கேள்வி: உட்தொடு முக்கோணம் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: Image:Intouch Triangle and Gergonne Point.svg ஒரு முக்கோணம் உட்தொடு முக்கோணம் அல்லது தொடு முக்கோணம் (''Intouch triangle'' or ''contact triangle'') என்பது ஒரு முக்கோணத்தின் முக்கோணத்தின் உள்வட்டமும் வெளிவட்டங்களும் அம்முக்கோணத்தின் பக்கங்களைத் தொடும் மூன்று புள்ளிகளையும் உச்சி (வடிவவியல்) கொண்ட முக்கோணம் ஆகும். உட்தொடு முக்கோணமானது கெர்கோன் முக்கோணம் ( Gergonne triangle) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, \triangle ABC -ன் உள்வட்டமானது முக்கோணத்தின் பக்கங்களைத் தொடும்புள்ளிகள்: :''TA'' , உச்சி ''A'' -க்கு எதிர்ப்பக்கத்தின் தொடு புள்ளி; :''TB'' , உச்சி ''B'' -க்கு எதிர்ப்பக்கத்தின் தொடு புள்ளி :''TC'' , உச்சி ''C'' -க்கு எதிர்ப்பக்கத்தின் தொடு புள்ளி இம் மூன்று தொடுபுள்ளிகளையும் உச்சிகளாகக் கொண்ட முக்கோணம் \triangle T_AT_BT_C உட்தொடு முக்கோணமாகும். \triangle ABC-ன் உள்வட்டமானது \triangle''TATBTC'' -க்கு சுற்றுவட்டம் இருக்கும். \triangle ABC -ன் பக்கங்கள் \ BC, \ CA, \ AB, -க்கு வரையப்பட்ட வெளிவட்டங்களின் தொடு புள்ளிகளை உச்சிகளாகக் கொண்ட முக்கோணம், வெளித்தொடு முக்கோணம் ஆகும். \triangle ABC -ன் உட்கோண இருசமவெட்டிகளானது முக்கோணத்தின் பக்கங்களை வெட்டும் புள்ளிகளால் உருவாகும் முக்கோணம், உள்மைய முக்கோணம் (incentral triangle) எனப்படும்.
கேள்வி: உட்தொடு முக்கோணம் - உட்தொடு முக்கோணத்தின் உச்சிகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: உட்தொடு முக்கோணத்தின் உச்சிகளின் முக்கோட்டு ஆட்கூறுகள் (Trilinear coordinates) : A-\text{vertex}= 0 : \sec^2 \left(\frac{B}{2}\right) :\sec^2\left(\frac{C}{2}\right) : B-\text{vertex}= \sec^2 \left(\frac{A}{2}\right):0:\sec^2\left(\frac{C}{2}\right) : C-\text{vertex}= \sec^2 \left(\frac{A}{2}\right) :\sec^2\left(\frac{B}{2}\right):0
கேள்வி: உட்தொடு முக்கோணம் - பக்க நீளங்கள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: மூல முக்கோணம் \triangle ABC இன் பக்கநீளங்கள் a, b, c மற்றும் கோணங்கள் A, B, C எனில் உட்தொடு முக்கோணத்தின் பக்கநீளங்கள்: :a^,= (-a+b+c)cos(1/2A) :b^, = (a-b+c)cos(1/2B) :c^, = (a+b-c)cos(1/2C).
கேள்வி: உட்தொடு முக்கோணம் - கெர்கோன் புள்ளியின் ஆட்கூறுகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: கெர்கோன் புள்ளியின் முக்கோட்டு ஆட்கூறுகள்: : \sec^2\left(\frac{A}{2}\right) : \sec^2 \left(\frac{B}{2}\right) : \sec^2\left(\frac{C}{2}\right), ::::(அல்லது சைன் விதியைப் பயன்படுத்தி) : \frac{bc}{b+ c - a} : \frac{ca}{c + a-b} : \frac{ab}{a+b-c}.