கேள்வி: நேர்ம-வரைவு அணி என்பது என்ன?
பதில்: நேரியல் இயற்கணிதம் M என்ற சமச்சீர் அணி, மெய்யெண் அணி (கணிதம்)யானது, n மெய்யெண் உறுப்புகள் கொண்ட ஒவ்வொரு பூச்சியமற்ற நிரல் திசையன் வெளி z க்கும் திசையிலி z^{\mathrm{T}}Mz இன் மதிப்பை நேர்மமாகக் கொண்டிருந்தால் அது ஒரு நேர்ம வரைவு அணி (''positive definite'') எனப்படும். இங்கு z^{\mathrm{T}} என்பது z இன் இடமாற்று அணியாகும்.http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/9780470173862.app3/pdf மேலும் பொதுமைப்படுத்த, ஹெர்மைட் அணி M ஆனது ஒரு நேர்ம வரைவு அணியாக இருக்கவேண்டுமானால், n சிக்கலெண்கள் கொண்ட அனைத்து பூச்சியமற்ற நிரல் திசையன் z களுக்கும் z^{*}Mz எனும் திசையிலியின் மதிப்பு நேர்ம மெய்யெண்ணாக இருக்க வேண்டும். இங்கு z^{*} என்பது z இன் இணையிய இடமாற்று அணியைக் குறிக்கிறது. இதைபோலவே ''எதிர்ம-வரைவு'', ''நேர்ம அரை-வரைவு'', ''எதிர்ம அரை-வரைவு'' ஆகிய மூன்றும் வரையறுக்கப்படுகின்றன. ''நேர்ம அரை-வரைவு'', ''எதிர்ம அரை-வரைவு'' அணிகளுக்கு பூச்சியங்கள் அனுமதிக்கப்படுகின்றன. அதாவது ''எதிர்ம-வரைவு'', ''நேர்ம அரை-வரைவு'', ''எதிர்ம அரை-வரைவு'' அணிகளாக இருப்பதற்கு, z^{\mathrm{T}}Mz அல்லது z^{*}Mz இன் மதிப்பு முறையே எதிர்மமாக, எதிர்மமற்றதாக, நேர்மமற்றதாக இருக்கவேண்டும். சில கணித நூலாசிரியர்கள் சமச்சீரற்ற மெய்யெண் அணிகளுக்கும் ஹெர்மைட் அணியாக இல்லாத சிக்கலெண் அணிகளுக்கும் நேர்ம வரைவணி கருத்துருவை நீட்டித்துள்ளனர்.
கேள்வி: நேர்ம-வரைவு அணி - எடுத்துக்காட்டுகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: * முற்றொருமை அணி I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} , ஒரு நேர்ம வரைவு அணியாகும். :முற்றொருமை அணி ஒரு சமச்சீர் அணி. :இதனை மெய்யெண் அணியாகக் கருத, ''a'' , ''b'' எனும் மெய்யெண் உறுப்புகளைக்கொண்ட பூச்சியமற்ற நிரலணி ''z'' க்கு: :: z^{\mathrm{T}}I z = \begin{bmatrix} a & b\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b\end{bmatrix}= a^2 + b^2, ''z'' பூச்சியமற்ற நிரலணி என்பதால் இது ஒரு நேர்ம மதிப்பு. :இதனை சிக்கலெண் அணியாகக் கருத, ''a'' , ''b'' எனும் சிக்கலெண் உறுப்புகளைக்கொண்ட பூச்சியமற்ற நிரலணி ''z'' க்கு: :: z^HI z = \begin{bmatrix} a^* & b^*\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b\end{bmatrix}=a^*a +b^*b = |a|^2 + |b|^2, ''z'' பூச்சியமற்ற நிரலணி என்பதால் இது ஒரு நேர்ம மதிப்பு. * கீழுள்ள சமச்சீர், மெய்யெண் அணி ஒரு நேர்ம வரைவு அணியாகும். :: M = \begin{bmatrix} 2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2 \end{bmatrix} :''a'', ''b'' , ''c'' ஆகிய உறுப்புகளைக்கொண்ட ஏதேனுமொரு பூச்சியமற்ற நிரலணி ''z'' எனில்: ::\begin{align} z^{\mathrm{T}}M z = (z^{\mathrm{T}}M) z &= \begin{bmatrix} (2a-b)&(-a+2b-c)&(-b+2c) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\\b\\c \end{bmatrix} \\ &= 2{a}^2 - 2ab + 2{b}^2 - 2bc + 2{c}^2 \\ &= {a}^2+(a - b)^{2} + (b - c)^{2}+{c}^2 \end{align} :இறுதியாகக் கிடைத்துள்ள {a}^2+(a - b)^{2} + (b - c)^{2}+{c}^2 ஆனது வர்க்கங்களின் கூடுதலாக இருப்பதால் அதன் மதிப்பு எதிர்மம் அற்றதாகும்; ''z'' = 0 அதாவது ''a'' = ''b'' = ''c'' = 0 எனும்போது மட்டும் அதன் மதிப்பு பூச்சியமாக இருக்கும். *A ஒரு நேர்மாற்றத்தக்க அணியானால் A^{\mathrm{T}} A என்பது நேர்ம வரைவு அணியாக இருக்கும். z ஒரு பூச்சியமற்ற நிரலணி எனில், :: z^{\mathrm{T}} A^{\mathrm{T}} A z = \| A z \|^2 > 0, (A ஒரு நேர்மாற்றத்தக்க அணி என்பதால் Az \neq 0.)
