கேள்வி: இரட்டை, ஒற்றைச் சார்புகள் - இரட்டைச் சார்புகள் என்பது என்ன?
பதில்: Image:Function x^2.svg ''f'' , மெய்மாறியிலமைந்த மெய்மதிப்புச் சார்பு. ''f'' இன் ஆட்களத்திலுள்ள ''x'' களுக்கும் ''x'' = −''x'' என மாற்றும்போது கீழ்வரும் சமன்பாட்டில் எந்தவொரு மாற்றமும் இல்லையென்றால் ''f'' ஒரு இரட்டைச் சார்பு: }} |cellpadding= 6 |border |border colour = #0073CF |background colour=#F5FFFA}} அல்லது சமானமாக, ''x'' இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் கீழ்வரும் சமன்பாடு உண்மையாக இருக்கும்: :f(x) - f(-x) = 0. இரட்டைச் சார்பின் வரைபடமானது ''y''-அச்சைப் பொறுத்து சமச்சீரானது; அதாவது, ''y''-அச்சில் வரைபடத்தின் எதிரொளிப்பு (கணிதம்) மூல வரைபடத்தைப் போலவே இருக்கும். இரட்டைச் சார்புக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்: *தனி மதிப்பு x \mapsto |x|, *x \mapsto x^2, *x \mapsto x^4, *முக்கோணவியல் சார்புகள் \cos, *அதிபரவளையச் சார்பு \cosh, *காசியச் சார்பு x \mapsto \exp (-x^2).
கேள்வி: இரட்டை, ஒற்றைச் சார்புகள் - ஒற்றைச் சார்பு என்பது என்ன?
பதில்: Image:Function-x3.svg ''f'' , மெய்மாறியிலமைந்த மெய்மதிப்புச் சார்பு. ''f'' இன் ஆட்களத்திலுள்ள ''x'' களுக்கும் ''x'' = −''x'' என மாற்றும்போது கீழ்வரும் சமன்பாடு உண்மையென்றால் ''f'' ஒரு ஒற்றைச் சார்பு:: }} |cellpadding= 6 |border |border colour = #0073CF |background colour=#F5FFFA}} அல்லது சமானமாக, ''x'' இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் கீழ்வரும் சமன்பாடு உண்மையாக இருக்கும்: :f(x) + f(-x) = 0. ஒற்றைச் சார்புகளின் வரைபடங்கள் ஆதி (கணிதம்) பொறுத்துச் சுழற்சி சமச்சீர்மை கொண்டிருக்கும். மேலும் அந்த வரைபடங்களை ஆதியைப் பொறுத்து 180 பாகை (அலகு) சுழற்சி (கணிதம்) அவை எந்தவொரு மாற்றமுமடையாது. ஒற்றைச் சார்பின் எடுத்துக்காட்டுகள்: *குறிச் சார்பு x \mapsto \sgn(x), *x \mapsto x, *x \mapsto x^3, *சைன் \sin, *அதிபரவளையச் சார்பு \sinh, *பிழைச் சார்பு \operatorname{erf}. Image:Function-x3plus1.svg
கேள்வி: இரட்டை, ஒற்றைச் சார்புகள் - தனித்துவம் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: * ஒரு சார்பானது ஒரே சமயத்தில் ஒற்றையாகவும் இரட்டையாகவும் இருந்தால் அது வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்புகளுக்கெல்லாம் சார்பின் மதிப்பானது பூச்சியமாக இருக்கும். * சார்பு ஒற்றையாக இருந்தால், அதன் தனி மதிப்புச் சார்பு இரட்டைச் சார்பாக இருக்கும்.
கேள்வி: இரட்டை, ஒற்றைச் சார்புகள் - கூட்டலும் கழித்தலும் என்பது என்ன?
பதில்: * இரு இரட்டைச் சார்புகளின் கூடுதலாக அமையும் சார்பு, ஒரு இரட்டைச் சார்பாக இருக்கும். * இரு ஒற்றைச் சார்புகளின் கூடுதலாக அமையும் சார்பு, ஒரு ஒற்றைச் சார்பாக இருக்கும். * இரு ஒற்றைச் சார்புகளின் வித்தியாசமாக அமையும் சார்பு, ஒரு ஒற்றைச் சார்பாக இருக்கும். * இரு இரட்டைச் சார்புகளின் வித்தியாசமாக அமையும் சார்பு, ஒரு இரட்டைச் சார்பாக இருக்கும். * ஒரு இரட்டை மற்றுமொரு ஒற்றைச் சார்பின் கூடுதல் இரட்டைச் சார்பாகவோ அல்லது ஒற்றைச் சார்பாகவோ இருக்காது. அவ்வாறு இருக்குமாயின் கண்டிப்பாக இரண்டில் ஒரு சார்பானது ஆட்களம் முழுவதும் பூச்சியமாக இருக்கவேண்டும்.
