マグマ (数学)

抽象代数学におけるマグマまたは亜群とは、集合 //M// とその上の二項演算 //M// × //M// → //M// からなる組をいう。マグマ //M// における二項演算は //M// において閉じていることは要求するが、それ以外の何らの公理も課さない。1つの集合上の1つの二項演算のみによって定義される最も基本的な代数的構造である。 このような構造に対して「マグマ」という呼称を導入したのはニコラ・ブルバキである。旧来はオイステイン・オアによる用語で亜群と呼ばれていたもので、現在でもしばしばそのように呼ばれる」と呼ばれる全く別の概念もある)。

1. 定義
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マグマは集合 //M// と、//M// のどの二元 //a//, //b// に対しても //μ// で表される別の元を対応させる二項演算 //μ// を対として考える。集合と演算の対  がマグマと呼ばれるためには、マグマの公理として知られる条件

演算について閉じていること: //M// の任意の元 //a//, //b// に対して、その二項演算 //μ// の演算結果 //μ// が再び //M// に属する。を満足しなければならない。演算が明らかで紛れの虞の無いときは演算の記号を落として台集合の記号のみによってマグマ //M// などという。しばしば二項演算 //μ// はマグマ //M// における乗法とも呼ばれ、このときの演算結果 //μ// は//a// と //b// との積という。また、誤解の虞が無いならば積 //μ// は演算記号を省略してしばしば //ab// と書かれる。演算記号が省略されている場合に、マグマが台集合と演算の対であることを明示するにはプレースホルダを用いて  のように書かれる。

演算 //μ// が偏演算ならば、 を局所マグマという。

1.1. 部分マグマ
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マグマ  に対し、台となる集合 //M// の部分集合 //N// が //M// の演算 //μ// に関するマグマを成すならば、マグマ  を //M// の部分マグマという。

1.2. マグマ準同型
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ふたつのマグマ ,  の間の準同型写像またはマグマ準同型とは写像 //f//: //M// → //N// であって、

なる意味でマグマの二項演算を保つものをいう。マグマ準同型 //f//: //M// → //N// が全単射ならば //f// の逆写像 //f//1}} //N// → //M// もまたマグマ準同型であり、//M// と //N// はマグマとして同じ構造を持つと考えられる。このとき、//f//をマグマ同型写像またはマグマ同型と呼び、ふたつのマグマ //M// と //N// は互いに同型であるという。

1.3. マグマ合同と剰余マグマ
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マグマ  と台集合 //M// 上の同値関係 ∼ が与えられているとき、同値関係 ∼ がマグマ合同であるとは

が任意の //x//, //y//, //u//, //v// ∈ //M// に対して成り立つという意味でマグマ演算 //μ// と両立することをいう。∼ がマグマ合同であるとき、∼ による合同類の全体

に二項演算 //μ// が

とおくことにより矛盾なく定まり、 は再びマグマを成す。これをマグマ //M// のマグマ合同 ∼ による剰余マグマ、商マグマ、因子マグマなどと呼ぶ。

2. 結合順序の組合せ論
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一般の非結合的な場合のマグマ演算を繰り返し反復適用することを考え、演算を適用する対を表すのに括弧を用いる。演算を繰り返して得られた文字列は、マグマの元を表す記号と開閉の対応のとれた括弧からなるものとなる。対応のとれた括弧からなる可能な限りの文字列全体の成す集合はダイク言語と呼ばれる。マグマ演算を //n//-回適用して得られる相異なる文字列の総数はカタラン数 //C////n// で与えられる。したがって例えば、//C//2 = 2 であることから、マグマの三つの元に二回演算を適用するときの組合せは

//c// または //a//のふた通りしかないことがわかる。

表記の簡略化のためしばしば括弧の数を減らすことが行われる。これは演算を適用する場所でだけ文字を併置することで実現される。たとえば、マグマ演算を中置記法で ∗ とすると、//xy// ∗ //z// が ∗ //z// の簡略表示である。さらなる簡略化は空白の挿入・抜取によるもので、例えば、//xy//∗//z// ∗ //wv// によって  ∗ //z//) ∗  が表せる。もちろん、もっと複雑な式に対しては、括弧の使用は不可避のものとなる。括弧の使用を完全に避ける方法としては、演算を中置記法で記すのではなく、前置記法や後置記法によればよい。

