Определение показателей производительности труда и себестоимости единицы продукции

Практическая работа №1



1. Определите объект наблюдения, единицу наблюдения и единицу совокупности: 

а) в отчетности по вводу объектов строительства, основных фондов и мощностей; 

б) в отчетности по переписи поголовья скота на единоличных подворьях.

Решение:

Объект наблюдения – совокупность социально-правовых явлений и процессов, которые подлежат исследованию, или точные границы, в пределах которых будут регистрироваться статистические сведения.

Единица совокупности – это первичный элемент объекта статистического наблюдения, являющийся носителем признаков, подлежащих регистрации и основой ведущегося при обследовании счета.

Численность единиц совокупности характеризует объем и распространенность изучаемого явления.

Единица наблюдения – это та первичная ячейка, от которой должны быть получены необходимые статические сведения.

а) В отчетности по вводу объектов строительства, основных фондов и мощностей объектом наблюдения будут основные фонды, объекты строительства, станки и другие мощности. Единицей совокупности будут здания, сооружения, станки и другие основные фонды. Единицей наблюдения будут предприятия – хозяева единиц совокупности.

б) В отчетности по переписи поголовья скота на единоличных подворьях объектом наблюдения будет скот на единоличных подворьях. Единицей совокупности будут коровы, свиньи, бараны, козы и другой скот. Единицей наблюдения будут единоличные подворья – хозяева единиц совокупности.




Практическая работа №2



Имеются отчетные данные о работе 36 заводов отрасли за год (табл.2.1).



Таблица 2.1

№ завода

Произведено продукции, тыс. т.

Общая сумма затрат, млн.руб.

Среднесписочное число работников, чел.

1

900

810

6525

2

187

160

1712

3

416

400

3502

4

1105

860

7868

5

211

190

2835

6

1066

820

5632

7

610

510

3730

8

875

700

7645

9

1126

870

7779

10

136

150

1943

11

412

400

3912

12

794

610

5881

13

418

430

3805

14

275

290

3413

15

460

360

4111

16

1130

860

7755

17

718

650

5782

18

220

270

2815

19

559

510

3725

20

710

580

5680

21

331

380

2947

22

928

780

7993

23

318

330

3402

24

1270

980

7985

25

696

600

3680

26

1169

890

6335

27

968

790

8027

28

170

160

2406

29

566

520

5069

30

471

460

3703

31

460

470

4209

32

337

380

3530

33

448

450

4650

34

385

400

3198

35

251

290

2925

36

815

620

5902



1. На основе данных табл. 2.1:

а) вычислить показатели производительности труда и себестоимости единицы продукции (1 тонны);

б) произвести группировку предприятий по производительности труда, разделив их на 6 групп с равными интервалами. Составить таблицы по группам предприятий и сводную таблицу группировки. В сводной таблице каждую группу охарактеризовать:

- числом предприятий;

- суммарной численностью работников, общими объемами производства и суммарными затратами;

в) построить структурную таблицу, где показать структуру числа предприятий по числу, суммарным затратам, объемам производства и численности рабочих;

г) построить аналитическую таблицу, где показать взаимосвязь показателей;

д) по данным распределения предприятий построить график ряда распределения, вычислить среднее значение группировочного признака и его коэффициент вариации, указать моду и медиану ряда распределения.

Решение:

Производительность труда (ω) равна отношению произведенного объема продукции (Q) к среднесписочному числу работников (Т)



ω = Q / T


Себестоимость единицы продукции (С) равна отношению общей суммы затрат на производство (Z) к среднесписочному числу работников (Т)



С = Z / T



Рассчитаем производительность и себестоимость одной тонны продукции для каждого завода в отдельности, результаты приведем в таблице 2.2

Найдем также суммарные показатели произведенного объема продукции (Q), общих затрат на производство (Z) и численности работников (Т).

Показатели производительности труда и себестоимости единицы продукции в целом по всем заводам рассчитываются как отношение суммарных показателей.



 = Q / T ; = Z / T



Приведем суммарные показатели в таблице 2.2.



Таблица 2.2

№ п/п

Произведено продукции, тыс.т.

Общая сумма затрат, млн.руб.

Среднесписочное число работников, чел.

Производительность труда, т./чел.

Себестоимость единицы продукции, 

1

900

810

6525

137,9

900,00

2

187

160

1712

109,2

855,61

3

416

400

3502

118,8

961,54

4

1105

860

7868

140,4

778,28

5

211

190

2835

74,4

900,47

6

1066

820

5632

189,3

769,23

7

610

510

3730

163,5

836,07

8

875

700

7645

114,5

800,00

9

1126

870

7779

144,7

772,65

10

136

150

1943

70,0

1102,94

11

412

400

3912

105,3

970,87

12

794

610

5881

135,0

768,26

13

418

430

3805

109,9

1028,71

14

275

290

3413

80,6

1054,55

15

460

360

4111

111,9

782,61

16

1130

860

7755

145,7

761,06

17

718

650

5782

124,2

905,29

18

220

270

2815

78,2

1227,27

19

559

510

3725

150,1

912,34

20

710

580

5680

125,0

816,90

21

331

380

2947

112,3

1148,04

22

928

780

7993

116,1

840,52

23

318

330

3402

93,5

1037,74

24

1270

980

7985

159,0

771,65

25

696

600

3680

189,1

862,07

26

1169

890

6335

184,5

761,33

27

968

790

8027

120,6

816,12

28

170

160

2406

70,7

941,18

29

566

520

5069

111,7

918,73

30

471

460

3703

127,2

976,65

31

460

470

4209

109,3

1021,74

32

337

380

3530

95,5

1127,60

33

448

450

4650

96,3

1004,46

34

385

400

3198

120,4

1038,96

35

251

290

2925

85,8

1155,38

36

815

620

5902

138,1

760,74

Итого:

21911

18930

172011

127,4

863,95



При группировке с равными интервалами для расчета длины одного интервала применяется формула:



,



где h – длина одного интервала;

xmax – максимальное значение группировочного признака;

xmin – минимальное значение группировочного признака;

Найдем длину интервала:



 т / чел.



Найдем, в какую группу попадает каждый завод и составим таблицы по группам:



Таблица 2.3 Данные заводов 1-ой группы

№ п/п

Произведено продукции, тыс.т.

Общая сумма затрат, млн.руб.

Среднесписочное число работников, чел.

Производительность труда, т./чел.

Себестоимость единицы продукции, руб. 

5

211

190

2835

74,4

900,47

10

136

150

1943

70

1102,94

14

275

290

3413

80,6

1054,55

18

220

270

2815

78,2

1227,27

28

170

160

2406

70,7

941,18

35

251

290

2925

85,8

1155,38

Итого:

1263

1350

16337

77,3

1068,88



Таблица 2.4 Данные заводов 2-ой группы

№ п/п

Произведено продукции, тыс.т.

Общая сумма затрат, млн.руб.

Среднесписочное число работников, чел.

Производительность труда, т./чел.

Себестоимость единицы продукции, руб. 

2

187

160

1712

109,2

855,61

11

412

400

3912

105,3

970,87

23

318

330

3402

93,5

1037,74

31

460

470

4209

109,3

1021,74

32

337

380

3530

95,5

1127,6

33

448

450

4650

96,3

1004,46

Итого:

2162

2190

21415

101,0

1012,95




Таблица 2.5 Данные заводов 3-ей группы

№ п/п

Произведено продукции, тыс.т.

Общая сумма затрат, млн.руб.

Среднесписочное число работников, чел.

Производительность труда, т./чел.

Себестоимость единицы продукции, руб. 

3

416

400

3502

118,8

961,54

8

875

700

7645

114,5

800

13

418

430

3805

109,9

1028,71

15

460

360

4111

111,9

782,61

17

718

650

5782

124,2

905,29

20

710

580

5680

125

816,9

21

331

380

2947

112,3

1148,04

22

928

780

7993

116,1

840,52

27

968

790

8027

120,6

816,12

29

566

520

5069

111,7

918,73

30

471

460

3703

127,2

976,65

34

385

400

3198

120,4

1038,96

Итого:

7246

6450

61462

117,9

890,15



Таблица 2.6 Данные заводов 4-ой группы

№ п/п

Произведено продукции, тыс.т.

Общая сумма затрат, млн.руб.

Среднесписочное число работников, чел.

Производительность труда, т./чел.

Себестоимость единицы продукции, руб. 

1

900

810

6525

137,9

900

4

1105

860

7868

140,4

778,28

9

1126

870

7779

144,7

772,65

12

794

610

5881

135

768,26

16

1130

860

7755

145,7

761,06

36

815

620

5902

138,1

760,74

Итого:

5870

4630

41710

140,7

788,76



Таблица 2.7 Данные заводов 5-ой группы

№ п/п

Произведено продукции, тыс.т.

Общая сумма затрат, млн.руб.

Среднесписочное число работников, чел.

Производительность труда, т./чел.

Себестоимость единицы продукции, руб. 

7

610

510

3730

163,5

836,07

19

559

510

3725

150,1

912,34

24

1270

980

7985

159,0

771,65

Итого:

2439

2000

15440

158,0

820,01


Таблица 2.8 Данные заводов 6-ой группы

№ п/п

Произведено продукции, тыс.т.

Общая сумма затрат, млн.руб.

Среднесписочное число работников, чел.

Производительность труда, т./чел.

Себестоимость единицы продукции, руб. 

6

1066

820

5632

189,3

769,23

25

696

600

3680

189,1

862,07

26

1169

890

6335

184,5

761,33

Итого:

2931

2310

15647

187,3

788,13



Таблица 2.9 Сводная таблица группировки

№ группы

Группы заводов по производительности труда (интервалы), т/чел. 

Число заводов

Произведено продукции, тыс.т.

Общая сумма затрат, млн.руб.

Среднесписочное число работников, чел.

1

70

-

89,9

6

1263

1350

16337

2

89,9

-

109,8

6

2162

2190

21415

3

109,8

-

129,7

12

7246

6450

61462

4

129,7

-

149,6

6

5870

4630

41710

5

149,6

-

169,5

3

2439

2000

15440

6

169,5

-

189,4

3

2931

2310

15647

Итого

 

 

 

36

21911

18930

172011



Наибольшие объемы произведенной продукции, общую сумму затрат и суммарную численность работников имеет группа заводов №3.

Определим структуру объема производства, общей суммы затрат и численности работающих по группам. Результаты расчета представим в таблице.



Таблица 2.10 Структурная таблица.

№ 

Группы заводов по производительности труда

Число заводов

Произведено продукции 

Общая сумма затрат

Среднесписочное число работников





шт.

% к итогу

тыс.т.

% к итогу

млн. руб.

% к итогу

чел.

% к итогу

1

70

-

89,9

6

16,7

1263

5,8

1350

7,1

16337

9,5

2

89,9

-

109,8

6

16,7

2162

9,9

2190

11,6

21415

12,4

3

109,8

-

129,7

12

33,3

7246

33,1

6450

34,1

61462

35,7

4

129,7

-

149,6

6

16,7

5870

26,8

4630

24,5

41710

24,2

5

149,6

-

169,5

3

8,3

2439

11,1

2000

10,6

15440

9,0

6

169,5

-

189,4

3

8,3

2931

13,4

2310

12,2

15647

9,1

Итого

 



 

36

100,0

21911

100,0

18930

100,0

172011

100,0



В аналитическую таблицу сведем средние показатели по численности работников, общей сумме затрат и выпуску продукции, а также показатели производительности труда и средней стоимости тонны продукции.



Таблица 2.11 Аналитическая таблица

№ группы

Группы заводов по производительности труда

Средний объем производства продукции, т

Общая сумма затрат в среднем на один завод,.

Средняя численность работников, 

Производительность труда, т / чел.

Средняя стоимость единицы продукции, 















1

70

-

89,9

210,50

225,00

2722,83

77,3

1068,88

2

89,9

-

109,8

360,33

365,00

3569,17

101,0

1012,95

3

109,8

-

129,7

603,83

537,50

5121,83

117,9

890,15

4

129,7

-

149,6

978,33

771,67

6951,67

140,7

788,76

5

149,6

-

169,5

813,00

666,67

5146,67

158,0

820,01

6

169,5

-

189,4

977,00

770,00

5215,67

187,3

788,13

Итого

 



 

608,64

525,83

4778,08

127,4

863,95



По аналитической таблице видим, что с ростом средней производительности труда возрастают средний объем производства и общие затраты. Это говорит о наличии прямой связи между показателями. Средняя себестоимость единицы продукции имеет обратную связь со средней производительностью труда.

Графиком интервального распределения является гистограмма. Построим график распределения предприятий:





Рис. 2.1 Гистограмма распределения заводов по производительности труда.



Найдем среднее значение признака по формуле для интервального ряда:



 ,



где – среднее значение признака;

xi – значение признака на интервале (середина интервала);

mi – частота повторения признака на интервале

Составим вспомогательную таблицу:



	Таблица 2.12 Расчетная таблица для расчета среднего

№ группы

Группы заводов по производительности труда (интервалы) т/чел.

Число заводов, ni

Середина интервала, xi

ni * xi

1

70

-

89,9

6

79,95

479,7

2

89,9

-

109,8

6

99,85

599,1

3

109,8

-

129,7

12

119,75

1437

4

129,7

-

149,6

6

139,65

837,9

5

149,6

-

169,5

3

159,55

478,65

6

169,5

-

189,4

3

179,45

538,35

Итого

 



 

36



4370,7



 = 4370,7 / 36 = 121,41 т / чел.



Найдем дисперсию признака по формуле:



 ,



где  – дисперсия признака.

Составим вспомогательную таблицу:



Таблица 2.13 Расчетная таблица для расчета дисперсии

№ группы

Группы заводов по производительности труда (интервалы) т/чел.

Число заводов, ni

Середина интервала, xi

(хi – )

(хi – )2

ni * (хi – )2

1

70

-

89,9

6

79,95

– 41,46

1718,932

10313,59

2

89,9

-

109,8

6

99,85

– 21,56

464,8336

2789,002

3

109,8

-

129,7

12

119,75

– 1,66

2,7556

33,0672

4

129,7

-

149,6

6

139,65

18,24

332,6976

1996,186

5

149,6

-

169,5

3

159,55

38,14

1454,66

4363,979

6

169,5

-

189,4

3

179,45

58,04

3368,642

10105,92

Итого

 



 

36







29601,75



 = 29601,75 / 36 = 822,27 (т / чел.)2



Среднее квадратичное отношение  т / чел.

Коэффициент вариации .

Коэффициент вариации меньше 33% значит выборка однородная.

Мода – это наиболее часто повторяющееся значение признака, для группировки мода находиться по формуле :







гдех0 – начальное значение модального интервала;

fMo , fMo-1 , fMo+1 – частота появления признака соответственно в интервале модальном, предшествующем модальному и следующим за модальным;

h – длина интервала.



 т / чел.



Найдем медиану выборки по формуле для интервального ряда :







гдех0 – начальное значение медианного интервала;

f’Mе-1 – накопленная частота в интервале предшествующем медианному

fMе – частота появления признака в медианном интервале;

h – длина интервала.

Найдем медиану выборки



 т / чел.


Практическая работа №3



1. Имеются следующие данные о структуре и динамике производства на заводе стройдеталей в табл. 3.1.



Таблица 3.1

Условные обозначения видов продукции

Удельный вес видов продукции (%) в прошлом году

Темпы роста объемов производства, %

А

15,8

102,6

Б

10,2

110,2

В

25,0

108,7

Г

40,9

105,0

Д

8,1

118,0

Общий объем производства

100,0

106,6



Определите структуру производства в плановом году.

2. Фактическое и требуемое распределение рабочих по тарифным разрядам представлено в табл. 3.2



Таблица 3.2

Тарифный разряд

1

2

3

4

5

6

Итого

Фактическая численность, чел.

10

15

25

40

17

8

115

Требуемая структура, %

2

8

25

30

25

10

100



Постройте график ряда распределения фактически работающих 115 рабочих и сравните его с требуемой по составу работ структурой квалификаций.

Как называется этот график ряда распределения?

3. Совокупность состоит из 2 частей. Известно, что одна часть составляет от другой 50%. Рассчитайте структуру совокупности.

Решение:

1) Определим средневзвешенный по элементам структуры индекс роста продукции. 

В этом случае весами будут выступать удельные веса видов продукции (выраженные в долях):



I = (i * dпр / 100)



Тогда удельный вес одной группы продукции можно найти как отношение произведения индивидуального индекса и удельного веса к средневзвешенному индексу:



dпл = (i * dпр) / I



Найдем удельные веса продукции в плановом году. Результаты расчетов представим в таблице 3.3



Таблица 3.3 Расчет структуры продукции в плановом периоде

Условные обозначения видов продукции

Удельный вес видов продукции (%) в прошлом году (dпр)

Темпы роста объемов производства, % (i)

i * dпр / 100

Удельный вес видов продукции (%) в плановом году (dпл)

А

15,8

102,6

16,21

15,13

Б

10,2

110,2

11,24

10,49

В

25

108,7

27,18

25,37

Г

40,9

105

42,95

40,09

Д

8,1

118

9,56

8,92

Общий объем производства

100

106,6

107,14

100



2) Найдем удельный вес i-го тарифного разряда (di) как отношение численности рабочих данного разряда (ni) к общей численности рабочих (n):



di = ni / n * 100%



Например, для перового разряда:

d1 = 10 / 115 * 100 = 8,7 %



Рассчитаем фактическую структуру распределения рабочих по тарифным разрядам.



Таблица 3.4

Тарифный разряд

1

2

3

4

5

6

Итого

Фактическая численность, чел.

10

15

25

40

17

8

115

Фактическая структура, %

8,7

13,04

21,74

34,78

14,78

6,96

100

Требуемая структура, %

2

8

25

30

25

10

100







Построенный график называется сравнительной диаграммой.

По диаграмме видим, что фактическая структура рабочих перераспределена в сторону низких разрядов по сравнению с требуемой структурой. На лицо нехватка высококвалифицированных кадров.

3) Совокупность состоит из 2 частей. Известно, что одна часть составляет от другой 50%. Рассчитайте структуру совокупности.

Найдем долю более крупной части в общей совокупности:



d1 = 100 / (100 + 50) * 100% = 66,67 % или 2/3



Найдем долю меньшей части в общей совокупности:

d2 = 50 / (100 + 50) * 100% = 33,33 % или 1/3



Практическая работа №4



Таблица 4.1

Интервал по зарплате, руб.

Число рабочих в группе, чел.

180-200

10

200-400

30

400-600

50

600-800

60

800-1000

145

1000-1200

110

1200-1400

80

1400-1600

15

Итого:

500



Рассчитайте методом моментов среднюю зарплату рабочих.

Определите модальное значение средней зарплаты.

Найдите медиану ряда распределения.

Решение:

Математическое ожидание распределения находиться как начальный момент первого порядка:







Для интервального ряда в качестве xi будут выступать середины интервалов.



Mx = (190 * 10 + 300 * 30 + 500 * 50 + 700 * 60 + 900 * 145 + 1100 * 110 + 1300 * 80 + 1500 * 15) / 500 = 455900 / 500 = 911,8 руб.


Мода – это наиболее часто повторяющееся значение признака, для интервального ряда мода находиться по формуле :







гдех0 – начальное значение модального интервала;

fMo , fMo-1 , fMo+1 – частота появления признака соответственно в интервале модальном, предшествующем модальному и следующим за модальным;

h – длина интервала.

Модальным является интервал с наибольшим числом рабочих (800 – 1000 руб.) 



 руб.



Медиана выборки находиться по формуле для интервального ряда :







гдех0 – начальное значение медианного интервала;

f’Mе-1 – накопленная частота в интервале предшествующем медианному

fMе – частота появления признака в медианном интервале;

h – длина интервала.

Медианным интервалом является интервал в котором накопленная частота превышает половину выборки. Для приведенного в табл. 4.1 ряда такой интервал 800 – 1000 руб.

Найдем медиану выборки

 руб.



Практическая работа №5



В соответствии с макетом по данным табл. 2.1 постройте группировку предприятий по признакам: Х – производительность труда, Y – себестоимость единицы продукции.

Вычислите общую, внутригрупповые и межгрупповую дисперсии фондовооруженности труда; среднюю из внутригрупповых. Проверьте сложением дисперсий правильность Ваших расчетов. 

Вычислите коэффициент детерминации. 

Сделайте краткие выводы.

Решение:

Разделим выборку на 5 классов. Величины интервалов определим из формул:



 ,  .

 ,  .



Составим корреляционную таблицу



Таблица 5.1

X

Y

Итого





761

854

854

947

947

1041

1041

1134

1134

1227





70,0

93,9

0

2

1

2

2

7

79,03

93,9

117,7

3

2

4

1

1

11

108,36

117,7

141,6

5

2

3

0

0

10

128,76

141,6

165,4

4

1

0

0

0

5

152,60

165,4

189,3

2

1

0

0

0

3

187,63

Итого

14

8

8

3

3

36

-



788,24

899,46

1005,08

1095,03

1176,90

-

-



Значения в столбце  и строке  задают последовательность точек, которая иллюстрирует зависимость среднего значения результативного признака (у) от факторного признака (х) – эмпирическую линию регрессии.

Общая и межгрупповая дисперсии находятся по формулам :















где  - межгрупповая дисперсия;

  - общая дисперсия.

 - групповые средние;

 - общая средняя;

ni - частота i-ой группы;

yi – i-й вариант признака;

fi – частота i-го варианта.

Общая дисперсия показывает вариацию результативного признака под воздействием всех факторов. Межгрупповая дисперсия показывает вариацию результативного признака, обусловленную вариацией группировочного. Средняя из внутригрупповых показывает вариацию результативного признака под воздействием факторов неучтенных при группировке. Средняя из внутригрупповых находиться по формуле средневзвешенной.






Все три вида дисперсий связаны правилом сложения трех дисперсий



 = + 



Таблица 5.2 Вспомогательные расчеты для расчета межгрупповой дисперсии

Группа по Х

ni

i

i – 

(i – )2

ni · (i – )2

1

7

1059,93

140,83

19834,21

138839,45

2

11

954,44

35,35

1249,32

13742,47

3

10

872,27

-46,82

2192,57

21925,70

4

5

810,75

-108,34

11738,61

58693,07

5

3

797,54

-121,56

14775,75

44327,26

Итого

36

919,10





277527,95



 = 277527,95 / 36 = 7709,11 



Таблица 5.3 Вспомогательные расчеты для расчета общей дисперсии

Группа по Y

ni

yi

yi – 

(yi – )2

ni · (yi – )2

1

14

807,39

-111,7

12478,2

174694,9

2

8

900,70

-18,4

338,6

2708,4

3

8

994,01

74,9

5610,9

44887,4

4

3

1087,31

168,2

28295,3

84885,9

5

3

1180,62

261,5

68391,7

205175,2

Итого

36

919,10





512351,8



 = 512351,8 / 36 = 17820,82



Найдем внутригрупповую дисперсию по первой группе




Таблица 5.4 Расчетная таблица для расчета дисперсии по первой группе

№ п/п

y

y – 

(y – )2

1

900,47

-159,46

25428,40

2

1102,94

43,01

1849,61

3

1054,55

-5,38

28,98

4

1227,27

167,34

28001,72

5

1037,74

-22,19

492,52

6

941,18

-118,75

14102,24

7

1155,38

95,45

9110,16

Сумма

7419,53

0

79013,63



 = 79013,63 / 7 = 11287,66 



Найдем внутригрупповую дисперсию по второй группе



Таблица 5.5 Расчетная таблица для расчета дисперсии по второй группе

№ п/п

y

y – 

(y – )2

1

855,61

-98,83

9768,27

2

800,00

-154,44

23853,12

3

970,87

16,43

269,80

4

1028,71

74,27

5515,36

5

782,61

-171,83

29527,11

6

1148,04

193,60

37479,20

7

840,52

-113,92

12978,80

8

918,73

-35,71

1275,53

9

1021,74

67,30

4528,68

10

1127,60

173,16

29982,81

11

1004,46

50,02

2501,55

Сумма

10498,89

0

157680,22



 = 157680,22 / 11 = 14334,57



Найдем внутригрупповую дисперсию по третьей группе


Таблица 5.6 Расчетная таблица для расчета дисперсии по третьей группе

№ п/п

y

y – 

(y – )2

1

900,00

27,73

768,73

2

961,54

89,27

7968,42

3

778,28

-93,99

8834,87

4

768,26

-104,01

10818,91

5

905,29

33,02

1090,06

6

816,90

-55,37

3066,28

7

816,12

-56,15

3153,27

8

976,65

104,38

10894,35

9

1038,96

166,69

27784,22

10

760,74

-111,53

12439,83

Сумма

8722,74

0

86818,95



 = 86818,95 / 10 = 8681,89



Найдем внутригрупповую дисперсию по четвертой группе



Таблица 5.7 Расчетная таблица для расчета дисперсии по четвертой группе

№ п/п

y

y – 

(y – )2

1

836,07

25,32

640,90

2

772,65

-38,10

1451,91

3

761,06

-49,69

2469,49

4

912,34

101,59

10319,72

5

771,65

-39,10

1529,12

Сумма

4053,77

0

16411,15



 = 16411,15 / 5 = 3282,23



Найдем внутригрупповую дисперсию по четвертой группе


Таблица 5.8 Расчетная таблица для расчета дисперсии по четвертой группе

№ п/п

y

y – 

(y – )2

1

769,23

-28,31

801,64

2

862,07

64,53

4163,69

3

761,33

-36,21

1311,41

Сумма

2392,63

0

6276,74



 = 6276,74 / 3 = 2092,25



Найдем среднюю из внутригрупповых :



= (11287,66 * 7 + 14334,57 * 11 + 8681,89 * 10 + 3282,23 * 5 + 2092,25 * 3) / 36 =346200,68 / 36 = 9616,69

		

		Проверим правило сложения дисперсий

		

		 + = 

7709,11 + 9616,69 = 17325,8

 = 17820,82



Т.е. правило сложения дисперсий выполняется.

		Эмпирический коэффициент детерминации равен :

		

		= 7709,11 / 17820,82 = 0,433



Т.е. 43,3 % вариации результативного признака объясняется вариацией факторного признака. Связь между показателями средняя.


Практическая работа №6



На основе данных табл. 2.1 и расчетов себестоимости (С) и производительности труда (ω) выполните следующие операции по расчету линии регрессии :

- нанесите на график корреляционного поля данные по 36 заводам;

- сделайте вывод о возможной форме связи между себестоимостью продукции и производительностью труда;

- для выбранной формулы с помощью метода наименьших квадратов рассчитайте величины коэффициентов;

- нанесите на график корреляционного поля полученную теоретическую линию регрессии;

- рассчитайте для данной формы связи необходимые показатели, характеризующие тесноту связи (корреляционное отношение или коэффициент корреляции) между себестоимостью продукции и производительностью труда.

Решение:

Построим корреляционное поле






По графику можно предположить наличие обратной связи между производительностью труда (х) и себестоимостью единицы продукции (у).

Рассчитаем параметры уравнения линейной парной регрессии.

Для расчета параметров a и b уравнения линейной регрессии у = а + bx решим систему нормальных уравнений относительно а и b :







По исходным данным рассчитываем х , у, ух , х2 , у2.



Таблица 6.1

№ п/п

y

x

yx

x2

y2

1

900

137,9

124110,00

19016,41

810000,00

2

855,61

109,2

93432,61

11924,64

732068,47

3

961,54

118,8

114230,95

14113,44

924559,17

4

778,28

140,4

109270,51

19712,16

605719,76

5

900,47

74,4

66994,97

5535,36

810846,22

6

769,23

189,3

145615,24

35834,49

591714,79

7

836,07

163,5

136697,45

26732,25

699013,04

8

800

114,5

91600,00

13110,25

640000,00

9

772,65

144,7

111802,46

20938,09

596988,02

10

1102,94

70

77205,80

4900,00

1216476,64

11

970,87

105,3

102232,61

11088,09

942588,56

12

768,26

135

103715,10

18225,00

590223,43

13

1028,71

109,9

113055,23

12078,01

1058244,26

14

1054,55

80,6

84996,73

6496,36

1112075,70

15

782,61

111,9

87574,06

12521,61

612478,41

16

761,06

145,7

110886,44

21228,49

579212,32

17

905,29

124,2

112437,02

15425,64

819549,98

18

1227,27

78,2

95972,51

6115,24

1506191,65

19

912,34

150,1

136942,23

22530,01

832364,28

20

816,9

125

102112,50

15625,00

667325,61

21

1148,04

112,3

128924,89

12611,29

1317995,84

22

840,52

116,1

97584,37

13479,21

706473,87

23

1037,74

93,5

97028,69

8742,25

1076904,31

24

771,65

159

122692,35

25281,00

595443,72

25

862,07

189,1

163017,44

35758,81

743164,68

26

761,33

184,5

140465,39

34040,25

579623,37

27

816,12

120,6

98424,07

14544,36

666051,85

28

941,18

70,7

66541,43

4998,49

885819,79

29

918,73

111,7

102622,14

12476,89

844064,81

30

976,65

127,2

124229,88

16179,84

953845,22

31

1021,74

109,3

111676,18

11946,49

1043952,63

32

1127,6

95,5

107685,80

9120,25

1271481,76

33

1004,46

96,3

96729,50

9273,69

1008939,89

34

1038,96

120,4

125090,78

14496,16

1079437,88

35

1155,38

85,8

99131,60

7361,64

1334902,94

36

760,74

138,1

105058,19

19071,61

578725,35

Итого

33087,56

4358,7

3907787,13

562532,77

31034468,27

Среднее

919,10

121,08

108549,6

15625,9

862068,6

Обозначение среднего













Найдем дисперсию переменных:



= 15625,9 – 121,082 = 966,75 

= 862068,6 – 919,102 = 17325,8



Найдем параметры a и b уравнения линейной регрессии :



– 2,8

919,10 + 2,8 · 121,08 = 1261,03



Уравнение регрессии :



= 1261,03 – 2,8 · х


С увеличением средней производительности труда на 1 т / чел. себестоимость одной тонны уменьшается на 2,8 руб.

Нанесем линию регрессии на график корреляционного поля.

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:



 – 0,667



Т.к. коэффициент близок к – 0,7, то связь средняя, близкая к сильной, обратная.



Практическая работа №7



Изменение объемов товарооборота и цен в 1985-1990 гг. приведено табл.7.1



Таблица 7.1

Годы

1985

1986

1987

1988

1989

1990

Изменение объемов товарооборота, млн. руб.

700

720

750

780

800

840

Цепной индекс цен

—

1,02

1,03

1,05

1,06

1,08



Рассчитайте: 

а) показатели динамики объема товарооборота за эти годы (абсолютные приросты, темпы роста и прироста, их средние величины);

б) постройте график, определите вид функции и проведите операцию аналитического выравнивания. Теоретическую линию регрессии нанесите на график.

Решение:

Рассчитаем показатели динамики по следующим формулам:

Рассчитаем показатели динамики по следующим формулам:

Абсолютный прирост базисный: 



i баз = Yi – Y1 ,



где Y1 – размер показателя в первом году, Yi – размер показателя в i-ом году. Абсолютный прирост цепной: 



i цеп = Yi – Yi-1 ,



где Yi–1 – размер показателя в предшествующий i-му год.

Темп роста базисный: 



Тр баз = (Yi / Y1)·100 .



Темп роста цепной: 



Тр цеп = (Yi / Yi–1)·100 .



Темп прироста базисный: 



Тпр баз = Тр баз – 100 .



Темп прироста цепной: 



Тпр цеп = Тр цеп – 100 .



Рассчитанные показатели сведем в таблицу 7.2




Таблица 7.2 Показатели динамики объема товарооборота

Квартал

Объемы товарооборота, млн. руб.

Абсолютный прирост

Темп роста, %

Темп прироста, %





базисный

цепной

базисный

цепной

базисный

цепной

1985

700

0

-

100,0

-

0,0

-

1986

720

20

20

102,9

102,9

2,9

2,9

1987

750

50

30

107,1

104,2

7,1

4,2

1988

780

80

30

111,4

104,0

11,4

4,0

1989

800

100

20

114,3

102,6

14,3

2,6

1990

840

140

40

120,0

105,0

20,0

5,0



Нанесем данные на график динамики :





Рис. 7.1. Исходные данные.



По графику динамики можно предположить линейную зависимость между показателями.

Для определения основной тенденции ряда произведем выравнивание ряда динамики с помощью уравнения прямой: 



Yi теор = а0 + а1ti ,



где Yi теор – рассчитанное выровненное значение производства электроэнергии, после подставления в уравнение значения ti . Для нахождения а0 и а1 решим следующую систему.






Для решения системы составим таблицу:



Таблица 7.3

Годы

Объемы товарооборота, млн. руб.

t

Y * t

t2

f(t)

1985

700

-5

-3500

25

695,71

1986

720

-3

-2160

9

723,43

1987

750

-1

-750

1

751,14

1988

780

1

780

1

778,86

1989

800

3

2400

9

806,57

1990

840

5

4200

25

834,29

Итого

4590

0

970

70

4590



а0 = 4590 / 6 = 765 и а1 = 970 / 70 = 13,857 .



Таким образом, f(t) = 765 + 13,857·t , для t= –5, –3, …, +3, +5, или f(t) = 668 + 27,714·t , для t = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6. а1 = 27,714 – показатель силы связи, т.е. за период 6 лет происходило увеличение товарооборота на 27,714 млн. руб. ежегодно. Изобразим исходный и выровненный ряды





Рис. 7.2. Исходный и выровненный ряды


По графику видно, что линейная функция очень точно совпадает с исходными данными.



Практическая работа №8



Имеются следующие данные о продаже картофеля на рынках города за 2 квартала (табл. 8.1).



Таблица 8.1

Рынки

2-й квартал

4-й квартал



Количество, ц

Модальная цена, руб. за 1 кг

Количество, ц

Модальная цена, руб. за 1 кг

1

120,0

7,0

180,0

8,5

2

140,0

8,0

160,0

8,1

3

140,0

9,0

180,0

8,5



На основе приведенных данных определите:

а) индекс средних цен;

б) индекс цен в постоянной структуре продаж;

в) индекс влияния на среднюю цену структурных изменений (изменения удельного веса рынков) в продаже картофеля;

г) изменение средних цен (в абсолютных величинах) в целом и за счет влияния отдельных факторов.

Решение:

Индексом переменного состава в статистике называют отношение двух средних величин. Найдем индекс переменного состава по следующей формуле:



,


где  – индекс переменного состава;

 – средняя цена картофеля в отчетном периоде;

 – средняя цена картофеля в базисном периоде;

p1 – цена на картофель в отчетном периоде;

p0 – цена на картофель в базисном периоде;

q1 – физический объем проданного картофеля в отчетном периоде;

q0 – физический объем проданного картофеля в базисном периоде.



.



Индекс цен постоянного состава найдем как общий индекс цен по формуле:



,



где Ip – индекс цен.

Итак,



 .



Индекс влияния структурных сдвигов находится по формуле :






.



Взаимосвязь индексов выражается формулой:



 = Ip · Iвл.стр.сдв. .



Изменение средней себестоимости в целом :



Δ = – 

Δ = 8,377 – 8,05 = 0,327 руб. за 1 кг



Изменение средней цены под влиянием изменения цены по разным рынкам:



Δ(Δp) = ·Ip – 

Δ(Δp) = 8,05 * 1,047 – 8,05 = 0,378 руб. за 1 кг



Изменение средней цены под влиянием изменения структуры продаж :



Δ(стр.) =  – ·Ip

Δ(стр.) = 8,377 – 8,05 * 1,047 = – 0,051 руб. за 1 кг





1