கேள்வி: பகுவியல் (கணிதம்) குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: கணிதம் பரந்தவாரியாக இரண்டு பிரிவுகளாகப்பிரிக்கலாம். தனித்தனிச்செயல்முறைகள் கொண்டது ஒன்று. தொடர் செயல்முறைகள் கொண்டது மற்றொன்று. முதல் பிரிவில் இயற்கணிதம், நேரியல் இயற்கணிதம், எண் கோட்பாடு, சேர்வியல் (கணிதம்), முதலியவை அடங்கும். இரண்டாம் பிரிவில் பகுவியல் (''Mathematical Analysis''), சார்புப்பகுவியல், இடவியல், முதலியவை அடங்கும். வடிவவியல் இவையிரண்டிலும் சேரும். இவைகளில் பகுவியல் என்ற உப இயல் நியூட்டன் தொடங்கிவைத்த நுண்கணிதம்க்கருத்துகளில் விதையிடப்பட்டு, 17, 18, 19 வது நூற்றாண்டுகளில் ஆய்லர், லாக்ரான்ஜி, கோஷி, வியர்ஸ்ட்ராஸ், கார்ல் ஃப்ரெடெரிக் காஸ், ரீமான், ஃபொரியர் இன்னும் பலருடைய ஆய்வுகளினால் பெரிய ஆலமரமாக வளர்ந்துவிட்ட ஒரு மிகச்சிறந்த பிரிவு. இத்துறையினுடைய எண்ணப் பாதைகள் இயற்பியல், பொறியியல், இரண்டிலும் ஆழப்புகுந்து, 19 வது நூற்றாண்டின் பிற்பாதியில், அறிவியலில் எந்தப் பிரச்சினையானாலும் அதை சரியானபடி உருவகப்படுத்திவிட்டால் கணிதம் அதைத் தீர்வு செய்துவிடும் என்ற ஒரு நம்பிக்கையை அறிவியலுலகில் அனைவருக்கும் உண்டுபண்ணியது.
கேள்வி: பகுவியல் (கணிதம்) - வரலாறு என்பது என்ன?
பதில்: கணிதம் (Mathematics) எனப்படுவது பொருளாதார செயற்பாடுகளில் , எண்களுக்கு இடையேயான தொடர்புகளைக் கண்டறிவதில், நில அளவையில், வானவியல் நிகழ்வுகளை வரையறுப்பதில் மனிதனுக்குள் எழுந்த துல்லியக் கணக்கீட்டுத் தேவைகள் காரணமாக உருவான ஓர் அறிவியல் பிரிவாகும். இந்த நான்கு விதமான இன்றியமையாத தேவைகள் காரணமாக கணிதத்தில் பின்வரும் நான்கு பெரிய பிரிவுகள் உருவாக்கப்படுகின்றன. அவையாவன: # அளவு (Quantity) - எண்கணிதம் # அமைப்பு (Structure) - இயற்கணிதம் # பரவெளி (Space) - வடிவவியல் # மாற்றம் (Change) - பகுவியல் (Analysis) - நுண்கணிதம் மற்றும் வகை நுண்கணிதம்
கேள்வி: பகுவியல் (கணிதம்) - தொடர் செயல்முறை பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: 'எல்லை' அல்லது 'எல்லைப்புள்ளி (கணிதம்)' என்ற கருத்துதான் பகுவியலின் தொடர்செயல்முறைகளின் வேர்க்கருத்து. ஒரு பறவை வானில் சீராகப் பறக்கும்போது, அல்லது எண்ணை ஊற்றப்படும்போது, அல்லது துப்பாக்கி முனையிலிருந்து வெளிப்பட்ட குண்டு காற்றை ஊடுருவிப் பாயும்போது, ஏற்படும் இயக்கம் தொடரியக்கத்திற்கு நல்ல சான்றுகள். சீராகவும், ஒருவித இடைவெளியில்லாமலும் இருக்கக்கூடியது. எங்கெல்லாம் தொடரியக்கம் உள்ளதோ, அல்லது இன்னும் தத்துவப்படுத்திச் சொல்லப்போனால், எங்கெல்லாம் தொடர் செயல்பாடு காணப்படுகிறதோ அங்கெல்லாம் தனிப்பட்ட எண்கள் 1, 2, 3 .. முதலியவை தகுந்த கணித உருவகமாகாது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு நேர்கோட்டில் உள்ள எல்லாப் புள்ளிகளிலும், அவைகளுக்கு 1,2,3, ..., ஐப்போல தனித்துவம் காணப்படுவதில்லை. 1,2,3, ... என்ற எண்களில் அடுத்தடுத்த எண்களுக்கிடையிலும் நாம் வேறு எண்களை உண்டாக்கி அவைகளைத் தனித்துவப்படுத்தலாம். ஆனால் நேர்கோட்டில் உள்ள புள்ளிகளில் அடுத்தடுத்த புள்ளிகள் என்ற கருத்துக்கே இடம் கிடையாது. இவ்விதம் அடுத்த புள்ளி, அடுத்த நிகழ்வு என்ற கருத்துக்கே இடமில்லாமல் இருப்பதுதான் தொடர் செயல்பாட்டின் இலக்கணம். இதை ஆதாரமாகக் கொண்டுதான் நியூட்டன், லெப்னீட்ஸ் முதலியோர் எல்லை என்ற கருத்தையும் நுண்கணிதம் என்ற கோட்பாட்டையும் படைத்து விரிவாக்கம் செய்தனர். 19வது நூற்றாண்டில் இவையெல்லாவற்றிற்கும் கணிதமரபுக் கேற்றவாறு அஸ்திவாரம் சீர் செய்யப்பட்டு பகுவியல் என்ற பெரிய பிரிவாகப்பரந்து நிற்கின்றது.
கேள்வி: பகுவியல் (கணிதம்) - வடிவங்கள் வேண்டாத கணிதம் என்பது என்ன?
பதில்: லாக்ராஞ்சி நுண்கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி நிகழ்தகவுப் பிரச்சினைகளை ஆராய்ச்சி செய்தார். அவருடைய பகுவியக்கவியல் நூல்தான் முதன்முதலில் வடிவங்களில்லாமல் இயக்கியவியல் பிரச்சினைகளை அணுகமுடியும் என்று உலகத்திற்கு காட்டியது. இயக்கவியல் என்பதே மூன்று கார்த்தீசீயன் ஆயங்களும் ஒரு நேர ஆயமும் சேர்ந்த ஒரு நான்கு பரிமாண வெளியில் ஒரு துகளின் இயக்கத்தை பகுத்துக்காட்டும் இயல் தான் என்பது அவருடைய கருத்து. பிற்காலத்தில் கணிதத்தின் வளர்ச்சிக்கு பகுவியல் முக்கியப் பங்கு வகித்ததற்கு இவையெல்லாம் அடிகோலிற்று. ஒரு சதுரத்தின் மூலைவிட்டத்தை வடிவமாகத் தீட்டமுடியும். ஆனால் அதை ஒரு முடிவுறு எண்ணிக்கையுள்ள செயல்பாடுகளால் அளக்கமுடியாது. பித்தாகொரஸ் என்ற கிரேக்க அறிஞர் காலத்திலிருந்தே இது தெரியும். இதனுடைய முழு தத்துவமும் 19வது நூற்றாண்டின் பகுவியலுக்கு வித்தாகி நின்றது. கி.மு. 500 ஆம் ஆண்டுகளில் பிதாகரஸ் வழியினைப் பின்பற்றி வந்தவர்கள் முதன் முதலாக பின்ன வடிவில் எழுதவியலாத எண்களைக் கண்டுபிடித்தனர். அத்தகைய எண்கள் விகிதமுறா எண்கள் என்று எடுத்துரைக்கப்பட்டன. விகிதமுறா எண்கள் (Irrational Numbers) எனப்படுவது முடிவுறா மற்றும் சுழல் தன்மையற்ற (Non terminating and recurring) தசம விரிவுடைய எண்களாகும். எனவே, ஒரு விகிதமுறா எண்ணை, விகிதமுறு எண்ணைப் போல p/q (இங்கு p, q ஆகியன முழுக்கள் மற்றும் q ≠ 0) என்று விவரிக்க முடியாது. முழு வர்க்கமற்ற எந்தவொரு மிகைமுழு எண்ணின் வர்க்க மூலமும் விகிதமுறா எண் ஆகும். விகிதமுறா எண்களின் முழு இலக்கணமும் பகுவியலுக்கு அடிப்படை.
