கேள்வி: வகையிடல் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: படிமம்:Tangent to a curve.svg நுண்கணிதம் வகைக்கெழு (''derivative'') அல்லது வகையீட்டுக் கெழு (''differential coefficient'') என்பது ஒரு சார்பு மாறியின் மதிப்பு மாறும்பொழுது அச்சார்பின் மதிப்பு மாறும் அளவைத் தருகிறது. ஒரு சார்பின் வகைக்கெழு காணும் முறையானது வகையிடல் (''differentiation'') எனப்படுகிறது. பொதுவாக ஒரு கணியத்தில், அதனுடன் தொடர்புடைய மற்றொரு கணியத்தில் ஏற்படும் மாற்றத்தைப் பொறுத்து ஏற்படக்கூடிய மாற்றத்தின் அளவாக வகைக்கெழுவை எடுத்துக் கொள்ளலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு நகரும் துகளின் நிலையின் நேரத்தைப் பொறுத்த வகைக்கெழு அத்துகளின் கணநேர திசைவேகம். ஒரு மாறியில் அமைந்த மெய்மதிப்புச் சார்புக்கு ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் காணப்படும் வகைக்கெழு, அப்புள்ளியில் சார்பின் வரைபடம் வளைவரைக்கு வரையப்படும் தொடுகோடு சாய்வுக்குச் சமமாகும். உயர்பரிமாணங்களில் ஒரு குறிப்பிட்டப் புள்ளியில் காணப்படும் ஒரு சார்பின் வகைக்கெழு ''நேர்பியலாக்கல்'' எனப்படும் ஒரு நேரியல் உருமாற்றமாகும்.Differential calculus, as discussed in this article, is a very well established mathematical discipline for which there are many sources. Almost all of the material in this article can be found in Apostol 1967, Apostol 1969, and Spivak 1994. வகைக்கெழுவுடன் நெருக்கமான தொடர்புடைய மற்றுமொரு கருத்துரு வகையீடு (கணிதம்). வகைக்கெழு காணும் செயல்முறை ''வகையிடுதல்'' அல்லது ''வகையிடல்'' (differentiation) எனப்படும். இதன் எதிர்ச்செயல் ''எதிர் வகையிடுதல்'' அல்லது ''எதிர்வகையிடல்'' (antidifferentiation) எனப்படும். நுண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றம், எதிர்வகையிடலும் தொகையீடு சமம்.
கேள்வி: வகையிடல் - வகையிடுதல் ஒரு கண்ணோட்டம் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: பல அன்றாட பிரச்சினைகள் கணிதம் ஆழமாகவும் அகலமாகவும் அலசப்படுகின்றன. அப்படியொரு பிரச்சினைதான் 'மாறுதல்' என்ற பிரச்சினை. உலகில் எதுவுமே மாறிக்கொண்டிருக்கிறது. சாலையில் போகும் காரின் வேகத்தை வேகமானியைப் பார்த்துத் தெரிந்துகொள்கிறோம். வேகம் என்பது ஒரு மணிக்கு எவ்வளவு தூரம் கார் போகிறது என்பதைச் சொல்கிறது. ஆனால் ஒரு மணி நேரம் பிரயாணம் செய்துதான் அதைத் தெரிந்துகொள்ள வேண்டுமென்பதில்லை. ஒவ்வொரு நிமிடமும், ஏன், ஒவ்வொரு நொடியும் அந்த வேகம் மாறிக்கொண்டேயிருக்கிறது. அப்படியும் நொடிக்கு நொடி அதை அளந்து சொல்லிவிடமுடியும். சென்ற நொடியில் கார் போன துரத்தை வைத்து அந்த நொடியில் அதன் வேகம் இவ்வளவு என்று கணக்கிடுவதற்குத் தான் வேகமானி இருக்கிறது. அதற்கு அடிப்படைதான் வகையிடல். கணிதத்தில் இதற்கு வழி இருக்கிறது என்று தனித்தனியே முதன்முதல் சொன்னவர்கள் இருவர். ஐசக் நியூட்டன் (இங்கிலாந்து), மற்றும் கோட்பிரீட் லைப்னிட்ஸ் (ஜெர்மனி) -- இருவரும் 17ம் நூற்றாண்டின் பின்பாதியில், வகைக்கெழு அல்லது வகையீட்டுக்கெழு (Derivative, Differential Coefficient) என்பதைக் கண்டுபிடித்தனர். இதனில் தொடங்கியதுதான் நுண்கணிதம் என்ற கணிதத்தின் இன்றியமையா அடிப்படைப் பிரிவு. ஒர் செயலியின் (y=f(x)) சாரா மாறி மாறும்பொழுது