コリオリの力

コリオリの力またはコリオリ力とは、慣性系に対して回転する座標系内を運動する物体に作用する慣性力または見かけの力である。時計回りに回転する座標系では、この力は物体の進行方向の左側に働き、反時計回りでは力は右に働く。コリオリの力による物体の偏向はコリオリ効果と呼ばれる。コリオリの力を数学的に表現したのは、1835年にフランスの科学者ガスパール＝ギュスターヴ・コリオリが水車の理論に関連して発表した論文が初出である。20世紀初頭、コリオリ力という言葉は気象学に関連して使われ始めた。

ニュートンの運動法則は、慣性系内の物体の運動を記述している。ニュートンの法則を回転系に変換すると、コリオリ加速度と遠心加速度が現れる。質量を持つ物体に適用すれば、それぞれの力は質量に比例する。コリオリ力の大きさは回転速度に比例し、遠心力の大きさは回転速度の2乗に比例する。コリオリ力は、慣性系に対する回転系の角速度と、回転系に対する物体の速度という2つの量に垂直な方向に作用し、その大きさは回転系における物体の速度に比例する。遠心力は半径方向の外側に働き、回転フレームの軸からの物体の距離に比例する。これらの付加的な力は、慣性力、見かけの力と呼ばれる。回転系にこれらの見かけの力を導入することで、ニュートンの運動法則をあたかも慣性系であるかのように回転系に適用することができる。

コリオリ力という用語の日常的な使われ方において、回転系は大抵地球を意味している。地球は自転しているため、地球にいる観測者は、物体の運動を正しく分析するためにはコリオリ力を考慮する必要がある。コリオリ力の影響が顕著になるのは、大気中の空気や海洋中の水の大規模な運動など、距離や時間のスケールが大きい運動や、長距離砲やミサイルの軌道のように精度が重要な場合に限られる。このような運動はおよそ地球の表面にに制約されるため、一般にコリオリ力の水平成分のみが重要となる。この力は、地表を移動する物体を、北半球では進行方向に対して右に、南半球では左に偏向させる。この水平偏向の影響は極点付近でより大きくなる。というのも、局所的な鉛直軸を中心とした有効的な回転速度は極点付近で最も大きくなり、赤道付近ではゼロまで減少するからである。風や海流は、非回転系のように単純に高気圧から低気圧へと直接流れるのではなく、赤道より北ではこの方向より右に、赤道より南ではこの方向より左に流れる傾向がある。この効果によって回転が起こり、台風が形成される。

1. 歴史
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イタリアの科学者ジョヴァンニ・バッティスタ・リッチョーリと彼の助手フランチェスコ・マリア・グリマルディは、1651年の『アルマゲストゥム・ノヴム』の中で、大砲に関連してこの効果を説明し、地球の自転が北に向かって発射された大砲の弾丸を東に偏らせるはずだと書いている。 1674年、クロード・フランソワ・ミリエ・デシャレスは、『キュルス・ゼウ・ムンドゥス・マテマティカス』の中で、地球の自転が、落下する物体や一方の極に向かって発射される弾丸の軌道の偏向を引き起こすはずだと説明している。リッチョーリ、グリマルディ、デチャレスはいずれも、コペルニクスの天動説に対する反論の一環として、この効果を説明した。言い換えれば、彼らは地球の自転がその効果を生み出すはずであり、その効果を検出できないことが地球が不動であることの証左となるだろうと主張した。 コリオリ加速度方程式は1749年にレオンハルト・オイラーによって導かれ、 その効果は1778年にピエール＝シモン・ラプラスの潮汐方程式に記述された。

コリオリは、1835年に水車のような回転部分を持つ機械のエネルギー収量に関する論文を発表した。 その論文でコリオリは、回転する系で検出される補助力について考察した。コリオリはこれらの補助力を2つのカテゴリーに分け、その2つ目のカテゴリーには座標系の角速度と系の回転軸に垂直な平面への粒子の速度の射影の外積から生じる力が含まれていた。 コリオリは、第1カテゴリーですでに考慮されていた遠心力との類似性から、この力を「複合遠心力」と呼んだ。 この効果は、20世紀初頭には「コリオリの加速度」として知られ、 1920年までには「コリオリ力」と呼ばれるようになった。

1856年、ウィリアム・フェレルは、コリオリの力による偏西風を含む中緯度の大気循環の存在を提唱した。

地球の自転が気流にどのような影響を与えるかという運動学的な理解は当初部分的なものであったが、 19世紀後半には、気団を等圧線に沿って移動させる原因となる、圧力勾配とコリオリ力の大規模な相互作用の全容が理解された。

