கேள்வி: பல்கோண எண் என்பது என்ன?
பதில்: கணிதம், ஒரு பல்கோண எண் (Polygonal number) என்பது, ஒழுங்கான பல்கோணம் வடிவில் ஒழுங்குபடுத்தக்கூடிய ஒரு எண்ணாகும். பண்டைய கணிதவியலாளர்கள், எண்கள் கற்கள், விதைகள் போன்றவற்றால் குறிக்கப்படும்போது, அவற்றைக் குறிக்கப்பட்ட விதங்களில் ஒழுங்குபடுத்த முடியும் எனக் கண்டறிந்தனர். எடுத்துக்காட்டாக எண் 10 ஐ, ஒரு முக்கோணம்மாக ஒழுங்குபடுத்தமுடியும் (முக்கோண எண் பார்க்கவும்): :{| | align="center" | Image:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svg |} ஆனால் 10 ஐ ஒரு சதுரம் அடுக்கமுடியாது. எண் 9 ஐ அவ்வாறு அடுக்கமுடியும். (சதுர எண் பார்க்கவும்): :{| | align="center" | Image:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svg |} 36 போன்ற சில எண்களைச் சதுரமாகவும், முக்கோணமாகவும் அடுக்கமுடியும். ( முக்கோண சதுர எண்): :{| |- align="center" valign="bottom" |Image:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svgImage:GrayDot.svg | |Image:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svgImage:GrayDotX.svg |} ஒரு பல்கோணத்தின் இரு அடுத்துள்ள பக்கங்கள் ஒவ்வொன்றிலும் ஒரு புள்ளியை அதிகப்படுத்தி அப்புள்ளிகளுக்கிடையே மற்ற தேவையான பக்கங்களைச் சேர்த்தால் இதற்கு அடுத்த அளவுப் பல்கோணம் கிடைக்கும். கீழேயுள்ள படங்களில் புதிதாகச் சேர்க்கப்பட்ட புள்ளிகள் சிவப்பு நிறத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளன.
கேள்வி: பல்கோண எண் - பல்கோண எண்களின் வகைகள் சில என்பது என்ன?
பதில்: முக்கோண எண்கள் படிமம்:Polygonal Number 3.gif சதுர எண்கள் படிமம்:Polygonal Number 4.gif ஐங்கோணி, அறுகோணி போன்ற கூடிய பக்கங்களைக்கொண்ட பல்கோணிகளும் புள்ளிகளின் அடுக்காகக் காட்டப்படக்கூடியவை. (convention படி, எத்தனை பக்கங்கொண்ட பல்கோணிக்கும் 1 முதலாவது பல்கோண எண்ணாகும்). ஐங்கோண எண்கள்: படிமம்:Polygonal Number 5.gif அறுகோண எண்கள் படிமம்:Polygonal Number 6.gif 36: (இது முக்கோண எண்ணும், ஒரு சதுர எண்ணுமாகும்.) படிமம்:TriSquare36.svg
கேள்வி: பல்கோண எண் - வாய்ப்பாடு குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ''s'' -பலகோணத்தின் பக்கங்களின் எண்ணிக்கை எனில், ''n'' -வது ''s''-கோண எண், ''P''(''s'',''n'') காணும் வாய்ப்பாடு: :P(s,n) = {(\frac{s}{2}-1)n^2-(\frac{s}{2}-2)n}\, . ''n''-வது ''s''- கோண எண்ணுக்கும் முக்கோண எண் ''T'n'' -க்குமுள்ள தொடர்பு: :P(s,n) = (s-2)T_{n-1} + n = (s-3)T_{n-1} + T_n\, . எனவே: :P(s,n+1)-P(s,n) = (s-2)n + 1\, , :P(s+1,n) - P(s,n) = T_{n-1} = \frac{n(n-1)}{2}\, . தரப்பட்ட ''s''-கோண எண் ''P''(''s'',''n'') = ''x'' எனில் :n = \frac{\sqrt{(8s-16)x+(s-4)^2}+s-4}{2s-4}.
கேள்வி: பல்கோண எண் - அட்டவணை பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: பெயர்Formula''n''=12345678910111213 முக்கோணம்½''n''(1''n'' + 1) 13610152128364555667891 சதுரம்½''n''(2''n'' - 0) 149162536496481100121144169 ஐங்கோணம்½''n''(3''n'' - 1) 15122235517092117145176210247 அறுகோணம்½''n''(4''n'' - 2) 161528456691120153190231276325 எழுகோணம்½''n''(5''n'' - 3) 1718345581112148189235286342403 எண்கோணம்½''n''(6''n'' - 4) 1821406596133176225280341408481 நவகோணம்½''n''(7''n'' - 5) 19244675111154204261325396474559 தசகோணம்½''n''(8''n'' - 6) 110275285126175232297370451540637 11-கோணம்½''n''(9''n'' - 7) 111305895141196260333415506606715 12-கோணம்½''n''(10''n'' - 8) 1123364105156217288369460561672793 13-கோணம்½''n''(11''n'' - 9) 1133670115171238316405505616738871 14-கோணம்½''n''(12''n'' - 10) 1143976125186259344441550671804949 15-கோணம்½''n''(13''n'' - 11) 11542821352012803724775957268701027 16-கோணம்½''n''(14''n'' - 12) 11645881452163014005136407819361105 17-கோணம்½''n''(15''n'' - 13) 117489415523132242854968583610021183 18-கோணம்½''n''(16''n'' - 14) 1185110016524634345658573089110681261 19-கோணம்½''n''(17''n'' - 15) 1195410617526136448462177594611341339 20-கோணம்½''n''(18''n'' - 16) 12057112185276385512657820100112001417 21-கோணம்½''n''(19''n'' - 17) 12160118195291406540693865105612661495 22-கோணம்½''n''(20''n'' - 18) 12263124205306427568729910111113321573 23-கோணம்½''n''(21''n'' - 19) 12366130215321448596765955116613981651 24-கோணம்½''n''(22''n'' - 20) 124691362253364696248011000122114641729 25-கோணம்½''n''(23''n'' - 21) 125721422353514906528371045127615301807 26-கோணம்½''n''(24''n'' - 22) 126751482453665116808731090133115961885 27-கோணம்½''n''(25''n'' - 23) 127781542553815327089091135138616621963 28-கோணம்½''n''(26''n'' - 24) 128811602653965537369451180144117282041 29-கோணம்½''n''(27''n'' - 25) 129841662754115747649811225149617942119 30-கோணம்½''n''(28''n'' - 26) 1308717228542659579210171270155118602197