கேள்வி: வகையிடலின் நேர்மாறுச் சார்பு விதி என்பது என்ன?
பதில்: File:Umkehrregel 2.png நுண்கணிதம், வகையிடலின் நேர்மாறுச் சார்பு விதி அல்லது நேர்மாறுச் சார்பு விதி (''Inverse funcion rule'') என்பது வகையிடல் விதிகள் ஒன்று. இவ்விதி ஒரு சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு வகையிடல் வழிமுறையைத் தருகிறது. விதியின் கூற்று: சார்பு f மற்றும் அதன் நேர்மாறு, f^{-1} இரண்டும் வகையிடத்தக்கச் சார்புகள் எனில் x =a என்ற புள்ளியில்: :\left[f^{-1}\right]'(a)=\frac{1}{f'\left( f^{-1}(a) \right)} இது வகையிடலின் குறியீடு#லாக்ராஞ்சியின் குறியீடு தரப்பட்டுள்ளது. லைப்னிட்சின் குறியீடு: :\frac{dx}{dy}\,\cdot\, \frac{dy}{dx} = 1 :\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} ஒரு சார்பின் வகைக்கெழுவும் அதன் நேர்மாறின் வகைக்கெழுவும் தலைகீழிகளாக அமைகின்றன. இது சங்கிலி விதியிலிருந்து பின்வருமாறு பெறப்படுகிறது: :y = f(x) எனில், :x = f^{-1}(y) சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தி ஐப் பொறுத்து வகையிட: : \frac{dx}{dy}\,\cdot\, \frac{dy}{dx} = \frac{dx}{dx} = 1 (x ஐப் பொறுத்து x இன் வகைக்கெழு 1) ஒரு சார்பின் வரைபடமும் அதன் நேர்மாறுச் சார்பின் வரைபடமும் ஒன்றுக்கொன்று , கோடு பொறுத்த பிரதிபலிப்புகளாக அமையும். பிரதிபலிப்புச் செயலால் ஒரு கோட்டின் சாய்வும் அக்கோட்டின் பிரதிபலிப்பு எதிருவாக அமையும் கோட்டின் சாய்வும் தலைகீழிகளாக இருக்கும். f சார்புக்கு x இன் அண்மையகத்தில் நேர்மாறுச் சார்பு இருந்து, புள்ளி x இல் f இன் வகைக்கெழு பூச்சியம் இருந்தால், அப்புள்ளியில் நேர்மாறுச் சார்பும் வகையிடத்தக்கதாக இருக்கும். மேலும் அந்த வகைக்கெழுவை மேலே தரப்பட்டுள்ள வாய்ப்பாட்டின் மூலம் காணவும் முடியும்.
கேள்வி: வகையிடலின் நேர்மாறுச் சார்பு விதி - உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்கள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: முதல் வகைக்கெழுவிற்கான நேர்மாறு விதியின் வாய்ப்பாடு: :\frac{dx}{dy}\,\cdot\, \frac{dy}{dx} = 1 \quad\quad(1) இவ்வாய்ப்பாட்டை மீண்டும் x ஐப் பொறுத்து வகையிட: : \frac{d^2y}{dx^2}\,\cdot\,\frac{dx}{dy} + \frac{d^2x}{dy^2}\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 0 : \frac{d^2y}{dx^2}\,\cdot\,\frac{dx}{dy} = - \frac{d^2x}{dy^2}\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 :\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} எனப்பிரதியிட, : \frac{d^2y}{dx^2} = - \frac{d^2x}{dy^2}\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^3 \quad\quad(2). : \frac{d^2x}{dy^2} = - \frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{(\frac{dy}{dx})^3} \quad\quad(**). -நேர்மாறுச் சார்பின் இரண்டாம் வகைக்கெழுவிற்கான வாய்ப்பாடு லாக்ராஞ்சியின் குறியீட்டில்: : \left(f^{-1}\right)''(y) = \frac{-f''(y)}{[f'(y)]^3} முடிவு (2) ஐ மீண்டும் x ஐப் பொறுத்து வகையிட, : \frac{d^3y}{dx^3} = - \frac{d^3x}{dy^3}\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^4 - 3 \frac{d^2x}{dy^2}\,\cdot\,\frac{d^2y}{dx^2}\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 இரண்டாம் வகைக்கெழுவிற்கான வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்த, : \frac{d^3y}{dx^3} = - \frac{d^3x}{dy^3}\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^4 + 3 \left(\frac{d^2x}{dy^2}\right)^2\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^5 : \frac{d^3x}{dy^3} = \frac{\frac{-d^3y}{dx^3}+ 3 \left(\frac{d^2x}{dy^2}\right)^2\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^5}{\left(\frac{dy}{dx}\right)^4}\quad\quad(***) -நேர்மாறுச் சார்பின் மூன்றாம் வகைக்கெழுவிற்கான வாய்ப்பாடு. இவ்வாய்ப்பாடுகளின் பொதுமைப்படுத்தலே ''ஃபா டி புருனோ''வின் வாய்ப்பாடு ஆகும்.
கேள்வி: வகையிடலின் நேர்மாறுச் சார்பு விதி - எடுத்துக்காட்டு பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: * \,y = e^x இதன் நேர்மாறுச் சார்பு, :\,x = \ln y. : \frac{dy}{dx} = e^x = y ; : \frac{d^2y}{dx^2} = e^x = y ; :\left(\frac{dy}{dx}\right)^3 = y^3; இரண்டாம் வகைக்கெழுவிற்கான நேர்மாறு விதியின் வாய்ப்பாட்டில் பிரதியிட, : \frac{d^2x}{dy^2}\,\cdot\,y^3 + y = 0 \mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }; \mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ } \frac{d^2x}{dy^2} = -\frac{1}{y^2} , :\,x = \ln y. இதனை நேரிடையாக இருமுறை வகையிட்டாலும் இதே முடிவு கிடைப்பதைக் காணலாம். பகுப்பு:வகையீட்டு நுண்கணிதம்