RSA алгоритмів кодування з відкритим ключем

Реферат на тему:

RSA – алгоритмів кодування з відкритим ключем 




Перший алгоритм кодування з відкритим ключем (Public Key Encryption, далі PKE) було запропоновано Вітфілдом Діффі та Мартіном Хелманом у Стендфордському університеті. Вони, а також незалежно від них Ральф Меркл, розробили основні його поняття у 1976 році. Перевага PKE полягає у відсутності потреби секретної передачи ключа. 

PKE базується на нерозв’язності проблеми розкладу натурального числа на прості множники. 

RSA схему шифрування було запропоновано у 1978 році та названо іменами трьох його винахідників: Роном Рівестом (Ron Rivest), Аді Шаміром (Adi Shamir) та Леонардом Адлеманом (Leonard Adleman). RSA належить до класу алгоритмів кодування з відкритим ключем. 

У 80-х роках криптосистема переважно використовувалася для забезпечення секретності та достовірності цифрових даних. У сучасному світі RSA використовується в web – серверах та браузерах для зберігання таємності даних що передаються по мережі, .

Схема RSA базується на обчисленні виразів зі степенями. Відкритий текст шифрується блоками, довжина кожного із яких менша за деяке число n.



Алгоритм генерації ключа

A повинен згенерувати відкритий та секретний ключі:

1. Згенерувати два великих простих числа p та q приблизно однакової довжини;

2. Обчислити n = p * q, fi = (p – 1) * (q – 1);

3. Вибрати натуральне e, 1 < e < fi, взаємно просте з fi;

4. Використовуючи розширений алгоритм Евкліда, розв’язати рівняння

d * e 1 (mod fi).

Відкритий ключ: (n, e). Секретний ключ: d.



Схема шифрування RSA

B шифрує повідомлення m та надсилає A.

1. Шифрування. В робить наступні дії:

а) отримати відкритий ключ (n, e) від А;

б) представити повідомлення у вигляді натурального числа m з проміжку [1..n];

в) обчислити c = me mod n;

г) надіслати шифротекст c до А.

2. Дешифрування. Для отримання повідомлення m із шифротксту c А робить наступні дії:

а) використовуючи секретний ключ d, обчислити m = cd mod n.



Теорема. Шифр c декодується правильно.

Оскільки p та q – прості числа, то  (p * q) =  (n) = (p - 1) * (q - 1), де  – функція Ейлера. З умови вибору ключа d маємо: d * e mod (n) = 1, або d * e =   (n) * k + 1 для деякого натурального k.

cd mod n = (me)d mod n = m (e * d) mod n = m ^ ( (n) * k + 1) mod n = (m  (n) mod n) k * m = 1 k * m = m, оскільки за теоремою Ейлера m (n) mod n = 1.



Означення. RSA системою називають функцію RSAn,e(x) = xe mod n та обернену їй     RSA-1n,e(y) = yd mod n, де e – кодуюча, а d – декодуюча експонента, x, y Zn*.



Приклад

1. Оберемо два простих числа: p = 17, q = 19;

2. Обчислимо n = 17 * 19 = 323, fi = (p - 1) * (q - 1) = 16 * 18 = 288;

3. Оберемо e = 7 (НСД(e, fi) = 1) та розв’яжемо рівняння 7 * d  1 (mod 288), звідки d =  247.

Побудовано RSA систему: p = 17, q = 19, n = 323, e = 7, d =  247.

Відкритий ключ: n = 323, e = 7, секретний ключ: d =  247.



1. m = 4.     Кодування: 47 mod 323 = 234.	Декодування: 234247 mod 323 = 4.

2. m = 123. Кодування: 1237 mod 323 = 251.	Декодування: 251247 mod 323 = 123.

Циклічна атака

За відомим шифром c (c = me mod n) злодій, маючи відкритий ключ e та n, бажає знайти повідомлення m. Він починає будувати послідовність чисел

c, ce, , , …

Оскільки обчислення відбуваються в групі Zn*, то елемпнти послідовності знаходяться в межах від 0 до n - 1. Отже існує таке натуральне k, що с = . Враховуючи що c = me mod n, маємо: me =  або m = .

Таким чином для знаходження повідомлення m за його шифром c необхідно побудувати послідовність c, ce, , , …, ,  = c, і взяти її передостаннє число.



Приклад

Розв’язати рівняння: m7 mod 323 = 251.

e = 7, n = 323, c = 251.



k



0

251

1

310

2

47

3

4

4

234

5

123

6

251



З таблиці маємо: c =   = 251. Оскільки me = , то m =  = 123.



Атака методом осліплення

Припустимо, А має секретний ключ RSA системи, а Z – злодій, який перехопив шифр c і хоче декодувати його. При цьому А відмовляє видати Z вихідний текст m. Тоді Z обирає деяке значення b  Zn*, обчислює c’ = be * c і просить А дешифрувати його.  А погоджується дешифрувати c’ своїм секретним ключем d, оскільки зміст повідомлення c’ йому ні про що не говорить і виглядає невинним. Отримавши m’ = c’d mod n, злодій Z обчислює m = m’ / b і отримує шукане m. Шифром m дійсно є c, оскільки me = m’e / be = c’de / be = c’ / be = c.

Така атака можлива, оскільки А не знає повної інформації про шифр c’, який дає йому злодій Z.



Приклад. Нехай А має RSA систему: p =17, q = 19, n = 323, e = 7, d = 247.

Злодій Z перехопив шифр c = 234 і хоче знайти таке m, що m7 = 234 mod 323.

1. Z обирає b = 10  Z323*, обчислює c’ = 107 * 234 mod 323 = 14 і просить А дешифрувати його. 

A обчислює m’ = 14247 mod 323 = 40 і передає його Z.

3. Z знаходить шукане повідомлення обчислюючи 

m = 40 / 10 = 40 * 10-1 = 40 * 97 = 4 mod 323.

Таким чином 47 = 234 mod 323.



Прискорення дешифрування

За допомогою китайської теореми про лишки можна прискорити процес дешифрування, знаючи секретні прості числа p та q.



Алгоритм

Дешифрування. А має декодуючу експоненту d, а також p та q (n = p * q). А отримує від В шифр с та повинен виконати операцію cd (mod n).

1. Обчислити dp = d mod (p - 1), dq = d mod (q - 1)

2. Обчислити mp =  mod p, mq =  mod q.

3. Розв’язати систему лінійних порівнянь



Розв’язком системи буде декодоване повідомлення: m = cd (mod n).



Приклад

Нехай RSA система має вигляд: p = 17, q = 19, n = 323, e = 7, d = 247.

Для розв’язку рівняння m7 mod 323 = 251 (c = 251) обчислимо 251247 mod 323:

1. dp = 247 mod 16 = 7, dq = 247 mod 18 = 13;

2., mp = 2517 mod 17 = 4, mq = 25113 mod 19 = 9;

3. Розв’яжемо систему лінійних порівнянь



Розв’язуючи її методом Гауса, отримаємо m = 123.

Отже 1237 mod 323 = 251.



Мала декодуюча експонента



Приклад. Виберемо аовідомлення m = 13 та зашифруємо його трьома різними RSA системами.

1. p = 5, q = 17, n = 85, e = 3, d = 57,

m3 mod 85 = 72;

2. p = 11, q = 23, n = 253, e = 3, d = 169,

m3 mod 253 = 173;

3. p = 17, q = 23, n = 391, e = 3, d = 261,

m3 mod 391 = 242;

Для знаходження повідомлення m за відкритими ключами (ni, ei ) та перехопленими шифрами ci складемо систему порівнянь



Одним із її розв’язків буде x = 2197 = 133. Тобто шуканим повідомленням буде m = 13.



Неприховані повідомлення



Означення. Повідомлення m називається неприхованим, якщо його шифр дорівнює самому повідомленню, тобто me = m (mod n).

Наприклад, повідомлення m = 0 та m = 1 завжди є неприхованими для довільних значень e та m.



Твердження. Кількість неприхованих повідомлень в RSA системі дорівнює 

(1 + НСД(e - 1, p - 1)) * (1 + НСД(e - 1, q - 1))



Оскільки значення e - 1, p - 1 та q - 1 – парні, то НСД(e - 1, p - 1)  2, НСД(e - 1, q - 1)  2, а отже кількість неприхованих повідомлень завжди не менша за 9.