கேள்வி: முக்கோணவியல் சார்புகள் என்பது என்ன?
பதில்: கணிதம், முக்கோணவியல் சார்புகள் (''trigonometric functions'') என்பவை கோணம் சார்புகள் ஆகும். இவை வட்டச் சார்புகள் (''circular functions'') எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன. இவை ஒரு முக்கோணம் கோணங்களையும் பக்கங்களையும் தொடர்புபடுத்துகின்றன. ஆறு அடிப்படை முக்கோணவியல் சார்புகள் உள்ளன. இவற்றுள் முக்கியமான மூன்று சார்புகள்: ''சைன் (முக்கோணவியல்)'', ''காஸ்'' என அழைக்கப்படும் ''கோசைன் (முக்கோணவியல்)'' மற்றும் ''டேன்'' என அழைக்கப்படும் ''டேன்ஜெண்ட் (முக்கோணவியல்)''. முக்கோணவியல் சார்புகள் ஒரு முக்கோணம்#முக்கோணங்களின் வகைகள் அல்லது ஓரலகு வட்டம் வாயிலாக வரையறை. மேலும் இவற்றை முடிவிலாத் தொடர்களாகவும் வகையீட்டுச் சமன்பாடு தீர்வுகளாகவும் விவரிக்கலாம். முக்கோணவியல் சார்புகள், முக்கோணங்களின் (பெரும்பாலும் செங்கோண முக்கோணங்கள்) தரப்படாத கோணங்கள் மற்றும் பக்கங்களின் அளவுகளைக் கணக்கிடப் பயன்படுகின்றன. கடல்வழிப்பயண வழிகாட்டல், பொறியியல் மற்றும் இயற்பியல் இவற்றுக்கு முக்கிய பயன்பாடு உள்ளது. இயற்பியலில் ஒரு திசையன் இரு கார்ட்டீசியன் அச்சுத்திசைகளில் பிரிப்பதற்கு இவை பயன்படுகின்றன. ஒலி மற்றும் ஒளி அலைகள், பகலின் நீளம், ஒரு வருடத்தின் சராசரி வெப்ப அளவு போன்ற காலமுறைச் சார்புகளின் தோற்றப்பாடுகளைப் பற்றி அறிந்து கொள்ள சைன் மற்றும் கொசைன் சார்புகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.
கேள்வி: முக்கோணவியல் சார்புகள் - வரையறை-செங்கோண முக்கோணத்தில் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: படிமம்:Trigonometry triangle.svg வடிவொப்புமை (வடிவவியல்)#வடிவொத்த முக்கோணங்கள் ஒத்தபக்கங்களின் விகிதம் சமமாக இருக்கும் என்ற உண்மையிலிருந்து, ஒரு முக்கோணத்தின் பக்க நீளம் கோண அளவுகளுக்கும் தொடர்பு இருக்கும் என்ற கருத்து அறியப்படுகிறது. இரு செங்கோண முக்கோணம் ஒன்றின் செம்பக்கம் மற்றதன் செம்பக்க நீளத்தைப் போல இருமடங்கு எனில் மற்ற பக்கங்களும் அவ்வாறே அமையும். இந்த பக்க விகிதங்களைத்தான் முக்கோணவியல் சார்புகள் தருகின்றன. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கோணம் ''A'' -ன் முக்கோணவியல் சார்புகளை வரையறுக்க அம்முக்கோணத்தின் பக்கங்களைப் பின்வருமாறு அழைக்கலாம்: * ''செம்பக்கம்'' (அல்லது கர்ணம்) (''hypotenuse''): செங்கோணத்திற்கு எதிர்ப்பக்கம். இதன் அளவு &nbsp;h. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் செம்பக்கம்தான் மூன்று பக்கங்களிலும் நீளமானது. * ''எதிர்ப்பக்கம்'' (''opposite''): நாம் எடுத்துக்கொண்ட கோணம் ''A'' -க்கு எதிரில் அமையும் பக்கம். இதன் நீளம் &nbsp;a. * ''அடுத்துள்ள பக்கம்'' (''adjacent''): செங்கோணம் மற்றும் நாம் எடுத்துக்கொண்ட கோணம் இரண்டிற்கும் ( ''A'' மற்றும் ''C'') பொதுவான பக்கம். இதன் நீளம் &nbsp;b. {| class="wikitable" style="background-color:#fff" |- ! சார்பு ! சுருக்கம் ! வரையறை ! முக்கோணவியல் முற்றொருமைகள்(ரேடியன்களில்) |- ! சைன்(sine) | sin |align=center|எதிர்ப்பக்கம்&nbsp;/ செம்பக்கம் | \sin \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\csc \theta} |- ! கோசைன்(cosine) | cos |align=center|அடுத்துள்ளபக்கம்&nbsp;/ செம்பக்கம் | \cos \theta = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\sec \theta}\, |- ! டேன்ஜெண்ட்(Tangent) | tan (or&nbsp;tg) |align=center|எதிர்ப்பக்கம்&nbsp;/ அடுத்துள்ளபக்கம் | \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \cot \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\cot \theta} |- ! கோடேன்ஜெண்ட்(Cotangent) | cot (or&nbsp;ctg or&nbsp;ctn) |align=center|அடுத்துள்ளபக்கம்&nbsp;/ எதிர்ப்பக்கம் | \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \tan \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\tan \theta} |- ! சீக்கெண்ட்(Secant) | sec |align=center|செம்பக்கம்&nbsp;/ அடுத்துள்ளபக்கம் | \sec \theta = \csc \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\cos \theta} |- ! கோசீக்கெண்ட்(Cosecant) | csc (or&nbsp;cosec) |align=center|செம்பக்கம்&nbsp;/ எதிர்ப்பக்கம் | \csc \theta = \sec \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\sin \theta} |} படிமம்:Periodic sine.svg.]] யூக்ளிட் வடிவவியல், முக்கோணத்தின் அடிப்படைப் பண்பின்படி, ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று உட்கோண அளவுகளின் கூடுதல் 180° (π ரேடியன்). எனவே ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், செங்கோணமல்லாத மற்ற இரு கோணங்களின் கூடுதல் 90° (π/2 ரேடியன்). இவ்விரு கோணங்களின் அளவுகள் (0°,90°) இடைவெளியில் அமையும். கீழே தரப்பட்டுள்ள வரையறைகள் (0°, -90°) இடைவெளியில் அமையும் கோணங்களுக்கும் பொருந்தும். ஓரலகு வட்டத்தின் வாயிலாக அல்லது குறிப்பிட்ட சமச்சீர்த்தன்மை காரணமாக சார்புகள் காலமுறைச் சார்புகளாக இருக்கும்போது, இந்த வரையறைகளை முழு எண்#மெய்யெண்கள் அளவுகளுக்கும் நீட்டிக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக: படத்தில் sin&nbsp;''θ'' -ன் மதிப்பு, ''θ'', ''π''&nbsp;−&nbsp;''θ'', ''π''&nbsp;+&nbsp;''θ'' மற்றும் 2''π''&nbsp;−&nbsp;''θ'' ஆகிய கோணங்களுக்கு, படத்தின் மேற்புறத்தில் ஓரலகு வட்டத்திலும் கீழ்ப்புறம் வரைபடத்திலும் காட்டப்பட்டுள்ளது. சைன் சார்பின் மதிப்பு நான்கு காற்பகுதிகளிலும் மீண்டும் மீண்டும் ஒரே மதிப்பைக் (குறி நீங்கலாக) கொண்டுள்ளது. சுழற்சிகளின் மூலம் ''θ'' -ன் மதிப்பு நீட்டிக்கப்பட்டால், கால அளவு &nbsp;2''π'' கொண்டு சைன் சார்புக்கு இதே மதிப்புகள் அமையும்.