அதனுடன் தொடர்புடைய சார் மாறி மாறும். சாரா மாறி சிறிதாக மாறும் பொழுது அம்மாறுதலின் அளவு \vartriangle x என்று குறிக்கப்படும். x என்ற சாராமாறி x + \vartriangle x ஆக ஆகும்போது, y என்ற சார்மாறி, \vartriangle y என்ற மாறுதலுக்குள்ளாகி, y + \vartriangle y ஆகும். சார்மாறியின் மாறுதல் \vartriangle y. சாராமாறியின் மாறுதல் \vartriangle x. மாறுதல்களின் விகிதம் \frac{\vartriangle y}{\vartriangle x}. இந்த விகிதம் என்பது நம் காரின் வேகத்தை அளக்கும்போது, சென்ற ஒரு நொடியில் கார் போன தூரத்தை \vartriangle y ஆகவும், சென்ற ஒரு நொடிக்கான நேரத்தை \vartriangle x ஆகவும் எடுத்துக்கொண்டு கணித்த விகிதம் ஆகும். ஆனால் நுண்கணிதத்தில் இதை இன்னும் நுண்பியப்படுத்தி, நொடியையும் விட மிகவும் நுண்ணியதான அந்த ஒரு கணநேரத்தில் காரினுடைய வேகம் என்ன என்று சொல்வதற்கு 'எல்லை' என்ற கணிதக் கருத்துப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. அதாவது, \vartriangle x ஐ சிறிது சிறிதாக ஆக்கி கடைசியில் சூனியம் ஆக்க முயற்சி செய்தால், \vartriangle y ம் சிறிது சிறிதாக ஆகி, அதுவும் சூனியமாகவே ஆகிவிடும் . ஆனால் அப்படி இரண்டும் சூனியமானால், நாம் சூனியத்தை சூனியத்தால் வகுக்கவேண்டிவரும். இது கணிதத்தில் அனுமதிக்கப்படாத செயல். ஆனால் வேறு வழிகளில் \frac{\vartriangle y}{\vartriangle x} க்கு \vartriangle x. சூனியத்தை நோக்கி மாறும்போதும் ஒரு மதிப்பு கண்டுபிடிக்க முடியுமானால் அதுதான் அந்தக் கணத்தில் கார் செல்லும் வேகமாகும். இந்த மதிப்பை \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} என்று குறிப்பிட்டு, சுருக்கமாக \frac{dy}{dx} என்று எழுதப்படுகிறது. இதுதான் வகைக்கெழு.
கேள்வி: வகையிடல் - வகையிடுதலும் வகைக்கெழுவும் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: படிமம்:Graph of sliding derivative line.gif ஒரு சார்பின் சார் மாறியும் சாரா மாறியும் ''x'' மற்றும் சார் மாறியும் சாரா மாறியும் ''y''. :அதாவது ''y'' = ''f''(''x''). ''x'' இல் ஏற்படும் மாற்றத்தைப் பொறுத்து ''y'' இன் மாறுவீதத்தைக் கணக்கிடும் முறையே வகையிடுதல் ஆகும். இந்த மாறுவீதத்தின் அளவு, ''x'' ஐப் பொறுத்த ''y'' இன் வகைக்கெழு ஆகும். ''x'' , ''y'' இரண்டும் மெய்யெண்கள் எனில், ''f'' இன் வரைபட வளைவரையில் அமையும் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் காணப்படும் வகைக்கெழுவானது அப்புள்ளிகளில் வளைவரைக்கு வரையப்படும் தொடுகோட்டின் சாய்வுக்குச் சமமாக அமையும்.
கேள்வி: வகையிடல் - நேரியல் சார்பு குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ''f'' ஒரு நேரியல் சார்பு எனில் அதன் சார்பின் வரைபடம் ஒரு கோடு இருக்கும். :y = f(x) = mx + b, இங்கு ''m'' , ''b'' மெய்யெண்கள்; ''m'' கோட்டின் சாய்வு. ''y'' இல் ஏற்படும் மாற்றம் Δy; ''x'' இல் ஏற்படும் மாற்றம் Δx; Δ, "மாற்றம்" என்பதன் சுருக்கக் குறியீடு. : y + \Delta y = f(x+\Delta x) ::= m(x + \Delta x) + b ::= mx + b + m\Delta x ::= y + m\Delta x எனவே ''x'' ஐப் பொறுத்து ''y'' இன் மாறுவீதம்: ::\frac{\Delta y}{\Delta x} = m :m=\frac{\text{change in } y}{\text{change in } x} = \frac{\Delta y}{\Delta x}, ''f'' நேரியல் சார்பல்ல எனில் வரைபடம் நேர்கோடாக இருக்காது, மாறுவீதமும் வேறுபடும்.
