கேள்வி: மோர்லியின் முச்சமவெட்டித் தேற்றம் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: File:Morley triangle.svg யூக்ளீட் வடிவியல் எந்தவொரு முக்கோணத்தின் அடுத்தடுத்தமையும் கோண முச்சமவெட்டிகள் வெட்டிக்கொள்ளும் மூன்று புள்ளிகள், ஒரு சமபக்க முக்கோணி அமைக்கும் என்று மோர்லியின் முச்சமவெட்டித் தேற்றம் (''Morley's trisector theorem'') கூறுகிறது. அச்சமபக்க முக்கோணமானது "மோர்லி முக்கோணம்" என அழைக்கப்படுகிறது. இத் தேற்றம் 1899 ஆம் ஆண்டில் ஆங்கிலோ- அமெரிக்கக் கணிதவியலாளரான பிராங்க் மோர்லியால் கண்டறியப்பட்டது. எல்லா முச்சமவெட்டிகளும் வெட்டிக்கொண்டால் மேலும் நான்கு சமபக்க முக்கோணங்கள் கிடைக்கும்.
கேள்வி: மோர்லியின் முச்சமவெட்டித் தேற்றம் - எளிய நிறுவல் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: முக்கோணவியல் முற்றொருமையைப் பயன்படுத்தி மோர்லியின் தேற்ற நிறுவல்: *பயன்படுத்தப்படும் முக்கோணவியல் முற்றொருமை: }} ::\sin(3\theta)=-4\sin^3\theta+3\sin\theta. :முக்கோணம் ABC இன் பக்கம் \overline{BC} இன் மீது படத்தில் காட்டியுள்ளபடி புள்ளிகள் D, E, F வரையப்படுகின்றன. :3\alpha+3\beta+3\gamma=180^\circ (ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் கூடுதல்), :\implies\alpha+\beta+\gamma=60^\circ. \triangle XEF முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்கள்: :\angle{EXF} = \alpha, :\angle{XEF} = (60^\circ+\beta), :\angle{XFE} = (60^\circ+\gamma). \triangle XEF இல் சைன் சார்பின் வரையறைப்படி, *{\overline{XE}}|}} *{\overline{XF}}.|}} மேலும், \triangle AYC, \triangle AZB ஆகிய இரு முக்கோணங்களின் கோணங்கள் \angle{AYC}=180^\circ-(\alpha+\gamma)=180^\circ-(60^\circ-\beta)=120^\circ+\beta மற்றும் {{NumBlk|::|\angle{AZB}=120^\circ+\gamma.|}} \triangle AYC இல் சைன் விதியைப் பயன்படுத்த: :\frac{\overline{AC}}{\sin(120^\circ+\beta)} = \frac{\overline{AY}}{\sin\gamma} {\overline{AY}}\sin\gamma|}} \triangle AZB இல் சைன் விதியைப் பயன்படுத்த: :\frac{\overline{AB}}{\sin(120^\circ+\gamma)} = \frac{\overline{AZ}}{\sin\beta}. :{\overline{AZ}}\sin\beta.|}} ABC முக்கோணத்தின் குத்துயரம் h இன் மதிப்பை இருவழிகளில் காண: ::h=\overline{AB} \sin(3\beta)=\overline{AB}\cdot 4\sin\beta\sin(60^\circ+\beta)\sin(120^\circ+\beta) ::h=\overline{AC} \sin(3\gamma)=\overline{AC}\cdot 4\sin\gamma\sin(60^\circ+\gamma)\sin(120^\circ+\gamma). \beta உள்ள சமன்பாட்டில் (2), (5) முடிவுகளையும் \gamma உள்ளதில் (3), (6) முடிவுகளையும் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது: ::h=4\overline{AB}\sin\beta\cdot\frac{\overline{DX}}{\overline{XE}}\cdot\frac{\overline{AC}}{\overline{AY}}\sin\gamma ::h=4\overline{AC}\sin\gamma\cdot\frac{\overline{DX}}{\overline{XF}}\cdot\frac{\overline{AB}}{\overline{AZ}}\sin\beta h இன் இருவிதமான மதிப்புகளையும் சமப்படுத்த: ::\overline{XE}\cdot\overline{AY}=\overline{XF}\cdot\overline{AZ} (அல்லது) ::\frac{\overline{XE}}{\overline{XF}}=\frac{\overline{AZ}}{\overline{AY}}. எனவே, :\triangle XEF \sim\triangle AZY (வடிவொப்புமை (வடிவவியல்)) வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பண்பின்படி, அவற்றின் ஒத்த கோணங்கள் சமம். :\angle{AYZ} = \angle{XFE} = (60^\circ+\gamma) :\angle{AZY} = \angle{XEF} = (60^\circ+\beta). :\angle{BXZ} = \angle{CYX} = (60^\circ+\alpha) படத்திலிருந்து ::\angle{AZY}+\angle{AZB}+\angle{BZX}+\angle{XZY}=360^\circ எனக் காணலாம். இதில் தெரிந்த கோணங்களின் மதிப்புகளைப் பதிலிட்டுச் சுருக்க: ::(60^\circ+\beta)+(120^\circ+\gamma)+(60^\circ+\alpha)+\angle{XZY}=360^\circ ::\implies\angle{XZY}=60^\circ. இதேபோல \triangle XYZ இன் மற்ற இரு கோணங்களும் 60^\circ. எனக் காண முடியும். எனவே \triangle XYZ ஒரு சமபக்க முக்கோணம். தேற்றம் நிறுவப்பட்டது.
கேள்வி: மோர்லியின் முச்சமவெட்டித் தேற்றம் - பக்கமும் பரப்பளவும் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: முதல் மோர்லி முக்கோணத்தின் பக்க நீளம்: :a^\prime=b^\prime=c^\prime=8R\sin(A/3)\sin(B/3)\sin(C/3), \, இதில் ''R'' என்பது மூல முக்கோணம் ''ABC'' இன் சூழ்தொடு வட்டம். பரப்பளவு: ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் பரப்பளவுக்கான வாய்பாடு: :\text{A} = \tfrac{\sqrt{3}}{4}a'^2, இதில் மோர்லியின் பக்க நீளத்தைப் பதிலிட்டுச் சுருக்கக் கிடைப்பது: :\text{A} = 16 \sqrt{3}R^2\sin^2(A/3)\sin^2(B/3)\sin^2(C/3).
கேள்வி: மோர்லியின் முச்சமவெட்டித் தேற்றம் - வெளியிணைப்புகள் என்பது என்ன?
பதில்: * [http://mathworld.wolfram.com/MorleysTheorem.html Morleys Theorem] at MathWorld * [http://www.mathpages.com/home/kmath376/kmath376.htm Morley's Trisection Theorem] at MathPages * [http://demonstrations.wolfram.com/MorleysTheorem/ Morley's Theorem] by Oleksandr Pavlyk, The Wolfram Demonstrations Project. பகுப்பு:முக்கோணங்கள் பற்றிய தேற்றங்கள்