கேள்வி: கணித அமைப்பு - ஓருரு அமைவு (Isomorphism) பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: இவ்விதம் இரு அமைப்புகள், பெயர் மாற்றம் என்பதைத் தவிர மற்றபடி ஒரே விதிகளுக்குட்பட்டிருந்தால் அவ்விரண்டு அமைப்புகளும் ஓருரு அமைவுடையவை (Isomorphic) என்று சொல்லப்படும்.
கேள்வி: கணித அமைப்பு - குலம் என்பது என்ன?
பதில்: . உண்மையில் ‘கூட்டல்’ அல்லது ‘பெருக்கல்’ என்ற பெயர்கள் கூட தேவையில்லை. மேலே விவரிக்கப்பட்ட கணித அமைப்பை பின்வருமாறு பொதுமைப்படுத்தலாம். வேண்டியதெல்லாம் ஒரு கணமும் அதில் ஒரு செயல்முறை (Operation) தான். செயல்முறை என்றால் அக்கணத்திலிருக்கும் எந்த இரு உறுப்புகளில் அச்செயல்முறை செயல்பட்டாலும் அதன் முடிவு தனித்த (unique) ஒரு உறுப்பாக அதே கணத்திற்குள் இருக்கும். இச்செயலை ஈருறுப்புச் செயல் என்றும் சொல்வார்கள். ''G'' என்ற கணமும் அதில் ‘*’ என்ற செயலும் கொடுக்கப் பட்டு, அவை கீழேயுள்ள ஐந்து விதிகளை பின்பற்றுவதாகவும் கொள்வோம்: ‘*’ ஓர் ஈருறுப்புச்செயல் (closure); அ-து, ''x, y ''G' இல் இருந்தால், ''x * y'' ம், ''G'' இல் இருக்கும். ... (G1) ‘*’ ஒரு சேர்ப்பு விதி; அ-து, ''x, y, z'' ''G'' இல் இருந்தால், ''(x * y) * z = x * (y * z)'' … (G2) ‘*’ ஒரு பரிமாற்று விதி (commutativitity); அ-து, ''x, y'' ''G'' இல் இருந்தால் ''x * y = y * x'' … (G3) ''G'' இல் ஒரு முற்றொருமை (Identity) உளது; அ-து, ''G'' இல் ‘e’ என்ற ஒரு உறுப்பு கீழேயுள்ள இயல்புடன் உளது: ''x * e = x = e * x'' … (G4) ''G'' இல் உள்ள ஒவ்வொரு ''x'' க்கும், ஒரு நேர்மாறு உறுப்பு உளது; அ-து, ஒவ்வொரு ''x'' க்கும் ஒரு ''x''-''1'' கீழேயுள்ள இயல்புடன் உளது: ''x'' * ''x''-''1'' = ''e'' = ''x''-''1'' * ''x'' … (G5) ஏதாவது ''G'' என்ற ஒரு கணம் ஒரு ‘*’ என்ற செயல் முறையுடன் (G1) இலிருந்து (G5) வரையுள்ள ஐந்து விதிகளுக்கும் உட்படுமானால் அந்த G க்கு ‘குலம்’ (Group) என்று பெயர். ''R'', ‘+’ என்ற கூட்டல் செயலுடன், ஒரு குலம் ஆகிறது. ''R''+, ‘.’ என்ற பெருக்கல் செயலுடன், ஒரு குலம் ஆகிறது. இவ்விரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளும் ‘முடிவில்லாத குலங்கள்’ ஆகும். ஏனென்றால் அவைகள் சார்ந்திருக்கும் அடிப்படை கணங்களான ''R'' ம், ''R''+, ம் முடிவில்லாத கணங்கள். முடிவுள்ள குலங்கள் மிகப்பல இருக்கின்றன. (G3) மாத்திரம் இல்லாமல், மற்ற நான்கு விதிகளுக்கும் உட்பட்டு இருக்கும் ஒரு ''G'' என்ற கணம் (அதன் ‘*’ என்ற செயலுடன்) ஒரு 'பரிமாறாக்குலம் ' (Non-commutative Group) என்று சொல்லப் படும். இதிலிருந்து பிரித்துப்பேசுவதற்காக நாம் மேலே சொன்ன குலத்தை ‘பரிமாற்றுக் குலம்’ (Commutative Group) என்றும் சொல்வதுண்டு. ‘ஏபெல் குலம்’ (Abelian Group) அதற்கு இன்னொரு பெயர். ‘ஏபெல்’ (1802 - 1829) என்ற கணித வல்லுனர் முதன்முதல் இதை அறிமுகப்படுத்தினார்.
