Элементы биомеханики

Элементы биомеханики




План



Деформация и её виды

Основные характеристики деформации. Закон Гука для упругой деформации

Реологическое моделирование биотканей

Механические свойства биотканей

4.1 Механические свойства костной ткани

4.2 Механические свойства ткани кровеносных сосудов




1. Деформация и её виды

деформация биоткань механический костный сосуд

Деформацией называется изменение взаимного расположения точек тела, которое сопровождается изменением его форм и размеров, обусловленное действием внешних сил на тело.

Виды деформации:

Упругая – полностью исчезает после прекращения действия внешних сил.

Пластическая (остаточная) – остается после прекращения действия внешних сил.

Упруго-пластическая – неполное исчезновение деформации.

Вязко-упругая – сочетание вязкого течения и эластичности.

В свою очередь упругие деформации бывают следующих видов:

а) деформация растяжения или сжатия происходит под действием сил, действующих в направлении оси тела:








2. Основные характеристики деформации



Деформация растяжения (сжатия) возникает в теле при действии силы, направленной вдоль его оси.





где l0 – исходный линейный размер тела.

Δl – удлинение тела

[l] - м



Деформация ε (относительное удлинение) определяется по формуле



 ε – безразмерная величина.



Мерой сил, стремящихся вернуть атомы или ионы в первоначальное положение является механическое напряжение σ. При деформации растяжения напряжение σ можно определить отношением внешней силы к площади поперечного сечения тела:



 



Упругая деформация подчиняется закону Гука:






где Е – модуль нормальной упругости (модуль Юнга – это механическое

напряжение, которое возникает в материале при увеличении

первоначальной длины тела в два раза).







Если живые ткани мало деформируется, то в них целесообразно определять не модуль Юнга, а коэффициент жесткости. Жесткость характеризует способность физической среды сопротивляться образованию деформаций.

Представим экспериментальную кривую растяжения:





ОА – упругая деформация, подчиняющася закону Гука. Точка В – это предел упругости т.е. максимальное напряжение  при котором ещё не имеет место деформация, остающаяся в теле после снятия напряжения. ВД – текучесть (напряжение, начиная с которого деформация возрастает без увеличения напряжения).


Упругость, свойственную полимерам называют эластичностью.

Всякий обрзец, подвергнутый сжатию или растяжению вдоль его оси, деформируется так же и в перпендикулярном направлении.

Абсолютное значение отношения поперечной деформации  к продольной деформации  образца называется коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона и обозначается:



 (безразмерная величина)



Для несжимаемых материалов (вязкотекучие пасты; резины) μ=0,5; для большинства металлов μ≈0,3.

Величина коэффициента Пуассона при растяжении и сжатии одна и та же. Таким образом, определяя коэффициент Пуассона можно судить о сжимаемости материала.




3. Реологическое моделирование биотканей



Реология – это наука о деформациях и текучести вещества.

Упругие и вязкие свойства тел легко моделируются.

Представим некоторые реологические модели.

а) Модель упругого тела – это упругая пружина.







Напряжение, возникающее в пружине, определяется законом Гука:







Если упругие свойства материала одинаковы во всех направлениях, то он называется изотропным, если эти свойства неодинаковы – анизотропным.

б) Модель вязкой жидкости - это жидкость, находящаяся в цилиндре с поршнем, неплотно прилегающим к его стенкам или: - это поршень с отверстиями, который движется в цилиндре с жидкостью.






Для этой модели характерна прямо пропорциональная зависимость между возникающим напряжением σ и скоростью деформации 







где η – коэффициент динамической вязкости.

в) Реологическая модель Максвелла представляет собой последовательно соединенные упругий и вязкий элементы.







Работа отдельных элементов зависит от скорости нагрузки общего элемента.

Для упругой деформации выполняется закон Гука:







Откуда








Скорость упругой деформации будет:



 (1)



Для вязкой деформации:







тогда скорость вязкой деформации будет:



 (2)



Общая скорость вязко-упругой деформации равна сумме скоростей упругой и вязкой деформаций.



 (3)



Это есть дифференциальное уравнение модели Максвелла.

Вывод уравнения ползучести биоткани. Если к модели приложить силу, то пружина мгновенно удлиняется, а поршень движется с постоянной скоростью. Таким образом, на данный модели реализуется явление ползучести. Если F=const, то возникающее напряжение σ=const, т.е.  тогда из уравнения (3) получим:



, отсюда 







- уравнение ползучести биоткани.

Представим график ползучести:







Вывод уравнения релаксации напряжения в биотканях.

