கேள்வி: சூழ்தொடு வட்டம் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: படிமம்:Cyclic quadrilateral.svg சூழ்தொடு வட்டம் அல்லது சுற்றுவட்டம் (''circumscribed circle'' or ''circumcircle'') என்பது ஒரு பல்கோணம் ஒவ்வொரு முனையையும் தொட்டுக்கொண்டு இருக்குமாறு வரையப்படும் வட்டம் ஆகும். ஒரே நீளமும் கோணமும் கொண்ட பக்கங்களைக் கொண்ட சீரான பல்கோணங்கள் எல்லாவற்றுக்கும் சுற்றுவட்டம் வரைய இயலும். ஆனால் பக்க நீளங்கள் ஒரே அளவாக இல்லாத பல்கோணங்கள் யாவற்றுக்கும் சுற்று வட்டம் வரைய இயலாது எனினும், சிலவற்றுக்குச் சுற்றுவட்டம் வரைய இயலும். கீழ்க்காணும் படத்தில் ஒரு எடுத்துக் காட்டைப் பார்க்கலாம். படிமம்:Circumcircle.png சுற்றுவட்டம் கொண்ட பல்கோணிகள், வட்டப் பல்கோணிகள் (''cyclic polygon'') எனப்படுகின்றன. சீரான பல்கோணிகள், இருசமபக்க சரிவகம், முக்கோணம், செவ்வகம் வட்டப் பல்கோணிகள் ஆகும். சுற்றுவட்டத்தின் மையமானது சுற்றுவட்ட மையம் (''circumcenter'') என்றும் ஆரமானது சுற்றுவட்ட ஆரம் (''circumradius'') எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.
கேள்வி: சூழ்தொடு வட்டம் - முக்கோணங்கள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: File:Circumcenter Construction.svg அனைத்து முக்கோணங்களும் வட்ட முக்கோணங்கள் ஆகும். அதாவது அனைத்து முக்கோணங்களுக்கும் சுற்று வட்டங்கள் வரைய முடியும்.ஒரு வட்டத்தின் :மையத்தின் கார்டீசியன் ஆட்கூறுகள்: (''a'', ''b'') :ஆரம்: ''r'' எனில், அந்த வட்டத்தின் பொதுச் சமன்பாடு (கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமையில்): :\left(x - a \right)^2 + \left( y - b \right)^2=r^2. வட்டத்தின் இச்சமன்பாடு மூன்று துணையலகுகளைக் (''a'', ''b'', ''r'') கொண்டுள்ளதால், ஒரு வட்டத்தைத் தீர்மானிப்பதற்கு மூன்று புள்ளிகள் தேவைப்படுகிறது. மேலும் எந்தவொரு முக்கோணமும் மூன்று புள்ளிகளால் அமைக்கப்படுகிறது என்பதால் எல்லா முக்கோணங்களுக்கும் அவற்றின் உச்சிகளின் வழியாகச் செல்லும் சுற்றுவட்டம் வரையமுடியும் என்பதை அறியலாம். ஒரு முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டமையமானது அம்முக்கோணத்தின் மூன்று உச்சிகளிலிருந்தும் சமதொலைவில் இருக்கும். அதே சமயம் ஒரு கோட்டுத்துண்டு நடுக்குத்துக்கோட்டின் மீதுள்ள எந்தவொரு புள்ளியும் அக்கோட்டுத்துண்டின் இரு முனைகளிலிருந்தும் சமதொலைவில் இருக்கும். அதனால் முக்கோணத்தின் ஏதேனும் இரு பக்கங்களின் நடுக்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளியானது முக்கோணத்தின் அந்த இரு பக்கங்களின் முனைகளிலிருந்து சமதொலைவில் இருக்கும். எனவே ஒரு முக்கோணத்தின் ஏதாவது இரு பக்கங்களின் இருசமக்கூறிடல்#கோட்டுத்துண்டின் இருசமவெட்டி சந்திக்கும் புள்ளியே அம்முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்ட மையமாகும். ஒரு முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டமையத்தின் அமைவிடம் அம்முக்கோணத்தின் தன்மையைப் பொறுத்தது: *ஒரு