கேள்வி: அணிகளில் இயற்கணித அமைப்புகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: கணிதம்த்தில் அணிகளில் பலவித இயற்கணித அமைப்புகள் ஏற்பட வாய்ப்புகள் உண்டு. பற்பல விதமான அணிகள் வெவ்வேறு கணித அமைப்புகளாக அமையும். Uses the Hessian matrix (transpose to Jacobian matrix and determinant) definition of vector and matrix derivatives.
கேள்வி: அணிகளில் இயற்கணித அமைப்புகள் - எண்களைக்கொண்ட எல்லா<math> m \times n</math> அணிகளும் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: எண்#மெய்யெண்கள் களை உறுப்புகளாகக்கொண்ட எல்லா m \times n அணிகளையும் ஒரு _{m \times n}}^\mathbf{R} என்ற ஒரு கணம்மாகக்கொள்வோம். அணி#அணிகளின் கூட்டல் செயலுக்கு இது ஒரு குலம் (கணிதம்) ஆகும். இதனில் முற்றொருமை எல்லா உறுப்புகளூம் சூனியமாகக்கொண்ட சூனிய அணி. கூட்டல்செயல் உறுப்புகள் வாரியாகச் செய்யப்படும் கூட்டல். ஒவ்வொரு அணிக்கும் அதன் எதிர்மாறு அணி உறுப்புவாரியாக எதிர்மாறு உறுப்புகளைக்கொண்டது. மற்றும் இக்கணத்திற்கு அளவெண் பெருக்கல் என்ற செயல்முறையும் உண்டு. கூட்டலுக்கும் அளவெண் பெருக்கலுக்கும் _{m \times n}}^\mathbf{R} ஒரு (மெய்யெண்) திசையன் வெளி ஆகிறது. இத்திசையன் வெளியின் பரிமாணம் m \times n. இதன் திசையன் வெளியின் அடுக்களம்(basis): \begin{pmatrix} 1 & 0 &\dots & 0\\ 0 & 0 &\dots & 0\\ \dots &\dots &\dots &\dots\\ 0 & 0 &\dots & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 1 &\dots & 0\\ 0 & 0 &\dots & 0\\ \dots &\dots &\dots &\dots\\ 0 & 0 &\dots & 0 \end{pmatrix}, .................. , \begin{pmatrix} 0 & 0 &\dots & 0\\ 0 & 0 &\dots & 0\\ \dots &\dots &\dots &\dots\\ 0 & 0 &\dots & 1 \end{pmatrix} முதலிய mn அணிகள். மெய்யெண்களின் இடத்தில் சிக்கலெண்களைப் பயன்படுத்தினால் இது (சிக்கலெண்) திசையெண் வெளி யாகும். இதற்குக் குறியீடு _{m \times n}}^\mathbf{C}. இதற்கு அளவெண்களை சிக்கலெண்களாகக்கொண்டால் இதன் பரிமாணம் mn ஆகவும், மெய்யெண்களாகக் கொண்டால் பரிமாணம் 2mn ஆகவும் இருக்கும். \mathbf{R}, \mathbf{C}க்கு பதில் ஏதாவதொரு களம் (கணிதம்) \mathbf{F} ஐப்பயன்படுத்தலாம். இவைகளுக்கு மாற்றுக்குறியீடுகள்: \mathcal {M}({m \times n}, \mathbf{R}), \mathcal {M}({m \times n}, \mathbf{C}), \mathcal {M}({m \times n}, \mathbf{F}).
கேள்வி: அணிகளில் இயற்கணித அமைப்புகள் - எண்களைக்கொண்ட எல்லா சதுர அணிகளும் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: _{n \times n}}^\mathbf{R} அல்லது, ({n \times n}}, \mathbf{R}) . இதுவும் ஒரு திசையன் வெளி. இது ({m \times n}}, \mathbf{R}) இன் உள் வெளி. ({n \times n}},\mathbf{R}) இல் அணி#அணிகளின் பெருக்கல் என்ற ஒரு பெருக்கல் செயல்முறையும் உள்ளது. அப்பெருக்கலுக்கு அது ஒரு வளையம் (கணிதம்) ஆகிறது. இவ்வளையத்துக்கு முற்றொருமை அணி தான் முற்றொருமை. ஆனால் இவ்வளையம் களம் (கணிதம்) முடியாது. ஏனென்றால் நேர்மாறு உறுப்பு இல்லாத அணிகள் உள்ளன. எ.கா. \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. மற்றும், அதே காரணத்தினால் ({n \times n}},\mathbf{R}) பெருக்கலுக்கு ஒரு குலம் (கணிதம்) முடியாது.
