navinnseab/khmer-wikipedia-article huggingface dataset:
វិសមភាព មធ្យមនព្វន្ត-ធរណីមាត្រ: Proof by Cauchy using forward-backward-induction

Proof by Cauchy using forward-backward-induction

The following proof by cases relies directly on well-known rules of arithmetic but employs the rarely used technique of forward-backward-induction. It is essentially from Augustin Louis Cauchy and can be found in his Cours d'analyse.Cauchy, Augustin-Louis (1821). Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique, première partie, Analyse algébrique,  Paris. The proof of the inequality of arithmetic and geometric means can be found on pages 457ff.

 The case where all the terms are equal 

If all the terms are equal:

then their sum is , so their arithmetic mean is ; and their product is , so their geometric mean is ; therefore, the arithmetic mean and geometric mean are equal, as desired.

 The case where not all the terms are equal 

It remains to show that if not all the terms are equal, then the arithmetic mean is greater than the geometric mean. Clearly, this is only possible when .

This case is significantly more complex, and we divide it into subcases.

 The subcase where n = 2 

If , then we have two terms,  and , and since (by our assumption) not all terms are equal, we have:

hence

as desired.

 The subcase where n = 2k 

Consider the case where , where  is a positive integer. We proceed by mathematical induction.

In the base case, , so . We have already shown that the inequality holds when , so we are done.

Now, suppose that for a given , we have already shown that the inequality holds for , and we wish to show that it holds for . To do so, we apply the inequality twice for  numbers and once for  numbers to obtain:

 

where in the first inequality, the two sides are equal only if

and

(in which case the first arithmetic mean and first geometric mean are both equal to , and similarly with the second arithmetic mean and second geometric mean); and in the second inequality, the two sides are only equal if the two geometric means are equal. Since not all  numbers are equal, it is not possible for both inequalities to be equalities, so we know that:

as desired.

 The subcase where n < 2k 

If  is not a natural power of , then it is certainly less than some natural power of 2, since the sequence  is unbounded above. Therefore, without loss of generality, let  be some natural power of  that is greater than .

So, if we have  terms, then let us denote their arithmetic mean by , and expand our list of terms thus:

We then have:

 

so

and 

as desired.
វិសមភាព មធ្យមនព្វន្ត-ធរណីមាត្រ: The case where not all the terms are equal

The case where not all the terms are equal 

It remains to show that if not all the terms are equal, then the arithmetic mean is greater than the geometric mean. Clearly, this is only possible when .

This case is significantly more complex, and we divide it into subcases.

 The subcase where n = 2 

If , then we have two terms,  and , and since (by our assumption) not all terms are equal, we have:

hence

as desired.

 The subcase where n = 2k 

Consider the case where , where  is a positive integer. We proceed by mathematical induction.

In the base case, , so . We have already shown that the inequality holds when , so we are done.

Now, suppose that for a given , we have already shown that the inequality holds for , and we wish to show that it holds for . To do so, we apply the inequality twice for  numbers and once for  numbers to obtain:

 

where in the first inequality, the two sides are equal only if

and

(in which case the first arithmetic mean and first geometric mean are both equal to , and similarly with the second arithmetic mean and second geometric mean); and in the second inequality, the two sides are only equal if the two geometric means are equal. Since not all  numbers are equal, it is not possible for both inequalities to be equalities, so we know that:

as desired.

 The subcase where n < 2k 

If  is not a natural power of , then it is certainly less than some natural power of 2, since the sequence  is unbounded above. Therefore, without loss of generality, let  be some natural power of  that is greater than .

So, if we have  terms, then let us denote their arithmetic mean by , and expand our list of terms thus:

We then have:

 

so

and 

as desired.
វិសមភាព មធ្យមនព្វន្ត-ធរណីមាត្រ: The subcase where ''n'' <nowiki>=</nowiki> 2<sup>''k''</sup>

The subcase where n = 2k 

Consider the case where , where  is a positive integer. We proceed by mathematical induction.

In the base case, , so . We have already shown that the inequality holds when , so we are done.

Now, suppose that for a given , we have already shown that the inequality holds for , and we wish to show that it holds for . To do so, we apply the inequality twice for  numbers and once for  numbers to obtain:

 

where in the first inequality, the two sides are equal only if

and

(in which case the first arithmetic mean and first geometric mean are both equal to , and similarly with the second arithmetic mean and second geometric mean); and in the second inequality, the two sides are only equal if the two geometric means are equal. Since not all  numbers are equal, it is not possible for both inequalities to be equalities, so we know that:

as desired.
វិសមភាព មធ្យមនព្វន្ត-ធរណីមាត្រ: The subcase where ''n'' < 2<sup>''k''</sup>

The subcase where n < 2k 

If  is not a natural power of , then it is certainly less than some natural power of 2, since the sequence  is unbounded above. Therefore, without loss of generality, let  be some natural power of  that is greater than .

So, if we have  terms, then let us denote their arithmetic mean by , and expand our list of terms thus:

We then have:

 

so

and 

as desired.
វិសមភាព មធ្យមនព្វន្ត-ធរណីមាត្រ: Proof by induction using basic calculus

Proof by induction using basic calculus

The following proof uses mathematical induction and some basic differential calculus. 

Induction  basis: For  the statement is true with equality.

Induction hypothesis: Suppose that the AM–GM statement holds for all choices of  non-negative real numbers.

Induction step: In order to prove the statement for  non-negative real numbers , we need to prove that

with equality only if all the  numbers are equal.

