Групповые дисперсии. Агрегатный индекс себестоимости

2



Задача 1. По данным о производственной деятельности ЗАО определить средние затраты на 1 руб. произведенной продукции в целом по ЗАО.



Таблица 1 - Исходные данные

Предприятие

Общие затраты на производство, млн. руб. 

Затраты на 1 руб. произведенной 

продукции, коп. 

1

2,12

75

2

8,22

71

3

4,43

73



Решение:

Для определения средних затрат на 1 рубль произведенной продукции необходимо воспользоваться средней гармонической, так как у нас известен числитель и неизвестен знаменатель. Для определения средней строим вспомогательную таблицу.



Таблица 2 - Вспомогательная

Предприятие

Общие затраты на производство, млн. руб., (Wi) 

Затраты на 1 руб. 

произведенной 

продукции, руб. (Xi) 

Объем произведенной 

продукции, млн руб.

(Wi/Xi) 

1

2,12

0,75

2,83

2

8,22

0,71

11,58

3

4,43

0,73

6,07

Итого: 

14,77



20,47



Так средние затраты на 1 рубль продукции рассчитываются по формуле 



,



где х - признак (варианта) - индивидуальные значения усредняемого признака;  показатель, представляющий собой реально существующий экономический показатель равный х∙ f:

Данные берутся из таблицы. 







Ответ: Средние затраты на 1 рубль произведенной продукции равны 72 коп.

Задача 2. По данным 10% -го выборочного обследования рабочих по стажу работы, результаты которого приведены ниже, определить:

1) относительную величину структуры численности рабочих;

2) моду и медиану стажа рабочих;

3) средний стаж рабочих цеха;

4) размах вариации;

5) среднее линейное отклонение;

6) дисперсию;

7) среднее квадратическое отклонение;

8) коэффициент вариации;

9) с вероятностью 0,997 пределы, в которых изменяется средний стаж рабочих в целом по предприятию;

10) с вероятностью 0,997 пределы, в которых изменяется доля рабочих, имеющих стаж работы более 10 лет в целом по предприятию. Сделать выводы.



Таблица 3 - Исходные данные

Группы рабочих по стажу, лет

До 2

2 - 4

4 - 6

6 - 8

8 - 10

10 - 12

12 - 14

Число рабочих

6

8

12

24

17

8

5



Решение:

1) Находим относительную величину структуры численности рабочих, для этого строим следующую таблицу.



Таблица 4 - Относительная структура численности рабочих

Группы рабочих по стажу, лет

Число рабочих

Структура,%

До 2

6

7,5

2 - 4

8

10

4 - 6

12

15

6 - 8

24

30

8 - 10

17

21,25

10 - 12

8

10

12 - 14

5

6,25

Итого: 

80

100



2) Находим моду и медиану стажа рабочих. Для этого строим вспомогательную таблицу.



Таблица 5 - Вспомогательная. 

Группы рабочих по стажу, лет

Число рабочих (fi) 

Середина интервала, (xi) 

xi*fi

fi. накопл

До 2

6

1

6

6

2 - 4

8

3

24

14

4 - 6

12

5

60

26

6 - 8

24

7

168

50>40

8 - 10

17

9

153

67

10 - 12

8

11

88

75

12 - 14

5

13

65

80

Итого: 

80



564





Мода - это наиболее часто встречающееся значение ряда:



,



где - мода;  - нижняя граница модального интервала. Интервал с максимальной частотой является модальным;  - шаг модального интервала, который определяется разницей его границ; fmo - частота модального интервала; fmo-1 - частота интервала, предшествующего модальному; fmo+1 - частота интервала, последующего за модальным.

Медианой является значение признака х, которое больше или равно и одновременно меньше или равно половине остальных элементов ряда распределения. Медиана делит ряд на две равные части:



,



где xme - нижняя граница медианного интервала. Интервал, в котором находится порядковый номер медианы, является медианным. Для его определения необходимо подсчитать величину . Интервал с накопленной частотой равной величинеявляется медианным; i - шаг медианного интервала, который определяется разницей его границ;  - сумма частот вариационного ряда; Sme-1- сумма накопленных частот в домедианном интервале; fme - частота медианного интервала.

