கேள்வி: நேரியல் கோப்பு பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: கணிதம், கணிதத்தின் எல்லாப் பயன்பாடுகளிலும், நேரியல் கோப்பு, நேரியல் உருமாற்றம், நேரியற்செயலி அல்லது நேரியற்செயல்முறை (''linear map, transformation, operator'') என்ற கருத்து அடிப்படையானது. பல அறிவியல் பயன்பாடுகளிலும், ஏறத்தாழ எல்லா சமுதாயவியல், மருத்துவவியல், உயிரிய-தொழில்நுட்பவியல் பயன்பாடுகளிலும், நேரியல் கோப்புக்குரிய சூழ்நிலை தானாக இல்லாவிட்டாலும், எவ்வளவு தூரம் நேரியல் பண்புகளுடையதாக அச்சூழ்நிலையை மாற்றமுடியும் என்றே ஆராய்ச்சியாளர்கள் முயல்வார்கள். நேரியல் அல்லாத (non-linear) பயன்பாடுகளிலும் நேரியல் சூழ்நிலைக்குத் தோராயப் படுத்துவதே முதல் முயற்சி. ஆக, நேரியல் அல்லாத பயன்பாடுகளிலும் நேரியல் இயற்கணிதம் செயல்பாடுகளே அடிப்படையில் தேவைப்படுவதால், நேரியல் கோப்பு என்பது முழு கணித உலகத்திலும் இன்றியமையாததாகிறது.
கேள்வி: நேரியல் கோப்பு - வரையறை பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: U, V இரு திசையன் வெளி, இரண்டுக்கும் திசையிலி களங்கள் ஒன்றே என்று கொள்வோம். கீழ்க்கண்ட இரண்டு நிபந்தனைக்குட்பட்டால், T: U \mapsto V ஒரு நேரியல் கோப்பு (உருமாற்றம், செயல்முறை) எனப்படும்: :(நே.கோ.1): u_1, u_2 இரண்டும் U இல் ஏதாவது இரு திசையன்கள் எனில், T(u_1 + u_2) = T(u_1) + f(u_2) ; :(நே.கோ.2): U இலுள்ள எல்லாத் திசையன்கள் u க்கும், எல்லா திசையிலிகள் \alpha க்கும், T(\alpha u) =\alpha T(u). இங்கு, U ஆட்கள வெளி (Domain Space) என்றும், V பிம்ப வெளி (Image space) என்றும் சொல்லப்படும். திசையிலி களம் \mathbf{F} ஐக் குறிப்பிட்டுச்சொல்லவேண்டியிருந்தால், \mathbf{F}-நேரியல் (கோப்பு) எனக் குறிப்பிடப்படும். கூட்டல் (கணிதம்)#Associativity (+), \mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_n \in V திசையன்களுக்கும், c_1, \ldots, c_n \in K, திசையிலிகளுக்கும் பின்வரும் முடிவு உண்மையாக இருக்கும்::. Suppose now that and are vector spaces ''over the same scalar field''. A mapping \Lambda: X \to Y is said to be ''linear'' if \Lambda(\alpha \mathbf x + \beta \mathbf y) = \alpha \Lambda \mathbf x + \beta \Lambda \mathbf y for all \mathbf x, \mathbf y \in X and all scalars \alpha and \beta. Note that one often writes \Lambda \mathbf x, rather than \Lambda(\mathbf x), when \Lambda is linear.. A mapping of a vector space into a vector space is said to be a ''linear transformation'' if: A\left(\mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2\right) = A\mathbf{x}_1 + A\mathbf{x}_2,\ A(c\mathbf{x}) = c A\mathbf{x} for all \mathbf{x}, \mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2 \in X and all scalars . Note that one often writes A\mathbf{x} instead of A(\mathbf {x}) if is linear. :T(c_1 \mathbf{u}_1 + \cdots + c_n \mathbf{u}_n) = c_1 T(\mathbf{u}_1) + \cdots + c_n T(\mathbf{u}_n). அதாவது நேரியல் கோப்பானது, நேரியல் சேர்வுகளைக் காக்கும்.
கேள்வி: நேரியல் கோப்பு - வரையறையைப்பின்பற்றிய உடன்விளைவுகள் என்பது என்ன?
பதில்: :* T(\mathbf{0}_U) = \mathbf{0}_V :* T(-u) = -T(u), u \in U. :* T(\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + ... + \alpha_n u_n) = \alpha_1 T(u_1) + \alpha_2 T(u_2) + ... + \alpha_n T(u_n),. இங்கு \alpha க்களெல்லாம் அளவெண்கள், எல்லா u க்களும் U விலுள்ள உறுப்புகள். :* U வின் ஏதாவதொரு அடுக்களத்தின் உறுப்புகளை T எங்கு எடுத்துச்செல்கிறதோ அதைப்பொருத்து முழு T இன் பண்புகளும் தீர்மனிக்கப்படுகின்றன.
