கேள்வி: வர்க்கமூலம் - பண்புகளும் பயன்பாடுகளும் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: Image:Square root 0 25.svg கொண்ட அரை பரவளைவு.]] முதன்மை வர்க்கமூலச் சார்பு (வழக்கமாக வர்க்கமூலச் சார்பு என்றே குறிப்பிடப்படுகிறது) f(x) = \sqrt{x} என்பது எதிரில்லா மெய்யெண்களின் கணம் (கணிதம்) அக்கணத்திற்கே வரையறுக்கப்பட்ட சார்பு. வடிவவியல் ரீதியாக, வர்க்கமூலச் சார்பானது ஒரு சாதுரத்தின் பரப்பளவு அச்சதுரத்தின் பக்க நீளத்துடன் இணைக்கிறது. இரு முழுவர்க்க எண்களின் விகிதமாக எழுதக்கூடிய விகிதமுறு எண்ணாக , "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" இன் வர்க்கமூலம் ஒரு விகிதமுறு எண்ணாக இருக்கும். வர்க்கமூலச் சார்பானது விகிதமுறு எண்களை இயற்கணித எண்களோடு இணைக்கிறது (இயற்கணித எண்களின் கணமானது விகிதமுறு எண்களின் கணத்தின் உட்கணம்). அனைத்து மெய்யெண்கள் க்கும்: : \sqrt{x^2} = \left|x\right| = \begin{cases} x, & \text{if }x \ge 0 \\ -x, & \text{if }x (பார்க்க: தனி மதிப்பு). அனைத்து எதிரில்லா மெய்யெண்கள் , களுக்கும்: :\sqrt{xy} = \sqrt x \sqrt y :\sqrt x = x^{1/2}. வர்க்கமூலச் சார்பானது, அனைத்து எதிரில்லா மெய்யெண்கள் களுக்கும் வர்க்கமூலச் சார்பு, தொடர்ச்சியான சார்பு; மேலும் அனைத்து நேர் மெய்யெண்களுக்கும் வகையிடல். வர்க்கமூலச் சார்பு எனில் அதன் வகையீடு: :f'(x) = \frac{1}{2\sqrt x}. \sqrt{1 + x} இன் ஐப் பொறுத்த டெய்லர் தொடர்: :\sqrt{1 + x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)(n!)^2(4^n)}x^n = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \cdots, : \left|x\right| ≤ 1 மதிப்பிற்கு இத்தொடரானது ஒருங்கும். எதிரில்லா எண்களின் வர்க்கமூலமானது, யூக்ளிடிய வெளி, யூக்ளிடிய தொலைவு ஆகியவற்றின் வரையறைகளிலும், ஹில்பர்ட்டு வெளி போன்ற பொதுமைப்படுத்தல்களிலும் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. மேலும் வர்க்கமூலம், புள்ளியியல் நிகழ்தகவுக் கோட்பாடு முக்கியமான கருத்துருவான நியமவிலகல் வரையறுக்கிறது. இருபடிச் சமன்பாடு தீர்வுகளுக்கான வாய்ப்பாட்டில் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது; மேலும் வர்க்கமூலத்தை அடிப்படையாகக் கொண்ட இருபடிக் களங்கள், இருபடி முழுவெண்களின் வளையம் (கணிதம்) ஆகியவை இயற்கணிதத்திலும் வடிவவியலிலும் முக்கியமானவை. வர்க்கமூலங்கள் கணித வாய்பாடுகளிலும் இயற்பியல் விதிகளிலும் பரவலாகக் காணப்படுகின்றன.
