余因子行列

数学の線形代数学において、n}}次正方行列 A}} の余因子行列あるいは古典随伴行列とは、}}成分が }}余因子である行列の転置行列のことであり、記号で , , などで表す。これはn}}次正方行列になる。

単に }}成分が }}余因子である行列を「余因子行列」と呼ぶ場合もある。随伴行列や随伴作用素とは異なる。

余因子行列により、正則行列の逆行列を具体的に成分表示することができる。

1. 定義
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可換環 R}} 上の n}}次正方行列 //A// =}} }}成分が }}余因子である n}}次正方行列のことであり、記号で , などで表す。

A}} の }}小行列式を //M//sub で表すことにする。これは、A}} の第i}}行、第j}}列を除いてできる }}次小正方行列の行列式である：

A}} の }}余因子を Tilde で表すと、

A}} を余因子展開は、A}} の余因子行列 Tilde により、次のように表せる：

ここで I}} は単位行列である。

A}} が特に正則行列のとき、A}} の逆行列は余因子行列 Tilde で表せる：

2. 例
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2.1. 1次
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1}}次正方行列 //A// =}} }} の余因子行列は、A}} が零行列でないときは、1}}次単位行列

である。 は慣習上 0}} とする。

2.2. 2次
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2}}次正方行列

の余因子行列は

なお、この 2}}次の場合は が成り立つ。

2.3. 3次
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3}}次正方行列

の余因子行列を考える。}}成分に }}余因子を並べたものは、

ここで

である。余因子行列はこれの転置行列であるから、

2.4. 数値計算
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例えば、実3次正方行列

の余因子行列は、

となる。実際、余因子行列の }}成分は }}余因子であり、それは }}小行列式に符号を掛けたものに等しい：

3. 性質
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A}} を n}}次正方行列とする。

A}} が正則なら、これから次が導かれる：
adj}} は正則で、その逆行列は
1=adj(//A//i sup.
adj}} の各成分は A}} の成分の多項式である。特に、実数体または複素数体上では、adj}} の各成分は、A}} の成分の滑らかな関数である。複素数体上では、

B}} をもう1つの n}}次正方行列とする。

この証明には、2つの方法がある。1つは、コーシー・ビネの公式により直接計算する方法である。もう1つの方法は、正方行列 //A//, //B//}} に余因子展開の等式を利用する方法である：

両辺を多項式として　det //AB//}} で割ると Tilde を得る。

これより、行列の冪乗について次が成り立つ：

A}} が正則なら、この等式は k}} が負の整数の場合についても成り立つ。
等式から導かれる。
rk ≤ //n// − 2}} のとき、
rk =}} //n// − 1}} のとき、このとき、adj}} は次のように表せる：1=adj = //sup

3.1. 列の置き換えとクラメルの公式
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A}} の列ベクトル表示を

とし、//b//}} を n}}次列ベクトルとする。固定された 1 ≤ //j// ≤ //n//}} に対し、A}} の第 j}}列を //b//}} で置き換えた行列を次の記号で定義する：

この行列の行列式を第j}}列に関して余因子展開し、それらを集めてできる列ベクトルは、積 adj//}} に等しくなる：

この等式は、具体的な結果を生む。線形方程式系

を考える。A}} を正則と仮定する。この方程式に左から adj}} を掛け、det }} で割ると

ここでクラメルの公式を適用すると、

ここで xsub は //x//}} の第i}}成分である。

3.2. 固有多項式
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A}} の固有多項式を

とすると、 p}} の第一差商は、//n// − 1}}次対称式になる：

//sI// − //A//}} の余因子行列積は、ケイリー・ハミルトンの定理 //p// =}} //O//}} より、

特に、A}} の レゾルベントは次の式で定義される：

さらに上記の等式より、これは次の式に等しい：

3.3. ヤコビの公式
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行列式を微分すると、ヤコビの公式  により、余因子行列が現れる。//A//}} は連続的微分可能なら、

これより、行列式の全微分は、余因子行列の転置になる：

3.4. ケイリー・ハミルトンの定理
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//psub を線形変換 A}} の固有多項式とする。ケイリー・ハミルトンの定理とは、t}} を A}} に置き換えて得られる正方行列が零行列になることをいう：//

