கேள்வி: E (கணித மாறிலி) பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: (கணித மாறிலி)}} படிமம்:Hyperbola E.svg e என்னும் கணித மாறிலி  கணிதத்திலேயே மிகச்சிறப்பான மூன்று மாறிலிகளில் ஒன்று. பை யும் ''i'' யும் மற்ற இரண்டு. 1614 இல் மடக்கைகளை அறிமுகப்படுத்தின நேப்பியர் e யை ''நேப்பியர் மாறிலி'' என்றும், 1761 இல் அதை பல பதின்ம (தசம) இலக்கங்களுக்குக் கணித்து மெக்கானிக்கா என்ற தன் கணித நூலில் புகுத்திய ஆய்லர் நினைவாக ''ஆய்லர் மாறிலி'' என்றும் சொல்வதுண்டு. ஆய்லருடைய கணிப்புப்படி ''e'' = 2.718 281 828 459 045 235 360 287 4 … [https://books.google.com/books?id=JrslMKTgSZwC&pg=PA166 Extract of page 166] |date=September 2001}}
கேள்வி: E (கணித மாறிலி) - நான்கு சரிசமமான வரையறைகள் என்பது என்ன?
பதில்: 1. தொடர்வட்டிக்கருத்துக்களைக்கொண்டு உண்டான வரையறை: :e = \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n 2. ஆய்லரின் முடிவிலாச்சரம் (Infinite Series): :e = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots 3. நேபியரின் மடக்கைக்கருத்தை அடிப்படையாகக்கொண்டது: ''e'' என்பது கீழுள்ள பண்பை தனக்கு மட்டும் உடைய உள்ளக எண்: :\int_{1}^{e} \frac{1}{t} \, dt = {1} 4. ''e'' என்பது கீழுள்ள பண்பை தனக்கு மட்டும் உடைய உள்ளக எண்: :\frac{d}{dt}e^t = {e^t}
கேள்வி: E (கணித மாறிலி) - e இன் சில இதர பண்புகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: # எண் e இயல் மடக்கைகளின் அடி. (Base of Natural logarithms). # e = lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac1n\right)^n # e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}. # y = e^ x இனுடைய அடுக்கு-வளர்ச்சி (exponential growth) யை கருத்தில் கொண்டு கணித மாறிலி e க்கு 'அடுக்குமாறிலி e' என்றும் பெயர் உண்டு. இது அடுக்குமாறிலி e ஒரு விகிதமுறா எண் மட்டுமல்ல, இது ஒரு இயற்கணித எண்களும் விஞ்சிய எண்களும். # y = e^ x என்னும் வரைவில் x =- infinity to x = 1 வரையில் வரைவுக்கடியில் உள்ள பரப்பு e. என்று கணக்கிடலாம். # அதே வரைவில் x = 1 அதை சந்திக்கும் இடத்தில் அதன் சரிவும் தான்; ஏனென்றால் d/dx (e^x) = e^x. # y = 1/x என்பது ஒரு மிகை வளையம் (hyperbola). இதனில் x = 1க்கும் x = e க்கும் இடையே வரைவுக்கடியில் இருக்கும் பரப்பு 1 என்று கணக்கிடலாம்.
கேள்வி: E (கணித மாறிலி) - கணித மாறிலி e ஒரு விகிதமுறா எண் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: கணிதத்தில் e (கணித மாறிலி) (the exponential) '' e'' ஒரு விகிதமுறா எண்.இதை நிறுவியவர் லியோனார்டு ஆய்லர். 1737 இல் ''e'' மட்டுமல்ல, ''e2'' ம் விகிதமுறா எண்கள் என்று நிறுவினார். பிற்காலத்தில் ஹெர்மைட் என்ற ப்ரென்சு கணிதவியலர் 1873 இல் அது விகிதமுறா எண் மட்டுமல்ல, அது உண்மையில் ஒரு இயற்கணித எண்களும் விஞ்சிய எண்களும் என்றும் நிறுவினார்.
கேள்வி: E (கணித மாறிலி) - ''e'' ஒரு விகிதமுறா எண்: நிறுவல் என்பது என்ன?
பதில்: முரண்பாட்டு வழியில் நிறுவுவோம். ''e'' ஒரு விகிதமுறு எண் என்று வைத்துக்கொள்வோம். அதாவது அது இரண்டு இயல்பெண்களின் விகிதமாக இருக்கவேண்டும் என்பது கருதுகோள். ஆக ''e = m/n''. இங்கு ''m''ம் ''n'' ம் இயல்பெண்கள். அதனால் ''n!e'' ம் ஒரு இயல்பெண்தான். ஆனால் ஏற்கனவே நமக்குத்தெரிவது: e = \sum_{k=0}^\infty{1\over{k!}} இதிலிருந்து, n! e= n! \sum_{k=0}^\infty{1\over{k!}} = \sum_{k=0}^{n}{n!\over{k!}} + \sum_{k=n+1}^\infty{n!\over{k!}} இடதுபக்கத்திலுள்ளது இயல்பெண். அதனால் வலது பக்கத்திலுள்ளதும் இயல்பெண்ணாகத்தான் இருக்கவேண்டும். வலது பக்கத்தில் உள்ள முதல் தொகை நிச்சயமாக இயல்பெண் என்று தெரிகிறது. அதனால் வலது பக்கத்திலுள்ள இரண்டாவது தொகையும் இயல்பெண்ணாகத்தான் இருக்கவேண்டும். ஆனாலும், \sum_{k=n+1}^\infty{n!\over{k!}} = 1/(n+1) + 1/(n+1)(n+2) + .... = 1/n இதன் பொருள் இயல்பெண்ணல்லாதது. இந்த முரண்பாடு நம் கருதுகோள் செல்லாது என்பதைக் காண்பிக்கிறது. ஆக, ''e'' ஒரு விகிதமுறா எண் என்பது நிரூபிக்கப்பட்டுவிட்டது.
