கேள்வி: ஒன்றின் படிமூலம் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: Image:One5Root.svg ஒரு சிக்கலெண்ணை ஏதேனுமொரு முழு எண் அடுக்குக்கு அடுக்கேற்றம் அதன் மதிப்பு 1 (எண்) ஆக இருக்குமானால் அந்தச் சிக்கலெண்ணானது ஒன்றின் படிமூலம் (''root of unity'') என அழைக்கப்படுகிறது. சில சமயங்களில் இது டி மாவரின் எண் எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.
கேள்வி: ஒன்றின் படிமூலம் - வரையறை குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: :z ஒரு சிக்கலெண்; n ஒரு முழுஎண் என்க: :z^n = 1 என்ற சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் z ஆனது ”ஒன்றின் nஆம் படிமூலம்” என வரையறுக்கப்படுகிறது.
கேள்வி: ஒன்றின் படிமூலம் - தொடக்கநிலை மூலம் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: n ஐ விடச் சிறிய எந்த முழுஎண் அடுக்கிற்கும் z இன் மதிப்பு எண் 1 இல்லையெனில், z ஆனது ”ஒன்றின் தொடக்கநிலை nஆம் படிமூலம் எனப்படும். அதாவது z ஒன்றின் தொடக்கநிலை nஆம் படிமூலம் எனில், :z^n = 1, :z^k \ne 1 \qquad (k = 1, 2, 3, \dots, n-1 ), ஆகிய இரு முடிவுகளும் நிறைவு செய்யப்பட வேண்டும். எடுத்துக்காட்டு: :i^8 = 1 என்பது உண்மை; ஆனால், :i^4 = 1 என்பதும் உண்மை என்பதால் கற்பனை அலகு ஆனது ஒன்றின் தொடக்கநிலை எண்படி மூலம் அல்ல; ஒன்றின் தொடக்கநிலை நான்காம் படிமூலமாக இருக்கும்.
கேள்வி: ஒன்றின் படிமூலம் - சில அடிப்படை முடிவுகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: *ஒன்றின் ஒவ்வொரு ''n'' ஆம் படிமூலமும் ஏதேனுமொரு மதிப்பு ''a'' ()க்கு ஒன்றின் தொடக்கநிலை ''a''வதுபடி மூலமாக இருக்கும். *ஒன்றின் ''n''ஆம் படிமூலம் ''z''; எனில் z^a = z^b. ;விளக்கம் :சமானம், மாடுலோ n-வரையறைப்படி, : என்பதால் (''k'' ஒரு முழுஎண்) என எழுதலாம். இதனைப் பயன்படுத்த: : z^a = z^{b+kn} = z^b z^{kn} = z^b (z^n)^k = z^b 1^k = z^b. *ஒன்றின் தொடக்கநிலை ''n''ஆம் படிமூலம் ''z'' எனில்: :z^a = z^b \iff a\equiv b \pmod{ n}. :''z'' தொடக்கநிலை படிமூலம் இல்லையெனில்: :a\equiv b \pmod{ n} \implies z^a = z^b. என்பது மட்டுமே உண்மையாக இருக்கும். *(z^k)^n = z^{kn} = (z^n)^k = 1^k = 1. *\frac{1}{z} = z^{-1} = z^{n-1} = \bar z. (இணைச் சிக்கலெண்) *''n''ஆம் படி பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டிற்கு வெவ்வேறான ''n'' தீர்வுகள் மட்டுமே இருக்க முடியும். எனவே ஒன்றின் தொடக்கநிலை மூலம் ''z'' எனில் அதன் பின்வரும் அடுக்குகள், :''z'' , , … , , ஆகியவை ஒன்றின் ''n''ஆம் படிமூலங்களாக இருக்கும்.
கேள்வி: ஒன்றின் படிமூலம் - ஒன்றின் ''n'' ஆம் படிமூலங்கள் காணும் வாய்ப்பாடு பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: டி மாவரின் வாய்ப்பாடு எனப் பதிலிட ஒன்றின் தொடக்கநிலை ''n'' ஆம் படிமூலம் கிடைக்கிறது: ;டி மாவரின் வாய்ப்பாடு :(\cos x + i \sin x)^n = \cos nx + i \sin nx. (''x'' மெய்யெண், ''n'' முழுஎண்) இதில் எனப் பதிலிட, :\left(\cos\tfrac{2\pi}{n} + i \sin\tfrac{2\pi}{n}\right)^n = \cos 2\pi + i \sin 2\pi = 1, எனக் கிடைக்கிறது. எனவே \left(\cos\tfrac{2\pi}{n} + i \sin\tfrac{2\pi}{n}\right) ஆனது ஒன்றின் ''n'' ஆம் படிமூலம் ஆகும். மேலும் 0 எனும்போது, :\left(\cos\tfrac{2\pi}{n} + i \sin\tfrac{2\pi}{n}\right)^k= \cos\tfrac{2k\pi}{n} + i \sin\tfrac{2k\pi}{n} \neq 1 எனவும் அமைவதால் மேலே தரப்பட்ட ஒன்றின் ''n'' ஆம் படிமூலமானது தொடக்கநிலை படிமூலம் என்பதையும் அறியலாம். : \cos\tfrac{2k\pi}{n} + i \sin\tfrac{2k\pi}{n}, \quad (*) இந்த வாய்ப்பாடு, மதிப்புகளுக்கு ஒன்றின் ''n'' ஆம் படிமூலங்கள் அனைத்தையும் தருகிறது. வாய்ப்பாட்டில் ''k'' இன் மதிப்புகளைப் பதிலிடக் கிடைக்கும் ஒன்றின் ''n'' ஆம் படிமூலங்கள்: : 1, \cos\tfrac{2\pi}{n} + i \sin\tfrac{2\pi}{n}, \cos\tfrac{4\pi}{n} + i \sin\tfrac{4\pi}{n}....