கேள்வி: கணித மாறிலி e-இன் உருவகிப்புகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: கணித மாறிலி E (கணித மாறிலி) (''mathematical constant e''), ஒரு மெய்யெண்ணாகப் பலவிதங்களில் உருவகிக்கப்படலாம். ஒரு விகிதமுறா எண் என்பதால் அதனை ஒரு பின்னம் எழுத முடியாது. ஆனால் அதனை ஒரு தொடரும் பின்னம் எழுத முடியும். நுண்கணிதம் மூலம் இக்கணித மாறிலியை ஒரு தொடர் (கணிதம்), முடிவுறாப் பெருக்கமாக அல்லது தொடர்முறையின் எல்லையாக எழுதலாம்.
கேள்வி: கணித மாறிலி e-இன் உருவகிப்புகள் - தொடரும் பின்னமாக குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: கணிதவியலாளர் லியோனார்டு ஆய்லர் ஐ ஒரு முடிவுறாத் தொடரும் பின்னமாக எழுதலாம் என்பதை நிறுவினார்.] : :e = [2; 1, \textbf{2}, 1, 1, \textbf{4}, 1, 1, \textbf{6}, 1, 1, \textbf{8}, 1, 1, \ldots, \textbf{2n}, 1, 1, \ldots]. \, இதில் ஒரேயொரு பின்ன எண்ணை எடுத்துக்கொள்வதால் இதன் ஒருங்கல் மும்மடங்காகும்: : e = [ 1 ; \textbf{0.5} , 12 , 5 , 28 , 9 , 44 , 13 , 60 , 17 , \ldots , \textbf{4(4n-1)} , \textbf{4n+1} , \ldots]. \, இன் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட முடிவுறா தொடரும் பின்ன விரிவுகள் சில: : e= 2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{2}{3+\cfrac{3}{4+\cfrac{4}{5+\ddots}}}}} = 2+\cfrac{2}{2+\cfrac{3}{3+\cfrac{4}{4+\cfrac{5}{5+\cfrac{6}{6+\ddots\,}}}}} :e = 2+\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{5+\cfrac{1}{10+\cfrac{1}{14+\cfrac{1}{18+\ddots\,}}}}} = 1+\cfrac{2}{1+\cfrac{1}{6+\cfrac{1}{10+\cfrac{1}{14+\cfrac{1}{18+\ddots\,}}}}} [1; 0.5, 12, 5, 28, 9, ...] க்குச் சமானமான கடைசி விரிவு, படிக்குறிச் சார்பு பொது வாய்பாடாகும்: :e^{x/y} = 1+\cfrac{2x} {2y-x+\cfrac{x^2} {6y+\cfrac{x^2} {10y+\cfrac{x^2} {14y+\cfrac{x^2} {18y+\ddots}}}}}
கேள்வி: கணித மாறிலி e-இன் உருவகிப்புகள் - முடிவுறாத் தொடராக பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: -கணித மாறிலியை முடிவுறாத் தொடரின் கூடுதலாக எழுதலாம்: :e^x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} , ''x'' ஒரு மெய்யெண். ''x''&nbsp;=&nbsp;1, &minus;1 எனில்: :e = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}, :e^{-1} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} பிற தொடர்கள்: :e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{1-2k}{(2k)!} \right ]^{-1} Formulas 2–7: H. J. Brothers, [http://www.brotherstechnology.com/docs/Improving_Convergence_(CMJ-2004-01).pdf Improving the convergence of Newton's series approximation for ''e''], ''The College Mathematics Journal'', Vol. 35, No. 1, (2004), pp. 34–39. :e = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{k!} :e = 2 \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{(2k+1)!} :e = \sum_{k=0}^\infty \frac{3-4k^2}{(2k+1)!} :e = \sum_{k=0}^\infty \frac{(3k)^2+1}{(3k)!} :e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1)!} \right ]^2 :e = \left [ -\frac{12}{\pi^2} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \ \cos \left ( \frac{9}{k\pi+\sqrt{k^2\pi^2-9}} \right ) \right ]^{-1/3} :e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^n}{B_n(k!)} B_n என்பது nவது பெல் எண். சில எடுத்துக்காட்டுகள்: (''n''=1,2,3) :e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^2}{2(k!)} :e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^3}{5(k!)} :e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^4}{15(k!)} :e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^5}{52(k!)} :e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^6}{203(k!)} :e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^7}{877(k!)}