கேள்வி: வகையிடல் - எல்லை மதிப்பாக பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: Δ''x'' இன் மதிப்பு நுட்பமான அளவு சிறியதாகும்போது, சார்ந்த மற்றும் சாரா மாறிகளில் ஏற்படும் மாற்றங்களின் விகிதம் Δ''y'' / Δ''x'' இன் எல்லைமதிப்பாக, மாறுவீதத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான கருத்து படங்கள் 1-3 இல் தரப்பட்டுள்ளது. லைப்னிட்சின் குறியீடு ''x'' இல் ஏற்படும் நுட்ப மாற்றம் ''dx'' எனக் குறிக்கப்படுகிறது. மேலும் ''x'' ஐப் பொறுத்த ''y'' இன் வகைக்கெழு: : \frac{dy}{dx} \,\!
கேள்வி: வகையிடல் - உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்கள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: ''f'' ஒரு வகையிடக்கூடிய சார்பு, மேலும் அதன் வகைக்கெழு ''f&prime;(x)'' எனில்: வகையிடக்கூடியதாக இருந்தால் அதன் வகைக்கெழு எனக் குறிக்கப்படும். மேலும் அது ''f'' இன் இரண்டாம் வகைக்கெழு எனவும் அழைக்கப்படும். இதேபோல் இரண்டாம் வகைக்கெழு மீண்டும் வகையிடக்கூடியதாக இருந்தால் அது எனக் குறிக்கப்படும். மேலும் அது ''f'' இன் மூன்றாம் வகைக்கெழு எனவும் அழைக்கப்படும். இந்த தொடர் வகைக்கெழுக்கள் உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்கள் எனப்படுகின்றன. ''x''(''t'') என்பது ''t'' நேரத்தில் ஒரு துகளின் நிலையைக் குறிக்குமானால்: ''x''(''t'') இன் ''t'' ஐப் பொறுத்த முதல் வகைக்கெழு அத்துகளின் திசைவேகத்தையும், இரண்டாம் வகைக்கெழு அத்துகளின் முடுக்கத்தையும், மூன்றாம் வகைக்கெழு அத்துகளின் திடுக்கத்தையும் குறிக்கும்.
கேள்வி: வகையிடல் - வளைவுமாற்றுப் புள்ளி பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: ஒரு சார்பின் இரண்டாம் வகைக்கெழுவின் குறி மாறும் புள்ளி, அச்சார்பின் வளைவுமாற்றுப் புள்ளி எனப்படும். வளைவுமாற்றுப் புள்ளியில் ஒரு சார்பு தனது குவிவுத் தனமையிலிருந்து குழிவாகவோ அல்லது குழிவுத்தன்மையிலிருந்து குவிவாகவோ மாறுகிறது. * ஒரு சார்பின் வளைவுமாற்றுப் புள்ளியில் அதன் இரண்டாம் வகைக்கெழுவின் மதிப்பு பூச்சியமாகவும் இருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டு: ''y''=''x''3 சார்புக்கு ''x''=0 ஒரு வளைவுமாற்றுப் புள்ளி. ''x''=0 இல் இச்சார்பின் இரண்டாம் வகைக்கெழு பூச்சியம். * ஒரு சார்பின் வளைவுமாற்றுப் புள்ளியில் அதன் இரண்டாம் வகைக்கெழு காண முடியாததாக இருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டு: ''y''=''x''1/3 சார்புக்கு ''x''=0 ஒரு வளைவுமாற்றுப் புள்ளி. ''x''=0 இல் இச்சார்புக்கு இரண்டாம் வகைக்கெழு இல்லை.
கேள்வி: வகையிடல் - நியூட்டனின் குறியீடு என்பது என்ன?