If all numbers are zero, the inequality holds with equality. If some but not all numbers are zero, we have strict inequality. Therefore, we may assume in the following, that all  numbers are positive.

We consider the last number  as a variable and define the function

Proving the induction step is equivalent to showing that  for all , with  only if  and  are all equal. This can be done by analyzing the critical points of  using some basic calculus.

The first derivative of  is given by

A critical point  has to satisfy , which means

After a small rearrangement we get

and finally

which is the geometric mean of . This is the only critical point of . Since  for all , the function  is strictly convex and has a strict global minimum at . Next we compute the value of the function at this global minimum:

where the final inequality holds due to the induction hypothesis. The hypothesis also says that we can have equality only when  are all equal. In this case, their geometric mean   has the same value, Hence, unless  are all equal, we have . This completes the proof.

This technique can be used in the same manner to prove the generalized AM–GM inequality and Cauchy–Schwarz inequality in Euclidean space .
វិសមភាព មធ្យមនព្វន្ត-ធរណីមាត្រ: Proof by Pólya using the exponential function

Proof by Pólya using the exponential function

George Pólya provided a proof similar to what follows. Let  for all real , with first derivative  and second derivative . Observe that ,  and  for all real , hence  is strictly convex with the absolute minimum at . Hence  for all real  with equality only for . 

Consider a list of non-negative real numbers . If they are all zero, then the AM–GM inequality holds with equality. Hence we may assume in the following for their arithmetic mean . By -fold application of the above inequality, we obtain that

with equality if and only if  for every . The argument of the exponential function can be simplified:

Returning to ,

which produces , hence the result
វិសមភាព មធ្យមនព្វន្ត-ធរណីមាត្រ: Generalizations

Generalizations

Weighted AM–GM inequality

There is a similar inequality for the weighted arithmetic mean and weighted geometric mean. Specifically, let the nonnegative numbers 
 and the nonnegative weights  be given. Set . If , then the inequality

 

holds with equality if and only if all the  with  are equal. Here the convention  is used.

If all , this reduces to the above inequality of arithmetic and geometric means.

Proof using Jensen's inequality

Using the finite form of Jensen's inequality for the natural logarithm, we can prove the inequality between the weighted arithmetic mean and the weighted geometric mean stated above.

Since an  with weight  has no influence on the inequality, we may assume in the following that all weights are positive. If all  are equal, then equality holds. Therefore, it remains to prove strict inequality if they are not all equal, which we will assume in the following, too. If at least one  is zero (but not all), then the weighted geometric mean is zero, while the weighted arithmetic mean is positive, hence strict inequality holds. Therefore, we may assume also that all  are positive.

Since the natural logarithm is strictly concave, the finite form of Jensen's inequality and the functional equations of the natural logarithm imply

Since the natural logarithm is strictly increasing,

Other generalizations
Other generalizations of the inequality of arithmetic and geometric means include:

 Muirhead's inequality,
 Maclaurin's inequality,
 Generalized mean inequality.
វិសមភាព មធ្យមនព្វន្ត-ធរណីមាត្រ: Weighted AM–GM inequality

Weighted AM–GM inequality

There is a similar inequality for the weighted arithmetic mean and weighted geometric mean. Specifically, let the nonnegative numbers 
 and the nonnegative weights  be given. Set . If , then the inequality

 

holds with equality if and only if all the  with  are equal. Here the convention  is used.

If all , this reduces to the above inequality of arithmetic and geometric means.
វិសមភាព មធ្យមនព្វន្ត-ធរណីមាត្រ: Proof using Jensen's inequality

Proof using Jensen's inequality

Using the finite form of Jensen's inequality for the natural logarithm, we can prove the inequality between the weighted arithmetic mean and the weighted geometric mean stated above.

Since an  with weight  has no influence on the inequality, we may assume in the following that all weights are positive. If all  are equal, then equality holds. Therefore, it remains to prove strict inequality if they are not all equal, which we will assume in the following, too. If at least one  is zero (but not all), then the weighted geometric mean is zero, while the weighted arithmetic mean is positive, hence strict inequality holds. Therefore, we may assume also that all  are positive.

Since the natural logarithm is strictly concave, the finite form of Jensen's inequality and the functional equations of the natural logarithm imply

Since the natural logarithm is strictly increasing,
វិសមភាព វេតស្សឹនបុក

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា  វិសមភាពវេតស្សឹនបុក(Weitzenböck's inequality)និយាយចំពោះជ្រុង, ,  និង​ផ្ទៃ នៃត្រីកោណមួយ។​ វិសមភាពសំដែងដោយ​៖

 

សមភាពកើតឡើងលុះត្រាតែ ត្រីកោណជាត្រីកោណសម័ង្ស​។
វិសមភាព វេតស្សឹនបុក: សំរាយបញ្ជាក់

សំរាយបញ្ជាក់ 
សំរាយបញ្ជាក់នៃវិសមភាពនេះ គឺត្រូវបានដាក់ជាសំនួរនៅក្នុងគណិតវិទ្យាអូឡាំព្យាឆ្នាំ១៩៦១។ លទ្ធផលគឺមិនពិបាកណាស់ណាទេ ដោយប្រើរូបមន្តហេរុងចំពោះផ្ទៃនៃត្រីកោណមួយ។ 

វិធីសាស្រ្តទី១

 

