கேள்வி: முக்கோணச் சமனிலிகளின் பட்டியல் - உள்வட்ட ஆரமும் சுற்றுவட்ட ஆரமும் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: *ஆய்லரின் சமனிலி: :\frac{R}{r} \geq 2. *இதைவிட அழுத்தமான சமனிலி: :\frac{R}{r} \geq \frac{abc+a^3+b^3+c^3}{2abc} \geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-1 \geq \frac{2}{3} \left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right) \geq 2. *ஒப்பீட்டில்: :\frac{r}{R} \geq \frac{4abc-a^3-b^3-c^3}{2abc}, இச் சமனிலியின் வலதுபக்கம் நேர் அல்லது எதிர் மதிப்பாக இருக்கலாம். *ஆய்லரின் சமனிலியை மேம்படுத்திப் பெறப்பட்ட வேறு இரு சமனிலிகள் : \frac{R}{r} \geq \frac{(b+c)}{3a}+\frac{(c+a)}{3b}+\frac{(a+b)}{3c} \geq 2 :\left( \frac{R}{r} \right)^3 \geq \left( \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right) \left( \frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right) \geq 8. *மேலும், :\frac{R}{r} \geq \frac{2(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}; :a^3+b^3+c^3 \leq 8s(R^2-r^2) :r(r+4R) \geq \sqrt{3} \cdot T :s\sqrt{3} \leq r+4R :s^2 \geq 16Rr - 5r^2 :2R^2+10Rr-r^2-2(R-2r)\sqrt{R^2-2Rr} \leq s^2 ::\leq 2R^2+10Rr-r^2+2(R-2r)\sqrt{R^2-2Rr} :\frac{9r}{2T} \leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \leq \frac{9R}{4T}. :s \leq (3\sqrt{3}-4)r+2R. *உள்வட்ட மையம் ''I'' . ''AI'', ''BI'', ''CI'' மூன்றும் ''I'' ஐத் தாண்டி, சுற்றுவட்டத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளிகள் ''D'', ''E'', ''F'' எனில், :\frac{AI}{ID} + \frac{BI}{IE} + \frac{CI}{IF} \geq 3. *\cos A \cdot \cos B \cdot \cos C \leq \left( \frac{r}{R\sqrt{2}} \right)^2.
கேள்வி: முக்கோணச் சமனிலிகளின் பட்டியல் - இருசமபக்க முக்கோணம் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: ஒரு இருசமபக்க முக்கோணத்தின் சமபக்கங்களின் நீளம் ''a'' மற்றும் மூன்றாவது பக்கத்தின் நீளம் ''c'', சமகோணங்களில் ஒன்றின் உட்கோண இருசமவெட்டி ''t'' எனில்: :\frac{2ac}{a+c} > t > \frac{ac\sqrt{2}}{a+c}.