கேள்வி: கோளத்தில் நேர்மாற்றம் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: File:Sphere inversion.png நேர்மாற்றம்.]] முப்பரிமாணத்தில் கோளத்தில் நேர்மாற்றம் அல்லது கோள நேர்மாற்றம் (''inversion in a sphere'') என்பது ஒரு கோளம் உட்புறத்தை வெளிப்புறமாகவும், வெளிப்புறத்தை உட்புறமாகவும் மாற்றும் உருமாற்றம் ஆகும். இந்த நேர்மாற்றத்தில், கோளத்தின் மேலமையும் புள்ளிகள் மட்டுமே நிலைப்புப் புள்ளிகளாக இருக்கும்.
கேள்வி: கோளத்தில் நேர்மாற்றம் - பண்புகள் என்பது என்ன?
பதில்: கோள நேர்மாற்றமானது சுருள்வு (கணிதம்) ஆகும். இந்நேர்மாற்றத்தில், *குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மீதமையும் புள்ளிகள் நிலைப்புத்தன்மை கொண்டவை. *ஒரு கோடு நேர்மாறு, குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின் வழிச்செல்லும் வட்டம். இக்கூற்றின் எதிர்மாறும் (vice versa) உண்மையாக இருக்கும். *ஒரு தளம் (வடிவவியல்) நேர்மாறு, குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின் வழிச்செல்லும் மற்றொரு கோளம். இக்கூற்றின் எதிர்மாறும் உண்மையாக இருக்கும். *மற்றபடி, ஒரு வட்டத்தின் நேர்மாறு, வட்டமாகவும், கோளத்தின் நேர்மாறு, கோளமாகவும் இருக்கும்.
கேள்வி: கோளத்தில் நேர்மாற்றம் - புள்ளியின் நேர்மாறு பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் வெளிப்புறத்திலுள்ள புள்ளியின் நேர்மாறு கோளத்தின் உட்புறத்தில் அமையும் புள்ளியாகவும், குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் உட்புறத்திலுள்ள புள்ளியின் நேர்மாறு கோளத்தின் வெளிப்புறத்தில் அமையும் புள்ளியாகவும் இருக்கும். குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மீதுள்ள புள்ளிகள் நிலையானவை. ;வெளிப்புறப்புள்ளியின் நேர்மாறு File:Inver in a sphere, Fig i.jpg *குறிப்பீட்டுக் கோளத்திற்கு வெளியேயுள்ள புள்ளி P. OP இன் வழிச் செல்லும் தளம் (வடிவவியல்), P லிருந்து குறிப்பீட்டுக் கோளத்துக்கு இரு தொடுகோடுகள் வரையப்படுகின்றன. அவை கோளத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளிகள் S, T. *இவ்விரு புள்ளிகளை இணைத்து வரையப்படும் நாண் (வடிவவியல்) ST மற்றும் OP இரண்டும் சந்திக்கும் புள்ளி P'. *இப்போது செங்கோண முக்கோணங்கள் OPT, OTP' இரண்டும் வடிவொத்த முக்கோணங்கள். எனவே :::OP/OT = OT/OP' ::ஃ P இன் நேர்மாறு P' எனவே கோளத்தின் வெளிப்புறத்திலுள்ள புள்ளியின் நேர்மாறு கோளத்தின் உட்புறத்தில் அமைகிறது. ;உட்புறப்புள்ளியின் நேர்மாறு * குறிப்பீட்டுக் கோளத்திற்கு உள்ளேயுள்ள புள்ளி P. OP இன் வழிச் செல்லும் தளமொன்றில், OP க்கு P இல் செங்குத்தாக இருக்குமாறு குறிப்பீடுக் கோளத்திற்கு நாண் ஒன்று வரையப்படுகிறது. இந்நாண் கோளத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளிகள் S, T. *S, T இல் குறிப்பீட்டுக் கோளத்திற்கு வரையப்படும் தொடுகோடுகள் இரண்டும் சந்திக்கும் புள்ளி P' *செங்கோண முக்கோணங்கள் OPT, OTP' இரண்டும் வடிவொத்த முக்கோணங்கள். எனவே ::OP/OT = OT/OP' ::ஃ P இன் நேர்மாறு P' அதாவது கோளத்தின் உட்புறத்திலுள்ள புள்ளியின் நேர்மாறு கோளத்தின் வெளிப்புறம் அமைகிறது.
