Статистические методы в экономике

Задача 1

	

	Провести структурно-аналитическую группировку 20 регионов страны (см. табл.3) по двум признакам-факторам, положив в основание группировки нижеуказанный для конкретного варианта признак. Рассчитайте среднее значение группировочного признака по каждой группе. Результаты отобразить в статистической таблице, оформленной в соответствии с установленными правилами.

	Постройте графически полученный ряд распределения признака в виде гистограммы.

	По результатам группировки определите:

- показатели центра распределения: средние арифметическое значение группировочного признака моду и медиану;

- показатели вариации признака:

- абсолютные показатели: размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, дисперсия.

- относительные показатели: коэффициенты осцилляции, вариации и линейной вариации;

- сделайте вывод о форме распределения на основании расчета коэффициентов асимметрии и эксцесса.

По результатам расчетов сделать вывод.



Таблица 1

Вариант

Регион

3

с 10 по 29



Выбор группировочного признака осуществляется по следующей схеме, представленной в таблице 2.


Таблица 2

Вариант

Группировочный признак

с 1 по 4

«ВРП»



Исходные данные



Таблица 3

Регион

ВВП, млн.руб.

Потребительские расходы, млн.руб.

Государственные расходы, млн.руб.

Валовые инвестиции, млн.руб.

Экспорт, млн.руб.

Средняя зп, руб.

10

36,6

18,3

3,7

6,6

8,4

2150

11

39,2

19,6

3,9

7,1

9,0

2300

12

41,8

20,9

4,2

7,5

9,6

2450

13

44,4

22,2

4,4

8,0

10,2

2600

14

66,0

33,0

6,6

11,9

15,2

2750

15

68,6

34,3

6,9

12,3

15,8

2900

16

71,2

35,6

7,1

12,8

16,4

3050

17

73,8

36,9

7,4

13,3

17,0

1900

18

35,0

17,5

3,5

6,3

8,1

2050

19

37,6

18,8

3,8

6,8

8,6

2200

20

40,2

20,1

4,0

7,2

9,2

2350

21

42,8

21,4

4,3

7,7

9,8

2500

22

55,0

27,5

5,5

9,9

12,7

2650

23

57,6

28,8

5,8

10,4

13,2

2360

24

60,2

30,1

6,0

10,8

13,8

2510

25

60,0

30,0

6,0

10,8

13,8

2660

26

62,6

31,3

6,3

11,3

14,4

2810

27

65,2

32,6

6,5

11,7

15,0

2960

28

67,8

33,9

6,8

12,2

15,6

2000

29

70,4

35,2

7,0

12,7

16,2

2150



РЕШЕНИЕ



Группировка - это разбиение совокупности на группы, однородные по какому-либо признаку. Метод группировок основывается на 2-х категориях: группировочный признак и интервал. Группировочный признак - это признак, по которому происходит объединение отдельных единиц совокупности в однородные группы. Интервал - очерчивает количественные границы групп.

Величину интервала в данной задаче можно определить следующим образом:



			(1)



х max, x min - максимальное и минимальное значение варьирующего признака. Для нахождения числа групп служит формула Стерджесса:



		(2)



1. Сначала определим количество групп (2):

где N - количество элементов совокупности. N =20

=5,32, значит групп 5

1. Определим длину интервала по формуле (1):

=7,76 млн.руб.

Величина интервала 7,76 млн.руб.

35,0 – 42,76; 42,76-50,52; 50,52 – 58,28; 58,28 – 66,04; 66,04 – 73,8



Таблица 4

№ группы

Группировка по ВВП

№ региона

ВВП, млн.руб.

I

35,0 – 42,76

18

35,0





10

36,6





19

37,6





11

39,2





20

40,2





12

41,8

II

42,76-50,52

21

42,8





13

44,4

III

50,52 – 58,28

22

55,0





23

57,6

IV

58,28 – 66,04

14

66,0





27

65,2





25

60,0





24

60,2





26

62,6





28

67,8





15

68,6

V

66,04 – 73,8

16

71,2





17

73,8





29

70,4



При построении вариационного ряда все расчеты отражаем в таблице.



Таблица 5

Инвестиции в основные фонды

Число регионов, 

Середина интервала, 







35,0 – 42,76

6

38,88

233,28

251241,53

5024830,6

42,76-50,52

2

46,64

93,28

243522,51

4870450,2

50,52 – 58,28

2

54,4

108,8

235923,91

4718478,2

58,28 – 66,04

7

62,16

435,12

228445,76

4568915,2

66,04 – 73,8

3

69,92

209,76

221088,04

4421760,8

Итого

20

272

1080,24

1180222

23604435



Средняя величина - выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.

- средняя арифметическая взвешенная 







- средняя арифметическая простая 






где Xi - варианта (значение) осредняемого признака или серединное значение интервала, в котором измеряется варианта;

n- число наблюдение;

fi - частота, показывающая, сколько раз встречается i-e значение осредняемого признака.







Показатели вариации:

- размах вариации:



,



где хmax - максимальное значение признака,

х min – минимальное значение признака;

R=73,8-35,0=38,8

среднее линейное отклонение:

 ,

где  – индивидуальные значения признака,

 – средняя величина,

f– частота;

d=272-540,12=268,12

- дисперсия:



;




- среднее квадратическое отклонение:



;





- коэффициент вариации:



.





Коэффициент вариации показывает степень однородности совокупности. Так как V > 33% - совокупность неоднородна.

- коэффициент осцилляции:





V=38,8/540,12*100%=7,18



- линейный коэффициент вариации:





V=268,12/540,12*100%=49,64



2. Производим группировку по второму признаку: Валовые инвестиции, млн.руб.

Величина интервала:

h= у max - у min /число групп

у max, у min - максимальное и минимальное значение варьирующего признака

Для нахождения числа групп служит формула Стерджесса







1. Сначала определим количество групп:

где N - количество элементов совокупности. N =20



=5,32,



значит групп 5

1. Определим длину интервала по формуле (1):

h=13,3-6,3/5=1,4 млн.руб.

Величина интервала 1,4 млн.руб.

6,3 – 7,7; 7,7-9,1; 9,1 – 10,5; 10,5 – 11,9; 11,9 – 13,3



Таблица 6

№ группы

Группировка по Валовым инвестициям, млн.руб

№ региона

Валовые инвестиции, млн.руб

I

6,3 – 7,7

12

7,5





18

6,3





10

6,6





19

6,8





11

7,1





20

7,2

II

7,7-9,1

21

7,7





13

8,0

III

9,1 – 10,5

22

9,9





23

10,4

IV

10,5 – 11,9

14

11,9





27

11,7





25

10,8





24

10,8





26

11,3

V

11,9 – 13,3

28

12,2





16

12,8





17

13,3





29

12,7





15

12,3



При построении вариационного ряда все расчеты отражаем в таблице.



Таблица 7

Валовые инвестиции, млн.руб

Число регионов, 

Середина интервала, 







6,3 – 7,7

6

7,0

43

8,5264

51

7,7-9,1

2

8,4

16,8

2,31

4,62

9,1 – 10,5

2

8,8

19,6

1,2544

2,5

10,5 – 11,9

5

11,2

56

1,6384

8,2

11,9 – 13,3

5

12,6

63

7,1824

35,9

Итого

20

60,6

198,4

20,9116

102,22



Средняя величина - выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.

- средняя арифметическая взвешенная 







- средняя арифметическая простая 







где Уi - варианта (значение) осредняемого признака или серединное значение интервала, в котором измеряется варианта;

n- число наблюдение;

fi - частота, показывающая, сколько раз встречается i-e значение осредняемого признака.







Показатели вариации:

- размах вариации:



R=ymax-ymin



где уmax - максимальное значение признака,

у min – минимальное значение признака;

R=13,3-6,3=7,0

- среднее линейное отклонение:



 ,



где у – индивидуальные значения признака,

у – средняя величина,

f– частота;

d=9,86-9,92=0,06

- дисперсия:



;






- среднее квадратическое отклонение:



;





- коэффициент вариации:



.





Коэффициент вариации показывает степень однородности совокупности. Так как V < 33% - совокупность однородна.

- коэффициент осцилляции:





V=7,0/9,92*100%=70,56



- линейный коэффициент вариации:





V=0,06/9,92*100%=0,06%

	
Задача 2

	

	Разделив первые 30 регионов (см. данные из Задания 1) на 2 группы по величине признака, соответствующего вашему варианту, проверьте правило сложения дисперсий.

	По результатам расчетов сделать вывод.

	

Методика решения



Межгрупповая дисперсия  характеризует систематическую вариацию результативного порядка, обусловленную влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений групповых (частных) средних , от общей средней :



,



где f — численность единиц в группе.

Внутригрупповая (частная) дисперсия  отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, обусловленную влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы х от средней арифметической этой группы , (групповой средней) и может быть исчислена как простая дисперсия или как взвешенная дисперсия по формулам, соответственно:



 ;

 .


На основании внутригрупповой дисперсии по каждой группе, т.е. на основании  можно определить среднюю из внутригрупповых дисперсий:







Согласно правилу сложения дисперсий: общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий:







Ход расчета дисперсий:

1)определяем значения дисперсий по каждой группе (внутригрупповые дисперсии);



					у2=У(y-yi)2f/ Уf

у1 2=5024830,6/6=837471,76 		у1 2=51/6=8,5

у2 2=4870450,2/2=2435225,1		у2 2=4,62/2=2,31

у3 2=4718478,2/2=2359239,1		у3 2=2,5/2=1,25

у4 2=4568915,2/7=652702,17		у4 2=8,2/5=1,64

у5 2=4421760,8/3=1473920,2		у5 2=35,9/5=7,18



2) среднее значение дисперсии по двум группам;





у12 2=1180222\20=5901,1		у12 2=102,22\20=5,11



3) общую дисперсию по правилу сложения.




у2=5906,211/20=295,31



Для проверки результатов расчета рассчитываем общую дисперсию, без учета деления регионов на группы.



Задача 3



По группе регионов (см. исходные данные Задания №1) необходимо:

найти линейное уравнение парной регрессии между результативным (ВРП) и факторным признаком (хi) , оценить полученные результаты;

х1 – потребительские расходы;

х2 – государственные расходы

х3 – валовые инвестиции

х4 – экспорт

х5 – средняя заработная плата

количественно оценить тесноту связи между результативным признаком и факторами.

по исходным данным постройте эмпирическую и теоретическую линии регрессии.

проверить адекватность модели на основе критерия Фишера и значимость коэффициентов регрессии на основе критерия Стьюдента.

По результатам расчетов сделать вывод.



Таблица 7 Варианты заданий

Номер варианта

Регион

xi

Номер варианта

Регион

xi

Номер варианта

Регион

xi

1

с 1 по 20

Х1

11

с 50 по 69

Х1

21

с 32 по 51

Х1

2

с 5 по 24

Х2

12

с 55 по 74

Х2

22

с 28 по 47

Х2

3

с 10 по 29

Х3

13

с 60 по 79

Х3

23

с 81 по 100

Х3

4

с 15 по 34

Х4

14

с 65 по 84

Х4

24

с 76 по 95

Х4

5

с 20 по 39

Х5

15

с 70 по 89

Х5

25

с 61 по 80

Х5

6

с 25 по 44

Х1

16

с 75 по 94

Х1

26

с 51 по 70

Х1

7

с 30 по 49

Х2

17

с 80 по 99

Х2

27

с 41 по 60

Х2

8

с 35 по 54

Х3

18

с 14 по 33

Х3

28

с 21 по 40

Х3

9

с 40 по 59

Х4

19

с 17 по 36

Х4

29

с 3 по 22

Х4

10

с 45 по 64

Х5

20

с 23 по 42

Х5

30

с 54 по 73

Х5



РЕШЕНИЕ



Параметры уравнения парной линейной зависимости а и b

 могут быть определены методом наименьших квадратов путем решения системы нормальных уравнений:







Параметр b - это линейный коэффициент регрессии, характеризующий направление (+b - связь прямая; - b - связь обратная) и силу связи.

Он может быть рассчитан по формуле:





b=60,6 272

b=16483,2 - 332,6/295,31=54,69



Коэффициент регрессии применяют для определения коэффициента эластичности, который показывает, на сколько процентов изменится величина результативного признака у при изменении признака-фактора х на один процент. Для определения коэффициента эластичности используется формула:




Э=54,69*272/60,6=245,47



Подставляя эмпирические значения признака фактора х в уравнение регрессии, определим теоретические значения результативного признака уx. попуществляется по формулеа, а значимость коэффициентов регрессии на основе критерия Стьюдента

Тесноту связи так же необходимо охарактеризовать линейным коэффициентом корреляции.



 или





		

		Задача 4

		

		По предприятию имеются следующие данные о реализованной продукции, определите:

		- индивидуальные индексы цены, физического объема и товарооборота;

		- агрегатный индекс товарооборота, цен и физического объема (показать их взаимосвязь)

		- абсолютное изменение товарооборота за счет изменения ассортимента продукции и цены продажи;

		- индекс структурных сдвигов, индексы фиксированного и переменного состава, показать их взаимосвязь.

		По результатам расчетов сделать вывод.

Значение N определяется по последней цифре номера зачетной книжки студента. N=3



Таблица 9 Исходные данные

Продукция

Продано продукции, кг.

Цена 1 кг.



Базисный период

Текущий период

Базисный период

Текущий период

Кирпич

1000+10*N

800+10*N

45+N

50+N

Шифер

900+10*N

960+10*N

51+N

48+N

Черепица

800+10*N

830+10*N

52+N

54+N

Металл листовой

300+10*N

520+10*N

58+N

60+N



РЕШЕНИЕ



Значение N определяется по последней цифре номера зачетной книжки студента. N=3



Таблица 10 Исходные данные

Продукция

Продано продукции, кг.

Цена 1 кг.



