கேள்வி: சுழற்சி மேற்பரப்பு - பரப்பளவு வாய்பாடு பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: சுழற்றப்படும் வளைகோட்டின் #துணையலகுச் சமன்பாடுகள்: , , ( இன் மதிப்பு இடைவெளியில் அமையும்); #சுழற்சி அச்சு: -அச்சு #சுழற்சி மேற்பரப்பின் பரப்பளவு () எனில்: : A_y = 2 \pi \int_a^b x(t) \, \sqrt{\left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2} \, dt, இவ்வாய்பாட்டில் , ஆகிய இரு இறுதிப்புள்ளிகளுக்கு இடையே எவ்விடத்திலும் ஆனது எதிர்மமாக இருக்காது என எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது. இவ்வாய்பாடு, பாப்பசின் திணிவுமையத் தேற்றம் நுண்கணிதச் சமானமாக உள்ளது. பித்தேகோரசு தேற்றம் வரும் வாய்பாட்டின் பகுதி \sqrt{ \left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2 } ஆனது வளைகோட்டின் வில்லின் ஒரு சிறுபகுதியைக் குறிக்கிறது. மேலும் ஆனது இச்சிறுபகுதியின் பாதை ஆகும். இதேபோல சுழற்சி அச்சு -அச்சாக இருந்து ஒருபோதும் எதிர்மம் இல்லையென்றும் இருந்தால், பரப்பளவின் வாய்பாடு: : A_x = 2 \pi \int_a^b y(t) \, \sqrt{\left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2} \, dt. வளைகோடானது , () என்ற சார்பாகத் தரப்பட்டால், மேலுள்ள வாய்பாடுகளிலிருந்து பெறப்படும் பரப்பளவின் வாய்பாடு: *சுழற்சி அச்சாக -அச்சு இருக்கும்போது: :A_x = 2\pi\int_a^b y \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx = 2\pi\int_a^bf(x)\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2} \, dx *சுழற்சி அச்சாக ''y''-அச்சு இருக்கும்போது: :A_y =2\pi\int_a^b x \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx எடுத்துக்காட்டாக, , , ( இன் மதிப்பு இல் அமையும்) என்ற வளைகோட்டின் சுழற்சியால் ஓரலகு ஆரங்கொண்ட கோளம், உருவாக்கப்படுகிறது. அதன் பரப்பளவு: :\begin{align} A &{}= 2 \pi \int_0^\pi \sin(t) \sqrt{\big(\cos(t)\big)^2 + \big(\sin(t)\big)^2} \, dt \\ &{}= 2 \pi \int_0^\pi \sin(t) \, dt \\ &{}= 4\pi. \end{align} கோளத்தின் ஆரம் , சமன்பாடு }}, சுழற்சி அச்சு -அச்சு எனில் பரப்பளவு: :\begin{align} A &{}= 2 \pi \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2}\,\sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\ &{}= 2 \pi r\int_{-r}^{r} \,\sqrt{r^2 - x^2}\,\sqrt{\frac{1}{r^2 - x^2}}\,dx \\ &{}= 2 \pi r\int_{-r}^{r} \,dx \\ &{}= 4 \pi r^2\, \end{align}