Методы статистических исследований

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ ПРАВА И ФИНАНСОВ

















КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По курсу: «Статистика»











Выполнил: студент группы ПФ-176\з

Исаенко В.В.

Проверил: Земцова Е.М.













Челябинск

2008


Задача 1



Для изучения выполнения плана рабочими завода было проведено десятипроцентное выборочное обследование по методу случайного бесповторного отбора. Результаты обследования показали следующее распределение рабочих по проценту выполнения норм выработки:



Выполнение норм, %

Число рабочих, чел.

	До 90

4

90-100

16

100-110

40

110-120

30

120-130

10

ИТОГО:





На основании этих данных вычислить:

средний процент выполнения нормы;

моду и медиану;

размах вариаций;

среднее линейное отклонение;

дисперсию;

среднее квадратичное отклонение;

коэффициент вариации, оцените однородность совокупности;

с вероятностью 0,954 возможные пределы, в которых ожидается средний процент выполнения норм выработки по заводу;

с вероятностью 0,954 возможные пределы доли рабочих, выполняющих нормы выработки более, чем на 110%. 

Сделать выводы.



Решение:

Перед нами представлен ряд с равными интервалами. Интервал равен 10. И один отрытый интервал «до 90». Так как следующий за открытым интервал равен 10 следовательно при расчетах получим границу верхнего интервала, она будет равна «80-90».

	1) Найдем середины интервалов по формуле:

	

			Получаем следующие значения: 85, 95, 105, 115, 125.

			Используя среднюю арифметическую взвешенную, определим средний процент выполнения нормы:

			

	Средний процент выполнения нормы равен 107,6%.

2)Рассчитаем моду:

= 100+10

Таким образом, наиболее часто встречающееся значение процента выполнения нормы равно 107,06%

Рассчитаем медиану:



Подставляем значения:

- нижняя граница медианного интервала «100-110», равная 100;

- величина медианного интервала, равная 10:

 - накопленная частота интервала, предшествующая медианному, равная 20:



Выполнение норм, %

Число рабочих, чел.

Накопленная частота

До 90

4

4

90-100

16

4+16=20

100-110

40

20+40=60

110-120

30

60+30=90

120-130

10

90+10=100

ИТОГО:

100

-



полусумма частот, равная 50:

соответственно полусумма равна 50;

- частота медианного интервала, равная 40.



3) Рассчитаем размах вариаций - разность между самым большим и самым малым наблюдаемыми значениями признака:

R=Xmax – Xmin = 130-80 = 50

4) Рассчитаем среднее линейное отклонение . Эта величина определяется как средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений  и . Так как сумма отклонений значений признака от средней величины равна нулю, то все отклонения берутся по модулю.

Формула среднего линейного отклонения для нашего случая:



Найдем середину интервалов, определим произведения значений середины интервалов на соответствующие им веса и подсчитаем сумму их произведений, рассчитаем абсолютные отклонения середины интервалов от средней велечины, вычислим произведения отклонений на их веса и подсчитаем сумму их произведений.

Средняя величина нами рассчитана в первом пункте задания и равна

Выполнение норм, %



Число рабочих, чел.



Середина интервала









А

1

2

3

4

5

До 90

4

85

340

22,6

90,4

90-100

16

95

1520

12,6

201,6

100-110

40

105

4200

2,6

104

110-120

30

115

3450

7,4

222

120-130

10

125

1250

17,4

174

ИТОГО:

100

-

10760

-

792



Рассчитываем среднее линейное отклонение:



Таково в среднем отклонение вариантов признака от их средней величины. Это отклонение по сравнению со средней величиной признака небольшое. Оно отличается от средней на 99,68%. Это свидетельствует о том, что данная совокупность в отношении нашего признака однородна, а средняя – типична.

5) Дисперсия есть не что иное, как средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от его средней величины.

Формула дисперсии для нашего случая:





Рассчитаем данные и заполним таблицу:

Выполнение норм, %

Число рабочих, чел.

