志村多様体

志村多様体とは代数多様体であってモジュラー曲線の高次元化とみなせるような整数論で重要な対象である。有理数体上の簡約代数群の合同部分群によるエルミート対称空間の商として定義される。ヒルベルトモジュラ曲面やジーゲルモジュラ形式は志村多様体の例である。

志村多様体ははじめ志村五郎により虚数乗法論の一般化の中で導入された。志村は解析的に定義されたその多様体が数論的な対象であることを示した。すなわち、志村多様体は反射体とよばれる数体の上定義される。1970年代に、ピエール・ドリーニュは、志村の仕事の公理的なフレームワークを作り出した。同時期にロバート・ラングランズは、ラングランズ・プログラムの文脈において、モチーフ的L-函数と保型形式のL-函数の対応のある例を志村多様体が作り上げることに注目した。志村多様体のコホモロジーの中に現れる保型形式は、一般的な保型形式よりも研究しやすい。たとえば、保型形式に対応するガロア表現を構成することができる。

1. 定義
-----

1.1. 志村データ
----------

S = ResC/R Gm を複素数から実数への乗法群のヴェイユの制限を形成する。この逆極限

は、自然に右作用 G が作用する。これを志村データ  に関する志村多様体といい、Sh で表す。

2. 歴史
-----

エルミート対称空間の特別なタイプと合同群 Γ に対し、 の形の代数多様体とそのバイリー・ボレルのコンパクト化は、1960年代に一連の志村五郎の論文で導入された。後日、彼のモノグラフとして出版されているが、志村のアプローチは、虚数乗法論の相反法則の最大限の一般化を追求する研究で、現象的にも広い範囲に及ぶ。時代は遡るが、「志村多様体」と言う命名はピエール・ドリーニュが導入し、彼は志村理論の中で独立した抽象的な形をしている部分の研究を推し進めた。ドリーニュの定式化では、志村多様体はホッジ構造のあるタイプのパラメータ空間である。このようにして、彼らは、レベル構造を持つ楕円曲線のモジュライ空間がそうであったように、モジュラ曲線の自然に高次元への一般化を作り出した。多くの場合、志村多様体が解であるようなモジュライ問題は同一視することができる。

3. 例
----

F を総実な数体とし、D を F 上の四元数の斜体とする。乗法群 D× は標準的な志村多様体を引き起こす。その次元 d は D が分解する無限の座の数である。特に、d = 1 のとき、D× の十分小さな算術的部分群を固定すると、志村曲線を得ることができ、この構成から得られる曲線は既にコンパクトである。

明らかに方程式が知られている志村曲線の例は、以下の括弧の中の種数のフルヴィッツ曲線である。

クラインの4次曲面 
マクベス曲面 
第一フルヴィッツトリプレット曲面 と、次数 7 のフェルマー曲線である。

志村多様体の他の例は、ピカールモジュラ曲面やヒルベルト・ブレメンタール多様体がある。

4. 標準モデルと特殊点
------------

各々の志村多様体は、反射体と言われる標準的な数体 E の上に定義することができる。志村多様体は解析的に定義されるが、このことから数論的な重要性を持っていることが示唆される。志村多様体は相互法則の志村による定式化の出発点を形成し、そこで特殊点とよばれる点が数論的に重要な役割を担う。

志村多様体上の特殊点の集合のザリスキー閉包の性質は、アンドレ・オールト予想により記述される。一般化されたリーマン予想を前提として、条件付きの結果としてこの予想が得られる。

5. ラングランズプログラムの中の役割
-------------------

志村多様体はラングランズ・プログラムの中で際立った役割を果たす。典型的な定理として、アイヒラー・志村の合同関係式があり、これはモジュラー曲線のハッセ・ヴェイユのゼータ函数が、明示的にあたえられるウェイト 2 のモジュラ形式のL-函数の積であることを意味している。実際、この定理の一般化の過程で、志村五郎はこの多様体を導入し、彼の相反法則を証明した。他の数体上の群 GL2およびその内部形式からさだまる志村多様体のゼータ函数は、アイヒラー、志村、久賀、伊原により研究された。彼らの結果を基礎として、ロバート・ラングランズは次の予想を立てた。ある数体上に定義された任意の代数多様体 W のハッセ・ヴェイユのゼータ函数は、保型形式のL-函数の積となるのではないだろうか、すなわち、保型表現の集まりから発生するはずである。しかし、このタイプの記述は哲学的な性質であるが、W が志村多様体のときは証明されている。 ラングランズのことばから引用する。

6. 脚注
-----

7. 参考文献
-------

James Arthur, David Ellwood, and Robert Kottwitz  [1], Clay Mathematics Proceedings, vol 4, AMS, 2005 ISBN 978-0-8218-3844-0
Pierre Deligne, //Travaux de Shimura.// Séminaire Bourbaki, 23ème année , Exp. No. 389, pp.   123–165. Lecture Notes in Math., Vol. 244, Springer, Berlin, 1971. id=0498581}}, [2]
Pierre Deligne, //Variétés de Shimura: interprétation modulaire, et techniques de construction de modèles canoniques,// in //Automorphic forms, representations and L-functions//, Proc. Sympos. Pure Math., XXXIII , Part 2, pp.   247–289, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1979.
Pierre Deligne, James S. Milne, Arthur Ogus, Kuang-yen Shi, //Hodge cycles, motives, and Shimura varieties.// Lecture Notes in Mathematics, 900. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1982. ii+414 pp. ISBN 3-540-11174-3
J. Milne, //Shimura varieties and motives//, in U. Jannsen, S. Kleiman. J.-P. Serre , //Motives//, Proc. Symp. Pure Math, 55:2, Amer. Math. Soc. , pp.   447–523
J. S. Milne, [3], in Arthur, Ellwood, and Kottwitz 
Harry Reimann, //The semi-simple zeta function of quaternionic Shimura varieties//, Lecture Notes in Mathematics, 1657, Springer, 1997
Goro Shimura, //The Collected Works of Goro Shimura// , vol 1–5
Goro Shimura //Introduction to Arithmetic Theory of Automorphic Functions//