கேள்வி: சுழல்களும் நிலைத்த புள்ளிகளும் என்பது என்ன?
பதில்: File:Permutation matrix; P * column.svg கணிதத்தில் S என்ற முடிவுறு கணம் (கணிதம்) மீதான வரிசைமாற்றம் ''π'' எனில் அவ்வரிசைமாற்றத்தின் சுழல்கள் (''cycles'') என்பவை, ''S'' இன் மீது செயற்படும் வரிசைமாற்றம் ''π'' இன் செயற்பாட்டால் உருவாகும் உட்குலங்களின் சுற்றுப்பாதைகளுக்கு (orbit) இருவழியொத்தவையாக அமைவன ஆகும். இந்த சுற்றுப்பாதைகள் S இன் உட்கணங்களாக அமையும். {&nbsp;''c''1,&nbsp;...,&nbsp;''c'l''&nbsp;} ஒரு சுற்றுப்பாதை எனில்: :''π''(''c'i'') = ''c'i'' + 1, ''i'' = 1, ..., ''l''&nbsp;&minus;&nbsp;1, மற்றும் ''π''(''c'l'') = ''c''1. இந்த சுற்றுப்பாதைக்குரிய ''π'' இன் சுழல் ( ''c''1 ''c''2 ... ''c'n'' ) என எழுதப்படுகிறது. ''c''1 ஆக சுற்றுப்பாதையின் எந்தவொரு உறுப்பும் எடுத்துக்கொள்ளப்படலாம் என்பதால், இம்முறையில் எழுதுவது தனித்தவொரு முறையாகா இருக்காது. ஒரு சுற்றுப்பாதையின் அளவு ''l'' எனில் அதுவே, அச்சுற்றுப்பாதையின் சுழலின் நீளம் ஆகும். ''l''&nbsp;=&nbsp;1 எனில் சுற்றுப்பாதையில் ஒரேயொரு உறுப்பு மட்டுமேயிருக்கும்; அந்த உறுப்பு வரிசைமாற்றத்தின் நிலைத்த புள்ளி எனப்படும். ஏதாவது ஒரு வரிசைப்படி ஒரு வரிசைமாற்றத்தின் சுழல்களை அடுத்தடுத்து எழுதுவதன் மூலம் அவ்வரிசைமாற்றம் குறிக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டு: : \pi = \begin{pmatrix} 1 & 6 & 7 & 2 & 5 & 4 & 8 & 3 \\ 2 & 8 & 7 & 4 & 5 & 3 & 6 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 3 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 2 & 4 & 3 & 1 & 5 & 8 & 7 & 6 \end{pmatrix} இதில் 1 ----> 2, 2---->4, 4---->3, 3---->1; 6 ----> 8, 5---->5, 7--->7. எனவே இவ்வரிசைமாற்றத்தைப் பின்வரும் விதங்களில் எழுதலாம். :''π'' = ( 1 2 4 3 ) ( 5 ) ( 6 8 ) (7) = (7) ( 1 2 4 3 ) ( 6 8 ) ( 5 ) = ( 4 3 1 2 ) ( 8 6 ) ( 5 ) (7) = ... இதில் ''π''(5)=5, ''π''(7)=7 என்பதால் 5, 7 இரண்டும் ''π'' இன் நிலைத்த புள்ளிகள். ஒரு வரிசைமாற்றத்தின் நிலைத்தபுள்ளிகளை அதாவது 1 நீளமுள்ள சுழலைக் குறிக்கவேண்டியது அவசியமில்லை என்பதால் வரிசைமாற்றத்தினை எழுதும் சரியானமுறை: : π = (1 2 4 3)(6 8)
கேள்வி: சுழல்களும் நிலைத்த புள்ளிகளும் - சுழல்களின் எண்ணிக்கையைக் கொண்டு வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கைக் காணல் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: சரியாக ''j'' சேரா சுழல்களைக்கொண்ட ''k'' உறுப்புகளின் வரிசைமாற்றங்களின் என்ணிக்கையை குறியிடப்படாத இசுடர்லிங் சுழல் எண் ''s''(''k'',&nbsp;''j'') தருகிறது. *அனைத்து ''k'' > 0 மதிப்புகளுக்கும் ''s''(''k'',&nbsp;''k'') = 1 :''k'' உறுப்புகளை, ''k'' சுழல்கள் கொண்டதாக வரிசைமாற்றும் வழி ஒன்றே ஒன்றுதான். இந்த வரிசைமாற்றத்தில் ஒவ்வொரு சுழலின் நீளமும் 1 ஆக இருக்க வேண்டும். அதாவது ஒவ்வொரு உறுப்பும் நிலைத்த புள்ளியாக இருக்கவேண்டும். * அனைத்து ''k'' > 0 மதிப்புகளுக்கும் ''s''(''k'',&nbsp;1) = (''k''&nbsp;&minus;&nbsp;1)!. :''k'' உறுப்புகளின் வரிசைமாற்றத்தில் சுழல்களின் எண்ணிக்கை 1 எனில் அச்சுழல்களின் நீளம் ''k'' ஆக இருக்கும். அதாவது அச்சுழல்கள் ஒவ்வொன்றும் ''k'' உறுப்புகளைக் கொண்டிருக்கும். 1 முதல் ''k'' வரையிலான உறுப்புகளை ''k''! வழிகளில் வரிசைமாற்றலாம். அதேசமயம் ''k'' நீளமுள்ள ஒரு சுழலை வெவ்வேறுவிதமாக ''k'' வழிகளில் எழுதலாம். எடுத்துக்காட்டாக, 4 நீளமுள்ள சுழல் ( 1 2 4 3 ) = ( 2 4 3 1 ) = ( 4 3 1 2 ) = ( 3 1 2 4 ) என நான்கு விதங்களில் எழுதப்படுவதைக் காணலாம். எனவே :: ''s''(''k'', 1) = ''k''!/''k'' = (''k''&nbsp;&minus;&nbsp;1)!. *அனைத்து ''k'' > ''j'' > 1 மதிப்புகளுக்கும், ''s''(''k'',&nbsp;''j'') = ''s''(''k''&nbsp;&minus;&nbsp;1,''j''&nbsp;&minus;&nbsp;1)&nbsp;+&nbsp;''s''(''k''&nbsp;&minus;&nbsp;1,&nbsp;''j'')&middot;(''k''&nbsp;&minus;&nbsp;1) ''j'' சுழல்கள் கொண்டதாக ''k'' உறுப்புகளை இருவேறு வழிகளில் வரிசைமாற்றலாம்: :உறுப்பு ''k'' ஐ ஒரு நிலைத்த புள்ளியாக எடுத்துக்கொண்டால் ''j''&nbsp;&minus;&nbsp;1 சுழல்கள் கொண்ட ''k''&nbsp;&minus;&nbsp;1 உறுப்புகளின் ''s''(''k''&nbsp;&minus;&nbsp;1,&nbsp;''j''&nbsp;&minus;&nbsp;1) வரிசைமாற்றங்களில் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுத்து ''k'' உறுப்பை 1 நீளமுடைய சுழலாக அதனுடன் சேர்த்துக்கொள்ளலாம். (''s''(''k''&nbsp;&minus;&nbsp;1,''j''&nbsp;&minus;&nbsp;1)&nbsp;) :உறுப்பு ''k'' ஐ ஒரு நிலைத்த புள்ளியாக எடுத்துக்கொள்ளாவிட்டால் ''j'' சுழல்கள் கொண்ட ''k''&nbsp;&minus;&nbsp;1 உறுப்புகளின் ''s''(''k''&nbsp;&minus;&nbsp;1,&nbsp;''j'' ) வரிசைமாற்றங்களில் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுத்து ''k'' உறுப்பை ஒவ்வொரு சுழலிலுமுள்ள ''k''&nbsp;&minus;&nbsp;1 உறுப்புகளில் ஏதேனும் ஒன்றின்முன் சேர்த்துக்கொள்ளலாம் (&nbsp;''s''(''k''&nbsp;&minus;&nbsp;1,&nbsp;''j'')&middot;(''k''&nbsp;&minus;&nbsp;1). எனவே, ::''s''(''k'',&nbsp;''j'') = ''s''(''k''&nbsp;&minus;&nbsp;1,''j''&nbsp;&minus;&nbsp;1)&nbsp;+&nbsp;''s''(''k''&nbsp;&minus;&nbsp;1,&nbsp;''j'')&middot;(''k''&nbsp;&minus;&nbsp;1)
கேள்வி: சுழல்களும் நிலைத்த புள்ளிகளும் - சில மதிப்புகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: {| class="wikitable" |- ! rowspan="2" valign="center" | &nbsp; k &nbsp; ! colspan="9" | j ! &nbsp; |- ! 1 ! 2 ! 3 ! 4 ! 5 ! 6 ! 7 ! 8 ! 9 ! sum |- ! 1 | align="right" | 1 | colspan="8" | &nbsp; | align="right" | 1 |- ! 2 | align="right" | 1 | align="right" | 1 | colspan="7" | &nbsp; | align="right" | 2 |- ! 3 | align="right" | 2 | align="right" | 3 | align="right" | 1 | colspan="6" | &nbsp; | align="right" | 6 |- ! 4 | align="right" | 6 | align="right" | 11 | align="right" | 6 | align="right" | 1 | colspan="5" | &nbsp; | align="right" | 24 |- ! 5 | align="right" | 24 | align="right" | 50 | align="right" | 35 | align="right" | 10 | align="right" | 1 | colspan="4" | &nbsp; | align="right" | 120 |- ! 6 | align="right" | 120 | align="right" | 274 | align="right" | 225 | align="right" | 85 | align="right" | 15 | align="right" | 1 | colspan="3" | &nbsp; | align="right" | 720 |- ! 7 | align="right" | 720 | align="right" | 1,764 | align="right" | 1,624 | align="right" | 735 | align="right" | 175 | align="right" | 21 | align="right" | 1 | colspan="2" | &nbsp; | align="right" | 5,040 |- ! 8 | align="right" | 5,040 | align="right" | 13,068 | align="right" | 13,132 | align="right" | 6,769 | align="right" | 1,960 | align="right" | 322 | align="right" | 28 | align="right" | 1 | colspan="1" | &nbsp; | align="right" | 40,320 |- ! 9 | align="right" | 40,320 | align="right" | 109,584 | align="right" | 118,124 | align="right" | 67,284 | align="right" | 22,449 | align="right" | 4,536 | align="right" | 546 | align="right" | 36 | align="right" | 1 | align="right" | 362,880 |- ! &nbsp; ! 1 ! 2 ! 3 ! 4 ! 5 ! 6 ! 7 ! 8 ! 9 ! sum |}
கேள்வி: சுழல்களும் நிலைத்த புள்ளிகளும் - நிலைத்தபுள்ளிகளின் எண்ணிக்கைகொண்டு வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை காணல் என்பது என்ன?
பதில்: ''j'' நிலைப்புள்ளிகள் கொண்ட ''k'' உறுப்புகளை வரிசைமாற்றும் வழிகளின் எண்ணிக்கையை ''f''(''k'',&nbsp;''j'') தருகிறது. *ஒவ்வொரு ''j'' ''k'' மதிப்புகளுக்கு: ::''f''(''k'',&nbsp;''j'') = 0. *''f''(0, 0) = 1. *ஒவ்வொரு ''k'' > 1 ; ''k'' &ge; ''j'' &ge; 0 மதிப்புகளுக்கு: :: ''f''(''k'',&nbsp;''j'') = ''f''(''k''&nbsp;&minus;&nbsp;1,&nbsp;''j''&nbsp;&minus;&nbsp;1) + ''f''(''k''&nbsp;&minus;&nbsp;1,&nbsp;''j'')&middot;(''k''&nbsp;&minus;&nbsp;1 &nbsp;&minus;&nbsp;''j'') + ''f''(''k''&nbsp;&minus;&nbsp;1,&nbsp;''j''&nbsp;+&nbsp;1)&middot;(''j''&nbsp;+&nbsp;1)
கேள்வி: சுழல்களும் நிலைத்த புள்ளிகளும் - சில மதிப்புகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: {| class="wikitable" |- ! rowspan="2" valign="center" | &nbsp; k &nbsp; ! colspan="10" | j ! &nbsp; |- ! 0 ! 1 ! 2 ! 3 ! 4 ! 5 ! 6 ! 7 ! 8 ! 9 ! sum |- ! 1 | align="right" | 0 | align="right" | 1 | colspan="8" | &nbsp; | align="right" | 1 |- ! 2 | align="right" | 1 | align="right" | 0 | align="right" | 1 | colspan="7" | &nbsp; | align="right" | 2 |- ! 3 | align="right" | 2 | align="right" | 3 | align="right" | 0 | align="right" | 1 | colspan="6" | &nbsp; | align="right" | 6 |- ! 4 | align="right" | 9 | align="right" | 8 | align="right" | 6 | align="right" | 0 | align="right" | 1 | colspan="5" | &nbsp; | align="right" | 24 |- ! 5 | align="right" | 44 | align="right" | 45 | align="right" | 20 | align="right" | 10 | align="right" | 0 | align="right" | 1 | colspan="4" | &nbsp; | align="right" | 120 |- ! 6 | align="right" | 265 | align="right" | 264 | align="right" | 135 | align="right" | 40 | align="right" | 15 | align="right" | 0 | align="right" | 1 | colspan="3" | &nbsp; | align="right" | 720 |- ! 7 | align="right" | 1,854 | align="right" | 1,855 | align="right" | 924 | align="right" | 315 | align="right" | 70 | align="right" | 21 | align="right" | 0 | align="right" | 1 | colspan="2" | &nbsp; | align="right" | 5,040 |- ! 8 | align="right" | 14,833 | align="right" | 14,832 | align="right" | 7,420 | align="right" | 2,464 | align="right" | 630 | align="right" | 112 | align="right" | 28 | align="right" | 0 | align="right" | 1 | colspan="1" | &nbsp; | align="right" | 40,320 |- ! 9 | align="right" | 133,496 | align="right" | 133,497 | align="right" | 66,744 | align="right" | 22,260 | align="right" | 5,544 | align="right" | 1,134 | align="right" | 168 | align="right" | 36 | align="right" | 0 | align="right" | 1 | align="right" | 362,880 |- ! &nbsp; ! 0 ! 1 ! 2 ! 3 ! 4 ! 5 ! 6 ! 7 ! 8 ! 9 ! sum |}