கேள்வி: தொடுகோட்டு நாற்கரம் - தொடுநிலை நாண்கள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: தொடுநாற்கரத்தின் தொடுகோட்டு நீளங்கள் ''e'', ''f'', ''g'', ''h'' எனில், அதன் தொடுநிலை நாண்களின் நீளங்கள்: :\displaystyle k=\frac{2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt{(e+f)(g+h)(e+g)(f+h)}}, :\displaystyle l=\frac{2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt{(e+h)(f+g)(e+g)(f+h)}} இதில், தொடுநாற்கரத்தின் ''a'' = ''e'' + ''f'', ''c'' = ''g'' + ''h'' பக்கங்களை இணைக்கும் நாண் ''k''; ''b'' = ''f'' + ''g'', ''d'' = ''h'' + ''e'' பக்கங்களை இணைக்கும் நாண் ''l''. தொடுநிலை நாண்களின் வர்க்கங்களின் விகிதங்கள் பின்னுள்ளவாறு அமையும்: :\frac{k^2}{l^2} = \frac{bd}{ac}. தொடுநாற்கரத்துக்கு சுற்றுவட்டம் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே (இருமைய நாற்கரமாக) அதன் தொடுநிலை நாண்கள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தானவை. தொடுநாற்கரம் ஒரு பட்டமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அதன் தொடுநிலை நாண்கள் சமநீளமுள்ளவை. தொடுநாற்கரம் ''ABCD'' இன் ''AB'', ''CD'' பக்கங்களுக்கு இடையேயுள்ள இருநடுக்கோட்டைவிட, ''BC'', ''DA'' பக்கங்களுக்கு இடையேயுள்ள இருநடுக்கோடு நீளமானதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, ''AB'', ''CD'' பக்கங்களுக்கு இடையேயுள்ள தொடுநிலை நாணானது ''BC'', ''DA'' பக்கங்களுக்கு இடைப்பட்ட தொடுநிலை நாணைவிட நீளமானது.. தொடு நாற்கரம் ''ABCD'' இல் ''AB'' பக்கத்தின் தொடுநிலை புள்ளி ''W''; ''CD'' பக்கத்தின் மீதான தொடுநிலை புள்ளி ''Y''. மேலும் ''WY'' நாண், ''BD'' மூலைவிட்டத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளி ''M'' எனில்: :\tfrac{BW}{DY} = \tfrac{BM}{DM}Gutierrez, Antonio, "Circumscribed Quadrilateral, Diagonal, Chord, Proportion", [http://gogeometry.com/problem/p152_circumscribed_quadrilateral_diagonal_chord.htm], Accessed 2012-04-09.
கேள்வி: தொடுகோட்டு நாற்கரம் - நான்கு உள்முக்கோணங்களில் பண்பாக்கங்கள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: Image:Chao tangentual quad radii.svg குவிவு நாற்கரம் ''ABCD'' இன் முக்கோணங்கள் ''P'' புள்ளியில் வெட்டிக்கொள்கின்றன. இதனால் நாற்கரம் ஒன்றுக்கொன்று பொதுப்பகுதிகள் இல்லாத ''APB'', ''BPC'', ''CPD'', ''DPA'' ஆகிய நான்கு முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கப்படுகிறது. இந்நாற்கரம் தொடுநாற்கரமாக அமைவதற்கான பண்பாக்கங்கள்: ''APB'', ''BPC'', ''CPD'', ''DPA'' முக்கோணங்களின் உள்வட்ட ஆரங்கள் முறையே ''r''1, ''r''2, ''r''3, ''r''4 எனில் கீழுள்ள முடிவு உண்மையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, தொடுநாற்கரமாக இருக்கும்:. :\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_3}=\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_4}. மேலே தரபட்ட அதே