கேள்வி: பாசுக்கலின் வாய்பாடு - சேர்வியல் நிறுவல் என்பது என்ன?
பதில்: பிலைசு பாஸ்கல் விதிக்குள்ள இயல்புணர்வான சேர்வியல் பண்பினைக் கீழுள்ள எண்ணுதல் நிறுவலில் காணலாம் இந்த நிறுவல் முறையில் \tbinom{n}{k} ஆனது ''n'' உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு கணம் (கணிதம்) தேர்வுசெய்யப்படும் ''k'' உறுப்புகளைக் கொண்ட உட்கணம் எண்ணிக்கைக்குச் சமம் என்ற கூற்றிலிருந்து பாசுக்கலின் விதி நிறுவப்படுகிறது: நிறுவல்: எடுத்துக்கொள்ளப்படும் கணத்தின் ''n'' உறுப்புகளில் குறிப்பிட்டதொரு உறுப்பு ''X'' எனில், *''X'' உட்பட்ட ''k'' உறுப்புகள் கொண்ட உட்கணங்களைத் தேர்வு செய்யும் வழிகள்: ''X'' நீங்கலான மீதமுள்ள ''n''&thinsp;−&thinsp;1 உறுப்புகளிலிருந்து தேவையான ''k''&thinsp;−&thinsp;1 உறுப்புகள் தேர்வு செய்யப்பட வேண்டும். இவ்வகையான உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை: :\tbinom{n-1}{k-1}. *''X'' நீங்கலாக ''k'' உறுப்புகள் கொண்ட உட்கணங்களைத் தேர்வு செய்யும் வழிகள்: ''X'' நீங்கலான மீதமுள்ள ''n''&thinsp;−&thinsp;1 உறுப்புகளிலிருந்து தேவையான ''k'' உறுப்புகள் தேர்வு செய்யப்பட வேண்டும். இவ்வகையான உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை: :\tbinom{n-1}{k} இவை இரண்டிலிருந்து ''k'' உறுப்புகள் கொண்ட (''X'' உட்பட்ட மற்றும் நீங்கலான) மொத்த உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை: :\tbinom{n-1}{k-1} + \tbinom{n-1}{k}. எனவே :\tbinom{n}{k} = \tbinom{n-1}{k-1} + \tbinom{n-1}{k}.
கேள்வி: பாசுக்கலின் வாய்பாடு - இயற்கணித நிறுவல் என்பது என்ன?
பதில்: பாசுக்கலின் விதி இயற்கணித முறையில் பின்வருமாறு நிறுவப்படுகிறது: :\begin{align} { n-1 \choose k } + { n-1 \choose k-1} & = \frac{(n-1)!}{k! (n - 1 - k)!} + \frac{(n-1)!}{(k - 1)!(n - k)!} \\ & = (n-1)! \left[ \frac{n - k}{k!(n - k)!} + \frac{k}{k!(n - k)!}\right] \\ & = (n-1)! \frac{n}{k!(n - k)!} \\ & = \frac{n!}{k!(n - k)!} \\ & = \binom{n}{k}. \end{align}
கேள்வி: பாசுக்கலின் வாய்பாடு - பொதுமைப்படுத்தல் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: பாசுக்கலின் விதியைப் பல்லுறுப்புக்கெழுக்களுக்கும் பொதுமைப்படுத்தலாம். ''p'' ஏதேனுமொரு முழு எண் மற்றும் p \ge 2, k_1, k_2, k_3, \dots, k_p \in \mathbb{N}^{+}\!, மேலும் n = k_1 + k_2 + k_3 + \cdots + k_p \ge 1 எனில், பல்லுறுப்புக்கெழுக்களுக்கான பாசுக்கலின் விதி: :{n-1\choose k_1-1,k_2,k_3, \dots, k_p}+{n-1 \choose k_1,k_2-1,k_3,\dots, k_p}+\cdots+{n-1\choose k_1,k_2,k_3,\dots,k_p-1} = {n\choose k_1, k_2, k_3, \dots, k_p} இதில் {n\choose k_1, k_2, k_3, \dots , k_p} ஆனது (x_1 + x_2 + \dots + x_p)^{n} விரிவிலுள்ள x_1^{k_1}x_2^{k_2}\dots x_p^{k_p} உறுப்பின் கெழுவாகும். இவ்விதியின் இயற்கணிதமுறை நிறுவல்: ''p'' ஒரு முழு எண் மற்றும் p \ge 2, k_1, k_2, k_3, \dots, k_p \in \mathbb{N}^{+}\!, மேலும் n = k_1 + k_2 + k_3 + \cdots + k_p \ge 1 எனில், : \begin{align} & {} \quad {n-1 \choose k_1-1,k_2,k_3, \dots, k_p}+{n-1 \choose k_1,k_2-1,k_3,\dots, k_p} + \cdots + {n-1 \choose k_1,k_2,k_3,\dots,k_p-1} \\ & = \frac{(n-1)!}{(k_1-1)!k_2!k_3! \cdots k_p!} + \frac{(n-1)!}{k_1!(k_2-1)!k_3!\cdots k_p!} + \cdots + \frac{(n-1)!}{k_1!k_2!k_3! \cdots (k_p-1)!} \\ & = \frac{k_1(n-1)!}{k_1!k_2!k_3! \cdots k_p!} + \frac{k_2(n-1)!}{k_1!k_2!k_3! \cdots k_p!} + \cdots + \frac{k_p(n-1)!}{k_1!k_2!k_3! \cdots k_p!} = \frac{(k_1+k_2+\cdots+k_p) (n-1)!}{k_1!k_2!k_3!\cdots k_p!} \\ & = \frac{n(n-1)!}{k_1!k_2!k_3! \cdots k_p!} = \frac{n!}{k_1!k_2!k_3! \cdots k_p!} = {n \choose k_1, k_2, k_3, \dots, k_p}. \end{align}
கேள்வி: பாசுக்கலின் வாய்பாடு - நூலடைவு குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: *Merris, Russell. [http://media.wiley.com/product_data/excerpt/6X/04712629/047126296X.pdf''Combinatorics'']. John Wiley & Sons. 2003
கேள்வி: பாசுக்கலின் வாய்பாடு - வெளியிணைப்புகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: * * பகுப்பு:சேர்வியல்