கேள்வி: வர்க்கப்படுத்தப்பட்ட முக்கோண எண் என்பது என்ன?
பதில்: Image:Sum of cubes2.png எண் கோட்பாடு முதல் ''n'' கன எண்களின் கூடுதல், ''n'' -ஆம் முக்கோண எண்ணின் வர்க்கம் (கணிதம்) சமமாக இருக்கும். :\sum_{i=1}^{n} i^3 = \Bigl(\sum_{i=1}^{n} i\Bigr)^2. சிலசமயங்களில் இம்முற்றொருமை நிசோமாசுஸ் தேற்றம் என அழைக்கப்படுகிறது.
கேள்வி: வர்க்கப்படுத்தப்பட்ட முக்கோண எண் - வரலாறு குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: *1995 -ல் நிசோமாசுஸ் தேற்றம் பற்றி எழுதிய ''ஸ்ட்ரோக்கர்'', எண் கோட்பாட்டைப் பயிலும் ஒவ்வொரு மாணவரும் கண்டிப்பாக இந்த அதிசயமான உண்மையைக் கண்டு வியந்திருப்பார்கள் என்கிறார். இக்கூற்று கொஞ்சம் மிகைப்படுத்தப்பட்ட கவித்தவத்துடன் இருந்தாலும் பல கணிதவியலாளர்கள் இந்த முற்றொருமையை பல வகைகளில் ஆராய்ந்து நிரூபித்துள்ளனர். *''பென்கெல்லி'' (2002), பண்டைய கணிதவியலாளர்களின் கூற்றுகளில் இம்முற்றொருமைப் பற்றிய குறிப்புகள் காணப்படுவதைச் சுட்டிக் காட்டியுள்ளார்: :முதல் நூற்றாண்டு - ''நிசோமாசுஸ்'' (தற்போதைய ஜோர்டான்); :ஐந்தாம் நூற்றாண்டு - ''ஆரியபட்டர்'' (இந்தியா); :சுமார் 1000-ல் - ''அல்-கராஜி'' (பாரசீகம்). *''பிரேசோத்'' (2004), மேலும் பல ஆரம்பகால கணிதக்கணிப்புகளில் இம்முற்றொருமை பற்றிய குறிப்புகள் காணப்படுவதாகக் கூறுகிறார்: :பத்தாம் நூற்றாண்டு - ''அல்காபிட்டியஸ்'' (அரேபியா); :சுமார் 1300-ல் ''கெர்சனைட்ஸ்'' (பிரான்சு); :சுமார் 1500-ல் ''நீலகண்ட சோமயாஜி'' (இந்தியா). மேலும் அவர் நீலகண்டரின் காட்சி நிறுவல் மீட்டுருப்படுத்தியுள்ளார்.
கேள்வி: வர்க்கப்படுத்தப்பட்ட முக்கோண எண் - வடிவவியல் விளக்கம் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: வர்க்கப்படுத்தப்பட்ட முக்கோண எண்கள்: : 0, 1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025, 3025, 4356, 6084, 8281, ... . இந்த எண்களை வடிவ எண்களாகவும், முக்கோண எண்கள் மற்றும் சதுர பிரமிடு எண்களின் நான்கு பரிமாண மீப்பிரமிடு பொதுமைப்படுத்தலாகவும் கருதலாம். ''n''&times;''n'' சதுர வலைச்சட்டத்துக்குள் அமையும் மொத்த செவ்வகம் எண்ணிக்கையை இந்த வர்க்கப்படுத்தப்பட்ட ''n'' -ஆம் முக்கோண எண் குறிக்கிறது என்பதை ''ஸ்டெய்ன்'' (1971) கண்டறிந்துள்ளார். எடுத்துக்காட்டாக ஒரு 4&times;4 சதுர வலைச்சட்டத்துக்குள் மொத்தம் 36 வெவ்வேறு செவ்வகங்கள் உள்ளன. இதேபோல ஒரு ''n''&times;''n'' சதுர வலைச்சட்டத்துக்குள் அமையும் வெவ்வேறு சதுரம் மொத்த எண்ணிக்கை ''n'' -ஆம் சதுர பிரமிடு எண்ணாக இருக்கும்.