கேள்வி: 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ - ஆர்க்கமெடசின் நிறுவல் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: Image:Quadrature.png ''AE'' இன் மீதுள்ள புள்ளிகள் சம இடைவெளியில் அமைந்துள்ளன. ''ABC'', ''CDE'' முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் கூடுதல் ''ACE'' முக்கோணத்தின் பரப்பளவில் பங்காக இருப்பதை ஆர்க்கமெடசு நிறுவினார். பின்னர் இவற்றின் மீது மேலும் நான்கு முக்கோணங்களை அமைத்தார். அவற்றின் பரப்பளவுகளின் கூடுதலானது ''ABC'', ''CDE'' முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் கூடுதலின் பங்கு. அடுத்து அவற்றின் மீது இதே பண்பை நிறைவு செய்யும் எட்டு முக்கோணங்களை அமைத்தார். இதே முறையில் முக்கோண அமைப்பைப் தொடர, வெட்டுக்கோட்டிற்கும் பரவளைவுக்கும் இடைப்பட்ட பரப்பளவானது ''ACE'' முக்கோணத்தின் பரப்பளவைப் போல மடங்காக உள்ளதைக் கண்டறிந்தார்.]] ஆர்க்கமெடஸ் அவரது "பரவளைவின் சதுர சரிவீடு" (Quadrature of the Parabola) நூலில் இந்தத் தொடர் வரக்கண்டார். அவர் ஒரு பரவளைவு உட்பரப்பளவை நீக்கல்முறையில் கண்டுபிடித்தார். பரவளையத்துக்குள் தொடர்ச்சியாக முக்கோணங்களை அமைத்தார். அமைப்பின் ஒவ்வொரு நிலையிலும் முந்தையை நிலையின் பரப்பளவில் மடங்கைக் அதிகரித்தார். மொத்த பரப்பளவு அதன் துவக்க அமைப்புநிலையின் பரப்பளவைப்போல மடங்காக இருக்கவேண்டும் என்பதே அவரது விருப்பம். இதனை அடைவதற்கு அவர் கீழ்வரும் துணைக்கோளை அறிமுகப்படுத்தினார்: கூற்று 23. என்பவை தரப்பட்ட பரப்பளவுகள்; இவற்றுள் ''A'' -மிகப் பெரிய பரப்பளவு; ஒவ்வொரு பரப்பளவும் அதற்கடுத்ததன் பரப்பளவில் நான்கு மடங்கு எனில், ஆஅர்க்கமெடசின் கூற்று:This is a quotation from the English translation of . : A + B + C + D + \cdots + Z + \frac13 Z = \frac43 A. இக்கூற்றினை நிறுவ, ஆர்க்கமெடசு முதலில் பின்வருவதை நிறுவிக்கொண்டார்: :\begin{array}{rcl} \displaystyle B+C+\cdots+Z+\frac{B}{3}+\frac{C}{3}+\cdots+\frac{Z}{3} & = &\displaystyle \frac{4B}{3}+\frac{4C}{3}+\cdots+\frac{4Z}{3} \\[1em] & = &\displaystyle \frac13(A+B+\cdots+Y). \end{array} மேலும், :\frac{B}{3}+\frac{C}{3}+\cdots+\frac{Y}{3} = \frac13(B+C+\cdots+Y). பின்னர், இரண்டாவது சமன்பாட்டை முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்க: B+C+\cdots+Z+\frac{Z}{3} = \frac13 A இருபுறமும் ''A'' ஐக் கூட்டத் தேவையான முடிவு கிடைக்கிறது.This presentation is a shortened version of . A+B+C+\cdots+Z+\frac{Z}{3} = A+\frac13 A =\frac43 A ஆர்க்கமெடசின் இக்கூற்றின் இன்றைய வடிவம்: + + ⋯}} தொடரின் பகுதிக் கூட்டுத்தொகைகள்: 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\cdots+\frac{1}{4^n}=\frac{1-\left(\frac14\right)^{n+1}}{1-\frac14}. இருபுறமும் 1&nbsp;−&nbsp; ஆல் பெருக்க, இடதுபுறமுள்ள உறுப்புகளில் முதல் மற்றும் கடைசி உறுப்புகள் தவிர்த்த பிற உறுப்புகள் ஒன்றுக்கொன்று நீங்கலாகி விடுகின்றன.