谷山–志村予想

谷山–志村予想とは、「有理数体上に定義された楕円曲線はすべてモジュラーであろう」という予想である。1955年に日本の数学者の谷山豊によって提起され、1960年代以降に数学者の志村五郎によって定式化された。

この予想はアンドリュー・ワイルズとクリストフ・ブルイユ、ブライアン・コンラッド、フレッド・ダイアモンド、リチャード・テイラーらによって証明されたコンラッドとダイアモンド、テイラーの3人はワイルズの学生である。MathGenealogy。今日ではモジュラー性定理またはモジュラリティ定理と呼ばれDiamond、20世紀数学の快挙の一つとされているZagier。ワイルズは半安定楕円曲線に対する谷山・志村予想を証明することでフェルマーの最終定理を証明したZagier。

モジュラリティ定理は、ロバート・ラングランズによるより一般的な予想の特別な場合でもある。ラングランズ・プログラムは、保型形式、あるいは保型表現を、例えば数体上の任意の楕円曲線のような、より一般的な数論的代数幾何学の対象へ関連付けようとするLanglands。拡張された予想のうち、ほとんどのケースは未だ証明されていないLanglandsが、Freitas が実二次体上定義された楕円曲線がモジュラーであることを証明した。

1. 谷山・志村予想の内容
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谷山・志村予想とは、志村五郎による定式化によれば harvtxt、任意の Q 上の楕円曲線には、ある整数 N}} に対するモジュラー曲線

からの非定数有理写像が存在する、というものであるDiamond ここに挙げた参考文献では「非定数有理写像」ではなく「全射の射」が存在する、と定式化しているが、非特異かつ基礎体上固有な代数曲線についてはどちらでも同じことになる。[1]や[2]、[3]を参照。 }}。この曲線には明示的に定義が与えられ、整数係数を持つdate=2022年10月}}モジュラー方程式という2変数の多項式があり、これで定義される曲線を非特異化したものが math。レベル N}} のモジュラのパラメタ表示と呼ばれるDiamond。N}} がそのようなパラメタ表示の中で最小の整数であれば、このパラメタ表示は、重さ 2 でレベル N}} の特殊なモジュラ形式、すなわち、正規化された整数のq-展開をもつ「整数をフーリエ係数に持つ」の意と思われる。}}新形式の生成する写像として、定義されるharvtxt。

モジュラリティ定理は、次の谷山豊による解析的なステートメントにも言い換えられる谷山は谷山・志村予想を正確な形で述べたことはないSfn。Q}} 上の楕円曲線 E}} の楕円曲線のL-函数を //L//}} とする。このL-函数は、ディリクレ級数であり、

と表すことができる。

係数 の一種の母函数を

で定義する。q}} に

を代入すると、上半平面上の複素変数 τ の函数 が得られる。これは一種のフーリエ級数である。このようにして得られた函数が、重さ 2 でレベル N}} の新形式Diamond、特に正規化されたカスプ形式でありヘッケ作用素の同時固有形式であるDiamond、というのがモジュラリティ定理の別の述べ方である。これから E}} に対するハッセ・ヴェイユ予想が従うDiamond。

逆に、重さ 2 の有理数係数の新形式は、有理数体上定義された楕円曲線の正則微分に対応するCremona。モジュラ曲線のヤコビ多様体は、同種による違いを除くと、重さ 2 のヘッケ固有形式に対応する既約アーベル多様体の積として書くことができるDiamond。1-次元要素は楕円曲線である。有理数体上の楕円曲線の L}} 函数に対応するカスプ形式からこの方法で構成される楕円曲線は、元々の曲線と同種である楕円曲線が同種ならその mvar。

2. モジュラーな楕円曲線
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楕円曲線がモジュラーな楕円曲線であるとはモジュラー曲線から射影代数曲線としての全射があること、と説明するのが最も簡潔である。これは上のL函数の一致という定義と同値である。またヤコビ多様体を使った言い換えも出来る。以下ではそれを説明する。

