கேள்வி: இராமானுசனின் டௌ-சார்பு பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: கணித மேதை இராமனுசன் சாதனைகளில் மிக முக்கியமானவைகளில் ஒன்று, இராமானுஜனின் டௌ-சார்பு (Ramanujan's tau Function) என்று பிரசித்தி பெற்ற எண் கோட்பாட்டுச் சார்பு. ஒரு முழு எண்ணை இரண்டு வர்க்கங்களின் கூட்டுத் தொகையாக எப்பொழுதெல்லாம் எப்படியெல்லாம் சொல்லலாம் என்ற எளிமைத் தோற்றமுடைய பிரச்சினைக்கும் இந்த உயர்ந்த கணிதச் சார்புக்கும் உள்ள உறவைக்காட்டி இரமானுசன் இச்சார்பை உலகுக்கு அறிமுகப்படுத்தினார்.Page 4 of Due to
கேள்வி: இராமானுசனின் டௌ-சார்பு - டௌ-சார்பு வரையறை பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: \tau(n) என்பது ஒரு முடிவுறாச் சரத்தில் x^n இன் கெழு. இந்த முடிவுறாச் சரமே ஒரு முடிவுறாப் பெருக்கீட்டின் விரிபாடு. அதாவது, \sum_{n=1}^\infty \tau(n)x^n = \{x (1 - x) (1 - x^2) (1 - x^3) ... ...\}^{24} இதிலிருந்து \tau(1) = 1 \tau(2) = -24 \tau(3) = 252 \tau(4) =-1472 \tau(5) = 4830 \tau(6) =-6048 \tau(7) = -16744 ..... என்று தெரிந்துகொள்ளலாம்.
கேள்வி: இராமானுசனின் டௌ-சார்பு - டௌ-சார்பைப்பற்றி இராமானுசன் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: * n_1, n_2 இன் உ.பொ.அ. = 1 ஆக இருந்தால், \tau(n_1)\tau(n_2) = \tau(n_1 n_2). இது இராமானுசனுடைய யூகம். இதற்கு நிறுவல் 1917 இல் மார்டெல் ஆல் கொடுக்கப்பட்டது. * \tau(n) இன் சமானப் பண்புகள் இராமானுசனால் தீர்மானிக்கப்பட்டன. அதற்கு அவர் எடுத்துக் கொண்ட மட்டுக்கள் (Moduli) ஆறே ஆறு தான். அவை: 2,3,5,7, 23, 691. எடுத்துக் காட்டாக, அவைகளில் ஒரு சமானம்: ::\tau(n) = \sigma_{11}(n)mod 691. இங்கு \sigma_{11}(n) = sum_{d|n}d^{11}. *இந்த 6 மட்டுக்களைத்தவிர வேறு ஒரு எண்ணும் ஏன் மட்டுக்களாக எடுத்துக் கொள்ளப்படவில்லை என்பதை நூற்றாண்டின் பிற்பாதியில்தான் கணித இயலர்கள் அறிந்துகொண்டார்கள். இவ்வாறு எண்களத் தவிர வேறு ஓர் எண்ணுடனும் \tau(n)க்கு சமான உறவு (கணிதம்) இல்லையாம்! இதுவும் எண்கோட்பாட்டின் தேற்றங்களிலிருந்து வரும் உண்மையல்லவாம்; இராமானுசன் காலத்தில் இல்லாத இயற்கணித வடிவவியல் என்று இருபதாம் நூற்றாண்டின் பிற்பாதியில் பிரபலமான ஒரு கணிதப் பிரிவின் தற்கால வெளிப்பாடுகளிலிருந்து வரும் முடிவு!
கேள்வி: இராமானுசனின் டௌ-சார்பு - துணைநூல்கள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: * S. Ramanujan. Transactions of the Cambridge Philos. Society. 22 (1916)pp.&nbsp;159–184 * E. Grosswald. Representations of Integers as Sums of Squares. 1985. Springer, New York. * V. Krishnamurthy. Culture, Excitement and Relevance of Mathematics.1990. Wiley Eastern. New Delhi.