கேள்வி: ஜேக்கோபியின் நான்கு இருமடியெண் தேற்றம் - தேற்றம் என்பது என்ன?
பதில்: ;குறிப்பு: ஒரு நேர்ம எண்ணின் இரு நான்கு இருமடியெண்களின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதப்படும் உருவகிப்புகளிலுள்ள இருமடியெண்களின் வரிசை வேறுபட்டிருந்தாலோ அல்லது வர்க்கப்படுத்தப்படும் எண்கள் வேறுபட்டாலோ இரண்டும் வெவ்வேறானவையாகக் கொள்ளப்படும். கீழே 1 ஐக் குறிக்கும் எட்டு வெவ்வேறு வழிகளில் மூன்று வழிகள் தரப்பட்டுள்ளன: : \begin{align} & 1^2 + 0^2 + 0^2 + 0^2 \\ & 0^2 + 1^2 + 0^2 + 0^2 \\ & (-1)^2 + 0^2 + 0^2 + 0^2. \end{align} ;தேற்றத்தின் கூற்று: நான்கு இருமடியெண்களின்கூட்டுத்தொகையாக n ஐக் குறிக்கும் வழிகளின் எண்ணிக்கை, ''n'' ஒற்றைப்படையாக இருந்தால் ''n இன்'' வகுஎண் கூட்டுத்தொகையின் எட்டு மடங்கும், ''n'' சமமாக இருந்தால் ''n'' இன் ஒற்றைப்படை வகுப்பிகளின் கூட்டுத்தொகையின் 24 மடங்கும் ஆகும் ( வகுஎண் சார்பு பார்க்கவும்), அதாவது: : r_4(n)=\begin{cases}8\sum\limits_{m|n}m&\text{if }n\text{ is odd}\\[12pt] 24\sum\limits_{\begin{smallmatrix} m|n \\ m\text{ odd} \end{smallmatrix}}m&\text{if }n\text{ is even}. \end{cases} இதேபோல, ஒரு நேர்ம எண்ணை எழுதக்கூடியவழிகளின் எண்ணிக்கையானது 4 ஆல் வகுபடாத அதன் அனைத்து வகுப்பிகளின் கூட்டுத்தொகையின் எட்டு மடங்காக இருக்கும். அதாவது: : r_4(n)=8\sum_{m\mid n ,\, 4 \nmid m}m. இதனை பின்னுள்ளவாறும் எழுதலாம்: : r_4(n) = 8 \sigma(n) -32 \sigma(n/4) \, ''n'' 4 ஆல் வகுபடவில்லை என்றால் இரண்டாவது உறுப்பு பூச்சியமாக எடுத்துக்கொள்ளப்படும். குறிப்பாக, ஒரு பகா எண் வெளிப்படையான வாய்பாடு:&nbsp; :''r''4(''p'')&nbsp;=&nbsp;8(''p''&nbsp;+&nbsp;1). . ''n இரட்டையெண்ணாக இருக்கும்போது,'' ''r'' 4 ( ''n'' ) இன் சில மதிப்புகள் ''r''4(''n'')&nbsp;=&nbsp;''r''4(2''m'n'') ''r'' 4 ( ''n'' ) எனப் பெரும்பாலும் அமையலாம். மேலும், ''r''4(''n'') இன் மதிப்புகள் மிகப்பெரியதாகவும் அமையலாம். அதாவது, ''r'' 4 ( ''n'' ) இன் மதிப்பு பெரும்பான்மையான சமயங்களில் 8 √ log n ஐ விடப் பெரியதாக இருக்கும். . ஜேக்கோபியின் முப்பெருக்கத்திலிருந்து எளியமுறையில் இத்தேற்றத்தை நிறுவமுடியும். *