二項係数

数学における二項係数は二項展開において係数として現れる正の整数の族である。二項係数は2つの非負整数で添字付けられ、添字 //n//, //k//}} を持つ二項係数はふつう binom とか }} と書かれる。二項係数を、連続する整数 n}} に対する各行に k}} を 0}} から n}} まで順に並べて得られる三角形状の数の並びをパスカルの三角形と呼ぶ。

この整数族は代数学のみならず数学の他の多くの分野、特に組合せ論において現れる。n}}元-集合から k}}個の元を選ぶ方法が binom 通りである。二項係数の性質を用いて、記号 binom の意味を、もともとの n}} および k}} が //k// ≤ //n//}} なる非負整数であった場合を超えて拡張することが可能で、そのような場合もやはり二項係数と称する。

1. 歴史と記法
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二項係数に関して詳しく知られた最も初期の議論は10世紀ごろハラユーダが古代サンスクリット語で書いた "Pingala's Chandaḥśāstra" である。1150年ごろには、インドの数学者バースカラ2世が著書 "Lilavati" で二項係数について詳しく述べている。

記号 binom はアンドレアス・フォン・エッチンクハウゼンが1826年に導入したものである。 そのほかの記法として //C//⁡}}, msub, msup, Csu, Csu, //C//sub, }} などがあり、何れも文字 C}} は組合せ  や選択  を表している。

2. 定義と解釈
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自然数n}} および k}} に対し、二項係数 binom は二項冪 sup の展開における Xsup の項の係数として定義できる。同係数は二項公式 に現れるため「二項係数」の名がある。

組合せ論においてもまたこの数は、n}} 個の対象から k}} 個選ぶ選び方の総数、より形式的には n}}元-集合の k}}元-部分集合の総数として現れる。この数が先に述べた係数と一致することは、後で述べるこの数の計算法の何れとも独立に示すことができる。実際、冪 sup における n}} 個の因子の各々において、一時的に X}} に対し 1 ≤ //i// ≤ //n//}} なる添字 i}} をそれぞれ付けて区別しておくと、k}} 個の添字からなる部分集合をひとつ選ぶ毎に展開後の Xsup への寄与が 1}} だけあるから、この項の係数はそのような部分集合の選び方の数に一致する。このことは特に binom が任意の自然数 //n//, //k//}} に対して自然数となることも示している。二項係数の組合せ論的解釈は多く存在する。例えば、各位の和が k}} に一致する n}}桁のビットの語の総数は binom で与えられる。また、各 asub が非負整数であるものとして //k// =}} //a//sub と書く方法の総数は binom 通りである。これら解釈のほとんどは、k}}-組合せを数えることに同値であることが容易に示される。

3. 二項係数の値の計算
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binom の値を、実際に二項冪を展開したり k}}-組合せを数え上げたりせずに、計算する方法はいくつかある。

3.1. 漸化式
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一つは、//n//, //k//}} を 1 ≤ //k// ≤ //n// − 1}} なる自然数として、純加法的な漸化式

を初期条件「任意の //n// ≥ 0}} に対し 1=binom」の下で用いることである。

この漸化式自体は、集合 1, 2, 3, …, //n//} }}において以下のように場合を分けて k}}元-集合を数えることで得られる。特定の元に注目し、ここではそれを “i}}” とする。

 特定の元 i}} を含む k}} 個の元を集める。この場合、各集まりは既に i}} があることは仮定しているから、残りの //k// − 1}} 個の元を i}} を除く //n// − 1}} 元の中から特定すればよい。
 特定の元 i}} を全く含まない k}} 個の元を集める。この場合、i}} を除く //n// − 1}} 個の元から k}} 個を選ぶことに他ならない。この二者で与えられた n}} 個の元から得られるすべての k}}-組合せが数え上げられているので所期の結果を得る。

あるいはまた、sup の両辺における Xsup への寄与を見ることでもこの漸化式は得られる。sup において //X//sup や //X//sup の項は存在しないから、二項係数の定義を上記の境界を越えて延長して、binom とすることもできる。

この漸化式はパスカルの三角形を描くのにも利用できる。

3.2. 乗法表示
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個々の二項係数をより効果的に計算するには

で与えられる式を用いる。一つ目の分数の分子に現れる //n//sup は下降階乗冪である。この公式を理解するには二項係数の組合せ論的解釈に依るのが最も簡明である。分子は n}} 個の対象からなる集合から選ぶ順番を考慮して相異なる k}} 個の対象を取り出す方法の総数であり、分母は同じ k}}-組合せを与える相異なる並びの数を数えるものである。

3.3. 階乗表示
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最後に、計算論的には不利だが、短く書けるのでしばしば証明や導出に用いられるよく知られた階乗函数を用いた式は

で与えられる。ここに //n//!}} は n}} の階乗である。この式は上記の乗法表示式に、分子分母に対して !}} を掛けることで得られる。この式を実際の数値計算に用いることは実用的でない。この式は上記の乗法表示よりは二項係数が対称性 を持つことを見るのに適している。この対称性を用いれば乗法的な計算をより効果的にすることもできる。下降階乗冪で書けば

と書ける。

3.4. 一般化および二項級数
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乗法表示を用いれば、n}} を任意の数 α}}あるいは任意の整数が可逆となるような可換環の元に取り換えて、

により二項係数の定義を拡張することができるgroup="注"。この定義により、二項定理も一般化して と書くことができる。故にこの場合も binom を二項係数と呼ぶことは正当化される。この等式は任意の複素数 α}} と abs なる X}} に対して有効である。これはまた X}} を不定元とする形式冪級数の等式としても解釈でき、それは実際に定数係数 1}} を持つ級数の任意の冪の定義として機能する。この定義を用いるポイントは、冪乗として満足することが期待される全ての恒等式、特に

が満足されることである。α}} が非負整数 n}} のとき、//k// > //n//}} なる全ての項は零であり、上記の無限級数は有限和となり、したがってもともとの二項定理が再び得られる。しかし α}} がそれ以外の値ならば、負の整数や有理数の場合も含めて、上記の級数は実際に無限和になる。

4. パスカルの三角形
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パスカルの法則は重要な漸化式 で、これを用いて binom が任意の自然数 n, k}} に対して自然数となることを帰納的に示すことができる。これは定義  や乗法表示からは直ちに明らかなことではない。

パスカルの法則からパスカルの三角形が生じる:

{|style="text-align:center;margin:1ex auto 1ex auto"!style="padding-right:2em"|0: | || || || || || || || |style="padding:0.5em 0.5em"|1|| || || || || || || || |- !style="padding-right:2em"|1: | || || || || || || |style="padding:0.5em 0.5em"|1|| |style="padding:0.5em 0.5em"|1|| || || || || || || |- !style="padding-right:2em"|2: | || || || || || |style="padding:0.5em 0.5em"|1|| ||2|| |style="padding:0.5em 0.5em"|1|| || || || || || |- !style="padding-right:2em"|3: | || || || || |style="padding:0.5em 0.5em"|1|| ||3|| ||3|| |style="padding:0.5em 0.5em"|1|| || || || || |- !style="padding-right:2em"|4: | || || || |style="padding:0.5em 0.5em"|1|| ||4|| |||| ||4|| |style="padding:0.5em 0.5em"|1|| || || || |- !style="padding-right:2em"|5: | || || |style="padding:0.5em 0.5em"|1|| ||5|| |||| |||| ||5|| |style="padding:0.5em 0.5em"|1|| || || |- !style="padding-right:2em"|6: | || |style="padding:0.5em 0.5em"|1|| ||6|| |||| |||| |||| ||6|| |style="padding:0.5em 0.5em"|1|| || |-
!style="padding-right:2em"|7: | | |style="padding: 0.5em 0.5em"|1|| ||7|| |||| |||| |||| |||| ||7|| |style="padding:0.5em 0.5em"|1|| |- !style="padding-right:2em"|8: |style="padding:0.5em 0.5em"|1|| ||8|| |||| |||| |||| |||| |||| ||8|| |style="padding: 0.5em 0.5em"|1 |} 番号 n}} の行には binom の値が //k// =}} 0, …, //n//}} に対して並べられている。これを書くには、一番外側の 1}} から始めて、常に隣り合う２項を加えた数をその真下に書いていけばよい。この方法によって、分数や乗算を使わずに二項係数を手早く計算することができる。

例えば三角形の5行目を見れば

が直ちに読み取れる。

他の対角線上の数との差は、上記漸化式  の帰結として、一つ前の対角線上の数である。

5. 解釈
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二項係数はよくある数え上げ問題の簡明な公式を与えるという意味で組合せ論において重要である。

n}}-元集合から k}}-元を選ぶ方法の総数は binom である。
n}}-元集合から重複を許して k}}元を選ぶ方法の総数はbinom 通りある。
k}} 個の 1}} と n}} 個の 0}} を含む文字列は binom 種類存在する。
k}} 個の 1}} と n}} 個の 0}} を含み、かつどの2つの 1}} も隣り合わない文字列の総数は binom である。
カタラン数：sfrac.
二項分布：binom.

6. 多項式としての性質
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t}} を不定元として、任意の非負整数 k}} に対して式

は t}} に関する有理係数多項式である。この意味において、t}} には任意の実数あるいは複素数を代入することができ、それによって二項係数の定義を一般化するとき、そのような「一般化された二項係数」はニュートンの一般化二項定理に現れる。

各 k}} に対し、多項式 binom は 1=//p//⁡ = //p//⁡ = … = //p//⁡ = 0}} かつ 1=//p//⁡ = 1}} を満たす唯一の k}}次多項式 //p//}} として特徴づけることができる。

この多項式の係数は第一種スターリング数を用いて

と表すことができる。この導函数は対数微分法により

と計算できる。

6.1. 多項式の空間の基底
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標数 0}} の任意の体上で、次数が高々 d}} の任意の多項式 //p//⁡}} は二項係数の線型結合

として一意に書ける。このときの係数 amsub は数列 //p//⁡, //p//⁡, …, //p//⁡}} の第 k}}-階差で与えられ、明示的に書けば で決まる。

6.2. 整数値多項式
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各二項係数多項式 binom は整数値である。従って、二項係数多項式の任意の整係数線型結合もまた整数値多項式になる。逆に等式  により任意の整数値多項式がこれら二項係数多項式の正係数線型結合となることが示せる。より一般に標数 0}} の体の任意の部分環 R}} に対し、//K//[//t//]}} に属する多項式が任意の整数において R}} に値をとるための必要十分条件はそれが二項係数多項式の R}}-係数線型結合となっていることである。

7. 二項係数に関する等式
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階乗表示を用いれば近くにある二項係数の関係を容易に知ることができる。例えば k}} を正整数、n}} は任意として が成り立ち、また少しの計算で

が得られる。さらに言えば以下の結果

は有用である。例えば定数 n}} に対して以下の漸化式

を得ることができる。

7.1. 二項係数を含む級数
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等式 は等式  において //x// =}} 1}} かつ //y// =}} 1}} とすれば得られる。これはパスカルの三角形の各行において現れる全ての数を足し合わせれば 2}} の整数冪になると言っても同じである。この事実の組合せ論的解釈は二通りに数える論法  で n}}元-集合 S}} の位数 i}} }} の部分集合を数えることである。任意の位数 i}} に対する部分集合を数えているのだから、その和は S}} の部分集合の総数に等しく、それが 2sup であることはよく知られている。すなわち、等式  は n}}元-集合の冪集合の位数が 2sup であることを述べるものである。より明確に、n}}-桁のビット列を考えれば、このビット列は 2sup 個の数を表すことに利用できる。その中で一つも 1}} を含まないビット列を考えれば、これは binom 通りである。ちょうど一つ 1}} を含むビット列は binom 通りである。このように数えて行けば上記の式を得る。

等式 および

は等式  を x}} に関して微分して //x// =}} 1}} と置けば得られる。

は任意の複素数 //m//, //n//}} と任意の非負整数 k}} に対して成立する。これは sup の展開における xsup の係数として、等式  を用いて求めることができる。//m// =}} 1}} のとき等式  は等式  に簡約される。

任意の整数 //j//, //k//, //n// }} に対して適用できる同様の等式 は、 を用いれば

の展開における //x//sup の係数として求められる。//j// =}} //k//}} のとき等式  は

となる。展開  を 1=//n// = 2//m//, //k// = //m//}} に対して用い、 を使えば を得る。

//F//⁡}} で n}} 番目のフィボナッチ数を表せば、パスカルの三角形の対角和に関する等式 を得る。これは等式  を用いた帰納法、あるいはゼッケンドルフの表現によって示すことができる。組合せ論的証明は後述。

等式  から従う別の等式として、//j// =}} //k// − 1}} とおいて 1=sum を得る。

sum に対する閉じた式はないが、再び等式  および帰納法により //k// =}} 0, …, //n// − 1}} に対して 1=sum を得る。同様に 1=sum を得る。これ自身は次数高々 n}} の任意の多項式 //P//⁡}} に対する和分差分学における結果1=sum の特別の場合である。//P//⁡ =}} //x//… }} に対しては等式  を k}} 回微分して //x// =}} −1}} と置けば得られる。一般の場合はこれらの線型結合を作ればよい。

n}}次以下の多項式 //P//}} に対して が成り立つ。ここで amsub は //P//}} の n}}次係数である。等式  はより一般に、複素数 //m//, //d//}} に対して

とできる。これは //P//⁡}} の代わりに多項式 //Q//⁡ :=}} //P//⁡}} とするとき、//Q//⁡}} がやはり n}}次以下の多項式であることと n}}次係数が d//sup であることに注意すれば、等式  を適用して直ちに得られる。//

級数

は //k// ≥ 2}} に対して収束する。この等式はドイツの戦車問題を調べるのに利用できる。これを見るには

が成り立つことを M}} に関する帰納法で示せばよい。

等式  から 1=sum および 1=sum が得られる。

Series multisectionにより、0 ≤ //t// < //s//}} として t}} を境に s}} 刻みに取った二項係数の総和と s}} 項の閉じた形の式の和との間の等式

が示せる。

7.2. 組合せ論的に証明できる等式
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二項係数を含む多くの等式が組合せ論的証明証明することができる。例えば //n// ≥ //q//}} なる非負整数に対して

は、以下のように二通りに数える論法できる。左辺は集合 [//n//] =}} 1, 2, …, //n//} }}の少なくとも q}} 個の元を含む部分集合を選び、選ばれた元のうち q}} 個に印をつける方法を数えている。右辺も同じものを数えるのだけれども、n}} 個の元のうち q}} 個に印をつける方法が binom 通りあり、その各々について印をつけた q}} 個を含む部分集合を得るには印の付いた q}} 個に残りの //n// − //q//}} 個の元から任意に追加すればよいから、そのような仕方は 2sup 通りである。

パスカルの法則

の両辺は集合 [//n//]}} の k}}元-部分集合を数えているのだけれども、右辺は特定の元を含むように選ぶ場合と含まないように選ぶ場合に分けて数えている。

等式 , 再掲すると

も組合せ論的に証明できる。2//n//}} 個の□を一列に並べ、それらのうちの n}} 個を選んで印を付けることを考える。そのような方法は binom 通りである。他方、そのような n}} 個の□を選ぶときに、k}} 個は前半の n}} 個から、残り //n// − //k//}} 個は後半の n}} 個から選ぶとして 1 ≤ //k// ≤ //n//}} に亙って考える。これにより 1=sum が得られるから、等式  を適用して所期の結果を得る。

等式  も組合せ論的に証明できる。binom は、2次元格子上で }} から }} まで、}} または }} 刻みで移動して辿った経路の総数を表す。そのことは全部で //n// − //k//}} 個の点を亙るために必ずちょうど k}} 回だけ }} 刻みの移動をしなければならないのだから明らかである。さてここでちょうど k}} 個ある }} 刻みを }} 刻みで置き換えると、}} 刻みと }} 刻みを合わせて }} へ到達することになる。これを 0 ≤ //k// ≤ ⌊//n//   /   2⌋}} なる各 k}} に亙って考えれば、}} から }} 刻みと }} 刻みを合わせて }} へ到達する方法の総数が数え上げられる。そのような方法の総数が //F//}} 通りあることは明らかである。

7.3. ディクソンの等式
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ディクソンの等式は

あるいはより一般に

で与えられる。ここに //a//, //b//, //c//}} は非負整数である。

7.4. 連続等式
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ある種の三角積分は二項係数で表される値を持つ。//m//, //n//}} を非負整数として:

これらはオイラーの公式で三角函数を複素指数函数に変換して、二項定理で展開して項別積分すれば示せる。

8. 母函数
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8.1. 通常母函数
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固定した n}} に対して作られる数列 binom の通常母函数は

で与えられる。固定した k}} に対して作られる数列 binom の通常母函数は

である。一般の非負整数 //n//, //k//}} に対する二項係数の二変数母函数 は

を満たす。二項係数に対する別の形の二変数母函数は、対称函数として

で与えられる。

8.2. 指数型母函数
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二項係数に関する指数型母函数は

となる。

9. 可除性
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1852年、クンマーは非負整数 m, n}} および素数 p}} に対し、binom を整除する最大の p}}-冪が psup であるとき、c}} は m}} と n}} を加えるときに生じる p}}-進表示における繰り上がりの数に等しいことを示したKnuth。同じことだが、binom における素因子 p}} の冪指数は fraction の小数部 が fraction の小数部よりも大きくなるような非負整数 j}} の総数に等しい。これにより、binom が fraction で割り切れることが導かれる。したがって特に、任意の正整数 r}} および //s// < //p//sup なる正整数 s}} に対して p}} は binom を割り切る。しかしより高次の p}}-冪に対してこれは正しくない。

Singmaster は「任意の整数がほとんど全ての二項係数を整除する」という幾分驚くべき結果を与えた。より精確に言えば、整数 d}} を固定して、//f//⁡}} は //n// < //N//}} なる二項係数 binom のうち d}} で割り切れるものの総数を表すものとすると、

が成り立つというものである。//n// < //N//}} なる二項係数 binom の総数は sfrac であるから、これは d}} で整除可能なものの占める密度が 1}} に収束することを意味する。

別の事実として、整数 //n// ≥ 2}} が素数となる必要十分条件は、中間二項係数

の全てが n}} で整除可能なことである。実際、p}} が素数ならば、0 < //k// < //p//}} なる任意の k}} に対して p}} は

を割り切る。これは分子は素因数 p}} を含むが分母は p}} を素因数に持たないことによる。n}} が合成数のとき、p}} を n}} を割り切る最小の素因数とし、//k// =}} sfrac と置けば、0 < //p// < //n//}} かつ

は n}} で割り切れない。仮に割り切れるとすると分子 //k// × … × }} が //n// =}} //k// × //p//}} で割り切れることになり、それは  × … × }} が p}} で割り切れる場合しかありえないが、n}} は p}} で割り切れるのだから、p}} は //n// − 1, //n// − 2, …, //n// − //p// + 1}} を割り切らず、p}} は素数だから従って  × … × }} も割り切らず、それゆえ分子が n}} で割り切られることもない。

10. 上界・下界と漸近公式
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binom に関して以下の評価

が 1 ≤ //k// ≤ //n//}} に対して成立する。スターリングの近似からは sqrt, 一般に

が //m// ≥ 2}} かつ //n// ≥ 1}} に対して成立する。また //n// → ∞}} のとき近似

が成り立つ。//n//, //k//}} がともに 1 より十分大きければスターリング近似からは以下の漸近近似

も従う。ここに //H//⁡ =}} −εlogsub は ε}} の二値エントロピー関数である。より精確に、任意の整数 //n// ≥ //k// ≥ 1}} と ε ≐ sfrac に対して、最初の //k// + 1}} 個の二項係数の和を

と評価することができる。

n}} が大きく、k}} が n}} に対して十分小さいとき と書くことができるので、

を得る。より精度を望むならば、ln⁡…)}} を積分で近似して

となる。//n// =}} 20}} かつ //k// =}} 10}} に対して log⁡binom およびこれら近似式からそれぞれ近似値 12.312}} および 12.133}} を得る。

ガンマ函数の無限積表示に基づく無限積

から漸近公式

が //k// → ∞}} で成り立つ。この漸近挙動は近似

にも表れている。ここに、Hsub は k}}番目の調和数で、γ}} はオイラー&ndash;マスケローニ定数である。さらに、//k// → ∞}} かつ適当な複素数 x}} に対して sfrac なるとき、漸近公式

が成り立つ。

二項係数の和について、二項定理を用いると

という単純で粗い上界が得られる。

11. 近似
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n}} が十分大きいとき、

は二項係数と正規分布との関係に基づく近似を与える。これは、二項分布と等しい期待値と分散 )}} を持つ正規分布をとり、1=//p// = 1 − //p// = sfrac として、2sup を掛ければ、中心極限定理に対する評価から従う。

12. 一般化
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12.1. 多項への一般化
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二項係数を一般化するものとして

で定義される数を多項係数と呼ぶ。二項係数が sup の係数であったのに対し、多項係数は (//x//sub の多項式展開の係数であり、//r// =}} 2}} のとき二項係数を与える:

多項係数は、区別可能な n}} 個の元を r}} 個の箱に分けて入れるとき、箱の番号 //i// }} に対して各箱がちょうど ksub 個の元を含むような分け方の総数として組合せ論的に解釈できる。

多項係数は二項係数の性質とよく似たたくさんの性質を満たす。例えば漸化式

および任意の置換 σ}} に関する対称性

が挙げられる。ただし、}} を並べ替えたものである。

12.2. テイラー級数
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第一種スターリング数を用いれば、二項係数の任意に選んだ点 //z//msub の周りでのテイラー展開は

と与えられる。

12.3. 半整数に対する二項係数
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二項係数の定義は n}} が実数、k}} が整数の場合にも意味を持つ。特に //n// =}} sfrac のとき任意の非負整数 k}} に対して

が成り立つ。これは二項級数展開 sqrt に現れる。

12.4. 二項係数の積
------------

二項係数の積は二項係数の線型結合として

と表すことができる。この展開の結合係数は多項係数で与えられる。ラベル付けられた組合せ論的対象を用いて言えば、この結合係数はそれぞれ重み m}} および n}} のラベル付けられた対象の対で最初の k}} 個のラベルが一致するようなものに //m// + //n// − //k//}} をラベル付ける方法の総数、あるいはそれらを貼り合せて新たに重み //m// + //n// − //k//}} でラベル付けられた対象を付け加える方法の総数である。このように見ると、二項係数の母函数は下降階乗冪に対する通常母函数に対応する指数型母函数である。

12.5. 部分分数分解
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二項係数の逆数の部分分数分解は

および

で与えられる。

12.6. ニュートンの一般二項級数
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アイザック・ニュートンに名を因むニュートンの二項級数は、二項定理の級数版

である。これが成り立つことは両辺が微分方程式 //f'// =}} α//f//}} を満たすことを見ればよい。

この級数の収束半径は 1}} である。

とも書ける。

12.7. 上昇版二項係数
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二項係数は与えられた集合から決められた位数の部分集合を数え上げるものであった。関連する組合せ論的問題として、与えられた集合から元をとって作られる決められた位数の多重集合を数え上げる問題、すなわち与えられた集合から重複を許して決められた数の元を選び出す重複組合せの問題がある。その総数は多重集合係数と呼ばれ、n}} 個の元から k}} 個選ぶ重複組合せの総数は と書かれる。

以下議論の便宜のため n}} を使わずに、その代わり //f// =}} //r// + }} および //r// =}} //f// − }} なる非負整数 //f//, //r//}} を用いる。

多重集合係数は以下に示す関係

により二項係数として書ける。この等式を以下のようにも特徴づけることができる。

が等しいことに注意すれば、二項係数を下降階乗冪を用いて

と書くとき、対応する多重集合係数は下降階乗冪を対応する上昇階乗冪で置き換えた

として与えられる。

12.7.1. 負の二項係数
--------------

任意の n}} に対して

が成り立つ。特に、負の整数における二項係数は符号付多重集合係数である。//n// =}} −1}} なる特別の場合には、これは と簡単になる。

12.8. 両引数が実数または複素数の場合
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ガンマ函数やベータ函数を用いて

と書けば、二項係数の2つの引数を任意の実数または複素数まで一般化することができる。この定義においてガンマ函数の性質を用いれば、

が満たされることも分かる。特に

である。この一般化に関する研究は少ないが、Fowler などにはすでに現れている。通常の二項係数に関する多くの等式がもはや成り立たなくなっていることに注意すべきである。その挙動は極めて複雑で、x}}軸、y}}軸と直線 //y// =}} //x//}} で分けられる八分象限  のどの位置にあるかで著しく異なる。負の x}} に対しては負の整数の位置に特異点を持ち、正と負の領域が市松模様を成す:

0 ≤ //y// ≤ //x//}} なる八分象限では、通常の二項係数を滑らかに補間し、稜線を成す。
0 ≤ //x// ≤ //y//}} なる八分象限または //x// ≥ 0, //y// ≥ 0}} なる四分象限では、函数は零に近い。
//x// ≤ 0, //y// ≥ 0}} なる四分象限では、四点 , , , }} を頂点とする平行四辺形ごとに非常に大きな正の値と負の値を交互に取る。
0 > //x// > //y//}} なる八分象限では、やはり非常に大きな正の値と負の値を交互に取るが、今度は正方形の格子で起こる。
−1 > //y// > //x// + 1}} なる八分象限では、特異点の近くを除けば零に近い。

12.9. q}}-二項係数
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二項係数の q}}-類似はガウスの二項係数と呼ばれる。

12.10. 無限基数の二項係数
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部分集合の数を数える二項係数の組合せ論的定義を、基数 α, β}} に対して濃度 α}} を持つ適当な集合 A}} をとって

の形に表せば、無限基数に対しても一般化できる。基数 α}} を表す集合 A}} の取り方に依らず (subsup が等しいという意味でこの一般化はうまく定義されている。有限基数に対してこれが通常の二項係数の定義に一致するのは明らかであろう。

選択公理を仮定すれば、任意の無限基数 α}} に対して binom が示せる。

13. 関連項目
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中心二項係数
クンマーの定理：二項係数の素冪因子に関する—

14. 脚注
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14.1. 注釈
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14.2. 出典
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15. 参考文献
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16. 外部リンク
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