கேள்வி: மீளும் தசமங்கள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: மீளும் தசமங்கள் (''Repeating Decimal'' அல்லது ''Recurring Decimal'') எனப்படுவது விகிதமுறு எண்களை பதின்மம் எண்களாக எழுதும் ஒரு வகையாகும். இவ்வெண்களில் ஏதேனுமொரு தசம தானத்திலிருந்து இன்னுமொரு தசம தானம் வரை ஒரே எண் (பூச்சியம் தவிர) அல்லது எண் கூட்டங்கள் மீண்டும் மீண்டும் இடம்பெறும். மீளும் எண் பூச்சியமாக இருந்தால் அந்தப் பதின்ம எண் ஒரு முடிவுறு பதின்ம எண்ணாகும். ஏனெனில் கடைசியாக நீளும் பூச்சியங்களுக்கு மதிப்பு கிடையாது என்பதால் மீளும் பூச்சியத்தை எழுதாமல் விட்டுவிடலாம், இப்பூச்சியத்துக்கு முன்பாக பதின்மம் முடிவு பெற்றுவிடும்.Courant, R. and Robbins, H. ''What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed.'' Oxford, England: Oxford University Press, 1996: p. 67 . மீண்டும் மீண்டும் இடம்பெறும் எண் அல்லது எண் கூட்டங்களை இவ்வாறு (.....) இடுவதன் மூலம் எடுத்துக்காட்டலாம். உதாரணம்: * 1/3 = 0.333... (3 மீண்டும் மீண்டும் இடம்பெறுகின்றது) * 1/7 = 0.14285714285... ("142857" எனும் எண்கூட்டம் மீண்டும் மீண்டும் இடம்பெறுகின்றது) * 77/600 = 0.128333... (3 மீண்டும் மீண்டும் இடம்பெறுகின்றது) * 3227/555 = 5.8144144144…. (144 மீண்டும் மீண்டும் இடம்பெறுகிறது) ஒவ்வொரு முடிவுறு பதின்ம எண்ணையும் பதின்ம பின்னமாக எழுதலாம். அவ்வாறு எழுதப்படும் பின்னத்தின் பகுதி பத்தின் அடுக்காக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, }}. ஒரு முடிவுறு பதின்ம எண்ணை விகிதம் வடிவிலும் எழுதலாம். எடுத்துக்காட்டாக, }}. முடிவுறு பதின்ம உருவகிப்புகொண்ட ஒவ்வொரு எண்ணையும் 9 ஐ மீளும் எண்ணாகக் கொண்ட மீளும் தசமமாக எழுதமுடியும்: :0.999... : 1.584999…}} இரு முழு எண்களின் விகிதமாக எழுத முடியாத எண்கள் விகிதமுறா எண்கள் என அழைக்கப்படுகின்றன. விகிதமுறா எண்களின் தசம வடிவங்கள் முடிவுறா, மீளா வடிவானவை. 2 இன் வர்க்கமூலம், பை (கணித மாறிலி) இரண்டும் விகிதமுறா எண்கள். : ::
கேள்வி: மீளும் தசமங்கள் - பகாஎண் பகுதிகொண்ட பின்னங்கள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: 2 அல்லது 5 தவிர்த்த (10 இன் சார்பகா முழுஎண்கள் தவிர்த்த) மற்ற பகாஎண்களைப் பகுதியாகக் கொண்ட சுருக்கவியலாப் பின்னம் எப்பொழுதும் ஒரு மீளும் தசமத்தைத் தரும். 1/''p'' இன் காலமுறை நீளம் ''k'' ஆனது மாடுலோ ''p'' இன் கீழ் 10 இன் பெருக்கல் வரிசையாக இருக்கும் (''10'k'' &equiv; 1 (சமானம், மாடுலோ n)). ஏது மூலம், மாடுலோ p 10 எனில் மீளும் எண்கூட்டத்தின் நீளம் ''p''&nbsp;&minus;&nbsp;1 ஆகவும், ''p'' இன் ஏது மூலமாக 10 இல்லையெனில் பெர்மாவின் சிறிய தேற்றம், மீளும் எண்கூட்டத்தின் நீளம் ''p''&nbsp;&minus;&nbsp;1 இன் காரணியாக இருக்கும். பத்தடிமானத்தில் 5 ஐ விடப் பெரியதான எந்தவொரு பகாஎண்ணின் பெருக்கல் தலைகீழியின் மீளும் தசமத்தின் மீளும் எண்கூட்டம் 9 ஆல் வகுபடும்.Gray, Alexander J., "Digital roots and reciprocals of primes," ''Mathematical Gazette'' 84.09, March 2000, 86. பகாஎண் ''p'' இன் தலைகீழி 1/''p'' இன் மீளும் தசமத்தின் காலமுறை நீளம் ''p''&nbsp;&minus;&nbsp;1 எனில், முழுஎண்ணாக எழுதப்படும் அதன் மீளும் எண்கூட்டம் சுழல் எண் எனப்படும்.