Середина интервала







А

1

2

3

4

5

До 90

4

85

340

510,76

2043,04

90-100

16

95

1520

158,76

2540,16

100-110

40

105

4200

6,76

270,4

110-120

30

115

3450

54,76

1642,8

120-130

10

125

1250

302,76

3027,6

ИТОГО:

100

-

10760

-

9524



6)Среднее квадратическое отклонение показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты признака от среднего значения и равно корню квадратному из дисперсии:



Степень вариации в данной совокупности невелика, так как средняя величина выполнения нормы равна 107,6%. Это говорит об однородности рассматриваемой совокупности.

7) коэффициент вариации, оцените однородность совокупности:



Так как коэффициент вариации в нашем примере меньше 33% совокупность считается однородной.

8) вычислить с вероятностью 0,954 возможные пределы, в которых ожидается средний процент выполнения норм выработки по заводу.

Для определения заданных пределов нам необходимо рассчитать предельную ошибку выборки по формуле:

 где:

t – коэффициент доверия, для нашего случая равен 2;

 - выборочная дисперсия;

N – численность генеральной совокупности, так как наша выборка десятипроцентная, то N = 1000;

n – численность выборки.



Определим заданные пределы по формуле:



или 

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний процент выполнения норм выработки по заводу будет находиться в пределах от 105,75% до 109,45%.

9) с вероятностью 0,954 возможные пределы доли рабочих, выполняющих нормы выработки более, чем на 110%

Согласно результатам обследования, численность таких рабочих составила 40 человек, определим выборочную долю:



Внутригрупповая дисперсия доли определяется по формуле:



Предельная ошибка выборки с заданной вероятностью составит:



Определим границы пределов:



или 

Следовательно, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что для рабочих, выполняющих нормы выработки более, чем на 110% находится в пределах от 0,307 до 0,493%.


Задача 2



Себестоимость продукции завода характеризуется следующими данными:



Изделия

Себестоимость единицы продукции, тыс. руб.

Выработано продукции, тыс. единиц



базисный период

отчетный период

базисный период

отчетный период

К-220

12

10

0,9

1,2

СР-1

8

7

6,4

9,3

З-322

12

10

15

15,2



Для завода по трем видам изделий вместе определите:

общий индекс затрат на продукцию;

общий индекс себестоимости продукции;

общий индекс физического объема продукции;

выполните факторный анализ;

Покажите взаимосвязь между индексами (а, б, в).



Решение:

Для выполнения расчетов заполним таблицу:

Изделия

Себестоимость единицы продукции, тыс. руб.

Выработано продукции, тыс. единиц

Затраты на продукцию, млн. руб.



базисный период

отчетный период

базисный период

отчетный период

базисный период

отчетный период

 

z0

z1

q0

q1

q0z0

q1z1

К-220

12

10

0.9

1.2

10,8

12

СР-1

8

7

6.4

9.3

51,2

65,1

З-322

12

10

15

15.2

180

152

Итого:

32

27





242

229,1

общий индекс затрат на продукцию:



общий индекс себестоимости продукции:



общий индекс физического объема продукции:



факторный анализ:

Изменение затрат на продукцию ∆zq = ∑z1q1 - ∑z0q0 = 229,1-242 = -12,9 млн. руб.

Влияние фактора себестоимости 1 шт. ∆z = ∑z1q1 - ∑z0q1 = 229,1 – 271,2 = -42,1 млн. руб.

Влияние фактора объема продукции ∆q = ∆zq - ∆z = -12,9 – (- 42,1) = 29,2 млн. руб.

Между индексами а, б и в существует следующая взаимосвязь: 

Izq = Iz * Iq = 0.845*1.121=0.947


Задача 3



Динамика средних цен и объема продажи продукта на колхозных рынках 2-х городов характеризуется следующими данными:



Города

Средняя цена 1 кг., руб.

Продано продукта, тыс. кг.



