கேள்வி: அரைச்சுற்றளவு பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: வடிவவியலில், ஒரு பல்கோணம் அரைச்சுற்றளவு (''semiperimeter'') என்பது அதன் சுற்றளவு பாதியளவாகும். வாய்ப்பாடுகளில் பயன்படுத்தப்படும் போது, அரைச்சுற்றளவானது ''s'' என்ற குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது.
கேள்வி: அரைச்சுற்றளவு - முக்கோணங்கள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: Image:Nagel point.svg ஒரு உச்சி (வடிவவியல்), அதன் எதிர்ப் பக்கத்தின் முக்கோணத்தின் உள்வட்டமும் வெளிவட்டங்களும் எதிர்ப்பக்கத்தைத் தொடும் புள்ளிவரை உள்ள தொலைவை, முக்கோணத்தின் வரம்பு வழியாகவே அளக்க, அது முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவுக்குச் சமமாக இருக்கும்.]] பெரும்பாலும் முக்கோணங்களில் அரைச்சுற்றளவு பயன்படுகிறது. ஒரு முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவு ''s'' இன் வாய்ப்பாடு: :s = \frac{a+b+c}{2}. (''a'' , ''b'' , ''c'' முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்கள்
கேள்வி: அரைச்சுற்றளவு - பண்புகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: *ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு உச்சி மற்றும் அந்த உச்சியின் எதிர்ப் பக்கத்தின் வெளிவட்டம் அப் பக்கத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளி இரண்டும், முக்கோணத்தின் சுற்றளவை சமநீளங்கள் கொண்ட இரு பாகங்களாகப் பிரிக்கின்றன. மேலும் அவ்விரு சமபாகங்களின் நீளம், முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவிற்குச் சமமாக இருக்கும். :முக்கோணத்தின் உச்சிகள் A, B, C ஒவ்வொன்றின் எதிர்ப் பக்கங்களின் வெளிவட்டங்கள் அப் பக்கங்களைத் தொடும்புள்ளிகள் முறையே, A', B', C' எனில், கோட்டுத்துண்டுகள் AA', BB', CC' மூன்றும் முக்கோணத்தின் பிளப்பி (வடிவவியல்) என்றறியப்படுகின்றன. மேலும், :s = |AB|+|A'B| = |AB|+|AB'| ::= |AC|+|A'C| = |AC|+|AC'| ::= |BC|+|B'C| = |BC|+|BC'|. :இம் மூன்று பிரிக்கும் கோடுகளும் ஒரே புள்ளியில் சந்திக்கும் கோடுகள் ஆகும். அவை சந்திக்கும் புள்ளி, நாகெல் புள்ளி எனப்படுகிறது. * ஒரு முக்கோணத்தின் முக்கோணத்தின் உள்வட்டமும் வெளிவட்டங்களும் வழிச் செல்லும் ஒரு கோடு, முக்கோணத்தின் பரப்பளவை இருசமக்கூறிடல் ”இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே”, அக்கோடு முக்கோணத்தின் சுற்றளவையும் இருசமக்கூறிடும். *ஒரு முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவானது அம் முக்கோணத்தின் நடுப்புள்ளி முக்கோணம் சுற்றளவுக்குச் சமமாக இருக்கும். *அடிப்படை முக்கோணச் சமனிலியின்படி, முக்கோணத்தின் மிகப்பெரிய பக்கத்தின் நீளம் அம் முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவைவிடச் சிறியதாக இருக்கும்.
கேள்வி: அரைச்சுற்றளவு - அரைச்சுற்றளவு கொண்ட வாய்ப்பாடுகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: * K = rs (முக்கோணத்தின் பரப்பு ''K'' ) *K = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)} *R = \frac{abc} {4\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}} (முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்ட ஆரம் ''R'') * r = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}} (முக்கோணத்தின் உள்வட்ட ஆரம் ''r'') *கோடேன்ஜெண்ட் விதி : \cot{ \frac{\alpha}{2 }} = \frac{s-a}{r } : \cot{ \frac{\beta}{2 }} = \frac{s-b}{r } : \cot{ \frac{\gamma}{2 }} = \frac{s-c}{r} *முக்கோணத்தில், ''a'' நீளம் கொண்ட பக்கத்திற்கு எதிர்க் கோணத்தின் உட்கோண இருசமவெட்டியின் நீளம்Johnson, Roger A., ''Advanced Euclidean Geometry'', Dover Publ., 2007 (orig. 1929), p. 70. :t_a= \frac{2 \sqrt{bcs(s-a)}}{b+c}. செங்கோண முக்கோணத்தில், *செம்பக்கம் வெளிவட்ட ஆரமானது முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவுக்குச் சமமாக இருக்கும். *உள்வட்டம் மற்றும் சுற்றுவட்டத்தின் இருமடங்கு ஆகிய இரண்டின் கூட்டுத்தொகையானது அரைச்சுற்றளவிற்குச் சமமாக இருக்கும். *செங்கோண முக்கோணத்தின் பரப்பளவு: :(s-a)(s-b) (''a'' , ''b'' செங்கோண முக்கோணத்தின் தாங்கு பக்கங்கள்)
கேள்வி: அரைச்சுற்றளவு - நாற்கரங்கள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: ''a'', ''b'', ''c'' , ''d'' பக்கநீளங்கள் கொண்ட நாற்கரம் அரைச்சுற்றளவின் வாய்ப்பாடு: :s = \frac{a+b+c+d}{2}. *அரைச்சுற்றளவு மற்றும் உள்வட்ட ஆரம் அடங்கிய முக்கோணத்தின் பரப்பளவு காணப் பயன்படும் வாய்ப்பாடு தொடு நாற்கரம் பொருந்தும். :தொடு நாற்கரத்தின் உள்வட்ட ஆரம் ''r'', அரைச்சுற்றளவு ''s'', பரப்பளவு ''k'' எனில்: : K = rs *பிரம்மகுப்தரின் வாய்பாடு எளிய வடிவம் ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' -ஐ பக்க நீளங்களாகக் கொண்ட வட்ட நாற்கரம் பரப்பளவைத் தருகிறது: :K = \sqrt{\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)} :இதனை பிரெட்ஷ்ணைடரின் வாய்பாடு அனைத்துக் குவிவு நாற்கரங்களுக்கும் பொதுமைப்படுத்துகிறது: : K = \sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)} (\alpha, \, \gamma \, இரண்டும் நாற்கரத்தின் எதிர்க் கோணங்கள்)
கேள்வி: அரைச்சுற்றளவு - ஒழுங்குப் பல்கோணம் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ஒரு குவிவு ஒழுங்குப் பல்கோணத்தின் பரப்பளவானது, பல்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவு, பல்கோணப் பக்கநடுக்கோடு நீளம் ஆகிய இரண்டின் பெருக்குத்தொகைக்குச் சமமாக இருக்கும்.