கேள்வி: சமானப் பகுதி பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: கணிதம் ஒரு கணம் (கணிதம்) அக்கணத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு சமான உறவு (கணிதம்)ம் தரப்பட்டால், அக்கணத்தின் ஏதேனும் ஒரு உறுப்பு ''a'' இன் சமானப் பகுதி (''Equivalence class'')என்பது அக்கணத்தில் ''a'' -க்குச் சமானமான உறுப்புகள் அனைத்தையும் கொண்ட கணம் (கணிதம்)#உட்குலம்.
கேள்வி: சமானப் பகுதி - குறியீடும் வரையறையும் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ஒரு கணம் ''X'' இன் மீது வரையறுக்கப்பட்ட சமான உறவு ~ எனில் அக்கணத்தின் ஏதேனுமொரு உறுப்பு ''a'' இன் சமானப் பகுதி [a] எனக் குறிக்கப்படுகிறது. ''a'' உடன் இச்சமான உறவால் இணைப்புடைய ''X'' கணத்தின் உறுப்புகள் அடங்கிய கணம் ''a'' இன் சமானப் பகுதியென வரையறுக்கப்படுகிறது. இது ''X'' இன் உட்கணமாக இருக்கும். ''a'' இன் சமானப் பகுதி: :[a] = \{ x \in X \mid a \sim x \} ''a'' இன் சமானப் பகுதி [a]_R எனவும் குறிக்கப்படுகிறது. இங்கு R என்பது சமான உறவு. இது ''a'' இன் R-சமானப்பகுதி. ~ சமான உறவைப் பொறுத்து, கணம் X இன் அனைத்து சமானப் பகுதிகளையும் அடக்கிய கணமானது, X இன் ''காரணி கணம்'' அல்லது ''ஈவு கணம்'' (quotient set) என அழைக்கப்படுகிறது. இதன் குறியீடு: : X/ \sim . கணத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் அதன் சமானப் பகுதியுடன் இணைக்கும் ''நியமன வீழல் கோப்பு (''canonical projection map'') ஒன்று ஒவ்வொரு சமான உறவுக்கும் உண்டு. அக்கோப்பு (π) X இலிருந்து ''X''/~ -க்கு வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு முழுக்கோப்பு: : \pi\colon X \rightarrow X/ \sim : \pi(x) = [x]
கேள்வி: சமானப் பகுதி - எடுத்துக்காட்டுகள் என்பது என்ன?
பதில்: * கார்களின் கணத்தில் சமான உறவாக (~) ''ஒரே நிறத்திலுள்ள கார்கள்'' எனக் கொண்டால், ஒவ்வொரு சமானப் பகுதியும் பச்சை, ஊதா, சிவப்பு, மஞ்சள்... என ஒரே நிறத்தில் அமைந்த கார்களைக் கொண்ட கணமாக இருக்கும். மொத்த சமானப் பகுதிகளின் எண்ணிக்கை மூல கணத்திலுள்ள கார்களின் மொத்த நிறங்களின் எண்ணிக்கையாகும். * Z -முழு எண்கள் கணத்தில் சமானம், மாடுலோ n எனும் சமான உறவின் சமானப் பகுதிகள் இரட்டை முழுஎண்களின் கணமும், ஒற்றை முழுஎண்களின் கணமும் ஆகும். * ''X'' என்பது இரண்டாவது எண்ணைப் பூச்சியமற்றதாகக் கொண்ட முழு எண்கள் வரிசைச் சோடிகளின் கணம்; இக்கணத்தில் சமான உறவு ~ பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது: :ab = cd என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, :(a, b) \sim (c, d) இப்பொழுது வரிசைச் சோடி (a,b) இன் சமானப் பகுதி விகிதமுறு எண் \frac {a}{b}. இந்த சமான உறவையும் சமானப் பகுதியையும் கொண்டு விகிதமுறு எண்களின் கணத்தை வரையறுக்கலாம்.
கேள்வி: சமானப் பகுதி - பண்புகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ''X'' கணத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பு ''x'' -ம் அதன் சமானப்பகுதி [''x''] இன் ஒரு உறுப்பாகும். ''X'' கணத்தின் எந்த இரு சமானப் பகுதிகளும் ஒன்று சமமாக இருக்கும் அல்லது சேர்ப்பில்லாக் கணங்கள் இருக்கும். ''X'' கணத்தின் அனைத்து சமானப் பகுதிகளும் சேர்ந்து ''X'' இன் ஒரு கணத்தின் பிரிவினை அமையும்: ''X'' இன் ஒவ்வொரு உறுப்பும் ஒரேயொரு சமானப் பகுதியில் மட்டுமே இருக்கும். மறுதலையாக ''X'' இன் ஒவ்வொரு பிரிவும் ஒரு சமான உறவின் மூலம் கிடைக்கிறது. எனவே: ''x'' , ''y'' எனும் இரு உறுப்புகள் கணத்தின் ஒரே பிரிவைச் சேர்ந்ததாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே ''x'' ~ ''y'' ஆக இருக்க முடியும். அதாவது: :: ''x'' ~ ''y'' ⇔ [''x''] = [''y'']. கணம் ''X'' இன் மீது வரையறுக்கப்பட்ட சமான உறவு ~ , ''x'' , ''y'' கணத்தின் இரு உறுப்புகள் எனில் பின்வரும் மூன்று கூற்றுகளும் சமானமானவை: * x \sim y * [x] = [y] * [x] \cap [y] \ne \emptyset.