直積集合

数学において、集合のデカルト積または直積、直積集合、または単に積、積集合は、集合の集まりに対して各集合から一つずつ元をとりだして組にしたものを元として持つ新たな集合である。

具体的に二つの集合 A, B}} に対し、それらの直積とはそれらの任意の元 //a// ∈ //A//, //b// ∈ //B//}} の順序対 }} 全てからなる集合をいう松坂。集合の組立記法 では

と書くことができる。有限個の集合の直積 gaps も同様の n}}-組からなる集合として定義されるが、二つの集合の直積を入れ子  にして、(//A//ind と帰納的に定めることもできる。

1. 注意
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1.1. 交換法則と結合法則
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順序対 }} は、たとえ //a//, //b// }} がともに A}} にも B}} にも属していたとしても、一般には  ≠ }} である松坂。ゆえに、集合としても、1=//A// = //B//}} または少なくともいずれか一方が空集合でない限り

である。すなわち、直積は二項演算として可換でない。

また厳密に言えば、直積は結合的でもない。すなわち、//A//, //B//, //C//}} を集合とするとき、

はすべて集合として異なる。しかし誤解の虞が無いならば、しばしばこれらの間の自然  な全単射

によって全て同一視される。この同一視のもとで、直積は結合的二項演算を定める。その意味で n}}-項直積 //A//ind は二つの集合の直積をとることの繰り返し

と定義することは可能である。

1.2. 記法について
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直積は添字集合 I}} を伴う集合族 mset に対して定められるから、∏su や ∏su あるいは //A//ind のように添字の動く範囲を明示するのが正確であるが、添字集合が明らかで誤解の虞のない場合にはしばしば省略した記法が用いられ、例えば ∏   //A//sub, ∏sub あるいは ⨉   //A//sub のように書かれる。特に gapsは //A//exp, //A//exp, 1=overset などと書かれる。

2. 直積集合の例
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2.1. トランプのカード
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直積集合の視覚的にわかりやすい例としては、標準的な52枚一組のトランプのデッキがある。トランプのランクは {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} という 13 の元からなる集合である。スーツは ♠, color という 4 の元からなる集合である。この2つの集合の直積集合は、52 の組の元からなる集合であり、それぞれの元は、52枚のトランプのカードと1対1に対応している。

たとえば、//ランク// × //スーツ//}} という直積集合は、

c00000という集合であり、//スーツ// × //ランク//}} という直積集合は、

{, , , , , ..., , , , , }

という集合である。

直積集合の元は順序対なので、同じ元はひとつも含まれていない。

2.2. 2次元直交座標系
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有名な歴史的な例としては、解析幾何学における直交座標系がある。ルネ・デカルトは、数を用いて幾何学的な図形を表現したり、図形から数の情報を得たりするために、平面のそれぞれの点に実数の組を対応させ、その点の座標と名付けた。ふつう、このような組の1番目および2番目の要素は、それぞれ //x// および //y// 座標と呼ばれる。したがって、実数の組のすべての集合、すなわち ℝ×ℝ}}という直積集合は、平面上のすべての点の集合に対応する。

3. 定義
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有限直積 n}} 個の集合 //A//sub に対する直積集合を、 と定義する松坂。ここで (//a//sub は //a//sub の順序付けられた //n//-組である。 任意濃度の直積 必ずしも有限でない集合 Λ}} で添字付けられる集合の族 mset それらの直積は、写像の集合 と定義される松坂。これはまた //a//sub と置けば、元の族の集合として と書くこともできる。Λ}} が有限ならばこれは先に述べた有限直積と一致するname=empty。 標準射影 直積 ∏   //A//sub に対し、各 Asub をこの直積の直積因子と呼ぶ。各直積因子 //A//sub に対し、標準的に定まる全射 を第 μ}}-成分への射影あるいは簡単に第 μ}}-射影などと呼ぶ。

4. デカルト冪
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集合 A}} に対し、それ自身の直積として得られる集合

