Практическое применение статистических методов

Задача № 1



Имеются следующие данные 25 предприятий легкой промышленности по величине балансовой прибыли и объему произведенной продукции:



Таблица 1.1

№ предприятия

Объем произведенной продукции, млн. руб.

Валовая прибыль, млн. руб.

1

653

45

2

305

11

3

508

33

4

482

27

5

766

55

6

800

64

7

343

14

8

545

37

9

603

41

10

798

59

11

474

28

12

642

43

13

402

23

14

552

35

15

732

54

16

412

26

17

798

58

18

501

30

19

602

41

20

558

36

21

308

12

22

700

50

23

496

29

24

577

38

25

688

49



С целью изучения зависимости между объемом произведенной продукции и валовой прибылью произведите группировку предприятий по объему произведенной продукции (факторный признак), образовав пять групп предприятий с равными интервалами.

По каждой группе и совокупности предприятий подсчитайте:

	число предприятий;

	объем произведенной продукции – всего и в среднем на одно предприятие;

	валовую прибыль – всего и в среднем на одно предприятие.

Результаты представьте в виде групповой таблицы. Сделайте краткие выводы.

Решение:

1. Произведем группировку предприятий по объему произведенной продукции (факторный признак), образовав пять групп предприятий с равными интервалами.

Определим размах вариации: R = Xmax- Xmin = 800-305 = 495

Длина интервала: 

Группировку произведем в таблице 1.2.



Таблица 1.2

№ п/п

Группы

№ банка

Объем произведенной продукции, млн. руб.

Валовая прибыль, млн. руб.









средний



средняя

1

305-404

2

305

339,5

11

15





21

308



12







7

343



14







13

402



23





Итого:

4

1358



60



2

405-503

16

412

473,0

26

28





11

474



28







4

482



27







23

496



29







18

501



30





Итого:

5

2365



140



3

504-602

3

508

557,0

33

36,667





8

545



37







14

552



35







20

558



36







24

577



38







19

602



41





Итого:

6

3342



220



4

603-701

9

603

657,2

41

45,6





12

642



43







1

653



45







25

688



49







22

700



50





Итого:

5

3286



228



5

702-800

15

732

778,8

54

58





5

766



55







10

798



59







17

798



58







6

800



64





Итого:

5

3894



290



 

Всего:

25

14245

938



Выводы:

Разбив на 5 групп по объему произведенной продукции банки получили, что:

Самая многочисленная группа 3, с количеством входящих в неё шести банков, самая малочисленная – 1, в неё входит 4 банка.

По объему произведенной продукции в общем и среднем, валовой прибыли и средней валовой прибыли на одно предприятие лидирует пятая группа, а первая – наименее эффективна.

Данные показывают, что при увеличении объема произведенной продукции валовая прибыль увеличивается. Следовательно, между исследуемыми признаками существует прямая корреляционная зависимость.



Задача № 2



Имеются следующие данные по двум заводам, вырабатывающим однородную продукцию:




Таблица 2.1

Номер завода

Январь

Февраль



затраты времени на единицу продукции, час

изготовлено продукции, шт

затраты времени на







единицу продукции, час

всю продукцию, час

1

2

160

1,8

420

2

2,8

180

2,4

440



Вычислите средние затраты времени на изготовление единицы продукции по двум заводам в январе и феврале. Укажите виды средних величин, используемых в решении задач.

Решение:

Для января статистические данные представлены количеством выпущенной продукции и затратами времени на выпуск единицы продукции, поэтому средние затраты времени на изготовление единицы продукции определяем по формуле средней арифметической взвешенной:



 = ,



где х - затраты времени на единицу продукции, час.

f - изготовлено продукции, шт.

 = час.

Для февраля статистические данные представлены затратами времени на весь выпуск продукции и затратами времени на выпуск единицы продукции, поэтому средние затраты времени на изготовление единицы продукции определяем по формуле средней гармонической взвешенной:

	

	 = ,


где w – объем признака, равный произведению вариант на частоты: w = x f.

	 = 

На заводе №1 в январе затраты времени на единицу продукции были снижены с 2 до 1,8 часа. На заводе №2 в 1993 г. затраты времени на единицу продукции были снижены с 2,8 до 2,4 часа.

