ত্রিভুজ

ত্রিভুজ হল এমন একটি বহুভুজ যার তিনটি বাহু এবং তিনটি শীর্ষবিন্দু রয়েছে। এটি জ্যামিতির মূল আকারগুলির মধ্যে একটি। A, B, এবং C শীর্ষবিন্দুসহ একটি ত্রিভুজকে △𝐴𝐵𝐶 দ্বারা প্রকাশ করা হয়। ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে, যেকোন তিনটি বিন্দু, যখন অসমরেখ, একটি অনন্য ত্রিভুজ এবং একই সাথে একটি অনন্য সমতল (অর্থাৎ একটি দ্বি-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান) নির্ধারণ করে। অর্থাৎ, শুধুমাত্র একটিই সমতল রয়েছে যা সেই ত্রিভুজটিকে ধারণ করে এবং প্রতিটি ত্রিভুজই কোনো না কোনো সমতলে রয়েছে। যদি পুরো জ্যামিতিটি শুধুমাত্র ইউক্লিডীয় সমতলে থাকে, তবে সমস্ত ত্রিভুজ শুধুমাত্র ওই একটি সমতলেই অবস্থান করছে; যদিও, উচ্চ-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানগুলিতে, এই তত্ত্বটি আর সত্য নয়। এই নিবন্ধটি ইউক্লিডীয় জ্যামিতির ত্রিভুজ সম্পর্কে, এবং বিশেষ করে, ইউক্লিডীয় সমতল, যদি অন্যরূপে উল্লেখিত না থাকে। ২টি ত্রিভুজ সর্বসম হওয়ার শর্ত: ১.বাহু-কোণ-বাহু ২.বাহু-বাহু-বাহু ৩.কোণ-বাহু-কোণ ৪.অতিভুজ-বাহু ত্রিভুজ শ্রেণীবিভক্ত করার পরিভাষা দুই হাজার বছরেরও বেশি পুরোনো, এর প্রথম পৃষ্ঠায় সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে ইউক্লিডের উপাদানে। আধুনিক শ্রেণিবিভাগের জন্য ব্যবহৃত নামগুলি হয় সরাসরি ইউক্লিডের গ্রীক থেকে প্রতিবর্ণীকরণ (ট্রান্সলিটারেশন) নয়তো তাদের লাতিন অনুবাদ। প্রাচীন গ্রীক গণিতবিদ ইউক্লিড তিন ধরনের ত্রিভুজকে তাদের বাহুর দৈর্ঘ্য অনুসারে সংজ্ঞায়িত করেছেন: গ্রিক: τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς, ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο μόνας ἴσας ἔχον πλευράς, σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχον πλευράς, আক্ষ. 'ত্রিপক্ষীয় পরিসংখ্যানগুলির মধ্যে, একটি "আইসোপ্লেউরন" [সমবাহু] ত্রিভুজ হল যেটির তিনটি বাহু সমান, একটি "সমদ্বিবাহু" হল যার দুটি বাহু একই সমান এবং একটি "বিষমভুজ" হল যার তিনটি বাহু অসম।' হ্যাচ মার্ক, যাকে টিক মার্কও বলা হয়, তা ত্রিভুজ এবং অন্যান্য জ্যামিতিক আকৃতির চিত্রের সমান দৈর্ঘ্যের বাহুগুলি শনাক্ত করতে ব্যবহৃত হয়। ত্রিভুজের একটি বাহু "টিকস" এর সজ্জা দিয়ে, সংক্ষিপ্ত রেখাংশগুলি ট্যালি মার্কের আকার দ্বারা; যদি দুই বাহুর সমান দৈর্ঘ্য থাকে তবে তারা উভয়ই একই প্যাটার্ন দিয়ে চিহ্নিত হয়। একটি ত্রিভুজে, সজ্জাটি সাধারণত ৩টি টিকের বেশি হয় না। একটি সমবাহু ত্রিভুজের ৩টি বাহুতে একই সজ্জা রয়েছে, একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের মাত্র ২ বাহুর একই সজ্জা রয়েছে এবং একটি বিষমবাহু ত্রিভুজের সমস্ত বাহুর পৃথক সজ্জা রয়েছে কারণ সবকটি বাহুর দৈর্ঘ্য পৃথক। একইভাবে, কোণের অভ্যন্তরে ১, ২, বা ৩টি সমকেন্দ্রিক বৃত্তচাপের সজ্জাগুলি সমান কোণ নির্দেশ করতে ব্যবহৃত হয়: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ৩টি কোণে একই সজ্জা থাকে, একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের মাত্র ২টি কোণে একই সজ্জা থাকে এবং একটি বিষমবাহু ত্রিভুজ সমস্ত কোণে ভিন্ন নিদর্শন রয়েছে, যেহেতু সবকটি কোণ অসমান। ত্রিভুজগুলিকে তাদের অভ্যন্তরীণ কোণ অনুসারে শ্রেণীবিভক্ত করা যেতে পারে, যা ডিগ্রীতে পরিমাপ করা হয়। যে ত্রিভুজের একই মাপের দুটি কোণ রয়েছে এবং একই দৈর্ঘ্যের দুটি বাহু রয়েছে তাকে একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ বলা হয়। একইভাবে বলা যেতে পারে যে ত্রিভুজে সমস্ত কোণের পরিমাপ সমান এবং তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান, তা হল একটি সমবাহু ত্রিভুজ। ত্রিভুজগুলিকে দ্বিমাত্রিক সমতল চিত্র বলে ধরে নেওয়া হয়, যদি না অন্যরূপে উল্লেখিত থাকে (নীচে অসমতলিক ত্রিভুজ দেখুন)। কঠোর চিকিৎসায়, একটি ত্রিভুজকে তাই বলা হয় 2- সিমপ্লেক্স (এছাড়াও পলিটোপ দেখুন)। ত্রিভুজ সম্পর্কে প্রাথমিক তথ্য ইউক্লিড দ্বারা উপস্থাপিত হয়েছিল, তার এলিমেন্টস বইয়ের ১-৪, ৩০০ খ্রিস্টপূর্বাব্দে লেখা। ইউক্লিডীয় স্থানের একটি ত্রিভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলির সমষ্টি সর্বদা ১৮০ ডিগ্রি।   এই সত্যটি ইউক্লিডের সমান্তরাল অনুশাসনের সমতুল্য। এটি কোনো ত্রিভুজের তৃতীয় কোণের মান নির্ধারণে সাহায্য করে, যখন দু'টি কোণের পরিমাপ জানা থাকে। একটি ত্রিভুজের একটি বহিঃকোণ হল একটি কোণ যা একটি অভ্যন্তরীণ কোণের রৈখিক জোড়া (এবং তাই সম্পূরক)। একটি ত্রিভুজের একটি বহিঃকোণের পরিমাপ তার সংলগ্ন নয় এমন দুটি অভ্যন্তরীণ কোণের পরিমাপের সমষ্টির সমান; এটি বহিঃকোণ<i>বহিঃকোণ উপপাদ্য</i> । যেকোন ত্রিভুজের তিনটি বহিঃকোণের (প্রতিটি শীর্ষের জন্য একটি) পরিমাপের সমষ্টি হল ৩৬০ ডিগ্রি। [note ২] দু'টি ত্রিভুজকে সদৃশ বলা হয়, যদি একটি ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের পরিমাপ অন্য ত্রিভুজের অনুরূপ কোণের সমান থাকে। সদৃশ ত্রিভুজগুলির অনুরূপ বাহুগুলির দৈর্ঘ্য একই অনুপাতে থাকে এবং এই বৈশিষ্ট্যটিও ত্রিভুজের সাদৃশ্য স্থাপনের জন্য যথেষ্ট। সদৃশ ত্রিভুজ সম্পর্কে কিছু মৌলিক উপপাদ্য হল: দুইটি সর্বসম ত্রিভুজের ঠিক একই আকার এবং আকৃতি রয়েছে: [note ৪] সংশ্লিষ্ট অভ্যন্তরীণ কোণগুলির সমস্ত জোড়া পরিমাপে সমান, এবং সংশ্লিষ্ট বাহুর সমস্ত জোড়ার দৈর্ঘ্য একই। (এটি মোট ছয়টি সমতা, তবে তিনটিই প্রায়শই সঙ্গতি প্রমাণের জন্য যথেষ্ট। ) একজোড়া ত্রিভুজ সর্বসম হওয়ার জন্য কিছু স্বতন্ত্রভাবে প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত হল: কিছু স্বতন্ত্রভাবে পর্যাপ্ত শর্ত হল: একটি গুরুত্বপূর্ণ শর্ত হল: সমকোণী ত্রিভুজ এবং সাদৃশ্যের ধারণা ব্যবহার করে, ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক সাইন এবং কোসাইন সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। এগুলি একটি কোণের অপেক্ষক যা ত্রিকোণমিতিতে অন্বেষণ করা হয়। একটি মূল উপপাদ্য হল পিথাগোরাসের উপপাদ্য, যেটি বলে যেকোনো সমকোণী ত্রিভুজে, অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ঐ ত্রিভুজের অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান। যদি অতিভুজের দৈর্ঘ্য c হয় এবং অপর দুই বাহুর দৈর্ঘ্য a এবং b হয়, তাহলে উপপাদ্যটি বলে যে বিপরীতটি সত্য: যদি একটি ত্রিভুজের বাহুগুলি উপরের সমীকরণটি পূরণ করে, তাহলে ত্রিভুজটির c বাহুর বিপরীত কোণটি হল সমকোণ। সমকোণী ত্রিভুজ সম্পর্কে আরও কিছু তথ্য: সমস্ত ত্রিভুজের জন্য, কোণ এবং বাহুগুলি কোসাইনের সূত্র এবং সাইনের সূত্র দ্বারা সম্পর্কিত। ত্রিভুজ অসমীকরণ বলে যে একটি ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি সর্বদা তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্যের চেয়ে বেশি হতে হবে। এই সমষ্টি কেবল একটি অবক্ষয়িত ত্রিভুজের ক্ষেত্রে তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্যের সমান হতে পারে, যার শীর্ষবিন্দুগুলি সমরেখ। যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি কখনোই তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্যের চেয়ে কম হওয়া সম্ভব নয়। তিনটি প্রদত্ত ধনাত্মক বাহুর দৈর্ঘ্য সহ একটি ত্রিভুজ বিদ্যমান হয় যদি এবং কেবল যদি সেই বাহুর দৈর্ঘ্যগুলি ত্রিভুজের অসমীকরণ পূরণ করে। তিনটি প্রদত্ত কোণ একটি অবক্ষয়িত নয় এমন ত্রিভুজ গঠন করে (এবং প্রকৃতপক্ষে অসীম-সংখ্যক) যদি এবং কেবল যদি তা এই দুটি শর্তই পূরণ করে: (ক) প্রতিটি কোণ ধনাত্মক, এবং (খ) কোণগুলির যোগফল ১৮০°। অবক্ষয়িত ত্রিভুজ অনুমোদিত হলে, ০° কোণ অনুমোদিত। তিনটি ধনাত্মক কোণ α, β, এবং γ, এদের প্রত্যেকটি ১৮০° এর কম, একটি ত্রিভুজের কোণ যদি এবং কেবল যদি নিম্নলিখিত শর্তগুলির মধ্যে যেকোনো একটি পূরণ করে: শেষ সমীকরণটি কেবল তখনই প্রযোজ্য যখন কোনো কোণ ৯০° না হয় (তাই স্পর্শক অপেক্ষকের মান সর্বদা সসীম)। এমন হাজার হাজার বিভিন্ন (জ্যামিতিক) অঙ্কন রয়েছে যা একটি ত্রিভুজের সাথে (এবং প্রায়শই ভিতরে) একটি বিশেষ বিন্দুর সাথে সম্পর্কিত, যা কিছু অনন্য বৈশিষ্ট্য মেনে চলে: তাদের একটি সূচির জন্য ত্রিভুজ কেন্দ্রের বিশ্বকোষ নিবন্ধটি দেখুন। প্রায়শই এগুলি তিনটি বাহুর (বা শীর্ষবিন্দু) সাথে একটি প্রতিসম উপায়ে যুক্ত তিনটি লাইন খুঁজে বের করে এবং তারপর প্রমাণ করে যে তিনটি রেখা একটি একক বিন্দুতে মিলিত হয়: এইগুলির অস্তিত্ব প্রমাণ করার একটি গুরুত্বপূর্ণ উপায় হল Ceva এর উপপাদ্য, যা এই ধরনের তিনটি রেখা সমবিন্দুগামী নাকি তা নির্ধারণের একটি মাপকাঠি। একইভাবে, একটি ত্রিভুজের সাথে যুক্ত রেখাগুলিকে প্রায়শই প্রমাণ করে তৈরি করা হয় যে তিনটি প্রতিসমভাবে নির্মিত বিন্দু সমরেখ : এখানে মেনেলাউসের উপপাদ্য একটি দরকারী সাধারণ মানদণ্ড দেয়। এই বিভাগে সাধারণত সম্মুখীন হতে হয় এরকম নির্মাণগুলির মধ্যে কয়েকটি ব্যাখ্যা করা হয়েছে। একটি ত্রিভুজের একটি বাহুর একটি লম্ব সমদ্বিখণ্ডক হল একটি সরল রেখা যা বাহুর মধ্যবিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় এবং বাহুর সাথে লম্ব হয়, অর্থাৎ বাহুর সাথে একটি সমকোণ তৈরি করে। তিনটি লম্ব সমদ্বিখণ্ডক একটি একক বিন্দুতে, ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র-তে মিলিত হয়, সাধারণত O দ্বারা চিহ্নিত করা হয়; এই বিন্দুটি বৃত্তের কেন্দ্র, বৃত্তটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুর মধ্য দিয়ে যাচ্ছে। এই বৃত্তের ব্যাস, যাকে পরিবৃত্তের ব্যাস বলা হয়, যা উপরে উল্লিখিত সাইনের সূত্র থেকে পাওয়া যায়। এই বৃত্তের ব্যাসার্ধকেপরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে। থ্যালেসের উপপাদ্যটি অনুসারে, যদি পরিকেন্দ্রটি ত্রিভুজের একটি পাশে অবস্থিত হয় তবে বিপরীত কোণটি একটি সমকোণ। যদি পরিকেন্দ্রটি ত্রিভুজের ভিতরে অবস্থিত হয়, তাহলে ত্রিভুজটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ হয়; যদি পরিকেন্দ্রটি ত্রিভুজের বাইরে থাকে, তাহলে ত্রিভুজটি স্থূলকোণী ত্রিভুজ। একটি ত্রিভুজের উচ্চতা হল একটি শীর্ষবিন্দু থেকে একটি সরলরেখা যা বিপরীত বাহুর উপর লম্ব (অর্থাৎ বাহুটির সাথে একটি সমকোণ গঠন করে)। এই বিপরীত বাহুটিকে উচ্চতার ভূমি বলা হয় এবং যে বিন্দুটি উচ্চতা ভূমিকে (বা এর সম্প্রসারণকে) ছেদ করে তাকে উচ্চতার পাদবিন্দু বলে। উচ্চতার দৈর্ঘ্য হল ভূমি এবং শীর্ষবিন্দুর মাঝের দূরত্ব। তিনটি উচ্চতা একটি বিন্দুতে ছেদ করে, যাকে ত্রিভুজের লম্ববিন্দু বলা হয়, যা সাধারণত H দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। লম্ববিন্দুটি বা লম্বকেন্দ্রটি ত্রিভুজের ভিতরে থাকে যদি এবং কেবল যদি ত্রিভুজটি সূক্ষ্মকোণী হয়। একটি ত্রিভুজের একটি কোণের সমদ্বিখণ্ডক হল একটি শীর্ষবিন্দুর থেকে একটি সরলরেখা যা সংশ্লিষ্ট কোণটিকে অর্ধেক ভাগে ভাগ করে। তিনটি কোণের সমদ্বিখণ্ডক