கேள்வி: திணிவு மையம் - பண்புகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: ஒரு குவிவான பொருளின் திணிவு மையமானது எப்பொழுதும் அப்பொருளுக்குள்ளேயே அமையும். குவிவாக இல்லாத பொருளின் திணிவு மையம் அப்பொருளுக்கு வெளியில் அமையலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு வளையம் அல்லது கிண்ணத்தின் திணிவு மையங்கள் அவற்றின் மைய வெற்றுப்பகுதியில் அமைகின்றன. ஒரு பொருளின் திணிவு மையம் வரையறுக்கப்பட்டிருந்தால், அது அப்பொருளின் சமஅளவை உருமாற்றங்களின் சமச்சீர் குலத்தின் நிலைப்புள்ளியாகும். குறிப்பாக, ஒரு பொருளின் வடிவுசார் மையமானது அதன் அனைத்து சமச்சீர் மீத்தளங்களின் வெட்டுப்பகுதியில் அமையும். ஒழுங்குப் பலகோணம், ஒழுங்கு பண்முகத்திண்மம், உருளை (வடிவவியல்), செவ்வகம், சாய்சதுரம், வட்டம், கோளம், நீள்வட்டம், நீளுருண்டை போன்ற பல வடிவங்களின் திணிவு மையங்களை இம்முறையில்தான் காண முடியும். * ஒரு இணைகரம் திணிவு மையமானது, அதன் மூலைவிட்டம் வெட்டும் புள்ளியாகும். ஆனால் நாற்கரம் இது பொருந்தாது. இதேபோல் இடப்பெயர்ச்சி உருமாற்றத்திற்கு நிலைப்புள்ளிகள் எதுவும் இடையாது என்பதால், சமச்சீர் இடப்பெயர்ச்சி உருமாற்றமுடைய பொருட்களுக்கு, ஒன்று திணிவு மையம் கிடையாது, அப்படியே இருந்தாலும் அது அப்பொருளுக்கு வெளியே அமையும்.
கேள்வி: திணிவு மையம் - குண்டு நூல் முறை குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: கீழே காட்டப்பட்டுள்ள ஒரு சீரான இருபரிமாணத் தகட்டின்(படம்-a) திணிவு மையத்தை ஒரு குண்டு நூல் மற்றும் ஊசியைக் கொண்டு பரிசோதனைமூலம் காணலாம். *(படம்-b)தகட்டின் ஒரு முனையை, அது எளிதாகச் சுழலக்கூடியவகையில் ஊசியில் மாட்டிவிட வேண்டும். பிறகு குண்டு நூலை ஊசியிலிருந்து தொங்கவிட வேண்டும். இப்போது அக்குண்டு நூலின் நிலையை அத்தகட்டில் குறித்துக் கொள்ள வேண்டும். இதேபோல் மீண்டும் தகட்டை வேறொரு முனையில் மாட்டிவிட்டு, குண்டுநூலின் நிலையைக் குறிக்க வேண்டும். இப்பொழுது தகட்டில் குண்டு நூலின் இரு வேறுபட்ட நிலைகளைக் குறிக்கும் கோடுகள் இருக்கும். *(படம்-c)அவ்விரு கோடுகளும் சந்திக்கும் புள்ளி அத்தகட்டின் திணிவு மையமாகும். இந்த சோதனைமூலம் சீரான அடர்த்தியும் மாறாத வடிவமும் உடைய எந்தவொரு இரு பரிமாணப் பொருளுக்கும் திணிவு மையம் காணலாம். Image:Center gravity 0.svg Image:Center gravity 1.svg Image:Center gravity 2.svg (a) (b) (c) இம்முறையைக் குவிவல்லாத வடிவங்களுக்கும் சீரான அடர்த்தியுடைய திடப்பொருள்களுக்கும் நீட்டிக்கலாம்(கோட்பாட்டில்). ஆனால் குண்டு நூல்களின் நிலைகளைக் குறிப்பதற்கு வரைதலைத் தவிர்த்து மாற்று முறைகளைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.
