கேள்வி: முப்படியச் சார்பு - வரலாறு பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: File:Cubic graph special points.svg, முதலாம், இரண்டாம் வகைக்கெழுகள் (சிவப்பு, நீலம்).]] ஒரு முப்படியச் சார்பின் மாறுநிலை எண் (கணிதம்) அதன் நிலைப்புள்ளி ஆகும், அதாவது சார்பின் சாய்வு பூச்சியமாக இருக்கும் புள்ளிகள். முப்படியச் சார்பு இன் மாறுநிலைப் புள்ளிகள் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகின்றன. : ''ax''3 + ''bx''2 + ''cx'' + ''d''}} இன் வகையிடல் 3ax^2 + 2bx + c = 0 ஆக உள்ள சமன்பாட்டிலிருந்து பெறப்படும் இன் மதிப்புகளில் மாறுநிலைப் புள்ளிகள் அமையும். மேற்படி இருபடிச் சமன்பாட்டில், இருபடி வாய்பாடு பயன்படுத்தக் கிடைக்கும் தீர்வுகள்: : x_\text{critical}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-3ac}}{3a}. வர்க்க மூலத்திற்குள் உள்ள குறி, மாறுநிலைப் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையை தீர்மானிக்கிறது. * நேர்மமாக இருந்தால், இரண்டு மாறுநிலை புள்ளிகள் உள்ளன, ஒன்று இடஞ்சார் பெருமமாகவும் மற்றது இடஞ்சார் சிறுமமாகவும் இருக்கும். * – 3''ac'' 0}} எனில், ஒரேயொரு மாறுநிலைப் புள்ளி மட்டுமே இருக்கும், அது ஒரு வளைவுமாற்றுப் புள்ளி * – 3''ac'' 0 > 0}} என்பதற்கு எடுத்துக்காட்டாகப் படத்தைக் காணவும்) ஒரு சார்பு அதன் வளைவுமாற்றப் புள்ளியில் குழிவுத்தன்மையை மாற்றுகிறது. மேலும் அப்புள்ளியில், சார்பின் இரண்டாவது வகைக்கெழு பூச்சியமாகவும் மூன்றாவது வகைக்கெழு பூச்சியமற்றதாகவும் இருக்கும். எனவே ஒரு முப்படியச் சார்புக்கு எப்போதும் ஒரேயொரு வளைவுமாற்றப்புள்ளி இருக்கும்: : x_\text{inflection} = -\frac{b}{3a}.
கேள்வி: முப்படியச் சார்பு - வகைப்பாடு பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: படிமம்:Cubic_function_(different_c).svg எல்லா முப்படிய வளைவரைகளும் ஒரு முப்படியச் சார்பைக் குறிக்காவிட்டாலும், ஒரு முப்படியச் சார்பின் சார்பின் வரைபடம் ஒரு முப்படிய வளைவரையாகும். முப்படியச் சார்புகள் நான்கு அளவுருக்களைச் சார்ந்திருந்தாலும், அவற்றின் வரைபடம் மிகக் குறைவான வடிவங்களை மட்டுமே கொண்டிருக்கும். உண்மையில், ஒரு முப்படியச் சார்பின் வரைபடம் எப்போதும் பின்வரும் சார்பின் வரைபடத்தை ஒத்திருக்கும்: : y=x^3+px.
கேள்வி: முப்படியச் சார்பு - சமச்சீர்மை பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: y=x^3+px, வடிவ முப்படியச் சார்புகளின் வளைவுமாற்றப் புள்ளிகள் ஆதிப்புள்ளியாக இருக்கும். மேலும் இத்தகைய சார்பு ஒற்றைச் சார்பு இருக்குமென்பதால் ஆதிப்புள்ளியைப் பொறுத்து வரைபடம் சமச்சீர்மையுடையதாகவும் அரைத் திருப்பச் சுழற்சியில் மாற்றமில்லாமலும் இருக்கும். இந்த பண்புகள் வடிவொப்புமை (வடிவவியல்) மாறாதவையாக இருப்பதால், பின்வருபவை அனைத்தும் முப்படியச் சமன்பாடுகளுக்குப் பொருந்தும். வளைவுமாற்றப் புள்ளியைப் பொறுத்து முப்படியச் சார்பின் வரைபடம் சமச்சீர்மையுடையதாகவும் அரைத் திருப்பச் சுழற்சியில் மாறாதததாகவும் இருக்கும்.