கேள்வி: பரவளைவு என்பது என்ன?
பதில்: Image:Parabola.svg File:Parabel som keglesnit.jpg கணிதம் பரவளைவு அல்லது பரவளையம் (ஆங்கிலம்:''parabola'') என்பது ஓர் கூம்பு வெட்டு. இக்கூம்பு வெட்டின் ஆங்கிலப் பெயர், ''parabola'' என்பது ''παραβολή'' என்ற கிரேக்க மொழி சொல்லிலிருந்து தோன்றியது. ஓர் கூம்பு உச்சி (வடிவவியல்) அதன் வட்டம் சுற்றளவு அமையும் ஒரு புள்ளியையும் இணைக்கும் கோடு இணை (வடிவவியல்) ஒரு தளம் (வடிவவியல்) அக்கூம்பு வெட்டப்படும் போது கிடைக்ககூடிய வெட்டுமுக வடிவமே பரவளையமாகும். பரவளையத்தின் மற்றுமொரு வரையறை: ஒரு நிலையான புள்ளி மற்றும் ஒரு நிலையான கோடு இரண்டிலிருந்தும் எந்த நிலையிலும் சமதூரத்திலேயே உள்ளவாறு இயங்கும் ஒரு புள்ளியின் இயங்குவரையாகப் பரவளைவு வரையறுக்கப்படுகிறது. இவ்வரையறையில் குறிப்பிடப்படும் நிலையான புள்ளி பரவளைவின் குவியம் (வடிவவியல்)) எனவும் நிலையான கோடு பரவளைவின் இயக்குவரை எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன. பரவளைவின் இயக்குவரைக்குச் செங்குத்தாகக் குவியத்தின் வழியே செல்லும் கோடு பரவளைவின் சமச்சீர் அச்சு என அழைக்கப்படும். இந்த அச்சும் பரவளைவின் வளைவரையும் வெட்டிக் கொள்ளும் புள்ளி பரவளைவின் உச்சி (வளைவரை) எனப்படும். பரவளைவின் உச்சிப் புள்ளியில் வளைவரையின் வளைவு (கணிதம்) மிக அதிகமாக இருக்கும். பரவளைவுகள் மேற்புறம், கீழ்ப்புறம், இடப்புறம் மற்றும் வலப்புறம் திறந்த அமைப்புகளாக அமையலாம். பரவளைவுகள் வடிவொப்புமை (வடிவவியல்). தானுந்துகளில் அமைக்கப்பட்டுள்ள முகப்பு விளக்குகளிலிருந்து ஏவுகணைகள் வரை பரவளைவுகளின் பயன்பாடு விரிந்துள்ளது. இயற்பியல், பொறியியல் போன்ற முக்கியமான பலதுறைகளில் பரவளைவு பயன்படுகிறது.
கேள்வி: பரவளைவு - வரலாறு குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: File:Leonardo parabolic compass.JPG வடிவமைக்கப்பட்ட பரவளையக் கவராயம்]] Image:Parabolaconstruct.svg கூம்பு வெட்டுகளைப் பற்றி முதன்முதலாக கிமு நான்காம் நூற்றாண்டின் கிரேக்க நாடு கணிதவியலாளர் மெனக்மஸ் ஆராய்ந்துள்ளார். கவராயமும் நேர்விளிம்பும் கொண்டு தீர்க்கமுடியாத கணக்கான கனசதுரத்தை இரட்டிப்பாக்குதல் இவர் பரவளைவுகளைப் பயன்படுத்தித் தீர்வு கண்டார். (எனினும் அத்தீர்வு கவராயம் மற்றும் நேர்விளிம்பு வரைமுறை எதிர்நோக்கும் தேவைகளைப் பூர்த்தி செய்யவில்லை). கிமு மூன்றாம் நூற்றாண்டில் ஆர்க்கிமிடீஸ் அவரது படைப்பான ''The Quadrature of the Parabola'' இல் பரவளையத்துண்டு என அழைக்கப்பட்ட பரவளையத்துக்கும் ஒரு கோட்டுத்துண்டுக்கும் இடைப்பட்டப் பரப்பளவு கணக்கிடப்பட்டது. இந்த வளைவரைக்குப் பரவளைவு என்ற பெயரிட்டது கணிதவியலாளர் அப்பலோனியஸ். பரவளைவு மற்றும் பிற கூம்பு வெட்டிகளின் குவியம்-இயக்குவரை பண்பைக் கண்டுபிடித்தவர் அலெக்சாண்டிரியாவின் கணிதவியலாளர் பாப்பஸ். புவியீர்ப்பினால் ஏற்படும் சீரான முடுக்கம் விளைவாக ஒரு எறிபொருளின் பாதை பரவளைவாக அமைவதைக் கலீலியோ கலிலி கண்டுபிடித்தார். தெறிப்புவகைத் தொலைநோக்கிக் கண்டுபிடிக்கப்படும் முன்பே ஒரு பரவளைவுத் தெறிப்பியால் ஒரு பிம்பத்தை உருவாக்க முடியும் என்ற கருத்து நன்கறியப்பட்டிருந்தது., [http://books.google.com/books?id=PuN7l2A2uzQC&pg=PA3 Extract of page 3] ரெனே டேக்கார்ட், ''மாரின் மெர்சென்னே'Stargazer'', [http://books.google.com/books?id=2LZZginzib4C&pg=PA115&dq=mersenne+zucchi+parallel#PPA115,M1 p.&nbsp;115]. மற்றும் ''ஜேம்ஸ் கிரகரி'' ''Stargazer'', [http://books.google.com/books?id=2LZZginzib4C&pg=PA132&dq=Gregory++telescope+French+convex pp.&nbsp;123 and&nbsp;132] போன்ற பல கணிதவியலாளர்களால் அதற்கான வடிவமைப்புகள் முன் வைக்கப்பட்டன. 1668 இல் முதல் தெறிப்புவகைத் தொலைநோக்கி உருவாக்கிய ஐசாக் நியூட்டன் அமைப்பது கடினம் என்ற காரணத்தால் பரவளைய எதிரொளிப்பிக்குப் பதில் கோளவடிவ எதிரொளிப்பியைப் பயன்படுத்தினார். பெரும்பாலான தற்காலத்தைய தெறிப்புவகைத் தொலைநோக்கிகள், செயற்கைக்கோள் தட்டுகள் மற்றும் ராடார் ஏற்பிகளில் பரவளைய ஆடி (இயற்பியல்) பயன்படுத்தப்படுகின்றன.
கேள்வி: பரவளைவு - சமன்பாடு-கார்ட்டீசியன் ஆள்கூறுகளில் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: பரவளையத்தின் இயக்குவரையின் சமன்பாடு: ''x'' = −''p''; குவியம் (''p'',&nbsp;0) மற்றும் பரவளையத்தின் மீது ஏதேனும் ஒரு புள்ளி (''x'',&nbsp;''y'') எனில்: பாப்பசின் பரவளைய வரையறைப்படி, புள்ளிக்கும் குவியத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரமும் அப்புள்ளிக்கும் இயக்குவரைக்கும் இடையேயுள்ள தூரமும் சமமாக இருக்கும். :x+p=\sqrt{(x-p)^2+y^2}. இருபுறமும் வர்க்கம் (கணிதம்) சுருக்க: :y^2 = 4px\ இதுவே பரவளையத்தின் சமன்பாடாகும். இச்சமன்பாட்டில் ''x'' மற்றும் ''y'' இரண்டையும் பரிமாற்றக் கிடைக்கும் சமன்பாடு தருவது நிலைக்குத்து அச்சினைக் கொண்ட பரவளையம். :x^2 = 4py.\ பரவளையத்தின் உச்சியை ஆதியாக மட்டுமல்லாமல் வேறு ஏதேனுமொரு புள்ளி (''h'',&nbsp;''k'') ஆக எடுத்துக் கொண்டால் நிலைக்குத்து அச்சு கொண்ட பரவளைவின் சமன்பாடு: :(x-h)^{2}=4p(y-k).\, இச்சமன்பாட்டைப் பின்வருமாறும் கொள்ளலாம்: :y=ax^2+bx+c\, எனவே ''x'' இல் அமைந்த இருபடிச் சார்பு சார்பின் வரைபடம் நிலைக்குத்து அச்சினைக் கொண்டதொரு பரவளையமாகும். பொதுவாக பரவளையமானது கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமை பின்வரும் சமன்பாட்டால் (தரப்பட்டக் கட்டுப்பாட்டுக்கு உட்பட்டு) குறிக்கப்படும்: : A x^{2} + B xy + C y^{2} + D x + E y + F = 0 \, இச்சமன்பாடு பரவளைவைக் குறிப்பதற்குத் தேவையான கட்டுப்பாடு: :B^{2} = 4 AC,\, இச்சமன்பாட்டின் எண் கெழு எல்லாம் மெய்யெண்கள். மேலும் ''A'' மற்றும் ''C'' இரண்டும் ஒரே சமயத்தில் பூச்சியம் இருக்காது. இச்சமன்பாடு பரவளைவைக் குறிக்க, இரு நேரியல் சமன்பாடுகளாகக் காரணிப்படுத்த இயலாத ஒன்றாக இருக்க வேண்டும். பின்வரும் 