Конспект урока на тему «Модель загрязнения воды органическими отходами»

Государственное автономное образовательное учреждение среднего профессионального образования 
«Волгоградский техникум железнодорожного транспорта и коммуникаций»

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	Технический проект

	на тему:

	«Модель загрязнения воды органическими отходами»

	 «Производная в биологии»

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	                                           Выполнила:

	Студентка 2 курса

	группа 11ОПП

	Филимонова В. Р.

	Научный руководитель:

	Преподаватель математики

	Сугак Т.В.

	

	

	

	                                                          Волгоград

	

2014

 

	Содержание:









1

Введение

2

Цель и задачи

3

Этапы работы

4

Рефлексия 

5           

Литература

































	

	

	

	

	

	

	

	Введение.

	   Озаботившись вопросом экологии, я решила выявить зависимость загрязнения воды  от количества поступаемых в нее органических  отходов. Этот проект был задуман для наглядного примера того, как люди не берегут природу и загрязняют окружающий себя мир, не задумываясь о том, какой вред это приносит экологии. 

	   Проект направлен на то, чтобы люди задумались о чистоте окружающего  мира и о своём здоровье. Расчеты проводились для действующего уровня угрозы загрязнения водной среды. Мне было интересно, а сможет ли водная среда сама себя лечить? При этом от каких параметров водной среды и загрязнения ее органическими отходами зависит очищение воды? Мне было интересно разобраться в этом механизме расчетов, используя математический аппарат в реальной жизни.  И так немного пред-истории…

	   Рассматривается  система, состоящая из воды и растворенных в ней кислорода и органических отходов. Концентрация растворенного кислорода и органических отходов связаны между собой. Отходы разлагаются под воздействием бактерий, вызывающих реакцию, которая протекает с потреблением кислорода. 

	Концентрация отходов может быть измерена так называемой биохимической потребностью кислорода (БПК), которая представляет собой количество кислорода на единицу объёма воды, необходимое для  разложения отходов. БПК может измеряться в тех же единицах, что и концентрация кислорода ( например в мг/л).

	   Обозначим через L(t) концентрацию отходов (БПК) в момент времени  t.

	Будем предполагать, что скорость разложения отходов пропорциональна их концентрации при условии, что в воде присутствует достаточное количество кислорода для поддержания процесса. Тогда изменение концентрации отходов L(t) описывается уравнением

	            (1)

	где - коэффициент кислорода, 1/день.

	Обозначим через  равновесную концентрацию кислорода в воде, которая имеет место при отсутствии отходов, через C(t) - фактическую концентрацию кислорода в воде. Разность                    

	определяет дефицит кислорода в воде. Величина дефицита кислорода D(t)  может возрастать во временим t за счёт расхода кислорода на окисление отходов. Однако в природе наблюдается и противоположная тенденция уменьшения дефицита за счёт поглощения кислорода поверхностью воды. Такой процесс называют реаэрацией. Динамика дефицита кислорода описывается уравнением

	,     (2)

	где - коэффициент реаэрации, 1/день.

	К уравнениям (1) и (2) добавим условие:

	,    (3)

	задающие соответственно дефицит кислорода и концентрацию отходов в начальный момент времени  t=0.

	Цель и задачи.

	Цель:

	   Целью проекта является вопрос, как с помощью математического аппарата выявить зависимость концентрации загрязнения воды органическими отходами от параметра дефицита кислорода, растворенного в воде.

	                     Задачи:

	Построить математическую модель загрязнения воды органическими отходами.

	Доказать, что функция дефицита кислорода D(t) определяется следующим образом:

	

	Доказать, что максимальный дефицит кислорода  равен:

	

	

	Если установлено, что максимальный дефицит кислорода в воде не должен превышать некоторого заданного уровня  , то как можно найти предельную величину сброса отходов в реку предприятием?

	   Зная, что течение реки имеет постоянную реаэрации и постоянную  потребления кислорода, вычислить какой должна быть максимально допустимая величина БПК  в зоне загрязнения, чтобы в любом месте течения дефицит кислорода не превышал заданного уровня, предполагая, что источники загрязнения в верхнем течении реки отсутствуют.

	Этапы работы.

	Нахождение концентрации отходов L(t)

	Докажем, что функция дефицита кислорода D(t) определяется следующим образом:

	

	   Найдём значение концентрации отходов L(t), исследуя функцию (1).

	

	Приводим дифференциальное уравнение к виду с разделяющимися переменными и интегрируем обе части, получаем:

	

	 , используя условие (3), что , получим:

	

	

	

	

	

	

	  (*)

	Расчёт дефицита кислорода D(t)

	Решая дифференциальное уравнение (2), введём подстановку , приведя к ДУ с разделяющимися переменными. 

	

	Обозначим:  ;     – перенесем в правую часть и вместо L(t) подставим найденное выражение: , получим:

	

	

	Расчёт вспомогательных функций u и z.

	Найдём значения u и z.

	 Решая данное уравнение, сократив на z и приведя его к ДУ с разделяющимися переменными, получим:

	

	 интегрируем обе части, получаем:

	

	

	, подставляя в данное уравнение найденное выражение для u, получим:

	

	

	, интегрируем обе части, решая через подстановку, получим:

	

	

	Вычислив u и z, перейдя от у к D(t), получим:

	

	

	  (4)

	Нахождение фактической концентрации кислорода

	Для нахождения константы C, подставляем в уравнение (4) начальное условие (3) .

	

	

	

	   Зная значение константы C, мы можем подставить его в уравнение (4) и найти значение D.

	

	

	, что и требовалось доказать.   (5)

	Этой формулой (5) я воспользуюсь для дальнейших расчетов, находя максимальную концентрацию бактерий в воде в момент времени  t=0. Для этого вводим обозначение  и находим его значение через производную .

	   Докажем что  вычисляется по формуле:

	

	

	Находим значение производной .

	

	

	Приравняв производную к нулю, найдем значение 

	

	Находим значение .

	

	Решаем уравнение относительно неизвестной переменной t.

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	Приравниваем     из уравнения (2) к 0 и находим .

	

	

	  Вместо L подставляем его значение(*), получаем:

	   (6)

	    (7)

	

	

	

	    (8)



Найдем предельную величину сброса отходов в реку предприятием

Предположим, что по течению реки находится промышленное предприятие, которое загрязняет воду отходами, осуществляя их выброс в размере . Попробуем ответить на вопрос: «Если установлено, что максимальный дефицит кислорода в воде не должен превышать некоторого заданного уровня  , то как можно найти предельную величину  сброса отходов в реку предприятием?» Cледует найти , решая уравнение:

	

	   Зная, что источники загрязнения в верхнем течении реки отсутствуют, 

	. В результате получаем:

	

	Выразим из последнего уравнения значение , при этом упростим выражение, содержащее , воспользовавшись свойствами степеней:

	=     (9)

	Вычислим, какой должна быть максимально допустимая величина БПК  в зоне загрязнения?

	Решим конкретную задачу, приняв , что течение реки имеет постоянную реаэрации, равную 0,4 1/день, а постоянную  потребления кислорода 0,25 1/день. При этом максимально допустимая величина дефицита кислорода  в зоне загрязнения в любом месте течения, не превышает 5 мл/л. Предположим, что источники загрязнения в верхнем течении реки отсутствуют. Для ответа на поставленный вопрос воспользуемся формулой (9). 

	Обозначим за =0,4;   =0,25;  =5;

	=5

	=5===17,51 ()

	

Рефлексия:

Благодаря проведённым исследованиям и расчётам 

- удалось построить математическую модель загрязнения воды органическими отходами;

- вывести формулу расчета дефицита кислорода;

- вывести формулу расчета максимального уровня дефицита кислорода в воде;

- зная предельный уровень дефицита кислорода в воде, мне удалось вывести формулу расчета предельного уровня загрязнения органическими отходами;  

- и на конкретной задаче были произведены расчеты и найден предельный уровень загрязнения воды органическими отходами;

При этом мне пришлось применить следующий математический  аппарат для расчётов:

- умение в данном вопросе использовать и находить производную, решать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, умение вычислять интегралы, работать со степенями и умение извлекать корни;

Вывод:  Полученный результат в реальных цифрах заставляет задуматься: водная среда способна себя реанимировать, если уровень загрязнения в конкретной исследуемой задаче составит 17, 51 мг/л. Это очень малая цифра, я думаю, по сравнению с тем фактом, сколько реально отходов попадает в водную среду. Но это уже новая тема исследования, возможно, моего следующего проекта. Берегите природу, не смотря на то, что она сильная, но и одновременно она и очень хрупкая!!!



	Литература

	Математические методы в экологии : Сборник задач и упражнений / Е.Е. Семенова, Е.В. Кудрявцева. Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 2005. 130с.