கேள்வி: திசையன் வெளியின் அடுக்களம் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: கணிதம்ல் ஒரு திசையன் வெளி V இல், ஒரு உட்கணம் B நேரியல் சார்பின்மை இருந்து, அதனுடைய அளாவல் முழுவெளியாகவும் இருக்குமானால், அவ்வுட்கணம் V இன் அடுக்களம் (Basis) எனப்படும். இவ்வடுக்களம் B இன் எண் அளவை என்னவோ அதே எண் அளவை தான் மற்ற எல்லா அடுக்களத்திலும் இருக்கும். இந்த பொது எண்ணளவைக்கு திசையன் வெளி V இன் பரிமாணம் (Dimension) என்று பெயர். இதை dimV என்ற குறியீட்டால் குறிப்பது கணித மரபு. இவ்வுட்கணம் B முடிவுள்ளதானால் V முடிவுள்ள பரிமாணமுள்ளது என்றும், B முடிவற்றதாக இருந்தால், V முடிவிலிப்பரிமாணமுள்ளது என்றும் சொல்லப்படும். நாம் இக்கட்டுரையில் முடிவுள்ள பரிமாணமுள்ள திசையன் வெளிகளைப்பற்றியே பேசுவோம்.
கேள்வி: திசையன் வெளியின் அடுக்களம் - அடிப்படை உண்மைகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: V ஒரு திசையன் வெளி எனக்கொள்வோம். :* சூனியத்திசையனை ஒர் உறுப்பாகக்கொண்ட எந்தக்கணமும் நேரியல் சார்புள்ளதுதான். :* ஒரு அளாவல் உட்கணத்தில் உள்ளதைவிட அதிகமான எண்ணிக்கையில் நேரியல் சார்பற்ற உட்கணம் இருக்கமுடியாது. அ-து, : [\{v_1, v_2, ..., v_n\}] = V ஆகவும், \{w_1, w_2, ... , w_m\} நேரியல் சார்பற்றதாகவும் இருக்குமானால், m \leq n. :* Vஇல் n உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு அடுக்களம் இருக்குமானால், n ஐவிட அதிக உறுப்புகள் கொண்ட எந்த உட்கணமும் நேரியல் சார்புள்ளது.அதனால் எல்லா உட்கணங்களும் n உறுப்புகள் கொண்டதே. :* n-பரிமாணமுள்ள ஒவ்வொரு Vஇலும், :(1):n உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு நேரியல் சார்பற்ற உட்கணம் இருந்தாகவேண்டும்; :(2): n+1 உறுப்புகள் கொண்ட ஒவ்வொரு உட்கணமும் நேரியல் சார்புள்ளதே. :(3): n உறுப்புகள் கொண்ட ஒவ்வொரு நேரியல் சார்பற்ற உட்கணமும் ஒரு அடுக்களம். :* B = \{v_1, v_2, ..., v_n\}, மற்றும் [B] = V ஆக இருக்குமானால், கீழேயுள்ள இரண்டும் சமானம்: : (a): B நேரியல் சார்பற்றது. : (b): V இலுள்ள ஒவ்வொரு v க்கும், v = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... + \alpha_n v_n என்ற கோவை தனிப்பட்டது (= இரண்டற்றது, unique).
கேள்வி: திசையன் வெளியின் அடுக்களம் - நேரியல் கோப்பு ஆக்கச்செயல்முறை பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: U, V ஒரே அளவெண்களங்களையுடைய இரு திசையன்வெளிகள் எனக்கொள்வோம். U வின் ஒரு அடுக்களமாக B = \{u_1, u_2, ... , u_n\} ஐக்கொள்க. இப்பொழுது T(u_i) ஐ ( i= 1,2, ..., n) V இல் எந்தத் திசையன்களாகவும் கொண்டு T யை ஒரு நேரியல் கோப்பு முடியும். நாம் செய்யவேண்டியதெல்லாம் ஒரேஒரு வரையறைதான். அ-து, :: T(\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + ... +\alpha_n u_n) = \alpha_1 T(u_1) +\alpha_2 T(u_2) + .... + \alpha_n T(u_n) ::எ.கா.: V_2 \rightarrow V_4 : B = \{(1,1), (1,-1)\}. இது V_2 வில் ஒரு அடுக்களம். : T(1,1) = ? \in V_4 : T(1,-1) = ? \in V_4. : (*) T(1,1) = (1,1,0,0) என்றும் : (**) T(1,-1) = (0,0,0,0) என்றும் கொள்வோமாக. : V இல் (x,y) ஏதாவதொரு உறுப்பானால், முதலில் நாம் தீர்மானிக்கவேண்டியது (x,y) = ?(1,1) + ?(1,-1). : எளிதில் இதை கண்டுபிடித்துவிடலாம். : (x,y) = \frac {x+y}{2} (1,1) + \frac{x-y}{2} (1,-1) : ஃ T(x,y)) = \frac{x+y}{2} T(1,1) + \frac{x-y}{2} T(1,-1) ::: = \frac{x+y}{2} (1,1,0,0) + \frac{x-y}{2} (0,0,0,0) ::: = \left(\frac{x+y}{2}, \frac{x+y}{2}, 0, 0\right). : ஆக,நாம் வேண்டிய நேரியல் கோப்பு T : (x,y) \mapsto \left(\frac{x+y}{2}, \frac{x+y}{2}, 0, 0\right). : (*), (**) இரண்டையும் நம் விருப்பப்படி மாற்ற, மாற்ற, வெவ்வேறு நேரியல் கோப்புகள் கிடைக்கும்.