Курсовая работа по теории электрических цепей

Часть 1.

Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях.

Дано:

Для схемы:

U0(t)= U0=const	U0=5 В

i0(t)=I01(t)		I0=2 A



Составить уравнения состояния для цепи при t0.

Переменными состояния для данной схемы будут являться напряжения на емкостях С1 и С4. Для нахождения уравнений состояния запишем уравнения по I и II законам Кирхгофа:







(1)				



















Для нахождения производных переменных состояния решим следующую систему, полученную из системы (1), приняв за неизвестные все токи, участвующие в системе (1) и первые производные переменных состояния. Переменные состояния примем за известные величины для получения их в правой части уравнений состояния:



























(2)





















Решаем эту систему в матричном виде с помощью MathCad:

Таким образом, уравнения состояния будут иметь вид:







1.2 Найти точные решения уравнений состояния.

Сначала найдем корни характеристического уравнения как собственные числа матрицы, составленной из коэффициентов при переменных состояния в уравнениях состояния:

Общий вид точных решений уравнений состояния:

Вынужденные составляющие найдем как частное решение уравнений состояния, учитывая то, что если в цепи включены только постоянные источники питания, значит, и принужденные составляющие будут константами, соответственно производные принужденных составляющих будут равны нулю. Учитывая выше сказанное, найдем их из уравнений состояния следующим способом:













Начальные условия (находятся из схемы):



Для нахождения постоянных интегрирования A1, A2, A3, A4 требуется 4 уравнения. Первые два уравнения получим из выражений точного решения уравнений состояния, учитывая законы коммутаций: переменные состояния не меняют своего значения в момент коммутации.





     При t=0:





Далее найдем значения производных переменных состояния при t=0 из уравнений состояния:

Выражения эти производных найденные из выражений решения уравнений состояния:





При t=0:









Таким образом имеем 4 уравнения для нахождения постоянных интегрирования, находим их:

Точные решения уравнений состояния:



Найти решения уравнений состояния, используя один из численных методов.

Для численного решения уравнений состояния воспользуемся алгоритмом Эйлера:

Подставляя выражения производных из уравнений состояния:

h – шаг расчета =2*10-6 с. i=1…100. Переменными с нулевыми индексами являются значения начальных условий.

1.2.2 Найти точные решения уравнений состояния.(второй способ)

e(A)t = a0 + a1(A)                                 e(A)t=





(X) = [e(A)t-1][A]-1[B][V]















1.4 Построить точные и численные решения уравнений состояния, совместив их попарно на одном графике для каждой из переменной состояния.













Часть 2.

Анализ цепи операторным методом при апериодическом воздействии.



Анализу подлежит следующая цепь:

Параметры импульса:	Um=10 В	tu=6*10-5 c

Форма импульса:

2.1 Определить функцию передачи:	

воспользуемся методом пропорциональных величин и определим u(t)=1(t), его Лапласово изображение U0(s)=1/s.

Запишем уравнения по законам Кирхгофа в операторной форме, учитывая, что начальные условия нулевые:









Решаем эту систему:

Таким образом:

Функция передачи:

2.2 Найти нули и полюсы функции передачи и нанести их на плоскость комплексной частоты.Полюсы:





Нули:

Плоскость комплексной частоты:

2.3 Найти переходную и импульсную характеристики для выходного напряжения.



Импульсная характеристика: 



Выделим постоянную часть в HU(s):

Числитель получившейся дроби:

Упрощенное выражение HU(s):

Для нахождения оригинала воспользуемся теоремой о разложении. Для этого найдем производную знаменателя:

Коэффициенты разложения:

Оригинал импульсной характеристики:



Переходная характеристика: 





Этим же методом находим оригинал характеристики:







2.4 Определить изображение по Лапласу входного импульса.



Изабражение по Лапласу фукции f(t):

Входной импульс представляет собой функцию 





Поэтому изображение входного сигнала будет



2.5 Найти напряжение на выходе схемы, используя HU(s).



Изображение выходного сигнала:

Найдем отдельно оригиналы части выражения при  и при части, не имеющей этого множителя:

Для части выражения при ,используя теорему о разложении:

Для части выражения не имеющей множителя ,используя теорему о разложении:





Функция напряжения на выходе схемы, получена с использованием теоремы о смещении оригинала:























2.6 Построить на одном графике переходную и импульсную характеристики цепи, на другом – входной и выходной сигналы.



Переходная h1(t) и импульсная h(t) характеристики.

Входной и выходной сигналы.






Часть 3.

Анализ цепи частотным методом при апериодическом воздействии.



3.1 Найти и построить амплитудно-фазовую (АФХ), амлитудно-частотную (АЧХ) и фазо-частотную (ФЧХ) характеристики функций передачи HU(s).



амплитудно-фазовая характеристика:



амплитудно-частотная характеристика:

фазо-частотная характеристика:



График АЧХ:

График ФЧХ:

3.2 Определить полосу пропускания цепи по уровню 0.707.



Из графика АЧХ находим полосу пропускания цепи: с-1.



3.3 Найти и построить амплитудный и фазовый спектры входного сигнала по уровню 0.1.

Амплитудный спектр входного сигнала:

Фазовый спектр входного сигнала:

График амплитудного и фазового спектра входного сигнала:

Ширина спектра с-1 .



3.4 Сопоставляя спектры входного сигнала с частотными характеристиками цепи, дать предварительные заключения об ожидаемых искажениях сигнала на выходе цепи.



Существенная часть амплитудного спектра входного сигнала укладывается в полосу пропускания, исключая полосу 0-5*104 с-1, где и будут наблюдаться основные амплитудные искажения. Фазо-частотная характеристика цепи нелинейна, поэтому здесь будут иметь место фазовые искажения, что видно на рис.







3.5 Найти и построить амплитудный и фазовый спектр выходного сигнала.



Получаются по формулам:





3.6 Определить выходной сигнал по вещественной частотной характеристике, используя приближенный метод Гиллемина.

Вещественная характеристика:



Существенную часть этой характеристики кусочно-линейно аппроксимируем. Начертим первую и  вторую производную кусочно-линейной аппроксимирующей функции.

График вещественной характеристики:

Тогда: 





График напряжения, вычисленного по этой формуле, и полученный в ч.2.


Часть 4.

Анализ цепи частотным методом при периодическом воздействии.



Дано: T=18*10-5c. Um=10 В. tu=6*10-5c.

форма сигнала u0(t):

4.1 Разложить в ряд Фурье заданную периодическую последовательность импульсов и построить ее амплитудный и фазовый спектры.

Коэффициенты ряда Фурье для u0(t) найдём из следующего соотношения:



где 1 = 2/Т , k=0, 1, 2, ... 1=3.491*104с.

Значения Ak и k приведены в табл. ,на рис. ,  построены соответственно амплитудный и фазовый спектры заданной периодически последовательности сигналов u0(t).

k

Ak

k

0

0

0

1

2.067

0.524

2

3.308

-0.524

3

2.774

-1.571

4

2.363

-2.618

5

1.034

2.618

6

0

1.571

7

0.413

-2.618

8

0.301

2.618

9

0

1.571

Таким образом, в соответствии с шириной спектра .



4.2 Построить на одном графике заданную периодическую последовательность импульсов и ее аппроксимацию отрезком ряда Фурье, число гармоник которого определяется шириной амплитудного спектра входного сигнала, найденной в п 3.3.

4.3 Используя рассчитанные в п. 3.1 АЧХ и ФЧХ функции передачи цепи, определить напряжение или ток на выходе цепи в виде отрезка ряда Фурье.

Для определения коэффициентов ряда Фурье выходного напряжения вычислим значения АЧХ и ФЧХ функции передачи для значений k1, k=0, 1, 2, ..., 8. Тогда








k

Ak

k

0

0

0

1

0.208

1.47

2

0.487

-0.026

3

0.436

-1.355

4

0.361

-2.576

5

0.15

2.554

6

0

1.443

7

0.054

-2.785

8

0.037

2.429

9

0

1.371

В итоге получим:



4.4 Построить напряжение на выходе цепи в виде суммы гармоник найденного отрезка ряда Фурье.





ХГТУ УИТС-71  Буренок Н.Н.

Вариант 3

Курсовая работа по теории электрических цепей

Лист

1