கேள்வி: டேக்கார்ட்டின் குறிகளின் விதி - எதிர்ம மூலங்கள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: இவிதியின் கிளைமுடிவாக ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் எதிர்ம மெய்யெண்மூலங்களின் எண்ணிக்கை கணக்கிடும் வழிமுறை பெறப்படுகிறது. எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒற்றை அடுக்கு உறுப்புகளின் கெழுக்களை - 1 ஆல் பெருக்கிய பிறகு கிடைக்கக்கூடிய குறிமாற்றங்களின் எண்ணிக்கைக்குச் சமமாகவோ அல்லது அதவிட இரட்டையெண் அளவில் சிறிதானதாகவோ அப்பல்லுறுப்புக்கோவையின் எதிர்ம மெய்யெண் மூலங்களின் எண்ணிக்கை இருக்கும். இவ்வாறு பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒற்றை அடுக்கு உறுப்புகளின் கெழுக்களை - 1 ஆல் பெருக்குவதற்குப் பதிலாக பல்லுறுப்புக்கோவையின் மாறியை அம்மாறியின் எதிர்மத்தால் பதிலிடுவதன் மூலமும் குறிமாற்றங்களின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ax^3+bx^2+cx+d பல்லுறுப்புக்கோவையின் எதிர்ம மெய்யெண் மூலங்கள் a(-x)^3+b(-x)^2+c(-x)+d = -ax^3+bx^2-cx+d. இன் நேர்ம மூலங்களாக இருக்கும்.
கேள்வி: டேக்கார்ட்டின் குறிகளின் விதி - எடுத்துக்காட்டு பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: :f(x) = + x^3 + x^2 - x - 1 நேர்ம மூலங்கள்: இப்பல்லுறுப்புக்கோவை, அதன் பூச்சியமற்ற உறுப்புகள் மாறியின் அடுக்குகளின் இறங்கு வரிசையில் எழுதப்பட்டுள்ளது. அடுத்தடுத்த, பூச்சியமற்ற கெழுக்களின் குறிமாற்றம் (+1, +1, -1, -1) ஒன்று மட்டும்தான் (இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது உறுப்புகளுக்கிடையே). எனவே இப்பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு ஒரேயொரு நேர்ம மெய்யெண் மூலம் மட்டுமே உண்டு. எதிர்ம மூலங்கள்: பல்லுறுப்புக்கோவையின் மாறி x ஐ -x ஆக மாற்ற: :f(-x)= - x^3 + x^2 + x - 1 . இந்த பல்லுறுப்புக்கோவையில் இரண்டு குறிமாற்றங்கள் உள்ளன () எனவே இதன் நேர்ம மெய்யெண் மூலங்களின் எண்ணிக்கை 2 அல்லது 0 ஆக இருக்கும். அதாவது எடுத்துக்காட்டுப் பல்லுறுப்புக்கோவையின் எதிர்ம மெய்யெண் மூலங்களின் எண்ணிக்கை 2 அல்லது பூச்சியமாக இருக்கும். நேரடியாக காரணிப்படுத்தல் மூலம் இக்கோவையின் மூலங்களைக் கண்டுபிடித்து இவ்விதியைச் சரிபார்க்கலாம்: :f(x) = + x^3 + x^2 - x - 1 காரணிப்படுத்த: :f(x)=(x + 1)^{2}(x - 1), எனவே இப்பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலங்கள்: –1 (இருமுறை), +1 (ஒருமுறை). அதாவது நேர்ம மூலம் 1; எதிர்ம மூலங்கள் 2.
கேள்வி: டேக்கார்ட்டின் குறிகளின் விதி - மெய்யற்ற மூலங்கள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: ''n'' படியுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு சிக்கலெண் தளத்தில் ''n'' மூலங்கள் உண்டு (மூலங்களின் மடங்கெண்ணைக் கணக்கில் கொள்ளல் வேண்டும்). ''f''(''x'') என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையின் படி ''n''; அதன் நேர்ம மெய்யெண் மூலங்களின் அதிகபட்ச எண்ணிக்கை ''p''; எதிர்ம மெய்யெண் மூலங்களின் அதிகபட்ச எண்ணிக்கை ''q''; மேலும் அப்பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு பூச்சியம் ஒரு மூலம் கிடையாது (அதாவது பல்லுறுப்புக்கோவையில் பூச்சியமற்ற மாறியைச் சாரா உறுப்பு உண்டு) எனில், அப்பல்லுறுப்புக்கோவையின் மெய்யற்ற மூலங்களின் குறைந்தபட்ச எண்ணிக்கை: :n-(p+q)
கேள்வி: டேக்கார்ட்டின் குறிகளின் விதி - எடுத்துக்காட்டு குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: :f(x) = x^3-1 , டேக்கார்ட்டின் விதிப்படி: இப்பல்லுறுப்புக்கோவையில் குறிமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை 1. எனவே அதற்கு ஒரு நேர்ம மெய்யெண் மூலம் இருக்கும் :f(-x) = -x^3-1 , இல் குறிமாற்றங்களே இல்லை. எனவே எதிர்ம மெய்யெண் மூலங்களே இல்லை. எனவே இக்கோவையின் மெய்யெற்ற மூலங்களின் எண்ணிக்கை: :3 - (1+0) = 2 \, . மேலும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் மெய்யற்ற மூலங்கள் இணை சோடிகளாகத்தான் இருக்குமென்பதால் இந்த பல்லுறுப்புக்கோவைக்குச் சரியாக இரண்டு மெய்யற்ற மூலங்களும் ஒரு நேர்ம மெய்யெண் மூலமும் இருக்கும். காரணிப்படுத்தல் முறையில் இக்கோவையின் மூலங்களைக் கண்டுபிடித்து இம்முடிவைச் சரிபார்க்கலாம்: :f(x) = x^3-1 , காரணிப்படுத்த: :f(x) = (x-1)(x^2+x+1) , (x-1) ஒரு காரணியாக இருப்பதால் f(x) = x^3-1 இன் ஒரு நேர்ம மெய்யெண் மூலம் x=1 ஆகும். ax^2+bx+c=0 சமன்பாட்டின் தீர்வுகளைத் தரும் இருபடி வாய்பாடு x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \ பயன்படுத்தி இரண்டாவது காரணியான x^2+x+1 இன் மூலங்களைக் காண: :x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2}\ \ :x = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2}\ \ :x = \frac{-1 + \sqrt{-3}}{2}\ \ மற்றும் x = \frac{-1 - \sqrt{-3}}{2}\ \ எனவே எடுத்துக்கொண்ட f(x) = x^3-1 கோவையின் மூலங்கள்: :1, \frac{-1 + \sqrt{-3}}{2}\ \ , \frac{-1 - \sqrt{-3}}{2}\ \ அதாவது ஒரு நேர்ம மெய்யெண் மூலமும் இரு மெய்யற்ற மூலங்களும் உள்ளன.
கேள்வி: டேக்கார்ட்டின் குறிகளின் விதி - பொதுமைப்படுத்தல் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: ''P'' என்ற மெய்யெண் கெழுக்கள் கொண்ட பல்லுறுப்புக்குக்கோவைக்கு ''k'' நேர்ம மெய்யெண் மூலங்கள் (மூலங்களின் மடங்கெண்களையும் கணக்கில் கொள்ள) இருந்தால்: : ''e'ax'P''(''x'') (''a'' > 0) என்ற சார்பின் டெயிலர் தொடரின் கெழுக்களின் தொடர்வரிசையில் குறிமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை குறைந்தபட்சம் ''k'' ஆக இருக்கும். ''a'' இன் மதிப்பு போதியவளவு அதிகமானதாக இருந்தால் இக்குறிமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை சரியாக ''k'' ஆக இருக்கும்.D. R. Curtiss, ''Recent extensions of Descartes' rule of signs'', Annals of Mathematics., Vol. 19, No. 4, 1918, pp. 251–278.Vladimir P. Kostov, ''A mapping defined by the Schur–Szegő composition'', Comptes Rendus Acad. Bulg. Sci. tome 63, No. 7, 2010, pp. 943–952. 1970 களில் அசுக்கால்டு கோவனாசுக்கி என்ற உருசிய மற்றும் கனடிய கணிதவியலாளரால் டேக்கார்ட்டின் இவ்விதியைப் பொதுமைப்படுத்தும் சிலவுறுப்புக்கோவைகள் (fewnomials) கோட்பாடு உருவாக்கப்பட்டது.