கேள்வி: பிழிவுத் தேற்றம் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: File:(x^2)sin(x^(-1)).png File:Sandwich lemma.svg நுண்கணிதம் பிழிவுத் தேற்றம் (''squeeze theorem'') என்பது சார்பு எல்லை குறித்த தேற்றம். இத்தேற்றம் நுண்கணிதத்திலும் பகுவியல் (கணிதம்) பயன்படுத்தப்படுகிறது. இத்தேற்றத்தில், எல்லைமதிப்புகள் அறியப்பட்ட அல்லது எளிதில் கணக்கிடக்கூடிய இரு சார்புகளுடன் ஒப்பிட்டுத் தேவையான சார்பின் எல்லை கண்டுபிடிக்கப்படுகிறது. பை (கணித மாறிலி) இன் மதிப்பைக் கணக்கிடும்போது இத்தேற்றமானது வடிவவியலாகக் கணிதவியலாளர்கள் ஆர்க்கிமிடீஸ் மற்றும் நீடியோசின் யூடாக்சசு பயன்படுத்தப்பட்டது. இதன் தற்கால வடிவமானது கணிதவியலாளர் கார்ல் பிரீடிரிக் காஸ் வடிவமைக்கப்பட்டது.
கேள்வி: பிழிவுத் தேற்றம் - நிறுவல் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: உயர் மற்றும் தாழ் எல்லைகளை எடுத்துக்கொள்ள: :L=\lim_{x \to a} g(x)\leq\liminf_{x\to a}f(x) \leq \limsup_{x\to a}f(x)\leq \lim_{x \to a}h(x)=L, இத்தேற்றத்தை நிறுவ, \epsilon > 0 என்ற அனைத்து மெய்யெண்களுக்கும் |x - a| (x இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும்) எனில் |f(x) - L| என இருக்கக்கூடியவாறு \delta > 0 என்றவொரு மெய்யெண் இருக்கும் என்பதை நிறுவ வேண்டும். இதனையே குறியீட்டில் : \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : \forall x, |x - a | எனலாம். சார்பு எல்லையின் வரையறைப்படி, : \lim_{x \to a} g(x) = L :\lim_{x \to a} h(x) = L ஆகிய இரு முடிவுகளிலிருந்து பெறப்படுபவை: : \forall \varepsilon > 0, \exists \ \delta_1 > 0 : \forall x\ (|x - a| : \forall \varepsilon > 0, \exists \ \delta_2 > 0 : \forall x\ (|x - a | மேலும் g(x) \leq f(x) \leq h(x) . எனவே : g(x) - L\leq f(x) - L\leq h(x) - L \delta:=\min\left\{\delta_1,\delta_2\right\} எனத் தேர்வு செய்து கொள்ளலாம். இப்போது முடிவுகள் (1) , (2) இரண்டையும் பயன்படுத்திப் பெறப்படுவது: :|x - a| எனில், : - \varepsilon : - \varepsilon , எனவே தேற்றம் நிறுவப்பட்டது. \blacksquare
கேள்வி: பிழிவுத் தேற்றம் - நிறுவல் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: \sum_n a_n, \sum_n c_n இரண்டும் ஒருங்கு தொடர்கள் என்பதால் \left(\sum_{k=1}^n a_k\right)_{n=1}^{\infty}, \left(\sum_{k=1}^n c_k\right)_{n=1}^{\infty} ஆகிய இரண்டும் கோசித் தொடர்வரிசை இருக்கும். இவை கோசித் தொடர்களாக இருப்பதனால் பின்வரும் இரு முடிவுகள் கிடைக்கின்றன: : \epsilon>0 எனில், :\exists N_1\in\mathbb{N} such that \forall n>m>N_1, \left|\sum_{k=1}^na_k-\sum_{k=1}^ma_k\right| (1) :\exists N_2\in\mathbb{N} such that \forall n>m>N_2, \left|\sum_{k=1}^nc_k-\sum_{k=1}^mc_k\right| (2). மேலும் தேற்றத் தரவின்படி, :\exists N\in\mathbb{N} \forall n>N, a_n\leqslant b_n \leqslant c_n என்பதால்: \exists N_3\in\mathbb{N} such that \forall n>N_3, a_k\leqslant b_k \leqslant c_k (3). \forall n>m>\max\{N_1,N_2,N_3\} என எடுத்துக்கொண்டு (1) , (2) முடிவுகளை இணைக்கக் கிடைப்பது: a_k\leqslant b_k\leqslant c_k \Longrightarrow \sum_{k=m+1}^n a_k \leqslant \sum_{k=m+1}^n b_k \leqslant \sum_{k=m+1}^n c_k \Longrightarrow -\epsilon. இதிலிருந்து \left(\sum_{k=1}^n b_k\right)_{n=1}^{\infty} தொடரும் ஒரு கோசி தொடராக இருப்பதைக் காணலாம். எனவே \sum_n b_n ஒருங்கும் தொடராகும். எனவே தேற்றம் நிறுவப்பட்டது. \blacksquare
கேள்வி: பிழிவுத் தேற்றம் - எடுத்துக்காட்டு 1 என்பது என்ன?
பதில்: File:Inst_satsen.png : \lim_{x \to 0}x^2 \sin(\tfrac{1}{x}) \lim_{x\to 0}\sin(\tfrac{1}{x}) - இந்த எல்லைக்கு மதிப்பு கிடையாது என்பதால் எல்லைகளின பெருக்கல் விதியைப் பயன்படுத்தி (\lim_{x \to a}(f(x)\cdot g(x)) = \lim_{x \to a}f(x)\cdot \lim_{x \to a}g(x),) எடுத்துக்காட்டில் தரப்பட்டுள்ள சார்பின் எல்லையைக் காண முடியாது. எனவே பிழிவுத் தேற்றம் பயன்படுத்தப்படுகிறது. சைன் சார்பின் வரையறைப்படி, : -1 \le \sin(\tfrac{1}{x}) \le 1. : \implies -x^2 \le x^2 \sin(\tfrac{1}{x}) \le x^2 ஆனால் \lim_{x\to 0}-x^2 = \lim_{x\to 0}x^2 = 0 எனவே பிழிவுத் தேற்றத்தின்படி, :\lim_{x\to 0} x^2 \sin(\tfrac{1}{x}) = 0
கேள்வி: பிழிவுத் தேற்றம் - எடுத்துக்காட்டு 2 என்பது என்ன?
பதில்: File:Limit_sin_x_x.svg : \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} =1 ''x'' இன் மதிப்பு 0 க்கு நெருக்கமாக இருக்கும்போது கீழுள்ள சமனிலி உண்மையாக இருக்கும். : \cos x \leq \frac{\sin(x)}{x} \leq 1 Selim G. Krejn, V.N. Uschakowa: ''Vorstufe zur höheren Mathematik''. Springer, 2013, , pp. [https://books.google.de/books?id=-yXMBgAAQBAJ&pg=PA80 80-81] (German). See also Sal Khan: [https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/limits-from-equations-ab/squeeze-theorem-ab/v/proof-lim-sin-x-x ''Proof: limit of (sin x)/x at x=0''] (video, கான் அகாதமி) அருகிலுள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளதைக் கொண்டு இச்சமனிலி ''x'' இன் நேர்ம மதிப்புகளுக்கு உண்மையென்பதை எளிதாக வடிவவியல் முறையில் விளக்கலாம். அத்தோடு சமனிலியை ''x'' இன் எதிர்ம மதிப்புகளுக்கும் நீட்டிக்கலாம். : \lim_{x\to 0}\cos x \leq \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} \leq \lim_{x\to 0}1 மேலும் \lim_{x\to 0} \cos(x) = 1 என்பதால், : 1 \leq \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} \leq 1 \implies \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1