一様空間

一様空間とは、一様構造という構造を備えた集合である。一様構造は擬距離構造と位相構造の中間の強さを持ち、位相構造だけでは定義できないコーシー列、完備性、一様連続性、一様有界性、全有界性などが定義できる。

また擬距離空間のみならず位相群に関しても自然な一様構造が定まる事が知られている為、一様空間の概念は関数解析学において有益である。

位相空間との違いは、位相空間が収束性、すなわち点に「近づく」事を定義可能な概念であるのに対し、一様空間ではある点が別の点に「近い」事が定義できる。しかしこの「近さ」は擬距離構造のように実数値で全順序づけされておらず、近縁と呼ばれる部分集合に属するかどうかで判断する半順序的なものである。

1. 定義と基本的な性質
------------

一様空間は、集合X}}と、一様構造と呼ばれる//X//×//X//}}の部分集合の族の組として定義される。の元U}}は近縁と呼ばれ、直観的には ∈ //U//}}となる事はx}}とy}}が「近い」事を意味する。擬距離空間の近縁}}例えば擬距離空間の場合には2点間の距離がε}}以下になる//X//×//X//}}の部分集合Usubを

と定義し、

を満たす//U// ⊂ //X//×//X//}}を近縁とみなす事で自然に一様空間とみなせる事が知られている。

1.1. 一様空間の定義
------------

一様空間やそれに関係する概念を定義するために、まず記号を定義する。

一様空間は厳密には、近縁全体の集合が下記の抽象的な公理を満たす事をもって定義される。前述した擬距離空間における近縁が下記の公理を満たす事を容易に確かめられる：

一様構造を一般化した概念として以下のものがある：

前一様構造の定義}}が条件2,3以外の3つを満たすとき、を前一様構造という。
準一様構造の定義}}条件5以外の4つを満たすとき、は準一様構造 であるという。条件2,3はがフィルターである事を要求しており、前一様構造はフィルター基になっている。この事から前一様構造の事を一様構造基ともいう[[一様空間#Kelly。なお前述した擬距離空間における例では

が前一様構造になっている事を容易に確かめられる。

一方、準一様構造は一様構造の別の側面から一般化しており、擬距離から近縁を定義すれば一様構造が定まるのに対し、[[距離空間から近縁を定義すれば準一様構造が定まる。

1.2. 一様構造から定まる位相
----------------

距離構造が定める位相の定義を自然な一般化する事で、一様構造が定める位相を定義できる：

1.2.1. 位相空間の一様化可能性
------------------

上で一様空間には必ず位相構造が入る事を見たが、逆に位相空間上にそれと両立する一様構造が入る条件は以下のとおりである：定理ここで位相空間の完全正則性は分離公理の一つであり、以下のように定義づけられる：定理完全正則でない位相空間は一様化可能ではないが、「準一様化」は可能である。なお下記の定理において「準一様構造の定める位相」は「一様構造が定める位相」と同様に定義する。

1.3. 一様連続性、一様同型
---------------

一様空間では一様連続性が定義可能である：定義後述するように、擬距離から定まる一様構造の場合は、上記の概念は擬距離空間における一様連続性の概念と一致する。

一様連続な関数は必ず連続である：

1.4. 一様空間の生成
------------

一様空間の具体例を出す前準備として、本節では一様空間の生成の概念とそれに関連する概念を定義する。これらの概念は位相空間の場合と同様に定義できる。

ここで「最小」とは包含関係を大小関係とみたときの最小を意味する。なお「最小のものが存在すれば」と断っているのは、位相空間の場合とは異なり、X}}との選び方によってはとなる最小の一様構造が存在しない場合があるからである。しかしが前一様構造であればこうした問題は起こらない： 定理前一様構造は以下の定理を満たす：定理以上の事実の系として次が従う：系上の系の特殊な場合として以下の一様構造を定義できる：

1.5. 一様被覆による一様空間の定義
-------------------

1.5.1. 定義
---------

我々は近縁の概念を用いて一様空間を定義したが、被覆という概念を用いても一様空間を特徴づける事ができる。まずこの定義を行うために必要な概念を定義する。定義

1.5.2. 同値性
----------

被覆による一様構造の定義と区別するため、本項でこれまで扱ってきた一様構造の定義を対角線による一様構造の定義と呼ぶ事にすると、この２つの一様構造の定義はいわば「同値」であり、対角線による定義から被覆による定義を導け、その逆も導ける。

X}}を集合とし、を対角線によるX}}上の一様構造とするとき、

とし、

の細分でに属するものが存在するとすると、は被覆による一様構造になる。

逆にを被覆によるX}}上の一様構造とするとき、

とし、

とすると、は対角線によるX}}上の一様構造になる。

2. 具体例
------

本項ではすでに一様構造の具体例として擬距離から定まる一様構造を見たが、本節ではさらに以下の具体例を見る：

位相群から定まる一様構造
密着一様構造
離散一様構造位相群から定まる一様構造については、特に重要なのは位相ベクトル空間を加法に関して位相群とみなした場合である。任意の位相群に一様構造が定まるので、特に位相ベクトル空間に対して一様構造が定まる事になる。後述するように一様空間上では完備性のような解析学で必須となる性質が定義できるので、有益である。

残りの２つは位相構造における密着位相、離散位相にそれぞれ対応するもので、これらの一様構造が定める位相はそれぞれ密着位相、離散位相に一致する。

もっと重要な例として複数の擬距離の集合から定まる一様構造が具体例として挙げられる。後述するように、擬距離の集合から一様構造が定まるだけでなく、逆に任意の一様構造は何らかの擬距離の集合から定まる事を示す事ができる。この具体例については節を改めて詳しく調べる。

2.1. 位相群
--------

本節では位相群に一様構造が入る事を見る。

これら３つの一様構造の定める位相構造はもとの位相構造と一致する： 定理特別な名称はないもののによって生成される一様構造も考える事ができる。

、はそれぞれ左不変、右不変な擬距離の集合により特徴づける事ができるがこれについては後述する。

2.2. 密着一様構造と離散一様構造
------------------

本節では位相空間における密着位相、離散位相と同様、一様空間でも密着一様構造、離散一様構造が定義できる事を見る。定義・定理

密着一様構造は//X// × //X//}}上恒等的に0}}になる擬距離から定まる一様構造と一致し、離散一様構造は離散距離

から定まる一様構造と一致する。しかし下記に示すように、X}}上に離散位相を定める距離d}}であっても、d}}から定まる一様構造が離散一様構造ではないケースが存在する：

3. 擬距離の集合から定まる一様構造擬距離の集合から定まる一様構造の節}}
-------------------------------------

集合X}}上の1つの擬距離から一様構造が定まる事をすでに見たが、本節ではより一般にX}}上の複数の擬距離の集合から一様構造を定める事ができる事を見る。後述するように、逆に任意の一様構造は何らかの擬距離の集合から定まる事を示す事ができるので、この一般化は非常に重要であり、本節の後半でその性質を詳しく調べる。

3.1. 定義
-------

定義・定理擬距離の集合から定まる一様構造の具体的表記}}以上で定義された一様構造はより具体的に書き表す事ができる。//d// ∈ //D//}}、に対し、

とすると、はX}}上の前一様構造となっている。前一様構造の和集合は前一様構造だったので、も前一様構造であり、が生成する一様構造はD}}が定める一様構造と一致する。

なお、集合X}}上の擬距離の集合の事をゲージと呼び、X}}とゲージD}}の組}}の事をゲージ空間と呼ぶことがあるが、書籍によってこの言葉の意味が異なるので注意が必要である。Schechterでは上述したように集合X}}上の任意の擬距離の集合をゲージと呼んでいるが、Kellyではより狭い意味で用いており、KellyにおけるゲージとはX}}上の何らかの一様構造で一様連続となる全ての擬距離の集合の事である。

3.2. 一様構造を定める擬距離の集合
-------------------

任意の一様構造は必ず擬距離の集合から定まる：

なお同様の事はが準一様構造についても成り立つ。すなわち集合X}}上の任意の準一様構造に対し、準擬距離の集合D}}が存在し、はD}}から定まる準一様構造に一致する。

上述の定理の系として、以下の事実も従う：系与えられた擬距離がに属するか否かは以下のように判別できる：

3.3. 擬距離の集合が同一の一様構造を定める為の条件
---------------------------

以上で示したように、集合X}}上の擬距離の集合は一様構造を定め、逆に一様構造から擬距離の集合が定まる。しかし擬距離の集合と一様構造との対応は「単射」ではなく、相異なる２つの擬距離の集合D}}、E}}が同一の一様構造を定める事もある。しかしこうした集合D}}、E}}は必ず最大の擬距離の集合の部分集合になる事が、前述の定理から明らかに従う：

より直接的に、擬距離の集合D}}、E}}が同一の一様構造を定める為の必要十分条件をネットの収束性に着目する事で定式化できる。そのためにまず記号を定義する：記号の定義上の記号において、収束の速度が//d// ∈ //D//}}毎に異なる事を許容している事に注意されたい。すなわちある//d// ∈ //D//}}に対してはであっても別の//d'// ∈ //D//}}に対してはとなる事も起こりうる。よって特には0}}に収束するとは限らない。定理定理擬距離の集合D}}、E}}が同一の一様構造を定めるとき、D}}、E}}は一様同値であるといういう。

擬距離の任意の集合D}}は一様有界な擬距離の集合と必ず同値になる：

3.4. 擬距離化可能性・距離化可能性
-------------------

これまで擬距離の集合により定まる一様構造について述べてきたが、一様構造がただ一つの距離から定まる条件を特徴づける事もできる：

なお、一様構造自身の距離化可能性と一様構造が定める位相の距離化可能性は必ずしも一致せず、一様構造自身が距離化可能ではないのに、一様構造が定める位相の距離化可能な場合がある。

3.5. 可算個の擬距離により定まる場合
--------------------

可算個の擬距離の集合から定まる一様構造は擬距離化可能である：定理上記の定理は特に可算個の擬距離空間の直積を考える場合に重要である。直積には直積一様構造が定まるが、上の定理からこの一様構造が擬距離から定まる事がわかる。実際、Xsub上の擬距離dsubとXsubへの射影πsubの合成によりP}}上の擬距離を定義して、これら可算個の擬距離から上の定理のように1つの擬距離d}}を定めると、P}}上の直積一様構造がd}}の定める一様構造と一致することがわかる。

3.6. 一様連続性の擬距離による特徴づけ
---------------------

一様連続性を擬距離の集合を使う事で特徴づける事もできる。この特徴づけにより、上述の一様連続性の定義は義距離空間における一様連続性の定義の自然な一般化になっている事が確認できる。

3.7. 位相群上の一様構造の擬距離による特徴づけ位相群上の左・右の一様構造は左・右不変な擬距離の族で生成される}}
----------------------------------------------------------

位相群G}}上の左一様構造および右一様構造は以下のようにも特徴づけられる：定理上記の定理は位相群の一様構造が左不変もしくは右不変な擬距離で定まる事を示しているが、特に位相ベクトル空間の場合はこれらの擬距離がセミノルムから定まるものなのかが重要となり、これについては以下の定理が知られている。定理位相ベクトル空間の位相がセミノルムから定まっていれば、の一様構造も同じセミノルムの族から定まる事を容易に示せる。なお、局所凸でない場合もF-ノルムは定義可能である。

4. 完備性と完備化
----------

本節ではまず、位相空間における点列概念の２つの一般化であるネットとフィルターに対し、コーシー列の概念の一般化であるコーシーネットの概念とコーシーフィルターの概念を定義し、これらをベースにして一様空間の完備性を定義し、最後の一様空間の完備化を扱う。

4.1. コーシーネット・コーシーフィルター
----------------------

定理・定義

4.2. 完備性
--------

定理・定義上で「少なくとも１つ極限を持つ」という言い方をしているのは、が定める位相構造がハウスドルフでない限り、ネットやフィルターの収束の一意性は保証されないからである。なお擬距離空間においては完備性は「コーシー列は少なくとも１つ極限を持つ」という事と同値であるが、一般の一様空間の場合は必ずしも同値ではない。定理・定義上記の定理の条件を満たすは必ずしも一意ではない