கேள்வி: பகுதிப் பின்னங்களாகப் பிரித்தல் - கலப்பு வகை பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: மேலே தரப்பட்ட அனைத்து வகைகளும் கலந்த ஒரு விகிதமுறு பின்னத்தை பகுதிப் பின்னங்களாகப் பிரித்தலுக்கான ஓர் எடுத்துக்காட்டு: : f(x)=\frac{x^9-2x^6+2x^5-7x^4+13x^3-11x^2+12x-4}{x^7-3x^6+5x^5-7x^4+7x^3-5x^2+3x-1} இப்பின்னத்தில் தொகுதியின் படியானது பகுதியின் படியை விடப் பெரியதாக இருப்பதால், முதலில் நீள்வகுத்தல் மூலம் கீழுள்ள வடிவிற்கு மாற்றப்படுகிறது. : f(x)=x^2+3x+4+\frac{2x^6-4x^5+5x^4-3x^3+x^2+3x}{(x-1)^3(x^2+1)^2} மீதிச் சார்பைப் பகுதிப் பின்னமாக்க, : \frac{2x^6-4x^5+5x^4-3x^3+x^2+3x}{(x-1)^3(x^2+1)^2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{(x-1)^3}+\frac{Dx+E}{x^2+1}+\frac{Fx+G}{(x^2+1)^2} இருபுறமும் (''x''&nbsp;&minus;&nbsp;1)3(''x''2 + 1)2 ஆல் பெருக்க, : \begin{align} & {} \quad 2x^6-4x^5+5x^4-3x^3+x^2+3x \\ & =A(x-1)^2(x^2+1)^2+B(x-1)(x^2+1)^2+C(x^2+1)^2+(Dx+E)(x-1)^3(x^2+1)+(Fx+G)(x-1)^3 \end{align} இதில், : ''x'' = 1 எனப் பதிலிட, 4 = 4''C'', ''C'' = 1. : ''x'' = சிக்கலெண் எனப் பதிலிட, 2 + 2''i'' = (''Fi'' + ''G'')(2 + 2''i''), ''Fi'' + ''G'' = 1. இதிலுள்ள மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகளைச் சமப்படுத்த, ''F'' = 0 , ''G'' = 1 எனக் கிடைக்கிறது. :''x'' = 0 எனப் பதிலிட, ''A'' − ''B'' + 1 − ''E'' − 1 = 0, ''E'' = ''A'' − ''B''. : \begin{align} & {} 2x^6-4x^5+5x^4-3x^3+x^2+3x \\ & = A(x-1)^2(x^2+1)^2+B(x-1)(x^2+1)^2+(x^2+1)^2+(Dx+(A-B))(x-1)^3(x^2+1)+(x-1)^3 \\ & = A((x-1)^2(x^2+1)^2 + (x-1)^3(x^2+1)) + B((x-1)(x^2+1) - (x-1)^3(x^2+1)) + (x^2+1)^2 + Dx(x-1)^3(x^2+1)+(x-1)^3 \end{align} ஐ விரித்து x இன் அடுக்குகளின் படி பிரித்தெழுத, : \begin{align} & {} 2 x^6 -4 x^5 +5 x^4 -3 x^3 + x^2 +3 x \\ & = (A + D) x^6 + (-A - 3D) x^5 + (2B + 4D + 1) x^4 + (-2B - 4D + 1) x^3 + (-A + 2B + 3D - 1) x^2 + (A - 2B - D + 3) x \end{align} x இன் சம அடுக்கு உறுப்புகளின் குணகங்களைச் சமப்படுத்த, : \begin{align} A + D &=& 2 \\ -A - 3D &=& -4 \\ 2B + 4D + 1 &=& 5 \\ -2B - 4D + 1 &=& -3 \\ -A + 2B + 3D - 1 &=& 1 \\ A - 2B - D + 3 &=& 3 , \end{align} :''A'' = 2 − ''D'' , −''A'' −3 ''D'' =−4 இரண்டையும் தீர்க்க, ''A'' = ''D'' = 1 எனக் கிடைக்கிறது. :2B + 4D + 1 &=& 5 இல் ''D'' = 1 எனப் பதிலிட, ''B'' = 0 ஆகும். : ''E'' = ''A'' − ''B'' = 1 ''A'' , ''B'' ''C'' ''D'', ''E'' ''F'' ''G'' இன் மதிப்புகளைப் பதிலிட, : f(x)=x^2+3x+4+\frac{1}{(x-1)} + \frac{1}{(x - 1)^3} + \frac{x + 1}{x^2+1}+\frac{1}{(x^2+1)^2}.