கேள்வி: வீச்சு, எதிருரு மற்றும் முன்னுரு பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: File:Codomain2.SVG கணிதம் ஒரு சார்பு வீச்சு (Range) என்பது அச்சார்பின் எல்லா வெளியீடுகளின் கணம். இதையே சார்பின் எதிருரு (Image) என்றும் சொல்வதுண்டு. எதிருருவின் ஒருவித மறுதலை முன்னுரு. சரியான வரையறைகளைக் கீழே பார்க்கலாம்.
கேள்வி: வீச்சு, எதிருரு மற்றும் முன்னுரு - துல்லியமான வரையறை என்பது என்ன?
பதில்: f\colon A\rightarrow B என்ற சார்பை நோக்குக. :f வழியாக A யிலுள்ள ஒவ்வொரு x க்கும் அதன் எதிருரு என்பது, B இல் f இனால் x உடன் தனிப்படியாக உறவுண்டாக்கப்பட்ட (associated) ஒரு உறுப்பு. அது f(x) என்ற குறியீட்டினால் குறிக்கப்படும். :f(A) := \{ f(x) \mid x \in A\} என்ற கணத்திற்கு f இன் வீச்சு என்று பெயர்.இதையே f இன் எதிருரு (Image) என்றும் சொல்வதுண்டு. அதனாலேயே Im(f) என்ற குறியீடும் பழக்கத்திலிருக்கிறது. எனினும் இந்தக்குறியீட்டை கவனமாகப் பயன்படுத்தவேண்டும். ஏனென்றால் சில பழைய நூல்களில் Im(f) என்ற குறியீடு f இன் இணையாட்களம் (கணிதம்)க் குறித்தது. : f இன் எதிருருக்காக ஐயமறப் பயன்படுத்தப்படக்கூடியது R(f) என்ற குறியீடு. R(f) ஐ f இன் வழியாக A இன் எதிருரு என்றும் சொல்லலாம். குறியீடு Im_f[A]. சூழ்நிலையிலிருந்து f தெரிந்துகொள்ளப்படின், Im[A] என்றே எழுதலாம். ஐயமேற்பட வாய்ப்பில்லாத பொழுது, இதையும் எளிதாக Im(A) என்று எழுதுவதும் உண்டு. f இன் இணையாட்களம் B என்ற கணம்.
கேள்வி: வீச்சு, எதிருரு மற்றும் முன்னுரு - எதிருருவே ஒரு கோப்பு பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: :Im(f) என்பது A இலுள்ள ஒவ்வொரு உட்கணம் X ஐயும் Im_f(X)= Y என்ற (B இன்) ஒரு உட்கணத்திற்கு எடுத்துச்செல்கிறது. இதனால் Im(f) ஐ A இனுடைய அடுக்குக்கணத்திலிருந்து (Power Set of A), B இன் அடுக்குக்கணத்திற்குப்போகும் ஒரு சார்பு அல்லது கோப்பாகக்கொள்ளலாம். குறியீடுகளில் சொன்னால், :Im(f)\colon 2^A \rightarrow 2^B : வரையறை: (Im(f))(X) = Im_f(X)
கேள்வி: வீச்சு, எதிருரு மற்றும் முன்னுரு - முன்னுருவின் வரையறை என்பது என்ன?
பதில்: ஒவ்வொரு Y \subseteq B க்கும் அதனுடைய முன்னுரு (Pre-image or Inverse image) என்பது :''f''&nbsp;&minus;1[''Y''] = {''x'' ∈ ''A'' | ''f''(''x'') ∈ ''Y''} என்று வரையறுக்கப்பட்ட (A இன்) உட்கணம். :Y = {y} ஓர் ஓருறுப்புக்கணமாக இருக்குமானால் ''f''&nbsp;&minus;1[{''y''}], ஒரு நார் (fibre/fiber) எனப்படும். மேலும், குழப்பத்திற்கு வாய்ப்பு இல்லாவிட்டால்,, f&nbsp;&minus;1[''Y''] ஐ f &nbsp;&minus;1(''Y'') என்று எழுதி, ''f''&nbsp;&minus;1 ஐ B இன் அடுக்குக்கணத்திலிருந்து A இன் அடுக்குக்கணத்திற்குப்போகும் ஒரு சார்பாகக் கொள்ளலாம். f&nbsp;&minus;1 ஐ நேர்மாறுச் சார்பு குழப்பிக் கொள்ளக்கூடாது. f ஒரு இருவழிக் கோப்பாக இருந்தால் தான் இரண்டும் ஒன்றாகும்.
