கேள்வி: நேர்மாறுச் சார்பு என்பது என்ன?
பதில்: Image:Inverse Function.png கணிதம் நேர்மாறுச் சார்பு (''inverse function'') என்பது ஒரு சார்பு ஏற்படக்கூடிய விளைவை இல்லாமல் செய்யக்கூடிய விளைவுடைய மற்றதொரு சார்பாகும். ''x'' எனும் உள்ளீட்டின் ƒ சார்புக்குரிய வெளியீடு ''y'' எனில் நேர்மாறுச் சார்பு ''g'' ஆனது ''y'' -ஐ உள்ளிடாகவும் ''x'' -ஐ வெளியீடாகவும் கொண்டிருக்கும். அதாவது: :ƒ(''x'')=''y'' எனில், ''g''(''y'')=''x''. இரண்டையும் ஒன்றாகச் சேர்த்து ஒரே குறியீட்டில் ''g''(ƒ(''x''))=''x'' எனக் குறிக்கலாம். சார்புகளின் சேர்ப்புச் செயலியைப் பயன்படுத்தி, ''g''(''x'') சார்பை ƒ(''x'') சார்புடன் சேர்க்கக் கிடைக்கும் இப்புதுச் சார்பு மாறி ''x'' -ஐ எந்தவொரு மாற்றமுமின்றி அப்படியேத் திருப்பித் தருகின்றது. ஒரு சார்புக்கு நேர்மாறுச் சார்பு இருந்தால் அச்சார்பு ''நேர்மாற்றத்தக்கச் சார்பு'' எனப்படும். நேர்மாற்ற்றத் தக்க சார்புகளின் நேர்மாறுச் சார்புகள் தனித்தன்மை உடையவை. அதாவது ஒரு நேர்மாற்றத்தக்கச் சார்புக்கு ஒரேயொரு நேர்மாறுச் சார்புதான் உண்டு. ƒ சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பின் குறியீடு: ƒ−1 (வாசிக்க: ''f -ன் நேர்மாறு''. இக்குறியீட்டைத் தவறாக ƒ -ன் அடுக்கேற்றம் -1 என எடுத்துக்கொள்ளக் கூடாது.)
கேள்வி: நேர்மாறுச் சார்பு - வரையறை பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: Image:Inverse Functions Domain and Range.png ''Y'' கணமாக மாற்றினால் ƒ–1 மறுபடியும் ''Y'' கணத்தை ''X'' கணமாக மாற்றுகிறது.]] ƒ சார்பின் ஆட்களம் (கணிதம்) ''X'', வீச்சு, எதிருரு மற்றும் முன்னுரு ''Y'' எனில்: :''Y'' -ஐ ஆட்களமாகவும் ''X'' -ஐ வீச்சாகவும் கொண்டு, :f(x) = y\,\,\text{if and only if}\,\,g(y) = x\text{.}\,\! :என்பதையும் நிறைவு செய்யும் ஒரு தனித்த சார்பு ''g'' இருக்குமானால் சார்பு ƒ நேர்மாற்றத்தக்கதாகும். ''g'' சார்பு, ƒ சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு என அழைக்கப்படும். மேலும் நேர்மாறுச் சார்பின் குறியீடு ƒ−1. ஒரு சார்பின் நேர்மாறு உறவு அச்சார்பின் வீச்சு ''Y'' -ன் மீது ஒரு சார்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அச்சார்பு நேர்மாற்றத்தக்கதாகும். அப்பொழுது அந்த நேர்மாறுத் தொடர்பே சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பாகவும் இருக்கும். அனைத்து சார்புகளுக்கும் நேர்மாறுச் சார்புகள் இருக்காது. ஒரு சார்பின் வீச்சிலில் உள்ள ஒவ்வொரு ''y''&nbsp;∈&nbsp;''Y'' -ம் ஆட்களத்தின் ஒரேயொரு உறுப்புக்கு மட்டும் (''x''&nbsp;∈&nbsp;''X'') வீச்சு, எதிருரு மற்றும் முன்னுரு இருந்தால்தான் அச்சார்புக்கு நேர்மாறுச் சார்பு உண்டு. இப்பண்பு ஒன்றுக்கு-ஒன்று பண்பு எனவும் இப்பண்புடைய சார்புகள் உள்ளிடு சார்பு எனவும் அழைக்கப்படும்.
