கேள்வி: எதிர்சமச்சீர் உறவு என்பது என்ன?
பதில்: கணிதத்தில், ஒரு கணம் (கணிதம்) வரையறுக்கப்பட்ட ஈருறுப்பு உறவு எதிர்சமச்சீர் (''antisymmetric'') எனில், அக்கணத்தின் வெவ்வேறான உறுப்புகளைக் கொண்ட எந்தவொரு சோடி உறுப்புகளிலும் ஒரு உறுப்பு மற்றொன்றோடு உறவு கொண்டிருக்கும் நிலையில், இரண்டாவது உறுப்பு முதல் உறுப்புடன் உறவு கொண்டிருக்காது. ''X'' கணத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட ஈருறுப்பு உறவு ''R'' எதிர்சமச்சீர் எனில்: : ''X'' இல் உள்ள அனைத்து ''a'' , ''b'' க்கும், : ''R(a,b)'' , ''R(b,a)'' உண்மையெனில் ''a''&nbsp;=&nbsp;''b'' ஆக இருக்கும். ::: (அல்லது சமானமாக) : ''R(a,b)'' , ''a''&nbsp;≠&nbsp;''b'' எனில் ''R(b,a)'' உண்மையாகாது கணிதக் குறியீட்டில்: :\forall a, b \in X,\ R(a,b) \land R(b,a) \; \Rightarrow \; a = b அல்லது சமானமாக, :\forall a, b \in X,\ R(a,b) \land a \ne b \Rightarrow \lnot R(b,a) .
கேள்வி: எதிர்சமச்சீர் உறவு - எடுத்துக்காட்டுகள் என்பது என்ன?
பதில்: *(''x'', ''y'') என்ற முழு எண் சோடியில் "''x'' இரட்டை எண், ''y'' ஒற்றையெண்" என்ற உறவு எதிர்சமச்சீர் உறவு ::File:Even and odd antisymmetric relation.png *இயல் எண்கள் கணத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட ''வகுஎண்'' அல்லது ''வகுஎண்'' என்பது எதிர்ச்சமச்சீர் உறவுக்கு ஒரு எளிய எடுத்துக்காட்டு. இரு இயல் எண்கள் ஒன்றையொன்று வகுக்க வேண்டுமானால் அவை சம எண்களாக இருக்க வேண்டும். ''n'' , ''m'' வேறுபட்ட இயல் எண்கள்; ''m'' இன் வகுஎண் ''n'' எனில், மறுதலை உண்மையாகாது. ''n'' இன் வகுஎண்ணாக ''m'' இருக்க முடியாது. *மெய்யெண்கள் கணத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட சமனிலி (கணிதம்) (விடச் சிறியது அல்லது சமம்) என்ற ஈருறுப்பு உறவு எதிர்சமச்சீரானது: ''x'' , ''y'' இரு மெய்யெண்கள். :''x''&nbsp;≤&nbsp;''y'' , ''y''&nbsp;≤&nbsp;''x'' என்ற இரு சமனிலி (கணிதம்) உண்மை உண்மையாக இருக்கவேண்டுமானால் ''x'' , ''y'' இரண்டும் அவசியம் சமஎண்களாக இருக்க வேண்டும். *ஒரு கணத்தின் கணம் (கணிதம்)#உட்கணங்கள் கணத்தில் வரையறுக்கப்படும் ⊆ (உட்கணம்) உறவு, எதிர்சமச்சீர்மை கொண்டது. ''A'' , ''B'' என்ற இரு கணங்களில், ''A'' இல் உள்ள உறுப்புகள் அனைத்தும் ''B'' இலும், ''B'' இல் உள்ள உறுப்புகள் அனைத்தும் ''A'' இலும் இருக்குமானால், ''A'' , ''B'' இரண்டும் ஒரே உறுப்புகளைக் கொண்டிருக்கும். அதாவது அவையிரண்டும் சமகணங்கள்: :A \subseteq B \land B \subseteq A \Rightarrow A = B *பகுதி வரிசை உறவுகளும் முழு வரிசை உறவுகளும் அவற்றின் வரையறைப்படி எதிர்ச்சமச்சீர் உறவுகளாக அமைகின்றன.
கேள்வி: எதிர்சமச்சீர் உறவு - சமச்சீர், சமச்சீரற்ற உறவுகளுடன் தொடர்பு பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: *ஒரு உறவு சமச்சீர் உறவாகவும், எதிர்சமச்சீர் உறவாகவும் இருக்க முடியும். :எடுத்துக்காட்டு :சமச்சீர் உறவாகவும், எதிர்சமச்சீர் உறவாகவும் அமையும் உறவுகளுக்கு ஒரு எளிய எடுத்துக்காட்டு சமன் (கணிதம்). *எதிர்ச்சமச்சீர் உறவு, சமச்சீரற்ற உறவிலிருந்து வேறுபட்டது. :ஒரு உறவு சமச்சீரற்ற உறவு இருப்பதற்கு உறவுக்கு எதிர்சமச்சீர்மை, எதிர்வு உறவு இரண்டும் அவசியம். ஒவ்வொரு சமச்சீரற்ற உறவும் எதிர்சமச்சீர் உறவாகவும் இருக்கும்.