по Экономике 29

Задача 1.5



	Продукция двух видов (краска для внутренних (I) и наружных (E) работ) поступает в продажу. Для производства красок используются два исходных продукта – A и B. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 тонн соответственно. Расходы продуктов A и B на1 1 т соответствующих красок приведены в таблице.



Исходный продукт

Расход исходных продуктов на тонну краски, т

Максимально возможный запас, т



Краска T

Краска I



A

1

2

6

B

2

1

8



	Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску T более чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны 3000 ден. ед. для краски T и 2000 ден. ед. для краски I. Какое количество краски каждого вида должны производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?



Решение:

Сформулируем экономическо-математическую модель задачи. Обозначим через x1 количество краски для наружных работ (в тоннах), x2 – количество краски для внутренних работ (в тоннах). Необходимо максимизировать доход от реализации краски:

	max f(x) = 3000x1 + 2000x2,

при ограничениях

x1 + 2x2 ≤ 6

2x1 + x2 ≤ 8

x2 – x1 ≤ 1

	x2 ≤ 2

	x1, x2 ≥ 0



Полученная задача – задача линейно программирования. Построим ОДР задачи.



Прямые ограничения означают, что область решений будет лежать в первой четверти Декартовой системы координат.

Функциональные ограничения (неравенства) определяют область, являющуюся пересечением полуплоскостей с граничными прямыми:



	x1 + 2x2 = 6

	2x1 + x2 = 8

	x2 – x1 = 1

	x2 = 2

Пересечение указанных полуплоскостей в первой четверти представляет собой полуплоскость - заштрихованная общая область для всех ограничений задачи ОДР.

1. Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент, соединив его вершину (3, 2) с началом координат O (0, 0).

2. Построим некоторую линию уровня 3000x1 + 2000x2 = a. Пусть, например, a = 12666,67. На рисунке такой линии уровня отвечает прямая OX, перпендикулярная вектор - градиенту.

3. При максимизации ЦФ необходимо перемещать линию уровня OX в направлении вектор - градиента, а при минимизации – в противоположном направлении.

Максимум функции будет находиться в точке пересечения прямых x1 + 2x2 = 6 и 2x1 + x2 = 8. Таким образом, максимума функции (12666,67) достигается при x1 = 10/3, x2 = 4/3. Если решать задачу на минимум, то минимум функции будет равен 0, так как функция ограничена снизу осями Ox1 и Ox2.









Задача 2.5



	На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.



Вид ресурсов

Нормы расхода ресурсов на ед. продукции

Запасы ресурсов



I вид

II вид

III вид



I

1

4

3

200

II

1

1

2

80

III

1

1

2

140

Цена изделия

40

60

80





Требуется:

Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теоремы двойственности.

Пояснить нулевые  значения переменных в оптимальном плане.

На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

	проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

	определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья на 18 единиц;

	оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов.



Решение:

1. Обозначим через x1, x2, x3, x4 – количество четырех видов продукции соответственно и запишем математическую модель задачи критерию «максимум стоимости»:

	max (40x1 + 60x2 + 80x3)

	x1 + 4x2 + 3x3 ≤ 200

	x1 + x2 + 2x3 ≤ 80

	x1 + x2 + 2x3 ≤ 140

	xj ≥ 0, j = 1, 2, 3.



Приведем задачу к каноническому виду

max (40x1 + 60x2 + 80x3)

x1 + 4x2 + 3x3 + x4 = 200

x1 + x2 + 2x3 + x5 = 80

	x1 + x2 + 2x3 + x6 = 140

xj ≥ 0, j = 1-6.



Решим каноническую задачу симплекс-методом.



