கேள்வி: யூக்ளிடு - யூக்ளிடின் எலிமென்ட்சு (Elements of Euclid) பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: File:Euclidis quae supersunt omnia.tif எலிமென்ட்சு எனும் நுால் பழைய கிரேக்கத்திலிருந்து கிடைக்கப் பெற்ற கணிதம் தொடர்பான மிகப்பெரிய ஆய்வுக்கட்டுரையாகும். இந்த ஆய்வுக்கட்டுரையானது 13 தொகுதிகளைக் கொண்டதாகும். வரையறைகள், எடுகோள்கள், ஆய்வுக்கருத்துரைகள், கோட்பாடுகள், கருத்துரைகளுக்கான கணிதவியல் நிரூபணங்கள் போன்றவற்றின் தொகுப்பாகும். இந்த நூலானது, யூக்ளீட் வடிவியல், எண் கணிதம் மற்றும் பொதுஅளவில்லாத கோடுகள் ஆகியவற்றைப் பற்றிய விளக்கங்களை உள்ளடக்கியுள்ளது. இது தர்க்க மற்றும் நவீன அறிவியல் ஆகியவற்றின் வளர்ச்சிக்கான கருவியாக நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் அதன் தர்க்கரீதியான கடுமை 19 ஆம் நூற்றாண்டு வரை விஞ்சப்படவில்லை. யூக்ளிடின் எலிமென்ட்சானது இதுவரை எழுதப்பட்டவற்றில் மிகவும் வெற்றிகரமான செல்வாக்கு வாய்ந்த பாடப்புத்தகம் என்று குறிப்பிடப்படுகின்றது. எலிமென்ட்சு நுாலின் முதல் 6 பிரிவுகள் வடிவியல் குறித்தது. அதாவது, முதல் 3 பிரிவுகள் முக்கோணம், இணைகரம், செவ்வகம், சதுரம் ஆகியவற்றின் அடிப்படைப் பண்புகளையும், 4ஆவது பிரிவு வட்டத்தின் பண்புகள், வட்டத்தை ஒட்டிய கணக்குகளையும், 5 ஆவது பிரிவு விகிதம் பற்றியும், ஆறாவது பிரிவு வடிவியல் பயன்பாடு பற்றியும், 7ஆவது பிரிவு மீப்பெரு பொதுவகுத்திகளைப் பற்றியும், எட்டாவது மற்றும் ஒன்பதாவது பிரிவுகள் பெருக்கல் வரிசை பற்றியும், பத்தாவது பிரிவு விகிதமுறா எண்களைப் பற்றியும், 11, 12 ஆவது பிரிவுகள் முப்பரிமாண வடிவியல் பற்றியும் எழுதப்பட்டிருந்தது.
கேள்வி: யூக்ளிடு - கணித உலகில் தாக்கத்தை ஏற்படுத்திய யூக்ளிடின் பணிகள் என்பது என்ன?
பதில்: * பகா எண்கள் குறித்த யூக்ளிடின் பணி * யூக்ளிடின் லெம்மா - ஒரு பகா எண்ணானது இரு எண்களின் பெருக்கற்பலனை மீதியின்றி வகுத்தால், குறிப்பிட்ட அந்த பகா எண்ணானது அந்த இரண்டு எண்களில் ஒரு எண்ணை வகுக்கக்கூடியதாக இருக்கும் என்ற பகா எண் தொடர்பான அடிப்படைப் பண்பை வரையறுத்துள்ளார். * எண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றம் (அல்லது) தனித்த பகாக் காரணியாக்கத் தேற்றம் - 1 (எண்)ஐ விடப் பெரியதானUsing the empty product rule one need not exclude the number 1, and the theorem can be stated as: every positive integer has unique prime factorization. ஒவ்வொரு முழு எண் பகா எண் அல்லது பகாஎண்களின் பெருக்கமாகவோ இருக்கும். * யூக்ளிடின் படிமுறைத் தீர்வு - இரண்டு எண்களின் மீப்பெரு பொது வகுத்தி (G.C.D) கணக்கிடுவதற்கான மிகவும் பயனுள்ள முறையாகும். இரண்டு எண்களையும் மீதமின்றி வகுக்கக்கூடிய மிகப்பெரிய எண்ணே மீப்பெரு பொது வகுத்தி எனப்படும். * யூக்ளிடு ஒரு வடிவத்துடன் தொடர்புடைய வடிவியலின் அமைப்பு, வெளியில் (space) அதன் ஒப்புமை நிலைகள் மற்றும் பண்புகள் ஆகியவற்றைக் குறித்து விவரித்தார். யூக்ளிடு, வடிவியலைத் தானே விளங்கிக் கொள்கின்ற வகையிலான, காரண காரிய கருத்துத் தொடர்புடைய தேற்றங்களின் வடிவத்தில் அளித்தார். அவரது இப்பணியே யூக்ளீட் வடிவியல் என அழைக்கப்படுகிறது.
கேள்வி: யூக்ளிடு - யூக்ளிடின் மெய்ம்மைகள் என்பது என்ன?
பதில்: யூக்ளிடு தனது அணுகுமுறையை 10 மெய்ம்மைகள், அதாவது, ஏற்றுக்கொள்ளப்படக்கூடிய உண்மைகளை அடிப்படையாகக் கொண்டு, வகுத்துக் கொண்டார். அவர் இந்த மெய்ம்மைகளை எடுகோள்கள் என அழைத்தார். அவற்றை ஐந்து மெய்ம்மைகளைக் கொண்ட இரண்டு குழுக்களாக பிரித்தார், அனைத்து கணிதவியலுக்கும் பொதுவான மெய்ம்மைகளை முதல் தொகுப்பாகவும், வடிவவியலுக்கு மட்டுமே தொடர்புடைய மெய்ம்மைகளை இரண்டாவது தொகுப்பாகவும் வகைப்படுத்தினார். இந்த மெய்ம்மைகள் அல்லது எடுகோள்கள் சில தானே விளங்கிக்கொள்ளும் வகையில் உள்ளன. ஆனால், யூக்ளிடு ஒவ்வொரு எடுகோள் அல்லது மெய்ம்மைக்கும் ஆதாரம் இல்லாமல் ஏற்றுக்கொள்ள முடியாது என்று கொள்கையைக் கொண்டு செயல்பட்டுள்ளார்.
கேள்வி: யூக்ளிடு - கணிதவியலுக்குப் பொதுவான மெய்ம்மைகள் அல்லது எடுகோள்கள் என்பது என்ன?
பதில்: # ஒரே பொருளுடன் சமமான பொருட்கள் அனைத்தும் அவைகளுக்குள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும். # சமமானவை சமமானவற்றுடன் கூட்டப்பட்டால் முடிவுகளும் சமமானவைகளாக இருக்கும். # சமமானவையானவை சமமானவற்றிலிருந்து கழிக்கப்பட்டால் மீதமாய் வருபவையும் சமமாகவே இருக்கும். # ஒன்றுடன் ஒன்று ஒத்திசைபவை ஒன்றோடு ஒன்று சமமாக இருக்கும். # முழுமையானது பகுதியானதுடன் பெரியதாகவே இருக்கும்.
கேள்வி: யூக்ளிடு - வடிவவியலுக்கேயான மெய்ம்மைகள் அல்லது எடுகோள்கள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: # ஒரு புள்ளியிலிருந்து மற்றொரு புள்ளியை இணைத்து நேர்கோடு வரையலாம். # மையப்புள்ளியில் இருந்து குறிப்பிட்ட ஆரத்தைக் கொண்டு வட்டம் வரைய முடியும். # ஒரு நேர்க்கோட்டின் இருமுனைப் புள்ளிகளை எவ்வளவு தூரம் வேண்டுமானாலும் நீட்டிச் செல்லலாம். # செங்கோணம் எப்போதும் 90°அளவைக் கொண்டதாக இருக்கும் # இரண்டு நேர்கோடுகளின் மீது ஒரு நேர்கோடானது குறுக்கே செல்லும் போது, ஒரே பக்கத்தில் உருவாகும் கோணங்களின் கூடுதல் இரண்டு செங்கோணங்களின் கூடுதல்ளை விடக் குறைவாக இருக்கும் நேர்வில், இரண்டு நேர்கோடுகள், முடிவேயில்லாமல் நீட்டிக்கப்பட்டிருந்தால், எந்தப் பக்கத்தில் கோணங்களின் கூடுதல் இரண்டு செங்கோணங்களை விடக் குறைவாக உள்ளனவோ, அதே பக்கத்தில் ஒன்றை ஒன்று சந்திக்கின்றன. வார்த்தைகளை வாசித்து புரிந்து கொள்ளக்கூடிய எவருமே அவரது கருத்துக்களையும், எடுகோள்களையும் புரிந்து கொள்ள முடியும் என்பதை யூக்ளிடு உணர்ந்திருந்தாலும், ஆனால் எதனையும் சொற்பொருள் பிழையில்லாது இருக்க வேண்டும் என்பதை உறுதிப்படுத்துவதற்காக, 'புள்ளி' மற்றும் 'கோடு' போன்ற பொதுவான சொற்களின் 23 வரையறைளை உருவாக்கினார். இந்த அடிப்படையிலிருந்தே, பல நூற்றாண்டுகளாக கணிதம், விஞ்ஞானம் மற்றும் தத்துவம் ஆகியவற்றை ஒழுங்குக்குக் கொண்டு வரும் தள வடிவவியலின் முழு கோட்பாட்டையும் அவர் உருவாக்கியுள்ளார். மிகப்பெரிய பகா எண்ணைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான முயற்சி சாத்தியமற்றது என்று நிரூபித்தார்,