Основные расчеты в технической механике

Задача №1 (рис. 2)



Балка закреплена шарнирно в точка А и удерживается в горизонтальном положении стержнем ВС, нагружена силами F1 , F2 и парой сил с моментом М

Определить реакции шарнира А и стержня ВС



Решение:





y

x

RA

A

F1=24 кН

F2=40 кН

М=3 кН∙м

RВ

В

С

α

45°

l1=0,6 м

l2=1,4 м

l3=0,5 м

RВx

RВy

RAx

RAy



Зададимся системой координат с центром в точке А.

Обозначим реакцию стержня ВС в точке В вектором RB , направление же реакции шарнира А не известно.

Составим уравнение моментов в точке А:



ΣМА= 0

ΣМА=МА(F1)+ МА(F2 ) - МА(RB)+ МА(RA) + M =0



Заметим, что момент реакции шарнира в точке А будет равен нулю, так как плечо l=0


МА(F1)= F1 ∙ l1=24 ∙ 0,6 = 14,4 кН∙м

МА(F2)= F2∙ (l1+ l2+l3)= 40 ∙ 2,5 = 100 кН∙м

МА(RA)= 0 кН∙м

М = - 3 кН∙м



получаем уравнение:



14,4 + 100 - 3 - МА(RB) = 0

- МА(RB) = - 14,4 - 100 + 3

- МА(RB) = - 111,4 кН∙м

МА(RB) = 111,4 кН∙м



Найдем реакцию RB:



МА(RB) = RB ∙ cos 45º · (l1 + l2)

RB= 

RB= = 78,8 кН



Определим проекцию реакции RA на ось x из уравнения суммы проекций:



ΣРх= 0

ΣРх= F1x+RBx+F2x+RAx=0

F1x= F1 ∙ cos 90° = 0

F2x= F2 ∙ cos 90° = 0

RBx= RB ∙ cos 45°= 79,6 · 0,7 = 55,72

ΣРх= 55,72 + RAx =0

RAx= - 55,72 


Определим проекцию реакции RA на ось y из уравнения суммы проекций:



ΣРy = 0

ΣРy = F1y+RBy+F2y+RAy=0

F1y = - F1 ∙ cos 0° = - 24

RBy = RB ∙ cos 45° = 78,8 · cos45° = 55,72

F2y= - F2 ∙ cos 0° = - 40 ∙ 1 = - 40

ΣРy = -24 + 55,72 – 40 + RAy= 0

RAy= 24 - 55,72 + 40 = 8,28



Реакцию RA найдем из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора :



RA= кН



Найдем угол между вектором реакции RA и осью x по косинусу угла α



cos α ==

α ≈ 8,5°



Для проверки определим сумму моментов сил и реакций в точке В, которая для тел находящихся в равновесии должна равняться нулю.



ΣМВ = МB(F1)+ МВ(F2)+M+ МВ(RA)

МВ(F1) = - F1 ∙l2 = - 24 ∙ 1,4 = - 33,6 кН∙м

МВ(F2) = F2 ∙ l3 = F2 ∙ l3 = 40 ∙ 0,5 = 20 кН∙м

МВ(RA) = RA ∙ sin 8,44º · (l1 + l2) = 56,332 · sin 8,5° · 2 = 16,65 кН∙м

M = - 3 кН∙м

ΣМВ = - 33,6 + 20 + 16,6 - 3 ≈ 0


Задача № 2 (рис. 19) 



Определить место положения центра тяжести сечения составленного из прокатных профилей 



Решение:



y



y1 = 130

Двутавр № 24

А1 = 34,8 см2

y1 = 130



x

10

120

С1

yc

115

240

yc



А1 = 34,8 см2 = 3480 мм2

А2 = 115 ∙ 10 = 1150 мм2

y1 = 130

x1 = 0

y2 = 10 : 2 = 5 

x2 = 0




Так как сечение симметрично относительно оси y достаточно определить только координату yс



yс = = 98,95 мм

xc = 0



Задача №3 (№23)



Груз массой 100 кг опускается равноускоренно с помощью невесомого троса, перекинутого через блок и в первые 4 секунды проходит 8 м. Определить силу натяжения троса.



Решение:



На груз действует сила натяжения троса F и сила тяжести mg, под действием которых он движется с ускорением а. Следовательно по второму закону Ньютона 



mg + F = ma



Так как все силы направлены по вертикали, выберем вертикальную ось у с положительным направлением по ускорению (вниз)

Проектируем 



mg + F = ma




а

у

F

mg



mg – F = ma или F = m(g – a)



Из кинематики :



h = at2/2



Следовательно :



F = m(g – 2h/t2) = 100 · (9,8 – ) = 880 H



Задача № 4 (рис. 37)



Для ступенчатого стального бруса требуется:

а) определить значение продольной силы и нормального напряжения по длине бруса.

б) построить эпюру.

в) определить удлинение (укорочение) бруса.

Модуль продольной упругости: E = 2 ∙105 мПа




Решение:



Разобьем брус на участки начиная от свободного конца. Границы участков определяются точками приложения сил и местами изменения размеров поперечного сечения.

Всего будет 4-ре участка. Проведя сечение и отбрасывая левые части бруса можно определить продольные силы в его поперечных сечениях.





F1=100 кН

F2=50 кН

А2=2500мм2

А1=2000мм2

400мм

200мм

500мм

100мм

I

II

III

IV

+

+

50 кН

100 кН

100 кН

40 мПа

50 мПа

20 мПа

Участок I – не деформируется и продольные силы в нем будут равны нулю.




