アルキメデス

アルキメデス」と叫びながら、裸のままで通りをかけだした。確認作業の結果、王冠に銀が混ざっていることが確かめられ、不正がばれた金細工師は、死刑にされた。

この黄金の冠の話は、伝わっているアルキメデスの著作には見られず、アルキメデスが没してから約200年後、ウィトルウィウスが著した文献『デ・アーキテクチュラ』に記述されているエピソードである。さらに、比重が大きい金の体積をこの方法で調べようとしても、水位変動が小さいため測定誤差を無視できないという疑問も提示されている。実際には、アルキメデスは自身が論述『浮体の原理』で主張した、今日アルキメデスの原理と呼ばれる流体静力学上の原理を用いて解決したのではと考えられる。この原理は、物質を流体に浸した際、それは押し退ける流体の重量と等しい浮力を得ることを主張する。この事実を利用し、天秤の一端に吊るした冠と釣り合う質量の金をもう一端に吊し、冠と金を水中に浸ける。もし冠に混ぜ物があって比重が低いと体積は大きくなり、押し退ける水の量が多くなるため冠は金よりも浮力が大きくなるので、空中で釣り合いのとれていた天秤は冠側を上に傾くことになる。ガリレオ・ガリレイもアルキメデスはこの浮力を用いる方法を考え付いていたと推測している。

1.1. アルキメディアン・スクリュー
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工学分野におけるアルキメデスの業績には、彼の生誕地であるシラクサに関連する。ギリシア人著述家のアテナイオスが残した記録によると、ヒエロン2世はアルキメデスに観光、運輸、そして海戦用の巨大な船「シュラコシア号」 の設計を依頼したという。シュラコシア号は古代ギリシア・ローマ時代を通じて建造された最大の船で、アテナイオスによれば搭乗員数600、船内に庭園やギュムナシオン、さらには女神アプロディーテーの神殿まで備えていた。この規模の船になると浸水も無視できなくなるため、アルキメデスはアルキメディアン・スクリューと名づけられた装置を考案し、溜まった水を掻き出す工夫を施した。これは、円筒の内部にらせん状の板を設けた構造で、これを回転させると低い位置にある水を汲み上げ、上に持ち上げることができる。アルキメディアン・スクリューは、ねじ構造を初めて機械に使用した例として知られている。。ウィトルウィウスは、この機構はバビロンの空中庭園を灌漑するためにも使われたと伝える。現代では、このスクリューは液体だけでなく石炭の粒など固体を搬送する手段にも応用されている。

1.2. アルキメデスの鉤爪
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アルキメデスの鉤爪とは、シラクサ防衛のために設計された兵器の一種である。「シップ・シェイカー」 とも呼ばれるこの装置は、クレーン状の腕部の先に吊るされた金属製の鉤爪を持つ構造で、この鉤爪を近づいた敵船に引っ掛けて腕部を持ち上げることで船を傾けて転覆させるものである。2005年、ドキュメント番組『Superweapons of the Ancient World』でこれが製作され、実際に役に立つか検証してみたところ、クレーンは見事に機能した。

1.3. 「アルキメデスの熱光線」は嘘か真実か
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2世紀の著述家ルキアノスは、紀元前214年-紀元前212年のシラクサ包囲の際にアルキメデスが敵船に火災を起こして撃退したという説話を記している。数世紀後、トラレスのアンテミオスはアルキメデスの兵器とは太陽熱取りレンズだったと叙述した。これは太陽光線をレンズで集め、焦点を敵艦に合わせて火災を起こしていたもので「アルキメデスの熱光線」と呼ばれたという。

このようなアルキメデスの兵器についての言及は、その事実関係がルネサンス以降に議論された。ルネ・デカルトは否定的立場を取ったが、当時の科学者たちはアルキメデスの時代に実現可能な手法で検証を試みた。その結果、念入りに磨かれた青銅や銅の盾を鏡の代用とすると太陽光線を標的の船に集めることができた。これは、太陽炉と同様に放物面反射器の原理を利用したものと考えられた。1973年にギリシアの科学者イオアニス・サッカスがアテネ郊外のスカラガマス海軍基地で実験を行った。縦5フィート横3フィートの銅で皮膜された鏡70枚を用意し、約160フィート先のローマ軍艦に見立てたベニヤ板製の実物大模型に太陽光を集めたところ、数秒で船は炎上した。ただし、模型にはタールが塗られていたため、実際よりも燃えやすかった可能性は否定できない。

2005年10月、マサチューセッツ工科大学  の学生グループは一辺1フィートの四角い鏡127枚を用意し、木製の模型船に100フィート先から太陽光を集中させる実験を行った。やがて斑点状の発火が見られたが、空が曇り出したために10分間の照射を続けたが船は燃えなかった。しかし、この結果から気象条件が揃えばこの手段は兵器として成り立つと結論づけられた。MITは同様な実験をテレビ番組『怪しい伝説』と協同しサンフランシスコで木製の漁船を標的に行われ、少々の黒こげとわずかな炎を発生させた。しかし、シラクサは東岸で海に面しているため、効果的に太陽光を反射させる時間は朝方に限られてしまう点、同じ火災を起こす目的ならば実験を行った程度の距離では火矢やカタパルトで射出する太矢の方が効果的という点も指摘された。

1.4. その他
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てこについて記述した古い例は、アリストテレスの流れを汲む逍遙学派やアルキタスに見られるが、アルキメデスは『平面の釣合について』において、てこの原理を説明している。4世紀のエジプトの数学者パップスは、アルキメデスの言葉「私に支点を与えよ。そうすれば地球を動かしてみせよう。」を引用して伝えた。プルタルコスは、船員が非常に重い荷物を運べるようにするためにアルキメデスがブロックと滑車機構をどのように設計したかを述べた。また、アルキメデスは第一次ポエニ戦争の際にカタパルトの出力や精度を高める工夫や、オドメーターも発明した。オドメーターは歯車機構を持つ荷車で、決まった距離を走る毎に球を箱に落として知らせる構造を持っていた。

マルクス・トゥッリウス・キケロは対話篇『国家論』にて紀元前129年にあった逸話を採録している。紀元前212年にシラクサを占領した将軍マルクス・クラウディウス・マルケッルスは、2台の機器をローマに持ち帰った。これは、太陽と月そして5惑星の運行を模倣する天文学用機器であり、キケロはタレスやエウドクソスが設計した同様の機器にも触れている。問答では、マルケッルスは独自のルートを経由しシラクサから持ち帰って1台を手元に留め、もう1台はローマの美徳の神殿 に寄贈した。キケロは、マルケッルスの機器についてガイウス・スルピキウス・ガッルスがルキウス・フリウス・ピルスに説明する下りを残している。

これはまさにプラネタリウムか太陽系儀の説明である。アレクサンドリアのパップスは、現代では失われたアルキメデスの原稿『On Sphere-Making』でこれら機器の設計について触れていると述べた。近年、アンティキティラ島の機械やギリシア・ローマの古典時代に同じ目的で製作された機械類の研究が行われている。これらは、以前はオーパーツ視されていたが、1902年に発見されたアンティキティラ島の機械を通じて、古代ギリシア時代には機構の重要部分に当たる差動装置の技術は充分に実用可能な域に達していたと確認された。

1. 数学
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アルキメデスはまた数学の分野にも大きな貢献を残した。級数を放物線の面積、円周率の計算に用いた他、代数螺旋の定義、回転面の体積の求め方や、大数の記数法も考案している。彼が物理学にもたらした革新は流体静力学の基礎となり、静力学の考察はてこの本質を説明した。

アルキメデスは、現代で言う積分法と同じ手法で無限小を利用していた。背理法を用いる彼の証明では、解が存在するある範囲を限定することで任意の精度で解を得ることができた。これは取り尽くし法の名で知られ、円周率πの近似値を求める際に用いられた。アルキメデスは、ひとつの円に対し外接する正多角形と、円に内接する正多角形を想定した。この2つの正多角形は辺の数を増やせば増やす程、円そのものに近似してゆく。アルキメデスは正96角形を用いて円周率を試算し、ふたつの正多角形からこれは31と310の間にあるという結果を得た。また彼は、円の面積は半径でつくる正方形に円周率を乗じた値に等しいことを証明した。『球と円柱について』では、任意の2つの実数について、一方の実数を何度か足し合わせると、必ずもうひとつの実数を上回ることを示し、これは実数におけるアルキメデスの性質と呼ばれる。『円周の測定』にてアルキメデスは3の平方根を265と1351の間と導いた。実際の3の平方根は約1.7320508であり、これは非常に正確な見積もりだったが、アルキメデスはこの結果を導く方法を記していない。ジョン・ウォリスは、アルキメデスは結論だけを示し、後世に対して方法をそこから引き出させようとしたのではと考察している。

