கேள்வி: நேர்மாறு அதிபரவளைவுச் சார்புகளின் தொகையீடுகளின் பட்டியல் என்பது என்ன?
பதில்: நேர்மாறு அதிபரவளைவு சார்புகளின் தொகையீடுகளின் பட்டியல் (''List of integrals of inverse hyperbolic functions'') கீழே தரப்பட்டுள்ளது. * ''C'' ஆனது தொகையீடு குறிப்பிலா மாறிலி ஆகும். ஏதாவது ஒரு புள்ளியில் தொகையீட்டின் மதிப்பைப் பற்றித் தெரிந்தால் மட்டுமே ''C'' இன் மதிப்பைத் தீர்மானிக்க முடியும். எனவே ஒவ்வொரு சார்புக்கும் முடிவுறா எண்ணிக்கையில் தொகையீடுகள் உள்ளன. * ''a'' பூச்சியம் மாறிலியாகக் கொள்ளப்படுகிறது. * கீழே தரப்பட்டுள்ள வாய்ப்பாடு ஒவ்வொன்றுக்கும் ஒத்ததொரு வாய்ப்பாடு நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளின் தொகையீடுகளின் பட்டியல் உண்டு.
கேள்வி: நேர்மாறு அதிபரவளைவுச் சார்புகளின் தொகையீடுகளின் பட்டியல் - நேர்மாறு அதிபரவளைவு சைன் சார்புகளின் தொகையீடுகள் என்பது என்ன?
பதில்: :\int\operatorname{arsinh}(a\,x)\,dx= x\,\operatorname{arsinh}(a\,x)-\frac{\sqrt{a^2\,x^2+1}}{a}+C :\int x\,\operatorname{arsinh}(a\,x)dx= \frac{x^2\,\operatorname{arsinh}(a\,x)}{2}+ \frac{\operatorname{arsinh}(a\,x)}{4\,a^2}- \frac{x \sqrt{a^2\,x^2+1}}{4\,a}+C :\int x^2\,\operatorname{arsinh}(a\,x)dx= \frac{x^3\,\operatorname{arsinh}(a\,x)}{3}- \frac{\left(a^2\,x^2-2\right)\sqrt{a^2\,x^2+1}}{9\,a^3}+C :\int x^m\,\operatorname{arsinh}(a\,x)dx= \frac{x^{m+1}\,\operatorname{arsinh}(a\,x)}{m+1}\,-\, \frac{a}{m+1}\int\frac{x^{m+1}}{\sqrt{a^2\,x^2+1}}\,dx\quad(m\ne-1) :\int\operatorname{arsinh}(a\,x)^2\,dx= 2\,x+x\,\operatorname{arsinh}(a\,x)^2- \frac{2\,\sqrt{a^2\,x^2+1}\,\operatorname{arsinh}(a\,x)}{a}+C :\int\operatorname{arsinh}(a\,x)^n\,dx= x\,\operatorname{arsinh}(a\,x)^n\,-\, \frac{n\,\sqrt{a^2\,x^2+1}\,\operatorname{arsinh}(a\,x)^{n-1}}{a}\,+\, n\,(n-1)\int\operatorname{arsinh}(a\,x)^{n-2}\,dx :\int\operatorname{arsinh}(a\,x)^n\,dx= -\frac{x\,\operatorname{arsinh}(a\,x)^{n+2}}{(n+1)\,(n+2)}\,+\, \frac{\sqrt{a^2\,x^2+1}\,\operatorname{arsinh}(a\,x)^{n+1}}{a(n+1)}\,+\, \frac{1}{(n+1)\,(n+2)}\int\operatorname{arsinh}(a\,x)^{n+2}\,dx\quad(n\ne-1,-2)
கேள்வி: நேர்மாறு அதிபரவளைவுச் சார்புகளின் தொகையீடுகளின் பட்டியல் - நேர்மாறு அதிபரவளைவு கொசைன் சார்புகளின் தொகையீடுகள் என்பது என்ன?
