கேள்வி: குழிவுச் சார்பு - வரையறை குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ஒரு திசையன் வெளியிலமைந்த குவிவுக் கணம் ''X'' இன் மீது வரையறுக்கப்பட்ட மெய்யெண் சார்பு கீழ்க்காணுமாறு இருப்பின் குழிவுச் சார்பு என வரையறுக்கப்படும். x_1, x_2 என்பவை ''X'' இன் இரு புள்ளிகள்; t\in[0,1] எனில்: :f(tx+(1-t)y)\geq t f(x)+(1-t)f(y). ;திட்டமாக குழிவுச் சார்பு :f(tx + (1-t)y) > t f(x) + (1-t)f(y)\, 0 , x_1 \not=x_2 எனில் சார்பு, திட்டமாகக் குழிவுச் சார்பு (''strictly concave'') என வரையறுக்கப்படும். ''f'':''R''→''R'' என்பது ஒரு குழிவுச் சார்பு எனில் அதன் ஆட்களம் (கணிதம்) ''x'' மற்றும் ''y'' இரு புள்ளிகளுக்கிடையே உள்ள ஒவ்வொரு ''z'' க்கும் (''z'', ''f''(''z'') ) புள்ளியானது (''x'', ''f''(''x'') ) , (''y'', ''f''(''y'') ) ஆகிய இருபுள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டு மேற்புறத்தில் அமையும்.
கேள்வி: குழிவுச் சார்பு - பண்புகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ஒரு குவிவுக் கணத்தின் மீது &minus;''f''(''x'') குவிவுச் சார்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அந்த குவிவுக் கணத்தின் மீது ''f''(''x'') குழிவுச் சார்பாக இருக்கும். ஒரு இடைவெளியின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட வகையிடத்தக்கச் சார்பின் வகைக்கெழு ''f'' &prime; அந்த இடைவெளியில் ஓரியல்புச் சார்பு குறையும் சார்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அச்சார்பு குவிவுச் சார்பாக இருக்கும். குழிவுச் சார்பு, குறையும் சாய்வு கொண்டிருக்கும். இருமுறை வகையிடத்தக்கச் சார்பு ''f'', இன் இரண்டாம் வகைக்கெழு ''f &prime;&prime;(x)'', எதிரிலா மதிப்பாக இருப்பின் தரப்பட்ட சார்பு குவிவுச் சார்பாகவும் இரண்டாம் வகைக்கெழு நேரிலா மதிப்பாக இருப்பின் குழிவுச் சார்பாகவும் இருக்கும். இருமுறை வகையிடத்தக்கச் சார்பு ''f'', இன் இரண்டாம் வகைக்கெழு ''f &prime;&prime;(x)'' இன் மதிப்பு நேரிலா மதிப்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே ''f''(''x'') குழிவுச் சார்பாகவும், இரண்டாம் வகைக்கெழு எதிர்மதிப்பாக இருப்பின் திட்டமாகக் குழிவுச் சார்பாகவும் இருக்கும். ஆனால் இதன் மறுதலை உண்மையல்ல. ''f'' வகையிடத்தக்கதாகவும் குழிவுச் சார்பாகவும் இருந்தால்: :f(y) \leq f(x) + f'(x)[y-x] ''C'' இல் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பு, ''C'' இலுள்ள ஏதேனும் இரு மதிப்புகள் ''x'' மற்றும் ''y'' க்குக் கீழ்க்காணுமாறு இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே குழிவுச் சார்பாக இருக்கும்: :f\left( \frac{x+y}2 \right) \ge \frac{f(x) + f(y)}2
கேள்வி: குழிவுச் சார்பு - எடுத்துக்காட்டுகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: * f(x)=-x^2, மற்றும் f(x)=\sqrt{x} ஆகிய இரு சார்புகளின் இரண்டாம் வகைக்கெழுக்கெழுக்களும் எதிர் மதிப்புடையவை என்பதால் அவை இரண்டும் குழிவுச் சார்புகளாகும். * நேரியல் சார்பு f(x)=ax+b, குழிவு மற்றும் குவிவுச் சார்பாக இருக்கிறது. * [0, \pi] இடைவெளியில் f(x)=\sin(x) குழிவுச் சார்பு. * \log |B| சார்பு ஒரு குழிவுச் சார்பு. இங்கு |B| ஆனது எதிரிலா-உறுதியான அணி (கணிதம்) (nonnegative-definite matrix) ''B'' இன் அணிக்கோவை.