கேள்வி: முக்கோணவியல் சார்புகள் - சைன், கொசைன், டேன்ஜெண்ட் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: படிமம்:Unitcircledefs.svg படிமம்:Unitcirclecodefs.svg * சைன்: செங்கோண முக்கோணத்தின் ஒரு கோணத்தின் சைன் மதிப்பு, அக்கோணத்தின் எதிர்ப்பக்கம் மற்றும் செம்பக்கத்தின் விகிதமாகும்.சைன் என்ற பெயர் விரிகுடா என்ற பொருளுடைய சைனஸ் (''sinus'') எனும் இலத்தீன் வார்த்தையிலிருந்து தோன்றியது.Oxford English Dictionary, sine, ''n.''2, :\sin A = \frac {\textrm{opposite}} {\textrm{hypotenuse}} = \frac {a} {h}. ஒரு செங்கோண முக்கோணம் ''A'' கோணத்தைக் கொண்டதாய் அமைந்தால் போதும், அம்முக்கோணத்தின் அளவினை இவ்விகிதம் சார்ந்திருப்பதில்லை. ஏனென்றால் அவ்வாறு அமையும் செங்கோண முக்கோணங்கள் எல்லாம் வடிவொத்த முக்கோணங்களாக அமையும். * கோசைன்: செங்கோண முக்கோணத்தின் ஒரு கோணத்தின் கொசைன் மதிப்பு, அக்கோணத்தின் அடுத்துள்ளபக்கம் மற்றும் செம்பக்கத்தின் விகிதமாகும். எடுத்துக்கொள்ளப்படும் கோணத்தின் நிரப்புக் கோணங்கள் சைன் மதிப்பிற்குச் சமமாக அமைவதால் கோசைன்(கோ-சைன்) என்று பெயர்பெற்றுள்ளது.Oxford English Dictionary, cosine, ''n.''. :\cos A = \frac {\textrm{adjacent}} {\textrm{hypotenuse}} = \frac {b} {h}. * டேன்ஜெண்ட்: செங்கோண முக்கோணத்தின் ஒரு கோணத்தின் டேன்ஜெண்ட் மதிப்பு, அக்கோணத்தின் எதிர்ப்பக்கம் மற்றும் அடுத்துள்ளபக்கத்தின் விகிதமாகும். பெயர்க் காரணம்: இம்மதிப்பை ஓரலகு வட்டத்தின் தொடுகோடு குறிக்க முடியும் என்பதால் தொடும் கோடு என்ற பொருள்படும் ''linea tangens'' அல்லது தொடுவதற்கு என்ற பொருள்படும் ''tangere'' லத்தீன் மொழிச் சொற்களில் இருந்து இப்பெயர்பெற்றது.Oxford English Dictionary, tangent, ''adj. and n.'' :\tan A = \frac {\textrm{opposite}} {\textrm{adjacent}} = \frac {a} {b}.
கேள்வி: முக்கோணவியல் சார்புகள் - தொடர்களின் வடிவில் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: படிமம்:Taylorsine.svg டெயிலரின் விரிவுக் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்திப் பின்வரும் முற்றொருமைகள், எல்லா மெய்யெண்கள் ''x'' -க்கும் உண்மையெனக் காட்டலாம்.See Ahlfors, pages 43–44. : \begin{align} \sin x & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \\ & = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \\ \cos x & = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \\ & = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}. \end{align} சிலசமயங்களில் இம்முற்றொருமைகள் சைன் மற்றும் கோசைன் சார்புகளின் வரையறைகளாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகின்றன. இவ்விரண்டு விரிவுகளையும் சேர்த்தால் ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு கிடைக்கும். : cos ''x'' + ''i'' sin ''x'' = ''e'ix''. மற்ற முக்கோணவியல் சார்புகளின் விரிவுகளையும் காணமுடியும்.Abramowitz; Weisstein. : ''B'n'': n -ஆம் டேனியல் பெர்னூலி எண் : ''E'n'': ''n'' -ஆம் ஆய்லரின் எண் : \begin{align} \tan x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{U_{2n+1} x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ & {} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \\ & {} = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \cdots, \qquad \text{for } |x| : \begin{align} \csc x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1} 2 (2^{2n-1}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \\ & {} = x^{-1} + \frac{1}{6}x + \frac{7}{360}x^3 + \frac{31}{15120}x^5 + \cdots, \qquad \text{for } 0 : \begin{align} \sec x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{U_{2n} x^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!} \\ & {} = 1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{24}x^4 + \frac{61}{720}x^6 + \cdots, \qquad \text{for } |x| : \begin{align} \cot x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \\ & {} = x^{-1} - \frac{1}{3}x - \frac{1}{45}x^3 - \frac{2}{945}x^5 - \cdots, \qquad \text{for } 0
கேள்வி: முக்கோணவியல் சார்புகள் - வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் வாயிலாக என்பது என்ன?
பதில்: சைன் மற்றும் கோசைன் சார்புகள் இரண்டுமே பின்வரும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும்.: : y'' = -y.\, * \scriptstyle \left( y'(0), y(0) \right) = (1, 0)\, என்ற ஆரம்ப நிபந்தனையை நிறைவு செய்யும் தனித்த தீர்வு சைன் சார்பு, * \scriptstyle \left( y'(0), y(0) \right) = (0, 1)\,என்ற ஆரம்ப நிபந்தனையை நிறைவு செய்யும் தனித்த தீர்வு கோசைன் சார்பு. * y' = 1 + y^2\, என்ற வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தனித்த தீர்வு டேன்ஜெண்ட் சார்பு இது நிறைவு செய்யும் நிபந்தனை ''y''(0) = 0. டேன்ஜெண்ட் சார்பு இந்த வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டினை நிறைவு செய்யும் என்பதற்கான கணித நிறுவல் உள்ளது.