Если модель Максвелла растянуть и закрепить, то пружина начнет сокращаться. Со временем будет происходить релаксация, т.е. уменьшение напряжения. Если ε=const, то  тогда уравнение (3) примет вид:








Решаем дифференциальное уравнение:











где σ0 – начальное напряжение.







Потенцируем:







Откуда







- уравнение релаксации напряжения

Представим график релаксации напряжения.








г) Модель Фойгта представляет собой параллельно соединенные упругий и вязкий элементы. Эта модель характерна для полимеров.












4. Механические свойства биотканей



Под механическими свойствами биотканей понимают две разновидности:

Первая (активная) связана с процессами биологической подвижности: сокращение мышц, рост клеток, движение хромосом в клетках, их деления и т.д. Эти процессы обусловлены химическими процессами и энергетически обеспечиваются АТФ. Другая разновидность - пассивные механические свойства биосистем обусловленные внешними воздействиями.

Биологическая ткань – композиционный материал, образованный объемным сочетанием химически разнородных элементов и обладающий реологическими свойствами, отличающимися от свойств отдельных компонентов биоткани. Основу биотканей составляют коллаген, эластин и связующее вещество.

Механические воздействие на биоткани вызывают в них деформации и напряжения, появляется механическое движение, распространяются волны. Физиологическая реакция на эти факторы зависит от механических свойств биотканей. Знать, как меняются эти реакции и свойства тканей очень важно для профилактики, защиты организма, для применения искусственных тканей и органов, а также для понимания их физиологии и патологии.

В биомеханике все ткани человека подразделяются по плотности и типу пространственной структуры на твердые (кость, эмаль и дентин зубов), мягкие (мышцы, эпителий, эндотелий, соединительная ткань, паренхима), жидкие (кровь, лимфа, ликвор, слюна, сперма).



4.1 Механические свойства костной ткани



Костная ткань – основной материал опорно-двигательной системы. Прочность костной ткани зависит от химического состава, общей структуры, системы внутреннего армирования, количества и прочности компонентов, ориентации основных компонентов по отношению к продольной оси кости, возраста, плотности, индивидуальных условий роста и.т.д.

Компактная костная ткань представляет собой среду с пятью структурными уровнями.

Строение компактной костной ткани по Кнетсу.



№ уровня

Состав уровня

1

Биополимерная молекула трипоколлагена и неорагнические кристаллы (гидроксилопатит 3Са3(РО4)2Са(ОН)2)

2

Микрофибриллы коллагена (образованы пятью молекулами трипоколлагена)

3

Волокно (армирующий компонент) состоит из большого количества микрофибрилл и связанные с ними микрокристаллы.

4

Ламеллы (наименьший самостоятельный конструкционный элемент) – это тонкие изогнутые пластинки, состоящие из коллагенно-минеральных веществ, объединённых при помощи вяжущего вещества.

5

Остеоны – образуются вокруг кровеносных сосудов, включающихся в объем кости. Состоят из концентрически расположенных костных ламелл.



Плотность костной ткани 2,4 г/см3. Минеральные компоненты кости составляют 70 % массы кости, а белковые 20 %.

С увеличением возраста в костной ткани протекает ряд изменений. Изменяется химический состав и внутренняя структура, возникает множество вторичных остеонов, образующих новую внутреннюю конструктивную систему. При старении биологическая активность уменьшается, меняется степень минерализации, а также порядок расположения минеральных кристаллов и остенов, уменьшается количество связующего вещества, некоторая чать ткани исчезает и появляются поры.

Обновление костной ткани происходит дискретно – в определенных местах, на ограниченных участках. В течение жизни человека один и тот же участок кости обновляется неоднократно. К 35 годам процесс костеобразования замедляется. Костная масса у вегетарианцев больше, т.к. в растительной пище много солей. Курение и алкоголь уменьшают костную массу. Недостаточное содержание кальция уменьшает прочность костной ткани, что приводит к остеопорозу.

Волокна костной ткани деформируются преимущественно упругим образом, а матрица (остальная часть) – пластически и разрушаются хрупким образом.

Зависимость напряжения от деформации: =f() компактной костной ткани имеет следующий вид (эта зависимость аналогична для твердого тела):







Напряжение σмах при котором материал разрывается, называется пределом прочности.

