கேள்வி: பர்ன்ஸைட்-ஃப்ரொபீனியஸ் கொற்கோள் என்பது என்ன?
பதில்: பர்ன்ஸைட்-ஃப்ரொபீனியஸ் கொற்கோள்  (Burnside-Frobenius Lemma) என்பது கணிதம் சேர்வியல் (கணிதம்) உள்ள ஓர் அடிப்படையான கொற்கோள். இக் கொற்கோளை விளங்கிக்கொள்ள சில அடிப்படையான கேள்விகளைக் கேட்கலாம். ஒருவர் அணியும் முத்துமாலையில், ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிகையான பல நிறம் முத்துக்கள் இருந்தால், இருக்கும் நிறமுத்துக்களை வேறுவேறு அடுக்கில் கோத்து எத்தனை வேறு வேறு மாலைகள் உருவாக்க முடியும்? மாலையின் சுழற்சியால் ஒன்றுக்கொன்றாய் மாற்றக்கூடிய மாலைகள் வேறாகக் கருதப்படுவதில்லை. ஒரு கனசதுரத்தின் பக்கங்களை n நிறங்களால் எத்தனை விதமாக நிறப்படுத்தலாம்? நிறப்படுத்தப்பட்ட கனசதுரங்கள் சுழற்சியாலோ அல்லது எதிர்வுகளினாலோ அல்லது இவைகளின் கலவையினாலோ மாற்றக்கூடியதாக இருந்தால அவை வேறாகக் கருதப்படுவதில்லை. ஆறு கரிமம் அணுக்கள் கொண்ட பென்சீன் மூலக்கூறுகள் எத்தனை இருக்கமுடியும்? சமச்சீர் இருக்குமிடத்திலெல்லாம் இதுபோன்ற கேள்விகள் எழுகின்றன. இவைகளை சேர்வியல் (கணிதம்)ல் அலசி ஆராய்ந்து பல வழிமுறைகள் கண்டுபிடித்திருக்கின்றனர். அம்முறைகளுக்கெல்லாம் தலையாயத் தேற்றமாக இருந்தது குலக்கோட்பாடுடில் ஃப்ரொபீனியஸ் (1849 - 1917) கண்டுபிடித்த ஒரு சுவையான தேற்றம். இது முதன் முதலில் பர்ன்ஸைட் (1852 - 1927) எழுதிய கணித நூலில் பிரபலமானது. இதனால் இதற்கு பர்ன்ஸைட் கொற்கோள் என்றோ பர்ன்ஸைட்-ஃப்ரொபீனியஸ் கொற்கோள்  (Burnside-Frobenius Lemma) என்றோ பெயர் வழங்குகிறது.
கேள்வி: பர்ன்ஸைட்-ஃப்ரொபீனியஸ் கொற்கோள் - சுற்றுப்பாதைகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: G என்றொரு குலத்தை எடுத்துக்கொள்வோம். இது S என்றொரு கணத்தின்மேல் வரிசைமாற்றுக் குலம் செயல்படுகிறதாகக் கொள்வோம். அதாவது G யிலுள்ள ஒவ்வொரு g யும் S இலுள்ள ஒவ்வொரு s ஐ G யிலுள்ள gs என்றொரு உறுப்புக்கு எடுத்துச்செல்கிறது என்று பொருள். இதை வைத்துக்கோண்டு S இல் உள்ள உறுப்புகளுக்குள் ஒரு உறவு (' \sim ') ஏற்படுத்தமுடியும். அதாவது, :: s_1 \sim s_2 என்றால் gs_1 = gs_2 என்றிருக்கும்படி G இல் g என்றொரு உறுப்பு உள்ளது என்று பொருள். இந்த உறவு ஒரு சமான உறவு (கணிதம்). அதனால் S பற்பல சமான உறவு (கணிதம்)களாகப்பிரிகிறது. இச்சமானப்பகுதிகளை G-சுற்றுப்பாதைகள் என்றோ அல்லது (G என்ற குலத்தைச் சுட்டிக்காட்ட அவசியமில்லாதபோது) சுற்றுப்பாதைகள் (Orbits) என்று மட்டுமோ அழைப்போம். ஒவ்வொரு G-சுற்றுப்பாதையையும் : G_s = \{t \in S | G இலுள்ள ஏதோவொரு g க்கு, t = g(s)\} என்று குறிக்கலாம்.
கேள்வி: பர்ன்ஸைட்-ஃப்ரொபீனியஸ் கொற்கோள் - மாறாமிகள் என்பது என்ன?
பதில்: G இலுள்ள ஒவ்வொரு g க்கும் \{s \in S | gs = s\} = S_g என்ற கணம் g இனால் மாற்றமுறாத கணம் எனப்படும். இதில் உள்ள ஒவ்வொரு s ம் g க்கு ஒரு மாறாமி (Invariance). g இனுடைய மாறாமிகளின் எண்ணிக்கை |S_g|. இதை \psi(g) என்ற குறியீட்டால் குறிப்போம்.
கேள்வி: பர்ன்ஸைட்-ஃப்ரொபீனியஸ் கொற்கோள் - நிறுவலின் முதல் படி பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: கீழேயுள்ள A என்ற கணத்தைப்பார். ::\{(g,s) | g \in G, s \in S \ni gs = s\} A யின் எண்ணளவையை இரண்டுவிதமாக எண்ணலாம். முதலில் G இலுள்ள ஒவ்வொரு g க்கும் gs = s என்ற பண்புடன் கூடிய s ஐக்கணக்கிடு. இவ்வெண்ணிக்கை = \psi(g). இதனால் :: |A| = \sum_{g\in G} \psi(g). இரண்டாவதாக S இலுள்ள ஒவ்வொரு s க்கும் gs = s என்ற பண்புடன் கூடிய g ஐக் கணக்கிடு. இவ்வெண்ணிக்கை = \eta(s). இதனால் :: |A| = \sum_{s\in S} \eta(s). இவ்விரண்டும் சமமானதால், நாம் (*) ஐ நிறுவிக் காட்டுவதற்குப் பதில் p = \frac{1}{|G|}\sum_{s\in S}\eta(s) என்று காண்பித்துவிட்டால் போதும்; பர்ன்ஸைட் கொற்கோள் நிறுவப்பட்டதாய்விடும்.
