கேள்வி: இசுட்டெர்லிங் எண்கள் - முதல் வகை ஸ்டர்லிங் எண்கள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ஒரு'' n''-கணத்தை ''k'' சுழல்களாகப் பிரிக்கக்கூடிய வழிகளின் எண்ணிக்கை முதல் வகை ஸ்டர்லிங் எண் எனப் பெயர் பெறும்.அதாவது எத்தனை திரிபு (கணிதம்) ''k'' சுழல்களாலானவை என்ற கேள்விக்கும் இதே எண்ணிக்கைதான் விடை. இதற்கு ஒரு குறியீடு ''s(n,k).'' இக்கட்டுரையில் \begin{bmatrix} n\\ k \end{bmatrix} என்ற குறியீட்டைப் பயன்படுத்துவோம்.இதை n-cycle-k என்றோ n-சுழல்-k என்றோ உச்சரிக்கலாம். 1930 இல் காராமாடா என்பவரால் இக்குறியீடு அறிமுகப்படுத்தப்பட்டு தற்காலத்தில் பரவலாக எங்கும் புழக்கத்திலுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, \begin{bmatrix} 4\\ 2 \end{bmatrix} = 11 ஏனென்றால், {a,b,c,d} போன்ற ஒரு 4-கணத்தின் இருசுழற்பிரிவுகள்: : ''a/bcd; a/bdc; b/cda; b/cad; c/dab; c/dba; d/abc; d/acb; ab/cd; ac/db; ad/bc'' அண்மைக்காலத்தில் இவ்வெண் ஸ்டர்லிங் சுழல் எண் என்ற பெயராலும் குறிக்கப்பட்டு வருகிறது.
கேள்வி: இசுட்டெர்லிங் எண்கள் - முதல்வகை எண்அட்டவணை என்பது என்ன?
பதில்: \begin{bmatrix} n\\ k \end{bmatrix} {| class="wikitable" |- ! n \downarrow k \rightarrow ! 1 ! 2 ! 3 ! 4 ! 5 ! 6 ! 7 |- | 1 | 1 | | | | | | |- | 2 | 1 | 1 | | | | | |- | 3 | 2 | 3 | 1 | | | | |- | 4 | 6 | 11 | 6 | 1 | | | |- | 5 | 24 | 50 | 35 | 10 | 1 | | |- | 6 | 120 | 274 | 225 | 85 | 15 | 1 | |- | 7 | 720 | 1764 | 1624 | 735 | 175 | 21 | 1 |- |}
கேள்வி: இசுட்டெர்லிங் எண்கள் - இரண்டாவது வகை ஸ்டர்லிங் எண்கள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: ஒரு ''n''-கணத்தை ''k'' உட்கணங்களாகப் பிரிக்கக்கூடிய வழிகளின் எண்ணிக்கை இரண்டாவது வகை ஸ்டர்லிங் எண் எனப் பெயர் பெறும். இதற்கு ஒரு குறியீடு ''S(n,k)''. இக்கட்டுரையில் \left\{\begin{matrix} n\\ k \end{matrix}\right\} என்ற் குறியீட்டைப் பயன்படுத்துவோம். இதை n-subset-k என்றோ n-உட்கணம்-k என்றோ உச்சரிக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, \left\{\begin{matrix} 4\\ 2 \end{matrix}\right\} = 7 ஏனென்றால், {a, b, c, d} போன்ற ஒரு 4-கணத்தின் இரு-உட்கணப்பிரிவுகள்: : '' {a}/{b,c,d}; {b}/{c,d,a}; {c}{d,a,b}; {d}{a,b,c}; {a,b}/{c,d}; {a,c}/{b,d}; {a,d}/{b,c}.'' அண்மைக்காலத்தில் இவ்வெண் ஸ்டர்லிங் உட்கண எண் என்ற பெயராலும் குறிக்கப்பட்டு வருகிறது.
