次数付き環

数学、特に抽象代数学において、次数付き環あるいは次数環とは を満たすアーベル群 の直和として表すことのできる環のことである。多項式環の斉次多項式への分解を一般化した概念である。添え字集合は通常非負の整数の集合か整数の集合であるが、任意のモノイドあるいは群でもよい。直和分解は通常次数化あるいは次数付けと呼ばれる。

次数加群は同様に定義される。これは次数付きベクトル空間の一般化である。次数付き環でもあるような次数付き加群は次数付き代数と呼ばれる。次数付き環は次数付き Z-代数と見なすこともできる。

結合性は次数付き環の定義において重要でない。したがってこの概念は非結合的多元環に対しても適用できる。例えば、次数付きリー環を考えることができる。

1. 基本的な性質
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を次数付き環とする。

は //A// の部分環である。
はのイデアルとなる。
各 は -加群である。
可換 -次数付き環 がネーター環であるのは、 がネーター的かつ //A// が 上の多元環として有限生成であるとき、かつそのときに限る。そのような環に対して、生成元を斉次にとることができる。分解の任意の因子 の元は次数 //i// の斉次元と呼ばれる。 イデアルや他の部分集合 ⊂ //A// が斉次であるとは次を満たすことである。任意の元 //a// ∈ に対して、すべての //ai// を斉次元として //a=a1+a2+...+an// であるときに、すべての //ai// が の元である。与えられた //a// に対し、これらの斉次元は一意的に定義され、//a// の斉次部分と呼ばれる。//I// が //A// の斉次イデアルであれば、 も次数付き環であり、次の分解をもつ。

任意の環 //A// は //A//0 = //A// および //i// > 0 に対して //A////i// = 0 とすることによって次数付きにできる。これは //A// の自明な次数化と呼ばれる。

2. 次数付き加群
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加群論において対応する概念は次数付き加群  である。すなわち次数付き環 //A// 上の左加群 //M// であって

であり

でもあるようなものである。

次数付き加群の間の準同型 は、次数付き準同型と呼ばれるが、加群の準同型であって、次数付けを反映したもの、すなわち、 が成り立つようなものである。次数付き部分加群は、それ自身次数付き加群であって集合論的包含が次数付き加群の射であるような部分加群である。明示的に書くと、次数付き加群 //N// が //M// の次数付き部分加群であることと、//M// の部分加群で を満たすことは同値である。次数付き加群の射の核と像は次数付き部分加群である。

例：次数付き環はそれ自身の上の次数付き加群である。次数付き環のイデアルが斉次であることと次数付き部分加群であることは同値である。定義によって部分環が次数付き部分環であることと次数付き部分加群であることは同値である。次数付き加群の零化イデアルは斉次イデアルである。

例：次数付き環から次数付き環への像が中心に含まれるような次数付き射を与えることは、後者の環に次数付き代数の構造を与えることと同じである。

次数付き加群 //M// が与えられたとき、the //l//-twist of は によって定義される次数付き加群である。

//M// と //N// を次数付き加群とする。 が加群の射であれば、 のときに //f// の次数は //d// であるという。微分幾何学における微分形式の外微分は負の次数をもつそのような射の例である。

3. 次数付き加群の不変量
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次数付き可換環 //A// 上の次数付き加群 //M// が与えられたとき、形式的ベキ級数 を関連付けることができる：

これは //M// のヒルベルト–ポアンカレ級数と呼ばれる。

次数付き加群は加群として有限生成なときに有限生成という。生成元は斉次にとることができる。

//k// を体、//A// を多項式環 、//M// を //A// 上有限生成な次数付き加群とする。このとき関数 は //M// のヒルベルト関数と呼ばれる。この関数は十分大きい //n// に対して //M// のヒルベルト多項式と呼ばれる整数値多項式と一致する。

4. 次数付き多元環
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環 //R// 上の代数 //A// は環として次数付きのときに次数付き多元環である。

//R// が次数付きでないような一般の場合には、自明な次数付けが与えられていると考える。したがって //R// ⊆ //A//0 であり各 //A////i// は //R// 加群である。

環 //R// が次数付き環でもあるような場合には、次のことを要求する。

および

.言い換えると、//A// が //R// 上左かつ右次数付き加群であることを要求する。

次数付き多元環の例は数学においてよく現れる。

多項式環。次数 //n// の斉次元はちょうど次数 //n// の斉次多項式である。
ベクトル空間 //V// のテンソル代数 //T//•//V//。次数 //n// の斉次元はランク //n// のテンソル //T////n////V// である。
外積代数 Λ•//V// および対称代数 //S//•//V// もまた次数付き代数である。
任意のコホモロジー論におけるコホモロジー環 //H// • もまた次数付きであり、//H////n// たちの直和である。次数付き代数は可換環論と代数幾何学、ホモロジー代数、そして代数トポロジーにおいてしばしば使われる。1つの例は斉次多項式と射影多様体の緊密な関係である。

5. G-次数環と多元環
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上記の定義は添え字集合として任意のモノイド //G// を使った次数付き環に一般化できる。//A// は直和分解

をもった環であって

が成り立つようなものである。

今や"次数環"の概念は N-次数環と同じものである。ただし N は非負整数が加法についてなすモノイドである。次数加群や代数についての定義もまた添え字集合 N を任意のモノイド //G// にとりかえることによって拡張できる。

注意：

環が単位元をもつことを要求しない場合、モノイドのかわりに半群でもよい。例：

群は自然に対応する群環を次数付ける。同様に、モノイド環は対応するモノイドによって次数付けされる。
超代数 は Z2-次数代数の別名である。クリフォード代数はその例である。ここで斉次元は次数 0かまたは 1である。

6. 反可換性
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いくつかの次数付き環は反交換構造をもつ。この概念は、次数化のモノイドの、2元からなる体 Z/2Z の加法的モノイドへの準同型を要求する。具体的には、signed monoid は対  からなる。ただし Γ はモノイドであり ε : Γ → Z/2Z は加法的モノイドの準同型である。反交換 Γ-次数環は Γ によって次数付けされた環 //A// であって次を満たす。

すべての斉次元 //x// と //y// に対して、

6.1. 例
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外積代数は反可換代数の例である。構造 、ただし ε: Z → Z/2Z は商写像、によって次数付けされている。
超可換代数は、反可換  -次数代数と同じものである。ただし ε は Z/2Z の加法的構造の恒等自己準同型である。

7. 例
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多項式環 は次数によって次数付きである。これは次数 //i// の斉次多項式からなる の直和である。
//S// を次数付き整域 //R// のすべての0でない斉次元からなる集合とする。このとき //R// の //S// による局所化は Z-次数付けられた環である。

8. 脚注
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9. 参考文献
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Bourbaki, N. . //Algebra I// , ISBN 978-3-540-64243-5, Chapter 3, Section 3.
Matsumura, H. , //Commutative ring theory.// Translated from the Japanese by M. Reid. Second edition. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8.

10. 関連項目
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付随する次数環: 必ずしも次数付けられていない環とその真のイデアルから得られる次数環
次数付き微分環
フィルター付き代数、一般化したもの
次数付きベクトル空間