கேள்வி: ஈருறுப்புத் தேற்றம் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: Image:Pascal's triangle 5.svg பாஸ்கலின் முக்கோணம் எண்களாக அமைந்துள்ளன.]] அடிப்படை இயற்கணிதம் ஈருறுப்புத் தேற்றம் (''Binomial theorem'') என்பது, ஓர் ஈருறுப்புக் கோவையின் அடுக்குகளின் இயற்கணித விரிவுகளைத் தருகிறது. (''x''&nbsp;+&nbsp;''y'')''n'' என்பதின் விரிவை, ''ax'b'y'c'' என்ற வடிவில் உள்ள (''n''&nbsp;+&nbsp;''1'') உறுப்புகளின் கூட்டலாக எழுதலாம். b, c ஆகிய இரண்டும் எதிர்மமற்ற முழு எண்கள், மற்றும் ''n''}} ஆகும். ஒவ்வொரு உறுப்பின் குணகமான a ஆனது n, b -ன் மதிப்புகளைப் பொருத்து ஒரு குறிப்பிட்ட இயல் எண்ணாகும். விரிவிலுள்ள உறுப்புகளில், பூச்சியம்அடுக்கு கொண்ட பகுதி இருந்தால் அப்பகுதியை எழுதாமலேயே விட்டு விடலாம். எடுத்துக்காட்டாக, :(x+y)^4 \;=\; x^4 y^0 \,+\, 4 x^3y \,+\, 6 x^2 y^2 \,+\, 4 x y^3 \,+\,x^0 y^4 என்ற விரிவினை, :(x+y)^4 \;=\; x^4 \,+\, 4 x^3y \,+\, 6 x^2 y^2 \,+\, 4 x y^3 \,+\, y^4 என எழுதலாம். ''x'b'y'c'' என்ற உறுப்பின் குணகமான a -ன் மதிப்பு, \tbinom nb அல்லது \tbinom nc ஆகும். (இரண்டும் சமம்) இது ஈருறுப்புக் குணகம் என அழைக்கப்படுகிறது. \tbinom nb என்பது n உறுப்புகள் கொண்ட கணம் (கணிதம்) b உறுப்புகளைத் தேர்ந்தெடுக்கும் சேர்வு (கணிதம்) எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும். \tbinom nbல் n,b இரண்டிற்கும் வெவ்வேறு மதிப்புகளைத் தரும்போது கிடைக்கும் குணகங்களைக் கொண்டு பாஸ்கலின் முக்கோணத்தை அமைக்கலாம்.
கேள்வி: ஈருறுப்புத் தேற்றம் - வரலாறு என்பது என்ன?
பதில்: ஈருறுப்பு குணகங்களும் அவற்றின் முக்கோண அமைப்பும், கி.பி 17ம் நூற்றாண்டின் பிரான்சு கணிதவியலாளர் பிலைசு பாஸ்கல் கண்டுபிடிப்பாகக் கருதப்பட்டாலும், அவருக்கு முந்தைய காலத்துக் கணிதவியலாளர்கள் அவற்றைப் பற்றி அறிந்திருந்தனர். இந்தியா கணிதவியலாளரான பிங்கல நிகண்டு கி.மு. 3ம் நூற்றாண்டில் உயர்வரிசை அடுக்குகளுக்கான விரிவினைக் குறிப்பிட்டுள்ளார். கி.மு 4ம் நூற்றாண்டில் கிரேக்கம் கணிதவியலாளர் யூக்ளிடு, இரண்டாம் அடுக்குக்கான ஈருறுப்புத் தேற்றத்தினைப் பற்றிக் குறிப்பிட்டுள்ளார்.[http://mathworld.wolfram.com/BinomialTheorem.html Binomial Theorem][http://www.jstor.org/pss/2305028 The Story of the Binomial Theorem, by J. L. Coolidge], ''The American Mathematical Monthly'' 56:3 (1949), pp. 147–157 கி.பி 10ம் நூற்றாண்டில் இந்தியக் கணிதவியலாளர் ஹலயுதர் பாரசீகம்க் கணிதவியலாளர் அல் கராஜியும் மற்றும் கி.பி 13ம் நூற்றாண்டில் சீனாக் கணிதவியலாளர் யாங் உயியும், பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஈருறுப்புத் தேற்றத்தைப் பற்றியும் பாஸ்கலின் முக்கோணம் என்று பின்னர் பெயர்பெற்ற முக்கோண அமைப்பு எண்களைப் பற்றியும் அறிந்திருந்தனர். அல் கராஜி ஈருறுப்புத் தேற்றத்திற்கும் பாஸ்கலின் முக்கோண அமைப்பிற்கும் கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையில் நிறுவல் அளித்துள்ளார்.
கேள்வி: ஈருறுப்புத் தேற்றம் - எடுத்துக்காட்டுகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: Image:Pascal triangle small.png (''x''&nbsp;+&nbsp;''y'') இன் வர்க்கம் (கணிதம்) வாய்ப்பாடு ஈருறுப்புத் தேற்றத்திற்கு ஒரு எளிய எடுத்துக்காட்டாகும். :(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2.\! இந்த விரிவிலுள்ள ஈருறுப்புக் குணகங்கள் (1, 2, 1 ) பாஸ்கலின் முக்கோணத்தின் மூன்றாவது நிரையில் உள்ள எண்களாகும். ''x''&nbsp;+&nbsp;''y'' இன் மூன்றுக்கும் மேலான உயர் அடுக்கின் விரிவுகளிலுள்ள குணகங்கள் முறையே பாஸ்கல் முக்கோணத்தின் மூன்றாவது நிரைக்குப் பிந்தைய நிரைகளிலுள்ள எண்களாக அமையும். : \begin{align} (x+y)^3 & = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3, \\[8pt] (x+y)^4 & = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4, \\[8pt] (x+y)^5 & = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5, \\[8pt] (x+y)^6 & = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6, \\[8pt] (x+y)^7 & = x^7 + 7x^6y + 21x^5y^2 + 35x^4y^3 + 35x^3y^4 + 21x^2y^5 + 7xy^6 + y^7. \end{align} ஈருறுப்புத் தேற்றத்தை எந்தவொரு ஈருறுப்புக்கோவையின் அடுக்குகளையும் விரித்து எழுதப் பயன்படுத்தலாம். எடுத்துக்காட்டாக, :\begin{align} (x+2)^3 &= x^3 + 3x^2(2) + 3x(2)^2 + 2^3 \\ &= x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\end{align} கழித்தலைக் கொண்ட ஈருறுப்புக்கோவைக்கும் ஈருறுப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தலாம். அதற்கு ஈருறுப்புக்கோவையின் இரண்டாவது உறுப்பின் கூட்டல் நேர்மாறைப் பயன்படுத்த வேண்டும். இது விரிவில் ஒன்றுவிட்ட உறுப்புகளின் குறியினை மாற்றும் விளைவிற்கு சமமாக அமையும். எடுத்துக்காட்டாக, :\begin{align} (x-2)^3 &= x^3 + 3x^2(-2) + 3x(-2)^2 + (-2)^3 \\ &= x^3 - 6x^2 + 12x - 8.\end{align} :\begin{align} (x-y)^3 &= x^3 + 3x^2(-y) + 3x(-y)^2 + (-y)^3 \\ &= x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3.\end{align}
கேள்வி: ஈருறுப்புத் தேற்றம் - நியூட்டனின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஈருறுப்புத் தேற்றம் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: 1665ல் ஐசாக் நியூட்டன் ஈருறுப்புத் தேற்றத்தைக் எதிர்மமற்ற முழுஎண் அடுக்குகளுக்கு மட்டுமில்லாமல் எண்#மெயெண்கள் அடுக்குகளுக்கும் விரிவுபடுத்தினார். பொதுமைப்படுத்தலால் ஈருறுப்புத் தேற்றத்தின் விரிவிலுள்ள முடிவுறு கூட்டுத்தொகையானது ஒரு முடிவுறாத் தொடராக மாறுகிறது. இதற்காக ஈருறுப்புக் குணகங்களான \tbinom nk ல் n -க்குப் பதிலாக மாறக்கூடிய (''arbitrary'') எண், r பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஈருறுப்புக்கோவையின் அடுக்கு மெய்யெண் என்பதால் \tbinom rk இன் மதிப்பை மேலே தரப்பட்டுள்ள தொடர் பெருக்கம் கொண்ட வாய்ப்பாட்டின் மூலம் காணமுடியாது. எனவே வாய்ப்பாட்டிலிருந்து n!, (n-k)! களை நீக்கிவிட்டு n -க்குப்பதில் r -ஐப் பயன்படுத்தி வாய்ப்பாடு பின்வருமாறு தரப்படுகிறது. :{r \choose k}=\frac{r\,(r-1) \cdots (r-k+1)}{k!} =\frac{(r)_k}{k!}, ''x'' மற்றும் ''y'' மெய்யெண்கள். மேலும் |''x''|&nbsp;>&nbsp;|''y''|.This is to guarantee convergence. Depending on ''r'', the series may also converge sometimes when |''x''|&nbsp;=&nbsp;|''y''|. r ஏதேனும் ஒரு மெய்யெண் எனில் ஈருறுப்பு விரிவு: : \begin{align} (x+y)^r & =\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^{r-k} y^k \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(2) \\ & = x^r + r x^{r-1} y + \frac{r(r-1)}{2!} x^{r-2} y^2 + \frac{r(r-1)(r-2)}{3!} x^{r-3} y^3 + \cdots. \end{align} r ஒரு குறையிலா முழுஎண்ணாக இருந்தால், k > r எனும்போது ஈருறுப்புக் குணகங்கள் பூச்சியமாகின்றன. எனவே விரிவு (2) ஆனது விரிவு (1) ஆக மாறுகிறது. இதில் அதிகபட்சம் r+1 பூச்சியமில்லா உறுப்புகள் இருக்கும். r இன் ஏனைய மதிப்புகளுக்கு விரிவு (2) முடிவிலா பூச்சியமல்லாத உறுப்புகளைக் கொண்டிருக்கும்.(x, y பூச்சியமில்லாமல் இருந்தால்) ''r''&nbsp;=&nbsp;&minus;''s'' எனில், :\frac{1}{(1-x)^s} = \sum_{k=0}^\infty {s+k-1 \choose k} x^k \equiv \sum_{k=0}^\infty {s+k-1 \choose s-1} x^k. ''s''&nbsp;=&nbsp;1 எனில் இவ்விரிவு பெருக்குத் தொடர் வாய்ப்பாடாக அமையும்.
கேள்வி: ஈருறுப்புத் தேற்றம் - பல்லுறுப்புத் தேற்றம் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட உறுப்புகளைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் அடுக்குகளை விரித்தெழுதுவதற்கும் ஈருறுப்புத் தேற்றத்தைப் பொதுமைப்படுத்தலாம். :(x_1 + x_2 + \cdots + x_m)^n = \sum_{k_1,k_2,\ldots,k_m} {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m} x_1^{k_1} x_2^{k_2} \cdots x_m^{k_m}. அனைத்து ''k'i'' ன் கூடுதல் &nbsp;''n'' ஆக இருக்கும். குணகங்கள், \tbinom n{k_1,\cdots,k_n} பல்லுறுப்புக் குணகங்கள் என அழைக்கப்படும். அவற்றின் மதிப்புகளைக் காணும் சூத்திரம், : {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m} = \frac{n!}{k_1!\, k_2! \cdots k_m!}.