半直積

群論において、群の半直積とは、ふたつの群から新たな群を作り出す方法の一種。群の直積の一般化であり、通常の直積をその特別な場合として含む。

1. 定義
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1.1. 内部半直積
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ふたつの群 N}}, H}} に対して N}} の H}} による内部半直積とは、次の性質を満たす群 G}} のことで、 //G// =}} //N// ⋊ //H//}} と表すAlperin。

N}} は群 G}} の正規部分群かつ H}} は群 G}} の部分群であって、//G// =}} //NH//}} を満たす
N}} と H}} は自明な共通部分をもつ：G}} を群とし、H}} をその部分群、N}} を正規部分群  とすると、以下は同値である。

//G// = //NH// かつ //N// ∩ //H// = 1.
//G// のすべての元は積 //nh//  として一意的に書ける。
//G// のすべての元は積 //hn//  として一意的に書ける。
自然な埋め込み //H// → //G//}} を自然な射影 //G// → //G// / //N//}} と合成すると、//H// と商群 //G// / //N//}} の間の同型写像となる。
//H// 上恒等写像で核が //N// の群準同型 //G// → //H//}} が存在する。

1.2. 外部半直積
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//G//}} を正規部分群 N}} と部分群 H}} の半直積であるとする。Aut}} を N}} のすべての自己同型からなる群とする。次で定義される写像 //φ//: //H// → Aut}} は群準同型である。//φ// =}} //φ////h//}}, ただしすべての //h// ∈ //H//}} と //n// ∈ //N//}} に対し、//φ////h// =}} //hnh//−1}}．//N//}}, //H//}}, //φ//}} の三つ組は以下で示すように //G//}} を同型の違いを除いて決定する。

2つの群 //N//}} と //H//}}と群準同型 //φ//: //H// → Aut}} が与えられると、次のように定義される、//φ//}} に関する N}} と H}} の半直積と呼ばれる新しい群 を構成することができるAlperin。

集合としては、 はデカルト積 //N// × //H//}} である。
の元の乗法は、準同型 によって決定される。演算は //n//1, //n//2 ∈ //N//}} と //h//1, //h//2 ∈ //H//}} に対してによって定義されるである。これは群を定め、単位元は }} で、}} の逆元は , //h//−1)}} である。対 }} 全体は //N//}} と同型な正規部分群をなし、対 }} 全体は //H//}} に同型な部分群をなす。群全体はこれら2つの部分群の内部半直積になっている。

逆に、群 G}} と正規部分群 //N//}} と部分群 //H//}} が与えられていて、G}} のすべての元 //g//}} が一意的に //g =}} nh//}}, ただし //n// ∈ //N//}}, //h// ∈ //H//}}, の形に書けるとしよう。//φ// : //H// → Aut}} を //φ// =}} //φ////h//}}、ただしすべての //n// ∈ //N//,//h// ∈ //H//}} に対して

によって与えられる準同型とする。すると //G//}} は半直積 に同型である。同型写像は積 //nh//}} を対 }} に送る。//G//}} において次が成り立ち

これは上の写像が確かに同型であることを示しておりまた の乗法の規則の定義の説明もしている。

直積は半直積の特別な場合である。これを見るためには、//φ//}} を自明な準同型、すなわち H}} のすべての元を N}} の恒等自己同型に送るものとしよう。すると は直積 である。

1.3. ホモロジー代数的定義
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群 N}} の 群 H}} による半直積とは、分裂する短完全列

を持つような群 G}} のことであるRotmanAlperin。ここで、短完全列が分裂するとは切断 //s// : //H// → //G//}} が存在することである。

2. 導入
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定義は直観的にやや分かりにくく、奇妙に見えるかもしれないが、分かりやすい例として、n次元ユークリッド空間におけるアフィン変換群 をあげることができる。n}} 次元アフィン変換

は n}} 次元一般線型変換 と n}}次元の並進変換 を合成したものであり、この変換の全体は群を成し、これを で表し、n}} 次元アフィン変換群と呼ぶ。2つのアフィン変換 と の合成変換を考えると、

である。従って、アフィン変換群 の群演算は、

となり、 と の単純な直積群ではないことが分かる。しかし と は共に の部分群を成し、とくに は正規部分群になる。 このような関係をさらに一般化したものが半直積である。

3. 例
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3.1. 直積
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直積群は半直積群でもある。

3.2. 二面体群
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位数 2//n//}} の二面体群 //D//2//n//}} は位数 n}} の巡回的正規部分群 //C////n//}} の位数 2}} の巡回群 //C//2}} による半直積であるAlperin。

3.3. 標準ボレル部分群
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一般線型群の上三角行列からなる部分群 B}} を取る。 U}} を対角成分がすべて 1}} からなる群 B}} の部分群とし、 T}} を対角行列からなる群 B}} の部分群とする。このとき次が成り立つAlperin。

3.4. アフィン変換群
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正則アフィン変換からなる群 [[アフィン群 も半直積の例である。

3.5. 半直積で表せない例
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位数 8}} の四元数群 //Q//8 =}} 〈 //i//, //j//, //k// !}} //i//2 =}} //j//2 =}} //k//2 =}} //ijk// 〉}} は自身より小さなふたつの群の半直積で表すことはできないAlperin。

4. 性質
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4.1. 位数
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位数はそれぞれの積である。

4.2. 埋め込み
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もとの群は半直積群に埋め込まれる。 つまり、ふたつの単射準同型写像 //N// → //N// ⋊ //H//}} と //H// → //N// ⋊ //H//}} がある。 さらに N}} の単射準同型像は //N// ⋊ //H//}} の正規部分群で、その剰余群は H}} と同型である。

4.3. 異なる作用における同型
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一般に、ふたつの異なる群作用 //φ//, //ψ// : //H// → Aut}} が非同型な半直積群を定めるとは限らないAlperin。 もし H}} が巡回群で作用 //φ//, //ψ//}} が単射かつ //φ// =}} //ψ//}} を満たすならば //N// ⋊//φ// //H// ≅ //N// ⋊//ψ// //H//}} であるAlperin。

5. 関連項目
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直積
輪積
シューア・ツァッセンハウスの定理
群の拡大

6. 脚注
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7. 参考文献
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R. Brown, Topology and groupoids, Booksurge 2006. ISBN 1-4196-2722-8