ロジスティック写像

ロジスティック写像とは、//x////n//+1 =}} //axn//}} という2次関数の差分方程式で定められた離散力学系である。ロジスティックマップ小室や離散型ロジスティック方程式瀬野とも呼ばれる。単純な2次関数の式でありながら、驚くような複雑な振る舞いを生み出すことで知られる。

ロジスティック写像の a}} はパラメータと呼ばれる定数、x}} が変数で、適当に a}} の値を決め、最初の //x//0}} を決めて計算すると、//x//0, //x//1, //x//2, …}} という数列が得られる。この数列を力学系分野では軌道と呼び、軌道は a}} にどのような値を与えるかによって変化する。パラメータ a}} を変化させると、ロジスティック写像の軌道は、一つの値へ落ち着いたり、いくつかの値を周期的に繰り返したり、カオスと呼ばれる非周期的変動を示したりと様々に変化する。

ロジスティック写像を生物の個体数を表すモデルとして見る立場からは、変数 xn}} は1世代目、2世代目…というように世代ごとに表した個体数を意味しており、ロジスティック写像とは現在の個体数 xn}} から次の世代の個体数 //x////n//+1}} を計算する式である。生物個体数モデルとしてのロジスティック写像は、ある生物の個体数がある環境中に生息し、さらにその環境と外部との間で個体の移出入がないような状況を想定しており、xn}} は正確には個体数そのものではなく、その環境中に存在できる最大個体数に対する割合を意味する。微分方程式で個体数をモデリングするロジスティック方程式の離散化からもロジスティック写像は導出でき、「ロジスティック写像」という名もそのことに由来する。

2次関数の力学系としての研究は20世紀初頭からあったが、1970年代、特に数理生物学者ロバート・メイの研究によってロジスティック写像は広く知られるようになった。メイ以外にも、スタニスワフ・ウラムとジョン・フォン・ノイマン、ペッカ・ミュルバーク、オレクサンドル・シャルコフスキー、ニコラス・メトロポリスら、ミッチェル・ファイゲンバウムなどがロジスティック写像の振る舞い解明に関わる仕事を成している。

1. 定義と背景
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単純に言えば、ロジスティック写像とは次のような2次関数である合原・黒崎・高橋。

式中の a}} は定数を意味し、パラメータと呼ばれるデバニー。a}} 以外には、μ}} や r}} や λ}} をパラメータの記号に使うこともある松葉。

式  に対して、まず定数 a}} の具体的な数値を決める。さらに変数 x}} の値を適当に決め、式から y}} の値を計算する。そして、得られた y}} の値を新しい x}} の値とみなして式に代入し、新しい y}} の値を計算する。このような計算を繰り返すことが、ロジスティック写像を使って行うことである合原・黒崎・高橋。例として、a}} を 2}}、最初の x}} を 0.01}} としたときの繰り返し計算を5回目まで行うと、以下の表のようになるアリグッド、サウアー、ヨーク。

 ロジスティック写像自体は中学校で習うような何の変哲もない2次関数であり、計算自体も中学生でも可能である合原・黒崎・高橋。繰り返しの計算も電卓ででき、コンピュータの表計算ソフトを使えばより簡単にできる合原・黒崎・高橋。

ロジスティック写像は、漸化式あるいは差分方程式の形式で次のようにも書き表される早間。

//x//0}} の値を決めると、この差分方程式にしたがい、その後の変数の値 //x//1, //x//2, //x//3,…}} が順次に計算できる早間。このような数列を作る差分方程式を、力学系とも呼ぶ山口。力学系とは、時間とともに状態が変化する系のことで、とりわけ現在の状態が決まればその後の状態も一意的に決まる系を指す井上・秦。差分方程式  のような形式で定義される力学系はとくに離散力学系と呼ばれる山口。

力学系的な視点では、変数 xn}} の下付き添え字 n}} を時刻や時間と呼ぶ松葉。数列の最初の値 //x//0}} は初期値と呼ばれる早間。変数の時間変化の様子を、明確な専門用語ではないが振る舞いと呼ぶ合原・黒崎・高橋。と言っても、時刻 n}} は物理的な時間を本当に意味しているわけではなく、何かしらの現象の進行を表している便宜的なラベルのようなものであるヴィヴァルディ。

後で詳述するように、ロジスティック写像は生き物の個体数の変化を考える式として世に広まった側面を持つ合原・黒崎・高橋。この場合、xn}} は、ある世代における生き物の個体数を、生息環境で可能な最大生息個体数で割った値を意味している船越。差分方程式  によって、n}} 世代目の個体数から //n//+1}} 世代目の個体数が計算できるというのが、生物個体数モデルとしてのロジスティック写像の意味である井庭・福原。個体数が増えていくと、個体数の増加速度は下がってくるだろうから、この効果をロジスティック写像では }} という項で取り入れている合原・黒崎・高橋。例えば、ある世代で個体数が最大生息個体数に近くて //xn// =}} 0.9999}} だとすれば 項 }} は 0}} にとても近い数値になるので、次の世代の個体数 //x////n//+1}} は急激に減ることになる合原・黒崎・高橋。

