கேள்வி: அதிபரவளைவுரு - பரப்பின் மீதுள்ள கோடுகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: *ஒருதள அதிபரவளைவுருவின் மீது இரு கோட்டுக்கற்றைகள் உள்ளன. இதன் பரப்பானது ஒரு இரட்டைக்கோடிட்ட பரப்பாக உள்ளது. ஒருதள அதிபரவளைவுருவின் சமன்பாடு {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2}= 1 எனில், :g^{\pm}_{\alpha}: \vec{x}(t)=\begin{pmatrix} a\cos\alpha\\ b\sin\alpha\\ 0\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} -a\sin\alpha\\ b\cos\alpha\\ \pm c\end{pmatrix}\ ,\quad t\in \R,\ 0\le \alpha\le 2\pi\ என்ற சமன்பாடுகள் குறிக்கும் கோடுகளால் ஆன பரப்பாக ஒருதள அதிபரவளைவுரு இருக்கும். a=b எனில், ஒருதள அதிபரவளைவுரு ஒரு சுழற்சிப் பரப்பாக அமையும். ஒன்றுக்கொன்று வெட்டாக் கோடுகள் g^{+}_{0}, g^{-}_{0} ஆகிய இரண்டில் ஏதேனும் ஒரு கோட்டைச் சுழற்றுவதன் மூலம் இச்சுழற்சிப்பரப்பை உருவாக்கலாம். ஒருதள அதிபரவளைவின் இப்பண்பு ''கிறிஸ்டோபர் ரென் இன் தேற்றம்'' என அழைக்கப்படுகிறது. K. Strubecker: ''Vorlesungen der Darstellenden Geometrie.'' Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1967, p. 218 ஒரு அதிபரவளைவு அதன் அரைச் சிற்றச்சைப் பொறுத்து சுழற்றுவதன் மூலம் ஒருதள அதிபரவளைய சுழலுருவை உருவாக்குவது பெரும்பாலான பொதுமுறையாக உள்ளது. (ஒரு அதிபரவளைவு அதன் அரைப் பேரச்சைப் பொறுத்து சுழற்றுவதன் மூலம் கிடைப்பது இருதள அதிபரவளைய சுழலுரு)
கேள்வி: அதிபரவளைவுரு - அதிபரவளைவுருவின் சமச்சீர்மை குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: :\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 , \quad \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1 \ என்ற சமன்பாடுகள் குறிக்கும் இரு அதிபரவளவுருக்களும் கீழுள்ள சமச்சீர்மைகளைக் கொண்டிருக்கும். * ஆதியைப் பொறுத்த புள்ளிசமச்சீர்மை * ஆட்கூற்றுத் தளங்களைப் பொறுத்த சமச்சீர்மை * z-அச்சைப் பொறுத்த சுழற்சி சமச்சீர்மை மற்றும் a=b எனும்போது z-அச்சு அடங்கிய ஏதேனும் ஒரு தளத்தைப் பொறுத்த சமச்சீர்மை (அதிபரவளையச் சுழலுரு)