கேள்வி: அடுக்குச் சராசரி பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: கணிதம் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரி (''generalized mean'') அல்லது அடுக்குச் சராசரி (''power mean'') என்பது பித்தாகரசின் சராசரிகள் கூட்டுச் சராசரி, பெருக்கல் சராசரி மற்றும் இசைச் சராசரிகளின் சாராம்சமாகும்.
கேள்வி: அடுக்குச் சராசரி - சிறப்பு வகைகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: Image:MathematicalMeans.svg {| style="border:none; padding:20px" |\lim_{p\to-\infty} M_p(x_1,\dots,x_n) = \min \{x_1,\dots,x_n\} |style="padding:0px 0px 0px 20px"| சிறும மதிப்பு |- |M_{-1}(x_1,\dots,x_n) = \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}} |style="padding:0px 0px 0px 20px"| இசைச் சராசரி |- |\lim_{p\to0} M_p(x_1,\dots,x_n) = \sqrt[n]{x_1\cdot\dots\cdot x_n} |style="padding:0px 0px 0px 20px"| பெருக்கல் சராசரி |- |M_1(x_1,\dots,x_n) = \frac{x_1 + \dots + x_n}{n} |style="padding:0px 0px 0px 20px"| கூட்டுச் சராசரி |- |M_2(x_1,\dots,x_n) = \sqrt{\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n}} |style="padding:0px 0px 0px 20px"| இருபடிச் சராசரி |- |\lim_{p\to\infty} M_p(x_1,\dots,x_n) = \max \{x_1,\dots,x_n\} |style="padding:0px 0px 0px 20px"| பெரும மதிப்பு (கணிதம்) |} (retrieved 2019-08-17)
கேள்வி: அடுக்குச் சராசரி - சமனின்மை என்பது என்ன?
பதில்: ''p''&nbsp;M_p(x_1,\dots,x_n) \le M_q(x_1,\dots,x_n) x_1 = x_2 = \cdots = x_n என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமேM_p, M_q இரண்டும் சமம். ''p'' -ன் பூச்சிய மதிப்பு, பூச்சியமற்ற மெய்யெண் மதிப்பு, நேர்ம மற்றும் எதிர்ம முடிவிலி மதிப்புகளுக்கு இச்சமனின்மை உண்மையாகும், குறிப்பாக p\in\{-1, 0, 1\} எனில் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரியின் சமனின்மை பித்தாரசின் சராசரிகளின் சமனின்மை மற்றும் கூட்டுச் சராசரி மற்றும் பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனின்மையுமாகும். எடையிடப்பட்ட பொதுமைச் சராசரியின் சமனின்மைமையை நிறுவ, :w_i\in (0;1] :\sum_{i=1}^nw_i=1 எனவும், எடையிடப்படாத பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரியின் சமனின்மையை நிறுவ w_i=\frac{1}{n} எனவும் எடுத்துக்கொள்ளல் வேண்டும்.
கேள்வி: அடுக்குச் சராசரி - எதிர்க்குறி அடுக்கு கொண்ட சராசரிகளின் சமனின்மைகளின் சமானத்தன்மை பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: ''p'' மற்றும் ''q'' எனும் இரு அடுக்குகளுக்கு அடுக்குச் சராசரிகள் பின்வரும் சமனின்மையைக் கொண்டிருந்தால்: :\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q} இதிலிருந்து :\sqrt[p]{\sum_{i=1}^n\frac{w_i}{x_i^p}}\leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^n\frac{w_i}{x_i^q}} என எழுதலாம். இருபுறமும் அடுக்கினை −1 க்கு உயர்த்த (நேர்ம மெய் குறையும் சார்பு): :\sqrt[-p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{-p}}=\sqrt[p]{\frac{1}{\sum_{i=1}^nw_i\frac{1}{x_i^p}}}\geq \sqrt[q]{\frac{1}{\sum_{i=1}^nw_i\frac{1}{x_i^q}}}=\sqrt[-q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{-q}} எனவே அடுக்குகள், −''p'' மற்றும் −''q'' -க்கான அடுக்குச் சராசரிகளிக்கான சமனின்மை கிடைக்கிறது. இதிலிருந்து முன்பு செய்த இதே செயல்முறைகளை எதிர்வரிசையில் செய்து சமனின்மைகளின் சமானத்தன்மையை நிறுவலாம்.
கேள்வி: அடுக்குச் சராசரி - பெருக்கல் சராசரியுடன் சமனின்மை பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: ''q'' அடுக்கு கொண்ட அடுக்குச் சராசரிக்கும் பெருக்கல் சராசரிக்குமிடையே அமையும் சமனின்மை: :\prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}...................(''q'' -நேர்மம்). :\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}\leq \prod_{i=1}^nx_i^{w_i} .....................(''q'' -எதிர்மம்). இருபுறமும் அடுக்கு ''q'' -க்கு உயர்த்த: :\prod_{i=1}^nx_i^{w_i\cdot q} \leq \sum_{i=1}^nw_ix_i^q :\sum_{i=1}^nw_ix_i^q \leq \prod_{i=1}^nx_i^{w_i\cdot q} இவ்விரண்டும் x_i^q என்ற தொடரின் எடையிடப்பட்ட கூட்டுச் சராசரி மற்றும் எடையிடப்பட்ட பெருக்கல் சராசரிகளுக்கிடையேயான சமனின்மையாக அமையும். மடக்கைச் சார்புகள் குழிவானவை என்பதால்: :\sum_{i=1}^nw_i\log(x_i) \leq \log\left( \sum_{i=1}^nw_ix_i \right) :\log \left( \prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \right) \leq \log \left( \sum_{i=1}^nw_ix_i \right) இருபுறமும் அடுக்குக்குறிச் சார்புக்கு மாற்ற: :\prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq \sum_{i=1}^nw_ix_i எனவே எந்தவொரு நேர்ம ''q'' - மதிப்பிற்கும்: :\sqrt[-q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{-q}}\leq \prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q} எனவே பெருக்கல் சராசரிக்கும் அடுக்குச் சராசரிக்குமிடையேயான சமனின்மை நிறுவப்படுகிறது.
கேள்வி: அடுக்குச் சராசரி - இரு அடுக்குச் சராசரிகளுக்கிடயேயான சமனின்மை பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: ''p''&nbsp;\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q} ''p'' எதிர்மம், ''q'' நேர்மமாக இருந்தால் இச்சமனின்மை ஏற்கனவே நிறுவப்பட்ட பின்வரும் சமனின்மைக்குச் சமானமானதாகும்: :\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq \prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q} ''p'' , ''q'' இரண்டும் நேர்மமாக இருக்கும்போது நிறுவல் பின்வருமாறு: சார்பு f -ஐ பின்வருமாறு வரையறுத்துக் கொள்ளலாம்: :f:{\mathbb R_+}\rightarrow{\mathbb R_+}, f(x)=x^{\frac{q}{p}}. ''f'' அடுக்குச் சார்பானதால் அதற்கு இரண்டாம் வகைக்கெழு உண்டு: : f''(x) = \left(\frac{q}{p} \right) \left( \frac{q}{p}-1 \right)x^{\frac{q}{p}-2}, ''f'' -ன் ஆட்களத்தில் இவ்வகையீட்டின் மதிப்பு எப்பொழுதும் நேர்மமாகவே இருக்கும். மேலும் ''q''&nbsp;>&nbsp;''p'' என்பதால் ''f'' குவிச் சார்பாக இருக்கும். எனவே ஜென்சன் சமனின்மையின்படி: :f \left( \sum_{i=1}^nw_ix_i^p \right) \leq \sum_{i=1}^nw_if(x_i^p) :\sqrt[\frac{q}{p}]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq\sum_{i=1}^nw_ix_i^q இருபுறமும் 1/''q'' அடுக்குக்கு உயர்த்த: :\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q} முன்பு நிறுவிய அடுக்குச் சராசரிகளின் சமானத்தன்மையைப் பயன்படுத்தி, ''p'' , ''q'' -க்குப் பதிலாக முறையே &minus;''q'' and &minus;''p'', பிரதியிட்டு இச்சமனின்மையை ''p'' , ''q'' இரண்டும் எதிர்மமாக இருக்கும்போதும் உண்மை என்பதை நிறுவலாம்.
கேள்வி: அடுக்குச் சராசரி - பெருக்கல் சராசரி - ஒரு எல்லையாக என்பது என்ன?
