Nacido en Londres, era el hijo mayor de Robert Cotes, un boticario (el hermano menor de Francis Samuel Cotes (1734–1818) también se convirtió en un artista, especializándose en la miniatura), y se formó con el retratista George Knapton (1698–1778) antes de instalar su propio negocio en los locales de su padre en Londres, Cork Street — aprendiendo, incidentalmente, mucho sobre química para informar su elaboración de pasteles.