定数項を分離し両辺に adj}} を掛けることで、余因子行列は A}} と //psub の係数だけで表される。完全指数関数的ベル多項式を使うと、これらの係数はA}} の冪の跡の項で具体的に表せ、次のようになる：//

ここで n}} は A}} の次数、総和 ∑}} の s}}, 数列 //ksub は次の 1次ディオファントス方程式を満たしながら取るものとする：//

特に 2}}次の場合は、次のようになる：

3}}次の場合は

4}}次の場合は

上記の表示式は、A}} の固有多項式を効率良く求めることのできる、Faddeev–LeVerrier algorithmの最後の段階からも直接導出することができる。

4. 外積代数との関係
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余因子行列は、外積代数の抽象的な用語を使うことで表示することができる。V}} を n}}次元ベクトル空間とする。ベクトルの外積により双線形対が得られる：

ベクトルの外積は完全対である。それ故、それは同型写像を引き起こす：

明示すると、この対は、// ∈ //V//}} を に写す：

//T// : //V// → //V//}} を線形変換とする。T}} の}}次外冪による引き戻しは線形変換空間の射を作る。このとき T}} の余因子変換は次の合成で定義される：

1=//V// = Rsup に 基底 (esub が与えられていて、T}} のこの基底に関する表現行列は A}} であるとき、T}} の余因子変換は A}} の余因子行列である。何故正しいのか考えてみるに、 の基底を取る：

Rsup の基底元 esub を固定する。esub の による像は、 の基底ベクトルの移る先を決定する：

この基底で、T}} の }}次外冪 は次のように表せる：

これらのそれぞれの項の による像は、1=//k// = //i//}} の項を除いて 0}} になる。それ故、 の引き戻しは次の線形写像になる：

これは次に等しくなる：

の逆写像を適用することより、T}} の余因子変換は次の式で与えられる線形変換であると分かる：

故に、その表現行列は A}} の余因子行列である。

V}} に内積と体積形式が与えられていたら、この写像 φ}} はさらに分解される。この場合、φ}} はホッジ双対と双対化の合成ととらえることができる。特に、ω}} が体積形式のとき、それは内積とともに同型写像を引き起こす：

これは同型写像を引き起こす：

// ∈ Rsup は次の線型汎函数に一致する：

ホッジ双対の定義により、この線型汎函数は *v}} と双対である。つまり、ωsup は v ↦ *vsup と見なせる。

5. 高階余因子行列
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A}} を n}}次正方行列とし、//r// ≥ 0}} を固定する。A}} の r}}階余因子行列とは、次正方行列であり、adjsub で表す。その成分は mset の r}} 個元からなる部分集合 //I//, //J//}} から番号を取るものとする。//I//i sup はそれぞれ //I//, //J//}} の補集合を表すものとする。 は、行番号、列番号がそれぞれ //I//sup から取られる、A}} の小行列を表すとする。adjsub の }} 成分は次の式で定義される：

ここで σ, σ}} はそれぞれ //I//, //J//}} の元の総和を表すとする。

高階余因子行列の基本的な性質として以下がある：

高階余因子行列は通常の余因子行列と同様に、抽象代数学の言葉を用いても定義できる。, をそれぞれ , に置き換えることでできる。

6. 余因子行列の反復合成
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正則行列 A}} について、余因子行列の反復合成を取ることにより、r}}次余因子行列を考えることができる：

例えば、

7. 関連項目
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小行列式
余因子展開
ケイリー・ハミルトンの定理
クラメルの公式
:en:Trace diagram
:en:Jacobi's formula
:en:Faddeev–LeVerrier algorithm

8. 参照
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9. 参考文献
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Roger A. Horn and Charles R. Johnson , //Matrix Analysis//, Second Edition. Cambridge University Press,
Roger A. Horn and Charles R. Johnson , //Topics in Matrix Analysis//. Cambridge University Press,

10. 外部リンク
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[1]
[2] Compute Adjugate matrix up to order 8
[3]