Конспект урока по Алгебре "ПРОЦЕНТЫ. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ" 9 класс

Открытый урок

подготовки к ГИА  по математике в 9 классе









Тема: Проценты
Основные задачи на проценты





























2014 год





Пояснительная записка



Краткое изучение темы «Проценты» в 5 классе не дает больших результатов. Учащиеся в силу возрастных особенностей еще не могут полноценное представления о процентах, об их роли в повседневной жизни. На последующих этапах обучения повторного обращения к этой теме не предусматривается. Поэтому задачи на проценты вызывают затруднения у учащихся и очень многие окончившие школу не имеют прочных навыков обращения с процентами в повседневной жизни. Кроме того текстовые задачи на проценты включены в материалы ГИА за курс основной школы, в КИМы и ЕГЭ. Предлагаю вашему вниманию урок (2ч) элективного курса по математике в 9 классе.



Тема: Проценты
Основные задачи на проценты 


Ц е л и: сообщить краткую историю появления процентов; привести примеры повседневного использования процентных вычислений в настоящее время; устранить пробелы в знаниях по решению основных задач на проценты: нахождение процента от величины, нахождение величины по ее проценту, нахождение процента одной величины от другой; ввести понятия «простой процентный рост», «сложный процентный рост»; решение основных задач на проценты

Методы обучения: беседа, объяснение, устные упражнения, письменные упражнения.

Формы контроля: проверка самостоятельной работы.



Х о д  з а н я т и я

I. Краткая история появления процентов

Проценты – одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Так, мы часто читаем или слышим, что, например, в выборах приняли участие 69 % избирателей, уровень инфляции составляет 7 % в год, молоко содержит 3,2 % жира и т. д.

Слово «процент» происходит от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого.

Знак «%» происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно сto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буквы t в наклонную черту произошел современный символ для обозначения процента.

Существует и другая версия возникновения этого знака. Предполагается, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже была опубликована книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

Если мы говорим о предметах из некоторой заданной совокупности – деньгах, зарабатываемых в семье, материалах, продуктах питания, то процент, разумеется, 100 сотых частей самого себя. Поэтому обычно говорят, что она «принимается за 100 процентов».

Если речь идет о проценте от данного числа, то это число и принимается за 100 %. Например, 1 % от зарплаты – это сотая часть зарплаты; 100 % зарплаты – это сто сотых частей зарплаты. Т. е. вся зарплата. Подоходный налог с зарплаты берется в размере 13 %, т. е. 13 сотых от зарплаты. 3,2 % жира в молоке означает, что 3,2 сотых массы продукта составляет жир (или, другими словами, в каждых 100 граммах этого продукта содержится 3,2 грамма жира).

II. Повторение и закрепление изученного ранее.



1) Основные сокращенные процентные отношения .

200 % = 2;	25 % =

100 % = 1;	10% = 			

50 % =;	1 % = 	



2) Р а з л и ч н ы е  о б о з н а ч е н и я:



1 %

0,01



18 %

0,18



р %

0,01р



   

нахождение процентов данного числа.



Чтобы найти  р % от  а ,  надо     а ·0,01 р .

П р и м е р. 15 % от 90 составляет: 90·0,15 = 13,5.

     4) Нахождение числа по его процентам.



Если известно, что р % числа а  равно в, то а = в : 0,01 р

П р и м е р. 2 % числа х составляют 140.

 а = 140 : 0,02;

 а = 7000.

Ответ: 7000



 5)  Нахождение процентного отношения чисел.

Чтобы найти процентное отношение чисел, надо отношение этих чисел умножить на 100 %:

.

III. Устная работа.



1) Представьте данные десятичные дроби в процентах:

  Пример: 0,08 = 0,08 х 100% = 8 %

 0,6 ;   0,231;      2, 34.

2) Представьте проценты десятичными дробями:

  Пример: 5% = 5% : 100% = 0,05

       4 %;   12,5 %;    0,06 %;   1000% .

     3) Найти:

      10%  от  60 руб,

      50%  от  200 руб,

      200%  от 200 л.

      4) найдите процентное отношение чисел:

       60   и   240,

       40   и    200.



IV. Решение основных задач на проценты.

1. Простые  проценты.



1) Одна величина больше (меньше) другой на р %.

    а – первоначальное значение

    р – количество процентов

    в – новое значение

   а) если а возросло на р %, то новое значение равно

        в  =  а(1 + 0,01р).

       б)  если а уменьшили на р %, то новое значение равно 

        в= а(1 – 0,01р).

       в) если а сначало уменьшили на  р%,  затем полученное число увеличили   

          на р%, то новое значение равно

           в = а(1 – 0,01р) (1 + 0,01р) = а(1 –(0,01р)2)  (*)

П р и м е р. 

Увеличить число  60  на  20%.

Решение:

60(1+ 0,0120) = 60(1+ 0,2) = 60 1,2 = 72.

Ответ: 72



П р и м е р: ( ГИА – 2011)



На мебельном магазине старые цены заменены новыми. На сколько                  примерно процентов снижены цены при распродаже мебели?



Цена

Шкаф

Кровать

Стол

Старая

3999 руб.

1205 руб.

1000 руб.

Новая

3000 руб.

900 руб.

752 руб.



А. Примерно на 30%

Б.  Примерно на  20%

В.  Примерно на 25%

Г.  Примерно на 80%



Решение:

Шкаф  -   3000=3999· (1-р)

                  р = 999: 3999

                  р = 0,249= 25%

Стол  -     752 = 1000 · ( 1 – р )

                 р = 248 : 1000

                  р = 0,248= 25%

Ответ:  В



П р и м е р: ( ГИА – 2011, дем. вар.)



