Операторный метод анализа переходных колебаний в электрических цепях

Академия России





Кафедра Физики

















Реферат

ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА переходных КОЛЕБАНИЙ в электрических цепях





























Орел 2009


Содержание



Вступление

Основные свойства преобразования Лапласа

Законы Кирхгофа и Ома в операторной форме

Операторные схемы замещения

Литература


ВСТУПЛЕНИЕ



Действия над многозначными числами, как известно, существенно упрощаются при использовании логарифмов. Так операция умножения сводится к сложению логарифмов, деление – к вычитанию логарифмов и т. д. Каждому числу соответствует свой логарифм и поэтому логарифм можно рассматривать как своего рода изображение числа.

Так, например, , следовательно, в этой системе 2 есть изображение числа 100.

В основе операторного метода также лежит понятие об изображении. Однако если в случае логарифмов речь шла об изображении числа, то в операторном методе используется изображение функций времени. Здесь каждой функции времени , определенной в области , соответствует некоторая функция новой переменной  и, наоборот, функции переменной  соответствует определенная функция времени .

Функция  называется оригиналом, функция  – изображением, а переменная  – оператором.

Фраза "функция  имеет своим изображением" условно записывается так .

Знак  называют знаком соответствия.

Основанный на таком представлении функций метод получил название операторного и используется для аналитического решения линейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений в теории электрических цепей. Решение задачи при этом как бы разбивается на 3 этапа.

На первом этапе осуществляется переход из временной области в операторную, на втором – решение задачи в операторной форме и на третьем – обратный переход в область реального времени.


Основные свойства преобразования Лапласа



Нахождение изображений функции времени (равно как и обратные переходы от изображений к оригиналу) выполняются с помощью специальных интегральных преобразований, приводимых в курсе высшей математики. В настоящее время в большей части современной технической литературы операторные методы связывают с применением преобразования Лапласа, в основе которого лежит соотношение:



.



Важно отметить, что функции, описывающие реально возможные воздействия и соответствующие им реакции, всегда преобразуемы по Лапласу. Полученную в результате такого преобразования функцию называют иногда лапласовым изображением функции  или ее -изображением и обозначают:



.



Отыскание -изображения заданной функции называется прямым преобразованием Лапласа, а нахождение  по известному  – обратным преобразованием Лапласа. 

Основные свойства и правила этих преобразований:

Свойство единственности. Каждому оригиналу (исходной функции) соответствует единственное изображение и наоборот, каждому изображению соответствует единственный оригинал.

Свойство линейности. Линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений:

 – оригинал; 



 – изображение.



Преобразование операции дифференцирования. Если оригинал  представляет производную от некоторой функции



,



то его изображение имеет вид: 



.



При нулевых начальных условиях (ННУ)  и , т. е. дифференцированию оригинала соответствует умножение его изображения на оператор  (при ННУ).



Преобразование операции интегрирования. Если оригинал представляет от некоторой функции интеграл:



,



то его изображение имеет вид: , т. е. интегрированию оригинала соответствует деление его изображения на оператор .

Теорема запаздывания (оригинала). Если , то , где  — время запаздывания, т. е. запаздыванию оригинала на время  соответствует умножение его изображения на экспоненциальный множитель .

Теорема смещения (изображения). Если , то , т. е. умножению оригинала на экспоненциальный множитель  соответствует смещение его изображения на величину .

Решение задач прямого и обратного преобразований Лапласа существенно упрощаются в тех случаях, когда удается использовать справочные таблицы, которые содержат пары оригинал – изображение. Эти таблицы приводятся в справочниках.

Следует учесть, что при обратном преобразовании Лапласа полученные функции иногда не подходят под табличные. В этом случае используется разложение этой функции на простые дроби или в ряд с последующим применением обратного преобразования Лапласа.



Законы Кирхгофа и Ома в операторной форме



Возможность существенного упрощения решения задачи анализа колебаний в электрических цепях операторным методом основывается на том, что для -изображений колебаний формально верны законы Кирхгофа и Ома.

Действительно, согласно первому закону Кирхгофа:







Если обе части этого равенства подвергнуть преобразованию Лапласа, то оно переходит в равенство:

,



и следовательно, алгебраическая сумма -изображений токов в любом узле цепи равна нулю. Аналогично доказывается справедливость второго закона Кирхгофа для операторных напряжений в контуре:



.



При выводе закона Ома в операторной форме будем полагать, что реактивные элементы находятся при ННУ (конденсатор разряжен, через катушку индуктивности не протекает ток).

Рассмотрим соотношения в элементах электрических цепей.

Элемент резистивного сопротивления.



 – операторное резистивное сопротивление,



 – резистивная операторная проводимость.





R

i

R

u

R





p

I

R





p

U

R





p

Z

R

R



R

i

u

R

R















p

Z

p

I

p

U

R

R

R





.=

.= 



Таким образом, операторное напряжение на резистивном сопротивлении равно произведению сопротивления на величину операторного тока.

Элемент индуктивности.



 – операторное индуктивное сопротивление,



 – операторная индуктивная проводимость.





