Шпоры к Экзамену

Понятие о равновесии. Уравновешенная система сил. Равнодействующая системы сил. Силы внешние и внутренние.

Аксиомы статики. Связи, реакции связей.

Система сходящихся сил. Главный вектор системы сил. Условия равновесия системы сходящихся сил.

Момент силы относительно точки. Пара сил. Момент пары сил. Сложение пар лежащих в одной плоскости.

Теорема о параллельном переносе силы на плоскости. Приведение сил к данному центру.

Условия равновесия произвольной плоской системы сил.

Основные гипотезы, лежащие в основе курса сопротивления материалов. Внутренние силовые факторы, метод сечений.

Понятия о напряжениях, деформациях, перемещениях.

Растяжение и сжатие. Определение напряжений и деформаций. Закон Гука. Модуль упругости.

Потенциальная энергия деформации при растяжении, сжатии.

Эпюры продольных сил, напряжений и перемещения при растяжении, сжатии.

Одноосное напряженное состояние. Определение напряжений в наклонных площадках. Закон парности касательных напряжений.

Деформации продольные и поперечные. Коэффициент Пуассона. 

Расчёты на прочность при растяжении/сжатии. Условия прочности.

Испытания материалов на растяжение. Диаграмма растяжения пластичного материала механические характеристики.

Испытания хрупких материалов на растяжение/сжатие, механические характеристики.

Допускаемое напряжение, коэффициент запаса прочности.

Чистый сдвиг. Закон Гука. Модуль сдвига. Напряжения и деформации.

Кручение бруса с круглым поперечным сечением. Касательные напряжения при кручении.

Полярный момент инерции, полярный момент сопротивления круглого сечения. Угол закручивания при кручении.

Потенциальная энергия деформации при кручении. Условия прочности и жесткости при кручении круглого бруса.

Испытание материалов на кручение. Диаграмма кручения пластичного материала, механические характеристики при кручении.

Расчёт на прочность заклёпочного и болтового соединений.

Расчёт на прочность сварных швов.

Расчёт цилиндрических винтовых пружин малого шага.

Изгиб чистый, поперечный. Внутренние силовые факторы при изгибе, построение их эпюр.

Дифференциальные зависимости между внутренними силовыми факторами при изгибе, их использование для проверки правильности эпюр.

Напряжения при чистом изгибе. Наиболее экономичные формы поперечных сечений балок.

Условие прочности при изгибе. Подбор размеров поперечных сечений балок.

Потенциальная энергия деформации при чистом изгибе.

Напряжение при поперечном изгибе: нормальные и касательные.

Дифференциальное уравнение упругой линии балки, его интегрирование.

Метод начальных параметров вычисления перемещений при изгибе балок.

Понятие о напряжённом состоянии в точке. Главные площадки и главные напряжения. Объёмная деформация.

Обобщённый закон Гука.

Удельная потенциальная энергия деформации, её представление в виде энергий изменения формы и объёма.

Виды напряженных состояний в точке. Плоское напряженное состояние, определение главных напряжений.

Понятия об эквивалентном напряжении и гипотезах прочности.

Гипотеза max касательных напряжений (III гипотеза прочности)

Гипотеза энергии формоизменения (IV гипотеза прочности)

Критерий Мора.

Расчёт на прочность круглого бруса при одновременном действии изгиба и кручения.









































1 Понятие о равновесии. Уравновешенная система сил. Равнодействующая системы сил. Силы внешние и внутренние(в-2.,3.)

Внешние нагрузки:

                            Р –сосредоточ (а<< h)

                                   q – интенсивность 

                                   распределенной нагрузки. Равнодействующая = q*a (площадь эпюры q) Преложена равн-щая в центре тяжести эпюры.

М – пара сил (сосредоточенный момент)

Внутренние силы – это силы взаим-ия м/д отдельными эл-ми конструкции, возник-ие под действием внеш сил т.о. если Fвнеш отсутствует, то Fвнут = 0. 







R- главный вектор MR гл векторный момент.

Nя- продольная сила (раст\сжат)





Qx или упоперечная (сдвиг\срез)





Мк (z) крутящий момент (кручение)







Миз (х или у)изгуб-щий момент (изгиб

чистыйМи≠0      поперечный Ми≠0 Q≠0                        







2 Аксиомы статики. Связи, реакции связей.

1Если на свободное абс. Твёрдое тело действует 2 силы, то тело может нах-ся в равновесии если эти 2 силы= и направлены по 1 прямой в противопол-е стороны. |P1|=|P2|                

                        Равнов-е – это состояние             

                        покоя или равномерного 

                        движ-я по отношению к  

                        др. телам.

2.Действие данной системы сил на тело не изменится, если к ней прибавить или от неё отнять уравновешенную систему сил. Две системы сил отличающ-ся на уравнов-ую систему наз-ся эквивалентными.







3.Равнодействующая 2 сил,   

                 сходящихся в 1-ой точке, 

                 изображается диагональю 

                 параллелограмма, построенного на этих силах.

4.III з-н Ньютона: Всякое действие одного тела на др вызывает такое же по вел-не, но противопп-е по направлению противодействие.

5.Любое не свободное тело можно рассматр-ть как своб-ое, если мысленно отбросить связи и заменить их реакциями. (Р-ция связи – это усилие, с которым опора препятствует перемещению тела в опред. направлении.  Р-я всегда противоп-на внешним воздействиям.

6.Принцып отвердения: Равновесие деф-ого тела, наход-ся под действием системы сил, не нарушается, если считать тело абсолютно твёрдым. Все ур-я равновесия в статике будем применять к свободному телу поэтому  кроме заданных внеш сил необходимо опр и прилож к нему р-ции связи.

Связи:

1)Свободное опирание тела на связь







               2)Гибкие связи – это нити, 

               цепи, тросы, работают на 

            растяж-е р-ции напр вдоль нити

                        3)Жесткие стержни, 

                        работают на растяж\сжа

                        р-ции напр вдоль стержн

4)Шарнирно-подвижная опора(1р-ция)







5)Шарн-неподвиж опора (2 реакции)







6)Жёсткая заделка (3 реакции)





3 Система сходящихся сил. Главный вектор системы сил. Условия равновесия системы сходящихся сил.

                      Система сходящихся сил

                       (2 или более сил, сход в 

                       1 точке) может быть заменена 1-й силой, которая наз-ся равнодействующей ‾R∑(‾Pi). Урав-новешивающая сила R’= по модулю равнодействующей, но напр по той же прямой в противоположную сторону.|R’|=|R|

опред равнодействующей:

1)Графическое суммирование 







2) Аналитическое Ry=∑(Pi)=P1sin(a)+P2 sin90+Pnsin(b)- алгебр сумма проекций на осьОУ. Rz=∑(Pi)=P1cos(a)+P2 cos90+Pncos(b)- алгебр сумма проекций на осьОZ. R=√Ry2+Rz2







Любую систему сил произвольно располож в плоскости можно заменить 1-й силой R прилож-й в произвольном центре приведения О и 1-м моментом Мо. R-гл вектор = векторной сумме сил, вход-х в систему или его проекций.Мо- гл момент и = алгеб суммемоментов всех сил системы, взятых относительно центра приведения иалгеб сумме пар сил, действующих на тело.





Мо=mo(P1)- mo(P2)+M1-M2

Условие равновесия плоской системы сход-ся сил: необходимо и дост-но, чтобы равнодействующая системыR=0 

а)при граф-ом суммировании силовой многоугольник должен быть замкнут.







б)при аналитическом RyиRzдолжны=0.

Условие равновесия: R=0 (∑(Pi)z=0, ∑(Pi)y=0); Mo=0 (∑mo(Pi)+∑Mi=0)

4 Момент силы относительно точки. Пара сил. Момент пары сил. Сложение пар лежащих в одной плоскости. (в-3)

Пара сил – это 2 силы = по вел-не, параллельные и против-но направ-ные, не леж-щие на1-ой прямой.(при этом равнод-щая R=0). М=Р*h,h-плечо М хар-ся вел-ой и направл вращения.



Св-ва пар сил:

Две пары сил статистически эквивал-

ны(оказывают на плечо одинак действие), если их моменты = 

М1=М2 если P1*h1=P2*h2

		Пару сил можно переносить в плоскости её действия в любое 

		

1)Чистый изгиб Мизг≠0, Q=0,N=0,Mк=0 







2)Поперечный Мизг≠0, Q≠0,N=0,Mк=0







По расположению силовой плос-ти:

1)Прямой или плоскийили простой – это когда силов плос-ть прох-т ч/з одну из главных центр-х осей попер-ого сечения балки. Центр-е оси прох-т ч/з центр тяж-ти, главные оси- оси симметр-ии или оси относ-но которых осевые моменты инерции Jx Jy имеют экстремальные знач-я Jx=∫y2dF (поF) Jy=∫x2dF (по F)





2)Косой изгиб- сложная деф-я. Деф-ции не лежат в силовой плоскости







Внутр усилия опр-ся с помощью метода сечений. Внут ус-я должны уравновеш-ть внеш воздействия.

















Q=∑(Pi)y   Ми=∑mo(Pi)+ ∑Mi

Q-попереч сила в попер-м сечении балки численно= алгеб сумме проекций всех внеш сил действ-х на левую или правую часть балки. Q=f(q,P) M-не влияет на Q

Правило знаков:







Ми-изгиб-й момент в попер-м сечении балки численно= алгеб сумме моментов внеш сил взятых относит-но центра тяжести сечения и сумме сосредоточенных моментов действующих по 1-у стороны от сеч-я. Ми=f(q,P,M) Q и Ми-могут быть с разными знаками. Правило знаков:











Постр-е эпюр Q и Ми:

1)Из условия равновесия балки опр реа-ии опор которые явл такие же как и внеш нагрузки (для консоли р-ии можно не опр-ть, часть с заделкой отбрасывают).

2)Балка разбив-ся на отдельные уч-ки в пределах которых з-н изменения Q и Ми одинаковый. (Границы берутся в точках прилож-я Р, М и в начале и конце q)

3)Сост-ся аналитич-ие выр-я для Q и Ми для каждого из уч-ков.

4)По получ-м выр-ям вычисл-ся ординаты эпюр на границах уч-ов

5)Если есть точки где Q=0 то опр-ся местный экстремум.















При движ-ии слева направо: 

1)На уч-ах балки где Q>0 Ми-возрас-т

Где Q<0 Ми-убывает

2)Чем больше по абсол-й вел-не знач-е Q тем круче круче линия огранич-ая 



эпюру Ми. |Q|↑ то крут-на Ми↑

если Qi>Qj     Mиi>Миj     αi>αj   

3)На уч-ах балки на которых Q=const эпюра Ми-  прямая



4)В сеч-ях где Q=0 Ми- достигает экстремального знач-я.

27 Дифференциальные зависимости между внутренними силовыми факторами при изгибе, их использование для проверки правильности эпюр.











QI=Ra+P-q*z

МиI=Ra*z+P*(z-a)-q*z2/2+M

QII=Ra+P-q*(z+dz)

МиII=Ra*(z+dz)+P*(z+dz-a)-

-q*(z+dz)2/2+M

                             QII-QI=dQ

                              dQ=q*dz

                               q=dQ/dz

Производная от поперечной силы по абсциссе сеч-я балки z(dQ)= интенсивности распред-ой нагрузки q.

МиII-МиI=dМи=  Ra*(z+dz)+P*(z+dz-a)-

-q*(z+dz)2/2+M- Ra*z-P*(z-a)+q*z2/2- 

-M= Ra*dz+P*dz-q*z*dz-(q*d2z)/2

(q*d2z)/2→0    dМи= (Ra+P-q*z)*dz= =QI*dz        Q=dМи/dz

Производная от изгибающего момента Ми по абсциссе сечения балки = поперечной силе Q

28 Напряжения при чистом изгибе. Наиболее экономичные формы поперечных сечений балок.

                                      Ми≠0(чист из-б)

                                       у-расст-е от 

                                   нейтрального слоя

                                      до другого.

Справедлива гипотеза плоских сеч-й.







Продольные линии при чистом из-бе искривл-ся по дугам окруж-ти при этом волокна лежащие на оси балки не меняют своей длины.

                                   a'b’-удлинились

                                   c’d’=cd

                                    e’f ‘-укоротились

                                     ρ-радиус изгиба  

                                     О-центр тяж-ти.

Совокупность волокон не меняющих своей длины при изгибе наз-ся нейтральным слоем. Нейтр слой-цилиндр поверхность с радиусом ρ. Линия перес-я нейтр слоя с плоскостью попереч сеч-я наз-ся нейтр-ой осью. Линия перес-я силовой плоскости с плос-ю попер-ого сеч-я наз-ся силовой линией и проходит ч/з центр тяж-ти попер-ого сеч-я.

ε(относ удлин-е аb) =Δab/ab=bb’/cd

ac=y  ε=(y*dθ)/(ρ*dθ)=y/ρ   ρ=const

т.к. γ=0, то τ=0     т.к.ε≠0 σ≠0 





ε=σ/Е      σ =Е*ε=Е*у/ρ

Предполагая что средние волокна не давят друг на др можно сказать что каждое волокно испытывает одноосное растяж/сжатие. Относит продольная деф-я ε и продольные напряж-я σпри чистом изгибе измен-ся по высоте попереч сечения балки прямо пропорционально расстоянию у от нейтр оси.

                                      Сила действ-ая

                                      на элемен-ую 

                                     площадку σ*dF

                                1)∑(Pi)x=0       тожд- 

                                2)∑(Pi)y=0            ва

                                3)∑mz(Pi)=0       0=0

положение, а также можно переносить в плоскость ||  плоскости её действия.Результат действия на тело этой пары сил при этом не изменится.

Сложение пар сил, леж в одной плоскости: равнодействующий момент = алгебр сумме моментов.

М=∑Мi. Условие равновесия системы пар сил: необх и дост-но чтобы алгеб сумма всих моментов =0. МR=∑Мi=0

                                Момент силы относ

                                точки= mo(Pi)=|P|*h

                              Следствия: 1)момент

силы относ любой точки, располож-ой на линии действия силы =0

mo(Pi)=|P|*h т.к. h=0 <= mo(Pi)=|P|*h=0

2)Алге сумма моментов сил образующ

пару, относ-но произвольной точки, лежащей в плоскости пары, величина постоянная, равная моменту пары сил.

                                                  P=P’





∑mo(Pi)=|P|*ОА–Р’*OB=P*(OA-OB)=

P*AB=P*h  => mo=M

5 Теорема о параллельном переносе силы на плоскости. Приведение сил к данному центру.(в-3, 4)

                                   Силу Р можно ||  

                                  переместить в 

                                  любую точку О, 

                                   добавив при этом 

                                   момент присо-единённой пары сил = моменту данной силы относительно точки приведения О. Мпр= Р*h.

6Условия равновесия произвольной плоской системы сил.(в-3)

7.Основные гипотезы, лежащие в основе курса сопротивления материалов. Внутренние силовые факторы, метод сечений.(в-1)

1Материал конструкции однородный и сплошной т.е. его св-ва не зависят от формы и размеров тела и одинак во всех его точках.

2.Мат-л конс-ии изотропен,т.е.его св-ва по всем направлениям одинаковы. (99% мат-ов)

3.Мат-л обладает св-вом идеальной упругости, т.е. способностью полностью восстанав-ть первонач-ю форму и размеры после снятия внеш нагрузок(это справедливо для напр-ий не превыш-их предел упругости).

4.З-н Гука: дефор-ция мат-ла конструк прямо пропорциональна напряжениям

ε = σ / Е  γ = τ / G

E-модуль Юнга(модуль упр 1-го рода) G-модуль упругости 2-го рода. (З-н Гука справедлив до предела пропорциональности)

5.Деф-ции констр малы и не влияют на взаимное расположение нагрузок.





6.Принцип независимости действия сил (принцип наложения): результат воздействия на конструкцию системы нагрузок= сумме результатов возд от каждой нагрузки в отдельности











δ = δР+ δМ+ δq (справедлив если выполняются 4и5 предпосылки).

7.Гипотеза плоских сечений (Бернулли): поперечные сеч-я бруса, плоские до приложения, остаются плоскими и после прилож-я нагрузки(справедлив для всех видов деф-ции).

8.Принцип Сен-Венана: если не интересоваться местными деф-ми (в малой части объёма тела), то нагрузку, прилож-ю к малой части объёма тела можно заменить статистически ей эквивалентной или равнодействующей 

      если а<<L                то:





Метод сечений: в интересующем нас месте рассекаем брус; отбрасываем одну из частей бруса(лучше ту, где больше внеш сил); взаимодейс-е частей бруса друг на друга заменяем внутр усилиями, которые уравновешивают внешниесилы.







                                           

Σ(Рi)z=0                                   

		Понятия о напряжениях, деформациях, перемещениях.

Напр-ем наз-ся внутр сила, приходя-щаяся на ед-цу площади рассматриваемого сеч-я. Рсреднее=ΔR/ΔF

Pистинное= lim ΔR/ΔF(приΔF→0) [H/м2=Па]

σz – (нормальное напряж-е) наз-ся составляющая полного напяж-я перпендикулярная плоскости сеч-я. 

τ(zx или zy)- (касательное напряж-е) наз-ся составляющая полного напяж-я, лежащая в плоскости сечения.

                                        Плоская задача

                                              Р=√σ2+τ2 

N=f(σ)→σmax<=[ σ]         

Q=f(τ)→τmax<=[ τ]             условия

Mк=f(τ)→ τmax<=[ τ]          прочности

Mи=f(σ)→ σmax<=[ σ]

Деф-ции: 







1.линейные а)абсолютные Δl=l1-l Δh=h1-h[м,см] З-н Гука в абсол вел-х:

Δl=N*l/(E*F) –раст\сжатие

φ = Мк*l /(G*Jp) – кручение

k= 1/ρ= Mиз/(E*Jx) – изгиб

ΔS= Q*a / (G*F) – сдвиг\срез

В этих 4-х формулах знаменатель= жесткость сечения бруса. 

б) относительные ε=Δl/l ε=Δh/h ε=σ/E (E- модуль Юнга)

2.угловые деф-ции γ (угол сдви-га)=α+β, γ=τ/G(G-модуль упр 2 рода)

Деф-я относится к отрезку части бруса – это изменение его первоначальной длины. Перемещение (δ) относится к сечению бруса- это изменение его положения в пространстве относительно какой-либо точки отсчёта. δi-I=Σ(Δli) 

условие жесткости: δmax<= [δ]

		Растяжение и сжатие. Определение напряжений и деформаций. Закон Гука. Модуль упругости.

Центральным р\с наз-ся деф-ция при которой в поперечных сечениях бруса возникает только 1-но внут усилие- продольная сила N. Оно вызыв-ся силами действ-ми вдоль оси бруса.





Напряж-е τ =0 γ= 0 σ ≠ 0 = const

σi=Ni /Fi<=[σc],[σp]- условие проч-ти.

Деф-ция: ε = σ / Е - з-н Гука   Δl/l=N/(F*E)  Δl=N*l/(F*E)

Деф-я относится к отрезку части бруса – это изменение его первоначальной длины.

                                 Попереч деф-я:

                                 ε'= - μ*ε   ε’-относ 

                               попер деф-я, μ- коэф

                                Пуассона, ε – относ

                                Продольная деф-я.

                              μ хар-ет способность

                             мат-ла к попер деф-м.

                              Δ b=ε’ * b

	Перемещение (δ) относится к сечению 

                            

4)∑(Pi)z=0   ∫σdF (поF)=E/ρ∫ydF(поF)=0 ∫ydF- обознач-ся Sx и наз-ся статисти-ческий момент сечения относ-но оси х

Sx=yц.т.*F  т.к.Е/ρ≠0, то Sx=0 Ось х прох-т ч/з центр тяж-ти. 

5)∑my(Pi)=0        x- плечо  σ*dF- сила ∫x*σdF=E/ρ∫xydF         ∫xydF= Jxy наз-ся центробежным моментом инерции сеч-я относ-но х и у. Если он=0 то оси х и у явл-ся главными осями сеч-я.

6)∑mx(Pi)=0      ∫yσdF=Ми Е/ρ∫у2dF=Ми ∫у2dF=Jx- наз-ся осевым моментом инерции сеч-я относ-но оси х 

Е/ρ*Jx=Ми    1/ρ=Ми/(Е*Jx) – кривизна нейтр-ого слоя.

σ= Е*у/ρ=Е*у*Ми/(Е*Jx)= у*Ми/*Jx – справедливо и для чистого и для попер

Наиб эконом формы попер сеч балок:

1)Надо выбирать балки у котор большая часть мат-ла удалена от центра тяж-ти. Выгодно:





2)Расположение балки делают таким чтобы Jx=max





3)Выбор формы сеч-я зависит от мат-ла. Для пластич мат-ла лучше использ-ть балки с симметр сеч-ми относит-но нейтр оси у которых σmax pас=σmax сж

для хрупк ассиметр сеч-я при этом сеч-я располагают так чтобы

                                     σmax pас<=σmax сж  

                               т.к. [σсж]=(3-5)*[σрас]

29 Условие прочности при изгибе. Подбор размеров поперечных сечений балок.

Усл проч-ти для симметр сеч-й относ-но оси х:





σmax pас=σmax сж=Ми*0.5*h/Jx=Ми/Wx Wx=Jx/y –наз-ся осевым моментом сопр-я при изгибе.

1)пластич мат-л: σmax =Ми/Wx<=[σ]

2)хруп мат-л: σmax =Ми/Wx<=[σрас]

Ассиметричные сеч-я:







σmax рас =Ми*ymax рас/Jx<=[σрас]

σmax сж =Ми*ymax сж/Jx<=[σсж]

30 Потенциальная энергия деформации при чистом изгибе.







Авнеш=М1*θ1/2  dAвнут= - Ми*dθ/2  

ρ – радиус крив-ны k –кривизна   

                                      dz=ρ*dθ 

                                       dθ=dz/ρ

                                      k=1/ρ=Ми/(Е*Jx)

                                     dθ= Ми*dz/(Е*Jx) dA= - Ми2*dz/(2*Е*Jx)  U= -Aвнут= 

= -∫-Ми2*dz/(2*Е*Jx)=∫Ми2*dz/(2*Е*Jx) (от0 до L). – для попер изг-а Ми≠const.

Для чистого изгиба: Ми=const   

U= Ми2*L/(2*Е*Jx)   

31 Напряжение при поперечном изгибе: нормальные и касательные.

Поперечный Мизг≠0, Q≠0,N=0,Mк=0 

σ= Е*у/ρ=Е*у*Ми/(Е*Jx)= у*Ми/*Jx – справедливо и для чистого и для попер

Касат напряж в произвольной точке попер сеч-я:  τzy=τ=Qy*Sx/(Jxby) 

Qy-попер сила в рассматр сеч-и Sx-статистич момент относит-но нейтр-ой оси той части сеч-я, которая распол-на по одну сторону прямой, провед-ой ч/з данную точку Jx- момент инерции всего сеч-я относит-но нейтр оси  by-ширина попер сечения на уровне рассматриваемой точки.





