கேள்வி: சுழலெண் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: ஒரு முழு எண்ணின் இலக்கங்களைச் சுழல் வரிசைமாற்றம் செய்வதால் கிடைக்கும் புது எண்கள், மூல எண்ணின் அடுத்தடுத்த மடங்குகளாக அமையுமானால் அம்முழுஎண் சுழலெண் (''cyclic number'') எனப்படும். எடுத்துக்காட்டு: 142857 (எண்) ஒரு சுழலெண்: :142857 &times; 1 = 142857 :142857 &times; 2 = 285714 :142857 &times; 3 = 428571 :142857 &times; 4 = 571428 :142857 &times; 5 = 714285 :142857 &times; 6 = 857142
கேள்வி: சுழலெண் - விளக்கம் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ஒரு எண் சுழலெண்ணாக இருக்கவேண்டுமானல் அதன் தொடர் மடங்குகள் அதன் இலக்கங்களின் சுழல் வரிசைமாற்றங்களாக இருக்க வேண்டும்[http://mathworld.wolfram.com/CyclicNumber.html Cyclic Number]. எண் 076923 ஒரு சுழலெண் அல்ல. அதன் இலக்கங்களின் சுழல் வரிசைமாற்றங்கள் 076923 இன் மடங்குகளாக உள்ளன, ஆனால் அடுத்தடுத்த வரிசையிலான மடங்குகளாக இல்லை: :076923 &times; 1 = 076923 :076923 &times; 3 = 230769 :076923 &times; 4 = 307692 :076923 &times; 9 = 692307 :076923 &times; 10 = 769230 :076923 &times; 12 = 923076 முன் சுழிகள் அனுமதிக்கப்படாவிட்டால், பதின்மம் 142857 மட்டுமே சுழலெண்ணாக இருக்கும். முன்சுழிகள் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டால் சுழலெண்களின் தொடர்வரிசை: :(106-1) / 7 = 142857 (6 இலக்கங்கள்) :(1016-1) / 17 = 0588235294117647 (16 இலக்கங்கள்) :(1018-1) / 19 = 052631578947368421 (18 இலக்கங்கள்) :(1022-1) / 23 = 0434782608695652173913 (22 இலக்கங்கள்) :(1028-1) / 29 = 0344827586206896551724137931 (28 இலக்கங்கள்) :(1046-1) / 47 = 0212765957446808510638297872340425531914893617 (46 இலக்கங்கள்) :(1058-1) / 59 = 0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 (58 இலக்கங்கள்) :(1060-1) / 61 = 016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 (60 இலக்கங்கள்)
கேள்வி: சுழலெண் - சுழலெண்களின் வடிவம் என்பது என்ன?
பதில்: சுழலெண்களின் வடிவம்: :\frac{b^{p-1}-1}{p} இதில் ''b'' -அடிமான எண்; ''p'' ஒரு பகா எண் மற்றும் ''b'' இன் வகுஎண்ணாக ''p'' இருக்காது. எடுத்துக்காட்டு: * ''b'' = 10, ''p'' = 7 எனில் கிடைக்கும் சுழலெண் 142857 * ''b'' = 12, ''p'' = 5 எனில் கிடைக்கும் சுழலெண் 2497 ''p'' இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் இவ்வாய்ப்பாடு சுழலெண்ணைத் தராது. எடுத்துக்காட்டு: :''b'' = 10, ''p'' = 13 என மேலுள்ள வாய்ப்பாட்டில் பதிலிடக் கிடைக்கும் எண் 076923076923. இது ஒரு சுழலெண் அல்ல. *பதின்மம் (''b'' = 10) இவ்வாய்ப்பாட்டில் பதிலிடும்போது சுழலெண்களைத் தரும் ''p'' இன் முதல் மதிப்புகள் :7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, 619, 647, 659, 701, 709, 727, 743, 811, 821, 823, 857, 863, 887, 937, 941, 953, 971, 977, 983, … *''b'' = 12 எனில் இவ்வாய்ப்பாட்டில் பதிலிடும்போது சுழலெண்களைத் தரும் ''p'' இன் முதல் மதிப்புகள் :5, 7, 17, 31, 41, 43, 53, 67, 101, 103, 113, 127, 137, 139, 149, 151, 163, 173, 197, 223, 257, 269, 281, 283, 293, 317, 353, 367, 379, 389, 401, 449, 461, 509, 523, 547, 557, 569, 571, 593, 607, 617, 619, 631, 641, 653, 691, 701, 739, 751, 761, 773, 787, 797, 809, 821, 857, 881, 929, 953, 967, 977, 991, ... * ''b'' = 2 எனில், இவ்வாய்ப்பாட்டில் பதிலிடும்போது சுழலெண்களைத் தரும் ''p'' இன் முதல் மதிப்புகள் :3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 587, 613, 619, 653, 659, 661, 677, 701, 709, 757, 773, 787, 797, 821, 827, 829, 853, 859, 877, 883, 907, 941, 947, ... * ''b'' = 3 எனில், இவ்வாய்ப்பாட்டில் பதிலிடும்போது சுழலெண்களைத் தரும் ''p'' இன் முதல் மதிப்புகள் :2, 5, 7, 17, 19, 29, 31, 43, 53, 79, 89, 101, 113, 127, 137, 139, 149, 163, 173, 197, 199, 211, 223, 233, 257, 269, 281, 283, 293, 317, 331, 353, 379, 389, 401, 449, 461, 463, 487, 509, 521, 557, 569, 571, 593, 607, 617, 631, 641, 653, 677, 691, 701, 739, 751, 773, 797, 809, 811, 821, 823, 857, 859, 881, 907, 929, 941, 953, 977, ... பதினறும எண் முறைமையில் (''b'' = 16) இத்தகைய ''p'' இன் மதிப்புகள் இல்லை.
கேள்வி: சுழலெண் - பண்புகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: *ஒரு சுழலெண் அதன் பிறப்பாக்கி பகாஎண்ணால் பெருக்கப்படும்போது ''அடிமான எண்''&minus;1' மதிப்புள்ள இலக்கங்களைக் கொண்ட எண் விடையாகக் கிடைக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, பத்தடிமானத்தில் சுழலெண் 14287 ஐ அதன் பிறப்பாக்கி 7 ஆல் பெருக்கக் கிடைக்கும் எண்: ::142857 &times; 7 = 999999. * ''14 + 28 + 57 = 99'', ''142 + 857 = 999'', ''1428 + 5714+ 2857 = 9999'' ... *அனைத்து சுழலெண்களும் ''அடிமான எண்''&minus;1' ஆல் வகுபடும்.
கேள்வி: சுழலெண் - மேலும் படிக்க குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: *Gardner, Martin. Mathematical Circus: More Puzzles, Games, Paradoxes and Other Mathematical Entertainments From Scientific American. New York: The Mathematical Association of America, 1979. pp.&nbsp;111–122. *Kalman, Dan; 'Fractions with Cycling Digit Patterns' The College Mathematics Journal, Vol. 27, No. 2. (Mar., 1996), pp.&nbsp;109–115. * Leslie, John. ''"The Philosophy of Arithmetic: Exhibiting a Progressive View of the Theory and Practice of ...."'', Longman, Hurst, Rees, Orme, and Brown, 1820, *Wells, David; ''"The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers"'', Penguin Press.
கேள்வி: சுழலெண் - வெளியிணைப்புகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: * [http://www.youtube.com/watch?v=WUlaUalgxqI Youtube: "Cyclic Numbers - Numberphile"] பகுப்பு:குறிப்பிடத்தக்க எண் வகைகள் பகுப்பு:வரிசைமாற்றங்கள்