Определение момента инерции твердых тел 5

Федеральное Агентство по образованию



ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)



Кафедра физики









ОТЧЕТ





Лабораторная работа по курсу "Общая физика"













ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ















Преподаватель				Студент 



___________ /____________. /



___________200_ г.			











2009


1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ



Целью настоящей работы является изучение основных законов динамики поступательного и вращательного движений твердых тел, экспериментальное определение момента инерции блока и сравнение его с расчетным значением.



2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ ЭКСПЕРИМЕНТА



Схема экспериментальной установки на основе машины Атвуда приведена на рис. 3.1.

На вертикальной стойке 1 крепится массивный блок 2, через который перекинута нить 3 с грузами 4 одинаковой массы, равной 80 г. В верхней части стойки расположен электромагнит, который может удерживать блок, не давая ему вращаться. На среднем кронштейне 5 закреплен фотодатчик 6. Риска на корпусе среднего кронштейна совпадает с оптической осью фотодатчика. Средний кронштейн имеет возможность свободного перемещения и фиксации на вертикальной стойке. На стойке укреплена миллиметровая линейка 7, по которой определяют начальное и конечное положение грузов. За начальное, принимают положение нижнего среза груза, за конечное -  риску на корпусе среднего кронштейна.

Миллисекундомер 8 представляет собой прибор с цифровой индикацией времени. Опоры 9 используют для регулировки положения установки на лабораторном столе.

Принцип работы машины Атвуда заключается в следующем. Когда на концах нити висят грузы одинаковой массы, система находится в положении безразличного равновесия. Если же на один из грузов (обычно на правый) положить перегрузок, то система выйдет из равновесия, и грузы начнут двигаться с ускорением.



Машина Атвуда



1

2

3

4

5

6

7

8

9

4





















1 – стойка; 2 – блок; 3 – нить; 4 – грузы; 5 – средний кронштейн; 6 – фотодатчик; 7 – линейка; 8 – миллисекундомер; 9 – регулировочная опора.

Рис. 3.1

3. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

На рис. 4.1 приведена схема, поясняющая характер движения грузов, а также величины и точки приложения сил. Рассмотрим движение тел в машине Атвуда, используя основные законы динамики вращательного и поступательного движений.



R

Mg

T1

T2

T1

T1

(M+m)gСхема приложения сил



















Рис. 4.1



Пусть основные грузы имеют массу М каждый, а перегруз массой m лежит на правом грузе (рис. 4.1). Уравнения движения грузов в проекциях на ось х запишутся следующим образом

							(4.1)



где а – ускорение движения грузов, Т1 и Т2 – соответствующие силы натяжения нитей.

Вращательное движение блока описывается уравнением

									(4.2)



где  - угловое ускорение блока, - его момент инерции, - сумма моментов сил, приложенных к блоку.



Согласно рис. 4.1 сумма моментов сил равна  При движении нерастяжимой нити без скольжения по блоку имеет место равенство Здесь а  - линейное ускорение точек на поверхности блока, а следовательно и самой нити,  - радиус блока. Таким образом, исходная система уравнений выглядит так



							(4.3)



Как следует из системы (4.3), ускорение а есть величина постоянная в условиях постоянства масс и момента инерции. Т.е.  грузы движутся равноускоренно. Ускорение а может быть определено на основании измерения высоты , на которую опустится правый груз,  и времени его движения :

									(4.4)



Подставляя выражение (4.4) в систему (4.3) и разрешая ее относительно , получаем

						(4.5)



Выражение (4.5) может быть переписано в виде



										(4.6)



где  - константа, зависящая от параметров экспериментальной установки.



							(4.7)



Формула (4.6) показывает, что в случае адекватности рассмотренной физической модели условиям опыта экспериментальные точки, нанесенные на график в координатах  должны укладываться на прямую линию. Из наклона этой прямой может быть вычислена константа , по величине которой, в свою очередь, может быть рассчитан момент инерции блока, если другие входящие в  величины известны.


4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ИХ АНАЛИЗ.



Таблица 4.1 –  результаты измерений времени прохождения груза

№

h1 = 0.421

h2 = 0.31

h3 = 0.26

h4 = 0.16

h5 = 0.07

1

5,044

5,299

5,181

5,043

5,569

2

4,560

4,321

4,701

4,728

4,581

3

4,022

4,112

4,309

4,231

4,180

4

3,288

3,254

3,268

3,347

3,348

5

2,253

2,223

2,119

2,125

2,239



5,2272

4,5782

4,1708

3,301

2,1918



27,3236198

20,95991524

17,39557264

10,896601

4,803987



Вычисление погрешностей прямых и косвенных измерений

Так как класс точности электронных часов, используемых в лабораторной работе, не указан, то за приборную погрешность принимается единица в младшем разряде часов, т.е



Чтобы вычислить случайную погрешность измерения времени, необходимо определить коэффициент Стьюдента и среднеквадратичное отклонение.

определим коэффициент Стьюдента - 

Определим среднеквадратичное отклонение:















Рассчитаем случайные погрешности измерения времени













Рассчитаем абсолютные погрешности измерения времени:













Найдем абсолютные погрешности вычисления квадратов():















Построение графиков

Метод наименьших квадратов для построения прямых по экспериментальным точкам:















































угловой коэффициент прямой

отрезок, отсекаемый прямой от оси OY













Абсолютные погрешности вычисления параметров прямой линии:















































С использованием выражения (4.7) на стр. 7 руководства [2], предварительно определив величины, входящие в это выражение, вычисляется экспериментальный момент инерции I_ex блока.





масса каждого груза в килограммах





масса перегруза на правом грузе в килограммах





радиус блока в метрах





ускорение свободного падения







Аналитически момент инерции I_an блока, который является сплошным диском, получается по ф. (2.5) на стр. 3 рук. [2] с учётом следующих известных величин и формул:

















плотность латуни, из которой изготовлен блок





толщина блока в метрах







объём сплошного диска







масса блока











момент инерции сплошного блока







Полученные экспериментальным и аналитическим способами моменты инерции I_ex и I_an можно сравнить, получив отличие между ними в процентах, при помощи нижеследующего соотношения:













5 ВЫВОДЫ:

В ходе работы изучены основные законов динамики поступательного и вращательного движений твердых тел, экспериментальное определение момента инерции блока. Также мы смогли определить аналитическим и  экспериментальным методами момент инерции  и сравнить их, получим отличие в 3.185%. 







		КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ



1. Что такое момент сил и момент инерции?

Момент инерции I материальной точки относительно неподвижной оси вращения - физическая величина, равная произведению массы m материальной точки на квадрат расстояния r между точкой и осью вращения: I = m∙r2.

Скалярная величина I = ΣIi = Σ(mi∙ri2) равная сумме моментов инерции всех материальных точек твердого тела и характеризующая инерционность  тела по отношению к вращению – есть момент инерции твердого тела относительно выбранной оси вращения.      



2. Моменты каких сил действуют на блок?

Вращательное движение блока описывается уравнением

		где ε – угловое ускорение блока, I – его момент инерции,  – сумма моментов сил, приложенных к блоку.

Сумма моментов сил равна T1R – T2R. При движении нерастяжимой нити без скольжения по блоку имеет место равенство ε = a/R. Здесь а – линейное ускорение точек на поверхности блока, а, следовательно, и самой нити, R – радиус блока.



3. Как рассчитать момент инерции блока? Сформулировать теорему Штейнера.

Момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I0  относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела и произведения массы тела m на квадрат расстояния l между осями:

	I = I0 + ml². 



4. Укажите возможные причины несовпадения экспериментальных результатов с расчетными.

- физические допущения,  принятые при теоретическом анализе движения грузов в эксперименте;  погрешности измерения величин;

точность вычислений.