கேள்வி: பொன் விகிதம் - பொன் விகிதத்தின் இணை பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: φ -ன் இருபடிச் சமன்பாட்டின் எதிர்த் தீர்வு (இணையியத் தீர்வு): :-\frac{1}{\varphi}=1-\varphi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = -0.61803\,39887\dots. இதன் எண் மதிப்பு (≈ 0.618) = ''b/a''. சில சமயங்களில் இம்மதிப்பு பொன் விகிதத்தின் இணை என அழைக்கப்படுகிறது. இதன் குறியீடு Φ: :\Phi = {1 \over \varphi} = {1 \over 1.61803\,39887\ldots} = 0.61803\,39887\ldots. மாறாக Φ பின்வருமாறும் தரப்படலாம்: :\Phi = \varphi -1 = 1.61803\,39887\ldots -1 = 0.61803\,39887\ldots.. இதிலிருந்து நேர்ம எண்களுக்குள் பொன் விகிதத்தின் பின்வரும் தனித்த பண்பினை அறியலாம்: :{1 \over \varphi} = \varphi - 1. அல்லது இதன் தலைகீழி: :{1 \over \Phi} = \Phi + 1. அதாவது: 0.61803... : 1 = 1 : 1.61803....
கேள்வி: பொன் விகிதம் - பொன் முக்கோணம் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: படிமம்:Golden triangle (math).svg]] முக்கோணம்#முக்கோணங்களின் வகைகள் ABC -ல் கோணங்கள் B, C இரண்டும் சமம். இம்முக்கோணத்தில் கோணம் C -ஐ இருசமக்கூறிடல்#கோண இருசமவெட்டி கிடைக்கும் புது முக்கோணம் CXB, முக்கோணம் ABC -க்கு வடிவொப்புமை (வடிவவியல்)#வடிவொத்த முக்கோணங்கள் அமையும் பொன் முக்கோணம். :\triangle ABC\sim\triangle CXB கோணம் C = 2α என்க. இக்கோணம் இருசமக்கூறிடப்படுவதால்: :\angle BCX = \angle XCA = \alpha : ஃ \angle CAB =\alpha (வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பண்பு) : \angle ABC = 2\alpha (முக்கோணம் ABC இருசமபக்க முக்கோணம்) : \angle BXC = 2\alpha (வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பண்பு) ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் கூடுதல் 180° என்பதால், முக்கோணம் ABC -ன் மூன்று கோணங்களின் கூடுதல்: : \alpha + 2\alpha + 2\alpha = 5\alpha = 180 , : ஃ α = 36° முக்கோணம் ABC -ன் கோணங்கள்: 36°-72°-72°. விரிகோண இருசமபக்க முக்கோணம் AXC (பொன் நோமோன்) -ன் கோணங்கள்: 36°-36°-108°. XB -ன் நீளம் 1, மற்றும் BC -ன் நீளம் φ என்க. இருசமபக்க முக்கோணங்களின் பண்பின்படி: : XC = XA = \varphi ; : BC = XC = \varphi ; : AC = AB = \varphi + 1. முக்கோணங்கள் ABC, CXB இரண்டும் வடிவொத்தவை என்பதால்: : \frac{AC}{BC} = \frac{BC}{BX} : AC = \frac{BC^2}{BX} = \varphi^2. : ஃ \varphi ^2 = \varphi + 1 , எனவே இங்கு φ பொன் விகிதம். முக்கோணம் ABC பொன் முக்கோணம். இதேபோல் பெரிய முக்கோணம் AXC-ன் பரப்பிற்கும் சிறிய முக்கோணம் CXB -ன் பரப்பிற்கும் உள்ள விகிதம் 1/φ (Φ). இவ்விகிதத்தில் முக்கோணங்களின் வரிசையை மாற்றக் கிடைக்கும் விகிதம் φ - 1.