確率変数

確率変数とは、統計学の確率論において、起こりうることがらに割り当てている値を取る変数。各事象は確率をもち、その比重に応じて確率変数はランダム391}}に値をとる。

確率変数は離散型確率変数と連続型確率変数に分けられる。離散型確率変数の場合の確率分布は確率質量関数で表される。連続型確率変数の場合の確率分布は、確率測度が絶対連続ならば確率密度関数で表される。

確率空間 において、標本空間 Ω}} の大きさが連続体濃度の場合、確率変数とは、Ω 上で定義された実数値関数で、 可測であるものといえる。確率変数値をとる Ω}} の部分集合が事象であり従って確率をもつために「 可測」は必要になる。

1. 用語の定義
--------

日本産業規格では、確率変数を と規定している。

確率変数は、

これから行う試行の結果
既に行った試行の結果が未だ不確かである場合の結果に割り当てられている値である。

確率論においては、確率変数は確率分布を記述する上で事実上必要な概念である。

確率変数は離散型確率変数と連続型確率変数に分けられる。離散型確率変数の場合の確率は確率質量関数および離散確率分布を参照。連続型確率変数の場合の確率は確率密度関数を参照。

本項では、確率変数を標本空間に定義された可測関数から得られた数値として考える。確率論での数学的な取り扱いは#測度論的定義を参照のこと。

2. 定義
-----

確率変数 は、標本空間Ω}} の元に数 E}} を対応させる可測関数である。E}} は通常 または である。そうでない場合は確率要素として考察する。

X}} の値として、測定値や観測値だけでなく、指示関数値を採用することが多い。

X}} の像が高々可算個である時、X}} は離散型確率変数と呼ばれ399}}、その分布は確率変数値の確率の全てを表したものとして確率質量関数で記述できる。

像が非可算個である時、X}} は連続型確率変数と呼ばれ、確率分布 Psub が絶対連続ならば確率密度関数が存在し、確率変数が に属する確率が確率密度関数の E}} 上のルベーグ積分で表される。

注意すべき点は、絶対連続のとき連続確率分布であるため、確率変数がある値をとる確率は全て 0 になるということである。確率分布が連続でも絶対連続とは限らない。混合分布がその例である。そのような確率変数は確率密度関数または確率質量関数で記述できない。

あらゆる確率分布は累積分布関数で記述できる。分布関数とは、x}} に確率変数が x}} 以下である確率を対応される関数のことである。

確率変数が可測関数として可積分ならば、期待値が存在する。

2.1. 実例
-------

例えば、任意に抽出した人の身長を確率変数とする場合を考える。数学的には、確率変数は 対象となる人→その身長 という関数を意味する。確率変数は確率分布に対応し、妥当にあり得る範囲の確率を計算できるようになる。

もう一つの確率変数の例は、抽出した人には何人の子供がいるかというものである。これは非負の整数値を取る離散型確率変数である。この場合、確率分布は確率質量関数の積分により表される。また、無限個の仮説を想定することも可能である。例えば、偶数人の子供がいるか、といったものである。何方の場合においても、確率値は確率質量関数の要素の和を無限に取っていくことで求めることができる。子供が0人の可能性 + 子供が2人の可能性 + 子供が4人の可能性 + … という要領である。

このような例では標本空間はしばしば有限に制限される。離散値を無限に計算していくのが数学的に困難だからである。しかしアウトカムの標本空間内で2つの確率変数が同時に測定される場合、すなわちある人について身長と子供の数とを同時に調査する場合などは、両変数に相関関係があるのか否かを知るのは容易である。

2.2. 概念の拡張
----------

統計学における基本として、//確率変数//がとる値は実数であり、従って期待値や分散その他の値を計算することができる。しかし、実数以外の要素を値としてとる確率変数も考えられる。値として取る要素としては、ブール変数、カテゴリカル変数、複素数ベクトル、ベクトル、行列、数列、樹形図、コンパクト集合、図形、多様体、関数等が考えられる。確率要素という用語はこれら全ての概念を指し示す。

もう1つの拡張は確率過程、すなわち時間や空間などで添字付けられた添字付き確率変数である。

このような、より一般化された概念は計算機科学や自然言語処理といった非数的要素を扱う分野で特に有用である。これらの確率要素は実数値の確率変数として取り扱えることが多い。

下記に実例を上げる。

「ランダムな単語」は語彙集合の中で整数を添字としてパラメータ化することができる。あるいは、単語に対応する特定のベクトル要素一つのみが1で他の全ての要素が0であるような指示ベクトルとして、表現し得る。
「ランダムな文章」はランダムな単語のベクトルとしてパラメータ化することができる。
数学において V}} 本の辺を持つ「ランダムなグラフ」は、N}}次正方行列を用いて各辺の重みならびに辺以外での値を0として表すことができる。要素の数値化は、非数的な独立した確率要素を扱う際の必須操作ではない。

3. 実例
-----

コイントスをするという試行において、標本空間は である。表が出る回数を調べたい場合は、ここから確率変数 X}} を次の式で定義する：

コインの表  と裏  が出る確率が等しい時、確率質量関数 は次式の通りである。

2つのサイコロを振るとき、出た目の和の確率分布を調べるには、確率変数を次のように取る。

標本空間 Ω}} は、"2つのサイコロを振って出た目の集合"である。これを と略記する。確率変数 は2つのサイコロの出た目に書かれた数の和を表現する、 から への写像である。これは次の式で定義される：

