実閉体

数学における実閉体は実数体と一階の性質が同じである体を言う。実数体、実代数的数体、超実数体などがその例を与える。

1. 定義
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与えられた体 F}} が実閉体であるとは、以下のたがいに同値な条件の何れか、したがって全部を満足するときに言う:

F}} は実数の全体と初等同値である。別な言い方をすれば、実数体と同じ一階の性質を持つこと、つまり一階言語で書ける任意の文が F}} において真となるための必要十分条件はそれが実数体において真となることである。 の選択は重要でない)
F}} 上の全順序が存在して F}} は順序体となり、かつその順序に関する F}} の任意の正元が F}} 内に平方根を持つこと、および任意の奇数次 F}}-係数多項式が少なくとも一つの根を F}} 内に持つことが真である。
F}} は実体であって、任意の奇数次 F}}-係数多項式が F}} 内に少なくと一つの根を持ち、かつ各 //a// ∈ //F//}} に対して適当な //b// ∈ //F//}} が存在して 1=//a// = //b//exp または 1=//a// = −//b//exp が成り立つ。
F}} は代数閉でないがその代数閉包は有限次拡大として得られる。
F}} は代数閉でないが拡大体 //F//(sqrt は代数閉である。
F}} の順序付けで F}} の真の代数拡大上の如何なる順序付けにも延長することができないものが存在する。
F}} は実体であって、かつその真の代数拡大で形式的に実となる体は存在しない。
F}} 上の適当な順序付けが存在して F}} は順序体となり、かつその順序に関する意味で F}} 上の次数 ≥ 0}} なる任意の多項式に対して中間値の定理が満足される。
F}} は実閉環である。順序体に対するアルティン–シュライヤーの定理}}は、1926年にエミール・アルティンおよびオットー・シュライヤーが証明したことに名を因む。

定理  F}} が順序体ならば、F}} の実閉包と呼ばれる代数拡大体 K}} が存在して、K}} は実閉体かつ F}} の順序の延長となる適当な順序に関して順序体となり、かつそのような K}} は F}} 上自明となる体の同型を除いて一意である。実閉体の間の任意の環準同型は自動的に[[順序同型 例えば、有理数全体の成す順序体の実閉包は実代数的数体 Rsub である。

順序体 }} と F}} のガロワ拡大 E}} に対し、E}} の部分体 M}} と P}} の延長となる M}} 上の順序 Q}} からなる拡大順序体 }} で包含関係に関して極大なものが存在する。この順序体 }}は }}の E}} における実閉包と呼ぶ。M}} がちょうど F}} に一致するとき、}} は E}} に対して実閉であるという。また E}} が F}} の代数閉包のとき、E}} における F}} の相対実閉包は、実際に上で述べたところの F}} の実閉包となるEfrat。

F}} が単に体であるときでも、やはり F}} は実閉包を持ち、それは実閉環として得られる。例えば、二次体 Q(sqrt の実閉包は、実閉環 Rsub である。他方、Q(sqrt を R}} の部分順序体と考えるときの、その実閉包はふたたび Rsub となる。

2. モデル理論: 決定可能性および量限定子消去
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実閉体の理論は初めは代数学の中で発展したものだけれども、重要な示唆はモデル理論からもたらされた。順序体の公理系に

任意の正元が平方根を持つことを要請する公理
任意の奇数次多項式が少なくとも一つの根を持つことを要請する公理図式を加えることにより、一階の理論が得られる。Tarski は、半順序環に関する一階の言語において、実閉体の理論が 量限定子消去を許すことを示した。このことのもっとも重要なモデル理論的帰結は、実閉体の理論が完全理論、o極小理論かつ決定可能なることである。

決定可能性が意味するのは少なくとも一つの決定手順が存在すること、すなわち実閉体に関する一階言語で書かれた文が真であるかどうかを決定するためのwell-definedなアルゴリズムが存在することである。ユークリッド幾何学もまた実体の公理のモデルであって、したがって決定可能である。

この決定手順が「実用的」であるかは問わない。実閉体に対する決定手順は何れも計算量が極めて大きいことが知られているから、非常に単純な問題を除けば実際の実行時間は極めて長くなりうる。

タルスキーのアルゴリズムは量限定子消去が複雑性クラス NONELEMENTARY に属する可能性を示唆している。つまり、問題の大きさを n}} とするとき、アルゴリズムの実行時間を上から評価するような冪の塔 は存在しない。Davenport は量限定子消去が実は二重指数的であることを示した。つまり、Ω}} 漸近記法を用いれば、n}} 個の量限定子を持つ式の族 Φsub で長さ //O//}} のものと一定の次数が存在して、Φsub に同値な量限定子を持たない任意の式が次数 2exp かつ長さ 2exp の多項式を必ず含む。Ben-Or は実閉体の理論が EXPSPACE において決定可能であることを示した。

Basu and Roy date=2017年7月}} は ∃//x//sub なる式が真かを決定するためのよく振る舞うアルゴリズムで、算術演算 //s//sup の複雑性に属するものが存在することを示した。実は実数の存在理論は PSPACE で決定できる。

追加の函数記号を加えて、実数の一階理論の決定可能性することができる。

まだほかにも、実閉体の重要なモデル理論的性質として、それが弱o極小構造を持つことが挙げられる。逆に、任意の弱 o-極小順序体は実閉でなければならないMacpherson。

3. 順序論的性質
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実数体の著しく重要な性質は、それがアルキメデス体であること、つまり任意の実数に対して絶対値がそれより大きい整数が存在するというアルキメデスの性質をもつことである。任意の実数に対してそれよりも大きい整数と小さい整数の両方が存在する、と言っても同じことである。アルキメデス的でない実閉体は非アルキメデス順序体である。例えば、超実数からなる任意の体は実閉かつ非アルキメデスである。

アルキメデスの性質は共終数の概念と関係がある。順序集合 F}} に含まれる集合 X}} が F}} において共終であるとは、各 //y// ∈ //F//}} に対し //x// ∈ //X//}} が存在して //y// < //x//}} となることである。つまり、X}} は F}} における非有界列を成す。F}} の共終数は、最小の共終集合の大きさである。例えば自然数は実数全体の成す順序集合において共終であり、したがって実数体の共終数は ℵsub である。

いま実閉体 F}} の特質を定義する不変量として「F}} の濃度」と「F}} の共終数」を得た。これに加えて「F}} の重み 」は F}} の稠密部分集合の大きさの最小値で与えられる。これら三種の基数は、任意の実閉体の順序に関する性質の多くを教えてくれるが、それがどのようなものであるかを発見するのは難しいかもしれない。成り立つかもしれないし成り立たないかもしれない特定の性質も存在する:

体 F}} が完備  であるとは、F}} を真に含む順序体 K}} で F}} が K}} において稠密となるようなものが存在しないときに言う。F}} の共終数が κ}} のとき、この完備性は κ}} で添字付けられるコーシー列が F}} において収束することと同値である。
順序体 F}} が順序数 α}} に対する η集合性質 ηsub を持つとは、F}} の ℵsub より小さい濃度を持つ二つの部分集合 //L//, //U//}} で L}} の任意の元が U}} の任意の元よりも小さいようなものが任意に与えられたとき、L}} の任意の元より大きくかつ U}} の任意の元より小さい //x// ∈ //F//}} が存在するときに言う。これは飽和モデルであるというモデル理論的性質に近しい関係がある。つまり、任意の二つの実閉体が ηsub となるための必要十分条件は、それらが ℵsub-飽和となることであり、またさらに言えば二つの ηsub 実閉体はそれらがともに濃度 ℵsub ならば互いに順序同型である。

4. 一般化連続体仮説
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実閉体の特徴付けは一般化連続体仮説を仮定することを受け入れるならば非常に簡単になる。連続体仮説が満足されるならば、連続体濃度と //η//sub-性質を持つ任意の実閉体は、互いに順序同型である。この意味で一意な実閉体 F}} は超冪の意味で Rexp と定義できる。これが超準解析においてもっとも一般的に用いられる超実数体であり、その一意性は連続体仮説に同値である。

さらに言えば、F}} の構成に超冪が必要というわけでもなく、より構成的に、濃度 //ℵ//sub の //η//sub-群となる全順序可除アーベル群 G}} 上の形式冪級数体 R)}} の、可算個の例外を除く全ての項が零であるような級数全体の成す部分体として構成することもできるAlling。

しかしこの F}} は完備体ではなく、またそれに完備化を施して得られる体 K}} は濃度がより大きいものとなる。F}} が連続体濃度を持てば、その完備化 K}} は濃度 //ℵ//sub で F}} を稠密部分体として含む。これは超冪のでないとはいえ、やはりこれは「超実体」であり、したがって超準解析で用いるに適した体である。これは実数体の高次元版とみることもできる。つまり、濃度が //ℵ//sub でなく //ℵ//sub で、共終数が //ℵ//sub でなく //ℵ//sub で、重みが //ℵ//sub でなく //ℵ//sub であり、//η//sub-性質の代わりに //η//sub- 性質を満たす。

5. 例
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実閉体の例}}には以下のようなものが挙げられる:

実代数的数体
計算可能数体
定義可能実数体
実数体
準超実数体
超実数体
実係数ピュイズー級数体

6. 注
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6.1. 注釈
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6.2. 出典
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7. 参考文献
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first1= Michael .

8. 関連文献
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Basu, Saugata, Richard Pollack, and Marie-Françoise Roy  "Algorithms in real algebraic geometry" in //Algorithms and computation in mathematics//. Springer. 3-540-33098-4}} 
Caviness, B F, and Jeremy R. Johnson, eds.  //Quantifier elimination and cylindrical algebraic decomposition//. Springer.
Chen Chung Chang and Howard Jerome Keisler  //Model Theory//. North-Holland.
Mishra, Bhubaneswar  "[2]" in //Handbook of Discrete and Computational Geometry//. CRC Press. 2004 edition, p.   743.

9. 外部リンク
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