Найпростіші задачі квантової механіки

РЕФЕРАТ



	на тему:”Найпростіші задачі квантової механіки”

	

	

	
План



1. Рух вільної частинки

2. Частинка в одновимірному потенціальному ящику

3. Гармонічний квантовий осцилятор

4. Проходження частинки крізь потенціальний бар’єр. Тунельний ефект






1. Рух вільної частинки



Найпростішим рухом квантової частинки є вільний рух. Прикладом такого руху є рух електронів в металах і напівпровідниках. В цьому випадку потенціальна енергія частинок дорівнює нулю. При вільному русі повна енергія частинки збігається з кінетичною, а її швидкість є сталою величиною. Такому рухові в класичній механіці відповідає рівномірний і прямолінійний рух.

Нехай рівномірний рух квантової частинки відбувається в напрямі осі х, яка збігається з напрямком вектора швидкості. Стаціонарне рівняння Шредінгера для вільної частинки запишеться:



 (1.3.15)



де m ― маса частинки; Е ― повна енергія частинки.

Рівняння (1.3.15) є диференціальним рівнянням другого порядку зі сталими коефіцієнтами, розв’язком якого може бути функція 



 (1.3.16)



де А і к ― сталі величини; і ― уявна одиниця.

Підстановка (1.3.16) в (1.3.15) дасть тотожність







звідки 



 (1.3.17)



У співвідношенні (1.3.17) к - хвильове число хвиль де Бройля; Е ― повна енергія частинки; m ― маса частинки.

Енергія вільної частинки з рівності (1.3.17) дорівнює



 (1.3.18)

Хвильове число к може набувати довільних значень, тому що вільні частинки в системі можуть мати практично будь-які постійні швидкості. Це говорить про те, що енергетичний спектр вільних частинок є суцільним.

Густина імовірності перебування вільної частинки в довільних точках осі х дорівнює







де - комплексно спряжена хвильова функція. Звідки







Густина імовірності вільної частинки в будь-якій точці осі х є сталою величиною. Невизначеності вільної частинки в координаті в такому випадку дорівнюють безмежності. Цей висновок є добрим підтвердженням співвідношення невизначеностей Гейзенберга.




2. Частинка в одновимірному потенціальному ящику



Розглянемо приклад просторово-обмеженого одновимірного руху квантової частинки в глибокому потенціальному ящику з вертикальними стінками, шириною l. Потенціальна енергія електрона зовні і всередині такого ящика має наступні значення:



U(x)=0 при 0<x<l, (1.3.19)

U(x)= при x0 й x l. 



Графік залежності потенціальної енергії частинки U(x) від х показаний на рис 1.5.

Частинка в такому ящику може вільно рухатись на ділянці 0хl. На кінцях цього інтервалу вона стикається з абсолютно твердими стінками. Непрозорість цих стінок визначається необмеженим ростом потенціальної енергії U(x) в точках х=0 і х=l.





Рис. 1.5



Прикладом руху електрона в потенціальному ящику може бути рух колективізованих електронів усередині металу. Як відомо, у класичній електронній теорії вважали, що поза металом потенціальна енергія електрона дорівнює нулю, а всередині металу ― вона від’ємна і чисельно дорівнює роботі виходу електрона з металу. Інакше кажучи, вважали, що рух електронів обмежений потенціальним бар’єром прямокутної форми з плоским дном. У нашому випадку потенціальний ящик значно простішої форми ніж реальний випадок електрона в металі.

Оскільки частинка не виходить за межі ділянки 0  х  l, то імовірність знайти її за межами цієї ділянки дорівнює нулю. Це означає, що рівняння Шредінгера для стаціонарних станів можна доповнити граничними умовами  і 

Запишемо рівняння Шредінгера для частинки в потенціальному ящику



 (1.3.20)



де m ― маса частинки;  ― стала Дірака; Е ― повна енергія частинки; (х) ― хвильова функція.

