有限要素法

有限要素法は数値解析手法の一つ。 解析的に解くことが難しい微分方程式の近似解を数値的に得る方法の一つであり、 Turner-Clough-Martin-Toppによって導入された。 方程式が定義された領域を小領域に分割し、各小領域における方程式を比較的単純で共通な補間関数で近似する。構造力学分野で発達し、他の分野でも広く使われている手法である。その背景となる理論は、関数解析と結びついて、数学的に整然としている。

FEMを用いて現象を研究・分析することを「有限要素解析」と呼ぶことがある。

1. 特徴
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各小領域内を一次関数で補間した場合、全領域では適切なノルムに対して最良近似であることが示される。
線形問題・非線形問題・動的解析など、さまざまな問題に対応できる。これは、近似方程式の作り方や領域形状について、自由度が高いことに起因する。
FEMでは、変動微分法を用いて、誤差関数を最小化することで解を近似する。

2. メッシュ
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領域全体をより単純な部分に細分化することには、以下のような利点がある。複雑な形状を正確に表現できる。異種材料の特性を与えることができる。トータルソリューションの表現が容易。局所的な効果を把握できる。
計算のため小領域に分割することを「メッシュを切る」という言い方をする。メッシュの適切さは解析結果の正確さに大きく影響する。
FEMは工学的な解析を行うための計算ツールとしても広く用いられる。FEMを用いたCAEソフトウエアでは、複雑な幾何形状を微小要素に分割するメッシュを自動生成する機能をもつものがある。ただしそうした場合も形状の特異点の扱いに気をつける必要がある。
自動車や石油パイプラインのような複雑な解析や、境界が移動する固体反応のように領域が変化する場合や、必要な精度が領域全体で変化する場合や、解が滑らかでない場合などにはFEMは特に適している。FEMではメッシュの粗さを調整することで解析の計算コストを抑えることができる。例えば、自動車の正面衝突シミュレーションでは、車の前部など重要な領域はメッシュを細かくし、後部のメッシュを粗くする。また数値気象予報では、比較的穏やかな場所よりも、高度に非線形な現象が発生している場所を正確に予測することが重要になる。

3. アルゴリズム
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解析対象領域内で成り立つ方式に対してある重み関数の積を施し、それを領域内で積分した弱形式を形成する。
解析領域内部を小さな有限範囲の要素に分割する。一般的に、要素はその境界に節点が配置され、要素内部の物理量は各節点に対応する形状関数と節点の値の積の和として表現される。有限要素法では多くの種類の要素が定式化されていて、問題に依って使い分けられるようになっている。要素の種類の違いは、要素の形状、要素内での解の近似に用いる多項式の次数や、隣り合う要素の間の境界での近似解の連続性などによる。
解析領域全体の弱形式は積分で表されるので、それぞれの要素内の積分の総和として表すことができる。つまり、各要素の節点における未知数に対してこの積分を適用することによって、各要素の係数行列を作成する。この係数行列は要素剛性行列と呼ばれる。実際の複雑な問題では要素領域内に対する積分の値を解析的な式計算で求めるのは難しいので、領域の補間関数の次数に応じてガウス・ルジャンドル法などの数値積分を用いて近似することが多い。
各要素における係数行列の総和を取って領域全体の係数行列を作成し、解を求めることができる。多くの場合に有限要素法では、近似解を求めることが連立一次方程式を解くことに帰着される 。得られる全体の係数行列は一般に疎行列となる。使用記憶領域の削減と計算速度向上のため、行列のデータ構造には様々な形式が用いられ、その格納形式に対応して効率よく解くソルバーが存在する。たとえば、直接法で解く場合のスカイライン法などが知られている。

3.1. 形状関数
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形状関数とは、節点における物理量から要素内の物理量を内挿するために用いられる関数である。たとえば四面体一次要素の場合、4つの頂点に節点//i// = 1, ... , 4 がとられ、節点//i// に対する形状関数//Ni// とそれぞれの点における物理量//ui// を用いて、要素内の任意の点 //p// における物理量//up// は形状関数の線形結合として

と表される。

形状関数//Ni// には、

節点//i// の位置において//Ni// = 1
それ以外の節点位置において//Ni// = 0という性質がある。

4. 構造解析分野への応用
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複雑な構造物を小さな要素の集合体として、一次方程式に各節点の変位量の境界条件を代入して解く。

対象の構造に外力が加わって変形する場合などを解析する際に、構造解析には大きく分けて、変位を未知数にとる変位法と応力を未知数にとる応力法があり、有限要素構造解析では変位法が主流である。その理由は、応力法に比べてアルゴリズムが機械的に実行でき、プログラミングに適しているからである。機械設計分野ではCADモデルを用いた解析が浸透している。