2.1. モジュラー曲線のヤコビアン
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リーマン面 のヤコビアン(enは がコンパクト化されたモジュラー曲線である場合にはより明示的な表示が出来る。

この場合、 の要素は、 ウェイト 2 のカスプ形式 たと強く結びついている。

与えられたから作られる 1形式 は一意的 。つまり、写像

は同相である。よって、その双対写像

もまた同相であるからはと同一視出来る。よって次のような定義は妥当である；

Diamond。

モジュラー曲線を直接扱わずヤコビアンを扱うことには以下のような理由があることを留意すべきである。1つは、モジュラー曲線にカスプを加えてコンパクト化したリーマン面は一般に種数 であり、 の場合、群構造を持たなくなるのに対して、ヤコビアンの方はその場合でも群構造を持っているので扱いやすい点Diamondと、もう1つはモジュラー曲線をヤコビアンに埋め込むことができるDiamond点である。

2.2. 新形式に付随するアーベル多様体
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新形式に対して、アーベル多様体 を

によって定義するDiamond。ただし、は、

。ここでをヘッケ作用素、をダイアモンド作用素Diamondである。即ちは整数係数のヘッケ環である。 Diamond。

ここでをまたはとするとき、これはヤコビアンに以下のように作用するDiamond。

これは、double coset operatorの定義と、ヘッケ作用素がdouble coset operatorの特殊な場合であることから導かれるDiamond。なお、記号は同値類の意味である。

2.3. モジュラー曲線のヤコビアンの分解
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この時、ヤコビアンは、ヘッケ作用素によって次のように分解されるDiamond。

ここで、に関する和は、新形式に 入れたある同値関係によって分類される同値類の代表元についての和DiamondDiamond、はの約数、はの約数の数であるDiamond。 また、写像は、同種の意味であるDiamond。

は次元アーベル多様体であるから複素トーラスに同相、したがって楕円曲線に同相である。このようにして構成された楕円曲線をモジュラーな楕円曲線と言う黒川ほか。

与えられた、有理数係数を持ったからモジュラーな楕円曲線の方程式を構成するアルゴリズムについては文献を参照せよ。

3. 予想の生い立ちと呼称の変遷
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3.1. 1955年：谷山の問題
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1955年、「代数的整数論に関する国際会議」が9月8日から9月13日までの日程で東京と日光を会場として開催された。外国からはアンドレ・ヴェイユやジャン＝ピエール・セールが招かれ、日本からは志村五郎や谷山豊が参加した。この会議で多くの人から問題が集められ配布された問題。その中で谷山は次の問題を提出した。

問題12を谷山・志村予想の端緒・原型と考える人もいる飯高・吉田黒川ほか。足立は、問題13を「モデュラー曲線でパラメトライズされる楕円曲線を特徴づけよ」という問題だと解釈したうえで、これは問題12と同値であるとし、これらの問題を谷山・志村予想の原型としている足立。

一方、志村は、谷山の問題をこの予想の起源と見ることもできるかもしれないShimuraが、『記憶の切繪図』のなかで「有理数体上の楕円曲線はモジュラー関数で一意化される」という命題を「私の予想」と呼んでおり、谷山が1955年に提案した問題とは無関係だとしている。志村は

ここで「有理数体上の楕円曲線はモジュラー関数で一意化される」という私の予想について説明しておこう。これは一九六四年九月頃に私がふたりの数学者に話したharvtxtもので、その事はよく知られている。この予想はその三十数年後に証明されて、今では定理になっている。　ところで、これに関係ある言明を谷山豊がしているが、その意味と上記の私の言ったこととの関係を完全に理解している人は数学者も含めてほとんどいないのではないかと思われるので、その事を詳しく説明しよう。また私の口からはっきり言ってほしいと思っている人も多いであろう。

