கேள்வி: புறம்பான தீர்வுகளும் விடுபட்ட தீர்வுகளும் - புறம்பான தீர்வுகள் -பெருக்கல் என்பது என்ன?
பதில்: ஒரு சமன்பாட்டின் தீர்வுகளைப் பாதிக்காத வண்ணம் அச்சமன்பாட்டின் இருபுறங்களையும் ஒரே கோவை பெருக்கலாம் என்பது இயற்கணிதம் அடிப்படைக் கருத்து. ஆனால் இது எல்லா சந்தர்ப்பங்களிலும் பொருந்துவதில்லை. சில கோவைகளால் ஒரு சமன்பாட்டின் இருபுறமும் பெருக்குவதால் அச்சமன்பாட்டிற்குப் பொருத்தமில்லாத கூடுதல் தீர்வுகள் கிடைக்கக் கூடும். எடுத்துக்காட்டு: :x+2=0 * இருபுறமும் பூச்சியம் பெருக்கக் கிடைப்பது: :0=0 இது ''x'' -ன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் இது பொருந்தும் என்பதால் எல்லா மெய்யெண் தீர்வுகளாகும். மேலே தரப்பட்டச் சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் எல்லா மெய்யெண்களும் அல்ல. அதன் தீர்வு :x = -2 மட்டுமே. இதற்குக் காரணம் பூச்சியத்தால் பெருக்கும் செயலுக்கு நேர்மாறுச் செயல் கிடையாது. அதாவது பூச்சியத்தால் வகுத்தல் என்பது சாத்தியமானதல்ல. * மேற்கண்ட சமன்பாட்டின் இருபுறமும் கோவை ''x'' -ஆல் பெருக்கக் கிடைப்பது: :x(x+2)=(0)x :x^2+2x=0 இந்த இருபடிச் சமன்பாட்டின் இரண்டு தீர்வுகள் &minus;2 மற்றும் 0. ஆனால் 0 என ''x'' -க்கு தரப்பட்ட சமன்பாட்டில் பிரதியிட, 2&nbsp;=&nbsp;0 என்ற பொருளற்ற முடிவு கிடைக்கும். எனவே ''x''=0 அதன் தீர்வு இல்லை. பொதுவாக ஒரு சமன்பாட்டின் இருபுறமும் பெருக்கும் கோவையின் (மாறிகளில் அமைந்த)) மதிப்பு பூச்சியமாகும்போது அச்சமன்பாட்டிற்குப் புறம்பான தீர்வுகள் கிடைக்கின்றன. ஆனால் இது போதுமான கருத்தாக அமையாது. ஏனென்றால் பெருக்கப்படும் கோவையின் மதிப்பு பூச்சியமாகும் போது கிடைக்கும் தீர்வு அச்சமன்பாட்டின் உண்மையான தீர்வாகவும் அமையலாம். எடுத்துக்காட்டு: மேலே தரப்பட்ட அதே சமன்பட்டின் இருபுறமும் ''x''&nbsp;+&nbsp;2. கோவையால் பெருக்க: :(x+2)(x+2)=0(x+2) :x^2+4x+4=0 இந்த இருபடிச் சமன்பாடு x&nbsp;=&nbsp;&minus;2, என்ற ஒரேயொரு மெய்யெண் தீர்வு உள்ளது. மேலும் இது தரப்பட்டச் சமன்பாட்டின் தீர்வாகவும் உள்ளது. x&nbsp;=&nbsp;&minus;2 எனும்போது ''x''&nbsp;+&nbsp;2 -ன் மதிப்பு பூச்சியமென்றாலும் இத்தீர்வை சமன்பாட்டின் புறம்பான தீர்வு எனக் கூற முடியாது.
