natgillin/translations-raw huggingface dataset:
Numerical comparison shows that the results of this research agree well with research results presented in relevant literature.
Numeričkom je usporedbom utvrđeno da se rezultati ovog ispitivanja dobro podudaraju s rezultatima objavljenima u relevantnoj literaturi.
2. Field Equations and functional
2. Diferencijalne jednadžbe i funkcional
A symmetric laminated composite straight beam in a Cartesian coordinate system, denoted by xyz as shown in Figure 1, is considered for a length L, thickness h, and width b.
Slika 1. prikazuje simetričnu lameliranu ravnu kompozitnu gredu u Kartezijevom koordinatnom sustavu, omeđenu osima xyz, s oznakama duljine L, debljine h i širine b.
Geometry of symmetric laminated straight beam
Geometrija ravne simetrične lamelirane grede
Consider a uniformly loaded bar, with positive directions of internal forces as shown in Figure 2, where qz is the uniformly distributed axial load, N is the axial force, H is the horizontal force, and M is the bending moment.
Razmotrimo primjer jednoliko opterećenog štapa s pozitivnim smjerovima unutarnjih sila kako je prikazano na slici 2., gdje je qz jednoliko raspoređeno uzdužno opterećenje, N je uzdužna sila, H je horizontalna sila, a M je moment savijanja.
Figure 2. a) Initial straight state and buckled state of a bar; b) Freebody segment of a bar
Slika 2: a) Početno ravno stanje i izvijeno stanje štapa; b) Slobodni odsječak štapa
Based on the Euler-Bernoulli beam theory assumption, the moment equilibrium equation about the upper end of the bar, when qz is set to zero, can be obtained as follows,
Ako usvojimo pretpostavku Euler-Bernoullijevej teorije greda, tada se jednadžba ravnoteže momenta na gornjem kraju štapa, za slučaj da je qz jednak nuli, može dobiti kako slijedi,
and the bending moment becomes:
a moment savijanja postaje:
(2) where v is the displacement along the y-axis and Dx is the bending rigidity of the beam, expressed as follows:
(2) gdje je v pomak duž osi y, a Dx je krutost grede na savijanje, što je izraženo na sljedeći način:
By considering the Timoshenko beam theory, field equations can be given in the following form:
Prema Timošenkovoj teoriji greda, diferencijalne jednadžbe mogu se iskazati kako slijedi:
where T is the conservative shear force, W is the cross-sectional rotation about x-axis and Cy is the shear rigidity of the beam given by:
gdje je T poprečna sila, W je rotacija poprečnog presjeka oko osi x, a Cy je posmična krutost grede koja se izražava na sljedeći način:
In Eqs. (3) and (8), k represents the number of plies, I is the moment of inertia and A is the deformed cross sectional area.
U izrazima (3) i (8), k predstavlja broj slojeva, I je moment inercije, a A je deformirana površina poprečnog presjeka.
where θ is the angle between the global axis and the local axis of each layer, and the value of the angle θ is either 00 or 900 for cross-ply laminate.
gdje je θ kut između globalne osi i lokalne osi svakog sloja, a vrijednost kuta θ iznosi 00 ili 900 za križno uslojeni laminat.
Cij is the ply stiffness and it is given in terms of engineering constant of the kth ply as:
Cij je krutost sloja koja se izražava pomoću inženjerske konstante k-tog sloja kao:
where Ei is the Young's modulus in the ith material direction, Gij is the shear modulus of the i-j plane, and uij is the Poisson ratio.
gdje je Ei Young-ov modul u itom smjeru materijala, Gij je modul posmika ravnine i-j, a uij je Poisson-ov koeficijent.
Dynamic boundary conditions are given by Eq. (14), and geometric boundary conditions are given by Eq. (15):
Prirodni rubni uvjeti dani su izrazom (14), a geometrijski rubni uvjeti izrazom (15).
In Eqs. (14) and (15), the quantities with hat are given at the boundary points, while quantities without hat are unknowns.
U izrazima (14) i (15), veličine s "kapicom" su vrijednosti na rubu, dok su veličine bez kape nepoznanice.
After the field equations are written in operator form as Q = Lu - f, where L represents the coefficient matrix, u represents unknown vectors (u = {v, M} for Euler-Bernoulli beams, and u = {v, W, T, M} for Timoshenko beams), and f represents the load vector.
