natgillin/translations-raw huggingface dataset:
The most frequently applied numerical methods are Rayleigh-Ritz and finite element methods. 
Najčešće korištene numeričke metode su Rayleigh-Ritzova metoda i metoda konačnih elemenata.
By using different higher-order shear beam theories, the buckling and vibration analysis of cross-ply and angle-ply laminated composite beams is conducted in [4] for various boundary conditions employing the Ritz method. 
Primjenom različitih teorija višeg reda kojima se uzimaju u obzir posmične deformacije greda, autor rada [4] koristi Ritzovu metodu kako bi analizirao izvijanje i titranje križno uslojenih i koso-uslojenih lameliranih kompozitnih greda s različitim rubnim uvjetima.
Adopting the dynamic stiffness method, the free vibration and buckling behaviour of axially loaded laminated composite beams with arbitrary lay-up is studied in [5-7]. 
U radovima [5-7] autori koriste metodu dinamičke krutosti u analizi slobodnog titranja i izvijanja osno opterećenih lameliranih kompozitnih greda s proizvoljnim kutovima pružanja slojeva.
Based on the two dimensional theory, the free vibration and buckling analysis of composite beams with interlayer slip in line is analysed in [8]. 
U radu [8] autori na temelju dvodimenzionalne teorije analiziraju slobodno titranje i izvijanje kompozitnih greda s pomakom između slojeva.
An exact solution for the post-buckling and free vibrations of a symmetrically laminated composite beam with different boundary conditions is presented in [9]. 
U radu [9] prikazano je točno rješenje za poslijekritično stanje te za slobodno titranje simetrično uslojene kompozitne grede za različite rubne uvjete.
Analytical solutions for the free vibration and buckling of cross-ply composite beams with arbitrary boundary conditions are developed in [10] and [11] in conjunction with the state space approach. 
U radovima [10, 11] autori razvijaju analitička rješenja za slobodno titranje i izvijanje križno uslojenih kompozitnih greda s proizvoljnim rubnim uvjetima, primjenjujući pristup stanje-prostor.
Based on a higher order shear deformation theory that assumes nonlinear variation of displacement field, a single layer beam finite element model is proposed in [12] for studying the buckling behaviour of anisotropic sandwich beams. 
U radu [12] za analizu izvijanja anizotropnih sendvič greda predlaže se model s jednim konačnim elementom po visini grede, na temelju teorije višeg reda kojom se uzimaju u obzir posmične deformacije uz pretpostavku nelinearne varijacije polja pomaka.
Analytical solutions for static, dynamic and buckling analysis of composite beams are presented in [13] based on the Timoshenko beam theory. 
Analitička rješenja za statičku i dinamičku analizu i analizu izvijanja kompozitnih greda predlažu se u radu [13] primjenom Timošenkove teorije greda.
A buckling analysis of simply supported composite laminated beams is presented in [14] based on the modified couple stress theory by applying the minimum potential energy principle, and taking into account Euler-Bernoulli and Timoshenko beam theories. 
U radu [14] prikazana je analiza izvijanja zglobno oslonjenih lameliranih kompozitnih greda koja se temelji na teoriji modificiranih momentnih naprezanja uz primjenu načela minimalne potencijalne energije, uzimajući pritom u obzir Euler-Bernoullijevu i Timošenkovu teoriju greda.
By using the method of power series expansion of displacement components, natural frequencies and buckling stresses of simply supported laminated composite beams are evaluated in [15] based on the higher order beam theory. 
Autori u radu [15] uz primjenu teorije višeg reda određuju prirodne frekvencije i naprezanja od izvijanja zglobno oslonjenih lameliranih kompozitnih greda koristeći metodu razvoja komponenti pomaka u redove.
Analytical solutions for the free vibration and buckling behaviour of laminated composite and sandwich beams are developed in [16]. 
Analitička rješenja za slobodno titranje i ponašanje pri izvijanju lameliranih kompozitnih i sendvič greda prikazana su u radu [16].
Using the refined shear deformation theory, the vibration and buckling analysis of cross-ply composite beams is presented in [17] by means of a displacement based finite element method. 
