கேள்வி: வகையிடலின் அடுக்கு விதி என்பது என்ன?
பதில்: நுண்கணிதம் வகையிடலின் அடுக்கு விதி அல்லது சுருக்கமாக அடுக்கு விதி (''power rule'') என்பது வகையிடல் விதிகள் ஒன்று. வகையிடலின் நேரியல் தன்மையால் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை வகையிடுதல் இவ்விதி பயன்படுகிறது. இவ்விதியின் கூற்று: : \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} , \qquad n \neq 0. இவ்விதி, பூச்சியம் தவிர பிற அனைத்து அடுக்குகளுக்கும் பொருந்தும். அடுக்குப் பூச்சியமாக இருந்தால் மாறிலி விதிப்படி வகையிடலாம். மாறிலி விதிப்படி x^0 இன் மதிப்பு பூச்சியமாகும். ஆனால் அடுக்கு விதிப்படி வகையிட்டால்: :\frac{d}{dx}(x^0) = 0 \cdot x^{-1}, இதன் மதிப்பு x=0 எனும்போது வரையறுக்கப்படாததாக உள்ளது. x^{-1} ஐத் தவிர மற்ற அனைத்து x இன் அடுக்குகளையும் அடுக்கு விதியின் நேர்மாறு விதியைப் பயன்படுத்தித் தொகையீடு. :\int\! x^n \,dx= \frac{ x^{n+1}}{n+1} + C, \qquad n \neq -1. இந்த வரையறுக்கப்படாத தொகையீட்டில், C என்பது தொகையீட்டின் மாறிலி. மேலே தரப்பட்டுள்ள தொகையீட்டு விதியைப் பயன்படுத்தி x^{-1} ஐத் தொகையிட முடியாது. இதற்குத் தனி வாய்ப்பாடு உள்ளது. :\int \! x^{-1}\, dx= \ln |x|+C, எனவே, :x^{100} இன் வகைக்கெழு 100 x^{99}; :x^{100} இன் தொகையீடு \frac{1}{101} x^{101} +C.
கேள்வி: வகையிடலின் அடுக்கு விதி - விதியும் நிறுவலும் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: பழங்காலத்தில் x^n (n \geq 0) இன் கீழ் அமையும் பரப்பினைத் தரும் ''கவாலியரின் குவாடரேச்சர் வாய்ப்பாட்டின்'' நேர்மாறு விதியாக வகையிடலின் அடுக்கு விதி கருதப்பட்டது. தற்காலத்தில் வகையிடலின் அடுக்கு விதி முதலில் பெறப்பட்டு அதன் நேர்மாறு விதியாக தொகையிடல் விதி கருதப்படுகிறது. n \geq 1 எனில், :f(x)=x^n \! இன் வகைக்கெழு, :f'(x)=nx^{n-1},\! :\left(x^n\right)'=nx^{n-1}.
கேள்வி: வகையிடலின் அடுக்கு விதி - நிறுவல் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: :f(x) = x^n :f(x)-f(a) = x^n-a^n = (x-a)(x^{n-1}+ax^{n-2}+ \cdots +a^{n-2}x+a^{n-1}) :f'(a) = \lim_{x\rarr a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} ::: = \lim_{x\rarr a} \frac{x^n-a^n}{x-a} = \lim_{x\rarr a} x^{n-1}+ax^{n-2}+ \cdots +a^{n-2}x+a^{n-1} வகுத்தல் செயல் நீக்கப்பட்டதாலும் இது தொடர்ச்சியான சார்பு என்பதாலும் இந்த எல்லையின் மதிப்பு: :f'(a) = \lim_{x\rarr a} x^{n-1}+ax^{n-2}+ \cdots +a^{n-2}x+a^{n-1} = a^{n-1}+a^{n-1}+ \cdots +a^{n-1}+a^{n-1} = n\cdot a^{n-1} வகையிடலின் வகுத்தல் விதியைப் பயன்படுத்தி எதிர்ம அடுக்குகளுக்கும், அடுக்குக்குறி விதிகளையும் வகையிடலின் சங்கிலி விதியையும் பயன்படுத்தி விகிதமுறு அடுக்குகளுக்கும் இவ்வாய்ப்பாட்டை நீட்டித்துக் கொள்ளலாம். அடுக்கு விகிதமுறா எண்ணாக இருந்தால், அதனை விகிதமுறு எண்ணாகத் தோராயப்படுத்திக் கொள்ள வேண்டும்.
கேள்வி: வகையிடலின் அடுக்கு விதி - பல்லுறுப்புக்கோவைகளை வகையிடல் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: வகையிடலின் நேரியல்புத் தன்மையைப் பயன்படுத்தி பல்லுறுப்புக்கோவையை வகையிடலாம்: :\left( \sum_{r=0}^n a_r x^r \right)' = \sum_{r=0}^n \left(a_r x^r\right)' = \sum_{r=0}^n a_r \left(x^r\right)' = \sum_{r=0}^n ra_rx^{r-1}. இதேபோல தொகையிடலில்: :\int\!\left( \sum^n_{k=0} a_k x^k\right)\,dx= \sum^n_{k=0} \frac{a_k x^{k+1}}{k+1} + C.