கேள்வி: பரிமாற்றுத்தன்மை - பொதுப் பயன்பாடு பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: பரிமாற்றுப் பண்பானது, (பரிமாற்று விதி) ஈருறுப்புச் செயலிகள் மற்றும் சார்பு தொடர்புபடுத்தப்பட்ட ஒரு பண்பாகும். ஒரு குறிப்பிட்ட ஈருறுப்புச் செயலியின்கீழ் உட்படுத்தப்படும் இரு உறுப்புகளுக்குப் பரிமாற்றுத்தன்மை இருந்தால் அந்த இரண்டு உறுப்புகளும் அந்தச் செயலியைப் பொறுத்து பரிமாறுவதாகக் கொள்ளப்படுகிறது. குலக் கோட்பாடு மற்றும் கணக் கோட்பாடுகளின் பல இயற்கணிதம் அமைப்புகளில், சில குறிப்பிட்ட செயலுட்படுத்திகள் பரிமாற்றுப் பண்பினை நிறைவு செய்யும்போது அந்த அமைப்புகள் பரிமாற்று அமைப்புகளென அழைக்கப்படுகின்றன. எண்#மெய்யெண்கள் மற்றும் சிக்கலெண்களின் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் போன்ற நன்கு அறியப்பட்ட செயலிகளின் பரிமாற்றுத்தன்மையானது, பகுவியல் (கணிதம்) மற்றும் நேரியல் இயற்கணிதம் போன்ற கணிதத்தின் உயர் கிளைகளின் நிரூபணங்களில் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது.Axler, p.2Gallian, p.34p. 26,87
கேள்வி: பரிமாற்றுத்தன்மை - கணித வரையறை குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: பரிமாற்று என்ற வார்த்தை பல்வேறு தொடர்புடைய பொருளில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.Krowne, p.1Weisstein, ''Commute'', p.1 * S கணம் (கணிதம்) மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஈறுறுப்புச் செயலி * ஆனது :\forall (x,y) \in S: x * y = y * x \, என்றவாறு அமையுமானால் அது பரிமாற்றுப் பண்புடைய செயலி அல்லது பரிமாற்றுச் செயலி எனப்படும். மேற்காணும் பண்பை நிறைவு செய்யாத செயலிக்குப் பரிமாற்றுப் பண்பு கிடையாது. அதாவது பரிமாறாச் செயலியாகும். * x * y = y * x \, எனில் * செயலியின் கீழ் x ஆனது y உடன் பரிமாறுகிறது எனப்படும். * f \colon A \times A \to B என்ற ஈருறுப்புச் சார்புக்கு, :\forall (x,y) \in A: f (x, y) = f(y, x) \, என்பது உண்மையானால் அச்சார்பு பரிமாற்றுப் பண்புடையதாகும்.
கேள்வி: பரிமாற்றுத்தன்மை - வரலாறும் சொற்பிறப்பியலும் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: பரிமாற்றுப் பண்பின் உள்ளுறைவான பயன்பாடு பழங்காலத்திலிருந்தே இருந்து வந்துள்ளது. எகிப்து பெருக்கற்பலன்களை எளிதாக கணக்கிடுவதற்குப் பெருக்கலின் பரிமாற்றுத்தன்மையைப் பயன்படுத்தியிருக்கின்றனர்.Lumpkin, p.11Gay and Shute, p.? யூக்ளிட் தனது ''எலிமெண்ட்ஸ்'' புத்தகத்தில் பெருக்கலின் பரிமாற்றுத்தன்மையை யூகமாகப் பயன்படுத்தியுள்ளார்.O'Conner and Robertson, ''Real Numbers'' 18ம் நூற்றாண்டின் இறுதியிலும், 19ம் நூற்றாண்டின் ஆரம்பத்திலும் கணிதவியலாளர்கள் சார்புக் கோட்பாடு செயல்பட ஆரம்பித்த பின்புதான் பரிமாற்றுப் பண்பின் முறையான பயன்பாடு தொடங்கியது. இன்று கணிதத்தின் பெரும்பாலான கிளைகளில் பயன்படுத்தப்படும் நன்கு