கேள்வி: வர்க்கம் (கணிதம்) - பண்புகள் என்பது என்ன?
பதில்: * ''m'' புள்ளிகளை ஒரு சதுரமாக அடுக்க முடிந்தால், முடிந்தால் மட்டுமே எண் ''m'' ஒரு வர்க்க எண்ணாகும்: {| cellpadding="8" |- |m = 12 = 1 |Image:Square number 1.png |- |m = 22 = 4 |Image:Square number 4.png |- |m = 32 = 9 |Image:Square number 9.png |- |m = 42 = 16 |Image:Square number 16.png |- |m = 52 = 25 |Image:Square number 25.png |} இங்கு ''n'' -ஆம் வர்க்க எண் ''n''2. இது முதல் ''n'' ஒற்றை எண்களின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமம். இக்கூற்றைப் படத்தில் காணலாம். படத்தில் ஒவ்வொரு சதுரமும் அதற்கு முந்தைய சதுரத்துடன் ஒற்றை எண்ணிக்கைப் புள்ளிகளைச் சேர்ப்பதால் உண்டாவதையும் காணலாம். :n^2 = \sum_{k=1}^n(2k-1). எடுத்துக்காட்டு: 52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9. * ஒரு வர்க்க எண்ணிற்கும் அதற்கு முந்தைய வர்க்க எண்ணிற்குமுள்ள தொடர்பு: : n ^ 2 = (n - 1) ^ 2 + (2 n - 1) \, . அல்லது: : n ^ 2 = (n - 1) ^ 2 + (n - 1) + n \, . மற்றொரு வாய்ப்பாடு: : n ^ 2 = 2(n - 1) ^ 2 - (n - 2)^2 + 2 \, . எடுத்துக்காட்டு: : 2 &times; 52&nbsp;&minus;&nbsp;42&nbsp;+&nbsp;2 = 2 &times; 25&nbsp;&minus;&nbsp;16&nbsp;+&nbsp;2 = 50&nbsp;&minus;&nbsp;16&nbsp;+&nbsp;2 = 36 = 62. * ஒரு வர்க்க எண் அடுத்தடுத்த இரு முக்கோண எண்களின் கூடுதலுக்குச் சமம். * அடுத்தடுத்த இரு வர்க்க எண்களின் கூடுதல் ஒரு மையப்படுத்தப்பட்ட வர்க்க எண். * ஒவ்வொரு ஒற்றை வர்க்க எண்ணும் ஒரு மையப்படுத்தப்பட்ட எண்கோண எண்ணாகவும் இருக்கும் * ஒரு வர்க்க எண்ணின் வகுத்திகளின் எண்ணிக்கை ஒற்றை யெண்ணாக இருக்கும். பிற எண்களின் வகுத்திகளின் எண்ணிக்கை இரட்டை யெண்ணாக இருக்கும். * பத்தடிமானத்தில், ஒரு வர்க்க எண் 0,1,4,6,9, அல்லது 25 ஆகிய இலக்கங்களைக் கொண்டு பின்வருமாறு முடிவடையும்: ** 0 -ல் முடியும் எண்ணின் வர்க்கம், இரட்டை எண்ணிக்கை கொண்ட 0 -க்களைக் கொண்டு முடிவடையும். மேலும் கடைசியில் உள்ள 0-க்களுக்கு முந்தைய இலக்கங்கள் ஒரு முழு வர்க்க எண்ணைத் தரும். : 102 = 100; 202 = 400;.... ** 1 அல்லது 9 -ல் முடியும் எண்ணின் வர்க்கம், 1-ஐக் கொண்டு முடிவடையும். மேலும் கடைசியில் உள்ள 1-க்கு முந்தைய இலக்கங்கள் குறிக்கும் எண் நான்கால் வகுபடும். : 112 = 121; 212= 441;...... : 92=81; 292 = 841;..... ** 2 அல்லது 8 -ல் முடியும் எண்ணின் வர்க்கம், 4 -ஐக் கொண்டு முடியும். மேலும் கடைசியில் உள்ள 4-க்கு முந்தைய இலக்கம் இரட்டை எண்ணாக இருக்கும். : 122 = 14; 222 = 484;.... : 82=64; 182=324;.... ** 3 அல்லது 7 -ல் முடியும் எண்ணின் வர்க்கம், 9 -ஐக் கொண்டு முடியும். மேலும் கடைசியில் உள்ள 9-க்கு முந்தைய இலக்கங்கள் குறிக்கும் எண் நான்கால் வகுபடும். : 32=9; 132=169;.... : 72=49; 172=289;.... ** 4 அல்லது 6 -ல் முடியும் எண்ணின் வர்க்கம், 6 -ஐக் கொண்டு முடியும்.மேலும் கடைசியில் உள்ள 6-க்கு முந்தைய இலக்கம் ஒற்றை எண்ணாக இருக்கும். : 42=16; 142=196; 242=576;.... : 62=36; 162=256; 262=676.... ** 5 -ஐக் கொண்டு முடியும் எண்ணின் வர்க்கம், 25 -ஐக் கொண்டு முடியும்.மேலும் கடைசியில் உள்ள 25-க்கு முந்தைய இலக்கங்கம் 0, 2, 6, 25 -ஆக இருக்கும். : 52=25; 252=625; 352=1225;..... * பொதுவாக ஒரு பகா எண் ''p'' , வர்க்க எண் ''m'' -ஐ வகுக்குமானால் ''p''2 -ம் ''m'' -ஐ வகுக்கும். * வர்க்க எண் ஒரு செவ்விய எண் அல்ல. * வர்க்க எண்களின் கூடுதல் காணும் வாய்ப்பாடு: : \sum_{n=0}^N n^2 = 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \cdots + N^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6} : \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}. -தொடரின் உறுப்புகள் (வர்க்கப் பிரமிடு எண்கள்): 0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201... .