கேள்வி: அப்பொலோனிய வட்டங்கள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: Image:Apollonian circles.svg அப்பொலோனிய வட்டங்கள் (''Apollonian circles'') என்பவை இரு குடும்பங்களைச் சேர்ந்த வட்டம். இவற்றில் முதல் குடும்பத்தைச் சேர்ந்த ஒவ்வொரு வட்டமும் இரண்டாவது குடும்பத்தைச் சேர்ந்த ஒவ்வொரு வட்டத்தையும் செங்குத்துத்தாக வெட்டும். அதேமாதிரி இரண்டாவது குடும்பத்தைச் சேர்ந்த ஒவ்வொரு வட்டமும் முதல் குடும்பத்தைச் சேர்ந்த ஒவ்வொரு வட்டத்தையும் செங்குத்தாக வெட்டும். இவ்வட்டங்கள் இருமை கோண தூரக் கூறுகளுக்கு அடிப்படையாக அமைகின்றன. மேலும் இவ்வட்டங்கள் பெர்காவின் புகழ்மிக்க பண்டைய கிரேக்கம் வடிவவியல் கணித அறிஞர் ''அப்பொலோனியசால்'' கண்டறியப்பட்டது.MathWorld uses “coaxal,” while prefer “coaxial.”, p. 59..
கேள்வி: அப்பொலோனிய வட்டங்கள் - வரையறை பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: அப்பொலோனிய வட்டங்கள், ''CD'' என்ற கோட்டுத்துண்டு கொண்டு வரையறுக்கப்படுகின்றன. முதல் குடும்ப வட்டங்கள் (நீல வண்ணம்) ஒவ்வொன்றும் ''r'' என்னும் நேர் மெய்யெண்ணுடன் தொடர்புபடுத்தப்படுகின்றன. ''C'' -லிருந்தும் ''D'' -லிருந்தும் உள்ள தொலைவுகளின் விகிதம் ''r'' அளவாக இருக்கக்கூடிய புள்ளிகள் ''X'' இன் இயங்குவரைகளாக, இவ்வட்டங்கள் வரையறுக்கப்படுகின்றன: :\left\{X\mid \frac{d(X,C)}{d(X,D)} = r\right\}. பூச்சியம் நெருங்கும் ''r'' இன் மதிப்புகளுக்கு வட்டங்கள் ''C'' -க்கு அருகாமையிலும், முடிவிலியை (∞) நெருங்கும் ''r'' இன் மதிப்புகளுக்கு வட்டங்கள் ''D'' -க்கு அருகாமையிலும் அமைகின்றன. பூச்சியத்துக்கும் முடிவிலிக்கும் இடைப்பட்ட மதிப்பு ''r''&nbsp;=&nbsp;1 எனில், அம்மதிப்பிற்குரிய வட்டம், ''CD'' இன் இருசமக்கூறிடல்#கோட்டுத்துண்டின் இருசமவெட்டி சிதைவுறும். இரண்டாவது குடும்ப வட்டங்கள் (சிவப்பு) ஒவ்வொன்றும் கோணம் ''θ'' உடன் தொடர்புபடுத்தப்படுகின்றன. கோணம் CXD இன் மதிப்பு ''θ'' ஆக இருக்கும் புள்ளிகள் ''X'' இன் இயங்குவரைகளாக, இவ்வட்டங்கள் வரையறுக்கப்படுகின்றன: :\left\{X\mid \; C\hat{X}D \; = \theta\right\}. 0 லிருந்து ''π'' வரையிலான மதிப்புகளை ''θ'' அடையும்போது ''C'' , ''D'' புள்ளிகளின் வழியாகச் செல்லும் வட்டங்கள் கிடைக்கின்றன.