対称群

対称群とは、「ものを並べ替える」という操作を元とする群である。この場合の「ものを並べ替える」操作のことを置換という。数学の議論の様々な場面で「番号づけられて並んでいるものを入れ替える」「入れ替えの可能性すべてを調べる」ことが問題となり、対称群はそのような議論を定式化するために用いられる。置換のうちで特別なものだけを集めて得られる群は置換群と呼ばれる。置換群が空間 X}} の変換群として与えられているとき、X}} の元 x}} の置換は 1=Stab = mset で与えられる Smsub の部分群の分だけ潰れているが、これは X}} のなかに x}} と「同じ」元が複数含まれている場合に対応しており、X}} の中でこれらを区別することができれば X}} の元の置換から対称群 Smsub が回復される。

1. 定義
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集合 1=//I//msub に対し、Imsub から Imsub への全単射全体の集合は写像の合成を積として群になることがわかる。これは n}}-次の対称群と呼ばれ、

などで表される。Smsub の元は n}} 次の置換と呼ばれる。 n}}-次対称群の位数は n}} の階乗 //n//!}} である。

X}} を有限集合とするとき、Imsub の場合と同様にして X}} から X}} への全単射全体の集合を Sym}} とおくと、写像の合成を積として Sym}} は群になる。このとき、Sym}} は X}} の対称群と呼ばれる。有限集合の間の単射 //X// → //Y//}} に対して対称群の間の単射 Sym → Sym}} が自然に定まる。

特に、X}} の位数が n}} のとき、X}} と集合 Imsub とのあいだに全単射が存在するので両者を同一視することにより、Sym}} と Smsub とは群として同型になる。この群の同一視は次のように理解できる。Imsub からX}}への全単射は Imsub による X}} の元の番号付けによって、または X}} の元を数え上げる列 (//x//msub によって表される。このとき n}}-次置換 σ}} は点 xmsub を点 xmsub に移すような写像、つまり点列 (//x//msub の順番を (//x//msub へと入れ替える写像として具体的に理解することができる。この写像に対応するグラフは、組 (//xind を 1=//k// = 1, 2, …, //n//}} に対して集めた有限集合であり、これはしばしば//

あるいは

のように記されるこれはグラフであって、表示が似ているからと言ってベクトルや行列ではない。また、実際には前者と後者は双対の関係にあり、ちょうど math。後者の記法は番号の入れ替えとしての σ}} の表示を与えており、この二つの記法の対応が集合X}} と集合 Imsub との同一視の仕方に応じた Sym}} と 1=//Smsub との間に定まる群の同型対応を具体的に与えている。//

無限集合についての対称群にあたるものとして二つの異なった概念が挙げられる。ひとつめの概念は有限集合 X}} に対する Sym}} の構成をそのまま拡張し、有限とは限らない集合 Y}} に対しても Y}} から Y}} への全単射全体のなす群を考えることによって得られる。もう一つのより繊細な概念は、有限とは限らない集合 Y}} に対して、その有限部分集合全体のなす族 F}} を考え、有限対称群たち Sym}}  の直極限

として得られる群である。この二つの定式化は有限集合に対しては自然に同型な群を与えている。自然数の集合 N}} に対して二つ目の方法を適用して得られる群は //S//msub と書かれ、無限対称群と呼ばれる。これは Smsub たちすべての合併と見なすことができる。

2. 諸概念
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2.1. 群演算
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対称群 Smsub の群演算は写像の合成で与えられるが、置換 σ, τ}} が与えられたとき、σ, τ}} の積を共変的に στ}} で表すか反変的に τσ}} で表すかは文脈による。

Smsub の元 σ}} は全単射であるから逆写像 //σ//msup が存在して、これが写像の合成に関する逆元を与えるから、この //σ//msup が Smsub における σ}} の逆元であり、σ}} の逆置換などと呼ばれる。Smsub の単位元はどの元も動かさない恒等変換 id}} であり、これを 1}} などで表して恒等置換などとも呼ぶ。

2.2. 巡回置換
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Smsub に属する置換 σ}} は、mset 上のある全単射 f}} と、ある //k// ∈ mset に対し

の形に書けるならば巡回置換 en と呼び、

で表す。このとき //m// + 1}} は σ}} によって一意に定まり、巡回置換 σ}} の長さ en と呼ばれる。

ふたつの巡回置換が互いに素であるとは、それらが共通の文字を含まないことを言う。互いに素な巡回置換は互いに可換である。

任意の置換は互いに素な巡回置換の積に順序を除いて一意的に分解することができる。

2.3. 互換
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置換のうち、特に二つの元のみを入れ替えて他の元は変えないものを互換 en という。すなわち、互換とは長さが 2}} の巡回置換のことである。任意の置換は互換の積として表される。そのような表し方は一通りとはかぎらないが、表示にあらわれる互換の数が偶数であるか奇数であるかは表し方に依らずに決まる。これを置換の偶奇性  という。偶数個の互換の積として表される置換のことを偶置換 en といい、奇数個の互換の積として表される置換のことを奇置換 en という。//n// 次対称群の元のうち特に偶置換のみを集めると、その全体は n}} 次対称群の正規部分群となる。この群を n}} 次交代群 Amsub という。n}} が 5}} 以上のとき、 n}} 次交代群はより小さな群の合成としては表せなくなっており、このことから五次以上の方程式に代数的な解の公式が存在しないことが説明される。

互換のうち )}} の形で表される互換を基本互換 en あるいは隣接互換 en と呼ぶ。任意の置換は実は隣接互換の積に分解できる。つまり、対称群 Smsub は隣接互換で生成される。Smsub における隣接互換 1=//σmsub は組み紐関係式//

を満たし、組み紐群 Bmsub を生成元が対合となるという関係式

で割って Smsub 得られる。すなわち、Smsub は Amsub-型のコクセター群である。

2.4. 置換の符号
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n}}-次の置換 σ}} について、σ}} の符号と呼ばれる ±1}} の数 sgn}} を定めることができる。sgn}} の定義にはいくつかの方法がある。

1=sgn = exp. ただし //d//}} は 1 ≤ //i// < //j// ≤ //n//}} かつ //σ// > //σ//}} となっている }} の組の数で、σ}} の転倒数と呼ばれる。
σ}} が偶置換のとき 1=sgn = 1}}, σ}} が奇置換のとき 1=sgn = −1}}。つまり σ}} が k}} 個の互換の積で表せるとき 1=sgn = exp と定める。
σ}} が表す置換行列を Xmsub とするとき、Xmsub の行列式によって 1=sgn = det(//Xmsub と定める。//
n}} 変数の差積 1=Δ = underset に対して、1=underset で定める。sgn}} は Smsub から位数 2}} の群 mset への準同型を定めており、二つ目の定式化からも明らかなように交代群はこの符号写像の核として特徴づけられる。

3. 共役類
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群に関する基本的な問題としてその共役類の分類が挙げられるが、対称群 Smsub における共役類は Smsub の n}} への自然な作用に関する軌道の形によって分類される。実際、σ}} と τ}} が Smsub の元ならば σ}} と //τστ//exp は同じ軌道の形を持っており、逆に σ}} と υ}} が同じ軌道の形を持つならば適当な //τ// ∈ //S//msub について 1=//υ// = //τστ//exp となっている。これはすなわち、任意の置換を互いに素な巡回置換の積として表したとき、現れる巡回置換の長さが重複度を込めて一致しているような置換は同じ共軛類に入り、またその逆も成り立つということである。たとえば、1=//n// = 3}} で

//σ//: 1 → 2, 2 → 1, 3 → 3}}, のとき、σ}} の軌道は mset }}) であり、一方 //τστ//exp の軌道は mset  で、どちらも一つの元からなる軌道を一つと二つの元からなる軌道を一つ持っている。

このように、軌道の形は各自然数 k}} に対して k}} 個の元を持つような軌道の数 mmsub がいくつかを指定することで決定される。このとき、集合 n}} への作用を考えているので数列 (//mind//k//}} は 1=sum を満たさなければならない。このとき、//

を置換 σ}} の巡回置換型 en、あるいはたんに型と呼ぶ。Smsub の共軛類は巡回置換型によって決まる。さらに共軛類の大きさは巡回置換型を用いると

と表せる。また、 n}} の分割は、位数 n}} のヤング図形と一対一に対応しており、したがって Smsub の共役類は位数 n}} のヤング図形たちによって記述されることになる。

4. 交代群との関係
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//n// ≥ 5}} のとき交代群 Amsub は単純で、それによって誘導される商は符号函数である。すなわち、短完全列

　は二つの元の互換を取ることによって分裂する。ゆえに、Smsub は半直積

に分解され、かつそれ以外の真の正規部分群を持たないことがわかる。実際、部分群があれば Amsub との交わりは単位群または Amsubだからである。

Smsub は部分群である Amsub に共軛によって作用し、//n// ≠ 6}} のとき Smsub は Amsub の全自己同型群となる。

偶置換による共軛は Amsub の内部自己同型であり、対して Amsub の位数 2}} の外部自己同型は奇置換による共軛に対応する。1=//n// = 6}} のときは、//A//msub にS6の例外型外部自己同型が存在するので、//S//msub は //A//msub の全自己同型群とはなっていない。