கேள்வி: பர்ன்ஸைட்-ஃப்ரொபீனியஸ் கொற்கோள் - பர்ன்ஸைட் கொற்கோளின் நிறுவல் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: S_0 என்றொரு G-சுற்றுப்பாதையை எடுத்துக் கொள்வோம். இதில் k உறுப்புகள் இருப்பதாகவும் கொள்வோம். அவைகளை s_1, s_2, ..., s_k என்று பெயரிடு. அவைகளில் ஏதாவதொன்றை s என்ற குறியீட்டால் குறிப்போம். s \sim s_1 . \therefore G இல் g என்றொரு உறுப்பு g(s) = s_1 என்ற பண்புடன் உள்ளது. இந்த s இனுடைய நிலையாக்கி G இல் இருக்கும். அதில் \eta (s) உறுப்புகள் இருப்பதாகக் கொண்டால், அவைகளை :: \{ g_1, g_2, ... , g_{\eta(s)}\} என்று குறிக்கலாம். இப்பொழுது, B = \{gg_1, gg_2, ... , gg_{\eta(s)}\} என்ற கணத்தைப்பார். இதிலிலுள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் வெவ்வேறான உறுப்பு. ஏனென்றால், gg_i = gg_j யாக இருந்தால், g_i, g_j இரண்டும் ஒன்றாகிவிடும். g_i என்பது s ஐ s க்கே கொண்டு செல்கிறது. g என்பது s ஐ s_1 க்குக்கொண்டு செல்கிறது. ஆக gg_i என்பது s ஐ s_1 க்குக்கொண்டு செல்கிறது. அதாவது, gg_1, gg_2, gg_3, ... gg_{\eta (s)} எல்லாம் s ஐ s_1 க்குக்கொண்டு செல்கிறது. s ஐ s_1 க்கு இழுத்துச் செல்லும் G இன் உறுப்புகள் இவ்வளவேதான்; ஏனென்றால், g_0 என்றொரு உறுப்பு G இல் இருந்துகொண்டு s ஐ s_1 க்கு இழுத்துச் செல்லுமானால், அதை g(g^{-1}g_0) என்று எழுதலாம். இங்கு g^{-1}g_0 என்பது s ஐ நிலைபெறச் செய்யும். அதனால் அது g_i இல் ஏதாவதொன்றே.அதனால் g_0 ம் gg_i என்ற உருவத்தில்தான் இருக்கிறது. அதாவது அது B இல் ஓருறுப்பு. ஆக, B இல் உள்ள \eta(s) உறுப்புகள்தான் s ஐ s_1 க்குக்கொண்டு செல்பவை. மேலேயுள்ள வாதத்தைல் s_1 இன் இடத்தில், s_2, s_3, ... s_k ஆகியவற்றில் எதையும் சொல்லியிருக்கலாம். ஆகையால், G இல், s ஐ s_1 க்குக்கொண்டு செல்லும் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை \eta(s) ; s ஐ s_2 க்குக்கொண்டு செல்லும் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை \eta(s) ; .......... s ஐ s_k க்குக்கொண்டு செல்லும் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை \eta(s) ; G இன் உறுப்புகள் s ஐ வேறு எதற்கும் கொண்டு செல்ல முடியாது; ஏனென்றால் s \in G-சுற்றுப் பாதை S_0 = \{s_1, s_2, ... s_k\}. ஆகையால், |G| = k \times \eta(s) இதையே வேறுவிதமாகச் சொன்னால், s இன் சமானப் பகுதி S_0 இல் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை = k = ::= \frac{|G|}{ \eta(s)} = \frac{|G|}{|Stab_G(s)|}. \therefore \sum_{s\in S_{0}}\eta(s) = \frac{|G|}{k} + \frac{|G|}{k} + ... k times = |G| \therefore G-சுற்றுப்பாதைகளின் எண்ணிக்கை p யானால், \sum_{s\in S}\eta(s) = |G| + |G| + ... p times. = p|G|. இதிலிருந்து p = \frac{1}{|G|}\sum_{s\in S}\eta(s). Q.E.D.
கேள்வி: பர்ன்ஸைட்-ஃப்ரொபீனியஸ் கொற்கோள் - பயன்பாடுகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: பயன்பாடுகளுக்கு தனிக்கட்டுரைகளைப்பார்க்கவும்: * திண்மங்களை நிறப்படுத்தும் வகைகள் * வேதியியலில் மாற்றியங்களை எண்ணல் * பலநிற மணிகள் கோக்கப்பட்ட மாலைகள் * இதர பயன்பாடுகள்
கேள்வி: பர்ன்ஸைட்-ஃப்ரொபீனியஸ் கொற்கோள் - இவற்றையும் பார்க்கவும் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: *போல்யா எண்ணெடுப்புத் தேற்றம் *:W:en:Burnside's lemma பகுப்பு:சேர்வியல் பகுப்பு:குலக்கோட்பாடு பகுப்பு:நிறுவலடங்கிய கணிதத்தேற்றங்கள்