கேள்வி: கோளத்தில் நேர்மாற்றம் - கோட்டின் நேர்மாறு பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: பொதுவாக ஒரு கோடு நேர்மாறானது, நேர்மாற்ற மையத்தின் (குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின்) வழிச்செல்லும் வட்டம் இருக்கும். எனினும், *கோடானது குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின் வழியே செல்லுமானால் அக்கோடு தன்-நேர்மாறாக இருக்கும். *கோடானது குறிப்பீட்டுக் கோளம் Σ ஐ வெட்டும் கோடாக இருந்தால், அவை வெட்டிக்கொள்ளும் இரு புள்ளிகள் மட்டுமே தன்-நேர்மாறுப் புள்ளிகளாக இருக்கும். ;குறிப்பீட்டுக் கோளத்தை வெட்டாத ஒரு கோட்டின் நேர்மாறு File:Inver in a sphere, Fig 3h.jpg * குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் O லிருந்து கோட்டிற்கு வரையப்படும் செங்குத்தின் அடி P; அதன் நேர்மாறு P'. *கோட்டின் மீதமையும் ஏதேனுமொரு புள்ளி X; அதன் நேர்மாறு X'. * மேலே தரப்பட்டுள்ள ”இரு புள்ளிகளின் நேர்மாறு”-இன் முடிவின்படி, ∠OX'P' = ∠OPX = 90o. *∠OPX = 90o என்பதால் ::∠OX'P' = 90o * X' புள்ளியானது, OP' ஐ விட்டம் கொண்ட வட்டத்தின் மீதமையும் ஆகும் (அரைவட்டத்தில் அமையும் கோணம் செங்கோணம்). *X ஐப் போன்றே கோட்டின் மீதுள்ள பிற புள்ளிகளின் நேர்மாறுகளும் OP' ஐ விட்டமாகக் கொண்ட வட்டத்தின் மீதுள்ள புள்ளிகளாகும். எனவே இக்கோட்டின் நேர்மாறு குறிப்பீட்டுக் கோளமையத்தின் வழிச்செல்லும் ஒரு வட்டமாகும்.
கேள்வி: கோளத்தில் நேர்மாற்றம் - தளத்தின் நேர்மாறு பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: பொதுவாக, ஒரு தளத்தின் நேர்மாறு குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின் வழிச்செல்லும் கோளமாக இருக்கும். எனினும், *எடுத்துக்கொள்ளப்படும் தளத்தில் குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் O அமைந்தால், அத்தளமானது தன்-நேர்மாறு ஆகும். *எடுத்துக்கொள்ளப்படும் தளமானது குறிப்பீட்டுக் கோளம் Σ ஐ வெட்டுமானால், அவை இரண்டும் வெட்டிக்கொள்ளும் வட்டத்தின் மீதுள்ள எல்லாப் புள்ளிகள் தன்-நேர்மாறுப் புள்ளிகளாகும். ;குறிப்பீட்டுக் கோளத்தை வெட்டாத தளத்தின் நேர்மாறு * குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் O லிருந்து தளத்திற்கு வரையப்படும் செங்குத்தின் அடி P; P இன் நேர்மாறு P'. * தளத்தின் மீதுள்ள ஏதேனுமொரு புள்ளி X. அதன் நேர்மாறு X'. * இப்பொழுது இரு புள்ளிகளின் நேர்மாறுகளின் முடிவின் படி, ::∠OX'P' = ∠OPX *ஆனால் ∠OPX = 90o *எனவே ∠OX'P' = 90o * ஃ OP' ஐ விட்டமாகக் கொண்ட கோளத்தின் மீது X' இருக்கும்.(அரைவட்டத்தில் அமையும் கோணம் செங்கோணம்) :*X ஐப் போன்றே தளத்தின் மீதுள்ள பிற புள்ளிகளின் நேர்மாறுகளும் OP' ஐ விட்டமாகக் கொண்ட கோளத்தின் மீதுள்ள புள்ளிகளாகும். எனவே இத்தளத்தின் நேர்மாறு குறிப்பீட்டுக் கோளமையத்தின் வழிச்செல்லும் ஒரு கோளமாகும்.
கேள்வி: கோளத்தில் நேர்மாற்றம் - குறிப்பீட்டுக் கோளத்தை வெட்டாத கோளத்தின் நேர்மாறு பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: *{A, a} கோளத்தை OA வெட்டும் புள்ளிகள் S, T மற்றும் அவற்றின் நேர்மாறுப் புள்ளிகள் S', T'. *{A, a} இன் விட்டம் ST . {A, a} கோளத்தின் மீதமையும் ஏதேனுமொரு புள்ளி X. அதன் நேர்மாறு X'. *இப்பொழுது ”இருபுள்ளிகளின் நேர்மாறு” முடிவின்படி ::: ∠OXT = ∠OT'X', :::∠OXS = ∠OS'X'. ;நிலை1 O இன் ஒரே பக்கத்தில் T, S அமைகிறது File:Fig4b.pdf *∠T'X'S' = ∠OX'S' &minus; ∠OX'T' :: = ∠OSX &minus; ∠OTX (”இருபுள்ளிகளின் நேர்மாறு” முடிவின்படி). :: = ∠TXS (முக்கோணத்தின் ஒரு வெளிக்கோணம் மற்ற இரு உட்கோணங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம்) *ஆனால் ∠TXS = 90o (அரைவட்டத்திலமையும் கோணம் செங்கோணம்) * ஃ ∠T'X'S' = 90o * எனவே T'S' ஐ விட்டமாகக் கொண்ட கோளத்தின்மீது X' அமைகிறது. *{A, a} கோளத்தின் மீதமையும் எல்லாப் புள்ளிகளுக்கும் இம்முடிவு பொருந்தும். எனவே {A, a} கோளத்தின் நேர்மாறு மற்றொரு கோளமாகும். ;நிலை 2 O இன் எதிர்ப்புறங்களில் T, S அமைகிறது File:Inver in a sphere, Fig 5.pdf *∠OXT + ∠OXS = 90o (அரைவட்டத்திலமையும் கோணம் செங்கோணம்). *∠T'X'S' = ∠OX'T' + ∠OX'S' :: = ∠OTX + ∠OSX (”இருபுள்ளிகளின் நேர்மாறு”). :: = 180o &minus; ∠TXS (ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் கூடுதல் 180o) * ∠T'X'S' = 90o, (அரைவட்டத்திலமையும் கோணம் செங்கோணம்). *T'S' ஐ விட்டமாகக் கொண்ட கோளத்தின்மீது X' அமைகிறது. *{A, a} கோளத்தின் மீதமையும் எல்லாப் புள்ளிகளுக்கும் இம்முடிவு பொருந்தும். *எனவே {A, a} கோளத்தின் நேர்மாறு மற்றொரு கோளமாகும்.
கேள்வி: கோளத்தில் நேர்மாற்றம் - வட்டத்தின் நேர்மாறு பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: பொதுவாக, ஒரு வட்டத்தின் நேர்மாறு மற்றொரு வட்டமாகும். எனினும்குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் வட்டத்தின் மீது அமையும் போது மட்டும் அவ்வட்டத்தின் நேர்மாறு ஒரு கோடாகும். நேர்மாறு காணவேண்டிய வட்டம் c இன் மையம் C, ஆரம் a. மேலும் இவ்வட்டம் அமைந்திருக்கும் தளம் ψ . * இவ்வட்டமானது குறிப்பீட்டுக் கோளத்தை வெட்டினால், அவையிரண்டும் வெட்டிக்கொள்ளும் இரு புள்ளிகள் மட்டுமே தன்-நேர்மாறுப் புள்ளிகளாக இருக்கும். * குறிப்பீட்டுக் கோளமையம் O லிருந்து வட்டத்தின் மீது, மிக அருகிலமையும் மற்றும் மிகத்தூரத்தில் அமையும் புள்ளிகள் முறையே S, T (i.e. OT > OS). அவற்றின் நேர்மாறுகள் S', T' * வட்டத்தின் மையம் C, குறிப்பீட்டுக் கோளமையமான O இல் அமைந்தால், வட்டத்தின் நேர்மாறு வட்டம், கோளம் இரண்டுடன் ஒரே மையங்கொண்ட மற்றொரு வட்டமாக அமையும். இந்த நேர்மாறு வட்டத்தின் ஆரம் r2/a அலகுகள்
கேள்வி: கோளத்தில் நேர்மாற்றம் - குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் வழியாகச் செல்லும் வட்டத்தின் நேர்மாறு பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: *வட்டத்தின் ஒரு விட்டம் OP; P இன் நேர்மாறு P'. *வட்டத்தின் மீதுள்ள ஏதேனுமொரு புள்ளி X. அதன் நேர்மாறு X'. *”இரு புள்ளிகளி நேர்மாறு” முடிவின்படி, :::∠OP'X' = ∠OXP = 90o. *ஃ X இன் நேர்மாறு X' ஆனது OP' க்குச் செங்குத்தாக, வட்டத்தன் தளத்தில் அமையும் கோட்டில் அமைகிறது. *இம்முடிவு வட்டத்தின் மீதுள்ள மற்ற எல்லாப் புள்ளிகளுக்கும் பொருந்தும் * எனவே வட்டத்தின் நேர்மாறானது OP' க்குச் செங்குத்தாக வட்டத்தன் தளத்தில் அமையும் ஒரு கோடாகும். அதாவது, குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் வழியாகச் செல்லும் வட்டத்தின் நேர்மாறு ஒரு கோடாகும்.
கேள்வி: கோளத்தில் நேர்மாற்றம் - குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் வட்டத்தின் தளத்தில் அமையாநிலை குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: குறிப்பீட்டுக் கோளமையம் O, வட்டத்தின் தளத்தின் (ψ) மீதமையவில்லை * வட்டத்த்தின் தளத்திற்குச் செங்குத்தாக, வட்டமையத்தின் வழியே வரையப்படும் கோட்டிலமையும் இரு புள்ளிகள் A, B * A, B ஐ மையங்களாகக் கொண்டு வட்டத்தின் வழியே செல்லும் இரு கோளங்கள் Λ, Ω. ஆனால் இவையிரண்டும் குறிப்பீட்டுக் கோளமையமான O வழியே செல்லாதவை. * Λ, Ω இன் நேர்மாறுக் கோளங்கள் Λ', Ω'. * வட்டத்தின் நேர்மாறின் மேலுள்ள புள்ளிகள் எல்லாம் Λ' , Ω' இரண்டின் மீதும் அமையும். * Λ', Ω' கோளங்களின் வெட்டாக அமையும் வட்டமானது (c'), எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட வட்டத்தின் (c) நேர்மாறு. குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் வட்டத்தின் தளத்தில் அமையாத போது அவ்வட்டத்தின் நேர்மாறு மற்றொரு வட்டமாகும். ;குறிப்பு குறிப்பீட்டுக் கோள மையம் வட்டத்தின் தளத்தில் அமையுமானால், எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட வட்டமானது {C, a} கோளத்தின் பெரு வட்டம். இந்நிலையில் கோளத்தின் நேர்மாறு காணும் முறையில் வட்டத்தின் நேர்மாறு காணலாம்.