கேள்வி: இயல்நிலை உட்குலம் - இயல்நிலை உட்குலத்தின் வரையறை பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: ::ஒரு குலம் G இன் உட்குலம் H ஒரு இயல்நிலை உட்குலம் என்று சொல்லப்படவேண்டுமானால்,G இன் ஒவ்வொரு உள் தன்னமைவியத்திற்கும் H மாறுபடாமல் இருக்கவேண்டும். வேறு விதமாகச்சொன்னால், கீழேயுள்ள பண்பு உடைத்ததாய் இருக்கவேண்டும்: :: G இலுள்ள எல்லா g க்கும் gHg^{-1} = H :: அல்லது, இன்னும் குறைவாக G இலுள்ள எல்லா g க்கும் gHg^{-1}\subseteq H என்றிருந்தால் போதும். :: அல்லது, H இலுள்ள ஒவ்வொரு hக்கும் Gஇலுள்ள எந்த g யையும் பயன்படுத்தி, இணையியம் கணக்கிட்டாலும் அது Hக்குள்ளேயே இருக்கும்.
கேள்வி: இயல்நிலை உட்குலம் - எடுத்துக்காட்டுகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: :1. நான்கு உறுப்புகளின் வரிசைமாற்றுக் குலம் மாறிசைக்குலம் இருக்கும் A4 ஐ எடுத்துக்கொள்வோம். இதனில் 12 உறுப்புகள் உள்ளன. அவையெல்லாம் நான்கு உறுப்புகளின் இரட்டை வரிசைமாற்றங்கள். H =A4 , G = S4,இல் ஓர் இயல் நிலைக்குலம் என்று கண்டுகொள்ளலாம். சில மாதிரிக்கணித்தல்கள்: ::(234) {(14)(23)} (243) = (12)(34) ஆகையால், (12)(34), (234) மூலம் (14)(23) இன் இணையியம். :: (1324){(14)(23)} = (13)(24) ஆகையால், (13)(24), (1324) மூலம் (14)(23) இன் இணையியம். :2. A4க்குள் நான்முகிக் குலம் V ஓர் இயல்நிலைக்குலமாகும். பகுப்பு:குலக்கோட்பாடு