Системы уравнений с двумя переменными (9 класс)

Аттестуемый педагог (ФИО)  Толмачева Галина Николаевна

Предмет:  алгебра                                       

Класс:  9 Б

Тема урока:  Системы уравнений с двумя переменными.

Цель урока: 

Расширить представление обучающихся о системах уравнений с двумя переменными и способах их решения; рассмотреть графический метод решения систем уравнений.

Задачи:

- Обучающие – сформировать умение графически решать системы уравнений с двумя переменными ;  повторить  графики функций, дать наглядные представления о возможном количестве решений систем уравнений.

 - Развивающие – развивать у учащихся мыслительную деятельность; самостоятельность;  аккуратность при построении графиков, логическое мышление (вывод, анализ, обобщение).

- Воспитательные – формировать интерес к предмету; графическую культуру; уважение чужого мнения; дисциплинированность.

Тип урока: урок изучения  нового материала.



Формы работы учащихся:  индивидуальная, фронтальная, с использованием ИКТ

Оборудование: проектор, экран, презентация,  таблички с функциями, плакат с  графиками систем уравнений, макет окружности.

Ход урока

Этапы работы

Цель  

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1. Орг. момент



Организовать работу обучающихся 

на уроке, настроить обучающихся  на учебную деятельность, предмет и тему урока.



В начале урока построение, приветствие ребят и учителя.  Сообщение темы  урока.

- Здравствуйте ребята, сегодня на уроке мы будем изучать тему:  Системы уравнений с двумя переменными 

( слайд №1) 



 



2.Повторение

Повторить 

учебный

материал, 

встречающийся

 при изучении 

новой темы.

- Ребята, посмотрите на слова, из которых состоит тема нашего урока.

- В название темы встретились ли  вам знакомые слова?

- Какие?

- Что же такое уравнение?



- А какие  виды уравнений вы знаете?





- А что значит решить уравнение?



- Сколько переменных в этих уравнениях?

- А в названии  нашей темы, сколько должно быть переменных?

Назовите пример линейного уравнения с двумя переменными.

- Можно ли выразить из этого уравнения одну переменную через другую?

- А какую переменную  вы хотите выразить?

 Давайте, ее выразим 

А другую переменную можно выразить?

Выразите ее

 - Что вам напоминает выражение с переменной у? 

- А как называется эта функция? 

-Как можно ее увидеть?

      







- А теперь усложним это уравнение. 

- Какое уравнение получится?

- Знакомо вам это уравнение?





- Что является графиком квадратичной функции?

- Из какой функции получена  данная функция? С помощью какого преобразования?

  



Так как  мы заговорили о функциях, вспомните, какие еще бывают функции, и поздороваемся с ними.

- Вы же здороваетесь со знакомыми людьми?

Вот и мы будем здороваться со знакомыми функциями и  рассказывать о них все, что знаем. 

(учитель показывает таблички с различными видами функций, а ученики определяют их название и график)

у=кх   Что вы знаете об этой функции?



















у=к/х Что вы можете сказать об этой функции?















+= Что вы можете сказать об этом уравнении?





-Хорошо, молодцы, справились с заданием, а теперь давайте вспомним, как выглядят графики функций.

Слайд 2)

- Как называется каждая из функций?



-  Задания с графиками очень  часто встречаются на ГИА по математике. Рассмотрим одно из таких заданий. Соотнесите график функции с соответствующей формулой.( Слайд 3)



















- Мы повторили все, что связано со словами « уравнение с двумя переменными» , а теперь  вернемся к теме урока

- Какое же слово мы  не разобрали?

- Что же значит слово « система»?



- Давайте посмотрим, что означает слово система по толковому словарю.











-Но ведь с этим словом мы с вами уже  знакомы, и в 7 и 8 классах мы решали системы уравнений.

- А, что значит решить систему уравнений?



- Какими способами можно решить систему уравнений?

- Сегодня мы будем рассматривать только графический способ.

-А теперь сформулируйте цель нашего урока.













Да



Уравнения

Это равенство, содержащее буквы

Линейные, квадратичные, дробные, целые

Найти неизвестную переменную

Одна



Две



х +у = 5







Можно

х



х =5 – у

Да

у = 5 - х



Функцию

Линейная

Построить график прямой, для его построения достаточно взять две точки.



у = 5- 

Да, это уравнение квадратичной функции

Парабола, ветви направлены вниз

Из функции у= - , с помощью параллельного переноса вдоль оси у на 5 единиц вверх







Да















Это прямая пропорциональность, графиком является прямая,  проходящая через начало координат. Если к>о,  то график  располагается в 1 и 3 координатной четверти, если к<0,   то во 2 и 4 четверти. 

Это обратная пропорциональность, графиком является гипербола. Если к>о,  то график  располагается в 1 и 3 координатной четверти, если к<0,  то во 2 и 4 четверти.

Это уравнение окружности с центром в точке (;) и радиусом .











Линейная, обратная пропорциональность, прямая пропорциональность, квадратичная, линейная























На рисунке А изображена  прямая проходящая через начало координат, она является графиком прямой пропорциональности отмеченной под цифрой 1. На рисунке Б изображена гипербола- график обратной пропорциональности, он отмечен под цифрой 2. Под буквой В изображена парабола- график квадратичной функции  ей соответствует номер 3.







Система

Дети высказывают свое мнение

Система- форма организации чего- нибудь, нечто целое, представляющее единство взаимосвязанных частей



Да 



Найти все решения или установить, что их нет

Подстановки, сложения





  Дети формулируют цель урока: Сегодня мы должны рассмотреть  системы уравнений и  научится их решать графическим способом.

3. Объяснение нового материала



Рассмотреть

графический

способ решения

систем уравнений

с двумя переменными

Вывести алгоритм

графического способа

решения систем

уравнений с двумя

переменными

Давайте откроем тетради, запишем в них число,  тему урока.

-   Для того чтобы определить  как же решается система уравнений графическим способом разберем  пример ( Слайд 4)



	

	-Можем ли мы сразу найти  решение  этой системы уравнений графическим способом? 

- А как же нам поступить?









-Чем представлено  первое уравнение?





- Чем является график второго уравнения?



-Куда направлены ветви параболы?



Почему?

- Что происходит с графиками этих уравнений?

-Сколько  точек пересечения  мы видим?

-Назовите координаты   каждой точки.





-Сформулируем алгоритм решения систем уравнений графическим способом.









































Молодцы, хорошо.

-Давайте проверим по слайду,  верно ли  мы составили алгоритм графического способа решения систем  уравнений.

( Слайд 5)



  -Прочитайте его

- Самый лучший результат для запоминания возникает, когда работает комбинированная     память. Мы можем видеть о чем говорим, про себя проговаривать и записывать .



Запишите алгоритм себе в тетрадь и про себя проговорите его. 

- При решении системы уравнений мы видели, что графики пересекались в четырех точках

- Как вы думаете, могут ли  эти графики иметь другое расположение?



- Когда это возможно?

- Сколько же может быть точек пересечения, если мы будем двигать окружность?

- Сколько решений при этом может иметь система уравнений?



- От чего зависят решения?







Дети записывают в тетрадях число, классная работа, тема урока.



































Нет



В одну систему координат  поместить оба графика

Окружностью с центром в начале координат и радиусом равным 5

Параболой с вершиной в точке(1;6)

Вниз

Так как  перед стоит знак минус

Пересекаются



4



А(-2; -4,5), В(0; 5), С(2,5; 4,2); D(4;-3).



 Дети пытаются вывести алгоритм графического способа решения систем уравнений.

Мы должны видеть, что в каждом уравнении выражена переменная  у. 

Построить графики уравнений в одной системе координат

Найти точки пересечения графиков

Записать координаты полученных точек































1 человек читает алгоритм











Со слайда переписывают алгоритм







Да



Если сдвинуть окружность



3,2,1, не иметь общих точек

1, 3 ,2,несколько,  не иметь решений

От количества общих точек

4.Музыкальная пауза



Мы с вами хорошо поработали, а теперь  немного отдохнем, послушаем хорошую музыку  и  представим, что мы на берегу океана, вокруг нас шумят волны, ярко светит солнце.



5.Формирование умений и навыков

 Закрепить полученные знания с помощью тренировочных заданий и упражнений.

Проконтролировать степень усвоения нового учебного материала





-Отдохнули, а теперь  поучимся составлять уравнения и определять количество решений в системах.

выполним №441

Прочитайте задание.

-Что нужно сделать в этом задании?











- Назовите первую систему?