கேள்வி: வர்க்கமூலம் - நேரெண்ணின் வர்க்கமூலம் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ஒரு நேரெண்ணிற்கு இரு வர்க்கமூலங்கள் உள்ளன; இவை இரண்டும் ஒன்றுக்கொன்று கூட்டல் நேர்மாறு இருக்கும். அதாவது அளவில் சமமாகவும் குறியில் எதிரானவையாகயும் இருக்கும் (ஒன்று நேரெண் மற்றது எதிரெண்). பொதுவாக ஒரு நேர்ண்ணின் வர்க்கமூலம் எனக் குறிப்பிடும்போது அது நேரெண்ணாகவுள்ள வர்க்கமூலத்தையே சுட்டுகிறது. முழுவெண்களின் வர்க்கமூலங்கள் இயற்கணித எண்களாக, குறிப்பாக இருபடி முழுவெண்களாக இருக்கும். ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட எண்களின் பெருக்கலாகவுள்ள எண்ணின் வர்க்கமூலமானது அப்பெருக்கலிலுள்ள தனித்தனி காரணியெண்களின் வர்க்கமூலங்களின் பெருக்கலுக்குச் சமமாக இருக்குமென்பதால், ஒரு நேரெண்ணின் வர்க்கமூலமானது அதன் பகா எண்களின் காரணிகளின் வர்க்கமூலங்களின் பெருக்குத்தொகைக்குச் சமமாகும். மேலும் \sqrt{p^{2k}} = p^k, என்பதால்: :\sqrt{p_1^{2e_1+1} \cdots p_k^{2e_k+1}p_{k+1}^{2e_{k+1}} \dots p_n^{2e_n}} = p_1^{e_1} \dots p_n^{e_n} \sqrt{p_1\dots p_k}.
கேள்வி: வர்க்கமூலம் - காலமுறை தொடரும் பின்னங்களாக பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: கணிதவியலாளர் ஜோசப் லூயி லாக்ராஞ்சியால் () விகிதமுறா எண்கள் காலமுறைத் தொடரும் பின்னம் கண்டறியப்பட்டது. {| |- |align="right"|\sqrt{2}|| = [1; 2, 2, ...] |- |align="right"|\sqrt{3}|| = [1; 1, 2, 1, 2, ...] |- |align="right"|\sqrt{4}|| = [2] |- |align="right"|\sqrt{5}|| = [2; 4, 4, ...] |- |align="right"|\sqrt{6}|| = [2; 2, 4, 2, 4, ...] |- |align="right"|\sqrt{7}|| = [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, ...] |- |align="right"|\sqrt{8}||= [2; 1, 4, 1, 4, ...] |- |align="right"|\sqrt{9}|| = [3] |- |align="right"|\sqrt{10}|| = [3; 6, 6, ...] |- |align="right"|\sqrt{11}|| = [3; 3, 6, 3, 6, ...] |- |align="right"|\sqrt{12}|| = [3; 2, 6, 2, 6, ...] |- |align="right"|\sqrt{13}|| = [3; 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, ...] |- |align="right"|\sqrt{14}|| = [3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, ...] |- |align="right"|\sqrt{15}|| = [3; 1, 6, 1, 6, ...] |- |align="right"|\sqrt{16}|| = [4] |- |align="right"|\sqrt{17}|| = [4; 8, 8, ...] |- |align="right"|\sqrt{18}|| = [4; 4, 8, 4, 8, ...] |- |align="right"|\sqrt{19}|| = [4; 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 1, 3, 1, 2, 8, ...] |- |align="right"|\sqrt{20}|| = [4; 2, 8, 2, 8, ...] |} தொடரும் பின்னங்களின் சுருக்கு வடிவமாக இங்கு சதுர அடைப்புக்குறி பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. 11 இன் வர்க்கமூலம், [3; 3, 6, 3, 6, ...] , கீழுள்ளவாறமைகிறது: : \sqrt{11} = 3 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{3 + \ddots}}}}} இரு இலக்க வடிவமான {3, 6}, பகுதிகளில் மீண்டும் மீண்டும் வருகிறது. என்பதால் மேலே தரப்பட்டது கீழுள்ள பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட தொடரும் பின்னங்களை ஒத்திருக்கும்: : \sqrt{11} = 3 + \cfrac{2}{6 + \cfrac{2}{6 + \cfrac{2}{6 + \cfrac{2}{6 + \cfrac{2}{6 + \ddots}}}}} = 3 + \cfrac{6}{20 - 1 - \cfrac{1}{20 - \cfrac{1}{20 - \cfrac{1}{20 - \cfrac{1}{20 - \ddots}}}}}.
