超実数

超実数または超準実数と呼ばれる数の体系は無限大量や無限小量を扱う方法の一つである。超実数の全体 *R}} は実数体 R}} の拡大体であり、

の形に書けるいかなる数よりも大きい元を含む。そのような数は無限大であり、その逆数は無限小である。"hyper-real"}} の語はエドウィン・ヒューイットが1948年に導入した。

超実数は移行原理を満たす。この移行原理は、R}} についての一階述語論理の真なる主張は *R}} においても真であることを主張する。例えば、加法の可換則 //x// + //y// =}} //y// + //x//}} は、実数と全く同様に、超実数に対しても成り立つ。また、 R}} は実閉体であるから、*R}} も実閉体である。また、任意の整数 n}} に対して sin =}} 0}} が成立するから、任意の超準整数 H}} に対しても sin =}} 0}} が成立する。超冪に対する移行原理は1955年のウォシュの定理の帰結である。

無限小を含むような論法の健全性に関する歴史は、アルキメデスがそのような証明を取り尽くし法など他の手法によって置き換えた、古代ギリシャ時代の数学にまで遡る。1960年代にはロビンソンが、超実数体が論理的に無矛盾であることと実数体が論理的に無矛盾であることが同値であることを示した。これは、ロビンソンが描いた論理的な規則に従って操作されなければ、あらゆる無限小を含む証明が不健全になる恐れが残ることを示している。

超実数の応用、特に解析学における諸問題への移行原理の適用は超準解析と呼ばれる。例えば、微分や積分のような解析学の基礎概念を複数の量化子を用いる論理的複雑さを回避して直接的に定義することがある。つまり、//f//   }} の導関数は、

になる。 ただし、Δ//x//}} は無限小超実数で、st}} とは有限超実数から実数への関数で、「有限超実数にそれに無限に近いただ一つの実数への関数」という標準部関数date=2023年7月}}である。積分も同様に、適切な無限和の標準部によって定義される。

1. 移行原理
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超実数の体系のアイデアは、実数の集合 R}} を拡張し、代数の基本公理を変更することなく無限小や無限大を含む体系 *R}} を構成するというものである。「任意の数 x}} に対し～」という形のいかなる主張も、実数にとって真であれば超実数にとっても真である。例えば「任意の数 x}} に対し //x// + 0 =}} //x//}}」という公理にもあてはまる。複数の変数に対する量化、例えば「任意の数 //x//, //y//}} に対しても、//xy// =}} //yx//}}」などでも同じことが成り立つ。 この「実数体に対する主張を超実数体に対して引き移す」ことができるということを移行原理という。ただし「いかなる数の集合 S}} に対しても～」という形の主張は引き継ぐことができない。実数と超実数とが区別される唯一の性質は、典型的には集合とは関係なく構成できる、関数や関係のような集合やその他の高位の構造や上の量化に依るものである。 実数の集合や関数、関係は、全く同じ一階の性質をもつその自然な超実数への拡張を持つ。量化の制限に従うこの種類の論理的文は、一階述語論理における主張について述べられる。

しかしながら、移行原理は、R}} と *R}} とが全く同一の振る舞いを持つということを意味しない。例えば、*R}} において、次のような性質をもつ元 ω}} が存在する：

しかし、R}} にはそのような元は存在しない。これは、ω}} が存在しないことは一階論理の主張では表現することができないから、起こりうるのである。

2. 解析学における利用
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実数でない量の非正式な概念は、2 つの文脈にそって歴史的に微積分学において現れる。1 つは dx}} のような無限小として、もう 1 つは広義積分の極限において使われる ∞}} という記号として現れる。

移行原理のひとつの例として「0}} でないいかなる 数についても 2//x// ≠ //x//}}」という主張は実数にとって真であり、この主張は移行原理で求められる性質を持った文になっているから、超実数についても真である。超実数についてこれが真であるということは、∞}} のような一般記号は超実数の体系に属するすべての無限大量に対して使用不能であることを意味する。無限大量は“大きさが”他の無限大量と異なっているし、無限小量も他の無限小量と異なる。

同様にして、「0}} での割り算は定義されない」という主張に移行原理が適用できるから、おいそれと1/0 =}} ∞}} のように書くのも無効である。そのような計算を厳密に書くならば「ε}} が無限小ならば 1///ε//}} は 無限大量 である」となる。

いかなる有限超実数 x}} に対しても、その標準部 st}} は、無限小の違いしかない唯一の実数と定義される。

2.1. 微分
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関数 //y//}} の導関数は fraction ではなく、fraction の標準部として定義される。

例えば、//f//    =}} //x//2}} の導関数 //f'}}//}} を求めるには、dx}} を無限小超実数として

この導関数の定義において標準部をとるのは、無限小量の平方を無視するという伝統的な慣習の厳密な代替である。上記の式の三行目以降、ニュートンから19世紀にわたっての典型的な方法は単に //dx//2}} の項を無視するというものであったが、超実数の体系では //dx//2 ≠ 0}} である。ただし、//dx//2}} という量は、dx}} に比べ無限に小さい }}。つまり、超実数の体系は無限小量の無限の階層を含む。

2.2. 積分
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超実数の体系において定積分を定義する一つの方法は、dx}} を無限小、n}} を超準自然数 として

で定義される超準有限集合格子上でとった無限和の標準部をとることである。このとき、積分の下の限界は a}}, 上の限界は //b//   =}}   //a//   +   //n//   //dx//}} である。

3. 性質
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超実数の全体 *R}} は、実数体 R}} を部分体として含む、順序体を成す。実数体とは異なり、超実数は通常の意味の距離空間を成さないが、超実数の大小関係から順序位相を入れることはできる。

定冠詞 the}} を付けて "the hyperreal numbers}}" と呼ぶことは、言及される大抵の文脈において一意な順序体が存在しないという点で、幾ばくか誤解を招くことになる。しかし、論文 Kanoveiは実数体の定義可能で飽和モデルな初等拡大が存在することを示した。これは //the// hyperreal numbers}} と呼ぶにふさわしいものであった。よりはっきり言えば、実数列の空間から超冪構成により得られるこの体は同型を除いて一意に定まる。

超実体であるという条件は、実数 R}} を真に含む実閉体であるという条件よりも強い。また、Woodin の意味での準超実体 であるという条件よりも強い。

4. 発展
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超実数は、公理的にまたは構成志向的な方法のいずれかによって発展されうる。 公理的アプローチの本質は、次を主張することである：

少なくともひとつの無限小数の存在
移行原理の正当性。以下のサブセクションでは、さらに構成的なアプローチの概要を与える。非単項超フィルターと呼ばれる集合論的対象が与えられれば、超実数を構成することができる。しかし、非単項超フィルターそれ自体は明示的には構成されない