கேள்வி: இடைவெட்டுத் தேற்றம் - தேற்றம் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: File:Intercept theorem.svg File:Intercept2.svg தரப்பட்ட இரு கோடுகள் வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளி S. இரு இணைகோடுகள், தரப்பட்ட முதல்கோட்டை வெட்டும் புள்ளிகள் A, B (A -ஐ விட B புள்ளி– S லிருந்து தள்ளி உள்ளவாறு) மற்றும் தரப்பட்ட இரண்டாவது கோட்டை வெட்டும் புள்ளிகள் C, D (C -ஐ விட புள்ளி D, S லிருந்து தொலைவில் இருக்குமாறு). 1. முதல் கோட்டின் ஏதாவது இரு வெட்டுத்துண்டுகளின் விகிதங்கள் அவற்றுக்கு ஒத்த இரண்டாவது கோட்டின் வெட்டுத்துண்டுகளின் விகிதங்களுக்குச் சமமாக இருக்கும்: :| SA | : | AB | =| SC | : | CD | , :| SB | : | AB | =| SD | : | CD | , :| SA | : | SB | =| SC | : | SD | 2. S லிருந்து ஆரம்பிக்கும் ஒரே கோட்டின் இரண்டு வெட்டுத்துண்டுகளின் விகிதம் இணைகோடுகளின் வெட்டுத்துண்டுகளின் விகிதத்திற்குச் சமம்: | SA |:| SB | = | SC | :| SD | =| AC | : | BD | 3. முதல் கூற்றின் மறுதலையும் உண்மை. இரு வெட்டும் கோடுகளை ஏதாவது வேறு இருகோடுகள் வெட்டும்போது ஒரு கோட்டில் ஏற்படும் வெட்டுத்துண்டுகளின் விகிதங்கள் இரண்டாவது கோட்டில் அவற்றுக்கொத்த வெட்டுத்துண்டுகளின் விகிதங்களுக்குச் சமமாக இருந்தால்: :| SA | : | AB | = | SC | : | CD | தரப்பட்ட கோடுகளை வெட்டும் இருகோடுகளும் ஒன்றுக்கொன்று இணையானவை. இரண்டாவது கூற்றின் மறுதலை உண்மையில்லை. 4. இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட கோடுகள் S -ல் வெட்டிக்கொண்டால் ஒரு இணைகோட்டின் இரண்டு வெட்டுத்துண்டுகளின் விகிதம் இரண்டாவது இணைகோட்டின் ஒத்த வெட்டுத்துண்டுகளின் விகிதத்திற்குச் சமம். படத்தில் மூன்று கோடுகள் சந்திக்கும் எடுத்துக்காட்டு தரப்பட்டுள்ளது.
கேள்வி: இடைவெட்டுத் தேற்றம் - கூற்று 2 பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: {| class="wikitable" |- |style="width:800px" valign="top" | Image:Intercept theorem proof2.svg SD -க்கு A வழியாக மற்றுமொரு இணைகோடு வரைக. இந்த இணைகோடு BD -ஐ வெட்டும் புள்ளி G. |AC|=|DG| . \frac{|SA|}{|SB|}=\frac{|DG|}{|BD|}..............கூற்று 1 ஃ \frac{|SA|}{|SB|}=\frac{|AC|}{|BD|} \square |- |}
கேள்வி: இடைவெட்டுத் தேற்றம் - வடிவொப்புமையும் வடிவொத்த முக்கோணங்களும் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: File:Intercept theorem- Triangles.svg வெட்டுத்துண்டுத் தேற்றம் வடிவொப்புமையோடு நெருங்கிய தொடர்புடையது; வடிவொத்த முக்கோணங்களின் கருத்துருவுக்குச் சமானமானது. இடைவெட்டுத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பண்புகளையும்; வடிவொத்த முக்கோணங்களைப் பயன்படுத்தி இடைவெட்டுத் தேற்றத்தையும் நிறுவ முடியும். சமமான கோணங்களைப் பொருத்தி இரண்டு வடிவத்த முக்கோணங்களை ஒன்றுக்குள் ஒன்றாக அமைப்பதன் மூலம் இடைவெட்டுத் தேற்றத்தின் வடிவமைப்பைப் பெறமுடியும். மாறாக வெட்டுத்துண்டுத் தேற்றத்தின் வடிவமைப்பிலேயே இரண்டு வடிவொத்த முக்கோணங்கள் உள்ளன.
கேள்வி: இடைவெட்டுத் தேற்றம் - வரைகோல் மற்றும் கவராய வரைமுறைகளுக்கு இயற்கணித வடிவமைப்புகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: வரைகோல் மற்றும் கவராயம் மூலம் தீர்வு காண வேண்டிய பிரலபமான புகழ்பெற்ற மூன்று பிரச்சனைகள கிரேக்கர்கள் முன்வைத்திருந்தனர். # கோணம் முக்கூறிடல் # கனசதுரம் இரட்டிப்பாக்கல் # வட்டம் சதுரம் 2000 ஆண்டு காலங்களாக தீர்வு காணப்படாமல் இருந்த இம்மூன்று வினாக்களுக்கும் 19 ம் நூற்றாண்டில் இயற்கணிதம் முறையில் தீர்வு காணப்பட்டது. இவ்வினாக்களை இயற்கணித வடிவிற்கு மாற்றுவதற்கு வரைகோல் மற்றும் கவராய முறைச்செயல்களுக்குப் பதில் பொருத்தமான களச்செயல்களைக் களம் (கணிதம்) நீட்டிப்பு முறையில் காண வேண்டிய அவசியம் ஏற்பட்டது. குறிப்பாக தரப்பட்ட இரு கோட்டுத்துண்டுகளின் நீளம் பெருக்குத்தொகைக்குச் சமநீளமுள்ள இரு புதிய கோட்டுத்துண்டு வரையமுடியும் என்பதை உறுதிப்படுத்த வேண்டிய அவசியம் உருவானது. மேலும் d, அளவு நீளமுள்ள ஒரு தரப்பட்டக் கோட்டுத்துண்டிற்கு, d^{-1} அளவு நீளமுள்ள புதிய கோட்டுத்துண்டு வரைய வேண்டியதும் அவசியமாயிற்று. இடைவெட்டுத் தேற்றத்தைக் கொண்டு இவ்விரண்டு வரைமுறைகளும் சாத்தியமானவை என்பதைக் காட்ட முடியும். {| class="wikitable" |- |style="width:280px" valign="top" | பெருக்குத்தொகைக்கு வரைதல் File:Multiplication intercept theorem.svg |style="width:280px" valign="top" | தலைகீழிக்கு வரைதல் File:Construction of an Inverse.svg |- |}