natgillin/translations-raw huggingface dataset:
A new functional with boundary condition terms is developed for the analysis.
Za potrebe analize razvijen je novi funkcional sa članovima za rubne uvjete.
A four-node serendipity element with eight degrees of freedom is used.
Primijenjen je serendipity element sa četiri čvora i osam stupnjeva slobode.
To ensure the accuracy of the developed mixed finite element (MFE), numerical results are compared with those of the published solutions.
Kako bi se potvrdila točnost novorazvijenoga mješovitog konačnog elementa , numerički su rezultati uspoređeni s objavljenim rješenjima.
It has been proven that the developed MFE is highly accurate and efficient.
Utvrđeno je da je novorazvijeni element izuzetno točan i djelotvoran.
Key words: cross-ply laminate, composite thick plates, mixed finite element, static analysis, Gâteaux differential
Ključne riječi: križno uslojeni laminat, kompozitne ploče debljeg presjeka, mješoviti konačni element, statička analiza, Gâteauxova derivacija
Alternativno rješenje za križno uslojene kompozitne debele ploče
Alternative solution for cross-ply laminated composite thick plates
U radu se opisuje analiza ortotropnih linearnoelastičnih križno uslojenih kompozitnih debelih ploča, pri čemu se u obzir uzima zajedničko djelovanje poprečnih posmičnih i normalnih naprezanja.
The structural analysis of orthotropic and linear elastic cross-ply laminated composite thick plates is made by considering complete effects of transverse shear and normal stresses.
Rješenja se dobivaju primjenom metoda funkcionalne analize u kombinaciji s Gâteauxovom derivacijom.
The solutions are obtained using the functional analysis method in conjunction with the Gâteaux differential.
Za potrebe analize razvijen je novi funkcional sa članovima za rubne uvjete.
A new functional with boundary condition terms is developed for the analysis.
Primijenjen je serendipity element sa četiri čvora i osam stupnjeva slobode.
A four-node serendipity element with eight degrees of freedom is used.
Kako bi se potvrdila točnost novorazvijenoga mješovitog konačnog elementa , numerički su rezultati uspoređeni s objavljenim rješenjima.
To ensure the accuracy of the developed mixed finite element (MFE), numerical results are compared with those of the published solutions.
Utvrđeno je da je novorazvijeni element izuzetno točan i djelotvoran.
It has been proven that the developed MFE is highly accurate and efficient.
Ključne riječi: križno uslojeni laminat, kompozitne ploče debljeg presjeka, mješoviti konačni element, statička analiza, Gâteauxova derivacija
Key words: cross-ply laminate, composite thick plates, mixed finite element, static analysis, Gâteaux differential
Nurten Ateş, MSc.
Nurten Ateş, dipl.ing.građ.
Istanbul Technical University, Turkey nurtenates@hotmail.com
Gülçin Tekinu, dipl.ing.građ.
Structural components made with composite materials are extensively being used in various engineering applications due to their high strength/weight and stiffness/weight ratios.
Komponente konstrukcija izrađene od kompozitnih materijala sve se više primjenjuju u raznim područjima zbog povoljnih odnosa između čvrstoće i težine te krutosti i težine.
Mechanical behaviour of composite materials has been of interest to many researchers [1-2].
Mehaničko ponašanje kompozitnih materijala predmet je brojnih istraživanja [1-2].
A considerable focus has recently been placed on understanding the response of laminated structural components.
U posljednje se vrijeme sve više stavlja naglasak na analizu odziva lameliranih konstrukcijskih komponenata.
Many calculation models for the analysis of laminated composite plates are available in the literature.
U literaturi su opisani mnogi proračunski modeli koji se primjenju za analizu lameliranih kompozitnih ploča.
The authors of the paper [3] analysed orthotropic plates based on three theories (Kirchhoff, Reissner-Mindlin and Higher-order theory) of the segmentation method for the solution of orthotropic rectangular plates simply supported on two opposite edges and with any other boundary conditions on the other two ends.
