கேள்வி: உயர் பகு எண் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: உயர் பகு எண் (''highly composite number-HCN'') என்பது தன்னைவிடச் சிறியதான எந்தவொரு முழு எண்விட அதிகமான வகுஎண்களைக் கொண்ட நேர் முழுஎண் ஆகும். இவ்வகையான எண்கள் முடிவிலா என்ணிக்கையில் உள்ளன என்ற உண்மை கணிதவியலாளர் இராமானுசன் (1915) கண்டறியப்பட்டது. அவற்றுக்கு உயர் பகுஎண்கள் என்ற இப் பெயரும் அவரால் அளிக்கப்பட்டதாகும். இவ்வெண்களுடன் தொடர்புடைய மற்றொரு வகையான எண், அதி பகு எண் (''largely composite number'') ஆகும். அதி பகுஎண் என்பது, தன்னைவிடச் சிறியதான எந்தவொரு நேர்முழுஎண்ணின் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கைக்குக், குறைந்தபட்சம் சமமான எண்ணிக்கையில் வகுஎண்கள் கொண்ட நேர்முழு எண்.
கேள்வி: உயர் பகு எண் - பட்டியல் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: முதல் 26 உயர் பகுஎண்கள் வலப்புறம் பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன: {| class="wikitable" style="text-align:center" align="right" |- ! வரிசை ! n ! பகாஎண் காரணியாக்கம் ! வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை |- | 1 | 1 (எண்) | | 1 |- | 2 | 2 (எண்) | 2 | 2 |- | 3 | 4 (எண்) | 2^2 | 3 |- | 4 | 6 (எண்) | 2\cdot 3 | 4 |- | 5 | 12 | 2^2\cdot 3 | 6 |- | 6 | 24 | 2^3\cdot 3 | 8 |- | 7 | 36 | 2^2\cdot 3^2 | 9 |- | 8 | 48 | 2^4\cdot 3 | 10 |- | 9 | 60 | 2^2\cdot 3\cdot 5 | 12 |- | 10 | 120 | 2^3\cdot 3\cdot 5 | 16 |- | 11 | 180 | 2^2\cdot 3^2\cdot 5 | 18 |- | 12 | 240 | 2^4\cdot 3\cdot 5 | 20 |- | 13 | 360 | 2^3\cdot 3^2\cdot 5 | 24 |- | 14 | 720 |2^4\cdot 3^2\cdot 5 | 30 |- | 15 | 840 | 2^3\cdot 3\cdot 5\cdot 7 | 32 |- | 16 | 1,260 | 2^2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7 | 36 |- | 17 | 1,680 | 2^4\cdot 3\cdot 5\cdot 7 | 40 |- | 18 | 2520 | 2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7 | 48 |- | 19 | 5,040 | 2^4\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7 | 60 |- | 20 | 7,560 | 2^3\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7 | 64 |- | 21 | 10,080 | 2^5\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7 | 72 |- | 22 | 15,120 | 2^4\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7 | 80 |- | 23 | 20,160 | 2^6\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7 | 84 |- | 24 | 25,200 | 2^4\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7 | 90 |- | 25 | 27,720 | 2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11 | 96 |- | 26 | 45,360 | 2^4\cdot 3^4\cdot 5\cdot 7 | 100 |} உயர் பகுஎண்களின் தொடர்முறையானது , ''n'' வகுஎண்களை மட்டும் கொண்ட, மிகச்சிறிய ''k'' எண்களின் தொடர்முறையின் உட்கணமாக அமைகிறது.
