Релятивная механика

Релятивная 

Механика



                                                                                                             Выполнил студент 

                                                                                                          15 группы АСОИ и У 

                                                                                                                     Зотов Андрей  







План:

1-Пастулаты,специальная теория относительности.

2-Отностельность времени.

3-Замедление времени.

4-Релятивийский закон сложения скоростей.

5-Взаимосвязь массы и энергии.





































      Постулаты, специальная теория относительности.

Первый постулат: законы физики имеют одинаковую форму во всех инерциальных системах отсчета. Это обобщение принципа относительности Ньютона на законы не только механики, но и всех других областей физики, носит название принципа относительности Эйнштейна.

Второй постулат: свет распространяется в вакууме с определенной скоростью c, не зависящей от скорости источника или наблюдателя. Согласно специальной теории относительности (СТО) скорость света в вакууме является абсолютной величиной, а такие абсолютные с точки зрения классической механики Ньютона понятия, как длина и время, стали относительными. 

Из постулатов СТО следует, что скорость света в вакууме является предельно возможной. Никакой сигнал, никакое воздействие одного тела на другое не могут распространяться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме.

Специальная теория относительности (СТО) (англ. special theory of relativity; частная теория относительности; релятивистская механика) — теория, описывающая движение, законы механики и пространственно-временные отношения, определяющие их, при скоростях движения, близких к скорости света.В рамках специальной теории относительности классическая механика Ньютона является приближением низких скоростей. Обобщение СТО для гравитационных полей образует общую теорию относитьности.

Следствием постулатов СТО являются преобразования Лоренца, заменяющие собой преобразования Галилея для нерелятивистского, «классического» движения. Эти преобразования связывают между собой координаты и времена одних и тех же событий, наблюдаемых из различных инерциальных систем отсчёта.

При движении с околосветовыми скоростями видоизменяются также и законы динамики. Так, можно вывести, что второй закон Ньютона, связывающий силу и ускорение, должен быть модифицирован при скоростях тел, близких к скорости света. Кроме того, можно показать, что и выражение для импульса и кинетической энергии тела уже имеет более сложную зависимость от скорости, чем в нерелятивистском случае.

Специальная теория относительности получила многочисленные подтверждения на опыте и является безусловно верной теорией в своей области применимости

                                    





























                        Относительность времени.

. В теории относительности не существует абсолютного ньютоновского времени. В преобразованиях Галилея время остается без изменений. Из формул преобразований Лоренца следует, однако, что время в разных системах отсчета течет по-разному.

На рис. 5 представлены две пространственно-временные диаграммы. На обеих отображены одни и те же события, но одна соответствует системе отсчета, связанной с Р, а другая – системе, связанной с Q и движущейся относительно Р. Таким образом, они согласуются с релятивистскими диаграммами рис. 4 (справа), но здесь вместо одной оси х имеются две – для P и Q. Оси и мировые точки D, E, F, G и Н изображены так, что их положения на обеих диаграммах согласуются с преобразованиями Лоренца. На рис. 5,а, в системе, где Р покоится, мировые точки E, F и G лежат на горизонтальной линии, а это означает, что все три представленных события происходят в одно время в разных местах (одно и то же t, но разные х). Событие D наступает раньше других, а событие Н – позже. На рис. 5,б, в системе, где Q покоится, мировые точки, соответствовавшие в предыдущем случае одновременным событиям (при одном и том же значении t), теперь соответствуют событиям, происходящим при разных значениях t. Рассмотрим диаграмму. События E, F и G более не являются одновременными: сначала произойдет G, затем F и, наконец, E. Событие D по-прежнему произойдет раньше Е, но позже F, хотя в предыдущем случае оно, как и следует из преобразований Лоренца, происходило раньше F. Аналогично ведут себя события H и G. Таким образом, относительна не только одновременность событий, но и порядок их наступления. Рассмотрим события D и E, а также события G и H. Каждая пара событий имеет на левой диаграмме одинаковую абсциссу х, указывающую на то, что пара событий происходила в одном и том же месте. Все эти события теперь будут происходить в разных местах (рис. 5,б). Конечно, то же самое происходит и в ньютоновской теории. Упорядоченность событий от прошлого к будущему нарушается в ТО далеко не всегда. Некоторые события имеют вполне определенный порядок, вне зависимости от используемой для их описания системы отсчета. Например, опыт показывает, что события на мировой линии некоторого наблюдателя должны происходить в определенном порядке, и два наблюдателя всегда согласятся по поводу порядка событий, при которых они оба присутствовали.



Рис. 5. 

ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ ОДНОВРЕМЕННОСТИ рушит представления о времени как не зависящем от движения в какой-либо системе отсчета. События, одновременные в одной системе отсчета, не являются таковыми в другой, и наоборот. В системе отсчета, связанной с P (в которой Q равномерно движется вправо от P), событие D происходит раньше одновременных событий E, F, G, а событие H – позже них. В системе отсчета, связанной с Q (в которой P движется равномерно влево от Q), события E, F, G более не являются одновременными; событие D происходит после F, а событие H – раньше F.

Рассмотрим это подробнее. Если (x1, y1, z1, t1) и (x2, y2, z2, t2) – пространственно-временные координаты двух событий, то выражение



не меняет своего вида при преобразованиях Лоренца и, следовательно, имеет одно и то же определенное значение независимо от того, в какой системе отсчета ведутся измерения. Если для некоторых двух событий это выражение равно нулю или отрицательно, то, как можно показать, события должны происходить в определенном порядке, одинаковом для всех систем отсчета. Если же это выражение положительно, то порядок событий зависит от системы отсчета: в различных системах одно или другое событие произойдет раньше, причем есть и такая система, в которой оба они произойдут одновременно.

На рис. 6 представлена пространственно-временная диаграмма истории световой вспышки, произошедшей в мировой точке O в момент t = 0. Спустя время t свет распространится на расстояние ct во всех направлениях и будет находиться на поверхности сферы радиусом ct. История этой сферы на диаграмме имеет вид конуса с вершиной в точке O. Этот конус (верхний на рис. 6) называется конусом будущего. События, свет от которых достигнет точки O в момент t = 0, образуют конус прошлого (нижний конус на рис. 6). Он выглядит точно так же, как конус будущего, но обращен назад. Вместе конусы прошлого и будущего образуют двойной конус с вершиной в пространственно-временной точке O, называемый «световым конусом».



Рис. 6. 

СВЕТОВОЙ КОНУС на пространственно-временной диаграмме иллюстрирует некоторые следствия теории относительности для понятия времени. В ньютоновской теории время абсолютно. В теории относительности время между событиями и их последовательность зависят от системы отсчета. Световой конус будущего, исходящий из точки O вверх (при фиксированном t – сфера, соответствующая распространению света во всех направлениях на расстояние ct, начавшемуся в момент t = 0, из точки О), представляет события, которые должны случиться после события O. Световой конус прошлого представляет события, которые должны произойти ранее O: он состоит из точек, откуда свет достигнет O в момент t = 0. Все точки вне двойного конуса представляют события, которые в зависимости от системы отсчета могут случиться как раньше, так и позже события O.

Любое событие, располагающееся внутри конуса будущего, всегда (во всех системах отсчета) происходит после события O. Поэтому событие O может, в принципе, быть его причиной. Любое событие, лежащее внутри конуса прошлого, всегда происходит до события O. Поэтому оно может, в принципе, быть причиной O. Любое событие, лежащее вне светового конуса, может происходить как до, так и после O, в зависимости от система отсчета. Поэтому между ним и событием O не может быть причинно-следственной связи. Сам световой конус не меняет формы при преобразованиях Лоренца, т.е. выглядит одинаково во всех системах отсчета, и это согласуется с опытным фактом, на котором основывается частная ТО, а именно, что скорость света в вакууме не зависит ни от движения источника, ни от движения наблюдателя.







                                          















                            Замедление времени.

Так называемое замедление времени или замедление хода движущихся часов, – явление, аналогичное рассмотренному выше сокращению длины. Оно состоит в изменении в  раз длительности измеряемых временных промежутков. Здесь есть два важных следствия, одно из которых имеет непосредственное приложение в физике.

