கேள்வி: தொடர்வரிசையின் எல்லை பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: File:Archimedes pi.svg சுற்றி வரையப்பட்ட ஒழுங்கு ''n''-பக்க பல்கோணம் சுற்றளவுகளின் தொடர்வரிசையின் எல்லை அவ்வலகு வட்டத்தின் சுற்றளவாக ( 2\pi) இருக்கும். இது அலகு வட்டத்துக்குள் வரையப்பட்ட ஒழுங்கு ''n''-பக்க பல்கோணம் பொருந்தும்]] {| class="wikitable" style="width:100%;" |- !n!!n\times \sin\left(\tfrac1{n}\right) |- |1||0.841471 |- |2||0.958851 |- |colspan="2"|... |- |10||0.998334 |- |colspan="2"|... |- |100||0.999983 |} நேர்ம முழு எண் n பெரிதாகப் பெரிதாக, n\times \sin\left(\tfrac1{n}\right) இன் மதிப்பு 1 க்கு மிகவருகில் நெருங்கும். எனவே n \times \sin\left(\tfrac1{n}\right), உறுப்புகளாலான தொடர்தொடர்வரிசையின் எல்லை, 1 ஆகும் (\lim_{n \to \infty}n \times \sin\left(\tfrac1{n}\right) = 1.) கணிதம் ஒரு தொடர்வரிசையின் எல்லை (''limit of a sequence'') என்பது அத்தொடர்வரிசையின் உறுப்புகள் அணுகும் மதிப்பைக் குறிக்கும். எல்லைக்கு, \lim என்ற குறியீடு (\lim_{n \to \infty}a_n) பயன்படுத்தப்படுகிறது.Courant (1961), p. 29. ஒரு தொடர்வரிசைக்கு எல்லைமதிப்பு இருக்குமானால், அது ''ஒருங்கும் தொடர்வரிசை'' எனப்படும்; ஒருங்காத தொடர்வரிசைகள், ''விரிதொடர்வரிசைகள்'' எனப்படும்.Courant (1961), p. 39. பகுவியல் (கணிதம்) அடிப்படைக் கருத்தாக அமைந்துள்ள இதன் அடிப்படையிலேதான் பகுவியல் முழுமையும் அமைந்துள்ளது. எந்தவொரு மெட்ரிக் வெளி அல்லது இடத்தியல் வெளியிலும் தொடர்வரிசையின் எல்லையை வரையறுக்கமுடியுமென்றாலும், இக்கருத்துரு மெய்யெண்களில்தான் முதலில் எதிர்கொள்ளப்பட்டது.
கேள்வி: தொடர்வரிசையின் எல்லை - வரையறை என்பது என்ன?
பதில்: :ஒவ்வொரு மெய்யெண் \varepsilon > 0 க்கும், n \geq N என்ற ஒவ்வொரு இயல் எண்ணுக்கும் ::|x_n - x| :என்பதை நிறைவு செய்யும்விதத்தில் N என்ற ஒரு இயல் எண் இருக்குமானால், :(x_n) தொடர்வரிசையின் எல்லை x எனப்படுகிறது. மேலும் இக்கூற்று குறியீட்டில் கீழுள்ளவாறு எழுதப்படுகிறது: :x_n \to x அல்லது :\lim_{n\to\infty} x_n = x அதாவது, \varepsilon அளவு நெருக்கத்தில், தொடர்வரிசையின் உறுப்புகள், அதேயளவு நெருக்கத்தில் எல்லை மதிப்பிற்கு அருகிலிருக்கும்; (x_n) தொடர்வரிசையானது x என்ற எல்லைமதிப்பிற்கு "ஒருங்கும்" எனப்படுகிறது. குறியீட்டில்: :\forall \varepsilon > 0 \left(\exists N \in \N \left(\forall n \in \N \left(n \geq N \implies |x_n - x| . (x_n) தொடர்வரிசையின் எல்லை x எனில், அது ஒரு ஒருங்கும் தொடரென்பதோடு, x மட்டுமே அதன் ஒரேயொரு எல்லையாக இருக்கும். அவ்வாறு ஒரேயொரு முடிவுறு எல்லையைக் கொண்டிருக்காவிட்டால், (x_n) ஒரு விரிதொடராகும். சிலசமயங்களில், பூச்சியத்தை எல்லையாகக் கொண்ட தொடர்வரிசை, "சுழித் தொடர்" எனப்படும்.