U radu [17] koristeći poboljšanu teoriju posmičnih deformacija autori analiziraju titranje i izvijanje križno uslojenih kompozitnih greda pomoću metode konačnih elemenata temeljene na pomaku.
A buckling analysis of two-layer composite beams is performed in [20] by means of the displacement based finite element method using the Reddy's higher order beam theory. 
U radu [20] autori analiziraju izvijanje dvoslojnih kompozitnih greda pomoću metode konačnih elemenata bazirane na pomaku, koristeći Redyjevu teoriju višeg reda.
A considerable research has been conducted on the buckling of laminated composite beams. 
Provode se i opsežna istraživanja izvijanja lameliranih kompozitnih greda.
However, to the best of the authors' knowledge, the buckling analysis of laminated composite beams using the MFE method has not as yet been reported. 
Međutim, koliko je autorima ovog rada poznato, do sada nije objavljen niti jedan rad o analizi izvijanja lameliranih kompozitnih greda pomoću mješovite metode konačnih elemenata.
The application of an efficient and simple method to the buckling analysis of symmetric cross-ply laminated composite straight beams will be presented in this study. 
U ovom se radu prikazuje primjena djelotvorne i jednostavne metode za analizu izvijanja simetričnih križno uslojenih lameliranih ravnih kompozitnih greda.
In this research based on the Euler-Bernoulli beam theory and Timoshenko beam theory, two new functionals are constructed using a systematic procedure founded on the Gâteaux differential, as a means to analyse the buckling problem of symmetric cross-ply laminated straight beams. 
U ovom se istraživanju na temelju Euler-Bernoullijeve teorije greda i Timošenkove teorije greda izvode dva nova funkcionala primjenom sustavnog postupka baziranog na Gâteauxovoj derivaciji, a u svrhu analize problema izvijanja simetričnih križno uslojenih ravnih greda.
Some advantages of the Gâteaux differential approach, first used in [21] to obtain a functional, can be presented as follows: 
U nastavku se navode neke od prednosti pristupa baziranog na Gâteauxovoj derivaciji koji je prvi put korišten u radu [21]:
- All field equations can systematically be enforced to the 
- Sve diferencijalne jednadžbe mogu se sustavno izraziti
functional 
funkcionalom
locking phenomenon. 
eliminirati pojava shear lockinga.
Based on the Gâteaux Differential, free vibration of laminated composite curved beams is studied in [22]. 
U radu [22] autori analiziraju slobodno titranje lameliranih kompozitnih zakrivljenih greda koristeći Gâteauxovu derivaciju.
In addition, the free vibration analysis of cross-ply and angle-ply laminated composite beams is conducted in [23, 24]. 
U radovima [23, 24] analizira se i titranje vibriranje križno uslojenih i koso uslojenih kompozitnih greda.
Furthermore, this powerful method has recently been applied in [25] for the analysis of cross-ply laminated composite thick plates. 
Osim toga, ovu su učinkovitu metodu nedavno koristili i autori rada [25] u analizi križno uslojenih debelih kompozitnih ploča.
New mixed type finite elements are formulated in this study. 
U ovom su istraživanju formulirani novi konačni elementi mješovitog tipa.
A Timoshenko beam finite element has two nodes and four degrees of freedom per node, while an EulerBernoulli beam finite element has two nodes and two degrees of freedom per node. 
Konačni element Timošenkove grede ima dva čvora i četiri stupnja slobode po čvoru, a konačni element EulerBernoullijeve grede ima dva čvora i dva stupnja slobode po čvoru.
A finite element analysis program has been developed, and the buckling analysis of symmetric cross-ply laminated composite beams with different boundary conditions, lamination variables such as ply orientations and stacking sequences, geometrical and material properties, is performed using the proposed finite element program. 
Razvijen je program temeljen na metodi konačnih elemenata, te je primjenom predloženog programa provedena analiza izvijanja simetričnih križno uslojenih lameliranih kompozitnih greda za razne rubne uvjete, varijante slojeva (poput orijentacije i rasporeda slojeva), geometrijska svojstva i svojstva materijala.
The validity of the presented MFE formulation is proven by comparing the results with literature information. 
Valjanost prikazane mješovite formulacije metode konačnih elemenata dokazana je usporedbom rezultata s dostupnim podacima iz literature.
Numerical comparison shows that the results of this research agree well with research results presented in relevant literature. 
Numeričkom je usporedbom utvrđeno da se rezultati ovog ispitivanja dobro podudaraju s rezultatima objavljenima u relevantnoj literaturi.
2. Field Equations and functional 
2. Diferencijalne jednadžbe i funkcional
A symmetric laminated composite straight beam in a Cartesian coordinate system, denoted by xyz as shown in Figure 1, is considered for a length L, thickness h, and width b. 
Slika 1. prikazuje simetričnu lameliranu ravnu kompozitnu gredu u Kartezijevom koordinatnom sustavu, omeđenu osima xyz, s oznakama duljine L, debljine h i širine b.
Geometry of symmetric laminated straight beam 
Geometrija ravne simetrične lamelirane grede
Consider a uniformly loaded bar, with positive directions of internal forces as shown in Figure 2, where qz is the uniformly distributed axial load, N is the axial force, H is the horizontal force, and M is the bending moment. 
Razmotrimo primjer jednoliko opterećenog štapa s pozitivnim smjerovima unutarnjih sila kako je prikazano na slici 2., gdje je qz jednoliko raspoređeno uzdužno opterećenje, N je uzdužna sila, H je horizontalna sila, a M je moment savijanja.
Figure 2. a) Initial straight state and buckled state of a bar; b) Freebody segment of a bar 
Slika 2: a) Početno ravno stanje i izvijeno stanje štapa; b) Slobodni odsječak štapa
Based on the Euler-Bernoulli beam theory assumption, the moment equilibrium equation about the upper end of the bar, when qz is set to zero, can be obtained as follows, 
Ako usvojimo pretpostavku Euler-Bernoullijevej teorije greda, tada se jednadžba ravnoteže momenta na gornjem kraju štapa, za slučaj da je qz jednak nuli, može dobiti kako slijedi,
and the bending moment becomes: 
a moment savijanja postaje:
(2) where v is the displacement along the y-axis and Dx is the bending rigidity of the beam, expressed as follows: 
(2) gdje je v pomak duž osi y, a Dx je krutost grede na savijanje, što je izraženo na sljedeći način:
By considering the Timoshenko beam theory, field equations can be given in the following form: 
Prema Timošenkovoj teoriji greda, diferencijalne jednadžbe mogu se iskazati kako slijedi:
where T is the conservative shear force, W is the cross-sectional rotation about x-axis and Cy is the shear rigidity of the beam given by: 
gdje je T poprečna sila, W je rotacija poprečnog presjeka oko osi x, a Cy je posmična krutost grede koja se izražava na sljedeći način:
In Eqs. (3) and (8), k represents the number of plies, I is the moment of inertia and A is the deformed cross sectional area. 
U izrazima (3) i (8), k predstavlja broj slojeva, I je moment inercije, a A je deformirana površina poprečnog presjeka.
where θ is the angle between the global axis and the local axis of each layer, and the value of the angle θ is either 00 or 900 for cross-ply laminate. 
gdje je θ kut između globalne osi i lokalne osi svakog sloja, a vrijednost kuta θ iznosi 00 ili 900 za križno uslojeni laminat.
Cij is the ply stiffness and it is given in terms of engineering constant of the kth ply as: 
Cij je krutost sloja koja se izražava pomoću inženjerske konstante k-tog sloja kao:
where Ei is the Young's modulus in the ith material direction, Gij is the shear modulus of the i-j plane, and uij is the Poisson ratio. 
gdje je Ei Young-ov modul u itom smjeru materijala, Gij je modul posmika ravnine i-j, a uij je Poisson-ov koeficijent.
Dynamic boundary conditions are given by Eq. (14), and geometric boundary conditions are given by Eq. (15): 
Prirodni rubni uvjeti dani su izrazom (14), a geometrijski rubni uvjeti izrazom (15).
In Eqs. (14) and (15), the quantities with hat are given at the boundary points, while quantities without hat are unknowns. 
U izrazima (14) i (15), veličine s "kapicom" su vrijednosti na rubu, dok su veličine bez kape nepoznanice.
