கேள்வி: ஈருறுப்புச் செயலி பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: File:Binary operations as black box.svg கணிதம், ஈருறுப்புச் செயலி அல்லது ஈருறுப்புச் செயல் (''Binary operation'') என்பது இரு செயலுட்படுத்தி (operands) கொண்டு கணக்கிடும் ஒரு செயலாகும். எண்கணிதம் கூட்டல் (கணிதம்), கழித்தல் (கணிதம்), பெருக்கல் (கணிதம்) மற்றும் வகுத்தல் (கணிதம்) ஆகிய செயல்கள் ஈருறுப்புச் செயலிக்கு எளிய உதாரணங்களாகும். ஈருறுப்புச் செயலியை இரு தருமதிப்புகளைக் கொண்ட செயல் (கணிதம்) முறைப்படுத்தலாம். ஆட்களம் (கணிதம்) இணையாட்களம் (கணிதம்) ஒரே கணம் (கணிதம்) கொண்ட ஈருறுப்புச் செயலியானது அக்கணத்தின் மீதான "உள் ஈருறுப்புச் செயலி" (''internal binary operation'') எனப்படுகிறது. எண் கணிதம் கூட்டல் (கணிதம்), கழித்தல் (கணிதம்), பெருக்கல் (கணிதம்) ஆகியவை உள் ஈருறுப்புச்ச் செயலிக்கு எடுத்துக்காட்டுகளாகும். திசையன், அணிப்பெருக்கல், இணையியத் தொகுதி போன்ற கணிதத்தின் பிற கிளைகளிலும் இதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள் அமைந்துள்ளன. வெவ்வேறு கணங்களைக் கொண்டமையும் இரு தருமதிப்புடைய கணிதச் செயல்களும் ஈருறுப்புச் செயல்களென அழைக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, திசையன் வெளியின் திசையிலி பெருக்கல் ஒரு திசையிலியையும் ஒரு திசையனையும் தருமதிப்புகளாகக் கொண்டு மற்றொரு திசையனைப் பெறும் கணிதச் செயலாகும். இதேபோல, புள்ளிப் பெருக்கல் இரு திசையன்களை தருமதிப்புகளாகக் கொண்டு மற்றொரு திசையனை விளைவாகப் பெறும் கணிதச் செயலாகும். இத்தகு ஈருறுப்புச் செயலிகள் ஈருறுப்புச் சார்புகள் எனப்படுகின்றன.
கேள்வி: ஈருறுப்புச் செயலி - சொல்லியல் என்பது என்ன?
பதில்: கணம் (கணிதம்) Sன் மீதான ஒரு ஈருறுப்புச் செயலியானது, கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன் SxS லிருந்து Sக்கு வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு ஈருறுப்புத் தொடர்பாகும்.(binary relation) :\,f \colon S \times S \rightarrow S. f பகுதிச்சார்பு இருந்தால், இச்செயலானது "பகுதி ஈருறுப்புச் செயலி" எனப்படும். (partial operation) எடுத்துகாட்டாக, எந்த ஒரு மெய்யெண்ணையும் சுழியம் வகுக்க முடியாது என்பதால் மெய்யெண்களின் வகுத்தல் செயலானது ஒரு பகுதி ஈருறுப்புச் செயலாகும். சில சமயங்களில், குறிப்பாக கணினி அறிவியல், ஈருறுப்புச்செயலி என்பது ஈருறுப்புச் சார்பினைக் குறிக்கும். f இன் மதிப்பானது S கணத்தின் உறுப்பாகவே அமைவதால் ஈருறுப்புச் செயலி அடைவுப் பண்பு கொண்டதாக அமைகிறது. நுண்புல இயற்கணிதம், இயற்கணித அமைப்புகளான குலம் (கணிதம்), ஒற்றைக்குலம், அரைக்குலம், வளையம் (கணிதம்) போன்றவற்றில் ஈருறுப்புச் செயலி முக்கியப் பங்கு வகிக்கிறது. பல ஈருறுப்புச் செயலிகள் சேர்ப்புப் பண்பு மற்றும் பரிமாற்றுப் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன. மெய்யெண் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் இரண்டும் சேர்ப்பு மற்றும் பரிமாற்றுப் பண்புகள் கொண்ட ஈருறுப்புச் செயலிகள் ஆகும். மெய்யெண் கழித்தல் மற்றும் வகுத்தல் இரண்டும் சேர்ப்பு மற்றும் பரிமாற்றுப் பண்புகள் இல்லாத ஈருறுப்புச் செயலிகள். பல ஈருறுப்புச் செயலிகள் முற்றொருமை உறுப்புகளைம் நேர்மாறு உறுப்புகளையும் கொண்டிருக்கும்.
கேள்வி: ஈருறுப்புச் செயலி - பண்புகளும் எடுத்துக்காட்டுகளும் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: எண்கள் மற்றும் அணி (கணிதம்) கூட்டல் (கணிதம்) (+), பெருக்கல் (கணிதம்), ஒரே கணத்தின் மீதமையும் சார்புகளின் தொகுப்பு ஆகிய செயல்கள் ஈருறுப்புச் செயலிக்கு நல்ல எடுத்துக்காட்டுகளாகும். * இரு மெய்யெண்களின் கூட்டுத்தொகையானது மீண்டுமொரு மெய்யெண்ணாகவே இருக்குமென்பதால், மெய்யெண்களின் கணம் \mathbb R இன் மீதான f(a,b)=a+b, என்பது ஒரு ஈருறுப்புச் செயலியாகும் * இரு இயல் எண் கூட்டுத்தொகையானது மீண்டுமொரு இயலெண்ணாகவே இருக்குமென்பதால், இயலெண்களின் கணம் \mathbb N இன் மீதான f(a,b)=a+b, என்பது ஒரு ஈருறுப்புச் செயலியாகும். * 2 \times 2 அணிகளில் M(2,\mathbb R) என்ற மெய்யெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட அணிகளின் கணத்தின் மீதான f(A,B)=A+B ஒரு ஈருறுப்புச் செயலி (ஏனெனில் மெய்யெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட இரு 2 \times 2 அணிகளின் கூடுதலாகப் பெறப்படும் அணியும் மெய்யெண் உறுப்புகளைக்கொண்ட 2 \times 2 அணிகளாகவே இருக்கும்). * 2 \times 2 அணிகளில் M(2,\mathbb R) என்ற மெய்யெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட அணிகளின் கணத்தின் மீதான f(A,B)=AB ஒரு ஈருறுப்புச் செயலி (ஏனெனில் மெய்யெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட இரு 2 \times 2 அணிகளின் பெருக்கலாகப் பெறப்படும் அணியும் மெய்யெண் உறுப்புகளைக்கொண்ட 2 \times 2 அணிகளாகவே இருக்கும்). * C கணத்தின் மீதான h \colon C \rightarrow C என வரையறுக்கப்படும் சார்புகளின் கணத்தை S எனக் கொண்டு, f \colon S \times S \rightarrow S என்ற சார்பை f(h_1,h_2)(c)=(h_1 \circ h_2)(c)=h_1(h_2(c)), \forall c \in C என வரையறுக்க, f ஒரு ஈருறுப்புச் செயலியாக இருக்கும் (ஏனெனில் C மீது வரையறுக்கப்பட்ட இரு சார்புகளின் தொகுப்பும் C மீதான மற்றொரு சார்பாக இருக்கும்). இயற்கணிதம், முறைசார் ஏரணம் இரண்டிலுமுள்ள பல ஈருறுப்புச் செயலிகள், * பரிமாற்றுத்தன்மை :f(a,b)=f(b,a), \forall a, b \in S அல்லது * சேர்ப்புப் பண்பு :f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c)) \forall a, b, c \in S உள்ளவையாக இருக்கும். மேலும் பல ஈருறுப்புச் செயலிகள் அவற்றுக்குரிய முற்றொருமை உறுப்புகளையும் நேர்மாறு உறுப்புகளையும் கொண்டிருக்கும். முதல் மூன்று எடுத்துக்காட்டுகளும் பரிமாற்றுப் பண்பும் அனைத்து எடுத்துக்காட்டுகளும் சேர்ப்புப் பண்பும் கொண்டவை. மெய்யெண்களின் கணம் \mathbb R இன் மீதான கழித்தல் (கணிதம்) f(a,b)=a-b செயலானது ஈருறுப்புச் செயலி. ஆனால் இச்செயலிக்குப் பரிமாற்றுப் பண்பும் சேர்ப்புப் பண்பும் கிடையாது. :a-b \neq b-a; :2-3=-1 ஆனால் 3-2=1. :a-(b-c) \neq (a-b)-c; :1-(2-3)=2 ஆனால் (1-2)-3=-4. இயலெண்களின் கணம் \mathbb N மீதான f(a,b)=a^b என்ற அடுக்கேற்றம் ஒரு ஈருறுப்புச் செயலியாகும். ஆனால் இச்செயலிக்குப் பரிமாற்றுப் பண்பும் சேர்ப்புப் பண்பும் கிடையாது. :a^b \neq b^a :f(f(a,b),c) \neq f(a,f(b,c)); :a=2, b=3, c=2: : f(2^3,2)=f(8,2)=8^2=64, f(2,3^2)=f(2,9)=2^9=512. முழு எண்களின் கணம் \mathbb Z மீதான f(a,b)=a^b என்ற அடுக்கேற்றம் ஒரு பகுதி ஈருறுப்புச் செயலியாகும். ஏனென்றால் a=0, b ஏதேனுமொரு எதிர்ம எண் என்ற நிபந்தனையில் இச்செயலி வரையறுக்கப்படவில்லை. இயல் எண்கள் கணத்திலும் முழு எண்கள் கணத்திலும் அடுக்கேற்றம் எனும் ஈருறுப்புச் செயலிக்கு வலது முற்றொருமை உறுப்பு (1) உண்டு: :f(a,1)==a^1=a, \forall a \in \mathbb N, \mathbb Z எனினும், பொதுவாக f(1,b)=1^b \neq b என்பதால் 1 என்பது முற்றொருமை உறுப்பு (இருபக்க முற்றொருமை) அல்ல. மெய்யெண்கள் மற்றும் விகிதமுறு எண்களில் வகுத்தல் (கணிதம்) (\div) செயலானது ஒரு பகுதி ஈருறுப்புச் செயலாகும். மேலும் இதற்கு பரிமாற்றுப் பண்பும் சேர்ப்புப் பண்பும் கிடையாது.
கேள்வி: ஈருறுப்புச் செயலி - வெளியிணைப்புகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: * பகுப்பு:இயற்கணிதம் பகுப்பு:ஈருறுப்புச் செயல்கள்