கேள்வி: பிரம்மகுப்தரின் வாய்பாடு - வட்டத்துக்குள் அமையாத நாற்கரங்களுக்கு நீட்டிப்பு என்பது என்ன?
பதில்: வட்டத்துக்குள் அமையாத நாற்கரங்களின் பரப்பு காண்பதற்கு பிரம்மகுப்தரின் வாய்ப்பாட்டை நீட்டித்துக் கொள்ளலாம். இதற்கு நாற்கரங்களின் எதிர்க் கோணங்களின் அளவுகளைக் கருத்தில் கொள்ளல் வேண்டும். : K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos^2\theta} இது பிரெட்ஷ்ணைடரின் வாய்பாடு இங்கு θ, நாற்கரத்தின் ஏதேனும் ஒரு சோடி எதிர்க் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையில் பாதி. இரண்டு சோடி எதிர்க் கோணங்களில் எந்த சோடியை வேண்டுமானாலும் எடுத்துக் கொள்ளலாம். ஏனெனில் மற்றொரு சோடி எதிர்க்கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையில் பாதியானது, (180- θ) -ஆக இருக்கும். cos(180°&nbsp;&minus;&nbsp;θ) = &minus;cosθ, cos2(180°&nbsp;&minus;&nbsp;θ) = cos2θ. தரப்பட்ட பக்க நீளங்களைக் கொண்ட நாற்கரங்களிலேயே வட்ட நாற்கரங்கள் தான் மீப்பெரு பரப்புடையவை. பொது நாற்கரங்களின் பரப்பு வாய்ப்பாட்டிலிருந்து வட்ட நாற்கரங்களின் பரப்பு காணும் வாய்ப்பாட்டைப் பெறுதல்: வட்ட நாற்கரங்களின் பண்பின்படி அதன் எதிர்க் கோணங்கள் மிகைநிரப்புக் கோணங்கள். எனவே அவற்றின் கூடுதல் 180°, இக்கூடுதலின் பாதியளவு 90° : ஃ abcd\cos^2\theta=abcd\cos^2 \left(90^\circ\right)=abcd\cdot0=0, \, எனவே பரப்பு வாய்ப்பாட்டில் இதைப் பிரதியிட வட்ட நாற்கரத்தின் பரப்பு காணும் பிரம்மகுப்தரின் வாய்ப்பாடு கிடைக்கிறது: :K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} ஜூலியன் கூலிட்ஜ் -ஆல் நிறுவப்பட்ட பொதுக் குவிவு நாற்கரங்களின் பரப்பு காணும் வாய்ப்பாடு:J. L. Coolidge, "A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral", ''American Mathematical Monthly'', 46 (1939) pp. 345-347. : K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\textstyle{1\over4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}\, இங்கு ''p'' மற்றும் ''q'' -நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்களின் நீளங்கள். டாலமியின் தேற்றம், ஒரு வட்ட நாற்கரத்திற்கு, pq=ac+bd -ஆக இருக்கும். இம்மதிப்பைப் பிரதியிட கூலிட்ஜின் வாய்ப்பாடு, பிரம்மகுப்தரின் வாய்ப்பாடாக மாறும்.