「ロジスティック写像」の名の中に出てくる写像とは、ある集合の要素をまたある集合の要素に対応させる規則を指す用語であるアリグッド、サウアー、ヨーク。関数に似たようなものだが、関数を数以外の集合も扱うような場合も含めてより一般化したのが写像といえる。写像という視点からは、ロジスティック写像は実数の1点を実数の1点へ対応させる規則だといえるアリグッド、サウアー、ヨーク。ただし、「関数」と「写像」に数学全体で共有されている厳密な呼び分けは存在しておらず、実際のところ、どちらの言葉を使うかは各分野の習慣に依るところが大きい。力学系分野では、式  のような差分方程式を写像として捉え、写像という語で呼ぶことが多い小室。

ロジスティック写像を写像の形で表現すると、

や

のように記される早間。写像がパラメータ a}} に依存していることを明確にするために、

のように、写像の記号にパラメータ記号の添え字を付けて表すこともあるグーリック。式  や式  のような写像としての表現は、式  のような差分方程式の表現と実質的に同等だが、時刻 n}} を一々書き表さなくてもよい利便性もあってしばしば使われる松葉。

離散力学系の数列 //x//0, //x//1, //x//2,…}} は、写像 f}} を繰り返し適用して生み出されるという見方もできる青木。初期値を //x//0}} とすると、

というように、数列は //x//0}} に写像を繰り返し適用して作られるものとしても書けるデバニー。このように写像を繰り返し適用する操作を写像の反復などと呼ぶDevaney。簡単に表記するために、写像の反復を

というように書く青木。//f//   //n//   }} で、//x//0}} に対する f}} の n}} 回反復を意味しているアリグッド、サウアー、ヨーク。そして、差分方程式から生み出される

という列、あるいは写像の反復から生み出される

という列を、力学系では軌道と呼ぶ山口。力学系という分野の関心は、与えられた力学系の軌道の振る舞いを研究することにある。

入力と結果が単純な比例関係で結ばれているようなシステムを線形といい、比例関係で表すことができないようなシステムを非線形という合原。ロジスティック写像は、考えられる限りでもっとも単純な非線形関数である2次関数で定義されるメイ。しかし、その非常に簡単な式とは裏腹に、ロジスティック写像は非常に複雑な振る舞いを生み出すグーリック。2次関数の繰り返し計算という設定が現代的な数学の主題の一つであり、豊饒な数学理論を引き起こすDevaney。ロジスティック写像には「思いもよらぬ奥深い内容」早間「力学系で起こる数多くの最も重要な現象」Devaney、そして「信じられないような複雑な振舞い」井庭・福原が含まれている。後述するようにロジスティック写像ではカオスという現象が現れ、カオス入門の好適な題材でもある合原・黒崎・高橋。

2. 定義域とグラフ
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前述のように、ロジスティック写像には生物の個体数の変動を考えるモデルとしての側面がある。このとき、ロジスティック写像の変数 x}} は生物の個体数を最大生息数で割った値であったから、x}} が取り得る数値は 0 ≤ //x// ≤ 1}} の間に限られるHirsch, Smale & Devaney。そういった事情もあり、ロジスティック写像の変数の範囲を区間 0, 1}} に限って、その振る舞いが議論されることが多い船越。

変数を常に 0 ≤ //x// ≤ 1}} に限定しようとすると、必然的にパラメータ a}} が取れる範囲は 0}} から 4}} まで }} に限定される早間。なぜならば、//xn//}} が 0, 1}} の範囲内にあれば、//x////n//+1}} の最大値は Sfrac となっている船越。したがって、//a// > 4}} では //x////n//+1}} の値が 1}} を超える可能性が出て来てしまう早間。一方、a}} が負のときは、x}} が負の値を取るようになってしまう。

写像のグラフを利用することで、その振る舞いの多くを知ることもできるグーリック。ロジスティック写像 //x////n//+1 =}} //ax//}} のグラフとは、横軸を //xn//}}とし、縦軸を //x////n//+1}}として、平面上に //xn//}} と //x////n//+1}} の関係を示した曲線であるヴィヴァルディ。ロジスティック写像のグラフは、//a// =}} 0}} の場合を除き、

を頂点とする放物線の形をしているグーリック。a}} を変化させると頂点は上下に動き、放物線は形を変えるStrogatz。また、ロジスティック写像の放物線は横軸と2点で交わるJackson。 =}} }} と  =}} }} がその2つの交点で、これらの交点の位置は a}} の値に影響されず一定であるJackson。

写像のグラフは、とくにロジスティック写像のような1変数の写像のグラフは、その写像の振る舞いを理解するための鍵であるデバニー。グラフの効能の一つは、不動点と呼ばれる点の図示であるメイ。写像のグラフに重ねるように //y// =}} //x//}} の直線を引く。この45°直線とグラフが交わる点があれば、その点が不動点であるメイ。式で書くと、不動点とは

を満たしている点であり、写像を適用しても変化しない点を意味するグーリック。不動点を //xf//}} と表記することにする。ロジスティック写像の場合に式  を満たす不動点は、//ax// =}} //x//}} を解いて、

の2点である早間。不動点の概念は離散力学系において最も重要となるデバニー。

1変数写像に対して使えるもう一つのグラフを利用した技術が、クモの巣図法と呼ばれる手法であるアリグッド、サウアー、ヨーク。横軸上に初期値 //x//0}} を決めた後に、そこから //f//   }} の曲線まで縦向きに直線を引く。//f//   }} の曲線にぶつかったところから //y// =}} //x//}} の45°直線まで横向きに直線を引き、45°直線にぶつかったところから //f//   }} の曲線まで縦向きに直線を引く。これを繰り返すことで、平面上にクモの巣状ないし階段状の図ができる今・竹内。実はこの作図は図示的に軌道の計算を行ってることに等しく、作成されたクモの巣状の図は //x//0}} から出発する軌道を表しているアリグッド、サウアー、ヨーク。この図法によって、軌道の全体的な振る舞いを一目で見ることができるStrogatz。

3. 振る舞い、パラメータ //a// による変化
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上述のように、ロジスティック写像自体は何の変哲もない2次関数であり、軌道の計算自体も中学生でも可能である合原・黒崎・高橋。力学系的に重要な問題は、パラーメータ a}} を変化させると軌道の振る舞いがどう変わるのかにあるデバニー。a}} の数値によって、ロジスティック写像の軌道の振る舞いは単純にも複雑にも変わるThompson & Stewart。以下、a}} を増やしていったときに、ロジスティック写像の振る舞いがどのように変化していくかを順に説明する。

3.1. 0 ≤ //a// < 1 のとき
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まず、パラメータが //a// =}} 0}} のときは、初期値 //x//0}} がどんな値であろうが、//x//1 =}} 0}} となる船越。つまり、//a// =}} 0}} におけるロジスティック写像の軌道は、初期値以降の値が全て 0}} となるような軌道で、この場合あまり調べる中身はない船越。

次に、パラメータが 0 < //a// < 1}} の範囲にあるとき、初期値 //x//0}} が 0}} から 1}} までのどんな数値であったとしても、xn}} は単調に減少していくグーリック。つまり、//n// → ∞}} の極限で xn}} は 0}} へ収束する山口。この収束先の //xn// =}} 0}} という点は、式  で示した不動点 //x////f//   1}} である下條。このように周りの軌道が収束するタイプの不動点は、漸近安定、安定、あるいは吸引的と呼ばれる船越。逆に時間 n}} の増加と共に //x////f//}} の近くの軌道が //x////f//}} から離れていくならば、その不動点 //x////f//}} は不安定や反発的と呼ばれる船越。

不動点が漸近安定かどうかを知るには、写像 f}} の微分を求めるという一般的で簡単な方法があるグーリック。//f//   }} の微分 Sfrac を //f//   ′}} と表すとする。 この微分が不動点 xf}} で

という条件を満たせば、xf}} は漸近安定であるグーリック。ここで、〇}} は 〇 の絶対値を意味する。

写像のグラフでこのことを見ると、グラフの曲線上の点 xf}} における接線の傾きが −1}} から 1}} の間にあれば、xf}} は安定で、その周囲の軌道は xf}} へ引き寄せられるということである早間。ロジスティック写像の微分は、

なので、//x// =}} 0}} かつ 0 < //a// < 1}} では 0 < //f//   ′ < 1}} であるから、不動点 //x////f//   1 =}} 0}} は式  を満たしているグーリック。

ただし、式  による判別法は、xf}} からどのぐらいの範囲にある軌道が xf}} へ引き寄せられるかは分からない早間。あくまでも、xf}} のある近傍内の x}} が収束することを保証しているだけである早間。今の場合、0}} へ収束する初期値の領域は 0, 1}} 全域であるが、これを明確に知るには別の考察を要する山口。

不動点が不安定かどうかの判別方法は、同じように写像の微分から分かるグーリック。ある不動点 xf}} が

を満たすとき、xf}} は不安定であるグーリック。パラメータが 0 < //a// < 1}} の範囲にあるときには、もう一方の不動点 //x////f//   2 =}} 1 − Sfrac は負の値であるため 0, 1}} の範囲には現れないが、不安定な不動点として存在しているHirsch, Smale & Devaney。

3.2. 1 ≤ //a// ≤ 2 のとき
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パラメータがちょうど //a// =}} 1}} のとき、ロジスティック写像の軌道はこれまでと同様に 0}} へ収束する合原・黒崎・高橋。ただし、収束する速さが、//a// =}} 1}} ではゆっくりになる船越。//a// =}} 1}} における不動点 0}} は漸近安定ではあるが、式  を満たしていない今・竹内。実のところ、式  による判別法は写像を不動点近傍で1次近似することによって成り立っている今・竹内。//a// =}} 1}} ではこの近似が成り立たなくなり、安定・不安定は写像の2次の項によって決まるようになる船越。

//a// =}} 1}} の状態をグラフで見ると、//x// =}} 0}} でグラフの曲線が45°対角線にちょうど接した状態になっているStrogatz。このとき、0 < //a// < 1}} の範囲では負の範囲に存在していた不動点 //x////f//   2 =}} 1 − Sfrac の値は、//x////f//   2 =}} 0}} となっているアリグッド、サウアー、ヨーク。つまり、a}} が増えるにつれて //x////f//   2}} の値は 0}} へと近づいていき、ちょうど //a// =}} 1}} で、//x////f//   2}} は //x////f//   1 =}} 0}} と衝突するアリグッド、サウアー、ヨーク。この衝突によってトランスクリティカル分岐という現象が起こる小室。

分岐とは力学系の振る舞いが定性的に変わる現象を指す用語で、この場合のトランスクリティカル分岐では、不動点同士で安定性の交替が起きる小室。つまり、a}} が 1}} 未満では //x////f//   1}} は安定、//x////f//   2}} は不安定であたったが、a}} が 1}} を超えると //x////f//   1}} は不安定、//x////f//   2}} は安定になるHirsch, Smale & Devaney。分岐が起きるときのパラメータの値は分岐点と呼ばれる松葉。ここでは、//a// =}} 1}} が分岐点である小室。

分岐の結果、ロジスティック写像の軌道は //x////f//   1 =}} 0}} ではなく、//x////f//   2 =}} 1 − Sfrac へ収束するようになる山口。詳しく言えば、パラメータ 1 < //a// ≤ 2}} であれば、0}} と 1}} を除く区間 0, 1}} 上の値から出発する軌道は、単調増加あるいは単調減少しながら //x////f//   2}} に収束する山口。収束の仕方の違いは、初期値がどの範囲にあるかに依る山口。0 < //x//0 < 1 − Sfrac では単調増加で収束し、1 − Sfrac では単調減少で収束し、Sfrac では最初の1ステップを除いて単調増加で収束する山口。

また、分岐によって不動点 //x////f//   1 =}} 0}} は不安定化するが、//a// > 1}} 以降も不動点として存在し続けるアリグッド、サウアー、ヨーク。この不安定不動点 //x////f//   1}} にたどり着く初期値が、//x////f//   1}} 自身以外に存在しないわけではない船越。それが //x//0 =}} 1}} で、a}} の値にかかわらずロジスティック写像は //f//    =}} 0}} を満たすので、//x//0 =}} 1}} に写像を1回適用すると //x////f//   1 =}} 0}} に写るHirsch, Smale & Devaney。この //x// =}} 1}} のように、有限回の写像の反復で不動点に直接行き着くような点は最終的不動点などと呼ばれるグーリック。

3.3. 2 < //a// < 3 のとき
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パラメータが 2 < //a// < 3}} のときは、初期値 0}} と 1}} を除いて、1 < //a// ≤ 2}} のときと同様に不動点 //x////f//   2 =}} 1 − Sfrac に収束する下條。ただし、この場合は単調に収束するわけではない山口。変数が //x////f//   2}} にある程度近づくと、変数は //x////f//   2}} よりも大きくなったり小さくなったりを繰り返し、//x////f//   2}} の周りで振動しながら収束していくような軌道を示す山口。

軌道の不動点周りでの振動は、次のような範囲を行き来する。このパラメータ範囲では、//x////f//   2}} は区間 Sfrac 内に存在する青木。写像を一回適用すると //x////f//   2}} に写る値を tilde と表記するとする。すなわち、 という関係であるDevaney。変数が区間 tilde に入ったとき、軌道の不動点周りでの振動が起こり出すグーリック。tilde は //x////f//   2, Sfrac へ写され、 //x////f//   2, Sfrac は Sfrac の中へ写され、…といった具合に振動するDevaney。

一般的に、分岐の様子を理解するのには分岐図が役に立つデバニー。この図は不動点x}} をパラメータ a}} の関数として表したグラフで、横軸に a}} の値を取り、縦軸に x}} の値を取って図示するデバニー。 安定な不動点と不安定な不動点を区別するために、前者の曲線は実線で示し、後者の曲線は点線で示したりするStrogatz。ロジスティック写像の分岐図を書くと、不動点 //x////f//   1 =}} 0}} を表す直線と不動点 //x////f//   2 =}} 1 − Sfrac を表す曲線が //a// =}} 1}} で交わり、安定性が入れ替わる様子がわかるアリグッド、サウアー、ヨーク。

3.4. 3 ≤ //a// < 3.44949… のとき
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パラメータがちょうど //a// =}} 3}} のときも、軌道は不動点 //x////f//   2 =}} 1 − Sfrac に収束する山口。しかし、2 < //a// < 3}} のときよりも変数が収束する速さは遅い船越。//a// =}} 3}} では、微分係数 //f//   ′}} は −1}} に達し、式  を満たさなくなっているグーリック。a}} が 3}} を過ぎると、//f//   ′ < −1}} となり、//x////f//   2}} は不安定な不動点になるグーリック。すなわち、//a// =}} 3}} でまた分岐が起こるグーリック。

