கேள்வி: இலகுராஞ்சியின் நான்கு இருமடியெண் தேற்றம் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: இலகுராஞ்சியின் (லாக்ராஞ்சியின்) நான்கு இருமடியெண் தேற்றம் (Lagrange's Four-square Theorem): ::இத்தேற்றத்தின் கூற்று: ஒவ்வொரு முழு எண்ணும் நான்கு இருமடி எண்களின் கூட்டுத்தொகை. எ.கா.: 77 = 6^2 + 6^2 + 2^2 + 1^2; :: 200 = 10^2 + 8^2 +6^2 + 0^2 இது முதலில் ஃபெர்மா நிறுவலில்லாமல் முன்மொழிந்தார், பின்னர் 1770 இல் லாக்ராஞ்சி இதனை நிறுவினார்.
கேள்வி: இலகுராஞ்சியின் நான்கு இருமடியெண் தேற்றம் - பொதுமையாக்கங்கள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: இத்தேற்றம் எண்கோட்பாட்டில் பல பொதுமையாக்கங்களுக்கு அடிப்படையாகவுள்ளது. எட்வர்ட் வாரிங் என்பவர் 1772 இல் ஒரு உய்மானத்தை (ஒருயூகத்தை)க் கணித உலகின் முன் வைத்தார்: :: (வாரிங் தேற்றம்) ஒவ்வொரு முழு எண்ணும் 9 முப்படிய அடுக்குகளின் கூட்டுத்தொகையாகவும், 19 நாற்படிய அடுக்குகளின் கூட்டுத்தொகையாகவும் எழுதப்படக்கூடும். ஜி.ஹெச்.ஹார்டி, g(k) என்ற ஒரு எண்ணை உண்டாக்கினார். அதாவது, எத்தனை குறைந்த எண்ணிக்கை கொண்ட k-அடுக்குகளின் கூட்டுத்தொகையாக ''எல்லா'' முழு எண்களையும் சொல்லமுடியுமோ அந்த எண்ணிக்கை g(k)யாகும். இதன்படி வாரிங்கு யூகத்தை g(2) \leq 4; g(3) \leq 9; g(4) \leq 19 என்று சொல்லலாம். இவைகளில் g(2) ஐப்பற்றிய யூகத்தை :: 7 = 4 + 1 + 1 + 1 என்பதாலும், இலகுராஞ்சியின் தேற்றத்தாலும், g(2) = 4 என்றே திட்டவட்டமாகச் சொல்லமுடியும்
கேள்வி: இலகுராஞ்சியின் நான்கு இருமடியெண் தேற்றம் - இராமானுசனின் பொதுவாக்கம் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: பிரச்சினை: a, b, c, d முழு எண்களாகவும், n ஒரு நேர்ம முழு எண்ணாகவும் கொண்டால் ::n = ax^2 + by^2 + cz^2 + dw^2 என்ற சமன்பாட்டை x, y, z, w முழு எண்களாக இருக்கும்படி எப்பொழுதும் தீர்வு செய்யமுடியுமா? a = 1 = b = c = d என்ற நிலைதான் இலகுராஞ்சியின் நான்கு இருமடியெண் தேற்றம். மற்ற எல்லா நிலைகளுக்கும் இராமானுசன் கொடுத்த தீர்வு: எல்லா n-மதிப்புகளுக்கும் தீர்வு கிடைக்க {a, b, c, d} என்ற கணத்திற்கு 54 விதங்களில் மதிப்பு கொடுக்கமுடியும். 55வது விதமும் இராமானுசனால் சொல்லப்பட்டது. ஆனால் அது n = 15 என்ற ஒரு n-மதிப்பிற்கு ஒத்து வரவில்லை.http://www.math.snu.ac.kr/~mhkim/t-00indiana.pdf