黄金進法

黄金進法は、黄金比を底とした広義の記数法である。全ての非負実数はφを底とした0, 1列によって表され、このうち "11" の連続を除いたものを「標準形」と呼ぶ。"11" を含むφ進表記は、φ + 1 = φ2 という関係を用いて標準形に書き直すことができる。例えば 11φ = 100φ である。

黄金進法は無理数を底とした記数法であるが、全ての非負整数は一通りのφ進表現を持つ。また、有理数は循環小数として表すことができる。これらの表現は10進法でいうところの 1 = 0.999... のような場合を除いて一意的である。

1. 例
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2. 黄金進数の標準形
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以下、下線はその桁が負であることを意味するものとする。例えば、211.01φ は、2φ2 + φ1 + 1 - φ－2 の意である。この表現は、"2" や "1"、"11" を含むため、標準形ではない。後述する四則の計算の際に、このような表現を標準形に直す必要が出てくる。

「標準化」には、以下の置換を用いる。

011φ = 100φ
0200φ = 1001φ
010φ = 101φ 置換はどの順序で行っても結果は同じである。以下に示す例では、右が適用した置換で、左がその結果である。

211.01φ 300.01φ 011φ → 100φ 1101.01φ 0200φ → 1001φ 10001.01φ 011φ → 100φ 10001.101φ 010φ → 101φ 10000.011φ 010φ → 101φ 10000.1φ 011φ → 100φ

この方法で、任意の正の非標準形φ進数は一意に標準化できる。上記のルールでできる限りの置換を行った結果、先頭の桁が 1 であれば、その表現は負の数である。マイナスの符号を付して、1 と 1 を互いに入れ替えることにより、符号付きの標準形を得ることができる。例えば、

101φ = -101φ = -110.1φ = -1.1φ = -10φなどと計算される。

3. 整数の黄金進数表現
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通常の意味での整数を、黄金進数で表すと有限小数となる。例として、整数 5 をφ進法で表す手続きを見よう。

5 以下で最も大きなφの冪は φ3 = 1 + 2φ ≈ 4.236 である。5 との差を取ると、5 -  = 4 - 2φ ≈ 0.763 である。これ以下で最も大きなφの冪はφ－1 = -1 + 1φ ≈ 0.618 である。差を取ると、4 - 2φ -  = 5 - 3φ ≈ 0.145 である。これ以下で最も大きなφの冪は φ－4 = 5 - 3φ ≈ 0.145 である。差を取ると 0 である。したがって、

5 = φ3 + φ－1 + φ－4であり、φ進法で表すと 1000.1001φ である。

ここで暗に用いている事実は、φの冪は全てある整数 //a//, //b// を用いて //a// + //b// φの形で書ける、ということである。これを確かめるには、φ2 = φ + 1 と φ－1 = -1 + φ に注意すればよい。そして、このような形の数同士の大小を調べることは易しい。実際、//a// + //b//φ > //c// + //d//φ は 2 －  >  × √5 と同値であり、この大小関係は一方のみが正であれば自明であるし、そうでなければ両辺を平方することにより確かめられる。

黄金進法により有限小数となるのは、通常の意味での整数のみならず、環 の元であり、またそれに限ることが容易に分かる。

3.1. 非一意性
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N進数のときと同じように、黄金進数にも複数の表現がある。10進法における 0.999...=1 と同様に、φ進法では 0.1010101…φ が 1 と等しいことが、以下の各方法で確かめられる。

非標準形に変換する: 1 = 0.11φ = 0.1011φ = 0.101011φ = … = 0.10101010…φ
等比級数: 1.0101010…φ は以下に等しい
"シフト"して差分を取る: φ2 x - x = 10.101010…φ - 0.101010…φ = 10φ = φ このとき x = φ/ = 1この非一意性は記数法の特徴であり、1.0000 も 0.101010… も標準形である。一般に、φ進数における最後の 1 を 01 の繰り返しに置換することによって、別の標準形を作ることができる。

4. 有理数の黄金進数表現
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非負の有理数は黄金進数表現として循環小数で表すことができる。実は、循環小数で表すことができるのは、通常の意味での有理数のみならず、Z[φ] の商体 の元であり、またそれに限る。いくつか例を挙げる。

1/2 = 0.010 010 010 010…φ
1/3 = 0.00101000 00101000 00101000…φ
√5 = 10.1φ
2+√5 = 10.010 1000100010101000100010000000 1000100010101000100010000000 1000100010101000100010000000…φQ の元の黄金進数表現が有限小数となることの証明は、通常の十進法の場合と同様である。実際、割り算を筆算で行った場合の余りの可能性は有限個しかないため、繰り返しのパターンが現れる。例えば、1/2 = 1/10.01φ = 100φ/1001φ の筆算は次のようになる。

0.0 1 0 0 1 ...

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1 0 0 1 ) 1 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1

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1 0 0 0 0 1 0 0 1

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

...

ここに、引き算が少々難しいが、10000φ = 1100φ = 1011φ より 10000φ - 1001φ = 10φ であることを用いている。

逆に、黄金進数表現で循環小数であるものが Q の元に限ることを見るには、循環小数の意味するところが、公比がφの冪である等比級数であることに注意すればよい。

5. 無理数の黄金進数表現
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通常の意味での無理数であっても、Q の元であれば黄金進数表現において有限小数となる。

φ = /2 = 10φ
√5 = 10.1φ一方、Q[φ] の元でない実数は循環しない無限小数となる。

π = 100.01001 01010 01000 10101 01000 00101…φ
//e// = 100.00001 00001 00100 00000 01000…φ
√2 = 1.01000 00101 00101 00100 00000 10100 00000 00101…φ

6. 四則計算
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10進法の通常の四則と同様にして、φ進法においても四則が行える。加法、減法、乗法については、以下のように大きく2つの方法がある。

6.1. 計算して標準化
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2つのφ進数の加法として、各々の桁をそのまま足してから標準形に直す方法が考えられる。減法も同様にそのまま引いてから標準化すればよい。乗法も同様である。以下に計算の例を挙げる。

2 + 3 = 10.01φ + 100.01φ = 110.02φ = 110.1001φ = 1000.1001φ
7 - 2 = 10000.0001φ - 10.01φ = 10010.0101φ = 1110.0101φ = 1001.0101φ = 1000.1001φ
2 × 3 = 10.01φ × 100.01φ = 1000.1φ + 1.0001φ = 1001.1001φ = 1010.0001φ

6.2. 0と1以外の数字を避ける
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さらに「自然な」方法として、1 + 1 の加法または 0 - 1 の減法を避ける方法がある。これはφ進数を非標準形に置換することによって実現できる。例えば、次のようにする。

2 + 3 = 10.01φ + 100.01φ = 10.01φ + 100.0011φ = 110.0111φ = 1000.1001φ
7 - 2 = 10000.0001φ - 10.01φ = 1100.0001φ - 10.01φ = 1011.0001φ - 10.01φ = 1010.1101φ - 10.01φ = 1000.1001φ

6.3. 除法
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すでに見たように、除法は筆算によって行うことができる。商が Z[φ] の元ならば筆算が有限回で終了して有限小数となり、Q の元ならば繰り返しが生じて循環小数を得る。

7. フィボナッチ符号との関係
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フィボナッチ符号はフィボナッチ数の重みを持つ0,1列である。φ進法と同じように、標準形は F//k//+1 = F//k// + F//k//-1が適用され、"11" を持たない。例えば、30 は

30 = 1×21 + 0×13 + 1×8 + 0×5 + 0×3 + 0×2 + 1×1 + 0×1 = 10100010fibと表現される。

8. 参考文献
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9. 外部リンク
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