கேள்வி: முழுமையான பெருக்கல் சார்பு - வரையறை என்பது என்ன?
பதில்: முழுமையான பெருக்கல் சார்பு என்பது இயல் எண்களின் கணம் (கணிதம்) ஆட்களம் (கணிதம்)கொண்ட எண்கணிதச் சார்பாகும். இச்சார்பு ''f'' இன் கீழ் ''f''(1) = 1 ; ''f''(''ab'') = ''f''(''a'')''f''(''b'') ( ''a'', ''b'' இரு நேர்ம முழ்வெண்கள்) என அமையும்.. அதாவது: : f(1) = 1 :\forall a, b \in \text{domain}(f), f(ab) = f(a)(b). ''f''(1) = 1 என்ற கட்டுப்பாடு தரப்படாவிடில், ''f''(1) = 0 எனவும் எடுத்துக்கொள்ளலாம். ஆனால் அவ்வாறு கொள்ளும்போது ''a'' இன் எல்லா நேர்ம முழுவெண்மதிப்புகளுக்கும் ''f''(''a'') = 0 ஆகிவிடும். இது ஒரு வலுவான கட்டுப்பாடாக அமையாது. f(1) = 1 என நிலைப்படுத்திக்கொள்ளாவிட்டால், 0, 1 ஆகிய இரண்டுமே f(1) இன் மதிப்பாக அமைந்யும்: : f(1) = f(1 \cdot 1) \iff f(1) = f(1)f(1) \iff f(1) = f(1)^2 \iff f(1)^2 - f(1) = 0 \iff f(1)\left(f(1) - 1\right) = 0 \iff f(1) = 0 \lor f(1) = 1. (\mathbb Z^+,\cdot) (நேர்ம முழுஎண்களின் கணம், பெருக்கல் செயலியின் கீழ்) என்ற ஒற்றைக்குலம் மற்றொரு ஒற்றைக்குலத்திற்கு வரையறுக்கப்பட்ட காப்பமைவியம் (கணிதம்) முழுமையான பெருக்கல் சார்பைக் கருதலாம்.
கேள்வி: முழுமையான பெருக்கல் சார்பு - பண்புகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: *எண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றம் விளவாக, ஒரு நேர்ம முழுஎண்ணின் முழுமையான பெருக்கல் சார்பானது அவ்வெண்ணின் பகாக்காரணிகளுக்கான சார்பு மதிப்புகளால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. : ''n'' = ''p'a'' ''q'b'' ... எனில், : ''f''(''n'') = ''f''(''p'')''a'' ''f''(''q'')''b'' ... *இரு பெருக்கல் சார்புகளின் டிரிழ்ச்லெட் பிணைவும் ஒரு பெருக்கல் சார்பாக இருக்கும்; ஆனால் இரு முழுமையான பெருக்கல் சார்புகளின் டிரிழ்ச்லெட் பிணைவானது முழுமையான பெருக்கல் சார்பாக இருக்கவேண்டியதில்லை. *ஒரு பெருக்கல் சார்பானது முழுமையான பெருக்கல் சார்பாக இருப்பதற்குச் சமானமான பல கூற்றுகள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, :''f'' ஒரு பெருக்கல் சார்பு எனில் அதன் டிரிழ்ச்லெட் நேர்மாறானது \mu\cdot f (\mu என்பது மோபியஸ் சார்பு) என "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே", ''f'' ஆனது முழுமையான பெருக்கல் சார்பாகவும் இருக்கும்.Apostol, p. 36 *முழுமையான பெருக்கல் சார்புகள் பங்கீட்டு விதியை நிறைவுசெய்யும். :f \cdot (g*h)=(f \cdot g)*(f \cdot h) இதில் ''*'' குறியீடானது டிரிழ்ச்லெட் பெருக்கத்தையும், \cdot குறியீடு ஆடமார்டு பெருக்கல் (அணிகள்) குறிக்கின்றன.Apostol pg. 49 இப்பண்பின் ஒரு விளைவு: ''f'' ஒரு முழுமையான பெருக்கல் சார்பு எனில், :f*f = \tau \cdot f இம்முடிவை, மேலே தரப்பட்டள்ள பண்பில் g = h = 1 எனப்பிரதியிட்டுப் பெறலாம். 1(n) = 1 என்பது பெருக்கல் சார்பு#எடுத்துக்காட்டுகள்; \tau என்பது வகுஎண் சார்பு.
கேள்வி: முழுமையான பெருக்கல் சார்பு - பங்கீட்டு விதியின் நிறுவல் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: : \begin{align} f \cdot \left(g*h \right)(n) &= f(n) \cdot \sum_{d|n} g(d) h \left( \frac{n}{d} \right) = \\ &= \sum_{d|n} f(n) \cdot (g(d) h \left( \frac{n}{d} \right)) = \\ &= \sum_{d|n} (f(d) f \left( \frac{n}{d} \right)) \cdot (g(d) h \left( \frac{n}{d} \right)) \text{ (since } f \text{ is completely multiplicative) } = \\ &= \sum_{d|n} (f(d) g(d)) \cdot (f \left( \frac{n}{d} \right) h \left( \frac{n}{d} \right)) \\ &= (f \cdot g)*(f \cdot h). \end{align}
கேள்வி: முழுமையான பெருக்கல் சார்பு - வெளியிணைப்புகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: * [https://mathworld.wolfram.com/CompletelyMultiplicativeFunction.html Weisstein, Eric W. "Completely Multiplicative Function." ] பகுப்பு:பெருக்கல் சார்புகள்