கேள்வி: ரோலின் தேற்றம் என்பது என்ன?
பதில்: Image:Rolle's theorem.svg வகை நுண்கணிதம், ரோலின் தேற்றத்தின் (''Rolle's theorem'') படி, ஒரு வகையிடத்தக்கச் சார்புக்கு, இரு வெவ்வேறு புள்ளிகளில் சமமான மதிப்புகள் இருந்தால், அவ்விரு புள்ளிகளுக்கு இடையே ஏதாவது ஒரு புள்ளியில் அச்சார்பின் முதல் வகைக்கெழு பூச்சியம் இருக்கும், அதாவது அவ்விரு புள்ளிகளுக்கிடையே சார்பின் வளைவரையின்மீது ஒரு புள்ளியில் (நிலைப் புள்ளி) தொடுகோடு சாய்வு பூச்சியமாகும்.
கேள்வி: ரோலின் தேற்றம் - பொதுமைப்படுத்தல் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: f \, - ஒரு மெய்மதிப்புச் சார்பு. இச்சார்பு, * மூடிய இடைவெளி [''a'',''b'']-ல் தொடர்ச்சியானதாகவும், * \ f(a) = f(b) எனவும் * ஒவ்வொரு x \in\ (a , b) -க்கும் வலது எல்லை: f'(x+)=\lim_{h \to 0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}, இடது எல்லை: f'(x-)=\lim_{h \to 0^-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}, ஆகிய இரண்டு எல்லைகளும் நீட்டிக்கப்பட்ட மெய்யெண் கோடு, [&minus;∞, ∞] -ல் இருக்குமானால், : f'(c+)\quad\text{and}\quad f'(c-) ஆகிய இரு எல்லைகளில் ஏதாவது ஒன்று ≥&nbsp;0 மற்றது ≤&nbsp;0 (நீட்டிக்கப்பட்ட மெய்யெண் கோட்டில்) ஆகவும் இருக்குமாறு ஏதாவது ஒரு மதிப்பு c \in\ (a , b) இருக்கும். : மேலும் இவ்விரண்டு எல்லைகளும் சமமாக இருப்பின் f \, -க்கு வகைக்கெழு உண்டு. மேலும் அவ்வகைக்கெழு பூச்சியமாக இருக்கும். குறிப்பு: # f \, குழிவு அல்லது குவிவாக இருந்தால் இடைவெளியின் உள்ளே ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் வலது மற்றும் இடது வகைக்கெழுக்கள் காணமுடியும். எனவே மேலே குறிப்பிட்ட இரு எல்லைகளும் காணக்கூடியதாகவும் மெய்யெண் மதிப்புடையவையாகவும் இருக்கும். #ஒரு பக்க (வலது அல்லது இடது) வகைக்கெழுக்கள் ஓரியல்புச் சார்பு#கூடும் சார்பு அமைந்தால், ஒரு சார்பின் குவிவுத்தன்மையை நிறுவ பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ரோலின் தேற்றம் போதுமானதாக இருக்கும்.: ::f'(x-) \le f'(x+) \le f'(y-),\qquad x