கேள்வி: எதிர்மறுப்பு நிறுவல் - 2 இன் வர்க்கமூலம் ஒரு விகிதமுறா எண் என்பது என்ன?
பதில்: ’2 இன் வர்க்கமூலம் ஒரு விகிதமுறா எண்’ என்ற கூற்றை நிறுவ பழங்காலத்திலிருந்தே எதிர்மறுப்பு நிறுவல் முறை பயன்படுத்தப்பட்டு வருகிறது. ;நிறுவல் :2-இன் வர்க்கமூலம் ஒரு விகிதமுறா எண் அல்ல என எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது. :இந்நிலையில் 2-இன் வர்க்கமூலம் ஒரு விகிதமுறு எண்ணாக இருக்க வேண்டும். :விகிதமுறு எண் என்பதால், √ = ''a''/''b'' என (சுருக்கவியலாப் பின்னம் வடிவில் எழுதலாம். :இப்பின்ன வடிவில் உள்ள ''a'' , ''b'' இரண்டும் முழு எண்கள்; மேலும் எளிய வடிவ பின்னம் என்பதால், குறைந்தபட்சம் இரண்டில் ஒன்று ஒற்றை எண்ணாக இருக்கும். :''a''/''b'' = √ என்பதால், ''a''2 = 2''b''2. :அதாவது ''a''2 ஒரு இரட்டை எண். :ஒரு ஒற்றை எண்ணின் வர்க்கம் (கணிதம்) ஒற்றை எண்ணாகவே இருக்க முடியும். எனவே, இரட்டை வர்க்க எண் கொண்ட ''a'' ஒரு இரட்டை எண் :a/b எளிய வடிவில் உள்ளது, மேலும் ''a'' ஒரு இரட்டை எண். எனவே ''b'' ஒரு ஒற்றை எண்ணாகத்தான் இருக்க வேண்டும் மாறாக, :''a'' இரட்டை எண்; அதனால் ''a''2 = 4 இன் மடங்கு. :''a''2 = 2''b''2 = 4 இன் மடங்கு :இதனால் ''b''2 ஒரு இரட்டை எண். அதாவது ''b'' ஒரு இரட்டை எண். ''b'' ஒற்றை எண்ணாகவும் அதே சமயம் இரட்டை எண்ணாகவும் உள்ளது. இது ஒரு முரண்பாடு. எனவே √ ஒரு விகிதமுறா எண் அல்ல; அது ஒரு விகிதமுறு எண்; அதனை இரு எளிய பின்ன வடிவில் எழுதலாம் என நிறுவலின் தொடக்கத்தில் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட நிலை தவறு. √ ஒரு விகிதமுறா எண்ணே. இவ்வாறு, ‘2-இன் வர்க்கமூலம் ஒரு விகிதமுறா எண்’ என்ற கூற்று எதிர்மறுப்பு நிறுவல் முறையில் நிறுவப்படுகிறது.