លទ្ធផលទទួលបានដោយគ្រាន់តែបំពាក់ឫសការេលើអង្គទាំង២ ។ ចំពោះវិសមភាពទី១ យើងឃើញថា សមភាពកើតឡើងនៅពេលដែល  ហើយត្រីកោណជាត្រីកោណសម័ង្ស។

វិធីសាស្រ្តទី២
 

សមភាពកើតឡើងនៅពេលដែល a = b = c ហើយត្រីកោណជាត្រីកោណសម័ង្ស។

Category:គណិតវិទ្យា
Category:វិសមភាព
វិសមភាព វេតស្សឹនបុក: វិធីសាស្រ្តទី១

វិធីសាស្រ្តទី១

 

លទ្ធផលទទួលបានដោយគ្រាន់តែបំពាក់ឫសការេលើអង្គទាំង២ ។ ចំពោះវិសមភាពទី១ យើងឃើញថា សមភាពកើតឡើងនៅពេលដែល  ហើយត្រីកោណជាត្រីកោណសម័ង្ស។
វិសមភាព វេតស្សឹនបុក: វិធីសាស្រ្តទី២

វិធីសាស្រ្តទី២
 

សមភាពកើតឡើងនៅពេលដែល a = b = c ហើយត្រីកោណជាត្រីកោណសម័ង្ស។

Category:គណិតវិទ្យា
Category:វិសមភាព
វិសមភាព អឺមីត-អាដាម៉ា

ក្នុងគណិតវិទ្យា វិសមភាពអឺមីត-អាដាម៉ា(Hermite–Hadamard inequality)ដែលយកឈ្មោះតាមលោក ឆាលេស អឺមីត(Charles Hermite) និងលោក ចាក អាដាម៉ា(Jacques Hadamard) ហើយពេលខ្លះត្រូវគេហៅថាវិសមភាពអាដាម៉ា(Hadamard's inequality) ពោលថា បើអនុគមន៍ ƒ : [a, b] → R ប៉ោងផត នោះ

 

ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:គណិតវិទ្យា
ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:វិសមភាព
វិសមភាពញូតុន

ក្នុងគណិតវិទ្យា វិសមភាពញូតុន (Newton's inequalities) ត្រូវបានហៅឈ្មោះដោយយកឈ្មោះលោក អ៊ីសាក់ ញូតុន (Isaac Newton) ។ ឧបមាថា  គឺជាចំនួនពិត និងតាង  ជាអនុគមន៍ស៊ីមេទ្រីដំបូង (elementary symmetric function) ទី k ក្នុង   នោះគេបានមធ្យមស៊ីមេទ្រីដំបូងអោយដោយ
 

ផ្ទៀងផ្ទាត់វិសមភាព

វិសមភាពនេះក្លាយទៅជាសមភាពលុះត្រាតែគ្រប់ចំនួន  ស្មើគ្នា​។

Category:វិសមភាព
វិសមភាពតូលេមី: ពំនោលនៃវិសមភាព

ពំនោលនៃវិសមភាព 

គេមានបួនចំនុច A B C និង D ក្នុងលំហអាហ្វីនអឺគ្លីដ។ គេបាន
វិសមភាពតូលេមី: សំរាយបញ្ជាក់

សំរាយបញ្ជាក់ 
វិសមភាពនេះគឺអាចត្រូវបានគេទាញដោយផ្ទាល់ពី​វិសមភាពត្រីកោណដោយប្រើ Involution ។

តាង a b និង c ជារង្វាស់រៀងគ្នានៃ AB AC និង AD ។

យើងគណនា

ដោយអនុវត្តវិសមភាពត្រីកោណចំពោះ  គេបាន:

គុណវិសមភាពនេះនឹង  គេបាន:

thumb|
វិសមភាពតូលេមី: ករណីពិសេស

ករណីពិសេស 
នៅពេលបួនចំនុចរៀងគ្នា A B C និង D បង្កើតបានជាចតុកោណប៉ោង គេបានវិសមភាព​នេះផ្ទៀងផ្ទាត់ លុះត្រាតែ​ចតុកោណប៉ោងនោះមិនមែនជាចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់។
វិសមភាពនេស្ប៉ីត

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា វិសមភាពនេស្ប៉ីត (Nesbitt's inequality) គឺជាករណីពិសេសនៃវិសមភាពសាពីរ៉ូ (Shapiro inequality)។ វិសមភាពនេះចែងថាចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត a, b និង c យើងបាន
វិសមភាពនេស្ប៉ីត: សំរាយបញ្ជាក់

សំរាយបញ្ជាក់ 
សំរាយបញ្ជាក់ទី១ 
ចាប់ផ្តើមចេញពីវិសមភាពនេស្ប៉ីត (1903)

យើងបំលែងអង្គខាងធ្វេង
 ។
ឥឡូវវាអាចបំលែងជា
 ។
ដោយវានឹង៣ ហើយកត្តាអង្គខាងស្តាំក្លាយជា៖
 ។
ឥឡូវនៅអង្គខាងធ្វេងយើងមានមធ្យមនព្វន្ឋ និងនៅអង្គខាងស្តាំយើងមានមធ្យមអាម៉ូនិក។ ដូច្នេះវិសមភាពនេះគឺពិតជាត្រឹមត្រូវ។

យើងក៏អាចចង់សាកល្បងប្រើប្រាស់ GM ចំពោះអញ្ញតិបីបានផងដែរ។
សំរាយបញ្ជាក់ទី២ 
ឧបមា  យើងបាន

