கேள்வி: தொடுகோட்டு நாற்கரம் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: படிமம்:Tangential quadrilateral 2.svg நாற்கரம் அல்லது நாற்கோணம் ஒன்றின் நான்கு பக்கங்களும், அந்த நாற்கரத்தின் உள்ளே வரையப்பட்ட வட்டம் ஒன்றுக்குத் தொடுகோடுகளாக அமையும் என்றால் அந்த நாற்கரம் தொடுகோட்டு நாற்கரம் அல்லது தொடுநாற்கரம் (''Tangential quadrilateral'') எனப்படும். இந்த வட்டமானது நாற்கரத்தின் முக்கோணத்தின் உள்வட்டமும் வெளிவட்டங்களும் என்றும் அதன் மையம் உள்வட்டமையம் என்றும் ஆரம் உள்வட்ட ஆரம் எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன. தொடு பல்கோணம் ஒரு வகையாகத் தொடுநாற்கரங்கள் அமையும். எல்லா முக்கோணம் உள்வட்டம் உண்டு. ஆனால் எல்லா நாற்கரங்களுக்கும் உள்வட்டம் இருக்காது. எடுத்துக்காட்டாக, செவ்வகம் உள்வட்டம் கிடையாது. அதாவது செவ்வகம் ஒரு தொடுநாற்கரமல்ல.
கேள்வி: தொடுகோட்டு நாற்கரம் - சிறப்பு வகைகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: தொடு நாற்கரங்களுக்கான எடுத்து பட்டம் (வடிவவியல்) தொடு நாற்கரங்களாகும். சாய்சதுரம் பட்டங்களுக்குள் அடங்குவதால் அவையும் தொடுநாற்கரங்கள். சதுரங்கள், சாய்சதுரங்களுக்குள் அடங்கும் என்பதால் சதுரங்களும் தொடுநாற்கரங்கள். சதுரம். பட்டங்கள், செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரம் தொடுநாற்கரங்கள்.. ஒரு செங்கோணப் பட்டம் (வடிவவியல்) சூழ்தொடு வட்டம் உண்டு என்பதால் அது தொடுநாற்கரமாகவும் வட்டநாற்கரமாகவும் இருக்கும். தொடுநாற்கரமாகவும் வட்டநாற்கரமாகவுமுள்ள நாற்கரங்கள் இரு மைய நாற்கரம் எனப்படும். தொடு நாற்கரமாகவும் சரிவகம் நாற்கரம், தொடு சரிவகம் எனப்படும்.
கேள்வி: தொடுகோட்டு நாற்கரம் - பண்பாக்கங்கள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: * ஒரு தொடுநாற்கரத்தின் நான்கு இருசமக்கூறிடல் உள்வட்ட மையத்தில் சந்திக்கும். மறுதலையாக, ஒரு குவிவு நாற்கரத்தின் நான்கு கோண இருசமவெட்டிகளும் ஒரு புள்ளியில் சந்தித்தால் அந்த நாற்கரம் தொடுநாற்கரமாக இருக்கும். மேலும், அந்த சந்திக்கும் புள்ளி நாற்கரத்தின் உள்வட்ட மையமாக இருக்கும். *பீட்டோ தேற்றம், ஒரு தொடுநாற்கரத்தின் இரு சோடி எதிர்பக்கங்களின் நீளங்களின் கூடுதல் சமமாகவும் நாற்கரத்தின் அரைச்சுற்றளவு (''s'') இருக்கும்: :a + c = b + d = \frac{a + b + c + d}{2} = s. (நாற்கரத்தின் பக்கங்கள்: ''a'', ''b'' ''c'', ''d'') மறுதலையாக, ஒரு குவிவு நாற்கரத்தில் ''a'' + ''c'' = ''b'' + ''d'' ஆக இருந்தால் அந்நாற்கரம் கண்டிப்பாகத் தொடுநாற்கரமாகும். *குவிவு நாற்கரம் ''ABCD'' (சரிவகமற்ற) இன் எதிர்பக்கங்கள் வெட்டும் புள்ளிகள் ''E'', ''F'' எனில்:. :\displaystyle BE+BF=DE+DF அல்லது \displaystyle AE-EC=AF-FC. என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அந்நாற்கரம் தொடுநாற்கரமாக முடியும். இரண்டாவது முடிவு கிட்டத்தட்ட வெளி-தொடு நாற்கரம்#உர்க்கார்ட்டின் தேற்றம் சமனிகளுள் ஒன்றாகும். இருபுறமுமுள்ள குறிகள் மட்டுமே வேறுபடுகின்றன. இரண்டாவது முடிவில் வித்தியாசங்களும், உர்க்கார்ட்டின் தேற்ற முடிவில் கூடுதல்களும் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்டுள்ளன. *''ABCD'' நாற்கரம் ஒரு தொடுநாற்கரமாக இருப்பதற்கான மற்றுமொரு தேவையானதும் போதுமானதுமான கட்டுப்பாடு: ''ABC'', ''ADC'' ஆகிய இரு முக்கோணங்களின் உள்வட்டங்கள் இரண்டும் ஒன்றையொன்று தொடுகோடு இருக்க வேண்டும்.. * \tan{\frac{\angle ABD}{2}}\cdot\tan{\frac{\angle BDC}{2}}=\tan{\frac{\angle ADB}{2}}\cdot\tan{\frac{\angle DBC}{2}}. என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, குவிவு நாற்கரம் ''ABCD'' ஒரு தொடுநாற்கரமாகும். . * R_aR_c=R_bR_d என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' ஐ தொடர் பக்கங்களாக்கொண்ட குவிவு நாற்கரம் தொடுநாற்கரமாக இருக்கும். இதிலுள்ள ''R'a'', ''R'b'', ''R'c'', ''R'd'' என்பவை ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' பக்கங்கள் ஒவ்வொன்றையும், அவற்றின் இரு அயல்பக்கங்களின் நீட்சிகளையும் வெளிப்பக்கமாகத் தொடும் வட்டங்களின் ஆரங்கள்.
கேள்வி: தொடுகோட்டு நாற்கரம் - சிறப்பு கோட்டுத்துண்டுகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: File:Tangency chords 2.svg தொடுநாற்கரத்தின் உள்வட்டத்திற்கு எட்டு தொடுகோட்டுத் துண்டுகள் உள்ளன. தொடுநாற்கரத்தின் ஒவ்வொரு உச்சி (வடிவவியல்) அந்த உச்சியைப் பொதுப்புள்ளியாகக் கொண்ட இரு பக்கங்களை உள்வட்டம் தொடும் புள்ளிகளையும் இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டுகளே தொடுகோட்டுத்துண்டுகளாகும். (''e'', ''f'', ''g'', ''h'' ) ஆகும். ஒவ்வொரு உச்சியிலிருந்தும் அமையும் இரு தொடுகோடுகளும் சர்வசமம் (வடிவவியல்) (சமநீளமுள்ளவை). தொடுநாற்கரத்தின் எதிரெதிர் பக்கங்களிலுள்ள தொடுபுள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டுகள் தொடுநிலை நாண்களாகும் (படத்தில் ''k'', ''l''). நான்கு தொடுபுள்ளிகளால் அமையும் நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்களாக இந்நாண்கள் அமையும்.
