язку мають, як правило, неперервний характер зміни у часі, а цифрові ЕОМ працюють з дискретним часом і з дискретними значеннями величин. Тому при моделюванні систем зв’язку на ЕОМ доводиться виконувати дискретизацію та квантування сигналів та завад. При дискретизації здіснюється перехід до відліків сигналів у дискретні моменти часу , де  - інтервал дискретизації сигналів за часом;  - дискретний інтервал часу спостереження сигналів. 

Якщо вибрано інтервал дискретизації , де  - верхня частота у спектрі сигналу, то при цьому сигнал може бути відновлений по дискретним відлікам згідно з рядом Котельникова 



.	(3)

моделювання зв’язок цифровий математичний

При такому інтервалі дискретизації на періоді найбільш високочастотної гармоніки у спектрі сигналу береться по два відліки. Звичайно, при моделюванні для точнішого відтворення форми сигналу дискретизація здійснюється з меншим інтервалом часу



.		(4)



Після дискретизації сигналів виконується квантування, що означає заміну істинних значень неперервних відліків сигналу найближчими рівнями квантування . При цьому має місце похибка квантування, яка залежить від шагу квантування . Величина  визначається максимальним значенням сигналу  і числом рівнів квантування .

Таким чином, квантування сигналу приводить до виникнення шуму квантування. Якщо число рівнів квантування  достатньо велике, то дисперсія шуму квантування визначається виразом



	 (5)


2. Побудова математичних моделей систем зв’язку



Застосування математичних методів та обчислювальної техніки при автоматизації проектування систем зв`язку можливе лише у тому випадку, якщо є їх адекватні математичні моделі. Тому розглянемо деякі особливості та методи побудови математичних моделей систем та мереж зв'язку.



2.1 Классифікація методів побудови математичних моделей



При переході до формального опису системи за допомогою її математичної моделі дотримуються певних загальних принципів: спеціалізація математичної моделі; декомпозиція системи; обмеження діапазону зміни параметрів і вхідних фазових змінних; еквівалентування, тобто заміна складного математичного опису окремих складних блоків (ланок) системи їхніми статистичними еквівалентами; вибір математичних моделей, що відтворюють перетворення тільки інформаційного параметра; використання для побудови математичних моделей їхніх схемних і функціональних елементів.

Розглянемо деякі з принципів докладніше. Відповідно до першого принципу будується така модель системи, що дає змогу оцінити ефективність дослідження системи згідно з вибраними показниками якості. Декомпозиція системи є засобом будувати простіші моделі, які описують роботу системи на окремих етапах її функціонування чи роботу окремих її блоків. Відповідно до наступних принципів в порівнянні зі змінами параметрів у реальній системі вибираються менші діапазони змін цих параметрів. Це дає можливість розглядати і будувати моделі окремих елементів системи більш простішими, зокрема, з лінійними характеристиками. Окрім того, заданий формальний опис системи спрощують, зберігаючи усі функціональні зв'язки між елементами. При цьому окремі функціональні блоки заміняються еквівалентом, або із функціональної схеми видаляють один чи кілька блоків, заміняючи їх еквівалентними впливами. Під методами побудови математичних моделей систем розуміють методи описування алгоритмів їхньої роботи з використанням деяких математичних співвідношень. Для класифікації методів побудови математичних моделей систем зв’язку використовуються такі ознаки:

-тип схеми, на основі якої будується алгоритм: функціональна, структурна, принципова, еквівалентна;

-тип обраних моделей пристроїв (ланок) системи: лінійних (стаціонарних чи нестаціонарних) і нелінійних (інерційних і безінерційних);

-метод математичного опису перетворень сигналів у системі: метод диференціальних рівнянь, спектральний метод на базі перетворень Лапласа і Фур'є, часовий метод на базі інтеграла Дюамеля та ортогональних розкладів;

-метод зображення сигналів і завад при їх проходженні по ланкам системи: метод несучої, метод комплексної обвідної, формульний метод;

-метод статистичних еквівалентів, коли опис ланки замінюється вхідним впливом та вихідним ефектом;

-метод структурних схем, що зводиться до побудови математичних моделей системи із заміною високочастотної частини низькочастотним еквівалентом. 



2.2 Математичні моделі на рівні функціональних ланок системи



Розглянемо деякі особливості математичного опису функціональних ланок на прикладі лінійних інерційних ланок. Для їх опису часто використовуються: імпульсна характеристики, перехідна характеристики, комплексна частотна характеристики ланки.

При використанні імпульсної характеристики лінійної інерційної ланки  вихідний сигнал  через вхідний сигнал  записується у вигляді інтегралу Дюамеля


.	(6)



Для опису лінійної інерційної ланки може бути також використана перехідна характеристика, що зв'язана з імпульсною характеристикою наступним співвідношенням



.	(7)



Поряд з часовим описом може також використовуватися частотний опис ланки у вигляді частотної характеристики (частотного коефіцієнту передачі) , яка однозначно зв'язана з імпульсною характеристикою  перетворенням Фур'є



.	(8)



При цьому спектр вихідного сигналу визначається через спектр вхідного сигналу та частотну характеристику ланки 



.	(9)



При переході до дискретного часу та кінечного інтервалу спостереження сигналів зв'язок між входом і виходом лінійної системи описується дискретною згорткою, яка фактично визначає роботу нерекурсивного цифрового фільтру


.	(10)



де - відліки вхідного дискретного сигналу,  - відліки імпульсної характеристики.

У випадку спектрального зображення сигналів відповідні перетворення у функціональних ланках виконуються згідно (9). Для сигналів з дискретним часом спектр визначається через дискретне перетворення Фур'є (ДПФ)



.		(11)



Відліки спектру сигналу обчислюються для дискретних значень частот 



.	(12)



Перехід до відліків спектру  сигналу проводиться за допомогою оберненого дискретного перетворення Фур'є



.	(12)



При моделюванні сигналів значної розмірності  доцільно використовувати швидкі алгоритми перетворення Фур'є, які дають можливість суттєво зменшити обсяг обчислення на ЕОМ при виконанні прямого та оберненого ДПФ.

В системах зв'язку використовуються багато різних видів лінійних та нелінійних, інерційних та безінерційних ланок. Для прикладу можна навести приклади типових ланок: генератори сигналів заданої форми; амплітудний, фазовий, частотний модулятор та детектор; інтегратор; корелятор; низькочастотний, високочастотний, полосовий, узгоджений фільтр; перемножувач частоти сигналів та інші. В табл. 1 приведено опис деяких функціональних ланок. Для описування ланок необхідно знати вид функційного перетворення . Якщо вид функціонального перетворення досить складний, його апроксимують простими функціями. В ряді випадків цю функцію перетворення розкладають в ряд Фур'є, Тейлора, а потім виконують необхідні перетворення. 

Слід зазначити, що при моделюванні можуть бути використані також ймовірнісні моделі функціональних ланок та системи в цілому, що описують функціювання у реальних умовах роботи систем зв’язку.



