算数

算数は、日本の小学校における教科の一つ。広義には各国の初等教育における一分野も指す。

この項では便宜を考慮して各国の初等教育における、算数に相当する教科について広く解説する。

類似の言葉として、初等数学があり、定義は曖昧だが、こちらは日本の中学校の数学あたりまでを指す言葉である。方程式や冪乗などを含む。

1. 概説
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国ごとに教える内容や教え方、教科書のあり方などに相違点がある。例えば日本では乗法に関して、「九九」すなわち9×9の数表を教え暗記させているが、インドでは「20×20」 の数表を教え暗記させている。また、日本では「2+3=□」というタイプの、答えが基本的には一つしかないような課題が主として出されるのに対し、ヨーロッパなどでは初期の段階から「□+□=5」といったような課題を頻繁に提示し、答えが一つではなく複数あり、様々な数学的な発想・探求へといざなうような教育がされることが多い。

中国、台湾、韓国、北朝鮮では、「算数」ではなく「小学数学」と呼ばれている。

2. 「算数」という語の由来
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中国、前漢時代についての史書『漢書』律暦志に「數者一十百千萬也 所以算數事物 順性命之理也」とある。次に紀元前1世紀の『周髀算經』が知られている。また1983年12月 - 1984年1月にかけて湖北省江陵県にある前漢時代の張家山西漢墓の発掘調査から竹簡『算數書』が発見されている。その内容は乗法などの問題集で後の『九章算術』に影響したのではないかと推測されている。よって「算数」はこの時代に使用が広まったものと推測される。すなわち、算数、算術、数学の用語のうち、現在見つかっている最古の語は「算数」である。日本における教科名としては、算術に代わって1941年より用いられている。

中国では現在、「算数」とは数学の源流的なものを指す。

3. 日本の算数
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算数と数学は、実際は別の教科である。中学校以降の数学がやや観念的、抽象的であったり、専門的な職業で用いるような応用をにらんだカリキュラムになっているのに対し、小学校の算数は「日常の事象について見通しをもち筋道を立てて考え，表現する能力を育てる」ことが目指される。

計算の反復練習が重要なことや、問題を制限時間内にこなすために集中力や持続力を育てる必要等から、しつけとしての役割もある、と述べる教育者もいる。それに対して、算数の目的はしつけや我慢にあるわけではないと述べる人もいるという。

3.1. 形式陶冶説と実質陶冶説
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古くから日本の算数の目的としては「形式陶冶説」がとられていたとされる。形式陶冶とは、実際的な知識や技能の獲得を主な目的とするのではなく、学ぶ過程から心的能力を育てることを目標とする考え方である。算数については、これを学ぶことで「学んだ問題が解けるようになるだけでなく、広く、思考力が高まる」ともされてきた。 しかし、これには異論もあり、例えばエドワード・ソーンダイクは実験により学習転移は狭い範囲に限られることを確かめたと述べたという。「与えられた予め答えが決まっている問題解きを繰り返しても、その限られた狭い周辺の問題が解けるようになることはある。しかし広い意味の思考力はつかない」というのである。

その後も形式陶冶の考え方は根強いが、実際的な学習効果を重視する「実質陶冶」の考え方も強くなってきているdate=2009年4月}}、ともされる。

4. 現在の日本の小学校の算数の学習内容
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4.1. 数
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0から120程度までの数、1万までの数、万、億、兆など
数直線
小数
分数
偶数と奇数
倍数
公倍数と最小公倍数
約数
公約数と最大公約数
比

4.2. 計算
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四則演算とその規則
四則の混合した式及び括弧のある式の計算
四則演算を使用した筆算
加法及び乗法の交換法則・結合法則・分配法則
そろばん、電卓の使い方
等号と不等号

4.3. 図形
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多角形
三角形
正三角形、二等辺三角形、直角三角形の簡単な定義と面積
四角形
正方形、長方形、平行四辺形、台形、ひし形の簡単な定義と面積
円
円周率
円、おうぎ形の面積
角柱と円柱
直方体、立方体
球
展開図

4.4. 量
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長さ
mm、cm、m、km
角度
°
重さ
mg、g、kg、t
時間
秒、分、時、日
面積
cm2、m2、a、ha、km2
体積
mL、dL、L、kL、cm3、m3
速さ
速さ，時間及び道のりの関係

4.5. 関数・統計
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グラフ
棒グラフ、折れ線グラフ、円グラフ・帯グラフ、度数分布表・ヒストグラム・ドットプロット
比例・反比例
割合
百分率・歩合
平均

5. 中学入試における受験算数の内容
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中学校では方程式を指導する際に方程式を立てさえすれば、あとは意味を考えなくても自動的に答えが出るとして、方程式の有用性を強調しそれにふさわしい問題を演習する。しかし、中学入試の算数では、単元ごとに固有の性質に着目しないと解きづらく、方程式により解こうとするとかえって困難になる問題が出題されている。

大学入試でも入試を念入りに工夫して出題する難関大学では、積分などの文字式の単純計算やはじめに式を立てさえすればあとは一直線で解けるという問題はほとんど出ないため、将来難関大学を目指す児童の中には、中学受験をしなくても受験算数に取り組む場合もある。実際、受験算数は難関大学の入試問題を小学生向けに翻訳したものと見られるものもある。

ただし、ある数を「1」と仮定し、それを日数や人数などの乗除でのべ量を出して考えることや比と実際の数量の関係を利用した相当算とよばれる方法は方程式ではないが、それに近い計算法が必要とされる。また、数量の比を直線で表した線分図や二つの数の積の関係を長方形の面積に変えて考える面積図もよく使われる。また、後述のように素因数分解、位取り記数法、相似比と面積比・体積比との関係などのように中等教育内容も一部登場する。

中学入試における受験算数においては、次のような応用問題が多く出題される。

5.1. 数論における例
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例1　3で割っても5で割っても1余る2けたの整数のうち、最小のものを求めなさい。解　3と5の公倍数のうち、9以上の最も小さいものに1を加える。15＋1＝16　16例2　1から100までの整数をすべてかけた積がある。この積を3で割り、得られた答えが整数であれば3で割る計算をくり返すとき、答えが初めて整数でなくなるのは何回目ですか。解　1から100までに3の倍数は33個、9の倍数は11個、27の倍数は3個、81の倍数は1個ある。よって33+11+3+1＝48までは3で割り切れる。49回目その他
与えられた長方形を並べて最小の正方形を作る問題
与えられた長方形を最大の正方形で敷き詰める問題
与えられた分数の列に特定の分数を掛けたとき、いずれも整数になる最小の分数を求める問題
ユークリッドの互除法に関する問題

5.1.1. 約束記号
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約束記号の問題には大きく分けて二つの型がある。一つは関数であり、もう一つは演算と呼ばれる。 演算は2変数関数であるが、date=2011年1月。

関数の例1からnまでの整数を加えた数をと表すことにします。たとえば、<4>＝1＋2＋3＋4＝10です。このとき、<10> を求めなさい。 <10>＝1＋2＋3＋4＋……＋10＝55演算の例A☆B＝A×2+Bと表すことにします。たとえば、3☆8＝3×2+8＝14です。このとき、5☆10を求めなさい。解　5☆10＝5×2+10＝20　20

5.2. 図形における例
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5.2.1. 三角形の面積の例　
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　　底辺が6cm、高さが5cmの三角形の面積を求めなさい。

　　解　三角形の面積は、底辺×高さ÷2で求められるから、

　　　　6×5÷2=15　15㎠

5.2.2. ひし形の面積
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　　対角線が8cm、もう一方の対角線が4cmのひし形の面積を求めなさい。

　　解　ひし形の面積は、対角線×もう一方の対角線÷2で求められるから、

　　　　8×4÷2=16　16㎠

5.2.3. 台形の面積
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　　上底が2cm、下底が8cm、高さが4cmの台形の面積を求めなさい。

　　解　台形の面積は、×高さ÷2で求められるから、

　　　　×4÷2=20　20㎠

5.2.4. おうぎ形の面積
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　　半径が3cm、中心角が60°のおうぎ形の面積を求めなさい。

　　解　おうぎ形の面積は、もとの円の面積×中心角÷360°で求められるから、

　　　　3×3×3.14×60°÷360°=28.26×1/6=4.71　4.71㎠

5.2.5. 角度の例
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　　直角三角形の内角は90°と60°と何か。

　　解　三角形の角度の合計は180°だから、

　　　　180°－＝30°　30°

5.3. その他の出題されやすい分野
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5.3.1. 数論
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置き換え
カードのシャッフル - あみだくじ
場合の数
順列 - 組合せ
パスカルの三角形 - カタラン数
規則性
等差数列 - 等比数列 - 多角数 - フィボナッチ数列 - モーザー数列
ままこ立て
位取り記数法
推理算 - 植木算 - 還元算
割合の3用法
鶴亀算 - 和差算 - 分配算 - 仕事算 - 倍数算 - 植木算 - 還元算 - 過不足算 - 推理算
平均算 - 倍数変化算 - ニュートン算 - 売買算 - 塩水算
絶対的な速さを扱う問題
速さの三公式
平均の速さ - 通過算
相対的な速さを扱う問題
流水算
旅人算 - 3人旅人算 - 時計算 - 通過旅人算 - 流水旅人算

5.3.2. 図形
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平面図形
多角形と角
二等辺三角形と角 - 星型の角
平面充填 - 面積 - 相似比と面積比・体積比との関係
空間図形
投影図 - 展開図 - 回転体 - 断面

6. 脚注
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6.1. 注釈
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6.2. 出典
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7. 関連項目
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数学、数学 、数学教育
小学校 - 特別支援学校
学習指導要領