கேள்வி: மடக்கை வகையிடல் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: நுண்கணிதம் மடக்கை வகையிடல் (''logarithmic differentiation'') அல்லது மடக்கை கண்டு வகையிடல் (''differentiation by taking logarithms'') என்பது ஒரு சார்பு வகையிடல் அச்சார்பின் மடக்கை வகைக்கெழுவைப் பயன்படுத்தி வகையிடும் முறையாகும். ''f'' எனும் சார்பின் மடக்கை வகைக்கெழு: :(\ln f)' = \frac{f'}{f} \quad \implies \quad f' = f \cdot (\ln f)'. ஒரு சார்பினை நேரிடையாக வகையிடுவதைவிட அதன் மடக்கையை வகையிடுவது எளிதாக இருக்கும் சூழ்நிலைகளில் இம்முறையான வகையிடல் பயன்படுத்தப்படுகிறது. பொதுவாக பல உறுப்புகளின் பெருக்கற்பலனாக அமையும் சார்புகளுக்கு மடக்கை வகையிடல் பொருந்தும். ஏனெனில் பெருக்கற்பலனாகவுள்ள சார்புக்கு மடக்கை#மடக்கை முற்றொருமைகள் காணும்போது அது அப்பெருக்கற்பலனிலுள்ள உறுப்புகளின் மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகையாக மாறுவதால் வகையிடல் எளிதானதாக மாறுகிறது. சார்புகள் அல்லது மாறிகளின் அடுக்கேற்றம் சார்புகளுக்கும் இது பொருந்தும். இம்முறையில், பெருக்கற்பலனை கூட்டலாகவும், வகுத்தலை கழித்தலாகவும் மாற்றுவதற்கு வகையிடலின் சங்கிலி விதியும் மடக்கையின் பண்புகளும் (குறிப்பாக இயல் மடக்கை மற்றும் ''E (கணித மாறிலி)'' அடிமான மடக்கை) பயன்படுத்தப்படுகின்றன. பூச்சியமற்றவையாக இருக்கும் வகையிடத்தக்கச் சார்புகளுக்கு இம்முறையை முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ பயன்படுத்தலாம்.
கேள்வி: மடக்கை வகையிடல் - உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்கள் என்பது என்ன?
பதில்: :{d^n \over dx^n} \ln f(x) =\sum_{m_1+2m_2+\cdots+nm_n=n} \frac{n!}{m_1!\,m_2!\,\cdots\,m_n!}\cdot \frac{(-1)^{m_1+\cdots+m_n-1} (m_1 +\cdots + m_n-1)!}{f(x)^{m_1+\cdots+m_n}}\cdot \prod_{j=1}^n\left(\frac{f^{(j)}(x)}{j!}\right)^{m_j}. இதிலிருந்து பெறப்படும் முதல் நான்கு வரிசை வகைக்கெழுக்கள்: : \frac{d^2}{dx^2} \ln f(x) = \frac{f''(x)}{f(x)} - \left(\frac{f'(x)}{f(x)} \right)^2 : \frac{d^3}{dx^3} \ln f(x) = \frac{f(x)}{f(x)} - 3 \frac{f'(x) f''(x)}{f(x)^2} + 2 \left(\frac{f'(x)}{f(x)} \right)^3 : \frac{d^4}{dx^4} \ln f(x) = \frac{f'(x)}{f(x)} - 4 \frac{f'(x) f(x)}{f(x)^2} - 3 \left(\frac{f''(x)}{f(x)}\right)^2 + 12 \frac{f'(x)^2 f''(x)}{f(x)^3} - 6 \left(\frac{f'(x)}{f(x)} \right)^4
கேள்வி: மடக்கை வகையிடல் - பெருக்கற்பலன்கள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: வகையிட வேண்டிய சார்பு இரு சார்புகளின் பெருக்கற்பலனாக இருந்தால்: :f(x)=g(x)h(x)\,\! இருபுறமும் இயல்மடக்கை காண பெருக்கற்பலன் வடிவம் சார்புகளின் மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகையாக மாறுகிறது: :\ln(f(x))=\ln(g(x)h(x))=\ln(g(x))+\ln(h(x)). \,\! வகையிடலின் சங்கிலி விதி மற்றும் வகையிடல் விதிகள்யைப் பயன்படுத்தி வகையிட்டு சுருக்கக் கிடைப்பது: :\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{g'(x)}{g(x)}+\frac{h'(x)}{h(x)}, :f'(x) = f(x)\times \Bigg\{\frac{g'(x)}{g(x)}+\frac{h'(x)}{h(x)}\Bigg\}= g(x)h(x)\times \Bigg\{\frac{g'(x)}{g(x)}+\frac{h'(x)}{h(x)}\Bigg\}.
கேள்வி: மடக்கை வகையிடல் - ஈவுகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: வகையிட வேண்டிய சார்பு இரு சார்புகளின் ஈவாக இருந்தால்: :f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}\,\! இருபுறமும் இயல்மடக்கை காண ஈவு வடிவம் சார்புகளின் மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகையாக மாறுகிறது: :\ln(f(x))=\ln\Bigg(\frac{g(x)}{h(x)}\Bigg)=\ln(g(x))-\ln(h(x))\,\! வகையிடலின் சங்கிலி விதி மற்றும் வகையிடல் விதிகள்யைப் பயன்படுத்தி வகையிட்டுச் சுருக்கக் கிடைப்பது: :\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{g'(x)}{g(x)}-\frac{h'(x)}{h(x)}, :f'(x) = f(x)\times \Bigg\{\frac{g'(x)}{g(x)}-\frac{h'(x)}{h(x)}\Bigg\}= \frac{g(x)}{h(x)}\times \Bigg\{\frac{g'(x)}{g(x)}-\frac{h'(x)}{h(x)}\Bigg\}. மேலுள்ள முடிவின் வலப்புறம் பொது வகுத்தி எடுத்து சுருக்கினால் f(x) சார்பினை நேரிடையாக வகையிடலின் வகுத்தல் விதி மூலம் வகையிடக் கிடைக்கும் முடிவு கிடைப்பதைக் காணலாம்: :f'(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\times \Bigg\{\frac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{g(x)h(x)}\Bigg\}. :f'(x) = \Bigg\{\frac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{({h(x))}^2}\Bigg\}.