Методика построения уравнения регрессии и корреляции

Контрольная работа №2

	

	Задача №1

	

	Для изучения связи между активами-нетто и объемом капитала по 30 коммерческим банкам (согласно Вашему варианту):

	а) изобразите связь между изучаемыми признаками графически построением поля корреляции;

	б) постройте уравнение регрессии. Параметры уравнения определите методом наименьших квадратов. Рассчитайте теоретические значения объема кредитных вложений и нанесите их на построенный график.

	

	Решение:

	

	

	Рисунок 1

	

	Расчетная таблица для определения параметров уравнения регрессии зависимости чистых активов и капитала коммерческих банков.

	Таблица 1.1

	№ банка

	Капитал, млн.руб. (X)

	Чистые активы, млн.руб. (Y)

	X²

	Y²

	X*Y

	Yx

	1

2

3

	4

	5

	6

	7

	1

1,46

1,68

	2,13

	2,82

	2,45

	232,1

	2

1,51

2,81

	2,28

	7,9

	4,24

	240,4

	3

2,63

21,84

	6,92

	476,9

	57,44

	422,0

	4

1,72

7,38

	2,96

	54,46

	12,7

	264,8

	5

1,50

9,82

	2,25

	96,43

	14,73

	240,1

	6

1,64

4,26

	2,69

	18,15

	6,99

	258,2

	7

1,36

4,61

	1,85

	21,25

	6,27

	228,4

	8

1,21

3,32

	1,46

	11,02

	4,02

	219,6

	9

1,49

2,33

	2,22

	5,43

	3,47

	234,9

	10

1,35

3,08

	1,82

	9,49

	4,16

	227,6

	11

1,61

15,14

	2,59

	229,2

	24,37

	254,8

	12

1,78

7,12

	3,17

	50,7

	12,67

	266,1

	13

1,42

1,68

	2,01

	2,82

	2,38

	229,7

	14

1,41

4,60

	1,99

	21,16

	6,49

	229,2

	15

1,46

2,20

	2,13

	4,84

	3,21

	232,1

	16

3,65

20,21

	13,32

	408,4

	73,77

	587,4

	17

1,57

7,74

	2,46

	59,9

	12,15

	252,1

	18

1,10

2,72

	1,21

	7,4

	2,99

	173,8

	19

0,94

1,59

	0,88

	2,53

	1,49

	151,9

	20

3,89

22,37

	15,13

	500,42

	87,02

	598,4

	21

0,78

1,42

	0,61

	2,02

	1,11

	121,9

	22

2,74

12,61

	7,51

	159,01

	34,55

	439,8

	23

0,87

10,26

	0,76

	105,27

	8,93

	136,6

	24

1,08

6,12

	1,17

	37,45

	6,61

	169,9

	25

1,08

5,27

	1,17

	27,8

	5,69

	169,9

	26

2,90

7,33

	8,41

	53,73

	21,26

	465,8

	1

	2

3

	4

	5

	6

	7

	27

1,13

6,30

	1,28

	39,69

	7,12

	178,7

	28

	0.94

22,67

	0,88

	513,93

	21,31

	151,9

	29

	1.92

3,42

	3,69

	11,7

	6,57

	306,8

	ИТОГО

	48,14

221,9

	96,95

	2941,81

	456,16

	7684,9

	

	Система нормальных уравнений для нахождения параметров парной регрессии методом наименьших квадратов имеет следующий вид:

	

	

	

	а0 = (221,9 – 48,14а1)/29

	48,14*((221,9 – 48,14а1)/29)+ 96,95а1 = 456,16

	368,354 – 79,912а1 + 96,95а1 = 456,16

	17,037а1 = 87,806

	а1 = 5,154

	а0 = (221,9 – 48,14*5,154)/29 = -0,9

	Yx = а0 + а1*х = 5,154х - 0,9 

	

	Задача №2

	

	По данным задачи 1 вычислите показатели тесноты связи между изучаемыми признаками. В случае линейной связи для оценки тесноты связи необходимо применить формулу линейного коэффициента корреляции, при нелинейной связи – теоретического корреляционного отношения. 

	Сделайте выводы о тесноте и направлении связи между изучаемыми признаками.

