Механический и магнитный моменты атома

13



























РЕФЕРАТ



Механический и магнитные моменты атома





Сначала кратко рассмотрим моменты импульса электронов и атомов, определяемые по классической электронной теории. Итак:

1. Электрон, двигаясь по орбите вокруг ядра, обладает механическим орбитальным моментом импульса , где m, v – масса и скорость электрона. При этом вектор  перпендикулярен орбите электрона.

2. Движение электрона по орбите соответствует протеканию некоторого орбитального тока, который определяет магнитный орбитальный момент, , где I – электронный ток, S – площадь витка тока (орбиты электрона). Определим : , , здесь е – заряд электрона, T – период обращения электрона по орбите. Тогда . Следует учесть, что  также перпендикулярен орбите электрона, но вектора  и направлены в противоположные стороны. Механический и магнитный орбитальные моменты электрона связаны выражением

Здесь  – это гиромагнитное (магнито – механическое) отношение орбитальных моментов электрона.

3. Орбитальный механический момент импульса атома равен геометрической (векторной) сумме орбитальных моментов всех электронов атома:, Z – число электронов.

4. Орбитальный магнитный момент импульса атома равен геометрической (векторной) сумме магнитных моментов всех электронов атома:. Очевидно, что сохраняется соотношение 

Теперь рассмотрим электронные и атомные моменты с точки зрения квантовой механики. Хронологически первыми экспериментами по изучению магнитных моментов атома, проявляющимися в магнитных полях, были опыты П. Зеемана (1896 г). Было обнаружено, что если поместить источник света (электромагнитного излучения) между полюсами электромагнита, то спектральные линии источника расщепляются на несколько компонент. Явление расщепления спектральных линий, а следовательно и энергетических уровней, переходы между которыми обеспечивают излучение, во внешнем магнитном поле получило название эффекта Зеемана. Различают нормальный и аномальный эффекты Зеемана.

Нормальный эффект Зеемана наблюдается в сильных магнитных полях.

При помещении источника излучения с частотой ν0 (λ0) в магнитное поле, направленное параллельно направлению распространения излучения, наблюдается излучение с двумя симметричными относительно начальной ν0 частотами: ν-1 и ν+1. Излучения с начальной частотой ν0 при этом не происходит:.

Если исследуемое излучение распространяется перпендикулярно вектору магнитного поля, то излучение с ν0 симметрично расщепляется на три компоненты: ν-1 , ν0 и ν+1.

Нормальный эффект Зеемана был объяснен Лоренцем по классической электронной теории. Во внешнем магнитном поле векторы  и  электрона в атоме вращаются (прецессируют) с угловой скоростью , которой соответствует частота . Здесь  – напряженность внешнего магнитного поля связанна с вектором магнитной индукции соотношением . При этом векторы  и  описывают соосные конические поверхности с общей вершиной в центре орбиты и остью, параллельной вектору . Такое движение векторов  и моментов электрона и соответствующей электронной орбиты в атоме во внешнем магнитном поле называется прецессией Лармора. 

Разность частот между спектральными линиями при нормальном эффекте Зеемана оказалась равной как раз Ларморовой частоте Δν = ν+1.– ν0 = ν0 – ν-1 = .

Величина  называется магнетоном Бора и обозначается , тогда можно записать, чтоΔν = . С.313 Детлаф РИС

Аномальный эффект Зеемана наблюдается в слабых магнитных полях и заключается в расщеплении каждой спектральной линии излучения на множество компонент.

При этом внешнее магнитное поле считается слабым, если взаимодействие между орбитальным () и магнитным () моментами электрона в атоме сильнее, чем взаимодействие каждого из этих моментов  или с внешним магнитным полем. Поэтому именно аномальный эффект Зеемана выявляет взаимодействие между собственными внутренними моментами электрона в атоме. С увеличением напряженности магнитного поля  взаимодействие между внутренними моментами электрона становится все менее существенным по сравнению с их взаимодействием с внешним магнитным полем. Расщепление спектральных линий при этом растет, соседние линии постепенно начинают сливаться, и остается 2 или 3 частоты излучения в зависимости от взаимного направления магнитного поля  и излучения.

Опыты Штерна – Герлаха



Целью экспериментов Штерна – Герлаха (1922 г.) было измерение магнитных моментов атомов. Поскольку магнитные моменты внутренних электронов атома компенсируются, магнитный момент атома равен векторной сумме магнитных моментов валентных электронов (электронов внешней оболочки). Атомы элементов I группы таблицы Менделеева имеют только по одному валентному электрону, находящемуся в S–состоянии, поэтому моменты импульса и магнитные моменты таких атомов совпадают с моментами такого электрона.

