natgillin/translations-raw huggingface dataset:
The Gâteaux differential method is a more powerful, reliable and efficient variational tool compared to the widely accepted Hellinger-Reissner (HR) and Hu-Washizu (HW) variational principles, and it has many advantages over these principles. 
Prema spoznajama autora, do sada još nije opisan funkcional lameliranih kompozitnih debelih ploča koji se temelji na metodi mješovitih konačnih elemenata.
Recently, Aköz and his co-workers have successfully employed the Gâteaux differential method to construct the functional that can be applied to a variety of problems [24-29]. 
Metoda Gâteauxove derivacije snažnije je, pouzdanije i djelotvornije varijacijsko sredstvo od prihvaćenijih varijacijskih načela Hellinger-Reissnera (HR) i Hu-Washizua (HW), te se odlikuje brojnim prednostima u odnosu na ta načela.
For the sake of simplicity, some significant advantages of the Gâteaux differential approach can briefly be summarized as follows: - All field equations can be enforced to the functional systematically. 
U novije su vrijeme Aköz i njegovi suradnici uspješno upotrijebili metodu Gâteauxove derivacije za razvijanje funkcionala koji se može primijeniti u rješavanju brojnih problema [24-29].
The proposed mixed finite element formulation is implemented using the FORTRAN software. 
Za programsku realizaciju mješovitog konačnog elementa upotrijeljen je programski jezik FORTRAN.
This comprehensive parametric study is performed for evaluating the influences of the lamination scheme, number of layers, side-to-thickness ratio, boundary conditions, and geometrical and material properties variations on the displacement and stress components. 
Ovo opsežno parametarsko istraživanje provedeno je kako bi se odredilo na koji način na komponente pomaka i naprezanja utječu načini uslojenosti, broj slojeva, odnos između raspona i debljine, rubni uvjeti i varijacije geometrijskih i materijalnih svojstava.
The validity of the presented mixed finite element formulation is demonstrated by comparing the results with those available in the literature. 
Valjanost prikazane formulacije mješovitoga konačnog elementa dokazana je uspoređivanjem dobivenih rezultata s odgovarajućim rezultatima iz literature.
Numerical comparison shows that the results obtained in this study agree well with those available in the literature. 
Numerička usporedba pokazuje da su rezultati prikazani u ovom istraživanju podudarni s rezultatima iz literature.
2. Field equations 
2. Diferencijalne jednadžbe
Figure 1. k-layers cross-ply laminated composite plate 
Križno uslojena kompozitna ploča sa k slojeva
A Cartesian coordinate system (x, y, and z) is defined at the central axis of the plate. 
U srednjoj ravnini ploče definiran je Kartezijev koordinatni sustav (x, y, z).
Field equations of thick plates can be found in [33] and, referring to this study, field equations of symmetric cross-ply laminated composite plates can be written as: 
Diferencijalne jednadžbe debele ploče prikazane su u [33], a za potrebe ovog istraživanja diferencijalne jednadžbe za simetrične križno uslojene kompozitne ploče mogu se iskazati kako slijedi:
where, q is the uniform load applied on the top surface of the laminated plate. 
gdje je q jednoliko opterećenje naneseno na gornju površinu lamelirane ploče.
The flexural rigidity matrix, Dij, in the field equations is defined as: 
Matrica krutosti na savijanje, Dij, u diferencijalnim jednadžbama definirana je kako slijedi:
Internal forces 
Unutarnje sile
For orthotropic materials of each layer of laminated composite plates, the two-dimensional stress-strain equations for the kth layer can be written, under assumption of plane stress, as follows: 
Dvodimenzionalne jednadžbe naprezanja-deformacije za sloj k, pod pretpostavkom ravninskog naprezanja, mogu se za ortotropne materijale svakog sloja lameliranih kompozitnih ploča izraziti kako slijedi:
where σ1, σ2, t12 are the stresses and e1, e2, g12 are the linear strain components referred to the principal material coordinates of a layer. 
gdje su σ1, σ2, t12 naprezanja dok su e1, e2, g12 komponente linearne deformacije koje se odnose na glavne materijalne koordinate sloja.
are elastic constants of the kth layer. 
su elastične konstante sloja k.
with Ei being the Young's modulus in the ith material direction, μij is the Poisson ratio, and Gij, is the shear modulus of the i-j plane. 
gdje je Ei modul elastičnosti u materijalnom smjeru i, μij je Poissonov koeficijent, a Gij je posmični modul u ravnini i-j.
Constitutive equations for the kth orthotropic layer are transformed to the laminate coordinates (x, y, z) as follows: 
Konstitucijske jednadžbe ortotropnog sloja k transformirane su u koordinate laminata (x, y, z) na sljedeći način:
where are the transformed elastic constants or stiffness matrix with respect to the laminate coordinates (x, y, z) [2]. 
gdje su transformirane elastične konstante matrice krutosti u odnosu na koordinate laminata (x, y, z) [2].
The elements of the matrix can be written as follows: 
Elementi matrice mogu se iskazati kako slijedi:
where θ is the angle between the global axis and the local x-axis of each layer. 
gdje je θ kut između globalne osi i lokalne osi x svakog sloja.
3. The Gâteaux differential and functional 
3. Gâteauxova derivacija i funkcional
Field equations of composite laminated thick plates can be written in operator form as: 
Diferencijalne jednadžbe lameliranih kompozitnih debelih ploča mogu se u operatorskom obliku izraziti kao:
Geometric boundary conditions 
geometrijski rubni uvjeti
The Gâteaux derivative of an operator is defined as: 
Gâteauxova derivacija operatora definira se kao
(10) where t is a scalar. 
(10) gdje je t skalar.
A necessary and sufficient condition that the operator Q be a potential [34] is: 
Nuždan je i dovoljan uvjet da operator Q bude potencijal [34]:
(11) where the inner products are shown in parentheses. 
(11) gdje simboli < i > označavaju skalarni umnožak .
After satisfying the requirement, the functional corresponding to the field equations is obtained as: 
Uz udovoljavanje tog zahtjeva, funkcional koji odgovara diferencijalnim jednadžbama jest:
(12) where s is a scalar quantity. 
(12) gdje je s skalarna veličina.
The explicit form of the functional corresponding to the field equations of the cross-ply laminated composite thick plates is obtained as: 
Eksplicitni oblik funkcionala koji odgovara diferencijalnim jednadžbama za križno uslojene kompozitne debele ploče debljeg presjeka jest:
The quantities with hat are known values at the boundaries. 
Veličine s "kapicom" poznate su vrijednosti na rubu.
The parentheses with subscripts e and σ indicate geometric and dynamic boundary conditions, respectively. 
Zagrade s indeksima e i σ označavaju geometrijske i prirodne rubne uvjete.
Explicit expressions of boundary conditions are: 
Rubni uvjeti se eksplicitno mogu izraziti kako slijedi:
4. Finite element formulation 
4. Formulacija konačnog elementa
(15) is used, all unknown variables of the functional are expressed in terms of interpolation functions, as shown below 
(15) sve se nepoznate varijable funkcionala mogu izraziti pomoću interpolacijskih funkcija, primjerice:
(16) where n is the number of finite element nodes. 
(16) gdje je n broj čvorova konačnog elementa.
Four-node serendipity element with eight degrees of freedom at each node is used. 
Upotrijebljen je serendipity element s četiri čvora i osam stupnjeva slobode na svakom čvoru.
Rectangular master element 
Osnovni pravokutni element
After substituting the above definitions into Eq. (13), the element matrix and load vector is derived explicitly: 
Uvrštavanjem navedenih definicija u jednadžbu (13) dobivaju se matrica elementa i vektor opterećenja:
The explicit form of the quadrilateral element submatrices [k1], [k2], [k3], and the operator form of field equations, are given in Appendix I. 
U prilogu 1 prikazan je eksplicitni oblik podmatrica četverokutnog elementa [k1], [k2], [k3] i operatorski oblik diferencijalnih jednadžbi.
5. Numerical examples 
5. Numerički primjeri
Performance of the method is tested by means of the following plate problems. 
Učinkovitost metode ispitana je pomoću sljedećih problema za ploče.
