微分

数学における実変数函数の'//微分係数、微分商または導関数は、別の量に依存して決まる、ある量の変化の感度を測るものであり、これらを求めることを微分'//するという。微分演算の結果である微分係数や導関数も用語の濫用でしばしば微分と呼ばれる。

1. 概要
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微分は解析学分野の基本的な道具である。例えば、動く物体の位置の時間に関する導函数はその物体の速度であり、これは時間が進んだときその物体の位置がどれほど早く変わるかを測る。

一変数函数の適当に選んだ入力値における微分係数は、その点における函数のグラフの接線の傾きである。これは導函数がその入力値の近くでその函数の最適線型近似を記述するものであることを意味する。そのような理由で、微分係数はしばしば「瞬間の変化率」として記述される。瞬間の変化率は独立変数に依存する従属変数である。

微分は実多変数函数にも拡張できる。この一般化において、導函数はそのグラフがもとの函数のグラフを最適線型近似する線型変換と解釈しなおされる。ヤコビ行列はこの線型変換を独立および従属変数を選ぶことで与えられる基底に関して表現する行列であり、独立変数に関する偏微分を用いて計算することができる。多変数実数値函数に対して、ヤコビ行列は勾配に簡約される。

導函数を求める過程を微分あるいは微分法、微分演算と言い、その逆の過程を反微分という。微分積分学の基本定理は反微分が積分と同じであることを主張する。一変数の微分積分学において微分と積分は基本的な操作の二本柱である。

2. 1変数関数の微分法
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2.1. 直観的な説明
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初めに最も簡単な場合を扱う。すなわち、実数値の変数を1個もち、値も1個の実数であるような関数 //f//}}を微分することを考える。「微分する」というのは、より正確には、微分係数または導関数のいずれかを求めることを意味している。

説明を単純にするため、//f//}} はすべての実数 x}} に対して定義されているとしよう。すると各々の実数 a}} に対して、f}} の a}} における微分係数と呼ばれる数がある。これを //f//′}} で表す。また、実数 //a//}} に対して微分係数 //f//′}} を対応させる関数 //f//′}} のことを f}} の導関数という。

微分係数 //f//′}} とは何であるか直観的に説明するには、いくつかの方法がある。

微分係数 //f//′}} とは、関数 f}} のグラフに //x// =}} //a//}} において接線をひいたときの、その接線の傾きのことである。
微分係数 //f//′}} とは、変数 x}} の値の変化に伴う //f//}} の変化を考えたときの、//x// =}} //a//}} における //f//}} の瞬間変化率のことである。
微分係数 //f//′}} とは、関数 f}} のグラフの //x// =}} //a//}} 付近を限りなく拡大していったときに、グラフが直線に近づいて見える場合における、その直線の傾きのことである。これらはいずれも、論理的に厳密な定義とはいえない。それは、「接線」や「瞬間変化率」について厳密な定義が与えられていないし、またグラフを「限りなく拡大する」ということの意味も定かではないからである。

ごく単純な関数については、上記の説明が微分係数の具体的な値について十分な示唆を与えるのは確かだ。たとえば1次関数 //f// =}} //Ax// + //B//}} を考えると、そのグラフは直線なので、「//x// =}} //a//}} における接線」もその直線自身であると考えるのが妥当だろう。直線 //y// =}} //Ax// + //B//}} の傾きは A}} だから、微分係数 //f//′}} の値も A}} とすべきだと考えられる。また、2次関数についても、グラフの接線の概念を微分とは無関係に定義して、その傾きを求めることはできる。だが、ほとんどの関数にはこのような手法は通用しないから、一般的な定義を与えるためには新しい考えが必要である。

2.2. 厳密な定式化
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2.2.1. 一点における微分可能性と微分係数
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関数 //f//}} が開区間 において定義されているとする。そのとき、 に対し、極限

が存在するとき、//f//}} は //x// =}} //a//}} において微分可能であるという。またそのとき、上記の極限を //x// =}} //a//}} における //f//}} の微分係数とよび、//f//′}} によって表す。

