கேள்வி: ஆய்லரின் டோஷண்ட் சார்பு பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: கணிதம், குறிப்பாக எண் கோட்பாடு, ஆய்லர் டோஷண்ட் சார்பு (''Euler's totient function'') ஒரு முக்கியமான சார்பு.See #Euler's theorem.
கேள்வி: ஆய்லரின் டோஷண்ட் சார்பு - வரையறை என்பது என்ன?
பதில்: n ஒரு எண் ணானால், n-ஐ விடப் பெரியதல்லாததாகவும், n-ஐப் பகா எண் ணாகவும் (அ-து,n-உடன் 1 ஐத்தவிர வேறு எந்த பொதுக் காரணியையும் கொள்ளாதது) இருக்கும் நேர்ம முழு எண்களின் எண்ணிக்கை \varphi(n) எனப்படும். \varphi: n\mapsto\varphi(n) என்ற சார்பிற்கு ஆய்லர் டோஷண்ட் சார்பு அல்லது ஆய்லர் \varphi-சார்பு எனப் பெயர். எ.கா.: :* \varphi(6) = |\{1,5\}| = 2. :* \varphi(20) = |\{ 1,3,7,9,11,13,17,19\}| = 8. :* சிறப்பு எடுத்துக்காட்டு: p ஒரு பகா எண்ணானால், \varphi(p) = p - 1.
கேள்வி: ஆய்லரின் டோஷண்ட் சார்பு - டோஷண்ட் சார்பின் முதல் 100 மதிப்புகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: {| border="1" cellpadding="5" width="200" align="center" | align="center" | n\, | align="center" | 1 | align="center" | 2 | align="center" | 3 | align="center" | 4 | align="center" | 5 | align="center" | 6 | align="center" | 7 | align="center" | 8 | align="center" | 9 | align="center" | 10 | align="center" | 11 | align="center" | 12 | align="center" | 13 | align="center" | 14 | align="center" | 15 | align="center" | 16 | align="center" | 17 | align="center" | 18 | align="center" | 19 | align="center" | 20 |- | align="center" | \varphi(n) | align="center" | 1 | align="center" | 1 | align="center" | 2 | align="center" | 2 | align="center" | 4 | align="center" | 2 | align="center" | 6 | align="center" | 4 | align="center" | 6 | align="center" | 4 | align="center" | 10 | align="center" | 4 | align="center" | 12 | align="center" | 6 | align="center" | 8 | align="center" | 8 | align="center" | 16 | align="center" | 6 | align="center" | 18 | align="center" | 8 |- | border="0" | |- | align="center" | n\, | align="center" | 21 | align="center" | 22 | align="center" | 23 | align="center" | 24 | align="center" | 25 | align="center" | 26 | align="center" | 27 | align="center" | 28 | align="center" | 29 | align="center" | 30 | align="center" | 31 | align="center" | 32 | align="center" | 33 | align="center" | 34 | align="center" | 35 | align="center" | 36 | align="center" | 37 | align="center" | 38 | align="center" | 39 | align="center" | 40 |- | align="center" | \varphi(n) | align="center" | 12 | align="center" | 10 | align="center" | 22 | align="center" | 8 | align="center" | 20 | align="center" | 12 | align="center" | 18 | align="center" | 12 | align="center" | 28 | align="center" | 8 | align="center" | 30 | align="center" | 16 | align="center" | 20 | align="center" | 16 | align="center" | 24 | align="center" | 12 | align="center" | 36 | align="center" | 18 | align="center" | 24 | align="center" | 16 |- | border="0" | |- | align="center" | n\, | align="center" | 41 | align="center" | 42 | align="center" | 43 | align="center" | 44 | align="center" | 45 | align="center" | 46 | align="center" | 47 | align="center" | 48 | align="center" | 49 | align="center" | 50 | align="center" | 51 | align="center" | 52 | align="center" | 53 | align="center" | 54 | align="center" | 55 | align="center" | 56 | align="center" | 57 | align="center" | 58 | align="center" | 59 | align="center" | 60 |- | align="center" | \varphi(n) | align="center" | 40 | align="center" | 12 | align="center" | 42 | align="center" | 20 | align="center" | 24 | align="center" | 22 | align="center" | 46 | align="center" | 16 | align="center" | 42 | align="center" | 20 | align="center" | 32 | align="center" | 24 | align="center" | 52 | align="center" | 18 | align="center" | 40 | align="center" | 24 | align="center" | 36 | align="center" | 28 | align="center" | 58 | align="center" | 16 |- | border="0" | |- | align="center" | n\, | align="center" | 61 | align="center" | 62 | align="center" | 63 | align="center" | 64 | align="center" | 65 | align="center" | 66 | align="center" | 67 | align="center" | 68 | align="center" | 69 | align="center" | 70 | align="center" | 71 | align="center" | 72 | align="center" | 73 | align="center" | 74 | align="center" | 75 | align="center" | 76 | align="center" | 77 | align="center" | 78 | align="center" | 79 | align="center" | 80 |- | align="center" | \varphi(n) | align="center" | 60 | align="center" | 30 | align="center" | 36 | align="center" | 32 | align="center" | 48 | align="center" | 20 | align="center" | 66 | align="center" | 32 | align="center" | 44 | align="center" | 24 | align="center" | 70 | align="center" | 24 | align="center" | 72 | align="center" | 36 | align="center" | 40 | align="center" | 36 | align="center" | 60 | align="center" | 24 | align="center" | 78 | align="center" | 32 |- | border="0" | |- | align="center" | n\, | align="center" | 81 | align="center" | 82 | align="center" | 83 | align="center" | 84 | align="center" | 85 | align="center" | 86 | align="center" | 87 | align="center" | 88 | align="center" | 89 | align="center" | 90 | align="center" | 91 | align="center" | 92 | align="center" | 93 | align="center" | 94 | align="center" | 95 | align="center" | 96 | align="center" | 97 | align="center" | 98 | align="center" | 99 | align="center" | 100 |- | align="center" | \varphi(n) | align="center" | 54 | align="center" | 40 | align="center" | 82 | align="center" | 24 | align="center" | 64 | align="center" | 42 | align="center" | 56 | align="center" | 40 | align="center" | 88 | align="center" | 24 | align="center" | 72 | align="center" | 44 | align="center" | 60 | align="center" | 46 | align="center" | 72 | align="center" | 32 | align="center" | 96 | align="center" | 42 | align="center" | 60 | align="center" | 40 |}
கேள்வி: ஆய்லரின் டோஷண்ட் சார்பு - பகா எண்ணின் அடுக்குகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: p ஒரு பகா எண்ணாகவும், k ஓர் இயல்பெண்ணாகவும் இருக்குமானால், p^k உடன் காரணிகளைப் பங்கு போட்டுக்கொள்ளும் எண்கள் p-இனுடைய அடுக்குகள் மட்டுமே. அவைகளில் p^k ஐவிடப் பெரியதல்லாதவை : 1.p, 2.p, 3.p, ..., p^{k-1}.p. இதனால், ::\varphi(p^k) = p^k - p^{k-1} = p^{k-1}(p - 1) = p^k\left(1 - \frac{1}{p}\right) எ.கா.: \varphi(81) = \varphi(3^4) = 3^4 - 3^3 = 3^4\left(1 - \frac{1}{3}\right) = 54
கேள்வி: ஆய்லரின் டோஷண்ட் சார்பு - சார்பிற்குப் பொது வாய்பாடு என்பது என்ன?
பதில்: ::n = \prod_{p|n} p^{k_p} ::\varphi(n) = \prod_{p|n}p^{k_p - 1}(p - 1) = n \prod_{p|n}\left(1 - \frac{1}{p}\right)
கேள்வி: ஆய்லரின் டோஷண்ட் சார்பு - கணிப்பு பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: \varphi(60) = \varphi(5.2^2.3) = 60.\left(1 - \frac{1}{5}\right)\left(1 - \frac{1}{2}\right)\left(1 - \frac{1}{3}\right) = 16