Базис

Z

x1

x2

x3

x4

x5

x6

Реш

b/aij

Комм

z

1

-40

-60

-80

0

0

0

0



не опт

x4

0

1

4

3

1

0

0

200

66,67



x5

0

1

1

2

0

1

0

80

40

x3 в Baz

x6

0

1

1

2

0

0

1

140

70

























z

1

0

-20

0

0

40

0

3200



не опт

x4

0

-0,5

2,5

0

1

-1,5

0

80

32

x2 в Baz

x3

0

0,5

0,5

1

0

0,5

0

40

80



x6

0

0

0

0

0

-1

1

60



























z

1

-4

0

0

8

28

0

3840



не опт

x2

0

-0,2

1

0

0,4

-0,6

0

32





x3

0

0,6

0

1

-0,2

0,8

0

24

40

x1 в Baz

x6

0

0

0

0

0

-1

1

60



























z

1

0

0

6,67

6,67

33,33

0

4000



опт

x2

0

0

1

0,33

0,33

-0,33

0

40





x1

0

1

0

1,67

-0,33

1,33

0

40





x6

0

0

0

0

0

-1

1

60







Задача решена, получена оптимальная симплекс-таблица.



z = 4000 – максимальное значение целевой функции. Решение x1 = 40, x2 = 40, x3 = 0.



	В этой модели функциональные ограничения отражают условия ограниченности запасов ресурсов используемых в производстве продукции.

	Проверим, как удовлетворяется система функциональных ограничений планом X* = (x1 = 40, x2 = 40, x3 = 0):



	40 + 40 ∙ 4 + 0 ∙ 3 = 200

	40 + 40 + 2 ∙ 0 = 80 				(*)

	40 + 40 + 2 ∙ 0 = 80 ≤ 140



Значение целевой функции на этом плане равно



	f(X) = 40 ∙ 40 + 60 ∙ 40 + 80 ∙ 0 = 4000



2. Двойственная задача имеет вид:



	min (200y1 + 80y2 + 140y3)

	y1 + y2 + y3 ≥ 40

	4y1 + y2 + y3 ≥ 60

	3y1 + 2y2 + 2y3 ≥ 80

	yj ≥ 0.



	Для нахождения оценок y1, y2, y3 используем вторую теорему двойственности. Поскольку первое и второе ограничение в (*) выполняется как строгое неравенство, то y3 = 0. Так как x1 > 0 и x2 > 0 , то

	y1 + y2 + y3 = 40

	4y1 + y2 + y3 = 60.



Итак, для получения двойственных оценок имеем систему линейных уравнений:

	y3* = 0

	y1 + y2 + y3 = 40

	4y1 + y2 + y3 = 60,

т.е. y1* = 20/3, y2* = 100/3, y3* = 0.

Вычислим значение целевой функции двойственной задачи:



	φ(Y) = 200 ∙ 20/3 + 80 ∙ 100/3 + 140 ∙ 0 = 4000, т.е. f(X) = φ(Y) = 4000.



3. Значение переменной x3 в оптимизационном плане равно нулю. Это говорит о том, что изделие третьего вида невыгодно изготавливать.



4. По первой теореме двойственности мы можем утверждать, что действительно найдены оптимальные значения двойственных переменных.

		Экономико-математический анализ оптимальных решений базируется на свойствах двойственных оценок. В пределах устойчивости двойственных оценок имеют место следующие свойства.

Величина двойственной оценки того или иного ресурса показывает, насколько возросло бы максимальное значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увеличился на одну единицу.

В рассматриваемом примере увеличение запасов сырья I типа привело бы к увеличению общей стоимости на 20/3 у.е. (y1 = 20/3), увеличение запасов сырья II типа привело бы к увеличению общей стоимости на 100/3 у.е. (y2 = 100/3), а увеличение запасов сырья III типа не повлияет на оптимальный план выпуска продукции и на общую стоимость.

Двойственные оценки отражают сравнительную дефицитность различных видов ресурсов в отношении принятого в задаче показателя эффективности. Оценки показывают, какие ресурсы являются более дефицитными, какие менее дефицитные и какие совсем не дефицитными.

В нашем примере недефицитным ресурсом является сырье III поскольку y3 = 0.

Острее ощущается дефицитность сырья II (y2 = 100/3) – он более дефицитен, чем сырье I (y1 = 20/3).

Двойственные оценки позволяют определять своеобразные «нормы заменяемости ресурсов». В нашем примере относительная заменяемость ресурсов определяется соотношением 1 : 5.



		Определим, как изменится выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья на 18 ед.

Предполагая, что эти изменения проходят в пределах устойчивости двойственных оценок, имеем:



	x1 + 4x2 + 3 ∙ 0 = 200

	x1 + x2 + 2 ∙ 0 = 98



	Отсюда определяется план выпуска в новых производственных условиях – X = (x1 = 64, x2 = 34, x3 = 0) соответственно прибыль составит 4600 у.е., т.е. увеличится на 600 у.е.



