ワイトマンの公理系

物理学において、ワイトマンの公理系とは場の量子論を数学的に厳密に定式化する試みの一つである。アーサー・ワイトマンは、1950年代初期には既にこの公理系を定式化していたが、実際に出版されたのはハーグ・ルエル散乱理論がその重要性を認めた後、1964年のことである。

ワイトマンの公理系は構成的場の理論の文脈で議論され、場の理論の厳密な扱いの基礎と、摂動的な手法の厳密な基礎を提供することを意図している。ミレニアム問題のひとつには、ヤン-ミルズ理論においてワイトマン公理系を確立することが含まれている。

1. 理論的根拠
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ワイトマンの公理系の出発点となるアイデアの一つは、ポアンカレ群のユニタリ表現をなすヒルベルト空間の存在である。これにより、エネルギー、運動量、角運動量、重心の概念が確立される。

また、4次元運動量のスペクトルを正エネルギー側の光円錐に限定するという安定性条件がある。しかし、これは局所性原理を満たすには不十分である。このためワイトマンの公理は、共変なポアンカレ群の表現をなす量子場と呼ばれる位置依存作用素を導入する。

場の量子論は紫外発散の問題があるので、時空のある点における場の値はうまく定義できない。これを回避するためにワイトマンの公理では、テスト函数の上に「なすりつける」ことで、自由場でさえ発生する紫外発散の問題を取り扱う考え方を導入した。公理系は非有界作用素を扱うので、作用素の定義域を指定する必要がある。

ワイトマン公理系は、空間的に分離された場の間に可換性または反可換性を課すことにより、理論の因果構造を制限する。

また公理系は、真空と呼ばれるポアンカレ不変な状態が存在すること、それが一意的であることを要求する。さらに、公理系は真空が「サイクリック」であることを仮定する。言い換えると、「なすりつけた」場の演算子が生成する多項式環の元を真空に作用させると一般には真空とは異なる状態ベクトルが得られるが、このようにして得られるベクトルを全て集めた集合が全ヒルベルト空間の稠密な部分集合をなすと仮定する。

最後に、素朴な因果律の制限が課される。すなわち、「なすりつけた」場の任意の多項式は、台の因果的閉包がミンコフスキー空間全体となるようなテスト関数になすりつけた場の多項式によって、任意の精度で近似できると仮定する。

2. 公理系
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2.1. W0
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量子力学は、フォン・ノイマンに従い記述される。特に、純粋状態は、光線により与えられる、つまり、ある可分な複素ヒルベルト空間の1-次元の部分空間である。次には、ヒルベルト空間のベクトル Ψ と Φ のスカラー積は、 と書き、Ψ のノルムは で表す。純粋状態 [Ψ] と [Φ] の間の遷移確率は、非ゼロなベクトル表現 Ψ と Φ により定義できるので、次の式が成り立つ。

遷移確率は、どのような表現ベクトル Ψ と Φ を選ぶかとは独立である。

対称性の理論は、ウィグナーに従い記述される。このことは、1939年の有名なユージン・ウィグナーによる論文によって、相対論的な粒子の記述に成功したということが素晴らしい点である。ウィグナーの分類を参照のこと。ウィグナーは、状態間の遷移確率が特殊相対論の変換により関連付けられたすべての観測者に同じであることを仮定した。さらに一般的に彼は、任意の 2つの光線の間の遷移確率の不変性のことばで、群 G の下で不変な理論を表現するステートメントを考えた。ステートメントは、群作用が光線の集合、つまり射影空間に作用していることを前提としている。 をポアンカレ群の元としよう。すると、a は実ローレンツ4元ベクトルで時空の原点の変換 x ↦ x − a を表している。ここに x はミンコフスキー空間 M4 の点であり、L はローレンツ変換であり、すべてのベクトル  のローレンツ距離 c²t² − x⋅x を保存する4-次元時空の線型変換として定義することができる。すると、すべてのヒルベルト空間の中の光線 Ψ とすべての群の元  に対し、光線の変換が Ψ で与えられ、遷移確率が次の変換の下で不変であれば、理論はポアンカレ群の下に不変である。

