கேள்வி: வளையம் (கணிதம்) - உள்ளுணர்வுக் கண்ணோட்டம் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: உள்ளுணர்ந்து பார்த்தோமானால் கணிதத்தில் அடித்தளத்தில் நான்கு வினைகள் உள்ளன: கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், மற்றும் வகுத்தல். இவைகளில் கழித்தல் என்பது கூட்டலின் எதிர்மறை. அதே மாதிரி வகுத்தல் என்பது பெருக்கல் என்பதின் எதிர்மறை. கூட்டல், கழித்தலை மாத்திரம் வைத்து உண்டாக்கப்படுவது ‘குலம் (கணிதம்)’. ஒரே ஒரு வினையையும் அதன் எதிர்மறையும் கொண்டது. கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கலை வைத்து உண்டாக்கப்படுவது ‘வளையம்’ இது இரு வினைகள் கொண்டது; ஆனால் முதல் வினைக்குத்தான் எதிர்மறை உள்ளது. கூட்டல் (கணிதம்), கழித்தல் (கணிதம்), பெருக்கல் (கணிதம்), வகுத்தல் (கணிதம்) ஆகிய நான்கையும் வைத்து உண்டாக்கப்படுவது ‘களம்’. இங்கு இரு வினைகள், இரண்டுக்கும் எதிர்மறைகள் உள்ளன. கணிதத்தில் எல்லாம் துல்லியமாகப் பேசப்படவேண்டியிருப்பதால் அப்பழுக்கில்லாத வரையறைகள் தேவைப்படுகின்றன.
கேள்வி: வளையம் (கணிதம்) - எடுத்துக்காட்டுகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: எல்லா முழு எண்களின் கணம் ''Z'' , சாதாரண கூட்டல், பெருக்கல் இவைகளுக்கு ஒரு வளையம் ஆகிறது. ஆனால் இயல் எண் கணம் ''N'', கூட்டல், பெருக்கலுக்கு வளையம் ஆகாது. ஏனென்றால் அது முதலில் கூட்டலுக்கு ஒரு குலமே ஆகவில்லை; ஒற்றொருமை இல்லை, உறுப்புகளுக்கு நேர்மாறு இல்லை. [ ''a, b'' ] யிலிருந்து எண்#மெய்யெண்கள் ''R'' க்குப்போகும் எல்லா தொடர் சார்புகளையும் C[a, b] என்ற கணம் ஆக்கினால், அதனில் இரு வினைகள் உள்ளன. ‘+’ என்ற புள்ளிவழிக் கூட்டல், ( . ) என்ற புள்ளி வழிப்பெருக்கல். இவைகளுக்கு அது ஒரு வளையம் ஆகிறது. இவ்வளையத்திற்கு தொடர் சார்பு வளையம் என்று பெயரிடலாம். இருபதாவது நூற்றாண்டில் தொடங்கப்பட்ட சார்புப் புகுவியல் (Functional Analysis) என்ற கணிதப்பிரிவில் இவ்வளையத்திற்கு முக்கியப் பங்கு உண்டு. உண்மையில் C[a, b] இல் வெவ்வேறு அமைப்புகள் இயக்கப்படலாம்.
கேள்வி: வளையம் (கணிதம்) - பரிமாறா வளையம் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: வளையத்தின் வரையறையில் (R 2) இல் சொல்லப்பட்டிருக்கும் பரிமாறல் நிபந்தனைக்கு ஒவ்வாத வளையங்களும் இருக்கலாம். அவைகளை பரிமாறா வளையம் என்பர். வேறொரு மரபுப்படி, வளையத்தின் வரையறையில் (R 2) இல் பரிமாறல் நிபந்தனையைப் போடாமலேயே இருந்துவிடுவது. அம்மரபில் பொதுவாக வளையம் என்றால் அது பரிமாறா வளையம் தான். அப்பொழுது பரிமாறல் நிபந்தனைக்கொவ்வும் வளையங்களை பரிமாறுவளையம் என்பர். பரிமாறா வளையத்திற்கு தரமான எடுத்துக்காட்டு எல்லா ''n x n'' அணி (கணிதம்)களின் (matrices) கணம் தான். இவ்வளையத்தில் கூட்டல் என்பது அணிக்கூட்டல். பெருக்கல் என்பது அணிப்பெருக்கல். அணிப்பெருக்கல் ஒரு பரிமாறாப் பெருக்கல் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது. பகுப்பு:வளையக் கோட்பாடு