கேள்வி: நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் - நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளுக்கிடையே உள்ள தொடர்புகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: படிமம்:Arctangent Arccotangent.svg படிமம்:Arcsecant Arccosecant.svg படிமம்:Arcsine Arccosine.svg நிரப்பு கோணம் :\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x :\arccot x = \frac{\pi}{2} - \arctan x :\arccsc x = \frac{\pi}{2} - \arcsec x எதிர்ம கோணங்கள்: :\arcsin (-x) = - \arcsin x \! :\arccos (-x) = \pi - \arccos x \! :\arctan (-x) = - \arctan x \! :\arccot (-x) = \pi - \arccot x \! :\arcsec (-x) = \pi - \arcsec x \! :\arccsc (-x) = - \arccsc x \! தலைகீழிக் கோணங்கள்: :\arccos (1/x) \,= \arcsec x \, :\arcsin (1/x) \,= \arccsc x \, :\arctan (1/x) = \tfrac{1}{2}\pi - \arctan x =\arccot x,\text{ if }x > 0 \, :\arctan (1/x) = -\tfrac{1}{2}\pi - \arctan x = -\pi + \arccot x,\text{ if }x :\arccot (1/x) = \tfrac{1}{2}\pi - \arccot x =\arctan x,\text{ if }x > 0 \, :\arccot (1/x) = \tfrac{3}{2}\pi - \arccot x = \pi + \arctan x,\text{ if }x :\arcsec (1/x) = \arccos x \, :\arccsc (1/x) = \arcsin x \, சைன் அட்டவணையின் ஒரு பகுதி மட்டும் நம்மிடம் இருந்தால்: :\arccos x = \arcsin \sqrt{1-x^2},\text{ if }0 \leq x \leq 1 :\arctan x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} இங்கு ஒரு சிக்கல் எண்ணின் வர்க்கமூலம் பயன்படுத்தப்பட்டால், நேர்ம மெய்ப்பகுதி கொண்ட மூலம் எடுத்துக் கொள்ளப்படும்.(அல்லது வர்க்கம் எதிர்ம மெய்ப்பகுதி கொண்டிருந்தால் நேர்ம கற்பனைபகுதி கொண்ட மூலம் எடுத்துக் கொள்ளப்படும்.). முக்கோணவியல் முற்றொருமைகளின் பட்டியல்#இருமடங்கு, மும்மடங்கு, அரைக்கோண முற்றொருமைகள்: \tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} , -லிருந்து: :\arcsin x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}} :\arccos x = 2 \arctan \frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x},\text{ if }-1 :\arctan x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}
கேள்வி: நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் - முக்கோணவியல் சார்புகளுக்கும் நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளுக்கும் இடையே உள்ள தொடர்புகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: :\sin (\arccos x) = \cos(\arcsin x) = \sqrt{1-x^2} :\sin (\arctan x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} :\cos (\arctan x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} :\tan (\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} :\tan (\arccos x) = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}
கேள்வி: நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் - பொதுத்தீர்வுகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ஒவ்வொரு முக்கோணவியல் சார்பும் அதன் கோணத்தின் மெய்ப்பகுதியில் காலமுறைமை உடையதாக உள்ளது. ஒவ்வொன்றும் 2π அளவு இடைவெளியில் தனது அனைத்து மதிப்புகளையும் இருமுறை அடைகின்றது. * சைன் (முக்கோணவியல்) மற்றும் கோசீக்கெண்ட் (முக்கோணவியல்), தங்களது கால அளவை 2π''k'' − π/2 (''k'' ஒரு முழு எண்) -ல் ஆரம்பித்து 2π''k'' + π/2 -ல் முடிக்கின்றன. மீண்டும் எதிர்வழியாக 2π''k'' + π/2 -லிருந்து ஆரம்பித்து 2π''k'' + 3π/2 -ல் முடிக்கின்றன. * கோசைன் (முக்கோணவியல்) மற்றும் சீக்கெண்ட் (முக்கோணவியல்), தங்களது கால அளவை 2π''k'' -லிருந்து ஆரம்பித்து 2π''k'' + π -ல் முடித்து மீண்டும் எதிர்வழியாக 2π''k'' + π -லிருந்து