Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях

Содержание



1. Возникновение переходных процессов и законы коммутации

2. Способы получение характеристического уравнения

3. Особенности переходных процессов в цепях с одним реактивным элементом

	4. Переходные процессы в цепях с двумя разнородными реактивными элементами

	5. Временные характеристики цепей

	6. Расчет реакции линейной цепи на входное воздействие произвольного вида с применением временных характеристик цепи

Список используемых источников




1. Возникновение переходных процессов и законы коммутации



Для изучения темы реферата необходимо знать расчет установившихся режимов, т.е. таких, когда все токи и напряжения либо постоянные, либо периодически повторяющиеся функции времени, но в любой схеме могут происходить подключения и отключения ветвей (происходит коммутация). Обозначают коммутацию: . В линейных цепях коммутация считается идеальной, т.е.:

1) ключ представляет собой либо разрыв, либо провод;

2) длительность перехода из одного состояния в другое равна нулю. Момент времени сразу после коммутации обозначают  либо , а момент времени непосредственно перед коммутацией соответственно обозначают , . После коммутации цепь стремится под действием источников схемы прийти к новому установившемуся режиму, но для этого ей требуется время. Процессы, происходящие в цепи после коммутации, называются переходными процессами.

Почему этот переход не может произойти мгновенно? Дело в том, что в цепи имеются элементы L и C, в которых запасается определенная величина энергии WL=L2/2 и WC=Cu2/2 соответственно. В новом установившемся режиме будет другой запас энергии, и, т.к. скорость изменения энергии есть подводимая к элементу мощность, получается, что требуется конечное время на изменение этого запаса энергии (т.к. источников бесконечной мощности в реальной цепи нет). Из выражения для WL и WC и того факта, что в цепях не развивается бесконечная мощность, вытекают два фундаментальных условия, без которых невозможно рассчитать ни один переходной процесс – это законы коммутации.

Получим их:


,



т.к. P, L - конечное число, L - конечное число, то  - скачка быть не может. Отсюда вытекает один из законов коммутации: ток в индуктивности не может измениться скачком, поэтому при коммутации: . Дифференцируя dWC/dt, приходим ко 2-ому закону коммутации: напряжение на ёмкости не может измениться скачком, поэтому при коммутации: . Т.к.  = LL, , то можно использовать и такие функции: , . 

Про остальные величины, в том числе и про скорость изменения любых токов и напряжений при коммутации заранее ничего не известно и их приходится рассчитывать. Т.к. и форма изменения токов и напряжений неизвестна, приходится использовать самые общие выражения: , . Тогда уравнения, описывающие цепь после коммутации, оказываются дифференциальными. В линейной цепи – это линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ). Существуют различные методы решения таких уравнений, и соответственно различают различные методы расчета переходных процессов.



2 Способы получение характеристического уравнения



Классический метод

Классический метод основан на решении ЛДУ методом вариации произвольных постоянных. Любая система ЛДУ может быть сведена к одному уравнению n –ого порядка. В цепях по схеме после коммутации порядок определяется так: n = n L + n C – nОК – nОС , где n L – число L; n C – число C; nОК – число особых контуров, т.е. таких, которые состоят только из емкостей и источников ЭДС; nОС – число особых сечений (в простейшем случае, это узлы схемы, к которым подключены только ветви с источником тока или с индуктивностями).

Решение уравнения представляют в виде суммы частного решения неоднородного уравнения (ЛНДУ) и общего решения линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ). Частное решение определяется видом правой части уравнения. В цепях в правой части уравнения стоят источники энергии схемы после коммутации. Физический смысл частного решения уравнения в цепях – это новый установившийся режим, к которому будет стремиться схема после коммутации под действием источников. Поэтому частное решение ЛНДУ называют принужденной составляющей режима. Общее решение ЛОДУ физического смысла не имеет. В противоположность принужденной составляющей, его называют свободной составляющей переходного процесса. Свободная составляющая записывается в виде суммы слагаемых, число и вид которых определяются корнями характеристического уравнения.

После записи решения необходимо рассчитать произвольные постоянные, вошедшие в выражение общего решения. Это можно сделать, если известны начальные условия. Начальные условия – это значения искомой функции времени и необходимого числа её производных по времени в начале переходного процесса, т.е. при t=0.

Все начальные условия делят на две группы:

- независимые начальные условия, это L(0) и uC(0), которые находятся по законам коммутации, с помощью вычисленных ранее L(0-) и uC(0-) в схеме до коммутации;

- все остальные начальные условия – зависимые. Их приходится искать из цепи после коммутации в переходном режиме по законам Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений при t=0 с помощью независимых начальных условий. Имея необходимое число начальных условий и рассматривая решение и его производные по времени в момент , получают систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) из которой находят произвольные постоянные.

В соответствии с изложенным, порядок расчета переходного процесса классическим методом может быть таким:

1) рассматривают установившийся режим схемы до коммутации и находят L(0-) и uC (0-);

2) рассматривают цепь после коммутации в новом установившемся режиме и находят принужденную составляющую переходного процесса;

3) тем или иным способом получают характеристическое уравнение и находят его корни в соответствии с которыми определяют вид свободной составляющей;

4) записывают решение в виде суммы принужденной и свободной составляющих.Если характеристическое уравнение n – ого порядка, то формируется система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) n - ого порядка, включающая (n-1) производную решения. Переписывают СЛАУ для ;

5) рассматривают цепь после коммутации в переходном режиме; рассчитывают необходимые начальные условия (ННУ);

6) подставляют ННУ в СЛАУ при  и находят произвольные постоянные;

7) записывают полученное решение.



Способы получения характеристического уравнения

	Существуют различные способы получения характеристического уравнения.

	Если цепь описывается всего одним уравнением, то его алгебраизируют: d/dt заменяют на p, dt заменяют на 1/p, правую часть обращают в ноль и получают характеристическое уравнение.











Если режим в цепи описывается системой из нескольких уравнений, то методом подстановки их сводят к одному и поступают точно также как описано выше (обычно так не делает).



Универсальный способ

Систему уравнений по законам Кирхгофа для цепи после коммутации алгебраизируют и составляют определитель системы, и приравняв его к нулю, получают характеристическое уравнение.

Воспользуемся этим способом.

Пусть схема после коммутации имеет вид:





, , 







Если в схеме нет управляемых источников и взаимных индуктивностей, то проще всего поступить так: в схеме после коммутации все источники заменить их внутренним сопротивлением, вместо индуктивности L написать pL, вместо емкости C написать .

а) Если в полученной схеме нет ветви без сопротивления, томожно разомкнуть любую ветвь полученной пассивной схемы и относительно точек разрыва записать выражение для нахождения .

б) Если в полученной схеме есть ветви без сопротивления, то размыкать надо именно ту ветвь, в которой ищется переходный ток или напряжение и относительно точек разрыва записывают .

Характеристическое уравнение имеет вид: 



.



Для рассмотренного выше примера получим:









Выражение для свободной составляющей содержит столько слагаемых, сколько есть корней, а слагаемые имеют такой вид:

а) каждому простому вещественному корню  соответствует слагаемое .

Если два корня, то процесс апериодический.

б) двум комплексно-сопряженным корням:  и  соответствует A1ePx1 t +A2ePx2 t, где A1, A2 – получаются комплексными числами, причем комплексно-сопряженными числами. Поэтому с помощью формулы Эйлера этот результат можно записать в другом виде (где не будет j): .

По этому выражению не очень удобно строить графики. Используя формулы тригонометрии его можно преобразовать (либо в sin, либо в cos): Ce-t sin(ct+1)=De-t cos(c t+2) – затухающий во времени гармонический процесс – колебательный процесс.

в) среди корней есть m одинаковы[ (если таких корней два, то переходный процесс называется критическим).





;





Пример: Дано: E=40В, R1 =R2=400 Ом, L=5Гн, C=5 мкФ. Найти .





1) В схеме до коммутации стоит постоянный источник, следовательно, ток в установившемся режиме постоянный.


t<0



, .



Если источник ЭДС синусоидальный, то эту часть задачи решают символическим методом.

2) Рассчитывают новый установившийся режим, находят принужденную составляющую.



t



Видно, что после коммутации в схеме есть только постоянный источник ЭДС и поэтому в принужденном режиме – постоянный ток.





.



3) получают характеристическое уравнение







.



