கேள்வி: திசையிலி முப்பெருக்கம் - வடிவவியல் விளக்கம் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: மூன்று திசையன்களின் திசையிலி முப்பெருக்கத்தின் தனிமதிப்பு அம்மூன்று திசையன்களால் அமையும் இணைகரத்திண்மம் கனஅளவு.
கேள்வி: திசையிலி முப்பெருக்கம் - விளக்கம் என்பது என்ன?
பதில்: Image:Parallelepiped volume.svg திசையன்கள் a = (''a''1, ''a''2, ''a''3), b = (''b''1, ''b''2, ''b''3) மற்றும் c = (''c''1, ''c''2, ''c''3) ஆகிய மூன்றையும் ஒரு முனை விளிம்புகளாகக் கொண்டு அமையும் இணைகரத்திண்மத்தின் கனஅளவு, இம்மூன்று திசையன்களின் திசையிலி முப்பெருக்கம் a&nbsp;·&nbsp;(b&nbsp;×&nbsp;c) -ன் தனிமதிப்பாகும்: :V = |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})| = |\mathbf{b} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{a})| = |\mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b})| b மற்றும் c -இரண்டையும் இணைகரத்திண்மத்தின் அடிப்பக்க இணைகரம் அடுத்துள்ள விளிம்புகளாகக் கொண்டால், குறுக்குப் பெருக்கல் வடிவவியல் விளக்கத்தின்படி: :''A'' = |b| |c| sin ''θ'' = |b&nbsp;×&nbsp;c|, இங்கு ''θ'' , b மற்றும் c -இவற்றுக்கு இடையே உள்ள கோணம். இணைகரத்திண்மத்தின் உயரம்: :''h'' = |a| cos ''α'', இங்கு ''α'' , a மற்றும் ''h'' -இவற்றுக்கு இடையே உள்ள உட்கோணம். படத்திலிருந்து கோணம் α -ன் மதிப்பு: 0°&nbsp;≤&nbsp;''α''&nbsp; V = \left| a . (b \times c) \right|.
கேள்வி: திசையிலி முப்பெருக்கம் - பண்புகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: *பின்வரும் திசையிலி முப்பெருக்கங்கள் மூன்றுமே a ,b ,c திசையன்களின் திசையிலி முப்பெருக்கத்தைத் தரும் சமான வடிவங்களாகும்: : \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})= \mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})= \mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) *குறுக்குப் பெருக்கல் காணும் இரு திசையன்களின் வரிசை மாற்றப்பட்டால் திசையிலி முப்பெருக்கத்தின் குறி எதிர்மமாக மாறிவிடும்: : \mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})=-\mathbf{c}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{a}) . *திசையிலி முப்பெருக்கத்தை அதன் மூன்று திசையன்களை நிரையாகவோ அல்லது நிரலாகவோ கொண்ட (ஒரு அணி மற்றும் அதன் நிரல் மாற்று அணி இரண்டின் அணிக்கோவை மதிப்புகளும் சமம்.) 3&nbsp;×&nbsp;3 அணியின் அணிக்கோவை மதிப்பாகவும் கொள்ளலாம்: :\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = \det \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{bmatrix}. *திசையிலி முப்பெருக்கத்தின் மதிப்பு பூச்சியம் எனில் திசையன்கள் a, b, மற்றும் c மூன்றும் ஒரேதளஅமைவு. ஏனெனில் இம்மூன்று திசையன்களைக் கொண்டு அமையும் இணைகரத்திண்மத்தின் கன அளவின் மதிப்பு பூச்சியம் என்றால் அத்திண்மம் தட்டையானதாக அமையும். எனவே இந்நிலையில் இம்மூன்று திசையன்களும் ஒரே தளத்தில் அமைகின்றன. *: [\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})] \mathbf{a}=(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times (\mathbf{a}\times \mathbf{c})