Введемо позначення 



 (1.3.21)



де к ― хвильове число хвиль де Бройля для електрона, який перебуває всередині потенціального ящика.

Рівняння (1.3.20) набуде вигляду



. (1.3.22)



Знайдемо розв’язок рівняння (1.3.22), подібно до аналогічних диференціальних рівнянь гармонічних коливань, у тригонометричній формі

 (1.3.23)



де А, В і С ─ сталі величини.

З граничних умов одержуємо:

а) (0)=0; 0=АcosB.0+CsinB.0,

звідки А=0; В0 і С0.

б) (l)=0; 0=CsinB.l,

звідки при С0, Вl=n, або  де n = 1,2,3,...

Хвильова функція з урахуванням граничних умов набуде вигляду:



 (1.3.24)



Константу С у формулі (1.3.24) знайдемо з умови нормування



, (1.3.25)



або



. (1.3.26)



Другий інтеграл у виразі (1.3.26) для будь-яких значень n дорівнює нулю, тому



, звідки 

Хвильова функція, яка описує квантовий рух частинки в потенціальному ящику, має вигляд:



 (1.3.27)



При підстановці (1.3.27) у (1.3.22) одержуємо тотожність



,



звідки



 (1.3.28)



Енергія Е електрона в потенціальному ящику не може бути довільною. Вона набуває лише дискретних власних значень Е(n). Імовірність виявити в межах потенціального ящика електрон з іншою енергією, ніж (1.3.28) дорівнює нулю.

Що ми одержали в результаті розв’язування рівняння Шредінгера? По-перше, набір псі-функцій, які залежать від квантового числа n. По-друге, значення енергії Е, при яких розв’язок рівняння Шредінгера має фізичний зміст. По-третє, розподіл імовірності виявлення частинки в різних точках осі x усередині ящика. Подібні ж результати виходять при розв’язуванні рівняння Шредінгера й в інших випадках, наприклад, для атома водню.

Енергетичний спектр і густина імовірності частинки в потенціальному ящику показана на рис. 1.6. 




ω

x

l

n=4

n=3

n=2

n=1

Рис. 1.6



Число n у формулі (1.3.28) визначає вид хвильової функції й енергію частинки в стані з цією хвильовою функцією і називається квантовим числом. Покажемо, що для частинки в потенціальному ящику можливі лише такі енергетичні рівні, на яких на ширині ящика вкладається лише ціле число півхвиль де Бройля. При аналізі граничних умов було показано, що kl=n, де  ― хвильове число хвиль де Бройля. З урахуванням останнього маємо:



 (1.3.29)



Співвідношення (1.3.29) показує, що в потенціальному ящику можливі лише такі стани частинки, при яких на ширині потенціального ящика l вкладається ціле число півхвиль де Бройля (рис. 1.7).






x

l

n=4

n=3

n=1

n=2

ω

Рис. 1.7



Незбуреному стану частинки (n=1) відповідає енергія



 (1.3.30)



Значення цієї енергії Еl0 свідчить про те, що частинка в потенціальному ящику ніколи не зупиняється і що невизначеність Рх імпульсу частинки не може бути меншою за величину



 (1.3.31)



В потенціальному ящику шириною l положення частинки визнача-ється похибкою, яка сумірна з його шириною хl, тому що перебуває у повній відповідності із співвідношенням невизначеностей імпульс - координата.

Покажемо, як залежить ширина енергетичного інтервалу Е від розмірів потенціального ящика. У потенціальному ящику з розмірами l=10-9 м власні значення енергії електрона утворюють послідовність енергетичних рівнів, енергетична відстань між якими дорівнює 



E=En+1-En,



або



 Дж.



В електрон-вольтах ця енергія буде дорівнювати



 



Цей розрахунок показує, що коли ширина потенціального ящика сумірна з розмірами атома (10-10м), енергетичний інтервал між сусідніми енергетичними рівнями досить значний, а спектр є дискретним.

