கேள்வி: சமவிசைசார் புள்ளி பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: File:Isodynamic Point.svg.]] யூக்ளிடிய வடிவவியலில் ஒரு முக்கோணம் எந்தவொரு புள்ளியை மையமாகக் கொண்டு நேர்மாற்ற வடிவவியல் அம்முக்கோணமானது சமபக்க முக்கோணம் உருமாற்றமடைகிறதோ, அந்தப் புள்ளியே அம்முக்கோணத்தின் சமவிசைசார் புள்ளி (''isodynamic point'') எனப்படும். மேலும் முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு உச்சிக்கும் சமவிசைசார் புள்ளிக்கும் இடைப்பட்ட தூரமானது அந்தந்த உச்சிக்கு எதிரிலமையும் முக்கோணப் பக்கநீளங்களுக்கு எதிர்விகிதத்தில் இருக்கும். சமபக்க முக்கோணத்திற்கு அதன் நடுக்கோட்டுச்சந்தி மட்டுமே ஒரேயொரு சமவிசைசார் புள்ளியாக அமையும்ம். ஒவ்வொரு அசமபக்க முக்கோணத்திற்கும் இரு சமவிசைசார் புள்ளிகள் உள்ளன. கணிதவியலாளர் ஜோசப் நியுபெர்க் இப்புள்ளிகள் பற்றி ஆய்வு செய்து அவற்றுக்கு இப்பெயரிட்டார்For the credit to Neuberg, see e.g. and .. சமவிசைசார் புள்ளிகள் இரண்டும் முக்கோண மையம். மேலும் இவை மோபியஸ் உருமாற்றங்களின் கீழும் மாறாநிலை கொண்டவையாக இருக்கும்.
கேள்வி: சமவிசைசார் புள்ளி - கோணங்கள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: File:Isodynamic-lenses.svg அப்பலோனியஸ் வட்டங்களின் வெட்டும் புள்ளிகளாக அமைகின்ற சமவிசைசார் புள்ளிகளை வேறு மூன்று வட்டங்களின் வெட்டும் புள்ளிகளாக அமைவதையும் காணலாம்: முக்கோணத்தின் உச்சிகளாலான (A,B), (A,C), (B,C) ஆகிய மூன்று சோடிப் புள்ளிகளின் வழியாகக் செல்வதும், முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தினை 2π/3 அளவு உச்சிக்கோணம் கொண்ட வில்லை (வடிவவியல்) வெட்டுவதுமான மூன்று வட்டங்களும் முக்கோணம் ABC இன் முதல் சமவிசைசார் புள்ளியில் வெட்டிக் கொள்கின்றன. இதேபோல, (A,B), (A,C), (B,C) வழியாகக் செல்வதும், முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தினை π/3 அளவு உச்சிக்கோணம் கொண்ட வில்லை (வடிவவியல்) வெட்டுவதுமான மூன்று வட்டங்களும் முக்கோணம் ABC இன் இரண்டாவது சமவிசைசார் புள்ளியில் வெட்டிக் கொள்கின்றன.. முக்கோணத்தின் மூன்று உச்சிகளோடும் சமவிசைசார் புள்ளிகள் உருவாக்கும் கோணங்கள் பின்வரும் சமன்பாடுகளை நிறைவு செய்கின்றன: ::ASB = ACB + \pi/3 ::ASC = ABC + \pi/3 ::BSC = BAC + \pi/3 ::AS'B = ACB - \pi/3 ::AS'C = ABC - \pi/3 ::BS'C = BAC - \pi/3 ABC முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களிலும் சமவிசைசார் புள்ளி S ஐ எதிரொளிப்பு (கணிதம்) கிடைக்கும் புள்ளிகளாலான முக்கோணம் ஒரு சமபக்க முக்கோணம் ஆகும். அதைப் போலவே, S இலிருந்து முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களுக்கும் வரையப்படும் செங்குத்துக்கோடுகளின் அடிப்புள்ளிகளால் உருவாகும் பாத முக்கோணம் சமபக்க முக்கோணமாக இருக்கும்.; .. ABC முக்கோணத்தினுள் வரையப்படும் சமபக்க முக்கோணங்களில் மிகக் குறைந்த பரப்பளவு கொண்டது பாத முக்கோணம் ஆகும்..