After the field equations are written in operator form as Q = Lu - f, where L represents the coefficient matrix, u represents unknown vectors (u = {v, M} for Euler-Bernoulli beams, and u = {v, W, T, M} for Timoshenko beams), and f represents the load vector. 
Zatim se diferencijalne jednadžbe iskazuju pomoću operatora Q = Lu - f, gdje L predstavlja matricu koeficijenta, u predstavlja nepoznate vektore (u = {v, M} za Euler-Bernoullijeve grede, a u = {v, W, T, M} za Timošenkove grede), a f predstavlja vektor opterećenja.
A necessary and sufficient condition for making the operator Q a potential is given by [26]. 
Potreban i dovoljan uvjet da bi operator Q postao potencijal iskazan je u [26].
After the potentiality requirement is satisfied, the functional corresponds to the field equations and can be expressed as: 
Nakon što se zadovolji zahtjev potencijala, funkcional odgovara diferencijalnim jednadžbama i može se izraziti kako slijedi:
Here, s is a scalar quantity and the parentheses <,> indicate the inner product. 
Ovdje je vrijednost s skalar, a zagrade <,> označavaju skalarni umnožak.
Considering the field equations of the laminated composite straight Euler-Bernoulli beam with boundary conditions, the matrix form of the Eq. (16) can be given by: 
Ako promatramo diferencijalne jednadžbe kao za ravnu lameliranu kompozitnu Euler-Bernoullijevu gredu s rubnim uvjetima, tada se matrični oblik jednadžbe (16) može prikazati na sljedeći način:
After Eq. (16) is implemented, the following expression is derived 
Nakon primjene jednadžbe (16), može se izvesti sljedeći izraz:
After integration and simplification, the explicit form of the functional corresponding to the field equations of the laminated composite straight Euler-Bernoulli beam is obtained as: 
Nakon integracije i pojednostavljenja, dobiva se eksplicitni oblik funkcionala koji odgovara diferencijalnim jednadžbama ravne lamelirane kompozitne Euler-Bernoullijeve grede:
parentheses with subscripts ε and s indicate the geometric and the dynamic boundary conditions, respectively. 
. Zagrade s indeksima ε i σ označavaju geometrijske i prirodne
The same mathematical procedure (i.e., applied for the functional of Euler-Bernoulli beam) is repeated for derivation of the functional corresponding to the laminated composite straight Timoshenko beams. 
Isti matematički postupak (tj. postupak primijenjen za funkcional Euler-Bernoullijeve grede) ponavlja se za derivaciju funkcionala koji odgovara ravnim lameliranim kompozitnim Timošenkovim gredama.
For the sake of simplicity, the mathematical details for generating the functional of Timoshenko beams are not given here, but the interested reader is referred to [27]. 
Radi jednostavnosti, u ovom se radu ne prikazuje detaljni postupak za izvođenje funkcionala Timošenkovih greda, a čitatelji koje taj postupak zanima upućuju se na rad [27].
The explicit expression of the functional of the laminated composite straight Timoshenko beams can be obtained in a similar manner as follows: 
Eksplicitni izraz funkcionala za ravne lamelirane kompozitne Timošenokove grede može se dobiti na sličan način, i to kako slijedi:
3. Finite element formulation 
3. Formulacija konačnih elemenata
If a one dimensional element with a parent shape function is used as follows: 
Ako se jednodimenzionalni element s funkcijom oblika koristi na sljedeći način:
where the adopted notation is illustrated in Figure 3, and Le represents the length of an element (Le = zj - zi), then all unknown variables of the functional given by Eq. (17) for Euler-Bernoulli beams are expressed in terms of interpolation functions as follows: 
gdje su usvojene oznake prikazane na slici 3., i gdje Le predstavlja duljinu elementa (Le = zj - zi), tada su sve nepoznate varijable funkcionala iz izraza (17) za Euler-Bernoullijeve grede iskazane u vidu interpolacijskih funkcija kako slijedi:
Two node one-dimensional element After the functional is extremized with respect to the nodal variables, the following element matrix is derived explicitly as given by Eq. (22): 
Jednodimenzionalni element s dva čvora Nakon što se odrede ekstremi funkcionala u odnosu na varijable čvorova, pristupa se izvođenju matrice elementa prema izrazu (22):
All unknown variables of the functional given by Eq. (18) for Timoshenko beams are expressed by shape functions as follows: 
Sve nepoznate varijable funkcionala iskazane u jednadžbi (18) za Timošenkove grede izražavaju se pomoću funkcija oblika kako slijedi:
When the functional is extremized with respect to nodal variables, the element matrix of Timoshenko beams is obtained as: 
Nakon što se odrede ekstremi funkcionala u odnosu na varijable čvora, dobiva se sljedeća matrica elemenata Timošenkove grede:
4. Buckling analysis 
4. Analiza izvijanja
An alternate form of buckling analysis problem can be given by: 
Postoji i alternativni način rješavanja problema izvijanja:
where {F} defines the stress resultant vector, {v} denotes the displacement vector, [K] is the system matrix, and [Kg] is the geometric matrix of the system. 