கேள்வி: நேர்மாறுச் சார்பு - நேர்மாறல் சார்பும் எதிர்மாறல் சார்பும் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: ''நேர் மாறல் சார்பு'' : : y = kx. இச்சார்பில் அமைந்துள்ள கணிதச் செயல் பெருக்கல் (கணிதம்). பெருக்கல் செயலுக்கு எதிர் கணிதச் செயல் வகுத்தல் (கணிதம்). பெருக்கலுக்குப் பதில் வகுத்தலைப் பயன்படுத்த இச்சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பாக எதிர் மாறல் சார்பு கிடைக்கின்றது. ''எதிர்மாறல் சார்பு'': : y = kx.
கேள்வி: நேர்மாறுச் சார்பு - வர்க்கச் சார்பும் வர்க்கமூலச் சார்பும் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: வர்க்கச் சார்பு: : f(x) = x^2 வர்க்கம் (கணிதம்) சார்பின் ஆட்களத்தைப் பொறுத்து அது நேர்மாற்றத்தக்கதாக அமையும். அதாவது வர்க்கமூலம் சார்பு அதன் நேர்மாறுச் சார்பாக இருக்கும். ஆட்களம் மெய்யெண் கணமாக இருந்தால் வீச்சில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் இரண்டு முன்னுருக்கள் ஆட்களத்தில் இருக்கும்.( எடுத்துக்காட்டாக, 5 மற்றும் -5 இரண்டின் வர்க்கமும் 25 தான்.) எனவே நேர்மாறுச் சார்பு கிடையாது. ஆட்களம் எதிரெணில்லா மெய்யெண்களின் கணமாக இருந்தால் வர்க்கச் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பாக வர்க்கமூலச் சார்பு அமையும்.
கேள்வி: நேர்மாறுச் சார்பு - நேர்மாறுச் சார்புகளும் சார்புகளின் தொகுப்பும் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: ƒ ஒரு நேர்மாற்றத் தக்க சார்பு மற்றும் அதன் ஆட்களம் ''X'', வீச்சு ''Y'' எனில்: : f^{-1}\left( \, f(x) \, \right) = x, \forall x \in X\text{.} சார்புகளின் தொகுப்புச் செயலியைப் பயன்படுத்தி இதனைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்: : f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_X\text{,} இதில் id''X'' என்பது ''X'' கணத்தின் மீதான முற்றொருமைச் சார்பு.
கேள்வி: நேர்மாறுச் சார்பு - தனித்தன்மை என்பது என்ன?
பதில்: ஒரு சார்பு நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால் அதற்கு ஒரேயொரு நேர்மாறுச் சார்பு மட்டுமே இருக்கும். அதாவது ஒரு சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு தனித்தன்மையுடையது. மேலும் அச்சார்பின் நேர்மாறுத் தொடர்பே அதன் நேர்மாறுச் சார்பாக அமையும்.
