கேள்வி: டிரிழ்ச்லெட் தொடர் என்பது என்ன?
பதில்: கணிதவியல் டிரிழ்ச்லெட் தொடர் (Dirichlet series) என்பது கீழ்க்காணும் வடிவில் அமைந்த எந்த கணிதத் தொடருக்குமான பெயர் ஆகும். :\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}, மேலுள்ளதில் ''s'' மற்றும் ''a'n'',&nbsp; ''n'' = 1, 2, 3, ... என்பன சிக்கலெண்கள். டிரிழ்ச்லெட் தொடர் எண்கோட்பாட்டுக் கூறாய்வு இயல் முக்கியப் பங்கு வகிக்கின்றது. ரீமன் இசீட்டா சார்பியம் இந்த டிரிழ்ச்லெட் தொடராகவே அறியப்படுகின்றது. இது போலவே டிரிழ்ச்லெட் எல்-சார்பியம் டிரிழ்ச்லெட் தொடரால் அமைந்தவை. டிரிழ்ச்லெட் தொடர் யோஃகான் பீட்டர் இகுசுட்டாவ் லெயூன் டிரிழ்லெட் (1805-1859) என்னும் டாய்ட்சு கணிதவியலரைப் பெருமைப்படுத்தும் முகமாக சூட்டப்பட்ட பெயர்.
கேள்வி: டிரிழ்ச்லெட் தொடர் - எடுத்துக்காட்டுகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: பெரிதும் அறிந்த டிரிழ்ச்லெட் தொடர்: :\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}, என்னும் ரீமன் இசீட்டா சார்பியம் ஆகும். மற்றொன்று: :\frac{1}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s} மேலுள்ளதில் μ(''n'') என்பது மோபியஸ் சார்பு&nbsp;(Möbius function). இதுவும் கீழ்க்காணும் மற்ற தொடர்களும், பிற அறிந்த தொடர்களின் மோபியசுத் தலைமாற்றல் (Möbius inversion) மற்றும் டிரிழ்ச்லெட் பிணைவு(Dirichlet convolution) என்னும் கணிதவினைகள் மூலம் பெறக்கூடியது. எடுத்துக்காட்டாக டிரிழ்ச்லெட் எழுச்சி சார்பியம் (Dirichlet character) \scriptstyle\chi(n) என்பது தரப்பட்டால், :\frac{1}{L(\chi,s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)\chi(n)}{n^s} மேலுள்ளதில் L(\chi,s) என்பது ஒரு டிரிழ்ச்லெட் எல்-சார்பியம்(Dirichlet L-function). மற்ற ஈடுகோள்களில் சில: :\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varphi(n)}{n^s} மேலுள்ளதில் φ(''n'') என்பது ஆய்லரின் டோஷண்ட் சார்பு), மற்றும் :\zeta(s) \zeta(s-a)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s} :\frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-b)\zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)} =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s} மேலுள்ளதில் σ''a''(''n'') என்பது வகுஎண் சார்பு. வகு எண் சார்பியங்கள் ''d''=σ0 வரும் மற்ற ஈடுகோள்கள்: : \frac{\zeta^3(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d(n^2)}{n^s} : \frac{\zeta^4(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d(n)^2}{n^s}. இசீட்டா சார்பியத்தின் மடக்கை: :\log \zeta(s)=\sum_{n=2}^\infty \frac{\Lambda(n)}{\log(n)}\,\frac{1}{n^s} தளம்: Re(''s'')&nbsp;>&nbsp;1. இதில், \scriptstyle \Lambda(n) என்பது வான் மான்கோல்ட் சார்பியம் (von Mangoldt function). மடக்கை நுண்வகையீடு (logarithmic derivative): :\frac {\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s}. கடைசி இரண்டும் டிரிழ்ச்லெட் தொடர்களின் நுண்வகையீடுகளின் பொதுவான பண்புகளின் சிறப்பு உருப்படிகள். லியோவில் சார்பியம்(Liouville function) \scriptstyle\lambda(n) ஐத் தருவதாகக் கொண்டால், கீழ்க்காணும் சமன்பாட்டைப் பெறலாம்: :\frac {\zeta(2s)}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)}{n^s}. மேலும் ஒரு எடுத்துக்காட்டு இராமானுசன் கூட்டு என்னும் கருத்தைக்கொண்டது: :\frac{\sigma_{1-s}(m)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{c_n(m)}{n^s}.
கேள்வி: டிரிழ்ச்லெட் தொடர் - இவற்றையும் பார்க்கவும் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: * இசீட்டா சார்பிய சீராக்கம் * ஆய்லர் பெருக்கல்
கேள்வி: டிரிழ்ச்லெட் தொடர் - உசாத்துணை பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: * G. H. Hardy, and Marcel Riesz, ''The general theory of Dirichlet's series'', Cambridge Tracts in Mathematics, No. 18 (Cambridge University Press, 1915). * [http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=01480002&seq=7 The general theory of Dirichlet's series ] by G. H. Hardy. Cornell University Library Historical Math Monographs. {Reprinted by} [http://www.amazon.com/general-theory-Dirichlet-s-G-Hardy/dp/1429704527/ Cornell University Library Digital Collections] * பகுப்பு:கணிதத் தொடர்கள்