		Решим вопрос о целесообразности включения в план изделий четвертого вида ценой 70 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов.



20/3 ∙ 2 + 100/3 ∙ 2 +  0 ∙ 2 – 70 = 10 > 0 – невыгодно.





Задача 3.5



Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое их трех предприятий специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие – продукции второго вида; третье предприятие – продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки aij (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов yi вектора конечно продукции Y.

	Требуется:

Проверить продуктивность технологической матриц A = (aij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.



Предприятия (виды продукции

Коэффициенты прямых затрат aij

Конечный продукт Y



1

2

3



I

0,2

0,3

0,0

120

II

0,3

0,1

0,2

250

III

0,1

0,0

0,3

180



1. Проверим продуктивность технологической матриц A = (aij). Оценку произведем по второму признаку.

						      	        0,2   0,3   0,0		       120

A =  | 0,3   0,1   0,2		Y = 250

						        0,1   0,0   0,3                      180



						       	               0,8   -0,3    0,0

E – A = | -0,3    0,9    -0,2

						              -0,1   0,0     0,7

						

Определим ее главные миноры:



	∆1 = 0,8 > 0;		∆2 = 0,8 ∙ 0,9 – (– 0,3) ∙ (– 0,3) = 0,72 – 0,09 = 0,63 > 0;



∆3 = 0,8(0,63 – 0,00) + 0,3(– 0,21 – 0,02) – 0,0(0,00 + 0,09) = 0,504 – 0,069 – 0,000 = 0,435 > 0.



Таким образом, матрица A – продуктивна.



2. Модель баланса производства и распределения продукции предприятия можно представить следующей системой уравнений:



X1 = 0,2X1 + 0,3X2 + 0,0X3 + 120

X2 = 0,3X1 + 0,1X2 + 0,2X3 + 250

X3 = 0,1X1 + 0,0X2 + 0,3X3 + 180



0,8X1 – 0,3X2 – 0,0X3 = 120

– 0,3X1 + 0,9X2 – 0,2X3 = 250

– 0,1X1 – 0,0X2 + 0,7X3 = 180



Отсюда определяем валовую продукцию цехов методом Жордана-Гаусса:



0,8

-0,3

0

120

-0,3

0,9

-0,2

250

-0,1

0

0,7

180









1

-0,38

0,00

150,00

-0,3

0,9

-0,2

250

-0,1

0

0,7

180









1

-0,38

0,00

150,00

0

0,79

-0,20

295,00

0

-0,0375

0,7

195









1

-0,38

0,00

150,00

0

1

-0,25

374,60

0

-0,0375

0,7

195









1

0

-0,10

290,48

0

1

-0,25

374,60

0

0

0,69

209,05









1

0

-0,10

290,48

0

1

-0,25

374,60

0

0

1

302,76









1

0

0

319,31

0

1

0

451,49

0

0

1

302,76



Следовательно, X1 = 319, X2 = 451, X3 = 303.



Распределение продукции между цехами на внутреннее потребление определяем из соотношения

	Xij = aij Xj ,  т.е. X11 = 0,2 ∙ 319 = 64; X12 = 0,3 ∙ 451 = 135;   X13 = 0,0 ∙ 303 = 0;

			    X21 = 0,3 ∙ 319 = 96;X22 = 0,1 ∙ 452 = 45; X23 = 0,2 ∙ 303 = 61;

			    X31 = 0,1 ∙ 319 = 32; X32 = 0,0 ∙ 451 = 0; X33 = 0,3 ∙ 303 = 91.

	

В итоге плановая модель – баланс производства и распределение продукции предприятия – будет иметь следующий вид



       	Межпродуктовый баланс производства и распределения продукции

Производящие структуры

Потребляющие структуры

Конечный

продукт

Валовой

продукт



1

2

3





1

64

135

0

120

319

2

96

45

61

250

451

3

32

0

91

180

303

Итого

192

181

151

550

1074





Задача 4.5.



В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице.



t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Yt

5

7

10

12

15

18

20

23

26



Требуется:

Проверить наличие аномальных наблюдений.

