Додавання гармонічних коливань та затухаючі коливання

ДОДАВАННЯ ГАРМОНІЧНИХ КОЛИВАНЬ

			

			

			
ЗМІСТ

		

		Вступ

		1. Енергія гармонічних коливань

		2. Додавання гармонічних коливань. Биття

		3. Додавання взаємно перпендикулярних коливань

		Висновки

		

		
НАОЧНІ ПОСІБНИКИ ТА ПРИЛАДИ

		

		Установка для демонстрації додавання коливань.

		Два генератори, осцилограф.

		Кінофільм “Додавання коливань”.

		

		ОРГАНІЗАЦІЙНО-МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДЛЯ ПРОВЕДЕННЯ ЛЕКЦІЇ

		

		Виразити кінетичну та потенціальну енергії системи, що здійснює вільні пружні коливання та графічно, за допомогою лектора-2000, пояснити закон коливань енергії. Вказати на закон збереження енергії, як для механічних коливань, так і для електромагнітних коливань в коливальному контурі.

		Додати графічно гармонічні коливання однакового напрямку і однакової частоти. Пояснити за допомогою лектора-2000: якщо частоти мало відрізняються, одержується коливання з гармонічно пульсуючою амплітудою – биття.

		Пояснити: якщо коливальна система бере участь у двох взаємноперпендикулярних коливаннях, то траекторією її руху є фігура Ліссажу (еліпс або прямі ).

		

		
ВСТУП

		

		Кінетична та потенціальна енергії коливальної системи змінюються з частотою, яка вдвічі перевищує частоту гармонічних коливань.

		Коливальна система може брати участь в декількох коливальних процесах, тоді необхідно знайти результуюче коливання, інакше кажучи, коливання необхідно додати.

		

		
1. ЕНЕРГІЯ ГАРМОНІЧНИХ КОЛИВАНЬ

		

		Під час гармонічного коливального руху кінетична енергія коливальної системи і потенціальна енергія взаємодії невпинно змінюються.

		Повна енергія коливального руху:

		

		; ,

		

		поскільки .

		Кінетична енергія змінюється за гармонічним законом, але з подвоєнною частотою.

		 кількісно дорівнює роботі квазіпружньої сили ;

		

		;

		;

		.

		

		Потенціальна енергія змінюється як і кінетична енергія, з частотою  і в тиж же межах від 0 до , але зі зсувом фаз відносно кінетичної енергії на .

		


		Рис. 1

		

		При електромагнітних коливаннях:

		

		,

		.

		

		При властивих електромагнітних коливаннях, (коли немає втрат) W

		з пливом часу не змінюється, переходить із однієї енергії в іншу.

		

		2. ДОДАВАННЯ ГАРМОНІЧНИХ КОЛИВАНЬ. БИТТЯ

		

		У випадках коли система знаходиться в декількох коливальних процесах одночасно, то необхідно знайти результуюче коливання.

		Наприклад, електромагнітні хвилі, що надходять від ряду радіостанцій, збуджують в приймальному контурі електромагнітні коливання різних частот.

		Таким же чином потрібно додати синусоїдні змінні струми в точці розгалудження ланцюга.

		Додамо гармонічні коливання однакового напряму і однакової частоти:

		

		,

		.

		

		Для цього зобразимо гармонічне коливання графічно методом обертового вектора амплітуди або методом вектороної діаграми.

		З точки 0, вибрані на вісі Х, під кутами  (початкова фаза першого коливання) і  (початкова фаза другого коливання) відкладаємо модуль амплітуд  і  (Рис.1).

		При обертанні векторів амплітуд навколо точки 0 з кутовою швидкістю , проекції векторів будуть переміщуватись по вісі Х в межах числових значень амплітуд, змінюючись згідно з гармонічним законом.

		

		

		

		

		Рис. 1

		

		Очевидно, що рівняння результуючого коливання буде рівнянн гармонічного коливання тієї ж частоти і того ж напрямку.

		

		

		 - теорема косинусів

		
Відповідно малюнку

		

		;

		.

		

		Проаналізуємо:

		

		1)  

		2)  

		

		Таким чином:

		

		.

		

		Аналогічно - при декількох однаково спрямованих коливаннях.

		Практично особливу зацікавленість представляє випадок, коли два складаємих гармонічних коливань, однаково спрямованих, мало відрізняються за частотою.

		В результаті додавання одержуємо коливання з періодично змінюваного (пульсуючого) амплітудою – биття (рис.2).

		


		Рис.2

		

		Нехай  і ; . 

