普遍係数定理

普遍係数定理とは、単項イデアル整域R}}上定義されたホモロジーやコホモロジーから、R}}-加群を係数とするホモロジーやコホモロジーを求める一連の定理の総称である。

定理はR}}-加群として自由な任意のチェイン複体に対して成立し、したがって特に特異ホモロジー・コホモロジーのような位相幾何学的な背景を持つホモロジー・コホモロジーに対して成立する。

1. 準備
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本節では普遍係数定理を述べる準備として、チェイン複体とそのホモロジー、コチェイン複体とそのコホモロジーを復習し、さらに普遍係数定理を定式化するのに必要な概念であるTor}}関手、Ext}}関手を定義する。

1.1. ホモロジー
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R}}を可換環とするとき、整数n}}を添え字として持つR}}-加群と写像の組で、

となるものR}}上のチェイン複体といい、

をのn}}次のホモロジー加群という。

1.2. コホモロジー
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可換環R}}に対し、でがR}}上のチェイン複体になるものをコチェイン複体といい、

をのn}}次のコホモロジー加群という。

1.3. Tor}}関手
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R}}を単項イデアル整域とし、M}}、N}}をR}}-加群とする。さらに短完全系列

でA}}、B}}が自由R}}-加群であるものを選び、

を考えると必ずしも完全系列にならない最初のmvar。そこで

と定義する。の定義はA}}、B}}の取り方に依存しているが、実はA}}、B}}を別のものに取り替えて定義したと自然に同型になる事が知られているのでwell-definedである。

の事をTor}}関手という。

なお、R}}が単項イデアル整域とは限らない一般の環の場合にもTor}}が定義できるが本項では割愛する。またの事をと表記し、より一般にを定義する場合もあるが、これも本項では割愛する。これらに関する詳細はTor関手の項目を参照されたい。

Tor}}関手は以下の性質を満たす。

R}}が単項イデアル整域であるので、M}}、N}}が有限生成である場合、有限生成加群の基本定理から、M}}はRsupと複数の//R///(//x//subの直和で書け、N}}も同様である。上述の1., 2.からTorsubは直和に関して分解できるので、上述の3., 5.を使うと、これらに対するTorsubを容易に計算できる。

1.4. Ext}}関手
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Ext関手}}Tor}}のときと同様、R}}を単項イデアル整域とし、M}}、N}}をR}}-加群とし、さらに短完全系列

でA}}、B}}が自由R}}-加群であるものを選ぶ。そして

を考えると必ずしも完全系列にはならない最後のmvar。そこで

と定義する。ここでCoker}}は余核である。すなわち、に対し、である。

の定義はA}}、B}}の取り方に依存しているが、実はA}}、B}}を別のものに取り替えて定義したと自然に同型になる事が知られているのでwell-definedである。

の事をExt}}関手という。

またに関してもと同様、R}}が一般の環の場合に対しても定義できるし、が定義できてであるが、本項では説明を割愛する。詳細はExt関手の項目を参照されたい。

Ext}}関手は以下を満たす：

Torsubの場合と同様、M}}が有限生成R}}-加群であれば、これらの性質からExtsubを具体的に計算できる。

2. Tor}}に関する普遍係数定理
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2.1. ホモロジーの場合
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次の定理が成立することが知られている：

上記の定理でα}}はと具体的に書ける。

なお、係数環 R}}がでM}}がの場合は、上記の定理はボックシュタイン・スペクトル系列の特別な場合に相当する。

で各が有限生成加群である場合はホモロジーをより具体的に書ける。有限生成加群の基本的定理より、は自由加群部分//F//subと素数p}}に対するの和で書ける。。ここで前述したTorの性質を利用すると、以下がわかる：

2.2. コホモロジーの場合
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チェイン複体とコチェイン複体は添字の向きが違うだけなので、コチェイン複体に関しても同様の事実が従う： この短完全系列が、M}}に関して自然である事や分裂する事も前述の定理と同様である。

またで各が有限生成加群である場合は、ホモロジー場合と同様の形で具体的に書ける。

2.3. M}}係数のホモロジー・コホモロジーに対する普遍係数定理
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上述のコチェイン複体関する普遍係数定理をM}}を係数に持つコホモロジーに適用する場合は注意が必要である。

2.3.1. 定義
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これまで同様R}}が単項イデアル整域とし、M}}をR}}-加群する。R}}上のチェイン複体に対し、

と定義すると

であるのではコチェイン複体である。をM}}に関するの双対コチェイン複体という。

2.3.2. ホモロジーの場合
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M}}に係数を持つホモロジー加群の方はその定義により、

なので、前述のホモロジーに関する普遍係数定理の、を単純に置き換える事で、以下の系が従う：

2.3.3. コホモロジーの場合
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一方、M}}を係数を持つコホモロジー加群の場合は若干の注意が必要である。実際、としてやると、

であるが、の方は

であり、コホモロジーの普遍係数定理における

とは異なるので単純に置き換える事ができない。しかし適切な条件下ではこれら２つが等しくなり、M}}を係数に持つコホモロジー加群の普遍係数定理を示す事ができる：

3. Ext}}に関する普遍係数定理
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Ext}}関手を使う事で、ホモロジーとコホモロジーの関係性を示す以下の普遍係数定理を示す事ができる。

前に述べたように、チェイン複体の双対コチェイン複体に対し、M}}を係数に持つコホモロジー加群をにより定義する。

このとき以下の定理がしたがう：

上述の定理においてα}}はに対し、というの元を対応させる写像である。

で各が有限生成加群である場合はコホモロジーをより具体的に書ける。有限生成加群の基本的定理より、は自由加群部分//F//subと捩れ部分群部分の和で書ける。この事実とExt}}の性質を利用すると、以下がわかる：

上記により-係数コホモロジーさえ分かってしまえば、後はTor}}に関する普遍係数定理により他の係数のコホモロジーも求まる。

が有限生成であれば、上述の普遍係数定理でホモロジーとコホモロジーの役割を反転させた定理も成立する：

上述の定理において、α}}はに対し、というの元を対応させる写像である。

4. 関連項目
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5. 脚注
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5.1. 出典
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5.2. 注釈
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6. 参考文献
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引用文献
その他

Allen Hatcher, //Algebraic Topology//, Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN 0-521-79540-0. A modern, geometrically flavored introduction to algebraic topology. The book is available free in PDF and PostScript formats on the [1].

7. 外部リンク
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[2] Mathematics