முக்கோணம் குறுங்கோண முக்கோணமாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" சுற்றுவட்டமையம் அம்முக்கோணத்துக்குள் அமையும். *ஒரு முக்கோணம் விரிகோண முக்கோணமாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" சுற்றுவட்டமையம் அம்முக்கோணத்துக்கு வெளியே அமையும். *ஒரு முக்கோணம் செங்கோண முக்கோணமாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" சுற்றுவட்டமையம் அம்முக்கோணத்தின் செம்பக்கம் மீதமையும். (இது தேலேசுத் தேற்றம் ஒரு வடிவமாகும்) Image:Triangle (Acute) Circumscribed.svg|குறுங்கோண முக்கோணத்துள் அதன் சுற்றுவட்டமையம் உள்ளது Image:Triangle (Right) Circumscribed.svg|செங்கோண முக்கோணத்தின் செம்பக்கத்தின் மீது அதன் சுற்றுவட்டமையம் உள்ளது Image:Triangle (Obtuse) Circumscribed.svg|விரிகோண முக்கோணத்துக்கு வெளியே அதன் சுற்றுவட்டமையம் உள்ளது முக்கோணத்தின் ஏதாவதொரு பக்கத்தின் அளவை அந்தப் பக்கத்திற்கு எதிரான கோணத்தின் சைன் (முக்கோணவியல்) மதிப்பால் வகுக்கக் கிடைக்கும் மதிப்பு, சுற்றுவட்டத்தின் விட்டத்தின் அளவாக இருக்கும். சைன் விதியின் விளைவாக முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களில் எந்தவொன்றைக் கொண்டும் சுற்றுவட்ட விட்டத்தைக் கணக்கிட முடிகிறது. முக்கோணத்தின் ஒன்பது-புள்ளி வட்டம் விட்டத்தின் அளவு, சுற்றுவட்டத்தின் விட்டத்தின் அளவில் பாதியாக இருக்கும். Δ''ABC'' இன் சுற்றுவட்ட விட்டத்தின் அளவு: : \begin{align} \text{diameter} & {} = \frac{abc}{2\cdot\text{area}} = \frac{|AB| |BC| |CA|}{2|\Delta ABC|} \\ & {} = \frac{abc}{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}\\ & {} = \frac{2abc}{\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}} \end{align} *''a'', ''b'', ''c'' : முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்கள் * (''a'' + ''b'' + ''c'')/2}}: முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவு *\sqrt{\scriptstyle{s(s-a)(s-b)(s-c)}}: ஈரோனின் வாய்பாடு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு. சுற்றுவட்டத்தின் விட்டத்திற்கான மற்றுமொரு வாய்ப்பாடு:Dörrie, Heinrich, ''100 Great Problems of Elementary Mathematics'', Dover, 1965. :\text{diameter} = \sqrt{\frac{2 \cdot \text{area}}{\sin A \sin B \sin C}}. எந்தவொரு முக்கோணத்திலும் அதன் சுற்றுவட்டமையமானது அம்முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டுச்சந்தியுடனும், செங்கோட்டுச்சந்தியுடனும் சேர்ந்து ஒரே கோட்டில் அமையும். இம்மூன்று புள்ளிகளும் அமையும் கோடு முக்கோணத்தின் ஆய்லர் கோடு ஆகும். சுற்றுவட்டமையமும் செங்குத்துச்சந்தியும் ஒன்றுக்கொன்று சமகோண இணையியம்.
கேள்வி: சூழ்தொடு வட்டம் - மேலும் பார்க்க பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: * உள்தொடு வட்டம் * உள்தொடு உருண்டை * சூழ்தொடு உருண்டை பகுப்பு:முக்கோணத்திற்கு வரையறுக்கப்பட்ட வட்டங்கள்