El núcleo de la demostración de la forma "doblar la bola" de la paradoja presentada abajo es el remarcable hecho de que una isometría euclídea (y renombrado de elementos) permite dividir un cierto conjunto (esencialmente, la superficie de una esfera unidad) en cuatro partes, después rotar una de ellas hasta que se convierta en ella misma más dos de las otras partes.