கேள்வி: ரன்டே-குடா முறைகள் பட்டியல் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: Runge-Kutta முறைமைகள் சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாட்டின் எண் தீர்வுக்கான முறைகள் ஆகும் : \frac{d y}{d t} = f(t, y)\, இது வடிவம் எடுக்கிறது : y_{n+1} = y_n + h \sum_{i=1}^s b_i k_i\, : k_1 = f(t_n, y_n), : k_2 = f(t_n+c_2h, y_n+h(a_{21}k_1)), : k_3 = f(t_n+c_3h, y_n+h(a_{31}k_1+a_{32}k_2)), : \vdots : k_i = f\left(t_n + c_i h, y_n + h \sum_{j = 1}^{i-1} a_{ij} k_j\right), இந்தப் பக்கத்தில் பட்டியலிடப்பட்ட ஒவ்வொரு முறையும் அதன் புத்செர் tableau மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது, இது ஒரு அட்டவணையில் உள்ள வழிமுறையின் குணகங்களை பின்வருமாறு வைக்கிறது: : \begin{array}{c|cccc} c_1 & a_{11} & a_{12}& \dots & a_{1s}\\ c_2 & a_{21} & a_{22}& \dots & a_{2s}\\ \vdots & \vdots & \vdots& \ddots& \vdots\\ c_s & a_{s1} & a_{s2}& \dots & a_{ss} \\ \hline & b_1 & b_2 & \dots & b_s\\ \end{array}
கேள்வி: ரன்டே-குடா முறைகள் பட்டியல் - வெளிப்படையான முறைகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: வெளிப்படையான முறைகள், [a_ {ij}] குறைந்த முக்கோணமாகும்.
கேள்வி: ரன்டே-குடா முறைகள் பட்டியல் - முன்னோக்கு ஆய்லர் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: யூலரின் முறை முதல் வரிசையாகும். உறுதியான தன்மை மற்றும் துல்லியம் ஆகியவற்றின் பற்றாக்குறை முக்கியமாக ஒரு எண் தீர்வு முறையின் ஒரு எளிய அறிமுகமான உதாரணமாக பயன்படுத்தப்படுவதைக் குறிக்கிறது. : \begin{array}{c|c} 0 & 0 \\ \hline & 1 \\ \end{array}
கேள்வி: ரன்டே-குடா முறைகள் பட்டியல் - வெளிப்படையான இடர்ப்பாட்டு முறை குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: (வெளிப்படையான) இடைநிலை முறை இரண்டு நிலைகளுடன் இரண்டாம் வரிசை முறையாகும் (கீழே உள்ள உள்ளீடான இடைப்பட்ட வழிமுறையும் பார்க்கவும்): : \begin{array}{c|cc} 0 & 0 & 0 \\ 1/2 & 1/2 & 0 \\ \hline & 0 & 1 \\ \end{array}
கேள்வி: ரன்டே-குடா முறைகள் பட்டியல் - ஹியூன் முறை என்பது என்ன?
பதில்: ஹியூன் முறையானது இரண்டு கட்டங்களுடன் இரண்டாவது வரிசை முறையாகும் (இது வெளிப்படையான பாரியளவிலான விதி என்றும் அழைக்கப்படுகிறது): : \begin{array}{c|cc} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ \hline & 1/2 & 1/2 \\ \end{array}
கேள்வி: ரன்டே-குடா முறைகள் பட்டியல் - பொதுவான இரண்டாவது வரிசை முறை பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: : \begin{array}{c|ccc} 0 & 0 & 0 \\ x & x & 0 \\ \hline & 1-\frac{1}{2x} & \frac{1}{2x} \\ \end{array}
கேள்வி: ரன்டே-குடா முறைகள் பட்டியல் - கூட்டாவின் மூன்றாவது ஆணை முறை பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: : \begin{array}{c|ccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1/2 & 1/2 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 2 & 0 \\ \hline & 1/6 & 2/3 & 1/6 \\ \end{array}
கேள்வி: ரன்டே-குடா முறைகள் பட்டியல் - 3/8-ஆவது நான்காம் வரிசை முறை பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: இந்த முறையானது "பாரம்பரிய" முறையாக மிகத் துல்லியமானதல்ல, ஆனால் அது அதே தாளில் (குட்டா, 1901) முன்மொழியப்பட்டது என்பதால் கிளாசிக்கல் போன்றது. : \begin{array}{c|cccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1/3 & 1/3 & 0 & 0 & 0\\ 2/3 & -1/3 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & -1 & 1 & 0\\ \hline & 1/8 & 3/8 & 3/8 & 1/8\\ \end{array}
