கேள்வி: கோள முக்கோணவியல் - முனைய முக்கோணங்கள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: File:Spherical trigonometry polar triangle.svg முக்கோணம் ''ABC'' உடன் தொடர்புடைய கதிர்வரை முக்கோணம் அல்லது முனைய முக்கோணம் பின்னுள்ளவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது: விட்டத் தளமானது கோள மேற்பரப்பை வெட்டும்போது ''BC'' பக்கத்தை உள்ளடக்கிய பெருவட்டம் உண்டாகிறது. இத்தளத்திற்கு கோளத்தின் நடுப்புள்ளியிலிருந்து ஒரு செங்குத்து வரைந்தால் அது மேற்பரப்பை இரு புள்ளிகளில் சந்திக்கும். அவ்விரண்டில் ''A'' புள்ளியோடு இத்தளத்தின் ஒரே பக்கத்திலுள்ள புள்ளி ''A'' இன் முனையம் என்று அழைக்கப்பட்டு ''A''&prime; எனக் குறிக்கப்படும். இதேபோல ''B''&prime; ''C''&prime; இரண்டும் வரையறுக்கப்படுகின்றன. ''A&prime;B&prime;C''&prime; முக்கோணமானது &nbsp;''ABC'' முக்கோணத்தின் முனைய முக்கோணம் எனப்படுகிறது. முனைய முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்களும் கோணங்களும் கீழுள்ளவாறிருக்கும் (Todhunter, Art.27): : \begin{alignat}{3} A' &= \pi - a , &\qquad B' &= \pi - b , &\qquad C' &= \pi - c ,\\ a' &= \pi - A , & b' &= \pi - B , & c' &= \pi - C . \end{alignat} முனைய முக்கோணத்தின் முனைய முக்கோணம் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட மூல முக்கோணமாக இருக்கும்.
கேள்வி: கோள முக்கோணவியல் - பரப்பளவும் கோள மிகுதியும் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: ஒரு ''N''-பக்கக் கோள பல்கோணியில் An ஆனது பல்கோணியின் ''n''-ஆவது உட்கோணம் எனில் அப்பல்கோணியின் பரப்பளவு (Todhunter, Art.99): : \text{Area of polygon (on the unit sphere)} \equiv E_N = \left(\sum_{n=1}^{N} A_{n}\right) - (N-2)\pi. பல்கோணி முக்கோணமாக இருக்கும்போது அதன் பரப்பளவு: : \text{Area of triangle (on the unit sphere)} \equiv E = E_3 = A+B+C -\pi, இதில் ''E'' ஆனது கோள முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையானது ரேடியன்களைவிட உள்ள அதிகளவு ஆகும். ''E'' ஆனது கோளமுக்கோணத்தின் "கோள மிகுதி" (''spherical excess'') என அழைக்கப்படுகிறது. மேலேயுள்ள கோள முக்கோணத்தின் பரப்பளவின் வாய்பாடானது அதனைக் கண்டறிந்த பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் ஆல்பர்த்து கிரர்த்தின் பெயரால் "கிரர்த்தின் தேற்றம்" (Girard's theorem) எனப்படுகிறது.Another proof of Girard's theorem may be found at [http://math.rice.edu/~pcmi/sphere/gos4.html] . இத்தேற்றத்தின் நிறுவல் முன்னர் ஆங்கிலக் கணிதவியலாளர் தாமசு ஃஆரியட்டால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டாலும் வெளியிடப்படவில்லை. பல்கோணி அமையும் கோளத்தின் ஆரம் ''R'' அலகுகள் எனில் பல்கோணி, முக்கோணம் இரண்டின் மேலுள்ள பரப்பளவு வாய்பாடுகள் ''R''2 ஆல் பெருக்கிக்கொள்ளப்படும். முக்கோணத்தின் கோள மிகுதியின் அளவு, கோளத்தின் ஆரவளவைப் பொறுத்ததில்லை மேலுள்ள முடிவின் மறுதலை முடிவைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்: : A+B+C=\pi+ \frac{4\pi \times \text{Area of triangle}}{\text{Area of the sphere}}. கோளமுக்கோணத்தின் பரப்பளவு எதிர்மமாக இருக்காது என்பதால் கோளமிகுதியின் அளவு எப்பொழுதும் நேர்மமாகவே இருக்கும். கோள மிகுதியைக் காண்பதற்குப் பல வாய்பாடுகள் உள்ளன. டோதுந்தேர் பத்து வாய்பாடுகளைத் தனது நூலில் தந்திருக்கிறார். (Art.101—103). அவற்றுள் ஒன்று: :\tan\tfrac{1}{4}E = \sqrt{\tan\tfrac{1}{2}s\, \tan\tfrac{1}{2}(s-a)\, \tan\tfrac{1}{2}(s-b)\,\tan\tfrac{1}{2}(s-c)} இதில் s = (a+b+c)/2. கோள மிகுதியைக் காண உகந்த வாய்பாடு :\tan\frac E2 = \frac {\tan\frac12a\tan\frac12b\sin C}{1 + \tan\frac12a\tan\frac12b\cos C}. ஆகும்.
கேள்வி: கோள முக்கோணவியல் - வெளியிணைப்புகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: * a more thorough list of identities, with some derivation * a more thorough list of identities, with some derivation * [http://gnomonique.fr/trisph/index_en.htm TriSph] A free software to solve the spherical triangles, configurable to different practical applications and configured for gnomonic * [https://www.researchgate.net/publication/228849546_Revisiting_Spherical_Trigonometry_with_Orthogonal_Projectors "Revisiting Spherical Trigonometry with Orthogonal Projectors"] by Sudipto Banerjee. The paper derives the spherical law of cosines and law of sines using elementary linear algebra and projection matrices. * by Okay Arik * [https://www.wdl.org/en/item/2856/ "The Book of Instruction on Deviant Planes and Simple Planes"], a manuscript in Arabic that dates back to 1740 and talks about spherical trigonometry, with diagrams * [https://trs.jpl.nasa.gov/handle/2014/41271 Some Algorithms for Polygons on a Sphere] Robert G. Chamberlain, William H. Duquette, Jet Propulsion Laboratory. The paper develops and explains many useful formulae, perhaps with a focus on navigation and cartography. * [http://www.in-dubio-pro-geo.de/?file=plasph/stri0&english=1 Online computation of spherical triangles] பகுப்பு:கோள முக்கோணவியல்