கேள்வி: தொடுகோட்டு நாற்கரம் - முக்கோணவியலற்ற வாய்பாடுகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: தொடுநாற்கரத்தின் பரப்பளவு (''K''): *\displaystyle K = r \cdot s, ''s'' - அரைச்சுற்றளவு; ''r'' - உள்வட்ட ஆரம். *\displaystyle K = \tfrac{1}{2}\sqrt{p^2q^2-(ac-bd)^2} ''p'', ''q'' மூலைவிட்டங்கள்; ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' பக்கங்கள். *\displaystyle K=\sqrt{(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}, தொடுகோட்டு நீளங்கள் ''e'', ''f'', ''g'', ''h''. *K=\sqrt{abcd-(eg-fh)^2}, பக்கங்கள் ''a, b, c, d'', தொடுகோட்டு நீளங்கள் ''e, f, g, h'' இருமைய நாற்கரங்களாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே ''eg'' = ''fh'' ஆக இருக்கும் என்பதால், தொடுநாற்கரம் ஒரு இருமைய நாற்கரமாக இருந்தால் மட்டுமே, அதன் பரப்பளவு மிகப்பெரியளவாக இருக்கும். பெருமம் மற்றும் சிறுமம் பரப்பளவு: :\sqrt{abcd}
கேள்வி: தொடுகோட்டு நாற்கரம் - முக்கோணவியல் வாய்பாடுகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: :\displaystyle K = \sqrt{abcd} \sin \frac{A+C}{2} = \sqrt{abcd} \sin \frac{B+D}{2}. பக்கங்கள் ''a'', ''b'', ''c'', ''d''; கோணங்கள்: ''A'', ''B'', ''C'', ''D''. தொடுநாற்கரம் ஒரு இருமைய நாற்கரமாக இருந்தால் மட்டுமே, அதன் பரப்பளவு மிகப்பெரியளவாக இருக்கும். மேலும், இருமைய நாற்கரம் ஒரு வட்டநாற்கரமுங்கூட என்பதால் எதிர்கோணங்களின் கூடுதல் 180°. எனவே பெருமப் பரப்பளவு: K = \sqrt{abcd} * K=\left(IA\cdot IC+IB\cdot ID\right)\sin\frac{A+C}{2}, உள்வட்ட மையம்: ''I''.. * K=ab\sin{\frac{B}{2}}\csc{\frac{D}{2}}\sin \frac{B+D}{2}. * K=\tfrac{1}{2}|(ac-bd)\tan{\theta}|,. இரு மூலைவிட்டங்களுக்கு இடைப்பட்ட ஒரு கோணம் ''θ''. பட்டங்களில் ''θ'' = 90° ஆக இருக்கும் என்பதால் இவ்வாய்பாடு பட்டங்களுக்குப் பொருந்தாது.
கேள்வி: தொடுகோட்டு நாற்கரம் - சமனிலிகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: *K\le\sqrt{abcd}, தொடுநாற்கரத்தின் பக்கங்கள் ''a'', ''b'', ''c'', ''d''. இருமைய நாற்கரங்களுக்கு மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும். *அரைச்சுற்றளவு ''s''; உள்வட்ட ஆரம் ''r'' எனில் s\ge 4r. (சதுரங்களுக்கு மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும்) இதனைத் தொடுநாற்கரத்தின் பரப்பளவு வாய்பாடு ''K'' = ''rs'' இல் பயன்படுத்தக் கிடைக்கும் சமனிலி :K\ge 4r^2 (சதுரத்துக்கு மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும்)
கேள்வி: தொடுகோட்டு நாற்கரம் - பிரிப்பு பண்புகள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: File:Tangentenviereck.svg *உள்வட்ட மையத்தையும், உள்வட்டம் தொடுநாற்கரத்தின் பக்கங்களைத் தொடும்புள்ளிகளையும் இணைக்கும் நான்கு கோட்டுத்துண்டுகளும் நாற்கரத்தை நான்கு நேர் பட்டம் (வடிவவியல்) பிரிக்கும். * தொடு நாற்கரத்தை சமபரப்பளவும் சம சுற்றளவுமுள்ள இரு பல்கோணங்களாகப் பிரிக்கும் கோடு உள்வட்ட மையத்தின் வழியாகச் செல்லும்.
கேள்வி: தொடுகோட்டு நாற்கரம் - உள்வட்ட ஆரம் என்பது என்ன?