អាចកំនត់បាន

ផលគុណស្កាលែរនៃតៗគ្នានៃពីរវ៉ិចទ៍រគឺមានតំលៃអតិប្បរមា ដោយសារតែវិសមភាពតំរៀបឡើងវិញ (Rearrangement inequality)។ ប្រសិនបើពួកវាត្រូវបានគេំរៀបតាមវិធីដូចគ្នា ហៅថា  និង  វ៉ិចទ័រ  នោះគេបាន

ដូវច្នេះគេបានវិសមភាពនេស្ប៉ីត។

សំរាយបញ្ជាក់ទី៣ 
សញ្ញាណខាងក្រោមគឺពិតចំពោះគ្រប់ 

សញ្ញាណនេះបញ្ជាក់ឃើញថាអង្គខាងធ្វេងគឺមិនតូចជាង  ទេចំពោះចំនួនវិជ្ជមាន a, b, និង c ។
សំរាយបញ្ជាក់ទី4
យើងអាចឧបមាថា  នោះគេបាន  ដូចនេះគេបាន:

សំរាយបញ្ជាក់ទី5

យើងមានៈ 

យើងទាញបានៈ 
នេស្ប៉ីត
Category:គណិតវិទ្យា
វិសមភាពនេស្ប៉ីត: សំរាយបញ្ជាក់ទី១

សំរាយបញ្ជាក់ទី១ 
ចាប់ផ្តើមចេញពីវិសមភាពនេស្ប៉ីត (1903)

យើងបំលែងអង្គខាងធ្វេង
 ។
ឥឡូវវាអាចបំលែងជា
 ។
ដោយវានឹង៣ ហើយកត្តាអង្គខាងស្តាំក្លាយជា៖
 ។
ឥឡូវនៅអង្គខាងធ្វេងយើងមានមធ្យមនព្វន្ឋ និងនៅអង្គខាងស្តាំយើងមានមធ្យមអាម៉ូនិក។ ដូច្នេះវិសមភាពនេះគឺពិតជាត្រឹមត្រូវ។

យើងក៏អាចចង់សាកល្បងប្រើប្រាស់ GM ចំពោះអញ្ញតិបីបានផងដែរ។
វិសមភាពនេស្ប៉ីត: សំរាយបញ្ជាក់ទី២

សំរាយបញ្ជាក់ទី២ 
ឧបមា  យើងបាន

អាចកំនត់បាន

ផលគុណស្កាលែរនៃតៗគ្នានៃពីរវ៉ិចទ៍រគឺមានតំលៃអតិប្បរមា ដោយសារតែវិសមភាពតំរៀបឡើងវិញ (Rearrangement inequality)។ ប្រសិនបើពួកវាត្រូវបានគេំរៀបតាមវិធីដូចគ្នា ហៅថា  និង  វ៉ិចទ័រ  នោះគេបាន

ដូវច្នេះគេបានវិសមភាពនេស្ប៉ីត។
វិសមភាពនេស្ប៉ីត: សំរាយបញ្ជាក់ទី៣

សំរាយបញ្ជាក់ទី៣ 
សញ្ញាណខាងក្រោមគឺពិតចំពោះគ្រប់ 

សញ្ញាណនេះបញ្ជាក់ឃើញថាអង្គខាងធ្វេងគឺមិនតូចជាង  ទេចំពោះចំនួនវិជ្ជមាន a, b, និង c ។
វិសមភាពប៊ូល

ក្នុងទ្រឹស្តីបទប្រូបាប  វិសមភាពប៊ូល(Boole's inequality)ដែលត្រូវបានដាក់ឈ្មោះតាមលោក ចច​ ប៊ូល(George Boole) ពោលថា ចំពោះសំនុំរាប់បាន ប្រូបាបដែលយ៉ាងហោចណាស់ព្រឹត្តិការណ៍មួយកើតឡើង គឺមិនធំជាងផលបូកនៃប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍នីមួយៗទេ ។

ចំពោះសំនុំរាប់បានមួយរបស់ព្រឹត្តិការណ៍  យើងបាន
វិសមភាពប៊ូល: [[វិសមភាពបុនហ្វែររ៉ូនី]](Bonferroni inequalities)

វិសមភាពបុនហ្វែររ៉ូនី(Bonferroni inequalities)
វិសមភាពប៊ូលអាចត្រូវធ្វើអោយមានលក្ខណះទូទៅដើម្បីរក ចំនុចទាល់លើ​និងទាល់ក្រោម ដែលត្រូវបានគេស្គាល់ថាជាវិសមភាពបុនហ្វែររ៉ូនី ចំពោះប្រូបាបនៃប្រជុំនៃព្រឹត្តិការណ៍ 

កំនត់ដោយ

ចំពោះ 2 < k ≤ n,

ដែលការបូកគឺយកគ្រប់ចំពោះk(ដែលមានលំដាប់តគ្នា)នៃចំនួនគត់ផ្សេងៗគ្នា ។

នោះ

បើ  សេស 

បើ  គូ k ≥ 2

ប៊ូល
Category:គណិតវិទ្យា
វិសមភាពភីដូ

ក្នុងធរណីមាត្រ វិសមភាពភីដូ (Pedoe's inequality) ត្រូវបានគេយកឈ្មោះតាមអ្នកគណិតវិទូ និង ធរណីមាត្រវិទូជនជាតិអង់គ្លេស​ឈ្មោះ ដាន្យែល ភីដូ (Daniel Pedoe)។ វិសមភាពនេះពោលថា ប្រសិនបើ a, b, និង c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃ​ត្រីកោណ​ដែលមាន​ក្រលាផ្ទៃ f និង A, B, និង C គឺជារង្វាស់នៃជ្រុងនៃ​ត្រីកោណ​ដែលមាន​ក្រលាផ្ទៃ F នោះគេបាន

