கேள்வி: இயற்கணிதம் - அட்சர கணித பிரதியீட்டு முறை குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: அட்சர கணிதம் என்பது எண்கணித கணிப்பீடுகளுடன் மேலும் பல வரையறைகளுடன் பலவகையான கணிப்பீடுகளை கொண்டது. இதில் எண்களிற்குப்பதிலாக எழுத்துக்களை பிரதி செய்து விடையாக பொதுவான வடிவத்தை - அச்சை - சூத்திரங்களை - வாய்பாட்டை எழுதமுடியும். இன்னுமொரு விசேசித்த வித்தியாசம் என்னவென்றால் இது மறை எண்களை - எதிர் எண்களை உள்ளடக்கிய கணிப்பீட்டை கொண்டது. முன்னர் எண்களிற்குப் பதிலாக தமிழ் எழுத்தக்களையும் தற்போது ஆங்கில, கிரேக்க, இலத்தீன் எழுத்துக்களை பயன்படுத்துகிறோம். பொருள் - விபரம் ஒன்றே. {| class="wikitable" |- ! எண்கணிதம் !! அட்சர கணிதம் |- | 5 + 5 + 5 = 15. || 5 + 5 + 5 = 3 x 5 (மூன்று முறை ஐந்து ) |- | 14 + 14 + 14 + 14 = 56 || 14 + 14 + 14 + 14 = 4 x 14 (நாலு முறை பதின் நாலு) |- |} 5 + 5 + 5 = 3 x 5 (மூன்று முறை ஐந்து ) 5 + 5 + 5 = 3 x 5 (மூன்று முறை ஐந்து ). இவை முழுவதும் தெளிவான எண்களில் இருப்பதால் இதனை நாம் 3 x 5 = 15 என்று கணக்கிட முடியும். ஆனால் அட்சர கணிதத்தில் இது மூன்று முறை ஒரே பெறுமதியான எண் கூட்டப்படுவதாகவே கொள்ளப்படும். இதன்படி 5 + 5 + 5 என்பதை a + a + a என எழுதலாம். இதன் பொருள் ஒரு எண் மூன்று முறை கூட்டப்படுகின்றன. இதன் விடையை விளங்கிக்கொள்ள அட்சர கணிதத்தில் உள்ள a ஐ எண்கணிதத்திற்குரிய முறையில் ஒரு தேங்காய் என்று மாற்றி - பிரததியீடு செய்வோம். இப்பொழுது ஒரு தேங்காய் + ஒரு தேங்காய் + ஒரு தேங்காய் என எழுதலாம். விடை மூன்று தேங்காய்கள். அட்சர கணிதத்தில் ஒரு தேங்காய் என்பது தேங்காய் என்று ஒரு என்ற சொல் நீக்கப்பட்டு ஒருமைச் சொல்லாகவே எழுதப்படும். விடையாகிய மூன்று தேங்காய்கள் என்பதும் மூன்று தேங்காய் என்று ஒருமைச் சொல்லாகவே எழுதப்படும். இரண்டு நிலையிலும் தேங்காய் என்று ஒருமைச் சொல்லாகவே வருவதனால் அவற்றை வேறுபடுத்த ஒன்று என்ற முழுமை நிலைக்கு எழுத்தின் முன்னே 1 என்று எழுதப்படுவதில்லை . ஏனைய எல்லா நிலைக்கும் எழுத்தின் முன்னாலே அதன் எண்ணிககை காண்பிக்கவேண்டும். பொருளிற்கோ பன்மை காண்பிக்கப்படுவதில்லை. ஆகவே ஒரு தேங்காய் + ஒரு தேங்காய் + ஒரு தேங்காய் என்பது தேங்காய் + தேங்காய் + தேங்காய் என எழுதலாம். = மூன்று தேங்காய். (விடை) இப்பொழது எண்கணிதத்திற்குரிய விடையை அட்சர கணிதத்தில் கொடுக்கவேண்டும். அட்சர கணிதத்தில் இருந்து எண்கணிதத்திற்கு வர a என்பதை தேங்காய் என மாற்றி பிரதி செய்தோம். இப்பொழுது எதிர் வழியாக செல்வதற்கு எண்கணிதத்தில் இருந்து அட்சர கணிதத்திற்கு வர தேங்காய் என்பதை a என மாற்றி பிரதி செய்யவேண்டும்.) மூன்று தேங்காய் = மூன்று a (தேங்காய் என்பது a என மாற்றி பிரதி செய்யப்பட்டுள்ளது ) = 3 a (மூன்று என்பது 3 என மாற்றி பிரதி செய்யப்பட்டுள்ளது ) 3 a = 3 x a இது ஒரு இடை நிலை. இதுவே விளக்கமாகும். 3 a என்பதே விடையாகும். இங்கே பெருக்கல் அடையாளமாகிய தர அடையாளம் எழுதப்படுவதில்லை. மூன்று தேங்காய் என்பதில் எப்படி தர அடையாளம் தவிர்க்கப்பட்டுள்ளதோ அதேபோல் அட்சர கணிதத்தில் எண்ணிற்கும் எழுத்திற்கும் இடையில் தர அடையாளம் தவிர்க்கப்பட்டவேண்டும். . மூன்று தரம் தேங்காய் என்பதை மூன்று தேங்காய் என்றே தரம் - தர என்பதை தவிர்த்தே சொல்லுகிறோம். தேங்காய் மூன்று என்று வளம்மாறி பேசுவதில்லை. மூன்று தேங்காய் என்பதில் முதலில் மூன்று என்ற எண்ணும் பின்னர் தேங்காய் என்ற சொல்லும் வருகிற ஒழுங்கின்படி அட்சர கணிதத்தில் முதலில் எண்ணும் பின்னர் எழுத்தும் எழுதப்படவேண்டும் . 3a என்பதை a3 என்று வளம்மாறி முடிவு விடையாக எழுதுவது தவறாகும். இடைவரியில் a x 3 (a தர 3)என்று எழுதி கணிக்கப்படலாம்.
கேள்வி: இயற்கணிதம் - <font color = red> திசை எண்கள். </font> பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: File:திசை எண்கள்.png அட்சர கணிதத்தில் அடுத்த அதி முக்கிய விடயம் திசையெண்களாகும். இது பூச்சியத்தை நியமமாகக்கொண்டு பூச்சியத்திலும் அதிகமான, உயர்வான எண்களை நேர் எண்களாக வகைப்படுத்துகிறது. இவைகள் நாம் பயன்படுத்துகின்ற 1, 2, 3, 4, .... போன்றவற்றுடன் இவற்றிற்கு இடைப்பட்ட உடைப்பெண் ( விகிதம், பின்னம், தசமம் ) களுமாகும். இவற்றை முற்குறி எதுவுமின்றி சாதாரணமாக எழுதுவதைப்போன்றோ அல்லது இலக்கத்தின் முன்னே, மேல் அரைப்பகுதிக்குள் சக என்று அடையாளமிட்டோ எழுதலாம். இந்த "+" சக என்ற முற்குறி கணிப்பீட்டை கூறாமல் நேர்த்திசையை குறிப்பிடும். இதற்கு எதிரானது எதிர்திசை அல்லது மறைதிசை எனப்படும். இதன்படி பூச்சியத்திலும் குறைவான, தாழ்வான எண்கள் மறை எண்களாகும். 'மறை எண்கள் ''கட்டாயமாக " - " சய என்ற முற்குறியிட்டு எழுதப்படவேண்டும். இதற்கு முன்னே ஒன்றும் இல்லாவிடின் " - " சய என்ற முற்குறி மட்டுமே போதுமானது. இதற்கு முன்னே ஏதாவது கணிப்பீட்டை கூறும் அடையாளம் இருப்பின் அந்த இலக்கமும் அதன் முற்குறியும் அடைப்புக்குறிக்குள் எழுதப்படவேண்டும். முற்குறி இலக்கத்தின் முன்னே, மேல் அரைப்பகுதிக்குள் எழுதப்படும். முற்குறி எதுவும் இல்லாவிடின் அவ்வேண் சக என்ற முற்குறிகொண்ட நேர் எண்ணாகும். ஓர் இலக்கத்தின் முன்னே அடுத்தடுத்து வரும் முற்குறியையும் கணிப்பீட்டுக் குறியையும் அதனதன் எதிர் அடையாளமாக மாற்றும்போது அதன் தொகுதியின் பெறுமதி மாறாது. பூச்சியம் திசையெண்ணில் அடங்காது.
கேள்வி: இயற்கணிதம் - கிரேக்க காலத்திய இயற்கணிதம் என்பது என்ன?
பதில்: இயற்கணிதம் என்பது ஒரு மொழி. பற்பல குறியீடுகளும் அவைகளை ஒன்றுக்கொன்று எப்படி உறவாட விட வேண்டும் என்பதற்கு சிற்சில விதிகளும் கொண்டதுதான் இயற்கணிதம். ஆனால் இந்தமாதிரி மொழியொன்று பயன்படுவதற்கு அம்மொழிக்கு சரியான குறியீட்டுமுறை (notation) இருந்தாகவேண்டும். அங்குதான் கிரேக்க கணிதம் தவறியது. அவர்களுக்கு எல்லாமே வடிவியல்தான். வடிவியலில் அபாரமான திறமை பெற்றிருந்தார்கள். எண்கள் கூட அவர்களுக்கு ஒருநேர்கோட்டின் அளவுகளே. அதனால் இயற்கணித வழக்கமான 'மாறி' என்ற கருத்து அவர்களுடைய எண்ணங்களுடன் ஒத்துப்போகவில்லை. (x + y)^2, (x - y)^2 க்கு வாய்பாடுகள், :x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) போன்ற முற்றொருமை உறவுகள் அவர்கள் வடிவியல் மூலம் அறிந்திருந்தார்கள். ஆனாலும் இயற்கணித மாறிகள் மூலம் உறவுகள் உண்டாக்கி அந்த உறவுகளைச் சமாளிக்க அவர்களிடம் நோக்கமோ, சாதனமோ ஏற்படவில்லை. இயற்கணிதத்தில் அவர்களுடைய முன்னேற்றம் மிகக்குறைவாக இருந்ததற்கு இன்னொரு காரணமும் இருந்தது. அதுதான் அவர்களுக்கு முடிவிலிகளைப் பற்றி இருந்த அச்சம்.ஆர்க்கிமிடீஸ் பை (\pi) யினுடைய மதிப்பைக்கண்டுபிடிப்பதற்குப் பயன்படுத்திய முறைக்கு வெளிப்படுத்துகை முறை (Method of exhaustion) என்று பெயர். திருப்பித் திருப்பி ஒரு பலகோணத்தின் பக்கங்களின் எண்ணிக்கையை அதிகப்படுத்திக் கொண்டே போய் அதனுடைய சுற்றளவை விட்டத்தின் நீளத்தால் ஒவ்வொரு முறையும் வகுத்து \pi க்கு மதிப்புகள் கண்டுபிடித்துக் கொண்டுப்போகும் முறைதான் அது. :(வட்டத்தின் சுற்றளவு / விட்டம் ) என்பது (உள்வரைவுச்சம பலகோணத்தின் சுற்றளவு / விட்டம்) இனுடைய 'எல்லை' என்ற கருத்து 'முடிவிலி' என்ற கருத்தோடு முடிச்சிடப்பட்டிருக்கிறது. முடிவிலியின் மேலுள்ள பயத்தால் இந்த 'எல்லை'க்கருத்தை அவர்கள் தங்களுடைய எல்லைக்குள் விடவில்லை போலும்!
