கேள்வி: வென் படம் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: Image:Venn diagram cmyk.svg வென் படம் (''Venn Diagram'') என்பது முடிவுறு எண்ணிக்கை கொண்ட கணம் ஏற்படக்கூடிய தொடர்புகளைப் பற்றிய விளக்கப் படமாகும். 1880களில் பிரித்தானிய தர்க்கவாதியும் மெய்யியலாளருமான ''ஜான் வென்'', கணங்களுக்கிடையே உள்ள தொடர்புகளைப் படங்களின் மூலம் விளக்கலாம் என்ற தனது கருத்திற்கு வடிவம் கொடுத்தார். வென்படங்கள், அடிப்படைக் கணக்கோட்பாட்டினைச் சொல்லித்தரவும், நிகழ்தகவு, தருக்கம், புள்ளியியல், மொழியியல், கணினியியல் ஆகிய துறைகளிலுள்ள எளிய கணங்களுக்கிடையேயுள்ள தொடர்புகளை விளக்கவும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.
கேள்வி: வென் படம் - அமைப்பு என்பது என்ன?
பதில்: File:Venn0111.svg File:Venn0001.svg வென் படங்கள் ஒரு தளம் (வடிவவியல்) வரையப்பட்ட மூடிய வளைவரைகளைக் கொண்டிருக்கும். அவ்வளைவரைகள் பொதுவாக ஒன்றின் மீது ஒன்று வெட்டிக்கொள்ளூம் வட்டம் இருக்கும். வட்டத்தின் உட்பகுதி அதற்குரிய கணத்திலுள்ள உறுப்புகளையும், வெளிப்பகுதி அக்கணத்தில் இல்லாத உறுப்புகளையும் குறிக்கும். இரண்டு கணங்களைக் குறிக்குமொரு வென்படத்தில், ஒரு வட்டம் எல்லாவிதமான மரச்சாமான்களின் கணம், மற்றொன்று எல்லாவகையான மேசைகளின் கணம் என்றால் இரு வட்டங்களுக்கும் பொதுவான பரப்பு மரமேசைகளைக் குறிக்கும். வட்டங்கள் அல்லாத பிற வடிவங்களையும் பயன்படுத்தலாம். மூன்றுக்கு மேற்பட்ட கணங்களை வென் படத்தில் குறிப்பதற்கு அவ்வடிவங்கள் பயன்படும். வென் படங்கள் கருத்துரு திட்ட வரைபடங்களாகும். எனவே படத்திலிருந்து அதிலுள்ள கணம் (கணிதம்)#கணங்களின் எண் அளவை தெரிந்து கொள்ளமுடியாது
கேள்வி: வென் படம் - எட்வர்ட்சின் வென் படங்கள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: {| align="right" | Image:Venn-three.svg | Image:Edwards-Venn-four.svg |- | Image:Edwards-Venn-five.svg | Image:Edwards-Venn-six.svg |} எ. டபிள்யூ. எப். எட்வர்ட்ஸ், கணங்களின் எண்ணிக்கை அதிகமாகும்போது அவற்றுக்கான வென்படங்களை வரையும் முறையை உருவாக்கினார். சமச்சீர்தோற்றங்களைக் கொண்டதாக அவ்வென் படங்கள் அமைந்துள்ளன. வென் படத்தை ஒரு கோளத்தின் மீது வீழ்த்தி (project) அதில் கிடைக்கக்கூடிய மூன்று செங்குத்தான (x=0, y=0, z=0) அரைக்கோளங்களை, மூன்று கணங்களைக் குறிப்பதற்கும் நடுக்கோட்டிற்கு மேலும் கீழும் வளைந்தோடும் வளைவரையை (டென்னிஸ் பந்து மீதுள்ள வரி போல) நான்காவது கணத்தைக் குறிப்பதற்கும் எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும். இதனால் கிடைக்கும் கணங்களை மீண்டும் தளத்தில் வீழ்த்தினால் அதிக பற்கள் கொண்ட பல் சக்கரப் படங்கள் கிடைக்கும். வென்னின் நினவாக ஒரு வண்ணக் கண்ணாடியை வடிவமைக்கும் போது இந்தப் படங்கள் உருவாக்கப்பட்டன.
கேள்வி: வென் படம் - ஏனைய படங்கள் என்பது என்ன?
பதில்: எட்வர்ட்சின் வென் படங்கள் இடவியல் அளவில் கணிதவியலாளர் பிராங்கோ குரூயன்பாம் உருவாக்கிய படங்களுக்கு இணையானதாக அமைந்திருந்தன. பிராங்கோ குரூயன்பாமின் படங்கள் பக்கங்களின் எண்ணிக்கை அதிகரிக்கக் கூடிய, ஒன்றையொன்று வெட்டிக்கொள்ளும் பல்கோணம் அடிப்படையாகக் கொண்டவை. மேலும் அப்படங்கள் மீக்கனசதுரங்களின் (hyper cubes) இருபரிமாண வடிவத்தைக் கொண்டவை. ஸ்மித் என்பவர் சைன் (முக்கோணவியல்) வளைவரையைப் பயன்படுத்திக் கீழ்க்கண்ட சமன்பாடுகளைக் கொண்டு n-கணங்களுக்கான படங்களை உருவாக்கினார். y_i = \frac {\sin(2^{i x})}{2 i}, இங்கு 0 \leq i \leq n-2 மற்றும் i \in \mathbb{N}. பிரித்தானியா கணிதவியலாளர் ''சார்லஸ் லுட்விட்ஜ் டாட்சன்'' 5 கணங்களுக்கான படத்தை உருவாக்கினார். இருபதாம் நூற்றாண்டில் வென் படங்கள் மேலும் மேம்படுத்தப்பட்டன. ''டி. டபிள்யூ. ஹெண்டர்சன்'' 1963ல் n- மடங்கு சுழற்சி சமச்சீர் (கணிதம்) உடைய n-வென்படம் இருக்குமானால் n ஒரு பகா எண் எனக் கண்டுபிடித்து விளக்கிக் காட்டினார்.D. W. Henderson, "Venn diagrams for more than four classes". ''American Mathematical Monthly'', 70 (1963) 424–426. மேலும் n = 5, 7 ஆக இருக்கும்போது அத்தகைய சமச்சீர் வென் படங்கள் உண்டு என்பதையும் உறுதிப்படுத்தினார். 2002ல் ''பீட்டர் ஹம்பர்க்'' n = 11க்கான சமச்சீர் வென்படங்களைக் கண்டுபிடித்தார். 2003ல் ''கிர்க்ஸ்'', ''கில்லியன்'', ''சாவேஜ்'' மூவரும் ஏனைய அனைத்து பகா எண்களுக்கும் சமச்சீர் வென் படங்கள் உள்ளன என்பதை நிரூபித்தனர். n ஒரு பகா எண்ணாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, சமச்சீர் வென் படங்கள் வரைய முடியும் என்பது நிரூபணமானது.