கேள்வி: நேர்ம-வரைவு அணி - எதிர்ம-வரைவு, அரை-வரைவு, வரைவற்ற அணி பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: ஒரு ஹெர்மைட் அணியின் ஐகென் மதிப்பு எதிர்மமாக, நேர்மமற்றதாக, எதிர்மமற்றதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அவ்வணி முறையே எதிர்ம-வரைவு, எதிர்ம-அரைவரைவு, நேர்ம-அரைவரைவு அணியாக இருக்கும்.
கேள்வி: நேர்ம-வரைவு அணி - எதிர்ம-வரைவு பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: ஹெர்மைட் அணி ''M'' ''எதிர்ம-வரைவு'' எனில்: :x^{*} M x : ''x'' ≠ 0, x \in \Complex^n (மெய்யெண் அணி எனில் ''x'' ≠ 0, x \in R^n ) : ''x*'' என்பது ''x'' இன் இணையிய இடமாற்று அணி ஒரு அணியின் ''k-'' ஆவது வரிசை தலைமை முதன்மைச் சிற்றணியானது (leading principal minor) ''k'' ஒற்றையாக இருக்கும்போது எதிர்மமாகவும், ''k'' இரட்டையாக இருக்கும்போது நேர்மமாகவும் இருந்தால் அந்த அணியானது எதிர்ம-வரைவு அணியாக இருக்கும்.
கேள்வி: நேர்ம-வரைவு அணி - நேர்ம-அரைவரைவு குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: M ஒரு நேர்ம-அரைவரைவு அணி (எதிர்மமற்ற வரைவு) எனில்: :x^{*} M x \geq 0, \forall x \in C^n (மெய்யெண் அணிக்கு \forall x \in R^n). :எந்தவொரு அணி ''A''க்கும், ''A*A'' ஒரு நேர்ம அரைவரைவு அணியாக இருக்கும். மேலும் (''A'') இன் தரம்= (''A*A'') இன் தரம். :ஒரு ஹெர்மைட் அணியின் அனைத்து முதன்மை சிற்றணிகளும் எதிர்மமற்றதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அந்த அணி ஒரு நேர்ம அரைவரைவு அணியாக இருக்கும்.
கேள்வி: நேர்ம-வரைவு அணி - வரைவற்றது குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: நேர்ம வரைவு அணியாகவோ, எதிர்ம வரைவு, நேர்ம அரைவரைவு, எதிர்ம வரைவு, எதிர்ம அரைவரைவு ஆகிய எதுவொன்றாகவும் இல்லாத ஒரு ஹெர்மைட் அணியானது ''வரைவற்ற அணி'' எனப்படும். நேர்ம மற்றும் எதிர்ம ஐகென்மதிப்புகளைக் கொண்டவையாகவும் வரைவற்ற அணிகள் வரையறுக்கப்படுகின்றன.
கேள்வி: நேர்ம-வரைவு அணி - மேலும் சில பண்புகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: *''M'' ஒரு நேர்ம-அரைவரைவு ஹெர்மைட் அணியென்பதைக் குறிக்க, சிலசமயங்களில் ''M''&nbsp;≥&nbsp;0 என்றும், ''M'' ஒரு நேர்ம-வரைவு ஹெர்மைட் அணியென்பதைக் குறிக்க ''M''&nbsp;>&nbsp;0 எனவும் எழுதப்படுகிறது.This may be confusing, as sometimes nonnegative matrix are also denoted in this way. A common alternative notation is M \succeq 0 and M \succ 0 for positive semidefinite and positive definite matrices, respectively. *''M'', ''N'' என்ற இரு சதுர அணிகளுக்கு ''M''&nbsp;−&nbsp;''N''&nbsp;≥&nbsp;0 எனில் ''M''&nbsp;≥&nbsp;''N''. அதாவது, ''M''&nbsp;−&nbsp;''N'' அணியானது நேர்ம அரைவரைவு அணியாகும். இதன் மூலம் சதுர அணிகளின் கணத்தில் ‘பகுதி வரிசைப்படுத்தும் செயல்” வரையறுக்கப்படுகிறது. இதுபோல கண்டிப்பான பகுதி வரிசைப்படுத்தலையும் (''M''&nbsp;>&nbsp;''N'') வரையறுக்கலாம். *ஒவ்வொரு நேர்ம வரைவு அணியும் நேர்மாற்றத்தக்க அணியாகும். அதன் நேர்மாறு அணியும் நேர்ம வரைவு அணியாக இருக்கும்., p. 397 : ''M''&nbsp;≥&nbsp;''N''&nbsp;>&nbsp;0 எனில், ''N''−1&nbsp;≥&nbsp;''M''−1&nbsp;>&nbsp;0., Corollary 7.7.4(a) ''M'' இன் மிகப்பெரிய ''k''ஆவது ஐகென் மதிப்பானது ''N'' இன் மிகப்பெரிய ''k''ஆவது ஐகென் மதிப்பை விடப்பெரியதாக இருக்கும். *''M'' ஒரு நேர்ம வரைவு அணி; மேலும் ''r''&nbsp;>&nbsp;0 ஒரு மெய்யெண் எனில் :''rM'' அணியும் நேர்ம வரைவாக இருக்கும்., Observation 7.1.3 :''M'' , ''N'' இரண்டும் நேர்ம வரைவு அணிகள் எனில், ''M''&nbsp;+&nbsp;''N'', ''MNM'', ''NMN'' ஆகிய மூன்றும் நேர்ம வரைவு அணிகளாகும். :மேலும் ''MN''&nbsp;=&nbsp;''NM'', எனில், ''MN'' அணியும் நேர்ம வரைவு ஆகும். *ஒரு நேர்ம வரைவு அணியின் ஒவ்வொரு முதன்மை உள்ளணியும் நேர்ம வரைவு அணியாக இருக்கும். *''M'' நேர்ம அரைவரைவு அணியெனில், ''QT M Q'' உம் நேர்ம வரைவு அணியாகும். M நேர்ம வரைவு அணியாகவும் ''Q'' முழுத்தரமும் கொண்டிருந்தால், ''QT M Q'' உம் நேர்ம வரைவு அணியாக இருக்கும்.{{Cite book | last1=Horn | first1=Roger A. | last2=Johnson | first2=Charles R. | title=Matrix Analysis (Second Edition) | chapter=7.1 Definitions and Properties| publisher=கேம்பிறிட்ஜ் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம் | isbn=978-0-521-83940-2 | year=2013|page=431|quote=Observation 7.1.8 Let A\in M_n be Hermitian and let C\in M_{n,m}:* Suppose that is positive semidefinite. Then C^{*}AC is positive semidefinite, nullspace(C^{*}AC) = nullspace(), and rank(C^{*}AC)=rank(AC)* Suppose that is positive definite. Then rank(C^{*}AC)=rank(), and C^{*}AC is positive definite if and only if rank()=}} *மூலைவிட்ட உறுப்புகள் ''mii'' மெய்யெண்களாகவும் எதிர்மமற்றவையாகவும் இருக்கும். இதனால் அணியின் சுவடு (நேரியல் இயற்கணிதம்), tr(''M'')&nbsp;≥&nbsp;0 ஆக இருக்கும். மேலும் ஒவ்வொரு முதன்மை உள்ளணியும் (குறிப்பாக 2 x 2 அணிகள்) நேர்ம வரைவணிகளாக இருக்கும் என்பதால்,, p. 398 ::|m_{ij}| \leq \sqrt{m_{ii}m_{jj}} \leq \frac{m_{ii}+m_{jj}}{2} ::இவற்றிலிருந்து :: \max |m_{ij}| \leq \max|m_{ii}| * ''B''2&nbsp;=&nbsp;''M'' என்றவாறு ஒரு நேர்ம அரைவரைவு அணி ''B'' இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, ''M'' ஒரு நேர்ம அரைவரைவு அணியாக இருக்க முடியும். இவ்வாறு அமையும் ''B'' அணி தனித்ததாக இருக்கும், Theorem 7.2.6 with ''k'' = 2. மேலும் ''M'' இன் அணியின் வர்க்கமூலம் (''B''&nbsp;=&nbsp;''M''1/2) என்றும் அழைக்கப்படும். ::''M''&nbsp;>&nbsp;''N''&nbsp;>&nbsp;0 எனில் ''M''1/2&nbsp;>&nbsp;''N''1/2&nbsp;>&nbsp;0. *''M'' ஒரு சமச்சீர் அணியாகவும் (''mij'' = ''m''(''i''−''j'')), \sum\nolimits_{j\neq 0}|m(j)| ஆகவும் இருந்தால், :: ''M'' ஒரு கண்டிப்பான நேர்ம வரைவு அணியாக இருக்கும். *''M''&nbsp;>&nbsp;0, ''N'' ஒரு ஹெர்மைட் அணி; ''MN''&nbsp;+&nbsp;''NM''&nbsp;≥&nbsp;0 (''MN''&nbsp;+&nbsp;''NM''&nbsp;>&nbsp;0) எனில், :: ''N''&nbsp;≥&nbsp;0 (''N''&nbsp;>&nbsp;0). * ''M''&nbsp;>&nbsp;0 ஒரு மெய்யெண் அணி எனில், ::''M''&nbsp;>&nbsp;δI, δ&nbsp;>&nbsp;0. இதில் ''I'' என்பது முற்றொருமை அணி. *நேர்ம அரைவரைவு சமச்சீர் அணிகளின் கணம் ஒரு குவிவுக் கணம் ஆகும். ::''M'' , ''N'' இரண்டும் நேர்ம அரைவரைவு அணிகள் எனில், 0, 1 க்கு இடைப்பட்ட எந்தவொரு α மதிப்பிற்கும், α''M'' + (1−α)''N'' நேர்ம அரைவரைவு அணியாகும். ::''x'' என்ற ஏதேனுமொரு திசையனுக்கு: :: x^\mathrm{T} (\alpha M + (1-\alpha) N ) x = \alpha x^\mathrm{T} M x + (1-\alpha) x^\mathrm{T} N x \geq 0. * ''M''&nbsp;=&nbsp;(''mij'')&nbsp;≥&nbsp;0, ''N''&nbsp;≥&nbsp;0 ஆகிய இரு நேர்ம அரைவரைவு அணிகளின் [[ஆடமார்டு பெருக்கல் (அணிகள்)|ஆடமார்டு பெருக்கலுக்குக் கீழ்வரும் இரு சமனிலிகள் உள்ள ::: \det(M \circ N) \geq \det (N) \prod\nolimits_{i} m_{ii}., Theorem 7.8.6 :::det(''M''&nbsp;○&nbsp;''N'') ≥ det(''M'') det(''N''). * ''M''&nbsp;=&nbsp;(''mij'')&nbsp;≥&nbsp;0, ''N''&nbsp;≥&nbsp;0 ஆகிய இரு நேர்ம அரைவரைவு அணிகளின் [[ஆடமார்டு பெருக்கல் (அணிகள்)|ஆடமார்டு பெருக்கலுக்குக் கீழ்வரும் இரு சமனிலிகள் உள்ள ::: \det(M \circ N) \geq \det (N) \prod\nolimits_{i} m_{ii}., Theorem 7.8.6 :::det(''M''&nbsp;○&nbsp;''N'') ≥ det(''M'') det(''N'').
கேள்வி: நேர்ம-வரைவு அணி - வெளியிணைப்புகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: * * [http://mathworld.wolfram.com/PositiveDefiniteMatrix.html Wolfram MathWorld: Positive Definite Matrix] பகுப்பு:அணிகள்