கேள்வி: சமன்பாட்டைத் தீர்த்தல் என்பது என்ன?
பதில்: Image:NewtonIteration Ani.gif to solve the equation f(x)=0 என்ற சமன்பாட்டின் தீர்வு காணும் நியூட்டன்-ராப்சன் முறைக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு.]] File:Quadratic formula.svg தீர்க்கப் பயன்படும் இருபடி வாய்ப்பாடு.]] கணிதம் சமன்பாட்டின் தீர்வு காணல் அல்லது சமன்பாடு தீர்த்தல் (''Equation solving'') என்பது அச்சமன்பாடு தரும் நிபந்தனையை நிறைவுசெய்யும் மதிப்புகளைக் காணும் செயலாகும். இந்த மதிப்புகள் அச்சமன்பாட்டின் "தீர்வுகள்" எனப்படும். ஒரு சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் அச்சமன்பாட்டைப் பொறுத்து எண்கள், சார்புகள், கணம் (கணிதம்) என அமையலாம். பொதுவாக ஒரு சமன்பாடு சமன் (கணிதம்) இருபுறமும் அமையும் இரு கோவை (கணிதம்) கொண்டதாயிருக்கும். தீர்வு காணும்போது ஒன்று அல்லது ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட கட்டற்ற மாறிகள் "அறியப்படாதவை"யாகக் கொள்ளப்படுகின்றன. சமன்பாட்டிலுள்ள சமன்தன்மையை உண்மையாக்கும் மதிப்புகளை அறியப்படாத மாறிகளுக்கு கண்டுபிடிப்பதே அச்சமன்பாட்டின் தீர்வு காண்பதாகும். அதாவது சமன்பாட்டிலுள்ள அறியா மாறிகளுக்கு பதிலிடும்போது அச்சமன்பாட்டினை முற்றொருமை (கணிதம்) ஆக்கக்கூடிய கோவைகளே தீர்வுகளாகும்.
கேள்வி: சமன்பாட்டைத் தீர்த்தல் - முரட்டுவழித் தேடல், சோதித்துப் முயன்று தெரிதல், ஊகித்தல் என்பது என்ன?
பதில்: ஒரு சமன்பாட்டின் தீர்களின் கணம் முடிவுறு கணமாகக் கட்டுப்படுத்தப்பட்டால், தீர்வுகளை முரட்டுவழிமுறையில் ([Brute-force search) காணலாம். அதாவது தீர்வுகளாக இருக்கக்கூடும் என்ற மதிப்புகளை ஒவ்வொன்றாகச் சமன்பாட்டில் பதிலிட்டு சமன்பாடு நிறைவுபெறுகிறாதா இல்லையா எனக் காணலாம். பதிலிட வேண்டிய மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை முடிவுறு எண்ணாக இருப்பினும், மிகப்பெரிய எண்ணாக இருக்கும்பட்சத்தில் அவை அனைத்தையும் பிரதியிட்டு தீர்வா இல்லையா என்ற முடிவெடுப்பதற்கு அதிகக் காலவளவும் முயற்சியும் தேவைப்படும். எனவே இது நடைமுறையில் எளிதானதல்ல. சிக்கல் தீர்வுகாணும் முறைகளில், சில நேரங்களில் முயன்று தெரிதல் முறை வெற்றியைத் தரலாம். ஒரு சமன்பாட்டின் வகையைக் கொண்டோ அல்லது அதே வகையிலான வேறொரு ஒத்த, ஏற்கனவே தீர்வறியப்பட்ட சமன்பாட்டின் தீர்வின் தன்மையைக் கொண்டோ அச்சமன்பாட்டின் தீர்வினை ஊகிக்கலாம். ஊகிக்கப்பட்டத் தீர்வு தவறாக இருந்தால், முதல்முறையின் ஊகத்தின் அனுபத்தினால் அடுத்தமுறை சரியான வழியில் ஊகிக்க இயலும்.
கேள்வி: சமன்பாட்டைத் தீர்த்தல் - அடிப்படை இயற்கணிதம் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ஒரு மெய்மாறியிலமைந்த நேரியல் மற்றும் எளிய விகதமுறு சார்புகளை அடிப்படை இயற்கணிதம்முறையில் தீர்க்கலாம்: எடுத்துக்காட்டு 1: :8x + 7 = 4x + 35 \, , :8x + 7 = 4x + 35 :8x - 7x = 35 - 7 :x = 28 எடுத்துக்காட்டு 2: :\frac{4x + 9}{3x + 4} = 2 \, :4x + 9 = 2 \times (3x + 4) \, :4x + 9 = 6x + 8 \, :4x - 6x = 8 - 9 \, :- 2x = -1 \, :x = \frac{1}{2} \,
கேள்வி: சமன்பாட்டைத் தீர்த்தல் - நேரியல் சமன்பாடுகளின் தொகுப்புகள் என்பது என்ன?
பதில்: சிறிய நேரியல் சமன்பாடுகளின் தொகுப்புகளை அடிப்படை இயற்கணித முறைகளில் தீர்க்கலாம். பெரிய தொகுப்புகள் நேரியல் இயற்கணிதம் அடிப்படையிலமைந்த படிமுறைகளைக் கொண்டு தீர்க்கப்படுகின்றன. நேரியல் சமன்பாட்டுத் தொகுதிகளில் எளியவை இரு மாறிகளில் அமைந்த இரண்டு சமன்பாடுகள்: :\begin{alignat}{5} 2x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 6 & \\ 4x &&\; + \;&& 9y &&\; = \;&& 15&. \end{alignat} இத்தொகுதியின் தீர்வைப் பிரதியிடல் மற்றும் நீக்கல் ஆகிய இருமுறைகளில் காணலாம். பிரதியிடல் முறை: முதலில், மேலே உள்ள முதல் சமன்பாட்டில் இருந்து x என்னும் மாறியை y மாறி மூலமாக மாற்றிக் கொள்ள: :x = 3 - \frac{3}{2}y. இப்பொழுது, ''x'' என்னும் மாறிக்கு மாற்றீடாக இரண்டாவது சமன்பாட்டில் இதனை இடுக: :4\left( 3 - \frac{3}{2}y \right) + 9y = 15. இது இப்பொழுது y என்னும் ஒரேயொரு மாறியினால் ஆன ஒருபடியச் சமன்பாடு, ஆகவே எளிதாகத் தீர்வைக் காணலாம்: y = 1. இப்பொழுது y -யின் இம்மதிப்பை x ஐக் கணிக்கும் சமன்பாட்டில் இட்டால் x = 3/2 எனத் தீர்வு காணலாம். இதே முறையைப் பல மாறிகள் இருக்கும் ஒருங்கமைச் சமன்பாடுகளின் தொகுதிக்கும் பயன்படுத்தலாம்.