பதில்: தொடர்ச்சியான பக்கங்கள் ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' கொண்ட தொடுநாற்கரத்தின் உள்வட்ட ஆரத்திற்கான வாய்பாடு: *r=\frac{K}{s}=\frac{K}{a+c}=\frac{K}{b+d}, பரப்பளவு ''K''; அரைச்சுற்றளவு ''s''. இருமைய நாற்கரமாக இருக்கும்போது உள்வட்ட ஆரம் பெரும மதிப்பு கொண்டிருக்கும். *\displaystyle r=\sqrt{\frac{efg+fgh+ghe+hef}{e+f+g+h}}, தொடுகோட்டு நீளங்கள் ''e'', ''f'', ''g'', ''h''... *நாற்கரம் ''ABCD'' இன் உள்வட்டமையம் ''I''; ''u = AI'', ''v = BI'', ''x = CI'', ''y = DI'' எனில்: :r=2\sqrt{\frac{(\sigma-uvx)(\sigma-vxy)(\sigma-xyu)(\sigma-yuv)}{uvxy(uv+xy)(ux+vy)(uy+vx)}}, \sigma=\tfrac{1}{2}(uvx+vxy+xyu+yuv).. *''ABC'', ''BCD'', ''CDA'', ''DAB'' முக்கோணங்களின் உள்வட்ட ஆரங்கள் முறையே r_1, r_2, r_3, r_4 எனில்: :r=\frac{G+\sqrt{G^2-4r_1r_2r_3r_4(r_1r_3+r_2r_4)}}{2(r_1r_3+r_2r_4)}, G=r_1r_2r_3+r_2r_3r_4+r_3r_4r_1+r_4r_1r_2.Alexander Bogomolny (2016), An Inradii Relation in Inscriptible Quadrilateral, ''Cut-the-knot'', [https://www.cut-the-knot.org/m/Geometry/BorislavMirchev.shtml].''
கேள்வி: தொடுகோட்டு நாற்கரம் - கோணங்களின் வாய்பாடு குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: தொடு நாற்கரம் ''ABCD'' இன் உச்சிகள் ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' களிலிருந்து உள்வட்டத்துக்குத் தொடுகோட்டு நீளங்கள் முறையே ''e'', ''f'', ''g'', ''h'' எனில் நாற்கரத்தின் கோணங்களின் வாய்பாடுகள்: : \sin{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{efg + fgh + ghe + hef}{(e + f)(e + g)(e + h)}}, : \sin{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{efg + fgh + ghe + hef}{(f + e)(f + g)(f + h)}}, : \sin{\frac{C}{2}}=\sqrt{\frac{efg + fgh + ghe + hef}{(g + e)(g + f)(g + h)}}, : \sin{\frac{D}{2}}=\sqrt{\frac{efg + fgh + ghe + hef}{(h + e)(h + f)(h + g)}}. தொடுநிலை நாண்கள் ''k'', ''l'' இரண்டுக்கும் இடைப்பட்ட கோணம்: : \sin{\varphi}=\sqrt{\frac{(e + f + g + h)(efg + fgh + ghe + hef)}{(e + f)(f + g)(g + h)(h + e)}}.
கேள்வி: தொடுகோட்டு நாற்கரம் - மூலைவிட்டங்கள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: தொடுகோட்டு நீளங்கள் ''e'', ''f'', ''g'', ''h'' எனில், மூலைவிட்டங்களின் நீளங்கள் ''p = AC'', ''q = BD'' இன் மதிப்புகள்: :\displaystyle p=\sqrt{\frac{e+g}{f+h}\Big((e+g)(f+h)+4fh\Big)}, :\displaystyle q=\sqrt{\frac{f+h}{e+g}\Big((e+g)(f+h)+4eg\Big)}.
கேள்வி: தொடுகோட்டு நாற்கரம் - ஒருகோட்டுப் புள்ளிகள் என்பது என்ன?
