ラグランジュの定理 (群論)

群論において、ラグランジュの定理とは、次のような定理である国吉星雪江Isaacs。 [//G// : //H//]}} に関しては#同値類による指数を参照。

1. 定義
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1.1. 部分群による同値関係
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群 G}} の要素 //x//, //y//}} に関して、群 G}} の部分群 H}} の要素 h}} を用いて、//x// =}} //yh// }} となるとき、//x// ～ //y//}} と定義する。G}} の単位元を e}} とすると、H}} は部分群だから //e// ∈ //H//}} であり、//x// =}} //xe//}} となるので、//x// ～ //x//}} である。//h// ∈ //H//}} のとき、H}} は部分群だから //h//-1 ∈ //H//}} となるので、//x// ～ //y//}} のとき、//x// =}} //yh// ⇔ //xh//-1 =}} //y//}} となり //y// ～ //x//}} である。//x//, //y//, //z// ∈ //G//}} に関して、//x// ～ //y//, //y// ～ //z//}} ならば //x// =}} //yh//1, //y// =}} //zh//2 }} だから //x// =}} //h//1 =}} //z}} となる。H}} は部分群なので、//h//2//h//1 ∈ //H//}} となるから //x// ～ //z//}} である。したがって、～}} は同値関係になる国吉星雪江雪江。

1.2. 同値関係による同値類
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部分群 H}} に関して、同値関係 ～}} による同値類 mset は mset になるから、aH}} に等しくなる。これを //a//}} の //H//}} による左剰余類という。同値関係 ～}} による同値類 aH}} の集合 mset を //G/////H//}} と書く国吉星雪江。

部分群 H}} が有限群の場合は //H// =}} mset と表すことができて、左剰余類 //aH//}} は //aH// =}} mset となる星。

1.3. 同値類の間の同型写像
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部分群 H}} から同値類 aH}} への写像 //φ////a// : //H// → //aH//}} を //φ////a// =}} //ah//}} と定義するとき、//φ////a// =}} //φ////a//}} とすると、//ah//1 =}} //ah//2}} となるから、左から //a//-1}} を掛けて //h//1 =}} //h//2}} となるので、写像 //φ////a//}} は単射になる。写像 //φ////a//}} による部分群 H}} の像が aH}} だから写像 //φ////a//}} は全射になり、全単射になる。したがって、写像 //φ////a//}} の逆写像 //φ////a//-1: //aH// → //H//}} は //φ////a//-1 =}} //a//-1//x//}} となる。これより、同値類 aH}} から同値類 bH}} への写像 //f// : //aH// → //bH//}} を //f//    =}}  =}} //φ////b//) =}} //ba//-1//x//}} と定義すると写像 //f//}} は全単射になる。したがって、任意の二つの同値類 aH}} と bH}} は同型となり、!}}//aH//!}} =}} !}}//bH//!}} =}} !}}//H//!}}}} となる国吉雪江。

1.4. 同値類による指数
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左剰余類の集合 //G/////H//}} の要素の個数である !}}//G/H//!}}}} を G}} における H}} の指数と呼び、[//G// : //H//]}} または !}}//G// : //H//!}}}} または }} と書く国吉星雪江。

//G/////H//}} が有限集合の場合は、//G/////H// =}} mset と表すことができて、[//G// : //H//] =}} !}}//G/////H//!}} =}} //k//}} となる。

G}} が有限群の場合は、以下のように書ける星：

2. 証明
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有限群 G}} の部分群 H}} を mset とすると、

左剰余類 aH}} は mset に等しくなるので、

このとき、H}} の要素 h}} に ah}} を対応させる写像を //f//：//H// → //aH//}} とすると、//f//(//h//sub のとき、左から //a//sup を掛けて、//h//sub となるので、写像 f}} は単射になる。

写像 f}} は H}} を aH}} に写すから f}} は全射となるので、全単射になる。したがって、 H}} と aH}} とは同じ個数の要素を待つから、!}}//H//!}} =}} !}}//aH//!}} =}} //m//}} となる。

したがって、G}} の H}} による類別を考えると、以下のようになる。

このとき、!}}//H//!}} =}} !}}//asub となるので、!}}//G//!}} =}} //km//}} となる。//k// =}} !}}//G/////H//!}} =}} [//G// : //H//], //m// =}} !}}//H//!}}}} となるので、//

Q.E.D.

3. 拡張
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ラグランジュの定理は群 G}} における3つの部分群の指数の間に成り立つ等式に拡張できる。 以下では、H}} が群 G}} の部分群であるとき、//H// ≤ //G//}} または //G// ≥ //H//}} と表し、H}} が群 G}} の部分群であり、かつ K}} が群 H}} の部分群であるとき、//K// ≤ //H// ≤ //G//}} または //G// ≥ //H// ≥ //K//}} と表す。//G// ≥ //H// ≥ //K//}} のとき //K// =}} mset とおくと [//G// : mset および [//H// : mset が成り立つ。したがって、元々の等式 !}}//G//!}} =}} [//G// : //H//] !}}//H//!}}}} を得る。

4. 応用
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4.1. 系
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ラグランジュの定理には、次のような系がある雪江星Isaacs。

証明:G}} が有限群の場合は、指数 [//G//   :   //H//]}}が正の整数になるので、ラグランジュの定理から系が従う。

4.2. 系
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証明:群 G}} の任意の元 g}} で生成される巡回群 ⟨g}}⟩を考えればよい。巡回群 ⟨g}}⟩は G}} の部分群になるので、その位数 |⟨g}}⟩| は群 G}} の位数 !}}//G//!}}}} を割り切ることになる。

4.3. 素数位数の有限群
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証明://p// ≧ 2}} より、群 G}} の単位元 e}} 以外の元を x}} とすると、x}} が生成する巡回群 ⟨//x//⟩}} は群 G}} の部分群になるから、その位数 !}}⟨//x//⟩!}}}} は素数 p}} の約数になる。したがって、!}}⟨//x//⟩!}} =}} 1}} または !}}⟨//x//⟩!}} =}} //p//}} になる。!}}⟨//x//⟩!}} =}} 1}} の場合は、//x// =}} //e//}} となり不適。!}}⟨//x//⟩!}} =}} //p//}} の場合は群 G}} の位数と等しくなるので、//G// =}} ⟨//x//⟩}} となり題意は示された。

4.4. フェルマーの小定理
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証明:位数 p}} の巡回群 }} の乗法群 × =}} mset は位数 //p// - 1}} の有限群になるから、×}} の任意の元を overline とすると、ラグランジュの定理の系 より、overline が成り立つ。したがって、//a// ∈ mset のとき //a//   //p// - 1 - 1}} が素数 p}} で割り切れるから、//a//   //p// - 1 ≡ 1 }} となる。よって、//x// ≡ //a// }} のとき、//x//   //p// - 1 ≡ //a//   //p// - 1 }} が成り立つので、//x//   //p// - 1 ≡ 1 }} を得る。より一般に、合成数 n}} についても乗法群 ×}} を考えれば、オイラーの定理を導くこともできる。

5. 逆
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ラグランジュの定理の逆が成立するか問うことができる。つまり、位数 n}} の有限群 G}} と n}} を割り切る自然数 d}} が与えられたとき「位数が d}} である G}} の部分群が存在するか」という問いである。よく知られているように、これは一般には存在しない。位数12である4次の交代群 //G// =}} //A//4}} が位数6である部分群をもたないのでこの事実は1799年にはすでに知られていたSfn、反例を与えるからであるIsaacs。 一方、特別な状況では逆が成立することが知られている。その最たる例はシローの定理である可解群に対しては[[ホール部分群#ホールの定理。つまり位数 n}} を割り切る素数 p}} のべきで最大のもの //d// =}} //n////p//}} を考えると、位数 np}} の部分群が存在する。もうすこし一般に d}} が np}} を割り切るならば、位数 d}} の部分群が存在することもわかるIsaacs。

6. 歴史
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ラグランジュは代数方程式の解法に関連して、多項式上の置換の理論でこの定理を証明しているが、これは現在の言い方でいう対称群の場合にあたる。当時はまだ群の概念が整備されていなかったので、ラグランジュ自身が群一般で考えていたわけではない。ただその性質は容易に抽象群へと拡張されるもので、現在でもそのままラグランジュの定理と呼ばれている。群論の定理としては、歴史上最初に出現したものである。

7. 脚注
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7.1. 注釈
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7.2. 出典
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8. 参考文献
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9. 関連項目
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コーシーの定理 
ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ
シローの定理

10. 外部リンク
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[1] - 物理のかぎしっぽ

10.1. 動画
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PXrQjABraiM - AKITOの特異点