கேள்வி: சமபக்க முக்கோணி என்பது என்ன?
பதில்: {{Infobox polygon | name = சமபக்க முக்கோணி | image = Triangle.Equilateral.svg | type = பல்கோணம் | edges = 3 | schläfli = {3} | coxeter = | symmetry = | area = \tfrac{\sqrt{3}}{4} a^2 | angle = 60°}} சமபக்க முக்கோணி அல்லது சமபக்க முக்கோணம் (''Equilateral Triangle'') என்பது மூன்று பக்கங்களும் சமமாக உள்ள முக்கோணம் ஆகும்.[http://www.authorstream.com/Presentation/vraj-1210115/ வடிவங்கள்] எந்தவொரு முக்கோணியினதும் அகக்கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையானது 180° ஆக இருக்கும்.[http://www.mathsisfun.com/triangle.html முக்கோணிகள் ] ஆகவே, எந்தவொரு சமபக்க முக்கோணத்தின் அகக்கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையும் 180° ஆகவே இருக்கும். சமபக்க முக்கோணியொன்றின் அகக்கோணமொன்று 60° ஆகவும் புறக்கோணமொன்று 120° ஆகவும் இருக்கும்.[http://mathworld.wolfram.com/EquilateralTriangle.html சமபக்க முக்கோணி ]
கேள்வி: சமபக்க முக்கோணி - முதன்மை இயல்புகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: File:Equilateral-triangle-heights.svg * சமபக்க முக்கோணத்தின் பரப்பளவு A=\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 ஆகும்.[http://www.mathwords.com/a/area_equilateral_triangle.htm சமபக்க முக்கோணமொன்றின் பரப்பளவு ] * சமபக்க முக்கோணத்தின் சுற்றளவு p = 3a ஆகும்.[http://www.ajdesigner.com/phptriangle/equilateral_triangle_perimeter_p.php முக்கோணச் சமன்பாடுகள் சூத்திரங்கள் கணிப்பான் ] * சமபக்க முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தின் ஆரை R=\frac{\sqrt{3}}{3} a ஆகும். * சமபக்க முக்கோணத்தின் முக்கோணத்தின் உள்வட்டமும் வெளிவட்டங்களும் ஆரை r=\frac{\sqrt{3}}{6} a ஆகும். * சமபக்க முக்கோணத்தின் மையமே அதனுடைய உள்வட்டம் (முக்கோணம்), சுற்றுவட்டம் என்பனவற்றின் மையமாக இருக்கும். * எந்தப் பக்கத்திலிருந்தும் சமபக்க முக்கோணத்தின் செங்குத்துயரம் h=\frac{\sqrt{3}}{2} a ஆகும்.[http://www.vitutor.com/geometry/plane/equilateral_triangle.html சமபக்க முக்கோணிகள் ] சமபக்க முக்கோணத்தின் உயரத்தின் மூலமாக மேலுள்ள வாய்ப்பாடுகள்: * சமபக்க முக்கோணத்தின் பரப்பளவு A=\frac{h^2}{\sqrt{3}} * சமபக்க முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களிலிருந்தும் அதன் மையத்தின் உயரம் \frac{h}{3} * சுற்றுவட்ட ஆரம் R=\frac{2h}{3} * உள்வட்ட ஆரம் r=\frac{h}{3} ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் குத்துக்கோடு (முக்கோணம்), பக்கங்களின் நடுக்குத்துக்கோடுகள், கோண இருசமவெட்டிகள், நடுக்கோடு (வடிவவியல்) ஒன்றோடொன்று பொருந்தும்.
கேள்வி: சமபக்க முக்கோணி - பண்புருக்கள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: ஒரு முக்கோணத்தில் வழமையான குறியீடுகள்: முக்கோணம் ''ABC'' இன் பக்கங்கள் ''a'', ''b'', ''c'', அரைச்சுற்றளவு ''s'', பரப்பளவு ''T'', முக்கோணத்தின் உள்வட்டமும் வெளிவட்டங்களும் ''ra'', ''rb'', ''rc'', சுற்றுவட்டம் ''R'' , உள்வட்ட ஆரம் ''r'' . கீழே தரப்பட்டுள்ள ஒன்பது வகைகளில் ஏதேனும் ஒன்று உண்மையாக ‘இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே’, ஒரு முக்கோணம் சமபக்க முக்கோணமாக இருக்கும். எனவே இவை ஒவ்வொன்றும் சமபக்க முக்கோணத்தின் தனிப்பட்ட பண்புகளாகும்.
