ルート系

数学において，ルート系とはある幾何学的な性質を満たすユークリッド空間のベクトルの配置である．これはリー群やリー環の理論において基本的な概念である．リー群やリー環は20世紀の間に数学の多くの部分で重要になってきたから，ルート系の一見すると特別な性質に反してそれらは多くの分野に応用される．さらに，ディンキン図形によるルート系の分類体系はリー理論とあからさまなつながりの全くない数学の分野において現れる．最後に，ルート系はスペクトルグラフ理論におけるように，それ自身重要である．

1. 定義と基本的な例
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最初の例として，図に示されているような，2次元ユークリッド空間 Rsup における6つのベクトルを考える．これらのベクトルは空間全体を張る．任意のルート β}} に垂直な直線を考えると，その直線による R2}} の鏡映は任意の他のルート α}} を別のルートに写す．さらに，写り先は //α// + //nβ//}} に等しい，ただし n}} は整数である．これら6つのベクトルは以下の定義を満たし，したがってルート系をなす；このルート系は A2}} と呼ばれる．

1.1. 定義
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V}} を有限次元ユークリッドベクトル空間とし，}} を標準ユークリッド内積とする．V}} のルート系  とは，非零ベクトルの有限集合 Φ}} であって，以下の条件を満たすもののことであるBourbakiHumphreys： 条件3と4を書く同値な方法は以下である：

ルート系 Φ}} に含まれるベクトルはルートと呼ばれる．著者によってはルート系の定義に条件2と3のみを課すHumphreys．この文脈では，整数性も満たすルート系は結晶的と呼ばれるHumphreys．別の著者は条件 2 を省く；このとき条件 2 を満たすルート系は被約と呼ばれるHumphreys．この記事では，すべてのルート系は被約かつ結晶的と仮定する．

性質3より，整数性条件は次のように述べても同値である：β}} とその鏡映 //σ////α//}} との差は α}} の整数倍である．性質4によって定義される演算

は内積ではないことに注意．対称であるとは限らず，第一変数についてのみ線型である．

ルート系 Φ}} の階数  は V}} の次元である．

2つのルート系は，それらの張るユークリッド空間を共通のユークリッド空間の互いに直交する部分空間と見ることで，つなげることができる．そのような結合から生じないルート系は既約  といわれる．例えば右に描かれているルート系 A2, B2, G2 は既約である．

2つのルート系 }} と }} が同型  であるとは，可逆な線型変換 //E//sub であって，Φsub と Φsub に送り，ルートの各対に対して，数 〈//x//, //y//〉}} が保たれるものが存在することをいうHumphreys．

ルート系 Φ}} のルートに直交する超平面による鏡映によって生成される V}} の等長変換の群

を Φ}} のワイル群と呼ぶ．ワイル群は有限集合 Φ}} に忠実に作用するから，必ず有限群である．

ルート系 Φ}} のルート格子}}ルート格子  とは，Φ}} で生成される V}} の部分 Z}} 加群である．それは V}} の格子である．

1.2. 階数 2 の例
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階数 1 のルート系は1つしかない，すなわち2つの非零ベクトルからなる mset である．このルート系は Asub と呼ばれる．

階数 2 では，1=//σ//sub, 1=//n// = 0, 1, 2, 3}} に応じて，4つの可能性があるHall．ルート系はそれが生成する格子によっては決定されないことに注意：Asub と Bsub はともに正方格子を生成するし，Asub と Gsub はともに六角格子を生成する．5種類ある2次元格子のうち2つだけである．

Φ}} が V}} のルート系で，U}} が 1=Ψ = Φ ∩ //U//}} で張られる V}} の部分空間であるときにはいつでも，Ψ}} は U}} のルート系である．したがって，階数 2 の4つのルート系の完全なリストは，任意の階数のルート系から選ばれた任意の2つのルートの幾何学的可能性を示している．特に，2つのそのようなルートの角度は，必ず 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180 度のいずれかである．

2. 歴史
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ルート系の概念は最初1889年頃ヴィルヘルム・キリング  によって導入されたBourbaki．彼は複素数体上のすべての単純リー環を分類しようとしたときにそれらを用いた．キリングはもともと分類で間違いを犯していて，例外型の階数 4 のルート系を2つ挙げていたが，実際には1つしかなく，今では F4}} と呼ばれるものである．カルタンが後にこの誤りを，キリングの2つのルート系が同型であることを示すことで，訂正したColeman．

キリングはカルタン部分環H}} を考えることによって，リー環 L}} の構造を研究した．そして彼は特性多項式 det は H}} の関数として考える，あるいは実際双対ベクトル空間 //H//sup の元として考える．根のこの集合は上で定義されたように //H//sup のルート系をなす，ただし内積はキリング形式であるBourbaki．

3. ルート系の公理の初等的な結果
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2つのルートの間の角度の余弦は整数の平方根の半整数倍に制限される．なぜならば，〈//β//, //α//〉}} と 〈//α//, //β//〉}} はともに仮定により整数で，

であるからである．

2cos//θ// ∈ [−2, 2]}} であるから，cos//θ//}} として可能な値は 1=0, ±1/2, ±sqrt のみであり，対応する角度は 90°}}, 60°}} あるいは 120°}}, 45°}} あるいは 135°}}, 30°}} あるいは 150°}}, 0°}} あるいは 180°}}, である．条件2により α}} のスカラー倍でルートになるのは 1}} 倍と −1}} 倍だけであり，0°}} あるいは 180°}} で，これらの角度は 2//α//}} や −2//α//}} には対応しない．

4. 正ルートと単純ルート
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ルート系 Φ}} が与えられると，必ず，正ルートの集合を取ることができる．これは Φ}} の部分集合 Φsup であって，以下を満たすものである：

各ルート //α// ∈ Φ}} に対して，ルート //α//}} と −//α//}} のうちちょうど1つが Φsup に含まれる．
任意の2つの相異なる //α//, //β// ∈ Φsup であって //α// + //β//}} がルートであるものに対して，//α// + //β// ∈ Φsup である．正ルートの集合 Φsup が選ばれると， −Φsup の元は負ルートと呼ばれる．

Φsup の元が単純ルートであるとは，Φsup の2つの元の和で書けないことをいう．単純ルート全体の集合 Δ}} は V}} の基底であって，Φ}} の任意のベクトルが係数がすべて非負かすべて非正の Δ}} の元の線型結合であるという性質を持つHall．正ルートの各選択に対して，対応する単純ルートの集合は次のような一意的なルートの集合 Δ}} である：正ルート全体はちょうど，非負係数の Δ}} の元の線型結合として表せるもの全体であり，これらの線型結合は一意である．

4.1. ルートの半順序
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正ルート全体の集合は //α// ≤ //β//}} を //β// − //α//}} が単純ルートの非負線型結合であることとして自然に順序付けられる．この半順序集合は

によって次数付き半順序，多くの注目すべき組合せ論的性質を持つ．その1つはこの半順序集合から対応するワイル群の基本不変式の次数を決定できることであるHumphreys．ハッセグラフはルート半順序集合の順序の可視化である．

5. 双対ルート系とコルート
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Φ}} が V}} のルート系であるとき，ルート α}} のコルート //α//∨}} は

によって定義される．コルートの集合も V}} のルート系 Φ∨}} をなし，双対ルート系と呼ばれる．定義により 1=(//α//sup であるから，Φ}} は Φ∨}} の双対ルート系である．Φ∨}} で張られる V}} の格子は//コルート格子//と呼ばれる．Φ}} と Φ∨}} は同じワイル群 W}} を持ち，//s// ∈ //W//}} に対して，

である．Δ}} が Φ}} の単純ルートの集合であれば，Δ∨}} は Φ∨}} の単純ルートの集合であるHall．

6. ディンキン図形によるルート系の分類
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ルート系が既約であるとは，2つの真の部分集合の和集合 1=Φ = Φsub であって，すべての //α// ∈ Φsub と //β// ∈ Φsub に対して 1= = 0}} となるようなものに分割できないことをいう．

既約ルート系はイェヴゲニ・ディンキンにちなんで名づけられているディンキン図形というグラフと対応する．これらのグラフの分類は単純な組合せ論であり，既約ルート系の分類をもたらす．

ルート系が与えられたとき，前の節にあるように単純ルートの集合 Δ}} を選ぶ．付随するディンキン図形の頂点は Δ}} のベクトルに対応する．ベクトルの直交しない各対の間に辺が描かれる．なす角度が 2//π///3}} ラジアンのときは，無向の一重辺であり，3//π///4}} のときは有向二重辺であり，5//π///6}} のときは有向三重辺である．「有向辺」という用語は二重・三重辺は短い方のベクトルを指す記号が付けられることを意味する．

与えられたルート系の単純ルートの集合の可能性は1つではないが，ワイル群はそのような選び方に推移的に作用する．したがって，ディンキン図形は単純ルートたちの選び方には依らず，ルート系自身によって決定される．逆に，同じディンキン図形をもつ2つのルート系が与えられると，基底のルートから合わせ始めて，2つが実は同じであることを示すことができる．

したがってルート系の分類の問題は可能なディンキン図形の分類の問題に帰着する．ルート系が既約であることとそのディンキン図形が連結であることは同値である．ディンキン図形は基底 Δ}} のことばで E}} の内積の情報を持っており，この内積が正定値でなければならないという条件は所望の分類を得るのに必要なすべてであることが判明する．

実際の連結図形は以下のとおりである．サブスクリプトは図形の頂点の個数を指し示す．

7. 既約ルート系の性質
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既約ルート系は対応する連結ディンキン図形にしたがって名づけられる．4つの無限族と5つの例外的な場合が存在する．サブスクリプトはルート系の階数を意味する．

既約ルート系において長さ 1/2}} の値は高々2種類であり，短いルートと長いルートである．すべてのルートが同じ長さを持っているときは長いと定義し，ルート系は simply laced といわれる．これは A, D, E の場合におこる．同じ長さの任意の2つのルートはワイル群の同じ軌道に入る．Simply laced でない場合 B, C, G, F では，ルート格子は短いルートによって張られ，長いルートは部分格子を張り，これはワイル群で不変で，コルート格子の //r//2/2}} 倍に等しい，ただし r}} は長いルートの長さである．

添付の表において，mabs は短いルートの個数を表し，I}} は長いルートによって生成される部分格子のルート格子における指数を表し，D}} はカルタン行列の行列式を表し，mabs はワイル群の位数を表す．

8. 既約ルート系の明示的な構成
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8.1. A//n//
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V}} を座標の和が 0}} になる R//n//+1}} の部分空間とし，Φ}} を V}} の長さ sqrt の//整数ベクトル//すなわち R//n//+1}} において整数座標を持つベクトル全体の集合とする．そのようなベクトルは2つを除くすべての座標が 0}} で，1つの座標は 1}} で，1つは −1}} でなければならず，したがって全部で //n//2 + //n//}} 個のルートがある．単純ルートの取り方の1つを標準基底で表すと：1 ≤ //i// ≤ //n//}} に対して 1=α//i// = e//i// − e//i//+1}}.

α//i//}} に垂直な超平面を通る鏡映 σi}} は隣り合う i}} 番目と }} 番目の置換と同じである．そのような互換は全置換群を生成する．隣り合う単純ルートに対して，

である，つまり，鏡映は1倍を足すことに等しい．しかし，隣り合わない単純ルートに垂直な単純ルートの鏡映はそれを変えず，0倍を引くことである．

A//n//}} ルート格子，つまり Asub ルートによって生成される格子は，成分の和が 0}} である R//n//+1}} の整数ベクトルの集合として最も容易に記述される．

A3}} ルート格子は結晶学者に面心立方 格子と呼ばれている． A3}} ルート系はゾムツール・コンストラクション・セットで模型を作れるHall．

8.2. B//n//
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1=//V// = R//n//}} とし，Φ}} を V}} の長さ 1}} か sqrt のすべての整数ベクトルからなるとする．ルートの総数は 2//n//2}} である．単純ルートたちの1つの選び方は：1 ≤ //i// ≤ //n// − 1}} に対して 1=αi = e//i// − e//i//+1}} と，短ルート 1=α//n// = e//n//}} である．

