フィンスラー多様体

フィンスラー多様体とは、可微分多様体 M}} であって各接空間 T//x////M//}} でミンコフスキー汎関数 //F//}}  が与えられ、任意の滑らかな曲線 γ: [//a//, //b//] → //M//}} の長さが

であるものと定義される、微分幾何学の概念である。

正接ノルムが内積から誘導されていないことから、フィンスラー多様体はリーマン多様体よりも一般的な概念と言える。

フィンスラー多様体は、2点間の距離がそれらを結ぶ曲線の最小長で定義されるときintrinsicな準距離空間になる。

ポール・フィンスラーがこの幾何学を研究しFinsler、txtがそのことにちなんでフィンスラー多様体と名付けた。

1. 定義
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フィンスラー多様体は、可微分多様体 M}} であって、接束上の連続非負関数 //F//: T//M// → [0, +∞)}} であるフィンスラー計量がM}} の各点 x}} に対して、以下の性質をもつものである：

x}} で M}} に正接する 2 つの任意ベクトル //v//,//w//}} に対して //F// ≤ //F// + //F//}}。
任意の λ ≥ 0}} に対して //F// =}} λ//F//}}。
//v// =}} 0}} でない限り //F// > 0}}。つまり、//F//}} は接空間 T//x////M//}} 上の非対称ノルムである。フィンスラー計量 //F//}} は「滑らか」である必要がある。より正確には

//F//}} は T//M//}} の零切断の補集合で滑らか。劣加法の条件は次の強い凸性条件に置き換えることができる：

各接線ベクトル //v// ≠ 0}} について、//v//}} での //F//2}} のヘッセ行列は正定値である。ここで、//v//}} における //F//2}} のヘッシアンは対称な双線型形式

である。これは //v//}} における //F//}} の基本テンソルとも呼ばれる。強い凸性は、frac の場合に厳密な不等式による劣加法性を意味する。 //F//}} が強い凸性を持つならばそれは接空間のミンコフスキーノルムである。

さらに、

任意の接ベクトル v}} に対して のとき、フィンスラー計量は可逆であるという。可逆なフィンスラー計量は接空間の  ノルムを定義する。

2. 例
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有限次元のノルム線型空間の滑らかな部分多様体  は、ベクトル空間のノルムが原点の外側で滑らかならばフィンスラー多様体である。
リーマン多様体はフィンスラー多様体の特殊なケースである。

2.1. ランダース多様体
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}} をリーマン多様体とし、b}} を M}} 上の微分 1 形式で

を満たすものとする。ここで //a//sup は //a//sub の逆行列である。アインシュタインの縮約記法を用いている。すると

は M}} 上のランダース計量を定義し、}} は非可逆フィンスラー多様体の特殊なケースであるランダース多様体である。

2.2. 滑らかな準距離空間
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}} を準距離とする。つまり M}} は可微分多様体であり、d}} は M}} の微分構造と次の意味での互換性をもつ：

M}} の任意の点 z}} の近傍で滑らかな M}} のチャート }} と定数 //C// ≥ 1}} が存在して、任意の //x//, //y// ∈ //U//}} に対して次が成り立つ：
関数 //d//: //M//×//M// → [0, ∞]}} がいくつかpunctureされた対角の近傍の中で滑らか。するとフィンスラー関数 //F//: T//M// → [0, ∞]}} を

で定義できる。ここで γ}} は M}} の任意の曲線で γ =}} //x//}} かつ γ′ =}} //v//}} を満たす。このように得られたフィンスラー関数 F}} は M}} の接空間で非対称なノルムに制限される。もともとの準距離から誘導されたintrinsicな計量 //d////L//: //M//×//M// → [0, ∞]}} は

で復元でき、実際、任意のフィンスラー関数 //F//: T//M// → [0, ∞)}} からこの式によって M}} 上のintrinsicな準計量 dsub を定義できる。

3. 測地線
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F}} の均一性により、M}} 上の微分可能な曲線 γ: [//a//, //b//] → //M//}} の長さ

は、正方向の再パラメーター化の下で不変である。等速曲線 γ}} は、もしその十分に短いセグメント γ!}}[//c//,//d//]}} が γ}} から γ}} までの長さを最小化するなら、フィンスラー多様体の測地線である。同様に、もしエネルギー汎関数

が固定端点 γ =}} //x//, γ =}} //y//}} をもつ微分可能な曲線 γ}} 上でその汎関数微分が消えるという意味で定常なら、γ}} は測地線である。

3.1. フィンスラー多様体上の正準スプレー構造
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エネルギー汎関数 //E//[//γ//]}} のオイラー・ラグランジュ方程式は T//M//}} の局所座標系 }} で

である。ここで //k// =}} 1, ..., //n//}}、また gsub は次で定義される基本テンソルの座標表現である：

//v// ∈ Tsub に関して //F//sup に強い凸性を仮定すると、行列 //g//sub は正則であり、その逆行列は //g//sup と表される。すると γ: [//a//, //b//] → //M//}} が }} の測地線である必要十分条件は、接曲線 γ′: [//a//, //b//] → T//M//&setminus;0}}} が T//M//&setminus;0}}} 上で次式によって局所的に定義された滑らかなベクトル場 H}} の積分曲線であることである：

ここで局所スプレー係数 Gsup は次式で与えられる：

T//M//&setminus;0}}} 上のベクトル場 H}} は //JH// =}} //V//}} および [//V//, //H//] =}} //H//}} を満たす。ここで //J//, //V//}} は T//M//&setminus;0}}} の正準準同型および正準ベクトル場である。したがって定義より H}} は M}} 上のスプレー である。スプレー H}} は垂直投影を介してファイバー束 T//M//&setminus;0} → //M//}} に非線形接続を定義する。

リーマン多様体の場合と同様、Ehresmann曲率と非線形共変微分に関して、一般的なスプレー構造 }} に対するヤコビ方程式のバージョン

が存在する。

3.2. 測地線の一意性と最小化の性質
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Hopf-Rinowの定理により、}} 上には長さを最小化する曲線が  常に存在する。 長さを最小化する曲線は正の値で再パラメータ化して測地線にすることが常にでき、どの測地線も //E//[γ]}} に対してオイラー・ラグランジュ方程式を満たさなければならない。//F//sup の強い凸性を仮定すると、積分曲線の一意性により、任意の  ∈ T//M//&setminus;mset に対して γ =}} //x//}} および γ′ =}} //v//}} を満たす最大の測地線 γ}} が一意に存在する。

//F//sup が強い凸性をもつなら、測地線 γ: [0, //b//] → //M//}} は、γ}} に沿って γ}} に共役する最初の点 γ}} まで、近くの曲線間で長さを最小化し、リーマン多様体の場合のように、//t// > //s//}} の場合、γ}}の近くにγ}} から γ}} までのより短い曲線が常に存在する。

4. 脚注
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5. 参考文献
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last1=Finsler )

6. 外部リンク
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