Математические методы и модели

Задача 1

Определить зависимость между фактором и результатирующим признаком по данным, приведенным в таблице. Рассчитать коэффициент корреляции, определить вид зависимости, параметры линии регрессии, корреляционное отношение и оценить точность аппроксимации. Выбор варианта осуществляется по последней цифре порядкового номера студента



Решение:

Построим расчетную таблицу

N

Расходы по эксплуатации машин и механизмов (тыс. ден. ед), X

Основная заработная плата (тыс. ден. ед), Y

XY

X2

Y2







1

3,2

6,3

20,16

10,24

39,69

6,35

0,003

10,27

2

0,5

1,1

0,55

0,25

1,21

2,04

0,886

3,98

3

1,2

2,9

3,48

1,44

8,41

3,16

0,067

0,04

4

0,1

2,5

0,25

0,01

6,25

1,40

1,203

0,35

5

0,5

2,3

1,15

0,25

5,29

2,04

0,067

0,63

6

0,6

4,7

2,82

0,36

22,09

2,20

6,244

2,58

7

0,8

2,5

2

0,64

6,25

2,52

0,000

0,35

8

1,3

3,6

4,68

1,69

12,96

3,32

0,079

0,26

9

2,1

5

10,5

4,41

25

4,60

0,164

3,63

10

0,3

0,7

0,21

0,09

0,49

1,72

1,045

5,74

11

3,2

7

22,4

10,24

49

6,35

0,421

15,25

12

0,5

1

0,5

0,25

1

2,04

1,085

4,39

13

1,4

3,1

4,34

1,96

9,61

3,48

0,143

0,00

14

1,8

2,8

5,04

3,24

7,84

4,12

1,733

0,09

15

0,3

1,4

0,42

0,09

1,96

1,72

0,104

2,87

16

0,4

1

0,4

0,16

1

1,88

0,778

4,39

17

2,3

5,1

11,73

5,29

26,01

4,91

0,034

4,02

18

0,1

2,6

0,26

0,01

6,76

1,40

1,433

0,25

18

1,3

3,8

4,94

1,69

14,44

3,32

0,232

0,50

20

1,3

2,5

3,25

1,69

6,25

3,32

0,670

0,35

сумма

23,2

61,9

99,08

44

251,51

61,9

16,391

59,93

среднее



3,095
















	Вычислим коэффициент корреляции по формуле:

	

r 



	где X и Y- текущие значения наблюдаемых величин;

	N- число наблюдений.

Получим:







Коэффициент корреляции лежит в пределах 0 / r / 1 . При положительном коэффициенте корреляции наблюдается прямая связь, т.е. с увеличением независимой переменной увеличивается и зависимая.

В нашем примере r = 0,852  связь тесная

Вычислим уравнение регрессии:















 - уравнение регрессии

Построим корреляционное поле








Теснота связи для аппроксимации криволинейных зависимостей определяется при помощи корреляционного отношения







 r =



Дополнительной оценкой точности аппроксимации является средняя относительная ошибка аппроксимации. Линия регрессии - аппроксимирующая функция. Чем меньше E, тем точнее выбранная зависимость аппроксимирует существующую зависимость

Вычислим точность аппроксимации:







	где Yi- наблюденное значение зависимой переменной ;

	 - рассчитанное по формуле значение;

	- среднее значение;








Вывод:

	Между факторами имеется тесная связь.

	Связь прямая

	Прямолинейная зависимость лучше отображает связь.



Задача 2

2.1 По приведенным ниже данным – матрицы прибыли в зависимости от выбранной стратегии и состоянии факторов внешней среды, выбрать наиболее предпочтительную стратегию по критериям Лапласа, Вальда, Гурвица и Сэвиджа.



Состояние факторов внешней среды



1

2

3

4

5

6

А

100

120

130

130

120

110

Б

110

90

150

120

120

100

В

150

150

100

90

100

90

Г

130

100

110

120

120

110

Д

150

110

110

100

130

150

Е

190

90

100

170

120

90

Ж

100

140

140

140

130

100

З

120

150

130

130

120

90

И

140

120

130

120

150

100



Критерий Лапласа.

