கேள்வி: ஒழுங்கு பன்முகத்திண்மம் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: விளிம்பு-கடப்பு, உச்சி-கடப்பு, முகம்-கடப்பு ஆகிய மூன்று கடப்புத்தன்மைகளும் உடைய ஒரு பன்முகத்திண்மம் ஒழுங்கு பன்முகத்திண்மம் அல்லது ஒழுங்கு பன்முகி (''regular polyhedron'') எனப்படும். ஒழுங்குப் பன்முகி மிகவும் சமச்சீரானது. ஒழுங்கு பன்முகியின் சமச்சீர்மை குலம் (கணிதம்) அந்தப் பன்முகியின் கொடி (வடிவவியல்) கடப்புத்தன்மையுடன் செயல்படும். பின்வருமாறும் ஒழுங்குப் பன்முகி வரையறுக்கப்படுகிறது: ஒரு பன்முகியின் எல்லா முகம் (வடிவவியல்) சர்வசமம் (வடிவவியல்) ஒழுங்கு பல்கோணிகளாக இருந்து, பன்முகியின் ஒவ்வொரு உச்சி (வடிவவியல்) அதன் முகங்கள் ஒரேவிதமாக அமைக்கப்பட்டிருந்தால் அப்பன்முகியானது ஒழுங்கு பன்முகி என அழைக்கப்படும். ஒரு ஒழுங்குப் பன்முகியானது அதன் {''n'', ''m''} வடிவ இசுலாபிலிக் குறியீட்டின் மூலம் அடையாளப்படுத்தப்படுகிறது. இக்குறியீட்டில் ''n'' என்பது ஒழுங்குப் பன்முகியின் ஒவ்வொரு முகத்தின் பக்கங்களின் எண்ணிக்கையையும் ''m'' என்பது ஒவ்வொரு உச்சியிலும் சந்திக்கும் முகங்களின் எண்ணிக்கையையும் குறிக்கிறது. 5 முடிவுறு குவிவு ஒழுங்குப் பன்முகிகளும் (பிளேட்டோவின் சீர்திண்மங்கள்), நான்கு ஒழுங்கு நாள்மீன் பன்முகிகளுமாக (கெப்ளர்-பாயின்சாட்டு சீர்திண்மங்கள்) ஒன்பது ஒழுங்குப் பன்முகிகள் உள்ளன. இவை தவிர ஒழுங்குப் பன்முகிகளின் கூட்டுப் பன்முகிகளாக அமைந்த ஐந்து ஒழுங்கு கூட்டுப் பன்முகிகளும் உள்ளன.
கேள்வி: ஒழுங்கு பன்முகத்திண்மம் - பிளேட்டோவின் சீர்திண்மங்கள் என்பது என்ன?
பதில்: {| class="wikitable" width=640 |- align=center |Image:Tetrahedron.jpg |Image:Hexahedron.jpg |Image:Octahedron.jpg |Image:Dodecahedron.svg |Image:Icosahedron.jpg |- align=center |நான்முக முக்கோணகம் {3,&nbsp;3}||கனசதுரம் {4,&nbsp;3}||எண்முகி {3,&nbsp;4}||பன்னிரண்டுமுக ஐங்கோணகம் {5,&nbsp;3}||இருபதுமுக முக்கோணகம் {3,&nbsp;5} |- align=center |ஆய்லர் பான்மை = 2||''χ'' = 2||''χ'' = 2||''χ'' = 2||''χ'' = 2 |}
கேள்வி: ஒழுங்கு பன்முகத்திண்மம் - ஒழுங்கு கூட்டுப் பன்முகிகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: {| class="wikitable" style="width:640px; text-align:center;" |- | Image:Compound of two tetrahedra.png | Image:Compound of five tetrahedra.png | Image:Compound of ten tetrahedra.png | Image:Compound of five cubes.png | Image:Compound of five octahedra.png |- | நாள்மீன் எண்முகி இரு நான்முக முக்கோணகம் கூட்டுப் பன்முகி2 {3,&nbsp;3} | ஐந்து நான்முகிகளின் கூட்டுப் பன்முகி5 {3,&nbsp;3} | பத்து நான்முகிகளின் கூட்டுப் பன்முகி10 {3,&nbsp;3} | ஐந்து கனசதுரங்களின் கூட்டுப் பன்முகி5 {4,&nbsp;3} | ஐந்து எண்முகிகளின் கூட்டுப் பன்முகி5 {3,&nbsp;4} |- | ''χ'' = 4 || ''χ'' = 10 || ''χ'' = 0 || ''χ'' = −10 || ''χ'' = 10 |}
கேள்வி: ஒழுங்கு பன்முகத்திண்மம் - சமானப் பண்புகள் என்பது என்ன?
