Сценарий занятия элективных курсов в 11 классе по теме «Методы решения алгебраических уравнений с модулем»

Сценарий занятия элективных курсов в 11 классе  по теме тему «Методы решения алгебраических уравнений с модулем»



В программе средней школы знакомство с модулем начинается с 6 класса при изучении темы «Рациональные числа». Даётся определение: модулем или абсолютным значением числа называют расстояние от начала отсчёта до точки, изображающей число. 

Предлагается решить уравнения такого типа:

│x│= 10,           │x│ = - 5,            │x + 5│ = 8,

│x│ = 0,             │x│ + 5 = 0.

 В 7 классе модуль встречается при изучении тем: «Решение линейных уравнений», « Построение графиков вида y = kx».

Предлагается построить график функции y = │x│; y = 3│x│.

 В 8 классе модуль встречается при изучении темы  «Квадратный корень из степени», доказывается теорема: при любом значении x  верно равенство  = │x│.

Таким образом, в курсе алгебры 7 – 9 классов задачи с модулем встречаются редко, уравнения с модулями решаются самые простые, методы решения таких уравнений не рассматриваются. На ЕГЭ   есть задание, содержащее модули, это С5.  

Поэтому, Сегодня на занятиях мы рассмотрим тему «Методы решения алгебраических уравнений с модулем» для того, чтобы вы имели возможность лучше подготовиться к ЕГЭ.

	

	Определение: │x│ =    

	

	1. Решение простейших уравнений.

	│ ƒ (x)│ = a

	Если a > 0, то    ƒ (x) = a,

	                  ƒ (x) = - a.

		Если а = 0, то ƒ (x) = 0.	

	Если а < 0, то корней нет.

	Пример:

	│2x – 3│ = 11

	  2x – 3 = 11,	      x = 7,

	  2x – 3 = - 11;       x = - 4.

	Ответ: - 4; 7.

	

Практикум:

	1) │x│ = 3,	3) │x² + x│ = 0,

	2) │x² - 4│ = 0,	4) │x² - 4x│ = 5.

	

2. Решение уравнений сведением к простейшему.

 Пример:

│x² + x – 1│ = 2x - 1

		

		2x – 1 ≥ 0,	x ≥ 1

	                                                        2

x² + x – 1 = 2x – 1,                   x² – x = 0,         

		x² + x – 1 = - 2x +1,                 x² +3x -2 =0.	

		x ≥ 1,

            2

x = 0,

x = 1,

	x = ,	x = 1,

	    	

		x =, 	x = .        

		Ответ: 1; .

Практикум:

	1) │x + 4│ = 2x	3) │x² + 16│ = -8x

	2) │x + 4│ = -3x	4) │x² – x +3│ = x + 2

	

3. Решение «красивейших» уравнений.

  ƒ (x) ≥ 0       и            ƒ (x) ≤ 0.

Пример:

	│x² – x – 2│ = x² – x – 2,               │x² – 9│ = 9 - x²,

	x² – x – 2 ≥ 0                                    x² – 9 ≤ 0.









Ответ:                              Ответ: 

      

Практикум:

	1) 7 – 4x = │4x - 7│	3) │25x² - 1│ – 1+ 25x² = 0

	2) 3x – 5 = │3x - 5│

		

	4. Решение уравнений раскрытием модулей по определению.

 Пример:

	   x² - 5x – │x – 6│ +9 = 0

	   x – 6 ≥ 0,	      x ≥ 6,

				   x² - 5x – (x – 6) + 9 = 0;	        x² - 6x +15 = 0;     	x = 3,

		   x – 6 < 0,                                       x < 6,	x = 1.

	   x² - 5x + (x – 6) + 9;                     x² - 4x + 3 =0

	Ответ: 1; 3.

	

	Практикум:

	1) x² - │3x – 5│ = 5,	                        3) x² - 6x + │x – 4│ + 8 = 0,

	2) x² - x – │x + 5│ – 3 = 0,              4) │x + 3│ = x² + x – 6.

	

	5. Решение уравнений вида  │ƒ (x)│ = │φ (x)│ 

 ƒ (x) = φ (x)

     ƒ (x) = - φ (x)



 Пример:

	│x + 3│ = │2x – 1│          x + 3 = 2x - 1	       x = 4

			           x + 3 = - 2x + 1    	x =   

	  Ответ: ; 4                                                                                        

Практикум:

	1) │x│ = 5 – 2x	3) │x – 2│ = │2x² – 4x│

	2) │x + 5│ = │10 + 4x│             4) │x – 3│ = │3 x + 3│

	

6. Решение уравнений вида │ƒ (x)│ = - │φ (x)│  ƒ (x) = 0

	                                                                                       φ (x) = 0

 Пример:

			

			│x² - 4│ = - │x ² - x – 2│    x² - 4 = 0,	       x = 2,	       x = 2	

			 	           x²+ x – 2 = 0;	     x = - 2,           

		     x = 2,

		     x = - 1;

	Ответ: 2.

	

Практикум:

1) │x² – 9│ + │x² – 4x + 3│ = 0

2) │x² – 1│ + │x² + 6x - 7│ = 0

3) │x² + 2x - 3│ + │x² + 7x +12│ = 0

4) │x + x -2│ + │x² + 4x - 5│ = 0



	7. Решение уравнений методом интервалов.

 Пример:

	│x + 2│ + │x – 3│ = 5

	Найдём значение переменных x, при которых каждый из модулей равен нулю:

      x = - 2,      x = 3.



	Отметим эти точки на числовой прямой. Выделим интервалы.

	Определим, с каким знаком раскрывается каждый из модулей на каждом из интервалов.	

	

	

	

	

	 Получаем для решения этого уравнения совокупность трёх систем (так как получилось три интервала):

	

	

	

	    x < - 2,	x < - 2,

	    - x -2 – x + 3 = 5;	x = - 2;

	    - 2 ≤ x < 3,	       - 2 ≤ x < 3,          x € [- 2; 3]

	    x + 2 – x + 3 = 5;	5 = 5;

    x ≥ 3,                                    x ≥ 3,

	    x + 2 + x – 3 = 5;	x = 3;

	

	

Практикум: 

1) │x – 3│ + 2 │x + 1│ = 4,

2) │5 – x│ + │x – 1│ = 10, 

3)  │x – 2│ – │5 + x│ = 3.