கேள்வி: இசை வகுத்தி எண் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: கணிதம் இசை வகுத்தி எண் (''harmonic divisor number'') அல்லது ஓரே எண் (''Ore number'') என்பது, தனது வகுஎண்களின் இசைச் சராசரியை ஒரு முழு எண்ணாகக் கொண்டதொரு இயல் எண்ணாகும். இவ்வெண்கள் "ஆய்ச்தீன் ஓரே" (Øystein Ore) என்ற நார்வே கணிதவியலாளரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. இவர், ஒவ்வொரு செவ்விய எண்ணும் ஒரு இசை வகுத்தி எண்ணாக இருக்கும் என்பதை நிறுவியுள்ளார். மேலும் 1 ஐத் தவிர வேறெந்ததொரு நிகரி (கணிதம்) இசை வகுத்தி எண்ணும் இல்லை என்ற ஊகத்தையும் முன்வைத்துள்ளார். இக்கணிதயவியலாளரின் பெயரால் இசை வகுத்தி எண்கள், ஓரே எண்கள் என அழைக்கப்படுகின்றன. முதல் இசை வகுதி எண்கள் சில: :1 (எண்), 6 (எண்), 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190 .
கேள்வி: இசை வகுத்தி எண் - இசை வகுத்தி எண்களும் செவ்விய எண்களும் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: File:Perfect number Cuisenaire rods 6 exact.svg மூலம் எண் 6 ஒரு செவ்விய எண் என விளக்கும் படம்]] எந்தவொரு முழுஎண் ''M'' க்கும் அதன் இசைச் சராசரி, கூட்டுச் சராசரி ஆகிய இரண்டின் பெருக்கற்பலன் அதே முழுவெண் ''M'' ஆகவே இருக்குமெனெக் கணிதவியலாளர் "ஓரே" கண்டுபிடித்தார். எனவே தனது வகுஎண்களின் இசைச் சராசரியாக ''k'' ஐ உடைய ஒரு எண் ''M'' இன் வகுஎண்களின் சராசரியானது, ''M'' மற்றும் அலகுப் பின்னம் 1/''k'' இன் பெருக்கமாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே", ''M'' ஒரு இசை வகுத்தி எண்ணாக இருக்கமுடியும். ஒவ்வொரு செவ்விய எண்ணும் இசை வகுதி எண்ணாகவும் இருக்கும் என்பதை "ஓரே" நிறுவினார். : ''M'' ஒரு செவ்விய எண் எனில் அதன் வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகை = ''2M''; : ''M'' இன் வகுஎண்களின் சராசரி = ''M''(2/τ(''M'')); τ(''M'') = ''M'' இன் வகுஎண் சார்பு : ''M'' ஒரு வர்க்கம் (கணிதம்) "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே", τ(''M'') ஆனது நிகரி (கணிதம்) எண்ணாக இருக்கும். அல்லது τ(''M'') ஆனது நிகரி (கணிதம்) எண்ணாக இருந்தால், ''M'' இன் ஒவ்வொரு வகுஎண் ''d'' ஐ மற்றொரு வகுஎண் ''M''/''d'' உடன் சோடிசேர்க்க முடியும். : ஆனால் எந்தவொரு செவ்விய எண்ணும் வர்க்க எண்ணாக இருக்காது. : எனவே ஒரு செவ்விய எண் ''M'' இன் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை τ(''M''), இரட்டையெண்ணாக இருப்பதோடு ''M'' இன் சாரசரியின் மதிப்பு, அலகுபின்னம் 2/τ(''M'') உடனான பெருக்கற்பலன்ஆகவும் இருக்கும். : ஃ ''M'' ஒரு இசை வகுத்தி எண்.
கேள்வி: இசை வகுத்தி எண் - கணினி ஆய்வுகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: டபிள்யூ. ஹெச். மில்ஸ், 1 ஐ விடப் பெரிய ஒற்றை இசை வகுத்தி எண்கள் இருந்தால் அவற்றுக்கு 107 ஐ விடப்பெரிய ஒரு பகா அடுக்குக் காரணி இருக்கவேண்டுமெனக் கண்டுபிடித்தார். கோகென் அத்தைகைய எண்கள் குறைந்தபட்சமாக மூன்று வெவ்வேறான பகாக் காரணிகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டுமெனக் கண்டுபிடித்தார். கோகெனும் சொர்லியும்,1024 ஐ விடச் சிறிய ஒற்றை இசை வகுத்தி எண்கள் இருக்கமுடியாது என்பதை நிறுவினர். "ஓரே" முதல் கோகென், கோட்டொ வரையிலான கணிதவியலாளர்கள் இசை வகுத்தி எண்களைப் பட்டியலிடுவதற்கு கணினி ஆய்வுகளை மேற்கொண்டனர். இவ்வாய்வுகளின் விளைவாக 2&nbsp;×&thinsp;109 வரையிலான இசை வகுத்தி எண்கள் கண்டறியப்பட்டுள்ளன. இவ்வெண்களுக்கான அதிகபட்ச இசைச் சராசரி 300 ஆகத்தான் இருக்கவேண்டுமென்பதும் அறியப்பட்டுள்ளது.