Урок алгебры ПО ТЕМЕ «ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ»

МОУ   ЮЛОВСКАЯ  ОСНОВНАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА

 ИНЗЕНСКОГО РАЙОНА УЛЬЯНОВСКОЙ ОБЛАСТИ



УРОК- ЛЕКЦИЯ 
 ПО АЛГЕБРЕ

( 9 КЛАСС)

 

     ПО ТЕМЕ:

« ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ 

ПРОГРЕССИЯ».





                                                           ВЫПОЛНИЛА

                                                                УЧИТЕЛЬНИЦА 
                                                               МАТЕМАТИКИ

                                                               Н.И. ЗУБКОВА.





УРОК – ЛЕКЦИЯ 

ПО    АЛГЕБРЕ  ( 9 класс )

 ПО ТЕМЕ: «ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ    ПРОГРЕССИЯ»

( 2 УРОКА)

ЦЕЛЬ   УРОКА: 

      1.Расширить знания учащихся о последовательностях, о прогрессиях. 

Ввести понятие геометрической прогрессии, рассмотреть свойства ее              членов. С доказательством ввести формулу _п-го члена прогрессии, формулы суммы п первых членов прогрессии. Ввести понятие бесконечной убывающей геометрической прогрессии и  формулу суммы ее  членов.

     2. Способствовать формированию у учащихся логического мышления; вычислительных навыков; внимания и аккуратности при применении определения и формул п-го члена и суммы п первых членов геометрической прогрессии; самостоятельности. Вызвать интерес у учащихся к математике.

      3. Способствовать формированию у учащихся умений выделять из представленных последовательностей геометрическую прогрессию, уметь выполнять вывод и применять при решении задач формулы п-го члена и формул суммы п членов геометрической прогрессии.



ПЛАН УРОКА:

Организационный момент.

Постановка цели урока перед учащимися.

Изучение нового материала и его закрепление.  

3.1.Определение геометрической прогрессии

3.2.Вывод формулы п-го члена геометрической прогрессии. 

3.3.Вывод формулы суммы   n-   первых членов геометрической прогрессии.

3.4. Определение бесконечной геометрической прогрессии.

3.5. Вывод формулы суммы бесконечной геометрической прогрессии 

при | g|<1.

3.6. Сообщение ученика.

4. Подведение итогов урока.

        5. Домашнее задание.

        6. Литература.



ХОД  УРОКА.

1.Организационный момент.

2.Постановка цели урока перед учащимися.

Научиться выделять среди всех последовательностей

геометрическую прогрессию и  ее свойства, решать задачи по теме.



3.Изучение нового материала и его закрепление.  

3.1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ.

ЗАДАЧА.

В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что   на       протяжении первой минуты одна из них делится на две. Запишите колонию, рожденную одной бактерией за семь минут.(см. рисунок).

.

.               .

.                 .              .           .

.        .         .        .      .      .      .      .        

1). Выпишите последовательность в соответствии с условием задачи.

1;2;4;8;16;32;64.

или   (bп) - последовательность,

 b1 =1;     b2=2;        b3=4;     b4=8;     b5=16;    b6 =32;       b7 =64; 

2) Найдите частное от деления последующего члена на предыдущий член.

b3 : b2  =4 : 2=2 ;

b4  :  b3 =8 : 4=2;

b5  :  b4 = 16 : 8=2;    и т.д. 



bп+1:  b п   =    

g -знаменатель прогрессии.

 = b2:b1= b3:b2=b4:b3=…= bп+1:  b п   

3).Задайте эту последовательность с помощью рекуррентной формулы.

b2 = 2b1

b3= 2 b2 

 b4= 2b3…..

bп+1 =  b п   

УЧИТЕЛЬ: Такую последовательность в математике называют геометрической прогрессией.

   4) Формулировка определения геометрической прогрессии.

               Учащиеся пытаются дать определение геометрической прогрессии, а учитель помогает им.

 

5) Работа с учебником.

                Учащиеся находят правило в учебнике, один из учащихся 

                 читает определение вслух, учитель обращает внимание      

                 учащихся на то, что в определение сказано «члены отличные  

                 от  нуля». Как вы думаете почему?  



6).Найдите среднее геометрическое чисел  2 и 8; 4и 16; 8и 32;16и 64.

 =4

 =8

 = 16

 =32

= bn

Из равенства  = b2:b1= b3:b2=b4:b3=…= bп:  b п-1   =  bп+1:  b п   

 получим bп:  b п-1   =  bп+1:  b п   или  b 2п = b п-1  *  bп+1 , то





= bn







ВЫВОД:  Каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, есть среднее геометрическое между предыдущим и последующим членами прогрессии. Отсюда и произошло название  прогрессии.

   7) Найдите произведение 1 и 7 членов, 2 и 6 членов, 3 и 5 членов геометрической прогрессии и сравните результаты.

b1*b 7  = 1 * 64=64

b2*b 6  = 2 * 32=64

b3*b5  = 4 *16=64

Вывод:   b1⋅bп = b2⋅bп-1 = b3⋅bn – 3 = … , т.е. произведение членов, равноудаленных от концов прогрессии, есть величина постоянная. 

ЗАДАЧА.1. Дано: (  bn )-геометрическая прогрессия, b1  =3,       =2.

                      Найти: первые пять членов прогрессии.

                      Решение:  

b2 = b1* g = 3*2=6

b3 = b2* g =6*2=12

b4 = b3* g =12*2=24

b5 = b4* g =24*2=48

Ответ: 3; 6;12;24;48. 

3.2.ВЫВОД ФОРМУЛЫ П-ГО ЧЛЕНА ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ. 

( bn)-геометрическая прогрессия , b1 , g.

b2 = b1* g 

b3 = b2* g = b1* g* g = b1* g2

b4 = b3* g = b1* g2  * g = b1* g3

b5 = b4* g = b1* g3 * g = b1* g4

…………………………………………….

b n =  b1* gn-1



b n =  b1* gn-1



- формула п-го члена геометрической прогрессии.  



ЗАДАЧА.2.     Дано: ( bn)-геометрическая прогрессия,  b1 =8 ,   =.

                         Найти: , b6

                         Решение: 

b n =  b1* gn-1

b 6 =  b1* g6-1

b 6 =  8*( 5 = 8*  =  .

Ответ: b 6 =  .

3.3.ВЫВОД ФОРМУЛЫ СУММЫ     n-   ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ.

ЗАДАЧА-ПРОБЛЕМА 1.

      Однажды незнакомец постучал в окно к богатому купцу и предложил такую сделку: « Я буду  ежедневно в течение 30 дней приносить тебе по 100 000 рублей. А ты мне в первый день за 100 000 рублей дашь 1копейку,  во второй день за 100 000 рублей – 2копейки   и так каждый день будешь увеличивать предыдущее число денег в два раза. Если выгодна сделка тебе, то с завтрашнего дня и начнем». Купец обрадовался такой сделке. Он подсчитал, что за 30дней получит от незнакомца 3 000 000 рублей. На следующий день они пошли к нотариусу и узаконили сделку.  Кто в этой сделке проиграл? 

Учитель: В этой задаче дана последовательность  1,2,4,8,16,32,64,128,256, ...,которая является геометрической прогрессией. Надо найти сумму тридцати первых членов этой геометрической прогрессии. 

ЗАДАЧА-ПРОБЛЕМА.2.

     По преданию, индийский принц Сирам, восхищенный остроумием игры и разнообразием возможных положений шахматных фигур, позвал  к себе ее изобретателя ученого Сету и сказал ему: « Я желаю достойно вознаградить тебя за эту прекрасную  игру. Я достаточно богат, чтобы исполнить любое твое желание». Сета попросил принца положить на первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, на вторую- 2зерна, на третью-4зерна и т. д. Сможет ли принц расплатиться с ученым?  

 

Учитель: В этой задаче дана последовательность 1,2,4,8,16,…, которая является геометрической прогрессией. Надо найти сумму 64-х первых членов этой геометрической прогрессии.



( bn) -геометрическая прогрессия , b1 , g.

Sn  -  сумма п первых членов геометрической прогрессии 

Sn = b1 + b2  + b3 + b4  +  b5+… + bn-1  + bn

 Sn * g = b1*g + b2*g  + b3 *g+ b4 *g +  b5 *g+… + bn-1  *g+ bn*g

Sn *g=  b2  + b3 + b4  +  b5+… + bn   + bn *g

Sn *g - Sn  = bn *g -  b1

 Sn  (g-1) = bn *g -  b1

Sn  =  

 

Sn  =  



 формула суммы п первых членов геометрической прогрессии.



    b n =  b1* gn-1

Sn  =  

Sn =  

 Sn  = 

 

Sn  = 



 формула суммы п первых членов геометрической прогрессии.



Учитель: Вернемся к предложенным задачам –проблемам .

К задаче 1.

S30  =  =  =1073741824 -1 = 1 073 741 823 ( коп) 

К задаче 2.

S64 =  =  = 18 446 744 073 709 551 615  18,5 *1018

Если бы принцу удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности земли, считая и моря и океаны и горы и пустыни и Арктику и Антарктику и получить удовлетворительный урожай, то за пять лет он бы смог рассчитаться с изобретателем шахмат.  



Задача 3 .     Дано: ( bn)-геометрическая прогрессия,  b1 =8 ,  =.

                         Найти: S5. 

                         Решение: 

Sn  = 

S5  = 

S5  = =8* ( - ) * ( -) =15,5

Ответ: 15,5.



Задача 4 . Дано:  3; - 6; …. - геометрическая прогрессия.

                         Найти: S6 

                         Решение: 



Sn  = 

g = b2:b1= -6:3=-2.

S6  = 

S6  = =

Ответ: - 63.

3.4.БЕСКОНЕЧНАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ.

ЗАДАЧА-ПРОБЛЕМА.

Ученик идет от стола учителя к двери. Первый шаг он делает длиной 1 метр, другой - полметра, третий- четверть метра и т.д. Дойдет ли ученик до двери, если до нее 3 метра? 

Учитель. Получили последовательность 1,1/2,1/4, 1/8,….Данная последовательность является бесконечной геометрической прогрессией со знаменателем     g =  <1.  

Определение: Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это прогрессия, у которой |q| < 1. Для неё определяется понятие суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии как число, к которому неограниченно приближается сумма  первых членов рассматриваемой прогрессии при неограниченном возрастании числа .

Найдем сумму всех членов геометрической прогрессии, т.е.

Sn = 1+ + +  +…..+ 

Sn  = 

		 Sn  = = -2 * ( ()n -1 ) = 2 -    	2, т.к. при п 	∞  вычитаемое стремится к нулю.

Ответ: ученик не сможет дойти до стола учителя.

3.5. ВЫВОД ФОРМУЛЫ СУММЫ БЕСКОНЕЧНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ ПРИ | g|<1.

Sn  = 

Sn  =  = 

Если  | |<1 , то при неограниченном увеличении  множитель стремится к нулю, а значит разность , т.е. стремится к единице.  Поэтому при неограниченном увеличении сумма Sn  стремится к числу.

Число  называют суммой бесконечной геометрической прогрессии при

 |  |<1.

Тогда  Sn  =  .

Заметим, что  если |  |>1,  то сумма первых членов геометрической прогрессии при неограниченном увеличении не стремится ни к какому числу.  Бесконечная  геометрическая прогрессия имеет сумму только при |  |<1.

Задача 5. Дано:  7,(12).

                         Найти:  представить в виде обыкновенной дроби.

                         Решение: 

	7,(12)= 7+0,12+0,0012+0,000012+0,00000012+…

	0,12; 0,0012; 0,000012… - геометрическая прогрессия

g = b2:b1= 0,0012:0,12=0,01

|g| = 0,01<1.

	Sn = 

	Sn =  = = 

	7.(12)= 7+ = .

	Ответ: 7,(12) =  = 

	

СООБЩЕНИЕ УЧЕНИКА.



Среди геометрических прогрессий особый интерес представляют так называемые бесконечно убывающие геометрические прогрессии.

 Рассмотрим квадраты, изображенные на рисунке. Сторона первого квадрата равна 1, сторона второго равна 1/2, сторона третьего 1/4 и т. д.








Таким образом, стороны квадратов образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2:
1, 1/2, 1/4, ...
Площади этих квадратов образуют геометрическую со знаминателем1/2:
1, 1/4, 1/16, ...
Из рисунка видно, что стороны квадратов и их площади с возрастанием n становится все меньше, приближаясь к нулю. Поэтому каждая из прогрессий называется бесконечно убывающей ,если модуль ее знаменателя меньше единицы.

	

	

	

4. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА.

  Учитель  повторяет весь теоретический материал    урока и обращает внимание учащихся на основные понятия и формулы  геометрической прогрессии. 

 

  5. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:

      Изучить материал учебника ( п.27,п.28) и конспекта лекции;

      рассмотреть вывод  формулы суммы  п-первых членов геометрической                    прогрессии; выучить определение, свойства и формулы.



          6. ЛИТЕРАТУРА:



  

Алгебра . 9 класс:  учеб. для общеобразоват. учреждений/ Макарычев и др.-М.: Просвещение,2010.

Алгебра . 9 класс:  учеб. для общеобразоват. учреждений/ Макарычев и др.-М.: Просвещение,1999.

Учебно – методическая газета « Математика» 

          ( приложение к газете     « Первое сентября»).

Журнал « Математика в школе » 

Савин А.П.. Станцо В.В. и др. Я познаю мир: Детская энциклопедия: математика. – М.: АСТ, 1996.

 Коваленко В.Г.Дидактические игры на уроках математики: Кн. для  учителя.- М.: Просвещение, 1990.

Интернет. Википедия.