கேள்வி: தொலெமியின் தேற்றம் - நிறுவல் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: Image:Ptolemy's theorem.svg # ABCD ஒரு வட்ட நாற்கரம் # நாண் BC இல், ∠BAC = ∠BDC; நாண் AB இல், ∠ADB = ∠ACB. # ∠ABK = ∠CBD என்றவாறு AC இன் மீது K புள்ளி குறிக்கப்படுகிறது; ## ∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD என்பதால், ∠CBK = ∠ABD. # இப்பொழுது △ABK , △DBC இரண்டும் வடிவொப்புமை (வடிவவியல்); அதேபோல் △ABD, △KBC இரண்டும் வடிவொத்தவை. # எனவே AK/AB = CD/BD; CK/BC = DA/BD; ## அதாவது AK·BD = AB·CD; CK·BD = BC·DA; ## இவ்விரண்டையும் கூட்ட: AK·BD + CK·BD = AB·CD + BC·DA; ## (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA; ## AK+CK = AC என்பதால், AC·BD = AB·CD + BC·DA தொலெமியின் தேற்றம் நிறுவப்பட்டது. (எளிய வட்ட நாற்கரங்களுக்கு மட்டுமே இந்த நிறுவல் சரியானது. சிக்கலான நாற்கரங்களுக்கு புள்ளி K, கோட்டுத்துண்டு AC இல் வெளிப்பக்கமாக அமையும். இதனால் AK&minus;CK=±AC)
கேள்வி: தொலெமியின் தேற்றம் - தொலெமியின் சமமின்மை பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: Image:Ptolemy Inequality.svg தொலமியின் தேற்றத்தில் தரப்பட்டுள்ள சமன்பாடு வட்டத்துக்குள் வரையப்படாத நாற்கரங்களுக்கு உண்மையாக இருக்காது. வட்ட நாற்கரத்துக்கு மட்டும் பொருந்தும் இச்சமன்பாடு பிற நாற்கரங்களுக்கும் பொருந்தும் சமனின்மையாக நீட்டிக்கப்பட்டு, தொலெமியின் சமனின்மை என அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு நாற்கரம் ''ABCD'' இல், : \overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot \overline{DA} \ge \overline{AC}\cdot \overline{BD} நாற்கரம் வட்ட நாற்கரமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இந்தச் சமனின்மையின் சமக்குறி உண்மையாக இருக்கும்.