Расположение корней квадратного трехчлена

Расположение корней квадратного трехчлена.

    

          Пусть числа х1 и х2 – корни квадратного трехчлена f(x)= ax2+bx +c, причем х1< x2 , D=b2-4ac≥0 , а≠0 и даны  А и В – некоторые точки на оси Ох. Тогда: 



Теорема 1. Оба корня меньше числа  А, то есть х1<А, х2<А тогда и только тогда, когда 



                 а>0 		(1)                                      а<0 		(4)        

                 х0 = -b/2a < A 	(2)               или                 х0 = - b/2a <A 	(5)   

                 f (A) > 0 		(3)                                      f(A) < 0		 (6)



Если в первой системе объединить условия (1) и (3) , а во второй условия (4) и (6), то получим новую систему : 

                                                 x0= -b/2a < A,

                                                 a∙ f(A) >0 .



Теорема 2. Корни лежат по разные стороны от числа  А, то есть х1<А<х2 тогда и только тогда,  когда

                а>0                                         или                      a<0

                f (A) <0                                                              f(A) >0



Запишем условия данных систем одним неравенством: a∙f(A) <0 .



Теорема 3. Оба корня больше числа  А, то есть х1>А и х2>А тогда и только тогда, когда



	                а>0          (1)	 a<0	 	(4)

                х0 >А      (2)                 или                       x0 >A 		(5)

                f(A) >0   (3)                                              f(A)<0 		(6)



Объединяя в первой системе условия (1) и (3), а во второй системе условия (4) и (6) , получим:

                                                   

                                                    х0  > А,

                                                    а∙f(A) >0 .



Теорема 4. Оба корня лежат между числами  А и В, то есть  А<х1<В и А<х2<В тогда и только тогда, когда                     

                  

               a>0	 	(1)                                              a<0		 (5)

               A<x0<B	 (2)                   или                   A< х0 <B	 (6)     

               F (A) >0 	(3)                                             f(A) <0	 (7)

               f(b) >0	 (4)                                             f(B) < 0 	(8)



Объединив условия (1), (3) и (4) первой системы и условия (5), (7) и (8) второй системы, получим



                                                                      А < х0 < В,

                                                                      a∙f(A) > 0,

                                                                      a∙f(B) > 0.



Теорема 5. Корни лежат по разные стороны от отрезка [A;B], то есть х1< А < В < х2 тогда и только тогда, когда

                        а>0                                                                    a<0

                        f(A)<0                          или                              f(A)>0

                        f(B)<0                                                              f(B)>0



 Упростив данные системы, получим :   

                                                                       a∙f(A)<0,

                                                                       a∙f(B)<0 .



          Рассмотрим вопросы практического применения теорем о знаках квадратного трехчлена  и теорем о расположении корней квадратного трехчлена.



Задача 1. При каких значениях параметра а уравнение  х2+2∙(а+1)х+9=0 имеет два различных 

                 положительных    корня?



Решение. Так как по условию корни различны, то D>0. Воспользуемся теоремой 1( о знаках 

                  корней квадратного трехчлена). Составим систему :



                  D= (a+1)2- 9 >0,                               (a-2)∙(a+4)>0,

                  x1∙x2=9>0,                 <=>                 a< -1.

                  -2∙(a+1)>0.

           

                Решив последнюю систему, получим , что -∞<a< -4 .

Ответ :- ∞<a< -4 .



Задача 2.  При каких значениях параметра а уравнение х2-4х + (4-а2)=0 имеет два корня разных 

                  знаков?



Решение. Воспользуемся теоремой 2 (о знаках корней квадратного трехчлена). Запишем условие:

                                     

                                                          4-а2 <0

                                                          а2 > 0

                                                         │а│> 2  =>  а< -2 или  а> 2.

Ответ : а<-2 и а>2 .



Задача 3. При каких значениях параметра а уравнение х2 – 2ах + а2 – а- 6 =0 имеет два разных  

                 отрицательных  корня?



Решение. Воспользуемся  теоремой 1 (о расположении корней квадратного трехчлена) и запишем

                  систему :

                                     D>0 ,                         а+6>0,

                                     x0<0 ,                         a<0,

                                     f(0)>0 ;                      a2-a-6>0.

                  Решив последнюю систему, получим  -6<a<-2 .



Ответ : -6<a<-2.

Задача 4. При каких значениях параметра а число 2 находится между корнями квадратного

                 уравнения

                                          х2 + (4а+5)∙х + 3-2а =0.  



Решение. Пусть х1 и х2 корни квадратного трехчлена, причем х1<2<х2. Воспользуемся теоремой 2 

                  (о расположении корней квадратного трехчлена) и запишем систему :

                   

                  D= 16a2 +48a +13 >0,

                  F(2)= 22 + (4a+5)∙2 +3- 2a<0.

 

                  Решив систему, получим 17+6а<0  или а < -17/6 .

                  

Ответ : а< -17/  6.



Задача 5. При каких значениях параметра а корни уравнения 4х2 – 2х + а =0 находятся между 

                 числами -1 и 1?



Решение. Так как корни находятся между числами -1 и 1, то -1<х1<1 и -1<х2<1. Воспользуемся

                  теоремой 4 ( о знаках корней квадратного трехчлена) и составим систему :



                 -1< х0= 2/4< 1,                        6 + а >0 ,

                  4∙(4+2+а)>0,     =>                2 + а >0 ,                    

                  4∙(4 -2+а)>0,                          4 – 16а>0;

                  D=(-2)2 - 4∙4а >0;

                   

                  Решив систему, получим  -2< а < ¼ .



Ответ : -2< а < ¼ .