கேள்வி: அதிபரவளையக் கோணம் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: கணிதத்தில் அதிபரவளையக் கோணம் அல்லது அதிபரவளைவுக் கோணம் என்பது (''hyperbolic angle'') அதிபரவளையம் பிரிக்கும் ஒரு வடிவவியல் வடிவமாகும். இது சாதாரணக் கோணம் ஒரு வட்டம் கொண்டுள்ள தொடர்பை ஒத்தது. அதிபரவளையக் கோணம் முதலில் ஒரு திட்டநிலையில் வரையறுக்கப்படுகிறது. திட்டநிலையில் அதிபரவளையக் கோணம்: (0, 0) புள்ளியிலிருந்து (1, 1) புள்ளி வழிச் செல்லும் கதிர் (வடிவவியல்) மற்றும் (''x'', 1/''x'') புள்ளி வழிச் செல்லும் கதிர் (''x'' > 1) இரண்டுக்கும் இடைப்பட்ட கோணம். இக்கோணத்தின் அளவு இவ்விரண்டு கதிர்களால் அடைவுபெறும் அதிபரவளையத் துண்டு பரப்பளவு அதாவது, ln ''x'' ஆகும். வட்டக் கோணங்கள் போலல்லாது, அதிபரவளைவுக் கோணங்கள் வரம்பற்றவை. 0 < ''x'' < 1 எனில் திட்டநிலையிலுள்ள அதிபரவளையக் கோணங்கள் எதிர் கோணங்களாகக் கொள்ளப்படுகின்றன. அதிபரவளையச் சார்புகள் sinh, cosh, tanh ஆகியவை அதிபரவளையக் கோணங்களை சாரா மாறிகளாகக் கொள்கின்றன.
கேள்வி: அதிபரவளையக் கோணம் - வட்டக் கோணங்களுடன் ஒப்பீடு பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: File:HyperbolicAnimation.gif √2 ஆரம் வட்டம், ''u'' ரேடியன் கோண அளவு கொண்ட வட்டக்கோணப்பகுதியின் பரப்பளவு ''u'' சதுர அலகுகள். (&minus;1,&nbsp;&minus;1) மற்றும் (1,&nbsp;1), புள்ளிகளை இணைக்கும் கோடு ''x y'' = 1, அதிபரவளையத்தின் மிகச் சிறிய விட்டமாகும். மேலும் அதன் நீளம் √2 அலகுகளாகவும் இருக்கும். படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது போல, ஒன்றுக்கும் குறைவான சாய்வு கொண்ட கதிர், வட்டக் கோணப்பகுதியின் பரப்பளவிற்குச் சமமான வட்டக் கோணம் அல்லது அதிபரவளையக் கோணத்தை உருவாக்குகிறது. கதிர் மற்றும் வட்டம் (x^2+y^2=√2 ) கொண்டு உருவாகும் செங்கோண முக்கோணம் தாங்கு பக்கங்களின் √2 மடங்குகளாக முக்கோணவியல் சார்புகள், இந்தக் கதிர் மற்றும் அதிபரவளையம் (xy=1)கொண்டு உருவாகும் செங்கோண முக்கோணத்தின் தாங்கு பக்கங்களின் √2 மடங்குகளாக அதிபரவளையச் சார்புகளும் அமைகின்றன. வடிவவியற்படி வட்டக் கோணங்களில், ''P''0''P''1 மற்றும் ''P''0''P''2 நாண்கள் இரண்டும் வட்ட மையத்தில் தாங்கும் கோணங்கள் முறையே ''L''1, ''L''2 எனில், இக் கோணங்களின் கூடுதலை ''L''1 + ''L''2 வட்ட மையத்தில் தாங்கும் நாண் ''PQ'', ஆனது ''P''1''P''2 க்கு இணையாக இருக்கும். இதே கருத்தினை அதிபரவளைவிற்கும் பயன்படுத்தலாம். P0: (1,1), P1: (''x''1,1/''x''1), P2: (''x''2,1/''x''2), எனில் வட்டத்தில் இணை என்ற நிபந்தனைக்கு ஒத்ததாக இங்கு Q புள்ளியின் ஆய தொலைவுகள் (''x''1''x''2,1/''x''1''1/x''2) என்பதாக இருக்க வேண்டும் என்பதாகும். இதன்மூலம் P0 லிருந்து அதிபரவளைய வளைவரை மீதமையும் ஏதேனும் ஒரு புள்ளியின் அதிபரவளையக் கோணம் அப்புள்ளியின் ''x''-ஆய தொலைவின் மடக்கைச் சார்பாக இருப்பதனைக் காணலாம்.Bjørn Felsager, [http://www.dynamicgeometry.com/documents/advancedSketchGallery/minkowski/Minkowski_Overview.pdf Through the Looking Glass - A glimpse of Euclid’s twin geometry, the Minkowski geometry], ICME-10 Copenhagen 2004; p.14. See also example sheets [http://www.dynamicgeometry.com/documents/advancedSketchGallery/minkowski/Minkowski_Workshop_1.pdf] [http://www.dynamicgeometry.com/documents/advancedSketchGallery/minkowski/Minkowski_Workshop_2.pdf] exploring Minkowskian parallels of some standard Euclidean resultsViktor Prasolov and Yuri Solovyev (1997) ''Elliptic Functions and Elliptic Integrals'', page 1, Translations of Mathematical Monographs volume 170, American Mathematical Society