Лінійна модель виробництва

ЛІНІЙНА МОДЕЛЬ ВИРОБНИЦТВА




1. Лінійні моделі виробництва та лінійне програмування



Будь-яке національне господарство розвивається в складній мережі міжгалузевих взаємозв'язків, які зрозуміти шляхом простого математичного апарату неможливо. Наприклад, попит на автомобілі впливає не тільки на автомобільну промисловість, але непрямо і на металургію – виробника базової сировини для виготовлення автомобілів, і на галузі, пов'язані з виробництвом шин, і інших комплектуючих частин, а також на галузі, які виготовляють радіоелектронне устаткування та ін. Прості розрахунки показують, що «лобовий» підхід та арифметика не допоможуть при спробі кількісного аналізу прямого й непрямого ефекту поширення таких впливів.

Метод міжгалузевого аналізу, розроблений американським економістом російського походження Василем Леонтьєвим, дозволяє дати послідовні та чисельно впевнені відповіді на запитання, пов'язані з міжгалузевими взаємодіями й їх впливами на основні макроекономічні показники.

Розглянемо діяльність найнижчої ланки макроекономіки (виробничої одиниці – заводу, цеху). Потрібно скласти план виробництва, який забезпечує максимальний ступень виконання завдання. Щодо даної виробничої одиниці відомі її технічні можливості, а також кількість сировинних ресурсів, які можна використати.

Нехай кількість всіх видів ресурсів  позначимо їх . Це можуть бути метал, електроенергія, різні види поставок з інших підприємств. Припустимо, що на виробництві можуть випускатися  типів товарів .

Технологією виробництва товарів  назвемо набір чисел  , що показують, яка кількість ресурсів  необхідні для випуску однієї одиниці товару . Так виробництво товарів  можна подати як конвеєр, протягом якого подаються ресурси в кількості а в кінці конвеєра виходить готова одиниця продукту .

Отже, можна скласти технологічну матрицю, яка повністю описує технологічні можливості виробництва. Позначаємо її через 



.



Нехай задані кількості  ресурсів ,, які можуть бути використані у виробництві, тоді – вектор ресурсів. Назвемо планом виробництва вектор , що показує, яка кількість товарів  буде вироблена.

Вважатимемо технологію виробництва лінійною, тобто припустимо, що всі витрати ресурсів зростають прямо пропорційно обсягу випуску. Припустимо, що витрати під час випуску  одиниць продукту  описуються вектором , причому одночасне функціонування декількох технологічних процесів приводить до сумарних витрат.

Отже, витрати ресурсів, необхідні для виконання плану виробництва , описуються вектором, координати якого мають такий вигляд:








або в матричній формі вектором . Умова обмеженості ресурсів записується у вигляді . Отже, при заданому векторі ресурсів розглянутою виробничою одиницею може бути будь-який випущений набір товарів , який задовольняє обмеженням , . Як правило, такий вектор не єдиний. У зв'язку з цим з'являється можливість вибору найкращого в деякому розумінні плану.

Розглянемо можливі постановки оптимізаційної задачі. Нехай задані ціни  на продукти виробництва . Потрібно визначити план виробництва, що максимізує вартість продукції. Формальний запис цієї задачі такий:



, , .(1)



Така постановка задачі відповідає принципу планування за валом. Випадок, коли планування випуску проводиться за номенклатурою товарів, можна змоделювати інакше. Нехай заданий вектор , що визначає один комплект випуску. Потрібно випустити як можна більше таких комплектів. Нехай  означає кількість комплектів, що випускають. Розглянемо задачу



, , , .(2)




Тут нерівність  означає, що вектор  містить не менше  повних комплектів  продукції, що випускається.

Моделі (1), (2), хоча й відбивають певні риси реального виробництва, є, значно ідеалізованими. Так, відсутнє таке важливе для виробництва поняття, як час. Вважається, що всі необхідні ресурси ,  доступні. Отже, такі моделі абстраговані від динаміки виробництва й не враховують цілий ряд інших показників, які є неодмінним атрибутом реального виробництва.

