கேள்வி: சமான உறவு (கணிதம்) - கணிதத்தில் சமான உறவு பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: File:Indiabundleware.jpg கணிதம் சமான உறவு (''equivalence relation'') என்பது தரப்பட்ட ஒரு கணம் (கணிதம்) உறுப்புகள் ஒவ்வொன்றும் ஒரேயொரு பகுதிக்குள் இருக்குமாறு அக்கணத்தைச் சிறுசிறு பகுதிகளாகப் பிரிக்கும் ஒரு ஈருறுப்பு உறவு. ஒரு கணத்திலுள்ள இரு உறுப்புகள் அக்கணத்தின் ஒரே பகுதிக்குள் இருந்தால் மட்டுமே அவ்விரு உறுப்புகளும் சமானமானவையாகக் கருதப்படும். கணத்தின் ஏதேனும் இரு பகுதிகளின் கணம் (கணிதம்)#வெட்டுகள் வெற்றுக் கணம் அனைத்து பகுதிகளின் கணம் (கணிதம்)#ஒன்றிப்புகள் அக்கணமாகவும் இருக்கும்.
கேள்வி: சமான உறவு (கணிதம்) - வரையறை பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: ஒரு கணம் ''A'' இன் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஈருறுப்பு உறவானது (~) எதிர்வு, சமச்சீர், கடப்பு ஆகிய மூன்று உறவுகளாகவும் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அது ஒரு சமான உறவாக இருக்கும். அதாவது, ''A'' கணத்தின் உறுப்புகள் ''a'', ''b'' , ''c'' அனைத்திற்கும்: :: எதிர்வு உறவு (Reflexivity): ஒவ்வொரு பொருளும் தனக்கு சமானம்.அதாவது, a \sim a :: சமச்சீர் உறவு (Symmetry): இது அதற்குச் சமானமென்றால் அது இதற்குச் சமானம். அதாவது a \sim b \Rightarrow b\sim a :: கடப்பு உறவு (Transitivity): இது அதற்குச் சமானமாகவும், அது இன்னொன்றுக்குச் சமானமாகவும் இருந்தால், இது அந்த இன்னொன்றுக்குச் சமானமாக இருந்தாக வேண்டும். அதாவது, a \sim b, b \sim c \Rightarrow a \sim c. ஒரு கணத்தின் உறுப்புகளுக்குள் ஓர் உறவு படைக்கப்பட்டு அது மேற்கூறிய மூன்று பண்புகளையும் பெற்றிருந்தால் அதை சமான உறவு என்று வரையருக்கபடுகிறது முக்கிய விளைவு, அவ்வுறுப்புகளெல்லாம் சமானப் பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்படுவதே.
கேள்வி: சமான உறவு (கணிதம்) - குறியீடு என்பது என்ன?
பதில்: ''R'' எனும் சமான உறவைப் பொறுத்து, ஒரு கணத்தின் உறுப்புகள் ''a'' , ''b'' இரண்டும் சமானமானவை எனில் அதனைக் குறியீட்டில் பின்வருமாறு குறிக்கலாம்: ''R'', மிகவும் வெளிப்படையானதொரு உறவாக இருப்பின் குறியீடு: : a\sim b :a \equiv b பிற உறவுகளுக்கு குறியீடு: : a\sim_R b :a \equiv_R b :_a R_ b
கேள்வி: சமான உறவு (கணிதம்) - எடுத்துக்காட்டுகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: கணிதத்தில் அநேக சமான உறவுகள் படைக்கப்படுகின்றன். * முடிவுறு கணம் அவைகளின் எண்ணிக்கையில் ஒன்றாக இருப்பவைகளைக் கொண்டு ஒரு சமானம். * மெய்யெண்களின் கணத்தில் "சமம்" என்பது சமான உறவு * மக்களின் கணத்தில் "ஒரே பிறந்தநாள் கொண்டவர்கள்" என்ற உறவு சமானம். * முக்கோணம் கணத்தில் "வடிவொப்புமை (வடிவவியல்)" என்ற உறவு சமானம். * முக்கோணங்களின் கணத்தில் "சர்வசமம் (வடிவவியல்)" என்ற உறவு சமானம். * முழு எண்களில் ''சமானம், மாடுலோ n'' உறவு சமானம். * ஒரு சார்பு ஆட்களம் (கணிதம்) அச்சார்பின் கீழ் "சம வீச்சு, எதிருரு மற்றும் முன்னுரு" என்ற உறவு சமானம். * மெய்யெண்களில் "சம தனிமதிப்புள்ள" என்ற உறவு சமானம். * கோணங்களின் கணத்தில் "சம கோசைன் (முக்கோணவியல்) மதிப்புள்ள" என்ற உறவு சமானம். * ஒழுங்கு திண்மங்கள் ஐந்தே ஐந்து இருப்பதாகக்கொள்ளும்போது ஒரு சமானம். * மாலைகளின் மணிகளை நிறப்படுத்தும்போது, சுழற்சியினால் ஏற்படும் ஒரு சமானம். ஆக, இன்னும் பல.
கேள்வி: சமான உறவு (கணிதம்) - சமான உறவல்லாதவை சில குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: * மெய்யெண்களில் "≥" என்பது சமான உறவு இல்லை. ஏனெனில் அது எதிர்வு மற்றும் கடப்பு உறவாக இருந்தாலும் சமச்சீர் உறவாக இல்லை (7 ≥ 5 ஆனால் 5 ≥ 7 என்பது உண்மை இல்லை). * 1 ஐ விட அதிகமான இயல் எண்களில் ''1 ஐ விடப் பெரிய பொதுக்காரணியுடைய'' என்பது சமான உறவு இல்லை. ஏனெனில் அது எதிர்வு மற்றும் சமச்சீர் உறவாக இருப்பினும் கடப்பு உறவு இல்லை (2, 6 இரண்டிற்கும் 1 ஐவிடப் பெரிய பொதுக்காரணி உள்ளது; 6, 3 இரண்டிற்கும் 1 ஐவிடப் பெரிய பொதுக்காரணி உள்ளது; ஆனால் 2, 3 இரண்டிற்கும் 1 ஐவிடப் பெரிய பொதுக்காரணி இல்லை).
கேள்வி: சமான உறவு (கணிதம்) - இவற்றையும் பார்க்கவும் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: *சமானம், மாடுலோ n *எண்களின் சமானப்பகுதிகள் *இடவியல் உருமாற்றம் *கார்ல் ஃப்ரெடெரிக் காஸ்