A product-sum number is a natural number N which can be expressed as both the product and the sum of the same set of numbers.

N = a1 × a2 × ... × ak = a1 + a2 + ... + ak

For example, 6 = 1 × 2 × 3 = 1 + 2 + 3.

For a given set of size, k, we shall call the smallest N with this property a minimal product-sum number. The minimal product-sum numbers for sets of size, k = 2, 3, 4, 5, and 6 are as follows.
```
k=2: 4 = 2 × 2 = 2 + 2
k=3: 6 = 1 × 2 × 3 = 1 + 2 + 3
k=4: 8 = 1 × 1 × 2 × 4 = 1 + 1 + 2 + 4
k=5: 8 = 1 × 1 × 2 × 2 × 2 = 1 + 1 + 2 + 2 + 2
k=6: 12 = 1 × 1 × 1 × 1 × 2 × 6 = 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 6
```

Hence for 2 ≤ k ≤ 6, the sum of all the minimal product-sum numbers is 4+6+8+12 = 30; note that 8 is only counted once in the sum.

Your task is to write an algorithm to compute the sum of all minimal product-sum numbers where 2 ≤ k ≤ n.

Courtesy of ProjectEuler.net

Difficulty: MEDIUM_HARD
Tags: Mathematics

Starter code:
def productsum(n):
	

Solutions:
def productsum(n):
	pass

def productsum(kmax):

	def prodsum2(p, s, c, start):
		k = p - s + c
		if k < kmax:
			if p < n[k]:
				n[k] = p
			for i in range(start, kmax // p * 2 + 1):
				prodsum2(p * i, s + i, c + 1, i)
	kmax += 1
	n = [2 * kmax] * kmax
	prodsum2(1, 1, 1, 2)
	return sum(set(n[2:]))


def prodsum(prod, sum_, fact, start):
	k = prod - sum_ + fact
	if k < n:
		if prod < mins[k]:
			mins[k] = prod
		for f in range(start, n // prod + 1):
			prodsum(prod * f, sum_ + f, fact + 1, f)
n = 100000
mins = [2 * k for k in range(n)]
prodsum(1, 1, 1, 2)
(unique, sums) = ({0}, [0, 0])
for i in range(2, len(mins)):
	sums.append(sums[-1])
	if mins[i] not in unique:
		sums[-1] += mins[i]
		unique.add(mins[i])
productsum = sums.__getitem__


def productsum(n):
	return sum(set(factors[2:n + 1]))

def _productsum(prod, sum, n, start):
	k = prod - sum + n
	if k > k_max:
		return
	if prod < factors[k]:
		factors[k] = prod
	for i in range(start, 2 * k_max // prod + 1):
		_productsum(prod * i, sum + i, n + 1, i)
k_max = 12000
factors = [2 * k_max] * (k_max + 1)
_productsum(1, 1, 1, 2)


d = {1: 2, 2: 4, 3: 6, 5: 8, 4: 8, 8: 12, 6: 12, 7: 12, 9: 15, 10: 16, 12: 16, 11: 16, 13: 18, 14: 20, 15: 24, 16: 24, 18: 24, 17: 24, 19: 24, 21: 27, 20: 28, 23: 30, 27: 32, 22: 32, 26: 32, 25: 32, 28: 36, 30: 36, 29: 36, 33: 40, 32: 40, 31: 42, 37: 45, 36: 48, 39: 48, 41: 48, 40: 48, 42: 48, 34: 48, 35: 48, 24: 48, 38: 48, 45: 54, 43: 54, 47: 54, 46: 56, 48: 60, 52: 60, 50: 60, 51: 60, 44: 60, 53: 63, 49: 63, 57: 64, 54: 64, 55: 64, 56: 64, 58: 64, 59: 70, 62: 72, 60: 72, 61: 72, 65: 72, 64: 72, 63: 72, 72: 80, 71: 80, 70: 80, 68: 80, 67: 80, 73: 81, 69: 81, 66: 84, 74: 84, 75: 88, 81: 90, 79: 90, 77: 90, 84: 96, 78: 96, 85: 96, 83: 96, 89: 96, 86: 96, 82: 96, 87: 96, 76: 96, 88: 96, 90: 100, 93: 105, 94: 108, 99: 108, 98: 108, 100: 108, 95: 108, 96: 108, 80: 108, 91: 110, 92: 112, 102: 112, 101: 112, 97: 117, 109: 120, 111: 120, 106: 120, 107: 120, 110: 120, 103: 120, 108: 120, 105: 120, 104: 120, 113: 125, 115: 126, 116: 128, 119: 128, 121: 128, 120: 128, 118: 128, 117: 128, 125: 135, 127: 140, 128: 140, 124: 140, 122: 140, 131: 144, 135: 144, 130: 144, 134: 144, 132: 144, 123: 144, 133: 144, 129: 144, 136: 144, 137: 150, 139: 150, 112: 152, 138: 156, 126: 156, 140: 156, 150: 160, 145: 160, 143: 160, 147: 160, 149: 160, 146: 160, 151: 160, 153: 162, 141: 162, 144: 168, 156: 168, 155: 168, 157: 168, 154: 168, 161: 175, 158: 176, 162: 176, 148: 176, 152: 176, 160: 176, 170: 180, 164: 180, 166: 180, 168: 180, 169: 180, 165: 180, 163: 180, 159: 184, 177: 189, 173: 189, 167: 190, 171: 192, 179: 192, 181: 192, 180: 192, 184: 192, 182: 192, 176: 192, 172: 192, 178: 192, 142: 192, 175: 192, 183: 192, 185: 200, 188: 200, 189: 200, 192: 208, 191: 208, 190: 208, 195: 210, 197: 210, 193: 210, 198: 216, 187: 216, 196: 216, 200: 216, 207: 216, 203: 216, 206: 216, 186: 216, 204: 216, 194: 216, 201: 216, 202: 216, 205: 216, 199: 216, 212: 224, 213: 224, 211: 224, 209: 224, 208: 224, 114: 228, 217: 234, 215: 234, 222: 240, 216: 240, 219: 240, 229: 240, 226: 240, 221: 240, 223: 240, 220: 240, 210: 240, 218: 240, 224: 240, 228: 240, 225: 240, 227: 240, 230: 240, 233: 243, 214: 248, 237: 250, 236: 252, 239: 252, 238: 252, 234: 252, 232: 252, 240: 252, 235: 252, 247: 256, 245: 256, 242: 256, 244: 256, 248: 256, 246: 256, 243: 256, 241: 260, 249: 264, 231: 264, 257: 270, 259: 270, 251: 270, 253: 270, 255: 270, 252: 272, 250: 272, 254: 280, 263: 280, 260: 280, 266: 280, 262: 280, 267: 280, 261: 280, 275: 288, 273: 288, 268: 288, 271: 288, 264: 288, 270: 288, 277: 288, 269: 288, 274: 288, 272: 288, 265: 288, 256: 288, 278: 288, 276: 288, 279: 288, 281: 297, 288: 300, 284: 300, 287: 300, 280: 300, 286: 300, 282: 300, 283: 306, 285: 306, 290: 308, 289: 308, 258: 312, 294: 312, 293: 312, 291: 312, 292: 312, 295: 312, 297: 315, 301: 315, 309: 320, 308: 320, 306: 320, 298: 320, 310: 320, 305: 320, 302: 320, 299: 320, 304: 320, 307: 320, 296: 320, 314: 324, 300: 324, 303: 324, 312: 324, 313: 324, 311: 330, 320: 336, 324: 336, 318: 336, 323: 336, 315: 336, 322: 336, 321: 336, 317: 336, 316: 336, 319: 342, 325: 343, 174: 348, 335: 350, 331: 350, 329: 350, 333: 351, 336: 352, 327: 352, 326: 352, 332: 352, 337: 352, 340: 360, 345: 360, 341: 360, 347: 360, 339: 360, 348: 360, 338: 360, 334: 360, 344: 360, 343: 360, 349: 360, 346: 360, 342: 360, 361: 375, 353: 375, 355: 378, 359: 378, 351: 378, 363: 378, 365: 378, 352: 380, 356: 380, 370: 384, 368: 384, 372: 384, 367: 384, 369: 384, 364: 384, 373: 384, 371: 384, 360: 384, 357: 384, 362: 384, 330: 384, 374: 384, 366: 384, 375: 384, 376: 392, 358: 392, 377: 392, 380: 396, 378: 396, 379: 396, 328: 396, 387: 400, 383: 400, 384: 400, 388: 400, 386: 400, 393: 405, 381: 405, 385: 405, 389: 405, 354: 408, 397: 416, 398: 416, 399: 416, 395: 416, 394: 416, 400: 420, 404: 420, 392: 420, 390: 420, 405: 420, 396: 420, 402: 420, 406: 420, 382: 420, 401: 425, 415: 432, 421: 432, 420: 432, 412: 432, 407: 432, 411: 432, 414: 432, 410: 432, 416: 432, 408: 432, 417: 432, 413: 432, 418: 432, 391: 432, 419: 432, 403: 432, 409: 432, 422: 432, 423: 440, 425: 441, 428: 448, 424: 448, 426: 448, 433: 448, 431: 448, 429: 448, 430: 448, 436: 448, 434: 448, 435: 448, 432: 448, 437: 450, 427: 450, 441: 462, 443: 462, 438: 468, 350: 468, 448: 468, 449: 468, 445: 468, 450: 468, 446: 468, 451: 476, 452: 476, 461: 480, 447: 480, 456: 480, 453: 480, 454: 480, 462: 480, 465: 480, 467: 480, 459: 480, 468: 480, 460: 480, 464: 480, 458: 480, 463: 480, 457: 480, 455: 480, 469: 480, 466: 480, 442: 484, 473: 486, 471: 486, 475: 486, 477: 495, 486: 500, 470: 500, 485: 500, 482: 500, 478: 500, 483: 504, 439: 504, 489: 504, 490: 504, 472: 504, 487: 504, 491: 504, 481: 504, 476: 504, 480: 504, 479: 504, 484: 504, 488: 504, 503: 512, 501: 512, 494: 512, 497: 512, 499: 512, 492: 512, 495: 512, 502: 512, 496: 512, 500: 512, 498: 512, 509: 525, 493: 525, 504: 528, 510: 528, 506: 528, 505: 528, 474: 528, 511: 528, 508: 528, 512: 528, 517: 539, 513: 540, 507: 540, 514: 540, 522: 540, 526: 540, 520: 540, 518: 540, 516: 540, 524: 540, 519: 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13680, 13648: 13680, 13610: 13680, 13638: 13680, 13596: 13680, 13636: 13680, 13649: 13680, 13641: 13680, 13608: 13680, 13633: 13680, 13627: 13680, 13650: 13680, 13600: 13680, 13645: 13680, 13618: 13680, 13646: 13680, 13644: 13680, 13622: 13680, 13635: 13680, 13626: 13680, 13598: 13680, 13604: 13680, 13643: 13680, 13602: 13680, 13629: 13680, 13590: 13680, 13653: 13689, 13657: 13689, 13663: 13718, 13679: 13720, 13670: 13720, 13658: 13720, 13659: 13720, 13655: 13720, 13688: 13720, 13671: 13720, 13677: 13720, 13683: 13720, 13682: 13720, 13652: 13720, 13685: 13720, 13694: 13720, 13676: 13720, 13691: 13720, 13672: 13720, 13690: 13720, 13667: 13720, 13654: 13720, 13664: 13720, 13695: 13720, 13665: 13720, 13689: 13720, 13651: 13728, 13680: 13728, 13674: 13728, 13666: 13728, 13687: 13728, 13681: 13728, 13678: 13728, 13656: 13728, 13692: 13728, 13686: 13728, 13675: 13728, 13668: 13728, 13684: 13728, 13660: 13728, 13673: 13728, 13693: 13728, 13662: 13728, 13699: 13728, 13661: 13728, 13698: 13728, 13696: 13728, 13697: 13728, 13669: 13728, 13713: 13750, 13707: 13750, 13719: 13750, 13723: 13750, 13703: 13750, 13705: 13760, 13704: 13760, 13706: 13760, 13702: 13760, 13700: 13760, 13708: 13760, 13733: 13770, 13701: 13770, 13741: 13770, 13737: 13770, 13717: 13770, 13725: 13770, 13721: 13770, 13735: 13770, 13731: 13770, 13729: 13770, 13739: 13770, 13727: 13770, 13709: 13770, 13715: 13770, 13722: 13776, 13710: 13776, 13720: 13776, 13712: 13776, 13716: 13776, 13718: 13776, 13711: 13776, 13724: 13776, 13714: 13776, 13743: 13794, 13751: 13794, 13753: 13794, 13742: 13800, 13752: 13800, 13759: 13800, 13747: 13800, 13757: 13800, 13749: 13800, 13736: 13800, 13745: 13800, 13748: 13800, 13755: 13800, 13765: 13800, 13750: 13800, 13730: 13800, 13760: 13800, 13758: 13800, 13734: 13800, 13744: 13800, 13754: 13800, 13761: 13800, 13763: 13800, 13746: 13800, 13762: 13800, 13756: 13800, 13764: 13800, 13726: 13800, 13783: 13824, 13793: 13824, 13779: 13824, 13785: 13824, 13768: 13824, 13770: 13824, 13799: 13824, 13790: 13824, 13789: 13824, 13738: 13824, 13795: 13824, 13780: 13824, 13777: 13824, 13787: 13824, 13792: 13824, 13796: 13824, 13775: 13824, 13788: 13824, 13791: 13824, 13772: 13824, 13803: 13824, 13807: 13824, 13774: 13824, 13776: 13824, 13797: 13824, 13784: 13824, 13773: 13824, 13804: 13824, 13781: 13824, 13800: 13824, 13786: 13824, 13778: 13824, 13732: 13824, 13805: 13824, 13794: 13824, 13801: 13824, 13769: 13824, 13782: 13824, 13740: 13824, 13767: 13824, 13798: 13824, 13802: 13824, 13766: 13824, 13771: 13824, 13728: 13824, 13808: 13824, 13806: 13824, 13809: 13824, 13817: 13851, 13813: 13851, 13821: 13851, 13820: 13860, 13810: 13860, 13812: 13860, 13814: 13860, 13818: 13860, 13826: 13860, 13822: 13860, 13828: 13860, 13825: 13860, 13816: 13860, 13832: 13860, 13830: 13860, 13811: 13860, 13824: 13860, 13815: 13860, 13833: 13860, 13819: 13860, 13827: 13860, 13834: 13860, 13829: 13860, 13831: 13872, 13823: 13872, 13835: 13888, 13843: 13888, 13846: 13888, 13841: 13888, 13840: 13888, 13845: 13888, 13838: 13888, 13842: 13888, 13836: 13888, 13839: 13888, 13844: 13888, 13869: 13915, 13874: 13920, 13855: 13920, 13877: 13920, 13862: 13920, 13881: 13920, 13847: 13920, 13875: 13920, 13868: 13920, 13871: 13920, 13873: 13920, 13870: 13920, 13859: 13920, 13848: 13920, 13858: 13920, 13876: 13920, 13861: 13920, 13879: 13920, 13850: 13920, 13864: 13920, 13851: 13920, 13866: 13920, 13849: 13920, 13878: 13920, 13852: 13920, 13865: 13920, 13863: 13920, 13880: 13920, 13853: 13920, 13867: 13920, 13857: 13920, 13872: 13920, 13885: 13923, 13856: 13932, 13860: 13932, 13854: 13936, 13895: 13950, 13899: 13950, 13903: 13950, 13907: 13950, 13887: 13950, 13897: 13950, 13905: 13950, 13889: 13950, 13891: 13950, 13837: 13952, 13893: 13959, 13929: 13965, 13917: 13965, 13921: 13965, 13913: 13975, 13901: 13981, 13919: 13984, 13884: 13984, 13920: 13984, 13915: 13984, 13939: 13984, 13883: 13984, 13934: 13984, 13937: 13984, 13898: 13984, 13906: 13984, 13935: 13984, 13910: 13984, 13928: 13984, 13938: 13984, 13916: 13984, 13925: 13986, 13923: 13986, 13911: 13986, 13931: 13986, 13933: 13986, 13927: 13986, 13894: 13992, 13922: 13992, 13924: 13992, 13904: 13992, 13908: 13992, 13914: 13992, 13918: 13992, 13892: 13992}

def productsum(n):
	return sum({d[i] for i in range(2, n + 1)})


def recurse(p, s, n, start):
	k = n + p - s
	if k > kmax:
		return
	if p < N[k]:
		N[k] = p
	for x in range(start, 2 * kmax // p + 1):
		recurse(p * x, s + x, n + 1, x)
kmax = 12000
N = [3 * kmax] * (kmax + 1)
recurse(1, 0, 0, 2)

def productsum(n):
	return sum(set(N[2:n + 1]))


maxi = 12001
res = [2 * maxi] * maxi

def rec(p, s, c, x):
	k = p - s + c
	if k >= maxi:
		return
	res[k] = min(p, res[k])
	[rec(p * i, s + i, c + 1, i) for i in range(x, 2 * maxi // p + 1)]
rec(1, 1, 1, 2)

def productsum(n):
	return sum(set(res[2:n + 1]))


max_n = 12000
max_factors = 100000
factors = [max_factors] * (max_n + 2)

def prod_sum(prod, sump, index):
	factors[prod - sump] = min(factors[prod - sump], prod)
	for i in range(index, max_n + 2):
		np = prod * i
		ns = sump + i - 1
		if np - ns > max_n:
			break
		prod_sum(np, ns, i)
prod_sum(1, 0, 2)

def productsum(n):
	return sum(list(set(factors[2:n + 1])))


def productsum(n):
	if n < 12:
		kmax = n + 1
	else:
		kmax = n

	def prodsum(p, s, nf, start):
		k = p - s + nf
		if k < kmax:
			if p < n[k]:
				n[k] = p
			for i in range(start, kmax // p * 2 + 1):
				prodsum(p * i, s + i, nf + 1, i)
	if kmax > 12:
		kmax += 1
	n = [2 * kmax] * kmax
	prodsum(1, 1, 1, 2)
	return sum(set(n[2:]))


from functools import reduce
from itertools import combinations_with_replacement
from functools import reduce
from itertools import combinations_with_replacement

def productsum(n):
	if n < 12:
		kmax = n + 1
	else:
		kmax = n

	def prodsum(p, s, nf, start):
		k = p - s + nf
		if k < kmax:
			if p < n[k]:
				n[k] = p
			for i in range(start, kmax // p * 2 + 1):
				prodsum(p * i, s + i, nf + 1, i)
	if kmax > 12:
		kmax += 1
	n = [2 * kmax] * kmax
	prodsum(1, 1, 1, 2)
	return sum(set(n[2:]))