கேள்வி: நுண்ணிலையாக்கம் - விவரிப்பு பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: இயல் உலகச் சிக்கல்களை வைத்து தான் பல கணிதவியல் புலங்கள் தொடங்கின; பின்னரே இச்சிக்கல்களின் அடிப்படை விதிகளும் கருத்துப் படிமங்களும் இனங்கண்டு நுண்கட்டமைப்புகளாக வரையறுக்கப்பட்டன. எடுத்துகாட்டாக, வடிவியல் இயல் உலகின் பரப்புகளையும் தொலைவுகளையும் கணக்கிடுவதில் தோன்றியது. இயற்கணிதவியல் எண்ணியலின் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் முறைகளில் தான் தோன்றியது. கணிதவியலில் நுன்ணிலையாக்கம் என்பது தொடர்நிகழ்வாகும். பல கணிதப் புலங்களின் வரலாற்று வளர்ச்சி, பருநிலையில் இருந்து நுண்ணிலை நோக்கிய முன்னேற்றமே என்பதைத் தெளிவாகக் காட்டுகிறது. எடுத்துகாட்டாக, வடிவியலி நுண்ணிலையாக்கத்தின் முதல் அடிகளை வரலாற்றியலாகப் பண்டைய கிரேக்கர்கள் எடுத்துவைத்தனர். இந்நிலை இயூக்கிளீடின் தனிமங்கள் நூலில் தொடங்கியது. இது தான் மிக முந்தைய வடிவியல் அடிக்கோள் முறை(Axiomatic system) சார்ந்த ஆவணமாகும். கணித வரலாற்றார் புரோக்கிளசு சீயோசு நகர இப்போக்கிரட்டீசு உருவாக்கிய அடிக்கோள் முறை இருந்ததாக எடுத்துரைக்கிறார்.[http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Extras/Proclus_history_geometry.html Proclus' Summary] தெ கார்த்தே 17 ஆம் நூற்றாண்டில் கார்த்திசிய ஆயமுறைகளை அறிமுகப்படுத்தினார். இதனால், பகுப்பாய்வு வடிவியல் வளர்ந்தது. நுண்ணிலையாக்கத்தின் அடுத்த அடிகளை இலபோசெவ்சுகி, போல்யாய், இரேமான், கார்ல் பிரெடெரிக் காசு ஆகியோர் எடுத்துவைத்தனர். இவர்கள் வடிவியலின் கருத்துப் படிமங்களை மேலும் பொதுமைப்படுத்தி, இயூக்கிளியஞ்சாரா வடிவியலை உருவாக்கினர். பின்னர் பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டில், கணிதவியலாளர்கள் வடிவியலை மேலும் பொதுமைப்படுத்தி N-பருமான வெளி வடிவியலையும் வீழல்சார் வடிவியலையும் வரம்புறு வடிவியலையும் affine வடிவியலையும் உருவாக்கினர். கடைசியாக, இந்த வடிவியல் புலங்களின் அடிப்படையை பெலிக்சு கிளீனின் எர்லாங்கன் திட்டம் இனங்கண்டது. கணிதவியலில், நுண்னிலையாக்கம் பின்வரும் பல மேம்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது: * கணிதவியல் புலங்களுக்கு இடையிலான ஆழ்ந்த இணைப்புகளை வெலியிடுகிறது. * ஒரு புலத்தில் அறிந்த முடிவுகள் அதையொத்த புலத்தின் முடிவுகளைக் கட்டியமைக்கும் வழிமொழிவைத் தருகிறது. * ஒரு புலத்தின் நுட்பங்களும் முறைகளும் இதையொத்த பிற புலங்களின் முடிவுகளைக் கணிதவியலாக நிறுவப் பயன்படுகிறது. * ஒரு கனிதவியல் பொருளின் பாணிகள், அதே வகையினம் சார்ந்த ஒத்த பொருள்களுக்குப் பொதுமைப்படுத்தலாம். உயர் நுண்ணிலைக் கருத்துப்படிமங்களை கற்றல் அரிதாவதால், நுண்ணிலையாக்கம் மற்றொருவகையில் குறைபாடும் உடையதாகிறது."... introducing pupils to abstract mathematics is not an easy task and requires a long-term effort that must take into account the variety of the contexts in which mathematics is used", P.L. Ferrari, ''Abstraction in Mathematics'', Phil. Trans. R. Soc. Lond. B 29 July 2003 vol. 358 no. 1435 1225-1230 ஓரளவு கணிதவியல் முதிர்ச்சியும் பட்டறிவும் நுண்ணிலையாக்கங்களின் கருத்துப்படிமங்களைத் தன்மயப்படுத்த தேவைப்படுகின்றன.