கேள்வி: வகுஎண் சார்பு பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: Image:Divisor.svg Image:Sigma function.svg Image:Divisor square.svg Image:Divisor cube.svg எண் கோட்பாடு வகுஎண் சார்பு (''divisor function'') என்பது ஒரு முழு எண்ணின் வகுஎண்களோடு தொடர்புடைய எண்கணிதச் சார்பு ஆகும் ரீமன் இசீட்டா சார்பியம் மீதான தொடர்புகள் உட்பட்ட பல முற்றொருமைகளில் இச்சார்பு பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. [பல முக்கியமான சமானம், மாடுலோ n முற்றொருமை (கணிதம்) கணிதவியலில் கண்டுபிடித்த இந்தியக் கணிதவியலாளர் இராமானுசன் வகுஎண் சார்பு குறித்தும் ஆய்வு செய்துள்ளார். அதுகுறித்த விவரங்கள் இராமானுசன் கூட்டு கட்டுரையில் தரப்பட்டுள்ளது.
கேள்வி: வகுஎண் சார்பு - வரையறை பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: ஒரு சிக்கலெண் ''x'' இன் நேர் வகுஎண்கள் கூட்டுச் சார்பு (''sum of positive divisors function'') σ''x''(''n'') என்பது, ''n'' இன் நேர் வகுஎண்களின் ''x'' ஆவது அடுக்கேற்றம் கூட்டுகை வரையறுக்கப்படுகிறது. இச்சார்பினை கீழுள்ளவாறு எழுதலாம்: :\sigma_{x}(n)=\sum_{d|n} d^x\,\! , ({d|n} என்பது "''n'' இன் வகுஎண் ''d''" என்பதன் சுருக்கக் குறியீடு) ''x'' = 0 எனும்போது கிடைக்கும் சார்பான σ0(''n'') என்பது வகுஎண்களின் எண்ணிக்கைச் சார்பு ஆகும். அதாவது σ0(''n''), ''n'' இன் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கையைத் தருகிறது. ''d''(''n''), ν(''n''), τ(''n'') (ஜெர்மானிய மொழியில் வகுஎண் என்பதற்கான சொல் ''Teiler'') ஆகிய குறியீடுகளும் σ0(''n'') ஐக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. (). ''x'' = 1 ஆக இருக்கும்போது இச்சார்பானது சிக்மா சார்பு (''sigma function'') அல்லது வகுஎண்களின் கூட்டுச் சார்பு (''sum-of-divisors function'') எனப்படுகிறது. இக்குறியீட்டில் கீழொட்டு இல்லாமலும் எழுதலாம்: :σ(''n'') = σ1(''n'') (). ''n'' இன் தகு வகுஎண் சார்பு -''s''(''n''): இது ''n'' நீங்கலான அதன் பிற வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகையைக் குறிக்கும் சார்பு ). :''s''(''n'') = σ1(''n'')&nbsp;&minus;&nbsp;''n'' தகு வகுஎண் கூட்டுச் சார்பைத் தொடர்ந்து செயற்படுத்துவதன் மூலம் ''n'' இன் தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத் தொடர்முறையைப் பெறலாம்.
கேள்வி: வகுஎண் சார்பு - அட்டவணை பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: {| class="wikitable" |- ! ''n'' ! வகுஎண்கள் ! σ0(''n'') ! σ1(''n'') ! ''s''(''n'')&nbsp;=&nbsp;σ1(''n'')&nbsp;&minus;&nbsp;''n'' ! குறிப்பு |- ! 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | வர்க்கம் (கணிதம்): σ0(''n'') ஒற்றை; இரண்டின் அடுக்கு: s(''n'')&nbsp;=&nbsp;''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1 |- ! 2 | 1, 2 | 2 | 3 | 1 | பகா எண்: σ1(''n'') = 1 + ''n'' so s(''n'') = 1; இரண்டின் அடுக்கு: ''s''(''n'')&nbsp;=&nbsp;''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1 |- ! 3 | 1, 3 | 2 | 4 | 1 | பகாஎண்: σ1(''n'') = 1 + ''n'' so s(''n'') = 1 |- ! 4 | 1, 2, 4 | 3 | 7 | 3 | வர்க்க எண்: σ0(''n'') ஒற்றையெண்; இரண்டின் அடுக்கு: ''s''(''n'')&nbsp;=&nbsp;''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1 (almost-perfect) |- ! 5 | 1, 5 | 2 | 6 | 1 | பகாஎண்: σ1(''n'') = 1 + ''n'' so s(''n'') = 1 |- ! 6 | 1, 2, 3, 6 | 4 | 12 | 6 | முதல் நிறைவெண் (கணிதம்): ''s''(''n'')&nbsp;=&nbsp;''n'' |- ! 7 | 1, 7 | 2 | 8 | 1 | பகாஎண்: σ1(''n'') = 1 + ''n'' so s(''n'') = 1 |- ! 8 | 1, 2, 4, 8 | 4 | 15 | 7 | இரண்டின் 2: ''s''(''n'') = ''n'' &minus; 1 |- ! 9 | 1, 3, 9 | 3 | 13 | 4 | வர்க்க எண்: σ0(''n'') ஒற்றையெண் |- ! 10 | 1, 2, 5, 10 | 4 | 18 | 8 | |- ! 11 | 1, 11 | 2 | 12 | 1 | பகாஎண்: σ1(''n'') = 1 + ''n'' so s(''n'') = 1 |- ! 12 | 1, 2, 3, 4, 6, 12 | 6 | 28 | 16 | முதல் மிகையெண் (கணிதம்): ''s''(''n'')&nbsp;>&nbsp;''n'' |- ! 13 | 1, 13 | 2 | 14 | 1 | பகாஎண்: σ1(''n'') = 1 + ''n'' so s(''n'') = 1 |- ! 14 | 1, 2, 7, 14 | 4 | 24 | 10 | |- ! 15 | 1, 3, 5, 15 | 4 | 24 | 9 | |- ! 16 | 1, 2, 4, 8, 16 | 5 | 31 | 15 | வர்க்க எண்: σ0(''n'') ஒற்றையெண்; இரண்டின் அடுக்கு: ''s''(''n'')&nbsp;=&nbsp;''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1 |}
கேள்வி: வகுஎண் சார்பு - பண்புகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: :''n'' ஒரு வர்க்கமற்ற எண் எனில் அதன் ஒவ்வொரு வகுஎண் ''d'' , ''n'' இன் மற்றொரு வகுஎண் ''n''/''d'' இன் சோடியாக அமையும், \sigma_{0}(n) இரட்டை எண்ணாக இருக்கும். :''n'' ஒரு வர்க்க எண் எனில் அதன் ஒரு வகுஎண் (\sqrt n) ''n'' இன் வேறெந்தவொரு வகுஎண்ணுடனும் சோடியாக அமையாது, \sigma_{0}(n) ஒற்றை எண்ணாக இருக்கும். : ''n'' வர்க்க எண்ணாகவோ அல்லது இரட்டை வர்க்க எண்ணாகவோ இருந்தால் மட்டுமே\sigma_{1}(n) ஒற்றையெண்ணாக இருக்கும். ''p'' ஒரு பகாஎண் எனில், : \begin{align} \sigma_0(p) & = 2 \\ \sigma_0(p^n) & = n+1 \\ \sigma_1(p) & = p+1 \end{align} : \sigma_0(p_n\#) = 2^n \, :1 ; σ(''n'')&nbsp;>&nbsp;''n'' (&nbsp;''n''&nbsp;>&nbsp;2) :n = \prod_{i=1}^r p_i^{a_i} ''r''&nbsp;=&nbsp;''&omega;''(''n'') என்பது ''n'' இன் வெவ்வேறான பகாக் காரணிகளின் எண்ணிக்கை, ''pi'' - ''i'' ஆவது பகாகாரணி, ''n'' ஐ வகுக்கக்கூடிய வகுஎண் ''pi'' இன் அதிகபட்ச அடுக்கு ''ai'' எனில்: :\sigma_x(n) = \prod_{i=1}^{r} \frac{p_{i}^{(a_{i}+1)x}-1}{p_{i}^x-1} இம்முடிவு கீழ்வரும் வாய்பாடுக்குச் சமானமானது: : \sigma_x(n) = \prod_{i=1}^r \sum_{j=0}^{a_i} p_i^{j x} = \prod_{i=1}^r (1 + p_i^x + p_i^{2x} + \cdots + p_i^{a_i x}). ''x'' = 0 எனில் ''d''(''n'') : :\sigma_0(n)=\prod_{i=1}^r (a_i+1). ''n'' = 24 எனில், :இரு பகாக்காரணிகள் (''p1'' = 2; ''p2'' = 3) உள்ளன. 24 = 23×31. எனவே ''a''1 = 3; ''a''2 = 1. :\sigma_0(24) ஐக் கீழுள்ளவாறு கணக்கிடலாம்: : \begin{align} \sigma_0(24) & = \prod_{i=1}^{2} (a_i+1) \\ & = (3 + 1)(1 + 1) = 4 \times 2 = 8. \end{align} :24 இன் எட்டுக் காரணிகள்: :1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, 24. :''s''(''n'') = ''&sigma;''(''n'')&nbsp;&minus;&nbsp;''n''. :''s''(''n''), ''n'' இன் அனைத்து தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகையைக் குறிக்கிறது. அதாவது ''n'' நீங்கலாக, ''n'' இன் மற்ற வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகையைத் தருகிறது. நிறைவெண் (கணிதம்) அடையாளங்காண இச்சார்பு பயன்படுகிறது. :''s''(''n'') =&nbsp;''n'' எனில், ''n'' ஒரு நிறைவெண் :''s''(''n'') > ''n'' எனில், ''n'' ஒரு மிகையெண் (கணிதம்) :''s''(''n'') n = 2^k): : \sigma(n) = 2 \times 2^k - 1 = 2n - 1, :s(n) = n - 1 இதனால் ''n'' ஒரு கிட்டத்தட்ட நிறைவெண்ணாக இருக்கும்.
கேள்வி: வகுஎண் சார்பு - தொடர்களில் என்பது என்ன?
பதில்: வகுஎண் சார்பைக் கொண்டுள்ள இரு டிரிழ்ச்லெட் தொடர்கள்: *\sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s} = \zeta(s) \zeta(s-a)\quad\text{for}\quad s>1,s>a+1, இதிலிருந்து ''d''(''n'')&nbsp;=&nbsp;''&sigma;''0(''n''): : \sum_{n=1}^\infty \frac{d(n)}{n^s} = \zeta^2(s)\quad\text{for}\quad s>1, *\sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s) \zeta(s-a) \zeta(s-b) \zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)}. வகுஎண் சார்பைக் கொண்டுள்ள லாம்பெர்ட் தொடர்: :\sum_{n=1}^\infty q^n \sigma_a(n) = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^a q^n}{1-q^n} (குறிப்பிலா சிக்கலெண் |''q''|&nbsp;≤&nbsp;1 and&nbsp;''a'')