கேள்வி: தொடர் பெருக்கம் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: ஒரு நேர்ம முழு எண் தொடர் பெருக்கம் அல்லது காரணியம் அல்லது காரணீயம் (factorial) என்பது அதற்கு சமமாகவும் குறைவாகவும் உள்ள எல்லா நேர்ம முழு எண்களின் பெருக்கல் ஆகும். இது ''n''! எனக் குறிக்கப்படும். எ.கா: :5 ! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \ :4 ! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \ :3 ! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \ :2 ! = 2 \times 1 = 2 \ :1 ! = 1 \ :0 ! = 1 \ (வெற்றுப் பெருக்கம் வழமைப்படிRonald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik (1988) ''Concrete Mathematics'', Addison-Wesley, Reading MA. , p.&nbsp;111). தொடர் பெருக்கச் செய்கையைக் கணிதத்தில் பல பகுதிகளில் காணமுடியும். குறிப்பாக சேர்மானவியல், இயற்கணிதம், கணிதப் பகுப்பாய்வு என்பவற்றைக் குறிப்பிடலாம். இதன் மிக அடிப்படையாக பயன்பாட்டை, வரிசைமாற்றம், வெவ்வேறான ''n'' பொருட்களை ''n''! வழிகளில் தொடராக ஒழுங்குபடுத்தலாம்" என்பதில் காணமுடிகிறது. இந்த உண்மை ஆகப் பிந்தியது 12ம் நூற்றாண்டிலேயே இந்திய அறிஞர்களுக்குத் தெரிந்திருக்கிறது.N. L. Biggs, ''The roots of combinatorics'', Historia Math. 6 (1979) 109−136 பிரான்சு நாட்டைச் சேர்ந்த கணிதவியலாளர் கிறித்தியன் கிறாம்ப் என்பவர் n! குறியீட்டை 1808 ஆம் ஆண்டில் முதன் முதலில் அறிமுகப்படுத்தினார்.
கேள்வி: தொடர் பெருக்கம் - வரைவிலக்கணம் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: தொடர் பெருக்கச் சார்பு பின்வருமா று வரையறுக்கப்படுகிறது: : n!=\prod_{k=1}^n k \! அல்லது பின்வரும் தொடர்பின் மூலமும் இது தரப்படலாம்: : n! = \begin{cases} 1 & \text{if } n = 0, \\ (n-1)!\times n & \text{if } n > 0 \end{cases} அடுக்கு விதியைப் பயன்படுத்தியும் பின்வருமாறு இதை வரையறுக்க முடியும்: : n! = D^nx^n \;http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/lecture-notes/lec4.pdf மேற்காட்டிய எல்லா வரைவிலக்கணங்களும் :0! = 1, \ என்பதை உட்படுத்துகின்றன.
கேள்வி: தொடர் பெருக்கம் - தலைகீழிகளின் தொடர் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: தொடர் பெருக்கங்களின் பெருக்கல் தலைகீழிகளாலான தொடர், ஒருங்கும் தொடர் இருக்கும்: :\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \ldots = e\,. இத் தொடரின் கூடுதல் ஒரு விகிதமுறா எண் என்றாலும், தொடரின் உறுப்பிலுள்ள தொடர் பெருக்கங்களை நேர் முழு எண்களைக் கொண்டு பெருக்கி, தொடரை விகிதமுறு எண்ணைக் கூடுதலாகக் கொண்ட ஒருங்கு தொடராக மாற்றலாம்: :\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+2)n!} = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{30}+\frac{1}{144}\ldots=1\,. இதனால் தொடர் பெருக்கங்கள் விகிதமுறாத் தொடர்முறைகளை அமைக்காது..
கேள்வி: தொடர் பெருக்கம் - ஒத்த பிற பெருக்கங்களும் சார்புகளும் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: கணிதத்தில் தொடர் பெருக்கம் போன்ற பிற பெருக்கங்களும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன. அவை:
கேள்வி: தொடர் பெருக்கம் - இரட்டைத் தொடர்பெருக்கம் என்பது என்ன?
பதில்: ஒற்றை நேர் எண் ''n'' வரையிலான ஒற்றை எண்களின் பெருக்கம் ’இரட்டைத் தொடர்பெருக்கம்’ (double factorial) எனப்படும். இதன் குறியீடு ''n''!!.. :(2k-1)!! = \prod_{i=1}^k (2i-1) = \frac{(2k)!}{2^k k!} = \frac {_{2k}P_k} {2^k} = \frac {{(2k)}^{\underline k}} {2^k}. எடுத்துக்காட்டு: :9!!&nbsp;=&nbsp;1&nbsp;×&nbsp;3&nbsp;×&nbsp;5&nbsp;×&nbsp;7&nbsp;×&nbsp;9 =&nbsp;945. ''n''&nbsp;=&nbsp;1,&nbsp;3,&nbsp;5,&nbsp;7,&nbsp;... எனில் இரட்டைத் தொடர்பெருக்கங்களின் தொடர்முறை: : 1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135, .... முக்கோணவியல் சார்புகளின் தொகையீடுகளின் பட்டியல் இரட்டைத் தொடர்பெருக்கம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
கேள்வி: தொடர் பெருக்கம் - பல்தொடர்பெருக்கம் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: எதிரிலா முழு எண்களின் ''k''-வது தொடர்பெருக்கம் n!^{(k)}: : n!^{(k)}= \left\{ \begin{matrix} 1,\qquad\qquad\ &&\mbox{if }0\le n தொடர்பெருக்கம் n! எதிர் எண்களுக்கு வரையறுக்கப்படாதது போல, இரட்டைத் தொடர்பெருக்கம் n!! எதிர் இரட்டை எண்களுக்கு வரையறுக்கப்படவில்லை; பல்தொடர்பெருக்கம் n!^{(k)} k ஆல் வகுபடும் எதிர் முழுஎண்களுக்கு வரையறுக்கப்படவில்லை.