Таблиця 1 - Деякі основні типи функційних ланок 

Назва ланки

Оператор перетворення

Назва перетворення

Зображення на функційній схемі

1

2

3

4







1. Лінійні безінерційні ланки







Повторення

інвертування

підсилення 



K 

























2. Лінійні інерційні ланки











затримка сигналу на інтервал 



інтегрування



диференціювання



фільтрування











3. Нелінійні безінерційні ланки



Нелінійне функційне перетворення









 Генератори



Генерування сигналу 





М 





5. Модулятор



моделювання сигналу-носія  повідомленням 






3. Математичний опис сигналів при моделюванні систем зв’язку



При моделюванні систем зв’язку важливим є опис реальних сигналів і завад їх математичними моделями, що базуються на основних положеннях теорії сигналів. В системах зв'язку зустрічаються різного виду детерміновані та випадкові сигнали. Зокрема, це такі сигнали: сигнал-повідомлення  (низькочастотний, як правило, випадковий сигнал), сигнал-переносчик  (як правило, детермінований сигнал у вигляді гармонічного коливання), модульований сигнал  (як правило, високочастотний вузькосмуговий сигнал), завада  (як правило, випадковий широкосмуговий сигнал). Таким чином, для математичного опису сигналів та завад у системах зв’язку необхідно використовувати різні детерміністські та ймовірнісні моделі. Розглянемо деякі математичні моделі детермінованих та випадкових сигналів. 



3.1 Математична модель вузькосмугових детермінованих сигналів



Якщо переносчиком є гармонійний сигнал, то модульований сигнал може розглядатися при певних умовах як вузькосмуговий сигнал і тоді можна використати відповідне зображення сигналу у виді ,

де  - оператор модуляції гармонійного сигналу-переносчика; 



	(13)



Цей вираз дає можливість одержати зображенням сигналу за допомогою квадратурних компонент


,	(14)



де  - квадратурні компоненти.

Через квадратурні компоненти можна записати вираз для амплітуди та фази комплексної обвідної сигналу у виді:



.	(15)



Конкретний вид комплексної обвідної модульованого сигналу залежить від вибраного вигляду оператора модуляції  та вигляду повідомлення 



.		(16)



При амплітудній модуляції буде мати місце зміна амплітуди комплексної обвідної, при кутовій (частотній або фазовій) модуляції - зміна фази відповідно до переданого повідомлення. Наприклад, при амплітудній модуляції вираз для амплітуди обвідної визначається так



,	(17)



де  - коефіцієнт амплітудної модуляції.

Зображення сигналів через квадратурні компоненти, зокрема, співвідношення (15) дає можливість також будувати математичні моделі демодуляторів систем зв’язку з різними видами модуляції.


3.2 Математичні моделі низькочастотних детермінованих сигналів



Для опису періодичних сигналів широко використовується ряд Фур'є



,	(18)

 ,	(19)



де  – період повторення сигналу, .

Спектральне зображення неперіодичних абсолютно інтегрованих сигналів визначається перетворенням Фур'є



, .	(20)



На практиці часто для зображення сигналів використовують узагальнений ряд Фур'є 



, 		(21)



де  - ортонормована система базисних функцій; - коефіцієнти розкладу.

Поряд з базисом тригонометричних функцій використовуються також базисні функції Лежандра, Лагерра, Ерміта, Чебишова, Уолта, Хаара та інші.

Таким чином, моделювання детермінованих сигналів та їхніх перетворень у різних ланках системи зводиться до обчислення на ЕОМ детермінованих функцій, заданих у дискретні моменти часу. Як правило, це не викликає складності ні принципового, ні обчислювального характеру при проведенні моделювання систем на сучасних ЕОМ. 



3.3 Математичні моделі випадкових сигналів



Однак, крім детермінованих сигналів і перетворень, при моделюванні систем зв’язку виникає необхідність реалізувати на ЕОМ різного роду випадкові елементи - випадкові величини, випадкові сигнали і поля. Зокрема, у каналах зв'язку діють випадкові завади різного типу: флуктуаційні та імпульсні; адитивні та мультиплікативні, вузькосмугові та широкосмугові; активні та пасивні. Вони відрізняються структурою та механізмом виникнення, а також своїми імовірнісними характеристиками. Окрім того повідомлення, як правило, також носять стохастичний характер. Тому сигнали, що передаються та приймаються в системах зв’язку в загальному випадку треба розглядати як випадкові сигнали. Для побудови їх математичних моделей необхідно використовувати ймовірнісні моделі, тобто випадкові процеси з різними імовірнісними характеристиками. Випадкові процеси описуються математичним апаратом, який суттєво відрізняється від апарату детермінованих сигналів. Сучасний математичний аппарат, який використовується для опису випадкових елементів, базується на теорії множин, теорії міри, теорії функцій дійсної змінної та функціональному аналізі. 

Cигнал як фізичний процес, що використовується для передавання інформації в системах зв'язку, може описуватися випадковою функцією. Випадкова функція - це суттєво інший випадковий математичний об'єкт порівняно з детермінованою функцією. Її можна визначити як параметричну множину випадкових величин, що задовольняє певні умови


,					(22)



де  - параметр з множини ;  - елементарна подія з множини елементарних подій .

Параметр  може мати різне тлумачення. Якщо  - має сенс часу , то випадкова функція  - це випадковий процес 



.		(23)



Коли  - зліченна множина , тоді функцію (23) називають випадковим процесом з дискретним часом або часовою послідовністю. У кожному випадку маємо множину випадкових величин, заданих на ймовірнісному просторі , де  - -алгебра;  - імовірнісна міра. 

На основі (23) може розглядатися декілька визначень випадкового процесу. Так множину (23) можна розглядати по різному: як упорядковану відносно параметра  сукупність випадкових величин; як сукупність числових функцій часу, кожна з яких розглядається як елементарна подія; як функцію, що залежить від двох змінних .

Існує протиріччя між необхідністю повного опису випадкового процесу та достатньою простотою, яка визначається необхідністю розв’язання прикладних задач. Тому при розв’язанні багатьох прикладних задачах зв’язку ідуть на спрощений опис випадкового процесу, зокрема, в рамках кореляційної теорії, коли використовуються тільки дві моментні функції випадкового процесу – кореляційна функція та математичне сподівання. Кореляційна теорія випадкових процесів містить у собі декілька зображень процесів в інтегральному вигляді та у вигляді рядів. Це, насамперед, відповідні поширення на випадкові процеси інтегрального перетворення Фур’є, рядів Фур’є і Котельникова та зображення аналітичних та вузькосмугових сигналів, що широко використовуться для зображення детермінованих сигналів.

Кореляційна теорія набула широкого поширення, проте у галузі зв’язку існують задачі, які не можуть бути розв’язані в її рамках. Такими є задачі оптимального приймання сигналів, задачі теорії інформації, декодування сигналів. Для їх розв’язання необхідно застосовувати повніший опис випадкового процесу з використанням функцій розподілу. Розглянемо деякі класи випадкових процесів, що можуть бути використовані в ролі математичних моделей реальних фізичних процесів у системах зв’язку.

Вузькосмугові випадкові процеси. За аналогією з описом вузькосмугових детермінованих сигналів може бути використана математична модель у виді вузькосмугового випадкового процесу



		(24)



де  - це комплексна обвідна випадкового процесу. При цьому аналогічно до детермінованих сигналів розглядаються квадратурні складові , які також є випадковими процесами. Через квадратурні складові вводяться поняття амплітуди та фази випадкового процесу



.



Математична модель у вигляді вузькосмугового випадкового процесу може бути використана, наприклад, для описування флуктуаційної модульованих випадковим повідомленням сигналів, а також завади у вузькій смузі частот існування сигналів, що передаються.

Білі шуми. Одним із найбільш відомих і поширених класів випадкових процесів є білий шум. Білий шум – це випадковий процес з незалежними або некорельованими значеннями. Для дискретного часу білий шум - це послідовність незалежних або некорельованих випадкових величин. В залежності від імовірностних властивостей розглядають стаціонарний і нестаціонарний, гаусовий і негаусовий білий шум. Згідно з означенням білого шуму, він повністю визначається через одновимірні функції чи щільності розподілу. Зокрема, багатовимірна щільність ймовірності визначається як добуток одновимірних щільностей ймовірності. 