	

	Решение

	

	Линейный коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:

	

	

	σх = √х² - (х)²

	σу = √у² - (у)²

	х² = ∑ х²/29 = 96,95/29 = 3,34

	(х)² = (∑ х/29)² = (48,14/29)² = 2,756

	у² = ∑ у²/29 = 2941,81/29 = 101,441

	(у)² = (∑ у/29)² = (221,9/29) ² = 58,549

	X = ∑ х/29 = 48,14/29 = 1,66

	Y = ∑ у/29 = 221,9/29 = 7,65

	XY = ∑х*у/29 = 456,16/29 = 15,73

	σх =√3,34 – 2,756 = 0,764

	σу = √101,441 – 58,549 = 6,55

	

	

	Задача №3

	

	По данным любого статистического ежегодника или периодической печати выполните следующее:

	1. Выберите интервальный ряд динамики, состоящий из 8-10 уровней.

	2. Изобразите графически динамику ряда с помощью статистической кривой.

	3. По данным выбранного ряда вычислите абсолютные и относительные показатели динамики. Результаты расчетов изложите в табличной форме.

	4. Вычислите средние показатели динамики.

	

Решение

	

	1. Выберем интервальный ряд динамики, состоящий из восьми уровней и отразим его в таблице 3.1

	

	Таблица 3.1. Среднемесячное потребление горячей воды в течение 8-ми месяцев, куб.м.

	Месяц

	1

	2

	3

	4

	5

	6

	7

	8

	куб.м.

	10,5

	9,8

	7,4

	9,6

	10,9

	9,2

	13,7

	11,3

	

	Рассмотрим динамический ряд потребления горячей воды в таблице 3.2

	

	Таблица 3.2. Динамика потребления горячей воды за 8 месяцев

	Месяц

	Потребление, куб.м.(уi)

	Абсолютные приросты, куб.м.

	Темпы роста, %

	Темпы прироста, %

	Абсолютное значение 1% прироста, куб.м.

	

	

	цепные

	базисные

	цепные

	базисные

	цепные

	базисные

	

	1

	10,5

	-

	-

	-

	100

	-

	-

	-

	2

	9,8

	-0,7

	-0,7

	93,3

	93,3

	-6,7

	-6,7

	0,105

	3

	7,4

	-2,4

	-3,1

	75,5

	70,5

	-24,5

	-29,5

	0,098

	4

	9,6

	2,2

	-0,9

	129,7

	91,4

	29,7

	-8,6

	0,074

	5

	10,9

	1,3

	0,4

	113,5

	103,8

	13,5

	3,8

	0,096

	6

	9,2

	-1,7

	-1,3

	84,4

	87,6

	-15,6

	-12,4

	0,109

	7

	13,7

	4,5

	3,2

	148,9

	130,5

	48,9

	30,5

	0,092

	8

	11,3

	-2,4

	0,8

	82,5

	107,6

	-17,5

	7,6

	0,137

	Итого

	82,4

	0,8

	-

	-

	-

	-

	-

	-

	

	2. Изобразим графически динамику ряда с помощью статистической кривой.

	

	

	Рисунок 2. Динамика ряда в виде статистической кривой

	

	3. По данным выбранного ряда вычислим абсолютные и относительные показатели динамики.

	Средний абсолютный прирост:

	,

	

	или 

	

	Средний темп роста:

	

	,

	

	или 

	

	Средний темп прироста:

	

	

	

	Средний уровень интервального ряда определяется по формуле средней арифметической:

	

	

	Средний уровень моментального ряда определяется по формуле:

	

	

	

	Согласно произведенным вычислениям можно сделать следующие выводы:

	Наибольшее потребление горячей воды было в 7-ом месяце, а наименьшее в 3-ем месяце. Среднее потребление горячей воды 10,3 куб.м.

	Задача №4

	

	По данным задачи 3 произведите сглаживание изучаемого ряда динамики с помощью скользящей средней и аналитического выравнивания. Расчетные уровни нанесите на построенный ранее график.

	Сделайте выводы о характере тенденции рассмотренного ряда динамики.

	

	Решение

	

	1. Сглаживание ряда динамики с помощью скользящей средней заключается в том, что вычисляется средний уровень от определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем средний уровень из такого же числа уровней, начиная со второго и т.д.

	Расчет скользящей средней по данным о потреблении горячей воды за восемь месяцев приведен в таблице 4.1.

	

	Таблица 4.1. Сглаживание потребления горячей воды за восемь месяцев методом скользящей средней

	Месяцы

	Потребление горячей воды, куб.м.

