マグニチュード

地震のマグニチュードとは、地震が発するエネルギーの大きさを対数で表した指標値である。揺れの大きさを表す震度とは異なる。日本の地震学者和達清夫の最大震度と震央までの距離を書き込んだ地図に着想を得て、アメリカの地震学者チャールズ・リヒターが考案した。

この最初に考案されたマグニチュードはローカル・マグニチュード  と呼ばれており、リヒターの名からリヒター・スケール  とも呼称される。マグニチュードは地震のエネルギーを1000の平方根を底とした対数で表した数値で、マグニチュードが 1 増えると地震のエネルギーは約31.6倍になり、マグニチュードが 2 増えると地震のエネルギーは1000倍になる。

地震学ではモーメント・マグニチュード  が広く使われている。日本では気象庁マグニチュード  が広く使われるが、長周期の波が観測できるような規模の地震ではモーメント・マグニチュードも解析・公表されている。

一般的にマグニチュードは の形の式で表される。ここで、//A//はある観測点の振幅、//B//は震央距離Δや震源の深さ//h//による補正項である。

1. マグニチュードと地震のエネルギー
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地震が発するエネルギーの大きさを E}}、マグニチュードを M}} とすると、次の関係がある。

この式からマグニチュード M}} が 1 大きくなると左辺の logsub が 1.5 増加するからエネルギーは約32倍大きくなる 。同様にマグニチュードが 2 大きくなるとエネルギーは1000倍になる 。また、マグニチュードで0.2の差はエネルギーでは約2倍の差になる 。

2. マグニチュードの飽和
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一般に使われる他の各種のマグニチュードでは、概ね8を超えると数値が頭打ち傾向になる。これを「マグニチュードの飽和」と呼ぶ。例えばローカル・マグニチュード  は約6.5あたりから飽和しはじめ、約7が最大値となる。

短周期の地震波ほど減衰しやすく、その影響を受ける地震波の周期はおよそ //L/////v//程度以下、すなわち断層の破壊に要した時間程度以下の周期である。従って断層破壊に要する時間が長い巨大地震では地震の発生を瞬時の破壊と見なせなくなり、例えば周期20秒の地震波の振幅に着目する表面波マグニチュードは断層破壊に20秒程度かかる約100 kmより長い断層では、地震の規模が大きくなっても地震波の振幅が頭打ちとなる。

マグニチュードを決めるために用いる地震波の周波数とエネルギーのモデルから地震波によるマグニチュードは高周波、かつ規模の小さな地震ほど飽和が起こりにくいことが示される。このモデルでは実体波マグニチュード  は約5.5から飽和しはじめ6で飽和となり、表面波マグニチュード  では7.25から飽和しはじめ8で飽和となるが、飽和となる数値は観測される地震により異なり、//Mb// ≧ 6 の報告例も多数あるためモデルがあらゆる地震に当てはまるわけではない。

エネルギーが大きく、長周期の地震動が卓越した巨大地震においても飽和がなく、より正確に地震の規模を表す指標として、無限大の長周期地震波に基づくと見做されるモーメント・マグニチュードが考案され、地震学では広く使われている。

3. 一般的なマグニチュードの種類
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地震学では各種のマグニチュードを区別するために「//M//」に続けて区別の記号を付ける。地震学ではモーメント・マグニチュード  を単に「//M//」と表記することが多い。日本では気象庁マグニチュード  を単に「//M//」と表記することが多い。各種のマグニチュードの値の間では差異を持つので注意が必要である。

以下、振幅という場合は片振幅を意味する。

3.1. ローカルマグニチュード //ML//
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リヒター・スケールとも。リヒターは、ウッド・アンダーソン式地震計の最大振幅 //A//を震央からの距離100 kmのところの値に換算したものの常用対数をマグニチュードとした。従って、地震波の振幅が10倍大きくなるごとに、マグニチュードが1ずつあがる。

3.2. 表面波マグニチュード //Ms//
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ベノー・グーテンベルグは、表面波マグニチュードを

で定義した。ここで、Asub は表面波水平成分の最大振幅、Δ は震央距離、//C// は観測点ごとの補正値である。

これとほぼ同じであるが、国際地震学地球内部物理学協会の勧告では、

としている。//A// は表面波水平成分の最大振幅 、//T// は周期である。周期約20秒の地震動に着目して求められている。

より長周期の例えば周期100秒の表面波に基づいてその振幅からマグニチュードを算出すれば、巨大な地震の規模もある程度適切に表される様になる。例えば周期20秒の表面波マグニチュードではほとんど差が見られない1933年三陸地震、1960年チリ地震、1964年アラスカ地震の周期100秒表面波マグニチュード //M//100 は、それぞれ、8.4、8.8、8.9となる。