Построить линейную модель Ŷ(t) = a0 + a1t, параметры которой оценить МНК (Ŷ(t) – расчетные, смоделированные значения временного ряда.).

Построить адаптированную модель Брауна Ŷ(t) = a0 + a1k с параметром сглаживания α = 0,4 и α = 0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания.

Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использования R/S-критерия взять табулированные границы 2,7 – 3,7).

Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности p = 70 %).

Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.



Решение:

1. Проверим наличие аномальных наблюдений с помощью метода Ирвина. Для этого надо вычислить величину λt по формуле λt = yt – yрасч/Sy,

	    _______________

где Sy = √(yt – yср)2/(n – 1).

	

Если рассчитанная величина λt превышает табличный уровень, то уровень yt считается аномальным. Для десяти наблюдений λтабл = 1,5.

	Согласно колонке 15 таблицы 5 аномальных наблюдений нет.



2. Уравнение линейной регрессии имеет вид: yрасч = a0 + a1 ∙ t. Значения параметров a0 и a1 линейной модели определим, используя данные таблицы 1.



        (y ∙ t)ср – yср ∙ tср     162 – 35,6 ∙ 5

	a1 = ——————— = —————– = – 2,4

	           (t2)ср – (tср)2	         31,7 – 5



	a0 = yср – a1 ∙ tср = 35,6 + 2,4 ∙ 5 = 47,6



Уравнение линейной регрессии имеет вид: yрасч = 47,6 – 2,4 ∙ t.



Таблица 1.



t

Yt

t∙Yt

t2



1

45

45

1



2

43

86

4



3

40

120

9



4

36

144

16



5

38

190

25



6

34

204

36



7

31

217

49



8

28

224

64



9

25

225

81

Сумма

45

320

1455

285

Среднее

5

35,6

162

31,7



3. Построим адаптивную модель Брауна.



n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

5

7

10

12

15

18

20

23

26



	Начальные оценки параметров получим по первым пяти точка при помощи метода наименьших квадратов.

na0    + a1∑x   = ∑y

	a0∑x + a1∑x2 = ∑xy



5a0   + 15a1 = 49

	15a0 + 55a1 = 172



	        ∑y ∙ ∑x2 – ∑xy ∙ ∑x

	a0 = ————————

	          n ∑x2 – ∑x ∙ ∑x



	       49 ∙ 55 – 172 ∙ 15

	a0 = ——————— ≈ 2,30

	         5 ∙ 55 – 15 ∙ 15



         	         n∑xy – ∑y ∙ ∑x

	a1 = ———————

	         n ∑x2 – ∑x ∙ ∑x



         	       5 ∙ 172 – 49 ∙ 15

	a1 = ——————– ≈ 2,50

	         5 ∙ 55 – 15 ∙ 15



Данные для расчета возьмем в следующей таблице:















Сумма

x

1

2

3

4

5

15

y

5

7

10

12

15

49

x2

1

4

9

16

25

55

xy

5

14

30

48

75

172



Уравнение линейной регрессии имеет вид:		yx = 2,30 + 2,50x.



Получили a0(0) = 2,30, a1(0) = 2,50.

Возьмем α = 0,4, k = 1 и β = 1 – α = 1 – 0,4 = 0,6.

Будем находить последующие значения a0(t) и a1(t) по формулам

a1(t) = a1(t – 1) + (1 – β)2 ∙ (Y(t) – Yp(t))	 и	 a0(t) = a0(t – 1) + a1(t – 1) + (Y(t) – Yp(t)) ∙ (1 – β2),

где Yp(t) = a0(t – 1) + a1(t – 1)k.



Таблица 3.

Номер

Факт

a0

a1

Расчет

Отклонение

ε2





2,30

2,50







1

5

4,93

2,53

4,80

0,200

0,04

2

7

7,17

2,46

7,46

-0,460

0,21

3

10

9,86

2,52

9,62

0,376

0,14

4

12

12,14

2,46

12,38

-0,383

0,15

5

15

14,85

2,52

14,60

0,405

0,16

6

18

17,78

2,62

17,38

0,624

0,39

7

20

20,14

2,56

20,40

-0,397

0,16

8

23

22,89

2,61

22,70

0,299

0,09

9

26

25,82

2,69

25,50

0,502

0,25

10







28,51



1,59

11







31,19





	                     ___________________

u(1) = 1,12 ∙ 0,48 ∙ √1 + 1/9 + (9 + 1 – 5)2/60 ≈ 3,25

		k = 1 (t = 10).

