கேள்வி: இரு வர்க்கங்களின் வித்தியாசம் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: கணிதம், இரு வர்க்கங்களின் வித்தியாசம் (''difference of two squares'') என்பது ஒரு எண்ணின் வர்க்கம் (இயற்கணிதம்) மற்றொரு எண்ணின் வர்க்கத்தைக் கழித்துப் பெறப்படுவதாகும். அடிப்படை இயற்கணிதம், :a^2-b^2 = (a+b)(a-b) என்ற முற்றொருமை (கணிதம்) கொண்டு இரு வர்க்க எண்ணிகளின் வித்தியாசங்களைக் காரணிப்படுத்தலாம்.
கேள்வி: இரு வர்க்கங்களின் வித்தியாசம் - நிறுவல் என்பது என்ன?
பதில்: இந்த முர்றொருமையை நேரிடையாக கணித நிறுவல்: இடப்பக்கமுள்ள காரணிகளைப் பங்கீட்டுப் பண்பு கொண்டு விரிக்க: :(a+b)(a-b) = a^2+ba-ab-b^2 :(a+b)(a-b) = a^2+ba-ab-b^2 பரிமாற்றுத்தன்மை: :ba - ab = 0 எனவே: :(a+b)(a-b) = a^2-b^2 கணிதத்தில் இம்முற்றொருமை பெரும் பயன்பாடு கொண்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, இரு மாறிகொண்ட கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனின்மையின் நிறுவலுக்கு இது பயன்படுகிறது. இம்முற்றொருமையின் நிறுவல் எந்தவொரு பரிமாற்று வளையம் உண்மையாக அமையும். மறுதலையாக இந்த முற்றொருமை உண்மையாக அமையும் எந்தவொரு வளையம் (கணிதம்) பரிமாற்று வளையமாக இருக்கும். இம்முற்றொருமை உண்மையாகும் ''R'' என்ற வளையத்தின் ஏதேனும் இரு உறுப்புகள் ''a'' ''b'' எனில்: :(a+b)(a-b) = a^2-b^2 (இடப்புறத்தைப் பங்கீட்டுப் பண்பின்படி விரிக்க) :a^2 + ba - ab - b^2 = a^2 - b^2. :ba - ab = 0 :ba = ab எனவே ''R'' ஒரு பரிமாற்று வளையம்.
கேள்வி: இரு வர்க்கங்களின் வித்தியாசம் - வடிவவியல் நிறுவலுக்கான விளக்கப்படங்கள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: விளக்கப்படம் 1: Image:Difference of two squares.svg விளக்கப்படம் 2: Image:Difference of two squares geometric proof.png
கேள்வி: இரு வர்க்கங்களின் வித்தியாசம் - பல்லுறுப்புக்கோவைகளைக் காரணிப்படுத்தலும் கோவைகளைச் சுருக்கலும் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: பல்லுறுப்புக்கோவைகளைக் காரணிப்படுத்த இந்த முற்றொருமையைப் பயன்படுத்தலாம். எடுத்துக்காட்டுகள்: :x^4 - 1 = (x^2 + 1)(x^2 - 1) = (x^2 + 1)(x + 1)(x - 1) :x^2 - y^2 + x - y (x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) எனக் காரணிப்படுத்த) :x^2 - y^2 + x - y = (x + y)(x - y) + x - y = (x - y)(x + y + 1) கோவைகளைச் சுருக்கி எளியவடிவிற்கு மாற்றுவதற்கும் இம்முடிவு பயன்படுகிறது: எடுத்துக்காட்டு: :(a+b)^2-(a-b)^2=(a+b+a-b)(a+b-a+b)=(2a)(2b)=4ab
கேள்வி: இரு வர்க்கங்களின் வித்தியாசம் - சிக்கலெண்கள்: இரு வர்க்கங்களின் கூடுதல் என்பது என்ன?
பதில்: இரு வர்க்கங்களின் கூடுதலாக உள்ள கோவையைக் காரணிப்படுத்த சிக்கலெண்கள் கெழுக்களின் உதவியோடு இரு வர்க்கங்களின் வித்தியாசத்தின் முற்றொருமை பயன்படுத்தப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டு: :z^2 + 4 : = z^2 - i^2 \cdot 4 (i^2 = -1) : = z^2 - (2 i)^2 : = (z + 2 i)(z - 2 i) எனவே z^2 + 4 இன் காரணிகள்: (z + 2 i), (z - 2 i). இக்காரணிகள் ஒன்றுக்கொன்று இணைச் சிக்கலெண்களாக இருப்பதால் இரு சிக்கலெண்களின் பெருக்கற்பலனை மெய்யெண்ணாகப் பெறுவதற்கும், சிக்கலெண் பின்னங்களின் பகுதியை மெய்யெண்ணாக மாற்றவும் பயன்படுகிறது.[http://www.themathpage.com/alg/complex-numbers.htm#conjugates Complex or imaginary numbers] TheMathPage.com, retrieved 22 December 2011
கேள்வி: இரு வர்க்கங்களின் வித்தியாசம் - பின்னத்தின் பகுதியை விகிதமுறு எண்ணாக்கல் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: விகிதமுறா எண் பின்னம் பகுதியை விகிதமுறு எண்ணாக மாற்ற இம்முற்றொருமை பயன்படுகிறது.[http://www.themathpage.com/alg/multiply-radicals.htm Multiplying Radicals] TheMathPage.com, retrieved 22 December 2011 எடுத்துக்காட்டு: :\dfrac{5}{\sqrt{3} + 4} இன் பகுதியை விகிதமுறு எண்ணாக மாற்றல்: :\dfrac{5}{\sqrt{3} + 4} : = \dfrac{5}{\sqrt{3} + 4} \times \dfrac{\sqrt{3} - 4}{\sqrt{3} - 4} : = \dfrac{5(\sqrt{3} - 4)}{(\sqrt{3} + 4)(\sqrt{3} - 4)} : = \dfrac{5(\sqrt{3} - 4)}{\sqrt{3}^2 - 4^2} : = \dfrac{5(\sqrt{3} - 4)}{3 - 16} : = -\dfrac{5(\sqrt{3} - 4)}{13}. இந்த எடுத்துக்காட்டில் \sqrt{3} + 4 என்ற விகிதமுறா பகுதியானது 13 எனும் விகிதமுறு பகுதியாக மாற்றப்பட்டுள்ளது.
கேள்வி: இரு வர்க்கங்களின் வித்தியாசம் - இரு தொடர் வர்க்க எண்களின் வித்தியாசம் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: இரு தொடர் வர்க்கம் (கணிதம்) வித்தியாசமானது அவ்வர்க்க எண்களின் அடிமான எண்களான ''n'' ,''n''+1 ஆகிய இரு எண்களின் கூடுதலாக இருக்கும். : \begin{array}{lcl} (n+1)^2 - n^2 & = & ((n+1)+n)((n+1)-n) \\ & = & 2n+1 \end{array} 2n+1 ஒரு ஒற்றையெண். இதனால் இரு தொடர் வர்க்க எண்களின் கூடுதல் ஒரு ஒற்றையெண் என்பதை அறியலாம். எவையேனும் இரு முழுவர்க்க எண்களின் கூடுதல்: : \begin{array}{lcl} (n+k)^2 - n^2 & = & ((n+k)+n)((n+k)-n) \\ & = & k(2n+k) \end{array} இதிலிருந்து இரு இரட்டை வர்க்க எண்களின் வித்தியாசம் 4 இன் மடங்காகவும் இரு ஒற்றை வர்க்க எண்களின் கூடுதல் 8 இன் மடங்காகவும் அமையும் என்பதைக் காணலாம். எடுத்துக்காட்டுகள்: : \begin{array}{lcl} (12)^2 - 10^2 & = & (12+10)(12-10) \\ & = & 22(2)\\ & = & 44 \end{array} : \begin{array}{lcl} (11)^2 - 7^2 & = & (11+7)(11-7) \\ & = & 18(4)\\ & = & 72 \end{array}
கேள்வி: இரு வர்க்கங்களின் வித்தியாசம் - வரலாறு பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: பழங்காலத்தில் பாபிலோனியர்கள் இரு வர்க்க எண்களின் வித்தியாசத்தை பெருக்கல் செயல்களில் பயன்படுத்தியுள்ளனர். https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Babylonian_mathematics/ எடுத்துக்காட்டாக: :93 x 87 = 90² - 3² = 8100 - 9 = 8091 :64 x 56 = 60² - 4² = 3600 - 16 = 3584