ベルヌーイの定理

ベルヌーイの定理またはベルヌーイの法則とは、完全流体のいくつかの特別な場合において、ベルヌーイの式と呼ばれる運動方程式の第一積分が存在することを述べた定理である。

1. 概要
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ベルヌーイの式は流体の速さと圧力と外力のポテンシャルの関係を記述する式で、力学的エネルギー保存則に相当する。この定理により流体の挙動を平易に表すことができる。

ダニエル・ベルヌーイによって1738年に発表された。なお、運動方程式からのベルヌーイの定理の完全な誘導はその後の1752年にレオンハルト・オイラーにより行われた。date=2021年7月また、ベルヌーイの定理は粘性のない流体である完全流体のとき成り立つ。ベルヌーイの定理は、運動エネルギーと圧力の２つの力の和が一定であるので、速度が速くなると圧力が下がり、逆に速度が遅くなれば圧力が上がる。「流体の流れが速い場所では圧力が低い」と言うことがベルヌーイの定理ではない。身近なベルヌーイの定理の使用例として、鳥や飛行機、霧吹き、ビル風の一部、車のキャブレター、スポーツカーについているウイング、野球ボールやゴルフボールが曲がる現象、電車が駅を通過するときに吸い寄せられる現象などがある。

2. 分類
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ベルヌーイの定理は適用する非粘性流体の分類に応じて様々なタイプに分かれるが、大きく二つのタイプに分類できる。

外力が保存力であること、バロトロピック性という条件に加えて、

定常流という条件で成り立つ法則
渦なしの流れという条件で成り立つ法則である。

の法則は流線上でのみベルヌーイの式が成り立つという制限があるが、の法則は全空間で式が成立する。

最も典型的な例である

外力のない非粘性・非圧縮性流体の定常な流れに対してが流線上で成り立つ。ただし、//// は流体の速さ、 は圧力、 は密度を表す。

や 一様重力のもとでの非粘性・非圧縮流体の定常な流れに対してが流線上で成り立つ。ただし、//// は速さ、//// は圧力、 は密度、//// は重力加速度の大きさ、 は鉛直方向の座標を表す。

はのタイプに属する。を「一般化されたベルヌーイの定理」と呼ぶこともある。

3. 基本形
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完全流体の運動方程式からベルヌーイの定理を導出する。

3.1. オイラー方程式
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バロトロピック性 //ρ//=//ρ// と外力が保存力であることを仮定すると、非粘性流体の運動を記述するオイラー方程式

は

と変形できる。ただし、// は速度ベクトル、//// は圧力、//// は密度、//// は外力のポテンシャル // である。

なお、

をベルヌーイ関数と呼ぶ。更に、右辺第2項を圧力関数と呼ぶ。

3.1.1. オイラー方程式の変形の導出
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非粘性流体の運動はオイラー方程式で記述される。

ただし、// は速度、//// は密度、//// は圧力、// は外力である。

バロトロピック性 // と外力が保存力であることを仮定すると、

と書き換えられる。ただし、// は外力のポテンシャルである。

左辺は速度の物質微分、すなわち、加速度であるが、加速度の回転形表示を使うと、

と変形できるので、オイラー方程式は

となる。

これより、以下の二つの定理が導出できる。

3.2.  定常流におけるベルヌーイの定理
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外力が保存力である非粘性バロトロピック流体の定常な流れでは、流線と渦線から作られるベルヌーイ面上でが、成り立つ。

なお、簡単のため、「ベルヌーイ面上」でなく「流線上」とすることが多い。

3.2.1. 定常流におけるベルヌーイの定理の導出
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定常流の場合、オイラー方程式の左辺第1項は消え、両辺に // を内積でかけると左辺第2項も消え、

となる。流線上の道のりを //s// で表すと、速度ベクトルが流線に接していることと方向微分の考え方により、

となるので、

すなわち流線上で　

　 は一定値をとる。

なお、渦度ベクトル // を結んで得られる渦線上でも一定値をとることも同様に示される。すなわち、流線と渦線から作られる面上で

が成り立つ。

3.3.  非定常・渦なし流れにおけるベルヌーイの定理
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// となる流れを渦なしの流れと呼ぶが、このとき、速度ポテンシャルと呼ばれる関数 // が存在して、//と表せる。

渦なしの流れにおいては以下の定理

外力が保存力である非粘性バロトロピック流体の渦なしの流れでは、全空間においてが成り立つ。ただし、// は任意の関数である。

が導ける。
のタイプと違って、全空間で成り立つのが大きな特徴である。
流れのポテンシャルをと変更しても速度場は変わらないので、圧力方程式より // を消去することは可能である。
この定理は水面の波や音波の記述、あるいはクッタ・ジュコーフスキーの定理の導出に使われる。

3.3.1. 渦なし流れにおけるベルヌーイの定理の導出
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渦なしの流れでは // と表せるので、オイラー方程式は

となり、これを積分すると

となる。ただし、// は任意の関数である。

3.4. ベルヌーイの定理の適用条件
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渦なしの流れであればのタイプ「一般化されたベルヌーイの定理」により、異なる流線間でも圧力や速さの比較ができる。非粘性流体においては上流が一様流である流れや静止状態から出発した流れは渦なし流れであるので、例えば、一様流の中の翼の問題では異なる流線でも比較ができる。
上述のように「渦なしの流れ」の性質を使わなくても、一様流中の翼の問題においてベルヌーイの式を全空間で使えることを証明できる。以下簡単のため重力は無視する。

翼の近傍を通る任意の異なる2つの流線 A, B を考える。流線 A, B はともに上流の一様流まで伸びること、さらに、一様流中では速度だけでなく圧力、密度も一定、つまり、ベルヌーイ関数も一定値をとることを考慮すると、流線A上のベルヌーイ関数の値と流線B上のベルヌーイ関数の値とは等しいことが導かれる。これより、全空間でベルヌーイの式が成立することが導かれた。
一般には、のタイプの定理では異なる流線間の比較はできないが、流線曲率の定理を使えば異なる流線間での比較ができる。流線上で成り立つベルヌーイの定理と流線曲率の定理は運動方程式の流線に関する接線成分と主法線成分にそれぞれ対応する。
粘性流体であっても、境界層外部や伴流外部の層流領域のように、非圧縮・渦なし流れであれば粘性項の寄与を無視できるので、その領域ではベルヌーイの定理を適用可能である。

3.5.  静水圧平衡
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一般にベルヌーイの定理に含まれることはないが、静止流体における圧力と保存力の関係も運動方程式の第一積分である。// をオイラー方程式に代入すると

が全空間で成り立つ。これより外力の等ポテンシャル面の上では //, // であることが導かれる。一様重力の等ポテンシャル面である水平面に水面が一致するのはこのためである。

4. 一様重力のもとでの非圧縮非粘性定常流の場合
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非圧縮性バロトロピック流体では密度一定だから // とでき、一様重力のポテンシャルは // となるので、の基本形から以下の定理が導かれる。

一様重力のもとでの非粘性・非圧縮流体の定常な流れでは、流線上でが、成り立つ。

{| class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" width="60%" style="text-align:left"!エネルギー保存則に基づいた導出 |- |

非粘性・非圧縮性・定常流におけるベルヌーイの定理は、体積の保存則、および、仕事とエネルギーの関係から導くことができる。 初期に断面//A//1と//A//2に挟まれた流体に着目する。断面//A//1から流入した流体粒子は時間Δ//t// の間に、//s//1=//v//1Δ//t// だけ移動し、 断面//A//2から流出した流体粒子は//s//2=//v//2Δ//t// だけ移動する。体積の保存。断面 //A//1 から流入した体積と断面 //A//2 から流出した体積はそれぞれ //A//1//s//1 と //A//2//s//2 となり、定常な非圧縮性流体を考えているので、

が成り立つ。

 系の力学的エネルギーの増分は系になされた仕事に等しい。

 接触力は、断面 //A//1 では正の向きに、断面 //A//2 では負の向きに、挟まれた流体に対して仕事をするので、

 重力の位置エネルギー //U// の変化は、高さ //z//1 にある質量 //ρ//Δ//V// の流体が、高さ //z//2 に移動したと考えれば、

 そして、運動エネルギー //K// の変化は、速度 //v//1 である質量 //ρ//Δ//V// の流体が、速度 //v//2 になると考えれば、

 エネルギー保存則

より、

が得られる。

 これは流管内の任意の断面で成り立つものであり、断面積を小さくとると流線上の任意の点で成り立つと考えてよい。

これより、流線上で

が成り立つことが導けた。 |}

4.1. 表現の違い
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水頭による表現

［m］第一項 を速度ヘッドという。第二項 を 圧力ヘッドという。第三項 を位置ヘッドという。これら全てを足しあわせた値を全ヘッドという。

エネルギーによる表現

［J］圧力による表現

［Pa］

4.2. 単純形
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位置エネルギーの変化が無視できる場合、

非粘性・非圧縮流の定常な流れでは、流線上でが、成り立つ。

となる。なお、非圧縮流とは非圧縮性流体のことではなく低マッハ数の流れを指す。左辺第一項を動圧、第二項を静圧、右辺の値を総圧という。

静圧： 流体が実際に外界に及ぼす圧力。 動圧： 動圧は流体要素の運動エネルギーに相当する量であり、次元が圧力に一致するものの、流体要素が速度を保つ限りは周囲の流体要素を押すような効果はない。仮想的には流体要素を静止させられればその瞬間に生じる圧力であるが実際測定はできない。よどみ点圧と静圧の差や、密度と流速から算出される。 総圧： 総圧は動圧と静圧の和。よどみ点以外では総圧を直接測定することはできない。全圧ともよぶが、「全圧」は分圧に対しても使われる。流速が増すと動圧は増すが、上記条件の総圧が一定の系では、そのぶん静圧が減る。なお、「総圧」も「動圧」もベルヌーイ式の保存性を説明するために使われる言葉で圧力としてはそれ以上の意味はない。これらと区別するために付けられた「静圧」も「圧力」以上の意味は無い。

4.2.1. よどみ点圧
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相対的な流れの中の物体表面で流速が0になる点での圧を、よどみ点圧と呼ぶ。よどみ点では動圧が0なので、よどみ点圧は静圧であり総圧でもある。

4.3. 直感的解釈
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ベルヌーイの定理は非粘性流体の支配方程式であるオイラー方程式から直接導出できるが、ベルヌーイの定理の物理的解釈は流体粒子に対する力と加速度の関係で以下のように解釈が可能である。

流体粒子が圧力の高い領域から低い領域へと水平に流れていくとき、流体粒子が後方から受ける圧力は前方から受ける圧力より大きい。よって流体粒子全体には流線に沿って前方へと加速する力が働く。つまり、粒子の速さは移動につれて大きくなる。

よって流線上で、相対的に圧力が低い所では相対的に運動エネルギーが大きく、相対的に圧力が高い所では相対的に運動エネルギーが小さい。これは粒子の位置エネルギーと運動エネルギーの関係に相当する。

5. 圧縮性流体
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ベルヌーイは液体の実験より法則を導き出したので、彼のオリジナルの理論は非圧縮性流体あるいはマッハ数の小さな圧縮性流体にしか適用できない。しかし、バロトロピック性を仮定すれば、一般の圧縮性流体に対しても適用可能である。 特に気体の場合、断熱過程として適用することが多い。以下、タイプのベルヌーイの定理の応用例について解説する。タイプのベルヌーイの定理の応用例については文献を参照。

5.1. 気体の定常流の場合
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気体の運動では、重力が無視でき、また、運動の時間スケールが熱伝導の時間スケールに比べて十分小さく断熱過程と見なせる場合が多い。このときポアソンの法則により