短ルート αsub に垂直な超平面に関する鏡映 σn}} はもちろん単に n}} 番目の座標の −1}} 倍である．長単純ルート α//n// − 1}} に対し，1=//σ////n//−1 = α//n// + α//n//−1}} であるが，短ルートに垂直な鏡映に対しては，1=//σn// = α//n//−1 + 2α//n//}} であり，1倍ではなく2倍である．

B//n//}} ルート格子，つまり，B//n//}} ルートによって生成される格子は，すべての整数ベクトルからなる．

B1}} は sqrt によるスケーリングによって，A1}} に同型であり，したがって異なるルート系ではない．

8.3. C//n//
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1=//V// = R//n//}} とし，Φ}} を長さ sqrt の V}} のすべての整数ベクトルと，λ}} を長さ 1}} の整数ベクトルとして 2//λ//}} の形のすべてのベクトルからなるとする．ルートの総数は 2//n//2}} である．単純ルートの1つの選び方は：1 ≤ //i// ≤ //n// − 1}} に対して 1=α//i// = e//i// − e//i//+1}} と，長い方のルート 1=α//n// = 2e//n//}} である．

鏡映 1=//σn// = α//n//−1 + α//n//}} であるが，1=//σ////n//−1 = α//n// + 2α//n//−1}} である．

C//n//}} ルート格子，つまり C//n//}} ルートによって生成される格子は，成分の和が偶数な整数ベクトル全てからなる．

C2}} は sqrt によるスケーリングと 45 度の回転によって B2}} と同型であり，したがって相異なるルート系ではない．

ルート系 1=B3, C3, A3 = D3}} を立方体と正八面体の中の点として描いたもの

8.4. D//n//
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1=//V// = R//n//}} とし，Φ}} を長さ sqrt の V}} のすべての整数ベクトルからなるとする．ルートの総数は 2//n//}} である．単純ルートたちの1つの選び方は：1 ≤ //i// < //n// − 1}} に対して 1=αi = e//i// − e//i//+1}} と，1=α//n// = e//n// + e//n//−1}} である．

αsub に垂直な超平面を通る鏡映は隣り合う n}} 番目と //n// − 1}} 番目の座標を互換  −1}} 倍するのと同じである．任意の単純ルートと別の単純ルートに垂直なその鏡映との差は二番目のルートの0倍か1倍であり，それより大きくはない．

D//n//}} ルート格子，つまり，D//n//}} ルートによって生成される格子は，成分の和が偶数であるような整数ベクトル全部からなる．これは C//n//}} ルート格子と同じである．

D3}} は A3}} と一致し，したがって相異なるルート系ではない．

D4}} は triality と呼ばれる追加の対称性を持つ．

8.5. E6, E7, E8
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E8}} ルート系は次の集合に合同な R8}} のベクトルの任意の集合である： このルート系は240個のルートを持つ．いま挙げた集合は，E8}} ルート格子の長さ sqrt のベクトル全部の集合である．この格子は単に E8格子や Γ8}} とも呼ばれる．これは R8}} の次のような点全体の集合である：

すべての座標が整数であるか，あるいは，すべての座標が整数でない半整数であり，
8つの座標の和は偶数である．したがって，

ルート系 E7}} は，E8}} の固定された1つのルートに垂直な E8}} のベクトル全部の集合である．ルート系 E7}} は126個のルートを持つ．
ルート系 E6}} は，E7}} の固定された1つのルートに垂直な E7}} のベクトル全部の集合ではない，実際，そのようにして D6}} を得る．しかしながら，E6}} は E8}} の適切に選ばれた2つのルートに垂直な E8}} の部分系である．ルート系 Esub は72個のルートを持つ．特に便利な E8}} 格子の別の記述は，R8}} のつぎのような全ての点の集合 Γ'8}} である：

すべての座標は整数であり，座標の和は偶数である，あるいは，
すべての座標は整数でない半整数であり，座標の和は奇数である．格子 Γ8}} と Γ'8}} は同型である；一方から他方へ，任意の奇数個の座標の符号を変えることによって行ける．格子 Γ8}} は E8}} の//偶座標系//と呼ばれることがあり，格子 Γ'8}} は//奇座標系//と呼ばれることがある．

