体球調和関数

物理学と数学において、体球調和関数は球面座標系でのラプラス方程式の解を指す。原点で0になる正則な体球調和関数 と、原点が特異点となる非正則な体球調和関数 の2種がある。いずれの関数集合もポテンシャル論で重要な役割を演じ、また適当にスケーリングすることで球面調和関数が得られる。

1. 導出および球面調和関数との関係
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空間ベクトル r の球面極座標として //r//, θ, φ を導入すると、ラプラス方程式は以下の形になる。

ここで //l//2 は無次元化した角運動量演算子

の2乗である。

知られているように、球面調和関数 //Ylm// は演算子 //l//2 の固有関数である。

Φ = //F// //Ylm// をラプラス方程式に代入し、両辺を球面調和関数で割ると、以下の動径方向の方程式とその一般解が得られる。

ラプラス方程式の解のうち一部が正則な体球調和関数

であり、また一部が非正則な体球調和関数

である。

1.1. ラカーの正規化
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ジュリオ・ラカーの正規化はいずれの関数にも適用でき、単位への正規化の代わりに

とするものである。応用上多くの場合、ラカーの正規化因子は微分の下で形を変えないため便利である。

2. 加法定理
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正則な体球調和関数を平行移動したものは、次のように有限項に展開される。

ここでクレブシュ–ゴルダン係数は次式で与えられる。

類似の展開が非正則な体球調和関数に対しても行え、無限級数に展開される。

ここで とする。ブラケットで囲まれた因子は再びクレブシュ–ゴルダン係数である。

2.1. 参考文献
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加法定理は著者によって様々な方法で証明されている。例えば、以下の2文献にはそれぞれの証明が載っている。

R. J. A. Tough and A. J. Stone, J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 10, p.   1261 
M. J. Caola, J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 11, p.   L23 

3. 実関数形式
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±//m// についての簡単な線形結合によって、体球調和関数は実数値関数の集合に変換される。デカルト座標系で表示された実の正則体球調和関数は、//x//, //y//, //z// についての //l// 次斉次多項式である。これらの明示的に書かれた多項式は、例えば原子軌道や実数値の多重極展開に現れ、重要である。以下でその導出を行う。

3.1. 線形結合
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先述と同じ定義で、

ただし

ここで は //l// 次のルジャンドル多項式である。

この //m// に依存した位相はコンドン・ショートレー位相として知られている。

実の正則体球調和関数は次のように定義される。

また //m// = 0 に対しては

線形変換はユニタリ行列によるものなので、正規化因子は実数値の場合も複素数値の場合も同じになる。

3.2. //z//-依存因子
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//u// = cos//θ// と書くと、ルジャンドル多項式の //m// 階導関数は次のような //u// の多項式で書ける。

ここで

//z// = //r// cos//θ// だから、この導関数には適当な //r// の冪乗を掛ければ //z// のシンプルな多項式になる。

3.3. -依存因子
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次に、//x// = //r// sin//θ//cos//φ// と //y// = //r// sin//θ//sin//φ// に注意すると

同様に

これらより、次のように定義する。

3.4. まとめ
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3.5. 低次の関数のリスト
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//l = 5// 以下の関数の明示式を記す。ここで

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低次の と は次の通りである。

{| class="wikitable"|- ! //m// ! //A//m ! //B//m |- | 0 | | |- | 1 | | |- | 2 | | |- | 3 | | |- | 4 | | |- | 5 | | |}

4. 参考文献
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