கேள்வி: இருபடி முழுவெண் என்பது என்ன?
பதில்: எண் கோட்பாடு, இருபடி முழுவெண்கள் என்பது வழக்கமான முழு எண் இருபடி களங்களுக்கு பொதுமைப்படுத்துவதாகும். இருபடி முழுவெண்கள், படி இரண்டுள்ள இயற்கணித முழு எண்களாகும். அதாவது பின்வரும் வடிவச் சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளாக இருக்கும்: : , இரண்டும் வழக்கமான முழு எண்கள். இயற்கணித முழுவெண்களைக் கருத்தில் கொள்ளும்போது, வழக்கமான முழுவெண்கள் பெரும்பாலும் ''விகிதமுறு முழுவெண்கள்'' என்று அழைக்கப்படுகின்றன. இருபடி முழுவெண்களின் பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகள் விகிதமுறு முழுவெண்களின் வர்க்கமூலம் }}, மற்றும் காசிய முழுவெண் உருவாக்கும் சிக்கலெண் }} ஆகும். மற்றொரு பொதுவான எடுத்துக்காட்டு ஒன்றின் படிமூலம் ஒன்றான |2}}}} ஆகும். இக் கனபடிமூலம் ஐசேன்ஸ்டைன் முழுவெண்களை உருவாக்குகிறது. பெல்லின் சமன்பாடு போன்ற டியோஃபன்டைனே சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளில் இருபடி முழுவெண்கள் இடம்பெறுகின்றன. இருபடி முழுவெண்களின் வளையங்களின் ஆய்வு இயற்கணித எண் கோட்பாட்டின் பல கேள்விகளுக்கு அடிப்படையாக அமைகிறது.
கேள்வி: இருபடி முழுவெண் - வரையறை பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: இருபடி முழுவெண் என்பது படி இரண்டுள்ள இயற்கணித முழுவெண் ஆகும். மேலும் இது: :''x''2 + ''bx'' + ''c'' = 0 (''b'', ''c முழுவெண்கள்)'' என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் தீர்வாக அமைகின்ற x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}{2} என்ற சிக்கலெண்ணாகும். முழுவெண்ணாக இல்லாத ஒவ்வொரு இருபடி முழுவெண்ணும் விகிதமுறு எண்ணல்ல; அதாவது, என்றால் மெய் விகிதமுறா எண்ணாகவும், {{Math|''b''2 − 4''c'' \mathbb{Q} இன் நீட்டிப்பாக அமையும் இருபடிக் களம் \mathbb{Q}(\sqrt{D}\,) இல் அமைகின்றன. \mathbb{Q}(\sqrt{D}\,) ஆனது,முழு எண் க்கு என்பதை நிறைவுசெய்யும் தனித்துவமான வர்க்கக்காரணியற்ற முழுஎண் இன் வர்க்க மூலத்தால் பிறப்பிக்கப்படுகிறது. நேரெண்ணாக இருந்தால் இருபடி முழுவெண் மெய்யெண்ணாகவும், {{Math|''D'' \mathbb{Q}(\sqrt{D}\,) என்ற இருபடிக் களம் இருபடி முழுவெண்கள் (சாதாரண முழுவெண்கள் உட்பட) "\mathbb{Q}(\sqrt{D}\,). இன் முழுவெண்களின் வளையம்" என அழைக்கப்படும் முழு ஆட்களம் உருவாக்கும். தரப்பட்ட இருபடிக் களத்திற்குரிய இருபடி முழுவெண்கள் ஒரு வளையம் (கணிதம்) இருக்கும். ஆனால், "அனைத்து" இருபடி முழுவெண்களின் கணமானது கூட்டலுக்கும் பெருக்கலுக்கும் அடைவு பெறாததால் வளையமாக இருக்காது. எடுத்துக்காட்டாக, 1+\sqrt{2}, \sqrt{3} இரண்டும் இருபடி முழுவெண்கள்; ஆனால் அவற்றின் கூட்டுதொகையான 1+\sqrt{2}+\sqrt{3}, பெருக்குத்தொகையான (1+\sqrt{2})\cdot\sqrt{3} இரண்டும் இருபடி முழுவெண்கள் இல்லை (அவற்றின் சிறுமப் பல்லுறுப்புக்கோவையின் பல்லுறுப்புக்கோவையின் படி நான்காக இருப்பதால்).
கேள்வி: இருபடி முழுவெண் - வெளிப்படையான உருவகிப்பு குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: இங்கும் பின்வரும் பகுதிகளிலும் எடுத்துக்கொள்ளப்படும் இருபடி முழுவெண்கள், \mathbb{Q}(\sqrt{D}\,) ( என்பது வர்க்கமற்றகாரணி முழுவெண்) என்ற இருபடிக் களத்தைச் சேர்ந்தவை. இவ்வாறு எடுத்துக்கொள்ளும்போது, = ''a''&hairsp;}} \implies \mathbb{Q}(\sqrt{D}\,) = \mathbb{Q}(\sqrt{a^2D}\,) ( ஏதேனுமொரு நேர்ம முழுவெண்) என்பதால் பொதுத்தன்மை கட்டுப்படுத்தப்படுவதில்லை. :x = a+b\sqrt D, அல்லது, : = இன் மடங்காக இருக்கும்போது :x = \frac{a}{2}+\frac{b}{2}\sqrt{D}, (, இரண்டும் ஒற்றை எண்கள்) என்பதை நிறைவு செய்யும் இரு முழுவெண்கள் , "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" x \in \mathbb{Q}(\sqrt{D} ஆனது ஒரு இருபடி முழுவெண்ணாகும். மாற்றாக, ஒவ்வொரு இருபடி முழுவெண்ணையும் கீழுள்ளவாறு எழுதலாம்: :, (, முழுவெண்கள்; இன் வரையறை: \omega = \begin{cases} \sqrt{D} & \mbox{if }D \equiv 2, 3 \pmod{4} \\ \over 2} & \mbox{if }D \equiv 1 \pmod{4} \end{cases}) குறிப்பு: வர்க்கமற்ற காரணியாக எடுத்துக்கொள்ளப்படுவதால் D \equiv 0\pmod{4} ஆக இருக்காது. ஏனெனில் அவ்வாறு இருக்கும்பட்சத்தில ஆனது வர்க்க எண் 4 ஆல் வகுபடும்; அதாவது வர்க்கக்காரணியற்ற முழுவெண் அல்ல என்ற முரண்பாடு ஏற்படும்.
கேள்வி: இருபடி முழுவெண் - நெறிமமும் இணையியமும் என்பது என்ன?
பதில்: A quadratic integer in \mathbb{Q}(\sqrt{D}\,) இலுள்ள ஒரு இருபடி முழுவெண்ணைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்: :}} (, இரண்டும் முழுவெண்கள் அல்லது எனும்போது மட்டும் இரண்டும் அரை-முழுவெண்கள். இத்தகைய இருபடிமுழுவெண்ணின் "நெறிமம்" (''norm''): :&hairsp;) = ''a''2 − ''Db''2}}. ஒரு இருபடி முழுவெண்ணின் நெறிமம் எப்போதும் ஒரு முழுவெண்ணாகவே இருக்கும். எனில் இது உண்மையாகாது. இரண்டு இருபடி முழுவெண்களின் பெருக்குத்தொகையின் நெறிமமானது தனித்தனியே அவ்விரண்டின் நெறிமங்களின் பெருக்குத்தொகைக்குச் சமமாக இருக்கும். ஒவ்வொரு இருபடி முழுவெண்ணுக்கும் ஒரு இணையெண் உண்டு. }} இன் "இணையெண்" (''conjugate'') :\overline{a+b\sqrt{D}} = a-b\sqrt{D}. ஒரு இருபடி முழுவெண் மற்றும் அதன் இணையெண் ஆகிய இரண்டின் நெறிமமும் சமம்; மேலும் இந்த நெறிமமானது இருபடி முழுவெண் மற்றும் அதன் இணையெண் இரண்டின் பெருக்குத்தொகையாகவும் இருக்கும். இரு இருபடி முழுவெண்களின் கூட்டுதொகையின் (பெருக்குத்தொகை) இணையெண் அவ்விரண்டின் இணையெண்களின் கூட்டுத்தொகையாக (பெருக்குத்தொகை) இருக்கும்.
கேள்வி: இருபடி முழுவெண் - மேலதிக வாசிப்புக்கு பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: *J.S. Milne. ''[http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ANT301.pdf Algebraic Number Theory]'', Version 3.01, September 28, 2008. online lecture notes பகுப்பு:முழு எண்கள் பகுப்பு:வளையக் கோட்பாடு