கேள்வி: மீளும் தசமங்கள் - குறியீடு பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: மீளும் தசமங்களின் குறியீடு நாட்டுக்குநாடு வேறுபடுகிறது. உலகம் முழுமைக்கும் ஒரேவிதமான குறியீடு கடைபிடிக்கப்படவில்லை. அமெரிக்க ஐக்கிய நாடு, மீளும் தசமங்களின் மீளும் எண் அல்லது எண்கூட்டத்தின் மீது ஒரு தொகுப்புக்கோடு வரையப்படுகிறது. {{nowrap|(\tfrac{1}{3}=0.\overline{3})}}. ஐக்கிய இராச்சியம் மற்றும் சீனாவிலும் மீளும் எண் மீது அல்லது எண்கூட்டத்தின் இரு ஓர எண்களின் மீதும் புள்ளியிட்டுக் குறிக்கப்படுகிறது. {{nowrap|(\tfrac{1}{3}=0.\dot{3})}}. ஐரோப்பாவில் கடைபிடிக்கப்படும் மற்றொரு குறியீடு மீளும் எண்களை அடைப்புக்குறிக்குள் குறிப்பதாகும். {{nowrap|(\tfrac{1}{3}=0.(3))}}. மீளும் தசமங்களின் மீளும் எண்ணிற்குப் பிறகு எச்சப் புள்ளிகள் (...) இடுவதன் மூலமும் குறிக்கலாம். ஆனால் இம்முறை தெளிவானதாகாது. இக்குறியீட்டில் எந்த எண்கள் மீள்கின்றன என்பது தெளிவில்லை; பை (கணித மாறிலி) போன்ற விகிதமுறா எண்களுக்கும் இக்குறியீடு பயன்படுத்தப்படுவதால் மீள்கை உள்ளதா இல்லையா என்பதும் தெளிவில்லை. {| class="wikitable" ! பின்னம் ! எச்சம் ! தொகுப்புக்கோடு ! புள்ளிகள் ! அடைப்புக்குறி |- | align="center" | 1/9 | 0.111… | 0.1 | 0.\dot{1} | 0.(1) |- | align="center" | 1/3 | 0.333… | 0.3 | 0.\dot{3} | 0.(3) |- | align="center" | 2/3 | 0.666… | 0.6 | 0.\dot{6} | 0.(6) |- | align="center" | 9/11 | 0.8181… | 0.81 | 0.\dot{8}\dot{1} | 0.(81) |- | align="center" | 7/12 | 0.58333… | 0.583 | 0.58\dot{3} | 0.58(3) |- | align="center" | 1/81 | 0.012345679… | 0.012345679 | 0.\dot{0}1234567\dot{9} | 0.(012345679) |- | align="center" | 22/7 | 3.142857142857… | 3.142857 | 3.\dot{1}4285\dot{7} | 3.(142857) |}
கேள்வி: மீளும் தசமங்கள் - தசம விரிவும் மீள் தொடர்வரிசையும் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: ஒரு விகிதமுறு எண்ணை தசமவடிவிற்கு மாற்றுவதற்கு நெடுமுறை வகுத்தல் பயன்படுத்தப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டு: 5/74 . . 0.0675 74 ) 5.00000 4.44 560 518 420 370 500 ஒவ்வொரு படிநிலையிலும் 56, 42, 50 என மீதி கிடைத்துள்ளது. மீதி 50 கிடைத்த நிலையில் பூச்சியத்தைக் கீழிறக்க, மீண்டும் கணக்கு 500 ஐ 74 ஆல் வகுப்பதாகிறது. எனவே 5/74 இன் தசம வடிவில் 675 என்ற தொகுப்பு மீளும் எண்கூட்டமாக அமையும். :5/74 = &nbsp;0.0675&nbsp;675&nbsp;675&nbsp;….
கேள்வி: மீளும் தசமங்கள் - மீளும் தசமங்களை பின்ன வடிவிற்கு மாற்றுதல் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: தரப்பட்ட ஒரு மீளும் தசமத்தை அதன் மூல பின்னமாக மாற்றலாம். எடுத்துக்காட்டு 1: {| |- |style="text-align:right;width:3em"| x ||style="width:12em"| = 0.333333\ldots |- |style="text-align:right"| 10x || = 3.333333\ldots|| (இருபுறமும் 10 ஆல் பெருக்க) |- |style="text-align:right"| 9x || = 3|| (இரண்டாவதிலிருந்து முதல் வரியைக் கழிக்க) |- |style="text-align:right"| x || = \frac39 = \frac13|| (எளிய உறுப்புகளுக்குச் சுருக்க) |} எடுத்துக்காட்டு 2: {| |- |style="text-align:right;width:3em"| x ||style="width:12em"| = \ \ \ \ 0.836363636\ldots |- |style="text-align:right"| 10x || = \ \ \ \ 8.36363636\ldots|| (தசமப்புள்ளியை சுழற்சி துவக்கத்துக்கு நகர்த்தல் = ஒரு இடம் தள்ளி நகர்த்தல் = 10 ஆல் பெருக்குதல்) |- |style="text-align:right"| 1000x || = 836.36363636\ldots|| (சுழலும் ஒரு தொகுதியை முழுஎண் பகுதிக்கு நகர்த்த 100 ஆல் பெருக்கல்) |- |style="text-align:right"| 990x || = 828|| (தசமப் பகுதி நீங்கும் வகையில் கழித்தல்) |- |style="text-align:right"| x || = \frac{828}{990} = \frac{18 \cdot 46}{18 \cdot 55} = \frac{46}{55}|| (எளிய உறுப்புகளுக்குச் சுருக்கல்) |}
கேள்வி: மீளும் தசமங்கள் - சுருக்கு வழி என்பது என்ன?
பதில்: ஒரு மீளும் தசமத்தின் ''n'' இலக்கங்கள் கொண்ட மீளும் எண்கூட்டம், இறுதி இலக்கத்தை 1 ஆகவும் மற்ற இலக்கங்களைப் பூச்சியமாகவும் கொண்டிருந்தால் கீழ்வரும் சுருக்குவழியைப் பயன்படுத்தி அம்மீளும் தசமத்தை பின்னவடிவிற்கு மாற்றலாம். எடுத்துக்காட்டு 1: :''n''&nbsp;=&nbsp;7 : \begin{align} x &= 0.000000100000010000001\ldots \\ 10^7x &= 1.000000100000010000001\ldots \\ (10^7-1)x=9999999x &= 1 \\ x &= {1 \over 10^7-1} = {1 \over9999999} \end{align} எனவே இவ்விதமான மீளும் தசமங்களின் பின்னவடிவைக் கணக்கிடாமலேயே, :1/(10''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1) = 1/99999...''n'' இலக்கங்கள் என எழுதலாம். எடுத்துக்காட்டு 2: : \begin{align} 7.48181818\ldots & = 7.3 + 0.18181818\ldots \\[8pt] & = \frac{73}{10}+\frac{18}{99} = \frac{73}{10} + \frac{9\times2}{9\times 11} = \frac{73}{10} + \frac{2}{11} \\[12pt] & = \frac{11\times73 + 10\times2}{10\times 11} = \frac{823}{110} \end{align} தசம புள்ளிக்கு அடுத்ததாக ''n'' காலமுறை நீளமுடைய மீளும் எண்கூட்டம் கொண்ட மீளும் தசமத்தின் பின்னவடிவின் பொது வாய்ப்பாடு: : ''x'' = 0.(''A''1''A''2…''A'n'') : 10''n'x'' = ''A''1''A''2…''A'n''.(''A''1''A''2…''A'n'') : (10''n'' − 1)''x'' = 99…99''x'' = ''A''1''A''2 … ''A'n'' : ''x'' = ''A''1''A''2…''A'n''/(10''n'' − 1) : = ''A''1''A''2…''A'n''/99…99 மீளும் தசமத்தின் மதிப்பு 0 - 1 ஆகவும் மீளும் எண்கூட்டத்தின் நீளம் ''n'' இலக்கங்களாகவும், மீளும் எண்கூட்டம் தசம புள்ளிக்கு அடுத்தும் இருந்தால், அம்மீளும் தசமத்தின் பின்னவடிவின் தொகுதி மீளும் எண்கூட்டத்தில் இலக்கங்களால் ஆனதாகவும் பகுதி 9 ஆல் ஆன ''n'' இலக்க எண்ணாகவும் இருக்கும். எடுத்துக்காட்டுகள்: * 0.444444… = 4/9 (மீளும் எண்கூட்டம் 4 ஓரிலக்க எண்) * 0.565656... = 56/99 (மீளும் எண்கூட்டம் 56 ஈரிலக்க எண்) * 0.012012… = 12/999 = 4/333 (மீளும் எண்கூட்டம் 012 மூவிலக்க எண்) * 0.9999999… = 9/9 = 1, (மீளும் எண்கூட்டம் 