円分体

円分体  は、有理数体に、1 の 乗根 を添加した代数体である。円分体およびその部分体のことを円体ともいう。

以下において、特に断らない限り、 とする。

1. 性質
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3 以上の整数 //m// に対して、円分体 の拡大次数 は、 である。但し、 はオイラー関数である。
任意の円分体は、ガロア拡大体であり、ガロア群は、アーベル群である。
3 以上の整数 //m// に対して、 ( は、相異なる素数、 と素因数分解すると、 は、 の合成体であり、 が成立する。また、円分体 で分岐する有理素数有理整数である素数のこと。}}は、 に限る。
である。この を、最大実部分体または実円分体という。
一意分解整域となる円分体 ) としたとき、 であるので、 としてよい。}}は、//m// が 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84 の場合だけである。
特に、23 以上の素数 //p// に対しては、円分体 は一意分解整域でない。
類数が 2 である円分体 ) は、//m// = 39, 56 だけである。
円分体 に含まれる代数的整数の集合は、 である。

2. 円分体の判別式
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//m// を 3 以上の整数として、円分体を とする。

 //m// が素数のとき

//K// の判別式は、 である。

 のとき

//K// の判別式は、 である。但し、

 ( は相異なる素数、 であるときには

円分体 の判別式を とすると、//K// の判別式は、

である。

3. アーベル拡大体の埋め込み
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クロネッカー＝ウェーバーの定理 

//K// が有理数体上のアーベル拡大体のとき、ある整数 が存在して、

となる。例えば、二次体はアーベル拡大体であるので、クロネッカー＝ウェーバーの定理より、ある円分体の部分体になる。

クロネッカー＝ウェーバーの定理は、基礎体が有理数体であるときを考えているが、基礎体を虚二次体にしたときも、同様なことが成立するかを問うたのが、クロネッカーの青春の夢である。

4. 円分体と初等整数論
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4.1. フェルマーの最終定理
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素数 //p// に対して、

の左辺を、 上で分解すると、

となる。 ラメ 、コーシー らは、上記左辺を考察し、フェルマーの最終定理が成立することを証明したと発表した。しかし、クンマー は、彼らの証明は、左辺の分解が一意的であることが前提になっており、 のとき、それが成立しないことを示した。 そのため、  の場合、別の方法をとる必要がある。

クンマーは、素元の分解が一意でなくとも、ある性質をもつ素数である場合、彼らの証明のアイデアを生かしながら、フェルマーの最終定理が成立することを証明した。

クンマーにより考察された素数は、以下の性質を持ち、正則素数と呼ばれる。

素数 //p// は、円分体 の類数を割り切らない。正則素数に対しては、以下の補題が成立し、クンマーは、この補題を用いて、ベキが正則素数の場合のフェルマーの最終定理を証明した。

クンマーの補題

素数 //p// が正則素数であれば、円分体 の単数 ε を、 となる有理整数 //a// が存在するようにとると、 の単数 が存在して、 と表される。

正則素数についての詳細は、正則素数 を、フェルマーの最終定理については、フェルマーの最終定理を参照のこと。

4.2. 平方剰余の相互法則
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ガウス は、今日、ガウス和と呼ばれる1のベキ根の指数和を考察することにより、平方剰余の相互法則、第1補充法則、第2補充法則を示したこの証明は、ガウスによる4番目の証明である。Sfn。さらに、 上のガウス和を考察することで、3次、4次剰余の相互法則を得ることができる。クンマーは、円分体に対する深い考察により、高次のベキの剰余に関する相互法則を与えた。 高次ベキの剰余の相互法則は、その後、フルトヴェングラー により全ての素数に対して与えられ、さらに、類体論の結果を用いて、高木、アルティン 、ハッセ らにより、より一般の形での相互法則が得られた。

5. 円分体の類数
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5.1. 円分体の類数の性質
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以下において、//p// を奇素数とする。

円分体 の類数を 、最大実部分体 の類数を とすると、 と表すことができる。 このとき、 を第1因子または相対類数、 を第2因子または実類数という。

第1因子については、以下の様な性質がある。

素数 //p// に対して、//p// が を割り切る必要十分条件は、//p// が第1因子を割り切ることである。 つまり、第1因子が //p// で割り切れないならば、//p// は正則素数である。 この性質により、第1因子はフェルマーの最終定理との関連で多くの研究がなされている。
素数 //p// に対して、//p// が第1因子を割り切る必要十分条件は、 が、 を割り切る様な整数 //k// が存在することである。
が奇数であるならば、 は奇数である。クンマーは、第1因子の増大度に対して、 と予想した。 但し、 。

この予想が成立するかは不明であるが、例えば、以下のことが知られている。

。第2因子に対しては、以下の様な性質がある。第1因子よりも取り扱いが難しいため、第2因子の性質はあまり分かっていない。

//q// を素数とし、 とする。 が素数であるならば、 である。ヴァンディヴァー は、//p// は を割り切らないと予想した。現在でも、この予想が正しいかは不明である足立。

5.2. 円分体の類数公式
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円分体の類数を求めるには、 より、第1因子と第2因子を求めればよい。

第1因子
。 ここで、 //S// は、 を満たす、法 //m// に関する指標の集合とする。 特に、//m// が素数 //p// の場合、以下の形で表される。
。 //m// が素数のとき、以下の様な式がある。
ここで、η は、1 の原始 乗根とし、 。 但し、//g// を、法 //p// に対する原始根としたとき、 に対して、 は、 を満たす正整数とする。
//p// の倍数ではない整数 //r// に対して、 を、 を満たすようにとる。 また、 を、 を満たすようにとる。 マイレの行列という。}}とおくと、 である。
第2因子
。 ここで、//R// は、 の単数基準、//T// は、 を満たす、法 //m// に関する指標のうち、単位指標ではない指標の集合とする。 特に、//m// が素数 //p// の場合、以下の形で表される。
。 ここで、η は、1 の原始 乗根、//g// は、法 //p// に対する原始根とする。 //m// が素数のとき、以下の様な式がある。
に対して、 各 //δk// は、 の正の実数である単数であり、クンマー単数または円単数と呼ばれる。}} とおく。 //g// を法 //p// に関する原始根とし、 とおく。 また、σ を、 を満たす、 の生成元とする。 とおくと、 。 但し、//R// は、の単数基準とする。

6. 脚注
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6.1. 注釈
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6.2. 出典
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7. 参考文献
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8. 関連項目
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1の冪根
円分多項式
ガロア理論
代数体

9. 外部リンク
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