கேள்வி: லாக்ராஞ்சியின் தேற்றம் என்பது என்ன?
பதில்: [[File:Left cosets of Z 2 in Z 8.svg|thumb|G = \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}, கூட்டல் (மாடுலோ 8) ஐப் பொறுத்த முழு எண்களின் குலம். அதன் உட்குலம் H = {0, 4}, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} உடன் சம அமைவியம் கொண்டது. H இற்கு 4 இடது இணைக்கணங்கள் உள்ளன: H , 1+H, 2+H, and 3+H. இந்நான்கும் குலம் G ஐ நான்கு சம அளவுள்ள, ஒன்றுக்கொன்று மேல்படியாத சமானப்பகுதிகளாகப் பிரிக்கின்றன. எனவே குறியெண் [G : H] = 4.]] லாக்ராஞ்சியின் தேற்றம் (''Lagrange's theorem'') கணிதம் குலக் கோட்பாடுப் பிரிவில் ஒரு அடிப்படைத் தேற்றம். இத்தாலியக் கணிதவியலாளர் லாக்ராஞ்சி (1736-1813) இதைக் கண்டுபிடித்தார். இத்தேற்றத்தின்படி ஒரு முடிவுறு குலம் குலத்தின் கிரமம் (கணிதம்) (கிரமம்) அதன் ஒவ்வொரு உட்குலம் வரிசையும் சரியாக வகுக்கும்.
கேள்வி: லாக்ராஞ்சியின் தேற்றம் - தேற்றம் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ;லாக்ராஞ்சியின் தேற்றத்தின் கூற்று: ஒரு முடிவுறு குலம் வரிசையை அதன் ஒவ்வொரு உட்குலம் வரிசையும் சரியாக வகுக்கும் (மீதமின்றி வகுக்கும்). ;விளக்கம் ஏதேனும் ஒரு முடிவுறு குலம் G; அதன் உட்குலம் H எனில், :Hஇன் வரிசை |H| :G இன் வரிசை |G| லாக்ராஞ்சியின் தேற்றப்படி, |G| ஐ |H| மீதமின்றி வகுக்கும். அதனால் \frac{|G|}{|H|} இன் மதிப்பு ஒரு முழு எண்ணாகும். இம்மதிப்பு, G இல் H இன் உட்குலத்தின் குறியெண் எனப்படும். இக்குறியெண்ணின் குறியீடு [G : H]. :[G : H] = \frac{|G|}{|H|} Associative law, closure property, Existence of Identity, Existence of Inverse these are staying it's [G]
கேள்வி: லாக்ராஞ்சியின் தேற்றம் - விளைவுகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: * குலத்தின் ஓர் உறுப்பால் பிறப்பிக்கப்பட்ட உட்குலத்தின் குலத்தின் கிரமம் (கணிதம்) அவ்வுறுப்பின் கிரமத்திற்குச் சமமாக இருக்குமாதலால் ஒவ்வொரு உறுப்பின் கிரமமும் குலத்தின் கிரமத்தை சரியாக வகுக்கும். * இன்னொரு முக்கியமான விளைவு: ஒரு குலத்தின் கிரமம் பகா எண்ணாக இருக்குமானானால் அது சுழற் குலம் இருக்கவேண்டும். * லாக்ராஞ்சியின் தேற்றத்தை :: |G| = [G : H] \times |H| என்று எழுதினால், முடிவுறாக் குலங்கள் G, H க்கும் எண்ணளவை என்ற கருத்தடிப்படையில் இச்சமன்பாடு உண்மை பயக்கும்.
கேள்வி: லாக்ராஞ்சியின் தேற்றம் - இவற்றையும் பார்க்கவும் என்பது என்ன?
பதில்: * பர்ன்ஸைடின் பிரச்சினைகள் * லாக்ராஞ்சியின் தேற்றம் (எண்கோட்பாடு) * லாக்ராஞ்சியின் நான்கு வர்க்கத் தேற்றம்