フレアーホモロジー

数学において、フレアーホモロジーは、シンプレクティック幾何学や低次元トポロジーの研究に使用される有用なツールである。フレアーホモロジーは、有限次元のモース理論の無限次元の類似として発生した高級な不変量である。アンドレアス・フレアーは、現在はハミルトニアンフレアーホモロジーと呼ばれているフレアーホモロジーの最初のバージョンを導入し、シンプレクティック幾何学のアーノルド予想の証明に使った。フレアーは、これと密接に関連するシンプレクティック多様体のラグランジアン部分多様体の理論を開発した。フレアーは、また、シンプレクティック多様体のラグランジアン部分多様体に密接に関連する理論も開発した。フレアーが第三番目に構成したことは、ヤン・ミルズ汎函数を使い、ホモロジー群を閉 3次元多様体へ関連付けた。これらの理論とそれの適用は、3次元や 4次元トポロジーと同様に、シンプレクティック多様体や接触多様体の現在の研究で、基本的な役割を果たしている。

フレアーホモロジーは、無限次元多様体とその上の実数値函数をある興味深い対象へ結び付けることにより定義される。例えば、シンプレクティック幾何学のバージョンでは、フレアーホモロジーは、シンプレクティック作用汎函数をシンプレクティック多様体の自由ループ空間へ結び付ける。3次元多様体のバージョンでは、3次元多様体上のSU-接続の空間へ結び付ける。おまかに言うと、フレアーホモロジーは、無限次元多様体の上の自然な函数から計算されるモースホモロジーである。この自然な函数は、シンプレクティックな場合は、シンプレクティック作用を持つシンプレクティック多様体の自由ループ空間であり、3次元多様体の場合は、チャーン-サイモンズ汎函数を持つ 3次元多様体上の SU-接続の空間である。大まかには、フレアーホモロジーは、無限次元多様体上の函数のモースホモロジーである。フレアーチェーン複体は、函数の臨界点で張られるアーベル群から構成される。チェーン複体の微分は、臨界点と臨界点とを結ぶ函数の勾配の力線の数を数えることにより定義される。このベクトル空間の線型な自己準同型は、2つの臨界点を結ぶ函数の勾配の力線を数えることで定義される。フレアーホモロジーは、このチェーン複体のホモロジーである。

フレアーのアイデアをうまく適用できる状況では、勾配の力線の方程式が、幾何学的解析的に扱いやすい典型的な方程式である。シンプレクティックフレアーホモロジーに対し、ループ空間の中の経路の勾配の力線の方程式は、注目しているシンプレクティック多様体への円筒形からの写像のコーシー・リーマンの方程式であり、解は擬正則曲線として知られている。従って、グロモフのコンパクト性定理は、微分が well-defined で、二乗が 0 となるので、フレアーホモロジーを定義することができることを示した。インスタントンフレアーホモロジーに対し、勾配の力線の方程式はまさに、実直線と交差する 3次元多様体上のヤン・ミルズ方程式である。

1. シンプレクティックフレアーホモロジー
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シンプレクティックフレアーホモロジー  は、シンプレクティック多様体とその上の非退化なシンプレクティック写像と結びついたホモロジー論である。シンプレクティック写像がハミルトニアンであれば、ホモロジーはシンプレクティック多様体のループ空間の上のシンプレクティック作用の研究から出て来る。SFH はシンプレクティック写像のハミルトニアンイソトピーでは不変である。

ここで、非退化とは、どの固定点でもシンプレクティック写像の微分の固有値には1がないことを意味し、この条件は固定点が孤立していないことを意味する。SFH はそのようなシンプレクティック写像の固定点によって生成される鎖複体のホモロジーである。そこでは微分が、実直線とシンプレクティック写像のトーラス写像の直積の中のある擬正則曲線を数え上げる。これ自体は元の多様体よりも2次元大きな次元のシンプレクティック多様体で、概複素構造を適当に選ぶと、その中の穴のあいた正則曲線は、シンプレクティック写像の固定点に対応する写像トーラスの中のループに漸近的に近づく円筒形の端点を持っている。相対インデックスは固定点のペア毎に定義され、微分は相対インデックス   1 を持つ正則シリンダーの数を数える。