பதில்: தொடுநாற்கரம் ''ABCD'' இன் மூலைவிட்டங்கள் ''AC'', ''BD'' இன் நடுப்புள்ளிகள் முறையே ''M1'', ''M2''; உள்வட்டமையம் ''I''; எதிர்பக்க சோடிகள் சந்திக்கும் புள்ளிகள் ''J'', ''K''; ''JK'' இன் நடுப்புள்ளி ''M3'' எனில், ''M3'', ''M1'', ''I'', ''M2'' ஆகிய நான்கு புள்ளிகளும் நேர்கோட்டமைவு. அவை அமையும் கோடு, தொடுநாற்கரத்தின் நியூட்டன் கோடு ஆகும். தொடுநாற்கரத்தின் எதிர்பக்கங்களின் நீட்சிகள் ''J'', ''K'' புள்ளிகளிலும், தொடுநிலை புள்ளிகளாலான நாற்கரத்தின் எதிர்பக்கங்களின் நீட்சிகள் ''L'', ''M'' புள்ளிகளிலும் சந்தித்தால், ''J'', ''L'', ''K',' ''M'' நான்கும் ஒருகோட்டுப் புள்ளிகள். தொடுநாற்கரத்தின் ''AB'', ''BC'', ''CD'', ''DA'' பக்கங்களை உள்வட்டம் தொடும்புள்ளிகள் முறையே ''T1'', ''T2'', ''T3'', ''T4''. மேலும் இப்புள்ளிகளின் சமவியல்பு இணையியம் முறையே ''N1'', ''N2'', ''N3'', ''N4'' (அதாவது, ''AT1'' = ''BN1'' ...) எனில், ''N1N3'', ''N2N4''. கோடுகள் வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளியானது தொடுநாற்கரத்தின் ''நாகெல் புள்ளி''யென வரையறுக்கப்படுகிறது. இவ்விரு கோடுகளும் நாற்கரத்தின் சுற்றளவு இரு சமபாகங்களாகப் பிரிக்கின்றன.நாகெல் புள்ளி ''N'', நாற்கரத்தின் பரப்பளவு திணிவுமையம் ''G'', உள்வட்டமையம் ''I'' மூன்றும் இதே வரிசையில் ஒரே கோட்டிலமையும். மேலும் ''NG'' = 2''GI''. இக்கோடு தொடுநாற்கரத்தின் ''நாகெல் கோடு'' எனப்படும்.. தொடுநாற்கரம் ''ABCD'' இன் உள்வட்டமையம் ''I''. அதன் மூலைவிட்டங்கள் வெட்டும் புள்ளி ''P''. ''AIB'', ''BIC'', ''CID'', ''DIA'' முக்கோணங்களின் குத்துக்கோடு (முக்கோணம்) ''HX'', ''HY'', ''HZ'', ''HW'' எனில், ''P'', ''HX'', ''HY'', ''HZ'', ''HW'' நேர்கோட்டிலமையும்.
கேள்வி: தொடுகோட்டு நாற்கரம் - ஒருபுள்ளியில் சந்திக்கும் கோடுகளும் செங்குத்துக்கோடுகளும் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: தொடுநாற்கரத்தின் இரு மூலைவிட்டங்களும் இரு தொடுநிலை நாண்களும் ஒருபுள்ளியில் சந்திக்கும் கோடுகள்.Yiu, Paul, ''Euclidean Geometry'', [http://math.fau.edu/Yiu/EuclideanGeometryNotes.pdf] , 1998, pp. 156–157.[http://www.cip.ifi.lmu.de/~grinberg/CircumRev.pdf Grinberg, Darij, ''Circumscribed quadrilaterals revisited'', 2008] தொடுநாற்கரத்தின் எதிர்பக்கங்களின் நீட்சிகள் ''J'', ''K'' புள்ளிகளிலும் மூலைவிட்டங்கள் ''P'' இலும் சந்தித்தால், ''JK'', ''IP'' இன் நீட்சிக்குச் செங்குத்தானது (''I'' உள்வட்டமையம்).
