கேள்வி: உட்குலத்தின் குறியெண் - பண்புகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: உட்குலத்தின் குறியெண்ணின் சில பண்புகள் கீழே தரப்பட்டுள்ளன. * ''G'' இன் உட்குலம் ''H'' ; ''H'' இன் உட்குலம் ''K'' எனில் ::|G:K| = |G:H|\,|H:K|. * ''H'' ,''K'' இரண்டும் ''G'' இன் உட்குலங்கள் எனில்: ::|G:H\cap K| \le |G : H|\,|G : K|, :இங்கு ''HK''&nbsp;=&nbsp;''G'' எனில் சமன்பாட்டுக்குறி பொருந்தும். (|''G''&nbsp;:&nbsp;''H''&nbsp;&cap;&nbsp;''K''| முடிவுறு எண் எனில், ''HK''&nbsp;=&nbsp;''G'' என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே சமன்பாட்டுக் குறி பொருந்தும்.) * இதற்கு சமானமாக: ''H'' ,''K'' இரண்டும் ''G'' இன் உட்குலங்கள் எனில்: ::|H:H\cap K| \le |G:K|, :இங்கும் ''HK''&nbsp;=&nbsp;''G'' எனில் சமன்பாட்டுக்குறி பொருந்தும். (|''G''&nbsp;:&nbsp;''H''&nbsp;&cap;&nbsp;''K''| முடிவுறு எண் எனில், ''HK''&nbsp;=&nbsp;''G'' என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே சமன்பாட்டுக் குறி பொருந்தும்.) * If ''G'' , ''H'' இரண்டும் குலங்கள்; ''φ'':&nbsp;''G''&nbsp;→&nbsp;''H'' ஒரு காப்பமைவியம் (கணிதம்) எனில்: ::|G:\operatorname{ker}\;\varphi|=|\operatorname{im}\;\varphi|.
கேள்வி: உட்குலத்தின் குறியெண் - எடுத்துக்காட்டுகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: * சமச்சீர் குலம் S_n, இல் மாறிசைக்குலம் A_n இன் குறியெண் 2. எனவே A_n ஒரு இயல்நிலை உட்குலம் ஆகும். * செங்குத்துக் குலம் ''O''(''n'') இல் அதன் உட்குலமான சிறப்பு செங்குத்து குலம் ''SO''(''n'') இன் குறியெண் 2. எனவே அது ஒரு இயல்நிலை உட்குலம். * கட்டற்ற ஏபெல் குலம் Z&nbsp;⊕&nbsp;Z -க்கு குறியெண் 2 கொண்ட மூன்று உட்குலங்கள் உள்ளன: ::\{(x,y) \mid x\text{ is even}\},\quad \{(x,y) \mid y\text{ is even}\},\quad\text{and}\quad \{(x,y) \mid x+y\text{ is even}\}. * பொதுவாக, ''p'' ஒரு பகா எண் எனில், Z''n'' குலத்திற்கு, குறியெண் ''p'' கொண்ட (''p'n''&nbsp;&minus;&nbsp;1) / (''p''&nbsp;&minus;&nbsp;1) எண்ணிக்கையிலான உட்குலங்கள் உள்ளன. * இதேபோல் கட்டற்ற குலம் ''F'n'' க்கு, குறியெண் ''p'' உடைய ''p'n''&nbsp;&minus;&nbsp;1 எண்ணிக்கையிலான உட்குலங்கள் உள்ளன. * ஒரு முடிவுறா இருமுகக் குலங்கள் குறியெண் 2 கொண்ட ஒரு சுழற் குலம் இருக்கும், மேலும் அது இயல்நிலை உட்குலமாக இருக்கும்.