Nacido en el seno de una prominente familia de banqueros, sus padres fueron Francisco Bryce Arróspide y Elena Echenique Basombrío; su tatarabuelo, José Rufino Echenique, llegó a ser presidente del Perú (1851-1855), y su familia está relacionada con la francesa Flora Tristán y con el barón Clemens Althaus de Hesse.