பதில்: வகையிடலுக்கு ஐசாக் நியூட்டன் அறிமுகப்படுத்திய குறியீட்டில் ஒரு சார்பின் நேரத்தைப் பொறுத்த முதல் வகைக்கெழுவைக் குறிக்க அச்சார்பின் பெயர் மீது ஒரு புள்ளியும் இரண்டாம் வகைக்கெழுவைக் குறிக்க இரண்டு புள்ளிகளும் இடப்படுகின்றன. ''y'' = ''f''(''t'') எனில், :\dot{y}, \ddot{y} இரண்டும் முறையே, ''t'' ஐப் பொறுத்த ''y'' இன் முதல் மற்றும் இரண்டாம் வகைக்கெழுக்களைக் குறிக்கின்றன. உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்களுக்கு இக்குறியீடு பொருத்தமானதாக இல்லை. இக்குறியீடு, வழக்கமாக இயற்பியலிலும் அதோடு தொடர்புடைய கணிதப் பிரிவான வகையீட்டுச் சமன்பாடுகளிலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
கேள்வி: வகையிடல் - ஆய்லரின் குறியீடு பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: வகையிடலில் லியோனார்டு ஆய்லர் குறியீடு, ''D'' என்னும் வகையீட்டுச் செயலியைக் கொண்டுள்ளது. இக்குறியீட்டின்படி, சார்பு ''f'' இன் முதல்வகைக்கெழு ''Df'', இரண்டாம் வகைக்கெழு ''D''2''f'', .... ''n'' ஆம் வகைக்கெழு ''D'n'f''. ''y'' = ''f''(''x'') எனில், ''D'' உடன் இணைத்து சாரா மாறி ''x'' எழுதப்படுகிறது: :D_x y\, &emsp; அல்லது &emsp; D_x f(x)\,, ஒரே மாறியில் அமைந்த சார்பாக இருப்பின் கீழெழுத்தான ''x'' ஐ விட்டுவிட்டும் எழுதலாம். நேரியல் வகையீட்டுச் சமன்பாடுகளை எழுதுவதற்கும் தீர்வு காண்பதற்கும் ஆய்லரின் குறியீடு பயனுள்ளதாக இருக்கும்.
கேள்வி: வகையிடல் - வகைக்கெழு காணும் எடுத்துக்காட்டு குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: : f(x) = x^4 + \sin (x^2) - \ln(x) e^x + 7\, எனில்: : \begin{align} f'(x) &= 4 x^{(4-1)}+ \frac{d\left(x^2\right)}{dx}\cos (x^2) - \frac{d\left(\ln {x}\right)}{dx} e^x - \ln{x} \frac{d\left(e^x\right)}{dx} + 0 \\ &= 4x^3 + 2x\cos (x^2) - \frac{1}{x} e^x - \ln(x) e^x. \end{align} இங்கு இரண்டாவது உறுப்பு சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தியும் மூன்றாவது உறுப்பு பெருக்கல் விதியைப் பயன்படுத்தியும் வகையிடப்பட்டுள்ளது. மேலும் அடிப்படைச் சார்புகள் ''x''2, ''x''4, sin(''x''), ln(''x'') and exp(''x'') = ''e'x'', மாறிலி 7 ஆகியவற்றின் வகைக்கெழுக்களும் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன.
கேள்வி: வகையிடல் - அச்சிடப்பட்டவை பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: * கணிதவியல், மேனிலை - முதலாம் ஆண்டு, தொகுதி - 2, தமிழ்நாட்டுப் பாடநூல் கழகம். பக்கம் 62-97. http://www.textbooksonline.tn.nic.in/Std11.htm * * * * * * * * *
கேள்வி: வகையிடல் - வலைப்பக்கங்கள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: * * Khan Academy: [http://www.khanacademy.org/video/calculus--derivatives-1--new-hd-version?playlist=Calculus Derivative lesson 1] * Eric W. Weisstein "[http://mathworld.wolfram.com/Derivative.html Derivative.]" From MathWorld * [http://calculus-calculator.com/derivative/ Derivative calculator with step-by-step solutions] * [http://www.ugrad.math.ubc.ca/coursedoc/math100/notes/derivative/trig2.html Derivatives of Trigonometric functions] , UBC * [http://calculus.solved-problems.com/category/derivative/ Solved Problems in Derivatives] * [http://scienceapplets.blogspot.com.es/2012/03/differentiation.html Java applet illustrating the concept of derivative] பகுப்பு:வகையீட்டு நுண்கணிதம் பகுப்பு:காணொளிக் கோப்பு உள்ள கட்டுரைகள் பகுப்பு:சார்புகளும் கோப்புகளும்