கேள்வி: அப்பொலோனியசின் தேற்றம் - நிறுவல் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: image:ApolloniusTheoremProof.svg இந்தத் தேற்றத்தை இசுட்டுவர்டு தேற்றத்தின் தனிக்கூறுகளின் ஒன்றாக நிறுவமுடியும், அல்லது திசையன்களைக் கொண்டு நிறுவமுடியும் (காண்க: இணை நாற்கரத்தின் விதி). அடுத்து வருவது, அப்படியான அடிப்படையில் இல்லாமல் கோசைன் விதியைக் கொண்டு நிறுவுவது ஆகும்"Godfrey & Siddons"ஐப் பின்பற்றி ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களாக ''a'', ''b'', ''c'' என்பன இருக்கட்டும். அதன் ''a'' என்னும் பக்கத்தின் நடுப்புள்ளிக்கு வரையும் நடுக்கோடு ''d'' என்பதாக இருக்கட்டும். அடுத்து, ''m'' என்பது நடுக்கோட்டால் சமமாக பிரிக்கப்பட்ட ''a'' என்பதின் நீளமாகட்டும். எனவே ''m'' என்பது ''a'' யின் சரிபாதி ஆகும். பக்கம் ''a''வுக்கும் ''d'' யுக்கும் இடையே உள்ள ஒரு பக்கக் கோணம் θ ("தீட்டா") என்றும், மறுபக்கக் கோணம் θ′ என்றுமாக இருக்கட்டும். அதாவது ''b'' இருக்கும் பக்கத்தில் உள்ள கோணம் θ என்றும், ''c'' பக்கம் உள்ள கோணம் θ′ என்றுமாக இருக்கட்டும். அதாவது θ′ என்பது, θ என்னும் கோணத்தின் 180°-துணைக்கோணம். எனவே cos θ′ = −cos θ. கோணங்கள் θ, θ′ ஆகியவற்றுக்கான கோசைன் விதிப் படி : \begin{align} b^2 &= m^2 + d^2 - 2dm\cos\theta \\ c^2 &= m^2 + d^2 - 2dm\cos\theta' \\ &= m^2 + d^2 + 2dm\cos\theta.\, \end{align} இவற்றைக் கூட்டினால், கிடைப்பது: :b^2 + c^2 = 2m^2 + 2d^2\, இதுவே நிறுவவேண்டிய சமன்பாடு.
கேள்வி: அப்பொலோனியசின் தேற்றம் - மேற்கோள்களும் அடிக்குறிப்புகளும் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: * * பகுப்பு:யூக்ளிடிய வடிவவியல் பகுப்பு:முக்கோணங்கள் பற்றிய தேற்றங்கள் பகுப்பு:நிறுவலடங்கிய கணிதத்தேற்றங்கள்