கேள்வி: உள்வட்டப்புள்ளியுரு - பண்புகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: உருளும் சிறுவட்டத்தின் ஆரம் ''r'', வட்டத்தின் ஆரம் ''R'' = ''kr'' எனில் உள்வட்டப்புள்ளியுருவின் துணையலகுச் சமன்பாடுகள்: :x (\theta) = (R - r) \cos \theta + r \cos \left( \frac{R - r}{r} \theta \right) :y (\theta) = (R - r) \sin \theta - r \sin \left( \frac{R - r}{r} \theta \right), :::(அல்லது) :x (\theta) = r (k - 1) \cos \theta + r \cos \left( (k - 1) \theta \right) \, :y (\theta) = r (k - 1) \sin \theta - r \sin \left( (k - 1) \theta \right). \, * ''k'' ஒரு முழு எண் எனில், உள்வட்டப்புள்ளியுரு மூடிய வளைவரையாகவும் ''k'' கூர்ப்புள்ளிகளை உடையதாகவும் இருக்கும். (கூர்ப்புள்ளிகளில் வளைவரை, வகையீடு) * ''k'' =2 எனில், உள்வட்டப்புள்ளியுரு ஒரு நேர்கோடு. இவ்வகையை முதலாவதாக விளக்கிய இத்தாலியக் கணிதவியலாளர் ''ஜிரோலமொ கார்டனோ'' (Girolamo Cardano) இன் பெயரால் இதில் வட்டங்கள் ''கார்டனொ வட்டங்கள்'' ((Cardano circles) என அழைக்கப்படுகின்றன. இவ்வகை உள்வட்டப்புள்ளியுருக்கள் அதிவேக அச்சு இயந்திரம் தொழில்நுட்பத்தில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. * ''k'' ஒரு விகிதமுறு எண் மற்றும் அதன் எளிய வடிவம்: ''k'' = ''p''/''q'' எனில், இவ்வளைவரை ''p'' கூர்ப்புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்கும். * ''k'' ஒரு விகிதமுறா எண் எனில், இவ்வளைவரை மூடியதாக இல்லாமல், பெரிய வட்டத்திற்கும் ''R'' − 2''r'' ஆரமுள்ள மற்றொரு வட்டத்திற்கும் இடையேயுள்ள இடைவெளியை நிரப்பியவாறு அமையும்.