In all applications, a quarter of a rectangular plate is used, as shown in Figure 4. 
U svim je primjerima upotrijebljena četvrtina pravokutne ploče, kao što je prikazano na slici 4.
In addition, all layers are assumed to have the same thickness and orthotropic material properties. 
Osim toga, za sve se slojeve pretpostavlja jednaka debljina i jednaka ortotropna svojstva materijala.
An orthotropic simply supported thick square plate subjected to uniformly distributed step load is considered. 
Razmatra se ortotropna slobodno oslonjena kvadratna debela ploča pod jednoliko raspodijeljenim opterećenjem.
To select a suitably refined mesh scheme, the static results of the (00) laminated plates are considered using different orders of the mesh scheme. 
Kako bi se odabrala mreža odgovarajuće gustoće, razmatraju se rezultati statičke analize lameliranih ploča (0°) na mrežama s različitim brojem elemenata.
Based on different orders of the mesh scheme, the number of elements increased as shown in the first column of Table 1. 
Povećanje broja elemenata navedeno je u prvom stupcu tablice 1.
Material properties are: 
Svojstva materijala su:
Central displacement (w) and bending moments (Mx, My) of a one-layer laminated plate are computed for the span to 
Za omjer raspona i debljine (parametar debljine) a/h = 5 izračunava se pomak središnje točke (w) i momenti savijanja
thickness ratio (thickness parameter), a/h = 5. 
(Mx, My) jednoslojne lamelirane ploče.
The results are presented in dimensionless form and compared to the existing results shown in the literature. 
Rezultati su prikazani u bezdimenzijskom obliku te su uspoređeni s rezultatima iz literature.
The dimensionless equations of vertical displacement and bending moments are as follows: 
U nastavku su iskazani bezdimenzijski izrazi za vertikalni pomak i momente savijanja:
Convergence test of simply supported one-layer (0°) laminated plate for displacement 
Ispitivanje konvergencije pomaka slobodno oslonjene jednoslojne (0°) ploče
The dimensionless vertical displacement versus the number of elements is shown in Figure 5. 
Odnos između bezdimenzijskog vertikalnog pomaka i broja elemenata prikazan je na slici 5.
The numerical results converge from above and below, depending on the odd and even number of elements. 
Numerički rezultati konvergiraju odozgo i odozdo, ovisno o parnom ili neparnom broju elemenata.
The convergence of shear forces is very similar to the convergence of bending moment and vertical displacement, and so the results are illustrated for vertical displacement only. 
Konvergencija posmičnih sila vrlo je slična konvergenciji momenata savijanja i vertikalnog pomaka, pa su zato rezultati prikazani samo za vertikalni pomak.
It can be seen from Table 1 that the present model yields results comparable to those given in [35, 36]. 
Iz tablice 1. se može vidjeti da su rezultati ovdje prikazanog modela podudarni s rezultatima iz [35, 36].
Dimensionless vertical displacement ( ) and bending moment values ( 
Bezdimenzionalni vertikalni pomak ( ) i vrijednosti momenata savijanja (
) of simply supported thick plate for different number of 
) za slobodno oslonjenu debelu ploču s različitim
elements 
brojem elemenata
Although the method used in the paper presents good results for the bending moment and shear force values, vertical displacement results are presented in this example for comparison. 
Iako su metodom prikazanom u radu postignuti dobri rezultati za moment savijanja i posmičnu silu, u ovom su primjeru za usporedbu dani rezultati vertikalnog pomaka.
As can be seen in the table, the results of the presented procedure agree well with those available in the literature, and so the methodology of this study is considered to be reliable. 
Kao što se vidi iz tablice, rezultati dobiveni prikazanim postupkom u dobroj su sukladnosti s rezultatima iz literature, pa se stoga metodologija prikazana u ovom istraživanju može smatrati pouzdanom.
In addition, it is clearly shown that the increasing value of aspect ratio of the plate a/b always decreases the deflection. 
Osim toga, jasno je pokazano da se progib uvijek smanjuje pri povećanju vrijednosti omjera raspona (a/b) ploče .
Dimensionless vertical displacement ( ) values of clamped thick plate with different h/a and a/b ratios 
Vrijednosti vertikalnog bezdimenzijskog pomaka ( ) upete debele ploče za razne odnose h/a i a/b
The solution of the symmetric cross-ply (0°/90°/90°/0°) laminated plate with two opposite edges simply supported and other two edges clamped under uniformly distributed load is considered. 
Razmatra se rješenje simetrične križno uslojene (0˚/90˚/90˚/0˚) ploče s dva suprotna slobodno oslonjena ruba, dok su preostala dva ruba upeta, pod jednoliko raspodijeljenim opterećenjem.
A uniform mesh with 169 elements (13x13) is used in a quarter of the plate. 
Na jednoj četvrtini ploče upotrijebljena je pravilna mreža s 169 elemenata (13x13).
The corresponding material properties are: 
Pripadna su svojstva materijala:
Ex/Ey=1; 10 (individually considered); Gxy = Gxz= 0,5Ey; Gyz = 0,2Ey; μxy = μxz = μyz = 0,3 
Ex/Ey=1; 10 (analizirani pojedinačno); Gxy = Gxz= 0,5Ey; Gyz = 0,2Ey; μxy = μxz = μyz = 0,3
The results of the dimensionless central displacement, bending moment, and shear force values are computed using the dimensionless equations as given in Eq. (23) for different span to thickness ratios of the plate a/h, as presented in Table 4. 
Bezdimenzijski pomak središnje točke, momenti savijanja i posmične sile izračunani su prema bezdimenzijskim izrazima (23) za razne odnose raspona i debljine (a/h) ploče, kako je prikazano u tablici 4.
It can be seen from the results that the increasing value of the Ex/Ey ratio always increases the values of Mx and Qx and decreases the values of My and Qy. 
Iz rezultata se vidi da se s povećanjem odnosa Ex/Ey povećavaju i vrijednosti Mx i Qx dok se vrijednosti My i Qy smanjuju.
An orthotropic simply supported cross-ply (0°/90°/0°) laminated square plate subjected to uniformly distributed load is considered. 
Razmatra se ortotropna slobodno oslonjena križno uslojena (0°/90°/0°) kvadratna ploča pod jednoliko raspodijeljenim opterećenjem.
A uniform mesh with 225 elements (15x15) is used in a quarter of the plate. 
Na četvrtini ploče upotrijebljena je pravilna mreža sa 225 elemenata (15x15).
The dimensionless vertical displacement ( ) of the (0°/90°/0°) laminated thick plate, with various values of thickness parameter a/h, are compared with previously published results [2, 37], as shown in Table 2. 
Bezdimenzijski vertikalni pomaci ( ) uslojene debele ploče (0°/90°/0°), s različitim vrijednostima parametra debljine a/h, uspoređeni su s prije objavljenim rezultatima [2, 37], kao što je prikazano u tablici 2.
As can be seen in the table, the results obtained using the present mixed finite element method closely agree with available solutions. 
Kao što se u tablici može vidjeti , rezultati dobiveni pomoću ovdje prikazane metode mješovitih konačnih elemenata izrazito su podudarni s dostupnim rješenjima.
In general, the bending moment and shear force results are also characterized by good accuracy, but the results are presented for vertical displacement only. 
Općenito uzevši, rezultati za moment savijanja i posmičnu silu također su izrazito točni, ali treba napomenuti da su prikazani samo rezultati vertikalnog pomaka.
The dimensionless equation of vertical displacement can be presented as follows: 
Bezdimenzijski je izraz za vertikalni pomak:
Dimensionless vertical displacement ( ) values of simply supported thick plate for different values of thickness parameter, a/h 
Vrijednosti bezdimenzionalnog vertikalnog pomaka ( ) za slobodno oslonjenu debelu ploču i za različite vrijednosti parametra debljine, a/h
A clamped symmetric cross-ply (0°/90°/0°) laminated orthotropic thick plate subjected to uniform load (p0) is considered. 
Razmatra se upeta simetrična križno uslojena (0°/90°/0°) ortotropna debela ploča pod jednoliko raspodijeljenim opterećenjem (p0).
The dimensionless vertical displacement ( ) value of the laminated thick plate is calculated using a uniform mesh with 169 elements (13x13) for a quarter plate. 
Vrijednost bezdimenzijskog vertikalnog pomaka ( ) lamelirane debele ploče izračunana je za četvrtinu ploče pomoću pravilne mreže sastavljene od 169 elemenata (13x13).
The dimensionless equation for this example is as follows: 
Bezdimenzijski je izraz za pomak u ovom primjeru:
The material properties are: 
Svojstva materijala su:
E1 = 20,83 x 106 psi(per square inch), E2 = 10,94 x 106 psi, G12 = 6,1 x 106 psi, G13 = 3,71 x 106 psi, G23 = 6,19 x 106 psi, μ12 = μ13 = μ23= 0,44, where is 1 psi = 6,895 · 103 [N/m2] 
E1 = 20,83 x 106 psi (po kvadratnom inču), E2 = 10,94 x 106 psi, G12 = 6,1 x 106 psi, G13 = 3,71 x 106 psi, G23 = 6,19 x 106 psi, μ12 = μ13 = μ23= 0,44, pri čemu je 1 psi = 6,895 · 103 [N/m2]
Present 
Ovo istraživanje
The static analysis of symmetric cross-ply laminated composite thick plates is carried out using a mixed finite element method. 
Statička analiza simetričnih križno uslojenih kompozitnih debelih ploča provedena je pomoću mješovitih konačnih elemenata.
Based on the Gâteaux differential approach, a new functional is developed for the laminated composite thick plates. 
Primjenom Gâteauxove derivacije razvijen je novi funkcional za lamelirane kompozitne debele ploče.
Employing the developed mixed finite element formulation, symmetric cross-ply laminated composite thick plates, with a varying number of layers, are taken as examples to numerically evaluate the variation of geometrical and material parameters, and boundary conditions with the moment and transverse force resultants and displacements. 
Na temelju formulacije razvijene mješovite metode konačnih elemenata, kao primjeri su upotrijebljene simetrične križno uslojene kompozitne debele ploče s različitim brojem slojeva kako bi se numerički ocijenila varijacija geometrijskih i materijalnih parametara te rubni uvjeti s pomacima i rezultantama momenata i poprečnih sila.
Comparison between results obtained in the present study and those obtained in literature reveals that they are in good agreement. 
Usporedbom rezultata dobivenih u ovom radu s rezultatima iz literature ustanovljeno je da između njih postoji dobra podudarnost.
Results in the numerical examples confirm the validity and efficiency of the present analysis. 
Rezultati numeričkih primjera potvrđuju valjanost i djelotvornost ove analize.
Based on theoretical considerations and numerical assessments of the 
Sljedeći se zaključci mogu izvesti
developed mixed finite element, the following remarks can be made: - A new functional has been constructed for cross-ply laminated composite thick plates through a systematic procedure based on the Gâteaux Differential. 
iz teorijskih postavki i numeričkih analiza novorazvijenog mješovitog konačnog elementa: - Za križno uslojene kompozitne debele ploče izveden je novi funkcional primjenom sustavnog postupka utemeljenpg na Gâteauxovoj derivaciji.
The functional has eight independent variables. 
Funkcional ima deset neovisnih varijabli.
- In addition, geometric (essential) and dynamic (natural) boundary conditions have been obtained. 
- Osim toga određeni su geometrijski i prirodni rubni uvjeti.
- A special mixed finite element program, with eight independent field variables, has been written. 
- Razvijen je i poseban program za mješovite konačne elemente s osam neovisnih varijabli .
Since the first derivatives of the variables exist in the functional, the conforming element formulation for the shape function N must satisfy the C0(r) continuity only. 
Kako funkcional sadrži samo prve derivacije varijabli, odgovarajuća formulacija elemenata za funkciju oblika N mora udovoljavati samo zahtjevima C°(r).
- The developed mixed finite element is capable of predicting displacements and internal forces directly without any mathematical operation. 
- Razvijenim mješovitim konačnim elementom mogu se izravno izračunati pomaci i unutarnje sile bez dodatnih matematičkih operacija.
The mixed finite element is not affected by shear locking. 
Mješoviti konačni element nije podložan zaostajanju posmika.
Dimensionless vertical displacement, bending moment and shear force values of two opposite edges simply supported and other two edges clamped, under uniformly distributed load for different a/h ratios 
Vrijednosti bezdimenziojskog vertikalnog pomaka, momenata savijanja i posmičnih sila za dva suprotna slobodno oslonjena ruba i za preostala dva upeta ruba, pri jednoliko raspodijeljenom opterećenju, za razne odnose a/h
Appendix I 
Prilog I
Operator form of field equations Q = Ly-f: 
Operatorski je oblik diferencijalnih jednadžbi Q = Ly-f:
Submatrices for quadrilateral element are: 
Podmatrice četverokutnog elementa su:
An alternative method for analysing buckling of laminated composite beams 
Alternativna metoda za analizu izvijanja lameliranih kompozitnih greda
Gâteaux differential, composite straight beams, mixed finite element formulation, buckling analysis, crossply laminated composite 
Gâteauxova derivacija, ravne kompozitne grede, mješovita formulacija konačnih elemenata, analiza izvijanja, križno uslojeni lamelirani kompozit
Alternativna metoda za analizu izvijanja lameliranih kompozitnih greda 
An alternative method for analysing buckling of laminated composite beams
U radu su primjenom Gâteauxove derivacije izvedena dva nova funkcionala kako bi se provela analiza izvijanja simetričnih križno uslojenih ravnih lameliranih kompozitnih greda. 
In this study, two new functionals are derived based on Gâteaux differential in order to analyse buckling of symmetric cross-ply laminated composite straight beams.
Funkcional sadrži četiri nezavisne varijable, a to su progib, rotacija, poprečna sila i moment savijanja za Timošenkovu gredu, te dvije nezavisne varijable, progib i moment savijanja, za Euler-Bernoullijevu gredu. 
The functional comprises four independent variables, i.e. deflection, rotation, shear force and bending moment for Timoshenko beam, and two independent variables, deflection and bending moment, for Euler-Bernoulli beam.
Mogućnost primjene i učinkovitost predložene mješovite formulacije konačnih elemenata prikazana je na nekoliko numeričkih primjera. 
The application possibilities and performance of the proposed mixed finite element formulation are presented on several numerical examples.
Ključne riječi: 
Key words:
Gâteauxova derivacija, ravne kompozitne grede, mješovita formulacija konačnih elemenata, analiza izvijanja, križno uslojeni lamelirani kompozit 
Gâteaux differential, composite straight beams, mixed finite element formulation, buckling analysis, crossply laminated composite
Istanbul Technical University, Turkey gokhanozkn@yahoo.com 
Tehničko sveučilište u Istanbulu, Turska gokhanozkn@yahoo.com
Gülçin Tekin, MCE 
Gülçin Tekin, dipl.ing.građ.
Composite materials are extensively used in different branches of engineering because of their high strength/weight and stiffness/weight ratios. 
Kompozitni se materijali često koriste u mnogim područjima inženjerstva zbog povoljnih odnosa između čvrstoće i težine te krutosti i težine.
Mechanical behaviour of composite materials has been of interest to many researchers [1-3]. 
Mnogi se znanstvenici bave istraživanjem mehaničkog ponašanja kompozitnih materijala [1-3].
The issue of understanding buckling behaviour of laminated structural components has been gaining considerable attention in recent times. 
U novije se vrijeme sve više usmjerava na ponašanje lameliranih konstrukcijskih elemenata pri izvijanju.
Buckling analysis of symmetric cross-ply laminated composite beams is conducted in this paper. 
U ovom se radu provodi analiza izvijanja simetričnih križno uslojenih lameliranih kompozitnih greda.
Many calculation models can be found in literature for buckling analysis of laminated composite beams. 
U literaturi su dostupni brojni proračunski modeli za analizu izvijanja lameliranih kompozitnih greda.
Analytical or numerical methods have been employed to find appropriate solutions. 
Znanstvenici provode analitičke ili numeričke metode u svrhu pronalaženja odgovarajućih rješenja.