கேள்வி: பித்தேகோரசு தேற்றம் - தேற்றத்தின் பிற வடிவங்கள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: செங்கோண முக்கோணத்தின் மிகப்பெரிய பக்கமாகிய செம்பக்கம் அல்லது ''கர்ணத்தின்'' நீளத்தை c \, என்று கொண்டு, மற்ற இரு பக்கங்களின் (“தாங்கிப் பக்கங்களின்”) நீளங்களை a, b \,என்று குறித்தால், பித்தகோரசு தேற்றம் தரும் சமன்பாடு: : a^2 + b^2 = c^2\, இப்பொழுது செம்பக்கத்தின் நீளத்தை பின்வரும் வாய்ப்பாட்டால் கணிக்கலாம்: : c = \sqrt{a^2 + b^2}. \, செம்பக்கத்தின் நீளமும், மற்றொரு பக்கத்தின் நீளமும் தெரிந்திருந்தால் மூன்றாவது பக்கத்தின் நீளத்தைக் கீழ்க்காணுமாறு அறியலாம்: : a = \sqrt{c^2 - b^2}. \, : b = \sqrt{c^2 - a^2}. \, பித்தாகரசு தேற்றம் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கு இடையேயுள்ள தொடர்பைத் தருகிறது. இதனால் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் இரு பக்க அளவுகள் தெரிந்தால் அதன் மூன்றாவது பக்கத்தை இத் தேற்றத்தின் முடிவைப் பயன்படுத்திக் கணிக்க முடியும். இத் தேற்றத்தின் கிளைமுடிவாக, ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் செம்பக்கத்தின் அளவு மற்ற இரு பக்க அளவுகளைவிட அதிகமானதாகவும், ஆனால் மற்ற இரு பக்க அளவுகளின் கூடுதலைவிடச் சிறியதாகவும் இருக்கும் என்ற கூற்றைக் கொள்ளலாம். பித்தகோரசின் தேற்றத்தின் நீட்சியாக அல்லது பொதுமைப்பாடாகச் செங்கோண முக்கோணம் மட்டுமல்லாமல் எந்த ஒரு (யூக்கிளிடிய சமதள) முக்கோணத்திற்கும் பொருந்துமாறு கோசைன் விதி உள்ளது. இவ்விதியைப் பயன்படுத்தி எந்தவொரு முக்கோணத்திலும் அதன் இரு பக்கங்களும் அவற்றுக்கு இடைப்பட்ட கோணமும் தெரிந்தால் முக்கோணத்தின் மூன்றாவது பக்கத்தைக் கணிக்கலாம். மற்ற இரு பக்கங்களுக்கும் இடையே உள்ள கோணம் செங்கோணமாக (90°) இருந்தால், கோசைன்களின் விதி பித்தகோரசின் விதியாகச் சுருங்கிவிடும்.
கேள்வி: பித்தேகோரசு தேற்றம் - நிறுவல் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: பித்தேகோரசு தேற்றத்திற்குப் பல நிறுவல் வழிகள் உள்ளன. அதிக நிறுவல்கள் பெற்ற தேற்றம் என்னும் புகழ் பெற்றது இத்தேற்றம். எலிசா சுகாட் லூமிசு (Elisha Scott Loomis) எழுதிய ''பித்தகோரியன் முன்மொழிவு'' (''Pythagorean Proposition''), என்னும் நூலில் 367 நிறுவல்களைத் தொகுத்து வழங்கியுள்ளார்.
கேள்வி: பித்தேகோரசு தேற்றம் - யூக்ளிடின் நிறுவல் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: படிமம்:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg யூக்ளிடின், "கூறுகள்" ("Elements") என்னும் நூலில் முதல் புத்தகத்தில் முன்வைப்பு 47 இல், பித்தகோரசின் தேற்றத்தைக் கீழ்க்காணும் ஏரண காரணங்களைக் கொண்டு நிறுவியுள்ளார்: படம் 1 இல், *''A'', ''B'', ''C'' ஆகிய மூன்றும் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் மூலைகளாக இருக்கட்டும். *செங்கோணம் ''A'' இல் இருக்கட்டும். ''A'' இல் இருந்து எதிர்ப்புறமாகிய செம்பக்கத்துக்கு (கர்ணத்துக்கு) ஒரு செங்குத்துக்கோடு வரையப்படுகிறது. *இந்தச் செங்குத்துக்கோடு செம்பக்கத்தின் மீதுள்ள சதுரத்தின் வழியாக நீண்டு செல்லட்டும். *இந்தச் செங்குத்துக் கோடு, செம்பக்கத்தின் மீதுள்ள சதுரத்தை இரண்டு செவ்வகங்களாகப் பிரிக்கின்றது. *இந்த இரண்டு செவ்வகங்களும் மற்ற இரு பக்கங்களின் மீதுள்ள சதுரங்களின் பரப்பளவுக்குச் சமம்.
கேள்வி: பித்தேகோரசு தேற்றம் - முறையான நிறுவல் என்பது என்ன?
பதில்: யூக்ளிடின் முறையான நிறுவலுக்கு நான்கு சிறுதேற்றங்கள் தேவை: # இரு முக்கோணங்களுக்கிடையே முறையாக இரு பக்கங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருந்து, அவற்றுக்கு இடையே உள்ள கோணமும் ஒன்றாக இருந்தால் அம் முக்கோணங்கள் முற்றொருமை முக்கோணங்களாகும். # ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு, அதன் அடியாகக் கொண்ட பக்கத்தைக் கொண்டு முக்கோணத்தின் குத்துயரமே கொண்ட ஒரு இணைகரத்தின் பரப்பளவில் பாதி. # ஒரு சதுரத்தின் பரப்பளவு அதன் பக்க நீளத்தின் இருமடி # எந்த ஒரு செவ்வகத்தின் பரப்பளவும் அதன் இரு அண்டைப் பக்கநீளங்களின் பெருக்குத்தொகை (மேலுள்ள சிறுதேற்றம் 3 இன் விளைவு). ;நிறுவல் படிமம்:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem2.svg # ACB என்பது ஒரு செங்கோண முக்கோணமாக இருக்கட்டும். அதன் செங்கோணம் CAB. # BC, AB, CA, ஆகிய ஒவ்வொரு பக்கத்தின் மீதும் CBDE, BAGF, ACIH, என்னும் சதுரங்களை முறையாக வரையவும். # A இல் இருந்து , BD, CE களுக்கு இணையாக கோடுவரையவும். இது BC மற்றும் DE ஐ K மற்றும் L, இடங்களில் முறையே செங்க்குத்தாக வெட்டும். # CF, AD முதலியவற்றை இணைத்து BCF, BDA. ஆகிய முக்கோணங்களை ஆக்குக. # கோணங்கள் CAB , BAG ஆகிய இரண்டும் செங்கோணங்கள்; ஆகவே C, A, G ஆகிய மூன்றும் ஒருகோட்டில் அமரும் புள்ளிகள். #அதைப்போலவே B, A, H ஆகிய மூன்றும் ஒருகோட்டுப்புள்ளிகள். # கோணங்கள் CBD, FBA ஆகிய இரண்டும் செங்கோணங்கள்; ஆகவே கோணம் ABD, கோணம் FBC ஆகிய இரு கோணங்களும் செங்கோணம் கூட்டல் கோணம் ABC ஆக இருப்பதால் இரண்டும் சமம். # AB, BD ஆகிய இரண்டும் FB, BC ஆகிய இரண்டுக்கும் முறையே ஈடு ஆகையால், முக்கோணம் ABD, முக்கோணம் FBC இக்கு ஈடாக இருத்தல் வேண்டும். # புள்ளி A ஆனது K , L உடன் நேர்க்கோட்டில் அமர்வதால் BDLK என்னும் செவ்வகம் ABD என்னும் முக்கோணத்தின் பரப்பளவை போல் இரு மடங்காகும்.. # முனை C ஆனது A, G உடன் நேர்க்கோட்டில் அமர்வதால், BAGF என்னும் சதுரம் FBC என்னும் முக்கோணத்தை போல் இருமடங்கு பரப்பளவு கொண்டது. # எனவே BDLK என்னும் செவ்வகம் BAGF என்னும் சதுரத்தின் பரப்பளவு கொண்டிருக்கும். அது AB2 சமம். # அதே போல, CKLE என்னும் செவ்வகம் ACIH என்னும் சதுரத்தின் பரப்பளவிற்கு ஈடாக இருக்கும். அது AC2 இக்குச் சமம். # மேலுள்ள இரண்டு முடிவுகளையும் சேர்த்தால், AB2 + AC2 = BD × BK + KL × KC # BD = KL என்பதால், BD* BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BC # எனவே AB2 + AC2 = BC2, ஏனெனில் CBDE என்பது ஒரு சதுரம். இந்த நிறுவல் யூக்கிளிடின் "கூறுகள்" நூலில் முதல் தொகுதியில் 47 ஆவது முன்வைப்பாக உள்ளது 1.47.[http://www.perseus.tufts.edu/cgi-bin/ptext?doc=Perseus:text:1999.01.0085:book=1:proposition=47 Elements 1.47] by Euclid, retrieved 19 December 2006
கேள்வி: பித்தேகோரசு தேற்றம் - மீள்வரிசைப்படுத்தல் வாயிலாக நிறுவல் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: {| | File:Pythag anim.gif | File:Pythagoras-2a.gif | File:Pythagorean theorem rearrangement.svg |} படிமம்:Chinese pythagoras.jpg என்பவர்.]]
கேள்வி: பித்தேகோரசு தேற்றம் - வகையீடுகளைப் பயன்படுத்தி நிறுவுதல் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் ஒரு பக்க அளவில் ஏற்படும் மாற்றத்தினால் அதன் கர்ணத்தின் அளவில் ஏற்படும் மாற்றத்தைக் கணித்து, நுண்கணிதத்தையும் பயன்படுத்தினால் பித்தகோரசு தேற்றத்தைப் பெறலாம். File:Pythag differential proof.svg படத்தின் மேற்பக்கத்தில், :முக்கோணம் ''ABC'' ஒரு செங்கோண முக்கோணம். அதன் செம்பக்கம் ''BC''. படத்தின் கீழ்பக்கத்தில், :செம்பக்கம் ''BC'' இன் நீளம் ''y''; பக்கம் ''AC'' இன் நீளம் ''x''; பக்கம் ''AB'' இன் நீளம் ''a''. :செம்பக்கம் ''BC''க்குச் செங்குத்தாக ''CE'' இருக்குமாறு ''E'' எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது. ;நிறுவல் *''x'' இன் அளவு அதிகரிக்கும் மிகச்சிறிய அளவு ''dx'' எனில், பக்கம் ''AC'' ஐ ''D'' வரை சற்று நீட்டிக்க, ''y'' ம் ''dy'' அளவு அதிகரிக்கிறது. *''dx'' , ''dy'' இரண்டும் ''CDE'' முக்கோணத்தின் இரு பக்கங்களாகின்றன. *முக்கோணம் ''CDE'' ஒரு செங்கோண முக்கோணமாக அமைகிறது. மேலும் அது முக்கோணம் ''ABC'' க்குத் தோராயமாக வடிவொத்ததாகவும் அமைகிறது. இதனால் இவ் விரு முக்கோணங்களின் ஒத்தபக்கங்களின் விகிதங்கள் சமமாக இருக்கும்: : \frac{dy}{dx} = \frac xy. : \Rightarrow y \cdot dy - x \cdot dx = 0.\, *இது ஒரு வகையீட்டுச் சமன்பாடு ஆகும். இச் சமன்பாட்டின் தீர்வு: :y^2 - x^2 = C,\, இத்தீர்வில் ''x'' = 0, ''y'' = ''a'' எனப் பிரதியிட ''C'' = ''a'' 2 கிடைக்கிறது. :y^2 = x^2 + a^2.\, (''dx'' , ''dy'' க்குப் பதிலாக எல்லைகளைப் பயன்படுத்தினால் இந் நிறுவம் மேலும் மேம்பட்டதாக அமையும்.)
கேள்வி: பித்தேகோரசு தேற்றம் - பித்தகோரசின் மும்மை பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: பைதகரசின் விதியை திருப்தி செய்யும் வகையில் செங்கோண முக்கோணமொன்றின் பக்கங்களின் நீளத்தொடர்புகள் பித்தகோரசு மும்மை எனப்படும். முழு எண்களினாலான முதலாவது பித்தாகோரசு மும்மை 3, 4, 5 என்பதாகும். இதன் மடங்குகளும் அதாவது (6,8,10) , (9,12,15), (30,40,50) என்பனவும் முழு எண்ணினாலான பித்தகோரசின் மும்மையைத் தரும். இது தவிர (8,15,17), (7,24,25).... என்றவாறு பித்தகோரசின் முழு எண் மும்மைகளை அமைக்கலாம். பித்தகோரசின் முழு எண் மும்மை துணியப்படும் முறை: * ஒரு எண் இரட்டை எண்ணாயின் அதன் அரைவாசியின் வர்க்கத்துடன் ஒன்றைக் கூட்டிய, கழித்த எண்கள் அடுத்தடுத்த எண்களாக அமையும். எடுத்துக்காட்டு: எண் 6 எனின் அதன் அரைவாசி 3. மூன்றின் வர்க்கம் 9. ஆகவே பித்தகோரசின் முழு எண் மும்மையின் அடுத்த எண்கள் 8, 10. இங்கு பித்தகோரசின் முழு எண் மும்மை (6,8,10) * ஒரு எண் ஒற்றை எண்ணாயின் அது வர்க்கிக்கப்படும். வரும் பெறுமானத்தின் (அதுவும் ஒற்றை எண்) அரைவாசியில் ஒன்று குறைந்த தொகையும் ஒன்று கூடிய தொகையும் அடுத்தடுத்த எண்களாக அமையும். எடுத்துக்காட்டு: எண் 7 எனின் அதன் வர்க்கம் 49. அரைவாசி 25 உம் 24 உம் ஆகும். இங்கு பித்தகோரசின் முழு எண் மும்மை (7,24,25)
கேள்வி: பித்தேகோரசு தேற்றம் - சிக்கல் எண்கள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: File:Complex conjugate picture.svg :z = x + iy,\, என்றதொரு சிக்கலெண்ணின் தனி மதிப்பு அல்லது மட்டு மதிப்பு: :r = |z|=\sqrt{x^2 + y^2}.\, எனவே ''r'', ''x'' , ''y'' மூன்றும் பித்தகோரசு தேற்றத்தின் முடிவை நிறைவு செய்கின்றன: :r^2 = x^2 + y^2.\, ''r'' நேர் எண்ணாகவோ அல்லது பூச்சியமாகவோ அமையலாம்; ''x'' , ''y'' நேர் அல்லது எதிர் எண்களாக இருக்கலாம். சிக்கலெண் தளத்தில், ''z'' க்கும் ஆதிப்புள்ளி ''O'' க்கும் இடைப்பட்ட தூரம் ''r'' ஆகும். இதனைப் பொதுமைப்படுத்தி சிக்கலெண் தளத்திலமையும் இரு புள்ளிகளுக்கிடைப்பட்ட தூரத்தைக் காணலாம். ''z''1 , ''z''2 இரு சிக்கலெண் புள்ளிகள் எனில் அவற்றுக்கிடையே உள்ள தூரம்: :|z_1 - z_2|=\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2},\, இதுவும் பித்தாகரசு தேற்ற முடிவாகிறது: :|z_1 - z_2|^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2.\,
கேள்வி: பித்தேகோரசு தேற்றம் - கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமை என்பது என்ன?
பதில்: கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமையில் இரு புள்ளிகளுக்கிடையேயுள்ள தொலைவைக் கணக்கிட பயன்படும் வாய்ப்பாடு பித்தகோரசு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்திப் பெறப்படுகிறது. கார்ட்டீசியன் தளத்திலமையும் ஆகிய இருபுள்ளிகளுக்கிடையேயுள்ள தொலைவு (யூக்ளிடிய தொலைவு) காணும் வாய்ப்பாடு: : \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}. பொதுவாக, யூக்ளிடிய ''n''-வெளியில் அமையும் இரு புள்ளிகளுக்கு (A\,=\,(a_1,a_2,\dots,a_n), B\,=\,(b_1,b_2,\dots,b_n)) இடையேயுள்ள யூக்ளிடிய தொலைவானது பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பித்தகோரசு தேற்றத்தின் மூலம் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது: :\sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + \cdots + (a_n-b_n)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (a_i-b_i)^2}.
கேள்வி: பித்தேகோரசு தேற்றம் - வளைகோட்டு ஆள்கூறுகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: படிமம்:Polar to cartesian.svg கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமைக்குப் பதில் வாள்முனை ஆள்கூற்று முறைமை அல்லது மேலும் பொதுவான வளைகோட்டு ஆள்கூறுகள் பயன்படுத்தப்படும்போதும், யூக்ளிடிய தொலைவு காணும் வாய்ப்பாட்டினைப் பித்தகோரசு தேற்றத்தின் மூலம் பெறமுடியும். இதற்கு கார்ட்டீசியன் ஆள்கூறுகளையும் வளைகோட்டு ஆள்கூறுகளையும் இணைக்கும் தொடர்புச் சமன்பாடுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, இருபரிமாணத் தளத்திலமைந்த ஒரு புள்ளியின் போலார் ஆள்கூறுகள் கார்ட்டிசியன் ஆள்கூறுகள் எனில்: : x = r \cos \theta, \ y = r \sin \theta.\, என்ற இரு புள்ளிகளுக்கு இடையேயுள்ள தொலைவு ''s'' பின்வருமாறு கார்ட்டீசியன் தொலைவு வாய்ப்பாட்டிலிருந்து போலார் ஆள்கூறுகளில் பெறப்படுகிறது: :s^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 = (r_1 \cos \theta_1 -r_2 \cos \theta_2 )^2 + (r_1 \sin \theta_1 -r_2 \sin \theta_2)^2.\, :\begin{align}s^2 &= r_1^2 +r_2^2 -2 r_1 r_2 \left( \cos \theta_1 \cos \theta_2 +\sin \theta_1 \sin \theta_2 \right)\\ &= r_1^2 +r_2^2 -2 r_1 r_2 \cos \left( \theta_1 - \theta_2\right)\\ &=r_1^2 +r_2^2 -2 r_1 r_2 \cos \Delta \theta, \end{align}\, இந்த வாய்ப்பாடு கொசைன்களின் விதியாகும். இது சில சமயங்களில் ’பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பித்தகோரசு தேற்றம்’ எனவும் அழைக்கப்படுகிறது., [http://books.google.com/books?id=Z-O57gUYmIgC&pg=PA116 Exercises, page 116] எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட இரு புள்ளிகளின் ஆரைத் திசையன்கள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக இருக்குமானால் π/2}} ஆகும். இந்நிலையில் மேலேயுள்ள தொலைவு வாய்ப்பாடு s^2 = r_1^2 + r_2^2.\, என்றாகி விடுகிறது. இதனால் செங்கோண முக்கோணங்களுக்குப் பொருந்தும் பித்தகோரசு தேற்றத்தை, எந்தவொரு முக்கோணத்துக்கும் பொருந்துகின்ற கொசைன்களின் விதியின் சிறப்புவகையாகக் கொள்ளலாம்.