Zatim se diferencijalne jednadžbe iskazuju pomoću operatora Q = Lu - f, gdje L predstavlja matricu koeficijenta, u predstavlja nepoznate vektore (u = {v, M} za Euler-Bernoullijeve grede, a u = {v, W, T, M} za Timošenkove grede), a f predstavlja vektor opterećenja.
A necessary and sufficient condition for making the operator Q a potential is given by [26].
Potreban i dovoljan uvjet da bi operator Q postao potencijal iskazan je u [26].
After the potentiality requirement is satisfied, the functional corresponds to the field equations and can be expressed as:
Nakon što se zadovolji zahtjev potencijala, funkcional odgovara diferencijalnim jednadžbama i može se izraziti kako slijedi:
Here, s is a scalar quantity and the parentheses <,> indicate the inner product.
Ovdje je vrijednost s skalar, a zagrade <,> označavaju skalarni umnožak.
Considering the field equations of the laminated composite straight Euler-Bernoulli beam with boundary conditions, the matrix form of the Eq. (16) can be given by:
Ako promatramo diferencijalne jednadžbe kao za ravnu lameliranu kompozitnu Euler-Bernoullijevu gredu s rubnim uvjetima, tada se matrični oblik jednadžbe (16) može prikazati na sljedeći način:
After Eq. (16) is implemented, the following expression is derived
Nakon primjene jednadžbe (16), može se izvesti sljedeći izraz:
After integration and simplification, the explicit form of the functional corresponding to the field equations of the laminated composite straight Euler-Bernoulli beam is obtained as:
Nakon integracije i pojednostavljenja, dobiva se eksplicitni oblik funkcionala koji odgovara diferencijalnim jednadžbama ravne lamelirane kompozitne Euler-Bernoullijeve grede:
parentheses with subscripts ε and s indicate the geometric and the dynamic boundary conditions, respectively.
. Zagrade s indeksima ε i σ označavaju geometrijske i prirodne
The same mathematical procedure (i.e., applied for the functional of Euler-Bernoulli beam) is repeated for derivation of the functional corresponding to the laminated composite straight Timoshenko beams.
Isti matematički postupak (tj. postupak primijenjen za funkcional Euler-Bernoullijeve grede) ponavlja se za derivaciju funkcionala koji odgovara ravnim lameliranim kompozitnim Timošenkovim gredama.
For the sake of simplicity, the mathematical details for generating the functional of Timoshenko beams are not given here, but the interested reader is referred to [27].
Radi jednostavnosti, u ovom se radu ne prikazuje detaljni postupak za izvođenje funkcionala Timošenkovih greda, a čitatelji koje taj postupak zanima upućuju se na rad [27].
The explicit expression of the functional of the laminated composite straight Timoshenko beams can be obtained in a similar manner as follows:
Eksplicitni izraz funkcionala za ravne lamelirane kompozitne Timošenokove grede može se dobiti na sličan način, i to kako slijedi:
3. Finite element formulation
3. Formulacija konačnih elemenata
If a one dimensional element with a parent shape function is used as follows:
Ako se jednodimenzionalni element s funkcijom oblika koristi na sljedeći način:
where the adopted notation is illustrated in Figure 3, and Le represents the length of an element (Le = zj - zi), then all unknown variables of the functional given by Eq. (17) for Euler-Bernoulli beams are expressed in terms of interpolation functions as follows:
gdje su usvojene oznake prikazane na slici 3., i gdje Le predstavlja duljinu elementa (Le = zj - zi), tada su sve nepoznate varijable funkcionala iz izraza (17) za Euler-Bernoullijeve grede iskazane u vidu interpolacijskih funkcija kako slijedi:
Two node one-dimensional element After the functional is extremized with respect to the nodal variables, the following element matrix is derived explicitly as given by Eq. (22):
Jednodimenzionalni element s dva čvora Nakon što se odrede ekstremi funkcionala u odnosu na varijable čvorova, pristupa se izvođenju matrice elementa prema izrazu (22):
All unknown variables of the functional given by Eq. (18) for Timoshenko beams are expressed by shape functions as follows:
Sve nepoznate varijable funkcionala iskazane u jednadžbi (18) za Timošenkove grede izražavaju se pomoću funkcija oblika kako slijedi:
When the functional is extremized with respect to nodal variables, the element matrix of Timoshenko beams is obtained as:
Nakon što se odrede ekstremi funkcionala u odnosu na varijable čvora, dobiva se sljedeća matrica elemenata Timošenkove grede:
4. Buckling analysis
4. Analiza izvijanja
An alternate form of buckling analysis problem can be given by:
Postoji i alternativni način rješavanja problema izvijanja:
where {F} defines the stress resultant vector, {v} denotes the displacement vector, [K] is the system matrix, and [Kg] is the geometric matrix of the system.
gdje {F} definira vektor rezultirajućih naprezanja, {v} označava vektor pomaka, [K] je matrica sustava, a [Kg] je geometrijska matrica sustava.
Elimination of {F} from Eq. (28) yields the following equation:
Ako se iz izraza (28) izbaci {F}, dobiva se izraz:
The eigenvalues, Pcr, for which the determinant of coefficient matrix from Eq. (29) is zero, lead to the critical buckling loads.
Svojstvene vrijednosti, Pcr, za koje je determinanta matrice koeficijenata iz izraza (29) jednaka nuli, dovode do kritičnih opterećenja izvijanjem.
Example 1: Composite laminated Euler-Bernoulli beam
Primjer 1: Lamelirana kompozitna Euler-Bernoullijeva
Data related to the beam:
Podaci vezani za gredu:
Length: L = 0,25 m
Duljina: L = 0,25 m
Width: b = 0,01 m
Širina: b = 0,01 m
Thickness of the beam: h = 0,001 m.
Visina grede: h = 0,001 m.
The beam is characterized by 20 equal length beam finite elements.
Gredu karakterizira dvadeset štapnih konačnih elemenata jednake duljine.
Different numerical examples are employed in order to test performance of the proposed method.
Za ispitivanje predložene metode koriste se razni numerički primjeri.
First three modes of buckling loads (Newton "N"), Pcr1, Pcr2 and Pcr3 are compared with those available in the literature [9] as shown in Tables 1-3, using different boundary conditions.
Prva tri oblika izvijanja (izraženo u njutnu "N"), Pcr1, Pcr2 i Pcr3 uspoređuju se s odgovarajućim vrijednostima iz literature [9], a ta je usporedba prikazana u tablicama 1. do 3. za razne rubne uvjete.
It can be seen from Tables 1-3 that the results of this study agree well with literature information, and so the methodology presented in this study is considered to be reliable.
Iz tablica 1. do 3. može se vidjeti da su rezultati dobiveni u ovom istraživanju podudarni s podacima iz literature, pa se stoga može zaključiti da je metodologija prikazana u ovom radu pouzdana.
Comparing Tables 1-3, the beam with
Uspoređujući tablice 1.
Critical buckling loads (in [N]) of symmetric laminated composite beam with two ends hinged
Kritične sile izvijanja (u [N]) simetrične lamelirane kompozitne zglobno oslonjene grede
Mode
Oblik izvijanja
Present research
ovo istraživanje
Research [9]
istraživanje [9]
two ends hinged exhibits minimum critical buckling loads, while the beam with two ends clamped exhibits maximum critical buckling load.
do 3. možemo vidjeti da su kritične sile izvijanja najmanje za zglobno oslonjenu gredu, a najveće za obostrano upetu gredu.
The buckling loads of (00), (00/900/900/00) and (00/900/900/900/900/00) beams are very high when compared to (900), (900/00/00/900) and (900/900/00/00/900/900) beams.
Vrijednosti sila izvijanja greda sa smjerom pružanja vlakana u sloju (00), (00 / 900 / 900 / 00) i (00 / 900 / 900 / 900 / 900 / 00) izuzetno su visoke u usporedbi s gredama (900), (900 / 00 / 00 / 900) i (900 / 900 / 00 / 00 / 900 / 900).
Here, a degree (°) refers to layer fibre orientation.
Primjer 2: Lamelirana kompozitna Euler-Bernoullijeva
Length: L = 10 m
Širina: b = 1 m
Width: b = 1 m
Visina grede: h = 1 m.
Thickness of the beam: h = 1 m.
