สมการเชบีเชฟ
สมการเชบีเชฟ () คือสมการอนุพันธ์กำลังสองสามัญเชิงเส้น (second order linear Ordinary differential equation) ซึ่งมีรูปแบบดังนี้
โดย p ค่าคงที่จำนวนจริง สมการนี้ตั้งตามชื่อของนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย ฟับนูตี เชบีเชฟ ()
ผลตอบจะอยู่ในรูปของอนุกรมค่าที่ยกกำลัง (Power series):
โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ต้องสอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิด (recurrence relation) ดังต่อไปนี้
จากการทดสอบด้วยอัตราส่วน () กับความสัมพันธ์เวียนเกิดข้างต้น จะพบว่าค่า ในอนุกรมดังกล่าวจะลู่เข้า (converge) ในช่วง formula_4
ความสัมพันธ์เวียนเกิดข้างต้นนี้เราสามารถกำหนดค่าเริ่มต้นสำหรับ formula_5 และ formula_6 ได้ ซึ่งทำให้ได้ผลตอบในปริภูมิสองมิติที่เป็นอิสระต่อกัน เช่นหากลองเลือกให้ formula_5 และ formula_6 มีค่าเป็น formula_9 และ formula_10
กรณี formula_5 = 1 ; formula_6 = 0 จะได้
กรณี formula_5 = 0 ; formula_6 = 1 จะได้
ซึ่งผลตอบในรูปแบบทั่วไปเกิดมาจากผลรวมเชิงเส้น (linear combination) ของสองผลตอบข้างต้นนี้
เมื่อ formula_17 เป็นจำนวนเต็มบวก ฟังก์ชันใดฟังก์ชันหนึ่งที่กล่าวมาข้างต้นจะมีลำดับที่จำกัด โดยที่ ฟังก์ชัน formula_18 จะมีพจน์ถึงแค่ formula_19 เมื่อ formula_17 เป็นจำนวนคู่ และในทางกลับกัน ฟังก์ชัน formula_21 จะมีพจน์ถึงแค่ formula_19 เมื่อ formula_17 เป็นจำนวนคี่ ซึ่งส่งผลให้ลำดับของอนุกรมผลตอบจะมีลำดับจำกัดอยู่แค่ลำดับ formula_17 และเป็นเพียงพหุคูณของ พหุนามเชบีเชฟ (Chebyshev polynomial) ลำดับ formula_17 เท่านั้นเอง ดังจะเขียนเป็นความสัมพันธ์ได้ดังนี้
โดยที่ formula_30 คือ พหุนามเชบีเชฟ ลำดับ formula_17
อนึ่ง เราสามารถหาผลตอบได้ในกรณีที่ formula_17 เป็นจำนวนเต็มลบได้เช่นกัน เพียงแต่ว่าผลตอบที่ได้นั้นจะซ้ำกับผลตอบในกรณีที่ formula_17 เป็นจำนวนเต็มบวก อันเนื่องมาจากสมการเชบีเชพนี้มีคุณสมบัติไม่ไม่แปรเปลี่ยน (invariant) ภายใต้การแทนค่าระหว่าง formula_17 และ formula_35 นั้นเอง