கேள்வி: கணக் கோட்பாடு பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: Image:Venn A intersect B.svg கணக் கோட்பாடு ''(Set theory)'' கணித ஏரணத்தின் ஒரு கிளைப்பிரிவாகும். இதுபொருள்களின் திரட்டல்களாகிய கணங்களை ஆய்கிறது. ஒரு கணத்தில் எந்த வகைப் பொருளும் திரட்டப்படலாம் என்றாலும், கணக் கோட்பாடு பெரும்பாலும் கணிதவியலோடு தொடர்புள்ள பொருள்களையே பயன்பாட்டில் எடுத்துக் கொள்கிறது. அனைத்துக் கணிதவியல் உருப்படிகளிலும் கணக் கோட்பாட்டு மொழிவைப் பயன்படுத்தலாம். கணக்கோட்பாட்டின் புத்தியல் ஆய்வை கியார்கு காண்டரும் இரிச்சர்டு டெடிகைண்டும் 1870 களில் தொடங்கி வைத்தனர். இரசலின் முரண்புதிர் போன்ற முரண்புதிர்களைக் கணக் கோட்பாட்டில் கண்டுபிடித்ததும், 20 ஆம் நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில் பல அடிக்கோளியல் அமைப்புகள் முன்மொழியப்பட்டன. இவற்றில் தேர்வுநிலை அடிக்கோள் அமைந்த செருமெலோ–பிரேங்கல் கணக் கோட்பாடு மிகவும் நன்கு அறிந்தவகை ஆகும். கணக் கோட்பாடு, குறிப்பாக தேர்வுநிலை அடிக்கோள் அமைந்த செருமெலோ–பிரேங்கல் கணக் கோட்பாடு, கணிதவியலின் அடித்தள அமைப்பாகப் பயன்படுகிறது. இதன் அடித்தளப் பாத்திரத்துக்கும் அப்பால், முனைவான ஆய்வில், கணக் கோட்பாடு கணிதவியலின் ஒரு கிளைப்பிரிவும் ஆகும். கணக்கோட்பாட்டின் வளராய்வு பல்வேறுபட்ட தலைப்புகளை உள்ளடக்குகிறது. இவற்றில் மெய்யெண் கோட்டின் கட்டமைப்பு முதல் பேரளவு முதலெண்களின் (Cardinals) ஒத்திணக்க(consistency) ஆய்வு வரை அடங்குகிறது.
கேள்வி: கணக் கோட்பாடு - வரலாறு குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: File:Georg Cantor 1894.jpg கணிதவியல் தலைப்புகள் பொதுவாக பல ஆய்வாளர்களின் ஊடாட்டத்தில் தோன்றிப் படிமலர்கின்றன. என்றாலும் கணக்கோட்பாடு, கியார்கு காண்ட்டர் 1874 இல் வெளியிட்ட தனி ஆய்வுக் கட்டுரையான "அனைத்து இயற்கணித மெய் எண்களின் திரட்டு சார்ந்த இயல்பைப் பற்றி (On a Property of the Collection of All Real Algebraic Numbers)" எனும் ஆய்வினால் தோற்றுவிக்கப்பட்டது. கி.மு 5 ஆம் நூற்றாண்டில் இருந்து, அதாவது, மேற்கில் கிரேக்கக் கணிதவியலாளர் எலியாவின் சீனோவில் இருந்தும் கிழக்கில் தொடக்கநிலை இந்தியக் கணிதவியலில் இருந்தும், கணிதவியலாளர்கள் ஈறிலி கருத்தினம் குறித்த புரிதலுக்குத் திண்டாடிக் கொண்டிருந்தனர். இவற்றில் குறிப்பிட்த் தகுந்த பணி, 19 ஆம் நூற்றாண்டின் முதல் அரைப்பகுதியில் உருவாக்கப்பட்ட பெர்னார்டு போல்சானோவின் ஆய்வாகும். ஈறிலி சார்ந்த தற்காலப் புரிதல் 1867–71 களில் காண்டரின் எண் கோட்பாட்டில் அமைந்த்து. காண்டரும் டெடிகைண்டும் 1872 இல் சந்தித்ததும், அது காண்டரின் சிந்தனையில் தாக்கம் விளைவித்து அவரது 1874 ஆம் ஆண்டு ஆய்வு வெளிவர வழிவகுத்தது. காண்டரின் ஆய்வு முதலில் அவரது சமகாலக் கணிதவியலாளர்களை இவரோடு முரண்பட வைத்தது. ஆனால், கார்ல் வியர்சுட்டிராசும் டெடிகைண்டும் காண்டரையும் ஆதரித்தனர். ஆனால், கணிதக் கட்டுமானவியலின் தந்தையாகிய இலியோபோல்டு குரோனெக்கர் காண்டரை ஏற்கவில்லை. காண்டரியக் கணக் கோட்பாடு பின்வரும் கருத்தினங்களின் பயன்பாட்டுக் காரணங்களால் பரவலானது. அவை, கணங்களுக்கு இடையிலான ஒன்றுக்கொன்றாய் அமையும் நேரடித் தொடர்பு, முற்றெண்களை விட கூடுதலான மெய்யெண்கள் நிலவுதலுக்கான நிறுவல், "ஈறிலிகளின் ஈறிலி", திறன்கண வினையில் விளையும் ("காண்டரின் துறக்கம் (Cantor's paradise)") என்பனவாகும். கணக் கோட்பாட்டின் இந்தப் பயன்பாடு, கிளீன் களஞ்சியத்துக்கு ஆர்த்தர் சுசோயெபிளிசு "Mengenlehre" எனும் கட்டுரையை 1898 இல் அளிக்க வழிவகுத்தது. கணக் கோட்பாட்டின் அடுத்த அலை, காண்டரியக் கணக் கோட்பாட்டின் சில விளக்கங்கள் அதன் எதிர்மைகள் அல்லது முரண்புதிர்களை எழுப்பியபோது, 1900 அளவில் கிளர்ந்தெழுந்தது. பெர்ட்ராண்டு இரசல் அவர்களும் எர்னெசுட்டு செருமெலோ அவர்களும் தனித்தனியாக இப்போது இரசல் முரண்புதிர் என அழிஅக்கப்படும் எளிய ஆனால் அனைவரும் அறிந்த முரண்புதிரைக் கண்டறிந்தனர்: "தமக்குள் உறுப்புகளாக அமையாத கணங்களின் கணத்தைக்" கருதுக. இது தனக்குள் ஒரு உறுப்பாகவும் தனக்குள் ஓர் உறுப்பாக அமையாத்தாகவும் உள்ள முரண்பாட்டைத் தோற்றுவிக்கிறது. காண்டர் 1899 இலேயே தனக்குள் ஒரு வினவலை "கணங்களின் கணத்தின் முதலெண் என்ன?" என எழுப்பி, சார்ந்த முரண்புதிரையும் அடையப் பெற்றுள்ளார். ஐரோப்பியக் கண்டக் கணிதவியலை மீள்பார்வையிடும் தனது நூலான ''கணிதவியலின் நெறிமுறைகள் (The Principles of Mathematics)'' என்பதில், இரசல் இந்த முரண்புதிரை ஒரு கருப்பொருளாகவே பயன்படுத்தியுள்ளார். ஆங்கில வாசகர்கள் 1906 இல் ''புள்ளிகளின் கணங்கள் சார்ந்த கோட்பாடு (Theory of Sets of Points)''எனும்William Henry Young & Grace Chisholm Young (1906) [https://archive.org/stream/theoryofsetsofpo00youniala#page/n3/mode/2up ''Theory of Sets of Points''], link from Internet Archive கணவனும் மனைவியுமாகிய வில்லியம் என்றி யங், கிரேசு சிசோல்ம் யங் ஆகிய இருவரும் எழுதி, கேம்பிரிட்ஜ் பல்கலைக்கழக அச்சகம் வெளியிட்ட நூலைப் படிக்கும் வாய்ப்பைப் பெற்றனர். முரண்பாடுகள் பற்றிய விவாதம் கணக்கோட்பாட்டைப் புறந்தள்ளாமல், மாறாக, அதன் உந்துதல், 1908 இல் செருமெலோவையும் 1922 இல் பிரேங்கலையும் ZFC எனும் அடிக்கோள்களின் கணத்தை உருவாக்க வழிவகுத்தது. இது கணக் கோட்பாட்டில் மிகப் பரவலாகப் பயன்படுத்தும் அடிக்கோள்களின் கணம் ஆகியது. என்றி இலெபெசுக்யூவின் மெய் எண் பகுப்பாய்வுப் பணி,கணக்கோட்பாட்டின் மாபெரும் கணிதவியல் பயன்பாட்டை செயல்முறையில் விளக்கிக் காட்டுவதாய் அமைந்தது. எனவே கணக்கோட்பாடு புதுமைக் கணிதவியலின் ஊடும் பாவுமாய் மாறியது. சில கணிதவியல் புலங்களில் பகுப்பினக் கோட்பாடு விரும்பப்படும் அடித்தளமாகக் கருதப்பட்டாலும், பொதுவாக கணக்கோட்பாடே கணிதவியலின் அடித்தளமாகக் கொள்ளப்படுகிறது.
