கேள்வி: ஒத்தநிலை மையம் - எதிரொத்த புள்ளி சோடிகள் ஒரு வட்டத்தின் மீதமையும் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: ஒரே ஒத்தநிலை மையத்திலிருந்து வரையப்படும் இரு கதிர்கள் இரு வட்டங்களையும் வெட்டும்போது கிடைக்கின்ற எதிரொத்தபுள்ளி சோடிகள் ஒரு வட்டத்தின் மீதமையும். ;வெளி ஒத்தநிலை மையம்: எதிரொத்த புள்ளிகளின் சோடிகள்: (Q,P&prime;), (S,R&prime;) இந்நான்கும் ஒரு வட்டத்தின் மீதமையும். ;நிறுவல்: படம் 4 இல், *∠QES=∠Q&prime;ES&prime; * \frac{EQ}{EQ^\prime}=\frac{ES}{ES^\prime} (E ஒத்தநிலை மையமாதலால்) மேற்காணும் இரு முடிவுகளின்படி, முக்கோணங்கள் EQS, EQ&prime;S&prime; இரண்டும் வடிவொத்த முக்கோணங்கள். எனவே வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பண்புகளின்படி, கீழுள்ள முடிவு கிடைக்கிறது *∠ESQ=∠ES&prime;Q&prime;=α (வடிவொத்த முக்கோணங்களின் ஒத்த கோணங்கள் சமம்) அடுத்து உள்வரை கோணம்#உள்வரை கோணத் தேற்றம்: *∠EP&prime;R&prime;=∠ES&prime;Q&prime; மேலும் ∠QSR&prime;, ∠ESQ இரண்டும் மிகைநிரப்பு கோணங்கள் ஆதலால்: *∠QSR&prime;=180°-α இம்முடிவுகளை நாற்கரம் QSR&prime;P&prime; இல் பயன்படுத்த: *∠QSR&prime;+∠QP&prime;R&prime;=180°-α+α=180° . எனவே QSR&prime;P&prime; ஒரு வட்ட நாற்கரம்; அதாவது ஒரு வட்டத்துக்குள் வரையப்பட்ட நாற்கரம். எனவே எதிரொத்த புள்ளி சோடிகள் ஒரு வட்டத்தின் மீதமையும் என்பது உண்மையாகிறது. மேலும் ஒரு புள்ளியின் படிபடி பின்வரும் முடிவும் கிடைக்கும்: *EQ·EP&prime;=ES·ER&prime;. இதேபோல மற்ற இரு சோடி எதிரொத்த புள்ளிகளும் ((P,Q&prime;), (R&prime;,S)) ஒரு வட்டத்தில் அமையும் என்பதையும் நிறுவலாம். ;உள் ஒத்தநிலை மையம் I: எதிரொத்த புள்ளி சோடிகள்: (P,Q&prime;) , (RS&prime;) இச் சோடிப் புள்ளிகள் ஒரு வட்டத்தின் மீதமையும். அதாவது நாற்கரம் PRS&prime;Q&prime; ஒரு வட்ட நாற்கரமாக இருக்கும். மேலும் EP·EQ&prime;=ER·ES&prime;. ;நிறுவல்: PIR, P&prime;IR&prime; இரண்டும் வடிவொத்த முக்கோணங்கள் எனவே: *∠RPI=∠IP&prime;R&prime;=α. உள்வரை கோணத்தேற்றத்தின்படி: ∠RS&prime;Q&prime;=∠PP&prime;R&prime;=α . எனவே கோட்டுத்துண்டு RQ&prime; , P, S&prime; ஆகிய இரு புள்ளிகளிலிருந்தும் ஒரே கோணத்தில் பார்க்கப்படுகிறது. அதாவது R, P, S&prime; Q&prime; நான்கும் ஒரு வட்டத்தின் மீது அமையும். மேலும் வெட்டும் நாண்களின் தேற்றம்: *IP·IQ&prime;=IR·IS&prime;. இதேபோல மற்ற எதிரொத்தபுள்ளி சோடிகள் (Q,P&prime) , (S,R&prime;) இரண்டும் ஒரு வட்டத்தின் மீதமையும் எனவும் IQ·IP&prime;=IS·IR&prime;. எனவும் நிறுவலாம்.