கேள்வி: இசை எண் - வகுபடும்தன்மை குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ஐத் தவிர வேறெந்த இசையெண்ணும் ஒரு முழு எண் அல்ல. See in particular Theorem 1, p. 516. H_n முழுவெண் அல்ல என்பதை நிரூபிக்க, 2^k என்ற வரையிலமைந்த மிகப்பெரிய இரண்டின் வலு எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்; எண்களின் மீச்சிறு பொது மடங்கு M எனில், H_k ஐ சம பகுதிகளைக் கொண்ட பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதலாம்: H_n=\sum_{i=1}^n \tfrac{M/i}{M} இப்பின்னங்களின் தொகுதிகளில் என்ற ஒன்றுமட்டுமே நிகரி (கணிதம்) எண்ணாகவும் மற்றவையெல்லாம் இரட்டைப்படை எண்ணாகவும் இருக்கும். மேலும் எனில், M என்பதே இரட்டைப்படையாக இருக்கும். எனவே இப்பின்னங்கள் அனைத்தும் ஒற்றைப்படைத் தொகுதிகளையும் இரட்டைப்படைப் பகுதிகளையும் கொண்டிருக்கும். எனவே H_n முழுஎண்ணாக இருக்காது. மேலும் வலுவாக, தொடர்ந்த முழுஎண்களைக்கொண்ட எந்தவொரு தொடர்வரிசையிலும், அதன் மற்றெந்த உறுப்புகளையும் விடப் பெரிய இரண்டின் அடுக்கால் வகுபடக்கூடிய தனித்ததொரு உறுப்பு இருக்கும். மேற்கண்ட விதத்திலேயே விவாதிக்க, எந்தவிரு இசையெண்களின் வித்தியாசமும் ஒரு முழுஎண்ணாக இருக்காது என்பதை அறியலாம். இசையெண்கள் முழுஎண்களாக இருக்காது என்ற கூற்றை நிறுவும் மற்றொரு நிறுவல், H_n பின்னத்தின் பகுதியானது n/2 ஐ விடப் பெரிய பகா எண்களால் வகுபடும் என்பதையும், இப்பகா எண்களின் கணம் வெற்றுக்கணமாக இருக்காதென்பதற்கு பெர்ட்ரான்டின் எடுகோள் பயன்படுத்துகிறது. இந்நிறுவல் முறையானது H_1=1, H_2=1.5, H_6=2.45 ஆகியவற்றைத் தவிர வேறெந்த இசையெண்ணும் முடிவுறு தசமமாக இருக்காது என்பதை வலுவாகக் காட்டுகிறது. "ஒவ்வொரு பகாஎண்ணும் இசை எண்களின் முடிவுறு கண உறுப்புகளின் தொகுதிகளை மட்டுமே வகுக்கின்றன" என்ற கூற்று அனுமான நிலையில் உள்ளது; நிறுவப்படவில்லை.