モチーフ (数学)

代数幾何学では、モチーフは、代数多様体の本質的な部分を表す。今日まで、ピュアモチーフは定義されているが、一方、予想されている混合モチーフは定義されていない。date=November 2012}} ピュアモチーフは、三つ組  で、この X は滑らかな射影多様体、p : X ⊢ X はべき等な対応、m は整数である。 から  への射は、次数 n - m の対応により与えられる。

アレクサンドル・グロタンディークに従い、混合モチーフに限っては、数学者たちが「普遍的」なコホモロジー論をもたらす適切な定義を求めている。圏論の言葉では、普遍的なコホモロジーは代数的代数的対応の圏でべき等分解を通した定義を意図していた。しかし、数十年間、標準予想を証明することに失敗して、これを定義することができなかった。現在示されているように、このことは「充分な」多くの射を持つことができない。date=November 2012}} 一方、モチーフの圏は、1960年代から1970年代にかけて、多く議論された普遍ヴェイユコホモロジーであることが想定されたが、この期待は完全に証明されてはいない。他方、現在は、全く異なる方法より、モチーフコホモロジーが、現在、テクニカルな定義が数多くある。

1. 導入
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元来、モチーフの理論は、ベッチコホモロジー、ド・ラームコホモロジー、l-進エタールコホモロジー、クリスタリンコホモロジーを含む、急速に増えてきたコホモロジー論を統一しようとの試みである。一般的な期待は、

[点]
[射影直線] = [直線] + [点]
[射影平面] = [平面] + [直線] + [点]のような方程式が、深い意味をもった確固とした数学的基礎として採用できるという期待である。もちろん、上の方程式は、多くの意味で正しいことがすでに知られている。例えば、CW複体では、"+" は胞体の連結に対応していて、様々なコホモロジー論で "+" は直和に対応している。

他の観点からは、モチーフは、多様体の因子上の有理函数から多様体の周群の上の有理函数への一般化へと繋がっている。モチーフは有理同値以外にも多くのタイプの同値の観点から考えることが可能であるので、一般化は様々な方向で発生する。適切な同値関係の定義により、構成する同値関係が与えられる。

2. ピュアモチーフの定義
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ピュアモチーフの圏は、多くの場合 3段階で進行する。以下に、k を任意の体として、周モチーフ Chow の例を挙げる。

2.1. 第一段階：  対応の圏, Corr
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//Corr// の対象は、単純に //k// 上の滑らかな射影多様体である。射は対応である。対応は、多様体の射 //X// → //Y// の一般化であり、これには //X// × //Y// の中のグラフが伴われていて、//X// × //Y// 上の決まった次元の周環へ一般化される。

//Corr// の射は、次数が 0 の対応であるにもかかわらず、任意次数の対応を記述することは有益である。詳しく言うと、//X// と //Y// を滑らかな多様体、 を //X// の連結成分への分解、//di// := dim //Xi// とする。//r// ∈ Z であれば、次数 //r// の　 //X// から //Y// への対応は、

と定義される。

例えば α: X ⊢ Y のように、対応を "⊢" の記号で使うことが良くある。任意の α ∈ Corrr と β ∈ Corrs に対し、それらの合成は、

により定義される。ここにドットは、周環における積を表す。

圏 Corr を構成することへ立ち返ると、次数 0 の対応の合成は次数 0 であることに注意すると、Corr の射は次数 0 対応であることとなる。

結合関係は、次の函手となる。

ここに Γf ⊆ X × Y は f : X → Y のグラフである。

まさに SmProj のように、圏 Corr は直和  と テンソル積  を持っている。この圏は、準加法圏。射の和は、

により定義される。

2.2. 第二段階：ピュアな有効周モチーフ, Choweff
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モチーフへの変換は、Corr のカロウビの包絡を取ることで得られる。

.言い換えると、有効周モチーフは、滑らかな射影多様体 X とべき等 な対応 α: X ⊢ X であり、射は対応

.である。

合成は、上記の対応で定義され、 の恒等射は α : X ⊢ X であることと定義される。

結合関係は、次の函手となる。

,ここに ΔX := [idX] は、X × X の対角である。モチーフ [X] は多様体 X に伴うモチーフと呼ばれる。

目的通り、Choweff は擬アーベル圏である。 有効モチーフの直和は、

で与えられる。有効モチーフのテンソル圏は、

　と で与えられる。射のテンソル積も定義できる。f1 :  →  と f2 :  →  をモチーフの射とする。γ1 ∈ A* であり、γ2 ∈ A* を f1 と f2 の表現とすると、

,となる。ここに πi : X1 × X2 × Y1 × Y2 → Xi × Yi は射影である。

2.3. 第三段階：ピュア周モチーフの圏 Chow
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モチーフへ進むために、レフシェッツモチーフと呼ばれるモチーフの形式的な逆へ、Choweff へ圏として付随させる。この効果は、ペアとする代わりに、モチーフを三つ組とすることである。レフシェッツモチーフ L は、

である。自明なテイトモチーフと呼ばれるモチーフ 1 を 1 := h) により定義すると、1 ≅  であるため、方程式

が成り立つ。レフシェッツモチーフのテンソル的な逆は、テイトモチーフ T := L−1 であることが知られているので、ピュア周モチーフの圏を、

により定義する。

従って、モチーフは、p ˆ p = p であるような三つ組 , p : X ⊢ X, n ∈ Z) である。射は、対応

で与えられ、射の合成は対応の合成となる。

意図したように、Chow をリジッド圏擬アーベル圏となる。

2.4. モチーフの他のタイプ
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交叉積を定義するために、サイクルは「動かすことができる」べきで、従って一般の位置でサイクルを交叉させることができる。適当なサイクル上の同値関係を選ぶことは、サイクルのペアが交叉できる一般の位置にある同値なペアを持つことを保証する。周群は有理同値を使い定義されるが、他の同値類も可能であり、各々が異なった種類のモチーフを定義する。強いものから弱いものまであるが、同値の例を挙げる。

有理同値
代数的同値
スマッシュべき零同値 同値と呼ばれることもある)
ホモロジカル同値 
数値同値文献的には、すべてのピュアモチーフのタイプを、周モチーフと呼んで、代数的同値の観点からこの場合を「代数的同値の下の周モチーフ」と呼ぶこともある。

3. 混合モチーフ
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固定された基礎体 k に対し、混合モチーフの圏は、アーベル圏でテンソル圏 MM が次の函手伴っていることが予想されている。

Var → MM全ての代数多様体に対してモチーフを与える。これは、射影的な滑らか多様体にピュアモチーフを与えることの拡張になっている。さらに、

Ext*MMとして定義されたモチヴィックコホモロジーが、代数的K-理論から予想されたモチーフと有理係数では一致し、適当な意味で周モチーフの圏を持っているモチーフであるはずである。そのような圏の存在が、アレクサンドル・ベイリンソンにより予想されている。しかしこのようなアーベル圏は、未だに構成されていない。

そのような圏を構成することに代わり、ドリーニュは導来圏

Db)に期待される性質を持つ圏 DM をまず構成することを提案した。

従って予想されているモチヴィックな 三角圏によって、DM からheartをとることでMM が得られる。

三角圏DMはヴォエヴォドスキーによって構成され、期待される多くの性質をもつことが, 期待されるt-structureの存在をのぞいて, 証明された。その数論への応用にはまだ程遠い状態にあるが, ヴォエヴォドスキーによる応用にミルナー予想とBloch-Kato予想をがある。ヴォエヴォドスキーは彼のモチーフ理論を応用しその予想を証明しフィールズ賞を受賞した。キーとなる考え方としてこれらのモチーフや安定ホモトピーを使った。しかしながら注意すべきことはこれらの予想の証明にはDMではなく位相幾何学におけるスペクトラの安定ホモトピー圏のモチーフ版への拡張を用いており, それもVoevodskyによって構成された。

ヴォエヴォドスキーの定義した三角圏は、周モチーフを充密な部分圏として含んでいて、「正しい」モチーヴィックコホモロジーを与える。しかし、ヴォエヴォドスキーはまた、整数係数においてはモチーヴィックな t-構造は存在しないことも示した。

完全体上の滑らかな多様体の圏 Sm から始める。同じように上記のピュアモチーフを構成するために、通常の射の代わりに、滑らかな対応が使われる。上で使ったサイクルと比較すると、これらの滑らかな対応の定義は、限定的である。特に、それらはいつでも固有に交叉しているので、サイクルを動かすこと、従って同値関係は対応としてはwell-definedであるとは限らない。この圏は SmCor と書き、加法的である。
テクニカルな中間段階として、滑らかなスキームや対応の有界な鎖複体のホモトピー圏 Kb を取る。
強制的に任意の多様体 X へ圏の局所化を適用し、同型 X × A1 となるようにする。そのとき、マイヤー・ヴィエトリス系列が保たれる。すなわち、X = U ∪ V という用語は、同じ分解、いわば滑らかな射影多様体のド・ラームコホモロジーの分解から来る。ホッジ理論を参照。予想 Dは、数値的な一致と代数的サイクルの同値関係から始め、ホモロジカルと数値同値の観点からピュアモチーフの同値を意味する。ジャンセンは、1992年、条件付きないでない次の結果を証明した。体の上のモチーフの圏は、アーベル的で半単純な圏であることと、選択された同値関係が数値的であることとは同値である。

ホッジ予想はモチーフを使うとうまく再定式化される。ホッジ予想が成り立つことと、ホッジ実現とは同値である。ホッジ実現とは、C の部分体 k 上の）