கேள்வி: விவியானியின் தேற்றம் - நிறுவல் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: File:Viviani_theorem_visual_proof.svg ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பு அதன் அடிப்பக்கம், குத்துயரம் இரண்டின் பெருக்குத்தொகையில் பாதி என்ற நிறுவப்பட்ட கூற்றை அடிப்படையாகக் கொண்டு இத்தேற்றம் நிறுவப்படுகிறது.Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: ''Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics''. MAA 2010, , p.&nbsp;96 () சமபக்க முக்கோணம் ABC இன் குத்துயரம் ''h''; பக்க நீளம் ''a''. முக்கோணத்தின் உட்புறமுள்ள ஏதாவது ஒரு புள்ளி; அப்புள்ளியிலிருந்து முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்குள்ள தூரங்கள்: ''u, s, t''. P உடன் A, B, C ஆகிய மூன்று முக்கோணத்தின் உச்சிகளையும் இணைத்து வரையப்படும் கோடுகளால் PAB, PBC, PCA என்ற மூன்று முக்கோணங்கள் கிடைக்கின்றன. இம்மூன்று முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகள்: :PAB முக்கோணத்தின் பரப்பளவு: \frac{u \cdot a}{2} :PBC முக்கோணத்தின் பரப்பளவு: \frac{s \cdot a}{2} :PCA முக்கோணத்தின் பரப்பளவு: \frac{t \cdot a}{2}. இம்மூன்று முக்கோணங்களும் சேர்ந்து ABC முக்கோணத்தை நிரப்புவதால் இவற்றின் பரப்பளவுகள் கூட்டுத்தொகை ABC முக்கோணத்தின் பரப்பளவுக்குச் சமமாக இருக்கும். எனவே, :\frac{u \cdot a}{2} + \frac{s \cdot a}{2} + \frac{t \cdot a}{2} = \frac{h \cdot a}{2} மேலுள்ள கூற்றைச் சுருக்கக் கிடைப்பது: :u + s + t = h தேற்றம் நிறுவப்பட்டது.
கேள்வி: விவியானியின் தேற்றம் - தேற்றத்தின் மறுதலை பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: தேற்றத்தின் மறுதலையும் உண்மையாகும். மறுதலைக் கூற்று: ஒரு முக்கோணத்தின் உட்பக்கப் புள்ளி ஒன்றிலிருந்து அம் முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கு வரையப்படும் தூரங்களின் கூட்டுத்தொகையானது, அப்புள்ளியின் அமைவிடத்தைச் சாராததாக இருந்தால் அம்முக்கோணம் ஒரு சமபக்க முக்கோணமாகும்.
கேள்வி: விவியானியின் தேற்றம் - இணைகரம் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: இத்தேற்றத்தின் கூற்றை ஒரு இணைகரத்திற்குப் பின்வருமாறு நீட்டிக்கலாம். ஒரு இணைகரம் உட்புறப் புள்ளி ஒன்றிலிருந்து அதன் நான்கு பக்கங்களுக்குள்ள தூரங்களின் கூடுதலானது அப்புள்ளியின் அமைவிடத்தைச் சார்ந்திருக்காது. மறுதலையாக, ஒரு நாற்கரம் உட்புறப் புள்ளி ஒன்றிலிருந்து அதன் நான்கு பக்கங்களுள்ள தூரங்களின் கூடுதலானது அப்புள்ளியின் அமைவிடத்தைச் சார்ந்திருக்கவில்லை என்றால் அந்த நாற்கரம் ஒரு இணைகரமாக இருக்கும்.
கேள்வி: விவியானியின் தேற்றம் - ஒழுங்கு பல்கோணம் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ஒரு ஒழுங்கு பல்கோணி உட்புறப் புள்ளி ஒன்றிலிருந்து அதன் பக்கங்களுக்குள்ள தூரங்களின் கூட்டுத்தொகையானது, அப்புள்ளியின் அமைவிடத்தைச் சார்ந்திருக்காது. மேலும் அக்கூட்டுத்தொகையானது பல்கோணப் பக்கநடுக்கோடு நீளத்தின் ''n'' மடங்காக இருக்கும் (''n'' - பல்கோணத்தின் பக்கங்களின் எண்ணிக்கை). ஆனால் இக்கூற்றின் மறுதலை உண்மையாகாது.
கேள்வி: விவியானியின் தேற்றம் - சமகோணப் பல்கோணம் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: ஒரு சமகோணப் பல்கோணத்தின் உட்புறப் புள்ளி ஒன்றிலிருந்து அதன் பக்கங்களுக்குள்ள தூரங்களின் கூடுதல் அப்புள்ளியின் அமைவிடத்தைச் சார்ந்திருக்காது.
கேள்வி: விவியானியின் தேற்றம் - மேலும் வாசிக்க பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: * * * * *