表現論

表現論とは、ベクトル空間の線型変換として代数構造を表現することで代数構造上の加群を研究する数学の一分野である。本質的には、表現は抽象的な代数的構造を、その元と演算を行列と行列の和や行列の積で記述することで、より具体的にする。この記述で扱われる代数的対象には、群や結合代数やリー代数がある。これらの中で最も優れているものは、歴史的にも最初に現れた群の表現論であり、群の演算が行列の積で、群の要素が正則行列で表現されている。

表現論は、抽象代数学の問題を良く理解されている線型代数の問題へと帰着させるので、強力なツールである。さらに、群が表現されているベクトル空間が無限次元になることやヒルベルト空間になることも可能であり、その場合、函数解析の方法が群の理論へ適用可能となる。表現論は物理学でも重要であり、例えば、物理系の対称群が、どのように物理系を記述する方程式の解へ影響するかを記述する。

表現論の著しい特徴は、数学での広がりにある。そこには、2つの面がある。ひとつの面は、表現論の応用が多岐にわたっていることであり、表現論は代数への影響のみならず、以下のような応用も持っている。

調和解析を通してフーリエ解析を広く一般化する
不変式論とエルランゲン・プログラムを通して深く幾何学とつながっている。
さらに、数論へは保型形式やラングランズ・プログラムを通して深く影響を持っている。もうひとつの面は、表現論へのアプローチの広がりである。同じ対象が代数幾何学、加群の理論、解析的整数論、微分幾何学、作用素理論、代数的組み合わせ論、トポロジーの方法で研究できる。

表現論の成功は、多くの一般化を生み出した。その一般的な理論は圏論の中にある。適用する代数的対象を特別な圏として、対象のなす圏からベクトル空間の圏への函手を表現とみなすことができる。この記述には 2つの明白な一般化がある。ひとつは代数的対象をより一般的な圏により置き換えることが可能であり、第二には、ベクトル空間のなす圏を別の良く知られた圏に置き換えることが可能である。

1. 定義と概念
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V を体 F 上のベクトル空間とする。例えば、V が Rn や Cn のときは、それぞれ、実数や複素数上の列ベクトルの標準的な n-次元空間である。この場合、表現論の考え方は、抽象的な代数構造を実数や複素数の n × n 行列を使って具体化することである。

このことが可能な主要な代数的対象は 3種類あり、群, 結合代数、リー代数である。

n × n の正則行列全体は、行列の積の下に群をなし、群の表現論は、群の元を正則行列として「表現」することにより調べることができる。
行列の和と積は、すべての n × n の行列の集合を結合代数とし、したがって、対応する結合代数の表現論が存在する。
行列の積 MN を行列の交換子 MN − NM に置き換えると、n × n の行列のリー代数となるので、リー代数の表現論が導かれる。実数体や複素数体の場合は、任意の体 F と F 上の任意のベクトル空間へ拡張され、行列を線形写像で置き換え、行列の積を写像の合成で置き換える。V の自己同型と群 GL へ一般化し、また、V のすべての自己準同型の結合代数 EndF と対応するリー代数 gl へ一般化される。

1.1. 定義
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表現の定義には 2つの方法がある。表現を定義する第一の方法は、群の作用の考えを使い、行列の積により列ベクトル上へ行列を作用させる方法を一般化したものであり、ベクトル空間 V 上の群 G や結合代数やリー代数 A の表現は、次の 2つの性質を満たす写像

と定義する。

 G の任意の元 g に対し、写像は、F 上で線型であること。 Φ  に対し、記号 g ・ v を導入すると、G の任意の g1 と g2 と V の任意の v に対し、が成り立つこと。ここに e を G の単位元、g1g2 は G の積である。結合代数に対しも同様なことが要求される。ただし、結合代数はいつも恒等元があるとは限らない。結合代数では、式  は無視する。式  は行列の積の抽象的な表現であり、この積は行列の交換子では成立せず、交換子の恒等元も存在しない。したがって、リー代数では、A の任意の元 x1, x2 と V の元 v に対し、となることのみが要求される。ここに [x1, x2] は、リーブラケットであり、行列の交換子 MN − NM を一般化したものである。表現を定義する第二番目の方法は、G の元 g を線型写像 φ: V → V へ写すことを定義とする方法である。この写像は、

を満たし、他の場合も同様である。この方法は、より抽象的であるが、この観点からは表現は以下のように統一的となる。

ベクトル空間 V 上の群 G の表現は、群準同型 φ: G → GL である。
ベクトル空間 V 上の結合代数 A の表現は、代数準同型 φ: A → EndF である。
ベクトル空間 V 上のリー代数の表現は、リー代数準同型 φ: a → gl である。

1.2. 用語
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ベクトル空間 V を φ の表現空間といい、その次元を表現の次元と呼ぶ。準同型 φ が文脈により明らかな場合は、V 自身を表現と呼ぶことが多い。明らかでない場合は、表現を  と記す。

V が有限次元 n のとき、V の基底を選び、Fn と V して、体 F に成分を持つ行列表現が得られる。

有効な表現、あるいは忠実表現とは、準同型 φ が単射的であるときの表現  をいう。

1.3. 同変写像と同型
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V と W を F 上のベクトル空間とし、それぞれへの群 G の表現を φ と ψ とする。V から W への同変写像は、線型写像 α: V → W であり、G の任意の元 g と V の任意の元 v に対し、

