கேள்வி: பரிமாற்றுத்தன்மை என்பது என்ன?
பதில்: கணிதம், ஒரு கணிதச் செயலைச் செய்யும்போது செயலுட்படுத்திகளின் (operands) வரிசை மாறினாலும் இறுதி முடிவின் மதிப்பு மாறாமல் இருக்குமானால் அந்தச் செயலி பரிமாற்றுத்தன்மை (''Commutativity'') உடையது எனப்படுகிறது. பரிமாற்றுத்தன்மையை அடிப்படைப் பண்பாகக் கொண்ட பல ஈருறுப்புச் செயலிகளைச் சார்ந்துள்ள கணித நிரூபணம் நிறைய உள்ளன. எண் கூட்டல் (கணிதம்) மற்றும் பெருக்கல் (கணிதம்) போன்ற எளிய செயலிகளின் பரிமாற்றுத்தன்மை பல ஆண்டுகாலங்களுக்கு முன்பே யூகிக்கப்பட்டிருந்தாலும் 19ம் நூற்றாண்டில் கணிதம் முறைப்படுத்தப்படும் வரை பெயரிடப்படாமலேதான் இருந்து வந்தது. கழித்தல் (கணிதம்), வகுத்தல் (கணிதம்) செயலிகளுக்குப் பரிமாற்றுப் பண்பு கிடையாது.
கேள்வி: பரிமாற்றுத்தன்மை - கணித அமைப்புகளும் பரிமாற்றுத்தன்மையும் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: *பரிமாற்று அரைக்குலம் ஈருறுப்புச் செயலி, சேர்ப்புப் பண்பு மற்றும் பரிமாற்றுப் பண்புகளுடையது. *பரிமாற்று அரைக்குலத்தில் கூடுதலாக செயலியின் முற்றொருமை உறுப்பு இருக்குமானால் அது பரிமாற்று ஒற்றைக்குலமாகும். (commutative monoid) *பரிமாற்றுக் குலம் செயலி பரிமாற்றுப் பண்பு கொண்டதாகும். *பரிமாற்று வளையம் (கணிதம்) பெருக்கல் செயலி, பரிமாற்றுப் பண்பு உடையதாகும். (வளையத்தின் கூட்டல் செயலிக்குப் பரிமாற்றுப் பண்பு ஏற்கனவே உண்டு.)Gallian p.236 *ஒரு களம் (கணிதம்) கூட்டல், பெருக்கல் ஆகிய இரு செயல்களுமே பரிமாற்றுப் பண்பு கொண்டவையாகும்.Gallian p.250