நான்கு முக்கோணங்களின் குத்துக்கோடு (முக்கோணம்) ''h''1, ''h''2, ''h''3, ''h''4 எனில் கீழேயுள்ள முடிவு உண்மையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, தொடுநாற்கரமாக இருக்க முடியும். :\frac{1}{h_1}+\frac{1}{h_3}=\frac{1}{h_2}+\frac{1}{h_4}. அந்நான்கு முக்கோணங்களின் முக்கோணத்தின் உள்வட்டமும் வெளிவட்டங்களும் முறையே ''r'a'', ''r'b'', ''r'c'', ''r'd'' எனில் பின்வரும் முடிவு உண்மையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, தொடுநாற்கரமாகும். :\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_c}=\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_d}. ''APB'', ''BPC'', ''CPD'', ''DPA'' முக்கோணங்களின் சூழ்தொடு வட்டம் முறையே ''R''1, ''R''2, ''R''3, ''R''4 எனில் கீழுள்ள முடிவு உண்மையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, நாற்கரம் ''ABCD'', தொடுநாற்கரமாகும். :R_1+R_3=R_2+R_4. ''APB'', ''BPC'', ''CPD'', ''DPA'' முக்கோணங்களின் உள்வட்ட மையங்கள் ஒரு வட்டநாற்கரத்தை (செங்குத்து மூலைவிட்ட வட்ட நாற்கரம்) அமைத்தால், அமைத்தால் மட்டுமே நாற்கரம் தொடுநாற்கரமாக இருக்கும். இதேபோல மேலுள்ள நான்கு முக்கோணங்களின் வெளிவட்ட மையங்கள் ஒரு வட்ட நாற்கரத்தின் உச்சிகளாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, நாற்கரம் தொடுநாற்கரமாக இருக்கும். தொடுநாற்கரமாக இருப்பதற்கான மற்றுமொரு தேவையானதும் போதுமானதுமான கட்டுப்பாடு: :\frac{a}{\triangle(APB)}+\frac{c}{\triangle(CPD)}=\frac{b}{\triangle(BPC)}+\frac{d}{\triangle(DPA)}, இதில் ∆(''APB'') = முக்கோணம் ''APB'' இன் பரப்பளவு. ''AP'' = ''p''1, ''PC'' = ''p''2, ''BP'' = ''q''1, ''PD'' = ''q''2 எனில், பின்வரும் முடிவு உண்மையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே தொடுநாற்கரமாகும்:. :ap_2q_2 + cp_1q_1 = bp_1q_2 + dp_2q_1 ::: (அல்லது) :\frac{(p_1+q_1-a)(p_2+q_2-c)}{(p_1+q_1+a)(p_2+q_2+c)}=\frac{(p_2+q_1-b)(p_1+q_2-d)}{(p_2+q_1+b)(p_1+q_2+d)} ::: (அல்லது) :\frac{(a+p_1-q_1)(c+p_2-q_2)}{(a-p_1+q_1)(c-p_2+q_2)}=\frac{(b+p_2-q_1)(d+p_1-q_2)}{(b-p_2+q_1)(d-p_1+q_2)}.
கேள்வி: தொடுகோட்டு நாற்கரம் - இருமைய நாற்கரம் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: நாற்கரம் ''ABCD'' இன் பக்கங்களை (''AB'', ''BC'', ''CD'', ''DA'') உள்வட்டம் தொடும் புள்ளிகள் முறையே, ''W'', ''X'', ''Y'', ''Z'' எனில், கீழுள்ள முடிவுகளில் ஏதாவது ஒன்று உண்மையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, நாற்கரம் இரு மைய நாற்கரம் இருக்கும்:. *''WY'', ''XZ'' க்கு செங்குத்து. *AW\cdot CY=BW\cdot DY *\frac{AC}{BD}=\frac{AW+CY}{BX+DZ} முதல் முடிவிலிருந்து நாற்கரம் ''WXYZ'', ஒரு செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரம் என அறியலாம். சமமான தொடர் பக்க நீளங்களுடைய தொடுநாற்கரங்களில், மிக அதிக உள்வட்ட ஆரமுள்ள நாற்கரமே இரு மைய நாற்கரமாக இருக்கும்..