கேள்வி: பித்தாகரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமை பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: கணிதம் பித்தாகரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமை (''Pythagorean trigonometric identity''), பித்தேகோரசு தேற்றம் முடிவை முக்கோணவியல் சார்புகள் வாயிலாகத் தருகிறது. சைன் (முக்கோணவியல்) சார்புக்கும் கோசைன் (முக்கோணவியல்) சார்புக்கும் இடையிலான அடிப்படைத் தொடர்பினைத் தரும் இம்முற்றொருமை, கோணம் கூட்டல் (கணிதம்) (வித்தியாசம்) முற்றொருமைகளோடு சேர்ந்து மற்ற அனைத்து முக்கோணவியல் முற்றொருமைகளைப் பெறுவதற்குப் பயன்படுகிறது.
கேள்வி: பித்தாகரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமை - முற்றொருமை பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: பித்தாகரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமையின் கணித வடிவம்: :\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1.\! sin2 ''θ'' என்பது (sin ''θ'')2 -வையும் cos2 ''θ'' என்பது (cos ''θ'')2 -வையும் குறிக்கும். சைனுக்கும் கோசைனுக்கும் இடையிலான இத்தொடர்பு சிலசமயங்களில் ''பித்தாகரசின் அடிப்படை முக்கோணவியல் முற்றொருமை'' எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.
கேள்வி: பித்தாகரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமை - நிறுவல் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: File:Trig functions.svg
கேள்வி: பித்தாகரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமை - செங்கோண முக்கோணத்தில் நிறுவல் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: வடிவொப்புமை (வடிவவியல்)#வடிவொத்த முக்கோணங்கள் சமமாகவுள்ள கோணத்தை எடுத்துக் கொண்டால், அக்கோணத்தின் கரங்களாக அமையும் இருபக்கங்களின் விகிதம் வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பண்பின்படி, நாம் எடுத்துக்கொண்டுள்ள அனைத்து முக்கோணங்களிலும் சமமாக இருக்கும். வடிவொத்த முக்கோணம் ஒவ்வொன்றுக்கும் பக்க அளவுகள் வெவ்வேறாக இருந்தாலும் இவ்விகிதம் மாறாத ஒன்றாக இருக்கும். எனவே படத்திலுள்ள இரு வடிவொத்த முக்கோணம்#முக்கோணங்களின் வகைகள்: செங்குத்தான பக்கம், செம்பக்கத்தின் விகிதம் = \sin \theta \, கிடைமட்டப்பக்கம், செம்பக்கத்தின் விகிதம் = \cos \theta \, * 1 அலகு நீளமுள்ள செம்பக்கம் கொண்ட செங்கோண முக்கோணத்தில் : :செங்குத்தான பக்கம் = \sin \theta \, :கிடைமட்டமான பக்கம் = \cos \theta \, இவற்றை வர்க்கப்படுத்திக் கூட்டி, பித்தாகரசின் தேற்றமுடிவான, (எதிர்ப்பக்கம்)2 + (அடுத்துள்ள பக்கம்)2 = (செம்பக்கம்)2 -ஐப் பயன்படுத்த : \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1.\! * செம்பக்கம் 1 அலகில்லாத செங்கோண முக்கோணத்தில் : :\sin \theta = \frac{b}{c} :\cos \theta = \frac{a}{c} \ . இவற்றை வர்க்கப்படுத்திக் கூட்ட: :\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = \frac{b^2 + a^2}{c^2} பித்தாகரசின் தேற்றமுடிவான b^2 + a^2 = c^2 \, -ஐ பயன்படுத்த: :\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1.\! * சைன் மற்றும் கோசைனின் இந்த செங்கோண முக்கோண-வரையறை, 0 \sin^2\theta+\cos^2\theta = \sin^2\left(t+\frac{1}{2}\pi\right) + \cos^2\left(t+\frac{1}{2}\pi\right) = \cos^2t+\sin^2t = 1. * அடுத்து −π \sin(-\theta)\ = -\sin \theta \, :\cos(-\theta)\ = +\cos \theta \, வர்க்கப்படுத்த: :\sin^2\theta=\sin^2(-\theta) \, :\cos^2\theta\ =\cos^2(-\theta).\, இரண்டையும் கூட்ட: :\sin^2(-\theta) + \cos^2(-\theta) = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1.\! (ஏற்கனவே பித்தகாரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமை [0, π] இடைவெளியில் அமையும் கோணங்களுக்கு நிறுவப்பட்டுள்ளது.)