Autori rada [3] analiziraju ortotropne ploče na temelju triju teorija (Kirchhoffova teorija, Reissner-Mindlinova teorija i teorija višeg reda) segmentacijskim postupkom rješavanja ortotropnih pravokutnih ploča slobodno oslonjenih na dva suprotna ruba te s bilo kakvim drugim uvjetima na preostala dva ruba.
Static behaviour of orthotropic rectangular thick plates is examined in [4] using initial functional methods to analyse uniformly loaded simply supported square plates for various thickness and material properties.
U radu [4] analizira se statično ponašanje ortotropnih pravokutnih debelih ploča, pri čemu se za analizu jednoliko opterećenih slobodno oslonjenih kvadratnih ploča različitih debljina i materijalnih svojstava rabe inicijalne funkcionalne metode .
The mixed finite element method is used in [5] for the bending problem of clamped anisotropic / orthotropic / isotropic plates with variable/ constant thickness.
Metoda mješovitih konačnih elemenata primjenjuje se u [5] za rješavanje problema savijanja upetih anizotropnih / ortotropnih / izotropnih ploča promjenjive/konstantne debljine.
A mesh-free method is used in [6] for the static and free vibration analysis of shear deformable laminated composite plates with various side to thickness ratios, material coefficients, boundary conditions or ply angles.
U radu [6] upotrijebljena je bezmrežna metoda za statičku analizu i analizu slobodnih oscilacija posmično deformabilnih lameliranih kompozitnih ploča različitih odnosa raspona i debljine, te različitih koeficijenata materijala, rubnih uvjeta ili kutova pružanja slojeva.
Field variables were represented by a set of properly scattered nodes, and the element connectivity was satisfied without any requirement.
Varijable su predstavljene skupom prikladno raspoređenih čvorova, a uvjet spoja elemenata zadovoljen je bez dodatnih zahtjeva.
A penalty technique, which performs with higher efficiency than Lagrange multipliers and the orthogonal transformation method, was used to impose essential boundary conditions.
Za zadovoljavanje geometrijskih rubnih uvjeta primijenjen je postupak kaznenih funkcija koji je djelotvorniji od Lagrangeovih multiplikatora i metode ortogonalne transformacije.
A global-local theory with the three-dimensional elasticity correction for stress and deformation analysis of multilayered and sandwich plates is presented in [7].
U radu [7] prikazana je globalnalokalna teorija s trodimenzionalnom korekcijom elastičnosti za analizu naprezanja i deformacije višeslojnih i sendvič ploča.
Based on a Galerkintype finite element procedure, the governing equations were solved employing second-order Lagrangian elements.
Na temelju Galerkinove formulacije konačnih elemenata riješene su pripadne jednadžbe, pri čemu su upotrijebljeni Lagrangeovi elementi drugog reda.
A simple mixed quadrilateral 3D plate element is proposed in [8].
U radu [8] predložen je jednostavan mješoviti četverostrani trodimenzionalni pločasti element.
It is particularly suitable for stress resultant recovery in the case of coarse meshes, with six degrees of freedom at each node for the linear static and buckling analysis of plate.
Element, namijenjen linearnostatičkoj analizi i analizi izbočivanja ploča, ima šest stupnjeva slobode u svakom čvoru, što je pogodno za obnavljanje naprezanja u slučaju grubih mreža.
A new curvature tensor is developed in [9] for the composite laminated Reddy plate based on the new modified couple stress theory.
Novi tenzor zakrivljenosti razvijen je u radu [9] za lameliranu kompozitnu ploču tipa Reddy, na temelju nove modificirane teorije spregnutih naprezanja .
A simply supported cross-ply laminated plate subjected to loads of sinus function was solved by applying the developed plate model.
Slobodno oslonjena križno uslojena kompozitna ploča podvrgnuta djelovanju naprezanja u obliku sinusne funkcije riješena je primjenom novorazvijenog modela ploče.
A simple C° isoperimetric finite element formulation is presented in [10].