コンパクト多様体のハミルトニアンシンプレクティック写像のシンプレクティック フレアーホモロジーは、基礎となっている多様体の特異ホモロジーと同型である。このようにして、その多様体のベッチ数の和が、非退化なシンプレクティック写像の固定点の数に対するアーノルド予想の一つのバージョンで予想される下界を意味する。ハミルトニアンシンプレクティック写像の SFH もまた、量子コホモロジーと同値な変形されたカップ積であるパンツペアの積を持っている。積のバージョンでは、完全でないハミルトニアンシンプレクティック写像に対しても存在する。

多様体 M の余接バンドルについて、フレアーホモロジーは非コンパクトであるために、ハミルトニアンの選択に依存している。無限遠点で二乗になっているハミルトニアンに対して、フレアーホモロジーは M の自由ループ空間の特異ホモロジーになっている。基礎となる多様体のループ空間のホモロジー上の位相的弦理論に対応する余接バンドルのフレアーホモロジーの上の作用素は、さらに複雑になっている。

フレアーホモロジーのシンプレクティックバージョンは、ホモロジカルミラー対称性予想の定式化の中で決定的な方法となっている。

1.1. PSS同型
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1996年、S. Piunikhin、D. Salamon、M. Schwarzは、フレアーホモロジーと量子コホモロジー環との間の関係についての結果をまとめ、次のように定式化した。

半正なシンプレクティック多様体  のループ空間のフレアーコホモロジー群は、//M// の通常のコホモロジーと自然に同型となる。ただし、被覆変換に関する適当なノビコフ環とのテンソル積を取るものとする。
この同型は、フレアーホモロジー上のパンツペアの積を持つ //M// のコホモロジーの量子カップ積構造と密接に関連する。上記の半正という条件とシンプレクティック多様体 //M// がコンパクトであるという条件は、ノビコフ環と、フレアーホモロジーと量子コホモロジーの定義の双方を得るために必要となる。半正という条件は次の3点のことを言う。

すべてのπ2に属する //A// と λ ≥ 0 に対して が成立する 。
すべてのπ2に属する //A// に対し、 が成立する。
<c1,π2>=//N//Zにより定義される//最小チャーン数// //N// ≥ 0 が //n - 2// に等しいかまたは大きい.シンプレクティック多様体 //M// の量子コホモロジー群は、通常のコホモロジーとノビコフ環 Λ のテンソル積、つまり、

.と定義できる。このフレアーホモロジーの構成は、//M// 上の概複素構造の選択とは独立であることも説明するし、モース理論や擬正則曲線の考え方から得られたフレアーホモロジーとの同型も説明できる。ここで、背景としてホモロジーとコホモロジーの間のポアンカレ双対があることに注意が必要である。

2. 3次元多様体のフレアーホモロジー
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閉じた3次元多様体についての複数のフレアーホモロジーの間には、同値関係があると予想されている。3つのタイプのホモロジー群が互いに同値であり、完全三角性を形成すると予想されている。3次元多様体の結び目は、それぞれの理論のチェイン複体のフィルトレーションを引き起こし、チェインのホモトピータイプが結び目不変量となる。

これらのホモロジーは、4次元シンプレクティック多様体のタウベスによるグロモフ不変量と同じように、4次元多様体のドナルドソン不変量やサイバーグ不変量と密接に関連している。3次元ホモロジーをこれらの理論に対応させる微分は、3次元多様体の交叉 R 上の微分方程式であるヤン・ミルズ理論やサイバーグ・ウィッテン理論やコーシー-リーマン方程式、をそれぞれの解を考えることであることが分かる。3次元多様体のフレアーホモロジーも境界を持つ 4次元多様体の相対的な不変量の対象となるべきで、3次元多様体を境界として張り合わせることで得られる閉 4次元多様体の不変量と、張り合わせる構成により関連付けられる。 ヒーガードフレアーホモロジーに対し、3次元多様体のホモロジーが最初に定義され、後日、閉 4次元多様体の不変量がこの方法で定義された。

3次元多様体のホモロジーの境界を持った 3次元多様体への拡張も存在していて：縫い合わせフレアーホモロジーJuhasz や境界を持つフレアーホモロジーLipshitzがある. これらは 2つの境界を持つ3次元多様体の境界に沿った併合として記述される 3次元多様体のフレアーホモロジーの張り合わせ公式により、閉3次元多様体の不変量に関連していると期待されている。

3次元多様体がサイバーグ-ウィッテンの場合に、クロンハイマーとムロフカの始めた接触構造を持っているとき、3次元多様体のフレアーホモロジーは別なホモロジーの要素を持つことになる。が定義される。埋め込まれた接触ホモロジーは、Hutchingsに解説されているので、参照）