கேள்வி: இராமானுசன் கணிதத்துளிகள்: இராமானுசன் இரட்டை பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: 16 வயதுக்குள் கணித இயலர் என்ற தகுதியை தனக்குள் அடைந்து 32 வயதே வாழ்ந்த சீனிவாச இராமானுசன், உலகத்தை வியக்கச் செய்த ஒப்பரிய பெரும் கணிதம் மேதை. இராமானுஜனுடைய கணித மேதையை எடுத்துக்காட்டக் கூடியதாகவும் கணிதத்தில் திறன் இல்லாதவர்களும் ஓரளவு புரிந்து கொள்ளக்கூடியதாகவும் ஒரு கணிதத்துளி இராமானுசன் இரட்டை யைப்பற்றிய வரலாறு.
கேள்வி: இராமானுசன் கணிதத்துளிகள்: இராமானுசன் இரட்டை - அடிக்கப்பட்ட குறிப்பு குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: இக்குறிப்பு சொல்வது: \frac{1}{(1-x^2)(1-x^3)(1-x^5)(1-x^7)(1-x^{11})(1-x^{13})......} = 1 + \frac{x^2}{1-x} + \frac{x^{2+3}}{(1-x)(1-x^2)} + \frac{x^{2+3+5}}{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)} + \frac{x^{2+3+5+7}}{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)} + ... ... இக்குறிப்பின் விசேஷமே இது எழுதப்பட்டு அடிக்கப்பட்டும் இருப்பதுதான். இராமானுசன் எதற்கு இதை எழுதினார், எதற்கு அடித்தார் என்பதை சற்று தீர ஆராய்ந்தால் தான் புரியும். சமன்பாட்டின் இருபக்கங்களிலுமுள்ள கோவைகளை x இன் அடுக்குகளடங்கிய தொடர்களால் விரிப்பதாகக் கொள்வோம். அப்பொழுது நமக்குக் கிடைக்கக் கூடியது: : 1 + c_2 x^2 + c_3 x^3 +c_4 x^4 + ...... = 1 + d_2 x^2 + d_3 x^3 +d_4 x^4 + ... ... இதனில் எல்லா c_i ம் அவைகளுக்கொத்த d_i க்கு சமமாயிருந்தால் தான் சமன்பாட்டின் இருபக்கக்கோவைகளும் சமம் என்பது உறுதியாகும். இராமானுசன் அவைகள் சமம் என்று நினைத்துத்தான் நோட்புக்கில் எழுதியிருக்க வேண்டும். மேலுள்ள சமன்பாட்டில் நாமே c_1 = d_1, c_2 = d_2 ... என்று முதல் சில c_i, d_i க்களை சரிபார்க்கலாம். c_{20} = d_{20} வரையில் இது உண்மை. ஆனால் c_{21} \neq d_{21}. இராமானுசன் எதையும் தனியாக ஒரு கரும்பலகையிலோ காகிதத்திலோ எழுதிச் சரிபார்த்து அதற்குப் பிறகு தன் நோட்புக்கில் எழுதிவைத்ததாகத் தெரியவில்லை. அவர் நோட்புக்கைப் பார்த்தால் அவ்வப்பொழுது மனதில் தோன்றுவதை அதில் அப்படியப்படியே எழுதிவைத்ததாகத் தான் தெரிகிறது. அதனால் இந்த சமன்பாட்டை எழுதிக்கொண்டே போகும்போதே மனதால் அவர் சரிபார்த்துக் கொண்டே போயிருக்கவேண்டும். சமன்பாட்டை எழுதிமுடித்த அந்த நேரத்திற்குள் அவர் 21 வது கெழுக்கள் சமமில்லை என்று மனதில் தெரிந்துகொண்டிருக்கவேண்டும். உடனே அந்த சமன்பாட்டை அடித்திருப்பார் என்று தான் நாம் ஊகிக்கவேண்டியிருக்கிறது! அல்லது அவருக்கென்று தனியாக வேறு முறையில் அச்சமன்பாட்டைச் சரிபார்க்கும் வழி இருந்திருக்கவேண்டும். எப்படியிருந்தாலும் அவருடைய கணிதக் கணிப்புத் திறனுக்கு இது ஒரு சிறிய சான்று.
கேள்வி: இராமானுசன் கணிதத்துளிகள்: இராமானுசன் இரட்டை - அடித்த குறிப்பிற்கும் ஆய்வுப்பயன் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: சமன்பாடு அடிக்கப்பட்டாலும் ஆய்வாளர்கள் அதை விடவில்லை. இரண்டுதொடர்களை இராமானுசன் இரட்டை என்று எப்பொழுது சொல்லலாம் என்று ஓர் இலக்கணம் வகுத்தார்கள். சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்திலுள்ள 2,3,5,7,11 ... முதலியவைகளை \alpha_i களாலும் வலது பக்கத்திலுள்ள 2,3,5,7,11 ... முதலிய எண்களை \beta_i களாலும் பதிலீடு செய்தால் எப்பொழுதெல்லாம் அச்சமன்பாடு சரியாகிறதோ அந்த தொடர் இரட்டை \{\alpha_i\}, \{\beta_i\}ஐ இராமானுசன் இரட்டை என்று பெயரிட்டார்கள். இப்பொழுது ஆய்வுக்குகந்த கேள்வி: இராமானுசன் இரட்டைத் தொடர்கள் எவை? \{2,3,5,7,11, ...\}, \{2,3,5,7,11...\} நிச்சயமாக இராமானுசன் இரட்டை இல்லை. இராமானுசனுடைய நோட்புக்குகளைப் பற்றி பெர்ண்ட் எழுதிய புத்தகத்தில் (பாகம் 1, பக்கம் 130)இராமானுசன் இரட்டைகளின் அதிசயத்தைப் பற்றி எழுதும்போது ஜி.ஈ.ஆண்ட்ரூஸ் 4 இரட்டைகளும், ஹிர்ஷ்ஹோர்ன் 2 இரட்டைகளும், ப்ளெக்ஸ்மித், ப்ரில்ஹரி, கெர்ஸ்ட் இம்மூவரும் சேர்ந்து 2 இரட்டைகளும் கண்டுபிடித்திருக்கிறர்கள் என்றும், ப்ளெக்ஸ்மித் பிற்பாடு கணினியில் சோதித்துப் பார்த்ததில் இந்தப் பத்து இரட்டைகளைத் தவிர வேறு இரட்டைகள் இருக்கமுடியாது என்று தெரியவந்ததாகவும் கூறியிருக்கிறார்.
கேள்வி: இராமானுசன் கணிதத்துளிகள்: இராமானுசன் இரட்டை - துணைநூல்கள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: Bruce C.Berndt. Note Books of Srinivasa Ramanujan, Part 1. 2005. Springer. பகுப்பு:எண் கோட்பாடு பகுப்பு:இராமானுசன்