自由アーベル群

抽象代数学において、自由アーベル群  あるいは自由 Z-加群  とは基底をもったアーベル群のことを言う。

アーベル群であるという条件は、結合的、可換、可逆な二項演算をもった集合であることを意味し、慣習的に演算は「加法」として、逆元を加えることを「減法」としてとらえられる。
基底とは、その群の任意の元が有限個の例外を除くすべての元が 0}} となる整数係数線型結合としてちょうど一通りの方法で書けるような部分集合を言う。したがって自由アーベル群の任意の元は、基底に属する元に「加法」や「減法」を有限回施すことで得られる。実例として整数全体の成す集合は加法に関して単元集合 mset を基底とする自由アーベル群になる。実際、整数の加法は可換かつ結合的で、減法は加法逆元を加えることに等しく、各整数は 1}} を必要な個数だけ加えたり引いたりすれば得られ、任意の整数はそれが 1}} の何倍かを表す整数として一意に表すことができる。

自由アーベル群はその性質により、ベクトル空間とよく似た性格を持つ。代数的位相幾何学における応用として、自由アーベル群は鎖 の定義に用いられ、また代数幾何学において因子の定義に用いられる。整格子もまた自由アーベル群の例であり、格子論では実線型空間の自由アーベル部分群が調べられる。

基底 B}} を持つ自由アーベル群の各元は、非零整数 asub を係数として相異なる基底元 bsub の有限項の和 sum の形の式で表現することができる。この式は B}} 上の形式和  とも呼ばれる。別な言い方をすれば、基底 B}} を持つ自由アーベル群の元を、B}} の有限個の元のみを含む符号付き多重集合と見なすこともできる。基底 B}} を持つ自由アーベル群は、その元を形式和として書く代わりに B}} 上の整数値函数で有限個の例外を除いて常に 0}} となるものとして表し、群演算として点ごとの和を入れたものと見なすこともできる。

任意の集合 B}} に対して、B}} を基底とする自由アーベル群が作れる。そのような群は同型を除いて一意に定まる。基底元から元を構成する方法ではなくて、B}} の各元ごとに整数の加法群 Z}} のコピーを対応させ、それらの直和として基底 B}} を持つ自由アーベル群を得る方法もある。他にも、B}} の各元を生成元として B}} の元の任意の対から得られる交換子を基本関係子とする群の表示によって、B}} を基底とする自由アーベル群を記述することもできる。任意の自由アーベル群はその基底の濃度として定義される階数を持ち、同じ階数をもつどの二つの自由アーベル群も互いに同型である。自由アーベル群の任意の部分群はそれ自身自由アーベルである。この事実により、一般のアーベル群を自由アーベル群を「関係」または自由アーベル群の間の単射準同型の余核で割ったものと見ることができる。

1. 例と構成
-------

1.1. 整数と格子
----------

整数全体は、加法演算のもとで、基底 mset をもつ自由アーベル群をなす。すべての整数 n}} は基底元の整係数線型結合である。

整数のカルテシアン座標をもつ平面上の点からなる二次元整数格子はベクトルの加法のもとで基底 をもつ自由アーベル群をなす。 および とすれば、元 は次のように書ける。

ただし'スカラー倍'は であるように定義される。この基底において、 を書く他の方法は存在しないが、 のような別の基底をとれば、, とおくと、次のように書ける。

.より一般に、すべての格子は有限生成自由アーベル群をなす。 次元の整数格子は 個の単位ベクトルからなる自然な基底をもつが、他の基底もたくさんもつ。 が 整数行列で行列式が であれば、 の列は基底をなし、逆に整数格子のすべての基底はこの形である。二次元の場合についてより詳しくは、を見よ。

1.2. 直和、直積、自明群
--------------

2つの自由アーベル群の直積はそれ自身自由アーベル群であり、2つの群の基底の直和が基底になる。より一般に自由アーベル群の任意有限個の直積は自由アーベル群である。例えば -次元整数格子は整数の加法群 の 個のコピーの直積に同型である。

自明群 もまた空集合を基底とする自由アーベル群と考えられる。これは の 個のコピーの直積と解釈できる。

自由アーベル群の無限族に対しては、その直積は自由アーベル群とは限らない。例えば は1937年にによって自由アーベル群でないことが証明された。は1950年に のすべての可算部分群は自由アーベル群であることを証明した。有限個の群の直和は直積と同じものだが、直和因子が無限個の場合には直積と異なり、その元は有限個を除いてすべてが単位元に等しいような各群からの元の組からなる。直和因子が有限個の場合と同様、無限個の自由アーベル群の直和は自由アーベル性を保ち、その基底は直和因子の基底の非交和によって与えられる。

二つの自由アーベル群のテンソル積はつねに、積をとる二つの群の基底のカルテシアン積を基底にもつ自由アーベル群になる。

任意の自由アーベル群は、基底の各元に対して一つずつ のコピーを与えて、 のコピーの直和として記述できる。この構成は、任意の集合 を自由アーベル群の基底にすることを可能にする。

1.3. 整数値関数と形式和
--------------

与えられた集合 に対して群 が定義できる。ここに は、 上で定義された有限台を持つ整数値函数全体の成す集合であり、そのような二つの函数 に対して函数 を、その各点での値が 各々のその点における値の和として与えられるものとすれば、この点ごとの加法演算によって にアーベル群の構造が与えられる。

与えられた集合 の各元 を の元 に、 によって対応付ければ、 のすべての関数 はと基底元に対応する函数の有限線型結合として一意的に表されるから、したがってこれらの元 は の基底をなし、 は自由アーベル群である。この方法で、任意の集合 を自由アーベル群の基底にすることができる。

基底 をもった自由アーベル群は同型を除いて一意であり、その元は の元の形式和  と呼ばれる。それらはまた の有限個の元の符号付き多重集合と解釈することもできる。例えば、代数的位相幾何学において、は単体の形式和であり、鎖群は元が鎖であるような自由アーベル群である。代数幾何学において、リーマン面の因子は不可算自由アーベル群をなし、それは面の点の形式和からなる。

1.4. 表示
-------

群の表示は群の生成元の集合と基本関係子の集合の組を言う。

命題: 基底 を持つ自由アーベル群は、 の元全体を生成元の集合とし、 の元の任意の対の交換子の全体を基本関係子の集合とする表示を持つ。ここに二元 の交換子とは積 のことであり、この積が単位元に等しいということは , つまり と は可換であることを意味するから、上記の表示によって生成される群は確かにアーベルであり、しかもこの表示の関係子集合は生成される群がアーベルであることを保証するに必要最小限のものになっている。

生成元集合が有限集合のとき、表示もまた有限型である。この事実と自由アーベル群の任意の部分群が自由アーベルとなるという事実を合わせれば、任意の有限生成アーベル群が有限表示であることが示せる。というのも、アーベル群 が集合 によって有限生成されるならば、 は 上の自由アーベル群をその適当な自由アーベル部分群で割った商であるが、この部分群もそれ自体自由アーベルゆえ有限生成であり、その基底は の表示における基本関係子の成す有限集合を与えるからである。

2. 用語
-----

任意のアーベル群は、群の元に対する整数によるスカラー倍を： と定義して整数環 上の加群と考えることができる。自由加群とはその係数環の直和として表現できる加群のことであるから、自由アーベル群と自由 -加群は同値な概念である