கேள்வி: தனி மதிப்பு பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: Image:Khoang cach tren duong thang thuc.png கணிதம் ஓர் மெய்யெண்ணின் தனிமதிப்பு (''absolute value'') அல்லது மட்டுமதிப்பு (''modulus'') என்பது அந்த எண்ணை நேர்மறை எதிர்மறை பாகுபாடின்றி கருதுதல் ஆகும். ஒரு மெய்யெண்ணின் தனிமதிப்பு அதன் எதிரில்லா மதிப்பாகும். பூச்சியம் ஓர் எண்ணின் தொலைவாக அந்த எண்ணின் தனிமதிப்பைக் கொள்ளலாம். ''x'' ஒரு மெய்யெண் எனில், *''x'' நேர் எண் எனில் | ''x'' | = ''x'' *''x'' எதிர் எண் எனில் | ''x'' | = - ''x'' *|0| = 0. எடுத்துக்காட்டாக, |3| = 3 ; |-3| = - (-3) = 3. தனிமதிப்பானது மெய்யெண்களுக்கு மட்டுமல்லாது சிக்கலெண்கள், வளையம் (கணிதம்), களம் (கணிதம்), திசையன் வெளிகளுக்கும் வரையறுக்கப்படுகிறது.
கேள்வி: தனி மதிப்பு - சொல்லியலும் குறியீடும் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: 1806 ஆம் ஆண்டில் ''ஜீன்-ராபர்ட் ஆர்கண்ட்'' எனும் கணிதவியலாளரால் ''அளவின் அலகு'' எனப் பிரெஞ்சு மொழியில் பொருள்படும் ''மாடூல்'' ("module") என்ற சொல்லை சிக்கலெண்ணின் தனிமதிப்பைக் குறிப்பதற்கு அறிமுகப்படுத்தினார்.Oxford English Dictionary, Draft Revision, June 2008[http://www.amazon.com/gp/reader/0691027951 Nahin], [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Argand.html O'Connor and Robertson], and [http://functions.wolfram.com/ComplexComponents/Abs/35/ functions.Wolfram.com.]; for the French sense, see Dictionnaire de la langue française (Littré), 1877 1866 ஆம் ஆண்டில் இவ்வார்த்தை ஆங்கிலத்தில் ''மாடுலஸ்'' ("modulus") என்ற லத்தீன் வார்த்தையாகப் பயன்படுத்தப்பட்டது. குறியீடு ''x''}}, 1841 இல் ஜெர்மானிய கணிதவியலாளர் ''கார்ல் வியர்ஸ்ட்ரசால்'' அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது.Nicholas J. Higham, ''Handbook of writing for the mathematical sciences'', SIAM. , p.&nbsp;25 எண்ணளவு அல்லது எண் மதிப்பு எனவும் தனிமதிப்பு அழைக்கப்படுகிறது.
கேள்வி: தனி மதிப்பு - மெய்யெண்கள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ஏதேனுமொரு மெய்யெண் ''x'' இன் தனிமதிப்பு அல்லது மட்டுமதிப்பின் குறியீடு: ''x''}}. அதன் வரையறை Mendelson, [http://books.google.com/books?id=A8hAm38zsCMC&pg=PA2 p.&nbsp;2].: :|x| = \begin{cases} x, & \mbox{if } x \ge 0 \\ -x, & \mbox{if } x இந்த வரையறையிலிருந்து ஒரு மெய்யெண்ணின் தனிமதிப்பு நேர் மதிப்பாகவோ அல்லது பூச்சியமாகவோத்தான் இருக்குமே தவிர ஒருபோதும் எதிர் மதிப்பாக இருக்காது என்பதைக் காணலாம். பகுமுறை வடிவவியல்படி, ஒரு மெய்யெண்ணின் தனிமதிப்பு என்பது மெய்யெண்கோட்டில் பூச்சியத்திலிருந்து அந்த எண் அமையும் தொலைவைக் குறிக்கும்; இரு மெய்யெண்களின் வித்தியாசத்தின் தனிமதிப்பு அவ்விரு எண்களுக்கிடையே உள்ள தொலைவைக் குறிக்கும். குறியில்லா வர்க்கமூலக் குறியீடு நேர் வர்க்கமூலத்தைக் குறிப்பதால், :{| |- | style="width: 250px" | |a| = \sqrt{a^2} | (1) |} இதுவே சில சமயங்களில் தனிமதிப்பை வரையறுக்கவும் பயன்படுத்தப்படுகிறது., p.