கேள்வி: ஒட்டு வளைவரை பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: Image:Osculating circle.svg புள்ளி ''P''-ல் வளைவரை ''C'' யினைத் தொடுகின்றன. இங்கு ''r'' என்பது வளைவு ஆரம் ஆகும்.]] வகையீட்டு வடிவகணிதத்தில், ஒரு ஒட்டு வளைவரை (''Osculating curve'') என்பது கொடுக்கப்பட்ட வளைவரை குடும்பத்தில் உள்ள ஏதேனும் ஒரு வளைவரையுடன் அதிகபட்ச வரிசை தொடர்புடைய ஒரு தள வளைவரை ஆகும். அதாவது, F என்பது சீரான வளைவரைகளின் ஒரு குடும்பமாக இருந்தால், C என்பது ஒரு சீரான வளைவரை (பொதுவாக F க்கு சொந்தமானது அல்ல), மற்றும் p என்பது C இல் ஒரு புள்ளி எனில், பின் F லிருந்து புள்ளி p-ல் ஒரு ஒட்டு வளைவரை என்பது F இன், புள்ளி p வழியாகயும், புள்ளி p-ல் வகையீடுகளை, வளைவரை C-ன் வகையீடுகளுக்கு சமமாகக் கொண்ட வளைவரை ஆகும். இந்த வார்த்தை முத்தமிட என்ற பொருளுடைய "osculate" என்னும் லத்தீன் வேர்ச் சொல்லிலிருந்து பெறப்பட்டது, ஏனெனில் இரண்டு வளைவரைகள் எளிய தொடுதலைவிட நெருக்கமான வழியில் ஒன்றுக்கொன்று தொடர்புகொள்கின்றன.... Reprinted in . [https://books.google.com/books?id=Y6TzgsS035kC&pg=PA69 P.&nbsp;69]: "Osculating curves don't kiss for long, and quickly revert to a more prosaic mathematical contact."
கேள்வி: ஒட்டு வளைவரை - உதாரணங்கள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: பல்வேறு வரிசைகளில் ஒட்டு வளைவரைக்கான உதாரணங்கள் பின்வருமாறு, *கோடு (வடிவவியல்) குடும்பத்திலிருந்து ஒட்டு வளைவரை என்பது, புள்ளி ''p''-ல் வளைவரை ''C''-ன் தொடுகோடு எனப்படும். தொடுகோடு அதன் முதல் வகையிடல் (சாய்வு)-ஐ வளைவரை ''C'' உடன் பகிர்ந்து கொள்கின்றது, எனவே அது வளைவரை ''C'' உடன் முதல் வரிசைத் தொடர்பு கொண்டுள்ளது. *வட்டம் குடும்பத்திலிருந்து ஒட்டு வளைவரை என்பது, புள்ளி ''p''-ல் ''C''-ன் ஒட்டு வட்டம் எனப்படும். ஒட்டு வட்டம் அதன் முதல் மற்றும் இரண்டாம் வகையிடல் (சாய்வு மற்றும் வளைவு (கணிதம்))-களை ''C'' உடன் பகிர்ந்து கொள்கின்றது, எனவே அது வளைவரை ''C'' உடன் இரண்டாம் வரிசைத் தொடர்பு கொண்டுள்ளது. *பரவளைவு குடும்பத்திலிருந்து ஒட்டு வளைவரை என்பது, புள்ளி ''p''-ல் ''C''-ன் ஒட்டு பரவளையம் எனப்படும். ஒட்டு பரவளையம் அதன் முதல் மூன்று வகையிடல் (சாய்வு)-களை ''C'' உடன் பகிர்ந்து கொள்கின்றது, எனவே அது ''C'' உடன் மூன்றாம் வரிசைத் தொடர்பு கொண்டுள்ளது. *கூம்பு வெட்டு குடும்பத்திலிருந்து ஒட்டு வளைவரை என்பது, புள்ளி ''p''-ல் ''C''-ன் ஒட்டு கூம்பு வளையம் எனப்படும். ஒட்டு கூம்பு வளையம் அதன் முதல் நான்கு வகையிடல் (சாய்வு)-களை ''C'' உடன் பகிர்ந்து கொள்கின்றது, எனவே அது ''C'' உடன் நான்காம் வரிசைத் தொடர்பு கொண்டுள்ளது.
கேள்வி: ஒட்டு வளைவரை - சான்றாதாரம் என்பது என்ன?
பதில்: 1. Rutter, J. W. (2000), Geometry of Curves, CRC Press, pp. 174–175, . 2. Williamson, Benjamin (1912), An elementary treatise on the differential calculus: containing the theory of plane curves, with numerous examples, Longmans, Green, p. 309. 3. Max, Black (1954–1955), "Metaphor", Proceedings of the Aristotelian Society, N.S., 55: 273–294. Reprinted in Johnson, Mark, ed. (1981), Philosophical Perspectives on Metaphor, University of Minnesota Press, pp. 63–82, . P. 69: "Osculating curves don't kiss for long, and quickly revert to a more prosaic mathematical contact." 4.Taylor, James Morford (1898), Elements of the Differential and Integral Calculus: With Examples and Applications, Ginn & Company, pp. 109–110. 5. Kreyszig, Erwin (1991), Differential Geometry, Toronto University Mathematical Expositions, 11, Courier Dover Publications, pp. 32–33, .