ペロン＝フロベニウスの定理

数学の線型代数学の分野におけるペロン＝フロベニウスの定理とは、オスカー・ペロンとゲオルク・フロベニウスによって証明された定理で、成分が正である実正方行列には唯一つの最大実固有値が存在し、それに対応する固有ベクトルの各成分は厳密に正である、という主張が述べられている。また、あるクラスの非負行列に対しても、同様の主張が述べられている。この定理は様々な方面へと応用され、確率論や、力学系の理論、数値解析 、経済学、人口学や、インターネット検索エンジンからフットボールチームのランキングに至るまで、その応用範囲は幅広い。

1. ペロン＝フロベニウスの定理の内容
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全ての成分が正の実数であるような行列をここでは正行列と呼び、それらが非負の実数であるような行列をここでは非負行列と呼ぶ。//A// をある実正方行列としたとき、その固有値は複素数で、その行列のスペクトルを形成する。行列ベキ //A////k// の //k// → ∞ としたときの指数関数的成長率は、絶対値が最大であるような //A// の固有値によって決定される。ペロン＝フロベニウスの定理は、//A// を非負の実正方行列としたときのそのような支配的な固有値と、それに対応する固有ベクトルの性質について述べたものである。初期の結果は txt によるもので、正行列を対象としていた。のちに、その結果のある非負行列のクラスへの拡張を、txt が発見した。既約非負行列に対するペロン＝フロベニウスの定理はAlexandroff-HopfとHersteinによって示された。

1.1. 正行列
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//A//   =    を //n//   ×   //n// の正行列とする。すなわち、1 ≤ //i//, //j// ≤ //n// に対して //a////ij//   >   0 が成立しているものとする。このとき、以下の性質が成立する。

ペロン根あるいはペロン＝フロベニウス固有値と呼ばれるある正の実数 //r// が存在する。そのような //r// は //A// の固有値であり、他のすべての固有値 //λ//の絶対値は、//r// よりも真に小さい。すなわち、|//λ//| < //r// が成立する。したがって、スペクトル半径 //ρ// は //r// に等しい。
ペロン＝フロベニウス固有値は単純である。すなわち、//r// は //A// の特性多項式の単純根である。その結果、//r// に対応する固有空間は一次元である。
//A// には、固有値 //r// に対応する固有ベクトル //v// =  が存在して、その成分は全て正にとれる。すなわち、//A v// = //r v// かつ全ての 1 ≤ //i// ≤ //n// に対して //v////i// > 0 であるものが存在する。
//v// の正数倍の他には、正の固有ベクトルは存在しない。すなわち、他のすべての固有ベクトルは必ず符号が反対の成分あるいは実数でない成分を含む。
である。ただしここでは、//A// の左および右の固有ベクトルは //wTv// = 1 が成立するように正規化されているとする。さらに、行列 //v wT// は //r// に対応する固有空間の上への射影である。この射影はペロン射影と呼ばれる。
コラッツ＝ヴィーランドの公式：全ての非負かつ非ゼロのベクトル //x// に対して、//f// を、//xi// ≠ 0 であるような全ての //i// について [//Ax//]//i// /   //x////i// を考えたときの最小値とする。このとき、実数値関数 //f// の最大値はペロン＝フロベニウス固有値である。
ミニマックスコラッツ＝ヴィーランドの公式も、上と同様の形式を持つものである：全ての正であるベクトル //x// に対し、//g// を、すべての //i// について [//Ax//]//i// /   //x////i// を考えたときの最大値とする。このとき、//g// は実数値関数でその最小値はペロン＝フロベニウス固有値である。
ペロン＝フロベニウス固有値は、次の不等式を満たす：これらの主張はメイヤーによる次の参考文献に見られる： [1] claims 8.2.11-15 page 667 and exercises 8.2.5,7,9 pages 668-669.