கேள்வி: கணித மாறிலி e-இன் உருவகிப்புகள் - முடிவுறாப் பெருக்கமாக குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: கணித மாறிலி , பிப்பிங்கரின் பெருக்கம் உட்பட்ட பல முடிவுறாப் பெருக்கங்களாக எழுதப்படுகிறது: *பிப்பிங்கரின் பெருக்கம் ( Pippenger's product) : e= 2 \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/2} \left ( \frac{2}{3}\; \frac{4}{3} \right )^{1/4} \left ( \frac{4}{5}\; \frac{6}{5}\; \frac{6}{7}\; \frac{8}{7} \right )^{1/8} \cdots *கில்லெராவின் பெருக்கம் (Guillera's product)J. Sondow, [http://arxiv.org/abs/math/0401406 A faster product for pi and a new integral for ln pi/2,] ''Amer. Math. Monthly'' 112 (2005) 729–734.J. Guillera and J. Sondow, [http://arxiv.org/abs/math.NT/0506319 Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent,]''Ramanujan Journal'' 16 (2008), 247–270. : e = \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/1} \left (\frac{2^2}{1 \cdot 3} \right )^{1/2} \left (\frac{2^3 \cdot 4}{1 \cdot 3^3} \right )^{1/3} \left (\frac{2^4 \cdot 4^4}{1 \cdot 3^6 \cdot 5} \right )^{1/4} \cdots , இதன் ''n'' வது காரணியானது கீழுள்ள பெருக்கத்தின் ''n'' ஆம் படிமூலமாகும். :\prod_{k=0}^n (k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}}, *மற்றுமொரு முடிவுறாப் பெருக்கம் : e = \frac{2\cdot 2^{(\ln(2)-1)^2} \cdots}{2^{\ln(2)-1}\cdot 2^{(\ln(2)-1)^3}\cdots }.
கேள்வி: கணித மாறிலி e-இன் உருவகிப்புகள் - தொடர்வரிசையின் எல்லையாக பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: பல தொடர்வரிசைகளின் எல்லையாக அமையும்: இசுடெர்லிங் வாய்பாடு: : e= \lim_{n \to \infty} n\cdot\left ( \frac{\sqrt{2 \pi n}}{n!} \right )^{1/n} : e=\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} சமச்சீர் எல்லைH. J. Brothers and J. A. Knox, [http://www.brotherstechnology.com/docs/Closed-Form_Approximations_(MI-1998-12).pdf New closed-form approximations to the Logarithmic Constant ''e'',]''The Mathematical Intelligencer'', Vol. 20, No. 4, (1998), pp. 25–29.: :e=\lim_{n \to \infty} \left [ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}- \frac{n^n}{(n-1)^{n-1}} \right ] இன் அடிப்படை எல்லை வரையறையைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் இதனை அடையலாம். அடுத்த இரு வரையறைகளும் பகா எண் தேற்றம் நேரடி கிளைமுடிவுகளாக அமையும்S. M. Ruiz 1997: :e= \lim_{n \to \infty}(p_n \#)^{1/p_n}. இதில் p_n , ''n'' வது பகா எண்; p_n \# , ''n'' இன் பகாத்தனி தொடர்பெருக்கம். :e= \lim_{n \to \infty}n^{\pi(n)/n} இதில் \pi(n) , பகாத்தனி-எண்ணும் சார்பு. மேலும்: :e^x= \lim_{n \to \infty}\left (1+ \frac{x}{n} \right )^n. இவ்வெல்லையின் சிறப்புவகையாக x = 1 எனும்போது: :e= \lim_{n \to \infty}\left (1+ \frac{1}{n} \right )^n.