கேள்வி: லியோனார்டு ஆய்லர் - வாழ்க்கை குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ஆய்லர் சுவிட்சர்லாந்து உள்ள பாசெல் என்னுமிடத்தில் பவுல் ஆய்லர் என்பவருக்கும், மார்கரீட் புரூக்கர் என்பவருக்கும் மகனாகப் பிறந்தார். தந்தை பவுல் ஆய்லர் சீர்திருத்தத் திருச்சபையைச் சேர்ந்த ஒரு மதகுரு. தாயாரும் ஒரு குருவானவரின் மகளே. லியொனார்டுக்கு இரண்டு தங்கைகள் இருந்தனர். லியொனார்டு பிறந்ததுமே ஆய்லர் குடும்பத்தினர் பாசெல்லிலிருந்து ரீஹென் என்னும் நகருக்கு இடம் பெயர்ந்தனர். லியொனார்டு தனது சிறு பராயத்தின் பெரும் பகுதியை இந்நகரிலேயே கழித்தார். பவுல் ஆய்லர், அக்காலத்தில் ஐரோப்பாவில் பெயர் பெற்ற கணிதவியலாளரான ஜொஹான் பர்னோலி என்பவரின் குடும்பத்துக்கு நண்பராக இருந்தார். இது இளம் லியொனார்டின் கணித ஆர்வத்துக்குப் பெரும் பங்களிப்புச் செய்தது.
கேள்வி: லியோனார்டு ஆய்லர் - கணிதத்துடன் முதல் உரசல் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: சுவிசர்லாந்தில் பிறந்த லியனார்ட் ஆய்லர் படித்த பள்ளியில் கணிதம் பாடமாகவே இல்லை. அதனால் கணிதத்தில் ஆர்வமுடைய இவருடைய தந்தை பால் ஆய்லர் இவரை ஜான் பெர்னோவிலி (1667 – 1748) என்ற ஒரு புகழ் பெற்ற கணிதப் பேராசிரியரிடம் தனி மாணவனாகப் பாடம் கற்றுக் கொள்ள அனுப்பித்தார். ஆனால் பெர்னோவிலி இவரை சனிக்கிழமைகளில் மாத்திரம் வரச்சொல்லி உன் சந்தேகங்களைக் கேட்டுக்கொள் என்று சொல்லிவிட்டார். அதுவே ஆய்லருக்கு ஒரு வரப் பிரசாதமாகியது. ஏனென்றால் கணிதம் கற்றுக் கொள்ள இதைவிட வேறு நல்ல வழி கிடையாது என்று ஆய்லரே பிற்காலத்தில் சொல்லியிருக்கிறர். அவருடைய உழைப்பையும் கத்திமுனை புத்தியையும் பார்த்த இன்னும் இரு பெர்னோவிலிகள்தான் (டேனியல் பெர்னோவிலி, நிக்கொலாஸ் பெர்னோவிலி இருவரும்) இவன் பெரிய கணித மேதையாவான் என்று கண்டுகொண்டு, மதப் படிப்பில் இவரை ஈடுபடுத்த முயன்ற தந்தையின் மனதை மாற்றினார்கள்.
கேள்வி: லியோனார்டு ஆய்லர் - இரு பெரிய அரச வள்ளல்கள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: பிரஷ்யாவின் மன்னர் (1740 – 1786) பிரஷ்யாவின் இரண்டாம் பிரெடெரிக்கும் ருஷ்யாவின் அரசி (1762 -1796) ரஷ்யாவின் முதலாம் காதெரின் கணித உலகத்திற்குச் செய்திருக்கும் சேவை சரித்திரப் பிரசித்தி பெற்றது. பெர்லின் ஜெர்மனி கலைக்கூடமும், சென் பீட்டர்ஸ்பேர்க் ருஷ்யக் கலைக்கூடமும் அக்காலத்தில் ஐரோப்பா முழுவதற்குமே கலை, விஞ்ஞானம் இவைகளுக்குத் தலையாயதாய் இருந்தது. அங்கு வேலை பார்த்த பெரிய விஞ்ஞானிகள் எல்லோரும் அரசுக்கு வேண்டியிருந்த ஆய்வுகளையோ அல்லது ஆசிரியத் தொழிலையோ செய்ததோடு மட்டுமல்லாமல், தம் தமக்குப் பிடித்திருந்த விஞ்ஞான ஆய்வுகளைச் செய்வதில் துடியாய் இருந்தனர். அப்படி இருப்பதற்கே அவர்கள் ஊதியம் பெற்றனர். இப்பேர்ப்பட்ட ஒரு சூழ்நிலையில் தான் ஆய்லர் அந்த இரண்டு கலைக்கூடங்களில் தன் ஆய்வுகளை நடத்தினார்.
