かけ算の順序問題

かけ算の順序問題高橋誠は、かけ算によって解が得られる算数の文章題において、答えが合っていても式の順序が間違っているとバツになる採点方針の是非をめぐる論争である。「かけ算の順序強制問題」黒木玄「かけ算の式の正しい順序」高橋誠「かけ算の順番」片岡麻実などとも言われている。

1. 概要
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日本では、1972年に朝日新聞で報道されて以来、この問題は数学者らにたびたび取り上げられてきた。 例えば、1つぶんの数×いくつ分で求まるかけ算の文章問題では、「6人のこどもに、1人4こずつみかんをあたえたい。みかんはいくつあればよいでしょうか。」という設問に対する、「6 × 4 = 2424 個」という解答を不正解にすべきかどうか朝日新聞社が問題となる。日本の小学校では、1つぶんの数×いくつ分の順序で書かれている式のみを正解とする採点方針が散見され、式を不正解とし答えを正解とすることがある。このような事例に対して、交換法則が成り立つからどちらの順序でもよい高橋誠、トランプ配りのように1こずつ渡した子は6をひとつ分と考えることもできる遠山啓などの批判が集中した。日本の小学生向け教科書、学習参考書に例示されている式は「1つぶんの数×いくつ分」の順序にほぼ統一されている。逆の順序に書かれた式を不正解とみなす記述は、各社の教科書指導書および一部の教科書・学習参考書に見られる。しかし、文部科学省による学習指導要領および指導要領解説では順序は規定されておらず、文部科学省は新聞の取材に対して採点方針は学校現場に裁量があるとしている上原佳久。

世界的には順序を不問にしている国立教育政策研究所との調査結果もある。

2. 歴史的経緯
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文部省は1951年, 小学校学習指導要領算数科編昭和26年改訂版文部省において と記述したが、正式な学習指導要領および学習指導要領解説にはこのような記述がなされることはなかった。

1951年4月16日に数学者の遠山啓らを中心に数学教育協議会が結成された。数教協は、かけ算を4 × 6 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 のように累加として導入するのはよくないと主張した。累加では4 × 1/3のような分数のかけ算が出てきたときに説明が難しくなるからである。 教育現場においては「かけ算は

1あたり量 × いくつ分と立式するべきである」と唱えた教師もおり、「『三羽のウサギに耳はいくつあるでしょうか』というときに、『３×２』という式を立てると、『三本耳の兎が二羽いる』ことになってしまうでしょう？」などとして、遠山啓および数教協と対立したdate = 2023年9月}}。

1972年1月26日の朝日新聞朝日新聞社によると、大阪府の小学校で「6人に4個ずつミカンを配る」という問題が出題されたが、「6 × 4 = 24 こたえ24こ」という答案の答にマルがつけられ、式にバツがつけられて「4 × 6」が正しいと指導されたという。これに異議をとなえ文部省に質問状を送る親も現れ、かけ算の順序の「正解」をめぐって論争が起こった。

1972年、遠山啓は、『科学朝日』1972年5月号で、4 × 6だけを正解とすることについては否定的な見解を示した。その理由は「6人に1個ずつミカンを配ることを4回繰り返すと、6個ずつのまとまりが4つあると考えられるから」というものである遠山啓。

1977年、数学者の森毅は、『科学朝日』に『数の現象学』を連載し、5月号に「次元を異にする3種の乗法」として出版した中で、「大学入試などでは、『1人に1個ずつ配ると6人に対しては6個必要になる。1人当たり4個にするためには、それを4回繰り返さなければならない』というように書かなければ大減点される。6人を6個／回に、4個／人を4回に転換するところを書かないと、それぞれ1割程度減点、わざわざ間接的にマワリミチしたことで1割ぐらい減点。」「日本は『4の6倍』式に4 × 6と書くが、ヨーロッパでは『6倍の4』式に6 × 4と書く、日本のほうが合理的」と主張した森毅。

1984年、数学者の矢野健太郎は、『おかしなおかしな数学者たち』矢野健太郎を出版した。この本で遠山啓についての項矢野健太郎で、名古屋のラジオ局から、名古屋の小学校で「ミカンを4つずつ6人の人に配りたいと思う。ミカンは全部でいくつあればよいか」という問題に6 × 4 = 24と答えた子どもがいて、教師はこれを0点にしたということを聞かされ、意見を求められたのに対してどちらでも良いと答えたことを記している。矢野は理由付けを1時間ほどかけて考えたが、一週間後に遠山啓に話したところ、遠山啓はそう言うように考える子がときどきあることおよび、カード式配りとよんでいてもともと知っていたというエピソードを述べている。

1993年、数学者の伊藤武広、萩上紘一、原田実は、小学生に算数を教える教師に整数環Zの代数的構造などの数学的素養が必要であるとする論文伊藤武広を出版した。そのきっかけは、筆者らのうち一人の長男が2年生の時、「3枚の皿にりんごが2個ずつのっている時全部でりんごが何個あるか」という問題に対して「3 × 2 = 6」と解答したところ担任教師が「答えの6は正しいけれども，式は3 × 2ではなく 2 × 3でなければならない」と指導したことである伊藤武広。その後の問答で、教師は「リンゴが2個ずつのっている皿が3枚あるから2個+2個+2個即ち2個 × 3 = 6個である。2+2+2は2の3倍即ち2 × 3であって3の2倍即ち3 × 2ではないこれを同数累加という。」「2が被乗数,3が乗数でそれぞれちがう意味を持っているから2 × 3と 3 × 2は同じではない 」などの主張をしたことが報告されている伊藤武広。

1994年、心理学者の守一雄は伊藤武広らの論文伊藤武広について、なぜ環と加群の知識が必要な素養なのか示されていないと批判する論文守一雄を出版した。このなかで、守一雄は教師の対応は十分だったと評価している守一雄。

2001年7月24日教育課程部会にて上野健爾は

特に今の教員免許状を取得する課程において、特に小学校、中学校において、専門の課程の勉強が少な過ぎると思うんです。

きのうも、私の友人が広島地方の新聞の投書欄を送ってきたんですけれども、小学校で、長方形の面積の計算をしなさいというテストが出ていて、式が△になって、答えが○になっていた。なぜ式が△になったかというと、学校では、長方形の面積は縦×横だと教えたのに、その子は横×縦に書いていたからだというんですね。でも、長方形、横、縦というのは、ひっくり返せばどうでもなることですから、そんなことどうでもいいことですし、掛け算は順番を変えてもいいわけですからね。

皆さん、お笑いになるけれども、現実に起こっていることなんです。私の息子の場合も、中学校の幾何の問題で、わからないから聞かれたことがありまして、息子のノートを見ると、私が言ったことと違う書き方がしてあるんですね。どうして、さっき言ったのと違うのと聞いたら、教科書ではこう書いてある。それは、「ゆえに」か、「よって」か、「したがって」かの言葉の違いなんです。だから、どう書いても正しいのにその教科書どおりに書いておかないと5点引かれるというんですね。

ばかげているんですけれども、これは先生が本当にはわかっておらないから、自信がなくて、つい教科書に書いてあるものにしか○をあげられなくなってしまっているのだと思います。そういうことを改善するためにぜひ、何らかの対策を打ってほしいと思います。 }}と述べた。

2007年、数学者の岩永恭雄は伊藤武広ら伊藤武広と守一雄守一雄の論文を再検討する論文を発表した岩永恭雄。岩永は教師の誤りと断じるとともに、その原因を考察し、教科書および指導書の記述が不適切であることを指摘した岩永恭雄。

2008年の小学校学習指導要領解説算数編p147文部科学省では と但し書きが書かれている。

2008年、京都大学の田中耕治は、作問法によるパフォーマンス評価の出題例として「4×8＝32となるようなお話をつくってください」を挙げ、採点基準の一つに、「乗数と被乗数の意味が区別されているか」を示した田中耕治。ここで正比例型は「一あたり量×いくつ分＝全体量」で表される田中耕治。

2011年1月15日 朝日新聞 夕刊 「花まる先生公開授業」では、「3 × 2だと3本耳のウサギが2羽いることになる。」「2 × 8だと2本足のタコが8ひきいることになる。」という授業を肯定的にとりあげた。

2011年5月26日、算数教育史家の高橋誠は『かけ算には順序があるのか』高橋誠を著し、「指導書は「式」と「計算」を区別して扱っており、「計算」では交換法則が成り立つが「式」には順序に意味があるので勝手に順序を変えることはできないとしている」と指摘した高橋誠。また、このような指導に対しては以下のような批判がなされていると指摘した高橋誠。 高橋は、小学校の算数教育に浸透しつつある、かけ算の式には順序が存在するという指導法に警鐘を鳴らしている。本来「正しい」式の順序とはかけ算を教える上での単なる道具だったはずなのに、教師たちは「数学的にも算数的にも」根拠があると信じ始めているようにみえるからである高橋誠。

