கேள்வி: வண்ணத்துப்பூச்சித் தேற்றம் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: File:Butterfly theorem.svg யூக்ளீட் வடிவியல் முக்கிய முடிவான வண்ணத்துப்பூச்சித் தேற்றத்தின் (''butterfly theorem'') கூற்று:Johnson, Roger A., ''Advanced Euclidean Geometry'', Dover Publ., 2007 (orig. 1929). :ஒரு வட்டம் நாண் (வடிவவியல்) இன் நடுப்புள்ளி ; இந்த நடுப்புள்ளிவழியே வட்டத்திற்கு மேலும் இரு நாண்கள் , வரையப்படுகின்றன; , இரண்டும் நாண் ஐ வெட்டும் புள்ளிகள் முறையே , எனில், இன் நடுப்புள்ளி ஆக இருக்கும். .
கேள்வி: வண்ணத்துப்பூச்சித் தேற்றம் - நிறுவல் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: File:Butterfly1.svg புள்ளியிலிருந்து , கோடுகளுக்கு வரையப்பட்ட செங்குத்துக்கோடுகள் முறையே , ; புல்ளியிலிருந்து , கோடுகளுக்கு வரையப்படும் செங்குத்துக்கோடுகள் முறையே , . வடிவொப்புமை (வடிவவியல்) பண்பின்படி: :: \triangle MXX' \sim \triangle MYY' \implies {MX \over MY} = {XX' \over YY'}, :: \triangle MXX'' \sim \triangle MYY'' \implies {MX \over MY} = {XX'' \over YY''}, :: \triangle AXX' \sim \triangle CYY'' \implies {XX' \over YY''} = {AX \over CY}, :: \triangle DXX'' \sim \triangle BYY' \implies {XX'' \over YY'} = {DX \over BY}. மேலுள்ள நான்கு முடிவுகள் மற்றும் வெட்டும் நாண்கள் தேற்றம்: : \left({MX \over MY}\right)^2 = {XX' \over YY' } {XX'' \over YY''}, : {} = {AX \cdot DX \over CY \cdot BY}, : {} = {PX \cdot QX \over PY \cdot QY}, : {} = {(PM-XM) \cdot (MQ+XM) \over (PM+MY) \cdot (QM-MY)}, : {} = { (PM)^2 - (MX)^2 \over (PM)^2 - (MY)^2}, ( ''MQ''}}). : { (MX)^2 \over (MY)^2} = {(PM)^2 - (MX)^2 \over (PM)^2 - (MY)^2}. குறுக்குப் பெருக்கல் செய்ய: : {(MX)^2 \cdot (PM)^2 - (MX)^2 \cdot (MY)^2} = {(MY)^2 \cdot (PM)^2 - (MX)^2 \cdot (MY)^2} . இருபுறமுமுள்ள பொது உறுப்பான { -(MX)^2 \cdot (MY)^2} ஐ நீக்க: : {(MX)^2 \cdot (PM)^2} = {(MY)^2 \cdot (PM)^2}, MX, MY, PM மூன்றும் நேர்ம மெய்யெண்கள் என்பதால்: : ''MY''}} அதாவது , இன் நடுப்புள்ளி. வீழ்ப்பு வடிவவியலைப் பயன்படுத்தும் ஒரு நிறுவல்[http://www.imomath.com/index.php?options=628&lmm=0], problem 8. உள்ளிட்ட வேறு நிறுவல்களும் இத்தேற்றத்துக்கு உள்ளன.Martin Celli, "A Proof of the Butterfly Theorem Using the Similarity Factor of the Two Wings", ''Forum Geometricorum'' 16, 2016, 337–338. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201641.pdf
கேள்வி: வண்ணத்துப்பூச்சித் தேற்றம் - வரலாறு பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: 1803 ஆம் ஆண்டில் வண்ணத்துப்பூச்சித் தேற்றத்தின் நிறுவல் அறியப்படவேண்டும் என கணிதவியலாளர் வில்லியம் வாலசு கூறினார். 1804 இல் மூன்று நிறுவல்கள் வெளியிடப்பட்டன. 1805 இல் கணிதவியலாளர் வில்லியம் எர்செல், வில்லியம் வாலசுக்கு எழுதிய கடிதத்தில் இத்தேர்றத்தின் நிறுவலைக் காணவேண்டுமெனக் கூறினார். 1814 ஆம் ஆண்டில் மீண்டும் இதே கோரிக்கை ரெவரன்சு. தாமசு இசுக்கர் (Rev. Thomas Scurr) என்பவரால் எழுப்பப்பட்டது.[http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/WallaceButterfly.shtml William Wallace's 1803 Statement of the Butterfly Theorem], cut-the-knot, retrieved 2015-05-07.
கேள்வி: வண்ணத்துப்பூச்சித் தேற்றம் - வெளியிணைப்புகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: * [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Butterfly.shtml The Butterfly Theorem] at cut-the-knot * [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/BetterButterfly.shtml A Better Butterfly Theorem] at cut-the-knot * [http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=3613 Proof of Butterfly Theorem] at PlanetMath * [http://demonstrations.wolfram.com/TheButterflyTheorem/ The Butterfly Theorem] by Jay Warendorff, the Wolfram Demonstrations Project. * பகுப்பு:வட்டங்கள் பற்றிய தேற்றங்கள்