கேள்வி: கணித அமைப்பு குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: கணிதம் ஆய்ந்து அலசப்படும் கருத்துப் பொருட்களெல்லாம் கணம் அடிப்படையாகக்கொண்டன. இப்பொருட்கள் உண்டாகும் முறைகளை இருபதாவது நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில் கணிதவியலர்கள் அமைப்பு என்ற புதிய கண்ணோட்டம் தரும் தலைப்புகளில் வகைப்படுத்தினர். இந்த வகைப்படுத்தலால் கணிதவியலில் புரட்சிகரமான பாதை தோன்றி பற்பல முக்கிய விளைவுகள் தோன்றின. அவற்றுள் முதலாவது, காலம் காலமாக பல மேதைகளின் கண்டுபிடிப்புகளினால் தொகுத்து வைத்திருந்த கணிதமெல்லாம் ஒன்று சேர்ந்து இணையக்கூடிய வாய்ப்பு உருவானதோடு மட்டுமல்லாமல் சென்ற நூற்றாண்டில் கணிதத்தை வியப்பூட்டும் அளவுக்கு விரிவடையவும் செய்தது. :{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15" | படிமம்:Rubiks cube solved.jpg || படிமம்:Group diagdram D6.svg || படிமம்:Lattice of the divisibility of 60.svg |- | நுண்புல இயற்கணிதம்(Abstract algebra) || குலக் கோட்பாடு(Group theory) || ஒழுங்கடுக்குக் கோட்பாடு (Order theory) |} ‘அமைப்பு’ என்றால் என்ன? இதை எடுத்துக் காட்டுகள் மூலம் தான் விவரிக்க வேண்டி யிருக்கிறது. எல்லா மெய்யெண்களின் கணம் ''R'' என்று கொள்க. அவ்வெண்களில் தன்னியல்பாக உள்ள கூட்டல் செயல் ‘+’ என்ற குறியீட்டால் குறிக்கப் படுவதாகக் கொள்வோம் . இப்பொழுது, ''x, y, z'' என்பவை ''R'' இல் உள்ள எந்த உறுப்புகளானாலும், ''x + y'' எப்பொழுதும் ''R'' இலேயே இருக்கும் ... (a) ''(x + y) + z = x + (y + z)'' ... (b) ''x + y = y + x '' ... (c) ''R'' இல் ‘''0''’ என்ற ஓர் உறுப்பு கீழுள்ள இயல்புடன் உளது: ''0 + x = x + 0'' . ... (d) ''R'' இல் ''‘-x’'' என்ற ஓர் உறுப்பு கீழுள்ள இயல்புடன் உளது: ''x + (-x) = 0 = (-x) + x'' … (e) இவ்வைந்து விதிகளும் ஏதோ மிக எளிமையான, அற்பமான கூற்றாக முதலில் தோன்றலாம். ஆனால் அதனுள்ளே பொதிந்திருக்கும் கருத்து இனிமேல்தான் விளங்கும். இப்பொழுது எல்லா நேர்ம மெய்யெண்களின் கணம் ''R''+ ஐ எடுத்துக்கொள்க. அவ்வெண்களில் தன்னியல்பாக உள்ள பெருக்கல் செயல் ‘.’ (புள்ளி) என்ற குறியீட்டால் குறிக்கப் படுவதாகக் கொள்வோம். இப்பொழுது ''x, y, z'' ''R''+ இல் என்னவாக இருந்தாலும், ''x . y'' எப்பொழுதும் ''R''+ இல் இருக்கும் ... (A) ''(x . y) . z = x . (y . z)'' ... (B) ''x . y = y . x'' ... (C) ''R''+ இல் ‘1’ என ஒரு உறுப்பு கீழே உள்ள இயல்புடன் உளது: ''1 . x = x = x . 1'' ... (D) ''R''+ இல் ‘''x''-''1''’ என ஒரு உறுப்பு கீழே உள்ள இயல்புடன் உளது: ''x'' . ''x''-''1'' = ''1'' = ''x''-''1'' . ''x'' ... (E) இவைகளும் மிக எளிதான அற்பமான கூற்றுகளாகத் தோன்றலாம். ஆனால் (a) இலிருந்து (e) வரையிலுள்ள ஐந்து கூற்றுகளையும் (A) இலிருந்து (E) வரையிலுள்ள ஐந்து கூற்றுக்களோடு ஒப்பிட்டுப் பார்த்தால் முதல் ஐந்தும் பின் ஐந்தும் ஒரே ‘அமைப்பில்’ இருப்பதை அறியலாம். இருந்தாலும் ஒரு விதிவிலக்கு உள்ளது. முதலைந்திலிருந்து இரண்டாவது ஐந்து ஒரு விதத்தில் மாறுபடுகிறது. முந்தையதிலுள்ள, ''R'', ‘+’, ‘''0''’ , ‘-''x''’ ஆகிய நான்கின் இடத்தில், பிந்தையதில் முறையே ''R''+, ‘.’ , ‘''1''’, ‘''x''-''1''’ ஆகியவைகள் வைக்கப்பட்டிருக்கின்றன. இந்த மாற்றத்தைத்தவிர, இரண்டு ‘அமைப்புகளும்’ ஒரே மாதிரி தான். இதைத்தான் கணிதத்தில் ‘அமைப்பு’ (Structure) என்ற கலைச் சொல்லால் குறிப்பிடுகிறார்கள். முதல் வகையில் நாம் பார்த்த அமைப்பிற்கு ‘ ''R'' க்கு கொடுக்கப்பட்ட கூட்டல் அமைப்பு’ என்றும் இரண்டாவது வகையில் பார்த்த அமைப்பிற்கு ‘''R''+க்குக் கொடுக்கப்பட்ட பெருக்கல் அமைப்பு’ என்றும் சொல்லல் தகும்.
கேள்வி: கணித அமைப்பு - பண்பியலால் திரளான உற்பத்தி என்பது என்ன?
பதில்: இவ்வாறு ஒரு நுண்புலப்பொருளான ‘குலம்’ என்பதன் விதிகளிலிருந்து பண்பியல் தளத்தில் ஆய்ந்து அடையப்படும் முடிவுகளை கீழ்த்தளத்திலுள்ள எல்லா தனிப்பட்ட துறைகளிலும், அதாவது, எந்தெந்த துறைகளில் எந்தெந்த சந்தர்ப்பங்களில் ‘குலம்’ என்ற அமைப்பைக் கண்டு கொள்கிறோமோ அந்தந்த சந்தர்ப்பங்களிலெல்லாம், அந்த முடிவுகளைத் தனிப்படுத்தினால், நமக்கு ஒரே சமயத்தில் வெவ்வேறு பிரச்சினைகளில் அநேகச் சிறப்பு விளைவுகள் கை சொடுக்கும் நேரத்தில் கிடைக்கும் வாய்ப்புகள் உண்டு. இப்படி உண்டென்பதும், இதனால் கணித உட்துறைகளிலும் மற்றும் இயற்பியலிலும் ஏராளமான புது விளைவுகளை நேரில் கண்டறிந்ததும், இருபதாவது நூற்றாண்டின் அறிவியல் சாதனைகளில் முக்கியமான ஒன்று.
கேள்வி: கணித அமைப்பு - துணை நூல்கள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: * E.T. Bell. (1945) Development of Mathematics. 2nd edn. McGrawHill, New York. * V. Krishnamurthy. (1990). Culture, Excitement and Relevance of Mathematics. Wiley Eastern Ltd. New Delhi. * Edna Kramer. (1983) Nature and Growth of Modern Mathematics. Princeton University Press.