Классический метод. Постоянное напряжение источника

Дано: E = 150 В; Em = 150 В;  = 7000 рад/с; e = 120; L = 4 мГн; C = 5 мкФ; R1 = 6 Ом; R2 = 10 Ом; R3 = 5 Ом; R4 = 4 Ом.

Найти: uC(t).

Классический метод. Постоянное напряжение источника.

Сопротивление последовательного соединения R1, R4

R14 = R1 + R4 = 6 + 4 = 10 Ом.















Алгебраизованное выражение для входного комплексного сопротивления относительно источника 

Z(p) = + + R14 = .

Характеристическое уравнение Z(p) = 0, 

R3(R2 + R14)LC p2 + ((R2 + R3 + R14)L + R2R3R14C)p + R2(R3 + R14) = 0;

5∙(10 + 10)∙4∙10-3∙5∙10-6p2 + ((10 + 5 + 10)∙4∙10-3 + 10∙5∙10∙5∙10-6)p + 10∙(5 + 10) = 0:

Корни характеристического уравнения p1 = – 1510 с; p2 = – 49700 с.

Свободная составляющая тока в индуктивности iLсв = A1ep1t + A2ep2t = A1e–1510t + A2e–49700t.

Схема до коммутации.

Начальное значение тока в ветви c индуктивностью iL(0) = E/(R14 + R3) = 150/(10 + 5) = 10 А.

Начальное значение напряжения на емкости uC(0) = iL(0)R3 = 10∙5 = 50 В.

Схема после коммутации.

Принужденная составляющая напряжения на емкости uCпр = E = 150 В.

Переходное напряжение на емкости и его производная по времени

uC(t) = uCпр + uCсв(t) = 150 + A1e–1510t + A2e–49700t;

 = – 1510A1e–1510t – 49700A2e–49700t.

Система уравнений для определения неизвестных коэффициентов

uC(0) = uCпр(0) + uCсв(0) = 150 + A1 + A2;

 = – 1510A1 – 49700A2.

Уравнения по закону Кирхгофа для схемы после коммутации при t = 0 

для правого узла – iC(0) + iL(0) + i2(0) = 0;

для левого контура R14iE(0) + L  – uC(0) = E;

для верхнего контура R2i2(0) – L  = 0.

Исключение величин i2(0), : (R14 + R2)iC(0) – R2iL(0) – uC(0) = E;

(10 + 10)∙iC(0) – 10∙1,47 – 30,0 = 150;

Зависимые начальные условия iC(0) = 7,5 А;  =  = 7,5/(5∙10-6) = 1,5∙106 В/с.

50 = 180 + A1 + A2;

1,5∙106 = – 1510A1 – 49700A2.

Постоянные интегрирования A1 = – 3,6 А; A2 = 1,1 А.

Искомый переходный ток в индуктивности iL(t) = 10 – 3,6e–1510t + 1,1e–49700t.


Классический метод. Переменное напряжение источника.

Корни характеристического уравнения аналогично p1 = – 1510 с; p2 = – 49700 с.

Свободная составляющая напряжения на емкости uCсв = A1ep1t + A2ep2t = A1e–1510t + A2e–49700t.

Реактивные сопротивления индуктивности и емкости 

XL = L = 7000∙4∙10-3 = 28 Ом; XC = 1/(C) = 1/(7000∙5∙10-6) = 28,6 Ом.











Комплексные величины:

амплитуда напряжения источника m = Emee = 150e120 В;

сопротивления параллельных соединений ветвей R2, L и R3, C

ZR2L =  = 1/(1/10 + 1/j28) = 8,87 + j3,17 Ом; 

ZR3C =  = 1/(1/5 + 1/(– j28,6)) = 4,85 – j0,85 Ом = 4,93e – j9,93 Ом.

Схема до коммутации.

Комплексные значения:

сопротивление цепи относительно источника Z = ZR2L + ZR3C + R14 = (8,87 + j3,17) + (4,85 – j0,85) + 10 = 23,8e j5,58 Ом;

амплитуды тока в ветвях с источником и  индуктивностью 

em = m/Z = 150e120/23,8e j5,58 = 6,29e j114,45 А; 

Lm = em/(jXL/R2 + 1) = 6,29e j114,45/(j28/10 + 1) = 2,12e j44,11 А;

амплитуда напряжения на емкости Cm = emZR3C = 6,29e j114,45∙4,93e – j9,93 = 31,0e j104,52 В;

ЭДС источника, ток в ветви с индуктивностью и напряжение на емкости при t = 0	

e(0) = Em sin e = 150∙sin 120 = 129,9 В; 

iL(0) = 2,12 sin 44,11 = 1,47 А; 

uC(0) = 31,0 sin 104,52 = 30,0 В.

Cхема после коммутации.

Комплексные значения:

сопротивление цепи относительно источника Z = ZR2L – jXC + R14 = (8,87 + j3,17) – j28,6 + 10 = 31,6e – j53,34 Ом;

амплитуды тока в ветвях с источником и индуктивностью

em = m/Z = 150e120/31,6e – j53,34 = 4,74e j173,43 А;

Lm = em/(jXL/R2 + 1) = 1,74e j173,43/(j28/10 + 1) = 1,59e j103,09 А;

амплитуда напряжения на емкости Cm = em(– jXC) = 4,74e j173,43∙28,6e – j90 = 135,4e j83,44 В.

Принужденная составляющая напряжения на емкости uCпр(t) = 135,4 sin(7000t + 83,44).

Переходное напряжение на емкости и его производная по времени

uC(t) = uCпр(t) + uCсв(t) = 135,4 sin(7000t + 83,44) + A1e–1510t + A2e–49700t;

 = 94500 cos(7000t + 83,44) – 1510A1e–1510t – 49700A2e–49700t.

Система уравнений для определения неизвестных коэффициентов

uC(0) = uCпр(0) + uCсв(0) = 135,4 sin 83,44 + A1 + A2;

 = 94500 cos 83,44 – 1510A1 – 49700A2.

Уравнения по закону Кирхгофа для схемы после коммутации при t = 0 

для правого узла – iС(0) + iL(0) + i2(0) = 0;

для левого контура R14iС(0) + L  – uC(0) = e(0);

для верхнего контура R2i2(0) – L  = 0.

Исключение величин i2(0), : (R14 + R2)iС(0) – R2iL(0) – uC(0) = e(0);

(10 + 10)∙ie(0) – 10∙1,47 – 30,0 = 129,9;

Зависимые начальные условия iС(0) = 8,73 А;  =  = 8,73/(5∙10-6) = 1,75∙106 В/с.

30,0 = 135,4 sin 83,44 + A1 + A2;

1,75∙106 = 94500 cos 83,44 – 1510A1 – 49700A2.

Постоянные интегрирования A1 = – 73,9 А; A2 = – 30,7 А.

Искомое переходное напряжение на емкости uC(t) = 135,4 sin(7000t + 83,44) – 73,9e–1510t – 30,7e–49700t.


Временные диаграммы переходного тока в индуктивности для постоянного и переменного напряжения



	
Операторный метод. Постоянное напряжение источника.

Эквивалентная операторная схема



Начальные условия 



Ток в цепи с индуктивностью при t = 0: iL(0) = E/(R14 + R3) = 150/(10 + 5) = 10 А.

Напряжение на емкости при t = 0: uC(0) = iL(0)R3 = 10∙5 = 50 В.

Операторные контурные уравнения для смежных контуров-ячеек

I11(p)(R14 + pL + 1/(pC)) – I22(p)pL – I33(p)(1/(pC)) = – E(p) – LiL(0) + uC(0)/p;

– I11(p)pL + I22(p)(R2 + pL) = LiL(0);

– I11(p)(1/(pC)) + I33(p)(R3 + 1/(pC)) = – uC(0)/p.

Подстановка данных

I11(p)(10 + p∙4∙10-3 + 1/(p∙5∙10-6)) – I22(p)p∙4∙10-3 – I33(p)(1/(p∙5∙10-6)) = – 150/p – 4∙10-3∙iL(0) + 50/p;

– I11(p)p∙4∙10-3 + I22(p)(10 + p∙4∙10-3) = 4∙10-3∙iL(0);

– I11(p)(1/(p∙5∙10-6)) + I33(p)(5 + 1/(p∙5∙10-6)) = – uC(0)/p;

Операторные контурные токи левого и правого контуров

I11(p) = –  ; 

I33(p) = –  .

Операторный ток в ветви с емкостью IC(p) = I33(p) – I11(p) = –  .

Операторное напряжение на емкости 

UC(p) =  +  =   =  = ;



F1(p) = uC(0)p2 + (100∙103iL(0) + 1,25∙103uC(0) + 1,5∙106)p + 3,75∙109;

F3(p) = p2 + 51,25∙103p + 75∙106;

F(p) = 2p + 51250.

Корни характеристического уравнения F2(p) = 0 p0 = 0; p1 = – 1510 с; p2 = – 49700 с.

Переходное напряжение на емкости по теореме разложения 

uC(t) =  + + =  

=  +  e –1510t +  e –49700t = 

= 50 – 1,37∙10–8(– 1,51∙108iL(0) + 3,9∙105uC(0) + 1,49∙106)e –1510t – 4,17∙10–10(– 4,97∙109iL(0) + 4,41∙109uC(0) – 7,08∙1010)e –49700t А.

При подстановке iL(0) = 10 А, uC(0) = 50 В

uC(t) = 50 – 0,137e –1510t + 0,313e –49700t А

Значения тока в индуктивности, полученные классическим и операторным методами, не совпадают.