கேள்வி: பகுமுறை வடிவவியல் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: File:Punktkoordinaten.svg பகுமுறை வடிவவியல் (''Analytic geometry'' அல்லது ''analytical geometry'') "நவீன மேம்பட்ட" மற்றும் "மரபு சார்ந்த அடிப்படையான" என இருவிதமாக அமைந்துள்ளது. இக்கட்டுரை மரபு சார்ந்த அடிப்படையான பகுமுறை வடிவவியலையே தருகிறது. பகுமுறை வடிவவியல் ஆள்கூற்று வடிவவியல் (''coordinate geometry'') அல்லது கார்ட்டீசியன் வடிவவியல் (''Cartesian geometry'') எனவும் அழைக்கப்படும். பகுமுறை வடிவவியலானது வடிவவியல் கருத்துருக்களை ஆள்கூற்று முறைமை, இயற்கணிதம் கொள்கைகள் மற்றும் பகுவியல் (கணிதம்) பயன்படுத்தி விளக்க முற்படுகிறது. யூக்ளிட் சில வடிவவியல் கருத்துக்களை அடிப்படையாக எடுத்துக் கொண்டு, மற்றக் கருத்துக்களை அடிக்கோள்கள் மற்றும் தேற்றம் மூலமாக ஊகிக்கும் முறையில் உண்மையென நிறுவ முற்படுகிறது. ஆனால் பகுமுறை வடிவவியல் யூக்ளிட் இருந்து மாறுபட்டுள்ளது. பகுமுறை வடிவவியல் பரவலாக இயற்பியல் பொறியியல் பயன்பாடு கொண்டுள்ளது. இயற்கணித வடிவவியல், வகையீட்டு வடிவவியல், தனிநிலை வடிவவியல் மற்றும் கணிப்பிய வடிவவியல் போன்ற பெரும்பாலான வடிவவியலின் நவீன கிளைப்பிரிவுகளுக்கு அடிப்படையாகவும் பகுமுறை வடிவவியல் விளங்குகிறது. வழக்கமாக கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமையானது தளம் (வடிவவியல்), கோடுகள், சதுரம், வட்டம், கோளம்... போன்ற இருபரிமாண மற்றும் முப்பரிமாண வடிவங்களுக்குச் சமன்பாடுகள் காணப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இதில் இருபரிமாண மற்றும் முப்பரிமாண யூக்ளிடியன் தளங்கள் வடிவவியல் ரீதியாக அறியப்படுகிறது. பள்ளிப்பாடப் புத்தகங்களில் தரப்பட்டுளதுபோல பகுமுறை வடிவவியலுக்கு எளிதான விளக்கத்தைத் தரலாம்: பகுமுறை வடிவவியலானது, வடிவவியல் வடிவங்களை எண்முறையில் வரையறுக்கவும் குறிப்பிடவும் பயன்படுகிறது. மேலும் இந்த எண்முறையின வரையறை மற்றும் குறிப்பீடுகளைக் கொண்டு அந்த வடிவங்களைப் பற்றிய எண்முறையின விவரங்களை அறிந்து கொள்ளவும் பயன்படுகிறது. இந்த விவரம் ஒரு திசையன் அல்லது ஒரு வடிவவியல் வடிவமாக அமையலாம்.
கேள்வி: பகுமுறை வடிவவியல் - ஆள்கூறுகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: பகுமுறை வடிவவியலில் யூக்ளிய தளத்திற்கு ஒரு ஆள்கூற்று முறைமை தரப்படுகிறது. இதன்படி அத்தளத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் அதன் ஆள்கூறுகள் அல்லது அச்சுதூரங்கள் அல்லது ஆயதொலைவுகள் எனப்படும் ஒரு சோடி மெய்யெண்கள் தரப்படுகின்றன. ஆள்கூற்று முறைமைகளிலேயே அதிகமாக வழக்கத்தில் உள்ள முறைமை கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமை ஆகும். கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமையில் ஒரு புள்ளியின் கிடைமட்ட நிலையைக் குறிக்கும் ''x'' அச்சுதூரம் அல்லது ஆய தொலைவும் அதன் நிலைக்குத்து நிலையைக் குறிக்கும் ''y'' அச்சுத் தூரம் அல்லது ஆய தொலைவும் தரப்படுகின்றன. இந்த இரு அச்சுதூரங்களும் (''x'',&nbsp;''y'') என்ற வரிசைச் சோடியால் தரப்படுகின்றன. இம்முறைமையை முப்பரிமாணத்தில் யூக்ளிடிய தளத்திற்கு நீட்டிக்கலாம். யூக்ளிடிய தளத்தில் ஒவ்வொரு புள்ளியும் (''x'',&nbsp;''y'',&nbsp;''z'') என்ற வரிசைப்படுத்தப்பட்ட மூன்று மெய்யெண்களால் குறிக்கப்படுகின்றன. பிற ஆள்கூற்று முறைமைகள்: *வாள்முனை ஆள்கூற்று முறைமை *உருளை ஆயதொலைவுகள் *கோள ஆயதொலைவுகள்
கேள்வி: பகுமுறை வடிவவியல் - வளைவரைகளின் சமன்பாடுகள் என்பது என்ன?
பதில்: பகுமுறை வடிவவியலில் ஆள்கூறுகளில் அமைந்த ஒரு சமன்பாடு அத்தளத்தின் ஒரு கணம் (கணிதம்) குறிக்கும். அந்த உட்கணம் சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் எனப்படும். எடுத்துக்காட்டாக, சமன்பாடு ''y''&nbsp;=&nbsp;''x'' என்பது ''x''-ஆள்கூறு மற்றும் ''y''-ஆள்கூறு இரண்டும் சமமாக உள்ள புள்ளிகளின் கணத்தைக் குறிக்கும். இப்புள்ளிகள் அனைத்தும் ஒரு நேர்கோட்டின் மீது அமையும். அக்கோட்டின் சமன்பாடு ''y''&nbsp;=&nbsp;''x'' ஆகும். பொதுவாக ''x'' மற்றும் ''y'' இல் அமைந்த நேரியல் சமன்பாடுகள் கோடுகளையும், இருபடிச் சமன்பாடுகள் கூம்பு வெட்டுகளையும் மற்றும் மேலும் சிக்கலான சமன்பாடுகள் சிக்கலான வளைவரைகளையும் குறிக்கும். வழக்கமாக, ஒரு சமன்பாடு ஒரு தளத்தில் அமைந்த ஒரு வளைவரையைக் குறிக்கிறது. இதற்கு விதிவிலக்காக அமையும் சிற்சில எடுத்துக்காட்டுகளும் உள்ளன. ''x''&nbsp;=&nbsp;''x'' என்ற சமன்பாடு முழுத் தளத்தையும் ''x''2&nbsp;+&nbsp;''y''2&nbsp;=&nbsp;0 என்ற சமன்பாடு (0,&nbsp;0) என்ற புள்ளியை மட்டுமே குறிக்கின்றன. முப்பரிமாணத்தில் ஒரு சமன்பாடு ஒரு பரப்பைக் குறிக்கும். ஒரு வளைவரையானது இரு பரப்புகளின் வெட்டுப்பகுதியாக அமையும். சமன்பாடு ''x''2&nbsp;+&nbsp;''y''2&nbsp;=&nbsp;''r''2, அலகு ஆரம் வட்டம் குறிக்கும். File:Distance Formula.svg மூலம் தொலைவு காணும் வாய்ப்பாடு]]
கேள்வி: பகுமுறை வடிவவியல் - தொலைவும் கோணமும் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: பகுமுறை வடிவவியலில் தொலைவு மற்றும் கோணம் போன்ற வடிவவியல் அடிப்படைக் கருத்துருக்கள் வாய்ப்பாடுகள் மூலம் வரையறுக்கப்படுகின்றன. இவ்வாய்ப்பாடுகள் யூக்ளிடிய வடிவவியலோடு ஒத்தவாறு வடிவமைக்கப்ப்ட்டுள்ளன. எடுத்துக்காட்டு: கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்றுகளைப் பயன்படுத்தி தளத்தில் அமையும் இரு புள்ளிகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரம்: புள்ளிகள்: (''x''1,&nbsp;''y''1) மற்றும் (''x''2,&nbsp;''y''2) தூரம் காணும் வாய்ப்பாடு: :d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2},\! இது பித்தேகோரசு தேற்றம் முடிவைப் போன்று அமையும். இதேபோல் ஒரு கோடானது ஒரு கிடைமட்டத்தோடு உண்டாக்கும் கோணம்: வாய்ப்பாடு: :\theta = \arctan(m)\! இங்கு ''m'' நேர்கோட்டின் சாய்வு.
