கேள்வி: புள்ளிப் பெருக்கல் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: கணிதத்தில் புள்ளிப் பெருக்கல் என்பது இரு திசையன் இடையே நிகழ்த்தும் ஒரு செயல் அல்லது வினை. இப் புள்ளிப் பெருக்கலின் விளைவாய்ப் பெறும் விடை ஒரு பரும அளவுள்ள மெய்யெண்ணே (R) தவிர ஒரு திசையன் அல்ல. மாறாக இதே இரு திசையன்களைக் கொண்டு செய்யும் குறுக்குப் பெருக்கல் கிடைக்கும் பெருக்கு விளைவு ஒரு திசையன் ஆகும். இந்த புள்ளிப் பெருக்கல் என்பது யூக்ளிட் இட வெளியில் உள்முகப் பெருக்கல் எனப்படும்.
கேள்வி: புள்ளிப் பெருக்கல் - வரையறை பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: a, b என்னும் இரு திசையன்களை எடுத்துக்கொள்வோம். இவ்விரு திசையன்களும் திசையன் வெளியில் உள்ள முழுதும் வேறுபட்டவைகளாகக் கொள்வோம். ஈவிரு திசையன்களையும் கீழ்காணுமாறு கொண்டால் a = [''a''1, ''a''2, … , ''a'n''] மற்றும் b = [''b''1, ''b''2, … , ''b'n''], புள்ளிப்பெருக்கலானது: :\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n மேலுள்ளதில் Σ என்னும் குறி தொகைக்குறி ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக முத்திரட்சி (முப்பரிமாணம்) கொண்ட இரு திசையன்கள் [1, 3, −5] மற்றும் [4, −2, −1] ஆகியவற்றின் புள்ளிப் பெருக்கல்: :\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}4&-2&-1\end{bmatrix} = (1)(4) + (3)(-2) + (-5)(-1) = 3. அணி (கணிதம்) கணிதத்தில் வழங்கும் பெருக்கலைப் பயன்படுத்த திசையன்களை ''n''&times;1 அணி (கணிதம்)களாகக் கொண்டும் புள்ளிப் பெருக்கலை அறிய கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்.: :\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^T \mathbf{b} \, மேலுள்ளதில் aT a யின் அணித் திருப்பம் என்பதைக் குறிக்கும். மேற்கண்ட எடுத்துக்காட்டில் உள்ளதை கணித்தால் 1&times;3 அணி (இங்கு திசையனைக் குறிக்கின்றது) பெருக்கல் 3&times;1 அணி (அணிப்பெருக்கலில் கிடைப்பது 1&times;1 அணியாகும். இது ஒரு பரும அளவு கொண்டதே.): :\begin{bmatrix} 1&3&-5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4\\-2\\-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \end{bmatrix}.
கேள்வி: புள்ளிப் பெருக்கல் - இயற்பியலில் புள்ளிப் பெருக்கல் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: இயற்பியல் புள்ளிப் பெருக்கலின் விளைவு பரும அளவுள்ள எண்ணாக இல்லாமைல் அது ஒரு இயற்பியல் பண்புடைய ஒன்றின் அலகோடு குறிக்கப்படும். எடுத்துக்காட்டு: *செய்யப்படும் வேலை என்பது விசை, நகரும் தொலைவு ஆகிய இரு திசையன்களின் புள்ளிப் பெருக்குத் தொகையாகும். வேலை என்பது திசை ஏதும் கொள்ளாத (திசையன் அல்லாத) பரும அளவு மட்டுமே கொண்ட அலவுப் பொருள்.