Незважаючи на розходження змістовних результатів ілюстративні лінійні моделі (1), (2) мають багато спільного, а саме є стандартними задачами лінійного програмування. Основними обчислювальними схемами розв’язування задач лінійного програмування є симплекс-метод і його модифікації.



2. Статична схема міжгалузевого балансу. Модель Леонтьєва



Основою багатьох лінійних методів виробництва є схема міжгалузевого балансу. Нехай весь виробничий сектор народного господарства розбитий на  чистих галузей, тобто продукція кожної з цих галузей передбачається однорідною. Кожна галузь випускає продукт тільки одного типу, і різні галузі випускають різні продукти. В процесі виробництва свого виду продукту кожна галузь потребує продукцію інших галузей. Чиста галузь є економічною абстракцією , що не обов'язково існує реально. Подібна ідеалізація виправдана тим, що вона дозволяє провести аналіз технологічної структури виробництва та розподілу.

Припустимо тепер, що в деякий момент часу, наприклад, у році , за підсумковими даними складений балансовий звіт по народному господарству за фіксований період часу за формою, наведеною в табл. 1.


Таблиця 1

Галузі 

1

2

…





Продукти 











1





…





2





…





…

…

…

…

…

…







…





Валовий випуск





…





Кінцеве споживання





…







Величини  вказують обсяг продукту з номером , витрачений галуззю  в процесі виробництва за звітний період. Числа ,  дорівнюють обсягу продукції (валовому випуску) -ї галузі за той самий період, а значення  – обсягу продукції -ї галузі, що був спожитий у невиробничій сфері. Числа , показують розподіл -го продукту на виробничі потреби всіх інших галузей. Балансовий характер табл. 1 виражається в тому, що мають виконуватися співвідношення



, .(3)



Отже, валова продукція визначається як сума кінцевої й проміжної продукції.

Одиниці виміру всіх зазначених величин можуть бути натуральними або вартісними, залежно від чого розрізняють натуральний і вартісний міжгалузевий баланс.

Якщо всі елементи -го стовпця таблиці 1 розділити на , то число  розумітимемо як обсяг продукції -ї галузі, необхідний для виробництва однієї одиниці продукту -ї галузі. Числа ,  характеризують технологію -ї галузі у звітний період і звуться коефіцієнтами прямих витрат -ї галузі. Під  розумітимемо частку продукції -ї галузі, витрачену на невиробниче споживання. Основним елементом схеми міжгалузевого балансу є квадратна матриця , яку називають матрицею коефіцієнтів прямих витрат.

Першим допущенням даної схеми є те, що сформована технологія виробництва є незмінною протягом деякого проміжку часу. Друге допущення полягає в тому, що для виробництва  одиниць продукції галузі  необхідно затратити  одиниць галузі , тобто передбачається, що витрати прямо пропорційні випуску (є лінійно однорідною функцією випуску).

Під час виробництва набору продукції  витрати продукції -ї галузі складуть у цьому випадку величину



 .(4)



Переходячи до матричних позначень, стверджуємо, що вектор виробничих витрат дорівнює . Якщо – вектор кінцевих споживань, тоді валова продукція -ї галузі дорівнює




,  (5)



або в матричній формі



. (6)



Систему рівнянь (6) називають моделлю міжгалузевого балансу або моделлю Леонтьєва. Дана модель пов'язує обсяги валових випусків з обсягами кінцевої продукції й може бути використана для розрахунку цих величин. Наприклад, якщо відомий набір можливих при даних ресурсах випусків , то система (6) дозволить розрахувати набір відповідних значень . Якщо спочатку відомий бажаний набір кінцевої продукції, то за допомогою моделі (6) можна визначити необхідні для його забезпечення обсяги валового випуску по галузі, тобто



 (7)



при заданій матриці .



3. Розв’язок моделі Леонтьєва



За економічними міркуваннями всі коефіцієнти матриці  невід’ємні: , . У цьому випадку говорять, що матриця  невід’ємна й записують . Невід’ємні компоненти заданого вектора  або .

Розв’язок, який має бути знайдений, за змістом також повинний мати тільки невід’ємні компоненти, тобто потрібне виконання нерівностей  або . Можливість одержання невід’ємного розв’язку визначається властивостями матриці .