கேள்வி: தொடர்வரிசையின் எல்லை - விளக்கப்படங்கள் என்பது என்ன?
பதில்: File:Folgenglieder im KOSY.svg|a என்ற எல்லைக்கு ஒருங்கும் தொடர்வரிசை. File:Epsilonschlauch.svg|எந்தவொரு \varepsilon > 0 மதிப்புக்கும், N_0 க்குப் பிறகு, தொடர்வரிசை முழுவதுமாக எப்சலான் குழலுக்குள் - (a-\varepsilon,a+\varepsilon) அமையுமாறு ஒரு குறிப்பிட்ட N_0 இருக்கும். File:Epsilonschlauch klein.svg| அதைவிடச் சிறிய \varepsilon_1 > 0 மதிப்பிற்கும் N_1, க்குப் பிறகு, தொடர்வரிசை முழுவதும் எப்சலான்_1 குழலுக்குள் - (a-\varepsilon_1,a+\varepsilon_1)இருக்குமாறு ஒரு N_1 இருக்கும். File:Epsilonschlauch2.svg|ஒவ்வொரு \varepsilon > 0 க்கும் எப்சலான் குழலைவிட்டு வெளியே இருக்கக்கூடிய தொடர்வரிசை உறுப்புகள் மிகச் சிலவே.
கேள்வி: தொடர்வரிசையின் எல்லை - பண்புகள் என்பது என்ன?
பதில்: மெய்யெண் தொடர்வரிசைகளின் எல்லை பற்றிய முக்கிய பண்புகள்: *எல்லையுள்ள தொடர்வரிசைகள் தனித்துவமானவை. * வழக்கமான அடிப்படைக் கணிதச் செயல்கள் தொடர்வரிசை எல்லைகளுக்கும் பொருந்தும். :\lim_{n\to\infty} a_n, \lim_{n\to\infty} b_n இரண்டும் உண்டென்றால்: ::\lim_{n\to\infty} (a_n \pm b_n) = \lim_{n\to\infty} a_n \pm \lim_{n\to\infty} b_n ::\lim_{n\to\infty} c a_n = c \cdot \lim_{n\to\infty} a_n ::\lim_{n\to\infty} (a_n \cdot b_n) = \left(\lim_{n\to\infty} a_n \right)\cdot \left( \lim_{n\to\infty} b_n \right) ::\lim_{n\to\infty} \left(\frac{a_n}{b_n}\right) = \frac{\lim\limits_{n\to\infty} a_n}{\lim\limits_{n\to\infty} b_n} (\lim_{n\to\infty} b_n \ne 0 ஆக இருந்தால்) ::\lim_{n\to\infty} a_n^p = \left( \lim_{n\to\infty} a_n \right)^p * f என்பது ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பாக இருந்து அதன் எல்லை \lim_{n\to\infty}x_n உம் இருக்குமானால், \lim_{n\to\infty} f \left(x_n \right) உம் இருக்கும். எந்தவொரு மெய்யெண் [[சார்பு ''f'' உம், தொடர்வரிசைகளின் எல்லைகளை மாறாமல் காப்பதாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" அது ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பாக இருக்க முடியும். * N ஐ விடப் பெரிய அனைத்து n இன் மதிப்புகளுக்கும் a_n \leq b_n எனில், :\lim_{n\to\infty} a_n \leq \lim_{n\to\infty} b_n. *N ஐ விடப் பெரிய அனைத்து n இன் மதிப்புகளுக்கும் a_n \leq c_n \leq b_n; மேலும் \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = L எனில், : \lim_{n\to\infty} c_n = L. (பிழிவுத் தேற்றம்) * N ஐ விடப் பெரிய அனைத்து n இன் மதிப்புகளுக்கும், a_n ஒரு வரம்புடைய, ஒருபோக்குத் தொடர்வரிசை எனில், அது ஒரு ஒருங்கு தொடராகும். (ஒருபோக்கு ஒருங்கல் தேற்றம்) *ஒரு தொடர்வரிசையின் துணைத்தொடர்வரிசைகள் அனைத்தும் ஒருங்கல் தொடர்வரிசைகளாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே," தாய்த்தொடர்வரிசையும் ஒருங்கல் தொடராக இருக்கும். *ஒவ்வொரு துணைத் தொடர்வரிசைக்கும் அதே மதிப்பிற்கு ஒருங்கும் அதனுடைய துணைத் தொடர்வரிசை இருக்குமானால், தாய்த் தொடர்வரிசையும் அதே எல்லைமதிப்புக்கு ஒருங்கும்.
கேள்வி: தொடர்வரிசையின் எல்லை - முடிவுலி எல்லைகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: குறியீட்டில் முடிவிலி எல்லை: :x_n \to \infty, அல்லது :\lim_{n\to\infty}x_n = \infty, கீழ்வரும் கூற்று உண்மையாக இருந்தால், (x_n) தொடர்வரிசையானது "முடிவிலியை நெருங்குகிறது அல்லது அணுகுகிறது" எனப்படும்: :ஒவ்வொரு மெய்யெண் K க்கும், n \geq N (N ஒரு இயல் எண்) என்றவாறுள்ள ஒவ்வொரு இயல் எண்ணுக்கும் ::x_n > K அதாவது தொடர்வரிசையின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் நிலையான K என்ற மதிப்பைவிடப் பெரியதாக இருக்கும். இதனைக் குறியீட்டில் பின்வருமாறு எழுதலாம்: :\forall K \in \mathbb{R} \left(\exists N \in \N \left(\forall n \in \N \left(n \geq N \implies x_n > K \right)\right)\right). எதிர்ம முடிவிலி எல்லை: :குறியீடு: :x_n \to -\infty, அல்லது :\lim_{n\to\infty}x_n = -\infty நிறைவு செய்யவேண்டிய கூற்று: :ஒவ்வொரு மெய்யெண் K க்கும், n \geq N (N ஒரு இயல் எண்) என்றவாறுள்ள ஒவ்வொரு இயல் எண்ணுக்கும் :: x_n ; அதாவது தொடர்வரிசையின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் நிலையான K என்ற மதிப்பைவிடச் சிறியதாக இருக்கும். இதனைக் குறியீட்டில் பின்வருமாறு எழுதலாம்: :\forall K \in \mathbb{R} \left(\exists N \in \N \left(\forall n \in \N \left(n \geq N \implies x_n . -\infty அல்லது +\infty ஆக எல்லையைக் கொண்ட தொடர்வரிசைகள் விரிதொடர்வரிசைகளாகும். ஆனால் விரிதொடர்வரிசைகள் அனைத்தும், -\infty அல்லது +\infty ஐ எல்லையாகக் கொண்டிருக்கத் தேவையில்லை. இதற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு: :x_n=(-1)^n
கேள்வி: தொடர்வரிசையின் எல்லை - வரையறை என்பது என்ன?
பதில்: மெட்ரிக் வெளி (X, d) இலுள்ள ஒரு புள்ளி x, தொடர்வரிசை (x_n) இன் எல்லை (கணிதம்) இருக்க வேண்டுமானால் பின்வரும் கூற்று உண்மையாக இருக்கவேண்டும்: :ஒவ்வொரு மெய்யெண் \varepsilon > 0 மற்றும் ஒவ்வொரு இயல் எண் n க்கும், :d(x_n, x) என்ற கட்டுப்பாட்டை நிறைவுசெய்யும் ஒரு இயல் எண் N இருக்கவேண்டும். இது குறியீட்டில் பின்வருமாறு தரப்படுகிறது.: :\forall \varepsilon > 0 \left(\exists N \in \N \left(\forall n \in \N \left(n \geq N \implies d(x_n, x) . :X = \R, d(x, y) = |x-y| எனவும் இருந்தால் மெட்ரிக் வெளியின் தொடர்வரிசைகளின் எல்லையின் வரையறையானது, மெய்யெண்களில் தொடர்வரிசையின் எல்லையுடன் ஒத்தமைகிறது
கேள்வி: தொடர்வரிசையின் எல்லை - பண்புகள் என்பது என்ன?
பதில்: * ஒரு தொடர்வரிசைக்கு எல்லை இருக்குமானால், அவ்வெல்லை தனித்ததாக இருக்கும். அதாவது ஒரு தொடர்வரிசைக்கு ஒரேயொரு எல்லை மட்டுமே இருக்கும். ஏனெனில், வெவ்வேறான இரு புள்ளிகள் நேர்ம தூரத்தால் பிரிக்கப்பட்டுள்ளதோடு, இத்தூரத்தின் அளவில் பாதியைவிடச் சிறியதாகவுள்ள \varepsilon மதிப்புகளுக்கு, தொடர்வரிசையின் உறுப்புகள் இவ்விரு புள்ளிகளிலிருந்தும் \varepsilon தூரத்தில் இருக்கமுடியாது. * தொடர்ச்சியான சார்பு ''f'' என்ற தொடர்ச்சியான சார்புக்கு, \lim_{n \to \infty} x_n இருக்குமானால், : \lim_{n \to \infty} f(x_n) = f\left(\lim_{n \to \infty}x_n \right) ஆக இருக்கும். சார்பு ''f'' ஆனது, தொடர்வரிசைகளின் எல்லைகளை மாறாமல் காப்பதாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" அது ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பாக இருக்க முடியும்.
கேள்வி: தொடர்வரிசையின் எல்லை - கோசி தொடர்வரிசை பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: File:Cauchy sequence illustration.svgகளிலமைந்த ஒவ்வொரு கோசி தொடர்வரிசையும், ஒரு எல்லைமதிப்பிற்கு ஒருங்கும்.]] அகுஸ்டின்-லூயி கோசி தொடர்வரிசை என்பது, போதுமானவளவு சில துவக்க உறுப்புகளை நீக்கிய பின்னர் இதர உறுப்புகள் அறுதியாக ஒன்றுக்கொன்று நெருக்கமாக அமைகின்றவாறுள்ள உறுப்புகளைக்கொண்ட தொடர்வரிசையாகும். மெட்ரிக் வெளியிலும், குறிப்பாக மெய்ப் பகுவியலிலும், தொடர்வரிசைகள் குறித்த ஆய்வுகளுக்கு கோசி தொடர்வரிசை முக்கியானமானதாகும். ஒரு தொடர்வரிசையின் ஒருங்கல்தன்மையைக் கண்டறியப் பயன்படுகிறது. ஒரு தொடர்வரிசையானது கோசி தொடர்வரிசையாக, "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே," அத்தொடர்வரிசை, ஒருங்கல் தொடர்வரிசையாக இருக்க முடியும்.
கேள்வி: தொடர்வரிசையின் எல்லை - வரையறை பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: இடவியல் வெளி (X, \tau) இலுள்ள ஒரு புள்ளி x \in X, தொடர்வரிசை \left(x_n\right)_{n \in \N} இன் எல்லை அல்லது எல்லைப் புள்ளியாக இருக்க வேண்டுமானால் பின்வரும் கூற்று உண்மையாக இருக்கவேண்டும்: :x ஒவ்வொரு இடவெளி அண்மையகத்திற்கும் (U), ஒவ்வொரு இயல் எண் n \geq Nக்கும், : x_n \in U என்ற கட்டுப்பாட்டை நிறைவுசெய்யும் ஒரு இயல் எண் N இருக்கவேண்டும். (X, d) என்ற மெட்ரிக் வெளியில் dஆல் பிறப்பிக்கப்பட்ட இடவியல் வெளி \tau எனில், இடவியல் வெளிகளில் வரையறுக்கப்படும் தொடர்வரிசையின் எல்லை வரையறையானது மெட்ரிக் வெளியில் வரையறுக்கப்பட்டதுடன் பொருந்துகிறது.
கேள்வி: தொடர்வரிசையின் எல்லை - பண்புகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ஒரு ஹவுசுடார்ப் வெளியில், தொடர்வரிசைகளின் எல்லைகள் தனித்தவையாக இருக்கும். அதாவது ஒரு தொடர்வரிசைக்கு ஒரேயொரு எல்லை மட்டுமே இருக்கும். ஆனால் ஹவுசுடார்ப் வெளியல்லாதவற்றில் அவ்வாறிருப்பதில்லை. குறிப்பாக x, y ஆகியவை இடவெளியில் வேறுபடுத்த முடியாத இரு புள்ளிகள் எனில், x க்கு ஒருங்கும் ஒரு தொடர்வரிசை y ஆகவும் ஒருங்கும். இதேபோல, y க்கு ஒருங்கும் ஒரு தொடர்வரிசை x ஆகவும் ஒருங்கும்.
கேள்வி: தொடர்வரிசையின் எல்லை - ஒன்றுக்கு மேற்பட்டசுட்டெண்கொண்ட தொடர்வரிசை பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட சுட்டெண்ணுள்ள தொடர்வரிசைகளுக்கும் எல்லைகளைக் காணலாம். எடுத்துக்காட்டாக, இரு சுட்டெண்களுள்ள இரட்டைத் தொடர்வரிசை (x_{n, m}). இத்தொடர்வரிசையில், ''n'' , ''m'' இரண்டும் மிகப் பெரியதாக அதிகரிக்க, அதிகரிக்க தொடர்வரிசையானது, L க்கு மிகமிக அருகில் நெருங்குமானால், இதற்கு எல்லை உண்டு.
கேள்வி: தொடர்வரிசையின் எல்லை - வரையறை என்பது என்ன?
பதில்: (x_{n, m}) என்ற தொடர்வரிசையின் "இரட்டை எல்லை" x ,கீழ்வருமாறு குறியீட்டில் எழுதப்படுகிறது: :x_{n, m} \to x, அல்லது :\lim_{\begin{smallmatrix} n \to \infty \\ m \to \infty \end{smallmatrix}} x_{n, m} = x, கீழுள்ள நிபந்தனை நிறைவு செய்யப்படுமானால், (x_{n, m}) என்ற தொடர்வரிசையின் "இரட்டை எல்லை"யாக x இருக்கும்: : \varepsilon > 0 என்ற மெய்யெண் ஒவ்வொன்றுக்கும், மேலும் n, m \geq N என்றமையும் ஒவ்வொரு சோடி இயல் எண்களுக்கும், ::|x_{n, m} - x| :என்பதை நிறைவுசெய்யும்வகையில் N என்ற ஒரு இயல் எண் இருக்கவேண்டும். அதாவது, ஒவ்வொரு \varepsilon அளவு நெருக்கத்திற்கும், தொடர்வரிசையின் உறுப்புகள், அதேயளவு நெருக்கத்தில் எல்லை மதிப்பிற்கு அருகிலிருக்கும். (x_{n, m}) தொடர்வரிசையானது x என்ற எல்லைமதிப்பிற்கு "ஒருங்கும்" அல்லது "நெருங்கும்" எனப்படுகிறது. இதுவே குறியீட்டில் பின்வருமாறு எழுதப்படுகிறது: :\forall \varepsilon > 0 \left(\exists N \in \N \left(\forall n, m \in \N \left(n, m \geq N \implies |x_{n, m} - x| . இரட்டை எல்லையானது, முதலில் ''n'' இல் எல்லை கண்டு, அதன் பின்னர் ''m'' இல் எல்லை காணும் "தொடர்முறை எல்லை"யிலிருந்து வேறுபட்டதாகும். ஒரு தொடர்வரிசைக்கு இரட்டை எல்லை, தொடர்முறை எல்லை என இரண்டுமே இருக்குமானால், அவற்றின் மதிப்புகள் சமமாகவே இருக்கும். இவ்விரு எல்லைகளில் ஒன்று காணத்தக்கதாக இருந்து, மற்றது இல்லாமலும் இருக்கலாம்.
கேள்வி: தொடர்வரிசையின் எல்லை - முடிவிலி எல்லைகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: இரட்டைத் தொடர்வரிசை (x_{n,m}) இன் முடிவிலி எல்லைக்கான குறியீடு: :x_{n,m} \to \infty, அல்லது :\lim_{\begin{smallmatrix} n \to \infty \\ m \to \infty \end{smallmatrix}}x_{n,m} = \infty, கீழுள்ள நிபந்தனை நிறைவு செய்யப்படுமானால் (x_{n, m}) என்ற தொடர்வரிசைக்கு எல்லை முடிவிலியாக இருக்கும்: : K என்ற ஒவ்வொரு மெய்யெண்ணுக்கும், மேலும் n, m \geq N என்றமையும் ஒவ்வொரு சோடி இயல் எண்களுக்கும், ::x_{n,m} > K என்றவாறு N என்ற ஒரு இயல் எண் இருக்கவேண்டும். அதாவது தொடர்வரிசையின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் நிலையான K ஐ விடப் பெரியது. இதுவே குறியீட்டில் பின்வருமாறு தரப்படுகிறது: :\forall K \in \mathbb{R} \left(\exists N \in \N \left(\forall n, m \in \N \left(n, m \geq N \implies x_{n, m} > K \right)\right)\right). -\infty எல்லை: குறியீடு: :x_{n,m} \to -\infty, அல்லது :\lim_{\begin{smallmatrix} n \to \infty \\ m \to \infty \end{smallmatrix}}x_{n,m} = -\infty, நிறைவு செய்யப்படவேண்டிய நிபந்தனை: : K என்ற ஒவ்வொரு மெய்யெண்ணுக்கும், மேலும் n, m \geq N என்றமையும் ஒவ்வொரு சோடி இயல் எண்களுக்கும், ::x_{n,m} என்றவாறு N என்ற ஒரு இயல் எண் இருக்கவேண்டும். அதாவது தொடர்வரிசையின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் நிலையான K ஐ விடச் சிறியது. இதுவே குறியீட்டில் பின்வருமாறு தரப்படுகிறது: :\forall K \in \mathbb{R} \left(\exists N \in \N \left(\forall n, m \in \N \left(n, m \geq N \implies x_{n, m} . -\infty அல்லது +\infty ஐ நெருங்கும் தொடர்வரிசைகள் விரிதொடர்வரிசைகள் எனப்படுகின்றன. ஆனால் எல்லா விரிதொடர்வரிசைகளும் -\infty அல்லது +\infty ஐ நெருங்காது. இதற்கொரு எடுத்துக்காட்டு: :x_{n,m}=(-1)^{n+m}
கேள்வி: தொடர்வரிசையின் எல்லை - புள்ளிவாரியான எல்லைகளும் சீரான எல்லைகளும் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: (x_{n,m}) என்ற இரட்டைத் தொடர்வரிசைக்கு ஏதாவது ஒரு சுட்டெண்ணுக்கான எல்லையைக் காணலாம். எடுத்துக்காட்டாக, n \to \infty என எடுத்துக்கொண்டு, (y_m) என்ற ஒற்றைத் தொடர்வரிசையைப் பெறலாம். இவ்வாறு எல்லை காண்பதில், இரு எல்லைகள் உள்ளன. ஒன்று "புள்ளிவாரியான எல்லை" ( pointwise limit); மற்றது "சீரான எல்லை" (uniform limit). ;புள்ளிவாரியான எல்லை குறியீடு: :x_{n, m} \to y_m\quad \text{pointwise}, அல்லது :\lim_{n \to \infty} x_{n, m} = y_m\quad \text{pointwise}, நிறைவு செய்யவேண்டிய நிபந்தனை: :\varepsilon > 0 என்ற ஒவ்வொரு மெய்யெண்ணுக்கும், m என்ற ஒவ்வொரு நிலையான இயல் எண்ணுக்கும், மேலும் n \geq N என்றமையும் ஒவ்வொரு இயல் எண் nக்கும்: ::|x_{n, m} - y_m| என்றிருக்குமாறு ஒரு இயல் எண் N(\varepsilon, m) > 0 இருக்கும். குறியீட்டில் இந்நிபந்தனை: :\forall \varepsilon > 0 \left( \forall m \in \mathbb{N} \left(\exists N \in \N \left(\forall n \in \N \left(n \geq N \implies |x_{n, m} - y_m| . இந்த எல்லையை காணமுடிந்தால், (x_{n, m}) தொடர்வரிசையானது "புள்ளிவாரியாக ஒருங்கல் தொடர்வரிசை" எனப்படும்; அதன் எல்லை அல்லது ஒருங்கு மதிப்பு (y_m) ஆகும். ;சீரான எல்லை குறியீடு: :x_{n, m} \to y_m \quad \text{uniformly}, :\lim_{n \to \infty} x_{n, m} = y_m \quad \text{uniformly}, :x_{n, m} \rightrightarrows y_m , or :\underset{n\to\infty}{\mathrm{unif} \lim} \; x_{n, m} = y_m , நிறைவுசெய்ய வேண்டிய நிபந்தனை: :\varepsilon > 0 என்ற ஒவ்வொரு மெய்யெண்ணுக்கும், m என்ற ஒவ்வொரு இயல் எண்ணுக்கும், மேலும் n \geq N என்றமையும் ஒவ்வொரு இயல் எண் nக்கும்: ::|x_{n, m} - y_m| என்றிருக்குமாறு ஒரு இயல் எண் N(\varepsilon) > 0 இருக்கும். குறியீட்டில் இந்நிபந்தனை: :\forall \varepsilon > 0 \left(\exists N \in \N \left( \forall m \in \mathbb{N} \left(\forall n \in \N \left(n \geq N \implies |x_{n, m} - y_m| . இவ்வாறான எல்லை இருந்தால், (x_{n, m}) தொடர்வரிசையானது ஒரு சீரான ஒருங்கல் தொடர்வரிசையாகும்; அதன் சீரான ஒருங்கல் மதிப்பு (y_m) ஆகும். சீரான எல்லையின் வரையறையில் N இன் தேர்வு, m ஐச் சார்ந்திருக்காது. அதாவது N இன் தேர்வு, m இன் அனைத்து இயலெண் மதிப்புகளுக்கும் பொதுவானது. எனவே தொடர்வரிசையின் புள்ளிவாரியான ஒருங்கலை விடச் சீரான ஒருங்கல் வலுவான பண்பாகும். ஒரு தொடர்வரிசைக்குச் சீரான எல்லை இருந்தால், அத்தொடர்வரிசைக்குப் புள்ளிவாரியான ஒருங்கலும் இருக்கும்; மேலும் புள்ளிவாரியான ஒருங்கல் மதிப்பானது, சீரான ஒருங்கல் மதிப்புக்குச் சமமாகவும் இருக்கும்.