Нижняя граница: 28,51 – 0,66 = 27,85

Верхняя граница: 28,51 0,66 = 29,17

		          ___________________

u(2) = 1,12 ∙ 0,48 ∙ √1 + 1/9 + (9 + 2 – 5)2/60 ≈ 3,44

		k = 2 (t = 10).

Нижняя граница: 31,19 – 0,70 = 30,49

Верхняя граница: 31,19 + 0,70 = 31,89



Проверим адекватность модели.

Проверка случайности ряда остатков по критерию пиков дает результат 7 больше 2 (критическое число поворотных точек).

Вычислим d по формуле



        ∑(εt – εt-1)2      3,95

d = ————— = —— = 2,48

            ∑ εt2	        1,59



При проверке независимости уровней ряда остатков друг от друга значение d′ = 4 – 2,48 = 1,52 при уровне значимости a = 0,025 больше d2 = 1,36, т.е. модель адекватна.

Соответствие ряда остатков нормальному распределению установим с помощью формулы



R/S = (εmax – εmin)/S,

          _______________       _____

	S = √ ∑(εt – εср)2/(n – 1) = √1,44/8 = 0,42



	R/S = (0,62 – (-0,46))/0,42 = 2,55

	Для n = 9 и a = 0,05 найдем критический интервал: [2,7; 3,7]. Вычисленное значение 2,55 не попадает между табулированными границами с заданным уровнем вероятности. Значит, закон нормального распределения не выполняется.

Результаты аппроксимации и прогнозирования по адаптивной модели Брауна при α = 0,4.





Возьмем α = 0,7, k = 1 и β = 1 – α = 1 – 0,7 = 0,3.



Будем находить последующие значения a0(t) и a1(t) по формулам



a1(t) = a1(t – 1) + (1 – β)2 ∙ (Y(t) – Yp(t))	 и	 a0(t) = a0(t – 1) + a1(t – 1) + (Y(t) – Yp(t)) ∙ (1 – β2),

где Yp(t) = a0(t – 1) + a1(t – 1)k.



Таблица 4.

Номер

Факт

a0

a1

Расчет

Отклонение

ε2





2,30

2,50







1

5

4,98

2,60

4,80

0,200

0,04

2

7

7,05

2,31

7,58

-0,580

0,34

3

10

9,94

2,62

9,37

0,634

0,40

4

12

12,05

2,35

12,57

-0,567

0,32

5

15

14,95

2,64

14,40

0,602

0,36

6

18

17,96

2,84

17,59

0,413

0,17

7

20

20,07

2,45

20,81

-0,807

0,65

8

23

22,96

2,68

22,52

0,479

0,23

9

26

25,97

2,86

25,64

0,360

0,13

10







28,83



2,64

11







31,69







	                     ___________________

u(1) = 1,12 ∙ 0,61 ∙ √1 + 1/9 + (9 + 1 – 5)2/60 ≈ 0,85

		k = 1 (t = 10).



Нижняя граница: 28,83 – 0,85 = 27,98



Верхняя граница: 28,83 + 0,85 = 29,68

		          ___________________

u(2) = 1,12 ∙ 0,61 ∙ √1 + 1/9 + (9 + 2 – 5)2/60 ≈ 0,90

		k = 2 (t = 10).

Нижняя граница: 31,69 – 0,90 = 30,79

Верхняя граница: 31,69 + 0,90 = 32,59



Проверим адекватность модели.

Проверка случайности ряда остатков по критерию пиков дает результат 7 больше 2 (критическое число поворотных точек).



Вычислим d по формуле



        ∑(εt – εt-1)2     8,08

d = ————— = —— = 3,06

            ∑ εt2	       2,64



При проверке независимости уровней ряда остатков друг от друга значение d′ = 4 – 3,06 = 0,94 при уровне значимости a = 0,025 меньше d1 = 1,08, т.е. модель неадекватна.