は1つ目のサイコロ、 は2つ目のサイコロの出た目が表す数を表す。

このとき確率質量関数 は次の式になる：

連続型確率変数の例として、水平方向に回るルーレットを挙げることができる。標本空間としては「ルーレットの向き全体」を考える。この「向き」は連続的な状態を取り得るのでその標本空間の表現には実数を使うことが適切である。そこで真北方向を0とし、確率変数 を「ルーレットが真北の向きに対して取る角度」として定義すると、確率変数の値域は区間 であり、ルーレットの元々の目的から各値を取る確率は等しいと考えられる。このとき区間内のあらゆる実数について、その値を取る確率は であるが、ある範囲内の角度をなす確率は正の値である。例えば、となる確率は である。

確率質量関数の代わりに、 の確率密度を考えると、幅1度の確率密度は である。確率は幅に比例し、確率分布は連続一様分布になる。一般に、連続型確率変数における確率は、存在すれば確率密度関数の範囲における積分値でとらえることができる。

混合タイプの確率変数としては例えば、コインを投げて表が出た時のみルーレットを回すということを考えることができる。コインが裏であれば 、表であれば ルーレットの角度 とすると、この確率変数は確率 で 、その他の数 である確率は上記の例の半分である。

4. 測度論的定義
---------

確率空間 が与えられたとき、確率変数とは、標本 に割り当てた値をとる変数のことである。値にはその名の通り や の他、ベクトル値 を割り当てることもある。「値」として、一般的には可測空間 とする。確率変数とは -可測関数 である。つまり、値 の原像 が の元であることを意味している。

特に が位相空間である時、最も一般的なσ-集合代数 はボレルσ-集合代数 である。これは、の全ての開集合から生成されるσ-代数である。

4.1. 実数確率変数
-----------

ここでは観測値を実数とする。 が確率空間である。下記の場合、実測値空間として、関数を実数確率変数とする。

この定義は上記の特別な場合である。集合 が実数空間内にボレル完全加法族を成し、それが集合の可測性を示す十分条件だからである。 これで を用いて生成する集合の可測性が証明される。

4.2. 確率変数の分布関数
--------------

確率変数 が確率空間 内に定義されたとすると、「 の値が2をとる確率はいくつか？」等と問うことができる。これは事象 の確率と同じであり、しばしば短く や と記述される。

実数確率変数 が示す範囲の確率を全て記録すると、 の確率分布が得られる。確率分布は の定義に使われた特定の確率空間を「忘れる」ので、 の様々な値の確率を記録するのみである。このような確率分布は常に分布関数で捉えることができる。

加えて確率密度関数 を使える場合も多い。測度論的には確率変数 は、 上での の測定から 上での の測定に「押し進める」もの、といえる。根底にある確率空間 は確率変数の存在を保証するツールであり、しばしば変数を構成し、同一確率空間内の2つ以上の変数の同時分布における相関・依存や独立性の基礎となる。実際は、空間 全体に1つの変数を置き、数直線 全体で1つの変数とする。つまり、その変数が確率変数に代わって確率分布する。

4.3. 確率変数値の平均
-------------

確率空間 に割り当てた確率変数 が可積分であるとは、

を満たすことである。これは測度論における可測関数の可積分性と同じである。

このとき確率変数 あるいはその確率分布の平均は

で定義される。

事象 の下での確率変数 の条件付期待値は

で定義される。ここで は指示関数である。

5. モーメント
--------

確率変数の確率分布は、多くの場合少数の特性値で規定される。例えば、確率変数の期待値  は確率分布の"1次モーメント"であり、平均とも呼ばれる。一般に、 は と等しくない。次に、確率変数値が全体として「平均」からどれだけ散らばっているかを表す特性値として分散  および標準偏差  がある。分散 とは、 と平均の差の2乗の期待値 のことである。

数学的には、与えられた確率変数 が所属する母集団に関するとして知られ、確率変数 の分布の性質を示す期待値 の関数のコレクション である。

モーメントは確率変数が実数関数である場合に定義できる。確率変数自身が連続であるならば、変数のモーメント自身は確率変数の恒等関数 と等価である。しかし、非実数の確率変数の場合にも、モーメントをその変数の実数関数として得ることができる。例えば、名義尺度変数 として「赤」、「青」、「緑」がある場合、実数関数 を考えることができる。こうしてアイバーソンの記法を用いることで、 が「緑」の時は1、それ以外は0と記述できるので、期待値および他のモーメントを定義できる。

6. 確率変数の関数
----------

実数のボレル可測関数 を実数値確率変数 に適用すると、新たな確率変数 を定義することができる。 の分布関数は、

である。

関数 に逆関数 が定義可能であり、かつそれが増加関数かまたは減少関数である場合には、 上記の関係は以下のように展開できる。



さらに、同じく の可逆性に加えて微分可能性も仮定すると、両辺を で微分することにより、確率密度関数の関係を下記のように記述できる。 の逆関数が存在しない場合でも、それぞれの が高々可算個の根を持つ場合には、上記の確率密度関数の関係は次のように一般化できる。

ただし この式は が増加関数でなくとも成立する。

確率に対する公理的アプローチとしての測度論において、空間 上の確率変数 およびボレル可測関数 を取る。可測関数を合成したものもまた可測である