கேள்வி: மீப்பெரு பொது வகுத்தி - யூக்ளிட்டின் படிமுறைத் தீர்வு குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: யூக்ளிட் படிமுறைத்தீர்வு (Euclidean algorithm) என்பது வகுக்கும் முறையைக் கொண்டு மீப்பெரு பொது வகுத்தியைக் காணும் முறை. எடுத்துக்காட்டாக 84 ஐ 18 ஆல் வகுத்தால் ஈவு 4 என்பதும் மீதி 12 என்பதையும் பெறலாம். அடுத்து அந்த 18 என்னும் எண்ணை மீதியாகிய 12 ஆல் வகுத்தால் கிடைப்பது ஈவு 1, மீதி 6. அடுத்து 12 ஐ மீதியாகிய 6 ஆல் வகுத்தால் கிட்டும் மீதி சுழி (0), ஆகவே மீப்பெரு பொது வகுத்தி (மீபொவ) 6 ஆகும். இதனைக் கணக்குக் குறியீட்டுடன் பொதுப்பட கீழ்க்காணுமாறு சொல்லலாம் [gcd = மீபொவ] : :\operatorname{gcd}(a,0) = a :\operatorname{gcd}(a,b) = \operatorname{gcd}(b,a - b \left\lfloor {a \over b} \right\rfloor). யூக்ளிட் முறையில் எழும் ஈவுகள் ஒரு தொடர் பின்னம் (continued fraction) ஒன்றைத் தருவது.
கேள்வி: மீப்பெரு பொது வகுத்தி - மற்ற முறைகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: ''a'' யும் ''b'' யும் இரண்டும் சுழியாக இல்லை என்றால், அவற்றின் மீப்பெரு பொது வகுத்தியை அவற்றின் மீச்சிறு பொது மடங்கு என்னும் எண்ணால் கணிக்க இயலும் (gcd = மீபொவ): :\operatorname{gcd}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\operatorname{lcm}(a,b)}. எடுத்துக்காட்டாக 12, 18 ஆகிய இரண்டு எண்களின் மீபொவ = 6, இதன் மீச்சிறு மடங்கு 36. இவற்றின் பெருக்குத்தொகை 216 = 6×36. இரண்டு எண்களின் பெருக்குத்தொகையில் இருந்து மீபொவ-ஐ வகுத்துவிட்டால் எஞ்சி இருப்பது மீச்சிறு பொது மடங்குதான். ''a''&nbsp;≥&nbsp;1 எனில் ஒற்றைப்படையான எண்களுக்கு கீத் சிலாவின் (Keith Slavin) என்பவர் காட்டிய முற்றொருமை (கணிதம்)#முற்றொருமை: :\operatorname{gcd}(a,b)=\log_2\prod_{k=0}^{a-1} (1+e^{-2i\pi k b/a}) மேலுள்ளதில் b என்னும் எண் சிக்கலெண்ணாக இருந்த பொழுதும் கணக்கிட இயலும் , மேலும் வுல்ஃவ்காங் இஃழ்ச்றம் (Wolfgang Schramm) காட்டியபடி: :\operatorname{gcd}(a,b)=\sum\limits_{k=1}^a {\exp (2\pi ikb/a)} \cdot \sum\limits_{d\left| a\right.} {\frac{c_d (k)}{d}} என்னும் சமன்பாட்டில் எல்லா நேர்ம முழு எண் ''a'' வுக்கும் ''b'' என்னும் மாறியால் ஆன முழுத்தொகை சார்பியம் (entire function) ஆகும்; இதில் ''c'd''(''k'') என்பது இராமானுசன் கூட்டு (Ramanujan's sum) ஆகும். எல்லா நேர்ம முழு எண் ''a'',''b'' -களுக்கும், மார்சேலோ பொலேட்ஃசி (Marcelo Polezzi) கீழ்க்கண்ட சமன்பாட்டை நிறுவியுள்ளார் : :\operatorname{gcd}(a,b)=2\sum_{k=1}^{a-1} \lfloor k b/a\rfloor+a+b-a b மேலும், ''a'', ''b'' ஆகிய எதிர்மமல்லா முழு எண்களுக்கு (non-negative integers), அவை இரண்டுமே சுழியாக இல்லாது இருக்குமெனில், டொனால்டு குனுத் (Donald Knuth) கீழ்க்காணும் சுருக்க வடிவை (எளிமைப்படுத்துதலை) நிறுவியுள்ளார்: :\operatorname{gcd}(2^a-1,2^b-1)=2^{\operatorname{gcd}(a,b)}-1 எடுத்துக்காட்டாக a = 4 என்றும் b = 6 என்று கொண்டால், 24-1 = 15; அதே போல 26- 1 = 63, ஆகவே 15, 63 ஆகிய இரண்டின் மீபொவ= 3. இந்த மீபொவ-ஐ சிறிய எண்களாகிய a,b ஆகியவற்றின் மீபொவ-வைக் கொண்டே கண்டுபிடிக்கலாம் என்பதே இச்சமன்பாட்டின் முக்கியப் பயன்பாடு. 4, 6 ஆகியவற்றின் மீபொவ = 2. ஆகவே 22 – 1 = 4-1 = 3, இதுவே 15, 63 இன் மீபொவ. மேலுள்ளவாறு (2n -1) என எழுதக்கூடிய இரண்டு பெரிய ஒற்றைப்படை எண்களின் மீபொவ-ஐ இவ்வகையில் எளிதாகக் கணக்கிடலாம். எடுத்துக்காட்டாக 4095, 262143 ஆகிய இரண்டு எண்களின் மீபொவ = 63 ஆகும். ஆனால் 4095, 262143 ஆகிய இரண்டு எண்களை 212 – 1, 218 – 1 என்று எழுதலாம் என்று அறிந்தால், மடி எண்களாகிய 12,18 ஆகியவற்றின் மீபொவ = 6 என்பதால் 26 – 1 = 64 – 1= 63 என்பதை 4095, 262143 ஆகிய இரண்டு எண்களின் மீபொவ என எளிதாக அறிந்துகொள்ள உதவும்.