余積

圏論において、余積あるいは圏論的和は、集合の直和、位相空間の直和、群の自由積、加群やベクトル空間の直和などを例として含む圏論的構成である。対象の族の余積は本質的に、族の各対象がそこへの射をもつような「最も固有的でない 」対象である。それは圏論的積の圏論的双対概念であり、これは定義がすべての矢印を逆にすることを除けば積と同じであることを意味する。名前と表記の一見無害な変化にもかかわらず、余積は積と劇的に異なり得るし、典型的にはそうなる。

1. 定義
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1.1. 二つの対象の余積
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圏 C}} の二つの対象 //X//sub に対し、それら二つの対象の余積 //X//subとは、二つの射 //i//sub および //i//sub が存在して、以下の普遍性を満足する:

余積の普遍性 任意の対象 Y}} および射の組 //f//sub および //f//sub が与えられたとき、射 //f//: //X//sub が一意に存在して 1=//f//sub および 1=//f//sub を満たす。すなわち以下の図式 が可換となる。この図式を可換にする一意的な射 f}} は //f//sub //f//sub //f//sub [//f//sub などとも書かれる。 射 //i//sub は標準入射と呼ばれる。

1.2. 任意個の余積
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余積の定義は適当な添字集合 J}} で添字付けられた任意の対象の族に対して拡張できる。族 mset の余積とは、対象 X}} と射の族 //isub との組であって、以下の普遍性を満足するものをいう://

余積の普遍性: 任意の対象 Y}} および射の族 //fsub が与えられたとき、一意的な射 //f//: //X// → //Y//}} が存在して、任意の j}} に対して 1=//fsub を満たす。すなわち、図式 が任意の //j// ∈ //J//}} に対して可換となる。族 mset の余積 X}} はしばしば 1=//X// = unicode や ⨁su などと書かれる。また、一意的な射 f}} が個々の射 fsub に依存していることを明示する意味で 1=unicode あるいは unicode と書かれることもある。

2. 例
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集合の圏 Set}} における余積は、単に集合の直和と包含写像である射 isub との組である。直積の場合とは異なり、他の圏における余積は一見して集合の余積に基づくものばかりではない、これは集合の合併は演算を保存することに関してよく振る舞わないことによる。それゆえ異なる圏における余積は互いに劇的に異なることがある。例えば、群の圏 Grp}} における余積は、かなり複雑である。一方、アーベル群の圏 Ab}}において、余積は、有限個の非零項しかもたない直積の元全体からなる。

位相空間の場合の余積は、非交和に非交和位相を入れたものである。つまりそれは、台集合の非交和を台として、余積因子である各空間の何れにおいても開となる集合を開集合としたもので、これはむしろわかりやすい例ということになる。ホモトピー論において基本的な基点付き空間の圏において、余積は楔和である。

このように違いを見せながらも、それでもやはり集合の直和はこれら概念の核心的な部分を担っている。アーベル群の直和は「ほとんど」非交和として形作られる群である。ベクトル空間に対しても同様で、「ほぼ」非交和によってはられる空間になる。 群の自由積も、生成元の集合の同様の「ほぼ」非交和に対して、異なる集合から来る二つの元が交換することを全く許さないという条件の下で生成される。

3. 性質
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上で与えられた余積の構成は実は圏論の余極限の特別な場合である。圏 C}} における余積は離散圏から C}} の中への任意の関手の余極限として定義できる。一般にはすべての族 mset が余積を持つわけではないが、もし持てば、余積は強い意味で一意である：

余積の一意性 //isub および //ksub がともに族 mset の余積ならば、一意的な同型 //f//: //X// → //Y//}} が存在して各 //j// ∈ //J//}} に対して 1=//f// ∘ //isub となる。//任意の普遍性がそうであるように、余積は普遍射として理解できる。Δ: //C// → //C// × //C//}} を各対象 X}} に順序対 }} を、各射 //f//: //X// → //Y//}} に対し }} を割り当てる対角関手とする。すると C}} において余積 //X// + //Y//}} は //C// × //C//}} の対象 }} から関手 Δ}} への普遍射によって与えられる。

空集合によって添字付けられた余積は C}} の始対象と同じである。

C}} における U}} から V}} への射全体の成す集合を Homsub と書けば、

が存在する。右辺の積は集合の圏 Set}} における圏論的積、すなわち集合の直積であることに注意する。この同型は、右辺に属する任意の射、それは射の族 (//fsub の形に書ける、を unicode に写す全単射によって与えられる。全射性は図式の可換性から従う： すなわち、任意の射は 1=//f// = unicode の形で掛けるから、これは族 (//f// ∘ //isub の余積である。単射性は普遍構成から従う余積の一意性である。同型の自然性もまた図式の結果である。従って反変 Hom-関手は余積を積に変える。別の言い方をすると、逆圏 //C//sup から Set}} への関手として、Hom-関手は連続である。ここに、函手が連続であるとは、それが極限を保存するという意味において言う。C}} における余積は //C//sup における積となることに注意せよ。

J}} によって添字付けられた対象の任意の族が C}} において余積を持つならば、余積をとる操作は一貫したやり方で取り纏めて函手 //Csup にすることができる。積の場合と同じく、この関手は共変であることに注意する。//

添字集合 J}} が有限集合のとき、具体的にそれを 1=//J// = mset と書けば、対象の有限列 //X//sub の余積はしばしば //X//sub などと書かれる。ここで、C}} において任意の有限余積が存在すると仮定し、また先に述べたように余積を函手とみなし、C}} の始対象を 0}} と書くものとすれば、

の存在が言える。これらの性質は形式的に可換モノイドの性質と同様である。すなわち、有限余積を持った圏は対称モノイド圏の例になっている。

圏が零対象 Z}} を持てば、一意的な射 //X// → //Z//}} が存在し、したがって射 //X// ⊕ //Y// → //Z// ⊕ //Y//}} が作れる。Z}} は始対象でもあるから、前の段落で述べた通り自然な同型 //Z// ⊕ //Y// ≅ //Y//}} がある。したがって射 //X// ⊕ //Y// → //X//}} および //X// ⊕ //Y// → //Y//}} を得るから、これによって自然な射 //X// ⊕ //Y// → //X// × //Y//}} が推論され、これを帰納法によって任意の有限余積から対応する有限積への自然な射に拡張できる。この射は一般には同型とは限らない: 実際、群の圏 Grp}} においてそれは真のエピ射となり、基点付き集合の圏 Setsub においてそれは真のモノ射となる。しかし、任意の前加法圏においてこの射は同型射であり、対応する対象は双積と呼ばれる。すべての有限双積をもつ圏は加法圏と呼ばれる。

4. 関連項目
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積 
極限 : 極限と余極限
余等化子
直極限

5. 参考文献
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6. 外部リンク
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[1] which generates examples of coproducts in the category of finite sets. Written by [2].