Представим предел прочности костной ткани и её компонентов при сжатии и растяжении:



Вид ткани

Сжатие

Растяжение



Прочность [МПа]

Модуль Юнга [МПа]

Прочность [МПа]

Модуль Юнга [МПа]

Компактная кость

Минеральный компонент

Белковый компонент

147

44

0,1

10200

6400

10

98

5

7

22 400

16600

20



Анализ таблицы: Минеральный и белковый компоненты по отдельности слабые, но в сочетании дают высокую прочность, сравнимую с прочностью металлов. В науке остаётся вопрос: почему имеется различные свойств на растяжение и сжатие.


Реологическая модель Зингера компактной костной ткани и средняя кривая ползучести.







Дифференциальное уравнение, описывающее данную модель имеет вид:







Средняя кривая деформации компактной костной ткани.

Максимальное растяжение, которое может выдержать костной материал составляет 0,01% что соответствует изменению длины кости 1 %.






ОА – мгновенная деформация в продольном направлении (действует постоянная нагрузка мгновенно растягивается пружина 1) АВ – ползучесть (вытягивается поршень). Точка В – прекращение нагрузки. ВС – быстрая деформация (быстрое сжатие пружины 1) СД – обратная ползучесть (пружина 2 втягивает поршень в обратное положение) Точка Д – соответствует остаточной деформации (модель этого не учитывает).



При деформации костной ткани в ней возникает пьезоэлектрический эффект. Если вырезать из кости полоску, закрепить её с одной стороны и подвергнуть деформации изгиба, то на выпуклой стороне появляется "+" заряд, на вогнутой "-" заряд, т.е. появляется разность потенциалов.







Есть основания считать, что генерация пьезоэлектричества имеем место при механических нагрузках костей в организме и возникающие электрические токи могут стимулировать новообразование или рассасывание костной ткани.


4.2 Механические свойства ткани кровеносных сосудов



Прочностные и деформационные свойства стенок кровеносных сосудов и изменение этих свойств (с возрастом) имеет большое значение для медицины.

Кровеносные сосуды состоять из трех концентрических слоёв:

внутренний – интима; средний – средняя сосудистая оболочка; наружный – внешняя сосудистая оболочка.

Механические свойства кровеносных сосудов обуславливаются, главным образом, свойствами средней сосудистой оболочки, состоящий из коллагена, эластина и гладких мышечных волокон. Представим допускаемые деформации этих элементов:



Элемент

Деформация ε в %

Модуль Юнга (МПа)

Эластин

Коллаген

Мышечное волокно (при сокращении)

Кровеносный сосуд

200-300

до 10

20

5-50

0,1 – 0,6

10 – 100

0,01 – 0,1

0,06 – 0,7



Следует отметить, что гладкие мышечные клетки могут менять свою длину (сокращаться) под действием нервных или химических стимуляторов. Гладкая мышца осуществляет активное поведение кровеносных сосудов, так как в результате её сокращения меняется диаметр кровеносного сосуда и механические свойства сосудистой стенки в целом.

Таким образом, достигается оптимальное распределение и регулирование кровяного потока.

Содержание трёх основных компонентов сосудистой ткани меняется для различных мест стенки. Отношение эластина к коллагену в сосудах ближе к сердцу равно 2:1, но оно убывает с удалением от него и в бедренной артерии оно равно 1:2. С удалением от сердца увеличивается содержание гладких мышечных волокон, и уже в артериоллах они становятся основной составляющей сосудистой ткани.

Установлено, что сосудистая ткань является практически несжимаемой. Кровеносные сосуды обладают криволинейной ортотропией (т.е. их механические свойства в радиальном, осевом и кольцевом направлениях существенно различны).

Механическое поведение сосудов усложняется ещё и тем, что в организме они находятся под влиянием окружающих тканей, растянуты в продольном направлении и их деформации в этом направлении ограничены. В сосудах наблюдаются значительные отклонения механических характеристик для отдельных индивидов от установленных средних значений.

Напряжение, возникающее при деформации в стенке кровеносного сосуда определяется уравнением Ламе.

Вывод уравнения Ламе.

Возьмём часть кровеносного сосуда длиной l и толщиной стенки h.

Представим стенки сосуда вдоль и поперёк:







Две половины цилиндрического сосуда взаимодействуют между собой по сечениям стенок сосуда. Общая площадь сечения взаимодействия будет: 2hl, тогда сила взаимодействия двух половинок:








Эта сила уравновешивается силами давления крови изнутри:







Таким образом, имеем: , откуда



 - уравнение Ламе



Таким образом, напряжение, возникающее в стенках кровеносных сосудов зависит от величины давления крови, внутреннего радиуса и от толщины стенок сосуда.