கேள்வி: மாறுநிலை எண் (கணிதம்) பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: Image:Stationary vs inflection pts.svg வகை நுண்கணிதம் ஒருஎண்#மெய்யெண்கள் சார்பு மாறுநிலப்புள்ளி (''critical point'') அல்லது மாறுநிலை எண் (''critical number'') என்பது, அச்சார்பின் ஆட்களத்தில் அமையும் ஒரு மதிப்பிற்கு, சார்பு வகையிடத்தக்கதாக இல்லாமலோ அல்லது வகைக்கெழுவின் மதிப்பு பூச்சியம் இருந்தால் ஆட்களத்தின் அம்மதிப்பு மாறுநிலைப் புள்ளி அல்லது மாறுநிலை எண் எனப்படும். மாறுநிலைப் புள்ளியில் சார்பின் மதிப்பு மாறுநிலை மதிப்பு (''critical value'') என அழைக்கப்படும்.
கேள்வி: மாறுநிலை எண் (கணிதம்) - எடுத்துக்காட்டுகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: * சார்பு ''ƒ''(''x'') = ''x''2 + 2''x'' + 3 எங்கும் வகையிடத்தக்கது. இதன் வகைக்கெழு ''ƒ''&prime;(''x'') = 2''x'' + 2. வகைக்கெழுவைப் பூச்சியத்துக்கு சமப்படுத்தக் கிடைக்கும் தீர்வு ''x''0 = &minus;1, இச்சார்பின் ஒரேயொரு மாறுநிலைப் புள்ளியாகும். இப்புள்ளி சார்பின் பெருமம் மற்றும் சிறுமம். ''ƒ'' -ன் மாறுநிலை மதிப்பு, ''ƒ''(&minus;1) = 2. ''ƒ'' -ன் வரைபடம் ஒரு குழிவுப் பரவளைவு. இப்பரவளையத்தின் உச்சி (வடிவவியல்) x அச்சுதூரம் மாறுநிலை எண்ணாகும், y அச்சுதூரம் மாறுநிலை மதிப்பாகும். இப்புள்ளியில் தொடுகோடு கிடைமட்டமாக இருக்கும். * சார்பு ''f''(''x'') = ''x''2/3 ''x'' -ன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. மேலும் ''x'' ≠ 0 -க்கு வகையிடத்தக்கது. வகைக்கெழு ''ƒ''&prime;(''x'') = 2''x''&minus;1/3/3. ''x'' ≠ 0, எனில் ''ƒ''&prime;(''x'') ≠ 0 என்பதால் ''x'' = 0 ஒன்று மட்டும்தான் ''ƒ'' -ன் மாறுநிலைப் புள்ளி. சார்பின் வரைபடம் இப்புள்ளியில் ஒரு கூர் கொண்டதாகவும் நிலைக்குத்தான தொடுகோடு உடையதாகவும் இருக்கும். இப்புள்ளியில் சார்பின் மாறுநிலை மதிப்பு ''ƒ''(0) = 0. * சார்பு ''ƒ''(''x'') = ''x''3 &minus; 3''x'' + 1 எங்கும் வகையிடத்தக்கது. வகைக்கெழு ''ƒ''&prime;(''x'') = 3''x''2 &minus; 3. வகைக்கெழுவைப் பூச்சியத்துக்குச் சமப்படுத்தக் கிடைக்கும் மாறுநிலை எண்கள் ''x'' = &minus;1 மற்றும் ''x'' = 1. அவற்றுக்குரிய மாறுநிலை மதிப்புகள் ''ƒ''(&minus;1) = 3, -இது இடஞ்சார்ந்த பெருமம். ''ƒ''(1) = &minus;1 -இது இடஞ்சார்ந்த சிறுமம். ''ƒ''(2) = 3, இதிலிருந்து 3 எனும் மாறுநிலை மதிப்பு மாறுநில எண் அல்லாத ''x'' = 2 -லும் கிடைக்கும் சாத்தியம் உள்ளதை அறிந்து கொள்ளலாம். வரைபடத்தின் மூலமாக, சார்பின் மாறுநிலைப்புள்ளி (''x'' = &minus;1) -ல் வளைவரைக்கு வரையப்படும் கிடைமட்டத் தொடுகோடு வளைவரையை மீண்டும் ''x'' = 2 புள்ளியில் வெட்டுவதைக் காணலாம்.
கேள்வி: மாறுநிலை எண் (கணிதம்) - பலமாறிச் சார்புகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: இப்பிரிவில் சார்புகளை அனைத்து உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்களும் கொண்ட சார்புகளாக எடுத்துக் கொள்ளலாம். பல மெய்மாறிகளில் அமைந்த அத்தகைய சார்பின் மாறுநிலைப் புள்ளியில் சார்பின் அனைத்து பகுதி வகைக்கெழுக்களும் பூச்சியமாகும். பன்மடிவெளியில் அமைந்த சார்பின் மாறுநிலைப் புள்ளியில் அச்சார்பின் வகையீடு (கணிதம்) பூச்சியமாகும்.