கேள்வி: தன்மைகாட்டி பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: இயற்கணிதம், ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை தன்மைகாட்டி (''discriminant'') என்பது, அப்பல்லுறுப்புக்கோவையின் உறுப்புகளின் மூலங்களின் தன்மையை விளக்கும் கோவையாகும். எடுத்துக்காட்டாக, :ax^2+bx+c\, என்ற இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையின் தன்மைகாட்டி: :\Delta = \,b^2-4ac ஆகும். இந்த இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு, Δ > 0 எனில், இரண்டு எண்#மெய்யெண் மூலங்கள் உண்டு; Δ = 0 எனில், ஒரு மெய்யெண் மூலம் உண்டு; Δ ax^3+bx^2+cx+d\, என்ற முப்படி பல்லுறுப்புக்கோவையின் தன்மைகாட்டி: :\,b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd. ஆகும். பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் அடுக்குகள் அதிகமாக அதிகமாக, தன்மைகாட்டிகளின் நீளமும் அதிகமாகும். நாற்படி பல்லுறுப்புக் கோவையின் தன்மைகாட்டியில் 16 உறுப்புகளும், [http://books.google.com/books?id=ucpk6oO5GN0C&pg=PA180 Chapter 10 page 180] ஐம்படி பல்லுறுப்புக்கோவையின் தன்மைகாட்டியில் 59 உறுப்புகளும் , [http://blms.oxfordjournals.org/cgi/pdf_extract/28/1/96 Preview page 1] மற்றும் ஆறுபடி பல்லுறுப்புக்கோவையின் தன்மைகாட்டியில் 246 உறுப்புகளும் இருக்கும்., [http://books.google.com/books?id=rSs-pQNrO_YC&pg=PA26 Chapter 1 page 26] ஒருபல்லுறுப்புக்கோவையின் தன்மைகாட்டி சுழியம் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அக்கோவைக்கு மடங்கு மூலங்கள்(multiple roots) சிக்கலெண்களாக இருக்கும். சிக்கலெண்களால் அமையாத களத்திலுள்ள எண் கெழு கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கும் இக்கருத்து பொருந்தும். இவ்வகைப் பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு ஒரு மடங்கு மூலம், அதன் பிளக்கும் களத்தில் (splitting field) இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அக்கோவையின் தன்மைகாட்டி பூச்சியமாகும்.
கேள்வி: தன்மைகாட்டி - வாய்ப்பாடு -மூலங்கள் வாயிலாக என்பது என்ன?
பதில்: மூலங்களின் வாயிலாகத் தரப்படும் தன்மைகாட்டி: :a_n^{2n-2}\prod_{i இங்கு a_n , முதன்மைக் கெழு. r_1, ..., r_n என்பன கோவையின், பிளக்கும் களத்தில் அமைந்த மூலங்கள்(மடங்கு மூலங்களையும் கருத்தில் கொண்டபின்). தன்மைகாட்டி, மூலங்களின் எளிய சமச்சீர் சார்பு அமைவதால், அதைக் கெழுக்களின் வாயிலாகவும் எழுதலாம்.அத்தகைய வாய்ப்பாடு கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. தன்மைகாட்டியை மூலங்கள் வாயிலாக எழுதுவது, கீழ்வரும் முக்கிய பண்பினைத் தெளிவுபடுத்துகிறது. அதாவது பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு மடங்கு மூலம், இருந்தால் இருந்தால் மட்டுமே, தன்மைகாட்டியின் மதிப்பு பூச்சியமாகும். கோவையைக் காரணிப்படுத்தாமல் அம்மூலத்தைக் காண இயலாது என்பது தன்மைகாட்டியை மூலங்கள் வாயிலாக எழுதுவதால் தெளிவாகிறது. இம்முறையில் மூலங்களைக் கண்டுபிடித்த பின் அவை மடங்கு மூலங்களாக இருக்குமா என்பதையும் கூற முடியும். தன்மைகாட்டியைக் கெழுக்கள் வாயிலாக எழுதும் முறையில் காரணிப்படுத்தாமலேயே அதன் மூலங்களின் தன்மையைக் கூறமுடியும்.
கேள்வி: தன்மைகாட்டி - வாய்ப்பாடு -கெழுக்கள் வாயிலாக பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவை: :\displaystyle ax^2+bx+c இதன் தன்மைகாட்டி: :\Delta=b^2-4ac;\, முப்படி பல்லுறுப்புக்கோவை: :\displaystyle ax^3+bx^2+cx+d இதன் தன்மைகாட்டி: :\Delta=b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd.\, இத்தன்மைகாட்டிகள், கெழுக்களில் அமைந்த சமபடித்தான பல்லுறுப்புக்கோவைகள். இவற்றின் படிகள், முறையே 2, 4. பல்லுறுப்புக்கோவைகள் எளிமையானதாக இருந்தால் அவற்றின் தன்மைகாட்டிகளும் எளிமையான கோவைகளாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டு: * தலையொற்றை பல்லுறுப்புக்கோவை இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவை: :\displaystyle x^2+bx+c இதன் தன்மைகாட்டி: :\Delta=b^2-4c;\, * தலையொற்றை முப்படிக்கோவை: :\displaystyle x^3+bx^2+cx+d இதன் தன்மைகாட்டி: :\Delta=b^2c^2-4c^3-4b^3d-27d^2+18bcd;\, * இருபடி உறுப்பில்லாத, தலையொற்றை முப்படி பல்லுறுப்புக்கோவை: :\displaystyle x^3+px+q இதன் தன்மைகாட்டி: :\Delta=-4p^3-27q^2.\, மூலங்கள் வாயிலாக இத்தன்மைகாட்டிகள் எழுதப்படும்போது, அவை இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு இருபடி சமபடித்தான பல்லுறுப்புக்கோவையாகவும், முப்படி பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு 6 படி கொண்ட சமபடித்தான கோவையாகவும் இருக்கும்.