கேள்வி: பித்தாகரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமை - தொடர்புள்ள முற்றொருமைகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: File:Trig functions2.svg மற்றும் சீக்கெண்ட் (முக்கோணவியல்)]] :1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta\, :1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta\, ஆகிய இரண்டு முற்றொருமைகளுங்கூட பித்தாகரசின் முற்றொருமைகள் என அழைக்கப்படுகின்றன. ஒரு பக்க (செம்பக்கம் அல்லாதது) அளவு &nbsp;1 அலகு கொண்ட செங்கோண முக்கோணத்தில்: * 1 அலகு நீளமுள்ள பக்கத்திற்கும் செம்பக்கத்திற்கும் இடைப்பட்ட கோணம் θ இன் டேன்ஜெண்ட், முக்கோணத்தின் மூன்றாவது பக்கத்திற்குச் சமமாகவும், சீக்கெண்ட் செம்பக்கத்திற்குச் சமமாகவும் இருக்கும். * &nbsp;1 அலகு நீளமல்லாத மற்றொரு பக்கத்திற்கும் செம்பக்கத்திற்கும் இடைப்பட்ட கோணம் (π/2 − θ). இக்கோணத்தின் கோடேன்ஜெண்ட் (முக்கோணவியல்) &nbsp;1 அலகு நீளமில்லாத பக்கத்தின் நீளத்திற்கும், கோசீக்கெண்ட் (முக்கோணவியல்) செம்பக்க நீளத்திற்கும் சமமாக இருக்கும். எனவே பித்தாகரசின் தேற்றமுடிவின்படி: (எதிர்ப்பக்கம்)2 + (அடுத்துள்ள பக்கம்)2 = (செம்பக்கம்)2 :1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta\, மற்றும் :1 + \cot^2(\frac{ \pi }{2}-\theta ) = \csc^2(\frac{ \pi }{2}-\theta ) \, ஆனால் சமச்சீர் முற்றொருமைகளின்படி: \cot(\frac{ \pi }{2}-\theta) = \cot \theta \,,\csc(\frac{ \pi }{2}-\theta) = \csc \theta \,, எனவே 1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta\, ஒருபக்கத்தின் அளவு 1 ஆக இல்லாத செங்கோண முக்கோணத்தில்: : \tan \theta =\frac{b}{a} \ , \sec \theta = \frac{c}{a} \, : \cot \theta =\frac{a}{b} \ , \csc \theta = \frac{c}{b} \, பித்தாகரசு தேற்றமுடிவு, b^2 + a^2 = c^2 \, -ஐ பயன்படுத்த: :1 + \tan^2 \theta=1+\frac{b^2}{a^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2}=\frac{c^2}{a^2}= \sec^2 \theta\, இதேபோல, : 1 + \cot^2(\frac{ \pi }{2}-\theta ) = \csc^2(\frac{ \pi }{2}-\theta ) \, அதாவது :1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta\, என்ற முற்றொருமையையும் நிறுவலாம் * இவ்விரண்டு முற்றொருமைகளைப் பின்வரும் அட்டவணையில் உள்ளவாறும் பெறலாம்: {| class="wikitable sortable" !மூல முற்றொருமை !வகுத்தி !வகுக்கப்பட்ட முற்றொருமை !பெறப்பட்ட முற்றொருமை !முற்றொருமையின் வேறொரு தோற்றம் |- | \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\! || || || || |- | \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\! || \cos^2 \theta \! || \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta}\! || \tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta\! || 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta\! |- | \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\! || \sin^2 \theta \! || \frac{\sin^2 \theta}{\sin^2 \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} = \frac{1}{\sin^2 \theta}\! || 1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta\! || \cot^2 \theta + \ 1 = \csc^2 \theta\! |- |}
கேள்வி: பித்தாகரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமை - அடுக்குத் தொடர்களைப் பயன்படுத்தி நிறுவல் என்பது என்ன?
பதில்: முக்கோணவியல் சார்புகளை அடுக்குத் தொடர்கள் மூலமாகவும் வரையறுக்கலாம். (கோணம் ''x'' ரேடியனில் அளக்கப்பட்டுள்ளது): :\begin{align} \sin x &= \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n + 1)!} x^{2n + 1},\\ \cos x &= \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}. \end{align} அடுக்குத் தொடர்களின் பெருக்கல் (கணிதம்) விதியைப் பயன்படுத்த: : \begin{align} \sin^2 x & = \sum_{i = 0}^\infty \sum_{j = 0}^\infty \frac{(-1)^i}{(2i + 1)!} \frac{(-1)^j}{(2j + 1)!} x^{(2i + 1) + (2j + 1)} \\ & = \sum_{n = 1}^\infty \left(\sum_{i = 0}^{n - 1} \frac{(-1)^{n - 1}}{(2i + 1)!(2(n - i - 1) + 1)!}\right) x^{2n} \\ & = \sum_{n = 1}^\infty \left( \sum_{i = 0}^{n - 1} {2n \choose 2i + 1} \right) \frac{(-1)^{n - 1}}{(2n)!} x^{2n},\\ \cos^2 x & = \sum_{i = 0}^\infty \sum_{j = 0}^\infty \frac{(-1)^i}{(2i)!} \frac{(-1)^j}{(2j)!} x^{(2i) + (2j)} \\ & = \sum_{n = 0}^\infty \left(\sum_{i = 0}^n \frac{(-1)^n}{(2i)!(2(n - i))!}\right) x^{2n} \\ & = \sum_{n = 0}^\infty \left( \sum_{i = 0}^n {2n \choose 2i} \right) \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}. \end{align} sin2-ன் விரிவில், ''n'' -ன் குறைந்தபட்ச மதிப்பு 1ஆகவும், cos2 -ன் விரிவில், மாறிலி உறுப்பு 1 ஆகவும் உள்ளது. இவற்றின் இதர உறுப்புகளின் கூடுதல் (பொதுக் காரணிகளை நீக்கியபின்): :\sum_{i = 0}^n {2n \choose 2i} - \sum_{i = 0}^{n - 1} {2n \choose 2i + 1} = \sum_{j = 0}^{2n} (-1)^j {2n \choose j} = (1 - 1)^{2n} = 0 (ஈருறுப்புத் தேற்றம்) எனவே: :\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \ , (பித்தாகரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமை)
கேள்வி: பித்தாகரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமை - வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டினைப் பயன்படுத்தி நிறுவல் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: சைன் மற்றும் கோசைன் சார்புகளைப் பின்வரும் வகையீட்டுச் சமன்பாடு தீர்வுகளாக வரையறுக்கலாம்: ::y'' + y = 0\, ''y''(0) = 0, ''y''′(0) = 1 நிபந்தனைகளை சைனும் ''y''(0) = 1, ''y''′(0) = 0 நிபந்தனைகளை கோசைனும் நிறைவு செய்யும். :z = \sin^2 x + \cos^2 x\, என்ற சார்பை எடுத்துக் கொள்க. வகையீடு: : \frac{d}{dx} z = 2 \sin x \ \cos x + 2 \cos x \ (-\sin x) = 0 \ , எனவே ''z'' மாறிலியாக இருக்க வேண்டும். ''z''(0) = 1 என்பதைக் காணலாம். ''z'' மாறிலி மற்றும் ''z''(0) = 1 என்பதால் ''x'' -ன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் ''z'' = 1 ஆக இருக்கும். எனவே \sin^2 x + \cos^2 x = 1. \ (பித்தாகரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமை)