Средние величины и показатели вариации

Реферат

Средние величины и показатели вариации


Содержание



1.Сущность средних в статистике

2.Виды средних величин и способы их расчёта

3.Основные показатели вариации и их значение в статистике


1. Сущность средних величин в статистике



В процессе изучения массовых социально-экономических явлений возникает необходимость выявления их общих свойств, типичных размеров и характерных признаков. Необходимость в обобщающем среднем показателе возникает в том случае, когда признаки, характеризующие единицы изучаемой совокупности, количественно варьируют. Например, размер дневной выработки ткачей на текстильной фабрике зависит от общих условий производства, ткачи используют одинаковое сырьё, работают на одинаковых станках и т.д. В то же время часовая выработка отдельных ткачей колеблется, т.е. варьирует, так как зависит от индивидуальных особенностей каждого ткача (его квалификации, профессионального опыта и т.д.). Чтобы характеризовать дневную выработку всех ткачей предприятия, необходимо исчислить среднюю величину дневной выработки, так, как, только, в, этом, показателе найдут отражение общие для ткачей условия производства.

Таким образом, исчисление средних обобщающих показателей означает отвлечение (абстрагирование) от особенностей, отражающихся в величине признака у отдельных единиц, и выявление общих для данной совокупности типичных черт и свойств.

Таким образом, средней величиной в статистике является обобщённая, количественна характеристика признака и статистической совокупности. Она выражает характерную, типичную величину признака у единиц совокупности, образующихся в данных условиях места и времени под влиянием всей совокупности факторов. Действие разнообразных факторов порождает колебание, вариацию усредняемого признака. Средняя величина является общей мерой их действия, равнодействующей всех этих факторов. Средняя величина характеризует совокупность по усредняемому признаку, но относится к единице совокупности. Например, средняя выработка продукции на одного рабочего данного предприятия представляет собой отношение всей выработки (за любой период времени) к общей (средней за тот же период) численности его рабочих. Она характеризует производительность труда данной совокупности, но относится к одному рабочему. В средней величине массового явления погашаются индивидуальные различия единиц статистической совокупности в значениях усредняемого признака, обусловленные случайными обстоятельствами. Вследствие этого взаимопогашения в средней проявлявляется общее, закономерное свойство данной статистической совокупности явлений. Между средней и индивидуальными значениями осреднённого признака существует диалектическая связь как между общим и отдельным. Средняя является важнейшей категорией статистической науки и важнейшей формой обобщающих показателей. Многие явления общественной жизни становятся ясными, определёнными, лишь, будучи обобщенными, в форме средних величин. Таковы, например, упомянутая выше производительность труда, совокупность рабочих, урожайность сельскохозяйственных культур и т.д. Средняя выступает в статистике важнейшим методом научного обобщения. В этом смысле говорят о методе средних величин, который широко применяется в экономической науке. Многие категории экономической науки определяются с использованием понятия средней.

Основным условием правильного применения средней величины является однородность статистической совокупности по усредняемому признаку. Однородной статистической совокупностью называется такая совокупность, в которой её составные элементы (единицы) сходны между собой по существенным для данного исследования признакам и относятся к одному и тому же типу явлений. Однородная совокупность, будучи однородна по одним признакам, может быть разнородной по другим. Только в средних для таких совокупностей проявляются специфические особенности, закономерности развития анализируемого явления. Средняя вычисленная для неоднородной статистической совокупности, т.е. такой в которой объединены качественно различные явления, теряет своё научное значений. Такие средние являются фиктивными, не только не дающими представления о действительности, но и искажающими её. Для формирования однородных статистических совокупностей производится соответствующая группировка. С помощью группировок и в качественно однородной совокупности могут быть выделены характерные в количественном отношении группы. Для каждой из них может быть вычислена своя средняя, называемая средней групповой (частной) в отличие от общей средней (для совокупности в целом).


2. Виды средних величин



Большое значение в методологии средних величин имеют вопросы выбора формы средней, т.е. формулы по которой можно правильно вычислить среднюю величину, и выбора весов средней. Наиболее часто в статистике применяются средняя агрегатная, средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратичная, мода и медиана. Применение той или иной формулы зависит от содержания усредняемого признака и конкретных данных, по которым её необходимо рассчитать. Для выбора формы средней можно воспользоваться так называемым средним исходным соотношением.



2.1 Средняя арифметическая



Средняя арифметическая - одна из наиболее распространенных форм средней величины. Средняя арифметическая рассчитывается как частное от деления суммы индивидуальных значений (вариантов) варьирующего признака на их число. Средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда объём варьирующего признака явлений однородной статистической совокупности, образуется путём суммирования значений признака всех единиц явлений статистической совокупности. Различают следующие средне арифметические величины:

1) Простая средняя арифметическая, которая определяется путём простого суммирования количественных значений варьирующего признака и деления этой сумы на их варианты и рассчитывается по следующей формуле:





где:

Х - средняя величина статистической совокупности,

xi - сумма отдельных варьирующих вариантов явлений статистической совокупности,

ni - количество варьирующих вариантов явлений статистической совокупности.



