கேள்வி: போல்யா எண்ணெடுப்புத் தேற்றம் - பயன்பாடுகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: பற்பல பயன்பாடுகள் இருப்பினும் போல்யா தேற்றத்தின் அர்த்தத்தையும் பயன்பாட்டையும் விளக்கக்கூடிய ஒரு சிறு பயன்பாட்டை இங்கு பார்க்கலாம். இது ஒரு மாலையின் மணிகளை நிறப்படுத்துதல் என்ற பயன்பாடு. ஆறு மணிகளைக்கோர்த்த மணிமாலை ஒன்றை பச்சை, சிவப்பு ஆகிய இரண்டு நிறங்களால் நிறப்படுத்தினால் எத்தனை மாதிரி மாலைகள் உண்டுபண்ணலாம்? இதைக் கணக்கிடுவது மட்டுமல்லாமல், போல்யா தேற்றத்தால் அம்மாதிரிகளைப் பட்டியலிடவும் முடியும்.(எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடுவது மட்டும் நமது குறிக்கோளானால், அது பர்ன்ஸைட் கொற்கோளாலும் முடியும்). D = \{1,2,3,4,5,6\} . இவ்வாறு எண்களும் மாலையில் மணிகளின் இடங்களைக் குறிக்கின்றன. R = பச்சை, சிவப்பு ஆகிய இருநிறங்களால் ஆகிய கணம். f: D \rightarrow R என்ற ஒவ்வொரு கோப்பும் ஒருவித நிறப்படுத்தப்பட்ட மாலையைக் குறிக்கும். பச்சை நிறத்துக்கு g என்ற 'எடை'யையும், சிவப்பு நிறத்திற்கு r என்ற 'எடை'யையும் கொடுப்போம். ஆக w(பச்சை) = g; w(சிவப்பு) = r. g,r இரண்டும் ஒரு பரிமாற்று இயற்கணிதத்தின் உறுப்புகள். அதனால் g + r, g \times r, g^2, r^2 இதற்கெல்லாம் அர்த்தம் உண்டு. D இனுடைய ஒரு வரிசைமாற்றுக்குலமாக அதன் சுழற்குலத்தை எடுத்துக்கொள்வோம். அதாவது மாலையை சுழற்றுவதால் ஏற்படும் இடமாற்றங்கள் ஒரு வேறு மாலையாகக் கருதப்படமாட்டாது. எடுத்துக்காட்டாக, :: rgrggg, rgggrg இரண்டும் ஒன்றே. (படிமம் பார்க்கவும்). ஏனென்றால் இரண்டும் ஒரே மாதிரியைச்சேர்ந்தவை. ஒன்றை சரியான அளவு சுழற்றினால் இன்னொன்று கிடைக்கும். இச்சுழற்றுக்குலம் என்பது ஆறு உறுப்புக்களால் ஆனது. அந்த ஆறு உறுப்புகளும் அவைகளின் சுழலமைப்புகளும் கீழே அட்டவணையாகக்காட்டப்பட்டுள்ளன: ::{| class="wikitable" |- ! வரிசைமாற்றம் ! சுழலமைப்பு |- | (123456) | {s_6}^1 |- | (135)(246) | {s_3}^2 |- | (14)(25)(36) | {s_2}^3 |- | (153)(264) | {s_3}^2 |- | (165432) | {s_6}^1 |- | (1)(2)(3)(4)(5)(6) | {s_1}^6 |- |} இதனால், இச்சுழற்குலத்தின் சுழற்குறியீடு = \frac{1}{6}({s_1}^6 + 2{s_6}^1 + 2{s_3}^2 + {s_2}^3) படிமம்: Two-coloured six-bead necklaces-1 6.png போல்யா தேற்றத்தின்படி, நிறப்படுத்தப்பட்ட மாலைகளைப் பட்டியலிடுவதற்கு இப்பொழுது நாம் செய்யவேண்டியதெல்லாம், கீழே காட்டியுள்ள பதிலீடுகளை செயல்படுத்தவேண்டும்: :: s_1 \leftarrow r + g (இது 'எடை' களின் கூட்டுத்தொகை, அ-து: \sum w(r) ) :: s_2 \leftarrow r^2 + g^2 (இது 'எடை' களின் வர்க்கங்களின் கூட்டல், அ-து:\sum (w(r))^2) :: s_3 \leftarrow r^3 + g^3 (இது 'எடை' களின் முப்படியங்களின் கூட்டல், அ-து: \sum (w(r))^3) :: s_6 \leftarrow r^6 + g^6 (இது 'எடை'களின் ஆறாவது அடுக்குகளின் கூட்டல், அ-து \sum (w(r))^6) இச்செயல்பாட்டினால் நமக்குக் கிடைப்பது: :: \frac{1}{6}( (r + g)^6 + 2(r^6 + g^6) + 2(r^3 + g^3)^2 + (r^2 +g^2)^3) இதன் கணிப்பு :: = r^6 + r^5g + 3r^4g^2 + 4r^3g^3 + 3r^2g^4 + rg^5 + g^6 இதன் பொருள் படிமம்: Two-coloured six-bead necklaces-7 14.png :ஆறு மணிகளும் சிவப்பாக உள்ள மாலை ஒன்று; :ஐந்து மணிகள் சிவப்பாகவும், ஒரு மணி பச்சையாகவும் உள்ள மாலை ஒன்று; :நான்கு மணிகள் சிவப்பாகவும், இரண்டு மணிகள் பச்சையாகவும் உள்ள மாலை மாதிரிகள் மூன்று; :மூன்று மணிகள் சிவப்பாகவும், மூன்று மணிகள் பச்சையாகவும் உள்ள மாலை மாதிரிகள் நான்கு; :இரண்டு மணிகள் சிவப்பாகவும், நான்கு மணிகள் பச்சையாகவும் உள்ள மாலை மாதிரிகள் மூன்று; :ஒரு மணி சிவப்பாகவும், ஐந்து மணிகள் பச்சையாகவும் உள்ள மாலை ஒன்று; :ஆறு மணிகளும் பச்சையாக உள்ள மாலை ஒன்று. : ஆக, 14 மாதிரிகள் உண்டு. மாதிரிகளின் எண்ணிக்கை மட்டும் தேவையானால், போல்யா தேற்றத்தின் கடைசி பாகத்தில் சொல்லிய வாய்பாடைப் பயன்படுத்தலாம்: மாதிரிகளின் எண்ணிக்கை = Z(G: |R|, |R|, ...). இங்கு |R| = 2. ஆக, மாதிரிகளின் எண்ணிக்கை = \frac{1}{6}(2^6 + 2\times 2 + 2 \times 2^2 + 2^3) = 14.