கேள்வி: கற்பனை அலகு என்பது என்ன?
பதில்: File:ImaginaryUnit5.svg கற்பனை அலகு அல்லது அலகு கற்பனை எண் (''imaginary unit'', ''unit imaginary number'') என்றழைக்கப்படும் i ஆனது, மெய்யெண்களை () சிக்கலெண்களுக்கு () நீட்டிக்கும் ஒரு கணிதக் கருத்துரு ஆகும். இவ்வாறு மெய்யெண்கள் சிக்கலெண்களுக்கு நீட்டிக்கப்படுவதால் ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவைக்கும் குறைந்தபட்சம் ஒரு சார்பின் மூலம் கிடைக்கிறது. இன் முக்கியப் பண்பு: :: −1}} வர்க்கம் (கணிதம்) எதிரெண்ணாகக் கொண்ட மெய்யெண்களே இல்லை என்பதால் ஒரு கற்பனை எண்ணாகக் கொள்ளப்படுகிறது. கற்பனை அலகைக் குறிப்பதற்கு, சில இடங்களில் என்ற குறியீட்டுக்குப் பதிலாக அல்லது கிரேக்க எழுத்தான பயன்படுத்தப்படுகின்றது.
கேள்வி: கற்பனை அலகு - வரையறை பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: {| class="wikitable" style="float: right; margin-left: 1em; text-align: center;" ! இன் அடுக்குகள் மீண்டும் சுழலும் மதிப்புகள்: |- | (நீலப் பகுதியையடுத்து, மதிப்புகள் மீள்கின்றன) |- | |- | |- | |- |style="background:#cedff2;" | |- |style="background:#cedff2;" | |- |style="background:#cedff2;" | |- |style="background:#cedff2;" | |- | |- | |- | |- | (நீலப் பகுதியை யடுத்து, மதிப்புகள் மீள்கின்றன) |} இன் வரையறையானது, இன் வர்க்கம் -1 என்ற பண்பை மட்டுமே அடிப்படையாகக் கொண்டுள்ளது: :i^2 = -1 \ . ஆனால் இன் இந்த வரையறையின் விளைவாக, , என -1 க்கு இரு வர்க்கமூலங்கள் கிடைக்கின்றன. மெய்யெண்களில் மேற்கொள்ளப்படும் அடிப்படைக் கணிதச் செயல்களை சிக்கலெண்களுக்கும் நீட்டிக்கலாம். எந்தவொரு கணிதச் செயலையும் சிக்கலெண்களில் மேற்கொள்ளும்போது, ஐ மதிப்புத் தெரியாத கணியமாகப் பாவித்து செயல்களைச் செய்த பின்னர், விளைவில் உள்ள இன் மதிப்பை −1 எனப் பதிவிட வேண்டும். மேலும் இன் அடுக்கு இரண்டைவிட அதிகமாக இருப்பின் அவற்றை , 1, , −1 ஆகியவற்றைக் கொண்டு பதிவிடலாம்: :i^3 = i^2 i = (-1) i = -i \, :i^4 = i^3 i = (-i) i = -(i^2) = -(-1) = 1 \, :i^5 = i^4 i = (1) i = i \, இதேபோல சுழியற்ற மெய்யெண்களுக்குப் போலவே க்கும் கீழுள்ளவை உண்மையாகும்: :i^0 = i^{1-1} = i^1i^{-1} = i^1\frac{1}{i} = i\frac{1}{i} = \frac{i}{i} = 1 \, சிக்கலெண் இன் கார்ட்டீசிய ஆள்கூற்று முறைமை: : i = 0+i ( இன் மெய்ப்பகுதி சுழியாகவும் கற்பனைப் பகுதி ஒரு அலகாகவும் உள்ளது.) சிக்கலெண் இன் வாள்முனை ஆள்கூற்று முறைமை: : , ( இன் மட்டு மதிப்பு 1 ஆகவும் கோணவீச்சு π/2 ஆகவும் உள்ளது.) சிக்கலெண் தளத்தில் ஆதியிலிருந்து ஓர் அலகு தொலைவில் கற்பனை அச்சின் மீது அமையும் புள்ளியாக இருக்கும்.
கேள்வி: கற்பனை அலகு - இன் வர்க்கமூலம் என்பது என்ன?
பதில்: இன் வர்க்கமூலத்தை ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் காணலாம்: :e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \, 3&pi;/2}} எனப் பதிலிட: :e^{i(3\pi/2)} = \cos(3\pi/2) + i\sin(3\pi/2) = 0 - i1 = -i\,\! . இருபுறமும் வர்க்கமூலம் காண: : \sqrt{-i} = \pm e^{i(3\pi/4)} \,\! , ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டின்படி, : \begin{align} \sqrt{-i} & = \pm (\cos(3\pi/4) + i\sin(3\pi/4)) \\ & = -\frac{1}{\pm \sqrt{2}} + i\frac{1}{\pm \sqrt{2}}\\ & = \frac{-1 + i}{\pm \sqrt{2}}\\ & = \pm \frac{\sqrt{2}}2 (i - 1).\\ \end{align} இன் வர்க்கமூலத்தை ஆல் பெருக்க, இன் வர்க்கமூலம் கிடைக்கும்: : \begin{align} \sqrt{-i} = (i)\cdot (\pm\frac{1}{\sqrt{2}}(1 + i)) \\ & = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}(1i + i^{2})\\ & = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}(i - 1)\\ \end{align}
கேள்வி: கற்பனை அலகு - பெருக்கலும் வகுத்தலும் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ;பெருக்கல் எந்தவொரு சிக்கலெண்ணையும் ஆல் பெருக்கக் கிடைப்பது: :i\,(a + bi) = ai + bi^2 = -b + ai. (இவ் விளைவு, சிக்கலெண் தளத்தில் a + bi சிக்கலெண்ணின் ஆரக்கோலை ஆதியைப் பொறுத்து இடஞ்சுழியாக (எதிர்-கடிகாரத்திசை) 90° சுழற்றுவதற்குச் சமமாக அமையும்) ;வகுத்தல் ஆல் வகுப்பது, இன் தலைகீழியால் பெருக்குவதற்குச் சமானமாகும்: :\frac{1}{i} = \frac{1}{i} \cdot \frac{i}{i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i. இம் முடிவை a + bi சிக்கலெண்ணை ஆல் வகுப்பதில் பயன்படுத்த: :\frac{a + bi}{i} = -i\,(a + bi) = -ai - bi^2 = b - ai. (இவ் விளைவு, சிக்கலெண் தளத்தில் a + bi சிக்கலெண்ணின் ஆரக்கோலை ஆதியைப் பொறுத்து வலஞ்சுழியாக (கடிகாரத்திசை) 90° சுழற்றுவதற்குச் சமமாக அமையும்)
கேள்வி: கற்பனை அலகு - அடுக்குகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: இன் அடுக்குகள் கீழுள்ள போக்கில் சுழலும் தன்மை கொண்டுள்ளன ( ஏதேனுமொரு முழு எண்): :i^{4n} = 1\, :i^{4n+1} = i\, :i^{4n+2} = -1\, :i^{4n+3} = -i.\, எனவே, :i^n = i^{n \bmod 4}\, :i^n = \cos(n\pi/2)+i\sin(n\pi/2)
கேள்வி: கற்பனை அலகு - இன் அடுக்கு குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டின்படி, :i^i = \left( e^{i (\pi/2 + 2k \pi)} \right)^i = e^{i^2 (\pi/2 + 2k \pi)} = e^{- (\pi/2 + 2k \pi)} (k \in \mathbb{Z}, முழுஎண்களின் கணம்) இதன் முதன்மை மதிப்பு ( ): : அல்லது 0.207879576... (தோராயமாக)"The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers" by David Wells, Page 26.
கேள்வி: கற்பனை அலகு - தொடர்பெருக்கம் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: கற்பனை அலகு இன் தொடர்பெருக்கம்: :i! = \Gamma(1+i) \approx 0.4980 - 0.1549i. மேலும், :|i!| = \sqrt{\pi \over \sinh \pi} "[http://www.wolframalpha.com/input/?i=abs(i!) abs(i!)]", ''WolframAlpha''.
கேள்வி: கற்பனை அலகு - மாற்றுக் குறியீடுகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: *மின் பொறியியலில் மின்னோட்டத்தின் குறியீடு அல்லது எனக் குறிக்கப்படுவதால், குழப்பத்தைத் தவிர்க்கும் விதமாக கற்பனை அலகு எனக் குறிக்கப்படுகிறது. *பைத்தான் நிரலாக்க மொழியிலும் ஒரு சிக்கலெண்ணின் கற்பனைப் பகுதியைக் குறிப்பதற்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது. *மேட்லேப் , இரண்டுமே கற்பனை அலகைக் குறிக்கப் பயன்படுத்துகிறது *சுட்டெண்கள், கீழெழுத்துக்களில் இருந்து வேறுபடுத்திக் காட்டும் நோக்கில், சில புத்தகங்களில் கற்பனை அலகைக் குறிக்கக் கிரேக்க எழுத்தான (iota) () பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது.
கேள்வி: கற்பனை அலகு - மேலும் படிக்க பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: *