கேள்வி: வர்க்க நிரப்பி முறை - பின்னணி என்பது என்ன?
பதில்: ஒரு ஈருறுப்புக் கோவையின் வர்க்கம் (கணிதம்), அடிப்படை இயற்கணிதத்திலுள்ள ஒரு எளிய வாய்ப்பாடு: :(x + p)^2 \,=\, x^2 + 2px + p^2.\,\! எடுத்துக்காட்டாக: :\begin{alignat}{2} (x+3)^2 \,&=\, x^2 + 6x + 9 && (p=3)\\[3pt] (x-5)^2 \,&=\, x^2 - 10x + 25\qquad && (p=-5). \end{alignat} எந்தவொரு முழுவர்க்கத்திலும் ''p'' -ன் மதிப்பு, ''x'' -ன் எண் கெழு பாதியாகவும் மாறிலி உறுப்பு, ''p''2 ஆகவும் இருக்கும்.
கேள்வி: வர்க்க நிரப்பி முறை - எளிய எடுத்துக்காட்டு பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: பின்வரும் இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையில், :x^2 + 10x + 28.\,\! 28 ஆனது, 5 -ன் வர்க்கமில்லை என்பதால் இக்கோவை முழு வர்க்கமல்ல. :(x+5)^2 \,=\, x^2 + 10x + 25.\,\! என்பதைப் பயன்படுத்தி இக்கோவையை, :x^2 + 10x + 28 \,=\, (x+5)^2 + 3, ஒரு வர்க்கம் மற்றும் ஒரு மாறிலியின் கூடுதலாக எழுதலாம். இவ்வாறு மாற்றி எழுதும் முறை வர்க்க நிரப்பி முறை எனப்படுகிறது. ----
கேள்வி: வர்க்க நிரப்பி முறை - பொது விளக்கம் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: :x^2 + bx + c,\,\! என்ற தலையொற்றை இருபடிக் கோவையை எடுத்துக் கொள்க: ஒரு வர்க்கத்தின் விரிவிலுள்ள முதல் இரு உறுப்புகள், நாம் எடுத்துக் கொண்ட கோவையின் முதல் இரு உறுப்புகளுக்கு சமமாக இருக்கும்படியாக ஒரு வர்க்கத்தைக் காண முடியும். :\left(x+\tfrac{1}{2} b\right)^2 \,=\, x^2 + bx + \tfrac{1}{4}b^2. வலதுபுறமுள்ள விரிவிற்கும் நாம் எடுத்துக்கொண்ட கோவைக்கும் வேறுபாடு, மாறிலி உறுப்பு மட்டும்தான். எனவே, :x^2 + bx + c \,=\, \left(x + \tfrac{1}{2}b\right)^2 + k, என எழுதலாம். இங்கு ''k'' ஒரு மாறிலியாகும். இச்செயல், வர்க்க நிரப்பி முறை எனப்படும். எடுத்துக்காட்டு: :\begin{alignat}{1} x^2 + 6x + 11 \,&=\, (x+3)^2 + 2 \\[3pt] x^2 + 14x + 30 \,&=\, (x+7)^2 - 19 \\[3pt] x^2 - 2x + 7 \,&=\, (x-1)^2 + 6. \end{alignat}
கேள்வி: வர்க்க நிரப்பி முறை - தலையொற்றை அல்லாதவை குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: :ax^2 + bx + c\,\! போன்ற இருபடிக் பல்லுறுப்புகோவையிலிருந்து கெழு ''a'' -ஐ நீக்கிவிட்டு,பின் அதிலிருந்து கிடைக்கும் தலையொற்றை பல்லுறுப்புக்கோவையை வர்க்க நிரப்பி முறையில் முன்போல மாற்றலாம் எடுத்துக்காட்டு: : \begin{align} 3x^2 + 12x + 27 &= 3(x^2+4x+9)\\ &{}= 3\left((x+2)^2 + 5\right)\\ &{}= 3(x+2)^2 + 15 \end{align} இதன்படி எந்தவொரு இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையையும் பின்வரும் வடிவில் எழுதலாம். :a(x-h)^2 + k.\,\!
கேள்வி: வர்க்க நிரப்பி முறை - வரைபடத்துடனான தொடர்பு பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: Image:H_shift.png Image:V_shift.png Image:HV_shift.png பகுமுறை வடிவவியலில் இருபடிச் சார்பின் வரைபடம், ''xy'' தளத்தில் அமைந்த ஒரு பரவளையமாகும். :(x-h)^2 + k; \quad a(x-h)^2 + k என்ற இருபடிச் சார்பிற்கு, ''h'' , ''k'' என்பன பரவளையத்தின் உச்சிப்புள்ளியின் கார்ட்டீசியன் அச்சுதூரங்களாகும். அதாவது ''h'' என்பது பரவளையத்தின் சமச்சீர் அச்சின் ''x'' -அச்சுதூரம்; ''k'' என்பது இருபடிச் சார்பின் குறும(பெரும) மதிப்பாகும்.( ''a''&nbsp;&lt;&nbsp;0 எனில் பெரும மதிப்பு) ''&fnof;''(''x'')&nbsp;=&nbsp;''x''2 என்ற சார்பின் வரைபடம் ஆதிப்புள்ளி &nbsp;(0,&nbsp;0) -ஐ உச்சிப்புள்ளியாகக் கொண்ட ஒரு பரவளையமாகும். அதேபோல ''&fnof;''(''x''&nbsp;&minus;&nbsp;''h'')&nbsp;=&nbsp;(''x''&nbsp;&minus;&nbsp;''h'')2 என்ற சார்பின் வரைபடம், மேலுள்ள படத்தில் உள்ளதுபோல வலதுபுறம் ''h'' அலகு தூரத்திற்கு நகர்த்தப்பட்டு, (''h'',&nbsp;0) என்ற உச்சிப்புள்ளியை உடைய பரவளையமாகும். இதற்கு மாறாக ''&fnof;''(''x'')&nbsp;+&nbsp;''k'' =&nbsp;''x''2&nbsp;+&nbsp;''k'' என்ற சார்பின் வரைபடம், நடுவிலுள்ள படத்தில் உள்ளதுபோல, மேல்புறமாக ''k'' அலகு தூரம் நகர்த்தப்பட்டு (0,&nbsp;''k'') என்ற உச்சிப்புள்ளியைக் கொண்ட பரவளையமாகும். இந்த இரண்டு நகர்த்தல்களையும் சேர்த்தால், ''&fnof;''(''x''&nbsp;&minus;&nbsp;''h'')&nbsp;+&nbsp;''k'' =&nbsp;(''x''&nbsp;&minus;&nbsp;''h'')2&nbsp;+&nbsp;''k'' என்பது கீழ்ப்படத்தில் உள்ளதுபோல வலப்புறம் ''h'' அலகுகளும் மேற்புறம் ''k'' அலகுகள் தூரமும் நகர்த்தப்பட்டு (''h'',&nbsp;''k'') என்ற உச்சிப்புள்ளியைக் கொண்ட பரவளையமாகும்.
கேள்வி: வர்க்க நிரப்பி முறை - விகிதமுறா மற்றும் சிக்கலெண் மூலங்கள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்கள் விகிதமுறு எண்ணாக இருந்தால் மட்டுமே, காரணிப்படுத்தும் முறையில் தீர்க்க முடியும்.மூலங்கள் விகிதமுறா எண்களாகவோ அல்லது சிக்கலெண்களாகவோ இருந்தால் காரணிப்படுத்தல் முறையில் தீர்க்க முடியாது. அப்பொழுது வர்க்க நிரப்பி முறையில் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கலாம். எடுத்துக்காட்டு: * விகிதமுறா மூலங்கள்: :x^2 - 10x + 18 = 0.\,\! வர்க்க நிரப்பி முறையில், :(x-5)^2 - 7 = 0,\,\! :(x-5)^2 = 7.\,\! :x-5 = -\sqrt{7} \quad\text{or}\quad x-5 = \sqrt{7},\, : x = 5 - \sqrt{7}\quad\text{or}\quad x = 5 + \sqrt{7}. \, :x = 5 \pm \sqrt{7}.\, * சிக்கலெண் மூலங்கள்: :\begin{array}{c} x^2 + 4x + 5 \,=\, 0 \\[6pt] (x+2)^2 + 1 \,=\, 0 \\[6pt] (x+2)^2 \,=\, -1 \\[6pt] x+2 \,=\, \pm i \\[6pt] x \,=\, -2 \pm i. \end{array}
கேள்வி: வர்க்க நிரப்பி முறை - தலையொற்றை அல்லாத வகைச் சமன்பாடு என்பது என்ன?
பதில்: தலையொற்றை அல்லாத சமன்பாடுகளாக இருந்தால் முதலில் சமன்பாட்டை ''x''2 -ன் கெழுவால் வகுத்துவிட்டுப் பின்னர் வர்க்க நிரப்பி முறையில் தீர்க்க வேண்டும். எடுத்துக்காட்டு: :\begin{array}{c} 2x^2 + 7x + 6 \,=\, 0 \\[6pt] x^2 + \tfrac{7}{2}x + 3 \,=\, 0 \\[6pt] \left(x+\tfrac{7}{4}\right)^2 - \tfrac{1}{16} \,=\, 0 \\[6pt] \left(x+\tfrac{7}{4}\right)^2 \,=\, \tfrac{1}{16} \\[6pt] x+\tfrac{7}{4} = \tfrac{1}{4} \quad\text{or}\quad x+\tfrac{7}{4} = -\tfrac{1}{4} \\[6pt] x = -\tfrac{3}{2} \quad\text{or}\quad x = -2. \end{array}
கேள்வி: வர்க்க நிரப்பி முறை - வடிவவியல் கண்ணோட்டம் என்பது என்ன?
பதில்: Image:Completing the square 307.PNG :x^2 + bx = a.\, ''x''2 , ''x'' அலகு பக்கம் கொண்ட சதுரம் பரப்பையும் ''bx'', ''b'' மற்றும் ''x'' அலகு பக்க அளவுகள் கொண்ட செவ்வகம் பரப்பையும் குறிப்பதால், வர்க்கத்தினை முழுமையாக்கும் முறையைப் பின்வருமாறு கருதலாம். ''x''2 பரப்புள்ள சதுரத்தையும் ''bx'' பரப்புள்ள செவ்வகத்தையும் ஒரு பெரிய சதுரத்தின் பரப்பாக மாற்றுவதற்கு எடுத்துக்கொள்ளும் பல படிகளுக்குப் பிறகு, ஒரு மூலையில் ஒரு சிறிய சதுரம் பற்றாக்குறையாக இருக்கிறது. (''b''/2)2 என்ற உறுப்பை இருபுறமும் சேர்க்க அதுவே தேவைப்படும் மூலச் சதுரமாக அமைந்து, சதுரம் முழுமையடைகிறது. இக்காரணத்தால்தான் இச்செயல் வர்க்க நிரப்பி முறை என அழைக்கப்படுகிறது.
கேள்வி: வர்க்க நிரப்பி முறை - எடுத்துக்காட்டுகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: * ஒரு நேர்ம எண் மற்றும் அதன் தலைகீழியின் கூட்டல் (கணிதம்): : \begin{align} x + {1 \over x} &{} = \left(x - 2 + {1 \over x}\right) + 2\\ &{}= \left(\sqrt{x} - {1 \over \sqrt{x}}\right)^2 + 2 \end{align} ஒரு எண்#மெய்யெண் கோவையின் வர்க்கத்தின் மதிப்பு பூச்சியமாகவோ அல்லது பூச்சியத்தைவிட அதிகமாக்வோ இருக்கும். எனவே இதிலிருந்து ஒரு நேர்ம எண் ''x'' மற்றும் அதன் தலைகீழியின் கூடுதல் 2 அல்லது 2க்கு அதிகமானதாக இருக்கும் என்பதைக் காணலாம். இங்கு ''x'' = 1 எனில் வலதுபுறமுள்ள முழுவர்க்கத்தின் மதிப்பும் சுழியம் இக்கூடுதலின் மதிப்பு 2 ஆகும். *:x^4 + 324 . \,\! என்ற கோவையைக் காரணிப்படுத்த: :(x^2)^2 + (18)^2, \,\! எனவே நடுவுறுப்பு 2(''x''2)(18)&nbsp;=&nbsp;36''x''2. ஆகும். இதைச் சேர்க்க: :\begin{align} x^4 + 324 &{}= (x^4 + 36x^2 + 324 ) - 36x^2 \\ &{}= (x^2 + 18)^2 - (6x)^2 \\ &{}= (x^2 + 18 + 6x)(x^2 + 18 - 6x) \\ &{}= (x^2 + 6x + 18)(x^2 - 6x + 18) \end{align} (உறுப்புகளின் அடுக்கு, இறங்கு வரிசையில் இருக்கவேண்டும் என்ற வழக்கத்திற்காக கடைசி மாற்றம் செய்யப் பட்டுள்ளது)