கேள்வி: கணித அமைப்பு - '''‘அமைப்பு’ என்ற கருத்து எதற்கு?''' பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: இரு அமைப்புகள் (கணிதத்திலோ அல்லது இயற்பியல் முதலிய இதர துறைகளிலோ) ஓருரு அமைவுடையவை என்று அடையாளம் காட்டுவதற்கு மாத்திரம் அமைப்பு என்ற கருத்து ஏற்படவில்லை. கணிதத்திலேயே பல உட்துறைகளிலும், பல பிரச்சினைகளிலும் தொடரப்படும் வாதங்களிலுள்ள ஒற்றுமையை பயன் படுத்தி அவைகளை பண்பளவில் உயர்த்தி, அவ்வுயர்ந்த தளத்தில் செய்யப்படும் ஒரே வாதத்தினால் கீழ்த்தளத்திலுள்ள பல சந்தர்ப்பங்களுக்கும் ஒரே அடியில் முடிவு சொல்ல பயன் பட்டது. இதற்கு ஒரு எளிய எடுத்துக்காட்டைப் பார்ப்போம். கெய்லி(1821 - 1895) என்னும் கணிதவியலாளர் ஒவ்வொரு அணிக்கும் நேர்மாறு உறுப்பு தனித்தன்மை வாய்ந்தது என்று நிறுவினார். வகையீட்டுச் சமன்பாடுகளில் (Differential Equations) பல சந்தர்ப்பங்களில் காலப்போக்கில் வேறு வேறு கணித ஆய்வாளர்கள் அந்தந்த சமன்பாடுகளுக்கு அவர்கள் கண்டுபிடித்த விடைகள் தனித்தன்மை வாய்ந்தவை என்று பல்வேறு முறைகளைக் கையாண்டு நிறுவினர். இவைகளெல்லாமே ஒரே வாதத்தின் நிழல்கள்தாம் என்பது ‘குலம்’ என்ற அமைப்பை ஆராய்ந்தபோது தெரிய வந்தது. ஒரு குலத்தில் ஒவ்வொரு உறுப்பிற்கும் நேர்மாற்றுறுப்பு தனித்தன்மை வாய்ந்தது என்ற நிறுவல் மேற்சொன்ன பல நிறுவல்களையும் ஒன்று படுத்துகிறது. அந்த உயர்தள நிறுவலைக் கீழே காணலாம். ''x’ , x’’'' இரண்டு உறுப்புகள் ''G'' இல் ''x'' இன் மாற்றுறுப்பு '' x''-''1'' இனுடைய இயல்பாகிற (G5) ஐ பெற்றிருக்கு மானால், ''x’ * x'' = ''e'' = ''x * x’'' மற்றும், ''x’’ * x'' = ''e'' = ''x * x’’'' ஆக, ''x’ = e * x’ = (x’’ * x ) * x’ = x’’ * (x * x’) = x’’ * e = x’’.'' இதனால் நமக்குத்தெரிவது, குலம் ''G'' இல் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் உள்ள மாற்றுறுப்பு தனித்தன்மையுடையது. ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் மாற்றுறுப்பு இருக்கவேண்டும் என்பது ‘குலம்’ என்பதன் வரையறை. அம்மாற்றுறுப்பு ஒன்றுக்குமேல் இருக்கமுடியாது என்பது குலத்தின் ஐந்து விதிகளிலிருந்து உருவாகும் ஒரு கிளைத்தேற்றம். இன்னும் பற்பல தேற்றங்கள் உருவாகலாம். இந்த வழியில் ‘குலம்’ என்பதை பண்பியல் தளத்தில் ஆராய்ச்சி செய்ததால் கிடைத்த முடிவுகள் எல்லாம் சேர்ந்து தான் குலக் கோட்பாடு (Group Theory) என்று கணிதத்தின் ஒரு பெரிய கிளைத்துறையாக இன்று நடமாடுகிறது.
கேள்வி: கணித அமைப்பு - மற்ற பல அமைப்புகள் என்பது என்ன?
பதில்: குலம் என்பது ஒரு ''அமைப்பு'' தான். இன்னும் கணிதத்தில் பல அமைப்புகள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டு அவைகளும் சீரிய முறையில் வரையறுக்கப்பட்டு, பயன் படுத்தப் பட்டிருக்கின்றன. அவ்வமைப்புகளில் முக்கியமானவைகளுடைய பட்டியல்: * வளையம் (கணிதம்) (Ring); *களம் (கணிதம்) (Field); *சேர்ப்பற்ற வளையம் (Non-associative Ring); *இடவியல் (Topology); *பரப்புரு குலம் அல்லது இடவியற்குலம் (Topological Group); *கலம் (கணிதம்) (Module); *திசையன் வெளி (Vector Space); *பன்மடிவெளி (Manifold); *பானக் வெளி (Banach Space); *லீ குலம் (Lie Group); மற்றும் பல.
கேள்வி: கணித அமைப்பு - கலைச்சொற்கள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: * கணம் (கணிதம்) - set * உறுப்பு - elements * செயல்முறை - operations * முற்கோள் -axiom * இயற்கணிதம் - algebra - * இரும இயற்கணிதம் அல்லது ஈருறுப்பு இயற்கணிதம் - binary algebra