கேள்வி: லியோனார்டு ஆய்லர் - ரஷ்யாவில் 13 ஆண்டுகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: படிமம்:Euler-USSR-1957-stamp.jpg 1957 இல் வெளியிட்ட அஞ்சற்தலை]] ஆய்லர் 1727 இல் செய்ண்ட் பீடர்ஸ்பர்க் கலைக்கூடத்தில் உடற்றொழிலியல் பிரிவில் உதவியாளராகப் பணி ஏற்றார். அரசியல் காரணங்களால் வெளி உலகில் மாற்றங்கள் ஏற்பட்டுக் கொண்டிருந்த அச்சமயம் அவர் கணிதப் பிரிவிலேயே பணி ஆற்றுவது கவனிக்கப்படாமலே போயிற்று. 1733 இல் டேனியல் பெர்னோவிலி விட்டுச் சென்றபோது ஆய்லர் இயற்பியல் பேராசிரியர் ஆனார். ஒரு எட்டு ஆண்டுகள் உழைத்து, நிலையியக்கவியலில் (Mechanics) இருபாகம் கொண்ட ஒரு நூல் ('மெக்கானிக்கா')உள்பட, 55 ஆய்வுக் கட்டுரைகள் எழுதினார். இதற்கு நடுவில், அவர் அரசுக்காகச் செய்துகொண்டிருந்த வேலைகள்: •ரஷ்யப் பள்ளிக்கூடங்களுக்கு கீழ் மட்டத்தில் பாட புத்தகங்கள் எழுதுவது; •அரசின் பூகோளத்துறையை மேற்பார்வை பார்ப்பது; •நிறைகளையும் அளவைகளையும் சீர்திருத்துவது; •தராசுகளை தரம் பார்ப்பதற்கு புதுச்செய் முறைகளை உண்டாக்குவது, மற்றும் •கப்பல் துறையிலுள்ள தொழில் நுட்ப விஞ்ஞானப் பிரச்சினைகளைத் தீர்க்க ஆய்வு செய்வது. இத்தனையும் செய்வதில் அவர் ஒருபொழுதும் சளைத்ததே இல்லை. அவருக்கு குழந்தைகள் என்றால் பிடிக்குமாம். அவருக்கே 13 குழந்தைகள் (அவைகளில் ஐந்து தான் வளர்ந்து ஆளானவை). மடியில் ஒரு குழந்தையும் அவரைச் சுற்றி மற்ற குழந்தைகளும் விளையாடிக் கொண்டே இருக்கும்போதே தான் அவர் தன்னுடைய கணித ஆய்வுக் கட்டுரைகள் எழுதுவாராம். 1738 இல் அவருக்கு ஒரு கண் பார்வை போய்விட்டது.
கேள்வி: லியோனார்டு ஆய்லர் - கோனிக்ஸ்பெர்க் பாலங்கள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: 1736 இல் ஆய்லர் மக்களின் கவனத்தை ஈர்த்த ஒரு பிரச்சினையை விளையாட்டுப்போல் எளிதில் விடுவித்தார். அந்த பிரச்சினையும் அதன் நிறுவலில் இருந்த தத்துவமும் மூன்று நூற்றாண்டுகளுக்குப் பிறகு இடவியல், கோலக்கோட்பாடு என்ற இரண்டு தற்காலக் கணிதப் பிரிவுகளுக்கு அடிக்கோலிட்டது. ஒரு ஆறு. அதில் இரண்டு பெரிய தீவுகள். படத்தில் காட்டியபடி ஆற்றின் குறுக்கே ஏழு பாலம். ஏழு பாலங்களையும் ஒரு நடையில் கடக்கவேண்டும். போன பாலத்திலேயே இரண்டாம் முறை போகக்கூடாது. இது முடியுமா? இதுதான் பிரச்சினை. கோனிக்ஸ்பர்க் மக்களுக்கு இது உண்மைப் பிரச்சினை. ஏனென்றால் அவர்கள் ஊரில் தான் இத்தீவுகளும் பாலங்களும். மக்கள் நடந்து நடந்து சோதனை செய்தே அயர்ந்தனர். ஆய்லர் இதை நுண்பியப்படுத்தி கணித முறைத் தர்க்கத்தினால் விடுவித்தார். அவருடைய தீர்ப்பு: ஏழு பாலங்களையும் ஒரு நடையில் கடக்கமுடியாது. ஏன் என்பதற்கு படத்தைப் பார்ப்போம். படிமம்:Konigsberg bridges.png → படிமம்:7 bridges.svg → படிமம்:Königsberg graph.svg ஆய்லர் கணித மரபுப்படி பிரச்சினையிலிருந்த சம்பந்தமில்லாத விஷயங்களை ஒதுக்கிவிட்டு, அதன் அடித்தளத்திலிருந்த உயிர் நாடிப்பிரச்சினையை வெளிக்கொணர்வதற்காக, பாலங்கள் பிரச்சினையை கோலம் மூலமாக எளிதாக்கினார். நிலப்பரப்புகள் ஒவ்வொன்றையும் ஒரு புள்ளியாகவும், பாலங்களை அவைகளை இணைக்கும் கோடுகளாகவும் (அவை நேர் கோடாக இருக்கவேண்டிய தேவையில்லை) செய்ததில் படத்தில் தெரிவதுபோல் ஒரு கோலமாகியது. 4 கோணப்புள்ளிகளும் 7 இணைக்கும் கோடுகளும் உள்ள இந்தக் கோலத்தில், ஒருபுள்ளியிலிருந்து 5 கோடுகளும் மற்ற 3 புள்ளிகளில் ஒவ்வொன்றிலிருந்தும் 3 கோடுகளும் செல்கின்றன. இந்த சூழ்நிலைக்கு ஆய்லர் ஒரு கணிதத் தேற்றத்தையே நிறுவினார். அதாவது, எல்லா கோடுகளையும் கடக்கக்கூடிய ஒரு நடை இருக்க வேண்டுமென்றால், ஒன்று, எந்தப் புள்ளியிலிருந்தும் ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையுள்ள் கோடுகள் செல்லக்கூடாது, அல்லது, இரண்டே புள்ளிகளிலிருந்து ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையுள்ள கோடுகள் செல்லவேண்டும். இந்த கோனிக்ச்பெர்க் பாலப்பிரச்சினையில், 4 புள்ளிகளிலிருந்தும் ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையுள்ள கோடுகள் செல்வதால், நடை சாத்தியமில்லை. இதற்கும் இடவியலுக்கும் என்ன சம்பந்தமென்றால், இந்தப்பிரச்சினையில் புள்ளிகளிலிருந்து செல்லும் கோடுகள் எத்தனை என்ற ஒரே கேள்விதான் பிரச்சினையின் வேர். இந்த வேர் பிரச்சினையில் வேறு வடிவியல் விவகாரம் இல்லை. புள்ளிகளிலிருந்து எத்தனை கோடுகள் செல்கின்றது என்பது கோலத்தை எவ்வளவு கோணலாக்கினாலும் – அதாவது, கோடுகளை நீட்டி, மடக்கி, வளைத்தாலும் – மாறாமலிருக்கும் ஒரு எண். இந்த மாதிரி கருத்துகளைத்தான் இயற்கணித இடவியல் ஆய்வு செய்கிறது.
