கேள்வி: களம் (கணிதம்) - முடிவுறாக்களங்கள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: \mathbf{Q} என்ற விகிதமுறு எண் கணம். \mathbf{R} என்ற எண்#மெய்யெண்கள்களின் கணம். \mathbf{C} என்ற சிக்கலெண்களின் கணம். இவை மூன்றிலும் கூட்டலும் பெருக்கலும் அவைகளில் இயற்கையாகவே உள்ள கூட்டலும் பெருக்கலும் தான். இவை மூன்றும் முடிவுறாக்களங்கள்.
கேள்வி: களம் (கணிதம்) - முடிவுறு களங்கள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: முடிவுறு களம் உள்ளன. இவைகளைப்பற்றிய கோட்பாடு ஒரு தனிப்பிரிவாகவே விரியும். ஒரே ஒரு எளிதான எடுத்துக்காட்டு கீழே ஒரு அட்டவணையாகக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இதனில் ஏழு உறுப்புகளே: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. கூட்டலும் பெருக்கலும் modulo 7 முறைப்படி செய்யப்படுகின்றன. அதாவது, 5 + 3 = 8 = 1(mod 7). 5 \times 3 = 15 = 1(mod 7). {| class="wikitable" |- ! + ! 0 ! 1 ! 2 ! 3 ! 4 ! 5 ! 6 |- | 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |- | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 0 |- | 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 0 | 1 |- | 3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 0 | 1 | 2 |- | 4 | 4 | 5 | 6 | 0 | 1 | 2 | 3 |- | 5 | 5 | 6 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |- | 6 | 6 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |- |} {| class="wikitable" |- ! \times ! 0 ! 1 ! 2 ! 3 ! 4 ! 5 ! 6 |- | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |- | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |- | 2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 |- | 3 | 0 | 3 | 6 | 2 | 5 | 1 | 4 |- | 4 | 0 | 4 | 1 | 5 | 2 | 6 | 3 |- | 5 | 0 | 5 | 3 | 1 | 6 | 4 | 2 |- | 6 | 0 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |} அட்டவணையைப்பார்த்து நாம் சொல்லி விடலாம். சூனியமல்லாத ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் ஒரு பெருக்கல் நேர்மாறு உள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, 5^{-1} = 3; 6^{-1} = 6. சுருங்கச்சொன்னால் ஒவ்வொரு பகா எண் p க்கும். p உறுப்புகளுள்ள ஒரு தனிப்பட்ட முடிவுறுகளம் உள்ளது. p^{r} போன்ற பகா எண்களின் மடக்குகள் ஒவ்வொன்றுக்கும் ஒரு களம் உள்ளது. ஆனால் அது அவ்வளவு எளிதானதல்ல. அதற்கு G F(p^{r}) என்ற பெயர். இங்கு GF என்றால் Galois Field. எவரிஸ்ட் கால்வா (Galois) என்ற இளம் கணித இயலர் 20 வயதுக்குள் பலஆய்வுகள் செய்து தான் துரதிருஷ்டவசமாக ஒரு துப்பாக்கிச் சண்டையில் இறக்கப் போவதை எதிர்பார்த்து இறப்பதற்குமுன் அவர் ஆய்வுகளை எழுதிவைத்துவிட்டுப்போனார். பகுப்பு:நுண்புல இயற்கணிதம்