கேள்வி: புள்ளிப் பெருக்கல் - சில பண்புகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: a, b, மற்றும் c ஆகிய மூன்றும் திசையன்களாக இருப்பின், ''r'' என்பது பரும அளவு கொண்ட ஒன்றாக இருப்பின், கீழ்க்காணும் பண்புகள் உண்மையாகும்: புள்ளிப் பெருக்கல் இடமாற்றம் பண்பு கொள்ளும் (commutative): : \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}. புள்ளிப் பெருக்கல் இருநேர்ப் பகிர்வுப் பண்பு கொள்ளும் (bilinear): : \mathbf{a} \cdot (r\mathbf{b} + \mathbf{c}) = r(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) +(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}). புள்ளிப் பெருக்கல் பகிர்ந்தளிப் பண்பு கொள்ளும் (distributive): : \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}. பரும அளவால் பெருக்கப்பட்டால் புள்ளிப்பெருக்கல் கீழ்க்காணும்படி இயங்கும்: : (c_1\mathbf{a}) \cdot (c_2\mathbf{b}) = (c_1c_2) (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) (இந்த கடைசி இரண்டு பண்புகளும் முதல் இரண்டு பண்புகளில் இருந்து பெறப்படும்). *a • b = 0 என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, திசையன்கள் a மற்றும் b இரண்டும் செங்குத்தாக இருக்கும். சாதாரண எண்களின் நீக்கல்விதி: :''ab'' = ''ac'' எனில் ''b'' = ''c''. (''a'' ≠ 0) இவ்விதி புள்ளிப் பெருக்கத்திற்குப் பொருந்தாது. திசையன்களுக்கு: : a • b = a • c மற்றும் a ≠ 0 எனில், : a • (b − c) = 0 (பங்கீட்டுப் பண்பின்படி) எனவே a மற்றும் (b − c) திசையன் இரண்டும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக அமைகின்றன. இம்முடிவினால்: :(b − c) ≠ 0, அதாவது b ≠ c.
கேள்வி: புள்ளிப் பெருக்கல் - அணிக் கணித ஒப்புரு என்பது என்ன?
பதில்: உள்முக பெருக்கலை அணிக் கணித ஒப்புரு வழிக் காட்டலாம். எடுத்துக்காட்டாக இரு திசையன்ங்கள்: : \mathrm{a} = \begin{bmatrix} a_u \\ a_v \\ a_w \end{bmatrix}, \mathrm{b} = \begin{bmatrix} a_u \\ a_v \\ a_w \end{bmatrix} என்பதை அடிப்படைக் கணம் வழிக் குறிப்பிடலாம். \mathrm{S}: : \mathrm{S} = \{ \mathrm{u}, \mathrm{v} ,\mathrm{w} \} = \{ \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{bmatrix} \} இதன் எந்த உள்முகப் பெருக்கலையும் கீழ்க்காணுமாறு குறிக்கலாம்: : = \mathrm{a^T} \cdot \mathrm{M} \cdot \mathrm{b} இங்கு உள்முகப் பெருக்கலைக் குறிக்கும் 3x3 அணி \mathrm{M} \mathrm{S} மூலமாகத் தரப்பட்ட உள்முகப் பெருக்கலின் அணி \mathrm{C_S} எனில், \mathrm{M} -ன் மதிப்பைப் பின்வரும் சமன்பாட்டுத் தொகுதியைத் தீர்ப்பதன் மூலம் காணலாம்: \mathrm{C_S} = \begin{bmatrix} & & \\ & & \\ & & \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u^T \cdot M \cdot u & u^T \cdot M \cdot v & u^T \cdot M \cdot w \\ v^T \cdot M \cdot u & v^T \cdot M \cdot v & v^T \cdot M \cdot w \\ w^T \cdot M \cdot u & w^T \cdot M \cdot v & w^T \cdot M \cdot w \end{bmatrix}
கேள்வி: புள்ளிப் பெருக்கல் - எடுத்துக்காட்டுகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: அடிப்படைக் கணங்களைக் கீழ்க்காணுமாறு கொடுத்தால் : \mathrm{S} = \{ \mathrm{u}, \mathrm{v} ,\mathrm{w} \} = \{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \} \mathrm{S} மூலமாகத் தரப்பட்ட உள்முகப் பெருக்கலின் அணி: : \mathrm{C_S} = \begin{bmatrix} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 6 & 2 \\ 0 & 2 & 7 \end{bmatrix} \mathrm{C_S}-ன் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் பின்வருமாறு இரு அடிப்படைத் திசையன்களின் உள்முகப் பெருக்கலுக்குச் சமப்படுத்தலாம். : \mathrm{C_S}[i,j] = : \mathrm{C_S}[0,0] = 5 = = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \cdot \mathrm{M} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} : \mathrm{C_S}[0,1] = 2 = = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \cdot \mathrm{M} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} : \cdots இது ஒன்பது சமன்பாடுகளையும் ஒன்பது மதிப்பறியா மாறிகளையும் தருகிறது. இச்சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க: \mathrm{M} = \begin{bmatrix} 5 & -3 & -2 \\ -3 & 7 & -2 \\ -2 & -2 & 9 \end{bmatrix}