変分法

解析学の一分野、変分法は、汎函数の最大化や最小化を扱う。汎函数はしばしば函数とその導函数を含む定積分として表される。この分野の主な興味の対象は、与えられた汎函数を最大・最小とするような「極値」函数、あるいは汎函数の変化率を零とする「停留」函数である。

そのような問題のもっとも単純な例は、二点を結ぶ最短の曲線を求める問題である。何の制約も無ければ二点を結ぶ直線が明らかにその解を与えるが、例えば空間上の特定の曲面上にある曲線という制約が与えられていれば、解はそれほど明らかではないし、複数の解が存在し得る。この問題の解は測地線と総称される。関連する話題としてフェルマーの原理は「光は二点を結ぶ最短の光学的長さを持つ経路を通る。ただし光学的長さは間にある物質によって決まる」ことを述べる。これは力学における最小作用の原理に対応する。

重要な問題の多くが多変数函数を含む。ラプラス方程式の境界値問題の解はディリクレの原理を満足する。 プラトーの問題は空間内の与えられた周回路の張る面積が最小の曲面を求める問題であり、しばしばその解を石鹸水に浸した枠が張る石鹸膜として見つけるデモンストレーションを目にする。こうした経験は比較的容易に実験できるけれども、その数学的解釈は簡単とはほど遠い。

1. 歴史
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変分法はヨハン・ベルヌーイ  のとり挙げた最速降下曲線問題に始まるといわれる それはすぐにヤコブ・ベルヌーイおよびギヨーム・ド・ロピタルの目に留まるが、この主題について初めて詳しく述べたのはレオンハルト・オイラーであった。オイラーの成果は1733年に始まり、著書 //Elementa Calculi Variationum// はこの分野の名の由来となった。ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュはこの理論の拡張に貢献し、アドリアン＝マリ・ルジャンドル  は最大および最小を判別する方法を確立した。アイザック・ニュートンとゴットフリート・ライプニッツもまたこの主題に対して先駆的な注目を与えている。この判別法に対して、Vincenzo Brunacci , カール・フリードリヒ・ガウス , シメオン・ポワソン , ミハイル・オストログラツキー , カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ  など多くの貢献がある。重要な一般論は ピエール・フレデリック・サラス  によるものを オーギュスタン＝ルイ・コーシー  が精密化および改善した。その他にも重要な研究論文や回顧録が Strauch , John Hewitt Jellett , ルートヴィヒ・オットー・ヘッセ , Alfred Clebsch , Carll  など書かれているが、19世紀のおそらくもっとも重要な成果はカール・ヴァイヤストラスによる。その高名な講座は画期的なものであり、それにより確固たる疑いようのない基礎の上に立つ第一人者であったと言えるだろう。1900年に出されたヒルベルトの23の問題のヒルベルトの第二十問題とヒルベルトの第二十三問題はこの分野の更なる発展を促した。20世紀にはダフィット・ヒルベルト、エミー・ネーター、レオニダ・トネリ、アンリ・ルベーグ、ジャック・アダマールらの著しい貢献が成された。マーストン・モースは変分法を今日モース理論と呼ばれるものに応用した。レフ・ポントリャーギン、ラルフ・ロッカフェラーおよび F. H. Clarke は最適制御理論において変分法に対する新しい数学的な道具を開発した。リチャード・ベルマンの動的計画法
は変分法の代替となるもののひとつである。