この定理の多くの応用において、右および左固有ベクトル //v// および //w// は、それぞれ成分の和を 1 に正規化して、確率固有ベクトルと呼ばれる。

1.2. 非負行列
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ペロン＝フロベニウスの定理は各成分が非負であるような非負行列に対して拡張できる。正行列と非負行列の二つの場合の共通点と相違点をまとめる上で、次の点に注意されたい：全ての非負行列は、正行列の極限として得ることが出来る。したがって、非負の成分の固有ベクトルの存在が分かる。それに対応する固有値は、明らかに、全ての他の固有値の絶対値よりも大きいか等しい。しかしながら、簡単な例

により、非負行列に対しては固有値の絶対値の最大が等しい複数の固有値が存在し得ることが分かる。さらに、絶対値最大の固有値が特性多項式の単純根ではない場合もあり得る。例えば上の例の二番目の行列に対しては、固有値0に対応する唯一の固有ベクトル  は狭義正では無い。したがって、正行列に対する定理の性質は、非負行列に対してはほとんど成立しないように思えるが、フロベニウスはその解決策となる概念を発見したのである。

非負行列の理論においてカギとなる概念として、既約行列と呼ばれる、ある特別な非負行列の類が存在する。それにより、自明では無い一般化が可能になる。すなわち、絶対値が最大である固有値が複数存在する場合にも、最大固有値の構造を理解することができるのである：それらは、//h// をある整数とし、//r// を正の実固有値とし、//k//   =   0,   1,   ...,   //h//   −   1 とすれば、//r// //e////// という式で表せる。そうして //r// に対応する固有ベクトルは、狭義正の成分を持つ。またそのような固有値は全て、特性多項式の単純根である。その他の性質については、以下で述べる。

1.2.1. 行列の分類
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正方行列 //A// が既約であるとは、以下の定義で述べられている性質が成立することを言う。

定義 1：//A// は非自明な不変座標部分空間を持たない。ここで、非自明な座標部分空間とは、任意の基底ベクトルの真部分集合によって張られる線型部分空間を意味する。より明確に言うと、基底ベクトル //e////i//1 , ...,//e////i//k, //n//   > //k//   >   0 によって張られる任意の線型部分空間に対し、作用 //A// を施した像は同じ部分空間には含まれない、ということを意味する。

定義 2：//A// は置換行列 //P// によって上三角ブロック行列に相似変換されることはない：

ここで //E// と //G// は非自明な正方行列である。

//A// が非負行列である場合には、次の異なる定義が存在する：

定義 3：添字 //i// と //j// の全てのペアに対し、//ij// が 0 とならないようなある自然数 //m// が存在する。

定義 4：行列 //A// に関連する有向グラフ //G////A// を考える。そのグラフは //A// のサイズ //n// と等しい数の頂点を持ち、//A////ij// > 0 である場合に頂点 //i// から頂点 //j// への辺が存在するものとする。このとき、行列 //A// が既約であるための必要十分条件は、その対応するグラフ //G////A// が強連結であることである。

既約でない行列は、可約と呼ばれる。

//A// を非負行列とする。添字 //i// を固定したとき、その添字の周期を、//ii// > 0 が成立するような全ての自然数 //m// の最大公約数として定義する。//A// が既約であるとき、全ての添字の周期は等しく、それは // の周期と呼ばれる。実際、//A// が既約であるとき、その周期は、グラフ //G////A// に含まれる全ての有向閉路の長さの最大公約数として定義される。

その周期はまた、非原始性の添字、または周期性の位数などと呼ばれる。

周期が 1 であるとき、行列 //A// は非振動的と呼ばれる。

行列 //A// は、非負かつ //m// 次のべきが正となるようなある自然数 //m// が存在するとき、原始的であると呼ばれる。行列が原始的であることと、非負既約かつ非振動的であること、は同値であることは証明されている。

正の正方行列は原始的であり、原始的な行列は既約である。正行列に対するペロン＝フロベニウスの定理の全ての内容は、原始的な行列に対してもやはり真である。しかし、一般的な非負既約行列 //A// については、//A// のスペクトル半径に等しい絶対値を持つ固有値が複数個存在する場合がある。したがって正行列に対する定理は非負既約行列に対しては、絶対値が最大である固有値の数は行列の周期に等しい、と修正する必用がある。 非負既約行列に対するこの結果は、1912年、フロベニウスによって初めて与えられた。

==== 既約行列に対するペロン＝フロベニウスの定理(のまとめ）