கேள்வி: அதிபரவளையச் சார்பு - பயனுள்ள தொடர்புகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: *ஒற்றை மற்றும் இரட்டைச் சார்புகள்: :\begin{align} \sinh (-x) &= -\sinh x \\ \cosh (-x) &= \cosh x \end{align} எனவே: :\begin{align} \tanh (-x) &= -\tanh x \\ \coth (-x) &= -\coth x \\ \operatorname{sech} (-x) &= \operatorname{sech} x \\ \operatorname{csch} (-x) &= -\operatorname{csch} x \end{align} cosh ''x'' மற்றும் sech ''x'' இரண்டும் இரட்டைச் சார்புகளாகவும் மற்ற அதிபரவளையச் சார்புகள் ஒற்றைச் சார்புகளாகவும் இருப்பதைக் காணலாம். *நேர்மாறுச் சார்புகள் :\begin{align} \operatorname{arsech} x &= \operatorname{arcosh} \frac{1}{x} \\ \operatorname{arcsch} x &= \operatorname{arsinh} \frac{1}{x} \\ \operatorname{arcoth} x &= \operatorname{artanh} \frac{1}{x} \end{align} *அதிபரவளைய சைன் மற்றும் கொசைன் சார்புகள் இரண்டும் பின்வரும் முற்றொருமையை நிறைவு செய்கின்றன: :\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\, இம்முற்றொருமை பித்தாகரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமையை ஒத்துள்ளது. மேலும் பிற சார்புகளுக்கு: :\begin{align} \operatorname{sech} ^{2} x &= 1 - \tanh^{2} x \\ \operatorname{csch} ^{2} x &= \coth^{2} x - 1 \end{align} :\frac{1}{2} f'' = f^3 - f ; \quad f(0) = f'(\infty) = 0 இன் தீர்வாக tanh அமைகிறது. *cosh&nbsp;(''x'') இன் கீழமையும் பரப்பு கீழ்க்கண்டவாறு வில்லின் நீளத்திற்குச் சமமாக இருக்கும்: , [http://books.google.com/books?id=hfi2bn2Ly4cC&pg=PA472 Extract of page 472] :\text{area} = \int_a^b{ \cosh{(x)} } \ dx = \int_a^b\sqrt{1 + \left(\frac{d}{dx} \cosh{(x)}\right)^2} \ dx = \text{வில்லின் நீளம்} *கோணங்களின் கூட்டல்: :\begin{align} \cosh (x + y) &= \sinh x \sinh y + \cosh x \cosh y \\ \sinh (x + y) &= \cosh x \sinh y + \sinh x \cosh y \end{align} குறிப்பாக, :\begin{align} \cosh (2x) &= \sinh^2{x} + \cosh^2{x} = 2\sinh^2 x + 1 = 2\cosh^2 x - 1\\ \sinh (2x) &= 2\sinh x \cosh x \end{align} *cosh மற்றும் sinh இன் கூடுதலும் வித்தியாசமும்: :\begin{align} \cosh x + \sinh x &= e^x \\ \cosh x - \sinh x &= e^{-x} \end{align}
கேள்வி: அதிபரவளையச் சார்பு - முற்றொருமைகள் என்பது என்ன?
பதில்: முக்கோணவியல் சார்புகளின் முற்றொருமைக்களுக்கு ஒத்த பல முற்றொருமைகளை அதிபரவளையச் சார்புகள் நிறைவு செய்கின்றன: * \begin{align} \sinh(x + y) &= \sinh (x) \cosh (y) + \cosh (x) \sinh (y) \\ \cosh(x + y) &= \cosh (x) \cosh (y) + \sinh (x) \sinh (y) \\ \tanh(x + y) &= \frac{\tanh (x) + \tanh (y)}{1 + \tanh (x) \tanh (y)} \end{align} * \begin{align} \sinh 2x &= 2\sinh x \cosh x \\ \cosh 2x &= \cosh^2 x + \sinh^2 x = 2\cosh^2 x - 1 = 2\sinh^2 x + 1 \\ \tanh 2x &= \frac{2\tanh x}{1 + \tanh^2 x} \end{align} *அரைக்கோண முற்றொருமைகள்: , [http://books.google.com/books?id=PGuSDjHvircC&pg=PA1155 Chapter 26, page 1155] :\sinh \frac{x}{2} = \sqrt{ \frac{1}{2}(\cosh x - 1)} \, :\cosh \frac{x}{2} = \sqrt{ \frac{1}{2}(\cosh x + 1)} \, : \tanh \frac{x}{2} = \sqrt \frac{\cosh x - 1}{\cosh x + 1} = \frac{\sinh x}{\cosh x + 1} = \frac{\cosh x - 1}{\sinh x} = \coth x - \operatorname{csch}x.
கேள்வி: அதிபரவளையச் சார்பு - வரைபடங்கள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: Image:sinh cosh tanh.svg Image:csch sech coth.svg Image:Hyperbolic and exponential; cosh.svg cosh(''x'').]] Image:Hyperbolic and exponential; sinh.svg