பதில்: :\int\operatorname{arcosh}(a\,x)\,dx= x\,\operatorname{arcosh}(a\,x)- \frac{\sqrt{a\,x+1}\,\sqrt{a\,x-1}}{a}+C :\int x\,\operatorname{arcosh}(a\,x)dx= \frac{x^2\,\operatorname{arcosh}(a\,x)}{2}- \frac{\operatorname{arcosh}(a\,x)}{4\,a^2}- \frac{x\,\sqrt{a\,x+1}\,\sqrt{a\,x-1}}{4\,a}+C :\int x^2\,\operatorname{arcosh}(a\,x)dx= \frac{x^3\,\operatorname{arcosh}(a\,x)}{3}-\frac{\left(a^2\,x^2+2\right)\sqrt{a\,x+1}\,\sqrt{a\,x-1}}{9\,a^3}+C :\int x^m\,\operatorname{arcosh}(a\,x)dx= \frac{x^{m+1}\,\operatorname{arcosh}(a\,x)}{m+1}\,-\, \frac{a}{m+1}\int\frac{x^{m+1}}{\sqrt{a\,x+1}\,\sqrt{a\,x-1}}\,dx\quad(m\ne-1) :\int\operatorname{arcosh}(a\,x)^2\,dx= 2\,x+x\,\operatorname{arcosh}(a\,x)^2- \frac{2\,\sqrt{a\,x+1}\,\sqrt{a\,x-1}\,\operatorname{arcosh}(a\,x)}{a}+C :\int\operatorname{arcosh}(a\,x)^n\,dx= x\,\operatorname{arcosh}(a\,x)^n\,-\, \frac{n\,\sqrt{a\,x+1}\,\sqrt{a\,x-1}\,\operatorname{arcosh}(a\,x)^{n-1}}{a}\,+\, n\,(n-1)\int\operatorname{arcosh}(a\,x)^{n-2}\,dx :\int\operatorname{arcosh}(a\,x)^n\,dx= -\frac{x\,\operatorname{arcosh}(a\,x)^{n+2}}{(n+1)\,(n+2)}\,+\, \frac{\sqrt{a\,x+1}\,\sqrt{a\,x-1}\,\operatorname{arcosh}(a\,x)^{n+1}}{a\,(n+1)}\,+\, \frac{1}{(n+1)\,(n+2)}\int\operatorname{arcosh}(a\,x)^{n+2}\,dx\quad(n\ne-1,-2)
கேள்வி: நேர்மாறு அதிபரவளைவுச் சார்புகளின் தொகையீடுகளின் பட்டியல் - நேர்மாறு அதிபரவளைவு டேன்ஜெண்ட் சார்புகளின் தொகையீடுகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: :\int\operatorname{artanh}(a\,x)\,dx= x\,\operatorname{artanh}(a\,x)+ \frac{\ln\left(a^2\,x^2-1\right)}{2\,a}+C :\int x\,\operatorname{artanh}(a\,x)dx= \frac{x^2\,\operatorname{artanh}(a\,x)}{2}- \frac{\operatorname{artanh}(a\,x)}{2\,a^2}+\frac{x}{2\,a}+C :\int x^2\,\operatorname{artanh}(a\,x)dx= \frac{x^3\,\operatorname{artanh}(a\,x)}{3}+ \frac{\ln\left(a^2\,x^2-1\right)}{6\,a^3}+\frac{x^2}{6\,a}+C :\int x^m\,\operatorname{artanh}(a\,x)dx= \frac{x^{m+1}\operatorname{artanh}(a\,x)}{m+1}+ \frac{a}{m+1}\int\frac{x^{m+1}}{a^2\,x^2-1}\,dx\quad(m\ne-1)
கேள்வி: நேர்மாறு அதிபரவளைவுச் சார்புகளின் தொகையீடுகளின் பட்டியல் - நேர்மாறு அதிபரவளைவு கோடேன்ஜெண்ட் சார்புகளின் தொகையீடுகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: :\int\operatorname{arcoth}(a\,x)\,dx= x\,\operatorname{arcoth}(a\,x)+ \frac{\ln\left(a^2\,x^2-1\right)}{2\,a}+C :\int x\,\operatorname{arcoth}(a\,x)dx= \frac{x^2\,\operatorname{arcoth}(a\,x)}{2}- \frac{\operatorname{arcoth}(a\,x)}{2\,a^2}+\frac{x}{2\,a}+C :\int x^2\,\operatorname{arcoth}(a\,x)dx= \frac{x^3\,\operatorname{arcoth}(a\,x)}{3}+ \frac{\ln\left(a^2\,x^2-1\right)}{6\,a^3}+\frac{x^2}{6\,a}+C :\int x^m\,\operatorname{arcoth}(a\,x)dx= \frac{x^{m+1}\operatorname{arcoth}(a\,x)}{m+1}+ \frac{a}{m+1}\int\frac{x^{m+1}}{a^2\,x^2-1}\,dx\quad(m\ne-1)
கேள்வி: நேர்மாறு அதிபரவளைவுச் சார்புகளின் தொகையீடுகளின் பட்டியல் - நேர்மாறு அதிபரவளைவு சீகெண்ட் சார்புகளின் தொகையீடுகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: :\int\operatorname{arsech}(a\,x)\,dx= x\,\operatorname{arsech}(a\,x)- \frac{2}{a}\,\operatorname{arctan}\sqrt{\frac{1-a\,x}{1+a\,x}}+C :\int x\,\operatorname{arsech}(a\,x)dx= \frac{x^2\,\operatorname{arsech}(a\,x)}{2}- \frac{(1+a\,x)}{2\,a^2}\sqrt{\frac{1-a\,x}{1+a\,x}}+C :\int x^2\,\operatorname{arsech}(a\,x)dx= \frac{x^3\,\operatorname{arsech}(a\,x)}{3}\,-\, \frac{1}{3\,a^3}\,\operatorname{arctan}\sqrt{\frac{1-a\,x}{1+a\,x}}\,-\, \frac{x(1+a\,x)}{6\,a^2}\sqrt{\frac{1-a\,x}{1+a\,x}}\,+\,C :\int x^m\,\operatorname{arsech}(a\,x)dx= \frac{x^{m+1}\,\operatorname{arsech}(a\,x)}{m+1}\,+\, \frac{1}{m+1}\int\frac{x^m}{(1+a\,x)\sqrt{\frac{1-a\,x}{1+a\,x}}}\,dx\quad(m\ne-1)
கேள்வி: நேர்மாறு அதிபரவளைவுச் சார்புகளின் தொகையீடுகளின் பட்டியல் - நேர்மாறு அதிபரவளைவு கொசீகெண்ட் சார்புகளின் தொகையீடுகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: :\int\operatorname{arcsch}(a\,x)\,dx= x\,\operatorname{arcsch}(a\,x)+ \frac{1}{a}\,\operatorname{arcoth}\sqrt{\frac{1}{a^2\,x^2}+1}+C :\int x\,\operatorname{arcsch}(a\,x)dx= \frac{x^2\,\operatorname{arcsch}(a\,x)}{2}+ \frac{x}{2\,a}\sqrt{\frac{1}{a^2\,x^2}+1}+C :\int x^2\,\operatorname{arcsch}(a\,x)dx= \frac{x^3\,\operatorname{arcsch}(a\,x)}{3}\,-\, \frac{1}{6\,a^3}\,\operatorname{arcoth}\sqrt{\frac{1}{a^2\,x^2}+1}\,+\, \frac{x^2}{6\,a}\sqrt{\frac{1}{a^2\,x^2}+1}\,+\,C :\int x^m\,\operatorname{arcsch}(a\,x)dx= \frac{x^{m+1}\operatorname{arcsch}(a\,x)}{m+1}\,+\, \frac{1}{a(m+1)}\int\frac{x^{m-1}}{\sqrt{\frac{1}{a^2\,x^2}+1}}\,dx\quad(m\ne-1) பகுப்பு:தொகையீட்டு நுண்கணிதம்