冪乗

数学における冪乗または冪演算は、底  および冪指数  と呼ばれる二つの数に対して定まる数学的算法である。その結果は冪  と呼ばれる。自然数 n}} を冪指数とする冪演算は累乗  に一致する。

1. 概要
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冪の底 b}} および冪指数 e}} をもつ冪は、底の右肩に冪指数を乗せて bexp のように書かれる。n}} が自然数のとき、自然数乗 bexp は底の累乗

であり、bexp は b}} の n}}-乗や、n}}-次の b}}-冪などと呼ばれる。

特定の冪指数に対して、固有の名前が付けられている。例えば、冪指数が 2}} である冪 //b//exp は「b}} の平方 」または「b}}-自乗 」と呼ばれ、冪指数が 3}} である冪 //b//exp は「b}} の立方 」と呼ばれる。それ以降は 4 乗、5 乗、… というように「n}} 乗」という言い方が一般的である。

冪指数が −1}} である冪 //b//exp は 1///b//}} であり、「b}} の逆数」と呼ばれる。一般に冪指数が負の整数 n}} である冪 bexp は、1=//b////n// × //b////m// = //b////n// + //m//}} という性質を保つように、底 b}} が 0 でないとき //b//exp と定義される。

冪乗は、任意の実数または複素数を冪指数とするように定義を拡張することができる。底および冪指数が実数である冪において、底を固定して冪指数を変数と見なせば指数函数であり、冪指数を固定して底を変数と見なせば冪函数である。整数乗の冪に限れば、行列などを含めた多種多様な代数的対象に対してもそれを底とする冪を定義することができる。冪指数まで同種の対象に拡張すると、その上で定義された自然指数函数と自然対数函数をもつ完備ノルム環を想定するのが自然である。

2. 歴史
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歴史上に冪が現れたのは非常に古く、B.C.16世紀ごろに作成された粘土板には平方数表、平方根表、立方根表や三平方の定理について書かれており鈴木、エジプト、インド、ギリシアなどでも冪の概念は明示されている。一方で、指数法則に言明する文献は見当たらず「指数概念」には未だ到達していないと考えるべきであるが、冪を意味する英単語 "power" はギリシアの数学者エウクレイデスが直線の平方を表すのに用いた語に起源がある。また、「原論」において指数法則 //a////m// × //a////n// =}} //a////m//+//n//}} に相当する命題に言及している鈴木が、この時代には算式は発明されておらず、すべて言葉で表現していた鈴木。

2.1. 記法
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アルキメデスは 10}} の冪を扱うために必要となる指数法則 10exp を発見し、証明したFor further analysis see The Sand Reckoner.}}。9世紀に、ペルシアの数学者アル゠フワーリズミは平方を mal}}, 立方を kab}} で表した。これを後に中世イスラムの数学者がそれぞれ m, k}} で表す記法として用いていることが、15世紀ごろのアル゠カラサディの仕事に見ることができる。

16世紀後半、ヨスト・ビュルギは冪指数をローマ数字を用いて表した。

17世紀初頭、今日用いられる現代的な冪記法の最初の形は、ルネ・デカルトが著書 //La Géométrie// の一巻において導入した。

アイザック・ニュートンなど一部の数学者は冪指数は 2 乗よりも大きな冪に対してだけ用い、平方は反復積として書き表した。例えば、多項式を //ax// + //bxx// + //cx//3 + //d//}} のように書いた。

2.2. 用語
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15世紀にニコラ・ショケは冪記法の一種を用い、それは後の16世紀にハインリヒ・シュライベルおよびミハエル・スティーフェルが用いている。

16世紀にロバート・レコードは、square, cube, zenzizenzic, sursolid, zenzicube, second sursolid, zenzizenzizenzicの語を用いた。4 乗については biquadrateの語も用いられた。

歴史的には "involution" が冪の同義語として用いられていたが現在では稀であり、別の意味で用いられているので混同すべきではない。

2.2.1. 冪指数
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冪指数を意味する用語として、英語ではしばしば exponent と index が同義語として用いられる。この用語選定は18世紀、19世紀を通じて極めて曖昧で個人の嗜好に委ねられていた鈴木。しかし、ガウスは、その著書 //Disquisitiones Arithmeticae// において通常の冪指数と数論的な指数を峻別する必要性から exponens は通常の冪指数、index は数論的な指数を表すものとして明確に区別し使い分けて解説に使用しており、この使い分けはディリクレ、デデキント、ヒルベルトを通じて数論の世界での標準となった鈴木。

もとをたどれば、1544年にミハエル・スティーフェルが"exponens"}} を造語し鈴木、対して1586年にラザルス・シェーナーが数学者ペトルス・ラムスの書籍への補注として"index"}} を用いた鈴木のがそれぞれの語源と考えられる。exponent と index はこれらの英語翻訳であり、例えば index はサミュエル・ジークが1696年に導入した。

exponent と index の微妙な使い分けと併用の時代はここから始まり、その併用のされ方は国と時代だけでなく個人によっても異なった。イギリスは当初 index が優勢であり、これは聖バーソロミューの大虐殺で殉死したラムスの著作がプロテスタント諸国で非常に人気を集めたからだとの指摘がある鈴木。

2.3. 日本語「冪」
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『冪』の字義は「覆う、覆うもの」であって、『冖』と同音同義である。江戸時代の和算家は「冪」の略字として「巾」を用いていた。

第二次世界大戦後の漢字制限政策のもと、これらの字は常用漢字・当用漢字に含まれず、1950年代以降の学習参考書などの出版物では仮名書きで「べき乗」または「累乗」への書き換えが進められ、結果として初等数学の教科書ではもっぱら「累乗」が用いられた。「累乗」の字義は「重ね掛けた乗算」であり、自然数乗以外の冪に対して用いることは、字義からすればあまり自然でない。

「冪集合」、「冪級数」などの高等学校以下で扱われない多くの概念に対しては、「冪」の部分が置き換えられることはなく、例えば「べき乗集合」や「累乗集合」などといった表現はあまり生じていない。

3. 定義
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3.1. 自然数乗冪
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実数において、元 //x//}} と自然数 //n//}} に対して//x////n//}} を

で定義する。上付きの //n//}} が書けない場合には、 //x//^//n// という表記を用いることが多い。 これを //x// の //n// 乗または //x// の //n// 乗冪と呼び、//n// を問題にしないときは //x// の累乗や //x// の冪という。

この操作を「//x// の //n// 乗を取る」などといい、特に //n// を固定して //x// を入力とする関数と見るときは、冪関数という。//x// の 2乗、3乗は特に、それぞれ //x// の平方 、立方  と呼ばれ、2乗を特に自乗という場合もある。

冪 //x////n// において、//x// を底と呼び、//n// を冪数、冪指数または単に指数