базисный период

отчетный период

базисный период

отчетный период

 

p0

p1

q0

q1

А

1,2

1,8

200

225

Б

1,5

1,4

220

190



Вычислите:

Индекс цен переменного состава;

Индекс цен постоянного состава;

Индекс цен структурных сдвигов;

Изменение средней себестоимости (в абсолютных величинах) в целом и за счет действий отдельных факторов.

Покажите взаимосвязь исчисленных индексов.

Решение:

Индекс цен переменного состава рассчитывается по формуле:





Индекс цен постоянного состава рассчитывается по формуле:





Индекс структурных сдвигов рассчитывается по формуле:





Покажем взаимосвязь индексов:





Средняя себестоимость выросла на 19,1%. За счет структурных сдвигов себестоимость увеличилась на 58,1%. Если бы структура реализации продукта по городам не изменилась, средняя себестоимость увеличилась бы на 20,9 %.


Задача 4



Отрасли

Стоимость товарной продукции, млрд. руб.

Фондоотдача, руб.

Стоимость ОФ, руб.



базисный период

отчетный период

базисный период

отчетный период

базисный период

отчетный период

Тяжелая промышленность

584,9

609,9

0,84

0,84

696,30

726,07

Легкая промышленность

119,8

120,9

4,19

4,08

28,59

29,63

Итого:

704,7

730,8

5,03

4,92

724,9

755,7



Провести анализ динамики и факторов изменения фондоотдачи в целом по промышленности.



Решение:

Рассчитаем стоимость ОФ и заполним таблицу.

Фондоотдача в среднем по промышленности:





Для изучения динамики изменения фондоотдачи:

а) найдем индекс переменного состава



б) найдем индекс фиксированного состава

, где

доля стоимости основных фондов каждой отрасли в общем объеме отчетного периода









в) Индекс структурных сдвигов



Факторный анализ

Общее снижение фоноотдачи



В том числе за счет фактороф изменения фондоотдачи в каждой отрасли



Структурных сдвигов в составе основных фондов



Вывод: средняя фондоотдача в целом по промышленности снизилась в 0.995 раз. За счет изменения фондоотдачи в каждой отрасли средняя фондоотдача снизилась в 0.996 раз. За счет изменения структуры основных фондов средняя фондоотдача снизилась в 0.999. 


Задача 5



Показатели

База

Отчет

Выручка от реализации продукции в действовавших ценах

3240

3960

Средний годовой остаток оборотных средств

540

594



Определить изменение скорости оборотных средств (дней) в отчетном периоде по сравнению с базисным и сумму средств высвобожденных из оборота вследствие ускорения оборачиваемости. Сделать выводы.



Решение:

Рассчитаем продолжительность одного оборота по формуле:

дн.

дн.

Скорость оборота оборотных средств в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличилась на 54-60=-6дн.

Сумма средств высвобожденных из оборота вследствие ускорения оборачиваемости:



Вывод: скорость оборота оборотных средств в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличилась на 6 дней и привела к высвобождению из оборота 66 у.е средств.


Задача 6



Выплавка стали характеризуется следующими показателями:

Годы

Производство электроэнергии, млрд. кВт-ч.

1

91,0

2

96,9

3

102,2

4

106,5

5

110,3

6

116,0

7

119,6

8

125,3

9

130,8

10

136,0

11

139,8

12

145,2



Для анализа ряда динамики исчислите:

1) показатели, характеризующие рост выплавки стали: абсолютные приросты, темпы роста и прироста (по годам и к базисному году). Результаты расчетов изложите в табличной форме;

2) средний уровень и среднегодовой темп ряда динамики;

3) покажите взаимосвязь между цепными и базисными показателями;

4) для определения основной тенденции ряда произведите выравнивание ряда динамики с помощью укрупнения интервалов.

Изобразите фактический и выровненный динамические ряды на графике.

Сделайте выводы.



Решение:

1) показатели, характеризующие рост выплавки стали: абсолютные приросты, темпы роста и прироста (по годам и к базисному году).

Годы

Производство электроэнергии

Абсолютный прирост (∆у)

Темп роста, % (Тр)

Темп прироста, % (Тп)





цепной способ

∆уi = уi – уi-1

к базисному (первому) году

∆уi = уi - уб

цепной способ

Тр = уi / уi-1 * 100

к базисному (первому) году

Тр = уi / уб * 100

цепной способ

Тп = Тр – 1

к базисному (первому) году

Тп = Тр – 1

1

91

-

-

-

-

-

-

2

96,9

5,9

5,9

106,48

106,48

6,48

6,48

3

102,2

5,3

11,2

105,47

112,31

5,47

12,31

4

106,5

4,3

15,5

104,21

117,03

4,21

17,03

5

110,3

3,8

19,3

103,57

121,21

3,57

21,21

6

116

5,7

25

105,17

127,47

5,17

27,47

7

119,6

3,6

28,6

103,1

131,43

3,1

31,43

8

125,3

5,7

34,3

104,77

137,69

4,77

37,69

9

130,8

5,5

39,8

104,39

143,74

4,39

43,74

10

136

5,2

45

103,98

149,45

3,98

49,45

11

139,8

3,8

48,8

102,79

153,63

2,79

53,63

12

145,2

5,4

54,2

103,86

159,56

3,86

59,56



2) Средний уровень ряда уср = (у1+у2+у3+у4+у5+у6+y7+y8+y9+y10+y11+y12) / 12 = (91+96,9+102,2+106,5+110,3+ 116+119,6+125,3+130,8+136+139,8+145,2) / 12 = 118.3.

Средний темп роста ряда динамики определяется по формуле



или 104,3%

Средний темп прироста рассчитывается по формуле:



3) взаимосвязь между цепными и базисными показателями

а) 

т.е. 

б) 

4) Выравнивание ряда динамики с помощью укрупнения интервалов проведем с помощью трехчленной скользящей средней.



96.7, 101.9, 106.3, 110.9, 115.3, 120.3, 125.2, 130.7, 135.5, 140.3.

Первую скользящую среднюю отнесем ко второму году, десятую отнесем к одиннадцатому году.







В результате укрупнения интервалов общая тенденция роста выступает отчетливо. В среднем ежегодно выплавлялось стали 101,4 млн.т. Каждый год объем выплавки увеличивался в среднем на 4.3%.


Задача 7



В отчетном периоде работа 24 предприятий характеризуется следующими данными:



Данные о работе предприятий в отчетном периоде

Заводы, П/П

Продукция в сопоставимых ценах, млрд. руб.

Стоимость основных производственных фондов, млрд. руб.













1

0,9

0,9

2

2,6

2,5

3

5,5

5,6

4

4,1

4

5

4,9

4,8

6

0,9

1

7

1,3

1,2

8

6,4

5,2

9

2,8

2,5

10

0,8

0,9

11

0,7

0,7

12

4,9

3,9

13

12,1

10,6

14

12,2

11,7

15

11,8

10,7

16

8,5

6,1

17

7,1

7,3

18

2,9

4,1

19

14

10,7

20

4,8

7,3

21

15,7

12,5

22

11,8

8,4

23

16,6

12,7

24

10,2

7,8

Итого:

163,5

143,1



С целью выявления зависимости между стоимостью основных производственных фондов и выпуском продукции произведите группировку заводов по размеру основных фондов, образовав 6 групп заводов с равными интервалами. Результаты представьте в групповой таблице. Сделайте краткие выводы.



Итоговая таблица

№ группы

Группы заводов по размеру ОПФ (интервалы) млн.руб.

Число заводов

Стоимость ОПФ

Стоимость валовой продукции млн.руб.