கேள்வி: நேர்மாறுச் சார்பு - சமச்சீர் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: ஒரு சார்பும் அதன் நேர்மாறு சார்புக்கும் இடையே ஒரு சமச்சீர்த்தன்மை உள்ளது. ஆட்களம் ''X'' மற்றும் வீச்சு ''Y'' கொண்ட சார்பு ƒ நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால் அதன் நேர்மாறுச் சார்பு ƒ−1 -ன் ஆட்களம் ''Y'' கணமாகவும் வீச்சு ''X'' கணமாகவும் இருக்கும். மேலும் ƒ−1 -ன் நேர்மாறுச் சார்பு ƒ ஆக இருக்கும். ƒ சார்பின் ஆட்களம் ''X'' மற்றும் வீச்சு ''Y''. ''g'' சார்பின் ஆட்களம் ''Y'' மற்றும் வீச்சு ''X'' எனில்: :g \circ f = \mathrm{id}_X எனில் :f \circ g = \mathrm{id}_Y ஆகும். ஒரு சார்பு மற்றும் அதன் நேர்மாறு இரண்டுக்குமுள்ள சமச்சீர்ப் பண்பினைப் பின்வருமாறு தரலாம்: :\left(f^{-1}\right)^{-1} = f . \,\! Image:Composition of Inverses.png இரு சார்புகளின் சேர்ப்புச் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு: :(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1} இதில் ''g'' மற்றும் ''f'' -ன் வரிசை மாறுகிறது. ''f'' -ஐ தொடர்ந்த ''g'' -ன் விளைவைச் செயலற்றதாக்குவதற்கு, முதலில் ''g'' -ன் விளைவைச் செயலற்றதாக்கிப் பின் ''f'' -ன் விளைவைச் செயலற்றதாக்க வேண்டும். எடுத்துக்காட்டு: : :. சேர்ப்பு சார்பு என்பது முதலில் மூன்றால் பெருக்கிப் பின் ஐந்தைக் கூட்டும் விளைவை ஏற்படுத்தும் சார்பு.: :(g \circ f)(x) = 3x + 5 இவ்விளைவை இல்லாமல் செய்வதற்கு முதலில் ஐந்தைக் கழித்துப் பின் மூன்றால் வகுக்க வேண்டும்: :(g \circ f)^{-1}(y) = \tfrac13(y - 5) இது என்ற சேர்ப்புச் சார்புக்குச் சமமாக உள்ளது.
கேள்வி: நேர்மாறுச் சார்பு - நுண்கணிதத்தில் நேர்மாறுச் சார்புகள் என்பது என்ன?
பதில்: ஒரு-மாறி நுண்கணிதம் மெய்யெண் கணத்திலிருந்து மெய்யெண் கணத்திற்கு வரையறுக்கப்பட்ட சார்புகள்தான் முக்கியமாக எடுத்துக்கொள்ளப்படுகின்றன. அச்சார்புகள் பெரும்பாலும் கீழ்க்காண்பது போன்ற வாய்ப்பாடுகளால் தரப்படுகின்றன: :f(x) = (2x + 8)^3 . \,\! சில முக்கிய சார்புகளும் அவற்றின் நேர்மாறுச் சார்புகளும் கொண்ட அட்டவணை: :{| class="wikitable" align="center" |- !align="center"| சார்பு ƒ(''x'') !align="center"| நேர்மாறுச் சார்பு ƒ−1(''y'') !align="center"| குறிப்புகள் |- |align="center"| ''x'' + ''a'' |align="center"| ''y'' – ''a'' | |- |align="center"| ''a'' – ''x'' |align="center"| ''a'' – ''y'' | |- |align="center"| ''mx'' |align="center"| ''y'' / ''m'' | ''m'' ≠&nbsp;0 |- |align="center"| ''1 / x'' |align="center"| ''1 / y'' | ''x'', ''y'' ≠ 0 |- |align="center"| ''x''2 |align="center"| \sqrt{y} | ''x'', ''y'' ≥ 0 மட்டும் |- |align="center"| ''x''3 |align="center"| \sqrt[3]{y} | ''x'' மற்றும் ''y'' மீது கட்டுப்பாடு இல்லை |- |align="center"| ''x'p'' |align="center"| ''y''1/''p'' (i.e. \sqrt[p]{y}) | பொதுவாக ''x'', ''y'' ≥&nbsp;0 , ''p'' ≠ 0 |- |align="center"| ''e'x'' |align="center"| ln ''y'' | ''y''&nbsp;>&nbsp;0 |- |align="center"| ''a'x'' |align="center"| log''a'' ''y'' | ''y''&nbsp;>&nbsp;0 and ''a''&nbsp;&gt;&nbsp;0 |- |align="center"| முக்கோணவியல் சார்புகள் |align="center"| நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் | கட்டுப்பாடுகள்,கீழே தரப்பட்டுள்ள அட்டவணைப்படி* |} * :{| class="wikitable" style="text-align:center" |- !சார்பு !வழக்கமான முதன்மை மதிப்பின் வீச்சு |- | sin−1 || –π⁄2 ≤ sin−1(''x'') ≤ π⁄2 |- | cos−1 || 0 ≤ cos−1(''x'') ≤ π |- | tan−1 || –π⁄2 &lt; tan−1(''x'') &lt; π⁄2 |- | cot−1 || 0 &lt; cot−1(''x'') &lt; π |- | sec−1 || 0 ≤ sec−1(''x'') ≤ π |- | csc−1 || −π⁄2 ≤ csc−1(''x'') ≤ π⁄2 |- |}
கேள்வி: நேர்மாறுச் சார்பு - நேர்மாறுச் சார்பின் வாய்ப்பாடு என்பது என்ன?