கேள்வி: வர்க்கமூலம் - எதிரில்லா மற்றும் சிக்கல் எண்களின் வர்க்கமூலங்கள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: அனைத்து நேர் மாற்றும் எதிர் எண்களின் வர்க்கம் (கணிதம்) நேரெண்களாகவே இருக்கின்றன; மேலும் 0 இன் வர்க்கம் 0. எனவே எந்தவொரு எதிரெண்ணுக்கும் மெய்யெண் வர்க்கமூலம் கிடையாது. எனவே எதிரெண்களின் வர்க்கமூலங்கள் காண்பதற்கு சிக்கலெண்களின் கணம் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது. இதில் கற்பனை அலகு என்ற புது எண் அறிமுகப்படுத்தப்படுகிறது. கற்பனை அலகின் குறியீடு ("''i''" ஆனது வழக்கமாக மின்னோட்டம் குறிக்கும் சூழல்களில் கற்பனை அலகு எனக் குறிக்கப்படுகிறது.) கற்பனை அலகின் வரையறை: :. இதிலிருந்து ஆனது −1 -இன் வர்க்கமூலம் என்றும், என்பதால் உம் −1 இன் வர்க்கமூலமென்றும் அறியலாம். −1 இன் முதன்மை வர்க்கமூலமாக எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது. :(i\sqrt x)^2 = i^2(\sqrt x)^2 = (-1)x = -x. என்பதால், ஏதாவதொரு எதிரில்லா எண் எனில், இன் முதன்மை வர்க்கமூலம் :\sqrt{-x} = i \sqrt x.
கேள்வி: வர்க்கமூலம் - சிக்கலெண்ணின் முதன்மை வர்க்கமூலம் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: File:Visualisation complex number roots.svg எந்தவொரு x + i y என்ற சிக்கலெண்ணையும், சிக்கலெண் தளம் (வடிவவியல்) (x, y), காட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமை புள்ளியாகக் கருதலாம். இதேபோல வாள்முனை ஆள்கூற்று முறைமையிலும் போலார் ஆயதொலைகள் (r, \varphi), கொண்ட புள்ளியாகக் கொள்ளலாம்; போலார் ஆயதொலைவுகளில், புள்ளிக்கும் ஆதிக்கும் இடைப்பட்ட தூரம் r \geq 0; புள்ளியையும் ஆதியையும் இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டானது நேர்ம மெய்யச்சுடன் (x) உண்டாக்கும் கோணம் \varphi. போலார் ஆயமுறையில் சிக்கலெண் தளத்தில் புள்ளியின் குறியீடு: r e^{i\varphi}. z = r e^{i \varphi} \text{ with } -\pi எனில், z இன் முதன்மை வர்க்கமூலத்தின் வரையறை: :\sqrt{z} = \sqrt{r} e^{i \varphi / 2}. z ஒரு எதிரில்லா மெய்யெண்ணாக இருந்தால் (\varphi = 0) z இன் முதன்மை வர்க்கமூலம்: :\sqrt{r} e^{i (0) / 2} = \sqrt{r}; -\pi ஆக இருத்தல் அவசியமானது ஏனெனில்: * \varphi = -\pi/2 எனில் : z = - 2 i :இதன் முதன்மை வர்க்கமூலம்: :\sqrt{-2 i} = \sqrt{2 e^{i\varphi}} = \sqrt{2} e^{i\varphi/2} = \sqrt{2} e^{i(-\pi/4)} = 1 - i * ஆனால் \tilde{\varphi} := \varphi + 2 \pi = 3\pi/2 எனக் கொள்ள z இன் நேரில்லா வர்க்கமூலம் கிடைக்கிறது: : \sqrt{2} e^{i\tilde{\varphi}/2} = \sqrt{2} e^{i(3\pi/4)} = -1 + i = - \sqrt{-2 i}. முதன்மை வர்க்கமூலச் சார்பானது, நேரில்லா மெய்யெண்கள் தவிர்த்த அனைத்திற்கும் முற்றுருவச் சார்பியம். இக்கட்டுரையின் மேற்பகுதியில் கூறப்பட்டுள்ள \sqrt{1 + x} இன்டெய்லர் தொடரானது |x| என்றமையும் சிக்கலெண்கள் x க்கும் பொருந்தும். சிக்கலெண்களின் வர்க்கமூலத்தை முக்கோணவியல் சார்புகள் கொண்டும் எழுதலாம்: :\sqrt{r \left(\cos \varphi + i \sin \varphi \right)} = \sqrt{r} \left(\cos \frac{\varphi}{2} + i \sin \frac{\varphi}{2} \right).
