約数

数学において整数 N}} の約数とは、N}} を割り切る整数またはそれらの集合のことである。割り切るかどうかということにおいて、符号は本質的な問題ではないため、N}} を正の整数に、約数は正の数に限定して考えることも多い。自然数や整数の範囲でなく文字式や抽象代数学における整域などで「約数」と同様の意味を用いる場合は、「因数」、「因子」が使われることが多い。

整数 a}} が整数 N}} の約数であることを、記号 | を用いて //a// !}} //N//}} と表す。

約数の定義を式で表すと、「整数 //a// ≠ 0}} が N}} の約数であるとは、ある整数 b}} をとると //N// =}} //ab//}} が成立することである」であるが、条件「//a// ≠ 0}}」を外すこともある。

自然数で考えている文章では、ことわりがなくても「約数」を前提にしていることは多い。

1. 定義
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整数 //a// ≠ 0}} が N}} の約数であるとは、「ある整数 b}} をとると //N// =}} //ab//}} が成立することである」であるが、条件「//a// ≠ 0}}」を外すこともある。このときは、//N// =}} 0}} のときに限り 0}} も約数になる。約数が無数にある整数は 0}} だけである。

負の符号は本質的な問題ではないため、ここでは以下現れる数はすべて自然数とする。

どのような自然数 N}} に対しても、1}} と自分自身 N}} は N}} の約数である。2}} 以上の自然数はさらに、約数の個数が 2}} であるかそれより大かで分けられる。1}} と自分自身以外に約数をもたない自然数を素数といい、そうでない自然数を合成数という。合成数は重複を許した2個以上の素数の積である。

例えば、

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, …}}は素数であるが、12}} の約数は、

より、1, 2, 3, 4, 6, 12}} の6個である。

合成数の列は

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, …}}例えば 60}} は約数の個数が12個もあり、もれなく挙げるのはたいへんである。そこで、「a}} が N}} の約数ならば、sfrac も N}} の約数である」ことを使うと、半分程度の労力で済む。

60}} の約数：一般に、平方数のときに限り約数の個数は奇数になる。

36}} の約数：一般に、約数の個数を求めるとなると、素因数分解が効果を発揮する。

N}} の素因数分解を //N// =}} 2sup とすると、N}} の約数の個数は (//a//sub個素因数分解の可能性と一意性は自明な定理ではない。しかし、これにより約数を式で表すことができる：

60 =}} 2sup より、60}} の約数：

2. 約数に関する定義と性質
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整数 N}} に対して、±1, ±//N//}} を N}} の自明な約数という。自明でない約数を真の約数という。
0}} の約数は、全ての整数である。
自然数 N}} の正の約数の個数を //d//}} で表す。これは約数関数 σsub の //x// =}} 0}} の場合である。N}} の素因数分解を //N// =}} 2sup とすると、

3. 約数の個数
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自然数 N}} の正の約数の個数を //d//}} で表す。

N}} の素因数分解を //N// =}} 2sup とすると、上記の表で先頭の数はA005179}}を参照。

正の約数の個数の列は1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4, 5, 2, 6, 2, 6, 4, 4, 2, 8, 3, 4, 4, 6, 2, 8, …}}
正の約数の個数が奇数である自然数は平方数に限られる。
正の約数の個数が自分自身までのどの自然数よりも大きい自然数については高度合成数を参照。
正の約数の個数の総和の列は1, 3, 5, 8, 10, 14, 16, 20, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 45, 50, 52, 58, 60, 66, 70, 74, 76, 84, 87, 91, 95, 101, …}}
正の約数の個数の総和が自身の整数倍になる数の列は1, 4, 5, 15, 42, 44, 47, 121, 336, 340, 347, 930, 2548, …}}このときの約数の個数の総和はA218464}}を参照。
約数の個数が三角数になる三角数の列は1, 28, 45, 153, 171, 325, 496, 2016, 3321, …}}
約数の個数が三角数になる三角数で前の約数の個数を上回る数の列は 1, 28, 496, 2016, 41616, 270480, …}}
自身の約数の個数で割りきれる数は 1, 2, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 40, 56, 60, 72, 80, 84, 88, 96, 104, 108, 128, 132, 136, 152, 156, 180,…}}

