豊穣圏

数学の一分野、圏論における豊穣圏は、圏における射集合を一般のモノイド圏の対象に置き換えて得られる圏の一般化である。

豊穣圏を考える意義は、実際の応用の多くにおいて射集合が追加の構造を備えていることが期待されることがしばしばあるという観察に基づく。

一つの豊饒圏において、対象の任意の対に付随する射集合は、よくわからない「射対象」 の成す何らかの固定されたモノイド圏の対象に置き換えられる。 通常の圏における射の合成を再現するためには、射圏は射対象の間に定義される結合的な合成を持たなければならない。 つまり、少なくとも、射対象の間の二項演算がモノイド圏の構造から導入される必要がある。 文脈によってはその演算が可換であったり、右随伴を持ったりすることがあり得るし、それが必要とされる場合もあるdate=December 2016}}。

したがって豊饒圏論は広く多様な構造を同じ枠組みに包摂するものである。そのような構造として以下のようなものが挙げられる:

通常の圏だが射集合が単に集合であるばかりでなく追加の構造を備えるもの。すなわち、射に関して演算もしくは性質が定められ、それらが射の合成によって保たれる。例えば二次圏において射の間に二次元の射  が存在して水平合成ができるし、あるいはアーベル圏において射には加法が定義される。
圏に類似な対象で、それ自身は個々の射の概念を全く持たないが、射対象は圏同様の合成と見なせる性質を持つもの。例えば、前順序集合は合成則を推移律によって保障されるし、ローヴェアの距離空間は射対象が数値的な距離でありその合成則は三角不等式により与えられる。射対象全体の成す圏が集合の圏に通常のデカルト積を備えたモノイド圏となっているときを考えれば、その場合の豊饒圏、豊穣函手などは、通常の圏論における通常の定義に基づく、圏、函手などに帰着される。

モノイド圏 M}} に射対象を持つ豊饒圏を M}} 上の豊饒圏  や M}} における豊饒圏  あるいは M}} で豊饒化された圏  や簡単に M}}-豊饒圏  もしくはもっと簡単に M}}-圏  などと呼ぶ。マクレーンはモノイド圏を表すのに文字 V}} を使っていたから、豊饒圏のことも一般に V}}-圏と呼ぶこともある。

1. 定義
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モノイド圏 }} に対して、////豊饒圏'//C}} は、

C}} の対象全体の成す類 //ob//}},
C}} の対象の任意の対 //a//, //b// ∈ //ob//}} に対する「射の集まり」に相当する //C// ∈ //ob//}},
各対象 //a// ∈ //ob//}} に付随する「恒等射」に相当する M}} 内の射 idsub,
「射の合成」に相当する M}} 内の射 ∘sub }} で後述する三つの図式を可換にするもの,からなる。一つ目の図式は、「合成」の「結合律」を表すもので、通常の圏における合成の結合性を射圏 M}} における結合子 α}} が図式

を可換にすることに置き換える。射圏 M}} が集合の圏でモノイド構造 }} がデカルト積と終対象となる一点集合の定める構造 }} はその各元が C}} の「個々の射」となる集合と考えられ、また ∘}} は写像として連続する射の合成を定めるものと捉えることができる。この場合、上にあげた「一つ目の図式」において //C//}} へ至る各経路が、三連続する個々の射 //a// → //b// → //c// → //d//}}の二種類ある合成の仕方の各々に対応し、図式の可換性がその二種類の合成順によって結合の結果が変わらないことを主張するものになっている。

このように図式にして考えることの何が新しいのかといえば、結合律を課すことを豊饒圏 C}} の個別の射を陽に出すことなく言い表しているという点である。射圏 M}} における射に関するこれらの図式は、合成の結合性の概念を一般の場合にも意味を為すようにするために存在する。

さて通常の圏が恒等射を持つという概念は、「単位律」を表す左および右単位子 λ, ρ}} に関する二番目と三番目の図式

および で置き換えられなければならない。再び M}} がデカルト積を備えた集合の圏の場合に立ち返れば、恒等射 idsub は一点集合 I}} からの写像となり、従ってそれは、与えられた任意の対象 a}} に対し各集合 //C//}} の特定の一元を同定するものでなければならないが、それを 「a ∈ //ob//}} に対する恒等射」であるものと考えることができる。すると、上記二つの図式の可換性は、そのように識別された各「C}} 内の恒等射」の合成が、通常の圏において要求される単位律の通り振る舞うことを主張するものになっていることがわかる。

さてここで複数の相異なる「恒等射」の概念が出てきているので振り返っておく:

射圏 M}} の各対象に付随する恒等射
豊饒圏 C}} の各対象 a}} に付随する恒等射 idsub これもやはり M}} の射だが、C}} がそれ自身の個別の射を持つとみなされる場合であってさえも、この豊饒化された意味での恒等射が C}} の個別の射を特定するものになっている必要はない。

2. 豊饒圏の例
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既に述べたが、通常の圏は集合の直積をモノイド演算として備えた集合の圏 (Set, ×, mset で豊饒化された圏である。
二次圏は小さい圏の圏 Cat}} にデカルト積によって定まるモノイド構造を入れたもので豊饒化された圏である。この場合、射の間の二次元の射  //a// → //b//}} およびそれらの垂直合成則は、通常の圏 //C//}} における射およびその合成則である。
局所的に小さい圏は小さい集合  が集合の直積をモノイド積として成すモノイド圏 }} で豊饒化された圏である。
局所的に有限な圏は有限集合の圏が集合の直積に関して成すモノイド圏 }} で豊饒化された圏を言う。
前順序集合は、二つの対象を持ち恒等射でないただ一つの射を持つ圏 1=2 coloneqq}} mset で豊饒化された圏と考えることができる。ただし、その唯一の射を //FALSE// → //TRUE//}} とし、ブール値の連言をモノイド演算、//TRUE//}} をモノイド単位とする。すると射対象 2}} は与えられた対象の順序対 }} 上の特定の二項関係を単に拒否するか受容するかを意味するもので、この関係を表すより馴染みのある記法としては、これを //a// ≤ //b//}} と書くことができる。この 2}} で豊饒化された圏に対する合成と恒等射の存在は、それぞれ推移律  および反射律  という公理に直ちに翻訳することができる。圏 2}} における任意の図式は可換となるから、これは 2}} で豊饒化された圏に対する豊饒圏の公理として唯一内容を持つものである。
ウィリアム・ローヴェアの一般化された距離空間、すなわち擬準距離空間は、非負拡大実数の全体 R+∞}} を通常の大小関係の成す順序の逆で圏と見なしたものに加法 +}} をモノイド積、0}} をモノイド単位とするモノイド構造をいれたモノイド圏で豊饒化された圏である。射対象 R+∞}} は本質的に距離 d}} であり、合成と恒等射の存在は三角不等式  + d ≥ d}}) および非負性 }} に翻訳される。
零射を持つ圏は点付き集合がスマッシュ積に関して成すモノイド圏 }} の基点が A}} から B}} への零射に対応する。
前加法圏はアーベル群の圏がテンソル積に関して成すモノイド圏 }} で豊饒化された圏である。

3. モノイド函手との関係
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モノイド圏 M}} からモノイド圏 N}} へのモノイド函手が存在すれば、任意の M}}-豊饒圏を N}}-豊饒圏と読み替えることができる。任意のモノイド圏 M}} は集合の圏へのモノイド函手 M}} を持つから、任意の豊饒圏はその台となる通常の圏を持つ。多くの例においてこの函手は忠実であり、その場合の M}}-豊饒圏は通常の圏において追加の構造や性質を備えたものとして記述することができる。

4. 豊饒函手
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豊饒函手 (//enriched functor//; 豊饒化された函手）