У випадку, коли потенціальний ящик має макроскопічні розміри l10-2 м, енергетичний інтервал між сусідніми рівнями буде дорівнювати



Дж=0,34.10-14(2n+1) eB.



Для такого потенціального ящика квантуванням енергії можна знехтувати. Вона нічим не відрізняються від значень енергії, одержаних класичними методами.

Аналогічні результати можна одержати для великих квантових чисел n. У цьому випадку проявляється принцип відносності, встановлений Бором у 1923 р. 

При великих квантових числах висновки й результати квантової механіки збігаються з відповідними класичними результатами.




3. Гармонічний квантовий осцилятор



Просторово-обмеженим є також рух квантового осцилятора. З класичної точки зору осцилятором може бути будь-яка матеріальна точка, яка здійснює гармонічні коливання під дією квазіпружної сили



F=-kx, де k=m. (1.3.33)



Потенціальна енергія класичного осцилятора знаходиться за формулою



 (1.3.34)



де m ― маса частинки;  ― циклічна частота осцилятора.

Графічна залежність потенціальної енергії класичного осцилятора показана на рис. 1.8.





Рис. 1.8



З рисунка видно, що осцилятор може мати практично довільну енергію, навіть рівну нулю. В точках -а і +а кінетична енергія осцилятора дорівнює нулю, а потенціальна енергія досягає свого максимуму. За межі області (-а, +а) класичний осцилятор вийти не може.

Квантовим осцилятором може бути лише елементарна частинка, яка поряд із корпускулярними властивостями проявляє і хвильові властивості. Прикладом квантового осцилятора може бути коливний рух атомів і молекул у вузлах кристалічної гратки. Потенціальна енергія квантового осцилятора має ту ж математичну залежність, що і класичний осцилятор (1.3.34).

Стаціонарне рівняння Шредінгера для лінійного гармонічного осцилятора має вигляд:



 (1.3.35)



де m ― маса квантової частинки;  ― власна циклічна частота; Е ― повна енергія частинки.

Знаходження хвильових функцій квантового осцилятора є досить складною математичною задачею. Тому, опускаючи такі розв’язки, наводимо енергетичний спектр квантового осцилятора. Він має вигляд



 (1.3.36)



де n= 0,1,2,3,... ― будь-яке ціле число, починаючи з нуля;  ― власна циклічна частота осцилятора;  ― стала Дірака.

Аналіз рівняння (1.3.36) показує, що енергетичний спектр квантового осцилятора є дискретним і що власні значення енергії дорівнюють:



, , 



В енергетичному спектрі (1.3.36) проміжки між енергетичними рівнями не залежать від квантового числа n, а є однаковими

 (1.3.37)



Як показано на рис. 1.9, де енергетичний спектр квантового осцилятора суміщається з аналогічним спектром класичного осцилятора, квантовий осцилятор не має значень енергії рівних нулю.





Рис.1.9



Найменше значення енергії квантового осцилятора дорівнює



. (1.3.38)



Меншої енергії квантовий осцилятор не може мати навіть при абсолютному нулі температур.

Покажемо наближеним способом, що енергія квантового осцилятора квантується. З рис 1.10 видно, що на відрізку l=2х0 вкладається ціле число півхвиль де Бройля, тобто 



 (1.3.39)



де  ― середнє значення довжини хвилі де Бройля. 

Звідки 



 (1.3.40)





 Рис. 1.10



Середнє значення імпульсу кванта хвилі де Бройля 

	

	 (1.3.41)



Середня кінетична енергія такого осцилятора 



 (1.3.42)



Відомо, що повна енергія Е перевищує середнє значення кінетичної енергії у два рази, тобто 



 (1.3.43)



З іншої точки зору повна енергія квантового осцилятора дорівнюватиме максимальній потенціальній енергії

 (1.3.44)



Перемножимо рівності (1.3.43) і (1.3.44), одержимо 



 (1.3.45)



або 



 (1.3.46)



В межах точності наших міркувань 1, тому 



	 (1.3.47)



де n =1,2,3,... ― цілі числа.

