கேள்வி: டி மாவர்-லாப்லாசு தேற்றம் என்பது என்ன?
பதில்: Image:De moivre-laplace.gif போல மாறுகிறது.]] கணிதம் ஒரு பிரிவான புள்ளியியல் நிகழ்தகவுக் கோட்பாடு, டி மாவர் - பியர் சிமோன் இலப்லாசு தேற்றம் (''de Moivre–Laplace theorem'') ஒரு ஈருறுப்புப் பரவல் சில நிபந்தனைகளின் கீழ் எவ்வாறு இயல்நிலைப் பரவல் மாறுகிறது என்பதைப் பற்றிக் கூறுகிறது. இத்தேற்றம் மைய எல்லைத் தேற்றம் ஒரு சிறப்பு வகையாகும். இத்தேற்றத்தின் கூற்றின்படி, ''n'' பெர்னெளலி முயற்சிகளில் ஒவ்வொரு முயற்சியிலும் வெற்றியின் நிகழ்தகவு ''p'' எனவும், கிடைக்கக் கூடிய வெற்றிகளின் எண்ணிக்கையை சமவாய்ப்பு மாறியாகவும் எடுத்துக் கொண்டால் அச்சமவாய்ப்பு மாறியின் நிகழ்தகவுப் பரவல் ஒரு ஈருறுப்புப் பரவலாகும். இப்பரவலின் சராசரி ''np'' , திட்டவிலக்கம் \sqrt{npq} ஆகும். இதில் ''n'' ன் மதிப்பு மிக அதிகமாகும்போது இன்னும் சில நிபந்தனைகளுக்கு உட்பட்டு ஈருறுப்பு பரவல், இயல்நிலைப் பரவல் தோராயப்படுத்தப்படுகிறது. டி மாவரின், ''தி டாக்ட்ரின் ஆஃப் சான்சஸ்'' (The Doctrine of Chances) புத்தகத்தின் இரண்டாம் பதிப்பில் இத்தேற்றம் வெளியானது. அப்புத்தகத்தில் பெர்னெளலியின் முயற்சிகள் என்ற சொல் பயன்படுத்தப்படவில்லையென்றாலும் ஒரு நாணயத்தை 3600 முறை நாணயச் சுண்டல் கிடைக்கக் கூடிய தலைகளின் எண்ணிக்கையின் நிகழ்தகவுப் பரவலைப் பற்றி டி மாவர் குறிப்பிட்டு எழுதியுள்ளார். 3600, hence ½''n'' will be 1800, and ½√''n'' 30, then the Probability of the Event’s neither appearing oftner than 1830 times, nor more rarely than 1770, will be 0.682688.}}
கேள்வி: டி மாவர்-லாப்லாசு தேற்றம் - தேற்றம் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: ''n'' ன் மதிப்பு அதிகமாகும்போது ''np'' ன் அண்மைப்பகுதியில் அமையும் ''k'' க்குPapoulis, Pillai, "Probability, Random Variables, and Stochastic Processes", 4th EditionFeller, W. (1968) ''An Introduction to Probability Theory and Its Applications (Volume 1)''. Wiley. . Section VII.3 : {n \choose k}\, p^k q^{n-k} \simeq \frac{1}{\sqrt{2 \pi npq}}\,e^{-(k-np)^2 / (2npq)}, \quad p+q=1,\ p>0,\ q>0 எனத் தோராயப்படுத்தலாம். அதாவது, n\to\infty எனும்போது இடது மற்றும் வலதுபுறங்களின் விகிதம் ஒன்றை நெருங்குகிறது.
கேள்வி: டி மாவர்-லாப்லாசு தேற்றம் - கணித நிறுவல் என்பது என்ன?
பதில்: ஸ்டெர்லிங் சூத்திரப்படி ஒரு மிகப் பெரிய எண்ணின் தொடர் பெருக்கம் கீழ்க்கண்டவாறு தோரயப்படுத்தலாம். : n! \simeq \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \text{ , as n} \rightarrow \infty அல்லது: : n! \simeq n^n e^{-n}\sqrt{2 \pi n} \text{ , as n} \rightarrow \infty. எனவே : \begin{align} {n \choose k}\, p^k q^{n-k} & = \frac{n!}{k!\left(n-k\right)!} p^k q^{n-k} \\ & \simeq \frac{n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n} }{k^ke^{-k}\sqrt{2\pi k} {(n-k)}^{n-k}e^{-(n-k)}\sqrt{2\pi (n-k)} }p^k q^{n-k}\\ & =\left[\frac{\sqrt{2\pi n} }{\sqrt{2\pi k} \sqrt{2\pi (n-k)} }\right]\left[\frac{n^n }{k^k {(n-k)}^{n-k} }\right]\left[\frac{e^{-n}}{e^{-k}e^{-(n-k)} }\right]p^k q^{n-k}\\ & =\left[\frac{\sqrt{n} }{\sqrt{k} \sqrt{2\pi (n-k)} }\right]\left[\frac{n^n }{k^k {(n-k)}^{n-k} }\right]\left[\frac{e^{-n}}{e^{-k} e^{-n}{ e}^k }\right]p^ kq^{n-k}\\ & =\left[\sqrt{\frac{n}{2\pi k(n-k)}}\right]\left[n^n{\left(\frac{p }{k }\right)}^k{\left(\frac{q }{n-k }\right)}^{(n- k)}\right] e^{-n+k+n-k}\\ & =\left[\sqrt{\frac{n}{2\pi k(n-k)}}\right]\left[n^{n-k+k}{\left(\frac{p }{k }\right)}^k{\left(\frac{q }{n-k }\right)}^{(n- k)}\right]\\ & =\left[\sqrt{\frac{n}{2\pi k(n-k)}}\right] \left[ n^{n-k} n^k {\left(\frac{p}{k}\right)}^k {\left(\frac{q}{n-k}\right)}^{(n-k)}\right]\\ & =\left[\sqrt{\frac{n}{2\pi k(n-k)}}\right]\left[{\left(\frac{np }{k }\right)}^k{\left(\frac{nq }{n-k }\right)}^{(n- k)} \right]\\ & =\left[\sqrt{\frac{n}{2\pi k(n-k)}}\right]\left[{\left(\frac{k }{np }\right)}^{-k}{\left(\frac{n-k}{nq }\right)}^{-(n- k)}\right]\\ \end{align} ,இப்பொழுது : x=\frac{(k-np)}{\sqrt{npq}} என்க. : \Rightarrow \ k=np+x\sqrt{npq } &nbsp; ஃ &nbsp; n-k=nq- x\sqrt{npq } : \Rightarrow \ \frac{k}{np}=1+x\sqrt{\frac{q}{np}}&nbsp; மற்றும் &nbsp; \frac{n-k}{nq}=1-x\sqrt{\frac{p}{nq}} : \Rightarrow\ {n \choose k}p^kq^{n-k}\simeq \left[\sqrt{\frac{n}{2{\mathbf \pi }k(n-k)}}\right]\left[{\left(1+x\sqrt{\frac{q}{np}}\right)}^{-k}{\left(1-x\sqrt{\frac{p}{nq}}\right)}^{-(n - k)}\right] *முதல் வர்க்கமூல உறுப்பு: : \begin{align} \sqrt{\frac{n}{2\pi k\left(n-k\right)}} & =\sqrt{\frac{n}{2\pi k\left(n-k\right)}\times \frac{{1}/{n^2}}{{1}/{n^2}}} \\ & =\sqrt{\frac{{1}/{n}}{{2\pi k(n-k)}/{n^2}}} \\ & =\sqrt{\frac{{1}/{n}}{2\pi \frac{k}{n}\frac{(n-k)}{n}}}\\ & =\sqrt{\frac{{1}/{n}}{2\pi \frac{k}{n}\left(1-\frac{k}{n}\right)}} \\ & =\sqrt{\frac{{1}/{n}}{2\pi p\left(1-p\right)}} \qquad \qquad \qquad \left[\because k\to np\Rightarrow \frac{k}{n}\to p\right] \\ & =\sqrt{\frac{{1}/{n}}{2\pi pq}} \qquad \qquad \qquad \left[\because p+q=1\Rightarrow q=1-p\right]\\ & =\sqrt{\frac{1}{2\pi npq}}\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}\\ \end{align} : \Rightarrow{n \choose k}p^kq^{n-k}\simeq \frac{1}{\sqrt{2{\mathbf \pi }npq}}\left[{\left(1+x\sqrt{\frac{q}{np}}\right)}^{-k}{\left(1-x\sqrt{\frac{p}{nq}}\right)}^{-(n - k)}\right] * e^{\ln(y)}=y என்ற முடிவைப் பயன்படுத்த: : \left[{\left(1+x\sqrt{\frac{q}{np}}\right)}^{-k}{\left(1-x\sqrt{\frac{p}{nq}}\right)}^{-\left(n - k\right)}\right]=e^{\ln \left[{\left(1+x\sqrt{\frac{q}{np}}\right)}^{-k}{\left(1-x\sqrt{\frac{p}{nq}}\right)}^{-\left(n - k\right)}\right]} : \Rightarrow {n \choose