கேள்வி: போல்யா எண்ணெடுப்புத் தேற்றம் - போல்யா தேற்றம் என்பது என்ன?
பதில்: கருதுகோள்: :D, R என்பவை இரு முடிவுறு கணங்கள். R இலுள்ள ஒவ்வொரு r க்கும் w(r) என்ற ஓர் ''எடை'' வரையறுக்கப்படுகிறது. பொதுவாக இவ்வெடை விகிதமுறு எண் களைக்கொண்டு உண்டாக்கப்பட்ட ஒரு பரிமாற்று இயற் கணிதத்தின் உறுப்பு என்று கொள்ளலாம். குறிப்பாக அது ஒரு விகிதமுறு எண்ணாகவே இருக்கலாம். :G என்பது D இனுடைய உறுப்புகளின் ஒரு வரிசைமாற்றுக் குலம். :R^D = \{f: D \rightarrow R\}; அதாவது, R^D என்பது D இலிருந்து R க்குப்போகும் எல்லா கோப்புகளின் கணம். :இந்த கணத்தில் G ஐக்கொண்டு ஒரு சமான உறவு (கணிதம்) உண்டாக்குவோம்: :f_1, f_2 ஆகிய இரு கோப்புகள் சமானம் என்ச்சொல்லப்படுவதற்கு இலக்கணம்: f_1 g = f_2 என்றிருக்கும்படி G இல் ஒரு g உள்ளது. :இவ்வுறவு R^D ஐ பல 'மாதிரி'களாகப் பிரிக்கிறது. :G இன் சுழற்குறிப்பீட்டை Z(G; s_1, s_2, s_3 , ...) என்று குறிப்போம். :: (G இன் வரிசைமாற்றுக்குலத்தின் சுழற்குறிப்பீடு என்பது G இலுள்ள உறுப்புகளின் சுழலமைப்புகளை உறுப்புகளாகக்கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவை). முடிவு: : R^D இல் ஏற்படும் மாதிரிகளின் பட்டியல்: Z(G: \sum_{r \in R} w(r), \sum_{r \in R}(w(r))^2, \sum_{r \in R}(w(r))^3, ... ) : மாதிரிகளின் எண்ணிக்கை: Z(G: |R|, |R|, |R|, ...)
கேள்வி: போல்யா எண்ணெடுப்புத் தேற்றம் - எண்ணல் வரிசைமாற்றுக் குலத்தைப் பொருத்தது பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: மேலே விவரிக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில் வரிசைமாற்றங்களாக மாலையின் 6 சுழற்சிகளை மாத்திரம் எடுத்துக்கொண்டோம். சுழற்சிகளுடன் கூட எதிர்வுகளையும் (reflections) எடுத்துக்கொண்டால், தனித்துவப்படுத்தப்பட்ட மாலைகளின் மாதிரிகளின் எண்ணிக்கை மாறும். ஆக, இப்பொழுது எடுத்துக்கொள்ளப்படும் வரிசைமாற்றுக்குலம் G இல் * ஏற்கனவே எடுத்துக்கொண்ட 6 சுழற்சிகள்; * எதிரெதிர் மணிகளைச்சேர்க்கும் விட்டங்களில் எதிர்வுகள் 3; * இருமணிகளின் இடைப்புள்ளிகளைச்சேர்க்கும் விட்டங்களில் எதிர்வுகள் 3. முதலில், இவை பன்னிரண்டும் சேர்ந்து ஒரு குலமாகின்றது என்பது முக்கியம். இக்குலத்தின் சுழற்குறியீட்டைக்கணிக்கும் வழி: * 6 சுழற்சிகளின் சுழலமைப்புகளின் தொகை (முன் போல்): {s_1}^6 + 2{s_6}^1 + 2{s_3}^2 + {s_2}^3 படிமம்:இரு 2-சுழல்களும் இரு 1-சுழல்களும்.png * முதல் 3 எதிர்வுகளின் சுழலமைப்புகளின் தொகை: 3{s_1}^2 {s_2}^2 (ஒவ்வொரு எதிர்வுக்கும் இரு 2-சுழல்களும் இரு 1-சுழல்களும்) படிமம்:மூன்று 2-சுழல்கள்.png * இரண்டாவது 3 எதிர்வுகளின் சுழலமைப்புகளின் தொகை: 3s_2^3 (ஒவ்வொரு எதிர்வுக்கும் மூன்று 2-சுழல்கள்) ஆக G இன் சுழற்குறியீடு = \frac{1}{12}({s_1}^6 + 2{s_6}^1 + 2{s_3}^2 + 4{s_2}^3 + 3{s_1}^2 {s_2}^2 ) மாதிரிகளின் எண்ணிக்கை = \frac{1}{12}(2^6 + 2.2 + 2.2^2 + 4.2^3 + 3.2^2. 2^2) = 13 ஏற்கனவே கிடைத்த மாதிரிகளின் படிமங்களைப் பார்த்தால், கடைசி இரண்டு மாதிரிகளும், எதிர்வுகளினால் ஒரேமாதிரியாகக் கணக்கிடப்படும் என்பது புரியும். இதர 13 மாதிரிகள்தான் சுழற்சிகளாலும், எதிர்வுகளாலும் மாறாத மாதிரிகள். பகுப்பு:சேர்வியல் தேற்றங்கள்