2. 現象
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コリオリの力を実感するには、フィギュアスケーターのように回転しながら、重りを持った手を「前にならえ」の要領で前に突き出したり胸元にしまったりを繰り返すと分かりやすい。左回りに回転している場合、腕を前方に突き出す時には重りが右方向に引っ張られるように感じ、腕を胸元にしまうときには左方向に吸い込まれるように感じる。この、重りの進行方向からみて右にずれる方向に働いている見かけ上の力が、コリオリの力である。

コリオリの力を工学的に利用した装置として、角速度を測るジャイロや流量計などがある。

2.1. 地球の自転によるコリオリの力
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地球は東向きに自転している。そのため、低緯度の地点から高緯度の地点に向かって運動している物体には東向き、逆に高緯度の地点から低緯度の地点に向かって運動している物体には西向きの力が働く。北半球では右向き、南半球では左向きの力が働くとも言える。例としては、以下のものがある。

地衡風 上空で気圧の差があれば気圧の高いほうから低いほうに向かって空気塊を動かそうとする力が働く。この力を気圧傾度力という。等圧線が平行かつ気圧傾度力が一定ならば空気塊は等圧線に対して直角に気圧の高いほうから低いほうへ加速される。北半球ではその進行方向右向きコリオリの力が働く。コリオリの力は速度に比例して大きくなるため空気塊は右に曲がりながら速度を上げ最終的には気圧傾度力とコリオリの力は正反対の向きにつりあう。すると空気塊は加速されない向きも変えない安定した風になる。この風を地衡風という。 台風 台風が北半球で反時計回りの渦を巻くのは、風が低気圧中心に向かって進む際にコリオリの力を受け、進行方向に対し中心から右にずれた地点に到達するためである。 極軌道の人工衛星 北極点上空から日本上空へ向かおうとする人工衛星は直進するが、地球は自転しているため、地上にいる観測者には、衛星がアジア大陸方面へ逸れていくように見える。 海流 大気だけでなく、海流の運動もコリオリの力の影響を受けている。 砲弾 北半球で真北に撃った砲弾が、標的よりもわずかに東にずれることは昔から知られていることである。このように、大砲やロケット、1000 m近い長距離での狙撃などの軌道計算はコリオリの力を考慮した補正が必要である。ここからは地球の自転によるコリオリの力の大きさを数学的に記述する。地球の角速度をとすると、緯度における地平面内の南北方向の方向ベクトルの角速度は、 となるため、地球の自転によるコリオリの力の大きさは物体の速さをとして

で表される。はコリオリ因子と呼ばれる。

コリオリの力が与える影響を考える一例として、コリオリの力を一番強く受ける極点において時速のボールをピッチャープレートとホームベースの距離の間で投げたとする。地球の角速度はであるから、コリオリの力による加速度の大きさは

である。通過するのにかかる時間はであるから等加速度運動とみなすとずれの距離は

つまりにも満たない。また極点より緯度の小さい地域ではコリオリの力の影響はさらに小さくなる。日常生活の中で地球の回転によって生じるコリオリの力は非常に小さなものなのである。

同じく極点において、今度は秒速1000 mの砲弾を距離10 km先まで飛ばすときのコリオリの力による影響を考える。先ほどと同様に考えると、コリオリの力による加速度の大きさは

であり、通過するのにかかる時間ｔはであるから等加速度運動とみなすとずれの距離は

したがってものずれが生じる。このように大規模な運動では地球の回転によって生じるコリオリの力は大きな影響を及ぼすのである。

3. 導出
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3.1. 2次元の場合
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慣性系に対して原点のまわりを一定の角速度で回転する座標系で質点Pに力が働く場合を考える。 あるベクトルの成分が

慣性系では

回転座標系では

と表されるとき図1,2よりはを原点Oのまわりにだけ回転したものになるので

と表される。

と定義する。すると質点の位置ベクトルと回転座標系でみたベクトルの関係は

と表される。

両辺を時刻で微分して

さらにで微分して

……ここでは を用いた。

ベクトルと回転座標系でみたベクトルの関係は

……と表される。

運動方程式にとを代入して

両辺にをかけて

式変形して

すなわち回転座標系から物体を見た場合実際の力のほかにとの力が働いているように見える。

このは、見かけの力でコリオリの力という。コリオリの力は速度の方向と回転軸の方向の両方に垂直である。

は、質点を回転軸に垂直に引き離そうとする見かけの力で遠心力という。

3.2. 3次元の場合
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以下では、地球の公転は無視し、地球は半径の球形とする。 静止座標系として、地球の中心を原点とし、地軸の北極方向を軸、赤道面を平面とする座標系を考える。

