プランクの法則

プランクの法則は、黒体放射のスペクトルに関する法則であり、量子力学の基本法則のひとつである。プランクの公式とも呼ばれる。この公式から導かれるスペクトルと温度特性は、全波長領域において、熱放射の実験結果から予想される黒体放射のスペクトルと一致する。1900年、ドイツの物理学者マックス・プランクによって導かれた。プランクはこの法則の導出を考える中で、物体が光を吸収または放射する時、そのエネルギーは、エネルギー素量//ε// =}} //hν//}} の整数倍でなければならないと仮定した。この量子仮説は、その後の量子力学の幕開けに大きな影響を与えた。

1. 概要
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プランクの法則において、黒体から輻射される電磁波の分光放射輝度は、周波数 ν}} と温度 T}} の関数として と表すことができる。ただし、ここで分光放射輝度 //I// }} は、放射面の単位面積、立体角、周波数あたりの放射束を表しており、h}} はプランク定数、k}} はボルツマン定数、c}} は光速度を表す。分光放射輝度 //I//}} は //hν// =}} 2.82 //kT//}} の位置にピークをもち、高周波数においては指数関数的に、低周波数においては多項式的に減少する。

また、分光放射輝度を全立体角について積分することで、分光エネルギー密度に関して と表すこともできる。ここで分光エネルギー密度 u}} は単位体積、単位周波数あたりのエネルギーの次元を持ち、周波数が //ν//}} と //ν//+d//ν//}} の間に存在する単位体積あたりのエネルギーは //u// d//ν//}} によって与えられる。この式を周波数について積分すれば、全エネルギー密度を得る。黒体の輻射場は光子気体と考えることができ、その場合、全エネルギー密度は光子気体の熱平衡状態を指定する状態量の一つとなる。

プランクの法則において、分光放射輝度は波長 λ}} の関数として という形であらわすこともできる。 ここで波長と周波数は //λ// =}} //c/////ν//}} という関係式によって結びついている。この関数は //hc// =}} 4.97 //λkT//}} の位置にピークをもつ。これはヴィーンの変位則でより一般的に用いられるピークである。

また、分光エネルギー密度についても、波長が //λ//}} と //λ//+d//λ//}} の間にあるエネルギー密度を //u' // d//λ//}} とし、波長 //λ//}} の関数として表示すれば、 と表すこともできる。ここで分光エネルギー密度 u'}} は単位体積、単位波長あたりのエネルギーである。

周波数範囲 [νsub または波長範囲 [//λ//sub において放射される放射輝度は、//I//}} または //I' //}} の積分として求められる。

なお、周波数が増加するとき波長は減少するため、2つの積分では上限・下限が入れ替わっている。

次の表に、数式の中に現れるそれぞれの記号の定義とSI単位・cgs単位を示す。



2. 歴史的背景
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1859年、キルヒホッフは黒体の放射する輻射場の熱平衡分布は温度のみに依存することを明らかにし、その翌年、空洞放射が理想的な黒体輻射を実現することを示した。それ以降、ある温度 T}} における黒体輻射のエネルギー密度の分布を振動数 ν}}の関数として求めることが、実験と理論の両面から活発に進められた。プランクの公式以前、黒体輻射の分布式としては、レイリー・ジーンズの公式とヴィーンの公式が考案されていた。ヴィーンの公式はヴィルヘルム・ヴィーンが1896年に発表した公式であり、短波長領域においては実験データと一致するものの、長波長では一致しなかった。一方、レイリー・ジーンズの公式は反対に長波長領域で実験結果とよい一致を示すものの、短波長領域では合わなかった。

マックス・プランクは1900年10月に、ヴィーンの公式より良い公式を得ようとする過程でプランクの公式を考案した。プランクによるこの公式は、全ての波長領域において非常によく実験データと一致した。次に、この法則の導出方法を構築する過程で、プランクは物質中の荷電振動子の異なるモードについて、電磁エネルギー分布を考えた。これらの振動子のエネルギーが離散的になっていると仮定したところ、プランクの法則を導出することができた。具体的には、エネルギーは振動数 ν}} に比例するエネルギー素量 E}}、すなわち の整数倍の値のみ取りうるということである。

