கேள்வி: பின்னம் - கலப்பு பின்னங்கள் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ''கலப்பு பின்னம்'' அல்லது ''கலப்பு எண்'' என்பது, ஒரு பூச்சியமற்ற முழுஎண் மற்றும் தகுபின்னம் இரண்டின் கூடுதலாக அமையும். முழுஎண்ணுக்கும் தகுபின்னத்துக்கும் இடையே "+" குறியீடு எழுதப்படுவதில்லை. எடுத்துக்காட்டு: : 2+\frac{3}{4}=2\tfrac{3}{4}. இயற்கணிதத்தில் இரு கோவைகளின் பெருக்கலை எழுதும்போது அவற்றுக்கிடையே பெருக்கல் குறியானது இல்லாமலே எழுதுவது வழக்கில் உள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, இயற்கணிதத்தில் a \tfrac{b}{c} என்பது ஒரு கலப்பு பின்னம் அல்ல, அது a, b/c ஆகிய இரு கோவைகளின் பெருக்கலாகும்: a \tfrac{b}{c} = a \times \tfrac{b}{c}. இக்குழப்பத்தைத் தவிர்ப்பதற்கு, பெருக்கல் குறி வெளிப்படையாகக் குறிக்கப்படுகிறது: : a \tfrac{b}{c} = a \times \tfrac{b}{c}, : a \cdot \tfrac{b}{c}, : a (\tfrac{b}{c}). கலப்பு பின்னத்தைத் தகா பின்னமாகவும் தகா பின்னத்தைக் கலப்பு பின்னமாகவும் மாற்றலாம்: *கலப்பு பின்னம்: 2\tfrac{3}{4} :2\tfrac{3}{4} = 2+\tfrac{3}{4}. :இதிலுள்ள முழுஎண் 2 ஐ, தகுபின்னத்தின் பகுதியான நான்கைப் பகுதியாகக் கொண்ட சமான தகா பின்னமாக மாற்றிக் கொள்ளவேண்டும்: :2=\tfrac{8}{4}. :பின் அவ்விரு பின்னங்களையும் கூட்ட, :2\tfrac{3}{4}=\tfrac{8}{4}+\tfrac{3}{4}=\tfrac{11}{4}. இதேபோல ஒரு தகா பின்னத்தை கலப்பு பின்னமாக மாற்றலாம்: *தகாபின்னம்: \tfrac{11}{4} :தொகுதியைப் பகுதியால் வகுத்து ஈவு, மீதி இரண்டையும் கணக்கிட வேண்டும். : 11 ÷ 4 : ஈவு =2 , மீதி = 3. இந்த ஈவு தேவையன கலப்பு பின்னத்தின் முழுஎண் பகுதியாகக் கொள்ளப்படுகிறது. மீதியைத் தொகுதியாகவும், எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட தகாபின்னத்தின் பகுதியைப் பகுதியாகவும் கொண்ட தகுபின்னமானது பின்னப்பகுதியாகவும் கொண்டு கலப்பு பின்னம் காணப்படுகிறது. :\tfrac{11}{4} =2\tfrac{3}{4}. கலப்பு பின்னங்கள் எதிர்ம எண்களாகவும் இருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டு: :-2\tfrac{3}{4} = -(2+\tfrac{3}{4}) = -2-\tfrac{3}{4}
கேள்வி: பின்னம் - நுண்புலக் கணிதத்தில் பின்னம் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: நடைமுறை வாழ்க்கையில் பின்னங்கள் முக்கியத்துவம் வாய்ந்ததாக இருந்ததோடு, கணிதவியலாளர்களாலும் சீர்பார்க்கப்பட்டு மேல்தரப்பட்ட விதிகள் சரியானவையே என உறுதிப்படுத்தப்பட்டது. மேலும் கணிதவியலாளர்கள் பின்னத்தை கீழுள்ளவாறு இரு முழுவெண்களின் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஒரு இரட்டையாக வரையறுக்கின்றனர். :(a,b) a, b இரண்டும் முழு எண்கள்; a மற்றும் b \ne 0, பின்னத்தைன் இவ்வகை வரையறைக்கான கூட்டல் (கணிதம்), கழித்தல் (கணிதம்), பெருக்கல் (கணிதம்), வகுத்தல் (கணிதம்) செயல்களின் வரையறைகள்: :(a,b) + (c,d) = (ad+bc,bd) \, :(a,b) - (c,d) = (ad-bc,bd) \, :(a,b) \cdot (c,d) = (ac,bd) :(a,b) \div (c,d) = (ad,bc) \quad(\text{with, additionally, } c \ne 0) கணிதச் செயல்களின் இந்த வரையறைகள் கட்டுடையின் மேற்பகுதியில் தரப்பட்ட வரையறைகளோடு எல்லாவிதத்திலும் ஒத்திருக்கின்றன; குறியீட்டளவில் மட்டுமே வேறுபடுகிறது. கழித்தலையும் வகுத்தலையும் செயலிகளாக வரையறுப்பதற்குப் பதிலாக கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலின் நேர்மாறு பின்னங்களாக கீழ்வருமாறு வரையறுக்கலாம்: :\begin{array}{llrrl} &-(a,b) &= &(-a, b) &\quad \text{additive inverse fractions,} \\ &&&&\quad\text{with } (0,b) \text{ as additive unities, and}\\ &\;\;\ (a,b)^{-1} &= &(b,a) &\quad \text{multiplicative inverse fractions, for } a \ne 0, \\ &&&&\quad\text{with } (b,b) \text{ as multiplicative unities}. \end{array} மேலும், :(a, b) \sim (c, d)\quad \iff \quad ad=bc, என்ற ஈருறுப்பு உறவு, பின்னங்களின் சமான உறவு (கணிதம்) உள்ளது.
கேள்வி: பின்னம் - தமிழில் கீழ்வாய் எண்கள் என்பது என்ன?
பதில்: * 15/16 = 0.9375 = முக்காலே மூன்று வீசம் * 3/4 = 0.75 = முக்கால் * 1/2 = 0.5 = அரை * 1/4 = 0.25 = கால் * 1/5 = 0.2 = நால்மா/நான்மா * 3/16 = 0.1875 = மூன்று வீசம் * 3/20 = 0.15 = மூன்றுமா * 1/8 = 0.125 = அரைக்கால் * 1/10 = 0.1 = இருமா * 1/16 = 0.0625 = வீசம் * 1/20 = 0.05 = மா * 3/64 = 0.046875 = முக்கால் வீசம் * 3/80 = 0.0375 = முக்காணி * 1/32 = 0.03125 = அரை வீசம் * 1/40 = 0.025 = அரை மா * 1/64 = 0.015625 = கால் வீசம் * 1/80 = 0.0125 = காணி * 3/320 = 0.009375 = அரைக்காணி முந்திரி * 1/160 = 0.00625 = அரைக் காணி * 1/320 = 0.003125 = முந்திரி * 3/1280 = 0.00234375 = கீழ் முக்கால் * 1/640 = 0.0015625 = கீழ் அரை * 1/1280 = 0.00078125 = கீழ்க் கால் * 1/1600 = 0.000625 = கீழ் நால்மா * 3/5020 = 0.000597609 = கீழ் மூன்று வீசம் * 1/2560 =0.000390625 = கீழ் அரைக்கால் * 1/3200 = 0.0003125 = கீழ் இருமா * 1/5120 = 0.000195312= கீழ் மாகாணி * 1/6400 = 0.00015625 = கீழ் மா * 3/25600 = 0.000117187 = கீழ் முக்காணி * 1/12800 = 0.000078125 = கீழ் அரைமா * 1/25600 = 0.000039062 = கீழ்க்காணி * 1/51200 = 0.000019531 = கீழ் அரைக்காணி * 1/102400 = 0.000009765 = கீழ் முந்திரி} *1/2,150,400= இம்மி *1/23,654,400= மும்மி *1/165,580,800= அணு *1/1,490,227,200= குணம் *1/7,451,136,000= பந்தம் *1/44,706,816,000= பாகம் *1/312,947,712,000= விந்தம் *1/5,320,111,104,000= நாகவிந்தம் *1/74,481,555,456,000= சிந்தை *1/1,489,631,109,120,000= கதிர்முனை *1/59,585,244,364,800,000= குரல்வளைப்பிடி *1/3,575,114,661,888,000,000= வெள்ளம் *1/357,511,466,188,800,000,000= நுண்மணி *1/2,323,824,530,227,200,000,000= தேர்த்துகள்