球の体積は無限小・積分を用いることで公式を発見した。また球の表面積は無限小・積分・カヴァリエリの原理を用いることで公式を同じ高さの円柱の側面の表面積と等しいことを示した。

『放物線の求積法』でアルキメデスは、放物線が直線で切られた部分の面積が、放物線と直線の交点 と直線と平行な接線が接触する3点を頂点とする三角形の面積の4倍になることを証明した。これは、無限級数と公比を用いる。最初の三角形の面積を1とし、この三角形の2辺を割線とし、放物線の隙間に同様な手段で2つの新しい三角形を想定すると、この面積の和は1/4となる。これを無数に繰り返して放物線の切片を取り尽くすと、面積は、となる。

『砂の計算』では、アルキメデスは宇宙空間を砂ですべて充填するとした時、果たして何粒が必要かという試算に挑んだ。ジェーロ王を始めそのような数は無限と言える膨大なものとしか捉えられない中、アルキメデスはミリアド という古代ギリシアで10,000を表す単位を元に大数単位を設定し、最終的に宇宙を埋める砂の数は 1063を超えないと結論づけた。

また、ゼロの対極にある無限集合の概念に、到達していたらしいという新しい資料が発見されている。

2. 発明家としての評価
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彼は革新的な機械設計にも秀で、攻城兵器や彼の名を冠したアルキメディアン・スクリューなどでも知られる。また、数々の武器を考案したことでも知られ、シラクサの戦いにおいて、てこを利用した投石機を用いて敵の海軍を打ち破った。

ギリシア的学問は純粋に論理を展開することに美しさを見出して重視し、実利的・営利的な技術などの知識はむしろ軽蔑された。プルタルコスは『対比列伝』にて、「彼は純粋なる思索にすべての愛情と大望を注ぎ、俗な実用的応用を論及したことは皆無だと言い切れる」原文：He placed his whole affection and ambition in those purer speculations where there can be no reference to the vulgar needs of life.}}と記したと書いた。

この2つの側面を併せ持つアルキメデスは、数学に限らずこの時代の学者としては異例な存在だった。しかし、この矛盾する2つの側面をアルキメデスは共存させながら、ピタゴラス的な数の概念とは大きく異なる「天文学的数字」を『砂の計算』で想定したり、現代の積分法に繋がる方法で面積を求めつつエウドクソスの方法で証明しなおしたりと、自己内に相克を見せた。だが、このような論理と技術の鬩ぎ合いは特に近代ヨーロッパ以降で表面化した数学の現象であり、それが数学を進歩させた原動力となった。アルキメデスが生きた時代にはこのような矛盾を孕んだ発展は望むべくも無く、彼以後のギリシア数学は形骸化した権威に沈んだ。

3. その他
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月の北緯25.3°西経4.6°には、アルキメデスの名を冠したクレーター「アルキメデス 」があり、小惑星「アルキメデス 」も彼の名に由来する。フィールズ・メダルはアルキメデスの横顔を意匠とし、その周囲にはラテン語で彼の言葉「Transire suum pectus mundoque potiri}}」が刻銘に使われている。そして裏面には、彼がその関係を発見した球と円柱が描かれている。アルキメデスの肖像は切手にも用いられ、スペイン、ニカラグア、ドイツ民主共和国、サンマリノ、ギリシア、イタリアと多くの国で使われた。