கேள்வி: நேரியல் கோப்பு - எடுத்துக்காட்டுகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: கீழேயுள்ளவை நேரியல் கோப்புகள்: :* T: V_3 \mapsto V_3. வரையறை: T(x,y,z) = (x,y,-z). இது எல்லா புள்ளிகளையும் xy-தளத்தில் பிரதிபலிக்கிறது. :* T: \mathcal{P} \mapsto \mathcal{P}. வரையறை: \mathcal{P} இலுள்ள ஒவ்வொரு p க்கும் T(p) = p(0). :* T: \mathcal{P}(a,b) \mapsto \mathcal{P}(a,b). வரையறை: (a,b) இலுள்ள எல்லா x க்கும், : T(p)(x) = x p(x). :* T: V_2 \mapsto V_2. வரையறை: T(x,y) = (0, y-x). :* T: \mathcal{P} \mapsto \mathcal{P}. வரையறை: \mathcal{P} இலுள்ள ஒவ்வொரு p க்கும் T(p)=p'. : இங்கு p' என்பது p இன் வகைக்கெழு. இது வகையீட்டு (நேரியல்) கோப்பு எனப்படும். :* D: \mathcal{C}^{(1)}(a,b) \mapsto \mathcal{C}(a,b). வரையறை: D(f) = f'. f' என்பது f இன் வகைக்கெழு. D க்கு வகையீட்டு செயல்முறை (Differential Operator) எனப்பெயர். :* \mathcal{I}: \mathcal{C}(a,b) \mapsto \mathbf{R} வரையறை: \mathcal{I}(f) = \int_{a}^{b}f(x)dx. \mathcal{I} க்கு தொகையீட்டு செயல்முறை (Integral Operator) எனப்பெயர். :* f: \mathbf{C} \mapsto \mathbf{C}. வரையறை: f(z) = \overline{z}. இது ஒரு \mathbf{R}-நேரியல் கோப்பு. :* L_A : \mathbf{R}^n \mapsto \mathbf{R}^m. இங்கு A மெய்யெண்களாலான ஒரு m \times n அணி. வரையறை: \mathbf{R}^n இலுள்ள ஒவ்வொரு u க்கும் L_A(u) = Au. :(Au என்பது அணிப்பெருக்கல்). கீழேயுள்ளவை நேரியல் கோப்புகள் அல்ல: :* u_0 \neq 0 ஐ U இல் ஒரு குறிப்பிட்ட திசையனாகக்கொள். T: U \mapsto U : வரையறை: U விலுள்ள ஒவ்வொரு x க்கும் : T(x) = x + u_0. இதற்கு நகர்த்தல் கோப்பு  (Translation operator)எனப்பெயர். :* T: V_2 \mapsto V_2 . வரையறை: T(x, y) = (x^2, y^2) :* f: \mathbf{C} \mapsto \mathbf{C}. வரையறை: f(z) = \overline{z}. இங்கு அளவெண்களத்தை \mathbf{C} ஆக எடுத்துக்கொண்டால் , இது ஒரு \mathbf{C}-நேரியல் கோப்பு அல்ல. ஏனென்றால் நே. கோ.2 தவறுகிறது.
கேள்வி: நேரியல் கோப்பு - நேரியல் கோப்பின் வீச்சு, சுழிவு / உட்கரு) என்பது என்ன?
பதில்: :T:U \mapsto V, U, V, திசையன்வெளிகள், T நேரியல் கோப்பு. :R(T) = \{T(u): u\in U\}, அ-து, T இன் எல்லா பிம்பங்களும் சேர்ந்த கணம். இதற்கு T இன் வீச்சு (Range of T) என்று பெயர். :N(T) = \{u\in U: T(u) = \mathbf{0}_V\}, அ-து, V இலுள்ள சூனியத் திசையனுக்கு T யால் எடுத்துச் செல்லப்படும் எல்லா U-உறுப்புகளும் சேர்ந்த கணம். இதற்கு T இன் சுழிவு (Null space of T / kernel of T) அல்லது உட்கரு என்று பெயர். :வீச்சு, சுழிவு இரண்டுமே சம்பந்தப்பட்ட திசையன் வெளிகளின் உள்வெளிகள். பின்வரும் பரிமாண வாய்பாடு வீச்சளவை சுழிவளவை தேற்றம் என அறியப்படுகிறது: \dim(\ker( T )) + \dim(\operatorname{im}( T )) = \dim( V ). எண் \dim(\operatorname{im}(T)), T இன் அணிகளின் அளவை என அழைக்கப்படுகிறது. அதன் குறியீடு: \operatorname{rank}(T) அல்லது \rho(T). p. 52, § 2.5.1 p. 90, § 50 எண் \dim(\ker(T)), T இன் சுழிவு அல்லது உட்கரு என அழைக்கப்படுகிறது. அதன் குறியீடு: \operatorname{null}(f) அல்லது \nu(f). V, W இரண்டும் முடிவுறு பரிமாண வெளிகளாக இருந்து T இன் அணி உருவகிப்பு A எனில், T இன் அளவையும் சுழிவும் அணி A இன் அளவை மற்றும் சுழிவுக்குச் சமமாக இருக்கும்.
கேள்வி: நேரியல் கோப்பு - நூலாதாரங்கள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: * * * * * * * * * * * * * * * பகுப்பு:நேரியல் இயற்கணிதம் பகுப்பு:சார்புப் பகுவியல் பகுப்பு:சார்புகளும் கோப்புகளும் பகுப்பு:உருமாற்றம் (சார்பு) பகுப்பு:நுண்புல இயற்கணிதம்