ゲーム理論

ポータル ゲーム理論（ゲームりろん、英: game theory）とは、社会や自然における複数主体が関わる意思決定の問題や行動の相互依存的状況を数学的な数理モデルを用いて研究する学問である[† 1]。数学者ジョン・フォン・ノイマンと経済学者オスカー・モルゲンシュテルンの共著書『ゲームの理論と経済行動』（1944年）によって誕生した[† 2][† 3]。元来は主流派経済学（新古典派経済学）への批判を目的として生まれた理論であったが、1980年代の「ゲーム理論による経済学の静かな革命」を経て、現代では経済学の中心的役割を担うようになった。 ゲーム理論の対象はあらゆる戦略的状況 （英: strategic situations）である[† 4]。「戦略的状況」とは自分の利得が自分の行動の他、他者の行動にも依存する状況を意味し[† 5]、経済学で扱う状況の中でも完全競争や独占を除くほとんどすべてはこれに該当する。さらにこの戦略的状況は経済学だけでなく経営学、政治学、法学、社会学、人類学、心理学、生物学、工学、計算機科学などのさまざまな学問分野にも見られるため、ゲーム理論はこれらにも応用されている。 ゲーム理論の研究者や技術者はゲーム理論家（英: game theorist）と呼ばれる[† 6]。 ゲーム理論は、複数のプレイヤーが拘束力のある合意を結ぶ状況を扱う協力ゲーム理論（英: cooperative game theory）と個々のプレイヤーが独立に行動する状況を扱う非協力ゲーム理論（英: noncooperative game theory）とに分けられる。両者の区別は以下の表によって要約される。 協力ゲームと非協力ゲームの区別はジョン・ナッシュが1951年に発表した「非協力ゲーム」という論文の中で初めて定義された。ナッシュの定義によれば、協力ゲームにおいてプレイヤー間のコミュニケーションが可能でありその結果生じた合意が拘束力を持つのに対して、非協力ゲームにおいてはプレイヤーがコミュニケーションをとることが出来ず合意は拘束力を持たない。このように当初はプレイヤー間のコミュニケーションと拘束力のある合意（英: enforceable agreement）の有無によって協力ゲームと非協力ゲームとが区別されていたが、非協力ゲームの研究が進展するにつれてこのような区別は不十分なものとなった。すなわち、1970年代に非協力ゲームを「展開形ゲーム」で表現する理論が発達したことによって、非協力ゲームにおけるプレイヤー間のコミュニケーションが情報集合として記述・考察できるようになったため、コミュニケーションの有無が協力ゲーム・非協力ゲームの定義にとって重要ではなくなったのである。したがって、協力ゲームと非協力ゲームの区別で重要なのは拘束力のある合意が可能であるか否かであり、ジョン・ハルサニとラインハルト・ゼルテンによる「非協力ゲームはその展開形表現の中に明示的に記述されているものを除いてはプレイヤー間で拘束力のある合意が可能でないゲームである。協力ゲームは展開形表現の中に記述されていなくてもプレイヤー間の拘束力のある合意が可能なゲームである。」という定義が一般的に受け入れられるようになった。 ただし、現実の相互依存的な戦略的状況そのものが協力ゲームと非協力ゲームとに分類可能な訳ではない。国際政治における国家間の相互依存関係を想起すれば容易に理解できるように、現実社会の多くの状況においてそれぞれの枠組みによる分析可能性が混在している。また、「協力ゲームがプレイヤー間の協力や協調関係を分析し、非協力ゲームがプレイヤー間の対立や競争を分析する」という理解がしばしばなされるが誤りであり、両者の違いは分析対象の単位がプレイヤーの提携レベルか個々のプレイヤーレベルかの違いである。 このように両者の区別は決して明確ではなく、非協力ゲームの理論を用いて協力ゲームの問題を説明しようとする一群の研究(ナッシュ・プログラム)も存在する。プレイヤー間の協力が実現するまでの交渉プロセスを展開形ゲームとして記述することによって非協力ゲームとして分析することが可能であり、非協力ゲームの枠組みを用いて協力の問題を分析することによって、単に協力の結果としてどのような状態が実現するかだけでなく協力が成立するためにどのような条件が必要か等といった問題も考察される。このような意味において非協力ゲーム理論は協力ゲーム理論の基礎であるということができる[† 9]。 ただし、1980年代における非協力ゲーム理論の急激な進歩に伴って、協力ゲーム理論の経済分析における重要性は大きく低下し、「協力ゲームなど無意味だ」と主張する経済学者まで現れたと言われている。 ゲームの代表的な表現形式として、戦略形、展開形、提携形の3つが挙げられる。協力ゲームは提携形ゲームと戦略形ゲームという2種類の表現形式によって定式化され、非協力ゲームは戦略形ゲームと展開形ゲームという2種類の表現形式によって定式化される。 幅広いクラスのゲームを表現する際に用いられる方法として「戦略形」がある。