Экономико математические методы в производстве

ЦЕНТРОСОЮЗ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

СИБИРСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОЙ КООПЕРАЦИИ

Кафедра статистики и экономического прогнозирования



























Контрольная работа



"Экономико-математические методы"



















Новосибирск 2009


Задание 1



Производственная функция для райпо имеет вид , где f – товарооборот, млн. руб.; x1 – производственная площадь, тыс. кв. м; x2 – численность работников, сотни чел. Рассмотрите изокванту уровня  и найдите на ней точку С1 с координатами , где , и точку С2 с координатами , где . Сделайте вывод о возможности замены ресурсов () и (). Полученные результаты изобразите графически.

	

	Решение

	

	Для производства некоторого изделия в количестве Y единиц используются различные ресурсы, которые можно обозначить x1, x2, …..xn. Очевидно, что и Y и x1, x2, …..xn измеряются в определенных единицах измерения и имеют количественное выражение. Использую математические методы можно выразить значение одной величины через другую, в том числе Y через , где  = (x1, x2, …..xn). Функциональную зависимость Y = f () называют производственной функцией.

	Обозначим какое-то изделие через Y0. Если установлено, что для его изготовления можно в n – мерном пространстве найти такие , что Y0 = f (). Найденные  составят некоторое множество Q y0. Сказанное можно записать следующим образом Q y0 = : .

	Множество Q y0 и называют изоквантой функции f ().

	Пусть имеются   Q y0 и   Q y0. Из понятия изокванты следует, что  и  обеспечивают производство одного и того же количества продукта Y0, т.е. являются в этом смысле взаимозаменяемыми. Для организаторов производства знание изокванты позволяет недостаток одних ресурсов компенсировать другими.

	Для производственной функции товарооборота (в млн. рублей), которая имеет вид: f (x1, x2) = 10 * * .

(x1 – производственная площадь, тыс. кв. м; 

x2 – численность работников, сотни чел.) и ее изокванты 

Y0 =  =  =  = 25,18 найдем координаты для точек C1 (а1, в1) и С2(а2, в2).

Для точки C1 (а1, в1) известно, а1 =  =  =  = 4,34.

Использую определение изокванты, получаем:

10 *  *  = , или 100 * а1* в1 = 634, или а1* в1 = 6,34

Отсюда, в1 =  = 1,46, т.е. точка C1 имеет координаты (4,34; 1,46).

Для точки C2 (а2, в2) известно, в2 =  =  =  = 2,34.

Использую определение изокванты, получаем:

10 *  *  = , или 100 * а2* в2 = 634, или а2* в2 = 6,34

Отсюда, а2 =  = 2,71, т.е. точка C2 имеет координаты (2,71; 2,34).

Уравнение нашей изокванты имеет вид 10 * *  

(при Y0 =  = 25,18) или x1 * x2 = 6,34. Уравнение такого вида представляет собой гиперболу, которую и изобразим схематически на графике ниже.

Итак, 146 работников райпо, используя 4,34 тыс. кв. метров производственной площади, обеспечат товарооборот  = 25,18 (млн. руб.), и такой же товарооборот могут обеспечить 234 работника райпо, используя площадь 2,71 тыс. кв. метров.

Используя график этой функции, можно находить взаимозаменяемые пары (x1, x2).






X2 (сотни чел.)			C2 (2,71; 2,34)



2.5

2.0

1.5								С1 (4,34; 1,46)

1.0



0.5



1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 X1 (тыс. кв. м)





Задание 2



Произведите классификацию товаров по следующей таблице эластичностей:



Товар

Первый

Второй

Третий

Первый







Второй







Третий







	

	Решение

	

	Преобразуем таблицу под наш вариант  = 534

товар

первый

второй

третий

первый

 =  = – 0,76

 = = 0,165

 = = 0,365

второй

 = = 0,1375

 =  = – 1,06

 = = – 1,135

третий

 = = 0,304

 = = – 0,15

 =  = – 1,46



1. Введем определение эластичности товара.

Обозначим  – спрос на товары, выраженный в некоторых единицах, и  – цены на эти товары, т.е. pi – цена на i – й товар; yi – спрос на i – й товар.

Пусть рассматривается некоторый потребитель, например типичный представитель определенной социальной группы, и если для него удается  выразить через , т.е. , то  называется функцией спроса.

Ввиду того, что , ,  – n – мерные векторы, равенство  можно представить в координатной записи следующим образом: .

Разумеется, в реальной ситуации спрос зависит не только от цен, но от многих других факторов. Поэтому введенное понятие имеет весьма ограниченное использование и применимо, в частности, для некоторой классификации товаров с позиции определенного потребителя.

Определим эластичность εij формулой 



.



Величина εij является математической идеализацией процентного изменения спроса на i – й товар при увеличении на 1% цены на j-й товар.

Например, если ε23=0,25, то это понимается так, что если цену на 3-й товар увеличить на 1%, то спрос на 2-й товар увеличится на 0,25%.

Эластичность εij при i = j называется прямой, и она показывает, на сколько процентов изменится спрос на i-й товар при увеличении на 1% цены на этот же товар. Будем считать, что εii ‹ 0, т.е. увеличение цены на i-й товар приводит к снижению спроса на него.

Эластичность εij при называется перекрестной, и она показывает влияние изменения цены одного товара на спрос другого.

Классификация товаров на основе прямой и перекрестной эластичности сводится к следующему:

– если |εii | ‹ 1, то i-й товар называется малоэластичным;

– если |εii |1, то i – й товар называется среднеэластичным;

– если |εii | › 1, то i – й товар называется высокоэластичным;

– если увеличение цены на j-й товар приводит к уменьшению спроса на i-й и наоборот, то эти товары называются взаимодополняемыми.

Математически это соответствует выполнению неравенств: εii ‹ 0, εji ‹ 0;

– если увеличение цены на j-й товар приводит к увеличению спроса на i-й товар и наоборот, то эти товары называются взаимозаменяемыми.

Математически это соответствует неравенствам εij › 0, εji › 0.

Таблица эластичностей принимает вид:



товар

первый

второй

третий

первый

 = – 0,76

 = 0,165

 = 0,365

второй

 = 0,1375

 = – 1,06

 = – 1,135

третий

 = 0,304

 = – 0,15

 = – 1,46



Так как |ε11| = 0,76  1, то первый товар малоэластичный;

так как |ε22| = 1,06  1, то второй товар среднеэластичный;

так как |ε33| =1,46  1, то третий товар высокоэластичный.

Поскольку ε12 = 0,165  0 и ε21 = 0,1375 0, то первый и второй товары взаимозаменяемые.

Поскольку ε13 = 0, 365  0 и ε31 = 0,304  0, то первый и третий товары взаимозаменяемые.

Поскольку ε23 = – 1,135  0 и ε32 = – 0, 15  0, то второй и третий товары взаимодополняемые.



Задание 3



Дайте определение коэффициентов прямых затрат. Где они могут быть использованы?



Решение



1. Пусть народное хозяйство представлено n отраслями сферы материального производства. Каждая из отраслей производит один агрегированный продукт. Валовой выпуск этих продуктов отраслями обозначим x1, x2,…, xn. Вся продукция xi отрасли i, i=1, 2,…, n, делится на промежуточную Zi и конечную yi. Промежуточную продукцию потребляют в процессе производства сами отрасли. Конечная продукция выходит из сферы материального производства и предназначается для непроизводственного потребления.

На основе отчетных данных о деятельности отраслей за определенный период можно составить межотраслевой баланс. Обозначим xij – объем продукта i-й отрасли, используемый за отчетный период j-й отраслью. Если представить, как распределяется валовая продукция каждой отрасли по другим отраслям и в сфере потребления, то получится система балансовых уравнений.


 	(1)



Преобразуем систему уравнений:

		(2)



Отношение  называется коэффициентом прямых затрат и содержательно означает объем продукции i-й отрасли, который требуется передать j-й отрасли, чтобы последняя произвела единицу своей валовой продукции.

Учитывая это, система уравнений примет вид:



	 	(3)



Модель межотраслевого баланса может использоваться в планировании деятельности отраслей материального производства. Если технологии производства продуктов не меняются, то коэффициенты прямых затрат остаются неизменными.

Задание 4



В магазине самообслуживания работают две кассы с интенсивностью μ= (δ+300)/100 (треб./мин.) каждая. Входящий поток требований имеет интенсивность λ=(δ+400)/100 (треб./мин.). Рассчитайте долю времени простоя касс и среднюю длину очереди. Если интенсивность входящего потока станет равной λ=(700-δ)/10 (треб./мин.), то будет ли выполнено условие стационарности? Если будет, то во сколько раз увеличится средняя длина очереди?



