கேள்வி: திசையன் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: அடிப்படை இயற்கணிதம், இயற்பியல் மற்றும் பொறியியல் திசையன் (''vector'') அல்லது காவி என்பது அளவும் திசையும் கொண்டதொரு வடிவவியல் பொருளாகும். சிலசமயங்களில் இத்திசையன், *வடிவியல் திசையன் (''geometric vector'') *இடவெளித்திசையன் (''spatial vector'') *யூக்ளிடிய திசையன் (''Euclidean vector'') எனவும் அழைக்கப்படுகிறது. பெரும்பாலும் ஒரு திசையனானது, குறிப்பிட்ட திசையிடப்பட்ட கோட்டுத்துண்டு அல்லது ஆரம்பப் புள்ளி ''A'' மற்றும் இறுதிப் புள்ளி ''B'' -யை இணைக்கும் அம்பாகவோ, வரைபடம் மூலமாகக் குறிக்கப்படுகிறது.; இதன் குறியீடு \overrightarrow{AB} ஆகும். இத்திசையன்களின் கூட்டல் (கணிதம்) இணைகர விதிப்படி அமையும். ஒரு திசையன் என்பது, ''A'' -புள்ளியை ''B'' -புள்ளிக்கு எடுத்துச் செல்லத் தேவையான ஒன்றாகும். ''வெக்டர்'' எனும் இலத்தீன் மொழிச் சொல்லின் பொருள் ''எடுத்துச் செல்வது'' ஆகும்.Latin: vectus, perfect participle of vehere, "to carry"/ ''veho'' = "I carry". For historical development of the word ''vector'', see and . ''A'' , ''B'' -புள்ளிகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரம் \overrightarrow{AB}. அத்திசையனின் அளவையும் ''A'' -லிருந்து ''B'' -க்குள்ள இடப்பெயர்ச்சி அதன் திசையையும் தருகின்றன. எண்#மெய்யெண்கள் கூட்டல், கழித்தல் (கணிதம்), பெருக்கல் (கணிதம்), எதிர்மறை போன்ற அடிப்படை இயற்கணிதச் செயல்களுக்கு ஒத்த செயல்கள் திசையன்களுக்கும் உண்டு. மேலும் அச்செயல்கள், பரிமாற்றுத்தன்மை, சேர்ப்புத்தன்மை, பங்கீட்டுத் தன்மை போன்ற வழக்கமான இயற்கணிதப் பண்புகளையும் கொண்டிருக்கும். திசையன்களின் இச்செயல்களும் அதன் தொடர்பான விதிகளுமே அவற்றைத் திசையன் வெளியின் உறுப்புகளாக வரையறுக்கப்படும் கருத்துருவின் பொதுமைப்படுத்தலாக்குகின்றன. இயற்பியல் திசையன்கள் முக்கியப்பங்கு வகிக்கின்றன: ஒரு நகரும் துகளின் திசைவேகம், முடுக்கம் மற்றும் அதன்மீது செயல்படும் விசை ஆகிய அனைத்தும் திசையன்களாக விவரிக்கப்படுகின்றன. இன்னும் பல இயற்பியல் அளவுகளும் திசையன்களாகக் கருதப்படும்போது பயனுள்ளவையாக அமைகின்றன. அவற்றில் பெரும்பான்மையானவை தூரத்தையோ அல்லது இடப்பெயர்ச்சியையோ குறிக்காவிடினும் அவற்றின் நீளம் மற்றும் திசை ஒரு அம்பின் மூலமாகக் குறிப்பிடப்படலாம். ஒரு இயற்பியல் திசையனின் கணிதக் குறியீடு, அதனை விவரிக்க எடுத்துக்கொள்ளப்படும் ஆய அச்சு முறைமையைப் பொறுத்து அமையும்.
கேள்வி: திசையன் - திசையன் - ஒரு கண்ணோட்டம் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: இயற்பியல் பொறியியல் திசையனானது அளவு, திசை என்ற இரண்டு பண்புகளைக் கொண்டதொரு வடிவவியல் பொருளாகக் கருதப்படுகிறது. யூக்ளிட் வெளியில் அமைந்த ஒரு திசையிடப்பட்ட கோட்டுத்துண்டு அல்லது ஒரு அம்பாகவும் திசையன் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. தூய கணிதத்தில் (pure mathematics), திசையன் வெளியில் அமைந்த பொதுவானதொரு உறுப்பாக வரையறுக்கப்படுகிறது. இவ்வாறு வரையறுக்கப்படும் திசையன், அளவும் திசையும் கொண்டிராத நுண்மப் பொருளாக அமைகிறது. இந்த பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வரையறையிலிருந்து, மேலே குறிப்பிடப்பட்டுள்ள வடிவவியல் பொருளானது யூக்ளிய வெளி என்ற சிறப்பு வகைத் திசையன் வெளியில் அமைவதால், ஒரு சிறப்பு வகைத் திசையன் என அறிந்து கொள்ளலாம். திசையன் வெளியிலோ அல்லது வேறு இடங்களிலோ வரையறுக்கப்படும் திசையன்களிலிருந்து இதனை வேறுபடுத்திக் காட்டவேண்டிய சந்தர்ப்பங்களில் இத்திசையன் ''வடிவவியல் திசையன்'' அல்லது ''இடத்திசையன்'' அல்லது யூக்ளிடிய திசையன் என அழைக்கப்படுகிறது. யூக்ளிடிய வெளியில் ஓர் அம்பால் குறிக்கப்படும் திசையன், குறிப்பிட்ட ஆரம்பப்புள்ளியும் இறுதிப்புள்ளியும் கொண்டது. இத்தகைய திசையன் ''வரம்பு திசையன்'' (bound vector) எனப்படும். திசையனின் அளவும் திசையும் மட்டுமே கருத்தில் கொள்ளப்படும்போது அதன் ஆரம்பப் புள்ளி முக்கியமானது இல்லை. இத்தகைய திசையன் ''கட்டற்ற திசையன்'' (free vector) எனப்படும். எனவே \overrightarrow{AB} மற்றும் \overrightarrow{A'B'} அம்புகள் இரண்டின் அளவுகளும் திசைகளும் சமமாக இருந்தால் அவை இரண்டும் ஒரே திசையனைக் குறிக்கும். அப்பொழுது நாற்கரம் ''ABB′A′'' ஒரு இணைகரம் அமையும். யூக்ளிடிய வெளியில் ஓர் ஆதிப் புள்ளி எடுத்துக் கொண்டால், ஒரு கட்டற்ற திசையனும் அதே அளவும் திசையும் கொண்டு, ஆதிப்புள்ளியை ஆரம்பப் புள்ளியாகக் கொண்ட வரம்பு திசையனும் சமானமானவையாக அமையும். திசையன்கள் உயர்பரிமாணங்களுக்கும் பொதுமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளன.
கேள்வி: திசையன் - சமத்தன்மை என்பது என்ன?
பதில்: இரு திசையன்களின் அளவுகளும் திசைகளும் சமமாக இருந்தால் மட்டுமே அவ்விரண்டு திசையன்களும் சமமானவையாகும். :{\mathbf a} = a_1{\mathbf e}_1 + a_2{\mathbf e}_2 + a_3{\mathbf e}_3 :{\mathbf b} = b_1{\mathbf e}_1 + b_2{\mathbf e}_2 + b_3{\mathbf e}_3 ஆகிய இரு திசையன்களும் சமமாக இருக்க வேண்டும் எனில்: :a_1 = b_1,\quad a_2=b_2,\quad a_3=b_3.\, ஆக இருக்க வேண்டும்.
