கேள்வி: வகையிடல் விதிகள் - வகையிடலின் அடிப்படை விதிகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: கீழ்க்காணும் விதிகளில் தரப்பட்டச் சார்புகளின் தன்மை குறிப்பிடப்படாமல் இருந்தால், அவை மெய்யெண்களில் அமைந்த மெய்மதிப்புச் சார்புகளாகவே எடுத்துக்கொள்ளப்படுகின்றன. எனினும் நன்கு வரையறை செய்யப்பட்ட அனைத்துச் சார்புகளுக்கும் (சிக்கலெண்கள் உட்பட) இவை உண்மையாக அமையும்.''Calculus (5th edition)'', F. Ayres, E. Mendelson, Schuam's Outline Series, 2009, .''Advanced Calculus (3rd edition)'', R. Wrede, M.R. Spiegel, Schuam's Outline Series, 2010, .''Complex Variables'', M.R. Speigel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum's Outlines Series, McGraw Hill (USA), 2009,
கேள்வி: வகையிடல் விதிகள் - வகையிடலின் நேரியல்பு பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: ''f'' மற்றும் ''g'' எவையேனும் இரு வகையிடத்தக்கச் சார்புகள்; ''a'' மற்றும் ''b'' மெய்யெண்கள் எனில், என்ற சார்பின் ''x'' -ஐப் பொறுத்த வகைக்கெழு: : h'(x) = a f'(x) + b g'(x).\, இது லைப்னிட்சின் குறியீடு: : \frac{d(af+bg)}{dx} = a\frac{df}{dx} +b\frac{dg}{dx}. சிறப்பு வகைகள்: * வகையிடலின் மாறிலிப் பெருக்கல் விதி :(af)' = af' \, * வகையிடலின் கூட்டல் விதி :(f + g)' = f' + g'\, * ''வகையிடலின் கழித்தல் விதி'' :(f - g)' = f' - g'.\,
கேள்வி: வகையிடல் விதிகள் - பெருக்கல் விதி பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: வகையிடலின் பெருக்கல் விதி, இரண்டு அல்லது இரண்டுக்கு மேற்பட்ட சார்புகளின் பெருக்கலாக அமையும் சார்பினை வகையிடல் வழிமுறையைத் தருகிறது. இவ்விதியின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வடிவம் லைப்னிட்ஸ் விதி என அழைக்கப்படுகிறது. தரப்பட்ட இரு சார்புகள் ''f'' , ''g'' எனில், ''h''(''x'') = ''f''(''x'') ''g''(''x'') -சார்பின் ''x'' -ஐப் பொறுத்த வகைக்கெழு: : h'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x).\, இவ்விதி லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்: :\frac{d(fg)}{dx} = \frac{df}{dx} g + f \frac{dg}{dx}.
கேள்வி: வகையிடல் விதிகள் - நேர்மாறுச் சார்பு விதி குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: இவ்விதி ஒரு சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு வகையிடல் வழிமுறையைத் தருகிறது. ''f'' சார்பின் நேர்மாறு சார்பு ''g'' எனில், , , என இருந்தால்: :g' = \frac{1}{f'\circ g}\, இவ்விதி லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்: : \frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}
கேள்வி: வகையிடல் விதிகள் - அடுக்கு விதி குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: வகையிடலின் அடுக்கு விதியின் கூற்று: f(x) = x^n, ''n'' ஒரு முழு எண் எனில்: :f'(x) = nx^{n-1}.\, இவ்விதியின் சிறப்பு வகைகள்: * ''மாறிலி விதி'': ''f'' ஒரு மாறிலிச் சார்பு, f(x) = c எனில்: : f' (x) = 0 * f(x) = x (முற்றொருமைச் சார்பு எனில், : f'(x) = 1 * ''நேரியல் சார்பு வகைக்கெழு ஒரு மாறிலியாகும்'': :f(x) = ax + b எனில், : f'(x) = a இவ்விதியையும் வகையிடலின் நேரியல்பையும் இணைத்து எந்தவொரு பல்லுறுப்புக்கோவையையும் வகையிடலாம்.
கேள்வி: வகையிடல் விதிகள் - தலைகீழி விதி குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: : h(x) = \frac{1}{f(x)}\ ( ''f'' (''x'') பூச்சியம் இருத்தல் அவசியம்) எனில்: : h'(x) = -\frac{f'(x)}{[f(x)]^2}\ இவ்விதி லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்: : \frac{d(1/f)}{dx} = -\frac{1}{f^2}\frac{df}{dx}\, அடுக்கு விதியையும் சங்கிலி விதியையும் இணைத்து தலைகீழி விதியைப் பெறலாம்.
கேள்வி: வகையிடல் விதிகள் - வகுத்தல் விதி குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ''f'' , ''g'' என்பன வகையிடத்தக்க இரு சார்புகள் எனில்: :\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2}\quad, (''g'' பூச்சியமற்றதாக இருத்தல் வேண்டும்.) பெருக்கல் விதியையும் தலைகீழி விதியையும் இணைத்து இவ்விதியைப் பெறலாம். மறுதலையாக, இவ்விதியிலிருந்து ''f''(''x'') = 1 எனும் சிறப்பு வகையாகத் தலைகீழி விதியைப் பெறலாம்.
கேள்வி: வகையிடல் விதிகள் - பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட அடுக்குவிதி குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ''f'' , ''g'' என்பன இரு வகையிடத்தக்கச் சார்புகள் எனில், :(f^g)' = \left(e^{g\ln f}\right)' = f^g\left(f'{g \over f} + g'\ln f\right),\quad இருபுறமும் நன்கு வரையறுக்கப்பட்டிருத்தல் அவசியம். சிறப்பு வகைகள்: * ''a'' ஏதேனும் ஒரு மெய்யெண் மற்றும் ''x'' நேர்மம் எனில்: :f(x) = x^a என்பதன் ''x'' -ஐப் பொறுத்த வகைக்கெழு: : f'(x) = a x^{a-1} * ''g''(''x'') = −1 எனில் இவ்விதியிலிருந்து தலைகீழி விதியைப் பெறலாம்.
கேள்வி: வகையிடல் விதிகள் - அடுக்குக்குறிச் சார்பு, மடக்கைச் சார்பின் வகையீடுகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: : \left(c^{ax}\right)' = {c^{ax} \ln c \cdot a }\qquad c > 0 இச்சமன்பாடு, ''c'' இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் சரியாக இருக்கும்; c \left(e^x\right)' = e^x : \left( \log_c x\right)' = {1 \over x \ln c}\qquad c > 0, c \ne 1 மேலுள்ள சமன்பாடு ''c'' இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் சரியாக இருக்கும்; ஆனால் சிக்கலெண்ணைத் தரும். : \left( \ln x\right)' = {1 \over x}\qquad x \ne 0 : \left( \ln |x|\right)' = {1 \over x} : \left( x^x \right)' = x^x(1+\ln x) : \frac{d}{dx}[\ln(f(x))] = \frac{f'(x)}{f(x)} மடக்கையின் அடிமாற்று விதியைப் பயன்படுத்த, : \frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{d}{dx} \frac {\ln(x)}{\ln(b)} = \frac{1}{x \ln(b)} = \frac{\log_b(e)}{x}
கேள்வி: வகையிடல் விதிகள் - மடக்கை வகையிடல் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: மடக்கை வகையிடல் என்பது ஒரு சார்பின் மடக்கையை வகையிடுவதாகும். : (\ln f)'= \frac{f'}{f} \quad இங்கு ''f'' நேர்மமாக இருத்தல் வேண்டும்.
கேள்வி: வகையிடல் விதிகள் - முக்கோணவியல் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: முக்கோணவியல் சார்புகள் வகைக்கெழுக்கள் கீழே தரப்பட்டுள்ளன. {| style="width:100%; background:transparent; margin-left:2em;" |width=50%| (\sin x)' = \cos x \, |width=50%| (\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} \, |- | (\cos x)' = -\sin x \, | (\arccos x)' = -{1 \over \sqrt{1 - x^2}} \, |- | (\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \, | (\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} \, |- | (\sec x)' = \sec x \tan x \, | (\operatorname{arcsec} x)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \, |- | (\csc x)' = -\csc x \cot x \, | (\operatorname{arccsc} x)' = -{1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \, |- | (\cot x)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x)\, | (\operatorname{arccot} x)' = -{1 \over 1 + x^2} \, |}
கேள்வி: வகையிடல் விதிகள் - மீவளையச் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: {| style="width:100%; background:transparent; margin-left:2em;" |width=50%|( \sinh x )'= \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} |width=50%|(\operatorname{arsinh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}} |- |(\cosh x )'= \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} |(\operatorname{arcosh}\,x)' = {\frac {1}{\sqrt{x^2-1}}} |- |(\tanh x )'= {\operatorname{sech}^2\,x} |(\operatorname{artanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2} |- |(\operatorname{sech}\,x)' = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x |(\operatorname{arsech}\,x)' = -{1 \over x\sqrt{1 - x^2}} |- |(\operatorname{csch}\,x)' = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x |(\operatorname{arcsch}\,x)' = -{1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}} |- |(\operatorname{coth}\,x )' = -\,\operatorname{csch}^2\,x |(\operatorname{arcoth}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2} |}
கேள்வி: வகையிடல் விதிகள் - சிறப்புச் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: {| style="width:100%; background:transparent; margin-left:2em;" |width=50%| ;காமா சார்பு \Gamma'(x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} \ln t\,dt := \Gamma(x) \left(\sum_{n=1}^\infty \left(\ln\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) - \dfrac{1}{x + n}\right) - \dfrac{1}{x}\right) = \Gamma(x) \psi(x) |width=50%| |} {| style="width:100%; background:transparent; margin-left:2em;" |width=50%| ;ரீமன் இசீட்டா சார்பியம் :\zeta'(x) = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n^x} = -\frac{\ln 2}{2^x} - \frac{\ln 3}{3^x} - \frac{\ln 4}{4^x} - \cdots \! := -\sum_{p \text{ prime}} \frac{p^{-x} \ln p}{(1-p^{-x})^2}\prod_{q \text{ prime}, q \neq p} \frac{1}{1-q^{-x}} \! |}
கேள்வி: வகையிடல் விதிகள் - ஃபா டி புரூனோவின் வாய்ப்பாடு பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: ''f'' , ''g'' இரண்டும் ''n'' தடவைகள் வகையிடக் கூடிய சார்புகள் எனில்: : \frac{d^n}{d x^n} [f(g(x))]= n! \sum_{\{k_m\}}^{} f^{(r)}(g(x)) \prod_{m=1}^n \frac{1}{k_m!} \left(g^{(m)}(x) \right)^{k_m} இங்கு r = \sum_{m=1}^{n-1} k_m, \{k_m\} இரண்டும், : \sum_{m=1}^{n} m k_m = n -''டியோஃபாண்டைன் சமன்பாட்டின்'' எதிர்மமற்ற முழு எண் தீர்வுகள் அனைத்தையும் கொண்டவை
கேள்வி: வகையிடல் விதிகள் - பொது லைப்னிட்ஸ் விதி என்பது என்ன?
பதில்: வகையிடலின் பெருக்கல் விதியின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வடிவமே பொது லைப்னிட்ஸ் விதியாகும். ''f'' , ''g'' இரண்டும் ''n'' தடவைகள் வகையிடக் கூடிய சார்புகள் எனில்: : \frac{d^n}{dx^n}[f(x)g(x)] = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{d^{n-k}}{d x^{n-k}} f(x) \frac{d^k}{d x^k} g(x)
கேள்வி: வகையிடல் விதிகள் - மூல நூல்களும் மேலும் படிப்பதற்கும் என்பது என்ன?
பதில்: *''Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition)'', S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, . *''The Cambridge Handbook of Physics Formulas'', G. Woan, Cambridge University Press, 2010, . *''Mathematical methods for physics and engineering'', K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, *''NIST Handbook of Mathematical Functions'', F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, C. W. Clark, Cambridge University Press, 2010, .