கேள்வி: சுற்றுக்கோளம் - இருப்பும் உகமமும் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ஒரு பன்முகிக்கு சுற்றுக்கோளம் இருக்குமானால் அது அப் பன்முகியினை உள்ளடக்கிய மிகச்சிறிய கோளமாக இருக்க வேண்டுமென்பதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, கனசதுரத்தின் ஒரு உச்சியையும் அதன் அண்மை உச்சிகள் மூன்றையும் கொண்டு உருவாக்கப்படும் நான்முக முக்கோணகம் சுற்றுக்கோளமும் மூலக் கனதுரத்தின் சுற்றுக்கோளமாக ஒன்றாக இருக்கும். ஆனால் மூன்று அண்மை உச்சிகளை தன் நடுக்கோட்டின் மீது கொண்ட, மேற்படி சுற்றுக்கோளத்தைவிடச் சிறியதொரு கோளத்துக்குள் அந்த நான்முகி உள்ளடங்கி அமையும். எந்தவொரு பன்முகிக்கும், அதனை உள்ளடக்கும் மிகச்சிறிய கோளமானது, அப்பன்முகியின் உச்சிகளின் ஒரு உட்கணத்தின் குவிமேலோட்டின் (convex hull) சுற்றுக்கோளமாக இருக்கும்.. ரெனே டேக்கார்ட் (''De solidorum elementis'', circa 1630)சுற்றுக்கோளமுடைய ஒரு பன்முகியின் எல்லா முகங்களுக்கும் சுற்று வட்டங்கள் இருக்குமென்று கண்டறிந்தார். இந்த சுற்று வட்டங்கள் அந்தந்த முகங்களின் தளங்கள், பன்முகியின் சுற்றுக்கோளத்தைச் சந்திக்கும் வட்டங்களாகும். மேலும் அவர் ஒரு பன்முகிக்குச் சுற்றுக்கோளமொன்று இருப்பதற்குத் தேவையான கட்டுப்பாடாக உள்ள இக்கூற்று போதுமானதுமான கட்டுப்பாடாகவும் இருக்கும் என்றும் கருதினார். அதாவது ஒரு பன்முகியின் எல்லா முகங்களுக்கும் சுற்று வட்டங்கள் இருந்தால் அப்பன்முகிக்குச் சுற்றுக்கோளமும் இருக்கும் என்பது அவரது கருத்து. ஆனால் அது சரியான கூற்று இல்லை. எடுத்துக்காட்டாக, இதனை இருபட்டைக்கூம்பு கொண்டு அறியலாம். ஒரு இருபட்டைக்கூம்பின் எல்லா முகங்களுக்கும் (முக்கோணங்கள்) சுற்று வட்டங்கள் இருக்கலாம். ஆனால் இருபட்டைக் கூம்பிற்கு சுற்றுக்கோளம் கிடையாது. எனினும் ரெனே டெக்கார்ட்டின் கருத்து ஒரு எளிய பன்முகிக்குப் பொருந்தும். அதாவது, ஒரு எளிய பன்முகியின் எல்லாப் பக்கங்களுக்கும் சுற்று வட்டங்கள் இருக்குமானால் அப்பன்முகிக்குச் சுற்றுக்கோளமும் இருக்கும்.
கேள்வி: சுற்றுக்கோளம் - சுறுக்கோளத்தின் மீதமையும் புள்ளி குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ஒழுங்கு பன்முகத்திண்மம் பிளேட்டோவின் சீர்திண்மங்கள் ஐந்திற்கும் ஒவ்வொரு சுற்றுக்கோளம் உண்டு. ஒரு பிளேட்டோவின் சீர்திண்மத்தின் மீதுள்ள ஏதாவது ஒரு புள்ளி M மற்றும் அந்தச் சீர்திண்மத்தின் உச்சிகளின் எண்ணிக்கை n, அப்புள்ளிக்கும் பன்முகியின் உச்சிகள் A_i ஆகியவற்றுக்கு இடைப்பட்ட தூரங்கள் MA_i எனில், :4(MA_1^{2}+MA_2^{2}+...+MA_n^{2})^2=3n(MA_1^{4}+MA_2^{4}+...+MA_n^{4}).
கேள்வி: சுற்றுக்கோளம் - வெளியிணைப்புகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: * பகுப்பு:கோளங்கள் பகுப்பு:பன்முகத்திண்மங்கள்