அறிந்த, அடிப்படைப் பண்பாகப், பரிமாற்றுப் பண்பு உள்ளது. பரிமாற்று என்ற வார்த்தையின் பதிவு செய்யப்பட்ட முதல் பயன்பாடு, 1814ல் வெளியான ''ஃபிரான்சுவா செர்வாயின்''(Francois Servois) வாழ்க்கை நினைவுக் குறிப்பில் உள்ளது.Cabillón and Miller, ''Commutative and Distributive''O'Conner and Robertson, ''Servois'' இதில், நாம் இப்பொழுது பரிமாற்றுப் பண்பு என்று குறிப்பிடும் பண்பினையுடைய சார்புகளைப் பற்றிக் கூறும் போது பரிமாற்றுகள் (commutatives) என்ற வார்த்தை பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. ஆங்கிலம் சொல்லான ''commutative'' என்ற சொல்லானது, ''மாற்றுதல்'' அல்லது ''பிரதியிடல்'' என்ற பொருளுடைய பிரெஞ்சு சொல் ''Commuter'' லிருந்து முன் பகுதியையும் ''அணுகுதல்'' என்ற பொருளுடைய -''ative'' சொல்லிலிருந்து பின் பகுதியையும் கொண்டு உருவானதாகும். 1844ல் ''ஃபிலசாஃபிகல் டிரான்சாக்‌ஷன்ஸ் ஆஃப் தி ராயல் சொசைடி'' என்ற ஆங்கில அறிவியல் இதழில், ஆங்கிலத்தில் இச் சொல் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது.
கேள்வி: பரிமாற்றுத்தன்மை - கணிதத்தில் உள்ள பரிமாற்றுச் செயலிகள் என்பது என்ன?
பதில்: *மெய்யெண்களின் கூட்டலுக்குப் பரிமாற்றுப் பண்பு உண்டு. :: \forall (y,z) \in \mathbb{R}: y + z = z + y :4 + 5 = 5 + 4 ஏனெனில் இரண்டிற்குமே மதிப்பு 9 ஆகும். *மெய்யெண்களின் பெருக்கலுக்குப் பரிமாற்றுப் பண்பு உண்டு. :: \forall (y,z)\in \mathbb{R}: y z = z y : 3 × 5 = 5 × 3, ஏனெனில் இரண்டின் மதிப்புமே 15 ஆகும். *பரிமாற்றுப் பண்புடைய பிற செயல்கள் **சிக்கலெண்களின் கூட்டல், பெருக்கல்; **திசையன்களின் கூட்டல், புள்ளிப் பெருக்கல்; ** கணம் (கணிதம்) கணம் (கணிதம்)#ஒன்றிப்புகள், கணம் (கணிதம்)#வெட்டுகள்.
கேள்வி: பரிமாற்றுத்தன்மை - கணிதத்தில் உள்ள பரிமாறாச் செயலிகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: பரிமாறாச் செயல்களுக்குச் சில எடுத்துக்காட்டுகள்:Yark, p.1 *கழித்தல் பரிமாறாச் செயலியாகும். :0-1\neq 1-0 *வகுத்தல் பரிமாறாச் செயலியாகும். :\frac{1}{2}\neq {2}{1} *அணி (கணிதம்)ப்பெருக்கல் பொதுவாகப் பரிமாறாச் செயலியாகும். : \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} *இரு திசையன்களின் குறுக்குப் பெருக்கல் (திசையன்) பரிமாறாச்செயலி ஆகும். :b\times a \neq a\times b :b\times a = - (a\times b)
கேள்வி: பரிமாற்றுத்தன்மை - உசாத்துணை பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: * :''Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book. * :''Abstract algebra theory. Uses commutativity property throughout book. * :''Linear algebra theory. Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.'' பகுப்பு:இயற்பியல் கோட்பாடுகள் பகுப்பு:சமச்சீர்மை பகுப்பு:அடிப்படை இயற்கணிதம் பகுப்பு:இருமச் செயல்களின் பண்புகள்