கேள்வி: இசைச் சராசரி பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: கணிதம் பலவகையான சராசரிகளுள் இசைச் சராசரியும் (''harmonic mean'') ஒன்று. வீதம் அல்லது விகிதம் சராசரிகள் தேவைப்படும் சூழ்நிலைகளில், இசைச் சராசரி பிற சராசரிகளைவிட மிகவும் பொருத்தமானது. தரப்பட்ட நேர்ம எண்கள்: ''x''1,&nbsp;''x''2,&nbsp;...,&nbsp;''x'n''&nbsp;>&nbsp;0 எனில், இவற்றின் இசைச்சராசரி காணும் வாய்ப்பாடு: :H = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}} = \frac{n \cdot \prod_{j=1}^n x_j }{ \sum_{i=1}^n \frac{\prod_{j=1}^n x_j}{x_i}}. மூன்றாவது வாய்ப்பாட்டிலிருந்து இசைச் சராசரி, கூட்டுச் சராசரி மற்றும் பெருக்கல் சராசரியுடன் தொடர்புள்ளது எனத் தெரிகிறது. ஒரு தரவின் இசைச் சராசரி அத்தரவிலுள்ள உறுப்புகளின் பெருக்கல் (கணிதம்) தலைகீழிகளின் கூட்டுச் சராசரியின் பெருக்கல் நேர்மாறு உறுப்பு. எடுத்துக்காட்டாக 1, 2, மற்றும் 4 ஆகிய எண்களின் இசைச் சராசரி: \frac{3}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{1}{3}(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4})} = \frac{12}{7}\,.
கேள்வி: இசைச் சராசரி - எடையிடப்பட்ட இசைச் சராசரி என்பது என்ன?
பதில்: தரவு கணம்: x_1, ..., x_n. அவற்றுடன் இணைக்கப்பட்ட எடைகள்: w_1, ..., w_n எனில், இத்தரவின் எடையிடப்பட்ட இசைச் சராசரியின் வாய்ப்பாடு: :\frac{\sum_{i=1}^n w_i }{ \sum_{i=1}^n \frac{w_i}{x_i}}. முன்பு வரையறுக்கப்பட்ட சாதாரண இசைச் சராசரி, எடைகள் அனைத்தும் 1 ஆகக் கொண்டுள்ள எடையிடப்பட்ட சராசரி அல்லது அனைத்து எடைகளும் சமமாகவுள்ள எடையிடப்பட்ட இசைச் சராசரியாகும்.
கேள்வி: இசைச் சராசரி - பிற அறிவியல் துறைகளில் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: வாயு ஆற்றலால் இயங்கும் ஒரு நீர் ஏற்றி, ஒரு குளத்திலுள்ள நீர் முழுவதையும் 4 மணி நேரத்தில் வெளியேற்றி விடும். மின் ஆற்றலால் இயங்கும் ஒரு நீர் ஏற்றி, அதே குளத்தை 6 மணி நேரத்தில் வெளியேற்றும். இரண்டு நீர் ஏற்றிகளும் ஒன்றாகச் சேர்ந்து அக்குளத்தின் நீர் முழுவதையும் (6&nbsp;·&nbsp;4)/(6&nbsp;+&nbsp;4), அதாவது 2.4 மணி நேரத்தில் வெளியேற்றும். இம்மதிப்பு 6, 4 இரண்டின் இசைச் சராசரியில் சரிபாதியாகும். நீரியலில், நீரோட்டம் மேற்பரப்பிற்கு செங்குத்தாக இருக்கும்போது நீரழுத்தக் கடத்தும் திறன் சராசரி காண இசைச் சராசரியும் நீரோட்டம் மேற்பரப்பிற்கு இணையாக இருக்கும்போது கூட்டுச் சராசரியும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. முன்பு இயற்பியலில் பார்த்த எடுத்துக்காட்டுக்கும் இந்த எடுத்துக்காட்டுக்கும் சராசரி காண்பதில் உள்ள வேறுபாட்டிற்குக் காரணம் நீரியலில் பயன்படுத்தப்படும் கடத்தும் திறன் மின் தடைத் திறனுக்குத் தலைகீழியாக அமைவதுதான். தானியங்கிகளில் எரிபொருள்-சிக்கனத்திற்கு, மைல்/காலன்(mpg) அல்லது 100 கி.மீ. தூரத்துக்குத் தேவையான எரிபொருள் (லிட்டரில்) ஆகிய இருவகையான அளவுகள் கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ளப்படுகின்றன. இவ்விரண்டு அளவுகளும் ஒன்றுக்கொன்று எதிர்விகிதத்தில் அமைகின்றன. (ஒன்று தூரம்/கனஅளவு, மற்றது கனஅளவு/தூரம்.) ஒரு வகைக் கார்களின் எரிபொருள்-சிக்கனத்தின் சராசரி மதிப்பு காணும்போது ஒரு அளவின் வாயிலாகக் காணப்படும் சராசரி மற்றொன்றின் வாயிலாகக் காணப்படும் இசைச்சராசரியாகும்.