பதில்: ஒழுங்குப் பன்முகியின் ஒவ்வொரு உச்சியையும் சுற்றி அமையும் முகங்களின் அமைப்புகள் ஒத்தவையாக இருக்கும் என்ற பண்பிற்குச் சமானமாக கீழுள்ளவற்றைக் கூறலாம்: *ஒரு ஒழுங்குக் குவிவுப் பன்முகியின் உச்சிகள் எல்லாம் ஒரு கோளம் மேல் அமையும். *ஒழுங்குப் பன்முகியின் அனைத்து இருமுகக் கோணங்களும் சமம் *ஒழுங்குப் பன்முகயின் ஒவ்வொரு உச்சியிலும் அமையும் முகங்கள் எல்லாம் ஒழுங்கு பல்கோணிகள். *பன்முகியின் திடக் கோணங்கள் எல்லாம் சர்வசமம்.
கேள்வி: ஒழுங்கு பன்முகத்திண்மம் - பொதுமையக் கோளங்கள் என்பது என்ன?
பதில்: ஒரு ஒழுங்கு குவிவுப் பன்முகிக்கு கீழுள்ள மூன்று தொடர்புடைய கோளங்கள் உண்டு: * எல்லா முகங்களையும் தொடுகின்ற உட்கோளம். * எல்லா விளிம்புகளையும் தொடுகின்ற இடைக்கோளம் அல்லது நடுக்கோளம் * எல்லா உச்சிகளையும் தொடுகின்ற சுற்றுக்கோளம். இம்மூன்று கோளங்களும் ஒரே மையமுடையவை.
கேள்வி: ஒழுங்கு பன்முகத்திண்மம் - ஆய்லர் பான்மை என்பது என்ன?
பதில்: ஐந்து பிளேட்டோவின் சீர்திண்மங்களின் ஆய்லர் பான்மை 2 ஆகும்.
கேள்வி: ஒழுங்கு பன்முகத்திண்மம் - உள்ளமை புள்ளிகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ஒரு ஒழுங்குப் பன்முகியின் உட்புறத்திலுள்ள ஏதாவது ஒரு புள்ளியிலிருந்து பன்முகியின் பக்கங்களுக்கு கணக்கிடப்படும் தொலைவுகளின் கூட்டுத்தையானது அப்புள்ளி இருக்குமிடத்தைச் சார்ந்தது அல்ல (இக்கூற்று, விவியானியின் தேற்றம் நீட்டிப்பாகும். ஆனால் இதன் மறுதலை நான்முக முக்கோணகம் உட்பட்ட எந்தவொரு ஒழுங்குப் பன்முகிக்கும் உண்மை ஆகாது.Chen, Zhibo, and Liang, Tian. "The converse of Viviani's theorem", ''The College Mathematics Journal'' 37(5), 2006, pp. 390–391.
கேள்வி: ஒழுங்கு பன்முகத்திண்மம் - ஒழுங்குப் பன்முகியின் இருமைத்தன்மை என்பது என்ன?
பதில்: இரு பன்முகிகளில், ஒன்றன் உச்சிகள் மற்றதன் முகங்களுக்கு ஒத்ததாக இருந்தால் (இதன் எதிர்-எதிர் கூற்றும் உண்மையாக இருந்தால்) அவை ஒன்றுக்கொன்று இருமப் பன்முகி எனப்படும். சில ஒழுங்குப் பன்முகிகளின் இருமங்கள் கீழே தரப்பட்டுள்ளன: * நான்முக முக்கோணகம் தன்-இருமம் கொண்டது. அதாவது தனக்குத்தானே இருமமாக இருக்கும். * கனசதுரம் எண்முகியும் ஒன்றுக்கொன்று இருமங்கள். * இருபதுமுக முக்கோணகம் பன்னிரண்டுமுக ஐங்கோணகம் ஒன்றுக்கொன்று இருமங்கள். * சிறு நாள்மீன் பன்னிருமுகியும் பெரு பன்னிருமுகியும் ஒன்றுக்கொன்று இருமங்கள் * பெரு நாள்மீன் பன்னிருமுகியும் பெரு இருபதுமுகியும் ஒன்றுக்கொன்று இருமங்கள். ஒரு பன்முகியின் இசுலாபிலிக் குறியீடு {n, m} எனில், அதன் இருமப் பன்முகியின் இசுலாபிலிக் குறியீடு {m, n}.
கேள்வி: ஒழுங்கு பன்முகத்திண்மம் - வெளியிணைப்புகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: * பகுப்பு:பன்முகத்திண்மங்கள்