கேள்வி: பகுவியல் (கணிதம்) - விகிதமுறா எண்ணின் இலக்கணம் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: # ஒரு விகிதமுறு எண் மற்றும் ஒரு விகிதமுறா எண் ஆகியவற்றின் கூட்டற்பலன் அல்லது கழித்தற்பலன் என்பது எப்போதும் ஒரு விகிதமுறா எண் ஆகும். # ஒரு சுழியன் அற்ற விகிதமுறு எண் மற்றும் ஒரு விகிதமுறா எண் இவற்றின் பெருக்கற்பலன் அல்லது வகுத்தற்பலன் ஒரு விகிதமுறா எண் ஆகும். # இரண்டு விகிதமுறா எண்களின் கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல் ஆகியவற்றின் தீர்வு எப்போதும் ஒரு விகிதமுறு எண்ணாக அமையுமென நம்பக் கூடாது. அது விகிதமுறு என்னாகவோ, அல்லது விகிதமுறா எண்ணாகவோ இருக்கக் கூடும். # மெய் எண்களின் கணமானது விகிதமுறு மற்றும் விகிதமுறா எண்களின் சேர்ப்புக் கணமாக அமையும். # ஒவ்வொரு மெய் எண்ணும் ஒரு விகிதமுறு எண்ணாகவோ அல்லது விகிதமுறா எண்ணாகவோ காணப்படும். # ஒரு மெய் எண் விகிதமுறு எண் அல்ல என்றால், அவ்வெண் ஒரு விகிதமுறா எண்ணாகும்.
கேள்வி: பகுவியல் (கணிதம்) - கணிதத்தின் கண்டிப்பு பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: பகுவியலின் இருதயத்துடிப்பு கணிதமுறையில் கண்டிப்பு (Rigour)தான். இதை முதன்முதலில் நூற்றுக்கு நூறு கடைப் பிடித்துப் பகுவியலில் மாத்திரமல்லாமல் கணிதம் முழுவதுமே ஒரு மரபாக ஏற்படக் காரணமாக இருந்தவர் காஸ் என்ற மிகப்பெரிய கணிதவியலர். இருபது வயது ஆகுமுன்னரே காஸ் நியூடனின ஈருறுப்புத் தேற்றம்த்தை முழு எண்ணல்லாத அடுக்குகளுக்கும் நிறுவ முயன்று, மற்றவர்கள் கொடுத்திருந்த நிறுவல்களில் திருத்தமான கண்டிப்பு இல்லாமலிருந்ததைக் கண்டு தானே ஒரு சரியான நிறுவலைக் கொடுத்தார். இந்நிறுவல் பகுவியலின் ஆழ்ந்த கருத்துக்களைச் சார்ந்திருந்தது. இதிலிருந்து ஆரம்பித்தது அவருடைய பகுவியல் ஈர்ப்பு. நியூடன், லெப்னீட்ஸ், ஆய்லர், லாப்லாஸ், லாக்ரான்சி முதலியோரின் ஆய்வுகளில் முடிவுறாச் செயல்பாடுகளின் கண்டிப்புகளில் திருத்தங்கள் செய்து, பகுவியலின் ஒருங்குதல் கோட்பாடுகளின் இன்றைய நிலைக்கு அடித்தளம் அமைத்தார். இவருடைய நூல்களினால் உந்தப்பட்டு பகுவியலின் எண்ணப் பாதைகளிலெல்லாம் புதிய சகாப்தங்கள் படைத்தவர்கள் 19வது நூற்றாண்டின் இயலர்கள் ஏபெல், கோஷி, மற்றும் பிற்காலத்தில் வியர்ஸ்ட்ராஸ், டெடிகிண்ட், ரீமான் முதலியோர்.
