கேள்வி: நியமவிலகல் - சூத்திரத்தை எளிதாக்குதல் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: இருமடி செய்யப்பட்ட சாய்வுகளின் கூடுதல் கணக்கீட்டை பின்வருமாறு எளிதாக்கலாம்: :\begin{align} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2 &amp; = {} \sum_{i=1}^N (x_i^2 - 2 x_i\overline{x} + \overline{x}^2) \\ &amp; {} = \left(\sum_{i=1}^N x_i^2\right) - \left(2 \overline{x} \sum_{i=1}^N x_i\right) + N\overline{x}^2 \\ &amp; {} = \left(\sum_{i=1}^N x_i^2\right) - 2 \overline{x} (N\overline{x}) + N\overline{x}^2 \\ &amp; {} = \left(\sum_{i=1}^N x_i^2\right) - 2N\overline{x}^2 + N\overline{x}^2 \\ &amp; {} = \left(\sum_{i=1}^N x_i^2\right) - N\overline{x}^2. \end{align} நியமவிலகலின் கணக்கிடுதலை எளிதாக்க, அசல் சூத்திரத்திற்குப் பதில் பின்வருவதைப் பயன்படுத்தலாம்: : \sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \left(\left(\sum_{i=1}^N x_i^2\right) - N\overline{x}^2\right)} = \sqrt{\frac{1}{N} \left(\sum_{i=1}^N x_i^2\right) - \overline{x}^2}.
கேள்வி: நியமவிலகல் - மாதிரி நியமவிலகலினால் என்பது என்ன?
பதில்: σ - காண பெரும்பாலும் முக்கியமாக பயன்படுத்தப்படும் மதிப்பான் "s" ஆனது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது: : s = \sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2}, \scriptstyle\{x_1,\,x_2,\,\ldots,\,x_N\} மாதிரியாகவும் \scriptstyle\overline{x} அதன் சராசரியாகவும் உள்ளன. இது ''மாதிரி நியமவிலகல்'' என அழைக்கப்படுகிறது. ''N'' − 1 என்ற வகுக்கும் எண் மீதிகளின் திசையன்களின் சுதந்திர அளவுகளின் எண்ணுக்கு ஒத்ததாக உள்ளது. :\scriptstyle(x_1-\overline{x},\,\dots,\,x_N-\overline{x}). ''N'' க்கு பதிலாக ''N'' − 1 ஐ பயன்படுத்தும் இந்த சரிசெய்தல், ''பெஸல்ஸ் சரிசெய்தல்'' எனப்படுகிறது. முழுமைத்தொகுதியிலிருந்து மாதிரித் தரவின் உறுப்புகள் திருப்பி வைக்கப்படும் முறையில் சார்பிலா முறையில் எடுக்கப்பட்டிருந்தால், முழுமைத்தொகுதியின் நியமவிலகல் σ2 க்கான நடுநிலையான மதிப்பானாக ''s'' 2 இருக்கிறது என்பதே இந்த சரிசெய்தலுக்கான காரணமாகும்.
கேள்வி: நியமவிலகல் - பண்புகளும் முற்றொருமைகளும் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: மாறிலி (கணிதம்) ''c'' மற்றும் சமவாய்ப்பு மாறிகள் ''X'' மற்றும் ''Y'' : : \operatorname{stdev}(c) = 0 \, : \operatorname{stdev}(X + c) = \operatorname{stdev}(X) \,, : \operatorname{stdev}(cX) = |c|\,\operatorname{stdev}(X) \,, இரு சமவாய்ப்பு மாறிகளின் கூடுதலின் நியமவிலகலை அவற்றின் தனித்தனி நியமவிலகல்கள் மற்றும் அவற்றின் உடன் மாறுபாட்டெண்ணுடன் தொடர்புபடுத்தலாம்: : \operatorname{stdev}(X + Y) = \sqrt{\operatorname{var}(X) + \operatorname{var}(Y) + 2\operatorname{cov}(X,Y)} \,, : \operatorname{stdev}(X) = \sqrt{E[(X-E(X))^2]} = \sqrt{E[X^2] - (E[X])^2}. மாதிரி நியமவிலகல் காண: : \operatorname{stdev}(X) = \sqrt{\frac{N}{N-1}} \sqrt{E[(X-E(X))^2]}. சமமான நிகழ்தகவு கொண்ட முடிவுறு முழுமைத்தொகுதியின் நியமவிலகல் காண: : \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x})^2} = \sqrt{\frac{1}{N} \left(\sum_{i=1}^N x_i^2\right) - \overline{x}^2} = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i^2 - \left(\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i\right)^2}.
கேள்வி: நியமவிலகல் - பயன்பாடு உதாரணம் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: தரவின் மதிப்புக்கள் சராசரியிலிருந்து எந்தளவிற்கு மாறுபட்டிருக்கிறது என்பதை அறிந்து கொள்வதுதான் நியமவிலகலின் அளவைப் புரிந்து கொள்வதில் அடங்கியிருக்கிறது.
கேள்வி: நியமவிலகல் - நிதி பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: நிதித்துறையில் நியமவிலகல் என்பது வழங்கப்பட்ட பாதுகாப்புப் பத்திரங்களோடு (பங்குகள், பாண்டுகள், சொத்து மற்றும் இன்னபிற) இணைந்துள்ள அபாயத்தை குறிப்பிடுவதாகும், அல்லது பங்குப்பட்டியல்களோடு (செயல்பாட்டுரீதியில் நிர்வகிக்கப்பட்ட பரஸ்பர நிதிகள், குறியீட்டெண் பரஸ்பர நிதிகள், அல்லது இடிஎஃப்கள்) இணைந்துள்ள அபாயத்தைக் குறிப்பதாகும். முதலீடுகளின் பட்டியலை பயன்மிக்க முறையில் எவ்வாறு கையாளுவது என்பதைப் தீர்மானிப்பதில் அபாயம் என்பது ஒரு முக்கியமான காரணியாகும், ஏனென்றால் சொத்து மற்றும்/அல்லது பங்குப்பட்டியலின் மீதான ஆதாயங்களில் ஏற்படும் மாறுபாடுகளைத் தீர்மானிக்கிறது என்பதுடன் முதலீட்டு முடிவுகளுக்கான கணித அடிப்படையை முதலீட்டாளர்களுக்கு வழங்குகிறது. அபாயத்தின் ஒட்டுமொத்தமான கருத்தாக்கம், இது அதிகரிக்கும்போது சொத்தின் மீதான எதிர்பார்க்கப்பட்ட ஆதாயமானது அபாய பிரீமியம் பெறப்பட்டதன் விளைவாக அதிகரிக்கும் - வேறுவகையில் சொல்வதென்றால், முதலீடு அதிக அளவிலான அபாயத்தைக் கொண்டிருக்கும்போது அல்லது ஆதாயத்தின் நிச்சயத்தன்மை நிலவும்போது முதலீட்டின் மீதான ஆதாயத்தை முதலீட்டாளர் அதிகமாக எதிர்பார்க்க வேண்டும். முதலீடுகளை மதிப்பிடும்போது, முதலீட்டாளர்கள் எதிர்பார்ப்பு ஆதாயம் மற்றும் எதிர்கால ஆதாயங்களின் நிச்சயத்தன்மை ஆகிய இரண்டையுமே மதிப்பிட வேண்டும். எதிர்கால ஆதாயங்களின் நிச்சயமில்லாத்தன்மையின் அளவுரு மதிப்பீட்டை நியமவிலகல் வழங்குகிறது. உதாரணத்திற்கு, ஒரு முதலீட்டாளர் இரண்டு பங்குகளுக்கிடையே ஒன்றை தேர்வு செய்ய வேண்டும் என்று அனுமானிப்போம். கடந்த 20 ஆண்டுகளில் பங்கு A 20 சதவிகிதப் புள்ளிகள் நியமவிலகலுடன் 10 சதவிகித சராசரி ஆதாயத்தைக் கொண்டிருக்கிறது, அதே காலகட்டத்தில் பங்கு B 12 சதவிகித ஆதாயத்தையும் ஆனால் 30 சதவிகிதப் புள்ளிகள் உயர் நியமவிலகலைப் பெற்றிருக்கிறது. அபாயம் மற்றும் ஆதாயத்தின் அடிப்படையில் ஒரு முதலீட்டாளர் பங்கு A ஐ பாதுகாப்பான தேர்வாக தீர்மானிக்கலாம், ஏனென்றால் பங்கு B இன் 2 சதவிகித புள்ளிகள் ஆதாயம் கூடுதலான 10 சதவிகிதப் புள்ளிகள் நியமவிலகலிற்கு தகுதியானது அல்ல (எதிர்பார்க்கப்பட்ட ஆதாயத்தின் பெரிய அபாயம் அல்லது நி்ச்சமின்மை). பங்கு B ஆனது ஒரே சூழ்நிலையில் பங்கு A ஐக் காட்டிலும் மிகத்தொடர்ச்சியாக தொடக்க முதலீட்டிற்கும் குறைந்துபோவதற்கான வாய்ப்புள்ளது (ஆனால் தொடக்க முதலீட்டையும் தாண்டிச்செல்கிறது) என்பதுடன் சராசரியின் மீது 2 சதவிகித ஆதாயத்திற்கு மட்டுமே மதிப்பிடப்படுகிறது. இந்த உதாரணத்தில், எதிர்கால வருட ஆதாயங்களின் ஏறத்தாழ மூன்றில் இரண்டு பங்கிற்கு 20 சதவிகிதப் புள்ளி கூடவோ அல்லது குறைவாகவோ ஏறத்தாழ 10 சதவிகித ஆதாயம் கிடைக்கும் என்று பங்கு A எதிர்பார்க்கப்படுகிறது. எதிர்காலத்தில் கிடைக்கக்கூடிய மிக அதிகமாக சாத்தியமுள்ள ஆதாயங்கள் அல்லது முடிவுகளை பரிசீலனை செய்கையில் ஒரு முதலீட்டாளர் 10 சதவிகிதத்துடன் அல்லது குறைவாக 60 சதவிகிதப் புள்ளிகள் அல்லது 70 சதவிகிதம் முதல் (-)50 சதவிகிதம் வரை எதிர்பார்க்க வேண்டும், இது சராசரி ஆதாயத்திலிருந்து மூன்று நியமவிலகல்களுக்கான முடிவுகளை உள்ளிட்டிருக்கிறது (கிட்டத்தட்ட 99.7 சதவிகித சாத்தியமுள்ள ஆதாயங்கள்). குறிப்பிட்ட கால அளவுகளுக்கு பத்திரத்தின் சராசரி ஆதாயத்தைக் கணக்கிடுவது சொத்தின் மீதான எதிர்பார்க்கப்பட்ட ஆதாயத்தை உருவாக்கும். ஒவ்வொரு காலகட்டத்திற்கும், அசல் ஆதாயத்திலிருந்து எதிர்பார்க்கப்பட்ட ஆதாயத்தைக் கழித்து மாறுபாடு காண வேண்டும். சொத்தின் ஒட்டுமொத்த அபாயத்தின் மீதான முடிவின் விளைவைக் கண்டுபிடிக்க, ஒவ்வொரு காலகட்டத்திலும் உள்ள மாறுபாட்டை இருமடி செய்யவேண்டும். ஒரு காலகட்டத்திலான மாறுபாட்டின் பெருக்கம் செக்யூரிட்டி அதிக அபாயத்தைக் கொண்டிருப்பதைக் குறிப்பிடுகிறது. இருமடி செய்யப்பட்ட மாறுபாடுகளின் சராசரி, ஒட்டுமொத்த அபாயத்தின் அளவீட்டைத் தரும். இந்த மாறுபாட்டின் வர்க்கமூலம் முதலீட்டின் நியமவிலகலாகும். முழுத்தொகுதி நியமவிலகல், பரவலாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட தொழில்நுட்ப பகுப்பாய்வுக் கருவியான போலிங்கர் பேண்டுகளின் அகலத்தை அமைப்பதற்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது. உதாரணத்திற்கு, மேல்புற போலிங்கர் பேண்டு பின்வருமாறு வழங்கப்பட்டிருக்கிறது: :\bar{x} + n * \sigma{x}
கேள்வி: நியமவிலகல் - வடிவகணித பொருள் விளக்கம் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: நியமவிலகலின் வடிவகணித விளக்கம் காண, ''x'' 1, ''x'' 2, ''x'' 3 மதிப்புகளுடைய தரவை எடுத்துக் கொள்ளலாம். இவை R 3 இல், ஒரு புள்ளி ''P'' = (''x'' 1, ''x'' 2, ''x'' 3) ஐக் குறிக்கும். ''L'' = {({0}r, ''r'' , ''r'' ) : ''r'' in R } தரும் கோட்டையும் கணக்கில் கொள்ள, இது ஆதி (கணிதம்) வழியாக செல்லும் "முக்கிய மூலைவிட்டமாகும்". எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட மூன்று மதிப்புகள் ''x'' 1, ''x'' 2, ''x'' 3 சமமானவையாக இருந்தால் இத்தரவின் நியமவிலகல் பூச்சியமாகவும், புள்ளி ''P'' ஆனது ''L'' கோட்டிலும் இருக்கும். எனவே நியமவிலகலானது ''P'' முதல் ''L'' வரையிலான ''தொலைவிற்கு'' தொடர்புடையதாக இருக்கிறது. \overline{x} என்பது எடுத்துக்கொண்ட மூன்று மதிப்புகளின் சராசரி எனில், ''P'' இல் இருந்து ''L'' கோட்டிற்குள்ள செங்குத்து தொலைவு, கோட்டின் மீதுள்ள புள்ளி R = (\overline{x},\overline{x},\overline{x}) க்கும், புள்ளி ''P'' க்கும் இடையேயுள்ள தொலைவாகும். இத்தொலைவு, ''x'' 1, ''x'' 2, ''x'' 3 திசையனின் நியமவிலகலை அத்திசையனின் பரிமாண எண்ணால் பெருக்கக் கிடைக்கும். அதாவது: ::PR = \sqrt3 \sigma ::\sigma = \frac {PR}{\sqrt3}