கேள்வி: ஏது மூலம், மாடுலோ p பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: கணிதம்ல், முதன்மை மூலம், மட்டு p அல்லது ஏது மூலம், மாடுலோ p (''primitive root, modulo p'') என்பது எண் கோட்பாடுல் வரும் ஒரு முக்கியமான கருத்தாகும். எண் கோட்பாட்டிற்குள் உள்ள பயன்பாடுகளைத்தவிர இது குறியாக்கவியல், வழுதிருத்தும் குறியீடுகள் போன்ற துறைகளுக்குத் தேவைப்படும் கருத்து.[http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Primitive_root Primitive root], Encyclopedia of Mathematics
கேள்வி: ஏது மூலம், மாடுலோ p - எடுத்துக்காட்டு குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: *2ம் 3ம் மாடுலோ 5க்கு ஏது மூலங்கள்; ஏனென்றால், :2^1 = 2 = 2(mod 5); 2^2 = 4 = 4(mod 5); 2^3 = 8 = 3(mod 5); 2^4 = 16 = 1(mod 5). மற்றும் :3^1 = 3 = 3(mod 5); 3^2 = 9 = 4(mod 5); 3^3 = 27 = 2(mod 5); 3^4 = 81 = 1(mod 5). *\mathbf{Z}_7 ஐ எடுத்துக்கொள்வோம். இதனின் பெருக்கல் குலம் {1,2,3,4,5,6 மாடுலோ 7}. இதனில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பு a க்கும் a^n இனுடைய மதிப்புகளை அட்டவணையாக எழுதுவோம்: :{| class="wikitable" |- ! \frac{n\rightarrow}{a\downarrow} ! 1 ! 2 ! 3 ! 4 ! 5 ! 6 |- | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |- | 2 | 2 | 4 | 1 | 2 | 4 | 1 |- | 3 | 3 | 2 | 6 | 4 | 5 | 1 |- | 4 | 4 | 2 | 1 | 4 | 2 | 1 |- | 5 | 5 | 4 | 6 | 2 | 3 | 1 |- | 6 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 |} இதிலிருந்து நமக்குத்தெரிவது 3 ம் 5 ம் \mathbf{Z}_7^{*} க்கு பிறப்பிகள். அதனால் 3ம் 5ம் ஏது மூலம், மாடுலோ7. இதர எண்கள் 1,2,4,6 ஆகிய நான்கும் ஏது மூலங்களல்ல.
கேள்வி: ஏது மூலம், மாடுலோ p - சில குறிப்புகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: * ஒவ்வொரு \mathbf{Z}_p^{*} க்கும் ஏது மூலங்கள் இருக்கும் என்பதை நிறுவுவது அவ்வளவு எளிதானதல்ல. அப்படி இருந்தாலும் அதைக் கண்டுபிடிக்க எந்தக் கணிப்புச்செயல்பாடும் இருப்பதாகத்தெரியவில்லை. *கார்ல் ஃப்ரெடெரிக் காஸ் இன் தேற்றம்: p \neq 1 ஒரு பகா எண்ணாகவும், \alpha ஒரு இயல் எண்ணாகவும் கொண்டால், m = 1, 2, 4, p^\alpha, 2p^\alpha க்கு கட்டாயம் ஏது மூலம் மாடுலோ m இருக்கும். * q ஒரு பகா எண்ணாக இருந்து, p = 4q + 1 ஆக இருந்தால், \mathbf{Z}_p^{*} க்கு 2 ஓர் ஏது மூலமாக இருக்கும். * p ஒரு பகாஎண்ணாக இருந்தால், எந்த \mathbf{Z}_p இலும், அதனில் அடங்கிய எந்த பகா எண் a க்கும், :: a^{p-1} = 1(mod p). :இதற்கு ஃபெர்மாவின் சிறிய தேற்றம் என்று பெயர். a ஓர் ஏது மூலமாகவும் இருப்பதன் சிறப்புப்பண்பு என்னவென்றால், :: p - 1 ஐ விட சிறிய n க்கு a^n \neq 1(mod p). * p \mathbf{Z}_p^{*} க்கு 2 ஓர் ஏது மூலமாக இருக்கும் p-மதிப்புகள் :: 5, 13, 29, 53 மட்டுமே. * p \mathbf{Z}_p^{*} க்கு 10 ஓர் ஏது மூலமாக இருக்கும் p-மதிப்புகள்: :: 7, 17, 19, 23, 47, 59,61, 97 மட்டுமே. :: 10 ஓர் ஏதுமூலமாக இருக்கும் பிரச்சினை மீளும் தசமங்கள்ங்களைப்பற்றிய ஆய்வுகளில் தேவைப்படுகிறது. :: p < 100 என்ற கட்டுப்பாட்டை எடுத்துவிட்டால்,, இந்த p-மதிப்புகளின் தொடர் முடிவில்லாமல் இருக்குமா என்பது காஸ் இன் ஒரு புகழ் பெற்ற யூகம். * 1920 களில், எமில் ஆர்டின் ஒரு சிறப்பான யூகத்தை கணித உலகின் முன் வைத்தார். அதாவது, :: a ஒரு வர்க்கமில்லாத முழு எண்ணாக இருந்தால், அது முடிவில்லாத எண்ணிக்கையுள்ள p-மதிப்புகளுக்கு ஏது மூலமாக இருக்கும். :: இந்த யூகம் மிகப்புகழ்பெற்றதன் காரணம், இதற்கும் ரீமான் கருதுகோள் உண்மைக்கும் நெருங்கிய தொடர்பு உள்ளதுதான். 1967இல் ஹூலி என்பவர் ரீமான் யூகத்தை நுண்புலப்படுத்திய இன்னொரு யூகம் உண்மையாயிருந்தால், ஆர்டினின் ஊகம் உண்மையாக ஆகிவிடும் என்று நிறுவினார்.