32 Дифференциальное уравнение упругой линии балки, его интегрирование.









Перемещения: у- прогиб – это перемещ-е точек оси балки по нормали её недеформированной оси.

max прогиб-это стрела прогиба. Условие жесткости: уmax<=[y]

[y]=(0.01-0.001)*L

θA-угол поворота попер сеч-я балки, буде считать его = углу наклона касательной к оси z т.е. углу поворота оси балки. y=f(z)  θA=tg θA при α<< 

θA=dy/dz=y’ Условие жесткости: θmax<=[θ] [θ]=(0.5-1)*град.

Изогнутая ось балки y=f(z) наз-ся упругой линией балки. Расчёт балки на жест-ть позволяет опр-ть размеры попереч сечения при которых перемещ-е не превышает установленные нормами пределы.

Правило знаков: y>0-перемещ вверх θ>0- поворот сеч-я против часовой стрелки.





Из матем-ки: k=1/ρ =y’’/(1+(y’)2)3/2

Из сопромата: k=1/ρ =Mи/(ЕJx )

Точное диф ур-е: 

 y’’/(1+(y’)2)3/2= Mи/(ЕJx)

y’=θ→min т.к.y’-мал,то (y’)2-пренебре-

гаем. Получаем: y’’= Mи/(ЕJx) 

Mи= y’’ЕJx- основное диф ур-е упругой линии балки.

y'’=d2y/dz2=dy’/dz

аналитическое решение: Mи= y’’ЕJx ЕJx=const          ЕJxd(y’)=Mиdz 

ЕJxy’= ∫Mиdz+C   y’=θ=(∫Mиdz+C)/( ЕJx)

ЕJx dy/dz= ∫Mиdz+C  

ЕJx dy= dz(∫Mиdz+C)

ЕJx = ∫dz∫Mиdz+C*z+D

C и D- произвольные const их опр-ют из условия операния балки.

                                 yA=0  θA=0

                                  yA=0   yB=0

33 Метод начальных параметров вычисления перемещений при изгибе балок.

                                         Для данного

                                          напавления

                                          все знаки +



1) ЕJxθ= ЕJxθ0+∑M(z-a)+(∑P(z-b)2)/2+ +(∑q(z-c)3)/6+…

2) ЕJxy= ЕJxy0+ ЕJxθ0z+(∑M(z-a)2)/2+ +(∑P(z-b)3)/6+ +(∑q(z-c)4)/24+…

1)справедливы для балок с постоян жёсткостью   ЕJx=const  2)Необходимо иметь только расчётную схему 3)Если q имеет разрыв непрерывности до сечения т.е.





то берутся дополнит слогаемые в 1-е: -(∑q(z-d)3)/6, во 2-е: -(∑q(z-d)4)/24  

∑-алгеб сумма 4) y0 и θ0 опред-ся из условия операния балки.

34 Понятие о напряжённом состоянии в точке. Главные площадки и главные напряжения. 

Объёмная деформация. (В-12)

Объёмное или 3-х осное напяж сост 

                                                   σ1≠0

                                                   σ2≠0

                                                    σ3≠0

Объем деф-я х-ся изменением объёма

υ=(V1-V0)/V0 υ-относит изменение объёмаV1-объем после деф-ииV0-до 

	 деф-ии

бруса- это изменение его положения в пространстве относительно какой-либо точки отсчёта. δi-I=Σ(Δli) 

условие жесткости: δmax<= [δ]

E- модуль Юнга- модуль упругости 1-го рода (модуль продольной упр-ти)  Естали=2*105МПа.

		Потенциальная энергия деформации при растяжении, сжатии.

Элементарная dАвнеш=P*dδ P=f(δ) Δl=δ=P*l/(E*F) P=E*F*δ/l  dA=(E*F*δ/l)*dδ Aвнеш= 

Работа внеш сил выражается площадью диаграммы построенной в коор-х Р*δ и равна половине произведения окончательной силы Р и перемещения δ. 

                           dAвнут= - N*Δ(dz)/2             

                            Δ(dz)=N*dz/(E*F)

                            dAвнут= -N2*dz/(2*E*F)         

                          Aвнут=-N2*dz/(2*E*F)

                             Aвнут= -N2*l/(2*E*F)

Потен эн-я деф-ии наз-ся вел-на = работе внутр сил взятых с противопол знаком: 

U= - Aвнут=N2*l/(2*E*F),   U=N2*dz/(2*E*F)  Aвнут= -Авнеш, U=Aвнеш



		Эпюры продольных сил, напряжений и перемещения при растяжении, сжатии.

Разбиваем брус на уч-ки границы кот-х нах-ся в точках прилож-я сосред-х сил 





0<=z1<=a    a<=z2<= a+b

Для каждого из уч-ов опр-ем вел-ну продольной силы N (в пределах уч-ка N=const) N1=P1 N2= - P2+P1строим эпюру прод сил. 







Для каждого из уч-ов опр-ем напряж-е: σi=Ni/Fi







Для кажд уч-ка опр-ем абсол деф-ю:

Δli=Ni*l/(E*Fi) и опр-ем перемещ-я (Перемещение (δ) относится к сечению бруса- это изменение его положения в пространстве относительно какой-либо точки отсчёта. δi-i=Σ(Δli) 

		Одноосное напряженное состояние. Определение напряжений в наклонных площадках. Закон парности касательных напряжений.

Напряж-е сост-е в точке хар-ся совокупностью напряж-й возникающ-х на бесконеч-ом множестве произ-но ориентированных площадок произ-но проведённых ч/з эту точку. Напряже сост хар-тся 9 компонентами σx σy σz τxy τxz τyx τyz τzx τzy





Главные площ-ки τ=0 х-ся 3 комп-ми: σ1 >σ2 >σ3(в алгебр смысле). Направлении┴ глав площ наз-ся глав-



ми напр-ми Деф-ии┴ глав площ наз-ся глав-ми деф-ми 

Линейное или одноосное напр сост:

                                      σ3или1≠0,  

                                     σ2=σ1или3=0







                                             Fα=F/ cosα

1) ∑(Рi)площадка=0      σα*Fα –σ1*F*cosα=0

 σα* F/ cosα –σ1*F*cosα=0

σα=σ1*cos2 α 

2) ∑(Рi)площадка=0      τα*Fα –σ1*F*cosα=0

τα* F/ cosα –σ1*F*cosα=0

τα=σ1*cos α * sin α = 0.5* σ1* sin 2α

τmax|α=45= σ1/2              τmin| α=0, α=90= 0

                              σα+π/2=σ1*cos2(α+π/2)=

                                 =σ1*sin2α          т.о.

                              σα + σα+π/2= σ1*cos2α +

                               + σ1*sin2α = σ1

т.о. сумма на 2-х взаимоперпендикуля

площ-ах = σ1

τα+π/2=0.5*σ1*sin2(α+π/2)=0.5*σ1sin(2α+ +π)= - 0.5*σ1sin(2α)

τα+ τα+π/2=0.5*σ1sin(2α)- 0.5*σ1sin(2α)=0

З-н парности кас напряж: на 2-х взаимоперпендик площ-х действуют = по вел-не и обратные по знаку касательные напр-я (τ).

                                          τxy= - τyx

                                           τzy= - τyz

                                           τxz= - τzx

		Деформации продольные и поперечные. Коэффициент Пуассона. (в –9)

		Расчёты на прочность при растяжении/сжатии. Условия прочности.

N=f(σ)→ σi=Ni/Fi<=[σ]–для пластично

σic<=[ σс] σiр<=[ σр] –для хрупкого

		Испытания материалов на растяжение. Диаграмма растяжения пластичного материала механические характеристики.

		Испытания хрупких материалов на растяжение/сжатие, механические характеристики.

		Допускаемое напряжение, коэффициент запаса прочности.

Т.к. детали и сооруж-я должны безопасно работать и при неблагоприят условиях, то напряж-я должны быть ниже тех предельных напряж-й при которых может произойти разрушения или возник-ть пластич дефор-ции. Т.о.

[σ]=  σu/n  [σ]-допускаемое напяж-е  

σu- предельное напяж-е материала

n – нормативный коэф запаса прочности (коэф безопасности). Коэф запаса проч-ти вводится для того чтобы обеспечить безопасную, надёж работу сооружений и отдельных его частей. Вопрос о “n” решается с учётом  имеющегося опыта эксплуатц.     

		Чистый сдвиг. Закон Гука. Модуль сдвига. Напряжения и деформации.

Чистый сдвиг – напряж сост-е если на гранях эл-та действует только τ. Площ-ки на которых действует только τ наз-ся площ-ми чист сдвига. Q≠0 (Qx или Qy) Q=f(τ). Практические деф-ции сдвига/среза возник-ет когда брус нагружен 2-мя равными силами действующие на малом раст-ии друг от друга ┴ оси бруса и навстречу друг другу.









Напр-я: Q=P  τ = Q/F (т.к равномерно распред-ны по сечению)

Деф-ия: γ – угловая деф-я γ= tgγ        ΔS (абсолют деф-я)= γ*a    γ =τ/G 

 

                                                    

                                                  V0=1

                                                  l1=l2=l3=1

для ед длины:ε1=Δl1/l1= Δl1/1= Δl1 =>

V1= (1+ ε1)* (1+ ε2)* (1+ ε3)=1+ +ε1ε2+…+ ε1 ε2 ε3+…+ ε1+ ε2+ ε3  

Т.к деф-ии малы то произвед-ями ε1ε2+…+ ε1 ε2 ε3ε2+…можно пренебречь.=> V1= 1+ ε1+ ε2+ ε3 

υ=(V1-V0)/V0=(1+ ε1+ ε2+ ε3-1)/1= ε1+ +ε2+ ε3  

ε1= ε11 +ε12 +ε13=1/Е*(σ1-μ*(σ2+σ3))

ε2= ε21 +ε22 +ε23=1/Е*(σ2-μ*(σ1+σ3))

ε3= ε31 +ε32 +ε33=1/Е*(σ3-μ*(σ1+σ2))-  обобщенный з-н Гука для объем н.с.       υ=(1-2μ)*(σ1+σ2+σ3)/E

35 Обобщённый закон Гука.

Обобщ з-н Гука – это зависимость м/д деф-ми и напяж-ми при плоском и объёмном напр сост. Предпосылки для вывода: 1)используем з-н Гука для одноосного н.с.: ε=σ/Е      2)связь м/д продольными и попереч деф-ми: 

ε’= -μ*ε 3)принцып наложения (независимости действия сил)

1)Для плоского н.с.:









ε12 1-направление деф-ии 2-причина деф

ε11= σ1 /Е       ε22= σ2 /Е

ε21= -μ*ε11= -μ* σ1 /Е       ε12= -μ*ε22= 

= -μ* σ2 /Е     =>

ε1= ε11 +ε12= σ1 /Е - μ* σ2 /Е=

=1/E *(σ1-μσ2)

ε2= ε22 +ε21= σ2 /Е - μ* σ1 /Е=

=1/E *(σ2-μσ1)

2)Для объёмного н.с.:

ε1= ε11 +ε12 +ε13=1/Е*(σ1-μ*(σ2+σ3))

ε2= ε21 +ε22 +ε23=1/Е*(σ2-μ*(σ1+σ3))

ε3= ε31 +ε32 +ε33=1/Е*(σ3-μ*(σ1+σ2)) 

(и В-34)

36 Удельная потенциальная энергия деформации, её представление в виде энергий изменения формы и объёма.

