கேள்வி: களம் (கணிதம்) - வரையறைகள் என்பது என்ன?
பதில்: ஒரு களத்தின் இலக்கணத்தை மூன்றுவிதமாக அறிமுகப் படுத்தலாம். 1. முற்றொருமை யைக்கொண்ட ஒரு பரிமாற்று வளையம் F இல் தொடங்குவோம். அதனாலேயே அதனில் ‘+’ என்ற ஒரு கூட்டல் செயல்முறையும், ‘*’ என்ற ஒரு பெருக்கல் செயல் முறையும் உள்ளன. மற்றும் கூட்டலுக்கு அது ஒரு பரிமாற்றுக் குலம் பெருக்கல் ஒரு பரிமாற்றுப் பண்பு உள்ளன. இதைத் தவிர கூட்டலும் பெருக்கலும் ஒழுங்காகப் பங்கீட்டுப் பண்பு கொள்கின்றன. இவ்வளவுக்கும் மேல் F இனுள் பூச்சியம் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் ஒரு பெருக்கல் நேர்மாறு இருக்குமானால் , F ஒரு களம் எனப்படும். குறிப்பு: a என்ற உறுப்புக்குப் பெருக்கல் நேர்மாறு உறுப்பு என்பது கீழ்க்காணும் பண்புடைய x என்ற உறுப்பு: a x = x a = 1. 2. பெருக்கல் பரிமாற்றுச் செயலாக இல்லாமல் இருந்தால், மேற்சொன்ன வரையறையில் தொடங்கப்படும் வளையம் F பரிமாறா வளையமாக இருக்கும். இப்படிப்பட்ட F க்குள் சூனியமல்லாத ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் ஒரு பெருக்கல் நேர்மாறு இருக்குமானால் , F ஒரு பரிமாறாக்களம் (Division ring; Skew Field) எனப்படும். இதற்கும் களத்திற்கும் உள்ள ஒரே வேறுபாடு, பெருக்கலின் பரிமாறல் பண்புதான். 3. ஒரு களம் (F, +, *) இன் கொற்கோள்கள் எல்லாவற்றையும் அடிமட்டத்திலிருந்து கீழே உள்ளபடி கொடுக்கலாம்( '+': கூட்டல்; '*': பெருக்கல்): (F1): '+' ஓர் ஈருறுப்புச் செயலி; அ-து, F இல் உள்ள எந்த x, y, க்கும், x + y \in F (F2): '+' ஒரு சேர்ப்பு விதி; அ-து, F இல் உள்ள எந்த x, y, z க்கும் (x + y) + z = x + (y + z) (F3): '+' ஒரு பரிமாற்று விதி; அ-து, F இல் உள்ள எந்த x, y க்கும், x + y = y + x (F4): F இல் கூட்டலுக்கு ஒரு முற்றொருமை உள்ளது; அ-து, F இல் '0' என்ற ஒரு உறுப்பு கீழேயுள்ள பண்புடன் உள்ளது: F இல் உள்ள எந்த x க்கும், x + 0 = x = 0 + x (F5): F இல் உள்ள ஒவ்வொரு x க்கும் ஒரு (கூட்டல்) நேர்மாறு உளது; அ-து, ஒவ்வொரு x க்கும் ஒரு (-x) கீழேயுள்ள பண்புடன் உள்ளது: x + (-x) = 0 = (-x) + x (F6): '*' ஓர் ஈருறுப்புச்செயல்; அ-து, F இல் உள்ள எந்த x, y, க்கும், x * y \in F (F7): '*' ஒரு சேர்ப்பு விதி: அ-து, F இல் உள்ள எந்த x, y, z க்கும் (x * y) * z = x * (y * z) (F8): '*' ஒரு பரிமாற்று விதி: அ-து, F இல் உள்ள எந்த x, y க்கும், x * y = y * x (F9): F இல் பெருக்கலுக்கு ஒரு முற்றொருமை கூட்டல் முற்றொருமையைவிட வேறானதாக உள்ளது; அ-து, F இல் '1' என்ற ஒரு உறுப்பு ( \neq 0) கீழேயுள்ள பண்புடன் உள்ளது: F இல் உள்ள எந்த x க்கும், x * 1 = x = 1 * x (F10): F இல் உள்ள ஒவ்வொரு x க்கும் ஒரு (பெருக்கல்) நேர்மாறு உளது; அ-து, ஒவ்வொரு x க்கும் ஒரு x^{-1} கீழேயுள்ள பண்புடன் உள்ளது: x * x^{-1} = 1 = x^{-1} * x (F11): கூட்டலும் பெருக்கலும் ஒன்றுக்கொன்று பங்கீட்டுப் பண்புகொள்ளக்கூடியவை; அ-து,F இல் உள்ள எந்த x, y, z க்கும் x * (y + z) = (x * y) + (x * z) (x + y) * z = (x * z) + (y * z)