Примеры решения эконометрических заданий

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФИЛИАЛ В Г. ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОМ



Специальность «Финансы и кредит»











Контрольная работа по эконометрике

Вариант № 14



























Железнодорожный 2009


Задание 1.2



Задача 1.

Найти среднее число государственных вузов, если статистические данные таковы:



Годы

1994

1995

1996

1997

1998

Кол-во ВУЗов

548

553

569

573

578



Найти: х - ?

Решение:

Определим кол-во наблюдений: n = 5

Запишем формулу:

х = 1 / n Σ ni = 1 * x i

x = (1*( 548 + 553 + 569 + 573 + 578)) / 5 = 2821 / 5 = 564,2

Ответ: 564,2



Задача 2.

Рассчитать ковариацию между 2-мя рядами:



Поголовье КРС (млн.т)

57

54,7

52,2

48,9

43,3

39,7

35,1

Пр-во молока (тыс.т)

1,49

1,38

1,29

1,1

0,99

0,9

0,88



Найти: Cov - ?

Решение:

Определим кол-во наблюдений: n = 7

Определим выборочное среднее для скота:

х = (1 * (57 + 54,7 + 52,2 + 48,9 + 43,3 + 39,7 + 35,1)) / 7 = 330,9 / 7 = 47,271

Определим выборочное среднее для молока:

						y = (1 *(1,49 +1,38 + 1,29 + 1,1 + 0,99 + 0,9 + 0,88 ))/ 7 = 8,03 / 7 = 1,147

							Запишем формулу для определения ковариации:

								Cov (x;y) = 1/n Σ ni = 1 (xi - x)(yi - y)

								Вычислим ковариацию:

								Cov (x;y) = [1*((57-47,271)*(1,49-1,147)+(54,7-47,271)*(1,38-1,147)+ (52,2-47,271)*(1,29-1,147)+(48,9-47,271)*(1,1-1,147)+(43,3-47,271)*(0,99-1,147) + (39,7-47,271)*(0,9-1,147)+(35,1-47,271)*(0,88-1,147)) ]/7 = 11,439/7 = 1,634 

							Ответ: 1,634

							

							Задача 3.

							Определить выборочную дисперсию для ряда данных о потребление мяса (в кг на душу населения в год).

							

							69

							60

							69

							57

							55

							51

							50

							

							Найти: Var - ?

							Решение:

							Определим кол-во наблюдений: n = 7

							Определим выборочное среднее:

							х = (1*(69+60+69+57+55+51+50))/7 = 411/7 = 58,714

							Запишем формулу для определения вариации:

							Var (x) = 1/n Σ ni = 1 (xi - x)2

							Определим вариацию:

Var = (1*(69-58,714)^2+(60-58,714)^2+(69-58,714)^2+(57-58,714)^2+(55-58,714)^2+(51-58,714)^2+(50-58,714)^2)/7 = 365,429/7 = 52,204

							Ответ: 52,204

							

							Задача 4.

							Оценить параметры предполагаемой линейной зависимости объемов производства мяса по поголовью скота, если:

							х (производство мяса) = 6,8

							y (поголовье скота) = 47,3

							Cov = 11,2

							Var = 56,9

							Оценить параметры 

							Решение:

								b = Cov (x;y)/Var (x)

								b = 11,2/56,9

								b = 0,196

								a = y – bx 

								a = 47,3 – 0,196 * 6,8

								a = 45,968

								y = 45,968 + 0,196x

							

							Задание 5.

							Определить остаток в 1-ом наблюдение, если уравнение регрессии имеет вид: 

							y = 0,20x – 2,24

							

57

54,7

52,2

48,9

43,3

39,7

35,1

8,37

8,26

7,51

6,8

5,79

5,33

4,85

						

						Найти: g 1 = ?

