கேள்வி: பொன் விகிதம் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: படிமம்:Golden ratio line.svg கணிதவியல் கலையிலும் எவையேனும் இரு அளவுகளின் கூடுதலுக்கும் அவற்றில் பெரிய அளவுக்குமான விகிதம், பெரிய அளவுக்கும் சிறிய அளவுக்குமான விகிதத்திற்குச் சமமாக இருந்தால் அந்த இரு அளவுகளும் பொன் விகிதத்தில் (''golden ratio'') அமைந்துள்ளன எனப்படுகின்றன. இவ்விகிதத்தின் மதிப்பு ஒரு விகிதமுறா எண் மாறிலி எண்ணாகும். இதன் தோராயமான மதிப்பு 1.61803398874989. பொன் விகிதத்தின் குறியீடு கிரேக்கம் மொழியின் சிறிய எழுத்து (\varphi) (phi). :(இவ்வெழுத்தின் பெருக்கல் நேர்மாறு \frac{1}{\varphi} அல்லது \varphi^{-1} = \Phi (Phi).இது கிரேக்க மொழியின் பெரிய எழுத்து.) : \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} \equiv \varphi. விகிதமுறா எண்களின் கணம் (கணிதம்) இச்சமன்பாடு ஒரு நேர்மத் தீர்வு உள்ளது: :\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1.61803\,39887\ldots. The golden ratio can be derived by the quadratic formula, by starting with the first number as 1, then solving for 2nd number ''x'', where the ratios (''x''&nbsp;+&nbsp;1)/''x'' = ''x''/1 or (multiplying by ''x'') yields: ''x''&nbsp;+&nbsp;1 = ''x''2, or thus a quadratic equation: ''x''2&nbsp;−&nbsp;''x''&nbsp;−&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;0. Then, by the quadratic formula, for positive ''x'' = (−''b''&nbsp;+&nbsp;√(''b''2&nbsp;−&nbsp;4''ac''))/(2''a'') with ''a''&nbsp;=&nbsp;1, ''b''&nbsp;=&nbsp;−1, ''c''&nbsp;=&nbsp;−1, the solution for ''x'' is: (−(−1)&nbsp;+&nbsp;√((−1)2&nbsp;−&nbsp;4·1·(−1)))/(2·1) or (1&nbsp;+&nbsp;√(5))/2. பொன் விகிதமானது கவின்கலை, ஓவியம், கட்டிடக்கலை, புத்தக வடிவமைப்பு, இயற்கை, இசை, நிதிச்சந்தை...என பல்வகையான துறைகளிலும் பரந்து காணப்படுகிறது. 20 ம் நூற்றாண்டிலிருந்து, பல ஓவியர்களும், கட்டிடக் கலைஞர்களும் தமது படைப்புகளில் பொன் விகிதத்தைப் பயன்படுத்தினார்கள். இவர்களின் பயன்பாடு பொதுவாக பொன் செவ்வகம் வடிவில் அமைந்தது. நீளமும் அகலமும் பொன் விகிதத்தில் அமைந்த இச்செவ்வகம் அழகியல் அடிப்படையில் மனதுக்கு உகந்தது என நம்பப்பட்டது. இவ்விகிதத்தின் தனித்துவமான இயல்புகள் கணிதவியலாளர்களை ஆராயத் தூண்டியது.
கேள்வி: பொன் விகிதம் - வரலாறு பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: படிமம்:Phi uc lc.svg, பொன் விகிதத்தைக் குறிப்பதற்காக கிரேக்கச் சிற்பியான பிடியாஸ் என்பவரின் பெயரின் முதல் எழுத்தான "பை" என்பதைப் பயன்படுத்த முன்மொழிந்தார். வழக்கமாக "பை" இன் சிறிய எழுத்தே (''ϕ'') பயன்படுகின்றது. சில சமயங்களில் பெரிய எழுத்து "பை" (Φ) பொன் விகிதத்தின் மறுதலைக்குப் ''(1/ϕ)'' பயன்படுகின்றது.]] படிமம்:Michael Maestlin.jpg, 1597 ஆம் ஆண்டில் பொன் விகிதத்தின் அண்ணளவான பதின்ம எண்ணை வெளியிட்டார்.]] பொன் விகிதம், பல்வேறு வகையான ஆர்வங்களைக் கொண்ட அறிஞர்களை 2,400 ஆண்டுகளாக ஈர்த்து வந்துள்ளது. வடிவவியலில் அதிகமாக பொன் விகிதம் காணப்படுவதால் பண்டையக் கிரேக்கர்கள் இது பற்றி ஆய்வுகள் செய்துள்ளனர். ஒழுங்கு நட்சத்திர ஐங்கோணம் மற்றும் ஒழுங்கு ஐங்கோணம் பற்றிய வடிவவியலில் ஒரு கோடு முடிவு மற்றும் இடை விகிதத்தில் பிரிப்பது முக்கியமானதாக அமைகிறது. இக் கருத்துருவை பித்தாகரஸ் அல்லது அவரைப் பின்பற்றுவோர் கண்டுபிடித்திருக்க வேண்டுமென கிரேக்கர்கள் நம்புகின்றனர். ஒழுங்கான ஐங்கோணத்தை உள்ளடக்கிய ஒழுங்கான நட்சத்திர ஐங்கோண வடிவம் பித்தாகோரியர்களின் சின்னமாக உள்ளது.
கேள்வி: பொன் விகிதம் - கணக்கிடுதல் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ''a'' மற்றும் ''b'' -இரண்டும் பொன் விகிதத்தில் அமைந்திருந்தால்: : \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi. : \frac{a+b}{a} -ஐப் பின்வருமாறு சுருக்க: :\frac{a+b}{a} = 1 + \frac{b}{a} = 1 + \frac{1}{\varphi} கிடைக்கிறது. ஆனால் : \frac{a+b}{a} = \varphi. எனவே : 1 + \frac{1}{\varphi} = \varphi. ''φ'' -ஆல் பெருக்க: :\varphi + 1 = \varphi^2 :{\varphi}^2 - \varphi - 1 = 0. இருபடி வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தப் பின்வரும் நேர்மத் தீர்வு கிடைக்கும்: :\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.61803\,39887\dots.
கேள்வி: பொன் விகிதம் - மாற்று வடிவங்கள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: * ''φ'' = 1 + 1/''φ'' -சமன்பாட்டை மீள்வரு முறையில் விரித்து பொன் விகிதத்தினை தொடரும் பின்னம் பெறலாம்: :\varphi = [1; 1, 1, 1, \dots] = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}} * \varphi^{-1} = [0; 1, 1, 1, \dots] = 0 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}} * ''φ''2 = 1 + ''φ'' சமன்பாட்டிலிருந்து பொன் விகிதத்தை தொடர்ச்சியான வர்க்கமூல (முடிவுறா விகிதமுறா மூலம்) வடிவில் பெறலாம்: :\varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \cdots}}}}. * பொன் விகிதத்தை முடிலாத் தொடராகப் பெறலாம்:Brian Roselle, [http://sites.google.com/site/goldenmeanseries/ "Golden Mean Series"] :\varphi=\frac{13}{8}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{(n+1)}(2n+1)!}{(n+2)!n!4^{(2n+3)}}. * மேலும் பல வடிவங்கள்: :\varphi = 1+2\sin(\pi/10) = 1 + 2\sin 18^\circ :\varphi = {1 \over 2}\csc(\pi/10) = {1 \over 2}\csc 18^\circ :\varphi = 2\cos(\pi/5)=2\cos 36^\circ : \varphi = 2\sin(3\pi/10)=2\sin 54^\circ. இவற்றிலிருந்து ஒழுங்கு ஐங்கோணத்தின் மூலைவிட்டம் நீளம் அதன் பக்கத்தின் நீளத்தைப்போல் φ மடங்கு என்பதையும் ஐந்துமுனையுடைய நட்சத்திர வடிவத்தில் இதுபோன்ற தொடர்புகளையும் அறியலாம்.
கேள்வி: பொன் விகிதம் - ஒரு கோட்டுத்துண்டை பொன் விகிதத்தில் பிரித்தல் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: ஒரு கோட்டுத்துண்டு பின்வரும் வடிவவியல் வரைமுறையில் பொன் விகிதத்தில் பிரிக்கலாம்: படிமம்:Goldener Schnitt Konstr beliebt.svg * தரப்பட்ட கோட்டுத்துண்டு AB -க்குச் செங்குத்தாகவும் அதன் நீளத்தில் பாதியாகவும் உள்ள கோட்டுத்துண்டு BC வரைய வேண்டும். செம்பக்கம் AC வரைய வேண்டும். * C -ஐ மையமாகவும் BC -ஐ ஆரம் கொண்டு வரையப்படும் வில் (வடிவவியல்) AC-ஐ D புள்ளியில் வெட்டுகிறது. A -ஐ மையமாகவும் AD -ஐ ஆரமாகவும் கொண்டு வரையப்படும் வட்டவில் AB-ஐ S புள்ளியில் வெட்டுகிறது. இப்புள்ளி S, கோட்டுத்துண்டு AB -ஐ பொன் விகிதத்தில் பிரிக்கிறது.