ហើយវិសមភាពនេះក្លាយជាសមភាព​លុះត្រាតែត្រីកោណ​ទាំងពីរដូចគ្នា។

ចូរកត់សំគាល់ថាកន្សោមនៅអង្គខាងធ្វេងនៃ​វិសមភាព​គឺមិនត្រឹមតែស៊ីមេទ្រីក្រោមចំលាស់ទាំង​៦​នៃសំនុំនៃគូ  នោះទេ ថែមទាំង​(ប្រហែលជាមិនច្បាស់លាស់ទេ) វានៅដដែល(មិនផ្លាស់ប្តូរ) ប្រសិនបើ​ a អាចប្តូរជាមួយនឹង A, b អាចប្តូរជាមួយនឹង B ហើយ c អាចប្តូរជាមួយនឹង C បាន។ ម្យ៉ាងវិញទៀត វាជាអនុគមន៍ស៊ីមេទ្រីនៃគូត្រីកោណ។

វិសមភាពភីដូ​ជាវិសមភាពទូទៅនៃ​វិសមភាពវេតស្សឹនបុក (Weitzenböck's inequality)។
វិសមភាពភីដូ: សំរាយបញ្ជាក់

សំរាយបញ្ជាក់ 
តាមរូបមន្តហេរុងចំពោះត្រីកោណទាំងពីរគេបាន

ដោយប្រើវិសមភាពកូស៊ី គេបាន

ជាលទ្ធផល

ដូចនេះ

វិសមភាពក្លាយជាសមភាពលុះត្រាតែ
វិសមភាពស្យ៉ឺរ

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា, វិសមភាពស្យ៉ឺរ (Schur's inequality) ត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះដោយយកតាមឈ្មោះរបស់លោក អ៊ីសសាយ ស្យ៉ឺរ (Issai Schur) ។ វិសមភាពនេះចែងថា​ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត​មិនអវិជ្ជមាន x y z និងចំនួនវិជ្ជមាន t គេបាន

វិសមភាពនេះក្លាយសមភាពលុះត្រាតែ x = y = z ឬ តួពីរក្នុងចំនោមតួទាំងបីនេះស្មើគ្នា និងតួមួយផ្សេងទៀតមានតំលៃស្មើសូន្យ។ នៅពេល t ជាចំនួនគត់វិជ្ជមានហើយគូរ នោះវិសមភាពគឺពិតចំពោះចំនួនពិត x, y និង z ។
វិសមភាពស្យ៉ឺរ: សំរាយបញ្ជាក់

សំរាយបញ្ជាក់
ដោយសារតែឆ្លុះចំពោះវិសមភាព  យើងអាចសន្មតថាវាមិនបាត់បង់លក្ខណៈទូទៅដែលថា ទេ។ គេបានវិសមភាពអាចសំដែងជារាង

 

គ្រប់តួរនិមួយៗនៅអង្គខាងធ្វេងនៃសមីការគឺមិនអាចអវិជ្ជមានទេ។
វិសមភាពស្យ៉ឺរ: ការពន្លាត

ការពន្លាត 
លក្ខណៈទូទៅនៃវិសមភាពស្យ៉ឺរ (Schur's inequality) 
ឧបមា a,b,c គឺជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន។ ប្រសិនបើ (a,b,c) និង (x,y,z) គឺ similarly sorted នោះគឺគេបាន៖

នៅក្នុងឆ្នាំ២០០៧ អ្នកគណិតវិទ្យាជនជាតិរ៉ូម៉ានីឈ្មោះ Valentin Vornicu បានបង្ហាញថាទំរង់លក្ខណ៖ពិសេសនៃវិសមភាពស្យ៉ឺរនៅមានបន្ថែមទៀត៖

គេមាន , ដែល, និង  ឬ ។ តាង, និងតាង  អាចជាអនុគមន៍ផត ឬម៉ូណូតូន។ នោះគេបាន

 

ទំរង់ស្តង់ដានៃវិសមភាពស្យ៉ឺរគឺជាករណីនៃវិសមភាពនេះដែល x = a, y = b, z = c, k = 1, ƒ(m) = mr ។
វិសមភាពស្យ៉ឺរ: សំរាយបញ្ជាក់

សំរាយបញ្ជាក់
ចំណាំៈ បើ  ជាអនុគមន៍ផតហើយចំពោះ  និងចំពោះ  គេបាន:
  ;(I)
យើងពិនិត្យករណី k ជាចំនួនគូនោះវិសមភាពខាងលើពិតជានិច្ច។
ហើយបើករណី k ជាចំនួនសេសវិញវិសមភាពខាងលើទៅជាៈ

 

បន្ទាប់មកយើងតាង 

ដូចនេះយើងបាន 

 ពិត ។

សរុបទាំងពីរករណីខាងលើយើងបានចំលើយពិត។

ចំពោះវិសមភាព (I) ខាងលើយនេះប្រហែលជាមិនទាន់មានសៀវភៅណាមួយបានបោះពុម្ពផ្សាយនៅឡើយទេ។ ហើយចំពោះការស្រាយបញ្ជាក់សូមចូលមកទំព័រ:V-K
វិសមភាពស្វ័យគុណ: ឧទាហរណ៍ខ្លះៗ

