### NN 90/2021 (13.8.2021.), Odluka o donošenju kurikuluma za nastavni predmet Matematika za program Dizajner unutrašnje arhitekture za srednje umjetničke škole na razini 4.2. u Republici Hrvatskoj

MINISTARSTVO ZNANOSTI I OBRAZOVANJA

1648

Na temelju članka 27. stavka 9. Zakona o odgoju i obrazovanju u osnovnoj i srednjoj školi (»Narodne novine«, broj: 87/08, 86/09, 92/10, 105/10 – ispravak, 90/11, 16/12, 86/12, 94/13, 152/14, 7/17, 68/18, 98/19 i 64/20), ministar znanosti i obrazovanja donosi

ODLUKU

O DONOŠENJU KURIKULUMA ZA NASTAVNI PREDMET MATEMATIKA ZA PROGRAM DIZAJNER UNUTRAŠNJE ARHITEKTURE ZA SREDNJE UMJETNIČKE ŠKOLE NA RAZINI 4.2. U REPUBLICI HRVATSKOJ

I.

Ovom Odlukom donosi se kurikulum za nastavni predmet Matematika za program Dizajner unutrašnje arhitekture za srednje umjetničke škole na razini 4.2. u Republici Hrvatskoj.

II.

Sastavni dio ove Odluke je kurikulum nastavnog predmeta Matematika.

III.

Ova Odluka stupa na snagu osmoga dana od dana objave u »Narodnim novinama«, a primjenjuje se od školske godine 2021./2022.

Klasa: 602-03/21-09/00406

Urbroj: 533-09-21-0001

Zagreb, 29. srpnja 2021.

Ministar
 prof. dr. sc. Radovan Fuchs, v. r.

KURIKULUM NASTAVNOGA PREDMETA MATEMATIKA ZA SREDNJE UMJETNIČKE ŠKOLE NA RAZINI 4.2. ZA PROGRAM DIZAJNER UNUTRAŠNJE ARHITEKTURE

A. SVRHA I OPIS PREDMETA

Brzi razvoj suvremenoga društva, kojemu je uvelike pridonijela i primjena matematike u svim njegovim područjima, ukazuje na važnost učenja matematike. Matematika je jedan od čimbenika tehnološkoga napretka društva, a time i važan element poboljšanja kvalitete življenja.

Matematika ima vrijednost i intelektualnu ljepotu, bogata je i poticajna. Zaokuplja i privlači ljude svih dobnih skupina, raznolikih interesa i sposobnosti. Igrala je i igra važnu ulogu u napretku društva u prošlosti, sadašnjosti i budućnosti. Važna je za svakodnevni život te je nužna za razumijevanje svijeta koji nas okružuje i za upravljanje vlastitim životom. Učenje i poučavanje matematike omogućuje razvoj matematičkih znanja i vještina kojima će se učenici koristiti u osobnome, društvenome i profesionalnome životu.

Matematička pismenost prepoznata je kao jedan od važnih preduvjeta za razvoj životnih vještina pojedinca, primjenu matematičkih strategija, cjeloživotno učenje, otvorenost za uporabu novih tehnologija te ostvarivanje vlastitih potencijala. Učenje i poučavanje predmeta Matematika potiče kreativnost, preciznost, sustavnost, apstraktno mišljenje i kritičko promišljanje koje pomaže pri uočavanju i rješavanju problema iz svakodnevice i društvenoga okružja.

Učenje i poučavanje nastavnoga predmeta Matematika ostvaruje se povezivanjem matematičkih procesa i domena. Ta dvodimenzionalnost očituje se u ishodima i doprinosi stjecanju matematičkih kompetencija. Matematički su procesi: prikazivanje i komunikacija, povezivanje, logičko mišljenje, argumentiranje i zaključivanje, rješavanje problema i matematičko modeliranje te primjena tehnologije. Domene predmeta Matematika jesu: Brojevi, Algebra i funkcije, Oblik i prostor, Mjerenje te Podatci, statistika i vjerojatnost.

Svijest pojedinca o posjedovanju kompetencija za rješavanje, i osobnih i problemskih situacija u zajednici, daje mu mogućnost za djelovanje, potiče ga da bude koristan i odgovoran za napredak osobnoga, radnoga i socijalnoga okružja. Kako bi se u učenika postiglo razumijevanje matematičkih pojmova, procesa i koncepata, razvila kreativnost i sposobnost apstrahiranja, potrebno je poučavati od konkretnih, njima bliskih situacija k apstraktnomu modeliranju i opisivanju. Uostalom, i začetci matematike i matematičkoga načina razmišljanja proizišli su iz proučavanja pojava u prirodi, ljudskoga djelovanja u arhitekturi, umjetnosti, tehnologiji te potrebe da se to objasni. Poučavanje matematike tijekom školovanja je strukturirano, pa se velika pozornost posvećuje postupnosti u prihvaćanju i usvajanju matematičkih znanja te uspostavljanju veza među njima. Takav pristup učenju i poučavanju matematike omogućuje svakomu učeniku pronalaženje osobnoga puta prema razvoju i primjeni matematičkoga razmišljanja. Učeći matematiku, učenici postaju svjesni vrijednosti vlastitih matematičkih kompetencija te su motivirani da ih i dalje aktivno razvijaju, izgrađuju i primjenjuju, kako u matematici, tako i u ostalim područjima učenja i života.

Matematičke se kompetencije neprestano razvijaju putem uravnoteženog preplitanja matematičkih procesa i domena predmeta Matematika, ali i putem drugih područja odgoja i obrazovanja te tijekom svih faza školovanja. Time je matematici osigurana stalna prisutnost i važna uloga u odgoju i obrazovanju učenika, stjecanju znanja i razvoju vještina i stavova. Na nastavnicima je, ali i na učenicima, velika odgovornost za ostvarivanje načela kurikuluma, koji teži razvoju vrijednosti i temeljnih kompetencija učenika.

Dobro i pravodobno usvojeni matematički koncepti potiču razumijevanje i snalaženje u različitim područjima kurikuluma. Isto tako, mnogi koncepti usvojeni u drugim područjima i drukčijim pristupom obogaćuju učenje i poučavanje u predmetu Matematika. Takvim načinom, stalnim korelacijama i integracijom unutar kurikuluma tijekom cijeloga školovanja učenici matematiku prihvaćaju kao dio okružja, a matematičke kompetencije primjenjuju u različitim aspektima učenja i života.

B. ODGOJNO-OBRAZOVNI CILJEVI UČENJA I POUČAVANJA PREDMETA

Učenici će temeljem usvojenih matematičkih znanja, vještina i procesa:

– primijeniti matematički jezik u usmenome i pisanome izražavanju, strukturiranju, analizi, razumijevanju i procjeni informacija upotrebljavajući različite načine prikazivanja matematičkih ideja, procesa i rezultata u matematičkome kontekstu i stvarnome životu

– samostalno i u suradničkome okružju matematički rasuđivati logičkim, kreativnim i kritičkim promišljanjem i povezivanjem, argumentiranim raspravama, zaključivanjem, provjeravanjem pretpostavki i postupaka te dokazivanjem tvrdnji

– rješavati problemske situacije odabirom relevantnih podataka, analizom mogućih strategija i provođenjem optimalne strategije te preispitivanjem procesa i rezultata, po potrebi uz učinkovitu uporabu odgovarajućih alata i tehnologije

– razviti samopouzdanje i svijest o vlastitim matematičkim sposobnostima, upornost, poduzetnost, odgovornost, uvažavanje i pozitivan odnos prema matematici i radu općenito

– prepoznati povijesnu, kulturnu i estetsku vrijednost matematike njezinom primjenom u različitim disciplinama i djelatnostima kao i neizostavnu ulogu matematike u razvoju i dobrobiti društva.

C. STRUKTURA – MATEMATIČKI PROCESI I DOMENE KURIKULUMA NASTAVNOGA PREDMETA MATEMATIKA

Matematički procesi kurikuluma nastavnoga predmeta Matematika

Matematički su procesi važni na svim razinama obrazovanja te prožimaju sve domene kurikuluma nastavnoga predmeta Matematika.

Organizirani su u pet skupina:

– prikazivanje i komunikacija

– povezivanje

– logičko mišljenje, argumentiranje i zaključivanje

– rješavanje problema i matematičko modeliranje

– primjena tehnologije.

Prikazivanje i komunikacija

Učenici smisleno prikazuju matematičke objekte, obrazlažu rezultate, objašnjavaju svoje ideje i bilježe postupke koje provode. Pritom se koriste različitim prikazima: riječima, crtežima, maketama, dijagramima, grafovima, listama, tablicama, brojevima, simbolima i slično. U danoj situaciji odabiru prikladan prikaz, povezuju različite prikaze i prelaze iz jednoga na drugi. Prikupljaju i tumače informacije iz raznovrsnih izvora.

Razvijanjem sposobnosti komuniciranja u matematici i o matematici učenici se koriste jasnim matematičkim jezikom, razumiju njegov odnos prema govornome jeziku, slušaju i razumiju matematičke opise i objašnjenja drugih te razmjenjuju i sučeljavaju svoje ideje, mišljenja i stavove. Uspješna komunikacija doprinosi lakšemu i bržemu usvajanju novih sadržaja i kurikuluma nastavnoga predmeta Matematika, ali i kurikuluma ostalih nastavnih predmeta.

Povezivanje

Učenici uspostavljaju i razumiju veze i odnose među matematičkim objektima, idejama, pojmovima, prikazima i postupcima te oblikuju cjeline njihovim nadovezivanjem. Uspoređuju, grupiraju i klasificiraju objekte i pojave prema zadanome ili izabranome kriteriju. Povezuju matematiku s vlastitim iskustvom, prepoznaju je u primjerima iz okoline i primjenjuju u drugim područjima kurikuluma. Time ostvaruju jasnoću, pozitivan stav i otvorenost prema matematici te povezuju matematiku sa sadržajima ostalih predmeta i životom tijekom procesa cjeloživotnoga učenja.

Logičko mišljenje, argumentiranje i zaključivanje

Učenje matematike karakterizira razvoj i njegovanje logičkoga i apstraktnoga mišljenja. Poučavanjem i učenjem nastavnoga predmeta Matematika učenici se suočavaju s izazovnim problemima koji ih potiču na promišljanje, argumentiranje i dokazivanje te donošenje samostalnih zaključaka. Učenici postavljaju matematici svojstvena pitanja te stvaraju i istražuju na njima zasnovane matematičke pretpostavke, uočene pravilnosti i odnose. Stvaraju i vrednuju lance matematičkih argumenata, zaključuju indukcijom i dedukcijom, analiziraju te primjenjuju analogiju, generalizaciju i specijalizaciju. Primjenjuju poznato u nepoznatim situacijama i prenose učenje iz jednoga konteksta u drugi. Razvijaju kritičko mišljenje te prepoznaju utjecaj ljudskih čimbenika i vlastitih uvjerenja na zaključivanje. Proces mišljenja razvijen nastavom matematike učinkovito primjenjuju u svome svakodnevnom životu.

Rješavanje problema i matematičko modeliranje

Učenici analiziraju problemsku situaciju, prepoznaju elemente koji se mogu matematički prikazati i planiraju pristup za njezino rješavanje odabirom odgovarajućih matematičkih pojmova i postupaka. Odabiru, osmišljavaju i primjenjuju razne strategije, rješavaju problem, promišljaju i vrednuju rješenje te ga prikazuju na prikladan način. Razvojem ovoga procesa, osim primjene matematičkih znanja, učenici razvijaju upornost, hrabrost i otvorenost u suočavanju s novim i nepoznatim situacijama.

Primjena tehnologije

Korištenje alatima i tehnologijom pomaže učenicima u matematičkim aktivnostima u kojima su u središtu zanimanja matematičke ideje, pri provjeravanju pretpostavki, pri obradi i razmjeni podataka i informacija te za rješavanje problema i modeliranje. Učenici uočavaju i razumiju prednosti i nedostatke tehnologije. Na taj se način prirodno otvaraju mogućnosti za nove ideje, za dublja i drukčija matematička promišljanja, kao i za nove oblike učenja i poučavanja.

Domene kurikuluma nastavnoga predmeta Matematika

Početak i razvoj matematike temelji se na velikim matematičkim idejama kao što su broj, oblik, struktura i promjena. Oko tih ideja grade se matematički koncepti i razvijaju grane matematike. Usvajanje tih koncepata važno je za razumijevanje informacija, procesa i pojava u svijetu koji nas okružuje. Srodni koncepti grupirani su u domene Brojevi, Algebra i funkcije, Oblik i prostor, Mjerenje te Podatci, statistika i vjerojatnost, koje proizlaze iz domena matematičkoga područja kurikuluma.

Domene se postupno razvijaju i nadograđuju cijelom vertikalom učenja i poučavanja matematike, a udio pojedine domene u godinama učenja prilagođen je razvojnim mogućnostima učenika i potrebi sustavne izgradnje cjelovitoga matematičkog obrazovanja. Domene koje obuhvaćaju pojmove poput broja i oblika istaknutije su u ranijim godinama učenja, dok su u kasnijim godinama učenja zastupljenije domene složenijih matematičkih koncepata, poput funkcija ili vjerojatnosti. Na razini pojedine godine učenja i poučavanja za svaku su domenu iskazani odgojno-obrazovni ishodi, jasni i nedvosmisleni iskazi očekivanja od učenika.

Premda domene povezuju srodne koncepte, njihova se nedjeljivost stalno primjećuje jer je usvojenost koncepata jedne domene često pretpostavka usvajanju koncepata u drugim domenama. Tom povezanošću matematika se spoznaje kao logična i zaokružena cjelina. Cjelovitim pristupom usvajanju koncepata svih domena stječu se matematička znanja i vještine i razvijaju matematičke kompetencije koje podrazumijevaju prikazivanje i komuniciranje matematičkim jezikom, logičko mišljenje, argumentiranje i zaključivanje, matematičko modeliranje i rješavanje problema te uporabu tehnologije.

Važno je naglasiti da se odabirom primjerenih strategija poučavanja te kreativnim načinima izvedbe nastavnoga procesa može uvelike utjecati na razinu usvojenosti znanja i stjecanje vještina i stavova. U svim domenama matematika se povezuje sa stvarnim situacijama, a njezina svakodnevna primjena čini je važnom i nezamjenjivom za razvoj društva u cjelini.

Brojevi

U domeni Brojevi učenici postupno usvajaju apstraktne pojmove kao što su broj, brojevni sustav i skup te razvijaju vještinu izvođenja aritmetičkih postupaka.

Brojiti i računati započinje se u skupu prirodnih brojeva s nulom. Postupno se upoznaju skupovi cijelih, racionalnih, iracionalnih, realnih i kompleksnih brojeva. Razvija se predodžba o brojevima, povezuju njihove različite interpretacije te se uporabom osnovnih svojstava i međusobnih veza računskih operacija usvaja vještina učinkovitoga i sigurnoga računanja.

Tijekom cijelog obrazovanja, odabirom prikladnoga načina računanja, procjenjujući i preispitujući smislenost rezultata, rješavaju se matematički problemi i problemi iz svakodnevnoga života, uz mogućnost uporabe različitih metoda i tehnologije u svrhu efikasnosti i točnosti.

Koncepti iz domene Brojevi osnova su svim ostalim matematičkim konceptima i na njima se gradi daljnje učenje matematike, a učenici će te koncepte u budućnosti svakodnevno upotrebljavati u osobnome, radnome i društvenome okružju.

Algebra i funkcije

Algebra je jezik za opisivanje pravilnosti u kojemu slova i simboli predstavljaju brojeve, količine i operacije, a varijable se upotrebljavaju pri rješavanju matematičkih problema.

U domeni Algebra i funkcije učenici se služe različitim vrstama prikaza; grade algebarske izraze, tablice i grafove radi generaliziranja, tumačenja i rješavanja problemskih situacija. Uočavaju nepoznanice i rješavaju jednadžbe i nejednadžbe računski provođenjem odgovarajućih algebarskih procedura, grafički i služeći se tehnologijom kako bi otkrili njihove vrijednosti i protumačili ih u danome kontekstu. Određenim algebarskim procedurama koriste se i za primjenu formula i provjeravanje pretpostavki.

Prepoznavanjem pravilnosti i opisivanjem ovisnosti dviju veličina jezikom algebre učenici definiraju funkcije koje proučavaju, tumače, uspoređuju, grafički prikazuju i upoznaju njihova svojstva. Modeliraju situacije opisujući ih algebarski, analiziraju i rješavaju matematičke probleme i probleme iz stvarnoga života koji uključuju pravilnosti ili funkcijske ovisnosti.

Oblik i prostor

Prostorni zor intuitivni je osjećaj za oblike i odnose među njima, a zajedno s geometrijskim rasuđivanjem razvija sposobnost misaone predodžbe objekta i prostornih odnosa.

Domena Oblik i prostor dio je geometrije koji se bavi proučavanjem oblika, njihovih položaja i odnosa.

Rastavljanjem i sastavljanjem oblika uspoređuju se njihova svojstva i uspostavljaju veze među njima. Iz uočenih svojstava i odnosa izvode se pretpostavke i tvrdnje koje se dokazuju crtežima i algebarskim izrazima.

Koristeći se geometrijskim priborom i tehnologijom, učenici će izvoditi geometrijske transformacije, istraživati i primjenjivati njihova svojstva te razviti koncepte sukladnosti i sličnosti.

Interakcijom s ostalim domenama i matematičkim argumentiranjem prostornih veza, rabeći prostorni zor i modeliranje, učenici pronalaze primjenu matematičkih rješenja u različitim situacijama. Prepoznaju ravninske i prostorne oblike i njihova svojstva u svakodnevnome okružju te ih upotrebljavaju za opis i analizu svijeta oko sebe.

Mjerenje

Mjerenje je uspoređivanje neke veličine s istovrsnom veličinom koja je dogovorena jedinica mjere.

U domeni Mjerenje usvajaju se standardne mjerne jedinice za novac, duljinu, površinu, volumen, masu, vrijeme, temperaturu, kut i brzinu te ih se mjeri odgovarajućim mjernim uređajima i kalendarom. Procjenjivanjem, mjerenjem, preračunavanjem i izračunavanjem veličina određuju se mjeriva obilježja oblika i pojava uz razložnu i učinkovitu upotrebu alata i tehnologije. Rezultati se interpretiraju i izražavaju u jedinici mjere koja odgovara situaciji.

Učenici će mjerenjem povezati matematiku s drugim odgojno-obrazovnim područjima, s vlastitim iskustvom, svakodnevnim životom u kući i zajednici te na radnome mjestu, prepoznati mjeriva obilježja ravninskih i prostornih oblika u umjetnosti te ih upotrebljavati za opis i analizu svijeta oko sebe.

Podatci, statistika i vjerojatnost

Domena Podatci, statistika i vjerojatnost bavi se prikupljanjem, razvrstavanjem, obradom, analizom i prikazivanjem podataka u odgovarajućemu obliku. Podatke dane grafičkim ili nekim drugim prikazom treba znati očitati te ih ispravno protumačiti i upotrijebiti. Sve se to postiže koristeći se jezikom statistike. Ona podrazumijeva uporabu matematičkoga aparata kojim se računaju mjere srednje vrijednosti, mjere raspršenja, mjere položaja i korelacije podataka.

Nakon prepoznavanja veza među podatcima i promatrajući frekvencije pojavljivanja, dolazi se do pojma vjerojatnosti. Određuje se broj povoljnih i svih mogućih ishoda, procjenjuje se i izračunava vjerojatnost što nam omogućuje predviđanje događaja.

![](/files/_web/sluzbeni-dio/2021/132125/images/6861.jpg)

Slika 1. Matematički procesi i domene kurikuluma nastavnoga predmeta Matematika

D. ODGOJNO-OBRAZOVNI ISHODI, SADRŽAJI I RAZINE OSTVARENOSTI PO RAZREDIMA I ORGANIZACIJSKIM PODRUČJIMA

Odgojno-obrazovni ishodi kurikuluma nastavnoga predmeta Matematika opisani su sljedećim elementima:

– odgojno-obrazovni ishod

– razrada ishoda

– odgojno-obrazovni ishodi na razini ostvarenosti »dobar« na kraju razreda

– sadržaji

– preporuke za ostvarivanje odgojno-obrazovnih ishoda.

Razina ostvarenosti »dobar« odgojno-obrazovnog ishoda služi:

– unapređenju procesa učenja, poučavanja i vrednovanja ponajprije nastavnicima u planiranju metoda učenja kojima će se potaknuti viši kognitivni procesi u učenika i dublje učenje

– pomaže pri planiranju i provedbi vrednovanja, jer omogućuju jasnoću i dosljednost u interpretaciji dokaza o razvoju znanja, vještina, sposobnosti i stavova/vrijednosti učenika te su osnova za određivanje kriterija vrednovanja

– učenicima i roditeljima daju jasan iskaz očekivanja, ali i mogućnost samoprocjene napretka u predmetu Matematika u različitim trenucima učenikova odgojno-obrazovnog puta.

