Arithmetica Universalis

//  はアイザック・ニュートンによる数学書。原文はニュートンの講義ノートを基にラテン語で書かれ、ウィリアム・ホイストン  によって編集、出版された。ホイストンはニュートンからケンブリッジ大学のルーカス教授職を継いだ人である。

ホイストンによる初版は1707年に出版され、ジョセフ・ラフソン  によって翻訳された英語版は //Universal Arithmetick}}// の題で1720年に出版された。また、ラテン語第二版はジョン・マチン  によって1722年に出版されている。

ニュートン自身は //lat// の出版に不満を持っており、彼の名前が記されることを頑なに拒否したため、これらの版のいずれもニュートンの名は著者として記されていない。 実際、ホイストンによる初版が出版されたときニュートンは非常に狼狽し、刊行されたものすべてを買い占め、処分することを考えたという。

//lat// には代数における記法、算術、幾何学と代数学の関係、方程式の解についてが記されている。ニュートンはデカルトの符号律を複素数根について適用し、代数方程式の複素数根の個数が符号律から決まることを、証明なしに要請している。150 年間、このニュートンの方法に厳密な証明が与えられることはなかった  による証明は1865年。//On the real and imaginary roots of algebraical equations: A Trilogy}}// のことか)。

1. 代数方程式の解について
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以下に複素数根の個数について該当する記述を引用する。

この部分を日本語訳すると以下のようになる。

　百十九. 方程式が不可能な根  を持たなければ、正の根 }} と負の根の個数はその方程式の各項の符号から分かるだろう。正の根は、符号の列が +}} から −}}、または −}} から +}} へ変化する数だけあり、残りは負の根である。 方程式 //x//4 − //x//3 − 19//x//2 + 49//x// − 30 =}} 0}} について、各項に対する符号を +   −   −   +   −}} というように並べると、符号の変化は一番目 +}} から二番目 −}}、三番目 −}} から四番目 +}}、四番目 +}} から五番目 −}} にあり、すなわち正の根が 3 つあり、従って 4 つ目の根は負である。しかし方程式が不可能な根を持つ場合には、それらの不可能な根が、正でも負でもなく曖昧なもの }} となり得る限りは、この規則は力を持たない。例えば、方程式 //x//3 + //px//2 + 3//p//2//x// − //q// =}} 0}} は、符号より 1 つの正の根と 2 つの負の根を持つ。ここで //x// =}} 2//p//}}、あるいは //x// − 2//p// =}} 0}}、として先の方程式に掛けると、方程式の正の根は 1 つ増え、次の方程式が得られる。この方程式は 2 つの正の根と 2 つの負の根を持たなくてはならないが、符号の変化から判断するには、4 つの正の根を持つことになる。従って、符号の曖昧さから、2 つの不可能な根があって、それらは初めの方程式においては負であり、後の方程式では正である。 しかし、この規則から、いくつの根が不可能であるかをまったく知ることができるだろう。

2. ニュートン算
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ニュートン算  と呼ばれる算術問題は、//lat// に収録されている問題に由来する。 問題文は次の通りである。

原文  : 日本語訳 :

　問十一. a}} 頭の牛は b}} の牧草地を c}} の時間のうちに食べ尽くし、d}} 頭の牛は e}} の牧草地を f}} の時間のうちに食べ尽くす。また牧草は一様に育つものとする。牛が g}} の牧草地を h}} の時間のうちに食べ尽くすには何頭いればよいか求めよ。 この直後には、ニュートンによる問題の解説と例題が書かれている。内容は次の通りである。解説文原文  : 日本語訳 :

