P進周期環

数学の mvarとは、p}} 進数体に関係するある一群の環の総称である。p}} 進ホッジ理論や p}} 進ガロア表現の理論、岩澤理論の研究に使われるBrinonFontaineColmez。ジャン＝マルク・フォンテーヌによって導入されたTsuji。

1. 性質
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p}} を素数、K}} を標数0の完備な離散付値体でその剰余体 k}} は完全体かつ標数が p}} であるものとするFontaineTsujiBrinon。例えば p}} 進数体 Qsub の有限次拡大などがこのような体の例であるFontaine。剰余体が有限体であることは必ずしも仮定しない。これは剰余体が代数閉体である場合を扱えるようにしておくためであるBrinon。

K}} から p}} 進周期環中村と呼ばれる環 //B//sub,

文献によっては crys ではなく cris と書いている。harvtxt, //B//sub が構成される。//B//sub は p}} 進周期の体Brinon、 は //crystalline period ring//Brinon と呼ばれることもある。これらの環は次に述べる性質を持っている。

記号 math 整数環が定義できる体 F}} に対してその整数環を //𝒪//sub で表す。また体 F}} に対してその代数的閉包を overline、絶対ガロア群を //Gsub で表す。Csub を overline の完備化とする// この記号は harvtxt。W}} を k}} に係数を持つヴィット・ベクトルの環 //W//}} とし、その商体を //K//sub とする。K}} は //K//sub 上の有限次完全分岐拡大になる。//P//sub を overline に係数を持つヴィット・ベクトルの環 //W//(overline の商体とする。N}} を0以上の整数の集合とする。整数 n}} に対して Qsub で //Gsub が円分指標の n}} 乗で作用する Qsub 上の1次元ベクトル空間を表すFontaine。Csub も同様。//

1.1. //B//sub
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//B//sub は完備離散付値体であるTsuji。その剰余体は自然に Csub と同型である。//B//sub の離散付値を v}}、離散付値環 を //B//supsub で表す。
整数 i}} に対して付値が i}} 以上の元からなる //B//sub の部分集合を Filsup で表す。これは //B//sub の減少フィルトレーションを定める。
//B//sub には絶対ガロア群 //Gsub が作用する。剰余体への射影 Filsup はこのガロア群の作用と可換である。//
//Gsub の作用と可換な Qsub 線型な自然な単射 Qsub が存在する。この写像による0ではない元の像は //B//sub の素元になる。この自然な単射から任意の整数 i}} に対し自然な単射 Qsub が定まる。grsupsub と Csub は //Gsub の作用も込みで同型である。
//B//sub は K}} をその有限次拡大に置き換えても変わらない。
//B//supsub は overline を含むTsuji。これは自明なことではない中村。
//B//supsub は離散付値から定義される位相を持つFontaine。これとは別に、定義 1=//B//supsub に現れる //W//}} の位相の逆極限から得られる位相もある。Fontaine はこの位相を natural topologyと呼んでいる。
環準同型 //s//: Csub であって //θ//∘//s//}} が恒等写像となるものが存在する。ここで θ}} は //B//supsub からその剰余体 Csub への自然な準同型である。しかし一意には定まらず //Gsub の作用と可換にもならない。//

1.2. //B//sub
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//B//sub は //Gsub 作用に関して閉じている //B//sub の部分環であるTsuji。体の部分環なので整域であるFontaine。//
//B//sub は //P//sub と Qsub を含むTsuji。
//B//sub は //B//sub の減少フィルトレーションから誘導される減少フィルトレーションを持つ。このフィルトレーションに関して 1=grsupsub が任意の整数 i}} に対して成り立つ。これは形式的ローラン級数環 //C//⟦//X//⟧[//X//sup と係数の絶対値が急減少するべき級数からなるその部分環との関係に似ている。
//B//sub はフロベニウスと呼ばれる単射自己準同型 //φ//: //B//sub を持つ。これは次の性質を持つ。
//P//sub のフロベニウスに関して半線型。
//Gsub の作用と可換。//
//t// ∈ Qsub に対して 1=//φ// = //pt//}} が成り立つ。
//B//sub も K}} をその有限次拡大に置き換えても変わらない。

1.3. //B//sub
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//B//sub は //Gsub 作用に関して閉じている //B//sub を含む //B//sub の部分環であるTsuji。体の部分環なので整域であるFontaine。//
//B//sub は //usub と書かれる一つの元で //B//sub 上生成される。//usub は //B//sub 上超越的なのでTsuji、//B//sub は //B//sub 上の一変数多項式環と同型な環であるTsuji。//usub は K}} の素元 π}} の取り方によるので、//B//sub はこの素元の取り方に依存する環である。//
//B//sub はフロベニウスと呼ばれる単射自己準同型 //φ//: //B//sub を持つ。フロベニウスの作用は //B//sub 上では //B//sub のフロベニウスと同じ。//usub には 1=//φ//(//usub で作用する。フロベニウスは //Gsub の作用と可換である。//
//B//sub はモノドロミー作用素と呼ばれる //B//sub 上の導分 N}} を持つ。N}} は 1=//N//(//usub で定義され、//Gsub の作用と可換である。
フロベニウスとモノドロミー作用素は関係式 1=//Nφ// = //pφN//}} を満たす。
//B//sub は //B//sub への埋め込みを忘れれば K}} をその有限次拡大に置き換えても変わらず、K}} の素元 π}} の取り方にも依らない。

2. 構成
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p}} 進周期環は次のように構成される。

2.1. //B//sub
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環 R}} を射影系

の逆極限 として定義するTsuji。つまり、R}} は集合としては の元の無限列 であって を満たすもの全体である。また、環の加法や乗法は成分ごとに定義されたものである。

を R}} を係数とするヴィット・ベクトルのなす環とする。//W//}} から overline の完備化 Csub の整数環 //𝒪//sub への写像 θ}} を

で定義する。ここで、 は、 の元 に対しその第 n}} 成分 の第 m}} 成分 を に持ち上げたものである。θ}} は全射の環準同型である。また、その核は単項イデアルである。

R}} は自然に //k//}} 代数になるBrinonので は自然に 代数になる。θ}} を 線型に延長した写像 を とし、//B//supsub を

で定義する。その商体を //B//sub とする。

2.2. //B//sub
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記号は前節と同じとするTsuji。//ξsub を準同型 //θ//: //W// → //𝒪//sub の核の生成元とし、Qsub の部分環// を

で定義する。//W//sup の p}} 進完備化を //A//sub とし、//B//supsub を

で定義するTsuji。//B//supsub は //B//sub に埋め込める。t}} を自然な単射 Qsub による0ではない元の像とするTsuji。//B//sub を

で定義する。

2.3. //B//sub
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記号は前節と同じとするTsuji。π}} を K}} の素元として、 を π}} の //𝒪sub における p}} べき乗根の系、つまり// を満たすような //𝒪sub の元の列とする。1=underlineと置くと、これは R}} の元を定める。//W//}} の元// を のタイヒミュラー代表元とし、//B//supsub の元 を

で定義する。右辺の級数は 1=//θ//([underline であることにより が成り立つので で収束する。

//B//sub を//B//sub 上 で生成される環として定義する。

3. 脚注
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3.1. 注釈
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3.2. 出典
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4. 参考文献
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