3) Находим средний стаж рабочих цеха:



,



где х - признак (варианта) - индивидуальные значения усредняемого признака, в качестве которого берется середина интервала, определяемая как полусумма его границ; 

f - частота, т.е. числа, показывающие, сколько раз повторяется та или иная варианта.

Сравниваем полученные значения, в нашем случае получаем:


, 



что говорит о левосторонней асимметрии.

По этим данным можно сделать вывод о том, что средний стаж рабочих составляет 7,05 лет; наиболее часто встречаются рабочие со стажем 7,263 года. Кроме того, половина рабочих имеет стаж более 7,166 лет, а другая - менее 7,166 лет.

4) Находим размах вариации.

Размах вариации:



,



где хmax - максимальное значение признака; х min - минимальное значение признака.

Так, разница между максимальным значением признака и минимальным составляет 12.

5) Находим среднее линейное отклонение:



,



где  - индивидуальные значения признака,  - средняя величина; f - частота.

Строим расчетную таблицу.



Таблица 6 - Расчетная

Середина интервала, (xi) 



Число рабочих (fi) 







1

6,05

6

36,3

36,60

219,62

3

4,05

8

32,4

16,40

131,22

5

2,05

12

24,6

4, 20

50,43

7

0,05

24

1,2

0,00

0,06

9

1,95

17

33,15

3,80

64,64

11

3,95

8

31,6

15,60

124,82

13

5,95

5

29,75

35,40

177,01

7,05



80

189



767,80



.



Так средний абсолютный разброс значений вокруг средней составил 2,362. То есть работники отличаются по стажу друг от друга в среднем на 2,362 года.

6) Находим дисперсию:







7) Находим среднее квадратическое отклонение:



.



Средний разброс стажа от среднего стажа в 7,05 лет составляет 3,097.

8) Находим коэффициент вариации:



.



Так как коэффициент вариации больше 33%, то это говорит о высокой степени неоднородности совокупности.

9) Находим с вероятностью 0,997 пределы, в которых изменяется средний стаж рабочих в целом по предприятию.

Границы генеральной средней:



,



где  - генеральная средняя,  - выборочная средняя, Δ- предельная ошибка выборочной средней:



,



где  - коэффициент доверия, зависящий от вероятности исследования: при вероятности 0,954 t = 2, а при вероятности 0,997 t = 3; n - объем выборочной совокупности; 

N - объем генеральной совокупности; 

- доля отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную; 

 - дисперсия признака выборочной совокупности.

Так, находим предельную ошибку выборочной средней:



.



Тогда пределы, в которых изменяется средний стаж рабочего, будут:







10) с вероятностью 0,997 пределы, в которых изменяется доля рабочих, имеющих стаж работы более 10 лет в целом по предприятию. Сделать выводы.

Границы генеральной доли:



,



где р - генеральная доля, - выборочная доля:



,



где  - число единиц, обладающих данным или изучаемым признаком; n - объем выборочной совокупности; - предельная ошибка доли:



,



где n - объем выборочной совокупности; 

N - объем генеральной совокупности; 

- доля отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную.

Тогда доля работников со стажем больше 10 лет будет изменяться в пределах:







Задача 3. Для установления зависимости между урожайностью и сортом винограда в одном из хозяйств на основе выборки определили урожай на 8 кустах винограда.




Таблица 7 - Исходные данные

Сорт винограда

Число проверенных кустов

Урожай с куста, кг





№ куста винограда





1

2

3

А

3

6

5

7

Б

3

7

6

8

В

2

9

7

-



Исчислить общую, межгрупповую и среднюю из групповых дисперсий. 

Определите связь между сортом и его урожайностью, рассчитав коэффициент детерминации. 

Сделать вывод.