Идея опытов Штерна – Герлаха состояла в определении силы, действующей на атом элементов I группы (Ag, Li) в неоднородном внешнем магнитном поле. Она может быть вычислена по формуле ,

где  – индукция магнитного поля, неоднородного по оси Z;  – проекция магнитного момента атома на направление магнитного поля.РИС

Для электрона в S–состоянии магнитное квантовое число l = 0, следовательно, механический момент импульса  и магнитный момент , а значит и моменты атома с одним таким S – электроном также должны равняться нулю, и внешнее магнитное поле никак не должно влиять на движение пучка атомов. Ожидалось, что распределение атомов будет непрерывно симметричным с максимумом интенсивности в центре. Однако в экспериментах наблюдалось расщепление пучка атомов на два приблизительно равных пучка. По известной величине неоднородности и установленной по отклонению атомов силе было определено, что проекция магнитного момента атома (и электрона) не равна нулю: , где = 9,27·10-24 Дж/Тл – магнетон Бора. Это означало, что существует еще один (кроме  и ) момент импульса электрона в атоме, подчиняющийся пространственному квантованию во внешнем магнитном поле (наблюдались два пучка, т.е. две ориентации этого момента). Проекция этого магнитного момента на направление магнитного поля для элементов I группы равна магнетону Бора, в общем же случае, т.е. кратно магнетону Бора.

Для объяснения результатов опытов Штерна – Герлаха и аномального эффекта Зеемана С. Гаудсмитом и Дж. Уленбеком (1925 г.) была высказана гипотеза о том, что кроме орбитального момента импульса  и соответствующего ему магнитного момента  электрон обладает собственным (неуничтожимым), не связанным с движением в пространстве, механическим моментом импульса  – спином и соответствующим ему спиновым магнитным моментом .

Спин электрона (и других микрочастиц) – это внутреннее неотъемлемое свойство частиц (подобно массе, заряду и т.п.). Но при этом спин – исключительно квантовое понятие, не имеющее классического аналога.

Величина собственного момента импульса  по общим законам квантовой механики должна быть квантована по закону (для , например, )



, где s – спиновое квантовое число.



По аналогии с орбитальным моментом импульса  (его проекция, где магнитное квантовое число может принимать m = (2l + 1) значений), проекция спинового момента может иметь (2s + 1) значений. Так как в опытах Штерна – Герлаха было обнаружено только две проекции, получаем (2s + 1) = 2, т.е. s = .

Тогда спиновый механический момент импульса электрона:



.



Проекция спинового момента импульса на направление магнитного поляквантуется подобно проекции орбитального момента , где = ± – магнитное спиновое квантовое число. Таким образом, проекция спинового момента импульса электрона в единицах ћ равна :.

Обычно под спиновым квантовым числом понимают именно магнитное спиновое число , а не истинно квантовое спиновое число s .

В экспериментах Штерна – Герлаха была определена проекция собственного магнитного момента электрона . Так как для спиновых моментов должно выполняться соотношение, подобное выражению для орбитального и магнитного моментов , можно определить спиновое гиромагнитное отношение :



,



т.е. спиновое гиромагнитное отношение в два раза больше орбитального гиромагнитного отношения  = 2.

Следует отметить, что спиновые механический и магнитный моменты и так же, как и орбитальные моменты  и , направлены противоположно относительно друг друга.

Таким образом, для полного описания состояния электрона в атоме необходимо использовать четыре квантовых числа:

главное n (n = 1, 2, 3…),

орбитальное l (l = 0, 1, …(n-1)),

магнитное m (m = 0, ±1, ±2…± l ),

магнитное спиновое mS (mS = ±).

Механическим моментам импульса электрона (орбитальному  и собственному спиновому) соответствуют магнитные моменты ( и ), которые взаимодействуют между собой подобно двум проводникам с током. Это взаимодействие называется спин – орбитальным. Энергия спин – орбитального взаимодействия зависит от взаимной ориентации орбитального и спинового моментов. Именно спин- орбитальным взаимодействием и объясняется расщепление энергетических уровней и образование так называемой «тонкой структуры» спектральных линий атомов при аномальном эффекте Зеемана.

Строго говоря, расщепление энергетических уровней («тонкая структура» спектральных линий), вызванное спин–орбитальным взаимодействием, является релятивистским эффектом. Релятивистская квантовая теория дает следующее выражение для расстояния между уровнями «тонкой структуры»:



,

где  – постоянная «тонкой структуры»,  – энергия ионизации атома. Оказывается, что энергетический зазор примерно в 105 раз меньше, чем расстояние между основными энергетическими уровнями.

Полный момент импульса электрона (полный угловой момент) является результирующей (т.е. векторной суммой) орбитального момента импульса, обусловленного движением электрона в атоме, и собственного спинового момента , не связанного с движением электрона в пространстве. Величина полного углового момента импульса электрона  определяется внутренним квантовым числом j:,

где j = l ± s = l ± , l – орбитальное квантовое число, s – спиновое квантовое число.

