相空間

力学系理論における相空間は、対象のシステムが取る状態全てから成る抽象的な空間である丹羽Kuznetsov。状態空間ともいう青木・白岩Kuznetsov徳永。

力学系とは、システムの将来の状態が現在の状態から一意に決まる決定論的な過程を、数学的に定式化したものを指すKuznetsov。相空間 X}} とは、力学系の基本構成要素の一つで、対象のシステムが取り得る状態全てを集めてできる集合である國府Kuznetsov。さらに、現在の状態から次の状態を定める決定論的法則 F}} と時間 T}} の2つを加えて、}} の一組で力学系が成立する國府Kuznetsov。相空間というものを導入することによって、空間上の1点を指定する形でシステムの状態を議論できるようになる森・水谷。すなわち相空間とは、システムの状態の振る舞いを解析するときに、そのシステムの状態は空間上でどんな動きをするのかという視点に切り替える概念的道具といえるJackson。

通常、系の状態はいくつかの変数で表される井上・秦。これらの変数は状態変数などと呼ばれる井上・秦徳永。例えば、力学系の例として、長さ一定で空気抵抗やその他外部からの影響を排した単振り子の運動を考える。このシステムの状態は振れ角 θ}} とその角速度 ω}} で一意に決まるので、}} が状態を表す変数である丹羽。そして、θ}} と ω}} の組全体から成る抽象的な空間を考えると、それがこのシステムの相空間である國府Strogatz。相空間を構成する一つひとつの要素は、単に点と呼ばれるJacksonウィギンスStrogatzほかに、相丹羽齋藤、相点小室丹羽、位相丹羽齋藤、位相点井上井上・秦、代表点井上下條、状態徳永などと呼ばれる。

相空間上の点は、時間変化によって相空間内を動く。相空間上を点が動いてできる経路は軌道と呼ばれる井上・秦。時間を連続的なものとして考える力学系では、軌道は相空間上で連続的な曲線を描く井上・秦。一方、時間を離散的なものとして考える力学系では、軌道は相空間上でとびとびの点列となる井上・秦。決定論的に状態が定まるという要請により、相空間における2つの異なる軌道が交わることはない井上・秦。ある力学系の全軌道の概略を相空間上に示した図を、相図という伊藤Strogatz。

力学系の従属変数の個数すなわち相空間の座標の数は、相空間または力学系の次元と呼ばれるStrogatzアリグッド・サウアー・ヨーク 丹羽。特に相空間は、状態変数が実数1つのときには相直線と、状態変数が実数2つのときには相平面と呼ばれることもある今・竹内。ポアンカレ・ベンディクソンの定理に代表されるように、相空間の次元と形状は軌道の形状に制限を与えるアリグッド・サウアー・ヨーク 。一般的に、系が非線形でなおかつ高次元になるほど系の取り扱いが難しくなるStrogatz。状態の空間的に連続的に分布している偏微分方程式で記述されるような力学系では、相空間の次元は無限になるStrogatzKuznetsov。

1. 種類
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一般的なレベルでの力学系では、相空間を位相空間として設定する久保・矢野青木・白岩齋藤。ただし、相空間をまったく純粋な位相空間に設定すると、あまり詳しい結果は得られない齋藤。実際には、位相空間であることに加え、いくつかの前提を相空間に持たせて議論される齋藤。特に相空間がコンパクトであると仮定できれば、位相力学系に関する多くの結果を得ることができ、一般的な枠組みを議論できる齋藤久保・矢野。

力学系の例として多いのは、システムの状態がいくつかの実数の組 }} で表される場合で、空間としてはユークリッド空間 R//n//}} あるいはその部分集合で考えられることが多い丹羽ウィギンスJackson。力学系の軌道は特定の多様体上に制限されていることもあり、より一般的には相空間は多様体となる丹羽Jackson國府。多様体に制限することで、それぞれの多様体が持つトポロジカルな性質を利用することもできる齋藤。上記の単振り子の例でいえば、角速度 ω}} は単に実数だが、振れ角 θ}} の定義域は −//π// < //θ// ≤ //π//}} であり、これは幾何学的には円周と同一視できるStrogatz齋藤國府。したがって、単振り子の系の相空間は、円周 //S//1}} または //T//1}} と直線 R}} の直積集合で、幾何学的には無限に長い円柱面となる丹羽Strogatz齋藤國府。ただし、いくつかの注意を払えば、相空間を R//n//}} あるいはその部分集合と仮定しても多くの場合で一般性は失われない丹羽ウィギンス。

可微分力学系では相空間は微分構造を持ち、ベクトル場で定まる連続力学系がその典型例である久保・矢野。状態変数を //x// =}}  ∈ //X// ⊂ R//n//}}、時間を //t// ∈ //T// ⊂R}} とし、力学系がn}} 連立一階微分方程式

で与えられるとき、相空間上の各点にはベクトル //f//   : //X// → R//n//}} が対応する小室。このとき、//f//   }} は解曲線の接ベクトルに一致し、各点が時間経過したときに動く方向と大きさを表す伊藤森・水谷。

上記のように f}} が時間 t}} を陽に含まない微分方程式系は自律系と呼ばれる下條。自律系の微分方程式系は、現在の状態 x}} のみで次の状態が定まるという力学系の決定論的な考え方と合致するアリグッド・サウアー・ヨーク 。一方で、以下のように t}} を陽に含む微分方程式系は非自律系と呼ばれる小室。

非自律系では x}} を定めても、ベクトル //f//   }} は一つに定まらず、時間によって変化する丹羽。そこで、元の状態変数 x}} に時間 t}} を加えた組 }} を座標とする空間 //X// × //T//}} を考える丹羽伊藤。t}} を形式的に //n// + 1}} 番目の状態変数 //x////n// + 1}} と見なせば、

という風に自律系の //n// + 1}} 連立一階微分方程式に帰着でき、空間 //X// × //T//}} 上の各点には方程式の右辺を成分とするベクトルが一意に定まる丹羽伊藤。元の n}} 次元相空間 X}} と区別し、このような //n// + 1}} 次元空間 //X// × //T//}} は拡大相空間と呼ばれる丹羽伊藤。

測度論的力学系を展開するときは、相空間は可測構造を持つ久保・矢野。この場合、相空間 X}} に対して

//A// ∈ //F//}} ならば
//A//1, //A//2,… ∈ //F//}} ならば を満たすσ-集合体 F}} が存在し、//A// ∈ //F//}} に対して、

//μ// ≥ 0}} かつ
//A//1, //A//2,… ∈ //F//}} が互いに素ならば を満たす確率測度 μ}} が与えられる久保・矢野森・水谷。さらに

//A// ∈ //F//}} ならば
を満たす保測写像 T}} を組にして測度論的力学系が成立する久保・矢野。

記号力学系では、相空間 X}} は記号列の集まりとなるKuznetsov。記号が2種類から成り、記号列が両側無限列であるような場合、記号列 x}} は

x = \{ \cdots,\ a_{-2},\ a_{-1},\ a_{0},\ a_{1},\ a_{2},\ \cdots \}で与えられるKuznetsov。ここで、ai}} は記号 1}} または 2}} のいずれかを取るKuznetsov。この場合の相空間 X}} は全ての記号列 x}} の集合でKuznetsov、しばしば Σ}} とも記すウィギンス國府久保・矢野。さらに、異なる x}} 同士の距離を定義し、x}} に適用すると記号を一斉に左にずらす働きをするシフト写像 σ}} を用意し、記号力学系を構成する國府。

2. 解析力学における相空間
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物理学の解析力学で扱われる相空間は、物体の位置 q}} と運動量 p}} を座標とする空間である深谷。これに対し、位置 q}} だけの空間は配位空間と呼ばれる前野。q}} の自由度が n}} のとき、相空間は 2//n//}} 次元 となる前野。

狭い意味での「相空間」は、このような力学における位置と運動量を座標にした 2//n//}} 次元空間を指す伊藤。力学における「相空間」も、数学における「相空間」も、もとは phase space からの和訳で、数学以外では「位相空間」とも訳される深谷齋藤。しかし、数学では前出の topological space の意味で「位相空間」という用語を使うので、数学の世界または混合のおそれがある場合には phase space の意味では「相空間」という用語を使う深谷齋藤。「相空間 (phase space）