Расчёт электрических цепей

ЗАДАНИЕ № 1



ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА



В соответствии с вариантом, заданным двумя последними цифрами шифра, указанного в зачетной книжке, выписать из табл. 1.1 и 1.2 условия задачи и выполнить следующее:

	Начертить схему электрической цепи с обозначением узлов и элементов ветвей, соблюдая требования ЕСКД.

	Определить и составить необходимое число уравнений по законам Кирхгофа для определения токов во всех ветвях.

	Определить токи ветвей методом контурных токов и узловых потенциалов и свести их в таблицу.

	Проверить результаты расчетов по уравнениям баланса мощностей.

	Определить ток в первой ветви методом эквивалентного генератора.

	

Таблица 1.1

Сопротивления резисторов, Ом. Э.д.с. источников в В и тока в А

R1

R2

R3

R4

R5

R6

Е1

E2

Е3

Е4

E5

J6

5

6

7

8

9

10

21

22

23

24

25

1



УСЛОВИЯ К ЗАДАНИЮ № 1.

		

		Таблица 1.2

		ЛОГИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

Схема электрической цепи



a(R1 +R3Ē3bR4)cR2Ē2d(R6Ĵ6b+R5)а





РЕШЕНИЕ:

Электрическая схема:

Дано: = 5 Om;  = 6 Om;  = 7 Om;  = 8 Om;

 = 9 Om;  = 10 Om;

E2= 22 B; E3 = 23B; J =1A.







Для нахождения количества контуров упростим схему:







Подставим вместо источника J эдс ER6= 1А·

Определим количество узлов и контуров.

Узлов = 4;

Контуров =4.

Составим необходимое количество уравнений по законам Кирхгофа.

По первому закону n = У -1 =3;

По второму n = К =3.

Общее количество уравнений N = 3+5=8.

По первому закону Кирхгофа:



Узел с: 

Узел а: 

Узел b: 



По второму закону Кирхгофа.

Для контура 1: 







Для контура 2 :







Для контура 3:







Подставим числовые значения:






Рассчитаем токи методом контурных токов(МКТ).

В данной схеме 3 независимых контура. Значит и уравнений будет тоже 2.



 , где





















Подставим полученные значения в систему уравнений:







Решим уравнения и найдем контурные токи.

Выразим  из первого уравнения через , из третьего  через  и подставим во второе.





Подставим это выражение в уравнение 2,3












Составим новую систему уравнений







Выразим из первого уравнений  через 







Подставим во второе уравнение









Найдем , 









Далее выразим истинные токи через контурные токи:

















Определим баланс мощности



. = 72.953 Вт.

 = 73.29. 



Допускается расхождение 







Баланс сходится , значит расчет верен.

Определим токи во всех ветвях методом узловых потенциалов.






Выберем в качестве нулевого узла узел «с». Необходимо найти потенциалы узлов a,b,d.

Вычислим собственные проводимости этих узлов:



 



=



Общая проводимость этих узлов:











Находим узловые токи:

В узле «а»: 











Составим систему уравнений для нахождения потенциалов узлов по методу узловых потенциалов. 



	

	Подставляем числовые значения	







Решим эту систему и найдем потенциалы узлов. Выразим  из первого уравнения через .







Подставим полученный результата во второе уравнение.





=-3.22 + 0.322· - 0.133·



Подставим в третье уравнение.





=-1.734 – 0.134 + 0.344·



Запишем новую систему.





Выразим из первого уравнения через 







Подставим во второе уравнение



70.7·=1015

=14.36 В



Найдем ==10.58 В.

Найдем = - 0.17 В.

Рассчитаем токи















Как видно, токи, полученные методом контурных токов и методом узловых потенциалов примерно равны. Погрешности объясняются округлением результатов вычислений.

Определение тока методом эквивалентного генератора.

Найдем ток .







Определим токи в ветвях этой схемы методом контурных токов.







Найдем  и  и выразим через них истинные токи в ветвях этой схеме.













=











Внутреннее сопротивление эквивалентного источника равно входному сопротивлению относительно выводов « ac» пассивного двухполюсника.











Преобразуем схему















Тогда





Окончательная схема имеет вид







По закону Ома:








ЗАДАНИЕ № 2



ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ОДНОФАЗНОГО

СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА



Выписать из табл. 2.1 и 2.2 условия задания и выполнить следующее.

	Начертить схему электрической цепи, соблюдая требования ЕСКД.

	Составить уравнения по законам Кирхгофа для токов в интегро-дифференциальной и символической формах.

	Применить один из методов расчета линейных электрических цепей. Определить комплексные действующие токи во всех ветвях цепи. Записать выражения для мгновенных значений токов. Частота тока во всех вариантах

ƒ= 400 Гц.

	Построить топографическую диаграмму для цепи, совмещенную с векторной диаграммой токов.

	Обозначить произвольно начала двух катушек в любых двух ветвях и предусмотрев взаимную индуктивную связь М между ними, записать уравнения, составленные по законам Кирхгофа в интегро-дифференциальной и в символической формах.

Определить показания ваттметра цепи.

P=Re

УСЛОВИЯ К ЗАДАНИЮ №2.

