கேள்வி: வளைவு ஆரம் (கணிதம்) என்பது என்ன?
பதில்: File:Radius of curvature-ta.svg வடிவவியல், ஒரு வளைவரையின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியிடத்து அவ்வளைவரையின் வளைவு ஆரம் (''radius of curvature'') ''R'' என்பது, அப்புள்ளியில் கிட்டத்தட்ட தரப்பட்ட வளைவரையை ஒத்தமையும் வில் (வடிவவியல்)#வட்ட வில் ஆரம். வளைவு ஆரத்தின் மதிப்பு வளைவு (கணிதம்) மதிப்பின் தலைகீழியாக இருக்கும். தளம் (வடிவவியல்) வளைவரையொன்றின் வளைவு ஆரம்: : R = \frac{ds}{d\varphi} = \frac{1}{\kappa}, இங்கு ''s'' என்பது வளைவரை மீதுள்ள ஒரு நிலையான புள்ளியிலிருந்து காணப்படும் வில்லின் நீளம்; ''φ'' என்பது தொடுகோணம்; \scriptstyle\kappa வளைவு. *வளைவரையின் சமன்பாடு ''y(x)'' என கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமையில் தரப்பட்டால் வளைவு ஆரம் (வளைவரையின் சமன்பாடு இருமுறை வகையிடத்தக்கதாக இருக்கும்பட்சத்தில்): : R =\left| \frac { \left(1 + y'^{\,2}\right)^{3/2}}{y''}\right|, \qquad\mbox{where}\quad y' = \frac{dy}{dx},\quad y'' = \frac{d^2y}{dx^2}, | ''z'' | என்பது ''z'' இன் தனி மதிப்பு குறிக்கும். வளைவரையின் சமன்பாடு ''x(t)'' and ''y(t)'', என துணையலகுகளில் தரப்பட்டால் வளைவு ஆரம்: :R = \;\left|\frac{ds}{d\varphi}\right| \;= \;\left|\frac {\big({\dot{x}^2 + \dot{y}^2}\big)^{3/2}}{\dot {x}\ddot{y} - \dot{y}\ddot{x}}\right|, \qquad\mbox{where}\quad \dot{x} = \frac{dx}{dt},\quad\ddot{x} = \frac{d^2x}{dt^2},\quad \dot{y} = \frac{dy}{dt},\quad\ddot{y} = \frac{d^2y}{dt^2}.
கேள்வி: வளைவு ஆரம் (கணிதம்) - அரைவட்டங்களும் வட்டங்கள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: மேல் அரைத்தளத்தில் அமையும் ''a'' அலகு ஆரமுள்ள அரைவட்டத்தின் வளைவு ஆரம்: : y=\sqrt{a^2-x^2}, \quad y'=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}, \quad y''=\frac{-a^2}{(a^2-x^2)^{3/2}},\quad R=|-a| =a. அரைத்தளத்தில் அமையும் ''a'' அலகு ஆரமுள்ள அரைவட்டத்தின் வளைவு ஆரம்: : y=-\sqrt{a^2-x^2}, \quad R=|a|=a. ''a'' அலகு ஆரமுள்ள வட்டம் வளைவு ஆரம் ''a''.
கேள்வி: வளைவு ஆரம் (கணிதம்) - நீள்வட்டங்கள் என்பது என்ன?
பதில்: Image:Ellipse evolute.svg (சிவப்பு) மற்றும் அதன் மலரி (நீலம்). மிக அதிக மற்றும் மிகக் குறைந்த வளைவு ஆரம் கொண்ட புள்ளிகளாக அமையும் நீள்வட்டத்தின் முனைகள்.]] ஒரு நீள்வட்டத்தின் நெட்டச்சின் நீளம் 2''a'' ; குற்றச்சின் நீளம் 2''b'' எனில் நெட்டச்சின் முனைகள் மிகக்குறைந்த வளைவு ஆரம் கொண்ட புள்ளிகளாகவும் \left( R = \frac{b^2}{a} \right) , குற்றச்சின் முனைகள் மிகஅதிக வளைவு ஆரம் கொண்ட புள்ளிகளாகவும் \left( R = \frac{a^2}{b} \right) அமைகின்றன.