9 ஓரிலக்க எண்) மீளும் தசமத்தின் மதிப்பு 0 - 1 ஆகவும் மீளும் எண்கூட்டத்தின் நீளம் ''n'' இலக்கங்களாகவும், மீளும் எண்கூட்டத்துக்கும் தசம புள்ளிக்கும் இடையே ''k'' இலக்க எண்ணிக்கையில் 0 அமைந்திருக்குமானால், அம்மீளும் தசமத்தின் பின்னவடிவின் தொகுதி மீளும் எண்கூட்டத்தில் இலக்கங்களால் ஆனதாகவும் பகுதி 9 ஆல் ஆன ''n'' இலக்க எண்ணுடன் ''k'' இலக்க எண்ணிக்கையில் பூச்சியங்களைச் சேர்த்துக்கொள்ள வேண்டும். * 0.000444… = 4/9000 * 0.005656… = 56/9900 * 0.00012012… = 12/99900 = 2/16650 மேற்கூறிய வடிவிலமையாத ஒரு மீளும் தசமத்தை முடிவுறு தசமம் மற்றும் மீளும் தசமத்தின் கூடுதலாக எழுதிக்கொண்ட பின்னர் அதனை பின்னவடிவிற்கு மாற்றலாம். எடுத்துக்காட்டுகள்: * 1.23444… = 1.23 + 0.00444… = 123/100 + 4/900 = 1107/900 + 4/900 = 1111/900 :::(அல்லது) : 1.23444… = 0.79 + 0.44444… = 79/100 + 4/9 = 711/900 + 400/900 = 1111/900 * 0.3789789… = 0.3 + 0.0789789… = 3/10 + 789/9990 = 2997/9990 + 789/9990 = 3786/9990 = 631/1665 ::: (அல்லது) :0.3789789… = &minus;0.6 + 0.9789789… = &minus;6/10 + 978/999 = &minus;5994/9990 + 9780/9990 = 3786/9990 = 631/1665
கேள்வி: மீளும் தசமங்கள் - முடிவுறாத் தொடராக என்பது என்ன?
பதில்: ஒரு மீளும் தசமத்தை தொடர் (கணிதம்) எழுதலாம். அதாவது ஒரு மீளும் தசமத்தை முடிவுறா எண்ணைக்கையிலான விகிதமுறா எண்களின் கூட்டலாக எழுதலாம். ::\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{10^n} = {1 \over 10} + {1 \over 100} + {1 \over 1000} + \cdots = 0.\overline{1} இது ஒரு பெருக்குத் தொடர். முதல் உறுப்பு a = 1/10; பொதுவிகிதம் r = 1/10. மேலும் பொதுவிகிதத்தின் தனி மதிப்பு \ \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{1}{10}}{1-\frac{1}{10}} = \frac{1}{9} = 0.\overline{1}
கேள்வி: மீளும் தசமங்கள் - சுழல் எண்கள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: எடுத்துக்காட்டுகள்: * 1/7 = 0.142857, மீளும் இலக்கங்களின் எண்ணிக்கை 6 * 1/17 = 0.05882352 94117647, மீளும் இலக்கங்களின் எண்ணிக்கை16 * 1/19 = 0.052631578 947368421, மீளும் இலக்கங்களின் எண்ணிக்கை 18 * 1/23 = 0.04347826086 95652173913, மீளும் இலக்கங்களின் எண்ணிக்கை 22 * 1/29 = 0.03448275862068 96551724137931, மீளும் இலக்கங்களின் எண்ணிக்கை 28 * 1/47 = 0.02127659574468085106382 97872340425531914893617, மீளும் இலக்கங்களின் எண்ணிக்கை 46 * 1/59 = 0.01694915254237288135593220338 98305084745762711864406779661, மீளும் இலக்கங்களின் எண்ணிக்கை 58 * 1/61 = 0.016393442622950819672131147540 983606557377049180327868852459, மீளும் இலக்கங்களின் எண்ணிக்கை 60 * 1/97 = 0.010309278350515463917525773195876288659793814432 989690721649484536082474226804123711340206185567, மீளும் இலக்கங்களின் எண்ணிக்கை 96 இப்பட்டியலை நீட்டித்து 1/109, 1/113, 1/131, 1/149, 1/167, 1/179, 1/181, 1/193,... பின்னங்களையும் சேர்க்கலாம் . ஒரு சுழல் எண்ணின் தகு மடங்கும் ஒரு சுழற்சியாகும். * 1/7 = 1 &times; 0.142857… = 0.142857… * 2/7 = 2 &times; 0.142857… = 0.285714… * 3/7 = 3 &times; 0.142857… = 0.428571… * 4/7 = 4 &times; 0.142857… = 0.571428… * 5/7 = 5 &times; 0.142857… = 0.714285… * 6/7 = 6 &times; 0.142857… = 0.857142… இன் நீள்வகுத்தலின் மூலம் சுழல்தன்மையின் காரணத்தை அறிந்து கொள்ளலாம். இவ்வகுத்தலில் மீளும் மீதங்கள்: {1, 3, 2, 6, 4, 5}.
கேள்வி: மீளும் தசமங்கள் - ஏனையப் பகாஎண்களின் தலைகீழிகள் என்பது என்ன?
பதில்: சுழலெண்களைப் பிறப்பிக்காத பகாஎண் தலைகீழிகள்: * 1/3 = 0.3, காலமுறை நீளம் 1 இலக்கம். * 1/11 = 0.09, காலமுறை நீளம் 2 இலக்கம். * 1/13 = 0.076923, காலமுறை நீளம் 6 இலக்கம் * 1/31 = 0.032258064516129, காலமுறை நீளம் 15 இலக்கம். * 1/37 = 0.027, காலமுறை நீளம் 3 இலக்கம். * 1/41 = 0.02439, காலமுறை நீளம் 5 இலக்கம். * 1/43 = 0.023255813953488372093, காலமுறை நீளம் 21 இலக்கம். * 1/53 = 0.0188679245283, காலமுறை நீளம் 13 இலக்கம். * 1/67 = 0.014925373134328358208955223880597, காலமுறை நீளம் 33 இலக்கம்.
கேள்வி: மீளும் தசமங்கள் - அட்டவணை பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: {|class="wikitable" |பின்னம் |மதிப்பு |காலமுறை நீளம் |பின்னம் |மதிப்பு |காலமுறை நீளம் |பின்னம் |மதிப்பு |காலமுறை நீளம் |- |1/2 |0.5 |0 |1/17 |0.0588235294117647 |16 |1/32 |0.03125 |0 |- |1/3 |0.3 |1 |1/18 |0.05 |1 |1/33 |0.03 |2 |- |1/4 |0.25 |0 |1/19 |0.052631578947368421 |18 |1/34 |0.02941176470588235 |16 |- |1/5 |0.2 |0 |1/20 |0.05 |0 |1/35 |0.0285714 |6 |- |1/6 |0.16 |1 |1/21 |0.047619 |6 |1/36 |0.027 |1 |- |1/7 |0.142857 |6 |1/22 |0.045 |2 |1/37 |0.027 |3 |- |1/8 |0.125 |0 |1/23 |0.0434782608695652173913 |22 |1/38 |0.0263157894736842105 |18 |- |1/9 |0.1 |1 |1/24 |0.0416 |1 |1/39 |0.025641 |6 |- |1/10 |0.1 |0 |1/25 |0.04 |0 |1/40 |0.025 |0 |- |1/11 |0.09 |2 |1/26 |0.0384615 |6 |1/41 |0.02439 |5 |- |1/12 |0.083 |1 |1/27 |0.037 |3 |1/42 |0.0238095 |6 |- |1/13 |0.076923 |6 |1/28 |0.03571428 |6 |1/43 |0.023255813953488372093 |21 |- |1/14 |0.0714285 |6 |1/29 |0.0344827586206896551724137931 |28 |1/44 |0.0227 |2 |- |1/15 |0.06 |1 |1/30 |0.03 |1 |1/45 |0.02 |1 |- |1/16 |0.0625 |0 |1/31 |0.032258064516129 |15 |1/46 |0.02173913043478260869565 |22 |} 1/''n'' இன் காலமுறை நீளம் :0, 0, 1, 0, 0, 1, 6, 0, 1, 0, 2, 1, 6, 6, 1, 0, 16, 1, 18, 0, 6, 2, 22, 1, 0, 6, 3, 6, 28, 1, 15, 0, 2, 16, 6, 1, 3, 18, 6, 0, 5, 6, 21, 2, 1, 22, 46, 1, 42, 0, 16, 6, 13, 3, 2, 6, 18, 28, 58, 1, 60, 15, 6, 0, 6, 2, 33, 16, 22, 6, 35, 1, 8, 3, 1, ... 1/''n'' இன் மீளும் பகுதி :0, 0, 3, 0, 0, 6, 142857, 0, 1, 0, 09, 3, 076923, 714285, 6, 0, 0588235294117647, 5, 052631578947368421, 0, 047619, 45, 0434782608695652173913, 6, 0, 384615, 037, 571428, 0344827586206896551724137931, 3, ... 1/(''n''வது பகாஎண்) இன் காலமுறை நீளம் :0, 1, 0, 6, 2, 6, 16, 18, 22, 28, 15, 3, 5, 21, 46, 13, 58, 60, 33, 35, 8, 13, 41, 44, 96, 4, 34, 53, 108, 112, 42, 130, 8, 46, 148, 75, 78, 81, 166, 43, 178, 180, 95, 192, 98, 99, 30, 222, 113, 228, 232, 7, 30, 50, 256, 262, 268, 5, 69, 28, ...