Por la teoría de campos de clase, esto sólo puede ser verdadero si existe una extensión no-ramificada del campo de las "p"-ésimas raíces de la unidad por una extensión cíclica de grado "p" que se comporta en la forma especificada bajo la acción de Σ; Ribet demostró esto construyendo esta extensión utilizando métodos de la teoría de las formas modulares.