Jednostavna formulacija izoparametarskog konačnog elementa prikazana je u radu [10].
It is based on the refined higher-order shear deformation theory for the bending and free vibration analysis of composite and sandwich laminated plates.
Ta se formulacija temelji na poboljšanoj teoriji posmične deformacije višega reda koja se upotrebljava za analizu savijanja i slobodnog osciliranja lameliranih kompozitnih i sendvič-ploča.
The effects of the degree of orthotropy, length to thickness ratio and plate aspect ratio upon the fundamental frequencies, are discussed.
Razmatra se utjecaj stupnja ortotropnosti, odnos raspona prema debljini te odnos raspona u dva smjera ploče na svojstvene frekvencije.
The presented method gives good results by just using four degrees of freedom in each node.
Predloženom metodom postižu se dobri rezultati iako svaki čvor ima samo četiri stupnja slobode.
A considerable research has been conducted for the analysis of laminated composite plates based on various shear deformation theories.
U današnje se vrijeme provode opsežne analize lameliranih kompozitnih ploča i pritom se primjenjuju razne teorije posmične deformacije.
A simple first order shear deformation theory for the bending and free vibration analysis of simply supported antisymmetric cross-ply and angle-ply laminated composite plates is proposed in [12].
U radu [12] predlaže se jednostavna teorija posmične deformacije prvoga reda kao podloga za analizu savijanja i slobodnog osciliranja slobodno oslonjenih antisimetričnih križno i kutno uslojenih kompozitnih ploča.
Unlike the existing firstorder shear deformation theory, the presented one contains only four unknowns and has strong similarities with the classical plate theory.
Za razliku od postojeće teorije posmične deformacije prvog reda, teorija prikazana u tom radu sadrži samo četiri nepoznanice i u velikoj je mjeri podudarna s teorijom klasičnih ploča.
Equations of motion and boundary conditions were derived from Hamilton's principle.
Jednadžbe gibanja i rubni uvjeti izvedeni su iz Hamiltonovog pravila.
Analytical solutions were obtained for simply supported antisymmetric cross-ply and angle-ply laminates.
Za slobodno oslonjene antisimetrične križno i kutno uslojene laminate dobivena su analitička rješenja.
The formulation of an enriched plate element according to the first order shear deformation theory is presented in [13].
U radu [13] prikazana je formulacija obogaćenoga pločastog elementa prema teoriji posmične deformacije prvog reda.
To take into account plates of several geometrical shapes, an arbitrary quadrilateral laminate was mapped onto a basic square laminate.
Kako bi se u obzir uzele ploče raznih geometrijskih oblika, na temeljni kvadratni laminat nanesen je proizvoljni četverokutni laminat.
The static and buckling distribution of transverse shear stresses according to a new inverse hyperbolic shear deformation theory is studied in [14].
U radu [14] analizira se izvijanje i statička raspodjela poprečnih posmičnih naprezanja prema novoj teoriji inverzne hiperbolične posmične deformacije.
The proposed theory based upon the shear strain shape function yields non-linear distribution of transverse shear stresses and also satisfies traction-free boundary conditions.
Predloženom teorijom koja se temelji na funkciji oblika posmične deformacije dobiva se nelinearna raspodjela poprečnih posmičnih naprezanja, a također se ispunjavaju i prirodni rubni uvjeti bez sila.
A new trigonometric shear deformation theory for the finite element analysis of thick multilayered plates is presented in [15].
U radu [15] prikazuje se nova trigonometrijska teorija posmične deformacije koja se upotrebljava za analizu konačnih elemenata višeslojnih debelih ploča.
The discrete element chosen is a four-node quadrilateral with seven degrees of freedom at each node.
Odabrani element je četveročvorni četverokut sa sedam stupnjeva slobode u svakom čvoru.
A new trigonometric higher order shear deformation theory, which accounts for an adequate distribution of the transverse shear strain throughout the plate thickness, and tangential stress-free boundary conditions on the plate boundary surface, is developed in [16] for isotropic and composite laminated and sandwich plates.