கேள்வி: புறம்பான தீர்வுகளும் விடுபட்ட தீர்வுகளும் - புறம்பான தீர்வுகள் -விகிதமுறு வடிவ சமன்பாடுகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: கோவை#இயற்கணிதக் கோவைகள் கொண்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும்போது புறம்பான தீர்வுகள் கிடைக்கின்றன: எடுத்துக்காட்டு: :\frac{1}{x - 2} = \frac{3}{x + 2} - \frac{6x}{(x - 2)(x + 2)}\,. தீர்வு காண்பதற்கு முதல்படியாக சமன்பாட்டின் இருபுறமும் இருபுறப் பகுதிகளின் மீச்சிறு பொது மடங்கு பெருக்க வேண்டும். இச்சமன்பாடுகளின் இருபுறமுள்ள பகுதிகளின் மீச்சிறு பொதுமடங்கு (x - 2)(x + 2) -ஆல் பெருக்க சமன்பாட்டின் பின்னவடிவம் மாறி புதிதாகக் கிடைக்கும் சமன்பாடு: :x + 2 = 3(x - 2) - 6x\, :x + 2 = 3x - 6 - 6x\, :x + 2 = - 6 - 3x\, : 4x = -8\, :x = - 2\,. இத்தீர்வைத் தரப்பட்ட சமன்பாட்டில் பிரதியிட: :\frac{1}{-2 - 2} = \frac{3}{-2 + 2} - \frac{6(-2)}{(-2 - 2)(-2 + 2)}\,. :\frac{1}{-4} = \frac{3}{0} + \frac{12}{0}\,. பூச்சியத்தைக் கொண்டு வகுத்தல் சாத்தியமில்லை என்பதால் இது ஒரு பொருந்தாத முடிவு. எனவே தரப்பட்ட சமன்பாட்டை சில கணிதச் செயல்களைப் பயன்படுத்தி மாற்றி அமைப்பதன் மூலம் கண்டுபிடிக்கப்படும் தீர்வுகள் எல்லாம் அச்சமன்பாட்டின் தீர்வுகளாக இருக்காது. கண்டுபிடிக்கப்பட்டத் தீர்வுகளை மீண்டும் அச்சமன்பாட்டில் பிரதியிட்டு அவை உண்மையிலேயே தரப்பட்ட சமன்பாட்டின் தீர்வுகளா இல்லையா என்பதை உறுதிபடுத்திக் கொள்ளுவது அவசியம். அவ்வாறு தரப்பட்டின் சமன்பாட்டின் தீர்வுகளாக அமையாதவை புறம்பான தீர்வுகள். அவற்றை நீக்கிவிட்டால் சரியான தீர்வுகணம் கிடைக்கும். சில சமயங்களில் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட தீர்வுகள் எல்லாமே புறம்பான தீர்வுகளாக இருக்கலாம். அப்பொழுது தரப்பட்டச் சமன்பாட்டுக்குத் தீர்வுகளே கிடையாது.
கேள்வி: புறம்பான தீர்வுகளும் விடுபட்ட தீர்வுகளும் - விடுபட்ட தீர்வுகள்: வகுத்தல் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: புறம்பான தீர்வுகளை அடையாளம் காண்பது எளிது. கண்டுபிடிக்கப்பட்ட தீர்வுகளை எல்லாம் தரப்பட்ட சமன்பாட்டில் பிரதியிட்டு பொருந்துகிறதா இல்லையா என்பதைக் கொண்டு புறம்பான தீர்வுகளை அப்புறப்படுத்தி விடலாம். ஆனால் விடுபட்டத் தீர்வுகளைப் பொறுத்த வரையில் அவ்வளவு எளிதல்ல. ஒரு கோவையிலுள்ள மாறிகளின் சில குறிப்பிட்ட மதிப்புகளுக்குப் பொருந்தாத கணிதச் செயல்களை ஒரு சமன்பாட்டில் செயல்படுத்துவதால் அச்சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் சில விடுபட்டுப் போய்விடலாம். எடுத்துக்காட்டு: கீழேயுள்ள சமன்பாட்டின் இருபுறமும் 4 -ஐக் கழித்துப் பின் 2 ஆல் வகுத்தால் சமன்பாட்டின் தீர்வு கிடைக்கும். இதுவே இச்சமன்பாட்டின் தீர்வு காண சரியான முறை: :2x+4=0 :2x=-4 :x=-2 இதேமுறையைப் பயன்படுத்தி கீழேயுள்ள சமன்பாட்டைத் தீர்க்க முற்பட்டால், அதாவது முதலில் இருபுறமும் 2''x'' -ஐக் கழித்துப் பின் இருபுறமும் ''x'' -ஆல் வகுக்க: :x^2+2x=0 :x^2=-2x :x=-2 இம்முறையில் கிடைக்கும் தீர்வு ''x''&nbsp;=&nbsp;&minus;2 சரியான தீர்வே. ஆனால் ''x''&nbsp;=&nbsp;0 என்ற தீர்வு காணாமல் போய்விட்டது. ''x''&nbsp;=&nbsp;0 எனும்போது பூச்சியமாகும் கோவை ''x'' -ஆல் சமன்பாட்டின் இருபுறமும் வகுத்ததே இதற்குக் காரணம். பொதுவாக, பூச்சிய மதிப்பினை அடையக்கூடிய கோவைகளால் சமன்பாடுகளை வகுப்பதைத் தவிர்க்கலாம். அல்லது அவ்வாறு வகுக்க வேண்டிய அவசியம் ஏற்படும்போது அக்கோவையின் மதிப்பைப் பூச்சியமாக்கும் மாறியின் மதிப்பு தரப்பட்டச் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்வதில்லை என்பதை உறுதிப்படுத்தி கொள்வது அவசியம். எடுத்துக்காட்டு: :x+2=0 இச்சமன்பாட்டை இருபுறமும் ''x''&minus;2 என்ற கோவையால் வகுத்துப் பின்வரும் வடிவிற்கு மாற்றலாம்: :\frac{x+2}{x-2}=0 ஏனென்றால் ''x''&minus;2 கோவையைப் பூச்சியமாக்கும் மதிப்பு ''x''=2, தரப்பட்ட சமன்பாட்டின் தீர்வு இல்லை என்பதால் இது பொருத்தமானது. சில சமயங்களில் ஒரு சமன்பாட்டின் சில குறிப்பிட்டத் தீர்வுகள் நமக்குத் தேவையில்லாமல் இருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக நமக்குத் தேவை ''x'' -ன் நேர் மதிப்புத் தீர்வுகள் மட்டும்தான் என்றால், ''x'' -ன் எதிர் மதிப்புகளுக்கு மட்டும் பூச்சியமாகும் கோவைகளால் அச்சமன்பாட்டை வகுக்கலாம். ஏனென்றால் அவ்வாறு வகுப்பதால் விடுபட்டுப் போகக்கூடியவை நமக்குத் தேவையற்ற ''x'' -ன் எதிர்மதிப்புத் தீர்வுகள்தான்.
கேள்வி: புறம்பான தீர்வுகளும் விடுபட்ட தீர்வுகளும் - பிற செயல்கள் என்பது என்ன?
பதில்: பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் மட்டுமல்லாது வேறு சில செயல்களும் தீர்வுகணத்தைப் பாதிக்கலாம். எடுத்துக்காட்டு: :x^2 = 4. இருபுறமும் நேர் வர்க்கமூலம் காணக் கிடைப்பது: :x = 2. ''x''2 மற்றும் 4 இரண்டுமே நேர்ம எண்கள். ஆயினும் அவற்றின் நேர்ம வர்க்கமூலம் காண்பதால் மற்றொரு தீர்வான வர்க்கமூலம் ''x''&nbsp;=&nbsp;&minus;2. விடுபட்டுப் போய்விட்டது. இதற்கான சரியான முறை: :\sqrt{x^2} = \sqrt{4}. :|x| = 2. :x = \pm 2.