		Тоді ; ;

		Знайдемо рівняння результуючого коливання аналітичним методом:

		

		

		

		Результуюче коливання майже гармонічне з частотою і повільно гармонічне з частотою, що змінюється:

		

		.

		

		Пунктирна лінія на рис.2 графічно це зображує. Суцільна лінія – графік результуючого коливання.

		Частота змінювання модуля косинуса  - частота биття, або . Період биття .

		Явище биття використовується під час настроювання струнких інструментів (коли настроювана частота і частота еталона збігається, то биття немає).

		Биття використовується під час гетеродинного приймання – сигналу.

		В приймач вводять генератор високої частоти, малої потужності-гетеродин, частота якого може змінюватись.

		Коливання, що приймаються приймачем, складаються з коливаннями гетеродина, частота якого підбирається так, щоб в результаті одержати биття більш низької частоти, яка не змінюється (завдяки гетеродину) і наступні каскади підсилювача працюють на постійній частоті.

		Гетеродини дозволяють приймати сигнали надвисокої частоти. 

		

		3. ДОДАВАННЯ ВЗАЄМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНИХ КОЛИВАНЬ

		

		Розглянемо випадок, коли коливальна система бере участь в 2-х взаємно перпендикулярних коливанняхз (промінь осцилографа при подачі гармонічної напруги на вертикальні і горизонтальні платівки).

		Нехай ; ; .

		Рівняння траекторії результуючого коливання знаходиться шляхом виключення параметра t.

		

		

		

		Розглянемо випадки:

		1) , тоді рівняння набуває вигляд

		

		

		


		

			

		

		2)

		

		

		

		

		3)

		

		4) , то результуюче коливання відбувається по складній траекторії, форма якої залежить від різниці фаз і співвідношення частот.

		Якщо провести дотичні до траекторії, паралельні вісям, то відношення чисел дотиків обернено пропорційне частотам коливань, що додаються.

		Наприклад:

		


		Рис. 3

		

		

		

		Методом фігур Ліссажу визначають невідому частоту.

		

		
ВИСНОВКИ

		

		Потенціальна енергія пружно-коливальної системи змінюється як і кінетична енергія з частотою 2 і в тих же межах, але зі зсувом фаз відповідно кінетичної енергії на . Аналогічно при вільних електромагнітних коливаннях енергія з плином часу не змінюється, а переходить із енергії електричного поля конденсатора в магнітну енергію поля котушки і навпаки.

		При додаванні гармонічних коливань однакового напрямку і однакової частоти- результуюче коливання є гармонічним тієї ж частоти. В результаті додавання гармонічних коливань близької частоти, однаково спрямованих, одержується биття.

		За допомогою фігур Ліссажу визначається невідома частота.

		

		
ЗАТУХАЮЧІ КОЛИВАННЯ

			

		ЗМІСТ

		

		Вступ.

		1. Затухаючі коливання. Диференціальне рівняння затухаючих механічних та електромагнітних поливань і його рішення. Логарифмічний декремент затухання. Добротність.

		2. Вимушені коливання. Диференціальне рівняння вимушених коливань і його рішення.

		Висновки.

		

		
НАОЧНІ ПОСІБНИКИ ТА ПРИЛАДИ

		

		1. Діафільм “Колебания и волны”.

		2. Осцилограф, камертон, мікрофон.

		3. Установка для демонстрації затухаючих коливань.

		

		ОРГАНІЗАЦІЙНО-МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО ПРОВЕДЕННЯ ЛЕКЦІЇ

		

		Визначити затухаючі коливання згідно з другим законом Ньютона та узагальненим законом Ома одержати диференціальне рівняння відповідно механічних та електромагнітних коливань, графічно зобразити закон затухаючих коливань та визначити їх параметри, звернути увагу на логарифмічний декремент затухання та добротність коливального контура. Продемонструвати за допомогою камертона та на осцелографі затухаючі коливання.

		Продемонструвати за допомогою мікрофона та визначити вимушені коливання.

		

		
ВСТУП

		

		У реальних коливальних системах за рахунок зміни енергії коливального руху виконується робота сил тертя, а також омічних втрат і випромінювання електромагнітної енергії в електричних коливальних системах. Тому з часом амплітуда вільних коливань зменшується. Практично всі вільні коливання – затухаючі і тому вони гармонічні. Проте, якщо сили тертя набагато менші за сили пружності, наприклад, то наближено можна затухаючі коливання вважати гармонічними з певним періодом Т3.

		Коливання не затухають, якщо енергія коливальної системи поповнюється за рахунок, наприклад дії зовнішньої гармонічної сили. Частота встановлених вимушених коливань дорівнює частоті дії зовнішньої сили.

		

		
1. ЗАТУХАЮЧІ КОЛИВАННЯ. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ РІВНЯННЯ ЗАТУХАЮЧИХ МЕХАНІЧНИХ КОЛИВАНЬ ТА ЕЛЕКТРОМАГНІТНИХ КОЛИВАНЬ І ЙОГО РІШЕННЯ. ЛОГАРИФМІЧНИЙ ДЕКРЕМЕНТ ЗАТУХАЮЧИХ КОЛИВАНЬ. ДОБРОТНІСТЬ

		

		Розглянемо вільні затухаючі коливання – коливання, амплітуда яких внаслідок втрати енергії реальною коливальною системою з плином часу зменшується. Простим механізмом зменшення енергії коливань з’являється її перетворення в теплоту внаслідок тертя в механічних коливальних системах, а також омічних втрат і випромінювання електромагнітної енергії в електричних коливальних системах.

		Закон затухаючих коливань визначається властивостями коливальних систем. Звичайно розглядають лінійні системи – ідеалізовані реальні системи.

		Лінійними системами являються, наприклад, пружинні маятники при малому розтягуванні пружини (коли слушний закон Гука), коливальний контур, індуктивність, ємність і опір якого не залежить ні від струму в контурі, ні від напруги.

		Різні по своїй природі лінійні системи описуються ідентичними лінійними диференціальними рівняннями, що дозволяє підходити до вивчення коливань різної фізичної природи з єдиної точки зору, а також проводити їх моделювання, в тому числі і на ЕВМ. 

		Диференціальне рівняння вільних затухаючих коливань лінійної системи задається у вигляді:

		

		,

		

		де S – коливальна величина, що описує той чи інший фізичний процес,

		 - const - коефіцієнт затухання,

			- циклічна частота вільних незатухаючих коливань тієї ж коливальної системи, тобто при  = 0 (при відсутності втрат енергії).

			Рішення рівняння у випадку малих згасань ()

			

			,

			

			де - амплітуда затухаючих коливань, а  – початкова амплітуда.

			

			

			Рис.

			

			Проміжок часу , за який час амплітуда затухаючих коливань зменшується в е разів, зветься часом релаксації.

			Якщо затухання мале, то можна умовно користуватись поняттям періоду як проміжок часу між двома послідовними максимумами (чи мінімумами) коливальної фізичної величини. Тоді період затухаючих коливань з урахуванням формули

			 рівняється .

			Якщо A(t) і A(t+T) - амплітуди двох послідовних коливань, відповідних моментам часу, що відрізняються на період, то відношення

			


			

			називається декрементом затухання, а його логарифм

			 - логарифмічним декрементом затухання; 

			N – число коливань, здійснюваних за час зменшення амплітуди у е разів.

			Для характеристики коливальної системи користуються поняттям добротності Q яка при малих значенням логарифмічного декремента дорівнює

			 , а поскільки згасання невелике () то Т прийнято рівним . 

			Застосуємо висновки, одержані для вільних затухаючих коливань лінійних систем, для коливань різної фізичної природи, для пружинного маятника масою m , що здійснює малі коливання під дією пружної сили F = -кх, сила тертя пропорційна швидкості, тобто , де r – коефіцієнт опору; знак мінус указує на протилежні напрямки тертя і швидкості.

			За даних умов закон руху маятника матеме вигляд:

			

			

			

			Використовуючи формулу  і вважаючи, що коефіцієнт затухання , одержимо диференціальне рівняння затухаючих коливань маятника:

			

			

			
Маятник коливається по закону  з частотою .

			Диференціальне рівняння вільних затухаючих коливань заряду в контурі (при R  0) має вигляд: 

			

			.

		

		Коефіцієнт затухання  також  коливання заряду здійснюються за законом  з частотою , добротність коливального контура .

		На закінчення відмітимо, що при збільшенні коефіцієнта затухання період затухаючих коливань зростає і при обертається в безкінечність, тобто рух перестає бути періодичним. В даному випадку коливальна величина асимптотично наближається до нуля, коли t . Процес не буде коливальним. Він зветься аперіодичним.