						Решение:

						Выбор № наблюдений: i = 1

						х i = 57

						y i = 8,37

						Вычислим :

						y*= 0,20x – 2,24

						y*= 0,20x 1 – 2,24

						y*= 0,20*57 – 2,24

						y*= 9,16

						Определим остаток в 1-ом наблюдение:

						g i = yi - xi

						g 1 = 8,37 – 9,16

						g 1 = - 0,79

						Ответ: - 0,79

						

						Задача 6.

						Для рядов 1,2 уравнения регрессии y = 0,20 – 2,24 (задача 5), найти необъясненную сумму квадратов отклонений.

						

57

54,7

52,2

48,9

43,3

39,7

35,1

8,37

8,26

7,51

6,8

5,79

5,33

4,85

						

						Найти: RSS = ?

						Решение:

						Определим число наблюдений: n = 7

						Вычислим: yi = a + bxi , получим

						y1*= 0,20*57 – 2,24, y1*= 9,16

						y2*= 0,20*54,7 – 2,24, y2*= 8,7

						Определим остатки:

						g 1 = 8,37 – 9,16, g 1 = - 0,79

						g 2 = 8,26 – 8,7, g 2 = - 0,44

						Определим RSS для 1 и 2 ряда:

						RSS = Σ ni =1 g i2

						RSS = (- 0,79)2 + (-0,44)2

						RSS = 775, 2592

						Ответ: 0,8177

						
Задача 7.

						Определить объясненную сумму квадратов отклонений для рядов и уравнения регрессии y = 0,20 – 2,24 (задача 5).

						

57

54,7

52,2

48,9

43,3

39,7

35,1

8,37

8,26

7,51

6,8

5,79

5,33

4,85

						

						Найти: ESS = ?

						Решение:

						Определим число наблюдений: n = 7

						Вычислим: yi = a + bxi , получим

						y1= 0,20*57 – 2,24, y1 = 9,16

						y2 = 0,20*54,7 – 2,24, y2 = 8,7

						y3 = 0,20*52,2 – 2,24, y3 = 8,2

						y4 = 0,20*48,9 – 2,24, y4 = 7,54

						y5 = 0,20*43,3 – 2,24, y5 = 6,42

						y6 = 0,20*39,7 – 2,24, y6 = 5,7

						y7 = 0,20*35,1 – 2,24, y7 = 4,78

Определим выборочное среднее y = 1 / n Σ ni = 1 * y i получим:

y = (1 *(9,16+8,7+8,2+7,54+6,42+5,7+4,78))/ 7

y = 7,214

Вычислим ESS:

ESS = Σi = 1n ( yi* - yi)2

ESS = (9,16 – 7,214)2+(8,7 – 7,214)2+(8,2 – 7,214)2+(7,54 – 7,214)2+(6,42 – 7,214)2+(5,7 – 7,214)2+(4,78 – 7,214)2

						ESS = 15,921

						Ответ: 15,921

						

						Задача 8.

						В задачах 6 и 7 рассчитаны RSS и ESS. Определить TSS и проверить выполнение соотношения между этими 3-мя характеристиками.

						RSS = 0,8177

						ESS = 15,921

						Решение:

Рассчитаем общую сумму квадратов отклонений:

TSS = Σi = 1n ( yi - y)2

TSS = 12,016



уi

8,37

8,26

7,51

6,8

5,79

5,33

4,85

Σ = 46,91

Σ/n = 6,701

( yi - y)2

2,784

2,429

0,654

0,010

0,831

1,881

3,428

Σ = 12,016





Проверим:

TSS = ESS + RSS

TSS = 15,921 + 0,8177

TSS = 16,7387

16,7387 ≠ 12,016 – несовпадение значений.



Задача 9.

Для рассчитанного уравнения регрессии определена ESS = 15,37/ Найти коэффициент детерминации, если TSS = 16,21.

Найти: R2 = ?