ឧទាហរណ៍ខ្លះៗ

 បើ x > 0, នោះ
  ។
 បើ x > 0, នោះ
  ។
 បើ x, y, z > 0, នោះ
  ។
 ចំពោះចំនួនពិតផ្សេងគ្នា a និង b,
  ។
 បើ x, y > 0 and 0 < p < 1, នោះ
  ។
 បើ x, y, z > 0, នោះ
  ។
 បើ a, b, នោះ
  ។
 លទ្ធផលនេះត្រូវបានធ្វើអោយមានលក្ខណៈទូទៅដោយ R. Ozols នៅឆ្នាំ ២០០២ ដែលជាអ្នកបង្ហាញថា បើ a1, ..., an, នោះ
វិសមភាពហាតវីហ្គឺហ្វីនស្លឺ

ក្នុង​គណិតវិទ្យា វិសមភាព​ហាតវីហ្គឺ​ហ្វីនស្លឺ (Hadwiger–Finsler inequality) គឺជា​លទ្ធផល​ធរណីមាត្រ​នៃ​ត្រីកោណ​ក្នុង​ប្លង់អឺគ្លីត​ ដែល​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅដោយយក​ឈ្មោះ​តាម​គណិតវិទូ​ ហុហ្គោ ហាតវីហ្គឺ (Hugo Hadwiger) និង ប៉ូល ហ្វីនស្លឺ (Paul Finsler) ។
វិសមភាពហាតវីហ្គឺហ្វីនស្លឺ: ពំនោល​វិសមភាព

ពំនោល​វិសមភាព 
ប្រសិនបើ​ត្រីកោណ​មួយ​ក្នុង​ប្លង់​មាន​រង្វាស់​ជ្រុង a; b និង c និង​មាន​ក្រលាផ្ទៃ  នោះ​គេ​បាន
 

វិសមភាពវេតស្សឹនបុក (Weitzenböck's inequality ) គឺ​កូរ៉ូលែរ​​នឹង​វិសមភាព​នេះ​៖ ប្រសិនបើ​ត្រីកោណ​មួយ​ក្នុង​ប្លង់មាន​​រង្វាស់​ជ្រុង​  a; b និង c និង​ក្រលាផ្ទៃ S នោះ​គេ​បាន
 

ហាតវីហ្គឺហ្វីនស្លឺ
Category:ត្រីកោណ
Category:ធរណីមាត្រ
វិសមភាពអូណូ

ក្នុងគណិតវិទ្យា វិសមភាពអូណូ (Ono's inequality) ជាទ្រឹស្តីបទសិក្សាពីត្រីកោណ​ក្នុងប្លង់អឺគ្លីដ។ ក្នុងទំរង់ដើមរបស់វាដែលប៉ាន់ប្រមាណដោយអូណូ (Ono) ក្នុងឆ្នាំ១៩១៤ គឺថាវិសមភាពមិនផ្ទៀងផ្ទាត់ទេ​ ប៉ុន្តែវាផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះត្រីកោណដែលមានមុំទាំងបី​ជាមុំស្រួច ដូចដែលត្រូវបានបង្ហាញដោយ បាលីត្រែនដ៍ (Balitrand ) ក្នុងឆ្នាំ១៩១៦។
វិសមភាពអូណូ: ពំណោលវិសមភាព

ពំណោលវិសមភាព 

ឧបមាគេមានត្រីកោណដែលមានមុំទាំងបីជាមុំស្រួចក្នុងប្លង់អឺគ្គីដ ដែលមានរង្វាស់ជ្រុង a, b និង c និង មានក្រលាផ្ទៃ A នោះគេបាន

វិសមភាពនេះមិនផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះត្រីកោណទូទៅទេ ដែលបានបង្ហាញដោយប្រឆាំងនឹងសម្មតិកម្ម  ។

អូណូ
ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:ធរណីមាត្រត្រីកោណ
វិសមភាព​ត្រីកោណ

thumb|ឧទាហរណ៍​នៃ​វិសមភាព​ត្រីកោណ​ដែល​មាន​រង្វាស់​ជ្រុង​ x, y, z។

ក្នុង​គណិតវិទ្យា វិសមភាពត្រីកោណ​ពោល​ថា​ចំពោះ​គ្រប់ត្រីកោណ ផលបូក​នៃ​ប្រវែង​ជ្រុង​ពីរ​នៃ​ត្រីកោណ​មួយ​ត្រូវ​តែ​ធំ​ប្រវែង​ជ្រុង​មួយ​ទៀត​ដែល​នៅ​សល់​ Wolfram MathWorld - http://mathworld.wolfram.com/TriangleInequality.html ។

ក្នុង​ធរណីមាត្រ​អឺគ្លីដ និង ធរណីមាត្រ​ដទៃ​ទៀត វិសមភាព​ត្រីកោណ​គឺ​ជា​ទ្រឹស្តី​បទ​អំពី​ចំងាយ។
វិសយ័កសិកម្មនិងចំណេះដឹង

ប្រទេស​​កម្ពុជា​ ​​បង្កើន​​ការ​​ដាំដុះ​​ផលិតផល​​កសិកម្ម​​គួរ​​អោយ​​កត់​​សម្គាល់​​ក្នុង​រយៈ​​ពេល​​ចុង​ក្រោយ​​នេះ​​ ​ប៉ុន្តែ​​ប្រទេស​​ក្រីក្រ​​មួយ​​នេះ​​នៅ​​ប្រឈម​​នឹង​​កង្វះ​ខាត​​ប្រព័ន្ធ​​ធារាសាស្រ្ត ​ខ្វះ​​ទីផ្សារ​​និង​​ខ្វះ​​រោងចក្រ​​កែច្នៃ។​
វិសយ័កសិកម្មនិងចំណេះដឹង: តើកសិកម្មគឺជាអ្វី?

