Техническая механика

Задача 1



Дано:

,

,

.

Найти: , .





Рис. 1



Решение:



1. Решим задачу аналитически. Для этого рассмотрим равновесие шара 1. На него действует реакция N опорной поверхности А, перпендикулярная к этой поверхности; сила натяжения Т1 нити и вес Р1 шара 1 (рис. 2).





Рис. 2


Уравнения проекций всех сил, приложенных к шару 1, на оси координат имеют вид:



:	 				(1)

:	 			(2)



Из уравнения (1) находим силу натяжения Т1 нити:







Тогда из уравнения (2) определим реакцию N опорной поверхности:







Теперь рассмотрим равновесие шара 2. На него действуют только две силы: сила натяжения Т2 нити и вес Р2 этого шара (рис. 3).





Рис. 3



Поскольку в блоке Д трение отсутствует, получаем



2. Решим задачу графически. Строим силовой треугольник для шара 1. Сумма векторов сил, приложенных к телу, которое находится в равновесии, равна нулю, следовательно, треугольник, составленный из ,  и  должен быть замкнут (рис. 4).





Рис. 4



Определим длины сторон силового треугольника по теореме синусов:











Тогда искомые силы равны:








Задача 2



Дано:

,

,

,

,

.

Найти: , .



Рис. 5



Решение

1. Рассмотрим равновесие балки АВ. На неё действует равнодействующая Q распределённой на отрезке ЕК нагрузки интенсивности q, приложенная в середине этого отрезка; составляющие XA и YA реакции неподвижного шарнира А; реакция RС стержня ВС, направленная вдоль этого стержня; нагрузка F, приложенная в точке К под углом ; пара сил с моментом М (рис. 6).





Рис. 6



2. Равнодействующая распределенной нагрузки равна:






3. Записываем уравнение моментов сил, приложенных к балке АВ, относительно точки А:



		(3)



4. Уравнения проекций всех сил на оси координат имеют вид:



: 	,			(4)

: 	,			(5)



Из уравнения (3) находим реакцию RС стержня ВС:







По уравнению (4) вычисляем составляющую XA реакции неподвижного шарнира А:







С учетом этого, из уравнения (5) имеем:







Тогда реакция неподвижного шарнира А равна:






Задача 3



Дано:

,

,

.

Найти: , , .



Рис. 7



Решение

Рассмотрим равновесие вала АВ. Силовая схема приведена на рис. 8.

Уравнения проекций сил на координатные оси имеют вид:



: 	,				(6)

: 	,				(7)






Рис. 8



Линии действия сил F1, Fr2 XA и XB параллельны оси х, а линия действия силы ZA пересекает ось х, поэтому их моменты относительно этой оси равны нулю.

Аналогично линии действия сил Fr1, Fr2 XA, XB, ZA и ZB пересекают ось у, поэтому их моменты относительно этой оси также равны нулю.

Относительно оси z расположены параллельно линии действия сил ZА, ZB Fr1 и F2, а пересекает ось z линия действия силы XA, поэтому моменты этих сил относительно оси z равны нулю.

Записываем уравнения моментов всех сил системы относительно трёх осей:



: 		(8)

: 					(9)


: 		(10)



Из уравнения (4) получаем, что







Из уравнения (3) находим вертикальную составляющую реакции в точке В:







По уравнению (10), с учетом , рассчитываем горизонтальную составляющую реакции в точке В:







Из уравнения (6) определяем горизонтальную составляющую реакции в точке А:







Из уравнения (7) имеем








Тогда реакции опор вала в точках А и В соответственно равны:









Задача 4



Дано:

,

,

,

,

.

Найти: , , , .



Решение

1. Поскольку маховик вращается равноускоренно, то точки на ободе маховика вращаются по закону:



					 (11)



По условию задачи маховик в начальный момент находился в покое, следовательно,  и уравнение (11) можно переписать как



					 (12)



2. Определяем угловую скорость вращения точек обода маховика в момент времени :





3. Находим угловое ускорение вращения маховика из уравнения (12):







4. Вычисляем угловую скорость вращения точек обода маховика в момент времени :







5. Тогда частота вращения маховика в момент времени равна:







6. По формуле Эйлера находим скорость точек обода маховика в момент времени :







7. Определяем нормальное ускорение точек обода маховика в момент времени :








8. Находим касательное ускорение точек обода маховика в момент времени :







Задача 5



Дано:

, , , ,

, . Найти: , .



Рис. 9



Решение

1. Работа силы F определяется по формуле:



					 (13)



где  – перемещение груза.

2. По условию задачи груз перемещается с постоянной скоростью, поэтому ускорение груза .






Рис. 10



3. Выбираем систему координат, направляя ось х вдоль линии движения груза. Записываем уравнения движения груза под действием сил (рис. 10):



: 				(14)

: 				(15)



где  – сила трения скольжения.

Выражаем из уравнения (14) реакцию  наклонной плоскости







и подставляем в уравнение (15), получаем








Тогда работа силы F равна









4. Мощность, развиваемая за время перемещения , определяется по формуле: