கேள்வி: வடிவவியலில் ஆய்லரின் தேற்றம் என்பது என்ன?
பதில்: File:Euler theorem2.svg வடிவவியல் ஆய்லர் தேற்றம் (''Euler's theorem in geometry''), ஒரு முக்கோணம் உள்வட்ட மையம் சூழ்தொடு வட்டம் மையத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரத்தின் மதிப்பினைப் பின்வருமாறு தருகிறது: : d^2=R (R-2r) \, :: (அல்லது) : \frac{1}{R-d} + \frac{1}{R+d} = \frac{1}{r}, இதில் ''R'' - சுற்றுவட்ட ஆரம், ''r'' - உள்வட்ட ஆரம். 1765 இல் இதனை வெளியிட்ட கணிதவியலாளர் லியோனார்டு ஆய்லர் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. 1746 இல் வில்லியம் சாப்பல் என்பவராலும் இத்தேற்றத்தின் முடிவு வெளியிடப்பட்டதாகும். இத்தேற்றத்தின் கூற்றிலிருந்து கிடைக்கும் சமனின்மை :R \ge 2r ''ஆய்லரின் சமனின்மை'' என அழைக்கப்படுகிறது.. இதிலுள்ள சமக்குறி சமபக்க முக்கோணத்திற்கு மட்டுமே பொருந்தும். இரு மைய நாற்கரம் இரு மைய நாற்கரம்#ஃப்ஸ்ஸின் தேற்றமும் கார்லிட்ஸின் முற்றொருமையும், இத்தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும்.
கேள்வி: வடிவவியலில் ஆய்லரின் தேற்றம் - ஆய்லர் சமனின்மையின் வலுவான வடிவம் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: ஆய்லர் சமனின்மையின் வலுவான வடிவம்: :\frac{R}{r} \geq \frac{abc+a^3+b^3+c^3}{2abc} \geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-1 \geq \frac{2}{3} \left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right) \geq 2, :a, b, c ஆகிய மூன்றும் முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்களைக் குறிக்கின்றன.
கேள்வி: வடிவவியலில் ஆய்லரின் தேற்றம் - நிறுவல் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: Image:GeometryEulerTheorem.png *முக்கோணம் ''ABC'' -ன் சுற்றுவட்ட மையம் ''O'' , உள்வட்ட மையம் ''I'' என்க. *கோட்டுத்துண்டு ''AI'' -ன் நீட்டிப்பு சுற்றுவட்டத்தைப் புள்ளி ''L'' -ல் சந்தித்தால், வில் (வடிவவியல்) ''BC'' -ன் நடுப்புள்ளியாக ''L'' இருக்கும். *கோட்டுத்துண்டு LO வரைந்து நீட்டிக்க, அது சுற்றுவட்டத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளி ''M'' என்க. *''I'' -லிருந்து AB -க்கு வரையப்பட்ட செங்குத்தின் அடி, புள்ளி D என்க. *ID = r\,. :\triangle ADI\sim\triangle MBL \, (வடிவொப்புமை (வடிவவியல்)#வடிவொத்த முக்கோணங்கள்) :\frac{ID}{BL} = \frac{AI}{ML} :ID \times ML = AI \times BL :2Rr = AI \times BL\,----------------(1) *BI வரைக. :\triangle BIL -ல்: : \angle BIL = \frac{\angle ABC}{2}+ \frac{\angle A}{2} --------(முக்கோணம் ABI -ன் ஒரு வெளிக்கோணம் BIL. மேலும் ஒரு முக்கோணத்தின் இரு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை, மூன்றாவது வெளிக்கோணத்திற்குச் சமம்.) : \angle IBL = \frac{\angle ABC}{2} + \angle CBL = \frac{\angle ABC}{2} + \frac{\angle A}{2} :(கோணங்கள் CBL, A/2 இரண்டும் சுற்றுவட்ட வில் LC -ஆனது மீதியுள்ள வட்டவில்லின் மீது அமையும் B மற்றும் A புள்ளிகளில் தாங்கும் கோணங்களாக அமைவதால் இரண்டும் சமம்.) :\angle BIL = \angle IBL எனவே முக்கோணம் BIL ஒரு இருசமபக்க முக்கோணம். :BL = IL\,, :இம்மதிப்பை (1)-ல் பிரதியிட: :2Rr = AI \times IL --------(2) *OI -ஐ நீட்டிக்க அது சுற்றுவட்டத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளிகள் ''P'' , ''Q'' என்க. : PI \times QI = AI\times IL ----(ஒரு வட்டத்தின் இரு வெட்டிக்கொள்ளும் நாண்கள் ஒவ்வொன்றின் வெட்டுத்துண்டுகளின் பெருக்கற்பலன்கள் சமம்) : PI \times QI = 2Rr \,-----( (1)-ன் படி) :(R+d)(R-d) = 2Rr\, --------(d -சுற்றுவட்ட மையத்திற்கும் உள்வட்ட மையத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரம்.) :d^2 = R(R-2r)\,. ---------(தேற்ற முடிவு நிறுவப்படுகிறது.)