UNE GENERALISATION A PLUSIEURS VARIABLES D’UN RESULTAT DE GEL’FOND

Let s£H* and a^£]NV[0,lJ , lí is s be multiplicatively indépendant integers. We study entire functions of s complex variables suchthat f (A) c 2", where A = [(a",... ,a")| n£!N] .  , GEL'FOND démontre le résultat suivant : Soit f une fonction entière d'une variable complexe, on pose : |f|(r) = sup |f(z)| pour r réel positif ou nul. Izlir Soit a appartenant à 3N\£0,lj , on suppose que : i) f(an) appartient à 2 pour tout η entier positif> ii) il existe une fonction h de ]0,+ao[ dans 1R+ , tendant vers zéro si r tend vers +<D , telle que 2 I f I (r) < expffL?^ ] pour tout r strictement f r L4 Log a J positif. Dans ces conditions, f est un polynôme. Ce résultat a été généralisé récemment au cas de plusieurs variables par P. BUNDSCHUH, dans [l] . P. BUNDSCHUH démontre entre autres le résultat suivant : Soit f une fonction entière de s variables complexes, et q = (qj,...,qg) un s-uplet d'éléments de U\{0,lj . On suppose que : 126 J.P. BEZIVIN η, η • 1 S i ) f ( q . , ...,q ) appartient à Ή pour tout s-uplet (η. ,n„ η ) i s ι ¿ s d'éléments de JN. i i ) i l existe des constantes a^ et b^ ' , l »k*s, t e l l es que l ' on a i t , pourvu que les quantités r^ , l í i f s soient assez grandes, l ' i néga l i t é T 2 s Log r^ s L o g | f l ( r i r e ) # Σ . \ £ \ L o g rk L o g L o g rk ' Dans ces conditions f est un polynôme. Nous généralisons le résultat de GEL'FOND dans une autre direction que P. BUNDSCHUH. THEOREME. Soit f une fonction entière de s variables complexes, et a , . . . , a des éléments multiplicativement indépendants de On fait les hypothèses suivantes : i) £ ( a " , . . . , a^ ) appartient à V pour tout η entier positif, ii) on a, pourvu que les réels positifs r^ , likss soient assez grand s,l'inégalité | f | ( r l f . . . . r k ) < A e x P [ ¿ bfc + où A est une constante réelle strictement positive, et les b^ , l ík ís cles constantes réelles strictement positives telles que 1 1 s ( — — V s+T ( i ( Í T T y ) S ( L o g a i L o g a 2 " L o g \ ) S · Alors f est un polynôme. Remarques 1) I l sera c l a i r , d'après la démonstration, que l ' on peut, au l ieu de supposer que appartiennent à IN et f ( a ^ , . . . , a ^ ) à 2 pour tout entier pos i t i f , prendre aj ,ag entiers d'un corps quadratique imaginaire K, supposer ja^ , . . . , Jagj multiplicativement indépendants et que a g ) appartient à l'anneau d'entiers de Κ pour tout η entier po s i t i f . 2) La méthode s'applique également aux valeurs prises aux entiers par des séries de DIRICHLET. Une généralisation d'un résultat de Gel'fond 127 3) On peut enfin donner des énoncés d'irrationalité, en admettant f(a^ a^) rationnel au lieu d'entier, et en contrôlant les dénominateurs. Enfin, le résultat du théorème est, pour l'ordre de croissance, le meilleur possible : PROPOSITION : Soient a^ ag , s éléments multipliaativement indépendants de U . Il existe une fonction entière f de s variables complexes , non polynômiale, telle que : i) a^) = 0 pour tout entier nz> I , ii) |f|(rj rg) # Β exp £ ^L0g l + * j pourvu que les réels positifs r^ soient assez grands, pour des constantes réelles Β et d^ líkís strictement positives. J_ ι En revanche, la constante (—77·) (, '., ) S (Log a,...Log a )S n'est s+i ¿(.s+i ; 1 s certainement pas la meilleure possible, comme le montre le résultat de GEL'FOND pour s=l. Dans la partie II, nous rassemblons des lemmes préliminaires destinés aux démonstrations du théorème et de la proposition, qui se trouvent dans la partie III. II LEMMES PRELIMINAIRES. Soit s un entier supérieur ou égal à 1. On se fixe, dans toute la suite, s entiers strictement positifs aj ag , multiplicativement indépendants, et on range les réels kj Log aj+...+kg Log ag par ordre croissant. (Les k^ sont des éléments de W pour tout i, 1-íiís) ; on notera u(m) le m-ième. (On a donc u(l) = 0). Dans toute la suite, on note E(z) la partie entière du réel z. LEMME 1. On a l'équivalence u(m)«j \/s!(Log a^-.Log ag) %[m pour m tendant vers +«0 .  On regarde d'abord le cas s=2, le cas s=l étant clair. On pose, pour χ réel strictement positif

Field of study: Philosophy