கேள்வி: இசுட்டெர்லிங் எண்கள் - இரண்டாவது வகை எண் அட்டவணை பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: \left\{\begin{matrix} n\\ k \end{matrix}\right\} {| class="wikitable" |- ! n \downarrow k \rightarrow ! 1 ! 2 ! 3 ! 4 ! 5 ! 6 ! 7 |- | 1 | 1 | | | | | |- | 2 | 1 | 1 | | | | | |- | 3 | 1 | 3 | 1 | | | | |- | 4 | 1 | 7 | 6 | 1 | | | |- | 5 | 1 | 15 | 25 | 10 | 1 | | |- | 6 | 1 | 31 | 90 | 65 | 15 | 1 | |- | 7 | 1 | 63 | 301 | 350 | 140 | 21 | 1 |- |}
கேள்வி: இசுட்டெர்லிங் எண்கள் - சில எளிதான பொதுவிளைவுகள் என்பது என்ன?
பதில்: :* n\geqslant 2 ஆக இருந்தால் \left\{\begin{matrix} n\\ 2 \end{matrix}\right\} = 2^{n-1} - 1. :* n\geqslant 1 ஆக இருந்தால் \begin{bmatrix} n\\ 1 \end{bmatrix} = (n - 1)! :* \begin{bmatrix} n\\ n \end{bmatrix} = \left\{\begin{matrix} n\\ n \end{matrix}\right\} = 1 :* \begin{bmatrix} n\\ n - 1 \end{bmatrix} = \left\{\begin{matrix} n\\ n - 1 \end{matrix}\right\} = \binom{n}{2}
கேள்வி: இசுட்டெர்லிங் எண்கள் - செங்குத்துத்தன்மை உறவுகள் என்பது என்ன?
பதில்: முதல் வகை, இரண்டாவது வகை ஆகிய இரண்டு ஸ்டர்லிங் எண்களுக்கும், இறங்குமுகக் காரணியத்துடன் உறவுகள் உள்ளன. முதல்வகை ஸ்டர்லிங் எண்ணில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள உறவிலிருந்து, : (*) x(x - 1)(x - 2) ... (x - n + 1) = \sum_{k} \begin{bmatrix} n\\ k \end{bmatrix} (-1)^{n-k} x^k. இரண்டாவதுவகை ஸ்டர்லிங் எண்ணில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள உறவிலிருந்து, : (**) x^n = \sum_k \left\{\begin{matrix} n\\ k \end{matrix}\right\}x(x-1)(x-2) ... (x-k+1) (*)ஐ (**) இல் பொருத்தினால் நமக்குக் கிடைப்பது: :x^n = \sum_k \left\{\begin{matrix} n\\ k \end{matrix}\right\} \sum_m \begin{bmatrix} k\\ m \end{bmatrix} (-1)^{k-m} x^m = \sum_m \biggl(\sum_k\left\{\begin{matrix} n\\ k \end{matrix}\right\}\begin{bmatrix} k\\ m \end{bmatrix} (-1)^{k-m}\biggr)x^m ஆனால் x^n பல்லுறுப்புகளெல்லாம் சேர்வியல் சார்பற்றவை. :::ஃ (செ.உ.1): \sum_k \left\{\begin{matrix} n\\ k \end{matrix}\right\}\begin{bmatrix} k\\ m \end{bmatrix}(-1)^{k-m} = \delta_{nm}. இங்கு \delta_{nm} = \begin{cases} 1 , n=m \\ 0 , n\neq m \end{cases}. மாற்றாக, (**)ஐ (*) இல் பொருத்தி, பல்லுறுப்புகள் x(x-1)(x-2)...(x-n+1) சேர்வியல் சார்பற்றவை என்பதைப் பயன்படுத்தினால், நமக்குக்கிடைப்பது, இதற்கு இணையான் இன்னொரு செங்குத்துத்தன்மை உறவு (Orthogonality Relation): :::ஃ (செ.உ.2):\sum_k\begin{bmatrix} n\\ k \end{bmatrix}\left\{\begin{matrix} k\\ m \end{matrix}\right\} (-1)^{n-k} = \delta_{nm} ஸ்டர்லிங் எண்களைப்பற்றிய மற்ற தேற்றங்களையும் மீள்வரு தொடர்புகளையும் முதல் வகை ஸ்டர்லிங் எண், இரண்டாவது வகை ஸ்டர்லிங் எண் என்ற தனிக்கட்டுரைகளில் பார்க்கவும்.