แฮมิลโทเนียน (กลศาสตร์ควอนตัม)
ในวิชากลศาสตร์ควอนตัม แฮมิลโทเนียนเป็นตัวดำเนินการที่สอดคล้องกับผลรวมของพลังงานในระบบของเหตุการณ์ที่พบเจอเป็นส่วนใหญ่ มักจะใช้สัญลักษณ์เป็น "H" หรือ "Ȟ" หรือ "Ĥ" โดยสเปกตรัมคือชุดของค่าที่หาออกมาได้เมื่อทำการวัดค่าพลังงานรวมของระบบ เพราะสิ่งเหล่านี้จะมีความสอดคล้องกับความสัมพันธ์ของเวลา (time-evolution)ของระบบนั้นๆ ซึ่งมีความสำคัญมากกับสูตรการคำนวณของควอนตัมเป็นส่วนใหญ่
แฮมิลโทเนียนมาจากชื่อของเซอร์วิลเลียม โรวัน แฮมิลตัน ซึ่งเป็นผู้ปฏิรูปการปฏิวัติของกลศาสตร์นิวโทเนียน (Newtonian mechanics) ซึ่งปัจจุบันมีชื่อเรียกว่า กลศาสตร์แฮมิลโทเนียน (Hamiltonian mechanics) และเป็นสิ่งที่สำคัญมากในวิชาฟิสิกส์ควอนตัม (quantum physics)
แฮมิลโทเนียนคือผลรวมของพลังงานจลน์จากทุกๆอนุภาค และรวมกับพลังงานศักย์ของอนุภาคที่มีความสอดคล้องกับระบบ สำหรับสถานะหรือจำนวนอนุภาคที่แตกต่างกัน แฮมิลโทเนียนก็จะมีค่าที่แตกต่างกันออกไปด้วย เนื่องจากประกอบด้วยผลรวมของพลังงานจลน์ของอนุภาคกับค่าฟังก์ชันของพลังงานศักย์ที่สอดคล้องกันในแต่ละสถานะ
จากการเปรียบเทียบกับกลศาสตร์แบบดั้งเดิมของระบบอนุภาคเดี่ยว (classical mechanics) แฮมิลโทเนียนมักจะเขียนอยู่ในรูปของตัวดำเนินการที่สอดคล้องกับค่าผลรวมของพลังงานจลน์และผลรวมของพลังงานศักย์ในระบบในรูปแบบดังนี้
เป็นตัวดำเนินการพลังงานศักย์ และ
เป็นตัวดำเนินการของพลังงานจลน์ เมื่อ m คือมวลของอนุภาค เครื่องหมาย dot บอกถึงผลการหาค่า dot ของเวกเตอร์ และ
คือตัวดำเนินการของโมเมนตัม (momentum operator) โดยที่เครื่องหมาย ∇ คือตัวดำเนินการ del (del operator) ผลการคูณแบบ dot ของ ∇ (dot product) ของตัวมันเองนั้นสามารถเรียกได้อีกอย่างหนึ่งว่า ลาปลาเซียน (Laplacian) เขียนได้เป็น ∇ ในระแบบพิกัดฉาก (Cartesian coordinates) แบบสามมิติ สามารถเขียนเป็นตัวดำเนินการลาปลาซได้ดังนี้
ถึงแม้ว่าจะไม่มีการนิยามถึงเทคนิคของแฮมิลโทเนียนในกลศาสตร์แบบดั้งเดิม (Hamiltonian in classical mechanics) ซึ่งถือว่าเป็นรูปแบบที่เจอได้แบบทั่วๆไป และก็จะนำรูปแบบเหล่านี้เอาไปใช้กับกับสิ่งที่คุ้นเคยในสมการชเรอดิงเงอร์ (Schrödinger equation)
มีการประยุกต์ใช้แฮมิลโทเนียนในระบบที่ใช้สมการคลื่น "Ψ"(r, "t") (wave function) มาอธิบาย โดยวิธีนี้ก็เป็นวิธีการแบบทั่วๆไปในการแก้สมการของทางกลศาสตร์ควอนตัม