Статистические расчеты 2

Задача 1. На основании данных выборочного наблюдения была произведена группировка количества разговоров по длительности:



Длительность

разговора, мин.

3–5

5–7

7–9

9–11

11–13

Свыше 13

Всего разговоров

Число разговоров

90

85

70

60

30

5

340



Выполнить вторичную группировку, чтобы обеспечить представительность последней группы. Образовать 4 группы с неравными интервалами: 3–5, 5–8, 8–12, свыше 12 мин.



Решение:

Проведём вторичную группировку:



Длительность

разговора, мин.

3–5

5–8

8–12

Свыше 12

Всего разговоров

Число разговоров

90

108

117

25

340



Задача 2. По следующим данным сравнить состав занятого населения двух областей, вычислив относительный показатель, характеризующий соотношение между численностью работников производственной деятельности и работников двух других сфер деятельности



Категории деятельности

Количество работников, чел.



В I области

Во II области

Сфера производства

3250

2560

Аппарат управления

320

390

Прочие виды деятельности

670

740



Решение:

Определим относительную величину между численностью работников производственной сферы деятельности и других сфер деятельности по областям:

- между численностью сферы производства и аппарата управления:

а) для области I:







б) для области II:







Вывод: на численность производственной сферы работников аппарата управления во второй области приходиться на 5,38% больше, чем в первой (15,23 – 9,85)

- между численностью сферы производства и прочими видами деятельности:

а) для области I:







б) для области II:







Вывод: на численность производственной сферы работников других видов деятельности во второй области приходиться на 8,29% больше, чем в первой (28,91 – 20,62)


Задача 3. Определите среднюю производительность труда в целом по предприятию в I полугодии по следующим данным:



Цех

Производительность труда, млн. р./чел.

Среднесписочное число

работников, чел.

№ 1

80

60

№ 2

68

50

№ 3

55

30



Определите, как колеблется данный показатель.

Решение:

Рассчитаем среднюю производительность труда по формуле средней арифметической взвешенной:



,



где  – средняя производительность труда по предприятию; – производительность труда рабочего в i-м цехе;  – число рабочих;  – производительность труда рабочих i-го цеха завода.

Рассчитаем размер вариации:

1) дисперсия (σ2)







2) среднее квадратичное отклонение (σ):






3) коэффициент вариации (V):



.



Задача 4. По данным задачи 1: 

1) определите среднее значение изучаемого признака, моду и медиану; 

2) постройте гистограмму; 

3) оцените характер асимметрии.

Решение:

Рассчитаем среднее значение изучаемого признака:







Рассчитаем моду:







где – начало (нижняя граница) модального интервала; – величина интервала; – частота модального интервала; – частота интервала, предшествующего модальному; – частота интервала, следующего за модальным.

Рассчитаем медиану:





где – начало (нижняя граница) медианного интервала;  – величина интервала; – сумма всех частот ряда; – сумма накопленных частот вариантов до медианного; – частота медианного интервала.



Построим график интервального ряда распределения:(гистограмма): 







Так как М0 >МЕ >, то перед нами левосторонняя асимметрия.



Задача 5. Ежегодные темпы прироста продукции (в % к предыдущему году) составили:



Годы

1-й

2-й

3-й

4-й

5-й

Темпы прироста

2,4

1,7

2,0

1,5

2,8



Вычислите за приведенные годы базисные темпы роста по отношению к начальному (базисному) году и среднегодовые темпы роста и прироста за весь период.

Решение:

Рассчитаем средний уровень ряда по формуле средней арифметической простой:

,



В зависимости от задачи исследования абсолютные приросты (снижения) Δy, темпы прироста (снижения) ΔТ 

Рассчитаем базисные темпы роста по отношению к начальному году:

- 2-ой год по отношению к 1-му:







- 3-ий год по отношению к 1-му:







- 4-ый год по отношению к 1-му:







- 5-ый год по отношению к 1-му:







Рассчитаем среднегодовой темп роста за весь период:







Рассчитаем среднегодовой темп прироста:

 



Задача 6. По следующим данным исчислите общий и индивидуальные индексы себестоимости и сумму экономики.



Изделие

Затраты на товарную продукцию, млрд. р.

Объем производства в отчетном году, тыс. ед.

Снижение себестоимости единицы продукции по сравнению с базисным периодом, %

А

220

4,5

7,5

Б

305

6,0

4,5

В

148

2,8

3,0



Решение:

Рассчитаем затраты на товарную продукцию в базисном периоде:

- для изделия А:



Z0 = 220 + 220 * 7,5 % = 236,5 млн. руб.