Svakome odgojno-obrazovnom ishodu dodjeljuje se kratka oznaka, npr. MAT SŠ D.1.2.

– MAT označava predmet Matematika.

– SŠ označava da se ishod ostvaruje u srednjoj umjetničkoj školi.

– Slovčana oznaka (npr. D) označava odgovarajuću domenu predmeta Matematika:

■ A – Brojevi

■ B – Algebra i funkcije

■ C – Oblik i prostor

■ D – Mjerenje

■ E – Podatci, statistika i vjerojatnost.

– Prva brojka (npr. 1) označava u kojem se razredu ishod ostvaruje.

– Druga brojka (npr. 2) označava koji je to ishod po redu u navedenoj domeni.

Odgojno-obrazovni ishodi razrađeni su prema godišnjemu broju sati u pojedinom razredu. U svakom razredu ostvaruju se odgojno-obrazovni ishodi za odgovarajući razred i godišnji broj sati.

U programu Dizajner unutrašnje arhitekture koji ima satnicu Matematike po godinama učenja 2 + 2 + 2 + 4, u prva tri razreda nastava Matematike izvodi se po kurikulumu za 70 sati godišnje, a u četvrtom razredu po kurikulumu za 128 sati godišnje.

Srednja umjetnička škola Matematika
 1. razred – 70 sati godišnje

![](/files/_web/sluzbeni-dio/2021/132125/images/6854.jpg)

Slika 2. Grafički prikaz organizacije predmetnoga kurikuluma u devetoj godini učenja, 70 sati godišnje

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| Matematika – na kraju 1. razreda srednje umjetničke škole učenik: | | |
| Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor, D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost | | |
| odgojno-obrazovni ishodi | razrada ishoda | odgojno-obrazovni ishodi na razini ostvarenost  »dobar« na kraju razreda |
| MAT SŠ A.1.1.  MAT SŠ E.1.1.  Primjenjuje računanje u skupu realnih brojeva. | Uspoređuje realne brojeve rabeći različite strategije uz obrazloženje.  Računa vrijednosti brojevnih izraza poštujući redoslijed računskih operacija.  Primjenjuje računanje pri rješavanju matematičkih problema i problema iz svakodnevnoga života.  Procjenjuje, smisleno zaokružuje i računa u problemskim situacijama različitih razina složenosti.  Računa aritmetičku sredinu statističkih podataka prikazanih na različite načine. | Uspoređuje realne brojeve različitih zapisa.  Računa vrijednost jednostavnih izraza i primjenjuje računanje pri rješavanju jednostavnih problema. |
| Sadržaj: Skup realnih brojeva. Računske operacije u skupu realnih brojeva. Aritmetička sredina. | | |
| Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda  Primjer problema iz života:  Plaća neke osobe iznosi 3240 kuna. Za troškove stanovanja ta osoba daje dvije petine plaće, a za prehranu daje jednu trećinu plaće. Koliko kuna daje za troškove stanovanja, a koliko za prehranu? Koliko joj kuna ostane? | | |
| MAT SŠ A.1.2.  MAT SŠ B.1.1.  Računa s potencijama racionalne baze i cjelobrojnog eksponenta, računa drugi korijen. | Prepoznaje zapis potencije kao umnožak jednakih faktora.  Opisuje dijelove potencije (baza i eksponent) i njihova značenja.  Računa vrijednost potencije, po potrebi uz uporabu džepnoga računala.  Navodi i objašnjava pravila za zbrajanje, množenje, dijeljenje i potenciranje potencija.  Procjenjuje i računa vrijednost drugoga korijena rabeći džepno računalo.  Uspoređuje brojeve u znanstvenome zapisu i primjenjuje ga u jednostavnim problemima. | Računa vrijednost potencije i vrijednost jednostavnih brojevnih izraza s potencijama.  Pretvara standardni zapis broja u znanstveni i obrnuto. |
| Sadržaj: Potencije. Računske operacije s potencijama. Znanstveni zapis broja. Drugi korijen. | | |
| Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda  Ne treba inzistirati na složenim zadacima, već na razumijevanju pojma potencije.  Primjena znanstvenoga zapisa broja može se povezati s mjernim jedinicama. | | |
| MAT SŠ B.1.2.  Računa s algebarskim izrazima | Računa vrijednost algebarskoga izraza za zadane varijable.  Računa s jednostavnim algebarskim izrazima.  Faktorizira jednostavne izraze primjenom zakona distribucije.  Primjenjuje formule za kvadrat zbroja i razlike i za razliku kvadrata.  Prošireni sadržaj:  Računa s algebarskim razlomcima. | Računa vrijednost algebarskoga izraza za zadane varijable.  Zbraja, oduzima i množi jednostavne algebarske izraze. |
| Sadržaj: Algebarski izrazi. Formule za kvadrat binoma i razliku kvadrata. Rastav na faktore  Prošireni sadržaj: Algebarski razlomci | | |
| Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda  Pri računanju s algebarskim izrazima ne treba inzistirati na složenim zadacima. | | |
| MAT SŠ B.1.3.  Primjenjuje proporcionalnost, linearne jednadžbe, nejednadžbe i sustave. | Primjenjuje proporcionalnost u primjerima iz života.  Rješava linearne jednadžbe, linearne nejednadžbe i sustave linearnih jednadžbi te ih primjenjuje pri rješavanju jednostavnih problema.  Izražava jednu veličinu pomoću drugih primjenjujući svojstva jednakosti.  Prošireni sadržaj:  Grafički rješava sustav linearnih jednadžbi. | Rješava jednostavnu linearnu jednadžbu i sustave linearnih jednadžbi uz provjeru rješenja.  Rješava linearnu nejednadžbu i rješenje prikazuje na brojevnome pravcu. |
| Sadržaj: Linearne jednadžbe. Proporcionalne veličine. Problemi 1. stupnja. Linearne nejednadžbe. Sustav dviju linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama. | | |
| Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda  Pri rješavanju jednadžbi, nejednadžbi i sustava ne treba inzistirati na složenim zadacima, već na razumijevanju postupka i primjeni na problemima. | | |
| MAT SŠ B.1.4.  Primjenjuje linearnu funkciju pri rješavanju problema. | Zadanu linearnu funkciju prikazuje tablično i grafički.  Opisuje utjecaj koeficijenata na položaj grafa, određuje nultočku, iz grafa čita argumente i vrijednosti.  U problemskim situacijama prepoznaje linearnu ovisnost, računa vrijednosti i argumente i prikazuje ih grafički.  Analizira problem zadan linearnom funkcijom ili grafičkim prikazom linearne funkcije. | Za linearnu funkciju računa vrijednosti funkcije, crta graf, određuje nultočku i interpretira koeficijente. |
| Sadržaj: Linearna funkcija. Graf linearne funkcije. | | |
| Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda  Koristiti se programima dinamične geometrije te ostalim primjerenim i dostupnim interaktivnim računalnim programima i alatima za istraživanje svojstava funkcija, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja.  Primjer primjene linearne funkcije u problemskoj situaciji: Majstor za dolazak u kuću naplaćuje 70 kn, a za svaki sat rada još 120 kn.  a) Koliko treba platiti dolazak u kuću i rad majstora ako je radio: pola sata, 1 sat, 1 sat i 20 minuta, 2 sata?  b) Grafički prikaži cijenu posjeta majstora ovisno o utrošenome vremenu.  c) Koliko je sati radio majstor koji je naplatio 270 kn? | | |
| MAT SŠ C.1.1.  MAT SŠ D.1.1.  Primjenjuje sličnost trokuta. | Izriče i ilustrira poučke o sličnosti trokuta, primjenjuje ih u modeliranju problema.  Određuje, obrazlaže i primjenjuje odnose površina, opsega i drugih veličina u sličnim trokutima.  Putem primjera zadataka upoznaje povijest matematike.  Prošireni sadržaj:  Primjenjuje Talesov poučak o proporcionalnim dužinama.  Primjenjuje Heronovu formulu pri računanju površine trokuta.  Crtice iz povijesti – Tales, Euler, Heron, Pitagora. | Rješava jednostavne probleme rabeći sličnost trokuta. |
| Sadržaj: Sličnost trokuta. Primjene sukladnosti i sličnosti.  Prošireni sadržaj: Talesov poučak o proporcionalnosti dužina. Heronova formula. | | |
| Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda  Koristiti se programima dinamične geometrije te ostalim primjerenim i dostupnim interaktivnim računalnim programima i alatima za istraživanje svojstava, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja.  Primjer zadatka koji uključuje povijest matematike: Objasni kako je Tales pomoću sjene izračunao visinu piramide. Izračunaj na taj način visinu neke građevine ili stabla u svojoj okolini. | | |
| MAT SŠ C.1.2.  MAT SŠ D.1.2.  Primjenjuje trigonometrijske omjere. | Definira trigonometrijske omjere u pravokutnome trokutu.  Učinkovito se koristi džepnim računalom.  Primjenjuje trigonometrijske omjere pri modeliranju jednostavnih problemskih situacija i za rješavanje problema u planimetriji (trokuti i četverokuti). | Primjenjuje trigonometrijske omjere za određivanje nepoznatih veličina u pravokutnome trokutu. |
| Sadržaj: Trigonometrijski omjeri. Primjena trigonometrijskih omjera u planimetriji. | | |
| Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda  Koristiti se programima dinamične geometrije te ostalim primjerenim i dostupnim interaktivnim računalnim programima i alatima za istraživanje svojstava, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja. Primijeniti znanja u autentičnim situacijama i na terenskoj nastavi.  Primijeniti znanja u autentičnim situacijama i na terenskoj nastavi ako je moguće. Jednostavni problemi uključuju probleme koji se izravno svode na pravokutni trokut i probleme s likovima koji se rješavaju, uočavanjem pravokutnoga trokuta. | | |
| MAT SŠ D.1.3.  Preračunava mjerne jedinice i odabire pogodnu. | Preračunava osnovne mjerne jedinice za duljinu, vrijeme, površinu i kut primjenjujući ih pri rješavanju problema.  Objašnjava značenje predmetaka mjernih jedinica (od mikro do giga). | Preračunava mjerne jedinice pri rješavanju jednostavnih problema. |
| Sadržaj: Mjerne jedinice za duljinu, vrijeme, površinu i kut. | | |
| Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda  Ovaj ishod može se ostvariti primjenom u drugim ishodima, u primjerima u kojima se pojavljuju razne mjerne jedinice. | | |
| MAT SŠ C.1.3.  MAT SŠ D.1.4.  Računa i primjenjuje opseg i površinu geometrijskih likova. | Opisuje i računa opseg i površinu geometrijskoga lika ili geometrijskih oblika sastavljenih od osnovnih geometrijskih likova.  Računa ostale elemente likova (duljine stranica, dijagonala, polumjera i slično).  Prepoznaje i računa opseg i površinu dijelova kruga.  Primjenjuje računanje opsega i površine u situacijama iz stvarnoga života.  Prošireni sadržaj:  Računa površinu likova zadanih koordinatama točaka u koordinatnome sustavu. | Opisuje i računa opseg i površinu trokuta, kvadrata, pravokutnika i kruga, služeći se džepnim računalom prema potrebi.  Prepoznaje i računa opseg i površinu u jednostavnim problemima iz svakodnevnoga života. |
| Sadržaj: Geometrijski likovi. Opseg i površina trokuta, četverokuta, kruga i dijelova kruga.  Prošireni sadržaj: Površina likova zadanih koordinatama točaka. | | |
| Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda  Koristiti se programima dinamične geometrije te ostalim primjerenim i dostupnim interaktivnim računalnim programima i alatima za istraživanje svojstava, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja. Primijeniti znanja u autentičnim situacijama i na terenskoj nastavi ako je moguće.  U jednostavnim situacijama opseg i površina pronalaze se izravnim uvrštavanjem u formulu. | | |

