கேள்வி: வகையிடல் - வேறுபாட்டு ஈவுகளின் வாயிலாக குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ''f'' ஒரு மெய்மதிப்புச் சார்பு எனில் செவ்வடிவவியலில் (classical geometry) அச்சார்பின் வரைபட வளைவரை மீதுள்ள ஒரு புள்ளியில் அவ்வளைவரைக்கு வரையப்படும் தொடுகோடு தனித்தன்மையானது. மேலும் அத்தொடுகோடு வளைவரையை வேறு எந்தப் புள்ளியிலும் குறுக்காகச் சந்திக்காது. அதாவது தொடுகோடு வரைபடத்தினூடாக நேராகச் செல்லாது. ''a'' எனும் புள்ளியில் ''x'' ஐப் பொறுத்த ''y'' இன் வகைக்கெழு வடிவவியலின்படி சார்பின் வரைபடத்துக்கு அப்புள்ளியில் வரையப்பட்டத் தொடுகோட்டின் சாய்வுக்குச் சமம். அத்தொடுகோட்டின் சாய்வு, (''a'', ''f''(''a'')) புள்ளியையும் வளைவரையின் மீது அதற்கு மிக அருகாமையில் அமையும் புள்ளிகளையும் (எடுத்துக்காட்டாக, ) இணைக்கும் கோடுகளின் சாய்வுகளுக்கு மிக அருகிலுள்ளதாக இருக்கும். இக்கோடுகள் வெட்டுக்கோடுகளாகும். ''h'' இன் மதிப்பு எந்த அளவுக்கு பூச்சியத்துக்கு நெருக்கமாக உள்ளதோ அந்த அளவுக்கு தொடுகோட்டின் சாய்வு இக்கோடுகளின் சாய்வுகளுக்கு நெருக்கமாக இருக்கும். இந்த வெட்டுக்கோடுகளின் சாய்வு ''m'': :m = \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-(x)} = \frac{f(x+h)-f(x)}{h}. இது ''நியூட்டனின் வேறுபாட்டு ஈவு''. வெட்டுக்கோடுகள் தொடுகோட்டை நெருங்க நெருங்க இந்த வேறுபாட்டு ஈவின் மதிப்பு வகைக்கெழு ஆகும். அதாவது ''a'' புள்ளியில் ''f'' இன் வகைக்கெழு: :f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} (எல்லை காண முடிந்தால்) இந்த எல்லை மதிப்புக் காண முடிந்தால், ''a'' புள்ளியில் சார்பு ''f'' வகையிடத்தக்கச் சார்பு. இங்கு ''f''&prime; (''a'') என்பது வகைக்கெழுவின் குறியீடுகளுள் ஒன்று.
கேள்வி: வகையிடல் - எளிய அடிப்படைச் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: பெரும்பாலான சார்புகளை வகையிவதற்கு சில அடிப்படைச் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள் தேவைப்படுகிறது. அவ்வாறு தேவைப்படும் ஒரு மாறியில் அமைந்த சார்புகளும் அவற்றின் வகைக்கெழுக்களும் கீழே தரப்பட்டுள்ளன. (முழுமையானது அல்ல) * ''வகையிடலின் அடுக்கு விதி'': : f(x) = x^r,\, (''r'' ஒரு மெய்யெண்) எனில், : f'(x) = rx^{r-1},\, எடுத்துக்காட்டு: :f(x) = x^{1/4} எனில், :f'(x) = (1/4)x^{-3/4},\, இவ்வகைக்கெழுச் சார்பு ''x'' இன் நேர்ம மதிப்புகளுக்கு மட்டுமே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, 0}} க்கும் வரையறுக்கப்படவில்லை. ''r'' = 0 எனில், இவ்விதி மாறிலி விதியாகும். * ''அடுக்குறிச் சார்பும் மடக்கைச் சார்பும்: : \frac{d}{dx}e^x = e^x. : \frac{d}{dx}a^x = \ln(a)a^x. : \frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x},\qquad x > 0. : \frac{d}{dx}\log_a(x) = \frac{1}{x\ln(a)}. * ''முக்கோணவியல் சார்புகள்'': : \frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x). : \frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x). : \frac{d}{dx}\tan(x) = \sec^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} = 1+\tan^2(x). * ''தலைகீழிச் சார்புகள் (முக்கோணவியல்)'': : \frac{d}{dx}\arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. : \frac{d}{dx}\arccos(x)= -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. : \frac{d}{dx}\arctan(x)= \frac{1}.
கேள்வி: வகையிடல் - வகைக்கெழு காணப் பயன்படும் விதிகள் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: நியூட்டனின் வேறுபாட்டு ஈவுகளின் மூலம் வகைக்கெழு காணல் சில சமயங்களில் சிக்கலான எல்லைகளைக் கொண்டிருக்கலாம். அதற்குப் பதிலாக சில அடிப்படை விதிகள் மூலம் வகைக்கெழு காணலாம். * ''மாறிலி விதி'': :''f''(''x'') மாறிலி எனில், :f' = 0. \, * ''வகையிடலின் கூட்டல் விதி'': :(\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g' \, -''f'' , ''g'' வகையிடத்தக்க சார்புகள்; ''\alpha'' , ''\beta'' மெய்யெண்கள். * ''வகையிடலின் பெருக்கல் விதி'': :(fg)' = f 'g + fg' \, -''f'' , ''g'' வகையிடத்தக்க சார்புகள் * ''வகையிடலின் மாறிலிப் பெருக்கல் விதி'': :(af)' = af' \, -a ஒரு மாறிலி; ''f'' ஒரு வகையிடத்தக்க சார்பு * ''வகையிடலின் வகுத்தல் விதி'': :\left(\frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} --''f'' , ''g'' வகையிடத்தக்க சார்புகள்; ''g'' ≠ 0. * ''வகையிடலின் சங்கிலி விதி'': :f(x) = h(g(x)) எனில், :f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x). \, -''h'' , ''g'' வகையிடத்தக்க சார்புகள்