கேள்வி: மாறிசைக்குலம் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: ஒரு n குறியீடுகளின் மாறிசைக்குலம் (Alternating Group on n objects) என்பது கணிதம், குறிப்பாக, குலக் கோட்பாடு, சமச்சீர் குலம் Sn இன் ஒரு முக்கியமான உட்குலம். அது முடிவுறு கணம் {1, 2, ... , n} இனுடைய ஒற்றை, இரட்டை வரிசைமாற்றங்கள் குலமாகும்.
கேள்வி: மாறிசைக்குலம் - வரிசைமாற்றத்தின் குறி என்பது என்ன?
பதில்: ஒரு வரிசைமாற்றம் A-இன் குறி (Sign, Signature)என்பது +1 ஆகவோ -1 ஆகவோ வரையறுக்கப்படும். ஒற்றைப்படை வரிசைமாற்றமாயிருந்தால் அதன் குறி -1. இரட்டைப்படையாயிருந்தால், +1. இதற்குக் குறியீடு: sgn(A) அல்லது \epsilon (A). இப்பொழுது சமச்சீர் குலம்  S_n க்கும் 2-ஆவது கிரம சுழற் குலம்  C_2 = \{+1, -1\} க்கும் இடையில்  \chi என்ற ஒரு சீலக்கோப்பு (Character Map) உண்டாக்கலாம். அதாவது, :: \chi: S_n \rightarrow \{+1, -1\} :: A \mapsto sgn(A) இது ஒரு காப்பமைவியம் (கணிதம்) (homomorphism). இக்காப்பமைவியத்தின் உட்கரு (kernel) தான் n பொருள்களின் மாறிசைக்குலம் . இதற்குக் குறியீடு: A_n . இதனுடைய கிரமம்: n!/2. இவ்வுட்குலத்தில் இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றங்கள் மட்டுமே உள்ளன; n-கிரம இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றங்கள் எல்லாம் இதனில் அடக்கம்.
கேள்வி: மாறிசைக்குலம் - அடித்தளப்பண்புகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: n ≤ 3 என்றால், என்றால்தான், A_n ஒரு பரிமாற்றுக் குலம் ஆகும் அதே போல், n = 3 or n \geq 5என்றால், என்றால் தான், A_n ஒரு எளிமைக் குலம் (Simple Group). குறிப்பிடத்தக்க விஷயம்: A_5தான் பரிமாற்றாக் குலங்களில் மீச்சிறு எளிமைக்குலம். அதன் கிரமம் 60. இது இருபதுமுகிக் குலம் என்றும் சொல்லப்படும். நான்முகிக் குலம் என்று சொல்லப்படும் A_4 இல் {(12)(34); (13)(24); (14)(23) மற்றும் I} ஒரு இயல்நிலை உட்குலம் (normal subgroup) உள்ளபடியால் அது எளிமைக் குலமாகாது.