கேள்வி: ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு - சிக்கலெண் கோட்பாட்டில் பயன்பாடு பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: Image:Euler's formula-ta.svg Image:Euler's Formula c-ta.svg ''x'' இன் மெய்மதிப்புகளுக்குச் சார்பு ''e'ix'' சிக்கலெண் தளத்தில் அலகு வட்டமாக அமைகிறது. ''x'' என்பது அலகு வட்டத்தின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியை ஆதியுடன் இணைக்கும் கோட்டிற்கும் மெய் அச்சின் நேர்ப் பகுதிக்கும் இடைப்பட்ட கோணம். இக் கோணம் எதிர்கடிகாரதிசையில், ரேடியன் அலகுகளில் அளக்கப்படுகிறது. ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டின் நிறுவல் (கீழே தரப்பட்டுள்ளது) அடுக்குறிச் சார்பு ''e'z'' (''z'' ஒரு சிக்கலெண்) மற்றும் sin&nbsp;''x'', cos&nbsp;''x'' (''x'' ஒரு மெய்யெண்) ஆகியவற்றைச் சார்ந்துள்ளது. சிக்கலெண் தளத்தில் உள்ள ஒரு புள்ளியைக் கார்ட்டீசியன் ஆயகூறுகள் மூலம் குறிக்கலாம். ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமை வாள்முனை ஆள்கூற்று முறைமை இடைப்பட்ட தொடர்பாக அமைகிறது. சிக்கலெண்களை போலார் ஆயதொலைவுகளைக் கொண்டு எழுதுவது, சிக்கலெண்களின் அடுக்குகளின் பெருக்கலை எளிதாக்குகிறது. ''z'' ஒரு சிக்கலெண் எனில்: : z = x + iy = |z| (\cos \phi + i\sin \phi ) = r e^{i \phi} \ : \bar{z} = x - iy = |z| (\cos \phi - i\sin \phi ) = r e^{-i \phi} \ இதில்: : x = \mathrm{Re}\{z\} \, மெய்ப் பகுதி : y = \mathrm{Im}\{z\} \, கற்பனைப் பகுதி : r = |z| = \sqrt{x^2+y^2} ''z'' இன் மட்டு மதிப்பு அல்லது எண்ணளவை :\phi = \arg z = \, atan2(''y'', ''x'') . \phi \, ''z''&mdash; இன் கோணவீச்சு (argument). அதாவது நேர் ''x'' -அச்சுக்கும் திசையன் ''z'' க்கும் இடைப்பட்ட எதிர்கடிகார திசையில் ரேடியன் அலகுகளில் அளக்கப்பட்ட கோணம். இதன் வாயிலாகச் சிக்கலெண்ணின் மடக்கையை வரையறுக்க ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தலாம். இதற்காக மடக்கைச் சார்பானது அடுக்குக்குறிச் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு என்ற கருத்து பயன்படுத்தப்படுகிறது. :a = e^{\ln (a)} \ :e^a e^b = e^{a + b} \ இதில் ''a'' , ''b'' இரண்டும் சிக்கலெண்கள். : z = |z| e^{i \phi} = e^{\ln |z|} e^{i \phi} = e^{\ln |z| + i \phi} \ (''z''&nbsp;≠&nbsp;0). இருபுறமும் மடக்கை காண: : \ln z= \ln |z| + i \phi \ . :\phi ஒரு பன்மதிப்புடையது என்பதால் சிக்கலெண்ணின் மடக்கையும் பன்மதிப்புச் சார்பு ஆகும்.
கேள்வி: ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு - முக்கோணவியலுடன் தொடர்பு குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: File:Sine Cosine Exponential qtl1.svg ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு: * e^{ix} = \cos x + i \sin x \; * e^{-ix} = \cos(- x) + i \sin(- x) = \cos x - i \sin x \; இவ்விரு சமன்பாடுகளையும் கூட்டினால் கோசைன் (முக்கோணவியல்) மதிப்பும், கழித்தால் சைன் (முக்கோணவியல்) மதிப்பும் கீழுள்ளவாறு கிடைக்கிறது. * \cos x = \mathrm{Re}\{e^{ix}\} ={e^{ix} + e^{-ix} \over 2} * \sin x = \mathrm{Im}\{e^{ix}\} ={e^{ix} - e^{-ix} \over 2i} இவற்றைப் பயன்படுத்தி மெய்ப்புனை கோணங்களுக்கு முக்கோணவியல் சார்புகளை வரையறுக்கலாம். ''y'' = ''ix'' எனப் பதிலிடக் கிடைக்கும் வாய்ப்பாடுகள்: * \cos(iy) = {e^{-y} + e^{y} \over 2} = \cosh(y) * \sin(iy) = {e^{-y} - e^{y} \over 2i} = - {e^{y} - e^{-y} \over 2i} = i\sinh(y) \ . முக்கோணவியல் சார்புகளைக் கொண்டு கணித அடிப்படைச் செயல்களைச் செய்யும்பொழுது அச்சார்புகளை அடுக்குக்குறிச் சார்புகள் வாயிலாக எடுத்துக் கொள்வது கணக்கிடுதலை எளிதாக்கும். எடுத்துக்காட்டாக: : \begin{align} \cos x\cdot \cos y & = \frac{(e^{ix}+e^{-ix})}{2} \cdot \frac{(e^{iy}+e^{-iy})}{2} \\ & = \frac{1}{2}\cdot \frac{e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2} \\ & = \frac{1}{2} \bigg[\underbrace{ \frac{e^{i(x+y)} + e^{-i(x+y)}}{2} }_{\cos(x+y)} + \underbrace{ \frac{e^{i(x-y)} + e^{-i(x-y)}}{2} }_{\cos(x-y)} \bigg] \ \end{align} : \begin{align} \cos(nx) & = \mathrm{Re} \{\ e^{inx}\ \} = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\ \} \\ & = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot (\underbrace{e^{ix} + e^{-ix}}_{2\cos(x)} - e^{-ix})\ \} \\ & = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot 2\cos(x) - e^{i(n-2)x}\ \} \\ & = \cos[(n-1)x]\cdot 2 \cos(x) - \cos[(n-2)x] \ \end{align}
கேள்வி: ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு - அடுக்குத் தொடர் வாயிலாக பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: டெய்லர் தொடர் கற்பனை அலகு ''i'' இன் அடுக்குகளின் பண்புகளைக் கொண்டு ஆய்லர் தேற்றம் நிறுவப்படுகிறது:[http://books.google.com/books?id=PjK0F0T3NBoC&pg=PA428 A Modern Introduction to Differential Equations, by Henry J. Ricardo, p428] : \begin{align} i^0 &{}= 1, \quad & i^1 &{}= i, \quad & i^2 &{}= -1, \quad & i^3 &{}= -i, \\ i^4 &={} 1, \quad & i^5 &={} i, \quad & i^6 &{}= -1, \quad & i^7 &{}= -i, \end{align}.... மேலும் ''x'' இன் மெய்மதிப்புகளுக்கு, : \begin{align} e^{ix} &{}= 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \frac{(ix)^5}{5!} + \frac{(ix)^6}{6!} + \frac{(ix)^7}{7!} + \frac{(ix)^8}{8!} + \cdots \\[8pt] &{}= 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - \frac{ix^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{ix^5}{5!} - \frac{x^6}{6!} - \frac{ix^7}{7!} + \frac{x^8}{8!} + \cdots \\[8pt] &{}= \left( 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \right) \\[8pt] &{}= \cos x + i\sin x \ . \end{align} கடைசிப்படியில் ''cos(x)'' மற்றும் ''sin(x)'' இன் மெக்லாரின் தொடர்கள் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன.
கேள்வி: ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு - எல்லையின் வரையறை வாயிலாக பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: File:EulerFormulaAsLimit.gif e^z இன் எல்லை வரையறை மூலம் ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு நிறுவப்படுகிறது[http://books.google.com/books?id=JUoyqlW7PZgC&pg=PA166 ''Ordinary differential equations'', by Vladimir Igorevich Arnolʹd, p166]: :e^z = \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{z}{n}\right)^n. z=ix எனப் பதிலிட்டு, ஐ மிகப் பெரிய முழு எண்ணாகக் கொண்டால், : 1, \, \left(1+\frac{ix}{1}\right)^1, \, \left(1+\frac{ix}{2}\right)^2, \ldots, \, \left(1+\frac{ix}{n}\right)^n -தொடர்முறையின் கடைசி உறுப்பு ஐ நெருங்குகிறது. இத் தொடர்முறையின் உறுப்புகளைச் சிக்கலெண் தளத்தில் குறித்தால் அவை தோராயமாக அலகு வட்டம் அமையும். ஒவ்வொரு புள்ளியும் அதற்கு முந்தைய புள்ளியிலிருந்து எதிர்கடிகார திசையில் ரேடியனில் அமையும். எனவே எனும்போது, தொடர்முறையின் கடைசி உறுப்பான இன் புள்ளி அலகு வட்டத்தின் மீது +1 புள்ளியிலிருந்து எதிர்கடிகார திசையில் ரேடியன் அளவில் அமையும். அதாவது அப்புள்ளி ஆக இருக்கும். எனவே .
கேள்வி: ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு - நுண்கணிதம் வாயிலாக பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: நுண்கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டை நிறுவலாம் ''(Second proof on page)''. இந் நிறுவலுக்கு ஒரு சிக்கலெண்ணின் போலார் ஆயதொலைவு வடிவம் பயன்படுத்தப்படுகிறது. :e^{ix} = r (\cos(\theta) + i \sin(\theta))\,. இதனை இருபுறமும் வகைக்கெழு, :i e ^{ix} = (\cos(\theta) + i \sin(\theta)) \frac{dr}{dx} + r (-\sin(\theta) + i \cos(\theta)) \frac{d \theta}{dx}\,. இதில் e^{ix} = r (\cos(\theta) + i \sin(\theta))எனப் பதிலிட்டு, இருபுறமுமுள்ள மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகளைச் சமப்படுத்தக் கிடைப்பது: :\textstyle \frac{dr}{dx} = 0 :\textstyle \frac{d\theta}{dx} = 1. :e^{i0} = 1 என்பதால் r(0) = 1மற்றும் \theta(0) = 0 ஆகும். எனவே r=1 மற்றும் \theta=x எனக் காணலாம். : ஃ e^{ix} = 1(\cos(x)+i \sin(x)) என நிறுவப்படுகிறது.