கேள்வி: கேய்சியின் தேற்றம் - தேற்றத்தின் கூற்று குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: File:Casey new1a.svg \,O வட்டத்தின் ஆரம் \,R; \,O_1, O_2, O_3, O_4 (இதே வரிசையில்) என்பவை ஒன்றுக்கொன்று வெட்டிக்கொள்ளாத, \,O வட்டத்துக்குள் அதனைத் தொட்டவாறு உள்ள நான்கு வட்டங்கள்; \,O_i, O_j வட்டங்களின் பொது வெளித்தொடுகோட்டின் நீளம் \,t_{ij} எனில்: :\,t_{12} \cdot t_{34}+t_{14} \cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}. இதன் சிதைவுவகையில் நான்கு வட்டங்களும் புள்ளிகாகக் மாறுவதால் தேற்றமும் தொலெமியின் தேற்றம் விடும்.
கேள்வி: கேய்சியின் தேற்றம் - நிறுவல் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: கேய்சியின் தேற்றம் சக்காரியசு என்பவரால் நிறுவப்பட்டது. \,O_i என்ற வட்டத்தின் ஆரம் \,R_i; அது \,O வட்டத்தைத் தொடும் புள்ளி \,K_i ஆகும். வட்டங்களின் மையங்களையும் \,O, O_i புள்ளிகளால் குறித்துக் கொள்ளலாம். பித்தேகோரசு தேற்றம்: :\,t_{ij}^2=\overline{O_iO_j}^2-(R_i-R_j)^2. இந்நீளத்தை \,K_i,K_j புள்ளிகளைப் பயன்படுத்தி மாற்றுவதற்கு, \,O_iOO_j முக்கோணம் கோசைன் விதியைப் பயன்படுத்த: :\overline{O_iO_j}^2=\overline{OO_i}^2+\overline{OO_j}^2-2\overline{OO_i}\cdot \overline{OO_j}\cdot \cos\angle O_iOO_j \,O,O_i வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று தொடுவதால்: :\overline{OO_i} = R - R_i,\, \angle O_iOO_j = \angle K_iOK_j \,C என்பது \,O வட்டத்தின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியெனில், \,K_iCK_j முக்கோணத்தில் சைன் விதியைப் பயன்படுத்த: :\overline{K_iK_j} = 2R\cdot \sin\angle K_iCK_j = 2R\cdot \sin\frac{\angle K_iOK_j}{2} எனவே, :\cos\angle K_iOK_j = 1-2\sin^2\frac{\angle K_iOK_j}{2}=1-2\cdot \left(\frac{\overline{K_iK_j}}{2R}\right)^2 = 1 - \frac{\overline{K_iK_j}^2}{2R^2} இவற்றை மேலுள்ள வாய்பாட்டில் பயன்படுத்த: :\overline{O_iO_j}^2=(R-R_i)^2+(R-R_j)^2-2(R-R_i)(R-R_j)\left(1-\frac{\overline{K_iK_j}^2}{2R^2}\right) :\overline{O_iO_j}^2=(R-R_i)^2+(R-R_j)^2-2(R-R_i)(R-R_j)+(R-R_i)(R-R_j)\cdot \frac{\overline{K_iK_j}^2}{R^2} :\overline{O_iO_j}^2=((R-R_i)-(R-R_j))^2+(R-R_i)(R-R_j)\cdot \frac{\overline{K_iK_j}^2}{R^2} இறுதியாகத் தொடுகோட்டின் நீளம்: :t_{ij}=\sqrt{\overline{O_iO_j}^2-(R_i-R_j)^2}=\frac{\sqrt{R-R_i}\cdot \sqrt{R-R_j}\cdot \overline{K_iK_j}}{R} இடப்பக்கத்திற்கு, \,K_1K_2K_3K_4 நாற்கரம் தொலெமியின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த: : \begin{align} & t_{12}t_{34}+t_{14}t_{23} \\[4pt] = {} & \frac{1}{R^2}\cdot \sqrt{R-R_1}\sqrt{R-R_2}\sqrt{R-R_3}\sqrt{R-R_4} \left(\overline{K_1K_2} \cdot \overline{K_3K_4}+\overline{K_1K_4}\cdot \overline{K_2K_3}\right) \\[4pt] = {} & \frac{1}{R^2}\cdot \sqrt{R-R_1}\sqrt{R-R_2}\sqrt{R-R_3}\sqrt{R-R_4}\left(\overline{K_1K_3}\cdot \overline{K_2K_4}\right) \\[4pt] = {} & t_{13}t_{24} \end{align}
கேள்வி: கேய்சியின் தேற்றம் - மேலதிகப் பொதுமைப்படுத்தல் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: நான்கு சிறு வட்டங்களும் பெரிய வட்டத்தினுள் மட்டுமே அமையவேண்டியதில்லை. வெளிப்புறமாகத் தட்டவாறும் அமையலாம்:: \,O_i, O_j இரண்டும் \,O வட்டத்தின் ஒரே பக்கமாக (இரண்டும் உட்பக்கம் அல்லது இரண்டும் வெளிப்பக்கம்) அமையும்போது, \,t_{ij} ஆனது பொது வெளித்தொடுக்கோட்டின் நீளமாக இருக்கும். \,O_i, O_j இரண்டும் \,O வட்டத்தின் வெவ்வேறு பக்கத்தில் (இரண்டும் உட்பக்கம் அல்லது இரண்டும் வெளிப்பக்கம்) அமையும்போது, \,t_{ij} ஆனது பொது உட்தொடுக்கோட்டின் நீளமாக இருக்கும்.. கேய்சியின் தேற்றத்தின் மறுதலையும் உண்மையாகும். அதாவது: :\,t_{12} \cdot t_{34}+t_{14} \cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}. உண்மையானால், நான்கு வட்டங்களும் ஒரு பொது வட்டத்தைத் தொடும்.