கேள்வி: பகுதி வரிசையுள்ள கணம் - பகுதி வரிசை உறவுகள் என்பது என்ன?
பதில்: பகுதி வரிசை என்ற பெயர் வழக்கமாக, எதிர்வு உறவு பகுதி வரிசை உறவுகளையே குறிக்கும். இக்கட்டுரையில் எதிர்வு உறவு பகுதி வரிசை உறவுகள், "கண்டிப்பற்ற" பகுதி வரிசை எனக் குறிப்பிடப்படுகின்றன. எனினும் சில நூலாசிரியர்கள் "கண்டிப்பான பகுதி வரிசை எனப்படும் எதிர்வற்ற பகுதி வரிசை உறவுகளையும் இதே பெயரால் குறிப்பிடுகின்றனர்.கண்டிப்பான பகுதி வரிசைகளையும் கண்டிப்பற்ற பகுதி வரிசைகளையும் Strict and non-strict partial orders can be put into a இருவழிக்கோப்பு தொடர்பு படுத்தலாம். எனவே ஒவ்வொரு கண்டிப்பான பகுதி வரிசைக்கும் ஒரு தனித்த கண்டிப்பற்ற பகுதி வரிசை இருக்கும்; இதன் மறுதலையும் உண்மையாக இருக்கும்.
கேள்வி: பகுதி வரிசையுள்ள கணம் - பகுதி வரிசைகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: ஒரு "வலுவிலா," ''எதிர்வு'', அல்லது ''கண்டிப்பற்ற பகுதி வரிசை''யானது, பொதுவாக ''பகுதி வரிசை'' என்று சுருக்கமாக அழைக்கப்படுகிறது. இது, எதிர்வு உறவு, எதிர்சமச்சீர் உறவு, கடப்பு உறவு ஆகிய மூன்று பண்புகளையுமுடையதொரு சீரான ஈருறுப்பு உறவு. அதாவது, கணம் (கணிதம்) P இல் அமைந்த '≤' என்ற சீரான ஈருறுப்பு உறவு, பகுதி வரிசையாக இருந்தால் பின்வரும் முடிவுகளை நிறைவு செய்யும்: : \forall a, b, c \in P, # எதிர்வு உறவு: a \leq a, அ.து ஒவ்வொரு உறுப்பும் தனக்குத்தானே தொடர்புடையது # எதிர்சமச்சீர் உறவு: a \leq b, b \leq a எனில், a = b, அ.து. எந்த இரு வேறுபட்ட உறுப்புகளும் ஒன்றுக்கொன்று முந்தைய உறுப்பாக இராது. # கடப்பு உறவு: a \leq b, b \leq c எனில், a \leq c.
கேள்வி: பகுதி வரிசையுள்ள கணம் - கண்டிப்பான பகுதி வரிசைகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ''எதிர்வற்ற'', ''வலுவான'', அல்லது'' கண்டிப்பான பகுதி வரிசை'' (எதிர்வற்ற பகுதி வரிசை)யானது,கடப்பு உறவு, எதிர்வு உறவு, சமச்சீரற்ற உறவு ஆகிய மூன்று பண்புகளையும் கொண்டதொரு சீரான ஈருறுப்பு உறவாகும். கணம் (கணிதம்) P இல் அமைந்த '\forall a, b, c \in P, # கடப்பு உறவு: if a b எனில், a . # எதிர்வு உறவு: \neg\left( a , அ.து ஒவ்வொரு உறுப்பும் தனக்குத்தானே தொடர்புடையதல்ல. # சமச்சீரற்ற உறவு: a எனில், b ஆக இருக்காது. எதிர்வற்றதாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" ஒரு கடப்பு உறவானது சமச்சீரற்றதாகும். Lemma 1.1 (iv). This source refers to asymmetric relations as "strictly antisymmetric". எனவே, மேலுள்ள வரையறையில் எதிர்வற்றமை அல்லது சமச்சீரின்மை ஆகிய இரண்டில் ஏதேனுமொன்று (இரண்டுமல்ல) விடுபட்டாலும் கூட வரையறை பொருத்தமானதாக இருக்கும்.
கேள்வி: பகுதி வரிசையுள்ள கணம் - கண்டிப்பான, கண்டிப்பற்ற பகுதி வரிசை உறவுகளுக்கு இடையேயான தொடர்பு குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: File:PartialOrders redundencies svg.svg தரப்பட்டுள்ளது. மையத்தில் பகுதி வரிசை கணத்தின் வரைபடம் உள்ளது.]] கணம் P இன் மீது வரையறுக்கப்பட்டக் கண்டிப்பான பகுதி வரிசைகளும், கண்டிப்பற்ற பகுதி வரிசைகளும் நெருங்கிய தொடர்புடையவை. கணம் P இன் மீது வரையறுக்கப்பட்ட \leq என்ற கண்டிப்பற்ற பகுதிவரிசையிருந்து a \leq a என்றமையும் உறவுகளையெல்லால் நீக்கிவிடுவதன் மூலமாகக், கண்டிப்பான பகுதிவரிசையைப் பெறலாம். அதாவது கண்டிப்பான பகுதிவரிசையானது கீழ்வரும் கணமாகும்: : :இதில், \Delta_P := \{ (p, p) : p \in P \}என்பது P \times P இன் முற்றொருமை உறவையும்; \;\setminus\; என்பது நிரப்பு கணம் குறிக்கின்றன. மறுதலையாக, கணம் P இன் மீது வரையறுக்கப்பட்ட என்ற கண்டிப்பற்ற பகுதிவரிசையோடு a \leq a என்றமையும் உறவுகளையெல்லால் இணைப்பதன் மூலம் கண்டிப்பற்ற பகுதிவரிசையைப் பெறலாம். அதாவது கண்டிப்பற்ற பகுதிவரிசையானது கீழ்வரும் கணமாகும்: : \leq\; := \;\Delta_P\; \cup \; எனவே, :\leq என்பது கண்டிப்பற்ற பகுதிவரிசையெனில், அதற்குரிய கண்டிப்பான பகுதிவரிசை யானது கீழ்வரும் எதிர்வு உறவு ஆகும்: ::a மறுதலையாக, : என்ற கண்டிப்பான பகுதிவரிசைக்குரிய கண்டிப்பற்ற பகுதிவரிசை \leq கீழ்வரும் எதிர்வு அடைப்பு உறவு ஆகும்: ::a \leq b \text{ if } a
கேள்வி: பகுதி வரிசையுள்ள கணம் - இரும வரிசைகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: R என்ற பகுதிவரிசை உறவின் ''இரும வரிசை'' (அல்லது ''எதிர் வரிசை'') R^{\text{op}} என்பது R இன் மறுதலை உறவாக R^{\text{op}} ஐ எடுத்துக்கொண்டு வரையறுக்கப்படுகிறது. அதாவது, :y R x உண்மையாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே", x R^{\text{op}} y என்பதும் உண்மையாக இருக்கும். கண்டிப்பற்ற பகுதிவரிசையின் இரும வரிசையும் ஒரு கண்டிப்பற்ற பகுதிவரிசையாகவே இருக்கும். அதேபோல் கண்டிப்பான பகுதிவரிசையின் இரும வரிசையும் ஒரு கண்டிப்பான பகுதிவரிசையாகும்.