- Сколько решений имеет  эта система? Почему?





- Назовите вторую систему?





- Сколько решений имеет  вторая  система? Почему?





- Назовите третью систему?

- Сколько уравнений должно быть в системе уравнений?

-А у нас сколько?



-Что же вы можете  об этом сказать?





- Как же будет выглядеть система?





- Сколько решений она будет иметь? Почему?





-  Теперь постараемся составить систему уравнений по  имеющимся графикам.

Выполним№443 а ( на доске закреплен плакат с графиками данных систем уравнений).

- На каком  рисунке система уравнений имеет два решения?

-Запишите получившуюся систему





- Что мы уже научились делать?







- А теперь  вспомним, как  записываются решения систем уравнений

( Слайд 6) 





- Что значить решить эту систему? 





-Как найти координаты точек пересечения?





- У первой точки, какие координаты?

- Назовите координаты второй точки

- Какой ответ у вас получился?



-  Мы  составляли системы уравнений, определяли количество корней в системе, а теперь перейдем к  решению системы уравнений графическим способом

- Запишите №444 (а)  

      х-у=0

      х∙у=4

 



- Чем будем пользоваться при решении системы?



- Что нужно сделать сначала?











Что получилось?





- Что вы можете сказать о первом уравнении системы?













- Сколько точек нужно для ее построения?









- Что вы можете сказать о втором уравнении системы?



- Что является графиком этой функции?

- Какие значения х можно брать для  составления таблицы значений функции?





-- Что нам нужно дальше выполнить?





-А потом?





- Сколько решений имеет данная система?

- Назовите решения системы уравнений?

















Записать систему уравнений и определить количество решений для каждой из систем уравнений

  

 у- х=3

  у+2х= -3



1 решение, так как графики пересекаются в 1 точке

   2у-х=6

   2у-х=-4



Не имеет решений, так как графики не пересекаются



Могут возникнуть затруднения

2

1



Уравнения совпадают



    у+2х=4

    у+2х=4



Бесконечно, так как системы уравнений совпадают











2

+=4

 у+2х=2





Составлять системы уравнений и определять количество решений этих систем





































Нужно найти координаты точек пересечения двух уравнений

Опустить перпендикуляры на оси х и у из каждой точки

(-2;5)

(2;- 3)

(-2;5); (2;- 3)













( 1 человек решает у доски, остальные в тетради)



алгоритмом





Из каждого уравнения системы нужно выразить переменную у через х

      у=х

      у=



Это уравнение прямой пропорциональности, графиком является прямая, проходящая через начало координат



достаточно взять 1 точку

Составим таблицу

х

1

у

1

Это уравнение обратной пропорциональности



Гипербола

Любые , кроме 0

Составим таблицу

х

-4

-2

-4

1

2

4

у

-1

-2

-4

4

2

1



Построить уравнения в одной системе координат 

Найти координаты точек пересечения этих уравнений



2

(-2;-2); (2;2)



6. Итог

Систематизировать

 информацию, 

полученную на уроке

Мы очень хорошо поработали,  подведем итог  нашей работы.



-    Чем мы  сегодня  занимались?





- Так что же такое система уравнений?











-  Что называют   решением  системы  уравнений с двумя  переменными?











-В каком случае система имеет единственное решение?





-В каком случае система имеет бесконечное множество решений?



-Когда система  не имеет решений?





-Сформулируйте алгоритм графического решения систем  уравнений 









Графически решали системы уравнений



Системой уравнений называют некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой.



  Пару значений переменных х и у , обращающих каждое уравнение  в верное равенство.



Когда два уравнения имеют 1 точку пересечения графиков

 Когда два уравнения совпадают



Когда два уравнения  не имеют общих точек



Дети формулируют алгоритм  графического решения систем уравнений по памяти.

Домашнее задание



П.3.5  №442(а; в), №444 б 

 Наш урок мне бы хотелось  закончить строчками.

Приобретать знания - храбрость

Приумножать их - мудрость

 А умело применять- великое искусство!

И вы действительно храбро искали пути решения системы с двумя переменными графическим способом. Мудро составляли алгоритм графического способа решения с двумя переменными, и умело применяли свои знания. 

Учитель благодарит учеников за урок

Дети записывают домашнее задание в дневники







Учитель__________________________________________ Толмачева Галина Николаевна