கேள்வி: சுற்றுக்கூம்புவெட்டு என்பது என்ன?
பதில்: படிமம்:Inconic+Circunconic.png முக்கோண வடிவவியலில் சுற்றுக்கூம்புவெட்டு (''circumconic'') என்பது ஒரு முக்கோணம் மூன்று உச்சி (வடிவவியல்) வழியாகச் செல்லும் கூம்பு வெட்டு ஆகும்.Weisstein, Eric W. "Circumconic." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Circumconic.html அதேபோல உட்கூம்புவெட்டு (''inconic'') என்பது முக்கோணத்தின் உள்தொடு வடிவம் வரையப்பட்ட கூம்புவெட்டு ஆகும்.Weisstein, Eric W. "Inconic." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Inconic.htm *''A'', ''B'', ''C'' ஒரே கோட்டிலமையாத மூன்று வேறுபட்ட புள்ளிகள். *''ΔABC'' முக்கோணத்தின் உச்சிகள் ''A'', ''B'', ''C''. *''A'' முக்கோணத்தின் உச்சி மட்டுமல்லாது ''A'' இல் அமையும் முக்கோணத்தின் உச்சிக்கோணம் ''BAC'' ஐயும் குறிக்கும். இதேபோல ''B'' , ''C'' இரண்டும் முறையே முக்கோணத்தின் உச்சிக்கோணங்கள் ''ABC'' ''BCA'' ஐக் குறிக்கின்றன. *''a'' = |''BC''|, ''b'' = |''CA''|, ''c'' = |''AB''|, Δ''ABC'' முக்கோணத்தின் பக்கநீளங்கள். முந்நேரியல் ஆயதொலைவுகளில், ஒரு பொதுச் சுற்றுக்கூம்புவெட்டானது ''X'' = ''x'' : ''y'' : ''z'' என்ற முந்நேரியல் ஆயதொலைவுகள் கொண்ட புள்ளி ''X'' இன் இயங்குவரை. மேலும் அக்கூம்புவெட்டு கீழ்வரும் சமன்பாட்டினை நிறைவு செய்யும்: : uyz + vzx + wxy = 0 (''u'' : ''v'' : ''w'' ஏதேனுமொரு புள்ளி) சுற்றுக்கூம்புவெட்டின் மீதமையும் ''A'', ''B'', ''C'' தவிர பிற புள்ளிகள் ஒவ்வொன்றின் சமகோண இணையியம் கீழ்க்காணும் கோட்டின் மீதமையும். :ux + vy + wz = 0. இக்கோடானது ''ΔABC'' இன் சுற்றுவட்டம் வெட்டும் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை *சுற்றுக்கூம்புவெட்டு நீள்வட்டமாக இருக்கும்பொழுது 0 ஆகவும்; *சுற்றுக்கூம்புவெட்டு பரவளையமாக இருக்கும்பொழுது 1 ஆகவும்; *சுற்றுக்கூம்புவெட்டு அதிபரவளையமாக இருக்கும்பொழுது 2 ஆகவும் இருக்கும். ''ΔABC'' இன் பொது உட்கூம்புவெட்டின் சமன்பாடு: :u^{2}x^{2} + v^{2}y^{2} + w^{2}z^{2} - 2vwyz - 2wuzx - 2uvxy = 0.
கேள்வி: சுற்றுக்கூம்புவெட்டு - உட்கூம்புவெட்டு பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: பொது உட்கூம்புவெட்டின் மையப்புள்ளி: :cy + bz : az + cx : bx + ay. ''ΔABC'' இன் பக்கக்கோடுகள் உட்கூம்புவெட்டின் தொடுகோடுகளாக அமையும். அவற்றின் சமன்பாடுகள்: :x = 0, y = 0, z = 0 .