		

		2. ВИМУШЕНІ КОЛИВАННЯ. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ РІВНЯННЯ ВИМУШЕНИХ КОЛИВАНЬ І ЙОГО РІШЕННЯ

		

		Затухання коливань пов’язано з затратою енергії коливальної системи для подолання опору. Для того, щоб в реальній коливальній системі одержати незагасаючі коливання, потрібно компенсувати втрати енергії. Така компенсація можлива з допомогою будь-якого періодично діючого фактора, що змінюється по гармонічному закону. 

		Коливання, що виникають під дією зовнішньої сили, називаються вимушеним и коливаннями. 

		Вимушені коливання здійснюють, наприклад, корпус і фундамент машин при обертанні неврівноваженого ротора; мембрана гучномовця під дією магнітного поля збуджуваного змінним струмом; струм, збуджуваний в атомі прибуваючими сигналами і наводящими в контур змінну ЕРС та інші.

		Якщо розглядати механічні коливання, то зовнішня спонукаюча сила .

		Закон руху для пружного (фізичного) маятника має вигляд:

		

		,

		

		де  - циклічна частота коливань спонукаючої сили.

		Загальне рішення цього неоднорідного диференціального рівняння являє собою суму вільних  і вимушених  коливань, тобто

		

		.

		

		Але перша складова має помітну роль тільки в початковій стадії процесу (встановлення коливань), оскільки вільні коливання швидко затухають (рис.1).

		

		

		Рис.1

		

		Для одержання незгасаючих електромагнітних коливань необхідно зовні підводити енергію, яка б компенсувала втрати на Ленц-джоулеве тепло і випромінювання контура. В цьому випадку відбуватимуться не вільні, а вимушені електромагнітні коливання.

		Для здійснення таких коливань необхідно включити в коливальний контур джерело струму, що має ЕРС. 

		

		

		Рис.2

		

		Розглянемо найпростіший випадок вимушених електромагнітних коливань в контурі, що відбувається під дією синусоідальної ЕРС.

		

		,

		

		де  - амплітудне значення (амплітуда ЕРС),  -циклічна частота.

		Для одержання диференціального рівняння вимушених електромагнітних коливань достаньо в закон Ома для однорідного коли iR =  +  підставити значення  - падіння потенціалу на конденсаторах і  замінити сумою спонукаючої ЕРС і ЕРС самоіндукції:

		

		.

		
Враховуючи, що 

		

		,

		

		одержимо:

		

		.

		

		Рішення диференціального рівняння можна представити у вигляді:

		

		,

		,

		

		

		де  - зсування фаз між q і зовнішньою  (ЕРС). Підставляючи в ці вправи значення  і  одержимо: 

		

		.

		.

		

		Поділивши q на ємність С, одержимо значення напруги на конденсаторі, продиференціювавши функцію ( q(t) ) по t , знайдемо установлений струм у контурі.

		
,

		,

		.

		

		Якщо  - зсув фаз між струмом і зовнішньою ЕРС, то 

		

		,

		

		тобто . 

		Амплітудне значення струму визначається виразом:

		

		.

		

		Ця формула має схожість з законом Ома в тому розумінні, що амплітуда напруги пропорційна амплітуді струму. Тому формулу

		.

		

		
ВИСНОВКИ

		

		Коливання, амплітуда яких з часом зменшується, називаються затухаючими.

		Закон затухаючих коливань визначається властивостями системи.

		Основними параметрами затухаючих коливань являються початкова амплітуда, частота (період) затухаючих коливань, коефіцієнт затухання та добротність, а також час релаксації і кількість коливань в системі за час релаксації.

		Вивчаючи коливальні системи з малими затуханнями, які мають широку область застосування, особливо в техніці зв’язку. Але є практичні випадки використання коливальних систем з різким затуханням, або аперіодичних.

		Незатухаючі коливання, які підтримують за допомогою зовнішньої періодично діючої сили називають вимушеними.

		Частота встановлених вимушених гармонічних коливань дорівнює частоті дії зовнішньої гармонічної сили.

		

		
ЛІТЕРАТУРА

		

		1. Кучерук І.М., Горбачук І.Г. Загальна фізика. Електроніка і магнетизм.- К.:Вища школа, 1990. §

		2. Савельев И.В. Курс физики, т.3, Квантовая физика.-М.: 1989. §

		3. Трофимова Т.И. Курс физики,-М.: Высшая школа, 1985, 432 с. §

		4. Бушок Г.Ф., Левандовський В.В., Півень Г.Ф. Курс фізики (Оптика. Фізика атома і атомного ядра. Молекулярна фізика і термодинаміка), т.2,-Київ.: Либідь, 2001, - 421 с. §