したがって、//n// ≠ 6}} のとき Smsub は外部自己同型を持たず、さらに //n// ≠ 2}} のとき中心を持たない。ゆえに //n// ≠ 2, 6}} のとき Smsub は完全群 である。

//n// ≥ 5}} のとき Smsub は概単純群であり、それは単純群 Amsub とその自己同型群の間に位置するものとみなされる。

5. 群の置換表現
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群 G}} が与えられたとき、G}} の元 g}} の左・右・両側からの積

は G}} 上の全単射を与える。群 G}} から対称群 Sym}} への写像

は群の準同型であり、これにより群 G}} の元は G}} 自身の上の置換群の元として表される。これが群の置換表現である。

置換表現を一元体上の線型表現と看做して表現論の一般論に組み込む試みが見られる。

6. 対称群の作用
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6.1. 一般多項式のガロア群
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多項式のガロア群とは、多項式の根の全体からなる集合上の置換群のことをいう。n}}-次対称群 Smsub は有理数体 Q}} 上の n}}-次の一般多項式

のガロア群であることが示される。Smsub の可解性が、n}}-次一般多項式に対する代数的な根の公式の存在性に言及できるのはこのためである。

6.2. 対称式
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体上の多変数多項式環 //k//bracket は対称群 //S//msub の X}} への作用を移すことで //S//msub が作用する。この作用の下で不変な元の全体を

などであらわし、その元を対称式と呼ぶ。

6.3. 置換行列
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n}}-次の対称群をベクトル空間の基底の変換として作用させることで置換を行列表示することができる。具体的に n}}-次元のベクトル空間 V}} とその基底 mset をひとつ固定して、置換 σ}} の V}} への作用を

size=larger によって定める。このとき σ}} の表現行列を Pmsub とすると

から、クロネッカーのデルタ δ}} を用いて 1=//Pmsub となる。この行列 Pmsub を、置換 σ}} に対応する置換行列という。偶置換に対応する置換行列の定める線型変換は空間の向きを保ち、一方で奇置換に対応する線型変換は空間の向きを反転させている。//

7. 対称群の部分群構造
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対称群の部分群は一般に置換群と呼ばれる。

7.1. 正規部分群
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対称群の正規部分群は有限の場合にはよく知られている。1=//n// = 1, 2, 4}} の場合を除き、n}}-次交代群は n}}-次対称群の単位群でない真の正規部分群である。//n// ≤ 2}} の場合は交代群は単位群であるが、1=//n// = 4}} の場合にはもうひとつの単位群でない真の正規部分群としてクラインの四元群がある。

無限集合上の対称群の正規部分群には、交代群に対応するもの以外にも、その集合の適当な濃度の部分集合の元を除いて全ての元を固定するような無限濃度で添字付けられた部分群なども存在する。例えば、可算無限集合上の対称群は、有限個を除く全ての元を固定するような置換の全体からなる正規部分群 S}} を含む。この S}} の元というものは、どれも無限対称群に含まれ、偶または奇置換である。S}} の偶置換の全体は S}} の特性部分群を成し、S}} の交代群と呼ばれる。また、可算無限集合上の対称群の単位群でない真の正規部分群はほかには存在しない。詳細は Scott あるいは Dixon を参照されたい。

7.2. 極大部分群
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有限対称群の極大部分群は、非推移的 ・非原始的 ・原始的  の三種類のクラスに分けられる。非推移的極大部分群はちょうど Sym × Sym}}  の形をした部分群である。非原始的極大部分群はちょうど Sym ≀ Sym}} の形をしている。原始的極大部分群は同じように表すのは難しいが、オナン–スコットの定理と有限単純群の分類定理の助けを借りるならば、Liebeck にこの型の極大部分群の十分わかりやすい記述がある。

7.3. シロー部分群
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対称群のシロー部分群は p}}-群の重要な例をあたえる。特別な場合には、以下のようにより容易に記述することができる。

p}}-次対称群のシロー p}}-部分群は、単に p}}-次巡回置換で生成される巡回部分群であり、そのような部分群は 1=sfrac 個存在することが、単に生成元を数えることによってわかる。したがってその正規化部分群は位数 //p//}} であり、フロベニウス群 //F//msub や、アフィン一般線型群 AGL}} としても知られる。

また、//p//exp-次対称群のシロー p}}-部分群は、位数 p}} のふたつの巡回群の輪積である。例えば 1=//p// = 3}} のとき、//S//msub のシロー 3}}-部分群は 1=//a// = }} および 1=//x// = , //y// = , //z// = }} で生成され、シロー 3}}-部分群の任意の元は

の形で与えられる。

同様に、pexp-次対称群のシロー p}}-部分群はしばしば //W//msub と書かれる。この記号法に従えば、//W//msub は //W//msub と //W//msub との輪積となる。

一般に n}}-次対称群のシロー p}}-部分群は、//W//msub の aind 個のコピーの直積である。ただし、0 ≤ //a//msub かつ 1=n = //a//msub とする。

例えば、1=//W//msub および 1=//W//msub である。また、7}}-次対称群のシロー 2}}-部分群は mset で生成され、//D//msub に同型である。

これらの計算は Kaloujnine による。またさらに詳細な記述については Rotman を参照。Kerber はコーシーの1844年の結果に基づくもので、その内容のほとんどは教科書として Netto がカバーしていることに注意。

8. 対称群の自己同型群
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//n// ≠ 2, 6}} のとき Smsub は完全群 である。

1=//n// = 2}} のとき、自己同型群は自明だが //S//msub 自身は自明でない。

1=//n// = 6}} のときは位数 2}} の外部自己同型をもち、自己同型群は //S//msub の //C//msub による半直積となる。

実は、6}} 以外の濃度の任意の集合 X}} に対して、X}} 上の対称群の任意の自己同型は内部自己同型である。Dixon によれば、この結果をはじめて得たのは Schreier である。

9. 対称群のホモロジー
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対称群 Smsub の群ホモロジーは極めて正則かつ安定である。一次のホモロジーは

である。//n// < 2}} のときは自明、//n// ≥ 2}} のときは符号写像 sgn: //S//msub に対応している。これは以下のように簡単に計算できる。Smsub は対合で生成されるから、写像 //S//msub が非自明なのは 1=//p// = 2}} のときであり、またすべての対合は、共軛であるからそのアーベル化の同じ元へうつる。したがって、唯一可能な写像

は対合を 1}} へ移すか −1}} へ移す。符号写像が矛盾なく定まっていることは確認すべきことだが、それを認めれば、これで Smsub の一次ホモロジーが得られる。

二次のホモロジーは

である。これは Schur で計算されており、対称群の二重被覆 2⋅//S//msub に対応する。

交代群の低次ホモロジーに関する例外対象な同型に対して、交代群を対称群に取り替えることはできないことに注意すべきである。これは、交代群に関する現象から対称群に関する現象が導けるけれども、しかしそれは「ホモロジー的」ではないという意味である。つまり、全射 //S//msub で //S//msub や //S//msub をそのアーベル化に取り替えることはできないし、後者の例では三重被覆をホモロジーに対応させることができないということになる。

このホモロジーは安定ホモトピー論でいう意味で「安定」である。すなわち、包含写像 //S//msub と適当な整数 k}} が存在して、ホモロジーの間の包含写像

が十分大きな n}} に対して同型となる。これはリー群のホモロジーの安定性の類似である。

無限対称群のホモロジーはそのコホモロジー代数をホップ代数化することによって Nakaoka で計算されている。

10. 対称群の表現論
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対称群の表現論は有限群の表現論の特別な場合であり、具体的かつ詳細な理論が展開される。その応用は広く、対称函数の理論から、同種粒子に対する量子力学まで利用される。

対称群 Smsub の位数は //n//!}} である。共軛類は n}} の分割でラベル付けられるから、有限群の表現論に従えば、複素数体上の互いに同値でない既約表現の総数は n}} の分割の総数に等しい。有限群の一般的な状況とは異なり、実は共軛類をパラメータ付けするのと同じ集合で既約表現をパラメータ付けする自然な方法が対称群の場合には存在する。

そのような既約表現はどれも整数全体の集合上で実現することができる。これはヤング図形によって形の与えられるヤング盤の全体で生成される空間へのヤング対称化子を計算することによって明示的に構成できる。

複素数体をもっとほかの体に変更すれば、状況はもっと複雑になる。体 K}} の標数が 0}} か n}} よりも大ならば、マシュケの定理により群環 //KS'n//}} は半単純であり、この場合整数環上定義された既約表現は既約表現の完全集合を与える。

しかしそれ以外の任意の標数における対称群の既約表現については知られていない。この文脈では表現の言葉よりも加群の言葉を用いるほうが普通であるが、整数環上定義された既約表現に標数を法とした還元を行って得られる表現は一般には既約でない。こうして得られる加群はシュペヒト加群と呼ばれ、任意の既約表現はそれらの加群の中から得られる。いまのところそのような既約加群はあまり知られておらず、それらの分類についてもたいした理解は得られていない。例えば、その次元なども一般にはわかっていない。

任意の体上で対称群の既約加群を決定することは、表現論における重要な未解決問題のひとつであると広くみなされている。

11. 関連項目
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群論
ヤング図形
自然数の分割

12. 注
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12.1. 注釈
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12.2. 出典
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13. 参考文献
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last=Jacobson.

14. 外部リンク
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