2) Среднеарифметическая взвешенная - средняя величина признака явления, вычисленная с учётом весов. Веса средних величин - частоты, с которыми отдельные значения признака осредняемого принимаются в расчёт при исчислении его средней величины. Выбор весов средней величины зависит от сущности усредняемого признака и характера данных, которыми располагают для вычисления средних величин. В качестве весов средних величин могут быть показатели численности единиц или размеры частей статистической совокупности (в форме абсолютных или относительных величин), обладающих данным вариантом (значением) усредняемого признака явления статистической совокупности, а также величины показателя связанного с усредняемым признаком. Среднеарифметическая взвешенная рассчитывается по следующей формуле:





где:

X- средняя арифметическая взвешенная,

х - величина отдельных варьирующих вариантов явлений статистической совокупности,

f - веса.



Назначение простой, и взвешенной средней арифметической является определение среднего значения варьирующего признака. Если в изучаемой статистической совокупности варианты значений признака встречаются по одному разу или имеют одинаковый вес, то применяется простая средняя арифметическая, если же варианты значений данного признака встречаются в изучаемой совокупности по несколько раз или имеют различные веса, для определения среднего значения варьирующего признака применяется средняя арифметическая взвешенная.



2.2 Средняя гармоническая



Средняя гармоническая применяется для расчёта средней величины тогда, когда непосредственные данные о весах отсутствуют, а известны варианты усредняемого признака (х) и произведения значений вариантов на количество единиц, обладающих данным его значением w (w = xf).

Данная средняя рассчитывается по следующим формулам: 

1.) Среднегармоническая простая:













где:

Х - средняя гармоническая простая,

х - сумма отдельных варьирующих вариантов явлений статистической совокупности,

n - количество варьирующих вариантов явлений статистической совокупности.



2) Среднегармоническая взвешенная:











где:

Х - средняя гармоническая взвешенная,

х - сумма отдельных варьирующих вариантов явлений статистической совокупности,

w - x f,

f - веса.



При использовании гармонической взвешенной выявляют веса и таким образом получают тот же результат, который дал бы расчёт по средней арифметической взвешенной, если бы были известны все необходимые для этого данные.



2.3 Средняя агрегатная



Средняя агрегатная рассчитывается по формуле:





 





где:

X - средняя агрегатная,

w - x f,

х - сумма отдельных варьирующих вариантов явлений статистической совокупности,

f - веса.

Средняя агрегатная вычисляется в тех случаях, когда известны (имеются) значения числителя и значения знаменателя исходного соотношения средней.



2.4 Средняя геометрическая



Средняя геометрическая является одной из форм средней величины и вычисляется как корень n-й степени из произведения отдельных значений - вариантов признака (х) и определяется по следующей формуле:









Или









Средняя геометрическая применяется в основном при расчётах средних темпов роста.



2.5 Мода и медиана



Наряду с рассмотренными выше средними в качестве статистических характеристик вариационных рядов рассчитываются так называемые структурные средние - мода и медиана.

Модой (Мо) называется наиболее часто встречающееся значение признака у единиц совокупности. Для дискретных рядов - этот вариант, имеющий наибольшую частоту.

В интервальных вариационных рядах можно определить, прежде всего, интервал, в котором находится мода, т.е. так называемый модальный интервал. В вариационном ряду с равными интервалами модальный интервал определяется по наибольшей частоте, в рядах с неравными интервалами по наибольшей плотности распределения.

Для определения моды в рядах с равными интервалами пользуются формулой следующего вида:









где:

Хн - нижняя граница модального интервала,

h - величина интервала,

f1, f2, f3 - частоты (или частности) соответственно предмодального, модального и послемодального интервалов.



В интервальном ряду моду можно найти графически. Для этого в самом высоком столбце гистограммы от границ двух смежных столбцов проводят две линии. Затем из точки их пересечения опускают перпендикуляр на ось абсцисс. Значение признака на оси абсцисс, соответствующее перпендикуляру, и будет модой.

Во многих случаях при характеристике совокупности в качестве обобщённого показателя отдаётся предпочтение моде, а не средней арифметической.

Так, при изучении цен на рынке фиксируется и изучается в динамике не средняя цена на определённую продукцию, а модальная; при изучении спроса населения на определённый размер обуви или одежды представляет интерес определение модального размера обуви, а средний размер как таковой здесь вообще не имеет значения. Мода представляет не только самостоятельный интерес, но и исполняет роль вспомогательного показателя при средней, характеризуя её типичность. Если средняя арифметическая близка по значению к моде, значит она типична.

Медианой (Ме) называется значение признака у средней единицы ранжированного ряда. (Ранжированным называют ряд, у которого значения признака записаны в порядке возрастания или убывания.)

Чтобы найти медиану, сначала определяется её порядковый номер. Для этого при нечётном числе единиц к сумме всех частот прибавляется единица, и всё делится на два. При чётном числе единиц в ряду будет две средних единицы, и по всем правилам медиана должна определяться как средняя из значений этих двух единиц. Однако практически при чётном числе единиц медиана отыскивается как значение признака у единицы, порядковый номер которой определяется по общей сумме частот, делённой на два. Зная порядковый номер медианы, легко по накопленным частотам найти её значение.

В интервальных рядах после определения порядкового номера медианы по накопительным частотам (частностям) отыскивается медиальный интервал, а затем при помощи простейшего интерполяционного приёма определяется значение самой медианы. Этот расчёт выражает следующая формула:











где:

Xn - нижняя граница медианного интервала,

h - величина медианного интервала,

- порядковый номер медианы,

SMe - 1 частота (частотность), накопленная до медианного интервала,

FMe - частота (частность) медианного интервала.



Согласно записанной формуле к нижней границе медианного интервала прибавляется такая часть величины интервала, которая приходится на долю единиц этой группы, недостающих до порядкового номера медианы. Другими словами, расчёт медианы построен на предположении, что нарастание признака среди единиц каждой группы происходит равномерно. На основе сказанного можно рассчитать медиану и по иному. Определив медианный интервал, можно из верхней границы медианного интервала (Хв) вычесть ту часть интервала, которая приходится на долю единиц, превышающих порядковый номер медианы, т.е. по следующей формуле:













Медиану можно также определить и графически. Для этого строиться кумулята и из точки на шкале накопленных частот (частностей), соответствующей порядковому номеру медианы, проводится прямая, параллельная оси х до пересечения с кумулятой. Затем из точки пересечения указанной прямой с куммулятой опускается перпендикуляр на ось абсцисс. Значение признака на оси абсцисс, соответствующее проведённой ординате (перпендикуляру), и будет медианой.

По такому же принципу легко найти значение признака у любой единицы ранжированного ряда.

Таким образом, для расчёта средней величины вариационного ряда можно использовать целую совокупность показателей.


3. Основные показатели вариации и их значение в статистике



При изучении варьирующего признака у единиц совокупности нельзя ограничиваться лишь расчётом средней величины из отдельных вариантов, так как одна и та же средняя может относиться далеко не к одинаковым по составу совокупностям. Это можно проиллюстрировать следующим условным примером, отражающим данные о числе дворов в агрохозяйствах двух районов:







Среднее число дворов в агрохозяйствах двух районов одинаково - 160. Однако состав этих агрохозяйств в двух районах далеко не одинаков. Поэтому возникает необходимость измерить вариацию признака в совокупности.

Для этой цели в статистике рассчитывают ряд характеристик, т.е. показателей. Самым элементарным показателем вариации признака является размах вариации R, представляющий собой разность между максимальными и минимальными значениями признака в данном вариационном ряду, т.е. R = Xmax - Xmin. В нашем примере в 1 районе R = 300 - 80 - 220, а во втором районе R = 180 - 145 = 35.

Показатель размаха вариации не всегда применим, так как он учитывает только крайние значения признака, которые могут сильно отличаться от всех других единиц. Иногда находят отношение размаха вариации к средней арифметической и пользуются этой величиной, именуя её показателем осцилляции.

Более точно можно определить вариацию в ряду при помощи показателей, учитывающих отклонения всех вариантов от средней арифметической. Таких показателей в статистике два - среднее линейное и среднее квадратическое отклонение.

Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю арифметическую из абсолютных величин отклонений вариантов от средней. Знаки отклонений в данном случае игнорируются, в противном случае сумма всех отклонений будет равна нулю. Данный показатель рассчитывается по формуле:

а) для несгрупированных данных:



 





б) для вариационного ряда:











Следует иметь в виду, что среднее линейное отклонение будет минимальным, если отклонения рассчитаны от медианы, т.е. по формуле:







Среднее квадратическое отклонение () исчисляется следующим образом - каждое отклонение от средней возводится в квадрат, все квадраты суммируются (с учётом весов), после чего сумма квадратов делиться на число членов ряда и из частного извлекается корень квадратный.

Все данные действия выражаются следующими формулами:

а) для несгрупированных данных:









б) для вариационного ряда:









f, т.е. среднее квадратическое отклонение предятавляет собой корень квадратный из средней арифметической квадратов отклонений средней. Выражение под корнем носит название дисперсии. Дисперсия имеет самостоятельное выражение в статистике и относится к числу важнейших показателей вариации.





2