　a}} 頭の牛が c}} の時間のうちに b}} の牧草地を食べ尽くすなら、それぞれの数の比から、牧草が時間 c}} の後には少しも成長しないとして、sfrac 頭の牛は同じく c}} の時間のうちに、sfrac 頭の牛は f}} の時間のうちに、また sfrac 頭の牛は h}} の時間のうちに、e}} の牧草地を食べ尽くすだろう。しかし牧草が育つことによって、d}} 頭の牛だけが f}} の時間のうちに e}} の牧草地を食べ尽くすことができて、e}} の牧草地の牧草が、時間 //f// − //c//}} の間に育つことにより、//d// − sfrac 頭の牛が f}} の時間のうちに食べ尽くせる分だけが育ち、それは sfrac 頭の牛が h}} の時間のうちに食べ尽くせるだけと同じ量である。更に比の関係から、//h// − //c//}} の時間に sfrac 割る sfrac つまり sfrac 頭の牛が食べ尽くせるだけの牧草が育つ。この増加分を sfrac 頭の牛に加えると、sfrac が e}} の牧草地を h}} の時間のうちに食べ尽くす牛の頭数である。 そして比から g}} の牧草地を同じ時間 h}} の間に食べ尽くす牛の数は sfrac であることが求まる。 例題原文  : 日本語訳 : 例題. 12}} 頭の牛は 3}} と sfrac エーカーの牧草地を 4}} 週間で食べ尽くし、21}} 頭の牛は 10}} エーカーの牧草地を 9}} 週間で食べ尽くすとする。36}} エーカーの牧草地を 18}} 週間で食べ尽くす牛の頭数はいくらか。 　答え 36}} 頭。求める数は sfrac の a}}, b}}, c}}, d}}, e}}, f}}, g}}, h}} をそれぞれ 12}}, 3, 4}}, 21}}, 10}}, 9}}, 36}}, 18}} に置き換えることで得られるだろうが、しかし、前述の文字式の解を求めるのとおそらくは同様の手間で、第一原理から解を導くこともできるだろう。12}} 頭の牛が 4}} 週間で 3}} と sfrac エーカーの牧草地を食べ尽くすなら、牧草が育たないことを仮定すれば、数の比から 36}} 頭の牛が 4}} 週間で、16}} 頭の牛が 9}} 週間で、8}} 頭の牛が 18}}
週間で、10}} エーカーの牧草地を食べ尽くすことになる。しかし牧草が育つことにより、21}} 頭の牛だけが 9}} 週間で 10}} エーカーの牧草地を食べ尽くすことができ、5}} 週間で 10}} エーカーの牧草地に育つ牧草は 5}} 頭の牛が食べ尽くす分、つまり 21}} 頭の内の 16}} 頭が 9}} 週間に食べる分を除いた余りと同じだけあり、また同じことだが、sfrac 頭の牛が 18}} 週間で食べる分と同じである。更に 14}} 週間に増える牧草の量は、7}} 頭の牛が 18}} 週間に食べるだけと同じであることも推察できる。7}} 頭の牛は牧草の育った分だけを食べ、8}} 頭の牛が 4}} 週間以降に育った牧草以外を食べ、これらを合わせると牛の頭数は 15}} になる。そして最後に、10}} エーカーの牧草地を 15}} 頭の牛が 18}} 週間で食べ尽くすなら、比によって、24}} エーカーの牧草地を 36}} 頭の牛は同じ時間で食べ尽くすことが分かる。

3. 1769年英語版の目次
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[表題] - [節番号]

Part I
Notation  - I.
Addition  - XVIII.
Subtraction  - XXV.
Multiplication  - XXVIII.
Division  - XXXIV.
Extraction of Roots  - XLI.
Reduction of Fractions  - XLVIII.
Invention of Divisors  - XLIX.
Reduction of Fractions to a common Denominator  - LIX.
Reduction of Radical Quantities  - LX.
to their least Terms - LX.
to the same Denominator - LXI.
to more simple Radicals, by the Extraction of Roots - LXII.
Forms of Equations - LXV.
Reduction of Final Equations - LXVII.
ordering a Single or Final Equation - LXVII.
Reduction of Medial Equations - LXXV.
Transformation of two or more Equations into one, in order to exterminate the unknown Quantities - LXXV.
Extermination of an unknown Quantity by Equality of its Values - LXXVI.
Extermination of an unknown Quantity, by substituting its Value for it - LXXVII.
Extermination of an unknown Quantity of several Dimensions in each Equation - LXXVIII.
Method of taking away any number of Surd Quantities out of Equations - LXXXI.
Resolution of Arithmetical Questions - LXXXII.
How a Question may be brought to an Equation - LXXXII.
16 Problems
Resolution of Geometrical Questions - LXXXIII.
How Geometrical Questions may be reduced to Equations - LXXXIII.
61 Problems
Part II
Nature of the Roots of Equations - CX.
Transmutations of Equations - CXXIII.
Limits of the Roots of Equations - CXXXII.
Reduction of Equations by Surd Divisors - CXL.
Appendix
Linear Construction of Equations
Roots of Numeral Equations by their Limits 
Method of Series by which you may approximate to Roots of Literal Equations 
Measures of Ratios 

4. 脚注
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5. 参考文献
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[1]
[2]
[3]
[4]

6. 関連項目
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アイザック・ニュートン
光学  
自然哲学の数学的諸原理
ニュートン算
コリン・マクローリン
ブルック・テイラー
テイラー展開
テイラーの定理
代数学