多変数の微分

多変数の微分は、多変数関数を、局所的に線形写像で近似する手法である。本記事では、多変数微分の理論的な側面について解説する。

1. 数ベクトル空間についての補足
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1.1. 数ベクトル空間
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//n// 次元実数ベクトル空間 とは、集合としては

　　　　　　　　である。つまり //n// 個の実数 を用いて

　　の形で表せるもの全てを集めてきたものである。 特に、以下で定まる を、第 //i// 標準ベクトルという。

　　　　である。

1.2. 標準座標系
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次に , の標準座標系を定義する。 に対し、

　　　　とし、これを の第 //j// 座標関数という。ここで は内積を表す。つまり、

　　　　である。 標準座標系とは、 の組 のことである。当然、

　　　　が成立する。 にも、同様に、 や、標準座標系 が定まっている。

さて、次節にて、多変数ベクトル値関数を考えるが、定義域側  の標準座標系を と表記し、値域側  の標準座標系も と表記していては紛らわしいので、 の標準座標系を と書くことにする。つまり、

　　　　とする。 以降、「 に、標準座標系 が定まっているとする」と宣言した場合には、式  のように考えることにする。

1.3. 多変数ベクトル値関数
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に標準座標系 が定まっているとし、 に標準座標系 が定まっているとする。

を の部分集合とし、

　　　　を、 上で定義された に値を取る多変数ベクトル値関数という。

以降 は の第 //i// 成分を表す。 は以下の性質を満たす。

　　　　

2. 偏微分
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2.1. 設定
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に、標準座標系 が定まっているとし、 に、標準座標系 が定まっているとする。 を、 の開集合とし、

　　　　を、 上で定義された に値を取る多変数ベクトル値関数とする。 ここで は の第 //i// 成分を表す。

2.2. 偏微分の定義
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を 内の点とし、 を のベクトルとする。

, は固定されているものとする。

このとき、 が で について偏微分可能であるとは、以下の極限値

　　　　が存在することを意味する。

このとき のにおける、 について偏微分商、 を、以下のように定義する。

　　　

2.3. 成分関数の微分可能性
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の第 //i// 成分 は以下の等式を満たす。

　　　　上式において は内積を意味する。

式 ,  を用いて、 を で について偏微分することを考える。 が で について偏微分可能ならば、 は で について偏微分可能で、

　　　　が成立する。

逆に、式より、

　　　　なので、 すべてが で について偏微分可能であれば、 も微分可能で、

　　が成立する。これは式  の両辺に、式  の右辺の極限をとれば証明できる。

2.4. 一変数関数の微分への帰着
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 の各成分、つまり は、それぞれ、 に示す //t// についての一変数スカラー値関数

　　　　　　を、//t// = 0 において微分したものである。つまり、

　　　　　　である。但し、 は、

　　で定まる の直線である。 また、後述の合成写像の微分法則  を用いると  の計算はさらにすすめられる。この結果は第三節で後述する。

2.5. 記号「∂f/∂xj」について
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の点 における「 ベクトル 」に対する偏微分商、即ち を、 と書く。 即ち、

と表記する。

また、 の第 //i// 成分、つまり の点 における「ベクトル 」に対する偏微分商 を、 と表記する。

ここで、 は、それぞれ 標準基底であり、 は、第 //j// 標準ベクトルを意味する。

2.6. ヤコビ行列の導入
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が において、 全てに対して偏微分可能であるとき、

　　　　

を の におけるヤコビ行列という。

3. 微分
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3.1. 設定
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を の開集合とし、

　　　　を、 上で定義された に値を取る多変数ベクトル値関数とする。

3.2. 微分の定義
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を 内の点とする。このとき、 が で微分可能であるとは、

　　　　を充たす 行列 が存在することを意味する。この を、 の における微分という。

とおくと、次のようにも表せる。

3.3. 微分の一意性
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が で微分可能であるとき、 を満たす 行列はひとつしか存在しない。つまり、 行列 が、

