கேள்வி: சிற்றணிக்கோவை பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: நேரியல் இயற்கணிதம் ஒரு அணி (கணிதம்) சிற்றணிக்கோவை (''minor'') என்பது அவ்வணியிலிருந்து அதன் ஒன்று அல்லது ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட நிரைகளையோ, நிரல்களையோ நீக்கக் கிடைக்கும் சிறிய சதுர அணியின் அணிக்கோவையாகும். ஒரு சதுர அணியிலிருந்து ஒரேயொரு நிரையையும், நிரலையும் மட்டும் நீக்கிப் பெறப்படும் சிற்றணிக்கோவைகள், முதல் சிற்றணிக்கோவைகள் (''first minors'') எனப்படுகின்றன. இவை அச்சதுர அணியின் அணிக்கோவை மதிப்பினைக் கணக்கிடுவதற்கும் அவ்வணியின் நேர்மாறு அணி காண்பதற்கும் பயன்படுகின்றன.
கேள்வி: சிற்றணிக்கோவை - முதல் சிற்றணிக்கோவைகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: ''A'' ஒரு சதுர அணி எனில் அதன் ''i''-வது நிரை மற்றும் ''j''-வது நிரலிலில் உள்ள உறுப்பின் சிற்றணிக்கோவை ((''i'',''j'') சிற்றணிக்கோவை அல்லது முதல் சிற்றணிக்கோவை)Burnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) ''[https://books.google.com/books?id=BhgPAAAAIAAJ&pg=PA239 Theory of Equations: with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form]''.) என்பது ''A'' அணியின் i-ஆவது நிரையையும் j-ஆவது நிரலையும் நீக்கிவிடக் கிடைக்கும் அணியின் அணிக்கோவையாகும்.http://www.textbooksonline.tn.nic.in/Books/11/Std11-Maths-TM-1.pdf கணிதவியல், மேல்நிலை முதலாமாண்டு-தமிழ்நாட்டுப் பாடநூல் கழகம், 2007 பதிப்பு (''i'',''j'') சிற்றணிக்கோவையின் குறியீடு M''i,j'' ;பொதுவான வரையறை A ஒரு ''m'' × ''n'' அணி; ''k'' ஒரு முழு எண்; 0 < ''k'' ≤ ''m'', ''k'' ≤ ''n'' எனில்: :A இன் ''k'' × ''k'' சிற்றணிக்கோவை என்பது A அணியிலிருந்து ''m'' − ''k'' நிரைகளையும் ''n'' − ''k'' நிரல்களையும் நீக்கிய பின் கிடைக்கும் ''k'' × ''k'' அணியின் அணிக்கோவையாகும்.
கேள்வி: சிற்றணிக்கோவை - இணைக்காரணிகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: குறியிடப்பட்ட சிற்றணிக்கோவைகள் இணைக்காரணிகள் என அழைக்கப்படும். :(''i'',''j'') சிற்றணிக்கோவையை (-1)^{i+j} ஆல் பெருக்கக் கிடைப்பது (i,j) இணைக்காரணியாகும். இதன் குறியீடு C''i,j''. ::\mathbf{C}_{ij} = (-1)^{i+j} \mathbf{M}_{ij}. \,
கேள்வி: சிற்றணிக்கோவை - 3 x 3 அணியின் சிற்றணிக்கோவை, இணைக்காரணி காணல் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: எடுத்துக்காட்டு: :\begin{bmatrix} \,\,\,1 & 4 & 7 \\ \,\,\,3 & 0 & 5 \\ -1 & 9 & \!11 \\ \end{bmatrix} மேலுள்ள அணியில் சிற்றணிக்கோவை ''M''23 காண்பதற்கு அந்த அணியிலிருந்து இரண்டாவது நிரையும் மூன்றாவது நிரலும் நீக்கப்பட்டு மீதமாகும் அணியின் அணிக்கோவையின் மதிப்பு கணக்கிடப்படுகிறது. : M_{23} = \det \begin{bmatrix} \,\,1 & 4 & \Box\, \\ \,\Box & \Box & \Box\, \\ -1 & 9 & \Box\, \\ \end{bmatrix}= \det \begin{bmatrix} \,\,\,1 & 4\, \\ -1 & 9\, \\ \end{bmatrix} = (9-(-4)) = 13 இதற்குரிய இணைக்காரணி ''C''23: :\ C_{23} = (-1)^{2+3}(M_{23}) = -13.
கேள்வி: சிற்றணிக்கோவை - இணைக்காரணி அணி என்பது என்ன?
பதில்: ஒரு அணியின் அனைத்து உறுப்புகளை அவற்றின் இணைக்காரணிகளைக் கொண்டு பதிலிடக் கிடைப்பது அவ்வணியின் இணைக்காரணி அணி எனப்படும். இணைக்காரணி அணியின் குறியீடு \mathbf{C} ;3 x 3 பொது அணியின் இணைக்காரணி அணி : \mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} இதன் இணைக்காரணி அணி: : \mathbf{C} =\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} +\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \\ & & \\ -\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \\ & & \\ +\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \end{pmatrix}
கேள்வி: சிற்றணிக்கோவை - அணிக்கோவைகளின் விரிவு குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: n\times n அணி (a_{ij}) எனில் :''A'' இன் அணிக்கோவையின் (det(''A'')) ''j''th நிரல் மூலமான இணைக்காரணி விரிவு: :\ \det(\mathbf A) = a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + a_{3j}C_{3j} + ... + a_{nj}C_{nj} = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} C_{ij} :''A'' இன் அணிக்கோவையின் (det(''A'')) ''i''th நிரல் மூலமான இணைக்காரணி விரிவு: :\ \det(\mathbf A) = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + a_{i3}C_{i3} + ... + a_{in}C_{in} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij}
கேள்வி: சிற்றணிக்கோவை - அணியின் நேர்மாறு பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: கிரமரின் விதியைப் பயன்படுத்தி நேர்மாற்றத்தக்க அணியின் இணைக்காரணிகளைக் கண்டுபிடித்து அவ்வணியின் நேர்மாறு அணியைக் காணலாம். இணைக்காரணிகளாலான அணி: :\mathbf C=\begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1n} \\ C_{21} & C_{22} & \cdots & C_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{n1} & C_{n2} & \cdots & C_{nn} \end{bmatrix} A அணியின் இணைக்காரணி அணியின் (\mathbf C ) இடமாற்று அணி, A இன் சேர்ப்பு அணி எனப்படும். A அணியின் நேர்மாறு அணி: :\mathbf A^{-1} = \frac{1}{\operatorname{det}(\mathbf A)} \mathbf C^\mathsf{T}.
கேள்வி: சிற்றணிக்கோவை - அணியின் அளவை பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: மெய்யெண்களாலான ''m'' × ''n'' அணியின் அணிகளின் அளவை ''r'' எனில் அவ்வணிக்கு, குறைந்தபட்சம் ஒரு பூச்சியமில்லா ''r'' × ''r'' சிற்றணிக்கோவையும், பிற மேல்வரிசை சிற்றணிக்கோவைகள் அனைத்தும் பூச்சியமாகவும் இருக்கும்.
கேள்வி: சிற்றணிக்கோவை - வெளியிணைப்புகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: * [http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/video-lectures/lecture-19-determinant-formulas-and-cofactors/ MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors] at Google Video, from MIT OpenCourseWare * [http://planetmath.org/encyclopedia/Cofactor.html PlanetMath entry of ''Cofactors''] * [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Minor Springer Encyclopedia of Mathematics entry for ''Minor''] பகுப்பு:அணிக் கோட்பாடு