கேள்வி: கூட்டு வட்டி பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: கூட்டு வட்டி என்பது மூலதனத்தோடு வட்டியைச் சேர்க்கும் பொழுது ஏற்படுகிறது, சேர்ந்த வட்டியும் அந்த நொடி முதல் ''அதுவும்கூட தானே'' வட்டியைச் சம்பாதிக்கின்றது. மூலதனத்தோடு சேர்ந்துவிடும் இந்தக் கூடுதலான வட்டி ''கூட்டு கலத்தல்'' என்றழைக்கப்படுகிறது. ஒவ்வொரு மாதமும் வட்டி கூடுதலாகிக் கொண்டே வருகிறது என்பதற்கு உதாரணமாக உள்ள ஒரு கடன்: இதன்படி, $100 எனத் துவங்கக்கூடிய கடன் முதல் மாதம் மற்றும் ஒவ்வொரு மாதமும் 1% வட்டி என்ற கணக்கில் முதல் மாத இறுதியில் இருப்பு $101 ஆகவும், இரண்டாம் மாத இறுதியில் $102.01 ஆகவும் பெருகிக் கொண்டே இருக்கும். வட்டி விகிதத்தை முழுமையாக வரையறை செய்வதற்கும், அதனைப் பிற வட்டி விகிதங்களுடன் ஒப்பிட்டுப் பார்ப்பதற்கும், வட்டி விகிதம் ''மற்றும்'' கூட்டு நிகழ்வெண் ஆகியவை நிச்சயம் வெளிப்படையாகத் தெரிய வேண்டும். ஏனெனில் வட்டி விகிதங்களைப் பலர் வருடாந்திர விழுக்காடாகவே கருதுவதால், பல அரசாங்கங்கள் நிதி நிறுவனங்களிடம் முன்பணமோ அல்லது சேமிப்போ அதன் சம வருடாந்திர கூட்டு வட்டி விகிதத்தை வெளிப்படையாகத் தெரிவிக்க வேண்டும் என்பதையே முக்கியமாக கேட்கின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, மேற்கூறிய உதாரணத்தில் வருடாந்திர வட்டி வீதம் ஏறத்தாழ 12.68% மாக உள்ளது. இந்த சம வருடாந்திர விகிதத்தை ''வருடாந்திர விழுக்காட்டு விகிதம்'' (ஏபிஆர்) எனவும், ''வருடாந்திர சம விகிதம் ('' ஏஈஆர்) எனவும், ''வருடாந்திர விழுக்காடு தருதல்'' எனவும், ''விளைவிக்கும் வட்டி விகிதம்'' எனவும், ''விளைவிக்கும் வருடாந்திர விகிதம்'' எனவும் மேலும் பல்வேறு வகையான சொற்றொடர்களால் குறிப்பிடப்படுகின்றன. ஒரு கடன் பெறுவதற்கான முன்தொகை கட்டணத்தை வசூலிக்கும் பொழுது, ஏபிஆர்-வருடாந்திர விழுக்காட்டு விகிதப்படி செலவு-விலையையும் கூட்டு வட்டியையும் சேர்த்து சரிசம விகிதத்திற்கு மாற்றிவிட வேண்டி வழக்கமாகக் கணக்கிடப்படும். இத்தகைய அரசாங்கத்தின் கோரிக்கைகள், கடன்பெறும் போது வாடிக்கையாளர்கள் தங்களுக்கு ஏற்படும் உண்மையான செலவுகளைச் சுலபமாக ஒப்பிட்டுப் பார்க்க உதவிபுரிகின்றன. வழங்கப்படும் எந்த ஒரு வட்டி விகிதம் மற்றும் தொடர்ந்து கூடிவரும் தொகைக்கும், ஒரு "சரிசமமான" விகிதம் அடுத்து வரும் பல்வகை கூட்டு நிகழ்வெண் அடிப்படையில் அமைந்திருக்கும். கூட்டு வட்டி தனி வட்டியை விட மாறுபட்டிருக்கும், அதில் வட்டியானது மூலதனத்தில் சேர்க்கப்படாது (கூடுதலாகிக்கொண்டு வருவதில்லை). நிதி மற்றும் பொருளாதாரத்தைப் பொறுத்தமட்டில் கூட்டு வட்டி நிர்ணயிக்கப்பட்டதாகவே இருக்கும் மற்றும் தனி வட்டி அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுவதாக அமைவதில்லை. (ஒரு சில நிதிக்கணக்குகளில் தனிவட்டிக் கூறுகள் வேண்டுமானால் உள்ளடங்கியிருக்கலாம்)
