タクシー数

//n// 番目のタクシー数とは、2つの立方数の和として //n// 通りに表される最小の正の整数と定義される。1954年にゴッドフレイ・ハロルド・ハーディとエドワード・メートランド・ライトが全ての正の整数 //n// に対し、Taが存在することを示した。その証明を利用すれば「2つの立方数の和として //n// 通りに表される正の整数」を見つけることはできる。ただしそれが最小の数であるかは保証されていないため、Taであるとは限らない。

「タクシー数」と言う名前はハーディが乗ったタクシーの番号1729についてそれがTaであることをシュリニヴァーサ・ラマヌジャンが指摘したエピソードから来ている。そのため、この数の問題とタクシーとの関連は全く無い。

なお、ここでの立方数は正の整数のみを考える。0と負の整数も含めるときは、名前の「taxicab」をひっくり返してキャブタクシー数と呼ばれる。

1. 概要
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与えられた正の整数 //N// に対し、不定方程式

の整数解 //y// ≥ //x// > 0 の個数は明らかに有限個である。これを //s// とおく。Ta は //s// ≥ //n// となる最小の //N// である。

任意の //n// に対して //s// ≥ //n// となる整数 //N// が存在することが知られており、したがって Ta は存在する。実際 //m// を正の整数とすると

は楕円曲線なので、階数が正ならば無限個の有理点を持つ。さらに、このとき有理点の全体は実数点の中で稠密となる。よって、その中には無限個の正の有理点が存在する。それらから任意の個数の有理点 を選んで分母を払うことにより

が成り立つ。 ととれば が成り立つ。//m// = 7, 9 などに対して上記の曲線の階数は正なので、ここから //s// がいくらでも大きなものを得ることができる。よって任意の正の整数に対して Ta は確かに存在する。

一般に //F// が3次形式で

が階数 //r// の楕円曲線を与えているとき、

の解の個数が > //c////r/// となる //m// が無数に存在する。

は階数3を持つことが知られている。よって

となる //N// が無数に存在する。したがって

が無数の //n// に対して成り立つ。

2. 既知のタクシー数
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現在までに以下の6つのタクシー数が知られている。

3. タクシー数の上限
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以下の数字は7通り～12通りの2つの立方数の和で表せる数である。これらがタクシー数そのものである可能性はあるが、証明はされていない。つまり、TaからTaの上限となる。

4. 発見の歴史
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ハーディ・ラマヌジャン数として知られるTaは1657年にバーナード・フラン・ベッシーによって他のいくつかの2つの立方数の和で2通りに表せる数とともに見出された。レオンハルト・オイラーは

の有理数解の一般解を与えており、その後アドルフ・フルヴィッツはそれを単純化した：

ただしこの公式から、すべての整数解を与える公式が導かれるわけではない。//t//, //a//, //b// が整数ならばこの公式は整数解を与えるが、それがすべての整数解を与えるわけではないからである。たとえば Ta は  =  に対応しており //t//, //a//, //b// が整数であるものからは与えられない。またオイラーは

を発見している。

Ta は後にハーディとラマヌジャンのエピソードによって不滅のものとなった。ハーディによれば

ラマヌジャンは1913年に無限個の整数解を与える公式

を発見し、その後オイラーの一般有理解と等価な一般有理解の公式を得ている。またラマヌジャンの遺稿には

の無限個の整数解を得る方法が述べられている。

ラマヌジャンやハーディー・ライトがタクシー数の解法を示して以降は、コンピュータによる発見が常となった。ジョン・リーチは1957年にTaを発見した。1991年にはE・ローゼンスティール、J・A・ダーディス、C・R・ローゼンスティールがTaを発見。J・A・ダーディスは1994年にTaを発見し、1999年にデービッド・W・ウィルソンによって確認された。Taはウーヴェ・ホラーバッハによって2008年3月9日にメーリングリストNMBRTHRYに発見が報告されたが、これは2003年に Claude et al. によって99％の確率でTaであろうとされていたものだった。2006年にはクリスチャン・ボワイエによってTaからTaまでの上限が与えられた。2008年にはクリスチャン・ボワイエとJaroslaw WroblewskiによってTaからTaまでの上限が更新された。

より制限をかけた形でのタクシー問題は、タクシー数がcubefreeである、つまり13以外の立方数で割り切れない場合である。 cubefreeなタクシー数 //T// が //T// = //x//3+//y//3と書かれるとき、全ての組  に対して //x//, //y// は互いに素である。先述したタクシー数の中では、TaとTaだけがcubefreeなタクシー数である。3通りに表される最小のcubefreeなタクシー数は、1981年に大学院生だったポール・ボイタによって発見された。これは以下の通りである。

15170835645= 5173 + 24683= 7093 + 24563= 17333 + 21523.4通りに表される最小のcubefreeなタクシー数は、2003年にダンカン・ムーアとスチュアート・ギャスコインによって独立に発見された。以下の通り。

1801049058342701083= 922273 + 12165003= 1366353 + 12161023= 3419953 + 12076023= 6002593 + 11658843. 上記の通り制限のない場合には //s// はいくらでも大きくできるが、//N// が立方因子をもたないとき、

の解の個数をどこまで大きくできるかは未だわかっていない。この方程式のあらわす楕円曲線の階数を //r// とすると

となる絶対定数 //c// が存在する。 //N// が大きいときは

が成り立つ。

5. 脚注
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6. 参考文献
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J. Leech, //Some Solutions of Diophantine Equations//, Proc. Cambridge Phil. Soc. 53, 778-780, 1957.
E. Rosenstiel, J. A. Dardis and C. R. Rosenstiel, //The four least solutions in distinct positive integers of the Diophantine equation s = x3 + y3 = z3 + w3 = u3 + v3 = m3 + n3//, Bull. Inst. Math. Appl., 27 155-157; MR 92i:11134, [1]. 「Personal Computer World」1989年11月号も参照せよ。
David W. Wilson, //The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496//, Journal of Integer Sequences, Vol. 2 , [2]. を発見していたことを認識していなかった）