கேள்வி: கோஷியின் இடைமதிப்புத் தேற்றம் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: Image:Cauchy.svg வகை நுண்கணிதம் கோஷியின் இடைமதிப்புத் தேற்றம் (''Cauchy's mean value theorem'') அல்லது நீட்டிக்கப்பட்ட இடைமதிப்புத் தேற்றம் (''extended mean value theorem'') என்பது இடைமதிப்புத் தேற்றம் பொதுமைப்படுத்தலாகும். இத்தேற்றம் கூற்று: f, \, g \, சார்புகள், * மூடிய இடைவெளி [''a'',''b''] -ல் தொடர்ச்சியானவையாகவும்; * திறந்த இடைவெளி (''a'','' ''b) ல் வகையிடத்தக்கச் சார்பு இருந்தால், :(f(b)-f(a))g\,'(c)=(g(b)-g(a))f\,'(c).\, என்றவாறு ஒரு மதிப்பு, ''c''&nbsp;∈&nbsp;(''a'',''b'') காணமுடியும். :\displaystyle g(a) \neq g(b) மற்றும் \displaystyle g'(x_0) \neq 0 எனில் இம்முடிவை, :\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot என மாற்றி எழுதலாம். வடிவவியல் முறையில் இது, (''f''(''a''),''g''(''a'')), (''f''(''b''),''g''(''b'')) புள்ளிகளை இணைக்கும் கோடு இணை (வடிவவியல்) :\begin{array}{ccc}[a,b]&\longrightarrow&\mathbb{R}^2\\t&\mapsto&\bigl(f(t),g(t)\bigr),\end{array} என்ற வளைவரைக்கு ஏதாவது ஒரு தொடுகோடு இருக்கும் என்பதைக் காட்டுகிறது. எனினும், வெவ்வேறானவையாக இருக்கும் அனைத்து (''f''(''a''),''g''(''a'')) and (''f''(''b''),''g''(''b'')) -க்கும் இதுபோன்ற இணைத்தொடுகோடு அமையும் என கோஷியின் தேற்றம் கூறவில்லை. ஏனென்றால் \ f^{\prime}(x) = g^{\prime}(x) = 0 என அமையும் ''c'' மதிப்புகளுக்கு மட்டும்தான் அதாவது மேலே தரப்பட்ட வளைவரையின் நிலைப் புள்ளிகளில்தான் அவ்வாறு இருக்க முடியும். அந்த மாதிரியான புள்ளிகளில் தொடுகோடுகள் இல்லாமலே இருக்கலாம் எடுத்துக்காட்டு வளைவரை: :t\mapsto(t^3,1-t^2), என்ற வளைவரை, [−1,1] இடைவெளியில் (−1,0) லிருந்து (1,0) க்குச் செல்கிறது. இவ்வளைவரைக்கு நிலைப் புள்ளி உள்ளது. மேலும் 0}}-ல் ஒரு கூர் உள்ளது. இருப்பினும் அதற்கு கிடைமட்டத் தொடுகோடு இல்லை. கோஷியின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி லாபிதாலின் விதியை நிறுவலாம். ''t''}}. எனில் கோஷியின் இடைமதிப்புத் தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்புவகை இடைமதிப்புத் தேற்றமாகும்.
கேள்வி: கோஷியின் இடைமதிப்புத் தேற்றம் - நிறுவல் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: \ h(x) = f(x)-rg(x), ''r'' ஒரு மாறிலி, எனக் கொள்க. f, \, g \, சார்புகள், இடைவெளி [''a'',&nbsp;''b''] -ல் தொடர்ச்சியானவையாகவும்; திறந்த இடைவெளி (''a'','' ''b) ல் வகையிடத்தக்கவையாகவும் இருப்பதால் h, \, -ம் அதே நிபந்தனைகளுக்குக் கட்டுப்படும். \ h(a) = h(b) என்றவாறு ''r'' -ன் மதிப்பை எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும். :\begin{align}h(a)=h(b)&\iff f(a)-rg(a)=f(b)-rg(b)\\ &\iff r(g(b)-g(a))=f(b)-f(a) \\&\iff r=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot\end{align} ரோலின் தேற்றம் நிபந்தனைகள் மூன்றையும் h, \, நிறைவு செய்வதால், ரோலின் தேற்ற முடிவின்படி: ஏதாவது ஒரு மதிப்பு, ''c''&nbsp;∈&nbsp;(''a'',''b'') -க்கு :\ h'(c) = 0, \ h(x) = f(x)-rg(x) லிருந்து: :h'(c)=0=f'(c)-r(g'(c)) \Rightarrow\frac{f'(c)}{g'(c)}= r=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} என தேற்றம் கணித நிறுவல்.