கேள்வி: முக்கோணவியல் முற்றொருமைகளின் பட்டியல் - கோணங்கள் என்பது என்ன?
பதில்: இக்கட்டுரையில் கோணங்களைக் குறிக்க, கிரேக்கம் எழுத்துக்களான ஆல்ஃபா (''&alpha;''), பீட்டா (''&beta;''), காமா (''&gamma;''), மற்றும் தீட்டா (''&theta;'') பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன. கோணங்களின் வெவ்வேறு அலகுகளும் அவற்றின் மாற்றல் அட்டவணையும்: : ஒரு முழுவட்டம் &nbsp; = &nbsp;360&nbsp;பாகை (அலகு)&nbsp; = &nbsp;2\pi ரேடியன்கள் &nbsp; = &nbsp; 400 கிரேடுகள். {|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF; text-align: center;" |- ! பாகை | 30° || 60° || 120° || 150° | 210° || 240° || 300° || 330° |- ! ரேடியன் | \frac\pi6\! || \frac\pi3\! || \frac{2\pi}3\! || \frac{5\pi}6\! | \frac{7\pi}6\! || \frac{4\pi}3\! || \frac{5\pi}3\! || \frac{11\pi}6\! |- ! கிரேடு | 33⅓ கிரேடு || 66⅔ கிரேடு || 133⅓ கிரேடு || 166⅔ கிரேடு | 233⅓ கிரேடு || 266⅔ கிரேடு || 333⅓ கிரேடு || 366⅔ கிரேடு |- |colspan="9"| |- ! பாகை | 45° ||bgcolor="#F8F8FF"| 90° || 135° ||bgcolor="#F8F8FF"| 180° | 225° || 270° || 315° ||bgcolor="#F8F8FF"| 360° |- ! ரேடியன் | \frac\pi4\! ||bgcolor="#F8F8FF"| \frac\pi2\! || \frac{3\pi}4\! ||bgcolor="#F8F8FF"| \pi\! | \frac{5\pi}4\! || \frac{3\pi}2\! || \frac{7\pi}4\! ||bgcolor="#F8F8FF"| 2\pi\! |- ! கிரேடு | 50 கிரேடு ||bgcolor="#F8F8FF"| 100 கிரேடு || 150 கிரேடு ||bgcolor="#F8F8FF"| 200 கிரேடு | 250 கிரேடு || 300 கிரேடு || 350 கிரேடு ||bgcolor="#F8F8FF"| 400 கிரேடு |} ஒரு கோணத்தின் அலகைப் பற்றி எதுவுமே குறிக்கப்பட வில்லை என்றால் அதன் அலகு, ரேடியன் என எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்.
கேள்வி: முக்கோணவியல் முற்றொருமைகளின் பட்டியல் - முக்கோணவியல் சார்புகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: ஒரு கோணத்தின் சைன் (முக்கோணவியல்) மற்றும் கோசைன் (முக்கோணவியல்) சார்புகள் முதன்மையான முக்கோணவியல் சார்புகள். கோணம் ''&theta;'' என்க: * சைன் சார்பு: \sin\theta \, * கோசைன் சார்பு: \cos\theta \, * டேன்ஜெண்ட் சார்பு: :\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}. மற்ற சார்புகள், சீக்கெண்ட் (முக்கோணவியல்) (sec), கோசீக்கெண்ட் (முக்கோணவியல்) (csc), கோடேன்ஜெண்ட் (முக்கோணவியல்) (cot) ஆகியவை முறையே கோசைன், சைன், டேன்ஜெண்ட் (முக்கோணவியல்) சார்புகளின் பெருக்கல் (கணிதம்) தலைகீழிகளாகும். :\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta},\quad\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta},\quad\cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}.
