Модель Стоуна

Модель Стоуна































Москва

2007


Содержание



	Введение	3

	Решение задачи Стоуна для случая двух товаров	4

	Минимизация расходов потребителя: обратная задача	7

	Решение задачи Стоуна для случая трех товаров	9

	Пример 1	9

	Пример 2	10

	Пример 3	11

	Пример 4	12

	Пример 5	14

	Литература	15





Введение



Пусть U – функция полезности потребителя. Задачу потребительского выбора можно записать в виде



	(*)



,







(Доход мы нормировали на единицу, не теряя общности). Набор товаров  можно рассматривать в качестве минимальной корзины потребления. Для приобретения минимального набора  необходимо, чтобы доход был больше стоимости этого набора, т.е.



 	(**)



Показатели степеней ai > 0 характеризуют относительную "ценность" соответствующих товаров для потребителя. Добавив к функции (*) бюджетные ограничения (**), получим задачу потребительского выбора, которую называют моделью Р. Стоуна.





Решение задачи Стоуна для случая двух товаров



Выведем оптимум потребителя при покупке им двух благ X и Y (при необходимости число благ можно расширить до сколь угодно большого количества).  Тогда наша задача состоит в том, чтобы максимизировать функцию полезности потребителя от этих двух благ – U (X, Y). Однако наш потребитель ограничен своим доходом (бюджетом), который он тратит без остатка на приобретение этих благ. В результате бюджет потребителя можно представить как I = PXX + PYY. 

Затем мы решаем задачу на условный локальный максимум (максимум с ограничением) методом множителей Лагранжа. Составляем следующее уравнение



L = U (X, Y) + (I  PXX  PYY),	(1)



где   - так называемый «множитель Лагранжа». Его экономический смысл станет нам ясен несколько позже.  Первое условие максимума с ограничениями получается в результате нахождения частных производных первого порядка по X, Y и  из уравнения (1) и приравнивания их к нулю. Получаем систему уравнений (2)







 (2)





Последнее уравнение из (2) говорит нам о том, что доход (бюджет) потребителя расходуется на блага X и Y без остатка. Однако нас больше интересуют первые два уравнения из (3.А.2). Из них следует, что



   (3)







Правые части в (3) есть ни что иное, как MUX и MUY, то есть предельные полезности благ X и Y . Отсюда получаем сформулированное в основном тексте главы 2 условие оптимума потребителя.



, 		 (4)



где  может быть интерпретирована как предельная полезность денежной единицы. Ведь для любого блага n MUn/Pn может трактоваться как темп возрастания полезности по мере увеличения затрат денег на покупку этого блага.

Для того, чтобы найти точки оптимума (или, что тоже самое, спрос на блага X и Y), надо знать функцию полезности. Допустим, U = XY. Тогда по методу Лагранжа получаем





	(5)





Решая систему уравнений (5) относительно X и Y получаем



,      	



Пусть, например, доход потребителя равен 100 д.е, PX = 2 д.е, PY = 5 д.е. Тогда X* = 25, Y* = 10. Если предположить, что PX стало равно 5 д.е., а PY снизилось до 4 д.е., то новые значения спроса на эти блага X* = 10, а Y* = 12,5. 

Заметим, что в нашем случае функции спроса достаточно простые. Спрос зависят только от цены благ и дохода потребителя. В то же время они позволяют заметить, что

а) каждому значению цены блага и дохода отвечает одно значение спроса;

б) если все цены и доходы меняются в одной и той же пропорции, то спрос на блага не меняется. 





Минимизация расходов потребителя: обратная задача



В предыдущем разделе математического приложения ставилась задача максимизировать полезность потребителя при ограниченном доходе. Теперь ставится обратная задача: как минимизировать расходы потребителя при постоянном значении функции полезности. 

Эта проблема не является какой-то искусственно созданной математической задачей. Ей можно дать экономическое толкование. Представим данную кривую безразличия и соответствующее ей значение функции полезности как задающие определенный уровень жизни или уровень реального дохода потребителя. Тогда есть смысл спросить: каковы минимальные расходы, позволяющие достичь данный уровня жизни при некоторых фиксированных ценах? Такой подход также позволяет анализировать эффект ценовых изменений на эти расходы. 

Теперь мы минимизируем I = PXX + PYY при ограничении U (X, Y) = , где  определенный фиксированный уровень полезности. Составляем уравнение Лагранжа для этого случая



L = ( PXX  + PYY)   U (X, Y)    	



Тогда имеем



  (1)











Возьмем первые два уравнения из (1). Из них получаем



,   (2)



где  - величина обратная предельной полезности денежной единицы, то есть равна 1/. Если заменить в (2)  на 1/ и возвести уравнение в степень  1, то получим знакомое нам условие оптимума потребителя, совпадающее с (4).





Решение задачи Стоуна для случая трех товаров



Пример 1



Пусть функция полезности имеет вид 







Бюджетное ограничение







составим фунцию Лагранжа







Найдем частные производные



















решение системы















Пример 2



Пусть функция полезности имеет вид 







Бюджетное ограничение







составим функцию Лагранжа





Найдем частные производные



















решение системы























Пример 3



Пусть функция полезности имеет вид 







Бюджетное ограничение







составим функцию Лагранжа







Найдем частные производные



















решение системы





















Пример 4



Пусть функция полезности имеет вид 







Бюджетное ограничение







составим функцию Лагранжа







Найдем частные производные



















решение системы
























Пример 5



Пусть функция полезности имеет вид 







Бюджетное ограничение







составим фунцию Лагранжа







Найдем частные производные

















решение системы






















Литература



Экономика. Учебник / Под ред. А. С. Булатова. – М.: Юристъ, 2001.

Микроэкономика. Учебники МГУ им. М. В. Ломоносова / Под ред. А. В. Сидоровича. – М.: ДИС, 2002.

Экономическая теория (политэкономия). Учебник / Под ред. В. И. Видянина, Г. П. Журавлевой. – М.: РЭА, 2000.

Курс экономики. Учебник / Под ред.Б. А. Райзберга. – М.: ИНФРА-М, 2000.

Экономическая теория. Учебник / Под ред. В. Д. Камаева. – М.: Владос, 2001.

Экономическая теория. Учебник / Под ред. В. И. Видянина, А. И. Добрынина, Г. П. Журавлевой, Л. С. Тарасевича. – М.: ИНФРА-М, 2000.

Микроэкономика. Учебник / Под ред. Е. Строганова, И. Андреева. – М.: Питер, 2002.



1