கேள்வி: சமானம், மாடுலோ n - சமான எண்கணிதம் பயன்படும் ஓர் அன்றாட வழக்கு பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: File:Clock group.svg இன்றைய நேரம் இப்பொழுது காலை 9 மணியென்றால், இன்னும் 8 மணிநேரம் கழித்து மணி 17 ஆக இருக்கும் என்று சொல்வதில் தவறொன்றுமில்லை. ஆனாலும் மக்கள் அதை மணி மாலை 5 ஆக இருக்கும் என்று சொல்வார்கள், அப்படிப் புரிந்தும் கொள்வார்கள். இங்கு நாம் நம்மை அறியாமலே ஒரு சமான எண்கணிதம் கணிக்கிறோம். அதாவது, 9 + 8 =17 ஆக இருந்தாலும் 17 -12 = 5, என்று 12 மணி ஆனவுடன் அதைத் 'தள்ளிவிட்டு', மறுபடியும் 1 இலிருந்து தொடங்கி 1,2,3, என்று எண்ணுகிறோம். இதுதான் ''சமான எண்கணிதம்'' (Congruence arithmetic).
கேள்வி: சமானம், மாடுலோ n - வரலாறு என்பது என்ன?
பதில்: சமான எண்கணிதத்தின் அடிப்படைக் கருத்துகள் யூக்ளிடு அவரது படைப்பான, யூக்ளிட்டின் எலிமென்ட்ஸ் ஏழாவது பாகத்தில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டுள்ளன.
கேள்வி: சமானம், மாடுலோ n - கணிதத்தில் வரையறை குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: a, b, n முழு எண்களானால் a யும் b யும் n மாடுலோ சமானம் பெற்றிருக்கின்றன என்பதற்கு இலக்கணம்: ::* a - b, எண் n இன் முழு எண் பெருக்காக இருக்கும்.(அ-து, n ஆல் சரியாக வகுபடும்) இதற்குக்குறியீடு: : a \equiv b (mod n) இதன் உச்சரிப்பு: : a சமானம் b, மாடுலோ n இங்கு 'mod' என்ற ஆங்கிலச்சொற்குறி, 'modulus' (மட்டு) என்ற சொல்லுக்காக நிற்கிறது. 'மாடுலோ' என்ற பயன்பாடும் அச்சொல்லிலிருந்து உருவானது. இச்சொல் உலகில் எல்லா மொழிகளிலும் இப்படியே பயன்படுத்தப்பட்டு வருவதாகத் தெரிகிறது.
கேள்வி: சமானம், மாடுலோ n - உடன்விளைவு பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: 'சமானம் மாடுலோ n' ஒரு சமான உறவு (கணிதம்). ஏனென்றால், * அது ஒரு எதிர்வு உறவு. அதாவது, a \equiv a (mod n) * அது ஒரு சமச்சீர் உறவு. அதாவது, a \equiv b (mod n) \Rightarrow b \equiv a (mod n) * அது ஒரு கடப்பு உறவு. அதாவது, a \equiv b (mod n) மற்றும் b \equiv c (mod n) \Rightarrow a \equiv c (mod n)
கேள்வி: சமானம், மாடுலோ n - எடுத்துக்காட்டுகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: * 17 \equiv 5 (mod 12) ஏனென்றால், 17 - 5 = 12 * 365 \equiv 1 (mod 7) ஏனென்றால், 365 - 1 = 364; இது 7 ஆல் சரியாக வகுபடுகிறது. * 27 \equiv 0(mod 3) ஏனென்றால், 27 - 0 =27; இது 3 ஆல் சரியாக வகுபடுகிறது. * 100 \equiv 34 (mod 6) ஏனென்றால், 100 - 34 = 66; இது 6 ஆல் சரியாக வகுபடுகிறது. * -13 \equiv 2 (mod 5) ஏனென்றால் -13 -2 = -15; இது 5 ஆல் சரியாக வகுபடுகிறது முதல் மூன்று எடுத்துக்காட்டுகளை வேறுவிதமாகவும் பார்க்கலாம். :17 ஐ 12 ஆல் வகுத்தால் மீதி (கணிதம்) 5; அல்லது, 17ம் 5ம் 12 ஆல் வகுபடும்போது ஒரே மீதியை அளிக்கின்றன :365 ஐ 7 ஆல் வகுத்தால் மீதி 1; அல்லது, 365ம் 1ம் 7ஆல் வகுபடும்போது ஒரே மீதியை அளிக்கின்றன. :27 ஐ 3 ஆல் வகுத்தால் மீதி 0; அல்லது 27ம் 0வும் 3 ஆல் வகுபடும்போது ஒரே மீதியை அளிக்கின்றன. :100 ஐ 6 ஆல் வகுத்தால் 34 மீதி வராது. ஆனாலும், 100, 34 இரண்டும் 6 ஆல் வகுபடும்போது ஒரே மீதியை அளிக்கின்றன. இந்த இரண்டாவது பண்பைக்கொண்டு சமானம் மாடுலோ n க்கு இப்படியும் இலக்கணம் வரையலாம்: n ஒரு நேர்ம முழுஎண்ணாகவும், a, b இரண்டும் எதிர்ம எண்களாக இல்லாமலும் இருந்தால் a \equiv b (mod n) க்கு இன்னொரு இலக்கணம்: ::* a யும் b யும் n ஆல் வகுபடும்போது ஒரே மீதியை அளிக்கும். எனினும் a, n ஆல் வகுபடும்போது b மீதமாக வராத பட்சத்தில், இந்தச் சமானத்தை கணினிப் பொறியாளர்கள் a \equiv b (modulo n) என்று எழுதுகிறார்கள். ஆக 100 \equiv 34 (modulo 6) மேலும், a \equiv 0 (mod n) என்று சொல்வதற்குப் பொருள்: a என்ற எண், n ஆல் சரியாக வகுபடுகிறது. எல்லாப்பட்சத்திலும் a \equiv b (mod n) \Longleftrightarrow \exists முழு எண் q \ni a = nq + b
கேள்வி: சமானம், மாடுலோ n - மற்ற விளைவுகள் என்பது என்ன?
