Практичне заняття

Практичне заняття



1. Довести, що . Починаючи з якого n маємо 

Виберемо довільне число  і покажемо, що існує такий номер N, що для всіх членів послідовності з номерами n > N виконується нерівність

                              (1)

Для визначення N досить розв’язати нерівність (1) відносно n:





.

Отже, якщо , то нерівність (1) виконується для будь-якого наперед заданого числа . Якщо , то за N беремо цілу частину виразу  , тобто N = . А якщо , то за N можна взяти 1 або будь-яке інше натуральне число.

Зокрема, при , N = . Отже, при  дістанемо 

2. З’ясувати, чи має границю послідовність (xn), якщо:

а) 		б) 

в) 

а) Оскільки  то послідовність () обмежена. Неважко бачити, що для всіх , тобто () монотонно зростає. Отже, вона має границю.

б) Члени послідовності з парними номерами прямують до 1 при , оскільки . А члени послідовності з непарними номерами прямують до 2 при . Отже, згідно з означенням, послідовність немає границі, тобто є розбіжною.

в) Дана послідовність є добутком нескінченно малої послідовності , оскільки , і обмеженої послідовності , тому що . Тоді за властивістю 2) задана послідовність має границю, що дорівнює 0.

3. Обчислити границі:

а) 			б) 

в) 				г) 

д) ;			е) 

є) 

ж) 

а) скористаємось теоремою про границю двох послідовностей. Неважко побачити, що границя першого доданка дорівнює 0, а другий доданок є добутком нескінченно малої послідовності  на обмежену послідовність , тому його границя також дорівнює нулю. Отже, за властивістю 1( задана послідовність є нескінченно малою. 

б) У даному випадку чисельник і знаменник мають нескінченні границі, тому користуватись теоремою про границю частки не можна. Перетворимо дріб, поділивши чисельник і знаменник на  (найвищий степінь n). Дістанемо



Оскільки   маємо , , , , то, застосувавши теорему про границю суми і добутку, помічаємо, що границя чисельника дорівнює 1, а знаменника 3. за теоремою про границю частки маємо



в) Поділимо чисельник на знаменник дробу на , а потім скористаємось теоремою про границю суми і частки. Дістанемо



г) Аналогічно попередньому маємо



Оскільки  при , а знаменник є нескінченно малою послідовністю, то задана послідовність є нескінченно великою, тобто 

У прикладах б) - г) порівняйте старші степені чисельників і знаменників заданих дробів і зробіть висновок відносно одержаних відповідей.

д) У даному випадку маємо різницю двох нескінченно великих послідовностей. Позбавимося ірраціональності в чисельнику, вважаючи, що знаменник дорівнює 1, і застосуємо теорему про зв’язок нескінченно малої і нескінченно великої послідовностей. Матимемо.



е) Поділивши чисельник і знаменник виразу, що стоїть в дужках, на n і скориставшись властивістю степеня, дістанемо



Користуючись теоремою про границю добутку, частки і формули (1), маємо



є) Оскільки , то 

. Тоді 

ж) Маємо границю послідовності комплексних чисел. Обчислимо границі дійсної та уявної частин цієї послідовності. Оскільки

, то 





Вправи для самоперевірки

1. Довести, що:

а) 		б) 		в) 

2. Обчислити  і визначити номер N () такий, що  при всіх , коли:

а)  		б) 

Відповідь: а) ; б) 

3. Зясувати, чи має границю послідовність , якщо:

а) ;				б) ;

в) 

Відповідь: а) так; б) так; в) ні.

4. Обчислити границі:

1) 		2)  		3) 

4) 	5) 

6) 		7) 

8) 		9) 

10) 			11) 

12) 	13) 

14) 	15) 

16) 		17) 

18) 

Відповідь: 1) -2; 	2) 0; 	  3) ;     4)      5) ;	6) 6; 	   7) 1;      8) 2;

9) ;	   10) 3;       11) ;	12) 0;		13) ;	14) ;	15) ;

16) ;	17) ;	18) .

5. Обчислити  суму всіх членів спадної геометричної прогресії 1,  

Відповідь: S=3.





1. Знайти 

Використовуючи теорему про границю добутку маємо:



Оскільки 

аналогічно 

Відповідь: - 9.



2. Знайти 

.



3. Знайти 





Завдання для перевірки знань

1. Довести, що при  послідовність 3, має границею число 2.

2. Довести, що при  послідовність має границею число 1,5.