Динамика частиц

Движение несвободной частицы. Силы реакции

	

	Несвободной называется материальная точка, на движение которой (координаты и скорость) наложены некоторые ограничения. Всякий механизм является примером несвободной системы материальных точек.

	Связями называются ограничения движений материальных точек, не зависящие от начальных условий движения и системы приложенных сил. Связи делятся на двухсторонние и односторонние ( 1.физический маятник из твердого стержня; 2.математический маятник на нити).

	Связи бывают голономные (интегрируемые) и неголономные (они накладывают ограничения на скорость точек, неинтегрируемые).

	Связи, ограничивающие перемещения материальных точек, действуют на эти точки посредством сил, называемых силами реакции связей.

	В задачах динамики несвободной материальной точки пользуются принципом освобождения от связей. Отбрасывая мысленно связи, включают силы реакций связей в число задаваемых сил. При этом несвободная материальная точка рассматривается как свободная, движущаяся под действием задаваемых сил и сил реакций связей.

	

Динамика системы частиц. Движение центра масс, закон сохранения импульса системы.

	

	Центром масс (или центром инерции) механической системы называется воображаемая точка, которой приписывается масса всей системы и положение которой определяется радиусом-вектором:

		(*)

	Скорость и ускорение центра масс (ЦМ) можно получить дифференцированием предыдущей формулы по времени.

	Импульсом механической системы  называется сумма импульсов точек системы:

	

	Из (*) следует, что (**)

	Определим уравнения движения центра масс. Из (**) следует:

	

	где  по третьему закону Ньютона.

	Итак, 

	Отсюда получаем закон изменения импульса системы:

	

	По аналогии со случаем одной частицы, можно утверждать, что если проекция силы  не некоторую неподвижную ось в любой момент времени равна нулю, то проекция импульса системы или проекция скорости центра масс системы на ту же ось сохраняется. Следовательно, в направлении этой оси центр масс движется равномерно.

	В случае изолированной (замкнутой) системы материальных точек =0 (по определению). Отсюда следует, что

	

	Мы получили закон сохранения импульса замкнутой системы.

	Центр масс замкнутой системы движется равномерно и прямолинейно, и внутренние силы не могут изменить скорости (импульса) системы.


Закон сохранения кинетического момента системы

	

	Уравнение движения каждой материальной точки системы умножим слева векторно на радиус- вектор этой точки . Учитывая определения момента импульса  и момента силы , получаем:

	,

	где  называется кинетическим моментом системы;

	

	Учитывая 3-й закон Ньютона, имеем: 
 Таким образом, получаем:

	

	Закон изменения кинетического момента системы читается так:

	Производная по времени кинетического момента системы равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему.

	Если  При помощи секторной скорости это же запишется так:

	В случае замкнутой системы  Мы получили закон сохранения кинетического момента замкнутой системы. Под действием внутренних сил кинетический момент замкнутой системы не изменяется.

	

	Закон сохранения и превращения механической энергии системы частиц

	

	Умножим уравнение движения материальной точки системы  на ее элементарное перемещение , учтем деление сил на внутренние и внешние. Тогда изменение кинетической энергии частицы произойдет за счет работы как внутренних, так и внешних сил:

	

	Для всех частиц системы ( в силу аддитивности энергии и работы):

	

	Дифференциал (изменение) кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ внутренних и внешних сил, действующих на частицы системы.

	Представим потенциальную энергию системы в виде слагаемых:

	

	где первое слагаемое обусловлено взаимодействием частиц системы между собой, а второе слагаемое -потенциальная энергия частиц во внешнем поле.

	Полная механическая энергия системы равна:

	E=T+U.

	В случае, когда частицы системы находятся в поле потенциальных сил, явно не зависящих от времени dU/dt=0.

	 С учетом этого условия, после умножения каждого уравнения движения каждой материальной точки системы на ее скорость  и суммируя все эти уравнения, получим:

	Это уравнение утверждает, что в замкнутой системе материальных точек, находящихся в стационарном потенциальном поле, в процессе движения сохраняется скалярная величина :

	

	Такие системы называются консервативными.

	Закон сохранения и превращения механической энергии является частным случаем всеобщего закона природы – закона сохранения и превращения энергии (ЗСПЭ).

	Итак, мы имеем 7 уравнений, выражающих законы сохранения и изменения в механической системе:

	

	При определенных условиях они приводят к законам сохранения. В случае замкнутой системы при отсутствии внутренних превращений механической энергии в другие виды энергии, законы сохранения дают 7 первых интегралов и 3 вторых интегралов движения:

	

	т.е. десять классических интегралов механики.

	Все законы сохранения были получены из уравнений движения Ньютона. Поэтому они связаны со свойствами пространства и времени, которые постулируются в классической механике.

	Сохранение импульса связано с однородностью пространства, в силу которой механические свойства замкнутой системы не меняются при любом параллельном переносе системы как целого.

	Сохранение момента связано с изотропией пространства, в силу которой механические свойства замкнутой системы не изменяются при любом повороте системы как целого.

	Сохранение механической энергии связано с однородностью времени, в силу которой механические свойства замкнутой системы не меняются при любом «переносе» системы во времени.

	

	Теорема Кёнига



Эта теорема утверждает, что кинетическая энергия механической системы может быть представлена в виде суммы двух слагаемых: кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии движения частиц относительно ее центра масс, т.е.

(*)

Для доказательства этого утверждения воспользуемся известным соотношением (классическая теорема сложения скоростей):



Подставим это соотношение в формулу, определяющую кинетическую энергию системы:



Учитывая, что в СО «Центр масс» суммарный импульс (последнее слагаемое в предыдущей формуле) равен нулю, тотчас же получаем искомое выражение (*). 

С помощью теоремы Кёнига полную механическую энергию системы материальных точек можно записать так:



где  - внутренняя энергия системы.