Матриця  називається продуктивною, якщо існують два вектори  і , такі, що .

Продуктивність матриці  означає, що виробнича система здатна забезпечити деякий позитивний кінцевий випуск за всіма продуктами.

Розглянемо умови продуктивності матриці :

1) послідовні головні мінори матриці  позитивні, тобто для кожного  виконана нерівність



;



2) матриця  невід’ємно зворотна, це означає , що існує зворотна матриця  й всі її елементи невід’ємні: 

3) матричний ряд  збігається, причому



.



4) максимальне власне число .

Повернемося до системи рівнянь (7). За заданим вектором  потрібно знайти вектор , для якого . Перепишемо систему (7) у вигляді , де  – одинична матриця. Якщо матриця  продуктивна, то відповідно до умови 2) матриця  існує й невід’ємна. Тому розв’язок системи рівнянь (7) існує, єдиний і має вигляд . Через те, що  й , .

Особливістю матриці  в моделі Леонтьєва є те, що всі елементи її невід’ємні. Такі матриці володіють рядом властивостей. Розглянемо їх в наступному підрозділі.



4. Властивості невід’ємних матриць



Нехай  – квадратна матриця розміром  з невід’ємними елементами , ; підмножина множини  натуральних чисел . Говорять, що  ізольовано (щодо даної матриці ), якщо в матриці   при , .

Мовою моделі Леонтьєва ізольованість множини  означає, що галузі з номерами  під час свого функціонування не використовують товари, вироблені галузями з номерами з множин . Інакше кажучи, частина економіки, що утвориться галузями з множини , може існувати незалежно від інших галузей. Якщо перенумерувати індекси так, щоб , , що відповідає одночасній перестановці рядків і стовпців матриці , то матриця  матиме вигляд



,(8)



де  й – квадратні підматриці розмірів  і  відповідно,  – .

Матриця  називається нерозкладною, якщо в множині  немає ізольованих підмножин, крім самої  і порожньої множини.

Інакше кажучи, матриця  нерозкладна, якщо одночасною перестановкою рядків і стовпців її не можна привести до вигляду (8).

Нерозкладність матриці  в моделі Леонтьєва означає, що кожна галузь використовує хоча й побічно, продукцію всіх галузей.

Розглянемо деякі властивості нерозкладних матриць:

1. Нерозкладна матриця не має нульових рядків і стовпців; якщо -й рядок матриці  нульовий, то множина  ізольована.

2. Якщо – нерозкладна й то .

Теорема Фробеніуса-Перрона: нерозкладна матриця  має таке власне число , що й модулі всіх інших власних чисел матриці  не перевищують ; числу  відповідає з точністю до скалярного множника власний вектор , всі координати якого ненульові й одного знака, тобто можна вважати .

4. Лема: нехай  – нерозкладна матриця, , , , крім того, у вектора  є нульові координати та , тоді у вектора  знайдеться додатна координата , причому .

5. Лема: якщо матриця  нерозкладна, , , то з нерівності  випливає, що , .



5. Зв'язок між коефіцієнтами прямих і повних витрат



Нехай розглядається матриця коефіцієнтів прямих витрат у натуральному або вартісному виразі .

Для виробництва одиниці продукції -ї галузі необхідно затратити набір продуктів , що описується -м стовпцем матриці . Але для виробництва цього набору  необхідно безпосередньо затратити набір продуктів, який ми позначимо через .

Елементи вектора витрат  називаються коефіцієнтами непрямих витрат першого порядку відповідних продуктів на виробництво одиниць -го продукту .

Матриця , складена зі стовпців , , називається матрицею непрямих витрат першого порядку й визначається відповідно до формули



.



Непрямими витратами другого порядку називають прямі витрати, необхідні для забезпечення непрямих витрат першого порядку, тобто , або в матричній формі







де – матриця коефіцієнтів непрямих витрат другого порядку.

Продовжуючи за аналогією, назвемо непрямими витратами порядку  прямі витрати на забезпечення непрямих витрат порядку . Очевидно, що матрицю коефіцієнтів непрямих витрат -го порядку одержимо, помноживши  на 



. (9)



Визначимо тепер повні витрати як суму прямих і непрямих витрат усіх порядків. Відповідно до цього матриця , складена з коефіцієнтів повних витрат, утвориться як сума




(10)



або з огляду на те, що , маємо



(11)



Коефіцієнти прямих і повних матеріальних витрат мають важливе значення для характеристики структури техніко-економічних зв'язків і для аналізу ефективності виробництва з боку витрат упредметненої праці. Суттєва відмінність коефіцієнтів повних витрат від коефіцієнтів прямих витрат полягає в тому, що вони є не галузевими, а народногосподарськими показниками й формуються з урахуванням технологічних зв'язків між галузями.

З'ясуємо такий момент. Чи не виявляться будь-які з коефіцієнтів повних витрат нескінченно великими?

Розглянемо матрицю 



.



Очевидно, що елементи матриці  скінченні разом з елементами матриці  тільки в тому випадку, якщо скінченна сума ряду . Крім того, відповідно до умови (3) його збіжність є умовою, еквівалентною продуктивності матриці , причому . Отже, у випадку продуктивності матриці  й тільки в цьому випадку матриця повних витрат  скінченна, її визначають відповідно до формули




.



Для великих значень  важко обчислити зворотну матрицю. В цьому випадку матрицю , як і матрицю , можна обчислити приблизно, користуючись методом ітерацій. На першій ітерації , на другій ітерації , на третій , на -й ітерації . Часткова сума  відрізняється від часткової суми  на величину . Через те що ряд збігається,  при . Тому за скінченну кількість кроків можна досягти заданої точності обчислень.

Коефіцієнти  матриці  мають таку економічну інтерпретацію: якщо випуск кінцевого -го продукту потрібно збільшити на одиницю, то валовий випуск -го продукту має бути збільшений на .



6. Коефіцієнти трудових витрат. Баланс трудових ресурсів



Модель Леонтьєва, як відзначалося раніше, відображає лише потенційні можливості, закладені в технології виробничого сектора. У даній моделі передбачається, що процес виробництва відбувається миттєво – всі проміжні продукти вважаються виробленими до того моменту, коли в них з'являється потреба, тобто кожна галузь здатна зробити будь-який обсяг своєї продукції за умови, що їй буде забезпечена сировина в необхідній кількості. Насправді, це не так, оскільки виробничі можливості будь-якої галузі обмежені наявним обсягом основних фондів трудових ресурсів.

Розглянемо проблему розподілу трудових ресурсів, яку можна дослідити за допомогою моделі Леонтьєва.

Зіставимо кожній -ї галузі число , що виражає необхідні витрати трудових ресурсів при одиничній інтенсивності даного технологічного процесу.

Нехай  – вектор прямих витрат праці й  – матриця прямих матеріальних витрат. На виробництво одиниці продукту виду  необхідно безпосередньо затратити набір продуктів  і працю в кількості . Однак на виробництво даного набору продуктів у свою чергу необхідно затратити одиниць праці. Ця величина називається непрямими витратами праці першого порядку на одиницю -го продукту й позначається через .

Вектор непрямих витрат праці першого порядку  визначається таким виразом: .

Міркуючи аналогічно тому, як це робилося під час побудови коефіцієнтів непрямих матеріальних витрат, дійдемо висновку, що вектор  непрямих витрат праці порядку  визначається таким співвідношенням:



 або .



Повні витрати праці  є сумою прямих і непрямих витрат праці



.



У матричному записі, вважаючи, що  і, з огляду на те, що , маємо



 або .




Якщо матриця  продуктивна, то суму в дужках можна замінити на  й, отже,  – матриця повних витрат праці.

Зменшення повних витрат праці на одиницю продукції є узагальнюючим показником збільшення продуктивності праці, ефективності виробництва. Розрахунок коефіцієнтів повних витрат праці важливий для ціноутворення на етапі встановлення об'єктивної основи ціни – вартості. Для обчислення коефіцієнтів повних витрат праці використовують ітераційну процедуру



,



що дозволяє з заданою точністю визначити дані коефіцієнти.