கேள்வி: இணைக்கையில் தலைகீழாகும் தோற்றமுரண் என்பது என்ன?
பதில்: படிமம்:Simpson's paradox continuous.svgகளுக்கிடையேயான தொடர்பில் தோற்றமுரண்: தனித்தனியாகப் பார்க்கையில் ஊதா நிறப் புள்ளிகளைக் கொண்ட தொடர்பும் சிவப்புப் புள்ளிகள் காட்டும் தொடர்பும் மேல்நோக்கி இருந்தாலும் இரண்டையும் சேர்த்த குழுவில் தொடர்பு இறங்குமுகமாக உள்ளதைக் கருப்புக் கோட்டில் காணலாம்.]] புள்ளியியல் நிகழ்தகவுக் கணிப்பிலும் இந்தத் தோற்றமுரண் காணப்படுகின்றது. இத்துறையில் இருவேறு குழுக்களின் இயைபுகள் அவற்றை இணைத்துப் பார்க்கையில் தலைகீழாகும் விளைவை சிம்புசனின் தோற்றமுரண் (''Simpson's paradox'') என்றும் இணைக்கையில் தலைகீழாகும் தோற்றமுரண் என்றும் வழங்குவர். இவ்விளைவு சமூகவியல் மருத்துவம் அடிக்கடி ஏற்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக ஒரு மருந்தை ஆண்களில் ஆய்வு செய்யும்போதும் பெண்களில் ஆய்வு செய்யும்போதும் மற்றொரு மருந்தைக் காட்டிலும் நல்லதாகத் தென்பட்டிருக்கலாம், ஆனால் ஆண்-பெண் எனப் பாராமல் பொதுமக்களில் ஆய்வு நிகழ்த்தும்போது வெற்றிவிகிதம் தலைகீழாக இருக்கலாம். ஓர் இயைபு (புள்ளியியல்) தூண்டல் எது, விளைவு எது என்ற குழப்பத்தை தோற்றமுரண் இன்னும் கூட்டுகிறது.Judea Pearl. ''Causality: Models, Reasoning, and Inference'', Cambridge University Press (2000, 2nd edition 2009). . இவ்விளைவைப் பற்றிப் புள்ளியலாளர்கள் நன்கு அறிந்துள்ளனர்.David Freedman, Robert Pisani and Roger Purves. Statistics (4th edition). W.W. Norton, 2007, p. 19. .David S. Moore and D.S. George P. McCabe (February 2005). "''Introduction to the Practice of Statistics''" (5th edition). W.H. Freeman & Company. . இதைப் பற்றிப் பொதுமக்களிடையேயும் போதிய அறிமுகத்தை ஏற்படுத்துவதன் மூலம் ஆய்வு முடிவுகளை அவர்கள் சரியாகப் புரிந்து கொள்ள முடியும் எனக் கருதுகின்றனர்.Robert L. Wardrop (February 1995). "Simpson's Paradox and the Hot Hand in Basketball". ''The American Statistician'',  49 (1): pp. 24–28.Alan Agresti (2002). "Categorical Data Analysis" (Second edition). John Wiley and Sons 1951-ஆம் ஆண்டு எடுவர்டு சிம்புசன் இவ்விளைவை விளக்கிக் கட்டுரை எழுதினார் என்றாலும் 1899-இல் கார்ல் பியர்சன் குழுவினரும் 1903-இல் உதினி இயூலும் இதையொத்த விளைவுகளைப் பற்றி எழுதியுள்ளனர். 1972-இல் கோலின் பிலித்து என்பவர் இவ்விளைவை சிம்புசனின் தோற்றமுரண் எனக் குறித்தார். பரவலாக ''சிம்புசனின் தோற்றமுரண்'' என்றோ ''இயூல்-சிம்புசன் விளைவு'' (''Yule–Simpson effect'') என்றோ அறியப்பட்டாலும் இதை முதன்முதலாகச் சிம்புசன் கண்டுபிடிக்கவில்லை என்பதால் பலர் ''இணைப்பு தோற்றமுரண்'', ''தலைகீழ் தோற்றமுரண்'' போன்ற பெயர்களில் அழைக்கின்றனர்.
கேள்வி: இணைக்கையில் தலைகீழாகும் தோற்றமுரண் - எடுத்துக்காட்டுகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: சில வேளைகளில் கணிதப்பிரிவில் உதவித்தொகை பெற்ற ஆண் மாணவர்களின் விழுக்காடும், இயற்பியலில் உதவித்தொகை பெற்ற ஆண் மாணவர்களின் விழுக்காடும் முறையே அவ்வப் பிரிவுகளில் உதவித்தொகை பெற்ற பெண்களின் தேர்ச்சி விழுக்காட்டை விடக் கூடுதலாக இருப்பது போலத் தோன்றினாலும் மொத்தமாக இரண்டு பாடங்களையும் சேர்த்துப் பார்த்தால் உதவித்தொகை பெற்ற பெண்களின் விழுக்காடே கூடுதலாக இருப்பதைப் பார்க்கலாம். இப்புனைவு எடுத்துக்காட்டில் கூடுதல் தேர்ச்சி வாய்ப்பைக் கொண்ட இயற்பியல் மிகுதியான மாணவிகள் விண்ணப்பித்துக் குறைவான விழுக்காட்டில் தேர்ச்சி பெற்றிருந்தாலும் மொத்த எண்ணிக்கையில் அவற்றின் மதிப்பு தெரிகிறது. அதேபோலக் குறைவான தேர்ச்சி வாய்ப்பை உடைய கணிதம் நிறைய மாணவர்கள் விண்ணப்பித்து மாணவிகளைக் காட்டிலும் கூடுதல் விழுக்காட்டில் தேர்ந்திருந்தாலும் மொத்த எண்ணிக்கையில் தேர்ச்சியடையாத மாணவர் எண்ணிக்கை கூடுகிறது. இதனாலேயே முரணான நிகழ்வுபோலத் தென்படுகிறது.
கேள்வி: இணைக்கையில் தலைகீழாகும் தோற்றமுரண் - தேர்தல் வெற்றிப் புள்ளிகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: சில நேரங்களில் தேர்தல் ஓர் அணி மொத்த வாக்கு எண்ணிக்கையில் முதலாவதாக வந்தும் குறைவான தொகுதிகளிலேயே வெற்றி பெறும் நிலை இருப்பதுண்டு. அந்த அணி வாக்காளர் எண்ணிக்கை கூடுதலாக உள்ள தொகுதிகளில் அதிக வாக்குகளைப் பெற்று சில இடங்களில் மட்டும் வெற்றி பெற்றிருக்கும். அதே போன்ற வேறு சில பெரிய தொகுதிகளில் சிறிய வேறுபாட்டில் தோல்வியையும் கண்டிருக்கும். ஆனால் மாற்று அணியினர் பல தொகுதிகளிலும் சிறிய வேறுபாட்டுடன் வெற்றி பெற்றிருப்பார்கள். அதனால் ஒப்பீட்டளவில் குறைந்த வாக்குகளைப் பெற்றிருந்தாலும் கூடுதல் தொகுதிகளில் வென்று ஆட்சியைக் கைப்பற்றும் வாய்ப்பைப் பெறுவார்கள். காட்டாக, 2005-ஆம் ஆண்டு ஐக்கிய இராச்சியத்தில் நடைபெற்ற பொதுத்தேர்தலில் 35.2 விழுக்காடு வாக்குகளை மட்டுமே பெற்றிருந்த தொழிற் கட்சி (ஐக்கிய இராச்சியம்) 40.7 விழுக்காடு இடங்களைக் கைப்பற்றி ஆட்சி அமைத்தது. இவ்விளைவினால்தான் கடைசிநேரம் முடிவு செய்யும் கட்சிசாரா வாக்காளர்களின் வாக்குகளும் சில சிறு கட்சிகளின் வாக்குகளும் முதன்மை பெறுகின்றன. கருத்துக் கணிப்புகள் முற்றிலும் தவறாகப் போகும் வாய்ப்பும் இதனால் கூடும். தேர்தல் கணிப்பியல் இதை அலசுவர். இதையொத்த தோற்றமுரண் அமெரிக்க குடியரசுத்தலைவர் தேர்தலில் நடைபெற்றுள்ளது. 2000-ஆம் ஆண்டு தேர்தலில் சியார்ச்சு புசு அல் கோர் காட்டிலும் குறைவான நேரடி வாக்குகளையே பெற்றிருந்தாலும், தொகுதிகளின் எண்ணிக்கையில் கூடுதலாகப் பெற்று குடியரசுத் தலைவராகத் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டார்.
கேள்வி: இணைக்கையில் தலைகீழாகும் தோற்றமுரண் - சிறுநீரகக் கல்லுக்கான மருத்துவம் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: சிறுநீரகக் கல் மருத்துவ முறைகளைப் பற்றிய ஆய்வு ஒன்றின் முடிவுகள் ஒன்றுக்கொன்று முரண்படுவது போல இருந்தன. இருவேறு மருத்துவ முறைகள் சிறிய மற்றும் பெரிய கற்களுக்கான தீர்வில் எவ்வளவு வெற்றி பெற்றன என்பதைக் கீழேயுள்ள புள்ளிகள் காட்டுகின்றன. ''அ'' குறியிட்ட முறையில் சிறுநீரகம் அறுத்துக் கல்லை நீக்குவர், ''ஆ'' குறியிட்ட முறையில் தோல் சிறுதுளையிட்டுக் கல்லை நீக்குவர்.: {| class="wikitable" summary="results accounting for stone size" style="margin-left:auto; margin-right:auto;" ! ! முறை - அ ! முறை - ஆ |- align="center" ! சிறு கற்கள் | ''குழு 1''93% (81/87) || ''குழு 2''87% (234/270) |- align="center" ! பெருங்கற்கள் | ''குழு 3''73% (192/263) || ''குழு 4''69% (55/80) |- align="center" ! வகைப்படுத்தாத மொத்தம் | 78% (273/350) || 83% (289/350) |} இங்கே பார்த்தால் ''அ'' முறை சிறிய கற்களுக்கும், பெரிய கற்களுக்கும் தனித்தனியே சிறந்த முறையாகத் தெரிகிறது. ஆனால், மொத்த புள்ளிகளைப் பார்த்தால் ''ஆ'' முறை மேம்பட்டதாகத் தெரிகிறது. கல் பருமன் ஒரு முக்கிய குழப்ப மாறி (புள்ளியியல்) என்பதை இது உணர்த்துகிறது. எந்தச் சிகிச்சை மேம்பட்டது என்பதை எவ்வளவு விழுக்காடு வெற்றி பெற்றது என்பதைப் பொறுத்து மட்டும் பார்த்தோம். அங்கே கற்களைத் தனித்தனியாக வகைப்படுத்திப் பார்க்கும்போது முரணான முடிவு கிடைக்கிறது. இது பின்வரும் காரணங்களால் நிகழ்கிறது: # சிகிச்சை முறைகளைப் பயன்படுத்திய எண்ணிக்கை மிகவும் வேறுபடுகிறது. அதிலும் எவ்வெவ் இடங்களில் எந்தமுறையைக் கையாண்டுள்ளனர் என்பதையும் பார்க்க வேண்டும். மருத்துவர்கள் சிக்கலான பெரிய கற்களுக்கே (குழு 3; 263 முறை) பெரும்பாலும் ''அ'' முறையைக் கையாண்டுள்ளனர். குறைவான தோல்வி வாய்ப்பு உள்ள இடங்களில் மட்டும் ''ஆ'' முறையை மிகுதியாகக் கையாண்டுள்ளனர் (குழு 2: 270 முறை). அதனால் பெட்டியில் மூன்றாவதும் இரண்டாவதும் உள்ள அறைகளில் இருக்கும் புள்ளிகளே முடிவில் முக்கியத்துவம் பெற்றுள்ளன. # வெற்றி வாய்ப்பு குறைவாக உள்ள ''ஆ'' முறையைச் சிறிய கற்களுக்குப் பயன்படுத்தும்போது ''அ'' முறையைப் பெரிய கற்களுக்குப் பயன்படுத்தும்போது பெற்ற வெற்றியைக் காட்டிலும் கூடுதலாக உள்ளது. இங்கே சிகிச்சை முறையைக் காட்டிலும் நோயின் தன்மை (அதாவது கல்லின் பருமன்) தான் வெற்றியை முடிவு செய்வதில் பெரும்பங்கு வகித்துள்ளது.
கேள்வி: இணைக்கையில் தலைகீழாகும் தோற்றமுரண் - மட்டையாளரின் தர அளவைத் தோற்றமுரண் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: துடுப்பாட்டம் அடுத்தடுத்த ஆஷஸ் மார்க்கு வாவும் இசுட்டீவு வாவும் தங்களுக்குள் ஒரு போட்டி வைத்துக் கொண்டு பேசுவதாக அமைந்த எடுத்துக்காட்டு சிம்புசனின் முரண்பாட்டை விளக்கப் பயன்படுகிறது. இவ்விளைவு அடிப்பந்தாட்டம் ஏற்படுவதை அறிந்துள்ளனர்.
கேள்வி: இணைக்கையில் தலைகீழாகும் தோற்றமுரண் - திசைவெளிப் பார்வை பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: Image:Simpsons-vector.svg ஓர் ஈரச்சு திசையன் வெளி இத்தோற்றமுரணைக் காட்டலாம். வெற்றி வாய்ப்பு p/q என்பதை p/q சாய்வு கொண்ட \overrightarrow{A}=(q,p) திசையன் கொண்டு குறிக்கலாம். p_1/q_1, p_2/q_2 எனும் வெற்றிவாய்ப்புக்களைச் சேர்த்தால் கிடைக்கும் வெற்றிவாய்ப்பை (q_1, p_1), (q_2, p_2) திசையன்களைக் கூட்டிப் பார்த்தால் அறியலாம். இணைகரம் விதியின்படி அத்திசையன்களின் கூட்டு \frac{p_1+p_2}{q_1+q_2} என்ற சரிவைக் கொண்ட (q_1+q_2, p_1+p_2) எனும் திசையனாகும். நீல நிறக் கோடுகளால் குறிக்கப்பட்ட இரு திசையன்களும் முறையே அவற்றின் ஒத்த சரிவைக் கொண்ட சிகப்புக் கோட்டுத் திசையன்களைக் காட்டிலும் குறைவான சரிவைக் கொண்டிருந்தாலும் அவற்றின் கூட்டு சிகப்புக் கோட்டுத் திசையன்களின் கூட்டைக் காட்டிலும் கூடுதல் சரிவைக் கொண்டிருப்பதைக் காணலாம்.
கேள்வி: இணைக்கையில் தலைகீழாகும் தோற்றமுரண் - இம்முரண்தோற்றத்தின் உளவியற் பின்புலம் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: இவ்விளைவை மனித மனம் ஏற்பதில் என்ன தடை என்பதை அறியும் பொருட்டு உளவியல் ஆய்வு செய்கின்றனர். ஆண்களுக்கும் பெண்களுக்கும் நலம்புரியும் மருத்துவம் பொதுவாக மக்களுக்கு என்று பார்த்தால் அவ்வளவு பயன் தருவதில்லை என்கிற முடிவை எளிதாக ஏற்க முடிவதில்லை. அதற்குக் காரணமான ஆழ்நிலை அறிவு என்ன, அது எத்தகைய வடிவில் மூளையில் பதிந்துள்ளது என்று அறிய முற்படுகிறார்கள். வினைகளுக்கும் விளைவுகளுக்கும் இடையேயான அடிப்படையான தூண்டல் ஏரணம் ஒன்று மூளைக்குள் இருக்க வேண்டுமென மெய்யியல் நினைக்கிறார்கள். இவ்வேரணத்தை ஒட்டியது சாவேசு என்பவர் முன்மொழிந்த "மாறாநிலைக் கோட்பாடு" (''sure thing principle'') ஆகும். அக்கோட்பாட்டின் ஒரு குறிப்பிட்ட வழிமுடிவை பியர்ளின் 'வினை' கால்குலசிலிருந்து பெறலாம். அது கூறுவது: "''அ'' எனும் வினை, ''இ'' என்னும் குழுவில் இருக்கும் ''இக'' என்று எண்ணுறும் உட்குழு ஒவ்வொன்றிலும் ''ஆ'' எனும் நிகழ்வின் வாய்ப்பைக் கூட்டுமானால், மொத்த குழுவிலும் ''ஆ''வுக்கான வாய்ப்பைக் கூட்டத்தான் வேண்டும். ஒருவேளை அவ்வினை உட்குழுக்களின் அமைப்பை மாற்றினால் மட்டுமே வேறு வகையில் இருக்கும்."
கேள்வி: இணைக்கையில் தலைகீழாகும் தோற்றமுரண் - தலைகீழாகும் முரண் ஏற்படும் வாய்ப்பு பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: சிறுநீரகக் கல் எடுத்துக்காட்டில் உள்ளது போன்ற 2 &times; 2 &times; 2 அட்டவணைகளில் ஏதேனும் ஒன்றை எடுத்தால் தற்செயலாக இம்முரண் ஏற்படுவதற்கான வாய்ப்பு 1/60 என உள்ளது.