கேள்வி: அரைத்தொடர்ச்சி (கணிதம்) - பண்புகள் என்பது என்ன?
பதில்: *ஒரு சார்பானது ஒரு புள்ளியில், மேல் மற்றும் கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியானதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அது அப்புள்ளியில் தொடர்ச்சியான சார்பாக இருக்கும் என்பதால், சார்பின் தொடர்ச்சித்தன்மையை நிறுவ, அரைத்தொடர்ச்சி பயன்படும். *''f'' , ''g'' இரண்டும் ''x''0 எனும் புள்ளியில் மேல் அரைத்தொடர்ச்சியான மெய்-மதிப்புச் சார்புகள் எனில் ''f'' + ''g'' சார்பும் அவ்வாறே இருக்கும். ** இவை இரண்டும் எதிரில்லாச் சார்புகளாக இருந்தால் ''fg'' சார்பும் அதே புள்ளியில் மேல் அரைத்தொடர்ச்சியானதாக இருக்கும். ** ''x''0மேல் அரைத்தொடர்ச்சியான ஒரு நேர்ச் சார்பானது ஒரு எதிர் எண்ணால் பெருக்கப்படும்போது, அச்சார்பு கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியானதாக மாறிவிடும். *''C'' ஒரு இறுகிய வெளி (compact space) (எடுத்துக்காட்டாக ஒரு மூடிய, வரம்புடைய, இடைவெளி (கணிதம்) [''a'',&nbsp;''b''] ) என்க. ::''f'' : ''C''&nbsp;→&nbsp;[–∞,∞) என்பது மேல் அரைத்தொடர்ச்சியான சார்பு எனில், ''C'' இல் ''f'' க்கு ஒரு பெருமம் இருக்கும். ::''f'' : ''C''&nbsp;→&nbsp;(–∞,∞] என்பது கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியான சார்பு எனில் ''C'' இல் ''f'' ஒரு சிறுமம் இருக்கும். *வெற்றற்ற கணம் ''I'' இலுள்ள ஒவ்வொரு ''i'' க்கும் :''f'i'' : ''X''&nbsp;→&nbsp;[–∞,∞], ஒரு கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியான சார்பு; மேலும் துண்டுவாரியான மேன்மம் ''f'', கீழுள்ளவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது: :f(x)=\sup_{i\in I}f_i(x),\qquad x\in X. இப்பொழுது ''f'' , ஒரு கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியான சார்பு. அனைத்து ''f'i'' சார்புகளும் தொடர்ச்சியான சார்புகளாக இருந்தாலும், ''f'' தொடர்ச்சியான சார்பாக இருக்க அவசியமில்லை. ஒரு சீரான வெளியில் அமையும் ஒவ்வொரு கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியான சார்பும் தொடர்ச்சியான சார்புகளின் தொடர்வரிசை ஒன்றின் மேன்மம்(கணிதம்) அமைகின்றன. **எந்தவொரு திறந்த கணத்தின் சுட்டுச் சார்பும் கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியானது; மூடிய கணத்தின் சுட்டுச் சார்பு மேல் அரைத்தொடர்ச்சியானது. குவிவு பகுப்பாய்வில் பெரும்பாலும் சுட்டுச் சார்பு என்பது குவிவுப் பகுப்பாய்வின் சிறப்பியல்புச் சார்பையே குறிக்கும் என்பதால் குவிவுப் பகுப்பாய்வில், ஒரு மூடிய கணத்தின் சிறப்பியல்புச் சார்பு கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியானதாகவும், ஒரு திறந்த கணத்தின் சிறப்பியல்புச் சார்பு மேல் அரைத்தொடர்ச்சியானதாகவும் இருக்கும். *''f''&nbsp;:&nbsp;Rn→R சார்பின் வெளிவரைபடம் (கணிதம்) மூடிய கணம் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அச்சார்பு கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியானது.