等濃

数学において二つの集合 A, B}} の濃度が等しいとは、それらの間の一対一対応が存在すること、すなわち A}} から B}} への写像 //f//: //A// → //B//}} が存在して B}} の各元 y}} に対してちょうど一つづつの //x// ∈ //A//}} が 1=//f// = //y//}}を満たすときに言う。濃度が等しいことは、それら集合に属する元の数が同じであることと解釈することができる。このように集合の濃度が等しいとき、それら集合は同数ベルマン , 対等松坂もしくは同等google books quote 初等幾何学における有向線分の ill2 あるいは等濃  であるなどと言う字義としては、接頭辞 "equi-" は「同じ」「等しい」ことを意味する。"-noumerous", "-numerosity" は「数」、"-pollent", "-pollency" は「勢力」「強さ」の意、また "potency" は「冪」 の意で "cardinality" 。

「濃度が等しい」という関係は同値関係の三つの公理を満足する。記号では二つの集合 A, B}} が等濃であることを などで表す。

全単射を用いたこの等濃性の定義は、有限集合にも無限集合にも適用できるから、これにより無限集合の場合であっても「同じ数」かどうかを議論することができることになる。集合論の祖ゲオルク・カントールは1874年に、無限が一種類ではないこと、特に自然数全体の集合と実数全体の集合は濃度が異なることを示した。物議を醸した1878年の論文で、カントールは集合の「濃度」 の概念を明示的に定義して、それを用いて自然数全体の成す集合と有理数全体の成す集合が等濃であることや、実数全体の成す集合のいくつかのコピーの直積集合が実数全体の成す集合ひとつと等濃であることなどを示した。

1891年以降現れたカントールの定理によれば、任意の集合は自身の冪集合に等濃となることはない。ゆえに一つ無限集合が与えられれば、それを手掛かりにより大きな無限濃度を持つ集合を次々に作り出すことができる。

選択公理が成り立つならば、各集合の基数  はその集合と同じ濃度を持つ最小の順序数として定義することができる。選択公理がない場合でも、スコットの技法により同じ濃度を持つ最小ランク  の集合全体の成す集合と見なせる。

任意の二つの集合の濃度が比較可能であるという条件は、選択公理と同値である。

1. 濃度
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互いに等濃な集合は同じ濃度を持つ。集合 X}} の濃度とは「その集合の元の数」を測るものである。互いに等濃であるという関係は同値関係の定義性質を満たす:

反射性: 任意の集合 A}} に対し、A}} 上の恒等写像を考えれば、これは A}} から A}} への全単射ゆえ //A// ~ //A//}} が成り立つ。 対称性: 二つの集合 A, B}} の間に全単射が存在するとき、その逆写像は B, A}} の間の全単射であるから、//A// ~ //B//}} ならば //B// ~ //A//}} が成り立つ。 推移性: 三つの集合 A, B, C}} に対し二つの全単射 //f//: //A// → //B//}} および //g//: //B// → //C//}} が存在すれば、写像の合成 //g// ∘ //f//}} は A}} から C}} への全単射であるから、//A// ~ //B//}} かつ //B// ~ //C//}} ならば //A// ~ //C//}} が成り立つ。ここでこの同値関係に関する同値類として集合の濃度を定義しようとするならば、それは公理的集合論で標準的に用いられるツェルメロ&ndash;フレンケル集合論  では問題になる—これは任意の空でない同値類は、集合となるには大きすぎ、真クラスとなってしまうからである。ZF集合論の枠組みでは二項関係は集合上に限って定義される。したがってZFのもとでは「すべての集合の等濃性に関する同値類」として集合の濃度を定義するのではなく、そのような「同値類の代表元となるべき」集合を割り当てる方法を考えなければならない。真クラスを持つようなほかの公理的集合論ではクラスの間の二項関係も考えることができる。

集合 A}} の濃度が集合 B}} の濃度よりも小さいとは A}} から B}} への単射が存在するときに言い、これを abs と表す。このとき A}} と B}} が等濃でないならば、A}} の濃度は B}} の濃度よりも真に小さいと言い、abs と書く。選択公理が真ならば、基数に対する三分律—任意のふたつの集合は互いに等濃であるか、さもなくば一方が他方よりも真に小さい濃度を持つ—を満足する。この基数に対する三者択一の法則は選択公理を導く。

シュレーダー&ndash;ベルンシュタインの定理は、二つの集合 A, B}} は、二つの単射 //f//: //A// → //B//}} および //g//: //B// → //A//}} があるとき、互いに等濃であることを述べる:

定理 : abs かつ abs ならば 1=abs が成り立つ。この定理は選択公理に依らない。

2. カントールの定理
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カントールの定理からは、任意の集合がその冪集合と等濃でないことがわかる。このことは、無限集合に対しても成り立っている。特に、可算無限集合の冪集合は非可算無限集合になる。

自然数全体の成す無限集合 ℕ}} の存在と、任意の集合の冪集合の存在を認めれば、次々に冪集合をとることで得られる無限集合の無限の系列 ℕ, 𝔓, 𝔓), 𝔓)), …}} を作ることができる。カントールの定理により、この系列の各集合の濃度は直前の項の濃度よりも真に大きいから、どんどん濃度は大きくなっていく。

カントールの仕事は同時代の一部の数学者からは痛烈な批判を受けることになったが、ほかの数学者によって擁護され、最終的には大いに受け入れられ、ダフィット・ヒルベルトによる強固な支持を受けた。

ツェルメロ&ndash;フレンケル集合論の枠組み内では、冪集合公理が任意の集合の冪集合の存在を保証し、また無限公理が少なくとも一つの無限集合の存在を保証する。冪集合公理や無限公理を意図的に除外した代替集合論もあり、その枠組みのなかでは上記のカントール提示した無限集合からなる無限階層は定義することができない。

無限系列 ℕ, 𝔓, 𝔓), 𝔓)), …}} の各集合に対応する濃度はベート数 ב‎sub で表される。最小のベート数 ב‎sub は可算無限濃度 ℵsub に等しく、その次のベート数 ב‎sub は連続体濃度 𝔠}} に等しい。

3. デデキント無限集合
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集合がその真部分集合と等濃になる場合がある。そのような集合はデデキント無限であると言う。

デデキント無限でない集合が実際に有限集合となることを示すには可算選択公理  が必要になる。選択公理を持たないツェルメロ&ndash;フレンケル集合論 ZF}} は任意の無限集合がデデキント無限となることを示すには十分な強さではないが、ZF に可算選択公理を加えた ZF+ACsub はそれに十分である。集合の有限性と無限性の別な定義では、選択公理を要しない。

4. 各集合算との両立性
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等濃性は基数の算術のもとで集合の基本演算と両立する。具体的に例えば非交和との両立性は:

命題: 集合 A, B, C, D}} は A}} と C}} および B}} と D}} がそれぞれ互いに素かつ濃度は //A// ~ //B//}} かつ //C// ~ //D//}} であるものとすると //A// ∪ //C// ~ //B// ∪ //D//}} が成り立つ。これは基数の加法を正当化するものである。

あるいは例えば直積との両立性は

//A// ~ //B//}} かつ //C// ~ //D//}} ならば //A// × //C// ~ //B// × //D//}} が成り立つ。
//A// × //B// ~ //B// × //A//}} が成り立つ。
 × //C// ~ //A// × }} が成り立つ。というような形で述べられる。これらの性質により基数の乗法が正当化できる。

冪についても、Y}} から X}} への写像全体の成す集合を Xexp と書けば

//A// ~ //B//}} かつ //C// ~ //D//}} ならば //Asup が成り立つ。//
//A//sup  が成り立つ。
sup が成り立つ。
(//Asup が成り立つ。//これらの性質により基数の冪が正当化される。

他にも、与えられた集合 A}} に対してその冪集合は A}} から二値集合への写像全体の成す集合 2exp に等濃である。

5. 圏論的定義
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すべての集合を対象としその間のすべての写像を射とする圏 Set}}において、二つの対象の間の同型射とは二つの集合の間の全単射のことにほかならず、したがって二つの集合が等濃であることはこの圏において同型であるということにほかならない。

6. 関連項目
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ヒュームの原理

7. 注
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7.1. 注釈
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7.2. 出典
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8. 参考文献
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9. 外部リンク
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