ε1= ε11 +ε12 +ε13=1/Е*(σ1-μ*(σ2+σ3))

ε2= ε21 +ε22 +ε23=1/Е*(σ2-μ*(σ1+σ3))

ε3= ε31 +ε32 +ε33=1/Е*(σ3-μ*(σ1+σ2))

удельная потенц энергия ер=U/V0

Полная энергия U=∫ерdV(по V)







V0=1   ер=U/1=U= - Aвнут= - (Aвнут 1+

+ Aвнут 2+ Aвнут 3)

Aвнут 1= - (σ1* ε1)/2  Aвнут 2= - (σ2* ε2)/2 Aвнут 3= - (σ3* ε3)/2

ер=(σ1* ε1)/2+(σ2* ε2)/2+(σ3* ε3)/2

подставив ε1 ε2 ε3 получим:

ер=

ер= ерформоизменения+ еробъёмоизменения

ерф зависит от угловых деф-ий

еро зависит от линейных деф-й сторон







ерф=(1+μ)(σ12+σ22+σ32-σ1σ2-σ1σ3-

-σ2σ3)/3Е

еро=(1-2μ)*(σ1+σ2+σ3)2/6Е

37  Виды напряженных состояний в точке. Плоское напряженное состояние, определение главных напряжений. (В-12)

1)Прямая задача для плоского н.с.:

                                σα=σ1*сosα+σ2*sinα

                                  τα=((σ1-σ2)/2)*sinα

                                τmax|α=45=(σ1-σ2)/2

2)Обратная задача для плоск н.с.

по σα σβ τ найти σ1 σ2

                            а) tg2ψ0=2τ/(σβ-σα)-

                                положение

                              глав площ-ки

σ1(max)/3(min)= (σα-σβ)/2±(√((σα-σβ)2+4τ2))/2 вел-на глав напр-й (+для σ1(max) -для 



σ3(min))

                                  б)для кручения 

                                с изгибом 

                                tg2ψ0=2τ/σ

                              σ1/3=σ/2±(√(σ2+4τ2))/2

                           (+для σ1(max) -для σ3(min))

38Понятия об эквивалентном напряжении и гипотезах прочности.

1)линейное н.с.(раст\сж, изгиб)





2)простое плоское н.с.(кручение, срез)







3)сложное н.с.







Гипотезы проч стремятся установить критерии проч-ти для мат-ла находящ-ся в сложном н.с. При этом слож н.с. сводится к одноосному линейному н.с. которое обознач-ся σэкв и явл-ся равноопасным  заданным плос или объёмным сост-м. σэкв выр-ся ч/з напряж-я σ1 σ2 σ3 т.о. σэкв=f(σ1 σ2 σ3) и устанавливается гипотезами прочн-и

σэкв<=[σ]- условие проч при слож н.с.

I)гипотеза наиб-х нормальных напряж 

σ1/3<=[σ] (практикой не подтверждено)

II)гипотеза наиболь линейных деф-й

ε1/3<=[ε]=σ/E(практикой не подтвержд)

III) Гипотеза max касательн напряж-й

τmax(для слож н.с.)<=[τ](для линей н.с.) τmax =(σ1-σ3)/2    [τ]=[σ]/2

(σ1-σ3)/2<=[σ]/2      σ1-σ3<=[σ]     =>

σэкв III= σ1-σ3 т.к. не уч-ет σ2 то погрешность сост≈ 15% прошла пров-ку временем но исполь только для пластических мат-ов

IV)Гипотез энергии формоизменения:

Прочность мат-ла при сложном н.с. обеспеч-ся если удельная потенц энергия формоизменения (ерф) не превосходит допустимой ерф установленной для одноосного н.с.

ерф(для слож н.с.)<=[ерф](для линей н.с.

σэквIV==

=<=<= [σ] –самая применимая более всего оправдавшая себя на практике применима для пластич мат-лов

Мора) σэкв М= σ1 - ν σ3<=[σр] или [σсж]

ν=[σр] / [σсж] подтверж практикой применимо для хрупких мат-ов

Для плоского н.с.(круч с изгибом):







σ1= σ3=

σэкв III= σ1- σ3==

=<<=[σ]

σэквIV===

=

σэкв М= σ1 - ν σ3=1/2*=

==

σэкв=Мприв/Wx<=[σ]   Wx=0.1d3



ΔS= τ*a/G=Q*a/(G*F) – з-н Гука в абс вел-нах, где G- модуль сдвига (модуль упругости II рода) хар-ет способность мат-ла сопротив-ся деф-ям сдвига.

Авнеш= -Авнут  U= -Aвнут= P*ΔS/2=

=Q* ΔS/2= Q2*a/(2*G*F)

		Кручение бруса с круглым поперечным сечением. Касательные напряжения при кручении.

Δ l=0 σ =0          γ (угол сдвига)≠0

τ (кас напр)= G*γ

Кручением наз-ся вид деф-ии при кот-м в поперечном сеч-ии возникает только 1-о внутр усилие – крутящий момент (Мкр)

                                      Внеш скруч

                                       мом-ы: Мскр

Мкi= ΣMскр i Крутящий момент = алгеб сумме внеш-х скруч моментов действующих по1-ну сторону от сечения. Касатель напр-я: τ = G*γ

Мкр = f (τ) 







Справедлива гипотеза Бернулли (о плоских и жест сеч-ях) Ось вала осталась прямолинейная. Геометр размеры без изм-я.