В среднем по двум заводам затраты времени снизились с 2,424 до 2,0,64 часа, что практически обусловлено снижением эффективности производства на заводах.



Задача № 3



В целях изучения стажа рабочих одного из цехов завода проведена 10%-ная механическая выборка, в результате которой получено следующее распределение рабочих по стажу работы:



Таблица 3.1

Стаж рабочих, лет

Число рабочих, чел

До 5

От 5 до 10

От 10 до 15

От 15 до 20

От 20 до 25

Свыше 25

5

10

35

25

15

10

Итого

100



На основании этих данных вычислите:

		Средний стаж рабочих цеха.

		Средний квадрат отклонений (дисперсию) и среднее квадратическое отклонение.

		Коэффициент вариации.

		С вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидается средний стаж рабочих цеха.

		С вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса числа рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет.

Сделайте выводы.

Решение:

Для вычисления средней величины в каждой группе определяем серединное значение (середину интервала), после чего определяем средний стаж рабочих цеха по формуле средней арифметической взвешенной. 

В закрытом интервале серединное значение определяем как полусумму верхней и нижней границ, открытые интервалы приравниваются к рядом стоящим. Кроме того, для расчёта дисперсии последовательно определяем отклонение каждой группы от средней, квадрат отклонения и произведение квадрата отклонения на число работников в группе. Расчёт производим в таблице 3.2.



Таблица 3.2

	Расчет среднего квадратического отклонения

Стаж рабочих, лет

Число рабочих, чел. f

х

xf

	

	()2

	()2 f

До 5

5

2,5

12,5

-13,25

175,563

877,813

5-10

10

7,5

75

-8,25

68,0625

680,625

10-15

35

12,5

437,5

-3,25

10,5625

369,688

15-20

25

17,5

437,5

1,75

3,0625

76,5625

20-25

15

22,5

337,5

6,75

45,5625

683,438

св. 25

10

27,5

275

11,75

138,063

1380,63

Итого:

100

-

1575

-

-

4068,75



Определим средний стаж рабочих цеха:

		

		=  =  = 15,75 лет.




	Определим среднее квадратическое отклонение:

		σ =  = 6,379 лет.

		Дисперсия признака σ2 =  = 40,688 лет.

	Определим коэффициент вариации 

		

		V =  %

		

Определим с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидается средний стаж рабочих цеха.

Так как выборка механическая, то ошибка выборочного наблюдения определяется по формуле:



Δх = t 

	

	При =3μ и p = w3μ степень вероятности повышается до 0,997.

	Таким образом: 

	t = 3

	σ2= 40,688 - дисперсия признака;

	n = 15,75 - средний стаж рабочих цеха;

	 - это 10%-ная механическая выборка.



Δх = t 




Доверительные интервалы для средней будут равны:



– Δх + Δх .

	

	=15,75 лет.4,574 года. или 15,75-4,5715,75+4,57

С вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний стаж рабочих цеха находится в пределах от 11,18 дней до 20,32 дней.

Определим с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса числа рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет.

Средняя ошибки для выборочной доли при бесповторном способе отбора рассчитывается по формуле:



Δw = t .

	

	При =3μ и p = w3μ степень вероятности повышается до 0,997.

	Таким образом: 

	t = 3;

	n = 100 - численность рабочих цеха;

	 - это 10%-ная механическая выборка;

	Определим w - удельный вес числа рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет.

	25+35=0,6 или 60%,

	100

	т.е. доля рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет – 60%.

	

Δw = t  или 13,9%.


Доверительные интервалы для доли будут равны:

	

	p = w Δw .

	

	p = 60% 13,9%, тогда 60% – 13,9% p 60% + 13,9%.

Доля числа рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет будет находиться в пределах от 46,1 до 73,9% при вероятности 0,997.



Задача № 4



Численность населения России характеризуется следующими данными:



Таблица 4.1

Годы

На начало года, тыс. чел

1997

2002

2003

2004

2005

2006

2007

148041

148306

147976

147502

147105

146388

145500



Для анализа численности населения России за 2002-2007 гг. определите:

		Абсолютные приросты, темпы роста и темпы прироста по годам и к 2002 году.

