கேள்வி: நாற்கரம் - மூலைவிட்டங்களின் நீளங்கள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: ''ABCD'' நாற்கரத்தின் இரு பக்கங்கள், ஒரு மூலைவிட்டம் ஆகியவற்றால் அமையும் முக்கோணங்கள் ஒவ்வொன்றிலும் கோசைன் விதியைப் பயன்படுத்தி மூலைவிட்டங்களின் நீளங்களைக் காணலாம்: :p=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos{B}}=\sqrt{c^2+d^2-2cd\cos{D}} :q=\sqrt{a^2+d^2-2ad\cos{A}}=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos{C}}. மேலும் சமச்சீர்மையுள்ள பிற வாய்பாடுகள்:Rashid, M. A. & Ajibade, A. O., "Two conditions for a quadrilateral to be cyclic expressed in terms of the lengths of its sides", ''Int. J. Math. Educ. Sci. Technol.'', vol. 34 (2003) no. 5, pp. 739–799. :p=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)-2abcd(\cos{B}+\cos{D})}{ab+cd}} :q=\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)-2abcd(\cos{A}+\cos{C})}{ad+bc}}.
கேள்வி: நாற்கரம் - மூலைவிட்டங்கள், இருநடுக்கோடுகள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: ஆய்லரின் நாற்கரத் தேற்றத்தின் கிளைமுடிவுச் சமனிலி: : a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \ge p^2 + q^2 , இணைகரத்துக்கு மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும். வட்ட நாற்கரத்துக்குச் சமனியாகவுள்ள தொலெமியின் தேற்றம் முடிவைப் பொதுமைப்படுத்தி குவிவு நாற்கரத்துக்கு சமனிலியாக லியோனார்டு ஆய்லர் மாற்றியுள்ளார்: : pq \le ac + bd பெரும்பாலும் இது தொலெமியின் சமனிலி எனப்படுகிறது. இருநடுக்கோடுகள் ''m, n''; மூலைவிட்டங்கள் ''p, q'' எனில் அவற்றைத் தொடர்புபடுத்தும் சமனிலி: :pq \leq m^2+n^2, மூலைவிட்டங்கள் சமமாக இருந்தால் மட்டுமே, சமக்குறி பொருந்தும். m^2+n^2=\tfrac{1}{2}(p^2+q^2). முற்றொருமையிலிருந்து இச்சமனிலி நேரிடையாகப் பெறப்படுகிறது.