கேள்வி: அடிப்படை முக்கோணச் சமனின்மை - யூக்ளிடிய வடிவவியல் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: File:Euclid triangle inequality.svg படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள வரைமுறையைக் கொண்டு தள வடிவவியலில் முக்கோணச் சமனிலியை யூக்ளிட் நிறுவியுள்ளார். *முக்கோணம் இன் ஒரு பக்கம் மற்றும் பக்கத்தின் நீட்சியிலமையும் கோட்டுத்துண்டு ஐயும் சமபக்கங்களாகக் கொண்டு வரையப்படும் இருசமபக்க முக்கோணம் . * } \overline {BD} \quad (1) * \beta > \alpha எனக் கொள்ளப்படுகிறது. *எனவே, \overline {AD} > \overline {AC} \quad (2) ;நிறுவல் :\overline {AD} = \overline {AB} + \overline {BD} \, :::= \overline {AB} + \overline {BC} \, ----() இன்படி : \overline {AD} = \overline {AB} + \overline {BC} > \overline {AC} \, ----() இன்படி :ஃ \overline {AB} + \overline {BC} > \overline {AC} \, யூக்ளிடின் ”கூறுகள்” புத்தகத்தில் இந் நிறுவல் உள்ளது (புத்தகம் 1 கூற்று 20).
கேள்வி: அடிப்படை முக்கோணச் சமனின்மை - முடிவுகளின் கணிதவடிவம் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்கள் , , (மூன்றும் நேர் எண்கள்) எனில், முக்கோணச் சமனிலியின்படி கிடைக்கக்கூடிய முடிவுகளின் கணிதவடிவ விளக்கம்: *a + b > c , b + c > a , c + a > b . *|a - b| *\max(a, b, c) :\Rightarrow 2 \max(a, b, c) அதாவது முக்கோணத்தின் மிக நீளமான பக்கம், அம் முக்கோணத்தின் அரைச் சுற்றளவைவிடச் சிறியதாக இருக்கும்.
கேள்வி: அடிப்படை முக்கோணச் சமனின்மை - செங்கோண முக்கோணம் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: File:Isosceles triangle made of right triangles.svg இம் முக்கோணம் இரு செங்கோண முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது.]] செங்கோண முக்கோணத்திற்கானச் சமனிலி: :''ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் செம்பக்கம் #முக்கோணத்தின் மற்ற இரு பக்கங்களின் நீளங்களைக் காட்டிலும் அதிகமானதாகவும், #அவற்றின் கூடுதலைவிடச் சிறியதாகவும் இருக்கும்.'' *இக் கூற்றின் இரண்டாவது பகுதி பொதுவான முக்கோணங்களுக்கு ஏற்கனவே நிறுவப்பட்டுள்ள முக்கோணச் சமனிலி என்பதால் செங்கோண முக்கோணத்திற்கும் அது உண்மையாகும். *முதற்பகுதியின் நிறுவல்: ஒரு இருசமபக்க முக்கோணம் இன் சமபக்கங்கள் }}. அடிப்பக்க கோணங்கள் ஒன்றிலிருந்து வரையப்படும் குத்துக்கோட்டால் இம் முக்கோணம் இரு செங்கோண முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. அவ்விரு செங்கோண முக்கோணங்களில் முக்கோணம் கொண்டு நிறுவல்: எந்தவொரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் கூடுதல் 180 பாகைகள் என்ற பண்பின்படி, முக்கோணம் இல், : \alpha + \gamma = \pi /2 \ . இதேபோல முக்கோணம் இல், :2\beta + \gamma = \pi \ . எனவே, : \alpha = \pi/2 - \gamma ,\ \mathrm{while} \ \beta= \pi/2 - \gamma /2 \ , :ஃ \alpha :\Rightarrow \overline{\mathrm{AD}} ஆனால் }} என்பதால், :\overline{\mathrm{AD}} அதாவது செம்பக்கம் , பக்கம் ஐ விடப் பெரியதாகும்: :\overline{\mathrm{AC}} > \overline{\mathrm{AD}} \ இதேபோல, :\overline{\mathrm{AC}} > \overline{\mathrm{DC}} \ என்பதையும் நிறுவலாம்.
