கேள்வி: சதுர பிரமிடு எண் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: Image:Square pyramidal number.svg File:Musée historique de Strasbourg-Boulets en pierre.jpg கணிதம் வர்க்கப் பிரமிடு எண் அல்லது சதுரப் பிரமிடு எண் என்பது வடிவ எண்களில் ஒரு வகையாகும். சதுரம் அடிப்பாகமுடைய ஒரு பிரமிட்டு வடிவில் அடுக்கப்பட்ட கோளம் மொத்த எண்ணிக்கை ஒரு சதுர பிரமிடு எண். ''n'' &times; ''n'' -சதுர கம்பி வலையில் உள்ள மொத்த சதுரங்களின் எண்ணிக்கையைக் கண்டறிய சதுர பிரமிடு எண்கள் பயன்படுகின்றன..
கேள்வி: சதுர பிரமிடு எண் - வாய்ப்பாடு பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: முதல் சதுர பிரமிடு எண்கள் சில: :1, 5, 14, 30 , 55 , 91, 140 , 204 , 285, 385, 506, 650, 819,..... . சதுர பிரமிடு எண்களைக் காணப் பயன்படும் வாய்ப்பாடு: :P_n = \sum_{k=1}^nk^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6}. இந்த வாய்ப்பாடு, பால்ஹேபரின் வாய்ப்பாட்டின் (ஜெர்மனி கணிதவியலாளர் ''பால்ஹேபர்'') சிறப்பு வகையாகும். இதை எளிதாக கணித்தொகுத்தறிதல் முறையில் நிறுவலாம். இதற்குச் சமானமான வாய்ப்பாடு பிபனாச்சியின் ''லிபர் அபாச்சி'' -ல் (1202, ch. II.12) தரப்பட்டுள்ளது. நவீன கணிதத்தில் ''எரார்ட் பல்லுறுப்புக்கோவை''கள் மூலம் வடிவ எண்கள் முறைப்படுத்தப்பட்டுள்ளன. ஒரு பன்முகத்திண்மம் ''P'' -ன் எரார்ட் பல்லுறுப்புக்கோவை ''L''(''P'',''t''). இந்த பல்லுறுப்புக்கோவையானது, பன்முகி ''P'' -ன் அனைத்து ஆயதொலைவுகளும் எண் ''t'' -ஆல் பெருக்கப்படுவதால் கிடைக்கும் விரிவடைந்த ''P'' -ன் புதுவடிவில் உள்ள முழுஎண் புள்ளிகளின் மொத்த எண்ணிக்கையைத் தருகிறது. முழு எண் ஆயதொலைவுகளுடைய ஓரலகு சதுரத்தை அடிப்பாகமாகவும், அடியிலிருந்து ஓரலகு உயரத்திலுள்ள முழுஎண் புள்ளியை உச்சி (வடிவவியல்) கொண்ட பன்முகியின் எரார்ட் பல்லுறுப்புக்கோவை: \frac{(t+1)(t+2)(2t+3)}{6} = Pt+1. .
கேள்வி: சதுர பிரமிடு எண் - பிற வடிவ எண்களுடனான தொடர்பு பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: சதுர பிரமிடு எண்களை இரு ஈருறுப்புக் கெழு கூட்டுத்தொகையாக எழுதலாம்: :P_n = {{n + 2} \choose 3} + {{n + 1} \choose 3}. இதிலுள்ள ஈருறுப்புக் கெழுக்கள் இரண்டும் நான்முக எண்களாகும். எனவே ஒரு சதுர எண் அடுத்தடுத்த இரு முக்கோண எண்களின் கூட்டுத்தொகையாக அமைவது போல ஒரு சதுர பிரமிடு எண் இரு நான்முக எண்களின கூட்டுத்தொகையாக அமைகிறது. இவ்விரண்டு நான்முக எண்களில் ஒன்று, பிரமிடின் அடிச்சதுரத்தின் ஒரு மூலைவிட்டம் நேர் மேல் அல்லது ஒருபக்கத்தில் அடுக்கப்பட்டுள்ள பந்துகளின் எண்ணிக்கைக்கும் மற்றது அந்த மூலைவிட்டத்தின் அடுத்த பக்கத்தில் அடுக்கப்பட்டுள்ள பந்துகளின் எண்ணிக்கைக்கும் சமமாக இருக்கும். சதுர பிரமிடு எண்கள் நான்முக எண்களுடன் கொண்டுள்ள மற்றொரு தொடர்பு: :P_n=\frac14\binom{2n+2}{3}. அடுத்தடுத்த இரு சதுர பிரமிடு எண்களின் கூட்டுத்தொகை ஒரு எண்முக எண்ணாகும். அடிப்பாகத்தின் விளிம்பில் ''n'' பந்துகளுடைய ஒரு பிரமிடின் முக்கோணம் முகங்களுள் ஒன்றோடு அடிப்பாக விளிம்பில் ''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1 பந்துகள் கொண்ட நான்முகியைச் சேர்த்து அந்தப் பிரமிடை பெரிதுபடுத்தினால் ஒரு முக்கோணப் பட்டகம் கிடைக்கும். இதேபோல் ஒரு முக்கோணப் பட்டகத்திலிருந்து ஒரு நான்முகியை நீக்க, பிரமிடு கிடைக்கிறது என்றும் கொள்ளலாம். இத்தொடர்பு பின்வருமாறு தரப்படுகிறது: :P_n = n\binom{n+1}{2}-\binom{n+1}{3}. எண் ஒன்றைத் தவிர சதுர எண் மற்றும் சதுர பிரமிடு எண்ணாகவும் உள்ள மற்றொரு ஒரேயொரு எண் 4900. இது 24 -ஆவது சதுர பிரமிடு எண் மற்றும் 702. இந்த உண்மை ஆங்கிலம் கணிதவியலாளர் ''ஜி. என். வாட்சனால்'' 1918ல் நிறுவப்பட்டது. அடுத்தடுத்த இரு சதுர எண்களின் கூடுதல் ஒரு சதுர பிரமிடு எண்.