Полученные показатели представьте в таблице.

		Среднегодовую численность населения России.

		Среднегодовой темп роста и прироста численности населения России за 2002-2007 гг. и за 1997-2002 гг.

Постройте график динамики численности населения России.

Сделайте выводы.

Решение:







Определим абсолютные приросты, темпы роста и темпы прироста по годам и к 2002 году. Полученные показатели представим в таблице 4.2.



Таблица 4.2

Абсолютные приросты, темпы роста и темпы прироста 

Годы

На начало года, тыс. чел

уi

Абс. приросты, млн.тонн

Темпы роста

Темпы прироста, %





цепные

базисные (к 2002г)

цепные

базисные (к 2002г)

цепные

базисные (к 2002г)





yц = уi – yi-1

yб = 

уi – y2002

k = 

k = 

Δkц = 

kц % – 100

Δkб = 

k % – 100

1997

148041

265

-265

1,002

0,998

0,2%

-0,2%

2002

148306

-

-

-

-

-

-

2003

147976

-330

-330

0,998

0,998

-0,2%

-0,2%

2004

147502

-474

-804

0,997

0,995

-0,3%

-0,5%

2005

147105

-397

-1201

0,997

0,992

-0,3%

-0,8%

2006

146388

-717

-1918

0,995

0,987

-0,5%

-1,3%

2007

145500

-888

-2806

0,994

0,981

-0,6%

-1,9%


2. Определим среднегодовую численность населения России за 2002-2007 гг.:

За 2002-2007 гг. мы имеем интервальный ряд динамики с равными интервалами. Поэтому среднегодовую численность населения исчислим по формуле средней арифметической простой:



==== 

147129,5тыс.чел.



где у – уровни ряда

 n – число уровней ряда.

3. Среднегодовой темп роста и прироста численности населения России за 2002-2007 гг.

Среднегодовой темп роста исчисляется по формуле средней геометрической из цепных коэффициентов роста:



==,



где n – число цепных темпов роста;

за 2002-2007 гг.: ===0,996 или 99,6%.

Среднегодовой темп роста численности населения России за 2002-2007 гг. равен 99,6 %.

Среднегодовой темп прироста за 2002-2007 гг. исчисляется следующим образом:



Δ =  % – 100%=99,6–100=0,4%.

Таким образом, численность населения России за период 2002-2007 гг. уменьшалось за год в среднем на 0,4%.

Выводы: численность населения России по данным таблицы 4.1. в 2002 году повысилась по сравнению с 1997 годом на 265 тыс.чел. или на 0,2%. Затем вплоть до 2007 года снижалось в среднем на 0,4% за год.



Задача № 5



Имеются следующие данные о стоимости имущества предприятия (млн. руб.):



Таблица 5.1



01.01.

01.02.

01.03.

01.04.

01.05.

01.06.

01.07.

Стоимость имущества, млн. руб.

62

68

65

68

70

75

78



Определите среднегодовую стоимость имущества:

		за I квартал;

		за II квартал;

		за полугодие в целом.

Решение:

Среднегодовая стоимость имущества рассчитывается по формуле средней арифметической простой:

За I квартал:  =  = 66 млн. руб.

За II квартал:  =  = 72,667 млн. руб.

За полугодие в целом:  =  = 69,333 млн. руб.


Задача № 6



Динамика средних цен и объема продажи на колхозных рынках города характеризуется следующими данными:



Таблица 6.1

Наименование товара

Продано товаров за период, тыс. кг

Средняя цена за 1 кг за период, руб.



базисный

отчетный

базисный

отчетный

Колхозный рынок № 1:

Картофель

Свежая капуста

6,0

2,5

6,2

2,4

8,0

15,0

8,5

19,0

Колхозный рынок №2:

Картофель

12,0

12,8

7,5

8,0



На основании имеющихся данных вычислите:

		Для колхозного рынка № 1 (по двум видам товаров вместе):

а) общий индекс товарооборота в фактических ценах;

б) общий индекс цен;

в) общий индекс физического объема товарооборота.

Определите в отчетном периоде прирост товарооборота в абсолютной сумме и разложите по факторам (за счет изменения цен и объема продаж товаров).

Покажите взаимосвязь начисленных индексов.

		Для двух колхозных рынков вместе (по картофелю):

а) индекс цен переменного состава;

б) индекс цен постоянного состава;

в) индекс влияния изменения структуры объема продажи картофеля на динамику средней цены.

Решение:

	1. Для колхозного рынка № 1 определим индивидуальные индексы:

По товару Картофель: ip =  =  = 1,033 или 103,3%,

		iq =  =  = 1,063 или 106,3%,

		По товару Свежая капуста: ip =  =  = 0,960 или 96%,

		iq =  =  = 1,267 или 126,7%.



Таблица 6.2

Индивидуальные индексы для товаров колхозного рынка №1

Индивидуальные индексы

Продано товаров за период, тыс. кг

Средняя цена за 1 кг за период, руб.

Картофель

1,033

1,063

Свежая капуста

0,960

1,267

		

		Таким образом:

	цены на картофель выросли в отчетном году на 6,3%;

	объем продаж по картофелю увеличился на 3,3%.

	цены на свежую капусту выросли в отчетном периоде на 26,7%;

	свежей капусты было продано в отчетном периоде по сравнению с базисным на 4% меньше.

		а) Чтобы определить изменение товарооборота в фактических ценах в абсолютной сумме, необходимо рассчитать агрегатный индекс товарооборота в фактических ценах:

		

		Ipq =  =  =  = 1,150 или 115,0%.

		

		Разность между числителем и знаменателем индекса товарооборота в фактических ценах дает прирост (или снижение) товарооборота в абсолютной сумме:

		

		
Δpq = –= 98,3-85,5 = 12,8 (тыс. руб.).

		

		Товарооборот в фактических ценах вырос в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом на 15% или на 12,8 тыс.руб.

		б) Перейдем к расчету агрегатного индекса цен. В качестве веса введем в индекс неизменное количество товаров отчетного периода (по формуле Пааше). Формула агрегатного индекса цен будет выглядеть следующим образом:

		

		Ip =  =  =  = 1,148 или 114,8%.

		

		Разность между числителем и знаменателем индекса цен дает прирост (снижение) товарооборота за счет изменения цен:

		

		Δpq(p) = –= 98,3-85,6 =12,7 (тыс. руб.).

		

		Прирост товарооборота в абсолютной сумме в отчетном периоде составил 12,7 тыс. рублей за счет увеличения цен на 14,8%.

	в) Чтобы рассчитать агрегатный индекс физического объема товарооборота, который будет характеризовать изменение объема продажи товаров, примем в качестве веса неизменные цены базисного периода и определим стоимость каждого товара:

		

		Iq =  =  = = 1,001 или 100,1%,

		

		Разность между числителем и знаменателем индекса физического объема товарооборота дает прирост (или снижение) товарооборота в неизменных ценах:

		

		Δpq(q) = –= 85,6-85,5 = 0,1 (тыс. руб.).

		

		Прирост товарооборота в абсолютной сумме в отчетном периоде за счет увеличения количества проданного товара на 0,1% составил 0,1 тыс. руб.

		Связь между изменениями объема товарооборота, количеством продажи товаров и уровнем их цен выражается в системе взаимосвязанных индексов:

		

		= или = Ipq , 

		

		тогда в нашем примере:

		1,148*1,001=1,150

		Произведение двух индексов () дает нам показатель динамики товарооборота в фактических ценах (Ipq), то есть за счет роста цен на 14,8% (в абсолютной сумме – 12,7 тыс.руб.) и увеличения объема продаж на 0,1% (в абсолютной сумме – 100 руб.), товарооборот увеличился в отчетном году на 15% (в абсолютной сумме – 12,8 тыс.руб.).

	2. а) Индекс цен переменного состава определим по следующей формуле:

		

		==:




	или =:==1,0648 или 106,48%.

	Средняя цена единицы продукции по двум заводам возросла на 6,48%.

	б) Индекс постоянного состава определим по агрегатному индексу цен:

		

		Ip =  =  =  = 1,0652 или 106,52%.

	

	Это означает, что в среднем по двум заводам цена единицы повысилась на 6,52%.

	в) Индекс структурных сдвигов определим по формуле:

	

	Iстр = :

	

	или Iстр = :==0,9995 или 99,95%

	Средняя цена единицы по двум заводам снизилась на 0,05% за счет изменения удельного веса на отдельном заводе в общем выпуске продукции.

	Покажем взаимосвязь трех исчисленных индексов:

	=  или 1,0652 = .

	Общий вывод: Если бы происшедшие изменения цен продукции не сопровождались перераспределениями в ее выпуске, то средняя себестоимость продукции по двум заводам выросла бы на 6,48%. 

	Изменение структуры выпуска продукции в общем объеме вызвало снижение цен на 0,05%. Одновременное воздействие двух факторов увеличило среднюю цену продукции по двум заводам на 6,52%.



группировка средний прирост дисперсия


Задача № 7



По заводу имеются следующие данные о выпуске продукции:



Таблица 7.1

Вид продукции

Выпуск продукции в I квартале, тыс. руб.

Увеличение (+) или уменьшение (-) выпуска продукции во II квартале по сравнению с I кварталом, %

Рельсы трамвайные

22300

+3,0

Чугун литейный

15800

-2,0

Железо листовое

10500

+1,5



1.Определить общий индекс физического объема продукции.

2.Определить сумму изменения затрат за счет объема произведенной продукции.

Решение:

1. Определим индивидуальные индексы физического объема товарооборота в таблице:



Таблица 7.2

Вид продукции

Выпуск продукции в I квартале, тыс. руб.

Индивидуальный индекс физического объема, т/об

Рельсы трамвайные

22300

1,03

Чугун литейный

15800

0,98

Железо листовое

10500

1,015



q =  =  =  = 1,011 



Физический объем продукции увеличился на 1,1%.

2. Сумма изменения затрат равна 49110,5-48600 = 510,5 тыс.руб.

Таким образом за счет увеличения физического объема продукции на 1,1% сумма затрат увеличилась на 510,5 тыс.руб.

Задача № 8



Для изучения тесноты связи между объемом произведенной продукции (факторный признак – Х) и балансовой прибылью (результативный признак – У) по данным задачи № 1 вычислите эмпирическое корреляционное отношение.

Сделайте выводы.

Решение:

	Для расчета межгрупповой дисперсии строим расчетную таблицу 8.1.



Таблица 8.1

	Расчет среднего квадратического отклонения

Группы банков по объему произведенной продукции

Число банков

n

Сумма прибыли на один банк, млн.руб. У

	

	()2

	()2n

305-404

4

15,00

-22,520

507,150

2028,602

405-503

5

28,00

-9,520

90,630

453,152

504-602

6

36,67

-0,853

0,728

4,369

603-701

5

45,60

8,080

65,286

326,432

702-800

5

58,00

20,480

419,430

2097,152

Итого:

25

37,52

 

 

4909,707



	Рассчитаем межгрупповую дисперсию по формуле

	

	 = ==196,388

	

	Для расчета общей дисперсии возведем все значения «у» (валовую прибыль) в квадрат.

	


Таблица 8.2

Валовая прибыль, млн.руб. 

У

Валовая прибыль, млн.руб. 

У2

Валовая прибыль, млн.руб. 

У

Валовая прибыль, млн.руб. 

У2

Валовая прибыль, млн.руб. 

У

Валовая прибыль, млн.руб. 

У2

 45

2025

59

3481

41

1681

11

121

28

784

36

1296

33

1089

43

1849

12

144

27

729

23

529

50

2500

55

3025

35

1225

29

841

64

4096

54

2916

38

1444

14

196

26

676

49

2401

37

1369

58

3364

ИТОГО

40362

41

1681

30

900

	

	Рассчитаем общую дисперсию по формуле:

	

	 =  –  =  – 37,522 = 206,73

	

	Тогда коэффициент детерминации будет:

	

	η2 ==  = 0,950.

	

	Он означает, что вариация суммы выданных банком кредитов на 95% объясняется вариацией размера процентной ставки и на 5% – прочими факторами.



2