&nbsp;A5 தனிமதிப்பிற்குப் பின்வரும் நான்கு அடிப்படைப் பண்புகள் உள்ளன: :{| |- | style="width: 250px" ||a| \ge 0 | style="width: 100px" | (2) |- ||a| = 0 \iff a = 0 | (3) |- ||ab| = |a||b| | (4) |- ||a+b| \le |a| + |b| | (5) |} பிற பண்புகள்: :{| |- | style="width:250px" ||(|a|)| = |a| | style="width: 100px" | (6) |- | style="width:250px" ||-a| = |a| | style="width: 100px" | (7) |- ||a - b| = 0 \iff a = b | (8) |- ||a - b| \le |a - c| + |c - b| | (9) |- |\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}\ (if b \ne 0) | (10) |- ||a-b| \ge |(|a| - |b|)| | (11) |- ||a| \le b \iff -b \le a \le b | (12) |- ||a| \ge b \iff a \le -b\ அல்லதுb \le a | (13) |} கடைசி இரண்டு அசமன்பாடுகளைக் பயன்படுத்தி கீழ்க்காணும் கணக்கைத் தீர்க்கலாம்: :|x-3| \le 9 :\iff -9 \le x-3 \le 9 :\iff -6 \le x \le 12
கேள்வி: தனி மதிப்பு - சிக்கலெண்கள் என்பது என்ன?
பதில்: Image:Complex conjugate picture.svg சிக்கலெண்களை வரிசைப்படுத்த முடியாதென்பதால், மெய்யெண்களின் தனிமதிப்பு வரையறையை நேரிடையாகச் சிக்கலெண்களுக்கு நீட்டிக்க முடியாது. எனினும் ஒரு மெய்யெண்ணின் தனிமதிப்பு என்பது மெய்யெண்கோட்டில் பூச்சியத்திலிருந்து அந்த எண் அமையும் தொலைவைக் குறிக்கும் என்ற கருத்தை சிக்கலெண்களுக்கு நீட்டிக்கலாம். ஒரு சிக்கலெண்ணின் தனிமதிப்பானது, சிக்கலெண் தளத்தில் ஆதிப்புள்ளியிலிருந்து அச்சிக்கலெண்ணின் தொலைவைக் குறிக்கும்; இரு சிக்கலெண்களின் வித்தியாசத்தின் தனிமதிப்பு அவ்விரு சிக்கலெண்களுக்கு இடையேயுள்ள தொலைவைக் குறிக்கும். :z = x + iy, , (''x'', ''y'' மெய்யெண்கள்) என்ற சிக்கலெண்ணின் தனிமதிப்பு அல்லது மட்டு மதிப்பின் குறியீடு ''z''}}. :|z| = \sqrt{x^2 + y^2}. இச்சிக்கலெண்ணின் கற்பனைப் பகுதி ''y'' இன் மதிப்பு பூச்சியமெனில்: : |z| = |x| சிக்கலெண் வாள்முனை ஆள்கூற்று முறைமை தரப்பட்டால்: :z = r e^{i \theta} (, θ மெய்) :|z| = r. சிக்கலெண்ணின் தனிமதிப்பைக் கீழ்க்காணும் முறையிலும் காணலாம்: :|z| = \sqrt{z \cdot \overline{z}} இங்கு z இன் இணையியச் சிக்கலெண் \overline z மேலே தரப்பட்டுள்ள மெய்யெண்களின் தனிமதிப்பின் பண்புகள் (2)–(11) சிக்கலெண்களின் தனிமதிப்பிற்கும் பொருந்தும்.
கேள்வி: தனி மதிப்பு - குறிச்சார்புடன் தொடர்பு என்பது என்ன?
பதில்: தனிமதிப்புச் சார்பு ஒரு மெய்யெண்ணின் மதிப்பை மட்டுமே தருகிறது; குறியினை விட்டுவிடுகிறது. ஆனால் குறிச் சார்பு மதிப்பை விட்டுவிட்டு குறியை மட்டுமே தருகிறது. இவ்விரு சார்புகளுக்கு இடையேயுள்ள தொடர்பு: :|x| = x \sgn(x), எனில், :\sgn(x) = \frac{|x|}{x}.
கேள்வி: தனி மதிப்பு - எதிர்வகைக்கெழு என்பது என்ன?
