கேள்வி: ஆற்றல்மிகு எண் என்பது என்ன?
பதில்: File:Powerful number Cuisenaire rods 9.png மூலம் 1, 4, 8, 9 ஆகியவை ஆற்றல்மிகு எண்களென விளக்கும் படம்.]] ஆற்றல்மிகு எண் (''powerful number'') என்பது, ஒரு பகா எண்ணையும் அப்பகாஎண்ணின் வர்க்கம் (கணிதம்) வகுஎண்களாகக் கொண்ட முழு எண் ஆகும். அதாவது ''m'' என்ற நேர் முழுஎண் ஆற்றல்மிகு எண் எனில், அதனை வகுக்கும் ஒவ்வொரு பகாஎண் ''p'' க்கும், ''p''2ம் ''m'' ஐ வகுக்கும். இதற்குச் சமானமாக, ஒரு ஆற்றல்மிகு எண்ணானது, ஒரு வர்க்க எண் மற்றும் ஒரு கன எண்ணின் பெருக்கமாக அமையும் எனவும் வரையறுக்கப்படுகிறது. அதாவது, ஆற்றல்மிகு எண் ''m'' :''m'' = ''a''2''b''3, (''a'', ''b'' நேர் முழுஎண்கள்) வடிவில் அமையும். எடுத்துக்காட்டுகள்: *4 இன் பகாக்காரணி 2 மற்றும் அதன் வர்க்கம் 4=22 இரண்டுமே நான்கின் வகுஎண்களாக உள்ளதால் 4 ஒரு ஆற்றல்மிகு எண். *பகாக்காரணிகள் 2, 3 ம் மற்றும் அவற்றின் வர்க்கங்கள் 4=22, 9=32 நான்குமே 36இன் வகுஎண்களாக உள்ளதால் 36 ஒரு ஆற்றல்மிகு எண். இரண்டாவது வரையறைப்படி, ஆற்றல்மிகு எண்ணின் பொதுவடிவம்: :''m'' =''a''2''b''3, ( ''a'', ''b'' நேர் முழுஎண்கள்) :4 = 22 x 13 :36 = 62 x 13 :200= 25 x 8 = 52 x 23 1 முதல் 1000 வரையுள்ள ஆற்றல்மிகு எண்களின் பட்டியல்: :1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000 .
கேள்வி: ஆற்றல்மிகு எண் - இரு வரையறைகளின் சமானத்தன்மை பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: {{quote box |text=\begin{align}144000&=2^7\times 3^2\times 5^3\\ &=2^3\times 2^4\times 3^2 \times 5^3\\ &=(2\times5)^3 \times (2^2\times 3)^2\end{align} 144000, ஒரு வலுவான எண். இதன் பகாக் கரணிகளின் ஒவ்வொன்றின் அடுக்கும் '1'விடப் பெரியது. ஒரு வர்க்கம் (கணிதம்) மற்றுமொரு கனம் (கணிதம்) பெருக்கலாகவுள்ளது. |bgcolor=#FFFFFF |fontsize = 100% }} :::;''m'' = ''a''2''b''3 எனில்: *''a'' இன் ஒவ்வொரு பகாக்காரணியும் ''m'' இன் பகாக்காரணியாக்கத்தில் குறைந்தபட்சம் 2 அடுக்கினைக் கொண்டிருக்கும்; *அதேபோல ''b'' இன் ஒவ்வொரு பகாக்காரணியும் ''m'' இன் பகாக்காரணியாக்கத்தில் குறைந்தபட்சம் 3 அடுக்கினைக் கொண்டிருக்கும்; *இதிலிருந்து ''m'' இன் ஒவ்வொரு பகாக்காரணியும் குறைந்தபட்சம் அடுக்கு 2ஐக் கொண்டிருக்கும் என அறியலாம். அதாவது ''m'' ஐ வகுக்கும் ஒவ்வொரு பகாஎண்ணின் வர்க்கமும் ''m'' ஐ வகுக்கும், எனவே ''m'' ஒரு ஆற்றல்மிகு எண்ணாகிறது. :144000 = 122 x 103 :12 இன் பகாக்காரணியாக்கம் = 22 x 3 :10 இன் பகாக்காரணியாக்கம் = 2 x 5 :144000 இன் பகாக்காரணியாக்கம் =27 x 32 x 53 14400 இன் பகாக்காரணிகளான 2, 3, 5 இன் வர்க்கங்களும் அதன் காரணிகளாக உள்ளன; அதாவது 144000ஐ வகுக்கும் ஒவ்வொரு பகாஎண்ணின் வர்க்கமும் 144000ஐ வகுக்கும் என்பதால் 122 x 103 வடிவிலமையும் 144000 ஒரு ஆற்றல்மிகு எண்ணாகிறது :::;''m'' ஆற்றல்மிகு எண் எனில்: ''m'' இன் பகாக்காரணியாக்கம்: :m = \prod p_i^{\alpha_i}, , αi ≥ 2 αi ஒற்றையெண் எனில் γi = 3 எனவும் மற்றபடி γi = 0 எனவும், :\beta_i =\alpha_i - \gamma_i எனவும் வரையறுத்தால், βi இன் மதிப்புகள் அனைத்தும் எதிரில்லா இரட்டை முழுஎண்களாக இருக்கும். :m =\prod p_i^{\alpha_i} = \prod p_i^{\beta_i + \gamma_i} = (\prod p_i^{\beta_i})(\prod p_i^{\gamma_i}) = (\prod p_i^{\beta_i/2})^2(\prod p_i^{\gamma_i/3})^3 எனவே ஆற்றல்மிகு எண்ணான ''m'' , ஒரு வர்க்கஎண் மற்றும் கனஎண்ணின் பெருக்க வடிவிலுள்ளது. எனவே இருவிதமான வரையறைகளின் சமானத்தன்மை நிறுவப்படுகிறது.
கேள்வி: ஆற்றல்மிகு எண் - அடுத்தடுத்த எண்களாய் அமையும் ஆற்றல்மிகு எண்சோடிகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: அடுத்தடுத்த எண்களாய் அமையும் ஆற்றல்மிகு எண்சோடிகள்: :(8, 9), (288, 289), (675, 676), (9800, 9801), ... (Sloane's A060355 and A118893)http://mathworld.wolfram.com/PowerfulNumber.html ''x''2&nbsp;&minus;&nbsp;8''y''2&nbsp;=&nbsp;1 என்ற பெல்லின் சமன்பாடு முடிவிலா முழுஎண்கள் தீர்வுகள் இருப்பதால், அடுத்தடுத்த ஆற்றல்மிகு எண்சோடிகளும் முடிவிலா எண்ணிக்கையில் உள்ளன (Golomb, 1970). மேலும் பொதுவாக, ''x''2&nbsp;&minus;&nbsp;''ny''2&nbsp;=&nbsp;±1 (''n'' ஏதேனுமொரு கனஎண்) என்ற பெல்லின் சமன்பாடு தீர்ப்பதன் மூலம் ஆற்றல்மிகு எண்சோடிகளைக் காணலாம். இவ்வாறு பெறப்படும் ஒவ்வொரு ஆற்றல்மிகு எண்சோடியிலும் ஒரு எண் முழுவர்க்கமாக இருக்கும். இரண்டில் எந்த எண்ணும் முழுவர்க்க எண்ணாக இல்லாத ஆற்றல்மிகு எண்சோடிகள் (233, 2332132) முடிவிலா எண்ணைக்கையில் உள்ளனவா என்ற கேள்வி கணிதவியலாளர் பால் ஏர்டோசு எழுப்பப்பட்டு, 33c2+1=73d2 என்ற சமன்பாட்டின் முடிவிலா எண்ணிக்கையிலான தீர்வுகள் அவ்வாறு அமைகின்றன என கணிதவியலாளர் ஜாரொஸ்லா வ்ரொபிலெஸ்கியால் (Jaroslaw Wroblewski)) நிறுவப்பட்டது. அடுத்தடுத்தமையும் தொடர்ச்சியான மூன்று ஆற்றல்மிகு எண்கள் கிடையாதென கணிதவியலாளர்களான ஏர்டோசு, மோலின், வால்ஷ் ஆகியோரின் அனுமானம் கூறுகிறது.
கேள்வி: ஆற்றல்மிகு எண் - பொதுமைப்படுத்தல் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: ஒரு நேர் முழுஎண்ணின் அனைத்துப் பகாஎண்காரணிகளும் குறைந்தபட்சம் ''k'' அடுக்குடையதாய் இருந்தால் அந்த எண் ''k''-ஆற்றல்மிகு எண் (''k''-powerful number, ''k''-ful number, ''k''-full number) என்றழைக்கப்படும். :(2''k''+1&nbsp;&minus;&nbsp;1)''k'',&nbsp;&nbsp;2''k''(2''k''+1&nbsp;&minus;&nbsp;1)''k'',&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2''k''+1&nbsp;&minus;&nbsp;1)''k''+1-இவை மூன்றும் கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் அமையும் ''k''-ஆற்றல்மிகு எண்கள் ஆகும். ''a''1, ''a''2, ..., ''a's'' என்பவை கூட்டுத் தொடரில் அமையும் ''k''-ஆற்றல்மிகு எண்கள். இத்தொடரின் பொதுவித்தியாசம் ''d'' எனில்: :''a''1(''a's'' + ''d'')''k'', &nbsp;&nbsp; ''a''2(''a's''&nbsp;+&nbsp;''d'')''k'', ..., ''a's''(''a's''&nbsp;+&nbsp;''d'')''k'', (''a's''&nbsp;+&nbsp;d)''k''+1 ஆகிய ''s'' + 1 எண்கள் கூட்டுத் தொடரில் அமையும் ''k''-ஆற்றல்மிகு எண்கள் ஆகும்.