多項式の根

数学における多項式 //P//}} の根は、1=//P// = 0}} を満たす値 α}} を言う。すなわち、根は未知数 x}} の多項式方程式 1=//P// = 0}} の解であり、また対応する多項式函数の零点である。例えば、多項式 //X//exp の根は 0}} および 1}} となる。

ある体に係数を持つ非零多項式は、「より大きい」体の中にしか根を持たないこともあるが、根の数はその多項式の次数より多くなることはない。例えば //X//exp は次数 2}} で有理数係数だが、有理根を持たず、二つの根を実数体 ℝ}} において持つ。ダランベール–ガウスの定理は次数 n}} の任意の複素係数多項式がn}} 個の根を持つことを述べるものである。

多項式の根の概念は、多変数多項式の零点の概念に一般化されるBourbaki。

1. 定義
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以下、不定元 X}} に関する多項式 //P//}} は適当な体あるいはより一般に可換環 A}} に係数を持つものとする。

定義 Bourbaki: 多項式 P}} の A}} における根とは、A}} の元 α}} であって、不定元 X}} にその値 α}} を代入するとき、//P//}} が A}} において零元となるものを言う。したがって、多項式 //X//exp は、有理数体 ℚ}} に係数を持ち、有理数体 ℚ}} における根は持たないが ℝ}} に二つの根を持つ。実際、この多項式の不定元 X}} に sqrt または –sqrt を代入すれば 0}} になる。

語源: 「根」という語は //gizr// のチェスターのロバートとクレモナのジェラルドによるラテン翻訳に由来する。用語 //gizr// は根を意味し、ラテン語に訳せば //radix// である。用語 //gizr// は8世紀ペルシアの数学者アル゠フワーリズミにより、はじめて二次方程式の実根の包括的な計算を扱った著作 //約分と消約の計算の書// で用いられた。 別定義  多項式 P}} の A}} における根とは、A}} の元 α}} であって、二項式 //X// – //α//}} が P}} を整除性ものを言う。上と同じ例では等式 が実際 sqrt がこの意味での二根であることを示す式になっている。

この二種類の定義の同値性は因数定理によって正当化できるが、次の節の帰結としても出る。

1.1. 関連する定義
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多項式 //X// – //α//}} がモニック であるという単純な事実により—A}} が整域でなくとも—以下の概念が定義できる:

定義  非零多項式 P}} と任意の //α// ∈ //A//}} に対し
//P//}} を exp が割り切るような最大の整数 m}} を P}} に関する α}} の位数または重複度と呼ぶ。
この整数 m}} は 1=//P// = exp かつ //Q// ≠ 0}} なる多項式 Q}} の存在によって特徴付けられる。
1=//m// = 1}} となるとき α}} を P}} の単根と言い、//m// > 1}} のとき重根という。多項式 //X//exp は分離多項式であり、以下に述べる意味で ℝ}} において分解する:

定義  多項式 P}} が体 L}} に係数を持つ一次式の積に表されるとき、多項式 P}} は L}} において分解すると言う。このとき最高次係数もこれら一次式の最高次係数に因数分解できるから、したがって分解の定義を「//L//[//X//]}} において P}} が定数と一次のモニック多項式からなる積に表されるとき」と言っても同じことである。このような分解は一意である: これら一次モニック多項式の各定数項は P}} の L}} における根の反数に等しく、またその根の位数が m}} ならその一次因子は m}} 回繰り返し現れる。したがって、それら因子の数は P}} の次数に等しい。

2. 根の存在
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命題 : 奇数次の実係数多項式は少なくとも一つ実根を持つ 以下、K}} は可換体、P}} は K}} に係数を持つ一不定元多項式とする。体 K}} の拡大体とは K}} を部分体として含む体をいう。

さて //L//ind および //L//ind が P}} を分解する K}} の二つの拡大であるとき、//L//ind の元としての P}} の根と //L//ind の元としての P}} の根は「同じ」ものなのかという問いが自然に生じてくる。これには以下のような同値性が存在する: P}} の根をすべて含む //L//ind の部分拡大および //L//ind の同様の部分拡大が存在して、これら二つの K}} の部分拡大は一致する。例として、1=//K// = ℚ, //P// = //X//exp とすれば、P}} の分解体は //a// + //b//sqrt  なる形の数全体の成す集合である。この集合は実数体 ℝ}} および代数的数体 overline の一意な部分体として同一視できる。したがって、根の対 mset を ℝ}} に埋め込んだものは overline に埋め込んだものと同じものと考えることができる。

定理  P}} が L}} において分解する最小の K}} の拡大体 L}} は、同型を除いて一意に存在する。この拡大体 L}} を P}} に対する K}} 上の分解体と呼ぶ。多項式 P}} を分解する体 L}} に対し、ほかの K}}-係数多項式が L}} において分解するとは限らないし、より強く L}}-係数多項式は L}} において分解するとは限らない。体 L}} が代数閉とは、任意の L}}-係数多項式が L}} において分解するときに言う。

定理  K}} の最小の代数閉拡大体 L}} は、同型を除き一意に存在する。この体 L}} を K}} の代数閉包と呼ぶ。体 ℂ}} は代数閉である。ℝ}} の代数閉包は ℂ}} であり、また ℚ}} の代数閉包は ℂ}} の部分体 overline である。

3. 根の重複度の微分による判定
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定理Bourbaki A}} を可換環、P}} を A}}-係数多項式とし、α}} は P}} の位数 mvar の根とする:
α}} は P}} の導多項式 P′}} の位数が少なくとも //m// – 1}} の根で、m}} が A}} において消約可能ならば位数はちょうど //m// − 1}} になる。
α}} は //P//, //P′//, //P″//, …, //P//exp の根になる。
階乗 //m//!}} が A}} で消約可能ならば α}} は //P//exp の根にはならない。

特に:

P}} の根が重根となるための必要十分条件は P′}} の根にもなることである。
A}} が標数 math の体ならば、α}} が P}} の m}}-位の根となるための必要十分条件は 1=//P// = //P′// = //P″// = ⋯ = //P//exp かつ //P//exp となることである。正標数 p}} の場合には、この最後の判定法は適用できない。実際、例えば //Xexp の導多項式は零多項式となる。//

4. 根と係数の関係
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5. 根の計算
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多項式の根の計算にミューラー法が利用できる。多項式 P}} をラグランジュ補間により二次多項式 で補間する。P}} の補間式の係数を、三点 //x//sub で評価して求めれば:

となる。ただし、 は差商である。

しかし、この近似多項式を使うことは、この多項式の根の選択に問題を生じる。そこでミュラーは同じ多項式を、根に収束する xsub に対する の形で用いることを考えた。このアルゴリズムを詳しく書けば、xsub を複素数として、各係数は

で与えられる。この方法は自己収束的、すなわち根の計算は徐々に精度を上げる。そこで 1=//n// = 2}}, 1=//x//sub を初期値とすると、考えてる多項式が xsub で消えていない限り、//n// + 1}} 回目の反復で

または が負または複素数
となる。最終的に xsub は零点に到達する。

6. 注
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6.1. 注釈
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6.2. 出典
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7. 参考文献
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lien auteur=Nicolas Bourbaki,

8. 関連項目
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多項式方程式
二次方程式
多項式函数
ルーシェの定理

9. 外部リンク
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[1] sur gecif.net