கேள்வி: நிகரி (கணிதம்) பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: File:Parity of 5 and 6 Cuisenaire rods.png: 5 (மஞ்சள்) ஐ இரண்டு சிவப்பு மற்றும் வேறு இரண்டு ஒரே நிறக் கோல்களாகப் பிரிக்க இயலவில்லை; ஆனால் 6 (ஆழ் பச்சை) ஐ பிரிக்க முடிவதைக் காணலாம்.]] கணிதம் நிகரி (''parity'') என்பது முழு எண்களுக்கான ஒரு கணிதப் பண்பு. இப்பண்பின்படி, ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் இரட்டை (''even'') அல்லது ஒற்றை (''odd'') எண் எனப் பிரித்து அடையாளப்படுத்தப்படுகிறது. இரண்டின் மடங்காக இருக்கும் முழுஎண்கள், இரட்டை எண்கள் என்றும் இரண்டின் மடங்காக இல்லாத முழுஎண்கள் ஒற்றை எண்கள் எனவும் பிரிக்கப்படுகின்றன.. எடுத்துக்காட்டாக, −4, 0, 8 ஆகியவை இரட்டையெண்கள். ஏனெனில் இவற்றைப் பின்வருமாறு இரண்டின் மடங்காக எழுதலாம்: \begin{align} -2 \cdot 2 &= -4 \\ 0 \cdot 2 &= 0 \\ 41 \cdot 2 &= 82 \end{align} மாறாக, −3, 5, 7, 21 என்பவை ஒற்றையெண்கள். நிகரியின் இந்த வரையறையானது முழுஎண்களுக்கு மட்டுமே பொருந்தும்; 1/2, 4.201 போன்ற பின்னங்களுக்கும் தசமபின்னங்களுக்கும் பொருந்தாது. இரட்டை மற்றும் ஒற்றை எண்களின் நிகரிகள் ஒன்றுக்கொன்று எதிரானது. எடுத்துக்காட்டாக 22 (இரட்டை எண்), 13 (ஒற்றை எண்) இரண்டும் எதிரெதிர் நிகரிகளைக் கொண்டது. பூச்சியத்தின் நிகரி இரட்டையாகும்.. அடுத்தடுத்துள்ள இரு முழுஎண்கள் எதிர் நிகரியுடையன. பதின்மம் எண்குறி முறைமையில் எழுதப்படும் முழுஎண்களில் ஒன்றினிடத்திலுள்ள எண் இரட்டையாக இருந்தால் அம்முழுஎண் இரட்டையெண்ணாகவும், ஒன்றுகளின் இடத்திலுள்ள எண் ஒற்றையாக இருந்தால் அம்முழுஎண் ஒற்றையெண்ணாகவும் இருக்கும். அதாவது, ஒன்றுகளின் இடத்தில் 1, 3, 5, 7, 9 கொண்ட முழுஎண்கள் ஒற்றையெண்கள்; ஒன்றுகளின் இடத்தில் 0, 2, 4, 6, 8 கொண்ட முழுஎண்கள் இரட்டையெண்கள். இதே கூற்று எந்தவொரு இரட்டை எண்முறைமைகளுக்கும் பொருந்தும். எடுத்துக்கட்டாக, இரும எண்களில் (இரண்டடிமான எண்) ஒற்றையெண்ணின் கடைசி இலக்கம் 1 ஆகவும், இரட்டையெண்ணின் கடைசி இலக்கம் 0 ஆகவும் இருக்கும். ஒற்றை எண்முறைமைகளிலுள்ள எண்களின் நிகரி, அவற்றின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையைப் பொறுத்தமையும்; இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை இரட்டையாகவுள்ளவை இரட்டை எண்களாகவும், ஒற்றையாகவுள்ளவை ஒற்றையெண்களாகவும் இருக்கும்..
கேள்வி: நிகரி (கணிதம்) - வரையறை என்பது என்ன?
பதில்: * ஓர் இரட்டை முழுஎண் கீழ்வரும் வடிவிலமையும்: :x = 2k, (''k'' ஒரு முழுஎண்). * ஓர் ஒற்றை முழுஎண் கீழ்வருமாறமையும்: :x = 2k +1, (''k'' ஒரு முழுஎண்) மாற்று வரையறை: * இரட்டை எண்கள் 2 ஆல் வகுஎண்: 2 \ | \ x * ஒற்றை எண்கள் 2 ஆல் வகுபடாது: :2\not| \ x இரட்டை எண்களின் கணம் (கணிதம்) மற்றும் ஒற்றை எண்களின் கணத்தின் வரையறை:. :\{ 2k: k \in \mathbb{Z} \} :\{ 2k+1: k \in \mathbb{Z} \} இரட்டையெண்களின் கணம், முழுஎண்கள் கணத்தின் (\mathbb{Z}) இயல்நிலை உட்குலம் அமைவதோடு, ஈவு குலம் (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) உருவாக்குகிறது. எனவே, \mathbb{Z} இலிருந்து \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} க்கான காப்பமைவியம் (கணிதம்) (ஒற்றை எண்கள் 1; இரட்டை எண்கள் 0) நிகரியை வரையறுக்கலாம்.
கேள்வி: நிகரி (கணிதம்) - கூட்டலும் கழித்தலும் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: * இரட்டை ± இரட்டை = இரட்டை; * இரட்டை ± ஒற்றை = ஒற்றை; * ஒற்றை ± ஒற்றை = இரட்டை;
கேள்வி: நிகரி (கணிதம்) - பெருக்கல் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: * இரட்டை × இரட்டை = இரட்டை; * இரட்டை × ஒற்றை = இரட்டை; * ஒற்றை × ஒற்றை = ஒற்றை; ({இரட்டை, ஒற்றை}, +, ×) என்ற அமைப்பு இரண்டு உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு களம் (கணிதம்) (GF(2)).
கேள்வி: நிகரி (கணிதம்) - வகுத்தல் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: இரு முழுஎண்களை ஒன்றையொன்று வகுக்கும்போது கிடைக்கும் விடை எப்போதும் முழுஎண்ணாக இருக்காது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒன்றை நான்கால் வகுக்கக்கிடைப்பது 1/4 ஆகும். இரட்டை/ஒற்றை என்பது முழுஎண்களில் மட்டுமே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளதால், 1/4 இரட்டையுமில்லை; ஒற்றையுமில்லை. வகுக்கும்போது கிடைக்கும் ஈவு முழுஎண்ணாக இருந்தால், வகுஎண்ணைவிட வகுபடுஎண்ணுக்கு இரண்டின் காரணிகள் அதிகமாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" அந்த ஈவுஎண் இரட்டையெண்ணாகும்..
கேள்வி: நிகரி (கணிதம்) - எண் கோட்பாடு பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: இரட்டையெண்களின் கணம், முழுஎண்கள் வளையம் (கணிதம்) வளையத்தில் சீர்மம் (கணிதம்). ஆனால் ஒற்றையெண்கள் அவ்வாறு முழுஎண்கள் வளையத்தின் சீர்மமாக இருக்காது. இரட்டை எண்கள் கணத்தில் கூட்டல் செயலுக்கான முற்றொருமை (கணிதம்) ('0', இரட்டையெண்) இருப்பதும் ஒற்றையெண்கள் கணத்தில் அது இல்லாததுமே இதற்குக் காரணமாகும். ஒரு முழுஎண்ணானது சமானம் மாடுலோ 2 இல் '0' விற்குச் சமானமாக இருந்தால் அது இரட்டையெண்; '1' க்குச் சமானமாக இருந்தால் ஒற்றையெண். '2' ஐத் தவிர மற்ற பகா எண்கள் அனைத்துமே ஒற்றையெண்கள்.. அறியப்பட்ட அனைத்து நிறைவெண் (கணிதம்) இரட்டையெண்கள். ஒற்றை நிறையெண்கள் எதுவும் உள்ளனவா என்று இன்னும் அறியப்படவில்லை.. கோல்டுபேக்கின் அனுமானம் 2 ஐ விடப்பெரியதாகவுள்ள ஒவ்வொரு இரட்டையெண்ணையும் இரு பகா எண்களின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதலாம். தற்காலக் கணினி கணக்கீடுகள் 4 &times; 1018 மதிப்பு வரையுள்ள முழுஎண்களுக்கு இந்த அனுமானம் சரியானதெனக் காட்டுகின்றன. எனினும் இந்த அனுமானத்திற்கு பொதுவான கணித நிறுவல் கண்டறியப்படவில்லை.. In press.
கேள்வி: நிகரி (கணிதம்) - பகுவியல் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ஒரு சார்பு தருமதியின் மதிப்புகளை எதிர்மறையாக மாற்றும்போது சார்பின் மதிப்புகள் எவ்வறு மாறுகின்றன என்பதை இரட்டை, ஒற்றைச் சார்புகள் விளக்குகின்றன. ஒரு மாறியின் இரட்டை அடுக்காகவுள்ள சார்பில் அடுக்கினை எதிர்மறையாக மாற்றினாலும் சார்பின் மதிப்பில் எந்தவொரு மாற்றமும் இராது. இச்சார்பு இரட்டைச் சார்பாகும். ஆனால் அடுக்கு ஒற்றையெண்ணாக இருக்கும்போது அடுக்கின் மதிப்பை எதிர்மறையாக்கும்போது சார்பின் மதிப்பும் எதிர்மறையாகும். இது ஒற்றைச் சார்பாகும். அதாவது: :''n'' இரட்டை முழுவெண் எனில்,f(x) = x^n இரட்டைச் சார்பு. ::''n'' = 2, f(x) = x^2; ''n'' = -2 என்றாலும்,f(x) = x^{-2} = x^2 :''n'' ஒற்றை முழுஎண் எனில்,f(x) = x^n ஒற்றைச் சார்பு ::''n'' = 3, f(x) = x^3; ''n'' = -3 எனில்,f(x) = x^{-3} = -x^3 ஒரு சார்பானது ஒற்றையாகவோ அல்லது இரட்டையாகவோ இல்லாமலும் இருக்கலாம். ''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;0, என்ற சார்பு ஒற்றையாகவும் இரட்டைச் சார்பாகவும் இருக்கும்.. ஒரு இரட்டைச் சார்பின் டெய்லர் தொடர் எல்லா உறுப்புகளிலும் மாறியின் அடுக்கும் இரட்டையெண்ணாகவே இருக்கும். ஓர் ஒற்றைச் சார்பின் டெய்லர் தொடர் எல்லா உறுப்புகளிலும் மாறியின் அடுக்கும் ஒற்றையெண்ணாகவே இருக்கும். எடுத்துக்காட்டுகள்: :\sin x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} \cdots :\cos x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots