கேள்வி: இடைவெட்டுத் தேற்றம் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: இடைவெட்டுத் தேற்றம் (''intercept theorem'') என்பது வடிவவியல் இரண்டு வெட்டிக்கொள்ளும் கோடுகளை ஒரு சோடி இணை (வடிவவியல்) வெட்டுவதால் உண்டாகும் கோட்டுத்துண்டுகளின் விகிதம் பற்றிக்கூறும் முக்கியமானதொரு தேற்றம். இத்தேற்றம் கிரேக்கம் கணிதவியலாளர் ''தேலேசுவின்'' கண்டுபிடிப்பாக கருதப்பட்ட மரபினால், தேலேசுத் தேற்றம் எனவும் அழைக்கப்படுகிறது ஆனால் மற்றொரு தேலேசுத் தேற்றம் இதனை குழப்பிக் கொள்ளல் கூடாது. இது வடிவொப்புமை (வடிவவியல்) பக்க விகிதங்கள் குறித்த தேற்றத்துக்குச் சமானமானது.
கேள்வி: இடைவெட்டுத் தேற்றம் - கூற்று 1 குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: {| class="wikitable" |- |style="width:800px" valign="top" | File:Intercept theorem proof.svg CA\parallel BD) | \triangle CDA|=| \triangle CBA|.(இரு முக்கோணம் உயரங்கள் சமம்) ஃ| \triangle SCB|=| \triangle SDA|. இதிலிருந்து, \frac{| \triangle SCA|}{|\triangle CDA|}=\frac{|\triangle SCA|}{|\triangle CBA|}; \frac{| \triangle SCA|}{|\triangle SDA|}=\frac{|\triangle SCA|}{|\triangle SCB|} முக்கோணங்களின் பரப்பு காணும் வாய்ப்பாடு பயன்படுத்த: ( \frac{baseline \cdot height}{2}) \frac{|SC||AF|}{|CD||AF|}=\frac{|SA||EC|}{|AB||EC|} \frac{|SC||AF|}{|SD||AF|}=\frac{|SA||EC|}{|SB||EC|} பொதுக்காரணிகளை நீக்க: :(a) \, \frac{|SC|}{|CD|}=\frac{|SA|}{|AB|}. :(b) \, \frac{|SC|}{|SD|}=\frac{|SA|}{|SB|} (b) லிருந்து |SA| , |SC| மதிப்புகளை (a) -ல் பதிலிட: \frac{\frac{|SA||SD|}{|SB|}}{|CD|}=\frac{\frac{|SB||SC|}{|SD|}}{|AB|} மறுபடியும் (b) பயன்படுத்திச் சுருக்க: c) \, \frac{|SD|}{|CD|}=\frac{|SB|}{|AB|} \, \square |- |}
கேள்வி: இடைவெட்டுத் தேற்றம் - கூற்று 3 குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: {| class="wikitable" |- |style="width:800px" valign="top" | Image:Intercept theorem proof2.svg AC , BD இரண்டும் இணை இல்லை என எடுத்துக் கொள்க. AC -க்கு D வழியாக வரையப்படும் இணைகோடு, SA -ஐ வெட்டும் புள்ளி B_{0}\neq B . |SB|:|SA|=|SD|:|SC| என்பது உண்மை என்பதால் |SB|=\frac{|SD||SA|}{|SC|} மேலும் கூற்று 2 -ன் படி |SB_{0}|=\frac{|SD||SA|}{|SC|}. எனவே , \ B, \ B_{0} இரண்டும் S -க்கு ஒரே பக்கத்தில், ஒரேயளவு தூரத்தில் அமையும். ஃ \ B = B_0 . இது ஒரு முரண்பாடு. எனவே நாம் AC மற்றும் BD இரண்டும் இணை அல்ல என எடுத்துக்கொண்டது தவறு. அவை இணையாகத்தான் இருக்க முடியும். \square |- |}
கேள்வி: இடைவெட்டுத் தேற்றம் - கூற்று 4 என்பது என்ன?
பதில்: இரு கோடுகளுக்கான வெட்டுத்தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி இதை நிறுவலாம்..
