கேள்வி: கோள முக்கோணவியல் - சைன் விதியின் வருவிப்பு என்பது என்ன?
பதில்: கீழுள்ள சைன் விதியை வருவிக்கும்முறை டோதுந்தேரின் நூலில் உள்ளது. (Art.40). :\sin^2 A=1-\cos^2 A முற்றொருமையில் கோள கொசைன் விதியிலிருந்து பெறப்பட்ட \cos A மதிப்பைப் பதிலிட: : \begin{align} \sin^2 A &=1-\left(\frac{\cos a - \cos b \cos c}{\sin b \sin c}\right)^2\\[5pt] & =\frac{(1-\cos^2 b)(1-\cos^2 c)-(\cos a - \cos b\cos c)^2} {\sin^2\!b \,\sin^2\!c}\\[5pt] \frac{\sin A}{\sin a}&=\frac{[1-\cos^2\!a-\cos^2\!b-\cos^2\!c+2\cos a\cos b\cos c]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}. \end{align} இம்முடிவின் வலப்பக்க மதிப்பில் a,\;b,\;c இன் வட்ட வரிசைமாற்றத்தால் எந்தவொரு மாற்றமும் இருக்காது. எனவே :\frac{\sin B}{\sin b} = \frac{[1-\cos^2\!a-\cos^2\!b-\cos^2\!c+2\cos a\cos b\cos c]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}. :\frac{\sin C}{\sin c} = \frac{[1-\cos^2\!a-\cos^2\!b-\cos^2\!c+2\cos a\cos b\cos c]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}. :ஃ\frac{\sin A}{\sin a}=\frac{\sin B}{\sin b}=\frac{\sin C}{\sin c}. என நிறுவப்படுகிறது.
கேள்வி: கோள முக்கோணவியல் - துணை கொசைன் விதிகள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: முனைய முக்கோணத்திற்கான கொசைன் விதிகள் (Todhunter, Art.47) துணை கொசைன் விதிகள் எனப்படுகின்றன: மேலே தரப்பட்ட கொசைன்விதிகளில் ''A'' = &nbsp;–&nbsp;''a'',&nbsp; ''a'' = &nbsp;–&nbsp;''A'' ... எனப் பதிலிடத் துணை கொசைன்விதிகள் கிடைக்கும்: :\begin{align} \cos A &= -\cos B \, \cos C + \sin B \, \sin C \, \cos a, \\ \cos B &= -\cos C \, \cos A + \sin C \, \sin A \, \cos b ,\\ \cos C &= -\cos A \, \cos B + \sin A \, \sin B \, \cos c . \end{align}
கேள்வி: கோள முக்கோணவியல் - ஐந்து-பகுதி விதிகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: முதல் கொசைன்விதியில் இரண்டாவது கொசைன்விதியைப் பயன்படுத்திப் பதிலிட்டு சுருக்கினால் கிடைக்கும் முடிவு: : \cos a = (\cos a \,\cos c + \sin a \, \sin c \,\cos B) \cos c + \sin b \, \sin c \,\cos A : \cos a \,\sin^2 c = \sin a \,\cos c \,\sin c \,\cos B + \sin b \, \sin c \, \cos A \sin c காரணியை இருபுறமும் நீக்கக் கிடைப்பது: : \cos a \sin c = \sin a \,\cos c \, \cos B + \sin b \,\cos A இதேபோல மற்ற கொசைன் விதிகள், துணை கொசைவிதிகளில் பதிலிட்டால் அநேக ஐந்து-பகுதி விதிகள் கிடைக்கும். எனினும் அவை அரிதாகவே பயன்படுத்தப்படுகின்றன.