கேள்வி: கணக் கோட்பாடு - அடிப்படைக் கருத்தினங்களும் குறிமானங்களும் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: கணக் கோட்பாடு, பொருள் வுக்கும் கணம் வுக்கும் இடையில் அமையும் அடிப்படை ஈருறுப்பு உறவு தொடங்குகிறது . என்பது வின் உறுப்பு (கணிதம்) (அல்லது ''கூறு''); அப்போது எனும் குறிமானம் பயன்படுத்தப்படுகிறது. காற்குறியிட்டு பிரிக்கப்பட்ட, பட்டியலிடப்பட்ட உறுப்புகளை இரட்டை அடைப்புக்குறிக்குள் { } எழுதுவதே கணத்தின் குறியீடாகும். ஒவ்வொரு கணமும் பொருளாக அமைதலால், இந்த உறுப்பாண்மை உறவு கணங்களுக்கும் பொருந்தும். அதாவது ஒரு கணத்தின் உறுப்புகளாக வேறு சில கணங்கள் இருக்க முடியும். இருகணங்களுக்கு இடையில் கொணரப்பட்ட இரும உறவு "உட்கண உறவு" அல்லது உட்கணம் எனப்படுகிறது. கணத்தின் அனைத்து உறுப்புகளும் கணத்தின் உறுப்புகளாக அமைந்தால், அப்போது என்பது கணத்தின் உட்கணம் ஆகும். இது எனக் குறிக்கப்படுகிறது. எடுத்துகாட்டாக, {{math|{1, 2} }} என்பது {{math|{1, 2, 3} }} கணத்தின் உட்கணம் ஆகும். அதே சமயம், {{math|{2} }} கணமும் {{math|{1, 4} }} கணமும் {{math|{1, 2, 3} }} கணத்தின் உட்கணங்களாக அமைவதில்லை. இதேபோல, {{math|{1, 2, 3} }} இன் உறுப்புகளாக 1, 2, 3 ஆகியவை அமைகின்றன. ஆனால், அவை அக்கணத்தின் உட்கணங்கள் அல்ல. மேலும் உட்கணங்களும் அதேபோல கணத்தின் உறுப்புகளாக அமைதல் இல்லை. இந்த வரையறையில் இருந்து, ஒவ்வொரு கணம் அதன் உட்கணமும் ஆகிறது. இந்நிலை பொருந்திவராத வாய்ப்பில் அல்லது புறந்தள்ளப்படுமளவுக்கு பொருளற்றதாக அமையும் நிலையில், சரிநிலை உட்கணம் அல்லது தகு உட்கணம் எனும் சொல் வரையறுக்கப்படுகிறது: கணம், கணத்தின் சரிநிலை உட்கணம் என அழைக்கப்பட வேண்டுமானால், கணம் யின் உட்கணமாகவும், ஆனால், கணம், கணத்துக்குச் சமமாக இல்லாமலும் அமையவேண்டும். எண்ணியலில் எண்களின் மீது இரும வினைகள் செயல்படுதலைப் போலவே கணக்கோட்பாட்டில் கணங்களின் மீது ஈருறுப்புச் செயலி செயல்படுகின்றன: *, ஆகிய இரண்டு கணங்களின் சேர்ப்பு (கணக் கோட்பாடு) என்பது எனும் குறிமானத்தால் குறிப்பிடப்படுகிறது. இது , அல்லது , அல்லது இவ்விரண்டின் உறுப்புகளாக உள்ள அனைத்து உறுப்புகளின் கணமாகும். எடுத்துகாட்டாக, {{math|{1, 2, 3} }}, {{math|{2, 3, 4} }} ஆகிய இரண்டு கணங்களின் சேர்ப்பு கணம் {{math|{1, 2, 3, 4} }} ஆகும். *, ஆகிய இரண்டின் வெட்டு (கணக் கோட்பாடு) என்பது எனும் குறிமானத்தால் குறிப்பிடப்படுகிறது. இது , ஆகிய இரண்டிலும் பொதுவாக அமையும் உறுப்புகளின் கணம் ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக, {math|{1, 2, 3} }}, {{math|{2, 3, 4} }} ஆகிய இரண்டு கணங்களின் வெட்டுகணம் என்பது {{math|{2, 3} }} ஆகும். *, ஆகிய இரண்டின் கண வேறுபாடு என்பது எனும் குறிமானத்தால் குறிக்கப்படுகிறது. இது, எனும் கணத்தில் உறுப்புகளாக அமையாத, வின் அனைத்து உறுப்புகளின் கணமாகும். {{math|{1, 2, 3} \ {2, 3, 4} }} என்பதன் கண வேறுபாடு {{math|{1} }} ஆகும்; மாறாக, {{math|{2, 3, 4} \ {1, 2, 3} }}என்பதன் கண வேறுபாடு {{math|{4} }} ஆகும். இங்கு, என்பது என்பதன் உட்கணமானால், அப்போது என்பது வில் வின் நிரப்பு கணம் என அழைக்கப்படும். இந்நேர்வில், சூழல் சார்ந்து கணத்தின் தேர்வு தெளிவாக அமைந்தால், அதாவது குறிப்பாக ஆனது, வென் படம் அமைதலைப் போல, அனைத்துப்பொதுக் கணமாக அமையும்போது, எனும் குறிமானத்திற்குப் பதிலாக எனும் குறிமானத்தால் குறிக்கப்படும். *, ஆகிய இரண்டின் இரண்டு கணங்களின் சமச்சீர் வித்தியாசம் அல்லது எனும் குறிமானத்தால் குறிக்கப்படுகிறது. இது இலும் இலும் ஏதாவதொன்றில் மட்டும் ஓர் உறுப்பாக (இரண்டிலும் அமையாமல் ஆனால், ஏதாவது ஒன்றில் மட்டுமே அமையும் உறுப்புகள்) அமையும் அனைத்து உறுப்புகளின் கணமாகும். எடுத்துகாட்டாக, {{math|{1, 2, 3} }}, {{math|{2, 3, 4} }} ஆகிய கணங்களின் கணச் சீருமை வேறுபாடு {{math|{1, 4} }} என்பதாகும். இது சேர்ப்பு கணம், வெட்டு கணம் ஆகிய இரண்டின் கண வேறுபாடாகும். *, ஆகிய இரண்டின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன் என்பது எனும் குறிமானத்தால் குறிக்கப்படுகிறது. இது எனும் கணத்தின் அனைத்து வாய்ப்புள்ள வரிசைச் சோடி உறுப்புகளாக அமைந்த கணமாகும். இங்கு, என்பது வின் உறுப்பாகும்; என்பது யின் உறுப்பாகும். எடுத்துக்காட்டாக, {{nowrap|1={1, 2}, {red, white} என்பதன் கார்ட்டீசியப் பெருக்கல் கணம் {(1, red), (1, white), (2, red), (2, white)} என்பதாகும்.}} * கணத்தின்அடுக்கு கணம் என்பது கணத்தின் அனைத்து வாய்ப்புள்ள உட்கணங்கள் உறுப்புகளாக அமைந்த கணமாகும். எடுத்துகாட்டாக, {{math|{1, 2} }} கணத்தின் அடுக்கு கணம் {{math|{ {}, {1}, {2}, {1, 2} } }} என்பதாகும். சில முதன்மையான அடிப்படை கணங்களாக, இயல் எண்களின் கணம், மெய் எண்களின் கணம், வெற்றுக் கணம் ஆகியவை அமைகின்றன. வெற்றுக் கணம் என்பது, உறுப்புகள் இல்லாத தனிதன்மை வாய்ந்த கணம் ஆகும்; சிலவேளைகளில் இது ''இன்மைக் கணம்'' எனப்படுவதுண்டு எனினும் இப்பெயர் சற்றே குழப்பமானதாகும்.
கேள்வி: கணக் கோட்பாடு - சற்றே இருப்பியல் (மெய்யியல்) குறித்து என்பது என்ன?
பதில்: Image:Von Neumann Hierarchy.svg தன் உறுப்புகள் அனைத்துமே கணங்களாகவும் அக்கணங்களின் உறுப்புகள் அனைத்துமே கணங்களாகவும் மேலும் இதன்படியே தொடர்ந்தமையும் கணம் தூய கணம் எனப்படும். புத்தியல் கணக்கோட்பாட்டில், பொதுவாக, தூய கணங்களின் வான் நியூமன் புடவி பற்றி மட்டுமே கவனம் குவிப்பது வழக்கம் ஆகும். அடிக்கோளியல் கணக் கோட்பாட்டின் பல அமைப்புகள் தூய கணங்களை மட்டுமே அடிக்கோளியற்படுத்தி வடிவமைக்கப்படுகின்றன. முழு வான் நியூமன் புடவியும் ''V'' குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது.