கேள்வி: வட்டப்புள்ளியுரு - சமன்பாடுகள் என்பது என்ன?
பதில்: File:Cycloid04.png ஆதிப்புள்ளி வழிச் செல்வதும் ''r'' அலகு ஆரமுள்ள வட்டத்தினால் உருவாக்கப்படுவதுமான, (''x'', ''y'') புள்ளிகளைக் கொண்ட வட்டப்புள்ளியுருவின் துணையலகுச் சமன்பாடுகள்: :x = r(t - \sin t)\, :y = r(1 - \cos t)\, வட்டம் உருளுகின்ற கோணத்தின் அளவைக் (ரேடியன்) குறிக்கும் துணையலகு ''t'' குறிப்பிட்ட ''t'' இன் மதிப்பிற்கு, உருளும் வட்டத்தின் மையம்: :x = rt :y = r வட்டப்புள்ளியுருவின் துணையலகுச் சமன்பாடுகளிலிருந்து ''t'' -ஐ நீக்கக் கிடைக்கும் அதன் கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமை சமன்பாடு: :x = r \cos^{-1} \left(1-\frac{y}{r}\right)-\sqrt{y(2r-y)} வட்டப்புள்ளியுருவின் முதல்வளைவில் உள்ள புள்ளிகள் அமையும் வீச்சு: :0 \le t \le 2 \pi.\,
கேள்வி: வட்டப்புள்ளியுரு - பரப்பு பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: ''r'' அலகு ஆரமுள்ள வட்டத்தினால் உருவாக்கப்படும் வட்டப்புள்ளியுருவின் முதல்வளைவின் பரவளைவின் துணையலகுச் சமன்பாடுகள்: :x = r(t - \sin t),\, :y = r(1 - \cos t),\, (0 \le t \le 2 \pi.\,) இதிலிருந்து, :\frac{dx}{dt} = r(1- \cos t), முதல்வளைவின் பரப்புக் காண: :\begin{align} A &= \int_{t=0}^{t=2 \pi} y \, dx = \int_{t=0}^{t=2 \pi} r^2(1-\cos t)^2 \, dt \\ &= \left. r^2 \left( \frac{3}{2}t-2\sin t + \frac{1}{2} \cos t \sin t\right) \right|_{t=0}^{t=2\pi} \\ &= 3 \pi r^2. \end{align}
கேள்வி: வட்டப்புள்ளியுரு - வில்லின் நீளம் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: வட்டப்புள்ளியுருவின் ஒருவளைவின் வில்லின் நீளம் ''S'' எனில்: :\begin{align} S &= \int_{t=0}^{t=2 \pi} \left(\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dx}{dt}\right)^2\right)^{1/2} \, dt \\ &= \int_{t=0}^{t=2 \pi} r \sqrt{2-2\cos(t)} \, dt \\ &= \int_{t=0}^{t=2 \pi} 2r \sin\left(\frac{t}{2}\right) \, dt \\ &= 8 r. \end{align}
கேள்வி: வட்டப்புள்ளியுரு - தொடர்புள்ள வளைவரைகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: வட்டப்புள்ளியுருவோடு தொடர்புடைய பல வளைவரைகள் கீழே தரப்படுகின்றன. * குறுக்கு வட்டப்புள்ளியுரு (Curtate cycloid): :ஒரு வட்டம், ஒரு கோட்டின் வழியாக நழுவாமல் உருளும்போது, உருளும் வட்டத்துக்குள் அமையும் ஒரு புள்ளி நகரும் பாதையாகக் கிடைக்கும் வளைவரை. * நீட்சி வட்டப்புள்ளியுரு (Prolate cycloid): :ஒரு வட்டம் ஒரு கோட்டின் வழியாக நழுவாமல் உருளும்போது, உருளும் வட்டத்துக்கு வெளியே அமையும் ஒரு புள்ளி நகரும் பாதையாகக் கிடைக்கும் வளைவரை. * சில்லுரு (Trochoid): :வட்டப்புள்ளியுரு, குறுக்கு வட்டப்புள்ளியுரு, நீட்சி வட்டப்புள்ளியுரு ஆகிய மூன்றையும் குறிக்கும். * உள்வட்டப்புள்ளியுரு (Hypocycloid): :ஒரு வட்டம் மற்றொரு நிலையான வட்டத்தின் உட்புறத்தில் அதனைத் தொட்டபடியே நழுவாமல் உருளும்போது, உருளும் வட்டத்தின் மீதமையும் ஒரு புள்ளி நகரும் பாதையாகக் கிடைக்கும் வளைவரை. * வெளிவட்டப்புள்ளியுரு (Epicycloid): :ஒரு வட்டம் மற்றொரு நிலையான வட்டத்தின் வெளிப்புறத்தில் அதனைத் தொட்டபடியே நழுவாமல் உருளும்போது, உருளும் வட்டத்தின் மீதமையும் ஒரு புள்ளி நகரும் பாதையாகக் கிடைக்கும் வளைவரை. * உட்சில்லுரு (Hypotrochoid): :இவ்வளைவரை உள்வட்டப்புள்ளியுருவைப் போன்றதே. ஆனால் இதில் பாதை கணிக்கப்படும் புள்ளி, உருளும் வட்டவிளிம்பில் இருக்க வேண்டியதில்லை. * வெளிச்சில்லுரு: :இவ்வளைவரை வெளிவட்டப்புள்ளியுருவைப் போன்றதே. ஆனால் இதில் பாதை கணிக்கப்படும் புள்ளி, உருளும் வட்டவிளிம்பில் இருக்க வேண்டியதில்லை. மேலே தரப்பட்டுள்ள வளைவரைகள் அனைத்தும் சிறுசில்லிகளாகும். வட்டப்புள்ளியுரு, உள்வட்டப்புள்ளியுரு, வெளிவட்டப்புள்ளியுருரு மூன்றும் அவற்றின் மலரிகளோடு வடிவொப்புமை (வடிவவியல்) இருக்கும். File:Kimbell Art Museum.jpg
கேள்வி: வட்டப்புள்ளியுரு - மேலும் படிக்க என்பது என்ன?
பதில்: * ''An application from physics'': Ghatak, A. & Mahadevan, L. Crack street: the cycloidal wake of a cylinder (geometry) tearing through a sheet. Physical Review Letters, 91, (2003). [http://link.aps.org/abstract/PRL/v91/e215507 link.aps.org] * Edward Kasner & James Newman (1940) Mathematics and the Imagination, pp 196&ndash;200, Simon & Schuster. *