கேள்வி: திணிவு மையம் - முடிவுறு எண்ணிக்கையுள்ள புள்ளிகளுக்கு பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: முடிவுறு எண்ணிக்கை கொண்ட {k} புள்ளிகள்: :\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\ldots,\mathbf{x}_k in \mathbb{R}^n இப்புள்ளிகளின் திணிவு மையம்: :\mathbf{C} = \frac{\mathbf{x}_1+\mathbf{x}_2+\cdots+\mathbf{x}_k}{k}
கேள்வி: திணிவு மையம் - வடிவத்தைப் பிரிப்பது மூலம் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: ஒரு தளவுருவை, எளிய வடிவங்களாக முடிவுறு என்ணிக்கையில் பிரித்து அதன் திணிவு மையத்தைக் காணலாம். தளவுரு: X :பிரிக்கப்பட்ட எளிய வடிவங்கள்: :X_1,X_2,\dots,X_n, இவை ஒவ்வொன்றின் பரப்பு A_i. :இப்பரப்புகளின் திணிவு மையங்கள்: C_i :X -ன் திணிவு மையம்: : C = \frac{\sum C_i A_i}{\sum A_i}. பிரிக்கப்பட்ட பகுதிகளில் ஒன்றின்மீது ஒன்றாகப் படியும் X -லுள்ள துளைகளையும் X -க்கு வெளியில் அமையும் பகுதிகளையும் குறைக்குறியுடைய பரப்புகளைக் கொண்டு சரி செய்யலாம். ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளி p -யைக் கொண்டுள்ள எல்லாப் பகுதிகளின் பரப்புகள் A_i -ன் குறிகளின் கூடுதல், அப்புள்ளி X -ல் இருந்தால் 1 ஆகவும் இல்லையெனில் 0 ஆகவும் இருக்குமாறு A_i -க்களின் குறிகளை எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும். எடுத்துக்காட்டு: படம் (a) -லுள்ள வடிவம்: *மிகைக்குறி கொண்ட பரப்புடைய சதுரம் மற்றும் முக்கோணமாகவும், குறைக்குறி கொண்ட பரப்புடைய வட்டத்துளையாகவும் படம் (b) ல் பிரித்துக் காட்டப்பட்டுள்ளது. Image:COG 1.svg Image:COG 2.svg Image:COG 3.svg (a) (b) (c) *பிரிக்கப்பட்ட பகுதிகளின் திணிவு மையத்தை, திணிவு மையங்களின் பட்டியல் கண்டுபிடிக்கலாம். எடுத்துக்கொண்ட வடிவத்தின் திணிவு மையம் மூன்று புள்ளிகளின் எடையிடப்பட்ட சராசரியாகும். வடிவத்தின் இடது விளிம்பிலிருந்து திணிவு மையத்தின் கிடைமட்ட நிலை: :x = \frac{5 \times 10^2 + 13.33 \times \frac{1}{2}10^2 - 3 \times \pi(2.5)^2}{10^2 + \frac{1}{2}10^2 -\pi(2.5)^2} \approx 8.5 \mbox{ units} இதே வாய்ப்பாடு எந்தவொரு முப்பரிமாணப் பொருளுக்கும் பொருந்தும். ஆனால் ஒவ்வொரு A_i -ம் பரப்பாக இல்லாமல், X_i, -ன் கன அளவு இருக்க வேண்டும். எந்தவொரு பரிமாணம் d -லும் \R^d -ன் எந்தவொரு கணம் (கணிதம்)#உட்கணங்கள் இந்த வாய்ப்பாடு பொருந்தும். பிரிக்கப்பட்ட பகுதிகளின் பரப்பிற்குப் பதில் d -பரிமாண அளவுகளை எடுக்க வேண்டும்
கேள்வி: திணிவு மையம் - தொகையிடல் மூலம் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: \R^n -ன் உட்கணம் ''X'' -ன் திணிவு மையத்தைத் தொகையீடு மூலம் காணலாம்: :C = \frac{\int x g(x) \; dx}{\int g(x) \; dx} இத்தொகையீடானது, \R^n வெளிமீது முழுவதுமாகத் தொகையிடப்படுகிறது. ''g'' என்பது ''X'' உட்கணத்தின் சிறப்பியல்புச் சார்பு. எனவே ''g'' -ன் மதிப்பு ''X'' -க்குள் 1. மற்றும் ''X'' -க்கு வெளியே 0 ஆகும். வாய்ப்பாட்டிலுள்ள பின்னம் பகுதியானது, உட்கணம் ''X'' -ன் அளவையாகும் (measure). (''X'' -ன் அளவைப் பூச்சியம் இருந்தாலோ அல்லது தொகையீடு விரிந்தாலோ இவ்வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்த முடியாது.) திணிவு மையத்தின் மற்றொரு வாய்ப்பாடு: :C_k = \frac{\int z S_k(z) \; dz}{\int S_k(z) \; dz} இங்கு, :''C'k'' என்பது ''C'' -ன் k-அச்சுதூரம். :''S'k''(''z'') என்பது, ''x'k'' = ''z'' என்ற சமன்பாடு வரையறுக்கும் மீத்தளமும் ''X'' -ம் வெட்டும் பகுதியின் அளவையாகும். இதிலும் வாய்ப்பாட்டின் பின்னத்தின் பகுதியானது, ''X'' -ன் அளவையாகும் ஒரு தளவுருவத்தின் பொருள்-நிறை மையத்தின் அச்சுதூரங்கள்: :C_{\mathrm x} = \frac{\int x S_{\mathrm y}(x) \; dx}{A} :C_{\mathrm y} = \frac{\int y S_{\mathrm x}(y) \; dy}{A} இங்கு, :வடிவம் ''X'' -ன் பரப்பு ''A'' ; :''S''y(''x'') என்பது ''x'' அச்சுதூரத்தில் அமையும் நிலைக்கோட்டுடன் ''X'' -ன் வெட்டுப்பகுதியின் நீளம். :''S''x(''y'') என்பது ''S''y(''x'') -ல் அச்சுகளை மாற்றிக் கணக்கிடும் ஒத்த மதிப்பாகும்.
கேள்வி: திணிவு மையம் - பல்கோணத்தின் திணிவு மையம் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: தனக்குள்ளாக வெட்டிக்கொள்ளாத மூடிய பல்கோணம் திணிவு மையம்: பல்கோணத்தின் ''n'' உச்சிகள்: (''x''0,''y''0), (''x''1,''y''1), ..., (''x'n''&minus;1,''y'n''&minus;1) :திணிவு மையம்: (''C''x, ''C''y), : C_{\mathrm x} = \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{n-1}(x_i+x_{i+1})(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i) : C_{\mathrm y} = \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{n-1}(y_i+y_{i+1})(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i) இங்கு ''A'' என்பது பல்கோணத்தின் குறியிடப்பட்ட பரப்பாகும். : A = \frac{1}{2}\sum_{i=0}^{n-1} (x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)\; இந்த வாய்ப்பாடுகளில் பலகோணத்தின் உச்சிகள் சுற்றளவு வழியாக வரிசையாக எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது. உச்சிகள் ( ''x'n'' , ''y'n'' ) மற்றும் ( ''x''0 , ''y''0 ) இரண்டும் ஒன்றாகக் கருதப்படுகின்றன. உச்சிகள் கடிகார திசையில் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்டால் மேற்கண்டவாறு கணக்கிடப்படும் பரப்பு ''A'', குறைக்குறி கொண்டதாக அமையும். எனினும் திணிவு மையத்தின் அச்சுதூரங்கள் இதனால் மாறுவதில்லை.
கேள்வி: திணிவு மையம் - கூம்பு மற்றும் பிரமிடின் திணிவு மையங்கள் என்பது என்ன?
பதில்: கூம்பு மற்றும் பிரமிடின் திணிவு மையமானது, முகட்டிலிருந்து அடிப்பக்கத்தின் திணிவு மையத்தை இணைக்கும் கோட்டின் மீது அமைகிறது. திடக்கூம்பு மற்றும் திடப்பிரமிடின் திணிவு மையம், அடிப்பக்கத்திலிருந்து முகட்டின் தூரத்தில் ¼ அளவிலான இடத்திலும், அடிப்பக்கம் இல்லாத(உள்ளீடற்ற) கூம்பு மற்றும் பிரமிடின் திணிவு மையம், அடித்தளத்திலிருந்து முகட்டின் தூரத்தில் 1/3 அளவிலும் அமையும்.