4) записывают решение

5) определяют начальные условия

Для схемы после коммутации записывают систему уравнений по законам Кирхгофа. Число этих уравнений больше, чем число неизвестных, однако при t=0, известны все iL(0) и uC(0), поэтому при добавлении этих независимых условий из полученной при t=0 системы можно найти все остальные зависимые начальные условия, например, методом подстановки.

При решении надо выразить значения токов и напряжений в момент t=0, их производные по времени в момент t=0 через параметры элементов схемы и независимые начальные условия.

Например, для нашей задачи:











В нашей задаче для расчета  надо найти 2 начальных условия, т.к. имеем 2 корня характеристического уравнения и 2 произвольные постоянные, поэтому надо знать R(0) и R(0).

Из (1):



,

Из (3):



 

,

.



6) расчет произвольных постоянных

В нашем случае: 







При :







Тогда из (1) 

Из (3)(2)

Ответ: , А.



3. Особенности переходных процессов в цепях с одним реактивным элементом



В таких цепях характеристическое уравнение будет первого порядка. Получить это уравнение можно, например, так:

По способу Zвх(p)=0, при этом схемы могут иметь вид:





Рис (1) , ,

Рис (2) , .



Видно, что корень характеристического уравнения получается отрицательным, т.е. с течением времени свободная составляющая .

Ясно, что в разных схемах различными получаются величина А, величина , но свободная составляющая всегда будет иметь вид затухающей экспоненты. Для таких функций вводятся специальная характеристика.

Постоянная времени цепи (τ) – есть интервал времени, за который амплитуда свободной составляющей уменьшается в e раз.

Воспользовавшись этим определением, можно найти τ таким образом так как , то



.



В цепи: , 

т.е. τ зависит только от параметров рассматриваемой цепи (τ не зависит от начальных условий и напряжений источника).

Используя понятие τ, можно условно ввести понятие длительности переходного процесса. Так как , то

t

τ

3τ

5τ



0,36

0,05

0,004



В соответствие с этой таблицей принимают, что переходный процесс длится . К концу этого времени график переходного процесса практически сливается с принужденной составляющей.

Если известен график переходного процесса, из него можно найти τ.

Проще всего сделать так: на глаз определить, где кончается переходный процесс.







Длительность переходного процесса делят на . Это и будет τ.

- Из графика переходного процесса вычитают принужденную составляющую. Это будет график свободной составляющей. Задаются моментом времени t1 и находят из графика xсв(t1). Делят эту величину на e и получают xсв(t1+ τ). Находят на графике эту величину, из нее определяют время t2 и затем находят τ как τ = t2 - t1







- τ есть величина под касательной к графику переходного процесса. Подкасательная – это проекция на ось времени от точки, в которой проведена касательная до точки пересечения этой касательной с асимптотой.





Пример: Дано: , , . Найти i(t), uc(t)







1) t<0

i(0_)=0, uc(0_)=0,

2) t→∞

, ,



Должен существовать переходной процесс, в течении которого от источника энергия передается к конденсатору, а по проводам идет ток, заряжающий конденсатор.







3)   ,

4) ; ,

,

,  , 



5) Расчет начальных условий.















Тогда из получают 



6) 

, 







Пример: Дано: , , . Найти .





1) 



, , 



2) Расчет принужденной составляющей.

В данном случае принужденный режим есть синусоидальный ток, поэтому расчет проведем символическим методом.





, 



Переходят к мгновенному значению:



,

3) ; , 

4) 

5) 

6) ,



7) 

, 



График проще всего построить по этапам:

1) принужденная составляющая;

2) exp соответствует свободной составляющей суммы этих графиков.



	4. Переходные процессы в цепях с двумя разнородными реактивными элементами



В этих цепях характеристическое уравнение имеет второй порядок, следовательно, будет два корня и две произвольные постоянные в свободной составляющей. Самое главное это то, что у квадратного уравнения есть 3 типа корней (вещественные различные, вещественные одинаковые и пара комплексно-сопряжённых), поэтому вид свободных составляющих в разных цепях получается различным. Рассмотрим возможные варианты на простейших примерах.

Пример:





1) iL(0_) = 0, uc(0_)=0,

2) i пр = 0, uR пр = iпрR = 0

uC пр = E, uL пр = 0

3) Будем искать ток в цепи. Тогда надо иметь два начальных условия: i(0) и i΄(0).

Для цепи после коммутации:



, 



  



В данной схеме все 3 способа получения характеристического уравнения имеют одинаковую трудоёмкость.



, ,

,

.



В зависимости от величины подкоренного выражения получаются разные типы корней.

Если , то подкоренное выражение равно нулю, и следовательно получим . Из выражения (*) видно, что это получается при некотором «критическом» значении сопротивления .

Если же R > Rкр то подкоренное выражение положительно, и получим два вещественных различных корня. Если R < Rкр, под корнем будет отрицательное число, и получим пару комплексно сопряжённых корней.

1) R > Rкр (два вещественных различных корня) и тогда решение для тока запишется в виде:



,

,



и при t = 0 получаем два уравнения для расчёта произвольных постоянных:









Из (1): , и подставляя в (2):  

График проще построить по частям (принуждённая составляющая и каждое слагаемое свободной составляющей, а затем сложить).







Говорят, что это апериодический процесс.

Аналогично можно получить выражения и графики для напряжения на электродах:





2) R = Rкр







, 



 при 



Графики имеют в этом случае точно такой же вид, как и в предыдущем случае, но в первом случае процессы идут медленнее, чем во втором. Этот случай называется критическим переходным процессом.



3) R < Rкр



, ,



т.е. при α→ 0 ωc стремится к резонансной частоте данной цепи.

Решение запишется в виде:



 (классический метод)







(1) в (2): 

(1)/(3):  , из (3) 





Видно, что в данном случае свободная составляющая представляет собой затухающую во времени синусоиду. Такой переходной процесс называется колебательным или периодическим, и график его проще построить так: симметрично относительно принуждённой составляющей строим график амплитуды свободной составляющей (график огибающей процесса), дальше в график огибающей вписывают синусоиду с её начальной фазой и периодом свободных колебаний.







,  - коэффициент затухания,

 - частота свободных колебаний.





Рассматривать цепи более высокого порядка смысла нет, потому что у любого уравнения корни могут быть трёх видов, а для каждого типа корней мы свободную составляющую уже получили.



	5. Временные характеристики цепей



Ранее мы рассматривали частотные характеристики, а временные характеристики описывают поведение цепи во времени при заданном входном воздействии. Таких характеристик всего две: переходная и импульсная.



Переходная характеристика

Переходная характеристика - h(t) - есть отношение реакции цепи на входное ступенчатое воздействие к величине этого воздействия при условии, что до него в цепи не было ни токов, ни напряжений.

Ступенчатое воздействие имеет график:





1(t) – единичное ступенчатое воздействие.






Иногда используют ступенчатую функцию, начинающуюся не в момент «0»:











Для расчёта переходной характеристики к заданной цепи подключают постоянный ЭДС (если входное воздействие – напряжение) или постоянный источник тока (если входное воздействие – ток) и рассчитывают заданный в качестве реакции переходный ток или напряжение. После этого делят полученный результат на величину источника.



Пример: найти h(t) для uc при входном воздействии в виде напряжения.







1) ,

2) ,

3) , ,



, 

,





Пример: ту же задачу решить при входном воздействии в виде тока







1) ,

2) ,

3) , ,



, 

,





Импульсная характеристика

Импульсная характеристика - g(t) – есть отношение реакции цепи на входное воздействие в виде дельта - функции к площади этого воздействия при условии, что до подключения воздействия в схеме не было ни токов, ни напряжений.

δ(t) – дельта-функция, дельта-импульс, единичный импульс, импульс Дирака, функция Дирака. Это есть функция:





Рассчитывать классическим методом g(t) крайне неудобно, но так как δ(t) формально является производной , то найти её можно из соотношения g(t)=h(0)δ(t) + dh(t)/dt.

Для экспериментального определения этих характеристик приходится действовать приближённо, то есть создать точное требуемое воздействие невозможно.

