கேள்வி: பிரம்மகுப்தரின் வாய்பாடு பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: யூக்ளீட் வடிவியல் பிரம்மகுப்தரின் வாய்ப்பாடு என்பது (''Brahmagupta's formula'') வட்ட நாற்கரம் பரப்பளவு காணும் வாய்ப்பாடு ஆகும். ஒரு வட்ட நாற்கரத்தின் பக்கங்களின் நீளங்கள் தரப்பட்டிருக்கும் போது இவ்வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி அந்த வட்ட நாற்கரத்தின் பரப்பைக் காணலாம்.
கேள்வி: பிரம்மகுப்தரின் வாய்பாடு - அடிப்படைப் படிவம் என்பது என்ன?
பதில்: பிரம்மகுப்தரின் வாய்ப்பாட்டின் எளிமையானதும் எளிதில் மனதில் பதியக்கூடியதுமான படிவம், ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' -ஐ பக்க நீளங்களாகக் கொண்ட வட்ட நாற்கரம் பரப்பைத் தருகிறது: : K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} இங்கு ''s'', நாற்கரத்தின் அரைச்சுற்றளவு. : s=\frac{a+b+c+d}{2}\cdot :s-a= \frac{-a+b+c+d}{2} :s-b= \frac{a-b+c+d}{2} :s-c= \frac{a+b-c+d}{2} :s-d= \frac{a+b+c-d}{2} இவ்வாய்ப்பாடு முக்கோணம் பரப்பு காணும் ஈரோனின் வாய்பாடு பொதுமைப்படுத்தப்பட்டப் படிவமாக அமைகிறது. பிரம்மகுப்தரின் வாய்ப்பாட்டில் d -ன் மதிப்பு பூச்சியம் நெருங்குவதாக எடுத்துக் கொண்டால் ஹீரோனின் வாய்ப்பாடு கிடைக்கும். அதாவது ஒரு பக்கத்தின் நீளம் பூச்சியமாக உள்ள நாற்கரமாக முக்கோணத்தைக் கொள்ளலாம்.
கேள்வி: பிரம்மகுப்தரின் வாய்பாடு - நிறுவல் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: Image:Brahmaguptas formula.svg இப்பகுதியில் உள்ள படத்தில் தரப்பட்டுள்ள வட்ட நாற்கரத்தின் அளவுகளுக்கான குறியீடுகள் பரப்பு காணும்போது பயன்படுத்தப்படுகின்றன. வட்ட நாற்கரம் ABCD -ன் பரப்பு := \triangle ADB -ன் பரப்பு+ \triangle BDC -ன் பரப்பு := \frac{1}{2}pq\sin A + \frac{1}{2}rs\sin C. ABCD, ஒரு வட்ட நாற்கரம் என்பதால்: :\angle DAB = 180^\circ - \angle DCB. :\sin A = \sin C\, : ஃ \mbox{Area} = \frac{1}{2}pq\sin A + \frac{1}{2}rs\sin A :(\mbox{Area}) = \frac{1}{2}\sin A (pq + rs) :(\mbox{Area})^2 = \frac{1}{4}\sin^2 A (pq + rs)^2 :4(\mbox{Area})^2 = (1 - \cos^2 A)(pq + rs)^2 = (pq + rs)^2 - \cos^2 A (pq + rs)^2.\, \triangle''ADB'' மற்றும் \triangle ''BDC'', இரண்டின் பொதுப்பக்கம் DB-ன் மதிப்பைக் கொசைன் விதி மூலம் காண: :DB = p^2 + q^2 - 2pq\cos A = r^2 + s^2 - 2rs\cos C. \, :\cos C = \cos( \pi - A) = -\cos A\, (A, C மிகைநிரப்புக் கோணங்கள்.) இதனைப் பயன்படுத்த: : p^2 + q^2 - 2pq\cos A = r^2 + s^2 +2rs\cos A. \, உறுப்புகளை மாற்றித் தொகுக்க: :2\cos A (pq + rs) = p^2 + q^2 - r^2 - s^2. \, :\cos A (pq + rs) = \frac{p^2 + q^2 - r^2 - s^2}{2}. \, வர்க்கப்படுத்த: :\cos ^2A (pq + rs)^2 = \frac{(p^2 + q^2 - r^2 - s^2)^2}{4}. \, இதனைப் பரப்பு வாய்ப்பாட்டில் பிரதியிட: :4(\mbox{Area})^2 = (pq + rs)^2 - \frac{1}{4}(p^2 + q^2 - r^2 - s^2)^2 :16(\mbox{Area})^2 = 4(pq + rs)^2 - (p^2 + q^2 - r^2 - s^2)^2, \, := (2(pq + rs) - p^2 - q^2 + r^2 +s^2)(2(pq + rs) + p^2 + q^2 -r^2 - s^2) \, := ( (r+s)^2 - (p-q)^2 )( (p+q)^2 - (r-s)^2 ) \, := (q+r+s-p)(p+r+s-q)(p+q+s-r)(p+q+r-s). \, S = \frac{p+q+r+s}{2}, என எடுத்துக் கொண்டால் :16(\mbox{Area})^2 = 16(S-p)(S-q)(S-r)(S-s). \, :(\mbox{Area})^2 = (S-p)(S-q)(S-r)(S-s). \, வர்க்கமூலம் காண: :\mbox{Area} = \sqrt{(S-p)(S-q)(S-r)(S-s)}.
கேள்வி: பிரம்மகுப்தரின் வாய்பாடு - மாற்றுப் படிவம் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: இவ்வாய்ப்பாட்டின் மற்றொரு படிவம்: : K=\frac{\sqrt{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2+8abcd-2(a^4+b^4+c^4+d^4)}}{4}\cdot
கேள்வி: பிரம்மகுப்தரின் வாய்பாடு - நிறுவல் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: பரப்பு காணும் வாய்பாடின் பொதுப் படிவம்: : K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} :s-a= \frac{-a+b+c+d}{2} :s-b= \frac{a-b+c+d}{2} :s-c= \frac{a+b-c+d}{2} :s-d= \frac{a+b+c-d}{2} இம்மதிப்புகளைப் பரப்பு வாய்பாடில் பிரதியிட: : K=\sqrt{(\frac{-a+b+c+d}{2})(\frac{a-b+c+d}{2})(\frac{a+b-c+d}{2})(\frac{a+b+c-d}{2})} : =\frac{1}{4}\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)} : =\frac{1}{4}\sqrt{[(c+d)-(a-b)][(c+d)+(a-b)][(a+b)-(c-d)][(a+b)+(c-d)]} : =\frac{1}{4}\sqrt{[(c+d)^2-(a-b)^2][(a+b)^2-(c-d)^2]} : =\frac{1}{4}\sqrt{[(c^2+d^2-a^2-b^2+2ab+2cd][(a^2+b^2-c^2-d^2+2ab+2cd]} : =\frac{1}{4}\sqrt{[(2ab+2cd)-(a^2+b^2-c^2-d^2)][(2ab+2cd)+(a^2+b^2-c^2-d^2)]} : =\frac{1}{4}\sqrt{(2ab+2cd)^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2} : =\frac{1}{4}\sqrt{[(4a^2b^2+4c^2d^2+8abcd)-(a^4+b^4+c^4+d^4+2a^2b^2-2a^2c^2-2a^2d^2-2b^2c^2-2b^2d^2+2c^2d^2)} : =\frac{1}{4}\sqrt{(2a^2b^2+2a^2c^2+2a^2d^2+2b^2c^2+2b^2d^2+2c^2d^2)+8abcd-(a^4+b^4+c^4+d^4)} : =\frac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2-(a^4+b^4+c^4+d^4)+8abcd-(a^4+b^4+c^4+d^4)} : =\frac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2+8abcd-2(a^4+b^4+c^4+d^4)}
கேள்வி: பிரம்மகுப்தரின் வாய்பாடு - தொடர்புள்ள பிற தேற்றங்கள் என்பது என்ன?
பதில்: * முக்கோணங்களின் பரப்பு காணும் ஈரோனின் வாய்பாடு - நாற்கரத்தின் பக்க நீளம் ''d'' = 0 எனக் கொள்வதால் கிடைக்கும் சிறப்பு வகை. * பிரம்மகுப்தரின் பொது வாய்ப்பாட்டிற்கும் நீட்டிக்கப்பட்ட வாய்ப்பாட்டிற்கும் உள்ள தொடர்பு, கொசைன் விதியானது பித்தேகோரசு தேற்றம் தேற்றத்தின் நீட்டிப்பாக அமைதலுக்குச் சமமானது.