கேள்வி: வகையிடலின் வகுத்தல் விதி என்பது என்ன?
பதில்: நுண்கணிதம் வகையிடலின் வகுத்தல் விதி அல்லது சுருக்கமாக வகுத்தல் விதி (''quotient rule'') என்பது வகையிடல் விதிகள் ஒன்று. இரு வகையிடத்தக்கச் சார்புகளின் விகிதமுறு சார்பு அமையும் சார்பின் வகைக்கெழுவைக் காணும் முறையை இவ்விதி தருகிறது. இவ்விதியின் கூற்று: *வகையிடலின் குறியீடு#லாக்ராஞ்சியின் குறியீடு: :f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}; \qquad h(x)\not=0 எனில் அதன் வகைக்கெழு, :f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}. இவ்விதியை இரண்டாம் வகைக்கெழுவிற்கும் நீட்டிக்கலாம்: f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}; \qquad h(x)\not=0 என்பதை :f(x)=g(x)(h(x))^{-1} என எடுத்துக் கொண்டு வகையிடலின் பெருக்கல் விதியையும் சங்கிலி விதியையும் பயன்படுத்தி இருமுறை வகையிட: :f''(x)=\frac{g''(x)[h(x)]^2-2g'(x)h(x)h'(x)+g(x)[2[h'(x)]^2-h(x)h''(x)]}{[h(x)]^3}. லைப்னிட்சின் குறியீடு: : y = \frac{u}{v}\,, :\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{du}}{v^2}\,
கேள்வி: வகையிடலின் வகுத்தல் விதி - குறைபாடு குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ஒரு விகிதமுறு சார்பின் தொகுதியிலுள்ள சார்பும் பகுதியிலுள்ள சார்பும் தனித்தனியே வகையிட முடியாதவையாக இருந்தால் வகுத்தல் விதியைப் பயன்படுத்தி அச்சார்பை வகையிட முடியாது. ஆனால் அந்த விகிதமுறு சார்பு முழுமையாகத் தனியே வகையிடக் கூடியதாக இருக்குலாம். எடுத்துக்காட்டு: f(x) = \frac{|x|+1}{|x|+1}, |''x''| என்பது ''x'' இன் தனிமதிப்பு. இச்சார்பை f(x) = \frac{|x|+1}{|x|+1} = 1 என எடுத்துக்கொண்டால் இதனை வகையிடுதல் சாத்தியமாகும். இதன் வகைக்கெழு, :f'(x) = 0 ஆனால் இதே சார்பை, x = 0 இல் வகுத்தல் விதியைப் பயன்படுத்தி வகையிட முயன்றால், வரையறுக்கப்படாத மதிப்பே விடையாகக் கிடைக்கும். ஏனெனில் |''x''| இன் மதிப்பு ''x''&nbsp;=&nbsp;0 இல் வரையறுக்கப்படவில்லை.
கேள்வி: வகையிடலின் வகுத்தல் விதி - அடிப்படைக் கொள்கையைப் பயன்படுத்தி நிறுவல் என்பது என்ன?
பதில்: :f(x) = \frac{g(x)}{h(x)};\qquad h(x) \neq 0 :g, h இரண்டும் வகையிடத்தக்க சார்புகள் எனில்: :f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)- f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x + \Delta x)}{h(x + \Delta x)} - \frac{g(x)}{h(x)}}{\Delta x} := \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left(\frac{g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)}{h(x)h(x+\Delta x)} \right) தொகுதியில் g(x)h(x) ஐக் கூட்டிக் கழிக்க, := \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)+g(x)h(x)}{h(x)h(x+\Delta x)} \right) := \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}h(x)-g(x)\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}{h(x)h(x+\Delta x)} := \frac{\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\right)h(x) - g(x) \lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}\right)}{h(x)\lim_{\Delta x \to 0}h( x+\Delta x)} வகைக்கெழுக்களின் வரையறைப்படி, := \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}
கேள்வி: வகையிடலின் வகுத்தல் விதி - சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தி நிறுவல் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: : \frac{u}{v}\; =\; \frac{1}{4}\left[ \left( u+\frac{1}{v} \right)^{2}-\; \left( u-\frac{1}{v} \right)^{2} \right] இந்த முற்றொருமையை x ஐப் பொறுத்து வகையிட: :\frac{d\left( \frac{u}{v} \right)}{dx}\; =\; \frac{d}{dx}\frac{1}{4}\left[ \left( u+\frac{1}{v} \right)^{2}-\; \left( u-\frac{1}{v} \right)^{2} \right] வலப்புற வகையிடலுக்குச் சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்த: :\frac{d\left( \frac{u}{v} \right)}{dx}\; =\; \frac{1}{4}\left[ 2\left( u+\frac{1}{v} \right)\left( \frac{du}{dx}-\frac{dv}{v^{2}dx} \right)-\; 2\left( u-\frac{1}{v} \right)\left( \frac{du}{dx}+\frac{dv}{v^{2}dx} \right) \right] வலப்புறம், பெருக்கிச் சுருக்க: :\frac{d\left( \frac{u}{v} \right)}{dx}\; =\; \frac{1}{4}\left[ \frac{4}{v}\frac{du}{dx}-\frac{4u}{v^{2}}\frac{dv}{dx} \right] :\frac{d\left( \frac{u}{v} \right)}{dx}\; =\; \frac{\left[ v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx} \right]}{v^{2}}