கேள்வி: அரைத்தொடர்ச்சி (கணிதம்) பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: கணிதத்தில் அரைத்தொடர்ச்சி (''semicontinuity'') என்பது நீட்டிக்கப்பட்ட மெய்யெண் கோடு சார்புகளுக்கான பண்பாகும். ஒரு நீட்டிக்கப்பட்ட மெய்-மதிப்புச் சார்பு ''f'' ஆனது ''x''0 என்ற புள்ளியில்: :மேல் அரைத் தொடர்ச்சியான சார்பாக இருக்க வேண்டுமெனில், ''x''0 க்கு அருகில் அமையும் ''x'' இன் மதிப்புகளுக்குரிய சார்பின் மதிப்புகள், ''f''(''x''0) க்கு நெருக்கமாகவோ அல்லது ''f''(''x''0) குறைவாகவோ இருக்க வேண்டும். :கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியான சார்பாக இருக்க வேண்டுமெனில், ''x''0 க்கு அருகில் அமையும் ''x'' இன் மதிப்புகளுக்குரிய சார்பின் மதிப்புகள், ''f''(''x''0) க்கு நெருக்கமாகவோ அல்லது ''f''(''x''0) மிகையாகவோ இருக்க வேண்டும்.
கேள்வி: அரைத்தொடர்ச்சி (கணிதம்) - எடுத்துக்காட்டுகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: Image:Upper semi.svg. நிறைவான நீலநிறப் புள்ளி ''f''(''x''0) ஐக் குறிக்கிறது.]] Image:Lower semi.svg. நிறைவான நீலநிறப் புள்ளி ''f''(''x''0) ஐக் குறிக்கிறது.]] *''f'', ஒரு துண்டுவாரிச் சார்பு. இச்சார்பின் வரையறை: :''f''(''x'')&nbsp;= –1, ''x''&nbsp;0&nbsp;=&nbsp;0 இல் மேல் அரைத்தொடர்ச்சியானது; ஆனால் கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியானது அல்ல. *ஒரு திறந்த கணம் சுட்டுச் சார்பு கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியானதாகவும், ஒரு மூடிய கணம் சுட்டுச் சார்பு மேல் அரைத்தொடர்ச்சியானதாகவும் இருக்கும். *தரப்பட்ட மெய்யெண் ''x'' க்குச் சமமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ உள்ள மிகப்பெரிய முழு எண்ணைத் தரும் மீப்பெரு முழுஎண் சார்பு f(x)=\lfloor x \rfloor சார்பு எங்கும் மேல் அரைத்தொடர்ச்சியானது; தரப்பட்ட மெய்யெண் ''x'' க்குச் சமமாகவோ அல்லது மிகையாகவோ உள்ள மிகச் சிறிய முழுஎண்ணைத் தரும் மீச்சிறு முழுஎண் சார்பு f(x)=\lceil x \rceil எங்கும் கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியானது. வலது அல்லது இடது தொடர்ச்சியற்ற சார்புகள், மேல் அல்லது கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியானவையாக இருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டுகள்: *f(x) = \begin{cases} 1 & \mbox{if } x 1, \end{cases} இச்சார்பு ''x'' = 1 இல் தொடர்ச்சியான சார்பு இருப்பினும் மேல் அரைத்தொடர்ச்சியானது. ''x'' = 1 இல் இச்சார்பின் இடப்பக்கமிருந்து எல்லைமதிப்பு 1 ஆகவும், வலப்பக்கமிருந்து அதன் எல்லைமதிப்பு 1/2 ஆகவும், அப்புள்ளியில் சார்பின் மதிப்பு 2 ஆகவும் உள்ளன. அதனால் இச்சார்பு ''x'' = 1 இல் இடது அல்லது வலது தொடர்ச்சியற்றது. எனினும் இப்புள்ளியில் மேல் தொடர்ச்சியானது. * f(x) = \begin{cases} \sin(1/x) & \mbox{if } x \neq 0,\\ 1 & \mbox{if } x = 0, \end{cases} ''x'' = 0 புள்ளியில் இச்சார்புக்கு இடது மற்றும் வலது எல்லை மதிப்புகள் இல்லையென்றாலும் இச்சார்பு மேல் அரைத்தொடர்ச்சியானது.
கேள்வி: அரைத்தொடர்ச்சி (கணிதம்) - மேல் அரைத்தொடர்ச்சி என்பது என்ன?
பதில்: ::f(x_0)>- \infty எனில், f(x) \leq f(x_0) + \epsilon , \forall x \in U \, ::f(x_0)=- \infty எனில், x \to x_0 \Rightarrow f(x) \to -\infty \, என்றவாறு, ε&nbsp;>&nbsp;0 இன் ஒவ்வொரு மதிப்பிற்கும் புள்ளி ''x''0 இற்கு ஒரு அண்மையகம் ''U'' இருக்குமானால் இப்புள்ளியில் ''f'' மேல் அரைத்தொடர்ச்சியானதாகும். குறிப்பாக ஒரு அளவை வெளிக்கு இதனைப் பின்வருமாறு தரலாம்: ::\limsup_{x\to x_{0}} f(x)\le f(x_0) சார்பு ''f'', தனது ஆட்களம் (கணிதம்) ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் மேல் அரைத்தொடர்ச்சியானதாக இருந்தால்தான் அது மேல் அரைத்தொடர்ச்சியான சார்பாகும். ஒவ்வொரு α&nbsp;∈&nbsp;R க்கும் {''x''&nbsp;∈&nbsp;''X'' : ''f''(''x'')&nbsp;&lt;&nbsp;α} என்ற கணம் திறந்த கணம் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அச்சார்பு மேல் அரைத்தொடர்ச்சியானது.
கேள்வி: அரைத்தொடர்ச்சி (கணிதம்) - கீழ் அரைத்தொடர்ச்சி பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: ::f(x_0) > +\infty எனில், f(x) \geq f(x_0) + \epsilon , \forall x \in U \, ::f(x_0) = -\infty எனில், x \to x_0 \Rightarrow f(x) \to +\infty \, என்றவாறு, ε&nbsp;>&nbsp;0 இன் ஒவ்வொரு மதிப்பிற்கும் புள்ளி ''x''0 இற்கு ஒரு அண்மையகம் ''U'' இருக்குமானால் இப்புள்ளியில் ''f'' கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியானதாகும். குறிப்பாக ஒரு அளவை வெளிக்கு இதனைப் பின்வருமாறு தரலாம்: ::\liminf_{x\to x_0} f(x)\ge f(x_0) சார்பு ''f'', தனது ஆட்களம் (கணிதம்) ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியானதாக இருந்தால்தான் அது மேல் அரைத்தொடர்ச்சியான சார்பாகும். ஒவ்வொரு α&nbsp;∈&nbsp;R க்கும் {''x''&nbsp;∈&nbsp;''X'' : ''f''(''x'')&nbsp;&gt;&nbsp;α} என்ற கணம் மூடிய கணம் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அச்சார்பு கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியானது.