パラコンパクト空間

数学において、パラコンパクト空間  はすべての開被覆が局所有限な族な開細分を持つような位相空間である。これらの空間は Dieudonné によって導入された。すべてのコンパクト空間はパラコンパクトである。すべてのパラコンパクトハウスドルフ空間は正規であり、ハウスドルフ空間がパラコンパクトであることと、任意の開被覆に対しそれに従属する 1 }}の分割を持つことは同値である。パラコンパクト空間の定義にハウスドルフであることを含める場合もある。

パラコンパクト空間のすべての閉部分空間はパラコンパクトである。ハウスドルフ空間のコンパクト部分集合は常に閉であるが、これはパラコンパクト部分集合に対しては正しくない。そのすべての部分空間がパラコンパクト空間であるような空間は遺伝的パラコンパクト  と呼ばれる。これはすべての開部分空間がパラコンパクトであると要求することと同値である。

チコノフの定理はパラコンパクト空間には一般化されない、つまり、パラコンパクト空間の積はパラコンパクトであるとは限らない。しかしながら、パラコンパクト空間とコンパクト空間の積はつねにパラコンパクトである。

すべての距離空間はパラコンパクトである。位相空間が距離化可能であることとパラコンパクトかつ局所距離化可能なハウスドルフ空間であることは同値である。

1. パラコンパクト性
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集合 //X// の被覆は //X// の部分集合の集まりであってその和集合が //X// を含むようなものである。記号で書けば、U = {//U//α : α in //A//} が //X// の部分集合の添え字づけられた族であれば、U が //X// の被覆であるとは、

のことである。

位相空間 //X// の被覆が開であるとは、すべてのその元が開集合であるということである。

空間 //X// の被覆の//細分と//は同じ空間の新しい被覆であって新しい被覆のすべての集合が古い被覆のある集合の部分集合であるようなものである。記号で書けば、被覆 V = {//V//β : β in //B//} が被覆 U = {//U//α : α in //A//} の細分であることと V の任意の //V//β に対して U のある //U//α が存在して //V//β が //U//α に含まれることが同値である。

空間 //X// の開被覆が//局所有限//であるとは、空間の全ての点が被覆の有限個の集合としか交わらない近傍を持つということである。記号で書けば、U = {//U//α : α in //A//} が局所有限であることと、任意の //x// ∈ //X// に対して //x// のある近傍 //V// が存在して集合

が有限であることが同値である。それで位相空間 //X// はすべての開被覆が局所有限な開細分を持つときにパラコンパクトであると言われる。

2. 例
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すべてのコンパクト空間はパラコンパクトである。
すべての正則リンデレーフ空間はパラコンパクトである。とくに、すべての局所コンパクトハウスドルフ第二可算空間はパラコンパクトである。
ゾルゲンフライ直線は、コンパクト、局所コンパクト、第二可算、距離化可能のいずれでもないが、パラコンパクトである。
すべてのCW複体はパラコンパクトである。
 すべての距離空間はパラコンパクトである。初期の証明は幾分難解であったが、初等的な証明が M.   E.   Rudin によって発見された。距離空間が非可分の場合は、定理を満たすような細分の存在証明に選択公理を必要とする。ZFも従属選択公理つきZFも十分でないことが証明されている。パラコンパクトでない空間の例には次のようなものがある。

最も有名な反例は長い直線であり、これはパラコンパクトでない位相多様体である。
別の反例は無限 個の離散空間の非可算個のコピーの積である。particular point topology が入っている任意の無限集合はパラコンパクトでない； 実はメタコンパクトですらない。
プリューファー多様体は非パラコンパクトな面である。
bagpipe theoremは非コンパクト面の 2ℵ1 個の同型類があることを示している。

3. 性質
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パラコンパクト性は弱遺伝的  である、すなわちパラコンパクト空間のすべての閉部分空間はパラコンパクトである。これは Fσ-部分空間にも同様に拡張できる。

正則空間はすべての開被覆が局所有限細分を持てばパラコンパクトである。とくに、すべての正則リンデレーフ空間はパラコンパクトである。
 位相空間が距離化可能であることとパラコンパクト、ハウスドルフ、かつ局所距離化可能であることは同値である。
Michael の選択定理 は次のようなものである。//X// からバナッハ空間の空でない閉凸部分集合の中への下半連続多価函数が連続選択子を持つことと //X// がパラコンパクトであることは同値である。パラコンパクト空間の積はパラコンパクトであるとは限らないが、次のことは正しい：

パラコンパクト空間とコンパクト空間の積はパラコンパクトである。
メタコンパクト空間とコンパクト空間の積はメタコンパクトである。これらの結果は両方とも//有限個の//コンパクト空間の積がコンパクトであることの証明に使われる tube lemma によって証明できる。

4. パラコンパクトハウスドルフ空間
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パラコンパクト空間はハウスドルフであることも要求されることがあり、性質が拡大する。

 すべてのパラコンパクトハウスドルフ空間は正規である。
すべてのパラコンパクトハウスドルフ空間は shrinking space である、つまり、パラコンパクトハウスドルフ空間のすべての開被覆は shrinking、すなわち同じ集合によって添え字づけられた別の開被覆であって新しい被覆の各集合の閉包が古い被覆の対応する集合の中にあるようなもの、を持つ。
パラコンパクトハウスドルフ空間上、層係数コホモロジーとチェックコホモロジーは等しい。

4.1. 1の分割
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パラコンパクトハウスドルフ空間の最も重要な性質は正規であり任意の開被覆に従属な1の分割を持つことである。これは次を意味する： //X// がある与えられた開被覆を持つパラコンパクトハウスドルフ空間であれば、次を満たす単位区間 [0, 1] に値を持つ //X// 上の連続関数の集まりが存在する：

集まりからのすべての関数 //f//:   //X//   →   R に対して、被覆のある開集合 //U// が存在して //f// の台は //U// に含まれる；
すべての点 //x// ∈ //X// に対して、//x// のある近傍 //V// が存在して、集まりの関数の有限個を除くすべては //V// において恒等的に 0 であり 0 でない関数の和は //V// において恒等的に 1 である。実は、T1 空間がハウスドルフかつパラコンパクトであることと任意の開被覆に従属な 1 の分割を持つことは同値である。この性質はパラコンパクト空間を定義するのに使われることがある。

1 の分割は有用である、なぜならばそれによってしばしば局所構造を全空間に拡張できるからである。例えば、パラコンパクト多様体上の微分形式の積分はまず局所的に定義され、そしてこの定義が 1 の分割を経由して全空間に拡張される。

4.1.1. パラコンパクトハウスドルフ空間は 1 の分割を持つことの証明
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ハウスドルフ空間 //X// がパラコンパクトであることとすべての開被覆が従属な 1 の分割を持つことは同値である。//右から左//の方向は直截である。今//左から右//を示すのは、いくつかの段階に分けて行う。

{{math proof|title=定理の証明|1= を細分被覆 の局所有限部分被覆とする。補題 2 を適用して連続写像 で なるものを得る