கேள்வி: பெருமம் மற்றும் சிறுமம் - பகுமுறை வரையறை பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: எண்#மெய்யெண்கள் கோடுமீது வரையறை ஒரு மெய்மதிப்புச் சார்பு ''f'' -க்கு ''x''&lowast; என்ற புள்ளி, இடஞ்சார்ந்த பெருமப்புள்ளி எனில், ஏதேனும் ஒரு சிறு மதிப்பு &epsilon; > 0 , |''x'' − ''x''&lowast;| &lowast;) &ge; ''f''(''x'') ஆக அமையும். இப்புள்ளியில் சார்பு அடையும் மதிப்பு அச்சார்பின் இடஞ்சார்ந்த பெரும மதிப்பு அல்லது பெருமம் எனப்படுகிறது. இதேபோல் ''x''&lowast; என்ற புள்ளி இடஞ்சார்ந்த சிறுமப்புள்ளி எனில், |''x'' − ''x''&lowast;| &lowast;) &le; ''f''(''x'') -ஆக இருக்கும். இப்புள்ளியில் சார்பு அடையும் மதிப்பு அச்சார்பின் இடஞ்சார்ந்த சிறும மதிப்பு அல்லது சிறுமம் எனப்படுகிறது. ''x''&lowast; என்ற புள்ளி சார்பின் மீப்பெரு பெருமப் புள்ளியாக இருக்க அனைத்து ''x'' மதிப்பிற்கும் :''f''(''x''&lowast;) &ge; ''f''(''x'') ஆக இருக்க வேண்டும். இதேபோல் ''x''&lowast; என்ற புள்ளி சார்பின் மீச்சிறு சிறுமப் புள்ளியாக இருக்க அனைத்து ''x'' மதிப்பிற்கும் :''f''(''x''&lowast;) &le; ''f''(''x'') ஆக இருக்க வேண்டும். ''கட்டுப்பாடுற்ற ஆட்களம்'': முழு மெய்யெண்கோட்டையும் ஆட்களமாகக் கொண்டிராத சார்புகளுக்கும் பெரும மற்றும் சிறுமம் உண்டு. எந்தவொரு கணம் (கணிதம்) ஆட்களமாகக் கொண்ட ஒரு மெய்மதிப்புச் சார்புக்கு மீப்பெரு பெருமம் அல்லது மீச்சிறு சிறுமம் இருக்கலாம். இடஞ்சார்ந்த பெருமம் அல்லது இடஞ்சார்ந்த சிறுமமும் இருக்கலாம். ஆனால் இந்த இடஞ்சார்ந்த பெரும அல்லது சிறுமப் புள்ளிகளின் அண்மையகங்கள் அச்சார்பின் ஆட்களத்தினுள் கண்டிப்பாக அமைய வேண்டும். அண்மையகம் என்பது |''x'' − ''x''&lowast;| < &epsilon; என அமையும் ''x'' மதிப்புகள் கொண்ட கணம். ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பு மெய்மதிப்புச் சார்பு இறுக்கமான கணத்தில் (compact set) வரையறுக்கப்பட்டிருந்தால் அச்சார்புக்கு பெரும மற்றும் சிறுமப் புள்ளிகள் அக்கணத்திலேயே அமையும். மெய்யெண் கோட்டின் மீது அமையும் ஓர் இடைவெளி (கணிதம்)யில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு மெய்மதிப்புச் சார்பு இதற்கு எடுத்துக்காட்டாகும்.(மேலே தரப்பட்ட படம்). அண்மையகத்தின் வரையறைப்படி ஓர் இடைவெளியின் இறுதி முனைப்புள்ளிகள் இடஞ்சார்ந்த பெரும அல்லது சிறுமப் புள்ளிகளாக அமைவதற்கு வாய்ப்பில்லை. எனவே முடிவுறு ஆட்களம் கொண்ட சார்பின் மீப்பெரு பெருமம் அல்லது மீச்சிறு சிறுமமானது, இடஞ்சார்ந்த பெருமம் அல்லது இடஞ்சார்ந்த சிறுமமாக இருக்கலாம் அல்லது இல்லாமலும் இருக்கலாம்.
கேள்வி: பெருமம் மற்றும் சிறுமம் - ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட மாறிகளில் அமைந்த சார்புகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: ஒரு மாறியில் அமைந்த சார்புகளுக்குரிய பெரும மற்றும் சிறும மதிப்புகளிக்கான நிபந்தனைகள், ஒன்றுக்கும் மேற்பட்ட மாறிகளில் அமைந்த சார்புகளுக்கும் பொருந்தும். ஒன்றுக்கும் மேற்பட்ட மாறிகளில் அமைந்த சார்பின் இடஞ்சார்ந்த பெருமத்திற்குத்(சிறுமம்) தேவையான நிபந்தனைகள்: * பெரும அல்லது சிறும மதிப்பு காண வேண்டிய சார்பின் முதலாம் பகுதிவகைக்கெழுக்கள் பூச்சியமாகவும் * இரண்டாம் பகுதிவகைக்கெழு எதிர்மமாகவும்(நேர்மம்) இருக்க வேண்டும் சேணப்புள்ளியாக அமைவதற்கான சாத்தியமும் உள்ளதால் இந்நிபந்தனைகள் தேவையான நிபந்தனைகள் மட்டுமாகவே அமையும். ஆனால் இவை போதுமான நிபந்தனைகள் அல்ல. மேலும் சார்பானது, அதன் ஆட்களம் முழுவதிலும் வகையிடத்தக்கச் சார்பு இருக்க வேண்டும். இரண்டாம் வகைக்கெழு சோதனை மூலம் மாறுநிலைப் புள்ளிகள் பெருமமா அல்லது சிறுமமா என்ற வேறுபாட்டை அறியலாம். மாறாக மீப்பெரு பெருமம் அல்லது மீச்சிறு சிறுமம் காண்பதில் ஒரு மாறியில் அமைந்த சார்புகளுக்கும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட மாறியில் அமைந்த சார்புகளுக்கும் இடையே வேறுபாடு உள்ளது. மெய்யெண் கோட்டின் ஒரு மூடிய இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட எல்லைக்குட்பட்ட வகையிடத்தக்க ஒரு சார்புக்கு இடஞ்சார்ந்த சிறுமமாக அமையும் ஒரேயொரு மாறுநிலைப் புள்ளியிருக்குமானால் அதுவே மீச்சிறு சிறுமப் புள்ளியாகவும் அமையும். ஆனால் இரண்டு அல்லது இரண்டுக்கு மேற்பட்ட மாறிகளில் அமைந்த சார்புகளுக்கு இது பொருந்தாது. :f(x,y)= x^2+y^2(1-x)^3,\qquad x,y\in\mathbb{R}, என்ற சார்புக்கு: :ஒரேயொரு மாறுநிலைப் புள்ளி (0,0). :இது இடஞ்சார்ந்த சிறுமப் புள்ளியாகவும் அமையும். &fnof;(0,0)&nbsp;=&nbsp;0. :ஆனால் இப்புள்ளி மீச்சிறு சிறுமப்புள்ளி கிடையாது. ஏனென்றால் &fnof;(4,1)&nbsp;=&nbsp;&minus;11 என &nbsp;0-ஐ விடக் குறைவான மதிப்பு சார்புக்கு உள்ளது. {| |Image:MaximumParaboloid.png |Image:MaximumCounterexample.png |}