கேள்வி: தன்மைகாட்டி - மூலங்களின் தன்மை குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: தன்மைகாட்டியானது, பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு மடங்கு மூலங்கள் இருப்பதை மட்டும் தெரிவிப்பதில்லை. அதற்கும் மேல் மூலங்கள் மெய் அல்லது சிக்கலெண்களா, விகிதமுறு அல்லது விகிதமுறா எண்களா என்பதையும் காட்டுகிறது. இன்னும் முறையாகச் சொல்ல வேண்டுமானால், தன்மைகாட்டியானது, பல்லுறுப்புக்கோவை அமையும் களத்திலேயே மூலங்களும் அமைகின்றனவா அல்லது அதை விட நீட்டிக்கப்பட்ட களங்களில் அமைகின்றனவா என்பதைக் காட்டுகிறது. இருபடி மற்றும் முப்படி பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு இக்கருத்தைத் தன்மைகாட்டி மூலமாக தெளிவாகத் தெரிந்து கொள்லலாம். ஆனால் நான்கு மற்றும் அதற்கும் அதிகமான படியுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு இதனைப் பற்றிக் கூறுவது கஷ்டமானது.
கேள்வி: தன்மைகாட்டி - இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவை என்பது என்ன?
பதில்: இருபடி வாய்ப்பாட்டில் ஒரு இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலங்கள், தன்மைகாட்டியின் வர்க்கமூலத்தாலான விகிதமுறு சார்பாக தரப்படுகிறது. எனவே தன்மைகாட்டி ஒரு வர்க்கமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அப்பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலங்கள், அக்கோவையின் கெழுக்கள் அமையும் களத்திலேயே அமையும். * Δ > 0: இரு வெவ்வேறான மெய்யெண் மூலங்கள்; * Δ < 0: இரு வெவ்வேறான சிக்கலெண் மூலங்கள்; * Δ = 0: ஒரு மெய்யெண் மூலம். இதன் மடங்கெண்(multiplicity) 2
கேள்வி: தன்மைகாட்டி - பொதுமைப்படுத்துதல் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: தன்மைகாட்டி என்ற கருத்தானது, ஒருமாறியில் அமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு மட்டுமில்லாமல், * கூம்பு வெட்டுகள்; * இருபடி வடிவங்கள்; * இயற்கணித எண்களும் விஞ்சிய எண்களும் களம் (கணிதம்) போன்ற மற்ற இயற்கணித அமைப்புகளுக்கும் விரிவாக்கப்பட்டுள்ளது. இயற்கணித அமைப்புகளின் தன்மைகாட்டிகள் அவற்றுக்குள்ளேயே நெருக்கமான தொடர்புள்ளவை. மேலும் அவை கிளைத்தலைப்(ramification) பற்றிய விவரங்களைத் தருகின்றன. உண்மையில், வடிவவியல் வகையிலான கிளைத்தல்கள் அதிக அளவில், தன்மைகாட்டிகளோடு தொடர்பு கொண்டிருப்பது, பெரும்பாலான பயன்பாடுகளில் இதை மைய இயற்கணிதக் கருத்தாக ஆக்குகிறது.
கேள்வி: தன்மைகாட்டி - கூம்பு வெட்டின் தன்மைகாட்டி பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: தள வடிவவியலில் கூம்பு வெட்டியைக் குறிக்கும் மெய் மதிப்பு பல்லுறுப்புக்கோவை: :Ax^2+ Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 ,\, இதன் தன்மைகாட்டி:, [http://books.google.com/books?id=75mAJPcAWT8C&pg=PA45 Section 3.2, page 45] :B^2 - 4AC,\, கூம்புவெட்டின் வடிவத்தைத் தீர்மானிக்கிறது. * B^2 - 4AC\, B^2 - 4AC\, = 0, கூம்புவெட்டு ஒரு பரவளையம்; * B^2 - 4AC\, > 0 கூம்புவெட்டு ஒரு அதிபரவளையம். கூம்புவெட்டைக் குறிக்கும் பல்லுறுப்புக்கோவை காரணிகளாகும்போது இந்த வாய்ப்பாடு பொருந்தாது.
கேள்வி: தன்மைகாட்டி - வகையிடக் கூடிய சார்பின் தன்மைகாட்டி பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: வகையீட்டு இடவியல், வகையிடக்கூடிய சார்பு தன்மைகாட்டியானது சார்பு ''f'' -ன் மாறுநிலைப் மதிப்புகளின்(critical values) தொகுப்பிற்குச் சமமானதாகும். எனவே இத்தன்மைகாட்டி, ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் தன்மைகாட்டியுடன் ஓரளவு தொடர்புடையதாகும். எடுத்துக்காட்டு: ''f(x)=ax2+bx+c'' , (''a≠0'') என்ற இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவை மாறுநிலை மதிப்பு: :\frac{-1}{4a}(b^2-4ac). இது கோவையின் தன்மைகாட்டிக்குச் சமமாகும்.