Решение



К системам массового обслуживания (СМО) относятся магазины, рестораны, автозаправочные станции, аэродромы, автоматизированные телефонные станции и многие другие объекты. Общую схему СМО можно представить в следующем виде:





Очередь

Канал 
обслуживания

Канал 
обслуживания

Канал 
обслуживания





Поток

	Входящий поток 	обслуженных

	требований 	требований







Для входящего потока требований предположим, что интервалы между поступлениями соседних требований есть случайная величина X с показательным законом распределения, т.е. ее интегральная функция F(t) имеет вид:


.



Число λ (треб./ед. времени) называется интенсивностью входящего потока, и она показывает, сколько в среднем требований поступает в единицу времени.

Будем считать, что очередь не ограничена и требования обслуживаются в порядке поступления. Для обслуживания примем предположения, что все n каналов одинаковы и для каждого из них время обслуживания одного требования есть случайная величина Y, распределенная по показательному закону, т.е. ее интегральная функция имеет вид:



.



Число μ (треб./ед. времени) называется интенсивностью обслуживания, и она показывает, сколько в среднем требований обслуживается одним каналом в единицу времени.

Обозначим  (α – параметр загрузки СМО) и предположим, что выполняется условие стационарности α < n или λ < μ * n.

Это условие означает, что интенсивность входящего потока меньше, чем суммарная интенсивность обслуживания.

При сформулированных предположениях можно рассчитать некоторые экономические показатели работы СМО, такие, например, как Рк – доля времени работы К – каналов, К=0,1,…, n; L – средняя длина очереди и другие.

Формулы для вычисления p0,…, pn, L в общем случае довольно громоздки, поэтому приведем их для случая n = 2:



.


Рассчитаем долю времени простоя касс и среднюю длину очереди для магазина самообслуживания, в котором работают две кассы с интенсивностью μ = (534+300)/100 (треб./мин.) каждая и входящий поток требований имеет интенсивность λ = (534+400)/100 (треб./мин.). Если интенсивность входящего потока станет равной λ=(700–534)/10 (треб./мин.), то будет ли выполнено условие стационарности? Если будет, то во сколько раз увеличится средняя длина очереди?

Вычислим λ (треб./ед. времени) интенсивностью входящего потока λ =  = 9,34 и μ (треб./ед. времени) интенсивностью обслуживания μ =  = 8,34. Отсюда, вычислим параметр загрузки СМО  =  =  = 1, 12 и предположим, что выполняется условие стационарности  < n или λ < μ * n (1,12 < 2; 9,34 < 8,34 * 2 = 16,68 – выполняются оба условия стационарности).	

Вычислим Рк – доля времени работы К – каналов, К=0,1 и L – средняя длина очереди:



Р0 =  =  = 0,282 (Р0 = 28,2%)



L1 =  =  =  = 0,511 (треб.)



Если интенсивность станет λ =  = 16,6 (треб./мин.), то, в силу выполнения условия стационарности (λ < μ * n, 16,6 < 8,34 * 2 = 16,68), вычислим среднюю длину очереди:



 =  =  = 1,99




L2 =  =  =  = 197,51 (треб.)



 =  = 386,5.

Таким образом, при интенсивности обслуживания μ=8,34 (треб./мин.) и интенсивности входа λ=9,34 (треб./мин.) доля времени простоя касс составляет 28,2% времени, а средняя длина очереди равна 0,511 (треб.).

Если же интенсивность входа станет равной 16,6 (треб./мин.), то средняя длина очереди увеличится в 386,5 раза.






Литература



		Айвазян С.А. и др. Прикладная статистика. Исследование зависимостей. – М.: Финансы и статистика, 1985

		Гранберг А.Г. Математические модели социалистической экономики. – М.: Экономика, 1976

		Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические методы в экономике – М.: Наука, 1979

		Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь. – М.: Наука, 1987

		Спирин А.А., Фомин Г.П. Экономико-математические методы и модели в торговле. – М: Экономика, 1988

		Щедрин И.И., Кархов А.Н. Экономико-математические методы в торговле. – М.: Экономика, 1980

		Шаланов Н.В. Экономико-математические методы в торговле: Учебное пособие. – Новосибирск: СибУПК, 1998