கேள்வி: அதிபரவளையச் சார்பு என்பது என்ன?
பதில்: Image:Hyperbolic functions-2.svg கணிதத்தில் அதிபரவளைவுச் சார்புகள் அல்லது அதிபரவளையச் சார்புகள் (''hyperbolic functions'') என்பன வட்டச் சார்புகள் என அழைக்கப்படும் முக்கோணவியல் சார்புகள் ஒத்த சார்புகள் ஆகும். அடிப்படை அதிபரவளையச் சார்புகள்: *அதிபரவளைவு சைன்: "sinh" *அதிபரவளைவு கொசைன்: "cosh" *அதிபரவளைவு டேன்ஜெண்ட்: "tanh" *அதிபரவளைவு கொசீக்கெண்ட்: "csch" அல்லது "cosech" *அதிபரவளைவு சீக்கெண்ட்: "sech" *அதிபரவளைவு கோடேன்ஜெண்ட்: "coth" ஒவ்வொரு அதிபரவளையச் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு குறிப்பதற்கு அச்சார்போடு ''area hyperbolic'' (அ) "ar" (அ) "a" (அ) "arc" என்ற முன்னொட்டுகளைச் சேர்த்து எழுதப்படுகிறது.[http://www.google.com/books?q=arcsinh+-library Some examples of using arcsinh] found in Google Books. (cos&nbsp;''t'',&nbsp;sin&nbsp;''t'') என்ற புள்ளிகள் அலகு வட்டத்தை உருவாக்குவது போல, புள்ளிகள் (cosh&nbsp;''t'',&nbsp;sinh&nbsp;''t''), சமபக்க அதிபரவளைவின் வலப்பாதிப் பகுதியை உருவாக்குகின்றன. அதிபரவளையச் சார்புகள், வின்சென்சோ ரிக்கட்டி மற்றும் ஜோகன் கெயின்ரிச் லாம்பெர்டு எனும் இரு கணிதவியலாளர்களால் தனித்தனியே 1760 களில் கண்டறியப்பட்டது.Robert E. Bradley, Lawrence A. D'Antonio, Charles Edward Sandifer. ''Euler at 300: an appreciation.'' Mathematical Association of America, 2007. Page 100. ரிக்கட்டி, வட்டச் சார்புகளைக் குறிப்பதற்கு ''Sc.'' மற்றும் ''Cc.'' (''[co]sinus circulare'') குறியீடுகளையும், அதிபரவளையச் சார்புகளுக்கு ''Sh.'' மற்றும் ''Ch.'' (''[co]sinus hyperbolico'') ம் பயன்படுத்தினார். லாம்பெர்டு அதே பெயர்களை அப்படியே எடுத்துக் கொண்டு குறியீடுகளை மட்டும் தற்போது பயன்படுத்தப்படும் குறியீடுகளுக்கு மாற்றினார்.Georg F. Becker. ''Hyperbolic functions.'' Read Books, 1931. Page xlviii. சுருக்கக் குறியீடுகள் ''sh'' , ''ch'' இன்றளவும் பிரெஞ்சு, உருசியா போன்ற சில மொழிகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறன.
கேள்வி: அதிபரவளையச் சார்பு - திட்ட இயற்கணித வடிவம் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: அதிபரவளையச் சார்பு: * அதிபரவளைய சைன் (Hyperbolic sine): ::\sinh x = \frac {e^x - e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} - 1} {2e^x} = \frac {1 - e^{-2x}} {2e^{-x}} * அதிபரவளைய கொசைன் (Hyperbolic cosine): ::\cosh x = \frac {e^x + e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} + 1} {2e^x} = \frac {1 + e^{-2x}} {2e^{-x}} * அதிபரவளைய டேன்ஜெண்ட் (Hyperbolic tangent): ::\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1} = \frac{1 - e^{-2x}} {1 + e^{-2x}} * அதிபரவளைய கோடேன்ஜெண்ட் (Hyperbolic cotangent): ::\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = \frac{1 + e^{-2x}} {1 - e^{-2x}} * அதிபரவளைய சீக்கெண்ட் (Hyperbolic secant): ::\operatorname{sech}\,x = \left(\cosh x\right)^{-1} = \frac {2} {e^x + e^{-x}} = \frac{2e^x} {e^{2x} + 1} = \frac{2e^{-x}} {1 + e^{-2x}} * அதிபரவளைய கொசீக்கெண்ட் (Hyperbolic cosecant): ::\operatorname{csch}\,x = \left(\sinh x\right)^{-1} = \frac {2} {e^x - e^{-x}} = \frac{2e^x} {e^{2x} - 1} = \frac{2e^{-x}} {1 - e^{-2x}} கற்பனை வட்டக் கோணங்கள் மூலமாகவும் அதிபரவளையச் சார்புகளை எழுதலாம்: * அதிபரவளைய சைன்: ::\sinh x = - {\rm{i}} \sin {\rm{i}}x \! * அதிபரவளைய கொசைன்: ::\cosh x = \cos {\rm{i}}x \! * அதிபரவளைய டேன்ஜெண்ட்: ::\tanh x = -{\rm{i}} \tan {\rm{i}}x \! * அதிபரவளைய கோடேன்ஜெண்ட்: ::\coth x = {\rm{i}} \cot {\rm{i}}x \! * அதிபரவளைய சீக்கெண்ட்: ::\operatorname{sech}\,x = \sec { {\rm{i}} x} \! * அதிபரவளைய கொசீக்கெண்ட்: ::\operatorname{csch}\,x = {\rm{i}}\,\csc\,{\rm{i}}x \! இங்கு ''i'' என்பது கற்பனை அலகு; ''i''2 = −1.
