கேள்வி: முக்கோணத்தின் உள்வட்டமும் வெளிவட்டங்களும் - ஒன்பது-புள்ளி வட்டமும் ஃபோயர்பாக் புள்ளியும் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: உள்வட்டம் மற்றும் மூன்று வெளிவட்டங்களுக்கும் தொடுவட்டமாக அமையும் வட்டமானது ஒன்பது-புள்ளி வட்டம் எனப்படுகிறது. இந்த ஒன்பது-புள்ளி வட்டம் உள்வட்டத்தைத் தொடும் புள்ளி, ''ஃபோயர்பாக் புள்ளி''(Feuerbach point) எனப்படுகிறது.
கேள்வி: முக்கோணத்தின் உள்வட்டமும் வெளிவட்டங்களும் - நான்கு வட்டங்களின் சமன்பாடுகள் என்பது என்ன?
பதில்: முந்நேரியல் ஆயதொலைவுகளில், x : y : z என்பது மாறக்கூடிய ஒரு புள்ளி என்க. மேலும், u = cos''2'(A/2)'', v = cos''2'(B/2)'', w = cos''2'(C/2)''. :* உள்வட்டச் சமன்பாடு: ::\ u^2x^2+v^2y^2+w^2z^2-2vwyz-2wuzx-2uvxy=0 :* முக்கோண உச்சி A =வெளிவட்டச் சமன்பாடு: ::\ u^2x^2+v^2y^2+w^2z^2-2vwyz+2wuzx+2uvxy=0 :* முக்கோண உச்சி B- வெளிவட்டச் சமன்பாடு: ::\ u^2x^2+v^2y^2+w^2z^2+2vwyz-2wuzx+2uvxy=0 :* முக்கோண உச்சி C -வெளிவட்டச் சமன்பாடு: ::\ u^2x^2+v^2y^2+w^2z^2+2vwyz+2wuzx-2uvxy=0
கேள்வி: முக்கோணத்தின் உள்வட்டமும் வெளிவட்டங்களும் - உள்வட்டத்தின் பிற பண்புகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: * உள்வட்டத்தின் தொடு புள்ளிகள், முக்கோணத்தின் பக்கங்களை [ ''x'' , ''y''] , [''y'' , ''z''] , மற்றும் [''z'' , ''x''] என்ற நீளங்களாகப் பிரித்தால்:Chu, Thomas, ''The Pentagon'', Spring 2005, p. 45, problem 584. : r^2 = \frac{xyz}{x+y+z} இங்கு ''r'' உள்வட்ட ஆரமாகும். * முக்கோணத்தின் ''a'', ''b'', மற்றும் ''c'' நீளங்கள் கொண்ட பக்கங்களிலிருந்து, குத்துக்கோடுகளின் நீளங்கள்: ''ha'', ''hb'', and ''hc'' மற்றும் உள்வட்ட மையம் ''r'' எனில்: : r = \frac{1}{h_a^{-1}+h_b^{-1}+h_c^{-1}}. * உள்வட்ட ஆரமானது சுற்றுவட்ட ஆரத்தில் பாதிக்கும் அதிகமாக இருக்காது.(ஆயிலரின் முக்கோண சமனின்மை)Nelson, Roger, "Euler's triangle inequality via proof without words," ''Mathematics Magazine'' 81(1), February 2008, 58-61. * உள்வட்ட மையத்திற்கும் சுற்றுவட்ட மையத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரம்: :\sqrt{R(R-2r)}, இங்கு ''r'' -உள்வட்ட ஆரம்; ''R'' -சுற்றுவட்ட ஆரம். * ''a'', ''b'', and ''c'' பக்க நீளங்கள் கொண்ட முக்கோணத்தின் உள்வட்ட ஆரம் மற்றும் சுற்றுவட்ட ஆரத்தின் பெருக்கற்பலன்:Johnson, Roger A., ''Advanced Euclidean Geometry'', Dover, 2007 (orig. 1929), p. 189, #298(d). : rR = \frac{abc}{2(a+b+c)}. * ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பையும் சுற்றளவையும் பாதியாகப் பிரிக்கும் எந்தவொரு கோடும் அம்முக்கோணத்தின் உள்வட்ட மையத்தின் வழியே செல்லும்.Kodokostas, Dimitrios, "Triangle Equalizers," ''Mathematics Magazine'' 83, April 2010, pp. 141-146.