ஆரம்பித்து 2π''k'' + 2π -ல் முடிக்கின்றன. * டேன்ஜெண்ட் (முக்கோணவியல்), தனது கால அளவை 2π''k'' − π/2, -லிருந்து ஆரம்பித்து 2π''k'' + π/2 -ல் முடித்துப் பின் மீண்டும், அதேபோல (முன்னோக்கி) 2π''k'' + π/2-லிருந்து 2π''k'' + 3π/2 -ல் முடிக்கின்றது . * கோடேன்ஜெண்ட் (முக்கோணவியல்), தனது கால அளவை 2π''k''-லிருந்து 2π''k'' + π -ல் முடித்துப் பின் மீண்டும் அதேமாதிரி (முன்னோக்கி) 2π''k'' + π -லிருந்து 2π''k'' + 2π -ல் முடிக்கிறது.. பொது நேர்மாறுகளில் காலமுறைமை பிரதிபலிக்கப்படுகிறது. (இங்கு ''k'' ஏதேனும் ஒரு முழு எண்) :\sin(y) = x \ \Leftrightarrow\ y = \arcsin(x) + 2k\pi \text{ or } y = \pi - \arcsin(x) + 2k\pi :\cos(y) = x \ \Leftrightarrow\ y = \arccos(x) + 2k\pi \text{ or } y = 2\pi - \arccos(x) + 2k\pi :\tan(y) = x \ \Leftrightarrow\ y = \arctan(x) + k\pi :\cot(y) = x \ \Leftrightarrow\ y = \arccot(x) + k\pi :\sec(y) = x \ \Leftrightarrow\ y = \arcsec(x) + 2k\pi \text{ or } y = 2\pi - \arcsec (x) + 2k\pi :\csc(y) = x \ \Leftrightarrow\ y = \arccsc(x) + 2k\pi \text{ or } y = \pi - \arccsc(x) + 2k\pi
கேள்வி: நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் - நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: ''x'' -ன் மெய் மற்றும் சிக்கலெண் மதிப்புகளுக்கு எளிய வகைக்கெழுக்கள்: : \begin{align} \frac{d}{dx} \arcsin x & {}= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \frac{d}{dx} \arccos x & {}= \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \frac{d}{dx} \arctan x & {}= \frac{1}{1+x^2}\\ \frac{d}{dx} \arccot x & {}= \frac{-1}{1+x^2}\\ \frac{d}{dx} \arcsec x & {}= \frac{1}{x\,\sqrt{x^2-1}}\\ \frac{d}{dx} \arccsc x & {}= \frac{-1}{x\,\sqrt{x^2-1}} \end{align} ''x'' -ன் மெய் மதிப்புகளுக்கு மட்டும்: : \begin{align} \frac{d}{dx} \arcsec x & {}= \frac{1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x| > 1\\ \frac{d}{dx} \arccsc x & {}= \frac{-1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x| > 1 \end{align} வகையிடலின் ஒரு எடுத்துக்காட்டு: \theta = \arcsin x \! எனில், :\frac{d \arcsin x}{dx} = \frac{d \theta}{d \sin \theta} = \frac{1} {\cos \theta} = \frac{1} {\sqrt{1-\sin^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
கேள்வி: நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் - வரையறுத்த தொகையீடுகளாக குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: : \begin{align} \arcsin x &{}= \int_0^x \frac {1} {\sqrt{1 - z^2}}\,dz,\qquad |x| \leq 1\\ \arccos x &{}= \int_x^1 \frac {1} {\sqrt{1 - z^2}}\,dz,\qquad |x| \leq 1\\ \arctan x &{}= \int_0^x \frac 1 {z^2 + 1}\,dz,\\ \arccot x &{}= \int_x^\infty \frac {1} {z^2 + 1}\,dz,\\ \arcsec x &{}= \int_1^x \frac 1 {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \geq 1\\ \arcsec x &{}= \pi + \int_x^{-1} \frac 1 {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \leq -1\\ \arccsc x &{}= \int_x^\infty \frac {1} {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \geq 1\\ \arccsc x &{}= \int_{-\infty}^x \frac {1} {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \leq -1 \end{align} ''x'' = 1 ஆகும் போது எல்லைக்குட்பட்ட ஆட்களங்களைக் கொண்ட தொகையீடுகள், முறையற்ற தொகையீடுகளாகும் (improper integrals). ஆனாலும் நன்கு வரையறுக்கப்பட்டவையாக அமையும்.
கேள்வி: நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் - முடிவிலாத் தொடர்களாக என்பது என்ன?
பதில்: நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளைப் பின்வருமாறு முடிவிலாத் தொடர்களாகக் காணலாம்: : \begin{align} \arcsin z & {}= z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots\\ & {}= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)} ; \qquad | z | \le 1 \end{align} : \begin{align} \arccos z & {}= \frac {\pi} {2} - \arcsin z \\ & {}= \frac {\pi} {2} - (z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots ) \\ & {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)} ; \qquad | z | \le 1 \end{align} : \begin{align} \arctan z & {}= z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots \\ & {}= \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1} ; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i \end{align} : \begin{align} \arccot z & {}= \frac {\pi} {2} - \arctan z \\ & {}= \frac {\pi} {2} - ( z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots ) \\ & {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1} ; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i \end{align} : \begin{align} \arcsec z & {}= \arccos {(1/z)} \\ & {}= \frac {\pi} {2} - (z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^{-7}} {7} + \cdots ) \\ & {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{-(2n+1)}} {(2n+1)} ; \qquad \left| z \right| \ge 1 \end{align} : \begin{align} \arccsc z & {}= \arcsin {(1/z)} \\ & {}= z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4 } \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {z^{-7}} {7} +\cdots \\ & {}= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{-(2n+1)}} {2n+1} ; \qquad \left| z \right| \ge 1 \end{align} arctan -க்கு லியோனார்டு ஆய்லர் இதைவிட பயனுள்ளதொரு முடிவிலாத் தொடர் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது: :\arctan z = \frac{z}{1+z^2} \sum_{n=0}^\infty \prod_{k=1}^n \frac{2k z^2}{(2k+1)(1+z^2)}. (இக்கூட்டுதொகையில் ''n''= 0 -ன் உறுப்பு வெற்றுப் பெருக்கல்பலன் (empty product). இதன் மதிப்பு 1.) இதனையே பின்வருமாறு மாற்றி எழுதலாம்: :\arctan z = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{\,2n}\,(n!)^2}{\left(2n+1\right)!} \; \frac{z^{\,2n+1}}{\left(1+z^2\right)^{n+1}}
கேள்வி: நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் - நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளின் வரையறாத் தொகையீடுகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: ''x'' -ன் மெய் மற்றும் சிக்கலெண் மதிப்புகளுக்கு: : \begin{align} \int \arcsin x\,dx &{}= x\,\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C\\ \int \arccos x\,dx &{}= x\,\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C\\ \int \arctan x\,dx &{}= x\,\arctan x - \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C\\ \int \arccot x\,dx &{}= x\,\arccot x + \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C\\ \int \arcsec x\,dx &{}= x\,\arcsec x - \ln\left(x\left(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2}\right)\right) + C\\ \int \arccsc x\,dx &{}= x\,\arccsc x + \ln\left(x\left(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2}\right)\right) + C \end{align} ''x'' ≥ 1 ஆகவுள்ள மெய்மதிப்புகளுக்கு: : \begin{align} \int \arcsec x\,dx &{}= x\,\arcsec x - \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C\\ \int \arccsc x\,dx &{}= x\,\arccsc x + \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C \end{align} இவற்றைப் பகுதி தொகையிடல் மூலம் பெறலாம்.
கேள்வி: நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் - எடுத்துக்காட்டு பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: பகுதி தொகையிடலில்: \int u\,\mathrm{d}v = u v - \int v\,\mathrm{d}u, : \begin{align} u &{}=&\arcsin x &\quad\quad\mathrm{d}v = \mathrm{d}x\\ \mathrm{d}u &{}=&\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}&\quad\quad{}v = x \end{align} :\int \arcsin(x)\,\mathrm{d}x = x \arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x தொகையிடலின் பிரதியிடல் முறையைப் பயன்படுத்த: : k = 1 - x^2.\, : \mathrm{d}k = -2x\,\mathrm{d}x :\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d}k}{\sqrt{k}} = -\sqrt{k} ''x'' -க்கு மீண்டும் பிரதியிட: :\int \arcsin(x)\, \mathrm{d}x = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2}+C
கேள்வி: நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் - எடுத்துக்காட்டு பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: :\theta = \arcsin x = -i \ln \left(ix + \sqrt{1-x^2}\right) \, -ஐப் பின்வருமாறு கணித நிறுவல். :\arcsin x = \theta \, :\frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} = x (சைன் சார்பின் அடுக்குக்குறி வரையறை) :k=e^{i\,\theta}. \, என்க: :\frac{k-\frac{1}{k}}{2i} = x :k^2-2\,i\,k\,x-1\,=\,0 :k = ix \pm \sqrt{1-x^2} = e^{i\theta} \, (நேர்ம பகுதி எடுத்துக் கொள்ளப்ப்படுகிறது.) :\theta = \arcsin x = -i \ln \left(ix + \sqrt{1-x^2}\right) \, {| style="text-align:center" |+ சிக்கலெண் தளத்தில் நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் |படிமம்:Complex arcsin.jpg |படிமம்:Complex arccos.jpg |படிமம்:Complex arctan.jpg |படிமம்:Complex ArcCot.jpg |படிமம்:Complex ArcSec.jpg |படிமம்:Complex ArcCsc.jpg |- | \arcsin(z) | \arccos(z) | \arctan(z) | \arccot(z) | \arcsec(z) | \arccsc(z) |}