கேள்வி: அடுக்குத் தொடர் (கணிதம்) குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: கணிதத்தில் அடுக்குத் தொடர் (''power series'') என்பது கீழ்க்காணும் வடிவில் அமையும் தொடர் (கணிதம்) ஆகும்: :f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n = a_0 + a_1 (x-c)^1 + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots இத் தொடர் ஒரு மாறியிலமைந்த அடுக்குத் தொடர். இதில்: :''an'' ''n'' ஆம் உறுப்பின் கெழு; : ''c'' ஒரு மாறிலி (கணிதம்); : ''x'' ஆனது ''c'' இன் மதிப்பைச் சுற்றி மாறுபடும். பொதுவாக, ஒரு சார்பு டெய்லர் தொடர் ஒரு அடுக்குத் தொடர் அமையும். பெரும்பாலான சமயங்களில் ''c'' இன் மதிப்பு பூச்சியம் அமையும். அப்போது அடுக்குத் தொடரின் வடிவம்: : f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots.
கேள்வி: அடுக்குத் தொடர் (கணிதம்) - எடுத்துக்காட்டுகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: Image:Exp series.gifம் (நீலம்) அதன் மெக்லாரின் தொடர் முதல் ''n''+1 உறுப்புகளின் கூடுதலும் (சிவப்பு).]] *எந்தவொரு பல்லுறுப்புக்கோவையையும் ஒரு மையம் ''c'' உடன் அடுக்குத் தொடராக எளிதாக எழுத முடியும். :f(x) = x^2 + 2x + 3 என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையை மையம் c=0 எனக் கொண்டு பின்வரும் அடுக்குத் தொடராக எழுதலாம்: ::f(x) = 3 + 2 x + 1 x^2 + 0 x^3 + 0 x^4 + \cdots \, அல்லது மையத்தை c=1 எனக்கொண்டால்: ::f(x) = 6 + 4 (x-1) + 1(x-1)^2 + 0(x-1)^3 + 0(x-1)^4 + \cdots \, *பெருக்குத் தொடர் வடிவம்: :: \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots,, இவ் வாய்ப்பாடு |x| எனும் மதிப்புகளுக்கு மட்டுமே உண்மையாகும். *அடுக்குக்குறிச் சார்பு தொடர்: :: e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots, சைன் (முக்கோணவியல்) சார்பின் தொடர்: :: \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}+\cdots, இத் தொடர் x இன் அமைத்து மெய்மதிப்புகளுக்கும் பொருந்தும். அடுக்குத் தொடரில் எதிர் எண்கள் மாறியின் அடுக்குகளாக இருக்க முடியாது. எடுத்துக்காட்டாக பின்வருவது அடுக்குத் தொடராகாது: :1 + x^{-1} + x^{-2} + \cdots இதேபோல x^{1/2} போன்ற பின்ன அடுக்குகளும் இருக்காது. மேலும் கெழுக்கள் மாறி x ஐச் சார்ந்தவையாக இருக்காது. எடுத்துக்காட்டாக கீழே தரப்படுவது அடுக்குத் தொடர் அல்ல: :\sin(x) x + \sin(2x) x^2 + \sin(3x) x^3 + \cdots \,
கேள்வி: அடுக்குத் தொடர் (கணிதம்) - கூட்டலும் கழித்தலும் என்பது என்ன?
பதில்: ''f'' , ''g'' ஆகிய இரு சார்புகள் ''c'' எனும் ஒரே மையத்தைக் கொண்டு அடுக்குத் தொடர்களாக எழுதப்பட்டால், அவற்றின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தலை உறுப்புவாரிக் கூட்டல் மற்றும் கழித்தலாகச் செய்யலாம். :f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n :g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n எனில்: :f(x)\pm g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n \pm b_n) (x-c)^n.
கேள்வி: அடுக்குத் தொடர் (கணிதம்) - பெருக்கலும் வகுத்தலும் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: : f(x)g(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right) : = \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty a_i b_j (x-c)^{i+j} : = \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-c)^n. : {f(x)\over g(x)} = {\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\over\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n} = \sum_{n=0}^\infty d_n (x-c)^n : f(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty d_n (x-c)^n\right)
கேள்வி: அடுக்குத் தொடர் (கணிதம்) - வகையிடலும் தொகையிடலும் என்பது என்ன?
பதில்: அடுக்குத் தொடராக எழுதப்படும் சார்பின் வகைக்கெழு மற்றும் தொகையீடு :: f^\prime (x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n \left( x-c \right)^{n-1}= \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} \left(n+1 \right) \left( x-c \right)^{n} :: \int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-c \right)^{n+1}} {n+1} + k = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} \left( x-c \right)^{n}} {n} + k.