கேள்வி: எண்களின் முற்றிசைவுப் பகுதிகள் என்பது என்ன?
பதில்: கணிதம் ஒரு முக்கியப் பிரிவான எண் கோட்பாடு முற்றிசைவுப்பகுதிகள் (Congruence classes) என்பது ஒரு அடிப்படைக்கருத்து. 1801 இல் காஸ் என்ற ஜெர்மானியக்கணித வல்லுனர் எழுதிய 'Disquistiones Arithmeticae' என்ற அவருடைய நூலில் விவரிக்கப்பட்டது.
கேள்வி: எண்களின் முற்றிசைவுப் பகுதிகள் - வரையறை பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: a என்பதை ஒரு முழு எண் ணாகவும், n என்பதை ஒரு நேர்ம முழு எண்ணாகவும் கொள். அப்பொழுது, a (mod n) க்கு சமானமான (பார்க்க: சமானம், மாடுலோ n) எல்லா எண்களின் கணம்திற்கு a (mod n) சமானப்பகுதி (Congruence class of a(mod n)) என்று பெயர். அதற்கு குறியீடு: [a]_n. ஆக, *:: [a]_n = \{x \in \mathbf{Z}: x \equiv a(mod n)\}
கேள்வி: எண்களின் முற்றிசைவுப் பகுதிகள் - முக்கிய விளைவு என்பது என்ன?
பதில்: கணிதத்தில் 'சமானம்' ( Mathematical Equivalence) என்ற கருத்து நிகழும்போதெல்லாம் எதிர்வு உறவு, சமச்சீர் உறவு , கடப்பு உறவு ஆகிய மூன்று உறவுகளும் அதனில் அடக்கம். பொதுவாக கணிதத்தில் எந்தெந்த கணத்தில் 'சமானம்' இம்முறையில் வரையறுக்கப் படுகிறதோ அங்கெல்லாம் அந்த கணம் சமானப் பகுதிகளாகப் பிரிவினைப்படும். எடுத்துக்காட்டைப் பார்த்தால் இது நன்கு விளங்கும்.
கேள்வி: எண்களின் முற்றிசைவுப் பகுதிகள் - எடுத்துக்காட்டு பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: 7 என்ற மட்டு (modulus)ஒன்றை எடுத்துக்கொள்வோம். மாடுலோ 7 என்ற அடிப்படையில் எல்லா முழு எண்களையும் பிரித்தால் \mathbf{Z} பின்வரும் பகுதிகளாகப் பிரிவினைப்படும்: : [0]_7 = { ..., -21, -14, -7, 0, 7, 14, 21, ...} : [1]_7 = { ..., -20, -13, -6, 1, 8, 15, 22, ...} : [2]_7 = { ..., -19, -12, -5, 2, 9, 16, 23, ...} : [3]_7 = { ..., -18, -11, -4, 3, 10, 17, 24, ...} : [4]_7 = { ..., -17, -10, -3, 4, 11, 18, 25, ...} : [5]_7 = { ..., -16, -9, -2, 5, 12, 19, 26, ...} : [6]_7 = { ..., -15, -8, -1, 6, 13, 20, 27, ...}
கேள்வி: எண்களின் முற்றிசைவுப் பகுதிகள் - முற்றிசைவுப் பகுதிகளின் கணம் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: இப்பொழுது நமக்கு ஒரு புதிய கணம் கிடைத்திருக்கிறது. அதாவது: : \{[0]_7, [1]_7, [2]_7, [3]_7, [4]_7, [5]_7, [6]_7\} இதை மாடுலோ 7 முற்றிசைவுப் பகுதிகளின் கணம் என்று சொல்வோம். குறியீடு \mathbf{Z}_7. இதனில் முக்கியமாகக்குறிப்பிடப்படவேண்டியது: 2 இனுடைய முற்றிசைவுப் பகுதி, [2]_7. இதையே 9 இனுடைய முற்றிசைவுப் பகுதியாகவும் சொல்லலாம். அதாவது [2]_7 = [9]_7. உண்மையில் அம்முற்றிசைவுப் பகுதியில் எந்த உறுப்பையும் ஒரு பிரதிநிதியாக எடுத்துக்கொள்ளலாம். இதனால் :... [-5]_7 = [2]_7 = [9]_7 = ..... :... [-21]_7 = ... = [0]_7 .... இவ்விதமே ஒவ்வொரு முழு எண் n ஐ வைத்தும் ஒரு \mathbf{Z}_n என்ற ஒரு முற்றிசைவுப் பகுதிகணம் உண்டு பண்ணலாம். இதைச் சுருக்கமாக n-மாடுலோ எண்களின் கணம் (Set of integers modulo n) என்றும் சொல்வதுண்டு. இப்பொழுது \mathbf{Z}_n இல் கூட்டல் (கணிதம்), பெருக்கல் (கணிதம்) செயலிகளை வரையறுப்போம்.
