Existe el caso en que se pueden obtener tres raíces reales de multiplicidad tres que ocurre si y sólo si se cumple la condición de que formula_118, lo que implica necesariamente de ecuerdo a la ecuación formula_68 que formula_106, lo que también implica necesarimente según las ecuaciones formula_72 y formula_73 que formula_123, lo que a su vez implica necesariamente según las ecuaciones formula_77 a formula_79 que formula_126, de aquí que al regresar a la transformación de Tschirnhaus dada por la ecuación formula_91 vemos que las tres raíces son reales y múltiples de multiplicidad tres y que valen