கேள்வி: இடைவெட்டுத் தேற்றம் - திசையன் வெளியில் திசையிலிப் பெருக்கல் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: Image:Intercept theorem vectors.svg திசையன் திசையன் வெளியில் திசையிலிப் பெருக்கல் சம்பத்தப்பட்ட அடிக்கோள்கள் (குறிப்பாக): \lambda \cdot (\vec{a}+\vec{b})=\lambda \cdot \vec{a}+ \lambda \cdot \vec{b} \|\lambda \vec{a}\|=|\lambda|\cdot\ \|\vec{a}\| ) இரண்டும் வெட்டுத்துண்டுத் தேற்றம் உண்மை என்பதை உறுதிப் படுத்துகின்றன. அதாவது, இந்த அடிக்கோள்களின் பலனாக மேலேயுள்ள படத்திலிருந்து நமக்குக் கிடைக்கும் முடிவு: \frac{ \| \lambda \cdot \vec{a} \| }{ \| \vec{a} \|} =\frac{\|\lambda\cdot\vec{b}\|}{\|\vec{b}\|} =\frac{\|\lambda\cdot(\vec{a}+\vec{b}) \|}{\|\vec{a}+\vec{b}\|} =|\lambda|
கேள்வி: இடைவெட்டுத் தேற்றம் - ஒரு கோட்டுத்துண்டைத் தரப்பட்ட விகிதத்தில் பிரித்தல் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: {| class="wikitable" |- |style="width:300px" valign="top" | தரப்பட்ட கோட்டுத்துண்டு \overline{AB} -ஐ m:n விகிதத்தில் பிரிக்க: * \overline{AB} -ஐ ஒரு பக்கமாகக் கொண்டு கோணம் A வரைதல் வேண்டும். * கோணத்தின் மற்றொரு பக்கத்தில் m+n சமதூரப் புள்ளிகளைக் குறிக்க வேண்டும். * இப்புள்ளிகளில் கடைசிப்புள்ளி மற்றும் B இரண்டையும் இணைத்து கோடு வரைதல் வேண்டும். * இக்கோட்டிற்கு இணையாக mth புள்ளி வழியாக ஒரு கோடு வரைதல் வேண்டும். * இந்த இணைகோடு, கோட்டுத்துண்டு \overline{AB} -ஐ m:n விகிதத்தில் பிரிக்கும். * படத்தில் \overline{AB} கோட்டுத்துண்டு 5:3 விகிதத்தில் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது.. || File:Dividing segment.svg |- |}
கேள்வி: இடைவெட்டுத் தேற்றம் - சியோப்ஸ் பிரமிடின் உயரம் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: Image:Thales theorem 6.png Image:Thales theorem 7.png சில வரலாறு ஆதாரங்களிலிருந்து கிரேக்க கணிதவியலாளர் ''தேலேசு'', ''சியோப்சின் பிரமிடின்''(Cheops' pyramid) உயரம் கணக்கிட இடைவெட்டுத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தியதாகத் தெரியவருகிறது. பின் வரும் விளக்கம், சியோப்சின் பிரமிடின் உயரத்தைக் கணக்கிட எவ்வாறு இடைவெட்டுத் தேற்றம் பயன்படுத்தப்பட்டது என்பதை விளக்குகிறது. எனினும் இது தொலைந்து போனதாகக் கருதப்படும் அவரது மூலப் படைப்பு அல்ல. அவர் முதலில் பிரமிடின் அடியின் நீளத்தையும் கம்பத்தின் உயரத்தையும் அளந்து கொண்டார். பின் அதே நாளில் அதே நேரத்தில் பிரமிடின் நிழலின் நீளத்தையும் கம்பத்தின் நிழலின் நீளத்தையும் அளந்து கொண்டார். அவரது கணக்கீட்டிற்கு பின்வரும் தரவுகள் கிடைத்தன: *கம்பத்தின் உயரம் (A): 1.63m *கம்பத்தின் நிழலின் நீளம் (B): 2m *பிரமிடின் அடிநீளம்: 230m *பிரமிடின் நிழலின் நீளம்: 65m இதிலிருந்து: : C = 65m+\frac{230m}{2}=180m எனக் கணக்கிட்டார். A,B , C மதிப்புகள் தெரிந்ததால் இடைவெட்டுத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, அவர் கணக்கிட்டது: : D=\frac{C \cdot A}{B}=\frac{1.63m \cdot 180m}{2m}=146.7m
கேள்வி: இடைவெட்டுத் தேற்றம் - குறிப்பு பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: No original work of Thales has survived. All historical sources that attribute the intercept theorem or related knowledge to him were written centuries after his death. Diogenes Laërtius and Pliny the Elder give a description that strictly speaking does not require the intercept theorem, but can rely on a simple observation only, namely that at a certain point of the day the length of an object's shadow will match its height. Laertius quotes a statement of the philosopher Hieronymus of Rhodes about Thales: "''Hieronymus says that [Thales] even succeeded in measuring the pyramids by observation of the length of their shadow at the moment when our shadows are equal to our own height.''". Pliny writes: "''Thales discovered how to obtain the height of pyramids and all other similar objects, namely, by measuring the shadow of the object at the time when a body and its shadow are equal in length.''". However Plutarch gives an account, that may suggest Thales knowing the intercept theorem or at least a special case of it:"''.. without trouble or the assistance of any instrument [he] merely set up a stick at the extremity of the shadow cast by the pyramid and, having thus made two triangles by the impact of the sun's rays, ... showed that the pyramid has to the stick the same ratio which the shadow [of the pyramid] has to the shadow [of the stick]''". (Source: [http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Thales.html ''Thales biography''] of the MacTutor History of Mathematics archive).