கேள்வி: தாஞ்சன்களின் விதி பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: Image:Triangle.Labels.svg முக்கோணவியல் தாஞ்சன்களின் விதி (''law of tangents'') அல்லது டான்களின் விதி என்பது ஒரு முக்கோணம் மூன்று பக்க நீளங்களுக்கும், அம்முக்கோணத்தின் கோணங்களின் தாஞ்சன்களுக்கும் (''tangents'') இடையே உள்ள ஓர் உண்மைக்கூற்று. படம் 1 இல் ''a'', ''b'', ''c'' என்பன முக்கோணத்தின் மூன்று பக்க நீளங்கள். &alpha;, &beta;, &gamma; என்னும் மூன்றும், அப்பக்கங்களுக்கு நேர் எதிராக, முறையே, உள்ள கோணங்கள். அதாவது ''a'' என்னும் பக்கத்துக்கு நேர் எதிரான கோணம் &alpha;, அதே போல ''b'', ''c'' என்னும் பக்கங்களுக்கு நேர் எதிராக கோணங்கள் &beta;, &gamma; ஆகும். முக்கோணவியலில் தாஞ்சன்களின் விதி அல்லது டான்களின் விதி என்ன சொல்கின்றது என்றால், :\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{\tan[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]}. மேற்குறிப்பிட்ட தான்களின் விதி, மற்ற சைன்களின் விதி, கோசைன்களின் விதி போல் அவ்வளவாகப் பரவலாக அறியப்படாவிட்டாலும், அவைபோலவே பயனுடைய விதி. ஒரு முக்கோணத்தின் இரண்டு பக்கங்களும் ஒரு கோணமும் அறிந்திருந்தாலோ அல்லது இரு கோணங்களும் ஒரு பக்கமுமோ அறிந்திருந்தாலோ, சில உண்மைகளை நிறுவப் பயனுடையதாக இருக்கும் ஒரு இவ்விதி. <!--
கேள்வி: தாஞ்சன்களின் விதி - Applied to right triangles பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: The situation is simplified for right triangles. Image:Triangle.Labels.svg Consider the right triangle shown. The angle at ''C'' is a right angle and the angle at ''A'' is &theta; (theta). The lengths of the sides of the triangle we will denote as ''p'', ''q'' and ''r''. We can relate &theta; to the lengths of the sides as follows: The sine of &theta;, written sin(&theta;), is defined as the ratio of the side opposite &theta; to the hypotenuse, that is sin(&theta;) = ''r''/''q''. The cosine of &theta;, written cos(&theta;), is the side adjacent to &theta; over the hypotenuse, that is cos(&theta;) = ''p''/''q''. The tangent of &theta;, written tan(&theta;), is the ratio of the opposite to the adjacent sides, that is tan(&theta;) = ''r''/''p''. -->
கேள்வி: தாஞ்சன்களின் விதி - நிறுவல் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: டான்களின் விதியை நிறுவ, முதலில் சைன்களின் விதியை வைத்துத் தொடங்குவோம். சைன்களின் விதிப்படி, : \frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{b}{\sin{\beta}} இப்பொழுது மேலுள்ள ஈடுகோளை (சமன்பாட்டை) ஏதோ ஒரு ''q'' என்பதற்கு ஈடு (சமம்) என்று கொள்வோம். : q = \frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{b}{\sin{\beta}} மேற்கொண்டவற்றைக் கொண்டு, ''b'' யையும், ''a'' யையும் தீர்வு செய்யலாம்: : a = q \sin{\alpha} \, மற்றும் b = q \sin{\beta} \, ''a'' இக்கும் ,''b'' இக்குமான முதல் சமன்பாட்டில் இவற்றை பெயர்த்து இட்டால் (substitute), நாம் கீழ்க்காணும் சமன்பாட்டைப் பெறலாம்: : \frac{a-b}{a+b} = \frac{q \sin \alpha -q\sin\beta}{q\sin\alpha+q\sin\beta} = \frac{ \sin \alpha -\sin\beta}{\sin\alpha+\sin\beta} பொதுவாக உள்ள ''q -களைக் களைந்து (தொகுத்துப் பின் வகுத்து), பின்னர் பெருக்குத்தொகையைக் கூட்டலாக மாற்றும் விதி]]ப்படி, : \sin(x) + \sin(y) = 2 \sin\left( \frac{x + y}{2} \right) \cos\left( \frac{x - y}{2} \right) \; \scriptstyle{x\,=\,\alpha} என்றும், \scriptstyle{y\,=\,\pm\beta} என்றும் கொண்டால், :\frac{a-b}{a+b} = \frac{ 2 \sin\left( \frac{\alpha -\beta}{2} \right) \cos\left( \frac{\alpha+\beta}{2}\right) }{ 2 \sin\left( \frac{\alpha +\beta}{2} \right) \cos\left( \frac{\alpha-\beta}{2}\right)} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{\tan[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]} என்னும் விதியைப் பெறுகின்றோம்.
கேள்வி: தாஞ்சன்களின் விதி - இவற்றையும் பார்க்கவும் என்பது என்ன?
பதில்: *சைன்களின் விதி *கோசைன்களின் விதி பகுப்பு:முக்கோணவியல் பகுப்பு:நிறுவலடங்கிய கணிதத்தேற்றங்கள் பகுப்பு:முக்கோணங்கள் பற்றிய தேற்றங்கள்