を得る演算を A}} のデカルト冪 en と呼ぶ。非負整数 n}} に対して n}}-乗デカルト冪  は

で与えられる。一般の添字集合 Λ}} に対して

は Λ}} から A}} への写像全体の成す集合に他ならないname=empty}}。

集合 ℝ}} を実数全体の作る実数直線とすれば、デカルト冪の例としてデカルト座標平面 1=ℝsup, 三次元デカルト座標空間 1=ℝsup, 一般に n}}-次元実座標空間 ℝsup を挙げることができる。あるいは実数列の全体も自然数の全体 ℕ}}で添字付けられた無限デカルト冪 1=ℝexp である。

5. 性質
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{1=//A//sub} であるような {//λ// ∈ Λ}} が少なくとも一つ存在すれば、{1=∏su} であることは、直ちに示される一方、その逆にあたる命題は選択公理 である。{松坂}

5.1. 集合算
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集合のデカルト積は交叉に関してよく振る舞う。すなわち

が成り立つが、この式の交叉を合併に置き換えた式は一般には正しくない:

実は右辺は

と書くことができる。差に関しては等式

が成り立つ。直積はいくつかの集合算に対して分配的であることが示せる:

ここで {∁//A//}} は {A}} の補集合である。

一般に

などが成り立つ{松坂}。

ほかに、部分集合に関しては以下の性質がある:

5.2. 濃度
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有限集合 {A, B}} の直積 {//A// × //B//}} の濃度は、{1=abs} で与えられる。これは、数え上げに関する積の原理から導くことができる。

一例として、

{1=//A// = mset} {1=//B// = mset} このとき、{1=abs}, {1=//A// × //B// = mset} であって、実際に {1=abs} であることが確認できる。

同様にして

{1=abs}
濃度の積の意味で {1=abs}が成り立つ。特にデカルト冪について、

任意の自然数 {n}} に対して {1=abs}が言え、あるいは一般に

{1=abs}が濃度の冪の意味で成り立つ。

5.3. 普遍性
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直積は次のような普遍性を持つものとして特徴付けることができる：

直積の普遍性 任意の集合 {Y}} と任意の写像の族 {(//f//sub} が与えられたとき、写像 {//f//: //Y// → //X// coloneqq}} ∏su} で {1=//f//sub} を満たすものがただ一つ存在する。圏論の言葉で言えば、集合の直積は集合の圏における積である。

6. 写像の直積
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ふたつの写像 {//f//: //A// → //X//, //g//: //B// → //Y//}} が与えられたとき、直積集合 {//A// × //B//}} から直積集合 {//X// × //Y//}} への写像を

で定義することができる。この {//f// × //g//}} を写像 {//f//, //g//}} の直積と呼ぶ。任意の有限あるいは無限個の写像の直積も同様に定義できる。

{//f// × //g//}} が全射  であるための必要十分条件は {f, g}} がともに全射  となることである。一般に、写像の族 { であるための必要十分条件は、任意の { となることである。{松坂}

集合の圏 {Set}} における圏論的積の例として、固定された添字集合 {I}} で添字付けられる任意の集合の族 {//Xsub} に対してそれらの直積 {∏ //Xsub} を対応させ、さらにそのような集合の族の間の写像の族 {//fsub} に対してそれらの直積 {∏ //fsub} を対応させるならば、そのような対応は {Setsup} なる形の函手を定める。

7. 多変数の写像
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多変数の写像 {//f//(//x//sub} は直積集合上の写像 {//f//((//x//sub} として理解できる。

二項演算あるいは一般に多項演算は多変数の写像として定式化できる。

二変数の写像 {//f//: //A// × //B// → //X//}} の一変数化 {//g//sub} は集合の圏における等式 {1=//X//sup} を与える。これにより、集合の直積は配置集合をとる操作の左随伴となる。

8. 関連項目
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数学的構造
直和
選択公理
テンソル積
ルネ・デカルト
空積
超積

9. 注
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9.1. 注釈
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9.2. 出典
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10. 参考文献
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{和書}

11. 外部リンク
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{reference=PlanetMath}
{title=Cartesian Product}
{urlname=Direct_product}
{id=cartesian+product}