Nova trigonometrijska teorija posmične deformacije višega reda, kojom se u obzir uzima adekvatna raspodjela poprečne posmične deformacije po debljini ploče, s rubnim uvjetima bez tangencijalnih naprezanja po rubu ploče, razvijena je u radu [16] za izotropne i kompozitne lamelirane i sendvič-ploče.
A new higher order shear deformation theory, which accounts for an adequate distribution of the transverse shear strain throughout the plate thickness, and tangential stress-free boundary conditions on the plate boundary surface, is presented in [17] for elastic composite/sandwich plates and shells.
Nova trigonometrijska teorija posmične deformacije višega reda, kojom se u obzir uzima adekvatna raspodjela poprečne posmične deformacije po debljini ploče, s tangencijalnim rubnim uvjetima bez naprezanja po rubu ploče, prikazana je u radu [17] za elastične kompozitne/ sendvič-ploče i ljuske.
The principle of virtual work was employed to derive the governing equations and boundary conditions.
Za izvod pripadnih jednadžbi i rubnih uvjeta primijenjen je princip vritualnih radova.
The equations were solved via a Navier-type, closed form solution.
Rješenje je u zatvorenom obliku Navierovog tipa.
The solution leads to simple infinite series for stresses and displacements in flexure, forced vibration, and to the closed-form characteristic equations for free vibration and buckling problems.
Program za proračun konačnim elementima razvijen je pomoću serendipity elementa sa sedam stupnjeva slobode u svakom čvoru.
Static behaviour of moderately thick anti-symmetrical angle-ply laminated shear-flexible clamped
U radu [19] analizira se savijanje, osciliranje i izvijanje slobodno oslonjenih ortotropnih pravokutnih debelih
plates subjected to uniform distributed loads is examined in [20] using analytical and finite element techniques.
ploča i laminata na temelju trodimenzionalnoga linearnog rješenja prema teoriji elastičnosti za male pomake.
A fournode quadrilateral element was used for the finite element solution, and Navier approach based on Reissner-Mindlin shear deformation theory was used for analytic investigation.
Rješenjem su dobiveni jednostavni beskonačni redovi za naprezanja i pomake pri savijanju i prisilnom osciliranju, te karakteristične jednadžbe u zatvorenom obliku za probleme slobodnog osciliranja i izvijanja.
A new functional for the static analysis of symmetric cross-ply laminated thick plates is constructed in this research using a systematic procedure based on the Gâteaux differential.
U radu [20] primjenjuju se analitički postupci i metoda konačnih elemenata za određivanje statičkog ponašanja antisimetričnih kutno uslojenih posmičnofleksibilnih spojenih ploča srednje debljine pod utjecajem jednoliko raspodijeljenog opterećenja.
To the best of the authors' knowledge, the functional of laminated composite thick plates based on the mixed finite element method has not as yet been reported.
Za rješenje konačnim elementima upotrijebljen je četverostrani element s četiri čvora, dok je za analitička istraživanja primijenjen Navierov pristup utemeljen na Reissner-Mindlinovoj teoriji posmične deformacije.
The application of an efficient and simple method for the static analysis of symmetric cross-ply laminated composite thick plates will be presented in this paper based on the Gâteaux differential approach.
U ovom je istraživanju izveden novi funkcional za statičku analizu simetričnih križno uslojenih debelih ploča, pri čemu je primijenjen sustavan postupak utemeljen na Gâteauxovoj derivaciji.
The Gâteaux differential method is a more powerful, reliable and efficient variational tool compared to the widely accepted Hellinger-Reissner (HR) and Hu-Washizu (HW) variational principles, and it has many advantages over these principles.
Prema spoznajama autora, do sada još nije opisan funkcional lameliranih kompozitnih debelih ploča koji se temelji na metodi mješovitih konačnih elemenata.
Recently, Aköz and his co-workers have successfully employed the Gâteaux differential method to construct the functional that can be applied to a variety of problems [24-29].
