岩澤理論

数論における岩澤理論は、岩澤健吉が円分体の理論の一部として提唱し、バリー・メイザーやラルフ・グリーンバーグ、クリストファー・スキナーらによって洗練・確立された、ガロア群のイデアル類群における表現論である。

1. Zsub 拡大
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岩澤理論では、有限次代数体の拡大というものを考える。素数 と有限次代数体 に対して、体の拡大 が拡大であるとは、これがガロア拡大であって、そのガロア群 がp}} 進整数環 の加法群と位相群として同型であることをいう岩澤理論。 拡大のガロア群は と書かれ、アーベル群ではあるが乗法的に記される。n}} を非負整数としたとき、 には の倍数たちからなる有限指数の開部分群があるので、 にもそのような部分群がある。これは と の同型の取り方によらない。この部分群を と書く harvtxt。 にガロア対応する の部分体を と書き、 拡大 の第 n}} 層という藤井。これは の中間体で、 上 次である唯一のものであり岩澤理論、F}} 上の巡回拡大であるGreenberg。 たちは体の塔

を構成する。代数体 に 拡大を与えることと、このような の拡大列を与えることは同値であるCoates。実際、このような拡大列が与えられれば、//F//sub のガロア群は加法群 と同型であり、 のガロア群 はこれらが自然な射影によって成す逆系の逆極限、つまり である。これはまた、ポントリャーギン双対を考えれば、任意の p}} の冪に対する 1 の冪根全体が成す円周群の離散部分群の双対として得られるコンパクト群が Γ}} であるとも述べられる。

拡大の基本的な例は円分 Zsub 拡大である。自然数 に対して で1の原始 //n//}} 乗根を表すものとする。例えば複素数体の中で考え、 とする。奇素数 p}} に対して、有理数体に1の原始 乗根をすべて添加した体、つまり の合成体 は 上の 拡大である岩澤理論。また、この合成体を有理数体 上の拡大体とみると、これはガロア拡大で、そのガロア群 は と同型であるので、これの部分体で Q}} 上の 拡大であるものが存在する岩澤理論。これを と書き、有理数体の円分 拡大という。任意の有限次代数体 に対して合成体 は 拡大になる。これを の円分 拡大という田谷・福田。円分 拡大の存在から、任意の代数体に対して少なくとも1つは 拡大が存在することがわかる。

代数体 の 拡大は一般に無限に存在しうる。 の 拡大すべての合成を とすると

が成り立つことが知られているGreenberg。ここで d}} は を満たすある整数、 は の複素素点の個数である。このことから、F}} が総実体でなければ無限に多くの 拡大が存在することがわかるGreenberg。ここに出てきた定数 d}} が、実は であろうというのがレオポルト予想であるGreenberg。レオポルト予想は、有理数体のアーベル拡大体や虚二次体のアーベル拡大体については正しいことが知られているGreenberg。

円分 拡大ではない 拡大の例としては、虚二次体の反円分 Zsub 拡大というものがあげられる岩澤理論。 を5以上の素数岩澤理論、 を虚二次体とする。 の は1で は2であるから、この場合はレオポルト予想が自明に成立する。したがって にはガロア群が と同型になる唯一の拡大体 が存在する。 には複素共役が作用しており、複素共役が±1倍で作用する部分群を とすると、 は の直積に分解できる。 の固定体 は円分的ではないZsub 拡大 になっている。これを反円分 拡大という。

2. イデアル類群と岩澤類数公式
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を素数、 を有限次代数体 の 拡大とする。第 n}} 層 のイデアル類群 のシロー p}} 部分群 これを mvarを とする。ここでの動機というのは、1=//F// = Q(ζsub のとき、そのイデアル類群の p}} 部分こそがフェルマーの最終定理の直接証明における主要な障害となっている、ということがクンマーによって既に特定されていたということによるものである。 は有限 p}} 群 なのでその位数 はある整数 を用いて と書ける。岩澤は、ある3つの整数 μ, λ, ν}}が存在して、n}} が十分大きいとき

が成り立つことを示した岩澤理論。これを岩澤類数公式といい、この公式に現れる3つの数を岩澤不変量という。3つのうちどれか1つを指し示したいときは、例えば岩澤 λ}} 不変量などという田谷・福田。

2.1. 証明と岩澤代数
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次の仮定のもとで証明の概略を見るGreenberg。

 素数 p}} の上にある F}} の素イデアルは唯一つで、さらにその素イデアルは //F//sub で完全分岐する証明は、まずイデアル類群の極限をとることからはじまる。2つの正整数 があったとき、代数体の有限次拡大 のノルム写像からイデアル類群の準同型 ができる岩澤理論。これによる逆極限 を と書き、 の岩澤加群という岩澤理論。岩澤の独自性は、「無限大に飛ばす」という新しい着想にあった。

岩澤加群 がわかれば もわかる。実際、 の元 を の乗法単位元1に対応する元とすると が成り立つことがわかるGreenberg ここで仮定を使う。この仮定がない場合にはもっと複雑になる。harvtxt。

岩澤加群 の構造は、これを完備群環上の加群とみることによって調べられる。 は有限 p}} 群なので自然に の元の乗算が定義でき、またガロア群 が作用しているので、その極限の には完備群環 の作用が定義できる岩澤理論。この環 は、実は 係数の形式的べき級数環 と によって同型であることが示される岩澤理論。Λ}} や は岩澤代数と呼ばれているNSW。岩澤代数は岩澤理論において中心的な役割を演ずる。例えば、岩澤主予想と呼ばれる予想は のある2つのイデアルが等しいという予想である。

岩澤加群 は岩澤代数 上の加群であることがわかった。さらに有限生成であることが示されるGreenberg。 は2次元の正則局所環とよばれる素性の良い環であるので、その有限生成加群には構造定理がある岩澤理論。これを使うことにより、X}} は次の形の加群

と擬同型であること、つまり有限群による違いを除いてこれと同型であることが示される。r}} はイデアル類群の有限性から0である岩澤理論。

このようにして得られた岩澤加群 の表示と を使うことにより の個数を や で表すことができる。そして μ}} と λ}} を

で定義すると岩澤類数公式が成り立つことがわかるGreenberg。以上が証明の概略である。

なお、すべての と を乗じて得られる多項式

を岩澤加群 の特性多項式といい、これによって生成される のイデアルを特性イデアルという岩澤理論。 で特性イデアルの方を表すこともある。特性多項式は任意の有限生成 torsion 加群 に対して定義され、同様に という記号で書かれる。岩澤不変量の λ}} は特性多項式 の次数であり、μ}} は特性多項式を割り切る最大 べきの指数である。岩澤主予想は のある2つのイデアルが等しいという予想であるが、そのイデアルのうちの一つが、簡単にいうとこの特性イデアルである。

2.2. 固有空間への分解
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代数体 に複素共役や が作用している場合には、その作用でイデアル類群を固有空間Coatesに分解することができ、分解したものたちに対して同様の公式が得られる。

まず複素共役の場合を見る田谷・福田。F}} をCM体、p}} を奇素数、 を円分 拡大とする。このとき、//F//sub のイデアル類群のシロー p}} 部分群 には自然に複素共役が作用し、複素共役が±1倍で作用する部分空間 の直和 に分解できる。 をプラス部分岩澤理論、 をマイナス部分という。それぞれの部分空間に対して岩澤類数公式が成り立ち、対応する と をそれぞれ と とすると、//F//sub の と は 1=λ = λsup, と分解できる。同様の方法で岩澤加群 を に分解したとき、 は の最大実部分体 の円分 拡大の岩澤加群と同型になるので、プラス部分は実部分の寄与、マイナス部分は全体と実部分の差と考えられる。マイナス部分の λ}} については、木田の公式と呼ばれるリーマン・フルヴィッツの公式の類似が成り立つことが知られている岩澤理論岩澤理論。

典型的なCM体は奇素数 p}} についての p}} 分体 であるWashington。これの最大実部分体の類数は p}} で割れないという予想をヴァンディバー予想というWashington。もしこれが正しければ、 の最大実部分体の類数も p}} で割れないので は0ということになるWashington。

次に、 でイデアル類群が分解される様子を見るため、典型的な例として で の場合を考えるIwasawa。 と置き、 を の任意の元 に対して が成り立つ唯一の準同型とする。 は のイデアル類群の p}} 成分 に自然に作用し と分解できる。ここで は が成り立つ の元たちからなる部分群である。これを ωsup 成分という。ωsup 成分に対しても岩澤類数公式が成り立ち、これらの成分に対する岩澤不変量を λsup, μsup, とすると の岩澤不変量は などと分解できる。偶数の i}} に対する 成分は に含まれるので、ヴァンディバー予想が正しければこの成分は0である。部分的な結果として、栗原将人によって は0であることが証明されている藤井。岩澤主予想は、奇数の i}} に対する 成分に関する予想である。なお、このような分解はもっと一般の状況でも可能であるが、 Δ}} の指標の値が必ずしも に入らないので、係数拡大が必要となるWashington。

2.3. 岩澤不変量
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岩澤不変量の や は 拡大 に対して定まるので λ(//F//sub, などと書かれる岩澤理論。また、代数体 と素数 に対して の円分 拡大 は一意に定まるので、このときは を と書いたりする田谷・福田。例えば などが知られている田谷・福田。

λ}} はイデアル類群の元の位数の増加を示すものであり、μ}} は p}} ランクの増加を示すものである藤井岩澤理論。

岩澤不変量にはまだ分からないことが多いGreenberg。次のような予想が立てられている。

岩澤 μ}} 予想 円分 Zsub 拡大 //F//sub に対しては 1=μ(//F//sub であろう岩澤理論。この予想は一般には未解決であるが、 がアーベル体 有理数体のアーベル拡大体のこと。クロネッカー・ウェーバーの定理より、円分体の部分体と同義。 }}の場合は正しいことが証明されている岩澤理論。

グリーンバーグ予想 総実代数体 F}} の円分 Zsub 拡大 //F//sub に対しては 1=λ(//F//sub であろう岩澤理論。知られていることとしては次のようなことがあるGreenberg。

代数体 F}} の類数が p}} で割り切れず、p}} の上にある F}} の素イデアルが一つしかないならば、任意の Zsub 拡大 //F//sub に対して 1=λ = μ = ν = 0}} である。
素数 p}} が //F///Q}} で完全分解し、Zsub 拡大 //F//sub において p}} の上にある F}} の素点がすべて分岐するならば λ(//F//sub である。ここで //r//sub は F}} の複素素点の個数。

2.4. 特性多項式の具体例
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がアーベル体であれば、その円分 拡大の岩澤加群のマイナス部分の特性多項式はスティッケルバーガー元を用いて具体的に構成できる岩澤理論。さらに が虚二次体であればプラス部分は自明なので田谷・福田、マイナス部分の特性多項式が全体の特性多項式である。例えば、1=//p// = 3}} で 1=//F// = Q(sqrt の場合は

である岩澤理論。特性多項式は 進数係数の多項式なので、mod 3sup までの近似で表示している。

3. 岩澤主予想
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草創期の1950年代から理論の構築は絶えず続けられ、この加群の理論と久保田やレオポルド  が1960年代に考案した p}} 進 L}} 関数の理論の間の基本的考察が提示された。p}} 進 L}} 関数は、ベルヌーイ数から始めて補間法を用いて定義される、ディリクレの L}} 関数の p}} 進の類似物である。最終的に、クンマーによる正則素数に関する結果から世紀を隔てて、フェルマーの最終定理の前進する見通しが立ったことが明らかとなった。

岩澤主予想は、二種類の方法で定義される p}} 進 L}} 関数は一致するはずであるという形で定式化された。この予想は結果としては、バリー・メイザー とアンドリュー・ワイルズによって有理数体 Q の場合に、またやはりワイルズによって任意の総実数体の場合に証明された。

4. 逸話
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岩澤理論はワイルズによるフェルマーの最終定理の解決に貢献している。証明発表後に致命的な誤りが見つかった後、岩澤理論とコリヴァギン＝フラッハ法を使うことにより修正することができたと説明されることもあるシンが、フェルマーの最終定理を解決した論文の導入部においてワイルズは次のようにも述べている。

5. 脚注
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5.1. 注釈
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5.2. 出典
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6. 参考文献
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7. 関連文献
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8. 外部リンク
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