கேள்வி: புள்ளிப் பெருக்கல் - வடிவவியல் விளக்கம் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: Image:Scalarproduct.gif யூக்ளீடிய இட வெளியில் இந்த புள்ளிப் பெருக்கலுக்கும் நீளத்திற்கும் கோணத்திற்கும் நெருங்கிய தொடர்புண்டு. a என்னும் திசையன் தொடர்பாக a•a என்பது a ஐ பக்கமாகக் கொண்ட சதுரத்தின் பரப்பளவுக்குச் சமம். இன்னும் பொதுவாக எண்ணினால் இரண்டாவது திசையன் b ஆக இருக்குமானால் : \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}| \cos \theta \, மேலுள்ளதில் |a| யும் |b| யும் a மற்றும் b நீளத்தை (பரும அளவைக்) குறிக்கும். θ என்பது இரண்டிற்கும் இடையே உள்ள கோணத்தைக் குறிக்கும். |a|•cos(θ) என்பது b யின் மீது படியும் a யின் படிநிழல் ஆகையால், புள்ளிப் பெருக்கல் என்பது b யின் நீளத்தோடு பெருக்கப்படும் a யின் படிநிழல் என்று புரிந்து கொள்ளலாம். cosine 90° இன் மதிப்பு சுழி (0) ஆகையால் இரு செங்குத்தான திசையன்களின் புள்ளிப் பெருக்கல் தொகை சுழியாகும் (0). a , b ஆகிய இரண்டின் நீளம் ஓர் அலகாக இருப்பின் , அவைகளின் புள்ளிப் பெருக்கல் அவைகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைன் (முக்கோணவியல்) மதிப்பைத் தரும். எனவே இரு திசையன்களுக்கும் இடையே உள்ள கோணத்தை அறிய கீழ்க்காணும் வாய்பாட்டை (வாய்பாடு = உண்மைக் கூற்று, சமன்பாடு) பயன்படுத்தலாம்: : \theta = \arccos \left( \frac {\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}} {|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}\right).