アフィン演算

数値解析・精度保証付き数値計算においてアフィン演算は区間演算における区間幅の増大を抑止するために作られた演算方式である。

1. 背景
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須永照夫や R. Mooreによって開発された区間演算は現代では精度保証付き数値計算を含む様々な分野に応用されているが、計算を繰り返すと区間幅が増大してしまい、有意義な結果が得られなくなるという致命的な弱点があった 。そこで多くの技術者・研究者たちがこの難点を克服すべく研究を積み重ねてきた。アフィン演算はその成果物の一つである。

1.1. 応用
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アフィン演算はMATLAB/GNU Octaveで作られた区間演算ライブラリINTLABに搭載されている他、

常微分方程式の数値解法
求根アルゴリズム
最適化問題
混合信号 
電力潮流 
電気回路または電子回路 にも活用されている。

1.2. 改良
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アフィン演算をよりよくしようという研究もおこなわれており、これらの手法は拡張アフィン演算 、または変形アフィン演算 などと総称される。

2. アフィン演算が使える数値計算ライブラリ
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INTLAB
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[1] 
[2] 
[3]

3. 出典
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4. 参考文献
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4.1. 応用に関する文献
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L. H. de Figueiredo and J. Stolfi , "Adaptive enumeration of implicit surfaces with affine arithmetic". //Computer Graphics Forum//, 15 //5//, 287–296.
W. Heidrich , "A compilation of affine arithmetic versions of common math library functions". Technical Report 1997-3, Universität Erlangen-Nürnberg.
L. Egiziano, N. Femia, and G. Spagnuolo , "New approaches to the true worst-case evaluation in circuit tolerance and sensitivity analysis — Part II: Calculation of the outer solution using affine arithmetic". //Proc. COMPEL'98 — 6th Workshop on Computer in Power Electronics //, 19–22.
W. Heidrich, Ph. Slusallek, and H.-P. Seidel , "Sampling procedural shaders using affine arithmetic". //ACM Transactions on Graphics//, 17 //3//, 158–176.
A. de Cusatis Jr., L. H. Figueiredo, and M. Gattass , "Interval methods for ray casting surfaces with affine arithmetic". //Proc. SIBGRAPI'99 — 12th Brazilian Symposium on Computer Graphics and Image Processing//, 65–71.
I. Voiculescu, J. Berchtold, A. Bowyer, R. R. Martin, and Q. Zhang , "Interval and affine arithmetic for surface location of power- and Bernstein-form polynomials". //Proc. Mathematics of Surfaces IX//, 410–423. Springer, 1-85233-358-8}}.
Q. Zhang and R. R. Martin , "Polynomial evaluation using affine arithmetic for curve drawing". //Proc. of Eurographics UK 2000 Conference//, 49–56. 0-9521097-9-4}}.
N. Femia and G. Spagnuolo , "True worst-case circuit tolerance analysis using genetic algorithm and affine arithmetic — Part I". //IEEE Transactions on Circuits and Systems//, 47 //9//, 1285–1296.
R. Martin, H. Shou, I. Voiculescu, and G. Wang , "A comparison of Bernstein hull and affine arithmetic methods for algebraic curve drawing". //Proc. Uncertainty in Geometric Computations//, 143–154. Kluwer Academic Publishers, 0-7923-7309-X}}.
A. Bowyer, R. Martin, H. Shou, and I. Voiculescu , "Affine intervals in a CSG geometric modeller". //Proc. Uncertainty in Geometric Computations//, 1–14. Kluwer Academic Publishers, 0-7923-7309-X}}.
L. H. de Figueiredo, J. Stolfi, and L. Velho , "Approximating parametric curves with strip trees using affine arithmetic". //Computer Graphics Forum//, 22 //2//, 171–179.
C. F. Fang, T. Chen, and R. Rutenbar , "Floating-point error analysis based on affine arithmetic". //Proc. 2003 International Conf. on Acoustic, Speech and Signal Processing//.
A. Paiva, L. H. de Figueiredo, and J. Stolfi , "Robust visualization of strange attractors using affine arithmetic". //Computers & Graphics//, 30 //6//, 1020– 1026.

4.2. 解説記事
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L. H. de Figueiredo and J. Stolfi  "Affine arithmetic: concepts and applications." //Numerical Algorithms// 37 , 147–158.
J. L. D. Comba and J. Stolfi , "Affine arithmetic and its applications to computer graphics". //Proc. SIBGRAPI'93 — VI Simpósio Brasileiro de Computação Gráfica e Processamento de Imagens //, 9–18.
Nedialkov, N. S., Kreinovich, V., & Starks, S. A. . Interval arithmetic, affine arithmetic, Taylor series methods: why, what next?. Numerical Algorithms, 37, 325-336.

5. 外部リンク
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