Srednja umjetnička škola Matematika
 2. razred – 70 sati godišnje

![](/files/_web/sluzbeni-dio/2021/132125/images/6825.jpg)

Slika 3. Grafički prikaz organizacije predmetnoga kurikuluma u desetoj godini učenja, 70 sati godišnje

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| Matematika – na kraju 2. razreda srednje umjetničke škole učenik: | | |
| Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor,  D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost | | |
| odgojno-obrazovni ishodi | razrada ishoda | odgojno-obrazovni ishodi na razini ostvarenosti  »dobar« na kraju razreda |
| MAT SŠ A.2.1.  MAT SŠ B.2.1.  Primjenjuje postotni račun. | Prepoznaje elemente postotnoga računa, postotak, postotni iznos i cjelinu u problemskoj situaciji.  Računa nepoznati podatak.  Prepoznaje i računa osnovnu vrijednost kada je zadana vrijednost promijenjena za postotak.  Primjenjuje postotni račun za obračun PDV-a, carine, promjene i izračuna cijena, opise udjela i druge probleme iz života.  Prošireni sadržaj:  Razlikuje i objašnjava bruto i neto plaću i primjenjuje postotni račun za izračun neto plaće. | Računa postotak, postotni iznos i osnovnu vrijednost u jednostavnim situacijama.  Osnovnu vrijednost uvećava/umanjuje za postotni iznos. |
| Sadržaj: Postotni račun.  Prošireni sadržaj: Bruto i neto plaća | | |
| Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda  Koristiti se proračunskim tablicama za usporedbu različitih parametara.  Primjer obračuna cijene:  Cijena po kojoj je trgovina nabavila robu je nabavna ili fakturna cijena. Tu cijenu trgovina uvećava za troškove. Na taj iznos dodaje još razliku u cijeni, koja predstavlja prihod trgovine. Tako dobivena cijena naziva se prodajna cijena. Prodajna cijena uvećava se za porez na dodanu vrijednost (PDV). Cijena uvećana za porez naziva se maloprodajna cijena. To je cijena koju plaća kupac u trgovini. | | |
| MAT SŠ B.2.2.  Rješava kvadratnu jednadžbu. | Bira metodu i rješava kvadratne jednadžbe s racionalnim koeficijentima.  Prepoznaje postojanje rješenja kvadratne jednadžbe kada kvadratna jednadžba nema rješenje u skupu R.  Primjenjuje diskriminantu pri određivanju postojanja rješenja kvadratne jednadžbe.  Prošireni sadržaj:  Primjenjuje imaginarnu jedinicu pri zapisu rješenja kvadratne jednadžbe.  Faktorizira trinom. | Kvadratne jednadžbe oblika  ax2+c=0 rješava bez primjene formule.  Rješava kvadratnu jednadžbu primjenom formule. |
| Sadržaj: Kvadratna jednadžba. Diskriminanta kvadratne jednadžbe.  Prošireni sadržaj: Imaginarna jedinica. Faktorizacija trinoma. | | |
| MAT SŠ B.2.3.  Grafički prikazuje i primjenjuje kvadratnu funkciju. | Grafički prikazuje kvadratnu funkciju.  Iz grafa procjenjuje i određuje tjeme i nultočke kvadratne funkcije te ih primjenjuje pri grafičkome prikazu.  Kvadratnom funkcijom modelira jednostavnu problemsku situaciju.  Prošireni sadržaj:  Rješava jednostavnu kvadratnu nejednadžbu. | Grafički prikazuje funkciju f(x)=ax2+c uz objašnjenje. |
| Sadržaj: Kvadratna funkcija. Graf kvadratne funkcije.  Prošireni sadržaj: Kvadratna nejednadžba | | |
| MAT SŠ C.2.1.  MAT SŠ D.2.1.  Primjenjuje poučak o sinusima i poučak o kosinusu. | Računa nepoznate elemente trokuta primjenjujući poučak o sinusima i poučak o kosinusu.  Primjenjuje poučke u problemskim zadatcima. | Računa nepoznate elemente trokuta izravnom primjenom određenoga poučka. |
| Sadržaj: Poučak o sinusima i poučak o kosinusu. | | |
| Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda  Koristiti se programima dinamične geometrije te ostalim primjerenim i dostupnim interaktivnim računalnim programima i alatima.  Vrijednosti sinusa i kosinusa za kutove od 90° do 180° uvode se na sljedeći način:  ![](/files/_web/sluzbeni-dio/2021/132125/images/6809.jpg) | | |
| MAT SŠ C.2.2.  Crta geometrijska tijela i njihove mreže. | Crta geometrijska tijela (kocku, kvadar, trostranu i četverostranu prizmu i piramidu, valjak, stožac i kuglu) u kvadratnoj mreži.  Prepoznaje i crta mreže tijela i dijagonalni i osni presjek tijela ravninom.  Prošireni sadržaj:  Izrađuje modele tijela.  Opisuje Platonova tijela. | Prepoznaje, opisuje i prostoručno skicira geometrijska tijela.  Određuje broj vrhova, bridova i strana geometrijskoga tijela i povezuje geometrijsko tijelo s njegovom mrežom. |
| Sadržaj: Geometrijska tijela. Mreže geometrijskih tijela.  Prošireni sadržaj: Modeli tijela. Platonova tijela. | | |
| Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda  Koristiti se programima dinamične geometrije te ostalim primjerenim i dostupnim interaktivnim računalnim programima i alatima za istraživanje svojstava, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja. Primijeniti znanja u autentičnim situacijama i na terenskoj nastavi ako je moguće.  Koristiti modele tijela. Učenici sami ili u skupini mogu izrađivati modele geometrijskih tijela ili pronalaziti modele u okolini. | | |
| MAT SŠ C.2.3.  MAT SŠ D.2.2.  Računa i primjenjuje oplošje i volumen geometrijskih tijela. | Razlikuje i opisuje oplošje i volumen tijela.  Računa oplošje i volumen kocke, kvadra, prizme i valjka.  Računa volumen piramide i stošca.  Računa oplošje i volumen u problemskim situacijama.  Primjenjuje odgovarajuće mjerne jedinice.  Prošireni sadržaj:  Računa oplošje piramide i stošca.  Računa volumen i oplošje kugle. | Računa oplošje i volumen kocke, kvadra, prizme i valjka u jednostavnim problemima. |
| Sadržaj: Oplošje i volumen geometrijskih tijela. Kocka, kvadar, prizma, valjak, piramida i stožac.  Prošireni sadržaj: Oplošje piramide i stošca. Volumen i oplošje kugle. | | |
| Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda  Koristiti se programima dinamične geometrije te ostalim primjerenim i dostupnim interaktivnim računalnim programima i alatima za istraživanje svojstava, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja.  Koristiti modele tijela. Primijeniti znanja u autentičnim situacijama i na terenskoj nastavi ako je moguće. | | |
| MAT SŠ E.2.1.  Barata podacima prikazanim na različite načine. | Prepoznaje obilježja skupa objekata, prikuplja podatke o njima, organizira ih tablično, određuje frekvenciju i relativnu frekvenciju podataka.  Određuje srednje vrijednosti prikupljenih podataka.  Crta linijske i stupčaste dijagrame frekvencija i relativnih frekvencija te kružni dijagram relativnih frekvencija.  Analizira rezultate i diskutira o njima. | Interpretira podatke prikazane na različite načine.  Organizira prikupljene podatke i prikazuje ih linijskim i stupčastim dijagramom. |
| Sadržaj: Prikaz podataka. Mjere srednje vrijednosti. | | |
| Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda  Koristiti se programima dinamične geometrije te ostalim primjerenim i dostupnim interaktivnim računalnim programima i alatima za prikaz podataka. | | |

Srednja umjetnička škola Matematika
 3. razred – 70 sati godišnje

![](/files/_web/sluzbeni-dio/2021/132125/images/6793.jpg)

Slika 4. Grafički prikaz organizacije predmetnoga kurikuluma u jedanaestoj godini učenja, 70 sati godišnje

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| Matematika – na kraju 3. razreda srednje umjetničke škole učenik: | | |
| Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor,  D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost | | |
| odgojno-obrazovni ishodi | razrada ishoda | odgojno-obrazovni ishodi na razini ostvarenosti  »dobar« na kraju razreda |
| MAT SŠ A.3.1.  MAT SŠ B.3.1.  Računa s potencijama racionalnog eksponenta. | Računa vrijednost korijena i potencija racionalnoga eksponenta koristeći se džepnim računalom ili bez njega.  Prelazi iz prikaza potencije racionalnoga eksponenta u prikaz korijenom i obrnuto.  Navodi pravila za računanje s potencijama.  Računa s potencijama racionalnoga eksponenta. | Računa vrijednost korijena. |
| Sadržaj: Korijeni. Potencije racionalnog eksponenta. | | |
| Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda:  Primjer izraza koji uključuje potencije racionalnoga eksponenta:  Izračunaj vrijednost izraza: ![](/files/_web/sluzbeni-dio/2021/132125/images/6773.jpg) . | | |
| MAT SŠ B.3.2.  Primjenjuje eksponencijalnu i logaritamsku funkciju. | Određuje domenu i crta graf eksponencijalne i logaritamske funkcije.  Prepoznaje eksponencijalnu i logaritamsku ovisnost u problemima i računa vrijednosti.  Prošireni sadržaj:  Primjenjuje kontinuirano ukamaćivanje i eksponencijalni rast  Crtice iz povijesti – Briggsove i Napierove logaritamske tablice.  Korelacija s Kemijom, Biologijom i ostalim predmetima. | Za eksponencijalnu i logaritamsku funkciju skicira graf i određuje svojstva. |
| Sadržaj: Eksponencijalna i logaritamska funkcija. Svojstva i graf eksponencijalne i logaritamske funkcije.  Prošireni sadržaj: Kontinuirano ukamaćivanje i eksponencijalni rast. | | |
| Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda  Koristiti se programima dinamične geometrije te ostalim primjerenim i dostupnim interaktivnim računalnim programima i alatima za otkrivanje svojstava i pravilnosti.  Učenik otkriva osnovna svojstva funkcija iz njihovih grafova. Uočava »inverznu« vezu između eksponencijalne i logaritamske funkcije rabeći pravac y = x.  Primjer problema opisanoga eksponencijalnom funkcijom: Funkcija N(x)=10000·2x pokazuje broj bakterija u uzorku sati nakon uzimanja uzorka.  a) Koliki će biti broj bakterija nakon 2 sata?  b) Nakon koliko će sati broj bakterija biti 2 560 000? | | |
| MAT SŠ B.3.3.  Rješava eksponencijalne i logaritamske jednadžbe. | Navodi i primjenjuje svojstva potencija i logaritama, prelazi iz logaritamskoga u eksponencijalni oblik.  Rješava jednostavne eksponencijalne i logaritamske jednadžbe.  Rješava jednadžbu proizašlu iz problemske situacije opisane eksponencijalnom ili logaritamskom ovisnošću. | Prelazi iz logaritamskoga u eksponencijalni oblik i obrnuto.  Rješava eksponencijalne i logaritamske jednadžbe izravnom primjenom definicije. |
| Sadržaj: Eksponencijalne i logaritamske jednadžbe. | | |
| Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda  Primjer: Vrijednost iznosa uloženoga na štednju svakim se danom povećava po formuli:  ![](/files/_web/sluzbeni-dio/2021/132125/images/6766.jpg) . Nakon koliko će se dana vrijednost iznosa udvostručiti? | | |
| MAT SŠ B.3.4.  MAT SŠ C.3.1.  Primjenjuje svojstva i crta graf trigonometrijske funkcije. | Definira trigonometrijske funkcije broja na brojevnoj kružnici.  Otkriva svojstva trigonometrijskih funkcija i koristi ih za računanje vrijednosti trigonometrijskih funkcija.  Koristi se džepnim računalom.  Prepoznaje i opisuje grafove osnovnih trigonometrijskih funkcija.  Grafički prikazuje trigonometrijske funkcije:  f(x)=sinx, f(x)=cosx,  f(x)=Asin(bx)  f(x)=Acos(bx)  Prošireni sadržaj:  Primjenjuje osnovne trigonometrijske identitete.  Crtice iz povijesti – podrijetlo imena trigonometrijskih funkcija.  Korelacija s Fizikom i ostalim predmetima. | Definira trigonometrijske funkcije.  Uočava svojstva trigonometrijskih funkcija.  Skicira grafove osnovnih trigonometrijskih funkcija. |
| Sadržaj: Brojevna kružnica. Definicija trigonometrijskih funkcija. Svojstva trigonometrijskih funkcija. Graf trigonometrijskih funkcija.  Prošireni sadržaj: Osnovni trigonometrijski identiteti | | |
| Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda  Koristiti se programima dinamične geometrije te ostalim primjerenim i dostupnim interaktivnim računalnim programima i alatima za otkrivanje svojstava i pravilnosti.  Važno je da učenici otkriju i usvoje vezu koordinata točaka na brojevnoj kružnici i trigonometrijskih funkcija (sinx i cosx), odnosno koordinata točaka na osi tangensa s tgx, osi kotangensa s ctgx. Također je važno otkrivanje svojstava kao što su parnost/neparnost i periodičnost te njihova primjena pri računanju vrijednosti trigonometrijskih funkcija. Koristiti se džepnim računalom. Upozoriti na mjere koje se koriste pri računanju (stupnjevi, radijani).  Moguće je učenicima zadati manji seminarski rad u kojemu će crtati grafove trigonometrijskih funkcija (od početka se koristeći brojevnom kružnicom, prenoseći vrijednosti na graf) ili onih kojima se mijenjaju amplitude, periodi i pomaci. Koristeći se programom dinamične geometrije pri izradi toga seminarskog rada, mnogo jednostavnije uočavaju promjene.  No za razvoj grafomotoričkih vještina dobro je zadati da učenici to rade i prostoručno. Svakako ih treba upozoriti na važnost odabira odgovarajućega mjerila pri crtanju grafova. | | |
| MAT SŠ C.3.2.  MAT SŠ D.3.1.  Primjenjuje koordinatni sustav. | Imenuje elemente koordinatnoga sustava, crta točke zadane koordinatama i obrnuto.  Računa duljinu dužine i koordinate polovišta dužine te ih primjenjuje u geometrijskim problemima. | Crta dužine i likove zadane koordinatama vrhova u koordinatnome sustavu.  Računa duljinu dužine i koordinate polovišta dužine. |
| Sadržaj: Koordinatni sustav u ravnini. Duljina dužine. Polovište dužine. | | |
| MAT SŠ C.3.3.  MAT SŠ D.3.2.  Računa s vektorima. | Prepoznaje, opisuje i rabi elemente vektora.  Računa s vektorima (zbraja, oduzima i množi skalarom) i prikazuje ih u ravnini i u koordinatnome sustavu.  Određuje duljinu vektora, računa skalarni umnožak vektora.  Prošireni sadržaj:  Računa mjeru kuta između vektora. | Opisuje vektor i odnose između dvaju vektora, crta vektore, određuje koordinate vektora zadanoga točkama u koordinatnome sustavu i računa duljinu vektora. |
| Sadržaj: Pojam vektora. Računske operacije s vektorima. Duljina vektora. Skalarni umnožak vektora.  Prošireni sadržaj: Mjera kuta između vektora. | | |
| Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda  Koristiti se programima dinamične geometrije te ostalim primjerenim i dostupnim interaktivnim računalnim programima i alatima za istraživanje svojstava, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja. | | |

Srednja umjetnička škola Matematika
 4. razred – 128 sati godišnje

![](/files/_web/sluzbeni-dio/2021/132125/images/6747.jpg)

Slika 5. Grafički prikaz organizacije predmetnoga kurikuluma u dvanaestoj godini učenja, 128 sati godišnje

