Статика твердого тела

Задание С3





Дано: 

P1=13,0 kH 

M=30,0 kH*M ;

MB - ?  



Решение:



I система



P2=9,0 kH Σx=0;

RA*cos30o – XIC=0;

q=3,0 kH/M Σy=0;

RA*cos60o – P1 – YIC=0

ΣMC=0; 

	M+P1*3-2,5*RA=0;





;

;



Проверка



ΣMA=0;

;

;

-26 - 4+30=0;

0=0; верно.



II система



Σx=0;

;

;

Σy=0;

;

;

;

ΣMB=0; 

;

;

;

;


Проверка



ΣMC=0; 

;

;

;

0=0; верно.



Дано:

R=20cм; r=10cм; R=30cм; ; x=6cм; ; x=356cм; t=2c; t=5c.



Определить

Уравнение движения груза;

-?

-?



Решение:

1) Уравнение движения груза 1 имеет вид: 

					(1)

Коэффициенты  могут быть определены из следующих условий:

при t=0 x=6cм, 		 		(2)

при t=2c 			x=356cм. 		(3)

Скорость груза 1: 



 					(4)


Подставляя (2) и (3) в формулы (1) и (4), находим коэффициенты



с=6см, 	с=5, 	с



Таким образом, уравнение движения груза



1 



2) Скорость груза 1 



 			(6)

Ускорение груза 1







3) Для определения скорости и ускорения точки М запишем уравнения, связывающие скорость груза  и угловые скорости колёс  и .

В соответствии со схемой механизма:



 откуда 



или с учетом (6) после подстановки данных: 







Угловое ускорение колеса 3: 		

Скорость точки М, её вращательное, центростремительное и полное ускорения определяются по формулам: 





 





Результаты вычислений для заданного момента времени  приведены в табл. 1.

Скорости и ускорения тела 1 и точки М показаны на рис. 1.



Таблица 1

















 57

26

1.9

0.867

19

36.1

 19

 40.80






В 20. Д – 1



Дано: VA = 0,  = 45, f = 0,3, d = 2 м, h = 4 м. 

Найти: ℓ и .



Решение: Рассмотрим движение камня на участке ВС. На него действует только сила тяжести G. Составляем дифференциальные уравнения движения в проекции на оси X , Y: = 0 ,  = G ,

Дважды интегрируем уравнения: = С1 , = gt + C2 ,



x = C1t + C3 , y = gt2/2 + C2t + C4 ,



Для определения С1, C2 , C3, C4 , используем начальные условия (при t = 0): x0 = 0 , y0 = 0 , = VBcos, = VBsin , 

Отсюда находим: 



= С1 ,  C1 = VBcos, = C2 ,  C2 = VBsin

x0 = C3 ,  C3 = 0 , y0 = C4 ,  C4 = 0



Получаем уравнения:



= VBcos , = gt + VBsin

x = VBcost, y = gt2/2 + VBsint



Исключаем параметр t :



y = gx2 + xtg , 

2V2Bcos2


В точке С x = d = 2 м , у = h = 4 м. Подставляя в уравнение d и h , находим VB :



V2B = gx2 = 9,814 = 19,62 ,  VB = 4,429 м/с 

2cos2(y - xtg) 2cos245(4 - 2tg45) 



Рассмотрим движение камня на участке АВ. На него действуют силы тяжести G, нормальная реакция N и сила трения F. Составляем дифференциальное уравнение движения в проекции на ось X1: 



= Gsin - F , (F = fN = fGcos)  = gsin - fgcos,



Дважды интегрируя уравнение, получаем: 



= g(sin - fcos)t + C5 , x1 = g(sin - fcos)t2/2 + C5t + C6 ,



По начальным условиям (при t = 0 x10 = 0 и = VA = 0) находим С5 и С6: 



C5 = 0 , C6 = 0, 



Для определения ℓ и  используем условия: в т.B (при t = ) , x1 = ℓ , = VB = 4,429 м/с. Решая систему уравнений находим:



= g(sin - fcos)t  4,429 = 9,81(sin45 - 0,3cos45) ,   = 0,912 с

x1 = g(sin - fcos)t2/2 ℓ = 9,81(sin45 - 0,3cos45)0,9122/2 = 2,02 м .


Дано: 

АВ=20 см.

АС=6 см.

 см/с

a=15 cм/c



Найти: , , a, a, , 



Решение:



ОА=ОВ=14,1 см. 

=0,7=

СP=см.

=

= 

 см/с

a=15 см/, 



т.к. ползуны двигаются по направляющим и совершают только поступательное движение.



 см/

 см/

9,85 см/

 см/с

Ответ: 



 см/с

 см/с

9,85 см/

=15 см/


Статика твердого тела



I. Плоская система сил система произвольно расположенных сил



Определение реакций опор твердого тела

На схеме показаны три способа закрепления бруса. Задаваемая нагрузка и размеры (м) во всех трех случаях одинаковы.

Р = 10 кН, q = 4 кН/м, исследуемая реакция YA

Определить реакции опор для того способа закрепления бруса, при котором исследуемая реакция Ya имеет наименьший модуль.



Дано: схемы закрепления бруса ( а, б, в): Р = 10 кН; q = 4 кН/м. 

Определить реакции опор для того способа закрепления, при котором реакция YA имеет наименьшее числовое значение.



Решение

Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных к конструкции. Действие связей на конструкцию заменяем их реакциями (рис. 2): в схеме а — XА, YА, YВ в схеме б — Y’А, Y’В и RC , в схеме в — Y”А , RC , RD. Равномерно распределенную нагрузку интенсивностью q заменяем равнодействующей







Q = q • 4 = 16 кН.


Чтобы выяснить, в каком случае реакция YA является наименьшей, найдем ее для всех трех схем, не определяя пока остальных реакций

Для схемы а











Из первого уравнения подставляем YB во второе, получаем:



 8,67 кH



Для схемы б







Из первого уравнения подставляем Y’B во второе, получаем:



13 кН

Для схемы в







Из первого уравнения подставляем RD во второе, получаем:



5 кН



Таким образом, реакция YA имеет наименьшее числовое значение, при закреплении бруса по схеме в. 

Определим остальные опорные реакции для этой схемы.

В схеме а:



 





В схеме б:

8 кН



В схеме в:



	Определить реакции опор для способа закрепления бруса, при котором Ма имеет наименьшее числовое значение.

	

	Дано:

	Р=20 

	М=10 кН* q М 

				q=2 кН/м

				Ма = ?

	

Решение

1. Даны три исходные схемы закрепления бруса мысленно в схемах отбросим связи в точках опор, заменяя их реакциями связей.

2. Равномерно-распределённую нагрузку «q» заменяем равнодействующей «Q» и приложим её в центре действия нагрузки «q» , получим 



Q=q*L

Q=2*2=4кН.



3. Для каждой схемы составим минимальное число уравнений равновесия для определения исследуемой реакции.

Cоставим уравнения равновесия:



Ma(fr)=0 ; Ma+M-4P*cos45-3Q=0



Отсюда Ma будет



Ma=-M+P*sin45-3Q=-10+56+12=58kH*м

Ya=.58kH*м

Мa(Fk)=0; Ма -4P*sin45+M-3Q-2Xв=0 

	F(кх)=0; - Хв+Р*cos45=0 Xв=14кН	

	

	Отсюда Ма будет:

	

	Ма=4Р*sin45+3Q+2Xв-M=56+12+28=86кН*м

 Ма=86кН 

	Ma(Fk)=0; Ма+М-4Р*cos45-3Q+4Rc*cos45+2Rc*cos45=0

	F(кх)=0; Rc*cos45+Pcos45=0 Rc=20кН

 

Отсюда Ма будет:



Ма=-М+4P*cos45+3Q-6Rc*cos45=-10+56+12-84=26кН*м



Таким образом, исследуемая наименьшая реакция будет при закреплении бруса по схеме в). Найдём все реакции.

Составим для этой схемы три уравнения равновесия:



	 Fкх=0	 Rc*cos45+Pcos45=0 

 Fкy=0 Ya-P*cos45-Q+Rc*cos45=0 

	 Ма(Fк)=0 Ма+М-4Р*cos45-3Q+4Rc*cos45+2Rc*cos45=0



Rc=20кН

	Yа= P*cos45+Q-Rc*cos45=7+4-14=3кН

Ма=-М+4P*cos45+3Q-6Rc*cos45=-10+56+12-84=26кН*м



Ответ: Ма=26кН.