これにともない、//f//}} のグラフ上の点 )}} を通り傾き //f//′}} をもつ直線のことを、//f//}} のグラフの //x// =}} //a//}} における接線という。つまり、//x// =}} //a//}} における接線とは、//y// =}} //f//′ + //f//}} によって与えられる直線のことである。

上述の微分係数の定義に現れる分数

は差分商とよばれる。これは関数 //f//}} のグラフ上の2点 )}} と )}} を通る直線の傾きを表している。あるいは、変数 x}} の値が a}} から //a// + //h//}} まで変化するあいだの、関数の値の平均変化率を表しているとみることもできる。これらの見方によれば、微分係数の定義について、次のような解釈を与えることができる。

グラフ上の2点 )}}, )}} を通る割線が、h}} を 0}} へと近づけたときにある直線に近づくならば、それを接線とみなすのが妥当であろう。この意味での接線の傾きが、微分係数 //f//′}} である。
「変数 x}} の値が a}} から //a// + //h//}} まで変化するあいだの関数値の平均変化率」が、h}} を 0}} へと近づけたときにある数に近づくならば、それを瞬間変化率とみなすのが妥当であろう。この瞬間変化率が、微分係数 //f//′}} である。なお、上述の微分可能性の定義では h}} が 0}} にどのようにして近づいても差分商が一定の値に収束することを要請したが、近づき方を限定することも考えられる。h}} が正の値をとりながら 0}} に近づいたときの片側極限

が存在するとき、//f//}} は //x// =}} //a//}} において右側微分可能であるといい、この片側極限を右側微分係数とよぶ。同様に、h}} が負の値をとりながら 0}} に近づいたときの片側極限

が存在するとき、//f//}} は //x// =}} //a//}} において左側微分可能であるといい、この片側極限を左側微分係数とよぶ。//f//}} が //x// =}} //a//}} において微分可能であるためには、「//f//}} が //x// =}} //a//}} において右側微分可能かつ左側微分可能で、かつ右側微分係数と左側微分係数が一致する」ということが必要十分である。

2.2.2. 区間における微分可能性と導関数
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関数 //f//}} が開区間 で定義されており、すべての において微分可能であるとき、f}} は区間 I}} において微分可能であるという。またそのとき、a}} に対して微分係数 //f//}} を対応させる区間 I}} 上の関数のことを、f}} の導関数といい //f//′}}で表す。

I}} がその他のタイプの区間である場合にも、区間 I}} における微分可能性を定義することができる。たとえば、I}} が有界閉区間 [//α//, //β//]}} である場合には、区間の内点では通常の意味での微分係数の存在を要請し、α}} では右側微分係数が、β}} では左側微分係数が存在することを要請する。導関数 //f//′}} の値は、//x// =}} //α//}} では右側微分係数、//x// =}} //β//}} では左側微分係数とする。

関数 f}} が区間 I}} において微分可能で、さらに導関数 //f//′}} が I}} で連続であるとき、f}} は I}} において連続微分可能である、または //C//exp 級であるという。

2.2.3. 1次近似による定式化
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開区間 で定義された関数 //f//}} について、 とするとき、次の条件は //f//}} の //x// =}} //a//}} における微分可能性と同値である。

ある定数 A}} が存在して、//h// → 0}} のとき //f// =}} //f// + //Ah// + //o//}} である。 ここで //o//}} はランダウの記号である。この条件が成り立つとき、A}} は微分係数 //f//′}} に他ならない。「//h// → 0}} のとき //f// =}} //f// + //Ah// + //o//}}」が成り立つことを指して、//f// + //Ah//}} は //f//}} の //x// =}} //a//}} における1次近似であるという。この言葉を用いれば、一点における微分可能性とは1次近似可能性のことだといえる。またこれは、#直観的な説明の、微分係数に関する3番目の説明を厳密化したものとみることができる。

2.3. 連続性と可微分性
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関数 //f//}} が //x// =}} //a//}} において微分可能ならば、 //f//}} は //x// =}} //a//}} で必ず連続である。

一方で、関数がある一点で連続だったとしても、そこで微分可能でないことがある。

絶対値関数 //f// =}} abs は //x// =}} 0}} において連続だが、この点で微分可能でない。//h// > 0}} のときは }}, )}} を通る割線の傾きは 1}} だが、//h// < 0}} のときは −1}} である。この例では、グラフは //x// =}} 0}} においてカスプをもつという言い方をする。
関数 //f// =}} //x//exp は //x// =}} 0}} において連続だが、この点で微分可能でない。}}, )}} を通る割線の傾きは、//h// → 0}} のとき正の無限大に発散するからである。この例は、グラフが滑らかにつながっているからといって微分可能とはかぎらないことを示している。実用上現れる関数の大半は、ほとんど至るところで微分可能である。微分積分学の歴史の初期には、多くの数学者は連続関数はほとんど至るところで微分可能であると考えていた。この仮定は緩やかな条件、たとえば単調性やリプシッツ連続性などのもとでは確かに満たされる。しかし1872年にヴァイアシュトラスは、至るところ連続だが、至るところ微分不可能な関数の例を与えた。1931年にバナフは、連続関数全体のなす空間において、少なくとも1点で微分可能な関数全体のなす集合が痩せていることを示したBanach。くだけた言い方をすれば、ほとんどあらゆる連続関数がすべての点で微分不可能なのである。

2.4. 高階微分
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関数 f}} が区間 I}} で導関数 //f// ′}} をもち、それがさらに I}} で微分可能なとき、//f// ′}} の導関数を f}} の2階導関数とよび //f// ″}} で表す。より一般に、関数 f}} が区間 I}} で n}} 回繰り返して微分できるとき、f}} は I}} で n}} 回微分可能であるといい、n}} 回微分して得られる関数を n}} 階導関数といって //f// exp で表す。

f}} が n}} 回微分可能であって、さらに n}} 階導関数 //f// exp が連続であるとき、f}} は n}} 回連続微分可能であるという。何回でも微分可能な関数は無限回微分可能であるという。//C//exp 級関数のことを滑らかな関数ということもある。

2.5. 微分と関数の増減・凹凸
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2.5.1. 導関数の符号と関数の増減
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微分可能な関数 //f//}} について、導関数 //f//′}} が正の値をとる区間では、//f//}} の値は単調増加する。導関数 //f//′}} が負の値をとる区間では //f//}} の値は単調減少する。導関数 //f//′}} の値がつねに 0}} であるような区間では、関数 //f//}} の値は一定である。

2.5.2. 2階導関数の符号と関数の凹凸
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2階微分可能な関数 //f//}} について、2階導関数 //f//′′}} が正の値をとる区間では、関数 //f//}} は凸である。//f//′′}} が負の値をとる区間では関数 //f//}} は凹である。

関数 //f//}} が //x// =}} //a//}} の前後で凸から凹に、あるいは凹から凸に切り替わるとき、点 )}} は //f//}} のグラフの変曲点であるというApostol。2階微分可能な関数 //f//}} については、これは2階導関数 //f//′′}} の符号が切り替わる x}} の値に対応する点ということができる。

2.6. 多項式近似への応用
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関数 f}} が開区間 I}} で //n// − 1}} 階微分可能で、//n// − 1}} 階導関数 //f//exp が //x// =}} //a//}} で微分可能なとき、//f//exp の //x// =}} //a//}} における微分係数を //f//exp とすれば

が成り立つ。これは、前述の、一点における微分可能性の1次近似による定式化の一般化にあたる。

2.7. ベクトル値函数の微分}}ベクトル値関数の微分
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実数値の変数 x}} をもち、 に値をもつベクトル値関数 //f// =}} (//f//ind を考える。これが一点 //x// =}} //a//}} において微分可能であるというのは、

という極限が存在することであるここでベクトル値関数の極限は、2乗ノルム、絶対値ノルムなど、どんなノルムを用いて定めても同じことである。}}。上記の極限として現れるベクトルを //f//′}} で表す。一般には //f//′}} に特に名前はないが、//f//}} が における点の位置の変化を表しているとみなす場合は、//f//′}} を速度ベクトルとよぶことがある。

//f// =}} (//f//ind が //x// =}} //a//}} において微分可能であることと、各成分 //f//ind がすべて //x// =}} //a//}} において微分可能であることは同値である。また

が成り立つ。

ベクトル値関数 //f//}} が区間 I}} の各点で微分可能なとき、//f//}} は区間 I}} において微分可能であるという。

ベクトル値関数については、高階微分も同様にして考えることができる。//f//′′}} は、//f//}} が における点の位置の変化を表しているとみなす場合は、加速度ベクトルとよばれる。

2.8. 超準解析による定式化
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実数を拡大して超実数 R* }} の体系の中で考えるとき、実函数 //y// =}} //f//}} の実点 //x//}} における微分係数は、無限小 ∆//x//}} に対して ∆//y// =}} //f// - //f//}} とすれば、Δ//y//}} の Δ//x//}} に関する商 sfrac の標準部 を考えることで定義することができる。ここで、上記の差分商の標準部が無限小 ∆//x//}} の取り方に依らずに定まるとき、すなわち

が成り立つとき、この実数 m}} を実函数 f}} の a}} における微分係数と呼ぶ。

3. 記法について
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関数 //f//}} の導関数や高階導関数を表す記法には次のようなものがあるCajori。

また、//y// =}} //f//}} とおいて、下記の記法における f}} を y}} で置き換えた記法も用いられる。



3.1. 微分係数
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点 a}} における微分係数を表すには、}} を添えたり !}} ind を添えたりする。

例えば、 である。

4. 微分公式
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4.1. 基本法則
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u, v}} が微分可能な x}} の函数で、a, b}} が x}} に無関係な定数のとき

線型性:
ライプニッツの法則:
連鎖律 en:

4.2. 初等関数に関する公式}}初等函数に関する公式
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いくつかの初等函数に関して、特徴的な微分公式が挙げられる。e//x//}}、//ax//}}、loge //x//}}、log//a////x//}} はそれぞれ指数函数と対数函数であり、sin}}、cos}}、tan}} は三角函数、arcsin}}、arccos}}、arctan}} は三角函数の逆函数、sinh}}、cosh}}、tanh}} は双曲線函数、arsinh}}、arcosh}}、artanh}} は双曲線函数の逆函数である。また、三角函数および双曲線函数のべき乗は cos2//x// coloneqq}} 2}} のように函数名の肩に指数を書いて表していることに注意。



5. 多変数関数の微分法}}多変数函数の微分法
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5.1. 偏微分と方向微分
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5.1.1. 偏微分
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n}} 個の実数値変数をもつ多変数関数 //f//(//x//ind が与えられたとする。各 //x//ind について、//x//ind を除く //n// − 1}} 個の変数の値を固定することにより、//f//(//x//ind を変数 //x//ind のみをもつ1変数関数とみなすことができる。そのようにみた上で //f//(//x//ind を変数 //x//ind について微分するのが偏微分とよばれる操作である。

//f//(//x//ind が の開集合 D}} で定義されているとする。点 に対し、//x//ind 以外の変数を //x//ind とおいて固定し、

という //x//ind の1変数関数を考える。その //x//ind における微分係数

を、//f//(//x//ind の点 (//a//ind における xind に関する偏微分係数といい、

, , などの記号で表す。また、点 (//a//ind に対してこれらの偏微分係数を対応づける D}} 上の関数を //f//(//x//ind の xind に関する偏導関数といい、

, , などで表す。丸い d の記号 ∂ は偏微分記号などとよばれる。

//f//(//x//ind が D}} の各点ですべての変数について偏微分可能で、かつすべての偏導関数 ∂//f///∂//x//ind が D}} で連続であるとき、関数 f}} は D}} で連続微分可能であるという。

5.1.2. 高階の偏微分
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偏微分を繰り返して行うことにより得られる微分係数のことを高階の偏微分係数という。これは微分の階数について帰納的に定義される。

たとえば //f//(//x//ind の点 //a// =}} (//a//ind における2階偏微分係数

は次のように定義される。前提として、導関数 ∂//f///∂//x//ind が存在するものとする。この仮定のもとで、 ∂//f///∂//x//ind が点 a}} において //x//ind に関して偏微分可能ならば、その偏微分係数のことを上記の記号で表すのである。∂//f///∂//x//ind があらゆる点 a}} において //x//ind に関して偏微分可能であるとき、点 a}} に上記の2階偏微分係数を対応づける関数のことを、

