二十進法

二十進法は、20 を底とし、底およびその冪を基準にして数を表す方法である。

1. 記数法
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1.1. 整数
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数列二十進記数法は、二十を底とする位取り記数法である。二十進法の位取りでは、通常では 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J の計二十個の数字を用い、十から十九までを A から J までに充てて、二十を 10 、二十一を 11 と表記する。なお、B と 8 、I と 1 が紛らわしいことを理由に、B や I を飛ばして、十一を C と表記したり、十八を J や K と表記したりする例もある。

数字の意味する数は、左に一桁ずれると 20倍になり、右に一桁ずれると 1/20 になる。例えば、20 という表記において、左の「1」は二十を表し、右の「4」は四を表し、合わせて「二十四」を意味する。桁の表示は、整数第二位は「二十の位」、整数第三位は「四百の位」となる。

本節では慣用に従い、通常のアラビア数字は十進数とし、二十進記数法の表記は括弧および下付の 20 で表す。必要に応じて、十進記数法の表記を括弧および下付の 10 で表す。二十進記数法で表された数を二十進数と呼ぶ。

二十進法は「4×5＝10」となるので、数列は、4の倍数や5の倍数が進みやすいという傾向を持つ。従って、4で割り切れる十二進法や、5で割り切れる十進法との親和性が見られる。素因数は十進法と同じく2と5であるが、「4×奇数」で桁上がりする構造は十二進法と同じである。

また、7以降の素数は、一の位が 1, 3, 7, 9, B, D, H, J の八つの中のいずれか、即ち 5 と F を除く奇数になる。例えば：

十進法の23 → 二十進法では13
十進法の31 → 二十進法では1B
十進法の53 → 二十進法では2D
十進法の97 → 二十進法では4H
十進法の139 → 二十進法では6Jとなる。



整数二十進表記の整数は：

20 = 27 
20 = 40 
20 = 57 
20 = 72 
20 = 95 
20 = 144 
20 = 168 
20 = 270 
20 = 400 
20 = 855 
20 = 1295 
20 = 1728 
20 = 1989 
20 = 2016 
20 = 5250 
20 = 8000 
20 = 17280 
20 = 20736 
20 = 38750 
20 = 116667 
20 = 160000 を、それぞれ意味する。

整数の四則演算様々なN進法における整数の四則演算は、二十進法では以下のようになる。

六進法→二十進法
六進法の 5555 + 1 = 10000 → 二十進法では 34F + 1 = 34G
六進法の 13000 - 112 = 12444 → 二十進法では 4H4 - 24 = 4F0
六進法の 430 × 23 = 15130 → 二十進法では 82 × F = 61A
六進法の 24000 ÷ 3 = 5200 → 二十進法では 8CG ÷ 3 = 2HC 十進法→二十進法
十進法の 95 + 15 = 110 → 二十進法では 4F + F = 5A
十進法の 2016 - 27 = 1989 → 二十進法では 50G - 17 = 4J9
十進法の 72 × 28 = 2016 → 二十進法では 3C × 18 = 50G
十進法の 1728 × 10 = 17280 → 二十進法では 468 × A = 2340
十進法の 400 ÷ 4 = 100 → 二十進法では 100 ÷ 4 = 50
十進法の 2016 ÷ 12 = 168 → 二十進法では 50G ÷ C = 88 十二進法→二十進法
十二進法の 103}} = 1000 → 二十進法では C3}} = 468
十二進法の 49 + 9 = 56 → 二十進法では 2H + 9 = 36
十二進法の 1200 + 70 = 1270 → 二十進法では 50G + 44 = 550
十二進法の 10000 - 100 = BB00 → 二十進法では 2BGG - 74 = 2B9C
十二進法の 1140 × 9 = A000 → 二十進法では 4G0 × 9 = 2340
十二進法の 3056 ÷ 19 = 18A → 二十進法では D2A ÷ 11 = CA 二十進法と十進法が決定的に異なる点は、「10÷4 = 5」「5の3倍がF」「十進法の110が5A」という点である。二十進法では百は「50」と表記され、十二進法で「30」と表記される三十六と同等の扱いになる。二十進法での「4F＋F = 5A」の構図も、十二進法での「49＋9 = 56」と同じ構図になる。

数字の使用例マヤ文明では、二十進法の数詞に合わせて二十進記数法が用いられていた。マヤの数詞は五進法を補助的に含んでおり、数字にもそれが反映されている。貝殻で零、点で一、横棒で五を表し、二十に至ると桁を繰り上げる。桁は、大きい方が上で、小さい方が下となる。例えば、二十は貝殻の上に点一個で表記され、七十二は上に「三」と下に「十二」で表記され、二千十六は上段が「五」と中段が「零」と下段が「十六」で構成され、八千百六は最上段が「一」、上から二段目が「零」、上から三段目が「五」、最下段が「六」で表記される。

この外には、イヌイット数字も二十進法を用いており、結び目模様が「零」、縦楔が「一」、横楔が「五」を表しており、一桁は二段構成となる。この表記法では、＼が「一」、Ｖが「二」、Ｗが「四」、＞が「十」、"＞"と"Ｖ"で「十二」となり、二十は「上段が"＼"で下段が"結び目模様"」として表記される。二十以後も、二階が「"＞"と"Ｖ"」で一階が「Ｗ」であれば二百四十四｛20}}＝10}}｝を意味する。

1.1.1. 累乗数の換算表
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二十進数で表記した二十の累乗数と、それを十二進数、十進数、六進数に換算した数値を掲載する。万や億との対比を判りやすくするため、桁は四つごとに区切る。

二十進法は底が四の五倍であり、「少ない桁で最大限を確保する」という性質から、大きな数の表記に度々用いられてきた。それ故に、二十進法は桁の繰り上がりが遅く、これが長所にも短所にもなっている。よって、「五の次で桁上がり」「少ない数字で楽に済ませる」の六進法とは長短が逆転する。例えば、六進法は三分割や九分割は可能だが、一桁での四分割と五分割はできず、数字の種類が少ない代わりに桁数が多くなる。逆に、二十進法は三分割や九分割ができないが、一桁で四分割と五分割が可能であり、数字の種類が多い代わりに桁数が少なくなる。六未満｛－1 = 5｝の数による矩形数で形成されるN進法は、六進法、十二進法、二十進法の三つであり、二十進法が最大である。

複数の素因数を持つN進法の中で、二十進法の桁の繰り上がりは、三乗レベルで十二進法より五倍遅く、十進法より八倍遅く、六進法より四十倍遅い｛11C0}} = 5000}} = 8640}} = 104000}}｝。四乗レベルでは十二進法より八倍遅く、十進法より十六倍遅い｛10EE8}} = 80000}} = 165888}}｝。億レベルで二十の累乗数は、10}} に当たる 20}} が最も近い。

累乗数の接近では、十二の累乗数と二十の累乗数が 10}}前後で最も接近し、十二の六乗と二十の五乗が最も接近する｛1000000}} = ID4J4}} = 2985984}} , 10A3A28}} = 100000}} = 3200000}}｝。この他には、六の五乗、二十の三乗、十の四乗の三つが 1000}}前後で最も接近する｛100000{}} = J8G{}} = 7776{}} , 114144{}} = 1500{}} = 10000{}}｝。



1.1.2. 他のN進数との互換
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小数部分を他のN進数から二十進数に換算する場合には、整数部分はそのまま二十進数に変換し、小数部分は二十の累乗数を他のN進数に換算した数値を掛ける。

六進数→二十進数六進数 1405.1241513

整数：1405{}} = I5{}}
小数の分母：10000000{}} → 3232424{}}
1241513 × 0.3232424 = 455222.0000000 → 455222{}}
455222{}} = 4GHA{}}よって、1405.1241513{}} = I5.4GHA{}} となる。

十進数→二十進数十進数 3.14159265

小数の分母：100000000{}} → 64000000{}}
14159265 × 0.64000000 = 9061929.6 → 9061929{}}
9061929{}} = 2GCEG9{}}よって、3.14159265{}} ≒ 3.2GCEG9{}} となる。

十二進数→二十進数十二進数 2A.639

整数：2A{}} = 1E{}}
小数の分母：1000{}} → 4768{}}
639 × 4.768 = 2528.4 → 2528{}}
2528{}} = AA8{}}よって、2A.639{}} ≒ 1E.AA8{}} となる。

十六進数→二十進数十六進数 AB.89

整数：AB{}} = 8B{}}
小数の分母：100{}} → 27100{}}
89 × 271 = 14E79 → 14E79{}}
14E79{}} = AE15{}}よって、AB.89{}} = 8B.AE15{}} となる。

1.2. 小数
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桁が一つ動く度に数が20倍変わるため、小数第一位は「二十分の一の位」、小数第二位は「四百分の一の位」となる。従って、二十進法の小数では：

20 = 1/20 
20 = 5/20 
20 = 16/20 
20 = 1/400 
20 = 12/400 
20 = 150/400 
20 = 255/400 
20 = 1/8000 を、それぞれ意味する。

1.2.1. 計算例
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位数の関係小数数の 20 は「855/20」を意味し、小数の 20は「855/400」という意味になる。従って、十進数の 42.75 は二十進数では 20 となり、十進数の 2.1375 は二十進数では 20となる。前者は 42 + 75/100  と 42 + 15/20  が同値となり、後者は 2 + 1375/10000  と 2 + 55/400  が同値になるからである。

20 = 2×202 + 2×201 + 15 = 10
20 = 2×201 + 2 + 15×20-1 = 42 + 15/20 = 855/20 = 10
20 = 2 + 2×20-1 + 15×20-2 = 2 + 40/400 + 15/400 = 855/400 = 10同じく、20 は 10 を意味し、20 は「45/20」、即ち 10 という意味になる。

20 = 2×202 + 5×201 = 10
20 = 2×201 + 5 = 10
20 = 2 + 5×20-1 = 45/20 = 10
20 = 2×20-1 + 5×20-2 = 40/400 + 5/400 = 45/400 = 10二十進数の 20÷20 の商は 20 となるが、十進数では以下に相当する。

二十進数：20÷20 = 20
十進数：42.75÷19 = 2.25
二十進数：20÷20 = 20
十進数：855÷19 = 45素因数に5が含まれない累乗数の除算六や十二の累乗数、例えば十二進法の100{}}や六進法の1000{}}や、二の累乗数進法による累乗数、例えば十六進法の100{}}などは、5で割り切れないが、二十進法では割り切れる。特に、六進表記や十二進表記による六や十二の累乗数は、三や九で割り切れる一方、五や十五で割り切れないが、二十進表記では五や十五で割り切れる。

1/5グロス
十二進法：{12}} ÷ 5 = 24.9724…
二十進法：{20}} ÷ 5 = {20}}
1大グロス ÷ 十五
十二進法：{12}} ÷ {12}} = 97.2497…
二十進法：{20}} ÷ {20}} = {20}}
2{8}} ÷ 5
十六進法：{16}} ÷ 5 = 33.3333…
二十進法：{20}} ÷ 5 = {20}}
6{5}} ÷ 十五
六進法：{6}} ÷ {6}} = 2222.2222…
二十進法：{20}} ÷ {20}} = {20}}また、素因数が2と5なので、冪数以外でも、5が因数に含まれない数が被除数になると、割り切れる場合がある。

 ÷ 
六進法：{6}} ÷ {6}} = 454.1111…
九進法：{9}} ÷ {9}} = 217.1717…
二十進法：{20}} ÷ {20}} = {20}}

1.2.2. 一桁小数による分割
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二十進法では {20}} が「二十分の一」になるため、{20}} は 1/5 になり、{20}} は 1/4 になり、{20}}は 1/2 になる。より派生して、{10}}は 3/4 に、{20}}は 2/5 に、{20}}は 3/5 に、{10}}は 4/5 になる。

従って、ある数に {20}} を掛けると1/5になり、{20}}を掛けると1/4になり、{20}}を掛けると3/5になり、{20}} を掛けると3/4になる。このように、二十進法では、一桁小数で四分割と五分割が可能である。

「半分」を意味する表現も、十進法での「五分五分」は、二十進法では「十分十分」となる。割分厘も、十進法の「2割5分」は「0.5」「5割」となり、十進法で3/8を意味する「3割7分5厘」は「0.7A」「{10}}」「7割A分」で小数第二位に収まる。その他にも、四分割では「5：F」というように「1/4：3/4」、長袖と半袖の中間である3/4の袖を「十五分袖」；五分割では「8：C」が「2/5：3/5」、「4：G」が「1/5：4/5」といった対比や、「四公六民」を「八公十二民」または「八公乙民」といった対比も可能になる。

別のN進法と互換できる一桁小数として、二十進法の0.5は、十二進法の0.3と同値になる。同じく、二十進法の0.4は、十進法の0.2と同じ値になる。

{20}}を例に挙げる。

4と0.4、8と0.8で対比
除算：{20}} ÷ {20}} = {20}}
一桁小数を掛ける：{20}} × {20}} = {20}}
一桁小数を掛ける：{20}} × {20}} = {20}}
一桁整数を掛ける：{20}} × {20}} = {20}}
一桁整数を掛ける：{20}} × {20}} = {20}}
同値の一桁小数で対比
除算：{20}} ÷ {20}} = {20}}
一桁小数を掛ける：{20}} × {20}} = {20}}
一桁小数を掛ける：{20}} × {20}} = {20}}同じく、桁の繰り上がりの例として、{20}}を用いる。

