கேள்வி: இரு மைய நாற்கரம் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: File:Bicentric quadrilateral.png File:Bicentric kite 001.svg File:Bicentric quadrilateral 2.png யூக்ளீட் வடிவியல் இரு மைய நாற்கரம் (''bicentric quadrilateral'') என்பது உள்வட்டம் (முக்கோணம்) சூழ்தொடு வட்டம் ஆகிய இரண்டும் கொண்ட ஒரு குவிவு நாற்கரம் ஆகும். இதனால் இந்நாற்கரம் தொடு நாற்கரம் வட்ட நாற்கரம் அமையும். இந்நாற்கரம் ''நாண்-தொடுகோடு நாற்கரம்'', (chord-tangent quadrilateral)Dörrie, Heinrich, ''100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions'', New York: Dover, 1965, pp. 188–193. ''உள்வரையப்பட்ட மற்றும் வெளிவரையப்பட்ட நாற்கரம்'' (inscribed and circumscribed quadrilateral) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.
கேள்வி: இரு மைய நாற்கரம் - பரப்பளவு பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: *''a, b, c, d'' -பக்க நீளங்கள் கொண்ட இரு மைய நாற்கரத்தின் பரப்பளவு ''K'' : :\displaystyle K = \sqrt{abcd}. இவ்வாய்ப்பாடு பிரம்மகுப்தர் வாய்ப்பாட்டின் சிறப்பு வகையாகும். இதனைத் தொடு நாற்கரத்தின் பரப்பு காணும் முக்கோணவியல் வாய்ப்பாட்டிலிருந்து தருவிக்கலாம். *ஒரு இரு மைய நாற்கரத்தின் தொடு நாண்கள் ''k, l'' மற்றும் மூலைவிட்டங்கள் ''p, q'' எனில், அதன் பரப்பு.: : K=\frac{klpq}{k^2+l^2}. பரப்பு காணும் பிற வாய்ப்பாடுகள்: *: K=\left|\frac{m^2-n^2}{k^2-l^2}\right|kl . இங்கு ''m'' மற்றும் ''n'' இரு மைய நாற்கரத்தின் இரு நடுக்கோடுகள். *: K=\sqrt[4]{efgh}(e+f+g+h). இதில் ''e, f, g, h'' -தொடுகோடு நீளங்கள். *நாற்கரம் ''ABCD'' -ன் பரப்பளவு: : K=AI\cdot CI+BI\cdot DI ''I'' -உள்வட்ட மையம். *: K=2r^2\left(\frac{1}{\sin{A}}+\frac{1}{\sin{B}}\right). உள்வட்ட ஆரம் ''r'' மற்றும் A, B நாற்கரத்தின் இரு அடுத்துள்ள கோணங்கள். சமனின்மைகள்: *:\displaystyle 4r^2 \le K \le 2R^2.Alsina, Claudi and Nelsen, Roger, ''When less is more: visualizing basic inequalities'', Mathematical Association of America, 2009, pp. 64-66. ''r'' மற்றும் ''R'' முறையே உள்வட்ட, வெளிவட்ட ஆரங்கள். நாற்கரம் சதுரமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே இதிலுள்ள சமன் குறி (இருபுறமும்) பொருந்தும். *: K \le \tfrac{4}{3}r\sqrt{4R^2+r^2} Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum”, 2007, Problem 1203, p. 39, [http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/math4u/ineq.pdf]