Соответствие ряда остатков нормальному распределению установим с помощью формулы



R/S = (εmax – εmin)/S,

          _______________       _____

	S = √ ∑(εt – εср)2/(n – 1) = √2,58/8 = 0,57



	R/S = (0,57 – (-0,81))/0,57 = 2,54

	Для n = 9 и a = 0,05 найдем критический интервал: [2,7; 3,7]. Вычисленное значение 2,54 не попадает между табулированными границами с заданным уровнем вероятности. Значит, закон нормального распределения не выполняется.



Результаты аппроксимации и прогнозирования по адаптивной модели Брауна при α = 0,7.



	

Очевидно, что лучше взять α = 0,4.



4. Для того чтобы оценить параметры и качество этой модели (адекватность и точность), а также построить точечный и интервальный прогнозы, заполним следующую таблицу:



Таблица 5.

t

Yt

t-tср

(t-tср)2

Yt-yср

(t-tср)(Yt-yср)

Yt*

εt= Yt- Yt*

Точ.

пов

εt2

εt-εt-1

(εt-εt-1)2

εt∙εt-1

(εt- εср)2

λt

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1

5

-4

16

-10,11

40,44

4,58

0,42



0,18







0,18

0,2

2

7

-3

9

-8,11

24,33

7,21

-0,21

1

0,04

-0,63

0,40

-0,09

0,04

0,2

3

10

-2

4

-5,11

10,22

9,84

0,16

1

0,02

0,37

0,13

-0,03

0,02

0,3

4

12

-1

1

-3,11

3,11

12,48

-0,48

1

0,23

-0,63

0,40

-0,07

0,23

1,6

5

15

0

0

-0,11

0,00

15,11

-0,11

0

0,01

0,37

0,13

0,05

0,01

2,0

6

18

1

1

2,89

2,89

17,74

0,26

1

0,07

0,37

0,13

-0,03

0,07

0,7

7

20

2

4

4,89

9,78

20,38

-0,38

1

0,14

-0,63

0,40

-0,10

0,14

0,2

8

23

3

9

7,89

23,67

23,01

-0,01

0

0,00

0,37

0,13

0,00

0,00

0,3

9

26

4

16

10,89

43,56

25,64

0,36



0,13

0,37

0,13

0,00

0,13

0,7

45

136

0

60

0

158

136

0,00

5

0,82



1,88

-0,27

0,82



5

15,11

0

6,67

0





0,000

















	В первой нижней строке под таблицей записаны суммы соответствующих граф, во второй – соответствующие средние значения.



Наличие тренда, то есть меру связи между переменными t и Yt оценим по коэффициенту корреляции. Построим вспомогательную расчетную таблицу:

Таблица 6.



t

Yt

t – tср

(t – tср)2

Yt – Yср

(Yt – Yср)2

t∙Yt



1

5

-4

16

-10,11

102,23

5



2

7

-3

9

-8,11

65,79

14



3

10

-2

4

-5,11

26,12

30



4

12

-1

1

-3,11

9,68

48



5

15

0

0

-0,11

0,01

75



6

18

1

1

2,89

8,35

108



7

20

2

4

4,89

23,90

140



8

23

3

9

7,89

62,23

184



9

26

4

16

10,89

118,57

234

Сумма 

45

136

0

60

0

416,89

838

Среднее

5

15,1

0

6,67

0

46,32

93,11



Коэффициент корреляции:

     ____   _   __

     t ∙ Yt – t ∙ Yt

r = ————

        t ∙ y



где	t  = √∑(t – tср)2/n



y = √∑( Yt – Yср)2/n



tср = ∑t / n



Ytср = ∑ Yt / n



tср = 45/9 = 5



Ytср = 136/9 = 15,11



t = √60/9 = 2,58



y = √416,89/9 = 6,81



r = (93,11 – 5 ∙ 15,11)/(2,58 ∙ 6,81) = 0,999



	Оценим полученный коэффициент корреляции по статистике Стьюдента. То есть проверим гипотезу о ненулевом коэффициенте корреляции генеральной совокупности. Для проверки гипотезы установим значения t и F и сравним с заданными табличными значениями.

         r2(n – 2)	    0,9992(9 – 2)

t = ———— = ————— = 3542,19

           1 – r2	      1 – 0,9992



Для уровня значимости  = 0,05 при числе степеней свободы m = 9 tтабл = 2,262. Так как t > tтабл, то гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности отвергаем.

