Inicialmente Nash se basa en la correspondencia de mejor respuesta y el teorema del punto fijo de Kakutani; posteriormente, en su tesis de doctorado dio una nueva demostración basada en la función de reajuste de Nash y el teorema del punto fijo de Brouwer; sin embargo ambas pruebas son de existencia y no constructivas, es decir, aseguran la existencia de equilibrios de Nash, pero no muestran como calcularlos.