　　　　を満たすとすると、

　　　　が成立する。

3.4. 微分可能性と偏微分可能性
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が で微分可能であるとき、 は で任意のベクトル に対して偏微分可能である。実際、

　　ここで、

　　　　は、 に を代入したに過ぎないため、 の両辺の 極限は 0 となる。従って、

　　　　となる。以上より が で微分可能であるとき、 は で の任意のベクトル に対して偏微分可能であることが示された。

式 ,  から、 が で微分可能ならば

　　　　であることが分かる。

3.5. ヤコビ行列の導入
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式  に を代入すると、

　　　　である。従って の での微分 の第 //j// 列は、

　　　　第 //i// , //j// 成分は

　　　　となる。従って、

　　　　となる。

3.6. 誤差項の導入
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「誤差項」の導入を行う。 と に対し、 の における誤差項 を

　　　　

によって定める。

　　　　

　　　　

であることが分かる。

 は、以下の恒等式

　　　　

の に を代入すれば直ちに得られる。  の恒等式ことを、本記事では の点 における一次展開ということにする。  式は、 式に  式を代入したに過ぎないが、 が一次の微小量であることを意味しており、思想的には重要である。

 式と  式を見比べると、ヤコビ行列は の一次近似を表していると見ることができる。 つまり、点 の近傍で は

　　　　

とみなせることが分かる。

4. 微分に関するいくつかの公式
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4.1. 偏微分の「方向」に関する公式
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式  から、 が で微分可能であるとき、 は において の任意のベクトル , と、任意の実数 に対して、

　　　　

が成立することが分かる。実際  および行列の積の線型性から、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

である。

また、 から、 が で微分可能であるとき、 は で の任意のベクトル に対して、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

が、成立することがわかる。式 ,  は、ヤコビ行列の幾何学的な意味を表している。

4.2. アフィン写像の微分
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次に、アフィン写像の微分について説明する。アフィン写像とは、適当な //m×n// 行列 A と、//n// 次元代数数ベクトル b を用いて

　　

の形で具体的な数式として書ける、からへの写像のことである。のアフィン写像は、任意の点で微分可能で、任意の点において、

　　

である。逆に、任意の点において　　を充たす写像があったとすれば、それはアフィン写像である。

4.3. 合成写像の微分
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次に、合成写像の微分について説明する。をの開集合とし、は、の値域を含むとする。多変数ベクトル値関数 　　　　

は、で定義され、に値をとるとする。このとき、ととの合成写像は、で定義され、に値をとる多変数ベクトル値関数である。

が点で微分可能で、が、点で微分可能であるとき、もで微分可能で、

= 　　　　

ここで“”とは、行列としての積である。

■証明
を点で一次展開し、を点で同様に一次展開すると、

　　　　

　　　　

となるので、

　　　　

である。従って

　　　　

を示すを示せば終証である。

以下を示す。

　　　　

より、 　　　　

一方、

= 　　　　

は、

　　　　

の特殊なケースに過ぎないので、

　　　　

さらに、

　　　　

は有限の値であることから、

　　　　

また、

　　　

は、

　　　　

であることと、線形写像の連続性から明らかである。

■を行列として具体的に表記すると

=

となる。これから、



が分かる。

4.4. 合成写像の偏微分
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次にの合成写像の微分法を用いて、式の計算をさらにすすめる。式のうち、本議論に用いるものをにて再掲する。

　　　　　　

式の右辺に式を適用すると、

　　　

以上より、

　　　　　　

4.5. 逆写像の微分
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次に、逆写像定理を示す。をの開集合とし、は、の値域を含むとする。多変数ベクトル値関数

　

は、で定義され、に値をとるとする。さらに、がの逆写像、つまり

　

とする。このとき、

　

が成立する。標語的にいえば、「逆写像のヤコビ行列は、元の写像の逆行列」である。 これは、の特殊な例に過ぎない。

5. 導関数の導入
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これまでの議論では、一点を固定して、この点での微分可能性について議論してきた。本節では、領域全体での微分可能性について説明し、導関数を定義する。