கேள்வி: உயர் பகு எண் - உயர் பகுஎண்ணுக்கான கட்டுப்பாடுகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட எண் ''n'' இன் பகாக் காரணியாக்கம் கீழே தரப்படுகிறது: :n = p_1^{c_1} \times p_2^{c_2} \times \cdots \times p_k^{c_k}\qquad (1) இதில், p_1 பகாஎண்கள் மற்றும் அவற்றின் அடுக்குகள் c_i நேர் முழுஎண்கள். ''n'' இன் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை: :(c_1 + 1) \times (c_2 + 1) \times \cdots \times (c_k + 1).\qquad (2) இந் நிலையில் ''n'' ஒரு உயர்பகு எண் எனில் பின்வரும் கூற்றுகள் உண்மையாகும்: * ''n'' இன் பகாக் காரணியாக்கத்திலுள்ள பகாக் காரணிகள் p_1, p_2, \cdots p_k ''p'i'' அனைத்தும் முதல் ''k'' பகா எண்களாக (2, 3, 5, ...) இருக்கவேண்டும். * இப் பகாக் காரணிகளின் அடுக்குகள் கூடாத் தொடர்முறையாக அமைந்திருக்க வேண்டும். அதாவது: :c_1 \geq c_2 \geq \cdots \geq c_k *''n''&nbsp;=&nbsp;4 and ''n''&nbsp;=&nbsp;36 ஆகிய இரு மதிப்புகளைத் தவிர பிறவற்றில், கடைசி அடுக்கு ''c'k'' &nbsp;1 ஆக இருத்தல் அவசியம்.
கேள்வி: உயர் பகு எண் - பிற எண்களுடன் தொடர்பு பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: * ஒரு உயர் பகுஎண்ணின் பகாக் காரணியாக்கத்தில் முதல் ''k'' பகாஎண்கள் அனைத்தும் காணப்படும் என்பதால் ஒவ்வொரு உயர் பகுஎண்ணும் கண்டிப்பாக நடைமுறை எண்ணாக (practical number) இருக்கும். | url = http://www.ias.ac.in/jarch/currsci/17/179.pdf}}. (ஒரு நேர் முழுஎண்ணின் வகுஎண்களின் கூடுதலாக அதனைவிடச் சிறிய அனைத்து நேர் முழுஎண்களை எழுதமுடியுமானால், அந்த எண் நடைமுறை எண் எனப்படும்) * 6ஐ விடப் பெரிய உயர் பகுஎண்கள், மிகையெண் (கணிதம்)களாகவும் இருக்கும். (ஒரு நேர் முழுஎண்ணின் தகு வகுஎண்களின் கூடுதல் அந்த எண்ணைவிடப் பெரிய எண்ணாக இருந்தால் அது மிகைமை எண் எனப்படும்.) *பத்தடிமானத்தில் அனைத்து உயர் பகுஎண்களும் ஹர்ஷத் எண்கள் (Harshad number) என்னும் கூற்று உண்மையல்ல. ஹர்ஷத் எண்ணாக இல்லாத முதல் உயர் பகுஎண் 245,044,800 ஆகும். இதன் இலக்கங்களின் கூடுதல் 27, ஆனால் 245,044,800க்கு 27 வகுஎண் அல்ல. (ஹர்ஷத் எண் என்பது அதன் இலக்கங்களின் கூடுதலால் வகுபடும் நேர் முழுஎண்)
கேள்வி: உயர் பகு எண் - அதி பகு எண்கள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: அதி பகுஎண் என்பது, தன்னைவிடச் சிறியதான எந்தவொரு நேர்முழுஎண்ணின் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கைக்குக், குறைந்தபட்சம் சமமான எண்ணிக்கையில் வகுஎண்கள் கொண்ட நேர்முழு எண் ஆகும். ''n'' ஒரு அதி பகுஎண் எனில்: அனைத்து ''m'' ≤ ''n''க்கும் ''d''(''n'') ≥ ''d''(''m'') என அமையும். அதி பகு எண்களின் எண்ணும் சார்பு ''Q'L''(''x''), பின்வரும் அசமன்பாட்டினை நிறைவு செய்யும்: :(\log x)^c \le \log Q_L(x) \le (\log x)^d \ இதில் ''c'',''d'' நேர்மதிப்புகள் கொண்டவை; மேலும் 0.2 \le c \le d \le 0.5.Sándor et al (2006) p.46