கேள்வி: ராமானுசரின் தலையாய தேற்றம் என்பது என்ன?
பதில்: கணிதம் , ராமானுசரின் தலையாய தேற்றம் (பிறகு சீனிவாச இராமானுசன் என்று பெயரிடப்பட்டது) ஆனது பகுப்பாய்வு சார்பு மெல்லின் உருமாற்றத்திற்கு பகுமுறை விரிவாக்கத்திற்கான ஒரு உத்தியை வழங்குகிறது. படிமம்:Ramanujan's_"Master_Theorem"_page.jpg தேற்றத்தின் முடிவுகள் பின்வருமாறு கூறப்படுகிறது: சிக்கலான எண் மதிப்புடைய சார்பு f(x)-ன் விரிவாக்கமானது f(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{\phi(k)}{k!}(-x)^k \! f(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{\phi(k)}{k!}(-x)^k \!f(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{\phi(k)}{k!}(-x)^k \! எனவே f(x) \begin{align} f(x) \end{align} மெல்லின் உருமாற்றமானது பின்வருமாறு உள்ளது. \int_0^\infty x^{s-1} f(x) \, dx = \Gamma(s)\phi(-s) : \int_0^\infty x^{s-1} f(x) \, dx = \Gamma(s)\phi(-s) \!\int_0^\infty x^{s-1} f(x) \, dx = \Gamma(s)\phi(-s) \! இங்கு \Gamma(s) \! என்பது காமா சார்பியம் இது தொகைகள் மற்றும் தொடர் (கணிதம்)ள் சார்ந்த கணக்கீடுகள் கண்டறிவதற்கு சீனிவாச இராமானுசன் தொடர்ந்து பயன்படுத்தப்பட்ட சார்பு ஆகும். இந்தக் தேற்றத்தின் உயர் பரிமாண பதிப்புகள் குவாண்டம் இயங்கியல் ( ஃபேய்ன்மேன் விளக்கப்படங்கள் மூலம்) பயன்படுகின்றன. இதேபோன்ற முடிவுகளை ஜெ.டபிள்யு.எல் கிளாசர் பெற்றார்.
கேள்வி: ராமானுசரின் தலையாய தேற்றம் - நிரூபணம் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: ராமானுசரின் தலையாய தேற்றத்தின் "உண்மை" அனுமானங்களுக்கு (இருப்பினும் பலவீனமான மற்றும் போதுமான நிபந்தனைகளுக்கு இல்லை) கணிதவியலாளர் ஜி. எச். ஹார்டி , தான் விரிவாக்கம் செய்யப்பட்ட எச்ச தேற்றம் மற்றும் நன்கு அறியப்பட்ட மெல்லின் தலைகீழ் தேற்றம் ஆகியவற்றை ஆதாரமாக விளக்கினார்.
கேள்வி: ராமானுசரின் தலையாய தேற்றம் - பெர்னோலி பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் பயன்பாடுகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: பெர்னோலி பல்லுறுப்புக் கோவை B_k(x)\! களின் பிறப்பாக்கி சார்பு வருமாறு: frac{ze^{xz}}{e^z-1}=\sum_{k=0}^\infty B_k(x)\frac{z^k}{k!} : \frac{ze^{xz}}{e^z-1}=\sum_{k=0}^\infty B_k(x)\frac{z^k}{k!} \!\frac{ze^{xz}}{e^z-1}=\sum_{k=0}^\infty B_k(x)\frac{z^k}{k!} \! இந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஹர்விட்ஸ் இசீட்டா சார்பின் வடிவில் வழங்கப்படுகின்றன: \zeta(s,a)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^s} \!zeta(s,a)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^s} \!\zeta(s,a)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^s} \! n \geq 1க்கு \zeta(1-n,a)=-\frac{B_n(a)}{n} \! என்றவாறு உள்ளது. ராமானுசரின் தலையாய தேற்றம் மற்றும் பெர்னோலி பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் பிறப்பாக்கி சார்பு ஆகியவற்றை பயன்படுத்தும் போது பின்வரும் தொகை வடிவில் இருக்கும்: \int_0^\infty x^{s-1} \left(\frac{e^{-ax}}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x}\right) \, dx = \Gamma(s)\zeta(s,a) \! \int_0^\infty x^{s-1} \left(\frac{e^{-ax}}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x}\right) \, dx = \Gamma(s)\zeta(s,a) \!int_0^\infty x^{s-1} \left(\frac{e^{-ax}}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x}\right) \, dx = \Gamma(s)\zeta(s,a) \! இது 0 0க்கு உண்மையாகும் .
கேள்வி: ராமானுசரின் தலையாய தேற்றம் - காமா சார்பின் பயன்பாடுகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: காமா சார்பு பற்றி Weierstrass வரையறை Gamma(x)=\frac{e^{-\gamma x}}{x}\prod_{n=1}^\infty \left(1+\frac{x}{n}\right)^{-1} e^{x/n} \! : \Gamma(x)=\frac{e^{-\gamma x}}{x}\prod_{n=1}^\infty \left(1+\frac{x}{n}\right)^{-1} e^{x/n} \!\Gamma(x)=\frac{e^{-\gamma x}}{x}\prod_{n=1}^\infty \left(1+\frac{x}{n}\right)^{-1} e^{x/n} \! இது \log\Gamma(1+x)=-\gamma x+\sum_{k=2}^\infty \frac{\zeta(k)}{k}(-x)^k \!ன் விரிவாக்கத்திற்கு சமமானதாகும் \log\Gamma(1+x)=-\gamma x+\sum_{k=2}^\infty \frac{\zeta(k)}{k}(-x)^k \! \log\Gamma(1+x)=-\gamma x+\sum_{k=2}^\infty \frac{\zeta(k)}{k}(-x)^k \! \log\Gamma(1+x)=-\gamma x+\sum_{k=2}^\infty \frac{\zeta(k)}{k}(-x)^k \!\log\Gamma(1+x)=-\gamma x+\sum_{k=2}^\infty \frac{\zeta(k)}{k}(-x)^k \!log\Gamma(1+x)=-\gamma x+\sum_{k=2}^\infty \frac{\zeta(k)}{k}(-x)^k \! இங்கு \zeta(k) \! என்பது ரீமன் இசீட்டா சார்பியம் ஆகும் . ராமானுசரின் தலையாய தேற்றம் பின்வருமாறு பயன்படுத்துகிறோம்: \int_0^\infty x^{s-1} \frac{\gamma x+\log\Gamma(1+x)}{x^2} \, dx= \frac{\pi}{\sin(\pi s)}\frac{\zeta(2-s)}{2-s} \!\int_0^\infty x^{s-1} \frac{\gamma x+\log\Gamma(1+x)}{x^2} \, dx= \frac{\pi}{\sin(\pi s)}\frac{\zeta(2-s)}{2-s} \! இது 0 0க்கு உண்மையாகும் .உண்மையாகும் இங்கு s=\frac{1}{2} \! 0 s=\frac{1}{2} \! மற்றும் s=\frac{3}{4} \! s=\frac{3}{4} \! ன் சிறப்பு வகைகள் வருமாறு : \int_0^\infty \frac{\gamma x+\log\Gamma(1+x)}{x^{5/2}} \, dx =\frac{2\pi}{3} \zeta\left( \frac{3}{2} \right) : \int_0^\infty \frac{\gamma x+\log\Gamma(1+x)}{x^{9/4}} \,dx = \sqrt{2} \frac{4\pi}{5} \zeta\left(\frac 5 4\right)