Рассмотрим, как и прежде, двух наблюдателей P и Q и два события D и E, например в истории Q. Предположим, что в системе отсчета, где Q покоится (система Q), событие E происходит t секундами позже события D. Тогда в системе, где покоится P (система P), эти два события происходят в точках, разделенных расстоянием v t, а E происходит после D не через t, а через  t секунд. Поскольку всегда  > 1, время между двумя событиями, измеренное в системе P, где события происходят в разных точках, всегда больше, чем в системе Q, где они происходят в одной точке. Скорость наблюдателя Q в системе P есть просто относительная скорость двух систем отсчета.

Релятивистское замедление времени было экспериментально подтверждено многими опытами, из которых наиболее наглядным является следующий. В космических лучах присутствуют мюоны – нестабильные элементарные частицы, которые можно также получить на ускорителе. Как показывают лабораторные эксперименты, спустя время t = 210–6 с после рождения эти частицы распадаются на электроны и нейтрино. Рождаются же мюоны в атмосфере из других космических частиц на высоте около 10 км и движутся к земле со скоростью v  0,998 c, т.е. почти со скоростью света. Однако движущаяся с такой скоростью частица, согласно ньютоновской механике, может до своего распада пройти расстояние vt, равное всего 600 м. Следовательно, мюоны никак не могли бы достичь земной поверхности, если принять во внимание высоту, на которой эти частицы рождаются. Тем не менее они обнаруживаются на уровне моря. Объясняется это противоречие тем, что время жизни определялось в системе отсчета, где мюон покоится. В действительности же мюон движется относительно Земли с большой скоростью и вследствие релятивистского замедления времени интервал между событиями его рождения и распада различен для системы отсчета, в которой частица покоится, и системы, в которой она движется с большой скоростью. При переходе от системы покоя мюона к системе, в которой он движется со скоростью порядка 0,998 c, время жизни мюонов возрастает от t до  t, т.е. примерно в 16 раз. Измеренное лабораторными методами расстояние, проходимое мюонами от рождения до распада, составит v t = 16600 м, т.е. около 10 км. Этим и объясняется возможность наблюдения мюонов на уровне моря.



                                 



























            Релятивийский закон сложения скоростей.

Напомним, что кинематика не занимается поиском причин движения, а утверждает, например, следующее: если скорости заданы, то можно найти результат сложения скоростей. Вопросы динамики частиц (она занимается причинами движений) требуют отдельного рассмотрения (см. Главу 4). 

Сделаем теперь замечание по поводу релятивистского закона сложения скоростей. Для двух систем, непосредственно участвующих в относительном движении, не возникает сомнения при определении их относительной скорости (ни в классической физике, ни в СТО). Пусть система движется относительно системы со скоростью ; аналогично, система движется относительно со скоростью . Фактически, релятивистский закон сложения скоростей определяет относительную скорость того движения, в котором наблюдатель сам не участвует. Скорость движения системы относительно определится так: 



(1.5)




Именно в таком виде (хотя обычно выражают через и ) раскрывается истинная суть этого закона: он говорит о том, какую относительную скорость систем и будет регистрировать наблюдатель в , если будет пользоваться правилом Эйнштейна для синхронизации времени (с помощью световых сигналов) и измерения длин. Фактически мы опять имеем "закон видимости". (Для случая возможной параметрической зависимости скорости света от частоты это выражение будет изменено - см. Приложения.) 

Рассмотрим следующее методическое замечание. Весьма странным для кинематических понятий является некоммутативность релятивистского закона сложения скоростей для неколлинеарных векторов. Свойство некоммутативности (и то, что преобразования Лоренца без вращений не составляют группу) слегка упоминается лишь в некоторых учебниках теоретической физики. Однако, например, в квантовой механике аналогичное свойство существенно меняет весь математический аппарат и физически выражает одновременную неизмеримость некоммутирующих величин. 

Из общего релятивистского закона сложения скоростей 



(1.6)




видно, что результат зависит от порядка преобразования: например, в случае последовательности 






где и - орты прямоугольной системы координат, получаем нулевую итоговую скорость, а для другого порядка тех же величин 






получим ненулевую скорость, которая весьма сложно зависит от скоростей и . Последовательное применение преобразований (движений) и приводит к 






а в другом порядке и приводит к 






то есть получаем разные вектора (Рис. 1.21). 



Рисунок 1.21: Параллелограммы скоростей в СТО.

Что же в таком случае может означать разложение вектора скорости на компоненты? Во-первых, перенос простейших классических методов расчетов (коммутативной алгебры) на релятивистские уравнения (некоммутативные) неправомерен: даже решение векторных уравнений покомпонентно требует дополнительных постулатов, усложнений или разъяснений. Во-вторых, невозможно простое применение методов классической физики (принципа виртуальных перемещений, вариационных методов и т.д.). Пришлось бы даже ноль "индивидуализировать": количество "нулевых" величин, составленных из некоторой векторной комбинации должно быть равным количеству "нулевых" величин, составленных из зеркальной векторной комбинации. Следовательно, и теория флуктуаций также нуждалась бы в дополнительном обосновании. Таким образом, вопреки тезису "о простоте и элегантности СТО" для правильного обоснования даже простейших процедур пришлось бы вводить множество искусственных усложнений и разъяснений (чего нет в учебниках). 

Рассмотрим логическое противоречие релятивистского закона сложения скоростей на примере одномерного случая. Пусть имеем весы, имеющие форму горизонтального желоба с горизонтальной поперечной осью посредине желоба. По желобу будут катиться два одинаковых шарика массы в разные стороны от оси (Рис. 1.22). 



Рисунок 1.22: Закон сложения скоростей и противоречие весов.

Чтобы пока избежать обсуждения свойств релятивистской массы поступим так. Пусть трение оси весов отсутствует всюду, исключая точку горизонтального положения ("мертвая точка"). В этом положении порог силы трения не позволяет сдвинуться весам за счет возможной малой разности релятивистских масс (между шарами), но этот порог чувствительности не может воспрепятствовать вращению весов (с "мертвой точки") при отсутствии одного из шаров (если он упадет). Пусть скорости шаров в системе весов одинаковы по модулю. Тогда в этой системе шары одновременно докатятся до краев и упадут вниз, так что весы останутся в горизонтальном положении. Рассмотрим теперь то же движение в системе, относительно которой весы движутся со скоростью . Пусть только , а , где - скорость звука в материале желоба. Тогда весы можно считать абсолютно жесткими (игнорировать акустические волны). Согласно релятивистскому закону сложения скоростей 






Движение средней точки со скоростью 






всегда отстает от движения весов. Таким образом, первым свалится шарик, движущийся против направления движения весов. В результате равновесие нарушится и весы начнут вращаться. Имеем противоречие с данными первого наблюдателя. Что будет с наблюдателем, если он будет стоять под правой частью весов? 

Могут ли преобразования Лоренца описывать последовательные переходы от одной инерциальной системы к другой и отвечает ли релятивистский закон сложения скоростей реальным изменениям скорости? Конечно, нет. Для начала напомним, какой смысл вкладывается в релятивистский закон сложения скоростей. Он должен доказывать, что сложение движений не может привести к скорости, большей скорости света. Как в таком случае можно складывать движения? Например, относительно звезд движется наша Земля (фактически существует первая движущаяся система отсчета), с Земли взлетает космический корабль с большой скоростью (фактически "создана" вторая движущаяся система отсчета), затем с этого космического корабля взлетает следующая ракета (третья система отсчета) и т.д.. Именно это должно иметься в виду под последовательным применением преобразований. Тогда отпадает, например, вопрос о том, какую скорость в законе сложения скоростей считать первой, а какую второй (это важно для некоммутативных преобразований). В этом смысле и приводились все примеры выше. 

Рассмотрим теперь преобразования Лоренца для произвольных направлений движения: 













Легко проверить, что последовательное применение релятивистского закона сложения скоростей (1.6) к величинам 



(1.7)




дает ноль. Применим к произвольному вектору последовательно преобразования Лоренца с тем же набором скоростей. Имеем: 













Далее имеем: 













Выражения для и не будем выписывать в явном виде ввиду их громоздкости. Однако, используя графические программы можно убедиться в следующих свойствах: 
1) в новой системе начальное время десинхронизовано в любой точке пространства, кроме начала координат. 
2) Промежутки времени изменились: , то есть мы попали не в первоначальную покоящуюся систему, а в новую движущуюся систему. Следовательно, как минимум, в учебниках не совсем точно раскрывается смысл преобразований Лоренца или релятивистского закона сложения скоростей. 
3) Отрезки оказываются не только измененной длины, но и повернутыми. В этом легко убедиться, если найти численно угол поворота, то есть разность 













Можно сколько угодно математически объяснять эти свойства псевдоевклидовостью метрики, однако физически все просто. Эти свойства доказывают необъективный (а только кажущийся) характер преобразований Лоренца и релятивистского закона сложения скоростей и их несогласованность между собой. Действительно, поскольку мы последовательно переходили от одной инерциальной системы к другой, а поворот означает неинерциальность системы, то СТО сама выходит за рамки собственной применимости, то есть противоречива. Если бы этот поворот был реальным, то это означало бы необъективность понятия инерциальной системы (так как результат зависел бы от способа перехода к данной системе) и, как следствие, об отсутствии самой базы для существования СТО. 

Попробуем разобраться, почему же трактовки из учебников приводят к несогласованности двух выражений: релятивистского закона сложения скоростей и преобразований Лоренца, несмотря на то, что первое выражение выводится из второго. Напомним этот вывод на примере одномерного взаимного движения систем и . Исходя из преобразований Лоренца 






делим дифференциал на с учетом определений и и получаем: 






Отсюда видно следующее: 
1) наблюдатель находится в центре системы и измеряет расстояние до исследуемого тела в своей системе . 
2) он считает время единым в своей системе и определяет скорость тела в своей системе . 
3) он измеряет скорость системы относительно , пользуясь своим (!) временем , и считает относительные скорости систем взаимно обратными по направлению. Ничего другого этот наблюдатель измерить не может: итоговая величина скорости является вычисляемой величиной. Таким образом, мы приходим к трактовке [49], изложенной ранее: релятивистский закон сложения скоростей определяет скорость того относительного движения, в котором сам наблюдатель не участвует. Этот эффект не реальный, а кажущийся (когда пользуемся определенными правилами СТО). По сути формулы мы не можем просто перейти ко второй подстановке для определения , хотя формально в выражение релятивистского закона сложения скоростей можно последовательно подставлять сколько угодно величин скоростей. В случае сложения движений вдоль одной прямой классическое свойство коммутативности сохраняется и противоречие оказывается завуалированным. Но если вектора скорости неколлинеарны, то пункт 3) оказывается неверным и сразу проявляется противоречивость и несогласованность закона сложения скоростей и преобразований Лоренца. 

В рассмотренном ранее примере можно поступить по-другому: будем искать последовательность трех преобразований скоростей, сохраняющую первоначальное время в преобразованиях Лоренца неизменным. Тогда легко проверить, что вместо (1.7) может быть взята единственная последовательность: 



(1.8)




Однако, во-первых, поворот отрезков остается. Во-вторых, новый набор скоростей не удовлетворяет в данной последовательности закону сложения скоростей, то есть фактически поменялся порядок подстановки скоростей и в закон сложения скоростей (что не соответствует сути этого закона). Таким образом, противоречия все равно не устраняются. Одним из проявлений противоречивости СТО является прецессия Томаса: исходя из последовательности инерциальных систем (движущихся прямолинейно и равномерно) вдруг в итоге получается вращение предмета (принципиально неинерциальное движение). Таким образом, переход от излагаемых в стандартных учебниках преобразований Лоренца в "математическом пространстве" () к преобразованиям Лоренца в "пространстве" или содержит физические противоречия. 

Многие интуитивно понятные свойства физических величин теряют свой смысл в СТО. Например, относительная скорость перестает быть инвариантной. Частицы, вылетающие вдоль одной прямой с разными скоростями образуют в СТО сложный "веер скоростей" для движущейся системы. Изотропное распределение по скоростям в СТО перестает быть таковым для другой движущейся системы. Никакого заявляемого упрощения в СТО на самом деле нет. 

