ホモロジー代数学

ホモロジー代数学は、一般の代数的な設定のもとでホモロジーを研究する数学の分野である。それは比較的新しい分野であり、その起源は19世紀の終わりの、組み合わせ論的トポロジーと抽象代数学の、主にアンリ・ポアンカレとダフィット・ヒルベルトによる研究にまでさかのぼる。

ホモロジー代数学の発展は圏論の出現と密接に結びついている。概して、ホモロジー代数はホモロジー的関手とそれから必然的に生じる複雑な代数的構造の研究である。数学においてきわめて有用で遍在する概念の1つはチェイン複体  の概念であり、これはそのホモロジーとコホモロジーの両方を通じて研究できる。ホモロジー代数は、これらの複体に含まれる情報を得、それを環、加群、位相空間や、他の 'tangible' な数学的対象のホモロジー的不変量の形で描写する手段を提供してくれる。これをするための強力な手法はスペクトル系列によって与えられる。

まさにその起源から、ホモロジー代数学は代数トポロジーにおいて非常に多くの役割を果たしている。その影響の範囲は徐々に拡大しており現在では可換環論、代数幾何学、代数的整数論、表現論、数理物理学、作用素環論、複素解析、そして偏微分方程式論を含む。K-理論はホモロジー代数学の手法を利用する独立した分野であり、アラン・コンヌの非可換幾何もそうである。

1. ホモロジー代数学の歴史
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ホモロジー代数学は1800年代にトポロジーの1つの分野としてその最も基本的な形が研究され始めたが、Ext関手やTor関手のような対象の研究が独立した主題になるのは1940年代になってからであった。

2. チェイン複体とホモロジー
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チェイン複体  はホモロジー代数学の中心的な概念である。それはアーベル群と群準同型の列 であって、任意の2つの連続した写像の合成が 0 になるという性質をもったものである。

//C////n// の元は //n//-チェインと呼ばれ、準同型 //d////n// はバウンダリ写像  や微分  と呼ばれる。チェイン群  //C////n// は余分な構造をもっているかもしれない。例えば、ベクトル空間や、固定された環 //R// 上の加群かもしれない。微分は余分な構造もそれが存在するならば保たなければならない。例えば、線型写像や //R//-加群の準同型でなければならない。表記の都合のため、アーベル群に注意を制限しよう。名高いミッチェルの埋め込み定理によって、結果は任意のアーベル圏に一般化される。すべてのチェイン複体はさらに2つのアーベル群の列を定義する。サイクル  //Z////n//   =   Ker //d////n// とバウンダリ  //B////n//   =   Im //d////n//+1 である。ただし Ker   //d// と Im   //d// は //d// の核と像を表す。2つの連続するバウンダリ写像の合成は 0 なので、これらの群は互いの中に次のように埋め込まれている。

アーベル群の部分群は自動的に正規である。したがって、//n// 次 ホモロジー群  //H////n// を //n//-サイクルの //n//-バウンダリによる商群

として定義できる。チェイン複体は、すべてのそのホモロジー群が 0 であるときに、非輪状  または完全列、完全系列  と呼ばれる。

チェイン複体は代数学や代数トポロジーにおいてよく現れる。例えば、//X// が位相空間であれば、その特異チェイン //C////n// は標準 //n//-単体から //X// の中への連続写像の形式的な線型結合である。//K// が単体的複体であれば鎖  //C////n// は //X// の //n//-単体の形式的な線型結合である。//A//   =   //F/////R// がアーベル群 //A// の生成元と関係式による表現、ただし //F// は生成元で張られた自由アーベル群で //R// は relations の部分群、であれば、//C//1   =   //R//, //C//0   =   //F//, そしてすべての他の //n// に対して //C////n//   =   0 とすることによって、アーベル群の列が定義される。これらのケースではすべて、//C////n// を複体にする自然な微分 //d////n// が存在する。その複体のホモロジーは位相空間 //X//、単体的複体 //K//、あるいはアーベル群 //A// の構造を反映している。位相空間のケースでは、特異ホモロジーの概念に到達する。これはそのような空間例えば多様体の性質を研究する際に基本的な役割を果たす。 哲学的なレベルでは、ホモロジー代数学は、代数的あるいは幾何学的対象に伴ったチェイン複体は、ホモロジーは最も容易に得られる部分でしかないが、それらについてたくさんの価値ある代数的情報を含む、ということを教えてくれる。専門的なレベルでは、ホモロジー代数学は複体を巧みに処理しこの情報を抽出するためのツールを提供する。ここに2つの一般的な例がある。

2つの対象 //X// と //Y// がそれらの間の写像 //f// で結ばれている。ホモロジー代数学は //f// によって誘導される、//X// と //Y// に伴うチェイン複体とそれらのホモロジーの間の関係を研究する。これは複数の対象とそれらをつなげる写像の場合に一般化される。圏論の言葉で言えば、ホモロジー代数学はチェイン複体とこれらの複体のホモロジーのさまざまな構造の関手的性質を研究する。
対象 //X// は複数の記述ができる、または、複体 は自然でない選択を含む //X// のある '表現' を使って構成される。//X// に伴ったチェイン複体の //X// の記述の変更の効果を知ることが重要である。一般的には、複体とそのホモロジー はその表現に関して関手的である。そしてホモロジーは選択した表現とは実は独立であり、したがってそれは //X// の不変量である。

3. 基本的な手法
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3.1. 完全列
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群論の文脈では、群と群準同型の列

は、次のようなときに完全  という。各準同型の像が次の準同型の核に等しい。

群と準同型の列の長さは有限でも無限でもよいことに注意する。

同様の定義はある種の他の代数的構造に対してもすることができる。例えば、ベクトル空間と線型写像の完全列や、加群と加群準同型の完全列がある。より一般的に、完全列の概念は、核と余核ともった任意の圏において意味をもつ。

3.1.1. 短完全列
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完全列の最もよく現れるタイプは短完全列  である。これは

の形の完全列である。ただし ƒ はモノ射で //g// はエピ射である。この場合、//A// は //B// の部分対象であり、対応する商は //C// に同型である。

。

アーベル群の短完全列は5つの項をもった完全列として書くこともできる。

ただし 0 は自明群や0次元ベクトル空間といった零対象を表す。0 の配置によって ƒ は単射であり //g// はエピ射になる。

3.1.2. 長完全列
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長完全列は自然数で添え字づけられた完全列である。

3.2. 五項補題
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任意のアーベル圏や群の圏において以下の可換図式を考える。

5項補題は次のものである。2つの列が完全で、//m// と //p// が同型射で、//l// がエピ射で、//q// がモノ射であれば、//n// も同型である。

3.3. 蛇の補題
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任意のアーベル圏において、可換図式

を考える。ただし2つの列は完全で、0 は零対象である。すると //a//, //b//, //c// の核や余核に関連した完全列

が存在する。さらに、射 //f// がモノ射であれば、射 ker   //a// → ker   //b// もモノ射であり、//g'// がエピ射であれば、coker   //b// → coker   //c// もエピ射である。

3.4. アーベル圏
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数学において、アーベル圏  は、射や対象を足すことができ、核や余核が存在し望ましい性質をもった圏である。動機付けるプロトタイプのアーベル圏の例はアーベル群の圏 Ab である。理論の起源は アレクサンドル・グロタンディーク  によるいくつかのコホモロジー論を統合しようとする試験的な試みである。アーベル圏はとても//安定//  である。例えば、正則圏であり、蛇の補題を満たす。アーベル圏のクラスはいくつかの圏論的構成で閉じている。例えば、アーベル圏のチェイン複体の圏や、小さい圏からアーベル圏への関手の圏は、再びアーベル圏である。これらの安定性によってアーベル圏はホモロジー代数学やその先で必要不可欠なものである。理論は代数幾何学、コホモロジー、そして純粋に圏論において、主要な応用をもつ。アーベル圏は ニールス・アーベル  にちなんで名づけられている。

より具体的には、圏がアーベル圏であるとは以下を満たすことである。

零対象をもつ。
すべて二項の積と二項の余積をもつ。
すべて核と余核をもつ。
すべてのモノ射とエピ射は正規射である。

3.5. Ext 関手
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//R// を環とし、Mod//R// を //R// 上の加群の圏とする。//B// in Mod//R// とし、固定された //A// in Mod//R// に対し //T// = Hom//R// とおく。これは左完全関手でありしたがって右導来関手 //RnT// をもつ。Ext 関手は

で定義される。これは任意の移入分解

をとり

を計算することによって計算できる。すると  はこの複体のホモロジーである。Hom//R// は複体から除かれていることに注意せよ。

関手 //G//=Hom//R// を使って別の定義が与えられる。固定された加群 //B// に対し、これは反変関手左完全関手であり、したがって右導来関手 //RnG// ももっており、

と定義できる。これは任意の射影分解

を選び、

を計算して双対的に続けることによって計算できる。すると  はこの複体のホモロジーである。Hom//R// が除かれていることに再び注意する。

これらの2つの構成は同型な結果をもたらすことがわかり、したがって Ext 関手を計算するのにどちらを使ってもよい。

3.6. Tor 関手
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//R// を環とし、//R//-Mod によって左 //R//-加群の圏を、Mod-//R// によって右 //R//-加群の圏を表記する。