5. その他の分野への応用
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構造解析では使用している式に意味づけをしているが、その他の分野では手法として使用することが多い。電子状態計算・電気工学・電磁場解析・流体解析など、微分方程式で記述されるあらゆる場の問題に適用可能であって、近年ではそれらの連成解析も盛んに研究されている。 また、従来は取扱いが難しかったクラックや大変形問題に対して、格子を用いないメッシュフリー法の研究も行われている。

6. 関連項目
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超収束
数値解析
精度保証付き数値計算
第一原理バンド計算
アワーグラスモード

6.1. 手法
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境界要素法
差分法
代用電荷法
粒子法
FDTD法
変分法

6.2. ソフトウェア
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GetFEM++
FreeFem++
:en:FEniCS Project
MATLAB
MFEM

7. 脚注
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7.1. 注釈
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7.2. 出典
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8. 関連文献
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8.1. 和書
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大地羊三：「有限要素法とその応用」、森北出版。
G. ストラング、G.J.フィックス、三好哲彦・藤井宏：「有限要素法の理論」、培風館。
加川幸雄：「電気・電子のための　有限要素法入門」、オーム社。
A.R.Mitchell、R.Wait、森正武：「偏微分方程式の有限要素法」、科学技術出版。
K.J.Bathe、E.L.Wilson、菊地文雄：「有限要素法の数値計算」、科学技術出版社。
J.T. オーデン、山田嘉昭：「非線形連続体の有限要素法1」、培風館。
J.T. オーデン、山田嘉昭：「非線形連続体の有限要素法2」、培風館。
鷲津久一郎、宮本博、山田嘉昭、山本善之、川井忠彦「有限要素法ハンドブック I基礎編」、培風館、ISBN 4-563-03169-0。
加川幸雄：「電気・電子のための　有限要素法の実際」、オーム社、ISBN 4-274-02923-9。
中田高義、高橋則雄：「電気工学の有限要素法」、森北出版。
水木久夫、原平八郎：「有限要素法　理論編」、森北出版、ISBN 4-627-07180-9 。
鷲津久一郎、宮本博、山田嘉昭、山本善之、川井忠彦「有限要素法ハンドブック II応用編」、培風館、ISBN 4-563-03180-1。
加川幸雄：「閉領域問題のための　有限/境界要素法」、サイエンス社。
森正武：「有限要素法とその応用」、岩波書店。
C.C.ツィエンキーヴィッツ、𠮷識雅夫、山田嘉昭：「マトリックス有限要素法」、培風館、ISBN 4-563-03168-2。
スハス V. パタンカー、水谷幸夫・香月正司：「コンピュータによる熱移動と流れの数値解析」、森北出版、ISBN 4－627－91190－4。
川原睦人：「有限要素法流体解析」、日科技連、ISBN 4-8171-6011-X。
鷲津久一郎、池川昌弘：「有限要素法」、岩波書店、ISBN: 4-00-006065-1 。
小柴正則：「光・波動のための有限要素法の基礎」、ISBN 4-627-91350-8。
久田俊明：「非線形有限要素法のためのテンソル解析の基礎」、丸善、ISBN 978-4621045817。
矢川元基、半谷裕彦：「有限要素法の基礎」、朝倉書店、ISBN 4-254-23079-6。
日本塑性加工学会 ：「非線形有限要素法－線形弾性解析から塑性加工解析まで」 、コロナ社、ISBN 978-4339043181。
久田俊明、野口裕久：「非線形有限要素法の基礎と応用」、丸善、ISBN 978-4621041253。
棚橋隆彦：「流れの有限要素法解析 I」、朝倉書店、ISBN 4-254-11406-0。
棚橋隆彦：「流れの有限要素法解析 II」、朝倉書店、ISBN 4-254-11407-9。
三好俊郎、白鳥正樹、坂田信二：「有限要素法解析」、朝倉書店、ISBN 4-254-11405-2。
矢川元基、塩谷隆二：「超並列有限要素解析」、朝倉書店、ISBN 4-254-23662-X。
久田俊明：「非線形有限要素法のためのテンソル解析の基礎」、丸善、ISBN 978-4621045817。
矢川元基、青山裕司： 「有限要素法固有値解析」、森北出版、ISBN 4-627-91761-9。
日本計算工学会、手塚明、土田英二：「アダプティブ有限要素法」、丸善。
矢川元基、吉村忍：「計算固体力学」、岩波書店、ISBN 4-00-006942-X。
福森栄次：「よくわかる有限要素法」、オーム社、ISBN 4-274-06628-2。
林正：「ハイアラーキ有限要素法―大型要素による高精度解析法」、技報堂出版、ISBN 978-4765517119 (2006年12月）