ルジャンドル変換

ルジャンドル変換とは、凸解析において、関数の変数をその微分に変えるために用いられる変換である。このとき実数関数 1=//f//}} は微分可能でなくてもよいが連続関数だとする。

名前はフランスの数学者、アドリアン＝マリ・ルジャンドルに因む。ルジャンドル変換は点と線の双対性、つまり凸な関数 1=//y// = //f// }} は 1=}} の点の集合によって表現できるが、それらの傾きと切片の値で指定される接線の集合によっても等しく充分に表現できることに基いている。

凸関数をルジャンドル変換する際、変換前の関数が保持している情報は、変換後の関数においても完全に保たれる田崎。解析力学においてはこの性質を利用して、ラグランジアンからルジャンドル変換によってハミルトニアンが得られる。物理学等において他にも広く応用されており、熱力学における熱力学関数間の変換などにも用いられる。

ルジャンドル変換をより一般化したものはルジャンドル＝フェンシェル変換と呼ばれる。

1. 定義
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関数 1=//f//}} のルジャンドル変換 1=//f//sup は次のように定義される田崎清水：

または

ここで underset および underset は変数 x}} を動かしたときの上限および下限を表すより初等的な[[最大と最小。

また、下に凸な関数に対して等価な、別の定義として以下がある清水。

at 以下は、「1=//f//′ ≤ //p// ≤ //f//′}} を満たすような x}} を、一意でなければどれでもいいから代入せよ」という意味である。

変換される関数 f}} は x}} 以外の変数を持っていてもよく、多変数関数に対しては各変数についてルジャンドル変換をすることができる。

2. 性質
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その定義から明らかなように、関数 1=//g// = //px// − //f//}} の上限が定まる場合のみ、ルジャンドル変換によって新しい関数 1=//f//sup を与えることができる田崎。

それが定まる場合でも、もととなる関数 //f//}} が凸関数でない場合、新たに定義された関数 //f//sup は逆変換してももとの関数 //f//}} へは戻らない田崎。したがって応用上は初めから関数 //f//}} は凸であると仮定することが多い。

2.1. 滑らかな関数に対する変換
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もとの関数 //f//}} の一階の導関数 //f}}}} が x}} について連続であり単調増加する場合、すなわち関数 //f//}} が下に凸で滑らかな場合、関数 1=//g// = //px// − //f//}} の上限となる x}} は、//g//}} の x}} の一階の導関数 //g}}}} が 0 になる点であるから、ルジャンドル変換は次のように書き直せる。

ここで関数 //x//sup は //f//}} の導関数 //f'//}}}} の逆関数である：

これは方程式 1=//f'//}} = //p//}} の解である。

また、f}} もそのルジャンドル変換 //f// sup も2階微分可能なら、両者は逆数の関係にある清水。すなわち

ただし x}} と p}} は 1=//p// = //f//′}} を満たすとする。

2.2. 逆変換
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関数 //f//}} のルジャンドル変換 //f//sup に対して再びルジャンドル変換を施した関数を //f//sup とする：

//f//}} が下に凸であれば、//f//sup はもとの関数 //f//}} に等しい：

つまりルジャンドル変換の逆変換はルジャンドル変換そのものとなる。

簡単な証明として、関数が滑らかな凸関数である場合についてこのことを示す。まず関数 f}} を 2 回ルジャンドル変換をすると以下のようになる。

//p//sup は sfrac の逆関数であり、//x//sup は 1=//f'//}} = sfrac の逆関数なので、

//p//sup は //x//sup の逆関数でもあり、1=//x//sup が成り立つ。 このことから、//f//sup はもとの関数 f}} に等しいことが示される。

2.3. ヤングの不等式
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以下の不等式が成り立つ。この種の不等式はヤングの不等式と呼ばれる。

ルジャンドル変換の定義より、

であるから、//f//}} を両辺に足せば上述の不等式が成り立つ。

2.4. その他
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//f// }} が下に凸なら //f// sup も下に凸。すなわちルジャンドル変換は凸性を保持する清水。
//f// }} の左微分と右微分が異なる点は、//f// sup が //p//}} に関して1次関数となる領域に対応する。逆に //f// }} が //x//}} に関して直線となる領域は //f// sup が折れ線となる点に対応する清水。これは感覚的には、 と が対応するとも解釈できる。
象徴的に書けば、以下のように //x//}} と //p//}} について対称な関係がある。
//f// }} の逆関数 //f// sup のルジャンドル変換は以下である。

2.5. 多変数関数
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多変数関数に対しては、その一部の変数に関してだけのルジャンドル変換を考えることができる。

2変数関数 //f//}} を x}} についてルジャンドル変換した関数を //f//sup とする。このとき、変換されない変数 y}} はスペクテータと呼ばれる二間瀬。スペクテータ //y//}} による偏微分はルジャンドル変換の影響を受けない。すなわち次式が成り立つ二間瀬：

3. 応用例
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3.1. 熱力学
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熱力学では、熱力学関数間の変換、すなわち内部エネルギー //U//}} をエンタルピー //H//}}、ヘルムホルツの自由エネルギー //F//}} に、またそれらからギブスの自由エネルギー //G//}} に変換する際にルジャンドル変換が用いられる。

ここで、V}}：体積、p}}：圧力、S}}：エントロピー、T}}：温度である。//U//}} が //S//, //V//}} について下に凸である清水ため、//U//}}, //H//}}, //F//}}, //G//}} はルジャンドル変換を介して互いに等価である。

ただしここではルジャンドル変換は

という定義が用いられる清水。この定義でも上に述べた性質はほぼ同様に成り立つが、符号や凸性の変化などがある。たとえば逆変換は

に変わるという不便さがある。しかし多変数関数をこの定義で変換した場合、凸性の上下については、変換した変数についてのみ逆転し残りの変数についてはもとのまま保持されるという簡便さがある。

熱力学では導関数の不連続性は相転移として現れる。

3.2. 解析力学
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解析力学では、ラグランジアン L}} をハミルトニアン H}} に変換する際に、ルジャンドル変換が用いられる。座標を q}} としたときに正準運動量を 1=//p// = ∂//L///∂dot として、ハミルトニアンは

と定義される須藤。これによって、//L//}} になる。 実際これは以下の関係を満たす。

このハミルトニアンとオイラー＝ラグランジュ方程式あるいは最小作用の原理を組み合わせることで正準方程式が導かれる須藤。 ハミルトニアンの全微分は、

と書けるが、一方でハミルトニアンの定義より、

となるので、ハミルトニアンの偏微分は以下の関係を満たす。この内、正準変数 p}}, q}} の偏微分に関する式をまとめて正準方程式  と呼ぶ。

逆にハミルトニアンからラグランジアンを得る場合には、関数 L}} を以下のように定義し、

変数 p}} に対する偏微分が 0 になるようにする。すなわち、

結局このとき変数 dot はハミルトニアンの運動量微分に等しくなる。

多変数の場合には、ラグランジアンのすべての一般化速度についてルジャンドル変換を施したものがハミルトニアンと呼ばれる。また部分的にルジャンドル変換をしたものはラウシアン  と呼ばれる須藤。

3.3. 正準変換
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4. 具体例
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4.1. 滑らかな関数の例
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最も簡単な例として特異性のない関数を挙げる田崎。定数 1=//s// > 1}} に対して

とする。この関数 f}} は下に凸かつ十分滑らかである。関数 f}} のルジャンドル変換 //f//sup は

となる。ただし t}} は 1=sfrac を満たす定数である。この例では //f//}} と //f// sup は対称な形となる。特に 1=//s// = //t// = 2}} の場合、1=//f// = sfrac はルジャンドル変換で形を変えない。

4.2. 導関数に定数となる領域がある例
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//f// }} がある区間で1次関数となる例を挙げる清水。

導関数 //f}}}} が全領域で連続、かつ 1 < //x// < 2}} で定数 1=//f}} = 1}} であることに注意する。この関数のルジャンドル変換は 1=//p// = 1}} で折れ線となり、

となる。

4.3. 斉次関数
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//f//}} が k}} 次の斉次関数であるなら、そのルジャンドル変換は

である菅野。特に 1=//k// = 1}} のとき、//f//}} のルジャンドル変換は 0 となる。

5. 注釈
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6. 出典
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7. 参考文献
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和書 付録 H. Legendre 変換、pp.270-278.
和書 5.2 ルジャンドル変換、pp.45-47.

8. 関連項目
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劣微分

9. 外部リンク
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