From asymptotic hypothesis testing to entropy inequalities

Aquesta tesi tracta sobre la relacio entre el contrast d'hipotesis quantiques i les desigualtats entropiques en la teoria quantica de la informacio. A la primera part de la tesi ens centrem en el contrast d'hipotesis. Aqui, considerem dues configuracions principals, o be fixar els estats quantics i optimitzar sobre les possibles mesures, o be fixar una mesura i avaluar la seva capacitat de discriminacio d'estats quantics optimitzant sobre aquests ultims. A la primera configuracio, demostrem un resultat general a la taxa d'error optima en el contrast d'hipotesis compostes asimetriques, que porta a un Lema de Stein quantic compost. Tambe discutim com aixo dona una interpretacio operacional a diverses quantitats d'interes, com l'entropia relativa de la coherencia, i com transferir aquest resultat al contrast d'hipotesis en el regim asimptotic. A la segona, donem la taxa d'error asimptotica optima en diverses configuracions, tant simetriques com asimetriques, i tambe discutim les propietats i alguns exemples d'aquestes taxes. A la segona part, ens centrem en les desigualtats entropiques. Comencem amb les desigualtats de recuperabilitat, que han rebut molta atencio recentment. Com veiem, estan estretament relacionades amb la primera part de la tesi. Utilitzant les eines desenvolupades per demostrar el Lema de Stein compost, demostrem una fita inferior per a la informacio mutua condicionada en termes d'una entropia relativa regularitzada que presenta un mapa de recuperacio universal explicit. A continuacio, mostrem dos enfocs a priori diferents per donar una interpretacio operacional a l'entropia relativa de recuperacio a traves del contrast d'hipotesis compostes. Despres discutim i ampliem alguns contraexemples recents afirmant que l'entropia relativa de recuperacio no regularitzada no es una bona fita inferior a la informacio mutua quantica condicionada. A mes, aportem mes contraexemples on alguns dels sistemes quantics involucrats son, en realitat, classics, veient que fins i tot en aquesta configuracio restringida la fita inferior no es correcta. Al final, fem servir la connexio entre la contrast d'hipotesis i la recuperabilitat per mostrar que la regularitzacio al nostre Lema de Stein compost es, de fet, necessaria. Despres ens centrem en un tipus aparentment diferent de desigualtats entropicas, anomenades fites a la combinacio d'informacio, relacionades amb l'entropia condicional de la suma de variables aleatories amb informacio lateral associada. Usant una desigualtat de recuperabilitat particular, mostrem una cota inferior no trivial i, addicionalment, conjecturem cotes optimes tant inferiors com superiors. A mes, discutim les implicacions de les nostres cotes en el comportament de la longitud de bloc finita en codis polars, emprats en comunicacio classica en canals quanitcs. Finalment, discutim les desigualtats de l'entropia de Renyi-2 per a estats Gaussians en sistemes de dimensio infinita, fent us de la seva formulacio com desigualtats log-det per trobar limits relacionats amb la recuperabilitat en diverses quantitats d'interes. Aixo ultim ho apliquem a mesures gaussianes d'entrellacament i steerability, demostrant aixi la seva monogamia entre altres caracteristiques.