கேள்வி: கூட்டு வட்டி - சொல்லியல் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: சேர்ந்து கொள்வதன் விளைவு, அதன் சேர்ந்து கொள்ளும் வட்டியின் நிகழ்வுநிலை மற்றும் பொருந்திவரும் கால நேரத்தின் வட்டியைச் சார்ந்திருக்கிறது. ஆகையால், ஒரு சட்டபூர்வ ஒப்பந்தத்தின் கீழ் திருப்பித் தரவேண்டிய வட்டியுடன் கூடிய முதல், அடுத்தடுத்துக் கூடிவரும் நிகழ்வு (வருடாந்திரம், அரைவருடாந்திரம், காலாண்டு, மாதாந்திரம், தினப்படி, இன்னபிற) ''மற்றும்'' வட்டி விகிதம் துல்லியமாக வரையறை செய்யப்பட வேண்டும். பலவகையான வழக்கு முறைகள் ஒவ்வொரு நாட்டுக்கும் ஏற்ப உபயோகப்படுத்தப்படலாம், ஆனால் நிதி மற்றும் பொருளாதாரம் ஆகிய இரண்டின் அடிப்படைகள் பின்வரும் வழக்கமான முறைகளில் பொதுவாகப் பின்பற்றப்படும்: காலவேளை தோறும் வட்டி விகிதம்: ஒவ்வொரு கால வேளைக்கும் விதிக்கப்பட வேண்டிய வட்டியானது (மற்றும் தொடர்ந்து சேர்ந்துக்கொள்வது) மூலதனத் தொகையால் வகுக்கப்பட்டுக் கணக்கிடப்படும். காலவேளைக்குத் தக்க வட்டி விகிதம் கணக்கீடுகளின் அடிப்படையில் பயன்படுத்தப் படலாம் மற்றும் அபூர்வமாகவே பிறவற்றுடன் ஒப்பிட்டுப் பார்க்கப்படலாம். பெயரளவில் வருடாந்திர விகிதம் அல்லது பெயரளவில் வட்டி விகிதம் கால வேலைக்கேற்ற விகிதமாக, அதாவது ஓர் ஆண்டுக்குரிய காலத்தின் எண்ணிக்கையால் பெருக்கப்படும். எடுத்தக்காட்டாக, மாத விகிதம் 1% என்ற பெயரளவில் வருட விகிதம் 12%க்குச் சமமாக இருக்கும். விளைவிக்கும் வட்டி விகிதம்: இது வருடாந்திர சேர்ந்துவிடுதலை பொருந்தச் செய்வதாகப் பிரதிபலிக்கும். வேறு வகையில் சொல்வதென்றால், முதலைக் கொண்டு வகுத்து ஒரு வருடத்தின் கடைசியில் சேர்ந்துவிட்ட செலுத்தப்பட வேண்டிய மொத்த வட்டியைக் குறிக்கும். பொருளியல் நிபுணர்கள் பொதுவாக ஒப்பீடு செய்வதற்கு நடைமுறைக்கு உகந்த ஆண்டு விகிதங்களை பயன்படுத்தவே விரும்புகின்றனர். நிதி மற்றும் வணிகத்தில், பெயரளவில் வருடாந்திர விகிதம் எவ்வாறாயினும் ஒருமாற்றாக மேற்கொள்ளப்படும். கூட்டு நிகழ்வெண் மேற்கொள்ளப்படும் பொழுது, ஒரு கடன் பெயரளவில் முழுமையாகக் குறிப்பிடப்படும் (ஒரு வழங்கப்பட்ட கடனுக்கு வட்டியின் பலன் துல்லியமாக கண்டுபிடிக்கப்பட வேண்டும்) ஆனால் பெயரளவு விகிதம் வேறுபட்ட கூட்டு நிகழ்வெண் கொண்டிருந்தால் ஒப்பிட்டுப் பார்க்க இயலாது. கடன்கள் மற்றும் நிதி இதர "வட்டி இல்லா"க் கட்டணங்களைக் கொண்டிருக்கலாம், மேலே குறிப்பிட்ட நிபந்தனைகள் இத்தகைய வேறுபாடுகளைக் கருத்தில் கொள்ள முயற்சிக்காது. வருடாந்திர விழுக்காட்டு விகிதம் மற்றும் வருடாந்திர விழுக்காட்டின் ஆக்கவிளைவு போன்ற இதர சொற்றொடர்கள் குறிப்பிட்ட சட்ட வரையறைகளைக் கொண்டிருக்கலாம் மேலும் அதனதன் அதிகாரத்தின் எல்லையை ஒட்டி அவை ஒப்பிட்டு பார்க்கவும் பார்க்கப்படாமலும் போகலாம். மேலே குறிப்பிட்ட நிபந்தனைகள் (மற்றும் பிற ஒத்த சொற்றொடர்கள்) பொருத்தமற்றும், உள்ளூர் பழக்கவழக்கம் அல்லது சந்தை தேவைகளுக்கு ஏற்பவும், எளிமையின் பொருட்டும் அல்லது பிற காரணங்கள் பொருட்டும் வேறுபட்டு இருக்கும்.
