フーコーの振り子

フーコーの振り子は、地球の自転現象を示す演示実験である。自転運動する物体上で、長い弦をもつ周期の長い振り子を長時間振動させると、次第に振動面が変化することが観察できる。1851年、フランスのレオン・フーコーが考案し、パリのパンテオンで公開実験を行った。

1. 概要
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振り子を長時間振動させつづけると、その振動面が少しずつ回転する日常の物理事典。例えば、北極点の真上に振り子を置いて振動させると、振り子は一定方向に振動を続けるが、振動面は24時間で地球の自転方向とは逆向きに360度回転する日常の物理事典。これは振り子の振動面が支点を通る鉛直軸まわりの回転から影響を受けないために起こる佐藤、フーコー振子の誤解。振り子の錘は外力を受けなければ、いつまでも直線運動を続ける日常の物理事典。これは慣性の法則から明らかである日常の物理事典。一方、振り子の錘は支点に向かって力を受けているが、これは振動面の面内に働く力であり振動面を変える効果はない日常の物理事典。

振動面の変化は、振り子上面からみて北半球の場合は右回り、南半球では左回りとなるThe Pendulum: A Case Study in Physics。赤道上においては振動面の回転は発生しないThe Pendulum: A Case Study in Physics。緯度において、フーコーの振り子の振動面の回転は1日あたり、1時間あたりとなる日常の物理事典。この関係から逆算して、建物の中で振り子を振動させて、振動面の回転速度を観測すると、振り子のある地点の緯度と北半球か南半球かがわかる日常の物理事典。

一般にフーコーの振り子の振動面の回転を理解することは難しいフーコーの振り子の回転角を工作で求める。特に中緯度における振動面の回転現象の説明は困難であるフーコーの振り子の回転角を工作で求める。例えば古生物学者で作家のスティーヴン・ジェイ・グールドはニューヨーク・タイムズへのインタビューに「フーコーの振り子について、私はそれがどのような理屈なのか理解できていないし、ほとんどの訪問者も同じだと思う」と述べているGeometry and the Foucault pendulum。

ターンテーブルの上で揺れる振り子をテーブル上の観測者の視点からは、振り子の振動面がテーブルと同じ角速度で回転して観測できることは、比較的容易に理解できるフーコーの振り子の回転角を工作で求める。しかし、前述のようにフーコーの振り子の振動面の回転は緯度への依存性があり、理解が難しいフーコーの振り子の回転角を工作で求める。例えば、東京を通る北緯35度で、減衰しない理想的な振り子を振動させたとき、振動面は1時間あたり8.6度、1日で206.5度回転する。つまり振り子の振動面は前日とは異なる位置になるが、夜空の星座の位置は24時間経過すると、ほぼ同じ位置に戻っている日常の物理事典。この違いもフーコーの振り子を直感的に理解することを困難にさせる要因である日常の物理事典。

原理上、地球上で振動している振り子は、すべてフーコーの振り子といえるThe Pendulum: A Case Study in Physics。しかし、振り子によって地球の自転を観察するためには、振り子を長時間振動させる必要があり、また錘の楕円運動など阻害要因を可能な限り除去する必要があるSeven Tales of the Pendulum。振り子の振動において楕円運動が生じると、地球が自転していなくても振動面が徐々に回転する国井・千田、力学〈1〉。このため、基本的に長い弦と質量の大きい錘が求められるSeven Tales of the Pendulum村内・浅沼、国立科学博物館のフーコー振り子の構造と改良。

他方、フーコーの振り子の装置は通常大型となり、また振り子による地球の自転の観測は時間がかかる。このため、チャールズ・ホイートストンが1851年に発表した装置をはじめとしてThe Pendulum: A Case Study in Physics、模型を使って簡易的に原理を説明する試みも多数発表されている。以下にターンテーブルを使った模型によるフーコーの振り子のデモンストレーションを撮影した動画を示す。

2. 理論
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2.1. 単振り子の等時性
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弦の下端に錘を、上端を固定して吊るし、同一鉛直平面内で振動させたものを単振り子という。単振り子の弦の長さを、重力加速度をとすると、振り子の周期は、振幅が小さければ次式で表現できる。

これは単振り子の周期は、錘の質量の大小に関わらず弦の長さのみで周期がきまることを示している物理学序論としての力学。また振れ幅の大小も、単振り子の周期とは無関係であり、これを「単振り子の等時性」という物理学序論としての力学。17世紀初めにガリレオ・ガリレイによって確立された物理学序論としての力学。

振り子の振動面の変化で地球の自転を目視するためには、振り子が長時間動作し、振動面の回転角度の変化が確認できる程度の振れ角が必要である。この条件を有利に働かせるために、弦の長さを長くする必要がある。

