கேள்வி: வட்ட வரிசைமாற்றம் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: கணிதத்தில் சுழல் வரிசைமாற்றம் அல்லது வட்ட வரிசைமாற்றம் (''cyclic permutation'' அல்லது ''Circular permutation'') என்பது வரிசைமாற்றம் ஒரு சிறப்புவகையாகும். ''X'' கணத்தின் மீதான ஒரு வரிசைமாற்றம், ''X'' இன் ஒரு உட்கணம் ''S'' இன் உறுப்புகளை அவற்றுக்குள்ளாகவே ஒரு சுழலமைப்பில் வரிசைமாற்றப்படுத்தி, ''S'' இல் இல்லாத ஏனைய ''X'' இன் உறுப்புகளை தமக்குத்தாமே வரிசைமாற்றப்படுத்துமானால் அது வட்ட வரிசைமாற்றம் எனப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டு: {1, 2, 3, 4} என்ற கணத்தின் ஒரு வரிசைமாற்றம்: *\sigma_1 = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} :1 → 3, 3 → 2, 2 → 4, 4 → 1 என எடுத்துக்கொண்ட கணத்தின் உறுப்புகள் அனைத்தும் சுழலமைப்பில் மாறுகின்றன. இது ஒரு வட்ட வரிசைமாற்றமாகும். *\sigma_2 = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\3 & 2 & 1 & 4 \end{pmatrix} என்ற வரிசைமாற்றத்தின்கீழ் 1 → 3, 3 → 1 என ஒரு சுழலும்; 2 → 2, 4 → 4 (2, 4 ஆகிய உறுப்புகளும் தமக்குத்தாமே இணைக்கப்படுகின்றன) என அமைகிறது. இவ்வரிசைமாற்றமும் வட்ட வரிசைமாற்றமாகும். மாறாக, :\sigma_3 = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix} என்ற வரிசைமாற்றத்தின்கீழ் 1 → 3, 3 → 1; 2 → 4, 4 → 2 என எடுத்துக்கொண்ட கணத்தின் உறுப்புகள் அனைத்தும் ஒரே சுழல்களும் நிலைத்த புள்ளிகளும் அமையாமல் (1 3), (2, 4) என இரு சோடி உறுப்புகளாகப் பிரிந்து இரு சுழல்களாக அமைவதால் இது வட்ட வரிசைமாற்றமாகாது. ஒரு வரிசைமாற்றத்தின் சுழல் என்பது வட்ட வரிசைமாற்றத்துக்குட்படும் உறுப்புகளின் ஒரு உட்கணம் ஆகும். :முதல் எடுத்துக்காட்டில் (1 3 2 4) ஒரு சுழலாகும். :இரண்டாவது எடுத்துக்காட்டில் (1, 3), (2, 4) என இரு சுழல்கள் உள்ளன. கணம் ''S'' ஆனது, சுழலின் சுற்றுப்பாதை (orbit (குலம்)) என அழைக்கப்படும். சேர்ப்பில்லாக் கணங்கள் சுற்றுப்பாதைக் கணங்களின் மீதான சுழல்களின் தொகுப்பாக, ஒவ்வொரு வரிசைமாற்றத்தையும் எழுதலாம்; சில சமயங்களில் ஒரு வட்ட வரிசைமாற்றம் முழுவதும் ஒரே சுழலாகவும் அமையும்.
கேள்வி: வட்ட வரிசைமாற்றம் - இடமாற்றங்கள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: ஒரு வரிசைமாற்றத்தில், இரண்டு உறுப்புகள் மட்டுமே கொண்ட சுழல், இடமாற்றல் (''transposition'') என அழைக்கப்படும். எடுத்துக்காட்டு: {1, 2, 3, 4} கணத்தில் 1 → 1, 2 → 4, 3 → 3, 4 → 2 என மாற்றும் வரிசைமாற்றம் ஒரு இடமாற்றம் ஆகும். இவ்வரிசைமாற்றத்தின் சுழல் குறியீடு: : \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 3 \\ 1 & 4 & 2 & 3 \end{pmatrix} = (24)(1)(3) இவ்வரிசைமாற்றத்தில் உள்ள சுழல் இரண்டு உறுப்புகள் மட்டுமே கொண்டுள்ளது.
கேள்வி: வட்ட வரிசைமாற்றம் - வெளியிணைப்புகள் என்பது என்ன?
பதில்: * [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Combinatorics/PermByTrans.shtml Permutations as a Product of Transpositions] *[http://planetmath.org/node/32262 cycle] , PlanetMath பகுப்பு:வரிசைமாற்றங்கள்