கேள்வி: நேர்மாற்ற வடிவவியல் என்பது என்ன?
பதில்: கோளத்தில் நேர்மாற்றம் என்பது யூக்ளிடிய தளத்தின் உருமாற்றங்களில் ஒரு வகையாகும். பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஒரு நேர்மாற்ற உருமாற்றத்தின்கீழ், மாறாமல் இருக்கக்கூடிய வடிவங்களின் பண்புகளைக் குறித்து அலசும் வடிவவியல் பிரிவு நேர்மாற்ற வடிவவியல் (''inversive geometry'') என அழைக்கப்படுகிறது. இத்தகைய உருமாற்றங்கள் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வட்டங்களை, பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வட்டம் உருமாற்றுகின்றன. இங்கு, பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வட்டங்கள் என்பது வட்டங்கள் அல்லது கோடுகளைக் குறிக்கும் (கோடுகளை முடிவிலி ஆரம் வட்டங்களாகக் கொள்ளலாம்). நேர்மாற்றக் கருந்துருவை உயர்பரிமாண வெளிகளுக்கும் நீட்டிக்கலாம்.
கேள்வி: நேர்மாற்ற வடிவவியல் - புள்ளியின் நேர்மாறு குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: File:Inversion illustration1.svg|வட்டத்தைப் பொறுத்து புள்ளி ''P'' இன் நேர்மாறு ''P''. File:Inversion in circle.svg|''Ø'' வட்டத்தின் வெளியேயுள்ள புள்ளி ''P'' இன் நேர்மாறுப் புள்ளி ''P'' ஐக் காணல். ''Ø'' வட்டத்தின் ஆரம் ''r''. செங்கோண முக்கோணங்கள் ''OPN'' , ''OPN'' இரண்டும் வடிவொப்புமை (வடிவவியல்) (இரு முக்கோணங்களிலும் ∠NOP பொதுக்கோணமாக உள்ளது). ''OP'' : ''r'' = ''r'' : ''OP''. எண்கணிதத்தில் ஒரு எண்ணின் நேமாறு அதன் தலைகீழி ஆகும். வடிவவியலில் வட்டத்தைப் பொறுத்து ஒரு புள்ளியின் நேர்மாறு என்பதும் கிட்டத்தட்ட இதைப் போன்றதொரு கருத்தாகும். ஒரு தளத்திலுள்ள வட்டம் ''(Ø)'' இன் மையம் ''O'' , ஆரம் ''r'' . இவ்வட்டத்தைப் பொறுத்து ''P'' என்ற புள்ளியின் நேர்மாறு ''P'' என்ற புள்ளியாகும். இந்த நேர்மாறுப் புள்ளி ''P'' ஆனது ''OP'' கதிர் (வடிவவியல்) மீது அமைகின்ற ஒரு புள்ளியாகவும் கீழுள்ள முடிவினை நிறைவு செய்யும் வகையிலுமாகவும் இருக்கும். :OP\times OP^{\prime} =r^2. இந்த நேர்மாற்றமானது, வட்ட நேர்மாற்றம் அல்லது தள நேர்மாற்றம் எனப்படும். வட்டமையம் ''O'' தவிர்த்து வேறொரு புள்ளி ''P'' இன் வட்ட நேர்மாற்ற எதிருரு ''P'' எனில், ''P'' இன் வட்ட நேர்மாற்ற எதிருரு ''P'' ஆக இருக்கும். எனவே வட்ட நேர்மாற்றத்தை இருமுறை ஒரு புள்ளியில் (வட்டமையம் அல்லாத புள்ளி) பயன்படுத்தினால் இறுதியான எதிருரு அதே புள்ளியாகவே இருக்கும். அதாவது, இரு வட்ட நேர்மாற்றங்களின் தொகுப்பு ஒரு முற்றொருமை உருமாற்றமாகும். நேர்மாற்ற உருமாற்றத்தை சுருள்வு (கணிதம்) ஆக்குவதற்காக, வட்டமையமும் முடிவிலிப் புள்ளியும் (அனைத்து நேர்கோடுகளிலும் இறுதியில் அமையும் ஒரு புள்ளி) ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாற்றத்தில் எதிருருக்களாக அமையுமாறு நேர்மாற்றத்தின் வரையறையை நீட்டித்துக் கொள்ளலாம். எனவே வட்ட நேர்மாற்றத்தினால், *வட்டத்தினுள் அமையும் புள்ளிகளின் எதிருரு வட்டத்திற்கு வெளியிலும், வட்டத்திற்கு வெளியே அமையும் புள்ளிகளின் எதிருரு வட்டத்திற்குள்ளும் *வட்டத்தின் மேலமையும் புள்ளிகள் மாற்றமடையாமலும் *வட்டமையமும் முடிவிலிப் புள்ளியும் ஒன்றுக்கொன்று எதிருவாகவும் அமைகின்றன. வட்டமையத்திற்கு அருகாமையிலுள்ள புள்ளிகளின் எதிருருக்கள் வட்டமையத்திலிருந்து தொலைவிலும், வட்டமையத்திலிருந்து தொலைவிலமையும் புள்ளிகளின் எதிருருக்கள் வட்டமையத்திற்கு அருகாமையிலும் அமைகின்றன.
கேள்வி: நேர்மாற்ற வடிவவியல் - முப்பரிமாணத்தில் நேர்மாற்றம் என்பது என்ன?
பதில்: இருபாரிமாணத்தின் வட்ட நேர்மாற்றத்தை முப்பரிமாணங்களில் கோள நேர்மாற்றமாக பொதுமைப்படுத்தலாம். முப்பரிமாணத்தில், ''O'' -மையமும்; ''R'' அலகு ஆரமும் கொண்ட கோளத்தைப் பொறுத்து புள்ளி ''P'' இன் நேர்மாற்ற எதிருரு ''P'' பின்வருமாறு அமையும்: : \scriptstyle OP \times OP^{\prime} =R^2 மேலும் ''P'' , ''P'' ' இரண்டும் ''O'' லிருந்து தொடங்கும் கதிரில் அமையும். முப்பரிமாணக் கோள நேர்மாற்றத்தில்: *குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின் வழிச்செல்லாத கோளங்கள் எல்லாம் கோளங்களாக நேர்மாற்றமடைகின்றன. *குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின் வழிச்செல்லும் கோளங்கள் எல்லாம் தளங்களாக நேர்மாற்றமடைகின்றன. *குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின் வழிச்செல்லாத தளமானது குறிப்பீட்டுக் கோளமையத்தைத் அதன் மையத்தில் தொடுகின்ற கோளமாக நேர்மாற்றமடைகிறது. *கோளத்தை ஒரு தளத்தால் வெட்டுமுகமாகக் கிடைக்கும் வட்டமானது **அவ்வட்டம் குறிப்பீட்டுக் கோளமையத்தின் வழிச்செல்லாவிடில் பிறிதொரு வட்டமாக நேர்மாற்றமடைகிறது. **அவ்வட்டம் குறிப்பீட்டுக் கோளமையத்தின் வழிச்சென்றால் ஒரு கோடாக நேர்மாற்றமடைகிறது. **இந்த வெட்டுத்தளம் கோளமையத்தின் வழிச்சென்றால் நேர்மாற்றம் இருபரிமாணத்திற்கானதாகிவிடும். **இந்த வெட்டுத்தளம் கோளமையத்தின் வழிச்செல்லாவ்டில் நேர்மாற்றம் முப்பரிமாணத்திலேயே அமையும்.