Расчет электрической цепи постоянного тока

Задание на выполнение работы



Схема исследуемой цепи:





Рис. 1. Принципиальная схема исследуемой цепи



Таблица 1. Параметры элементов схемы

Элемент схемы

E1

E2

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

U, V

20

47

















RF, 





51

130

175

240

300

140

179

500



Пункт 1. Рассчитаем значения токов ветвей методом уравнений Кирхгофа. Для расчета используем схему, приведенную на рис. 1. Данная схема содержит 5 узлов, 8 ветвей, 2 источника ЭДС и не содержит источников тока. Подсчитаем количество уравнений системы, составленной по методу Кирхгофа.

Количество уравнений для первого закона равно:







где Nу – количество узлов рассматриваемой принципиальной схемы.

Количество уравнений для второго закона равно:


,



где Nв, NT – количество узлов и источников тока соответственно.

Подставив значения, получаем, что количество уравнений, составленных по первому закону равно 4, а по второму также 4. Приняв положительное направление обхода контуров и направления токов в ветвях, отметим это на схеме (рис. 2.).





Рис. 2



Составим систему уравнений, основываясь на направлениях токов и положительном направлении обхода.








Подставив значения сопротивлений резисторов из таблицы 1, сформируем матричное уравнение вида A X = B, где



 



Решая указанную систему, получаем искомую матрицу Х, которая содержит значения токов.







Найденные токи перечислены в таблице 2.



Таблица 2

Номер тока

1

2

3

4

5

6

7

8

Значение тока, mA

11

-16

2

7

-9

-10

6

2



Пункт 2. Рассчитаем токи в исходной схеме по методу контурных токов. Количество уравнений для данного метода равно количеству уравнений для второго закона Кирхгофа, которое было подсчитано ранее. Исследуемая принципиальная схема содержит 4 контура, в которых действуют 4 контурных тока, направления которых показаны на рис. 3.





Рис. 3. Условные положительные направления контурных токов



Учитывая эти положительные направления можно записать систему уравнений по методу контурных токов в общем виде:







Собственные сопротивления контуров:







Общие сопротивления контуров:








Контурные Э.Д.С.:



	



Матрицы, составленные по представленным данным имеют вид:



 



Решив систему, получим:







Зная контурные токи, находим токи в ветвях:








Сравнивая значения токов, полученные методом контурных токов и методом уравнения Кирхгофа, видим, что они практически совпадают.

Пункт 3. Рассчитаем токи методом узловых напряжений. Схема с нумерацией узлов и условными положительными направлениями узловых напряжений показана на рис. 4.





Рис. 4. Направления узловых напряжений.



Анализируемая схема содержит четыре независимых узла, значит количество уравнений будет равно количеству уравнения первого закона Кирхгофа, а общий вид системы для определения узловых напряжений будет таким:






Собственные проводимости узлов:







Общие проводимости узлов:







Узловые токи:








Матрицы имеют вид:



 



Решив систему, получим:



Зная узловые напряжения, найдем токи ветвей. Для этого воспользуемся вторым законом Кирхгофа:






Найденные токи совпадают с рассчитанными ранее другими методами.



Пункт 4. Преобразование заданной схемы в трёхконтурную.





	

	Рис. 5. Преобразование заданной схемы в трёхконтурную

	

	Изменяются параллельно соединённые участки цепи одним эквивалентным.

	

	

	

	

	

	
Пункт 5. Рассчитаем токи в исходной схеме по методу контурных токов. Схема содержит три независимых контура с тремя контурными токами, она изображена на рис. 6.

	



	Рис. 6. Нахождение тока в преобразованной цепи

	

	Необходимо составить систему уравнений для первого и второго уравнения Кирхгофа.

	

	

	

	Составляем матрицу для получения нужных токов.

	

	 

	

	Получаем искомые токи:

	

	

	Пункт 6. Расчёт тока в заданной ветке методом эквивалентного генератора.

	После разрыва исследуемой ветви схема примет вид, показанный на рис. 7.

	

	

Рис. 7.



После разрыва ветви  схема упрощается: резисторы  теперь образуют одну ветвь с током .

Рассчитаем напряжение холостого хода, составив уравнение второго закона Кирхгофа:



.



Для того, чтобы рассчитать , необходимо знать токи знать токи и . После разрыва  схема содержит 3 независимых контура и 4 независимых узла. Поэтому рассчитаем токи методом контурных токов. Система уравнений в общем виде будет такой:







Собственные сопротивления контуров:







Общие проводимости узлов:







Узловые токи:







Матрицы имеют вид:



, 




Ее решение:  Искомые токи  

Теперь можно найти:







Для расчета  исключим из схемы источники энергии, оставив их внутренние сопротивления. Для этого имеющиеся в схеме источники напряжения необходимо замкнуть накоротко. Схема без источников имеет вид (рис. 8):





Рис. 8. Схема для определения 



В принципиальной схеме резисторы , и  соединены треугольником. Заменим это соединение эквивалентной звездой , , . Имеем:





		


После замены схема имеет вид (рис. 9):





Рис. 9.



Проведём нужные преобразования ещё раз:









Рис. 10.



После сделанных преобразований мы имеем еще один условный треугольник ,





Рис. 11.






Эквивалентное сопротивление генератора можно найти следующим способом:







Для проверки правильности расчетов определим по формуле эквивалентного генератора ток в ветви с  в исходной схеме:







Этот ток практически совпадает с найденным ранее, что свидетельствует о буквальной правильности вычислений.



Ток

Метод уравнений закона Кирхгофа

Метод контурных токов

Метод узловых напряжений

Метод уравнений Кирхгофа для преобразованной схемы

Метод эквивалентного генератора

I1

0,11

0,11

0,11





I2

-0,16

-0,16

-0,12





I3

0,02

0,02

0,02

-0,02



I4

-0,07

-0,07

0,07

-0,1

-0,07

I5

-0,1

-0,1

-0,1





I6

-0,01

-0,01

-0,01

0,01



I7

0,06

0,06

0,06

0,06



I8

0,02

0,02

0,02





I9







0,15



I10







0,11