非有界作用素

数学の、特に関数解析や作用素論の分野における非有界作用素は、位相線型空間のあいだの線型写像で不連続であること・全体では定義されていないことを許したようなものである。幾何学における微分作用素や量子力学における非有界オブザーバブルなどを扱うための抽象的な基礎付けをあたえるのに用いられる。

ここで「非有界作用素」という語は誤解を招く恐れがある。実際に意味するところは、

「非有界」は、「必ずしも有界ではない」という意味で解釈される;
「作用素」は、「線型作用素」と解釈される;
作用素の定義域は線型部分空間であり、必ずしも全空間ではない;
定義域は必ずしも閉ではない; それはしばしば稠密であると仮定される;
有界作用素の特別な場合において、定義域は通常、全空間であると仮定される;という点に注意されたい。

有界作用素の場合と異なり、非有界作用素は個々の作用素が異なった定義域を持ちうるため、非有界作用素同士の和や合成がいつでも意味を持つわけではない。

「作用素」という語はしばしば「有界線型作用素」を意味するが、この記事の文脈では「非有界作用素」を表すこととする。以下の解説では主にバナッハ空間やヒルベルト空間の間の非有界作用素について説明するが、ほとんどの構成を適切な形に修正してより一般的な位相ベクトル空間へと一般化することができる。

1. 小史
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非有界作用素の理論は、1920年代後半、量子力学に対する厳密な数学的基盤を構築するという試みから生じた。理論の系統的な発展はジョン・フォン・ノイマン と マーシャル・ストーンによるものであった。非有界作用素を解析するためにグラフを用いる手法は、フォン・ノイマンにより において導入されたReed。

2. 定義と基本性質
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//B//1 および //B//2 をバナッハ空間とする。非有界作用素//T//   : //B//1 → //B//2}} とは、//B//1 の線型部分空間 //D// から空間 //B//2 への線型写像 //T// のことである。有界線型作用素の場合とは異なり、ここでは //T// は全空間 //B//1 上で定義されない場合も考慮する。二つの作用素が等しいとは、それらが共通の定義域を持ち、その定義域上で同一のものであることを意味する。

作用素 //T// に対して、もしそのグラフ Γ が閉集合であるなら、//T// は閉であると言われるここで、グラフ Γ は直和 //B//1 ⊕ //B//2}} の線型部分空間で、ベクトル //x// を//T// の定義域内で動かして得られる対 }} 全てからなる集合である。一般に直和上の(l1和ノルムの）（「と書ける」は不要に思えるが注釈があることなどから判断しきれないためコメントアウトとした--> を満たす が存在することである。

特に、//T// の値域が閉であることと、//T//∗ の値域が閉であることは必要十分である。

有界の場合と対照的に、必ずしも ∗ = //S//∗//T//∗ は成立しない。実際、∗ が存在しないことさえあり得る。しかし、例えば //T// が有界であればその式は成り立つ。

稠密に定義された閉作用素 //T// は、次の同値な条件のいずれかを満たすとき、正規であると言われる:

//T//∗//T// = //T// //T//∗;
//T// の定義域は //T//∗ の定義域と等しく、その領域内のすべての //x// に対して が成立する;
//T// = //A// + //iB//、//T//∗ = //A// – //iB//, であり、 が //T// の定義域内のすべての //x// に対して成立するような自己共役作用素 //A// と //B// が存在する。すべての自己共役作用素は正規である。

3. 転置
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//T//   :   //B//1   →   //B//2 を、バナッハ空間の間の作用素とする。このとき、//T// の転置 とは

がすべての //x// ∈ B1 および //y// ∈ B2* に対して成り立つような作用素のことを言う。ここで、記法 を用いた。

//T// の転置が存在するための必要十分条件は、//T// が稠密に定義されていることである。

//H// をヒルベルト空間、//y// ∈ //H//とするとき、 とおく。このとき、 によって与えられる反線型の同型を考える。この同型を用いて、転置 //T//' は共役 //T//∗ と、次のように関係付けられる:

ここで である。この等式は転置によって共役の定義を与えていることに注意されたい。

4. 対称作用素と自己共役作用素
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稠密に定義された作用素 //T// が、 その定義域のすべての元 //x// と //y// に対して を満たすとき、//T// は対称であるという。つまり、稠密に定義された作用素で //T//∗ が //T// の拡張になっているようなものが対称作用素である。ある作用素 //T// が対称であるための必要十分条件は、付随する二次形式が実であること、すなわち、数 が、//T// の定義域内のすべての //x// に対して実となることである。

さらに//T//∗ = //T// が成り立つとき、作用素 //T// は自己共役であると言われる。共役作用素は必ず閉なので、自己共役な作用素は特に閉となる。稠密に定義された閉の対称作用素 //T// が自己共役であるための必要十分条件は、//T//∗ が対称になることである。対称作用素の中には自己共役でないものもある。

//J//を上で用いた写像 とする。稠密に定義された作用素 //T// に対して、そのグラフΓ が //J//) と直交するなら、//T// は対称作用素になる。さらに、 が Γ と //J//) の内部直和になっているなら、//T// は自己共役である。

作用素 //T// が稠密に定義された閉対称作用素で、さらに //T// の定義域上で定義された作用素 //T// – //i//, および //T// + //i// が両方とも全空間 //H// への全射であれば、//T// は自己共役になる 。つまり、//H// 内のすべての //x// に対して、//T// の定義域に含まれるような //y// と //z// で //T y// – //iy// = //x// および //Tz// + //iz// = //x//. を満たすようなものが存在する、ということを意味する。

上記の方法は稠密に定義されていない閉作用素には適用できない。稠密に定義されていない作用素の対称性は、共役作用素ではなく直接あるいはグラフを通じて定義される。

対称作用素の研究はしばしばその有界変換であるケイリー変換を通じて行われる。

稠密に定義された作用素 //T// は、もしその二次形式が非負であるなら、すなわち が //T// の定義域内のすべての //x// に対して成立するなら、正あるいは非負と呼ばれる。そのような作用素は、必ず対称である。

稠密に定義されたすべての閉作用素 //T// に対して、作用素 //T//∗//T// は、自己共役かつ正である。

スペクトル定理は、自己共役作用素や正規作用素へと適用されるが、一般的に、稠密に定義された作用素や閉作用素へは適用されない。なぜならば、それらはスペクトルが空となる場合があるからである。

至る所で定義された対称作用素は閉で、したがって有界である。これはヘリンジャー-テープリッツの定理として知られる。

5. 拡張に関すること
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作用素 //T// が作用素 //S// の拡張であるとは、Γ  ⊆ Γ が成立することを言う。同値な定義として、//S// の定義域内のすべての //x// は //T// の定義域に属し、//Sx// = //Tx// が成立する、ということが挙げられる。

すべての作用素に対して、至る所で定義された拡張が存在することに注意されたい。これは、代数的なベクトル空間としての基底の存在により説明され、選択公理に基づく純粋代数的な事実である。もし与えられた作用素が有界でないなら、その拡張は不連続線型写像となる。これは、与えられた作用素の重要な性質を保つことはなく、一般的に一意ではないため、あまり有用性が無い。

作用素 //T// は、次の同値な条件のいずれかを満たすとき、可閉と呼ばれる:

//T// に閉拡張が存在する;
//T// のグラフの閉包が、ある作用素のグラフである;
//T// の定義域内の点列  で、//xn// が 0 に収束し、また //Txn// がある //y// に収束するようなすべてのものに対して、//y// = 0 が成立する。すべての作用素が可閉という訳ではない。

可閉な作用素 //T// は、最小の閉拡張 を持ち、それは //T// の閉包と呼ばれる。//T// のグラフの閉包は、 のグラフに等しい。他の、最小ではない閉拡張も存在することがある。

稠密に定義された作用素 //T// が可閉であるための必要十分条件は、//T//∗ が稠密に定義されていることである。この場合、 および が成り立つ。すべての対称作用素は、可閉である。

もし //S// が稠密に定義されており、//T// が //S// の拡張であるなら、//S//∗ は //T//∗ の拡張となる。

対称作用素は、それ自身を除いてもし対称な拡張が存在しないのなら、最大対称と呼ばれる。すべての自己共役作用素は、最大対称であるが、その逆は成立しない。

閉包が自己共役であるような作用素は、本質的自己共役と呼ばれる。ある作用素が本質的自己共役であるための必要十分条件は、それがただ一つの自己共役な拡張を持つことである。作用素には一つよりも多くの自己共役な拡張が存在する可能性があり、連続濃度の相異なる自己共役拡張が存在することさえある。稠密に定義された対称作用素 //T// が本質的自己共役であるための必要十分条件は、作用素 //T// – //i//, および //T// + //i// が両方とも稠密な値域を持つことである。

//T// を稠密に定義された作用素とする。「//T// が //S//" の拡張である」という関係を //S// ⊂ //T// と表す。次が成立する。

もし //T// が対称であるなら、//T// ⊂ //T//∗∗ ⊂ //T//∗ である。
もし //T// が閉かつ対称であるなら、//T// = //T//∗∗ ⊂ //T//∗ である。
もし //T// が自己共役であるなら、//T// = //T//∗∗ = //T//∗である。
もし //T// が本質的自己共役であるなら、//T// ⊂ //T//∗∗ = //T//∗である。

6. 自己共役作用素の重要性
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自己共役作用素の類は、数理物理学の分野において本質的に重要となる。すべての自己共役作用素は稠密に定義され、閉かつ対称である。その逆は、有界作用素に対しては成立するが、一般には成立しない。自己共役性は実質、それら三つの性質よりも制限の強いものなのである。自己共役作用素に対しては、有名なスペクトル定理が成り立つ。この定理と一径数ユニタリ群に関するストーンの定理を組み合わせることにより、自己共役作用素は、強連続1パラメータユニタリ群の無限小生成素であるということが示される。そのようなユニタリ群は、古典力学や量子力学の分野における時間発展を表現する上で、特に重要となる。

7. 関連項目
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ヒルベルト空間
有界作用素

8. 脚注
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9. 参考文献
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last=Pedersen .
last1=Reed .
last1=Berezansky .