கேள்வி: அணிகளின் அளவை பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: கணிதம்த்தில் நேரியல் இயற்கணிதம் அணிகள் ஒரு முக்கிய பங்கை வகிக்கின்றன. ஒரு m \times n அணி M இன் நிரல் திசையன் நேரியல் சார்பின்மை திசையன்களின் மிகப்பெரிய எண்ணிக்கை M இன் நிரலளவை (Column Rank) என்றும், வரிசைத்திசையன் நேரியல் சார்பற்ற திசையன்களின் மிகப்பெரிய எண்ணிக்கை M இன் வரிசையளவை (Row rank) என்றும் பெயர் பெறுவன.ஆனால் கூட்டிக் கழித்துப் பார்க்கும்போது நிரலளவையும் வரிசையளவையும் ஒன்றுதான் என்று தெரிய வரும். அது தான் அணி M இன் அளவை (Rank). இது “தரம்” என்றும் வழங்கப்படுகிறது. இக்கட்டுரையில் எல்லா அணிகளும் மெய்யெண்களை உறுப்புகளாகக் கொண்டவை. pp. 111-112, §§ 3.115, 3.119 p. 48, § 1.16Bourbaki, ''Algebra'', ch. II, §10.12, p. 359
கேள்வி: அணிகளின் அளவை - ஒரு அணியின் குறு வரிசைப்படி பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: ஒரு அணி குறுவரிசைப்படி உருவத்தில் (row-reduced echelon form) இருக்கிறது என்று சொல்வதன் இலக்கணம்: * எல்லாம் சூனியங்களாக இல்லாத ஒவ்வொரு வரிசையிலும், முதல் சூனியமல்லாத உறுப்பு 1 ஆக இருக்கும்; * அந்த முதல் உறுப்பு 1 தோன்றும் நிரல்களிலுள்ள மற்ற ஒவ்வொரு உறுப்பும் சூனியமாக இருக்கும்; * சூனியங்களாகவே இருக்கும் வரிசைகளெல்லாம் எல்லாம் சூனியங்களாக இல்லாத வரிசைகளுக்குக் கீழே இருக்கும்; * எல்லாம் சூனியங்களாக இல்லாத வரிசைகள் ''r'' என்றும், ''i'' -வது வரிசையின் முதல் சூனியமல்லாத உறுப்பு உள்ள நிரல் ''k'i''-வது நிரல், ''i = 1,2, ..., r'' என்றும் கொண்டால், ''k1 2 r.'' எடுத்துக்காட்டக, கீழே உள்ளது ஒரு 7\times 10 அணியின் குறுவரிசைப்படி: \begin{pmatrix} 0 & (1) & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & (1) &-1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & (1) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & (1) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & (1) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & (1) & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} இதன் உறுப்புகளை இடதுபுறமும் கீழேயும் எல்லாம் சூனியங்களாக இருக்கும்படி ஒரு பிரிப்புக்கோடு (செங்குத்துக் கோடுகளாலும் படுக்கைக் கோடுகளாலும் ஆனது) போடப்பட்டால், அதனுடைய திருப்பங்களிலெல்லாம் 1 என்ற உறுப்புதான் இருக்கும். அவையெல்லாம் அடைப்ப்புகளுக்குள் காட்டப்பட்டிருக்கின்றன். இத்திருப்பங்களுக்கு படிகள் எனப்பெயர்.
கேள்வி: அணிகளின் அளவை - தேற்றம்: நிரலளவை = வரிசையளவை பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: இது பல சிறு சிறு முற்கோள்களிலிருந்து வருகிறது. 1. மூன்றுவித தொடக்கநிலை வரிசைச்செயல்களின் மூலம் எந்த அணி A யையும் குறுவரிசைப்படி B ஆக மாற்றலாம். 2. ஒரு அணி குறுவரிசைப்படி உருவத்தில் இருந்தால், அதன் வரிசையளவை, எல்லாம் சூனியங்களல்லாத வரிசைகளின் எண்ணிக்கையே. 3. ஒரு அணியின் வரிசையளவை அவ்வணியின் குறுவரிசைப்படியின் வரிசையளவையே. (இதன் நிறுவலில் முக்கிய கருத்து: தொடக்கநிலை வரிசைச்செயல்கள் வரிசையளவையை மாற்றாது) 4. ஒரு அணி குறுவரிசைப்படி உருவத்தில் இருந்தால்,அதனுடைய நிரலளவை அதன் படிகளின் எண்ணிக்கையே. 5. ஒரு அணியின் நிரலளவை அவ்வணியின் குறுவரிசைப்படியின் நிரலளவையே. (இதன் நிறுவலில் முக்கிய கருத்து: தொடக்கநிலை வரிசைச்செயல்கள் நிரலளவையை மாற்றாது) 6. குறுவரிசைப்படி உருவத்தில் உள்ள அணியில், படிகளின் எண்ணிக்கையும் சூனியங்களல்லாத வரிசைகளின் எண்ணிக்கையும் ஒன்றே.
கேள்வி: அணிகளின் அளவை - துணை நூல்கள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: * Serge Lang. Introduction to Linear Algebra. 1986. Springer Science, Inc. New York. . * V. Krishnamurthy, V.P. Mainra & J.L. Arora.An Introduction to Linear Algebra. 1976. Affiliated East West Press PVT Ltd. New Delhi.