கேள்வி: இயற்கணிதம் - ஐரோப்பிய நாடுகளின் பெரும் பங்களிப்பு குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: 1619இல் டெகார்டெ வடிவியலை இயற்கணிதச் செயல்பாடாக மாற்றக்கூடிய பகுமுறை வடிவகணிதம் அரங்கேற்றினார். வடிவியல் தேற்றங்களை இயற்கணிதக் குறியீடுகளைக்கொண்டு, வடிவங்களையே பார்க்க அவசியமில்லாதபடி, நிறுவமுடியும் என்ற வாய்ப்பை ஏற்படுத்திக் கொடுத்ததால், இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடும் தேவைகளும் அதிகப்பட்டன. இந்நூற்றாண்டில்தான் நியூட்டன்டைய வகையீட்டு நுண்கணிதம் கண்டுபிடிக்கப் பட்டது. அதன்படி ஒரு தொடர் வரைவின் சரிவு அச்சார்பின் வகையீட்டுக்கெழுவாக இருக்கும் என்ற முக்கியமான கண்டுபிடிப்பு ஏற்பட்டது. இதனால் பற்பல வரைவுகளின் பண்புகள் அலசப்படத் தொடங்கின. இயற்பியல்லும் பொறியியல்ம் அன்றாட நடைமுறையில் தேவைப்பட்ட சார்புகளின் பெரும, சிறும மதிப்புகள் நுண்கணிதத்தைக் கொண்டு ஆய்வுகளுக் குட்பட்டவுடனே, எல்லாக் கணக்கீடுகளும் கடைசியில் இயற்கணிதச் செயல்பாடுகளில் வந்து முடிந்தன. இயற்கணிதத்தில் பல கணித இயலர்கள் ஈடுபட்டதற்கு இதெல்லாம் காரணமாக அமைந்தன. இயற்கணிதத்தில் ஈடுபாடு என்றவுடனே முதலில் தட்டுப்படும் பிரச்சினை சமன்பாடுகளின் தீர்வு தான். முதற்கண் இயற்கணிதச் சமன்பாடுகள் ஒவ்வொன்றுக்கும் சரியான முழுத்தீர்வு கண்டுபிடிக்கும் முயற்சியே இயற்கணித ஆய்வுகளின் குறிக்கோளாக அமைந்தது. இப்பிரச்சினைக்கு ஒரு மாபெரும் கடைத்தீர்வு 19வது நூற்றாண்டில் தான் கிடைத்தது. ஆனால் இந்த நான்கு நூற்றாண்டுகளில் இயற்கணிதம் இவ்வொரு பிரச்சினையின் தேடுதலினால் கிடைத்த இடைத்தேர்வுகளாலேயே வானளாவிய பெரிய பிரிவாக மலர்ந்து விட்டது.
கேள்வி: இயற்கணிதம் - பட்டியல் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: இந்த வளர்ச்சிக்கு அடிகோலியவர்களின் பட்டியல் எழுதி மாளாது. முக்கியமானவர்கள் (கால வரிசைப்படி): * கார்டானோ (1501-1576), (இத்தாலி) 1545 இல் முப்படி, நாற்படிச்சமன்பாடுகளுக்கு தீர்வுகள் பிரசுரித்தார். * வியேடா (1540-1603), (பிரான்ஸ்) \pi க்கு ஒரு முடிவிலாப் பெருக்கீடு கண்டுபிடித்தவர். பல புது குறியீட்டுகளை அறிமுகப்படுத்தி அதில் வெற்றி பெறாவிட்டாலும் சிலரால் தற்கால இயற்கணிதத்தின் தந்தை என்று போற்றப்பட்டவர். * ஃபெர்மா (பிரான்ஸ்) (1601-1665), எண் கோட்பாடு பல ஆய்வுகளைத் தொடங்கிவைத்தவர். அவர் பெயரைத் தாங்கி நிற்கும் ஒரு தேற்றம் மூன்று நூற்றாண்டுகளாக யாராலும் உண்மையா பொய்யா என்று