ランベルトのW関数

ランベルトのW函数あるいはオメガ函数 、対数積は、函数 1=//f// = //ze//exp の逆関係の分枝として得られる函数 W}} の総称である。ここで、eexp は指数函数、z}} は任意の複素数とする。すなわち、W}} は 1=//z// = //f//exp を満たす。上記の方程式で、1=//z'}}// = //ze//exp と置きかえれば、任意の複素数 z'}}}} に対する W}} 函数の定義方程式

を得る。

函数 ƒ}} は単射ではないから、関係 W}} は多価である。仮に実数値の W}} に注意を制限するとすれば、複素変数 z}} は実変数 x}} に取り換えられ、関係の定義域は区間 //x// ≥ −1///e//}} に限られ、また開区間 }} 上で二価の函数になる。さらに制約条件として //W// ≥ −1}} を追加すれば一価函数 //W//msub が定義されて、1=//W//msub および 1=//W//msub を得る。それと同時に、下側の枝は //W// ≤ −1}} であって、//W//msub と書かれる。これは 1=//W//msub から 1=//W//msub まで単調減少する。

ランベルト W}} 関係は初等函数では表すことができない。ランベルト W}} は組合せ論において有用で、例えば木の数え上げに用いられる。指数函数を含む様々な方程式を解くのに用いられ、また1=//y'// = //ay//}} のような遅延微分方程式 の解としても生じる。生化学において、また特に酵素動力学において、ミカエリス–メンテン動力学の経時動力学解析に対する閉じた形の解はランベルト W}} 函数によって記述される。

1. 用語について
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ランベルト W}}-函数はヨハン・ハインリヒ・ランベルトに因んで名づけられた。Digital Library of Mathematical Functions では主枝 //W//msub を Wp}}, 分枝 //W//msub は Wm}} と書いている。ここでの表記の規約はランベルト W}} に関する標準的な参考文献Corlessに従った。

2. 歴史
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ランベルトは初め「ランベルトの超越方程式」に関連して1758年に考察した。これはレオンハルト・オイラーの1783年の weexp の特別な場合を論じた論文に繋がる。

ランベルト W}}-函数は、特殊化された応用において、十年程度毎に「再発見」されてきたdate=September 2015}}。1993年には、等電荷に対する量子力学的デルタポテンシャルの厳密解をランベルト W}}-函数が与えることが報告されたとき、コーレスら計算機代数システムMapleの開発者たちはライブラリを精査して、この函数が自然界に遍く存在することを発見した。

3. 微分積分学
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3.1. 導函数
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陰函数微分法により、W}} の任意の枝が常微分方程式

を満たすことが示せる。従って、W}} の導函数は

を満たす。ここで恒等式 1=//e//exp を用いるならば、

と書きなおすこともできる。

3.2. 原始函数
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函数 //W//}}は、1=//w// = //W//, (//x// = //weexp と置いた置換積分によって//

と積分できる。

したがって、等式

が得られる。

4. 漸近展開
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//W//msub の 0}} を中心とするテイラー級数は、

ダランベールの収束判定法によると、収束半径は 1 である。この級数の定める函数は、区間 !}}}}に沿って分岐切断を入れれば、ガウス平面の全域で定義される正則函数に延長することができる。この正則函数をランベルト W}} 函数の主値と定める。

x}} が十分大きければ、//W//msub は漸近的に

と展開される。ただし、1=//L//ind であり、[] は非負の第一種スターリング数である。

もう一つの、区間 !}}}} 上で定義される実函数な枝 //W//msub は、1=//L//ind と書けば、x}} が十分 0}} に近いとき同じ形の漸近展開を持つ。

//x// ≥ //e//}} なるとき、

という上下の評価が成り立つ。また もう一つの枝 //W//msub の評価は //u// > 0}} に対して

となる。

4.1. 整数冪・複素数冪の展開
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//W//msub の整数乗もまた 0}} において単純なテイラー級数展開を持つ。例えば

より一般に、ラグランジュの反転公式を用いれば、//r// ∈ Z}} に対して

となることが示せる。あるいは同じことだが、この式を //W//msub の冪に関するテイラー級数として

と書くことができる。これは任意の //r// ∈ C}} と abs に対して成立する。

5. 特殊値
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任意の非零代数的数 x}} に対して //W//}} は超越数になる。実際、//W//}} が零ならば x}} も零でなければならず、また //W//}} が非零代数的数ならばリンデマン–ワイエルシュトラスの定理により //e//exp は超越的でなければならず、従って1=//x// = //W////e//exp もまた超越的でなければならない。



6. 等式
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いくつかの等式は定義から直ちに得られる:

ここで、1=//f// = //x⋅eexp は単射でないから、1=//W//) = //x//}} は常には成り立たないことに注意すべきである。//x// < 0}} かつ //x// ≠ -1}} なる x}} を固定して、方程式 1=//x⋅eexp は y}} に関して二つの解を持ち、その一方はもちろん 1=//y// = //x//}} である。もう一方の解は、//W//msub の場合 //x// < -1}} に、//W//msub の場合 //x// ∈ }} にある。これらを踏まえて、次の式を導くことができる。

//f//)}} を反転すれば

を得る。

オイラーの反復指数函数 //h//}} を用いれば

を得る。

W}} を含む有用な積分公式がいくつか存在し、例えば以下のようなものが挙げられる: 分岐切断 !}}}} に沿う z}} を除けば、ランベルト W}} 函数の主枝は、以下の積分

によって計算できる。この二つの積分の値が等しいことは被積分函数の対称性による。

7. 応用
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指数関数を含む方程式の多くは、W関数を用いることで解くことができる。主な方針は、未知数を含む項を方程式の左辺に寄せ、W関数で解を表現できる の形にすることである。例えば、方程式 を解くには、両辺に を掛け、を得る。

ここで、両辺のW関数をとれば、、即ち となる。

同様の方法で、//x////x// = //z// の解は、 あるいは となる。

複素数の無限回の累乗 が収束するとき、ランベルトのW関数を用いれば、その極限値を次のように表現できる。 ただし、log は複素対数函数の主値とする。

8. 一般化
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通常のランベルト W}} は x}} に関する の形の「超越代数」方程式の厳密解 1=//x// = //r// + sfrac を記述することができる。

ランベルト W}} 函数の一般化として以下のようなものを挙げることができる:

低次元における一般相対論および量子力学への応用では、式 1}} の右辺を今度は x}} の二次多項式とした

を考える。ここで、この二次多項式の根 //r//ind は相異なる実定数とする。この方程式の解は一つの引数 x}} を持つ函数だが、rind や //a//msub のような項は解函数のパラメータとして働く。そのような側面で見れば、この一般化は超幾何函数やメイヤーG函数を作るのと似たような方式とも思えるが、これらの函数とは異なる「クラス」に属する。1=//r//ind のときは、式 2}} の両辺は因数分解できて、1}} に帰着されるから、解函数も通常の W}} 函数に還元される。式 2}} はディラトン場を支配する方程式を表すから、それにより不等静止質量の場合に対する gaps-次元における 1=R=Tモデルあるいは「直列」 二体重力問題の計量や、一次元の不等電荷に対する量子力学的二重デルタ型ポテンシャルの固有エネルギーが導かれる。
量子力学的オイラーの三体問題の特別の場合、具体的には水素分子イオンの固有エネルギーの解析解の場合、今度は式 1}} の右辺を x}} に関する無限次多項式の比とした

を考える。各 rind は実定数、x}} は固有エネルギーと核間距離 R}} の函数である。式 3}} は、その特別の場合として式 1}} および 2}} も含めて、遅延微分方程式の成す大きなクラスに関係する。"W}}" 函数の基礎物理問題への応用は、1}} で表される通常の W}} 函数の場合でさえも、近年の原子分子光学物理学の分野に見られるように、尽くされてはいない。

9. 複素平面上のグラフ
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Image:LambertWRe.png| Image:LambertWIm.png| Image:LambertWAbs.png| Image:LambertWAll.png|Superimposition of the previous three plots

10. 数値的評価
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W}} 函数はニュートン法を用いて近似することができて、1=//w// = //W//}}に対する逐次近似は

として与えられる。また、ハレー法 を用いた近似

を Corless は W}} の計算において与えている。

11. ソフトウェア実装
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W}} 函数の実装は:

[1],
lambertw in GP ,
lambertw in MATLAB,
lambertw in octave with the 'specfun' package,
lambert_w in Maxima,
ProductLog  in Mathematica,
lambertw in Python scipy's special function package
gsl_sf_lambert_W0 and gsl_sf_lambert_Wm1 functions in [2] section of the [3] - GSL.などがある。

12. 関連項目
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ランベルトの三項方程式
実験数学

13. 脚注
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14. 参考文献
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url=http://circ.ahajournals.org/cgi/reprint/102/18/2214 
[4];

15. 外部リンク
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[5]
[6]
[7]
GPL [8] with Halley's and Fritsch's iteration.
[9] of the [10] - GSL
[11]