並進演算子 (量子力学)

量子力学における並進演算子とは、ある方向にある大きさだけ粒子や場を移動させる演算子のこと。より具体的には、いかなる変位ベクトル x}} においても対応する並進演算子 が存在し、x}} の大きさによって粒子や場を移動させる。例えばもし が位置 r}} に位置する粒子に作用すると、その結果として粒子の位置は }}になる。

並進演算子は線形かつユニタリーである。並進演算子は運動量演算子と密接に関係している。たとえば、y}} 方向に無限小だけ移動させる並進演算子は、運動量演算子の y}} 成分と単純な関係性を持つ。このことにより並進演算子がハミルトニアンと可換、つまり物理法則が並進不変であるとき、運動量保存則が保たれる。これはネーターの定理の一つの例である。

1. 位置の固有ケットと波動関数への作用
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並進演算子 は粒子や場を x}} だけ動かす。したがって、位置演算子の固有状態 ket に を作用させると、その位置は }} に移る。

並進演算子の性質を記述する別の方法は、位置空間の波動関数に基づくものである。粒子が位置空間の波動関数 を持ち、 が粒子に作用したとき、新しい位置空間の波動関数 は で定義される。この関係はとするとより覚えやすく、「新しい位置での新しい波動関数の値は、元々の位置での元々の波動関数の値に等しい」。

これら２つの記述が等価であることの例を示す。状態 ket は、波動関数 に対応する。一方で状態 は、波動関数 に対応する。これらは を満足する。

{| class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" width="90%" style="text-align:left"!波動関数への並進演算子の作用のより一般的な導出: |- | 位置演算子 はオブザーバブルであるため、その固有ベクトルの全体 は状態空間の基底をなす。 よってそれぞれのケットを、 表示の波動関数で特徴づけることができる。

表示で

ケット の表示の波動関数を考える。

位置演算子 はエルミートで、 は位置演算子 の固有値 についての固有ベクトルであることを用いると、

よって表示での の作用は、単純な 倍である。

後のセクションで説明するように、並進演算子が位置の固有基底でのブラに作用したときは次のようになる。

よってケット の 表示の波動関数は次のように書ける。

|}

2. 並進の生成子としての運動量
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2.1. 運動量の一般的な定義
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初等的な物理学では通常、運動量は質量×速度と定義される。しかし並進演算子の観点から運動量を定義する、より基本的な方法がある。 これはより正確には正準運動量と呼ばれ、電磁場中の荷電粒子の場合などでは運動量は質量×速度と等しくなるとは限らない。この運動量の定義が特に重要である理由は、運動量保存則は正準運動量でのみ成り立ち、以下で示すように運動量が質量×速度として定義されたときは、普遍的に成り立つわけではないためである。

運動量演算子は、原点近くでの並進演算子の勾配として定義される。 ここで ħ}} は換算プランク定数である。より具体的に書くと、Hat はベクトル演算子で、例えばは次のように定義される。

ここでは恒等演算子、////x//}} は x}} 方向の単位ベクトルである。も同じように定義される。これは、Hat の最も一般的な定義である。

2.2. 具体的な表式
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１次元の場合を考える。上記の一般的定義によると、演算子 が量子状態に作用したときの結果は、状態を x}} 方向に無限小並進させたときの状態変化の割合に iħ}} を掛けたものになる。たとえばもし状態が x}} 方向に並進させたとき全く変化しなければ、運動量の x}} 成分は0である。

波動関数で表される１つの粒子の場合、Hat はよりはっきりとした便利な形で書ける。

また３次元では、

のように、位置空間の波動関数に作用する演算子として書ける。これは Hat のよく知られた量子力学的な表現だが、ここではより基本的な出発点から導出した。

2.3. 運動量演算子で表した並進演算子
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ここまで Hat を並進演算子から定義した。逆に、並進演算子を Hat の関数として描くこともできる。並進演算子を N}} 分割し、その極限をとった無限小並進は Hat で表すことができる。

よって最終的に得られる表現は、 ここでexpは演算子の指数関数で、右辺はテイラー級数展開である。x}} が非常に小さなときは、次のように近似的に表せる。

よって運動量演算子は並進の生成子と言える。

これらの関係が正しいことを確認するには、位置空間の波動関数に作用する並進演算子をテイラー展開すれば良い。指数関数をすべての次数に展開すれば、

よってもし関数が複素平面のある領域において解析的であれば、すべての並進演算子は予想された関数の並進を生成する。

3. 並進演算子の性質
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3.1. 逐次的な並進
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粒子や場を //1}} だけ動かした後 //2}} だけ動かしたとき、//1 + //2}} だけ動かしたことになる。

{| class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="text-align:left"!証明: |- |

演算子 と は固有基底にある全ての状態に同じ効果を与えるため、これらの演算子は等しい。 |}

3.2. 逆
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並進演算子は可逆で、その逆は

{| class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="text-align:left"!証明: |- |上述の逐次的な並進の性質と、、すなわち距離 だけ並進させる演算子は全ての状態を変化させない恒等演算子と同じであることから導かれる。 |}