கேள்வி: பொன் விகிதம் - ஐங்கோணம் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: ஒரு ஒழுங்கு ஐங்கோணம் ஒரு பக்கத்திற்கும் ஒரு மூலைவிட்டத்திற்குமுள்ள விகிதம் 1/φ. இதன் ஒன்றையொன்று வெட்டிக்கொள்ளும் மூலைவிட்டங்கள் வெட்டிக்கொள்ளும் விகிதம் பொன் விகிதம் ஆகும்.
கேள்வி: பொன் விகிதம் - ஓடோமின் வரைமுறை பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: படிமம்:Odom.svg அமெரிக்க ஐக்கிய நாடுகள் கலைஞரும் வடிவவியல் கணித அறிஞருமான ''ஜார்ஜ் ஓடம்'' ஒரு முக்கோணம்#முக்கோணங்களின் வகைகள் பயன்படுத்தி ''φ'' -ஐக் காண ஒரு எளிமையான வழியைக் கண்டுபிடித்துள்ளார்: * ஒரு வட்டத்துக்குள் ஒரு சமபக்கமுக்கோணம் வரைய வேண்டும். * அம்முக்கோணத்தின் இரு பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டை நீட்டித்து அதை வட்டத்தை வெட்டச் செய்ய வேண்டும். * இரு நடுப்புள்ளிகள் மற்றும் வட்டத்தை வெட்டும் புள்ளி, இம்மூன்றும் பொன் விகிதத்தில் அமையும்.
கேள்வி: பொன் விகிதம் - ஐந்துமுனை நட்சத்திர வடிவம் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: படிமம்:Pentagram-phi.svg ஐந்துமுனையுடைய நட்சத்திரங்களின் வடிவியலில் பொன் விகிதம் முக்கியப் பங்கு வகிக்கிறது. விளிம்புகளின் ஒவ்வொரு வெட்டும் பிற விளிம்புகளை பொன் விகிதத்தில் பிரிக்கிறது. மேலும் சிறிய துண்டின் நீளத்திற்கும் இரு வெட்டும் விளிம்புகளுகளால் அடைபடும் துண்டிற்குமுள்ள விகிதம் φ ஆகும். (நட்சத்திர வடிவின் நடுவிலுள்ள ஐங்கோணத்தின் ஒரு பக்கம்). இந்த நட்சத்திர வடிவில் 10 இருசமபக்க முக்கோணங்கள் (5 குறுங்கோண இருசமபக்க முக்கோணங்கள், 5 விரிகோண இருசமபக்க முக்கோணங்கள்) உள்ளன. இவை எல்லாவற்றிலும் பெரிய பக்கத்திற்கும் சிறிய பக்கத்திற்குமுள்ள விகிதம் φ. 5 குறுங்கோண இருசமபக்க முக்கோணங்களும் பொன் முக்கோணங்கள். 5 விரிகோண இருசமபக்க முக்கோணங்களும் பொன் நோமோன்கள் (golden gnomons).
கேள்வி: பொன் விகிதம் - டாலமியின் தேற்றம் என்பது என்ன?
பதில்: படிமம்:Ptolemy Pentagon.svg ஓர் ஒழுங்கு ஐங்கோணத்தின் பொன் விகிதப் பண்புகளை, அதன் ஒரு உச்சி (வடிவவியல்) நீக்கினால் கிடைக்கும் நாற்கரம் ''டாலமியின் தேற்றத்தைப்'' பயன்படுத்திக் காணலாம். நாற்கரத்தின் பெரிய விளிம்பும் மூலைவிட்டங்களும் ''b'', மற்றும் சிறிய விளிம்பு ''a'' எனில் டாலமியின் தேற்றத்தின்படி: :b^2 = a^2 + ab \, இச்சமன்பாட்டை a^2 -ஆல் வகுத்து, மாற்றி அமைக்க: :{b^2\over a^2} - {b\over a} - 1 = 0 \, இருபடி வாய்ப்பாட்டின்படி நேர்மத் தீர்வு: :{b \over a}={{(1+\sqrt{5})}\over 2}.