	

	
Таблица 2.1

	ЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ЦЕПИ

L1 L2 L3

мгн

С1 С2 С3

мкф

R1 R2 R3

Ом

Й1 Еs2 Й2 Еs2 Й3 ES3

В/град

г, Гц

7

8

7

5

4

5

2

0

8

14/45

20/0

10/60

50/30

50/0

18/90

400



Таблица 2.2

ЛОГИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

Схема электрической цепи



a(Ē1"R1L1+Ē2"C2+Ē3'L3R3C3)b





РЕШЕНИЕ:

Исходные данные



= 2 Ом; ;

 =0,007 Гн;  =0,007 Гн; 

 =4 мкФ;  =5 мкФ; 

; ;.







Составим уравнения по законам Кирхгофа в интегро-дифференциальной и символической формах. Направление токов выберем произвольно.

Перейдем от мгновенных значений ЭДС к комплексам действующих значений.









𝛚=2∙р∙f=2∙3.14∙400=2513.27 рад/с









Интегро-дифференциальная форма.













Комплексная форма.













Где 



=2+j17.59=17.7∙

= - j∙99.47=99.47∙

=8 – j61.98=62.5∙



3. Определим комплексные действующие токи во всех цепях.

Применим метод узловых потенциалов. Найдем проводимости цепей.











Пусть , тогда по методу двух узлов(частный случай метода узловых потенциалов) имеем:









.

Теперь рассчитаем токи.











Проверим уравнения, составленные по законам Кирхгофа.



	

	

()∙( - j∙99.47)=-16.47-J17.675

	

	

(





	









Как видно, все уравнения сошлись.

4. Векторная диаграмма, совмещенная с топографической.

Найдем потенциалы остальных точек.





















Небольшие неточности в неравнозначности  связаны с погрешностями расчетов.

Построим диаграмму.







5. Взаимоиндукция.

Обозначим начала катушек и запишем уравнения, составленные по законам Кирхгофа. M – взаимоиндукция.









В символической форме:











6. Определить показание ваттметра.



P=Re[=

P=U·I·==8.178 Вт.


ЗАДАНИЕ № 3



ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ



Выписать из табл. 3.1 и 3.2 условия задания и выполнить следующее:

	Начертить схему электрической цепи с обозначением узлов и элементов ветвей.

	Рассчитать переходный процесс классическим и операторным методами: т.е. определить для тока в одной из ветвей и для напряжения на одном из элементов ветвей в функции времени.

	Построить графики переходных процессов в функции времени.

	Определить энергию, рассеиваемую на одном из резисторов цепи в переходном процессе.

Примечание: символу « K » соответствует разомкнутое состояние ключа до коммутации.



Таблица 3.1

ЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ЦЕПИ

R1

 Ом

R2

Ом

R3 

Ом

L1

мгн

C1

мкф

L2

мгн

C2

мкф

Е

В

	

















10

2

40

100

10

10

5

12



Таблица 3.2

ЛОГИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

Схема электрической цепи

a(L1 R1+ER3+KC1)b



РЕШЕНИЕ:

Исходные данные:

R1 =10 Ом; R3=40 Ом ;

E1=12 В; С=10мкФ;

L=100 мГн.







1. Расчет классическим методом.

Расчет режима до коммутации (при t = 0_ )



 i1(0_) = i2(0_)=

i3 (0_)=0

uc(0+)= 0



 по независимым начальным условиям( законам коммутации):



i2(0+)= i2(0_)=

uc (0+)=uc(0_)=0



Составим характеристическое уравнение



Z(p)==




Подставляем числовые значения:



40·10-5·0.1·p2+(40·10·10-5·+0.1)p+50=0

4·10-5·p2+0.104·p+50=0



Найдем корни уравнения:



P1,2=

P1-636.675c-1

P2-1963.325c-1



Корни действительные и разные, значит переходной процесс будет апериодическим.

Запишем свободную составляющую тока i2



i2 св (t)=A1 ·+A·,



где А1, А2 – постоянные интегрирования.

<, поэтому экспонента с показателем p2t будет заухать быстрее, чем с показателем p1t.

Расчет установившегося режима после коммутации.



i2 пр = i1 пр=

i3 пр=0

uc пр= i2 пр ·2.4В



Свободные составляющие токов напряжений при t=0+ найдем как разницу между переходными и принужденными величинами.

i2 св (0+)= i2 (0+) - i2 пр= 0.24-0.24=0

uc св (0+)= uc (0+)- uc пр=0-2.4=-2.4В



по второму закону Кирхгофа для свободны составляющих:



L

=



Определим постоянные интегрирования по начальным условиям







Подставим в эти уравнения при 









Из первого уравнения имеем А1=-А2

Подставим это выражение во второе и получим А2



-·p1+



 A

 A

Ток i2(t) найдем как сумму его принужденной и свободной составляющих.



 (t)=+ = A1 ·+A2·=0.24 -0.0180912·, А



Для проверки подставим в это уравнение , получим  ()=0.24А, что совпадает с расчетом по п.1.

2. Расчет операторным методом.



 



Определим 

Расчет режима до коммутации:











	Начальные условия:

	

	

	

	Составим систему уравнений по 1 и 2 законам Кирхгофа.







Выразим из 2 уравнения , из 3 -  и подставим в первое.











Т.к. , то







Подставим числовые значения.







Найдем корни уравнения .













Корни действительные и разные. Значит, переходной процесс будет апериодическим.

	Для перехода от изображения к оригиналу воспользуемся формулой разложения для простых корней.







В соответствии с этой формулой ток  будет равен:





Напряжение 



	Определим энергию, рассеивающуюся на  при переходном процессе. Переходной процесс заканчивается примерно при T=4t, где t – наименьший по модулю корень характеристического уравнения.	










	Построим графики переходных процессов.

	

Для тока 





Для