கேள்வி: பித்தேகோரசு தேற்றம் - பித்தகோரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமை பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: File:Trig functions.svg ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் ''a'', ''b'', ''c'' (செம்பக்கம்); பக்கம் ''a''க்கும் செம்பக்கத்துக்கும் இடைப்பட்ட கோணம் ''θ'' எனில்: :\sin \theta = \frac{b}{c}, \quad \cos \theta = \frac{a}{c}. :\Rightarrow {\cos}^2 \theta + {\sin}^2 \theta = \frac{a^2 + b^2}{c^2} = 1 இதில் c^2 = a^2 + b^2 என்ற பித்தகோரசு தேற்ற முடிவு பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. சைனுக்கும் கொசைனுக்கும் இடையேயான இந்தத் தொடர்பு அடிப்படையான பித்தகோரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமை என அழைக்கப்படுகிறது.
கேள்வி: பித்தேகோரசு தேற்றம் - குறுக்குப் பெருக்கத்துடன் தொடர்பு என்பது என்ன?
பதில்: File:Cross product parallelogram.svg பித்தகோரசு தேற்றம், குறுக்குப் பெருக்கம் புள்ளிப் பெருக்கம் தொடர்புபடுத்துகிறது: : \|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\|^2 + (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 = \|\mathbf{a}\|^2 \|\mathbf{b}\|^2.\, ;நிறுவல் திசையன் இயற்கணிதத்தில் குறுக்குப் பெருக்கம், புள்ளிப் பெருக்கம் இரண்டின் வரையறை: :\begin{align} \mathbf{a} \times \mathbf{b} &= ab \mathbf{n} \sin{\theta} \\ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} &= ab \cos{\theta}, \end{align} (a , b திசையன்களுக்கு செங்குத்தான அலகுத்திசையன் n) : \|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\|^2 + (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 \, இதில் மேலுள்ள வரையறைகளைப் பயன்படுத்த, : =\|\mathbf{a}\|^2 \|\mathbf{b}\|^2 \|\mathbf{(n)}\|^2 \sin^2{\theta} + \|\mathbf{a}\|^2 \|\mathbf{b}\|^2 \cos^2{\theta} \, (\|\mathbf{(n)}\|^2 =1 ) : =\|\mathbf{a}\|^2 \|\mathbf{b}\|^2 (\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta}) \, (பித்தாகரசு முக்கோணவியல் முற்றொருமையின்படி, \sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1 ) : =\|\mathbf{a}\|^2 \|\mathbf{b}\|^2.\, மேலே தரப்பட்ட தொடர்பினை சற்று மாற்றியமைத்து குறுக்குப் பெருக்கத்தைக் கீழுள்ளவாறு வரையறையறுக்கலாம்: : \|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\|^2 = \|\mathbf{a}\|^2 \|\mathbf{b}\|^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2.\,
கேள்வி: பித்தேகோரசு தேற்றம் - வெவ்வேறு வடிவொத்த வடிவங்கள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: செங்கோண முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களின் மீதும் சதுரங்களுக்குப் பதிலாக வெவ்வேறு மூன்று வடிவொத்த வடிவங்களை வரைந்து பித்தகோரசு தேற்றத்தினைப் பொதுமைப்படுத்தியவர் கிமு ஐந்தாம் நூற்றாண்டைச் சேர்ந்த கிரேக்கக் கணிதவியலார் இப்போகிரசு (சியோசு) ஆவார்.Heath, T. L., ''A History of Greek Mathematics'', Oxford University Press, 1921; reprinted by Dover, 1981. இதே கருத்து யூக்ளிடின் ’கூறுகள்’ புத்தகத்திலும் உள்ளது (புத்தகம் VI, முன்வைப்பு VI 31):Euclid's ''Elements'': Book VI, Proposition VI 31: "In right-angled triangles the figure on the side subtending the right angle