Наближений розрахунок показує, що енергія квантового осцилятора набуває ряду дискретних значень, тобто квантується.

Точне значення енергії для не збудженого квантового осцилятора нульового рівня можна одержати з рівняння Шредінгера (1.3.35), якщо згідно з рис. 1.10 скористатись функцією Гаусса, яка дорівнює



 (1.3.48)



де а ― стала величина, яку слід визначити. 

Другу похідну від (1.3.48) підставимо в (1.3.35)







звідки 



. (1.3.49)



Тотожність (1.3.49) має місце у випадку рівності коефіцієнтів при х2 і вільних членів, тобто 



  (1.3.50)



Система рівнянь (1.3.50) дає можливість одержати значення енергії Е і сталої величини а



 . (1.3.51)



Таким чином функція Гаусса є розв’язком рівняння Шредінгера (1.3.35) лише за умови коли . 

В цьому випадку



. (1.3.52)



Слід відмітити, що оскільки відстань між суміжними рівнями енергії квантового осцилятора дорівнює  то з урахуванням  одержуємо енергетичний спектр квантового осцилятора у вигляді



 (1.3.53)



де n = 0,1,2,3,...



4. Проходження частинки крізь потенціальний бар’єр. Тунельний ефект



Класична частинка не може перебувати в тих місцях, де її потенціальна енергія U(x) перевищувала б повну енергію частинки E. Щодо квантової частинки, то вона має таку властивість через те, що існує відмінна від нуля імовірність проникнення її крізь потенціальний бар’єр, тобто в область, де U(x)  E.

Проведемо оцінку цієї імовірності шляхом розв’язування такої задачі. Нехай квантова частинка з масою m, рухаючись в напрямі осі х, вдаряється в потенціальний бар’єр кінцевої висоти U0, тобто







причому енергія частинки Е менша висоти бар’єра U0, (рис. 1.11).






Рис. 1.11



В області потенціального бар’єра рівняння Шредінгера для стаціонарних станів набуде вигляду



 (1.3.54)



Якщо позначити вираз  через , то рівняння (1.3.54) перепишеться



. (1.3.55)



Розв’язком рівняння (1.3.55) може бути функція



, (1.3.56)



де А і В ─ деякі константи. 

Експонента з додатним знаком фізичного змісту не має й може бути відкинута, тому що не повинно бути зростання імовірності в області потенціального бар’єра. Тому в області потенціального бар’єра (х), хвильова функція частинки x визначається рівністю



x = Аe-x. (1.3.57)



Коефіцієнт А у виразі (1.3.57) пов’язаний з інтенсивністю променя частинок, які рухаються у напрямі бар’єра, а тому задається довільно. Як правило для х координати частинок розподіляються з густиною імовірності



, (1.3.58)



де 0 дорівнює значенню x2 при х=0. 

Рівняння (1.3.58) показує, що із збільшенням глибини проникнення в область потенціального бар’єра, густина імовірності х зменшується експоненційно. Це зменшення буде тим швидше, чим більша різниця енергій U0 - E.

Знайдемо глибину проникнення елементарної частинки в область потенціального бар’єра при умові, що m = 9,1 10-31 кг (електрон), U0 - E = 10-4 eB, а густина імовірності (х на цій відстані зменшується в е разів



.



Ця відстань перевищує на два порядки діаметр атома водню. Глибина проникнення зменшується на порядок, якщо різниця енергій U0 - E зросте до 10-2 еВ. 

Здатність квантових частинок проникати в область потенціального бар’єра приводить до тунельного ефекту. Його суть полягає в проникненні частинки з однієї області в іншу область, які поділені потенціальним бар’єром навіть в тих випадках, коли енергія частинки Е менша висоти потенціального бар’єра U0.

Таке проходження частинки виявляється можливим дякуючи існуванню під бар’єром хвильової функції, яка «прокладає» шлях частинці на будь-яку відстань. Тунельний ефект є головною причиною -розпаду радіоактивних ядер.