ゴールドバッハの予想

ゴールドバッハの予想とは、次のような加法的整数論上の未解決問題の1つである。ゴールドバッハ予想、ゴルドバッハの予想とも。

この予想はウェアリングの問題などと共に古くから知られ、クリスティアン・ゴールドバッハがレオンハルト・オイラーへの書簡で定式化して述べたことからこの名前がついている。

4   ×   1018 までの4以上のすべての整数について成立することが2015年に確認されていて一般に正しいと想定されているが、多くの努力にもかかわらず未だに証明されていない。

1. 概要
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予想には、ほとんど同値ないくつかの述べ方があり、次のように述べることが多い： 4以上の全ての偶数は、二つの素数の和で表すことができる。 6以上の全ての偶数は、二つの奇素数の和で表すことができる。 　素数のうち偶数であるのは、2 のみであるから、偶素数同士の和となるのは、4=2+2 であり、4 のみである。例えば、6以上で22までの偶数を奇素数の和で表す場合は、 のように、二つの奇素数の和で表すことができる。2012年現在、4×1018までの全ての偶数について成り立つことが、コンピュータによって確かめられている。

ゴールドバッハはこの予想を更に緻密にして、こう予想した。

5より大きな任意の自然数は、三つの素数の和で表せる。これから上が導けるのは、偶数を三つの素数の和で表すと素数の一つは 2 になっているからである。

多くの数学者は、素数分布の確率に関する統計学的な観察から、この予想は正しいと考えている。

類似の予想として、「弱いゴールドバッハ予想」というものがある。これは5より大きい奇数は三つの素数の和で表せるという予想である。4より大きい偶数が二つの奇素数の和で表せるという「強いゴールドバッハ予想」が正しいならば、弱いゴールドバッハ予想も真である。これは

ならば

であることから明らかである。ここでp1およびp2は奇素数である。

また、一般化されたリーマン予想が正しいならば、弱いゴールドバッハ予想が導かれることが知られている。

2. 現在までの主な進歩
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ノルウェーの数学者ブルンは1920年頃、エラトステネスの篩を発展させた新しい篩法を用いて、十分大きなすべての偶数は、高々9つの素数の積であるような数の二つの和であることを証明した。
ハーディとリトルウッドは1923年に、L関数に対する一般化されたリーマン予想を仮定して、全ての奇数 n ≧ n0 が3個の素数の和となるような下限 n0 が存在することを証明し、またその表現の個数の漸近公式を得た。また同様の仮定のもとにほとんどすべての偶数が二つの奇素数で表されること、すなわち例外的な数全体は零集合であることを証明。しかし偶数を二つの奇素数で表す仕方の数の漸近公式については予想するにとどまった。
1930年にソビエトの数学者シュニレルマンは、2個の素数の和で表される数と0, 1からなる集合は正のシュニレルマン密度を持つことをブルンの篩を用いて初等的に示し、シュニレルマンの定理から、すべての自然数が高々 k 個の素数の和であるような、k が存在することを示した。
1937年にソビエトの数学者イヴァン・ヴィノグラードフは三素数の問題に関して、三角和の方法を用いて、一般化されたリーマン予想を仮定することなしに、上記のような定数 n0 の存在を証明した。
1938年頃、イギリスのエスターマン、ソビエトの数学者チュダコフ、オランダの数学者ヴァン・デア・コルプトらは、それぞれ独立に、なんらの仮定もせずにほとんどすべての偶数は二つの奇素数の和であることを証明した。
1947年、ハンガリーの数学者レーニは大きな篩いという新しい方法を用いて、すべての自然数を、素数と高々 //k// 個の素数の積である数との和で表すことのできるような、//k// が存在することを証明した。
中国の数学者陳景潤は1978年までに、十分大きなすべての偶数は、素数と高々二つの素数の積であるような数との和で表されることを証明した。下界が山田智宏により与えられている。
1995年、フランスの数学者ラマレはすべての偶数が高々6個の素数の和として表せることを証明した。
2002年、ロジャー・ヒース＝ブラウンとシュラーゲ＝プフタは十分大きなすべての偶数は2個の素数と13個の2の冪の和で表され、一般化されたリーマン予想が正しいならば、十分大きなすべての偶数は2個の素数と7個の2の冪の和で表されることを示した。
2009年、ゴールドバッハの予想に関する分散コンピューティングプロジェクトで[1]が開始された。
2013年、ハラルド・ヘルフゴットによって弱いゴールドバッハ予想が証明された。
2015年、4   ×   1018 までの4以上の全ての偶数について成立することが確認された。

3. ヒューリスティックな正当化
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素数の確率分布に焦点を当てた統計的考察から、十分大きな整数における本予想の成立が示唆される。一般に大きな数であるほど二つ三つの数の和に分解する方法も多くなるので、そのような和の中に一つは全て素数のものがあったとしても不思議ではない。

強い予想についてのヒューリスティックかつ確率論的な議論は、大まかには次のようなものである。素数定理によれば、無作為に選択した整数 m}} が素数である確率は 1/ln mvar である。故に十分大きな偶数 n}} に対し m}} が 3 ≤ mvar を満たすとき、m}} と mvar が共に素数である確率は 1/(ln   mvar となる。このことから、十分大きな偶数 n}} を二つの素数の和に分解する方法の数は概ね

であると計算できる。この値は n}} の増大につれて無限大に発散するので、恐らく任意の巨大な偶数は二つの素数の和に分解できるどころか、そのような方法は幾通りも存在するであろうと予想できる。

この議論は実際にはやや不正確である。理由は m}} と mvar が素数であるという二つの事象に統計的独立性を仮定しているためである。例えば m}} が奇数ならば mvar もまた奇数、m}} が偶数ならば mvar もまた偶数となるが、2 を除く整数は奇数のときしか素数となりえないため、これは二つの事象の間の非自明な関係となる。同様に n}} が 3 の倍数、m}} が 3 でない素数のとき、mvar は 3 と互いに素となる可能性があり、その分素数である確率も若干高くなる。1923年、ハーディとリトルウッドはこのような解析をより注意深く行い、次のように予想した。

この予想は mvar において正しいことがイワン・マッツヴェーヴィッチ・ヴィノグラードフにより厳密に証明されているが、mvar の場合は未だ証明されていない。mvar のとき上式は、n}} が奇数のとき 0 、n}} が偶数のとき

と単純化される。ただし Πmsub はハーディ・リトルウッドの双子素数定数

である。

この予想は「拡張ゴールドバッハ予想」と呼ばれることもある。実際、強いゴールドバッハ予想は双子素数予想にとても良く似ており、これら二つの予想の難しさは概ね同程度であると考えられている。

記事中のゴールドバッハの分配函数をヒストグラムにすることで、上述の式をより見やすく描写することもできる。ゴールドバッハ彗星も参照。

4. 厳密な結果
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強いゴールドバッハ予想は、さらに非常に難しい。イワン・マッツヴェービッチ・ヴィノグラドフの方法を使い、ニコライ・チュダコフ や、ヨハン・ヴァン・デル・コルプト や テオドル・エスターマン は、ほとんど全ての偶数が 2つの素数の和として表すことができることを示した