একটি একক বিন্দুতে ছেদ করে, অন্তঃকেন্দ্র, যাকে সাধারণত I দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, এটি হল ত্রিভুজের অন্তঃবৃত্তের কেন্দ্র। অন্তঃবৃত্ত হল সেই বৃত্ত যা ত্রিভুজের ভিতরে থাকে এবং তিনটি বাহুকে স্পর্শ করে। এর ব্যাসার্ধকে অন্তঃব্যাসার্ধ বলা হয়। আরও তিনটি গুরুত্বপূর্ণ বৃত্ত রয়েছে, বহিঃবৃত্ত ; তারা ত্রিভুজের বাইরে থাকে এবং এক বাহুকে এবং অন্য দু'টিবাহুর বর্ধিতাংশকে স্পর্শ করে। অন্তঃ- এবং বহিঃবৃত্তের কেন্দ্রগুলি একটি লম্বকেন্দ্রিক ব্যবস্থা গঠন করে। একটি ত্রিভুজের একটি মধ্যমা হল একটি শীর্ষবিন্দু এবং বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুগামী একটি সরলরেখা, এবং ত্রিভুজটিকে দুটি সমান অংশে ভাগ করে। তিনটি মধ্যমা একটি বিন্দুতে ছেদ করে, যাকে ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বা জ্যামিতিক ব্যারিসেন্টার বলে, এটিকে সাধারণত G দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। একটি অনমনীয় ত্রিভুজাকার বস্তুর ভরকেন্দ্র (একটি অভিন্ন ঘনত্বের একটি পাতলা পাত থেকে কাটা) এটির ভরের কেন্দ্রও : বস্তুটি একটি অভিকর্ষীয় ক্ষেত্রে তার কেন্দ্রে ভারসাম্য বজায় রাখতে পারে। ভরকেন্দ্র প্রতিটি মধ্যমাকে ২:১ অনুপাতে ভাগ করে, অর্থাৎ একটি শীর্ষবিন্দু এবং ভরকেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব ভরকেন্দ্র এবং বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্বের দ্বিগুণ। কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুর মধ্যবিন্দুত্রয়, শীর্ষবিন্দুগুলো থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব তিনটির পাদবিন্দুত্রয় সমবৃত্তীয় বিন্দু দিয়ে যে বৃত্তটি অতিক্রম করে তাকে নববিন্দু বৃত্ত বলা হয়। বাকি তিনটি বিন্দু যার জন্য এটির এরূপ নামকরণ করা হয়েছে তা হল ত্রিভুজটির লম্বকেন্দ্র থেকে এর প্রতিটি শীর্ষের মধ্যবর্তী রেখাংশের মধ্যবিন্দুত্রয়। নববিন্দু বৃত্তের ব্যাসার্ধ বহিঃবৃত্তের ব্যাসার্ধের অর্ধেক। এটি অন্তঃবৃত্ত ( Feuerbach পয়েন্টে ) এবং তিনটি বহিঃবৃত্তকে স্পর্শ করে। লম্ববিন্দু (নীল বিন্দু), নববিন্দু বৃত্তের কেন্দ্র (লাল), ভরকেন্দ্র (কমলা) এবং বহিঃকেন্দ্র (সবুজ) সমরেখ, এবং রেখাটি অয়লার রেখা (লাল রেখা) নামে পরিচিত। নববিন্দু বৃত্তের কেন্দ্রটি লম্ববিন্দু এবং বহিঃকেন্দ্রের ঠিক মাঝখানে অবস্থিত এবং ভরকেন্দ্র ও বহিঃকেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব ভরকেন্দ্র ও লম্ববিন্দুর মাঝের দূরত্বের অর্ধেক। বৃত্তের অন্তঃকেন্দ্র সাধারণত অয়লার রেখার উপর অবস্থান করে না। যদি কেউ একটি মধ্যমাকে ওই একই শীর্ষবিন্দুগামী কোণের সমদ্বিখণ্ডকটিতে প্রতিফলিত করে, তাহলে একটি সিমেডিয়ান পাওয়া যায়। তিনটি সিমেডিয়ান একটি বিন্দুতে ছেদ করে, এটি ত্রিভুজের সিমিডিয়ান বিন্দু । একটি বাহুর দৈর্ঘ্য বা একটি কোণের পরিমাপের জন্য বিশেষ কিছু পদ্ধতি প্রচলিত রয়েছে। সমকোণী ত্রিভুজে মান গণনার জন্য কিছু পদ্ধতি উপযুক্ত; অন্যান্য পরিস্থিতিতে আরও জটিল কোনো পদ্ধতির প্রয়োজন হতে পারে। সমকোণী ত্রিভুজে, সাইন, কোসাইন এবং ট্যানজেন্টের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত অজ্ঞাত কোণ এবং অজ্ঞাত বাহুর দৈর্ঘ্য খুঁজতে ব্যবহার করা যেতে পারে। ত্রিভুজের বাহুগুলি নিম্নলিখিত রূপে পরিচিত: একটি কোণের সাইন (sine) হল বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য এবং অতিভুজের দৈর্ঘ্যের অনুপাত। এক্ষেত্রে এই অনুপাতটি নির্দিষ্ট কোনো সমকোণী ত্রিভুজের উপর নির্ভর করে না, যতক্ষণ না এটিতে A কোণ থাকে, যেহেতু এই সমস্ত ত্রিভুজ অনুরূপ ত্রিভুজ। একটি কোণের কোসাইন (cosine) হল অতিভুজের দৈর্ঘ্যের সাথে সংলগ্ন বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত। এক্ষেত্রে একটি কোণের ট্যানজেন্ট (tangent) হল বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য এবং সংলগ্ন বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত। এক্ষেত্রে এই অনুপাতগুলির জন্য একটি দরকারী স্মৃতিবর্ধনবিদ্যা দ্বারা প্রকাশিত সংক্ষিপ্ত রূপ হল " SOH-CAH-TOA "৷ বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলি একটি সমকোণী ত্রিভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলি নির্ণয় করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যদি যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকে। বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য এবং অতিভুজের দৈর্ঘ্য থেকে একটি কোণ নির্ণয় করতে আর্কসাইন (arcsin) ব্যবহার করা যেতে পারে সংলগ্ন বাহুর দৈর্ঘ্য এবং অতিভুজের দৈর্ঘ্য থেকে একটি কোণ নির্ণয় করতে আর্ককস (arccos) ব্যবহার করা যেতে পারে বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য এবং সংলগ্ন বাহুর দৈর্ঘ্য থেকে একটি কোণ নির্ণয় করতে আর্কট্যান (arctan) ব্যবহার করা যেতে পারে প্রারম্ভিক জ্যামিতি এবং ত্রিকোণমিতি পাঠক্রমে, sin−1, cos−1 ইত্যাদি প্রতীক, প্রায়ই আর্কসাইন (arcsin), আর্ককস (arccos) ইত্যাদির জায়গায় ব্যবহৃত হয় তবে, আর্কসাইন (arcsin), আর্ককস (arccos) ইত্যাদি, উচ্চতর গণিতে প্রচলিত (মানক) প্রতীক যেখানে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলি সাধারণত সূচক বা ঘাত (power)-বিশিষ্ট হয়, তাই গুণাত্মক বিপরীত এবং গঠনগত বিপরীত-এর মধ্যে বিভ্রান্তি এড়াতে এরূপ প্রতীক মানক ব্যবহৃত হয়। দ্য সাইনের নিয়ম, বা সাইন নিয়ম, বলে যে একটি বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত তার সংশ্লিষ্ট বিপরীত কোণের সাইন ধ্রুবক, অর্থাৎ এই উপপাদ্যের আরেকটি ব্যাখ্যা হল যে প্রতিটি α, β ও γ কোণবিশিষ্ট ত্রিভুজ একটি ত্রিভুজের অনুরূপ যার বাহুগুলির দৈর্ঘ্য sin α, sin β ও sin γ এর সমান। এই ত্রিভুজটি প্রথমে ১ ব্যাসের একটি বৃত্ত তৈরি করে এতে ত্রিভুজের দুটি কোণ অঙ্কন করা যেতে পারে সেই ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য হবে sin α, sin β এবং sin γ। যে বাহুর দৈর্ঘ্য sin α, সেটি α কোণের বিপরীত, ইত্যাদি। দ্য কোসাইনের সূত্র, বা কোসাইন নিয়ম, একটি ত্রিভুজের অজ্ঞাত বাহুর দৈর্ঘ্যকে অন্য বাহুর দৈর্ঘ্যের সাথে এবং অজ্ঞাত বাহুর বিপরীত কোণকে সংযুক্ত করে এই সূত্র অনুযায়ী: a, b, c দৈর্ঘ্যের বাহু এবং যথাক্রমে α, β, γ কোণবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজের জন্য, যদি জ্ঞাত দু'টি বাহুর দৈর্ঘ্য a এবং b দেওয়া হয়, এবং প্রদত্ত বাহু দু'টির মাঝের কোণ (বা অজ্ঞাত বাহু, c-এর বিপরীত কোণ), তৃতীয় বাহু, c নির্ণয় করতে, নিম্নলিখিত সূত্রগুলি ব্যবহার করা যেতে পারে: কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য জানা থাকলে তিনটি কোণ গণনা করা যেতে পারে, নিম্নলিখিত সূত্রগুলি ব্যবহার করে: দ্য ট্যানজেন্টের সূত্র, বা স্পর্শক নিয়ম, একটি বাহু বা একটি কোণের মান নির্ণয় করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যখন দুটি বাহু এবং একটি কোণ বা দুটি কোণ এবং একটি বাহু প্রদত্ত হয়। এই সূত্রানুযায়ী: "ত্রিভুজগুলির সমাধান" হল প্রধান ত্রিকোণমিতিক সমস্যা: একটি ত্রিভুজের অজ্ঞাত বৈশিষ্ট্যগুলি নির্ণয় করা (তিনটি কোণ, তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য ইত্যাদি) যখন এই বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে অন্তত তিনটি জ্ঞাত হয় (দেওয়া থাকে)। ত্রিভুজটি একটি সমতলে বা একটি গোলকের উপর অবস্থিত হতে পারে। এই সমস্যাটি প্রায়ই বিভিন্ন ত্রিকোণমিতিক প্রয়োগে দেখা যায়, যেমন ভূগণিত, জ্যোতির্বিদ্যা, নির্মাণ, দিক নির্ণয় ইত্যাদি। একটি ত্রিভুজ, T-এর ক্ষেত্রফল গণনা করা একটি প্রাথমিক সমস্যা, বিভিন্ন পরিস্থিতিতে যার সম্মুখীন প্রায়ই হতে হয়। সবচেয়ে পরিচিত এবং সহজ সূত্র হল: যেখানে b হল ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য, এবং h ত্রিভুজের উচ্চতা। "ভূমি" শব্দটি যে কোনও বাহুকে নির্দেশ করে এবং "উচ্চতা" ভূমির বিপরীত শীর্ষ থেকে ভূমি-ধারণকারী রেখার উপর একটি লম্বের দৈর্ঘ্যকে নির্দেশ করে৷ ৪৯৯ খ্রিস্টাব্দে আর্যভট্ট, এই চিত্রিত পদ্ধতিটি ব্যবহার করেছেন আর্যভটীয় (বিভাগ ২.৬) যদিও সরল, এই সূত্রটি তখনই উপযোগী হয় যদি উচ্চতা জ্ঞাত হয়, যা সবসময় জ্ঞাত থাকে না। উদাহরণস্বরূপ, একটি ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের জরিপকারীর জন্য প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য পরিমাপ করা তুলনামূলকভাবে সহজ, কিন্তু তিনি ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রটির 'উচ্চতা' নির্মাণ করা তুলনামূলকভাবে কঠিন বলে মনে করতে পারেন। ত্রিভুজ সম্পর্কে কী কী তথ্য প্রদত্ত তার উপর নির্ভর করে অনুশীলনে বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করা যেতে পারে। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য প্রায়শই ব্যবহৃত সূত্রগুলির একটি নির্বাচন নীচে দেওয়া হল।  ত্রিকোণমিতি প্রয়োগের মাধ্যমে একটি ত্রিভুজের উচ্চতা নির্ণয় করা যায়। SAS থেকে পাই: ডানদিকের ছবিতে নির্দেশিত উচ্চতা হল h = a sin 𝛾 . পূর্বনির্ধারিত, 𝑇=12𝑏ℎ সূত্রে এটি প্রতিস্থাপন করে, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নিম্নলিখিতরূপে প্রকাশ করা যেতে পারে: (যেখানে A-বিন্দুতে অভ্যন্তরীণ কোণ হল α, B-বিন্দুতে অভ্যন্তরীণ কোণ হল β, C-বিন্দুতে অভ্যন্তরীণ কোণ হল 𝛾 এবং c রেখাংশ হল AB)। অধিকন্তু, যেহেতু sin α = sin ( π − α) = sin (β + 𝛾 ), এবং অনুরূপভাবে অন্য দুটি কোণের জন্য: AAS থেকে পাই: এবং অনুরূপভাবে যদি a বা c বাহু জ্ঞাত (প্রদত্ত) হয়। ASA থেকে পাই:  এবং অনুরূপভাবে যদি b বা c বাহু জ্ঞাত (প্রদত্ত) হয়। ত্রিভুজের আকৃতি তার বাহুগুলির দৈর্ঘ্য দ্বারা নির্ধারিত হয়। অতএব, ক্ষেত্রফল বাহুগুলির দৈর্ঘ্য থেকেও নির্ণয় করা যেতে পারে। হিরনের সূত্র দ্বারা: যেখানে 𝑠=12(𝑎+𝑏+𝑐) অর্ধ-পরিসীমা বা ত্রিভুজের পরিসীমার অর্ধেক। হিরনের সূত্র আরও তিনটি সমতুল্য রূপে প্রকাশ করা যায় একটি ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানের মধ্যে স্থাপিত একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল সদিক রাশি ব্যবহার করে নির্ণয় করা যেতে পারে। মনে করা যাক ভেক্টর AB এবং AC যথাক্রমে A থেকে B এবং A থেকে C পর্যন্ত নির্দেশ করে। তবে ABDC সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল যা AB এবং AC ভেক্টরের ক্রস গুণফলের পরম মান। ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক, ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফলকে ডট গুণফলের মাধ্যমে নিম্নরূপে প্রকাশ করা যেতে পারে: দ্বি-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্পেসে, একটি ভেক্টর AB-কে কার্তেসীয় স্থানে একটি মুক্ত ভেক্টর হিসাবে ( x 1, y 1 ) এবং AC-কে ( x 2, y 2 ) এর দ্বারা প্রকাশ করা যায়, এটি আবার নিম্নলিখিতভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে: যদি শীর্ষবিন্দু A একটি কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার মূলবিন্দু (0, 0)-তে অবস্থিত হয় এবং অন্য দুটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি B = (xB, yB) এবং C = (xC, yC) দ্বারা প্রকাশ করা হয়, তবে ক্ষেত্রফল হল নির্ণায়কের পরম মানের অর্ধেক বা ১⁄২ গুণ তিনটি সাধারণ শীর্ষবিন্দুর জন্য, সমীকরণটি হল: যা আবার নিম্নরূপেও প্রকাশ করা যেতে পারে যদি বিন্দুগুলিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে অনুক্রমিকভাবে চিহ্নিত করা হয়, উপরের নির্ণায়কের রাশিমালা ধনাত্মক তাই পরম মান চিহ্নগুলি বর্জন করা যেতে পারে।  উপরের সূত্রটি জুতার ফিতার সূত্র (shoelace formula) বা সার্ভেয়ারের সূত্র নামে পরিচিত। যদি আমরা জটিল তলে শীর্ষবিন্দুগুলিকে চিহ্নিত করি এবং তাদেরকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত ক্রমানুসারে a = xA + yAi, b = xB + yBi, এবং c = xC + yCi দ্বারা চিহ্নিত করি, এবং তাদের জটিল অনুবন্ধীগুলিকে 𝑎¯, 𝑏¯, এবং 𝑐¯ হিসাবে চিহ্নিত করি, তাহলে নিম্নলিখিত সূত্রটি জুতার ফিতা (shoelace) সূত্রের সমতুল্য। ত্রিমাত্রিক স্থানে, A = (xA, yA, zA), B = (xB, yB, zB) এবং C = (xC, yC, zC ) বিশিষ্ট একটি সাধারণ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হল তিনটি প্রধান সমতল (যেমন x = 0, y = 0 এবং z = 0)-এর উপর অভিক্ষেপ ক্ষেত্রগুলির পাইথাগোরিয়ান সমষ্টি : যেকোনো বক্ররেখার দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্র, যেমন একটি ত্রিভুজ-এর ক্ষেত্রফল, একটি কাল্পনিক সরলরেখা L থেকে বক্ররেখার উপর একটি বিন্দুর বীজগাণিতিক বা চিহ্নযুক্ত দূরত্ব বেষ্টনকারী বক্ররেখার রৈখিক সমাকল ব্যবহার করে নির্ণয় করা যায়। ভিত্তি হিসাবে L- এর ডানদিকের বিন্দুগুলিকে L থেকে ঋণাত্মক দূরত্বে নেওয়া হয়, এবং সমাকলের মাত্রাকে চাপের দৈর্ঘ্যের পরিবর্তে L- এর সমান্তরালে চাপের দৈর্ঘ্যের উপাংশ হিসাবে নেওয়া হয়। এই পদ্ধতিটি একটি যদৃচ্ছ বহুভুজের ক্ষেত্রফল গণনার জন্য উপযুক্ত। L-কে x- অক্ষ ধরে, ক্রমিক শীর্ষবিন্দু (xi,yi) এবং (xi+1,yi+1)-এর মধ্যে রৈখিক সমাকল হল ভূমি গুণ গড় উচ্চতা, যথা (xi+1 − xi)(yi + yi+1)/2. ক্ষেত্রফলের চিহ্ন হল পরিক্রমের দিকের একটি সামগ্রিক সূচক, ঋণাত্মক ক্ষেত্রফল ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে পরিক্রমা নির্দেশ করে। একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল তিনটি বাহুবিশিষ্ট বহুভুজ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। যদিও রৈখিক সমাকল পদ্ধতিতে অন্যান্য স্থানাঙ্ক-ভিত্তিক পদ্ধতির সাথে একটি যদৃচ্ছ স্থানাঙ্ক পদ্ধতির মিল রয়েছে, এটি অন্যান্য পদ্ধতির থেকে ভিন্ন, ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুকে মূলবিন্দু বা ভিত্তি হিসাবে কোনো বাহু যদৃচ্ছ নির্বাচন করে না। তদুপরি, L দ্বারা সংজ্ঞায়িত স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার বিকল্পটি প্রচলিত তিনটি স্বাধীন মাত্রার পরিবর্তে মাত্র দুইটির প্রতিশ্রুতি দেয়, যেহেতু স্থানীয় দূরত্বের মাত্রা (উদাহরণস্বরূপ উপরের xi+1 − xi) যেখানে পদ্ধতিতে L-এর উপর লম্ব একটি অক্ষ নির্বাচন করার প্রয়োজন হয় না। পোলার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়, রৈখিক সমাকল ব্যবহার করার জন্য কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় রূপান্তর করার প্রয়োজন নেই, যেহেতু বহুভুজের ধারাবাহিক শীর্ষবিন্দু (ri,θi) এবং (ri+1,θi+1)-এর মধ্যে রৈখিক সমাকল riri+1sin(θi+1 − θi)/2 দ্বারা প্রকাশ করা যায়। এটি θ-এর সকল মানের জন্য বৈধ, যদিও |θ|, π-এর চেয়ে অনেক বেশি মাত্রার হলে সংখ্যাসূচক নির্ভুলতা কিছুটা হ্রাস পায়। এই সূত্রের দ্বারা ঋণাত্মক ক্ষেত্রফল ঘড়ির কাঁটার দিকে পরিক্রম নির্দেশ করে, যা পোলার এবং কার্তেসীয় স্থানাঙ্কগুলি মিশ্রিত করার সময় অনুধাবন করা উচিত। ঠিক যেমন y- অক্ষ (x = 0) নির্বাচন করা কার্তেসীয় স্থানাঙ্কগুলিতে রৈখিক সমাকলের জন্য অপ্রয়োজনীয়, তেমনই শূন্য নির্দেশকারী (θ = 0) নির্বাচন করা এখানে অপ্রাসঙ্গিক. তিনটি সূত্রের গঠন হিরনের সূত্রের মতোই কিন্তু ভিন্ন ভিন্ন চলকের ভিত্তিতে প্রকাশ করা হয়। প্রথমত, a, b, এবং c বাহু থেকে মধ্যমাকে যথাক্রমে m a, m b, এবং m c এবং তাদের অর্ধ-সমষ্টি (ma + mb + mc)/2 σ হিসাবে চিহ্নিত করে, আমরা পাই  পরবর্তীতে, a, b এবং, c বাহু থেকে যথাক্রমে ha, hb এবং, hc, উচ্চতা নির্দেশ করে এবং উচ্চতার অন্যনোকগুলির অর্ধ-সমষ্টিকে𝐻=(ℎ𝑎−1+ℎ𝑏−1+ℎ𝑐−1)/2 নির্দেশ করে,আমরা পাই এবং কোণগুলির সাইনগুলির অর্ধ-সমষ্টিকে নির্দেশ করে S = [(sin α) + (sin β) + (sin γ)]/2, আমরা পাই যেখানে D হল বৃত্তের ব্যাস: 𝐷=𝑎sin⁡𝛼=𝑏sin⁡𝛽=𝑐sin⁡𝛾. যদৃচ্ছ জালি বহুভুজের (একটি গরাদের উপর সমান দূরত্বে উল্লম্ব এবং অনুভূমিকভাবে সংলগ্ন জালি বিন্দু এবং জালি বিন্দুতে শীর্ষবিন্দু সহ বহুভুজ অঙ্কিত) ক্ষেত্রফল নির্ণয় করার কৌশলের জন্য পিকের উপপাদ্যটি দেখা যেতে পারে। উপপাদ্যটি বিবৃত করে: যেখানর 𝐼 অভ্যন্তরীণ জালি বিন্দুর সংখ্যা এবং B হল বহুভুজের সীমানায় থাকা জালি বিন্দুর সংখ্যা। অন্যান্য অনেক ক্ষেত্রফলের সূত্র বিদ্যমান, যেমন যেখানে r হল অন্তঃব্যাসার্ধ, এবং s হল অর্ধপরিসীমা (আসলে, এই সূত্রটি সমস্ত স্পর্শক বহুভুজের জন্য প্রযোজ্য), এবং  :Lemma ২ যেখানে 𝑟𝑎,𝑟𝑏,𝑟𝑐 ব্যাসার্ধগুলি যথাক্রমে a, b, c বাহুর বহিঃবৃত্তের স্পর্শক। আমরা আরো পাই এবং  যেখানে পরিবৃত্তের ব্যাস D; এবং  α ≠ ৯০° কোণের জন্য এলাকাটিকে আবার নিম্নলিখিভাবেও প্রকাশ করা যেতে পারে  ১৮৮৫ সালে, বেকার  ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য শতাধিক স্বতন্ত্র সূত্রের একটি সংগ্রহ বের করেন। এর মধ্যে রয়েছে: পরিবৃত্তের জন্য (পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ) R, এবং পরিসীমা p সহ যেকোনো ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল T নিম্নলিখিত অসমীকরণটি সিদ্ধ করে যদি এবং কেবল যদি ত্রিভুজটি সমবাহু হয় তবেই উভয়পক্ষ সমান হয়।   :৬৫৭ T ক্ষেত্রের অন্যান্য উর্দ্ধসীমা  নিম্নলিখিত অসমীকরণ দ্বারা প্রকাশ করা যায় :p.২৯০ এবং যদি এবং কেবল যদি ত্রিভুজটি সমবাহু হয় তাহলে উভয় পক্ষই সমান হয়। একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলকে সমদ্বিখণ্ডিত করে এমন অসংখ্য রেখা রয়েছে।  তাদের মধ্যে তিনটি হল মধ্যমা, যা একমাত্র ক্ষেত্রফলের সমদ্বিখণ্ডক যা ভরকেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায়। ত্রিভুজের বাহুগুলির সমান্তরাল আরও তিনটি ক্ষেত্রফল সমদ্বিখন্ডক রয়েছে। একটি ত্রিভুজের মধ্য দিয়ে যেকোনো রেখা যা ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল এবং এর পরিধি উভয়কে অর্ধেক ভাগ করে তা ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্রগামী। যেকোনো প্রদত্ত ত্রিভুজের জন্য এর সংখ্যা এক, দুই বা তিন হতে পারে। এই বিভাগের সূত্রগুলি সমস্ত ইউক্লিডীয় ত্রিভুজের জন্য সত্য। মধ্যমা এবং বাহুগুলি  নিম্নলিখিত সমীকরণ দ্বারা সম্পর্কিত :p