கேள்வி: முக்கோணவியல் முற்றொருமைகளின் பட்டியல் - நேர்மாறுச் சார்புகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் குறியீடு: {|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF; text-align: center;" |- ! சார்பு | sin | cos | tan | sec | csc | cot |- ! நேர்மாறு | arcsin | arccos | arctan | arcsec | arccsc | arccot |}
கேள்வி: முக்கோணவியல் முற்றொருமைகளின் பட்டியல் - பித்தாகரசின் முற்றொருமை குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: பித்தாகரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமை, சைன் மற்றும் கோசைன் சார்புகளுக்கிடையேயான அடிப்படைத் தொடர்பாகும். :\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\! \cos^2\theta என்பது (\cos\theta)^2 -வையும் மற்றும் என்பது -வையும் குறிக்கும்.. இந்த முற்றொருமையிலிருந்து சைன் மதிப்பு அல்லது கோசைன் மதிப்பைப் பின்வருமாறு பெறலாம்: :\sin\theta = \pm \sqrt{1-\cos^2\theta} \quad \text{and} \quad \cos\theta = \pm \sqrt{1 - \sin^2\theta}. \,
கேள்வி: முக்கோணவியல் முற்றொருமைகளின் பட்டியல் - தொடர்புடைய முற்றொருமைகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: பித்தாகரஸ் முற்றொருமையை, அல்லது -வால் வகுக்க பின்வரும் இரண்டு முற்றொருமைகள் கிடைக்கும்: :1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta\quad\text{and}\quad 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta.\! இவற்றையும் அடிப்படை விகிதம் வரையறைகளையும் பயன்படுத்தி, எந்தவொரு முக்கோணவியல் சார்பையும் பிற முக்கோணவியல் சார்புகளின் வாயிலாக எழுதமுடியும்: {| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;text-align:center" |+ ஒவ்வொரு முக்கோணவியல் சார்பும் மற்ற ஐந்தின் வாயிலாக.Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;73, 4.3.45 ! வாயிலாக ! scope="col" | \sin \theta\! ! scope="col" | \cos \theta\! ! scope="col" | \tan \theta\! ! scope="col" | \csc \theta\! ! scope="col" | \sec \theta\! ! scope="col" | \cot \theta\! |- ! \sin \theta =\! | \sin \theta\ | \pm\sqrt{1 - \cos^2 \theta}\! | \pm\frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}\! | \frac{1}{\csc \theta}\! | \pm\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}\! | \pm\frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}\! |- ! \cos \theta =\! | \pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}\! | \cos \theta\! | \pm\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}\! | \pm\frac{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}{\csc \theta}\! | \frac{1}{\sec \theta}\! | \pm\frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}\! |- ! \tan \theta =\! | \pm\frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}\! | \pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}{\cos \theta}\! | \tan \theta\! | \pm\frac{1}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}\! | \pm\sqrt{\sec^2 \theta - 1}\! | \frac{1}{\cot \theta}\! |- ! \csc \theta =\! | \frac{1}{\sin \theta}\! | \pm\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}\! | \pm\frac{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}{\tan \theta}\! | \csc \theta\! | \pm\frac{\sec \theta}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}\! | \pm\sqrt{1 + \cot^2 \theta}\! |- ! \sec \theta =\! | \pm\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}\! | \frac{1}{\cos \theta}\! | \pm\sqrt{1 + \tan^2 \theta}\! | \pm\frac{\csc \theta}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}\! | \sec \theta\! | \pm\frac{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}{\cot \theta}\! |- ! \cot \theta =\! | \pm\frac{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}{\sin \theta}\! | \pm\frac{\cos \theta}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}\! | \frac{1}{\tan \theta}\! | \pm\sqrt{\csc^2 \theta - 1}\! | \pm\frac{1}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}\! | \cot \theta\! |}
