超現実数

数学における超現実数の体系は、全順序付けられた真のクラスとして実数のみならず無限大および無限小まで含む。超現実数の体系は、四則演算など実数が持つ多くの性質を共有しており、順序体を成す[[フォンノイマン–ベルナイス–ゲーデル集合論 超現実数をフォンノイマン&ndash;ベルナイス&ndash;ゲーデル集合論  において定式化するならば、超現実数体はすべての順序体をその部分体として実現できるという意味で普遍的な順序体となる。超現実数は、すべての超限順序数も含む。あるいはまた、超実体の極大クラスが超現実体の極大クラスに同型であることが示せる。

1. 概念史
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1907年にハンス・ハーンは、形式冪級数の一般化としてハーン級数を導入した。またフェリックス・ハウスドルフは、順序数α}} に対する エータ集合と呼ばれる順序集合を導入し、それと両立する順序群や順序体の構造を求めることができるかを問うた。Alling は修正された形のハーン級数を用いて適当な順序数 α}} に対してそのような順序体を構成し、α}} をすべての順序数全体の成すクラスを亙って動かすことで、超現実数体に同型な順序体のクラスを与えた。

それとは別の定義および構成法が、ジョン・ホートン・コンウェイにより、囲碁の寄せについての研究から導かれている。コンウェイの構成法は1974年にドナルド・クヌースの著書 //Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness//直訳は「超現実数 – 二人の元学生は如何にして純粋数学に熱中し、そして完全な幸福を得たか」となるだろうか。和訳本の一つ  には『至福の超現実数―純粋数学に魅せられた男と女の物語』とタイトルが付けられている。}} に取り入れられた。対話形式で書かれたこの本においてクヌースは、コンウェイが単に「数」と呼んでいたものに「超現実数」という新たな名を付けた。のちにコンウェイもクヌースのこの造語を受け入れ、1976年には超現実数を用いてゲームを解析する //On Numbers and Games// を著したConway。

2. 概観
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コンウェイの構成法Conwayでは、超現実数は、大小関係を表す順序 ≤}}を伴って、段階を踏んで構成される。各段階における数は、既に構成された既知の超現実数からなる部分集合の対の形をしており、そのような数からなる部分集合 L, R}} が与えられ、L}} のすべての元が R}} のすべての元よりも真に小さいときに、対 mset は L}} のすべての元と R}} のすべての元との間に値を持つ中間数を表すものとなる。

このとき、全く異なる部分集合の対が結局は同じ数を定義するということが起こり得る —たとえ //L// ≠ //L′//}} かつ //R// ≠ //R′//}} となる場合であってさえも、二つの対 mset が同じ数を定義しうる—。ゆえに厳密を期すならば、超現実数とはそのような同じ数を指す mset なる形式の表現からなる同値類のことと言うべきである。

構成の緒段では、既存の数は何もないのだから、表現には空集合しか用いようがない。表現 mset は L}} および R}} が空集合という意味であり、これを 0}} と呼ぼう。段階を踏んでいけば や のような形式が次々に生まれてくる。こうして整数は全て超現実数の集合に含まれる。同様に のようなものも生じるから、二進分数もまた全てが超現実数の集合に含まれる。

無限に段階を踏んだ後であれば、無限部分集合も使ってよいということになり、任意の実数 a}} が、a}} より小さい二進分数全体の成す集合 Lsub と a}} より大きい二進分数全体の成す集合 Rsub を用いて mset と表現される。そうして任意の実数もまた超現実数の集合に埋め込まれる。

あるいはまた、 および なる表現も作られ、ω}} は任意の整数よりも大きい超限数として、ε}} は任意の正実数より小さいが 0}} よりは大きい無限小として解釈できるが、これらもまた超現実数として与えられる。さらに言えば、通常の算術における四則演算が、これらの実数でないような量まで含めて、超現実数全ての集まりが一つの順序体となるような仕方で拡張できる。よって、この枠組みの中では 2//ω//}} や //ω// − 1}} などのような無限大を数として扱った議論もできるということになる。

3. 構成法
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超現実数は、超現実数からなる集合の対に関する同値類として帰納的に定義される。この構成は、相互に依存する三種類のルールからなる。

3.1. 形式
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形式  は左集合および右集合と呼ばれる超現実数からなる集合の対を言う。左集合を L}}, 右集合を R}} とする形式は mset と書き、また L}} および R}} が元のリストとして与えられているときには、それらを括る波括弧は省略する。左集合または右集合の何れかまたは両方が空集合となることもあり得る。例えば両者空集合となる形式 1=mset は mset とも書く。

構成規則: 形式 mset が数値的であるとは、L}} と R}} に交わりが無く、かつ R}} の各元が L}} の任意の元よりも真に大きいときに言う。ただし、大小関係は後で述べる順序 ≤}} の意味で言う。

3.2. 数値形式の同値類
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数的な形式を同値類に分けるとき、その各々の同値類が「超現実数」である。形式における左集合と右集合は超現実数のなす宇宙からとることができる。

同値規則}}: 二つの数形式 x, y}} が同じ数を表すための必要十分条件は //x// ≤ //y//}} および //y// ≤ //x//}} が同時に満たされることである。順序関係は反対称でなければならない。つまり //x// ≤ //y//}} かつ //y// ≤ //x//}} という意味で //x// =}} //y//}} であるのは、x}} と y}} が同じものであるときに限る。これは超現実数を形式として捉えた場合には正しくないが、その同値類を取って作ったものであれば真となる。

空な形式 mset の属する同値類を 0}} とラベル付ける。すなわち、超現実数の 0}} は形式 mset によって表現される。

3.3. 大小関係
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超現実数の再帰的定義は、以下で定義する比較規則に対して完全  である:

比較規則}}: 数値形式 //x// coloneqq}} mset に対して、//x// ≤ //y//}} が成り立つとは
//xsub で //y// ≤ //xsub となるようなものが存在しない;
//ysub で //ysub を満たすものが存在しない という条件がともに成立することをいう。形式 y}} と超現実数 c}} との間の比較 //y// ≤ //c//}} は、同値類 c}} の代表元となる形式 z}} を取って //y// ≤ //z//}} を評価するならば意味を持つ。同様に形式 x}} との比較 //c// ≤ //x//}} や超現実数同士の比較 //b// ≤ //c//}} も定義できる。

3.4. 帰納法による定義
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この一連の定義は再帰的であり、形式や数といった対象の成す宇宙を定めるためにはある種の数学的帰納法が必要になる。「有限な帰納法」を通じて到達できる超現実数は二進分数に限られるから、より広い宇宙へ到達するには何らかの形での超限帰納法を与えなければならない。

初期条件: 第零世代 1=//S//sub はただ一つの形式 mset のみからなる 0}} だけを含む集合とする。帰納ステップ: 任意の順序数 n}} に対し、第 n}}-世代 //Ssub は、それより前の世代全ての合併 から構成規則によって生成されるすべての超現実数からなる集合である。//初期条件は実際には帰納ステップの特別な場合と見ることもできる。これは、//i// < 0}} を満たす Ssub は存在しないから、そのようなものの合併 もまた空であり、空集合の部分集合は空集合しかないから、したがって //S//sub は左右ともに空なただ一つの形式 mset のみが属する同値類 0}} のみからなる。

任意の有限順序数 n}} に対して Ssub は、超現実数の比較規則によって誘導される順序に関して整列順序付けられる。

帰納規則を一回施すと、三種類の数形式が得られ、大きさ順にすると mset と書ける。これらの属する同値類に対し、mset を含むものには 1}} を mset を含むものには −1}} をラベルとして割り当てる。この三種にこのようなラベル付けをすることは、環の公理を満たすことを確認するうえで特別に重要である。

任意の //i// < //n//}} に対して、Ssub で有効な任意の形式は Ssub においても有効であるから、Ssub に属する任意の数は Ssub にも現れる。Ssub に属する数のうち、Ssub に属する適当な数の上位集合となっているようなものは、第 i}}-世代から「遺伝した」と言う。与えられた超現実数に対し、それが属する Ssub の中で最小となる α}} のことを、その超現実数の誕生日}}と呼ぶ。例えば 0}} の誕生日は 0}} であり、−1}} の誕生日は 1}} である。

帰納ステップの繰り返し二回目では、以下のように順序付けられた同値類が得られる:

これら同値類の大小比較が、それを代表する形式の選び方に依らず無矛盾であることに注意せよ。三つほどわかることがある:

第二世代 //S//sub で新たに加わった超現実数は四つあり、その中に極端なものが二つある。ひとつは mset で右集合に前世代の数をすべて含み、いまひとつの mset は左集合に前世代をすべて含む。残りの二つは、前世代を二つの空でない集合に分割する形になっている。
前世代に存在したすべての超現実数 x}} が全てこの世代にもあり、それぞれに対してそれを表す新たな形式を少なくとも一つ持っている。それは前世代の x}} 以外のすべての数を、x}} より小さい数は左集合に、x}} より大きい数は右集合にそれぞれ入れた分割の形をしている。
一つの超現実数の同値類は、左集合の極大元と右集合の極小元のみに依存して決まる。略式的には mset および mset はそれぞれ "1}} の直後の数" および "−1}} の直前の数" と解釈できる。それら同値類には 2}} および −2}} のラベルを付ける。同様に略式的には mset および mset はそれぞれ "0}} と 1}} の中間の数" および "−1}} と 0}} の中間の数" と解釈できるので、それら同値類には ½}} および −½}} とラベルを付ける。これらのラベルも後で述べる超現実数の加法および乗法に関する規則で正当化される。

帰納法の各第 n}}-世代における同値類は、その左集合と右集合に直前の世代の元を可能な限り多く含む n}}-完全形式  によって特徴付けることができる。これら完全形式は、直前世代のすべての数をその左集合または右集合のいずれか一方だけにもつか、さもなくば直前世代の数をただ一つを除いて全て含む。さて、前世代の数には既に与えたラベルをそのままつけるものとして、新たにつけたラベルとともに大小関係に従って並べれば、第二世代は となる。

三番目の観察は、有限な左集合および右集合を持つ任意の超現実数に対して拡張できる。だから例えば、形式 mset の表す超現実数は mset が表すものと同じである。第三世代における形式に関して同様のことを見るには、帰納規則の系として得られる「誕生日性質」 が利用できる:

誕生日性質}}: 第 n}}-世代において生じる形式 1=//x// = mset がそれより前の世代 //i// < //n//}} から遺伝するための必要十分条件は、Ssub の適当な元をとれば、それが L}} の任意の元より大きく、かつ R}} の任意の元より小さくできることである。x}} が n}} より前の任意の世代から来る数を表すとき、そのような世代 i}} に最小値が存在して、その最小値を実現する数 c}} が L}} と R}} の間にただ一つ存在する。x}} はこの c}} を含む形式として第 i}}-世代における c}} の表現を部分集合として含む。

4. 超現実数の算術
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超現実数の加法、符号反転および乗法は、形式 //x// coloneqq}} mset に対して、以下のように再帰的に定義される。

4.1. 反数
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集合 S}} の反数集合 −//S//}} を、その元の反数全体の成す集合 −//S// coloneqq}} mset とすれば、与えられた超現実数の「形式」 //x// coloneqq}} mset に対してその反数は で与えられる。

この定義式の中には、x}} の左集合や右集合に現れる超現実「数」の反数も現れるが、これはそれら数の代表元となる形式を選んで形式に対する符号反転をとって得られた形式の属する同値類をとったものという意味である。ただし、この定義が意味を持つためには、結果として得られる数が被演算子となる形式のとりかたに依存しないことを示す必要がある。そのことは、Xsub に現れる全ての数が、x}} が初めて現れるよりも前の世代において生じるものであるという事実を用いれば、その特別の場合として 1=−0 = −mset は確定であることと合わせて帰納的に示される。

4.2. 加法
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同様に加法もまた と帰納的に定義される。ただし、//X// + //y// coloneqq}} mset および //x// + //Y// coloneqq}} mset は群の部分集合の積である。

この定義式には、もととなる被演算子の一方と、他方の左集合または右集合からとった超現実「数」との和が現れているが、これはその数に対してはそれを表す形式を一つ選んで形式の間での和を計算し、その結果得られる形式の属する同値類をとった超現実数を意味するものと理解する。これもやはり、結果として得られる数が被演算子となる数を表す形式の選び方に依存しない場合にのみ矛盾なく定義可能となるが、これはその特別の場合である 1=0 + 0 = mset および が成り立つことから帰納的に示せる。

