கேள்வி: கோண இருசமவெட்டித் தேற்றம் என்பது என்ன?
பதில்: Image:Triangle ABC with bisector AD.svg வடிவவியல் உருமாற்றம், கோண இருசமவெட்டித் தேற்றமானது(''Angle bisector theorem'') முக்கோணம் ஒரு இருசமக்கூறிடல்#கோண இருசம வெட்டி அக்கோணத்திற்கு எதிரேயுள்ள பக்கத்தினை வெட்டுவதால் கிடைக்கும் கோட்டுத் துண்டுகளின் நீளம் விகிதங்களைப்பற்றிக் கூறும் தேற்றம். இத்தேற்றத்தின்படி அக்கோட்டுத் துண்டுகளின் நீளங்களின் விகிதம் முக்கோணத்தின் மற்ற இரு பக்கங்களின் நீளங்களின் விகிதத்திற்கு சமமாக இருக்கும்.
கேள்வி: கோண இருசமவெட்டித் தேற்றம் - தேற்றம் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: ஒரு முக்கோணத்தில் ஒரு கோணத்தின் உட்புற கோண இரு சம வெட்டியானது, அக்கோணத்தின் எதிர்பக்கத்தை உட்புறமாக அக்கோணத்தினை அடக்கிய பக்கங்களின் சம விகிதத்தில் பிரிக்கும். அதாவது முக்கோணம் \triangle ABC -ஐ எடுத்துக் கொள்க. * \angle A -ன் இருசமவெட்டி, \ BC பக்கத்தை \ D புள்ளியில் வெட்டட்டும். * கோண இருசமவெட்டித் தேற்றத்தின்படி, கோட்டுத் துண்டுகள் \ BD மற்றும் \ DC -ன் விகிதமானது, \ AB மற்றும் \ AC பக்கங்களின் நீளங்களின் விகிதத்திற்குச் சமமாக இருக்கும்: :{\frac {|BD|} {|DC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}. * பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட கோண இருசமவெட்டித் தேற்றத்தின்படி, \ D புள்ளியானது பக்கம் \ BC -ன் மீது அமைந்தால்(அ-து, AD கோண இருசமவெட்டியாக இருக்க வேண்டியதில்லை) : :{\frac {|BD|} {|DC|}}={\frac {|AB| \sin \angle DAB}{|AC| \sin \angle DAC}}. * இதிலிருந்து, கோணம் \angle BAC -ன் இருசமவெட்டியாக, \ AD இருக்கும்போது முதலிலுள்ள தேற்றத்தைப் பெறலாம்.
கேள்வி: கோண இருசமவெட்டித் தேற்றம் - கணித நிறுவல் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: Image:Triangle ABC with bisector AD.svg *மேலேயுள்ள படத்தில், \triangle ABD மற்றும் \triangle ACD முக்கோணங்களுக்கு'' சைன் விதியைப்'' பயன்படுத்த: :{\frac {|AB|} {|BD|}} = {\frac {\sin \angle BDA} {\sin \angle BAD}} ..... (சமன்பாடு 1) :{\frac {|AC|} {|DC|}} = {\frac {\sin \angle ADC} {\sin \angle DAC}} ..... (சமன்பாடு 2) *கோணங்கள் \angle BDA மற்றும் \angle ADC இரண்டும் மிகைநிரப்புக் கோணங்கள். எனவே அவற்றின் ''சைன்'' மதிப்புகள் சமம். * கோணங்கள் \angle BAD மற்றும் \angle DAC இரண்டும் சமமானவை. * எனவே சமன்பாடுகள் (1), (2) -ன் வலதுகைப் பக்கங்கள் சமம். ஆகவே அவற்றின் இடதுகைப் பக்கங்களும் சமமாக இருக்க வேண்டும்: :{\frac {|AB|} {|BD|}}={\frac {|AC|}{|DC|}} எனவே, கோண இருசமவெட்டித் தேற்றம் நிறுவப்பட்டது. கோட்டுத்துண்டு \ AD கோண இருசமவெட்டி இல்லையென்றால் * கோணங்கள் \angle BAD மற்றும் \angle DAC இரண்டும் சமமில்லை. * சமன்பாடுகள் (1), (2) இரண்டையும் பின்வருமாறு மாற்றி எழுதலாம்: : {\frac {|AB|} {|BD|} \sin \angle\ BAD = \sin \angle BDA} : {\frac {|AC|} {|DC|} \sin \angle\ DAC = \sin \angle ADC} கோணங்கள் \angle BDA மற்றும் \angle ADC இரண்டும் இப்பொழுதும் மிகைநிரப்பு கோணங்கள். எனவே இரு சமன்பாடுகளின் வலதுபுறங்களும் சமம். ஆகவே இடதுபுறங்களும் சமமாக அமையும்: : {\frac {|AB|} {|BD|} \sin \angle\ BAD = \frac {|AC|} {|DC|} \sin \angle\ DAC} இது பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட தேற்றத்தை நிறுவுகிறது.
கேள்வி: கோண இருசமவெட்டித் தேற்றம் - நிறுவல்-மாற்றுமுறை என்பது என்ன?
பதில்: Image:Bisekt.svg * \triangle ABD -க்கு, உச்சி (வடிவவியல்) \ B வழியே வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் அடி ''B''1 என்க. \triangle ACD -க்கு, உச்சி \ C வழியே வரையப்பட்ட குத்துக்கோடு (முக்கோணம்) அடி ''C''1 என்க. * \triangle ''DB''1''B'' மற்றும் \triangle ''DC''1''C'' இரண்டும் செங்கோண முக்கோணம். * \ D புள்ளியானது கோட்டுத்துண்டு \ BC -ன் மேல் இருந்தால், கோணங்கள் \angle''B''1''DB'' மற்றும் \angle''C''1''DC'' இரண்டும் சர்வசமமாகவும் * \ D புள்ளியானது கோட்டுத்துண்டு \ BC -ன் மேல் இல்லையெனில் அவ்விரு கோணங்களும் முற்றுமொத்தவையாகவும் அமையும். *எனவே முக்கோணங்கள், \triangle ''DB''1''B'' மற்றும் \triangle ''DC''1''C'' இரண்டும் வடிவொப்புமை (வடிவவியல்)#வடிவொத்த முக்கோணங்கள் (AAA). :{\frac {|BD|} {|CD|}}= {\frac {|BB_1|}{|CC_1|}}=\frac {|AB|\sin \angle BAD}{|AC|\sin \angle CAD}. எனவே பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட கோண இருசமவெட்டித் தேற்றம் நிறுவப்படுகிறது.