கேள்வி: தொலெமியின் தேற்றம் - சமபக்க முக்கோணம் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: படிமம்:Ptolemy Equilateral.svg ஒரு வட்டத்துக்குள் வரையப்பட்ட சமபக்க முக்கோணம் பற்றிய தேற்றமொன்று தொலெமி தேற்றத்தின் கிளைமுடிவாகக் கிடைக்கிறது.[http://jwilson.coe.uga.edu/emt725/Ptolemy/Ptolemy.html Wilson, Jim. "Ptolemy's Theorem."] link verified 2009-04-08 வட்டத்துக்குள் வரையப்பட்ட ஒரு சமபக்க முக்கோணமும் அவ்வட்டத்தின் மீது அமையும் ஒரு புள்ளியையும் எடுத்துக்கொள்ள: வட்டத்தின் மீதுள்ள புள்ளிக்கும் அப்புள்ளியிலிருந்து அதிக தொலைவிலுள்ள சமபக்க முக்கோண உச்சிக்கும் இடையிலுள்ள தூரமானது, முக்கோணத்தின் மற்ற இரு உச்சிகளுக்கும் அந்தப் புள்ளிக்கும் இடையே உள்ள தூரங்களின் கூடுதலுக்குச் சமமாகும். நிறுவல்: சமபக்க முக்கோணம் ABC இன் மூன்று உச்சிகளும் அதன் சுற்றுவட்டம் மேலுள்ள ஒருபுள்ளியும் சேர்ந்து ஒரு வட்ட நாற்கரத்தை அமைக்கின்றன. படத்தில் தரப்பட்டுள்ள இந்த வட்ட நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டமொன்று சமபக்க முக்கோணத்தின் பக்கமாக அமைகிறது. எனவே அம்மூலைவிட்டத்தின் நீளம் ''s'' தொலெமியின் தேற்ற முடிவைப் பயன்படுத்த: : qs=ps+rs\Rightarrow q=p+r.
கேள்வி: தொலெமியின் தேற்றம் - செவ்வகம் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: படிமம்:Ptolemy Rectangle.svg ஒரு செவ்வகம் தொலெமியின் தேற்றம் பித்தேகோரசு தேற்றம். சுற்றுவட்ட மையம் செவ்வகத்தின் மூலைவிட்டங்கள் வெட்டிக் கொள்ளும் புள்ளியில் அமையும். செவ்வகத்தின் பக்க அளவுகள் ''a'' , ''b'' மற்றும் மூலைவிட்டம் ''d'' (செவ்வகத்தின் மூலைவிட்டங்கள் சம நீளமுடையவை) எனில் தொலமியின் தேற்றப்படி: : d^2 = a^2 + b^2 இம்முடிவு படத்தில் காணப்படும் முக்கோணம் பித்தாகரசு தேற்ற முடிவாக இருப்பதையும் காணலாம்.
கேள்வி: தொலெமியின் தேற்றம் - ஐங்கோணம் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: Image:Ptolemy Pentagon.svg ஒரு ஐங்கோணம்#ஒழுங்கு ஐங்கோணம் பக்க அளவுக்கும் பொது நீளமுடைய அதன் நாண்களுக்கும் இடையேயுள்ள தொடர்பினை தொலெமியின் தேற்றத்திலிருந்து பெறலாம். ஐங்கோணத்தின் பக்க நீளம் ''a'' மற்றும் சம நீளமுடைய ஐந்து நாண்களின் பொது நீளம் ''b'' எனில் பக்க அளவுக்கும் நாணின் நீளத்திற்கும் இடையேயான தொடர்பு: :b^2 = a^2 + ab இதிலிருந்து பொன் விகிதம்: :\varphi = {b \over a} = \over 2}. [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookXIII/propXIII8.html Proposition 8] in Book XIII of [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/Euclid.html Euclid's Elements] proves by similar triangles the same result: namely that length a (the side of the pentagon) divides length b (joining alternate vertices of the pentagon) in "mean and extreme ratio".