Metoda Gâteauxove derivacije snažnije je, pouzdanije i djelotvornije varijacijsko sredstvo od prihvaćenijih varijacijskih načela Hellinger-Reissnera (HR) i Hu-Washizua (HW), te se odlikuje brojnim prednostima u odnosu na ta načela.
For the sake of simplicity, some significant advantages of the Gâteaux differential approach can briefly be summarized as follows: - All field equations can be enforced to the functional systematically.
U novije su vrijeme Aköz i njegovi suradnici uspješno upotrijebili metodu Gâteauxove derivacije za razvijanje funkcionala koji se može primijeniti u rješavanju brojnih problema [24-29].
The proposed mixed finite element formulation is implemented using the FORTRAN software.
Za programsku realizaciju mješovitog konačnog elementa upotrijeljen je programski jezik FORTRAN.
This comprehensive parametric study is performed for evaluating the influences of the lamination scheme, number of layers, side-to-thickness ratio, boundary conditions, and geometrical and material properties variations on the displacement and stress components.
Ovo opsežno parametarsko istraživanje provedeno je kako bi se odredilo na koji način na komponente pomaka i naprezanja utječu načini uslojenosti, broj slojeva, odnos između raspona i debljine, rubni uvjeti i varijacije geometrijskih i materijalnih svojstava.
The validity of the presented mixed finite element formulation is demonstrated by comparing the results with those available in the literature.
Valjanost prikazane formulacije mješovitoga konačnog elementa dokazana je uspoređivanjem dobivenih rezultata s odgovarajućim rezultatima iz literature.
Numerical comparison shows that the results obtained in this study agree well with those available in the literature.
Numerička usporedba pokazuje da su rezultati prikazani u ovom istraživanju podudarni s rezultatima iz literature.
2. Field equations
2. Diferencijalne jednadžbe
Figure 1. k-layers cross-ply laminated composite plate
Križno uslojena kompozitna ploča sa k slojeva
A Cartesian coordinate system (x, y, and z) is defined at the central axis of the plate.
U srednjoj ravnini ploče definiran je Kartezijev koordinatni sustav (x, y, z).
Field equations of thick plates can be found in [33] and, referring to this study, field equations of symmetric cross-ply laminated composite plates can be written as:
Diferencijalne jednadžbe debele ploče prikazane su u [33], a za potrebe ovog istraživanja diferencijalne jednadžbe za simetrične križno uslojene kompozitne ploče mogu se iskazati kako slijedi:
where, q is the uniform load applied on the top surface of the laminated plate.
gdje je q jednoliko opterećenje naneseno na gornju površinu lamelirane ploče.
The flexural rigidity matrix, Dij, in the field equations is defined as:
Matrica krutosti na savijanje, Dij, u diferencijalnim jednadžbama definirana je kako slijedi:
Internal forces
Unutarnje sile
For orthotropic materials of each layer of laminated composite plates, the two-dimensional stress-strain equations for the kth layer can be written, under assumption of plane stress, as follows:
Dvodimenzionalne jednadžbe naprezanja-deformacije za sloj k, pod pretpostavkom ravninskog naprezanja, mogu se za ortotropne materijale svakog sloja lameliranih kompozitnih ploča izraziti kako slijedi:
where σ1, σ2, t12 are the stresses and e1, e2, g12 are the linear strain components referred to the principal material coordinates of a layer.
gdje su σ1, σ2, t12 naprezanja dok su e1, e2, g12 komponente linearne deformacije koje se odnose na glavne materijalne koordinate sloja.
are elastic constants of the kth layer.
su elastične konstante sloja k.
with Ei being the Young's modulus in the ith material direction, μij is the Poisson ratio, and Gij, is the shear modulus of the i-j plane.
gdje je Ei modul elastičnosti u materijalnom smjeru i, μij je Poissonov koeficijent, a Gij je posmični modul u ravnini i-j.
