கேள்வி: நாற்கரம் - குவிந்த நாற்கரத்தின் பரப்பளவு பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: ஒரு குவிந்த செவ்வகத்தின் பரப்பளவு காண்பதற்கு பல வாய்பாடுகள் உள்ளன. எடுத்துக்கொள்ளப்படும் குவிந்த நாற்கரம் ''ABCD'' இன் பக்கங்கள்: ''AB'', ''b'' ''BC'', ''c'' ''CD'', ''d'' ''DA''}}; பரப்பளவு .
கேள்வி: நாற்கரம் - திசையன் வாய்பாடுகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: திசையன் பயன்படுத்தி நாற்கரம் இன் பரப்பளவின் வாய்பாடு: :K = \frac{|\mathbf{AC}\times\mathbf{BD}|}{2}, (, திசையன்கள், நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்கள்) இது, , திசையன்களின் குறுக்குப் பெருக்கு (திசையன்) மட்டு அளவில் பாதியாகும். இரு பரிமாண யூக்ளிடிய தளத்தில் இவ்விரு திசையன்களும் , எனில் பரப்பளவின் வாய்பாடு பின்வருமாறு அமையும்: :K = \frac{|x_1 y_2 - x_2 y_1|}{2}.
கேள்வி: நாற்கரம் - இணைகரவிதியும், தொலெமியின் தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தலும் என்பது என்ன?
பதில்: எந்தவொரு குவிவு நாற்கரத்திலும் அதன் நான்கு பக்க நீளங்களின் வர்க்கங்ளின் கூட்டுத்தொகையானது, அதன் மூலைவிட்ட நீளங்களின் வர்க்கங்கள், மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் நீளத்தின் வர்க்கத்தின் நான்கு மடங்கு இவற்றின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமமாக இருக்கும். அதாவது குவிவு நாற்கரம் ''ABCD'' எனில்: : a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = p^2 + q^2 + 4x^2 இதில், மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் நீளம் ''x''. இம்முடிவானது ஆய்லரின் நாற்கரத் தேற்றம் என அறியப்படுவதோடு, இணைகர விதியின் பொதுமைப்படுத்தலுமாக உள்ளது. 1842 இல் செருமானியக் கணிதவியலாளர் கார்ல் ஆன்டன் பிரெட்ஷ்ணைடர், தொலெமியின் தேற்றம் பொதுமைப்படுத்தலைக் கீழுள்ளவாறு தந்துள்ளார். இது குவிவு நாற்கரத்தின் இரு மூலைவிட்ட நீளங்களின் வர்க்கங்களின் பெருக்குத்தொகையினைத் தருகிறது:Andreescu, Titu & Andrica, Dorian, ''Complex Numbers from A to...Z'', Birkhäuser, 2006, pp. 207–209. : p^2q^2=a^2c^2+b^2d^2-2abcd\cos{(A+C)}. இதனை நாற்கரங்களுக்கான கோசைன் விதியாகக் கொள்ளலாம். வட்ட நாற்கரத்தில் ''A'' + ''C'' = 180° என்பதால் cos (''A'' + ''C'') = &minus;1. எனவே இம்முடிவு ''pq = ac + bd'' எனச் சுருங்கும்.