Экономико математические методы 2

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА



ФАКУЛЬТЕТ УПРАВЛЕНИЯ







	

	

Контрольная работа

По «Экономико-математическим методам»



	

	

	Фисай А.А.

студента2-го курса

заочной формы обучения

















Москва 2009г


Вариант 2.

	

	№1.

	Исследовать методом Жордана - Гаусса систему линейных уравнений, в случае совместности системы найти общее решение, некоторое частое небазисное решение, все базисные решения, указав при этом опорные решения:

	х1+х2-х3+2х4=2

	-х1+х2-3х3-х4=1

	3х1-х2+5х3+4х4=3.

	

	Решение:

	

	

	

	х1

	х2

	х3

	х4

	вi

	1

	

	1

	-1

	2

	2

	-1

	1

	-3

	-1

	1

	

	3

	-1

	5

	4

	3



	1

	1

	-1

	2

	2

	0

	2

	

	-4

	1

	3

	0

	-4

	8

	-2

	-3

	

	1

	0

	1

	

	



	0

	1

	-2

	

	



	0

	0

	0

	0

	3

	

	

	

	 +II;∙ (-3)+III

	

	

	

	

	

	  ∙ 2+III; :2

	

	

	
Получим эквивалентную систему уравнений

	

	

	

	Последнее уравнение системы не имеет решений, исходная система несовместна, т.е. не имеет решений.

	

	№2

	

	Решить графическим методом следующие задачи линейного программирования: min f(x) = -6x1+9x2





х1, х2 ≥0.



Решение.



		(*)



х1, х2 ≥0.



Построим граничные прямые


(1)		  х1	0     3

				  х2	3     2



(2)			  х1	0    1

				  х2	5    7



(3)			х1	0    0

				х2	0    2







Выбираем нужные полуплоскости (смотри (*))

Получим область решений Д.

Построим =(-6;9);  - линия уровня, . Параллельным переносом линии уровня определяем точки, в которых функция достигает минимума. Это все точки луча АВ прямой (3).

Задача имеет бесконечное множество решений. При этом значение функции ограничено и для любого X* составляем величину, равную 0.



Ответ:  (3;2) + (6;4), ; min 


№3.

	

	Решить симплексным методом следующие задачи линейного программирования min f() = - 2x1 - 3x2

	





Решение.



f() = - 2x1 - 3x2 + 0х3 + 0х4 +0х5  min



xj0,     j = 



i

АБ

СБ

В

-2

-3

0

0

0











А1

А2

А3

А4

А5



1

2

3

А3

А4

А5

0

0

0

15

9

4

3

1

1

	3

3

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

5

3min

-



m+1



0

2

3

0

0

0





1

2

3

А3

А2

А5

0

-3

0

6

3

4

	2

⅓

1

0

1

0

1

0

0

-1

⅓

0

0

0

1

3min

9

4



m+1



-9

 1 

0

0

-1

0





1

2

3

А1

А2

А5

-2

-3

0

3

2

1

1

0

0

0









-



0





m+1



-12

0 

0

0

-

-

0


Все полученные оценки не положительны. План оптимален.



X* = (х1 = 3; х2 = 2)

f min = f (X*) = -2 ∙ 3 – 3 ∙ 2 = -12,

f min = -12.



Ответ:	X* = (х1 = 3; х2 = 2);

f min = f (X*) = -12.



	№4.



Решить следующие транспортные задачи (здесь А - вектор мощностей поставщиков, В – вектор мощностей потребителей, С - матрица транспортных издержек на единицу груза):



А = (300; 350; 160; 200), С =   ;

В = (400; 400; 200),


Решение



н1=0    н2=1    н3=-1

     вj

aj

400

400

200

300

4

300 1

2

350

 50   3

100  4

200 2

150

150  1

3

1

200

200  1

4

3







u1 = 0

u2 = 3

u3 = 1

u4 = 1







Опорное решение получили по правилу «минимальных издержек». Занятых клеток должно быть m + n – 1 = 4 + 3 – 1 = 6.

Определим потенциалы:



u1 + н2 = 1; 		u2 + н1 = 3; 		u2 + н2 = 4; 		u2 + н3 = 2; 

u3 + н1 = 1; 		u4 + н1 = 1.



Пусть u1 = 0, тогда   u2 = 3;   u1 = 0;   u3  = -1;   u3 = 1;   u4 = 1.

Оценки свободных клеток 



Ѕ11=4-(0+0)>0; 	Ѕ13=2-(0-1)>0; Ѕ32=3-(1+1)>0;

Ѕ33=1-(1-1)>0; 	Ѕ42=4-(1+1)>0; 	Ѕ43=3-(1-1)>0.



План оптимален, т.к. все оценки положительны. Получим план перевозок


X* =   ; 



минимальная стоимость Z min = Z (X*) = 300∙1 + 50∙3 + 100∙4 + ∙200∙2 +  + 150∙1 + 200∙1 =∙1600.



	№5.

Для выпуска четырех видов продукции требуются затраты сырья, рабочего времени и оборудования. Исходные данные приведены в таблице:



Тип

ресурса

Нормы затрат ресурсов на единицу продукции

Наличие

ресурсов



1

2

3

4



Сырье

Рабочее время

Оборудование

Прибыль на единицу продукции

3

22

10



30

5

14

14



25

2

18

8



8

4

30

16



16

60

400

128



Сформулировать экономико-математическую модель задачи на максимум прибыли и найти оптимальный план выпуска продукции.



Решение.

Обозначим через х1, х2, х3, х4 объем выпуска каждого из четырех видов продукции. Модель задачи примет вид: max Z = 30х1 + 25х2 + 8х3 + 16х4





хj0 		(j = ).


Перейдем к задаче в каноническом виде:



хj0 		(j = ).



i

АБ

СБ

В

30

25

8

16

0

0

0











А1

А2

А3

А4

А5

А6

А7



1

2

3

А5

А6

А7

0

0

0

60

400

128

3

22

	10



5

14

14

2

18

8

4

30

16

1

0

0

0

1

0

0

0

1

20



12,8



m+1



0

-30

-25

-8

-16

0

0

0











min


Z (X) = 30х1 + 25х2 + 8х3 + 16х4 + 0х5 +0х6 +0х7  max



i

АБ

СБ

В

30

25

8

16

0

0

0











А1

А2

А3

А4

А5

А6

А7



1

2

3

А5

А6

А7

0

0

30

21,6

118,4

12,8

0

0

1

0,8

-16,8

1,4

-0,4

0,4

0,8

-0,8

-5,2

1,6

1

0

0

0

1

0

-0,3

-2,2

0,1





m+1



384

0

17

16

32

0

0

3







Теперь все оценки не отрицательны. План оптимален.

Получили оптимальный план выпуска продукции X* = (12,8;  0;  0;  0). При этом максимальная прибыль составит



max Z = Z(X*) = 30∙12,8 + 25∙0 + 8∙0 + 16∙0 = 384.



Ответ: Следует выпускать только продукцию первого вида в количестве 12,8 ед. Максимальная прибыль составит 384 ден. ед.

1