கேள்வி: E (கணித மாறிலி) - தொடர்வு எல்லைக்கும் முடிவிலாச்சரத்திற்கும் ஓர் ஒப்பிடல் என்பது என்ன?
பதில்: :e = lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac1n\right)^n :e=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\cdots இவையிரண்டுமே ''e'' இன் மதிப்பிற்கு ஒருங்குகின்றன. ''n'' சூன்யத்திலிருந்து 20 வரையில் போனால் இரண்டு வகையில் கிடைக்கும் மதிப்புகளை ஒப்பிட்டுப்பார்க்கும் வாய்பாடு கீழே உள்ளது: {| !&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp; !&nbsp;&nbsp;&nbsp;(1 + \frac{1}{n})^n&nbsp;&nbsp;&nbsp; !&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; |- |&nbsp;&nbsp;&nbsp;1 |&nbsp;&nbsp;&nbsp;2.00000000 |&nbsp;&nbsp;2.00000000 |- |&nbsp;&nbsp;&nbsp;2 |&nbsp;&nbsp;&nbsp;2.25000000 |&nbsp;&nbsp;2.50000000 |- |&nbsp;&nbsp;&nbsp;3 |&nbsp;&nbsp;&nbsp;2.37037037 |&nbsp;&nbsp;2.66666667 |- |&nbsp;&nbsp;&nbsp;4 |&nbsp;&nbsp;&nbsp;2.44140625 |&nbsp;&nbsp;2.70833333 |- |&nbsp;&nbsp;&nbsp;5 |&nbsp;&nbsp;&nbsp;2.48832000 |&nbsp;&nbsp;2.71666667 |- |&nbsp;&nbsp;&nbsp;6 |&nbsp;&nbsp;&nbsp;2.52162637 |&nbsp;&nbsp;2.71805556 |- |&nbsp;&nbsp;&nbsp;7 |&nbsp;&nbsp;&nbsp;2.54649970 |&nbsp;&nbsp;2.71825397 |- |&nbsp;&nbsp;&nbsp;8 |&nbsp;&nbsp;&nbsp;2.56578451 |&nbsp;&nbsp;2.71827877 |- |&nbsp;&nbsp;&nbsp;9 |&nbsp;&nbsp;&nbsp;2.58117479 |&nbsp;&nbsp;2.71828153 |- |&nbsp;10 |&nbsp;&nbsp;&nbsp;2.59374246 |&nbsp;&nbsp;2.71828180 |- |&nbsp;11 |&nbsp;&nbsp;&nbsp;2.60419901 |&nbsp;&nbsp;2.71828183 |- |&nbsp;12 |&nbsp;&nbsp;&nbsp;2.61303529 |&nbsp;&nbsp;2.71828183 |- |&nbsp;13 |&nbsp;&nbsp;&nbsp;2.62060089 |&nbsp;&nbsp;2.71828183 |- |&nbsp;14 |&nbsp;&nbsp;&nbsp;2.62715156 |&nbsp;&nbsp;2.71828183 |- |&nbsp;15 |&nbsp;&nbsp;&nbsp;2.63287872 |&nbsp;&nbsp;2.71828183 |- |&nbsp;16 |&nbsp;&nbsp;&nbsp;2.63792850 |&nbsp;&nbsp;2.71828183 |- |&nbsp;17 |&nbsp;&nbsp;&nbsp;2.64241438 |&nbsp;&nbsp;2.71828183 |- |&nbsp;18 |&nbsp;&nbsp;&nbsp;2.64642582 |&nbsp;&nbsp;2.71828183 |- |&nbsp;19 |&nbsp;&nbsp;&nbsp;2.65003433 |&nbsp;&nbsp;2.71828183 |- |&nbsp;20 |&nbsp;&nbsp;&nbsp;2.65329771 |&nbsp;&nbsp;2.71828183 |}
கேள்வி: E (கணித மாறிலி) - துணை நூல்கள் என்பது என்ன?
பதில்: * Infinite Products for \pi e and \pi/e Z. A. Melzak. The American Mathematical Monthly, Vol. 68, No. 1 (Jan., 1961), pp.&nbsp;39–41 * Eli Maor. e: The story of a Number.Princeton University Press. 1994. Princeton, NJ. * David Eugene Smith. A Source Book in Mathematics. Dover reprint. 1959. New York. பகுப்பு:இயற்கணிதம் பகுப்பு:பகுவியல் பகுப்பு:கணித மாறிலிகள் பகுப்பு:நிறுவலடங்கிய கணிதத்தேற்றங்கள் பகுப்பு:லியோனார்டு ஆய்லர்