Уравнение равновесия. Проекция скорости точки

2



Задача 1 



Груз силой тяжести G=350 Н удерживается тросом, перекинутым через блок А, ось которого укреплена на стержнях АВ и АС. Определить силы реакции в стержнях, если углы на рис.8.1 равны, соответственно: α=60º, β=15º, γ=30º. Рисунок не выдержан в масштабе.







Дано:

G=350 Н

α=60º

β=15º

γ=30

RA, RB - ?

T=G, т.к. трение в блоке отсутствует

Запишем уравнение равновесия для стержней. В качестве объекта равновесия примем точку А. Изобразим действующие на нее силы.






ΣFx=0

Tsin30-RCsin60-RBsin75=0

ΣFy=0



G+Tcos30-RBcos75-RCcos60=0



Получили два уравнения с двумя неизвестными. Для упрощения процесса решения подставим числовее значения известных величин.

350sin30-RСsin60-RBsin75=-175-0,866RС-0.966RB=0





49,6-0,259RB-0.5 (-202,1-1,1RB) =51,9+0,291RB=0

RB=-51,9/0.291=-178,35 Н

RC=-202,1-1,1 (-178,35) =-5,92 Н



Знак "-" указывает на то, что силы направлены в сторону противоположную указанной на схеме.

Ответ: RB=-178,35 Н

RC=-5,92 Н


Задача 2



По заданному графику проекции скорости точки, движущейся прямолинейно, построить графики ее перемещения и ускорения. Какой путь прошла точка? На каком максимальном расстоянии от исходного положения она находилась в процессе движения? На каком расстоянии от исходного положения она находится в конце движения?







Для построения графиков перемещения и ускорения необходимо записать уравнения скорости на каждом участке представленного графика.

Участок 1. t от 0 до 10 с



V1=const=10 м/с


Участок 2. t от 10 до 20 с



V2=2t-10



Участок 3. t от 20 до 30 с



V3=const=30 м/с



Участок 4. t от 30 до 40 с



V4=120-3t м/с



Для построения графиков перемещений проинтегрируем уравнения полученные выше





Найдем константу С. S (0) =0=10·0+C → C=0, S1=10t



S1 (10) =10·10=100

S2 (10) =102-10·10+C → C=100





S2 (20) =202-20·10+100=300

S3 (20) =20·30+C=300 → C=-300





S3 (30) =30·30-300=600

S4 (30) =120·3-302+C=600 → C=-1590





Для построения графиков ускорений продифференцируем уравнения скоростей на разных участках



a1=

a2=2 м/с2

a3=0

a4=-3 м/с2





График зависимости перемещения от времени м/с2




График зависимости ускорения от времени



Путь пройденный точкой численно равен площади под графиком зависимости скорости от времени



S=10·10+ (10·10+0,5·10·20) +10·30+0,5·10·30=750 v



В данном случае максимальное расстояние от исходного положения составит 750 м, точка в конце движения будет находится также на расстоянии 750 м.

Задача 8.3 В механизме качающегося грохота (рис.8.3) определить угловую скорость кривошипа О2В=3r и скорость ползуна D при вертикальном положении кривошипа O1A, если АВ=CD=2r. Отношение BC/CO2=3/5, угловая скорость кривошипа О1А равна ω=6 рад/с, углы α=60º, β=45º. Длина кривошипа O1A равна r=0.1м.






Дано:

O1A=r=0,1 м

AB=CD=2r=0,2 м

O2B=3r=0,3 м



ωOA1=6 рад/с

α=60º

β=45º

ωO2B, VD - ?

Построим положение механизма в соответствии с данными условиями задачи.

Для определения необходимых нам скоростей необходимо провести ряд промежуточных вычислений.

Определим скорость VA



VA=ωO1A·r/2=6·0,1=0,6 м. с (VA┴O1A)



Скорость VA определяем с помощью теоремы о проекциях скоростей двух точек тела (стержня АВ) на прямую соединяющую эти точки (прямая АВ).



VA=VBcos30 → VB=0.6/cos30=0,69 м/c2



Построим мгновенный центр скоростей (МЦС) - точка лежащая на пересечении перпендикуляров к векторам VA и VB



ωO2B= рад/с






Определяем VD. Точка D принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно и стержню CD. Поэтому чтобы найти ее скорость достаточно знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление VD.

Величину VC найдем из пропорции





VC= (VC┴СМЦС)



Скорость VD определяем с помощью теоремы о проекциях скоростей двух точек тела (стержня CD) на прямую соединяющую эти точки (прямая CD).



VDcos45=VCcos15 → VD=0,5·cos15/cos45=0,68 м/c2



Ответ: ωO2B= рад/с; VD=0,68 м/c2


Задача 3 



Доска длиной l=6м, свободно положенная на две разновысокие опоры А и В, получив начальную скорость v0=0.5м/с, соскальзывает с опор вниз. Упадет ли доска с них, если коэффициент трения между доской и опорами f=0.6, а размеры на рис.8.4: a=0.3l, b=0.5l, h=0.14l.







Дано:

l=6м

v0=0.5м/с

f=0.6

a=0.3l

b=0.5l

h=0.14l

s - ?

Запишем сразу уравнение равновесия для доски находящейся в покое



ΣFx=0-FтрА+Qcosα-FтрB=0

FтрА=FтрВ=f·N=f·Qsinα (Ra=Rb=N)






отсюда



Qcosα-2f·Qsinα=0



Запишем 3-й закон Ньютона для доски начавшей движение



m=mg (cosα-2fsinα)

=g (cosα-2fsinα)



Проинтегрируем полученное уравнение







=Vx=g (cosα-2fsinα) t+C1

x=g (cosα-2fsinα) t+C1t+C2


Найдем неизвестные cosα и sinα





sin2α+cos2α=1





Найдем постоянные С1 и С2



При t=0 Vx (0) =0.5 м/с → С1=0,5

При t=0 x (0) =0 → С2=0



Окончательно уравнение движения доски примет вид



V=9.8 (0.28-2·0.6·0.96) t+0,5=-8,55t+0,5

x=-4.27t2+0.5t



Найдем время, когда доска остановится



V=0 → t=0.5/8.55=0.06 c



Путь пройденный доской за это время



x=-4.27·0.062+0.5·0.06=0.015 м



Для того чтобы доска упала она должна пройти путь равный длине его верхней части а=0,3·6=1,8 м. В нашем случае это не происходит, следовательно доска не упадет.


Задача 4



На однородной балке массой m=3т (рис.8.5) установлена лебедка силой тяжести G=25кН, поднимающая на тросе, наматывающемся на барабан d=0.1l, груз силой тяжести Q=12кН с ускорением а=3м/с2. Определить нагрузки на опоры А и В, если b=0.4l, c=0.2l. Массу троса не учитывать.







Дано:

m=3т

G=25кН

d=0.1l

Q=12кН

а=3м/с2

b=0.4l

c=0.2l

RA, RB - ?







Запишем уравнения равновесия


ΣFx=0 RAx=0

ΣFy=0 RAy-G-Q--Mg+RBy=0

ΣMA=0 -Gb-Qz-

где 



Получили два уравнения с двумя неизвестными, найдем искомые реакции



RBy= кН

RAy=G+Q+25+12+3.67-23=17,67 кН



Ответ: RBy=23 кН, RAy=17,67 кН