Фондоотдача

 

 

 

Всего

В среднем на один завод

Всего

В среднем на один завод

 

1













 

2













 

3













 

4













 

5













 

6













 

ИТОГО













 



Исследуйте зависимость между стоимостью продукции (результативный признак – у) и стоимостью основных производственных фондов (факторный признак – х). На основании исходных данных:

1) постройте поля корреляции; составьте корреляционную таблицу, определив число интервалов по правилу Стерджесса; нанесите эмпирическую линию регрессии на поле корреляции и сделайте выводы о возможной форме связи;

2) в целях синтезирования моделей зависимости задайте вид и вычислите параметры уравнения связи, нанесите полученную теоретическую линию регрессии на график;

3) для установления практической значимости полученной модели вычислите возможные показатели тесноты связи (коэффициент детерминации, эмпирическое и теоретическое корреляционные отношения, линейный коэффициент корреляции);

4) оцените надежность полученных коэффициентов, сделайте выводы по п.п. 2, 3 и 4.

5) используя полученную модель, сделайте прогноз стоимости продукции для предприятия со стоимостью основных фондов 14 млрд.рублей.



Решение:

1) Величина интервала i = (xmax –xmin)/n = (12700 – 700) / 6 = 2000 млн. руб.



Фондоотдача = Стоимость валовой продукции / Стоимость ОПФ.

№ группы

Группы заводов по размеру ОПФ (интервалы) млн.руб.

Число заводов

Стоимость ОПФ

Стоимость валовой продукции млн.руб.

Фондоотдача

 

 

 

Всего

В среднем на один завод

Всего

В среднем на один завод

 

1

700-2700

7

9700

1385,71

10000

1428,57

1,03

2

2700-4700

3

12000

4000

11900

3966,67

0,99

3

4700-6700

4

21700

5425

25300

6325

1,17

4

6700-8700

4

30800

7700

33900

8475

1,1

5

8700-10700

3

32000

10666,67

37900

12633,33

1,18

6

10700-12700

3

36900

12300

44500

14833,33

1,21

ИТОГО

 

24

143100

5962,5

163500

6812,5

6,68



Вывод: Между стоимостью ОПФ и валовой продукцией прямая связь, с ростом ОПФ растет и валовая продукция.

Построим поле корреляции по исходным данным задачи.





Составим корреляционную таблицу, определив число интервалов по правилу Стерджесса n = 1 + 3,322 lg24 = 6.

Корреляционная таблица зависимости между стоимостью продукции (у) и стоимостью основных производственных фондов (х)

; 



i

Величина ОПФ, млрд. руб.

Середина интервала

Продукция в сопоставимых ценах, млрд. руб.

Всего nxi

Групповая средняя yj







0,7-3,35

3,35-6,0

6,0-8,65

8,65-11,3

11,3-13,95

13,95-16,6









xi yj

2,025

4,675

7,325

9,975

12,625

15,275





1

0,7-2,7

1,7

7

-

-

-

-

-

7

2,025

2

2,7-4,7

3,7

1

2

-

-

-

-

3

3,79

3

4,7-6,7

5,7

-

2

2

-

-

-

4

6

4

6,7-8,7

7,7

-

1

1

1

1

-

4

8,65

5

8,7-10,7

9,7

-

-

-

-

2

1

3

13,51

6

10,7-12,7

11,7

-

-

-

-

1

2

3

14,39

 

Всего nyj

8

5

3

1

4

3

24

 



Групповая средняя xj

1,95

5,3

6,37

7,7

9,7

11,0333

 

 



По данным графика и корреляционной таблицы можно сделать вывод, что связь прямая.