கேள்வி: வர்க்கமூலம் - இயற்கணித வாய்பாடு பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: Image:Imaginary2Root.svg மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகளைக் கொண்ட வடிவிலுள்ள சிக்கலெண்ணின் முதன்மை வர்க்கமூலத்தைக் கீழுள்ள வாய்பாடு மூலம் காணலாம்:, [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_17.htm Section 3.7.27, p. 17] :\sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}} +i\sgn(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}, இதில் என்பது இன் குறிச் சார்பு ( தவிர). குறிப்பாக எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட சிக்கலெண் மற்றும் அதன் வர்க்கமூலத்தின் கற்பனைப்பகுதிகள் இரண்டின் குறிகளும் ஒன்றாக இருக்கும். முதன்மை வர்க்கமூலத்தின் மெய்ப்பகுதி எப்போதுமே எதிரில்லா எண்ணாகவே இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக இன் முதன்மை வர்க்கமூலங்கள்: \begin{align} \sqrt{i} &= \frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i),\\ \sqrt{-i} &= \frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1-i). \end{align}
கேள்வி: வர்க்கமூலம் - -ஆம் படிமூலங்களும் பல்லுறுப்புக்கோவை மூலங்களும் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: y^2 = x எனில், x இன் வர்க்கமூலம் y ஆகும் என்ற வர்க்கமூலத்தின் வரையறை மேலும் பொதுமைப்படுத்தப்படுகிறது: *y^3 = x எனில் x இன் கனமூலம் y ஆகும்; குறியீடு: \sqrt[3]x. * ஆனது இரண்டைவிடப் பெரிய முழுவெண் எனில், x இன் Nஆம் படி மூலம் என்பது y^n = x என்ற சமன்பாட்டை நிறைவுசெய்யும் y ஆகும்; இதன் குறியீடு: \sqrt[n]x. *பல்லுறுப்புக்கோவை எனும் பல்லுறுப்புக்கோவையின் [[சார்பின் மூலம்|மூலமானது சமன்பாட்டை நிறைவுசெய்யும் இன் மதிப்பாகும். எடுத்துக்காட்டாக, y^n - x. என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலங்கள் இன் ஆம் படிமூலங்களாகும். ஆபேல்-உருஃப்பினி தேற்றத்தின்படி, ஐந்து அல்லது அதற்கும் மேற்பட்ட படிகொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் மூலங்களை -ஆம் படிமூலங்களாக எழுத இயலாது.
கேள்வி: வர்க்கமூலம் - அணிகள் அல்லது செயலிகளின் வர்க்கமூலங்கள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ''A'', ஒரு நேர்ம-வரைவுள்ள அணி அல்லது செயலி எனில் என்பதை நிறைவுசெய்யும் ஒரேயொரு நேர்ம-வரைவுள்ள அணி அல்லது செயலி ''B'' இருக்கும்; மேலும் என வரையறுக்கப்படுகிறது. பொதுவாக அணிகளுக்கு எண்ணற்ற வர்க்கமூலங்கள் இருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக ஒரு முற்றொருமை அணிக்கு எண்ணற்ற வர்க்கமூலங்கள் உள்ளன.Mitchell, Douglas W., "Using Pythagorean triples to generate square roots of I2", ''Mathematical Gazette'' 87, November 2003, 499–500. எனினும் அவற்றில் ஒன்றுமட்டுமே நேர்ம-வரைவுள்ளதாக இருக்கும்.