கேள்வி: ஒழுங்கு பல்கோணி - பொதுப் பண்புகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: File:regular star polygons.svg இப்பகுதியில் தரப்பட்டுள்ள பண்புகள் குவிவு, நாள்மீன் ஆகிய இருவகையான ஒழுங்கு பல்கோணிகளுக்கும் பொருந்தும் *''n''-பக்கங்களுடைய ஒழுங்குப் பல்கோணமானது ''n'' வரிசை சுழற்சி சமச்சீர் உடையது. ஒரு ஒழுங்குப் பல்கோணத்தின் எல்லா உச்சிப்புள்ளிகளும் ஒரே வட்டம் மேல் அமையும். எனவே ஒழுங்குப் பல்கோணங்கள் சூழ்தொடு வட்டம் ஆகும். *ஒழுங்கு பல்கோணத்தின் ஒவ்வொரு பக்கத்தையும் நடுப்புள்ளியில் தொடும் முக்கோணத்தின் உள்வட்டமும் வெளிவட்டங்களும் உண்டு. எனவே ஒழுங்குப் பல்கோணங்கள் தொடு பல்கோணம் ஆகும். *''n'' இன் ஒற்றைப் பகா எண் காரணிகள், வெவ்வேறான ஃபெர்மா எண் எண்களாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே", ''n''-பக்க ஒழுங்குப் பல்கோணத்தை கவராயம்-நேர்விளிம்பு கொண்டு வரைய முடியும்.
கேள்வி: ஒழுங்கு பல்கோணி - பரப்பளவு குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ஒரு ஒழுங்கு குவிவு ''n''-கோணியின் பக்க நீளம் ''s''; சுற்றுவட்ட ஆரம் ''R''; பல்கோணப் பக்கநடுக்கோட்டு நீளம் ''a''; சுற்றளவு ''p'' எனில் அதன் பரப்பளவு ''A'': :A = \tfrac{1}{2}nsa = \tfrac{1}{2}pa = \tfrac{1}{4}ns^2\cot\left(\tfrac{\pi}{n}\right) = na^2\tan\left(\tfrac{\pi}{n}\right) = \tfrac{1}{2}nR^2\sin\left(\tfrac{2\pi}{n}\right) ஒழுங்கு குவிவு ''n''-கோணியின் பக்க நீளம் ''s'' = 1; சுற்றுவட்ட ஆரம் ''R'' = 1; பல்கோணப் பக்கநடுக்கோட்டு நீளம் ''a'' = 1 எனில் பரப்பளவுகளின் அட்டவணை:Results for ''R'' = 1 and ''a'' = 1 obtained with Maple (software), using function definition: f := proc (n) options operator, arrow; [ [convert(1/4*n*cot(Pi/n), radical), convert(1/4*n*cot(Pi/n), float)], [convert(1/2*n*sin(2*Pi/n), radical), convert(1/2*n*sin(2*Pi/n), float), convert(1/2*n*sin(2*Pi/n)/Pi, float)], [convert(n*tan(Pi/n), radical), convert(n*tan(Pi/n), float), convert(n*tan(Pi/n)/Pi, float)] ] end proc The expressions for ''n'' = 16 are obtained by twice applying the tangent half-angle formula to tan(π/4) {| class=wikitable style="text-align:center;" |- ! rowspan="2" | பக்கங்களின் எண்ணிக்கை ! style="background:#FF8080" colspan="2" | ''s'' = 1 எனில் பரப்பளவு ! style="background:#80FF80" colspan="3" | ''R'' = 1 எனில் பரப்பளவு ! style="background:#8080FF" colspan="3" | ''a'' = 1 எனில் பரப்பளவு |- ! சரியான அளவு ! தோராய அளவு ! சரியான அளவு ! தோராய அளவு ! சுற்றுவட்டத்தைப் பொறுத்து பரப்பளவு ! சரியான அளவு ! தோராய அளவு ! உள்வட்டம் பொறுத்து பரப்பளவு |- | ''n'' | \tfrac{n}{4}\cot\left(\tfrac{\pi}{n}\right) || | \tfrac{n}{2}\sin\left(\tfrac{2\pi}{n}\right) || || \tfrac{n}{2\pi}\sin\left(\tfrac{2\pi}{n}\right) | n \tan\left(\tfrac{\pi}{n}\right) || || \tfrac{n}{\pi}\tan\left(\tfrac{\pi}{n}\right) |- | சமபக்க முக்கோணி | {{tmath|\tfrac{ \sqrt{3} }{4} }} || 0.433012702 | {{tmath|\tfrac{3\sqrt{3} }{4} }} || 1.299038105 || 0.4134966714 | {{tmath| 3\sqrt{3} }} || 5.196152424 || 1.653986686 |- | சதுரம் | 1 || 1.000000000 | 2 || 2.000000000 || 0.6366197722 | 4 || 4.000000000 || 1.273239544 |- | ஐங்கோணம் | {{tmath|\tfrac{1}{4}\sqrt{25 + 10\sqrt{5} } }} || 1.720477401 | {{tmath|\tfrac{5}{4}\sqrt{\tfrac{1}{2}\left(5 + \sqrt{5}\right)} }} || 2.377641291 || 0.7568267288 | {{tmath|5\sqrt{5 - 2\sqrt{5} } }} || 3.632712640 || 1.156328347 |- | அறுகோணம் | {{tmath|\tfrac{3\sqrt{3} }{2} }} || 2.598076211 | {{tmath|\tfrac{3\sqrt{3} }{2} }} || 2.598076211 || 0.8269933428 | {{tmath| 2\sqrt{3} }} || 3.464101616 || 1.102657791 |- | எழுகோணம் | || 3.633912444 | || 2.736410189 || 0.8710264157 | || 3.371022333 || 1.073029735 |- | எண்கோணம் | {{tmath| 2 + 2\sqrt{2} }} || 4.828427125 | {{tmath| 2\sqrt{2} }} || 2.828427125 || 0.9003163160 | {{tmath|8\left(\sqrt{2} - 1\right)}} || 3.313708500 || 1.054786175 |- | நவகோணம் | || 6.181824194 | || 2.892544244 || 0.9207254290 | || 3.275732109 || 1.042697914 |- | தசகோணம் | {{tmath|\tfrac{5}{2}\sqrt{5 + 2\sqrt{5} } }} || 7.694208843 | {{tmath|\tfrac{5}{2}\sqrt{\tfrac{1}{2}\left(5 - \sqrt{5}\right)} }} || 2.938926262 || 0.9354892840 | {{tmath|2\sqrt{25 - 10\sqrt{5} } }} || 3.249196963 || 1.034251515 |- | Regular hendecagon | || 9.365639907 | || 2.973524496 || 0.9465022440 | || 3.229891423 || 1.028106371 |- | Regular dodecagon | {{tmath|6 + 3\sqrt{3} }} || 11.19615242 | 3 || 3.000000000 || 0.9549296586 | {{tmath|12\left(2 - \sqrt{3} \right)}} || 3.215390309 || 1.023490523 |- | Regular tridecagon | || 13.18576833 | || 3.020700617 || 0.9615188694 | || 3.204212220 || 1.019932427 |- | Regular tetradecagon | || 15.33450194 | || 3.037186175 || 0.9667663859 | || 3.195408642 || 1.017130161 |- | Regular pentadecagon | {{tmath| \tfrac{15}{8}\left(\sqrt{15} + \sqrt{3} + \sqrt{2\left(5 + \sqrt{5} \right)} \right)}} || 17.64236291 | {{tmath| \tfrac{15}{16}\left(\sqrt{15} + \sqrt{3} - \sqrt{10 - 2\sqrt{5} } \right)}} || 3.050524822 || 0.9710122088 | {{tmath| \tfrac{15}{2}\left(3\sqrt{3} - \sqrt{15} - \sqrt{2\left(25 - 11\sqrt{5} \right)} \right)}} || 3.188348426 || 1.014882824 |- | Regular hexadecagon | {{tmath| 4 \left(1 + \sqrt{2} + \sqrt{2 \left(2 + \sqrt{2} \right)} \right)}} || 20.10935797 | {{tmath| 4\sqrt{2 - \sqrt{2} } }} || 3.061467460 || 0.9744953584 | {{tmath| 16 \left(1 + \sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2 \left(2 - \sqrt{2} \right)} - 1\right)}} || 3.182597878 || 1.013052368 |- | Regular heptadecagon | || 22.73549190 | || 3.070554163 || 0.9773877456 | || 3.177850752 || 1.011541311 |- | Regular octadecagon | || 25.52076819 | || 3.078181290 || 0.9798155361 | || 3.173885653 || 1.010279181 |- | Regular enneadecagon | || 28.46518943 | || 3.084644958 || 0.9818729854 | || 3.170539238 || 1.009213984 |- | இருபதுகோணி | {{tmath| 5 \left(1 + \sqrt{5} + \sqrt{5 + 2\sqrt{5} } \right) }} || 31.56875757 | {{tmath| \tfrac{5}{2}\left(\sqrt{5} - 1\right)}} || 3.090169944 || 0.9836316430 | {{tmath| 20 \left(1 + \sqrt{5} -\sqrt{5 + 2\sqrt{5} } \right) }} || 3.167688806 || 1.008306663 |- | Regular hectogon | || 795.5128988 | || 3.139525977 || 0.9993421565 | || 3.142626605 || 1.000329117 |- | Regular chiliagon | || 79577.20975 | || 3.141571983 || 0.9999934200 | || 3.141602989 || 1.000003290 |- | Regular myriagon | || 7957746.893 | || 3.141592448 || 0.9999999345 | || 3.141592757 || 1.000000033 |- | Regular megagon | || 79577471545 | || 3.141592654 || 1.000000000 | || 3.141592654 || 1.000000000 |}