is equal to the similar and similarly described figures on the sides containing the right angle." :யூக்ளிடின் ’கூறுகள்’ புத்தகம் VI, முன்வைப்பு VI 31: ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் மீது வடிவொத்த வடிவங்கள் வரையப்பட்டால், இரு சிறிய பக்கங்களின் மீது வரையப்பட்ட வடிவங்களின் பரப்பளவுகளின் கூடுதல் பெரிய பக்கத்தின் மீது வரையப்பட்ட வடிவத்தின் பரப்பளவுக்குச் சமமாக இருக்கும். தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தல் முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்கள் ஒவ்வொன்றும் அவற்றின் மீது வரையப்படும் வடிவத்தின் ஒரு பக்கமாக உள்ளது என்ற கூற்றின் அடிப்படையில் பித்தகோரசு தேற்றம் இவ்வாறு பொதுமைப்படுத்தப்படுகிறது.Putz, John F. and Sipka, Timothy A. "On generalizing the Pythagorean theorem", ''The College Mathematics Journal'' 34 (4), September 2003, pp. 291–295. செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் மீது வரையப்படும் குவிவுப் பல்கோணங்களுக்கு மட்டும் இத்தேற்றத்தினை யூக்ளிடின் நிறுவல் தருகிறது என்றாலும், தேற்றமானது குழிவுப் பல்கோணங்களுக்கும், வளைகோட்டு வரம்புகளுடைய வடிவங்களுக்குங்கூடப் (அவ் வடிவங்களின் ஒரு வரம்பு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கமாக இருக்கும்பட்சத்தில்) பொருந்தும்.
கேள்வி: பித்தேகோரசு தேற்றம் - கொசைன்களின் விதி என்பது என்ன?
பதில்: File:Law of cosines2.svg பித்தகோரசு தேற்றம், ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கு இடையேயுள்ள தொடர்பைத் தரும் கொசைன்களின் விதியின் சிறப்புவகையாகும்: ;கொசைன்களின் விதி :: a^2+b^2-2ab\cos{\theta}=c^2, \, :''a'' , ''b'' பக்கங்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் θ. : \theta = {90}^o : \Rightarrow cos\theta = {90}^o = 0 எனவே இந்நிலையில் இவ்விதி பித்தகோரசு தேற்றமாகிறது.
கேள்வி: பித்தேகோரசு தேற்றம் - உசாத்துணை குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: * Bell, John L., ''[http://publish.uwo.ca/~jbell/ The Art of the Intelligible: An Elementary Survey of Mathematics in its Conceptual Development]'', Kluwer, 1999. . * Euclid, ''The Elements'', Translated with an introduction and commentary by Sir Thomas L. Heath, Dover, (3 vols.), 2nd edition, 1956. * Hardy, Michael, "Pythagoras Made Difficult". ''Mathematical Intelligencer'', 10 (3), p.&nbsp;31, 1988. * T. L. Heath, ''A History of Greek Mathematics'' (2 Vols.), Clarendon Press, Oxford (1921), Dover Publications, Inc. (1981), . * Loomis, Elisha Scott, ''The Pythagorean proposition''. 2nd edition, Washington, D.C : The National Council of Teachers of Mathematics, 1968. * Maor, Eli, ''The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History''. Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 2007, . * Stillwell, John, ''Mathematics and Its History'', Springer-Verlag, 1989. and . * Swetz, Frank, Kao, T. I., ''Was Pythagoras Chinese?: An Examination of Right Triangle Theory in Ancient China'', Pennsylvania State University Press. 1977. * van der Waerden, B.L., ''Geometry and Algebra in Ancient Civilizations'', Springer, 1983.