4. 著作
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アルキメデスの数学に関する記述は古代においてほとんど知られていなかった。アルキメデスの著述は古代シラクサで使われたギリシア語のドーリス方言であった。ただし彼の著作はエウクレイデスのもの同様に原典は伝わっておらず、7つの論文は他者の参照などから判明しているに止まる。アルキメデスは存命中アレクサンドリアの数学者たちと交流を持っていた事も手伝い、この地ではアルキメデスの論説を引用した例があり、パップスは多面体の考察を通じてアルキメデスの失われた著作『On Sphere-Making』や他の思索に触れ、アレクサンドリアのテオンは屈折に関する言及の中でやはり失われた『Catoptrica』を参考にしているアルキメデスの失われた著作については、他にZeuxippusに宛て『砂の計算』で用いた数の単位を説明した『Principles』、『On Balances and Levers』『On the Calendar』がある。仮リンク。

東ローマ帝国の建築家ミレトスのイシドロスはアルキメデスの著作を蒐集し、6世紀にアスカロンのエウトキオスが注釈を加えて世に知らしめた。その後、アルキメデスの仕事はサービト・イブン・クッラがアラビア語へ、クレモナのジェラルドがラテン語へ翻訳した。ルネサンス期には1544年にヨハン・ヘルヴァーゲンが、ギリシア語とラテン語でアルキメデスの仕事を含む「最初の校訂版 」をバーゼルで発刊した。多くの科学者にインスピレーションを提供する役目を持ち、1586年頃ガリレオ・ガリレイは、アルキメデスの仕事にヒントを得て空気と水で金属の重量を計測する天秤を開発した。

4.1. 残存している研究
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『平面の釣合について』本書では、第1巻で7つの公理に基づく15の提議、第2巻で10の提議が示されている。この研究でアルキメデスはてこの原理であるトルクについて説明し、「大きさは、質量と相互的に比例した距離に均衡する」と述べた。また、三角形、平行四辺形、放物線など多くの幾何学図形の面積と重心を求める法則を用いた。 『円周の測定』または『円の計測』 本書では、サモスのコノンの元で学ぶペルーシオンのドシセオス との通信という形式を取り、3つの短い提議が示されている。2つ目の提議では、円周率は223と22の間にあることを示し、特に後ろの分数は中世そして現代に至るまで円周率の近似値として用いられている。 『螺旋について』 本書における28の提議もまたドシセオスに宛てたものであり、アルキメデスのらせんについての定義を示す。これは、一定の角速度で回転しながら定速度で遠ざかる点の軌跡について述べられ、これは極座標系 において 実数 //a// と //b//を用いる以下の等式で説明される。これは、ギリシア数学において動く点の軌跡がつくる曲線に対する考察の初期の例に当たる。 『球と円柱について』これもドシセオス宛ての形式を取り、アルキメデスは彼自身が最も誇る帰結である球とそれに外接する同じ半径 //r//の円筒の間にある関係を述べている。両者の体積はそれぞれ、球が4π//r//3、円筒が2π//r//3となり、表面積はそれぞれ球が4π//r//2、円筒が上下の平面を含み6π//r//2となる。この結果から、球の体積と表面積は常に円筒の2になる。 『円錐と球体について』または『円錐状体と球状体について』 本書にはドシセオスに向けた32の提議があり、この中でアルキメデスは円錐、球、放物線を切り取った際の、断面の面積や体積を計算する方法を示している。 『浮体の原理』 第1巻では、アルキメデスは流体が重心のまわりに集まって球状で均衡する様を説明した。これは、地球が丸いというエラトステネス
など当時のギリシア天文学者らの説明を理論化する目的があった可能性がある。ただし彼はあらゆる物質が球体を成す落下点を想定しており、物質自らの重力によって集まるような状況は想定していない。第2巻では、彼は放物線の切片が均衡する状態を計算しており、そのうちいくつかは氷山のように下部は水中にありながら上部が水上に出ているものを扱っており、これは船体を想定したものとみなされる。そして、浮力についてのアルキメデスの原理が考察され、以下のように述べられている。

『放物線の求積』 本書もドシセオスへ24の提議を行う通信形式で、アルキメデスは放物線を直線で区切った部分の面積が、直線と平行な線を接線とする点と2つの交点でつくる三角形の面積の4倍になることを証明した。これは比1のを用いて求められた。 『ストマッキオン』または『アルキメデスの小筥』これはタングラムに近い切断パズルであり、後にアルキメデス・パリンプセストとして詳しく説明された。本書にてアルキメデスは、正方形に組み立てられる14個のピースの形状を示した。これを研究していたスタンフォード大学博士のリヴィエル・ネッツは2003年に、アルキメデスはこの14個のピースを用いて正方形を組み立てる際に、果たして何通りの組み合わせがあるかを問題にしていたと発表し、それは17,152通りあると見込んだ。ただし、回転や反射など対称となるものを除くとそれは536通りとなる。このパズルは、組合せ数学の初歩的な例に当たる。このパズルの名称「ストマッキオン」ははっきり判っていないが、古代ギリシア語で喉もしくは食道を意味するστόμαχος}}が語源と推測される。アウソニウスはこれを、骨と戦闘の合成語「Ostomachion」だと言った。「ストマッキオン」は別名にて「Loculus of Archimedes or Archimedes' Box」とも呼ばれる。 『牛の問題』 この原稿は1773年にドイツのヴォルフェンビュッテルにあるヘルツォーク・アウグスト図書館で、ゴットホルト・エフライム・レッシングが発見した、エラトステネスとアレクサンドリアの数学者に宛てた44行の詩の形式で纏められている。アルキメデスは太陽神ヘーリオスが持つ牛の群れが果たして何頭なのか、ディオファントス方程式の整数解を求める問題として提示した。この設問は1880年にA. Amthorが初めて解き、その数は7.760271206544}}という非常に大きなものとなった。 『砂の計算』または『砂の計算者』 この本はアルキメデスが天文学について述べた、確認されている唯一の資料である
。この著作でアルキメデスは宇宙空間を埋め尽くすのに、何個の砂粒が必要かという計算に挑んでいる。当時のギリシャ人は、宇宙は地球を中心にした有限の球であると考えていたので、「宇宙の大きさ」は太陽や月までの距離の計算と同じく、仮想ではない現実的な設問であった。当時のギリシャ数字ではミリアドより大きい数字表記がなく、1億までしか数えられなかったので、アルキメデスは自分で大きな数を表記する方法を考案し、必要な砂粒の個数は1051 を超えないと計算した。本著の序文でアルキメデスは天文学者である父「フィディアス 」について触れている。 『方法』または『方法論』 本書は、1906年に発見されたアルキメデス・パリンプセストによって存在が知られ、アルキメデスが得た数学的帰結に至る、知られていなかった洞察の過程についての情報を得ることができた。ここでは無限小を用いて、どのように面を無数の小片に分けて面積や量を求めるかという方法を示した。ただし、彼自身はこの方法が厳密さに欠けた箇所があると考えた模様で、結論を得るために取り尽くし法を考案したと思われる。本書は『牛の問題』同様、アレクサンドリアのエラトステネスに宛てたものとして書かれている。

4.2. アルキメデス・パリンプセスト
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最も近年発見されたアルキメデスの著作は『アルキメデス・パリンプセスト』である。1906年、デンマーク人の教授ヨハン・ルーズヴィー・ハイベアがコンスタンティノープルで1229年に完成した174ページの山羊皮紙の祈りの書を調査した際、それがパリンプセストであることを発見した。調査の結果、山羊皮紙にかつて書かれていた文章は、それまで知られていなかったアルキメデスの提議を10世紀に写したものと判明した。数百年コンスタンティノープルの修道院図書館に所蔵されていたこのパリンプセストは1920年代に民間へ売りに出され、1998年10月29日にはニューヨークのクリスティーズで競売に掛けられ、匿名の落札者が200万ドルで入手した。その後、落札者は写本の情報をデータ化するため素粒子物理学者など多様な解読の協力者を集め解読プロジェクトを始めた。彼らは画像を撮るため、本の背の糊を取り除き解体し、礼拝時にろうそくを使用したため付着したろうも取り除き、断片を元の場所にあてがった。そしてさまざまに波長を変えた光を紙にあて画像を合成し、金箔でおおわれている部分については蛍光X線分析を行いインクに含まれる鉄成分の分布を調べた。