が成り立つ。このことを、写像 φ: G → GL と ψ: G → GL でいうと、G のすべての元 g に対し、

を意味する。

結合代数やリー代数の表現の同変写像も同様に定義される。α が可逆のときに、同型と呼ばれ、V と Wは、同型表現という。

同型表現は、すべての実際の目的に対し同一であり、表現される群や代数の同一な情報をもたらす。したがって、表現理論は同型を同一視して表現を分類する研究である。

1.4. 部分表現、商、既約表現
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 を群 G の表現とする。すべての v ∈ V に対し g ・ v ∈ V となるという意味で、V が G の作用により不変な W の線型部分空間であるとき、V を部分表現と呼ぶ。φ を ψ の V への制限と定義することにより、 は G の表現となり、W の V への制限は同変写像となる。商空間 W/V も G の表現として定義することができる。

W がちょうど 2つの部分表現しか持っていないとき、つまり、ゼロ対象 {0} と W 自身以外には部分表現空間を持たない場合、この表現を既約という。W が非自明な表現を持つとき、可約という。

既約表現の定義は、シューアの補題を含んでいる。既約表現の間の同変写像 α: V → W は、その核と像が部分表現となるので、零射か、同型射となる。特に、V = W のとき、これは V の同変な自己準同型が基礎となる体 F 上の結合多元代数を形成する。F が代数的閉体であれば、既約な表現の同変自己準同型は、恒等元のスカラー倍のみである。

既約表現は、表現論の基本ブロックであり、表現 W が既約でないならば、ある意味、単純な部分表現と商表現から構成される。W が有限次元であれば、部分表現も商表現も次元がより小さなものとなる。

1.5. 直和と直既約表現
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V と W を群 G の表現とすると、V と W の直和は、標準的な表現で次の式を通して表現となる。

2つの表現の直和は、それぞれの表現が持っている以上の群 G についての情報を持たない。表現が 2つの非自明な部分表現の直和であれば、この表現を直可約という。そうでない場合を直既約という。

適当な条件の下では、すべての表現は既約表現の直和であり、そのような表現を半単純という。この場合には、既約表現を理解するだけで十分である。そうでない場合は、どのようにして直既約表現を部分表現による商として拡張して既約表現から構成することができるかを理解せねばならない。

2. 分野とトピックス
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注目すべきこととして、表現論は、もっている分野の数が多いこと、群と代数の表現の研究方法が多様であることが挙げられる。表現論は、既に議論した基本的な考え方を共通に持つにもかかわらず、詳細では非常に異なっている。少なくとも違いは 3点あげることができる。

表現論は表現される代数的対象のタイプに依存する。群、結合代数、リー代数は異なるクラスであり、それぞれの表現論は異なる色合いを持っている。
表現論は表現される代数的対象の下にあるベクトル空間の性質に依存して、最も重要な差異は、有限次元表現と無限次元表現の間の差異である。無限次元の場合、付加された構造が重要である。付加された代数的構造は、有限次元でも課すことができる。
表現論はベクトル空間が定義されている体のタイプにも依存する。もっとも重要な場合は複素数体の場合であり、他にも重要な場合として、実数の場合、有限体やp-進体の場合がある。体が正の標数の場合、代数的閉体でない場合に困難さが加わる。

2.1. 有限群の表現
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群の表現は、有限群の研究にとって非常に重要なツールである。有限群の表現は、有限群論を幾何学や結晶構造へ応用する中でも発生する。有限群の表現は、表現論の一般論の多くの面をもち、他の表現論の分野の方法やトピックスを反映している。

標数 0 の体上では、有限群 G の表現は、便利な性質を多く持つ。第一に、G の表現は半単純な性質を持ち、任意の G-表現 W の部分表現 V が G-不変な補完表現を持つというマシュケの定理である。この定理を証明する方法は、W から V への射影 π を選び、次で定義される平均 πG と置き換えることである。

πG は同変であり、この写像の核が求めている補完表現である。

有限次元 G-表現は、指標理論を使って理解することができる。表現 φ: G → GL の指標は、次の式で定義される類函数 χφ: G → F である。

ここに はトレースである。G の既約表現は、その指標により完全に決定される。

マシュケの定理は、たとえば、有限体のような正の標数の体に対しても、p が群 G の位数と互いに素である限り一般的に成り立つ。p と |G| が共通因子を持っているとき、半単純でない G-表現が存在し、モジュラー表現論と呼ばれる分野で研究されている。

平均をとるテクニックは、F が実数や複素数のとき、任意の G-表現は V 上の内積 を保存する。G のすべての元 g と W の w に対し、

という意味である。よって、任意の G-表現はユニタリである。

ユニタリ表現は、マシュケの定理が表現の直交補空間を取るころにより証明することができるので、自動的に半単純である。有限ではない群の表現を研究するとき、ユニタリ表現は、有限群の実表現と複素表現の良い一般化をもたらす。

マシュケの定理のような結果や平均をとることに依存するユニタリな性質は、平均を積分へ置き換えることにより、より一般的な群へと一般化することができ、定義可能な積分の考えをもたらす。このことはハール測度を使いコンパクト群や局所コンパクト群に対してなされ、結果として得られる理論が抽象調和解析である。

任意の体上で、有限群で良い表現論的性質を持つ別のクラスは、リー型の有限群である。重要な例は、有限体上の線型代数群である。線型代数群の表現とリー群の表現は、これらの無限次元の群の例を拡張し、後者はリー代数の表現と密接に関連する。有限群の指標理論の重要性は、リー群やリー代数の表現にとってはウェイト(weights）