Решение:

Определим коэффициент детерминации: 

R2 = ESS/TSS

R2 = 15,37/16,21

R2 = 0,948

Ответ: 0,948


Задача 10

Определить выборочную корреляцию между 2-мя величинами, если ковариация составляет 11,17, вариация первого ряда составляет 59,86 , а второго 2,32.

Cov (x,y) = 11,17

Var (x) = 59,86

Var (y) = 2,32

Найти: Zxy - ?

Решение:

Запишем формулу для определения выборочной корреляции:

Zxy = Cov2(x,y)/ √ Var(x) * Var(y) 

Вычислим выборочную корреляцию:

Zxy = (11,17)2/ √ 59,86*2,32

Zxy = 124,769/11,785

Zxy = 10,588

Ответ: 10,588


Задание 2.2



Задача 1.

Производство х1

30,8

34,3

38,3

37,7

33,8

39,9

38,7

37,0

31,4

Импорт х2

1,1

1,2

0,4

0,2

0,1

0,1

0,1

0,2

0,33

Потребление у

15,7

16,7

17,5

18,8

18,0

18,3

18,5

19,1

18,0



Найти: Var = ? и парную Cov = ?

Решение:

Определим число наблюдений: n = 9

Найдем выборочное среднее для рядов: х = 1 / n Σ ni = 1 * x i

								х1 = (1*(30,8 + 34,3 + 38,3 + 37,7 + 33,8 + 39,9 + 38,7 + 37,0 + 31,4)) / 9

х1 = 35,767

								х2 = (1*(1,1 + 1,2 + 0,4 + 0,2 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,2 + 0,33)) / 9

х2 = 0,414

								у = (1*(15,7 + 16,7 + 17,5 + 18,8 + 18,0 + 18,3 + 18,5 + 19,1 + 18,0)) / 9

у = 17,844

Рассчитаем Var для рядов: Var = 1 / n Σ ni = 1 * ( x i – xi )2



(x1 – x1)

-4,967

-1,467

2,533

1,933

-1,967

4,133

2,933

1,233

-4,367

Σ = 87,120

Σ/n = 9,680

(x1– x1)2

24,668

2,151

6,418

3,738

3,868

17,084

8,604

1,521

19,068



(x2 – x2)

0,686

0,786

-0,014

-0,214

-0,314

-0,314

-0,314

-0,214

-0,084

Σ = 1,483

Σ/n = 0,165

(x2– x2)2

0,470

0,617

0,000196

0,046

0,099

0,099

0,099

0,046

0,007



(y – y)

-2,144

-1,144

-0,344

0,956

0,156

0,456

0,656

1,256

0,156

Σ = 9,202

Σ/n = 1,022

(y– y)2

4,599

1,310

0,119

0,913

0,024

0,208

0,430

1,576

0,024





Вычислим Cov: Cov (x,y) = 1 / n Σ ni = 1 * (xi – x)*(yi – y)



(x1-x1)(y-y)

10,651

1,679

-0,873

1,847

1,923

1,549

-0,679

Σ = 17,673

Σ/n = 1,964

(x2 –x2)(y-y)

-1,470

-0,899

0,005

-0,205

-0,206

-0,269

-0,013

Σ = -3,250

Σ/n = -0,361

(x1-x1)(x2 –x2)

-3,405

-1,152

-0,037

-0,415

-0,922

-0,264

0,369

Σ = -6,508

Σ/n = -0,723

							

	Ответ: Var1 = 9,680		Cov1 = 1,964

	Var2 = 0,165 		Cov2 = -0,361

	Var3 = 1,022		Cov3 = -0,723

	

Задача 2.

Определить коэффициенты при объясняющих переменных, для линейной регрессии, отражающих зависимость потребления картофеля от его производства и импорта, используя данные из задачи 1.

Найти: b1,2 = ?

