கேள்வி: குறுக்குவெட்டி (வடிவவியல்) குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: வடிவவியலில், ஒரே தளம் (வடிவவியல்) இரு கோடு (வடிவவியல்), இரண்டு வெவ்வேறு புள்ளிகளில் வெட்டும் கோடானது குறுக்குவெட்டி (''transversal'') ஆகும். குறுக்குவெட்டியைப் பயன்படுத்தி, யூக்ளிடிய தளத்தில் இரு கோடுகள் இணை (வடிவவியல்) என்பதை அறியலாம். இரு கோடுகளை ஒரு குறுக்குவெட்டுக் கோடு வெட்டும்போது, ''உட்கோணங்கள்'', ''ஒத்த கோணங்கள்'', ''ஒன்றுவிட்ட கோணங்கள்'' என வெவ்வேறு வகையான சில கோணச் சோடிகள் உருவாகின்றன. யூக்ளிடின் இணை மெய்கோள் குறுக்குவெட்டி சந்திக்கும் இரு கோடுகள் இணைகோடுகள் எனில், அங்கு உருவாகும் உட்கோணச் சோடிகள் மிகைநிரப்பு கோணங்கள், ஒத்த கோணங்கள் சமமாகவும், ஒன்றுவிட்ட கோணங்கள் சமமாகவும் இருக்கும். {| class="wikitable" |- |File:Transverzala 8.svg |&nbsp;&nbsp;&nbsp; |File:Transverzala nonparallel.svg |File:Transverzala parallel.svg |- |குறுக்குவெட்டியின் எட்டு கோணங்கள்.(such as \alpha, \gamma போன்ற கோணம்#எதிர் கோணங்களும் அடுத்துள்ள கோணங்களும் எப்பொழுதுமே சர்வசமம்.) |&nbsp; |இரு இணையற்ற கோடுகளின் குறுக்குவெட்டி.உட்கோணங்கள் மிகைநிரப்பிகள் அல்ல. |இரு இணை கோடுகளின் குறுக்குவெட்டி.இணை கோடுகள் எனில், உட்கோணங்கள் மிகைநிரப்பிகள். |}
கேள்வி: குறுக்குவெட்டி (வடிவவியல்) - குறுக்குவெட்டியின் கோணங்கள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: படத்தில் காட்டப்பட்டு உள்ளதுபோல ஒரு குறுக்குவெட்டி எட்டு கோணங்களை உண்டாக்குகிறது: *4 முதல் கோட்டுடன் நான்கு கோணங்கள்-α, β, γ, δ. இரண்டாவது கோட்டுடன் நான்கு கோணங்கள்- α1, β1, γ1 δ1 *இந்த எட்டில் நான்கு கோணங்கள் உட்கோணங்கள் (இருகோடுகளுக்கும் இடைப்பட்ட பகுதி) -α, β, γ1, δ1 நான்கு கோணங்கள் வெளிக்கோணங்கள் α1, β1, γ , δ. இரு இணைகோடுகளை செங்கோணம் வெட்டும் குறுக்குவெட்டியானது, ''செங்குத்து குறுக்குவெட்டி'' என அழைக்கப்படும். இந்நிலையில், குறுக்குவெட்டியின் எட்டு கோணங்களும் செங்கோணமாக இருக்கும் (interactive). இரு இணைகோடுகளை குறுக்குவெட்டி வெட்டும்போது சர்வசம கோணங்களும் மிகைநிரப்பு கோணங்களும் உண்டாகின்றன. அக் கோணங்களில் அமையும் ஒத்த கோணங்கள், ஒன்றுவிட்ட கோணங்கள், உட்கோணங்கள் குறித்து கீழே தரப்பட்டுள்ளது. (interactive)Holgate Art. 87
கேள்வி: குறுக்குவெட்டி (வடிவவியல்) - ஒத்த கோணங்கள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: File:paralelni transverzala cor.svg நான்கு சோடி ஒத்த கோணங்களும் *வெவ்வேறு உச்சிகளைக் கொண்டும், *குறுக்குவெட்டியின் ஒரே பக்கத்திலும், *ஒன்று உட்கோணமாகவும் மற்றது வெளிக்கோணமாகவும் இருக்கும். இரு கோடுகளை ஒரு குறுக்குவெட்டி வெட்டிம்போது உண்டாகும் எட்டு கோணங்களில், ஏதாவது ஒரு சோடி ஒத்த கோணங்ள் சர்வசமம் (வடிவவியல்) ’இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே’ இவ்விரு கோடுகளும் இணையானவை.
