கேள்வி: பித்தகோரசு பகாத்தனி குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: 4n+1 என்ற வடிவில் அமையும் பகாத்தனிகள் பித்தகோரசு பகாத்தனிகள் அல்லது பித்தகோரசு பகாஎண்கள் (Pythagorean prime) என அழைக்கப்படுகின்றன. ;எடுத்துக்காட்டுகள் 5, 13, 17 ஆகிய மூன்று பகாத்தனிகளும் பித்தகோரசு பகாக்தனிகள். இவை 5= 4\times1+1 வடிவில் அமைவதைக் காணலாம்: : 5= 4\times1+1 : 13= 4\times3+1 : 17= 4\times4+1 மேலும் பித்தகோரசு பகாத்தனிகள், ஒற்றைப் பகாத்தனிகளாக இருப்பதையும் இரு வர்க்கம் (கணிதம்) கூடுதலாக இருப்பதையும் காணலாம்: : 5= 2^2+1^2 : 13= 3^2+2^2 : 17= 4^2+1^2 இரு முழுஎண் தாங்குபக்கங்களைக் கொண்ட இரு வெவ்வேறு செங்கோண முக்கோணம் செம்பக்கம் பித்தாகரசு பகாத்தனி &nbsp;''p'' ம், அதன் வர்க்கமூலமும் (\sqrt p) அமைகின்றன. File:Squared right triangle.svg செம்பக்கம் இருப்பதைக் காணலாம்.]] ;எடுத்துக்காட்டு 5 ஒரு பித்தாகரசு பகாத்தனி; அதன் வர்க்கமூலம்: \sqrt 5 1, 2 தாங்கு பக்கநீளங்கள் கொண்ட செங்கோண முக்கோணத்தின் செம்பக்கமாக \sqrt 5ம், 3, 4 தாங்கு பக்கநீளங்கள் கொண்ட செங்கோண முக்கோணத்தின் செம்பக்கமாக 5ம் இருப்பதை மேலேயுள்ள படத்தில் காணலாம்.
கேள்வி: பித்தகோரசு பகாத்தனி - இருவர்க்கங்களின் கூடுதலாக அமைதல் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: இரு வர்க்கங்களின் கூடுதலாக அமையும் ஒற்றை எண்கள் அனைத்தும் மாடுலோ &nbsp;4 ஐப்பொறுத்து எண் 1 க்குச் சமானமாக இருக்கும். அதாவது, 4n+1 என்ற வடிவில் அமையும். ஆனால் சமானம், மாடுலோ n ஐப்பொறுத்து எண் 1 க்குச் சமானமானதாக இருக்கும் ஒற்றை எண்கள் எல்லாம் இரு வர்க்கங்களின் கூடுதலாக அமைவதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, :21 \equiv 1 (mod 4). ஆனால் 21ஐ எந்த இரு வர்க்கங்களின் கூடுதலாகவும் எழுத முடிவதில்லை. ;பெர்மாவின் தேற்றம் (இரு வர்க்கங்களின் கூடுதல்) இரு வர்க்கங்களின் கூடுதல் குறித்த இரு வர்க்கங்களின் கூடுதல் மீதான பெர்மாவின் தேற்றம் கூற்றின்படி: :எண் 2ம், மாடுலோ &nbsp;4 ஐப்பொறுத்து எண் 1 க்குச் சமானமாக இருக்கும் ஒற்றைப் பகாத்தனிகள் மட்டுமே, இரு வர்க்கங்களின் கூடுதலாக எழுதக் கூடிய பகாத்தனிகள் ஆகும்.. மேலும், அவற்றை இரு வர்க்கங்களின் கூடுதலாக எழுதும் முறையும் தனித்துவமானதாகும்.. :எனவே, மாடுலோ &nbsp;4 ஐப்பொறுத்து எண் 1 க்குச் சமான ( 4n+1 என்ற வடிவில் அமையும்) ஒற்றைப்பகாத்தனிகள் பித்தாகரசு பகாத்தனிகள் என்பதால் பெர்மாவின் தேற்றப்படி, பித்தாகரசு பகாத்தனிகளை இரு வர்க்கங்களின் கூடுதலாக தனித்துவமாக எழுதுவது சாத்தியமாகிறது. ;வடிவவியல் விளக்கம் இவ்வாறு பித்தகோரசு பகாத்தனியை இரு வர்க்கங்களின் கூடுதலாக எழுதும் முறையைப் பித்தேகோரசு தேற்றம் பயன்படுத்தி வடிவவியலாக விளக்கலாம்: ''p'' ஒரு பித்தகோரசு பகாத்தனி எனில், :\sqrt pஐச் செம்பக்கமாகவும் இரு முழுஎண் தாங்கு பக்கங்களையும் கொண்ட ஒரு செங்கோண முக்கோணம் இருக்கும். (அதாவது செங்கோண முக்கோணத்தில் பித்தகோரசு தேற்ற முடிவின் படி ''p'' பகாத்தனியை (செம்பக்கத்தின் வர்க்கம்) இரு வர்க்கங்களின் கூடுதல் (தாங்கு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலாக) எழுதலாம்.) எடுத்துக்காட்டு: 13 ஓர் ஒற்றைப் பகாத்தனி. இதனை இரு வர்க்கங்களின் கூடுதலாக எழுத, :\sqrt13 = 4 + 9 = 2^2 + 3^2. எனவே பித்தகோரசு தேற்றப்படி, 2, 3, \sqrt13 (செம்பக்கம்) மூன்றும் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களாக உள்ளது. பித்தாகரசு பகாத்தனிகளுக்கு (''p''), அவற்றின் வர்க்கமூலங்களைச் செம்பக்கங்களாகக் கொண்ட செங்கோண முக்கோணங்கள் மட்டுமல்லாது, அவற்றையே செம்பக்கமாகவும், இரு முழுஎண் தாங்கு பக்கங்களையும் கொண்ட செங்கோண முக்கோணங்களும் உண்டு. ;விளக்கம் (படம் 1) ''p'' என்ற பித்தாகரசு பகாத்தனிக்குரிய செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் \sqrt p, (செம்பக்கம்) ''x'' , ''y'' எனில் பித்தகோரசு தேற்றப்படி, :(x^2+y^2)^2 = p^2 \quad (*) இப்போது, ''x''2&nbsp;&minus;&nbsp;''y''2, 2''xy'' இரண்டையும் தாங்கு பக்கங்களாகக் கொண்ட செங்கோண முக்கோணத்தின் செம்பக்கம் ''p'' ஆக இருக்கும் என்பதைக் காணலாம்: :(x^2-y^2)^2 + (2xy)2 = (x^2+y^2)^2 = p^2 (* ஐப் பயன்படுத்த)
கேள்வி: பித்தகோரசு பகாத்தனி - இருபடிய எச்சங்கள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: இருபடி நேர்எதிர்மை விதிப்படி, ''p'' , ''q'' இரு வெவ்வேறான ஒற்றைப் பகாத்தனிகள்; மேலும் இரண்டில் ஒன்றாவது பித்தகோரசு பகாத்தனி எனில்: :''q'' ஒரு இருபடிய எச்சம் (மாடுலோ ''p'') இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, ''p'' ஒரு இருபடிய எச்சமாக (மாடுலோ ''q'') இருக்கும். மாறாக, ''p'' , ''q'' இரண்டுமே பித்தகோரசு பகாத்தனிகள் இல்லையெனில்: :''q'' இருபடிய எச்சமாக (மாடுலோ&nbsp;''p'') இல்லாமல் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, ''p'' இருபடிய எச்சமாக (மாடுலோ ''q'') இருக்கும்., [http://books.google.com/books?id=F6aJtNcwyw8C&pg=PA103 p.&nbsp;103]. ''p'' ஒரு பித்தகோரசு பகாத்தனி எனில்: :Z/''p'' என்ற முடிவுறு களம் (கணிதம்), சமன்பாடு ''x''2&nbsp;=&nbsp;&minus;1 சமன்பாட்டிற்கு இருதீர்வுகள் உள்ளன. &minus;1 இருபடிய எச்சமாக (மாடுலோ ''p'') இருப்பதால் இத் தீர்வுகள் கிடைக்கின்றன. மாறாக, ''p'' ஒரு ஒற்றைப் பகாத்தனி ஆனால் பித்தகோரசு பகாத்தனி இல்லையெனில்: :Z/''p'' என்ற முடிவுறு களத்தில், சமன்பாடு ''x''2&nbsp;=&nbsp;&minus;1 சமன்பாட்டிற்குத் தீர்வுகள் இல்லை., [http://books.google.com/books?id=F6aJtNcwyw8C&pg=PA100 p.&nbsp;100].
கேள்வி: பித்தகோரசு பகாத்தனி - பாலே வரைபடம் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: File:Paley13.svg ஒவ்வொரு பித்தகோரசு பகாத்தனிக்கும் பாலே வரைபடம் உள்ளது. ''p'' ஒரு பித்தகோரசு பகாத்தனி எனில் மாடுலோ &nbsp;''p'' எண்களைக் குறிக்கும் பாலே வரைபடமானது &nbsp;''p'' உச்சி (வடிவவியல்) கொண்டிருக்கும். இரு மாடுலோ &nbsp;''p'' எண்களின் வித்தியாசம் ஒரு இருபடிய எச்சமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அந்த இரு எண்களும் பாலே வரைபடத்தில் அடுத்தடுத்த உச்சிகளாக இருக்க முடியும்..