கேள்வி: தொடுகோணம் - சமன்பாடுகள் என்பது என்ன?
பதில்: *வளைவரையின் துணையலகுச் சமன்பாடுகள்: (x(t),\ y(t)) எனில், t எனும் புள்ளியில் தொடுகோணத்தின் வரையறை:MathWorld "Tangential Angle" : \frac{(x'(t),\ y'(t))}{|x'(t),\ y'(t)|} = (\cos \varphi,\ \sin \varphi). (x'(t),\ y'(t)) என்பது (x(t),\ y(t)) இன் வகைக்கெழுவைக் குறிக்கிறது. தொடுகோணம் \varphi, திசைவேகம் வெக்டர்(x'(t),\ y'(t)) இன் திசையைத் தருகிறது. திசையன் \frac{(x'(t),\ y'(t))}{|x'(t),\ y'(t)|}, ''அலகு தொடுகோட்டுத் திசையன்'' என அழைக்கப்படுகிறது. *வளைவரையின் சமன்பாடு: (x(s),\ y(s)) என, அதன் வில்லின் நீளத்தைத் (s) துணையலகாகக் கொண்டும், |x'(s),\ y'(s)| = 1 எனவும் இருந்தால் தொடுகோணத்தின் வரையறை: :(x'(s),\ y'(s)) = (\cos \varphi,\ \sin \varphi). இவ் வகையில் வளைவு (கணிதம்) மதிப்பு: :\kappa = \varphi'(s) ஆகும். வளைவரை இடப்புறம் வளைந்தால் வளைவின் மதிப்பு நேர் மதிப்பாகவும், வளைவரை வலப்புறம் வளைந்தால் வளைவின் மதிப்பு எதிர் மதிப்பாகவும் இருக்கும்.MathWorld "Natural Equation" differentiating equation 1 *வளைவரையின் சமன்பாடு: y = f(x) எனில், தொடுகோணம்: :\varphi = \arctan f'(x). இங்கு தொடுகோணத்தின் மதிப்பு -\pi/2, \pi/2 க்கு இடையில் இருக்கும்.
கேள்வி: தொடுகோணம் - போலார் ஆயதொலைவுகளில் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: வாள்முனை ஆள்கூற்று முறைமை, தரப்பட்ட புள்ளியில், வளைவரைக்கு வரையப்பட்ட தொடுகோட்டிற்கும் ஆதி (கணிதம்) அப்புள்ளிக்கு வரையப்பட்ட கதிர் (வடிவவியல்) இடைப்பட்ட கோணம், போலார் தொடுகோணம் (''polar tangential angle'') என வரையறைக்கப்படுகிறது. போலார் தொடுகோணம் \psi, மற்றும் புள்ளியின் போலார் ஆயதொலைவுகளின் ஒரு கூற்றான போலார் கோணம் \theta மற்றும் \varphi மேலே வரையறுக்கப்பட்ட தொடுகோணம் எனில், : \psi = \varphi - \theta. போலார் ஆயதொலைவுகளில் வளைவரையின் சமன்பாடு r = f(\theta) எனில் போலார் தொடுகோணத்தின் வரையறை: : \frac{(f'(\theta),\ f(\theta))}{|f'(\theta),\ f(\theta)|} = (\cos \psi,\ \sin \psi). வளைவரையின் சமன்பாடு வில்லின் நீளத்தைத் (s) துணையலகாகக் கொண்டமைக்கப்பட்டால் சமன்பாடு: :r = r(s),\ \theta = \theta(s), |r'(s),\ r\theta'(s)| = 1 இப்பொழுது போலார் தொடுகோணத்தின் வரையறை: (r'(s),\ r\theta'(s)) = (\cos \psi,\ \sin \psi). போலார் தொடுகோணம் மாறிலியாகவுள்ள வளைவரையாக மடக்கைச் சுருள் உள்ளது.Williamson for section unless otherwise noted.