調和関数

数学における調和関数は、ラプラス方程式を満足する二回連続的微分可能な関数のことをいう。

調和関数に関する重要な問題はディリクレ問題である。ディリクレ問題の解決方法にはいくつかあるが、その中でも重要な一般的方法はディリクレの原理である。

20世紀には、ウィリアム・ホッジ、ジョルジュ・ド・ラーム、小平邦彦らが調和積分論の発展の中心的な役割を果たした。

1. 導入
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物理学において生じる調和函数は、その特異点と境界条件によって決定される。さらに、境界のない領域上では任意の整函数の実部または虚部が同じ特異点を持つ調和函数を与えるから、この場合調和函数をその特異点のみで決定することはできないが、物理学的な要請として解は無限遠において消えるものと仮定すれば、やはり一意的な解を得ることができる。

このような調和函数の特異点は、電気力学の言葉で言えば「電荷」や「電荷密度」として解釈することができて、対応する調和函数はこの電荷分布に従う電位に比例するものと理解することができる。またそのような函数は定数倍したり、回転したり、定数を加えたりしても調和函数を与える。調和函数の鏡像法もまた調和函数だが、特異点はもとの函数の「鏡像」に写る。二つの調和函数の和も調和函数である。

2. 定義といくつかの事実
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関数 //f//: C//n//  → C }} がラプラス作用素

に対し、Δ//f// =}} 0}} を満たすとき、関数 f}} は調和 }} である、あるいは f}} は調和関数であるという。

与えられた領域 U}} 上の調和函数全体の成す集合はラプラス作用素 Δ}} の核であり、従って実ベクトル空間となる。すなわち、調和函数の和・差・スカラー倍はまた調和函数になる。
領域 U}} 上の調和函数 f}} に対し、f}} の任意の偏導函数はまた U}} 上の調和函数である。ラプラス作用素 Δ}} と偏微分作用素 ∂}} は調和函数のクラスの上では可換になる。
幾つかの意味において、調和函数は正則函数の実解析における対応物と考えることができる。任意の調和函数は実解析的である。これは楕円型作用素に関する一般的な事実である。
調和函数の一様極限函数はまた調和函数である。これは中間値性質をもつ任意の連続函数が調和であることから分かる。   ×   R}} 上の函数列を //f//sub と定めればこれは一様に零函数に収束するが、注意すべきはこれらの偏導函数の成す列は零函数には一様収束しないことである。つまり、極限が調和であるというためには連続性と中間値性質の両方を満足することが重要であることを示している。

3. 性質
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以下では i}} を虚数単位として用いる。

3.1. 複素関数と2次元調和関数
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複素数 //z// =}} //x// + //iy// }} を変数とする複素 1 変数複素関数 //f//   }} について、これを実 2 変数の関数として書き直すことができる。実 2 変数複素関数 //w// =}} //f//}} を、実部と虚部に分解すると 実部と虚部に対応する実 2 変数の実関数として //u//}} と //v//}} が得られる。このとき、w}} が複素微分可能であれば //u//, //v//}} は実 2 変数の調和関数となる。コーシー・リーマンの関係式より、2 つの関数 //u//, //v//}} は

を満たすが、これをベクトル解析の言葉で書き直せば grad //u// =}} T//v//}} となり、この湧き出し div   grad //u// =}} Δ //u//}} はゼロなので、関数 //u//}} は 2 次元のラプラス方程式を満たす調和関数であることが分かる。同様の方法でまた //v//}} も調和関数であることが導かれる。すなわち、正則な複素関数の実部と虚部は実調和関数となる。

逆に、2 つの実調和関数がコーシー・リーマンの関係式を満たすとき、それらは共役であるといい、共役な実調和関数の対//u//}}, //v//}} が与えられると、//z// =}} //x// + //iy//}} を変数とする正則関数//f// =}} //u// + //iv// }} が得られる。単連結領域上の実調和関数は共役調和関数を持つ。

