ワイル計量

一般相対性理論において、ワイル計量とは、アインシュタイン方程式の「静的」で「軸対称」な解の総称である。カー・ニューマン計量に分類される三つの有名な解、すなわちシュワルツシルト計量、非極限的ライスナー・ノルドシュトロム計量、極限的ライスナー・ノルドシュトロム計量がワイル型計量と言える。

1. 標準的ワイル計量
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ワイル計量に分類される解は次の一般式を持つ。 ここで //ψ//}} および //γ//}} は「ワイルの正準座標」 //ρ//, //z//} に依存する計量ポテンシャルである。 座標系 //t//, //ρ//, //z//, //φ//}} はワイル時空の対称性に最も適しており しばしば円筒極座標系のように振る舞うが、//ρ//, //z//} が事象の地平面の外側のみを被覆しているという意味でブラックホールの記述には「不完全」である。

したがって、ある特定のエネルギー・運動量テンソル //T////ab//}} に対応する静的軸対称解を決定するには、式  に表わされるワイル計量をアインシュタイン方程式に代入する必要がある。 そして、二つの関数 //ψ//}} および //γ//}} の関数形をつきとめなければならない。

2. 電磁真空ワイル解用の簡約化方程式
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最もよく調査されており最も有用なワイル解の一つが //T////ab//}} が電磁場のみに起因する、すなわち物質も電流も存在しない状況に対応する電磁真空解である。知っての通り、電磁四元ポテンシャル //A////a//}} が与えられれば反対称電磁場テンソル //F////ab//}} およびトレースフリーなエネルギー・運動量テンソル 1=//T////ab// }} をそれぞれ計算することができる。 これは、源無し共変マクスウェル方程式を満たす。 式 は次のように簡略化できる。 ここで 1=Γsu を用いた。また、電磁真空においては 1=//R// = −8π//T// = 0}} であるから、式を次のように簡約化できる。 ここで、ワイル型軸対称静電ポテンシャルを 1=//A////a// = Φ[d//t//]//a//}} と式の形のワイル計量を仮定すると、式から次が導ける。 ここで、1=//R// = 0}} から式が得られ、1=//R////tt// = 8π//T////tt//}} もしくは 1=//R////φφ// = 8π//T////φφ//}} から式が得られ、1=//R////ρρ// = 8π//T////ρρ//}} もしくは 1=//R////zz// = 8π//T////zz//}} から式が得られ、1=//R////ρz// = 8π//T////ρz//}} から式が得られ、式 から式が得られる。また、 および  はそれぞれラプラス演算子と勾配演算子である。 さらに、物質・幾何相互作用の意味で 1=//ψ// = //ψ//}} とし、漸近的平坦性を仮定すると式から次の状態方程式が得られる。 特に、もっとも単純な真空の場合は 1=Φ = 0}} かつ 1=//T////ab// = 0}} であり、式は次のように簡約化される。 まず式を解くことで //ψ//}} が得られ、その上で式および式を解くことで //γ//(//ρ//
, //z//)}} が得られる。実用上、1=//R// = 0}} から帰結する式は無矛盾性関係式もしくは可積分条件式としてしか働かない。

非線形ポアソン方程式とは異り、式は線形ラプラス方程式である。これはつまり、式を満たす真空解を重ね合わせてもやはり式の解であるということを意味する。この事実は広い応用を持っており、たとえば解析的に歪シュワルツシルト計量のに応用できる。

軸対称なラプラス演算子および勾配演算子を用いて式および式をコンパクトに書き下した。これは状態方程式の導出に非常に有用である。論文では、式および式は次の形式で書き下されることもしばしばである。

および 時空の幾何とエネルギー・物質分布との相互作用を考慮すると、式において計量関数 //ψ//}} は静電ポテンシャル Φ}} と関数関係 1=//ψ// = //ψ//}} を仮定するのが自然であり、ここから次が帰結する。

式 により式および式はただちにそれぞれ次のように変換される。 したがって、次を得る。 ここで、変数 ψ}} を 1=//ζ// := //e//2//ψ//}} で置き換えれば、式は次のように簡約化される。 式を直接積分すると 1=//ζ// = //e//2//ψ// = Φ2 + Tilde が得られる。ここで //B//, Tilde は積分定数である。無限遠点における漸近的平坦性を満たすためには、 および が要請され、したがって 1=B = 1}} でなければならない。また、数学的簡便化のために以下 Tilde を −2//C//}} のように書き直すこととすると、式から最終的に次の状態方程式が導かれる。

この関係式は式を線形化し、電磁真空ワイル解の重ね合わせる上で重要である。

3. 計量ポテンシャル Ψ}} のニュートン力学における相当物
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式に示されるワイル計量について、 であるから、弱場極限 //ψ// → 0}} において次の近似が成り立つ。 従って、次の近似式が帰結する。 これは、次に示す太陽や地球のような低質量天体の作るよく知られた静的弱重力場に非常によく似ている。

ここで、 Φ//N//}} は通常「ニュートンポテンシャル」と呼ばれ、ポアソン方程式 を満たす。これはワイル計量ポテンシャル //ψ//}} が式または式を満すのと同様の意味を持つ。//ψ//}} と Φ//N//}} の類似性から、ワイル解の研究の際には  //ψ//}} のニュートン力学における相当物を想定したくなる。つまり、//ψ//}} を非相対論的にニュートン重力源から導きたくなる。//ψ//}} のニュートン力学における相当物はワイル型の解を指定し、また拡張する際に非常に助けになることが実証されている。

4. シュワルツシルト解
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ワイルポテンシャルは、式を次のように与えればシュワルツシルト計量を生成する。 ここで、次のようにおく。

ニュートン力学における相当物の観点から、 //ψ////SS//}} は質量 M}} および長さ 2//M//}} の棒を z}}-軸上に対称に置いたときに生成される重力ポテンシャルに等しい。すなわち、一様質量線密度 1=//σ// = 1/2}} を区間 においた場合に等しい。

//ψ////SS//}} と //γ////SS//}} が与えられれば、ワイル計量の形式は次のようになる。 そして、次の相互に無矛盾な関係式を代入すると、 次の、通常の球面座標系 //t//, //r//, //θ//, //φ//}} を用いた一般的な形式のシュワルツシルト計量が得られる。 式の形式の計量は、標準的な円筒・球面変換 1= = }} により直接式に変換することはできない。なぜなら、 //t//, //r//, //θ//, //φ//}} は完全である一方 //t//, //ρ//, //z//, //φ//}} は不完全だからである。これが、式において //t//, //ρ//, //z//, //φ//}} を円筒座標系ではなくワイルの正準座標と呼んだ理由である。しかし、これら二つの座標系の間には多くの共通点がある。たとえば、式に表われるラプラシアン は円筒座標系における二次元幾何ラプラシアンに一致している。

5. 非極限的ライスナー・ノルドシュトロム解
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次のようなワイルポテンシャルを代入すると、非極限的ライスナー・ノルドシュトロム解  が式(7）