கேள்வி: ரன்டே-குடா முறைகள் பட்டியல் - உட்பொதிக்கப்பட்ட முறைகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: உட்பொதிக்கப்பட்ட முறைகள் ஒற்றை ரன்ஜ்-குட்டா படிப்படியின் உள்ளூர் துண்டான பிழை மதிப்பீடு செய்ய வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது, இதன் விளைவாக, தடையை கட்டுப்பாட்டு வழிமுறைகளுடன் கட்டுப்படுத்த அனுமதிக்கின்றன. இது tableau இல் இரண்டு முறைகள் கொண்டது, ஒழுங்கு p மற்றும் ஒன்று order-with-1 உடன். : y^*_{n+1} = y_n + h\sum_{i=1}^s b^*_i k_i, இங்கு k_ {i} உயர் வரிசை முறைக்கு ஒத்ததாக இருக்கும். பின்னர் பிழை : e_{n+1} = y_{n+1} - y^*_{n+1} = h\sum_{i=1}^s (b_i - b^*_i) k_i, இது O (h ^ {p}) ஆகும். இந்த வகையான முறைக்கான புஷர் டேபிள்ஹவுல் b_ {i} ^ {*} : \begin{array}{c|cccc} c_1 & a_{11} & a_{12}& \dots & a_{1s}\\ c_2 & a_{21} & a_{22}& \dots & a_{2s}\\ \vdots & \vdots & \vdots& \ddots& \vdots\\ c_s & a_{s1} & a_{s2}& \dots & a_{ss} \\ \hline & b_1 & b_2 & \dots & b_s\\ & b_1^* & b_2^* & \dots & b_s^*\\ \end{array}
கேள்வி: ரன்டே-குடா முறைகள் பட்டியல் - க்யூன்-ஆய்லர் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: எளிமையான தகவல்தொடர்பு ரன்டே-குட்டா முறை ஹ்யூன் முறையை இணைப்பதுடன், ஒழுங்குமுறை 2, இது யூலர் முறையுடன், வரிசை 1 ஆகும். அதன் நீட்டிக்கப்பட்ட புதர் அட்டவணை அட்டவணை: : \begin{array}{c|cc} 0&\\ 1& 1 \\ \hline & 1/2& 1/2\\ & 1 & 0 \end{array}
கேள்வி: ரன்டே-குடா முறைகள் பட்டியல் - ஃபெல்பெர்க் RK1 (2) பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: அவர் ஃபெல்பெர்க் முறை 1 மற்றும் 2 கட்டளைகள் இரண்டு முறைகள் உள்ளன. அதன் நீட்டிக்கப்பட்ட புதர் Tableau உள்ளது: {| cellpadding="3px" cellspacing="0px" class="" style="margin-bottom: 10px;" | style="border-right:1px solid;" | 0 |- | style="border-right:1px solid;" | 1/2 | 1/2 |- | style="border-right:1px solid; border-bottom:1px solid;" |1 | style="border-bottom:1px solid;" |1/256 | style="border-bottom:1px solid;" |255/256 |- |1/256 |255/256 |0 |- |1/512 |255/256 |1/512 |} B கோணங்களின் முதல் வரிசை முதல் வரிசையில் துல்லியமான தீர்வை அளிக்கிறது, இரண்டாவது வரிசை வரிசையில் இரண்டு உள்ளது.
கேள்வி: ரன்டே-குடா முறைகள் பட்டியல் - போகக்கி-ஷாம்பைன் என்பது என்ன?
பதில்: பொகாக்-ஷம்பம்பின் முறையானது 3 மற்றும் 2 கட்டளைகள் இரண்டு முறைகளைக் கொண்டது. அதன் நீட்டிக்கப்பட்ட புதர் அட்டவணை அட்டவணை: {| cellpadding="3px" cellspacing="0px" class="" style="margin-bottom: 10px;" | style="border-right:1px solid;" | 0 |- | style="border-right:1px solid;" | 1/2 | 1/2 |- | style="border-right:1px solid;" | 3/4 | 0 | 3/4 |- | style="border-right:1px solid; border-bottom:1px solid;" | 1 | style="border-bottom:1px solid;" | 2/9 | style="border-bottom:1px solid;" | 1/3 | style="border-bottom:1px solid;" | 4/9 |- | 2/9 | 1/3 | 4/9 | 0 |- | 7/24 | 1/4 | 1/3 | 1/8 |} B கோணங்களின் முதல் வரிசை மூன்றாம் வரிசை துல்லியமான தீர்வை அளிக்கிறது, இரண்டாவது வரிசை வரிசையில் இரண்டு உள்ளது.
கேள்வி: ரன்டே-குடா முறைகள் பட்டியல் - ஃபெல்பெர்க் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: Runge-Kutta-Fehlberg முறையானது 5 மற்றும் 4 கட்டளைகள் இரண்டு முறைகளைக் கொண்டிருக்கிறது. அதன் நீட்டிக்கப்பட்ட புதர் அட்டவணை அட்டவணை: {| cellpadding="3px" cellspacing="0px" class="" style="margin-bottom: 10px;" | style="border-right:1px solid;" | 0 |- | style="border-right:1px solid;" | 1/4 | 1/4 |- | style="border-right:1px solid;" | 3/8 | 3/32 | 9/32 |- | style="border-right:1px solid;" | 12/13 | 1932/2197 | −7200/2197 | 7296/2197 |- | style="border-right:1px solid;" | 1 | 439/216 | −8 | 3680/513 | −845/4104 |- | style="border-right:1px solid; border-bottom:1px solid;" | 1/2 | style="border-bottom:1px solid;" | -8/27 | style="border-bottom:1px solid;" | 2 | style="border-bottom:1px solid;" | −3544/2565 | style="border-bottom:1px solid;" | 1859/4104 | style="border-bottom:1px solid;" | −11/40 |- | 16/135 | 0 | 6656/12825 | 28561/56430 | −9/50 | 2/55 |- | 25/216 | 0 | 1408/2565 | 2197/4104 | −1/5 | 0 |} பி குணகங்களின் முதல் வரிசை ஐந்தாவது வரிசை துல்லியமான தீர்வை அளிக்கிறது, இரண்டாவது வரிசையில் வரிசை நான்கு உள்ளது.
கேள்வி: ரன்டே-குடா முறைகள் பட்டியல் - காச்-கார்ப் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: பணமும் கார்ப் ஃபெல்ல்பெர்க்கின் அசல் யோசனையும் மாற்றியுள்ளது. பண-கார்ப் முறையின் நீட்டிக்கப்பட்ட அட்டவணை {| cellpadding="3px" cellspacing="0px" class="" style="margin-bottom: 10px;" | style="border-right:1px solid;" | 0 |- | style="border-right:1px solid;" | 1/5 | 1/5 |- | style="border-right:1px solid;" | 3/10 | 3/40 | 9/40 |- | style="border-right:1px solid;" | 3/5 | 3/10 | −9/10 | 6/5 |- | style="border-right:1px solid;" | 1 | −11/54 | 5/2 | −70/27 | 35/27 |- | style="border-right:1px solid; border-bottom:1px solid;" | 7/8 | style="border-bottom:1px solid;" | 1631/55296 | style="border-bottom:1px solid;" | 175/512 | style="border-bottom:1px solid;" | 575/13824 | style="border-bottom:1px solid;" | 44275/110592 | style="border-bottom:1px solid;" | 253/4096 |- | 37/378 | 0 | 250/621 | 125/594 | 0 | 512/1771 |- | 2825/27648 | 0 | 18575/48384 | 13525/55296 | 277/14336 | 1/4 |} பி குணகங்களின் முதல் வரிசை ஐந்தாவது வரிசை துல்லியமான தீர்வை அளிக்கிறது, இரண்டாவது வரிசையில் வரிசை நான்கு உள்ளது.
கேள்வி: ரன்டே-குடா முறைகள் பட்டியல் - டார்மன்ட்-ப்ரின்ச் என்பது என்ன?
