கேள்வி: இசுடர்லிங் உட்கண எண் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: கணிதம் இசுட்டெர்லிங் எண்கள் என்பது இரண்டு வகையாகப் புழங்குகிறது. அவைகளில் ஒரு'' n''-கணத்தை ''k'' உட்கணம்ப் பிரிக்கக்கூடிய வழிகளின் எண்ணிக்கை இர ண்டாவது வகை இசுடர்லிங் எண் அல்லது இசுடர்லிங் உட்கண எண் (Stirling Subset Number) எனப் பெயர் பெறும். இதற்குக் குறியீடு ''S(n,k)'' என்றோ அல்லது \left\{\begin{matrix} n\\ k \end{matrix}\right\} என்றோ பயன்படுத்தப்படுகிறது. இதை ''n''-subset-''k'' என்றோ ''n''-உட்கணம்-''k'' என்றோ உச்சரிக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, \left\{\begin{matrix} 4\\ 2 \end{matrix}\right\} = 7Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik (1988) ''Concrete Mathematics'', Addison–Wesley, Reading MA. , p.&nbsp;244.Confusingly, the notation that combinatorialists use for ''falling'' factorials coincides with the notation used in சிறப்பு சார்புகள்s for ''rising'' factorials; see Pochhammer symbol. ஏனென்றால், {a,b,c,d} போன்ற ஒரு 4-கணத்தின் இரண்டு உட்கணங்கள் கொண்ட பிரிவுகள்: : {a,b}/{c,d}; {a,c}/{b,d}; {a,d}/{b,c}; {a}/{b,c,d}; {b}/{a,c,d}; {c}/{a,b,d}; {d}/{a,b,c} இவ்வெண்களின் முதல் சில மதிப்புகளின் அட்டவணையை ஸ்டர்லிங் எண்கள் என்ற கட்டுரையில் பார்க்கவும்.
கேள்வி: இசுடர்லிங் உட்கண எண் - இறங்கும் தொடர்பெருக்கம் உறவு பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: : ''n > 0'' ஆக இருக்குமானால், :(*): x^n = \sum_k \left\{\begin{matrix} n\\ k \end{matrix}\right\} x(x - 1)(x - 2) ... (x - k + 1) இதற்கு இரண்டுவிதமாக நிறுவல் அளிக்கலாம். கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறை ஒரு முறை. இன்னொன்று சேர்வியல் முறை. சேர்வியல் முறையில் நிறுவல்: ''x'' ஒரு நேர்ம முழுஎண் என்று கொள். ''|X| = x, |N| = n'' இருக்கும்படி இரண்டு கணங்கள் ''X, N'' இருப்பதாகக் கொள். ''N'' இலிருந்து ''X'' க்குப்போகும் எல்லாக் கோப்புகளின் எண்ணிக்கை x^n. இதே எண்ணிக்கையை இப்பொழுது வேறுவிதமாகக் கணிப்போம். ஒரு குறிப்பிட்ட கோப்பைக் கவனி. இதனுடைய வீச்சில் (Range)அடங்கிய உறுப்புக்களின் எண்ணிக்கை ''k'' என்று கொள். இந்த குறிப்பிட்ட மதிப்புள்ள 'k'க்கு, \left\{\begin{matrix} n\\ k \end{matrix}\right\} வழிகளில் '' N'' இன் உறுப்புக்களை ''X'' இலுள்ள ஓர் உறுப்புக்குக் கோப்பிடலாம் (may be mapped).இவ்வழிகளில் ஒவ்வொன்றும் ''N'' ஐ உட்கணங்களால் பிரிக்கும் ஒரு பிரிவினை. ஒவ்வொரு பிரிவினையிலும் உள்ள ஒவ்வொரு பிரிவுக்கும் (அ-து. உட்கணத்திற்கும்)'' X'' இல் ஒரு பிம்பம் (Image) -- வெவ்வேறு பிரிவுக்கு வெவ்வேறு பிம்பம்--குறிப்பிடப்பட வேண்டும். இதற்குள்ள வழிகள்: : ''x(x - 1)(x - 2) ... (x - k +1).'' இப்படிச் செய்துவிட்டால் எல்லாக் கோப்புகளையும் கணக்கிட்டாய்விடும்.ஆக, ''k'' என்ற வீச்சையுடைய எல்லாக் கோப்புகளின் எண்ணிக்கை: : \left\{\begin{matrix} n\\ k \end{matrix}\right\}x (x-1)... (x-k+1). x ஒரு நேர்ம முழு எண்ணாக இருக்கும்போது (*)இன் உண்மைக்கு இது நிறுவலாகிறது. ஆனால் இதனாலேயே, x ஐ மாறியாகக் கொண்டால், (*) இன் இருபக்கங்களிலும் உள்ள பல்லுருப்புகள் x இன் முடிவிலா எண்ணிக்கையுள்ள மதிப்புகளுக்கு உண்மையான சமன்பாடாகின்றன. இதன்பொருள் (*) ஒரு முற்றொருமைச் சமன்பாடு.