கேள்வி: உள்வரை கோணம் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: வடிவவியல் உள்வரை கோணம்(''inscribed angle'') என்பது ஒரு வட்டம் இரு வெட்டுக்கோடுகள்(secants) (ஒரு வெட்டுக்கோடு அல்லது ஒரு தொடுகோடு) வட்டத்தின் மேல் வெட்டிக் கொள்ளும்போது உண்டாகும் கோணம். குறிப்பாக உள்வரை கோணத்தை வட்டத்தின் பொது முனைப்புள்ளியுடைய இரு நாண் (வடிவவியல்) வரையறுக்கப்படுவதாகக் கருதலாம். ஒரு வட்டத்தின் உள்வரை கோணம் வட்ட மையக்கோணம் பாதி; வட்டத்தின் ஒரு நாணின் வட்டவில்லால் உருவாகும் அனைத்து உள்வரை கோணங்களும் சமம்; ஒரே நாணின் இரு வெவ்வேறு உள்வரை கோணங்களின் கூடுதல் 180° -ஆகிய அடிப்படைப் பண்புகள், ''யூக்ளிடின் எலிமெண்ட்ஸ்'': புத்தகம் 4- ல் விவாதிக்கப்பட்டுள்ளன.
கேள்வி: உள்வரை கோணம் - பண்பு பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: : ஒரு உள்வரை கோணம் வட்டத்தின் மீது ஒரு வில்லை வெட்டுகிறது. உள்வரை கோணத்தின் உட்புறமாக அமையும் வட்டத்தின் பகுதி இந்த வில்லாகும். இந்த வில்லின் அளவு(மையக்கோணத்திற்குச் சமம்) உள்வரை கோணத்தின் அளவில் இரு மடங்காகும். இந்தப் பண்பினால் வட்டத்துக்குள் பல விளைவுகள் கிடைக்கின்றன. எடுத்துக்காட்டாக: *வெட்டும் நாண்களின் தேற்றம் :ஒரு வட்டத்தின் இரு நாண்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டிக்கொள்ளும்போது ஒரு நாணின் வெட்டுத்துண்டுகளின் நீளங்களின் பெருக்குத் தொகை மற்றொரு நாணின் வெட்டுத்துண்டுகளின் நீளங்களின் பெருக்குத் தொகைக்குச் சமமாக இருக்கும் என்பதை இப்பண்பினைக் கொண்டு நிறுவலாம். *இதேபோல் ஒரு வட்ட நாற்கரம் எதிர்கோணங்கள் மிகைநிரப்புக் கோணங்கள் இருக்கும் என்பதையும் இப்பண்பினைப் பயன்படுத்தி நிறுவலாம்.
கேள்வி: உள்வரை கோணம் - பகுதி-1: விட்டத்தை ஒரு நாணாகக் கொண்ட உள்வரை கோணம் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: Image:InscribedAngle 1ChordDiam.svg வட்ட மையம் ''O''. ''V'' , ''A'' -வட்டத்தின் மீது இரு புள்ளிகள். கோடு ''VO'' வரைந்து அதனை ''O'' -ஐத் தாண்டி வட்டத்தை ''B'' -இல் வெட்டுமாறு நீட்ட வேண்டும். இப்புள்ளி ''V'' க்கு விட்டம் எதிர்முனையாக அமையும். ''V'' -ஐ உச்சி (வடிவவியல்) கொண்டு கரங்கள் ''A'' , ''B'' வழிச் செல்லுமாறு ஒரு உள்வரை கோணத்தை வரைய வேண்டும். கோணம் ''BOA'' -மையக்கோணம். அதனை ''θ'' என்க. கோடு ''OA'' வரைக. கோடுகள் ''OV'' , ''OA'' இரண்டும் வட்டத்தின் ஆரங்கள் என்பதால் சம நீளமுள்ளவை. முக்கோணம் ''VOA'' ஒரு முக்கோணம்#முக்கோண வகைகள். எனவே உள்வரை கோணம் ''BVA'' மற்றும் கோணம் ''VAO'' இரண்டும் சமம். அவற்றின் அளவை ''ψ'' எனக் கொள்ளவும். கோணங்கள் ''BOA'' , ''AOV'' இரண்டும் ஒரே கோட்டின் மீது அமைவதால் மிகைநிரப்புக் கோணங்கள். அவற்றின் கூடுதல் 180°. ஃ கோணம் ''AOV'' -இன் அளவு 180°&nbsp;&minus;&nbsp;θ. முக்கோணம் ''VOA'' -இன் மூன்று கோணங்கள்: : 180° &minus; θ : ψ : ψ. ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் கூடுதல் 180° என்பதால் : 2 \psi + 180^\circ - \theta = 180^\circ. இருபுறமும் 180° கழிக்க: : 2 \psi = \theta, \, இங்கு ''θ'' என்பது வில் ''AB'' -ஐத் தாங்கும் வட்ட மையக்கோணம். ''ψ'' என்பது வில் ''AB'' -ஐத் தாங்கும் உள்வரை கோணம்.
கேள்வி: உள்வரை கோணம் - பகுதி-2: வட்ட மையத்தை உட்புறமாகக் கொண்ட உள்வரை கோணங்கள் என்பது என்ன?
பதில்: Image:InscribedAngle CenterCircle.svg ''O'' வட்ட மையம். ''V'', ''C'', ''D'' வட்டத்தின் மீது அமையும் மூன்று புள்ளிகள். கோடுகள் ''VC'' , ''VD'' வரைய, கோணம் ''DVC'' உள்வரை கோணமாகும். கோடு ''VO'' வரைந்து அதனை ''O'' -ஐத் தாண்டி அது வட்டத்தை ''E'' -ல் வெட்டும்படி நீட்டிக்க வேண்டும். கோணம் ''DVC'' வட்டத்தின்மீது வில் ''DC'' -ஐத் தாங்குகிறது. ''E'' , புள்ளி ''V''.-இன் விட்ட எதிர்முனையாகும். கோணங்கள் ''DVE'' , ''EVC'' இரண்டும் உள்வரை கோணங்கள். இவ்விரு உள்வரை கோணங்களின் ஒரு பக்கம் விட்டமாக இருப்பதால் பகுதி 1 -இன் முடிவை பயன்படுத்தலாம். : \angle DVC = \angle DVE + \angle EVC. \, மேலும் : \psi_0 = \angle DVC, : \psi_1 = \angle DVE, : \psi_2 = \angle EVC, என்க. : \psi_0 = \psi_1 + \psi_2. \qquad \qquad (1) கோடுகள் ''OC'' , ''OD'' வரைக. கோணம் ''DOC'' ஒரு மையக்கோணம். அதேபோல் கோணங்கள் ''DOE'' , ''EOC'' இரண்டும் மையக்கோணங்கள். : \angle DOC = \angle DOE + \angle EOC. : \theta_0 = \angle DOC, : \theta_1 = \angle DOE, : \theta_2 = \angle EOC, என்க. எனவே : \theta_0 = \theta_1 + \theta_2. \qquad \qquad (2) பகுதி 1 முடிவின்படி : \theta_1 = 2 \psi_1 , \theta_2 = 2 \psi_2 . இதைச் சமன்பாடு (2) இல் பயன்படுத்த, : \theta_0 = 2 \psi_1 + 2 \psi_2 \, ஃ சமன்பாடு (1) -இன்படி : \theta_0 = 2 \psi_0. \,
கேள்வி: உள்வரை கோணம் - பகுதி-3: வட்ட மையத்தை வெளிப்புறத்தில் கொண்ட உள்வரை கோணங்கள் என்பது என்ன?
பதில்: Image:InscribedAngle CenterCircleExtV2.svg ''O'' வட்ட மையம். ''V'', ''C'', ''D'' மூன்றும் வட்டத்தின் மீது அமையும் புள்ளிகள். கோடுகள் ''VC'' , ''VD'' வரைய கோணம் ''DVC'' ஒரு உள்வரை கோணம். கோடு ''VO'' வரைந்து அதனை ''O'' -ஐத் தாண்டி அது வட்டத்தை ''E'' புள்ளியில் வெட்டுமாறு நீட்டிக்க வேண்டும். கோணம் ''DVC'' வட்டத்தின் மீது வில் ''DC'' ஐத் தாங்குகிறது. ''E'', புள்ளி ''V'' -ன் விட்ட எதிர்முனை. கோணங்கள் ''DVE'' , ''EVC'' இரண்டும் உள்வரை கோணங்கள். இக்கோணங்களின் ஒரு பக்கம் விட்டமாக அமைவதால் இக்கோணங்களுக்குப் பகுதி 1 முடிவினைப் பயன்படுத்தலாம். : \angle DVC = \angle EVC - \angle DVE . : \psi_0 = \angle DVC, : \psi_1 = \angle DVE, : \psi_2 = \angle EVC, என்க. எனவே, : \psi_0 = \psi_2 - \psi_1 \qquad \qquad (3) கோடுகள் ''OC'' , ''OD'' வரைக. கோணம் ''DOC'' மையக்கோணம். இதேபோல் கோணங்கள் ''DOE'' , ''EOC'' இரண்டும் மையக்கோணங்கள். : \angle DOC = \angle EOC - \angle DOE. : \theta_0 = \angle DOC, : \theta_1 = \angle DOE, : \theta_2 = \angle EOC, என்க. : \theta_0 = \theta_2 - \theta_1 \qquad \qquad (4) பகுதி 1 -இன்படி : \theta_1 = 2 \psi_1 : \theta_2 = 2 \psi_2 . இந்த முடிவுகளை சமன்பாடு (4) -இல் பயன்படுத்த : \theta_0 = 2 \psi_2 - 2 \psi_1 எனவே சமன்பாடு (3) -இன்படி, : \theta_0 = 2 \psi_0.
கேள்வி: உள்வரை கோணம் - நிறுவல் என்பது என்ன?
பதில்: *உள்வரை கோணத்தின் ஒரு பக்கம் வட்டத்தின் விட்டமெனில் பகுதி1 -இன் படி நிறுவலாம். * பிற உட்கோணங்களுக்கு அவற்றின் உச்சியிலிருந்து ஒரு விட்டம் வரைந்தால் விட்டத்தை ஒரு பக்கமாகக் கொண்ட இரு உட்கோணங்கள் கிடைக்கும். இவற்றுக்கு முன்போலவே பகுதி 1 -இன்படி நிறுவி இரண்டின் அளவுகளைக் கூட்டி நாம் முதலில் எடுத்துக்கொண்ட உட்கோணத்தின் அளவைப் பெறலாம். *மஞ்சள் நிற உட்கோணத்தின் மையக்கோணத்தின் அளவு 360°-2θ. எனவே அதன் அளவு 180°-θ.
கேள்வி: உள்வரை கோணம் - கிளை முடிவுகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: வட்டத்தின் ஒரு நாணும் ஒரு தொடுகோடும் வெட்டுமிடத்தில் உண்டாகும் கோணத்தின் அளவு அந்நாணின் மையக்கோணத்தின் அளவில் பாதியாக இருக்கும்.