பதில்: தனிமதிப்புச் சார்பின் தொகையீடு: :\int|x|dx=\frac{x|x|}{2}+C, இங்கு C, தொகையீட்டுக் காரணி.
கேள்வி: தனி மதிப்பு - தொலைவு பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: தனிமதிப்பு என்னும் கருத்து, தொலைவுடன் நெருங்கிய தொடர்புடையது. ஒரு சிக்கலெண் அல்லது மெய்யெண்ணின் தனிமதிப்பானது சிக்கலெண் தளத்தில் ஆதிப்புள்ளிக்கும் அந்த சிக்கலென்ணுக்கும் இடைப்பட்ட தொலைவாகவும், மெய்யெண் கோட்டில் பூச்சியத்திற்கும் அந்த மெய்யெண்ணுக்கும் இடைப்பட்ட தொலைவாகவும் உள்ளது. மேலும் இரு சிக்கலெண்கள் அல்லது மெய்யெண்களின் வித்தியாசத்தின் தனிமதிப்பு அவ்விரு எண்களுக்கு இடைப்பட்டத் தொலைவைக் குறிக்கிறது. இரு புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட யூக்ளிடிய தொலைவு: யூக்ளிய n-வெளியில் :a = (a_1, a_2, \dots , a_n), :b = (b_1, b_2, \dots , b_n) எனும் இரு புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவின் வரையறை: :\sqrt{\sum_{i=1}^n(a_i-b_i)^2}. இது ''a'' − ''b''}} இன் பொதுமைப்படுத்தலாகிறது. ஏனெனில் ''a'' மற்றும் ''b'' மெய்யெண்களெனில் சமன்பாடு (1) இன் படி :|a - b| = \sqrt{(a - b)^2}. : a = a_1 + i a_2 , : b = b_1 + i b_2 எனும் சிக்கலெண்கள் எனில் :{| |- ||a - b| | = |(a_1 + i a_2) - (b_1 + i b_2)| |- | | = |(a_1 - b_1) + i(a_2 - b_2)| |- | | = \sqrt{(a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2}. |} எனவே மெய்யெண்களுக்கும் சிக்கலெண்களுக்கும் தனிமதிப்பு தரும் தொலைவு, ஒரு பரிமாண வெளி மற்றும் இருபரிமாண யூக்ளிடிய தொலைவுடன் ஒத்துள்ளது. இரு சிக்கலெண்கள் அல்லது மெய்யெண்களின் வித்தியாசத்தின் தனிமதிப்பின் பண்புகளைக் கொண்டு தொலைவுச் சார்பு பின்வருமாறு வரையறுக்கலாம்: என்ற கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட மெய்ய்மதிப்புச் சார்பு , பின்வரும் நான்கு அடிக்கோள்கள் நிறைவு செய்தால் தொலைவுச் சார்பு எனப்படும்:இவை குறைந்தபட்சத் தேவையானவை அல்ல; ஏனென்றால் எதிரல்லாத்தன்மை அடிக்கோளை மற்ற மூன்று அடிக்கோள்களில் இருந்து பெற முடியும்: . :{| |- |style="width:250px" | d(a, b) \ge 0 |எதிரல்லாத்தன்மை (Non-negativity) |- |d(a, b) = 0 \iff a = b |தெளிவற்ற முற்றொருமை (Identity of indiscernibles) |- |d(a, b) = d(b, a) |சமச்சீர் (Symmetry) |- |d(a, b) \le d(a, c) + d(c, b) |முக்கோண சமனின்மை (Triangle inequality) |}
கேள்வி: தனி மதிப்பு - வரிசைப்படுத்தப்பட்ட வளையங்கள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: மேலே தரப்பட்ட மெய்யெண்களுக்கான தனிமதிப்பு வரையறையை வரிசைப்படுத்தப்பட்ட வளையங்களுக்கும் நீட்டிக்கலாம். வரிசைப்படுத்தப்பட்ட வளையம் ''R'' இன் ஓர் உறுப்பு . அதன் தனிமதிப்பின் குறியீடு ''a''}}. மேலும் அதன் வரையறை:Mac Lane, [http://books.google.com/books?id=L6FENd8GHIUC&pg=PA264 p.&nbsp;264]. :|a| = \begin{cases} a, & \mbox{if } a \ge 0 \\ -a, & \mbox{if } a \le 0 \end{cases} \; இங்கு என்பது இன் கூட்டல் நேர்மாறு; 0, கூட்டல் முற்றொருமை.