கேள்வி: மையப்படுத்தப்பட்ட வர்க்க எண் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: கணிதம் மையப்படுத்தப்பட்ட வர்க்க எண் அல்லது மையப்படுத்தப்பட்ட சதுர எண் (''centered square number'') என்பது, மையப்படுத்தப்பட்ட பலகோண எண் வடிவ எண்களில் ஒரு வகையாகும். ஒரு புள்ளியை மையமாகக் கொண்டு மற்ற புள்ளிகளை அந்த மையப்புள்ளியைச் சுற்றித் தொடர்ந்து சதுரம் வடிவ அடுக்குகளாக அடுக்கக்கூடிய மொத்த புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை ஒரு மையப்படுத்தப்பட்ட சதுர எண்ணாகும். பொதுவாக, வடிவ எண்களைப் போலவே மையப்படுத்தப்பட்ட சதுர எண்களுக்கும் நேரிடையான நடைமுறைப் பயன்கள் அவ்வளவாக இல்லை என்றாலும் இவற்றின் அழகான வடிவவியல் மற்றும் எண்கணிதம் பண்புகளுக்காக இவை பொழுதுபோக்குக் கணிதத்தில் கையாளப்படுகின்றன. முதல் நான்கு மையப்படுத்தப்பட்ட வர்க்க எண்களின் பட அமைப்பு: {| |- align="center" valign="middle" |Image:GrayDot.svg | &nbsp; &nbsp; |Image:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svg | &nbsp; &nbsp; |Image:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svg | &nbsp; &nbsp; |Image:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svg |- align="center" valign="top" | C_{4,1} = 1 | &nbsp; &nbsp; | C_{4,2} = 5 | &nbsp; &nbsp; | C_{4,3} = 13 | &nbsp; &nbsp; | C_{4,4} = 25 |}
கேள்வி: மையப்படுத்தப்பட்ட வர்க்க எண் - பிற வடிவ எண்களுடன் தொடர்பு பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: ''n'' -ஆம் மையப்படுத்தப்பட்ட வர்க்க எண் காணும் வாய்ப்பாடு: :C_{4,n} = n^2 + (n - 1)^2.\, அதாவது அடுத்தடுத்த இரு வர்க்க எண்களின் கூட்டுத்தொகை ஒரு மையப்படுத்தப்பட்ட வர்க்க எண்ணாகும். பின்வரும் பட அமைப்பு இந்த வாய்ப்பாட்டை விளக்குகிறது: {| |- align="center" valign="middle" |Image:GrayDot.svg | &nbsp; &nbsp; |Image:RedDot.svgImage:RedDot.svgImage:GrayDot.svgImage:RedDot.svgImage:RedDot.svg | &nbsp; &nbsp; |Image:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:RedDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:RedDot.svgImage:GrayDot.svgImage:RedDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:RedDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svg | &nbsp; &nbsp; |Image:RedDot.svgImage:RedDot.svgImage:GrayDot.svgImage:RedDot.svgImage:RedDot.svgImage:GrayDot.svgImage:RedDot.svgImage:GrayDot.svgImage:RedDot.svgImage:RedDot.svgImage:GrayDot.svgImage:RedDot.svgImage:GrayDot.svgImage:RedDot.svgImage:GrayDot.svgImage:RedDot.svgImage:RedDot.svgImage:GrayDot.svgImage:RedDot.svgImage:GrayDot.svgImage:RedDot.svgImage:RedDot.svgImage:GrayDot.svgImage:RedDot.svgImage:RedDot.svg |- align="center" valign="top" | C_{4,1} = 1 | &nbsp; &nbsp; | C_{4,2} = 1 + 4 | &nbsp; &nbsp; | C_{4,3} = 4 + 9 | &nbsp; &nbsp; | C_{4,4} = 9 + 16 |} மேலே தரப்பட்ட வாய்ப்பாட்டைப் பின்வருமாறு மாற்றி அமைக்கலாம்: :C_{4,n} = {(2n-1)^2 + 1 \over 2}; அதாவது, ''n'' -ஆம் மையப்படுத்தப்பட்ட வர்க்க எண், ''n'' -ஆம் ஒற்றை வர்க்க எண்ணில் பாதியளவு மற்றும் எண் ஒன்றின் கூட்டுத்தொகையாகும். {| |- align="center" valign="bottom" |Image:GrayDot.svg | &nbsp; &nbsp; |Image:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:MissingDot.svgImage:MissingDot.svgImage:MissingDot.svgImage:MissingDot.svg | &nbsp; &nbsp; |Image:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:MissingDot.svgImage:MissingDot.svgImage:MissingDot.svgImage:MissingDot.svgImage:MissingDot.svgImage:MissingDot.svgImage:MissingDot.svgImage:MissingDot.svgImage:MissingDot.svgImage:MissingDot.svgImage:MissingDot.svgImage:MissingDot.svg | &nbsp; &nbsp; |Image:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:MissingDot.svgImage:MissingDot.svgImage:MissingDot.svgImage:MissingDot.svgImage:MissingDot.svgImage:MissingDot.svgImage:MissingDot.svgImage:MissingDot.svgImage:MissingDot.svgImage:MissingDot.svgImage:MissingDot.svgImage:MissingDot.svgImage:MissingDot.svgImage:MissingDot.svgImage:MissingDot.svgImage:MissingDot.svgImage:MissingDot.svgImage:MissingDot.svgImage:MissingDot.svgImage:MissingDot.svgImage:MissingDot.svgImage:MissingDot.svgImage:MissingDot.svgImage:MissingDot.svg |- align="center" valign="top" | C_{4,1} = (1 + 1) / 2 | &nbsp; &nbsp; | C_{4,2} = (9 + 1) / 2 | &nbsp; &nbsp; | C_{4,3} = (25 + 1) / 2 | &nbsp; &nbsp; | C_{4,4} = (49 + 1) / 2 |} எல்லா பல்கோண எண்களைப் போலவே மையப்படுத்தப்பட்ட வர்க்க எண்களையும் முக்கோண எண்களின் மூலமாக எழுதலாம்: :C_{4,n} = 1 + 4\, T_{n-1},\, இங்கு T_n , ''n'' -ஆம் முக்கோண எண். :T_n = {n(n + 1) \over 2} = {n^2 + n \over 2} = {n+1 \choose 2} கீழே தரப்பட்டுள்ளபடி மையப்புள்ளியைத் தவிர்த்து மீதமுள்ள வடிவை நான்கு முக்கோணம் பிரிக்க மேலேயுள்ள வாய்ப்பாடு கிடைக்கும். {| |- align="center" valign="middle" |Image:BlackDot.svg | &nbsp; &nbsp; |Image:RedDot.svgImage:GrayDot.svgImage:BlackDot.svgImage:GrayDot.svgImage:RedDot.svg | &nbsp; &nbsp; |Image:RedDot.svgImage:RedDot.svgImage:RedDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:BlackDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:RedDot.svgImage:RedDot.svgImage:RedDot.svg | &nbsp; &nbsp; |Image:RedDot.svgImage:RedDot.svgImage:RedDot.svgImage:GrayDot.svgImage:RedDot.svgImage:RedDot.svgImage:RedDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:BlackDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:RedDot.svgImage:RedDot.svgImage:RedDot.svgImage:GrayDot.svgImage:RedDot.svgImage:RedDot.svgImage:RedDot.svg |- align="center" valign="top" | C_{4,1} = 1 | &nbsp; &nbsp; | C_{4,2} = 1 + 4 \times 1 | &nbsp; &nbsp; | C_{4,3} = 1 + 4 \times 3 | &nbsp; &nbsp; | C_{4,4} = 1 + 4 \times 6. |} அடுத்தடுத்த இரு எண்முக எண்களின் வித்தியாசம் ஒரு மையப்படுத்தப்பட்ட வர்க்க எண்.(Conway and Guy, p.50)
கேள்வி: மையப்படுத்தப்பட்ட வர்க்க எண் - பண்புகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: முதல் மையப்படுத்தப்பட்ட வர்க்க எண்கள் சில: : 1 , 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, 761, 841, 925, 1013, 1105, 1201, 1301, 1405, 1513, 1625, 1741, 1861, 1985, 2113, 2245, 2381, 2521, 2665, 2813, 2965, 3121, 3281, 3445, 3613, 3785, 3961, 4141, 4325, … . அனைத்து மையப்படுத்தப்பட்ட வர்க்க எண்களும் ஒற்றை எண்களாக இருப்பதைக் காணலாம். மேலும் அவை 1-5-3-5-1 என்ற அமைப்பில் உள்ளன.. ஒன்றைத் தவிர பிற மையப்படுத்தப்பட்ட சதுர எண்கள் அனைத்தும் பித்தாகரஸ் மும்மைகளில் தாங்கிப்பக்கம்-செம்பக்கம் இருப்பதைக் காணலாம் (எடுத்துக்காட்டு: 3-4-5, 5-12-13).