ストーン双対性

ストーンの双対性定理とは数学における定理で、位相空間がある種の性質を満たす束と自然に対応づけられる事を意味し、この対応づけをストーン双対性という。位相空間論は点集合論に基づいて通常定式化されるが、ストーン双対性により位相空間は束と対応づけられるので、この双対性は点集合論の代わりに束論に基いて位相空間論を定式化できる事を意味する。この為本稿ではポイントレス位相空間論についても述べる。ストーンの双対性定理はストーンの表現定理の一般化でもある。

1. 概要
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位相空間//X// 上の開集合全体の集合をΩとすると、Ωは包含関係に関して半順序集合をなす。 しかもΩは和集合と共通部分について閉じているのでΩは束であり、 さらに詳しく調べると、Ωは必ず「完備ハイティング代数」という種類の束になる事が示せる。 したがって//X// にΩを対応させる事で位相空間に完備ハイティング代数を対応させる事ができる。

ストーン双対性は、位相空間としてある種の弱い性質を満たすものに限定し、さらに完備ハイティング代数の方も「空間的」という性質を満たすものに限定するとこの対応関係がいわば「全単射」になるという趣旨の定理である。

ストーン双対性の厳密な定式化には圏論の言葉を用いる必要があるので、まずは圏の概念を簡単に紹介する。圏とは「対象」の集まりと「射」 の集まりの組の事で、対象 とは直観的には研究対象となる集合の事を指し、射 とは対象から対象への写像の事を指す。例えば位相空間の圏Topの対象と射はそれぞれ位相空間と連続写像であり、群の圏Grpの対象と射はそれぞれ群と群準同型写像である。

以下の章で、ストーン双対性の記述に必要な概念を順に述べていく。

2. sober空間
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sober空間は以下のように定義される：

sober性はT0分離公理とT2分離公理の中間の強さを持つ事が知られており、T2空間⇒sober空間⇒T0空間が成立する。一方sober性とT1分離公理は独立な概念であり、sober空間でないT1空間やT1空間でないsober空間が存在する。

3. 空間的完備ハイティング代数
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ストーン双対性の定式化で登場するもう一つの圏は、空間的完備ハイティング代数というある種の束を対象とする圏SFrmである。ハイティング代数とその圏の定義を述べる為まず束の定義とその性質を述べる。

ハイティング代数は有界束の一種として定義される。なお束であるにもかかわらず空間的完備ハイティング「代数」という名称なのは //a//∨//b// := sup, //a//∧//b// := inf をそれぞれ乗算と加算とみなす事で束を代数だとみなせるからである。

ハイティング代数はブール代数を一般化した有界束であり、ブール代数と同様「//a// ∨//b// 」と「//a// ∧//b// 」が定義でき、さらに「IF //a// THEN //b// 」を意味する「//a// →//b// 」が定義できるという特徴を持っている。また「//a// の否定」を意味する「￢//a// 」を「//a// → 0 」として定義できるがブール代数と違い二重否定の法則 ￢ ￢//a// ＝//a// は成り立つとは限らない。

ストーン双対性の定式化には単なる完備ハイティング代数ではなく空間的な完備ハイティング代数を用いるが、「空間的」という単語の定義を説明するには準備が必要な為、後の章にまわす。

//X// を位相空間とするとΩには以下のようにして完備ハイティング代数の構造が入る。ここでは//A// の内部を表す。

完備ハイティング代数の事を枠 ともいう。空間的な枠の圏SFrmは以下のように定義される。

上述したようにSFrmの射は、有限積と無限和を保つ。これは位相空間において開集合の有限積と無限和が再び開集合となる事と関係している。

4. SobとSFrmの対応関係
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次にsober空間の圏Sobと空間的完備ハイティング代数の圏SFrmとの対応関係の詳細を述べる。 これらの圏の間の対応関係は、圏論でいう「関手」の概念を用いて定義される。 ここでSobからSFrmへの関手とはSobの対象と射にそれぞれSFrmの対象と射を対応させる「写像」の事である。

SobからSFrmへの関手Ωは以下のように定義される。

ここで注意すべきは//f// が//X// から//Y// への写像であるときはΩ = //f// -1はΩ からΩへの写像になっており、写像の向きが逆転している事である。。後でポイントレス位相空間論を考える際には、写像の向きの反転をなくす為、若干の調整が必要となる。

次に、関手Ωのいわば「逆写像」にあたる、SFrmからSob への関手pt を導入する。ptは空間的完備ハイティング代数//F// に対し//F// の元を開集合として持つ位相空間を対応させる関手であり、したがってpt を実現するには//F// から点集合を再現する必要がある。

このようなptを実現する為、いくつかの概念を定義し、ptの「逆写像」にあたる関手Ωの性質を調べる。 一点集合を任意に固定し、これを1と表記する。さらに1の唯一の元を//e// とし、1 に離散位相を入れる。すると1 上の開集合全体の集合は2元のみからなるハイティング代数になる。以下このハイティング代数Ωの事を「2」と表記する。はハイティング代数2の最小元なので、以下の事を0とも表記する。

さて//X// をsober空間とし、//F// = Ωとする。//X// の点//x// ∈ //X// に対し、一点写像 p//x// : 1 → //X// をp//x// = //x// となる写像とする。するとsober空間//X// 上の点と//e// から//X// への写像p//x//は明らかに1対1で対応する。また1 から//X// への写像p//x// : 1 → //X// には空間的完備ハイティング代数間の写像Ω : //F// → Ω = 2 が対応する。以上の考察から//X// の各点に射//F// → 2が対応する。

しかも//X// の開集合//O// と//x// ∈//X// に対し//f// = Ωとすると、

が成り立つ。

そこでptを以下のように定義する：

5. 「空間的」の定義
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最後に、完備ハイティング代数が「空間的」である事の定義を述べる。 完備ハイティング代数//F// が空間的であるとは、以下の性質を満たす事を言う：

//a// ≦ //b// ではない任意の//a// , //b// ∈ //F// に対し、ある//f// ∈ptが存在し、//f// =1かつ //f//  = 0が成立する。//F// =Ωと表記できているときは、上述の//a//, //b//はを満たす開集合であるので//x// ∈//X// で//x// ∈ //a// かつとなる元が存在する。したがって//f// =Ωとすればたしかに//f// =1かつ //f//  = 0が成立する。

6. ストーン双対性
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ストーン双対性は、任意のsober空間//X// に対しが//X// と「自然に」同型になり、さらに任意の空間的完備ハイティング代数//F// に対し、が//F// と「自然に」同型になる事を意味する。「自然に」という言葉の意味は圏論でいう「自然同値」の概念によって精緻化されるが、ここではその説明を省く。詳細は自然変換の項目を参照。

sober性を満たすとは限らない位相空間//X// であってもは必ずsober性を満たす。したがって//Y// は//X// の「sober化」とみなせる。

ストーン双対性の特殊な場合として、以下の定理が従う：



7. ポイントレス位相空間論
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ストーンの双対性定理はsober性を満たす位相空間の圏Sob が空間的完備ハイティング代数の圏SFrm との対応関係を示しているが、Sob からSFrm への関手Ωは射の向きを反対にするものである為、Sob とSFrm では射の向きが反転してしまっており、両者は完全に同一視できるわけではない。

そこで圏SFrm の射の向きを形式的に全て逆向きにした圏を考え、この圏をSLoc と書くと、SobとSLoc は射の向きも同一になる。SLoc の対象をロケールという。すなわちSLoc は空間的という条件を満たすロケールの圏である。

Sob とSLoc は射の向きを込めて同型なので、位相空間の圏Sob の代わりに空間的ロケールの圏SLoc をベースにして位相空間論を展開する事ができる。これをポイントレス位相空間論という。

ポイントレス位相空間論の利点の一つは、通常の位相空間論であれば選択公理に基づかなければ証明できない定理であっても、ポイントレス位相空間論におけるその定理の対応物は選択公理に頼らず証明できる場合がある事である。これは選択公理を持たないトポスを考える場合に有利に働く。

ただし、位相空間と空間的ロケールの対応関係は位相空間がsober性を満たす場合にしか成り立っていない事が原因で、通常の位相空間論における定理や概念とポイントレス位相空間論におけるそれらの対応物が若干異なった概念になってしまう事がある事に注意しなければならない。

そのような概念の例として直積がある。sober性を満たさない位相空間に対応するロケールの直積には集合としては等しいがロケールとしては等しくない2つの部分ロケールが存在する事がありうるが、一方で位相空間論における直積では2つの部分空間が等しいのはそれらが点集合として等しい場合に限る。

また位相空間の部分空間とロケールの部分ロケールも異なる概念である。 例えば有理数体を位相空間とみなした場合、には可算個の部分位相空間しか存在しないが、一方でに対応するロケールには[実数の濃度]個の部分ロケールが存在する。

8. 脚注
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8.1. 注釈
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8.2. 出典
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9. 参考文献
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本稿は英語版のStone dualityの項目、pointless topologyの項目、およびこれらの関連項目を参考にして執筆された。

以下は英語版に記載されていた参考文献を写したものである：

ストーン双対性の参考文献
Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H. P., 1981. //[1]// Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2. 
P. T. Johnstone, //Stone Spaces//, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 3, Cambridge University Press, Cambridge, 1982. ISBN 0-521-23893-5.
[2]
ポイントレス位相空間論の参考文献
Johnstone, Peter T., 1983, "[3]" //Bulletin of the American Mathematical Society 8//: 41-53.