Greda je podijeljena na dvadeset konačnih elemenata jednake duljine.
In this example, the dimensionless critical buckling load of the first three mode
U ovom se primjeru bezdimenzijske kritične sile izvijanja za prva tri oblika uspoređuju s odgovarajućim
Critical buckling loads (in [N]) of symmetric laminated composite beam with two ends clamped
Kritične sile izvijanja (u [N]) simetrične lamelirane kompozitne obostrano upete grede
Critical buckling loads (in [N]) of symmetric laminated composite beam with one end clamped and another end hinged
Kritične sile izvijanja (u [N]) simetrične lamelirane kompozitne grede s jednim upetim, a drugim zglobnim spojem
Present research Research [2]
cr1 cr2 cr3
cr1 cr2 cr3
Oblik izvijanja
Present research Research [2]
ovo istraživanje istraživanje [2]
Dimensionless critical buckling load (Pcr) of symmetric laminated beam with H-H
Bezdimenzijska kritična sila izvijanja (Pcr) za simetričnu lameliranu gredu - rubni uvjeti H-H
of material properties on critical buckling load of the first three mode of composite laminated beams.
U tablici 7. prikazani su različiti materijali lameliranih kompozitnih greda kako bi se analizirala svojstva materijala pri kritičnoj sili izvijanja i to za prva tri oblika.
Dimensionless critical buckling loads of composite laminated Euler-Bernoulli beams with (00/900/900/00) lamination are presented in Table 8.
U tablici 8. prikazana je bezdimenzijska kritična sila izvijanja lameliranih kompozitnih Euler-Bernoullijevih greda sa slojevima (00 / 900 / 900 / 00).
Material properties Table 8.
Svojstva materijala
Dimensionless critical buckling load (Pcr) of symmetric cross
podacima iz literature [2].
The dimensionless equation of critical buckling load is:
Jednadžba bezdimenzijske kritične sile izvijanja je:
Tables 4 to 6 present dimensionless critical buckling loads for hinged-hinged (H-H), clamped-clamped (C-C) and clamped-free (C-F) boundary conditions.
Tablice 4. do 6. prikazuju bezdimenzijske kritične sile izvijanja za sljedeće rubne uvjete: zglob-zglob (H-H), upeto-upeto (C-C) i upeto - slobodni rub (C-F).
Six lamination types are presented.
Prikazano je šest tipova uslojenosti.
As seen in the tables, the present model yielded results that in good agreement with the results given in [2].
Kao što se može vidjeti iz tablica, ovim se modelom postižu rezultati koji su u skladu s rezultatima prikazanima u radu [2].
The cross sectional properties of the beams with two ends hinged are given as follows: the length of the beam is L = 10 m, the width of the beam is b = 1 m and the thickness of the beam is h = 1 m.
U nastavku se prikazuju svojstva poprečnog presjeka greda sa zglobnim krajevima: duljina grede iznosi L = 10 m, širina grede iznosi b = 1 m, a visina grede iznosi h = 1 m.
Dimensionless critical buckling load (Pcr) of symmetric laminated beam with C-C
Bezdimenzijska kritična sila izvijanja (Pcr) za simetričnu lameliranu gredu - rubni uvjeti C-C
Dimensionless critical buckling load (Pcr) of symmetric laminated beam with C-F
Bezdimenzijska kritična sila izvijanja (Pcr) za simetričnu lameliranu gredu - rubni uvjeti C-F
Graphite epoxy (Grap)
Grafit/ epoksidna smola (Grap)
Kevlar epoxy (Kev)
Kevlar/ epoksidna smola (Kev)
ply laminated Euler-Bernoulli beam (00/900/900/00) for different material properties
Bezdimenzijska kritična sila izvijanja (Pcr) simetrične križno uslojene Euler-Bernoullijeve grede (00 / 900 / 900 / 00) za razna svojstva materijala
Example 4:Composite laminated Timoshenko beam In this example, cross-ply laminated Timoshenko beams with (00), (900) and (900/00/00/900) lamination are considered.
Primjer 4: Lamelirana kompozitna Timošenkova greda U ovom se primjeru razmatraju križno uslojene Timošenkove grede sa sljedećim rasporedom slojevima (00), (900) i (900/00/00/900).