3×3 அணிக்கோவையின் மதிப்பு பூச்சியமாக இல்லாமல் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே மேலே தரப்பட்ட சமன்பாட்டினைப் பிரிக்க முடியாது. :\det \begin{bmatrix} A & B/2 & D/2 \\ B/2 & C & E/2 \\ D/2 & E/2 & F \end{bmatrix} \not = 0 :அதாவது, (AC - B^2/4)F + BED/4 - CD^2/4 - AE^2/4 \not = 0 அவ்வாறு பிரிக்கக் கூடியதாயின் அச்சமன்பாடு இரட்டைக் கோடுகளைக் குறிக்கும். அவ்விரண்டு கோடுகளும் இணை (வடிவவியல்), கற்பனையான அல்லது ஒன்றோடொன்று பொருந்தும் கோடுகளாக அமையலாம்.Lawrence, J. Dennis, ''A Catalog of Special Plane Curves'', Dover Publ., 1972.
கேள்வி: பரவளைவு - தொகுப்பு என்பது என்ன?
பதில்: பரவளையத்தின் உச்சி (h,k) மற்றும் உச்சியிலிருந்து குவியத்திற்கும் இயக்குவரைக்கும் இடையேயுள்ள தூரங்கள் p எனில்:
கேள்வி: பரவளைவு - நிலைக்குத்து சமச்சீர் அச்சுடைய பரவளையம் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: கார்ட்டீசியன் வடிவம்: :(x - h)^2 = 4p(y - k) \, :y =\frac{(x-h)^2}{4p}+k\, :y = ax^2 + bx + c \, இங்கு :a = \frac{1}{4p}; \ \ b = \frac{-h}{2p}; \ \ c = \frac{h^2}{4p} + k; \ \ :h = \frac{-b}{2a}; \ \ k = \frac{4ac - b^2}{4a}. துணையலகு வடிவம்: :x(t) = 2pt + h; \ \ y(t) = pt^2 + k \,
கேள்வி: பரவளைவு - கிடைமட்ட சமச்சீர் அச்சுடைய பரவளையம் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: கார்ட்டீசியன் வடிவம்: :(y - k)^2 = 4p(x - h) \, :x =\frac{(y - k)^2}{4p} + h;\ \, :x = ay^2 + by + c \, இங்கு :a = \frac{1}{4p}; \ \ b = \frac{-k}{2p}; \ \ c = \frac{k^2}{4p} + h; \ \ :h = \frac{4ac - b^2}{4a}; \ \ k = \frac{-b}{2a}. துணையலகு வடிவம்: :x(t) = pt^2 + h; \ \ y(t) = 2pt + k \,
கேள்வி: பரவளைவு - ஏனைய வடிவவியல் வரையறைகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: *ஒரு பரவளையத்தை மையவிலக்கம் 1 ஆகக் கொண்ட கூம்பு வெட்டாகக் கருதலாம். இதன் விளைவாக அனைத்து பரவளைவுகளும் வடிவொப்புமை (வடிவவியல்). அதாவது அனைத்து பரவளையங்களின் அளவுகள் வெவ்வேறாக இருந்தாலும் அவற்றின் வடிவங்கள் சமமாக இருக்கும். *ஒரு குவியம் நிலையானதாகவும் மற்றொரு குவியம் ஏதாவது ஒரு திசையில் தொலைவாக நகருகின்ற நீள்வட்டத் தொடர்களின் எல்லையாக பரவளையத்தைக் கருதலாம். *இரண்டில் ஒரு குவியத்தினை முடிவிலியில் கொண்ட நீள்வட்டமாக, பரவளையத்தைக் கருதலாம். *இதயவளையின் நேர்மாறு உருமாற்றமாகப் பரவளையம் அமையும். பரவளைவிற்கு ஒரேயொரு பிரதிபலிப்புச் சமச்சீர் அச்சு உண்டு. இந்த அச்சு பரவளையத்தின் குவியத்தின் வழியாக இயக்குவரைக்குச் செங்குத்தாக அமையும். இந்த அச்சும் பரவளையமும் சந்திக்கும் புள்ளி பரவளையத்தின் உச்சி என அழைக்கப்படுகிறது. பரவளையமானது இவ்வச்சைப் பொறுத்து சுழல்வதால் உருவாகும் முப்பரிமாண வடிவம் பரவளையத்திண்மம் எனப்படும். பரவளைய வடிவத் தோற்றங்களை நடைமுறையில் பல இடங்களில் காண முடியும்.