私はこの問題に関する限り谷山と議論したことはない。はじめに書いたように私は私流の理論をひとりで構築していたから、彼のこの言明には全く重きをおいていなかった。その上、モジュラー関数以外のヘッケのいう保型形式は役に立たないと始から考えていたから無視していた。実はそれ以外に重要な保型形式があるが、そのことはここで考えない。また私は谷山と共著の本があるが、それは全く無関係である。もうひとつ書くと、一九五五年以後一九六〇年代にかけて、そういう代数曲線のゼータ関数を研究し、それを決定するなどという研究をしたのはおそらく私ひとりであったと思われる。谷山はそういうことはやらなかった。彼はヘッケの論文は読んでいたが、一変数の保型形式・関数の理論を自分のものにしていなかったように思われる。…と述べている志村。

また志村は谷山の問題12の問題点を次のように指摘している。まず、問題12では任意の代数体上の楕円曲線の L}} 関数について言及しているが、有理数体上の楕円曲線に限定しなければ意味がないラング。なぜ谷山が有理数体に限定しなかったかというと、問題13に見られるように谷山はモジュラー形式と虚数乗法論の関係に興味を持っていたので、問題12においても虚数乗法を持つ楕円曲線が考察の対象として含まれるようにしたかったのではないか、と志村は想像しているShimura。また、問題12で谷山が述べている automorphic form はモジュラー形式よりもはるかに一般的な関数を念頭においたものだというラング。志村は、谷山は問題12を述べるにあたって細心の注意を払っていなかったのではないか、と言っているラング。

3.2. 1955年：非公式討論会
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「代数的整数論に関する国際会議」が開催されていた1955年9月12日の夜、昼間に行われた志村、谷山、ヴェイユらの講演により虚数乗法論に予想外の進展があったため、ヴェイユの発案で「虚数乗法に関する非公式討論会」が行われた本会議記録。この討論会は前述の3名を含む30名ばかりが集まって行われた本会議記録。この討論会において、谷山とヴェイユは次の会話をしている。

志村は、この記録を一つの根拠に、ヴェイユは谷山・志村予想の正しさを信じていなかった、という飯高・吉田。

足立は、この記録を根拠に、ヴェイユがこうした問題に十分関心を持っていたことは明らかだ、という足立。

1958年11月17日の月曜日の朝、谷山は若くして自殺するShimura。

3.3. 1964年：プリンストンの志村
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1960年代の前半、モジュラーな楕円曲線は有理数体上定義された楕円曲線のうちのほんの一部に過ぎないと広く思い込まれていたラング。ただ一人の例外は志村であった。

1964年志村 harvtxt、プリンストン高等学術研究所で催されたあるパーティーでのことだったラング。セールが志村のところにやってきて、「あなたのモジュラー曲線についての研究結果はそんなにいいものではない、なぜなら有理数体上定義された任意の楕円曲線に対して適用できるものではないのだから」と言ったという。志村はセールに「そのような曲線はすべてモジュラー曲線のヤコビ多様体の商になると思っている」と返答したという。数日後、ヴェイユが志村のところにやってきて、本当にそんなことを言ったのか、と尋ねた。志村は「ええ。もっともらしいとは思いませんか？」と返答したという。

ヴェイユは1979年に出版されたヴェイユ全集のコメントの中でこのような会話があったことを肯定しているラング。そしてこの予想について考えたあと、後述する1967年の論文を公表した。

一方セールは、このような会話があったことは十分に考えられるが、本当にあったかどうかはわからない、というSerre。もし志村がすべての楕円曲線がモジュラーであることの根拠を少しでも述べていたら印象に残り覚えていただろうが、そうではなかったので記憶に残らなかったのだろう、と言っている。

3.4. 1967年：ヴェイユの論文
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ヴェイユは志村から聞いた予想について考え、論文「関数等式によるディリクレ級数の決定について」を発表したラングエーリッヒ・ヘッケによるほぼ同じタイトルの論文があり、掲載された雑誌も同じく Mathematische Annalen である