The beam is characterized by 20 equal length beam finite elements.
Greda je modelirana s dvadeset konačnih elemenata jednake duljine.
This example is considered to test the method proposed in this research for Timoshenko beam.
U ovom se primjeru ispituje metoda predložena u ovom istraživanju za Timošenkovu gredu.
Dimensionless critical buckling loads of the symmetric cross-ply laminated beam with different boundary conditions are compared with those available in the literature.
Bezdimenzijska kritična sila izvijanja simetrične križno uslojene grede pri raznim rubnim uvjetima uspoređuje se sa silama dobivenim u drugim istraživanja.
The comparison of results is given in Table 9.
Usporedba rezultata prikazana je u Tablici 9.
It can be seen from Table 9 that the results of this study agree well with literature information, and so the methodology presented in this study is considered reliable.
Iz tablice 9. može se vidjeti da su rezultati dobiveni u ovom istraživanju podudarni s podacima iz literature, pa se stoga može zaključiti da je metodologija prikazana u ovom radu pouzdana.
The beam with one end clamped and another end free exhibits the minimum critical buckling load as compared to the boundary conditions C-C and H-H.
Kod konzolne grede, zabilježena je najmanja kritična sila izvijanja u usporedbi s rubnim uvjetima C-C i H-H.
Example 5: Composite laminated Timoshenko beam
Primjer 5: Lamelirana kompozitna Timošenkova greda
The corresponding material parameters are:
Odgovarajući parametri materijala su:
Dimensionless critical buckling loads of the cross-ply laminated beam with different boundary conditions are compared to [11] as presented in Table 10.
Bezdimenzijska kritična sila izvijanja križno uslojene grede pri raznim rubnim uvjetima uspoređuje se u tablici 10. sa silama dobivenim u istraživanju [11].
It can be seen in Table 10 that the results obtained in this study show good agreement with literature.
Iz te se tablice može vidjeti da su rezultati postignuti u okviru ovog istraživanja u skladu s rezultatima iskazanima u literaturi.
In addition, the critical buckling load of the laminated beam increases with an increase in the length-to-thickness ratio as expected.
Osim toga, kao što se moglo i očekivati, kritična sila izvijanja lamelirane grede povećava se s povećanjem odnosa duljine prema visini.
Furthermore, the beam with C-F exhibits the minimum critical buckling load whereas the beam with C-C exhibits the maximum critical buckling load.
Nadalje, kod grede s C-F zabilježena je najmanja kritična sila izvijanja dok je kod grede s C-C zabilježena najveća kritična sila izvijanja.
Dimensionless critical buckling load (Pcr) of symmetric cross-ply laminated beam (00/900/00) for different lengthto-thickness ratios
Bezdimenzijska kritična sila izvijanja (Pcr) simetrične križno uslojene grede (00 / 900 / 00) za razne omjere L/h
The buckling analysis of symmetric cross-ply laminated composite beams is carried out using the MFE method.
U radu je provedena analiza izvijanja simetričnih križno uslojenih kompozitnih greda pomoću mješovite metode konačnih elemenata.
Two different beam theories, i.e. the composite laminated Euler-Bernoulli beam theory and the composite laminated Timoshenko beam theory, are considered.
Primjenjuju se dvije različite teorije greda: Euler-Bernoullijeva teorija lameliranih kompozitnih greda i Timošenkova teorija lameliranih kompozitnih greda.
Two new functionals for the buckling analysis of symmetric cross-ply laminated composite Euler-Bernoulli and Timoshenko beams are established based on the Gâteaux differential approach.
Primjenom Gâteauxove derivacije, izvedena su dva nova funkcionala za analizu izvijanja simetričnih križno uslojenih kompozitnih EulerBernoullijevih i Timošenkovih greda.