На вход падают последовательность импульсов, похожих на прямоугольные:







tф – длительность переднего фронта (время нарастания входного сигнала);

tи – длительность импульса;

К этим импульсам предъявляют определённые требования:

а) для переходной характеристики:



- tпаузы должно быть таким большим, чтобы к моменту прихода следующего импульса переходный процесс от окончания предыдущего импульса практически заканчивался;

- tи должно быть таким большим, чтобы переходный процесс, вызванный возникновением импульса, тоже практически успевал заканчиваться;

- tф должно быть как можно меньше (так, чтобы за tср состояние цепи практически не менялось);

- Xm должна быть с одной стороны такой большой, чтобы с помощью имеющейся аппаратуры можно было бы зарегистрировать реакцию цепи, а с другой: такой маленькой, чтобы исследуемая цепь сохраняла свои свойства. Если всё это так, регистрируют график реакции цепи и изменяют масштаб по оси ординат в Xm раз (Xm =5В, ординаты поделить на 5).

б) для импульсной характеристики:

tпаузы – требования такие же и к Xm – такие же, к tф требований нет (потому что даже сама длительность импульса tф должна быть такой малой, чтобы состояние цепи практически не менялось. Если всё это так, регистрируют реакцию и изменяют масштаб по оси ординат на площадь входного импульса .



Итоги по классическому методу

Основным достоинством является физическая ясность всех используемых величин, что позволяет проверять ход решения с точки зрения физического смысла. В простых цепях удаётся очень легко получить ответ.

Недостатки: по мере возрастания сложности задачи быстро нарастает трудоёмкость решения, особенно на этапе расчёта начальных условий. Не все задачи удобно решать классическим методом (практически никто не ищет g(t), и у всех возникают проблемы при расчёте задач с особыми контурами и особыми сечениями).





До коммутации , .



Следовательно, по законам коммутации uc1(0) = 0 и uc2(0) = 0, но из схемы видно, что сразу после замыкания ключа: E= uc1(0)+uc2(0).

В таких задачах приходится применять особую процедуру поиска начальных условий.

Эти недостатки удаётся преодолеть в операторном методе.



	6. Расчет реакции линейной цепи на входное воздействие произвольного вида с применением временных характеристик цепи



Раньше мы рассматривали два вида входного воздействия:

1) xвх= δ(t)-на входе будет импульсная характеристика g(t);

2) xвх= 1(t)-переходная характеристика h(t).

При произвольном заданном виде входного воздействия, в линейной цепи тоже можно найти реакцию. Для этого годятся и g(t) и h(t) и передаточная функция H(p), но в зависимости от формы входного сигнала, сложности цепи и того математического аппарата, которым располагаешь, более удобно будет применить какую-то одну из этих характеристик.

Рассмотрим применение переходной характеристики h(t):

	1) На входе действуют прямоугольным импульсом





Воспользуемся принципом наложения и представим этот импульс в виде двух скачков Um1(t) и -Um1(t-tu).

Если нам известна переходная характеристика на h(t), то реакция на каждый скачок записывается очень просто Umh(t) и -Umh(t-tu) (h(t)=1-e-t/τ).

Вся реакция определяется сложением этих двух графиков. 

Т.е. для 0≤t<tu Uвых(t)=Umh(t), t≥tu Uвых(t)=Umh(t)–Umh(t-tu).

2) Входной сигнал – функция, которая в некоторые моменты времени изменяется скачком, а между этими моментами постоянно.







И в этом случае задача решается просто: раскладываем входной сигнал на совокупность скачков и записываем для каждого интервала времени свое выражение для реакции: 



0≤t<10-3 xвых=5∙h(t)

10-3≤t<2∙10-3 xвых=5∙h(t)+10∙h(t-10-3)

t≥2∙10-3 xвых=5∙h(t)+10∙h(t -10-3) -18∙h(t -2∙10-3).



Все такие задачи решаются с помощью h(t).

1) Входной сигнал в некоторый момент времени имеет скачки, а между

этими моментами времени плавно изменяется по тому-то закону (или вообще плавно изменяется без скачков).







Представим себе, что этот сложный сигнал приближенно м.б. составлен из нескольких скачкообразных воздействий (первое воздействие имеет амплитуду xвх(0) и возникает в момент t=0, второе воздействие возникает в некоторый момент t1 и имеет амплитуду xвх(t1)-xвх(0)=∆xвх(t1), третий сигнал поступает в момент t2 и имеет амплитуду ∆xвх(t2) и т.д.). Значит можно написать, что для некоторого момента t:



xвх(t)≈xвх(0)1(t)+∑∆xвх(tj)1(t-tj) (*).



В сумме учитывая все те ступеньки, которые возникли до нашего момента времени t. Если ступеньки брать помельче, выражение будет получаться поточнее, но все равно приближенно. Получим теперь точное выражение. В нашем случае:



xвых(t)≈xвх(0)h(t)+∑∆xвх(tj)∙h(t-tj) (**).



Известно, что ∆xвх(tj)/∆tj≈x(tj) и тогда (**) перепишется xвых(t)≈xвх(0)∙h(t)+∑xвх′(tj)∆tjh(t-tj). Уменьшая ∆tj до dtj вместо суммы получим интеграл: (для удобства записи tj→λ)







Если бы функция имела скачки не только в момент 0, но и в какие-то другие моменты. Пришлось бы для каждого интервала времени в котором функция непрерывна, записывать свои выражения отличающиеся друг от друга наличием реакции на скачки случившиеся до рассмотрения момента времени t.

Пример: Есть h(t)=0,5e-500t. Надо найти реакцию цепи на входное воздействие.



 



Описывает входное воздействие аналитически. В нашем случае можно считать, что в интервале от 0 до 10-3 Uвх1(t)=a+b∙t:


30=10+b∙10-3; a=10; b=2∙104.

Uвх2(t)=15+A∙e-t/τ ; τ=8∙10-4 ; t/τ=10-3/8∙10-4 ;

Uвх2(t=10-3)=5=15+A∙e-1,25; A≈-30.



Теперь для каждого интервала времени записываем свое выражение:

	

	0≤t<10-3 

	

	.

	

	Берем интеграл, приводим подобные члены, строим графики. Но в рамках курса ТОЭ РГРТУ требуется ответ до состояния 

	

	t≥10-3

	

	

	

Применение импульсных характеристик



Известно, что



1) g(t)= -1{H(p)},

2) xвых(p)=xвх(p)H(p),

3) =,

Пусть , ,

тогда =-1=



Фактически это есть другая форма интеграла Дюамеля, которая может быть получена используя связь g(t) и h(t). Порядок применения получения выражения такой же, но при численном нахождении интеграла удобней использовать собственно интеграл Дюамеля.



Применение передаточной функции

Если известно H(p) и xвх(t), можно записать изображение xвх(p), вычислить xвых(p)=H(p)xвх(p) и перейти к оригиналу.

Особенно удобно применять H(p)тогда, когда xвх(t) имеет простой вид, позволяющий легко записать изображение xвх(p) либо сразу для всего сигнала, либо разложение его на более простые компоненты и воспользовавшись принципом положения.

Например:



xвх(t)=10e-100t









, ,

, , ,

, ,

,

,









Этот входной сигнал можно представить в виде совокупности двух более простых. Тогда

1) Для 0 ≤t<10-2



,



2) Для t≥10-2, t<2∙10-2



3) .



Теперь умножая на H(p) находим изображающие реакции и затем переходим к оригиналу.


Список используемых источников



1. Основы теории цепей. Учебник для вузов./ Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов.-5-е изд. перераб.-М.: Энергоатомиздат, 1989. 528 с.

2. В.П. Попов. Основы теории цепей. Учебник для вузов. -М.: Высшая школа, 1985. 496 с.

3. Теория электрических цепей: Методические указания к лабораторным работам / Рязан. гос. радиотехн. акад.; Сост.: С.М. Милюков, В.П. Рынин; Под ред. В.П. Рынина. Рязань, 2002. 16 с.,2004. 20 с. (№3282, №3624)

4. Электротехника и электроника: Методические указания к расчетно-графической работе / Рязан. гос. радиотехн. акад.; Сост. Г.В. Спивакова. Рязань, 2005. 16 с. (№3665)

5. М.Р. Шебес. Теория линейных электрических цепей в упражнениях и задачах. М.: Высшая школа, 1990. 528 с.

6. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Нелинейные цепи: Учеб. для электротехн. спец. вузов. –2-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1986. –352 с.

7. Каплянский А.Е. и др. Теоретические основы электротехники. Изд. 2-е. Учеб. пособие для электротехнических и энергетических специальностей вузов. –М.: Высш. шк., 1972. -448 с.

8. Теоретические основы электротехники. Т. 1. Основы теории линейных цепей. Под ред. П.А. Ионкина. Учебник для электротехн. вузов. Изд. 2-е, перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1976. –544 с.