கேள்வி: கூம்பி (வளைவரை) - ஒரு வட்டத்தின் கூம்பி பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: Image:Animated involute of circle.gif ஒரு வட்டத்தின் கூம்பியின் வடிவம் ஆர்க்கிமிடியச் சுருள் போல இருக்கும். *கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமை வட்டத்தின் கூம்பியின் துணையலகுச் சமன்பாடுகள்: :\, x = a \left( \cos\ t + t\sin\ t \right) :\, y = a \left( \sin\ t - t\cos\ t \right) இங்கு \, a, வட்டத்தின் ஆரம். \, t, ரேடியன் கோணம் துணையலகு (\ t \in \mathbb{R}). *வாள்முனை ஆள்கூற்று முறைமை \, r,\varphi வட்டத்தின் கூம்பியின் துணையலகுச் சமன்பாடுகள்: :\, r=a\cdot\sec\alpha=\frac{a}{\cos\alpha} :\, \varphi = \tan\alpha - \alpha இங்கு \, a வட்டத்தின் ஆரம். \ -\pi/2 இடைவெளியில் அமையும் துணையலகு \, \alpha. :\ \tau\ (\ \ \tau=\tan\alpha\ ;\ \tau\in \mathbb{R}\ ) என்ற துணையலகில் இதன் சமன்பாடுகள்: : \, r = a\cdot \sqrt{1+\tau^2} : \, \varphi=\tau-\arctan(\tau).
கேள்வி: கூம்பி (வளைவரை) - வில்லின் நீளம் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: வட்டத்தின் கூம்பியின் வில்லின் நீளம்: ::\ L = \frac{a}{2}\cdot t_1^2, \ (\quad0\le t\le t_1\quad)
கேள்வி: கூம்பி (வளைவரை) - பயன்பாடு பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: பற்சக்கரத் துணைப்பொறியின் பற்களை வடிவமைப்பதில் வட்டத்தின் கூம்பி வடிவம் ஆய்லர் பரிந்துரைக்கப்பட்டது. இன்றும் இவ்வடிவம் உள்சுருள்வரை பல்சக்கர அமைப்பில் பயன்பாட்டில் உள்ளது.
கேள்வி: கூம்பி (வளைவரை) - சங்கிலியத்தின் கூம்பி பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: Image:Involute.gif சங்கிலியத்தின் உச்சி (வடிவவியல்) வழியே அமையும் அதன் கூம்பி ஒரு (tractrix). கார்ட்டீசியன் ஆள்கூறுகளில் அதன் சமன்பாடு: x=t-\mathrm{tanh}(t)\, y=\mathrm{sech}(t)\ =\ \frac{1}{\mathrm{cosh}(t)} இங்கு ''t'' என்பது துணையலகு.
கேள்வி: கூம்பி (வளைவரை) - வட்டப்புள்ளியுருவின் கூம்பி பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: ஒரு வட்டப்புள்ளியுருவும் அதன் கூம்பியும் ஒன்றுக்கொன்று வடிவொப்புமை (வடிவவியல்).