கேள்வி: நேர்கோட்டமைவு பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: வடிவவியல், புள்ளிகளின் நேர்கோட்டமைவு (''collinearity'') அல்லது நேர்கோட்டிலமைதல் என்பது எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட புள்ளிகளெல்லாம் ஒரே கோடு (வடிவவியல்)மீது அமைவதைக் குறிக்கும்.The concept applies in any geometry , but is often only defined within the discussion of a specific geometry , ஒரே கோட்டின்மீது அமையும் புள்ளிகள், "ஒருகோட்டுப் புள்ளிகள்" (''collinear points'') என அழைக்கப்படும்.[http://www.merriam-webster.com/dictionary/colinear Colinear (Merriam-Webster dictionary)]).
கேள்வி: நேர்கோட்டமைவு - முக்கோணங்கள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: எந்தவொரு முக்கோணத்திலும் பின்வரும் புள்ளிகள் ஒரே கோட்டிலமைபவை: * குத்துக்கோடு (முக்கோணம்), சூழ்தொடு வட்டம், திணிவு மையம், ஒன்பது-புள்ளி வட்டம் ஆகியவை நேர்கோட்டிலமைபவை. அவை ஆய்லர் கோடு மீதமையும். * முக்கோணத்தின் ஏதாவதொரு உச்சி (வடிவவியல்), அந்த உச்சியின் எதிர்பக்கம் முக்கோணத்தின் உள்வட்டமும் வெளிவட்டங்களும் தொடும் புள்ளி, நாகெல் புள்ளி மூன்றும் ஒரே கோட்டிலமையும். அக்கோடு முக்கோணத்தின் ஒரு பிளப்பி (வடிவவியல்) இருக்கும். * முக்கோணத்தின் ஏதாவதொரு பக்கத்தின் நடுப்புள்ளி, அதிலிருந்து இருதிசைகளிலும் முக்கோணத்தின் வரம்பின்மீது சமதூரத்திலமையும் புள்ளி, ஸ்பைக்கர் வட்டமையம் ஆகிய மூன்றும் முக்கோணத்தின் வெட்டி (வடிவவியல்) என அழைக்கபடும் கோட்டின் மீதமைகின்றன. * முக்கோணத்தின் ஒரு உச்சி, அவ்வுச்சியின் எதிர்பக்கம் முக்கோணத்தின் உள்வட்டமும் வெளிவட்டங்களும் தொடும் புள்ளி, கெர்கோன் முக்கோணம்#கெர்கோன் புள்ளி மூன்றும் ஒரே கோட்டிலமையும். * முக்கோணத்தின் சூழ்தொடு வட்டம் மீதுள்ள ஏதாவதொரு புள்ளியிலிருந்து, முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு பக்கத்தின் நீட்டிப்புகளின் மீது மிக அருகாமையிலுள்ள மூன்று புள்ளிகளும் நேர்கோட்டிலமைபவை. அக்கோடு, அந்த சுற்றுவட்டப்புள்ளியின் சிம்சன் கோடு ஆகும். * முக்கோணத்தின் மூன்று குத்துக்கோடு (முக்கோணம்) அடிகளை இணைக்கும் கோடுகள் முக்கோணத்தின் எதிர்பக்கங்களை ஒருகோட்டுப் புள்ளிகளில் சந்திக்கும்.Johnson, Roger A., ''Advanced Euclidean Geometry'', Dover Publ., 2007 (orig. 1929). * முக்கோணத்தின் உள்வட்டமையம், குத்துக்கோடு (முக்கோணம்) நடுப்புள்ளி, ஒத்தபக்கம் வெளிவட்டத்தைத் தொடும் புள்ளி மூன்றும் ஒரேகோட்டிலமையும்.Altshiller-Court, Nathan. ''College Geometry'', Dover Publications, 1980. * உள்வட்ட மையம், திணிவு மையம், ஸ்பைக்கர் வட்ட மையம் மூன்றும் ஒருகோட்டுப் புள்ளிகள். *சுற்றுவட்ட மையம், பிரகார்டு புள்ளி#பிரகார்டு நடுப்புள்ளி, சமச்சரிவு இடைக்கோடு#சமச்சரிவு இடைக்கோட்டுச்சந்தி மூன்றும் நேர்கோட்டிலமையும் புள்ளிகள்.Scott, J. A. "Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry", ''Mathematical Gazette'' 83, November 1999, 472–477. * மெனலாசின் தேற்றம், ஒரு முக்கோணத்தின் உச்சி (வடிவவியல்) A_1,A_2, A_3 மூன்றின் எதிரமையும் முக்கோணத்தின் பக்கங்களின்மீது அல்லது பக்கங்களின் நீட்டிப்புகளின்மீது உள்ள புள்ளிகள் முறையே P_1, P_2, P_3 எனில் கீழுள்ள கோட்டுத்துண்டுகளின் நீளங்களின் பெருக்கற்பலன்கள் சமமாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" அப்புள்ளிகள் மூன்றும் ஒரே கோட்டின்மீது இருக்கும்: ::P_1A_2 \cdot P_2A_3 \cdot P_3A_1=P_1A_3 \cdot P_2A_1 \cdot P_3A_2.
கேள்வி: நேர்கோட்டமைவு - நாற்கரங்கள் என்பது என்ன?
பதில்: * குவிவு நாற்கரம் ''ABCD'' இன் எதிர்பக்கங்கள் வெட்டும் புள்ளிகள் ''E'', ''F''. ''AC'', ''BD'', ''EF'' இன் நடுப்புள்ளிகள் ஒரேக்கோட்டிலமைகின்றன. மேலும் அக்கோடு, நியூட்டன் கோடு என அழைக்கப்படும். நாற்கரம், தொடுகோட்டு நாற்கரம் இருந்தால், அதன் உள்வட்ட மையமும் இதே கோட்டின் மீதிருக்கும்.Dušan Djukić, Vladimir Janković, Ivan Matić, Nikola Petrović, ''The IMO Compendium'', Springer, 2006, p. 15. *தொடு சரிவகம் அதன் இரு இணைபக்கங்கங்களை உள்வட்டம் தொடும் புள்ளிகளும் உள்வட்ட மையமும் நேர்கோட்டமைபவை. *தொடு சரிவகத்தின் தாங்கி பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளும் உள்வட்ட மையமும் ஒருகோட்டுப்புள்ளிகள்.
கேள்வி: நேர்கோட்டமைவு - கூம்பு வெட்டுகள் என்பது என்ன?
பதில்: * ஒன்றுக்கொன்று உள்ளமையாத மூன்று வட்டம் வரையப்படும் மூன்று சோடி வெளித் தொடுகோடுகள் வெட்டும் புள்ளிகள் ஒரெ கோட்டிலமைபவை. * நீள்வட்டம் மையம், இரு குவியம் (வடிவவியல்), மிகச்சிறிய வளைவு ஆரம் (கணிதம்) இரு உச்சி (வளைவரை) ஒரே கோட்டிலமைகின்றன. மேலும் மையமும் மிகப்பெரியளவு வளைவு ஆரமுள்ள இரு உச்சிகள் மூன்றும் ஒரு கோட்டிலமையும். * அதிபரவளைவு மையம், இரு குவியங்கள், இரு உச்சிகள் ஒரு கோட்டுப்புள்ளிகள்.
கேள்வி: நேர்கோட்டமைவு - நான்முகிகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: * ஒரு நான்முக முக்கோணகம் சுற்றுவட்ட மையம் மற்றும் மாஞ்சு புள்ளியின் (நான்முகியின் ஆறு நடுத்தளங்கள் சந்திக்கும் புள்ளி) நடுப்புள்ளியானது, நான்முகியின் திணிவு மையமாகும். இம்மூன்று புள்ளிகளும் நான்முகியின் ஆய்லர் கோட்டின் மீதமைகின்றன. நான்முகியின் ஆய்லர் கோடானது ஒரு முக்கோணத்தின் ஆய்லர் கோடு ஒத்த கருத்துருவாகும்.
கேள்வி: நேர்கோட்டமைவு - சோடிவாரியாக தொலைவுகள் தரப்பட்ட புள்ளிகளின் நேர்கோட்டமைவு பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: குறைந்தபட்சம் மூன்று புள்ளிகள்கொண்ட எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட புள்ளிகளில், ஒவ்வொரு மூன்று ''A'', ''B'', ''C'' புள்ளிகளுக்கும் பின்வரும் அணிக்கோவையின் மதிப்பு பூச்சியமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அப்புள்ளிகள் எல்லாம் நேர்கோட்டமைவு கொண்டவையாக இருக்கும். (''d''(''AB'') என்பது ''A'', ''B'' புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட தூரத்தைக் குறிக்கிறது): :: \det \begin{bmatrix} 0 & d(AB)^2 & d(AC)^2 & 1 \\ d(AB)^2 & 0 & d(BC)^2 & 1 \\ d(AC)^2 & d(BC)^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} = 0. ஈரோனின் வாய்பாடு இந்த அணிக்கோவ்வையின் மதிப்பு, ''d''(''AB''), ''d''(''BC''), ''d''(''AC'') மூன்றையும் பக்க நீளங்களாகக் கொண்ட முக்கோணத்தின் பரப்பளவின் வர்க்கத்தின் &minus; 16 மடங்காகும். எனவே இந்த அணிக்கோவையின் மதிப்பு பூச்சியமா என்பதைக் காண்பது, ''A'', ''B'', ''C'' புள்ளிகளை உச்சிகளாகக் கொண்ட முக்கோணத்தின் பரப்பளவு பூச்சியமா என்பதைக் காண்பதற்குச் சமானமாகும் (எனவே உச்சிகள் ஒருகோட்டிலமையும்). சமானமாக, குறைந்தபட்சம் மூன்று புள்ளிகள்கொண்ட எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட புள்ளிகளில், ஒவ்வொரு மூன்று ''A'', ''B'', ''C'' புள்ளிகளுக்கும் பின்வரும் அடிப்படை முக்கோணச் சமனின்மை :''d''(''AC'') ≤ ''d''(''AB'') + ''d''(''BC'') :(''d''(''AB'') , ''d''(''BC'') ஒவ்வொன்றையும் விட ''d''(''AC'') பெரியது) உண்மையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே (சமக்குறியுடன்), அம்மூன்று புள்ளிகளும் ஒரே கோட்டிலமையும்.