モジュライ空間

代数幾何学では、モジュライ空間とは空間の点が、決められた種類の代数幾何学的な対象を表す点となっている、もしくは、そのような対象と同型類を表現している点からなる幾何学的な空間のことを言う。そのような空間はしばしば分類問題の解として現れる。注目している対象の集まりへ幾何学的空間の構造を与えることができると、出来上がる空間に座標を導入することで対象をパラメータ化できる。この文脈では「モジュラス」は「パラメータ」と同じような意味に使われる。初期には、モジュライ空間は対象の空間というよりパラメータの空間として理解されていた。

1. 動機
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モジュライ空間とは、幾何学的な分類問題の解のなす空間である。つまり、モジュライ空間の点は、幾何学的な問題の解に対応する。ここで別な解もあった場合は、この解が同型であるならば、モジュライ空間の点としては同一の点となる。モジュライ空間は問題のパラメータの普遍空間を与えるものと考えられる。たとえば、合同を同一視してユークリッド平面のすべての円を求める問題を考えると、任意の円は与えられた3点から一意に定まるが、異なる三点の集合が同じ円を定めることがあるので対応は 多数 : 1 となる。しかし、円は中心と半径、即ち2つの実パラメータと1つの正の実数のパラメータで一意にパラメトライズできる。ここでは「合同での同一視」にのみ注目しているので、同じ半径を持つ異なる中心をもつ円は同一視するので、半径だけで興味の対象をパラメトライズするに充分である。従って、モジュライ空間は、正の実数の集合である。

モジュライ空間は、自然な幾何学的トポロジー的性質を持つ場合が多い。円の例では、モジュライ空間は抽象的な集合ではないが、異なる半径の絶対値が、2つの円の「近さ」を決める計量となる。モジュライ空間の幾何学的構造は、2つの幾何学的分類問題の解が近いか否かという局所的な構造を持っている一方で、込み入った大域的な構造も持っている。

たとえば、原点で交わる R2 の直線の集まりはどう記述できるかを考える。この族から各々の直線 L へ一意に決まるモジュラス、量を対応させたいので、正の角度、0 ≤ θ < π の間で θ を考えることは自然なことであり、このことは R2 の中で原点で交わる全ての直線に対応している。直線 L の集合は、P1 として知られていて、実射影直線と呼ばれる。

また、トポロジカルな構成により、原点で交わる R2 の中の直線の集まりも記述することができる。すなわち、S1 ⊂ R2 を考え、全ての点 s ∈ S1 に対して、直線が原点と s と交わる場合は、この集まりの中では直線 L と同一視することにする。まだ、この写像は、2-対-1 の対応であるので、s~ − s を同一視し P1 ≅ S1/~ を得る。この空間のトポロジーは、商写像 S1 → P1 によりにき起こされた商トポロジーである。

このように、P1 を原点で交わる R2 の中の直線のモジュライ空間として考えると、どのようにしたら族の要素が 0   ≤   θ   <   π と変化させることで、パラメータ化できるかを理解することができる。

2. 基本的な例
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2.1. 射影空間とグラスマン多様体
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実射影空間 Pn は、原点を通る R//n//+1 の中の直線をパラメータ化したモジュライ空間である。同様に、複素射影空間は原点を通る C//n//+1 の中の全て複素直線の空間である。

さらに一般的に、体 F 上のベクトル空間 V のグラスマン多様体 G とは、V の k-次元線型部分空間のモジュライ空間である。

2.2. 周多様体
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周環 Chow は、 P3 の中の次数 d の曲線をパラメトライズする射影代数多様体で、次のように構成される。C を P3 の中の次数 d の曲線として、曲線 C と交わる P3 の中の全ての直線を考える。これは P3 の中の直線のグラスマン多様体 G の次数 d の因子 D_C である。C が変化すると、C に伴い D_C が変化することで、グラスマン多様体 Chow の次数 d の因子の作る部分空間として次数 d の曲線のパラメータ空間を得る。

2.3. ヒルベルトスキーム
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ヒルベルトスキーム Hilb はモジュライスキームであり、Hilb の全ての閉じた点が、決められたスキーム X の閉じた部分スキームに対応し、全ての閉じた部分スキームがそのような点で表現される。

3. 定義
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何が空間 M のモジュライ空間を意味するかには様々な異なる考え方がある。これらの各々の定義は、何が空間の点が幾何学的な対象を意味するかについて異なる考え方を定式化している。

3.1. 詳細モジュライ空間
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この考え方は標準的な考え方である。発見的な見方としては、空間 M に対して各々の点 m ∈ M が代数幾何学的対象 Um に対応していれば、これらの対象を集めてきて M 上のトポロジカルな族 U とすることができる。 M を族 U の基底空間といい、もし任意の基底空間 B 上の任意の代数幾何学的対象 T が一意な写像 B → M に沿った U の引き戻しとなっている場合には、そのような族を普遍的と言う。詳細モジュライ空間とは、普遍的な基底を持つような空間 M のことを言う。

さらに詳しくは、スキームから集合への函手 F を考える。この函手はスキーム B から基底 B を持つ対象の適当な族全ての集合への函手であるとする。空間 M が函手 F の詳細モジュライ空間であるとは、M を表現函手 F、つまり、点の函手 Hom が F に自然に同型であるときのことを言う。このことは、M が普遍的な族となっていて、この族を同一視する写像 1M ∈ Hom に対応する M 上の族であることを意味する。

3.2. 荒いモジュライ空間
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詳細モジュライ空間は常に求めることが望まれるが、それらはいつも存在するわけではなく、構成することが難しいことが多いので、数学者は荒いモジュライ空間というより弱い考え方を取ることがある。自然な変換 τ : F → Hom が存在し、τ が自然な変換の中で普遍的となっているような場合date=Oct. 2014}}、M を函手 F の荒いモジュライ空間と言う。より具体的には、M が F の荒いモジュライ空間とは、基底 B 上の任意の族 T が写像 φT : B → M を与え、任意の 2つの対象 V と WM の同じ点に対応することと V と W が同型であることと同値であるような場合を言う。このようにして、M は族に現れる全ての対象に対応する点を持ち、その上の幾何学が族の中での変化可能な方法を反映している空間である。しかしながら、注意すべきは、荒いモジュライ空間がいつも普遍的となるような対象の族を持っているとは限らないことである。

言い換えると、詳細モジュライ空間は、基底空間 M も普遍的な族 T → M も両方持っているのに対し、荒いモジュライ空間は基底空間 M しか持たない。

3.3. モジュライスタック
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興味深い幾何学的な対象は、自然な自己同型を数多く持っている場合が多い。特に、この場合は詳細モジュライ空間の存在が不可能となる。従って、荒いモジュライしか得ることができない。しかしながら、このアプローチは空間の存在が保障されていないので理想的というわけではなく、存在するときは特異な状態であることがよくあるので、モジュライ空間が分類する対象の非自明な族についての詳細を誤ることになる。

より込み入ったアプローチは、同型を覚えておくことで、分類をより細分化することである。詳しくいうと、任意の基底 B 上で B 上の族の射)としてとる族の間の同型のみを B に付帯する射とするカテゴリを考えることができる。すると、ファイバーカテゴリ(fibred category）