Решение:

Определим Var рядов объясняющих переменных:

Var(х1) = 9,680

Var(х2) = 0,165 	

Определим Cov:

Cov(x1;у) = 1,964

	Cov(х2;у) = -0,361

	Cov(х1;х2) = -0,723

	Вычислим b1 и b2 по формулам:

	b1 = Cov(x1;у)* Var(х2) - Cov(х2;у)* Cov(х1;х2)/ Var(х1)* Var(х2) – (Cov(х1;х2))2

	b2 = Cov(х2;у)* Var(х1) - Cov(x1;у)* Cov(х1;х2)/ Var(х1)* Var(х2) - (Cov(х1;х2))2

b1 = (1,964*0,165) – (-0,361*-0,723)/ (9,680*0,165) - (-0,723)2

b1 = 0,059

b2 = (-0,361*9,680) – (1,964*-0,723)/ (9,680*0,165) - (-0,723)2

b2 = - 1,931

Ответ: 0,059 ; - 1,931



Задача 3.

Рассчитать коэффициент А для регрессии, отражающий зависимость потребления картофеля от его производства и импорта (исп. Данные из задачи 1 и 2)

Найти: а = ?

Решение:

определим средние значения:

х1 = 35,767 х2 = 0,414 у = 17,844

Определим коэффициенты b1 и b2:

b1 = 0,059 b2 = -1,931

Вычислим значение коэффициента а: а = у – b1x1 – b2x2

a = 17,844 - 0,059*35,767 – (-1,931*0,414)

a = 16,533

Ответ: 16,533



Задача 4.

Рассчитать значение личного потребления картофеля, используя полученные в задаче 2 и 3 коэффициенты регрессии.

Решение:

Определим коэффициенты b1 и b2:

b1 = 0,059 b2 = -1,931

Определим коэффициент а:

а = 16,533

Определим вектор регрессионного значения по формуле:

[Х*]= а + b1[x1]+ b2[x2]





1

2

3

4

5

6

7

8

9

[Х*]

16,226

16,240

18,020

18,371

18,334

18,694

18,623

18,33

17,748


Задача 5.

Рассчитать общую, объясненную и не объясненную сумму квадратов отклонений для рассчитанной ранее регрессии по потреблению картофеля.

Найти: RSS, TSS, ESS - ?

Решение:

Определим средненаблюдаемое у и средне расчетное у* независимых переменных:



Потребление у

15,7

16,7

17,5

18,8

18

19,1

18

Σ = 160,6

Σ/n = 17,84

у*

16,226

16,240

18,020

18,371

18,334

18,330

17,748

Σ= 160,6

Σ/n = 17,84



у = y*

Определим общую сумму квадратов отклонений по формуле:

TSS = Σi = 1n ( yi - y)2

TSS = 9,202



( yi - y)2

4,60

1,31

0,12

0,91

0,21

0,43

1,58

0,02

Σ= 9,202



Определим объясненную сумму квадратов отклонений по формуле:



ESS = Σi = 1n ( yi – y*)2

ESS = 7,316



( yi – y*)2

2,614

2,571

0,031

0,279

0,241

0,724

0,609

0,237

0,009

Σ= 7,316



Определим не объясненную сумму квадратов отклонений по формуле:

RSS = Σi = 1n ( yi – y*)2

RSS = 1,882

( yi – y*)2

0,277

0,212

0,271

0,184

0,112

0,155

0,015

0,593

0,063

Σ= 1,882



Ответ: 9,202 ;7,316; 1,882



Задача 6.

Вычислить коэффициент детерминации, используя данные из задачи 5

Найти: R-?

Решение: 

Вычислим TSS и ESS:

TSS = 9,202

ESS = 7,316

Найдем R2 по формуле: 

R2 = ESS/TSS

R2 = 7,316/9,202

R2 = 0,795

Ответ: 0,795



Задача 7.

Для оценки возможной мультиколлиниарности, рассчитать коэффиц. корреляции между рядами данных (задача 1).

Решение: 

Найдем Var:

Var(х1) = 9,680

Var(х2) = 0,165 	

Найдем Cov:

	Cov(х1;х2) = -0,723

Рассчитаем коэффициент корреляции:

r(x1;х2) = Cov(х1;х2)/√ Var(х1)- Var(х2)

r(x1;х2) = -0,723/3,085

r(x1;х2) = - 0,234

Ответ: - 0,234



Задача 8.

Определить несмещенную оценку дисперсии случайного члена регрессии для потребления картофеля.

Найти: Su2(u) - ?

Решение: 

Найдем RSS:

RSS = 1,882

Найдем число степеней выборки

k = n-m-1

k = 9-2-1

k = 6

Найдем несмещенную оценку случайного члена:

Su2(u) = RSS/ n-m-1

Su2(u) = 1,882/9-2-1

Su2(u) = 0,3136

Ответ: 0,3136



Задача 9.

Рассчитать стандартные ошибки оценок коэффициента при объясняющ. переменных для модели множеств. регрессии по потреблению картофеля. 

Найти: С.О.(b1), C.O.(b2) - ?

Решение: 

Найдем дисперсию случайного члена:

Su2(u) = 0,3136

Найдем Var:

Var(х1) = 9,680

Var(х2) = 0,165

Найдем коэффиц. корреляции:

r(x1;х2) = - 0,234

Вычислим стандартные ошибки С.О.(b1), C.O.(b2):

С.О.(b1) = (√(Su2(u)/n * Var(х1)) * (1/1- r2 (x1;х2))

С.О.(b1) = (√(0,3136/9*9,680))* (1/1-(- 0,234))

C.O.(b2) = (√(Su2(u)/n * Var(х2)) * (1/1- r2 (x1;х2))

C.O.(b2) = (√(0,3136/9*0,165))* (1/1-(- 0,234))

С.О.(b1) = 0,0486

C.O.(b2) = 0,3724

Ответ: 0,0486; 0,3724.



Задача 10.

Рассчитать статистику Дарбина-Уотсона.

Найти: DW - ?

Решение:

Определим остатки в наблюдениях:

ek = yk – y*k; k = (1:n)



y(k)

15,7

16,7

17,5

18,8

18

18,3

18,5

19,1

y(k)*

16,226

16,240

18,020

18,371

18,334

18,694

18,623

18,330

e(k)

-0,526

0,461

-0,520

0,429

-0,334

-0,394

-0,123

0,770

ek-e(k-1)

-0,987

0,981

-0,949

0,763

0,060

-0,271

-0,893

0,519

ek-e(k-1)^2

0,973

0,962

0,901

0,582

0,004

0,073

0,798

0,269

e(k)^2

0,277

0,212

0,271

0,184

0,112

0,155

0,015

0,593



(e k-e k – 1) 2= 4,562

e k2 = 1,882

Вычислим статистику Дарбина-Уотсона:

DW = Σ (e k-e k – 1)2/ Σ e k2

DW = 2,424

DW > 2

Ответ: т.к. DW > 2, то автокорреляция отрицательная.


Задание 3.2



Задача 1.

Рассчитать выборочное среднее для ряда данных по личным потребительским расходам на косметику (млрд. руб.):

	6.3 6.6 6.8 7.0 7.1 7.4 7.9 7.8 7.4

Найти: а

Решение:

Запишем формулу: a=1/N*Σ Nt=1*x (t)

Вычислим: 

а = 1*(5.9 + 6.3 + 6.6 + 6.8 + 7.0 + 7.1 + 7.4 + 7.9 + 7.8 + 7.4)/10 

а = 7,02 (млрд. руб.)

Ответ: 7,02 (млрд. руб.)



Задача 2.

Рассчитать выборочную дисперсию по данным задачи 1.

Найти: σ = ?

