கேள்வி: குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கம் - வரையறை குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: தரப்பட்ட இரு குலங்கள் , எனில் அவற்றின் நேர்ப் பெருக்கம் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது: :G \times H = \{ (g, h) : g \in G , h \in H\} :&nbsp; (''g''1·''g''2, ''h''1·''h''2)}} என வரையறுக்கப்படும் ஈருறுப்புச் செயலியைப் பொறுத்து இல் குலங்களின் பண்புகள் நிறைவு செய்யப்படுவதால் அது ஒரு குலமாகிறது: ;சேர்ப்பு விதி: இல் வரையறுக்கப்பட்ட இந்த ஈருறுப்புச் செயலி சேர்ப்பு விதி உடையது ;முற்றொருமை உறுப்பு: இக்குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பு . இதில் , இன் முற்றொருமை உறுப்பு; , &nbsp; இன் முற்றொருமை உறுப்பு. ;நேர்மாறு உறுப்புகள்: இன் உறுப்பு இன் நேர்மாறு உறுப்பு: , இங்கு இல் இன் நேர்மாறு உறுப்பு ; இல் இன் நேர்மாறு உறுப்பு :(g , h)^{-1} = (g^{-1}, h^{-1})
கேள்வி: குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கம் - அடிப்படைப் பண்புகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: * குலத்தின் குலத்தின் கிரமம் (கணிதம்) மற்றும்&nbsp; குலங்களின் கிரமங்களின் பெருக்கற்பலனாக இருக்கும்: ::|| &nbsp;=&nbsp; || ||. * இன் ஒவ்வொரு உறுப்பு இன் குலத்தின் கிரமம் (கணிதம்)#ஓர் உறுப்பின் கிரமம் , இன் கிரமங்களின் மீச்சிறு பொது மடங்கு: ::|| &nbsp;=&nbsp; ( ||, || ). :குறிப்பாக ||, || இரண்டும் சார்பகா எண்கள் (relatively prime) எனில் இன் கிரமம், மற்றும் இன் கிரமங்களின் பெருக்கற்பலனாகும். * , இரண்டும் சார்பாகா எண்களைக் கிரமமாகக் கொண்ட சுழற் குலங்கள் எனில் ம் ஒரு சுழற் குலமாக இருக்கும். , இரண்டும் சார்பகா எண்களெனில் ::.
கேள்வி: குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கம் - பொதுமைப்படுத்தல் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: இரண்டிற்கும் மேற்பட்ட குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கத்தைக் காணமுடியும். தரப்பட்ட குலங்கள் எனில் அவற்றின் நேர்ப் பெருக்கம் :\prod_{i=1}^n G_i \;=\; G_1 \times G_2 \times \cdots \times G_n பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது: * உறுப்புகள் , (ஒவ்வொரு க்கும்) வடிவில் அமையும். * இல் வரையறுக்கப்படும் செயலி: &nbsp;=&nbsp; . இரு குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கத்தின் பல பண்புகள் இதற்கும் பொருந்தும். முடிவுறா எண்ணிக்கையிலான குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கத்தையும் காணமுடியும்.