கேள்வி: பெருக்குத் தொடர் என்பது என்ன?
பதில்: File:GeometricSquares.svg பெருக்குத் தொடர் வெளிர் நாவல்நிறச் சதுரங்களாகக் காட்டப்பட்டுள்ளது. ஒவ்வொரு வெளிற்நாவல்நிறச் சதுரத்தின் பரப்பளவும் அதற்கடுத்த சதுரத்தின் பரப்பளவில் 1/4 பங்காக இருக்கும். (1/2× = 1/4, 1/4×1/4 = 1/16, ...). இந்த வெளிர்நாவல்நிறச் சதுரங்களின் மொத்தப்பரப்பளவு மிகப்பெரிய சதுரத்தின் பரப்பளவில் மூன்றில் ஒரு பங்காக இருக்கும்.]] File:Geometric squares2r.png முடிவிலா L-வடிவப் பரப்பளவுகளாகவும் அவை ஒவ்வொன்றையும் நான்கு வெளிர்நாவல்நிறச் சதுரங்களாகவும் நான்கு மஞ்சள் சதுரங்களாகவும் பிரித்துக் காண்பதன் மூலம் சரிபார்க்கலாம்.]] File:Geometric sums.png வளர்ச்சியிலும் முக்கிய பங்கபெற்றுள்ளது. மேலும் டெய்லர் தொடர், வூரியே தொடர், அணி அடுக்குக்குறிச் சார்பு ஆகியவற்றின் அறிமுகங்களிலும் பயன்பாடுடையது.
கேள்வி: பெருக்குத் தொடர் - கெழு-''a'' குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: பெருக்குத் தொடர், ''a'' + ''ar'' + ''ar''2 + ''ar''3 + ... என விரிவான வடிவில் எழுதப்பட்டுள்ளது.Riddle, Douglas F. ''Calculus and Analytic Geometry, Second Edition'' Belmont, California, Wadsworth Publishing, p. 566, 1970. பெருக்குத் தொடரின் ஒவ்வொரு உறுப்பின் கெழுவும் சமமாகவுள்ளது. அடுக்குத் தொடர் (கணிதம்) ''a''0 + ''a''1''r'' + ''a''2''r''2 + ''a''3''r''3 + ... இன் ஒவ்வொரு உறுப்பின் கெழுவும் (''a''i) வெவ்வேறாக உள்ளது. எனவே பெருக்குத் தொடரானது, அடுக்குத் தொடரின் ஒரு சிறப்புவகையாகும். விரித்தெழுதப்பட்டப் பெருக்குத் தொடரின் முதல் உறுப்பு, அத்தொடரின் கெழு ''a'' ஆகும். *விரித்தெழுதும் முறையைத் தவிர பெருக்குத்தொடருக்கு பிறப்பாக்கி வடிவமும் உள்ளது: :\sum^{\infty}_{k=0} a r^k *பெருக்குத் தொடரின் மேலுமொரு வடிவம் மூடிய-வடிவக் கோவை: :\frac{a}{1-r} \text{ for } |r| பெருக்குத் தொடரின் மூடிய வடிவிலிருந்து நெடுமுறை வகுத்தல் முறையில் ''a'' ஐ (1 - ''r'') ஆல் வகுத்து, ''a'' + ''ar'' + ''ar''2 + ''ar''3 + ... , என்ற அதன் விரிவான வடிவைப் பெறமுடியும் கணக்கீடுகளின்போது, பெருக்குத் தொடரின் கூட்டுத்தொகை ''s'' என்ற குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது: :''s'' = ''a'' + ''ar'' + ''ar''2 + ''ar''3 + ''ar''4 + ...
