கேள்வி: டேன்ஜெண்ட் (முக்கோணவியல்) என்பது என்ன?
பதில்: கணிதம் டேன்ஜெண்ட் அல்லது தான்சன் (''tangent'') சார்பு என்பது ஒரு கோணம் சார்பாகும். கோணங்களின் சார்புகளாக அமையும் ஆறு முக்கோணவியல் சார்புகள் இது மூன்றாவது சார்பாக வரிசைப்படுத்தப் படுகிறது. ஒரு முக்கோணம்#முக்கோணங்களின் வகைகள், ஒரு கோணத்தின் டேன்ஜெண்ட் மதிப்பு, அக்கோணத்தின் எதிர்ப் பக்கத்திற்கும் அடுத்துள்ள பக்கத்திற்குமுள்ள விகிதம். ஓரலகு வட்டம், சாய்வு, முடிவிலாத்தொடர் முதலியவை வாயிலாகவும் மற்றும் வகையீட்டுச் சமன்பாடு தீர்வாகவும் டேன்ஜெண்ட் சார்பை வரையறை.
கேள்வி: டேன்ஜெண்ட் (முக்கோணவியல்) - செங்கோண முக்கோணத்தில் வரையறை குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: File:Trigono sine en2.svg வடிவொப்புமை (வடிவவியல்)#வடிவொத்த முக்கோணங்கள் ஒத்தபக்கங்களின் விகிதம் சமமாக இருக்கும் என்ற உண்மையிலிருந்து, ஒரு முக்கோணம் பக்க நீளம் கோண அளவுகளுக்கும் தொடர்பு இருக்கும் என்ற கருத்து அறியப்படுகிறது. இரு செங்கோண முக்கோணங்களில் ஒன்றின் செம்பக்கம் மற்றதன் செம்பக்க நீளத்தைப் போல இருமடங்கு எனில் மற்ற பக்கங்களும் அவ்வாறே அமையும். இந்த பக்க விகிதங்களைத்தான் முக்கோணவியல் சார்புகள் தருகின்றன. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கோணம் ''A'' -ன் முக்கோணவியல் சார்புகளை வரையறுக்க அம்முக்கோணத்தின் பக்கங்களைப் பின்வருமாறு அழைக்கலாம்: * ''செம்பக்கம்'' (அல்லது கர்ணம்) (''hypotenuse''): செங்கோணத்திற்கு எதிர்ப்பக்கம். இதன் அளவு &nbsp;h. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் செம்பக்கந்தான் மூன்று பக்கங்களிலும் நீளமானது. * ''எதிர்ப்பக்கம்'' (''opposite''): நாம் எடுத்துக்கொண்ட கோணம் ''A'' -க்கு எதிரில் அமையும் பக்கம். இதன் நீளம் &nbsp;a. * ''அடுத்துள்ள பக்கம்'' (''adjacent''): செங்கோணம் மற்றும் நாம் எடுத்துக்கொண்ட கோணம் இரண்டிற்கும் ( ''A'' மற்றும் ''C'') பொதுவான பக்கம். இதன் நீளம் &nbsp;b. டேன்ஜெண்ட் சார்பு: :\tan \alpha = \frac {\textrm{opposite}} {\textrm{adjacent}} = \frac {a} {b}. செங்கோண முக்கோணத்தின் ஒரு கோணத்தின் டேன்ஜெண்ட் மதிப்பு, அக்கோணத்தின் எதிர்ப்பக்கத்திற்கும் அடுத்துள்ள பக்கத்திற்குமுள்ள விகிதமாகும். ''A'' கோணத்தைக் கொண்ட அனைத்து செங்கோண முக்கோணங்களிலும் இவ்விகிதத்தின் மதிப்பு ஒரே மதிப்புடையதாய் அமையும். அச்செங்கோண முக்கோணங்கள் எல்லாம் வடிவொத்த முக்கோணங்கள் என்பதால் அவற்றின் பக்க அளவுகள் வெவ்வேறாக இருந்தாலும் அவற்றின் அவ்வேறுபாடு இவ்விகிதத்தின் மதிப்பைப் பாதிப்பதில்லை.
