கேள்வி: சைன் விதி பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: சைன் விதி எனப்படுவது முக்கோணவியல் ஏனைய முக்கிய கணிப்புக்களிலும் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு விதியாகும். இது முக்கோணமொன்றின் பக்கங்களுக்கும், அதன் கோணங்களின் சைன் (முக்கோணவியல்) பெறுமதிகளுக்கும் இடையிலான தொடர்பைக் காட்டுகிறது.
கேள்வி: சைன் விதி - விதி பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: படிமம்:LabeledTriangle.svg யாதுமொரு முக்கோணி ABCயில், : \frac{a}{\sin A} \,=\, \frac{b}{\sin B} \,=\, \frac{c}{\sin C} ஆகும்.
கேள்வி: சைன் விதி - விரிகோண முக்கோணி பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: படிமம்:Sine Law - Ambiguous Case.svg இம்முக்கோணியில் செங்குத்துயரத்தைச் சமப்படுத்தினால், : asin(180-B)=bsinA : asinB=bsinA ஆகவே, : \frac{a}{\sin A} \,=\, \frac{b}{\sin B} \, ''A'' உச்சியிலிருந்து செங்கோடு வரைந்து அதன் மதிப்புகளை இதே வகையில் கண்டறிந்து சமப்படுத்தினால் : csinB=bsinC எனக் கிடைக்கும். ஆகவே, : \frac{b}{\sin B} \,=\, \frac{c}{\sin C}\, இவை இரண்டையும் இணைத்தால் : \frac{a}{\sin A} \,=\, \frac{b}{\sin B} \,=\, \frac{c}{\sin C} என முழுமையான சைன் விதி விரிகோண முக்கோணத்துக்கும் நிறுவப்படும்.
கேள்வி: சைன் விதி - சுற்றுவட்டத்துடன் தொடர்பு பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: File:Sinelaw radius (Greek angles).svg \frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{b}{\sin{\beta}} = \frac{c}{\sin{\gamma}}, என்ற முற்றொருமையின் மூன்று சமவிகிதங்களின் பொதுமதிப்பு முக்கோணத்தின் சூழ்தொடு வட்டம் விட்டம் சமமாக இருக்கும். இந்த முடிவு கணிதவியலாளர் தொலெமி காலத்திலேயே அறியப்பட்டிருந்தது.Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. ''Geometry Revisited''. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 1–3, 1967
கேள்வி: சைன் விதி - நிறுவல் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: \triangle ABC இன் சுற்றுவட்டம் வரையப்பட்டுள்ளது. சுற்றுவட்ட மையம் O வழிச் செல்லும் முக்கோணம் \triangle ADB இன் சுற்றுவட்டமாகவும் இதே வட்டம் உள்ளது. : \angle ABD = 90^\circ (அரைவட்டக் கோணம்) இப்போது \triangle ABD முக்கோணம் ஒரு செங்கோண முக்கோணம். எனவே : \sin{\delta}= \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}= \frac{c}{2R}, R= \frac{d}{2} = சுற்றுவட்ட ஆரம் : {\gamma} = {\delta} (ஒரே வட்ட வில் தாங்கும் கோணங்கள் சமம்) என்பதால் \sin{\delta} = \sin{\gamma} = \frac{c}{2R}. இதனை மாற்றியமைக்க: 2R = \frac{c}{\sin{\gamma}}. \triangle ADB முக்கோணத்தைப்போல மற்ற இரு முக்கோண உச்சிகளைக் கொண்டு கண்டுபிடித்தால் சைன் விதியின் மூன்று விகிதங்களும் 2R க்குச் சமமாக இருப்பதைக் காணலாம். எனவே: {{equation box 1|equation= \frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{b}{\sin{\beta}} = \frac{c}{\sin{\gamma}}=2R.}}
கேள்வி: சைன் விதி - முக்கோணத்தின் பரப்பளவுடன் தொடர்பு பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: முக்கோணத்தின் பரப்பளவு வாய்பாடு :T = \frac{1}{2}ab \sin \theta; , முக்கோணத்தின் எவையேனும் இரு பக்கங்கள்; அப்பக்கங்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் \theta . \sin\theta இன் மதிப்பை சைன் விதியின் சுற்றுவட்ட ஆரம் R உடனுள்ள தொடர்பு வாய்பாட்டிலிருந்து பதிலிட: :T=\frac{1}{2}ab \cdot \frac {c}{2R}. :{{equation box 1|equation=T=\frac{abc}{4R}.}} இதிலிருந்து மேலும் பெறக்கூடிய வாய்பாடுகள்: :\begin{align} \frac{abc} {2T} & = \frac{abc} {2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}} \\[6pt] & = \frac {2abc} {\sqrt{{(a^2+b^2+c^2)}^2-2(a^4+b^4+c^4) }}, \end{align}; = முக்கோணத்தின் பரப்பளவு, s = \frac{a+b+c}{2}. = முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவு இரண்டாவது வாய்பாட்டை முக்கோணப் பரப்பளவுக்கான ஈரோனின் வாய்பாடு சுருக்கலாம். சைன் விதியைக் கொண்டு கீழ்வரும் முக்கோணப் பரப்பளவிற்கான வாய்பாட்டைப் பெறலாம்: S =\frac {\sin A + \sin B + \sin C}{2} = முக்கோணத்தின் கோணங்களின் சைன்மதிப்புகளின் அரைக்கூட்டுத்தொகை என்க. இப்பொழுது முக்கோணப் பரப்பளவிற்கான வாய்பாடு:Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula in terms of sines," ''Mathematical Gazette'' 93, March 2009, 108–109. {{equation box 1|equation=T = 4R^{2} \sqrt{S \left(S - \sin A\right) \left(S - \sin B\right) \left(S - \sin C\right)}}}. (R முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்ட ஆரம்; 2R = \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}.)
கேள்வி: சைன் விதி - நிறுவல் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: சைன் விதியின் நிறுவல் கீழுள்ளவாறு டோதுந்தேரின் நூலில் உள்ளது. (Art.40). :\sin^2 A=1-\cos^2 A முற்றொருமையில் கோள கொசைன் விதியிலிருந்து பெறப்பட்ட \cos A மதிப்பைப் பதிலிட: : \begin{align} \sin^2 A &=1-\left(\frac{\cos a - \cos b \cos c}{\sin b \sin c}\right)^2\\[5pt] & =\frac{(1-\cos^2 b)(1-\cos^2 c)-(\cos a - \cos b\cos c)^2} {\sin^2\!b \,\sin^2\!c}\\[5pt] \frac{\sin A}{\sin a}&=\frac{[1-\cos^2\!a-\cos^2\!b-\cos^2\!c+2\cos a\cos b\cos c]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}. \end{align} இம்முடிவின் வலப்பக்க மதிப்பில் a,\;b,\;c இன் வட்ட வரிசைமாற்றத்தால் எந்தவொரு மாற்றமும் இருக்காது. எனவே :\frac{\sin B}{\sin b} = \frac{[1-\cos^2\!a-\cos^2\!b-\cos^2\!c+2\cos a\cos b\cos c]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}. :\frac{\sin C}{\sin c} = \frac{[1-\cos^2\!a-\cos^2\!b-\cos^2\!c+2\cos a\cos b\cos c]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}. :ஃ\frac{\sin A}{\sin a}=\frac{\sin B}{\sin b}=\frac{\sin C}{\sin c}. என நிறுவப்படுகிறது. File:Spherical trigonometry vectors.svg
கேள்வி: சைன் விதி - திசையன் நிறுவல் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: அலகு கோளத்தின் மையம் இலிருந்து முக்கோணத்தின் உச்சிகளுக்கு வரைப்பட்ட திசையன்கள்: , , . BC வில்லானது கோளமையத்தில் தாங்கும் கோணத்தின் அளவு ''a''. OA ஐ ''z''-அச்சிலும், ''xz''-தளத்தில் OB ஆனது ''z''-அச்சுடன் உருவாக்கும் கோணம் ''c'' எனவும் கொண்டு ஒரு கார்ட்டீசியன் அடுக்களத்தை எடுத்துக்கொள்ள, ''xy''- தளத்தில் OC இன் வீழல் ON ஆகவும், ON, ''x''-அச்சுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் ''A'' ஆகவும் இருக்கும். எனவே OA, OB, OC திசையன்களின் கூறுகள் பின்னுள்ளவாறு அமையும்: :\mathbf{OA} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}, \quad \mathbf{OB} = \begin{pmatrix}\sin c \\ 0 \\ \cos c\end{pmatrix}, \quad \mathbf{OC} = \begin{pmatrix}\sin b\cos A \\ \sin b\sin A \\ \cos b\end{pmatrix}. திசையிலி முப்பெருக்க அணிக்கோவையின் வர்க்கம் காண: \begin{align} \bigl(\mathbf{OA} \cdot (\mathbf{OB} \times \mathbf{OC})\bigr)^2 & = \left(\det \begin{pmatrix}\mathbf{OA} & \mathbf{OB} & \mathbf{OC}\end{pmatrix}\right)^2 \\[4pt] & = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ \sin c & 0 & \cos c \\ \sin b \cos A & \sin b \sin A & \cos b \end{vmatrix} ^2 = \left(\sin b \sin c \sin A\right)^2. \end{align} திசையிலி முப்பெருக்கம் மதிப்பு, திசையன்களை ஒருமுனை விளிம்புகளாகக் கொண்ட இணைகரத்திண்மம் கனவளவுக்குச் () சமம். மேலும் , , திசையன்களைக் குறிக்க எடுத்துக்கொள்ளும் ஆயமுறையைப் பொறுத்து இந்த கனவளவு மாறாத அளவாக இருக்கும். எனவே -அச்சை வழியாக எடுத்துக்கொண்டு திசையன் முப்பெருக்கம் கண்டுபிடித்தால் எனவும், -அச்சை வழியாக எடுத்துக்கொண்டு திசையிலி முப்பெருக்கம் காண எனவும் கிடைக்கும். மூன்று விடைகளையும் சமப்படுத்தி, ஆல் வகுக்க: \frac{\sin^2 A}{\sin^2 a} = \frac{\sin^2 B}{\sin^2 b} = \frac{\sin^2 C}{\sin^2 c} = \frac{V^2}{\sin^2 (a) \sin^2 (b) \sin^2 (c)}, இதிலிருந்து சைன்விதியின் வாய்பாட்டைப் பெறலாம்.
கேள்வி: சைன் விதி - வடிவவியல் நிறுவல் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: *கோளத்தின் ஆரம் ஓரலகு எனில், OA = OB = OC = 1: * \angle ADO = \angle AEO = 90^\circ என்றவாறு D, E புள்ளிகளை எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும். *\angle A'DO = \angle A'EO = 90^\circ என்றவாறு A' புள்ளியை எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும். * இதிலிருந்து \angle ADA' = B, \angle AEA' = C ஆக இருக்கும். *A' ஆனது, OBC தளத்தில் A இன் வீழலாகும். எனவே: :\angle AA'D = \angle AA'E = 90^\circ *முக்கோணவியலின் அடிப்படைப் பண்புகளின்படி: :AD = \sin c :AE = \sin b *ஆனால் AA' = AD \sin B = AE \sin C *இவற்றை இணைக்க: \sin c \sin B = \sin b \sin C \frac{\sin B}{\sin b} =\frac{\sin C}{\sin c} * இதேபோன்று மற்ற உச்சிகளுக்கும் பெறப்படும் முடிவுகளைக் கொண்டு முழுமையான சைன் விதியைப் பெறலாம்: \frac{\sin A}{\sin a} =\frac{\sin B}{\sin b} =\frac{\sin C}{\sin c}
கேள்வி: சைன் விதி - வெளியிணைப்புகள் என்பது என்ன?
பதில்: * * [http://www.cut-the-knot.org/proofs/sine_cosine.shtml#law The Law of Sines] at cut-the-knot * [http://mysite.du.edu/~jcalvert/railway/degcurv.htm Degree of Curvature] * [https://web.archive.org/web/20160815080014/http://www.efnet-math.org/Meta/sine1.htm Finding the Sine of 1 Degree] * [http://mathworld.wolfram.com/GeneralizedLawofSines.html Generalized law of sines to higher dimensions] பகுப்பு:முக்கோணவியல் பகுப்பு:கோணங்கள் பகுப்பு:முக்கோணங்கள் பற்றிய தேற்றங்கள்