கேள்வி: இசுடர்லிங் சுழல் எண் - மீள்வரு தொடர்பு பற்றி விளக்கவும்.
பதில்: n > 0 என்றால், :\begin{bmatrix} n\\ k \end{bmatrix} = (n-1) \begin{bmatrix} n - 1\\ k \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} n - 1\\ k - 1 \end{bmatrix} n பொருள்களை k சுழல்கள் உள்ள திரிபுகளாகச்செய்யும் செயலில், முதல் பட்சமாக x_0 என்ற ஒரு குறிப்பிட்ட பொருளை ஒற்றை உறுப்புச்சுழலாக வைத்திருக்கலாம். இப்பட்சம் \begin{bmatrix} n-1\\ k-1 \end{bmatrix} வழிகளில் ஏற்படக்கூடியது. இரண்டாவது பட்சமாக x_0 மற்ற ஏதாவதொரு சுழலில் ஓருறுப்பாக இருக்கவேண்டும். மற்ற சுழல்களின் எண்ணிக்கை \begin{bmatrix} n-1\\ k \end{bmatrix}. இவைகளில் x_0 ஓருறுப்பாக இருக்கக்கூடிய வழிகளின் எண்ணிக்கையைக் கணிப்பதற்கு முதலில் நாம் குறிப்பாக எடுத்துக் கொள்ளவேண்டியது, ஒரு r-சுழலில் ஒரு புது உறுப்பை r வழிகளில் சேர்க்கலாம் என்பதுதான். k சுழல்களில் எதுவும் இந்த x_0 ஐ ஏற்றுக்கொள்ளலாம்.இச்சுழல்களின் நீளங்கள் r_1, r_2, ... , r_k ஆக வெவ்வேறாக இருந்தாலும் r_1 + r_2 + ... + r_k = n-1 என்பது நிச்சயம். அதனால் x_0 ஐ \begin{bmatrix} n-1\\ k \end{bmatrix} சுழல்களில் ஏதாவதொரு சுழலில் சேர்ப்பதற்கு (n-1) வழிகள் உள்ளன. இவ்விரண்டு பட்சங்களின் உருவகம் தான் மீள்வரு தொடர்பு (Recurrence Relation)
கேள்வி: இசுடர்லிங் சுழல் எண் - ஏறுமுகக் காரணியத்துடன் உறவு குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: :n > 0 ஆக இருக்குமானால், : (*): x(x + 1)(x + 2) ... (x + n - 1) = \sum_{k} \begin{bmatrix} n\\ k \end{bmatrix} x^k. இதனுடைய நிறுவல் உய்த்தறிதல் (Induction) முறையில் செய்யப்படுகிறது. முதலில் ஒரு குறியீடு. : [x]^k = x(x+1)(x+2) ... (x+k-1) : [x]^1 = x : [x]^2 = x(x+1) = \begin{bmatrix} 2\\ 2 \end{bmatrix} x^2 + \begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix} x இவை உய்த்தறிதல் முறையின் முதல் படிகள். k-ஆம் படியிலிருந்து k+1- ஆம் படிக்குச்செல்வதற்கு, நாம் : (x+n-1) x^k = x^{k+1} + (n-1) x^k யை பயன்படுத்தவேண்டியிருக்கும்.
கேள்வி: இசுடர்லிங் சுழல் எண் - இவற்றையும் பார்க்கவும் குறித்து விரிவாக சொல்லுங்கள்.
பதில்: ஸ்டர்லிங் உட்கண எண் பகுப்பு:சேர்வியல் பகுப்பு:குறிப்பிடத்தக்க எண் வகைகள்