கேள்வி: சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: நேரியல் இயற்கணிதம் ஒரு சதுர அணியின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை (''characteristic polynomial'') என்பது, அணி ஒப்புமையின் கீழ் மாற்றமடையாததும், ஐகென் மதிப்புகளை சார்பின் மூலம் கொண்டதுமானதொரு பல்லுறுப்புக்கோவையாகும். இப்பல்லுறுப்புக்கோவை, அச் சதுர அணியின் அணிக்கோவையையும் சுவடு (நேரியல் இயற்கணிதம்) அதன் கெழுக்களில் கொண்டிருக்கும். ஒரு முடிவுறு-பரிமாணத் திசையன் வெளியின் உள்ளமைவியத்தின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையானது, அந்த உள்ளமைவியத்தின் அணியின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும் (திசையன் வெளியின் அடுக்களம் எதுவாக வேண்டுமானாலும் இருக்கலாம்). சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையைப் பூச்சியத்திற்குச் சமப்படுத்துவதன் மூலம் கிடைக்கும் சமன்பாடு சிறப்பியல்பு சமன்பாடு (''characteristic equation'') என அழைக்கப்படுகிறது. நிறப்பிரிகை கோட்டுரு கோட்பாட்டில், ஒரு கோட்டுரு (கணிதம்) சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை என்பது அக்கோட்டுருவின் அண்டை அணியின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும்.
கேள்வி: சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை - முறையான வரையறை பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: A. என்பது ஒரு n \times n அணி (கணிதம்) எனில்: *அதன் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையின் குறியீடு: p_A(t). *வரையறை: :p_A(t) = \det (t I - A) (I என்பது n \times n முற்றொருமை அணி). சிலர் சிறப்பியல்பு பல்லுறுக்கோவையை பின்வருமாறும் தருகின்றனர்: :\det(A - t I). முதல் வரையறைப்படியான சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையானது இரண்டாவது வரையறைப்படியானதிலிருந்து (-1)^n, என்ற குறியளவில் மட்டுமே மாறுபடுகிறது. இந்த வரையறை வேறுபாட்டால், மூலங்கள் A அணியின் ஐகென் மதிப்புகளாக இருக்கும் என்பது போன்ற பண்புகளில் எந்தவொரு வேறுபாடும் இருக்காது. எனினும் முதல் வரையறைப்படி, சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை எப்பொழுதும் தலையொற்றை பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும்; மாற்று வரையறையில் n இரட்டையெண்ணாக இருந்தால் மட்டுமே தலையொற்றையாக இருக்கும்.
கேள்வி: சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை - எடுத்துக்காட்டுகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: எடுத்துக்காட்டு 1: :A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ -1& 0 \end{pmatrix}. என்ற அணியின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையைக் காண்பதற்குக் கீழ்வரும் அணியின் அணிக்கோவையைக் காணவேண்டும்: :t I-A = \begin{pmatrix} t-2&-1\\ 1&t-0 \end{pmatrix} அந்த அணிக்கோவையினை விரிக்க, A அணியின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை கிடைக்கிறது: :(t-2)t - 1(-1) = t^2-2t+1 \,\!, எடுத்துக்காட்டு 2 (அதிபரவளையக் கோணம் &phi; இன் அதிபரவளையச் சார்பு): அணி: A = \begin{pmatrix} \cosh(\varphi) & \sinh(\varphi)\\ \sinh(\varphi)& \cosh(\varphi) \end{pmatrix}. சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை: \det (tI - A) = (t - \cosh(\varphi))^2 - \sinh^2(\varphi) = t^2 - 2 t \ \cosh(\varphi) + 1 = (t - e^\varphi) (t - e^{-\varphi}).
கேள்வி: சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை - பண்புகள் என்பது என்ன?
பதில்: *n \times n வரிசை அணி A இன் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை p_A(t), ஒரு தலையொற்றை பல்லுறுப்புக்கோவை. *n \times n வரிசை அணி A இன் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை p_A(t), இன் படி (பல்லுறுப்புக்கோவை) n.. *A இன் ஐகென்மதிப்புகள் p_A(t) இன் சார்பின் மூலம். *சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையின் கெழுக்கள் A இன் உறுப்புகளாலமைந்த பல்லுறுப்பு விரிவுகளாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையின் **மாறிலி உறுப்பு (t^0 இன் கெழு) = \det(-A) = (-1)^n \det(A), ** t^n இன் கெழு = 1 **t^{n-1} இன் கெழு = , ( = A இன் சுவடு (நேரியல் இயற்கணிதம்)) (இது முதல் வகை வரையறையின்படி) ** மாற்று வரையறையின்படி முறையே \det(A), Theorem 4 in these [https://www.math.ucla.edu/~tao/resource/general/115a.3.02f/week8.pdf lecture notes]) 2 \times 2 வரிசை A அணியின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை: t^2 - \operatorname{tr}(A) t + \det(A). *இரு அணி ஒப்புமைகளின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஒன்றாக இருக்கும். ஆனால் மறுதலை உண்மையில்லை ஒரே பல்லுறுப்புக்கோவையைச் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையாகக் கொண்ட அணிகள் ஒத்த அணிகளாக இருக்காது. * A, அதன் இடமாற்று அணி இரண்டிற்கும் ஒரே சிறப்பியல்பு பல்லுறுக்கோவை.