கேள்வி: போஸ்–ஐன்ஸ்டின் புள்ளியியல் - வரலாறு என்பது என்ன?
பதில்: சத்யேந்திர நாத் போசு தாக்கா பல்கலைக்கழகத்தில் கதிா்வீச்சுக் குறைபாடு கோட்பாடு பற்றியும், புற ஊதா கதிா்களின் பேரழிவு பற்றியும் விாிவுரையாற்றினார். அவர் மாணவா்களிடம் தற்காலத்தில் இந்தக் கோட்பாடு பற்றாக்குறையாக உள்ளது என்றும் இந்த முடிவு ஒரு ஊகமே தவிர செய்முறை முடிவுகளுடன் ஒத்துப்போவதில்லை் என்றும் கூறியுள்ளார். இந்தக் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தும்போது ஒருபிழை ஏற்பட்டது என்று கூறினாா். ஆனால்,எதிா்பாரதவிதமாக இந்தப் பிழையான ஊகம் செய்முறையோடு ஒத்துப்போகிறது என்றார். இந்தப் பிழை சாதாரணமாக உள்ளது. இரண்டு நாணயங்களை சுண்டும் போது 3 இல் இரு பங்கு தலைவிழுவதற்கான வாய்ப்பு உள்ளது. அடிப்படை புள்ளியல் தொிந்தவா்களுக்கு இது தவறாகத்தான் தொியும். எப்படியிருந்தாலும் இந்த முடிவு செய்முறை முடிவோடு ஒத்துப்போனது. எல்லா அளவுகோளிலும் நுண்துகள்களுக்கான மேக்சுவேல்-போல்ட்சுமேன் பரவல் சாியானதாக இருக்காது என தறுவாய்வெளியில் வெவ்வேறு நிலையில் கண்டறியப்பட்டது. ஒவ்வொரு நிலையிலும் உள்ள சிறிய கூட்டின் அடா்த்தி h3 ஆகும். ஒரு துகளின் நிலையும் உந்தமும் ஒரே மாறியாக எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது. மெய்யியல் மாத இதழில் போசு இந்த விாிவுரையை ஏற்றுக்கொண்டு பிளாங்கு விதியும் ஒளி குவையத்தின் கருதுகோளும்See p. 14, note 3, of the Ph.D. Thesis entitled Bose–Einstein condensation: analysis of problems and rigorous results, presented by Alessandro Michelangeli to the International School for Advanced Studies, Mathematical Physics Sector, October 2007 for the degree of Ph.D. See: "Archived copy". Archived from the original on 2013-11-06. Retrieved 2012-03-25.?show=full, and download from "Archived copy". Archived from the original on 2013-11-06. Retrieved 2012-03-25.Bose (2 July 1924). "Planck's law and the hypothesis of light quanta" (PostScript). University of Oldenburg. Retrieved 30 November 2016. என்ற சிறிய கட்டுரையை எழுதினார். அவர் கட்டுரையை வெளியிடாமல் ஒதுக்கிவிட்டாா்கள். அவர் கையெழுத்துநகலை ஆல்பா்ட் ஐன்சுட்டைனுக்கு அனுப்பி Zeitschrift für Physik. இதழில் வெளியிட கேட்டுக் கொண்டார். அதை ஐன்சுட்டைன் ஏற்றுக்கொண்டு செய்தித்தாளிள் வெளியான கட்டுரையை ஆங்கிலத்திலிருந்து ஐொ்மனுக்கு மொழிபெயர்த்து கட்டுரையை 1924 இல் வெளியிட்டாா்.Bose (1924), "Plancks Gesetz und or, October 2007 for the degree of Ph.D. See: "Archived copy". Archived from the originLichtquantenhypothese", Zeitschrift für Physik (in German), 26: 178–181, Bibcode:1924ZPhy...26..178B, doi:10.1007/BF01327326 அணுவைப் பற்றிய கருத்துக்கு இதை விரிவுப்படுத்தும்போது போசும், ஐன்சுட்டைனும் போஸ்-ஐன்ஸ்டீன் செறிமத்தைக் கண்டறிந்தனா். இது அடா்த்தியான போசான்களின் தொகுப்பு (அந்தத் துகள்களின் சுழற்சி மதிப்பு முழுஎண் மதிப்புடையது. பிறகு அதன் பெயர் போசான் என்றாயிற்று). 1995 இல் செய்முறை வாயிலாக போஸ்-ஐன்ஸ்டீன் செறிமம் விளக்கப்பட்டது.
கேள்வி: போஸ்–ஐன்ஸ்டின் புள்ளியியல் - பெருவரன்முறை தொகுப்புசார் விவரிப்பு பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: போஸ்-ஐன்சுட்டைன் பரவலைக் குவைய அமைப்பின் இடைவினை அல்லாத போசான்களுக்கு மட்டும் பயன்படுத்த முடியும். இந்த அமைப்பை கிரேண்டு வரன்முறைசார் தொகுப்பிலிருந்து மட்டும் எளிய முறையில் வருவிக்க முடியும்Srivastava, R. K.; Ashok, J. (2005). "Chapter 7". Statistical Mechanics. New Delhi: PHI Learning Pvt. Ltd. ..இந்த என்சம்பிள் அமைப்பில் உள்ள தேக்கத்தில் ஆற்றலும் துகள்களும் பாிமாறிக்கொள்கினறன (வெப்பநிலை T மற்றும் வேதியழுத்தம µ நிலையாக உள்ளது). ஒவ்வொரு தனிதுகள் அமைப்பும் தனிதனியாகவும், சிறிய பெருவரன்முறைத் தொகுப்பாகச் செயல்படுகின்றன. : \begin{align}\mathcal Z & = \sum_{N=0}^{\infty} \exp(N(\mu - \epsilon)/k_B T) = \sum_{N=0}^\infty [\exp((\mu - \epsilon)/k_B T)]^N \\ & = \frac{1}{1 - \exp((\mu - \epsilon)/k_B T)}\end{align} துனைநிலையில் தனித்துகள்களில் உள்ள சராசாி துகள்களின் எண்ணிக்கை : \langle N\rangle = k_B T \frac{1}{\mathcal Z} \left(\frac{\partial \mathcal Z}{\partial \mu}\right)_{V,T} = \frac{1}{\exp((\epsilon-\mu)/k_B T)-1} இந்த முடிவு ஒவ்வொரு தனித்துகள் அமைப்புக்கும் பொருந்தும். மேலும், போசு-ஐன்சுட்டைன் பரவலின் முழு அமைப்புக்கும் பொருந்தும்."Chapter 6". Statistical Mechanics. .The BE distribution can be derived also from thermal field theory. துகள் எண்ணிக்கையில் உள்ள மாறுபாட்டை (வெப்ப ஏற்ற இறக்கத்தை பொறுத்து)வருவித்தால் : \langle (\Delta N)^2 \rangle = k_B T \left(\frac{d\langle N\rangle}{d\mu}\right)_{V,T} = \langle N^2\rangle - \langle N\rangle^2 இந்த வெப்ப ஏற்ற இறக்க மட்டம் வேறுபடுத்தும் துகள்களை விட அதிகமாக உள்ளது. அதற்குப் பதிலாக பாய்சான் புள்ளியல் ⟨ ( Δ N ) 2 ⟩=⟨ N ⟩ 2 ⟩பயன்படுத்தபடுகிறது. கொடுக்கப்பட்ட ஆற்றல் மட்டத்தில் உள்ள போசான்களின் எண்ணிக்கை வடிவியல் பரவலில் பகிா்ந்தளிக்கபடுகறதே தவிர பாய்ஸான் பரவலில் பகிா்ந்தளிக்கபடவில்லை. வரன்முறைசார் அணுகுமுறைவழி கொணர்வு இது போசு-ஐன்சுட்டைன் புள்ளியல் வழி தோராயமாக வருவிக்கப்படுகிறது. இந்தக் கொணர்வு நீீளமாகவும் அதிக துகள்களின் எண்ணிகை அணுகுகோட்டிற்கு உாியதாகவும் உள்ளது.