கேள்வி: டி மாவரின் வாய்ப்பாடு பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: கணிதம், டி மாவரின் வாய்ப்பாடு (''de Moivre's formula'') என்பது, :\left(\cos x+i\sin x\right)^n=\cos\left(nx\right)+i\sin\left(nx\right)\, ஆகும். இங்கு ''x'' ஒரு சிக்கலெண் (குறிப்பாக மெய்யெண்), ''n'' ஒரு முழு எண். பிரான்சு கணிதவியலாளர் ''ஆபிரகாம் டி மாவரால்'' அறிமுகப்படுத்தப்பட்டதால் இவ்வாய்ப்பாடு அவரது பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. சிக்கலெண்களையும் முக்கோணவியல் இணைப்பதால் இந்த வாய்ப்பாடு மிகவும் முக்கியம் வாய்ந்ததாக உள்ளது. சில சமயங்களில் cos ''x'' + ''i'' sin ''x'' என்பது சுருக்கமாக cis ''x'' என குறிக்கப்படும். இதன் இடதுபுறத்தை விரித்து, ( ''x'' மெய்யெண் எனக்கொள்க.) இருபுறமும் உள்ள மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகளை சமப்படுத்துவதன் மூலம் cos (''nx'') மற்றும் sin (''nx'') இவற்றுக்கான விரிவுக்கோவைகளைப் பெறாலாம். அக்கோவைகள் cos ''x'' மற்றும் sin ''x'' களால் ஆனவையாக இருக்கும். மேலும் இவ்வாய்ப்பாட்டின் பொதுமைப்படுத்தலைப் பயன்படுத்தி 1 ன் ''n'' ஆம் படி மூலங்களைக் ( ''n'' th roots of unity) காணலாம். அதாவது, ''zn'' = 1 என்ற சமன்பாடு நிறைவு செய்யும் சிக்கலெண், ''z'' ன் மதிப்புகளைக் காணலாம்.
கேள்வி: டி மாவரின் வாய்ப்பாடு - முழுஎண் அல்லாத அடுக்குகளுக்குப் பொருந்தாமை பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: டி மாவரின் வாய்ப்பாடு, அடுக்குகள் முழுஎண்களாக இல்லாவிட்டால் பொருந்தாது. முழுஎண்ணல்லாத அடுக்குகளையுடைய சிக்கலெண்களுக்கு பல மதிப்புகள் உண்டு. இவ்வாய்ப்பாட்டினைப் பொதுமைப்படுத்தலின் மூலம் \cos\left(nx\right)+i\sin\left(nx\right)\, என்பது \left(\cos x+i\sin x\right)^n\, ன் பல மதிப்புகளுள் ஒன்று என்பதைக் காணலாம். எடுத்துக்காட்டு: ''n''&nbsp;=&nbsp;&frac12; எனில் வாய்ப்பாட்டின்படி, : ''x''&nbsp;=&nbsp;0 எனும்போது 1&frac12;&nbsp;=&nbsp;1, : ''x''&nbsp;=&nbsp;2''π'' எனும்போது 1&frac12;&nbsp;=&nbsp;−1 என இரு மதிப்புகள் கிடைக்கின்றன. கோணங்கள் 0 மற்றும் 2π இரண்டும் ஒன்றுதான் என்றாலும் அவை 1 மற்றும் -1 என்ற இரு வேறுபட்ட மதிப்புகளைத் தருகின்றன. பொதுமைப்படுத்தலும் 1ன் வர்க்கமூலங்கள் 1, -1 என்பதை உறுதிப்படுத்துகின்றது.
கேள்வி: டி மாவரின் வாய்ப்பாடு - ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு மூலம் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி டிமாவரின் வாய்ப்பாட்டை எளிதாக நிறுவலாம். ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு: :e^{ix} = \cos x + i\sin x\, முழுஎண்களுக்கான அடுக்கேற்ற விதிப்படி, :\left( e^{ix} \right)^n = e^{inx} . மீண்டும் ஆய்லர் வாய்ப்பாட்டின்படி, :e^{i(nx)} = \cos (nx) + i\sin (nx).\, அதாவது, \left(\cos x+i\sin x\right)^n=\cos\left(nx\right)+i\sin\left(nx\right).\,
கேள்வி: டி மாவரின் வாய்ப்பாடு - கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறை என்பது என்ன?
பதில்: டி மாவரின் வாய்ப்பாட்டினை ஒரு இயல் எண் அடுக்கிற்கு கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையில் நிறுவலாம். பின் அதன்மூலம் எல்லா முழு எண் அடுக்குகளுக்கும் நிரூபிக்கலாம். * இயல் எண் அடுக்கிற்கு ''S''(''n''): (\cos x + i \sin x)^n = \cos (nx) + i \sin (nx), n \in \mathbb{Z} கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறைப்படி ''n''&nbsp;>&nbsp;0, விற்கு முதலில் நிறுவலாம். ''S''(1) என்பது தெளிவாக உண்மையென அறியலாம். ''S''(''k'') உண்மையென எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும். அதாவது, :\left(\cos x + i \sin x\right)^k = \cos\left(kx\right) + i \sin\left(kx\right). \, என்பது உண்மை. இப்பொழுது ''S''(''k''+1): : \begin{alignat}{2} \left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1} & = \left(\cos x+i\sin x\right)^{k} \left(\cos x+i\sin x\right)\\ & = \left[\cos\left(kx\right) + i\sin\left(kx\right)\right] \left(\cos x+i\sin x\right) &&\qquad \text{by the induction hypothesis}\\ & = \cos \left(kx\right) \cos x - \sin \left(kx\right) \sin x + i \left[\cos \left(kx\right) \sin x + \sin \left(kx\right) \cos x\right]\\ & = \cos \left[ \left(k+1\right) x \right] + i\sin \left[ \left(k+1\right) x \right] &&\qquad \text{by the trigonometric identities} \end{alignat} அதாவது ''S''(''k'') யிலிருந்து ''S''(''k''+1) கிடைக்கப்பெறுகிறது. எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதலின் கொள்கையின்படி ''S''(''n'') அனைத்து இயல் எண் அடுக்குகளுக்கும் உண்மையாகும். * பூச்சிய அடுக்கு ''S''(0): cos&nbsp;(0''x'')&nbsp;+&nbsp;''i''&nbsp;sin(0''x'')&nbsp;=&nbsp;1&nbsp;+''i''&nbsp;0&nbsp;=&nbsp;1, இது உண்மை என்பது தெளிவு. # எதிர்ம முழு எண் அடுக்கு அடுக்கு, ஒரு எதிர்ம முழுஎண்ணாக இருக்கும்போது அதனை, -''n'' என எடுத்துக் கொண்டு இவ்வாய்ப்பாட்டை நிறுவலாம். இங்கு ''n'' ஒரு இயல் எண். : \begin{align} \left(\cos x + i\sin x\right)^{-n} & = \left[ \left(\cos x + i\sin x\right)^n \right]^{-1} \\ & = \left[\cos (nx) + i\sin (nx)\right]^{-1} \\ & = \cos(-nx) + i\sin (-nx). \qquad (*) \\ \end{align} சமன்பாடு (*), z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}, (''z'' = cos ''nx'' + ''i'' sin ''nx'') என்ற முற்றொருமைச் சமன்பாட்டின் விளைவாகும். எனவே ''S''(''n''), ''n'' இன் அனைத்து முழுஎண் மதிப்புகளுக்கும் உண்மையாகும்.
கேள்வி: டி மாவரின் வாய்ப்பாடு - கொசைன் மற்றும் சைன் வாய்ப்பாடுகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: டி மாவரின் வாய்ப்பாட்டின் இருபுறங்களிலும் உள்ள சிக்கலெண்களின் மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகளைச் சமப்படுத்தி கோசைன் (முக்கோணவியல்), சைன் (முக்கோணவியல்) வாய்ப்பாடுகளைக் காணலாம். ''x'', cos&nbsp;''x'' மற்றும் sin&nbsp;''x'', மெய்யெண்கள் எனில், :\begin{alignat}2 \cos(nx)&=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}{\tbinom{n}{2k}}(-1)^k(\cos{x})^{n-2k}(\sin{x})^{2k}& &=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}{\tbinom{n}{2k}}(\cos{x})^{n-2k}((\cos{x})^2-1)^k\\ \sin(nx)&=\sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}{\tbinom{n}{2k+1}}(-1)^k(\cos{x})^{n-2k-1}(\sin{x})^{2k+1}& &=(\sin{x})\sum_{k=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}{\tbinom{n}{2k+1}}(\cos{x})^{n-2k-1}((\cos{x})^2-1)^k. \end{alignat} இவை ''x'' சிக்கலெண்ணாக இருந்தாலும் பொருந்தும். குறிப்பாக, ''n''&nbsp;=&nbsp;2 , ''n''&nbsp;=&nbsp;3: :\begin{alignat}2 \cos(2x) &= (\cos{x})^2 +((\cos{x})^2-1) &&= 2(\cos{x})^2-1\\ \sin(2x) &= 2(\sin{x})(\cos{x})\\ \cos(3x) &= (\cos{x})^3 +3\cos{x}((\cos{x})^2-1) &&= 4(\cos{x})^3-3\cos{x}\\ \sin(3x) &= 3(\cos{x})^2(\sin{x})-(\sin{x})^3 &&= 3\sin{x}-4(\sin{x})^3.\\ \end{alignat}
கேள்வி: டி மாவரின் வாய்ப்பாடு - பொதுமைப்படுத்தல் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: ''z'' மற்றும் ''w'' சிக்கலெண்களெனில் :\left(\cos z + i\sin z\right)^w, ஒரு பன்மதிப்புச் சார்பு. ஆனால் :\cos (wz) + i \sin (wz)\, அப்படியானதல்ல.எனவே \cos\left(wz\right)+i\sin\left(wz\right).\, என்பது \left(\cos z+i\sin z\right)^w\, ன் பல மதிப்புகளுள் ஒன்றாகும்.
கேள்வி: டி மாவரின் வாய்ப்பாடு - பயன்பாடுகள் என்பது என்ன?
பதில்: இவ்வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி ஒரு சிக்கலெண்னின் ''n'' ஆம் படி மூலங்களைக் காணலாம். ''z'' என்ற சிக்கலெண் போலார் வடிவில் தரப்பட்டுள்ளது. : z=r\left(\cos x+i\sin x\right),\, : z^{1/n} = \left[ r\left( \cos x+i\sin x \right) \right]^{1/n} = r^{1/n} \left[ \cos \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) + i\sin \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) \right] (''k'' ஒரு முழுஎண்) ''k'' க்கு 0 விலிருந்து n-1 வரையிலான மதிப்புகளை அளித்து ''z'' ன் ''n'' மூலங்களையும் பெறலாம். பகுப்பு:சிக்கலெண் பகுவியல் பகுப்பு:முக்கோணவியல்