Урок обобщения и систематизации знаний "Арифметическая прогрессия" 9 класс

Муниципальное бюджетное общеобразовательное  учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №3»

Островского района Псковской  области











Конспект урока по алгебре 
в 9 классе

«Арифметическая прогрессия»





подготовила 

учитель математики

Фадеева Любовь Анатольевна













г. Остров

 2013



Урок обобщения, систематизации знаний по алгебре в 9 классе

(урок рассчитан на 2 часа)



Тема урока: «Арифметическая прогрессия»

Цель урока:

Oбеспечить повторение материала темы, 

проверить усвоение определения арифметической прогрессии, знание основных формул арифметической прогрессии, 

закрепить  умение применять  формулы при решении различных задач.

совершенствовать умение учащихся применять полученные знания при подготовке в ГИА по математике.



Ход урока

Организационный момент

Устная работа.

Какие из приведенных ниже последовательностей являются арифметическими прогрессиями, объясните свой ответ.



а) –2; 0; 2; 4; …

б) –5; 5; –5; 5; …

в) 2; 2,5; 3; 3,5; 4; …

г) 1; 4; 9; 16; …

д) 1;  …

е) 0; 10; 20; 30; 40; …

ж) а; а + 3; а + 6; а + 9; …

Ответ: а), в), е), ж) 



Являются ли следующие примеры арифметическими прогрессиями? Поясните свой ответ.

- последовательные натуральные числа,

- последовательность положительных нечетных чисел,

     - последовательность отрицательных четных чисел, 

     - постоянная последовательность, например 5, 5, 5, 5, 

Ответ: все примеры являются арифметическими прогрессиями.



    На доске записаны основные формулы арифметической прогрессии, назовите, что это за формулы:



   –Ответ:  формула п-го члена

                             арифметической прогрессии.





ап + 1 – ап = d.

Ответ: Формула для нахождения разности арифметической прогрессии





                              Ответ: свойство арифметической прогрессии

  Ответ: аналитическая формула арифметической прогрессии 


                  Ответы: – формулы суммы п первых членов

                                                 арифметической прогрессии.





Выполнение упражнений.  

Задания на «прямое» применение формул арифметической прогрессии:

1. Является ли арифметической прогрессией последовательность, заданная формулой:

а) хп = 2п + 1;

б) уп = п2 – п;

в) zn = –64?

2. Найдите разность арифметической прогрессии:

а) 17; 13; 9; …

б) (хп), если х10 = 4, х12 = 14;

в) (уп), если уп = 3п – 0,5.

3. (ап) – арифметическая прогрессия, вычислите:

а) а7, если а1 = 1, d = –2;

б) а10, если ап = 17 · п – 100;

в) а12, если а1 = 0, а2 = 3.

4. Вычислите сумму первых n членов арифметической прогрессии:

а) Найдите сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии, если а1 = 16,5; d = –1,5.

б) Найдите сумму первых сорока членов последовательности, заданной формулой ап = 3п + 2.

в) Найдите  сумму  десяти  первых  членов  арифметической  прогрессии (ап), если а1 = 8, а7 = 26.



Задания на нахождение различных величин арифметической прогрессии при наличии дополнительных условий и ограничений, сводящиеся к решению систем уравнений, неравенств.

Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 300.

Решение: (ап) – арифметическая прогрессия;

ап = 4п, ап ≤ 300;

4п ≤ 300;

п ≤ 75, значит, п = 75 – количество таких чисел.

а1 = 4; а75 = 4 · 75 = 300;

S75 = = 11400.

О т в е т: 11400.



Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии (cn), если c7=18,5 и c17=-26,5

Решение: (сп) – арифметическая прогрессия;

с7 = 18,5; с17 = –26,5.





S20 =  · 20;  S20 =  · 20 = 55.

О т в е т: 55.



Решение задач на применение арифметической прогрессии:

Бригада стеклодувов изготовила в январе 80 изделий, а в каждый следующий месяц изготовляла на 17 изделий больше, чем в предыдущий. Сколько изделий изготовила мастерская в августе?



Решение: а1=80, d=17, а8=?

а8=а1+d(n-1)

a8=80+17(8-1)

a8=199

Ответ: 199 деталей изготовит бригада в августе.



При свободном падении тело прошло в первую секунду 5м, а в каждую следующую на 10м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло его дна через 5 с. после начала падения.

 Решение.  а1=5, d=10,  S5=?

 а5=а1+4d; а5=45.

S5=(a1+a5)·n:2; S5=(5+45)·5:2=125; 

Ответ: 125м глубина шахты.

При хранении бревен строевого леса их укладывают как показано на рисунке. Сколько брёвен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен? 



Решение. 1, 2, 3, 4,…,12. Это арифметическая прогрессия, где а1=1, d=1,аn=12. Надо найти n.

    аn=a1+d(n-1); 12=1+1(n-1); n=12.

    Sn=(a1+an)∙n:2; Sn=(1+12)·12:2; Sn=78.

Ответ: В одной кладке находится 78 бревен.



Дифференцированная самостоятельная работа.

   Учащиеся сами выбирают задания определенного уровня из предложенных  и работают за партами самостоятельно, при необходимости обращаясь к учителю. После выполнения всех заданий, производится самопроверка. Выставляются баллы в соответствии с выбранным уровнем.



Базовый уровень (на «3»)

Пусть (вn) - арифметическая прогрессия;

1) в1=11, d=3. Найдите в11.

2) в1=137, d= -7. Найдите S10.

3) в43= - 208, d= - 7. Найдите в1.

4) в1=28, в15= - 21. Найдите d.

Задания на "4". 

Найти разность арифметической прогрессии: а1 = 12, а5 = 40 

Найти первый член арифметической прогрессии: а7 = 9, d = 40 

Число 29 является членом арифметической прогрессии 9, 11, 13,: Найдите номер этого члена. 

Найти девятнадцатый член арифметической прогрессии. а13 = 10, а20 = 38 

Задания на "5". 

Найти аn, если а1 = 40, n = 20, S20 = 40 арифметической прогрессии. 

В арифметической прогрессии 59, 55, 51,: Найти сумму всех её положительных членов. 

Составьте формулу n - го члена арифметической прогрессии. а3 = 12, а10 = 40 

Найти сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии (аn), заданной формулой n - го члена аn = - 2n + 8 









Ответы к самостоятельной работе:



№ задания

Базовый уровень

На «4»

На «5»

1

41

7

-36

2

1055

-231

465

3

86

11

4n

4

-3,5

34

-690

Итоги урока.

В ходе беседы с учащимися обсуждаются следующие вопросы:

- какие основные формулы необходимо знать при решении задач на арифметическую прогрессию?

- какие задания вызвали затруднения при решении?

VI.  Домашнее задание: выполнить тест (тесты оформлены на отдельных листах для каждого учащегося).

Задание №1

Укажите пятый член арифметической прогрессии:
6; 7; 8; 9; 10; 11; ...
1) 11
2) 10
3) 8
4) 7
Задание №2
Укажите разность  арифметической прогрессии:
6; 6,1; 6,2; ...
Запишите число:
___________________________
Задание №3
Укажите члены арифметической прогрессии, заданной формулой an = 4n - 1:
Выберите несколько из 4 вариантов ответа:
1) -1
2) 7
3) 11
4) 13
Задание №4
Запишите четвертый член арифметической прогрессии, если a1 = 2, d = 3
Запишите число:
___________________________

Задание №5
Запишите шестьдесят первый член арифметической прогрессии, если а1 = 20, d = 1,5:
Запишите число:
___________________________
Задание №6
Найдите сумму первых восьмидесяти членов арифметической прогрессии, если a1 = 2, a80 = 58 :
Запишите число:
___________________________
Задание №7
Арифметические прогрессии заданы формулами n-го члена. Укажите те из них, у которых разность d равна 4.
Выберите несколько из 4 вариантов ответа:
1) xn = 4n - 9
2) xn = -4n + 1
3) xn = 2n + 4
4) xn = 38 + 4n
Задание №8
Вопрос: В первом ряду кинозала 28 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) 28
2) 28 + n
3) 26 + 2n
4) 26n

Задание №9
Дана арифметическая прогрессия: 20; 15; 10; … . Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) -5
2) 0
3) -10
4) -1
Задание №10
Вопрос:
Дана арифметическая прогрессия: -50; -25; 0; … . Найдите первый положительный член этой прогрессии.
Запишите число:
___________________________




Ответы к тесту:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2

0,1

2,3

11

110

2400

1,4

3

1

25





 









































Список использованной литературы




Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Алгебра 9 класс. – М.: «Просвещение» 2010 г.

Ященко И.В, Шестаков С.А. ГИА 2013 Математика 9 класс. – М.:»Экзамен» 2013

Семенов А.В., Трепалин А.С., Государственная итоговая аттестация выпускников 9 классов в новой форме. Математика 2013., - М.:»Интеллект-центр» 2013 г.

Под ред. Мальцева Д.А., Математика 9 класс. Итоговая аттестация 2013 – М.: «Народное образование», 2013 г.