கேள்வி: அடிப்படை முக்கோணச் சமனின்மை குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: File:TriangleInequality.svg வடிவவியலில் முக்கோணச் சமனின்மை அல்லது முக்கோணச் சமனிலி (''triangle inequality'') ஒரு முக்கோணம் பக்கநீளங்களுக்கிடையே அமையக்கூடியத் தொடர்பைத் தருகிறது. ;கூற்று எந்தவொரு முக்கோணத்திலும் அதன் ஏதேனும் இரு பக்கங்களின் நீளங்களின் கூடுதலானது, மூன்றாவது பக்கநீளத்தைவிட எப்பொழுதும் அதிகமானதாகவோ அல்லது சமமானதாகவோ இருக்கும்.Wolfram MathWorld - http://mathworld.wolfram.com/TriangleInequality.html |isbn=0-471-41825-0 |year=2001 |publisher=Wiley-IEEE}} ;கணிதக் குறியீட்டில் , , ஆகியவை ஒரு முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்கள் எனில் முக்கோணச் சமனிலியின்படி: :z \leq x + y , இச் சமனிலியிலுள்ள சமக்குறியானது, பரப்பளவு சுழியாகவுள்ள முக்கோணங்களுக்கு மட்டுமே உண்மையாக இருக்கும். (அதாவது, மூன்று உச்சிகளும் ஒரே நேர்கோட்டில் அமையும் பொழுது) யூக்ளிடிய வடிவவியலிலும் வேறுசில வடிவவியல்களிலும் முக்கோணச் சமனிலியானது, தொலைவு குறித்த தேற்றமாக அமைவதோடு திசையன் மற்றும் நெறிமம் வாயிலாக எழுதப்படுகின்றது: :\|\mathbf x + \mathbf y\| \leq \|\mathbf x\| + \|\mathbf y\| , இதில் மூன்றாம் பக்கநீளமான , திசையன் கூட்டல் ஆல் பதிலிடப்படுகிறது. , இரண்டும் மெய்யெண்கள் எனில் அவற்றை இல் அமையும் திசையன்களாகக் கொள்ளலாம். அப்போது முக்கோணச் சமனிலியானது தனி மதிப்புகளுக்கு இடையேயுள்ள தொடர்பாகிறது. யூக்ளிடிய வடிவவியலில் முக்கோணச் சமனிலியைத் தனிப்பட்ட முறையில் நிறுவதல் முடியுமென்றாலும், செங்கோண முக்கோணம் பித்தேகோரசு தேற்றம் விளைவாகவும், பொதுவான முக்கோணங்களுக்கு கொசைன் விதியின் விளைவாகவும் முக்கோணச் சமனிலி அமைகிறது. முக்கோணச் சமனிலியிலுள்ள சமக்குறி உண்மையாக இருக்க வேண்டுமானால், அம் முக்கோணத்தின் கோணங்கள் என இருத்தல் அவசியமாகிறது. அதாவது முக்கோணத்தின் மூன்று உச்சி (வடிவவியல்) ஒரே கோட்டில் அமையும் புள்ளிகளாக இருக்கும். எனவே யூக்ளிடிய வடிவவியலில், இரு புள்ளிகளுக்கிடைப்பட்ட மிகக்குறைந்த தொலைவு ஒரு நேர்கோடாக அமைகிறது. கோள வடிவவியலில் இரு புள்ளிகளுக்கு இடையேயுள்ள மிகக்குறைந்த தொலைவு என்பது பெரு வட்டம் வில்லாக இருக்கும். எனினும் கோள வடிவவியலில் முக்கோணச் சமனிலி உண்மையாக வேண்டுமானால், ஒரு கோளம் மீதமையும் இரு புள்ளிகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரம் அப்புள்ளிகளை ஓரப்புள்ளிகளாகக் கொண்ட சிறு கோள கோட்டுத்துண்டாகக் ( இடைவெளியில் மையக்கோணம் கொண்டது) கொள்ளப்படல் வேண்டும்.