கேள்வி: இயற்கணித எண்களும் விஞ்சிய எண்களும் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: ஒர் மெய்யெண் (real number) r, முழு எண்களைக் கெழுக்களாகக் கொண்ட பல்லுறுப்புச் சமன்பாட்டை (polynomial equation with integral coefficients) சரி செய்யுமானால் அது ஓர் இயற்கணித எண் (''Algebraic number'') எனப்படும். இயற்கணித எண் அல்லாத உள்ளக எண்களுக்கு விஞ்சிய எண்கள்(''Transcendental number'') என்று பெயர். 19 வது நூற்றாண்டில் இயற்கணித எண்களும் விஞ்சிய எண்களும் கணித இயலர்களின் ஆய்வுக்கு இலக்காகியதும் இவைகளைப் பற்றிய உண்மைகள் சிறிது சிறிதாக வெளிப்படத் தொடங்கின.0
கேள்வி: இயற்கணித எண்களும் விஞ்சிய எண்களும் - எடுத்துக்காட்டுகள் என்பது என்ன?
பதில்: எடுத்துக்காட்டாக, ''a/b'' என்ற ஒவ்வொரு விகிதமுறு எண் இயற்கணித எண்தான்; ஏனென்றால் அவை bx - a = 0 என்ற சமன்பாட்டைச் சரி செய்கின்றன. ஆகவே, ஓர் எண் இயற்கணித எண்ணாக இல்லாவிட்டால் அது விகிதமுறா எண் இருக்க வேண்டும். ஆனால் இதன் மாற்றுத் தீர்மானம் உண்மையல்ல. விகிதமுறா எண்ணெல்லாம் இயற்கணித எண்ணல்ல என்று சொல்லிவிட முடியாது. உதாரணத்திற்கு \surd{2} ஐ எடுத்துக்கொள்ளலாம். இது x^2 - 2 = 0 என்ற சமன்பாட்டைச் சரிசெய்கிறது. இதனால் \surd{2} ஓர் இயற்கணித எண்ணாகும். சொல்லப்போனால் இயற்கணிதத்தில் பொதுமட்டத்தில் நாம் சந்திக்கும் எண்கள் அநேகமாக இயற்கணித எண்களாகத்தான் இருக்கும். உ-ம்: -1 ஒரு இயற்கணித எண்; எனென்றால் அது '' x + 1 = 0'' ஐ சரிசெய்கிறது. 355/113 ஒரு இயற்கணித எண்; ஏனென்றால் அது 113 ''x'' - 355 = 0 ஐ சரிசெய்கிறது. \sqrt[3]{1 - \sqrt{2}} ஒரு இயற்கணித எண்; ஏனென்றால் அது x^6 - 2x^3 - 1 = 0 ஐ சரிசெய்கிறது. ஆக, விகிதமுறா எண்களில் இயற்கணித விகிதமுறா எண்களும் இருக்கலாம், இயற்கணிதமற்ற விகிதமுறா எண்களும் இருக்கலாம். கற்பனை எண் என்று சொல்லப்படும் அமைகண எண் ''i'' உம் ஒரு இயற்கணித எண்தான்; ஏனென்றால் அது ''x^2'' + 1 = 0 ஐ சரிசெய்கிறது ''a'' உம் ''b'' உம் இயற்கணித எண்ணானால் ''a + ib'' உம் இயற்கணித எண்தான்.
கேள்வி: இயற்கணித எண்களும் விஞ்சிய எண்களும் - வரலாறு பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: ஆனால் 19ம் நூற்றாண்டு வரையில் இயற்கணிதமற்ற விகிதமுறா எண்கள் ஒன்று கூட கண்டுபிடிக்கப் படவில்லை. அப்படி ஒரு பகுப்பு இருக்குமா என்பதே தெரியவில்லை. 1844 இல் தான் ஜோசப் லியோவில் (1809-1882) இயற்கணிதமற்ற எண்கள், அதாவது, விஞ்சிய எண்கள், இருக்கமுடியும் என்பதை நிறுவினார். அவருடைய நிறுவல் வெகு நிரடலானது. ஆனால் அந்நிறுவல் பல விஞ்சிய எண்களைக் காட்ட வல்லதாயிருந்தது.
கேள்வி: இயற்கணித எண்களும் விஞ்சிய எண்களும் - லியோவில் எண் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: கீழே காட்டப்பட்ட எண்ணுக்கு லியோவில் எண் என்று பெயர்: \frac{1}{10^{1!}} + \frac{1}{10^{2!}} +\frac{1}{10^{3!}} +\frac{1}{10^{4!}}.... இதனுடைய தசம விரிவாக்கம் 0.1100010000000000000000010000...... இதனில் 1, 2, 6, 24, 120, ... வது இலக்கங்கள் 1 ஆகவும் மற்ற இலக்கங்கள் 0 வாகவும் இருக்கும். இந்த எண் ஒரு விஞ்சிய எண் என்று லியோவில் காட்டினார். விஞ்சிய எண்ணுக்கு இன்னொரு உதாரணம்: 0.123456789101112131415161718192021...... இங்குள்ள இலக்கங்களை எளிதில் எழுதிவிடலாம். ஏனென்றால் அவைகள் வெறும் இயல்பெண்கள் தான்; அவைகளின் வரிசையிலேயே ஒன்றன்பின் ஒன்றாகக் கொடுக்கப் பட்டிருக்கின்றன.
கேள்வி: இயற்கணித எண்களும் விஞ்சிய எண்களும் - 'பை'யும் ஒரு விஞ்சிய எண் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: லிண்டெமன் என்பவர் 1882 இல் \piஉம் ஒரு விஞ்சிய எண் என்று நிறுவல் கொடுத்தார். அவருடைய தேற்றம்: A_1, A_2, ... A_n, a_1, a_2, ... a_n எல்லாம் இயற்கணித எண்களாகவும், a_iகள் வெவ்வேறு உள்ளக எண்களாகவோ பலக்க எண்களாகவோ இருக்குமானால், A_1 e^{a_1} + A_2 e^{a_2} + ... + A_n e^{a_n} ஒருபோதும் சூன்யமாகாது. ஆனால் ஆய்லர் சமன்பாடு e^{\pi i} + 1 = 0 என்று சொல்கிறது. இதையே e^{\pi i} + e^0 = 0 என்றும் எழுதலாம். இப்பொழுது லிண்டெமன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தினால், \pi i இயற்கணித எண்ணாக இருக்கமுடியாது என்று புலப்படும். ஆனால் ''i'' ஒரு இயற்கணித எண். அதனால் \pi ஒரு விஞ்சிய எண் தான்.
கேள்வி: இயற்கணித எண்களும் விஞ்சிய எண்களும் - துணை நூல்கள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: * Richard Courant, Herbert Robbins, and Ian Stewart , What is Mathematics? Oxford University Press, New York, 1996 ISBN 978-0195105193 * Krishnamurthy, V. Culture, Excitement and Relevance of Mathematics.Wiley Eastern Limited. New Delhi. 1990