- для изделия Б:



Z0 = 305 + 305 * 4,5 % = 318,725 млн. руб.



- для изделия В:



Z0 = 148 + 148 * 3,0 % = 152,44 млн. руб.



Рассчитаем общий индекс:





Рассчитаем индивидуальные индексы:

- для изделия А:







- для изделия Б:







- для изделия В:







Рассчитаем экономию по каждому изделию:

- по изделии А:



Э = Z1 – Z0 = 220 – 236,5 = - 16,6 млн. руб.



- по изделии Б:



Э = Z1 – Z0 = 305– 318,725 = - 13,725 млн. руб.



- по изделию В:



Э = Z1 – Z0 = 148 – 152,44 = - 4,44 млн. руб.


Задача 7. В отчетном периоде произошло снижение цен на 5% при увеличении физического объема продукции на 15%. Определите: 

1) изменение стоимости продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом;

2) абсолютное изменение стоимости продукции за счет изменения физического объема продукции; 

3) абсолютное и относительное изменение стоимости продукции за счет изменения цен.

Решение:

Рассчитаем стоимость продукции и физический объём:



q1 = q0 + q0 * 15 % = q0 + 0,15 * q0 = 1,15 * q0

P1 = P0 – P0 *5 % = Р0 – 0,05 * Р0 = 0,95 * Р0



Таким образом, изменение стоимости в отчетном периоде по сравнению с базисным:







Рассчитаем абсолютное изменение стоимости продукции за счёт изменения физического объёма продукции:







Рассчитаем абсолютное и относительное изменение стоимости продукции за счет изменения цен:





Задача 8. Изменение средней годовой численности работников отрасли характеризуется следующими данными:



Годы

1980

1990

2000

2005 (прогноз)

Численность работников, тыс. чел.

153,2

226,1

315,9

340,5



Изобразите эти данные в виде графиков: а) прямоугольных (столбиковых и ленточных); б) квадратных. Какой из этих графиков наиболее наглядно изображает изменение численности работников в данной отрасли за 1980-2005 гг.? Сформулируйте выводы, следующие из графических изображений.

А) - Столбиковая:







- Ленточная:





б) Квадратная:







На мой взгляд, наиболее полно отражает изменение численности работников в данной области столбиковая диаграмма. В соответствии с данными графиков, можно сделать вывод, что на протяжении 1980 – 2005 гг. численность работников увеличилась в два раза и продолжает расти.



Задача 9. Хронометраж работы станочника дал следующие результаты:



Затраты времени на изготовление одной детали, мин.

20–21

21–22

22–23

23–24

Число изготовленных деталей

6

13

10

7



Определите среднюю трудоемкость изготовления детали и предельную ошибку этого показателя с вероятностью 0,954, учитывая, что хронометраж производится при массовом выпуске. Какие результаты получатся, если взять вероятность 0,997?

Решение:

Рассчитаем среднюю трудоёмкость изготовления детали:






Рассчитаем среднюю внутригрупповую дисперсию:







Рассчитаем среднюю ошибку выборочной средней при повторном отборе







где  – дисперсия выборочной совокупности; n – объем (число единиц) выборки.

Рассчитаем предельную ошибку выборки, при , t = 2 (для p=0,954):







Рассчитаем предельную ошибку выборки, при , t = 3 (для p=0,997):








Задача 10. Имеются следующие данные о продолжительности производственного стажа и среднем проценте выполнения норм выработки по 30 рабочим-сдельщикам цеха о продолжительности производственного стажа и среднем проценте выполнения норм выработки:



Группы рабочих по продолжительности стажа работы, лет

Число рабочих, чел.

Средний процент выполнения норм выработки

одним рабочим

До 5

8

100,5

5–10

10

104,0

10–15

8

106,0

15–20

2

107,0

20 и более

2

110,0



Определите: 

1)средний процент выполнения норм выработки по цеху; 

2) вид корреляционной зависимости между данными показателями; 

3) параметры уравнения регрессии; 

4) тесноту изучаемой связи.

Решение:

Рассчитаем средний процент выполнения норм выработки по цеху:







Определим вид корреляционной зависимости между данными показателями: 

В качестве линии регрессии используем уравнение прямой:



,


где y – результативный (зависимый) признак; x – факторный (независимый) признак; a и b – параметры уравнения прямой.

Для определения параметров a и b по методу наименьших квадратов составляется система двух нормальных уравнений:



,

.



Решая эту систему уравнений, находим:









Для измерения тесноты данной связи используем коэффициент корреляции, исчисляемый по формуле: