Por tanto, el problema de Apolonio se puede formular en términos de la geometría de Lie como el problema de encontrar vectores perpendiculares en la cuádrica de Lie, específicamente, el objetivo es identificar vectores resolutorios "X" que pertenezcan a la cuádrica de Lie y sean también ortogonales (perpendiculares) a los vectores "X", "X" y "X" correspondientes a las circunferencias dadas: