Аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа. Анализ одномерного временного ряда

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ



















КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ

Вариант №2



















Брянск - 2009


ЗАДАЧА 1



Решить графическим методом типовую задачу оптимизации

Совхоз для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе животного должно содержаться не менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного вещества В. Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одного животного, чтобы затраты были минимальными? Использовать данные таблицы:



Корма 

Питат. вещества 

Количество питательных веществ в 1 кг корма



1

2

А

В

2

2

1

4

Цена 1 кг корма, т.руб.

0,2

0,3



Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум и почему?

Решение. Данная задача оптимизации является задачей линейного программирования. Обозначим виды кормов через х1 и х2. Целевой функцией задачи является общая стоимость кормов, затраченных на кормление животных, которая должна быть наименьшей. Число ограничений задачи равно числу питательных веществ, входящих в состав кормов - 2. Дополнительно вводится условие неотрицательности переменных. Зная цены кормов, содержание питательных веществ в них можно сформулировать математическую модель задачи линейного программирования: 



Строим область допустимых решений задачи (см. рис.1).

Область допустимых решений задачи

Строим вектор-градиент целевой функции задачи. За его начало принимаем точку с координатами, равными коэффициентам целевой функции по соответствующим координатным осям 0,2 (1; 1,5), тогда концом вектора-градиента будет являться точка с координатами (0; 0). Перпендикулярно вектору-градиенту строится прямая, которая характеризует поведение целевой функции:



Для определения положения точки минимума целевой функции прямая, перпендикулярная вектору-градиенту, смещается в его направлении до тех пор, пока она не покинет область допустимых решений. Предельная точка области допустимых решений при этом движении и является точкой минимума. 

В нашей задаче - это точка В, образованная пересечением граничных прямых ограничений I и II. Ее координаты определяются решением системы 

уравнений этих прямых:



откуда x1*=2; x2*=2 и . 

Таким образом, чтобы достичь минимальных затрат, следует расходовать ежедневно на одного животного по 2 кг каждого вида корма при затратах в 1 тыс. руб.

Решение данной задачи линейного программирования на максимум лишено экономического смысла, так как затраты на корм стремятся уменьшить. Однако математически эта задача имеет решение и на максимум: наибольшее значение в области допустимых решений целевая функция принимает в точке (0; 6), и это значение равно 


.



















рис. 1 - Графическое решение задачи линейного программирования



ЗАДАЧА 2



Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.



Тип сырья

Нормы расхода сырья на одно изделие

Запасы

сырья



А

Б

В

Г



I

II

III

1

0

4

0

1

2

2

3

0

1

2

4

180

210

800

Цена изделия

9

6

4

7





Требуется:

Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции. 

Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

		проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

		определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья II и III вида на 120 и 160 единиц соответственно и уменьшении на 60 единиц запасов сырья I вида;

		оценить целесообразность включения в план изделия "Д" ценой 12 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Решение. 1. Данная задача оптимизации является задачей линейного программирования.

Обозначим количество выпускаемых изделий х1, х2, х3, х4. 

Целевой функцией задачи является общая стоимость выпускаемой продукции, которая должна быть наибольшей. Число ограничений задачи равно числу ресурсов, используемых для изготовления изделий - 3. 

Дополнительно вводится условие неотрицательности переменных. 

Зная цены изделий, нормы их расхода и запасы ресурсов, формулируем математическую модель исходной задачи линейного программирования:



Задачу оптимизации решаем с помощью надстройки «Поиск решения» табличного процессора EXCEL (меню «Сервис»):






















рис. 2 - Надстройка «Поиск решения» 



Использование надстройки позволило получить значения переменных оптимального плана выпуска изделий: Х*=(95; 210; 0; 0). Целевая функция имеет наибольшее для данных условий задачи значение f(X*)=2115 (прил. 1).

Таким образом, для получения наибольшей выручки от реализации продукции следует производить x1*=95 изделий А, x2*=210 изделий Б и не производить изделия В (x3*=0) и Г (х4*=0). 

2. Обозначим двойственные оценки ресурсов I, II, III как y1, y2, y3 соответственно. Целевой функцией двойственной задачи является общая стоимость запасов ресурсов в двойственных оценках, которая должна быть наименьшей. Число ограничений двойственной задачи равно числу переменных исходной задачи - 4. Математическая модель двойственной задачи имеет вид:



При решении исходной задачи с помощью EXCEL одновременно определяется и оптимальное решение двойственной задачи. В «Отчете по устойчивости» (прил. 2) приводятся теневые цены ресурсов: y1*=0; y2*=1,5; y3*=2,25. 

Наименьшее значение целевой функции двойственной задачи 



совпадает с наибольшим значением целевой функции исходной задачи f(X*). Следовательно, оптимальный план двойственной задачи определен верно.

3. Выпуск изделий В и Г невыгоден для данных условий задачи. Это объясняется тем, что затраты по ним превышают цену на 0,5 и 5 соответственно: 





Таким образом, выпуск изделий В и Г убыточен и поэтому эти изделия не вошли в оптимальный план (x3*=0) и (х4*=0). 

4. Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане. Для этого подставим в ограничения исходной задачи значения переменных оптимального плана Х*=(95; 210; 0; 0) и проверим выполнение неравенств:



Видно, что ресурсы II и III используются в оптимальном плане полностью и являются дефицитными, т.е. сдерживающими рост целевой функции. Они имеют отличные от нуля оценки y2*=1,5 и y3*=2,25.

Увеличение объема ресурса II на одну единицу при неизменных объемах других ресурсов ведет к росту наибольшей выручки на 1,5 руб., а увеличение объема ресурса III на единицу - на 2,25 руб.

Ресурс I имеет нулевую двойственную оценку (y1*=0) и является недефицитными, т. е. избыточным в оптимальном плане. Увеличение объемов этого ресурса не повлияет на оптимальный план выпуска продукции и не увеличит ее общую стоимость.

Определим, насколько изменится выручка выпускаемой продукции при заданных изменениях запасов сырья. Из «Отчета по устойчивости» видно, что эти изменения происходят в пределах устойчивости (см. «Допустимое увеличение» и «Допустимое уменьшение» правых частей ограничений в прил. 2), что дает возможность сразу рассчитать изменение наибольшей выручки от реализации выпускаемой продукции, не решая новую задачу линейного программирования:



При этом «новая» наибольшая выручка составит:

 руб.

Изменение запасов ресурсов привело не только к изменению значения целевой функции на 540 тыс. руб., но и к изменению плана выпуска. При этом структура плана не изменилась: изделия, которые были убыточны, не вошли и в новый план выпуска, т.к. цены на сырье не изменялись. Новый план выпуска составляет 75 единиц изделий А и 330 ед. изделий Б.

Для определения целесообразности включения в план выпуска еще и изделия Д с заданными характеристиками, рассчитаем стоимость ресурсов на изготовление единицы этого изделия в теневых ценах и сравним это значение с ценой реализации: 



Следовательно, продукцию Д выпускать выгодно, так как затраты на нее меньше, чем ее стоимость. 


ЗАДАЧА 3



Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице:



t

yt

1

43

2

47

3

50

4

48

5

54

6

57

7

61

8

59

9

65



Требуется: 

	1) Проверить наличие аномальных наблюдений. 

	2) Построить линейную модель , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда).

	3) Построить адаптивную модель Брауна  с параметром сглаживания = 0,4 и = 0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания α. 

	4) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).

	5) Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

	6) По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%). 

	7) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически. 

Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

Решение. 1. Для выявления аномальных наблюдений используем метод Ирвина. Для каждого уровня временного ряда рассчитывается статистика



,



где  - стандартное отклонение уровней ряда.

Стандартное отклонение определяется с помощью встроенной функции EXCEL «СТАНДОТКЛОН»: Sy=7,29 млн. руб. Расчет значений t для всех уровней ряда, начиная со второго. Табличное значение критерия Ирвина для уровня значимости =0,05 и длины временного ряда n=9 составляет =1,5. Видно, что ни одно из значений t не превышает критического значения, что свидетельствует об отсутствии аномальных наблюдений.

2. Линейную трендовую модель  строим с помощью надстройки EXCEL «Анализ данных… Регрессия»:

Уравнение линейного тренда имеет вид (см. «Коэффициенты»):


.



Угловой коэффициент показывает, что спрос на кредитные ресурсы финансовой компании за одну неделю возрастает в среднем на 2,58 млн. руб.

Коэффициент детерминации уравнения R20,941 превышает критическое значение  для =0,05 и n=9, что свидетельствует о статистической значимости линейной модели и наличии устойчивого линейного тренда во временном ряду. Само значение R2 показывает, что изменение спроса во времени на 94,1 % описывается линейной моделью.

3. Построение адаптивной модели Брауна. Модель Брауна строится в несколько этапов.

1) По первым пяти точкам временного ряда методом наименьших квадратов оцениваем параметры а0 и а1 линейной модели



.



Получаем начальные значения параметров модели Брауна  и , которые соответствуют моменту времени t=0 (определены с помощью функций EXCEL «ОТРЕЗОК» и «НАКЛОН» соответственно.







2) Находим прогноз на первый шаг (t=1):

.

3) Определяем величину отклонения расчетного значения от фактического:

.

4) Скорректируем параметры модели для параметра сглаживания =0,4 по формулам:



;

,



где  - коэффициент дисконтирования данных, отражающий степень доверия к более поздним наблюдениям; - параметр сглаживания (=);  - отклонение (остаточная компонента).

По условию =0,4, следовательно значение  равно:

.

Получим:

;

,

5) По модели со скорректированными параметрами a0(t) и a1(t) находим прогноз на следующий момент времени:



.



Для t=2:

.

6) Возвращаемся к пункту 3 и повторяем вычисления до конца временного ряда.

7) Вычислим среднюю относительную ошибку для данного параметра сглаживания:






8) Корректировка параметров модели для =0,7 и =0,3: 

;



9) Средняя относительная ошибка для данного параметра:



Таким образом, судя по средней относительной ошибке при =0,4 и =0,7, в первом случае =4,1%, а во втором случае =5,0%. Следовательно, =0,4 – лучшее значение параметра сглаживания, т.к. средняя относительная ошибка меньше.

4. Оценим адекватность линейной модели. Рассчитанные по модели значения спроса , остатки  и их график были получены в EXCEL одновременно с построением модели (см. «ВЫВОД ОСТАТКА» в прил. 4).

Случайность остаточной компоненты проверим по критерию поворотных точек. В нашем случае общее число поворотных точек в ряду остатков составляет p=4. 

Критическое число поворотных точек для =0,05 и n=9 определяется по формуле







Так как , остатки признаются случайными.

Проверим независимость остатков с помощью критерия Дарбина–Уотсона (отсутствие автокорреляции). Для расчета dстатистики используется выражение, составленное из встроенных функций EXCEL:

dстатистика имеет значение (см. прил. 4):

;

;

Критические значения dстатистики для =0,05 и n=9 составляют: d1=0,82; d2=1,32. Так как выполняется условие

,

то нет достаточных оснований сделать тот или иной вывод о выполнении свойства независимости. Проверим независимость остатков по коэффициенту автокорреляции первого порядка, который равен (см. прил. 4): 

.

Для расчета коэффициента автокорреляции использовалось выражение, составленное из встроенных функций EXCEL:

Критическое значение коэффициента автокорреляции для =0,05 и n=9 составляет 0,666. Так как коэффициент автокорреляции не превышает по абсолютной величине критическое значение, то это указывает на отсутствие автокорреляции в ряде динамики. Следовательно, модель по этому критерию адекватна.

Проверим равенство нулю математического ожидания уровней ряда остатков. Среднее значение остатков равно нулю:  (определено с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ»; см. прил. 4). Поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.

Нормальный закон распределения остатков проверяем с помощью R/S-критерия, определяемого по формуле


,



где emax; emin - наибольший и наименьший остатки соответственно (определялись с помощью встроенных функций «МАКС» и «МИН»);  - стандартное отклонение ряда остатков (определено с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН»; см. прил. 4).

Критические границы R/S-критерия для =0,05 и n=9 имеют значения: (R/S)1=2,7 и (R/S)2=3,7. Так как R/S-критерий попадает в интервал между критическими границами, то ряд остатков признается соответствующим нормальному закону распределения вероятностей. Модель по этому критерию адекватна.

Таким образом, выполняются все пункты проверки адекватности модели: модель признается адекватной исследуемому процессу. 

Оценим адекватность построенной модели Брауна:  с параметром сглаживания  (см. таблица 2):



Таблица 2 - Анализ ряда остатков модели Брауна

Проверяемое свойство

Используемые статистики

Граница

Вывод



наименование

значение

нижняя

верхняя



Независимость

d–критерий Дарбина-Уотсона

r(1)-коэффициент автокорреляции

d=2,79



-0,44

0,82

1,32







0,666

Нельзя сделать вывод по этому критерию

r(1)<0,666

	адекватна

Случайность

Критерий пиков (поворотных точек)

6>2

2

адекватна

Нормальность

RS-критерий

R/S=

2,7

3,7

неадекватна

Мат.ожидание≈0

t-статистика Стьюдента





2,306

адекватна

Вывод: модель статистически неадекватна



5. Оценим точность линейной модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации. 

Среднюю относительную ошибку аппроксимации находим по формуле:



 % 



Значение Eотн показывает, что предсказанные моделью значения спроса на кредитные ресурсы отличаются от фактических значений в среднем на 2,57 %. Модель имеет хорошую точность.

Оценим точность модели Брауна с параметром сглаживания :

 

Модель Брауна также имеет хорошую точность, однако она несколько ниже, чем у линейной трендовой модели.

6. Строим точечный и интервальный прогнозы спроса на 1 и 2 недели вперед для линейной модели:

Прогноз на 1 неделю вперед (период упреждения k=1): 

1) Точечный прогноз :

 млн. руб.

Среднее прогнозируемое значение спроса равно 64,5 млн. руб.

2) Интервальный прогноз 


 



с надежностью (доверительной вероятностью) =0,7. необходимые расчеты приведены в таблице 3:

 млн. руб.,

где tтаб=1,083 - табличное значение t-критерия Стьюдента для доверительной вероятности =0,7.

С вероятностью 70 % фактическое значение спроса на кредитные ресурсы будет находиться в интервале от 62,13 до 66,87 млн. руб.



Таблица 3























t

yt







1

43

16





2

47

9





3

50

4





4

48

1





5

54

0





6

57

1





7

61

4





8

59

9





9

65

16



Среднее

5

-

60

























Прогноз на 2 недели вперед (период упреждения k=2): 

1) Точечный прогноз:

 млн. руб.

Среднее прогнозируемое значение спроса равно 66,8 млн. руб.

2) Интервальный прогноз с надежностью =0,7: 

млн. руб.,

С вероятностью 70 % фактическое значение спроса на кредитные ресурсы будет находиться в интервале от 64,29 до 69,31 млн. руб.

Построим прогноз для модели Брауна на следующие 2 недели. Параметры модели, полученные для последнего уровня временного ряда (т. е. для t=n=9), используются для построения прогноза спроса по формуле:

.

Прогноз на 1 неделю вперед (период упреждения k=1): 

 млн. руб.



С вероятностью 70 % значение спроса на кредитные ресурсы будет находиться в интервале от 63,213 до 70,361 млн. руб.

Прогноз на 2 недели вперед (период упреждения k=2): 

 млн. руб.



Значение спроса на кредитные ресурсы будет находиться в интервале от 65,603 до 73,167 млн. руб.

7. График временного ряда спроса строим с помощью надстройки «Диаграмма» EXCEL. Предварительно выделяется блок ячеек «t» и «yt» вместе с заголовками, а затем выбирается пункт меню «Вставка» «Диаграмма…»:

Далее строим линию линейного тренда (меню «Диаграмма»  «Добавить линию тренда…»  «Линейная»), и устанавливаем «Прогноз» вперед на 2 единицы и назад на 1 единицу, а также вывод на диаграмме уравнения тренда и коэффициента детерминации R2.