கேள்வி: டேன்ஜெண்ட் (முக்கோணவியல்) - வரையறை- சாய்வு வாயிலாக குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: செங்கோண முக்கோணங்களின் மூலம் வரையறுப்பது போல ஒரு கிடைமட்டக்கோட்டுடன் தொடர்புடைய ஒரு கோட்டுத்துண்டின் ''எழுச்சி'' (rise), ''ஓட்டம்''(run), சாய்வு ஆகியவற்றின் மூலமாகவும் முக்கோணவியல் சார்புகளை வரையறுக்கலாம். எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட கோட்டுத்துண்டின் நீளம் 1 அலகு என்க. அக்கோட்டுத்துண்டு ஒரு குறிப்பிட்ட கிடைமட்டக்கோட்டுடன் உருவாக்கும் கோணம் ''A'' என்க. இக்கோணத்தின்: * டேன்ஜெண்ட் மதிப்பு, கோட்டுத்துண்டின் சாய்வுக்குச் சமம். :tanA = சாய்வு கோட்டுத்துண்டின் நீளம் சாய்வின் மதிப்பை பாதிப்பதில்லை.
கேள்வி: டேன்ஜெண்ட் (முக்கோணவியல்) - வரையறை- ஓரலகு வட்டம் வாயிலாக என்பது என்ன?
பதில்: ஆறு முக்கோணவியல் சார்புகளையும் ஓரலகு வட்டத்தைக் கொண்டு வரையறுக்கலாம். ஓரலகு வட்டம் என்பது ஆதிப்புள்ளியை மையமாகவும் ஆரம் 1 அலகும் கொண்ட வட்டமாகும். நடைமுறைக் கணக்கீடுகளுக்கு ஓரலகு வட்டத்தின் மூலமான வரையறை அவ்வளவாகப் பொருந்தாவிடினும், (0, π/2 ) -ல் அமையும் கோணங்களுக்கு மற்றுமல்லாது அனைத்து மெய்யளவு கோணங்களுக்கும் பொருத்தமாக அமையும். ''x''-அச்சின் நேர்மப் பகுதியோடு, ஆதிப்புள்ளியில் ''θ'' கோணம் உண்டாக்கும் ஒரு கோடு ஓரலகு வட்டத்தை சந்திக்கிறது என்க. அந்த சந்திக்கும் புள்ளியின் ''x''- மற்றும் ''y''-அச்சுதூரங்கள் முறையே cos&nbsp;''θ'' மற்றும் sin&nbsp;''θ'' -க்குச் சமம். செங்கோண முக்கோண முறை வரையறைப்படியும் இதை உணரலாம். வெட்டும் புள்ளியின் அச்சுதூரங்கள்: (x, y) என்க. ஓரலகு வட்டத்தின் ஆரம் செங்கோண முக்கோணத்தின் செம்பக்கம். எனவே செம்பக்கத்தின் அளவு 1 அலகு. \sin\theta\ = \frac{y}{1} = y \, \cos\theta\ = \frac{x}{1} = x \, \tan\theta\ = \frac{y}{x} \, {| |valign="top"| File:Unit circle 3.svg |valign="top"| File:Unit circle.svg ''t'' ஒரு கோண அளவு.]] |valign="top"| File:Trig functions on unit circle.svg |} Image:tan drawing process.gif|ஓரலகு வட்டத்தைப் பயன்படுத்தி ''y'' = tan(''x'') சார்பின் வரைபடம் வரைதலின் அசைப்படம்.
கேள்வி: டேன்ஜெண்ட் (முக்கோணவியல்) - தலைகீழி என்பது என்ன?
பதில்: டேன்ஜெண்ட் சார்பின் தலைகீழிச் சார்புகள் (முக்கோணவியல்) கோடேன்ஜெண்ட் (முக்கோணவியல்) சார்பு. tan(''A'') -ன் தலைகீழி cot(''A''): :\cot A = \frac {1}{\tan A} = \frac {\textrm{adjacent}} {\textrm{opposite}} = \frac {b} {a}.
கேள்வி: டேன்ஜெண்ட் (முக்கோணவியல்) - நேர்மாறு என்பது என்ன?
பதில்: Image:Arctangent Arccotangent.svg டேன்ஜெண்ட் சார்பின் நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள்: arctan அல்லது (tan). :\theta = \arctan \left( \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} \right) = \tan^{-1} \left( \frac {a} {b} \right). k ஏதாவதொரு முழு எண் எனில்: :\tan(y) = x \ \Leftrightarrow\ y = \arctan(x) + k\pi மேலும்: :\tan(\arctan x) = x\!.
கேள்வி: டேன்ஜெண்ட் (முக்கோணவியல்) - நுண்கணிதம் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: டேன்ஜெண்ட் சார்பு: : f(x) = \tan x \, நுண்கணிதம் இச்சார்பின்: * வகைக்கெழு: : f'(x) = \sec^2 x \, * தொகையீடு: : \int f(x)\,dx = -\ln \left |\cos x\right | + C ''C'', தொகையீட்டு மாறிலி.