//a// =}} 3}} では、周期倍化分岐と呼ばれる種類の分岐が起こる船越。//a// > 3}} からは、軌道は1点に収束しなくなり、十分に時間 n}} が進んだ後でも大きい値と小さい値を交互に取り続けるような振る舞いに変わる船越。例えば //a// =}} 3.3}} であれば、変数は 0.4794…}} と 0.8236…}} という2つの値を交互に取り続けるアリグッド、サウアー、ヨーク。

このように同じ値を周期的に巡り続ける軌道を周期軌道と呼ぶ松葉。今の場合、//n// → ∞}} における変数の最終的な振る舞いは2周期の周期軌道であるJackson。周期軌道を構成する一つ一つの値を周期点と呼ぶ松葉。//a// =}} 3.3}} の例で言えば、0.4794…}} と 0.8236…}} がそれぞれ周期点であるアリグッド、サウアー、ヨーク。ある x}} が周期点だとすると、2周期点の場合は x}} に写像を2回適用すると元に戻るので、

という関係が成り立つ井上・秦。この式にロジスティック写像の式  を適用すると、

という4次方程式が得られる井上・秦。この方程式の解が周期点である井上・秦。実は不動点 //x////f//   1 =}} 0}} と不動点 //x////f//   2 =}} 1 − Sfrac もまた、式  を満たすStrogatz。したがって、式  の解の内、2つの解は //x////f//   1}} と //x////f//   2}} に相当し、残り2つの解が2周期点であるStrogatz。2周期点をそれぞれ //x////f//   1, //x////f//   2}} と表すとする。式  を解くことで、//x////f//   1, //x////f//   2}} を次のように得られる井上・秦。

不動点の安定性と同じようなことが、周期点についても言える井上・秦。つまり、周囲の軌道を引き付ける周期点は漸近安定な周期点と呼ばれ、周囲の軌道が離れていく周期点は不安定な周期点と呼ばれる船越。周期点の安定性判別も、不動点と同じように可能であるデバニー。一般的な場合を想定して、写像を k}} 回反復させた //f//   //k//}} について考える。この微分 Sfrac を ′}} と表すとする。ある k}}-周期点 //x////f//}} が

を満たせば、//x////f//}} は漸近安定である船越。不安定についても不動点と同じように

を満たせば、//x////f//}} は不安定である船越。

以上の周期点の安定性の議論も、不動点と同じようにグラフ描写によって理解しやすくなる早間。この図では、横軸 xn}} に対して縦軸を //x////n//+2}} とし、//x////n//+2}} と xn}} の関係を表す曲線を描くMay。この曲線と45°直線の交点は式  を満たす点であるから、交点は不動点と2周期点を表しているMay。ロジスティック写像の //f//   2}} のグラフを描くと、不動点 //x////f//   2}} での接線の傾きは //a// =}} 3}} を境に 1 を超えて不安定化するのが観察できるMay。同時に新たな2つの交点が現れ、これらが周期点 //x////f//   1}} と //x////f//   2}} であるMay。

2周期点の微分係数をロジスティック写像について実際に計算すると、

となるStrogatz。これを式  に当てはめると、パラメータ a}} が、

を満たすときに2周期点が漸近安定であることがわかるStrogatz。この範囲は 3 < //a// < 1 + sqrt となり、つまり a}} が 1 + sqrt を超えると、2周期点は漸近安定ではなくなり、また振る舞いが変わるグーリック。

0, 1}} 内のほぼ全ての初期値が2周期点に引き寄せられるが、 //x////f//   1 =}} 0}} と //x////f//   2 =}} 1 − Sfrac も 0, 1}} 内に不安定な不動点として残り続けているグーリック。これら不安定不動点は、以後 a}} を増やし続けても 0, 1}} 内にずっと残り続けるグーリック。そのため、初期値がちょうど //x////f//   1}} または //x////f//   2}} であるときは、軌道は2周期点には引き寄せられない船越。さらに、初期値が //x////f//   1}} に対する最終的不動点である場合と、//x////f//   2}} に対する最終的不動点である場合も、軌道は2周期点には引き寄せられない船越。このような最終的不動点である点は 0, 1}} の中に無限に存在する船越。しかし、このような点の数は、0, 1}} という実数の集合と比較すれば無視できるほど小さい船越。

3.5. 3.44949… ≤ //a// ≤ 3.56994… のとき
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パラメータ a}} が 1 + sqrt を超えると、それまで安定だった2周期点が不安定になり、安定な4周期点が新たに生まれ、軌道は4周期の振動に引き寄せられるようになる今・竹内。つまり、//a// =}} 3.44949…}} でまた周期倍化分岐が起こる今・竹内。4周期点における x}} の値も

を満たすので、この式を解けば4周期点の x}} の値を求めることができる船越。ただし、式  は16次方程式であり、不動点と2周期点の4つの解をくくり出したとしても12次方程式である船越。そのため、もはやこれを解いて、2周期点と同じように4周期点の値を表す a}} の陽関数を得ることはできない船越。

さらに a}} が大きくなると、安定な4周期点はまた周期倍化分岐を起こし、安定な8周期点が生まれる井上・秦。以降、a}} が増えるにつれて、16周期、32周期、64周期、…と周期倍化分岐が無限に起こり続け、最終的には無限周期すなわち永遠に元の値に戻ることがない軌道となる井上・秦。この周期倍化分岐の無限の系列はカスケードと呼ばれるアリグッド、サウアー、ヨーク。この周期倍化分岐は無限に起こるが、一方で、周期倍化分岐が発生する a}} の間隔は等比数列的に減少していく小室。そのため、パラメータ a}} がある有限の値に達するまでに、周期倍化分岐の無限回の発生が起きる井上・秦。//a// =}} 3}} で起きた1周期から2周期への分岐を1番目の周期倍化分岐として数えるとする。すると、この周期倍化分岐のカスケードの中では、k}} 番目の分岐点で安定な 2//k//}} 周期点が発生する。k}} 番目の分岐点 a}} を //a////k//}} と表すとする。このとき、//k// → ∞}} で //a////k//}} は次のような値に収束することが知られているJackson。

さらに、ak}} の減少の割合の極限は次式で示すような定数値となることが知られている下條。

この δ}} の値は、数理物理学者のミッチェル・ファイゲンバウムにより発見されたことからファイゲンバウム定数と呼ばれるメイ。//a//∞}} はファイゲンバウム点と呼ばれる小室。周期倍化カスケードの過程では、f   m}} と //f//   2//m//}} は適当なスケール変換によって局所的に全く一致する性質を持つ早間。この自己相似性を利用した繰り込みと呼ばれる手法により、ファイゲンバウム定数は求められる早間。以上のようなロジスティック写像が周期倍化カスケードの過程で見せる性質は、後述のように、より広いクラスの写像でも普遍的に現れるDevaney。

あるパラメータに対して軌道が落ち着く最終的な振る舞いを一望するには、近似的な分岐図である軌道図が有用であるデバニー。この図では、分岐図と同じように横軸にパラメータ a}} を取り、縦軸に変数 x}} を取るデバニー。コンピュータなどを使い、パラメータを決めて、例えば500回反復計算を行うDevaney。そして、計算結果の最初の100回を無視して残りの400回の結果のみを図示するDevaney。これによって、初期の過渡的な振る舞いは無視でき、軌道の漸近的な挙動が残るDevaney。例えば、ある a}} に対して1点プロットされるときは、それは不動点であり、ある a}} に対して m}} 点プロットされるときは、それは m}} 周期軌道に相当する井上・秦。ロジスティック写像に対して軌道図を書くと、安定な周期軌道を表す枝が分裂していく様子が見て取れ、これが周期倍化分岐のカスケードを表しているStrogatz。

パラメータがちょうど周期倍化カスケードの集積点 //a// =}} //a//∞}} であるとき、変数 xn}} は永遠に閉じることのない非周期軌道へ引き付けられる森・蔵本。言い換えると、//a//∞}} では無限周期の周期点が存在している香田。この非周期軌道はファイゲンバウム・アトラクタ合原や臨界2∞アトラクタ森・蔵本と呼ばれる。アトラクタとは、周りの軌道を引き付けるような性質をもった領域を指す用語で、引き込まれて最終的に続く軌道のことであるHirsch, Smale & Devaney。これまで述べてきた吸引的な不動点や周期点もアトラクタの仲間であるヴィヴァルディ。

ファイゲンバウム・アトラクタの構造は、カントール集合というフラクタル図形と同じ構造になっている合原・黒崎・高橋。ファイゲンバウム・アトラクタを構成する点は、無限個でなおかつその濃度は実数と等しい合原・黒崎・高橋。一方で、構成する点のどの2つを選んでも、その間に不安定な周期点が必ず存在し、点の分布は連続ではないJackson。また、ファイゲンバウム・アトラクタのフラクタル次元は、ハウスドルフ次元あるいは容量次元でおよそ 0.54 であることが知られている合原・黒崎・高橋。

3.6. 3.56994… < //a// < 4 のとき
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3.6.1. カオスの出現
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パラメータ a}} が //a//∞ =}} 3.56994…}} を超えると、ロジスティック写像はカオスと呼ばれる振る舞いを示す井上・秦。カオスとは、大雑把に言えば、ロジスティック写像を表す差分方程式のように確率的な曖昧さがなく次の状態が完全に一意に決まるにもかかわらず起こる複雑で不規則な振る舞いのことである合原。ロジスティック写像の //a// > //a//∞}} の範囲はカオス領域と呼ばれる早間。

カオスが持つ本質の一つが、バタフライ効果という言葉で象徴される予測不可能性である丹羽。これは、カオスによって初期の状態のわずかな違いが後の状態に巨大な差をもたらすという性質に起因する丹羽。離散力学系で言えば、2つの初期値 //x//0}} と hat がどれだけ近い値だとしても、時間 n}} がある程度進めば、それぞれの行先 xn}} と hat は著しく離れてしまうコレ、エックマン。例えば //a// =}} 3.95}} を使い、//x//0 =}} 0.1}} と hat というきわめて近い2つの初期値でそれぞれの軌道を計算すると、その差は、反復29回を過ぎたころから図上ではっきりわかるほど巨視的な違いに成長する船越。

以上のような初期値鋭敏性と呼ばれるカオスの性質は、リアプノフ指数によって定量的に表される。1次元写像の場合、リアプノフ指数 λ}} は次のように計算できる下條。

ここで、log}} は自然対数を意味する。この λ}} は2つの軌道の距離が指数関数的にどのぐらいの速さで離れていくか意味する指標で、λ}} の値が正ならば初期値鋭敏性を持つ系であること意味し、零または負ならば初期値鋭敏性のないことを意味する下條。実際にロジスティック写像の λ}} を数値的に計算すると、//a// < //a//∞}} の範囲では λ}} は零または負の値の範囲に留まっており、//a// > //a//∞}} の範囲から λ}} が正の値も取るようになることが確認できる船越。

3.6.2. 窓、間欠性
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パラメータが //a//∞}} を超えてからも、振る舞いのパラメータ a}} への依存の仕方は単純ではない船越。//a// > //a//∞}} のカオス領域には、多くの精巧な数学的構造が潜んでいるメイ。この領域では、ずっとカオスが続くというわけではなく、安定な周期軌道も再び現れる船越。//a//∞ < //a// ≤ 4}} での振る舞いは、大きく分けると以下の2種類に分かれる香田。

安定な周期点。この場合、リアプノフ指数は負を示す。
非周期的軌道。この場合、リアプノフ指数は正を示す。//a//∞ < //a// ≤ 4}} の中に存在する安定周期点の領域は周期窓あるいは単に窓と呼ばれるアリグッド、サウアー、ヨーク。カオス領域を軌道図で見ると、非周期的軌道の領域は無数の点でできた雲のような見た目を示し、その雲に囲まれて点在する空白部分が窓であるStrogatz。

各窓では、//a//∞ =}} 3.56994…}} よりも前で起きた周期倍化分岐のカスケードが再び起きるFalconer。ただし、それらの周期は前のような 2//k//}} の安定周期軌道ではなく、3×2//k//}} や 5×2//k//}} のような新しい安定周期軌道が生成されるJackson。最初は p}} 周期で、そこから周期倍化カスケードが起こる窓は周期 p}} の窓などと呼ばれるデバニー。例えば、周期3の窓は 3.8284 < //a// < 3.8415}} 辺りの領域に存在しており、この領域内では 3, 6, 12, 24, …, 3×2//k//, …}} という風に周期が倍化していくメイ。

窓の領域では、カオスは消えておらず背後に存在しているアリグッド、サウアー、ヨーク。しかし、このカオスは不安定であるため、安定な周期軌道のみが観測されるアリグッド、サウアー、ヨーク。窓の領域では、軌道が初期値から安定周期軌道に吸引されるまでに、この潜在的なカオスが現れる井上。このようなカオスを過渡カオスと呼ぶ井上。このようにカオスが潜在的に存在している点において、窓は //a//∞}} より前で現れた周期軌道とは異なるアリグッド、サウアー、ヨーク。

窓の数は、//a//∞ < //a// < 4}} の範囲に無限個ある井上。それらの窓の周期は様々で、3}} 以上の全ての自然数に対応する周期の窓が存在する早間。しかし、各周期の窓がそれぞれ1回ずつ発生するわけではない早間。p}} の値が大きいほどその周期の窓は多く繰り返し発生する早間。周期3の窓は1回きりで、例えば周期13の窓は315 回発生する早間。その周期3の窓で3周期軌道が生じるとシャルコフスキー順序が完成し、全ての周期の軌道がそれで一通り出現し終える。

p}} が素数の場合に限定すると、周期 p}} の窓の個数は

という式で計算できる早間。この式は p}} を素数に限定して導出されたものだが、実際のところ、素数でない p}} の安定 p}} 周期点の数についても良い精度で計算できる早間。

窓の幅は、周期3の窓が最も広く、周期が大きいほど幅は狭まっていく早間。例えば、周期13の窓の幅は 3.13 × 10−6}} 程度である早間。概算によると、//a//∞, 4}} の内のおよそ 10%}} が窓の領域で、残りがカオス軌道が支配する領域となっている早間。

a}} を増やしていくときに起こるカオスから窓への変化は、接線分岐と呼ばれる分岐によって引き起こされる早間。これは、写像の曲線が //y// =}} //x//}} の対角線に分岐の瞬間にちょうど接し、さらにパラメータを変化させると曲線と直線が交わって2つの不動点を持つようになる分岐である青木。周期 p}} の窓であれば、反復写像 //f//   //p//}} が接線分岐を起こすことによって安定な p}} 周期軌道が生まれる香田。周期3の窓の接線分岐については正確な分岐点の値が知られており、この分岐点 a}} の値を //a//3}} とすると、//a//3 =}} 1 + sqrt であるJackson。この分岐の概要は、//f//   3}} のグラフを考察することで理解できるJackson。

この分岐点 //a//3}} よりもわずかに小さい //a// =}} 3.8282}} のときの //xn//}} 振る舞いを見てみると、不規則変化に加えて、ほぼ3周期で周期的変化する振る舞いも存在しており、これらが交互に発生する様子が確認される船越。このような周期的振る舞い部分はラミナーと呼ばれ、不規則振る舞い部分はバーストと呼ばれる船越。バーストとラミナーの時間帯の長さに規則性は無く、不規則に変化する船越。しかし、より //a//3}} に近い //a// =}} 3.828327}} という値で振る舞いを観察すると、//a// =}} 3.8282}} のときよりラミナーの平均的な時間長さが長くなり、バーストの平均的な時間長さが短くなる船越。さらに a}} を大きくしていくとラミナーの長さがどんどん大きくなっていき、//a//3}} に至ったところで完全な3周期に変わる合原・黒崎・高橋。

このように、ラミナーという秩序的な運動とバーストという乱れた運動が間欠的に繰り返し起こる現象は、間欠性や間欠性カオスと呼ばれる井上・秦。パラメータ a}} を逆に //a//3}} から小さくする方向で考えてみると、これはカオスの発生の一種となっている井上・秦。パラメータが窓から離れる方向へ動くほど、バーストが支配的になっていき、最終的には完全なカオス状態となるStrogatz。これも前述の周期倍分岐ルートと同じくカオスに至る一般的な道筋の一種で、このような接線分岐による間欠カオスの発生を特徴とした道筋は間欠性ルートと呼ばれる井上・秦。

間欠性の発生メカニズムもまた、写像のグラフから理解することができる船越。a}} が //a//3}} よりもわずかに小さいとき、//f//   3}} のグラフと対角線の間にはとても小さい隙間が存在するJackson。この隙間はチャネルと呼ばれ、狭いチャネルを軌道が通過するために多数の写像の反復が起こるThompson & Stewart。このチャネルを通り過ぎる過程では //xn//}} と //x////n//+3}} はとても近い値になり、実質的にほとんど3周期軌道のように変数が変化するStrogatz。これがラミナーに相当する井上・秦。軌道はやがてこの細いチャネルを抜けるが、写像の大域的な構造の結果、ふたたびチャネルに戻って来る井上・秦。チャネルを離れている間はカオス的な乱れた動きをする井上・秦。これがバーストに相当する井上・秦。

3.6.3. バンド、窓の終わり
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カオス領域の全体に目を移すと、カオスであっても窓であっても、軌道図の縦軸の最大値と最小値はある範囲内に限られている船越。式  が示すようにロジスティック写像の最大値は //a///4}} で与えられ、これがアトラクタの上限値となる船越。アトラクタの下限値は、//a///4}} が写る点 //f//   }} で与えられる船越。結局、軌道図で xn}} が動く最大値と最小値は、パラメータ a}} に依存して

と与えられる船越。最終的には、//a// =}} 4}} で軌道は 0, 1}} 全体に及ぶ早間。

軌道図を観察すると、点の分布に特徴的な濃淡が見られる船越。点が濃い部分は、変数がその周辺の値を取る頻度が大きいことを意味しており、点が薄い部分は、変数がその周辺の値を取る頻度が小さいことを意味している船越。このような点が訪れる頻度の差異は、ロジスティック写像のグラフの形に起因して生まれる船越。グラフの最頂部 //a///4}} 近辺が高頻度で軌道を呼び込み、そこから写された先の //f//   }} 近辺も高頻度になり、そこから写された先の //f//   2}} 近辺も高頻度になり…、という具合に頻度の分布が生まれる船越。写像によって生まれる点の密度分布は不変測度や分布関数と呼ばれる量で特徴づけられ、アトラクタの不変測度は初期値に関わらず再現性がある下條。

軌道図カオス領域の初めの辺り、 a}} が最初の2周期倍化カスケードの集積点 //a//∞ =}} 3.56994…}} を少し超えた辺りを見てみると、軌道がいくつかの区間に分かれていることが観察できる船越。このように分かれた小領域はバンドと呼ばれる井上・秦。バンドが複数ある場合、軌道は規則的に順番に各バンドを巡り、なおかつ各バンド内での取る値は不規則的となるような振る舞いを示す香田。このようなカオス軌道はバンドカオスや周期的カオスと呼ばれ、k}} 個のバンドから成るカオスは k}} バンドカオスなどと呼ばれる井上・秦。2バンドカオスであれば、およそ 3.590 < //a// < 3.675}} の範囲内に存在している船越。

2バンドカオスの左端 //a// =}} 3.590}} からさらに値を小さくしていくと、周期倍加分岐のときと同じようにバンドの数が2倍ずつ増えていく船越。//p//−1}} バンドカオスが分裂して //p//}} バンドカオスになる分岐点、あるいは p}} バンドカオスが融合して //p//−1}} バンドカオスになる分岐点を ep}} (ただし //p// =}} 1, 2, 4, …, 2//k//, …}}）