கேள்வி: இருபடி வாய்பாடு குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: File:Quadratic roots.svg அடிப்படை இயற்கணிதம் இருபடி வாய்பாடு (''quadratic formula'') என்பது ஒரு இருபடிச் சமன்பாடு தீர்வுகளைக் காண உதவும் வாய்பாடாகும். இந்த இருபடி வாய்பாடு மட்டுமின்றி ஒரு இருபடிச் சமன்பாடின் தீர்வுகளை காரணிப்படுத்துதல், வர்க்க நிரப்பி முறை, சார்பின் வரைபடம் போன்ற முறைகளிலும் கண்டுபிடிக்கலாம். ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் பொதுவடிவம்: :ax^2+bx+c=0 ( மாறி, , and மாறிலிகள்; ) இச்சமன்பாட்டின் தீர்வுகளைத் தரும் இருபடி வாய்பாடு: :x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \ கூட்டல்-கழித்தல் குறிகள் சமன்பாட்டிற்கு இரு தீர்வுகள் உள்ளதைக் காட்டுகிறது இரு தீர்வுகளையும் தனித்தனியாக எழுத: : x_1=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}\quad\text{and}\quad x_2=\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a} இவ்விரு தீர்வுகளும் இருபடிச் சமன்பாட்டின் வலப்புறமுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவையின் சார்பின் மூலம் என அழைக்கப்படுகின்றன. வடிவவியல்ரீதியாக இந்த மூலங்கள் என்ற சமன்பாட்டின் வரைபடமாக அமையும் பரவளைவு -அச்சைச் சந்திக்கும் இரு புள்ளிகளின் -மதிப்புகளைக் குறிக்கின்றன பரவளைவு -அச்சைச் சந்திக்கும் புள்ளிகளை அறியத்தருவதோடு இவ்வாய்பாடு பரவளைவின் சமச்சீர் அச்சைக் காண்பதற்கும் பயன்படுகிறது. மேலும் இவ்வாய்பாட்டினைக் கொண்டு இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு எத்தனை மெய்யெண் மூலங்கள் உள்ளன என்பதையும் தீர்மானிக்க முடிகிறது.
கேள்வி: இருபடி வாய்பாடு - வடிவவியல் பயன்பாடு என்பது என்ன?
பதில்: File:Quadratic function graph key values.svg ஆயபகுமுறை வடிவவியலின் படி ஒரு இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையானது ஒரு பரவளைவைக் குறிக்கும். பரவளைவின் பொதுச் சமன்பாடு: y =p(x) = y = ax² + bx + c ஒரு இருபடிக்கோவை, a, b, c மூன்றும் மாறிலிக் கெழுக்கள். இக்கோவையின் மூலங்கள் கோவையின் பரவளைவானது -அச்சைச் சந்திக்கும் புள்ளிகளைக் குறிக்கின்றன. மேலும் இருபடி வாய்ப்பாட்டை இரு உறுப்புகளாகக் பிரித்தெழுத: :x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}=-\frac{b}{2a} \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a} }} என்ற கோடு பரவளைவின் சமச்சீர் அச்சுக்கோடாகவும், − 4''ac''}}|2''a''}}}} என்பது சமச்சீர் அச்சிலிருந்து , -அச்சைச் சந்திக்கும் புள்ளிகளமையும் தொலைவைக் காட்டுகின்றன. கூட்டல் குறி சமச்சீர் அச்சிலிருந்து வலப்புறத் தொலைவையும் கழித்தல் குறி இடப்புறத் தொலைவையும் தருகின்றன. தொலைவைக் குறிக்கும் பகுதி பூச்சியமானால், சமச்சீர் அச்சின் மதிப்பு மட்டுமே ஒரேயொரு தீர்வாக அமையும். அதாவது − 4''ac''}} 0}} அல்லது − 4''ac'' 0}} எனில் இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு ஒரேயொரு தீர்வு மட்டுமே உண்டு. அதாவது பரவளைவு -அச்சை ஒரேயொரு புள்ளியில் மட்டுமே சந்திக்கும். − 4''ac''}} }} என்பது இருபடிச் சமன்பாட்டின் தீர்வுகளின் "தன்மைகாட்டி" என அழைக்கப்படுகிறது. தன்மைகாட்டியின் மதிப்பு: *பூச்சியமாக இருந்தால் ஒரேயொரு தீர்வு உண்டு. அதாவது பரவளைவு -அச்சை ஒரேயொரு புள்ளியில் மட்டுமே சந்திக்கும். *பூச்சியமற்றதாக, நேர்மமாக இருந்தால் இரு மெய்யெண் தீர்வுகள். பரவளைவு -அச்சை இரு புள்ளிகளில் சந்திக்கும். *எதிர்மமாக இருந்தால் தீர்வுகள் சிக்கலெண்களாக இருக்கும். இச்சிக்கலெண் தீர்வுகள் ஒன்றுக்கொன்று இணைச் சிக்கலெண் இருக்கும். பரவளைவு -அச்சை சந்திக்கும் மெய்யெண் மதிப்புகள் கிடையாது.