3.2. 平均値の性質
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φ}} を R//n//}} 内の領域 U}} で定義された調和関数とする。このとき、ある点 //x// ∈ U}} における値 //φ//}} は、点 //x//}} を中心として U}} に含まれる任意の半径 r}} を持つ }}-次元球面 ∂B}} 上での φ}} の平均値に等しいEvans。すなわち、

が成り立つ。但し、ω}}は

で与えられる //n// − 1 次元単位球面の面積である。これは調和関数の平均値の性質 }}、あるいはガウスの平均値定理 }}、または単に調和関数に関する平均値定理 }} と呼ばれる。この結果から調和関数 φ}}は点 //x//}} を中心として U}} に含まれる任意の半径 r}} を持つ n}}-次元球体 B}} での平均にも一致する。すなわち、

が成り立つ。但し、α}}は

で与えられる n}}-次元単位球の体積である。

逆にφ ∈ C2}}は、φ}}が//U//}}内の任意の球面∂ B}}上の平均と一致するならば、φ}}は調和関数となるEvans。

3.3. ディリクレ問題とランダムウォーカー
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平均値の性質から、点 //x//}} における調和関数の値 //φ//}} は、点 //x//}} から出発したランダムウォーカーが領域 U}} の境界 ∂U}} に到達したとき、到達した点での調和関数の境界//φ//}} の期待値に対応していることが分かる。逆に、任意のディリクレ境界条件に対して、任意の点 //x//}} の調和関数の値 //φ//}} を見積もるには、//x//}} を出発して到達した点での境界値の算術平均をとればよい。

3.4. 最大値原理
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調和関数の平均値の性質は、最大値に強い制約を課すため、調和関数は領域の境界で最大値をとるEvans。正確には、U}} を R//n//}} の有界な開集合とし、φ が //U// 上の調和関数で、φ を境界に連続に拡張できるならば、

が成り立つ。この性質を調和関数の最大値原理と呼ぶ。U}} が連結開集合である場合に、 が存在すれば、φ}}は定数関数となる。この性質を調和関数の強最大値原理と呼ぶ。

最大値原理の直接的な応用としては、ポアソン方程式の境界値問題における解の一意性の証明がある。R//n//}} の有界な開集合U}} とその境界 ∂U}} において、//f// ∈ //C//}}と//g// ∈ //C//}}を与え、ポアソン方程式の境界値問題を考える。この境界値問題の二つの解に対し、差を取ったものは調和関数であり、最大値原理より、その最大値、最小値はゼロとなる。すなわち、二つの解は一致する。

3.5. 正則性
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調和関数は2階連続微分可能性のみを仮定しているに関わらず、無限回微分可能であるEvans。これは調和関数に球対称な軟化子を作用させたものが、平均値の性質から調和関数自身に一致することから示される。この性質は、より一般的な条件の下でワイルの補題として知られる。さらに、調和関数は解析的であるEvans。

3.6. リウヴィルの定理
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全R//n//}} 上で定義された有界な調和関数は定数関数となるEvans。この定理は、全複素平面で正則な複素関数が有界ならば定数関数であるという、関数論におけるリウヴィルの定理の類似を与えている。

3.7. ハルナックの不等式
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4. 一般化
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4.1. 弱調和函数
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函数がラプラス方程式 Δ//f// =}} 0}} の弱解となるとき弱調和函数であるという。

弱調和函数は殆ど至る所真の調和函数に一致し、特に滑らかである。弱調和超函数とは、真の調和函数に同伴するシュヴァルツ超函数のことであり、従ってこれもまた滑らかである。これラプラス方程式に関するワイルの補題という。

このほかにもラプラス方程式の弱バージョンで有用なものがたくさんある。そういったものの一つはディリクレの原理で、これはソボレフ空間 //H//1}} に属する調和函数をディリクレエネルギー積分

を局所変分に関して最小化するものとして表現する。すなわち、調和函数 //u// ∈ //H//sup は、任意の //v// ∈ //C//su に対して