ウィグナーの第一定理は、これらの条件の下、ヒルベルト空間の変換は、線型かまたは半線型作用素となる。光線の射影空間の上の対称作用素は、基礎となっているヒルベルト空間へ「持ちあげる」することができる。これは各々の群の元  ができるので、ヒルベルト空間上のユニタリもしくは反ユニタリ作用素 U の族を得て、 により変換された光線 Ψ は、U ψ を意味する光線と同じである。単位元と連結な群の元だけに注目すると、反ユニタリな場合は起きない。

 と  を 2つのポアンカレ変換として、. で群の積を表すとすると、物理的解釈から、U[U]ψ を含む光線は、U. )ψ を含む光線であるはずであることが分かる。光線からヒルベルト空間へ戻ると、これらの2つのベクトルはフェーズが異なっているかもしれず、2つの群の元  と  である、つまり、群の表現ではなくて、射影表現である。これらのフェーズは各々の U を再定義することにより、例えばスピンが 1/2 の粒子に対し、いつもキャンセルできるとは限らない。ウィグナーは得ることのできる最良のものは、

である、つまり、フェーズは の倍数である。整数スピンの粒子に対し、さらなるフェーズ変換により +/− 符号を取り去ることができるが、半整数のスピンの表現に対しては、そのようなことはできないので、2π の角度で軸の周りを回るように、符号は不連続に変換する。しかし、ポアンカレ群の表現を構成することができ、不均一な SL と呼ばれている。これは元  を持っていて、前にみたように、a は4元ベクトルであるが、今度は A が単位行列式を持つ複素 2 × 2 行列である。ここで得たユニタリ作用素を U と表し、これらが連続でユニタリで正しい表現を与え、そこでは U の集まりが不均一な SL の群法則に従う。

2π による回転の下で符号が変わるので、スピンが 1/2, 3/2 などのように変換するエルミート作用素は観測可能量ではありえない。このことは一価性超選択則を示していて、スピン 0, 1, 2 ...の状態と、スピン 1/2, 3/2 ...との間のフェーズは、観測可能ではない。この規則は、状態ベクトルのすべてのフェーズの非観測可能性に追加される。観測可能量と状態 |v) に関連して、整数スピン部分空間であるポアンカレ群の表現 U と奇数の半分である部分空間上の不均一な SL の表現 U があり、次の解釈がに従い作用している。

U|v) に対応するアンサンブルは、座標 x に関して |v) に対応するサンサンブルが、奇数の部分空間と解釈できることとちょうど同じ方法で解釈される。

時空の変換の群は可換で、従って、作用素は同時に対角化される。これらの群の生成子は、4つの自己共役作用素 , j = 1, 2, 3, を与え、これらの作用素は等質な群の下で、エネルギー運動量 4-ベクトルと呼ばれる 4ベクトルとして変換する。

ワイトマンの公理のゼロ番目の第二の部分は、表現 U がスペクトル条件である、エネルギー運動量の同時スペクトルは、次の前方円錐の中に含まれているという条件を満たす。前方円錐という条件は、

............... ということで、第三の公理は、状態の一意性で、ヒルベルト空間の中の光線により表現されることで、この公理はポアンカレ群の作用の下に不変である。これを真空と呼ぶ。

2.2. W1 
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各々のテスト函数 f について、作用素 の集合が存在して、この集合は、たがいに共役で、真空を含むヒルベルト状態空間の稠密な部分集合上で定義される。場 A は作用素に値を持つ分布である。ヒルベルト状態空間は、真空の上に作用する場の多項式によってはられる。

2.3. W2 
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場はポアンカレ群の作用の下に共変であり、スピンが整数でなければ、作用はローレンツ群もしくは SL のある表現 S に従い次のように変換する。

2.4. W3 
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2つの場の台が空間的に分かれていると、2つの場は可換かまたは反可換となる。

真空の循環性と一意性はしばしば分け考えられる。また漸近完備性の性質も存在し、- ヒルベルト状態空間は漸近空間 と によりはられる。漸近空間は、(粒子の）