Конспект урока по теме «Системы линейных уравнений. Метод Гаусса» для 9-11 классов

ГБОУ средней общеобразовательной школы №618 г. Москвы



















Конспект урока

по теме

«Системы линейных уравнений.

Метод Гаусса»





Предмет: алгебра

Контингент: 9 – 11 класс

Тип урока: урок - лекция



Автор:

Макарова Татьяна Павловна, 

учитель математики

ГБОУ средней общеобразовательной школы №618

г. Москвы









Конспект урока по теме «Системы линейных уравнений. Метод Гаусса»

Автор:

Макарова Татьяна Павловна, 

учитель математики

ГБОУ средней общеобразовательной школы №618 г. Москвы



Цели урока:

Формирование и закрепление у учащихся навыков решения систем линейных уравнений методом Гаусса.



Задачи урока:

Сформировать навыки и умения решения систем линейных уравнений, используя метод Гаусса.

Прививать интерес к предмету через привлечение различных источников информации; расширять кругозор учащихся; способствовать формированию исследовательских и коммуникативных компетенций, навыков само- и взаимопроверки.

Развивать логическое мышление, способность к абстрагированию, анализу. 

Воспитывать самостоятельность и активность учащихся.



Тип урока: урок – лекция



Методы и педагогические приёмы: 
• словесный метод; 
• наглядный метод; 
• методы самостоятельной учебной работы и работы под руководством учителя; 
• методы контроля (устный, письменный); 
• методы самоконтроля и взаимоконтроля; 
• дифференцированная работа.



Формы организации совзаимодействия на уроке: учебная, групповая работа, индивидуальная работа



Оборудование: раздаточный материал



Контингент: 9-11 классы









Ход урока


I. Организационный момент (приветствие учащихся).



II. Актуализация. 
     Продолжаем рассматривать системы линейных уравнений. 

     Сначала немного систематизируем знания о системах линейных уравнений.

Фронтальный опрос:

Сколько решений может иметь система линейных уравнений?

Предполагаемый ответ учащихся:

Система линейных уравнений может:

1) Иметь единственное решение.
2) Иметь бесконечно много решений.
3) Не иметь решений (быть несовместной).

Какие методы решения систем линейных уравнений вы знаете?

Предполагаемый ответ учащихся:

Метод подстановки, сложения, графический метод.



III. Основная часть.

     

     Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений. 

     

     Известный немецкий математик Иоганн Карл Фридрих Гаусс еще при жизни получил признание величайшего математика всех времен, гения и даже прозвище «короля математики». А всё гениальное, как известно – просто!

     

     Метод Гаусса - метод последовательного исключения неизвестных. 

     Рассмотрим систему, состоящую из n уравнений первой степени с n неизвестными, или систему линейных уравнений.

               (1)

     Первый индекс коэффициентов при неизвестных обозначает номер уравнения, а второй - номер переменной. Такая система может быть несовместной, если она не имеет решения, и совместной, если имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определенной, а более одного - неопределенной.

При    помощи    элементарных    преобразований    сначала исключаем из всех уравнений, кроме первого, переменное x1. Далее исключаем из всех уравнений, кроме первого и второго, переменную x2   и так далее. В конечном итоге мы приходим к системе следующего вида:

		                  (2)

     Если в полученной системе  (2)  в последнем уравнении свободный член     не равен нулю, а коэффициент    в левой части равен нулю, то исходная система (1) несовместна, т.е. не имеет решений. Если в системе (2) все коэффициенты в левой и правой части последнего уравнения равны нулю, тогда система (1) будет совместной неопределенной. В остальных случаях система будет обладать единственным решением.

Напомним, что к элементарным преобразованиям системы относятся следующие:

1). Перемена местами двух уравнений в системе;

2). Умножение какого - либо уравнения системы на действительное число, не равное нулю.

3). Прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число, не равное нулю.

Системы линейных уравнений (1) и (2) являются эквивалентными, т.к. множество их решений совпадают.

На практике более удобным оказывается применение метода Гаусса не, собственно, к самой системе линейных уравнений, а к ее расширенной матрице. Когда расширенная матрица будет приведена к треугольному виду, на этом цепь элементарных преобразований над матрицей завершается.

     Пример 1. Найти решения системы уравнений:



Решение.   Выпишем расширенную матрицу данной системы. Первый столбец   будет   стоять   из   коэффициентов,   находящихся   при переменной х1, второй    столбец     -     соответственно    из коэффициентов при х2, третий столбец - из коэффициентов при х3, четвертый столбец расширенной матрицы - из свободных членов.

	

	

     

	Расширенная  матрица коэффициентов  исходной  системы (A/b) сводится к треугольной матрице (A’/b’) последовательными элементарными преобразованиями:

1). Первая строка матрицы (А/b) умножается на (-2) и на (-5) и прибавляется соответственно ко второй и третьей строке.

2). Вторая строка умножается на 1/7.

3). К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на (-17).

Треугольная   система,   соответствующая   матрице (A’/b’) имеет вид:



		

Откуда единственное решение системы находится следующим образом: x3= –1;из второго уравнения  x2=1+x3=0;из первого уравнения  x1=–3+3x2 – 4x3=1. 

Таким образом, тройка чисел (1;0;-1) является решением исходной системы линейных уравнений, что можно легко проверить подстановкой.

Пример 2. Решите систему уравнений:



Решение.      





Последней строке матрицы (A’/b’) соответствует уравнение эквивалентной системы , которое не имеет решений.

Ответ: решений нет.



III. Закрепление пройденного материала. Работа в группах.

Задание. Решить систему уравнений методом Гаусса.

Номер группы

Задание. Решить систему уравнений методом Гаусса.

Ответ

1





1.(3,2,1)

2. решений нет

2





	(0;2;-3)

	(-2;0;1;-1)

3





1.(11;-2;-3)

2.(1;1;1;1)

4







1.(2;-2;2;-1)

2.

(11;7;-5;4;-1)






Закрепление пройденного материала. Самостоятельная работа.



Вариант 1

Вариант 2

1. Решить систему уравнений методом Гаусса.

а)  

Ответ: (1 ; -1; 2)

а)  

Ответ: нет решений

б)

Ответ

б)

Ответ ( -1; -1; -1; -1; -1)



IV. Подведение итогов урока. Рефлексия. 
Выбери вариант соответствующий твоим ощущениям после сегодняшнего занятия. 
1. Я все знаю, понял и могу объяснить другим! 
2. Я все знаю, понял, но не уверен, что смогу объяснить другому. 
3. Я сам знаю, понял, но объяснить другому не смогу. 
4. У меня остались некоторые вопросы. 

V. Домашняя работа. 
Решить системы уравнений методом Гаусса:

 

Ответ: бесконечное множество решений.



.





VI. Список использованной литературы

1 . http://www.mathprofi.ru/metod_gaussa_dlya_chainikov.html

	 http://ru.wikipedia.org/wiki/

	  http://mathserfer.com/theory/pyartli1/node54.html

	



Макарова Т.П., ГБОУ СОШ №618Страница 7