கேள்வி: சமபக்க முக்கோணி - பக்கங்கள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: *\displaystyle a=b=c *\displaystyle a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca *\displaystyle abc=(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)Pohoata, Cosmin, "A new proof of Euler's inradius - circumrdius inequality", ''Gazeta Matematica Seria B'', no. 3, 2010, pp. 121-123, [http://rms.unibuc.ro/gazeta/gmb/2010/3/articol.pdf]. *\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{\sqrt{25Rr-2r^2}}{4Rr} M. Bencze, Hui-Hua Wu and Shan-He Wu, "An equivalent form of fundamental triangle inequality and its applications", ''Research Group in Mathematical Inequalities and Applications'', Volume 11, Issue 1, 2008, [http://rgmia.org/papers/v11n1/equivalent.pdf]
கேள்வி: சமபக்க முக்கோணி - அரைச்சுற்றளவு குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: *\displaystyle s=2R+(3\sqrt{3}-4)rG. Dospinescu, M. Lascu, C. Pohoata & M. Letiva, "An elementary proof of Blundon's inequality", ''Journal of inequalities in pure and applied mathematics'', vol. 9, iss. 4, 2008, [http://www.emis.de/journals/JIPAM/images/220_08_JIPAM/220_08_www.pdf] *\displaystyle s^2=3r^2+12Rr Blundon, W. J., "On Certain Polynomials Associated with the Triangle", ''Mathematics Magazine'', Vol. 36, No. 4 (Sep., 1963), pp. 247-248. *\displaystyle s^2=3\sqrt{3}T Alsina, Claudi & Nelsen, Roger B., ''When less is more. Visualizing basic inequalities'', Mathematical Association of America, 2009, pp. 71, 155. *\displaystyle s=3\sqrt{3}r *\displaystyle s=\frac{3\sqrt{3}}{2}R
கேள்வி: சமபக்க முக்கோணி - கோணங்கள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: *\displaystyle A=B=C=60^\circ *\displaystyle \cos{A}+\cos{B}+\cos{C}=\frac{3}{2} *\displaystyle \sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C}{2}}=\frac{1}{8}
கேள்வி: சமபக்க முக்கோணி - பரப்பளவு பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: *\displaystyle A=\frac{a^2+b^2+c^2}{4\sqrt{3}}Cam McLeman & Andrei Ismail, "Weizenbock's inequality", PlanetMath, [http://planetmath.org/encyclopedia/WeizenbocksInequality.html] . *\displaystyle A=\frac{\sqrt{3}}{4}(abc)^{^{\frac{2}{3}}}
கேள்வி: சமபக்க முக்கோணி - சுற்றுவட்ட ஆரம், உள்வட்ட ஆரம், வெளிவட்ட ஆரங்கள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: *\displaystyle R=2r *\displaystyle 9R^2=a^2+b^2+c^2 *\displaystyle r=\frac{r_a+r_b+r_c}{9} *\displaystyle r_a=r_b=r_c
கேள்வி: சமபக்க முக்கோணி - நடுக்கோடுகளின் பிரிப்பால் உண்டாகும் ஆறு முக்கோணங்கள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று நடுக்கோடுகளும் அம்முக்கோணத்தை ஆறு சிறு முக்கோணங்களாகக் பிரிக்கின்றன. *இந்த ஆறு சிறு முக்கோணங்களில் எவையேனும் மூன்று முக்கோணங்கள் ஒரேயளவு சுற்றளவு அல்லது ஒரேயளவு உள்வட்ட ஆரம் கொண்டிருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட முக்கோணம் சமபக்க முக்கோணமாக இருக்கும்.[http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200413.pdf Cˇerin, Zvonko, "The vertex-midpoint-centroid triangles", ''Forum Geometricorum'' 4, 2004: pp. 97–109.] *இந்த ஆறு சிறு முக்கோணங்களில் எவையேனும் மூன்று முக்கோணங்களின் சுற்றுவட்ட மையங்கள் மூல முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டுச் சந்தியிலிருந்து சம தூரத்தில் ‘இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே’, எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட முக்கோணம் சமபக்க முக்கோணமாக இருக்கும்.
கேள்வி: சமபக்க முக்கோணி - தேற்றங்கள் என்பது என்ன?
பதில்: மோர்லியின் முச்சமவெட்டித் தேற்றம்: :ஒரு முக்கோணத்தின் கோண முச்சமவெட்டிகள் சந்திக்கும் புள்ளிகள் ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தை அமைக்கின்றன. நெப்போலியன் தேற்றம்: ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் மீது உட்புறமாகவோ அல்லது வெளிப்புறமாகவோ வரையப்படும் சமபக்க முக்கோணங்களின் மையங்கள் ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தை அமைக்கின்றன. சமச்சுற்றளவுச் சமனிலி: முக்கோணங்களுக்கான சமச்சுற்றளவுச் சமனிலியின்படி, சமச்சுற்றளவு கொண்ட முக்கோணங்களுக்கும் அதிகபட்ச பரப்பளவுள்ள முக்கோணம் சமபக்க முக்கோணமாகும். விவியானியின் தேற்றம்: ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் உட்புறமுள்ள ஒரு புள்ளி ''P'' யிலிருந்து அம்முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் தூரங்கள் ''d'', ''e'', ''f'' எனில்: :: ''d'' + ''e'' + ''f'' = முக்கோணத்தின் செங்குத்துயரம்Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T., ''Challenging Problems in Geometry'', Dover Publ., 1996. இம்முடிவு சமபக்க முக்கோணத்தின் உட்புறத்தேயுள்ள எல்லாப்புள்ளிகளுக்கும் பொருந்தும். பாம்ப்பெயூவின் தேற்றம்: சமபக்க முக்கோணம் ''ABC'' இன் தளத்திலமையும் புள்ளி ''P'' எனில், ''PA'', ''PB'', ''PC'' நீளமுள்ள பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு முக்கோணம் இருக்கும்.
கேள்வி: சமபக்க முக்கோணி - பிற பண்புகள் என்பது என்ன?
பதில்: வடிவவியலில் ஆய்லரின் தேற்றம், சுற்றுவட்ட ஆரத்திற்கும் உள்வட்ட ஆரத்திற்குமான விகிதம் ''R''/''r'' ஆனது எல்லா முக்கோணங்களையும்விட சமபக்க முக்கோணத்தில்தான் மிகச்சிறியதாக இருக்கும். சமபக்க முக்கோணத்தில் ''R''/''r'' = 2 ஆகும்.Dragutin Svrtan and Darko Veljan, "Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities", ''Forum Geometricorum'' 12 (2012), 197–209. http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201217index.html ஒரு வட்டம் வரையப்படும் முக்கோணங்களில் அதிகபட்ச பரப்பளவுள்ள முக்கோணமானது ஒரு சமபக்க முக்கோணம். அதேபோல, ஒரு வட்டத்தைத் தொட்டவாறு வெளிப்புறமாக வரையப்படும் முக்கோணங்களில் குறைந்தபட்ச பரப்பளவுள்ள முக்கோணமானது ஒரு சமபக்க முக்கோணம்.Dorrie, Heinrich, ''100 Great Problems of Elementary Mathematics'', Dover Publ., 1965: 379-380. வேறெந்த அசமபக்க முக்கோணங்களையும் விட, ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் உள்வட்டத்தின் பரப்புக்கும் அம்முக்கோணத்தின் பரப்புக்கும் உள்ள விகிதம் \frac{\pi}{3\sqrt{3}} இன் மதிப்பு மிக அதிகபட்சமானதாக இருக்கும்.Minda, D., and Phelps, S., "Triangles, ellipses, and cubic polynomials", ''American Mathematical Monthly'' 115, October 2008, 679-689: Theorem 4.1. வேறெந்த முக்கோணங்களையும்விட ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தில் அதன் பரப்பிற்கும் சுற்றளவின் வர்க்கம் (கணிதம்) விகிதம் \frac{1}{12\sqrt{3}}, மிகப் பெரியதாக இருக்கும்.Chakerian, G. D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in ''Mathematical Plums'' (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147. சமச் சுற்றளவுகளும், ''A''1 , ''A''2 பரப்பளவுகளும் கொண்ட இரு பகுதிகளாக ஒரு சமபக்க முக்கோணம் பிரிக்கப்பட்டால் கீழுள்ள முடிவு உண்மையாகும்''Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum”'', [http://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf].: :\frac{7}{9} \leq \frac{A_1}{A_2} \leq \frac{9}{7}. சிக்கலெண் தளத்தில் வரையப்பட்ட ஒரு முக்கோணத்தின் உச்சிகள் ''z''1, ''z''2, ''z''3; மெய்யெண் அல்லாத ஒன்றின் படிமூலம்#ஒன்றின் பிற படிமூலங்கள் \omega. கீழுள்ள முடிவு உண்மையாக ‘இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே’ அந்த முக்கோணம் சமபக்க முக்கோணமாக இருக்கும்.Dao Thanh Oai (2015), "Equilateral triangles and Kiepert perspectors in complex numbers", ''Forum Geometricorum'' 15, 105--114. http://forumgeom.fau.edu/FG2015volume15/FG201509index.html :z_1+\omega z_2+\omega^2 z_3 =0. ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் உட்புறமுள்ள ஒரு புள்ளி ''P'' எனில், இப்புள்ளிக்கும் சமபக்க முக்கோணத்தின் உச்சிகளுக்கும் இடைப்பட்ட தூரங்களின் கூடுதலுக்கும், பக்கங்களிலிருந்து இப்புள்ளியின் தூரங்களின் கூடுதலுக்கும் உள்ள விகிதத்தின் அளவு 2 ஆகும். வேறெந்த முக்கோணத்திலும் விட சமபக்க முக்கோணத்தில் இந்த அளவு மிகக் குறைந்த அளவாகும். ''ABC'' முக்கோணத்தின் தளத்திலமைந்த ஒரு புள்ளி ''P''. முக்கோணத்தின் உச்சிகள் ''A'' ''B'' ''C'' லிருந்து இப்புள்ளிக்குள்ள தூரங்கள் முறையே ''p'', ''q'', ''t'' எனில்,De, Prithwijit, "Curious properties of the circumcircle and incircle of an equilateral triangle," ''Mathematical Spectrum'' 41(1), 2008-2009, 32-35. :\displaystyle 3(p^{4}+q^{4}+t^{4}+a^{4})=(p^{2}+q^{2}+t^{2}+a^{2})^{2}. ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் உள்வட்டத்தின் மேலமையும் புள்ளி ''P'' ; இப்புள்ளிக்கும் சமபக்க முக்கோணத்தின் உச்சிக்கும் இடைப்பட்ட தொலைவுகள் ''p'', ''q'', ''t'' எனில்: :\displaystyle 4(p^{2}+q^{2}+t^{2})=5a^{2} :\displaystyle 16(p^{4}+q^{4}+t^{4})=11a^{4}. சமபக்க முக்கோணம் ''ABC'' இன் சுற்றுவட்டத்தின் சிறுவில்லான ''BC'' இன் மேலமையும் புள்ளி ''P'' ; முக்கோணத்தின் உச்சிகள் ''A'' ''B'' ''C'' லிருந்து இப்புள்ளிக்குள்ள தூரங்கள் முறையே ''p'', ''q'', ''t'' எனில்: :\displaystyle p=q+t :\displaystyle q^{2}+qt+t^{2}=a^{2} ; மேலும் சமபக்க முக்கோணத்தின் BC பக்கத்தின் மீதமையும் புள்ளி D ஆனது, PD = ''y'', DA = ''z'' என்றவாறு PA ஐப் பிரிக்குமானால்: :z= \frac{t^{2}+tq+q^2}{t+q}, :\tfrac{t^{3}-q^{3}}{t^{2}-q^{2}} (''t'' ≠ ''q'' எனில்) :\frac{1}{q}+\frac{1}{t}=\frac{1}{y}, சமபக்க முக்கோணமாக ’இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே’, சமக்குறிக்கு உண்மையாகும் பல