2) Так как связь между признаками линейная:



Найдем  и :





Заводы, П/П

Стоимость основных производственных фондов, млрд. руб.(х)

Продукция в сопоставимых ценах, млрд. руб. (y)

x^2

y^2

xy

























1

0,9

0,9

0,81

0,81

0,81

2

2,5

2,6

6,25

6,76

6,5

3

5,6

5,5

31,36

30,25

30,8

4

4

4,1

16

16,81

16,4

5

4,8

4,9

23,04

24,01

23,52

6

1

0,9

1

0,81

0,9

7

1,2

1,3

1,44

1,69

1,56

8

5,2

6,4

27,04

40,96

33,28

9

2,5

2,8

6,25

7,84

7

10

0,9

0,8

0,81

0,64

0,72

11

0,7

0,7

0,49

0,49

0,49

12

3,9

4,9

15,21

24,01

19,11

13

10,6

12,1

112,36

146,41

128,26

14

11,7

12,2

136,89

148,84

142,74

15

10,7

11,8

114,49

139,24

126,26

16

6,1

8,5

37,21

72,25

51,85

17

7,3

7,1

53,29

50,41

51,83

18

4,1

2,9

16,81

8,41

11,89

19

10,7

14

114,49

196

149,8

20

7,3

4,8

53,29

23,04

35,04

21

12,5

15,7

156,25

246,49

196,25

22

8,4

11,8

70,56

139,24

99,12

23

12,7

16,6

161,29

275,56

210,82

24

7,8

10,2

60,84

104,04

79,56

Итого:

143,1

163,5

1217,5

1705,01

1424,51









 и 

Уравнение регрессии имеет вид: 

Для нанесения теоретической линии на график определим 2 пары точек:

 



3) Показатели тесноты связи

а) линейный коэффициент корреляции



Теснота связи очень высокая.

б) эмпирическое корреляционное отношение

 где

- межгрупповая диспрсия результативного признака

- общая дисперсия результативного признака

Межгрупповая дисперсия:

 где

- среднее значение результативного признака в соответствующих группах

- общая средняя результативного признака

- число наблюдений в соответствующей группе

№ группы

Группы заводов по размеру ОПФ (интервалы) млрд.руб.

Число заводов

Стоимость валовой продукции млрд.руб.







1

0,7-2,7

7

1,43

-5,38

28,9444

202,6108

2

2,7-4,7

3

3,97

-2,84

8,0656

24,1968

3

4,7-6,7

4

6,33

-0,48

0,2304

0,9216

4

6,7-8,7

4

8,48

1,67

2,7889

11,1556

5

8,7-10,7

3

12,63

5,82

33,8724

101,6172

6

10,7-12,7

3

14,83

8,02

64,3204

192,9612

ИТОГО

 

24

6,81

 

 

533,4632



; 





 

 

0,9

-5,91

34,9281

2,6

-4,21

17,7241

5,5

-1,31

1,7161

4,1

-2,71

7,3441

4,9

-1,91

3,6481

0,9

-5,91

34,9281

1,3

-5,51

30,3601

6,4

-0,41

0,1681

2,8

-4,01

16,0801

0,8

-6,01

36,1201

0,7

-6,11

37,3321

4,9

-1,91

3,6481

12,1

5,29

27,9841

12,2

5,39

29,0521

11,8

4,99

24,9001

8,5

1,69

2,8561

7,1

0,29

0,0841

2,9

-3,91

15,2881

14

7,19

51,6961

4,8

-2,01

4,0401

15,7

8,89

79,0321

11,8

4,99

24,9001

16,6

9,79

95,8441

10,2

3,39

11,4921

163,5

 

591,1664



Общая дисперсия





в) коэффициент детерминации



Коэффициент детерминации показывает, что 90,2% колеблемости результативного признака объясняется колеблемостью факторного признака.

г) теоретическое корреляционное отношение



где - сумма квадратов вследствие регрессии

- общая сумма квадратов







4) Оценка надежности полученных коэффициентов



где - средняя квадратическая ошибка коэффициента корреляции

t – коэффициент доверия



t = 2,56 при вероятности 0,9895



76,3 > 2.56

Рассчитанные коэффициенты тесности связи надежны с вероятностью 0.9895.

5) Модель тренда имеет вид:



Сделаем прогноз стоимости продукции для стоимости ОПФ 14 млрд. руб.



Т.е. при стоимости ОПФ 14 млрд. руб. объем валовой продукции составит 16,7 млрд. руб.