3.3. 他の並進演算子との交換
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{| class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="text-align:left"!証明: |- |なぜなら両辺はどちらも であるからである。 |}

3.4. ユニタリー性
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並進演算子はユニタリーで、特に、

{| class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="text-align:left"!証明: |- | とが２つの位置空間の波動関数であるとき、 と の内積は、

一方で と の内積は、

変数を変換すると、これら２つの内積は同じである。よって並進演算子はユニタリーである。 |} 並進演算子がユニタリーであることは、運動量演算子がエルミートであることを示している。

3.5. ブラへの作用
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並進演算子が位置基底でのブラに作用すると、

{| class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="text-align:left"!証明: |- |

この随伴表現は、

上述の結果を用いると、

をで置き換えて、

|}

3.6. 各成分への分割
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上述の「逐次的な並進」の性質から、ベクトル による並進は、成分方向への並進の積として書くことができる。

ここで ////x//, ////y//, ////z//}} は単位ベクトル。

3.7. 位置演算子との交換子
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並進演算子と位置演算子の交換子は、以下のように書ける。

{| class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="text-align:left"!証明: |- | を位置演算子 の任意の固有値 に対応する固有ベクトルとすると、次の二式が成り立つ。

この2式の差をとれば上式が示される。 |} これは上述の性質を利用して、次のようにも書ける。

ここでは恒等演算子である。

3.8. 運動量演算子との交換子
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並進演算子は互いに交換し、また運動量演算子はスケール化された無限小並進演算子の和であるため、並進演算子は運動量演算子と交換する。すなわち、

4. 並進群
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全てのについての並進演算子 の集合 は、逐次的な並進の結果として定義される乗法の演算について、群のすべての公理を満たす。

閉包: ２回続けて並進した結果は、別の１回の並進となる。
単位元の存在: ベクトル0だけの並進は恒等演算子となる。すなわち演算子は何も影響も与えない。これは群の単位元として機能する。
全ての元は逆元をもつ: すでに証明した通り、どんな並進演算子 も、逆並進 を逆元として持つ。
結合性: となることを要求する。これは関数の合成に基づくすべての群の場合のように、定義により正しい。よって全ての x}} での並進演算子 の集合 は群をなす 。この並進群は連続的に無限個の元をもつ連続群である。さらに並進演算子は互いに交換する、すなわち２回並進はその順番に依らない。よって並進群はアーベル群である。

位置の固有状態のヒルベルト空間上での作用する並進群は、ユークリッド空間でのベクトルの加法の群と同型である。

5. 並進された状態の位置と運動量の期待値
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１次元における１つの粒子を考える。古典力学とは違い、量子力学において粒子ははっきり定まった位置も運動量も持たない。量子力学の定式化では、期待値が古典変数として働く。たとえば粒子が状態 にあったとき、位置の期待値は である。ここで hat は位置演算子である。

並進演算子が状態に作用したとき、新しい状態が作られる。このときの位置の期待値は、 の位置の期待値にベクトルxを加えたものである。この結果は粒子をその量だけシフトさせる操作から予想されるものと一致している。

{| class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" width="90%" style="text-align:left"!並進演算子が予想通りに位置の期待値を変えることの証明: |- |上述したとおりと仮定する。

ここで正規化条件 と、前節で証明した交換子の結果を用いた。 |} 一方で、並進演算子が状態に作用したとき、運動量の期待値は変わらない。このことは同じように証明できるが、並進演算子が運動量と交換することを用いる。この結果も予想と一致している。つまり並進によって粒子の速度や質量は変わらず、運動量も変わらない。

6. 並進不変性
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量子力学ではハミルトニアンは系のエネルギーとダイナミクスを表す。以下で示すいくつかの状況では、系が並進してもハミルトニアンは不変となる。 この場合、対応する並進演算子は系について対称である。

数学的には、この状況は次のようなときに起こる。

。このことは交換子を用いて と書ける。すなわちハミルトニアンが並進演算子と交換する。

6.1. 連続並進対称性
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まず「全ての」並進演算子が系について対称である場合を考える。以下で見るように、この場合では運動量の保存が起こる。

たとえば宇宙全体の全ての粒子と場を記述するハミルトニアンを Hat、宇宙全体のすべての粒子と場を同時に同じだけシフトする並進演算子を とすると、これは常に対称である。Hat は宇宙全体の完全な物理法則を記述し、場所に依存しない。その結果、運動量の保存が宇宙全体で成り立つ。

一方で、Hat と はただ一つの粒子について言及すると考えられる。このとき並進演算子 が厳密に対称であるのは、粒子が真空中で孤立しているときのみである。それに対応して、１粒子の運動量は通常は保存しない(粒子が他の物質に衝突したときに変化する）