கேள்வி: முக்கோணவியல் முற்றொருமைகளின் பட்டியல் - வரலாற்று சுருக்கெழுத்துக்கள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: Image:Circle-trig6.svg ''வெர்சைன்'' (versine), ''கோவெர்சைன்'' (coversine), ''ஹாவெர்சைன்'' (haversine) மற்றும் ''எக்ஸ்சீக்கெண்ட்'' (exsecant) ஆகியவை பண்டைய காலத்தில் கடல் பயண வழிகாட்டுதலில் பயன்படுத்தப்பட்டன. கோளம் மீது அமையும் இரு புள்ளிகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரத்தைக் கணக்கிட ''ஹாவெர்சைன்'' வாய்ப்பாடு பயன்படுத்தப்பட்டது. இப்பொழுது இவற்றின் பயன்பாடு அரிதாகி விட்டது. {|class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF" |- ! பெயர் ! சுருக்கம் ! மதிப்புAbramowitz and Stegun, p.&nbsp;78, 4.3.147 |- | வெர்சைன் || \operatorname{versin}(\theta)\operatorname{vers}(\theta)\operatorname{ver}(\theta) || 1 - \cos (\theta) |- | வெர்கோசைன் || \operatorname{vercosin}(\theta) || 1 + \cos (\theta) |- | கோவெர்சைன் || \operatorname{coversin}(\theta)\operatorname{cvs}(\theta) || 1 - \sin(\theta) |- | கோவெர்கோசைன் || \operatorname{covercosin}(\theta) || 1 + \sin(\theta) |- | ஹாவெர்சைன் || \operatorname{haversin}(\theta) || \frac{1 - \cos (\theta)}{2} |- | ஹாவெர்கோசைன் || \operatorname{havercosin}(\theta) || \frac{1 + \cos (\theta)}{2} |- | ஹாகோவெர்சைன் (கோ ஹாவெர்சைன்) || \operatorname{hacoversin}(\theta) || \frac{1 - \sin (\theta)}{2} |- | ஹாகோவெர்கோசைன் (கோஹாவெர்கோசைன்) || \operatorname{hacovercosin}(\theta) || \frac{1 + \sin (\theta)}{2} |- | எக்ஸ்சீக்கெண்ட் | \operatorname{exsec}(\theta) | \sec(\theta) - 1 |- | எக்ஸ்கோசீக்கெண்ட் | \operatorname{excsc}(\theta) | \csc(\theta) - 1 |- | நாண் | \operatorname{crd}(\theta) | 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) |}
கேள்வி: முக்கோணவியல் முற்றொருமைகளின் பட்டியல் - சமச்சீர்த்தன்மை, பெயர்வு மற்றும் காலமுறைமை பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: ஓரலகு வட்டத்தைப் பயன்படுத்தி முக்கோணவியல் சார்புகளின் பின்வரும் பண்புகளைக் காணலாம்:
கேள்வி: முக்கோணவியல் முற்றொருமைகளின் பட்டியல் - பெயர்வுகளும் காலமுறைமையும் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: குறிப்பிட்ட கோணங்களில் ஏதேனும் ஒரு முக்கோணவியல் சார்பைப் பெயர்வு செய்வதால் முடிவுகளை எளிமையாக்கும் வேறு முக்கோணவியல் சார்புகளைப் பெறலாம். π/2, π மற்றும் 2π ரேடியன் அளவு பெயர்வு செய்யப்படும் சார்புகள் கீழே தரப்பட்டுள்ளன. இச்சார்புகளின் கால அளவு π அல்லது 2π என்பதால் பெயர்வினால் எந்தவித மாற்றமும் இல்லாமல் சில சமயங்களில் அதே சார்பாகவே அமையும். {|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF" !பெயர்வு: π/2 !பெயர்வு: π tan, cot-ன் கால அளவுAbramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.9 !பெயர்வு: 2π sin, cos, csc, sec-ன் கால அளவுAbramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.7&ndash;8 |- | \begin{align} \sin(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\cos \theta \\ \cos(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\sin \theta \\ \tan(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\cot \theta \\ \csc(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\sec \theta \\ \sec(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\csc \theta \\ \cot(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\tan \theta \end{align} | \begin{align} \sin(\theta + \pi) &= -\sin \theta \\ \cos(\theta + \pi) &= -\cos \theta \\ \tan(\theta + \pi) &= +\tan \theta \\ \csc(\theta + \pi) &= -\csc \theta \\ \sec(\theta + \pi) &= -\sec \theta \\ \cot(\theta + \pi) &= +\cot \theta \\ \end{align} | \begin{align} \sin(\theta + 2\pi) &= +\sin \theta \\ \cos(\theta + 2\pi) &= +\cos \theta \\ \tan(\theta + 2\pi) &= +\tan \theta \\ \csc(\theta + 2\pi) &= +\csc \theta \\ \sec(\theta + 2\pi) &= +\sec \theta \\ \cot(\theta + 2\pi) &= +\cot \theta \end{align} |}
கேள்வி: முக்கோணவியல் முற்றொருமைகளின் பட்டியல் - கோணங்களின் கூடுதல் (வித்தியாசம்) முற்றொருமைகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: இவை கூட்டல் (கணிதம்) மற்றும் கழித்தல் (கணிதம்) வாய்ப்பாடுகள் எனவும் அறியப்படுகின்றன. 10 -ம் நூற்றாண்டில் பெர்சிய கணிதவியலாளர் ''அபூ அல்-வரா பூஸ்ஜானீ''யால் இம்முற்றொருமைகள அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன். லியோனார்டு ஆய்லர் வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி இவற்றை கணித நிறுவல். {|class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF" ! sin | align="center" | \sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \!Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.16 |- ! cos | align="center" | \cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\,Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.17 |- ! tan | align="center" | \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.18 |- ! Arcsin | align="center" | \arcsin\alpha \pm \arcsin\beta = \arcsin(\alpha\sqrt{1-\beta^2} \pm \beta\sqrt{1-\alpha^2})Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;80, 4.4.42 |- ! Arccos | align="center" | \arccos\alpha \pm \arccos\beta = \arccos(\alpha\beta \mp \sqrt{(1-\alpha^2)(1-\beta^2)})Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;80, 4.4.43 |- ! Arctan | align="center" | \arctan\alpha \pm \arctan\beta = \arctan\left(\frac{\alpha \pm \beta}{1 \mp \alpha\beta}\right)Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;80, 4.4.36 |}
கேள்வி: முக்கோணவியல் முற்றொருமைகளின் பட்டியல் - இருமடங்கு, மும்மடங்கு, அரைக்கோணங்களின் முற்றொருமைகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: {|class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;" !colspan="4"| இருமடங்கு கோணங்கள்Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.24&ndash;26 |- |style="vertical-align:top"|\begin{align} \sin 2\theta &= 2 \sin \theta \cos \theta \ \\ &= \frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta} \end{align} |\begin{align} \cos 2\theta &= \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \\ &= 2 \cos^2 \theta - 1 \\ &= 1 - 2 \sin^2 \theta \\ &= \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta} \end{align} |\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}\! |\cot 2\theta = \frac{\cot^2 \theta - 1}{2 \cot \theta}\! |- !colspan="4"| மும்மடங்கு கோணங்கள்Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.27&ndash;28 |- |\begin{align}\sin 3\theta & = 3 \cos^2\theta \sin\theta - \sin^3\theta \\ & = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta \end{align} |\begin{align}\cos 3\theta & = \cos^3\theta - 3 \sin^2 \theta\cos \theta \\ & = 4 \cos^3\theta - 3 \cos\theta\end{align} |\tan 3\theta = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta}\! |\cot 3\theta = \frac{3 \cot\theta - \cot^3\theta}{1 - 3 \cot^2\theta}\! |- !colspan="4"| அரைக்கோணங்கள்Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.20&ndash;22 |- |\sin \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} |\cos \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} |\begin{align} \tan \frac{\theta}{2} &= \csc \theta - \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 - \cos \theta \over 1 + \cos \theta} \\[8pt] &= \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \\[8pt] &= \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta} \\[10pt] \tan\frac{\eta+\theta}{2} & = \frac{\sin\eta+\sin\theta}{\cos\eta+\cos\theta} \\[8pt] \tan\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) & = \sec\theta + \tan\theta \\[8pt] \sqrt{\frac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta}} & = \frac{\left|1 - \tan(\theta/2)\right|}{\left|1 + \tan(\theta/2)\right|} \\[8pt] \tan\tfrac{1}{2}\theta & = \frac{\tan\theta}{1 + \sqrt{1+\tan^2\theta}} \\ &\mbox{for}\quad \theta \in \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2} \right) \end{align} |\begin{align} \cot \frac{\theta}{2} &= \csc \theta + \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 + \cos \theta \over 1 - \cos \theta} \\[8pt] &= \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta} \\[8pt] &= \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} \end{align} |}
கேள்வி: முக்கோணவியல் முற்றொருமைகளின் பட்டியல் - அடுக்கு-குறைப்பு வாய்ப்பாடு என்பது என்ன?