கேள்வி: கூட்டு வட்டி - விதிவிலக்குகள் என்பது என்ன?
பதில்: * அமெரிக்க மற்றும் கனடா நாட்டு டி-பில்கள் (குறுகியக் கால அரசாங்கக் கடன்) ஒரு வித்தியாசமான மரபுவழக்கைக் கொண்டுள்ளன. அவர்களது வட்டியானது (100 − ''P'' )/''Pbnm'' என்ற முறையில் கணக்கிடப்படுகிறது, அதில் ''P'' கொடுக்கப்பட்ட விலையைக் குறிக்கும். வட்டியானது ஒரு வருடத்துக்கான இயல்புநிலைப் படுத்துவதற்குப் பதில், நாட்களின் எண்ணிக்கையான ''t'' சரிசம விகிதப்படி கணக்கிடப்படும்: (365/''t'' )×100. (காண்க நாள் கணக்கிடும் மரபு வழக்குமுறை). * கூட்டாண்மைக் கடன் பத்திரங்கள் மற்றும் அரசாங்க கடன் பத்திரங்கள் மீது வட்டி ஆண்டிற்கு இருமுறை கணக்கிடப்படும். வட்டியாக வழங்கப்படும் தொகை (ஒவ்வொரு ஆறு மாதங்களுக்கும்) இரண்டால் வகுக்கப்படும் வெளிப்படையான வட்டி விகிதத்தின்படி (முதலால் பெருக்கப்படுகின்றது) அளிக்கப்படுகின்றது. வருடாந்திர கூட்டு வட்டி விகிதம் வெளிப்படையான விகிதத்தை விட அதிகமானதாகும். * கனடா நாட்டு அடமானக் கடன்கள் பொதுவாக அரை-வருடாந்திரக் சேர்ந்துவிடுகின்ற வட்டியாகவும் மாதந்தோறும் (அல்லது அதைவிட அதிகம் அடிக்கடி) தவறாமல் செலுத்தப்பட வேண்டியதாகவும் உள்ளது. * அமெரிக்க அடமானங்கள் பொதுவாக மாதாந்திரக் கூட்டு வட்டியில் (ஒத்த திருப்பிச் செலுத்தும் காலங்களைக் கொண்டு) கணக்கிடப்படும். * அது சில சமயங்களில் கணித இயல்படி எளிமையாக இருக்கிறது, உதாரணத்திற்கு, ''தொடர்ச்சியான சேர்ந்துவிடுதலைப்'' பயன்படுத்துவதற்கு மரபு முதல்அல்லாதன மதிப்பீட்டில் அவ்வாறு இருக்கும் இங்கு சேர்ந்துவிடும் காலமானது பூஜ்யத்தை நெருங்கும்போது அது வரம்புகொண்டிருக்கும். இத்தகைய கடன் பத்திரங்களுக்கு விலை காண தொடர் கூட்டானது இடோ கால்குலஸ்சின் ஓர் இயற்கையான விளைவாக இருக்கிறது, இதில் வரையறையை எட்டும் வரையிலும் மற்றும் கூட்டு நிகழ்வெண் தொடர்ச்சியான நேரத்தில் மதிப்பிடும் வரையில் இது அதிகரித்துக்கொண்டே இருக்கும் கூட்டு நிகழ்வெண் மதிப்பிடப்படுகிறது.
