கேள்வி: திசையன் வெளி பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: திசையன் வெளி (Vector Space) என்பது கணித அமைப்புகளில் முக்கியமான ஒன்று. கணிதம் மட்டுமின்றி மற்ற துறைகளிலும் கணக்கற்ற சூழ்நிலைகளில் இவ்வமைப்பு காணப்படுகிறது. சாதாரண முப்பரிமாண வடிவியலில் படிமங்கள் மூலம் உருவகப்படுத்தப்பட்ட பற்பல சூழ்நிலைகள், திசையன் வெளி என்ற கருத்துச் செறிவினால், உறவில்லாததாகத் தோன்றும் பல இதரப் பிரிவுகளிலும் பயன்பாடுகளிலும் இன்றியமையாததாகத் தேவைப் படுவதே திசையன் வெளியின் முக்கியத்துவத்துக்கு சான்று. எடுத்துக் காட்டிற்காக சிற்சில துறைகளைக் குறிப்பிடலாம்: Electrical Engineering, Quantum Mechanics, Linear Programming, Mathematical Statistics.
கேள்வி: திசையன் வெளி - எடுத்துக்காட்டு: n-ஆயவரிசைத் திசையன் வெளி குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: Vn என்னும் கணத்தை எடுத்துக்கொள்வோம் இதன் உறுப்புகள் ஒவ்வொன்றும் (x_1, x_2, ..., x_n)ஐப்போல் ஒரு n-ஆய-வரிசை.இவ்வாயங்கள் அளவெண்களிலிருந்து வரும். இரு ஆயவரிசையைக்கூட்ட, ஆயவாரியாகக்கூட்டவேண்டும். அதாவது (x_1, x_2, ..., x_n) + (y_1, y_2, ..., y_n) = (x_1 +y_1, x_2 + y_2, ..., x_n + y_n). இதே மாதிரி, ஒரு ஆய-வரிசையை அளவெண்ணால் பெருக்க, ஆயவாரியாக ப்பெருக்கவேண்டும்: அதாவது \alpha (x_1, x_2, ..., x_n) = (\alpha x_1, \alpha x_2, ..., \alpha x_n) இவ்விதம் கூட்டலையும் அளவெண் பெருக்கலையும் வரையறுத்துக்கொண்டால், Vn ஒரு மெய்த்திசையன் வெளி ஆவதற்கு நாம் (தி.வெ.3)நிபந்தனை இங்கு சரிசெய்யப்படுகிறதா என்று பார்த்தால் போதும். இவ்விதம் நிறுவப்பட்ட Vn n-ஆய-வரிசைகளின் மெய்த்திசையன் வெளி எனப்பெயர் பெறும். V1 திசையன் வெளியாகக் கருதப்பட்ட சாதாரண மெய்யெண்களின் வெளி. இதனில் அளவெண்களும் மெய்யெண்கள். வெளியின் உறுப்புகளும் மெய்யெண்கள். V2 இன் உறுப்புகள் xy-தளத்தின் திசையன்கள். xy-தளத்தில் உள்ள வடிவியல் திசையன்களை க்கூட்டுவதும், அவைகளை அளவெண்பெருக்குவதும், ஆயவரிசைத் திசையன் வெளியில் நாம் வரையறுத்த கூட்டல், அளவெண்பெருக்கல் இவைகளும் ஒன்றுதான். V3 யும் அப்படித்தான். இதற்கு முப்பரிமாண ஆயவரிசைத்திசையன் வெளி எனப்பெயர். Vn ஐ இரண்டுவிதமாக எடுத்துக்கொள்ளலாம். உறுப்புக்களின் ஆயங்கள் \mathbf{R} என்ற மெய்யெண்களத்திலிருந்து வந்தால் அதை V_n^{\mathbf{R}} என்றும் அவை \mathbf{C} என்ற சிக்கலெண்களத்திலிருந்து வந்தால் அதை V_n^{\mathbf{C}} என்றும் குறிப்போம். V_n^{\mathbf{R}} க்கு அளவெண்கள் மெய்யெண்களாக இருக்கவேண்டும்.
கேள்வி: திசையன் வெளி - சில அடிப்படைச் சமன்பாடுகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ஒவ்வொரு திசையன் வெளியிலும் கூட்டலமைப்பில் ஒரு முற்றொருமை இருந்தாக வேண்டும். அதை சூன்யத்திசையன் (zero vector) என்றோ அல்லது திசையன் வெளியின் சூன்ய உறுப்பு என்றோ சொல்லலாம். அதற்குக்குறியீடு '0' என்றே சொல்லலாம். ஆனால் அளவெண்களிலுள்ள '0' வுடன் குழப்பம் வரும் வாய்ப்பிருந்தால் அதை '\mathbf{0}' என்று குறிக்கவேண்டியிருக்கும். கீழ்க்கண்ட முற்றொருமைச்சமன்பாடுகள் எல்லா திசையன் வெளிகளிலும் உண்மை: 1. எந்த அளவெண் \alpha க்கும், \alpha \mathbf{0} = 0 2. V இலுள்ள எந்த u க்கும், 0 u = \mathbf{0} 3. V இலுள்ள எந்த u க்கும், (-1) u = -u
கேள்வி: திசையன் வெளி - சார்பு வெளிகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: சார்புத்திசையன் வெளிகள் சில: 1.\mathcal{F}[a, b]: மூடிய இடைவெளி [a,b]இல் வரையறுக்கப்பட்ட மெய்யெண் மதிப்புள்ள எல்லாச்சார்புகள். இரண்டு சார்புகளின் கூட்டலும் அளவெண் பெருக்கலும் புள்ளிவாரியாகச்செய்யப்படும்; அ-து, ஒவ்வொரு x \in [a,b] க்கும் (f + g)(x) = f(x) + g(x); ஒவ்வொரு அளவெண் \alpha வுக்கும், ஒவ்வொரு சார்பு ''f'' க்கும், ஒவ்வொரு x \in [a,b]க்கும் (\alpha f)(x) = \alpha (f(x)). இதே முறையில் கீழேயுள்ள சார்பு வெளிகளிலும் கூட்டலும் அளவெண் பெருக்கலும் வரையறுக்கப்பட்டதாகக் கொள்ள வேண்டும். 2.\mathcal{P}[a, b]: மூடிய இடைவெளி [a,b]இல் வரையறுக்கப்பட்ட மெய்யெண் மதிப்புள்ள எல்லாப் பல்லுறுப்புச் சார்புகளும். இந்த வெளியில் ஒரு மாதிரி உறுப்பு p என்றால், ஒவ்வொரு x \in [a,b] க்கும் p(x) = \alpha_0 + \alpha_1 x +\alpha_2 x^2 + ... + \alpha_n x^n 3.\mathcal{C}[a, b] : மூடிய இடைவெளி [a,b]இல் வரையறுக்கப்பட்ட மெய்யெண் மதிப்புள்ள எல்லாத் தொடர் சார்புகள். 4. \mathcal{C}^{(1)}[a, b]: மூடிய இடைவெளி [a,b]இல் வரையறுக்கப்பட்டு,முதல் வகையீடுகள் தொடர்சார்புகளாகவுள்ள , மெய்யெண் மதிப்புள்ள எல்லா சார்புகளும். 5. \mathcal{C}^{(n)}[a, b]: மூடிய இடைவெளி [a,b]இல் வரையறுக்கப்பட்டு,n வகையீடுகள் தொடர்சார்புகளாகவுள்ள , மெய்யெண் மதிப்புள்ள எல்லா சார்புகளும். 6. \mathcal{C}^{\infty}[a, b]: மூடிய இடைவெளி [a,b]இல் வரையறுக்கப்பட்டு,எல்லா வகையீடுகளும் உள்ள , மெய்யெண் மதிப்புள்ள எல்லா சார்புகளும். அவசியமிருந்தால் இவைகளை\mathcal{F}_{\mathbf{R}}[a, b], \mathcal{P}_{\mathbf{R}}[a, b], \mathcal{C}_{\mathbf{R}}[a, b], \mathcal{C}^{(1)}_{\mathbf{R}}[a, b], \mathcal{C}^{(n)}_{\mathbf{R}}[a, b], \mathcal{C}^{\infty}_{\mathbf{R}}[a, b]: என்றும் எழுதவேண்டியிருக்கும். 7. மேலுள்ள ஆறிலும் \mathbf{R} க்கு பதில் \mathbf{C} ஐப்பயன்படுத்தினால், சிக்கல் எண் மதிப்புள்ள சார்புகளின் திசையன் வெளிகள் கிடைக்கும். பகுப்பு:திசையன் வெளிகள் பகுப்பு:சார்புப் பகுவியல் பகுப்பு:திசையன் நுண்கணிதம் பகுப்பு:இயற்பியல் கோட்பாடுகள் பகுப்பு:குலக்கோட்பாடு பகுப்பு:திசையன்கள்