戦略形ゲーム（英: games in strategic form）は (1) プレイヤーの集合 N := {1, ..., n}、(2) 各プレイヤー i ∈ N にとって選択可能な戦略の集合 Si、(3) 各プレイヤーの利得関数 𝑓𝑖:×𝑘∈𝑁𝑆𝑘→𝑅[† 10]、の組 𝐺:=(𝑁,{𝑆𝑖}𝑖∈𝑁,{𝑓𝑖}𝑖∈𝑁) によって定義される[† 11]。なお、戦略集合の組 {𝑆𝑖}𝑖∈𝑁 にはプレイヤー集合 N の情報が含まれているため、プレイヤー集合を明記せずに 𝐺:=({𝑆𝑖}𝑖∈𝑁,{𝑓𝑖}𝑖∈𝑁) によって戦略形ゲームを定義する場合がある。さらに戦略集合の組 {𝑆𝑖}𝑖∈𝑁 は定義域として利得関数の組 {𝑓𝑖}𝑖∈𝑁 にその情報が含まれているため、𝐺:={𝑓𝑖}𝑖∈𝑁 によって戦略形ゲームを定義する場合もある。 戦略集合が有限でなおかつプレイヤーが2人のみという特殊な場合においては、左に掲げたような双行列（英: bimatrix）によって戦略形ゲームを表記することが可能である[† 12]。この双行列の例ではプレイヤー集合が 𝑁:={1,2}、戦略集合がそれぞれ 𝑆1:={Top,Bottom} と 𝑆2:={Left,Right} であり、利得は行列の各成分によって表されている。例えば (1, 1) 成分の 𝑤1,𝑤2 は、両プレイヤーの利得関数がそれぞれ 𝑓1(Top,Left)=𝑤1 と 𝑓2(Top,Left)=𝑤2 を満たすことを表している。 各プレイヤーが順番に意思決定を行う状況を含むゲームを表現する際にしばしば用いられる方法として「展開形」がある。展開形ゲーム（英: games in extensive form）は標準形ゲームに情報構造を加えたものである。情報構造の定式化の方法はさまざまであるが、情報構造を導入することによって（1）各プレイヤーにいつ手番が回ってくるか、（2）自分の手番が回って来たとき各プレイヤーは何を知っているか、を指定することができる[† 13]。一つの定式化の方法としてゲームの木（英: game tree）が挙げられる。ゲームの木とは（グラフ理論でいう）「初期点を持つ有限有向木」であり、点（英: node）と枝（英: edge）から構成される。展開形ゲームではゲームの木における頂点（英: terminal nodes）上に利得関数が定義され、手番（英: move）と呼ばれる頂点以外の点の分割としてプレイヤーや情報構造が定義され、枝として戦略が定義される。 協力ゲームを表現する際にしばしば用いられる方法として「提携形」がある。提携形ゲーム（英: games in coalitional form）は（1）プレイヤーの集合 𝑁:={1,...,𝑛}、（2）特性関数 𝑣:2𝑁→𝑅 によって定義される[† 14]。プレイヤー集合の部分集合 𝑆⊆𝑁 は提携（英: coalition）と呼ばれるが[† 8]、特性関数の値は任意の提携が提携に参加したプレイヤーにもたらす利得の総計として解釈される。提携形ゲームは特性関数形ゲーム（英: games in characteristic function form）とも呼ばれる。 ゲーム理論ではさまざまな現象や問題がゲームとして定式化されるが、ここでいうゲームとは1組のルール（英: a set of rules）のことを指す。すべてのプレイヤーが他のすべてのプレイヤーもルールを完全に知っていることを相互に認識し合っているゲームを情報完備ゲームとか完備情報ゲーム（英: game with complete information）といい、情報完備ゲームのルールを共有知識（英: common knowledge）という。他方、ルールがプレイヤー間で共有知識でないゲームを情報不完備ゲームとか不完備情報ゲーム（英: game with incomplete information）という。本節ではゲームを定義するルールの代表的な構成要素であるプレイヤー、戦略集合、利得関数、情報構造、特性関数について解説する。 ゲーム理論では分析の対象となる意思決定主体をプレイヤー（英: player）と呼ぶ。プレイヤーは、あらゆるゲームのモデルに登場する基本的な構成要素であり、プレイヤー集合はしばしば𝑁によって表される。ゲーム理論におけるプレイヤーは労働者、投資家、投票者、官僚、テニス選手といった個人だけでなく、企業、クラブ、政党といった組織、さらには国家、神、シカ、植物などのような人間以外の意思決定主体にまで多岐に渡る。ゲーム理論においてはプレイヤーの人数が重要であり、ゲームを定義する際にはプレイヤーの人数を明示する必要がある。プレイヤーの数に応じて2人ゲーム、3人ゲーム、 n 人ゲームなどと呼ぶが、時にはプレイヤーの人数が無限の場合も考えられる。 ゲームの中に意思決定主体の選択によって影響されることのない不確実性がある場合、その偶然メカニズムは自然（英: nature）と呼ばれるプレイヤーとして定式化され、自然が選択する手番は偶然手番（英: chance move）と呼ばれる。ここでいう自然の例としては、天気、スポーツの試合前に行われるコイントス、企業の研究開発の成果、親の人格の良し悪しなどが挙げられる。自然はしばしば「0人目のプレイヤー」として定式化される。 展開形ゲームにおいてはゲームの木（英: game tree）を構成する手番（英: move）の「分割」としてプレイヤーが定義される。展開形ゲームでは各手番において何れか1人のプレイヤーが選択をするが、手番の分割として定義されるプレイヤー分割（英: player partition）によって各手番においてどのプレイヤーが意思決定を行うのかが指定される。 戦略形ゲームにおいて戦略（英: strategy）とは各プレイヤーがとり得る選択肢を意味し、行動（英: action）と同義である。プレイヤー i にとって選択可能な戦略の集合を i の戦略集合（英: strategy set）とか戦略空間（英: strategy space）と呼び Si などによって表すが、一般に戦略集合はプレイヤーごとに異なるため、 n 人ゲームでは n 個の戦略集合の組 {𝑆𝑖}𝑖∈𝑁 を定義する必要がある。戦略集合が有限であるようなゲームを有限ゲーム、そうでないゲームを無限ゲームという。 上記の意味における戦略には純戦略（英: pure strategy）と混合戦略（英: mixed strategy）とがある。前者は確定的にある一つの行動を選択する戦略であり、後者はある確率分布に従って選択を行う戦略である。例えば、右に掲げた双行列が示す2人有限ゲームはじゃんけんを表しているが、この「2人じゃんけんゲーム」における各プレイヤーの純戦略とは、「戦略グー」、「戦略チョキ」、「戦略パー」である。他方、この「2人じゃんけんゲーム」における各プレイヤーの混合戦略とは、例えば「戦略グー、チョキ、パーをそれぞれ3分の1の等確率で選択する」といったものである。戦略集合 Si の混合拡大 Qi は Si 上の確率分布として定義される。 展開形ゲームでは戦略と行動とが厳しく区別され、ゲームの歴史から行動を指定する関数として戦略が定義される。すなわち展開形ゲームにおける戦略とは、完全な行動計画のことであり、そのプレイヤーが行動を起こすことになるかもしれないそれぞれの事態でどの実行可能な行動をとるかをすべて漏れなく指定したものである[† 15]。このように定義される展開形ゲームにおける戦略を行動戦略と呼び、他方、個々の手番における行動を局所戦略と呼ぶこともある。 ゲームの重要な構成要素である利得関数（英: payoff function）[† 10]は戦略集合の直積を定義域とする実数値関数 𝑓𝑖:×𝑘∈𝑁𝑆𝑘→𝑅 として定義される[† 16]。一般に利得関数はプレイヤーごとに異なるため、 n 人ゲームでは n 個の利得関数の組 {𝑓𝑖}𝑖∈𝑁 を定義する必要がある。利得関数の値である利得（英: payoffs）とは各プレイヤーが実行した戦略によって決定されたゲームの結果に対する評価値であり、したがって、利得関数は効用関数、評価関数、損失関数などと呼ぶこともある。ただし、ゲーム理論における利得関数は、従来の価格理論における効用関数とは異なり、定義域に自分の選択した戦略だけでなく他のプレイヤーが選択した戦略が含まれる。これは意思決定の相互依存的状況を重視するゲーム理論の本質的な側面を反映している。 社会科学では、利得とは通常、企業の利潤（英: profit）や個人の効用（英: utility）に該当する。他方、生物学の文脈では、利得とは個体の適応度（英: fitness）に該当し、生存する子孫の個体数の期待値を意味する。 ゲームには偶然の要素がしばしば加わり、また相手の行動の予測が困難な場合も多いため、リスクや不確実性の下での意思決定の基準たり得る利得関数を考える必要がある。このような要請に応える理論的枠組みとして、フォン・ノイマンとモルゲンシュテルンによる期待効用理論があり、ゲーム理論においても多く応用されている。彼らによって考案された期待利得関数（英: expected utility function）は混合拡大（英: mixed extension）された戦略集合の直積集合 𝑄:=×𝑘∈𝑁𝑄𝑘 上の実数値関数であり、プレイヤーiの期待利得関数 Fi は と定義される。 なお、戦略形ゲームにおいては各プレイヤーが選択した戦略の組がゲームの帰結を表すのに対して、展開形ゲームにおいてはゲームの木（英: game tree）を構成する頂点（英: terminal nodes）がゲームの帰結に相当する。そのため、展開形ゲームでは頂点の集合を定義域とする実数値関数として利得関数が定義される。 非協力ゲームにおいては、各プレイヤーがすべてのプレイヤーの利得関数を知っているかどうかは分析において大きな問題であり、あらかじめ知っている場合や経験によって次第に知る場合、何らかの推定値として知っている場合など、さまざまな場合が仮定される。 非協力ゲームを展開形で表記する際に特有な構成要素として情報構造がある。情報構造はしばしば情報分割（英: information partition）と呼ばれる概念を用いて表現される。情報分割 𝑈=[𝑈0,...,𝑈𝑛] はプレイヤー分割 𝑃=[𝑃0,..