கேள்வி: ஆய்லர் பான்மை எண் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: கணிதம், ஆய்லர் பான்மை எண் (''Euler characteristic'', ''Euler number'') என்பது ஒரு இடவெளியியல் வெளியின் வடிவம் மற்றும் அமைப்பு குறித்து (அவ்வெளியானது வளைக்கப்படும் விதத்தைக் கருத்தில் கொள்ளாது) விளக்கும் இடவெளியியல் மாறிலி எண்ணாகும். இது \chi என்ற கிரேக்க எழுத்துக்கள் குறிக்கப்படுகிறது.. முதலில் ஆய்லர் பான்மை எண்ணானது, பன்முகத்திண்மம் வரையறுக்கப்பட்டது. பன்முகிகள் குறித்த தேற்றங்களை நிறுவுவதற்கும் பிளேட்டோவின் சீர்திண்மங்கள் உட்பட்ட பன்முகிகளின் வகைப்படுத்தலுக்கும் பயன்படுத்தப்பட்டது. இது கணிதவியலாளரும் வானியலாளருமான பிரான்செசுக்கோ மௌரொலோலிகோவின் 1537ல் கையெழுத்துக் குறிப்பில் பிளேட்டோவின் சீர்திண்மங்களுக்காகக் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. லியோனார்டு ஆய்லர், இதனைப் பெரும்பாலும் குவிப் பன்முகிகளுக்காகப் பயன்படுத்தினார். ஆனால் இது ஒரு மாறிலி எண் என்பதான சரியான நிறுவலை அவர் தரவில்லை. தற்கால கணிதத்தில் ஆய்லர் பான்மை எண்ணானது அமைப்பு ஒப்பியலில் அமைகிறது.
கேள்வி: ஆய்லர் பான்மை எண் - குவிப் பன்முகிகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: பிளேட்டோவின் சீர்திண்மங்களுக்கான ஆய்லர் பான்மை எண் அட்டவணை: {| class="wikitable" |- !பெயர் !படிமம் !உச்சிகள்''V'' !விளிம்புகள்''E'' !முகங்கள்''F'' !ஆய்லர் பான்மை எண்:''V'' &minus; ''E'' + ''F'' |- align=center |நான்முக முக்கோணகம் |Image:tetrahedron.png |4 |6 |4 |2 |- align=center |அறுமுகத்திண்மம் அல்லது கனசதுரம் |Image:hexahedron.png |8 |12 |6 |2 |- align=center |எண்முகி |Image:octahedron.png |6 |12 |8 |2 |- align=center |பன்னிரண்டுமுக ஐங்கோணகம் |Image:dodecahedron.png |20 |30 |12 |2 |- align=center |இருபதுமுக முக்கோணகம் |Image:icosahedron.png |12 |30 |20 |2 |}
கேள்வி: ஆய்லர் பான்மை எண் - குவிவிலாப் பன்முகிகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: குவிவிலாப் பன்முகிகளின் ஆய்லர் பான்மை எண்களுக்கான அட்டவணை: {| class="wikitable" |- !பெயர் !படிமம் !உச்சிகள்''V'' !விளிம்புகள்''E'' !முகங்கள்''F'' !ஆய்லர் பான்மை எண்:''V'' &minus; ''E'' + ''F'' |- align=center |Tetrahemihexahedron |Image:Tetrahemihexahedron.png |6 |12 |7 |1 |- align=center |Octahemioctahedron |Image:Octahemioctahedron.png |12 |24 |12 |0 |- align=center |Cubohemioctahedron |Image:Cubohemioctahedron.png |12 |24 |10 |&minus;2 |- align=center |சிறு நாள்மீன் பன்னிருமுகி |Image:Small stellated dodecahedron.png |12 |30 |12 |&minus;6 |- align=center |பெரு நாள்மீன் பன்னிருமுகி |Image:Great stellated dodecahedron.png |20 |30 |12 |2 |}