L

L

L

i

L

u





p

I

L





p

U

L

.=

.=

dt

Ldi

u

L

L











p

LpI

p

U

L

L





Следовательно, операторное напряжение на индуктивности равно произведению операторного индуктивного сопротивления на величину операторного тока.

Элемент емкости.



 – операторное емкостное сопротивление,



 – операторная емкостная проводимость.





С

С

.=

.=

C

i

C

u





p

I

C





p

U

C

dt

Cdu

i

C

C











p

CpU

p

I

C

C





Операторное напряжение на емкости равно произведению операторного емкостного сопротивления на величину операторного тока.

Выражения







представляют закон Ома в операторной форме.

Выводы:

– законы Кирхгофа и Ома справедливы и в операторной форме, причем закон Ома справедлив только при нулевых начальных условиях; 

– все ранее изученные методы анализа электрических цепей (метод контурных токов, метод узловых напряжений, метод эквивалентного генератора и др.) справедливы и в операторной форме.



Операторные схемы замещения реактивных элементов
при ненулевых начальных условиях



Часто коммутация осуществляется в момент времени, когда реактивные элементы обладают энергией. В этом случае они находятся при ненулевых начальных условиях и к ним нельзя применить закон Ома в операторной форме. Для устранения этого препятствия используют прием, суть которого состоит в том, что физически один реактивный элемент искусственно заменяют двумя: операторным источником, отражающим энергию реактивного элемента на момент коммутации, и самим реактивным элементом, но находящимся теперь уже при нулевых начальных условиях. Такое изображение называется схемой замещения. Ее можно получить, используя свойства преобразования Лапласа:



.

Так, для индуктивности с током схемы замещения имеют вид, показанный на рисунке 1.





.=

L





L

I

L

0





p

U

L





p

LpI

L

L





p

I

L

0





p

I

L





p

U

L





pL

p

U

L





t

i

L





t

u

L

L





p

I

L

 а)                                    б)                                     в)

Рис. 1



Они являются следствием преобразования следующих выражений:



; 











Здесь следует иметь в виду два обстоятельства: направление операторного тока должно совпадать с направлением тока через индуктивность в момент непосредственно предшествующий коммутации и второе, что реально существует один элемент, поэтому операторный ток через индуктивность в схеме замещения определяется в общей ветви (рис. 1б).

Заряженная емкость отображается схемами замещения, показанными на рисунке 2б, в.



С





t

i

C





t

u

C





p

U

C

0





pC

p

I

C





p

I

C





p

U

C

.=





p

I

C





p

CpU

C





0

C

CI

1

1

1

1

1

1

 а)                                        б)                                      в) 

Рис. 2



Они являются следствием преобразования следующих выражений:



, 



.



Здесь напряжение операторного источника совпадает с напряжением на емкости до коммутации, а операторное напряжение на емкости определяется между зажимами 1 – 1.

Применение операторных схем замещения реактивных элементов, находящихся при ненулевых начальных условиях, дает возможность применять закон Ома в операторной форме, что широко используется на практике и, в частности, при рассмотрении свободных колебаний в электрических цепях. Известно, что такие колебания возникают за счет энергии, запасенной реактивными элементами при отключении внешних источников. Следует иметь в виду, что указанная коммутация может осуществляться как путем механического отключения, так и путем гашения источников. В последнем случае источник напряжения заменяется коротким замыканием, а источник тока – обрывом.

При решении задач приходится осуществлять переход от обычной к операторной схеме. Если реактивные элементы находятся при ННУ, то такой переход не вызывает особых затруднений. Например, на рисунке 3, а показана исходная схема, а на рисунке 3, б – эквивалентная ей операторная.





L

1

R

2

R

С

E

.=



pL

1

R

2

R

pC

1





p

E

p

E



                          а)                                                      б)

Рис. 3



Если же реактивные элементы находятся при ненулевых начальных условиях, то в операторной схеме они должны быть отображены схемами замещения.

Пример.

Пусть в цепи, изображенной на рисунке 4 в момент  замыкается ключ "К". Требуется определить эквивалентную ей операторную схему.





0

I

R

R

R

С

L

K





t

u

Рис. 4



Так как реактивные элементы в данном случае находятся при ненулевых начальных условиях, то предварительно следует определить  и . Для этого изобразим эквивалентную схему цепи при  (рис. 5).








p

I

0

R

R

С

L





p

U

C





p

I

L





p

E

C

Рис. 5



Видно, что ; .



Таким образом ;  и соответствующая этому схема показана на рисунке 6.





0

I

R

R

R

С

L





0

C

u





0

L

i

Рис. 6



Далее находится требуемая реакция в операторной форме, а затем осуществляется переход в область реального времени.

Вывод: нахождение реакций при ненулевых начальных условиях требует применения схем замещения в операторной форме и является более сложной задачей, чем при ННУ.


Литература



1. Белецкий А. Ф. Теория линейных электрических цепей. - М.: Радио и связь, 1986.

2. Шалашов Г. В. Переходные процессы в электрических цепях. – Орел: ОВВКУС 1981.