கேள்வி: பித்தேகோரசு தேற்றம் - பித்தகோரசின் நிறுவல் என்பது என்ன?
பதில்: File:Pythagore.jpg பித்தகோரசு தேற்றமானது பித்தகோரசின் காலத்திற்கு முன்பாகவே அறியப்பட்டிருந்தாலும், பித்தகோரசு தான் அத் தேற்றத்தை முதலில் நிரூபித்தவர் ஆவார்Posamentier, Alfred. ''[http://books.google.com/books?id=fHFuCkSrfysC&pg=PA307 The Pythagorean Theorem: The Story of Its Power and Beauty]'', p. 23 (Prometheus Books 2010).. அவர் அளித்த நிறுவல் மிகவும் எளிமையானது. மேலும் அது மறுவரிசைப்படுத்தல் மூலமான நிறுவல் என அழைக்கப்படுகிறது. படத்தில் உள்ள இரு பெரிய சதுரம் ஒவ்வொன்றும் நான்கு முற்றொப்பான முக்கோணங்களைக் கொண்டுள்ளன. ஆனால் இரு சதுரங்களிலும் அவை வெவ்வேறு இடங்களில் உள்ளன. எனவே இவ்விரு சதுரங்களுக்குள்ளும் காணப்படும் வெள்ளை நிறப்பகுதிகள் சமமான பரப்பளவு கொண்டிருக்க வேண்டும். அந்த பரப்பளவுகளைச் சமப்படுத்த பித்தகோரசு தேற்றத்தின் கிடைக்கும்Benson, Donald. ''[http://books.google.com/books?id=8_vbuzxrpfIC&pg=PA172 The Moment of Proof : Mathematical Epiphanies]'', pp. 172–173 (Oxford University Press, 1999).. வடிவொத்த முக்கோணங்கள் வாயிலாக நிறுவல் படிமம்:Proof-Pythagorean-Theorem.svg ABC என்பது ஒரு செங்கோண முக்கோணமாக இருக்கட்டும். C என்னும் முனையில் செங்கோணம் உள்ளது. C இல் இருந்து எதிர்ப் பக்கத்துக்கு ஒரு செங்குத்துக் கோடு வரைவோம். இது எதிர்ப்பக்கமாகிய AB இல் H என்னும் இடத்தில் வெட்டட்டும். இப்பொழுது புதிய முக்கோணமாகிய ACH முதலில் எடுத்துக்கொண்ட ABC என்னும் முக்கோணத்துடன் வடிவொப்புமை (வடிவவியல்) ஆகும். ஏனெனில் இரண்டுமே செங்கோண முக்கோணத்தையும், A என்னும் கோணத்தை பொதுவாகவும் கொண்டிருப்பதால் (மூன்றாவது கோணமும் ஒன்றாகத்தான் இருத்தல் வேண்டும்), இரு முக்கோணங்களும் வடிவொத்த முக்கோணங்கள். இதே போன்ற காரணங்களால், முக்கோணங்கள் ABC, CBH ஆகிய இரண்டும் வடிவொத்த முக்கோணங்கள். வடிவொத்த முக்கோணங்கள் ஆகையால், அவற்றின் பக்க நீளங்களின் விகிதங்கள் ஒத்ததாக இருக்கும். : BC=a, AC=b, \text{ and } AB=c, \! எனவே : \frac{a}{c}=\frac{HB}{a} \mbox{ and } \frac{b}{c}=\frac{AH}{b}.\, இவற்றைக் கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்: :a^2=c\times HB \mbox{ and }b^2=c\times AH. \, இவ்விரண்டு சமன்பாடுகளையும் கூட்டினால், நாம் பெறுவது: :a^2+b^2=c\times HB+c\times AH=c\times(HB+AH)=c^2 .\,\! மேலுள்ளவற்றில் இருந்து பித்தகோரசு தேற்றத்தைப் பெறுகின்றோம்: :a^2+b^2=c^2.\,\!
கேள்வி: பித்தேகோரசு தேற்றம் - இயற்கணித நிறுவல் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: படிமம்:Pythagproof.svg இயற்கணித முறையைப் பின்பற்றிக் கீழ்க்காணும் காரண கருத்தோட்டத்தின் படி நிறுவலாம். இதற்கு அருகில் உள்ள படம் உதவும். *படத்தில் நீல நிறத்தில் C என்னும் பக்கம் கொண்ட சதுரமானது, நான்கு ஒரே அளவும் வடிவும் உடைய செங்கோண முக்கோணங்களை அடுக்கி நடுவே அமைக்கப்பட்டுள்ளது. *நீல நிறச் சதுரமும், மற்ற நான்கு முக்கோணங்களும் சேர்ந்து இன்னும் பெரிய சதுரம் உருவாகி இருப்பதையும் பார்க்கவும். *இப்பெரிய சதுரத்தின் பக்க நீளம் (A+B) என்பதையும் நோக்கவும். *''A'' , ''B'' பக்கநீளங்களுடைய ஒரு சிறு செங்கோண முக்கோணத்தின் பரப்பளவு: :\frac{1}{2} AB. *நடுவே நீல நிறத்தில் சதுரத்தின் பரப்பளவு ''C''2. *எனவே, இப்படத்தில் உள்ள பல்வேறு வடிவங்களின் மொத்தப் பரப்பளவு: :4\left(\frac{1}{2}AB\right)+C^2. \quad (1) *ஆனால் யாவற்றையும் அடக்கி இருக்கும் பெரிய சதுரத்தின் பக்க அளவு ''A''&nbsp;+&nbsp;''B'', எனவே அதன் பரப்பளவு: : (A + B)^2 = A^2 +2AB + B^2 \quad (2) *(1), (2) இரண்டும் பெரிய சதுரத்தின் பரப்பளவையே தருகின்றன. எனவே அவற்றைச் சமப்படுத்த: :A^2+2AB+B^2=4\left(\frac{1}{2}AB\right)+C^2.\,\! : \Rightarrow A^2+2AB+B^2=2AB+C^2\,\! இப்பொழுது 2''AB'' ஐ மேலுள்ள ஈடுகோளின் இருபக்கங்களில் இருந்தும் கழித்தால், :\Rightarrow A^2+B^2=C^2\,\!
கேள்வி: பித்தேகோரசு தேற்றம் - மறுதலை குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: பித்தகோரசு தேற்றத்தின் மறுதலையும் உண்மையாகும்: ;மறுதலைக் கூற்று ''c''2}} என்ற முடிவை நிறைவு செய்யும் நேர் எண்கள் ''a'', ''b'', ''c'' எனில், இம் மூன்று எண்களையும் பக்கங்களாகக் கொண்டு ஒரு முக்கோணம் வரையலாம்; மேலும் அம் முக்கோணம், ''a'' , ''b'' பக்கங்களுக்கு இடையே செங்கோணத்தைக் கொண்ட செங்கோண முக்கோணமாகவும் இருக்கும். ;மாற்றுக் கூற்று ''a'', ''b'', ''c'' ஐப் பக்கங்களாகக் கொண்ட முக்கோணத்தில் ''c''2,}} எனில், ''a'' , ''b'' பக்கங்களுக்கிடையேயான கோணம் 90° ஆகும். இந்த மறுதலை யூக்ளிடின் ’கூறுகள்’ புத்தகத்தில் உள்ளது (புத்தகம் I, முன்வைப்பு 48): [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI48.html Euclid's Elements, Book I, Proposition 48] From [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html D.E. Joyce's web page] at Clark University ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தின் மீது வரையப்படும் சதுரம் முக்கோணத்தின் மற்ற இரு பக்கங்களின் மீது வரையப்படும் இரு சதுரங்களின் கூடுதலுக்குச் சமமாக இருந்தால் அந்த இரு பக்கங்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் செங்கோணம் ஆகும்.அம் முக்கோணம் செங்கோண முக்கோணமாகும். இக் கூற்றினை கொசைன் விதியைப் பயன்படுத்தி நிறுவலாம். கீழ்க்கண்டவாறும் நிறுவலாம்: ;நிறுவல் *''a'', ''b'', ''c'' ஐப் பக்கங்களாகக் கொண்ட முக்கோணம் ''ABC'' என்க. மேலும் ''c''2.}} *''a'' and ''b'' க்கு இடையே செங்கோணம் கொண்ட ஒரு இரண்டாவது முக்கோணத்தை வரைந்தால் பித்தாகரசு தேற்றத்தின்படி, அதன் செம்பக்கத்தின் நீளம் ஆகும். *இது முதல் முக்கோணத்தின் பக்கமான ''c'' க்குச் சமமாகும். *இரு முக்கோணங்களின் பக்கங்கள் சமமாக இருப்பதால் அவையிரண்டும் சர்வசமமாகும். *இரு சர்வசம முக்கோணங்களில் அவற்றின் ஒத்த கோணங்கள் சமமாக இருக்கும் என்பதால், இரண்டாம் முக்கோணத்தில் உள்ளது போலவே முதல் முக்கோணத்திலும் ''a'' , ''b'' பக்கங்களுக்கு இடையேயுள்ள கோணமும் செங்கோணமாகும். அதாவது, முதல் முக்கோணம் ஒரு செங்கோண முக்கோணம். பித்தகோரசு தேற்றத்தின் மறுதலையின் இந் நிறுவலில் பித்தகோரசு தேற்றம் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. எனினும் பித்தகோரசு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தாமலும் அதன் மறுதலையை நிறுவலாம்.Casey, Stephen, "The converse of the theorem of Pythagoras", ''Mathematical Gazette'' 92, July 2008, 309–313.Mitchell, Douglas W., "Feedback on 92.47", ''Mathematical Gazette'' 93, March 2009, 156. ;மறுதலையின் கிளைமுடிவு பித்தகோரசுத் தேற்றத்தின் மறுதலையின் கிளைமுடிவுவானது, எடுத்துக்கொள்ளப்படும் முக்கோணம் விரிகோண முக்கோணமா, குறுங்கோண முக்கோணமா அல்லது செங்கோண முக்கோணமா என வகைப்படுத்தப் பயன்படுகிறது. எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் ''a'' , ''b'' , ''c'' . இவற்றில் மிக நீளமான பக்கம் ''c'' எனில், கீழ்க்காணும் கூற்றுகள் முக்கோணத்தின் வகையைத் தருகின்றன: * ''c''2,}} எனில், முக்கோணம் செங்கோண முக்கோணம். * எனில், முக்கோணம் குறுங்கோண முக்கோணம். * எனில், முக்கோணம் விரிகோண முக்கோணம்.