பதில்: டோர்மாண்ட்-பிரின்ஸ் முறையின் நீட்டிக்கப்பட்ட அட்டவணை {| cellpadding="3px" cellspacing="0px" class="" style="margin-bottom: 10px;" | style="border-right:1px solid;" | 0 |- | style="border-right:1px solid;" | 1/5 | 1/5 |- | style="border-right:1px solid;" | 3/10 | 3/40 | 9/40 |- | style="border-right:1px solid;" | 4/5 | 44/45 | −56/15 | 32/9 |- | style="border-right:1px solid;" | 8/9 | 19372/6561 | −25360/2187 | 64448/6561 | −212/729 |- | style="border-right:1px solid;" | 1 | 9017/3168 | −355/33 | 46732/5247 | 49/176 | −5103/18656 |- | style="border-right:1px solid; border-bottom:1px solid;" | 1 | style="border-bottom:1px solid;" | 35/384 | style="border-bottom:1px solid;" | 0 | style="border-bottom:1px solid;" | 500/1113 | style="border-bottom:1px solid;" | 125/192 | style="border-bottom:1px solid;" | −2187/6784 | style="border-bottom:1px solid;" | 11/84 |- | 35/384 | 0 | 500/1113 | 125/192 | −2187/6784 | 11/84 | 0 |- | 5179/57600 | 0 | 7571/16695 | 393/640 | −92097/339200 | 187/2100 | 1/40 |} பி குணகங்களின் முதல் வரிசை ஐந்தாவது வரிசை துல்லியமான தீர்வை அளிக்கிறது மற்றும் இரண்டாவது வரிசையில் நான்காவது வரிசை துல்லியமான தீர்வை அளிக்கிறது.
கேள்வி: ரன்டே-குடா முறைகள் பட்டியல் - பின்னோக்கு யூலர் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: பின்தங்கிய யூலர் முறை முதல் வரிசையாகும். நேரியல் பரவல் சிக்கல்களுக்கு நிபந்தனையற்ற வகையில் நிலையான மற்றும் அல்லாத அலைக்கற்ற. : \begin{array}{c|c} 1 & 1 \\ \hline & 1 \\ \end{array}
கேள்வி: ரன்டே-குடா முறைகள் பட்டியல் - உள்ளார்ந்த இடையில் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: உள்ளார்ந்த இடையில் உள்ள முறை இரண்டாவது வரிசையில் உள்ளது. காஸ் முறைகள் என அழைக்கப்படும் collocation முறைகள் வகுப்பில் இது எளிய முறையாகும். இது ஒரு சிம்பிளான ஒருங்கிணைப்பாளியாகும் : \begin{array}{c|c} 1/2 & 1/2 \\ \hline & 1 \end{array}
கேள்வி: ரன்டே-குடா முறைகள் பட்டியல் - லோபாட்டோ முறைகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: II, IIIB மற்றும் IIIC எனப்படும் லோபாட்டோ முறைகளில் மூன்று முக்கிய குடும்பங்கள் உள்ளன (வகுப்பு கணித இலக்கியத்தில், I மற்றும் II குறியீடுகள் இரண்டு வகைகள் Radau முறைகள் ஒதுக்கப்பட்டுள்ளன). இவை ரெஹுவல் லோபாட்டோவின் பெயரிடப்பட்டது. அனைத்து மறைமுக முறைகள் உள்ளன, வரிசை 2 கள் - 2 மற்றும் அவை அனைத்தையும் c1 = 0 மற்றும் cs = 1. எந்த வெளிப்படையான முறையையும் போலல்லாமல், இந்த முறைகள் நிலைகளின் எண்ணிக்கையைவிட அதிகமான வரிசையில் இருக்க வேண்டும். கிளாசிக்கல் நான்காம் வரிசை முறை ரன்ஜே மற்றும் குட்டா ஆகியவற்றால் பிரபலமடைவதற்கு முன்பு லோபோத் வாழ்ந்தார்.
கேள்வி: ரன்டே-குடா முறைகள் பட்டியல் - லோபாட்டோ IIIA முறைகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: அவர் லோபாட்டோ IIIA முறைகள் கொலொகேசன்மு றைகள். இரண்டாம் ஒழுங்கு முறையானது பைரவர்ஜீயல் ஆட்சி என அழைக்கப்படுகிறது: : \begin{array}{c|cc} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1/2 & 1/2\\ \hline & 1/2 & 1/2\\ & 1 & 0 \\ \end{array} நான்காவது வரிசை முறை வழங்கப்படுகிறது : \begin{array}{c|ccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1/2 & 5/24& 1/3 & -1/24\\ 1 & 1/6 & 2/3 & 1/6 \\ \hline & 1/6 & 2/3 & 1/6 \\ & -\frac12 & 2 & -\frac12 \\ \end{array} இந்த முறைகள் A- நிலையானவை, ஆனால் L- நிலையான மற்றும் B- நிலையானவை அல்ல
கேள்வி: ரன்டே-குடா முறைகள் பட்டியல் - லோபாட்டோ IIIB முறைகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: லோபாட்டோ IIIB முறைகள் collocation முறைகள் அல்ல, ஆனால் அவை இடைவிடாத தொகுதிகள் (ஹையர், லுபிஷ்& வன்னர் 2006, §II.1.4) என்று கருதப்படலாம். இரண்டாவது வரிசை முறை மூலம் வழங்கப்படுகிறது : \begin{array}{c|cc} 0 & 1/2 & 0 \\ 1 & 1/2 & 0 \\ \hline & 1/2 & 1/2\\ & 1 & 0 \\ \end{array} நான்காவது வரிசை முறை வழங்கப்படுகிறது : \begin{array}{c|ccc} 0 & 1/6 & -1/6& 0 \\ 1/2 & 1/6 & 1/3 & 0 \\ 1 & 1/6 & 5/6 & 0 \\ \hline & 1/6 & 2/3 & 1/6 \\ & -\frac12 & 2 & -\frac12 \\ \end{array} லோபாட்டோ IIIB முறைகள் A- நிலையானவை, ஆனால் L- நிலையான மற்றும் B- நிலையானவை அல்ல.
கேள்வி: ரன்டே-குடா முறைகள் பட்டியல் - பொதுவான லோபாட்டோ முறைகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: வடிவத்தின் லோபாட்டோ குணகங்களைப் பரிசீலிப்பதன் மூலம் மூன்று உண்மையான அளவுருக்கள் : a_{i,j}(\alpha_{A},\alpha_{B},\alpha_{C}) = \alpha_{A}a_{i,j}^A + \alpha_{B}a_{i,j}^B + \alpha_{C}a_{i,j}^C + \alpha_{C*}a_{i,j}^{C*} , எங்கே : \alpha_{C*} = 1 - \alpha_{A} - \alpha_{B} - \alpha_{C}. உதாரணமாக, லோபாட்டோ IIID குடும்பத்தில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது (னார்செட் வென்னெர் 1981), மேலும் லோபாட்டோ IIINW என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, : \begin{array}{c|cc} 0 & 1/2 & 1/2\\ 1 & -1/2 & 1/2 \\ \hline & 1/2 & 1/2 \\ \end{array} மற்றும் : \begin{array}{c|ccc} 0 & 1/6 & 0 & -1/6 \\ 1/2 & 1/12 & 5/12 & 0\\ 1 & 1/2 & 1/3 & 1/6 \\ \hline & 1/6 & 2/3 & 1/6 \\ \end{array} {\ Displaystyle \ alpha _ {A} = 2}, {\ displaystyle \ alpha _ {B} = 2}, {\ displaystyle \ alpha _ {C} = - 1} மற்றும் {\ displaystyle \ alpha _ {சி *} = - 2}. வழிமுறைகள் L- நிலையானவை. அவை இயற்கணித நிலையாகவும் பி-நிலையாகவும் உள்ளன.
கேள்வி: ரன்டே-குடா முறைகள் பட்டியல் - ராடு IA முறைகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: மூன்றாம் ஒழுங்கு முறைகள் வழங்கப்படுகின்றன : \begin{array}{c|cc} 0 & 1/4 & -1/4 \\ 2/3 & 1/4 & 5/12 \\ \hline & 1/4 & 3/4 \\ \end{array} மூன்றாம் ஒழுங்கு முறைகள் வழங்கப்படுகின்றன : \begin{array}{c|ccc} 0 & \frac{1}{9} & \frac{-1 - \sqrt{6}}{18} & \frac{-1 + \sqrt{6}}{18} \\ \frac{3}{5} - \frac{\sqrt{6}}{10} & \frac{1}{9} & \frac{11}{45} + \frac{7\sqrt{6}}{360} & \frac{11}{45} - \frac{43\sqrt{6}}{360}\\ \frac{3}{5} + \frac{\sqrt{6}}{10} & \frac{1}{9} & \frac{11}{45} + \frac{43\sqrt{6}}{360} & \frac{11}{45} - \frac{7\sqrt{6}}{360} \\ \hline & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} + \frac{\sqrt{6}}{36} & \frac{4}{9} - \frac{\sqrt{6}}{36} \\ \end{array}