கேள்வி: நான்முகிக் குலம் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: கணிதம் நான்முகிக் குலம் என்பது ஒரு நான்முகியின் சமச்சீர் திருப்பங்களின் குலம் ஆகும். இது 12 உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு பரிமாறாக்குலம்.
கேள்வி: நான்முகிக் குலம் - வரையறை என்பது என்ன?
பதில்: நான்முகிக்குலத்தின் 12 உறுப்புகள்: ::நான்முகியின் நான்கு உச்சிகளிலிருந்தும் எதிர்முகத்தை நோக்கிப்பாயும் செங்குத்துக் கோடுகளை அச்சாகக் கொண்டு இடமாகவோ வலமாகவோ சுற்றிச் செல்லும் 8 சுழற்சிகள்; ::எதிரெதிர் ஓரக்கோடுகளின் மையப்புள்ளிகளைச் சேர்க்கும் கோடுகளைச் சுற்றிச் செல்லும் 3 அரைத் திருப்பங்கள் ; படிமம்:நான்முகி சுண்டப்படல்.png ::மற்றும், எந்த திருப்பமோ சுழற்சியோ இல்லாத ஒரு முற்றொருமை.
கேள்வி: நான்முகிக் குலம் - முகங்களின் வரிசைமாற்றங்களாக ஒரு மாற்று வரையறை பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: முகங்களை a, b, c, d என்று பெயரிடுவோம். இப்பொழுது, நான்முகியின் முகங்களின் 12 வரிசைமாற்றம் பட்டியல்: :: (b c d), (b d c), (a c d), (a d c), (a b d), (a d b), (a b c), (a c b), மற்றும் :: (b c)(a d), (c a)(b d), (a b)(c d), :: மற்றும், முற்றொருமை.
கேள்வி: நான்முகிக் குலம் - மூலைப்புள்ளிகளின் வரிசைமாற்றங்களாக மற்றொரு வரையறை பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: படிமம்:நான்முகியின் சுழற்சி.png மூலைப்புள்ளிகளை 1, 2, 3, 4 என்று பெயரிடுவோம். இவைகளின் வரிசைமாற்றங்கள் பின்வருமாறு: ::(2 3 4), (2 4 3), (1 4 3), (1 3 4), (1 2 4), (1 4 2), (1 2 3), (1 3 2), மற்றும் :: (1 4)(2 3), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4) மற்றும் :: முற்றொருமை.
கேள்வி: நான்முகிக் குலம் - மாறிசைக்குலம் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: மேலேயுள்ள {1, 2, 3, 4} இன் 12 வரிசைமாற்றங்களும் சமச்சீர் குலம் S4 இன் 12 இரட்டை வரிசைமாற்றங்கள். அதனால் நான்முகிக்குலமும் மாறிசைக்குலம் A4 ம் ஒன்றே.
கேள்வி: நான்முகிக் குலம் - இதற்குள் ஓர் இயல்நிலை உட்குலம் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: இப்பன்னிரு வரிசைமாற்றங்களில் கடைசி நான்கும் அவைகளுக்குள் ஒரு குலமாகின்றன. அவைகளில் முற்றொருமையைத்தவிர இதர மூன்றில் ஒவ்வொன்றுக்கும் கிரமம் 2; ஏனென்றால், :: {(14)(23)}2 = e = {(12)(34)}2 = {(13)(24)}2. ஆகையால் இந்நான்கும் சேர்ந்த உட்குலம் கிளைன் நான்குறுப்புக்குலம் தான். இது ''A4''இல் ஓர் இயல்நிலை உட்குலம் ( Normal subgroup) ஆகும். காரணம், இதனில் அடங்கும் உறுப்புக்களுக்கெல்லாம் இணையியங்கள் இதற்குள்ளேயே உள்ளன. இது மாத்திரமல்ல. இவ்வுட்குலத்தைத்தவிர ''A4'' இல் வேறொரு இயல்நிலை உட்குலம் இருக்கவே முடியாதென்பதையும் நாம் தீர்மானிக்க முடியும். ஏனென்றால், அப்படி இன்னொரு இயல்நிலை உட்குலம் ஒன்று இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம். அதை ''K'' என்று அழை. இதனில், (234), (243)= (234)2, இவையிரண்டில் ஏதாவதொன்று ''K''இல் இருந்தால் மற்றதும் ''K'' இல் இருந்தாகவேண்டும். (காரணம் ''K'' ஒரு குலம்). மேலும்,இதைத் தொடர்ந்து, ::(2 3 4), (2 4 3), (1 4 3), (1 3 4), (1 2 4), (1 4 2), (1 2 3), (1 3 2) இவை எட்டில், ஏதாவதொன்று ''K'' இல் இருந்தால் மற்ற அனைத்தும் ''K'' இல் இருந்தாகவேண்டும். ஏனென்றால் அவை ஒன்றுக்கொன்று இணையியங்கள் (எல்லாம் ஒரே பொதுவான சுழலமைப்புள்ளவை). அதனால் ''K''இன் கிரமம் ≥ 8. ஆனால் லாக்ராஞ்சியின் தேற்றம் ''K'' இன் கிரமம் ''A4'' இன் கிரமமான 12 ஐ வகுத்தாகவேண்டும். இதனால் ''K'' = ''A4''. ஆக, ''A4'' இன் இயல்நிலை உட்குலம் நான்குறுப்புக்குலம் ஒன்று மட்டும் தான்.
கேள்வி: நான்முகிக் குலம் - இவற்றையும் பார்க்கவும் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு வரிசைமாற்றக்குலத்தில் இணையியத்தல் பகுப்பு:குலக்கோட்பாடு பகுப்பு:சேர்வியல்