கேள்வி: பல்லுறுப்புத் தேற்றம் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: கணிதம் பல்லுறுப்புத் தேற்றம் (''multinomial theorem'') என்பது ஒரு கூட்டுத்தொகையின் அடுக்கேற்றம் அக்கூட்டுத்தொகையிலுள்ள உறுப்புகளின் அடுக்குகளின் மூலம் எவ்வாறு விரித்தெழுதலாம் என விளக்குகிறது. இத்தேற்றம் ஈருறுப்புத் தேற்றம் பொதுமைப்படுத்தலாகும்.
கேள்வி: பல்லுறுப்புத் தேற்றம் - எடுத்துக்காட்டு பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: மூவுறுப்புக்கோவை ''a'' + ''b'' + ''c'' இன் மூன்றடுக்கின் விரிவு: :(a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3 a^2 b + 3 a^2 c + 3 b^2 a + 3 b^2 c + 3 c^2 a + 3 c^2 b + 6 a b c. :(a+b+c)^3 இன் விரிவை கூட்டலின் மீதான பங்கீட்டுப் பண்பைப் பயன்படுத்திக் காணமுடியும். என்றாலும் பல்லுறுப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி விரிவுபடுத்தல் எளிதாக இருக்கும். ஏனென்றால் இத்தேற்றத்தின்படி பல்லுறுப்புக் கெழுக்களைக் கணக்கிடல் எளிதானது. எடுத்துக்காட்டாக: :a^2 b^0 c^1 இன் கெழு {3 \choose 2, 0, 1} = \frac{3!}{2!\cdot 0!\cdot 1!} = \frac{6}{2 \cdot 1 \cdot 1} = 3. :a^1 b^1 c^1 இன் கெழு {3 \choose 1, 1, 1} = \frac{3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!} = \frac{6}{1 \cdot 1 \cdot 1} = 6.
கேள்வி: பல்லுறுப்புத் தேற்றம் - மாற்று வடிவம் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: பல்லடுக்குகளைப் பயன்படுத்தி இத்தேற்றத்தின் கூற்றைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்: :(x_1+\cdots+x_m)^n = \sum_{|\alpha|=n}{n \choose \alpha}x^\alpha இதில், : \alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m) மற்றும் : x^\alpha=x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \cdots x_m^{\alpha_m}
கேள்வி: பல்லுறுப்புத் தேற்றம் - நிறுவல் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: ஈருறுப்புத் தேற்றம் மற்றும் ''m'' மீதானக் கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையைப் பயன்படுத்தி பல்லுறுப்புத் தேற்றம் இங்கு நிறுவப்படுகிறது. கணிதத் தொகுத்தலறிதல் முறையின் படிநிலைகள்: *படிநிலை 1 :''m''&nbsp;=&nbsp;1, எனில் பல்லுறுப்புத் தேற்றத்தின் இருபுறமும் ''x''1''n'' என சமமாக உள்ளன. *படிநிலை 2 ''m'' இற்குப் பல்லுறுப்புத் தேற்றம் உண்மையெனக் கொண்டு ''m''&nbsp;+&nbsp;1 மதிப்பிற்கும் தேற்றம் உண்மையாகிறது என கீழே நிறுவப்படுகிறது: : \begin{align} & (x_1+x_2+\cdots+x_m+x_{m+1})^n = (x_1+x_2+\cdots+(x_m+x_{m+1}))^n \\[6pt] = {} & \sum_{k_1+k_2+\cdots+k_{m-1}+K=n}{n\choose k_1,k_2,\ldots,k_{m-1},K} x_1^{k_1} x_2^{k_2}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}(x_m+x_{m+1})^K \end{align} வலப்புறமுள்ள கடைசி காரணியை ஈருறுப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி விரிக்க: : = \sum_{k_1+k_2+\cdots+k_{m-1}+K=n}{n\choose k_1,k_2,\ldots,k_{m-1},K} x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}\sum_{k_m+k_{m+1}=K}{K\choose k_m,k_{m+1}}x_m^{k_m}x_{m+1}^{k_{m+1}} :{n\choose k_1,k_2,\ldots,k_{m-1},K}{K\choose k_m,k_{m+1}} = \frac{n!}{k_1! k_2! \cdots k_{m-1}!K!} \frac{K!}{k_m! k_{m+1}!}=\frac{n!}{k_1! k_2! \cdots k_{m+1}!} = {n\choose k_1,k_2,\ldots,k_{m-1},k_m,k_{m+1}}, என்பதால் : (x_1+x_2+\cdots+x_m+x_{m+1})^n = \sum_{k_1+k_2+\cdots+k_{m-1}+k_m+k_{m+1}=n}{n\choose k_1,k_2,\ldots,k_{m-1},k_m,k_{m+1}} x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}x_m^{k_m}x_{m+1}^{k_{m+1}} எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையின் இரண்டாம் படிநிலையும் நிறுவப்பட்டு பல்லுறுப்புத் தேற்றத்தின் நிறுவல் நிறைவுறுகிறது.