கேள்வி: முடிவிலி - வரலாறு பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: பண்டைய பண்பாடுகள் முடிவிலி குறித்து பல்வேறு எண்ணக்கருக்களைக் கொண்டிருந்தன. பண்டைய இந்தியர்களும் கிரேக்கர்களும் புத்தியல் கணிதத்தைப் போல துல்லியமான முறைவழி வரையறுக்கவில்லை. ஆனால் மெய்யியல் கருத்தினமாக அதை விளக்கினர்.
கேள்வி: முடிவிலி - மெய்ப் பகுப்பியல் என்பது என்ன?
பதில்: மெய்ப் பகுப்பியலில், முடிவிலி என அழைக்கப்படும் \infty குறியீடு, வரம்பற்ற சார்பு எல்லை குறிப்பதற்குப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. x \rightarrow \inftyஎன்பது ''x'' இன் மதிப்பு வரம்பில்லாமல் அதிகரித்துக் கொண்டே போகிறது என்பதையும் x \to -\infty என்பது ''x'' இன் மதிப்பு வரம்பில்லாமல் குறைந்து கொண்டே போகிறது என்பதையும் குறிக்கும். ''t'' இன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் ''f''(''t'') ≥ 0 ஆக இருக்கும்பொழுது:These uses of infinity for integrals and series can be found in any standard calculus text, such as, * \int_{a}^{b} \, f(t)\ dt \ = \infty எனில், a இலிருந்து b வரை ''f''(''t'') இன் கீழ் எந்த முடிவிலி பரப்பும் இருக்காது. * \int_{-\infty}^{\infty} \, f(t)\ dt \ = \infty எனில், ''f''(''t'') இன் கீழமையும் பரப்பு முடிவிலியாகும். * \int_{-\infty}^{\infty} \, f(t)\ dt \ = a எனில், ''f''(''t'') கீழுள்ள முழுப்பரப்பும் முடிவிலியாகவும் a க்குச் சமமானதாகவும் இருக்கும். தொடர் (கணிதம்) விவரிப்பதற்கும் முடிவிலி பயன்படுத்தப்படுகிறது: * \sum_{i=0}^{\infty} \, f(i) = a எனில், இந்த முடிவிலித் தொடர், a என்ற மெய்யெண் மதிப்பிற்கு ஒருங்குகிறது என அறியலாம். * \sum_{i=0}^{\infty} \, f(i) = \infty எனில், இது ஒரு விரிதொடரென அறியலாம். தொடர்வு (Sequence)களை முடிவுறு தொடர்வு என்றும் முடிவுறாத் தொடர்வு என்றும் இருவகைப்படுத்தலாம். முடிவுறு தொடர்வு என்பது முடிவு தெரிந்த (அல்லது தெரியப்படுத்தப்பட்ட) தொடர்வு என்று கொள்ளலாம். எடுத்துக்காட்டாக, * 1, 2, 3, ..., 10. என்ற தொடர்வில் 10 உறுப்புகள் உள்ளன. * a_1, a_2, a_3, .... a_{100} என்ற தொடர்வில் 100 உறுப்புகள் உள்ளன. இவை முடிவுறு தொடர்கள் எனப்படும். மாறாக, * 1,2,3, ... என்று முடிவே இல்லாமல் இருக்கும் தொடர்வு முடிவுறாத்தொடர்வு. இத்தொடர் முடிவிலா உறுப்புக்கள் உள்ளன என்பதே சரியான கூற்று. மாறாக இத்தொடரிலுள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை \infty என்பது சரியாகாது. ஒரு முடிவிலா கணத்தில் எவ்வளவு உறுப்புக்கள் உள்ளன என்பதை அலசுவதற்குத்தான் எண்ணுமை (Countability) எண்ணவியலாமை (Uncountability) என்ற கருத்துக்கள் உருவாக்கப்பட்டன. * 1,2,3, ... * 2,4,6, ... * ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... ஆக இந்த மூன்று தொடர்வுகளும் ஒரே "எண்ணளவை" யுள்ள கணங்கள் என்ற கருத்து ஒரு நுண்புலக் கணிதக் கருத்து. இதனுடைய விவரங்களை எண்ணுறுமையும் எண்ணுறாமையும் கட்டுரையில் காணலாம்