கேள்வி: இசைச் சராசரி - பொருளியல் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: விலை/வருவாய் போன்ற விகிதங்களின் சராசரி காணும்போது கூட்டுச் சராசரியைவிட இசைச் சராசரிக்குத்தான் முன்னுரிமை அளிக்கப்படுகிறது. ஏனெனில் இது போன்ற விகிதங்களின் சராசரி காண கூட்டுச் சராசரியைப் பயன்படுத்தினால் தரவின் உயர் உறுப்புகள் அதிக அளவிலும் கீழ்மட்ட உறுப்புகள் குறைந்த அளவிலும் எடையிடப்பட்டு விடக்கூடிய நிலை ஏற்படும். மாறாக இசைச் சராசரி பயன்படுத்தப்பட்டால் தரவின் அனைத்து உறுப்புகளும் சமமாக எடையிடப்படும்."Fairness Opinions: Common Errors and Omissions", ''The Handbook of Business Valuation and Intellectual Property Analysis'', McGraw Hill, 2004.
கேள்வி: இசைச் சராசரி - வடிவவியல் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: *வடிவவியல்ஒரு முக்கோணம் முக்கோணத்தின் உள்வட்டமும் வெளிவட்டங்களும், அம்முக்கோணத்தின் குத்துக்கோடு (முக்கோணம்) நீளம் இசைச் சராசரியில் மூன்றில் ஒரு பங்கு. *ஒரு முக்கோணம்#முக்கோண வகைகள் ABC -ன் சூழ்தொடு வட்டம் சிறுவில் BC -ன் மீது அமைந்த ஒரு புள்ளி P என்க. PB = q; PC = t என்க. PA, BC இரண்டும் வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளி P -லிருந்து உள்ள தூரம் ''y'' என்க. :''y'' -ன் மதிப்பு ''q'' , ''t'' -ன் இசைச் சராசரியில் பாதி.Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T., ''Challenging Problems in Geometry'', second edition, Dover Publ. Co., 1996, pp. 170-172. * ஒரு செங்கோண முக்கோணம் செங்கோணத்தை உள்ளடக்கும் பக்கங்கள் ''a'', ''b''. மேலும் ''h'' -செம்பக்கம் செங்கோணத்திற்கு வரையப்படும் குத்துயரம். :''h'' 2, ''a''2 மற்றும் ''b''2 -ன் இசைச் சராசரியில் பாதி.Voles, Roger, "Integer solutions of a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}," ''Mathematical Gazette'' 83, July 1999, 269&ndash;271.Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem," ''Mathematical Gazette'' 92, July 2008, 313&ndash;;317. * கர்ணம் ''c'' கொண்ட செங்கோண முக்கோணத்துக்குள் வரையப்பட்ட இரு சதுரம் பக்க நீளங்கள் ''t'' , ''s'' (''t'' > ''s''). :''s''2 , ''c''2 மற்றும் ''t''2 -ன் இசைசராசரியில் பாதி.. * ஒரு சரிவகம் உச்சி (வடிவவியல்) முறையே A, B, C, D. சரிவகத்தின் இணைபக்கங்கள் AB, CD. மூலைவிட்டம் வெட்டும் புள்ளி E. கோடு FEG , AB மற்றும் CD க்கு இணையாக இருக்குமாறு F, பக்கம் DA மீதும் G , பக்கம் BC மீதும் அமையும் புள்ளிகள். :FG , AB மற்றும் DC -ன் இசைச் சராசரியாகும். File:CrossedLadders.svg * இரு ஏணிகள் ஒரு பாதையின் இருபுறங்களிலும் உள்ள சுவர்கள் மீது அடிமுனை ஒரு சுவரின் அடித் தரையிலும் மறுமுனை எதிர்ச் சுவரிலும் இருக்குமாறு குறுக்காக சாத்தி வைக்கப்பட்டுள்ளன. சுவற்றின் அடியிலிருந்து ஏணிகளின் மேல் முனையின் உயரங்கள் முறை ''A'' , ''B''. இரு ஏணிகளும் சந்திக்கும் இடத்தின் உயரம் தரையிலிருந்து ''h''. :''h'' , ''A'' மற்றும் ''B'' -ன் இசைச் சராசரியில் பாதி. சுவர்கள் சாய்வாக ஆனால் இணையாக இருக்கும்போதும் மேலே கூறப்பட்ட முடிவு உண்மையாகும். ( உயரங்கள் ''A'', ''B'', ''h'' தரையிலிருந்து சுவற்றுக்கு இணையான கோட்டுத்திசைகளில் அளக்கப்பட வேண்டும்.) * ஒரு நீள்வட்டம் ''அரைச் செவ்வகலம்'', (சிற்றச்சுக்கு இணையாக குவியத்தின் வழி நீள்வட்டத்திற்கு வரையப்பட்ட கோட்டுத்துண்டின் நீளம்.) குவியத்திலிருந்து நீள்வட்டத்தின் பெருமம் மற்றும் சிறுமம் இசைச் சராசரியாகும்.
கேள்வி: இசைச் சராசரி - முக்கோணவியலில் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: முக்கோணவியல் \tan A = \frac{a}{b} இதில் a, b மெய்யெண்கள். இருமடங்கு கோண வாய்ப்பாட்டை இசைச் சராசரி மூலம் மாற்றி எழுதலாம்: :\tan 2A = \frac{2 a b}{a + b} * \frac{1}{b - a} இவ்வாய்ப்பாட்டின் வலதுபுறமுள்ள \frac{2 a b}{a + b}, a, b -ன் இசைச் சராசரி. எடுத்துக்காட்டு: :\tan A = \frac{3}{7}, :\tan 2A = \frac{2 * \frac{3}{7}}{1 - (\frac{3}{7})^2}= \frac{21}{20}; :\tan 2A = \frac{2 * 3 * 7}{3 + 7} * \frac{1}{7 - 3} = \frac{21}{20}.
கேள்வி: இசைச் சராசரி - இரு எண்களின் இசைச் சராசரி என்பது என்ன?
பதில்: x_1 மற்றும் x_2, என்ற இரு எண்களின் இசைச் சராசரி: :H = \frac{2 x_1 x_2}{x_1 + x_2}. கூட்டுச் சராசரி: A = \frac{x_1 + x_2}{2} பெருக்கல் சராசரி: G = \sqrt{x_1 x_2}, இவ்விரு எண்களின் இசைச் சராசரிக்கு கூட்டுச் சராசரி மற்றும் பெருக்கல் சராசரிகளுடனான தொடர்பு: :H = \frac {G^2} {A}. ஃ G = \sqrt{A H}, இரு எண்களின் பெருக்கல் சராசரி அவ்வெண்களின் கூட்டு மற்றும் இசைச் சராசரிகளின் பெருக்கல் சராசரி என்பதைக் காட்டுகிறது. இத்தொடர்பை n உறுப்புகளுக்கு நீட்டிக்கலாம். இசைச் சராசரியின் பொது வாய்ப்பாட்டின்படி: : H(x_1, \ldots , x_n)= \frac{(G(x_1, \ldots , x_n))^n}{A(x_2x_3 \cdots x_n, x_1x_3 \cdots x_n, \ldots , x_1x_2 \cdots x_{n-1})} = \frac{(G(x_1, \ldots , x_n))^n}{A\left( \frac{\prod_{i=1}^n x_i}{x_1}, \frac{\prod_{i=1}^n x_i}{x_2}, \ldots , \frac{\prod_{i=1}^n x_i}{x_n} \right)} . இதில் n=2 எனில்: :H(x_1, x_2)= \frac{(G(x_1, x_2))^2}{A(x_2, x_1)}=\frac{(G(x_1, x_2))^2}{A(x_1, x_2)} சராசரிச் செயலிகளைக் கொண்டு எழுத: :H = \frac {G^2} {A}