数字和

数字和とは、正の整数の各桁の数字を加算した値を意味する。一般的には「各位の和」という表現で用いられている。

例えば、129 の数字和は 1 + 2 + 9 = 12 となる。

この概念は数字根と密接に関連するが、同じではない。数字根は、数字和が最終的に 1 桁の数字になるまで同じ処理を繰り返し適用する。すなわち、0 以外の数字根の値は 1 から 9 のいずれかになるが、0 以外の数字和の値は 10 以上も含めた自然数のいずれかになる。

数字和は整数が割り切れるかどうかのチェックに使われる。3 または 9 で割り切れる整数の数字和は、それぞれ 3 または 9 で割り切れる。

例えば、上記の129は1+2+9が12ということで3の倍数であり、並び替えた192、219、291、912、921も全て3の倍数。

以下の数列は 1 から 30 までの数字和である。

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 3, …

1. 具体的な数
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{| class="wikitable"! 数字和 !! 数 !! OEIS !! ハーシャッド数 !! 素数 |- |align="center"| 1 || 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, … || || || |- |align="center"| 2 || 2, 11, 20, 101, 110, 200, 1001, … || || || 2,11,101 |- |align="center"| 3 || 3, 12, 21, 30, 102, 111, 120, 201, 210, 300, 1002, … || || || |- |align="center"| 4 || 4, 13, 22, 31, 40, 103, 112, 121, 130, 202, 211, … || || || |- |align="center"| 5 || 5, 14, 23, 32, 41, 50, 104, 113, 122, 131, 140, 203, || || || |- |align="center"| 6 || 6, 15, 24, 33, 42, 51, 60, 105, 114, 123, 132, 141, 150, … || || || |- |align="center"| 7 || 7, 16, 25, 34, 43, 52, 61, 70, 106, 115, 124, 133, 142, … || || || |- |align="center"| 8 || 8, 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80, 107, 116, 125, 134, … || || || |- |align="center"| 9 || 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 108, 117, 126, 135, … || || || |- |align="center"| 10 || 19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91, 109, 118, 127, 136, … || || || |- |align="center"| 11 || 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92, 119, 128, 137,
146, 155, … || || || |- |align="center"| 12 || 39, 48, 57, 66, 75, 84, 93, 129, 138, 147, 156, 165, … || || || |- |align="center"| 13 || 49, 58, 67, 76, 85, 94, 139, 148, 157, 166, 175, 184, … || || || |- |align="center"| 14 || 59, 68, 77, 86, 95, 149, 158, 167, 176, 185, 194, 239, … || || || |- |align="center"| 15 || 69, 78, 87, 96, 159, 168, 177, 186, 195, 249, 258, 267, … || || || |- |align="center"| 16 || 79, 88, 97, 169, 178, 187, 196, 259, 268, 277, 286, 295, … || || || |- |align="center"| 17 || 89, 98, 179, 188, 197, 269, 278, 287, 296, 359, 368, … || || || |- |align="center"| 18 || 99, 189, 198, 279, 288, 297, 369, 378, 387, 396, 459, … || || || |- |align="center"| 19 || 199, 289, 298, 379, 388, 397, 469, 478, 487, 496, 559, … || || || |- |align="center"| 20 || 299, 389, 398, 479, 488, 497, 569, 578, 587, 596, 659, … || || || |}

数字和が //n// となる最小の数は 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99, 199, 299, 399, …
その数が //n// よりも大きいという条件をつけると最小の数は 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99, 199, 299, 399, …
数字和が //n// となる最小の偶数は 10, 2, 12, 4, 14, 6, 16, 8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98, 198, 298, 398, 498, …
数字和が //n// となる最小の奇数は 1, 11, 3, 13, 5, 15, 7, 17, 9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99, 199, 299, 399, …{|class="wikitable" style="text-align: center;"|- ! 数 !! OEIS !! 数 !! OEIS |- ! 素数 | ! フィボナッチ数 | |- ! 三角数 | ! 平方数 | |- ! 五角数 | ! 立方数 | |- ! 完全数 | ! 矩形数 | |- ! 階乗数 | ! 高度合成数 | |- ! 三角錐数 | ! 約数の和 | |- ! 回文数 | ! リュカ数 | |}

2. その他の性質
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数字和が //n// となる //n// 番目の数は 1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 109, 137, 165, 193, 257, 294, 376, 467, 567, 676, …
素数のうち数字和も素数になる数は 2, 3, 5, 7, 11, 23, 29, 41, 43, 47, 61, 67, 83, 89, 101, …
素数のうちどの桁も素数で数字和も素数になる数は 2, 3, 5, 7, 23, 223, 227, 337, 353, 373, 557, 577, …
フィボナッチ数のうち数字和もフィボナッチ数になる数は 1, 2, 3, 5, 8, 21, 233, 317811, …
三角数のうち数字和も三角数になる数は 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 55, 78, 91, 105, 120, 136, 190, 210, 231, …
平方数のうち数字和も平方数になる数は 1, 4, 9, 36, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 324, 400, 441, …
立方数のうち数字和も立方数になる数は 1, 8, 125, 512, 1000, 1331, 8000, 19683, …
ある数 //n// を累乗した数の数字和については累乗数を参照。
//k// の倍数で数字和も //k// の倍数になる数は以下の通りである。{| class="wikitable"! //k// !! 数 !! OEIS |- |align="center"| 2 || 2, 4, 6, 8, 20, 22, 24, 26, 28, 40, 42, 44, 46, 48, 60, … || |- |align="center"| 3 || 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, … || |- |align="center"| 4 || 4, 8, 40, 44, 48, 80, 84, 88, 112, 116, 152, 156, 192, … || |- |align="center"| 5 || 5, 50, 55, 140, 145, 190, 195, 230, 235, 280, 285, 320, … || |- |align="center"| 6 || 6, 24, 42, 48, 60, 66, 84, 114, 132, 138, 150, 156, 174, … || |- |align="center"| 7 || 7, 70, 77, 133, 266, 322, 329, 392, 399, 455, 511, 518, … || |- |align="center"| 8 || 8, 80, 88, 152, 224, 376, 440, 448, 512, 592, 664, 736, … || |- |align="center"| 9 || 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, 126, … || |- | 10 || 190, 280, 370, 460, 550, 640, 730, 820, 910, 1090, … || |- | 11 || 209, 308, 407, 506, 605, 704, 803, 902, 2090, 2299, … || |}

数字和が桁数の //k// 倍になる数は以下の通りである。{| class="wikitable"! //k// !! 数 !! OEIS |- | 2 || 2, 13, 22, 31, 40, 105, 114, 123, 132, 141, 150, 204, 213, 222, … || |- | 3 || 3, 15, 24, 33, 42, 51, 60, 108, 117, 126, 135, 144, 153, 162, … || |- | 4 || 4, 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80, 129, 138, 147, 156, 165, 174, … || |- | 5 || 5, 19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91, 159, 168, 177, 186, 195, || |- | 6 || 6, 39, 48, 57, 66, 75, 84, 93, 189, 198, 279, 288, 297, 369, 378, … || |- | 7 || 7, 59, 68, 77, 86, 95, 399, 489, 498, 579, 588, 597, 669, 678, … || |- | 8 || 8, 79, 88, 97, 699, 789, 798, 879, 888, 897, 969, 978, 987, 996, … || |}

数字和とそれを逆順に並べた数の積に等しくなる自然数は 1, 81, 1458, 1729 のみである。
自然数の数字和の和の数列は 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 46, 48, 51, 55, 60, 66, 73, 81, 90, 100, 102, …他の数列の数字和の和の数列は以下を参照のこと。{|class="wikitable" style="text-align: center;"! 数 !! OEIS !! 数 !! OEIS |- ! 素数 | ! 約数の和 | |- ! 三角数 | ! 平方数 | |- ! 立方数 | ! 回文数 | |}

3. 関連する数
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数字和と既存の数列を組み合わせると新たな数列を見つけることができる。

平方数とその数字和の和2, 8, 18, 23, 32, 45, 62, 74, 90, 101, 125, 153, 185, 212, 234, 269, …
平方数とその数字和の差0, 0, 0, 9, 18, 27, 36, 54, 72, 99, 117, 135, 153, 180, 216, 243, …
立方数とその数字和の和2, 16, 36, 74, 133, 225, 353, 520, 747, 1001, 1339, 1746, 2216, 2761, …

4. 関連項目
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ハーシャッド数 - 数字和が自身の約数となる自然数
ハッピー数 - 各位の平方和を作り、新しくできた数についても同じ処理を繰り返し行って、最終的に1となる数
数字根

5. 外部リンク
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