கேள்வி: திசையன் - '''a''' மற்றும் '''b''' -ன் வித்தியாசம் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: :\mathbf{a}-\mathbf{b} =(a_1-b_1)\mathbf{e_1} +(a_2-b_2)\mathbf{e_2} +(a_3-b_3)\mathbf{e_3}. வரைபடம் மூலமாக கழித்தலைப் பின்வருமாறு காணலாம்: a மற்றும் b -இரு திசையன்களின் இறுதிப்புள்ளிகளும் ஒன்றாக இருக்கும்படி அதன் அம்புகளை வரைந்து கொண்டு, a -ன் ஆரம்பப் புள்ளியிலிருந்து b -திசையனின் ஆரம்பப் புள்ளியோடு இணைத்து வரையப்படும் அம்பு, a − b -திசையனைக் குறிக்கும்: Image:Vector subtraction.svg
கேள்வி: திசையன் - திசையிலிப் பெருக்கல் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: Image:Scalar multiplication by r=3.svg Image:Scalar multiplication of vectors2.svg ஒரு திசையனை ஒரு திசையிலியால் பெருக்குவது ''திசையிலிப் பெருக்கல்'' (scalar multiplication) எனப்படும். இச்செயலின் விளைவாகக் கிடைக்கும் முடிவு ஒரு திசையனாக இருக்கும்: {\mathbf a} = a_1{\mathbf e}_1 + a_2{\mathbf e}_2 + a_3{\mathbf e}_3. -திசையனை ''r'' -எனும் திசையிலியால் பெருக்கக் கிடைக்கும் திசையன்: :r\mathbf{a}=(ra_1)\mathbf{e_1} +(ra_2)\mathbf{e_2} +(ra_3)\mathbf{e_3}. *திசையிலி ''r'' -ஆல் பெருக்கப்படுவதால் a -திசையன், ''r'' மடங்கு நீட்டிக்கப்படுகிறது. *''r'' -நேர்ம எண்ணாக இருந்தால் r\mathbf{a} -ன் அளவு a -ன் அளவைப் போல ''r'' மடங்காகவும்; திசை a -ன் திசையாகவும் அமையும். *''r'' -எதிர்ம எண்ணாக இருந்தால் r\mathbf{a} -ன் அளவு a -ன் அளவைப் போல ''r'' மடங்காகவும்; திசை a -ன் திசைக்கு எதிர்த் திசையாகவும் அமையும். ''r'' = −1 மற்றும் ''r'' = 2 என்பதற்கான திசையிலிப் பெருக்கலின் விளக்கம் படத்தில் தரப்பட்டுள்ளது. திசையிலிப் பெருக்கல் திசையன்களின் கூட்டலின் மீதான பங்கீட்டுப் பண்புடையது: *''r''(a + b) = ''r''a + ''r''b *a − b = a + (−1)b.
கேள்வி: திசையன் - அலகுத் திசையன் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: Image:Vector normalization.svg எந்தவொரு திசையனின் நீளமும் ஒரு அலகாக இருந்தால் அத்திசையன் அலகுத் திசையன் எனப்படும். வழக்கமாக அலகுத் திசையன்கள், திசைகளை மட்டும் குறிப்பதற்குப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. பெரும்பாலும் â -ல் உள்ளதுபோல ஒரு அலகுத் திசையன் தொப்பிக் குறியீட்டுடன் எழுதப்படுகிறது.
கேள்வி: திசையன் - நெறிமப்படுத்தல் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: ஏதேனும் ஒரு திசையனை அதன் நீளத்தால் வகுக்க அதன் அலகுத் திசையன் கிடைக்கும். இச்செயல் ''நெறிமப்படுத்தல்'' (normalaisation) எனப்படுகிறது. a = [''a''1, ''a''2, ''a''3]திசையனை நெறிமப்படுத்தல்: :\mathbf{\hat{a}} = \frac{\mathbf{a}}{\left\|\mathbf{a}\right\|} = \frac{a_1}{\left\|\mathbf{a}\right\|}\mathbf{e_1} + \frac{a_2}{\left\|\mathbf{a}\right\|}\mathbf{e_2} + \frac{a_3}{\left\|\mathbf{a}\right\|}\mathbf{e_3}
கேள்வி: திசையன் - பூச்சியத் திசையன் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: ஒரு திசையனின் நீளம் பூச்சியம் எனில் அத்திசையன் பூச்சியத் திசையன் (''zero vector'' அல்லது ''null vector'') எனப்படும். பூச்சியத் திசையனின் ஆய அச்சுத்தூர வடிவம்: (0,0,0). இதன் குறியீடு: \vec{0}, அல்லது 0 அல்லது 0. மற்ற எந்தவொரு திசையனையும் போலல்லாது பூச்சியத் திசையனின் திசை தீர்மானிக்க முடியாததும் குறிப்பிட்டுச் சொல்ல முடியாததுமாக இருக்கும். மேலும் பூச்சியத் திசையனை நெறிமப்படுத்தல் இயலாது. பூச்சியத் திசையனை எந்தவொரு திசையன் a -உடன் கூட்டக் கிடைப்பது a ஆகும். :0+a=a. அதாவது திசையன் கூட்டலின் முற்றொருமை உறுப்பு பூச்சியத் திசையன் அமைகிறது.
கேள்வி: திசையன் - புள்ளிப் பெருக்கம் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: a மற்றும் b ஆகிய இரு திசையன்களின் புள்ளிப் பெருக்கம் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது: :\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} =\left\|\mathbf{a}\right\|\left\|\mathbf{b}\right\|\cos\theta இங்கு ''θ'' என்பது a , b -களுக்கு இடையேயுள்ள கோண அளவு. :{\mathbf a} = a_1{\mathbf e}_1 + a_2{\mathbf e}_2 + a_3{\mathbf e}_3 :{\mathbf b} = b_1{\mathbf e}_1 + b_2{\mathbf e}_2 + b_3{\mathbf e}_3 எனில்: புள்ளிப் பெருக்கத்தின் வரையறை: :\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.
கேள்வி: திசையன் - திசையிலி முப்பெருக்கம் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: திசையிலி முப்பெருக்கம் என்பது மூன்று திசையன்களுக்கு, புள்ளிப் பெருக்கம் மற்றும் குறுக்குப் பெருக்கத்தைச் செயல்படுத்துவதாகும். இப்பெருக்கம் பெட்டிப் பெருக்கம், கலப்புப் பெருக்கம் எனவும் அழைக்கப்படுகிறது. a , b, c -ஆகிய மூன்று திசையன்களின் திசையிலிப் பெருக்கத்தின் வரையறை: :[\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c}] =\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}). இப்பெருக்கத்திற்கு மூன்று பயன்பாடுகள் உள்ளன. *திசையிலி முப்பெருக்கத்தில் உள்ள மூன்று திசையன்களை ஒரு முனை விளிம்புகளாகக் கொண்ட இணைகரத்திண்மம் கனஅளவு இம்முப்பெருக்கத்தின் அளவு அமையும். *மூன்று திசையன்களும் நேரியல் சார்பின்மை இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அவற்றின் திசையிலி முப்பெருக்கம் பூச்சியமாகும். இதனை எளிதாக நிறுவலாம். *இம்மூன்று திசையன்களின் திசையிலி முப்பெருக்கம் பூச்சியமாக இருந்தால் அவற்றைக் கொண்டு ஒரு இணைகரத்திண்மத்தை வரையறுக்க முடியாது. அதாவது இம்மூன்றும் ஒரே தளம் (வடிவவியல்) அமையும். அப்பொழுது அவை மூன்றும் நேரியல் சார்புடையதாக இருக்கும். *a, b மற்றும் c மூன்றும் வலக்கை அமைப்பில் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அவற்றின் திசையிலி முப்பெருக்கத்தின் மதிப்பு நேர்மமாக இருக்கும். *{\mathbf a} = a_1{\mathbf e}_1 + a_2{\mathbf e}_2 + a_3{\mathbf e}_3 {\mathbf b} = b_1{\mathbf e}_1 + b_2{\mathbf e}_2 + b_3{\mathbf e}_3 {\mathbf c} = c_1{\mathbf e}_1 + c_2{\mathbf e}_2 + c_3{\mathbf e}_3 எனில்: :(\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c})=\left|\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{pmatrix}\right|. *மேலும் : [\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c}] = [\mathbf{c}\ \mathbf{a}\ \mathbf{b}] = [\mathbf{b}\ \mathbf{c}\ \mathbf{a}]= -[\mathbf{a}\ \mathbf{c}\ \mathbf{b}] = -[\mathbf{b}\ \mathbf{a}\ \mathbf{c}] = -[\mathbf{c}\ \mathbf{b}\ \mathbf{a}].