Существует правило отбора для внутреннего квантового числа j: Δj = 0, ± 1.

Проекция полного углового момента импульса  на направление внешнего магнитного поля  квантуется аналогично проекциям орбитального и спинового моментов  и :



.



Внутреннее магнитное квантовое число  по аналогии с магнитным квантовым числом m может принимать (2j + 1) значений:.

Рассмотрим теперь моменты импульса атома.


Механический момент импульса атома



Каждый электрон в атоме обладает орбитальным моментом импульса и собственным спиновым моментом , которым соответствуют магнитные моменты  и . И между всеми этими моментами осуществляется взаимодействие. 

Механические моменты всех электронов атома  и  складываются в результирующий механический момента атома . При этом возможны два случая:

1. Орбитальные моменты различных электронов  взаимодействуют между собой сильнее, чем с собственными спиновыми моментами , которые в свою очередь сильнее связаны между собой, чем с соответствующими орбитальными моментами. Тогда для определения орбитального механического момента атома в целом  отдельно складываются (векторно) орбитальные моменты  всех Z электронов атома

и отдельно складываются спиновые моменты  электронов 



.



После этого моменты  и  атома дают его суммарный механический момент . Такой вид связи электронов в атоме называется LS – связью (связь Рёссель – Саундерса).

2. Каждая пара механических моментов импульса  и  одного электрона взаимодействуют между собой сильнее, чем с механическими моментами  и  других электронов. Тогда сначала определяются полные угловые моменты импульса для каждого электрона атома  в отдельности, которые потом складываются (векторно) и определяют механический момент атома в целом : .

Такой вид связи называют jj – связью, и она присуща атомам тяжелых элементов.

Величина полного механического момента импульса атома  определяется внутренним квантовым числом J по обычному закону квантования:,

где J – квантовое число механического момента атома.

Рассмотрим закономерности определения квантового числа механического момента атома, в частности, для случая LS – связи.

Квантовые орбитальные числа электронов l – целые, следовательно, квантовое орбитальное число атома L также целое число.

Квантовое спиновое число электрона s = , поэтому квантовое спиновое число атома S либо целое (если в атоме четное число электронов Z), либо полуцелое (Z – нечетное).

Квантовое число J результирующего механического момента атома  по аналогии с полным квантовым числом электрона j определяется как 



J = |L – S|, |L – S -1| …0, … (L + S - 2), (L+S – 1), (L+S) 



или

J = 0, ±, ± 1 … ± |L±S|, включая полуцелые.

Существуют правила отбора квантовых чисел атома:



ΔL = ± 1,ΔS = 0,ΔJ = 0, ± 1



Магнитный момент атома



Как уже говорилось ранее, орбитальный и магнитный моменты электрона связаны гиромагнитным отношением: .

Экспериментально было доказано, что для механического  и магнитного  орбитальных моментов атома выполняется аналогичное соотношение .

Подставляя , где L – квантовое орбитальное число атома, получаем



, (*)



Так же, как и для электрона, для атома спиновое гиромагнитное отношение в два раза больше гиромагнитного отношения для орбитальных моментов , и соотношение между спиновыми моментами атомами аналогично полученному ранее для электрона 



():,(**)

так как , где S – квантовое спиновое число атома.



Полный момент импульса атома



Полный магнитный момент атома  связан с полным механическим моментом  следующим соотношением: 



,



где  – множитель (или фактор) Ланде, который вводится для того, чтобы учесть различие в два раза гиромагнитных отношений орбитальных и спиновых моментов или так называемый удвоенный магнетизм спина (сравни выражения * и **). Множитель Ланде может равняться нулю и быть меньше 1, так как представляет собой комбинацию квантовых чисел атома.



Атом в магнитном поле



Как уже говорилось, во внешнем магнитном поле векторы  и  электрона в атоме прецессируют с угловой скоростью . При квантово-механическом рассмотрении влияния магнитного поля на атомы выявлено, что по аналогии с прецессией электронных моментов имеет место прецессия векторов механического и магнитного момента атома –  и  под определенным углом к направлению вектора магнитной индукции . Однако проекции вектора  на направление магнитного поля – могут принимать лишь значения, определяемые полным магнитным квантовым числом М:. Полное магнитное число М может принимать (2J+1) значений:М = 0, ± 1, ± 2…± J.

Таким образом, атом, обладающий магнитным моментом , приобретает в магнитном поле дополнительную энергию, которая определяется фактором Ланде данного атома. Каждый энергетический уровень атома расщепляется на (2J+1) равноотстоящих уровней, что приводит к образованию большого числа спектральных линий. Однако необходимо учитывать правило отбора для полного магнитного числа М, аналогичное правилу отбора для магнитного квантового числа электрона m:ΔМ = 0, ± 1.