கேள்வி: தொகையீட்டுச் சமன்பாடு என்பது என்ன?
பதில்: கணிதம் தொகையீட்டுச் சமன்பாடு (''integral equation'') என்பது தெரியாத சார்பைத் தொகையீடு குறியீட்டின்கீழ் கொண்ட ஒரு கணிதச் சமன்பாடு வகையீட்டுச் சமன்பாடு தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகளுக்கும் நெருங்கிய தொடர்புள்ளது.
கேள்வி: தொகையீட்டுச் சமன்பாடு - கண்ணோட்டம் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: * மிக அடிப்படையான தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகள் ஃபிரெதோல்ம் சமன்பாடுகள் (Fredholm equation) ஆகும். முதல் வகை : : f(x) = \int \limits_a^b K(x,t)\,\varphi(t)\,dt. இங்கு, :φ -தெரியாத ஒரு சார்பு :''K'' -இருமாறி அமைந்த தெரிந்த சார்பு. இச்சார்பு பெரும்பாலும் ''கெர்னல் சார்பு'' என அழைக்கப்படுகிறது. : தொகையீட்டு எல்லைகள் இரண்டும் மாறிலி இரண்டாம் வகை: இவ்வகையில் தொகையீட்டுக்குறிக்கு உள்ளும் புறமும் தெரியாத சார்புகள் அமையும். : \varphi(x) = f(x)+ \lambda \int \limits_a^b K(x,t)\,\varphi(t)\,dt. இங்கு &lambda; தெரியாத காரணி. * தொகையீட்டின் எல்லைகள் இரண்டும் சார்புகளாக இருந்தால் மேலே தரப்பட்டுள்ள இரு சமன்பாடுகளும் வோல்டரா தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகளின் முதல் மற்றும் இரண்டாம் வகை சமன்பாடுகளாக (Volterra integral equation) மாறும். : f(x) = \int \limits_a^x K(x,t)\,\varphi(t)\,dt : \varphi(x) = f(x) + \lambda \int \limits_a^x K(x,t)\,\varphi(t)\,dt. மேலே தரப்பட்ட நான்கிலும் சார்பு ''f'' பூச்சியத்துக்கு ஒப்பானால் சமன்பாடுகள் ''சமபடித்தான தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகள்'' எனவும் பூச்சியமாக இல்லையெனில் ''சமபடித்தான தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகள்'' எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன.
கேள்வி: தொகையீட்டுச் சமன்பாடு - வகைப்பாடு பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: தொகையீட்டில் எல்லைகள், தெரியாத சார்பு இடம்பெறும் நிலை மற்றும் தெரிந்த சார்பின் தனமை ஆகிய மூன்று கருத்துக்களைக் கொண்டு தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகளை எட்டு வகைச் சமன்பாடுகளாகப் பிரிக்கலாம்: ;தொகையீட்டு எல்லைகள் : இரண்டும் மாறிலிகள்: ஃபிரெதோல்ம் சமன்பாடு : ஒரு மாறி: வோல்டெர்ரா சமன்பாடு ;தெரியாத சார்புகள் அமையும் இடம் : தொகையீட்டுக் குறியீட்டுக்குள்: முதல் வகை : தொகையீட்டுக் குறியீட்டுக்குள்ளும் வெளியிலும்: இரண்டாம் வகை ;தெரிந்த சார்பு ''f'' -ன் தன்மை : பூச்சியம்: சமபடித்தானது : பூச்சியம் அல்ல: அசமபடித்தானது தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகள் மிகவும் முக்கியமான பல பயன்பாடுகள் கொண்டவை. கதிரியக்கச் சக்தி மாற்றல், கம்பி, அச்சு, சவ்வு போன்றவற்றின் அலைவு ஆகியவற்றில் தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகள் பயன்படுகின்றன. அலைவு கணக்குகளுக்கு வகையீட்டுச் சமன்பாடுகள் மூலமாகவும் தீர்வு காணப்படலாம். சார்பு &phi;(x) -ன் நேரியல் தன்மையால், ஃபிரெதோல்ம் மற்றும் வோல்டெர்ரா சமன்பாடுகள் இரண்டுமே நேரியல் சமன்பாடுகள். நேரியலற்ற வோல்டெர்ரா தொகையீட்டுச் சமன்பாட்டின் பொதுவடிவம்: : \varphi(x) = f(x) + \lambda \int \limits_a^x K(x,t)\,F(x, t, \varphi(t))\,dt. , இங்கு தெரியாத சார்பு -F.