கேள்வி: ஆய்லர் எண் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: எண்கோட்பாட்டில் ஆய்லர் எண்கள் (''Euler numbers'') ''En'' என்பவை முழு எண்களில் அமைந்த ஒரு தொடர்வரிசை () ஆகும். இவ்வெண்கள் பின்வரும் டெய்லர் தொடர் விரிவால் தரப்படுகின்றன: :\frac{1}{\cosh t} = \frac{2}{e^{t} + e^ {-t} } = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_n}{n!} \cdot t^n\! இதில் cosh&nbsp;''t'' என்பது அதிபரவளையச் சார்பு சார்பாகும். ஒற்றைக் குறியெண் கொண்ட ஆய்லர் எண்கள் அனைத்தும் பூச்சியம். இரட்டைக் குறியெண் கொண்ட ஆய்லர் எண்கள் () ஒன்றுவிட்டு ஒன்று மாறுபட்ட குறியுடையவை: :''E''0 = 1 :''E''2 = −1 :''E''4 = 5 :''E''6 = −61 :''E''8 = 1,385 :''E''10 = −50,521 :''E''12 = 2,702,765 :''E''14 = −199,360,981 :''E''16 = 19,391,512,145 :''E''18 = −2,404,879,675,441 ..... சீக்கெண்ட் (முக்கோணவியல்) மற்றும் அதிபரவளையச் சார்பு சார்புகளின் டெய்லர் தொடர் விரிவுகளில் ஆய்லர் எண்கள் காணப்படுகின்றன.
கேள்வி: ஆய்லர் எண் - வாய்ப்பாடுகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: ஆய்லர் எண்களுக்கான சில வாய்ப்பாடுகள்: *E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1} \sum _{j=0}^k {k\choose j}\frac{(-1)^j(k-2j)^{2n+1}}{2^k i^k k} இங்கு ''i'' கற்பனை அலகு; ''i''2=&minus;1. * E_{2n} = (2n)! \sum_{0 \leq k_1, \ldots, k_n \leq n}~ \left( \begin{array}{c} K \\ k_1, \ldots , k_n \end{array} \right) \delta_{n,\sum mk_m } \left( \frac{-1~}{2!} \right)^{k_1} \left( \frac{-1~}{4!} \right)^{k_2} \cdots \left( \frac{-1~}{(2n)!} \right)^{k_n} , * E_{2n} = (-1)^{n-1} (2n-1)! \sum_{0 \leq k_1, \ldots, k_n \leq 2n-1} \left( \begin{array} {c} K \\ k_1, \ldots , k_n \end{array} \right) \delta_{2n-1,\sum (2m-1)k_m } \left( \frac{-1~}{1!} \right)^{k_1} \left( \frac{1}{3!} \right)^{k_2} \cdots \left( \frac{(-1)^n}{(2n-1)!} \right)^{k_n} , : K =k_1 + \cdots + k_n மற்றும் : \left( \begin{array}{c} K \\ k_1, \ldots , k_n \end{array} \right) \equiv \frac{ K!}{k_1! \cdots k_n!} * \begin{align} E_{2n} &=(-1)^n (2n)!~ \begin{vmatrix} \frac{1}{2!}& 1 &~& ~&~\\ \frac{1}{4!}& \frac{1}{2!} & 1 &~&~\\ \vdots & ~ & \ddots~~ &\ddots~~ & ~\\ \frac{1}{(2n-2)!}& \frac{1}{(2n-4)!}& ~&\frac{1}{2!} & 1\\ \frac{1}{(2n)!}&\frac{1}{(2n-2)!}& \cdots & \frac{1}{4!} & \frac{1}{2!}\end{vmatrix}. \end{align} * |E_{2 n}| > 8 \sqrt { \frac{n}{\pi} } \left(\frac{4 n}{ \pi e}\right)^{2 n}.