கேள்வி: 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: Image:Geometric series 14 ell.png கணிதத்தில் + + + + ⋯}} என்பது, கணிதத்தின் வரலாறு கூட்டுத்தொகை கணக்கிடப்பட்ட முதல் தொடர் (கணிதம்); சுமார் கிமு 250–200&nbsp; காலத்தில் கணிதவியலாளர் அர்க்கிமெடெசு பயன்படுத்தப்பட்டது. இது முதல் உறுப்பாக , பொதுவிகிதமாக கொண்ட ஒரு பெருக்குத்தொடராகும். எனவே முடிவிலாப் பெருக்குத்தொடரின் கூட்டுத்தொகைக்கான வாய்பாட்டை பயன்படுத்திக் கூடுதல் காண: \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4^n}=\frac {\frac 1 4} {1 - \frac 1 4} = \frac 1 3.
கேள்வி: 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ - படவழி விளக்கங்கள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: Image:Geometric series 14 square2.svg ஒரு சதுரம் அதன் பரப்பளவில் பங்கு பரப்பளவுகொண்ட வடிவொப்புமை (வடிவவியல்) நான்கு சதுரங்களாகப் பிரிக்கலாம். இது முக்கோணத்திற்கும் பொருந்தும். எனவே + + + + ⋯}} தொடரை படங்கள் மூலமாக எளிதாக விளக்கமுடியும். முதல் படத்தில் மிகப் பெரிய சதுரத்தின் பரப்பளவை 1 அலகு எனக்கொண்டால்: :படத்திலுள்ள மிகப்பெரிய கருப்பு சதுரத்தின் பரப்பளவு &nbsp;×&nbsp;&nbsp;=&nbsp;. :இதேபோல இரண்டாவது பெரிய கருப்பு சதுரத்தின் பரப்பளவு ; மூன்றாவது பெரிய கருப்பு சதுரத்தின் பரப்பளவு எனச் சென்றுகொண்டே இருக்கும். :எனவே, படத்திலுள்ள அனைத்து கருப்பு சதுரங்களின் மொத்தப் பரப்பளவு + + + ⋯}} ஆகும். இதே முடிவு படத்திலுள்ள அடர்சாம்பல்நிறச் சதுரங்களின் பரப்பளவுகளின் கூடுதலுக்கும் வெள்ளை சதுரங்களின் பரப்பளவுகளின் கூடுதல்களாகவும் இருக்கும். இம்மூன்று நிறச் சதுரங்கள் மொத்தமும் சேர்ந்து மூலச் சதுரத்தை முழுவதாக நிரப்பும் என்பதால் அம்மூன்று வண்ணச் சதுரங்களின் பரப்பளவுகளின் கூடுதல்: : 3\left(\frac14+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{4^4}+\cdots\right) = 1. : \left(\frac14+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{4^4}+\cdots\right) = \frac{1}{3}. Image:Geometric series triangle.svg மேற்கூறிய பண்பு சதுரத்திற்கு மட்டுமல்லாது முக்கோணம் பொருந்தும் என்பதால்: இரண்டாவது படத்தில், மிகப் பெரிய முக்கோணத்தின் பரப்பளவை 1 அலகு எனக்கொண்டால், :படத்திலுள்ள மிகப்பெரிய கருப்பு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு &nbsp;×&nbsp;&nbsp;=&nbsp;. :இதேபோல இரண்டாவது பெரிய கருப்பு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு ; மூன்றாவது பெரிய கருப்பு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு எனச் சென்றுகொண்டே இருக்கும். :எனவே, படத்திலுள்ள அனைத்து கருப்பு முக்கோணங்களின் மொத்தப் பரப்பளவு + + + ⋯}} ஆகும். இதே முடிவு படத்திலுள்ள அடர்சாம்பல்நிறச் முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் கூடுதலுக்கும் வெள்ளை முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் கூடுதலுக்கும் பொருந்தும். இம்மூன்று நிறச் முக்கோணங்கள் மொத்தமும் சேர்ந்து மூல முக்கோணத்தை முழுவதாக நிரப்பும் என்பதால் அம்மூன்று வண்ண முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் கூடுதல் மூல முக்கோணத்தின் பரப்பளவான 1 அலகாக இருக்கும். : 3\left(\frac14+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{4^4}+\cdots\right) = 1. : \left(\frac14+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{4^4}+\cdots\right) = \frac{1}{3}. ஆர்க்கமெடசின் விளக்கம், சற்றே மாறுபட்ட ஆனால் மேலுள்ள சமன்பாட்டிற்கு மிகவும் நெருங்கியதாகும்: : \sum_{n=1}^\infty \frac{3}{4^n}=\frac34+\frac{3}{4^2}+\frac{3}{4^3}+\frac{3}{4^4}+\cdots = 1.