2. 極値
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変分法は汎函数の極大と極小に注目する。函数が数値的な変数に依存して決まるのとある意味同じように、汎函数は函数に依存して決まり、またその意味で函数の函数としても記述される。 固定された定義域の上で定義された函数からなる函数空間が与えられたとき、その元を動く函数変数 y}} に関して汎函数は極値を持つ。汎函数 //J//[ //y// ]}} が函数 f}} において極値を持つとは、増分 Δ//J// =}} //J//[//y//] - //J//[//f//]}} が f}} の任意に小さな近傍に属する任意の y}} に対して同じ符号を持つときに言うmvar。このとき函数 f}} は極値函数あるいは極値点  と呼ばれる。極値 //J//[//f//]}} が極大であるとは f}} の任意に小さな近傍の各点において Δ//J// ≤ 0}} を満たすときに言う。また極小であるとは同様に Δ//J// ≥ 0}} であるときに言う。連続函数の空間に対して、対応する汎函数の極値は、連続函数の一階導函数が全て連続となるかまたは否かに従って、それぞれ弱極値  または強極値  と呼ばれる。

汎函数の強極値・弱極値はともに連続函数の空間に対するものだが、弱極値はその空間に属する函数の一階導函数が連続という追加の要件を持つ。強極値は弱極値でもあるが、逆は真ではない。強極値を求めることは弱極値を求めることよりも困難である。弱極値を求めるために用いる必要条件の一つの例として、オイラー＝ラグランジュ方程式がある group=Note 。

3. 変分および極小値に関するある十分条件
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変分法は、汎函数の引数である函数のわずかな変化によって生じる小さな変動としての汎函数の変分に注目する。一次変分 group=Noteは汎函数の増分の一次成分として定義され、二次変分 group=Noteは汎函数の増分の二次成分として定義される。

例えば //J//[//y//]}} は函数 //y// =}} //y//}} を引数とする汎函数とし、//h// =}} //h//}} は y}} と同じ函数空間に属する函数として引数を y}} から //y// + //h//}} へわずかに変化させるとき、対応する汎函数の増分は Δ//J//[//h//] =}} //J//[//y// + //h//] − //J//[//y//]}} で与えられるgroup=Note。

汎函数 //J//[//y//]}} が微分可能であるとは、線型汎函数 //φ//[//h//]}} が存在して group=Note Δ//J//[//h//] =}} φ[//h//] + εnorm とできるときに言う。ただし、norm は h}} のノルム group=Noteであり、ε}}は norm のとき //ε// → 0}} を満たすものとする。このとき、線型汎函数 φ}} を //J//[//y//]}} の一次変分とよび δJ}} と表す:

また汎函数 //J//[//y//]}} が二回微分可能とは、一次変分 //φ//ind および二次汎函数 group=Note //φ//ind が存在して Δ//J//[//h//] =}} φind とできるときに言う。ただし、ε}} は norm のとき //ε// → 0}} である。二次汎函数 //φ//ind を //J//[//y//]}} の二次変分と呼び、 //δ//msup と書く:

二次変分 //δ//2//J//[//h//]}} が強く正  であるとは、適当な定数 //k// > 0}} が存在して、任意の h}} に対し //δ//msup を満たすときに言う。

極小値の十分条件 汎函数 //J//[//y//]}} が //y// =}} //ŷ//}} において極小となるには、//y// =}} //ŷ//}} において一次変分が //δJ//[//h//] =}} 0}} かつ二次変分 //δ//2//J//[//h//]}} が強く正となることが十分である

4. 関連項目
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変分原理
摂動法
最適制御
変分法における直接法
ネーターの定理
有限要素法
ド・ドンデ-ワイル理論

5. 注釈
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6. 出典
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7. 関連文献
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Dacorogna, Bernard. //[1]//, 2014, World Scientific Publishing, ISBN 978-1-78326-551-0. //[2]//
Bolza, O.: Lectures on the Calculus of Variations. Chelsea Publishing Company, 1904, available on Digital Mathematics library [3]. 2nd edition republished in 1961, paperback in 2005, ISBN 978-1-4181-8201-4.
Cassel, Kevin W.: [4], Cambridge University Press, 2013.
Clegg, J.C.: [5], Interscience Publishers Inc., 1968.
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Weinstock, Robert: [16], Dover, 1974 .
[17], from [18], by Ralph W. Pike, Louisiana State University.

8. 外部リンク
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[19] example problems.
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[22]