乗算：{20}} × {20}} = {20}}
除算：{20}} ÷ {20}} = {20}}
一桁小数を掛ける：{20}} × {20}} = {20}}
一桁小数を掛ける：{20}} × {20}} = {20}}
除算：{20}} ÷ {20}} = {20}}
一桁小数を掛ける：{20}} × {20}} = {20}}
一桁小数を掛ける：{20}} × {20}} = {20}}

1.2.3. 小数との置換表
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以下の表に、二十進法の小数と、それに相当する分数や商を掲載する。割り切れない小数の循環部分は下線で表す。二十は四と五では割り切れるが三では割り切れないので、三分割した際に循環小数になりやすい。

また、十進法は「10 - 1」が9で3の冪数になり、m/27の小数が37の倍数三桁が循環するのに対して、二十進法は「10 - 1」がJで3の冪数ではないので、1/9の循環小数は 0.248HFB…で六桁になり、三桁ごとに「248＝888{}}の倍数か、その近隣の数」が現れる。24は十進法の44、248は十進法の888、HFBは十進法の7111、6D6は十進法の2666となるが、これは二十の累乗数の六進表記からも引き出せる。1/9の近似値は二桁なら 100{}} = 1504{}} → {}} = 24{}}、三桁なら 1000{}} = 101012{}} → {}} = 248{}} となる。
{10}}の近似値も、1000{}} = 101012{}} から {}} = EG{}} となり、循環節が「0EG 5IA 782 J53 E19 CBH」の十八桁だが、三桁ごとに「EG＝296{}}の倍数か、その近隣の数」が現れる。先頭九桁を見ると、EG{}}＝296{}}の倍数は、5IA{}}＝2370{}}の近くに5I8{}}＝2368{}}が、782{}}＝2962{}}の近くに780{}}＝2960{}}が位置している。

B以後の素数は、D、H、Jとなる。このように、三を漏らしても四と五を約数に入れていることから、二十進法は「大から小へ」の分割法を採っているとも言える。

二十進法の除算の特徴が現れる例は、「3で割り切れるが、2と5と9では割り切れない数」が被除数になるパターンが代表的である。このパターンでは、{20}}以下の3の倍数で割り切れない数は9とI、4の倍数は{20}}＝{10}}まで全てで割り切れ、5の倍数は{20}}＝{10}}までの全てで割り切れる例になる。



このように、除数が2の冪数の割り算における分子・分母の数値は、二十進法は十進法よりも六進法に近い。これは、二十と六が共に矩形数だからである。例えば、2{-6}}の小数の分子・分母は、二十進法と六進法は約6倍しか離れていないが、六進法と十進法は約21{}}倍の差で、二十進法と十進法は125{}}倍も離れている。

1.3. 計算表
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ここではスキップ無しで、{10}}を B 、{10}}を I 、{10}}を J と表記する。

二十進法は「5×4＝10」という「奇数の四倍」進法なので、十進法と十二進法の応用編となる。二十進法の乗算を覚える要領として、以下の点が挙げられる。

主要の段
半数はAの段。
m/4 となる奇数｛5とF｝は、4の倍数を掛けると一の位が0になる。1/4となる5の段は一の位が5→A→F→0→5で循環し、3/4となるFの段は一の位がF→A→5→0→Fで循環する。
4の倍数｛4、8、C、G｝は、5の倍数を掛けると一の位が0になる。1/5となる4の段は一の位が4→8→C→G→0→4で循環、2/5となる8の段は一の位が8→G→4→C→0→8で循環、3/5となるCの段は一の位がC→4→G→8→0→Cで循環、4/5となるGの段は一の位がG→C→8→4→0→Gで循環する。 その他の段
他の段は、5の倍数を掛けると一の位が5, A, F, 0のどれかになる。
他の段は、4の倍数を掛けると、一の位が4, 8, C, G, 0のどれかになる。
末尾となるJの段は、一の位と二十の位の和がJになる。
10－2となるIの段は、一の位は2ずつ減る。一の位はI→G→E→C→A→8→6→4→2→0の順に変化する。このうち、4の倍数を掛けると、一の位がCの段と同じくC→4→G→8→0→Cの順に変化する。
9の段は、偶数を掛けると、一の位の数は2ずつ減る。そして、4の倍数を掛けると、一の位はG→C→8→４→0の順に変化する。
Bの段は、偶数を掛けると、二十の位は一の位の数の半分になる。そして、4の倍数を掛けると、一の位は4→8→C→G→0の順に変化する。
3の段は、4の倍数を掛けると、一の位がC→4→G→8→0の順に変化する。これに対して、6の段は、4の倍数を掛けると、一の位が4→8→C→G→0の順に変化する。
7の段とEの段は、3の倍数を掛けるとゾロ目になる。これは、{20}}＝{10}} になるため。

2. 命数法
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二十進命数法は、20 を底とする命数法である。

2.1. 数詞
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自然言語で二十進命数法の数詞を持つものは比較的多く、また世界中に散らばっている。十進法が手の指の数に由来するのと同じように、二十進法は手足の指の総和に由来する。二十進法の数詞では、1 から 20 まで独立の単語が 20 個あることは希で、内部に五進法または十進法を補助的に含んでいる。

最も体系的な二十進法は、メソアメリカに見られる。例えばマヤ語族のツォツィル語 やユト・アステカ語族のナワトル語などがある。サポテカ文字、ラ・モハラの文字、マヤ文字などの記数法も上記のように点と棒を使った二十進表記であった。マヤの長期暦では20日をウィナルといい、1年すなわち360日の周期は20日×18ヶ月で構成された。トゥンより上の単位も二十進法に則し、20トゥンをカトゥン、400トゥン  をバクトゥンと呼んだ。

メソアメリカには、二十の累乗数にも個別の数詞や絵文字が命名されている。

ブータンのゾンカ数字も命数法に二十進法を用いており、累乗数は十六万まで存在する。なお、十九までの数は、補助的に十進法を用いている。

アジアではアイヌ語、ブルシャスキ語などがある。アイヌ語では 40 を tu-hotnep 、100 を asikne-hotnep  という。減算も一般的で、90 を wanpe easikne-hotnep  と呼ぶ。

ヨーロッパでは、バスク語、ケルト語派、フランス語、デンマーク語、アルバニア語、グルジア語などに二十進法が残っている。どれも、202 を表す数詞がなく、100 を表す数詞があるので、完全な二十進法ではなくなった。フランス語の数詞は 30 から 59 までは十進法だが、1 から 19 まで、そして 60 からは 二十進法であって、80 を quatre-vingts すなわち 4×20 と表現し、90 を quatre-vingt-dix すなわち 4×20 + 10 と表現する。ただし、スイスとベルギーのフランス語は十進法である。デンマーク語では 60 を tres というが、これは tresindstyve すなわち 3×20 の略である。英語では、20 を表す古風な語 score があり、threescore 、fourscore  などの複合語がある。ゲティスバーグ演説の先頭が"Four score and seven years ago"で始まっている。

インド・ヨーロッパ語族には 11 から 19 までと 21 以上とで異なる語構成を持つ言語が少なくない。例えば英語では fifteen  に対して twenty-five 、ドイツ語では fünfzehn  に対して fünfundzwanzig  と呼ぶ。

アフリカではヨルバ語が減算を含む二十進法で知られている。

ニューギニア島は最も言語密度の高い地域として知られ、エスノローグには 1071 個の言語が記されている。このため命数法も多様で、アランブラック語  など、二十進法の言語が存在する。

また、20 を意味する語が他の 10 の倍数と異なる語構成を持つ言語がある。例えば日本語では 30 から 90 までは接尾辞「そ」が付くが、20 は「はた」と呼ぶ。20 歳、30 歳はそれぞれ「はたち」、「みそじ」である。上海語でも 30 以上は普通話と同じく「三十」から「九十」を用いるが、20 だけは「廿」を用いる。

以下に、ナワトル語とバスク語の数詞を示す。前者は五進法、後者は十進法を内部に含んでいる。



2.2. 単位系
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二十進法の単位は散発的に使われる。単位系では、数を十進法で 9, 10, 11 と表記し、20 や 400 に至ると桁ではなく単位を繰り上げる例が多い。

ヤード・ポンド法において、1 トンは 20 ハンドレッドウェイト、1 トロイオンスは 20 ペニーウェイト、1 パイントは 20 液量オンスである。

同じく、イギリスでは、1971年2月15日に通貨が十進法に変わる前は、12→144 の十二進法と、20→400 の二十進法の組み合わせであった。この制度では、1 ポンドは 20 シリングであった。個数においても、二十進法の単位で「スコア」がある。20 は 5×4 であり、1 とその数以外の約数が 2, 4, 5, 10 と計 4 個あり、特に四分割と五分割に便利であることも、二十進法の単位が使用される一因にもなっている。対する 10 の約数は、2 と 5 の計 2 個しかない。

3. 参考文献
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4. 関連項目
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二進法
四進法
五進法
十進法
十二進法
三十進法
六十進法
マヤ文明