Базисный период

Текущий период

Базисный период

Текущий период

Кирпич

1000+10*3

800+10*3

45+3

50+3

Шифер

900+10*3

960+10*3

51+3

48+3

Черепица

800+10*3

830+10*3

52+3

54+3

Металл листовой

300+10*3

520+10*3

58+3

60+3



Таблица 11 Исходные данные

Продукция

Продано продукции, кг.

Цена 1 кг.



Базисный период

Текущий период

Базисный период

Текущий период

Кирпич

1030

830

48

53

Шифер

930

990

54

51

Черепица

830

860

55

57

Металл листовой

330

550

61

63



Схема расчета индивидуального индекса:


,



где к1 – индексируемый показатель в отчетном периоде,

ко– индексируемый показатель в базисном периоде.

Агрегатный индекс товарооборота: 









Агрегатный индекс цены: 









Агрегатный индекс физического объема: 









Индекс переменного состава =








Индекс постоянного состава =



=0,047



Индекс структурных сдвигов =





			

			

			Задача 5

			

			Из общего количества рабочих предприятия была проведена Х %-я случайная бесповторная выборка с целью определения затрат времени на проезд к месту работы. Результаты выборки представлены в таблице 6 .

Таблица 10

Затраты времени на проезд к месту работы, мин

До 30

30-40

40-50

50-60

60-70

Число рабочих

А

80

В

55

С



Определите:

- доверительный интервал средних затрат времени на проезд к месту, гарантируя результат с вероятностью 0,997;

- долю рабочих предприятия, у которых затраты времени на проезд к месту работы составляют 60 мин. и более, гарантируя результат с вероятностью 0,954


Таблица 11

Вариант

А

В

С

Х

Вариант

А

В

С

Х

1

70

200

45

30

16

90

222

47

10

2

80

210

45

15

17

75

225

49

20

3

90

222

46

10

18

77

230

50

35

4

75

225

47

20

19

79

214

51

5

5

77

230

49

35

20

73

263

52

30

6

79

214

50

5

21

70

210

45

15

7

73

263

51

25

22

80

199

43

10

8

71

210

52

30

23

90

250

46

20

9

70

199

45

15

24

75

231

47

35

10

80

250

43

10

25

77

222

49

5

11

90

231

40

20

26

79

233

50

25

12

75

222

45

35

27

73

200

51

30

13

77

233

45

5

28

90

250

52

15

14

70

200

45

30

29

75

231

45

10

15

80

210

46

15

30

77

222

43

20



РЕШЕНИЕ



Границы генеральной средней определяются как:



 ,



где  - генеральная средняя,

	- выборочная средняя,

	Д- предельная ошибка выборочной средней:

	- при случайной бесповторной выборке:

	

	,

	

	где  - коэффициент доверия, зависящий от того, с какой вероятностью определяется предельная ошибка:

	при р=0,663 t=1,

	при р=0,954 t=2,

	при p= 0,997 t=3;

	n – объем выборочной совокупности,

	N – объем генеральной совокупности,

	- дисперсия признака выборочной совокупности.

	

	Дx=2

	

	

	Границы генеральной доли находятся как:

	

	 ,

	

	где р – генеральная доля,

	- выборочная доля (доля рабочих, обладающих указанным признаком):

	

	,

	

	где  - число единиц, обладающих данным признаком,

	n - объем выборочной совокупности.

	

	

	
	- предельная ошибка доли:



.

=0,758


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ



					Ефимова М.Р., Ганченко О.И., Петрова Е.В. Практикум по общей теории статистики: Учеб. пособие.- 2-е изд. перераб. и доп.- М.: Финансы и статистика, 2003.-336с.

					Елисеева И.И., Флуд Н.А., Юзбашев М.М. Практикум по общей теории статистики: Учеб. пособие.- М.: Финансы и статистика,2008.- 512с.

					Общая теория статистики: Учебник./ Под.ред. И.И. Елисеевой. - 5-е изд., перераб. и доп.- М.: Финансы и статистика, 2008.- 656с.

					Практикум по теории статистики: Учеб. пособие/ Под.ред. Шмойловой Р.А. - 3-е изд..– М.: Финансы и статистика,2008.-416с.

					Салин В.Н., Чурилова Э.Ю. Курс теории статистики для подготовки специалистов финансово-экономического профиля: Учебник. – М.: Финансы и статистика, 2007. – 480с.

					Статистика: Учебник / И.И. Елисеева, И.И. Егорова и др.; Под ред. проф. И.И. Елисеевой. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2004

					Теория статистики: Учебник/ Под.ред. Шмойловой Р.А. - 5-е изд..– М.: Финансы и статистика,2008.- 656с.

	8. Материалы сайта Государственного комитета РФ по статистике