கேள்வி: கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி - எடுத்துக்காட்டு பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: 24}}, 6}} இன் கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி காணும் தொடர்படிகள்:\begin{array}{rcccl} a_1 & = & \tfrac12(24 + 6) & = & 15\\ g_1 & = & \sqrt{24 \cdot 6} & = & 12\\ a_2 & = & \tfrac12(15 + 12) & = & 13.5\\ g_2 & = & \sqrt{15 \cdot 12} & = & 13.416\ 407\ 8649\dots\\ & & \vdots & & \end{array} முதல் ஐந்து தொடர்முறையால் கிடைக்கும் மதிப்புகள்: {| class="wikitable plainrowheaders" style="margin-left:2em;" |- ! scope="col" | ! scope="col" | ! scope="col" | |- ! scope="row" | 0 | 24 | 6 |- ! scope="row" | 1 | 15 | 12 |- ! scope="row" | 2 | 13.5 | 13.416 407 864 998 738 178 455 042... |- ! scope="row" | 3 | 13.458 203 932 499 369 089 227 521... | 13.458 139 030 990 984 877 207 090... |- ! scope="row" | 4 | 13.458 171 481 745 176 983 217 305... | 13.458 171 481 706 053 858 316 334... |- ! scope="row" | 5 | 13.458 171 481 725 615 420 766 820... | 13.458 171 481 725 615 420 766 806... |} இவ்விரு தொடர்வரிசைகளின் பொது எல்லையே 24, 6 ஆகிய இரு எண்களின் கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியாகும். அதன் தோராய மதிப்பு: .[http://www.wolframalpha.com/input/?i=agm%2824%2C+6%29 agm(24, 6)] at வொல்பிராம் அல்பா
கேள்வி: கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி - வரலாறு என்பது என்ன?
பதில்: இந்த சோடி தொடர்வரிசைகளை அடிப்படையாகக் கொண்ட முதல் படிமுறைத்தீர்வு, கணிதவியலாளர் ஜோசப் லூயி லாக்ராஞ்சி ஆய்வுகளில் காணப்பட்டது. மேற்கொண்டு, அதன் பண்புகள் கணிதவியலாளர் கார்ல் பிரீடிரிக் காஸ் பகுத்தாய்வு செய்யப்பட்டன.
கேள்வி: கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி - பண்புகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: * இரு நேர்ம எண்களின் பெருக்கல் சராசரி, கூட்டு, பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனிலி இருக்காது. எனவே பெருக்கல் சராசரிகள் , கூடும் தொடர்வரிசையாகவும், கூட்டுச் சராசரிகள் , குறையும் தொடர்வரிசையாகவும் இருக்கும். மேலும் ஆகவும் இருக்கும். எனில் இவை கண்டிப்பான சமனிலிகளாக இருக்கும். இன் மதிப்பு, , இரண்டின் பெருக்குச் சராசரிக்கும் கூட்டுச் சராசரிக்கும் இடைப்பட்ட ஓர் எண்ணாக இருப்பதோடு, , இரண்டிற்கும் இடைப்பட்டதாகவும் இருக்கும். * எனில், ''r M''(''x'',''y'')}}. * இன் தொகையீட்டு-வடிவம்:Carson, B. C. (2010). "Elliptic Integrals". In Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.). NIST Handbook of Mathematical Functions. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19225-5. MR 2723248.. \begin{align} M(x,y) &= \frac{\pi}{2} \left( \int_0^\frac{\pi}{2}\frac{d\theta}{\sqrt{x^2\cos^2\theta+y^2\sin^2\theta}} \right)^{-1}\\ &=\pi\left(\int_0^\infty \frac{dt}{\sqrt{t(t+x^2)(t+y^2)}}\right)^{-1}\\ &= \frac{\pi}{4} \cdot \frac{x + y}{K\left( \frac{x - y}{x + y} \right)} \end{align} இதில் என்பது, முதல்வகை முழுமையான நீள்வட்டத் தொகையீடு: :K(k) = \int_0^\frac{\pi}{2}\frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2\sin^2(\theta)}} கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி, விரைவாக ஒருங்குவதால், நீள்வட்ட தொகையீடுகளைக் கணிப்பதற்குத் திறனுள்ள வழியைத் தருகிறது. கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியானது ஜேக்கோபி தீட்டா சார்புடன் ( \theta_3) கீழுள்ளவாறு இணைக்கப்படுகிறது: pages 35, 40 M(1,x)=\theta_3^{-2}\left(\exp \left(-\pi \frac{M(1,x)}{M\left(1,\sqrt{1-x^2}\right)}\right)\right)=\left(\sum_{n\in\mathbb{Z}}\exp \left(-n^2 \pi \frac{M(1,x)}{M\left(1,\sqrt{1-x^2}\right)}\right)\right)^{-2}, இதில் x=1/\sqrt{2} எனக் கொள்ள கீழுள்ள முடிவு கிடைக்கும்: M(1,1/\sqrt{2})=\left(\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{-n^2\pi}\right)^{-2}.
கேள்வி: கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி - தொடர்புள்ள கருத்துருக்கள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: 1, 2 இன் வர்க்கமூலம் ஆகியவற்றின் கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியின் தலைகீழி காஸின் மாறியாகும்: :\frac{1}{M(1, \sqrt{2})} = G = 0.8346268\dots 1799 இல், கார்ல் பிரீடிரிக் காஸ் பின்வரும் முடிவை நிறுவினார்.By 1799, Gauss had two proofs of the theorem, but neither of them was rigorous from the modern point of view. :M(1,\sqrt{2})=\frac{\pi}{\varpi}; \varpi என்பது கிடையெட்டுவடிவ மாறிலி. 1941 இல், M(1,\sqrt{2}) (and hence G) ஆனது இயற்கணித எண்களும் விஞ்சிய எண்களும் எனச் செருமானியக் கணிதவியலாளர் தியோடர் சினைடெரால் நிறுவப்பட்டது.In particular, he proved that the beta function \Beta (a,b) is transcendental for all a,b\in\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z} such that a+b\notin \mathbb{Z}_0^-. The fact that M(1,\sqrt{2}) is transcendental follows from M(1,\sqrt{2})=\tfrac{1}{2}\Beta \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{4}\right). \{\pi,M(1,1/\sqrt{2})\} என்ற கணம் (கணிதம்), \mathbb{Q} இன் மீது இயற்கணித சார்பற்றதுG. V. Choodnovsky: ''Algebraic independence of constants connected with the functions of analysis'', Notices of the AMS 22, 1975, p. A-486G. V. Chudnovsky: ''Contributions to The Theory of Transcendental Numbers'', American Mathematical Society, 1984, p. 6 ஆனால் \{\pi,M(1,1/\sqrt{2}),M'(1,1/\sqrt{2})\} (இதிலுள்ள மேற்சுட்டு ' என்பது இரண்டாவது மாறியைப் பொறுத்த வகையிடல் குறிக்கிறது) என்ற கணம் \mathbb{Q} இன் மீது இயற்கணித சார்பற்றது அல்ல. மேலும், p. 45 :\pi=2\sqrt{2}\frac{M^3(1,1/\sqrt{2})}{M'(1,1/\sqrt{2})}. கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியைப் போலவே, பெருக்குச் சராசரி, இசைச் சராசரி ஆகிய இரண்டின் தொடர்வரிசைகளின் மூலம் பெருக்கு-இசைச் சராசரியை (GH), பெறலாம்: :. கூட்டு-இசைச் சராசரியானது, பெருக்கல் சராசரிக்குச் சமானமானதாக இருக்கும். மடக்கைகள், முழுமையான முதல், இரண்டாம் வகை நீள்வட்டத் தொகையீடுகள், முழுமையற்ற முதல், இரண்டாம் வகைநீள்வட்டத் தொகையீடுகளின் முதல், இரண்டாம் வகைத் தொகையீடுகள், Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 17". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. pp. 598–599. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253. ஜேக்கோபி நீள்வட்டச் சார்புகள்ஆகியவற்றைக் கணிப்பதற்குக், கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி பயன்படுகிறது.
கேள்வி: கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி - இருத்தலுக்கான நிறுவல் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: கூட்டு, பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனிலியின் விளைவாகg_n \leq a_n என்ற முடிவு கிடைக்கிறது. இதிலிருந்துg_{n + 1} = \sqrt{g_n \cdot a_n} \geq \sqrt{g_n \cdot g_n} = g_n எனப் பெறலாம். அதாவது என்ற தொடர்வரிசையானது குறையாத் தொடர்வரிசையாகவும் , ஆகிய இரண்டில் பெரியதைவிட அதிகவளவு வரம்புடையதாகவும் இருக்கும். மேலும், ஒருபோக்கு ஒருங்கல் தேற்றத்தின்படி, இத்தொடர்வரிசை, ஒருங்குமென்பதால், \lim_{n\to \infty}g_n = g என்பதை நிறைவு செய்யும்விதத்தில் ஒரு இருக்கும். மேலும், a_n = \frac{g_{n + 1}^2}{g_n} என்பதால் கீழுள்ள முடிவு கிடைக்கிறது: \lim_{n\to \infty}a_n = \lim_{n\to \infty}\frac{g_{n + 1}^2}{g_{n}} = \frac{g^2}{g} = g
கேள்வி: கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி - தொகையீட்டு வடிவின் நிறுவல் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியின் தொகையீட்டு வடிவம், காஸால் நிறுவப்பட்டது. I(x,y) = \int_0^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{x^2\cos^2\theta+y^2\sin^2\theta}} , என எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது. \sin\theta = \frac{2x\sin\theta'}{(x+y)+(x-y)\sin^2\theta'} , என்றமையும் \theta' வுக்கு தொகையீட்டின் மாறியை மாற்ற: \cos\theta = \frac{\sqrt{(x+y)^2-2(x^2+y^2)\sin^2\theta'+(x-y)^2\sin^4\theta'}}{(x+y)+(x-y)\sin^2\theta'} , \cos\theta\ d\theta =2x \frac{(x+y)-(x-y)\sin^2\theta'}{((x+y)+(x-y)\sin^2\theta')^2}\ \cos\theta' d\theta'\ , d\theta = \frac{2x\cos\theta'((x+y)-(x-y)\sin^2\theta')}{((x+y)+(x-y)\sin^2\theta')\sqrt{(x+y)^2-2(x^2+y^2)\sin^2\theta'+(x-y)^2\sin^4\theta'}} d\theta'\ , x^2\cos^2\theta+y^2\sin^2\theta = \frac{x^2 ((x+y)^2-2(x^2+y^2)\sin^2\theta'+(x-y)^2\sin^4\theta')+4x^2y^2\sin^2\theta'}{((x+y)+(x-y)\sin^2\theta')^2}= \frac{x^2 ((x+y)-(x-y)\sin^2\theta')^2}{((x+y)+(x-y)\sin^2\theta')^2} \implies \frac{d\theta}{\sqrt{x^2\cos^2\theta+y^2\sin^2\theta}} = \frac{2x\cos\theta'((x+y)-(x-y)\sin^2\theta')}{((x+y)+(x-y)\sin^2\theta')\sqrt{(x+y)^2-2(x^2+y^2)\sin^2\theta'+(x-y)^2\sin^4\theta'}} \frac{((x+y)+(x-y)\sin^2\theta')}{x ((x+y)-(x-y)\sin^2\theta')} = \frac{2\cos\theta' d\theta'}{\sqrt{(x+y)^2-2(x^2+y^2)\sin^2\theta'+(x-y)^2\sin^4\theta'}} , \implies \begin{align} I(x,y) &= \int_0^{\pi/2}\frac{d\theta'}{\sqrt{\bigl(\frac12(x+y)\bigr)^2\cos^2\theta'+\bigl(\sqrt{xy}\bigr)^2\sin^2\theta'}}\\ &= I\bigl(\tfrac12(x+y),\sqrt{xy}\bigr) . \end{align} எனவே கிடைப்பது, \begin{align} I(x,y) &= I(a_1, g_1) = I(a_2, g_2) = \cdots\\ &= I\bigl(M(x,y),M(x,y)\bigr) = \pi/\bigr(2M(x,y)\bigl) . \end{align} I(z,z) = \pi/(2z) என்பதிலிருந்து மேலுள்ள கூற்றிலுள்ள இறுதிச் சமன் கிடைக்கிறது. \implies, M(x,y) = \pi/\bigl(2 I(x,y) \bigr) .
கேள்வி: கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி - முழுமையான நீள்வட்டத் தொகையீடு, ''K''(sin''α'') பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: :a_0 = 1, g_0 = \cos\alpha என எடுத்துக்கொள்ளக் கிடைக்கும் கூட்டு-பெருக்குச் சரசரி: :M(1,\cos\alpha) = \frac{\pi}{2K(\sin \alpha)} , :M(1,\cos\alpha) = \frac{\pi}{2K(\sin \alpha)} , :\implies K(\sin \alpha) = \frac{\pi}{2M(1,\cos\alpha)} . \implies K(k) = \frac{\pi}{2M(1,\cos\alpha)} . :\implies K(k) = \frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})} . இதிலுள்ள ஆனது, முழுமையான முதல்வகை நீள்வட்டத் தொகையீடு, K(k) = \int_0^{\pi/2}(1 - k^2 \sin^2\theta)^{-1/2} \, d\theta. ஆகும்.
கேள்வி: கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி - ஆதாரங்கள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: * * * பகுப்பு:சராசரிகள் பகுப்பு:சிறப்புச் சார்பியங்கள்