கேள்வி: அணிகளில் இயற்கணித அமைப்புகள் - நேர்மாறு உள்ள சதுர அணிகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: {M}({n \times n},\mathbf{R}) இல், நேர்மாறு அணி உள்ள அணிகளை (இவைகளை வழுவிலா அணி கள் என்றும் சொல்லலாம்) மாத்திரம் எடுத்துக்கொண்டால், அவை பெருக்கலுக்கு ஒரு குலமாகும். இக்குலம் உயர் கணிதத்தில் ஒரு முக்கிய இடம் வகிக்கிறது. இதற்கு பொது நேரியற்குலம் என்று பெயர். குறியீடு GL(n,\mathbf{R}) அல்லது GLn (\mathbf{R}) (General Linear Group over R). \mathbf{R} க்கு பதில் \mathbf{C} ஐப் பயன்படுத்தினால், GL(n,\mathbf{C}) அல்லது GLn (\mathbf{C}) (General Linear Group over C) என்பதும் ஒரு முக்கிய குலமாகும்.
கேள்வி: அணிகளில் இயற்கணித அமைப்புகள் - செங்குத்து அணிகளும் அலகுநிலை அணிகளும் என்பது என்ன?
பதில்: மெய்யெண்களைக்கொண்ட ஒரு சதுர அணி M கீழுள்ள பண்பைக் கொண்டிருக்குமானால் அது செங்குத்து அணி எனப்படும்: M^T = M^{-1} . எ.கா.: \begin{pmatrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{pmatrix} {n \times n} செங்குத்து அணிகளெல்லாம் அணிப்பெருக்கலுக்கு ஒரு குலமாகும். இக்குலத்திற்கு n-கிரமச்செங்குத்துக்குலம் என்று பெயர். இதற்குக் குறியீடு O(n). சிக்கலெண்களைக்கொண்ட ஒரு சதுர அணி U கீழுள்ள பண்பைக்கொண்டிருக்குமானால் அது அலகுநிலை அணி எனப்படும்: {{U}*}^{T} = U^{-1}. இங்கு {U}* என்பது U வின் இணையிய அணி(Conjugate matrix). U*^{T} என்பது U வின் இடமாற்று இணையிய அணி. எ.கா.: \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2}& i/\sqrt{2}\\ i/\sqrt{2}& 1/\sqrt{2} \end{pmatrix} {n \times n} அலகுநிலை அணிகளெல்லாம் அணிப்பெருக்கலுக்கு ஒரு குலமாகும். இக்குலத்திற்கு n-வரிசை அலகுநிலைக்குலம் என்று பெயர். இதற்குக் குறீயீடு: U(n).
கேள்வி: அணிகளில் இயற்கணித அமைப்புகள் - கலைச்சொற்கள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: இக்கட்டுரையில் பயன்படுத்தப்பட்ட கலைச்சொற்கள் கீழ்வருமாறு: Basis அடுக்களம் Complex number சிக்கலெண் Conjugate matrix இணையியஅணி Dimension பரிமாணம் Field களம் Group குலம் Identity முற்றொருமை, ஒற்றொருமை Inverse நேர்மாறு Invertible matrix நேர்மாறு உள்ள அணி Linear நேரியல் Negative எதிர்மாறு Orthogonal Group செங்குத்துக்குலம் Orthogonal matrix செங்குத்து அணி Real number மெய்யெண் Ring வளையம் Scalar multiplication அளவெண் பெருக்கல் Square matrix சதுர அணி Subgroup உட்குலம் Subspace உள்வெளி Transposed Conjugate Matrix இடமாற்று இணையிய அணி Unitary matrix அலகுநிலை அணி Unitary Group அலகுநிலைக்குலம் Vector Space திசையன் வெளி Zero element சூனிய உறுப்பு Zero matrix சூனிய அணி