கேள்வி: தொடர்வரிசையின் எல்லை - வரலாறு குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: முதன்முதலில் கிரேக்க மெய்யியலாளர் எலியாவின் சீனோ, அவரது தோற்ற முரண்களில் எல்லை காணும்முறையை முறைப்படுத்தினார். லியூசிப்பஸ், டெமோக்கிரட்டிசு, ஆன்ட்டிபோன்,, நீடியோசின் யூடாக்சசு, அர்க்கிமெடெசு ஆகிய அறிஞர்கள் நீக்கல் முறையை மேம்படுத்தி, ஒரு முடிவுறாத் தொடர்வரிசையைத் தோராயப்படுத்தி பரப்பளவையும், கனவளவையும் கண்டுபிடித்தனர். இன்று பெருக்குத் தொடர் என அழைக்கப்படும் தொடரின் கூட்டுத்தொகை காணும் வழியை அர்க்கிமெடெசு கண்டறிந்தார் கணிதவியலாளர் கிரகோரி டி செயின்ட்-வின்சென்ட், முதன்முதலாகப் பெருக்குத் தொடரின் எல்லையின் வரையறையை வெளியிட்டார் (''Opus Geometricum'' (1647))Van Looy, H. (1984). A chronology and historical analysis of the mathematical manuscripts of Gregorius a Sancto Vincentio (1584–1667). Historia Mathematica, 11(1), 57-75. பியாட்ரோ மென்கோலி என்ற இத்தாலியக் கணிதவியலாளர் தொடர்வரிசையின் எல்லையின் நவீன கருத்தை தனது ஆய்வுகளில் முன்னதாகவே கணித்திருந்தார். ஐசாக் நியூட்டன் தொடர் (கணிதம்) குறித்து ஆய்வு செய்திருந்தார் (''Analysis with infinite series'' -1669 இல் எழுதப்பட்டு, கையெழுத்துப் படியாக இருந்து, 1711 இல் வெளியிடப்பட்டது; ''Method of fluxions and infinite series'' -1671 எழுதப்பட்டு, 1736 இல் ஆங்கில மொழிபெயர்ப்பாக வெளியாகி பின்னாளில் இலத்தீன் மூலப்படி பின்னாளில் வெளியானது; ''Tractatus de Quadratura Curvarum'' -1693இல் எழுதப்பட்டு, 1704இல் அவரது ''Optiks''இல் பின்சேர்க்கையாக வெளியானது). அவரது பிந்தைய ஆய்வுகளில், o \to 0 எனும்போது எல்லை காண்பதன்மூலம் ஈருறுப்பு விரிவு (x+o)^n ஐ நேரியல் படுத்தினார். 18 ஆம் நூற்றாண்டில், கணிதவியலாளர் லியோனார்டு ஆய்லர் போன்ற கணிதவியலாளர்கள் சில விரிதொடர்களின் கூட்டுத்தொகை காண்பதில் வெற்றிபெற்றனர். 18 ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் கணிதவியலாளர் ஜோசப் லூயி லாக்ராஞ்சி, சரியான முயற்சியின்மையே நுண்கணிதத்தில் மேலதிக மேம்படையாதன் காரணம் என்ற கருத்தைத் தெரிவித்தார் (''Théorie des fonctions analytiques'' -1797) முதன்முதலாக கணிதவியலாளர் கார்ல் பிரீடிரிக் காஸ், ஒரு தொடரானது ஒரு குறிப்பிட்ட எல்லைக்கு ஒருங்குவதற்குத் தேவையான நிபந்தனைகளைக் கண்டறிந்தார். எல்லையின் தற்கால வரையறை, கணிதவியலாளர்கள் பெர்னார்டு பொல்சானோ (''Der binomische Lehrsatz'', Prague 1816), கார்ல் வியர்ஸ்ட்ராஸ் (1870களில்) கண்டறியப்பட்டது.
கேள்வி: தொடர்வரிசையின் எல்லை - எடுத்துக்காட்டுகள் என்பது என்ன?
பதில்: * x_n = c; c ஒரு மாறிலியெனில், : x_n \to c.''Proof'': Choose N = 1. For every n \geq N, |x_n - c| = 0 Brilliant Math & Science Wiki|url=https://brilliant.org/wiki/limits-of-sequences/|access-date=2020-08-18|website=brilliant.org|language=en-us}} * x_n = \frac{1}{n} எனில், : x_n \to 0.''Proof'': choose N = \left\lfloor\frac{1}{\varepsilon}\right\rfloor + 1 (கீழ்மட்டச் சார்பு). For every n \geq N, |x_n - 0| \le x_N = \frac{1}{\lfloor 1/\varepsilon \rfloor + 1} . * x_n = \frac{1}{n}, n ஓர் நிகரி (கணிதம்) எண்ணாக இருக்கும்போது x_n = \frac{1}{n^2} எனில், : x_n \to 0. (n ஒற்றையெண் எனில், x_{n+1} > x_n என்பது இங்கு பொருத்தமற்றது.) * எந்தவொரு மெய்யெண்ணுக்கும், தசமத் தோராயங்களை எடுப்பதன்மூலம், அதே எண்ணுக்கு ஒருங்கும் ஒரு தொடர்வரிசையை அமைக்க முடியும்: எடுத்துக்காட்டாக, 0.3, 0.33, 0.333, 0.3333, \dots என்ற தொடர்வரிசையின் எல்லை, \frac{1}{3} அல்லது பதின்ம உருவகிப்பு 0.3333\dots ஆகும். : 0.3333... : = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{3}{10^k} * எல்லாத் தொடர்வரிசைகளுக்கும் எல்லை காண்பது எளிதானதாக இருக்காது. எடுத்துக்காட்டாக, E (கணித மாறிலி) ஐ எல்லையாகக்கொண்ட \lim_{n\to\infty} \left(1 + \tfrac{1}{n}\right)^nதொடர்வரிசையும் கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி தொடர்வரிசையும் இதற்கு எடுத்துக்காட்டுகளாகும். இத்தகைய தொடர்வரிசைகளின் எல்லைகளைக் காண்பதற்கு பிழிவுத் தேற்றம் பயன்படுகிறது.
கேள்வி: தொடர்வரிசையின் எல்லை - எடுத்துக்காட்டுகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: * x_{n, m} = c (c ஒரு மாறிலி) எனில், x_{n,m} \to c. * x_{n, m} = \frac{1}{n + m} எனில் x_{n, m} \to 0. * x_{n, m} = \frac{n}{n + m} எனில், எல்லை இருக்காது. n, and m இரண்டும் அதிகரிக்கும் சார் வேகத்தைப் பொறுத்து, தொடர்வரிசையானது, 0, 1 ஆகிய இரண்டுக்கும் இடைப்பட்ட எந்தவொரு மதிப்புக்கும் அருகாக நெருங்கும்.