と書いて2階偏導関数とよぶ。同様のことを繰り返して、一般の k}} 階偏微分係数

および k}} 階偏導関数

が定義される。

微分の順序交換については次が知られている。2変数関数 //f//}} について、2階偏導関数 ∂exp, ∂exp がともに存在して、さらにいずれも点 a}} において連続ならば、

が成立する。2階偏導関数の連続性の仮定が満たされなければこの等式は一般には成立しない。n}} 変数関数の微分の順序交換についても同じことがいえる。

5.1.3. 方向微分
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関数 //f//(//x//ind について、偏微分は f}} の各座標軸方向への変化を測る。f}} の任意の方向への変化を測るのが方向微分である。

ベクトル //v// =}} (//v//ind に対して、関数 f}} の点 //a// =}} (//a//ind における v}} 方向への方向微分係数とは、

のことである。//x//ind 軸正の方向の単位ベクトルを //e//ind とするとき、//e//ind 方向への方向微分係数は、//x//ind に関する偏微分係数に他ならない。

f}} が点 a}} においてすべての変数に関して偏微分可能ならば、あらゆるベクトル v}} について、点 a}} における v}} 方向への方向微分係数が存在する。またこのとき、方向微分係数は v}} に関して線型である。特に、//v// =}} (//v//ind に対して方向微分係数 //D//ind は

によって与えられる。

5.2. 全微分
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f}} が Rmsup の開集合から Rmsup への函数ならば、f}} の方向微分は、その点における f}} の選択した方向への最適線型近似を与える。しかし、 //n// > 1}} のときは、位置方向への方向微分だけでは f}} の挙動を完全に捉えることはできない。全微分は、全ての方向を一度にまとめて考えることで函数の挙動を完全にとらえるものである。

f}} の a}} における全微分係数は

を満たす唯一の線型写像 //f   ′//: R//n// → R//m//}} と定義される。ただし、h ∈ Rmsup だから分母におけるノルムは Rmsup における標準ノルムであり、他方 //f   ′//h ∈ Rmsup であり分子のノルムは Rmsup の標準ノルムである。v}} が a}} を始点とするベクトルならば、//f   ′//v}} は f}} による v}} の押し出しと呼ばれ、//f//ind とも書かれる。f}} の点 a}} における全微分係数 f   ′}} は a}} を始点とする任意のベクトル v}} に対して、線型近似公式

が満足される。一変数の微分係数のときと同じく //f   ′//}} はこの近似の誤差が可能な限り最小となるように選ばれる。高次元の場合に、この線型近似公式が意味を持つためには //f   ′//}} は Rmsup のベクトルを Rmsup のベクトルへ写す線型写像でければならず、また //f   ′//v}} はその写像の v}} における値でなければならない。

5.2.1. 偏微分・方向微分との関係
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点 a}} において全微分係数が存在するならば、a}} における f}} の任意の偏微分および方向微分が存在する。即ち、任意の v}} に対して //f   ′//v}} が f}} の a}} における v}}-方向への方向微分になる。f}} を座標成分函数を用いて 1=//f// = (//f//ind と書けば、全微分係数は、偏微分を用いて行列として表すことができる。この行列

は f}} の a}} におけるヤコビ行列と呼ばれる。全微分係数 //f   ′//}} が存在することは、すべての偏微分が存在することよりも真に強い条件であるが、偏微分が全て存在して連続ならば全微分は存在し、それはヤコビ行列によって与えられ、a}} に関して連続的に変化する。

全微分係数の定義は一変数の場合も含むものになっている。f}} が実一変数の実数値函数であるとき、全微分係数の存在する必要十分条件は通常の微分係数が存在することである。ヤコビ行列は微分係数 //f   ′//}} を唯一の成分とする 1 × 1}} 行列であり、この行列は //f// ≈ //f// + //f   ′////h//}} なる近似性質を持つ。変数変換違いを除いて、これは函数 //x// mapsto}} //f// + //f   ′//}} が f}} の a}} における最適線型近似であることを述べるものである。

5.2.2. 高階の全微分
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函数の全微分をとる操作では、一変数の場合と同じやり方で考えたのでは、別の函数を与えることは無い。これは多変数函数の全微分係数が一変数函数の微分係数よりも多くの情報をもつものであることからくるもので、実際に全微分は函数の始域となる空間の接束から終域となる空間の接束への写像を与えるものになっている。

自然な意味で高階導函数に対応する概念は、線型写像でも接束上の写像でもなく、また全微分を繰り返すことで構成されるものでもない。

ジェット: 高階の全導函数となるべきものはジェット と呼ばれるもので、これは線型写像ではないし、接束上の写像でもない。ジェットは高階の情報を反映することから、各方向への高階の変化を表す追加の座標を引数としてとる。このような余分の座標によって決定される空間はジェット束と呼ばれる。函数の全微分と偏微分との関係に並列に対応するものは、函数の k}}-階のジェットと k}} 階以下の偏微分との関係として理解することができる。 高階フレシェ微分: 全微分を繰り返しとることは、高階のフレシェ微分として定式化することができる。つまり、k}}-階の全微分は なる写像として解釈することができる。この写像は点 x ∈ Rmsup に対して、Rmsup から Rmsup への k}}-重線型写像の空間の元で、その点において f}} を「最適」に k}}-重線型近似するものを割り当てる。対角線埋め込み Δ: x → }} との合成を考えれば、多変数のテイラー級数も最初の方の項が となるようなものとして与えられる。ただし、//f//}} は定値函数と同一視され、各 msup はベクトル x − a}} の第 i}}-成分で、ind は線型変換としての //Df//, //D//exp の各成分を表す。

6. 一般化
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微分の概念を多くの他の状況設定の下でも拡張して定義することができる。共通することは、一つの点における函数の導函数がその点における函数の線型近似として働くことである。

実函数の微分の重要な一般化は、ガウス平面上の領域からガウス平面 C}} への函数のような複素変数の複素函数の微分である。複素函数の微分の概念は、実函数の微分の定義において実変数であるところを複素変数に置き換えることで得られる。二つの実数 x, y}} を用いて複素数 //z// =}} //x// + //i// //y//}} と書くことによりガウス平面 C}} を座標平面 R2}} と同一視するとき、C}} から C}} への複素可微分函数は R2}} から R2}} へのある種の実可微分函数とみなすことができるが、逆は一般には成り立たない。正則函数の項を参照。
別の一般化として可微分多様体の間の写像の微分を考えることができる。直観的に言えば、可微分多様体 M}} とはその各点 x}} の近くで接空間と呼ばれるベクトル空間によって近似することのできる空間である。そのような多様体間の可微分写像 //f//: //M// → //N//}} の点 //x// ∈ //M//}} における微分係数あるいは微分は、x}} における M}} の接空間から //f//}} における N}} の接空間への線型写像であり、導函数は M}} の接束から N}} の接束への写像となる。この定義は微分幾何学において基本的であり、多くの応用がある。微分写像および引き戻し の項を参照。
バナッハ空間やフレシェ空間のような無限次元線型空間の間の写像に対する微分法も定義できる。方向微分の一般化であるガトー微分や函数の微分の一般化であるフレシェ微分などがある。
古典的な微分の欠点は微分可能な函数がそれほどまでには多くないことである。それにも関わらず、微分の概念を拡張して任意の連続函数やほかの多くの函数を微分可能とするものに、弱微分がある。これは連続函数をより大きな分布の空間に埋め込んで、「平均の上で」のみ微分可能性を課すというものである。
微分の性質に着想を得て代数学や位相空間論における同様の対象がたくさん導入され研究されている。例えば導分、微分環などを参照。
微分の離散的対応物は差分である。微分法の研究は時間尺度微分積分学において差分法と統一される。
算術微分

7. 関連項目
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自動微分
積分
対称微分
微分作用素
微分法
無限小
ラドン&ndash;ニコディム微分

微分可能関数
スケール因子 - 異なる物理量間で微分を考える際、得られる値は実際の比というより、物理単位の取り方に依存した仮想的な値になる。

8. 脚注
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8.1. 注釈
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8.2. 出典
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9. 参考文献
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9.1. 関連文献
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9.1.1. 印刷物
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9.1.2. オンライン本
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9.1.3. ウェブサイト
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Khan Academy: [1]
[2] from Wolfram Alpha.
[3], UBC