米田の補題

米田の補題とは、小さなhom集合をもつ圏 C}} について、共変あるいは反変hom関手 hom}}, hom}} から集合値関手 //F//}} への自然変換と、値となる集合 //F//}} の要素との間に一対一対応が存在するという定理である。「米田の補題」という名称は、米田信夫に因んでソーンダース・マックレーンにより名付けられた。その主張は、マックレーンによれば、米田の仕事に早くから現れていたという。ただし、エミリー・リールEmily Riehl}}によれば、この補題が初めて  論文に登場したのは Grothendieck である。

米田の補題は、普遍性という概念の根幹に関わる重要な補題であり、また、圏論において「間違いなく最も重要な結果である」「もしかしたら最も利用されているただ1つの結果かもしれない」と言われている。

1. 概要
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1.1. 主張の内容
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C}} を局所的に小さい圏とする。すなわち C}} の各対象 A}}, B}} に対して hom}} は集合であるとする。対象 A}} を固定するとき、共変hom関手 1=//H////A// = hom : C → Set}} は対象 X}} に対して、集合 hom}} を割り当て、射 //f// : //X// → //Y//}} に対して写像 1=hom = //f// ◦  : hom → hom}} を割り当てる関手であった。さらに、 //F// : C → Set}} を集合値関手とし、//H////A//}} から F}} へのすべての自然変換のクラス Nat}} について考える。

このとき、米田写像と呼ばれる全単射が存在し、この同型は //A// ∈ C}} と //F// ∈ SetC}} について自然である、という主張が米田の補題である。また、F}} が反変関手 Cop → Set}} である場合も、反変hom関手 1=//H////A// = hom}} との間にという全単射が存在して、これは A}} と F}} について自然となる。このことはどちらも米田の補題と呼ばれる。

1.2. 米田写像の対応
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関手 F}} は共変  とする。このとき、共変hom関手 1=//H////A// = hom}} から F}} への自然変換 //τ// : //H////A// ⇒ //F//}} は、任意の C}} の射 //f// : //X// → //Y//}} に対して が定義から成り立つ。いま、//f// : //A// → //Y//}} の場合に、A}} での恒等射 id//A//}} がどのように写るかを追うことで、等式を得る。ここから、自然変換 //τ// : //H////A// ⇒ //F//}} の情報は から全て得られることがわかる。

2. 証明
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米田写像 y}} を、自然変換 τ}} に対して で定める。y}} が全単射であることを示す。

単射性：//a// ∊ //F//}} に対して、自然変換 //τ// : //H////A// ⇒ //F//}} が存在して 1=//y// = //a//}} であったとする。このとき、任意の射 //f// : //A// → //Y//}} に対して τ}} は を満たす。これにより τ}} の全てのコンポーネントが一意に定まる、すなわちそのような τ}} は一意に定まるため、y}} は単射である。

全射性：//a// ∊ //F//}} を任意に固定する。C}} の対象 X}} それぞれに対して、写像 //τ////X// : hom → //F//}} を で定める。このとき、//f// : //X// → //Y//}} と //g// : //A// → //X//}} に対して が成り立つことから、//τ////X//}} はある自然変換 //τ// : //H////A// ⇒ //F//}} のコンポーネントである。定義から 1=//τ////A// = //a//}} であるため 1=//y// = //a//}} が成り立つ。すなわち y}} は全射である。

3. 補題の帰結
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3.1. 普遍性
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集合値関手 //F// : C → Set}} が、ある 1=//H////A// = hom}} と自然同型であるとき、F}} を表現可能関手  といい、A}} は F}} の表現対象  あるいは単に F}} の表現という。F}} が表現可能関手であるとき、米田の補題の帰結として次の主張が成り立つ。 逆に、上記定理の条件を満たす A}} と //u// ∈ //F//}} の組を F}} の普遍要素  と呼ぶ。より一般に、関手 //F// : C → D}} と //d// ∈ D}} に対して、d}} の F}} への普遍性  とは、//A// ∈ C}} と D}} の射 //u// : //d// → //FA//}} の組であって、任意の //B// ∈ C}} と D}} の射 //x// : //d// → //FB//}} に対して、C}} の射 Overline がただ1つ存在して、1=//F//Overline が成り立つことを言う。

普遍要素の性質は一点集合からの普遍性と言えて、普遍性は D : C → Set}} の普遍要素として表現できるため、普遍性・普遍要素・表現可能関手はそれぞれ互いの概念を包含する。

3.2. 米田埋め込み
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米田写像の自然性から、対象 //A// ∈ C}} に関手 1=//H////A// = hom}}、あるいは 1=//H////A// = hom}} を割り当てる操作は、関手

を構成する。米田の補題から であるため、//H//•}}  は忠実充満であることが言える。このことから、//H//•}}  を米田埋め込み  とも呼ぶ。米田埋め込みは Y}} や よ}} などの記号によって表されることもある。

関手 //F// : C → Set}} に対して、F}} の「要素の圏」 //El A//}} とは、//X// ∊ C}}、//x// ∈ //FX//}} の組とその関係を保つ C}} の射からなる圏  のことである。//El A//}} から C}} の情報を取り出す関手を Φ//F// : //El F// → Cop}} と表すとき、F}} は //Y//C ◦ Φ//F// : //El F// → SetC}} の余極限  である。つまり、任意の集合値関手は表現可能関手による余極限として表される。

3.3. 前層の部分対象分類子
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有限の極限を持つ圏 C}} 上の前層 とは C}} からの反変関手 //P// : Cop → Set}} のことであり、このとき前層の圏を 1=Hat で表す。圏 Hat の部分対象分類子とは、 Hat の対象 Ω}} とモノ射 true : 1 → Ω}}  であって、任意のモノ射 //j// : //U// → //X//}} に対して、1=//χ////j// ◦ //j// = true}} かつその可換図式が引き戻しとなるような がただ1つ存在するようなものを言う。

前層の圏 Hat への米田埋め込みを //Y//: C → SetCop}} で表すとする。いま、Hat に部分対象分類子 Ω : Cop → Set}} が存在するならば、特に 1=//YC// = HomC}}  についてが成り立つ 。部分対象分類子の定義から、左辺の集合は YC}} の部分対象の集合と互いに1対1対応する。従って、等式全体が C}} について自然であることから、Hat は必ず部分対象分類子を持ち、それは表現可能な前層 YC}} の部分対象を調べればよいことがわかる。

4. 豊穣圏での補題
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豊穣圏とは、通常の圏におけるhom集合  の代わりに、順序集合、加法群、その他の対象  を割り当てるような一般化した構造であり、例えばこの意味で通常の圏は Set}}-豊穣圏、2-圏は Cat}}-豊穣圏と言える。豊穣圏の理論では、V}} の条件によって  米田の補題は強いものと弱いものに分けられる。 圏 Mvar

ただし豊穣圏の理論において「関手圏」[//A//, //V//]}} のhom対象 [//A//, //V//], //F//)}} にあたるものは、関手 //V//, //F//_)}} のエンド である。

5. 脚注
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6. 参考文献
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last=Mac Lane 邦訳：『圏論の基礎』

7. 関連項目
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図式スキーム
ホモロジー代数
アーベル圏