கேள்வி: எண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றம் - தனித்தன்மை என்பது என்ன?
பதில்: *தனித்தன்மையை நிறுவுவதற்காக, ''s'' > 1 என்ற முழுஎண் இருவிதமாகப் பகாஎண்களின் பெருக்கமாக உள்ளதென அனுமானித்துக் கொள்ளலாம்: : \begin{align} s &=p_1 p_2 \cdots p_m \\ &=q_1 q_2 \cdots q_n. \end{align} *தேற்றத்தின் படி ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் ஒரேயொரு விதத்தில்தான் பகாஎண்களின் பெருக்கமாக அமையும் என்பதை நிறுவ, ''m'' = ''n'' என்றும் ''q'j'' ஆனது ''p'i'' க்களின் மாற்றமைப்பு எனவும் காட்டவேண்டும். ;நிறுவற் படிநிலைகள் *யூக்ளிடின் முற்கோளின்படி, ''p''1 ஆனது ''q'j'' க்களில் ஏதாவது ஒன்றையாவது வகுக்கும்; அதனைக் ''q''1 எனக் கொள்ளலாம். இப்போது ''q''1 ஒரு பகாஎண்ணாகவும் உள்ளது, அதேசமயம் ''p''1 இன் வகுஎண்ணாகவும் உள்ளது எனவே ''p''1 = ''q''1 ஆக இருந்தால் மட்டுமே இது சாத்தியமாகும். :''p''1 = ''q''1 : \begin{align} \frac{s}{p_1} &=p_2 \cdots p_m \\ &=q_2 \cdots q_n. \end{align} *இதேபோல் ''p''2 ம் ''q'j'' க்களில் ஒன்றாக இருக்கும். ''p''2 = ''q''2 எனக் கொள்ள: : \begin{align} \frac{s}{p_1 p_2} &=p_3 \cdots p_m \\ &=q_3 \cdots q_n. \end{align} *இதிலிருந்து, ஒவ்வொரு ''p'i'' ம் ஏதாவதொரு ''q'j'' க்குச் சமமாக இருக்கும் என்பதையும் ''m'' ≤ ''n'' என்பதையும் அறியலாம். *இப்பொழுது p க்குப் பதில் qவையும் மற்றும் qக்குப் பதிலாக pவையும் மாற்றிக் கொண்டு இம் முயற்சியைத் தொடர, ஒவ்வொரு ''q'i'' ம் ஏதாவதொரு ''p'j'' க்குச் சமமாக இருக்கும் என்பதையும் ''n'' ≤ ''m'' என்பதையும் அறியலாம். *எனவே, ''m'' = ''n'' மற்றும் அனைத்து ''p'i'' க்களும் ''q'i'' க்களும் சமகாரணிகள். *இதனால் ஒரு முழுஎண்ணை ஒரேயொரு விதத்தில் மட்டுமே பகாஎண்களின் பெருக்கமாக எழுத முடியும் என்ற தனித்தன்மை நிறுவப்படுகிறது.