கேள்வி: இரட்டை, ஒற்றைச் சார்புகள் - வரையறையும் எடுத்துக்காட்டுகளும் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: இரட்டைத்தன்மை, ஒற்றைத்தன்மை ஆகிய இரண்டும் பொதுவாக மெய்ச்சார்புகளுக்கு (தருமதிப்பும், பெறுமதிப்பும் மெய்யெண்களாகக் கொண்ட சார்புகள்) அமைகின்றன. எனினும் பொதுவாக இவை, கூட்டல் நேர்மாறு கருத்துகளைக் கொண்ட ஆட்களம் (கணிதம்) இணையாட்களம் (கணிதம்) சார்புகளுக்கும் வரையறுக்கப்படுகின்றன. பரிமாற்றுக் குலம், அனைத்து வளையம் (கணிதம்), அனைத்து களம் (கணிதம்), அனைத்து திசையன் வெளிகளும் இதில் அடங்கும். எடுத்துக்காட்டாக, திசையன் மாறியிலிலமைந்த சிக்கலெண் மதிப்புச் சார்பானது இரட்டை/ஒற்றையாக இருக்கக்கூடியதைப் போன்றே ஒரு மெய்மதிப்புச் சார்பும் இரட்டை/ஒற்றையாக அமையும். சார்பின் வரைபடம் சமச்சீர்மையை விளக்குவதற்காக கீழே தரப்படும் எடுத்துக்காட்டுகள் மெய்ச்சார்புகளாகத் தரப்பட்டுள்ளன.
கேள்வி: இரட்டை, ஒற்றைச் சார்புகள் - இரட்டை-ஒற்றை பிரிப்பு பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: ஒவ்வொரு சார்பும் ஓர் இரட்டை மற்றுமோர் ஒற்றைச் சார்பின் கூடுதலாகப் பிரிக்கப்படலாம். அவை முறையே அச்சார்பின் "இரட்டைப் பகுதி", "ஒற்றைப் பகுதி" எனப்படும். {{Equation box 1 |indent = |title= |equation = {{NumBlk||f_\text{e}(x) = \frac {f(x)+f(-x)}{2}|}} |cellpadding= 6 |border |border colour = #0073CF |background colour=#F5FFFA}} மேலும், {{Equation box 1 |indent = |title= |equation = {{NumBlk||f_\text{o}(x) = \frac {f(x)-f(-x)}{2}|}} |cellpadding= 6 |border |border colour = #0073CF |background colour=#F5FFFA}} எனில்: f_\text{e} இரட்டைச் சார்பு; f_\text{o} ஒற்றைச் சார்பு, : f(x)=f_\text{e}(x) + f_\text{o}(x). மறுதலையாக :f(x)=g(x)+h(x),; இரட்டை; ஒற்றை எனில்: :g=f_\text{e}, h=f_\text{o}, ஏனெனில், : \begin{align} 2f_\text{e}(x) &=f(x)+f(-x)= g(x) + g(-x) +h(x) +h(-x) = 2g(x),\\ 2f_\text{o}(x) &=f(x)-f(-x)= g(x) - g(-x) +h(x) -h(-x) = 2h(x). \end{align} எடுத்துக்காட்டாக படிக்குறிச் சார்பு இரட்டைப் பகுதியாக அதிபரவளையச் சார்புயும், ஒற்றைப் பகுதியாக அதிபரவளையச் சார்புயும் கருதலாம் ("cosh" இரட்டைச் சார்பு; "sinh" ஒற்றைச் சார்பு): :e^x=\underbrace{\cosh (x)}_{f_\text{e}(x)} + \underbrace{\sinh (x)}_{f_\text{o}(x)}.
கேள்வி: இரட்டை, ஒற்றைச் சார்புகள் - அடிப்படை பகுமுறை பண்புகள் என்பது என்ன?
பதில்: * ஓர் இரட்டைச் சார்பின் வகையிடல்ச் சார்பானது ஒற்றையாகும். * ஓர் ஒற்றைச் சார்பின் வகையிடல்ச் சார்பானது இரட்டையாகும். * −''A'' முதல் +''A'' வரையிலான ஓர் ஒற்றைச் சார்பின் தொகையீடு பூச்சியமாக இருக்கும் (''A'' முடிவுள்ளதாகவும், −''A'' முதல் ''A'' வரை சார்புக்கு, [[அணுகுகோடு|குத்து தொலைத்தொடுகள் எதுவும் இருக்கக்கூடாது). ஒரு சமச்சீரான இடைவெளியில் எ.கா:[-A,A], ஒற்றைச் சார்பின் தொகையீடு பூச்சியம்: *:\int_{-A}^{A} f(x)\,dx = 0. * −''A'' முதல் +''A'' வரையிலான ஓர் இரட்டைச் சார்பின் தொகையீடு, ''0'' முதல் +''A'' வரையிலான அச் சார்பின் தொகையீடு போல இருமடங்காக இருக்கும் (''A'' முடிவுள்ளதாகவும், −''A'' முதல் ''A'' வரை அச் சார்புக்கு, அணுகுகோடு எதுவும் இருக்கக்கூடாது). ''A'' முடிவுள்ளதாக இருப்பதோடு சார்பின் தொகையீடு ஒருங்குவதாக இருந்தால் மட்டுமே இது உண்மையாக இருக்கும்: *:\int_{-A}^{A} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{A} f(x)\,dx.