கேள்வி: இசை எண் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: Image:HarmonicNumbers.svg); n=\lfloor x \rfloor (சிவப்புக்கோடு).]] கணிதம், -ஆவது இசை எண் (''harmonic number'') என்பது, முதல் இயல் எண்களின் பெருக்கல் நேர்மாறு கூட்டுத்தொகையாகும்: H_n= 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n} =\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}. , இலிருந்து தொடங்கும் இசை எண்கள் தொடர்வரிசை:: 1, \frac{3}{2}, \frac{11}{6}, \frac{25}{12}, \frac{137}{60}, \dots -ஆவது இசை எண்ணானது, நேர்ம முழுஎண்களின் இசைச் சராசரியின் தலைகீழியின் மடங்காக இருக்கும். பழங்காலம் முதற்கொண்டு இசை எண்கள் ஆய்வு செய்யப்பட்டு வருகின்றன; எண் கோட்பாடு பல பிரிவுகளில் இசை எண்கள் முக்கியத்துவம் வாய்ந்தவையாக உள்ளன. ரீமன் இசீட்டா சார்பியம் நெருங்கிய தொடர்புள்ளவை. மேலும், பல சிறப்பு சார்புகள் கோவைவைகளில் இடம்பெற்றுள்ளன. இசை எண்கள் தோராயமாக, இயல் மடக்கைச் சார்பாக உள்ளன. இதனால், இசைத் தொடர் (கணிதம்) எல்லையின்றி மிகப்பெரியதாக, ஆனால் மெதுவாக அதிகரிக்கிறது.1737 இல் லியோனார்டு ஆய்லர், இசைத் தொடரின் விரிதன்மைப் பயன்படுத்தி, யூக்ளிடின் தேற்றம் என்பதற்கு ஒரு புது நிறுவலை அளித்தார். ஆய்லரின் நிறுவல் 1859 இல் பேர்னாட் ரீமன் சிக்கலெண் தளத்திற்கும் நீட்டிக்கப்பட்டது. இதுவே பகா எண்களின் பரவல் குறித்த ரீமான் கருதுகோள் வழியமைத்தது. ஐத் தவிர வேறெந்த இசையெண்ணும் ஒரு முழு எண் அல்ல என்ற முடிவை "பெட்ரான்டின் எடுகோள்" தருகிறது {| class="wikitable infobox collapsible collapsed" style="line-height:0.8;text-align:left;white-space:nowrap;" |+ முதல் 40 இசை எண்கள் ! rowspan="2" style="padding-top:1em;"|''n'' !! colspan="4"|இசை எண், ''Hn'' |- ! colspan="2"|பின்ன வடிவில் !! தசம வடிவில் !! சார் அளவு |- | style="text-align:right;"|1 || style="text-align:center;" colspan="2"|1 || |- | style="text-align:right;"|2 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|3 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/2 || |- | style="text-align:right;"|3 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|11 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/6 || ~ |- | style="text-align:right;"|4 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|25 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/12 || ~ |- | style="text-align:right;"|5 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|137 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/60 || ~ |- | style="text-align:right;"|6 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|49 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/20 || |- | style="text-align:right;"|7 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|363 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/140 || ~ |- | style="text-align:right;"|8 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|761 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/280 || ~ |- | style="text-align:right;"|9 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|7&thinsp;129 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/2&thinsp;520 || ~ |- | style="text-align:right;"|10 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|7&thinsp;381 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/2&thinsp;520 || ~ |- | style="text-align:right;"|11 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|83&thinsp;711 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/27&thinsp;720 || ~ |- | style="text-align:right;"|12 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|86&thinsp;021 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/27&thinsp;720 || ~ |- | style="text-align:right;"|13 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|1&thinsp;145&thinsp;993 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/360&thinsp;360 || ~ |- | style="text-align:right;"|14 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|1&thinsp;171&thinsp;733 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/360&thinsp;360 || ~ |- | style="text-align:right;"|15 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|1&thinsp;195&thinsp;757 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/360&thinsp;360 || ~ |- | style="text-align:right;"|16 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|2&thinsp;436&thinsp;559 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/720&thinsp;720 || ~ |- | style="text-align:right;"|17 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|42&thinsp;142&thinsp;223 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/12&thinsp;252&thinsp;240 || ~ |- | style="text-align:right;"|18 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|14&thinsp;274&thinsp;301 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/4&thinsp;084&thinsp;080 || ~ |- | style="text-align:right;"|19 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|275&thinsp;295&thinsp;799 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/77&thinsp;597&thinsp;520 || ~ |- | style="text-align:right;"|20 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|55&thinsp;835&thinsp;135 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/15&thinsp;519&thinsp;504 || ~ |- | style="text-align:right;"|21 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|18&thinsp;858&thinsp;053 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/5&thinsp;173&thinsp;168 || ~ |- | style="text-align:right;"|22 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|19&thinsp;093&thinsp;197 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/5&thinsp;173&thinsp;168 || ~ |- | style="text-align:right;"|23 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;"|444&thinsp;316&thinsp;699 || style="border-left:none;padding-left:0;"|/118&thinsp;982&thinsp;864 || ~ |- | style="text-align:right;"|24 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:96%;"|1&thinsp;347&thinsp;822&thinsp;955 || style="border-left:none;padding-left:0;font-size:96%;"|/356&thinsp;948&thinsp;592 || ~ |- | style="text-align:right;"|25 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:87%;"|34&thinsp;052&thinsp;522&thinsp;467 || style="border-left:none;padding-left:0;font-size:87%;"|/8&thinsp;923&thinsp;714&thinsp;800 || ~ |- | style="text-align:right;"|26 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:87%;"|34&thinsp;395&thinsp;742&thinsp;267 || style="border-left:none;padding-left:0;font-size:87%;"|/8&thinsp;923&thinsp;714&thinsp;800 || ~ |- | style="text-align:right;"|27 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:80%;"|312&thinsp;536&thinsp;252&thinsp;003 || style="border-left:none;padding-left:0;font-size:80%;"|/80&thinsp;313&thinsp;433&thinsp;200 || ~ |- | style="text-align:right;"|28 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:80%;"|315&thinsp;404&thinsp;588&thinsp;903 || style="border-left:none;padding-left:0;font-size:80%;"|/80&thinsp;313&thinsp;433&thinsp;200 || ~ |- | style="text-align:right;"|29 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:73%;"|9&thinsp;227&thinsp;046&thinsp;511&thinsp;387 || style="border-left:none;padding-left:0;font-size:73%;"|/2&thinsp;329&thinsp;089&thinsp;562&thinsp;800 || ~ |- | style="text-align:right;"|30 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:73%;"|9&thinsp;304&thinsp;682&thinsp;830&thinsp;147 || style="border-left:none;padding-left:0;font-size:73%;"|/2&thinsp;329&thinsp;089&thinsp;562&thinsp;800 || ~ |- | style="text-align:right;"|31 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:64%;"|290&thinsp;774&thinsp;257&thinsp;297&thinsp;357 || style="border-left:none;padding-left:0;font-size:64%;"|/72&thinsp;201&thinsp;776&thinsp;446&thinsp;800 || ~ |- | style="text-align:right;"|32 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:64%;"|586&thinsp;061&thinsp;125&thinsp;622&thinsp;639 || style="border-left:none;padding-left:0;font-size:64%;"|/144&thinsp;403&thinsp;552&thinsp;893&thinsp;600 || ~ |- | style="text-align:right;"|33 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:68%;"|53&thinsp;676&thinsp;090&thinsp;078&thinsp;349 || style="border-left:none;padding-left:0;font-size:68%;"|/13&thinsp;127&thinsp;595&thinsp;717&thinsp;600 || ~ |- | style="text-align:right;"|34 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:68%;"|54&thinsp;062&thinsp;195&thinsp;834&thinsp;749 || style="border-left:none;padding-left:0;font-size:68%;"|/13&thinsp;127&thinsp;595&thinsp;717&thinsp;600 || ~ |- | style="text-align:right;"|35 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:68%;"|54&thinsp;437&thinsp;269&thinsp;998&thinsp;109 || style="border-left:none;padding-left:0;font-size:68%;"|/13&thinsp;127&thinsp;595&thinsp;717&thinsp;600 || ~ |- | style="text-align:right;"|36 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:68%;"|54&thinsp;801&thinsp;925&thinsp;434&thinsp;709 || style="border-left:none;padding-left:0;font-size:68%;"|/13&thinsp;127&thinsp;595&thinsp;717&thinsp;600 || ~ |- | style="text-align:right;"|37 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:60%;"|2&thinsp;040&thinsp;798&thinsp;836&thinsp;801&thinsp;833 || style="border-left:none;padding-left:0;font-size:60%;"|/485&thinsp;721&thinsp;041&thinsp;551&thinsp;200 || ~ |- | style="text-align:right;"|38 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:60%;"|2&thinsp;053&thinsp;580&thinsp;969&thinsp;474&thinsp;233 || style="border-left:none;padding-left:0;font-size:60%;"|/485&thinsp;721&thinsp;041&thinsp;551&thinsp;200 || ~ |- | style="text-align:right;"|39 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:60%;"|2&thinsp;066&thinsp;035&thinsp;355&thinsp;155&thinsp;033 || style="border-left:none;padding-left:0;font-size:60%;"|/485&thinsp;721&thinsp;041&thinsp;551&thinsp;200 || ~ |- | style="text-align:right;"|40 || style="border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:60%;"|2&thinsp;078&thinsp;178&thinsp;381&thinsp;193&thinsp;813 || style="border-left:none;padding-left:0;font-size:60%;"|/485&thinsp;721&thinsp;041&thinsp;551&thinsp;200 || ~ |}
கேள்வி: இசை எண் - இசை எண்களைக் கொண்டுள்ள முற்றொருமைகள் என்பது என்ன?
பதில்: இசை எண்களின் மீள்வரு தொடர்பு: H_{n + 1} = H_{n} + \frac{1}{n + 1}. இசை எண்களுக்கும் இசுடர்லிங் சுழல் எண்ணுக்குமுள்ள தொடர்பு H_n = \frac{1}{n!}\left[{n+1 \atop 2}\right]. இசை எண்கள் நிறைவுசெய்யும் முற்றொருமைகள்: \sum_{k=1}^n H_k = (n+1) H_{n} - n \sum_{k=1}^n H_k^2 = (n+1)H_{n}^2 - (2 n +1) H_n + 2 n. இவ்விரண்டும் ஒத்துள்ள தொகையீட்டு முடிவுகள்: \int_0^x \log y \ d y = x \log x - x; \int_0^x (\log y)^2\ d y = x (\log x)^2 - 2 x \log x + 2 x.
கேள்வி: இசை எண் - உடனான முற்றொருமைகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: இசை எண்களையும் பை (கணித மாறிலி) இன் அடுக்குகளையும் கொண்ட பல முடிவுறாக் கூட்டுத்தொகைகள் உள்ளன:Sondow, Jonathan and Weisstein, Eric W. "Harmonic Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HarmonicNumber.html \begin{align} \sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n\cdot 2^n} &= \frac{\pi^2}{12} \\ \sum_{n=1}^\infty \frac{H_n^2}{(n+1)^2} &= \frac{11}{360}\pi^4 \\ \sum_{n=1}^\infty \frac{H_n^2}{(n+1)^2} &= \frac{11}{360}\pi^4 \\ \sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n^3} &= \frac{\pi^4}{72} \end{align}
கேள்வி: இசை எண் - கணக்கீடு குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: H_n, க்கான லியோனார்டு ஆய்லர் தொகையீட்டு வடிவம்:. H_n = \int_0^1 \frac{1 - x^n}{1 - x}\,dx. (முற்றொருமை (கணிதம்): \frac{1-x^n}{1-x}=1+x+\cdots +x^{n-1}.) எனப் பதிலிட: \begin{align} H_n &= \int_0^1 \frac{1 - x^n}{1 - x}\,dx = \int_0^1\frac{1-(1-u)^n}{u}\,du \\[6pt] &= \int_0^1\left[\sum_{k=1}^n \binom nk (-u)^{k-1}\right]\,du = \sum_{k=1}^n \binom nk \int_0^1 (-u)^{k-1}\,du \\[6pt] &= \sum_{k=1}^n \binom nk \frac{(-1)^{k-1}}{k}. \end{align} File:Integral Test.svgக்குமுள்ள தொடர்பை விளக்கும் வரைபடம். ஐ ரீமான் கூட்டுத்தொகையாகக் கொள்ளலாம்: \int_1^{n+1} \frac{dx}{x} = \ln(n+1).]] ஆவது இசை எண் கிட்டத்தட்ட இன் இயல் மடக்கையளவு பெரியதாக இருக்குமென்பதால் மேலுள்ள கூட்டுத்தொகையின் மதிப்பு \int_1^n \frac{1}{x}\, dx, என்ற தொகையீட்டுக்குச் சமமாக இருக்கு; இத்தொகையீட்டின் மதிப்பு ஆகும். எனவே, என்ற தொடர்வரிசை கீழுள்ளவாறான தொடர்வரிசையின் எல்லை ஒருபோக்காகக் குறையும்: \lim_{n \to \infty} \left(H_n - \ln n\right) = \gamma, இதிலுள்ள என்பது ஆய்லரின் மாறிலி. \begin{align} H_n &\sim \ln{n}+\gamma+\frac{1}{2n}-\sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{2k n^{2k}}\\ &=\ln{n}+\gamma+\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2}+\frac{1}{120n^4}-\cdots, \end{align} இதிலுள்ள என்பவை பெர்னோலி எண்கள்..
கேள்வி: இசை எண் - பிறப்பிக்கும் சார்புகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: இசை எண்களுக்கான பிறப்பாக்கி: :\sum_{n=1}^\infty z^n H_n = \frac {-\ln(1-z)}{1-z}, (ln(''z'') - இயல் மடக்கை). அடுக்கப் பிறப்பிக்கும் சார்பு: :\sum_{n=1}^\infty \frac {z^n}{n!} H_n = e^z \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k} \frac {z^k}{k!} = e^z \operatorname{Ein}(z), (Ein(''z'') என்பது அடுக்கத் தொகையீடு). அடுக்கத் தொகையீட்டைப் பின்வருமாறும் எழுதலாம்: :\operatorname{Ein}(z) = \mathrm{E}_1(z) + \gamma + \ln z = \Gamma (0,z) + \gamma + \ln z ( Γ(0, ''z'') என்பது முழுமையற்ற காமா சார்பு).
கேள்வி: இசை எண் - குறிப்புகள் என்பது என்ன?
பதில்: }}