	Скользящая 

	средняя

	

	

	трехмесячная

	пятимесячная

	1

	10,5

	

	

	2

	9,8

	(10,5+9,8+7,4)/3=9,2

	

	3

	7,4

	(9,8+7,4+9,6)/3=8,9

	(10,5+9,8+7,4+9,6+10,9)/5=9,6

	4

	9,6

	(7,4+9,6+10,9)/3=9,3

	(9,8+7,4+9,6+10,9+9,2)/5=9,4

	5

	10,9

	(9,6+10,9+9,2)/3=9,9

	(7,4+9,6+10,9+9,2+13,7)/5=10,2

	6

	9,2

	(10,9+9,2+13,7)/3=11,3

	(9,6+10,9+9,2+13,7+11,3)/5=10,9

	7

	13,7

	(9,2+13,7+11,3)/3=11,4

	

	8

	11,3

	

	

	

	2. Аналитическое выравнивание ряда динамики уровни ряда представляются как функции времени:

	

	

	При использовании уравнения прямой 

	

	

	

	Параметры вычисляются по следующим формулам:

	

	

	

	Таблица 4.2. Выравнивание по прямой ряда динамики потребления горячей воды отражено в таблице 4.2 

	Месяцы

	Потребление горячей воды, куб.м. (уi)

	t

	t²

	yit

	yt

	(yi-yti) ²

	1

	10,5

	-4

	16

	-42,0

	8,98

	2,31

	2

	9,8

	-3

	9

	-29,4

	9,31

	0,24

	3

	7,4

	-2

	4

	-14,8

	9,64

	5,02

	4

	9,6

	-1

	1

	-9,6

	9,97

	0,14

	5

	10,9

	1

	1

	10,9

	10,63

	0,07

	6

	9,2

	2

	4

	18,4

	10,96

	3,1

	7

	13,7

	3

	9

	41,1

	11,29

	5,8

	8

	11,3

	4

	16

	45,2

	11,62

	0,1

	Сумма

	82,4

	0

	60

	19,8

	82,4

	16,78

	

	а0 = 82,4/8 = 10,3 куб.м.

	а1 = 19,8/60 = 0,33 куб.м.

	Уравнение прямой, представляющее собой трендовую модель искомой функции, будет иметь вид:

	

	Yt = 10,3 + 0,33t

	

	Полученное уравнение показывает что, несмотря на колебания в отдельные месяцы, наблюдается тенденция увеличения потребления горячей воды.

	Потребление горячей воды в среднем возрастало на 0,33 куб.м. в месяц.

	

	

	Рисунок 3. Динамика ряда потребления горячей воды с фактическими и выровненными данными

	

	Задача №5.

	

	По данным варианта следующее:

	1) индивидуальные и общие (агрегатные) индексы цен;

	2) индексы цен в среднегармонической форме;

	3) сводные индексы физического объема проданных товаров;

	4) сводные индексы товарооборота двумя способами;

	а) по формуле индекса товарооборота в текущих ценах;

	б) на основе ранее рассчитанных индексов цен и физического объема товарооборота.

	

	Таблица 5.1

	№ п/п

	Продукт

	Базисный период

	Отчетный период

	Расчетные графы

	

	

	Кол-во реализованных единиц, шт., q0

	Цена за единицу,

	Руб., P0

	Q, шт., q1

	P1,

	руб,

	P1

	P1*q1

	P0*q1

	P1*q1

	i

	P0*q0

	1

	Б

	175

	120

	180

	135

	24300

	21600

	21504

	21000

	2

	В

	400

	50

	360

	42

	15120

	18000

	18000

	20000

	3

	Г

	150

	115

	89

	126

	11214

	10235

	10195

	17250

	∑

	3

	-

	-

	-

	-

	50634

	49835

	49699

	58250

	

	1. Индивидуальные и общие индексы цен рассчитываются по формуле:

	

	,

	

	где  - соответственно цены отчетного и базисного периодов.

	

	 (+12,5%)

	 (-16%)

	 (+9,6%)

	

	Общий (сводный) индекс цен имеет следующий вид:

	

	,

	

	где q1 - количество проданных товаров в отчетном периоде.

	

	

	

	Цены в отчетном периоде по сравнению с базисным возросли на 1,6%.

	2. Среднегармонический индекс тождествен агрегатному и вычисляется по следующей формуле:

	

	

	

	

	

	3. Сводные индексы физического объема проданных товаров:

	

	

	

	Физический объем проданных товаров в отчетном периоде по сравнению с базисным снизился на 14,4%.

	

	4. Сводные индексы товарооборота: 

	

	а) по формуле индекса товарооборота в текущих ценах:

	

	

	

	б) на основе ранее рассчитанных индексов цен и физического объема товарооборота:

	

	Ipq = Ip Iq = 1,016*0,856 = 0,869

	

	Товарооборот в отчетном периоде по сравнению с базисным сократился на 13,1%.