கேள்வி: கோளத்தில் நேர்மாற்றம் - வரையறை என்பது என்ன?
பதில்: கோள நேர்மாற்றமானது பெரும்பாலும் வாள்முனை ஆள்கூற்று முறைமையைப் பயன்படுத்தி எளிதாக விவரிக்கப்படுகிறது. கோளத்தின் மையம் ஆள்கூற்று முறைமையின் ஆதி (கணிதம்) இருக்குமாறும், கோளத்தின் ஆரத்தை ஓரலகாகவும் எடுத்துக்கொண்டால், எல்லாப் புள்ளிகளையும் ''r''v வடிவில் எழுதலாம். இதில், ஆதியிலிருந்து புள்ளி அமையும் தொலைவு ''r'' அலகு; v அலகு திசையன். மேலும் ஆதியைத் தவிர்த்த பிற புள்ளிகள் அனைத்தின் இந்தக் குறியீடும் தனித்துவமானதாகும். இம்முறையில் குறிக்கப்படும் ஒரு புள்ளியின் நேர்மாறின் குறியீடு ''r''−1v. கோளத்தின் மையத்தின் நேர்மாறு இவ்வாறு வரையறுக்கப்படவில்லை என்றாலும் அதனை முடிவிலிப் புள்ளியாகக் கொள்ளலாம்.
கேள்வி: கோளத்தில் நேர்மாற்றம் - நிறுவல்கள் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: குறிப்பீட்டுக் கோளம் Σ என்க. குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் O, ஆரம் r. இக்கோளம் {O, r} எனக் குறிக்கப்படுகிறது. ;நிறுவலில் பயன்படுத்தப்படும் மூன்று எளிய முடிவுகள் #வடிவொப்புமை (வடிவவியல்) # அரைவட்டம் அமையும் கோணம், செங்கோணம் (90o). #ஒரு முக்கோணம் மூன்று கோணங்களின் கூடுதல் 180o, எனவே ஒரு முக்கோணத்தின் வெளிக்கோணத்தின் அளவு முக்கோணத்தின் மற்ற இரு உட்கோணங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம். ;நிறுவலுக்குத் தேவையான முடிவுகள் * குறிப்பீட்டுக் கோள மையம் O லிருந்து n (> 0) அலகு தூரத்தில் அமையும் புள்ளி P. * OP.OP' = r2 என்ற முடிவை நிறைவு செய்யுமாறு OP கதிரில் புள்ளி P' இருந்தால், P, P' இரண்டும் ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறுப் புள்ளிகளாகும். * n > r எனில், OP' < r ஆகும். எனவே P', Σ இன் உட்புறம் அமையும் (எதிர்மாறு கூற்றும் உண்மை). * Σ இன் மீதமையும் புள்ளிகள் மட்டுமே கோள நேர்மாற்றத்தில் தன் -நேர்மாறுப் புள்ளிகள் ஆகும்..
கேள்வி: கோளத்தில் நேர்மாற்றம் - இரு புள்ளிகளின் நேர்மாறு பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: File:Nverin a sphere, Fig 2.jpg * எடுத்துக்கொள்ளப்படும் இருபுள்ளிகள் A, B இன் நேர்மாறுகள் A', B' எனில்; OA'.OA = r2, OB'.OB = r2. * எனவே OA'/OB' = OB/OA. * ∠AOB = ∠B'OA' என்பதால், முக்கோணங்கள் AOB, B'OA' இரண்டும் வடிவொத்தவை. * ஃ ∠OAB = ∠OB'A', ∠OBA = ∠OA'B'. (இம்முடிவு பின்வரும் நிறுவல்களில் பயன்படுத்தப்ப்பட்டுள்ளது)
கேள்வி: கோளத்தில் நேர்மாற்றம் - கோளத்தின் நேர்மாறு பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: பொதுவாக, ஒரு கோளத்தின் நேர்மாறு ஒரு கோளமாகவே இருக்கும். எனினும், குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின் வழியாகச் செல்லும் கோளத்தின் நேர்மாறு ஒரு தளமாக இருக்கும். எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட கோளம் {A, a} என்க. அதாவது இக்கோளத்தின் மையம் A, ஆரம் a > 0. *குறிப்பீட்டுக் கோளத்தை {A, a} கோளம் வெட்டினால்: ::அவை வெட்டிக்கொள்ளும் வட்டத்தின் மீதமையும் புள்ளிகள் மட்டுமே தன்-நேர்மாறுப் புள்ளிகளாக இருக்கும். *புள்ளி A ஆனது O இல் அமையுமானால்: ::கோளம் {A, a} இன் நேர்மாறு ஒரே மையங்கொண்ட கோளமாகவும் அதன் ஆரம் r2/a அலகாகவும் இருக்கும். குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின் வழியாகச் செல்லும் கோளத்தின் நேர்மாறு * {A, a} கோளத்தின் மீது குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் O அமைகிறது என்க * கோளம் {A, a} இன் மீது O க்கு விட்டவாக்கில் நேரெதிர் புள்ளியாக அமையும் புள்ளி P. அதன் நேர்மாறு P'. *{A, a} கோளத்தின் மீதமையும் ஏதேனும் வேறொரு புள்ளி X. அதன் நேர்மாறு X' . *இப்பொழுது ”இருபுள்ளிகளின் நேர்மாறு” முடிவின்படி, ::∠OP'X' = ∠OXP * ஆனால், ∠OXP = 90o * ஃ ∠OP'X' = 90o * P' வழிச்செல்லும், OP'. க்குச் செங்குத்தான தளத்தின்மீது X' அமையும். *மேலும் {A, a} கோளத்தின் மீதமையும் ஏனைய பிற புள்ளிகளுக்கும் இது உண்மையாகும். எனவே நேர்மாற்றப்படும் கோளம் குறிப்பீட்டுக் கோளமையத்தின் வழிச் செல்லும்போது அதன் நேர்மாறு ஒரு தளமாகும்.
கேள்வி: கோளத்தில் நேர்மாற்றம் - வெளியிணைப்புகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: * Weisstein, Eric W. "Inversion Sphere." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/InversionSphere.html *[https://books.google.co.in/books?isbn=0821826360 Inversion Theory and Conformal Mapping] பகுப்பு:வடிவவியல்