Из СТО вовсе не следует невозможность скоростей . И добавление о том, что это относится только к скорости передачи сигнала - искусственное добавление (ввиду наличия очевидных контрпримеров к расширенному толкованию). Однако, даже с подобным добавлением остается недостаточно детерминированным понятие сигнала (информации). Например, получая сигнал от вспышки сверхновой, разве мы не уверены, что такая же информация "содержится" на диаметрально противоположном расстоянии от сверхновой, то есть мы знаем об этом со скоростью ? Или это не информация? Следовательно, в СТО может иметься ввиду только информация на материальном носителе электромагнитной природы, распространяющаяся в вакууме последовательно через все точки пространства от источника до приемника сигнала. 

Сделаем одно замечание по-поводу "удивительности" релятивистского закона "сложения" скоростей, позволяющего обмениваться световым сигналом, даже когда алгебраическая сумма скоростей оказывается больше . Обратим внимание на очевидный факт: сигналы для обмена информацией должны посылаться обязательно в направлении объекта, а не в противоположном направлении. Поэтому нет ничего удивительного в обмене сигналов, когда и в классическом случае в результате формального сложения скоростей оказывается . Пусть два самолета взлетают с аэродрома со скоростями и разлетаются друг от друга в противоположных направлениях оси (то есть с относительной скоростью ). Возможен ли между ними обмен звуковыми сигналами? Разумеется! Так как звуковая волна распространяется в воздухе независимо от скорости источника в момент испускания сигнала, то первый самолет (пославший сигнал) будет догонять фронт волны, распространяющийся в положительном направлении оси , а второй самолет будет "соревноваться" с фронтом волны, распространяющимся в отрицательном направлении оси . Оба самолета движутся медленнее, чем распространяются соответствующие ближайшие к ним участки фронта волны (Рис. 1.23). 



Рисунок 1.23: Обмен сигналом.

Таким образом, сумма скоростей в реальности сопоставляется (сложным образом) не со скоростью звука, а с величиной (а для света - с величиной ). 

Очевидно также, что физическое ограничение на величину скорости не может накладываться математикой (тот факт, что под знаком радикала в некоторых выражениях будет стоять отрицательная величина). Надо просто вспомнить, что все формулы СТО получены с использованием обмена световыми сигналами (метод синхронизации Эйнштейна). Если же тело сразу движется быстрее света, то его просто не сможет догнать сигнал, посланный вдогонку. Аналогично можно ввести синхронизацию с помощью звука (и также будут особенности в формулах), но отсюда вовсе не будет следовать невозможность сверхзвуковых скоростей. Скорость распространения возмущений (звуковых или световых) в среде никак не связана со скоростью движения некоторого тела сквозь эту среду. 













                               

                               



























                               Взаимосвязь массы и энергии.

Полную энергию свободного тела можно определить как произведение его  релятивистской массы на квадрат скорости света в вакууме:



Полная энергия тела пропорциональна его массе. В той ИСО, где тело покоится, его собственная энергия (энергия покоя или внутренняя энергия) равна: . Энергия покоя тела является его внутренней энергий. Она состоит из суммы энергий покоя всех частиц тела, кинетической энергии всех частиц относительно общего центра масс и потенциальной энергии их взаимодействия. Следовательно, энергия покоя (и масса покоя) тела не равна сумме энергий покоя (масс покоя) частиц, из которых состоит тело. Т.е. в релятивистской механике не выполняется закон сохранения массы покоя. Например, масса покоя атомного ядра меньше суммы масс покоя частиц, входящих в ядро.

Кинетическая энергия свободного тела представляет собой разность между полной энергией тела и энергией покоя: . 

Т.о. при малых скоростях получаем известную формулу . 

В этом случае кинетическая энергия значительно меньше энергии покоя. В случае релятивистских частиц - наоборот, можно считать, что полная энергия частицы равна кинетической энергии.

Между полной энергией, энергией покоя и импульсом существует следующая связь: .

 Если изменяется энергия системы, то изменяется и ее масса: . Всякое изменение любой энергии (тела, частицы, системы тел) на  сопровождается пропорциональным изменением массы на m. 

Нельзя говорить, что при этом масса переходит в энергию. В действительности энергия переходит из одной формы (механической) в другие (электромагнитную и ядерную), но любое превращение энергии сопровождается превращением массы.