கேள்வி: வரிசைமாற்ற அணி பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: கணிதத்தில் வரிசைமாற்ற அணி (''permutation matrix'') என்பது ஒவ்வொரு நிரை மற்றும் நிரலிலும் ஒரேயொரு உறுப்பு 1 ஆகவும் ஏனைய உறுப்புகள் எல்லாம் 0 ஆகவும் கொண்ட சதுர இரும அணியாகும் (binary matrix). இத்தகைய அணி () ஒவ்வொன்றும் உறுப்புகளின் வரிசைமாற்றம் குறிக்கும். மேலும் மற்றொரு அணி உடன் அணிப்பெருக்கல் முன்பெருக்கத்தில் (), அணியின் நிரைகளின் வரிசைமாற்றமாகவும் பின்பெருக்கத்தில் (), அணியின் நிரல்களின் வரிசைமாற்றமாகவும் அமையும்.
கேள்வி: வரிசைமாற்ற அணி - வரையறை பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: ''m'' உறுப்புகளின் வரிசைமாற்றம் &pi; என எடுத்துக்கொண்டால்: :\pi : \lbrace 1, \ldots, m \rbrace \to \lbrace 1, \ldots, m \rbrace :\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & m \\ \pi(1) & \pi(2) & \cdots & \pi(m) \end{pmatrix} வரிசைமாற்றத்தை, ஒரு வரிசைமாற்ற அணியுடன் இருவழிகளில் இணைக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக ''m'' × ''m'' முற்றொருமை அணி, இன் நிரல்களை இன் படி வரிசைமாற்றம் செய்யலாம் அல்லது நிரைகளை இன் படி வரிசைமாற்றம் செய்யலாம். : இன் நிரல்களை வரிசைமாற்றம் செய்யக்கிடைக்கும் வரிசைமாற்ற அணி ஒரு ''m &times; m'' அணியாக இருக்கும். இந்த அணியின் குறியீடு ''P'' = (''p'ij'') எனில்: : ஒவ்வொரு ''i'' க்கும், ''j'' = (''i'') எனில் ''p'ij'' = 1 ஆகவும், அவ்வாறு இல்லாவிட்டால் ''p'ij'' = 0 ஆகவும் இருக்கும். :அதாவது ''i'' ஆவது நிரையில் (''i'') நிரலில் உள்ள உறுப்பு மட்டும் 1 ஆகவும் மீதமுள்ள உறுப்புகள் எல்லாம் 0 ஆகவும் இருக்கும். :எனவே வரிசைமாற்ற அணி ''P'' கீழுள்ளவாறு அமைகிறது: :P_\pi = \begin{bmatrix} \mathbf e_{\pi(1)} \\ \mathbf e_{\pi(2)} \\ \vdots \\ \mathbf e_{\pi(m)} \end{bmatrix}, :இதில் செந்தர அடுக்களத் திசையனான \mathbf e_j என்பது ''m'' நீளமுள்ள ஒரு நிரை திசையனாகும். மேலும் அதன் ''j'' ஆவது இடத்தில் 1 உம் மற்ற இடங்களில் 0 உம் கொண்டிருக்கும்.Brualdi (2006) p.2 எடுத்துக்காட்டு: :\pi=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 4 & 2 & 5 & 3 \end{pmatrix}, என்ற வரிசைமாற்றத்துக்குரிய வரிசைமாற்ற அணி: :P_\pi = \begin{bmatrix} \mathbf{e}_{\pi(1)} \\ \mathbf{e}_{\pi(2)} \\ \mathbf{e}_{\pi(3)} \\ \mathbf{e}_{\pi(4)} \\ \mathbf{e}_{\pi(5)} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{e}_{1} \\ \mathbf{e}_{4} \\ \mathbf{e}_{2} \\ \mathbf{e}_{5} \\ \mathbf{e}_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}. முற்றொருமை அணி இன் ''j'' ஆவது நிரலானது ''P'' அணியின் (''j'') ஆவது நிரலாக அமைவதைக் காணலாம்.
கேள்வி: வரிசைமாற்ற அணி - பண்புகள் என்பது என்ன?
பதில்: (கட்டுரையின் இப்பிரிவு முழுவதும் வரிசைமாற்ற அணியின் நிரல் உருவகிப்புப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. சில இடங்களில் நிரை உருவகிப்பு பயன்படுத்தப்படும்போது அது குறிப்பிடப்படும்) *P_{\pi} ஆல் நிரல் திசையன் g ஐப் முன்பெருக்கும்போது கிடைக்கும் அத்திசையனின் நிரைகளின் வரிசைமாற்றம்: :P_\pi \mathbf{g} = \begin{bmatrix} \mathbf{e}_{\pi(1)} \\ \mathbf{e}_{\pi(2)} \\ \vdots \\ \mathbf{e}_{\pi(n)} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} g_1 \\ g_2 \\ \vdots \\ g_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} g_{\pi(1)} \\ g_{\pi(2)} \\ \vdots \\ g_{\pi(n)} \end{bmatrix}. மேலுள்ள முடிவினை மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்துவதன்மூலம் ஒரு பொருத்தமான வரிசையுடைய அணியாக இருக்கும்போது, பெருக்கல் அணியான P_{\pi} M ஆனது இன் நிரைகளின் வரிசைமாற்றமாக அமைவதைக் காணலாம். எனினும் ஒவ்வொரு க்கும், :P_{\pi} \mathbf{e}_k^{\mathsf T} = \mathbf{e}_{\pi^{-1} (k)}^{\mathsf T} என்பதால் நிரைகளின் வரிமாற்றம் −1 ஆகும். ( அணியின் இடமாற்று அணி M^{\mathsf T}) *வரிசைமாற்ற அணிகளெல்லாம் செங்குத்து அணிகள் (i.e., P_{\pi}P_{\pi}^{\mathsf T} = I) என்பதால் அவற்றுக்கு நேர்மாறு அணிகள் உண்டு. அந்நேர்மாறு அணியைக் கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்: :P_{\pi}^{-1} = P_{\pi^{-1}} = P_{\pi}^{\mathsf T}. *ஒரு நிரை திசையன் h ஐ P_{\pi} ஆல் பெருக்குவதால் அந்நிரை திசையனின் நிரல்களின் வரிசைமாற்றம்: :\mathbf{h}P_\pi = \begin{bmatrix} h_1 \; h_2 \; \dots \; h_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{e}_{\pi(1)} \\ \mathbf{e}_{\pi(2)} \\ \vdots \\ \mathbf{e}_{\pi(n)} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} h_{\pi^{-1}(1)} \; h_{\pi^{-1}(2)} \; \dots \; h_{\pi^{-1}(n)} \end{bmatrix} மேலுள்ள முடிவினை மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்துவதன்மூலம் அணியை வரிசைமாற்ற அணியான }} ஆல் பின்பெருக்கம் செய்தால் }} ஆனது இன் நிரல்களின் வரிசைமாற்றமாக அமைவதை காணலாம். மேலும், :\mathbf{e}_k P_{\pi} = \mathbf{e}_{\pi (k)}. * உறுப்புகளின் இரு வரிசைமாற்றங்கள் , எனில் நிரல் திசையன் g மீது செயற்படும் அவற்றின் வரிசைமாற்ற அணிகள் }}, இரண்டின் தொகுப்பு: :P_{\sigma} P_{\pi}\, \mathbf{g} = P_{\pi\,\circ\,\sigma}\, \mathbf{g}. * உறுப்புகளின் இரு வரிசைமாற்றங்கள் , எனில் நிரை திசையன் h மீது செயற்படும் அவற்றின் வரிசைமாற்ற அணிகள் }}, இரண்டின் தொகுப்பு: : \mathbf{h} P_{\sigma} P_{\pi} = \mathbf{h} P_{\pi\,\circ\,\sigma}. :\pi\,\circ\,\sigma (k) = \pi \left(\sigma (k) \right). * வரிசைமாற்றத்துக்குரிய வரிசைமாற்ற அணியின் நிரை உருவகிப்பு Q_{\pi} எனில், Q_{\pi} = P_{\pi}^{\mathsf T} = P_{{\pi}^{-1}}. என்பதால் இந்த உருவகிப்புக்கான பண்புகளை வரிசைமாற்ற அணியின் நிரல் உருவகிப்புக்குரிய பண்புகளிலிருந்து பெறலாம். :குறிப்பாக, :Q_{\pi} \mathbf{e}_k^{\mathsf T} = P_{{\pi}^{-1}} \mathbf{e}_k^{\mathsf T} = \mathbf{e}_{(\pi^{-1})^{-1} (k)}^{\mathsf T} = \mathbf{e}_{\pi (k)}^{\mathsf T}. :இதிலிருந்து, :Q_{\sigma} Q_{\pi}\, \mathbf{g} = Q_{\sigma\,\circ\,\pi}\, \mathbf{g}. :இதேபோல, :\mathbf{h}\, Q_{\sigma} Q_{\pi} = \mathbf{h}\, Q_{\sigma\,\circ\,\pi}.
கேள்வி: வரிசைமாற்ற அணி - அணிக் குலம் என்பது என்ன?
பதில்: (1) என்பது முற்றொருமை வரிசைமாற்றம் எனில் ஆனது முற்றொருமை அணியாகும். :{1,2,...,} மீதான சமச்சீர் குலம் அல்லது வரிசைமாற்றுக் குலம் என்க. மொத்தம் ! வரிசைமாற்றங்கள் இருப்பதால், ! வரிசைமாற்ற அணிகள் இருக்கும். இந்த வரிசைமாற்ற அணிகள், அணிப்பெருக்கலின் கீழ் முற்றொருமை அணியை முற்றொருமை உறுப்பு கொண்ட குலமாக அமையும்.