N1 = 0

N2 = N3 = 100 кН

N4 = F1 – F2 = 100 – 50 = 50 кН



т.е. на всех участках брус растянут, а продольные силы будут равны:

на участках II и III – 100 кН

на участке IV – 50 кН 

Чтобы определить нормальные напряжения в поперечных сечениях бруса нужно разделить значения продольных сил на площади сечений.



для участка II : σII = 

для участка III : σIII = 

для участка IV : σIV = 



Определим относительное удлинение на разных участках бруса. По закону Гука, относительное удлинение:



εII =

εIII =

εII =



Абсолютное удлинение на участках:



II = 0,00025 ∙ 500 = 0,125 мм

III = 0,0002 ∙ 200 = 0,04 мм

IV = 0,0001 ∙ 400 = 0,04 мм


Общее удлинение бруса будет равно:



0,125 + 0,04 + 0,04 = 0,205 мм



Задача №5 (рис.43)



Для заданной консольной балки построить эпюру изгибающих моментом и подобрать из условий прочности размеры поперечного сечения в двух вариантах:

- сдвоенный швеллер

- прямоугольник с отношением 

Сравнить массы балок по обоим расчетным вариантам.

Материал балки – сталь Ст.3 [σ] = 160 мПа



Решение:



Разобьем балку на участки, границы которых определим точками приложения внешних сил.




F1=24 кН

F2=8 кН

M=10 кН∙м

l1 = 0,4 м

l2 = 0,8 м

l3 = 0,5 м

А

В

С

D

-

- 29,2 кН∙м

- 10 кН∙м

- 16,4 кН·м 

52,4 кН∙м

z1 

z2

z3

I

II

III

- 10 кН∙м



На первом участке балки момент будет равен:

- в точке D



М1 = - М = - 10 кН· м



- в точке С 



М1 = - М = - 10 кН· м



На втором участке:

- в точке С



М2 = - М = - 10 кН· м




- в точке В



М2 = - М – F2 · z2 = - 10 – 8 · 0,8 = - 16,4 кН · м



На третьем участке:



- в точке В



М3 = - М – F2 · z2 = - 10 – 8 · 0,8 = - 16,4 кН · м



- в точке А



М3 = - М – F2 · (z2 + z3) – F1 · z3 = - 10 – 8 · (0,4 + 0,8) – 24 · 0,4 = - 29,2



Наибольший по величине изгибающий момент наблюдается в месте жесткой заделки балки в точке A и равен он:







Найдем требуемый момент сопротивления



Wx ≥ 



Подбираем сечение балки в двух вариантах:



Сечение – сдвоенный швеллер



Wx ≥ 182,5 см3   см3


Подходит швеллер № Wx = см3

Сечение - прямоугольник с отношением сторон 

для прямоугольника 



Wx=;



подставив сюда  и приняв Wx равным требуемому значению, получим:



Wx==  = 182,5 см3



отсюда





h = 11,8 см

b = 11,8 : 3 = 3,9 см



Задача № 6 (рис.55)



Для заданного привода машины необходимо 

а) дать характеристику привода и его отдельных передач 

б)определить общие КПД и передаточные отношения.

в)определить мощность, вращающие моменты и угловые скорости для всех валов.

При расчетах принять следующие средние значения КПД (с учетом потерь на трение в опорах валов) передач:


зубчатая цилиндрическая 		- 0,97 (закрытая)

						- 0,96 (открытая)

зубчатая коническая			- 0,96 (закрытая)

						- 0,95 (открытая)

червячная					- 0,8 (закрытая)

цепная					- 0,92 (открытая)

клиноременная				- 0,95 (открытая)





М

Х

Х

Х

Z=42



2



Z=18



3



4



Z=20

5



Z=60

Z=54

6



Pдв=5,5кВт

ωдв=74,8 с-1

Х

Х

Х

Z=21

1





Решение:



I ступень – закрытая зубчатая цилиндрическая передача с числом зубьев на ведущем колесе Z=21, на ведомом – Z = 42;

II ступень – открытая зубчатая цилиндрическая передача с числом зубьев на ведущем колесе Z=15, на ведомом – Z =54;

II ступень – цепная передача с числом зубьев на ведущем колесе Z=20, на ведомом – Z=60;

Определим передаточные отношения на отдельных передачах и на всем приводе:










i1-6= i1-2 ∙ i2-4 ∙ i5-6 = 2 ∙3 ∙3 = 18



Для определения КПД, нам требуется значение угловой скорости каждой передачи и всего привода.



ω1 = ωдв = 74,8 с-1



из определения передаточного числа знаем:



i1-2 = 



отсюда: 





ω3 = ω2 = 37,4 с-1



ω5 = ω4 = 12,47 с-1





Определим мощности для каждой передачи и всего привода:






Р1=Рдв=5,5 кВт ; ηI = 0,97 (по условию)

Р2=ηI ∙ Р1 = 0,97 ∙ 5,5 = 5,335 кВт



аналогично для остальных передач:



Р3=Р2= 5,335 кВт ; ηII = 0,96 (по условию)

Р4=ηII ∙ Р3 = 0,96 ∙ 5,335 = 5,122 кВт

Р5= Р4= 5,122 кВт ; ηIII = 0,92 (по условию)

Р6=ηIII ∙ Р5 = 0,92 ∙ 5,122 = 4,71 кВт

ηприв. = ηI ∙ ηII ∙ ηIII = 0,97 ∙0,96 ∙0,92 = 0,857



Определим вращающие моменты для каждого вала 























1