பதில்: {|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF" !Sine !Cosine !Other |- |\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}\! |\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}\! |\sin^2\theta \cos^2\theta = \frac{1 - \cos 4\theta}{8}\! |- |\sin^3\theta = \frac{3 \sin\theta - \sin 3\theta}{4}\! |\cos^3\theta = \frac{3 \cos\theta + \cos 3\theta}{4}\! |\sin^3\theta \cos^3\theta = \frac{3\sin 2\theta - \sin 6\theta}{32}\! |- |\sin^4\theta = \frac{3 - 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}\! |\cos^4\theta = \frac{3 + 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}\! |\sin^4\theta \cos^4\theta = \frac{3-4\cos 4\theta + \cos 8\theta}{128}\! |- |\sin^5\theta = \frac{10 \sin\theta - 5 \sin 3\theta + \sin 5\theta}{16}\! |\cos^5\theta = \frac{10 \cos\theta + 5 \cos 3\theta + \cos 5\theta}{16}\! |\sin^5\theta \cos^5\theta = \frac{10\sin 2\theta - 5\sin 6\theta + \sin 10\theta}{512}\! |} {|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF" ! !Cosine !Sine |- !\text{n}\text{ஒற்றை எண்} |\cos^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)} |\sin^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} (-1)^{(\frac{n-1}{2}-k)} \binom{n}{k} \sin{((n-2k)\theta)} |- !\text{n}\text{இரட்டை எண்} |\cos^n\theta = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)} |\sin^n\theta = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} (-1)^{(\frac{n}{2}-k)} \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)} |- |}
கேள்வி: முக்கோணவியல் முற்றொருமைகளின் பட்டியல் - பெருக்கல்-->கூட்டல், மற்றும் கூட்டல்-->பெருக்கல் முற்றொருமைகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: பெருக்கல் வடிவிலிருந்து கூட்டல் வடிவ முற்றொருமைகளின் வலதுபுறத்தைக் கோணங்களின் கூட்டல் (வித்தியாசம்) முற்றொருமைகளைப் பயன்படுத்தி விரித்து அவற்றை நிறுவலாம். {| |style="vertical-align:top"| {|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF" !பெருக்கல்->கூட்டல்Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.31&ndash;33 |- | \cos \theta \cos \varphi = {\cos(\theta - \varphi) + \cos(\theta + \varphi) \over 2} |- | \sin \theta \sin \varphi = {\cos(\theta - \varphi) - \cos(\theta + \varphi) \over 2} |- | \sin \theta \cos \varphi = {\sin(\theta + \varphi) + \sin(\theta - \varphi) \over 2} |- | \cos \theta \sin \varphi = {\sin(\theta + \varphi) - \sin(\theta - \varphi) \over 2} |} | {|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF" !கூட்டல்->பெருக்கல்Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.34&ndash;39 |- |\sin \theta \pm \sin \varphi = 2 \sin\left( \frac{\theta \pm \varphi}{2} \right) \cos\left( \frac{\theta \mp \varphi}{2} \right) |- |\cos \theta + \cos \varphi = 2 \cos\left( \frac{\theta + \varphi} {2} \right) \cos\left( \frac{\theta - \varphi}{2} \right) |- |\cos \theta - \cos \varphi = -2\sin\left( {\theta + \varphi \over 2}\right) \sin\left({\theta - \varphi \over 2}\right) |} |}
கேள்வி: முக்கோணவியல் முற்றொருமைகளின் பட்டியல் - முக்கோணவியல் மற்றும் நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளின் சார்புகளின் தொகுப்பு குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: {|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF" |- |\sin[\arccos(x)]=\sqrt{1-x^2} \, |\tan[\arcsin (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} |- |\sin[\arctan(x)]=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} |\tan[\arccos (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} |- |\cos[\arctan(x)]=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} |\cot[\arcsin (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} |- |\cos[\arcsin(x)]=\sqrt{1-x^2} \, |\cot[\arccos (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} |}
கேள்வி: முக்கோணவியல் முற்றொருமைகளின் பட்டியல் - சிக்கல் எண் அடுக்குக்குறிச் சார்புடன் தொடர்பு குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: :e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)\,Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;74, 4.3.47 (ஆய்லர் வாய்ப்பாடு), :e^{-ix} = \cos(-x) + i\sin(-x) = \cos(x) - i\sin(x)\, :e^{i\pi} = -1 (ஆய்லர் முற்றொருமை), : \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \;Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;71, 4.3.2 : \sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \;Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;71, 4.3.1 கிளைமுடிவு: : \tan(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{i({e^{ix} + e^{-ix}})}\; = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} இங்கு i^2 = -1.