கேள்வி: உள்வெளி என்பது என்ன?
பதில்: கணிதம் ஒரு பிரிவான நேரியல் இயற்கணிதம் திசையன் வெளி என்ற கருத்துடன் கூடவே திசையன் உள்வெளி (Vector subspace) என்ற கருத்தும் உண்டு. pp. 16-17, § 10The term ''linear subspace'' is sometimes used for referring to flat (geometry) and affine subspaces. In the case of vector spaces over the reals, linear subspaces, flats, and affine subspaces are also called ''linear manifolds'' for emphasizing that there are also manifolds.
கேள்வி: உள்வெளி - வரையறை பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: V என்ற திசையன் வெளியில் அடங்கிய S என்ற ஒரு வெற்றில்லாத உட்கணம், V இலுள்ள அதே கூட்டல் அளவெண் பெருக்கல் ஒரு திசையன் வெளியாகுமானால் அது V இனுடைய ''(திசையன்) உள்வெளி'' எனப் பெயர் பெறும். எடுத்துக்காட்டாக, யூக்ளிடின் தளம் V_2 வை எடுத்துக்கொள்வோம். தொடக்கப்புள்ளி வழியாகச்செல்லும் எந்த நேர்கோடும் ஒரு உள்வெளி. யூக்ளிடின் முப்பரிமாண வெளி V_3 இல், தொடக்கப்புள்ளி வழியாகச் செல்லும் எந்த நேர்கோடும், எந்தத் தளமும் உள்வெளிகளே. சுருங்கச்சொன்னால், திசையன்வெளி V இல், ஒரு குறிப்பிட்ட உறுப்பு u_0 இன் எல்லா அளவெண் மடங்குகளும் சேர்ந்து ஒரு உள்வெளியாகும். வரையறைப்படி பார்த்தால் ஒவ்வொரு முறை உள்வெளி என்று உறுதிப்படுத்துவதற்கும் திசையன்வெளியின் எல்லா நிபந்தனைகளையும் சரிபார்க்கவேண்டும் தான். ஆனால், இரண்டே நிபந்தனைகளைச் சரிபார்த்தால் போதும் என்பதற்கு ஒரு தேற்றத்தை நிறுவமுடியும். அத்தேற்றத்தின்படி, V என்ற திசையன் வெளியில் அடங்கிய S என்ற ஒரு வெற்றில்லாத உட்கணம், ஒரு உள்வெளி யாவதற்கு கீழுள்ள இரண்டும் சரிபார்க்கப்பட்டால் போதும்: (உ.வெ. 1) S இல் உள்ள எந்த u, v க்கும், u + v \in S; (உ.வெ. 2) \alpha ஒரு அளவெண்ணானால், S இல் உள்ள எந்த u க்கும், \alpha u \in S.
கேள்வி: உள்வெளி - சில சார்பு வெளிகளில் உள்வெளிகள் என்பது என்ன?
பதில்: குறிப்பு: வெளிகளின் குறியீடுகளுடைய விபரங்களுக்கு திசையன் வெளி பார்க்கவும். கீழேயுள்ள உட்கணக்குறியீடுகள் காட்டும் உட்கணங்களெல்லாம் உள்வெளிகளே: \mathcal{P}_{\mathbf{R}}[a, b] \subset \mathcal{F}_{\mathbf{R}}[a, b], ஒவ்வொரு 1 \leq m \leq n க்கும், \mathcal{C}^{\infty}_{\mathbf{R}}[a, b] \subset \mathcal{C}^{(n)}_{\mathbf{R}}[a, b] \subset \mathcal{C}^{(m)}_{\mathbf{R}}[a, b] \subset \mathcal{C}^{(1)}_{\mathbf{R}}[a, b] \subset \mathcal{C}_{\mathbf{R}}[a, b] \subset \mathcal{F}_{\mathbf{R}}[a, b].
கேள்வி: உள்வெளி - உள்வெளிகளின் வெட்டு பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: V ஒரு திசையன் வெளியெனக்கொள்வோம். :* U வும் W வும் இரண்டு உள்வெளிகளானால், U \cap W வும் ஒரு உள்வெளிதான். இதனுடைய முக்கியமான விளைவுகளில் ஒன்று ஒருங்கமைச்சமன்பாடுகளை விடுவிக்கும்போது ஏற்படுகிறது. கீழேயுள்ள மூன்று சமன்பாடுகளையும் சரியாக்கும் n-திசையன்களை எடுத்துக்கொள்வோம்: :: W = \{\overline {x} = (x_1, x_2, ...,x_n) \in V_n : (1), (2), (3) ஐ சரியாக்குகிறது} :::: \alpha_1 x_1 +\alpha_2 x_2 + ... + \alpha_n x_n = 0 ....... (1) :::: \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + ... + \beta_n x_n = 0 ....... (2) :::: \gamma_1 x_1 + \gamma_2 x_2 + ... + \gamma_n x_n = 0 .......(3) இதனால் W = W_1 \cap W_2 \cap W_3; இங்கு W_i, i = 1,2,3 என்பது 1-வது, 2-வது, 3-வது சமன்பாட்டின் விடைத்திசையன்களின் கணம்.
கேள்வி: உள்வெளி - உள்வெளிகளின் ஒன்றிப்பு பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: U, W இரண்டும் V இன் உள்வெளிகள் எனக்கொள்வோம். இரண்டு உள்வெளிகளின் ஒன்றிப்பு உள்வெளியாக இருக்கவேண்டிய அவசியமில்லை. ஆனால் [U \cup W], அதாவது, U \cup W இன் அளாவல் U \cup W ஐ அடக்கிய மிகச்சிறிய உள்வெளி. மற்றும் U + W = \{u+w: u\in U, w\in W\} ஒரு உள்வெளிதான். உண்மையில், :: U + W = [U \cup W] என்று எளிதில் காட்டிவிடலாம். இதற்கு மேலும் U \cap W = \{\overline {0}\} ஆக இருக்குமானால், U + W ஐ ஒரு நேரிடைக்கூட்டல் (direct sum) என்று சொல்வோம். இதற்கு கணிதவழக்குப்படி ஒரு பொதுக்குறியீடு உள்ளது: அ-து, U \oplus W.