கேள்வி: அடிப்படை முக்கோணச் சமனின்மை - பயன்பாடுகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: ஒரு முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்கள் கூட்டுத் தொடர் அமைகிறது என்க. அதன் பக்க நீளங்கள் , , . எனவே முக்கோணச் சமனிலியின் படி முக்கோணத்தின் ஒரு பக்க நீளம் மற்ற இருபக்கங்களின் கூடுதலைவிடச் சிறியது என்பதால், * 0 * 0 * 0 ஆகிய மூன்று சமனிலிகள் கிடைக்கின்றன. இம் மூன்றும் நிறைவு செய்யப்பட வேண்டுமெனில் கீழ்வரும் முடிவு உண்மையாக இருக்க வேண்டும்: : a>0, -\frac{a}{3} ''a''/3}} எனும்போது கிடைக்கும் செங்கோண முக்கோணம் பித்தகோரசு மும்மையான (, , ) பக்க நீளங்கள் கொண்ட செங்கோண முக்கோணத்தை ஒத்ததாக அமையும். ஒரு முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்கள் பெருக்குத் தொடர் அமைகிறது என்க. அதன் பக்க நீளங்கள் , , எனவே முக்கோணச் சமனிலியின்படி முக்கோணத்தின் ஒரு பக்க நீளம் மற்ற இருபக்கங்களின் கூடுதலைவிடச் சிறியது என்பதால், * 0 * 0 * 0 ஆகிய மூன்று சமனிலிகள் கிடைக்கின்றன. , எனில் முதல் மற்றும் மூன்றாவது சமனிலிகளிலிருந்து : \begin{align} r^2+r-1 & {} >0 \\ r^2-r-1 & {} என்ற இரண்டு இருபடிச் சமனிலிகள் கிடைக்கின்றன. இவ்விரண்டிலிருந்து இன் மதிப்பு அமையும் வீச்சு :\varphi - 1 0\, தங்க விகிதம் ஆகும். }} எனும்போது கிடைக்கும் முக்கோணம் கெப்லர் முக்கோணம் ஆகும்.
கேள்வி: அடிப்படை முக்கோணச் சமனின்மை - பல்கோணத்திற்குப் பொதுமைப்படுத்தல் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையில், முக்கோணச் சமனிலியை எந்தவொரு பல்கோணத்திற்கும் பொதுமைப்படுத்தலாம்: ஒரு பல்கோணத்தின் எந்தவொரு பக்கத்தின் நீளமும் அதன் பிற பக்கங்களின் நீளங்களின் கூடுதலைவிட எப்பொழுதும் சிறியதாகவே இருக்கும்.
கேள்வி: அடிப்படை முக்கோணச் சமனின்மை - நாற்கரத்தில் என்பது என்ன?
பதில்: ஒரு நாற்கரத்தின் பக்கங்கள் பெருக்குத் தொடரில் அமைகிறது என்க. அதன் பக்க நீளங்கள் , , , ஆகும். முக்கோணச் சமனிலியை இந்த நாற்கரத்துக்குப் பொதுமைப்படுத்த: : 0 : 0 : 0 : 0 எனில், மேலுள்ள சமனிலிகளை ''a'' ஆல் வகுக்கக் கிடைப்பது: : r^3+r^2+r-1>0 \, : r^3-r^2-r-1Alpha|journal=Wolfram Research|url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve%20{0%3Ca%3Ca*r%2Ba*r^2%2Ba*r^3%2C%200%3Ca*r^3%3Ca%2Ba*r%2Ba*r^2}&t=ff3tb01|accessdate=2012-07-29}} இந்த இரு சமனிலியின் இடப்புறமுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலங்கள் டிரைபனொச்சி மாறிலி (tribonacci constant) மற்றுமதன் தலைகீழியாக அமைகின்றன. எனவே இன் வீச்சு: ::+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}}{3} , தோராய மதிப்பு = 1.83929
கேள்வி: அடிப்படை முக்கோணச் சமனின்மை - எதிர் முக்கோணச் சமனிலி என்பது என்ன?
பதில்: தள வடிவவியலில் எதிர் முக்கோணச் சமனிலியின் கூற்று: :''முக்கோணத்தின் ஒரு பக்க நீளமானது மற்ற இரு பக்க நீளங்களின் வித்தியாசத்தைவிட அதிகமானதாக அல்லது சமமானதாக இருக்கும்''. ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்கள் , , எனில், :z \geq x - y \,