கேள்வி: கூட்டு வட்டி - சுருக்கமான கணக்கீடு பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: பணத்தின் கால மதிப்பிற்குத் தக்கபடி சூத்திரங்கள் விரிவான விளக்கத்துடன் தரப்பட்டுள்ளது. பின்வரும் சூத்திரத்தில் ''i'' என்பது காலத்திற்குறிய நடைமுறை வட்டி விகிதம். ''FV'' மற்றும் ''PV'' இரண்டும் ஒரு தொகையைப் பற்றிய ''i'' எதிர்கால மற்றும் நிகழ்கால மதிப்பைக் குறிப்பிடுகிறது. ''n'' காலங்களின் எண்ணிக்கைப் பற்றி குறிப்பிடுகிறது. இவைகளே அடிப்படை சூத்திரங்களாகும்: : FV = PV ( 1+i )^n\, மேலுள்ள சூத்திரம், ஒரு மூதலீட்டின் தற்போதை மதிப்பினை (''PV'' ) '' n '' காலங்களுக்கு நிர்ணயித்த வட்டி விகிதத்தில் (''i'' ) ஏற்படவிருக்கும் எதிர்கால மதிப்பை (''FV'' ) கணக்கிடுகிறது. : PV = \frac {FV} {\left( 1+i \right)^n}\, மேலுள்ள சூத்திரம், ''n '' காலங்களுக்கு வட்டி விகிதம் (''i'' ) ஏற்பட்டால் ஒரு குறிப்பிட்ட எதிர்கால மதிப்பை ''(FV)'' ஏற்படுத்துவதற்கு தேவையான தற்போதைய மதிப்பு ''(PV) '' என்ன என்பதை கணக்கிடுகிறது.. : i = \left( \frac {FV} {PV} \right)^\frac {1} {n}- 1 மேலுள்ள சூத்திரம், ஏற்படவிருக்கும் ''n'' காலத்திற்கு பின்னர் ஒரு ''PV'' யின் துவக்க முதலீடு ''FV'' மதிப்பீட்டைத் திரும்பச் செலுத்தினால் ஏற்படவிருக்கும் கூட்டு வட்டி விகிதத்தை கணக்கிடுகிறது. : n = \frac {\log(FV) - \log(PV)} {\log(1 + i)} மேல் கண்ட சூத்திரம், கொடுக்கப்பட்டிருக்கும் ''PV'' மற்றும் வட்டி விகிதப்படி (''i'' ), ஒரு ''FV'' யை பெறுவதற்கான காலங்களின் எண்ணிக்கையை கணக்கிடுகிறது. லாக் செயல்முறை எந்த அடிப்படையிலும் அமையலாம், உதாரணமாக, இயல்பான லாக் (ln)
கேள்வி: கூட்டு வட்டி - காலவேளைக்கேற்ப சேர்ந்துவிடுதல் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: கூட்டு வட்டிக்குரிய தொகை காணும் செயல்முறை கால நேர அடிப்படையில் நிகழ்வுஎண் காணும் செயல்முறை ஆகும். A(t) = A_0 \left(1 + \frac {r} {n}\right) ^ {nt} * t = வருடங்களில் மொத்த காலம் * n = ஒரு வருடத்தில் சேர்ந்துவிடுகின்ற காலவேளைகளின் எண்ணிக்கை (சேர்ந்துவிடுகின்ற காலவேளைகளின் மொத்த எண்ணிக்கை n \cdot t என்பதை கவனிக்கவும்) * r = பெயரளவு வருடாந்திர விகிதம் தசமமாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது எடுத்துக்காட்டு: 6% = 0.06 காலைவேளை n அதிகரிக்க, வட்டி விகிதம் ஓர் உயர் வரம்பான e ^ r ஐ எட்டும்.. இந்த விகிதம் ''தொடர்ச்சியான சேர்ந்துவிடுதல்'' என்று அழைக்கப்பெறும், கீழே காண்க. ''A''(''0'' ) என்னும் முதல் ஓர் எளிய குணகமாக (துணைக் காரணம்) இருப்பதால், எளிமைக்காக அது அவ்வப்போது கைவிடப் படுகின்றது, அதற்குப் பதிலாக அது, விளைவாக குவியும் வழிமுறைவட்டிக் கோட்பாட்டில் பயன்படுத்தப்படுகின்றது. தனி மற்றும் கூட்டு வட்டிக்காண குவியும் வழிமுறைகள் கீழே பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன. :a(t)=1+t r\, ::a(t) = \left(1 + \frac {r} {n}\right) ^ {nt} குறிப்பு: ''A'' (''t'' ) என்பது தொகை காணும் வழிமுறையாகும் மற்றும் ''a'' (''t'' ) என்பது குவியும் வழிமுறை காண்பதாகும்.