கேள்வி: தொடுகோட்டு நாற்கரம் - உள்வட்ட மையம் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: தொடுநாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் நியூட்டன் கோடு உள்வட்டமையம் அமையும்.. தொடுநாற்கரத்தின் எதிர்பக்கங்களின் விகிதத்தை அதன் உச்சிகளுக்கும் உள்வட்டமையத்துக்கும் இடைப்பட்ட தூரங்களின் வாயிலாக எழுதலாம்: :\frac{AB}{CD}=\frac{IA\cdot IB}{IC\cdot ID},\quad\quad \frac{BC}{DA}=\frac{IB\cdot IC}{ID\cdot IA}. தொடுநாற்கரம் ''ABCD'' இன் அடுத்துள்ள பக்கநீளங்களின் பெருக்குத்தொகை:. :AB\cdot BC=IB^2+\frac{IA\cdot IB\cdot IC}{ID}. தொடுநாற்கரம் ''ABCD'' இல் :IA\cdot IC+IB\cdot ID=\sqrt{AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA}. The incenter ''I'' in a tangential quadrilateral தொடுநாற்கரம் ''ABCD'' இன் உச்சி திணிவுமையத்துடன் உள்வட்டமையம் ஒன்றுபடுவதற்குத் தேவையானதும் போதுமானதுமான கட்டுப்பாடு: :IA\cdot IC=IB\cdot ID. ''AC'', ''BD'' மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகள் முறையே ''Mp'' and ''Mq'' எனில்:[http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=455293 "Determine ratio OM/ON", Post at ''Art of Problem Solving'', 2011] :\frac{IM_p}{IM_q}=\frac{IA\cdot IC}{IB\cdot ID}=\frac{e+g}{f+h} ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' உச்சிகளிலிருந்தமையும் தொடுகோட்டு நீளங்கள் முறையே ''e'', ''f'', ''g'', ''h''. ஒரு நான்கு தண்டு இயங்கமைவு தொடுநாற்கர வடிவிலமைக்கப்பட்டிருந்தால், இணைப்புகளை நெகிழ்த்தினாலும் குவிந்ததாக இருக்கும்வரை தொடுநாற்கரமாகவே இருக்கும்..Bogomolny, Alexander, "When A Quadrilateral Is Inscriptible?", ''Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles'', [http://www.cut-the-knot.org/proofs/InscriptibleQuadrilateral.shtml#anotherProof]. (எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சதுரத்தின் வடிவை சாய்சதுரமாக்கினாலும் தொடுவட்டம் சிறிதாவதைத் தவிர,அதன் தொடுநாற்கரத்தன்மை மாறுவதில்லை). ஒரு பக்கத்தை நிலையாக வைத்துக்கொண்டு நாற்கரத்தை நெகிழ்த்தும்போது அதன் உள்வட்டமைய வழிப்பாதை \sqrt{abcd}/s ஆரமுள்ள ஒரு வட்டமாக இருக்கும். இதில் ''a, b, c, d'' நாற்கரத்தின் தொடர்பக்கங்கள்; ''s'' அரைச்சுற்றளவு.
கேள்வி: தொடுகோட்டு நாற்கரம் - சாய்சதுரம் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: ஒரு தொடுநாற்கரத்தின் எதிர்கோணங்கள் சமமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அது ஒரு சாய்சதுரம்..
கேள்வி: தொடுகோட்டு நாற்கரம் - பட்டம் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: பின்வரும் முடிவுகளுள் ஏதாவது ஒன்று உண்மையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, ஒரு தொடுநாற்கரம் பட்டம் (வடிவவியல்) இருக்க முடியும்:. *மூலைவிட்ட நீளங்களின் பெருக்குத்தொகையில் பாதியாக நாற்கரப் பரப்பளவு இருக்க வேண்டும். *மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக இருக்க வேண்டும். * எதிரெதிர் தொடுநிலைப் புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டுகள் (தொடுநிலை நாண்கள்) சமநீளமுள்ளவை *ஒரு சோடி எதிர் தொடுகோட்டு நீளங்கள் சமம் *தொடுநாற்கரத்தின் இருநடுக்கோடுகள் சமநீளமுள்ளவை. *தொடுநாற்கரத்தின் எதிர்பக்க நீளங்களின் பெருக்குத்தொகைகள் சமம். *சுழற்சி அச்சாகவுள்ள மூலைவிட்டத்தின் மீது உள்வட்டமையம் அமையும்.
கேள்வி: தொடுகோட்டு நாற்கரம் - சரிவகம் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: தொடுநாற்கரத்தின் ''AB'', ''CD'' பக்கங்களை உள்வட்டம் தொடும்புள்ளிகள் முறையே ''W'', ''Y'' எனில், கீழுள்ள முடிவு உண்மையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, தொடுநாற்கரம் ''ABCD'' ஆனது ''AB'', ''CD'' பக்கங்களை இணைபக்கங்களாகக் கொண்ட சரிவகம் இருக்கும்:. :AW\cdot DY=BW\cdot CY ''AD'', ''BC'' இணைபக்கங்களாகக் கொண்ட சரிவகமாக இருப்பதற்கு: :AW\cdot BW=CY\cdot DY.