கேள்வி: இணையாட்களம் (கணிதம்) என்பது என்ன?
பதில்: Image:Codomain.SVG கணிதம், சார்பு ''f'' : ''X'' → ''Y'' இன் இணையாட்களம் (''Codomain'') என்பது ''Y''என்ற கணம். ''f''இன் ஆட்களம் (கணிதம்) என்பது ''X''., [ pp. 10&ndash;11] { f(x) : ''x'' ∈ ''X'' } என்ற கணம் f இன் வீச்சு எனப்படும். அதை f(X) என்றும் எழுதலாம். இதனிலிருந்து f இன் வீச்சு எப்பொழுதும் அதன் இணையாட்களத்தின் உட்கணமாகத்தான் இருக்கவேண்டும் என்று ஊகிக்கலாம்.
கேள்வி: இணையாட்களம் (கணிதம்) - எடுத்துக்காட்டு பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: இணையாட்களத்திற்கும் வீச்சுக்கும் உள்ள வேறுபாட்டைப் புரிந்துகொள்ள ஒரு நேரியல் உருமாற்றம் அணியைக் கருத்தில் கொள்வது உதவும். வழக்கப்படி, ஒரு m \times n அணி (கணிதம்)யுடன் உறவுப்படுத்தப்பட்ட ஒரு நேரியல் கோப்பு அரசு R''n'', மற்றும் இணையாட்களம் R''m''. ஆனால் அவ்வணியை எல்லா n-பரிமாண நிரல்திசையன்களால் வலது பக்கம் பெருக்கினால் கிடைக்கும் கணம் மிகச்சிறியதாகவும் இருக்கலாம். உதாரணத்திற்கு, அணியின் எல்லா உறுப்புக்களும் 0 வாக இருந்தால், வீச்சு, அதன் பரிமாணம் m ஆக இருந்தாலும் ஒரு சூனிய அணியே. அணியின் ஏதாவதொரு உறுப்பை மாற்றினால் கூட வீச்சு பெரிதாகிவிடும்.
கேள்வி: இணையாட்களம் (கணிதம்) - இன்னொரு எடுத்துக்காட்டு பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: : f: R\rightarrow R வரையறை: f\colon\,x\mapsto x^2. f இன் இணையாட்களம் R. ஆனால் ''f(x)'' எதிர்ம மதிப்புகளை வெளியீடு செய்வதில்லை.அதனால் வீச்சு R^{+}_0: , அதாவது எதிர்மமில்லாத மெய்யெண்கள், அதாவது [0, \infty) : : 0\leq f(x) இப்பொழுது g என்ற இன்னொரு சார்பை கவனிப்போம்: : g\colon R \rightarrowR^{+}_0: g\colon\,x\mapsto x^2. ''f'' ம் ''g'' ம் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணை ஒரே மாதிரியாக செயலாக்கினாலும் , தற்காலக்கணிதத்தில் அவையிரண்டும் ஒரே சார்பல்ல. ஏனென்றால் அவைகளினுடைய இணையாட்களங்கள் வெவ்வேறானவை. இதை நன்கறிந்துகொள்ள இன்னொரு சார்பைப்பார்ப்போம்: : h\colon\,x\mapsto \sqrt x. இங்கு R^+_0 தான் அரசாக வரையறுக்கப்படமுடியும். இப்பொழுது இவ்விரண்டு சார்புகளின் தொகுப்பு நோக்குக: :h \circ f, :h \circ g. இவையிரண்டில் எது சரியான பொருளுள்ளது? முதலிலுள்ளது பிரச்சினையை எழுப்புகிறது. ஏன்? வர்க்கமூலம் எதிர்ம எண்களுக்கு வரையறுக்கப்படவில்லை! ஆக, சார்புகளின் சேர்வை f_1 \circ f_2 பேசப்படும்பொழுது, வலது பக்கச்சார்பின் இணையாட்களமும் இடது பக்கத்து சார்பின் ஆட்களமும் ஒரே கணமாக இருக்கவேண்டும். இணையாட்களத்தைப்பொருத்துதான் சார்பு ஒரு முழுக்கோப்பு அல்லவா என்பது தீர்மானிக்கப்படும். சார்பு ஒரு உள்ளிடுகோப்பு என்பது இணையாட்களத்தைப்பொருத்ததில்லை.