Параметричний резонанс

РЕФЕРАТ

на тему:

Параметричний резонанс












Розглянемо рух математичного маятника, точка підвісу якого z0 коливається вертикально з частотою со і амплітудою а:z0= = a cos t. Внаслідок коливань точки підвісу система координат, початок якої збігається з точкою підвісу, неінерціальна. Тому, слід врахувати силу інерції, яка в розглядуваному випадку дорівнює

lz = — m0 = m2a cos t.

Потенціал цієї сили виражається формулою

U = —lzz = —mla2 cos cos,

де 8 — кут відхилення маятника від вертикалі, вибраний за узагальнену координату. Функція Лагранжа в цьому разі має вигляд

L = + mgl cos  + mla2cos t cos,

а рівняння Лагранжа



Для малих коливань ( 1) це рівняння зводиться до лінійного рівняння



де   = g/l.

Таким чином, коливання точки підвісу математичного маятника еквівалентне зміні з часом його параметрів:



Параметром, що залежить від часу, тут є частота



Ця залежність за певних умов, як буде показано нижче, приводить до наростання з часом амплітуди коливань, тобто до параметричного резонансу або параметричної нестійкості.

Розглянемо  спочатку загальний  випадок,  коли функція    (t) в рівнянні (40.1) є довільною періодичною функцією часу

		 (t + Т) =  (t)

з періодом Т — 2/. У зв'язку з цим можна сказати, що рівняння (40.1) інваріантне відносно перетворення t→t+T. Звідси випливає, що коли  (t) є розв'язком рівняння то функція  (t — Т) теж має бути його розв'язком. З курсу диференціальних рівнянь відомо, що рівняння другого порядку завжди має два лінійно незалежні розв'язки Ql (t) і 92 (t), а будь-який інший розв'язок можна подати у вигляді лінійної комбінації цих двох розв'язків. Зокрема,

	1 (t + T)= а111 (t) + а122 (t),

	2 (t + T) = а211 (t) + a222 (t).

Завжди можна вибрати систему лінійно незалежних розв'язків так, щоб вони були дійсними. Оскільки аргумент t функцій 1 (t + T) і 2 (t + T) дійсний, то 1 (t + T)  і 2 (t + T) також будуть дійсними. Звідси випливає, що коефіцієнти а11 в формулах дійсні; крім того, їхній визначник відмінний від нуля, інакше функції 1 (t + T)  і 2 (t + T) були б лінійно залежними. Справді, якщо припустити, що визначник



то а11=, а

1 (t + T) = 1 (t) + а122(t + T) =[a211 (t) +a222 (t)] = 2 (t + T) 

що означає лінійну залежність функцій 1 (t + T)  і 2 (t + T)/ Покажемо, що завжди можна вибрати два таких лінійно незалежних розв'язки рівняння, що зміна їх при заміні t на t + Т зводиться до множення на деякий сталий .множник, тобто  (t + T) = . Справді, нехай 1 (t) і 2 (t) не мають такої властивості. Тоді помножимо першу рівність на деяку величину , а другу — на  і додамо їх:

’ (t + T)

Підберемо числа  і  так,  щоб виконувалися різності



Це система однорідних рівнянь  відносно  величин   і   ,   розв'язок якої існує, якщо



Звідси знаходимо два, взагалі кажучи, комплексно спряжених значення величини : 1 і 2, кожному з яких відповідає оди:І розв'язок системи однорідних рівнянь. Поклавши в = 1 , знаходимо  Тоді  із співвідношення

1’ (t + T)

Аналогічно для = 2, маємо

2’ (t + T)

Отже, завжди можна вибрати два таких лінійно незалежних розв'язки рівняння, щоб зміна їх при заміні t на t + Т зводилась до множення на сталий множник:

1’ (t + T), 2’ (t + T)

Такі ж співвідношення справедливі для похідних за часом

1’ (t + T), 2’ (t + T)

Формули можна записати тотожно так:

;   

Звідси випливає, що функції

П1(t) = ; П2(t) = 



є періодичними з періодом Т. Отже, система лінійно незалежних розв'язків рівняння має вигляд

1 (t + T), 2’ (t + T), 

Сталі 1 і 2, зв'язані між собою співвідношенням, яке можна вивести так. Помножимо рівняння, які задовольняють функції 1 і 2,

; 



відповідно на 1 і 2 і віднімемо від першого друге. В результаті дістанемо



звідки випливає, що вираз l (t) = = const не залежить від часу. Тому l (t + Т) = l(t). Оскільки з одного боку l (t + T) = 1 (t +T) 2  (t + T) = 1 2l(t), а з іншого — l (t+ T) = = l (t), то

1 2=1

Оскільки коефіцієнти визначника аіj дійсні, то величини 1 і 2, або дійсні, або комплексно-спряжені. Тоді, враховуючи співвідношення, покладемо 1 = еzT , 2 = е-zT де z — комплексна число, яке можна знайти, розв'язавши рівняння.

Таким чином, використовуючи співвідношення, робимо висновок, що два лінійно незалежних розв'язки рівняння з періодичним коефіцієнтом  (t) =  (t + T) можна записати-у вигляді (теорема Флоке):

1 (t + T), 2’ (t + T), 

Тут П1 (t) і П2 (t) — періодичні функції з періодом Т, внаслідок чого їх можна розкласти в ряд Фуh'є

П (t) =

Якщо Re z 0, то одна з двох функцій експоненціальне зростатиме з часом. Це означає, що стан рівноваги  = 0 не е стійким. Досить будь-якого малого відхилення від положення рівноваги, щоб це відхилення потім експоненціальне збільшувалося з часом. Це явище було названо параметричним резонансом або параметричною нестійкістю.