கேள்வி: இரட்டை, ஒற்றைச் சார்புகள் - பெருக்கலும் வகுத்தலும் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: * இரு இரட்டைச் சார்புகளின் பெருக்கல் (கணிதம்) அமையும் சார்பு, ஓர் இரட்டைச் சார்பாக இருக்கும். ** பல இரட்டைச் சார்புகளின் பெருக்கற்பலனும் ஓர் இரட்டைச் சார்பாகவே இருக்கும். * இரு ஒற்றைச் சார்புகளின் பெருக்கலாக அமையும் சார்பு, ஓர் ஒற்றைச் சார்பாக இருக்கும்.T. * ஒரு இரட்டை மற்றுமொரு ஒற்றைச் சார்பின் பெருக்கற்பலன் ஓர் ஒற்றைச் சார்பு. * இரு இரட்டைச் சார்புகளின் வகுத்தல் (கணிதம்) அமையும் சார்பு, ஓர் இரட்டைச் சார்பாக இருக்கும். *இரு ஒற்றைச் சார்புகளின் வகுத்தல் (கணிதம்) அமையும் சார்பு, ஓர் இரட்டைச் சார்பாக இருக்கும். * ஓர் இரட்டை மற்றுமொரு ஒற்றைச் சார்பின் வகுத்தலாக அமையும் சார்பு ஓர் ஒற்றைச் சார்பு.
கேள்வி: இரட்டை, ஒற்றைச் சார்புகள் - சார்புகளின் தொகுப்பு குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: * இரு இரட்டைச் சார்புகளின் சார்புகளின் தொகுப்பு ஓர் இரட்டைச் சார்பு. * இரு ஒற்றைச் சார்புகளின் சார்புகளின் தொகுப்பு ஓர் ஒற்றைச் சார்பு. * ஓர் ஒற்றை மற்றுமோர் இரட்டைச் சார்புகளின் தொகுப்பு இரட்டைச் சார்பாகும். * எந்தவொரு சார்பு மற்றும் ஓர் இரட்டைச் சார்பின் தொகுப்பு ஓர் இரட்டைச் சார்பு (மறுதலை உண்மையில்லை).
கேள்வி: இரட்டை, ஒற்றைச் சார்புகள் - பகுமுறை பண்புகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ஒரு சார்பின் இரட்டை/ஒற்றைத்தன்மை அச்சார்பின் வகையிடத்தக்கச் சார்பு தொடர்ச்சியான சார்பு தருவதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, டெரிக்லா சார்பு இரட்டைச் சார்பு; ஆனால் அது எவ்விடத்திலும் தொடர்ச்சியானதல்ல.
கேள்வி: இரட்டை, ஒற்றைச் சார்புகள் - தொடர்கள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: * ஓர் இரட்டைச் சார்பின் டெய்லர் தொடர் உறுப்புகள் அனைத்தும் இரட்டை அடுக்குகளைக் கொண்டவை. * ஓர் ஒற்றைச் சார்பின் டெய்லர் தொடர் உறுப்புகள் அனைத்தும் ஒற்றை அடுக்குகளைக் கொண்டவை. * ஓர் இரட்டைக் காலமுறைச் சார்புச் சார்பின் வூரியே தொடரிலுள்ள உறுப்புகள் அனைத்தும் முக்கோணவியல் சார்புகள் கொண்டிருக்கும். * ஓர் ஒற்றைக் காலமுறைச் சார்புச் சார்பின் வூரியே தொடரிலுள்ள உறுப்புகள் அனைத்தும் முக்கோணவியல் சார்புகள் கொண்டிருக்கும். *முழுவதுமாக மெய்-மதிப்புகளைக்கொண்ட இரட்டைச் சார்பின் வூரியே மாற்று, ஒரு மெய் மற்றும் இரட்டைச் சார்பாகும். *முழுவதுமாக மெய்-மதிப்புகளைக்கொண்ட ஒற்றைச் சார்பின் வூரியே மாற்று, ஒரு கற்பனை மற்றும் ஒற்றைச் சார்பாகும்.
கேள்வி: இரட்டை, ஒற்றைச் சார்புகள் - பன்மாறிச் சார்புகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: இரட்டைச் சமச்சீர்மை: f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} என்பது இரட்டைச் சமச்சீர் சார்பு எனில்: :f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=f(-x_1,-x_2,\ldots,-x_n) \quad \text{for all } x_1,\ldots,x_n \in \mathbb{R} ஒற்றைச் சமச்சீர்மை: f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} என்பது ஒற்றைச் சமச்சீர் சார்பு எனில்: :f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=-f(-x_1,-x_2,\ldots,-x_n) \quad \text{for all } x_1,\ldots,x_n \in \mathbb{R}
கேள்வி: இரட்டை, ஒற்றைச் சார்புகள் - முடிவுறு நீளத் தொடர்கள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: இரட்டை/ஒற்றைச் சமச்சீர்மையானது ''N''-புள்ளி தொடர்களுக்கும் நீட்டிக்கப்படுகிறது (அ.து f: \left\{0,1,\ldots,N-1\right\} \to \mathbb{R} என்றவாறமையும் சார்புகள்): இரட்டைச் சமச்சீர்மை: ஒரு ''N''-புள்ளி தொடர், இரட்டைச் சமச்சீர் எனில்: :f(n) = f(N-n) \quad \text{for all } n \in \left\{ 1,\ldots,N-1 \right\}. இத்தகைய தொடர்கள், "இருவழியொத்த தொடர்கள்" (''palindromic sequence'') என அழைக்கப்படுகின்றன. ஒற்றைச் சமச்சீர்மை: ஒரு ''N''-புள்ளி தொடர், ஒற்றைச் சமச்சீர் எனில்: :f(n) = -f(N-n) \quad \text{for all } n \in \left\{1,\ldots,N-1\right\}. இத்தகைய தொடர்கள், "எதிர்-இருவழியொத்த தொடர்கள்" (''anti-palindromic sequence'') என அழைக்கப்படுகின்றன.