2.2. フーコーの正弦則
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「フーコーの正弦則」とは振り子の置かれた緯度と振動面の変化の関係式のことである。フーコーが1851年に「Démonstration physique du mouvement de rotation de la Terre au moyen du pendule」と題して発表しDémonstration physique du mouvement de rotation de la Terre au moyen du pendule、直後にジョゼフ・リウヴィルが証明方法を発表しているフーコーの振り子―科学を勝利に導いた世紀の大実験。

地球の北半球上の緯度に支点のある振り子が南北に振動していると考える。地球の半径を、地球の自転による角速度を、振り子の振幅をとする。

地球の中心点を原点とした座標系において、支点の直下での錘は自転により以下の速度で移動するフーコーの振り子―科学を勝利に導いた世紀の大実験。

次に、振り子の錘が最も北にきたときの自転から受ける速度は以下の式になるフーコーの振り子―科学を勝利に導いた世紀の大実験。

また、振り子の錘が最も南にきたときの点での自転から受ける速度は以下の式になるフーコーの振り子―科学を勝利に導いた世紀の大実験。

つまり、振り子の錘は北側より南側に振れた点の方が速く移動していることになるフーコーの振り子―科学を勝利に導いた世紀の大実験。振り子の支点直下からみて、両点が地球の自転から受ける速度は以下になるフーコーの振り子―科学を勝利に導いた世紀の大実験。

振り子の振動面が地球の自転の影響をうけて一周するとき、移動は円となりその円周は、一周に要する時間をとすると、上式をつかって以下のように表現できるフーコーの振り子―科学を勝利に導いた世紀の大実験。

地球の自転は約24時間であり、となるので、振り子の振動面が一周するのに必要な時間は以下のようになるフーコーの振り子―科学を勝利に導いた世紀の大実験。

式を「フーコーの正弦則」と呼ぶフーコーの振り子―科学を勝利に導いた世紀の大実験。また緯度での1時間あたりの振動面の回転角度は以下のようになる

ただし、厳密には恒星に対して地球の自転は23時間56分4秒 = 23.934時間である佐藤、フーコー振子の誤解。従って、「フーコーの正弦則」についても、厳密にはこの値を用いる佐藤、フーコー振子の誤解。

2.3. 円錐を使った説明
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フーコーの正弦則で示したように、フーコーの振り子の振動面の回転は緯度依存性があるフーコーの振り子の回転角を工作で求める。このため、極点上および赤道上以外の場所における振動面の回転については、もう一歩踏み込んだ解説が必要となるフーコーの振り子の回転角を工作で求める。この解説の一つとして「フーコーの正弦則」の説明に円錐を使った方法も用いられることがある玉木、中緯度のフーコー振り子の振動面はなぜ24時間で1回転しないかフーコーの振り子の回転角を工作で求めるフーコー振子の簡単な説明法。

地球上の実験地点の緯度と同一緯度の線に沿って接しフーコー振子の簡単な説明法、地球の自転軸と共通の軸を持つ円錐を考える玉木、中緯度のフーコー振り子の振動面はなぜ24時間で1回転しないか。円錐を展開すると側面は扇形となり、扇形の中心角は扇形の弧の長さと扇形の半径の比に等しい玉木、中緯度のフーコー振り子の振動面はなぜ24時間で1回転しないか。扇形の弧の長さは円錐底面の円周と等しい。また円錐の軸と円錐の母線のなす角は緯度に等しく、さらに円錐底面の円の半径と扇形の半径の比はと等しい。従って、扇形の中心角との関係は以下の式となる玉木、中緯度のフーコー振り子の振動面はなぜ24時間で1回転しないか。

ここで緯度でのフーコー振り子の振動面を円錐を使って考える。振り子の振動面は、円錐の底面と側面の境界線を移動しながら、境界線と直交し常に頂点方向に振幅していると考えることができる。従って、地球が一回転したときの、緯度での振り子の振動面の回転量は、円錐側面の扇形の中心角と等しくなる玉木、中緯度のフーコー振り子の振動面はなぜ24時間で1回転しないか。これより振り子の振動面が一周するのに必要な時間は、以下のようになる。

つまり、振り子の観察者は円錐の上に立って地球の自転による移動をしていることと同等であるフーコー振子の簡単な説明法。円錐の扇形の部分を平面展開した場合、振り子の振動面はすべて同じ方向となるThe Paradox of Foucault Pendulum。すなわちこれは、赤道における振り子の振動面の変化であるフーコー振子の簡単な説明法。

円錐によるフーコーの振り子の理解のためには、実際に円錐を作って試してみると理解が進むフーコー振子の簡単な説明法。厚紙を使って円錐をつくっても良いが、透明なプラスチックシートと地球儀を使うことも有効であるフーコー振子の簡単な説明法。

前述のようにターンテーブルによってフーコーの振り子を模擬する方法があるが、さらに改良して中緯度でのフーコーの振り子を模擬する方法も提案されている地球の自転に伴う地表の回転と緯度との関係を観察する教具）（NASA)}}。アレはこの現象を一般相対性理論では説明できないと主張したがFrench Nobel Laureate turns back clock