តើកសិកម្មគឺជាអ្វី? 
ក្នុង​រយៈ​ពេល​ប៉ុន្មាន​ឆ្នាំ​ចុង​ក្រោយ​នេះ អ្នក​ជំនួញ​មក​ពី​ក្រៅ​ប្រទេស​និង​អ្នកជំនួញ​នៅ​ក្នុង​ប្រទេស​កម្ពុជា​បាន​បោះ​ទុន​វិនិយោគ​យ៉ាង​ច្រើន​ទៅ​ក្នុងវិស័យ​កសិកម្ម ដូចជា​៖ការ​ដាំ​កៅស៊ូ ដាំ​ដំឡូងមី ដំា​ពោត ដាំ​ដើម​មៀន ដាំ​សណ្តែក​សៀង ដាំ​ធូរេន ដាំ​ស្វាយ ដាំ​ស្រូវនិង​ដំណាំ​កសិកម្ម​ជា​ច្រើន​មុខ​ផ្សេងទៀត។

ជា​តួលេខ​ពិត​ប្រាកដ គេ​មិនទាន់​មាន​នៅ​ឡើយ​ទេ​ប៉ុន្តែ​អ្នក​ជំនួញ​ជា​ច្រើ​ន​បាន​រំពឹង​ទុក​ជាមុន​ថា មុខ​របរ​រកស៊ី​ដែល​ចំណេញ​បាន​ប្រាក់​ច្រើន​នាពេលអនាគត​គឺ​វិស័យ​កសិកម្ម​។ អ្នក​ជំនួញ​ខ្លះ​មាន​ដី​រាប់​រយ​ហិកតា​សម្រាប់​ធ្វើស្រែ​និង​ដាំ​ដំណាំ​កសិកម្ម​។ ​អ្នក​ជំនួញ​ខ្លះ​ទៀត​មាន​ដីដល់​ទៅ​រាប់ម៉ឺន​ហិកតា​សម្រាប់​ធ្វើ​កសិកម្ម​នា​ពេល​អនាគត។

និន្នាការ​ងាក​មក​ធ្វើ​កសិកម្ម​នេះ​ទើប​ចាប់់​ផ្តើម​មាន​ចលនា​ខ្លាំង​ក្នុង​រយៈពេល​បី​ឆ្នាំ​ចុង​ក្រោយ​នេះ។ កាល​ពី​ពេល​មុន អ្នក​ជំនួញ​ខ្មែរ​ចូល​ចិត្ត​រកស៊ីជួញដូរដីធ្លី​ជាជាងធ្វើកសិកម្ម។ វិស័យកសិកម្មត្រូវ​បាន​គេមើលរំលង​យ៉ាងឆ្ងាយ​បើទោះបីជាប្រទេសក្រីក្រ​មួយនេះ​ជា​ប្រទេស​កសិកម្មក៏ដោយ។

ប៉ុន្តែ​ឥឡូវ​នេះ ការ​ដាំដុះ​ដំណាំ​កសិកម្ម​​បាន​និង​កំពុង​កើន​ឡើង​គួរ​អោយកត់​សម្គាល់។ ការ​ដាំដុះ​កើន​ឡើង​មែន ប៉ុន្តែ​​បញ្ហា​ប្រឈម​ក៏​មាន​ច្រើន​ដែរ។ បញ្ហា​ប្រឈមធំៗ​មាន​ពីរ។

ទី១ ៖ បញ្ហា​កង្វះ​ខាត​ប្រព័ន្ធ​ធារាសាស្រ្ត​និង​​បញ្ហា​កង្វះទីផ្សារ។

ចំពោះ ​បញ្ហា​ទីមួយ​នេះ​ ប្រជា​កសិករ​ខ្មែរ​និង​អ្នក​ជំនួញ​ផ្នែក​កសិកម្ម​បាន​ប្រឈម​តាំង​ពី​យូរ​យារ​​ ណាស់​មក​ហើយ។ ហើយ​វា​នៅ​តែ​បន្ត​ប្រឈម​ដដែល។ រដ្ឋាភិបាល​បាន​ដឹង​បញ្ហា​នេះ​ច្បាស់​​ហើយ​ អ៊ីចឹង​ហើយ​ទើប​ក្នុង​រយៈពេល​ចុង​ក្រោយ​នេះ រដ្ឋាភិបាល​បាន​ព្យាយាម​ជួសជុល​ ស្តារ កែលម្អប្រព័ន្ធធារាសាស្ត្រ​ចាស់​ៗ​ឡើង​វិញ។​ មិនត្រឹមតែ​ប៉ុណ្ណោះ រដ្ឋាភិបាល​បាន​និង​កំពុង​​​កសាង​​បណ្តាញ​​ប្រព័ន្ធ​ធារាសាស្រ្ត​ថ្មីៗ​មួយ​ចំនួ​បន្ថែម​ទៀត។ ប៉ុន្តែ​បើទោះ​បីជាយ៉ាងនេះ​ក្តី ក៏​ប្រទេស​​កម្ពុជា​នៅ​ខ្វះ​ប្រព័ន្ធ​ធារាសាស្រ្ត​យ៉ាង​ច្រើន​ដើម្បីស្រោច​ស្រព​ដីដាំ​កសិកម្ម​។