Из 59 девятиклассников школы 22 человека приняли участие в городских спортивных соревнованиях. Сколько приблизительно процентов девятиклассников приняли участие в соревнованиях?

А.  0,37%          Б. 27%         В.  37%        Г.  2,7%



Решение:        

Составим пропорцию

59 уч.       ------  100%

22 уч.       -------  х %

Х= 22 ·100 : 59= 37,2%

Ответ:   В



Пример. ( ЕГЭ – 2010 )



Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 100 руб за штуку.    

Торговая надценка составляет 25%. Какое наибольшее число таких 

горшков можно купить в этом магазине на 1300 рублей.

Решение: 

Пусть новая цена горшков будет в

 в  =  100 (1 + 0,25) = 125 р

1300 : 125 =10,4

Можно купить 10 горшков

Ответ: 10



Пример.

Цену товара снизили на 30 %, затем новую цену повысили на 30 %. Как изменилась цена товара?

Р е ш е н и е.

Пусть первоначальная цена товара а, тогда: 

а – 0,3а = 0,7а – цена товара после снижения,

0,7а + 0,7а ·0,3 = 0,91а – новая цена.

1,00 – 0,91 = 0,09 или 9 %.

Используя формулу (*), получим:



О т в е т: цена снизилась на 9 %.



2. Сложные  проценты.

         а – первоначальное значение величины;

в – новое значение величины;

р – количество процентов;

п – количество промежутков времени.



в = а (1 + 0,01р)п,

Если изменение происходит на разное число процентов, то формула выглядит так

          в = а·(1 + 0,01р1)(1 + 0,01р2) … (1 + 0,01рп)



Пример.

   Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 р. на вклад, годовой доход по которому составляет 12% и решил в течение 3 лет не брать процентные начисления. Какая сумма будет лежать на его счете через 3 года.

Решение:

в =   а · ( 1 + 0,12 )

в =  2000 · ( 1 + 0,12 ) = 2808 руб.

Ответ: 2808 руб.



 Пример.

    Зарплату рабочему повысили сначала на 10 %, а через год еще на 20 %. На сколько процентов повысилась зарплата по сравнению с первоначальной?

Р е ш е н и е.

Так как проценты находятся от величины, полученной после начисления процентов, то можно применить формулу сложных процентов.

Пусть зарплата рабочего была а , тогда

Решение: 

Пусть зарплата рабочего была а , тогда



в = а (1 + 0,1)(1 + 0,2) = 1,32а

1,32а – а = 0,32а

О т в е т: на 32 %.



Пример. ( ГИА – 2011)



Летом рюкзак стоил 880 руб. Осенью цены на рюкзаки снизились на 25%. А зимой еще на 25%. Сколько рублей заплатит покупатель, если купит рюкзак зимой? 

А. 830 руб         Б. 660 руб             В. 495 руб           Г. 165 руб.         



Решение:

Первоначальная цена  - 880 руб

Пусть новая цена будет в руб



в = 880 ( 1 – 0,25) ( 1 – 0,25)  = 880 ( 1- 0,25)= 495 р.



О т в е т:   В



Пример.  ( ГИА  - 2011, Зад. № 23)



     Фрукты подешевели  на 25%. Сколько фруктов можно теперь купить на те  

на те же деньги, на которые раньше покупали 6 кг.



Решение:

Раньше стоимость одного 1 кг –    а  руб

Сейчас стоимость 1 кг -      а  (1 - 0,25) =  0,75 а  руб

Стоимость 6 кг   -   6 · а

8 (кг) – можно купить сейчас.

Ответ: 8 кг. 



 V. Самостоятельная работа



1. Найти 1 % от  6 тыс. жителей;



А.  0,06             Б. 60            В. 600            Г. 6



2. Сколько будет, если  500 р. уменьшить на 5 %;



А. 250              Б. 25            В. 475           Г. 495



3. Сколько процентов составляют  15 г от 1 кг



А. 0,015%        Б. 15%        В. 0,15%       Г. 1,5%



( ГИА – 2008 )

В таблице приведена стоимость работ по покраске потолков.



Цвет

потолка

Цена в рублях за 1 кв.м.

(в зависимости от площади помещения)



до  20 м

от 21до 40 м

от 41до 60 м

свыше   60 м

белый 

120

105

90

75

голубой

140

125

110

90



  Пользуясь данными, представленными в таблице, определите, какова будет стоимость работ, если площадь потолка 40 м, потолок голубой, и действует сезонная скидка 10%.



А. 4950р        Б. 5000р        В. 4500р      Г. 500р



5.  Ученик прочитал в первый день 15 % книги, что составило 60 страниц, во второй день он прочитал 200 страниц. Сколько страниц ему осталось прочитать?

О т в е т: 

6. Цена на бензин в первом квартале увеличилась на 20 %, а во втором – на 30 %. На сколько процентов увеличилась цена на бензин за два квартала?



А. 50%         Б. 10%          В.  56%         Г. 65%



7. ( ГИА -2011, Зад. № 20)

Сосна на 50% выше ели. Если каждое дерево подрастет еще на 10м, то   сосна будет выше ели на 25%. Найдите первоначальную высоту ели.



Ответ: 

    8. ( ГИА -2011, Зад. № 23)

     Фрукты подешевели  на 25%. Сколько фруктов можно теперь купить на те  

на те же деньги, на которые раньше покупали 3 кг.

Ответ:



Домашнее задание. № 59, 65. Составить задачи, используя жизненные ситуации, записать на отдельных листах.