Наприклад, для стаціонарного білого шуму з дискретним часом багатовимірна щільність ймовірності визначається у вигляді



.		(24)



Білий шум є - корельованим (у розумінні -функції Кронекера) випадковим процесом, кореляційна функція якого має вигляд 



	(25)



На підставі теореми Вінера-Хінчина спектральна густина білого шуму з дискретним часом рівномірна у смузі частот  і має значення .

Для описування реальних фізичних процесів в системах зв'язку використовують також "негаусові" білі шуми - випадкові процеси, які мають такі ж властивості кореляційної функції та спектральної щільності, а щільність розподілу ймовірностей відрізняється від гаусової. 

Математична модель у виді білого шуму може бути використана для описування завад у системах зв'язку.

Марківські процеси. Модель у виді білих шумів не враховує зв’язків суміжних значень, які розглядаються як статистично незалежні або некорельовані. Модель у виді марківських процесів враховує такі зв’язки, які поширюються тільки на один крок (або на фіксоване число кроків). Це відповідно прості та багатозв’язні марківські процеси. 

Зокрема, випадковий процес з дискретним часом називають простим стаціонарним марківським процесом, багатовимірна щільність розподілу ймовірностей якого визначається одновимірною щільністю ймовірностей та щільністю ймовірностей переходів



.	(26)



Співвідношення (26) визначає марківську властивість випадкового процесу.

Для описування реальних процесів у системах зв'язку використовується також математична модель у вигляді марківських ланцюгів - випадкових процесів з дикретним часом, що приймають зчисленну множину значень. При цьому замість щільності ймовірності, притаманної для марківського процесу, основні характеристики процесу описуються ймовірностями відповідних подій. Марківська властивість для таких процесів описується співвідношенням 



,	(27)

де .



Марківські ланцюги можуть бути використані для математичного опису джерела дискретних, зокрема, телеграфних повідомлень, а також процесів обслуговуванння у системах комутації. 

Лінійні випадкові процеси. Існують різні означення лінійних випадкових процесів. Розглянемо одне із них, що основане на інтегральному зображенні



,		(28)



де  - імпульсна характеристика лінійного фільтру; 

 - білий шум.

Тут лінійний процес  розглядається як перетворення білого шуму  лінійним фільтром з імпульсною характеристикою . При цьому можуть бути одержані лінійні процеси з різними ймовірнісними характеристиками, які визначаються видом функції , а також видом білого шуму. Зокрема, білий шум може бути гаусовим, пуасоновим, їх сумішшю або іншими білими шумами. Лінійний фільтр у виразі (28) має назву формуючого фільтра, а білий шум - породного процесу.Для лінійних процесів з дискретним часом математична модель визначається відповідним співвідношенням



 		(29)



де  - дискретні відліки імпульсної характеристики фільтру,  - білий шум з дискретним часом.

Лінійний процес можна також зобразити у виді авторегресії на минулі значення. При цьому можна одержати процеси авторегресії, ковзного середнього та змішані процеси авторегресії та ковзного середнього. Зокрема, процес авторегресії -го порядку описується рівнянням


.	(30)



Лінійні процеси можуть бути використані як математичні моделі, зокрема, при описі джерела мовних повідомлень, кодера мовних повідомлень, джерела корельованих завад.

Існує також багато інших математичних моделей, що мають свої характерні властивості і дають можливість враховувати особливості різних фізичних процесів в системах зв'язку при їх моделювані на ЕОМ. Зокрема, це математичні моделі, що описують негаусів характер сигналів за допомогою сумішей розподілу, сукупності моментних та кумулянтних функцій, а також нестаціонарний характер сигналів - за допомогою періодично-корельованих випадкових процесів.

Систематизований опис різних ймовірносних моделей приведений у роботах. Деякі специфічні математичні моделі сигналів описані у наступному розділі, де розглядається алгоритми моделювання на ЕОМ різних випадкових елементів - випадкових величин, векторів та випадкових процесів.