Решение:



,



где - общая дисперсия; - средняя из групповых дисперсий;  - межгрупповая дисперсия.

Величина общей дисперсии  характеризует вариацию признака под влиянием всех факторов, формирующих уровень признака у единиц совокупности.







где - общая средняя арифметическая для всей изучаемой совокупности; _ значение признака (варианта).

Средняя из групповых дисперсий  характеризует случайную вариацию, возникающую под влиянием других неучтенных факторов, и не зависит от условия (признака-фактора), положенного в основу группировки;


,



где fi - число единиц в определенной i - й группе;  - дисперсия по определенной i - й группе:



,



где  - средняя по определенной i - й группе.

Межгрупповая дисперсия отражает систематическую вариацию, т.е. те различия в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора, положенного в основу группировки:



.



Находим среднюю из групповых дисперсий. Для этого находим дисперсию по каждой группе. Строим расчетную таблицу.



Таблица 8 - Расчетная

Сорт винограда

Число проверенных кустов (fi) 

Урожай с куста, кг

Среднее значение





№ куста винограда







1

2

3



А

3

6

5

7

6

 

 

0

-1

1

 

 

 

0

1

1

Сумма

 



0

1

1

2

Б

3

7

6

8

7

 

 

0

-1

1

 

 

 

0

1

1

Сумма

 

 

0

1

1

2

В

2

9

7

-

8

 



1

-1

 

 

 



1

1

 

Сумма

 



1

1

 

2



Получаем следующие значения, которые сводим в таблицу.



Таблица 9 - Десперсии по группам

Сорт винограда

Число проверенных кустов (fi) 

 



А

3

0,667

2

Б

3

0,667

2

В

2

1,000

2

Итого: 

8



6



Рассчитываем среднюю из групповых дисперсий:



,



Таким образом, разброс значений за счет неучтенных факторов составляет 0,75 кг.

Находим межгрупповую дисперсию. 

Для этого строим следующую вспомогательную таблицу.


Таблица 10 - Вспомогательная

Сорт 

винограда

Число проверенных 

кустов

Урожай с куста, кг

Среднее 

по группе











№ куста винограда













1

2

3









А

3

6

5

7

6

-1

1

3

Б

3

7

6

8

7

0

0

0

В

2

9

7

-

8

1

1

2

Итого

8





Общая средняя

7



2

5



.



Так, из-за того, что виноград разных сортов, урожайность в среднем отклоняется от среднего значения на 0,625 кг.

Находим общую дисперсию:



=0,75+0,625=1,375.



Так, под влиянием всех факторов урожайность отклоняется от среднего значения на 1,375 кг.

Задача 4. Имеются следующие данные о выпуске продукции на одном из предприятий.



Таблица 11 - Исходные данные

Виды продукции

Затраты на производство, тыс. руб. 

Произведено, тыс. шт. 



I квартал

II квартал

I квартал

II квартал

А

5 600

5 850

 80

90

Б

4 060

4 675

 70

85

В

6 500

6 860

100

98


Определить:

1) агрегатный индекс себестоимости, агрегатный индекс физического объема продукции и общий индекс затрат на производство;

2) абсолютное изменение затрат на производство - общее и за счет изменения себестоимости единицы продукции и физического объема производства. Сделать выводы.

Решение:

1) Находим агрегатный индекс себестоимости, агрегатный индекс физического объема продукции и общий индекс затрат на производство. Для этого строим расчетную таблицу.



Таблица 12 - Расчетная

Виды продукции

Затраты на производство, тыс. руб. 

Произведено, тыс. шт. 

Расчетные показатели



I квартал (z0) 

II квартал (z1) 

I квартал (q0) 

II квартал (q1) 

z0*q0

z1*q1

z0*q1

А

5 600

5 850

80

90

448000

526500

504000

Б

4 060

4 675

70

85

284200

397375

345100

В

6 500

6 860

100

98

650000

672280

637000

Итого: 









1382200

1596155

1486100



Агрегатный индекс себестоимости:



,



где - себестоимость в отчетном и базисном периоде соответственно;  - физический объем производства в отчетном периоде;

Агрегатный индекс физического объема произведенной продукции:


,



где , q0 - физический объем производства в отчетном и базисном периоде соответственно;  - себестоимость в отчетном периоде;

Агрегатный индекс затрат на производство равен:



.



Таким образом, изменение себестоимости каждого вида продукции увеличили общие затраты производства на 7,4%. Под влиянием изменения объемов производства общие затраты выросли на 7,5%. А под влиянием этих обоих факторов - на 15,4%.

2) Находим абсолютное изменение затрат на производство - общее и за счет изменения себестоимости единицы продукции и физического объема производства.

Общее абсолютное изменение затрат на производство:



=1596155-1382200=213955 млн. руб.



Абсолютное изменение затрат на производство за счет изменения себестоимости, т.е. роль себестоимости в изменении затрат на производство:



 =1596155-1486100=110055 млн. руб.



Абсолютное изменение затрат на производство за счет изменения физического объема производства, т.е. роль физического объема в изменении затрат на производство:



=1486100-1382200=103900 млн. руб.

103900+110055=213955



Таким образом, изменение в себестоимости в большей степени повлияло на изменение общих затрат на производство.

Задача 5. Имеются следующие данные о затратах на производство продукции растениеводства.



Таблица 13 - Исходные данные

Группы 

сельскохозяйственных 

культур

Общие затраты на производство, (тыс. руб.) в периоде

Индивидуальный индекс себестоимости



Базисном (z0*q0) 

Отчетном (z1*q1) 



Озимые зерновые

223,0

242,0

1,02

Зернобобовые

 47,2

 49,0

1,05



Вычислить общие индексы затрат на производство, себестоимости и физического объема. Сделать выводы.

Решение:

Для нахождения индексов строим вспомогательную таблицу.



Таблица 14 - Расчетная

Группы сельскохозяйственных культур

Общие затраты на производство, (тыс. руб.) в периоде

Индивидуальный индекс себестоимости (ip) 

Расчетные показатели



Базисном (z0*q0) 

Отчетном (z1*q1) 



ip*z0*q0

 (z1*q1) /ip

Озимые зерновые

223

242

1,02

227,46

237,25

Зернобобовые

47,2

49

1,05

49,56

46,67

Итого

270,2

291

 

277,02

283,92



Средний арифметический индекс физического объема произведенной продукции:



,

где  - индивидуальный индекс физического объема произведенной продукции; z0, q0 - себестоимость, физический объем произведенной продукции в базисном периоде соответственно;  - затраты на производство в базисном периоде.

Так, за счет изменения объемов производства общие затраты на производство выросли на 2,5%.

Средний гармонический индекс себестоимости:



,



где  - индивидуальный индекс себестоимости; z1, q1 - себестоимость, физический объем произведенной продукции в отчетном периоде соответственно; товарооборот (стоимость) реализованной продукции в отчетном периоде.

Так, за счет изменения в себестоимости каждой продукции общие затраты на производство продукции выросли на 2,8%.

Общий индекс затрат на производство:







Изменение затрат под влиянием обоих составит - 5,4%.

Задача 5. Рассчитать:

1) индексы урожайности переменного состава;

2) индекс урожайности постоянного состава;

3) индекс влияния структурных сдвигов. Сделать выводы.


Таблица 15 - Исходные данные

Сельскохозяйственные предприятия

Базисный период

Отчетный период



Урожайность, ц/га

Посевная 

площадь, га

Урожайность, 

ц/га

Посевная 

площадь, га

1

35

520

38

650

2

20

180

22

160



Решение:

Для решения данной задачи также строим вспомогательную таблицу.



