1+2+3+4+…

自然数すべての総和 1 + 2 + 3 + 4 + …}} は、その n}}-次の部分和

が三角数によって与えられる無限級数。これは n}} を無限大に飛ばすとき際限なく増加するため、この級数は発散し、通常の意味での「和」を持たない。

一見するとこの級数が意味のある値を持つことは全くないように思われるが、これに数学的に意味のある値を結びつける方法があり、そうして得られた値は複素解析や、物理学における場の量子論、特に弦理論などの分野において応用がある。様々な総和法を用いることで、上記のごとき発散級数にさえ有限な数値を割り当てることができ、特にゼータ関数正規化やラマヌジャン総和法では件の級数に −sfrac を値として割り当てる。この事実をよく知られた公式

として式に表すLepowsky。モンスター群のムーンシャイン現象に関するモノグラフでテリー・ガノンはこの等式を「自然科学において最も注目すべき公式の一つ」と評したGannon。

1. 部分和について
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級数 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …}} の部分和は順に 1, 3, 6, 10, 15, …}} と続き、第 n}} 部分和は簡単な公式

によって与えられる。この等式はピタゴラス学派によって紀元前6世紀ごろには早くも知られていたPengelley。この形で与えられる数は、各項を点を三角形状に並べることで数えられることから、三角数と呼ばれる数である。

三角数からなる無限数列は +∞}} に発散するから、定義により無限級数 1 + 2 + 3 + 4 + …}} もまた +∞}} に発散する。これが発散することは「項が 0}} に収束しないならば級数は発散する」という項による発散判定法の単純な帰結でもある。

1.1. ゼータ関数の部分和
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リーマンゼータ関数を部分和にした

を複素平面上にプロットした時、の虚部に対してが十分大きくなると対数螺旋のような軌跡を描く。その軌跡の中心は元となったゼータ関数の値に近似していることが観測されており、の実部をとして虚部を十分小さくした時にこの方法でを観測すると −sfracに近似する。

2. 総和可能性について
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様々知られた古典的な発散級数の中でも 1 + 2 + 3 + 4 + …}} は有限値へ持ち込むことが比較的難しい。発散級数に有限な数値を割り当てる総和法は多数存在するが、それらの中には総和法としての強さが比較可能なものがある。例えば、チェザロ総和法は緩やかに発散するグランディ級数 1 − 1 + 1 − 1 + …}} を sfrac に総和することはよく知られているが、アーベル総和法はグランディ級数を 1/2}} に総和するのみならず、より扱いの難しい級数 1 &minus; 2 + 3 &minus; 4 + …}} までも sfrac に総和することができる。

これらの級数と異なり、1 + 2 + 3 + 4 + …}} はチェザロ総和可能でもアーベル総和可能でもない。これらの総和法が適用できるのは収束級数と振動級数に対してのみであり、+∞}} に発散する級数については有限な値を生み出すことはできないのであるHardy。そこでより発展的な総和法が必要になるのであるが、それは例えばゼータ関数正規化やラマヌジャン総和法である。だいたいそういった方法による経験論を用いて、この級数の値が −sfrac であると論ずることができる。

2.1. ヒューリスティックな説明
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ラマヌジャンは彼のノートブックの8章において "1 + 2 + 3 + 4 + … =}} −sfrac" の導出を二種類の方法で与えているAbdiBerndt。厳密さをさておいて簡単に述べれば以下のようなことになる。考察の第一の鍵は、正項級数 1 + 2 + 3 + 4 + …}} が交項級数 1 − 2 + 3 − 4 + …}} にきわめてよく似ていることである。後者の級数もまた発散するのであるが、扱いは極めて容易で、これに値を割り当てる古典的な総和法がいくつか存在し、それは18世紀にはすでに発見されていたEuler。

さて級数 1 + 2 + 3 + 4 + …}} を級数 1 − 2 + 3 − 4 + …}} に変形するのに、第二項から 4}} を引き、第四項から 8}} を引き、第六項から 12}} を引き……、という具合にやって行けば、引かれる総量は 4 + 8 + 12 + 16 + …}} でこれはもとの級数の 4}} 倍である。これを少し代数学的に書いてみよう。この級数の「和」となるべきものがあるとしてそれを //c// =}} 1 + 2 + 3 + 4 + …}} と呼ぶことにすると、これを 4}} 倍してもとの式から引けば

を得る。

考察の第二の鍵は、交項級数 1 − 2 + 3 − 4 + …}} が 1/sup の形式冪級数展開に //x// =}} 1}} と代入したものになっていることである。ラマヌジャンのノートに従えば

の両辺を −3}} で割って、//c// =}} −sfrac を得る。

一般論で言えば、無限級数を有限和と同様のものであるかのように扱うことは危険である。例えば発散級数に対してその任意の位置に無数の 0}} を挿入することでさえ、自己矛盾した結果を導き得る。特に、4//c// =}} 0 + 4 + 0 + 8 + …}} とした手順は、単に加法単位元の基本性質のみで正当化することができるものではないのである。さらに極端な例として、級数の先頭にたった一つ 0}} を付け加えるだけで矛盾した結果を導くことができることさえあるTao。

この状況を改善して 0}} の挿入可能な場所を制限する一つの方法は、適当な関数に従って配置することによって各項のつながり方を保つことである数を関数に昇華して考えることは、二つの広汎な総和法のクラスの、アーベル総和法やボレル総和法などを含む一派として理解することができるsfn。級数 1 + 2 + 3 + 4 + …}} における各項 n}} は単なる数であるが、ここで項 n}} を複素変数 s}} に関する関数 //n//sup へ昇華するならば、項が足し合わされるというようなことだけについては保証することができるようになる。そうして得られた級数はより厳密な取扱いができるようになるし、そのあとで変数 s}} を −1}} に特殊化することもできる。こういった手法を形にしたものがゼータ関数正規化である。

2.2. ゼータ函数正規化}}ゼータ関数正規化
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ゼータ関数正規化 }} において、級数 は級数 に置き換えられる。後者の級数はディリクレ級数の一例である。複素変数 s}} の実部が 1}} より大きいときこのディリクレ級数は収束し、その和はリーマンゼータ関数 //ζ//}} に等しい。一方、実部が 1}} 以下のときこのディリクレ級数は発散し、特に級数 1 + 2 + 3 + 4 + …}} は //s// =}} −1}} と置いたものだから、1 + 2 + 3 + 4 + …}} は発散する。リーマンゼータ関数を導入するメリットは、そうすれば s}} に関する解析接続によって級数の収束領域の外側まで矛盾なく定義することができることにある。そうして、級数 1 + 2 + 3 + 4 + …}} のゼータ関数正規化された「和」を //ζ// =}} −sfrac と定義するのであるより一般に、math。

ところで、//ζ// =}} −1/12}} を証明する方法はいくつか知られている。一つの方法はオイラーの論法に沿ったもので、リーマンゼータ関数とディリクレイータ関数 //η//}} との間の関係を用いるStopple。このイータ関数は交代ディリクレ級数によって定義されるもので、故にこの方法は古き経験論的方法をなぞるものである。両ディリクレ級数が収束する領域において、等式

が成り立ち、この等式 は、上記の級数が発散する領域の //s// に対しても、解析接続によって延長すれば保たれる。故に //s// =}} −1}} を代入して −3//ζ// =}} //η//}} を得るが、このイータ関数はこの級数を定義するアーベル和に等しいから //η//}} は容易に計算できるKnopp。つまり、片側極限

が求まって、両辺を −3}} で割れば、//ζ// =}} −sfrac を得る。

2.3. 平滑化漸近線
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テレンス・タオは級数の平滑化によって −sfrac が得られることを指摘している。平滑化はゼータ関数正規化とラマヌジャン総和法とを概念的に橋渡しするものである。これは、保守的な級数変化法を直接操作する代わりに、実解析の方法論を用いるのである。

この考えは、素性の悪い }} 離散的級数 を、よい性質 }} のカットオフ関数 f}} を用いて、その滑らかな変形版 で置き換える。このカットオフ関数は //f// =}} 1}} に正規化されていなければならないこれは微分方程式において用いられる正規化とは異なる}}。カットオフ関数は級数の悪い点を滑らかにするために充分に有界な導関数を持ち、級数の増加よりも早く 0}} に減少する必要がある。便宜のため、f}} は滑らかで有界かつ台がコンパクトであるものと仮定する。このとき、この平滑化された和が − sfrac に漸近することが示される。この漸近展開の定数項は f}} の選び方に依らないが、これが必ずしも解析接続によって得られる値 −sfrac と同じであると決まっているわけではないTao。

2.4. ラマヌジャン総和法
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1 + 2 + 3 + 4 + …}} のラマヌジャン総和法も −sfrac になる。ハーディへ宛てたラマヌジャンの二通目の書簡  には