gdje {F} definira vektor rezultirajućih naprezanja, {v} označava vektor pomaka, [K] je matrica sustava, a [Kg] je geometrijska matrica sustava.
Elimination of {F} from Eq. (28) yields the following equation: 
Ako se iz izraza (28) izbaci {F}, dobiva se izraz:
The eigenvalues, Pcr, for which the determinant of coefficient matrix from Eq. (29) is zero, lead to the critical buckling loads. 
Svojstvene vrijednosti, Pcr, za koje je determinanta matrice koeficijenata iz izraza (29) jednaka nuli, dovode do kritičnih opterećenja izvijanjem.
Example 1: Composite laminated Euler-Bernoulli beam 
Primjer 1: Lamelirana kompozitna Euler-Bernoullijeva
Data related to the beam: 
Podaci vezani za gredu:
Length: L = 0,25 m 
Duljina: L = 0,25 m
Width: b = 0,01 m 
Širina: b = 0,01 m
Thickness of the beam: h = 0,001 m. 
Visina grede: h = 0,001 m.
The beam is characterized by 20 equal length beam finite elements. 
Gredu karakterizira dvadeset štapnih konačnih elemenata jednake duljine.
Different numerical examples are employed in order to test performance of the proposed method. 
Za ispitivanje predložene metode koriste se razni numerički primjeri.
First three modes of buckling loads (Newton "N"), Pcr1, Pcr2 and Pcr3 are compared with those available in the literature [9] as shown in Tables 1-3, using different boundary conditions. 
Prva tri oblika izvijanja (izraženo u njutnu "N"), Pcr1, Pcr2 i Pcr3 uspoređuju se s odgovarajućim vrijednostima iz literature [9], a ta je usporedba prikazana u tablicama 1. do 3. za razne rubne uvjete.
It can be seen from Tables 1-3 that the results of this study agree well with literature information, and so the methodology presented in this study is considered to be reliable. 
Iz tablica 1. do 3. može se vidjeti da su rezultati dobiveni u ovom istraživanju podudarni s podacima iz literature, pa se stoga može zaključiti da je metodologija prikazana u ovom radu pouzdana.
Comparing Tables 1-3, the beam with 
Uspoređujući tablice 1.
Critical buckling loads (in [N]) of symmetric laminated composite beam with two ends hinged 
Kritične sile izvijanja (u [N]) simetrične lamelirane kompozitne zglobno oslonjene grede
Mode 
Oblik izvijanja
Present research 
ovo istraživanje
Research [9] 
istraživanje [9]
two ends hinged exhibits minimum critical buckling loads, while the beam with two ends clamped exhibits maximum critical buckling load. 
do 3. možemo vidjeti da su kritične sile izvijanja najmanje za zglobno oslonjenu gredu, a najveće za obostrano upetu gredu.
The buckling loads of (00), (00/900/900/00) and (00/900/900/900/900/00) beams are very high when compared to (900), (900/00/00/900) and (900/900/00/00/900/900) beams. 
Vrijednosti sila izvijanja greda sa smjerom pružanja vlakana u sloju (00), (00 / 900 / 900 / 00) i (00 / 900 / 900 / 900 / 900 / 00) izuzetno su visoke u usporedbi s gredama (900), (900 / 00 / 00 / 900) i (900 / 900 / 00 / 00 / 900 / 900).
