கேள்வி: தொலெமியின் தேற்றம் என்பது என்ன?
பதில்: Image:Ptolemy Theorem.svg யூக்ளீட் வடிவியல் தொலெமியின் தேற்றம் (''Ptolemy's theorem'') ஒரு வட்ட நாற்கரம் நான்கு பக்கங்களுக்கும் இரு மூலைவிட்டம் இடையேயுள்ள தொடர்பைத் தருகிறது. கிரேக்கம் வானிலையியலாளரும் கணிதவியலாளர் தொலெமியின் பெயரால் இத்தேற்றம் அழைக்கப்படுகிறது.C. Ptolemy, ''Almagest'', Book 1, Chapter 10. தொலெமி வானிலையியல் பயன்பாட்டுக்கு உதவும் வகையில் தனது நாண்களின் அட்டவணை, முக்கோணவியல் அட்டவணை ஆகியவற்ற உருவாக்குவதற்கு இத்தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தியுள்ளார். தேற்றத்தின் கூற்று: ஒரு தரப்பட்ட நாற்கரத்தின் நான்கு உச்சிகள் ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' ஒரே வட்டத்தில் அமைந்தால்: : |\overline{AC}|\cdot |\overline{BD}|=|\overline{AB}|\cdot |\overline{CD}|+|\overline{BC}|\cdot |\overline{AD}| அதாவது இத்தேற்றத்தின்படி: :''ஒரு நாற்கரத்தின் நான்கு உச்சிகளும் ஒரே வட்டத்தின் மீதமைந்தால் அந்நாற்கரத்தின் மூலைவிட்ட நீளங்களின் பெருக்குத்தொகையானது அதன் எதிரெதிர் பக்கங்களின் பெருக்குத்தொகைகளின் கூடுதலுக்குச் சமமாகும்.'' மேலும் தொலெமியின் தேற்றத்தின் மறுதலையும் உண்மையாகும்: :''ஒரு நாற்கரத்தின் எதிரெதிர் பக்கங்களின் பெருக்குத்தொகைகளின் கூடுதலுக்குச் அதன் மூலைவிட்ட நீளங்களின் பெருக்குத்தொகையானது சமமாக இருந்தால் அந்நாற்கரத்தின் நான்கு உச்சிகளும் ஒரே வட்டத்தின் மேல் அமையும்.''
கேள்வி: தொலெமியின் தேற்றம் - சதுரம் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: எந்தவொரு சதுரம் ஒரு வட்டத்துக்குள் வரைய முடியும். ஒரு சதுரத்தின் சுற்றுவட்டத்தின் மையம், சதுரத்தின் பொருள் மையமாக (center of mass) இருக்கும். சதுரத்தின் பக்க அளவு a, மூலைவிட்டத்தின் நீளம் d,எனில் தொலெமியின் தேற்றப்படி: :d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\Rightarrow d = a\sqrt{2}
கேள்வி: தொலெமியின் தேற்றம் - தசகோணத்தின் பக்கம் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: படிமம்:Ptolemy Pentagon2.svg ஒழுங்கு ஐங்கோணம் ''ABCDE'' இன் சுற்றுவட்டத்தின் விட்டம் AF, DC பக்கத்தை இருசமக்கூறிடுமாறு வரைந்தால், DF, CF இரண்டும் அவ்வட்டத்துக்குள் வரையக்கூடிய ஒரு தசகோணத்தின் பக்கங்களாக (c) அமையும். இப்போது தொலெமியின் தேற்றத்தை ''ADFC'' வட்ட நாற்கரத்துக்குப் பயன்படுத்தக் கிடைக்கும் முடிவு: :ad=2bc\; பொன் விகிதம், \varphi = \frac{b}{a}\Rightarrow b = \varphi a இதனைப் பயன்படுத்த: :\Rightarrow ad=2\varphi ac :\Rightarrow c=\frac{d}{2\varphi}.And in analogous fashion [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookXIII/propXIII9.html Proposition 9] in Book XIII of [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/Euclid.html Euclid's Elements] proves by similar triangles that length c (the side of the decagon) divides the radius in "mean and extreme ratio". இது ஒழுங்கு தசகோணத்தின் பக்க அளவை சுற்றுவட்ட விட்டத்தின் மூலமாகக் காணும் வாய்ப்பாட்டினைத் தருகிறது. செங்கோண முக்கோணம் AFD இல் பித்தாகரசு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி ஒழுங்கு ஐங்கோணத்தின் மூலைவிட்டத்தின் அளவை ("b") விட்டத்தின் மூலம் கண்டுபிடித்த பின் அந்த மதிப்பைப் பயன்படுத்திக் காணப்படும் ஐங்கோணத்தின் பக்கம் "a" இன் மதிப்பு:An interesting article on the construction of a regular pentagon and determination of side length can be found at the following reference [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/pentagon.shtml] ::a=\frac {b} {\varphi}=b(\varphi-1).\ தொலமியின் தேற்றத்திலிருந்து பெறப்படும் இம்முடிவினை நிக்கோலாஸ் கோப்பர்னிக்கஸ் பின்வருமாறு குறிப்பிடுகிறார்: :''"ஒரு வட்டத்தின் விட்டம் தரப்பட்டிருக்குமேயானால், அவ்வட்டத்துக்குள் வரையப்படும் முக்கோணம், நாற்கரம், ஐங்கோணம், அறுகோணம், தசகோணம் ஆகியவற்றின் பக்கங்களும் தரப்பட்டுள்ளன."'' – http://articles.adsabs.harvard.edu/cgi-bin/nph-iarticle_query?bibcode=1543droc.book.....C&db_key=AST&page_ind=36&plate_select=NO&data_type=GIF&type=SCREEN_GIF&classic=YES De Revolutionibus Orbium Coelestium: Liber Primus: Theorema Primum