k}p^kq^{n-k}\simeq \frac{1}{\sqrt{2{\mathbf \pi }npq}}e^{\ln \left[{\left(1+x\sqrt{\frac{q}{np}}\right)}^{-k}{\left(1-x\sqrt{\frac{p}{nq}}\right)}^{-\left(n - k\right)}\right]} *: \begin{align} \ln\left[{\left(1+x\sqrt{\frac{q}{np}}\right)}^{-k}{\left(1-x\sqrt{\frac{p}{nq}}\right)}^{-\left(n-k\right)}\right] & =\ln{\left(1+x\sqrt{\frac{q}{np}}\right)}^{-k}+\ln{\left(1-x\sqrt{\frac{p}{nq}}\right)}^{-\left(n-k\right)}\\ & =-k\ln\left(1+x\sqrt{\frac{q}{np}}\right)-\left(n-k\right)\ln\left(1-x\sqrt{\frac{p}{nq}}\right)\\ \end{align} பின்வரும் மடக்கை விரிவுகளைப் பயன்படுத்த:- : \ln\left(1+y\right)=y-\frac{y^2}{2}+\frac{y^3}{3}-\frac{y^4}{4}+\cdots : \ln\left(1-y\right)=-y-\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3}-\frac{y^4}{4}-\cdots *: \Rightarrow \ln\left(1+x\sqrt{\frac{q}{np}}\right)=x\sqrt{\frac{q}{np}}-\frac{x^2q}{2np}+\cdots *:\ln\left(1-x\sqrt{\frac{p}{nq}}\right)=-x\sqrt{\frac{p}{nq}}-\frac{x^2p}{2nq}-\cdots : \begin{align} \Rightarrow{\ln \left[{\left(1+x\sqrt{\frac{q}{np}}\right)}^{-k}{\left(1-x\sqrt{\frac{p}{nq}}\right)}^{-\left(n-k\right)}\right]}& =-k\left(x\sqrt{\frac{q}{np}}-\frac{x^2q}{2np}+\cdots \right)-\left(n-k\right)\left(-x\sqrt{\frac{p}{nq}}-\frac{x^2p}{2nq}-\cdots \right)\\ & =-\left(np+x\sqrt{npq}\right)\left(x\sqrt{\frac{q}{np}}-\frac{x^2q}{2np}+\cdots \right)\\ & -\left(nq-x\sqrt{npq}\right)\left(-x\sqrt{\frac{p}{nq}}-\frac{x^2p}{2nq}-\cdots \right)\\ \end{align} ( k=np+x\sqrt{npq}, : n-k=nq-x\sqrt{npq} எனப் பிரதியிடப்பட்டுள்ளது ) : \begin{align} \Rightarrow {\ln \left[{\left(1+x\sqrt{\frac{q}{np}}\right)}^{-k}{\left(1-x\sqrt{\frac{p}{nq}}\right)}^{-\left(n-k\right)}\right]}& =-\left(np\times x\sqrt{\frac{q}{np}}-np\times \frac{x^2q}{2np}+x\sqrt{npq}\times x\sqrt{\frac{q}{np}}-x\times \frac{x^2q}{2np}+\cdots \right)\\ & -\left(-nq\times x\sqrt{\frac{p}{nq}}-nq\times \frac{x^2p}{2nq}+x\sqrt{npq}\times x\sqrt{\frac{p}{nq}}+x\sqrt{npq}\times \frac{x^2p}{2nq}+\cdots \right)\\ & =-\left(x\sqrt{npq}-\frac{x^2q}{2}+x^2q+\cdots \right)-\left(-x\sqrt{npq}-\frac{x^2p}{2}+x^2p+\cdots \right)\\ & =-\left(x\sqrt{npq}+\frac{x^2q}{2}+\cdots \right)-\left(-x\sqrt{npq}+\frac{x^2p}{2}+\cdots \right)\\ & =-x\sqrt{npq}-\frac{x^2q}{2}+x\sqrt{npq}-\frac{x^2p}{2}-\cdots \\ & =-\frac{x^2q}{2}-\frac{x^2p}{2}-\cdots \\ & =-\frac{x^2}{2}\left(q+p\right)-\cdots \\ & =-\frac{x^2}{2}-\cdots \\ \end{align} : \Rightarrow {\ln \left[{\left(1+x\sqrt{\frac{q}{np}}\right)}^{-k}{\left(1-x\sqrt{\frac{p}{nq}}\right)}^{-\left(n-k\right)}\right]} \simeq -\frac{x^2}{2} : \Rightarrow {n \choose k}p^kq^{n-k}\simeq \frac{1}{\sqrt{2{\mathbf \pi }npq}}e^{\ln\left[{\left(1+x\sqrt{\frac{q}{np}}\right)}^{-k}{\left(1-x\sqrt{\frac{p}{nq}}\right)}^{-\left(n-k\right)}\right]}\simeq \frac{1}{\sqrt{2{\mathbf \pi }npq}}e^{{-x^2}/{2}} (n இன் மதிப்பு அதிகமாகும்போது x இன் மதிப்பு சுழியம் நெருங்கும் என்பதால் மூன்றுக்கும் அதிகமான x இன் அடுக்குகளை விட்டுவிடலாம்.) *: x = \frac{ (k-np) }{ \sqrt{npq} } *: \Rightarrow \frac{x^2}{2}=\frac{{\left(\frac{(k-np)}{\sqrt{npq}}\right)}^2}{2}=\frac{{\left(k-np\right)}^2}{2npq} ஃ {n \choose k}p^kq^{n-k}\simeq \frac{1}{\sqrt{2{\mathbf \pi }npq}}e^{{-{\left(k-np\right)}^2}/{2npq}} (தேற்றம் நிறுவப்பட்டது.)