கேள்வி: வெளி-தொடு நாற்கரம் - சிறப்பு வகைகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: பட்டம் (வடிவவியல்) வெளி-தொடு நாற்கரங்களாகும். இணைகரம் (சதுரம், சாய்சதுரம், செவ்வகம்) வெளிவட்ட ஆரத்தை முடிவிலியாகக் கொண்ட வெளி-தொடு நாற்கரங்களாகக் கருதலாம். ஏனெனில் இணைகரங்கள், கீழே தரப்பட்டுள்ள கட்டுப்பாடுகளை நிறைவு செய்தாலும் அவற்றின் எதிர்ப்பக்கங்கள் இணை (வடிவவியல்) உள்ளதால் அவ்விணை பக்கங்களின் நீட்டிப்புகள் வெளிவட்டத்திற்கு தொடுகோடுகளாக அமையாது. கூட்டுத் தொடர் அமையும் பக்க நீளங்களைக் கொண்ட குவிவு நாற்கரங்கள் கீழுள்ள கட்டுப்பாடுகளை நிறைவு செய்வதால், வெளி-தொடு நாற்கரங்களாக அமையும்.
கேள்வி: வெளி-தொடு நாற்கரம் - பண்புகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: ஒரு குவிவு நாற்கரத்தில், ஒரு சோடி அடுத்தடுத்த பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றொரு சோடி அடுத்தடுத்த பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அந்த நாற்கரம், ஒரு வெளி-தொடு நாற்கரமாக இருக்கும். அதாவது நாற்கரத்தின் பக்கங்கள் ''a, b, c, d'' -எனில்: :a+b=c+d \, அல்லது a+d=b+c \, என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அது வெளி-தொடு நாற்கரமாக இருக்கும். இதனை 1846-ல் ''ஜேக்கப் ஸ்டீனர்'' நிரூபித்துள்ளார்.F. G.-M., ''Exercices de Géométrie'', Éditions Jacques Gabay, sixiéme édition, 1991, p. 318. இவ்விரண்டு கட்டுப்பாடுகளுக்கு இணையாக, எதிரெதிர்ப் பக்கங்களின் வித்தியாசங்களின் தனிமதிப்புகள் சமமாக இருக்க வேண்டும் எனவும் கூறலாம். :|a-c| = |b-d| \, இம்முடிவு, தொடு நாற்கரங்களின் பிட்டாட் தேற்றம் சமானமானதாக உள்ளது. பிட்டாட் தேற்றத்தின்படி, ஒரு தொடு நாற்கரத்தின் எதிரெதிர்ப் பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகைகள் சமமாக இருக்கும்.
கேள்வி: வெளி-தொடு நாற்கரம் - உர்க்கார்ட்டின் தேற்றம் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ஒரு குவிவு நாற்கரம் ''ABCD'' -ன் எதிரெதிர் பக்கங்கள் ''E'' மற்றும் ''F'' புள்ளிகளில் வெட்டிக்கொண்டால்: :AB+BC=AD+DC\,\,\Leftrightarrow\,\,AE+EC=AF+FC. வெகு காலத்துக்கு முன்பே 1841-ல் ''அகஸ்டஸ் டி மார்கனால்'' வலதுபக்க முடிவு நிரூபிக்கப்பட்டிருந்தாலும் அது ''எல். எம். உர்க்கார்ட்டின்'' (1902-1966) பெயராலேயே அழைக்கப்படுகிறது. நேர்கோடுகளையும் தூரங்களையும் மட்டுமே கருத்தில் கொண்டுள்ளதால் இதனை ''டானியல் பீடோ'' யூக்ளிடின் வடிவவியலின் ''மிகவும் எளிய அடிப்படையான தேற்றம்'' என அழைத்தார். Mowaffaq Hajja, ''A Very Short and Simple Proof of “The Most Elementary Theorem” of Euclidean Geometry'', Forum Geometricorum Volume 6 (2006) pp. 167–169 [http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200616.pdf]
கேள்வி: வெளி-தொடு நாற்கரம் - வெளி-இருமைய நாற்கரம் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: ஒரு வெளி-தொடுநாற்கரத்திற்கு ஒரு சூழ்தொடு வட்டம் இருந்தால் அது வெளி-இரு மைய நாற்கரம் (''ex-bicentric quadrilateral'') என அழைக்கப்படும்.. இதற்கு இரண்டு எதிர் மிகைநிரப்புக் கோணங்கள் உள்ளதால் இதன்பரப்பு: :\displaystyle K = \sqrt{abcd}
கேள்வி: வெளி-தொடு நாற்கரம் - விளக்கம் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: வெளி தொடு நாற்கரத்தின் பரப்பு: :\displaystyle K = \sqrt{abcd} \sin{\frac{B+D}{2}}. வெளி-இருமைய நாற்கரத்தின் எதிர்கோணங்கள் மிகைநிரப்புக் கோணங்கள் என்பதால்: :B+D =\pi\, :\frac{B+D}{2} =\frac{ \pi}{2} :\sin{\frac{B+D}{2}}= \sin{\frac{ \pi}{2}}=1 எனவே வெளி-இருமைய நாற்கரத்தின் பரப்பு: :\displaystyle K = \sqrt{abcd} இதுவே இரு மைய நாற்கரம் பரப்பும் ஆகும். சுற்றுவட்ட மையத்திற்கும் வெளிவட்ட மையத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரம் ''x'' எனில்: : \frac{1}{(R-x)^2}+\frac{1}{(R+x)^2}=\frac{1}{\rho^2}, இங்கு ''R'' -சுற்றுவட்ட ஆரம்; ''\rho'' - வெளிவட்ட ஆரம். இச்சமன்பாடு இரு மைய நாற்கரத்தின் இரு மைய நாற்கரம்#ஃபஸ்ஸின் தேற்றமும் கார்லிட்ஸின் முற்றொருமையும்தான். ஆனால் ''x'' -ன் தீர்வு காணும்போது, இரு மைய நாற்கரத்திற்கு போலல்லாமல் இருபடிச் சமன்பாடு மற்றொரு மூலத்தை எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும். எனவே வெளி-இருமைய நாற்கரத்திற்கு: : x=\sqrt{R^2+\rho^2+\rho\sqrt{4R^2+\rho^2}}. இவ்வாய்ப்பாட்டிலிருந்து: :\displaystyle x>R+\rho, இம்மதிப்பிலிருந்து வெளி-இருமைய நாற்கரத்தின் சுற்றுவட்டமும் வெளிவட்டமும் ஒருபோதும் வெட்டிக்கொள்ளாது என்பதை அறிந்து கொள்ளலாம்.