கேள்வி: இருமப் பன்முகி என்பது என்ன?
பதில்: File:Polyhedron pair 6-8.png இருமம் ஒரு எண்முகியாகும்.]] வடிவவியல் ஒவ்வொரு பன்முகத்திண்மம் ஒரு இரும வடிவம் உண்டு. இருமப் பன்முகத்திண்மங்கள் அல்லது இருமப் பன்முகிகள் (''dual polyhedron'', பன்மை: ''dual polyhedra'') இரண்டில் ஒன்றன் உச்சி (வடிவவியல்) ஒத்தவையாக மற்றதன் முகம் (வடிவவியல்) இருக்கும். மேலும் ஒன்றன் உச்சிகளின் சோடிகளை இணைக்கும் விளிம்புகளுக்கு ஒத்ததாக மற்றதன் முகங்களின் சோடிகளுக்கு இடையிலுள்ள விளிம்புகள் இருக்கும்., "Basic notions about stellation and duality", p.&nbsp;1. இரும வடிவங்கள் கருத்தியலானவை; எல்லா இருமங்களும் வடிவவியல் பன்முகிகளாக இருப்பதில்லை. ஒரு பன்முகியின் இருமத்தின் இருமம் அதே பன்முகியாக இருக்கும். இருமத்தன்மை ஒரு பன்முகியின் சமச்சீர்மையைப் பாதுகாக்கும். இதனால் ஒரு குறிப்பிட்ட சமச்சீர்மை தொகுதியிலுள்ள பன்முகிகளின் இருமங்கள் அதே சமச்சீர்மை தொகுதியைச் சேர்ந்ததாகவே இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக ஒழுங்கு பன்முகிகளான பிளேட்டோவின் சீர்திண்மங்கள் கெப்ளர்-பாயின்சாட்டு சீர்திண்மங்களும் இருமங்களாக இருக்கும். ஒழுங்கு நான்முக முக்கோணகம், தனக்குத்தானே இருமம் (தன்-இருமம்) ஆகும். சில ஒழுங்குப் பன்முகிகளின் இருமங்கள் கீழே தரப்பட்டுள்ளன: * நான்முக முக்கோணகம் தன்-இருமம் கொண்டது. அதாவது தனக்குத்தானே இருமமாக இருக்கும். * கனசதுரம் எண்முகியும் ஒன்றுக்கொன்று இருமங்கள். * இருபதுமுக முக்கோணகம் பன்னிரண்டுமுக ஐங்கோணகம் ஒன்றுக்கொன்று இருமங்கள். * சிறு நாள்மீன் பன்னிருமுகியும் பெரு பன்னிருமுகியும் ஒன்றுக்கொன்று இருமங்கள் * பெரு நாள்மீன் பன்னிருமுகியும் பெரு இருபதுமுகியும் ஒன்றுக்கொன்று இருமங்கள். ஒரு பன்முகியின் இசுலாபிலிக் குறியீடு {n, m} எனில், அதன் இருமப் பன்முகியின் இசுலாபிலிக் குறியீடு {m, n}.
கேள்வி: இருமப் பன்முகி - வெளியிணைப்புகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: * * * பகுப்பு:பன்முகத்திண்மங்கள்