கேள்வி: தங்கச் சுருள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: Image:FakeRealLogSpiral.svg வடிவவியல் தங்கச் சுருள் (''Golden spiral'') என்பது தங்க விகிதம் () வளர்ச்சிக் காரணியாகக் கொண்ட ஒரு மடக்கைச் சுருள்.Chang, Yu-sung, "[http://demonstrations.wolfram.com/GoldenSpiral/ Golden Spiral]", The Wolfram Demonstrations Project. ஒரு தங்கச் சுருளின் அகலம் அதன் ஒவ்வொரு கால் வட்டம் திருப்பத்திற்கும் அளவு அதிகரிக்கிறது.
கேள்வி: தங்கச் சுருள் - வாய்ப்பாடு என்பது என்ன?
பதில்: தங்கச் சுருளின் போலார் சமன்பாடு மற்ற மடக்கைச் சுருள்களின் சமன்பாடுகளைப் போன்றே அமைகிறது. ஆனால் ஒரேயொரு வேறுபாடு உண்டு. வளர்ச்சிக் காரணி - ன் மதிப்பில் தங்கச் சுருளானது மற்ற மடக்கைச் சுருள்களில் இருந்து வேறுபடுகிறது. Phi in Art, Nature, and Science | url = https://archive.org/details/divineproportion0000heme | author = Priya Hemenway | isbn = 1402735227 | publisher = Sterling Publishing Co | year = 2005 | pages = [https://archive.org/details/divineproportion0000heme/page/127 127]–129}} :r = ae^{b\theta}\, அல்லது :\theta = \frac{1}{b} \ln(r/a), இயற்கை மடக்கையின் அடிமானம், ஒரு குறிப்பில்லா நேர்ம எண்#மெய்யெண்கள் மாறிலி மற்றும் ஒரு செங்கோணம் (ஒரு கால் வட்டத்திருப்பம் -இரு திசைகளிலும்) என்றபடியுள்ள : :e^{b\theta_\mathrm{right}}\, = \phi எனவே -ன் மதிப்பு: :b = {\ln{\phi} \over \theta_\mathrm{right}}. செங்கோணம் பாகை (அலகு) (90°) அல்லது ரேடியன் (\textstyle\frac{\pi}{2}) அளக்கப்படுவதைப் பொறுத்து -ன் எண் மதிப்பு அமையும்; அதன் குறி, செங்கோணம் அளக்கப்படும் திசையைப் பொறுத்து அமையும். எனவே b -ன் தனியளவு: :|b| = {\ln{\phi} \over 90} = 0.0053468\, ( -பாகைகளில்); :|b| = {\ln{\phi} \over \pi/2} = 0.306349\, ( ரேடியன்களில்). தங்கச் சுருள் மற்றும் மடக்கைச் சுருளுக்கான வேறொரு சமன்பாடு: :r = ac^{\theta}\, இங்கு மாறிலி -ன் மதிப்பு: :c = e^b\, தங்கச் சுருளுக்கு, -ன் மதிப்பு: :c = \phi ^ \frac{1}{90} \doteq 1.0053611 ( -பாகையில்) :c = \phi ^ \frac{2}{\pi} \doteq 1.358456. ( ரேடியனில்)
கேள்வி: தங்கச் சுருள் - தோராயமான தங்கச் சுருள் அமைப்புகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: Image:LT-2007-10litų-Aušros vartai-b.png கிட்டத்தட்ட தங்கச் சுருள் போன்ற அமைப்புகள் பல உள்ளன. இவை பெரும்பாலும் தவறுதலாக தங்கச் சுருள்களாக கருதப்பட்டு விடுவதும் உண்டு. எடுத்துக்காட்டு: ஒரு சுழலும் செவ்வகம் படம் கிட்டத்தட்ட தங்கச் சுருளைப் போன்றே இருக்கும். இந்த சுழலும் செவ்வகப் படத்தில் தங்கச் செவ்வகம் சுருட்டும்போது ஏற்படும் சதுரம் எதிர் முனைகள் கால் வட்டங்களால் இணைக்கப்படுகின்றன. இதன் விளைவு உண்மையான தங்கச் சுருளைப் போன்று தோற்றமளிக்கும். Image:Fibonacci spiral 34.svg மற்றொரு எடுத்துக்காட்டு, பிபனாச்சி சுருளாகும். இது ஒரு மடக்கைச் சுருள் அல்ல. தொடர்ந்து கூடிக்கொண்டே போகும் பிபனாச்சி எண்கள் ஆரம் கொண்ட வில் (வடிவவியல்) தொடர்களால் ஆனது இச்சுருள். ஒவ்வொரு கால் வட்டத் திருப்பத்திற்கும் இச்சுருளின் அகலம் வளரும் காரணி அல்ல, ஃபிபனாச்சித் தொடரிலுள்ள ஒரு உறுப்புக்கும் அதற்கு முந்தைய உறுப்புக்குமுள்ள விகிதம்தான் இச்சுருளின் அகலத்தின் வளர்ச்சிக் காரணியாக அமையும். ஃபிபனாச்சித் தொடரில் அடுத்தடுத்துள்ள இரு உறுப்புகளுக்கிடையே உள்ள விகிதங்கள் கிட்டத்தட்ட φ -ன் மதிப்பிற்கு மிகமிக அருகில் உள்ளதால், ஃபிபனாச்சி சுருளானது கிட்டத்தட்ட தங்கச் சுருளைப் போன்றே தோற்றமளிக்கிறது.
கேள்வி: தங்கச் சுருள் - இயற்கையில் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: Image:M101 hires STScI-PRC2006-10a.jpg Image:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg மடக்கைச் சுருளின் தோராயத் தோற்றங்கள் பலவற்றை இயற்கையில் காண இருக்கலாம். (எடுத்துக்காட்டு: சுருள் விண்மீன் திரள்கள்). சிலசமயங்களில் ''நாட்டிலஸ் ஓடுகள்'' தங்கச் சுருள் வடிவில் அகலமாகின்றன என்பதால் அவை மற்றும் ஃபிபனாச்சித் தொடரோடு தொடர்புடையன எனக் கூறப்படுகிறது. உண்மையில் நாட்டிலஸ் ஓடுகள் (மற்றும் பல மெல்லுடலிகள்) மடக்கைச் சுருள் போன்ற வளர்ச்சியைக் கொண்டிருந்தாலும் அவை தங்கச் சுருளிலிலிருந்து சற்றே மாறுபட்டவையாகத்தான் உள்ளன. இந்தச் சுருள் அமைப்பு, உயிரினங்கள் வடிவமைப்பு மாறாமல் வளர வழிவகுக்கிறது. இயற்கையில் காணப்படும் சுருள்களில் தங்கச் சுருள்கள் ஒரு சிறப்புவகையாகும்.