Cuando la teoría fue puesta en una base organizada alrededor de 1950 (con las definiciones reducidas a la teoría homotópica) llegó a estar claro que las clases características más fundamentales conocidas en aquella época (la clase de Stiefel-Whitney, la clase de Chern, y las clases de Pontryagin) eran reflejos de los grupos lineales clásicos y la estructura de su toro maximal.