கேள்வி: அடுக்கு கணம் என்பது என்ன?
பதில்: Image:Hasse diagram of powerset of 3.svg கணிதம், ஒரு கணம் (கணிதம்) அனைத்து உட்கணங்களையும் கொண்ட கணமானது, (வெற்றுக்கணத்தையும் அதே கணத்தையும் சேர்த்து) அக்கணத்தின் அடுக்கு கணம் (''Power set'') என அழைக்கப்படுகிறது. கணம் S ன் அடுக்கு கணத்தினை \mathcal{P}(S), ''P''(''S''), &weierp;(''S'') என்ற குறியீடுகளால் குறிக்கலாம். மெய்கோள் கணக் கோட்பாடு, அடுக்கு கணம் என்ற கருத்தானது, அடுக்கு கண அடிக்கோளின் மூலமாக கூறப்பட்டுள்ளது. \mathcal{P}(S)ன் எந்தவொரு உட்கணம் F ம், S ன் மீதான கணங்களின் குடும்பம் என அழைக்கப்படுகிறது.
கேள்வி: அடுக்கு கணம் - எடுத்துக்காட்டுகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: * வெற்றுக்கணம் (\varnothing) இன் உட்கணம் வெற்றுக் கணம் மட்டுமே. எனவே வெற்றுக்கணத்தின் அடுக்கு கணம்: :\mathcal{P}(\varnothing) =\left\{\{\}\right\}\,\!. இதன் கணம் (கணிதம்)#கணங்களின் எண் அளவை (Cardinality of a set) = 1. இதனை |\mathcal{P}(\varnothing)| = 2^0 என எழுதலாம். *ஓருறுப்பு கணம் A = {1} இன் இரு உட்கணங்கள், :\{ \text{ }\} :\{ \text{1}\} எனவே Aன் அடுக்கு கணம்: :\mathcal{P}(A)= {\{ \text{ }\}, \{ \text{1}\}} இதன் முதலெண் = 2. இதனை |\mathcal{P}(A)| = 2^1 என எழுதலாம். * ஈருறுப்புக் கணம், B = { 1, 2 } இன் உட்கணங்கள், :\{ \text{1}\}, :\{ \text{2}\}, :\{ \text{1, 2}\} எனவே Bன் அடுக்கு கணம்: :\mathcal{P}(B) = {\{ \text{ }\},\{ \text{1}\},\{ \text{2}\},\{ \text{1, 2}\}} இதன் முதலெண் = 4. இதனை |\mathcal{P}(B)| = 2^2 என எழுதலாம் * மூவுறுப்புக் கணம், C = {''x'', ''y'', ''z''} இன் உட்கணங்கள். *\{ \text{ }\} அல்லது \varnothing, *\{ \text{x}\} *\{ \text{y}\} *\{ \text{z}\} *\{ \text{x, y}\} *\{ \text{x, z}\} *\{ \text{y, z}\} *\{ \text{x, y, z}\} எனவே Cன் அடுக்கு கணம்: :\mathcal{P}(C) =\left\{\{\}, \{x\}, \{y\}, \{z\}, \{x, y\}, \{x, z\}, \{y, z\}, \{x, y, z\}\right\}\,\!.Puntambekar (2007), :இதன் முதலெண் = 8. :இதனை |\mathcal{P}(C)| = 2^3 என எழுதலாம்.
கேள்வி: அடுக்கு கணம் - பண்புகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: * உதாரணமாக இயல் எண் கணம் ஒரு S கணத்தின் எண் அளவை |S| = ''n'' எனில், அடுக்கு கணத்தின் எண் அளவை, |\mathcal{P}(S)| = 2^n ஆகும்.One can—and for small values of ''n'', computer programmers sometimes do—represent the elements of \mathcal{P}(S) as ''n''-bit numbers; the ''m''th bit refers to the presence or absence of the ''m''th element of ''S'' in some ordering chosen by the programmer. There are 2''n'' such numbers. * முடிவுறு அல்லது முடிவுறா கணங்களின் எண்ணளவைகளை விட அவற்றின் அடுக்கு கணங்களின் எண்ணளவைகள் கண்டிப்பாக அதிகமானவையாக இருக்கும். எண்ணுறுமையும் எண்ணுறாமையும் முடிவிலா கணங்களின் அடுக்கு கணங்கள் எண்ணுறுமையும் எண்ணுறாமையும் முடிவிலா கணங்களாக அமையும்.எண்ணுறு முடிவிலா கணம். அதன் அடுக்கு கணத்தின் உறுப்புகளுக்கும் எண்ணுறா முடிவிலா கணமான எண்#மெய்யெண்கள் கணத்திற்கும் இடையே ஒன்றுக்கு- ஒன்று தொடர்பினைக் காண முடியும். எனவே இயலெண் கணத்தின் அடுக்கு கணம் ஒரு எண்ணுறா முடிவிலி கணமாகும். * S ன் அடுக்கு கணத்தை, கணம் (கணிதம்)#ஒன்றிப்புகள், கணம் (கணிதம்)#வெட்டுகள், கணம் (கணிதம்)#நிரப்பிகள், ஆகிய செயல்களோடு சேர்த்து பூலிய இயற்கணிதம் ஒரு முன்னுதாரணமாகக் கொள்ளலாம். எந்தவொரு முடிவுறு பூலிய இயற்கணிதத்தையும் ஒரு முடிவுறு கணத்தின் அடுக்கு கண பூலியன் இயற்கணிதத்துக்கு சம அமைவியம் (isomorphic) உள்ளதாகக் காணலாம். ஆனால் முடிவுறா பூலிய இயற்கணிதத்திற்கு இது உண்மையாகாது. முடிவுறா பூலிய இயற்கணிதத்தை அடுக்கு கண பூலிய இயற்கணிதத்தின்கீழ் அமையும் ஒரு பகுதியாகக் கருதலாம். * S ன் அடுக்கு கணமானது சமச்சீர் வேறுபாடு (symmetric difference) செயலியைப் பொறுத்து, வெற்றுக்கணத்தை முற்றொருமை உறுப்பாகவும் ஒவ்வொரு கணமும் தனக்குத்தானே நேர்மாறு உறுப்பாகவும் கொண்ட ஒரு பரிமாற்றுக் குலம் வெட்டுச் செயலியைப் பொறுத்து, பரிமாற்று ஒற்றைக்குலம் அமையும். மேலும் பங்கீட்டு விதிகளையும் நிரூபித்து, அடுக்குக்கணமானது இந்த இரு செயல்களைப் பொறுத்து ஒரு பரிமாற்று வளையம் (கணிதம்) எனக் காட்டலாம்.
கேள்வி: அடுக்கு கணம் - ஈருறுப்புத் தேற்றத்துடன் தொடர்பு குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: அடுக்கு கணம், ஈருறுப்புத் தேற்றம் நெருங்கிய தொடர்புடையது. n உறுப்புகள் கொண்ட கணத்தின் அடுக்கு கணத்தில் k உறுப்புகளைக் கொண்ட உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை C(n,k), சேர்வு (கணிதம்) அமையும். C(n,k) என்பது ஈருறுப்புக் குணகம் அல்லது ஈருறுப்புக் கெழு என்றழைக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, மூன்று உறுப்புகள் கொண்ட கணத்தின் அடுக்கு கணத்தில் *C(3, 0) = 1 கணம் 0 உறுப்புகளுடனும் *C(3, 1) = 3 கணங்கள் 1 உறுப்புடனும் *C(3, 2) = 3 கணங்கள் 2 உறுப்புகளுடனும் *C(3, 3) = 1 கணம் 3 உறுப்புகளுடனும் இருக்கும்.
கேள்வி: அடுக்கு கணம் - வெளியிணைப்புகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: * * * [https://ncatlab.org/nlab/show/power+object Power set] பகுப்பு:கணச் செயல்கள்