கேள்வி: எண்களின் முற்றிசைவுப் பகுதிகள் - கூட்டல் வரையறை பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: ::[a]_n + [b]_n = [a + b]_n அதாவது, இரண்டு முற்றிசைவுப் பகுதிகளில் ஒவ்வொன்றிலிருந்தும் ஏதாவதொரு உறுப்பை (பிரதிநிதியை) எடுத்து அவைகளைக் கூட்டினால், அந்த கூட்டுத்தொகையின் முற்றிசைவுப் பகுதிதான் அவ்விரண்டு முற்றிசைவுப் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை. ஆக, உதாரணமாக, : [2]_7 + [6]_7 = [2 + 6]_7 = [8]_7 = [1]_7 : [2]_7 க்கு பதிலாக, [9]_7 ஐயும், [6]_7 க்கு பதிலாக [-15]_7 ஐயும் எடுத்தாலும், : [9]_7 + [-15]_7 = [9 - 15] = [-6]_7 =[1]_7 என்ற அதே விடைதான் வரும்.
கேள்வி: எண்களின் முற்றிசைவுப் பகுதிகள் - பெருக்கல் வரையறை பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: :: [a]_n \times [b]_n = [a \times b]_n அதாவது, இரண்டு முற்றிசைவுப்பகுதிகளில் ஒவ்வொன்றிலிருந்தும் ஏதாவதொரு உறுப்பை (பிரதிநிதியை) எடுத்து அவைகளைப் பெருக்கினால், அந்த பெருக்குத்தொகையின் முற்றிசைவுப் பகுதிதான் அவ்விரண்டு முற்றிசைவுப் பகுதிகளின் பெருக்குத்தொகை. ஆக, உதாரணமாக, : [2]_7 \times [6]_7 = [2 \times 6]_7 = [12]_7 = [5]_7. : [2]_7 க்கு பதிலாக, [9]_7 ஐயும், [6]_7 க்கு பதிலாக [-15]_7 ஐயும் எடுத்தாலும், : [9]_7 \times [-15]_7 = [9 \times (-15)]_7 = [-135]_7 = [-2]_7 = [5]_7 என்ற அதே விடைதான் வரும்.
கேள்வி: எண்களின் முற்றிசைவுப் பகுதிகள் - சுழி வகுப்பான் சுழி பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: \mathbf{Z}_n இலுள்ள [a]_n என்ற உறுப்பு (முற்றிசைவுப் பகுதி) பின்வரும் பண்பைப் பெற்றதானால், :: ஏதோ ஒரு முற்றிசைவுப் பகுதி [b]_n க்கு, [a]_n \times [b]_n = [0]_n : [a]_n (அதனால் [b]_n ம்) ஒரு சுழி வகுப்பான் சுழி மாடுலோ n (Divisor of Zero modulo n) எனப்பெயர் பெறும். எடுத்துக்காட்டாக, [2]_6 \times [3]_6 = [0]_6 : \therefore [2]_6 ம் [3]_6 ம் சுழிவகுப்பான் சுழிகள் மாடுலோ 6 ஆகும்.
கேள்வி: எண்களின் முற்றிசைவுப் பகுதிகள் - பெருக்கல் நேர்மாறு என்பது என்ன?
பதில்: [a]_n \times [b]_n = [1]_n ஆக இருக்குமானால், [a]_n ம் [b]_n ம் ஒன்றுக்கொன்று பெருக்கல் நேர்மாறு எனப்படும். எடுத்துக்காட்டாக, [3]_7 \times [5]_7 = [1]_7 :\therefore [3]_7 ம் [5]_7 ம் பெருக்கல் நேர்மாறு உறுப்புகளாகும்.
கேள்வி: எண்களின் முற்றிசைவுப் பகுதிகள் - சில விளைவுகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: * ((a, n) = 1 அதாவது, a, n இரண்டுக்கும் 1 ஐத்தவிர வேறு பொதுக் காரணி கிடையாது என்றால், என்றால் தான், :[a]_n க்கு ஒரு பெருக்கல் நேர்மாறு இருக்கும். * \mathbf{Z}_n இலுள்ள சூனியமல்லாத ஓர் உறுப்பு பெருக்கல் நேர்மாறு பெற்றிருக்கும்; அல்லாவிட்டால் அது சுழிவகுப்பான் சுழியாக இருக்கும். * n ஒரு நேர்ம முழுஎண் என்றால், பின்வரும் மூன்று வாசகங்களும் சமானம்: :: n ஒரு பகா எண் (prime number). :: \mathbf{Z}_n இல் [0]_n ஐத்தவிர வேறு சுழிவகுப்பான் சுழி இருக்காது. :: \mathbf{Z}_n இலுள்ள ஒவ்வொரு சூனியமல்லாத உறுப்புக்கும் ஒரு பெருக்கல் நேர்மாறு இருக்கும்.