கேள்வி: எல்லைகளின் பட்டியல் (கணிதம்) குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: இக்கட்டுரையில் பொதுச் சார்புகளின் எல்லை (கணிதம்) பட்டியல் தரப்படுகிறது. இதிலுள்ள ''a'', ''b'' ,''c'' ஆகிய மூன்றும் மாறி ''x'' ஐப் பொறுத்த மாறிலிகளாகும். இப்பட்டியல் முழுமையானதல்ல.
கேள்வி: எல்லைகளின் பட்டியல் (கணிதம்) - எல்லையின் வரையறையும் தொடர்புடைய கருத்துக்களும் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: \forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\ 0. என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே \lim_{x \to c} f(x) = L . இவ்வரையறை எல்லையின் (ε, δ)-வரையறை. ஒரு தொடர்வரிசையின் உயர் எல்லையின் வரையறை: : \limsup_{n \to \infty} x_n = \lim_{n\to\infty}\left(\sup_{m\geq n}x_m\right) ஒரு தொடர்வரிசையின் தாழ் எல்லையின் வரையறை: : \liminf_{n \to \infty} x_n = \lim_{n\to\infty}\left(\inf_{m\geq n}x_m\right) . சார்பின் தொடர்ச்சி: :\lim_{x\to c}f(x)=f(c). என்பது உண்மையெனில் சார்பு f(x) ஆனது ''c'' புள்ளியில் தொடர்ச்சியானதாக இருக்கும்.
கேள்வி: எல்லைகளின் பட்டியல் (கணிதம்) - அறியப்பட்ட எல்லை மீதான செயல்கள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: \text{If }\lim_{x \to c} f(x) = L \text{ then:} :\lim_{x \to c} \, [f(x) \pm a] = L \pm a :\lim_{x \to c} \, a f(x) = a L : L \not = 0 எனில், \lim_{x \to c} \frac{1}{f(x)}= \frac1L :\lim_{x \to c} \, f(x)^n = L^n \qquad \text{ if }n \text{ is a positive integer} :\lim_{x \to c} \, f(x)^{1 \over n} = L^{1 \over n} \qquad \text{ if }n \text{ is a positive integer, and if } n \text{ is even, then } L > 0 பொதுவாக, ''L'' இல் ''g(x)'' தொடர்ச்சியானதாகவும் \lim_{x \to c} f(x) = L எனவும் இருந்தால்: :\lim_{x \to c} g\left(f(x)\right) =g(L)
கேள்வி: எல்லைகளின் பட்டியல் (கணிதம்) - அறியப்பட்ட இரு எல்லைகள் மீதான செயல்கள் என்பது என்ன?
பதில்: \text{If }\lim_{x \to c} f(x) = L_1 \text{ and }\lim_{x \to c} g(x) = L_2 \text{ then:}\lim_{x \to c} \, [f(x) \pm g(x)] = L_1 \pm L_2 \lim_{x \to c} \, [f(x)g(x)] = L_1 \cdot L_2 \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L_1}{L_2} \qquad \text{ if } L_2 \ne 0
கேள்வி: எல்லைகளின் பட்டியல் (கணிதம்) - சமனிலிகள் என்பது என்ன?
பதில்: c ஐ உள்ளடக்கிய இடைவெளியிலுள்ள அனைத்து x மதிப்புகளுக்கும் (ஒருவேளை c தவிர்க்கப்படலாம்) f(x)\leq g(x) ஆகவும், f(x), g(x) இரண்டின் எல்லைகளும் c இடத்துக் காணத்தக்கதாகவும் இருந்தால்: :\lim_{x\to c}f(x)\leq \lim_{x\to c}g(x) c ஐ உள்ளடக்கிய இடைவெளியிலுள்ள அனைத்து x மதிப்புகளுக்கும் (ஒருவேளை c தவிர்க்கப்படலாம்) \text{If }\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} h(x) = L ஆகவும், f(x)\leq g(x)\leq h(x) ஆகவும் இருந்தால்: :\lim_{x \to c} g(x) = L. f(x) , g(x) இரண்டின் மதிப்புகளும் c இடத்து வெவ்வேறாக இருந்தாலும் அல்லது c இடத்து இவ்விரு சார்புகளும் தொடர்ச்சியற்றதாக இருந்தாலும் இம்முடிவு உண்மையாக இருக்கும்.
கேள்வி: எல்லைகளின் பட்டியல் (கணிதம்) - x இல் அமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: :\lim_{x \to c} x = c :\lim_{x \to c} (ax + b) = ac + b :\lim_{x \to c} x^n = c^n \qquad \mbox{ if } n \mbox{ is a positive integer} :\lim_{x\to\infty}x/a=\begin{cases} \infty, & a > 0 \\ \text{does not exist}, & a = 0 \\ -\infty, & a பொதுவாக p(x) ஒரு பல்லுறுக்கோவையெனில் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தொடர்ச்சித்தன்மையின்படி: :\lim_{x \to c} p(x) = p(c) விகிதமுறு சார்புகள் அவற்றின் ஆட்களங்களில் தொடர்ச்சியானவை என்பதால் அவற்றுக்கும் இம்முடிவு பொருந்தும்.
கேள்வி: எல்லைகளின் பட்டியல் (கணிதம்) - ''x<sup>a</sup>'' வடிவச் சார்புகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: :\lim_{x\to c}x^a=c^a. குறிப்பாக: ::\lim_{x\to\infty}x^a=\begin{cases} \infty, & a > 0 \\ 1, & a = 0 \\ 0, & a :\lim_{x\to c}x^{1/a}=c^{1/a} . குறிப்பாக: ::\lim_{x\to\infty} x^{1/a}=\lim_{x\to\infty}\sqrt[a]{x}= \infty \text{ for any } a > 0 :\lim_{x \to 0^+} x^{-n} =\lim \frac{1}{x^n}= +\infty :\lim_{x \to 0^-} x^{-n} =\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^n} =\begin{cases} -\infty, & \text{if } n \text{ is odd} \\ +\infty, & \text{if } n \text{ is even}\end{cases} :\lim_{x\to\infty} ax^{-1}=\lim_{x\to\infty}a/x=0 \text{ for any real }a
கேள்வி: எல்லைகளின் பட்டியல் (கணிதம்) - ''a<sup>g(x)</sup>'' வடிவச் சார்புகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: :\lim_{x \to c} e^{x} = e^c (e^{x} தொடர்ச்சியான சார்பு என்பதால்) :\lim_{x\to\infty}a^x=\begin{cases} \infty, & a > 1 \\ 1, & a = 1 \\ 0, & 0 :\lim_{x\to\infty}a^{-x}=\begin{cases} 0, & a > 1 \\ 1, & a = 1 \\ \infty, & 0 :\lim_{x\to\infty}\sqrt[x]{a}=\lim_{x\to\infty}{a}^{1/x}=\begin{cases} 1, & a > 0 \\ 0, & a = 0 \\ \text{does not exist}, & a
கேள்வி: எல்லைகளின் பட்டியல் (கணிதம்) - ''x<sup>g(x)</sup>'' வடிவச் சார்புகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: :\lim_{x\to\infty}\sqrt[x]{x}=\lim_{x\to\infty}{x}^{1/x}=1
கேள்வி: எல்லைகளின் பட்டியல் (கணிதம்) - ''f(x)<sup>g(x)</sup>'' வடிவச் சார்புகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: :\lim_{x\to+\infty} \left( \frac{x}{x+k}\right)^x=e^{-k} :\lim_{x\to 0} \left(1+x\right)^\frac{1}{x}=e :\lim_{x\to 0} \left(1+kx\right)^\frac{m}{x}=e^{mk} :\lim_{x\to+\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e :\lim_{x\to+\infty} \left(1-\frac{1}{x}\right)^x=\frac{1}{e} :\lim_{x\to+\infty} \left(1+\frac{k}{x}\right)^{mx}=e^{mk} : \lim_{x \to 0} \left(1+ a \left({e^{-x} - 1}\right)\right)^{-\frac{1}{x}} = e^{a} \qquad.
கேள்வி: எல்லைகளின் பட்டியல் (கணிதம்) - கூட்டுத்தொகை, பெருக்கற்பலன், கூட்டமைவுகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: :\lim_{x \to 0} x e^{-x} = 0 :\lim_{x \to \infty} x e^{-x} = 0 :\lim_{x \to 0} \left( \frac{a^x - 1}{x} \right) = \ln{a}, \qquad \forall~a > 0 :\lim_{x \to 0} \left( \frac{e^x - 1}{x} \right) = 1 :\lim_{x \to 0} \left( \frac{e^{ax} - 1}{x} \right) = a
கேள்வி: எல்லைகளின் பட்டியல் (கணிதம்) - இயல் மடக்கைகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: \ln {x} இன் தொடர்ச்சித்தன்மையால்: :\lim_{x \to c} \ln{x} = \ln c குறிப்பாக, ::\lim_{x\to0^+}\log x=-\infty ::\lim_{x\to\infty}\log x=\infty :\lim_{x\to1}\frac{\ln(x)}{x-1}=1 :\lim_{x\to0}\frac{\ln(x+1)}{x}=1 : \lim_{x \to 0} \frac{-\ln\left(1+ a \left({e^{-x} - 1}\right)\right)}{x} = a. (லாபிதாலின் விதியின்படி பெறப்படுகிறது) :\lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0 :\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0
கேள்வி: எல்லைகளின் பட்டியல் (கணிதம்) - குறிப்பிலா அடிமான மடக்கைகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: ''a'' > 1 எனில்: :\lim_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty :\lim_{x \to \infty} \log_a x = \infty ''a'' \lim_{x \to 0^+} \log_a x = \infty :\lim_{x \to \infty} \log_a x = -\infty
கேள்வி: எல்லைகளின் பட்டியல் (கணிதம்) - முக்கோணவியல் சார்புகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: x ஆனது ரேடியன்களில் குறிக்கப்படுகிறது. சைன் மற்றும் கொசைன் சார்புகளின் தொடர்ச்சித்தன்மையால்: :\lim_{x \to a} \sin x = \sin a :\lim_{x \to a} \cos x = \cos a :\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1. அல்லது பொதுவாக, ::\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{ax} = 1, (''a'' ≠ 0) ::\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{x} = a ::\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b}, (''b'' ≠ 0) :\lim_{x \to \infty} x\sin \left(\frac1x\right) = 1 :\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x} = 0 :\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2} :\lim_{x \to n^\pm} \tan \left(\pi x + \frac{\pi}{2}\right) = \mp\infty (''n'' ஒரு முழு எண்) :\lim_{n\to \infty }\ \underbrace{\sin\ \sin\ \ldots \sin(x_0)}_n= 0 (x0 ஒரு குறிப்பிலா மெய் எண்) :\lim_{n\to \infty }\ \underbrace{\cos\ \cos\ \ldots \cos(x_0)}_n= d, ( d டோத்தி எண், x0 ஒரு குறிப்பிலா மெய் எண்)
கேள்வி: எல்லைகளின் பட்டியல் (கணிதம்) - கூட்டுத்தொகைகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: பொதுவாக எந்தவொரு முடிவுறாத் தொடரும் அதன் பகுதிக் கூட்டல்களின் எல்லையாக இருக்கும். :\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=\infty. இது இசைத் தொடர் என அறியப்படுகிறது. :\lim_{n\to\infty}\left( \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\log n\right)=\gamma. இது ஆய்லர் மசுசேரோனி மாறிலி (Euler Mascheroni constant) என அறியப்படுகிறது.