Конспект урока по Алгебре "Способы решения квадратного уравнения. Использование частных соотношений коэффициентов" 8 класс

Урок в 8 классе по алгебре с применением технологии критического мышления в процессе преподавания математики.

Тема:   «Способы решения квадратного уравнения. Использование частных соотношений коэффициентов»

Учитель: Гусак Валентина Арсентьевна  КГУ «Новосветловская средняя  школа».



Цели: -расширить знания способов решения квадратных уравнений, повторить теорему Виета, изучить свойства коэффициентов;

-подготовить учащихся к выполнению теста;

-воспитывать коллективизм, поддержку в командах;

-развивать логическое мышление, быстроту, сообразительность;

-учить грамотной математической речи;

-формировать у учащихся умение прислушиваться к ответам своих товарищей,отстаивать свое решениеесли уверены вправильности ответа.



Оборудование и раздаточный материал: проектор, компьютер, карточки с заданиями и сигнальные карточки, стикеры, ватманы, магниты.

План урока:

Этапы урока

Время, мин

Приемы и методы

1. Этап актуализации знаний.

2.  Мотивация учебной проблемы

5

Беседа учителя

3.  Основное содержание урока. Формирование и закрепление у учащихся представления о свойствах коэффициентов квадратного уравнения.

4. Проверка понимания материала темы.

15





8

Групповая работа. Изучение темы и составление постеров, вопросов высокого и низкого порядков.

5. Закрепление изученного материала.Формирование умений и навыков.

6. Ассоциации.

3



3

Защита постеров. Ответы на вопросы 

7. Проверка усвоения знаний.



5

Ранжирование по признакам, работа по карточкам. Проверка решений.

8. Рефлексия

3

Пожелание. «Дартс».



Ход урока

Этап

Время

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Ресурсы

Эмоциональный настрой на урок.

3

Встать в круг. Игра летает, не летает.

 На дворе весна, апрель месяц. Вернулись перелетные птицы. 

На столах лежат карточки, найдите  какие перелетные птицы к нам прилетели, образуйте группы по 6 человек.(4 группы)

Формируют группы:

  скворцы, цапли, грачи, лебеди.

картинки с птицами 

журавли, ласточки, скворцы, цапли.

Этап актуализации знаний. Мотивация учебной проблемы. Постановка целей 

- я знаю что коэффициенты обладают определенными свойствами

- я могу применять данные свойства при  решении уравнений

-я могу объяснить товарищам в решении уравнений, как используются данные свойства.

2

Мы с вами уже изучили некоторые способы решения квадратных уравнений. Обсудите в группе и назовите эти способы. Заполним «Понятийное колесо».

Каждая группа назовите по одному способу. И заполните понятийное колесо.

Сегодня мы расширим представление о способах решения квадратных уравнений, используя свойства коэффициентов.

Сформулируем цели урока, чего вы должны достичь сегодня.

На кругах пишут способы решения квадратного уравнения:

1. Решение неполного квадратного уравнения

2. Выделения квадрата двучлена

3.С помощью формулы

4. Графически

5. С помощью теоремы Виета.

6. Используя формулы сокращенного умножения

7. По формуле с четным коэффициентом.

8. Другое.



круги по колличеству групп.

8 по 4=32, магниты 10 шт.

Стадия осмысления.





Формирование и закрепление представления о свойствах коэффициентов квадратного уравнения.

5









10

В восьмом классе, учащиеся знакомятся с квадратными уравнениями и способами их решения. При этом, как показывает опыт, большинство учащихся при решении полных квадратных уравнений применяют только один способ – формулу корней квадратного уравнения. Для учеников, хорошо владеющих навыками устного счета, этот способ явно нерационален. Решать квадратные уравнения учащимся приходится часто и в старших классах, а там тратить время на расчет дискриминанта просто жалко.

Тема «Свойства коэффициентов» в курсе алгебры рассматривается после изучения темы «Решение квадратного уравнения по формуле».

прием «Зигзаг». 

Каждый в группе получает ресурс, один из трех, пронумерованный 1,2,3.

Каждый знакомится с материалом и формируются новые группы по 6 человек (с №1, с №2, с №3).

на постерах 

«Зигзаг» (один из вариантов использования приемов). Класс разделен на четверки, у каждого школьника номер от 1 до 4. Дети работают с текстом, каждый сосредоточен на части с соответствующим номером, затем первые номера объединяются с первыми, вторые – со вторыми и т.д. для обсуждения своей части текста,  составления схемы рассказа по теме и выбора представителя, который проведет итоговую презентацию. Вернувшись в свою группу, школьники по схеме рассказывают о своей части текста, слушают других, делают записи в тетрадях, затем эксперты от каждого номера проводят презентации своих тем, все остальные вносят уточнения и дополнения.  

Ресурсы (№1,№2, №3) на 4 группы.

Проверка понимания материала темы



8

Группе «Цапля» предоставляется возможность защитить свой постер. 

Остальным участникам подготовить по два вопроса  для осмысления и закрепления данной темы.

Защита постера и ответы на вопросы.

Когда целесообразней изучать свойство коэффициентов, до или после изучения теоремы Виета?



маркеры, 6 ватманов.

Закрепление изученного материала. Формирование умений и навыков.

3

Найдите три признака, общих для данных свойств и три отличия. 

Какое слово созвучно со свойством, в котором несколько раз мы слышим и произносим «ца», дробь «це» на «а».  Подумайте, на что похоже по произношению, выглядит единица  как, произносится как…и это слово  уже сегодня звучало в аудитории?

В природе существуют несколько видов цапли. Есть белая цапля и серая цапля. Как вы думаете, какую цаплю можно соотнести к какому из свойств?



Группы отвечают: 

1. Используются все три коэффициента 

2. К сумме (с+а)…. 3.Похожие формулы корней.

(с+а)+-в   

+-1   

+-с/а.



Диалогическая беседа. Обсуждение слайда.



слайд «Цапля белая и серая»

6. Ассоциации

3

Какое слово созвучно со свойством, в котором несколько раз мы слышим и произносим «ца», дробь «це» на «а».  Подумайте, на что похоже по произношению, выглядит как, произносится как…«Цапля». 

Обсудите и назовите, что есть общего и в чем различия между белой и серой цаплей? Назовите по оному признаку и соотнесите с цаплями.

Выглядит, как…

Звучит, как…

При условии: а+в+с=о

«Цапля» белая







При условии: 

а-в+с=о

«Цапля» серая











7.Проверка усвоения знаний.

5

-5х² - 8х – 3=0

3х2-10х+7=0

4х2-11х+7=0

-2х2-4х+6=0

3х² + 11х – 4=0  

х² - 4х +3=0  

3х² - 2х – 5=0

х² + 7х – 8=0

х² + 6х – 7=0  

х² - 7х + 10=0



Выполните задание. Разложите в три колонки уравнения, решаемые по свойству «белой цапли», «серой цапли» и по формуле, через дискриминант.

Назови корни уравнений.

ресурс 4.

8. Рефлексия.

3

Подведем итог нашей работы в виде игры в «Дартс».

На стикерах напишите 1 пожелание и 1 замечание и приклейте в один из секторов.

Пишут пожелания.

стикеры, плакат.









РЕСУРС №1

Использование частных соотношений коэффициентов.

Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.



Корни квадратного уравнения, сумма всех коэффициентов которого равна нулю



Если в квадратном уравнении сумма всех его коэффициентов равна нулю (), то корнями такого уравнения являются  и отношение свободного члена к старшему коэффициенту .

Доказательство

Способ 1. Сначала выясним, действительно ли такое уравнение имеет два корня (в том числе, два совпадающих):

D=b2-4ac= (-(a+c))2-4ac=a2+2ac+c2-4ac=a2-2ac+c2=(a-c)2

Да, это так, ведь при любых действительных значениях коэффициентов , а значит и дискриминант неотрицателен. Таким образом, если , то уравнение имеет два корня, если же , то оно имеет только один корень. Найдём эти корни:







В частности, если а=с, то корень будет один:  1.



Отсюда, прежде, чем решать уравнение стандартными методами, следует проверить применимость к нему этой теоремы: сложить все коэффициенты данного уравнения и посмотреть, не равна ли нулю эта сумма.















РЕСУРС №2

Использование частных соотношений коэффициентов.

Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.



Корни квадратного уравнения, в котором сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту



Если в квадратном уравнении  сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту:  (речь идёт об уравнении с вещественными коэффициентами), то его корнями являются   и число, противоположное отношению свободного члена к старшему коэффициенту.

Доказательство

Способ 2. Сначала выясним, действительно ли такое уравнение имеет два корня (в том числе, два совпадающих):

.

Да, это так, ведь при любых действительных значениях коэффициентов , а значит и дискриминант неотрицателен. Таким образом, если , то уравнение имеет два корня, если же , то оно имеет только один корень. Найдём эти корни:

.





В частности, если , то корень будет один: 

Отсюда, прежде, чем решать какое-либо квадратное уравнение, следует проверить возможность применения к нему этой теоремы: сравнить сумму старшего коэффициента и свободного члена со вторым коэффициентом.













РЕСУРС №3

Использование частных соотношений коэффициентов.

Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.



Пусть дано квадратное уравнение  ах2  + bх + с = 0, где а ≠ 0.

Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю),

 то       х1 = 1,

             х2 = 	

Доказательство

 Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

x2 + x + = 0.

 Согласно теореме Виета

x1•x2 = 1• 

x1 + x2 = - .





Если же  а – b +  с = 0, откуда b = а + с, то:

х1 = -1,

х2 = - 



Доказательство

Согласно теореме Виета

x1•x2  = - 1• ( - ),

x1 + x2 = - а + = -1 – .

		

т.е. х1 = -1 и х2 = - , что и требовалось доказать.