Конспект урока по Алгебре "Использование формул арифметической прогрессии при решении прикладных задач" 9 класс

Урок по алгебре.

9 класс

Тема: Использование формул арифметической прогрессии при решении прикладных        задач.

Цель: обобщить знания по теме «Арифметическая прогрессия», 

Задачи: 1. Сформировать умение решать задачи прикладного характера по данной теме.

               2.  Развивать логическое мышление и умение анализировать условия (приводить  условие к известным обозначениям и формулам).

Ход урока:

Организационный момент.  

Актуализация опорных знаний:

Устные вопросы:

Что такое последовательность.

Какие виды последовательности вы знаете?

Какая последовательность называется арифметической прогрессии?

Устные  упражнения:

Будет ли последовательность арифметической  прогрессией? Почему?

(an): 2; 9; 16; 23…

(bn):  ; ; …

(cn): а ; а; а..

Пусть (аn) : 1 ; 3 ; 5…- арифметическая прогрессия.

Найти : а1, а4 ; а7; а11.

Найти Sn , если а1=2 ; а5=6; n=5 ,

                            а1=0 ; d=6 ; n=4?

		a1=-2;  а3=6 ; n=3.

Математический диктант (обобщение знаний и умений)

Запишите формулу n-члена арифметической прогрессии.

Запишите формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Сколько членов вмещает конечная арифметическая прогрессия: 3, 6, 9,…273.

Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии: 3, 6, 9,…273.

Найти сумму чисел 3+6+9+….+273, если все слагаемые являются членами арифметической прогрессии.

Запишите формулу для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии: 3, 6, 9,…273.

Формирование умений решения задач прикладного смысла.

Обобщение темы по  схеме.





Решение задач.

Вводная беседа.

Прикладные задачи - это задачи физического, геометрического, химического смысла, которые решаются с помощью алгебраических формул. 

Цель нашего урока: рассмотреть прикладные задачи, которые можно решить, используя определение, формулы, свойства арифметической прогрессии.

Мы рассмотрим задачи геометрического и физического характера.

Задача №1.

Свободно падающее тело проходит за первую секунду 4,9м, а за каждую последующую на 9,8м больше, чем за предыдущую. Какое расстояние оно пройдет за 21-ую секунду, за 21 секунду.

Решение:

Запишем расстояние, которое пройдет тело за несколько секунд:

(an): 4,9м; 14,7м; 24,5м…

Мы получили арифметическую прогрессию (an), в которой

a1=4,9м, d=9,8м

Чтоб найти, какое расстояние пройдет тело за 21-ую секунду, надо вычислить a21/

a21=a1+20d=4,9+20•9,8=200,8 (м)

Чтоб найти какое расстояние пройдет тело за 21 секунду, надо найти сумму всех расстояний за это время, т.е. S21

             S21===2159,85 (м).

Ответ: 200,8м, 2159,85м.

Таким образом, чтоб решить прикладную задачу надо:

Ввести арифметическую прогрессию.

Переформулировать условие на определение, формулы арифметической прогрессии.

Задача №2.

В многоугольнике один угол равен 1000, каждый последующий больше предыдущего на 100. Какой это многоугольник?

Решение:

Составим арифметическую прогрессию градусных мер углов данного многоугольника:

(αn): α1=1000, α2=1100, α3=1200…

Данная последовательность – арифметическая прогрессия, в которой

α1=1000, d=100.

Пусть многоугольник имеет n сторон, тогда прогрессия имеет n членов. Сумму внутренних углов многоугольника можно найти по формуле 180 (n-2) или по формуле суммы арифметической прогрессии Sn=.

Подставим данные, получим уравнение:

=180(n-2)

(100+5n-5)n=180(n-2)

95n+5n2-180n+360=0

5n2-85n+360=0

n2-17n+72=0

По теореме Виета n1=8, n2=9

Ответ: 8 или 9.

Задача №3.

Два тела движутся на встречу друг другу. Первое движется со скоростью 10 м/с, второе за первую секунду проходит 3м, за каждую последующую на 5м больше. Если первоначальное расстояние между ними 153м, найдите через сколько секунд тела встретятся.

Решение:

10м/с_______________________________________3м/с, 8м/с, 11м/с….



		153м

	Расстояние за каждую секунду второго тела составляет арифметическую прогрессию. 

	Пусть встреча произойдет через n секунд, тогда первое тело пройдет 10n м, а расстояние второго – это сумма арифметической прогрессии, в которой а1=3м, d=5м.

	Вычислим Sn=, тогда Sn=0,5n+2,5n2 (м)

	По условию расстояние равно 153м.

	Составляем уравнение:

	0,5n+2,5n2+10n=153

	n2+4,2n-61,2=0

	D=b2-4ac=17,64+244,8=262,44

	=16,2

	n1,2=,  n1=6, n2=10,2.

	Т.к. n- количество членов арифметической прогрессии, то n€N, поэтому n=6.

	Ответ: 6с.

	Итог урока.

	Домашнее задание: придумать условие и решить две задачи прикладного характера.