Расчет вала при совместном действии изгиба и кручения по гипотезам прочности

2





Костромская Государственная Сельскохозяйственная Академия

Кафедра: " Детали машин"

Методическое пособие и задачи для самостоятельного решения по курсу "ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА"

Раздел: "Сопротивление материалов"

















Тема: РАСЧЕТ ВАЛА ПРИСОВМЕСТНОМ ДЕЙСТВИИ ИЗГИБА И КРУЧЕНИЯ ПО ГИПОТЕЗАМ ПРОЧНОСТИ.







Составил: доцент Комаров Н.В.

















Кострома 2003


Для решения задания необходимо усвоить тему: "Гипотезы прочности и их применение", т.к в задачах рассматриваются совместные действия изгиба и кручения и расчет производится с применением гипотез прочности.

Условие прочности в этом случае имеет вид



эк в = Мэк в/ Wz 



Мэк в - так называемый эквивалентный момент

По гипотезе наибольших касательных напряжений (III - гипотеза прочности)



Мэк в III = (Ми2 + Тк2) 1/2



По гипотезе потенциальной энергии формоизменения (V - гипотезе прочности)



Мэк в V = (Ми2 + 0.75 Тк2) 1/2



В обеих формулах Т - наибольший крутящий момент в поперечном сечении вала Ми - наибольший суммарный изгибающий момент, его числовое значение равно геометрической сумме изгибающих моментов, возникающих в данном сечении от вертикально и горизонтально действующих внешних сил, т.е.







1. Привести действующие на вал нагрузки к его оси, освободить вал от опор, заменив их действия реакциями в вертикальных и горизонтальных плоскостях

2. По. заданной мощности Р и угловой скорости  определить вращающие моменты действующие на вал.

3. Вычислить нагрузки F1, Fr1, F2, Fr2 приложенные к валу.

4. Составить уравнения равновесия всех сил, действующих на вал, отдельно в вертикальной плоскости и отдельно в горизонтальной плоскости и определить реакции опор в обеих плоскостях.

5. Построить эпюру крутящих моментов.

6. Построить эпюру изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях (эпюры Mz и My).

7. Определить наибольшее значение эквивалентного момента:



Мэк в III = (Мz2 + My2 + Тк2) 1/2 или

Мэк в V = (Мz2 + My2 + 0.75 Тк2) 1/2



8. Приняв эк в =  определить требуемый осевой момент сопротивления



Wz = М эк в/



9. Учитывая, что для бруса сплошного круглого сечения



Wи = *dв3/32  0.1* dв3



определяем диаметр его d по следующей формуле:



d  (32* М эк в / *) 1/3  (М эк / 0.1 ) 1/3



Пример: Для стального вала постоянного поперечного сечения с двумя зубчатыми колесами, передающего мощность Р = 15 кВт при угловой скорости  =30 рад/с, определить диаметр вала по двум вариантам:.

а) Используя, III -гипотезу прочности

б) Используя, V - гипотезу прочности

Принять  =160МПа, Fr1 = 0.4 F1, Fr2 = 0.4 F2

Составляем расчетную схему вала: Т1=Т5, где Т1 и Т2 - скручивающие пары, которые добавляются при параллельном переносе сил F1 и F2 на ось вала

Определяем вращающий момент действующий на вал:



Т1 = Т2 = Р/ = 0,5*103 Нм = 0,5 кНм



Вычисляем нагрузку приложенную к валу



F1 = 2*T1/d1 = 2*0.5*103/0.1 = 104 H = 10kH

F2 = 2*T2/d2 = 2*0.5*103/0.25 = 4*103 H = 4kH

Fr1 = 0.4*103 = 4 kH Fr2 = 0.4*4 = 1.6 kH



Определяем реакции опор в вертикальной плоскости YOX (рис б)



Ma = - Fr1 AC - Fr2 AD + RBY*AB = 0

RBY = Fr1 AC + Fr2 AD / AB = 4*0.05 + 1.6*0.25/0.3 = 2 kH

MB = - RAY*AB + Fr1*BC + Fr2*DB = 0

RAY = Fr1*BC + Fr2*DB / AB = 4*0.25 + 1.6*0.05/03 = 3.6 kH



Проверка:



Y = RAY - Fr1 - Fr2 + RBY = 2-4-1.6+3.6 = 0

Y = 0, следовательно RAY и RBY найдены правильно



Определим реакции опор в горизонтальной плоскости ХОZ (рис б)



MA = F1 AC - F2 AD - RBz*AB = 0

RBz = F1 AC - F2 AD / AB = 10*0.05 - 4*0.25/0.3 = - 1.66 kH



Знак минус указывает, что истинное направление реакции RBz противоположно выбранному (см. рис. б)



MB = RAz*AB - F1*CB + F2*DB = 0

RAz = F1*CB - F2*DB / AB = 10*0.25 - 4*0.05/0.3 = 7.66 kH



Проверка:



Z = RAz - F1 + F2 - RBz = 7.66-10+4-1.66 = 0

Z = 0, следовательно реакции RAz и RBz найдены верно.