கேள்வி: லியோனார்டு ஆய்லர் - பெர்லின் கலைக்கூடத்தில் 25 ஆண்டுகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: 1741ம் ஆண்டு பெர்லின் கலைக்கூடத்தில் சேர்ந்தார். இங்கு அவருடைய கணித ஆய்வைத்தவிர அவர் செய்த மற்ற வேலைகள்: •அரசுத்தோட்டங்களின் மேற்பார்வையும் மேம்படுத்தலும்; •பரிசுச்சீட்டுகள் மேற்பார்வை; •நாட்குறிப்புகளும் பூகோள வரைபடங்களும் (இதில் அரசுக்கு வருமானம் உண்டு) •மக்கள்தொகையைப் பற்றிய ஆய்வும், ஆயுள்காப்பு முறைகளும். •நாணய மாற்று முறைகளும், ஓய்வு ஊதியங்களும். 1748, 1755, 1768, 1770 களில் அவர் எழுதிய நுண்கணித நூல்கள் வெளிவந்த அக்கணமே ஐரோப்பா முழுதும் பரவி ஒரு நூற்றாண்டுக்குக் குறையாமல் கணித வல்லுனர்களுக்கு அது கைப்புத்தகமாகத் திகழ்ந்தது. 1744இல் அவர் எழுதிய மாறுபாடுகளின் நுண்கணிதம் (''Calculus of Variations'') அவரை கணிதமேதைகளில் முதல் வகுப்புக்கு ஏற்றியது,
கேள்வி: லியோனார்டு ஆய்லர் - இடவியல் விதை பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: 1640 இலேயே ரெனே டேக்கார்ட் யால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டு, திரும்பவும் ஆய்லரால் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட பின்வரும் ஒரு வாய்பாடு தான் இருபதாவது நூற்றாண்டின் இடவியல் ஒருவிதத்தில் மூல விதையாகியது என்று சொல்வதுண்டு. V - E + F = 2 என்ற இந்த வாய்பாடு ஒரு சாதாரண பன்முகியைப் பற்றியது. V, E, F மூன்றும் முறையே கோண உச்சிகள், விளிம்புகள், முகங்கள் இவைகளுடைய எண்ணிக்கை. இந்த வாய்பாடு அவைகளின் எண்ணிக்கையை மட்டும் கவனிப்பதால், பன்முகியை ரப்பரால் செய்து அதை பலவிதமாகவும் மாற்றி அமைத்தாலும் இவ்வாய்பாட்டில் மாறுதல் ஏற்படாது. கோனிக்ச்பெர்க் பாலப் பிரச்சினையை ஆய்லர் தெளிவாக்கியது போல் இதைத் தெரிந்து கொண்டு தெளிவுபெற்றது தான் இடவியலின் தொடக்கம். புவான்காரெ காலத்தில் ஏற்பட்டது.
கேள்வி: லியோனார்டு ஆய்லர் - இவற்றையும் பார்க்கவும் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: * ஆய்லரின் டோஷண்ட் சார்பு * கணிதத்தின் நிலைப்பிகள் * ஆய்லர் மாறிலி * ஆய்லர் திட்டம்
கேள்வி: லியோனார்டு ஆய்லர் - துணை நூல்கள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: •E.T. Bell. Men of Mathematics. 1937, 1965. Simon & Schuster, New York. •R. Parthasarathy. Paths of Innovators. 2000. East West Books (Madras) Pvt. Ltd., Chennai ISBN 81-8685-40-1 •Richard Courant and Herbert Robbins. What is Mathematics? 1941 O.U.P. New York. pbk * Heinrich Tietze. Famous Problems of Mathematics. 1965 Graylock Press. Baltimore. •V. Krishnamurthy. Culture, Excitement and Relevance of Mathematics. 1990. Wiley Eastern Limited. New Delhi. பகுப்பு:சுவிட்சர்லாந்து கணிதவியலாளர்கள் பகுப்பு:1707 பிறப்புகள் பகுப்பு:1783 இறப்புகள் பகுப்பு:லியோனார்டு ஆய்லர்