Составление уравнений равновесия и расчет действующих сил

Задача С 1



Жестяная рама закреплена в точке А шарнирно, а в точке В прикреплена к шарнирной опоре на катках. На раму действуют пара сил с моментом М = 100H*м и две силы F1 = 10H под углом 30 к горизонтальной оси, приложенная к точке K, и F4=40H под углом 60 к горизонтальной оси, приложенная к точке H.

Определить реакции связей в точках A и В, вызываемые заданными нагрузками. При окончательных подсчетах принять l = 0,5 м

	

	                                       2 l            l                	

				Дано:	XA	F4’		X

		М = 100 Н * м	A                          H	

			F 1 = 10 Н                                 F4’’                   F4	F1’’	F1	   l

	£ 1= 30                                                   K

	F 4 = 40 HF1’

		L = 0,5 м	            М                                3l

	£ 4 = 60	2l

		RB

XА, YА, RB                                                                          Д

Рис. С 1.0.



Решение:

Рассмотрим равновесие рамы. Проведем координатные оси XY (начало координат в точке А). На раму действуют следующие силы: 1 и 4, пара сил моментом М и реакция связи A, A, B (реакция неподвижной шарнирной опоры А изображаем двумя ее составляющими, реакция шарнирной опоры на катках направлена перпендикулярно опорной плоскости).

Составляем три уравнения равновесия:



∑ FKX=0; XA+F4*coς 60 + F1*coς 30 =0

∑ FKY=0; YA-F4*ςin 60 + F1* ςin 30 +RB=0

∑ MA (FK)=0;  -F4*ςin 60 *2l+ F1* ςin 30 *3l+F1* coς 30 *l-M+RB*5l=0



Из уравнений (1) находим XA:



XA= -F4* coς 60 -F1* coς 30 = -40*0,5-10*0,866= -28,66H



Из уравнения (3) находим RB:



RB==  

==

=49,12H



Из уравнения (2) находим YA:

YA=





Проверка:









все силы реакции найдены правильно:

Ответ:











Задача С 2



Однородная прямоугольная плита весом P=5kH со стороны АВ=3l, ВС=2l закреплена в точке А сферическим шарниром, а в точке В цилиндрическим шарниром (подшипником) и удерживается в равновесии невесомым стержнем СС! На плиту действуют пара сил с моментом М=6лН*м, лежащая в плоскости плиты, и две силы. Значения этих сил, их направления и точки приложения Н, £1=90с, Д, £2=30с; при этом силы  и  лежат в плоскостях, параллельных плоскости xy, сила - в плоскости, параллельной xz, сила - в плоскости параллельной yz. Точки приложения Д и Н находятся в серединах сторон плиты. Определить реакции связей в(.) А и В, С. При окончательных расчетах принять l=0,5м.




                                                                                                        С1

		Z

Дано:

                                                                      

Y




Рис С 2.0.



Решение:

Рассмотрим равновесие плиты. На нее действуют заданные силы:  пара сил с моментом М, а также реакции связей. Реакцию сферического шарнира разложим на 3 составляющие:  цилиндрического шарнира (подшипника)  - на две составляющие:  (в плоскости перпендикулярной оси подшипника), реакцию  стержня направим вдоль стержня, предполагая, что он растянут (рис. С 2.0.)

Для определения  составляем равновесия, действующей на плиту пространственной системы сил:



           (1)

                                    (2)

   (3)

    (4)

   (5)

       (6)



Из уравнения (4) находим N:







Из уравнения (5) находим ZB:







Из уравнения (1) находим XA:







Из уравнения (6) находим YB^






Из уравнения (2) находим YA:







Из уравнения (3) находим ZA:







Ответ:



XA= -1,67kH

YA= -29,11kH

ZA= -0,10kH

YB=25,11kH

ZB=2,60kH

N= -5,39kH



Знаки указывают, что силы  направлены противоположно показанным на рис. С 2.0.



Задача К1



Дано:



	

	

	

	Три движения точки на плоскости

	

Найти:

 - уравнение траектории точки

для момента времени



                                  y



		B





                                                                                  

                                                                                                                                             x

	Рис. К 1.0.

	

	Решение:

Для определения уравнения траектории исключим из заданных уравнений движения время t:



                    (1)



Преобразуя систему (1), получим:



                        (2)



Поскольку время е входит в аргументы тригометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу:    то есть:





Итак, получаем:

                   (3)



Преобразуя систему (3), получим:



                     (4)



Преобразуем: 

Упрощая выражение, получим:



    (5)



Выражение (5) – это уравнение траектории точки. График – парабола с вершиной в точке (0;11) на рис. К.1.0 а

Скорость точки найдем по ее траектории на координатной оси:



  см/с


                                              y

                                      (0;11)

		y=-0,375x2+11





	                     (-5,4;0)	(5,4;0)

		x















	Рис. К 1.0 а

	

	При t=1 сек, находим 

	

	

	

	

	При t=t1=1 сек, находим 

	

	

	

	Находим скорость точки:

	

	

	

	Аналогично найдем уравнение точки:

	

	

	При t=t1=1 сек, находим

	

	

	

	При t=t1=1 сек, находим:

	

	

	

	Находим ускорение точки:

	

	

	

	Найдем касательное ускорение, дифференцируя по времени равенства:

	

	

	



Учитывая найденные значения  при t= 1 сек, получим:







5)Нормальное ускорение определяется по формуле:






6)Радиус кривизны траектории определяется по формуле:







Ответ:





a1=1,73 см/с2

aT=1,07 см/с2

an=1,36 cм/c2

=7,53 см



Задача К2



Дано:

l1=0,4 м

l2=1,2 м

l3=1,4 м

l4=0,8 м

=60

=60

=60

=90

=120

4=3с-2

=10с-2



Найти:

-?



                                             

	                                                      







		                                                    	        2

	                                          

		

		                                                                                                                    



					  





		O1

		4

		

		O2



	Рис. К2.0.

	

	Решение:

	Строим положение данного механизма в соответствии с заданными узлами (рис К2.0)

	Определяем скорость точки  по формуле:

	

	

	

	Точка  одновременно принадлежит стержню . Зная и направление  воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня ) на прямую, соединяющую эти точки (прямая )

	

	

	

	Точка В одновременно принадлежит к стержню 3 те к стержню АВ. При помощи теоремы о проекциях скоростей определяем скорость точки А:

	

	

	

	Для определения скорости точки D стержня АВ построим мгновенный центр скоростей для звенья АВ (рис. К 2.0)

	Определяем угловую скорость звенья 3 по формуле:

	

	 



	Из треугольника АС3В при помощи теоремы синусов определяем С3В:

	

	



Т.О., угловая скорость стержня 3 равна:






Скорость точки D стержня АВ определяется по формуле:







С3D определяем при помощи теоремы синусов:







Итак: = 

Определяем ускорение точки А.

Т.к., угловая ускорение  известно, то 







Найдем нормальное ускорение точки А определяем по формуле:







Ускорение точки А плоского механизма определяется по формуле:







Ответ: 




Задача Д1



Дано:

m=2 кг





Найти:

x=f(t) – закон движения груза на участке ВС



				А





				



		

					C		             В	

				   D	

			x	30

		



	Рис. D 1.0.

	
Решение:

	

	Рассмотрим движение груза D на участке АВ, считая груз материальной точкой.

	Изображаем груз (в произвольном положении) и действующее на него силы:

	. Проводим ось AZ в сторону движения и составляем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:

	

	             (1)

	      (2)

	

	Далее, находим:

	

	           (3)

	

	Учитывая выражение (3) в (2) получим:

	

	           (4)

	                (5)

	

	Принимая g=10ми/с2 получим:

	


	

	Интегрируем:

	

	





Начальные условия:



При t=0; 







или



ln(7-0,2*)= C1








При t=t1=2,5сек,  , получим:







Теперь рассмотрим движение груза на участке ВС, найденная скорость будет для движения на этом участке начальной скоростью







Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы:



   (рис. D1.0)



Проведем из точки В ось BX и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:



          (6)

Т.к.,  то уравнение   (6) примет вид:

            (7)



Разделив обе части равенства на m=2 кг, получим



              (8)

             (9)



Умножим обе части уравнения (9) на  и проинтегрируя, получим:







Учитывая начальные условия:



При 



Т.о., 



Умножим обе части равенства на dt и снова интегрируем, получим:






Начальные условия: при 

Итак:







Ответ:







Это закон движения груза D в изогнутой трубе АВС.