கேள்வி: எண்ணுறுமையும் எண்ணுறாமையும் - Q+ வரிசைப்படுத்தப்படுகிறது பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: எல்லா விகிதமுறு நேர்ம எண்களையும் பல நிரை (row) களில் நிரப்புவதாக வைத்துக்கொள்வோம். ஒவ்வொரு விகிதமுறு எண் p/q வுக்கும் p என்ற தொகுதியும் q என்ற பகுதியும் இருக்கும். முழு எண்ணாக இருந்தாலும் p/q என்று எழுத முடியும். நாம் முதல் நிரையில் பகுதி 1 உள்ள எல்லா விகிதமுறு எண்களையும், இரண்டாவது நிரையில் பகுதி 2 உள்ளவை களையும், மூன்றாவது நிரையில் பகுதி 3 உள்ளவைகள், நான்காவது நிரையில் பகுதி 4 உள்ளவைகள், ... இப்படி எழுதிக்கொண்டே போவோம். ஒவ்வொரு விகிதமுறு எண்ணும் இந்தப் பட்டியலில் எங்கோ ஒரு இடத்தில் நிச்சயமாக அமைந்து விடுகிறது, ஒன்றும் விட்டுப்படவில்லை, என்பதில் சந்தேகமில்லை. இம்முறையில் ஒரே விகிதமுறு எண் பல முறை வர்லாம். உதாரணமாக 2/1, 4/2 ஆகவும் வரும். வரட்டும், அதை நாம் எப்படி சரிக்கட்டுகிறோம் என்பது போகப்போகத் தெரியும். இப்பொழுது படத்தைப்பார். அம்புக்குறிகளுடைய போக்கு தான் நாம் எதிர்பார்க்கும் வரிசை. முதலில் 1/1. பிறகு 2/1, அதாவது 2. பிறகு 1/2, பிறகு 1/3 அடுத்து வரும் 2/2 ஐ ஒதுக்கிவிடுவோம்; ஏனென்றால் அது 1 = 1/1 ஆக ஏற்கனவே வரிசையில் சேர்க்கப்பட்டுவிட்டது. பிறகு 3/1, பிறகு 4/1, அடுத்து, 3/2, 2/3, பிறகு 1/4, பிறகு 1/5 ..... இப்படிப்போகிறது வரிசை. :\begin{matrix} 1/1 & \rightarrow & 2/1) & & 3/1 & \rightarrow &4/1 & \\ & \swarrow & & \nearrow & & \swarrow & & \\ 1/2 & & 2/2) & &3/2 & & \ddots & \\ \downarrow & \nearrow & & \swarrow & & & & \\ 1/3 & & 2/3 & & \ddots & & & \\ & \swarrow & & & & & & \\ 1/4 & & \ddots & & & & & \\ \downarrow & & & & & & & \\ \vdots & & & & & & & \end{matrix} இதனால் நமக்குத் தெரிவதென்னவென்றால் Q+ ம் N ம் சம எண் அளவையை உடையவை.
கேள்வி: எண்ணுறுமையும் எண்ணுறாமையும் - எண்ணுறா கணங்கள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: எப்பொழுதெல்லாம் ஒரு முடிவிலாத கணத்தின் உறுப்புகளை 1, 2, 3, ... என்று வரிசைப்படுத்தமுடியாது என்று நிறுவப்பட்டதோ அப்படிப்பட்ட கணத்தை எண்ணுறா கணம் என்பர். ‘எண்ணவியலா கணம்’ என்றும் கூறலாம். இம்மாதிரி கணம் ஒன்று, -- ஒன்றென்ன, பல, ஏன், முடிவில்லாமல் பல—இருக்கமுடியும் என்பதுதான் கேண்ட்டரின் அடுத்த எதிர்பாராத கண்டுபிடிப்பு. A என்ற ஒரு முடிவிலா கணத்திலிருந்து அதனுடைய உட்கணங்கள் (A என்ற கணம் உட்பட) எல்லாவற்றினுடைய திரள் (aggregate) ஒரு புது கணம் ஆகிறது. இப்படி படைக்கப்பட்ட கணம் ,2^A என்று குறிக்கப்படும். அதற்கு A இன் அடுக்கு கணம் (Power set of A) என்று பெயர். இப்பொழுது கேண்ட்டரின் முதல் முக்கிய தேற்றம் “A இன் அடுக்குக்கணத்தின் எண் அளவை A இனுடையதை விட கண்டிப்பான பெரிது” என்பதாம். இத்தேற்றத்தின் நிறுவலில்தான் கேண்ட்டரின் கோணல் கோடு நிறுவல் முறை வெகு நேர்த்தியாகப் பயன்படுகிறது. நிறுவலைத்தாண்டி தேற்றத்தின் விளைவுகளைப்பார்ப்போம். ''முதல் விளைவு'': A ஒரு எண்ணுறு கணமானால், அதன் அடுக்குக்கணம் ஒரு எண்ணுறா கணமாகத்தான் இருக்கவேண்டும். ஏனென்றால் 2^A யும் A யும் ஒன்றுக்கொன்றான இயைபு கொண்டிருக்காது. ''இரண்டாவது விளைவு'': N இன் அடுக்குக்கணம் ஒரு எண்ணுறா கணம். அதன் எண் அளவை N இன் எண் அளவையைவிடப் பெரியது. 2^N இன் எண் அளவையை 2^אo என்ற குறியீட்டால் குறிப்பிட்டால், நமக்கு אo ஐ விட ஒரு பெரிய எண் அளவை கிடைக்கிறது. ''மூன்றாவது விளைவு'': இப்பொழுது 2^N இன் அடுக்குக் கணத்திற்குப் போனோமானால் அதனுடைய எண் அளவை 2^אo ஐ விட இன்னும் பெரியதாக இருக்கும். இப்படி போய்க்கொண்டே இருக்கலாம். இதற்கு முடிவே கிடையாது. விளைவு: எண் அளவைகளின் கணம் ஒரு முடிவிலா கணம்.