கேள்வி: இராமானுசரின் தலையாய தேற்றம் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: இராமானுசரின் தலையாய தேற்றம் (Ramanujan's master theorem), சீனிவாச இராமானுசன் என்ற கணிதவியலாளரின் பெயரிடப்பட்டகணிதம் ஒரு தேற்றமாகும். என்று பெயரிடப்பட்டது) இத்தேற்றமானது பகுப்பாய்வு சார்பு மெல்லின் உருமாற்றுக்கு பகுமுறை விரிவாக்கத்திற்கான ஒரு உத்தியை வழங்குகிறது. படிமம்:Ramanujan's_"Master_Theorem"_page.jpg தேற்றத்தின் முடிவுகள் பின்வருமாறு கூறப்படுகிறது: சிக்கலெண் மதிப்புடைய சார்பு f(x)-ன் விரிவாக்கமானது :f(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{\phi(k)}{k!}(-x)^k \! எனில், f(x) இன் மெல்லின் உருமாற்றானது பின்வருமாறு உள்ளது: : \int_0^\infty x^{s-1} f(x) \, dx = \Gamma(s)\phi(-s) \! இங்கு \Gamma(s) \! என்பது காமா சார்பியம் இது தொகையீடு மற்றும் தொடர் (கணிதம்) சார்ந்த கணக்கீடுகள் கண்டறிவதற்கு சீனிவாச இராமானுசன் தொடர்ந்து பயன்படுத்தப்பட்ட சார்பு ஆகும். இந்தக் தேற்றத்தின் உயர் பரிமாண பதிப்புகள் குவாண்டம் இயங்கியல் (ஃபேய்ன்மேன் விளக்கப்படங்கள் மூலம்) பயன்படுகின்றன. இதேபோன்ற முடிவுகளை ஜெ. டபிள்யு. எல் கிளாசர் பெற்றார்.
கேள்வி: இராமானுசரின் தலையாய தேற்றம் - மாற்றுவடிவ சூத்திரம் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: இராமானுசரின் தலையாய தேற்றத்தின் மாற்று வடிவ சூத்திரம் பின்வருமாறு: : \int_0^\infty x^{s-1} ({\lambda(0)-x\lambda(1)+x^{2}\lambda(2)-\cdots}) \, dx = \frac{\pi}{\sin(\pi s)}\lambda(-s) மேற்கண்ட சூத்திரத்தில் \lambda(n) = \frac{\phi(n)}{\Gamma(1+n)} \! என்று பிரதியிட்டு காமா சார்பியம் சமன்பாட்டினைப் பயன்படுத்த இவ்வடிவமானது முன்னர் குறிப்பிட்ட வடிவிற்கு ஒருங்கும். . சார்பு \phi -ன் வளர்நிலைகளைப் பொறுத்து 0 என்ற இடைவெளியில் மேற்கண்ட தொகையானது ஒருங்கக்ககூடியது ஆகும்.
கேள்வி: இராமானுசரின் தலையாய தேற்றம் - நிறுவல் என்பது என்ன?
பதில்: "இயல்பான" அனுமானங்களுடன் (இருப்பினும் பலவீனமான போதுமான நிபந்தனைகளாக இல்லாதவை) எச்ச தேற்றம் மற்றும் நன்கு அறியப்பட்ட மெல்லின் தலைகீழ் தேற்றம் ஆகியவற்றை ஆதாரமாகக் கொண்டு, கணிதவியலாளர் ஜி. எச். ஹார்டி, இராமானுசரின் தலையாய தேற்றத்தின் நிறுவலை அளித்துள்ளார்.
கேள்வி: இராமானுசரின் தலையாய தேற்றம் - பெர்னோலி பல்லுறுப்புக் கோவைகளில் பயன்பாடு பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: பெர்னோலி பல்லுறுப்புக் கோவை B_k(x)\! களின் பிறப்பாக்கி சார்பு வருமாறு: : \frac{ze^{xz}}{e^z-1}=\sum_{k=0}^\infty B_k(x)\frac{z^k}{k!} \! இந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகள் :en:Hurwitz zeta function சார்பின் வடிவில் வழங்கப்படுகின்றன: :\zeta(s,a)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^s} \! இது n \geq 1 க்கு \zeta(1-n,a)=-\frac{B_n(a)}{n} \! என்றவாறு உள்ளது. இராமானுசரின் தலையாய தேற்றம் மற்றும் பெர்னோலி பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் பிறப்பாக்கி சார்பு ஆகியவற்றை0 பயன்படுத்தும் போது பின்வரும் தொகை வடிவில் இருக்கும்: :\int_0^\infty x^{s-1} \left(\frac{e^{-ax}}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x}\right) \, dx = \Gamma(s)\zeta(s,a) \! இது 0 0 0க்கு உண்மையாகும் .