4.3. 乗法
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超現実数の乗法の定義式には、被演算子と左集合および右集合に対する算術が含まれる。これは、式に現れる各集合から数を任意に選び、それら数に対する演算を施して得られる超現実数全体からなる集合とする。ただしこれが矛盾の無い定義であるというために、

: x, y}} の左右の集合から取った超現実「数」の対を掛け合わせて超現実数を得たりそれを反数にしたりするとき;
: x, y}} と、それらの左右の集合から取った超現実「数」とを掛け合わせて超現実数を得るとき;
: 定義式で決まる形式から数を得るときの各々において形式の選び方に依存する可能性が無いか確かめなければならない。これもやはりその特別の場合、今度は 1=0 = mset, 乗法単位元 1=1 = mset およびその反数 1=−1 = mset の存在は確定するから で帰納的に乗法が矛盾なく定義されることは確認できる。

4.4. 除法
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除法は、逆数をとり、それを掛ける操作 //fraction に分けてしまえば、正の y}} に対する反転を と帰納的に定義することに帰着されるConway21}}。この式において、上付きの ysup は左集合 ysub において正の値のみ残して、非正の値は捨てたものであることを意味するものとする。//

さてこの定義式は、y}} の左集合および右集合から取った数で割り算するという意味で再帰的であるばかりでなく、fraction それ自身の左集合および右集合の元をとらないといけないという意味でも再帰的になっていることに注意する。

0}} は fraction の左集合に常に入っているから、それを使ってほかの項を再帰的に順番に求めていくことは可能である。例えば 1=//y// coloneqq}} 3 = mset の場合を考えるこの場合、mathならば、fraction の左の項に 0}} があることは、定義式の右項にある fraction に ⋅0)/2 = fraction が fraction の右集合に入ることを意味する。この 1/2}} の存在を利用して今度は、定義式の左項の fraction を見れば、1=⋅)/2 = fraction が fraction の左集合に入ることが分かる。これをさらに利用すれば、1=⋅)/2 = fraction は右集合の項であるとわかり、というように以下これを続ければ、 を得る。

負の y}} に対する fraction は、fraction で与えられる。1=//y// = 0}} ならば fraction は定義されない 。

4.5. これら算術の一貫性
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さてこれらの四則は以下に述べる意味で「うまく行っている」:

加法および符号反転は、それぞれの帰納法において「より単純な」帰納ステップの加法および符号反転から再帰的に定義されているから、誕生日が n}} である数に対する演算は、結局は誕生日が n}} より小さい数に対する同じ演算によって全く言い表される。
乗法は、加法・符号反転と「より単純な」乗法のステップから再帰的に定義されているから、誕生日が n}} である数に対する演算は結局誕生日が n}} より小さな数から成す積の和や差として全く書き表されている。
被演算子が矛盾なく定義された超現実数形式である限り、これら演算の結果はふたたび矛盾なく定義された数形式になる。
形式に対するこれら演算を超現実数に「拡張」できる。すなわち、超現実数 x}} を符号反転したり、超現実数の対 x, y}} を足したり掛けたりした結果は、x}} や y}} を表す形式の選び方とは無関係に、同じ超現実数を与える。
これら演算は、加法単位元 1=0 = mset および乗法単位元 1=1 = mset を伴って、体の定義における可換律・結合律・反数律および分配律の各公理に従う。これらの規則を用いれば、最初のほうのいくつかの世代に対して、それが完全にラベル付けできているかどうかの確認ができる。構成規則を繰り返せば、超現実数の更なる世代についても同様である。

1=//S//sub.
1=//S//sub.
1=//S//sub.
1=//S//sub.
1=//S//sub.

4.6. 算術で閉じていること
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各自然数n}} に対し、Ssub において生成されたすべての数が二進分数である。

有限な n}} に対する適当な Ssub において生成される超現実数全体の成す集合を と書くことにする。三種類の異なる形、 に分類すれば、Ssub はこれらの合併である。個々の Ssub は加法および乗法について閉じていないが、Ssub は閉じている。

適当な無限順序数 β}} が存在して、誕生日が β}} より小さい超現実数全体の成す集合が別の算術演算で閉じているようにすることができるvan den Dries。任意の順序数 α}} に対し、誕生日が //β// coloneqq}} //ωexpより小さい超現実数全体の成す集合は加法のもとで閉じていて、群を成す。ωexp より小さい誕生日に対しては、乗法のついても閉じており、環を成す1=二進分数全体の成す集合は、この種の群および環のうち非自明でもっとも単純な例になっている。つまり、誕生日が math。また誕生日がイプシロン数 εsub より小さいとすれば乗法逆元をとる操作でも閉じていて、体を成す。この最後の集合は Kruskal および Gonshor によって定義された指数函数のもとでも閉じているvan den DriesGonshorat=ch. 10}}。//

しかし、与えられた集合の任意の元より大きな超現実数を構成することは常に可能であり、したがって超現実数全てからなる集まりは真のクラスとなる。このクラスはその大小比較を定める順序関係とこれら算術の四則に関して順序体を成す。実はこれは、最も大きな順序体という非常に特別なものになっている。超現実数全体の成すクラスは 𝐍𝐨}} で表される。

5. 無限大
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前掲の Ssub の任意の部分集合から構成規則によって生成される超現実数全体の成す集合を Ssub とする。Ssub は無限に大きい超現実数 をただ一つだけ含む。また、Ssub は有理数に同一視することのできる対象を含んでいる。例えば、分数 1/3}} の ω}}-完全  な形式は で与えられる。1/3}} の代表元をこの形式とし、3}} を表す任意の形式との積をとった形式は、その左集合に 1}} より小さい数のみ属し、その右集合に 1}} より大きい数のみが属するから、誕生日性質によりこの積は 1}} を表す形式であることが従う。それ以外のすべての有理数が Ssub において生じるが、それだけではなく有理数でない任意の有限実数もまた同様に生じる。例えば である。

Ssub に属する無限大超現実数は ω}} および −//ω//}} だけだが、Ssub には任意の実数の間にもほかの種類の非実数が存在している。Ssub における最小の正の数は によって考えることができる。これは 0}} より大きいが、任意の正の二進分数よりも小さいことを意味する数であるから、これは無限小超現実数である。ε}}  の ω}}-完全形式は、0}} を表す ω}}-完全形式の左集合  に 0}} を含めることで得られる。Ssub に属する「純」無限小は ε}} およびその反数である −//ε//}} だけである。それらと任意の二進分数 y}} を加えて得られる超現実数 //y// ± //ε//}} もまた Ssub に入る。

この ω}} と ε}} の間の関係を、それらを表す特定の形式を掛け合わせた から決定できる。ただし、この式は Ssub までの超限帰納法が意味を為す集合論でないときちんと定義できないことに注意すべきであるが、そのような系の中では、ω⋅ε}} の左集合の元の全体が正の無限小であること、および右集合の元の全体が正の無限大であることが示され、したがって ω⋅ε}} は最も古い正の有限数、すなわち 1}} に等しい。ゆえに が帰結される。文献によっては、本項では ε}} と書いたものを表す記号として、体系的に //ω//exp を使っているものもある。

5.1. //Sω}}// の内容
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Ssub の元 1=//x// = mset が任意に与えられたならば、以下の状況のうち何れかただ一つだけが成り立つ:

L, R}} がともに空である;
R}} が空で、L}} の任意の元よりも大きな整数 //n// ≥ 0}} がある;
R}} が空で、L}} の任意の元よりも大きな整数 n}} は存在しない;
L}} が空で、R}} の任意の元よりも小さい整数 //n// ≤ 0}} が存在する;
L}} が空で、R}} の任意の元よりも小さい整数は存在しない;
L, R}} がともに空でなく、さらに
適当な二進分数 y}} が L}} と R}} の「強い意味で間に」 存在する;
L}} と R}} の強い意味での間には二進分数 y}} が存在しないが、弱い意味で間にある二進分数 //y// ∈ //L//}} は存在する;
L}} と R}} の強い意味での間には二進分数 y}} は存在しないが、L}} の任意の元以上かつ R}} の任意の元以下という）（ただし
asub は単調減少で 𝐍𝐨}} において下限を持たない）（ここで、ゲームの差 G − H}} は //G// + }}
で定義する）//