கேள்வி: கூட்டு வட்டி - தொடச்சியான சேர்ந்துவிடுதல் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: தொடர்ச்சியான சேர்ந்துவிடுதல் என்பது சேர்ந்துவிடும் காலம் முடிவுறாமல் சிறிதாக இருக்கும் என்பதாக எண்ணப்பட்டுவிடும்; எனவே ஒரு வரம்பு ''n'' முடிவிலாமையை கருத்தில் கொண்டு ஏற்படுவதாகும். இந்த வரையறையின் கணிதச் சான்றுக்கு நிகழ்வுஎண் காணும் வழிமுறை விளக்கங்களை ஆராய வேண்டும். :a(t)=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt} ::a(t)=e^{rt} தொகை காணும் வழிமுறையானது :A(t)=A_0 e^{rt} வட்டி விகிதம் ஒரு தொடரான கூட்டு விகிதம் சொல்லவேண்டி அதனை வட்டியின் வலிமை என்று அழைக்கலாம். வருடாந்திர வட்டி வலிமையானது மாதந்திர வட்டி வலிமையைக் காட்டிலும் பன்னிரண்டு மடங்கு அதிகமானதாகும். ஒரு வருடத்திற்கு பலன்தரும் வட்டி விகிதமானது :i=e^r - 1 இந்த ''i'' யைப் பயன்படுத்தி தொகை காணும் வழிமுறையை பின்வரும்படி எழுதலாம்: :A(t)=A_0 (1+i)^t அல்லது :A=P (1+i)^t லாகரித்மிக் அல்லது தொடர்ச்சியான சேர்ந்துவிட்ட வருவாய் ஆகியவற்றையும் பார்க்கவும்.
கேள்வி: கூட்டு வட்டி - வட்டியின் வலிமை பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: கணிதத்தில், குவியும் வழிமுறைகள் ''e'' யின் இயல்பான மடக்கை எண்அடிப்படையில் அடிக்கடி சொல்லப்படும். இந்த நுண்கணித முறைகளானது வட்டி சூத்திரங்கள் கையாளும்முறையை எளிதாக்க பயன்படுகிறது. எந்த தொடரான வித்தியாசமான குவியும் செயல்முறையின் ''a(t)'' படி வட்டி வலிமை,அல்லது பொதுவாக மடக்கை எண் படி அல்லது தொடர்ச்சியான சேர்ந்துவிட்ட வருவாய் பின்வரும் வழிமுறையில் ஒரு காலநேர செயல்முறையாக விளக்கப்படுகிறது: :\delta_{t}=\frac{a'(t)}{a(t)}\, அதுவே குவியும் செயல்முறையின் இயல்பான மடக்கை எண்படி காலநேர மாறுதல் விகிதமாகும். மாறுதலையாக: :a(n)=e^{\int_0^n \delta_t\, dt}\ , (ஏனெனில் a(0) = 1) மேற்கூறிய சூத்திரம் ஒரு வித்தியாசமான சரிசம வடிவளவாக எழுதப்படும் பொழுது, வட்டியின் வலிமை ஓர் எளிய தொகையின் மாறுதல் பற்றிய குணகமாக உள்ளது. :da(t)=\delta_{t}a(t)\,dt\, ஒரு நிரந்தர வருடாந்திர வீதம் ''r'' என கூட்டு வட்டி காண, வட்டியின் வலிமை நிலைத்திருக்கும் மற்றும் குவியும் செயல்முறை அவ்வலிமையைப் பொறுத்து ஓர் எளிய சக்தியாக, அதாவது e: என்பதாக இருக்கும். :\delta=\ln(1+r)\, :a(t)=e^{t\delta}\, வட்டியின் வலிமை வருடாந்திர பலன்தரும் வட்டி விகிதம் அதைவிடக் குறைவாக இருக்கும், ஆயினும் வருடாந்திர பலன்தரும் கழிவு விகிதத்தை விட அதிகமாக இருக்கும். அது e- பிடிப்பிலுள்ள காலத்திற்கு எதிரிடையாக இருக்கும். வட்டி விகிதங்களின் எண்மானம் என்பதையும் பார்க்கவும்
கேள்வி: கூட்டு வட்டி - யு.எஸ். மாதாந்திர அடமானம் திருப்பிச் செலுத்துதல் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: யு.எஸ். அடமானங்கள் வட்டியானது மாதம் தோறும் கூடுதல் ஆகும், பின்வரும் வாதம்படி திருப்பிச் செலுத்தும் தொகைகள் பற்றிய சூத்திரம்:
கேள்வி: கூட்டு வட்டி - குறியீடு குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: I = குறிப்பு சதவிகித வட்டி விகிதம் i = மாதாந்திர சதவிகித வட்டி விகிதம் = I/12 (ஆகையால் APR = (1+i)^12) T = வருடங்களில் குறிப்பிட்ட காலம் Y= IT X = 1/2 I T = 1/2 Y n = 12 T = மாதங்களில் குறிப்பிட்ட காலம் L =முதல் அல்லது கடன் தொகை P = மாதாந்திர திருப்பிச் செலுத்தும் தொகை
கேள்வி: கூட்டு வட்டி - சரியான சூத்திரம் P குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ஒரு மாதம் காலம் இருப்பின் அப்பொழுது (1+i)L = P ஆகையாலே L = \frac{P}{1+i}. இரு மாதகாலம் என்று இருப்பின் அப்பொழுது (1+i)((1+i)L-P)=P ஆகையாலே L = \frac{P}{1+i}+\frac{P}{(1+i)^2}. n மாதங்கள் என்று இருப்பின் அப்பொழுது இது சுருக்கப்படும் குறிக்கும் பட்சம் (1+i)L = P \sum_{j=0}^{n-1} \frac{1}{(1+i)^j} மற்றும் வேற்றுமையை கருத: (1+i)L-L=iL=P\left(1-\frac{1}{(1+i)^n}\right) ஆகையாலே P= \frac{Li}{1-\frac{1}{(1+i)^n}}=\frac{Li}{1-e^{-n\ln(1+i)}} இந்த சூத்திரம் அமெரிக்க அடமானம் மற்றும் அதற்கான மாதாந்திர திருப்பிச் செலுத்தும் தொகை பற்றிய சூத்திரமாகும் இதையே வங்கிகளும் பயன்படுத்துகின்றன.
கேள்வி: கூட்டு வட்டி - P வுக்கான தோராயமான சூத்திரம் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: ஒருசில சதவிகிதம் வரை சரியாக கண்டுபிடிக்கும் ஒரு சூத்திரமான இது வழக்கமான அமெரிக்க குறிப்பு விகிதங்களை I மற்றும் காலங்கள் (T=10-30 வருடங்கள்) என்பதை கவனிப்பதன் மூலம் அறியலாம் அதன் மாதாந்திர குறிப்பு வீதம் ஒன்றுடன் ஒப்பிடுகையில் மிகச் சிறியதாகும்: iஎனவே அந்த ln(1+i)\approx iஅதனால் வருவது ஒரு சுருக்கம் ஆகையால் P\approx \frac{Li}{1-e^{-ni}}= \frac{L}{n}\frac{ni}{1-e^{-ni}} அது ஒரு துணை உருமாறிகளை வரைஅறை செய்ய உதவும் Y\equiv n i = TI P_0\equiv \frac{L}{n} . P_0 என்பது n தவணைகளில் செலுத்தப்படும் ஒரு வட்டியில்லா கடனுக்கு செலுத்த வேண்டிய மாத திருப்பிச் செலுத்தும் தொகையாகும். இத்தகைய உருமாறிகளைப் பொருத்தவரையில் தோராயமான கணக்கு இவ்வாறு எழுதப்படலாம் P\approx P_0 \frac{Y}{1-e^{-Y}} வழிமுறைf(Y)\equiv \frac{Y}{1-e^{-Y}}-\frac{Y}{2} இரட்டிப்பாகும்: f(Y)=f(-Y)மேலும் பல இரட்டிப்புகள் விரிவாக்க என்பது உணரக்கூடும் Y. அது மேலும் இரட்டிப்புகளாக \frac{Y}{1-e^{-Y}}விரிவாக்கமாக உடனடி செய்யலாம் ஒற்றைக் காலம் Yகூடுதல்Y/2 ஆகும் இதை விளக்குவதை விட வசதியாக இருப்பதை நிரூபிக்கும் X=\frac{1}{2}Y = \frac{1}{2}IT ஆகையால் P\approx P_0 \frac{2X}{1-e^{-2X}} இது மேலும் இவ்வாறு விரிவாகலாம்: P\approx P_0 \left(1 + X + \frac{X^2}{3} - \frac{1}{45} X^4 + ...\right) அதில் பன்மை வடிவங்கள் காட்டும் பருவங்கள் அவைகள் உயர்ந்த பட்ச நிலையில் X இரட்டிப்புகளாக இருக்கலாம். P\approx P_0 \left(1 + X + \frac{X^2}{3}\right) அது வழங்கப்படும் 1% அதற்கும் மேல் தகுதி வாய்ந்திருக்கும்.