Критерием выбора стратегии выступает максимизации математического ожидания.










Состояние факторов внешней среды

М

Варианты стратегий



1

2

3

4

5

6





А

100

120

130

130

120

110

118



Б

110

90

150

120

120

100

115



В

150

150

100

90

100

90

113



Г

130

100

110

120

120

110

115



Д

150

110

110

100

130

150

125



Е

190

90

100

170

120

90

127



Ж

100

140

140

140

130

100

125



З

120

150

130

130

120

90

123



И

140

120

130

120

150

100

127



Вывод: В соответствии с критерием Лапласа стратегии СЕ и СИ характеризуются максимальным математическим ожиданием прибыли.

Критерий Вальда

В соответствии с критерием Вальда субъект, принимающий решение, избирает чистую стратегию, гарантирующую ему наибольший (максимальный) вариант из всех наихудших (минимальных) возможных исходов действия по каждой стратегии. На этой основе получается решение, определяемое как









Состояние факторов внешней среды

min

Варианты стратегий



1

2

3

4

5

6





А

100

120

130

130

120

110

100



Б

110

90

150

120

120

100

90



В

150

150

100

90

100

90

90



Г

130

100

110

120

120

110

100



Д

150

110

110

100

130

150

100



Е

190

90

100

170

120

90

90



Ж

100

140

140

140

130

100

100



З

120

150

130

130

120

90

90



И

140

120

130

120

150

100

100




W = 100



Вывод: В соответствии с критерием рекомендуемые стратегии СА, СГ, СД, СЖ, СИ гарантируют максимальный результат (100) в самой неблагоприятной ситуации.

Критерий Гурвица

Согласно критерию Гурвица при выборе решения разумней придерживаться некоторой промежуточной позиции. В соответствии с этим компромиссным критерием для каждого решения определяется линейная комбинация минимального и максимального выигрышей



,



где a- показатель пессимизма-оптимизма, принимающий значения 0 a1,























Вывод: Согласно критерию Гурвица стратегия СЕ обеспечивает максимальное значение линейной комбинации

Критерий Сэвиджа

Чтобы оценить, насколько то или иное состояние природы влияет на исход в соответствии с критерием Сэвиджа вводится показатель риска(r ij), определяемый как разность между максимально возможным выигрышем при данном состоянии (Rj) и выигрышем при выбранной стратегии (Si)



; при ,



где rij - показатель риска;

j - максимально возможный выигрыш;

x ij - выигрыш при выбранной стратегии

На этой основе строят матрицу рисков, которая показывает "сожаление между действительным выбором и наиболее благоприятным, если бы были известны намерения природы". Затем выбирается такая стратегия, при которой величина риска принимает минимальное значение в самой неблагоприятной ситуации 





Без риска

С риском

Без риска

С риском

Без риска

С риском

Без риска

С риском

Без риска

С риском

Без риска

С риском

Max rij

 

1



2



3



4



5



6





А

100

90

120

30

130

20

130

40

120

30

110

40

90

Б

110

80

90

60

150

0

120

50

120

30

100

50

80

В

150

40

150

0

100

50

90

80

100

50

90

60

80

Г

130

70

100

50

110

40

120

50

120

30

110

40

70

Д

150

40

110

40

110

40

100

70

130

20

150

0

70

Е

190

0

90

60

100

50

170

0

120

30

90

40

60

Ж

100

90

140

10

140

10

140

50

130

20

100

50

90

З

120

70

150

0

130

20

130

40

120

30

90

60

70

И

140

50

120

30

130

20

120

50

150

0

100

50

50

мах

190



150



150



170



150



150










S = 50



Вывод: В соответствие с критерием рекомендуемая стратегия СИ, выбирая её в самом худшем случаи наше сожаление не превысит 50.д.ед.



2.2 При заданном распределении состояний факторов внешней среды определить стандартные статистические показатели (среднюю ожидаемую прибыль, дисперсию, коэффициент вариации прибыли) и обосновать выбор стратегии по индивидуальному отношению к риску.





0,2

0,4

0,1

0,2

0,05

0,05

 

1

2

3

4

5

6

А

100

120

130

130

120

110

Б

110

90

150

120

120

100

В

150

150

100

90

100

90

Г

130

100

110

120

120

110

Д

150

110

110

100

130

150

Е

190

90

100

170

120

90

Ж

100

140

140

140

130

100

З

120

150

130

130

120

90

И

140

120

130

120

150

100



Вычислим среднюю ожидаемую прибыль по формуле:





МА=100*0,2+120*0,4+130*0,1+130*0,2+120*0,05+110*0,05=118,5

МБ=110*0,2+90*0,4+150*0,1+120*0,2+120*0,05+100*0,05=108

МВ=150*0,2+150*0,4+100*01+90*0,2+100*0,05+90*0,05=127,5

МГ=130*0,2+100*0,4+110*0,1+120*0,2+120*0,05+110*0,05=112,5

МД=150*0,2+110*0,4+110*0,1+100*0,2+100*0,05+150*0,05=119

МЕ=190*0,2+90*0,4+100*0,1+170*0,2+120*0,05+90*0,05=128,5

МЖ=100*0,2+140*0,4+140*0,1+140*0,2+130*0,05+100*0,05=129,5

МЗ=120*0,2+150*0,4+130*0,1+130*0,2+120*0,05+90*0,05=133,5

МИ=140*0,2+120*0,4+130*0,1+120*0,2+150*0,05+100*0,05=125,5



Вычислим среднее квадратичное (стандартное) отклонение:







где  - стандартное отклонение;

Ax - результат для вероятности Px;

 - среднее ожидаемое значение результата;

Px - вероятность появления этого результата









































Коэффициент вариации используют для сравнения рассеивания двух и более признаков, имеющих различные единицы измерения. Коэффициент вариации представляет собой относительную меру рассеивания, выраженную в процентах. Он вычисляется по формуле:



,



где - искомый показатель, - среднее квадратичное отклонение, - средняя величина.



 

1

2

3

4

5

6

м

А

100

120

130

130

120

110

118,5

Б

110

90

150

120

120

100

108

В

150

150

100

90

100

90

127,5

Г

130

100

110

120

120

110

112,5

Д

150

110

110

100

130

150

119

Е

190

90

100

170

120

90

128,5

Ж

100

140

140

140

130

100

129,5

З

120

150

130

130

120

90

133,5

И

140

120

130

120

150

100

125,5























Чем больше значение коэффициента вариации, тем относительно больший разброс и меньшая выравненность исследуемых значений. Если коэффициент вариации меньше 10%, то изменчивость вариационного ряда принято считать незначительной, от 10% до 20% относится к средней, больше 20% и меньше 33% к значительной и если коэффициент вариации превышает 33%, то это говорит о неоднородности информации и необходимости исключения самых больших и самых маленьких значений.

Построим таблицу



 

1

2

3

4

5

6

м



[М-];[М+]

V%

А

100

120

130

130

120

110

118,5

10,61838

[107,88 ;129,12]

8,95

Б

110

90

150

120

120

100

108

18,60108

[89,40 ;126,60]

17,22

В

150

150

100

90

100

90

127,5

27,72634

[99,77 ;155,23]

21,74

Г

130

100

110

120

120

110

112,5

11,77922

[100,72; 124,28]

10,46

Д

150

110

110

100

130

150

119

18,9473

[100,05 ;137,95]

15,92

Е

190

90

100

170

120

90

128,5

43,04358

[85,46 ;171,54]

33,49

Ж

100

140

140

140

130

100

129,5

17,16828

[112,33 ;146,67]

13,25

З

120

150

130

130

120

90

133,5

15,89811

[117,60 ;149,40]

11,9

И

140

120

130

120

150

100

125,5

11,16915

[114,33 ;136,67]

8,9



Вывод: на мой взгляд самая оптимальная стратегия СЕ, т.к во время кризиса мы потеряем много прибыли, но в тоже время в благоприятных условиях мы приобретем много прибыли.