கேள்வி: சமவிசைசார் புள்ளி - உருமாற்றங்கள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: ஒரு புள்ளி நேர்மாற்றம் மற்றும் மோபியஸ் உருமாற்றங்களைப் பொறுத்து அமையும் பண்புகளைக் கொண்டும் ABC முக்கோணத்தின் சமவிசைசார் புள்ளிகள் S and S' இரண்டையும் வரையறுக்கலாம். சமவிசைசார் புள்ளியைப் பொறுத்த நேர்மாற்றத்தால் முக்கோணம் ABC ஆனது ஒரு சமபக்க முக்கோணமாக மாறுகிறது. சுற்றுவட்டத்தைப் பொறுத்த நேர்மாற்றத்தால் ABC மாற்றமடைவதில்லை; எனினும் இவ்வுருமாற்றத்தில் அதன் ஒரு சமவிசைசார் புள்ளி மற்றொரு விசைசார் புள்ளியாக மாறுகிறது.; . முக்கோணம் ABC இன் சுற்றுவட்டத்தின் உட்புறத்தை ABC இன் உருமாற்ற முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தின் உட்புறமாகவே உருமாற்றும் மோபியஸ் உருமாற்றங்களினால் சமவிசைசார் புள்ளிகள் நிலைமாறாமல் உள்ளன. ஆனால் சுற்றுவட்டத்தினை உள்ளும் வெளியுமாக மாற்றும் உருமாற்றங்களில் சமவிசைசார் புள்ளிகள் ஒன்று மற்றதாக மாற்றப்படுகின்றது.
கேள்வி: சமவிசைசார் புள்ளி - அப்பலோனியஸ் வட்டங்களின் வெட்டும்புள்ளிகளாக பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: *ABC முக்கோணத்தின் உச்சிக்கோணம் A இன் உட்கோண மற்றும் வெளிக்கோண இருசமவெட்டிகள் வரைந்து கொள்ள வேண்டும் *இக்கோண இருசமவெட்டிகள் இரண்டும் முக்கோணத்தின் பக்கம் BC ஐ வெட்டும் இரு புள்ளிகள் காண வேண்டும். *இவ்விரு புள்ளிகளையும் இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டை விட்டம் கொண்ட வட்டம் வரைய வேண்டும். *இவ்வட்டமே முக்கோணத்தின் உச்சி A இன் வழிச் செல்லும் அப்பலோனியஸ் வட்டம் ஆகும். *இவ்வாறு மற்றொரு உச்சி வழியாகச் செல்லும் இரண்டாவது அப்பலோயஸ் வட்டம் வரைய வேண்டும். * இவ்விரு வட்டங்களும் வெட்டிக்கொள்ளும் இருபுள்ளிகளே முக்கோணத்தின் சமவிசைசார் புள்ளிகளாகும்.