கேள்வி: வகையிடலின் சங்கிலி விதி - இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட சார்புகளுக்கு என்பது என்ன?
பதில்: இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட சார்புகளின் சேர்ப்புச் சார்புக்குச் சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தலாம். ''f'', ''g'', ''h'' சார்புகளின் சேர்ப்பு என்பது (இதே வரிசையில்), ''f'' சார்புடன் சார்பின் சேர்ப்பாகும். சார்பின் வகைக்கெழு காண, ''f'' இன் வகைக்கெழுவும் இன் வகைக்கெழுவும் காண வேண்டும். ''f'' இன் வகைக்கெழுவை நேரிடையாகவும் இன் வகைக்கெழுவைச் சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தியும் காணலாம். புள்ளியில், :(f \circ g \circ h)'(a) = f'((g \circ h)(a))(g \circ h)'(a) = f'((g \circ h)(a))g'(h(a))h'(a) லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்: :\frac{dy}{dx} = \left.\frac{dy}{du}\right|_{u=g(h(a))}\cdot\left.\frac{du}{dv}\right|_{v=h(a)}\cdot\left.\frac{dv}{dx}\right|_{x=a} அல்லது சுருக்கமாக, :\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dv}\cdot\frac{dv}{dx} எடுத்துக்காட்டு: :y = e^{\sin {x^2}} இச்சார்பை கீழ்க்காணும் சார்புகளின் தொகுப்பாகக் கொள்ளலாம்: :\begin{align} y &= f(u) = e^u, \\ u &= g(v) = \sin v, \\ v &= h(x) = x^2. \end{align} இவற்றின் வகைக்கெழுக்கள்: :\begin{align} \frac{dy}{du} &= f'(u) = e^u, \\ \frac{du}{dv} &= g'(v) = \cos v, \\ \frac{dv}{dx} &= h'(x) = 2x. \end{align} சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்த: :\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dv}\cdot\frac{dv}{dx} :\frac{dy}{dx} = e^{\sin {x^2}}\cdot\cos{x^2}\cdot 2x சார்பை மற்றும் ''h'' சார்புகளின் தொகுப்பாகவும் எடுத்துக் கொள்ளலாம். இம்முறையில் சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்த: :(f \circ g \circ h)'(a) = (f \circ g)'(h(a))h'(a) = f'(g(h(a))g'(h(a))h'(a). இந்த முடிவும் முதலில் கணக்கிட்டதும் சமமாகவே உள்ளதற்குக் காரணம் :(f \circ g )\circ h = f \circ (g \circ h) என்பதே.
கேள்வி: வகையிடலின் சங்கிலி விதி - பலமாறிச் சார்புகளின் உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்கள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: ஃபா டி புருனோவின் வாய்ப்பாடு ஒரு மாறியில் அமைந்த சார்புகளின் உயர்வரிசை வகைடிடலைப் பலமாறிகளில் அமைந்த சார்புகளுக்குப் பொதுமைப்படுத்துகிறது. இன் சார்பாக ''f'' இருந்தால் இன் இரண்டாம் வகைக்கெழு: :\frac{\partial^2 (f \circ g)}{\partial x_i \partial x_j} = \sum_k \frac{\partial f}{\partial u_k}\frac{\partial^2 g_k}{\partial x_i \partial x_j} + \sum_{k, \ell} \frac{\partial^2 f}{\partial u_k \partial u_\ell}\frac{\partial g_k}{\partial x_i}\frac{\partial g_\ell}{\partial x_j}.