நிறுவமுடியாமல், எண் கோட்பாட்டையும் மற்றும் இயற்கணிதத்தையுமே ஒரு ஆலமரமாக வளரச்செய்யும் மந்திரமாக இருந்தது. * ஐசக் நியூட்டன் (1642-1727) (இங்கிலாந்து) கணித வரலாற்றிலேயே இமாலயப் பங்களிப்புக்குரியவரான மூவரில் ஒருவர். அவருடைய நுண்கணிதம், ஈர்ப்புக் கோட்பாடு, போன்ற மற்ற கண்டுபிடிப்புகளைத் தவிர, இயற்கணிதத்தில் அவருக்கு உரியது: ஈருறுப்புத்தேற்றம்; அடுக்குத் தொடர் பற்றிய ஆய்வுகள். * லெப்னீட்ஸ் (ஜெர்மனி)(1646-1716), இன்றைய கணினிகளுக்கெல்லாம் அடிப்படையான ஈரம்ச அமைப்பு அவரிடமிருந்துதான் வந்தது. இன்றைய நிகழ்தகவுக் கோட்பாடுடிற்குத் தந்தை. தன்னிச்சையாக நுண்கணிதத்தைக் கண்டுபிடித்து இன்றைய குறியீட்டுமுறையை அறிமுகப்படுத்தியவர். * ஜாகொப் பெர்னொவிலி (1654-1705)(சுவிட்சர்லாந்து) சேர்வியலிலும் நிகழ்தகவுக் கோட்பாடிலும் பல தேற்றங்களுக்குக் காரணமானவர். இவர் பெயரை வைத்துத்தான் பெர்னொவிலி எண்கள் என்று வழங்கப்படுகின்றன. * ஆய்லர் (1707-1783), (சுவிட்சர்லாந்து, ரஷ்யா, ஜெர்மனி) இவருடைய பங்களிப்பில்லாத கணிதப்பிரிவே கிடையாது. சார்பு முதலிய பல கணிதக் குறியீட்டுகளுக்கும் இவர்தான் காரணம். எண் கோட்பாட்டில் பகுவியல் முறைகளை அறிமுகப்படுத்தினார். நாற்படிச் சமன்பாடுகளின் தீர்வுக்குப் புது முறைகளை அறிவித்தார். தொடரும் பின்னங்கள், மிகைபெருக்குத் தொடர்கள் போன்ற பல துறைகளையும் வளர்த்தவர். பகா எண் தேற்றம் என்று பிற்காலத்தில் வரப்போகும் மாபெரும் தேற்றத்திற்கும், இருபடிய நேர் எதிர்மை விதிக்கும் அடிகோலியவர். கோலக் கோட்பாடு தந்தை. அவருடைய இயற்கணிதநூல் பல்லுறுப்புச் சமன்பாடுகளின் தீர்வைப்பற்றி பல வாய்பாடுகள் கொடுக்கிறது. * ஜோசப் லூயி லாக்ராஞ்சி (1736-1813), (இத்தாலி) எண் கோட்பாட்டிற்கும் நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டிற்கும் முக்கியப் பங்களிப்புகள் அளித்தவர். * கார்ல் ஃப்ரெடெரிக் காஸ் (1777-1855), (ஜெர்மனி) எண்கோட்பாட்டிற்கு மிகப்பெரிய பங்களிப்பு. சிக்கலெண்களின் பல்லுறுப்புச் சமன்பாடு ஒவ்வொன்றுக்கும் ஒரு மூலமாவது இருந்தாகவேண்டும் என்ற இயற்கணித அடிப்படைத் தேற்றம் இவருடையதே. * கோஷி (1789-1857), (பிரான்ஸ்). இவருடைய பன்முனைப்பங்களிப்புகளில், இயற்கணிதத்தையும், ஏன், கணிதத் துறையையுமே 20ம் நூற்றாண்டு மாற்றி அமைக்கப்போகிற பதிலீடுக் கோட்பாடு (Theory of Substitutions) இங்கு குறிப்பிடவேண்டும். வரிசைமாற்றுக் குலம் என்று 20வது நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில் இது நுண்புல இயற்கணிதத்தைத் துவங்கி வைத்தது. கணிதத்தில் புழங்கும் பொருள்கள் எண்களாகவோ சார்புகளாகவோ இருக்கத் தேவையில்லை. அவைகள் ஒன்றுக்கொன்று என்ன உறவுகள் கொண்டாடுகின்றன என்பதை வைத்துக் கணித அமைப்புகளை உண்டாக்கி, அந்த நுண்புலப்படியில் தேற்றங்களை உருவாக்கி,அந்த ஒரே தேற்றத்தையே பற்பல சூழ்நிலையிலுள்ள வெவ்வேறு பயன்பாடுகளில் செயலாக்குவது இருபதாவது நூற்றாண்டிற்குப் பிறகு கணித மரபு ஆகிவிட்டது. இதற்கு ஒரு விதத்தில் வித்திட்டவர் கோஷி. * கால்வா (கணிதவியலர்) (1811-1832),(பிரான்ஸ்) இருபது வயதுக்குள் கணிதத்தில் பெரிய சாதனையைச்செய்து கால்வா கோட்பாடு என்று இன்றும் ஆய்வுச்சாலையில் கணிதவியலர்கள் ஈடுபட்டிருக்கும் கணிதப்பிரிவு இவரால் ஏற்பட்டது. இதுதான் பல நூற்றாண்டுகளாக எல்லா கணிதவியலர்களையும் ஆட்டிப்படைத்த ஐந்துபடிச்சமன்பாடுத்தீர்வுக்கு கடைத்தீர்ப்பு கொடுத்தது. * ஏபெல் (1802-1829), * ஜாகோபி (1804-1851), * ஹாமில்டன் (1805-1865), * ஜேம்ஸ் சில்வெஸ்டர் (1814-1897), * கெய்லி (கணிதவியலர்) (1821-1895)
கேள்வி: இயற்கணிதம் - இயற்கணிதத்தின் இதர முகங்கள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: இயற்கணிதத்தின் இன்னொரு முகம் எண் கோட்பாடு. கிரேக்கர்கள் காலத்திலிருந்தே எண்களைப் பற்றிய சிறிய பெரிய பிரச்சினைகள் கணிதத்தில் ஈடுபட்டவர்கள் எல்லோரையும் ஈர்த்தன. அன்றிலிருந்து இன்றுவரை எண்கோட்பாட்டில் மனிதன் கண்ட ஒவ்வொரு முன்னேற்றமும் கணிதத் துறையின், முக்கியமாக இயற்கணிதத் துறையின், தொடுவானத்தை விரிவாக்கிக் கொண்டே போயின. தற்காலத்தில் எண் கோட்பாடே கணிதத்தின் மிகப் பெரிய பிரிவுகளில் ஒன்றாகி விட்டதால் இதைப்பற்றிய தனிக்கட்டுரையில் பார்க்கவும். மற்றொரு முகமான குலக் கோட்பாடும் அப்படி ஒரு பெரிய பிரிவுதான். இருந்தாலும் அது எப்படி உண்டாயிற்று என்று சொல்வதால், இருபதாவது நூற்றாண்டில் ஏற்பட்ட மாபெரும் நுண்புல இயற்கணித வளர்ச்சியின் வேர்களைக் காணலாம்.
கேள்வி: இயற்கணிதம் - துணைநூல்கள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: * Eli Maor. ''e'': The story of a number. 1994. Princeton University Press. Princeton, NJ . * Paul J. Nahin. An Imaginary tale. The Story of \surd {-1}.1998. Princeton University Press. Princeton, NJ. . * E.T. Bell. Men of Mathematics.1937. Simon & Schuster, New York, NY . பகுப்பு:இயற்கணிதம் பகுப்பு:மேற்கோள் வழு-ref குறிச்சொல்லுக்கு உரையில்லாதவை