கேள்வி: நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் என்பது என்ன?
பதில்: கணிதம் நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் (''inverse trigonometric functions'') என்பவை முக்கோணவியல் சார்புகள் நேர்மாறுச் சார்பு. இச்சார்புகளின் வீச்சு, எதிருரு மற்றும் முன்னுரு மூல முக்கோணவியல் சார்புகளின் ஆட்களம் (கணிதம்) கணம் (கணிதம்)#உட்கணங்கள் இருக்கும் என்பதால் இவை அடிப்படை நேர்மாறு சார்புகளுக்குத் தேவையான பண்புகளைக் கொண்டிருக்காது. ஆறு முக்கோணவியல் சார்புகளும் ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்புகள் அல்ல. எனவே அவற்றுக்கான நேர்மாறு சார்புகளை வரையறை ஏற்றவகையில் அச்சார்புகளை கட்டுப்படுத்த வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக: y = \sqrt{x}, -வர்க்கமூலச் சார்பு ''y''2 = ''x'', என வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது போல ''y'' = arcsin(''x'') -நேர்மாறு சைன் சார்பு, sin(''y'') = ''x'' என வரையறுக்கப்படுகிறது. sin(''y'') = ''x'' -ஐ நிறைவு செய்யும் ''y'' -ன் மதிப்புகள் பல உள்ளன. sin(0) = 0, sin(π) = 0, sin(2π) = 0,... எனவே arcsin, பல மதிப்புகள் கொண்டுள்ளது. arcsin(0) = 0, arcsin(0) = π, arcsin(0) = 2π, ... . ஒரு மதிப்பு மட்டும் கொண்டதாக arcsin சார்பைக் கட்டுப்படுத்திக் கொள்ளலாம். இக்கட்டுப்பாட்டின்படி arcsin சார்பின் ஆட்களத்திலுள்ள ஒவ்வொரு ''x'' -க்கும் arcsin(''x'') -ன் மதிப்பு ஒன்றே ஒன்றாக இருக்கும். அம்மதிப்பு ''முதன்மை மதிப்பு'' (principal value) என அழைக்கப்படும். இந்தக் கட்டுப்பாடு மற்ற ஐந்து நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளுக்கும் பொருந்தும், முதன்மை நேர்மாறுச் சார்புகள் பின்வரும் அட்டவணையில் தரப்பட்டுள்ளன. {| class="wikitable" style="text-align:center" |- !பெயர் !வழக்கமான குறியீடு !வரையறை !''x'' -ன் ஆட்களம் (எண்#மெய்யெண்கள்) !முதன்மை மதிப்பின் வழக்கமான வீச்சு (ரேடியன்) !முதன்மை மதிப்பின் வழக்கமான வீச்சு (பாகை (அலகு)) |- | arcsine || ''y'' = arcsin&nbsp;''x'' || ''x'' = sin&nbsp;''y'' || −1 ≤ ''x'' ≤ 1 || −π/2 ≤ ''y'' ≤ π/2 || −90° ≤ ''y'' ≤ 90° |- | arccosine || ''y'' = arccos&nbsp;''x'' || ''x'' = cos&nbsp;''y'' || −1 ≤ ''x'' ≤ 1 || 0 ≤ ''y'' ≤ π || 0° ≤ ''y'' ≤ 180° |- | arctangent || ''y'' = arctan&nbsp;''x'' || ''x'' = tan&nbsp;''y'' || அனைத்து மெய்யெண்கள் || −π/2 −1, cos−1,.... ஆகிய குறியீடுகள் பல இடங்களில் arcsin, arccos, ... ஆகியவற்றுக்குப் பதிலாக பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஆனால் இக்குறியீடுகளால் முக்கோணவியல் சார்புகளின் பெருக்கல் தலைகீழிகளுக்கும் நேர்மாறுச் சார்புகளுக்குமிடையே குழப்பம் ஏற்படலாம்.
கேள்வி: நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் - மடக்கை வடிவங்கள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: சிக்கலெண் மடக்கைகள் மூலமாகவும் நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளை எழுதலாம். இதனால் இச்சார்புகளின் ஆட்களங்கள் சிக்கலெண் தளம் (வடிவவியல்) நீட்டிக்கப்படுகிறது. : \begin{align} \arcsin x &{}= -i\,\ln\left(i\,x+\sqrt{1-x^2}\right) &{}= \arccsc \frac{1}{x}\\[10pt] \arccos x &{}= -i\,\ln\left(x+i\,\sqrt{1-x^2}\right) = \frac{\pi}{2}\,+i\ln\left(i\,x+\sqrt{1-x^2}\right) = \frac{\pi}{2}-\arcsin x &{}= \arcsec \frac{1}{x}\\[10pt] \arctan x &{}= \tfrac{1}{2}i\left(\ln\left(1-i\,x\right)-\ln\left(1+i\,x\right)\right) &{}= \arccot \frac{1}{x}\\[10pt] \arccot x &{}= \tfrac{1}{2}i\left(\ln\left(1-\frac{i}{x}\right)-\ln\left(1+\frac{i}{x}\right)\right) &{}= \arctan \frac{1}{x}\\[10pt] \arcsec x &{}= -i\,\ln\left(i\,\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{x}\right) = i\,\ln\left(\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+\frac{i}{x}\right)+\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}-\arccsc x &{}= \arccos \frac{1}{x}\\[10pt] \arccsc x &{}= -i\,\ln\left(\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+\frac{i}{x}\right) &{}= \arcsin \frac{1}{x} \end{align}