கேள்வி: உட்சில்லுரு குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: Image:HypotrochoidOutThreeFifths.gif உட்சில்லுரு (''hypotrochoid'') என்பது ஒரு வட்டம் தொடர்புபடுத்தப்பட்ட புள்ளியொன்றின் தடத்தினைக் காட்டும் சிறுசில்லி (roulette) வகையைச் சேர்ந்த ஒரு வளைவரை. தொடர்புபடுத்தப்பட்ட வட்டத்தின் மையத்துக்கும் அப்புள்ளிக்கும் இடையே உள்ள தூரம் ''d'' அலகுகள். இந்த வட்டத்தின் ஆரம் ''r'' அலகுகள். இவ்வட்டம் ''R'' அலகு ஆரமுள்ள மற்றொரு நிலையான வட்டத்தின் உட்புறத்தைத் தொட்டபடியே நழுவாமல் உருளும் போது, நாம் எடுத்துக்கொண்ட புள்ளி நகர்கின்ற தடம் ஒரு வளைவரையாக இருக்கும். சிறுசில்லி வகையைச் சேர்ந்த இவ்வளைவரை, உட்சில்லுரு என அழைக்கப்படுகிறது. ''d'' இன் அளவு ''r'' இன் மதிப்பை விடச் சிறியதாகவோ, பெரியதாகவோ அல்லது சமமாகவோஇருக்கலாம். அதாவது புள்ளி வட்டத்துக்குள்ளே, வட்டத்திற்கு வெளியே அல்லது வட்டத்தின் மீது இருக்கலாம். வட்டத்தின் மீது புள்ளி அமையும் போது உட்சில்லுரு, உள்வட்டப்புள்ளியுருவாக அமையும்.
கேள்வி: உட்சில்லுரு - எடுத்துக்காட்டு குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: *''சுழல் வரைவி'' -விளையாட்டுக் கருவியால் வரையப்படுபவை, உட்சில்லுரு மற்றும் வெளிச்சில்லுரு வளைவரைகள்.
கேள்வி: உட்சில்லுரு - உட்சில்லுருவின் துணையலகுச் சமன்பாடுகள் என்பது என்ன?
பதில்: :x (\theta) = (R - r)\cos\theta + d\cos\left({R - r \over r}\theta\right) :y (\theta) = (R - r)\sin\theta - d\sin\left({R - r \over r}\theta\right). இங்கு \theta, உருளும் வட்டத்தின் மையம் கிடைமட்டத்தோடு உண்டாக்கும் கோணம். (\theta, போலார் கோணம் அல்ல.)