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| Matematika – na kraju 4. razreda srednje umjetničke škole učenik: | | |
| Domene: A – Brojevi, B – Algebra i funkcije, C – Oblik i prostor,  D – Mjerenje, E – Podatci, statistika i vjerojatnost | | |
| odgojno-obrazovni ishodi | razrada ishoda | odgojno-obrazovni ishodi na razini ostvarenosti  »dobar« na kraju razreda |
| MAT SŠ B.4.1.  Prikazuje skupove i operacije sa skupovima. | Kreira i prikazuje skupove (brojeva, podataka) i njihove odnose pomoću Vennovih dijagrama.  Rabi matematičke simbole u zapisu skupova i njihovih odnosa.  Određuje i prikazuje podskup, uniju, presjek i razliku skupova realnih brojeva zapisujući ih matematičkim simbolima. | Samostalno povezuje različite zapise skupova i prelazi iz jednoga u drugi. |
| Sadržaj: Skupovi. Operacije sa skupovima. | | |
| MAT SŠ E.4.1.  Bira strategiju i rješava problem rabeći kombinatoriku. | Prepoznaje i opisuje osnovne principe prebrojavanja, permutacije, kombinacije i varijacije.  Objašnjava, računa i daje primjer permutacija, kombinacija i varijacija.  Ilustrira i rješava problem rabeći kombinatoriku.  Primjenjuje binomnu formulu. | Rješava probleme rabeći kombinacije i varijacije bez ponavljanja i permutacije. |
| Sadržaj: Kombinatorika. Osnovni princip prebrojavanja. Permutacije, kombinacije i varijacije. Binomna formula. | | |
| Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda  Za dokaz binomne formule koristiti kombinatoriku umjesto matematičke indukcije. | | |
| MAT SŠ E.4.2.  Računa vjerojatnost. | Opisuje slučajan pokus i elementarne događaje.  Prepoznaje siguran i nemoguć događaj i određuje njihovu vjerojatnost.  Računa vjerojatnost primjenjujući klasičnu definiciju vjerojatnosti i svojstva vjerojatnosti. | Određuje skup svih povoljnih i mogućih događaja te primjenjuje skupove za prikaz slučajnoga događaja. |
| Sadržaj: Događaji. Vjerojatnost događaja. Klasična definicija vjerojatnosti. | | |
| MAT SŠ B.4.2.  MAT SŠ C.4.1.  MAT SŠ D.4.1.  Primjenjuje jednadžbu pravca. | Prepoznaje, opisuje i crta pravac u koordinatnome sustavu iz njegove jednadžbe i izvodi jednadžbu pravca iz grafičkoga prikaza ili zadanih parametara.  Računa mjeru kuta pravca s pozitivnim dijelom apscise i povezuje s koeficijentom smjera.  Crta i određuje pravce paralelne s koordinatnim osima.  Određuje pravce paralelne/ okomite zadanomu.  Prošireni sadržaj:  Računa udaljenost točke od pravca i mjeru kuta između pravaca. | Grafički prikazuje pravac zapisan različitim oblicima jednadžbi pravca.  Interpretira koeficijente u eksplicitnome obliku jednadžbe pravca. |
| Sadržaj: Jednadžba pravca. Nagib pravca. Paralelni i okomiti pravci.  Prošireni sadržaj: Kut između pravaca. Udaljenost točke do pravca. | | |
| Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda  Koristiti se programima dinamične geometrije te ostalim primjerenim i dostupnim interaktivnim računalnim programima i alatima za istraživanje svojstava, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja. | | |
| MAT SŠ B.4.3.  MAT SŠ C.4.2.  MAT SŠ D.4.2.  Primjenjuje jednadžbu kružnice. | Prepoznaje jednadžbu kružnice i iz nje pronalazi duljinu polumjera i koordinate središta kružnice i obrnuto.  Iz grafičkoga prikaza pronalazi jednadžbu kružnice.  Određuje grafički ili računski jednadžbu kružnice u posebnome položaju (dodiruje jednu ili obje koordinatne osi) ili koncentrične kružnice.  Prošireni sadržaj:  Opisuje odnose i određuje presjek pravca i središnje kružnice.  Određuje jednadžbu tangente u točki središnje kružnice. | Iz jednadžbe kružnice i grafičkoga prikaza određuje elemente kružnice.  Iz zadanih uvjeta određuje jednadžbu kružnice |
| Sadržaj: Jednadžba kružnice.  Prošireni sadržaj: Presjek pravca i središnje kružnice. Jednadžba tangente u točki središnje kružnice. | | |
| Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda  Koristiti se programima dinamične geometrije te ostalim primjerenim i dostupnim interaktivnim računalnim programima i alatima za istraživanje svojstava, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja. | | |
| MAT SŠ B.4.4.  MAT SŠ C.4.3.  Primjenjuje jednadžbe elipse, hiperbole i parabole. | Prepoznaje jednadžbu elipse, hiperbole i parabole i iz nje pronalazi nepoznate elemente krivulje i obratno. Iz grafičkoga prikaza ili zadanih uvjeta pronalazi jednadžbu elipse, hiperbole i parabole.  Prošireni sadržaj:  Konstruira elipsu, hiperbolu i parabolu.  Crtice iz povijesti – čunjosječnice. | Opisuje i skicira elipsu, hiperbolu i parabolu te iz zadanih uvjeta određuje jednadžbu elipse, hiperbole i parabole. |
| Sadržaj: Jednadžba elipse, hiperbole i parabole.  Prošireni sadržaji: Konstrukcija elipse, hiperbole i parabole. | | |
| Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda  Koristiti se programima dinamične geometrije te ostalim primjerenim i dostupnim interaktivnim računalnim programima i alatima za istraživanje svojstava, prikaz zadataka i provjeru ispravnosti rješenja. | | |
| MAT SŠ A.4.1.  MAT SŠ C.4.4.  Računa s kompleksnim brojevima i prikazuje ih u kompleksnoj ravnini. | Zapisuje kompleksni broj u algebarskome i trigonometrijskome obliku.  Zbraja, oduzima, množi i dijeli kompleksne brojeve u algebarskome obliku.  Prikazuje kompleksni broj u Gaussovoj ravnini, određuje i prikazuje konjugirano kompleksni broj. | Zbraja, oduzima i množi kompleksne brojeve u algebarskome obliku te prikazuje kompleksni broj u trigonometrijskome obliku.  Prikazuje kompleksni broj u Gaussovoj ravnini. |
| Sadržaj: Skup kompleksnih brojeva. Računske operacije s kompleksnim brojevima. Trigonometrijski oblik kompleksnoga broja. Gaussova ravnina.  Prošireni sadržaj: Polarni koordinatni sustav. | | |
| Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda  Prikaz kompleksnoga broja u Gaussovoj ravnini povezati s polarnim koordinatnim sustavom i trigonometrijskim prikazom kompleksnoga broja.  Koristiti se programima dinamične geometrije te ostalim primjerenim i dostupnim interaktivnim računalnim programima i alatima za prikaz kompleksnoga broja. | | |
| MAT SŠ B.4.5.  Primjenjuje aritmetički i geometrijski niz. | Opisuje aritmetički i geometrijski niz i geometrijski red, zapisuje opći član niza, povezuje s aritmetičkom i geometrijskom sredinom.  Računa zbroj prvih n članova niza, računa zbroj geometrijskoga reda.  Rješava probleme iz svakodnevnoga života primjenom aritmetičkoga i geometrijskoga niza i geometrijskoga reda, osobito složeni kamatni račun. | Razlikuje aritmetički i geometrijski niz te određuje član niza zadanoga rekurzivno ili općim članom. |
| Sadržaj: Aritmetički i geometrijski niz. Opći član i zbroj prvih n članova niza. Geometrijski red. Složeni kamatni račun. | | |
| Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda  Pojam geometrijskoga reda uvesti nakon ostvarenja ishoda MAT SŠ B.4.6. Računa limes niza. | | |
| MAT SŠ B.4.6.  Računa limes niza. | Opisuje pojam limesa, uočava rast ili pad članova niza i postojanje granice, tj. konvergentnost ili divergentnost.  Računa vrijednost jednostavnijih limesa. | Opisuje pojam monotonosti i omeđenosti niza te pojam limesa niza. |
| Sadržaj: Monotonost i omeđenost niza. Limes niza. | | |
| Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnoga ishoda  Ispisivanjem članova niza i smještanjem na brojevni pravac (po mogućnosti koristeći se programom dinamične geometrije) uočavati postojanje limesa niza tako što su nakon nekoga člana svi članovi unutar intervala, a konačno mnogo ih je izvan. | | |
| MAT SŠ B.4.7.  Analizira svojstva funkcija. | Nabraja elementarne funkcije i navodi njihova svojstva (domenu, kodomenu, sliku, parnost /neparnost, periodičnost, monotonost i ograničenost funkcije).  Svojstva funkcija objašnjava na grafu funkcije. | Određuje neka svojstva funkcije zadane formulom ili grafom. |
| Sadržaj: Svojstva funkcija (domena, kodomena, slika, parnost/neparnost, periodičnost, monotonost i ograničenost). Graf funkcije. | | |
| Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda  Svojstva funkcija uočavati i objašnjavati na grafu funkcije.  Koristiti se programima dinamične geometrije te ostalim primjerenim i dostupnim interaktivnim računalnim programima i alatima za prikaz grafa i istraživanje svojstava funkcija. | | |
| MAT SŠ B.4.8.  Povezuje definiciju derivacije funkcije u točki s problemom tangente. | Grafički prikazuje i objašnjava problem tangente, označava prirast varijable i prirast funkcije, povezuje s pojmom limesa.  Iskazuje definiciju derivacije funkcije u točki.  Izvodi derivaciju po definiciji za jednostavne funkcije (linearnu, kvadratnu), navodi pravila deriviranja zbroja, umnoška i kvocijenta. | Prikazuje vezu prirasta varijable i prirasta funkcije s derivacijom funkcije u točki.  Računa derivacije jednostavnih funkcija primjenjujući pravila. |
| Sadržaj: Problem tangente. Derivacija funkcije. Pravila deriviranja. | | |
| MAT SŠ B.4.9.  Primjenjuje derivaciju funkcije u problemskim situacijama i crta graf funkcije. | Određuje tangentu na graf jednostavne funkcije.  Rješava problemske zadatke rabeći derivaciju.  U zadatcima s polinomima određuje nultočke (po mogućnosti), stacionarne točke, intervale pada i rasta funkcije, ispituje postojanje ekstrema.  Određuje tijek funkcije i crta graf polinoma. | Određuje tangentu na graf jednostavne funkcije.  Skicira graf funkcije temeljem svojstava određenih s pomoću derivacije funkcije. |
| Sadržaj: Derivacija funkcije. Pravila deriviranja. Tangenta na graf funkcije. Svojstva funkcije (domena, kodomena, nultočke, pad/rast, ekstremi). Tijek funkcije. Primjena derivacije. | | |
| Preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnog ishoda  Za primjenu derivacija u crtanju grafa funkcije koristiti polinome.  Istraživanjem veze predznaka derivacije i rasta/pada funkcije programom dinamične geometrije uočiti kada će u stacionarnoj točki funkcija imati lokalni ekstrem. | | |

E. POVEZANOST S DRUGIM PREDMETIMA I MEĐUPREDMETNIM TEMAMA

Planiranjem i povezivanjem matematike s drugim područjima kurikuluma, međupredmetnim temama i sadržajima ostalih predmeta te njihovom cjelovitom primjenom u profesionalnoj i privatnoj sferi života učenje i poučavanje matematike u potpunosti zaokružuje svoju svrhu.

Matematika se uči i poučava na primjerima i problemima koji se javljaju u svijetu koji nas okružuje te u drugim znanostima, baš kao što se i većina matematičkih koncepata izgradila s potrebom rješavanja životnih problema. Koristeći se dostignućima tehnologije, matematika osigurava alate za opisivanje i analizu ideja u svim područjima ljudskih djelatnosti. Upravo je ta njezina sveobuhvatnost pokretačka snaga mnogih učenikovih aktivnosti pri učenju i primjeni matematike.

Primjenom matematičkih i jezično-komunikacijskih vještina učenici jasno i kreativno izražavaju svoje ideje, razvijaju komunikacijske vještine prilagođene različitim situacijama, ali i medijsku pismenost.

U prirodoslovnome području, istražujući različite pojave i procese te provodeći eksperimente, učenici izvode formule i mjerenja pri čemu rabe matematičko rasuđivanje, komuniciraju matematičkim jezikom te primjenjuju matematičko argumentiranje i dokazivanje. Sve to povezuju i prikazuju u tehničko-informatičkome području provodeći različite izračune i obrade podataka.

Pri proučavanju raznih društvenih, geografskih i povijesnih pojava, procesa i struktura, učenici komuniciraju koristeći se različitim prikazima, provode istraživanja i analize, tumače statističke i druge podatke iz raznih izvora što pridonosi njihovu kritičkomu razmišljanju te mišljenju, razumijevanju i predviđanju društvenih promjena.

Razvijanjem prostornoga mišljenja i vizualizacije učenici razumijevaju svijet i prostor u kojemu žive, što pridonosi njihovoj koordinaciji te umjetničkomu izražavanju.

Provedbom različitih projekata o zdravlju, sportu, okolišu, poduzetništvu i drugim temama, učenici primjenjuju matematička znanja, vještine i sposobnosti. To pridonosi razvoju njihovih socijalnih vještina, kulture i osobnosti te otkrivanju njihove uloge u razredu, skupini, društvu. Na taj se način matematika prožima sa stvarnim životom, potiču se znatiželja i pozitivan stav prema učenju i dubljemu povezivanju obrazovnih spoznaja i prirode svijeta.

Snažna i neraskidiva veza matematike s drugim područjima, međupredmetnim temama i predmetima kurikuluma pridonosi izgradnji temeljnih kompetencija samosvjesne osobe koja će primjenjivati matematička znanja i vještine u različitim domenama svojega života. Na taj će način svaka osoba posjedovati čitalačku, matematičku, medijsku, prirodoslovnu, digitalnu i financijsku pismenost kao važne segmente za snalaženje u suvremenome svijetu.

F. UČENJE I POUČAVANJE PREDMETA

Učenje matematike učenicima pruža znanja i kompetencije potrebne za život, nastavak obrazovanja te cjeloživotno učenje. Uz matematičke koncepte koje učenik upoznaje i razvija, on razvija i matematičke procese kao što su rješavanje problema, samostalno zaključivanje, logičko mišljenje, argumentiranje, komuniciranje matematičkim jezikom, uporabu različitih prikaza, povezivanje matematike s osobnim iskustvima te učinkovitu primjenu tehnologije.

Zahtjevi suvremenoga života ističu rješavanje problema kao važnu vještinu koju učenjem i poučavanjem matematike treba razvijati. Ne znamo što nas u budućnosti očekuje, ali oni koji imaju razvijenu kompetenciju rješavanja problema, imat će puno više prilika za uspjeh. Težište suvremene nastave pomiče se s rješavanja zadataka u kojima se traži primjena već utvrđenoga postupka na razvoj vještina i sposobnost njihove primjene u nepoznatim situacijama. U procesu rješavanja učenici modeliraju problemsku situaciju, a način modeliranja mijenja se i prilagođava njihovim razvojnim mogućnostima. Mlađi učenici modeliraju koristeći se konkretnim materijalima, crtežima ili dijagramima, dok modeliranje u kasnijim godinama učenja obično podrazumijeva uporabu apstraktnijih matematičkih formi i zapisa. Poželjno je odabirati i zadatke otvorenoga tipa u kojima je naglasak na procesu rješavanja problema i raspravi, koji od učenika traže predviđanje, promišljanje, zaključivanje, kreativnost i samostalnost, a jedno ili više rješenja moguće je dobiti koristeći se različitim ispravnim strategijama. Tako razvijenu vještinu pristupanju i rješavanju problema učenici mogu u budućnosti primijeniti i izvan školskih okvira, u svojemu privatnom i profesionalnom okružju.

Većina matematičkih koncepata koncepti su visoke razine apstrakcije i nije ih moguće učiti bez dubokoga razumijevanja i bez uključivanja procesa logičkoga mišljenja. Nastava matematike snažno potiče i razvija mišljenje učenika te od njih stalno traži promišljanje, zaključivanje i generaliziranje.

Matematička komunikacija razvija se u situacijama u kojima se učenici verbalno izražavaju, posebno tijekom razrednih rasprava. Učenici slušaju jedni druge, izražavaju se matematičkim jezikom, postavljaju pitanja, usmjeravaju se na bitne stvari i nude argumente te time razvijaju vještinu komuniciranja koja omogućuje razumijevanje, razmjenjivanje ideja, strategija i rješenja. Važno je od učenika zahtijevati obrazloženje odgovora na pitanja kao što su: Zašto?, Je li to uvijek tako?, Može li drukčije? ili Što se događa kada...? Razumijevanje matematičkoga jezika usko je povezano s ispravnim tumačenjem matematičkih simbola i točnim čitanjem algoritama.

Različitost i raznovrsnost prikaza važne su komponente izgradnje matematičkih koncepata, ali i put od konkretnih i neformalnih situacija prema formalnoj i apstraktnoj matematici. Prikazivanjem matematičkih problema na različite načine nastavnici dobivaju uvid u način razmišljanja svojih učenika. Matematički prikazi primjenjuju se i u drugim predmetima, drugim znanostima, u medijima i različitim situacijama u svakodnevnome životu. Upravo je zato važno poučavanjem matematike upoznati učenike s različitim prikazima, s načinima njihova čitanja i zapisivanja te s mogućnošću prelaska s jednoga oblika prikazivanja na drugi.

Kako bismo izgradili čvrstu i stabilnu mrežu matematičkih koncepata, sve problemske situacije i njihove raznovrsne prikaze valja međusobno povezati. Povezivanje podrazumijeva uspostavljanje veza među različitim matematičkim konceptima, između matematike i drugih područja učenja, kao i povezivanje matematike i svakodnevnoga života. Najvažnije veze za rani razvoj matematike, veze su između intuitivne, neformalne matematike koje su učenici stekli u svakodnevnome životu i matematike koju uče u školi. Informacijsko-komunikacijska tehnologija, kao sredstvo učenja i poučavanja, daje neslućene perspektive matematičkomu obrazovanju učenika. Pritom nastavnik ne mora nužno biti informatički stručnjak, dovoljna je i prosječna računalna pismenost. Proces stjecanja mаtеmаtičkih znanja primjenom rаčunаlа, osim pеrcеpciјe i procesa stečenih prоmаtrаnjеm, uklјučuје i vrlo intenzivne intеlеktuаlnе аktivnоsti (аpstrаktnо mišlјеnjе), о čеmu trеbа vоditi rаčunа ako žеlimо dа primjеnа rаčunаlа u učenju i poučavanju mаtеmаtikе bude uspješna. Pri planiranju učeničke uporabe rаčunаlа u nаstаvnоme procesu bitno је uvažiti individualne mаtеmаtičkе i opće intelektualne spоsоbnоsti te socijalni status učenika.

Kako bi se razvili svi koncepti i procesi, nužno je mijenjati i osuvremeniti načine učenja i poučavanja matematike te učenicima pružiti raznolika i bogata iskustva učenja. Odabirom temeljnih i reprezentativnih matematičkih sadržaja, uz mogućnost izbornosti određenih koncepata, učenici mogu usvojiti znanja i kompetencije prilagođene njihovim potrebama, iskustvima, interesima i mogućnostima. Posebice se važnim smatra sposobnost primjene naučenoga u različitim problemskim situacijama te znanje o reguliranju vlastitoga učenja. Uz razvoj matematičkih koncepata i procesa, važno je učenjem i poučavanjem matematike razviti vještinu računanja koja je nužna za svakodnevni život. Redovito uvježbavanje mentalnoga računanja, određivanje jednostavnoga postotka ili približnoga rezultata osigurava učenicima spretnost računanja napamet te primjene vještine računanja i procjenjivanja u životnim situacijama.

Učenik mora biti u samome središtu odgojno-obrazovnoga procesa, a ujedno i aktivno sudjelovati u procesu učenja matematike. Uvažavanjem individualnih razlika učenika omogućuje se poučavanje matematike u kojemu će svatko imati priliku napredovati i postići svoj osobni maksimum. Kako bi se takav napredak osigurao, važno je osvijestiti utjecaj emocija i stavova na rezultate učenja matematike. Pozitivne emocije i stavovi podupiru razvoj samopoštovanja i pozitivne slike o sebi, a oni su opet ključni za motivaciju i trud koje će učenici uložiti u učenje. Upravo je zato važno da učenje i poučavanje matematike učenicima bude izazovno, zabavno, poticajno, prilagođeno i ugodno. Proces učenja prati kvalitetan način vrednovanja s jasnim kriterijima vrednovanja prilagođenim učeniku, a redovita i razumljiva povratna informacija o radu i rezultatima usmjerena je napredovanju učenika.

Uspješno učenje događa se u socijalnoj interakciji, pa je u učenju i poučavanju nužno primijeniti one nastavne strategije i oblike rada koji takvu interakciju promiču. To su prije svega suradničko učenje, timski rad, rasprava, projektna i terenska nastava i igra kao nastavne strategije te rad u skupinama i rad u paru kao oblici rada.

Iako je učenik u središtu učenja i poučavanja, nastavnik matematike ima u tome procesu ključnu ulogu. Ta se uloga očituje u stvaranju okružja koje najbolje odgovara učeničkim potrebama i razvija njihove kompetencije. Uspješan nastavnik razumije utjecaj koji njegovo poučavanje ima na učenička postignuća, očekuje napredak od svih svojih učenika te raspolaže profesionalnim znanjima i vještinama kojima će individualizirati učenje i poučavanje i poduprijeti učenje svakoga učenika. Učenicima iznosi jasne ciljeve i svrhu svih aktivnosti u predmetu Matematika, daje jasne povratne informacije o njihovu napredovanju te kriterijima vrednovanja. Slobodno odabire i primjenjuje raznovrsne pristupe i strategije poučavanja kojima sve učenike uključuje u učenje i rad, potiče njihovu motivaciju i interes za matematiku te podržava i ohrabruje uloženi trud. Posebno se ističu istraživačko učenje, učenje usmjereno na rješavanje problema, suradničko učenje i projektna nastava. Nastavnik stvara okružja u kojemu se učenici osjećaju slobodno i obvezno slušati jedni druge, u kojemu je njihov doprinos neizostavan i važan, u kojemu slobodno postavljaju pitanja, traže podršku u učenju, primjenjuju naučeno u različitim situacijama, kritički preispituju proces učenja i poučavanja te razvijaju samostalnost i odgovornost.

U organizaciji procesa učenja i poučavanja nastavnik odabire i prilagođava širinu i dubinu sadržaja ishoda, osmišljava probleme, metode i strategije kako bi ih na najbolji način prilagodio potrebama, mogućnostima i interesima svojih učenika. Nastavnik i učenici imaju autonomiju u odabiru onih materijala i tehnologija koje će učenje matematike učiniti izazovnim, raznolikim i poticajnim te omogućiti ostvarenje predviđenih ishoda učenja. Bitno je naglasiti da u suvremenoj nastavi matematike udžbenik nudi sadržaje kojima se ostvaruju propisani ishodi za sve razine znanja, ali ne ograničava planiranje procesa učenja i poučavanja i način njegove izvedbe. Nastavnik je slobodan samostalno odrediti način i redoslijed ostvarivanja ishoda te dodatnu literaturu i izvore informacija kojima se koriste i učenici. Nastavnik je odgovoran inovativnim pristupom, istraživanjem novih izvora znanja i primjerenom primjenom novih tehnologija učenje i poučavanje učiniti cjelovitim.

Nastavnik postavlja visoka i primjerena očekivanja pred svoje učenike, a ta primjerena očekivanja potiču učenike da u učenje ulažu trud, razvijaju osjećaj kompetentnosti, odgovornosti i sustavnosti te u punoj mjeri ostvaruju vlastite potencijale.

U planiranju učenja i poučavanja matematike nastavnik će vrijeme potrebno za poučavanje određenoga koncepta ili za razvijanje određenih vještina prilagoditi učenicima. Tijekom nastavne godine ostvarit će se svi ishodi učenja planirani za određeni razred, ali razina ostvarenosti ovisit će o mogućnostima učenika. Nastavnik autonomno odabire sadržaje kojima će poticati ostvarivanje ishoda te, procjenjujući mogućnosti svojih učenika, određuje potrebno vrijeme kako bi se određeni koncepti usvojili s razumijevanjem. Suvremeni pristup nastavi u kojemu dominira istraživački pristup, u kojemu se matematika otkriva u rješavanju problemskih situacija, traži dodatno vrijeme, ali i drukčiji pristup učenju i poučavanju. Težište je na odabiru manjega broja problemskih zadataka u kojima učenici mogu samostalno istraživati, zaključivati i stvarati strategije njihova rješavanja, a ne na količini riješenih zadataka. Upravo stoga suvremena nastava traži više vremena kako bi učenicima omogućila kreativnost i samostalnost u pristupu i zaključivanju.

