கேள்வி: எண் பிரிவினை பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: ஒரு நேர்ம முழு எண் n என்ற எண்ணின் பிரிவினை என்பது கீழ்க்கண்ட பண்புடன் கூடிய a, b, c, d, ... ,r என்ற நேர்ம முழு எண்களாலான ஒரு முடிவுறுத் தொடர்: :: a + b + c + d + ... + r = n.Notation follows எ.கா.: 4, 3, 3, 2 என்ற தொடர்வு 12 என்ற எண்ணின் பிரிவினை. 4,3,3,2 - இவை அப்பிரிவினையின் ''பாகங்கள்''. இப்பிரிவினையை பாகங்களுக்கு நடுவில் 'கமா' இல்லாமல் 4332 என்றே எழுதுவது வழக்கம். மற்றும் பிரிவினை எழுதுவதில் இன்னொரு மரபு பாகங்களை இறங்குவரிசையில் எழுதுவது. : 522111 என்பது 12 இன் இன்னொரு பிரிவினை.
கேள்வி: எண் பிரிவினை - முதல் கேள்வி பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: n என்ற ஒரு எண்ணிற்கு எத்தனை பிரிவினைகள் இருக்கமுடியும்? அப்படி இருக்கக்கூடிய பிரிவினைகளின் எண்ணிக்கை '' p''(n) என்ற குறியீட்டால் காட்டப்படும். சில முதல் மதிப்புகள் : ''p''(1) = 1 ''p''(2) = 2; ஏனென்றால் 2 இன் பிரிவினைகள் 2; 11 மட்டுமே. ''p''(3) = 3: ஏனென்றால் 3 இன் பிரிவினைகள் 3; 21; 111. ''p''(4) = 5; ''p''(5) = 7; ''p''(6) = 11; ''p''(7) = 15; ''p''(8) = 22; ''p''(9) = 30; ''p''(10) = 42; ''p''(20) = 627; ''p''(100) = 190,569,292 ''p''(200) = 397299029388. ''p''(1000) = 24,061,467,864,032,622,473,692,149,727,991 ≈ 2.4 × 1031 ஆக, p(n) வெகு வேகமாக பெரிய எண்ணிக்கையை எட்டிவிடுகிறது. p(n) க்கு ஒரு பொது வரையறை கொடுப்பதற்காக p(0) = 1 என்றும் p(-n) = 0 என்றும் வைத்துக்கொள்வது வழக்கம். ஹார்டி யும் இராமானுசன் 1918 இலும் உஸ்பென்ஸ்கி 1920இலும் கண்டுபிடித்தது: :p(n) \sim \frac {\exp \left( \pi \sqrt {2n/3}\right) } {4n\sqrt{3}} \mbox { as } n\rightarrow \infty.
கேள்வி: எண் பிரிவினை - இணைப்பிரிவினை குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ஒரு எண் பிரிவினையின் ஃபெற்றர்ஸ் படிமத்தில் நிரல்களை வரிசைகளாக மாற்றினால் கிடைக்கும் படிமமும் அதே எண்ணின் மற்றொருபிரிவினையின் ஃபெற்றர்ஸ் படிமம் ஆகும். இவ்விரண்டு பிரிவினைகளும் ஒன்றுக்கொன்று இணைப்பிரிவினை (Conjugate partition) என்று சொல்லப்படும். :: எ.கா. {| |- style="vertical-align:top; text-align:left;" | File:RedDot.svgFile:GrayDot.svgFile:GrayDot.svgFile:GrayDot.svgFile:GrayDot.svgFile:RedDot.svgFile:GrayDot.svgFile:GrayDot.svgFile:GrayDot.svgFile:RedDot.svgFile:GrayDot.svgFile:GrayDot.svgFile:GrayDot.svgFile:GrayDot.svg | style="vertical-align:middle;"| ↔ | File:RedDot.svgFile:GrayDot.svgFile:GrayDot.svgFile:GrayDot.svgFile:GrayDot.svgFile:GrayDot.svgFile:GrayDot.svgFile:RedDot.svgFile:GrayDot.svgFile:GrayDot.svgFile:GrayDot.svgFile:GrayDot.svgFile:RedDot.svgFile:GrayDot.svg |- style="vertical-align:top; text-align:center;" | 6 4 3 1 | = | 4 3 3 2 1 1 |} : ஆக, 6431 ம் 433211 ம் 14 இன் இணைப்பிரிவினைகள். இணைப்பிரிவினையை ஃபெர்ரர்ஸ் படிமத்தின் மூலமே மூன்று விதமாகக் கண்டுபிடிக்கலாம்: :: நிரல்களை வரிசையாக்கலாம் :: வரிசைகளை நிரல்களாக்கலாம் :: படிமத்தின் குறுக்கு மையக்கோட்டில் கீழுள்ளதை மேலும் மேலுள்ளதைக் கீழுமாக பிரட்டிப்போடலாம். இதையே வேறுவிதமாகச் சொன்னால், குறுக்குக் கோட்டை கண்ணாடியாகக் கொண்டு எல்லாப் புள்ளிகளுக்கும் எதிர்வு காணலாம். மேலேயுள்ள எடுத்துக்காட்டில் குறுக்குக்கோட்டிலுள்ள புள்ளிகள் சிவப்பாகக் காண்பிக்கப்பட்டிருக்கின்றன.
கேள்வி: எண் பிரிவினை - படிம அமைப்பைக்கொண்டே சில தேற்றங்கள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ஒரு முழு எண் n இன் ஒரு பிரிவினையின் ஃபெற்றர்ஸ் படிமத்தில் m நிரல்கள் இருந்தால் அப்பிரிவினையின் பாகங்களின் எண்ணிக்கையும் m தான். இதே படிமத்தை அதன் வரிசைகளை பிரிவினையின் பாகங்களாகக் கொண்டால் அதுவும் அதே n இன் மற்றொரு பிரிவினையாகும்.(சொல்லப்போனால் இது முதல் பிரிவினையின் இணைப் பிரிவினையாகும்). ஆனால் இப்பொழுது m என்பது பிரிவினையின் மீப்பெரு பாகத்தைக் குறிக்கும். இதனால் நமக்குக் கிடைப்பது கீழே யுள்ள தேற்றம்: :: தேற்றம் 1. ''ஒரு முழு எண்ணுக்கு, m பாகங்கள் உள்ள பிரிவினைகள் எத்தனையோ அத்தனைதான் மீப்பெருபாகம் m ஆகவுள்ள பிரிவினைகள்.'' :: எ.கா. எண் 10 என்று கொள். நான்கு பாகங்கள் உள்ள இதன் 9 பிரிவினைகளையும் மீப்பெரு பாகம் 4 ஆகவுள்ள இதன் 9 பிரிவினைகளையும் ஒன்றுக்கொன்று இணையாகவுள்ளபடி கீழே சோடி சேர்க்கப் பட்டிருக்கின்றன : :: 4321 \leftrightarrow 4321 :: 4411 \leftrightarrow 4222 :: 4222 \leftrightarrow 4411 :: 5311 \leftrightarrow 42211 :: 5221 \leftrightarrow 43111 :: 6211 \leftrightarrow 421111 :: 7111 \leftrightarrow 4111111 :: 3331 \leftrightarrow 433 :: 3322 \leftrightarrow 442 :குறிப்பு: மேலேயுள்ள 9 சோடிகளில் முதல் சோடியில் உள்ள பிரிவினை ஒவ்வொன்றும் தனக்கே இணையாக உள்ளன. இவ்விதம் தனக்கே இணையாகவுள்ள பிரிவினையை தன்னிணைப்பிரிவினை (self-conjugate partition) என்று சொல்வோம். ::தேற்றம் 2: ஒரு முழு எண்ணுக்கு தன்னிணைப் பிரிவினைகள் எத்தனையோ அத்தனைதான் வெவ்வேறு ஒற்றைப்படை பாகங்களைக்கொண்ட பிரிவினைகள். : இதனுடைய நிறுவலில் துருப்புச்சீட்டு என்னவென்றால் படிமத்தில் ஒவ்வொரு ஒற்றைப்படை பாகத்தையும் மையத்தில் 'மடித்தால்' ஒரு தன்னிணைப் பிரிவினையின் படிமம் கிடைக்கும். {| |- | style="vertical-align:bottom;"| File:GrayDot.svgFile:GrayDot.svgFile:RedDot.svgFile:GrayDot.svgFile:GrayDot.svg | style="vertical-align:middle;"| ↔ | style="vertical-align:bottom;"| File:RedDot.svgFile:GrayDot.svgFile:GrayDot.svgFile:GrayDot.svgFile:GrayDot.svg |} அதனால் வெவ்வேறு ஒற்றைப்படை பாகங்களாலேற்பட்ட பிரிவினைகளைக் கொண்ட கணத்திற்கும், தன்னிணைப் பிரிவினைகளைக் கொண்ட கணத்திற்கும் ஒன்றுக்கொன்றான இயைபு உண்டாக்கமுடியும். கீழே இதற்கு ஓர் எடுத்துக்காட்டு: {| |- | valign="top" | File:GrayDot.svgFile:RedDot.svgFile:BlackDot.svgFile:GrayDot.svgFile:RedDot.svgFile:BlackDot.svgFile:GrayDot.svgFile:RedDot.svgFile:BlackDot.svgFile:GrayDot.svgFile:RedDot.svgFile:GrayDot.svgFile:RedDot.svgFile:GrayDot.svgFile:RedDot.svgFile:GrayDot.svgFile:RedDot.svgFile:GrayDot.svgFile:GrayDot.svg | style="vertical-align:middle;"| ↔ | valign="top" | File:GrayDot.svgFile:GrayDot.svgFile:GrayDot.svgFile:GrayDot.svgFile:GrayDot.svgFile:GrayDot.svgFile:RedDot.svgFile:RedDot.svgFile:RedDot.svgFile:RedDot.svgFile:GrayDot.svgFile:RedDot.svgFile:BlackDot.svgFile:BlackDot.svgFile:GrayDot.svgFile:RedDot.svgFile:BlackDot.svgFile:GrayDot.svgFile:RedDot.svg |- style="vertical-align:top; text-align:center;" | 9 7 3 | \leftrightarrow | 5 5 4 3 2 |- style="vertical-align:top; text-align:center;" | வெவ்வேறு ஒற்றைப்படை பாகங்கள் | | தன்னிணைப்பிரிவினையின் பாகங்கள் |} தேற்றம் 2 க்கு ஒரு முழு எடுத்துக்காட்டாக, எண் 10 க்குள்ள 42 பிரிவினைகளுள் இரண்டேஇரண்டு தான் வெவ்வேறு ஒற்றைப்ப்படை பாகங்களையுடையவை. இவை :: 9 1 மற்றும் 7 3. இவை ஒவ்வொன்றுக்கும் ஃபெற்றர்ஸ் படிமம் நிறுவி, ஒவ்வொரு நிரலையும் மையப் புள்ளியில் மடித்தால், கிடைக்கும் படிமங்களுக்குரிய பிரிவினைகள் முறையே :: 52111 மற்றும் 4321. இவையிரண்டும் தன்னிணைப் பிரிவினைகள். அது மாத்திரமல்ல, இதர 40 பிரிவினைகளும் தன்னிணைப் பிரிவினைகளல்ல.
கேள்வி: எண் பிரிவினை - துணை நூல்கள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: * G.H. Hardy & E.M. Wright. The Theory of Numbers. Oxford Clarendon Press 1971 * V. Krishnamurthy. Combinatorics. Theory and Applications.Ellis Horwood. 1986 பகுப்பு:எண் கோட்பாடு பகுப்பு:சேர்வியல் பகுப்பு:இயற்கணிதம் பகுப்பு:முழுஎண் தொடர்வரிசைகள்