கேள்வி: பகுமுறை வடிவவியல் - ஒரு கோட்டின் பகுதி குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: பகுமுறை வடிவவியலில் ஒரு கோட்டின் பகுதியை வாய்ப்பாட்டின் மூலம் தரலாம். ஒரு கோட்டுத் துண்டு குறிப்பிட்ட விகிதத்தில் பிரிக்கும் புள்ளியின் ஆள்கூறுகள்: எடுத்துக்கொண்ட கோட்டின் ஒரு துண்டின் இரு முனைகள்: (c,d) மற்றும் (e,f) பிரிக்கப்படும் விகிதம்: m:n பிரிக்கும் புள்ளி S இன் ஆள்கூறுகளின் வாய்ப்பாடு: S(a,b) = (nc+me/m+n, nd+mf/m+n)
கேள்வி: பகுமுறை வடிவவியல் - வெட்டுப்பகுதிகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: இப்பகுதியில் xy-தளம் மட்டுமே எடுத்துக் கொள்ளப்பட்டாலும் உயர்பரிமாணங்களுக்கும் இக்கருத்தினை நீட்டிக்கலாம். இரு வடிவவியல் பொருட்கள் P(x,y) மற்றும் Q(x,y) இரண்டின் வெட்டுப்பகுதி என்பது இரண்டுக்கும் பொதுவான அனைத்துப் புள்ளிகளைக் கொண்டதாகும். எடுத்துக்காட்டு: * P, ஆரம் 1 அலகும் மையம் (0,0) உடைய வட்டம்: : P = {(x,y) | x2+y2=1} * Q ஆரம் 1 அலகும் மையம் (1,0) உடைய வட்டம்: : Q = {(x,y) | (x-1)2+y2=1}. இவ்விரண்டின் வெட்டுப்பகுதி என்பது இவ்விரண்டு சமன்பாடுகளையும் மெய்ப்படுத்தும் புள்ளிகள் அடங்கிய கணம் (கணிதம்). புள்ளி (0,0) இரு சமன்பாடுகளையும் மெய்ப்படுத்துமா எனக் காணலாம்: Q இல் (0,0) என (x,y) -க்குப் பதில் பிரதியிட: :(0-1)2+02=1 அல்லது (-1)2=1 இது மெய்யாகும். எனவே (0,0), Q குறிப்பிடும் வட்டத்தின் மீது அமையும் ஓர் புள்ளி. P இல் (0,0) என (x,y) -க்குப் பதில் பிரதியிட: :(0)2+02=1 :0=1 இது மெய்யல்ல. எனவே (0,0), P வட்டத்தின் மீது அமையும் புள்ளி அல்ல. ஆகவே (0,0), இவ்விரண்டு வட்டங்களுக்கும் பொதுவான புள்ளி அல்ல, அது வட்டங்களின் வெட்டுப்பகுதியில் அமையாது. P மற்றும் Q இரண்டின் வெட்டுப்பகுதியை அவற்றின் சமன்பாடுகளை ஒருங்கே தீர்ப்பதன் மூலம் காணலாம்: x2+y2 = 1 (x-1)2+y2 = 1 இவ்விரு சமன்பாடுகளையும் பிரதியிடல் முறை மற்றும் நீக்கல் முறை என இருமுறைகளில் தீர்க்கலாம். பிரதியிடல் முறை: முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து y இன் மதிப்பை x மூலமாக கண்டுபிடித்துக் கொண்டு அந்த மதிப்பை இரண்டாவது சமன்பாட்டிலுள்ள y இல் பிரதியிட வேண்டும்: முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து: :x2+y2 = 1 :y2=1-x2 இதனை இரண்டாவது சமன்பாட்டில் பிரதியிட: :(x-1)2+(1-x2)=1 :x2 -2x +1 +1 -x2 =1 :-2x = -1 ::x=½ இந்த x இன் மதிப்பை இரண்டில் ஏதாவதொரு மூலச்சமன்பாட்டில் பிரதியிட்டு y இன் மதிப்பைக் காணலாம்.: :½2+y2 = 1 :y2 = ¾ ::y = \frac{\pm \sqrt{3}}{2} எனவே வெட்டுப்பகுதியில் அமையும் புள்ளிகள்: : \left(1/2,\frac{+ \sqrt{3}}{2}\right) \;\; \mathrm{and} \;\; \left(1/2,\frac{-\sqrt{3}}{2}\right) நீக்கல் முறை: ஒரு சமன்பாட்டின் மடங்கினை மற்றொரு சமன்பாட்டுடன் கூட்டியோ அல்லது கழித்தோ ஏதாவது ஒரு மாறியை நீக்க வேண்டும். இந்த எடுத்துக்காட்டில் முதல் சமன்பாட்டை இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்க: :(x-1)2-x2=0 முதல் சமன்பாட்டின் y2 உறுப்பு இரண்டாவது சமன்பாட்டின் y2 உறுப்பிலிருந்து கழிக்கப்பட்டு y உறுப்பே இல்லாமல் நீக்கப்பட்டு விட்டது. இதன் பிறகு மீதமுள்ள சமன்பாட்டிலிருந்து x இன் மதிப்பு காண வேண்டும்: :x2 -2x +1 +1 -x2 =1 :-2x = -1 ::x=½ இந்த மதிப்பை இரண்டில் ஏதேனும் ஒரு சமன்பாட்டில் பிரதியிட்டு y இன் மதிப்பைக் காணலாம்: :½2+y2 = 1 :y2 = ¾ ::y = \frac{\pm \sqrt{3}}{2} எனவே இரண்டு வட்டங்களும் வெட்டும் புள்ளிகள்: : \left(1/2,\frac{+ \sqrt{3}}{2}\right) \;\; \mathrm{and} \;\; \left(1/2,\frac{-\sqrt{3}}{2}\right) கூம்பு வெட்டுகளுக்கு நான்கு வெட்டுப்புள்ளிகள் வரை அமையலாம்.
கேள்வி: பகுமுறை வடிவவியல் - வெட்டுத்துண்டுகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: வெட்டுக்களில் முக்கியமானவையாகக் கருதப்படுபவை ஒரு வடிவவியல் பொருள் x மற்றும் y அச்சுக்களோடு உண்டாக்கும் வெட்டுப்பகுதிகளாகும். இவை முறையே x -வெட்டுத்துண்டு மற்றும் y -வெட்டுத்துண்டு என அழைக்கப்படுகின்றன. வடிவவியல் பொருளுக்கும் y-அச்சுக்கும் உள்ள வெட்டுப்பகுதி y-வெட்டுத்துண்டு எனப்படும். வடிவவியல் பொருளுக்கும் x-அச்சுக்கும் உள்ள வெட்டுப்பகுதி x-வெட்டுத்துண்டு எனப்படும். நேர்கோடு y=mx+b இல், b என்பது கோடு y அச்சை சந்திக்கும் புள்ளியைத் தரும். சந்தர்ப்பத்தைப் பொறுத்து b அல்லது (0,b) y-வெட்டுத்துண்டு எனப்படும்.