4. 約数の和
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自然数 N}} の正の約数の和を、約数関数 σ}} で表す。素因数分解により、正の約数の和も式で表すことができる。

N}} の素因数分解を //N// =}} 2sup とすると、

正の約数の和が奇数になる自然数は、平方数と平方数の2倍のみである。これは平方数の約数の個数が奇数個になることと偶数の素数が 2}} しかないからである。1, 2, 4, 8, 9, 16, 18, 25, 32, 36, 49, 50, 64, 72, 81, 98, 100, 121, 128, 144, …}}奇数になる正の約数の和の列は 1, 3, 7, 13, 15, 31, 39, 57, 63, 91, 93, 121, 127, 133, 171,…}}
正の約数の和が素数になる自然数は2, 4, 9, 16, 25, 64, 289, 729, 1681, 2401,…}}である。2}} 以外は平方数である。これらの数の正の平方根は 2, 3, 4, 5, 8, 17, 27, …}}である。素数になる約数の和の列は 3, 7, 13, 31, 127, 307, 1093, 1723, 2801,…}}である。
自然数 //n//, //d//}} に対し、を満たす奇数の自然数 N}} が k}} 個の相異なる素因数を持つとき、が成り立つ。

4.1. 約数の和の一覧
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正の約数の和の列は 1, 3, 4 ,6, 7, 8, 12, 13, 14, 15, 18, 20, 24, …}}
各数列における正の約数の和は以下のオンライン整数列大辞典を参照。
正の約数の和に等しくなる自然数の個数が自身までの自然数より大きくなる自然数がある。{|class="wikitable" style="text-align:center"!個数!!約数の和!!数 |- !1 ||| |- !2 ||| |- !3 ||| |- !5 ||| |- !6 ||| |- !7 ||| |}

正の約数の和に等しくなる自然数が2個以上ある自然数の列は 12, 18, 24, 31, 32, 42, 48, 54, 56, 60, 72, 80, …}}{|class="wikitable"!style="white-space:nowrap"|約数の和
になる個数!!数!!参照 |- !1 ||| |- !2 ||| |- !3 ||| |- !4 ||| |- !5 ||| |- !6 ||| |- !7 ||| |- !8 ||| |- !9 ||| |- !10 ||| |- !11 ||| |- !12 ||| |- !13 ||| |- !14 ||| |- !15 ||| |- !16 ||| |- !17 ||| |- !18 ||| |- !19 ||| |- !20 ||| |- !21 ||| |- !24 ||| |- !26 ||| |- !27 ||| |- !29 ||| |- !33 ||| |- !35 ||| |- !37 ||| |- !58 ||| |- !59 ||| |}

上記の表で先頭の数はA007368}}を参照
正の約数の和が完全数になる自然数の列は 5 , 12  , 427 , 10924032 , …}}
正の約数の和が倍積完全数になる自然数の列は 1, 5, 12, 54, 56, 87, 95, 276, 308, 427, …}}
正の約数の和が三角数になる自然数の列は 1, 2, 5, 8, 12, 22, 36, 45, 54, 56, 87, 95, 98, 104, …}}
正の約数の和が平方数になる数の列は 1, 3, 22, 66, 70, 81, 94, 115, 119, 170, 210, …}}
正の約数の和が立方数になる数の列は 1, 7, 102, 110, 142, 159, 187, 381, 690, 714, …}}

4.2. 約数の和から元の自然数の求め方
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正の約数の和が n}} となる自然数 N}} を求めるには、初項 1}} の素因数のべき和の積を既知とするところから求める必要がある。

初項 1}} の素数のべき和の列は 1, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 13, 14, 15, 18, 20, 24, 30, …}}例：正の約数の和が 60}} になる自然数 N}} の求め方：

これらのうち初項 1}} の素数のべき和の積になっているのは① 1 × 60}} ② 3 × 20}} ③ の3通りである。① σ =}} 1 ×  =}}  =}} (1 + 3sup →