கேள்வி: கூட்டு வட்டி - எடுத்துக்காட்டு பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: 30 வருட காலம் மற்றும் குறிப்பு வீதம் 4.5% என இருக்கும் ஒரு அடமானத்திற்கு நாம் இவ்வாறு கண்டறியலாம்: T=30 I=.045 X=\frac{1}{2}IT =\frac{1}{2} \times .045 \times 30 = .675 அது P\approx P_0 \left(1 + X + \frac{1}{3}X^2\right) என்னும் தோராயத்தை ஜனவரி 2009 ஆம் ஆண்டில் ஒரு வழக்கமான அமெரிக்க அடமான வரையறையை சரியானது என அறிவுறுத்துகிறது. இந்தச் சூத்திரம் அதிக வீதங்கள் மற்றும் நீண்ட காலங்கள் எனில் குறைவானத் துல்லியமானதாக இருக்கும். $120,000 கடன்தொகைக்கான 30 வருட காலம் மற்றும் குறிப்பு வட்டி 4.5% ஆக இருக்கும் ஒன்று நாம் இவ்வாறு கண்டறியலாம்: L=120000 P_0=\frac{\$120,000}{360}=\$333.33 ஆகையால் P\approx P_0 \left(1 + X + \frac{1}{3}X^2 \right)=\$333.33 (1+.675+.675^2/3)=\$608.96 துல்லியமான திருப்பிச் செலுத்தும் தொகை P=\$608.02ஆகையால் ஏறத்தாழ என்பது ஒரு சதவீதம் என்பதன் ஆறில் ஒன்று விட மிகைமதிப்பீடாகும்.
கேள்வி: கூட்டு வட்டி - பிற தோராயமானவைகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: ஒரு தோராயமான சூத்திரமான P\approx P_0 \frac{Y}{1-e^{-Y}} தருவது P_0\approx \$607.47 அது துல்லியமான விடைக்கு கொஞ்சம் குறைத்து மதிப்பிட்டிருக்கும். தோராயமான \ln(1+i)\approx i விலிருந்து குறைந்த மதிப்பீட்டை விளைவிக்கிறது. \ln(1+i)\approx i-i^2/2+\ldots விரிவாக்கத்தில் அடுத்த திருத்தத்தை வைத்துப் பார்க்கையில் அது P\approx P_0 \frac{Y}{1-e^{-Y}e^{iY/2}}=\$608.018 என்னும் ஒரு தோராயமான சூத்திரத்தை விளைவிக்கிறது இது ஒரு சென்ட்டில் பத்தில் இரு பாகங்களை குறைத்துவிடும். விவாதிக்கப்பட்ட எளிய சூத்திரமான P\approx P_0 \left(1 + X + \frac{1}{3}X^2\right) ஆரம்பகால 2009 களில் இருந்த வழக்கமான அமெரிக்க அடமானங்களுக்கான ஒரு சதவிகிதத்தைக் காட்டிலும் சிறப்பானதாகும். P\approx P_0 (1 + X ) என்னும் தோராயமானது அத்தகைய அடமானங்களுக்கு சுமார் 10% க்கும் குறைவாக மதிப்பிடப்படும்.
கேள்வி: கூட்டு வட்டி - இதையும் பாருங்கள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: * பயனுறு வட்டி விகிதம் * பெயரளவு வட்டி விகிதம் * நிகழ்வுஎண் வளர்ச்சி * மூலதனம் பற்றிய திருப்பி அளிப்பதன் விகிதம் * வட்டி அட்டை விகிதம் * ஃபிஷேர் சமன்பாடு * விளைவின் வளைவு