La presentación moderna del teorema de dualidad de Poincaré es en términos de la homología y de la cohomología: si "M" es una "n"-variedad cerrada orientada, y "k" es un número entero, entonces hay un isomorfismo canónico definido del "k"-ésimo grupo de homología "H"("M") al ("n"-"k")-ésimo grupo de cohomología "H"("M").