数

数とは、

ものの順序を示す語。また、その記号・数字。
個々の物や事が、いくつあるかということを表すもの。ITなど特定の分野においては「数値」ともいう。

1. 数の概念
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1.1. 数の体系
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数概念の拡張の歴史数の概念は人類の歴史とともに、非常に長い年月をかけて、ゆっくりと、徐々に、拡張されてきた。

もっとも素朴な数は、ものの順番や個数としての自然数である。つまり「1, 2, 3, ....」などという数である。

その自然数に加えて、古代バビロニアや古代インドにおいて、現代で言う「ゼロ」に似たような概念を使おうとする人が現れた。なお、「1, 2, 3, 4, 5...」という概念しか知らなかったところに加えて、「ゼロ」という概念を発明し 数を拡張したことは、数学の長い歴史の中でも特に大きな跳躍だった、とされることがある。「無い」ということを「ひとつの概念」として扱おうとしたこと、つまり、自然数では表記できない事例に遭遇した時に、単に文章の中で「無い」「...をすると、無くなる」などの表現をして終わらせるのでなく、その状態を「ひとつの概念」として意識を向けてそれを扱おうとしたことや、特定の記号でその概念を表現しようとしたことや、その状態まで含めて「『数』の一種」だと位置付けようとしたこと、などが行われたことによってはじめて、現代の広大な数の体系へと続く長い道のりが始まった。そもそも先例も無く、思考の足掛かりらしい足掛かりも無いのに、「ゼロ」という概念の萌芽のようなものを最初に思いつく、ということ自体が人類にとって非常に大変なことであった。また、「無い」ことを概念として本当に扱ってよいのか？思考の対象として良いのか？良くないのか？ ということすら良く判らず、非常に長い間、得体の知れない、不気味な概念だった。また、やっとなんとか「ゼロ」に近いものを思いつき、扱ってみようと試みる人が現れた後も、そのアイディアを口にしたり文章に書いたりすると、「そんな妙なアイディアは認めるべきでない」や「危険なアイディアだ」などと否定する人のほうがはるかに多く、結局、古代ギリシア文明のように「ゼロ」概念を否定してしまったものもあったなど、古代のさまざまな文明で「ゼロ」という概念を巡り人々は迷い、争い、葛藤した。

長い時代を経て、自然数にゼロ、およびひとつひとつの自然数と一対になっている「負の数」という概念を加えることで、「整数」というまとまりが考えだされた。なお、この段階では「自然数」「ゼロ」および「負の数」で、「全ての数」と考えられていたので「integer」と呼ばれていたのである。

さらに整数の商を考えて有理数と拡張され、四則演算が自由に行える体系を得る。有理数から実数への拡張はこのような演算とは異なるギャップを埋めることで得られ、代数方程式の解法を通じて虚数を含む複素数へと拡張された。

自然数 → 整数 → 有理数 → 実数 → 複素数
複素数 - 虚数、実数
複素数 - 代数的数、超越数
実数 - 無理数、有理数
有理数
整数 - 自然数、負の整数
自然数 = 正の整数フランスの数学者、アンリ・ポアンカレは「数」の定義は難しく、0、1などを厳密に定義するのは難しいと説明している。



1.2. 様々な拡張法
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これらを更に別の観点から拡張した体系が存在する。例えば、ものの個数の概念である自然数を拡張して基数が、ものの順番を表す意味での自然数の拡張として順序数が定義される。複素数を更に拡張したものとして、四元数・八元数・十六元数などの体系がある。あるいは、実数に加えて無限小や無限大を含む超実数などの体系もある。

自然数 → 基数
基数 - 有限基数、無限基数
自然数 → 順序数
順序数 - 有限順序数、超限順序数
実数 → 複素数 → 四元数 → 八元数 → 十六元数
有理数 → //p//-進数
実数 → 超実数

2. 記数法
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数を如何にして数字に表すかという方法は記数法と呼ばれる。同じ数が、さまざまな記数法ごとに異なる表示をもつことは珍しいことではない。 以下の記事も参照のこと。

分数表記
小数表記
指数表記
N進表記例えば十進法の「255」は、十六進法では「FF」と記述され、二進法では「1111 1111」と記述される。「255」と「FF」と「1111 1111」では、見た目はかなり異なるが、あくまで同じ数の概念を表している。

なお人類は、古代ではさかんに、十二進法や六十進法を用いてきた歴史がある。次第に用いられることが減ってきたが、現代でも時間や時刻の表示法や、緯度・経度の表示法、等々等々で用いられている。 十二進法は、はるか昔、古代バビロニアの時代から用いられていたわけだが、どうして十二進法が用いられるようになったのか？に関してはいくつかの説があり、『太陽の軌道の位置が元の位置に戻ってくるまでの間に、つまり1年の間に月が12まわり　変化する。古代では太陰暦のほうが標準的に用いられていたので、「12」という概念を用いて、ものごとを数えることがしばしば行われたのだ』という説や、『数を数える時に、人差し指・中指・薬指・小指の4本を用い、それぞれの指にある3つの関節をひとつずつ指しながら数を数えたので、結果として、4 x 3 = 12、が「ひとまとまり」や「ひと区切り」となったからだ。』といった説が主流である。

近・現代では、概して言えば、十進法表記が用いられていることが多い。理屈の上では、さまざまな記数法を採用しうるのに、なぜ十進法が採用されることが多くなったのか？　という疑問に関しては、おおむね「人類の両手の指は合わせて10本あり、両手の指をつかって数を数えることが多くの民族で行われていたからだ」といった類の説明がされることが多い。いずれの方法でも、両手の指を全部使ったところである種の「ひとまとまり」や「ひと区切り」を迎えるので、自然と人類は十進法という発想法を用いることが多くなった、といった説明である。

なお20世紀後半になってデジタルコンピュータの使用が急速に増えるにつれ、計算機科学の専門家やコンピュータ・エンジニアなどを中心として二進法や十六進法の活用が非常に活発になった。二進法はデジタルコンピュータのCPUでの数表現と直結していたからである。ただ二進法は、その表記量が増えると「1010 1111 0101 1100 ...」などといった調子で、あまりに桁数が多くなり、おまけに「0」「1」ばかりでは人間の頭脳の特性には向いておらず扱いにくくなるので、一旦それを十六進表記に変換して「AF5C...」などと表記したり、十六進表記でプログラムを書いたり、十六進表記に対応したキーボードでそれを入力するしくみを作った。二進数表記と十六進数表記は、二進数の4桁が十六進の1桁に変換でき、一種の「相性」のようなものが良く便利なので、用いられた。例えば上記の「1010」→「A」と変換できる。また、コンピュータの仕組みとしては、「A」のキーが押されたら、内部的にはそれを「1010」と表現すれば良く、2進で4桁分ずつデータを取り込んでゆけば良かった。、デジタルコンピュータは今も、二進法を根本原理として、物理的に動いており、それに支配されている。これらのことから現在でも、コンピュータのエンジニアの資格試験では二進法・十六進法・十進法などの間の相互変換は必修事項となっており、コンピュータ・エンジニアの資格取得者ならばそれらの相互変換ができる。

なお、ある数を記述するための記数法が指定されても、それでも表示がひとつに定まらないことがある。例えば、十進小数表示では 1 = 0.999... という2通りの表示をもちうる。

3. コンピュータにおける数値
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デジタルコンピュータでは、全てのデータは内部的には、0/1 という数値の集まりという形で存在している。ひとつのスイッチのOFF/ONという状態が、数値の0/1と対応しており、0/1があるので2進数が表現可能となっている。ひとつのスイッチ、0/1ひとつ、2進数の1桁相当を「1ビット」と言う。ひとつのスイッチが1桁の2進数に対応するので、スイッチの個数を増やして組み合わせてゆくことで、桁数の多い2進数も表現できる。2進数8桁を、しばしばひとかたまりとしてとらえて「1バイト」という。1バイトで、28＝256種類の値が表現できる。これの扱い方はいくつかあり、ひとつはこれを0〜255として扱う方法がある。あるいはこれを「-128〜0〜127」という整数などと見なして扱うこともできる。1バイトではわずかこの程度の範囲の整数しか表現できないが、桁数を増やすことで、もっと大きな整数を表現できることになる。たとえば2バイトならば、-32768〜+32767が表現できる。コンピュータの歴史では、CPUが一度に扱える桁数が 1バイト→2バイト→4バイト→8バイトと増すにつれ、大きな桁数の整数を表現し扱うことができるようになってきた。 ともかくこのようにして、さまざまな工夫をすることで、コンピュータの内部では、自然数・負の数・整数・実数などをLow/Highという電圧の集まりで表現し、多数のスイッチの電位を超高速で連鎖的に変化させることで、数の演算を実現している。

なお、パソコンなどの回路では、文字も「文字コード」という数値で存在している。例えばラテン文字の1番目の大文字 A は標準的なASCIIコードやShift_JIS・UTF-8などでは十六進法表記で0x41で、小文字の a は0x61=97である。同じように数字も文字として存在しており、文字 0 の数値は0x30=48である。

4. 脚注
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4.1. 注釈
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4.2. 出典
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5. 関連項目
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定数
変数
直線
数に関する記事の一覧
数詞
キープ 
命数法 - 倍数接頭辞
ぞろ目
数の比較

6. 外部リンク
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