கேள்வி: பகுவியல் (கணிதம்) - சிக்கலெண் பகுவியல் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: காஸ் படைத்த பற்பல புது கணிதப்பாதைகளில் சிக்கலெண் சார்புகளின் பகுவியலைத் தொடங்கி அதை ஒரு தனிப்பிரிவாகும் அளவுக்கு முக்கியமானது. எண் கோட்பாடு தனிப்பட்ட எண்களைப் பற்றியதுதானாலும், அவைகளைப் பற்றிய ஆழமான தேற்றங்களின் நிறுவல்களில் சிக்கலெண் பகுவியலைப் பயன்படுத்தவேண்டிய தேவை கணிதத்தின் அதிசயங்களில் ஒன்று. இவ்வித அதிசயங்களில் ஆரம்ப காலத்திய ஒன்று டிரிச்லெயின் எண்கோட்பாட்டுத் தேற்றம்: “பொதுக் காரணிகளற்ற இரண்டு முழு எண்கள் a , b யைக்கொண்டு உண்டாக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு எண்கணிதத் தொடர்ச்சி a, a+b, a+2b, a+3b, … யும் முடிவுறாத அளவில் பெரும எண்களை உள்ளடக்கும்”.
கேள்வி: பகுவியல் (கணிதம்) - உயர்பெருக்குத்தொடர் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: 1 + \frac{ab}{c} x + \frac {a(a+1)b(b+1)x^2}{c(c+1).1\times2} + ... இது உயர்பெருக்குத்தொடர் எனப்பெயர்பெறும்.இதைப்பற்றிய காஸின் ஆய்வுநூல் பற்பல சார்புகளையும் தொடர்களையும் உயர்பெருக்குத்தொடர் என்ற ஒரே குடையின் கீழ் கொண்டுவந்து ஒருங்கிணைத்தது. ஒருங்குதல் கோட்பாடு என்பதே பகுவியலின் ஒரு முக்கியமான அம்சமானது காசின் இந்த நூலுக்குப் பிறகுதான்.இத்தொடரில் a, b, c, x களுக்கு வெவ்வேறு மதிப்பு கொடுப்பதால் கணிதத்தில் தோன்றும் வெவ்வேறுவகையான சார்புகளும் இதனுடைய தனிக்குறிப்பாகின்றன. மடக்கைத்தொடர், சைன் (முக்கோணவியல்), கோசைன் (முக்கோணவியல்) முதலிய முக்கோணவியல்தொடர்கள், வானவியல் இயற்பியல் வரும் பல சார்புகள், எல்லாம் உயர்பெருக்குத்தொடரின் தனிக்குறிப்புகள்தாம். காஸின் ஆய்வுகள் a, b, c, x இன் மதிப்புகளில் என்னென்ன நிபந்தனைகள் விதித்தால் எந்தெந்த சார்புகள் இத்தொடரால் ஒருங்குதலுக்குக் குந்தகமில்லாமல் வரையறுக்கப்படும் என்பதை அலசின.
கேள்வி: பகுவியல் (கணிதம்) - தொகையீட்டுக் கோட்பாடு பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: நுண்கணிதத்திலிருந்து தொடங்கிய கருத்துகளில் வகையீடு, தொகையீடு இரண்டும் விரிவடைந்து பகுவியலில் பெரிய கோட்பாடுகளாகவே வளர்ந்துவிட்டன. இவையிரண்டில் வகையீட்டுச்சமன்பாடுகளின் கோட்பாடுகள் இயற்பியல், வானவியல் பயன்பாடுகளின் தேவைகளால் வளர்ந்துகொண்டேவந்தது. ஆனால் தொகையீடு தத்துவத்தின் முழுவிளக்கங்கள் பகுவியலின் உள்ளுக்குள்ளேயே கணிதத்தின் கண்டிப்புகளுக்காகத் தேவைப்பட்டது. ரீமான், லெபெக் இருவரும் இரு பெரிய கோட்பாடுகளைப்படைத்து பகுவியலின் தொடுவானத்தை பெரிதும் விரிவாக்கினர். தொகையீட்டுச்சமன்பாடுகள் இருபதாவது நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில் ஆய்வுசெய்யப்பட்டு அதிலிருந்து முளைத்ததே ஹில்பர்ட்டின் உருவாக்கமான சார்புப் பகுவியல்.