γ-угол сдвига образующей φ-угол закручивания или угол поворота попереч сечения. r- радиус  γmax=tg γmax=NN’/dz=r dφ/dz      γρ= tg γρ=kk’/dz= ρ dφ/dz       τρ =G*dφ/dz* ρ 

dφ/dz=const     G=const  G* dφ/dz=const

S=0 → τ=0     S= r → τmax 

При круч-ии деф-ии сдвига γ и кас напр τ пропорц-ны расстоянию от оси вала ρ.  dMк= τρ*dF *ρ Mк=∫dMк(по F) = =∫ ρ *τρ*dF  = ∫ ρ2*G (dφ/dz)dF=G* dφ/dz ∫ ρ2dF    ∫ ρ2dF=Jp- полярный момент инерции поперечного сечения.

 dφ/dz=Мк/(G*Jp)                 

τρ= G* ρ* Мк/(G*Jp)= Мк* S/Jp 

Jp(для круга)=0.1*d4

Jp(пусто-ого вала)=0.1*D4*(1-c4) c=d/D

τmax=Мк*r /Jp= Mк/Wp<=[τ] –усл проч-и

Wp=Jp/r     Wp – полярный момент сопротивления = отнош-ю поляр моменту инер-ии к расст до наиболее удалённых волокон вала (r)

Wp (круг)= 0.2*d3   

Wp(пустотел вал)= 0.2*D3*(1-c3) c=d/D

dφ =Мк* dz /(G*Jp) проинтегрируем обе части (правую от0доφ, лев от0доL) 

 Мк/(G*Jp)=const       φ= Мк*l/(G*Jp) –  з-н Гука   

Перемещ сеченя: δφ=∑φi 

Условие жесткости: δφmax<=[φ]

Относит угол закр-я: θ=φ/l= Мк/(G*Jp)

Услов жесткости: θ <= [θ]

		Полярный момент инерции, полярный момент сопротивления круглого сечения. Угол закручивания при кручении. (в-19)

		Потенциальная энергия деформации при кручении. Условия прочности и жесткости при кручении круглого бруса.

Aвнеш=Мскр1*φ1/2    dАвнут= - Мк*φ/2

U= -Авнут=∫ Мк2* dz /(2*G*Jp(от0 доL) U=Мк2* l/(2*G*Jp)

Перемещ сеченя: δφ=∑φi 

Условие жесткости: δφmax<=[φ]

Относит угол закр-я: θ=φ/l= Мк/(G*Jp)

Услов жесткости: θ <= [θ]

τmax=Мк*r /Jp= Mк/Wp<=[τ] –усл проч-и

		Испытание материалов на кручение. Диаграмма кручения пластичного материала, механические характеристики при кручении.

		Расчёт на прочность заклёпочного и болтового соединений.







d-диаметр отверстия dзак-диам заклёпк d≈dзак+(0.5-1)мм 

1)Р-равномер распред-но м/д заклёп (болтами) Q1-й зак=P/n n-число заклёпок

2)По плоскости среза τ распед равном





                                                        τ=Q/F 

условие проч-ти: τ=Q/F=4P/(nπd2)<=[τcp] [τcp]≈0.8[σ]

n>=4P/(πd2[τcp]) n-числ зек из расчёта на прочность.

                                    Расчёт на смятие: 

                                    Fсмят=d*δmin 

                          δmin-min толщина места. σсмят=Q/Fсмят=P/(n’dδmin)<=[σcм]<=2*[σ]

n’-число зак из расчёта на смятие

n’>=P/([σcм]*d* δmin) из n и n’выбир >

		Расчёт на прочность сварных швов.

Для соед-я встык – расчёт на обычное растяж\сжат: σ=P/Fшва<=[σ]





Соед-е внахлёст: 













Шов хар-ся катетом: АВ=ВС=δ=катет

На биссектрису дейст-ет τмах. Ширина опасного сечения = 0.7*катет

Площади опасного сечения швов:

Fлоб =b∑*0.7*кат-т Fфронт =l∑*0.7*кат-т

Допустимая нагрузка: 

(l∑+b∑)*0.7*кат-т*[τ]>=P

		Расчёт цилиндрических винтовых пружин малого шага.

                                          α<=10-12град

                                         D-сред диамет

                                          пружины

                                     d-диам проволок

                                          h-шаг

                                 с=D/d-индекс пруж

                                   с=4-12

                                  n-число раб витков

                                   nпол=n+1.5-2.5

                                λ-удлинение/осадка

в сечении 2 внутренних усилия:

Q-поперечная сила, Мк-крутящ момен

Q=P     Mк=P*D/2

                   Mк: τmax=Мк/Wp=P*D/2*Wp

                    Wp=π*d3/16    τmax =8PD/πd3 

                               Q: τ=Q/F=4P/ πd2 

Условия проч в опасной точке: τmax= τmax(Мк)+ τmax(Q)= 8PD/πd3+4P/ πd2= =(8PD+4Pd)/ πd3= =8PD/πd3*(1+d/2D)<=[τ]

Если d/2D<=1/6, то τmax=8PD/πd3<=[τ]

d>=      λ=8PD3n/Gd4

                 хар-ка пруж-ы график P=f(λ) 

                    k-жёсткост    k=P/ λ [H/мм]

		Изгиб чистый, поперечный. Внутренние силовые факторы при изгибе, построение их эпюр.

Изгибом наз-ся деф-я сопровождающ изменением кривизны оси стержня.

Стержни раб-щие в основном на изгиб наз-ся балками





Виды изгиба по внутр-м усилиям:





dпроч=

39 Гипотеза max касательных напряжений (III гипотеза прочности)(В-38)

40Гипотеза энергии формоизменения (IV гипотеза прочности)(в-38)

41 Критерий Мора.(в-38)

42 Расчёт на прочность круглого бруса при одновременном действии изгиба и кручения. (в-38)

                                      1)строим эпюры

                                       Мк1=0  Мк2=М

                               Ми1,2=Р*z1,2|0=0|L=P*l

                                 2)опасные сечения:

                                Мк2=М    Ми2=P*l

                            3)исследу-ые напр-я:

                               τmax(Ми)=Мк/Wp 

                              σmax(Mи)=Ми/Wx

                              τmax(Q)=Q*Sx/(b*Jx)

                              4)опасная точ на

                                поверхности вала: 

                                σ=Ми/Wx 

                               τmax=Мк/Wp= Мк/2Wх

Wp=Jp/r=2*Jx/r      Wx= Jx/r= Wp/2

Jp=