கேள்வி: வகையீடு (கணிதம்) - வரலாறு பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: சார்பு ''y''&nbsp;=&nbsp;''ƒ''(''x'') இல் சாரா மாறி ''x'' இல் ஏற்படும் நுண்ணளவு மாற்றம் ''dx'' ஐப் பொறுத்து ''y'' இல் ஏற்படும் நுண்ணளவு மாற்றம் ''dy'' ஆக, வகையீடு கோட்பிரீட் லைப்னிட்ஸ் முதன்முதலாக அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. அதன் மூலம் ''x'' ஐப் பொறுத்த ''y'' இன் கணநேர மாறுவீதம், அதாவது வகைக்கெழு பின்வருமாறு தரப்பட்டது: : \frac{dy}{dx} இதுவே வகைக்கெழுவிற்கான லைப்னிட்சின் குறியீடாகும். இதில் ''dy'' மற்றும் ''dx'' இரண்டும் அளவில் நுண்ணியளவானவையாக இருந்தாலும் ''dy''/''dx'' இன் மதிப்பு நுண்ணளவினதாக இல்லாமல் ஒரு மெய்யெண்ணாக இருக்கும். லைப்னிட்சின் இந்த நுண்ணளவுகளின் பயன்பாடு பரவலாக விமர்சனத்துக்கு உள்ளானது. லைப்னிட்சின் நுண்ணளவுகள் இல்லாமல் வகையீட்டை வரையறுத்தவர் பிரெஞ்சுக் கணிதவியலாளர் ''அகஸ்டின் லூயிஸ் கோஷி''.For a detailed historical account of the differential, see , especially page 275 for Cauchy's contribution on the subject. An abbreviated account appears in .Cauchy explicitly denied the possibility of actual infinitesimal and infinite quantities , and took the radically different point of view that "a variable quantity becomes infinitely small when its numerical value decreases indefinitely in such a way as to converge to zero" (; translation from ). வேறுபாட்டு ஈவுகளின் எல்லையாக வகைக்கெழு வரையறுக்கப்பட்டு, அதிலிருந்து வகையீடு வரையறுக்கப்பட்டது. :dy = f'(x)\,dx இவ்வரையறையில் ''dy'' மற்றும் ''dx'' முடிவுறு மெய்யெண் மதிப்புகளை எடுக்கும் இரண்டு புது மாறிகள் லைப்னிட்சால் கூறப்பட்டது போல இவை இரண்டும் நுண்ணளவானவை அல்ல.: "The differentials as thus defined are only new ''variables'', and not fixed infinitesimals..." எல்லைகள் குறித்த தற்காலத்திய கருத்துரு கார்ல் வியர்ஸ்ட்ராசினுடையதாக (Karl Weierstrass) இருப்பினும் வகையீடு குறித்த கோஷியின் கருத்து தற்கால பகுவியல் முறைமைகளில் தரமானதாகக் கருதப்படுகிறது.: "Here we remark merely in passing that it is possible to use this approximate representation of the increment &Delta;''y'' by the linear expression ''h&fnof;''(''x'') to construct a logically satisfactory definition of a "differential", as was done by Cauchy in particular."
கேள்வி: வகையீடு (கணிதம்) - பல மாறிச் சார்புகளின் வகையீடுகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: : y = f(x_1,\dots,x_n), \, &nbsp;''x''1 மாறியைப் பொறுத்த ''y'' இன் பகுதி வகையீடு, &nbsp;''x''1 இல் ஏற்படும் மாறுதல் &nbsp;''dx''1 ஆல் ''y'' இல் ஏற்படும் மாறுதலின் முதன்மைப் பகுதியாகும். &nbsp;''x''1 ஐப் பொறுத்த ''y'' இன் பகுதி வகையீடு: : \frac{\partial y}{\partial x_1} dx_1 அனைத்து சாரா மாறிகளைப் பொறுத்த பகுதி வகையீடுகளின் கூடுதல் முழு வகையீடு ஆகும்: : dy = \frac{\partial y}{\partial x_1} dx_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} dx_n,
கேள்வி: வகையீடு (கணிதம்) - பண்புகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: வகைக்கெழு, பகுதி வகைக்கெழு, முழு வகைக்கெழு ஆகியவற்றின் பண்புகளிலிருந்து வகையீட்டின் ஒத்த பண்புகளை நேரிடையாகப் பெறலாம். அப்பண்புகள்: * நேரியல்பு: ''a'' , ''b'' இரு மாறிலி (கணிதம்)கள்; ''ƒ'' , ''g'' இரு வகையிடத்தக்க சார்புகள் எனில், ::d(af+bg) = a\,df + b\,dg. * பெருக்கல் விதி: ''ƒ'' , ''g'' இரு வகையிடத்தக்க சார்புகள் எனில், ::d(fg) = f\,dg+g\,df. *அடுக்கு விதி: :: d( f^n ) = n f^{n-1} df *சங்கிலி விதி: ** ''y''&nbsp;=&nbsp;''ƒ''(''u'') மற்றும் ''u''&nbsp;=&nbsp;''g''(''x'') வகையிடத்தக்கவை எனில், ::dy = f'(u)\,du = f'(g(x))g'(x)\,dx. ** If ''y''&nbsp;=&nbsp;''ƒ''(''x''1,&nbsp;...,&nbsp;''x'n''), மாறிகள் &nbsp;''x''1,&nbsp;...,&nbsp;''x'n'' அனைத்தும் மற்றொரு மாறி &nbsp;''t'' ஐச் சார்ந்திருந்தால், :: \begin{align} dy &= \frac{dy}{dt}dt \\ &= \frac{\partial y}{\partial x_1} dx_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} dx_n\\ &= \frac{\partial y}{\partial x_1} \frac{dx_1}{dt}\,dt + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} \frac{dx_n}{dt}\,dt. \end{align}