3.3. 実体波マグニチュード //Mb//
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グーテンベルクおよびリヒターは、実体波マグニチュードを

で定義した。//A// は実体波の最大振幅、//T// はその周期、//B// は震源の深さ //h// と震央距離 Δ の関数である。

経験的に、

が成り立つ。周期約1秒の地震動に着目して求められている。

3.4. モーメントマグニチュード Mw
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1979年、当時カリフォルニア工科大学の地震学の教授であった金森博雄と彼の学生であったトーマス・ハンクスは、従来のマグニチュードは地震を起こす断層運動の地震モーメント  と密接な関係があり、これを使えば大規模な地震でも値が飽和しにくいスケールを定義できるという金森のアイデアをモーメント・マグニチュード  と名付け、以下のように計算される量として発表した。

//S// は震源断層面積、//D// は平均変位量、//μ// は剛性率である。

これまでに観測された地震のモーメント・マグニチュードの最大値は、1960年に発生したチリ地震の9.5である。

断層面の面積と、変位の平均量、断層付近の地殻の剛性から算出する、まさに断層運動の規模そのものである。
他の種類のマグニチュードでは、M8を超える巨大地震で地震の大きさの割りに値が大きくならない「頭打ち」と呼ばれる現象が起こる。モーメント・マグニチュードはこれが起こりにくく、巨大地震の規模を物理的に評価するのに適しているとされ、アメリカ地質調査所  をはじめ国際的に広く使われている。
日本の気象庁では、2011年に発生した東北地方太平洋沖地震に対して、地震の規模をより適切に表せるとして、下記の気象庁マグニチュード  に加え、モーメント・マグニチュードの計算値  を発表した。

3.5. 気象庁マグニチュード Mj
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気象庁マグニチュードは、日本で国としての地震情報として使用されており、2003年の約80年前まで遡って一貫した方法で決定され、モーメント・マグニチュードともよく一致している。略称としてMjma}}、或いはMjが使われる。

気象庁マグニチュードは周期5秒までの強い揺れを観測する強震計で記録された地震波形の最大振幅の値を用いて計算する方式で、地震発生から3分程で計算可能という点から速報性に優れている。一方、マグニチュードが8を超える巨大地震の場合はより長い周期の地震波は大きくなるが、周期5秒程度までの地震波の大きさはほとんど変わらないため、マグニチュードの飽和が起き正確な数値を推定できない欠点がある。東北地方太平洋沖地震では気象庁マグニチュードを発生当日に速報値で7.9、暫定値で8.4と発表したが、発生2日後に地震情報として発表されたモーメント・マグニチュードは9.0であった。

3.5.1. 2003年9月24日以前
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2003年9月24日までは、下記のように、変位マグニチュードと速度マグニチュードを組み合わせる方法により計算していた。

変位計  の場合 変位計  の場合 速度計の場合

3.5.2. 2003年9月25日以降
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変位マグニチュードは、系統的にモーメント・マグニチュードとずれることがわかってきたため、差異が小さくなるよう、2003年9月25日からは計算方法を改訂し、あわせて過去の地震についてもマグニチュードの見直しを行った。

変位によるマグニチュード ここで、//β////d// は震央距離と震源深度の関数であり、//H// が小さい場合には坪井の式に整合する。//Cd// は補正係数。

速度振幅によるマグニチュード ここで、//βv// は //Md// と連続しながら、深さ 700 km、震央距離 2000 km までを定義した距離減衰項である。//Cv// は補正係数。

4. 特殊なマグニチュードの種類
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マグニチュードを厳密に区別すると、その種類は40種類以上に及ぶが、ここでは特徴的なものを記載する。

4.1. 地震動継続時間から求めるマグニチュード
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地震記象上で振動が継続する時間 //Td// はマグニチュードとともに長くなる傾向がある。そこで一般に、

の式が成り立つ。//c//sub, //c//sub, //c//sub は定数、Δ}} は震央距離である。//c//sub は小さいため、第3項を省略することもある。

過去には河角のWiechert式地震計に対しての式

などが提案されている。

地震波記録の回収や解析に多大な労力を要した1970年代頃までは、1つの地震計記録からマグニチュードを概算する方法として、気象台・観測所などで利用された。ただし各定数は地震計の特性に大きく依存するため、短時間で多くの地震波記録を扱うことができる現在ではこの式はほとんど用いられない。

