分裂補題

数学、より具体的にはホモロジー代数学において、分裂補題は次のようなものである。任意のアーベル圏において、短完全列に対する以下のステートメントは同値である。

写像が //q// と //r// の短完全列

が与えられたとし、追加の矢印 //t// と //u// を存在しないかもしれない写像に対して書く。

このとき以下のステートメントは同値である。

1. 左分裂 : 写像 //t//: //B// → //A// が存在して //tq// は //A// 上恒等写像である。2. 右分裂 : 写像 //u//: //C// → //B// が存在して //ru// は //C// 上恒等写像である。3. 直和 : //B// は //A// と //C// の二項の積に同型で、//q// は //A// の自然な入射に一致し、//r// は //C// への自然な射影に一致する。短完全列は上のステートメントのどれかが成り立てば//分裂する//  という。

注意： 完全列 は分裂するとは限らない。

この補題によって第一同型定理を精密化することができる。

第一同型定理は上記の短完全列において ということを述べている。
列が分裂すれば、 であり、第一同型定理は単に //C// の上への射影である。それは線型代数学の階数・退化次数の定理の圏論的一般化である。

//See also splitting lemma in singularity theory.//

1. 証明
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まず、 から  と  が従うことを示すためには、 を仮定し //t// として直和から //A// への自然な射影をとり、//u// として //C// から直和への自然な入射をとる。

 ならば  を示すために、//B// の任意の元は集合  に入っていることに注意する。これは //B// のすべての //b// に対して //b// = ) + //qt// であることから従う。//qt// は明らかに im //q// の元であり ) は

//t//) = //t// - //tqt// = //t// - //t// = //t// - //t// = 0だから ker //t// に入っている。

次に、im //q// と ker //t// の共通部分は 0 である、なぜならば //q// = //b// なる //A// の元 //a// が存在して //t// = 0 であれば、0 = //tq// = //a// であるから //b// = 0 である。

このことより //B// は im //q// と ker //t// の直和である。したがってすべての //B// の元 //b// に対して //b// は一意的に //A// の元 //a// と ker //t// の元 //k// であって //b// = //q// + //k// なるもので識別できる。

完全性から ker //r// = im //q// である。部分列 //B// → //C// → 0 から //r// は上への写像である。それゆえ任意の //C// の元 //c// に対して //b// = //q// + //k// が存在して //c// = //r// = //r// + //k//) = //r//。したがって任意の //C// の元 //c// に対して ker //t// の元 //k// が存在して //c// = //r//, and //r// = //C//。

//r// = 0 であれば //k// は im //q// に入る。im //q// と ker //t// の共通部分は 0 であるから、//k// = 0 である。したがって射の制限 //r// : ker //t// → //C// は同型射であり ker //t// は //C// に同型である。

最後に、im //q// は 0 → //A// → //B// の完全性により //A// と同型である。なので //B// は //A// と //C// の直和に同型であり  が証明される。

 ならば  を示すために、同様の議論をする。//B// の任意の元は集合 ker //r// + im //u// に入る。すべての //B// の元 //b// に対し //b// = ) + //ur// であってこれは ker //r// + im //u// に入っている。ker //r// と im //u// の共通部分は 0 である、なぜならば //r// = 0 かつ //u// = //b// であれば 0 = //ru// = //c//。

完全性から im //q// = ker //r// で、//q// は単射だから、im //q// は //A// と同型で、//A// は ker //r// と同型である。//ru// は全単射だから、//u// は単射でありしたがって im //u// は //C// と同型である。なので //B// は再び //A// と //C// の直和である。

1.1. 他の証明
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http://math.stackexchange.com/questions/748699/abstract-nonsense-proof-of-the-splitting-lemma/753182#753182

2. 非可換群
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ここに述べられた形では、分裂補題はアーベル圏でない群の圏全体においては成り立たない。

2.1. 部分的には正しい
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それは部分的には正しい。群の短完全列が左分裂あるいは直和であれば、条件のすべてが成り立つ。直和に対してはこれは明らかである。直和成分から入射あるいはそれへ射影できるからだ。左分裂列に対しては、写像 が同型を与えるので、//B// は直和であり、したがって同型を逆にして自然な入射 と合成すれば //r// を分裂させる入射 を得る。

しかしながら、群の短完全列が右分裂であっても、左分裂あるいは直和である必要はない。問題は右分裂の像が正規である必要はないことだ。この場合に正しいのは、//B// は、一般には直積ではないが、半直積ではあるということである。

2.2. 反例
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反例を構成するために、最小の非アーベル群である3文字の対称群 をとる。//A// で交代部分群を表し、 とする。//q// と //r// をそれぞれ包含写像と符号写像とすると、

は短完全列である。 はアーベルでないので、条件  は成り立たない。しかし条件  は成り立つ。//u//: //C// → //B// を生成元を任意の2次の巡回置換に写すことで定義できる。完全にするために条件  が成り立たないことに言及しよう。任意の写像 //t//: //B// → //A// はすべての2-サイクルを単位元に写さなければならない、なぜならば写像は群準同型でなければならないが、2-サイクルの位数は2であり //A// の元の位数は単位元を除いて //A// は の交代部分群すなわち位数3の巡回群なので3であるがそれで割り切れない。なので //t// は自明な写像で、それゆえ //tq//: //A// → //A// も自明であり、恒等写像ではない。

3. 参考文献
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Saunders Mac Lane: //Homology//. Reprint of the 1975 edition, Springer Classics in Mathematics, ISBN 3-540-58662-8, p.16
Allen Hatcher: //Algebraic Topology//. 2002, Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0, p.147