Таблица 16 - Вспомогательная

Сельскохозяйст-венные предприятия

Базисный период

Отчетный период

Расчетные показатели



Урожайность, ц/га (y0) 

Посевная площадь, га (s0) 

Урожайность, ц/га (y1) 

Посевная площадь, га (s1) 

y0*s0

y1*s1

y0*s1

1

35

520

38

650

18200

24700

22750

2

20

180

22

160

3600

3520

3200

Итого



700



810

21800

28220

25950



Индекс переменного состава представляет собой соотношение средних уровней изучаемого показателя. Индекс урожайности переменного состава:



.



Индекс постоянного состава отражает изолированное влияние осредняемого показателя у отдельных единиц совокупности. Индекс урожайности постоянного состава:



.



Индекс структурных сдвигов характеризует влияние изменения структуры изучаемой совокупности. Индекс структурных сдвигов:



.



Таким образом, общая урожайность выросла на 19% под влиянием изменения структуры посевных площадей. Под влиянием изменения урожайности каждой посевной площади общая урожайность выросла на 8,8%. В целом под влиянием этих обоих факторов урожайность посевов выросла на 11,8%

Задача 6. По имеющимся данным числе умерших в Хабаровском крае за 2000 - 2005 гг. рассчитать: за каждый год:

1) абсолютный пророст (базисный и цепной);

2) темп роста (базисный и цепной);

3) темпы прироста базисный и цепной);

4) абсолютное значение 1% прироста; в целом за период: 5) средний уровень ряда;

6) средний абсолютный прирост;

7) средний темп роста;

8) средний темп прироста. Сделать выводы.



Таблица 17 - Исходные данные

Число умерших, чел. 

Год



2000

2001

2002

2003

2004

2005



20 745

21 639

22 513

23 290

22 745

23 074



Решение:

Для определения абсолютных приростов, темпов роста и темпов прироста строим расчетную таблицу 18. Показатели, заносимые в таблицу, рассчитываются следующим образом:

1. Абсолютный прирост:

А) цепной: 



,



где уi - уровень ряда динамики за изучаемый период, уi-1 - уровень ряда динамики за период предшествующий изучаемому;

Б) базисный: 



,



где уо - начальный уровень ряда динамики;

2. Темп роста:

А) цепной: 



;



Б) базисный: 



;



3. Темп прироста: А) цепной: 



 или ;



Б) базисный: 



 или ;

4. Абсолютное значение 1% прироста:



 или .



Таблица 18 - Показатели динамики

Год

Число умерших, чел. 

Абсолютный прирост

Темп роста, %

Темп прироста, %

Абсолютное значение 1% прироста





баз. 

цепн. 

баз. 

цепн. 

баз. 

цепн. 



2000

20745

894

894

104,30

104,30

4,309

4,309

207,45

2001

21639

1768

874

108,52

104,03

8,523

4,039

216,39

2002

22513

2545

777

112,26

103,45

12,268

3,451

225,13

2003

23290

2000

-545

109,64

97,66

9,641

-2,340

232,9

2004

22745

2329

329

111,22

101,44

11,227

1,446

227,45

2005

23074

894

894

104,31

104,31

4,309

4,309

207,45

Итого

134006

















Далее рассчитываем средние показатели динамики.

1) средний уровень ряда динамики для интервального ряда:



,



где уi - уровни ряда динамики, n - число уровней ряда динамики;

2) средний абсолютный прирост:



,



где уn - конечный уровень ряда;

3) средний темп роста:


,



4) средний темп прироста



. =102,1-100=2,1



Так, в среднем за эти годы умирало 22334 человек в год. В среднем количество умерших в год возрастало с каждым годом на 466 человек, или на 2,1%.


Список использованной литературы



1. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: учебник / И.И. Елисеева, М.М. Юзбашев. - М.: Финансы и статистика, 2004. - 565 с.

2. Статистика: учеб.-практ. пособие /под ред. М.Г. Назарова. - М.: КНОРУС, 2006 - 480 с.

3. Теория статистики: учебник /под ред. Г.Л. Громыко. - М.: ИНФРА-М., 2000. - 414 с.