Плоская задача теории упругости

3





Нижегородский государственный 

архитектурно-строительный университет.





Кафедра сопротивления материалов и теории упругости.



















Расчетно-проектировочная работа





Плоская задача теории упругости

























Выполнил:                                                                                     Студент гр. 163 А.В.Троханов





Проверила:                                                                                                      Т.П. Виноградова                                                                                              



































Н.Новгород 2002 г.



Из тела находящегося в плоском напряженном состоянии, выделена пластина, толщина которой  1 см, размеры в плане 20х20 см.



Схема закрепления пластины.









Задаваясь функцией напряжений, общий вид которой

Ф (х,у)=а1х3у+а2х3+а3х2у+а4х2+а5ху+а6у2+а7ху2+а8у3+а9ху3

Принять два коэффициента функции согласно таблиц 1 и 2, остальные шесть коэффициентов принять равными нулю. В этих же таблицах даны значения модуля упругости Е и коэффициента Пуассона для материала пластины.

Найти общие выражения для напряжений х, у, ху (объемные силы не учитывать) и построить эпюры этих напряжений для контура пластины.

Определить выражения для перемещений U и V. Показать графически(на миллиметровке) перемещение пластины в результате деформирования, определив компоненты перемещений U и V в девяти точках, указанных на схеме. Для наглядности изображения для перемещений выбрать более крупный масштаб, чем масштаб длин. Значение U и V свести в таблицу.



Расчет.

Дано: а3=1/3, а4= 1

          Е=0,69*106 кг/см2

          =0,33



Решение:

1.Проверим, удовлетворяет ли функция напряжений бигармоническому уравнению.

Ф(х,у)=  

Поскольку производные



-бигармоническое уравнение удовлетворяется.

2.Определяем компоненты по формулам Эри, принимая объемные силы равными нулю.

х=

у=

ху=

3.Строим эпюры напряжений для контура пластины согласно полученным аналитическим напряжениям.







4.Проверяем равновесие пластины











Уравненения равновесия:



х=0     -Т5+Т6=0 > 0=0

y=0     Т4+Т3+Т2-Т1-N2+N1=0 > 0=0

M=0    M (T4T3)=-M(T2T1) > 0=0



удовлетворяется, т.е. пластина находится в равновесии.



5.Для точки А с координатами (5,-5) найти величины главных напряжений и положение главных осей для точки А.

В этой точке напряжения в основных площадках. х=0,  у=-1,33,  ху=3,33,  

Найдем главное напряжение по формуле:



=-0,6653,396  кгс/см2  

max=I=2,731 МПа



min=II= -4,061 МПа





Находим направление главных осей.





     I=39,36o

     II=-50,64o











6.Определяем компоненты деформации







7.Находим компоненты перемещений





Интегрируем полученные выражения



(у), (х) –некоторые функции интегрирования





или







После интегрирования получим



где с1 и с2 – постоянные интегрирования

С учетом получения выражений для (у) и (х) компоненты перемещений имеет вид





Постоянные с1, с2, и с определяем из условий закрепления пластины:

1)  v           =0           или            







2)     v          =0            или            







3)     u          =0            или            





Окончательные выражения для функций перемещений u и v





Покажем деформированное состояние пластины определив для этого перемещение в 9-ти точках.







1

2

3

4

5

6

7

8

9

координаты

Х(см)

-10

0

10

10

10

0

-10

-10

0



У(см)

10

10

10

0

-10

-10

-10

0

0

V*10-4

3,8

0,77

0,58

-0,19

0

0,19

3,2

3,1

0

U*10-4

-3,1

-3,5

-3,9

-1,9

0

-0,23

-0,45

-1,8

-1,9













































































     Масштаб 

длин: в 1см – 2см



перемещений: в 1см -  1*10-4см