4.2. 有感半径から求めるマグニチュード
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グーテンベルクとリヒターは、南カリフォルニアの地震について、有感半径 //R// を用いて、

の式を得ている。

日本でも市川が日本の浅発地震に対して

を与えている。なお、//R// は飛び離れた有感地点を除く最大有感半径  である。

4.3. 震度4, 5, 6の範囲から求めるマグニチュード
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気象庁の震度で、4以上、5以上、6以上の区域の面積  をそれぞれ //S//sub、//S//sub、//S//sub とするとき、勝又護と徳永規一は

という実験式を、村松郁栄は

、 という実験式を得ている。

河角廣は震央からの距離 100 km における平均震度を Msub と定義し、リヒタースケールとの間に 1=//M// = 4.85 + 0.5 //Msub の関係があるとした。また震央距離と震度、マグニチュードの間には以下の関係があるとした。//

。これらは地震計による記録がなかった歴史地震のマグニチュードを推定する際に有効である。家屋被害に関する文献記録から各地域の震度を求め、それをもとにマグニチュードを推定する。

4.4. 微小地震のマグニチュード
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微小地震については上記の //Ms//、//Mb//、//Mj// などでは正確な規模の評価ができない。そこで、たとえば渡辺は上下方向の最大速度振幅 Asub  と震源距離 r}}  を用いて、

の式を示している。なおこの式は //r// が 200 km 未満のときに限られる。マグニチュードがマイナス値を示す場合にもある程度有効であるため、ごくごく微小な人工地震のマグニチュードを求める際にも利用される。

4.5. 津波マグニチュード //Mt//
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低周波地震では //Ms//、//Mb//、//Mj// を用いると地震の規模が実際よりも小さく評価される。そこで阿部勝征によって、津波を用いたマグニチュード //Mt// が考案された。

ここで //H// は津波の高さ 、Δ は伝播距離  、//D// は //Mt// がモーメントマグニチュード //M//w と近い値を取るように定められた定数である宇津徳治。D は日本において観測されたデータを用いると 5.80 となる宇津徳治。

また、震央より1000 km以上離れた、遠隔地で発生した地震による津波における //Mt// は Δ//C//}} を //Mt// が //M//w と近い値を取るように定められた定数とすれば、

と表される宇津徳治。Δ//C//}} は津波の発生地域及び観測地域によって変化する経験値で、太平洋で発生した津波地震については、−0.6 から +0.5 の値を取る宇津徳治。

津波地震では、津波マグニチュードは表面波マグニチュード・実体波マグニチュードよりも大きくなる。

5. マグニチュードの目安
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簡易な計算式として、マグニチュードが Δ//M// 増えたときのエネルギーは 10sup倍となる。たとえば、マグニチュードが1増えるとエネルギーは約31.62倍、2増えると1000倍となる。

また、マグニチュードが1増えると地震の発生頻度はおよそ10分の1になる。

5.1. マグニチュードの大小と被害
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地域や構造物の強度等にもよるが、一般にM6を超える程度の直下型地震が、地下20キロメートル前後の深さで起こると、ほぼ確実に、人数の差こそあれ死傷者を出す“災害”となる。M7クラスの直下型地震では、条件にもよるが大災害になる。兵庫県南部地震は //Mj//7.3  だった。また、東海地震や南海地震といったプレート型地震はM8前後である。またMが7を大きく超えると、被害を生じさせる津波が発生する場合がある。一般的にマグニチュードが大きくなると、地震断層面も大きくなるため、被害の程度だけでなく被害が生じる範囲も拡大する。

M5未満では被害が生じることは稀で、M2程度の地震では、陸上でも人に感じられないことが多い。M0クラスになると、日本の地震計観測網でも捉えられない場合がある。なお、理論上マグニチュードにはマイナスの値が存在するが、この規模の地震になると精密地震計でも捉えられない場合が多く、また常時微動やノイズとの区別も難しくなってくる。

大きな地震のマグニチュードを求めることは、地震の規模や被害の推定に有用である。一方マグニチュードが小さく被害をもたらさないような地震も、地震や火山・プレートテクトニクスのメカニズムを解明するのに役立つため観測が行われている。

大地震の内、特にM8以上の地震を巨大地震、巨大地震の内、Mw9以上の地震を超巨大地震と区分けすることがある。

5.1.1. マグニチュードの大小の目安
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マグニチュードのエネルギーの規模の比較と代表的な地震。