கேள்வி: சுற்றுக்கூம்புவெட்டு - உட்கூம்புவெட்டு பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: *ubc + vca + wab = 0 என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, பொது உட்கூம்புவெட்டு ஒரு பரவளையமாகும். இது முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தினைத் தொட்டவாறும் மற்ற இரு பக்கங்களின் நீட்சியைத் தொட்டவாறும் அமையும். * p_1 : q_1 : r_1 , p_2 : q_2 : r_2 இரண்டும் வேறுபட்ட புள்ளிகள்; :X = (p_1 + p_2t) : (q_1 + q_2t) : (r_1 + r_2t) எனில்: ''t'' இன் மெய்யெண் மதிப்புகளுக்கு ''X'' இன் இயங்குவரை ஒரு கோடாகும். *X^2 = (p_1 + p_2t)^2 : (q_1 + q_2t)^2 : (r_1 + r_2t)^2 என வரையறுக்கப்பட்டால், ''X''2 இன் இயங்குவரை ஒரு உட்கூம்புவெட்டாக, ஒரு நீள்வட்டமாக இருக்கும். அந்நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு: :L^4x^2 + M^4y^2 + N^4z^2 -2M^2N^2yz - 2N^2L^2zx - 2L^2M^2xy = 0. இதில்: ::''L'' = ''q''1''r''2 &minus; ''r''1''q''2, ::''M'' = ''r''1''p''2 &minus; ''p''1''r''2, ::''N'' = ''p''1''q''2 &minus; ''q''1''p''2. * முக்கோணத்தின் உட்புறமுள்ள ஒரு புள்ளியானது அம்முக்கோணத்தின் நடுப்புள்ளி முக்கோணம் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அந்தப் புள்ளி மூலமுக்கோணத்தின் உள்நீள்வட்டத்தின் மையப்புள்ளியாக இருக்க முடியும்.Chakerian, G. D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in ''Mathematical Plums'' (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979. நடுப்புள்ளி முக்கோணத்துக்குள் அமையும் புள்ளியை மையமாகக் கொண்ட உள்நீள்வட்டம் தனித்துவமானது. அதாவது அத்தகைய உள்நீள்வட்டம் ஒன்றேயொன்றுதான் இருக்கும். * முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டுச்சந்தியை மையமாகக் கொண்ட உள்நீள்வட்டம் ”நடுப்புள்ளி நீள்வட்டம்” என அழைக்கப்படும். ஒரு முக்கோணத்தின் உள்நீள்வட்டங்களிலேயே அதிகவளவு பரப்பளவு கொண்ட இந்த நீள்வட்டம் ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டம் அழைக்கப்படுகிறது. : (\alpha , \beta , \gamma) உள்நீள்வட்ட மையத்தின் ஈர்ப்புமைய ஆயதொலைவுகள் எனில்: ::\frac{\text{Area of inellipse}}{\text{Area of triangle}}= \pi \sqrt{(1-2\alpha)(1-2\beta)(1-2\gamma)}, * உள்நீள்வட்டமானது முக்கோணத்தின் பக்கங்களைத் தொடும்புள்ளிகளையும் அந்தந்த புள்ளிகளுக்கான முக்கோணத்தின் எதிர் உச்சிகளையும் இணைக்கும் கோடுகள் ஒருபுள்ளியில் சந்திக்கின்றன.
கேள்வி: சுற்றுக்கூம்புவெட்டு - எடுத்துக்காட்டுகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: * சுற்றுக்கூம்புவெட்டுகள் ** முக்கோணத்தின் மூன்று உச்சிகளின் வழியே செல்லும் சுற்றுவட்டம் ** ஸ்டெயினர் சுற்றுநீள்வட்டம்-முக்கோணத்தின் மூன்று உச்சிகள் மற்றும் நடுக்கோட்டுச்சந்தி வழியாகச் செல்லும் தனித்த சுற்றுநீள்வட்டம் ** கீபெர்ட் அதிபரவளையம்-முக்கோணத்தின் மூன்று உச்சிகள் மற்றும் நடுக்கோட்டுச்சந்தி, செங்கோட்டுச்சந்தி வழியாகச் செல்லும் தனித்த சுற்றுஅதிபரவளையம் ** ஜெராபெக் அதிபரவளையம் -முக்கோணத்தின் ஒன்பது-புள்ளி வட்டம் மேல் மையப்புள்ளி கொண்டதும், முக்கோணத்தின் மூன்று உச்சிகள், செங்கோட்டுச்சந்தி மற்றும் சில குறிப்பிடத்தக்க மையங்களின் வழியாகச் செல்வதுமான செவ்வக அதிபரவளையம். ** ஃப்யூயர்பக் அதிபரவளையம்-முக்கோணத்தின் ஒன்பது-புள்ளி வட்டம் மேல் மையப்புள்ளி கொண்டதும், முக்கோணத்தின் செங்கோட்டுச்சந்தி, நாகெல் புள்ளி, மற்றும் பிற குறிப்பிடத்தக்க புள்ளிகள் வழியாகச் செல்வதுமான செவ்வக அதிபரவளையம். * உட்கூம்புவெட்டுகள் ** முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களையும் உட்புறமாகத் தொடுகின்ற முக்கோணத்தின் உள்வட்டமும் வெளிவட்டங்களும் ** ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டம்-முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களையும் அவற்றின் நடுப்புள்ளிகளில் தொடுகின்ற தனித்த நீள்வட்டம். ** மாண்டார்ட் நீள்வட்டம், முக்கோணத்தின் வெளிவட்டங்கள் முக்கோணத்தின் பக்கங்களைத் தொடும் புள்ளிகளில் அப்பக்கங்களைத் தொடுகின்ற தனித்த நீள்வட்டம். ** கீபெர்ட் பரவளையம்