கேள்வி: வீச்சு, எதிருரு மற்றும் முன்னுரு - எடுத்துக்காட்டுகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: படிமம்:Funcoes x2.svg :* f\colon R\rightarrow R : f(x) = x^2 :''f'' இன் வீச்சு = R+ = \{f(x) : 0\leq f(x) = [0, \infty) :{-2,3} இன் எதிருரு: ''f''({-2,3}) = {4,9}, :{4,9} இன் முன்னுரு : ''f''&nbsp;&minus;1({4,9}) = {-3,-2,2,3}. :* g\colon R\rightarrow R : g(x) = 2x : ''g'' இன் வீச்சு, இணையாட்களம், இரண்டுமே R தான். :* h\colon Z \to Z : h(x)\ := x^2 (படிமம் பார்க்க) இச்சார்புக்கு :h(\{0, 1, 2, 3 \}) = \{0, 1, 4, 9 \}\ :h(\{ -3, -2, -1, 0 \}) = \{0, 1, 4, 9 \}\ :h(\{ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 \}) = \{0, 1, 4, 9 \}\ : R(h) = \operatorname{im} h = \{ 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... \}\ :* f: \{1,2,3\} \rightarrow \{a,b,c,d\}. வரையறை: :f(x) = \begin{cases} a &\text{x=1}\\ d &\text{x=2}\\ c &\text{x=3} \end{cases} : f வழியாக, {2,3) இன் எதிருரு :''f''({2,3}) = {''d,c''}, : f இன் வீச்சு :{ a,d,c} : {a,c} இன் முன்னுரு: ''f''&nbsp;&minus;1({''a,c''}) = {1,3}. :* ''f'': R2 → R : வரையறை:''f''(''x'', ''y'') = ''x''2 + ''y''2. :''f''&nbsp;&minus;1({''a''})என்ற நார்களை மூன்று விதமாகச் சொல்லவேண்டும். : ''a'' > 0 வாக இருக்குமானால், நார்கள் தொடக்கப்புள்ளியைச்சுற்றி பொதுமையவட்டங்கள்; : ''a'' = 0 வாக இருக்குமானால். நார் வெறும் தொடக்கப்புள்ளியைக்கொண்ட ஓருறுப்புக்கணம்; : ''a'' < 0 வாக இருக்குமானால், நார்கள் வெற்றுக்கணங்களே.
கேள்வி: வீச்சு, எதிருரு மற்றும் முன்னுரு - விளைவுப் பண்புகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: ''f'': ''A'' → ''B'' ஒரு சார்பு என்றும் ''X'' , ''Y'' இரண்டும் ''A'' இன் உட்கணங்கள் என்றும் '' M'' , ''N'' இரண்டும் ''B'' இன் உட்கணங்கள் என்றும் கொண்டால், *f(\varnothing) = \varnothing *f(X \cup Y) = f(X) \cup f(Y) *f(X \cap Y) \subseteq f(X) \cap f(Y). இங்கு, f ஒரு உள்ளிடுகோப்பு, சமன்பாடு உண்மையாகும். *X \subseteq Y \Rightarrow f(X) \subseteq f(Y) *f ஒரு முழுக்கோப்பு \Longleftrightarrow \operatorname{im} f = B. *''f''&nbsp;&minus;1(''M''&nbsp;∪&nbsp;''N'')&nbsp;= ''f''&nbsp;&minus;1(''M'')&nbsp;∪&nbsp;''f''&nbsp;&minus;1(''N'') *''f''&nbsp;&minus;1(''M''&nbsp;∩&nbsp;''N'')&nbsp;= ''f''&nbsp;&minus;1(''M'')&nbsp;∩&nbsp;''f''&nbsp;&minus;1(''N'') *''f''(''f''&nbsp;&minus;1(''M''))&nbsp;⊆&nbsp;''M'' *''f''&nbsp;&minus;1(''f''(''X''))&nbsp;⊇&nbsp;''X'' *''M'' ⊆ ''N'' \Rightarrow ''f''&nbsp;&minus;1(''M'') ⊆ ''f''&nbsp;&minus;1(''N'') *''f''&nbsp;&minus;1(''M''C) = (''f''&nbsp;&minus;1(''M''))C *(''f''&nbsp;|''X'')&minus;1(''M'') = ''X'' ∩ ''f''&nbsp;&minus;1(''M''). இரண்டு உட்கணங்களின் ஒன்றிப்பு, வெட்டு இவற்றைப்பற்றிய மேற்படி பண்புகளை, உட்கணங்களின் எந்தக் கூட்டத்திற்கும் உண்மை என்று கொள்ளலாம்.
கேள்வி: வீச்சு, எதிருரு மற்றும் முன்னுரு - இவற்றையும் பார்க்கவும் என்பது என்ன?
பதில்: *செயலி (கணிதம்) *முழுக்கோப்பு *உள்ளிடுகோப்பு *இருவழிக்கோப்பு *ஆட்களம் (கணிதம்) *இணையாட்களம் (கணிதம்) பகுப்பு:கணக் கோட்பாட்டு அடிப்படை கருத்துருக்கள் பகுப்பு:நேரியல் இயற்கணிதம் பகுப்பு:சார்புகளும் கோப்புகளும்