普遍性

数学において普遍性とは、ある特定の状況下において一意に射を定めるような抽象的性質で、それが特定の構成を特徴づけるようなものをいう。

普遍性の具体例となる構成には他にも、様々な構成における自由対象、核や余核、順極限および逆極限、群に対するアーベル化、集合や様々な空間に対する引き戻しや押し出し 、ストーン－チェックのコンパクト化などが存在する。

このような構成は個別の数学の分野において議論されていたが、横断的な議論を試みたのは1948年のピエール・サミュエルPierre Samuelの論文によって初めて行われ、その後ブルバキによって広められたとされる。

1. 概要
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//U// : //D// → //C// を 圏 //D// から圏 //C// への関手とし、//X// を//C// の対象とする。//X// から //U// への普遍射 は、//D// の対象 //A// と//C//の射 φ : //X// → //U// からなる対で表され、かつ以下の普遍性を満たす。

//Y// が//D//の対象で //f// : //X// → //U// が //C// の射であるような場合、常に //D// の射 //g// : //A// → //Y// が一意に存在して、次の図を可換にする。射 //g// の存在は、直感的にはが「十分に一般的」であることを示しながら、一方で射の一意性は、が「過度に一般的ではない」事を表している。さらに、次の関係も成り立つ。

また、上述の定義で全ての射を逆向きにすることで、圏論的な双対を考えることができる。//U// から //X// への普遍射は、//D//の対象//A// と//C//の射 φ : //U// → //X// の対で表され、かつ以下の普遍性を満たす。

//Y// が //D//の対象で //f// : //U// → //X// が//C//の射であるような場合、常に //D// の射//g// : //Y// → //A// が一意に存在して、次の図を可換にする。ここで、人によっては一方を//普遍射//と呼び、もう一方を//余普遍射//と呼ぶ場合もある事に注意されたい。どちらがどちらかはその人次第である。

2. 表現可能関手による定義
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エミリー・リールは『Category Theory in Context』において、圏 C}} の対象 c}} に対する普遍性を次のように定義しているRiehl： 定義を言い換えると、//c// ∊ C}} の普遍性とは、関手 //F//: C → Set}} と //x// ∊ //Fc//}} を用いて米田の補題から定まる自然変換 C → //F//}} が自然同型であるという性質のことである。

圏 C}} が小さなhom集合を持つとき、前節で定義した普遍射は普遍要素の特別な場合である。また逆に、普遍要素は普遍射の特別な場合である。

3. 例
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3.1. ベクトル空間のテンソル積
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体 K}} 上のベクトル空間 //V//, //W//}} について、任意の双線形写像 //f//: //V// × //W// → //X//}} に対して 1=//f// = //f◦g}} を満たす準同型 //f: //T// → //X//}} がただ1つ存在するような K}}-ベクトル空間 T}} と双線形写像 //g//: //V// × //W// → //T//}} の組が、同型を除いてただ1つ存在する。このときの T}} を //V// ⊗ //W//}} と表し、V}} と W}} のテンソル積と呼ぶ。

テンソル積を特徴づけるこの性質もまた普遍性と呼ばれる。実際、テンソル積の普遍性から、圏論的な普遍性が次のように与えられる：いま、//V// × //W//}} からの双線形写像の集合を与える対応は関手 Bilin: Vect//K// → Set}} を定める。このとき、テンソル積の普遍性から自然同型 Vect//K// ≅ Bilin}} が定まり、従って Bilin}} は表現可能関手である。双線形写像 //g//: //V// × //W// → //V// ⊗ //W//}} はこのとき、同型 Vect//K// ≅ Bilin}} によって恒等射が写る先として定まるRiehl。

また、カノニカルな双線形写像 //g//: //V// × //W// → //V// ⊗ //W//}} は一点集合からの写像 //ψ//:＊→ Bilin}} によっても表される。いま、任意の //X// ∊ Vect//K//}} と//h//:＊→ Bilin}} に対して、テンソル積の性質から 1=//h// = //h◦//ψ//}} が成り立つような準同型 //h: //V// ⊗ //W// → //X//}} がただ1つ定まる。従って h}} は一点集合から Bilin}} への普遍射である。

3.2. 剰余群への射影
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群 G}} の正規部分群 K}} について、剰余群 //G/////K//}} への射影を //φ//: //G// → //G/////K//}} で表す。群準同型 //f//: //G// → //H//}} について、K}} が f}} の核 Ker   //f//}} }} が H}} の単位元となる G}} の元の集合) に含まれるとき、群の準同型定理によって 1=//f// = //h//◦//φ//}} を満たす群準同型 //h//: //G/////K// → //H//}} がただ1つ存在することがわかる。  群とその間の群準同型からなる群の圏を Grp}} で表す。群 H}} に対して、群準同型 //f//: //G// → //H//}} であって Ker   //f// ⊂ //K//}} を満たすものの集合を //FH//}} とおくと、この対応は関手 //F//: Grp → Set}} をなす。準同型定理の主張から、任意の H}} に対して同型 //FH// ≅ Grp}} が存在して、さらに唯一性からこの同型は H}} について自然であることがわかる。

以上のことから、剰余群 //G/////K//}} と剰余群への射影 //φ//: //G// → //G/////K//}} は普遍性を持っていることがわかる。普遍性の帰結として、商群についての他のすべての性質は、これ以上余集合に言及しなくてよくなる。

3.3. ファン・カンペンの定理
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位相空間 は、2つの開部分集合 によって覆われるものとする。すなわち、 が成り立つとする。このとき、共通部分 からの包含写像 と による可換図式は、位相空間の圏 Top}} において普遍性を持つ。すなわち、連続写像 //f//: //U// → //Y//}} と //g//: //V// → //Y//}} が 1=//f// ◦ //i// = //g// ◦ //j//}} を満たすとき、1=//f// = //h// ◦ //j}} と 1=//g// = //h// ◦ //j}} を満たすような連続写像 //h//: //X// → //Y//}} がただ1つ存在する。

よい条件の下で、この図式から誘導される基本群のなす図式は同様に普遍性を持つLeinster。これを ファン・カンペンの定理と呼ぶ。

4. さまざまな普遍性
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4.1. 随伴関手との関係
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 を //X//1 から //U// への普遍射、  を //X//2 から //U// への普遍射とする。普遍性から、任意の射 //h// : //X//1 → //X//2 に対して一意な射 //g// : //A//1 → //A//2 が存在して、次の図式を可換にする。

もし //全ての// //C// の対象 //X////i// に//U// への普遍射が認められるならば、//Xi// //Ai// 及び //h// //g// によって//C// から //D// への関手 //V//が定義される。 これに伴って、φ//i// は 1//C// から //U V// への自然変換を定義する。関手  は随伴関手の対となる。

同様の言明は //U// からの普遍射という双対な状況においても適用できる。全ての //C// における //X// について、関手 //V// : //C// → //D// が得られ、これは //U// への右随伴になっている。

実際、このような方法で全ての随伴関手の対を普遍的構成から得られる。//F// と //G// を単位η と余単位ε によって構成される随伴関手の対とする。このとき、任意の対象 //C// と //D// への普遍射が得られる。

//C// の各対象 //X// に対し、 , η//X//) は //X// から //G// への普遍射である。つまり、任意の //f// : //X// → //G// に対して一意な //g// : //F// → //Y// が存在して以下の図式を可換にする。
//D// の各対象 //Y// に対し、 , ε//Y//) は //F// から //Y// への普遍射である。つまり、任意の //g// : //F// → //Y// に対して一意な //f// : //X// → //G// が存在して以下の図式を可換にする。 普遍的構成は随伴関手の対より更に一般的である。普遍的構成は最適化問題のようなもので、この問題が //C// 中の全ての対象 について解を持つとき、かつそのときのみ随伴関手の対が得られる。

5. 脚注
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6. 参考文献
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