கேள்வி: பகுமுறைச் சார்பு என்பது என்ன?
பதில்: கணிதம், ஒரு பகுமுறைச் சார்பு என்பது ஒருங்கும் அடுக்குத் தொடர் (கணிதம்)வுள்ள சார்பு ஆகும். மெய்யெண் பகுமுறைச் சார்புகளும் சிக்கலெண் பகுமுறைச் சார்புகளும் உள்ளன. இவ்விரு வகையான பகுமுறைச் சார்புகளும் முடிவிலாமுறைகள் வகையிடத்தத் தக்கவை. மெய்யெண் பகுமுறைச் சார்புகளுக்கு இல்லாத பண்புகள் சிக்கலெண் பகுமுறைச் சார்புகளுக்கு உண்டு. ஒரு சார்பின் x_0 இல் அமையும் அதன் டெய்லர் தொடர், சார்பின் ஆட்களத்திலுள்ள ஒவ்வொரு x_0 இன் அண்மையகங்களில் அச்சார்பாக ஒருங்கினால், ஒருங்கினால் மட்டுமே அச்சார்பானது பகுமுறைச் சார்பாக இருக்கும்.
கேள்வி: பகுமுறைச் சார்பு - வரையறைகள் என்பது என்ன?
பதில்: மெய்யெண் கோட்டிலமைந்த ஒரு திறந்த கணம் D இலுள்ள ஏதேனுமொரு x_0\in D இல் சார்பு f பகுமுறைச் சார்பாக இருந்தால் கீழுள்ளவாறு எழுதலாம்: : f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_{n} \left( x-x_0 \right)^{n} = a_0 + a_1 (x-x_0) + a_2 (x-x_0)^2 + a_3 (x-x_0)^3 + \cdots இதில் குணகங்கள் a_0, a_1, \dots மெய்யெண்கள்; மேலும் x_0 இன் அண்மையகத்திலுள்ள x க்கு தொடர் (கணிதம்) f(x) ஆக ஒருங்கும். ஒரு மெய்யெண் பகுமுறைச் சார்பை அதன் ஆட்களத்திலுள்ள எந்தவொரு x_0 புள்ளியிலும் சார்பின் டெய்லர் தொடர் ( T(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^{n}), x_0 இன் அண்மையகத்தில் புள்ளிவாரியாக f(x) ஆக ஒருங்குகின்ற சார்பாகக் கூறலாம். கொடுக்கப்பட்ட ஒரு கணம் D இன் மீதான அனைத்து மெய்யெண் பகுமுறைச் சார்புகளின் கணத்தின் குறியீடு, \mathcal{C}^{\,\omega}(D). மெய்யெண் கோட்டின் ஒரு உட்கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட சார்பு f ஆனது பகுமுறைச் சார்பாக அமையுமொரு x இன் அண்மையகம் இருக்குமால், x புள்ளியில் f ஆனது பகுமுறைச் சார்பாகும். சிக்கலெண் பகுமுறைச் சார்பின் வரையறையானது மெய்யெண் பகுமுறைச் சார்பின் வரையறையில் "மெய்யெண்" என்பதை "சிக்கலெண்" என்றும் "மெய்யெண் கோடு" என்பதை "சிக்கலெண் தளம்" என்றும் பதிலிட்டுப் பெறப்படுகிறது. ஒரு சார்பானது முற்றுருவச் சார்பியம் "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" அது சிக்கலெண் பகுமுறைச் சார்பாக இருக்கும். இதனால் இச்சார்புகளைக் குறிப்பிடும்போது "முற்றுருவச் சார்பியம்", "சிக்கலெண் பகுமுறைச் சார்பியம்" என்ற சொற்கள் ஒன்றுக்கொன்று மாற்றிப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
கேள்வி: பகுமுறைச் சார்பு - எடுத்துக்காட்டுகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: பகுமுறைச் சார்புகளுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்: * அடிப்படை சார்புகள் ** அனைத்து பல்லுறுப்புக்கோவை **படிக்குறிச் சார்பு முக்கோணவியல் சார்புகள், மடக்கை மற்றும் அடுக்கேற்றம் * சிறப்புச் சார்புகள் ** காமா சார்பியம் * பகுமுறைச் சார்புகள் அல்லாதவை: ** தனி மதிப்பு 0 இல் வகையிடத்தக்கதல்ல; எனவே மெய்யெண் அல்லது சிக்கலெண் கணத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட தனிமதிப்புச் சார்பானது எல்லாப் புள்ளிகளிலும் பகுமுறைச் சார்பாக இருக்காது. ** துண்டுவாரிச் சார்பு, துண்டுகள் சந்திக்கும் இடங்களில் பகுமுறைச் சார்பாக அமையாது ** இணைச் சிக்கலெண் சார்பு ''z''&nbsp;&#x2192; ''z'' * சிக்கலெண் பகுமுறைச் சார்பல்ல. எனினும் இச்சார்பின் ஆட்களத்தை மெய்யெண் கோடாகக் கொண்டால் இச் சார்பு முற்றொருமைச் சார்பாக இருக்கும். இந்நிலையில் சார்பானது மெய்யெண் பகுமுறைச் சார்பாக (\mathbb{R}^{2} ----> \mathbb{R}^{2}) இருக்கும்.