を、の開集合とし、

　　　　

を、上で定義され、に値を取る多変数ベクトル値関数とする。

を、の固定されたベクトルとする。このとき、「がで、について偏微分可能である」とは内の全ての点において、の意味でがについて偏微分可能であることを意味する。このとき「のについての偏導関数」とは、「の点とにおける偏微分商を対応させる多変数ベクトル値関数」のことである。つまり、

　　　　

である。特に

　　　　

とする。

「がで、微分可能である」とは、「内の全ての点において、の意味でが微分可能」であることを意味する。

このとき「のにおける導関数」とは、「の点とにおける微分を対応させる行列値の関数」である。つまり、

　　　　

である。のことをや、と書くこともある。 尚、「dfとヤコビ行列」で後述するように、は、文脈によっては、と同じ意味で使われる場合がある。

また、から、直ちに「がで、微分可能」ならば、「がで、任意のについて偏微分可能」である。しかし、この逆は成り立たない。つまり、「がで、任意のについて偏微分可能」であっても、「がで、微分可能」とは限らない。

「がで、連続微分可能である」とは、「がで、全てについて偏微分可能であり、かつについての偏導関数がすべてで、連続であること」を意味する。

一見、連続微分可能性は、全微分可能性よりも弱い性質のように見えるが、実は連続微分可能性のほうが強い条件である。つまり「がで、連続微分可能」ならば「がで、微分可能」であるものの、「がで、微分可能」であっても、「がで、連続微分可能」とは限らない。

但し、「がで微分可能であり、導関数がで、連続」ならば、「はで、連続微分可能」である。

6. 全微分
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に 座標系が定まっているとする。 式  の は全て から への線形写像であり、従って式  と同様の方法で微分可能で、恒等的に

　　　　

である。ここで は転置を意味する。すなわち とは、第 //i// 成分のみが 1 で、それ以外が 0 の 1 行 //n// 列の行列である。

式  より は、

　　　　

で定まる行列値関数であるため、

　　　　

であり、

　　　　

がわかる。ここで、 を 、 を と書くと、

　　　　

となる。式  において、変数を省略すると、

　　　　

となる。

7. 微分の“逆問題”
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7.1. スカラーポテンシャルの定義
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を、の開集合とし、

　　

を、上で定義された1行n列の行列値関数とする。行列値関数とは、 各成分が関数である行列のことを意味する。

式のに対し、

　　

を充たす、一変数スカラー値関数を求める問題を考える。の条件をみたす一変数スカラー値関数のことを、のスカラーポテンシャルという。

以下、1行n列の行列値関数があたえられたとき、のスカラーポテンシャルが存在する条件を調べ、スカラーポテンシャルの構成方法について述べる。

7.2. 偏導関数に関する「微積分学の基本定理」
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を、の開集合とし、を上で定義された多変数スカラー値関数とする。

を、内の点とする。を、のベクトルとする。 このとき、

= 　　

が成立する。但し、を充たす全てのに対して、 　　 が成り立っているものとする。

以下、を示す。まず、

　　　　　　

で、 　　　　　　 である。但し、は、同様、

　　

である。

の右辺を、sについて積分すると、

= 　　

従って、が分かる。

7.3. ポアンカレの補助定理の準備
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のに対し、作用積分を定義する。

　　

をの点とする。また、を、の開集合とし、さらにがを中心に星型とする。

がを中心に星型とは、任意のの点と、任意のに対し、

　　

であることを意味する。

は固定されているものとする。また、

　　

も固定されていると考える。

式の、上で定義された1行n列の行列値関数に対し、を

= 　　

と定義する。の右辺の被積分関数

　　

は、についての一変数スカラー値関数である。そして、右辺の積分は、の「sについての一変数スカラー値関数」を定積分したものである。また、　 を、点と、 実数を対応させる多変数スカラー値関数

　　

とする。以降、点は、変数とみなす。

8. 脚注
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8.1. 注釈
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8.2. 引用
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9. 参考文献
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和書