コバノフホモロジー

数学において、コバノフホモロジーは、鎖複体のホモロジーとしてできる向きづけられた結び目の不変量である。コバノフホモロジーはジョーンズ多項式のカテゴリ化として考えられる。

コバノフホモロジーは1990年代の終わりに、ミハイル・コバノフにより導入された。彼は当時はカリフォルニア大学デービス校に在籍しており、現在はコロンビア大学に所属している。

1. 概要
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結び目もしくは絡み目 L を表現する図形 D に、コバノフ括弧 D、これは次数付きベクトル空間の鎖複体、を割り当てる。すると、ジョーンズ多項式の構成の中でのカウフマン括弧の類似物となる。次に、D を一連の次数シフトと高さシフトにより正規化して、新しい複体 C を得る。この複体のホモロジーは L の不変量であることが分かり、その次数付きオイラー標数は L のジョーンズ多項式であることが分かる。

2. 定義
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の論文に沿う。)

次数付きベクトル空間の上の次数シフト 作用素を {l} で表す；すなわち、m 次元内の同次成分は、   m   +   l へシフトする。

同様にして、鎖複体の上の 高さシフト 作用素をs と表す。つまり、r 番目のベクトル空間 もしくは 加群は、 番目の場所へ移動し、そのときにすべての微分写像もともにシフトすることになる。

V を次数 1 の生成子 q と次数   −1 の生成子 q−1 とを持つ次数付きベクトル空間とする。

ここで絡み目 L を表現する任意の図形 D をとる。コバノフホモロジー の公理は次のようになる：

ø = 0 → Z → 0, ここの ø は空の絡み目を表す。
O D = V ⊗ D, ここの O は結ばれていない自明な成分を表す。
D = Fこれらの内の三番目で、F は「平坦化する」作用素を表していて、単体複体は二重複体から、対角に沿って直和をとることで得られる。また、D0 で D の中のある選ばれた交点の「0-smoothing」を表すとして、D1 で「1-smoothing」、同じようにすると、カウフマン括弧のスケイン関係式と似た式が得られる。

次に、「正規化された」複体 C = D−n−{n+   −   2n−} を構成する。ここで n− は D の選択された図形の中の左手の交叉の数を表し、n+ は右手の交叉の数を表す。

L の コバノフホモロジー は、この複体 C のホモロジー H である。コバノフホモロジーは実際に L の不変量となっていて、図形の選択には依存しないことが分かる。H 次数付きオイラー標数は、L のジョーンズ多項式であることも分かる。H は、ジョーンズ多項式以上の L の情報を持っていることが示されているが、完全な詳細は未だ完全には理解されていない。

2006年にドロール・バー-ナタンは、任意の結び目のコバノフホモロジーを計算するに十分なコンピュータプログラムを開発した。

3. 関連する理論
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コバノフホモロジーでもっとも興味を持たれている側面の一つに、完全系列が形式的に3次元多様体のフレアーホモロジーの完全系列に似ていることである。さらに、ゲージ理論やその類似を使い示すことでのみ、結果を再現することがある。ヤコフ・ラスムッセンのクロンハイマーとムロフカの定理の別の新しい証明があり、これはミルナー予想の証明である。予想であるが、コバノフホモロジーをピーター・オズバスとゾルタン・ザボーのフレアーホモロジーに関係づけるスペクトル系列がある。別のスペクトル系列  は、コバノフホモロジーの変形を結び目に沿った分岐した二重被覆のヒーガードフレアーホモロジーと関係づける。三番目  は、分岐した二重被覆のモノポールフレアーホモロジーの変形に収束するという結果もある。

コバノフホモロジーはリー代数 sl2 の表現論に関係する。ミハイル・コバノフとレフ・ロザンスキーはすべての n に対して sln に付随するコホモロジー論を定義した。2003年にカサリーナ・ストロッペルは、コバノフホモロジーをすべての n について sln へ一般化されたタングルの不変量に関係付けた。

ポール・ザイデルとイワン・スミスは、ラグランジアン交叉フレアーホモロジーを使い、単一の次数付き結び目ホモロジー論を構成しました。そこでは、単一次数付きのコバノフホモロジーは同型であろうと予想されている。シプリアン・マノレスクは、この構成を単純化し、どうするとザイデル-スミス不変量の彼のバージョンを元にして鎖複体からのジョーンズ多項式を再現できるかを示した。

4. 結び目多項式との関係
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2006年の国際数学者会議でミハイル・コバノフは、コバノフホモロジーの観点より、結び目多項式の関係の説明を提案した。 3つの絡み目 , のスケイン関係式は、次のようになる。

この式に と代入すると絡み目多項式不変量 が導かれる。この式で、 に対し、次のように正規化する。

また、 とする。 について、多項式 は、量子群 の表現論を通して解釈することができ、また は、量子リー超代数 を通して解釈することができる。

アレクサンダー多項式 は二重結び目ホモロジー論のオイラー標数である。 は自明である。ジョーンズ多項式 は二重絡み目ホモロジー論のオイラー標数である。ホムフリー多項式は、三重次数付き絡み目ホモロジー論のオイラー標数である。

5. 応用
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コバノフホモロジーの第一の応用は、ヤコフ・ラスムッセンにより与えられた。彼はコバノフホモロジーを使い、s-不変量を定義し、この結び目の整数に値を持つ不変量は、スライス種数を有限とし、ミルナー予想を証明することができた。

2010年には、クロンハイマーとムロフカは、コバノフホモロジーが、自明な結び目か否かを識別することを証明した。カテゴリ化された理論は、カテゴリ化されていない理論よりも多くの情報を持ってる。従って、コバノフホモロジーが自明な結び目か否かを識別するからといって、ジョーンズ多項式が自明な結び目か否かを識別するとは限らない。

6. 参考文献
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Mikhail Khovanov, //A categorification of the Jones polynomial//, Duke Mathematical Journal 101  359–426. math.QA/9908171}}.
Catharina Stroppel, //Categorification of the Temperley-Lieb category, tangles, and cobordisms via projective functors//, Duke Mathematical Journal 126  547–596.
Dror Bar-Natan, [1], Algebraic and Geometric Topology 2  337–370. math.QA/0201043}}.
Ozsváth, Peter and Szabó, Zoltán. On the Heegaard Floer homology of branched double-covers. Adv. Math. 194 , no. 1, 1—33. Also available as [2]. This paper discusses the spectral sequence relating Khovanov and Heegaard Floer homologies for knots.

7. 外部リンク
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