Constitutive equations for the kth orthotropic layer are transformed to the laminate coordinates (x, y, z) as follows:
Konstitucijske jednadžbe ortotropnog sloja k transformirane su u koordinate laminata (x, y, z) na sljedeći način:
where are the transformed elastic constants or stiffness matrix with respect to the laminate coordinates (x, y, z) [2].
gdje su transformirane elastične konstante matrice krutosti u odnosu na koordinate laminata (x, y, z) [2].
The elements of the matrix can be written as follows:
Elementi matrice mogu se iskazati kako slijedi:
where θ is the angle between the global axis and the local x-axis of each layer.
gdje je θ kut između globalne osi i lokalne osi x svakog sloja.
3. The Gâteaux differential and functional
3. Gâteauxova derivacija i funkcional
Field equations of composite laminated thick plates can be written in operator form as:
Diferencijalne jednadžbe lameliranih kompozitnih debelih ploča mogu se u operatorskom obliku izraziti kao:
Geometric boundary conditions
geometrijski rubni uvjeti
The Gâteaux derivative of an operator is defined as:
Gâteauxova derivacija operatora definira se kao
(10) where t is a scalar.
(10) gdje je t skalar.
A necessary and sufficient condition that the operator Q be a potential [34] is:
Nuždan je i dovoljan uvjet da operator Q bude potencijal [34]:
(11) where the inner products are shown in parentheses.
(11) gdje simboli < i > označavaju skalarni umnožak .
After satisfying the requirement, the functional corresponding to the field equations is obtained as:
Uz udovoljavanje tog zahtjeva, funkcional koji odgovara diferencijalnim jednadžbama jest:
(12) where s is a scalar quantity.
(12) gdje je s skalarna veličina.
The explicit form of the functional corresponding to the field equations of the cross-ply laminated composite thick plates is obtained as:
Eksplicitni oblik funkcionala koji odgovara diferencijalnim jednadžbama za križno uslojene kompozitne debele ploče debljeg presjeka jest:
The quantities with hat are known values at the boundaries.
Veličine s "kapicom" poznate su vrijednosti na rubu.
The parentheses with subscripts e and σ indicate geometric and dynamic boundary conditions, respectively.
Zagrade s indeksima e i σ označavaju geometrijske i prirodne rubne uvjete.
Explicit expressions of boundary conditions are:
Rubni uvjeti se eksplicitno mogu izraziti kako slijedi:
4. Finite element formulation
4. Formulacija konačnog elementa
(15) is used, all unknown variables of the functional are expressed in terms of interpolation functions, as shown below
(15) sve se nepoznate varijable funkcionala mogu izraziti pomoću interpolacijskih funkcija, primjerice:
(16) where n is the number of finite element nodes.
(16) gdje je n broj čvorova konačnog elementa.
Four-node serendipity element with eight degrees of freedom at each node is used.
Upotrijebljen je serendipity element s četiri čvora i osam stupnjeva slobode na svakom čvoru.
Rectangular master element
Osnovni pravokutni element
After substituting the above definitions into Eq. (13), the element matrix and load vector is derived explicitly:
Uvrštavanjem navedenih definicija u jednadžbu (13) dobivaju se matrica elementa i vektor opterećenja:
The explicit form of the quadrilateral element submatrices [k1], [k2], [k3], and the operator form of field equations, are given in Appendix I.
U prilogu 1 prikazan je eksplicitni oblik podmatrica četverokutnog elementa [k1], [k2], [k3] i operatorski oblik diferencijalnih jednadžbi.
5. Numerical examples
5. Numerički primjeri
Performance of the method is tested by means of the following plate problems.
Učinkovitost metode ispitana je pomoću sljedećih problema za ploče.
In all applications, a quarter of a rectangular plate is used, as shown in Figure 4.
U svim je primjerima upotrijebljena četvrtina pravokutne ploče, kao što je prikazano na slici 4.
In addition, all layers are assumed to have the same thickness and orthotropic material properties.
Osim toga, za sve se slojeve pretpostavlja jednaka debljina i jednaka ortotropna svojstva materijala.