プランクはこの量子化の仮定を、アルベルト・アインシュタインが光電効果の説明のために光子の存在を仮定するよりも5年前に行っていた。この時点では、プランクは量子化は空洞壁面にあるであろう微小の共鳴子にのみ適用されるものであり、光それ自身が離散的なエネルギーの束や塊を伝播する性質を有しているとは仮定しなかった。更には、プランクはこの仮定にはなんら物理的重要性はなく、公式を導くための単なる数学的な道具に過ぎないと考えていた。しかしながら、エネルギーの量子化は物理学史上、初めて導入された量子論的概念であり、その後の量子力学の形成に大きな役割を果たした。プランクによるエネルギーの量子化仮説とアインシュタインの光量子仮説は、ともに量子力学の発展における基礎となっている。

なお、プランクの公式では黒体は全ての周波数の電磁波を放出するとしているが、これは非常に多数の光子が測定される実験でのみ実際に適用できる。例えば室温  における表面積が1平方メートルの黒体は、1000年に一度程度しか可視領域の光子を放出せず、よって通常の実験などにおいては黒体は室温では可視光線を放出されないといっても差し支えない。実験データからプランクの法則を導出する際などのこの事実の重要性についてはで議論されている。

3. 他の輻射法則との関係
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以下にあげるように、プランクの法則から他の黒体輻射の近似的公式を導くことができる。を満たす高周波数においては となり、ヴィーンの放射法則に漸近する。

また、を満たす低周波数においては となり、レイリー・ジーンズの法則に漸近する。

また、プランクの法則の周波数についての積分 より、単位面積、単位時間当たりに放出される輻射場のエネルギーが //T//4}} に比例するというシュテファン＝ボルツマンの法則が得られる。

さらに、 よりプランクの法則の分光放射輝度 //I' //}} が最大となる波長 λ}} を求めることにより、ヴィーンの変位則が得られる。

4. 原子による輻射場の吸収・放出
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空洞炉中の輻射場は空洞炉の壁の物質での吸収、放出を介して、熱平衡状態にある。1916年と1917年の論文において、アルベルト・アインシュタインは輻射場が気体分子によって吸収、放出されるとし、その過程の議論からプランクの公式が導かれることを示した。アインシュタインはボーアの原子模型で記述されるように、分子は特定の離散的なエネルギー準位をとる定常状態にあり、輻射場の放出と吸収により、異なるエネルギー準位に遷移するものとした。そして、放出と吸収の遷移確率を導入し、その詳細釣り合いの条件とウィーンの変位則からプランクの公式とボーアの振動数条件が導かれることを示した。なお、この論文の中で、自然放出、誘導放出の概念とそれらを記述するアインシュタインのＡ係数、B係数が初めて導入された。

原子のエネルギー準位が //Ei//}} }} と離散的な値をとるとすると、温度 T}} にある N}} 個の原子の集団において、原子がエネルギー //Ei//}} の状態にある確率はボルツマン統計によって、

で与えられる。但し、//gi//}} は準位の縮退度、Z}} は分配関数である。よって、 エネルギー準位 Ei}} にある原子数 Ni}} とエネルギー準位 Ej}} にある原子数 Nj}} の比は

となる。ここで特定の2準位 Em}}、En}} での輻射場の吸収、放出を考える。下側準位 En}} にある原子は輻射場の吸収によって上側準位 Em}} に励起するが、その単位時間当たりの遷確率 Rnm}} は下側準位にある原子数と輻射強度に比例し、

と表される。この吸収過程は誘導吸収と呼ばれる。逆に上側準位 Em}} にある原子は輻射場の放出によって、下側準位 En}} に遷移する。放出の過程には周囲に輻射場が存在せずとも生じる自然放出と輻射場によって誘起される誘導放出が存在する。自然放出は上側準位の原子数、誘導放出は上側準位の原子数と輻射強度の積に比例することから、下側準位への遷移率 Rmn}} は

と表される。平衡状態では詳細釣り合いの条件 //Rmn//=}}//Rnm//}} が成り立つことから、

が得られる。//u//}} が温度の増大とともに無限大になる条件から

であり、さらに //u//=}}//ν//3//f//}} の関数形であるというウィーンの法則の結果から、

(α}}: 定数）