Cjelokupna zajednica, nastavnik, učenik i roditelji moraju biti svjesni važnosti pristupa matematici koji i od nastavnika i od učenika zahtijevaju veliku odgovornost, angažman i trud. Svrhovito i promišljeno poučavanje potiče učenika na otkrivanje i razumijevanje matematike, čime se razvija njegovo samopouzdanje i samosvjesnost o vlastitim potencijalima. Logičko, kritičko i proceduralno mišljenje, razvijeno učenjem i poučavanjem matematike, postat će alat kojim će se služiti u svim aspektima života i rada za svoju korist i zadovoljstvo, svoje obitelji, ali i cijele zajednice.

G. VREDNOVANJE OSTVARENOSTI
 ODGOJNO-OBRAZOVNIH ISHODA

U nastavnome predmetu Matematika vrednovanje je sastavni dio procesa učenja i poučavanja koje daje obavijest o razini usvojenosti matematičkih znanja, razvijenosti matematičkih vještina i potiče izgradnju pozitivnoga stava učenika prema učenju matematike. Učenike prije poučavanja na razumljiv način valja upoznati s očekivanim ishodima i kriterijima vrednovanja koji ukazuju na njihovu ostvarenost. Što i kako se vrednuje, potrebno je unaprijed planirati i najaviti.

Suvremenim pristupom vrednovanje treba biti instrument unaprjeđenja napretka učenika, ali i poučavanja nastavnika i cijeloga odgojno-obrazovnoga sustava. Na taj način ono zahtijeva odgovornost svih sudionika procesa.

Elementi vrednovanja u nastavnome predmetu Matematika jesu:

1. Usvojenost znanja i vještina:

– opisuje matematičke pojmove

– odabire odgovarajuće i matematički ispravne procedure te ih provodi

– provjerava ispravnost matematičkih postupaka i utvrđuje smislenost rezultata

– upotrebljava i povezuje matematičke koncepte.

2. Matematička komunikacija:

– koristi se odgovarajućim matematičkim jezikom (standardni matematički simboli, zapisi i terminologija) pri usmenome i pisanome izražavanju

– koristi se odgovarajućim matematičkim prikazima za predstavljanje podataka

– prelazi između različitih matematičkih prikaza

– svoje razmišljanje iznosi cjelovitim, suvislim i sažetim matematičkim rečenicama

– postavlja pitanja i odgovara na pitanja koja nadilaze opseg izvorno postavljenoga pitanja

– organizira informacije u logičku strukturu

– primjereno se koristi tehnologijom.

3. Rješavanje problema:

– prepoznaje relevantne elemente problema i naslućuje metode rješavanja

– uspješno primjenjuje odabranu matematičku metodu pri rješavanju problema

– modelira matematičkim zakonitostima problemske situacije uz raspravu

– ispravno rješava probleme u različitim kontekstima

– provjerava ispravnost matematičkih postupaka i utvrđuje smislenost rješenja problema

– generalizira rješenje.

Elementi su odraz ciljeva predmeta i vrednuju se u postotcima, 30% za usvojenost znanja i vještina, 30% za matematičku komunikaciju i 40% za rješavanje problema.

Vrednovanje za učenje i vrednovanje kao učenje provodi se prikupljanjem podataka o učenikovu radu i postignućima (ciljana pitanja, rad u skupini, domaće zadaće, kratke pisane provjere, prezentacije...) i kritičkim osvrtom učenika i nastavnika na proces učenja i poučavanja. Učenika se skupnim raspravama na satu i individualnim konzultacijama potiče na samovrednovanje postignuća i planiranje učenja. Ti oblici vrednovanja iskazuju se opisno i služe kao jasna povratna informacija učeniku i roditelju o razini ostvarenosti ishoda u odnosu na očekivanja. Nastavnici imaju autonomiju i odgovornost izabrati najprikladnije metode i tehnike vrednovanja unutar pojedinih pristupa vrednovanju.

Vrednovanje za učenje

Vrednovanje za učenje odvija se tijekom učenja i poučavanja. Odnosi se na proces prikupljanja informacija i dokaza o procesu učenja te na interpretacije tih informacija i dokaza kako bi učenici unaprijedili proces učenja, a nastavnici poučavanje. Vrednovanjem za učenje primjenom različitih metoda učenicima se pruža mogućnost da tijekom procesa učenja steknu uvid u to kako mogu unaprijediti svoje učenje da bi ostvarili ciljeve učenja, čime se naglasak stavlja na sam proces učenja. Vrednovanje za učenje u pravilu ne rezultira ocjenom, nego kvalitativnom povratnom informacijom i razmjenom iskustava o procesima učenja i usvojenosti znanja i vještina u odnosu na postavljena očekivanja. Povratna je informacija središnji dio vrednovanja za učenje jer učeniku omogućuje preuzimanje kontrole nad vlastitim učenjem. Vrednovanje za učenje uvijek je usmjereno na napredak učenika pa se trenutačna postignuća svakoga učenika uspoređuju s njegovim prethodnim postignućima fokusirajući se na napredovanje koje je učenik ostvario u odnosu na postavljene odgojno-obrazovne ishode (kriterijsko vrednovanje).

Nastavnicima vrednovanje za učenje pomaže u:

– prikupljanju informacija o početnim znanjima i iskustvima učenika, eventualnim miskoncepcijama, stilovima učenja učenika, o razinama usvojenosti znanja, motivaciji za učenje i drugo

– postavljanju ciljeva i planiranju poučavanja u skladu s potrebama učenika

– dobivanju uvida u učinkovitost vlastita rada, učinkovitijem planiranju i kontinuiranome unaprjeđenju procesa poučavanja.

Učenicima vrednovanje za učenje pomaže da:

– postanu svjesni koliko učinkovito uče te uvide kako trebaju učiti

– unapređuju kompetenciju učiti kako učiti postavljanjem svojih ciljeva učenja i razvijanjem vještina

– imaju bolja postignuća jer primaju česte povratne informacije koliko napreduju i koliko učinkovito uče

– razvijaju motivaciju za učenje, samopouzdanje i pozitivnu sliku o sebi.

Vrednovanje kao učenje

Vrednovanje kao učenje temelji se na ideji da učenici vrednovanjem uče. Ono podrazumijeva aktivno uključivanje učenika u proces vrednovanja uz podršku nastavnika kako bi se maksimalno poticao razvoj učenikova samostalnog i samoreguliranog pristupa učenju. Kad se učenici i sami uključe u proces vrednovanja, on će im vjerojatno biti manje stresan i rizičan. Vrednovanje kao učenje jest oblik partnerstva učenika i nastavnika u kojemu je učenik aktivan i odgovaran nositelj vlastitoga učenja i vrednovanja, a nastavnik stvara uvjete za učenje i prema potrebi ga usmjerava. Nastavnik pomaže učeniku razumjeti kriterije za samovrednovanje, vodi proces samorefleksije i pomaže pri donošenju odluke kako unaprijediti učenje. S obzirom na svrhu ove vrste vrednovanja, povratnu informaciju kod vrednovanja kao učenja daju učenik, drugi učenici, a u manjoj mjeri i nastavnik.

Nastavnicima vrednovanje kao učenje pomaže u:

– podjeli odgovornosti za učenje između nastavnika i učenika

– dobivanju uvida u učenikovo razmišljanje pri analizi i vrednovanju procesa učenja

– kreiranju učinkovitijega poučavanja jer učenici postaju samostalniji i motiviraniji.

Učenicima vrednovanje kao učenje pomaže da:

– shvate da je vrednovanje alat za vlastito praćenje učenja i za stjecanje razumijevanje na kojoj se razini učenja nalaze

– usklađuju vlastite procjene s procjenama drugih

– razvijaju vještinu upravljanja svojim učenjem, postavljanja vlastitih ciljeva i razvijanja vještine samovrednovanja i vršnjačkoga vrednovanja potrebnih za postizanje tih ciljeva

– razvijaju osjećaj odgovornosti i samopouzdanja istodobno razvijajući kritičko razmišljanje, analizu i na kraju vrednovanje.

Vrednovanje naučenoga

Vrednovanje naučenoga rezultira brojčanom ocjenom, a ostvarenost se ishoda provjerava usmenim ispitivanjem, pismenim provjerama i matematičkim/interdisciplinarnim projektima. U jednoj provjeri moguće je ocijeniti više elemenata vrednovanja.

U predmetu Matematika postignuća učenika vrednuju se brojčanom ocjenom (nedovoljan – 1, dovoljan – 2, dobar – 3, vrlo dobar – 4, odličan – 5).

Zaključna ocjena iz Matematike mora se temeljiti na ostvarenosti odgojno-obrazovnih ishoda. U tu svrhu nužno je ostvarenost ishoda provjeravati na što više različitih načina i u što više vremenskih točaka. Zaključna ocjena mora biti utemeljena na vjerodostojnim, valjanim i dokazivim informacijama o učenikovu učenju i napretku, o onome što je naučio i kako se razvio. Dobro ju je temeljiti na što više različitih informacija (o postignuću na većemu broju provjera, o rezultatima sudjelovanja u projektima, o kvaliteti učenikovih prezentacija, o njegovu sudjelovanju u radu u skupini s drugim učenicima i sl.). Na taj će način ocjena biti utemeljena na mnogim relevantnim podatcima (dobivenima različitim metodama vrednovanja u okviru pristupa vrednovanja naučenoga, ali i vrednovanja za učenje i kao učenje).

Izvješćivanje koje se odvija tijekom svakoga odgojno-obrazovnog razdoblja temelji se na informacijama dobivenima putem svih pristupa vrednovanja učeničkih postignuća: vrednovanjem za učenje, vrednovanjem kao učenje i vrednovanjem naučenoga. Pritom upotrebljavaju različiti načini izvješćivanja, od kojih su neki formalniji (npr. svjedodžba na kraju nastavne godine, slanje pisanoga izvješća i ocijenjenoga uratka na uvid roditeljima i dr.), a neki manje formalni (npr. razgovor s učenikom i roditeljima o postignućima te sljedećim ciljevima učenja i strategijama učenja). Izvješćivanje tijekom odgojno-obrazovnih razdoblja ima ponajprije dijagnostičku i formativnu ulogu. Na temelju informacija koje je prikupljao o učeniku tijekom odgojno-obrazovnoga rada, nastavnik pri izvješćivanju odgovara na sljedeća pitanja:

– koje je odgojno-obrazovne ishode učenik već savladao i na kojoj razini te u kojim se odgojno-obrazovnim postignućima ističe

– u kojim je specifičnim područjima potrebno poboljšanje.

Izvješćivanje o postignućima i napredovanju učenika može se provoditi na različite načine, u skladu s potrebama učenika i obitelji te specifičnostima škole.