கேள்வி: கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன் (கோட்டுருவியல்) பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: File:Cartesian product graph.svg File:Graph-Cartesian-product.svg கோட்டுருவியல் ''G'' மற்றும் ''H'' ஆகிய இரு கோட்டுரு (கணிதம்) கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன் (''Cartesian product'') ''G'' \square ''H'' என்பது பின்வருமாறு அமையும் கோட்டுருவாகும் * ''G'' \square ''H'' இன் முனை (கோட்டுருவியல்)களின் கணம் (கணிதம்) ''G'' மற்றும் ''H'' கோட்டுருக்களின் முனை கணங்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன். ::''V''(''G'' \square) = ''H'' ''V''(''G'') × ''V''(''H''); * ''u'' = ''v'' மற்றும் ''u' '' , ''v' '' இரண்டும் ''H'' இல் அடுத்துள்ள முனைகளாக :::அல்லது :''u' '' = ''v' '' மற்றும் ''u'' , ''v'' இரண்டும் ''G'' இல் அடுத்துள்ள முனைகளாக :::இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே * (''u,u' '') , (''v,v' '') இரண்டும் ''G'' \square ''H'' இல் அடுத்துள்ள முனைகளாக இருக்கும். சிலசமயங்களில் கோட்டுருக்களின் பெருக்கற்பலன் "பெட்டிப் பெருக்கம்" (''box product'') எனவும் அழைக்கப்படுகிறது [Harary 1969]. (''F'' \square ''G'') \square ''H'' மற்றும் ''F'' \square (''G'' \square ''H'') கோட்டுருக்கள் இரண்டும் இயல்பாகவே சம அமைவியமுடையது என்பதால் அவற்றின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கல் சேர்ப்புப் பண்பு உடையது. :: (''F'' \square ''G'') \square ''H'' = ''F'' \square (''G'' \square ''H'') கோட்டுருக்களின் சம அமைவிய சமானப் பகுதிகளின் மீது வரையறுக்கப்படும்போது கார்ட்டீசியன் பெருக்கல் செயலி பரிமாற்றுத்தன்மை கொண்டது; ''G'' \square ''H'' மற்றும் ''H'' \square ''G'' இரண்டும் வலிமையாக சம அமைவியமுடையது. ஆனால் பெயரிடப்பட்ட கோட்டுருக்களின் மீது வரையறுக்கப்படும் செயலியாக இது பரிமாற்றுத்தன்மையற்றது.
கேள்வி: கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன் (கோட்டுருவியல்) - வரலாறு பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: இன் கூற்றுப்படி கோட்டுருக்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன் 1912 ஆம் ஆண்டில் ஆல்பிரட் நார்த் வொய்ட்ஹெட் மற்றும் பெர்ட்ரண்டு ரசல் வரையறுக்கப்பட்டது. பின்னர் ஆஸ்திரேலியக் கணிதவியலாளர் "ஜெர்த் சபிதுசு"வால் () மீண்டும் கண்டறியப்பட்டது.
கேள்வி: கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன் (கோட்டுருவியல்) - எடுத்துக்காட்டுகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: * இரு விளிம்புகளின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கல் நான்கு முனைகளுடைய சுழற்சி கோட்டுரு ::K2 \square K2 = C4. * K2 மற்றும் பாதை கோட்டுருக்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கல் ஒரு ஏணி கோட்டுரு. ::K2 \square Pn * இரு பாதை கோட்டுருக்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கல் ஒரு கட்டக் கோட்டுரு * ''n'' விளிம்புகளின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கல் ஒரு மீகனசதுரம் :: (K_2)^{\square n} = Q_n. : இரு மீகனசதுரக் கோட்டுருக்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கல் மற்றொரு மீகனசதுரக் கோட்டுரு. ::Qi \square Qj = Qi+j. * இரு இடைநிலைமுனை கோட்டுருக்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கல் மற்றொரு இடைநிலைமுனை கோட்டுரு. * K2 மற்றும் Cn இரண்டின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கல் n-பட்டகத்தின் முனைகள் மற்றும் விளிம்புகளின் கோட்டுரு * இரு முழுக்கோட்டுருக்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கல் ரூக்கின் கோட்டுரு.
கேள்வி: கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன் (கோட்டுருவியல்) - பண்புகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: *ஒரு இணைப்புள்ள கோட்டுருவானது கோட்டுருக்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கலாக இருந்தால் அதனை பகாக் கோட்டுருக்களின் (மேற்கொண்டு கோட்டுருக்களின் பெருக்கலாகப் பிரிக்க முடியாத கோட்டுருக்கள்) பெருக்கலாகத் தனித்த முறையில் காரணிப்படுத்த முடியும். ; . ஒரு இணைப்பில்லா கோட்டுருவையும் இரு வேறுபட்ட வழிகளில் பகாக் கோட்டுருக்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கலாக எழுத முடியும் என விளக்கப்பட்டது: :(K1 + K2 + K22) \square (K1 + K23) = (K1 + K22 + K24) \square (K1 + K2), இதிலுள்ள + குறியானது இணப்பில்லா ஒன்றிப்பையும் மேலொட்டுகள் கார்ட்டீசியன் பெருக்கலின் அடுக்கையும் குறிக்கின்றன. * கோட்டுருக்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கலிலுள்ள ஒவ்வொரு கோட்டுருவும் முனை-கடப்புக் கோட்டுருவாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலனாகக் கிடைக்கும் கோட்டுருவும் முனை-கடப்புடையதாக இருக்கும்., Theorem&nbsp;4.19. *கோட்டுருக்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கலிலுள்ள ஒவ்வொரு கோட்டுருவும் இருகூறு கோட்டுருவாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலனாகக் கிடைக்கும் கோட்டுருவும் இருகூறு கோட்டுருவாக இருக்கும். *அலகு தொலைவு கோட்டுருக்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலனும் மற்றொரு அலகு தொலைவு கோட்டுரு.
கேள்வி: கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன் (கோட்டுருவியல்) - இயற்கணித கோட்டுருவியல் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: கோட்டுரு G_1 இன் முனைகளின் எண்ணிக்கை n_1; n_1\times n_1 அண்மை அணி \mathbf A_1. கோட்டுரு G_2 இன் முனைகளின் எண்ணிக்கை n_2; n_2\times n_2 அண்மை அணி \mathbf A_2 எனில்: G_1, G_2 கோட்டுருக்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன் கோட்டுருவின் அண்மை அணி: : \mathbf A_{1\square 2} = \mathbf A_1 \otimes \mathbf I_{n_2} + \mathbf I_{n_1} \otimes \mathbf A_2, இதில் \otimes - அணிகளின் கிரொனேகேர் பெருக்கத்தின் (Kronecker product) குறியீடு; \mathbf I_n - முற்றொருமை அணி.