கேள்வி: சர்வசம உறவு - குலம் பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: &lowast; ஈருறுப்புச் செயலியுடன் கூடிய குலம் G எனில், குலம் ''G'' இன் மீது வரையறுக்கப்படும் ''சர்வசம உறவு'' , ''G'' இன் உறுப்புகளின் மீதான ஒரு சமான உறவாக அமைந்து பின்வரும் முடிவை நிறைவு செய்யும். ''g''1,&nbsp;''g''2,&nbsp;''h''1,&nbsp;''h''2&nbsp;&isin;&nbsp;''G'' எனில்: :''g''1&nbsp;&equiv;&nbsp;''g''2&nbsp;&nbsp; , &nbsp;&nbsp;''h''1&nbsp;&equiv;&nbsp;''h''2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&rArr;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;''g''1&nbsp;&lowast;&nbsp;''h''1&nbsp;&equiv;&nbsp;''g''2&nbsp;&lowast;&nbsp;''h''2 ஒரு குலத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட சர்வசம உறவுக்கு, முற்றொருமை உறுப்பு அடங்கிய சமானப் பகுதி எப்பொழுதும் ஒரு இயல்நிலை உட்குலம், பிற சமானப் பகுதிகள், இந்த உட்குலத்தின் இணைக்கணம், சமானப் பகுதிகள் அனைத்தும் சேர்ந்து ஈவு குலம் உறுப்புகளாகவும் இருக்கும். குலம் ''G'' இன் ஈருறுப்புச் செயலி *; முற்றொருமை உறுப்பு ''e'' ; ''G'' மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஈருறுப்பு உறவு ~, ''G'' இல் ஒரு சர்வசம உறவு எனில்: *''G'' இன் ஒவ்வொரு உறுப்பு ''a'' க்கும், ''a'' ~ ''a'' (எதிர்வு உறவு); * ''G'' எவையேனும் இரு உறுப்புகள் ''a'' , ''b'' க்கும், ''a'' ~ ''b'' &nbsp;&nbsp;&rArr;&nbsp;&nbsp; ''b'' ~ ''a'' (சமச்சீர் உறவு); *''G'' இன் எவையேனும் மூன்று உறுப்புகள் ''a'', ''b'', ''c'' . :''a'' ~ ''b'' , ''b'' ~ ''c'' எனில், ''a'' ~ ''c'' (கடப்பு உறவு); * ''G'' இன் உறுப்புகள் ''a'', ''a' '', ''b'', ''b' '' . :''a'' ~ ''a' '' , ''b'' ~ ''b' '' எனில் ''a'' * ''b'' ~ ''a' '' * ''b' ''; *''G'' இன் உறுப்புகள் ''a'' , ''a' '' :''a'' ~ ''a' '' எனில், ''a''&minus;1 ~ ''a' ''&minus;1