கேள்வி: நட்பார்ந்த எண்கள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: எண் கோட்பாடு, நட்பார்ந்த எண்கள் (''friendly numbers'') என்பவை, ஒவ்வொன்றின் வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் அந்த எண்ணின் விகிதங்கள் சமமாகவுள்ள இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட இயல் எண்களாகும். இந்த விகிதமானது மிகைமைச் சுட்டெண் எனப்படுகிறது. சம மிகைமைச் சுட்டெண்கொண்ட இரு இயலெண்கள் "நட்பார்ந்த சோடி" (''friendly pair'') எனவும், ''n'' எண்கள் "நட்பார்ந்த ''n''-வரிசை எண்கள் (''friendly ''n''-tuple'') என அழைக்கப்படுகிறன. ஒன்றுக்கொன்று "நட்பார்ந்திருத்தல்" ஒரு சமான உறவு (கணிதம்). இந்த உறவினால் நேர்ம இயலெண்களின் கணமானது, ஒன்றுக்கொன்று நட்பார்ந்த எண்களடங்கிய சமானப் பகுதிகளாக அமையும் குழுமங்களாகப் ஒரு கணத்தின் பிரிவினை நட்பார்ந்த சோடியில் இடம்பெறாத எந்தவொரு எண்ணும் "தனி எண்" (''solitary number'') எனப்படும். ஒரு விகிதமுறு எண் ''n'' இன் ''மிகைமைச் சுட்டெண் '' σ(''n'') / ''n''; இதிலுள்ள σ ஆனது, வகுஎண் சார்பு குறிக்கிறது. ''n'' , ''m'' (''m'' ≠ ''n'') இரண்டும் நட்பார்ந்த எண்கள் எனில்: : σ(''m'') / ''m'' = σ(''n'') / ''n''. :1 முதல் 5 வரை தனி எண்கள்; மிகச் சிறிய நட்பார்ந்த எண் '6' . :6, 28 இரண்டும் நட்பார்ந்த சோடியாகும். இவை இரண்டின் மிகைமைச் சுட்டெண் = 2. :σ(6) / 6 = (1+2+3+6) / 6 = 2, :σ(28) / 28 = (1+2+4+7+14+28) / 28 = 2. மிகைமைச் சுட்டெண் 2 கொண்ட எண்கள், நிறைவெண் (கணிதம்). இசைவான எண்கள், இணக்க எண்கள் இரண்டும் நட்பார்ந்த எண்களின் பெயரோடு ஒத்தும் வகுஎண் சார்புகளையும் கொண்டுமிருந்தாலும் இவற்றுக்கிடையே எந்தவொரு தொடர்பும் கிடையாது.
கேள்வி: நட்பார்ந்த எண்கள் - அட்டவணை பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: கீழுள்ள அட்டவணையில் நட்பார்ந்த எண்களாக நிறுவப்பட்டவை நீல நிறத்திலும் , தனி எண்களாகளாக நிறுவப்பட்டவை சிவப்பு நிறத்திலும் , ''n'' உம் அதன் \sigma(n) உம் சார்பகா முழுஎண்கள் உள்ள எண்கள் நிறமற்றும் தரப்பட்டுள்ளன (அவை தனி எண்களென அறியப்பட்டிருந்தாலும்). வகையறியப்படாத இதர எண்கள் மஞ்சள் நிறத்திலுள்ளன. {| class="wikitable" |- ! n !! \sigma(n) !! \frac{\sigma(n)}{n} |- | 1 || 1 || 1 |- | 2 || 3 || 3/2 |- | 3 || 4 || 4/3 |- | 4 || 7 || 7/4 |- | 5 || 6 || 6/5 |- style="background: blue; color: white;" | 6 || 12 || 2 |- | 7 || 8 || 8/7 |- | 8 || 15 || 15/8 |- | 9 || 13 || 13/9 |- style="background: yellow; color: black;" | 10 || 18 || 9/5 |- | 11 || 12 || 12/11 |- style="background: blue; color: white;" | 12 || 28 || 7/3 |- | 13 || 14 || 14/13 |- style="background: yellow; color: black;" | 14 || 24 || 12/7 |- style="background: yellow; color: black;" | 15 || 24 || 8/5 |- | 16 || 31 || 31/16 |- | 17 || 18 || 18/17 |- style="background: red; color: white;" | 18 || 39 || 13/6 |- | 19 || 20 || 20/19 |- style="background: yellow; color: black;" | 20 || 42 || 21/10 |- | 21 || 32 || 32/21 |- style="background: yellow; color: black;" | 22 || 36 || 18/11 |- | 23 || 24 || 24/23 |- style="background: blue; color: white;" | 24 || 60 || 5/2 |- | 25 || 31 || 31/25 |- style="background: yellow; color: black;" | 26 || 42 || 21/13 |- | 27 || 40 || 40/27 |- style="background: blue; color: white;" | 28 || 56 || 2 |- | 29 || 30 || 30/29 |- style="background: blue; color: white;" | 30 || 72 || 12/5 |- | 31 || 32 || 32/31 |- | 32 || 63 || 63/32 |- style="background: yellow; color: black;" | 33 || 48 || 16/11 |- style="background: yellow; color: black;" | 34 || 54 || 27/17 |- | 35 || 48 || 48/35 |- | 36 || 91 || 91/36 |} {| class="wikitable" |- ! n !! \sigma(n) !! \frac{\sigma(n)}{n} |- | 37 || 38 || 38/37 |- style="background: yellow; color: black;" | 38 || 60 || 30/19 |- | 39 || 56 || 56/39 |- style="background: blue; color: white;" | 40 || 90 || 9/4 |- | 41 || 42 || 42/41 |- style="background: blue; color: white;" | 42 || 96 || 16/7 |- | 43 || 44 || 44/43 |- style="background: yellow; color: black;" | 44 || 84 || 21/11 |- style="background: red; color: white;" | 45 || 78 || 26/15 |- style="background: yellow; color: black;" | 46 || 72 || 36/23 |- | 47 || 48 || 48/47 |- style="background: red; color: white;" | 48 || 124 || 31/12 |- | 49 || 57 || 57/49 |- | 50 || 93 || 93/50 |- style="background: yellow; color: black;" | 51 || 72 || 24/17 |- style="background: red; color: white;" | 52 || 98 || 49/26 |- | 53 || 54 || 54/53 |- style="background: yellow; color: black;" | 54 || 120 || 20/9 |- | 55 || 72 || 72/55 |- style="background: blue; color: white;" | 56 || 120 || 15/7 |- | 57 || 80 || 80/57 |- style="background: yellow; color: black;" | 58 || 90 || 45/29 |- | 59 || 60 || 60/59 |- style="background: blue; color: white;" | 60 || 168 || 14/5 |- | 61 || 62 || 62/61 |- style="background: yellow; color: black;" | 62 || 96 || 48/31 |- | 63 || 104 || 104/63 |- | 64 || 127 || 127/64 |- | 65 || 84 || 84/65 |- style="background: blue; color: white;" | 66 || 144 || 24/11 |- | 67 || 68 || 68/67 |- style="background: yellow; color: black;" | 68 || 126 || 63/34 |- style="background: yellow; color: black;" | 69 || 96 || 32/23 |- style="background: yellow; color: black;" | 70 || 144 || 72/35 |- | 71 || 72 || 72/71 |- style="background: yellow; color: black;" | 72 || 195 || 65/24 |} {| class="wikitable" |- ! n !! \sigma(n) !! \frac{\sigma(n)}{n} |- | 73 || 74 || 74/73 |- style="background: yellow; color: black;" | 74 || 114 || 57/37 |- | 75 || 124 || 124/75 |- style="background: yellow; color: black;" | 76 || 140 || 35/19 |- | 77 || 96 || 96/77 |- style="background: blue; color: white;" | 78 || 168 || 28/13 |- | 79 || 80 || 80/79 |- style="background: blue; color: white;" | 80 || 186 || 93/40 |- | 81 || 121 || 121/81 |- style="background: yellow; color: black;" | 82 || 126 || 63/41 |- | 83 || 84 || 84/83 |- style="background: blue; color: white;" | 84 || 224 || 8/3 |- | 85 || 108 || 108/85 |- style="background: yellow; color: black;" | 86 || 132 || 66/43 |- style="background: yellow; color: black;" | 87 || 120 || 40/29 |- style="background: yellow; color: black;" | 88 || 180 || 45/22 |- | 89 || 90 || 90/89 |- style="background: yellow; color: black;" | 90 || 234 || 13/5 |- style="background: yellow; color: black;" | 91 || 112 || 16/13 |- style="background: yellow; color: black;" | 92 || 168 || 42/23 |- | 93 || 128 || 128/93 |- style="background: yellow; color: black;" | 94 || 144 || 72/47 |- style="background: yellow; color: black;" | 95 || 120 || 24/19 |- style="background: blue; color: white;" | 96 || 252 || 21/8 |- | 97 || 98 || 98/97 |- | 98 || 171 || 171/98 |- style="background: yellow; color: black;" | 99 || 156 || 52/33 |- | 100 || 217 || 217/100 |- | 101 || 102 || 102/101 |- style="background: blue; color: white;" | 102 || 216 || 36/17 |- | 103 || 104 || 104/103 |- style="background: yellow; color: black;" | 104 || 210 || 105/52 |- style="background: yellow; color: black;" | 105 || 192 || 64/35 |- style="background: yellow; color: black;" | 106 || 162 || 81/53 |- | 107 || 108 || 108/107 |- style="background: blue; color: white;" | 108 || 280 || 70/27 |} {| class="wikitable" |- ! n !! \sigma(n) !! \frac{\sigma(n)}{n} |- | 109 || 110 || 110/109 |- style="background: yellow; color: black;" | 110 || 216 || 108/55 |- | 111 || 152 || 152/111 |- style="background: yellow; color: black;" | 112 || 248 || 31/14 |- | 113 || 114 || 114/113 |- style="background: blue; color: white;" | 114 || 240 || 40/19 |- | 115 || 144 || 144/115 |- style="background: yellow; color: black;" | 116 || 210 || 105/58 |- style="background: yellow; color: black;" | 117 || 182 || 14/9 |- style="background: yellow; color: black;" | 118 || 180 || 90/59 |- | 119 || 144 || 144/119 |- style="background: blue; color: white;" | 120 || 360 || 3 |- | 121 || 133 || 133/121 |- style="background: yellow; color: black;" | 122 || 186 || 93/61 |- style="background: yellow; color: black;" | 123 || 168 || 56/41 |- style="background: yellow; color: black;" | 124 || 224 || 56/31 |- | 125 || 156 || 156/125 |- style="background: yellow; color: black;" | 126 || 312 || 52/21 |- | 127 || 128 || 128/127 |- | 128 || 255 || 255/128 |- | 129 || 176 || 176/129 |- style="background: yellow; color: black;" | 130 || 252 || 126/65 |- | 131 || 132 || 132/131 |- style="background: blue; color: white;" | 132 || 336 || 28/11 |- | 133 || 160 || 160/133 |- style="background: yellow; color: black;" | 134 || 204 || 102/67 |- style="background: blue; color: white;" | 135 || 240 || 16/9 |- style="background: red; color: white;" | 136 || 270 || 135/68 |- | 137 || 138 || 138/137 |- style="background: blue; color: white;" | 138 || 288 || 48/23 |- | 139 || 140 || 140/139 |- style="background: blue; color: white;" | 140 || 336 || 12/5 |- style="background: yellow; color: black;" | 141 || 192 || 64/47 |- style="background: yellow; color: black;" | 142 || 216 || 108/71 |- | 143 || 168 || 168/143 |- | 144 || 403 || 403/144 |}
கேள்வி: நட்பார்ந்த எண்கள் - தனி எண்கள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: வேறெந்தவொரு எண்ணுடனும் நட்பாக இல்லாத எண்கள் "தனி எண்கள்" என்ற குழுவாக அமையும். :''n'', σ(''n'') இரண்டும் சார்பகா முழுஎண்கள் இருந்தால், அதாவது அவற்றின் மீப்பெரு பொது வகுத்தி 1 எனில், ''n'' இன் மிகைமைச் சுட்டெண் σ(''n'')/''n'', ஒரு சுருக்கவியலாப் பின்னம். எனவே, ''n'' இன் மிகைமைச் சுட்டெண் வேறு எந்தவொரு எண்ணின் மிகைமைச் சுட்டெணுடனும் சமமாக இருக்க முடியாது. இதனால் ''n'' ஒரு தனி எண்ணாகும். தனி எண்களின் தொடர்வரிசை: : 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 35, 36, 37, 39, 41, 43, 47, 49, 50, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 64, 65, 67, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 89, 93, 97, 98, 100, 101, 103, 107, 109, 111, 113, 115, 119, 121, 125, 127, 128, 129, 131, 133, ..... அனைத்துப் பகா எண்களும் அவற்றின் அடுக்குகளும் தனி எண்களாக இருக்கும். : ''p'' ஒரு பகா எண் எனில், அதன் σ(''p'') = ''p'' + 1, இம்மதிப்பு ''p'' உடன் சார்பகா எண்ணாக இருக்கும். எனவே ''p'' ஒரு தனி எண். ஒரு எண் நட்பானதா அல்லது தனியானதா என்பதைத் தீர்மானிக்கும் எந்தவொரு பொதுமுறையும் இல்லை. நட்பானதா அல்லது தனியானதா என்று வகைப்படுத்தப்படாத மிகச் சிறிய எண் 10. இது தனி எண் என்று அனுமானிக்கப்பட்டுள்ளது; இந்த அனுமானம் தவறென்றால், அதனது நட்பெண் குறைந்தபட்சம் 10^{30} ஆக இருக்க வேண்டும். . பெரிய நட்பெண்களைக் கொண்டுள்ள சிறிய எண்களுமுள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, 24 உடன் நட்பான எண் 91,963,648. :
கேள்வி: நட்பார்ந்த எண்கள் - பெரிய குழுக்கள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: ஒன்றுக்கொன்று நட்பானவையாக உள்ள எண்களின் பெரிய குழுக்களின் எண்ணிக்கை முடிவற்றதா இல்லையா என்பது விடையறியப்படாத கூற்றாகவே உள்ளது. நிறைவெண் (கணிதம்) ஒரு நட்பார்ந்த எண்களின் குழுவை உருவாக்குகின்றன. நிறைவெண்களின் தொடர்வரிசை முடிவுறாதவொன்றாக அனுமானம் செய்யப்பட்டுகிறது; குறைந்தபட்சம் மெர்சென் பகாத்தனிகளின் என்ணிக்கையளவு நிறையெண்கள் உண்டு; ஆனால் இக்கூற்று நிறுவப்படவில்லை. திசம்பர் 2022 வரையிலான அறிதலின்படி , 51 நிறைவெண்கள் கண்டறியப்பட்டுள்ளன. இவற்றுள் மிகப் பெரிய எண்ணானது பதின்மம்க் குறியீட்டில் 49 மில்லியன் இலக்கங்களைக் கொண்டது. பெருக்கச் செவ்விய எண்கள் நட்பார்ந்த குழுவாக அமைகின்றன. இவற்றின் மிகைமைச் சுட்டெண் ஒரு முழு எண்ணாக இருக்கும். திசம்பர் 2022 கணக்கீட்டின்படி, மிகைமைச் சுட்டெண்ணை 9 ஆகக் கொண்ட குழுவில் அறியப்பட்ட 2130 பெருக்கச் செவ்விய எண்கள் உள்ளன. சில பெருக்கச் செவ்விய எண்களைக்கொண்ட நட்பார்ந்த குழுக்கள் அதிகளவில் பெரியதாக இருந்தாலும், அக்குழுக்கள் முடிவுற்ற தொடர்வரிசைகளாகவே அனுமானிக்கப்படுகின்றன.