Here, a degree (°) refers to layer fibre orientation. 
Primjer 2: Lamelirana kompozitna Euler-Bernoullijeva
Length: L = 10 m 
Širina: b = 1 m
Width: b = 1 m 
Visina grede: h = 1 m.
Thickness of the beam: h = 1 m. 
Greda je podijeljena na dvadeset konačnih elemenata jednake duljine.
In this example, the dimensionless critical buckling load of the first three mode 
U ovom se primjeru bezdimenzijske kritične sile izvijanja za prva tri oblika uspoređuju s odgovarajućim
Critical buckling loads (in [N]) of symmetric laminated composite beam with two ends clamped 
Kritične sile izvijanja (u [N]) simetrične lamelirane kompozitne obostrano upete grede
Critical buckling loads (in [N]) of symmetric laminated composite beam with one end clamped and another end hinged 
Kritične sile izvijanja (u [N]) simetrične lamelirane kompozitne grede s jednim upetim, a drugim zglobnim spojem
Present research Research [2] 
cr1 cr2 cr3
cr1 cr2 cr3 
Oblik izvijanja
Present research Research [2] 
ovo istraživanje istraživanje [2]
Dimensionless critical buckling load (Pcr) of symmetric laminated beam with H-H 
Bezdimenzijska kritična sila izvijanja (Pcr) za simetričnu lameliranu gredu - rubni uvjeti H-H
of material properties on critical buckling load of the first three mode of composite laminated beams. 
U tablici 7. prikazani su različiti materijali lameliranih kompozitnih greda kako bi se analizirala svojstva materijala pri kritičnoj sili izvijanja i to za prva tri oblika.
Dimensionless critical buckling loads of composite laminated Euler-Bernoulli beams with (00/900/900/00) lamination are presented in Table 8. 
U tablici 8. prikazana je bezdimenzijska kritična sila izvijanja lameliranih kompozitnih Euler-Bernoullijevih greda sa slojevima (00 / 900 / 900 / 00).
Material properties Table 8. 
Svojstva materijala
Dimensionless critical buckling load (Pcr) of symmetric cross 
podacima iz literature [2].
The dimensionless equation of critical buckling load is: 
Jednadžba bezdimenzijske kritične sile izvijanja je:
Tables 4 to 6 present dimensionless critical buckling loads for hinged-hinged (H-H), clamped-clamped (C-C) and clamped-free (C-F) boundary conditions. 
Tablice 4. do 6. prikazuju bezdimenzijske kritične sile izvijanja za sljedeće rubne uvjete: zglob-zglob (H-H), upeto-upeto (C-C) i upeto - slobodni rub (C-F).
Six lamination types are presented. 
Prikazano je šest tipova uslojenosti.
As seen in the tables, the present model yielded results that in good agreement with the results given in [2]. 
Kao što se može vidjeti iz tablica, ovim se modelom postižu rezultati koji su u skladu s rezultatima prikazanima u radu [2].
The cross sectional properties of the beams with two ends hinged are given as follows: the length of the beam is L = 10 m, the width of the beam is b = 1 m and the thickness of the beam is h = 1 m. 
U nastavku se prikazuju svojstva poprečnog presjeka greda sa zglobnim krajevima: duljina grede iznosi L = 10 m, širina grede iznosi b = 1 m, a visina grede iznosi h = 1 m.
Dimensionless critical buckling load (Pcr) of symmetric laminated beam with C-C 
Bezdimenzijska kritična sila izvijanja (Pcr) za simetričnu lameliranu gredu - rubni uvjeti C-C
Dimensionless critical buckling load (Pcr) of symmetric laminated beam with C-F 
Bezdimenzijska kritična sila izvijanja (Pcr) za simetričnu lameliranu gredu - rubni uvjeti C-F
Graphite epoxy (Grap) 
Grafit/ epoksidna smola (Grap)
Kevlar epoxy (Kev) 
Kevlar/ epoksidna smola (Kev)
ply laminated Euler-Bernoulli beam (00/900/900/00) for different material properties 
Bezdimenzijska kritična sila izvijanja (Pcr) simetrične križno uslojene Euler-Bernoullijeve grede (00 / 900 / 900 / 00) za razna svojstva materijala