次に、地球表面の点で、地球の自転とともに動くを観測点を考える。

ただし、は地球の半径、は観測点の緯度、は地球の自転の角速度、は時刻、は時刻におけるの位置を表すパラメータだが、以下コリオリの力に関係ないのでとする。

回転座標系として、を原点とし、次の3つの単位ベクトルで張られる座標系を考える。

この座標系で、時刻における質点の位置が、成分、成分、成分で表記されたとする。

静止系で表すと

である。

以下時間での微分をで表す。

静止系では運動方程式が成り立つため、質点の質量を、掛かる力をとすると、

ここで、

は、この回転座標系での加速度であり、

が、この座標系での「みかけの力」即ち慣性力になる。

上で示した

を使えば、

この部分は、広義のコリオリの力に対応する部分であり、

方向の速度に対し方向に「みかけの力」が働き、
方向の速度に対し方向に「みかけの力」が働くことを示している。

これは、とで張られた平面での2次元のコリオリの力に一致する。

なお、

は、 質点から地軸に下ろした垂線の足から、質点までの方向ベクトルがであることを考えれば、質点にかかる「みかけの力」遠心力である。

次に、上記の回転座標系では、北極星の方向、天頂から真南へ角度だけ傾けた方向を座標軸とするので不便だから、別の座標系を考える。

を原点とし、次の3つの単位ベクトル、、で張られる座標系とする。

基底変換は行列で表すと、

座標系の座標

が、

座標系の座標

と同じ点を表すには、

のため

でなければならない。

は時間には依存しないため、

運動方程式を書き換えれば、

について、

上記は加速度の項である。

上記は広義のコリオリの力の項である。

上記は遠心力の項である。

ここで、広義のコリオリの力の項を見ると、

方向の速度に対し、方向に「みかけの力」が働く
方向の速度に対し、方向に「みかけの力」が働き、方向に「みかけの力」が働く
方向の速度に対し、方向に「みかけの力」が働くことが分かる。

このうち、天頂方向の速度と力を捨象した、

方向の速度に対し、方向に「みかけの力」が働く
方向の速度に対し、方向に「みかけの力」が働くと言える。これがコリオリの力である。接平面内であれば、どの方向の速度ベクトルでも北方向と東方向の速度ベクトルの合成で作れるため、「×速度」だけの接平面内の「みかけの力」がかかることが分かる。

3.3. 3次元の場合のまとめ
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3次元の場合のコリオリの力をまとめると、次の3段階で導出されていることが分かる。

観測点での地球の接平面内の速度ベクトルを、観測点を通り地軸と直交する平面に射影する。
平面内で2次元のコリオリの力を求める。
得られた平面内のコリオリの力を接平面に射影し、接平面内のコリオリの力を求める。ここで、接平面内の東向きの大きさの速度ベクトルについて考えれば、それを平面に射影しても変わらずに大きさであり、平面内のコリオリの力は、大きさ、方向は東と直交し地軸から遠ざかる方向であり、それを接平面に射影すると、コリオリの力は、大きさ、方向は南となる。

接平面内の北向きの大きさの速度ベクトルについて考えれば、それを平面に射影すると大きさはとなり、平面内のコリオリの力は、大きさ、方向は東であり、それを接平面に射影すると、コリオリの力は変わらず、大きさ、方向は東となる。

接平面内の大きさの任意の方向の速度ベクトルは、東方向と北方向の速度ベクトルの一次結合で表せるため、その接平面内のコリオリの力は、大きさ、方向は北極側から見て速度ベクトルの方向から90度時計回りに回転した方向となることが分かる。

4. 直感的な説明
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地球の表面に沿って北半球を北上する物体を考えると、宇宙空間から見れば物体は真北に進んでいるようには見えず、東進しているように見える。北に進むほど、「平行方向の半径」が小さくなるため、地表そのものの東進は遅くなるが、一方で物体は最初の東向きの速度を維持するため、東にさらに傾く。

この例では北向きの動きを考えているのでわからないが、進行方向に対しての垂直方向の偏向は、東向きや西向きに動く物体にも同じように生じる。 しかし、一般的な大きさの家庭用バスタブ、洗面台、トイレの排水の回転を決めるのはこの力だという説は、現代の科学者たちによって繰り返し否定されている。

5. 地球への応用
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地表を「滑る」空気の運動に影響を与える加速度は、次式のコリオリ項の水平成分である。

