கேள்வி: குலச் சமஅமைவியம் - வரையறையும் குறியீடும் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: (G, *) , (H, \odot) ஆகிய இரு குலங்களுக்கிடையே குலச் சமஅமைவியமானது G லிருந்து H க்கு வரையறுக்கப்படும் இருவழிக்கோப்பு காப்பமைவியம் (கணிதம்)#குலம் காப்பமைவியம். ''வரையறை'': :f : G \rightarrow H : f(u * v) = f(u) \odot f(v) , \forall u , v \in G. ''குறியீடு'': (G, *) , (H, \odot) இரண்டும் சம அமைவியமுடைய குலங்கள் என்பதைக் குறிக்கும் குறியீடு: : (G, *) \cong (H, \odot) இரு குலங்களின் ஈருறுப்புச் செயலிகளும் நன்கறியப்பட்டவையாக இருப்பின், அவையில்லாமல் இக்குறியீட்டைச் சுருக்கமாக எழுதலாம்: : G \cong H சிலசமயங்களில் G = H எனவும் குறிக்கப்படலாம். ஆனால் இது எல்லா சூழ்நிலைகளிலும் சரியாக இருக்காது. எடுத்துக்காட்டாக இரு குலங்களும் ஒரே குலத்தின் உட்குலங்களாக இருந்தால் சமஅமைவியத்திற்கு சமக்குறிமட்டும் இடுதல் பொருந்தாது. மறுதலையாக, குலம் (G, *); கணம் H; இருவழிக்கோப்பு f : G \rightarrow H மூன்றும் தரப்பட்டால், : f(u) \odot f(v) = f(u * v) என வரையறுப்பதன் மூலம் H கணத்தை (H, \odot) எனும் குலமாக்கலாம். H = G , \odot = * எனில் இச்சார்பு தன்னமைவியம் எனப்படும்.
கேள்வி: குலச் சமஅமைவியம் - பண்புகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: * (''G'', *) லிருந்து (''H'', \odot) க்குள்ள சம அமைவியத்தின் உட்கரு (kernel) எப்பொழுதும் {eG} ஆக இருக்கும். இங்கு eG, (''G'', *) குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பு. * (''G'', *) , (''H'',\odot) உடன் சமஅமைவியம் உடையதாக இருக்கும்போது ''G'' ஏபெல் குலம் இருந்தால் ''H'' ம் ஏபெல் குலமாக இருக்கும். * (''G'', *) , (''H'', \odot) உடன் சமஅமைவியம் உடையதாக இருக்கும்போது (''f''), ''G'' இன் ஒரு உறுப்பு ''a'' இன் வரிசை ''n'' எனில், ''H'' இல் ''f(a)'' இன் வரிசையும் ''n'' ஆக இருக்கும். *(''G'', *) இடஞ்சார்ந்த முடிவுறு குலமெனில் (locally finite group) அதனுடன் சமஅமைவியம் கொண்ட (''H'', \odot) ம் இடஞ்சார்ந்த முடிவுறு குலமாக இருக்கும் * குலத்தின் பண்புகள் எப்பெழுதும் சம அமைவியத்தின் கீழ் பாதுகாக்கப்படுகின்றன என்பதை மேலே தரப்பட்டுள்ள எடுத்துக்காட்டுகள் மூலம் அறியலாம்.
கேள்வி: குலச் சமஅமைவியம் - சுழற் குலங்கள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: தரப்பட்ட குலத்தின் கிரமம் (கணிதம்) அனைத்து சுழற் குலம் (\mathbb{Z}_n, +_n) உடன் சமஅமைவியம் கொண்டவை. ;நிறுவல் ''G'' , ''n'' கிரம குலம் என்க. ''G'' ஐப் பின்வரும் பிறப்பிக்கப்பட்ட குலமாகக் கொள்ளலாம். :=\{e,x,...,x^{n-1}\}. \varphi எனும் சார்பு கீழுள்ளவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது: : \varphi : G \rightarrow \mathbb{Z}_n=\{0,1,...,n-1 \}, :\varphi(x^a)=a. இச்சார்பு இருவழிக்கோப்பாக உள்ளது. : \varphi(x^a \cdot x^b) = \varphi(x^{a+b}) = a+b = \varphi(x^a)+_n \varphi(x^b) எனவே, :G \cong \mathbb{Z}_n, +_n.
கேள்வி: குலச் சமஅமைவியம் - விளைவுகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: f : G \rightarrow H எனும் சமஅமைவியம், G இன் முற்றொருமை உறுப்புடன் H இன் முற்றொருமை உறுப்பை இணைக்கிறது: : f(e_G) = e_H; அதேபோல் ''G'' இல் உள்ள நேர்மாறு உறுப்பு ''H'' இல் அதற்கொத்த நேர்மாறு உறுப்புடன் இணைக்கிறது: : f(u^{-1}) = \left[ f(u) \right]^{-1} பொதுவாக, : f(u^n)= \left[ f(u) \right]^n , \forall u \in G மேலும் ''f'' இன் நேர்மாறுச் சார்பு f^{-1} : H \rightarrow G ம் ஒரு குல சம அமைவியம். "சமஅமைவியமானது" என்ற உறவு, ஒரு சமான உறவு (கணிதம்) அனைத்து அடிக்கோள்களையும் நிறைவுசெய்கிறது. f : G \rightarrow H என்பது சமஅமைவியம் எனில் G இல் உண்மையாக அமையும் கூற்றுகளில் குல அமைப்புத் தொடர்பானவற்றை மட்டுமே f மூலம் H இல் அமையும் உண்மைக்கூற்றுகளாக மாற்றமுடியும் (அதேபோலத்தான் H லிருந்து G க்கும்).
கேள்வி: குலச் சமஅமைவியம் - தன்னமைவியம் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: குலம் (G,*) லிருந்து (G,*) க்கே அமையும் சமஅமைவியம், தன்னமைவியம் எனப்படும் இத்தன்னமைவியம் பின்வரும் இருவழிக்கோப்பாகும்: f : G \rightarrow G, :f(u) * f(v) = f(u * v), \forall u, v \in G. தன்னமைவியமானது குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பை, முற்றொருமை உறுப்பாகவே மாற்றுகிறது; ஒரு வரிசைமாற்றக்குலத்தில் இணையியத்தல் அதே இணையியப் பகுதியாகவோ அல்லது வேறொரு இணையியப் பகுதியாகவோ மாற்றுகிறது; தன்னமைவியத்தின் கீழ் ஒரு குலத்தின் கிரமம் (கணிதம்)#ஓர் உறுப்பின் கிரமம் அதன் வீச்சு, எதிருரு மற்றும் முன்னுரு கிரமமும் சமமாக இருக்கும். இரு தன்னமைவியங்களின் சார்புகளின் தொகுப்பு மற்றொரு தன்னமைவியமாக இருக்கும். இச்செயலியின்கீழ் G குலத்தின் அனைத்து தன்னமைவியங்களின் கணம் ஒரு குலமாகும். இக்குலம் G இன் ''தன்னமைவியக் குலம்'' என அழைக்கப்படும். மேலும் அதன் குறியீடு: Aut(G).