Решение:

а = 7,02

Запишем формулу для вычисления дисперсии: σ2 = 1/N*ΣNt=1 x(t)-a

Вычислим:



х(t)

5,9

6,3

6,6

6,8

7

7,1

7,4

7,9

7,8

х(t)-a

-1,120

-0,720

-0,420

-0,220

-0,020

0,080

0,380

0,880

0,780

(х(t)-a)2

1,254

0,518

0,176

0,048

0,0004

0,006

0,144

0,774

0,608

σ = 3,676

Ответ: 3,676



Задача 3.

Найти оценку ковариации для τ = 0,1,2 (используя данные из задачи 1)

х(t)-a

-1,120

-0,720

-0,420

-0,220

-0,020

0,080

0,380

0,880

(х(t)-a)^2

1,254

0,518

0,176

0,048

0,000

0,006

0,144

0,774

(х(t)-a)* (х(t+1)-a)

0,8064

0,3024

0,0924

0,0044

-0,0016

0,0304

0,3344

0,6864

(х(t)-a)* (х(t+2)-a)

0,4704

0,1584

0,0084

-0,0176

-0,0076

0,0704

0,2964

0,3344



∑ τ (0) = 3,676

∑ τ (1) = 2,552

∑ τ (2) = 1,313

ρ(τ) = 1/(N- τ)∑t=1N- τ (x(t)-в)* (x(t+1)-в)

ρ (0) = 0,367

ρ (1) = 0,283

ρ (2) = 0,164

Ответ: 0,367; 0,283; 0,164.



Задача 4.

Рассчитать выборочную автокорреляцию для τ = 1,2, используя данные из задачи 1

Найти: r= ? для τ = 1,2

Решение:

Найдем τ = 0,1,2

ρ(0) = 0,367

ρ(1) = 0,283

ρ(2) = 0,164

Рассчитаем выборочную автокорреляцию для τ = 1,2, по формуле:

r(τ) = ρ (τ)/ τ(0)

r(1) = 0,283/0,367

r(1) = 0,771

r(2) = 0,164/0,367

r(2) = 0,446

Ответ: 0,771; 0,446



Задача 5.

Рассчитать выборочную частную автокорреляцию 1-го порядка, используя данные из задачи 1.

Найти: rчастная (2) = ?

Решение:

Найдем выборочную автокорреляцию

r(1) = 0,771

r(2) = 0,446

Рассчитаем выборочную частную автокорреляцию 1-го порядка:

rчастная (2) = r(2) – r2 (1)/ 1 - r2 (1)

rчастная (2) = 0,446 – (0,771)2 / 1 - (0,771)2

rчастная (2) = - 0,365

Ответ: - 0,365



Задача 6.

С помощью критерия основанного на медиане, проверить гипотезу о неизменности среднего значения временного ряда:



1

6200

-

2

6300

-

3

6400

-

4

6600

+

5

6400

-

6

6500

не рассматриваем

7

6600

+

8

6700

+

9

6500

не рассматриваем

10

6700

+

11

6600

+

12

6600

+

13

6300

-

14

6400

-

15

6000

-



Решение:

Определим число наблюдений: n=15

Отранжеруем временные ряды в порядке возрастания:

6000 6200 6300 6300 6400 6400 6400 6500 6500 6600 6600 6600 6600 6700 6700

Вычислим медиану:

n = 15; 

хмед = n+1/2 = 15+1/2

xмед = 8

xмед = 6500

Создаем ряд из + и -, в соответствие с правилом:

если х(i) < хмед , то +; если х(i) > хмед , то -.

Определим общее число серий:

v(15) = 6

Протяженность самой длинной серии:

τ(20) = 3

Проверим неравенства:

v(n) > (1/2*(n+2)-1,96*√n-1)

v(n) = (1/2*(15+2) – 1,96*√15-1)

v(n) = 1,166

6 > 1 – выполняется 

τ(n) < (1,43*ln(n+1))

τ(n) < (1,43*ln(15+1))

τ(n) = 3,96 

3 < 3,96 – выполняется

Так как выполняются оба неравенства, гипотеза о неизменности среднего значения временного ряда принимается.

Ответ: гипотеза принимается.