このパリンプセストは、唯一のオリジナルであるギリシア語で書かれた『浮体の原理』を含む7つの論文が写されていた。ここには、既に失われてしまったスーダ辞典を参照した『方法』についての唯一の情報があり、『ストマッキオン』も以前には発見されていなかった切断パズルがより完成度が高い解説つきで見つかった。他の4つは『平面の釣合について』『螺旋について』『円周の測定』『球と円柱について』である。合わせてヒュペレイデスの演説やアリストテレスの文章の注釈書も発見された。このパリンプセストは現在メリーランド州ボルチモアのウォルターズ美術館に保管され、隠された文字の全貌を明かそうと、紫外線やX線照射など先端技術を用いた研究が行われている。

4.3. 未確認の著作
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円の性質について15の提議が書かれたアルキメデスの『補助定理集』 は、アラビア語で書かれた写しが知られている。古典学者のトーマス・ヒース とマーシャル・クラーゲットは、現在確認できるこれらの書がアルキメデスの著作をそのまま伝えているとは考えにくいと主張し、他の人物が引用しながら変更されたものだと述べた。そして、この元になった考察はアルキメデスの初期の著述であり、これは失われていると述べた。

また、三角形の面積を求めるヘロンの公式もアルキメデスの発案に源泉があるとも唱えられたカール・ベンジャミン・ボイヤーの『数学の歴史』では「一般にヘロンの公式と呼ばれる三辺の長さから三角形の面積を求める公式は、ヘロンよりも数世紀前の人物であるアルキメデスの仕事だとアラブの学者は伝える。彼らはまた、broken-chord定理もアルキメデスの作だと考える。アラブ人は、いくつもの定理をアルキメデスが証明したと報告している」と述べられている。}}。しかし、この公式について信頼に足る証拠は1世紀にアレクサンドリアのヘロンが提唱したものしか無い。

5. 日本語訳
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『アルキメデス方法』 佐藤徹訳・解説、東海大学出版会〈東海大学古典叢書〉、1990年。ISBN 4486011023
「球と円柱について 第1巻」 佐藤徹訳・訳注 『科学の名著9』 朝日出版社、1981年。ISBN 425581029X
「アルキメデスの科学」 三田博雄訳 『世界の名著9』 中央公論社、1972年。

6. アルキメデスを描いた作品
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『ヘウレーカ』岩明均
『哲学者サッカー』 - ギリシア哲学者チームと、ドイツ近代哲学者チームが、サッカーの試合をするというコメディ。哲学者たちは思索にふけって全く試合にならないのだが、突然アルキメデスが「Eureka」と叫んで走り出し、ソクラテスとともに得点をあげるという筋立て。

7. 参考文献
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author=ill Complete works of Archimedes in English.

8. 脚注
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8.1. 注釈
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8.2. 出典
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9. 読書案内
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ウィリアム・ノエル、リヴィエル・ネッツ『解読! アルキメデス写本』光文社、2008年。ISBN 4334962033
斎藤憲『よみがえる天才アルキメデス―無限との闘い』岩波書店〈岩波科学ライブラリー〉、2006年。ISBN 4000074571
林栄治・齋藤憲『天秤の魔術師 アルキメデスの数学』共立出版、2009年、ISBN 978-4-320-01910-2
伊達文治『アルキメデスの数学―静力学的な考え方による求積法』森北出版、1993年。ISBN 4627015402
last=[[Eduard Jan Dijksterhuis Republished translation of the 1938 study of Archimedes and his works by an historian of science.

10. 関連項目
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アルキメデスの牛の問題
アルキメデスの性質
アルキメデス数
半正多面体
アルキメデスの無限小
アルキタス
ディオクレス 
開平法
塩入れ  - 円と半円でつくられる図形。サリノンとも。
アルシメード - フランス海軍のバチスカーフ。アルキメデスのフランス語読みに基づく命名で、日本語では「アルキメデス号」と呼ばれることもある。

11. 外部リンク
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古代ギリシア語のテキスト：[1]
英訳：[2]、T.L.ヒース訳；補足：[3]、L.G. ロビンソン訳
[4] //MacTutor History of Mathematics archive.//
[5]
[6]—//In Our Time//, broadcast in 2007 
[7]
[8]
[9] at MathPages
[10] at MathPages
[11]
[12]