பதில்: அடுக்குச் சராசரியில் அடுக்கின் மதிப்பு பூச்சியத்தை நோக்கி நெருங்கும் எல்லை மதிப்பாக பெருக்கல் சராசரியைக் கொள்ளலாம். : \begin{align} & \lim_{p \to 0} \sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}=\prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \end{align} இதை நிறுவுவதற்குத் தேவையான, பின்வரும் எல்லை மதிப்பை முதலில் நிறுவலாம்: :\lim_{p\to0} \frac{\log\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)}{p}=\sum_{i=1}^nw_i\log(x_i) இவ்வெல்லையின் பகுதி மற்றும் தொகுதிகளின் எல்லை மதிப்புகள் பூச்சியமாக இருப்பதால் லாபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்த: :\lim_{p\to 0} \frac{\log\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)}{p}=\lim_{p\to 0}\frac{1}{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\cdot\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)'= :=\frac{1}{\sum_{i=1}^nw_i}\cdot \lim_{p\to 0}\sum_{i=1}^n(w_i\cdot\log(x_i)\cdot x_i^p)=\sum_{i=1}^nw_i\log(x_i) அடுக்குக்குறிச் சார்பின் தொடர்ச்சித் தன்மையின்படி: : \begin{align} & \lim_{p \to 0} \sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}=\lim_{p \to 0} \exp\left(\frac{\log\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)}{p}\right) \\ & = \exp\left(\lim_{p \to 0} \frac{\log\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)}{p}\right)=\exp\left(\sum_{i=1}^nw_i\log(x_i)\right)=\prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \end{align} என்வே பெருக்கல் சராசரியானது அடுக்குச் சராசரியின் அடுக்கு பூச்சியத்தை நெருங்கும் எல்லை மதிப்பு என்பது நிறுவப்பட்டது.
கேள்வி: அடுக்குச் சராசரி - சிறும மற்றும் பெரும மதிப்பு பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: அடுக்குச் சராசரியின் அடுக்கின் மதிப்பு, - \infty மற்றும் +\infty -ஆக நெருங்கும் எல்லைநிலையில் அடுக்குச் சராசரியின் மதிப்புகள் சிறும மற்றும் பெரும மதிப்புகளாக அமையும். அனைத்து ''xi'' -களில் பெரும மதிப்பு - ''x''1, சிறும மதிப்பு - ''xn'' என்க. பின்வரும் எல்லை மதிப்பை முதலில் நிறுவிக் கொள்ளலாம்: :\lim_{p \to \infty}\left(\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}{x_1^p}\right)\right)=0 ''p'' நேர்மம் எனில்: :\frac{1}{p}\ln(w_1)=\frac{1}{p}\ln\left(\frac{w_1x_1^p}{x_1^p}\right)\leq\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}{x_1^p}\right)\leq\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_1^p}{x_1^p}\right)=\ln(1)=0 இந்த எல்லை மதிப்பைப் பயன்படுத்த: : \lim_{p \to \infty}\frac{1}{p}\ln\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)=\lim_{p \to \infty}\frac{1}{p}\ln\left(x_1^p\cdot\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}{x_1^p}\right)=\lim_{p \to \infty}\left(\frac{\ln(x_1^p)}{p}\right)+\lim_{p \to \infty}\left(\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}{x_1^p}\right)\right)=\ln(x_1)+0=\ln(x_1) என நிறுவலாம். இறுதியாக அடுக்குக்குறிச் சார்பின் தொடர்ச்சித்தன்மையின்படி: :\lim_{p \to \infty}\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}=\lim_{p \to \infty}\exp\left(\frac{1}{p}\ln\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)\right)=\exp\left(\lim_{p \to \infty}\frac{1}{p}\ln\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)\right)=x_1 ''p'' எதிர்மம் என்க: :\lim_{p \to -\infty}\left(\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_n^p}{x_n^p}\right)\right)=0 ''p''&nbsp;\frac{1}{p}\ln(w_n)=\frac{1}{p}\ln\left(\frac{w_nx_n^p}{x_n^p}\right) \geq\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}{x_n^p}\right)\geq\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_n^p}{x_n^p}\right)=\ln(1)=0 எனவே: : \lim_{p \to-\infty}\frac{1}{p}\ln\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)=\lim_{p \to -\infty}\left(\frac{\ln(x_n^p)}{p}\right)+\lim_{p \to -\infty}\left(\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}{x_n^p}\right)\right)=\ln(x_n) மீண்டும் அடுக்குக்குறிச் சார்பின் தொடர்ச்சித்தன்மையின்படி: :\lim_{p \to-\infty}\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}=\exp\left(\lim_{p \to -\infty}\frac{1}{p}\ln\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)\right)=x_n
கேள்வி: அடுக்குச் சராசரி - பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட <math>f</math>-சராசரி பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட f- சராசரியாக அடுக்குச் சராசரியை மேலும் பொதுமைப்படுத்தலாம்: : M_f(x_1,\dots,x_n) = f^{-1} \left({\frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^n{f(x_i)}}\right)