கேள்வி: குறுக்குவெட்டி (வடிவவியல்) - ஒன்றுவிட்ட கோணங்கள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: File:paralelni transverzala alt.svg நான்கு சோடி ஒன்றுவிட்ட கோணங்களும் *வெவ்வேறு உச்சிகளைக் கொண்டும், *குறுக்குவெட்டியின் வெவ்வேறு பக்கங்களிலும், *இரண்டும் உட்கோணமாக அல்லது இரண்டும் வெளிக்கோணமாக இருக்கும். இரு கோடுகளை ஒரு குறுக்குவெட்டி வெட்டிம்போது உண்டாகும் எட்டு கோணங்களில், ஏதாவது ஒரு சோடி ஒன்றுவிட்ட கோணங்கள் சர்வசமம் (வடிவவியல்) ’இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே’ அவ்விரு கோடுகளும் இணையானவை. குறிப்பு: யூக்ளிடின் இணை மெய்கோளிலிருந்து இது நேரிடையாகப் பெறப்படுகிறது. ஒரு சோடிக் கோணங்கள் சர்வசமமெனில் மற்ற சோடிக் கோணங்களும் சர்வசமம். இணைகோடுகளுக்கு வரையப்பட்டுள்ள படத்தில் இரண்டுமே உட்கோணங்களாக உள்ளவை: α=γ1, β=δ1; இரண்டுமே வெளிக்கோணங்களாக உள்ளவை: γ=α1 , δ=β1.
கேள்வி: குறுக்குவெட்டி (வடிவவியல்) - உட்கோணங்கள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: File:Transverzala parallel.svg இரு சோடி உட்கோணங்களும் *வெவ்வேறு உச்சிகளைக் கொண்டும், *குறுக்குவெட்டியின் ஒரே பக்கத்திலும், *இரண்டும் உட்கோணமாகவும் இருக்கும். இரு கோடுகளை ஒரு குறுக்குவெட்டி வெட்டிம்போது உண்டாகும் எட்டு கோணங்களில், ஏதாவது ஒரு சோடி உட்கோணங்கள் மிகைநிரப்பு கோணங்கள் (கூடுதல் 180°) ’இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே’ அவ்விரு கோடுகளும் இணையானவை. நேர்கோடுகளின் வரையறைப்படியும், குத்தெதிர் கோணங்களின் பண்புகளின்படியும் ஒரு சோடி மிகைநிரப்பி எனில் மற்றதும் மிகைநிரப்பியாக இருக்கும்.
கேள்வி: குறுக்குவெட்டி (வடிவவியல்) - தொடர்புள்ள தேற்றங்கள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: ;யூக்ளிடின் இணை மெய்கோள் யூக்ளிட் இணை மெய்கோள் குறுக்குவெட்டியின் வாயிலாகக் கூறலாம்: :இரு கோடுகளின் குறுக்குவெட்டியின் ஒரு சோடி உட்கோணங்களின் கூடுதல் இருசெங்கோணங்களுக்குக் குறைவாக இருப்பின் அவ்விரு கோடுகளும் வெட்டும் கோடுகளாக இருக்கும். குறுக்குவெட்டியின் ஆங்கிலச் சொல்லான "transversal" என்ற பொருள்தரும் கிரேக்கச் சொல்லை, யூக்ளிட் இதில் பயன்படுத்தியுள்ளார்.Heath p. 308 note 1 ;யூக்ளிடின் கூற்று 27 :இரண்டு கோடுகளை ஒரு குறுக்குவெட்டி வெட்டும்போது உண்டாகும் ஒரு சோடி ஒன்றுவிட்ட கோணங்கள் சர்வமமமானால், அந்த இரண்டு கோடுகளும் இணைகோடுகள். எதிர்மறுப்பு நிறுவல் முறையில் இதனை யூக்ளிட் நிறுவியுள்ளார்: எதிர்மறுப்பாக, இரண்டு கோடுகளும் இணையில்லை என எடுத்துக்கொண்டால்: :இருகோடுகளும் இணை இல்லையெனில் அவை வெட்டும் கோடுகளாக இருக்க வேண்டும். எனவே இந்த இருகோடுகளும் குறுக்குவெட்டியும் ஒரு முக்கோணம் அமைக்கின்றன. :இந்நிலையில் சர்வசமமான ஒன்றுவிட்ட கோணச் சோடியின் ஒரு கோணம், முக்கோணத்தின் ஒரு வெளிக்கோணமாகவும் அதே சமயம் முக்கோணத்தின் மற்றொரு உட்கோணத்திற்குச் சமமானதாகவும் அமைகிறது. :ஆனால் இவ்வமைவு ”முக்கோணத்தின் ஒரு வெளிக்கோணம் எப்பொழுதுமே மற்ற இரு உட்கோணங்களைவிட அதிகமானதாக இருக்கும்” என்ற யூக்ளிடின் கூற்று 16 க்கு முரண்பாடு.Heath p. 307See also Holgate Art. 88 :எனவே எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட முடிவான இரு கோடுகளும் இணையில்லை என்பது தவறானது; அவை இணைகோடுகள் என நிறுவப்படுகிறது. ;யூக்ளிட் கூற்று 28 இது கூற்று 27 இன் நீட்டிப்பாக அமைந்துள்ளது. இதில் இரு கருத்துக்கள் தரப்பட்டுள்ளன: #இரண்டு கோடுகளை ஒரு குறுக்குவெட்டி வெட்டும்போது உண்டாகும் ஒரு சோடி ஒத்த கோணங்கள் சர்வமமமானால், அந்த இரண்டு கோடுகளும் இணைகோடுகள். #இரண்டு கோடுகளை ஒரு குறுக்குவெட்டி வெட்டும்போது உண்டாகும் ஒரு சோடி உட்கோணங்கள் மிகைநிரப்பிகள் எனில், அந்த இரண்டு கோடுகளும் இணைகோடுகள். இரு கோடுகள் வெட்டும்போது உண்டாகும் குத்தெதிர் கோணங்கள் சமமாகவும் (கூற்று 13), அடுத்துள்ள கோணங்கள் மிகைநிரப்பியாகவும் (கூற்று 15) இருக்குமென்ற முடிவுகளைப் பயன்படுத்தி இவ்விரு கருத்துகளையும் யூக்ளிடின் கூற்று 27 இலிருந்து, நிறுவலாம். இணைகோடுகளுக்கான ஆறு கட்டுப்பாடுகளில் மூன்று மட்டுமே யூக்ளிடால் காணப்பட்டுள்ளது என்பது கிரேக்க மெய்யியலாளர் பிரொக்லசின் (Proclus) கருத்துHeath p. 309-310See also Holgate Art. 89-90 ;யூக்ளிட் கூற்று 29 கூற்று 27, 28 இன் மறுதலையாக இக்கூற்று அமைகிறது. #இரு இணைகோடுகளை ஒரு குறுக்குவெட்டி வெட்டும்போது உண்டாகும் ஒரு சோடி ஒன்றுவிட்ட கோணங்கள் சமம். #இரு இணைகோடுகளை ஒரு குறுக்குவெட்டி வெட்டும்போது உண்டாகும் ஒரு சோடி ஒத்த கோணங்கள் சமம்; குறுக்குவெட்டியின் ஒரே பக்கத்திலமையும் ஒருசோடி உட்கோணங்கள் மிகைநிரப்பிகள்.Heath p. 311-312See also Holgate Art. 93-95