Esub に対する単純ルートの1つの選び方は，上のディンキン図形での頂点の順序によって行を順序づけた偶座標系において：

1 ≤ //i// ≤ 6}} に対して 1=α//i// = e//i// − e//i//+1}} とと

1=α8 = β0 = −sfrac.Esub に対する単純ルートの1つの選び方は，上のディンキン図形での頂点の順序によって行を順序づけた奇座標系において：

1 ≤ //i// ≤ 7}} に対して と

1=α8 = β5}}, ただし1=β//j// = sfrac.α1}} との直交性は最初の2つの座標が等しいことを意味するから，E7}} は最初の2つの座標が等しい E8}} の部分集合であり，同様に E6}} は最初の3つの座標が等しい E8}} の部分集合である．これは E7}} と E6}} の明示的な定義を容易にする：

E//7// = {α ∈ Z7 ∪ 7 :  ∑αi2 + α12 = 2, ∑αi + α1 ∈ 2Z},E//6// = {α ∈ Z6 ∪ 6 :  ∑αi2 + 2α12 = 2, ∑αi + 2α1 ∈ 2Z}.α1}} を消して α2}} を消すと，E7}} と E6}} の単純ルートの集合を与えることに注意．しかしながら，単純ルートのこれらの集合は上に書いたのとは異なる E8}} の E7}} および E6}} 部分空間に属する，なぜならばそれらは α1}} あるいは α2}} に直交しないからである．

8.6. F4
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F4}} に対して，1=//V// = R4}} とし，Φ}} を長さが 1}} か sqrt のベクトル α}} であって 2//α//}} の座標がすべて整数ですべて偶数かすべて奇数なもの全体の集合とする．この系には48個のルートがある．単純ルートの1つの選び方は：Bsub に対して上で与えられた単純ルートの選び方と，1=α4 = −∑subsup.

F4}} ルート格子，つまり F4}} ルート系によって生成される格子は，Rsub の点であってすべての座標が整数であるかまたはすべての座標が整数でない半整数であるようなもの全体の集合である．この格子はフルヴィッツ四元数の格子に同型である．

8.7. G2
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ルート系 G2}} は12個のルートを持ち，六芒星の頂点をなす．上の絵を参照．

単純ルートの1つの選び方は：1=}}, ただし 1=//i// = 1, 2}} に対して 1=α//i// = e//i// − e//i//+1}} は Asub に対する単純ルートの上の選び方である．

G2}} ルート格子，つまり，G2}} ルートによって生成される格子は，Asub ルート格子と同じである．

9. ルート系とリー理論
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既約ルート系はリー理論におけるいくつかの関連した対象を分類する，特に

以下を含む単純リー群：
複素単純リー群；
付随する複素単純リー環；
中心で割って単純な単連結複素リー群．各場合において，ルートは随伴表現の非零ウェイトである．

極大トーラス T}} をもつ単連結単純コンパクトリー群 G}} の場合には，ルート格子は自然に Hom}} と同一視でき，コルート格子は Hom}} とできる，ただし T}} は円周群である；Adams を参照．

例外型ルート系とそれらのリー群とリー環との関係は，E8 , E7 , E6 , F4 , G2  を参照．

10. 関連項目
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アファインルート系
コクセター群
コクセター行列
ディンキン図形
半単純リー環のルート系
ワイル群

11. 脚注
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12. 参考文献
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first=Nicolas. The classic reference for root systems.
Killing, //Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen// Mathematische Annalen, [1]: Volume 31, Number 2 June 1888, Pages 252-290 10.1007/BF01211904}}; [2]: Volume 33, Number 1 March 1888, Pages 1–48 10.1007/BF01444109}}; [3]: Volume 34, Number 1 March 1889, Pages 57–122 10.1007/BF01446792}}; [4]: Volume 36, Number 2 June 1890,Pages 161-189
first=Victor G. .

13. 関連文献
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Dynkin, E. B. //The structure of semi-simple algebras.// Uspehi Matem. Nauk  2, . no. 4, 59–127.

14. 外部リンク
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