2012年12月25日小林道正『数とは何か』小林道正が発行された。小林道正は本書で ×=、×= いずれでも良いことを明示的に述べる  とともに、特定の順序で書かなくてはならないと思っているひとが多いことについて困ったことであると評価した 。

2014年、青山学院大学教授の坪田耕三は、九九の三の段の学習において、「×＝の式の意味を確認していきたい。」としたのち、「チューリップがたくさんありました。子どもが7人います。そこで，このチューリップを3本ずつくばったら，ちょうどなくなりました。チューリップは何本あったのでしょう。」という文章題では、式の約束にそって「3×7」と書くことを確認するよう主張した坪田耕三。

2014年、志村五郎は、『数学をいかに教えるか』のなかで掛け算の順序の章に4ページをさき、「結局どちらでもよいのにどちらが正しいかを考えさせるのは余計なあるいは無駄なことを考えさせているわけである」と指摘し、そんなことはやめるべきであると論じた志村五郎。

3. 日本におけるかけ算の順序指導の現状
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3.1. 学習指導要領・学習指導要領解説の記述
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学習指導要領では、乗法の記号「×」は乗法の意味などとともに第2学年で学習することとなっている。

小学校学習指導要領解説算数編文部科学省では、× の左側に一つ分の数、右側にいくつ分にあたる数を書いている式が多く見られるdate=2013年10月}}。いくつか例を示す。

第2学年では、「乗数が1増えれば積は被乗数分だけ増えること」を活用して、4 × 9 = 36から、4 × 10 = 40などを求める。数学的には「被乗数が1増えれば積は乗数分だけ増えること」も言えるが、4 × 9 = 36から5 × 9 = 45を求めるといった事例は書かれていない。第2学年ではこのほか、乗法の式から場面や問題をつくる活動において、3 × 4の式に対し、「プリンが3個ずつ入ったパックが4パックあります。プリンは全部で幾つありますか。」という問題を例示している。「プリンが4個ずつ入ったパックが3パックあります。プリンは全部で幾つありますか。」というような問題をつくる子どもへの指導については、規定されていない。

第3学年では、筆算において被乗数と乗数が区別される。23 × 45だと45が乗数であり、これを45 = 40 + 5とみて、23 × 40と23 × 5に分けて計算する。

また同じく第3学年で除法が導入されるが、その際に除法の「意味」には「等分除と包含除」があるとして、それと乗法を、包含除は3 × □ = 12、等分除は□ × 3 = 12である、などと関連付けさせている。

高学年では小数の乗法を学習するが、第4学年では乗数が整数である場合に限られる。0.1 × 3ならば、0.1 + 0.1 + 0.1の意味である。第5学年では乗数が小数となる乗法を学習し、「1   mの長さが80円の布を2.5   m買ったときの代金」は、80 × 2.5で表される。

言葉の式についても、「1   mの重さ × 棒の長さ = 棒の重さ」「×=」と一貫している。なお中学校学習指導要領解説数学編文部科学省では、いくつかの言葉の式と並んで「=×」が記されている。

しかし、場面に対応するかけ算の式は、常に一つというわけではない。第2学年では、「12個のおはじきを工夫して並べる」という活動において、次のようにおはじきを並べ、複数の式を記載している。これは「一つの数をほかの数の積としてみる」ことを意図したものである。

第4学年の長方形の面積の公式では、「=×」とある。

学習指導要領は「教育課程の標準」「各教科で教える内容」を定めたものであり、例示として片方の順序を示しているところはあっても、その片方の順序でのみ式を書くことを要請する文は存在せず、他方の順序を不正解とすることもない。学習指導要領・学習指導要領解説に基づき教材や授業、テストとして具体化されていく中で、特定の順序が選択される。そのとき、逆の順序に書かれた式を正解とするか不正解とするかは様々である守屋誠司。

文部科学省初等中等教育局教育課程課は中日新聞の取材に答えて「かけ算の意味を理解させるよう定めているが、順序については国が定めるものではない」と述べるとともに、指導要領解説の「10 × 4は、10が四つあることから、40になる」を根拠に「順序に意味がある」とする解釈については「深く考えすぎだと思う」と否定している栗山真寛。

3.2. 教科書・教科書指導書の記述
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日本の学校教育では、小学校2年生の算数でかけ算の導入が行なわれる。小学校2年生の算数教科書では、

1つぶんの数 × いくつ分 = ぜんぶの数として、かけ算の導入がなされる。


例えば、 という問題の正解は「m × 8 = n」と教科書に示されている。

この教科書の指導書では、

と説明されている。ただし、これは日本語の構文に従って式を作った場合であって、例えば、関係代名詞を使った英語の構文に従って式を立てると、順序は逆になる。さらに、 という問題があり、のみを正解としている。このように、現行の啓林館教科書では小学6年に至るまで「特定の順序で表される式のみが正しい」とし、現場教員向けのマニュアルでも順序の逆になった式は意味が文と合わないとしている。

小学校算数教材では解答欄が「式」と「答」に分かれているのが通例である。教員は、指導書に従って、「式」の欄を見て、児童が問題文の読み取りを正しくできているかどうかを採点することになる。正しく読み取りができていないとされる式の書き方をしている児童は、答が正しくても「式」が正しくないので不正解だとされることがある栗山真寛。このような場合は、「式」にバツをつけて「答」にマルをつけるのが通例である。

中日新聞の取材に対して、東京書籍は、文章題の意味を理解しているかを判別する手がかりとして式の順序を見るといい、また、指導要領解説に「10 × 4は、10が四つあることから、40になる」といった記述があることを根拠に「順序に意味がある」と主張した栗山真寛。

3.3. 児童の理解
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伊藤宏の報告伊藤宏によると、 「ここに4まいのふくろがあります。かずや君が，1まいのふくろにりんごを3こずつ入れました。りんごは，ぜんぶでなんこありますか」 という設問に対して、小学3年生34名中、8人が3 × 4, 1人が3+3+3+3, 21人が4 × 3と答え、その他の解答が4人だった。 また、絵をかかせたところ という結果を得た。ここで、4 × 3は誤答とみなされている。

また、一旦、絵にもとづいて式と答えを書くことができるようになった児童が、かけ算の順序を指導された後、文章題が解けないと言い出し、式を書くのを躊躇するようになった例が報告されている宮田佳緒里。

3.4. 「正しい順序」を書かせるための指導
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児童に「正しい」順序で式を書かせるのは難しいことであり、そのために、いろいろな方法が開発実践されている。

たとえば、田中博史は文章と絵を線で結ぶことと絵と式を線で結ぶことを練習するドリルを開発した田中博史。このドリルでは、たとえば、「3 × 2」と「3個のさらに2個ずつリンゴがのっている絵」を結ぶと誤答であるということになる。

ほかに

「3 × 2は3本耳のウサギが2羽、2 × 8は2本足のタコが8匹いるという意味になります。」などと指導を行なう。絵を描かせて、絵のなかでひとかたまりになっているものを「1つぶんの数」にするように指示するdate = 2012年11月}}。「サンドイッチの法則」という特殊な規約を遵守するように指示するdate = 2012年11月}}。といった「正しい順序」指導が展開される。

たとえば「3人に4個ずつミカン」の場合、絵を描かせると、各自が4個ずつミカンを持っていて、絵のなかでミカン4個がひとかたまりになっているので、4を「1つぶんの数」として、4 × 3と「立式」しなければならない。

「100円のノートを8冊」の場合だと、単位に注目して 円 × 冊 = 円 のようにサンドイッチの形にするのが正しく、100 × 8 = 800 が正解とされるdate = 2012年11月}}。このような「立式」のしかたをサンドイッチの法則とよぶ。

4. 「かけ算の正しい順序」に対する批判
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4.1. 交換法則を満たすので、どの順序で書いても不正解にすべきでない
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「6人のこどもに、1人4こずつみかんをあたえたい」というかけ算の問題において、交換法則から6×4は4×6は同じ値になるため、不正解にすべきでないという主張がある。

このかけ算の問題には交換法則が適用できる。理由の１つは、この問題を解こうとしたときにイメージをするために表形式に並べて描いた場合、縦から始める式も横から始める式も図から読み取れ、この縦と横の対等性は交換法則の前提であるからである