கேள்வி: வகையிடலின் பெருக்கல் விதி பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: நுண்கணிதம் வகையிடலின் பெருக்கல் விதி அல்லது பெருக்கல் விதி (''product rule'') என்பது, இரண்டு அல்லது இரண்டுக்கு மேற்பட்ட சார்புகளின் பெருக்கலாக அமையும் சார்பினை வகைக்கெழு வழிமுறையைத் தருகின்ற ஒரு விதியாகும். இவ்விதியின் கூற்று: ''f'' , ''g'' வகையிடத்தக்கச் சார்புகள் எனில்: :(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g' \,\! லைப்னிட்சின் குறியீடு இவ்விதி: :\dfrac{d}{dx}(u\cdot v)=u\cdot \dfrac{dv}{dx}+v\cdot \dfrac{du}{dx}. வகையீடுகளின் குறியீட்டில் இவ்விதியைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்: : d(uv)=u\,dv+v\,du. இவ்விதியின்படி மூன்று சார்புகளின் பெருக்கலாக அமையும் சார்பின் வகைக்கெழு: :\dfrac{d}{dx}(u\cdot v \cdot w)=\dfrac{du}{dx} \cdot v \cdot w + u \cdot \dfrac{dv}{dx} \cdot w + u\cdot v\cdot \dfrac{dw}{dx}.
கேள்வி: வகையிடலின் பெருக்கல் விதி - லைப்னிட்சின் கண்டுபிடிப்பு பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: இந்தப் பெருக்கல் விதி கோட்பிரீட் லைப்னிட்ஸ் கண்டுபிடிப்பாகக் கருதப்படுகிறது (மாற்றுக் கருத்தும் உள்ளது). லைப்னிட்ஸ் இவ்விதியை வகையீடுகளைக் கொண்டு விளக்கியுள்ளார். ''u''(''x'') , ''v''(''x'') இரு வகையிடக்கூடிய சார்புகள் எனில் ''uv'' இன் வகையீடு: : \begin{align} d(u\cdot v) & {} = (u + du)\cdot (v + dv) - u\cdot v \\ & {} = u\cdot dv + v\cdot du + du\cdot dv. \end{align} ''du''·''dv'' மதிப்புத் தவிர்க்கத்தக்க அளவு சிறியதாகையால் அதை விட்டுவிடக் கிடைப்பது, :d(u\cdot v) = v\cdot du + u\cdot dv \,\! இது பெருக்கல் விதியின் வகையீட்டு வடிவமாகும். ''dx'' ஆல் வகுக்க, :\frac{d}{dx} (u\cdot v) = v \cdot \frac{du}{dx} + u \cdot \frac{dv}{dx} \,\! இதனைப் பின்வருமாறும் எழுதலாம்: :(u\cdot v)' = v\cdot u' + u\cdot v'. \,\!
கேள்வி: வகையிடலின் பெருக்கல் விதி - எடுத்துக்காட்டுகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: *வகையிட வேண்டிய சார்பு : f(x) = x^2 sinx எனில் பெருக்கல் விதியைப் பயன்படுத்த, :(f(x))' = sinx (x^2)' + x^2 (sinx)' \,\! ::: = sinx (2x) + x^2 (cosx) \,\! ::: = 2xsinx + x^2cosx \,\! *பெருக்கல் விதியின் ஒரு சிறப்பு வகையாக வகையிடலின் மாறிலிப் பெருக்கல் விதியை அடையலாம். பெருக்குத்தொகையில் உள்ள இரு சார்புகளில் ஒன்று மாறிலியாக இருந்தால் பெருக்கல் விதியானது மாறிலிப் பெருக்கல் விதியாக மாறிவிடும். பெருக்கல் விதிப்படி, :(cf(x))' = c(f(x))' + f(x)(c)' \,\! மாறிலி c இன் வகைக்கெழு பூச்சியம் என்பதால், :: (cf(x))' = cf'(x) \,\! இது வகையிடலின் மாறிலிப் பெருக்கல் விதியாகும்.
கேள்வி: வகையிடலின் பெருக்கல் விதி - பொதுவான பிழை என்பது என்ன?
பதில்: பொதுவாக வகையிடும்போது நிகழக்கூடிய ஒரு பிழை (''uv'') இன் வகைக்கெழுவை (''u''&nbsp;&prime;)(''v''&nbsp;&prime;) எனக் கருதிவிடுவது ஆகும். லைப்னிட்சுக்கும் இத்தவறு நேர்ந்ததுண்டு ஆனால் இவ்வாறு உண்மையில் அமையாது என்பதற்கு எளிதாக மாற்று எடுத்துக்காட்டுகளைத் தரமுடியும்.
கேள்வி: வகையிடலின் பெருக்கல் விதி - நிறுவல் என்பது என்ன?
பதில்: பெருக்கல் விதியை எல்லைகளின் பண்புகளையும் வகையிடலின் வரையறையும் பயன்படுத்தி நிறுவுதல். : h(x) = f(x)g(x),\, ''&fnof;'' , ''g'' -என்பவை ''x'' இல் வகையிடத்தக்கச் சார்புகள் எனில், :h'(x) = \lim_{w\to x}{ h(w) - h(x) \over w - x} = \lim_{w\to x}{f(w)g(w) - f(x)g(x) \over w - x} \qquad\qquad(1) இதிலுள்ள f(w)g(w) - f(x)g(x)\qquad\qquad(2) என்பது பெரிய செவ்வகம் பரப்புக்கும் சிறிய செவ்வகத்தின் பரப்புக்குமுள்ள வித்தியாசம் ஆகும். Image:Regladelproducte.png இவ்விரண்டு செவ்வகங்களுக்கு இடையேயுள்ள பகுதியை இரு செவ்வகங்களாகப் பிரிக்கலாம். இவ்விரு பகுதிகளின் பரப்புகளின் கூடுதல்:The illustration disagrees with some special cases, since – in actuality – ''&fnof;''(''w'') need not be greater than ''&fnof;''(''x'') and ''g''(''w'') need not be greater than ''g''(''x''). Nonetheless, the equality of (2) and (3) is easily checked by algebra. : f(x) \Bigg( g(w) - g(x) \Bigg) + g(w)\Bigg( f(w) - f(x) \Bigg).\qquad\qquad(3) \qquad(2) = \qquad(3) என்பதால், : f(w)g(w) - f(x)g(x) = f(x) \Bigg( g(w) - g(x) \Bigg) + g(w)\Bigg( f(w) - f(x) \Bigg)\qquad\qquad(4) இதை (1) இல் பயன்படுத்த, :\lim_{w\to x}\left( f(x) \left( {g(w) - g(x) \over w - x} \right) + g(w)\left( {f(w) - f(x) \over w - x} \right) \right)\qquad(4) இதிலுள்ள அனைத்து எல்லைகளின் மதிப்பையும் காண முடியும் என எடுத்துக்கொண்டால், : \left(\lim_{w\to x}f(x)\right) \left(\lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x}\right) + \left(\lim_{w\to x} g(w)\right) \left(\lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} \right) \qquad(5) இப்பொழுது *\lim_{w\to x}f(x) = f(x), (&nbsp;''w''&nbsp;→&nbsp;''x'' எனும்போது ''f''(''x'') மாறுவதில்லை) *\lim_{w\to x} g(w) = g(x),\, (வகையிடத்தக்கச் சார்புகள் தொடர்ச்சியானவை என்பதால் இது உண்மை) * \lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} = f'(x) &nbsp;&nbsp; and &nbsp;&nbsp; \lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x} = g'(x) (''f'' , ''g'' இரண்டும் ''x'' இல் வகையிடத்தக்கதாய் இருப்பதால்) இம்முடிவுகளை (5) இல் பயன்படுத்த, : h'(x) = f(x)g'(x) + g(x)f'(x). \, எனவே வகையிடலின் பெருக்கல் விதி நிறுவப்பட்டது. வேறுபல முறைகளிலும் இவ்விதியை நிறுவ முடியும்.
கேள்வி: வகையிடலின் பெருக்கல் விதி - உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்கள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: பெருக்கல் விதியை இரு சார்புகளின் பெருக்கலாக அமையும் சார்பின் ''n'' ஆம் வரிசை வகையிடலுக்குப் பொதுமைப்படுத்தலாம்: :(uv)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n {n \choose k} \cdot u^{(n-k)}(x)\cdot v^{(k)}(x). பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பெருக்கல் விதி, பொது லைப்னிட்ஸ் விதி அல்லது லைப்னிட்ஸ் விதி என அழைக்கப்படுகிறது.
கேள்வி: வகையிடலின் பெருக்கல் விதி - உயர்வரிசை பகுதி வகைக்கெழுக்கள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: உயர்வரிசை பகுதி வகையிடலுக்கான பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பெருக்கல் விதி: :{\partial^n \over \partial x_1\,\cdots\,\partial x_n} (uv) = \sum_S {\partial^{|S|} u \over \prod_{i\in S} \partial x_i} \cdot {\partial^{n-|S|} v \over \prod_{i\not\in S} \partial x_i} மூன்றாம் வரிசைப் பகுதி வகையிடல்: :\begin{align} &{}\quad {\partial^3 \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3} (uv) \\ \\ &{}= u \cdot{\partial^3 v \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3} + {\partial u \over \partial x_1}\cdot{\partial^2 v \over \partial x_2\,\partial x_3} + {\partial u \over \partial x_2}\cdot{\partial^2 v \over \partial x_1\,\partial x_3} + {\partial u \over \partial x_3}\cdot{\partial^2 v \over \partial x_1\,\partial x_2} \\ \\ &{}\qquad + {\partial^2 u \over \partial x_1\,\partial x_2}\cdot{\partial v \over \partial x_3} + {\partial^2 u \over \partial x_1\,\partial x_3}\cdot{\partial v \over \partial x_2} + {\partial^2 u \over \partial x_2\,\partial x_3}\cdot{\partial v \over \partial x_1} + {\partial^3 u \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3}\cdot v. \end{align}