捩れ (代数学)

抽象代数学において、捩れは、群の場合は、有限位数の元を言い、また環上の加群の場合は、環のある正則元によって零化される加群の元を言う。捩れという言葉は、捩れた図形のホモロジー群に有限位数の元が現れることに由来するStillwell。

1. 定義
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捩れは群の元と環上の加群の元とに対してそれぞれ定義される。任意のアーベル群は整数環 Z の上の加群と見ることができ、この場合は 2つの捩れの考え方は一致する。

1.1. 群に対して
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群 //G// の元 //g// は、有限位数を持つとき、つまり、正の整数が存在し、//g////m// = //e// となるようなとき、群の捩れ元 }} と呼ぶ。ここで //e// は群の単位元を、 //g////m// は //m// 個の //g// のコピーの積を表す。群は、すべての元が捩れ元であるとき、捩れ群 }}、あるいは周期群 }} といい、捩れ元が単位元のみ場合を捩れのない群 }} というRobinson。アーベル群 //A// の捩れ元全体 //T// は部分群をなし、捩れ部分群 }} と呼ばれるRobinson。このとき //A/////T// は捩れのない群である。

1.2. 加群に対して
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環 //R// 上の加群 //M// の元 //m// は、環の正則元 //r// が存在して、//m// を零化する、すなわち 1=//r//   //m// = 0}} となるとき、加群の捩れ元 }} というCohn。加群 //M// の捩れ元すべてからなる集合を //t// と表す。

環 //R// 上の加群 //M// は、//t// = //M// であるとき、捩れ加群 }} と呼ばれ、//t// = 0 であるとき、捩れがない }} と言う。//t// が //M// の部分加群をなすとき、//t// を捩れ部分加群 }} という。環 //R// が整域であれば、//t// は捩れ部分加群である。//R// が非可換であれば //t// は部分加群になるとは限らない。//R// が右Ore条件であることと、//t// がすべての右 //R// 加群に対して //M// の部分加群であることとは同値であるLam。右ネーター域は Ore であるので、これは、//R// が右ネーター域の場合を含んでいる。

より一般的に、//M// を環 //R// 上の加群とし、//S// を //R// の積閉集合とする。このとき標準的な写像 //M// → //M////S// の核を //t////S// と表す。//t////S// = //M// のとき、つまり //M// のすべての元 //m// は、//S// のある元 //s// によって零化されるとき、//M// は //-捻れなし }} という。特に、//S// を環 //R// の正則元全体の集合ととると上記の定義が再現される。

2. 例
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2.1. 群に対して
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任意の有限群は周期的で有限生成である。バーンサイド問題は、逆に、任意の有限生成の周期群は必ず有限であるかという問題である。
行列式が 1 の 2×2 整数行列の群 SL を中心で割ったモジュラー群 Γ において、任意の非自明な捩れ元は、位数 2 で元 //S// に共役であるか、あるいは、位数 3 で元 //ST// に共役であるかのいずれかである。この場合、捩れ元全体は部分群をなさない。例えば、//S//・//ST// = //T// であるが、この位数は無限大である。
mod 1 での有理数からなるアーベル群 QK[//t//] は pure torsion である。これらの例を次のように一般化することができる。//R// が可換整域で //Q// がその分数体であれば、//Q/////R// は捩れ //R//-加群である。
加法群 RZ であり、一方、加法群 R や Z は捩れがない。捩れのないアーベル群の部分群による商が捩れなしであるのは、ちょうど、その部分群がpure subgroupであるときである。

2.2. 加群に対して
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//M// を任意の環 //R// 上の自由加群とすると、定義より直ちに、//M// は捩れがないことが分かる。特に、任意の自由アーベル群は捩れを持たず、体 K 上のベクトル空間は K 上の加群と見たとき、捩れがない。
有限次元ベクトル空間 //V// に作用する線型作用素 //L// を考える。//V// を自然な方法で //F//[//L//]-加群と見ると、//V// は捩れ //F//[//L//] 加群である。

3. 主イデアル整域の場合
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//R// を主イデアル整域とし、//M// を有限生成 //R//-加群とすると、主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理は、同型を除き加群 //M// の詳細な記述を与える。特に、この定理は、

であることを言っている。ここに //F// は有限な階数の自由 //R//-加群であり、 //t// は //M// の捩れ部分加群である。系として、有限生成で捩れのない //R// 上の任意の加群は自由である。この系はより一般の可換整域に対しては//成り立たず//、2変数多項式環 //R//   =   K[//x//,   //y//] に対してさえ成り立たない。有限生成でない加群に対しては、上の直和分解は正しくない。アーベル群の捩れ部分群はその直和因子になるとは限らない。

4. 捩れと局所化
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//R// を可換な整域で、//M// を //R//-加群と仮定する。また、//Q// を環 //R// の分数体とする。すると、//M// から係数拡大により与えられる //Q//-加群

を考えることができる。//Q// は体であるから、//Q// 上の加群はベクトル空間である。//M// から //M////Q// へのアーベル群の標準的な準同型が存在し、この準同型の核は捩れ部分加群 //t// である。より一般に、//S// を環 //R// の積閉部分集合とすると、//R// 加群 //M// の局所化

を考えることができる。これは、局所化 //R////S// 上の加群である。//M// から //M////S// への標準的な準同型が存在し、その核がちょうど //M// の //S//-捩れ部分加群となる。したがって、//M// の捩れ部分加群は、「局所化したときに消える」元全体の集合と解釈することができる。同じ解釈が、非可換な場合にも、Ore 条件を満たす環に対して、あるいはより一般に、右支配的集合 //S// と右 //R//-加群 //M// に対して、成り立つ。

5. ホモロジー代数における捩れ
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捩れの概念はホモロジー代数において重要な役割を果たす。//M// と //N// を可換環 //R// 上の加群とすると、Tor函手は //R//-加群 Torb=//i// の族を与える。//R//-加群 //M// の //S//-捩れ //t////S// は、標準的に Torb=1 と同型となる。この函手を表す記号 Tor はこの代数的な捩れとの関係を反映している。非可換環の場合でも //S// が右支配的集合である限りは、同じ結果が成り立つ。

6. アーベル多様体
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アーベル多様体の捩れ元は、捩れ点、あるいは、古い用語では、分割点と呼ばれる。楕円曲線上では、捩れ元は分割多項式の項として計算される。

7. 脚注
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7.1. 注
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7.2. 出典
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8. 参考文献
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Ernst Kunz, "Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry", Birkhauser 1985, ISBN 0-8176-3065-1
Irving Kaplansky, "Infinite abelian groups", University of Michigan, 1954.

9. 関連項目
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解析的トーション
数論力学
平坦加群
加群の局所化
アーベル群のランク
レイ・シンガーのトーション
捩れ部分群
普遍係数定理