Минимизация стоимостей перевозок

Московский Государственный Колледж 



                  Информационных Технологий 









           

Курсовой проект



по предмету





« Языки программирования и разработка 

программного обеспечения » 

на тему :

« Минимизация стоимостей перевозок »





















   Работу выполнил                                                           Работу проверили

   студент группы П-407                                                   Преподаватели

   Чубаков А.С.                                                                  Капустина Р.Н.

                                                                                           Токарев С.Б.









          		                                1998 г.



КР. 2203 81 - 21

                                               

                                                ВВЕДЕНИЕ

 Развитие современного общества характеризуется повышением технического 

уровня , усложнением организационной структуры производства , углублением общественного разделения труда , предъявлением высоких требований к  методам планирования и хозяйственного руководства. В этих условиях только научный подход к руководству к экономической жизни общества позволит обеспечить высокие темпы развития народного хозяйства. В настоящие время новейшие достижения математики и современной вычислительной техники находят все более широкие применение в экономических исследованиях и планированияx. Этому способствует развитие таких разделов математики . как математическое программирование , теория игр , теория массового обслуживания , а так же бурное развитие быстродействующей электронно - вычислительной техники. Одной из основных ставится задача создания единой системы оптимального планирования и управление народным хозяйством на базе широкого применения математических методов в электронно - вычислительной техники в экономике.

Решение экстремальных экономических задач можно разбить на три этапа : 

Построение экономико - математической задачи.

Нахождение оптимального решения одним из математических методов.

Промышленное внедрение в народное хозяйство.

Построение экономическо - математической  модели состоит в создании упрощенной математической модели , в которой в схематичной форме отражена структура изучаемого процесса. При этом особое внимание должно быть уделено отражении в модели всех существенных особенностей задачи и учет всех ограничивающих 

условий , которые могут повлиять на результат. Затем определяется цель решения , выбирается критерий оптимальности и дают математическую формулировку задачи.

Составными частями математического программирования являются линейное , нелинейное и динамическое программирование. При исследовании в большинстве случаев имеют место задачи нелинейного программирования , аппроксимация их линейными задачами вызвана только тем , что последние хорошо изучены.

Динамическое программирование как самостоятельная дисциплина сформулировалась в пятидесятых годах нашего века. Большой вклад в ее развитие внес американский математик Р. Бельман. Дальнейшие развитие динамическое программирование получило 

в трудах зарубежных ученых Робертса , Ланга и др.

В настоящие время оно в основном развивается в планировании приложений к различным родам многоэтапным процессам.







                











КР. 2203 81 – 21

2. ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ





   Производственное предприятие имеет в своем составе три филиала которые производят однородную продукцию

соответственно в количествах , равных 50 , 30 и 10 единиц. Эту продукцию получают четыре потребителя , расположенных в разных

местах. Их потребности соответственны равны 30 , 30 , 10 и 20 единиц. Тарифы перевозов единицы продукции от каждого филиалов соответствующим потребителям задаются матрицей :





             1 2 4 1

Сij =     2 3 1 5

             3 2 4 4



Составить такой план прикрепления получателе продукции к ее поставщикам , при котором общая стоимость перевозок будет минимальной.





















































































КП. 2203 81 - 21

2.МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ



2. Математическая модель задачи

Имеется:

            m (i=1,2,…,m) – филиалы. 

            Ai – количество единиц продукции  «i» филиала.

            n (j=1,2,…,n) – потребители

            Bj – потребности «j» потребителя

            Cij – стоимость перевозки 1 условной единицы продукции 

                     от «i» филиала к «j» потребителю



Ограничения:



	Балансовое ограничение.



(1)Предполагается, что сумма всех запасов (ai) равна сумме всех заявок (bj):



 

2. Ресурсное ограничение.          





Суммарное количество груза, направленного из каждого пункта отправления во все пункты назначения должно быть равно запасу груза в данном пункте. Это даст m – условий равенств:

                                                  или



(2)



             

	             3. Плановое ограничение.





(3)Суммарное количество груза, доставляемого в каждый пункт назначения изо всех пунктов отправления должно быть равно заявке (bj) поданной данным пунктом. Это даст нам n – условий равенств:



             



                            



КП. 2203 81 - 21                                                     

                                                   

                                                              или





4. Реальность плана перевозок.

Перевозки не могут быть отрицательными числами:





(4)



       5. Требуется составить такой план перевозок, при котором все заявки были бы выполнены и при этом общая стоимость всех перевозок была бы минимальна, поэтому целевая функция или критерий эффективности:







(5)





                                                       





         















































КП. 2203 81 – 21

                      3.ВЫБОР МЕТОДА РЕАЛИЗАЦИИ ПРОДУКЦИИ.

                           ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА МЕТОДА.

Симплекс - метод является универсальным и применяется для решения любых задач.

Однако существуют некоторые частные типы задач линейного программирования ,      

которые в силу некоторых особенностей своей структуры допускают решение более    

простыми методами. К ним относится транспортная задача.

Распределительный метод решения транспортной задачи обладает одним 

недостатком :

нужно отыскивать циклы для всех свободных клеток и находить их цены. От этой    

трудоемкой работы нас избавляет специальный метод решения транспортной   

задачи , который называется методом потенциалов. Он позволяет автоматически             

выделять циклы с отрицательной ценой и определять их цены. 

В отличии от общего случая ОЗЛП с произвольными ограничениями и   

минимизированной функцией , решение транспортной задачи всегда существует.

Общий принцип определения оптимального плана транспортной задачи методом потенциалов аналогичен принципу решения задачи линейного программирования симплекс - метода ,. а именно : сначала находят опорный план транспортной задачи , а затем его улучшают до получения оптимального плана. Далее будет рассматриваться сам метод потенциалов.

Решение транспортной задачи , как и любой другой задачи линейного программирования начинается с нахождения опорного решения , или , как мы говорим опорного плана. Для его нахождения созданы специальные методы , самым распространенным из них считается метод северо - западного угла.

Определение значений xi,j  начинается с левой верхней клетки таблицы. Находим значения x1,1 из соотношения x11 = mina1,b1.

Если ai < b1 то x11=a1 , строка i=1 исключается из дальнейшего рассмотрения , а потребность первого потребителя b1 уменьшается на величину a1.

Если a1>b1 , то x11=b1 , столбец j=1 исключается из дальнейшего рассмотрения , а наличие груза у первого поставщика a1 уменьшается на величину b1.

Если a1=b1 , то x11=a1=b1 , строка i=1 и столбец j=1 исключаются из дальнейшего рассмотрения.

Данный вариант приводит к вырождению исходного плана.

Затем аналогичные операции проделывают с оставшийся частью таблицы , начиная с его северо - западного угла. После завершения оптимального процесса необходимо провести проверку полученного плана на вырожденность.

Если количество заполненных клеток равно m + n -1 , то план является невырожденным. Если план вырожденный , т.е количество заполненных клеток стало меньше m + n -1 , то незаполненные клетки с минимальными стоимостями перевозок заполняются нулями , чтобы общие количество заполненных клеток стало равным

 m + n -1.

Транспортная задача с неправильным балансом называется открытой моделью .

Чтобы ее решить , необходимое сбалансировать. Достигается это следующим образом:    

Когда еai >еbj       это транспортная задача с избытком запасов.

еxij<= ai (i=1,m)



 	

				

                                          	КП. 2203 81 – 21 

еxij=bj (j=1,n)

Здесь вводим фиктивного потребителя Bф и приписываем ему заявку bф=еai - еbj . Вводим фиктивный сотолбец , т.е Ciф=0 (i =1,m). Все стоимости будут равны нулю , это значит , что грузы ciф останутся невостребованными , т.е введением фиктивного потребителя , мы свели транспортную задачу с неправильным балансом к задаче с правильным балансом.

Если сумма подданных заявок превышает наличные запасы

еbj >еai , то такая задача называется – транспортная задача с избытком запаса. Эту задачу можно свести к обычной задаче с правильным балансом , если ввести фиктивный пункт отправления Aф , приписав ему фиктивный запас aф =еbj - еai . Добавляем фиктивную строку , где Cфi= 0 ( j=1,n).

Стоимости будут равны нулю . это значит , что часть заявок cфj останутся неудовлетворенными. Среди них могут оказаться те потребности , которые необходимо обязательно удовлетворить. Для этого вводим коэффициент:

R=еai : еbj и каждый запас bj умножаем на этот коэффициент. Таким образом задача сведена к транспортной задаче с правильным балансом.

Построенный выше исходный план можно довести до оптимального с помощью метода потенциалов.

Каждому поставщику Ai поставим в соответствии некоторые числа ai , называемые потенциалом , а каждому потребителю Bj – число bj. 

Для каждой независимой клетки , т.е для каждой независимой переменной рассчитываются так называемые косвенные тарифы ( Cўij) по формуле 

 Cўij= ai + bj. А для заполненных  клеток , т.е базисных переменных Cўij =Cij.

Проверяем полученный план на оптимальность. Если для каждой независимой клетки выполняется условие Cўij - Cij <=0 , то такой план является оптимальным. Если хотя бы в одной свободной клетке Cўij > Cij , то следует приступить к улучшению плана.

Для правильного перемещения перевозок , чтобы не нарушить ограничений , строится цикл , т.е замкнутый путь , соединяющий выбранную свободную клетку с той же самой , и проходящий через заполненные клетки. Цикл строится следующим образом.

Вычеркиваются все строки и столбцы , содержащие ровно одну заполненную клетку (выбранная при этом клетка считается заполненной). Все остальные заполненные клетки составляют и лежат в его углах. Направление построения цикла ( по часовой стрелке или против ) несущественно. 

В каждой клетки цикла , начиная со свободной , проставляются поочередно знаки 

І + І и  І -  І .  В клетках со знаком  І - І выбирается минимальная величина. Новый базисный план начинается путем сложений выбранной величины с величинами , стоящих в клетках цикла со знаком І + І и вычитанием этой величины из величины , стоящей в клетке со знаком І -  І . Выбранная минимальная величина будет соответствовать перемененной выводимой из базиса.















КП. 2203 81 - 21

 Значения переменных включенных в цикл , после описанной корректировки , переносятся в новую таблицу.

Все остальные переменные записываются в новую таблицу без изменения. Осуществляется переход к шагу один. Дальше подсчитывается значение целевой функции 

F = ее  Cij· cij                        min.



Метод потенциалов обеспечивает монотонное убывание значений целевой функции и позволяет за конечное число шагов найти его минимум. 





































































































КР. 2203 81 - 21

5.КРАТКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЭВМ И ЕГО ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ.



Слово « компьютер »означает « вычислитель » , т.е устройство для вычислений.

Это связано с тем , что первые компьютеры создавались как устройства для вычислений , грубо говоря , усовершенствованные , арифметические арифмометры. Принципиальное отличие компьютеров от арифмометров и других счетных устройств состояло в том , что арифмометры могли выполнять лишь отдельные вычислительные операции(сложение , вычитание , умножение , деление и др.) , а компьютеры позволяли проводить без участия человека сложные последовательные вычислительные операции по заранее заданной инструкции - программе. Кроме того , для хранения данных , промежуточных и итоговых результатов вычислений компьютеры содержат память.

Компьютер - это универсальный прибор для переработки информации. Но сам по себе компьютер является просто ящиком с набором электронных схем. Он не обладает знаниями ни в одной области своего применения. Все эти знания сосредоточены в выполняемых на компьютере программах. Для того , чтобы компьютер мог осуществить  определенные действия , необходимо составить для компьютера программу , т.е точную и пол=дробную последовательность инструкций на понятном компьютере языке , как надо правильно обрабатывать информацию. Меняя программы для компьютера , можно привести его в рабочие место бухгалтера ил  конструктора , статистика или агронома , редактировать документ или играть  в игры. Поэтому для эффективного использования компьютера необходимо знать назначение и свойства необходимые при работе с ним программ.

Программы . работающие на компьютеры можно разделить на три категории :

Прикладные программы , непосредственно обеспечивающие выполнение необходимых пользователям работ : редактирование текстов , рисование 

картинок , обработку информационных массивов и т.д.

Системные программы , выполняющие различные вспомогательные функции , например создание копий используемой информации , проверку работоспособности устройств компьютера и т.д. Огромную роль среди всех системных программ играет операционная система - программа , управляющая компьютером , запускающая все другие программы и выполняющая для них различные сервисные функции.

Инструментальные системы (системы программирования ) , обеспечивающие создание новых программ для компьютера.































КР. 2203 81 - 21

6.ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА ЯЗЫКА



В 1992 году фирма Borland International выпустила два пакета программирования , основанные на использовании языка Паскаль - Borland Pascal 7.0 и Turbo Pascal 7.0. Система программирования Turbo Pascal , разработанная американской корпорацией Borland

остается одной из самых популярных систем программирования в мире. Этому способствует , с одной стороны , простота лежащего в ее основе языка программирования Паскаль , а с другой - труд и талант сотрудников Borland во главе с идеологом и создателем Turbo Pascal Андерсом Хейлсбергом , приложившим немало усилий к ее совершенствованию. Придуманный швейцарским ученым Никласом Виртом как средство для обучения студентов программированию , язык Паскаль стараниями А. Хейлсберга превратилась в мощною современною профессиональную систему программирования , которой по плечу любые задачи - от создания простых программ , предназначенных для решения несложных вычислительных задач , до разработки сложнейших реляционных систем управления базами данных. Появление Windows  и инструментальных средств Borland Pascal with Object и Delphi для разработки программ в среде Windows лишний раз показало , какие поистине не исчерпывающие возможности таит он в себе : и Borland Pascal , и используемый в Delphi язык Object Pascal основываются на Турбо Паскале и развивают его идеи.

Пакет Turbo Pascal включает в себя как язык программирования  - одно из расширений языка Паскаль для ЭВМ типа IBM , так и среду , предназначенную для написания , отладки и запуска программ.

Язык характеризуется расширенными возможностями по сравнению со стандартом , хорошо развитой библиотекой модулей , позволяющей использовать возможности операционной системы , создавать оверлейные структуры , организовывать ввод - вывод , формировать графические изображения и т.д.

среда программирования позволяет создавать тексты программ . компилировать их , находить и справлять ошибки , компоновать программы из отдельных частей . включая стандартные модули , отлаживать и выполнять отлаженную программу. Пакет представляет пользователю большой объем справочной информации , позволяет применять объектное - ориентированное программирование , обладает встроенным ассемблером , имеет инструментальное средство для создания интерактивных программ - Turbo Vision  и т.д.







































КР. 2203 81 - 21

7.РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТЕСТА ДЛЯ НАПИСАНИЯ И ОТЛАДКИ ПРОГРРАММЫ.









    B1



    B2



     B3 



     B4



     ai



ai



A1

1         1

    

    30

2         2

  

    20

0         4

      

4         1

      



    50



    0

A2

2         2



3         3

    

   10 

1         1

  

   10 

5         5

  

    10



    30



    1

A3

1         3



2         2

0         4

4         4

     

    10



    10



    0

заявки

    bj

 

   30



    30



   10



      20 



    90



   Bj  



    1



     2



    0



      4







                  		       1,2			1,4	     

                                		     10	              

                        	        2,2			2,4

	





B1

B2 

B3

B4  

ai

ai



A1

1         1

  

   30

2         2

    

    10

0         4

      

1         1

    

    10



     50



      0



A2

2         2

      

3         3

      

    20

1         1

     

    10

2         5

       



     30



      1



A3

4         3

5         2

3         4

4         4

     

     10 



      10



       3

bj



     30



      30



      10



      20

 

      90





Bj



     1



       2



       0



      1







            		         1,1			 1,4		

			                       10  

				3,1			 3,4		

















КР. 2203 81 - 21











     B1



   B2



   B3



   B4



    ai



ai



A1

1         1

   

    20

2         2

    

    10

0         4

1         1

   

     20 



     50



     0



A2

2         2

3         3

  

   20

1         1

  

   10

2         5



     30



     1



A3

3         3

    

   10 

4         2 

2         4

3         4



     10



     2



  bj



     30



      30



      10



      20

 

     90





  Bj



      1



       2



       0

  

       1







			   1,1				 1,2

			                        10

			   3,1				 3,2		











   B1



    B2



    B3



    B4



    ai



ai



A1

1        1

    30

-1         2

-3         4

1        1

    20



    50



   0 



A2

5        2

3          3

     20

1          1

     10

5        5



    30



   4



A3

4        3

2          2

      10

0          4

4        4

     E 



   10+E



   3



bj



    30



    30



    10



 20+E



  90+E





Bj



    1



     -1



    -3 



    1







                               1,1				1,2

					

10

			  2,1				2,2



















КР. 2203 81 - 21











   B1



    B2



   B3



   B4



    ai



ai



A1

1        1

    10

2          2

     20

0          4

1        1

     20



     50



   0



A2

2        2

    20 

3          3

1          1

      10 

2        5



     30



    1



A3

1        3

2          2

      10

0          4

1        4



      10



    0



bj



   30



      30



      10



     20



       90





Bj



    1



      2



       0



      1







Fmin=1·10 +2·20 +2·10 +1·10 +2·20 +20*1 = 140



Найден оптимальный план перевозок , равный 140.





















































































КР. 2203 81 – 21

8.АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

В процессе решения транспортной задачи методом потенциалов было получено решение , которое является оптимальным , потому , что для каждой независимой клетки выполняется критерий оптимальности плана транспортной задачи :

Cўij –Cij <=0

Так же суммарная стоимость перевозок груза с каждой последующей итерацией уменьшалась и оказалась равной 140 рублям.

Еще одним немаловажным фактором является  то , что потребность получателя в грузе полностью удовлетворена , а поставщик реализовал весь свой груз.

Результат подсчитанный ручным счетом сходится с ответом , полученным на ЭВМ с помощью составленной программы. Расхождений нет.

Вектор полученных результатов:



          10  20  0  20

c=      20  0   10  0

           0   10  0   0

















































































                    				КП. 2203 81 - 21



                                                    ЗАКЛЮЧЕНИЕ



Основной задачей данного курсового проекта являеся нахождение оптимального плана перевозок груза от поставщиков к потребителям . нахождение минимальной функции.

Эта задача сводится к транспортной задаче.

В процессе разработки курсового проекта былы составлена универсальная программа для решения аналогичных задач. Правильность работы задачи определяется с помощью задачи - теста . Для проверки правильности работы работы программы были заданны : количество поставщиков и потребителей , наличие груза , заявки и тарифы перевозок. Результаты были подсчитаны вручную , а их решение совпадает с результатом машинного счета. Полученный верный результат позволяет применять данную программу к производственным и транспорным задачам.