圏 (数学)

説明=数学用英数字記号}}

数学の一分野である圏論において中核的な概念を成す圏は、数学的構造を取り扱うための枠組みであり、数学的対象をあらわす対象とそれらの間の関係を表す射の集まりによって与えられる。圏はそれ自体、群に類似した代数的構造として理解することができる。二つの圏が等しいとは、それらの対象の集まりが等しく、かつそれら対象の間の射の集まりが等しく、さらにそれら射の対の結合の仕方が相等となることを言う。圏論の目的に照らせば、圏がまったく相等しいことは非常に強すぎる条件であり、圏同値がしばしば考慮される。

圏論が初めて現れるのは "General Theory of Natural Equivalences"と題された論文 last1=Eilenberg である。古典的だが今もなお広く用いられる教科書として、マクレーンの『圏論の基礎』がある。

1. 定義
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圏の定義にはいくつか同値なものが存在するBarrが、よく用いられるものの一つを以下に示す。圏 C}} は以下のものからなる:

対象の類
対象の間の射の類
各射 //f// ∈ hom}} には始域と呼ばれる対象 //a// ∈ ob}} および終域と呼ばれる対象 //b// ∈ ob}} が付随して、"f}} は a}} から b}} への射である" と言い、//f//: //a// → //b//}} と書き表す。
a}} から b}} への射の類  hom}} は a}} から b}} への射全体の成す類を言う。このとき、任意の三対象 //a//, //b//, //c// ∈ ob}} に対し、射の合成と呼ばれる二項演算 hom × hom → hom;  mapsto}} //g// ∘ //f//}} が存在して以下の公理を満足する:

結合律: //f//: //a// → //b//}}, //g//: //b// → //c//}}, //h//: //c// → //d//}} ならば 1=//h// ∘  =  ∘ //f//}} が成り立つ。
単位律: 各対象 //x// ∈ ob}} に対して x}} の恒等射と呼ばれる自己射 1=idsub が存在して、任意の射 //f//: //a// → //x//}} および //g//: //x// → //b//}} に対して 1=1//x// ∘ //f// = //f// and //g// ∘ 1//x// = //g//}} を満たす。これらの公理から、各対象に対して恒等射はただ一つ存在することが示せる。文献によっては各対象を対応する恒等射と同一視して、対象の存在を陽に仮定しない定義を採用するものもある。

記法についての注意
一般の圏を表すのに、しばしばラテン大文字の太字 C, D, …}} や、ラテン大文字のカリグラフ体 unicode などが用いられる。特定の圏は、その対象を表す単語を用いて同様の仕方であらわす。例えば集合の圏 Set, //unicode や体の圏 Field, //ℱunicode, 位相空間の圏 Top, //unicode, 束の圏 Bdl, //ℬunicode のような具合である。
圏 C}} の射の類 hom}} は mor}} や arr}} などとも書く。同様に対象 //a//, //b// ∈ ob}} に対する射の類も mor}} や arr}} などとも書かれる。どの圏で射を考えているか紛らわしいときには、homsub や morsub のように圏を明示することもできる。より簡便な記法では、圏 C}} の対象の類を abs で表し、射の類を記号の濫用だが C}} で表す。
射の合成を //g// ∘ //f//}} で表すのは写像とその合成の慣習に合わせたものだが、文献によっては「図式順」で //f//;//g//}} や fg}} と書くものもあるこの目的でz記法の太いセミコロン math。 圏の大きさ 圏 C}} が小さい  とは、対象の類 ob}} および射の類 hom}} がともに集合となるときに言い、さもなくば大きい  と言う。射の類が集合とならずとも、任意の二対象 //a//, //b// ∈ ob}} をとるごとに、射の類 hom}} が集合となるならば、その圏は局所的に小さい  と言うAwodey。集合の圏など数学における重要な圏の多くは、小さくないとしても、少なくとも局所的に小さい。文献によっては、局所的に小さい圏のみを扱い、それを単に圏と呼ぶ場合もあるWeibelBorceux。

2. 例
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以下は圏の例である。Borceux参照。

Etale//K// - 体 //K// 上のエタール代数を対象とし、//K//-代数としての準同型を射とする。
コボルディズムは圏と見なせる。

3. 諸定義
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以下では特に断らない限り //C// を圏、//X// や //Y// をその対象、その間の射を //ƒ// : //X// → //Y// とする。Weibel参照。

圏の構成法
双対圏 //C//op - obj = obj, Hom//C//op = Hom//C// である圏 //C//op
部分圏 //D// - obj ⊂ obj であって、任意の対象 //X//, //Y// ∈ //D// に対して Hom//D// ⊂ Hom//C// となる圏 //D//
充満部分圏 //D// - 圏 //C// の部分圏であって、任意の対象 //X//, //Y// ∈ //D// に対して Hom//D// = Hom//C// となる圏 //D// 対象の種類
始対象 //I// - 任意の対象 //Y// に対して #Hom//C// = 1 である対象 //I//
終対象 //T// - 任意の対象 //X// に対して #Hom//C// = 1 である対象 //T//
零対象 0 - 始対象かつ終対象である対象0 射の種類
単射 //ƒ// : //X// → //Y// - 任意の対象 //Z// と射 //g//, //h// : //Z// → //X// に対して //g// ≠ //h// ⇒ //ƒg// ≠ //ƒh// である射 //ƒ//
全射 //ƒ// : //X// → //Y// - 任意の対象 //Z// と射 //g//, //h// : //Y// → //Z// に対して //g// ≠ //h// ⇒ //gƒ// ≠ //hƒ// である射 //ƒ//
全単射 //ƒ// : //X// → //Y// - 単射かつ全射である射 //ƒ//
同型射 //ƒ// : //X// → //Y// - //gƒ// = id//X// かつ //ƒg// = id//Y// となる射 //g// : //Y// → //X// がある射 //ƒ//
逆射 //ƒ//−1 : //Y// → //X// - 同型射の定義における射 //g// 以下では圏 //C// は零対象0をもつとする。
零射 0 : //X// → //Y// - 射 //X// → 0 と //0// → //Y// の合成
核 //i// : //W// → //X// - より正確には、射 //f// : //X// → //Y// の核とは //ƒi// = 0 であって、//ƒu// = 0 を満たす任意の射 //u// : //U// → //X// に対して //u// = //i v// となる射 //v// : //U// → //W// が一意に存在する射 //i//
余核 //p// : //Y// → //Z// - より正確には、射 //f// : //X// → //Y// の余核とは //pƒ// = 0 であって、//uƒ// = 0 を満たす任意の射 //u// : //Y// → //U// に対して //u// = //v p// となる射 //v// : //Z// → //U// が一意に存在する射 //p//

4. 関手
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2 つの圏 //C//, //D// があったとき、

//C// の対象 //X// に対し //D// の対象 //F// を与える
射 //f// : //X// → //Y// に対し射 //F// : //F// → //F// を与えるという対応 //F// で射の合成や恒等射を保つものは関手 //F// とよばれる。一方、似たような対応で射の定義域と余定義域とを入れ替え、合成の順番を反対にする対応は //C// から //D// への反変関手  とよばれる。//C// から //D// への反変関手を考えるということは //C// の双対圏 //C//op から //D// への共変関手を考えるということと同じになる。

5. 自然変換
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自然変換  は 2 つの関手間の関係である。関手はしばしば「自然な構成」を記述し、そして自然変換はそのような 2 つの構成の間の「自然な準同型」を記述する。時に 2 つの全く違う構成が「同様の」結果をもたらすことがある。これは、2 つの関手間の自然同型  にて表現される。 2 つの関手 //F//, //G// に対し、//F// から //G// への自然変換が存在して η//x// が //C// に含まれる全ての対象 //x// に対して同型射となるとき、この自然変換は自然同型  であるという。

6. 圏の種類
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前加法圏 / 加法圏 / アーベル圏
完備圏
モノイド閉圏 / デカルト閉圏
トポス

7. 高次圏
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圏が与えられているとき、そこからより複雑な高次圏を考えることができる。簡潔には、2 つの対象の間の射を「一方の対象からもう一方への対応関係」とみなすならば、これを高次圏において「高次の対応関係」を考慮することで、より有益な一般化が可能となる。

例えば、「二次元の圏」である双圏