கேள்வி: 2 இன் வர்க்கமூலம் - வரலாறு என்பது என்ன?
பதில்: File:Ybc7289-bw.jpg களிமண் சிற்பம் YBC 7289 (அண். 1800–1600 கி.மு.) தோராயமான மதிப்பை தருகிறது நான்கு பாலுணர்வு படத்தில், 1 24 51 10,இதில் ஆறு இலக்க தசம எண்களில் மிகச்சரியான மதிப்பை தருகறது மற்றும் இது மிகவும் நெருக்கமான மூன்று-இட திருத்த ன் மதிப்பை தருகிறது ]] பாபிலோனியாவின் களிமண் சிற்பம் YBC 7289 (–1600 கி.மு.) தோராயமான மதிப்பை தருகிறது \sqrt{2} நான்கு பாலுணர்வு படத்தில், ,இதில் ஆறு இலக்க தசம எண்களில் மிகச்சரியான மதிப்பை தருகறது Fowler and Robson, p. 368.[http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html Photograph, illustration, and description of the ''root(2)'' tablet from the Yale Babylonian Collection] [http://www.math.ubc.ca/%7Ecass/Euclid/ybc/ybc.html High resolution photographs, descriptions, and analysis of the ''root(2)'' tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection] மற்றும் இது மிகவும் நெருக்கமான மூன்று-இட திருத்த \sqrt{2}ன் மதிப்பை தருகிறது. :1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = \frac{305470}{216000} = 1.41421\overline{296}. இந்திய வரலாறு கணித நூல்களான சல்பசூத்திரங்களில் \sqrt{2}ன் மற்றொரு தோராயமான மதிப்பு (அண். 800-200 கி.மு.) பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு பக்கத்தின் நீளத்துடன் மூன்றில் ஒரு பங்கையும்,மேலும் 3X4 ல் ஒரு பங்கையும் சேர்த்து அதிலிருந்து 3X4X34 ல் ஒரு பங்கை குறைக்க \sqrt{2} மதிப்பு கிடைக்கிறது.Henderson. அதாவது1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \times 4} - \frac{1}{3 \times4 \times 34} = \frac{577}{408} = 1.41421\overline{56862745098039}. இது பெல் எண்களின் வரிசையின் அடிப்படையாக அதிகரித்து வரும் துல்லியமான தோராயங்களின் வரிசையில் ஏழாவது முறையாகும். \sqrt{2} ன் மதிப்பானது தொடர்ச்சியான பின்னம் விரிவாக்கத்திலிருந்து பெறப்படுகிறது. சிறிய பகுதி எண்ணைக் கொண்டிருந்தாலும், பாபிலோனிய தோராயத்தைக் காட்டிலும் இது மிக துல்லியமானதாகும். ஒரு சதுரத்தின் மூலைவிட்டமானது அதன் பக்கங்களுடன் அளவுக்கிணங்காத அளவாகும், அல்லது நவீன மொழியில் இரண்டின் வர்க்கமூலம் விகிதமுறா எண் என்று பித்தாகரசு கண்டுபிடித்தார். இந்த கண்டுபிடிப்பின் சூழ்நிலைகள் பற்றி மிகக் குறைவாகவே அறியப்படுகிறது. ஆனால் மெட்டாபொன்டமை சேர்ந்த ஹிப்பாசஸின் பெயர் அடிக்கடி குறிப்பிடப்படுகிறது. இரண்டின் வர்க்கமூலம் விகிதமுறா எண் என்பதைக் கண்டுபிடித்ததை பித்தாகரசு ஒரு அதிகாரப்பூர்வ ரகசியமாகக் கருதி வந்தார். ஹிப்பாசஸ் என்பார் கணித துறையில் பெரும் புகழ் வாய்ந்தவர் ஆவார், ஹிப்பாசஸ் பித்தாகரசுத்தை வெளிப்படுத்தியதற்காக கொலை செய்யப்பட்டார். இரண்டின் வர்க்கமூலமானது எப்போதாவது பித்தாகரசு எண் அல்லது பித்தாகரசு மாறிலி என்று அழைக்கப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக ..
கேள்வி: 2 இன் வர்க்கமூலம் - பண்டைய ரோமானிய கட்டிடக்கலை பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: பண்டைய ரோமானிய கட்டிடக்கலையில், மார்க்கஸ் விட்ருவியஸ் பொல்லியோ பொறியாளர் 2 ன் வர்க்கமூலத்தை பயன்படுத்துவதை விவரிக்கிறார் மேலும் ''Ad Quadratum என்ற இடைக்கால'' கட்டிடக்கலை நுட்பத்தில் வர்க்க மூலத்தைப் பயன்படுத்துவதை விவரிக்கிறது. இது அடிப்படையில் ஒரலகு சதுரத்தின் பக்க அளவின் வர்க்கங்களின் கூடுதலின் வர்க்கமூலமாகும் என்ற வடிவியல் முறையைக் கொண்டுள்ளது. மார்க்கஸ் விட்ருவியஸ் பொல்லியோ \sqrt{2} ன் பண்புகளை பிளேட்டோ ஒரு யோசனையாக கூறுகிறார். ஒரு சதுரத்தின் மூலைகளுக்கு 45 டிகிரியில் ஒரு தொடுகோடு உருவாக்குவதன் மூலம் நடைபாதைகளை உருவாக்க இந்த அமைப்பு பயன்படுத்தப்பட்டது. ஒரு சதுரத்திலிருந்து எடுக்கப்பட்ட மூலைவிட்டத்திற்குச் சமமான நீளத்தைக் கொடுப்பதன் மூலம் வீட்டு முற்றத்தை வடிவமைக்க இந்த விகிதம் பயன்படுத்தப்பட்டது, அதன் பக்கங்கள் மூலைவிட்டங்கள் கொண்ட வீட்டு முற்றதின் அகலத்திற்கு சமமாக இருக்கும்..
கேள்வி: 2 இன் வர்க்கமூலம் - கணக்கீட்டு வழிமுறைகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: மேலும் தகவல்களுக்கு: வர்க்க மூலங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான முறைகள் \sqrt{2}ன் தோராயமான மதிப்புகளை அறிந்திட படிமுறைத் தீர்வு பல உள்ளன முழு எண்களின் விகிதங்கள் அல்லது தசம எண் ஆகும். இதற்கான மிகவும் பொதுவான படிமுறைத் தீர்வுவானது கணினிகள் மற்றும் கணிப்பான் அடிப்படையாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது வர்க்க மூலங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான பாபிலோனிய முறை ஆகும், இது விதிக்கட்டின்றி சார்புகளின் வர்க்க மூலங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான நியூட்டனின் முறையாகும். எடுத்துக்காட்டாக முதலில், ஒரு யூகத்தைத் தேர்ந்தெடுங்கள்,a_0 > 0; ஒரு குறிப்பிட்ட துல்லியத்தின் தோராயத்தை அடைய எத்தனை மறு செய்கைகள் தேவை என்பதை மட்டுமே யூகத்தின் மதிப்பு பாதிக்கிறது. பின்னர், அந்த யூகத்தைப் பயன்படுத்தி, பின்வரும் சுழல்நிலை கணக்கீட்டின் மூலம் மீண்டும் செய்யவும்: a_{n+1} = \frac12\left(a_n + \dfrac{2}{a_n}\right)=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}. ஒவ்வொரு மறு செய்கையும் தோராயத்தை மேம்படுத்துகிறது, சரியான இலக்கங்களின் எண்ணிக்கையை தோராயமாக இரட்டிப்பாக்குகிறது. a_0=1 என தொடங்கி, அடுத்தடுத்த மறு செய்கைகள் பலனளிக்கின்றன: \begin{alignat}{3} a_1 &= \tfrac{3}{2} &&= \mathbf{1}.5, \\[3mu] a_2 &= \tfrac{17}{12} &&= \mathbf{1.41}6\ldots, \\[3mu] a_3 &= \tfrac{577}{408} &&= \mathbf{1.41421}5\ldots, \\[3mu] a_4 &= \tfrac{665857}{470832} &&= \mathbf{1.41421356237}46\ldots, \\[3mu] &\qquad \vdots \end{alignat}
கேள்வி: 2 இன் வர்க்கமூலம் - முடிவிலி இறக்க நிறுவல் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: முடிவிலி இறக்க நிறுவல் மூலம் விகிதமுறாவின்மை எண்களின் ஒரு நிரூபணமாகும். ஒரு நிராகரிப்புக்கான சான்றாகவும் உள்ளது: இது"\sqrt{2} விகிதமுறு எண் அல்ல" என்ற கூற்றை விகிதமுறு என்று கருதி பின்னர் ஒரு தவறு என பெறுவதன் மூலம் நிரூபிக்கிறது. 1.\sqrt{2} என்பது ஒரு விகிதமுறு எண் என்று எடுத்துக் கொள்வோம், அதாவது ஒரு ஜோடி முழு எண்கள் உள்ளன, \sqrt{2} ன் விகிதம் சரியாக இருக்கும். 2. இரண்டு முழு எண்களுக்கும் பொதுவான காரணி இருந்தால், அதை யூக்ளிடியன் படிமுறைத் தீர்வு பயன்படுத்தி நீக்கலாம். 3. பிறகு \sqrt{2} குறைக்க முடியாத \frac{a}{b} பின்னமாக எழுதலாம் a மற்றும் b ஆகியவை பகு எண் (பொதுவான காரணி இல்லாதது) அதாவது a அல்லது b இல் குறைந்தபட்சம் ஏதாவது ஒன்று ஒற்றைப்படையாக இருக்க வேண்டும். 4. அதைத் தொடர்ந்து \frac{a^2}{b^2}=2 மற்றும் a^2=2b^2 ( மற்றும் ''b''}} முழுக்களாகும்) 5. ''a''2 என்பது இரட்டை அதனால் 2''b''2 க்கு சம்ம் ஆகும் .ஏனென்றால் 2''b''2 (2''b''2 மற்றொரு முழு எண்ணாக இருந்தாலும் கூட அவசியம் 2 ன் மடங்கு ஆகும் .) 6. அதைத் தொடர்ந்து இரட்டையாக இருக்க வேண்டும் (ஒற்றைமுழுக்களின் வர்க்கங்கள் எப்போதும் இரட்டையாக இருக்கும்.) 7. என்பது இரட்டையாக இருப்பதால், ஆதையால் முழு எண் என்பது a = 2k பூர்த்தி செய்யும் உள்ளது. 8. படி 7 இலிருந்து க்கு பதிலாக என இரண்டாவது சமன்பாட்டில் படி 4 ல்: 2b^2 = a^2 = (2k)^2 = 4k^2 உள்ளது. அது b^2=2k^2 க்கு சம்மாகும். 9. }} இரண்டால் வகுபடுவதால் இரட்டை ஆகும். ஆனால் 2k^2=b^2 இதன் படி }} ம் இரட்டை,அதாவது என்பது இரட்டை ஆகும். 10. படிகள் 5 மற்றும் 8 மூலம், மற்றும் இரண்டும் சமமாக இருக்கும், இது படி 3 க்கு முரணானது (அதாவது \frac{a}{b} விகிதமுறா எண்ணாகும்) நாம் ஒரு முரண்பாடைப் பெற்றிருப்பதால், அனுமானம் (1) அது \sqrt{2} என்பது ஒரு விகிதமுறு எண் என்பது தவறாக இருக்க வேண்டும். இதற்கு அர்த்தம் அதுதான் \sqrt{2} ஒரு விகிதமுறு எண் அல்ல; அதாவது,\sqrt{2} விகிதமுறா எண்ணாகும் . இந்த நிரூபணம் அரிசுட்டாட்டில், அவரது முந்தைய பகுப்பாராய்ச்சி முறை வடிவியல் §I.23 இல் சுட்டிக்காட்டப்பட்டது..All that Aristotle says, while writing about Proof by contradiction, is that "the diagonal of the square is incommensurate with the side, because odd numbers are equal to evens if it is supposed to be commensurate". இது யூக்ளிட்டின் எலிமென்ட்ஸ், புத்தக X இன் 117வது முன்மொழிவாக, முழு நிரூபணமும் முதலில் தோன்றியது. இருப்பினும், 19 ஆம் நூற்றாண்டின் முற்பகுதியில் இருந்து, வரலாற்றாசிரியர்கள் இந்த நிரூபணம் யூக்ளிட்டுக்கு ஒரு இடைச்செருகல் மற்றும் காரணம் கற்பித்தல் என்று ஒப்புக்கொண்டனர்.The edition of the Greek text of the ''Elements'' published by E. F. August in Berlin in 1826–1829 already relegates this proof to an Appendix. The same thing occurs with Johan Ludvig Heiberg (historian) edition (1883–1888).
கேள்வி: 2 இன் வர்க்கமூலம் - தனித்துவமான காரணிபடுத்தல் மூலம் நிரூபணம் என்பது என்ன?
பதில்: முடிவிலி இறக்க நிறுவதைப் போலவே, நாங்கள் பெறுகிறோம் a^2 = 2b^2. இருபுறமும் சமமாக இருப்பதால், ஒவ்வொரு பக்கமும் எண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றம் மூலம் ஒரே பகாகாரணிப்படுத்துதல் கொண்டுள்ளது. மேலும் குறிப்பாக, காரணிகள் ஒரே எண்ணிக்கையில் ஏற்பட வேண்டும். இருப்பினும், வலதுபுறத்தில் காரணிகள் 2×b×b என ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையில் தோன்றும், ஆனால் இடதுபுறத்தில் காரணிகள் a×a என இரட்டை எண்ணிக்கையில் தோன்றும் - இதுவே ஒரு முரண்பாடு ஆகும்.
கேள்வி: 2 இன் வர்க்கமூலம் - இவற்றையும் பார்க்க பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: *List of mathematical constants *Square root of 3, }} * Square root of 5, }} *Gelfond–Schneider constant, }} * Silver ratio, }}
கேள்வி: 2 இன் வர்க்கமூலம் - வரலாறு பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: File:Ybc7289-bw.jpg களிமண் சிற்பம் YBC 7289 (அண். 1800–1600 கி.மு.) தோராயமான மதிப்பை தருகிறது நான்கு பாலுணர்வு படத்தில், 1 24 51 10,இதில் ஆறு இலக்க தசம எண்களில் மிகச்சரியான மதிப்பை தருகறது மற்றும் இது மிகவும் நெருக்கமான மூன்று-இட திருத்த ன் மதிப்பை தருகிறது ]] பாபிலோனியாவின் களிமண் சிற்பம் YBC 7289 (–1600 கி.மு.) தோராயமான மதிப்பை தருகிறது \sqrt{2} நான்கு பாலுணர்வு படத்தில், ,இதில் ஆறு இலக்க தசம எண்களில் மிகச்சரியான மதிப்பை தருகறது Fowler and Robson, p. 368.[http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html Photograph, illustration, and description of the ''root(2)'' tablet from the Yale Babylonian Collection] [http://www.math.ubc.ca/%7Ecass/Euclid/ybc/ybc.html High resolution photographs, descriptions, and analysis of the ''root(2)'' tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection] மற்றும் இது மிகவும் நெருக்கமான மூன்று-இட திருத்த \sqrt{2}ன் மதிப்பை தருகிறது. :1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = \frac{305470}{216000} = 1.41421\overline{296}. இந்திய வரலாறு கணித நூல்களான சல்பசூத்திரங்களில் \sqrt{2}ன் மற்றொரு தோராயமான மதிப்பு (அண். 800-200 கி.மு.) பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு பக்கத்தின் நீளத்துடன் மூன்றில் ஒரு பங்கையும்,மேலும் 3X4 ல் ஒரு பங்கையும் சேர்த்து அதிலிருந்து 3X4X34 ல் ஒரு பங்கை குறைக்க \sqrt{2} மதிப்பு கிடைக்கிறது.Henderson. அதாவது1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \times 4} - \frac{1}{3 \times4 \times 34} = \frac{577}{408} = 1.41421\overline{56862745098039}. இது பெல் எண்களின் வரிசையின் அடிப்படையாக அதிகரித்து வரும் துல்லியமான தோராயங்களின் வரிசையில் ஏழாவது முறையாகும். \sqrt{2} ன் மதிப்பானது தொடர்ச்சியான பின்னம் விரிவாக்கத்திலிருந்து பெறப்படுகிறது. சிறிய பகுதி எண்ணைக் கொண்டிருந்தாலும், பாபிலோனிய தோராயத்தைக் காட்டிலும் இது மிக துல்லியமானதாகும். ஒரு சதுரத்தின் மூலைவிட்டமானது அதன் பக்கங்களுடன் அளவுக்கிணங்காத அளவாகும், அல்லது நவீன மொழியில் இரண்டின் வர்க்கமூலம் விகிதமுறா எண் என்று பித்தாகரசு கண்டுபிடித்தார். இந்த கண்டுபிடிப்பின் சூழ்நிலைகள் பற்றி மிகக் குறைவாகவே அறியப்படுகிறது. ஆனால் மெட்டாபொன்டமை சேர்ந்த ஹிப்பாசஸின் பெயர் அடிக்கடி குறிப்பிடப்படுகிறது. இரண்டின் வர்க்கமூலம் விகிதமுறா எண் என்பதைக் கண்டுபிடித்ததை பித்தாகரசு ஒரு அதிகாரப்பூர்வ ரகசியமாகக் கருதி வந்தார். ஹிப்பாசஸ் என்பார் கணித துறையில் பெரும் புகழ் வாய்ந்தவர் ஆவார், ஹிப்பாசஸ் பித்தாகரசுத்தை வெளிப்படுத்தியதற்காக கொலை செய்யப்பட்டார். இரண்டின் வர்க்கமூலமானது எப்போதாவது பித்தாகரசு எண் அல்லது பித்தாகரசு மாறிலி என்று அழைக்கப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக ..
கேள்வி: 2 இன் வர்க்கமூலம் - பண்டைய ரோமானிய கட்டிடக்கலை குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: பண்டைய ரோமானிய கட்டிடக்கலையில், மார்க்கஸ் விட்ருவியஸ் பொல்லியோ பொறியாளர் 2 ன் வர்க்கமூலத்தை பயன்படுத்துவதை விவரிக்கிறார் மேலும் ''Ad Quadratum என்ற இடைக்கால'' கட்டிடக்கலை நுட்பத்தில் வர்க்க மூலத்தைப் பயன்படுத்துவதை விவரிக்கிறது. இது அடிப்படையில் ஒரலகு சதுரத்தின் பக்க அளவின் வர்க்கங்களின் கூடுதலின் வர்க்கமூலமாகும் என்ற வடிவியல் முறையைக் கொண்டுள்ளது. மார்க்கஸ் விட்ருவியஸ் பொல்லியோ \sqrt{2} ன் பண்புகளை பிளேட்டோ ஒரு யோசனையாக கூறுகிறார். ஒரு சதுரத்தின் மூலைகளுக்கு 45 டிகிரியில் ஒரு தொடுகோடு உருவாக்குவதன் மூலம் நடைபாதைகளை உருவாக்க இந்த அமைப்பு பயன்படுத்தப்பட்டது. ஒரு சதுரத்திலிருந்து எடுக்கப்பட்ட மூலைவிட்டத்திற்குச் சமமான நீளத்தைக் கொடுப்பதன் மூலம் வீட்டு முற்றத்தை வடிவமைக்க இந்த விகிதம் பயன்படுத்தப்பட்டது, அதன் பக்கங்கள் மூலைவிட்டங்கள் கொண்ட வீட்டு முற்றதின் அகலத்திற்கு சமமாக இருக்கும்..
கேள்வி: 2 இன் வர்க்கமூலம் - கணக்கீட்டு வழிமுறைகள் என்பது என்ன?
பதில்: மேலும் தகவல்களுக்கு: வர்க்க மூலங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான முறைகள் \sqrt{2}ன் தோராயமான மதிப்புகளை அறிந்திட படிமுறைத் தீர்வு பல உள்ளன முழு எண்களின் விகிதங்கள் அல்லது தசம எண் ஆகும். இதற்கான மிகவும் பொதுவான படிமுறைத் தீர்வுவானது கணினிகள் மற்றும் கணிப்பான் அடிப்படையாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது வர்க்க மூலங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான பாபிலோனிய முறை ஆகும், இது விதிக்கட்டின்றி சார்புகளின் வர்க்க மூலங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான நியூட்டனின் முறையாகும். எடுத்துக்காட்டாக முதலில், ஒரு யூகத்தைத் தேர்ந்தெடுங்கள்,a_0 > 0; ஒரு குறிப்பிட்ட துல்லியத்தின் தோராயத்தை அடைய எத்தனை மறு செய்கைகள் தேவை என்பதை மட்டுமே யூகத்தின் மதிப்பு பாதிக்கிறது. பின்னர், அந்த யூகத்தைப் பயன்படுத்தி, பின்வரும் சுழல்நிலை கணக்கீட்டின் மூலம் மீண்டும் செய்யவும்: a_{n+1} = \frac12\left(a_n + \dfrac{2}{a_n}\right)=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}. ஒவ்வொரு மறு செய்கையும் தோராயத்தை மேம்படுத்துகிறது, சரியான இலக்கங்களின் எண்ணிக்கையை தோராயமாக இரட்டிப்பாக்குகிறது. a_0=1 என தொடங்கி, அடுத்தடுத்த மறு செய்கைகள் பலனளிக்கின்றன: \begin{alignat}{3} a_1 &= \tfrac{3}{2} &&= \mathbf{1}.5, \\[3mu] a_2 &= \tfrac{17}{12} &&= \mathbf{1.41}6\ldots, \\[3mu] a_3 &= \tfrac{577}{408} &&= \mathbf{1.41421}5\ldots, \\[3mu] a_4 &= \tfrac{665857}{470832} &&= \mathbf{1.41421356237}46\ldots, \\[3mu] &\qquad \vdots \end{alignat}
கேள்வி: 2 இன் வர்க்கமூலம் - முடிவிலி இறக்க நிறுவல் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: முடிவிலி இறக்க நிறுவல் மூலம் விகிதமுறாவின்மை எண்களின் ஒரு நிரூபணமாகும். ஒரு நிராகரிப்புக்கான சான்றாகவும் உள்ளது: இது"\sqrt{2} விகிதமுறு எண் அல்ல" என்ற கூற்றை விகிதமுறு என்று கருதி பின்னர் ஒரு தவறு என பெறுவதன் மூலம் நிரூபிக்கிறது. 1.\sqrt{2} என்பது ஒரு விகிதமுறு எண் என்று எடுத்துக் கொள்வோம், அதாவது ஒரு ஜோடி முழு எண்கள் உள்ளன, \sqrt{2} ன் விகிதம் சரியாக இருக்கும். 2. இரண்டு முழு எண்களுக்கும் பொதுவான காரணி இருந்தால், அதை யூக்ளிடியன் படிமுறைத் தீர்வு பயன்படுத்தி நீக்கலாம். 3. பிறகு \sqrt{2} குறைக்க முடியாத \frac{a}{b} பின்னமாக எழுதலாம் a மற்றும் b ஆகியவை பகு எண் (பொதுவான காரணி இல்லாதது) அதாவது a அல்லது b இல் குறைந்தபட்சம் ஏதாவது ஒன்று ஒற்றைப்படையாக இருக்க வேண்டும். 4. அதைத் தொடர்ந்து \frac{a^2}{b^2}=2 மற்றும் a^2=2b^2 ( மற்றும் ''b''}} முழுக்களாகும்) 5. ''a''2 என்பது இரட்டை அதனால் 2''b''2 க்கு சம்ம் ஆகும் .ஏனென்றால் 2''b''2 (2''b''2 மற்றொரு முழு எண்ணாக இருந்தாலும் கூட அவசியம் 2 ன் மடங்கு ஆகும் .) 6. அதைத் தொடர்ந்து இரட்டையாக இருக்க வேண்டும் (ஒற்றைமுழுக்களின் வர்க்கங்கள் எப்போதும் இரட்டையாக இருக்கும்.) 7. என்பது இரட்டையாக இருப்பதால், ஆதையால் முழு எண் என்பது a = 2k பூர்த்தி செய்யும் உள்ளது. 8. படி 7 இலிருந்து க்கு பதிலாக என இரண்டாவது சமன்பாட்டில் படி 4 ல்: 2b^2 = a^2 = (2k)^2 = 4k^2 உள்ளது. அது b^2=2k^2 க்கு சம்மாகும். 9. }} இரண்டால் வகுபடுவதால் இரட்டை ஆகும். ஆனால் 2k^2=b^2 இதன் படி }} ம் இரட்டை,அதாவது என்பது இரட்டை ஆகும். 10. படிகள் 5 மற்றும் 8 மூலம், மற்றும் இரண்டும் சமமாக இருக்கும், இது படி 3 க்கு முரணானது (அதாவது \frac{a}{b} விகிதமுறா எண்ணாகும்) நாம் ஒரு முரண்பாடைப் பெற்றிருப்பதால், அனுமானம் (1) அது \sqrt{2} என்பது ஒரு விகிதமுறு எண் என்பது தவறாக இருக்க வேண்டும். இதற்கு அர்த்தம் அதுதான் \sqrt{2} ஒரு விகிதமுறு எண் அல்ல; அதாவது,\sqrt{2} விகிதமுறா எண்ணாகும் . இந்த நிரூபணம் அரிசுட்டாட்டில், அவரது முந்தைய பகுப்பாராய்ச்சி முறை வடிவியல் §I.23 இல் சுட்டிக்காட்டப்பட்டது..All that Aristotle says, while writing about Proof by contradiction, is that "the diagonal of the square is incommensurate with the side, because odd numbers are equal to evens if it is supposed to be commensurate". இது யூக்ளிட்டின் எலிமென்ட்ஸ், புத்தக X இன் 117வது முன்மொழிவாக, முழு நிரூபணமும் முதலில் தோன்றியது. இருப்பினும், 19 ஆம் நூற்றாண்டின் முற்பகுதியில் இருந்து, வரலாற்றாசிரியர்கள் இந்த நிரூபணம் யூக்ளிட்டுக்கு ஒரு இடைச்செருகல் மற்றும் காரணம் கற்பித்தல் என்று ஒப்புக்கொண்டனர்.The edition of the Greek text of the ''Elements'' published by E. F. August in Berlin in 1826–1829 already relegates this proof to an Appendix. The same thing occurs with Johan Ludvig Heiberg (historian) edition (1883–1888).
கேள்வி: 2 இன் வர்க்கமூலம் - தனித்துவமான காரணிபடுத்தல் மூலம் நிரூபணம் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: முடிவிலி இறக்க நிறுவதைப் போலவே, நாங்கள் பெறுகிறோம் a^2 = 2b^2. இருபுறமும் சமமாக இருப்பதால், ஒவ்வொரு பக்கமும் எண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றம் மூலம் ஒரே பகாகாரணிப்படுத்துதல் கொண்டுள்ளது. மேலும் குறிப்பாக, காரணிகள் ஒரே எண்ணிக்கையில் ஏற்பட வேண்டும். இருப்பினும், வலதுபுறத்தில் காரணிகள் 2×b×b என ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையில் தோன்றும், ஆனால் இடதுபுறத்தில் காரணிகள் a×a என இரட்டை எண்ணிக்கையில் தோன்றும் - இதுவே ஒரு முரண்பாடு ஆகும்.
கேள்வி: 2 இன் வர்க்கமூலம் - இவற்றையும் பார்க்க குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: *List of mathematical constants *Square root of 3, }} * Square root of 5, }} *Gelfond–Schneider constant, }} * Silver ratio, }}