3. 自由マグマ
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集合 //X// 上の自由マグマとは集合 //X// から生成されるマグマのうち「可能な限り最も一般」なものをいう。これは、//X// を字母集合としたとき、括弧を保った非結合的な語の集合とみなすこともできる。また、計算機科学でよく用いられる概念をつかえば、自由マグマは、葉ノードがそれぞれ //X// の元でラベル付けられた二分木全体の集合であると見ることもできる。この見方をするとき、マグマ演算は二つの木を根と根で結合する操作に対応する。したがって、これは構文論において基礎的な役割を演じる。

自由マグマのもつ「可能な限り最も一般」という性質は次のように表すことができる。

集合 //S// から任意のマグマ //M// への写像 //f//: //S// → //M// が与えられたとき、//f// は //S// 上の自由マグマ //F////S// から //M// へのマグマ準同型に一意的に拡張される。すなわち、任意のマグマはある自由マグマのマグマ準同型像にマグマ同型である。

4. マグマのクラス
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一般には、マグマをそのままマグマとして調べるということはまずあり得ず、代わりにマグマの二項演算に適当な公理を課した、いくつかの別な種類の代数系として調べることになる。よく知られたクラスの、特別な名前が付いている代数系としては
準群 }}: 空でないマグマで除法が常にできるもの。逆マグマ。
擬群 }}: 単位元を持つ準群。単位的準群。
半群: 演算が結合的なマグマ。結合マグマ。
モノイド: 単位元をもつ半群。単位的半群、結合擬群、単位的結合マグマ。
群: 逆元を持つモノイド。逆結合擬群、結合準群。
アーベル群: 演算が可換な群。といったようなものを挙げることができる。もちろん、特別な呼び方はなくとも、可換マグマや可換モノイドといったような代数系のクラスもしばしば扱われる。

4.1. 更なる定義
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マグマ //M// が、

単位的であるとは、それが単位元を持つときにいう。
中可換であるとは、恒等式  =  を満たすときにいう。
左半中可換であるとは、恒等式  =  を満たすときにいう。
右半中可換であるとは、恒等式  =  が満たされるときにいう。
半中可換であるとは、左中可換かつ右中可換であるときにいう。
左分配的であるとは、恒等式 //x// =  を満たすときにいう。
右分配的であるとは、恒等式 //x// =  が満足されるときにいう。
両側分配的であるとは、左分配的かつ右分配的であるときにいう。
可換であるとは、//xy// = //yx// なる恒等式が成立するときにいう。
冪等であるとは、//xx// = //x// が恒等的に成り立つときに言う。
単冪であるとは、恒等的に //xx// = //yy// となるときにいう。
零冪であるとは、恒等式 //y// = //y// = //xx// が成立するときにいう。
左交代的であるとは、恒等式 //y// = //x// が成立するときにいう。
右交代的であるとは、恒等式 //y// = //x// が成立するときにいう。
交代的であるとは、左交代的かつ右交代的であるときにいう。
冪結合的であるとは、その任意の元の生成する部分マグマが必ず結合的となるときにいう。
左消約的であるとは、等式 //xy// = //xz// から常に //y// = //z// が帰結できるときにいう。
右消約的であるとは、等式 //yx// = //zx// から //y// = //z// が常に帰結されるときにいう。
消約的であるとは、それが左消約的かつ右消約的となるときにいう。
半群または結合的であるとは、//x// = //z// が恒等式であるときにいう。
左零付き半群であるとは、//x// = //xy// を恒等的に満足する元 //x// が存在するときにいう。
右零付き半群であるとは、//x// = //yx// が恒等的に成立するような元 //x// がとれるときにいう。
零半群 semigroup with zero multiplication, null semigroup}} であるとは、恒等式 //xy// = //uv// を満たすときにいう。
//left unar// であるとは、恒等式 //xy// = //xz// が満足されるときにいう。
//right unar// であるとは、//yx// = //zx// なる恒等式が成立するときにいう。
//trimedial// であるとは、その任意の三元が生成する部分マグマが中可換であるときにいう。
//entropic// であるとは、ある中可換消約マグマの準同型像となっているときにいう。

5. 一般化
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多項群を見よ。

6. 関連項目
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普遍代数学
Magma 
代数的構造

7. 注記
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8. 参考文献
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9. 外部リンク
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[1]: 広島大学 2004-2009各年度代数学講義用レジュメ、松本研究室
[2]: 結城浩著、物語形式の数学読物のシリーズの一作。括弧のつけ方がテーマの回。とくに3節と7節およびあとがき。