ทฤษฎีเมเชอร์

ในคณิตศาสตร์ เมเชอร์ (อังกฤษ: measure) บนเซตใด ๆ เป็นวิธีการให้ตัวเลขแก่ซับเซตบางตัวของเซตนั้น ซึ่งนิยมตีความว่าตัวเลขนั้นแทนขนาดของเซต ในมุมมองดังกล่าว เมเชอร์เป็นการวางนัยทั่วไปของแนวคิดเชิงเรขาคณิตอันได้แก่ ความยาว พื้นที่ และปริมาตร ตัวอย่างการนำทฤษฎีเมเชอร์ไปใช้ในสาขาอื่น คือ การที่นักคณิตศาสตร์หลายท่านมองว่าความน่าจะเป็นเหมาะสมเป็นปริมาณเมเชอร์ประเภทหนึ่ง จึงได้ใช้ทฤษฎีเมเชอร์ในการพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงคณิตศาสตร์ (mathematical probability) (หรือทฤษฎีความน่าจะเป็นยุคใหม่) ขึ้น ก่อให้เกิดความก้าวหน้ากับทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นอย่างมาก จุดเริ่มต้นของการสร้างสาขาทฤษฎีเมเชอร์เพื่อนำไปใช้กับทฤษฎีของปริพันธ์และขยายทฤษฎีปริพันธ์ของรีมันน์ไปยังขอบเขตที่กว้างขึ้น โดยนักคณิตศาสตร์ที่มีส่วนสำคัญในการคิดค้นทฤษฎีเมเชอร์ในยุคแรก ๆ คือ จูเซ็ปเป้ เพียโน กามีย์ ฌอร์ด็อง เอมีล โบเรล และอองรี เลอเบ็ก ในทางคณิตศาสตร์ เมเชอร์ จะต้องมีคุณสมบัติ 3 ข้อดังจะอธิบายหยาบ ๆ ต่อไปนี้ จากคำอธิบายอย่างหยาบข้างต้น นำไปสู่นิยามทางคณิตศาสตร์ดังต่อไปนี้ ให้ 𝑋 เป็นเซต และ Σ เป็นซิกมาแอลจีบราบนเซต 𝑋 นั้น จะเรียกฟังก์ชัน 𝜇 ที่ส่งค่าจาก Σ ไปยังเรนจ์ที่เป็นจำนวนจริงขยาย [0,∞] ว่าเป็น เมเชอร์ (measure) ก็ต่อเมื่อ μ มีสมบัติต่อไปนี้ เราจะเรียกสามสิ่งอันดับ (𝑋,Σ,𝜇) ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขข้างต้นว่า ปริภูมิเมเชอร์ (measurable space) และแต่ละสมาชิกใน Σ จะถูกเรียกว่าเซตที่หาเมเชอร์ได้ (measurable sets) ในบางครั้งนิยมละการเขียนเมเชอร์ ระบุเพียงแค่ (𝑋,Σ) เท่านั้น ปริภูมิความน่าจะเป็น (Probability space) เป็นปริภูมิเมเชอร์ที่เมเชอร์ของปริภูมิทั้งหมดมีค่าเท่ากับหนึ่ง หรือก็คือ 𝜇(𝑋)=1 ในกรณีนี้จะเรียกเมเชอร์นั้นว่าเป็นเมเชอร์ความน่าจะเป็น (probability measure) นอกจากนั้นมักจะใช้สัญกรณ์ (Ω,𝐹,𝑃) แทนปริภูมิความน่าจะเป็น แทนที่จะใช้สัญกรณ์ (𝑋,Σ,𝜇) เพื่อลดความกำกวมเนื่องจาก 𝑋 มักใช้แทนตัวแปรสุ่ม และใช้ 𝜇 แทนค่าเฉลี่ยในทางสถิติและความน่าจะเป็น ให้ (𝑋,Σ𝑋) และ (𝑌,Σ𝑌) เป็นปริภูมิเมเชอร์ แล้วจะเรียกฟังก์ชัน 𝑓:𝑋→𝑌 ว่าเป็นฟังก์ชันหาเมเชอร์ได้ (measurable function) ก็ต่อเมื่อบุพภาพของเซตหาเมเชอร์ได้ใน 𝑌 เป็นเซตหาเมเชอร์ได้ใน 𝑋 ด้วย หรือก็คือ 𝑓−1(𝐴)∈Σ𝑋 สำหรับทุกเซต 𝐴∈Σ𝑌 ให้ 𝜇 เป็นเมเชอร์ 𝜇 มีสมบัติเป็นฟังก์ชันทางเดียว: กำหนดให้ 𝐸1 และ 𝐸2 เป็นเซตที่หาเมเชอร์ได้ และ 𝐸1⊆𝐸2 แล้วจะได้ว่า 𝜇(𝐸1)≤𝜇(𝐸2) กำหนดให้ 𝐸1,𝐸2,𝐸3,... เป็นลำดับแบบนับได้ของเซตใน Σ จะได้ว่า นอกจากนั้นเรายังได้ว่า ถ้ากำหนดให้ 𝐸1,𝐸2,𝐸3,... เป็นเซตใน Σ และ 𝐸𝑛⊆𝐸𝑛+1,∀𝑛∈𝑁, แล้วจะได้ว่า ⋃𝑛=1∞𝐸𝑛 อยู่ใน Σ ด้วย และ กำหนดให้ 𝐸1,𝐸2,𝐸3,... เป็นเซตใน Σ และ 𝐸𝑛+1⊆𝐸𝑛,∀𝑛∈𝑁, แล้วจะได้ว่า ⋂𝑛=1∞𝐸𝑛 อยู่ใน Σ ด้วย และยิ่งไปกว่านั้น ถ้ามีสมาชิก 𝐸𝑛 อย่างน้อยหนึ่งตัวที่มีค่าเมเชอร์จำกัด (𝜇(𝐸𝑛)<∞) เราจะได้ว่า คุณสมบัตินี้ไม่เป็นจริงถ้าไม่มีสมาชิก 𝐸𝑛 ใด ๆ เลยที่มีเมเชอร์จำกัด (คือมีค่าเมเชอร์เป็นอนันต์ทุกตัว) ตัวอย่างเช่น ถ้าให้ 𝐸𝑛=[𝑛,∞)⊆𝑅 สำหรับแต่ละ 𝑛∈𝑁 แล้วเราจะได้ว่าทุก ๆ 𝐸𝑛 มีเมเชอร์อนันต์ (ภายใต้เลอเบ็กเมเชอร์) แต่ว่าอินเตอร์เซ็กชันของเซตทั้งหมดมีเมเชอร์เป็นศูนย์ ปริภูมิเมเชอร์ (𝑋,Σ,𝜇) จะเป็นปริภูมิเมเชอร์จำกัด (finite measure) ก็ต่อเมื่อ 𝜇(𝑋) เป็นจำนวนจริงจำกัดค่า ปริภูมิเมเชอร์จำกัด ถ้าไม่ใช่ปริภูมิเมเชอร์ศูนย์ จะเสมือนกับเป็นปริภูมิความน่าจะเป็น ทั้งนี้เพราะว่า 𝜇 เป็นพหุคูณของเมเชอร์ความน่าจะเป็น 1𝜇(𝑋)𝜇 นักคณิตศาสตร์สนใจเงื่อนไขความจำกัดในอีกรูปแบบหนึ่ง ปริภูมิเมเชอร์ (𝑋,Σ,𝜇) จะเป็นปริภูมิเมเชอร์ซิกมาจำกัด (σ-finite measure space) ก็ต่อเมื่อสามารถแบ่ง 𝑋 ออกเป็นส่วนย่อยอนันต์นับได้ส่วนที่ไม่มีส่วนร่วมกัน และแต่ละส่วนมีเมเชอร์เป็นจำนวนจริงจำกัดค่า ในกรณีจะเรียก 𝜇 ว่าเป็น เมเชอร์ซิกมาจำกัด (σ-finite measure) ตัวอย่างปริภูมิเมเชอร์ซิกมาจำกัด เช่น เซตจำนวนจริง 𝑅 ภายใต้เมเชอร์เลอเบ็กมาตรฐาน เนื่องจากเราสามารถแบ่ง 𝑅 ออกเป็นช่วงย่อย [𝑘,𝑘+1) ที่ไม่มีส่วนร่วมกัน สำหรับแต่ละจำนวนเต็ม 𝑘 ได้ และเมเชอร์ของแต่ละส่วนมีค่าเท่ากับ 1 ในทำนองกลับกัน เซต 𝑅 ภายใต้เมเชอร์การนับไม่เป็นปริภูมิเมเชอร์ซิกมาจำกัด ทั้งนี้เพราะว่าเซตที่เมเชอร์น้อยกว่าอนันต์มีเพียงเซตจำกัดเท่านั้น และต้องใช้เซตจำกัดจำนวนอนันต์นับไม่ได้ตัวเพื่อคลุม 𝑅 ปริภูมิเมเชอร์ซิกมาจำกัดมีสมบัติที่เป็นประโยชน์ในการศึกษา เทียบได้กับสมบัติลินเดอเลิฟของปริภูมิเชิงทอพอโลยี ในปริภูมิเมเชอร์ (𝑋,Σ,𝜇) เซต 𝑁⊆𝑋 จะเป็นเซตนัลล์ (null set) ก็เมื่อ 𝜇(𝑁)=0 สับเซตของเซตนัลล์ไม่จำเป็นต้องหาเมเชอร์ได้ แต่ถ้าสับเซต 𝑀⊆𝑁 ของเซตนัลล์หาเมเชอร์ได้ แล้ว 𝜇(𝑀)=0 โดยอัตโนมัติ จะเรียก (𝑋,Σ,𝜇) ว่าเป็นเมเชอร์บริบูรณ์ (complete measure) ก็ต่อเมื่อ ทุกสับเซตของเซตนัลล์หาเมเชอร์ได้ หากมีปริภูมิเมเชอร์ (𝑋,Σ,𝜇) ใด ๆ (อาจเป็นเมเชอร์บริบูรณ์อยู่แล้วได้) จะสามารถขยายเมเชอร์ดังกล่าวให้เป็นเมเชอร์บริบูรณ์ได้เสมอ หากยอมรับในสัจพจน์ของการเลือก จะสามารถพิสูจน์ได้ว่ามีสับเซตของ 𝑅𝑛 ที่ไม่สามารถหาเมเชอร์ได้ ตัวอย่างของเซตดังกล่าวเช่น เซตวีตาลี และเซตที่หาเมเชอร์ไม่ได้ที่ปรากฏในปฏิทรรศน์ของเฮาส์ดอร์ฟฟ์และปฏิทรรศน์ของบานาค-ทาร์สกี