無限の猿定理

無限の猿定理とは、十分長い時間をかけてランダムに文字列を作り続ければ、どんな文字列もほとんど確実にできあがるという定理である。比喩的に「猿がタイプライターの鍵盤をいつまでもランダムに叩きつづければ、ウィリアム・シェイクスピアの作品を打ち出す」などと表現されるため、この名がある。

1. 概要
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この「定理」は、巨大だが有限な数を想像することで無限に関する理論を扱うことの危険性、および無限を想像することによって巨大な数を扱うことの危険性について示唆を与える。猿の打鍵によって所望のテキストが得られる確率は、たとえば『ハムレット』くらいの長さのものになると、極めて小さくなる。宇宙の年齢に匹敵する時間をかけても、実際にそういったことが起こる見込みはほとんどない。しかし、定理は「十分長い」時間をかければ「ほとんど確実」にそうなる、と主張する。

この定理をたとえる話にはさまざまなバリエーションがある。タイピストを複数、さらには無限の数にまで拡張しているものもあるし、目標とするテクストを図書館の蔵書すべてとするものから、たったひとつの文とするものまである。定理が厳密に記述されるよりもずっと前から、実質的に定理に関連する着想を多くの者が得ている。その歴史はアリストテレス『生成消滅論』やキケロ『神々の本性について』にまでさかのぼり、ブレーズ・パスカル、ジョナサン・スウィフトらを経て、タイプライターを小道具に用いる現代の諸命題にまで連なる。20世紀初め、エミール・ボレルとアーサー・エディントンは、統計力学の基礎における暗黙のタイムスケールについて説明するために、この定理を用いた。また、キリスト教護教論者とリチャード・ドーキンスの双方が、この定理の猿を進化のたとえとして用いることは妥当だと主張している。

現代においても、打鍵する猿への大衆的な関心が止むことはなく、数多の文学作品、テレビやラジオ、音楽、インターネット上で取り上げられ続けている。2003年、6匹のクロザルを使った実験が行われたが、この猿たちが文学界にもたらしたものは、ほとんど「S」の字だけからなる5ページのテクストのみであった。

2. 「定理」の数学的な解釈
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定理の主張に含まれる「十分長い」、「ほとんど確実」といった言葉は確率論およびその基礎となる解析学において厳密に定義された用語であり、したがって定理の主張は数学的に意味のある主張である。ただし「ほとんど確実に」という言葉は測度論に基づく確率論で用いられる語であり、主張の内容を正確に理解したり証明したりするには測度論を必要とする。証明にはボレル-カンテリの補題を用いる。

ここではそのような厳密な議論には立ち入らず、この定理の言わんとすることを初等的に考察してみる。話を簡単にするため、タイプライターのキーがちょうど100個あるとする 。例えば「monkey」という1単語からなる文章は全部で6文字あるので、ランダムにキーを叩いて、「monkey」とタイプされる確率は、



である 。これは非常に小さな確率であるが、0ではないため、猿が「ランダムに6個のキーを打つ」という操作を非常に多くの回数繰り返せば「monkey」という文字列がタイプされる確率は100%に非常に近くなる。

文章中の文字数が7つ、8つと増えるごとに、その文章が打たれる確率は減ってゆくが、いずれにせよ0にはならないから、7文字の文章であろうと8文字の文章であろうと、根気よくランダムにキーを打ち続ければ、いつかはその文章が打たれることになる。同様に考えれば、一冊に何万もの文字を含むシェイクスピアの著作であっても、いずれは打ち出されることになるのである。

しかし、文章が含む文字の数が増えれば増えるほど、その文章が打たれる確率は指数関数的に減少し、そのような文字列が現れるのに必要な時間の期待値はとてつもない速度で上昇していくことにも注意しなければならない。例えば仮に1秒間に10万文字打てるとしても、たった100文字の文章を登場させるのに要する時間は100億年の1無量大数倍の1000京倍にもなる。まして、猿が『ハムレット』一冊を打つのにかかる時間は途方もない長さである。このように、理論上は有限の時間で猿はどんな文章でも打てるが、そのために要する時間は想像を絶するほど大きなものである。

このように人間の直観的にはあり得ないと思えるが、数学の定理上において無限の猿定理は当たり前に成り立つ解釈でもある。

仮にハムレットを20万文字と仮定すれば、百分の1を20万乗した確率になる。

この確率分母100200000はグラハム数と比べればゼロに近いほど低い数値である。

そして「十分長い」とはそのグラハム数すらゼロに近いほど大きい数値を定義している。

そのため、確率分母100200000はあっという間に飲み込まれてしまう。

そのため、ハムレットは「十分長い」時間の中でほとんど確実に猿にタイプライターで打たれることになる。

3. 歴史
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3.1. 起源
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打鍵する猿の観念は  古くから知られていた。

ジェームズ・ジーンズは、1931年の著書 “//The Mysterious Universe//” で、猿のたとえ話の起源は「ハクスリー」 にあるとした。これは誤りである。今日ではさらに、つぎのように言われることもある——1860年6月30日に、オックスフォードで開催されたイギリス科学振興協会でハクスリーがチャールズ・ダーウィンの『種の起源』をめぐり国教会オックスフォード主教サミュエル・ウィルバーフォースと交わした伝説的な論争  の際に、ハクスリーが例として引いたのだ、と。この逸話は根拠に乏しいばかりか、1860年代にはタイプライター自体がまだ出現していなかったという事実があるため、信じがたい。霊長類の扱いは、別の理由で論議の的となっていたのである。ハクスリーとウィルバーフォースの論争には、猿に関わるこんな一幕があった——主教は祖母と祖父どちらの家系から猿の血を引いているのかとハクスリーに問うた。ハクスリーは、主教どののように不正直な弁論をなさる御仁の血よりは猿の血を引く方がましとの旨を答えた。

アルゼンチンの作家ボルヘスは、1939年の「完全な図書館」 と題したエッセイで、無限猿の観念の歴史をアリストテレスまで遡って論じた。『形而上学』 でアリストテレスは、原子のランダムな組み合わせによって世界が現出するというレウキッポスの見かたを紹介し、原子自体はそれぞれ類似的だが、形態、配列、位置の差別が起こりうるのだと説明している。また彼は『生成消滅論』 で、この考えかたを同じような「原子」つまりアルファベットの文字から悲劇でも喜劇でも作り出せるということにたとえている。3世紀後のキケロは『神々の本性について』 で、このような原子論者の世界観に反駁した。

ボルヘスはこの主張の歴史を辿ってブレーズ・パスカルやジョナサン・スウィフトに触れるなかで、彼の時代には言い回しが変化しているのを認めた。1939年当時、この成句は「六匹の猿でも筆記用具さえあてがわれれば、遼遠なる未来には大英博物館の全蔵書を書き上げるであろう」となっていたという。

3.2. 浸透
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無限の猿定理とそれが喚起するイメージは、確率の数理を一般向けに解説する際の常套句となったため、教育現場でよりはむしろ大衆文化を通じて広く知られるようになった。

ホフマン  とホフマン  は、2001年の論文「猿とタイプライターとネットワークと——偶発的卓越性の理論から見たインターネット」の序章で、この定理が地道にしかし広く一般にひろまっていることを注意した。2002年のワシントン・ポスト紙の記事にはこうある——「少なからぬ人々が、無限の数の猿が無限の数のタイプライターで無限の時間をかければ、いつかシェイクスピアの作品ができあがるかもしれないという考えを楽しんでいる」。2003年、前述のArts Councilが実在の猿とコンピュータのキーボードを使った実験に出資し、このことは広く報道された。2007年、『WIRED』誌はこの定理を「史上8大思考実験」のひとつに挙げた。

4. 使用例と論争
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4.1. 文学
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4.1.1. 文学理論
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R・G・コリングウッドは1938年、芸術は偶然によっては生み出されないと主張し、彼の批評家たちへの皮肉をこめて次のように書いた。

ネルソン・グッドマンは逆の立場をとる。キャサリン・エルギンやボルヘス『『ドン・キホーテ』の著者ピエール・メナール』の例を引いて、次のように論点を述べた。

メナールが書いたものは、テクストの別稿であるにすぎない。われわれのだれにでも同じことができる。輪転機や複写機にもできる。よくこう言うではないか——無限に多くの猿がいて〔…〕いつかその一匹がテクストの複製を生み出す、と。われわれの手になるこの複製は、セルバンテスの手稿にも、メナールの手稿にも、これまでに印刷された書物の一冊一冊にもひけをとらない『ドン・キホーテ』という作品の実物なのだ。

別の著書でグッドマンは自説をさらに敷衍している。「猿がでたらめに複写物を作り出すと考えても、かわりはない。それは同じテクストである。それはどこをとっても同じ解釈を受ける。〔…〕」ジェラール・ジュネットはグッドマンの主張に疑問を呈し、これを退けている。

ホルヘ・グラシアによれば、テクストの同一性に対する疑義はさらなる疑義を呼び起こす。作者というものへの疑義である。猿は『ハムレット』の意味を理解できないがゆえに、作者としては不適格である。にもかかわらず『ハムレット』を打ち出す能力を持てばよいのであれば、テクストに作者などいらなくなる。これに対する解答のひとつは、テクストを発見しそれが『ハムレット』と一致することを認めた者が作者である、と言うことである。あるいは、シェイクスピアが作者であり、猿はその代行者で、テクストを発見する者はテクストの利用者にすぎない、と言うこともできる。これらの解答には難点がある。テクストが、それに関わる者たちとは無関係に意味を持ってしまうのである——シェイクスピアが生まれるより前に猿が作業していたら、いったいどうなるのか。あるいは、シェイクスピアなどこれまで生まれたこともなかったとしたら、どうなるのか。猿が打った原稿を誰も発見してくれなかったらどうか。

4.1.2. ボルヘス
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ボルヘスは『完全な図書館』の中で、「完全な図書館」の企てが最高潮に達したときに生み出されるであろうものを想い描く。

ボルヘスの完全な図書館の観念は、よく知られた1941年の短篇『バベルの図書館』 の主題となっている。ここで描かれるのは、六角形の部屋が無数につながってできた想像を絶する規模の図書館であり、アルファベットと若干の句読記号でもって書かれうるどんな書物でも、そのどこかに納まっているとされている。

4.1.3. その他の文学作品
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ジョナサン・スウィフト『ガリヴァー旅行記』 ガリヴァーはバルニバービに立ち寄った際に「どんな無知な人間でも〔…〕立派に哲学や詩や政治や法律や数学や神学に関する書物が書ける」というふれこみの[[ザ・エンジン|装置(ザ・エンジン）