四つ子素数

四つ子素数とは、4個の素数の組で、}} のタイプのもののことをいう。ここで、}} および }} はいずれも双子素数であり、}} はいとこ素数であり、}} および }} はいずれもセクシー素数であり、}} および }} はいずれも三つ子素数である。

四つ子素数を小さい順に並べると、

となる。最小のもの以外は、}}の形になる。したがって最小のものを除き、四つ子素数の一の位の数は小さい順に }} となり、十の位以上の桁の数字は全て共通となる。

四つ子素数が無数に存在するのかどうかは2016年9月現在未解決である。

四つ子素数の逆数和は収束し、

である。

2019年2月現在発見されている四つ子素数 }} で最大の p}} は、10132桁の 667674063382677 × 2sup である。

1. 最初の38組の四つ子素数
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{5, 7, 11, 13}, {11, 13, 17, 19}, {101, 103, 107, 109}, {191, 193, 197, 199}, {821, 823, 827, 829}, {1481, 1483, 1487, 1489}, {1871, 1873, 1877, 1879}, {2081, 2083, 2087, 2089}, {3251, 3253, 3257, 3259}, {3461, 3463, 3467, 3469}, {5651, 5653, 5657, 5659}, {9431, 9433, 9437, 9439}, {13001, 13003, 13007, 13009}, {15641, 15643, 15647, 15649}, {15731, 15733, 15737, 15739}, {16061, 16063, 16067, 16069}, {18041, 18043, 18047, 18049}, {18911, 18913, 18917, 18919}, {19421, 19423, 19427, 19429}, {21011, 21013, 21017, 21019}, {22271, 22273, 22277, 22279}, {25301, 25303, 25307, 25309}, {31721, 31723, 31727, 31729}, {34841, 34843, 34847, 34849}, {43781, 43783, 43787, 43789}, {51341, 51343, 51347, 51349}, {55331, 55333, 55337, 55339}, {62981, 62983, 62987, 62989}, {67211, 67213, 67217, 67219}, {69491, 69493, 69497, 69499}, {72221, 72223, 72227, 72229}, {77261, 77263, 77267, 77269}, {79691, 79693, 79697, 79699}, {81041, 81043, 81047, 81049}, {82721, 82723, 82727, 82729}, {88811, 88813, 88817,
88819}, {97841, 97843, 97847, 97849}, {99131, 99133, 99137, 99139},...

最初の数はA007530}}、2番目の数はA136720}}、3番目の数はA136721}}、4番目の数はA090258}}を、中央の数はA173037}}を参照。

2. 五つ子素数五つ子素数、六つ子素数
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四つ子素数 }} について、//p// − 4}} または //p// + 12}} がさらに素数であれば、それらを加えた5つ組を五つ子素数という。特に //p// − 4}} と //p// + 12}} の両方が素数であれば、その6つ組を六つ子素数という。

五つ子素数、六つ子素数が無数に存在するかどうかはわかっていない。

2.1. 五つ子素数の例
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//p// + 12}} 型 {5, 7, 11, 13, 17}, {11, 13, 17, 19, 23}, 　{101, 103, 107, 109, 113}, {1481, 1483, 1487, 1489, 1493}, {16061, 16063, 16067, 16069, 16073}, {19421, 19423, 19427, 19429, 19433}, {21011, 21013, 21017, 21019, 21023}, {22271, 22273, 22277, 22279, 22283}, {43781, 43783, 43787, 43789, 43793},...//p// − 4}} 型 {7, 11, 13, 17, 19}, {97, 101, 103, 107, 109}, {1867, 1871, 1873, 1877, 1879}, {3457, 3461, 3463, 3467, 3469}, {5647, 5651, 5653, 5657, 5659}, {15727, 15731, 15733, 15737, 15739}, {16057, 16061, 16063, 16067, 16069}, {19417, 19421, 19423, 19427, 19429}, {43777, 43781, 43783, 43787, 43789},...

2.2. 六つ子素数の例
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{7, 11, 13, 17, 19, 23}, {97, 101, 103, 107, 109, 113}, {16057, 16061, 16063, 16067, 16069, 16073}, {19417, 19421, 19423, 19427, 19429, 19433}, {43777, 43781, 43783, 43787, 43789, 43793}, {1091257, 1091261, 1091263, 1091267, 1091269, 1091273}, {1615837, 1615841, 1615843, 1615847, 1615849, 1615853}, {1954357, 1954361, 1954363, 1954367, 1954369, 1954373}, {2822707, 2822711, 2822713, 2822717, 2822719, 2822723},...

2.3. その他の形と「七つ子」以上
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//p// − 2}} および //p// + 10}} は必ず 3 の倍数であるため、これらを含んだ「五つ子」は }} の形の }} しか存在しない。

また、//p// − 6}}, //p// + 14}} はいずれも 5 の倍数になるため、双子素数3つからなる }} の形の「六つ子」は、}} しか存在しない。

さらに //p// − 8}}, //p// + 16}} はいずれも 3 の倍数になるため、六つ子素数の両端±4の範囲には素数はない。}}, }} の「七つ子」、}} の「八つ子」を除いて、差が4以内で連なる七つ子以上の素数の組は存在しない。

3. 脚注
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4. 関連事項
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双子素数
三つ子素数
いとこ素数
セクシー素数
Prime k-tuple

5. 外部リンク
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