Для проверки адекватности модели в соответствии и видом формул



       |εср|       _		        ∑(εt – εt-1)2

ť = —— ∙ √n		d = —————		r1 = (∑εt∙εt-1) : ∑ εt2.

        S∑		            ∑ εt2 

организуем заполнение граф 9 – 13.

Легко убедиться, что математическое ожидание ряда остатков равна нулю, т.е. |εср| = 0.

Проверка случайности ряда остатков по критерию пиков дает результат: 5 (сумма графы 9) больше 2 (критическое число поворотных точек).

 __________	       _____

      / ∑ (εt – εср)2	     / 0,82

S∑ =   / ————— =   / ——— = 0,32

        √	      n – 1	 √ 	8



       |εср|        _	  0,00      _

ť = —— ∙ √n = —— ∙ √9 = 0,00

        S∑	  0,32

	

Вычислим d по формуле



        ∑(εt – εt-1)2     1,88

d = ————— = —— = 2,28

            ∑ εt2	        0,82



При проверке независимости уровней ряда остатков друг от друга значение d = 2,28 при уровне значимости a = 0,025 больше d2 = 1,36, т.е. ряд остатков не коррелирован. Воспользоваться формулой



r1 = (∑εt∙εt-1) / ∑ εt2 = – 0,27/0,82 = – 0,33.



Сопоставляя это число с табличным значением первого коэффициента автокорреляции 0,36, взятым для уровня значимости a = 0,01 и n = 9, увидим, что расчетное значение по модулю меньше табличного. Это означает, что с ошибкой в 1 % ряд остатков можно считать некоррелированным, т.е. свойство взаимной независимости уровней остаточной компоненты подтверждается.



Соответствие ряда остатков нормальному распределению установим с помощью формулы

R/S = (εmax – εmin)/S,

          _______________      _____

	S = √ ∑(εt – εср)2/(n – 1) = √0,82/8 = 0,32



	R/S = (0,42 – (-0,48))/S = 2,81



	Для n = 9 и a = 0,05 найдем критический интервал: [2,7; 3,7]. Вычисленное значение 2,81 попадает между табулированными границами с заданным уровнем вероятности. Значит, закон нормального распределения выполняется, и можно строить доверительный интервал прогноза.



Так как модель оказалась адекватной, оценим ее точность. Рассчитаем среднюю относительную ошибку по формуле



      1	  |εt|		    1

Eотн = — ∑ —— ∙ 100% = — ∙ 0,23 ∙ 100% = 2,6 %.

	      n	  |Yt|		    9



Такую ошибку можно считать приемлемой.



6. Экстраполяция уравнения Yt* = 1,94 + 2,63t вперед дает прогнозное значение равное Y10 = = 28,28 и равное Y11 = 30,91.

Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Примем значение уровня значимости a = 0,3, а значит, доверительную вероятность – 70 %. В этом случае критерий Стьюдента (при  = n – 2 = 7) равен t, = 1,12. Вычислив среднеквадратическую ошибку тренда, с учетом значения t, получим интервальный прогноз:

		         ____________________

u(1) = 1,12 ∙ 0,34 ∙ √1 + 1/9 + (9 + 1 – 5)2/60 ≈ 0,47

		k = 1 (t = 10).

Нижняя граница: 28,28 – 0,47 = 27,80

Верхняя граница: 28,28 + 0,47 = 28,75

		          ___________________

u(2) = 1,12 ∙ 0,34 ∙ √1 + 1/9 + (9 + 2 – 5)2/60 ≈ 0,50

		k = 2 (t = 10).

Нижняя граница: 30,91 – 0,50 = 30,41

Верхняя граница: 30,91 + 0,50 = 31,41

Таким образом, построенная модель является полностью адекватной динамике фактических показателей. Поэтому с вероятностью 70% можно утверждать, что при сохранении сложившихся закономерностей развития значение показателя, прогнозируемое на 10 наблюдение с помощью линейной модели роста, попадет в промежуток, образованный нижней и верхней границей доверительного интервала.



7. Представим графически фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования.









1