கேள்வி: அதிபரவளையச் சார்பு - மடக்கைகளாக-நேர்மாறுச் சார்புகள் என்பது என்ன?
பதில்: :\begin{align} \operatorname {arsinh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right) \\ \operatorname {arcosh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} - 1} \right); x \ge 1 \\ \operatorname {artanh} (x) &= \frac{1}{2}\ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right); \left| x \right| 1 \\ \operatorname {arsech} (x) &= \ln \left( \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x} \right); 0
கேள்வி: அதிபரவளையச் சார்பு - வகைக்கெழுக்கள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: : \frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x \, : \frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x \, : \frac{d}{dx}\tanh x = 1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x = 1/\cosh^2 x \, : \frac{d}{dx}\coth x = 1 - \coth^2 x = -\operatorname{csch}^2 x = -1/\sinh^2 x \, : \frac{d}{dx}\ \operatorname{csch}\,x = - \coth x \ \operatorname{csch}\,x \, : \frac{d}{dx}\ \operatorname{sech}\,x = - \tanh x \ \operatorname{sech}\,x \, :\frac{d}{dx}\, \operatorname{arsinh}\,x =\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} :\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcosh}\,x =\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}} :\frac{d}{dx}\, \operatorname{artanh}\,x =\frac{1}{1-x^{2}} :\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcsch}\,x =-\frac{1}{\left| x \right|\sqrt{1+x^{2}}} :\frac{d}{dx}\, \operatorname{arsech}\,x =-\frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}} :\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcoth}\,x =\frac{1}{1-x^{2}}
கேள்வி: அதிபரவளையச் சார்பு - தொகையீடுகள் என்பது என்ன?
பதில்: அனைத்து அதிபரவளையச் சார்புகளின் தொகையீடுகளுக்கு அதிபரவளைவுச் சார்புகளின் தொகையீடுகளின் பட்டியல் பார்க்கவும். :\begin{align} \int \sinh (ax)\,dx &= a^{-1} \cosh (ax) + C \\ \int \cosh (ax)\,dx &= a^{-1} \sinh (ax) + C \\ \int \tanh (ax)\,dx &= a^{-1} \ln (\cosh (ax)) + C \\ \int \coth (ax)\,dx &= a^{-1} \ln (\sinh (ax)) + C \\ \int \operatorname{sech} (ax)\,dx &= a^{-1} \arctan (\sinh (ax)) + C \\ \int \operatorname{csch} (ax)\,dx &= a^{-1} \ln \left( \tanh \left( \frac{ax}{2} \right) \right) + C \end{align} :\begin{align} \int {\frac{du}{\sqrt{a^2 + u^2}}} & = \sinh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right) + C \\ \int {\frac{du}{\sqrt{u^2 - a^2}}} &= \cosh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right) + C \\ \int {\frac{du}{a^2 - u^2}} & = a^{-1}\tanh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right) + C; u^2 a^2 \\ \int {\frac{du}{u\sqrt{a^2 - u^2}}} & = -a^{-1}\operatorname{sech}^{-1}\left( \frac{u}{a} \right) + C \\ \int {\frac{du}{u\sqrt{a^2 + u^2}}} & = -a^{-1}\operatorname{csch}^{-1}\left| \frac{u}{a} \right| + C \end{align} இவற்றில் ''C'' -தொகையீட்டு மாறிலி.
கேள்வி: அதிபரவளையச் சார்பு - டெய்லர் தொடர்கள் என்பது என்ன?
பதில்: அதிபரவளையச் சார்புகளை டெய்லர் தொடர்களாக எழுத முடியும்: :\sinh x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} :\cosh x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!} sinh மற்றும் cosh தொடர்களின் கூடுதல், படிக்குறிச் சார்பின் டெய்லர் தொடராக (முடிவிலாத் தொடராக) இருக்கும். :\begin{align} \tanh x &= x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | இங்கு, :B_n, \, ''n'' ஆவது பெர்னொலி எண் (Bernoulli number) :E_n, \, ''n'' ஆவது ஆய்லர் எண் (Euler number)
கேள்வி: அதிபரவளையச் சார்பு - வட்டச் சார்புகளுடன் ஒப்பீடு என்பது என்ன?
பதில்: File:Circular and hyperbolic angle.svg வட்டச் சார்புகளையும் தாண்டிய முக்கோணவியல் நீட்டிப்பாக அதிபரவளையச் சார்புகள் அமைகின்றன. இருவகையான சார்புகளுமே முறையே, கோணம் மற்றும் அதிபரவளையக் கோணம் சார்ந்திருக்கின்றன. வட்டத்தின் ஆரம் ''r'' = √2 இன் வர்க்கமூலமாக இருக்கும் போது, வட்டக்கோணப்பகுதி#பரப்பளவு \frac {r^2 u} {2} = u.. இத்தகைய வட்டம் (''r'' = √2) அதிபரவளையம் ''x y'' = 1 ஐ (1,1) புள்ளியில் தொடுகிறது.(படத்தில் காண்க.) மஞ்சள் பகுதி வட்டக் கோணப்பகுதியின் கோணம் மற்றும் பரப்பையும் தருகிறது. சிவப்புப் பகுதி அதிபரவளையத் துண்டு கோணத்தையும் பரப்பையும் தருகிறது. ''u'' கோணத்தை வரையறுக்கும் கதிர் (வடிவவியல்), செம்பக்கம் கொண்ட இரு செங்கோண முக்கோணம் தாங்கு பக்கங்கள் முறையே, வட்டச் சார்புகள் மற்றும் அதிபரவளையச் சார்புகளின் √2 மடங்குகளாக, அதாவது √2cosu, √2sinu மற்றும் (√2coshu, √2sinhu) என உள்ளன. (படத்தில் காண்க)
கேள்வி: அதிபரவளையச் சார்பு - சிக்கலெண்களுக்கு அதிபரவளையச் சார்புகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு: :\begin{align} e^{i x} &= \cos x + i \;\sin x \\ e^{-i x} &= \cos x - i \;\sin x \end{align} எனவே: :\begin{align} \cosh ix &= \frac{1}{2} \left(e^{i x} + e^{-i x}\right) = \cos x \\ \sinh ix &= \frac{1}{2} \left(e^{i x} - e^{-i x}\right) = i \sin x \\ \cosh(x+iy) &= \cosh(x) \cos(y) + i \sinh(x) \sin(y) \\ \sinh(x+iy) &= \sinh(x) \cos(y) + i \cosh(x) \sin(y) \\ \tanh ix &= i \tan x \\ \cosh x &= \cos ix \\ \sinh x &= - i \sin ix \\ \tanh x &= - i \tan ix \end{align} அதிபரவளையச்ச் சார்புகள், காலமுறையளவு 2 \pi i (\pi i -அதிபரவளைய டேன்ஜெண்ட் மற்றும் கோடேன்ஜெண்ட் சார்புகளுக்கு) கொண்ட காலமுறைச் சார்புகளாக உள்ளன. . {| style="text-align:center" |+ சிக்கலெண் தளத்தில் அதிபரவளயச் சார்புகள் |Image:Complex Sinh.jpg |Image:Complex Cosh.jpg |Image:Complex Tanh.jpg |Image:Complex Coth.jpg |Image:Complex Sech.jpg |Image:Complex Csch.jpg |- |\operatorname{sinh}(z) |\operatorname{cosh}(z) |\operatorname{tanh}(z) |\operatorname{coth}(z) |\operatorname{sech}(z) |\operatorname{csch}(z) |}