கேள்வி: பிரம்மகுப்தர் முற்றொருமை குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: இயற்கணிதத்தில், பிரம்மகுப்தர்-ஃபிபனாச்சி முற்றொருமை அல்லது ஃபிபனாச்சி முற்றொருமை (''Brahmagupta–Fibonacci identity'', ''Fibonacci's identity'') என்பது இரண்டு வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகைகள் இரண்டின் பெருக்குத்தொகையும் இரண்டு வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகையாக இருக்கும் என்பதுதான். அதாவது இரு வர்க்கங்களின் கூடுதலாக அமையும் முழு எண்களின் கணம் (கணிதம்) பெருக்கல் செயலைப் பொறுத்து அடைவுப் பண்புடையது. இந்த முற்றொருமை, லெக்ராஞ்சியின் முற்றொருமையின் சிறப்புவகையாக (''n''&nbsp;=&nbsp;2) உள்ளது. கணிதவியலாளர் டையோபண்டஸ் இம் முற்றொருமை கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. பிரம்மகுப்தர் அதனை நிரூபித்து அதற்குச் சமானமான, அதைவிடப் பொதுமையான முற்றொருமையைப் பயன்படுத்தினார். ;பிரம்மகுப்தரின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட முற்றொருமை :\begin{align} \left(a^2 + nb^2\right)\left(c^2 + nd^2\right) & {}= \left(ac-nbd\right)^2 + n\left(ad+bc\right)^2 & & & (3) \\ & {}= \left(ac+nbd\right)^2 + n\left(ad-bc\right)^2, & & & (4) \end{align} இதிலிருந்து, x^2 + ny^2 வடிவிலமையும் எண்களின் கணம் பெருக்கலைப் பொறுத்து அடைவுப் பண்புடையதாக இருப்பதைக் காணலாம். (1), (2) சமன்பாடுகளை அவற்றின் இருபுறமுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகளை விரிவுபடுத்தி சுருக்குவதன் மூலம் சரிபார்க்கலாம். மேலும் இரு சமன்பாடுகளிலும் ''b'' க்குப் பதில் &nbsp;&minus;''b'' ஐப் பதிலிடுவதன் மூலம் ஒன்றிலிருந்து மற்றொன்றைப் பெறலாம். இந்த முற்றொருமை முழு எண்களின் வளையம் (கணிதம்), விகிதமுறு எண்கள் வளையத்திலும் உண்மையாகும். மேலும் பொதுவாக எந்தவொரு பரிமாற்று வளையத்திலும் இந்த முற்றொருமை உண்மையாக இருக்கும்.
கேள்வி: பிரம்மகுப்தர் முற்றொருமை - வரலாறு பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: கிபி மூன்றாம் நூற்றாண்டு வெளியீடான டயபாண்டசின் அரித்மெட்டிக்காவில் (III, 19) இந்த முற்றொருமை முதன்முதலாக காணப்பட்டது. பின் இந்தியக் கணிதவியலாளர் பிரம்மகுப்தரால் (598&ndash;668) மீண்டும் கண்டறியப்பட்டது. அவர் இந்த முற்றொருமையை மேலும் பொதுமைப்படுத்தி அதனைத் தன் ஆய்விற்குப் (தற்போது பெல்லின் சமன்பாடு) பயன்படுத்தினார். அவரது ’பிரம்மஸ்புடசித்தாந்தம்’ சமசுகிருதத்திலிருந்து அரபுமொழியில் மொகமது அல்-ஃபசாரியால் மொழிபெயர்க்கப்பட்டு, அதன் பின்னர் 1126 இல் லத்தீன் மொழியில் மொழிபெயர்க்கப்பட்டது George G. Joseph (2000). ''The Crest of the Peacock'', p. 306. Princeton University Press. . 1225 இல் ஃபிபனாச்சி யின் ’புக் ஆஃப் ஸ்கொயர்ஸ்’ (Book of Squares) இல் இடம் பெற்றது. ஃபிபனாச்சியின் நூலினால் தான் இது மேற்கத்திய கணித உலகத்திற்கு அறிமுகமானதால் ஃபிபனாச்சி முற்றொருமை என்று வழங்கப் பெற்றது.
கேள்வி: பிரம்மகுப்தர் முற்றொருமை - நெறிம வழித் தொடர்பு குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: விகிதமுறு எண்களின் களத்தை \mathbf{Q} என்றும் அத்துடன் i என்ற உறுப்பை சேர்த்து களத்தை விரிவாக்கினால் ஏற்படும் விரிவாக்கப்பட்ட களத்திற்ற்கு \mathbf{Q}(i) என்றும் குறிப்பது வழக்கம். \mathbf{Q}(i) இலுள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பு (a+ib) க்கும் ஒரு நெறிமம் (கணிதம்) உளது. அதாவது :N(a + ib) = \sqrt{(a^2 + b^2)}. இப்பொழுது பிரம்மகுப்தர் முற்றொருமையை கீழே கண்டபடி உருவகப்படுத்தலாம்: : N(a+bi) = a^2 + b^2 , N(c+di) = c^2 + d^2, \, : N((a+bi)(c+di)) = N((ac-bd)+i(ad+bc)) = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2. \, ::N(a+ib) N(c+id) = N((a+ib)(c+id))
கேள்வி: பிரம்மகுப்தர் முற்றொருமை - பெல்லின் சமன்பாடு பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: பிரம்மகுப்தர் தான் கண்டறிந்த முற்றொருமையைப் பெல்லின் சமன்பாடு தீர்ப்பதற்குப் பயன்படுத்தினார்: :பெல்லின் சமன்பாடு: :x^2 - Ny^2 = 1 :பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பிரம்மகுப்தர் முற்றொருமை: :(x_1^2 - Ny_1^2)(x_2^2 - Ny_2^2) = (x_1x_2 + Ny_1y_2)^2 - N(x_1y_2 + x_2y_1)^2, \, இந்த முற்றொருமையைப் பயன்படுத்தி பெல்லின் சமன்பாட்டின் தீர்வாக அமையும் (''x''1,&nbsp;''y''1,&nbsp;''k''1) மும்மைகளை உருவாக்கி அதன் மூலம் (x_1x_2 + Ny_1y_2 \,,\, x_1y_2 + x_2y_1 \,,\, k_1k_2) என்ற புது மும்மையையும் அவர் உருவாக்கினார். இது பெல்லின் சமன்பாட்டிற்கு முடிவிலா எண்ணிக்கையிலான தீர்வுகளைக் காண வழிவகுத்தது. 1150 இல் இரண்டாம் பாஸ்கரர் கண்டறியப்பட்ட பெல்லின் சமன்பாட்டின் தீர்வு காணும்முறையும் இந்த முற்றொருமையை அடிப்படையாகக் கொண்டே அமைந்துள்ளது.