Абсолютно упругие удары в примерах

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение 

«Октемский лицей» Хангаласского улуса Республики Саха (Якутия)





















                         Абсолютно  упругие  удары в примерах

















Подготовил: 

Захаров Георгий Григорьевич



















с.Чапаево, 2013 г






Предисловие



Наибольшие трудности у школьников на экзаменах вызывает решение задач. Даже при хорошем знании теоретического программного  материала значительная часть учащихся не имеет практических навыков в решении задач по физике. Указанные причины побудили к подбору задач, на  абсолютно  упругие  удары. Предлагаю три задачи для самостоятельной подготовки к конкурсным экзаменам, олимпиадам на закон сохранения импульса и энергии.

  

                                     Задачи



Вертикальная гладкая плита движется горизонтально со скоростью U, и соударяется с неподвижным шариком. Найдите скорость V шарика сразу после соударения с плитой,  считая, что массивная плита не изменила своей скорости в результате соударения с шариком. Удар абсолютно упругий.


Вертикальная гладкая плита движется горизонтально со скоростью V. Летящий в горизонтальной плоскости со скоростью V0 шарик соударяется с плитой. Направление полета шарика составляет угол α с перпендикуляром к плите. Найдите скорость U шарика сразу после соударения с плитой, считая, что массивная плита не изменила своей скорости в результате соударения с шариком. Удар абсолютно упругий.


Два лежащих друг на друга шарика одновременно падают на твердую поверхность, при этом после удара верхний шарик (меньшей) массы подскакивает на высоту, превышающую ту,  с которой он начал падать. Найти эту высоту, если начальная высота h. Удар абсолютно упругий.
                                                  Решения



M-масса массивной плиты, m-масса шарика.

U-скорость массивной плиты до удара,   u/-скорость массивной плиты после удара,   v-скорость шарика после удара.  По закону сохранения количества движения:  MU=Mu/+mv,   выразим u/=U-mv/M
Запишем закон сохранения энергии   MU²/2=Mú²/2+mv²/2


  Сокращаем 2  и  получим   MU²=Mú²+mv² 
Подставляя вместо u/  их значения, получим  MU²=M(U-mv/M)²+mv²
MU²=M(U²-2vU(m/M)+v²(m²/M²))+mv²
MU²=MU²-2vUM(m/M)+v²M(m²/M²)+mv²   т.к. масса массивной плиты много раз больше массы шара ,  выражение m2/M2=>0, следовательно  v2M(m2/M2)=0.
Таким образом , MU²=MU2-2mUv+mv2  , решая  уравнение
2mUv=mv2
2vU=v²
 получим  v=2U.
Ответ: v=2U.



V0-скорость шара до удара, V-скорость массивной плиты, U-скорость шара после удара.  Составляющие скорости по осям X и Y в начальный момент времени равны:

Vx0=V0cosα;    Vy0=V0sinα;

 После удара, составляющие скорости  Ux=2V+ Vx0=2V+ V0cosα.  ( Почему, 2V смотри первую задачу.)

Uy= Vy0=V0sinα,   найдем скорость шара после удара по теореме Пифагора

U2=Ux2+Uy2= (2V+ V0cosα)2 +( V0sinα)2=4V2+4V0Vcosα+ V02 cos2α+ V02 sin2α =

V02 ( cos2α+ sin2α)+ 4V0Vcosα+4V2  т.к.  ( cos2α+ sin2α)=1, то получим U2=(V0²+4V0Vcosα+4V²)



            Ответ: U=(V0²+4V0Vcosα+4V²)1/2



М-масса большого шарика,  m-масса меньшего шарика.  u-скорость большого шарика после удара о твердую поверхность и направлена вверх,  v-скорость меньшего шарика до удара с большим шариком , около поверхности ,направлена вниз.V/ , u/ скорости шариков после удара с поверхностью и между собой. По закону сохранения количества движения  Mu-mv=MV/+mu/ , т.к. шарики падают с одинаковой высоты, то v=u  следовательно

(M-m)u=MV/+mu/   дальше ,  напишем закон сохранения энергии

Mu2/2+mu2/2= MV´²/2+mu´²/2   сокращая двойки, получим
(M+m) u²=MV´²+mu´²

Выразим из закона сохранения количества движения
V´=((M-m)u-mu/)/M=u-(m/M)(u+u´) и  получим квадрат этого выражения
V´²=u²-2(m/M)(u+u´)u+(m²/M²)(u+u´)²    т.к. масса большого шара много раз       меньшего , то m²/M²=>0  получим V´²=u²-2(m/M)(u+u´)u
Подставляя это выражение на закон сохранения энергии

(M+m)u²=Mu²-2m(u+u´)u+Mmu´²+ mu´²

    Раскрывая скобки и сокращая  массы, получим  3u²=-2uu´+u´²
4u²=(u-u´)²   или  2u=u´-u
u´=3u  т.к. высота подьема зависит от квадрата скорости, то получим     
h´/h=u´²/u²=(3u)2 /u2=9

Ответ: h´/h=9

Литература

1 В.А. Балаш .  Задачи по физике и методы их решения.2001 г.

2.Г.А.Бендриков, Б.Б.Буховцев. Задачи по физике для поступающих в вузы.1976 г.

3. Квант. 2009г.№6