கேள்வி: இருசமபக்க முக்கோணம் - ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டம் பற்றி நீங்கள் என்ன அறிந்துள்ளீர்கள்?
பதில்: ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்களை அவற்றின் நடுப்புள்ளிகளை முக்கோணத்தின் உட்புறமைமாகத் தொட்டவாறுள்ள நீள்வட்டம் ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டம். ஒரு இருசமப்பக்க முக்கோணத்தின் தாங்கு பக்கங்கள் அதன் அடிப்பக்கத்தைவிட நீளமானதாக இருந்தால், அம்முக்கோணத்தின் ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டத்தின் நீள்வட்டம்#அச்சுகள் முக்கோணத்தின் சமச்சீர் அச்சுடன் ஒன்றுபடும். மாறாக, இருசமப்பக்க முக்கோணத்தின் தாங்கு பக்கங்கள் அதன் அடிப்பக்கத்தைவிட சிறியனவாக இருந்தால், அம்முக்கோணத்தின் ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டத்தின் நீள்வட்டம்#அச்சுகள் முக்கோணத்தின் சமச்சீர் அச்சுடன் ஒன்றுபடும்.
கேள்வி: இருசமபக்க முக்கோணம் - பரப்பளவு பற்றி தகவல் சொல்.
பதில்: முக்கோணத்தின் பரப்பளவு காணப் பயன்படும் ஈரோனின் வாய்பாடு: :T = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்கள்: ''a'', ''b'', ''c'' அரைச்சுற்றளவு: :s=\frac{a+b+c}{2}. இவ்வாய்பாட்டினை கீழுள்ளவாறு மாற்றியமைக்கலாம்: :T=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)} :T=\frac{1}{4}\sqrt{2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)} :T=\frac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)} :T=\frac{1}{4}\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}. இருசமபக்க முக்கோணத்தின் இரு பக்கங்கள் சமமென்பதால் மேலுள்ள வாய்ப்பாட்டில் ''a'' = ''c'' எனப் பதிலிடக் கிடைப்பது: :T=\frac{1}{4}\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-a^2)^2}. :T=\frac{1}{4}\sqrt{4a^2b^2-b^4}. :T=\frac{b}{4}\sqrt{4a^2-b^2}. பித்தாகரசு தேற்றத்தினைப் பயன்படுத்தியும் இருசமபக்க முக்கோணத்தின் பரப்பளவு காணலாம். File:IsoscelesTriangleProofTextbook.svg இருசமபக்க முக்கோணத்தின் அடிப்பக்கம் ''b'' , செங்குத்துயரம் ''h'' , தாங்குபக்க நீளம் ''a''. பித்தாகரசின் தேற்றப்படி, :(b/2)^2+h^2=a^2 :h=\frac{\sqrt{4a^2-b^2}}{2} முக்கோணத்தின் பரப்பளவு: :T=\frac{1}{2} \times bh இதில் ''h'' இன் மதிப்பைப் பதிலிட: :T=\frac{b}{4}\sqrt{4a^2-b^2}. இருசமக்க முக்கோணம் அதன் செங்குத்துயரத்தால் இரு சர்வசம செங்கோண முக்கோணங்களாகக் பிரிக்கப்படுகிறது. இருசமபக்க முக்கோணத்தின் உச்சிக்கோணம் (θ) எனில் இந்த இரு செங்கோண முக்கோணங்களின் அடிப்பக்க நீளம்: : a\sin(\frac{\theta}{2}) செங்குத்துயரம்: : a\cos(\frac{\theta}{2}) ஒரு செங்கோணமுக்கோணத்தின் பரப்பளவு: :T = \frac{1}{2}a\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)a\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) எனவே இருசமபக்க முக்கோணத்தின் பரப்பளவு: :T = a^2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) sin(θ) = 2sin(θ/2)cos(θ/2) என்ற வாய்பாடைப் பயன்படுத்த: :T=\frac{1}{2}a^2\sin\theta