கேள்வி: பிரெட்ஷ்ணைடரின் வாய்பாடு - நிறுவல் பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: நாற்கரத்தின் பரப்பை ''K'' எனக் குறித்தால்: : \begin{align} K &= \text{area of} \triangle ADB + \text{area of} \triangle BDC \\ &= \frac{a d \sin \alpha}{2} + \frac{b c \sin \gamma}{2}. \end{align} : \begin{align} 2K = a d \sin \alpha + b c \sin \gamma. \end{align} வர்க்கம் (கணிதம்) காண (இருமடியாக்க): : 4K^2 = (ad)^2 \sin^2 \alpha + (bc)^2 \sin^2 \gamma + 2abcd \sin \alpha \sin \gamma. \, ------(1) கோசைன் விதி: :BD^2 = a^2 + d^2 -2ad \cos \alpha = b^2 + c^2 -2bc \cos \gamma, \, a^2 +d^2 -b^2 -c^2 = 2ad \cos \alpha -2bc \cos \gamma, \, \frac{a^2 +d^2 -b^2 -c^2}{2} = ad \cos \alpha -bc \cos \gamma, \, வர்க்கம் காண (இருமடியாக்க): :\frac{(a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2}{4} = (ad)^2 \cos^2 \alpha +(bc)^2 \cos^2 \gamma -2 abcd \cos \alpha \cos \gamma. \,----------(2) (1), (2) இரண்டையும் கூட்ட: :4K^2 + \frac{(b^2 + c^2 - a^2 - d^2)^2}{4} = (ad)^2 + (bc)^2 - 2abcd \cdot \cos (\alpha + \gamma). \, :16K^2 = - (b^2 + c^2 - a^2 - d^2)^2 + 4(ad)^2 + 4(bc)^2 - 8abcd \cdot \cos (\alpha + \gamma). \, :16K^2 = - (b^2 + c^2 - a^2 - d^2)^2 + 4(ad)^2 + 4(bc)^2 - 8abcd\cdot (2\cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right) - 1). \, :16K^2 = - (b^2 + c^2 - a^2 - d^2)^2 + 4(ad)^2 + 4(bc)^2 + 8abcd - 16abcd \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right) \, :16K^2 = (2(ad)+2(bc))^2- (b^2 + c^2 - a^2 - d^2)^2 - 16abcd \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right) \, இதனைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்: :16K^2 = (a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a) - 16abcd \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right). அரைச்சுற்றளவு: :s = \frac{a+b+c+d}{2}, -ஐப் பயன்படுத்த: :(b+c+d-a) = 2(s-a) :(a+c+d-b) = 2(s-b) :(a+b+d-c) = 2(s-c) :(a+b+c-d) = 2(s-d) இம்மதிப்புகளைப் பிரதியிட: :16K^2 = 16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - 16abcd \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right) :K^2 = (s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right) வர்க்கமூலம் காண, குவிவு நாற்கரத்தின் பரப்பு காணும் பிரெட்ஷ்ணைடரின் வாய்பாடு கிடைக்கிறது: : K = \sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)}.