វិស័យ​កសិកម្ម​ខ្មែរ​មិន​អាច​លូតលាស់​ដូច​ប្រទេស​មួយ​ចំនួន​នៅ​ជិត​ខាង​កម្ពុជា​បាន​ទេ​ប្រសិន​បើ​ប្រទេស​នេះ​នៅ​តែ​ធ្វើ​ស្រែ​ប្រវ៉ាស់​នឹង​មេឃ​ ហើយបច្ចេកទេស​កសិកម្ម​នៅ​ទន់​ខ្សោយ។ កសិកម្ម​កម្ពុជា​នៅ​ពេល​បច្ចុប្បន្ន​នេះ​គឺ​ជា​កសិកម្ម​របៀប​គ្រួសារ​ភាគ​ច្រើន​ពោល​គឺ​កម្ពុជា​មិនទាន់​ឈាន​ដល់​បរិបទ​កសិកម្ម​ពាណិជ្ជកម្ម​និង​ឧស្សាហកម្ម​នៅ​ឡើយ​ទេ។
វិសយ័កសិកម្មនិងចំណេះដឹង: អ្វីគូររៀន? អ្វីមិនគូររៀន?

អ្វីគូររៀន? អ្វីមិនគូររៀន? 
ជាទូទៅ ធម្មតាជាតិរបស់មនុស្សពុំមានអ្វីខុសគា្នប៉ុន្នានទេ 
ប៉ុនែ្តការរៀនយល់ដឹង ធ្វើអោយមនុស្សខុសប្លែកពីគា្ន

right|300px|thumb|ព្រះវិហារព្រះកែវមរកត
right|300px|thumb|ព្រះវិហារព្រះកែវមរកត
វត្តព្រះកែវមរកតត្រូវបានកសាងឡើង​តាំងពីឆ្នាំ១៨៩២ដល់ឆ្នាំ១៩០២ តាមលំនាំ​ស្ថាបត្យកម្មខ្មែរ ហើយត្រូវបានរុះរើ​សាងសង់​ជា​ថ្មី​ឡើងវិញ​នៅក្នុង​ឆ្នាំ​១៩៦២។ វត្ត​នេះ​ពី​ដើម​មាន​ឈ្មោះ​ហៅថា វត្តឧបោសថរតនារាម ដោយ​មក​ពី​ព្រះមហាក្សត្រ​ទ្រង់យក​ទីកន្លែងនេះ​កាន់​ឧបោសថសីល​ជារៀង​រាល់​ថ្ងៃ។ ក្រៅពីនេះ​ក៏មាន​ព្រះវត្តមានព្រះរាជ វង្សានិវង្ស និង នាម៉ឺនសព្វមុខមន្ត្រីក៏​បានប្រារព្ធ​ពិធីបុណ្យ​​ផ្សេងៗ​​តាម​ទំនៀមទំលាប់​ព្រះពុទ្ធសាសនា​​នៅទីនេះដែរ។
វិសយ័កសិកម្មនិងចំណេះដឹង: ប្រវត្តិ

ប្រវត្តិ 

នៅក្នុងវត្តនេះពុំមានព្រះសង្ឍគង់នៅទេ។ ព្រះបាទសម្តេច​ព្រះនរោត្តម សីហនុ គង់នៅទៅនោះ ក្នុង​ពេល​ព្រះអង្គសាងព្រះផ្នួស​រយៈពេល​មួយព្រះវស្សា (ថ្ងៃទី១៤កើត ខែទុតិយសាធ ឆ្នាំកុរ នព្វស័ក ព.ស២៤៩០ ត្រូវនឹងថ្ងៃទី៣១ ខែកក្តដា ឆ្នាំ១៩៤៧)។ ហេតុដូច្នេះ​​ហើយ​​បាន​ជា​​មាន​ពាក្យសាមញ្ញហៅថា ព្រះវិហារព្រះកែវ ពោលគឺឥតមានវត្ត ក្នុងពាក្យនោះទេ។ នៅ​ពេល​ណា​ដែល​ព្រះរាជាទ្រង់ប្រារព្វព្រះរាជពិធីតាមព្រះពុទ្ធសាសនាគឺត្រូវនិមន្តព្រះសង្ឍគង់ពីវត្តដទៃទៀតក្នុងរាជធានីភ្នំពេញ ដូចជានៅវត្តឧណ្ណាលោម វត្តបទុមវត្តី ជាដើម។
វិសយ័កសិកម្មនិងចំណេះដឹង: ទីតាំង

ទីតាំង 

វត្តនេះស្ថិតនៅខាងត្បូងនៃផ្ទៃព្រះបរមរាជវាំង ដែលហ៊ុំព័ទ្ធទៅដោយថែវរាងខ្ពស់ស្រឡះ។ នៅតាមបណ្តោយថែវនេះ គែធ្លាប់បានប្រើប្រាស់​ជា​ថ្នាក់រៀនភាសាបាលី សំរាប់​ព្រះសង្ឍ​ដែល​គង់​នៅ​តាមវត្តក្នុងរាជធានីភ្នំពេញ និង​តាមបណ្តា​ខេត្ត​មួយចំនួន មុនពេលបង្កើតសាលាបាលីនៅភ្នំពេញ នាថ្ងៃទី១៦ខែធ្នូឆ្នាំ១៩៣០។