コクセター群

数学においてコクセター群とは鏡映変換で表示できる抽象群のことである。ハロルド・スコット・マクドナルド・コクセターに因んで名づけられた。有限コクセター群は何らかのユークリッド鏡映群になっている。もちろん、すべてのコクセター群が有限群とは限らないし、すべてのコクセター群をユークリッド的な鏡映や対称変換として記述できるわけでもない。コクセター群は鏡映群の抽象化として導入されCoxeter、有限コクセター群の分類は完了しているCoxeter 。

コクセター群は数学のいくつもの分野に現れる。一般次元正多胞体の対称変換群や単純リー代数のワイル群は有限コクセター群の例であり、ユークリッド平面や双曲平面の正則三角形分割  に対応する三角群や無限次元カッツ-ムーディ代数のワイル群は無限コクセター群の例である。

コクセター群に関する標準的な文献としては Humphreys や Davis などがある。

1. 定義
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生成系 //S// をもつ群 //W// がコクセター群である、または組  がコクセター系  であるとは、以下の3条件がすべて満たされるときにいう。

//S// は対合からなる： //s// ∈ //S// ならば、必ず //s//2 = 1 が成り立つ。
組み紐関係式 ： //s//, //t// ∈ //S// が //s// ≠ //t// であるならば、2 以上のある整数//m////s//,//t// で //m////s//,//t// = 1 となるものが取れる。
それ以外に生成元の間には関係がない。ただし、//m////s//,//t// = ∞ は //s// と //t// の間に関係がないことを表す。これは次のように書く事もできる。

//s// ∈ //S// ならば //s//-1 = //s// が成り立つ。
//s//, //t// ∈ //S// で //s// と //t// が相異なるとき、//s// と //t// には関係が無いか、関係がある場合には次が成り立つ; //s// と //t// を交互に //m////s//,//t// 個並べる方法が 2 通りあるが、そのいずれも同じ元を定めるような 2 以上の整数 //m////s//,//t// が存在する。 //stststst//… = //tstststs//…
生成元はそれ以外に関係式を持たない。また、//S// = {//x//1, //x//2, ..., //x////n//} とすれば以下のように表示できる:

ただし、//i//, //j//, //k// = 1, 2, ..., //n// かつ //m////i//,//j//  は 2 以上の整数か ∞ である。

 がコクセター系であるとき、生成系 //S// に属する元の個数 |//S//| をコクセター群 //W// の階数  といい、rank //W// と表す。また生成元の部分集合 //J// ⊆ //S// で生成されるコクセター群 //W// の部分群 //WJ// もコクセター群になる。このような部分群 //WJ// を放物型部分群という。

//G// が //S// を生成系とするコクセター群であるとき、//m////s//,//t// = 1 となる//m////s//,//t//  を成分とする |//S//| 次の対称行列

をコクセター行列  という。ただし、//s// ∈ //S// に対して //m////s//,//s// = 1 である。コクセター行列が与えられたとき、コクセター図形  と呼ばれる図形が

各生成元 //s// ∈ //S// に対応して、|//S//| 個の頂点を打つ。
//m////s//,//t// = 2 ならば何もしない。
//m////s//,//t// ≥ 3 ならば //s//, //t// に対応する頂点を辺で結び、辺に //m////s//,//t// の値を記す。という手順で定まる。逆に、コクセター図形が 1 つ与えられれば、コクセター行列を復元することができ、したがってコクセター群が一つ定められる。すなわち、コクセター群を与えること、コクセター行列を与えること、コクセター図形を与えることの三者は等価である。

コクセター図形が 2 つ以上の連結成分に分かれるとき、対応するコクセター群は各連結成分に対応するコクセター群たちの直積に分解される。連結なコクセター図形あるいはそれに対応するコクセター群は既約であるという。

2. 例
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//S////n//+1 を //n// + 1 次対称群とする。//n// 個の互換 //s////i// =   をとると //S////n//+1 は {//s//1, //s//2, ..., //s////n//} を生成系とするコクセター群となる。

また二面体群もコクセター群である。

3. 鏡映群との関係
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コクセター群は鏡映群の概念と深く結びついている。単純に見ると、コクセター群が抽象群である一方、鏡映群は具体群である。実際、コクセター群は鏡映群の研究の過程でその抽象化として生まれたものである。鏡映群は鏡映で生成される線型代数群の部分群であり、他方のコクセター群は対合で生成されるが、これらの間の対応はある決まった仕方で与えられる。

鏡映群からこのようにして得られる抽象群はコクセター群であり、逆に鏡映群をコクセター群の線型表現とみなすことができる。有限コクセター群に対しては、この対応は完全である。つまり、任意の有限コクセター群はある次元のユークリッド空間における有限鏡映群としての忠実な表現を持つ。一方、無限コクセター群は必ずしも鏡映群として表現されるとは限らない。

歴史的には Coxeter で任意の鏡映群がコクセター群であることが示されており、実際この論文でコクセター群の概念が導入されている。逆に Coxeter で有限コクセター群が必ず何らかの鏡映群として表現できることが示されており、したがってこれで有限コクセター群の分類は終了している。

4. 有限コクセター群
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4.1. 分類
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有限コクセター群のコクセター-ディンキン図形を用いた分類が Coxeter に述べられている。有限コクセター群は有限次元ユークリッド空間の鏡映群として表現される。

具体的には、有限コクセター群は階数をひとつのパラメータとする三つの無限族 //A////n//, //BC////n//, //D////n// と二次元で一つのパラメータを持つ族 //I//2 がひとつ、さらに六つの例外群 //E//6, //E//7, //E//8, //F//4 //H//3, //H//4 のいずれかとなる。

4.2. ワイル群
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有限コクセター群は全てではないにしろほとんどがワイル群であり、逆にすべてのワイル群はコクセター群として実現できる。ワイル群となるのは無限族 //A////n//, //BC////n//, //D////n// の各群と例外群 //E//6, //E//7, //E//8, //F//4 および //I//2であり、ワイル群とならないのは例外群の //H//3, //H//4 および無限族 //I//2。

このことは、有限群の場合に限ってコクセター図形とディンキン図形とを比較することによって示される。きちんと言えば、コクセター＝ディンキン図形はディンキン図形から辺の向きを忘れて、二重辺は 4 でラベル付けられた辺に、三重辺は 6 でラベル付けられた辺に取り替えることによって得られる。もうひとつ留意点として、任意の有限生成コクセター群がオートマチック群  であることである。ディンキン図形には、辺のラベルとして 2, 3, 4, 6 しか付けられないという制限が追加されることになる。幾何的にはこれは結晶構造制限定理date=2011年8月}}  に対応しており、事実としては、空間充填のできない多面体が除かれる