பதில்: * a \equiv b(mod n), மற்றும் c \equiv d(mod n) என்றால் : a + c \equiv (b + d) (mod n) : a - c \equiv (b-d) (mod n) : k ஒரு முழு எண்ணானால், ka \equiv kb (mod n) : ac \equiv bd (mod n) : m ஒரு நேர்ம முழு எண்ணானால், a^m \equiv b^m (mod n) இவ்விளைவுகளெல்லாம் சேர்ந்ததுதான் மாடுலோ எண் கணிதம் (modular arithmetic) எனப்படும்.
கேள்வி: சமானம், மாடுலோ n - எச்சத் தொகுதிகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: மட்டு ''n'' இன் ஒவ்வொரு எச்சத் தொகுதியையும் அத்தொகுதிக்குரிய எந்தவொரு உறுப்பைக் கொண்டும் அடையாளப்படுத்தலாம். எனினும் அத்தொகுதிக்குரிய மிகச்சிறிய எதிர்மமில்லா முழுஎண்ணே அத்தொகுதியைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. மட்டு ''n'' இன் இரு வெவ்வேறு எச்சத் தொகுதியின் உறுப்புகள் மட்டு ''n'' ஐப் பொறுத்து சமானமானதாக இருக்காது. மேலும், ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் மட்டு ''n'' இன் ஏதாவது ஒரேயொரு எச்சத் தொகுதியின் உறுப்பாக மட்டுமே இருக்கும். {0, 1, 2, ..., ''n''−1} என்ற முழுஎண் கணம், மட்டு ''n'' இன் ”மீச்சிறு எச்சத் தொகுதி” எனவும், மட்டு ''n'' ஐப் பொறுத்து ஒன்றுக்கொன்று சமானமாக இல்லாத ''n'' முழுஎண்களின் கணம், மட்டு ''n'' இன் ”முழுமையான எச்சத் தொகுதி” எனவும் அழைக்கப்படும்.. மீச்சிறு எச்சத் தொகுதியானது முழுமையான எச்சத்தொகுதியாகவும் இருக்கும். மட்டு ''n'' இன் எச்சத் தொகுதிகள் ஒவ்வொன்றிலிருந்தும் ஒரு உறுப்பைக் கொண்டதாக முழுமையான எச்சத் தொகுதி அமையும். :மட்டு 4 இன் மீச்சிறு எச்சத் தொகுதி: {0, 1, 2, 3}. :மட்டு 4 இன் முழுமையான எச்சத் தொகுதிகளில் சில: *{1, 2, 3, 4} *{13, 14, 15, 16} *{−2, −1 ,0, 1} *{−13, 4, 17, 18} *{−5, 0, 6, 21} *{27, 32, 37, 42} :மட்டு 4 இன் முழுமையற்ற எச்சத் தொகுதிகளில் சில: *{−5, 0, 6, 22} (மட்டு 4 ஐப் பொறுத்து 6, 22 க்குச் சமானம் இல்லை) *{5, 15} (மட்டு 4 இன் எச்சத்தொகுதிகள் ஒவ்வொன்றுக்கும் ஒரு உறுப்பு என ஒரு மட்டு 4 இன் ஒரு முழுமையான எச்சத் தொகுதி 4 உறுப்புகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்)
கேள்வி: சமானம், மாடுலோ n - முற்றிசைவுப் பகுதிகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: சமானம் மட்டு ''n'' ஒரு சமான உறவு (கணிதம்). ஏதேனுமொரு முழு எண் ''a'' க்குரிய சமானப் பகுதி :\overline{a}_n = \left\{\ldots, a - 2n, a - n, a, a + n, a + 2n, \ldots \right\}. இது மட்டு ''n'' ஐப் பொறுத்து ''a'' க்குச் சமானமாக உள்ள முழுஎண்களைக் கொண்ட கணமாகும். இக்கணம் &nbsp;மட்டு&nbsp;''n'' இன் ”முற்றிசைவுப் பகுதி” அல்லது ”எச்சப் பகுதி” அல்லது ”மட்டு&nbsp;''n'' க்கான முழுஎண் ''a'' இன் எச்சம்” என அழைக்கப்படுகிறது. ''n'' அறியப்பட்ட நிலையில் இதனைச் சுருக்கமாக, \displaystyle [a] எனவும் குறிக்கலாம்.
கேள்வி: சமானம், மாடுலோ n - வெளியிணைப்புகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: * * In this [http://britton.disted.camosun.bc.ca/modart/jbmodart.htm modular art] article, one can learn more about applications of modular arithmetic in art. * * An [http://mersennewiki.org/index.php/modular_arithmetic article] on modular arithmetic on the GIMPS wiki * [http://www.cut-the-knot.org/blue/Modulo.shtml Modular Arithmetic and patterns in addition and multiplication tables] * [http://wheelof.com/whitney Whitney Music Box]—an audio/video demonstration of integer modular math பகுப்பு:எண் கோட்பாடு பகுப்பு:குலக்கோட்பாடு