Employing the developed finite element formulation, symmetric cross-ply laminated composite beams including different number of layers are considered as examples for numerical evaluation of the effects of the beam theories,
Primjenom novorazvijene formulacije konačnih elemenata, razmatraju se primjeri simetričnih križno uslojenih kompozitnih greda s različitim
Boundary condition
Rubni uvjet
(900/00/00/900) Present research Research [2] Present research Research [2] Present research Research [2]
(900/00/00/900) ovo istraživanje istraživanje [2] ovo istraživanje istraživanje [2] ovo istraživanje istraživanje [2]
Dimensionless critical buckling load (Pcr) of symmetric cross-ply laminated beam L/h = 10 with different boundary conditions
Bezdimenzijska kritična sila izvijanja (Pcr) simetrične križno uslojene grede L/h = 10 pri različitim rubnim uvjetima
L/h Boundary condition
L/h Rubni uvjet
variation of geometrical and material parameters, and boundary conditions, on the critical buckling load.
brojem slojeva kako bi se numerički ocijenili utjecaji različitih teorija greda, variranja geometrijskih i materijalnih parametara, te rubnih uvjeta, na kritičnu silu izvijanja.
Comparison between results obtained in this study and literature results reveals that they are in good agreement.
Usporedbom rezultata dobivenih u ovom istraživanju s rezultatima iz literature ustanovljeno je njihovo dobro podudaranje.
Results given in numerical examples point to the validity and efficiency of the presented formulation.
Rezultati dobiveni na temelju numeričkih primjera upućuju na valjanost i djelotvornost prikazane formulacije.
The following main conclusions may be drawn: - Overestimation of beam stiffness with the Euler-Bernoulli beam theory leads to the critical buckling load being larger when compared to the Timoshenko beam theory.
Iz istraživanja se mogu izvući sljedeći zaključci: - Precjenjivanje krutosti greda kod analize na temelju EulerBernoullijeve teorije greda uzrokuje veću kritičnu silu izvijanja nego što je to slučaj kod Timošenkove teorije greda.
- Considering the same types of lamination (00), (900) and (900/00/00/900), it has been demonstrated that the laminated Euler-Bernoulli and Timoshenko beams with two ends clamped have the maximum critical buckling load.
- Kod iste vrste uslojavanja (00), (900) i (900 / 00 / 00 / 900) ustanovljena je najveća kritična sila izvijanja kod lameliranih Euler-Bernoullijevih i Timošenkovih greda s obostrano upetim krajevima u odnosu na ostale uvjete oslanjanja.
- The difference between the critical buckling loads of the Euler-Bernoulli and Timoshenko beam theories decreases with an increase in the length to thickness ratio.
- Razlika između kritičnih sila izvijanja određenih na temelju Euler-Bernoullijeve i Timošenkove teorije greda smanjuje se s porastom odnosa između duljine i visine grede.
- The critical buckling loads of the symmetric laminated Euler-Bernoulli beam and Timoshenko beam differ from one another, and the difference between the values predicted by the two theories becomes more significant for the beam with (900/00/00/900) lamination.
- Kritična sila izvijanja kod simetrične lamelirane EulerBernoullijeve grede razlikuje se od sile za Timošenkovu gredu, a razlika između vrijednosti tih dviju teorija značajnija je kod grede s uslojenošću (900 / 00 / 00 / 900).
- The MFE formulation is developed in this study for analysing buckling of symmetric cross-ply laminated composite straight Euler-Bernoulli and Timoshenko beams, utilizing new functionals through a systematic procedure based on the Gâteaux differential.
- U ovom je istraživanju razvijena mješovita formulacija konačnih elemenata u svrhu analize izvijanja simetričnih križno uslojenih ravnih kompozitnih Euler-Bernoullijevih i Timošenkovih greda, pri čemu se koriste novi funkcionali prema sustavnom postupku temeljenom na Gâteauxovoj derivaciji.
The Gâteaux differential approach is reliable and very simple to implement, and its results are reasonably accurate for engineering purposes (i.e. this approach is capable of predicting displacements and internal forces directly without requiring mathematical operations).
Pristup utemeljen na Gâteauxovoj derivaciji pouzdan je i lako provediv, a odgovarajući rezultati dovoljno su točni za inženjerske potrebe (tj. ovim se pristupom mogu izravno predvidjeti pomaci i unutarnje sile, bez primjene matematičkih operacija).
The same approach can be applied for the buckling and vibration analysis of cross-ply and/or angle-ply laminated composite beams by considering higherorder shear deformation theories.
Isti se postupak može primijeniti na analizu izvijanja i titranje križno uslojenih i/ili koso uslojenih kompozitnih greda, razmatrajući teorije višeg reda za uzimanje u obzir posmičnih deformacija.