கேள்வி: முக்கோணவியல் சார்புகள் - வரையறை- சாய்வு வாயிலாக பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: செங்கோண முக்கோணங்களின் மூலம் வரையறுப்பது போல ஒரு கிடைமட்டக்கோட்டுடன் தொடர்புடைய ஒரு கோட்டுத்துண்டின் ''எழுச்சி'' (rise), ''ஓட்டம்''(run), சாய்வு ஆகியவற்றின் மூலமாகவும் முக்கோணவியல் சார்புகளை வரையறுக்கலாம். எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட கோட்டுத்துண்டின் நீளம் 1 அலகு என்க. அக்கோட்டுத்துண்டு ஒரு குறிப்பிட்ட கிடைமட்டக்கோட்டுடன் உருவாக்கும் கோணம் ''A'' என்க. இக்கோணத்தின்: * சைன் மதிப்பு கோட்டுத்துண்டின் செங்குத்தான எழுச்சியின் அளவுக்குச் சமம். :SinA = எழுச்சி * கொசைன் மதிப்பு கோட்டுத்துண்டின் கிடைமட்ட ஓட்டத்தின் அளவுக்குச் சமம். :CosA = ஓட்டம். * டேன்ஜெண்ட் மதிப்பு கோட்டுத்துண்டின் சாய்வுக்குச் சமம் :.tanA= சாய்வு = எழுச்சி / ஓட்டம். கோட்டுத்துண்டின் நீளம் சாய்வின் மதிப்பை பாதிப்பதில்லை. ஆனால் எழுச்சி மற்றும் ஓட்டத்தின் மதிப்புகள் கோட்டுத்துண்டின் நீளத்தைச் சார்ந்துள்ளன. கோட்டுத்துண்டின் நீளம் 1 அலகாக இல்லையென்றால் குறிப்பிட கோணத்தில் அக்கோட்டுத்துண்டின் * எழுச்சியைக் காண கோணத்தின் சைன் மதிப்பை கோட்டுத்துண்டின் நீளத்தாலும், * ஓட்டத்தின் மதிப்பைக் காண கோசைன் மதிப்பை கோட்டுத்துண்டின் நீளத்தாலும் பெருக்கிக் கொள்ள வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக: கோட்டுத்துண்டின் நீளம் 5 அலகுகள் எனில் 7° கோணத்தில் அக்கோட்டுத்துண்டின்: எழுச்சி = 5&nbsp;sin(7°) ஓட்டம் = 5&nbsp;cos(7°)
கேள்வி: முக்கோணவியல் சார்புகள் - வரையறை- ஓரலகு வட்டம் வாயிலாக பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: படிமம்:Unit circle angles color.svg ஆறு முக்கோணவியல் சார்புகளையும் ஓரலகு வட்டத்தைக் கொண்டு வரையறுக்கலாம். ஓரலகு வட்டம் என்பது ஆதிப்புள்ளியை மையமாகவும் ஆரம் 1 அலகும் கொண்ட வட்டமாகும். நடைமுறைக் கணக்கீடுகளுக்கு ஓரலகு வட்டத்தின் மூலமான வரையறை அவ்வளவாகப் பொருந்தாவிடினும், (0, π/2 ) -ல் அமையும் கோணங்களுக்கு மற்றுமல்லாது அனைத்து மெய்யளவு கோணங்களுக்கும் பொருத்தமாக அமையும். மேலும் ஒரே படத்தின் மூலம் அனைத்து முக்கியமான கோணங்களின் முக்கோணவியல் சார்புகளின் மதிப்புகளையும் காண முடிகிறது. பித்தேகோரசு தேற்றம் ஓரலகு வட்டத்தின் சமன்பாடு: : x^2 + y^2 = 1. \, படத்தில் வழக்கமாக பயன்படும் கோணங்கள் (ரேடியனில்) தரப்பட்டுள்ளன. கோணங்கள் கடிகாரதிசையில் அளக்கப்பட்டால் எதிர்மமாகவும், கடிகார திசைக்கு எதிராக அளக்கப்பட்டால் நேர்மமாகவும் அமையும். ''x''-அச்சின் நேர்மப் பகுதியோடு, ஆதிப்புள்ளியில் ''θ'' கோணம் உண்டாக்கும் ஒரு கோடு ஓரலகு வட்டத்தை சந்திக்கிறது என்க. அந்த சந்திக்கும் புள்ளியின் ''x''- மற்றும் ''y''-அச்சுதூரங்கள் முறையே cos&nbsp;''θ'' மற்றும் sin&nbsp;''θ'' -க்குச் சமம். செங்கோண முக்கோண முறை வரையறைப்படியும் இதை உணரலாம். வெட்டும் புள்ளியின் அச்சுதூரங்கள்: (x, y) என்க. ஓரலகு வட்டத்தின் ஆரம் செங்கோண முக்கோணத்தின் செம்பக்கம். எனவே செம்பக்கத்தின் அளவு 1 அலகு. :sin&nbsp;''θ''&nbsp; = &nbsp;''y'' / 1 = &nbsp;''y'' :cos&nbsp;''θ''&nbsp; = &nbsp;''x'' / 1 = &nbsp;''x'' . செம்பக்கத்தின் அளவை மாற்றாமல் 1 அலகாகக் கொண்டு மற்ற இரு பக்க அளவுகளை மாற்றுவதன் மூலம் கிடைக்கக்கூடிய எண்ணிலிடங்கா செங்கோண முக்கோணங்களை ஓரலகு வட்டத்தில் காணலாம். ஓரலகு வட்டத்திலிருந்து நேரிடையாக சைன் மற்றும் கோசைன் சார்புகள் மட்டுமே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன. மற்ற நான்கு சார்புகளையும் பின்வருமாறு வரையறுக்கலாம்: : \begin{align} \tan\theta & = \frac{\sin\theta}{\cos\theta},\ \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{1}{\tan\theta} \\ \sec\theta & = \frac{1}{\cos\theta},\ \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} \end{align} படிமம்:Circle-trig6.svg மாறாக ஆறு சார்புகளையும் ஓரலகு வட்டத்தின் மூலம் நேரிடையாக ''வடிவவியல் முறையில்'' வரையறுக்கலாம். நாண் (வடிவவியல்)#வட்டநாண் ''AB'' வட்டமையத்தில் தாங்கும் கோணத்தில் பாதியளவு ''θ''. * sin(''θ'') = ''AC'' (நாணில் பாதியளவு), இது பண்டைய இந்தியா கணிதவியலாளர் அறிமுகப்படுத்திய வரையறை.name=boyer * cos(''θ'') = கிடைமட்டதூரம் ''OC'' * tan(''θ'') = ''AE'', ''A'' வழியாக ஓரலகு வட்டத்திற்கு வரையப்படும் தொடுகோட்டுத்துண்டின் நீளம். * cot(''θ'') = ''AF''. மற்றுமொரு தொடுகோட்டுத்துண்டு, * sec(''θ'')&nbsp; = &nbsp;''OE'' * csc(''θ'')&nbsp; = &nbsp;''OF'' இவ்வரைமுறையிருந்து ''θ'' -ன் அளவு, π/2 -ஐ நெருங்கும்போது சீக்கெண்ட் (முக்கோணவியல்) மற்றும் டேன்ஜெண்ட் சார்புகள் விரிவதையும், பூச்சியம் நெருங்கும்போது கோசீக்கெண்ட் (முக்கோணவியல்) மற்றும் கோடேன்ஜெண்ட் (முக்கோணவியல்) சார்புகள் விரிவதையும் காணமுடியும்.(இதேபோன்று பல வடிவியல் வரைமுறைகளின் மூலம் முக்கோணவியல் அடிப்படை முற்றொருமைகளை நிறுவலாம்.See Maor (1998))