கேள்வி: பெருக்குத் தொடர் - பொதுவிகிதம் ''r'' குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: File:Geometric Segment.svg File:Geometrische reihe.svg பெருக்குத் தொடர் ''a'' + ''ar'' + ''ar''2 + ''ar''3 + ... ஆனது இரண்டே இரண்டு அளவுகளால் வரையறுக்கப்படுகிறது: ஒன்று அதன் கெழு ''a''; மற்றது அதன் பொது விகிதம் ''r''. ஒரு பெருக்குத்தொடரின் ஏதாவதொரு உறுப்பை அதற்கு முந்தைய உறுப்பால் வகுக்கக் கிடைப்பதே அப்பெருக்குத் தொடரின் பொது விகிதமென அழைக்கப்படுகிறது. பெருக்குத் தொடரின் எந்தவொரு உறுப்பையும் பொது விகிதத்தால் பெருக்க அதற்கடுத்த உறுப்பு கிறைக்கும். கீழுள்ள அட்டவணையில் சில பெருக்குத் தொடர்கள் தரப்பட்டுள்ளன: {| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto" |- ! ''a'' ! ''r'' ! பெருக்குத் தொடர் |- | style="text-align:center;"| 4 | style="text-align:center;"| 10 | 4 + 40 + 400 + 4000 + 40,000 + ··· |- | style="text-align:center;"| 3 | style="text-align:center;"| 1 | 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + ··· |- | style="text-align:center;"| 1 | style="text-align:center;"| 2/3 | 1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + 16/81 + ··· |- | style="text-align:center;"| 1/2 | style="text-align:center;"| 1/2 | 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ··· |- | style="text-align:center;"| 9 | style="text-align:center;"| 1/3 | 9 + 3 + 1 + 1/3 + 1/9 + ··· |- | style="text-align:center;"| 7 | style="text-align:center;"| 1/10 | 7 + 0.7 + 0.07 + 0.007 + 0.0007 + ··· |- | style="text-align:center;"| 1 | style="text-align:center;"| &minus;1/2 | 1 &minus; 1/2 + 1/4 &minus; 1/8 + 1/16 &minus; 1/32 + ··· |- | style="text-align:center;"| 3 | style="text-align:center;"| &minus;1 | 3 &minus; 3 + 3 &minus; 3 + 3 &minus; ··· |}
கேள்வி: பெருக்குத் தொடர் - முடிவுறு தொடர் என்பது என்ன?
பதில்: பெருக்குத் தொடரின் முதல் ''n'' உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகையானது பின்வரும் மூடிய-வடிவ வாய்பாட்டால் தரப்படுகிறது: \begin{align} s_n &= ar^0 + ar^1 + \cdots + ar^{n-1}\\ &= \sum_{k=0}^{n-1} ar^k = \sum_{k=1}^{n} ar^{k-1}\\ &= \begin{cases} a\left(\frac{1-r^{n}}{1-r}\right) & r \neq 1\\ an & \text{otherwise} \end{cases} \end{align} இங்கு என்பது பெருக்குத் தொடரின் விகிதமாகும். ;நிறுவல் 1 பகுதிக் கூட்டுத்தொகையை (''s''n) வருவித்தல்: பல தன் ஒப்புமை உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் இவ்வாய்பாடு பெறப்படுகிறது. \begin{align} s_n &= ar^0 + ar^1 + \cdots + ar^{n-1},\\ rs_n &= ar^1 + ar^2 + \cdots + ar^{n},\\ s_n - rs_n &= ar^0 - ar^{n},\\ s_n\left(1-r\right) &= a\left(1-r^{n}\right),\\ s_n &= a\left(\frac{1-r^{n}}{1-r}\right), \text{ for } r \neq 1. \end{align} ;நிறுவல் 2 \sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} = ar^0 + ar^1 + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^{n-1}. இருபுறமும் 1 − ''r'' ஆல் பெருக்க: \begin{align} (1-r) \sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} & = (1-r)\left(ar^0 + ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1}\right) \\ & = ar^0 + ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1} - ar^1-ar^2-ar^3-\cdots-ar^{n-1} - ar^n \\ & = a - ar^n \end{align} முதல் மற்றும் கடைசி உறுப்புகள் தவிர ஏனையவை ஒன்றுக்கொன்று குறியில் மட்டும் எதிராக இருப்பதால் நீங்கிவிடுகின்றன) ''r'' ≠ 1 எனில், :\sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} = \frac{a(1-r^n)}{1-r}. ; தொடர்புள்ள வாய்பாடுகள்: தொடர் k=1 அல்லது 0 விலிருந்து தொடங்காமல் என்ற வேறொரு மதிப்பிலிருந்து தொடங்கினால், \begin{align} \sum_{k=m}^n ar^{k-1} &= \begin{cases} \frac{a(r^{m-1}-r^n)}{1-r} & \text{if }r \neq 1 \\ a(n-m+1) & \text{if }r = 1 \end{cases}\\ \sum_{k=m}^n ar^k &= \begin{cases} a(n-m+1) & \text{if }r = 1 \\ \frac{a(r^m-r^{n+1})}{1-r} & \text{if }r \neq 1 \end{cases}\end{align}
கேள்வி: பெருக்குத் தொடர் - முடிவுறாத் தொடர் என்பது என்ன?
பதில்: முடிவியை அணுகும்போது இத்தொடர் ஒருங்குவதற்கு இன் தனி மதிப்பு '1' ஐவிடக் குறைவானதாக இருக்கவேண்டும். முடிவுறு தொடரின் கூட்டுத்தொகையிலிருந்து முடிவிலாத் தொடரின் கூட்டுத்தொகையைப் பெறலாம்: \sum_{k=0}^\infty ar^k = \lim_{n\to\infty}{\sum_{k=0}^{n} ar^k} = \lim_{n\to\infty}\frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}= \frac{a}{1-r} - \lim_{n\to\infty}{\frac{ar^{n+1}}{1-r}} Image:Geometric progression.gif Image:Geometric progression convergence diagram.svg : r^{n+1} \to 0 \mbox{ as } n \to \infty \mbox{ when } |r| என்பதால், :\sum_{k=0}^\infty ar^k = \frac{a}{1-r} - 0 = \frac{a}{1-r} r இன் இரட்டை அடுக்குகளை மட்டுங்கொண்ட தொடர் எனில், \sum_{k=0}^\infty ar^{2k} = \frac{a}{1-r^2} r இன் இரட்டை அடுக்குகளை மட்டுங்கொண்ட தொடர் எனில், :\sum_{k=0}^\infty ar^{2k+1} = \frac{ar}{1-r^2} ''k'' = 0 மதிப்பிலிருந்து தொடங்கவில்லை எனில், :\sum_{k=m}^\infty ar^k=\frac{ar^m}{1-r} ''r''\frac{d}{dr} \sum_{k=0}^\infty r^k = \sum_{k=1}^\infty kr^{k-1} = \frac{1}{(1-r)^2} முற்றிலும் ஒருங்கும் முடிவிலாப் பெருக்குத் தொடர்களுக்கு என்ற பெருக்குத் தொடர் ஒரு எடுத்துக்காட்டாகும். எடுத்துக்காட்டுகள்: *1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ இத்தொடரின் முதல் உறுப்பு 1/2; பொதுவிகிதம் 1/2. எனவே வாய்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் கூடுதல் காண: :\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots=\frac{1/2}{1-(+1/2)} = 1. * 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ . இத்தொடரின் முதல் உறுப்பு 1/2; பொதுவிகிதம் -1/2. எனவே வாய்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் கூடுதல் காண: :\frac12-\frac14+\frac18-\frac{1}{16}+\cdots=\frac{1/2}{1-(-1/2)} = \frac13.
கேள்வி: பெருக்குத் தொடர் - வெளியிணைப்புகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: * * * * * * [http://demonstrations.wolfram.com/GeometricSeries/ "Geometric Series"] by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project, 2007. பகுப்பு:விகிதங்கள் பகுப்பு:பெருக்குத் தொடர்கள்