Средний арифметический и средний гармонический индексы, область их применения/ Цепные и базисные индексы

Средний арифметический и средний гармонический индексы, область их применения/ Цепные и базисные индексы

Контрольная работа по дисциплине «Статистика»

I. Введение

Возрастающий интерес к статистике вызван современным этапом развития экономики в стране, формирования рыночных отношений. Это требует глубоких экономических знаний в области сбора, обработки и анализа экономической информации.

Полная и достоверная статистическая информация является тем необходимым основанием, на котором базируется процесс управления экономикой. Вся информация, имеющая народнохозяйственную значимость, в конечном счете, обрабатывается и анализируется с помощью статистики.

Именно статистические данные позволяют определить объемы валового внутреннего продукта и национального дохода, выявить основные тенденции развития отраслей экономики, оценить уровень инфляции, проанализировать состояние финансовых и товарных рынков, исследовать уровень жизни населения и другие социально-экономические явления и процессы.

Овладение статистической методологией - одно из условий познания конъюнктуры рынка, изучения тенденций и прогнозирования, принятия оптимальных решений на всех уровнях деятельности.

Сложной, трудоемкой и ответственной является заключительная, аналитическая стадия исследования. На этой стадии рассчитываются средние показатели и показатели распределения, анализируется структура совокупности, исследуется динамика и взаимосвязь между изучаемыми явлениями и процессами.

На всех стадиях исследования статистика использует различные методы. Методы статистики - это особые приемы и способы изучения массовых общественных явлений.

В данной работе затрагивается тема экономических индексов. Поскольку объекты изучения индексов весьма разнообразны, то они широко применяются в экономической практике. 

II. Теоретическая часть.

2.1. Индексы и их классификация

В статистике под индексом понимается относительная величина (показатель), выражающая изменение сложного социально- экономического показателя во времени, в пространстве, по сравнению с планом. В связи с этим различают динамические, территориальные индексы, а также индексы выполнения плана.

Многие общественные явления состоят из непосредственно несопоставимых явлений, поэтому основной вопрос – это вопрос сопоставимости сравниваемых явлений.

К какому бы экономическому явлению ни относились индексы, чтобы рассчитать их, необходимо сравнивать различные уровни, которые относятся либо к различным периодам времени, либо к плановому заданию, либо к различным территориям. В связи с этим различают базисный период (период, к которому относится величина, подвергаемая сравнению) и отчетный период (период, к которому относится сравниваемая величина). При исчислении важно правильно выбрать период, принимаемый за базу сравнения.

Индексы могут относиться либо к отдельным элементам сложного экономического явления, либо ко всему явлению в целом.

В зависимости от степени охвата подвергнутых обобщению единиц изучаемой совокупности индексы подразделяются на индивидуальные (элементарные) и общие.

Индивидуальные индексы характеризуют изменения отдельных единиц статистической совокупности. Так, например, если при изучении оптовой реализации продовольственных товаров определяются изменения в продаже отдельных товарных разновидностей, то получают индивидуальные (однотоварные) индексы.

В статистической практике принято следующее обозначение

i – индивидуальный индекс I – общий индекс

p – цена q - количество

t – затраты времени на производство единицы продукции

T – численность f – з/п

F – фонд з/п z- себестоимость

pq – товарооборот, выручка.

zq – затраты на производство всей продукции

Общие индексы выражают сводные (обобщающие) результаты совместного изменения всех единиц, образующих статистическую совокупность. 

Рассмотрим построение общего индекса на примере вычисления индекса товарооборота (табл.2.1):

Таблица 2.1

Наименование товара

Продано

Цена за единицу, руб.

Стоимость проданных товаров







Базисный период

Отчетный период



Базисный период

Отчетный период

Базисный период

Отчетный период

по ценам базисного периода

по ценам отчетного периода

по ценам базисного периода

по ценам отчетного периода



q0

q1

p0

p1

p0q0

p1q0

p0q1

p1q1

А, шт

2000

25000

0,15

0,10

3000

2000

3750

2500

Б, кг

16500

18500

0,20

0,12

3300

1980

3700

2200

В, л

18000

24000

0,25

0,30

4500

5400

6000

7200

ИТОГО









10800

9380

13450

11900

Общее изменение товарооборота стоимости проданных товаров можно определять, сопоставив общую стоимость проданных товаров в отчетном периоде по ценам отчетного периода с общей стоимостью проданных товаров в базисном периоде по ценам базисного периода: 

Ipq=

11900

=1,102

или

110,2%



10800







Следовательно, товарооборот в нашем примере увеличился в отчетном периоде по сравнению с базисным на 10,2% или в абсолютном выражении товарооборот увеличился на 11900 – 10800=1100 руб.

Таким образом, можно записать формулу общего индекса товарооборота: 

Ipq=

∑p1q1









(2.1)



∑p0q0

























Приведенная формула индекса товарооборота называется агрегатной (от лат.aggrego- присоединяю). Агрегатными называются индексы, числители и знаменатели которых представляют собой суммы, произведения или суммы произведений уровней изучаемого явления. [6 с.107]

Агрегатная форма индекса является основной, наиболее распространенной формой экономических индексов.

Для исчисления агрегатных индексов необходимы два рода показателей: индексируемые величины и веса. Но практически эти показатели имеются не всегда. В таких случаях для удобства расчётов (в том случае, если мы располагаем значениями индивидуальных индексов) на практике удобно использовать средние индексы. 

2.2. Средний арифметический индекс.

Помимо агрегатных индексов в статистике применяются средневзвешенные индексы. К их исчислению прибегают тогда, когда имеющаяся в распоряжении информация не позволяет рассчитать общий агрегатный индекс.

Средний индекс - это индекс, вычисленный как средняя величина из индивидуальных индексов. Он должен быть тождествен агрегатному индексу. При исчислении средних индексов используются две формы средних: арифметическая и гармоническая. Среднеарифметический индекс тождествен агрегатному, если весами индивидуальных индексов будут слагаемые знаменателя агрегатного по формуле средней арифметической, будет равна агрегатному индексу. 

Рассмотрим преобразование агрегатного индекса в среднеарифметический на примере агрегатного индекса физического объема товарооборота. В этом случае индивидуальные индексы должны быть взвешены на базисные соизмерители. Из индивидуального индекса физического объема товарооборота  следует, что q1= iqq0. Заменив q1 в числителе агрегатного индекса физического объема товарооборота (2.4) на iqq0, получим среднеариметический индекс физического объема продукции:

















(2.6)





























 Среднеарифметический индекс трудоемкости производства продукции определяется следующим образом: 

It=

∑itT0

=

∑itt0q0





(2.7)



∑T0



∑t0q0







Поскольку it · to= t1, то формула этого индекса может быть преобразована в агрегатный индекс трудоемкости продукции. Весами являются общие затраты времени на производство продукции или численность работников в базисном периоде.

В статистике широко известен и среднеарифметический индекс производительности труда. Он носит название индекса Струмилина и определяется следующим образом: 

It=

∑itT1









(2.8)



∑T1











Индекс показывает, во сколько раз возросла (уменьшилась) производительность труда или сколько процентов составил рост (снижение) производительности труда в среднем по всем единицам исследуемой совокупности. 

Среднеарифметические индексы чаще всего применяются на практике для расчета сводных индексов количественных показателей.

2.3. Средний гармонический индекс.

В тех случаях, когда не известны отдельные значения p1 и q1, а дано их произведение р1q1 – товарооборот отчетного периода и индивидуальные индексы цен ip=р1/q1, а сводный индекс должен быть вычислен с отчетными весами, применяется среднегармонический индекс цен. Причем индивидуальные индексы должны быть взвешены таким образом, чтобы среднегармонический индекс совпал с агрегатным. Из формулы ip=р1/р0 определим неизвестное р0 значение и, заменив в формуле агрегатного индекса цен (2.2) значение р0=р1/ip, получим среднегармонический индекс цен:  (2.8)

Таким образом, весами при определении среднегармонического индекса себестоимости являются издержки производства текущего периода, а при расчете индекса цен стоимость продукции этого периода.

Применение той или иной формулы индекса зависит от имеющейся в 

распоряжении информации. Также нужно иметь в виду, что агрегатный индекс может быть преобразован и рассчитан как средний из индивидуальных Индексов только при совпадении перечня видов продукции или товаров (их ассортимента) в отчетном и базисном периодах, т.е. когда агрегатный индекс построен по сравнимому кругу единиц (агрегатные индексы качественных показателей и агрегатные индексы объемных показателей при условии сравнимого ассортимента). По несравнимой продукции нельзя определить индивидуальные индексы, а потому становится невозможным преобразование агрегатного индекса в адекватные ему средние индексы.

Рассмотрим применение среднего индекса цен на примере.

Пусть имеются данные о продаже товаром в магазине (табл.2.2.)

Таблица 2.2.

Данные о продаже товаров

Товар, ед.изм.

Продано в отчетном периоде p1q1, тыс.руб.

Изменение цен на товары

в отчетном периоде

по сравнению с базисным, %

Туфли мужские, пары

186

+3

Костюмы, шт.

214

+6

ИТОГО

400

-



Определить общий кодекс цен.

Решение. Запишем, исходя из условия, индивидуальные индексы цен: iⁿp=1,06 и i′p=1,03 и подставим их значения в формулу среднего гармонического индекса цен (2.8):

Ip=

∑p1q1

=

186+214

=

400

=

1,046

или

104,60%



∑

p1q1



186

+

214



382,47













ip



1,03



1,06















Следовательно, в отчетном периоде по сравнению с базисным цены на данную группу товаров повысился в среднем на 4,6% . [3 с.163]

2.4. Базисные и цепные индексы

В ходе экономического анализа изменение индексируемых величин часть изучают не за два, за ряд последовательных периодов. Возникает необходимость построения индексов за ряд этих последовательных периодов.

В зависимости от выбора базы сравнения индексы бывают цепными и базисными.

В системе базисных индексов сравнения уровней индексируемого показателя в каждом индексе производится с уровнем базисного периода, а системе цепных индексов уровни индексируемого показателя сопоставляются с уровнем предыдущего периода. 

Цепные и базисные индексы могут быть как индивидуальные, так и общие.

Ряды индивидуальных индексов просты по построению:

· базисные 

индексы 



Ip=

p1

;

Ip=

p2

;

Ip=

p3

;

Ip=

pn

.







р0





р0





р0





р0































· цепные 

индексы



Ip=

p1

;

Ip=

p2

;

Ip=

p3

;

Ip=

pn

.







р0





р1





р2





pn-1





Между цепными и базисными индивидуальными индексами существует взаимосвязь - произведение последовательных цепных индивидуальный индексов дает базисный индекс последнего периода:

Ip=

p1

*

p2

*

p3

*

pn

=

pn



р0



р1



р2



рn-1



р0

Отношение базисного индекса отчетного периода к базисному индексу предшествующего периода дает цепной индекс отчетного периода:

Ip=

pn

:

рn-1

=

pn



р0



р0



рn-1













Это правило позволяет применять так называемый цепной метод, т.е находить неизвестный ряд базисных индексов по известным цепным, и наоборот.

Рассмотрим построение базисных и цепных индексов на примере агрегатных индексов цен и физического объема продукции. Известно, что если строится ряд индексов, то веса в нем могут быть либо постоянными для всех индексов ряда, либо переменными. 

Базисные индексы

Индексы цен Паше (с переменными весами):

IР1/0=

∑p1q1

;

IP2/0=

∑p2q2

;

…;

IPn/0=

∑pnqn

;



∑p0q1





∑p0q2







∑p0qn



Индексы цен Ласпейреса (с постоянными весами)

IP1/0=

∑p1q0

;

IP2/0=

∑p2q0

;

…;

IPn/0=

∑pnq0

;



∑p0q0





∑p0q0







∑p0q0



Индексы физического объема продукции (с постоянными весами):

Iq1/0=

∑p1q0

;

Iq2/0=

∑p2q0

;

…;

Iqn/0=

∑qnp0

;



∑p0q0





∑p0q0







∑p0q0



Цепные индексы

Индексы цен Паше (с переменными весами):

IР1/0=

∑p1q1

;

IP2/1=

∑p2q2

;

…;

IPn/n-1=

∑pnqn

;



∑p0q1





∑p1q2







∑pn-1qn



Индексы цен Ласпейреса (с постоянными весами)

IP1/0=

∑p1q0

;

IP2/1=

∑p2q0

;

…;

IPn/n-1=

∑pnq0



∑p0q0





∑p1q0







∑pn-1q0

Индексы физического объема продукции (с постоянными весами):

Iq1/0=

∑p1q0

;

Iq2/1=

∑q2p0

;

…;

Iqn/n-1=

∑qnp0

.



∑q0p0





∑q1p0







∑qn-1p0



Итак, в базисных агрегатных индексах все отчетные данные сопоставляются только с базисными (закрепленными) данными, а в цепных – с предыдущими (в данном случае – смежными) данными.

Ряды агрегатных индексов с постоянными весами имеют преимущество – сохраняется взаимосвязь между цепными и базисными индексами, например, в ряду агрегатных индексов физического объема:

∑q1p0

*

∑q2p0

*

∑q3p0

=

∑q3p0

∑p0q0



∑q1p0



∑q2p0



∑p0q0

или в ряду агрегатных индексов цен Ласпейреса:

∑p1q0

*

∑p2q0

*

∑p3q0

=

∑p3q0

∑p0q0



∑p1q0



∑p2q0



∑p0q0

Таким образом, использование постоянных весов в течение ряда лет позволяет переходить от цепных общих индексов к базисным, и наоборот.

В рядах агрегатных индексов качественных показателей, которые строятся с переменными весами (например, ряд цен Паше), перемножение цепных индексов не дает базисный:

∑p1q1

*

∑p2q2

*

∑p3q3

≠

∑p3q1

∑p0q1



∑p1q2



∑p2q3



∑p0q1

Для таких индексов переход от цепных индексов к базисным, и наоборот невозможен. Но в статистической практике часто возникает необходимость определения динамики цен за длительный период времени на основе цепных индексов или с переменными веса. Тогда для получения приближенного итогового индекса цепные индексы цен перемножают, заведомо зная, что в таком расчете допускается ошибка. Отчетные индексы этого ряда используются для пересчета стоимостных показателей отчетного периода в ценах предыдущего года.

III. Практическая часть

Второй вариант.

ЗАДАЧА I.

Имеются следующие данные о стаже работы и проценты выполнения норм выработки рабочих-сдельщиков за отчетный месяц:

Рабочий,

№ п/п

Стаж,

число лет

Выполнение норм,

%

Рабочий,

№ п/п

Стаж,

число лет

Выполнение норм,

%

1

1,0

96

11

10,5

108

2

6,5

103

12

9,0

107

3

9,2

108

13

5,0

105

4

4,5

103

14

6,0

103

5

6,0

106

15

10,2

109

6

2,5

100

16

5,4

102

7

2,5

101

17

7,5

105

8

16,0

113

18

8,0

106

9

14,0

110

19

8,5

106

10

12,0

109

20

11,0

107



Для выявления зависимости между стажем работы и выполнением норм выработки произвести группировку рабочих по стажу, образовав пять групп с равными интервалами.

По каждой группе и совокупности рабочих подсчитайте: 1) число рабочих; 2) средний стаж работы; 3) средний процент выполнения норм выработки.

Результаты оформите в групповой таблице и сделайте выводы.

РЕШЕНИЕ:

В качестве группировочного признака возьмем стаж рабочих. Образуем пять групп рабочих с равными интервалами. Величину интервала определим по формуле:

хmax - xmin 16-1

h= _____________ = _________= 3 число лет

n 5

Обозначим границы групп:

1 – 4 – 1-я группа;

4 – 7 – 2-я группа; 

7 – 10 – 3-я группа;

10 – 13 – 4-я группа; 

13 – 16 – 5-я группа.

После того, как определен группировочный признак, задано число групп и образованы сами группы, необходимо отобрать показатели, которые характеризуют группы, и определить их величины по каждой группе. Результаты разносим в таблицу 3.1.

Таблица 3.1

№ группы

Группы рабочих по стажу работы

Число рабочих

Средний стаж работы, 

число лет

Средний процент выполнения норм выработки, %



1

1 – 4

3

2

99

2

4 – 7

6

5,6

103,7

3

 7 – 10

5

8,4

106,4

4

 10 – 13

4

10,9

108,3

5

 13 – 16

2

15

111,5

ИТОГО

20





Вывод. 

Таким образом, чем больше стаж работы, тем выше процент выполнения норм выработки.

ЗАДАЧА II.

Имеются следующие данные о реализации товаров на городском колхозном рынке:

Товар

Средняя цена единицы товара,

руб.

Количество проданного товара, 

тыс.



январь

март

январь

март

Картофель, кг

4,0

5,0

50

52

Молоко, л

8,0

10,0

15

20

Определите общие индексы: 1) товарооборота; 2) физического объема товарооборота; 3) цен и сумму экономии (или перерасхода) от изменения цен.

Покажите взаимосвязь между исчисленными индексами.

РЕШЕНИЕ:

1) Рассчитаем сводный индекс цен по формуле (2.2):

где р1 - средняя цена, руб. в отчетном периоде;

р0 – средняя цена, руб. в базисном периоде;

q1 –количество проданного товара, тыс. в отчетном периоде.

 52*5,0+20*10,0 260+200 460

Ip =-------------------- = ---------------= --------- = 1,25 125%

52*4,0+20*8,0 208+160 368

Применение формулы 1 показывает, что в целом цены повысились в среднем на 25%. 

2) Рассчитаем сводный индекс физического объема реализации по формуле (2.4):

где р0 – средняя цена, руб. в базисном периоде;

q0 –количество проданного товара, тыс. в базисном периоде;

q1 –количество проданного товара, тыс. в отчетном периоде.

52*4,0+20*8,0 208+160 368

Ip =-------------------- = ---------------= --------- = 1,15 115%

15*8,0+50*4,0 120+200 320

Применение формулы 2 показывает, что по данному ассортименту товаров в целом прирост физического объёма реализации в текущем периоде составил в среднем 15%. 

3) Определяем индекс товарооборота по формуле  (3.1)

где Ip – сводный индекс цен;

Iq – сводный индекс физического объема реализации

Ipq = 1,25 ∙ 1,15 = 1,4375 143,75%

или по формуле: pq= (3.2)

где р0 – средняя цена, руб. в базисном периоде;

q0 –количество проданного товара, тыс. в базисном периоде;

q1 –количество проданного товара, тыс. в отчетном периоде;

р1 - средняя цена, руб. в отчетном периоде.

52*5,0+20*10,0 260+200 460

Ipq = ------------------- = ----------- = ------ = 1,4375 143,75% 

15*8,0+50*4,0 120+200 320

За счет увеличения физического объема товарооборота на 15% и за счет увеличения цены на 25% товарооборот увеличился на 43%

4) Определим абсолютный прирост товарооборота (разница между числителем и знаменателем индекса товарооборота):

Ipq = - = 460 - 320= 140 руб. 

Товарооборот возрос в отчетном периоде по сравнению с базисным, а также величина экономии составила 140 рублей.

Определяем за счет, каких факторов это произошло.

а) за счет изменения цен.

Ip = - = 460 – 368 = 92 руб.

За счет роста цен товарооборот возрос на 92 рубля.

б) за счет изменения объема продаж

Ip = - = 368 – 320= 48 руб.

Товарооборот увеличился за счет увеличения объема продаж на 48 рублей.

Общее изменение товарооборота

140 руб. = (92руб. + 48руб.)

ЗАДАЧА III.

Выполняйте по показателю 2, приведенному в таблице исходных данных.

№ показателя, соответствующего номеру варианта

2002

2003

2004

2005

2006

2. Численность экономически активного населения ЧР (в среднем за год), тыс. человек

670,0

662,3

650,5

661,6





Для анализа динамики соответствующего показателя вычислить: 

1) абсолютные приросты (снижения), темпы роста и прироста (снижения) по годам и по сравнению с 2002 г., абсолютное содержание одного процента прироста (снижения). Результаты представить в виде таблицы;

2) среднегодовой уровень и среднегодовой абсолютный прирост (снижение);

3) среднегодовой темп роста и темп прироста.

4) Построить график. Сделать выводы.

РЕШЕНИЕ:

1) Для вычисления абсолютных приростов (снижений), темпов роста и прироста (снижения) по годам и по сравнению с 2002 г., абсолютного содержания одного процента прироста (снижения), используем нижеприведенные формулы:

Цепной абсолютный прирост -  (3.3)

Базисный абсолютный прирост -  (3.4)

Цепные темпы роста: *100 (3.5)

Базисные темпы роста: *100 (3.6)

Цепные темпы прироста:  или К0 = К0 - 100 % (3.7)

Базисные темпы прироста:  или Ка = Ка - 100 % (3.8)

Абсолютное значение (содержание) одного процента прироста:



А=

 yi-yi-1

=

yi-1

=

0,01 yi-1%













(3.9)



yi-yi-1

*

100



100





















 yi-1















где  и - абсолютный базисный или цепной прирост;

- уровень ряда динамики, выбранный за базу для определения базисных абсолютных приростов;

 - уровень ряда динамики, выбранный за базу для определения i-го цепного абсолютного прироста

Результаты вычислений представлены в Приложении 1.

2) Рассчитаем среднегодовой уровень прироста (снижения). Для вычисления используем формулу:

yпр= ∑y / n (3.10)

где у – абсолютные уровни ряда;

n- число уровней ряда.

yпр= (670+662,3+650,5+661,6) / 4= 2644,4/ 4 = 661,1 тыс.чел.

Для вычисления среднегодового абсолютного прироста (снижения) используем формулы:

∆y1=∑∆y1/ n (3.11)

∆y0=∑∆y0/ n (3.12)

где n- число абсолютных приростов цепных или базисных;

∆y1-цепные абсолютные приросты;

∆y0-базисные абсолютные приросты

∆y1= (-7,7+-11,8+11,8) / 3 = -8,4/3=-2,8 тыс. чел.

∆y1= (-7,7+-19,5+-8,4) / 3 = -35,6/3=-11,87 тыс. чел.

3) Рассчитаем среднегодовой темп роста и прироста, %:

Тр=3√661,6 / 670= 3√0,987= 3√987*3√10-3= 9,96* 10=0,996 = 99,6%

Следовательно, среднегодовой темп сокращения численности экономически активного населения ЧР составил:

Тпр= Тр-100= 99,6 – 100= -0,4%

4) График «Численность экономически активного населения ЧР (в среднем за год), тыс. человек» представлен на рисунке 3.2



Рис. 3.2. Численность экономически активного населения ЧР,тыс. человек 

На рисунке 3.3 представлен график «Абсолютный прирост экономически активного населения ЧР (в среднем за год), тыс. человек».



Рис. 3.3. Абсолютный прирост экономически активного населения ЧР, тыс. человек

На рисунке 3.4 представлен график «Абсолютное значение одного процента прироста, %»



Рис. 3.4 Абсолютное значение одного процента прироста, %

4. Список используемой литературы:

Бендина Н.В. Общая теория статистики (конспект лекций).- М.: Финансы и статистика, 2002

Воронин В.Ф., Жильцова Ю.В.Статистика. –М.: Экономистъ, 2004.

Гусаров В.М. Статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003

Елисеева М.А. Общая теория статистики, М.: Статистика, 1988.

Финансы. Под ред. В.М. Родионовой. – М.: Финансы и статистика, 1994.

Харченко Н.М. Статистика: Учебник.-М.: Издательство-торговая корпорация «Дашков и К0», 2007.

Шмайлова Р.А. Практикум по теории статистики. – М.:Финансы и статистика, 1999.