முக்கோணச் சமனிலிகளின் பட்டியல் உள்ளன. சமபக்க முக்கோணம், அதிகபட்ச சமச்சீர் கொண்ட முக்கோணமாகும். சமபக்க முக்கோணத்திற்கு அதன் மையத்தைப் பொறுத்து, மூன்று எதிரொளிப்பு அச்சுகளும், மூன்று சுழற்சி அச்சுகளும் உள்ளன. சமபக்க முக்கோணத்தின் சமச்சீர் குலம் வரிசை ஆறு கொண்ட ஒரு இருமுகக் குலமாகும் (''D''3). முக்கோணங்களிலேயே, சமபக்க முக்கோணங்களுக்கு மட்டுமே அதன் ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டம் ஒரு வட்டமாகும், அதாவது அதன் உள்வட்டமாகும். Image:Viervlak-frame.jpg பல வெவ்வேறு வடிவவியல் அமைவுகளில் சமபக்க முக்கோணங்கள் காணப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக ஒரு ஒழுங்கு நான்முகியானது நான்கு சமபக்க முக்கோணங்களால் உருவானதாகும்.
கேள்வி: சமபக்க முக்கோணி - அமைப்பு பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: கவராயத்தையும் நேர்விளிம்பையும் மட்டும் பயன்படுத்திச் சமபக்க முக்கோணியை வரைய முடியும். File:Equilateral_Triangle_Inscribed_in_a_Circle.gif
கேள்வி: சமபக்க முக்கோணி - பரப்பளவு வாய்ப்பாடு காணல் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: சமபக்க முக்கோணத்தின் பரப்பளவு காணும் வாய்ப்பாட்டை (A= \frac{\sqrt{3}}{4}a^2) பித்தேகோரசு தேற்றம் பயன்படுத்தி அல்லது முக்கோணவியல் மூலம் காணலாம்.
கேள்வி: சமபக்க முக்கோணி - பித்தாகரசு தேற்றம் பயன்படுத்தல் என்பது என்ன?
பதில்: பொதுவாக ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு காணும் வாய்ப்பாடு: :A = \frac{1}{2} ah., முக்கோணத்தின் அடிப்பக்கம்-''a'' ; உயரம் ''h'' . செங்குத்துயரத்தால் சமபக்க முக்கோணம் இரு சர்வசமம் (வடிவவியல்)#முக்கோணங்களில் சர்வசமம் செங்கோண முக்கோணம் பிரிக்கப்படுகிறது. அவற்றின் ஒரு தாங்கு பக்கத்தின் நீளம் ''a''/2; மற்றொரு தாங்கு பக்கமானது சமபக்க முக்கோணத்தின் செங்குத்துயரம், செம்பக்கம் நீளம் ''a''. பித்தாகரசின் தேற்றப்படி, :\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = a^2 எனவே சமபக்க முக்கோணத்தின் செங்குத்துயரம்: :h = \frac{\sqrt{3}}{2}a. செங்குத்துயரத்தின் மதிப்பை முக்கோணத்தின் பரப்பளவு காணும் வாய்ப்பாட்டில் பதிலிட சமபக்க முக்கோணத்தின் பரப்பளவு: :A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2.
கேள்வி: சமபக்க முக்கோணி - முக்கோணவியலைப் பயன்படுத்தல் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: Image:30-60-90.svg முக்கோணத்தின் பரப்பளவு காணும் வாய்ப்பாடு: முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்கள் ''a'' , ''b'' ; அப்பக்கங்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் ''C'' எனில், :A = \frac{1}{2} ab \sin C. சமபக்க முக்கோணத்தின் ஒரு கோணத்தின் அளவு 60°, பக்க நீளம் ''a'' என்பதால் சமபக்க முக்கோணத்தின் பரப்பளவு: :A = \frac{1}{2} ab \sin 60^\circ. : \sin 60^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}. :A = \frac{1}{2} ab \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}ab = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2