Строим эпюру крутящих моментов Т (рис в).







Определяем ординаты и строим эпюры изгибающих моментов Mz в вертикальной плоскости (рис. г и д) и Мy - в горизонтальной плоскости.



МCz = RAy*AC = 3.6*0.05 = 0.18 kHм

МDz = RAy*AD - Fr1*CD = 3.6*0.25 - 4*0.2 = 0.1 kHм

МCy = RAz*AC = 7.66*0.05 = 0.383 kHм

МDy = RAz*AD - F1*CD = 7.66*0.25 - 10*0.2 = - 0.085 kHм



Вычисляем наибольшее значение эквивалентного момента по заданным координатам так как в данном примере значение суммарного изгибающего момента в сечений С больше, чем в сечении D, то сечение С и является опасным. Определяем наибольший суммарный изгибающий момент в сечении С.



Ми С = (МСz2 + MCy2) 1/2 = (0.182 + 0.3832) 1/2 = 0.423 kHм

Ми D = (МDz2 + MDy2) 1/2 = (0.12 + 0.0852) 1/2 = 0.13 kHм



Эквивалентный момент в сечении C по III и V гипотезе прочности



Мэк в III = (Мz2 + My2 + Тк2) 1/2 = (0182+ 0.3832+0.52) 1/2 =

= 0.665 kHм

Мэк в V = (Мz2 + My2 + 0.75 Тк2) 1/2 =

= (0.182+0.3832+0.75*0.52) 1/2 = 0.605 kHм



Определяем требуемые размеры вала по вариантам III и V гипотез прочности.



dIII = (Мэк в III / 0.1*) 1/2 = (0.655*103/0.1*160*106) 1/2 =

= 3.45*10-2 (м) = 34.5 (мм)

dVI = (Мэк в V / 0.1*) 1/2 = (0.605*103/0.1*160*106) 1/2 =

= 3.36*10-2 (м) = 33.6 (мм)



Принимаем диаметр вала согласно стандартного ряда значений d=34 мм

Из условия прочности рассчитать необходимый диаметр вала постоянного поперечного сечения, с двумя зубчатыми колёсами, предающего мощность Р, при заданной угловой скорости.

Принять  =160МПа, Fr1 = 0.4 F1, Fr2 = 0.4 F2 (Все размеры указаны на рисунках)



№ задачи 

вариант

Р, кВт

, рад/с

№ задачи 

вариант

Р, кВт

, рад/с

0

0

6

22

1

0

3

25



1

8

36



1

8

48



2

10

40



2

10

50



3

9

30



3

12

40



4

3

45



4

22

24



5

20

50



5

20

60



6

12

68



6

20

22



7

5

20



7

9

36



8

3

50



8

8

42



9

12

48



9

15

35

















2

0

10

30

3

0

5

40



1

20

80



1

6

36



2

15

45



2

7

35



3

12

38



3

12

24



4

14

18



4

15

15



5

8

42



5

12

32



6

10

45



6

9

42



7

18

22



7

10

45



8

25

40



8

7

21



9

5

42



9

20

36

















4

0

5

18

5

0

20

45



1

10

18



1

19

38



2

12

30



2

21

15



3

24

30



3

18

26



4

6

24



4

15

18



5

12

52



5

16

50



6

3

15



6

8

30



7

15

45



7

7

20



8

19

50



8

10

24



9

20

25



9

13

48



№ задачи 

вариант

Р, кВт

, рад/с

№ задачи 

вариант

Р, кВт

, рад/с

6

0

4

35

7

0

16

40



1

20

15



1

30

50



2

18

20



2

28

42



3

16

18



3

20

38



4

30

24



4

15

20



5

25

30



5

18

30



6

22

28



6

22

30



7

15

18



7

27

35



8

8

24



8

24

28



9

10

12



9

4

20

















8

0

12

38

9

0

40

70



1

15

42



1

30

50



2

10

32



2

32

38



3

20

50



3

25

42



4

23

18



4

12

32



5

14

24



5

28

34



6

16

20



6

20

35



7

24

15



7

10

20



8

26

25



8

14

30



9

6

48



9

35

40