行列式

[[画像:Determinant parallelepiped.svg|200px|thumb|この平行六面体の体積はベクトル //r//sub の成す 3}} 次正方行列の行列式の絶対値に一致する。]]数学における行列式とは、正方行列に対して定義される量で、歴史的には行列が表す一次方程式の可解性を判定する指標として導入された。幾何的には線型空間またはより一般の有限生成自由加群上の自己準同型に対して定義され、線型変換に対して線形空間の拡大率ということができる。行列の可逆性を判定する指標として線型代数学における最も重要な指標の一つと見なされている。

1. 概要
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X}} を実2次正方行列

とするとき、これは

という平面上の線型変換を定めている。一方で、2つの平面ベクトル 1=//u// = (//u//sub に対して、これらが張る平行四辺形の「向きも込めた」面積は

により指定されると考えることができる。このとき 1=//A// = //A//}} が成り立っているが、これは X}} の定める線型変換によって平面内の図形の面積が }}-倍される、と解釈できる。

したがって、実2次正方行列 X}} に対して1=det //X// coloneqq}} //ad// − //bc//}} を対応させると、1=det = }} であることや、det //X// > 0}} であるとき X}} の定める変換は図形の向きを保ち、反対に det //X// < 0}} であるとき図形の向きは反転させられることが分かる。det}} の乗法性から X}} が可逆ならば det //X//}} は逆数を持つ数であることが従うが、反対に X}} が退化した行列になる場合にはすべての図形の変換後の面積が 0}} になることから 1=det //X// = 0}} となることがいえる。こうして、正方行列 X}} が正則であることと X}} の行列式が可逆であることは同値であることが分かる。

同様にして一般の次数のN次正方行列 X}} に対し、X}} の定める線型変換が超立体の超体積を何倍にしているかという符号付き拡大率を X}} の行列式として定義することができる。これは行列の成分を変数とする多項式の形でかけ、二次の場合と同様にこれは正則性など正方行列の重要な性質に対する指標を与えている。一次方程式系が与えられるとき、方程式の係数行列に対してその行列式の値を調べることにより、方程式系の根の状態をある程度知ることができる。特にクラメルの公式により、根が一組である線型方程式系の根の公式が行列式を用いて表示される。

2. 定義
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2.1. 抽象的な定義
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K}} を可換環とし、E}} を階数 n}} の A}} 上の自由加群とする。E}} の n}}-次外冪 ⋀exp は A}} 上階数1の自由加群である。E}} 上の K}}-線型写像 φ}} について、⋀exp 上に引き起こされる K}}-準同型

は一意的に定まるある mvar に関する定数倍写像と一致する。この a}} は φ}} の行列式 det   //φ//}} と呼ばれる。

2.2. 明示的な定義
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n}} 次正方行列 A}} の i}} 行 j}} 列成分を asub で表すと、A}} の行列式は、次の式で定義される：

ここで、

Aut(mvar は n}} 次対称群sgn}} は置換の符号を表す。

n}} 次正方行列の行列式は n}} 次の斉次多項式で、項を mvar 個持つ。

正方行列 A}} の行列式は、abs あるいは det}} と表記される。行列の成分を明示する場合は

を単に

と書く。

2.3. 二つの定義の同値性
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Ksup の標準基底を (//e//sub とする。正方行列 X}} を表す列ベクトルを //v//sub とすると、1=//vsub である。//

であるが、ここで

である。ただし、vsub の第 i}} 成分を subsup と表した）（クラメルの公式)。

なお、余因子行列としてここでの余因子行列の転置行列、すなわち }}余因子を }}成分に持つ行列 を採用する流儀もあるので、単に「余因子行列」といったときにはどちらの流儀であるか注意が必要である。

3. 行列式の性質
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行列式の基本的な性質として以下が成り立つ。

転置の性質ある行列の転置行列の行列式の値はもとの行列式の値と変わらない。行列式の行または列の入れ替えの性質行列式の2つの行を入れ替えると、行列式の値は符号だけ変わる。定数倍の性質行列式の1つの行の各要素に一定の数cをかけた行列式の値は、もとの行列式の値のc倍になる。同じ行があるときの性質行列式の2つの行が行列式の一致する行列式なら、その行列式の値は0になる。行列式の和の性質行列式の1つの行の各要素が2つの数の和であるならば、その行を一方の数のみで置き換えた行列と、他方のみで置き換えた行列式との和になる。行列式の計算則行列式の1つの行の各要素に一定の数cをかけて他の行に加えても、行列式の値は変わらない。行列の積の行列式n次の正方行列A,Bに関して|AB|=|A||B|が成り立つ。

3.1. 固有値との関係
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行列 A}} の固有値を //λsub と置くと、//

となる。このことは、A}} を三角化すると、対角成分に固有値が並ぶこと、すなわち

の両辺の det}} を取ることで得られる。

3.2. 特異値との関係
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正方行列 A}} の特異値を //σsub と置くと、//

となる。このことは、特異値分解を用いて示される。

 　正方行列 An に関して行列式と固有値および特異値の間には次の関係が成り立つ。

3.3. 跡との関係
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正方行列の跡  とは、対角成分の総和である。それは固有値の総和に一致する。そのため、固有値の積である行列式とは指数関数  を介してつながっている。 行列に対する指数関数は

と書けるが、A}} の固有値 λsub とそれに属する固有ベクトル xsub に対して、

となることより、exp}} は固有値 exp(//λsub とその固有ベクトル xsub を持つことが分かる。よって、関係式//

が成り立つ。

3.4. 微分
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行列式は多項式であり、微分が可能である。余因子展開の式から、A}} の行列式 det の微分として次の関係が成り立つ。

4. 関連項目
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線型代数学
ケイリー・ハミルトンの定理
ヤコビアン
シルベスター行列、終結式
固有多項式
ファンデルモンド行列#ファンデルモンドの行列式
コーシー・ビネの公式
パフィアン
パーマネント

5. 脚注
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6. 参考文献
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Vein, R., & Dale, P. . Determinants and their applications in mathematical physics . Springer Science & Business Media.
数式処理のコンピューター計算の完全機械化『日経産業新聞』1982年7月20日
和算の大家、関孝和没後300年庶民も愛した数学再興目指し記念の催し『東京朝刊』2007年11月11日
三宅敏恒『線形代数学-初歩からジョルダン標準形へ』培風館、2008年
中神祥臣、柳井晴夫：「矩形行列の行列式」、丸善出版、ISBN 978-4-621-06508-2。※　正方ではない行列に対して行列式を一般化する理論のひとつについての解説。

7. 外部リンク
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[4]