பதில்: ''y'' = ƒ(''x'') என்ற சார்பின் வாய்ப்பாட்டிலிருந்து ''x'' -ன் மதிப்பைக் கண்டுபிடித்தால் நேர்மாறுச் சார்பு ƒ−1 -ன் வாய்ப்பாடு கிடைக்கும். எடுத்துக்காட்டு: :f(x) = (2x + 8)^3 \,\! :\begin{align} y & = (2x+8)^3 \\ \sqrt[3]{y} & = 2x + 8 \\ \sqrt[3]{y} - 8 & = 2x \\ \dfrac{\sqrt[3]{y} - 8}{2} & = x . \end{align} நேர்மாறுச் சார்பு ƒ−1 -ன் வாய்ப்பாடு: :f^{-1}(y) = \dfrac{\sqrt[3]{y} - 8}{2} . \,\! சிலசமயங்களில் நேர்மாறுச் சார்பின் வாய்ப்பாடு முடிவுறு எண்ணிக்கை கொண்ட வாய்ப்பாடாக அமையாமலும் இருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டு: :f(x) = x - \sin x , \,\! இச்சார்பு ƒ, ஒன்றுக்கு-ஒன்றுச் சார்பாக இருப்பதால் இதற்கு நேர்மாறுச் சார்பு உண்டு. அந்நேர்மாறுச் சார்பின் வாய்ப்பாடு முடிவிலா எண்ணிக்கையிலான உறுப்புகளைக் கொண்டிருக்கும்: : f^{-1}(y) = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} {\frac{y^{\frac{n}{3}}}{n!}} \lim_{ \theta \to 0} \left( \frac{\mathrm{d}^{\,n-1}}{\mathrm{d} \theta^{\,n-1}} \left( \frac{ \theta }{ \sqrt[3]{ \theta - \sin( \theta )} } ^n \right) \right)
கேள்வி: நேர்மாறுச் சார்பு - நேர்மாறுச் சார்பின் வரைபடம் என்பது என்ன?
பதில்: Image:Inverse Function Graph.png. இடையிட்டக் கோடு: .]] : y = f(x) எனும் ƒ சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு ƒ−1 -ன் சார்பின் வரைபடம் x = f(y) எனும் சமன்பாடு வரைபடமாக இருக்கும். இச்சமன்பாடு மற்றும் ƒ சார்பின் சமன்பாடு என்பதில் ''x'' மற்றும் ''y'' இரண்டையும் பரிமாற்றம் செய்வதால் கிடைக்கக்கூடியது என்பதால் ƒ சார்பின் வரைபடத்தில் ''x'' மற்றும் ''y'', அச்சுகளை பரிமாற்றம் செய்தால் ƒ−1 -ன் வரைபடம் கிடைக்கும். இவ்வாறு அச்சுகளைப் பரிமாற்றுதல் கோடு பிரதிபலிப்பு சமம்.
கேள்வி: நேர்மாறுச் சார்பு - நேர்மாறுச் சார்புகளும் வகையீடுகளும் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: ஒருதொடர்ச்சியான சார்பு ƒ திட்டமாக ஏறும் அல்லது இறங்கும் சார்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அது ஒரு ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்பாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டு: :f(x) = x^3 + x\,\! இச்சார்பின் வகையீடு: :f \prime (x) = 3x^2 + 1\,\! இவ்வாகைக்கெழுவின் மதிப்பு எப்பொழுதும் நேர்மதிப்பாகத்தான் இருக்கும் என்பதால் சார்பு ƒ நேர்மாற்றத்தக்கதாக அமையும். சார்பு ƒ வகையிடத்தக்கது எனில், என இருக்கும்வரை அதன் நேர்மாறு வகையிடத்தக்கதாக இருக்கும். நேர்மாறுச் சார்பின் வகைக்கெழு: :\left(f^{-1}\right)^\prime (y) = \frac{1}{f'\left(f^{-1}(y)\right)} . எனக் கொண்டால் மேற்காணும் வாய்ப்பாட்டைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்: :\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy / dx} .
கேள்வி: நேர்மாறுச் சார்பு - பகுதி நேர்மாறுச் சார்புகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: Image:Inverse Square Graph.png சார்பு ƒ ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்பாக இல்லாமல் இருந்தால் கூட அதன் ஆட்களத்தைக் கட்டுப்படுத்துவதன் மூலம் அதற்கு ஒரு ''பகுதி நேர்மாறுச் சார்பை'' வரையறுக்க முடியும். எடுத்துக்காட்டு: :f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} :f(x) = x^2\,\! :\pm x\in\mathbb{R}, இரண்டின் வர்க்கமும் ஒரே எண் என்பதால் இச்சார்பு ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்பு அல்ல. ஆனால் இச்சார்பின் ஆட்களத்தை எனக் கட்டுப்படுத்தினால் (:f\colon \mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R} என வரையறுத்தால்) ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்பாகிவிடும். அதற்கு நேர்மாறுச் சார்பும் இருக்கும். :f^{-1}(y) = \sqrt{y} .
கேள்வி: நேர்மாறுச் சார்பு - இடது மற்றும் வலது நேர்மாறுச் சார்புகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: * ƒ: ''X'' → ''Y'' சார்பின் ''இடது நேர்மாறுச் சார்பு'' என்பது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படும் சார்பாகும்: :g \circ f = \mathrm{id}_X . \,\! அதாவது சார்பு ''g'' கீழ்க்காணும் விதியை நிறைவு செய்யும். :f(x) = y எனில் :g(y) = g(f(x)) = x. ƒ சார்பின் வீச்சின் மீது நேர்மாறுச் சார்பு f−1 ஆகவும் வீச்சு, எதிருரு மற்றும் முன்னுரு ''Y'' கணம் (கணிதம்) உறுப்புகளுக்கு வேறு விதமாகவும் சார்பு ''g'' அமைகிறது. சார்பு ƒ ஒரு உள்ளிடு சார்பு இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அதற்கு இடது நேர்மாறுச் சார்பு இருக்கும். *ƒ: ''X'' → ''Y'' சார்பின் ''வலது நேர்மாறுச் சார்பு'' என்பது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படும் சார்பாகும்: :f \circ h = \mathrm{id}_Y . \,\! அதாவது சார்பு ''g'' கீழ்க்காணும் விதியை நிறைவு செய்யும். :h(y) = x எனில் :f(x) = f(h(y)) = x. சார்பு ƒ ஒரு முழுச் சார்பு இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அதற்கு வலது நேர்மாறுச் சார்பு இருக்கும். ஒரு சார்பின் வலது நேர்மாறுச் சார்பு இடது நேர்மாறாகவும் வலது நேர்மாறு இடது நேர்மாறாகவும் இருக்கலாம் அல்லது இல்லாமலும் இருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டு: :f \colon \mathbb{R} \rightarrow [0,\infty) :f(x) = x^2, \forall x\in\mathbb{R}, மற்றும் :g \colon [0,\infty) \rightarrow \mathbb{R} :g(x) = \sqrt{x}, x≥0 எனில்: :f(g(x)) = x, \forall x\in [0,\infty), அதாவது ƒ -ன் வலது நேர்மாறுச் சார்பு ''g'' . ஆனால் அது ƒ -ன் இடது நேர்மாறுச் சார்பு அல்ல. ஏனெனில் :g(f(-1)) = 1 \not = -1.