கேள்வி: பரவளைவு - குவியம் காணல் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: Image:Parabola with focus and directrix.svg Image:Parabola with focus and arbitrary line.svg ஆதி (0,0) யை உச்சியாகவும் ''y''-அச்சை சமச்சீர் அச்சாகவும் கொண்ட பரவளையம்: : y = a x^2\,\! குவியம் ''F'' (0,''f'') மற்றும் இயக்குவரை கோடு ''L'' மற்றும் ''P'' பரவளையத்தின் மீது ஏதேனும் ஒரு புள்ளி எனில் பரவளையத்தின் வரையறைப்படி: : \| FP \| = \| QP \| இயக்குவரை பரவளையத்தின் சமச்சீர் அச்சிற்குச் செங்குத்தாக இருக்கும் என்பதால் இங்கு இயக்குவரை ''x'' அச்சுக்கு இணையாகவும் (0,-''f'') புள்ளிவழியாக செல்வதாகவும் இருக்கும். எனவே பரவளையத்தின் மீதான புள்ளி ''P=(x,y)'' ஆனது (0,''f'') மற்றும் (''x'',-''f'') ஆகிய இரு புள்ளிகளிலிருந்தும் சமதூரத்தில் அமையும். ''x'' மற்றும் ''f-y'' இரண்டையும் ஒரு செங்கோண முக்கோணம் தாங்கிப் பக்கங்களாகக் கொண்டால் அதன் செம்பக்கம் ''FP'': : \| FP \| = \sqrt{ x^2 + (f - y)^2 }\,\! மேலும் ''QP'': : \| QP \| = f + y\,\! இரண்டையும் சமப்படுத்த: : \| FP \| = \| QP \| \,\! : \sqrt{x^2 + (f - a x^2 )^2 } = f + a x^2\,\! இருபுறமும் வர்க்கம் (கணிதம்) காண: : x^2 + (f^2 - 2 a x^2 f + a^2 x^4) = (f^2 + 2 a x^2 f + a^2 x^4)\,\! : x^2 - 2 a x^2 f = 2 a x^2 f\,\! : x^2 = 4 a x^2 f\,\! ''x²'' ஆல் வகுக்க (''x'' பூச்சியமற்றதாகக் கொள்ளப்படுகிறது): : 1 = 4 a f\,\! : f = {1 \over 4 a }\,\! எனவே பரவளையம் y=ax^2 என்பதை 4fy = x^2\,\! என எழுதலாம். *பரவளையத்தின் சமன்பாடு y=x^2 எனில் அதன் குவியம் ''F'' (0,¼) ஆகும். *பரவளையத்தின் சமன்பாடு y=ax^2+bx+c\,\! எனில் அதன் குவியம்: :\left (\frac{-b}{2a},\frac{-b^2}{4a}+c+\frac{1}{4a} \right)\,\! :\left (\frac{-b}{2a},c-\frac{b^2-1}{4a} \right)\,\! இயக்குவரையின் சமன்பாடு: :y=\frac{-b^2}{4a}+c-\frac{1}{4a}\,\! :y=c-\frac{b^2+1}{4a}\,\!
கேள்வி: பரவளைவு - நம்மைச் சுற்றிக் காணப்படும் பரவளைவுகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: Image:Bouncing ball strobe edit.jpg Image:ParabolicWaterTrajectory.jpg