கேள்வி: ரோலின் தேற்றம் - தேற்றத்தின் திட்ட வடிவம் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: :f \, - ஒரு எண்#மெய்யெண்கள் சார்பு. இச்சார்பு, * இடைவெளி (கணிதம்) [''a'',&nbsp;''b'']-ல் தொடர்ச்சியான சார்பு, * திறந்த இடைவெளி (''a'',&nbsp;''b'')-ல் வகையிடத்தக்கதாகவும், * \ f(a) = f(b), எனவும் இருந்தால், :f'(c) = 0.\, என்றவாறு ஏதாவது ஒரு மதிப்பு, c \in\ (a , b) இருக்கும். இடைமதிப்புத் தேற்றம் கணித நிறுவல்,ரோலின் தேற்றம் பயன்படுகிறது. இடைமதிப்புத் தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்புவகையாக ரோலின் தேற்றத்தைக் கருதலாம். டெயிலரின் தேற்றம் நிறுவலுக்கும் ரோலின் தேற்றம் அடிப்படையாக அமைகிறது.
கேள்வி: ரோலின் தேற்றம் - வரலாறு குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: முதன்முதலில் பிரான்சு கணிதவியலாளர் ''மைக்கேல் ரோலால்'' 1691-ல் இத்தேற்றம் வகை நுண்கணித முறையில் நிறுவப்பட்டது. ரோலின் தேற்றம் என்ற பெயர், 1834-ல் ஜெர்மனி கணிதவியலாளர் ''மோரிட்ஸ் வில்லெம் டுரோபிஷ்'' மற்றும் 1846-ல் இத்தாலி கணிதவியலாளர் ''ஜியூஸ்டோ பெல்லாவிட்டில்'' ஆகிய இருவராலும் பயன்படுத்தப்பட்டது. See Florian Cajori's ''A History of Mathematics'', p. 224 [http://books.google.com/books?id=mGJRjIC9fZgC&pg=RA1-PA119-IA5&lpg=RA1-PA119-IA5&dq=Giusto+Bellavitis++rolle&source=bl&ots=cN8cBV6rJ1&sig=scHAQEZt_PzsfigLvDFJ3Jz6_dU&hl=en&sa=X&oi=book_result&resnum=2&ct=result].
கேள்வி: ரோலின் தேற்றம் - பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட தேற்றத்தின் நிறுவல் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: இருவகையான ரோலின் தேற்றத்தின் நிறுவல்களும் கிட்டத்தட்ட ஒரேமாதியானவை என்பதால் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வகைக்கான நிறுவலைக் காணலாம். * f, \, மூடிய இடைவெளி [''a'',''b''] -ல் தொடர்ச்சியானது என்பதால், அறுதி மதிப்புத் தேற்றம் சார்புக்கு இந்த இடைவெளியில் குறைந்த பட்சம் ஒரு பெருமம் மற்றும் சிறுமம் இருக்கும். *பெருமம் மற்றும் சிறுமம் இரண்டும் இடைவெளியின் முனைப் புள்ளிகளில் அமைந்தால் சார்பு [''a'',''b''] -ல் மாறிலிச் சார்பாகும். எனவே (''a'',''b'') -ல் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் f \, -ன் வகைக்கெழு பூச்சியம். * பெருமம் இடைவெளியினுள் அமைகிறது என்க. c \in\ (a , b)-ல் பெருமம். (சிறுமத்திற்கும் இதேபோல் -f, \, கொண்டு நிறுவலாம்). ஏதேனும் ஒரு மெய்யெண் ''h''-க்கு , c+h \in\ (a , b) எனில், f(c+h), \, -ன் மதிப்பு f(c), \, -ன் மதிப்பைவிடச் சிறியதாக இருக்கும். ''h''&nbsp;>&nbsp;0 எனில்: :\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le0, : ஃ f'(c+):=\lim_{h \to 0^+}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le0,...........1 இந்த எல்லை மதிப்பு -∞,ஆக அமையலாம். இதேபோல் ''h''&nbsp;\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge0, : ஃ f'(c-):=\lim_{h \to 0^-}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge0,............2 இந்த எல்லை மதிப்பு ∞, ஆக அமையலாம். இறுதியாக இவ்விரண்டு எல்லைகளும் சமமாக இருந்தால் f \, -ன் வகைக்கெழு ''c''-ல் பூச்சியமாக இருக்கும். எனவே தேற்றம் நிறுவப்படுகிறது.
கேள்வி: ரோலின் தேற்றம் - உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்களுக்குப் பொதுமைப்படுத்தல் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: சார்பு f \, * மூடிய இடைவெளி [''a'',''b''] -ல் ''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1 தடவைகள் தொடர்ச்சியாக வகையிடத்தக்கதாகவும், * திறந்தஇடைவெளி (''a'',''b'') -ல் ''n''ம் வகைக்கெழு காணமுடியக்கூடியதாகவும், * [''a'',''b''] -ன் ''a''1&nbsp;1&nbsp;≤ ''a''2&nbsp;2&nbsp;≤ .&nbsp;.&nbsp;.≤ ''an''&nbsp;n'' -''n'' உள் இடைவெளிகளில், 1 முதல் ''n'' வரையிலான ஒவ்வொரு ''k'' -க்கும் \ f(a_k) = f(b_k) எனவும் இருந்தால்: :f \, -ன் ''n''ம் -ஆம் வகைக்கெழு பூச்சியமாக இருக்குமாறு ஒரு மதிப்பு, c \in\ (a , b) இருக்கும்.
கேள்வி: ரோலின் தேற்றம் - நிறுவல் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையில் இதனை நிறுவலாம். ''n''&nbsp;=&nbsp;1 எனில் இத்தேற்றம், ஏற்கனவே நிறுவப்பட்ட ரோலின் தேற்றத்தின் திட்ட வகையாகிவிடுவதால், உண்மையாகிறது. எனவே இப்பொழுது இத்தேற்றம் ''n''&nbsp;>&nbsp;1 -க்கு உண்மையாகும் என நிறுவ வேண்டும். ரோலின் தேற்றத்தின் திட்ட வகையின் முடிவிலிருந்து 1 லிருந்து ''n'' வரையுள்ள ஒவ்வொரு முழு எண் ''k'' -க்கும், \ f^{\prime}(c_k) = 0 என்றவாறு c_k \in\ (a_k , b_k) இருக்கும். [''c''1,''c''2], .&nbsp;.&nbsp;.[''c'n''&minus;1,''cn''] -ஆகிய (''n''- 1) மூடிய இடைவெளிகளில் \ f^{\prime} தேற்ற நிபந்தனைகளை நிறைவு செய்வதால், கணிதத் தொகுத்தறிதலின் கொள்கைப்படி, c \in\ (a , b) -ல் \ f^{\prime} -ன் (''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1)ம் -ஆம் வகைக்கெழு பூச்சியமாக இருக்கும்.