கேள்வி: வரிசைமாற்றக்குலத்தில் இணையியத்தல் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: கணிதம் குலக் கோட்பாடு, குறிப்பாக, பரிமாறாக்குலம், இணை இயத்தல் (Conjugation) என்ற செயல்பாடு குலத்தின் உட்கூறுகளை ஆழ்ந்து நோக்கப் பயன்படுகிறது. இக்கட்டுரை ஒற்றுமை வகுப்பு (Permutation group) இச்செயல்பாட்டைப் பற்றிப் பேசுகிறது.
கேள்வி: வரிசைமாற்றக்குலத்தில் இணையியத்தல் - இணையியம் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: G ஒரு குலம் (கணிதம்) என்று கொள்க. b \in G, a \in G இனுடைய இணையியம் (Conjugate) என்பதற்கு இலக்கணம்: :: ஏதாவதொரு g \in G க்கு, b = gag^{-1}. எளிதாகவே இணையியத்தல் ஒருசமான உறவு (கணிதம்) என்று கண்டுகொள்ளலாம். a என்ற ஓர் உறுப்புக்கு இணையியமாக உள்ளதையெல்லாம் ஒரு பகுதியில் போட்டால், a இன் இணையியச் சமானப்பகுதி (Conjugate equivalence class of a)கிடைக்கும். உண்மையில், a இன் இணையியச் சமானப்பகுதி = \{gag^{-1} : g \in G\}. இதற்குக்குறியீடு: Cl(a).
கேள்வி: வரிசைமாற்றக்குலத்தில் இணையியத்தல் - அவதானக் குறிப்பு என்பது என்ன?
பதில்: இணையியத்திற்காக உள்ள வாய்பாடு b = gag^{-1} ஐ நினைவில் வைத்துக்கொள்ள பாமர வழக்கில் ஒரு குறிப்பு: 'கண்களை மூடு; பரம்பொருளை மனதில் நிறுத்து; மூடின கண்களைத்திற'. இதுதான் gag^{-1}.
கேள்வி: வரிசைமாற்றக்குலத்தில் இணையியத்தல் - இணையியமும் சுழலமைப்பும் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: தேற்றம்: S_n இல் இரண்டு வரிசைமாற்றங்கள் ஒரே வரிசைமாற்றத்தின் சுழலமைப்புள்ளதாக இருந்தால், இருந்தால்தான், அவை இணையியங்களாக இருக்கும். முதலில் 'இருந்தால்தான்' பாகத்தை நிறுவுவோம். அதாவது வரிசைமாற்றங்கள் \sigma வையும் அதன் இணையியம் \tau \sigma \tau^{-1} ஐயும் பார்ப்போம். \tau \sigma \tau^{-1} = \begin{pmatrix} i \\ \tau(i) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i \\ \sigma(i) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \tau(i) \\ i \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \tau(i) \\ \tau\sigma(i) \end{pmatrix} இதன் சுழலமைப்பு \sigma வின் சுழலமைப்புதான். மாறாக, 'இருந்தால்' பாகத்தை நிறுவ, \sigma \sigma^* என்ற இரண்டு வரிசைமாற்றங்கள் ஒரே சுழலமைப்பைப் பெற்றிருப்பதாகக் கொள்வோம்.இரண்டும் ஒரேசுழலமைப்பைப் பெற்றிருப்பதால்,அவைகளை பின்வருமாறு குறிகாட்டலாம்: :\sigma = (a_1...a_r)(b_1...b_s)(c_1...c_t)...(f_1)(f_2)...(f_q) :\sigma^* = (a_1^*...a_r^*)(b_1^*...b_s^*)(c_1^*...c_t^*)...(f_1^*)(f_2^*)...(f_q^*) இப்பொழுது, \sigma வும் \sigma^* ம் இணையியங்கள் என்று காட்டுவோம். \tau என்ற ஒரு வரிசைமாற்றத்தை பின்வருமாறு வரையறை செய்யலாம்: ::\tau(a_i) = a_i^*, i = 1,...,r ::\tau(b_i) = b_i^*, i = 1,...,s ::\tau(c_i) = c_i^*, i = 1,...,t :: ..... ::\tau(f_i) = f_i^*, i = 1,...,q ஆகக்கூடி, இப்பொழுது, \tau\sigma\tau^{-1} = \sigma^* என்பதை எளிதில் சரிபார்ர்த்துவிடலாம். \therefore \sigma வும் \sigma^* ம் இணையியங்கள். Q.E.D.
கேள்வி: வரிசைமாற்றக்குலத்தில் இணையியத்தல் - இவற்றையும் பார்க்கவும் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: ::இயல்நிலை உட்குலம் பகுப்பு:குலக்கோட்பாடு பகுப்பு:சேர்வியல்