Статистические задачи

ЗАДАЧА 1



По исходным данным вычислить основные аналитические показатели рядов динамики (по цепной и базисной схемам):

средний уровень ряда динамики;

абсолютный прирост;

темп роста;

темп прироста;

абсолютное значение 1% прироста;

средний темп роста и средний темп прироста.

Средний уровень интервального ряда определим по формуле:







где Yi – значение грузооборота;

n – число значений в динамическом ряду.

Абсолютный прирост относительно базисного уровня грузооборота определим по формуле:

	

	ΔYi=Yi-Y0



Абсолютный прирост грузооборота относительно предшествующего года определим по формуле:

	

	ΔYi=Yi-Yi-1



Темп роста относительно базисного уровня грузооборота определим по формуле:



	




Темп роста грузооборота относительно предшествующего года определим по формуле:

	

	



Темп прироста относительно базисного уровня грузооборота определим по формуле:

	

	



Темп прироста грузооборота относительно предшествующего года определим по формуле:

	

	



Средний темп роста грузооборота определим по формуле:

	

	



Средний темп прироста грузооборота определим по формуле:

	

	



Абсолютное значение одного процента прироста определим по формуле:

	

	



Результаты расчёта аналитических показателей ряда динамики представим в таблице 1.1



Таблица 1 – Основные аналитические показатели ряда динамики

Показатель

Схема счета

Периоды





1

2

3

4

5

6

7

8

Уровень ряда



1199

1253

1573

1385

1276

1385

1266

1358

Средний уровень ряда



1336,875















Абсолютный прирост 

Базисная

100

54,0

374,0

186,0

77,0

186

67

159



Цепная

100

54,0

320,0

-188,0

-109,0

109,0

-119,0

92,0

Темп роста

Базисная

100

104,5

131,2

115,5

106,4

115,5

105,6

113,3



Цепная

100

104,5

125,5

88,0

92,1

108,5

91,4

107,3

Темп прироста

Базисная

100

4,5

31,2

15,5

6,4

15,5

5,6

13,3



Цепная

100

4,5

25,5

-12,0

-7,9

8,5

-8,6

7,3

Абсолютное значение 1% прироста 





11,99

12,53

15,73

13,85

12,76

13,85

12,66

Средний темп роста



101,79















Средний темп прироста



1,79

















Произведем сглаживание данных за три года при помощи двенадцатимесячной скользящей средней, централизованной на седьмой месяц. Рассчитаем коэффициент сезонности по данным трех лет, и построим график сезонной волны.

Сглаживание рядов динамики производится с помощью простых средних, скользящей средней, методами аналитического выравнивания. Скользящие средние рассчитываются по формулам:


;

 и т.д. - нецентрализованная

 - централизованная



Коэффициент сезонности определяется как отношение уровней ряда к их среднему уровню по формуле:







Средний коэффициент сезонности за рассматриваемый период находим по формуле:







где n – количество рассчитанных коэффициентов сезонности по одноименным месяцам.

Расчет скользящей средней и коэффициента сезонности приведем в таблице 1.2.

Простроим график сезонной волны по средним коэффициентам сезонности. График приведен на рисунке 1.






Рисунок 1 – График сезонной волны



Таблица 2 – Расчет коэффициента сезонности

Год

Месяц

Уровень ряда

Скользящая средняя

Коэффициент сезонности

Средний коэффициент сезонности







нецентрированная

центрированная





1994

1

21,1











2

22,8











3

23,9











4

23,8











5

24,5











6

24,6

23,550









7

25,9

23,492

23,521

104,016





8

25,7

23,617

23,554

103,213





9

24,2

23,783

23,700

97,189





10

25,5

23,942

23,863

102,410





11

22,3

24,067

24,004

89,558





12

18,3

24,217

24,142

73,494



1995

1

20,4

24,308

24,263

81,928

81,53



2

24,3

24,408

24,358

97,590

97,39



3

25,9

24,500

24,454

104,016

107,23



4

25,7

24,592

24,546

103,213

107,03



5

26

24,608

24,600

104,418

107,83



6

26,4

24,750

24,679

106,024

110,84



7

27

24,733

24,742

108,434

106,22



8

26,9

24,725

24,729

108,032

105,62



9

25,3

24,858

24,792

101,606

99,40



10

26,6

25,017

24,938

106,827

104,62



11

22,5

25,158

25,088

90,361

89,96



12

20

25,358

25,258

80,321

76,91

1996

1

20,2

25,517

25,438

81,124





2

24,2

25,942

25,729

97,189





3

27,5

26,325

26,133

110,442





4

27,6

26,367

26,346

110,843





5

27,7

26,467

26,417

111,245





6

28,8

26,400

26,433

115,663





7

28,9











8

32











9

29,9











10

27,1











11

23,7











12

19,2









Итого:

896,4









Средняя:

24,90











Из графика видно, что коэффициент сезонности в начале года увеличивается, а в конце - уменьшается. Наибольшее отклонение наблюдается в начале года 2-ой и 10 -ой месяц.



ЗАДАЧА 2



Произвести аналитическое выравнивание рядов динамики по данным задачи 1 о размерах грузооборота по родам грузов:

		при равномерном развитии y = a0 + a1t ;

		при развитии с переменным ускорением (замедлением) yt = a0 + a1t + a2t2 + a3t3 ;

		при изучении сезонных колебаний по данным об отправлении грузов yt = a0 + (ak cosRt + bk sinRt) .

Результаты расчётов представить в виде таблиц и графиков.

1. Способ отсчета времени от условного начала, когда ∑t=0, дает возможность определить параметры математической функции по формулам:



 


Результаты вычислений приведем в таблице 3:



Таблица 3 – Вычисление параметров функции y=a0+a1t и y=a0+a1t+a2t2+a3t3

Год

t

y

tІ

ty

t4

t6

tІy

tіy

Yti*

Yt

(Yti*-y)І

(Yt-y)І

1

-4

1199

16

256

4096

-4796

19184

-76736

1324,2

1175,2

15677,13

566,75

2

-3

1253

9

81

729

-3759

11277

-33831

1327,4

1354,3

5531,64

10254,93

3

-2

1573

4

16

64

-3146

6292

-12584

1330,5

1432,5

58786,04

19730,33

4

-1

1385

1

1

1

-1385

1385

-1385

1333,7

1438,1

2630,84

2817,52

5

1

1276

1

1

1

1276

1276

1276

1340,0

1343,3

4101,34

4532,35

6

2

1385

4

16

64

2770

5540

11080

1343,2

1299,2

1746,54

7364,77

7

3

1266

9

81

729

3798

11394

34182

1346,4

1294,6

6460,14

820,27

8

4

1358

16

256

4096

5432

21728

86912

1349,5

1357,8

71,54

0,05

итого

0

10695

60

708

9780

190

78076

8914

10695,0

10695,0

95005,21

46086,98



Тогда:



 



Уравнение при равномерном развитии:



y = 1336,88 - 3,17 ∙ t



2. Для вычисления параметров функции y=a0+a1t+a2t2+a3t3 :



 

			 



Тогда:


 

 



Уравнение при развитии с переменным ускорением (замедлением):



yt= 1398,98 - 52,06 t - 8,28 t2 + 4,68 t3;



3. По рассмотренным моделям определим теоретические уровни тренда. Фактические и теоретические уровни ряда нанесём на график, представленный на рисунке 2.





Рисунок 2 – График фактических и теоретических уровней ряда



Рассчитаем стандартизированную ошибку аппроксимации – 



  



4. При изучении сезонных колебаний по данным об отправлении грузов  необходимо рассчитать параметры:


  



Результаты расчётов сведём в таблицу 4



Таблица 4 – Выравнивание ряда динамики y=a0+(aкcosRt+ bкsinRt), 1998 год

	Месяц

	ti

	yi

	cos ti

	sin ti

	yi∙cos ti

	yi∙sin ti

	yti

	1

	0

21,10

1

0

21,1

0

21,21

	2

	(1:6)π

22,80

0,86616

0,5

19,748

11,4

21,66

	3

	(1:3) π

23,90

0,5

0,866

11,95

20,6974

22,62

	4

	(1:2) π

23,80

0

1

0

23,8

23,82

	5

	(2:3) π

24,50

-0,5

0,866

-12,25

21,217

24,96

	6

	(5:6) π

24,60

-0,866

0,5

-21,3

12,3

25,71

	7

	π

25,90

-1

0

-25,9

0

25,89

	8

	(7:6) π

25,70

-0,866

-0,5

-22,26

-12,85

25,44

	9

	(4:3) π

24,20

-0,5

-0,866

-12,1

-20,9572

24,48

	10

	(3:2) π

25,50

0

-1

0

-25,5

23,28

	11

	(5:3) π

22,30

0,5

-0,866

11,15

-19,3118

22,14

	12

	(11:6) π

18,30

0,866

-0,5

15,848

-9,15

21,39

	

	-

282,6





-14,01

1,6454

282,60



	  

	



Фактические и теоретические уровни ряда нанесём на график, представленный на рисунке 3.






	Рисунок 3 – График фактических и теоретических уровней ряда выравнивания



Фактические и теоретические уровни ряда близки по значению, а кривая ряда (рисунок 3) похожа на гармоническую функцию.

Поэтому функцию  можно использовать для выравнивания ряда динамики.



ЗАДАЧА 3



По данным таблицы определить:

1) выполнение норм удельного расхода топлива по отделениям и дороге в целом;

2) сводный индекс расхода топлива на дороге;

3) изменение среднего удельного расхода топлива на дороге за счет изменения удельного расхода топлива на 10000 т/км брутто на отделениях и за счет изменения структуры грузооборота по отделениям, а также за счет того и другого фактора одновременно;

4) абсолютный размер экономии (перерасхода) топлива за счет изменения грузооборота на отделениях, за счет изменения удельного расхода топлива на отделениях.




Таблица 10 – Грузооборот и удельный расход топлива по отделениям железной дороги

Отделение

Удельный расход топлива, кг/10000 т·км брутто.

Грузооборот брутто, млн. т·км

Выполнение норм удельного расхода топлива, %

Расход топлива, тонн



Норма

Факти-чески

Норма

Факти-чески

% выпол-нения



План

Факт

Отчетного по удельному расходу базисного

1

50

47

200

113

56,5

94,0

10000

5311

5650

2

55

57

320

102

31,9

103,6

17600

5814

5610

3

48

45

400

101

25,3

93,8

19200

4545

4848







920

316

113,6



46800

15670

16108



			1) выполнение норм удельного расхода топлива по отделениям и дороги в целом

			

					Iи=∑и1q1 / ∑и0q1 =15670 / 16108 = 0,973

					

				2) Сводный индекс расхода топлива

				

					Iиq=∑и1q1 / ∑и0q0 =15670 / 46800 = 0,335

	

	3) Индекс удельного расхода топлива переменного состава



Iи = ∑и1q1/∑q1 : ∑и0q0/∑q0 = ∑и1q1/∑и0q1= 15670/316 : 46800/920 = 0,975

			

			Индекс удельного расхода топлива постоянного состава



Iи=∑и1q1/∑q1 : ∑и0q1/∑q1= ∑и1q1/∑и0q1 = 15670 / 16108 = 0,973



Индекс структурных сдвигов


Iстр= ∑и0q1/∑q1 : ∑и0q0/∑q0 = 16108/316 : 46800/920 = 1,002

	

	4) Экономия топлива за счет изменения удельного расхода

	

Δиq=∑и1q1-∑и0q1= 15670 - 16108 = -438 кг за счет изменения грузооборота

Δиqq=∑и0q1-∑и0q0= 16108 - 46800 = -30692 кг



ЗАДАЧА 4



№ 1. Для изучения производительности труда токарей на машиностроительном заводе было проведено 10%-ное выборочное обследование 100 рабочих методом случайного бесповторного отбора. В результате обследования получены данные о часовой выработке рабочих:



Часовая выработка, шт.

18-20

20-22

22-24

24-26

26-28

28-30

Число рабочих

2

8

24

50

12

4



С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится среднее время обработки одной детали токарями завода.

Рассчитаем среднюю ошибку выборки по формуле:







Дисперсия







где хi - часовая выработка

 - средняя часовая выработка по всем рабочим выборки;

fi - сумма всех частот



Часовая выработка, шт.

18-20

20-22

22-24

24-26

26-28

28-30



Число рабочих

2

8

24

50

12

4

100



40

176

576

1300

288

120

2500

(xi - )2

-10

-24

-24

50

36

20

48







∆х = ± t · μx ∆х = ± 3 · 0,66 = 2 шт.



Ответ: с вероятностью 0,997 можно утверждать, что доля лиц, которая одобрит составит 54% - 66%.




Литература



		Быченко О.Г. Общая теория статистики: Задание на контрольную работу № 1 с методическими указаниями. – Гомель: БелГУТ, 2000. – 30 с.

		Быченко О.Г. Общая теория статистики: Задание на контрольную работу № 2 с методическими указаниями. – Гомель: БелГУТ, 2000. – 31 с.

		Общая теория статистики: Учебник/Т.В. Рябушкин, М.Р. Ефимова, Н.И. Яковлева. – М.: Финансы и статистика, 1981. – 279 с., ил.