この成分は地表の速度と直交しており、次式で与えられる。

：地球の回転速度
：緯度。北半球では正、南半球では負にとる。緯度が正である北半球では、この加速度は上から見て進行方向の右側にある。逆に、南半球では左になる。

5.1. 回転する球
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南北軸を中心に回転する球体上の緯度 //φ// の場所を考える。 //x// 軸を水平に真東、//y//軸を水平に真北、//z//軸を垂直に上に向けて局所的座標系を設定する。この局所的座標系で表される回転ベクトル、移動速度、コリオリ加速度は以下の通りである：

    大気や海洋の力学を考慮する場合、鉛直速度は小さく、コリオリ加速度の鉛直成分  は重力に比べて小さいとして、水平成分のみが問題にすれば水平面に対する上記の制限はである。:

    ここではコリオリパラメータという。

//vn// = 0 としたことで、東への移動は南への加速となることが直ちににわかる。同様に、//ve// = 0 とすると、北向きに動くと東向きに加速することがわかる。一般に、加速度の原因となる運動の方向に沿って水平に観察すると、加速度は常に右に90度回転しており、進行方向に向きに関係なく同じ大きさである。

別のケースとして、φ＝0°とする赤道運動を考える。この場合、Ωは北軸またはn軸に平行である：

        したがって、東への運動はエトヴェシュ効果として知られる上向きの加速度をもたらし、上向きの運動は西向きの加速度をもたらす。

5.2. 気象学と海洋学
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コリオリ効果の最も重要な影響は、海洋と大気の大規模な力学であろう。気象学や海洋学では、地球が静止している回転座標系を仮定するのが便利である。この仮定のもとで、遠心力とコリオリ力が導入される。それらの相対的な重要性は、適用されるロスビー数によって決定される。例えば、竜巻は高いロスビー数を持つため、竜巻に関連する遠心力はかなり大きいが、竜巻に関連するコリオリ力は実用上は無視できる。

表層海流は水面上の風の動きによって引き起こされるため、コリオリの力は海流やサイクロンの動きにも影響を与える。海流の多くは、環流と呼ばれる暖かく高気圧に覆われた海域を循環を形成する。この循環は大気中の循環ほど大きくないが、コリオリ効果によって引き起こされる偏向が、これらの環流の渦巻きパターンを生み出している。渦巻き状の風パターンは、ハリケーンの形成を助ける。コリオリ効果による力が強ければ強いほど、風は速く回転し、さらなるエネルギーを拾い上げ、ハリケーンの強さを増す。

高気圧内の空気は、コリオリの力が半径方向内側に向き、半径方向外側の圧力勾配とほぼ釣り合うような方向に回転する。その結果、空気は北半球では高気圧の周りを時計回りに、南半球では反時計回りに移動する。低気圧の周りの空気は反対方向に回転するため、コリオリの力は半径方向外側に向き、半径方向内側の圧力勾配とほぼ釣り合う。

5.2.1. 低圧域での流れ
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大気中に低気圧が形成されると、空気は低気圧に向かって流れ込む傾向があるが、コリオリの力によって速度に対して垂直に偏向される。その結果、平衡系が形成され、円運動やサイクロン流が発生する。ロスビー数が小さいため、力のバランスは、低気圧に向かって作用する圧力勾配力と、低気圧の中心から離れる方向に作用するコリオリ力の間で大きく変化する。

大気や海洋の大規模な運動は、素直に気圧勾配を下るのではなく、コリオリ力の影響で気圧勾配に垂直に起こる傾向がある。これは地衡流として知られている。 回転していない惑星では、流体は可能な限り直線に沿って流れ、圧力勾配はすぐになくなる。そのため、地衡バランスは「慣性運動」の場合とは大きく異なり、中緯度でのサイクロンがただの慣性円流の場合より桁違いに大きい理由も説明できる。

この偏向のパターンと移動方向は、ビュイス・バロットの法則と呼ばれる。大気圏では、この流れのパターンをサイクロンと呼ぶ。北半球では、低気圧の周りの移動方向は反時計回りである。南半球では、回転力学が鏡像であるため、移動方向は時計回りである。 At high altitudes, outward-spreading air rotates in the opposite direction.赤道付近はコリオリ効果が弱いため、サイクロンが発生することはほとんどない。

5.2.2. 慣性円流
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速度で移動する空気または水の塊は、コリオリ力のみを受け、慣性円と呼ばれる円形の軌跡を描く。この力は粒子の運動に対して直角に働くので、粒子は等速円運動をし、その半径 は:

ここで は で表されるコリオリパラメーターである。 したがって、物体が円軌道を1周するのにかかる時間はである。コリオリパラメーターは通常、中緯度の値で約10−4   s−1なので、典型的な大気速度10で半径 100、周期17   hoursとなる。一方典型的な速度の海流 の場合では、半径は1となる。これらの慣性円は、北半球では時計回り、南半球では反時計回りである。

回転系が放物線状のターンテーブル状である場合、 は一定であり、軌道は正確に円となるが、自転する惑星ではコリオリパラメーターは緯度によって変化し、粒子の経路は正確な円を描かない。その場合は先述の通り緯度の正弦に比例して変化するため、ある速度に伴う回転運動の半径は極点で最も小さく、赤道に向かって大きくなる。

5.2.3. その他の地表への影響
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コリオリ効果は、大規模な海洋循環や大気循環に強く影響し、ジェット気流や西部境界流のような強固な特徴を形成する。このような地形は、地衡平衡状態にある。コリオリ加速は、ロスビー波やケルビン波など、海洋や大気中の多くの種類の波の伝播にも関与している。また、海洋におけるいわゆるエクマン境界層や、風成循環と呼ばれる大規模な海洋の流れパターンの確立にも関与している。

5.3. エトヴェシュ効果
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コリオリ効果の実際的な影響は、ほとんどが水平運動によって生じる水平加速度成分によって引き起こされるが、コリオリ効果の他の要素として、西に進む物体は下に偏向され、東に進む物体は上に偏向されるエトヴェシュ効果がある。この効果は赤道付近で最大となる。エトヴェシュ効果によって生じる力は水平方向の成分と似ているが、重力と圧力による垂直方向の力の方がはるかに大きいため、静水圧平衡ではあまり重要ではない。しかし大気中では、風は静水圧平衡からの圧力の小さな偏差と関連している。熱帯大気では、圧力の偏差の大きさのオーダーは非常に小さいので、エトヴェシュ効果の圧力偏差への寄与はかなりのものとなる。

加えて、上方または下方に進む物体はそれぞれ西または東に偏向し、この影響も赤道付近で最大となる。垂直方向の移動は通常、範囲と時間が限られているため、影響の大きさは小さく、検出には精密な機器が必要となる。例えば、理想化された数値モデリング研究によると、この効果は、大気の長期的な加熱または冷却があれば、熱帯の大規模風速場におよそ10％直接影響を与える可能性がある。

さらに、軌道に打ち上げられる宇宙船のように運動量が大きく変化する場合、その影響は大きくなる。軌道への最速かつ最も燃料効率の良い経路は、赤道から真東にカーブして打ち上げることである。

5.3.1. 例
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赤道に沿って摩擦のない線路を走る列車を考える。走行中は、1日で世界1周するのに必要な速度で移動すると仮定する。 コリオリ効果は、列車が西に進む場合、静止している場合、東に進む場合の3つのケースで考えることができる。それぞれの場合において、コリオリ効果はまず地球上の回転系から計算し、次に固定慣性系煮直すことができる。下の図は、地球の自転軸に沿った北極上空の定点から、慣性系で静止している観測者が見た3つの場合を示している。

列車が西進している場合： この場合、列車は自転方向とは逆に移動する。したがって、地球の回転系上では、コリオリの項は自転軸の内側を向いている。画像のように自転軸の北極上にある固定された非回転系からこの列車を見ると、その速度では、地球がその下で回転しているため、列車は静止したままである。したがって、列車に作用する力は地球の重力と軌道からの反作用だけである。この力は0.34%だけ乗客と列車が静止状態で受ける力よりも大きい。この差が、回転系におけるコリオリ効果である。
列車が停止している場合： 地球の回転系から見ると、列車の速度はゼロであり、したがってコリオリ力もゼロであり、列車とその乗客は通常の重量を回復する。北極上空の固定慣性系から見ると、列車は地球と一緒に回転して、重力の力の0.34%が、その慣性系で円運動をするのに必要な求心力を提供し、残りの力が回転系で測定されるので、列車と乗客を前の西進の場合よりも「軽く」する。
列車は東進する場合：列車は地球の回転方向に動くので、コリオリの項は回転軸から外側に向かう。この上向きの力によって、列車は静止しているときよりも軽く見える。[[File:Eotvos efect on 10Kg.png|thumb|350 px|alt=|地球の赤道に沿って移動する速度の関数としての10の物体にかかる力のグラフ。(縦軸が効果による力の大きさ。正の速度は東向き、負の速度は西向きである）