\cos\tfrac{(n-1)2\pi}{n} + i \sin\tfrac{(n-1)2\pi}{n} மேலேயுள்ள வாய்ப்பாட்டில் ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு பயன்படுத்தி ஒன்றின் படிமூலங்களைக் காணும் வாய்ப்பட்டைப் பின்வருமாறு பெறலாம். ;ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு :e^{i x} = \cos x + i \sin x, (''x'' இன் அனைத்து மெய்யெண் மதிப்புகளுக்கும்) இதனை வாய்ப்பாடு (*) இல் பயன்படுத்தக் கிடைக்கும், ஒன்றின் ''n'' ஆம் படிமூலங்கள் காணும் வாய்ப்பாடு: :\cos\tfrac{2k\pi}{n} + i \sin\tfrac{2k\pi}{n} = e^{2\pi i \frac{k}{n}} \qquad 0 \le k இவ் வாய்ப்பாட்டில் சுருக்கவியலாப் பின்னம், அதாவது , இரண்டும் சார்பகா முழுஎண்கள் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இந்த மூலம் ஒன்றின் தொடக்கநிலை படிமூலமாக இருக்கும். இந்த வாய்ப்பாட்டின்படி ஒன்றின் ''n'' ஆம் படிமூலங்கள்: :1, e^{i\frac{2\pi } {n}}, e^{i\frac{4\pi }{n}}, e^{i\frac{6\pi }{n}}.... e^{i\frac{2(n-1)\pi }{n}},
கேள்வி: ஒன்றின் படிமூலம் - ஒன்றின் பிற படிமூலங்கள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: ;முதலாம் படிமூலம் : சமன்பாட்டிற்குள்ள ஒரேயொரு தீர்வாக +1 உள்ளது. இது மட்டுமே ஒன்றின் தொடக்கநிலை முதலாம் படிமூலமாகும். (+1 ஆனது, ஒன்றின் இரண்டாம், மூன்றாம், நான்காம்படி,... தொடக்கநிலையற்ற படிமூலமாக அமையும்) ;இரண்டாம் படிமூலங்கள் (வர்க்க மூலம்) : சமன்பாட்டிற்கு +1 , −1 ஆகிய இரு தீர்வுகள் உள்ளன. இவற்றில், +1 ஒன்றின் தொடக்கநிலையற்ற இரண்டாம் படிமூலம்; −1 ஒன்றின் தொடக்கநிலை இரண்டாம் படிமூலம். :±1 மட்டுமே ஒன்றின் மெய்யெண் படிமூலங்கள்; ஏனைய படிமூலங்கள் சிக்கலெண்களாகும். ;முப்படி மூலங்கள்: Image:3rd roots of unity.svg :z^3 - 1 = 0 :(z-1)(z^2-z -1)= 0 :இச் சமன்பாட்டின் தீர்வுகள்: : 1, \left\{e^{\frac{2 \pi i}{3}},e^{-\frac{2 \pi i}{3}}\right\}= 1,\left\{ \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2} \right\} :இம் மூன்றில் 1 தவிர்த்த மற்ற இரு மூலங்களும் தொடக்கநிலை மூன்றாம் படிமூலங்களாகும். ஒன்றின் முப்படி மூலங்கள் மூன்றும் சிக்கலெண் தளத்தில் அலகு வட்டம் வரையப்பட்ட சமபக்க முக்கோணம் உச்சிகளாக அமைகின்றன (படத்தில் காண்க). ;நான்காம் படிமூலங்கள்: :z^4 - 1 = 0 :(z^2 - 1)(z^2 + 1) = 0 :(z+1)(z-1)(z+i)(z-i)= 0 :இச் சமன்பாட்டின் தீர்வுகள்: :1, -1, \left\{e^{\frac{2 \pi i}{4}},e^{-\frac{2 \pi i}{4}}\right\}=1, -1, \left\{\pm\sqrt{-1} \right\}=1, -1, \left\{+i, -i \right\}. :இவற்றில் \left\{+i, -i \right\} இரண்டும் ஒன்றின் தொடக்கநிலை நான்காம் படிமூலங்கள். :ஒன்றின் நான்காம் படிமூலங்கள் நான்கும் சிக்கலெண் தளத்தில் அலகு வட்டம் வரையப்பட்ட சதுரம் உச்சிகளாக அமைகின்றன. ;தொடக்கநிலை ஐந்தாம் படிமூலங்கள்: :\left\{\left.e^{\frac{2 \pi i k}{5}}\right| 1 \le k \le 4 \right\}=\left\{\left . \frac{u\sqrt 5-1}4+v\,i\,\sqrt{\frac{5+u\sqrt 5}8}\; \right |u,v \in \{-1,1\}\right\}. ;தொடக்கநிலை ஆறாம் படிமூலங்கள்: :\left\{e^{\frac{2 \pi i}{6}},e^{-\frac{2 \pi i}{6}}\right\}=\left\{ \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2} \right\}. இவை இரண்டும் தொடக்கநிலை மூன்றாம் படிமூலங்களின் எதிர் எண்களாக உள்ளன. இதேபோல ''n'' இன் ஏனைய முழுஎண் மதிப்புகளுக்கு ஒன்றின் படிமூலங்களைக் காணலாம்.