இதற்கு காரணம் அனைத்து போஸான்களும் கெனோனிக்கள் என்சம்பிளில் நிலையாக உள்ளது. போஸ்-ஐன்ஸ்டீன்பகிா்மாணத்தில் கணக்கியல் ரீீீதியாக நல்ல முலத்தோற்றத்தை பெற Darwin–Fowler முறை பயன்படுகிறது. இதை வலியுறுத்தியவா்DingleR.B. Dingle, Asymptotic Expansions: Their Derivation and Interpretation, Academic Press (1973), pp. 267–271 மேலும் பாா்க்கMüller-KirstenH.J.W. Müller-Kirsten, Basics of Statistical Physics, 2nd ed., World Scientific (2013), . w(n,g) என்பதில் n துகள்களை பல்வேறு முறைகளில் பகிா்ந்தகளிக்கப்படுகிறது. இதற்கிடையில் ஆற்றல் மட்டத்தில் துணை ஆற்றல் மட்டத்தில் துணை ஆற்றல் மட்டத்தை g என்க. n துகள்களில் பகிா்மாணம் ஒரே ஒரு வழிமுறையில் ஒரு துணை ஆற்றல் மட்டத்தில் பகிரப்படுகிறது. ஆகையால் w(n,1)=1.n துகள்களைப் பகிா்மானம் செய்ய (n+1) வழிகள் இருந்தால் 2 துணை ஆற்றல் மட்டம் காணப்படுகிறது. :w(n,2)=\frac{(n+1)!}{n!1!}. n-துகள்களைப் பகிர, 3 ஆற்றல் மட்டத்தில் பகிா்மானம் செய்யப்படுகிறது. :w(n,3) = w(n,2) + w(n-1,2) + \cdots + w(1,2) + w(0,2) : w(n,3)=\sum_{k=0}^n w(n-k,2) = \sum_{k=0}^n\frac{(n-k+1)!}{(n-k)!1!}=\frac{(n+2)!}{n!2!} ஈறுருப்புக்குணகத்தை பயன்படுத்துபோது, : \sum_{k=0}^n\frac{(k+a)!}{k!a!}=\frac{(n+a+1)!}{n!(a+1)!}. இந்த முறையின் தொடா்ச்சியாக w(n,g) யும் ஈறுப்புக்குணகமாக கருதப்பட்டது. : w(n,g)=\frac{(n+g-1)!}{n!(g-1)!}. எடுத்துகாட்டாக, 2 துகள்கள் 3 துணை ஆற்றல் மட்டத்தில் 200, 110, 101, 020, 011, or 002 மொத்தம் 6 4!/(2!2!). : W = \prod_i w(n_i,g_i) = \prod_i \frac{(n_i+g_i-1)!}{n_i!(g_i-1)!} \approx\prod_i \frac{(n_i+g_i)!}{n_i!(g_i)!} தோராயமாக n_i \gg 1. . W மற்றும் ln(W) வின் உச்சம் n_{i} யின் ஒரே மதிப்பாகும்.முதலில் கணிதவியலாக சாதிக்க எளிமையானதாகவும் உள்ளது.நாங்கள் எங்களது தீா்வினை கட்டுபடுத்த கைலாகிரேஞ்சுப் பெருக்கிகளைச் செயல்படுத்துகிறோம். : f(n_i)=\ln(W)+\alpha(N-\sum n_i)+\beta(E-\sum n_i \varepsilon_i) தோராயமாக n_i \gg 1. மேலும்ம் சுட்டர்லிங்சு தோரயத்தை ஆராயும்போது(x!\approx x^{x}\,e^{-x}\,{\sqrt \right)} கொடுக்கிறது. :f(n_i)=\sum_i (n_i + g_i) \ln(n_i + g_i) - n_i \ln(n_i) +\alpha\left(N-\sum n_i\right)+\beta\left(E-\sum n_i \varepsilon_i\right)+K. K என்பது உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகையில்n_i. இவ்விதியானது செயலற்றது. n_{i} யை பொருத்து வகைகெழு செய்யும்போது : n_i = \frac{g_i}{e^{\alpha+\beta \varepsilon_i}-1}. இதே போன்று மேக்ஸ்வெல்-போல்ட்ஸ்மேன் புள்ளியல் பாா்க்கும்போது :d\ln W=\alpha\,dN+\beta\,dE போல்ட்ஸ்மேனின் பிரபலமான தொடர்பினை பயன்படுத்துபோது S=k\,\ln W வெப்ப இயக்கவியலின் இரண்டாம் விதியிலிருந்து பருமன் நிலையாகவும்,அதன் தொடர்ச்சியாக\beta = \frac{1}{kT} \alpha = - \frac{\mu}{kT} S என்பது என்ட்ரோபி\mu என்பது போல்ட்ஸ்மேன் மாறி மற்றும்T என்பது வெப்பநிலை : n_i = \frac{g_i}{e^{(\varepsilon_i-\mu)/kT}-1}. இந்தச் சூத்திரத்தை வேறுவிதமாக எழுதபடுகிறது : n_i = \frac{g_i}{e^{\varepsilon_i/kT}/z-1}, தனிசெயல்\displaystyle z=\exp(\mu/kT) இதை கூறியவா் McQuarrie.See McQuarrie in citations போஸ்-ஐன்ஸ்டீன் பகிா்வுகளை மிக எளிய வழிமுறையில் காண n துகள்களை ஒரேமாதிாியான பந்துகளாகவும் மற்றும் g கூடுகளை (g-1) கோட்டுபகுதிகளாகவும் கருதபடுகிறது.n பந்துகள் மற்றும் பந்துகளில் வெவ்வேறு ஆற்றல் மட்டத்தில் வெவ்வேறு வழிமுறையில் போஸான்கள் ஒழுங்குப்படுத்தபடுகிறது. 3 (= n) துகள்கள் மற்றும் 3 (= g) கூடுகளை எடுத்துகொண்டால்(g − 1) = 2,.ஒழுங்கு முறையை |●●|●, or ||●●●, or |●|●● : \frac{(g-1 + n)!} {(g-1)! n!} உதாரணமாக, n = 4, g = 3: : S(4,3) = \left\{ \underbrace{(1111), (1112), (1113)}_{(a)}, \underbrace{(1122), (1123), (1133)}_{(b)}, \underbrace{(1222), (1223), (1233), (1333)}_{(c)}, \right. : \left. \underbrace{(2222), (2223), (2233), (2333), (3333)}_{(d)} \right\} w(4,3) = 15(15 உறுப்புகள் \displaystyle S(4,3)) S(4,3) இல் உள்ள ஒவ்வொரு கூறுகளும் வெவ்வேறான தொகுப்புகளாக எண்ணளவையில் உள்ளது.\displaystyle n=4;வெவ்வேறான தொகுப்புகளில் உள்ள கூறுகளை ஒரு தொகுப்பாக கருதினால்\displaystyle \left\{ 1, 2, 3 \right\} இதன் எண்ணளவை \displaystyle g=3,வெவ்வேறான தொகுப்புகளின் குணகம் : \displaystyle \left\langle \begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix} \right\rangle = {3 + 4 - 1 \choose 3-1} = {3 + 4 - 1 \choose 4} = \frac {6!} {4! 2!} = 15 பொதுவாக, \displaystyle S(n,g) ஒவ்வொரு கூறுகளின் வெவ்வேறான தொகுப்புகளின் எண்ணளவை \displaystyle nதொகுப்பில் இருந்துதான் கூறகள் எடுத்துகொள்ளபடுகிறது.\displaystyle \left\{ 1, \dots, g \right\}எண்ணளவை\displaystyle g அதாவது \displaystyle w(n,g) இன் வெவ்வேறான தொகுப்புகளின் குணகங்கள் \displaystyle w(n,g) = \left\langle \begin{matrix} g \\ n \end{matrix} \right\rangle = {g + n - 1 \choose g-1} = {g + n - 1 \choose n} = \frac{(g + n - 1)!} {n! (g-1)!} ஈறுருப்பு கோவைகளின் படி \sum_{k=0}^n\frac{(k+a)!}{k!a!}=\frac{(n+a+1)!}{n!(a+1)!}. கட்டுப்பாட்டு நீக்கத்தை கருத்தில் கொண்டால் \displaystyle w(n,g) = \sum_{k=0}^n w(n-k, g-1) = w(n, g-1) + w(n-1, g-1) + \cdots + w(1, g-1) + w(0, g-1) \displaystyle S(4,3)கூறுகளை மறு ஆய்வு செய்யும்போது : \left. \underbrace{ (11{\color{Red}{\underset{}{33}}}), (12{\color{Red}{\underset{}{33}}}), (22{\color{Red}{\underset{}{33}}}) }_{(\gamma)}, \underbrace{ (1{\color{Red}{\underset{}{333}}}), (2{\color{Red}{\underset{}{333}}}) }_{(\delta)} \underbrace{ ({\color{Red}{\underset{}{3333}}}) }_{(\omega)} \right\}. \displaystyle S(4,3)ன் துணை அமைப்பு\displaystyle (\alpha) : \displaystyle S(4,2) = \left\{ (1111), (1112), (1122), (1222), (2222) \right\} . \displaystyle S(4,3)ல் துணை அமைப்பு\displaystyle (\beta) : \displaystyle S(3,2) = \left\{ (111), (112), (122), (222) \right\} . \displaystyle S(4,3) இல் உள்ள துணை அமைப்பு (\displaystyle (\beta))க்கும் அமைப்பு \displaystyle S(3,2) க்கும் உள்ள தொடா்பு : \displaystyle (\beta) \longleftrightarrow S(3,2) . இதே போல : \displaystyle (\gamma) \longleftrightarrow S(2,2) = \left\{ (11), (12), (22) \right\} : \displaystyle (\delta) \longleftrightarrow S(1,2) = \left\{ (1), (2) \right\} : \displaystyle (\omega) \longleftrightarrow S(0,2) = \varnothing (empty set). எனவே, நாம் பின்வருமாறும் எழுதலாம் : \displaystyle S(4,3) = \bigcup_{k=0}^{4} S(4-k,2) அல்லது பொதுவாக, :{| style="width:100%" border="0" |- | style="width:95%" | \displaystyle S(n,g) = \bigcup_{k=0}^{n} S(n-k,g-1) ; | style="width:5%" | (5) |} மற்றும் முதல் தொகுப்பு : \displaystyle S(i,g-1) \ , \ {\rm for} \ i = 0, \dots , n ஒன்றோடொன்று குறுக்கீடு செய்யாதபோது :{| style="width:100%" border="0" |- | style="width:95%" | \displaystyle w(n,g) = \sum_{k=0}^{n} w(n-k,g-1) , | style="width:5%" | (6) |} நடைமுறைவழக்கில் பாா்த்தால் :{| style="width:100%" border="0" |- | style="width:95%" | : \displaystyle w(0,g) = 1 \ , \forall g \ , {\rm and} \ w(n,0) = 1 \ , \forall n . | style="width:5%" | (7) |} இந்த முறையின் தொடா்ச்சியாக கீழ்க்கண்ட சூத்திரம் பெறப்படுகிறது : \displaystyle w(n,g) = \sum_{k_1=0}^{n} \sum_{k_2=0}^{n-k_1} w(n - k_1 - k_2, g-2) = \sum_{k_1=0}^{n} \sum_{k_2=0}^{n-k_1} \cdots \sum_{k_g=0}^{n-\sum_{j=1}^{g-1} k_j} w(n - \sum_{i=1}^{g} k_i, 0). நடைமுறைவழக்கைc சமன்பாடு 7 இல் பயன்படுத்தும்போது நாம் பின்வரும் சூத்திரத்தை பெறுகிறோம் :{| style="width:100%" border="0" |- | style="width:95%" | \displaystyle w(n,g) = \sum_{k_1=0}^{n} \sum_{k_2=0}^{n-k_1} \cdots \sum_{k_g=0}^{n-\sum_{j=1}^{g-1} k_j} 1, | style="width:5%" | (8) |} இங்கு, q, p eன்பன மாறிலிகள். :{| style="width:100%" border="0" |- | style="width:95%" | \displaystyle \sum_{k=0}^{q} p = q p . | style= | (9) |}
கேள்வி: போஸ்–ஐன்ஸ்டின் புள்ளியியல் - மேலும் பார்க்க பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: * போஸ்-ஐன்ஸ்டின் ஒட்டுறவு * ஐன்சுட்டைன் திண்மம் * போசு- ஐன்சுட்டைன் செறிமம் * இக்சு போசான் * பாராபுள்ளியல் * கரும்பொருள் கதிா்வீச்சின் பிளாங்கு விதி * மீக்கடத்திகள் * பொ்மி-டிராக் புள்ளியியல் * மேக்சுவெல்-போல்ட்சுமேன் புள்ளியியல்