கேள்வி: இராமானுசனின் டௌ-சார்பு - டௌ-சார்பு அறிமுகம் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: பிரச்சினையின் தொடக்கம் மிகச் சுவையானது. :: ஒரு நேர்ம முழு எண் n க்கு x^2 + y^2 = n ஆக இருக்கும்படி x, y க்கு எத்தனை முழு எண் தீர்வுகள் இருக்கமுடியும்? வரிசைக்கிரம வேறுபாடோ, + , -, வேறுபாடோ இருந்தால் அதையும் தனித்தனி தீர்வாகவே எண்ணவேண்டும். இந்த எண்ணிக்கையை r_2(n) என்று குறிப்பது வழக்கம். இதேபோல் r_k(n) என்பது ஒரு நேர்ம முழு எண்ணை எத்தனை விதமாக முழு எண்களின் k-அடுக்குகளின் தொகையாகச் சொல்லமுடியும் என்ற எண்ணிக்கையைக் குறிப்பது. எ.கா.1: 18 = 3^2 + 3^2 : = (-3)^2 + 3^2 : = 3^2 + (-3)^2 : = (-3)^2 + (-3)^2. வேறு விதமாக இரண்டு வர்க்கங்களாக எழுதமுடியாது. \therefore r_2 (18) = 4. எ.கா. 2: 5 = (\pm 2)^2 + (\pm 1)^2 : = (\pm 1)^2 + (\pm 2)^2 \therefore r_2(5) = 8. எ.கா. 3: 4 = (\pm 2)^2 + (0)^2 + (0)^2 : = (0)^2 + (\pm 2)^2 + (0)^2 : = (0)^2 + (0)^2 + (\pm 2)^2. \therefore r_3(4) = 6. நான்காம் நூற்றாண்டில் டயொஃபாண்டஸ் என்ற கிரேக்க கணித இயலர் n = 4q - 1 உருவத்திலுள்ள எந்த முழு எண்ணும் இரண்டு வர்க்கங்களின் தொகையாக இருக்கமுடியாது என்று அறிந்தவர். 1632 இல் ஜிரார்ட் என்பவர் ஒரு யூகத்தை முன்மொழிந்தார்: அதாவது, :: முழு எண் n இரண்டு வர்க்கங்களின் கூட்டுத் தொகையாக இருக்கவேண்டுமானால் அதற்கு இலக்கணம்: :: n இனுடைய காரணிகளில், q = 3(mod 4) உருவத்தில் உள்ள எல்லாப் பகா எண் n இல் இரட்டைப்படை அடுக்காக இருந்தாகவேண்டும். இதற்கு ஆய்லர் 1749 இல் நிறுவலளித்தார். (ஃபெர்மா வும் 1641இல் ஒரு நிறுவல் காட்டியதாக சொல்லப்படுகிறது.) 1798 இல் லெஜாண்டர்ம், 1801 இல் கார்ல் ஃப்ரெடெரிக் காஸ்ம் r_2(n) க்கு வாய்பாடுகள் கொடுத்தனர். 1621 இல் பாஷெ ஒரு யூகத்தை முன்வைத்தார்: :: ஒவ்வொரு நேர்ம முழு எண்ணையும் நான்கு முழு எண் வர்க்கங்களின் தொகையாகக்காட்டலாம். இது டயோஃபாண்டஸுக்கே தெரிந்திருந்தாலும் இருக்கும். 1770 இல் லக்ராண்ஜி தான் இதற்கு நிறுவலளித்தார். 1829 இல் ஜாகோபி உயர்தர கணிதத்தைச் சார்ந்ததான நீள்வட்டச்சார்புகளையும் தீட்டா சார்பு களையும் பயன்படுத்தி k = 2,4,6,8 மதிப்புகளுக்கு r_k(n)க்கு வாய்பாடுகள் அளித்தார். ஜாகோபியின் வாய்பாடுகள்: :: r_2(n) = 4\{d_1(n) - d_3(n)\}; :: r_4(2n) = 24 \sigma^{0}(n); ::r_4(2n-1) = 8 \sigma(2n-1). இங்கெல்லாம் d_1(n) = n இனுடைய (4m+1)-வகைக் காரணிகளின் எண்ணிக்கை; : d_3(n) = n இனுடைய (4m+3)-வகைக் காரணிகளின் எண்ணிக்கை; : \sigma^{0}(n) = n இனுடைய ஒற்றைப்படைக் காரணிகளின் கூட்டல் தொகை; : \sigma(n)= n இனுடைய எல்லாக் காரணிகளின் கூட்டல் தொகை. இவையெல்லாவற்றையும் அறிந்தோ அறியாமலோ இராமானுசன் 1916 இல் ஒரு விந்தையளிக்கும் வாய்பாடை பிரசுரித்தார்: :: r_{24}(n) = \frac{16}{691}\sigma_{11}^*(n) - \frac{128}{691} \{(-1)^{n-1}259 \tau(n) -512\tau(n/2)\} :: இங்கு \sigma_{11}^*(n) = (-1)^n \sum_{d|n}(-1)^d d^{11}. இங்குதான் இராமானுசன் டௌ-சார்பை அறிமுகப்படுத்தினார். அது இன்று எண்கோட்பாட்டின் எல்லைகளையும் தாண்டி இயற்கணித இடவியல், மற்றும் இன்னும் சில கணிதப் பிரிவுகளை ஆக்கிரமித்துவிட்டது. இப்பிரிவுகளே இராமானுசன் காலத்திற்கு மிகப்பிற்காலத்தியவை.