อนุกรม
ในทางคณิตศาสตร์ อนุกรม คือผลจากการบวกสมาชิกทุกตัวของลำดับไม่จำกัดเข้าด้วยกัน หากกำหนดให้ลำดับของจำนวนเป็น { a n } = a 1 , a 2 , a 3 , . . . {\displaystyle \{a_{n}\}=a_{1},a_{2},a_{3},...} อนุกรมของลำดับนี้ก็คือ a 1 + a 2 + a 3 + . . . {\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+...} อนุกรมสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ของผลรวม ∑ เช่นตัวอย่างนี้เป็นอนุกรมของลำดับ { 1 / 2 n } {\displaystyle \{1/2^{n}\}}
∑ n = 1 ∞ 1 2 n = 1 2 + 1 4 + 1 8 + ⋯ + 1 2 n + ⋯ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}+\cdots }
พจน์ของอนุกรมมักถูกสร้างขึ้นโดยกฎเกณฑ์เฉพาะ เช่นโดยสูตรคณิตศาสตร์ ขั้นตอนวิธี ลำดับของการวัด หรือแม้แต่การสุ่มจำนวน และเนื่องจากพจน์ในอนุกรมมีจำนวนไม่จำกัด อนุกรมจึงอาจเรียกว่าเป็น อนุกรมไม่จำกัด หรือ อนุกรมอนันต์ อนุกรมจำเป็นต้องมีเครื่องมือจากคณิตวิเคราะห์เพื่อที่จะทำความเข้าใจและเพื่อให้สามารถจัดการปรับแต่งได้ ไม่เหมือนกับผลรวมที่มีพจน์จำกัด นอกเหนือจากการใช้งานทั่วไปในคณิตศาสตร์ อนุกรมไม่จำกัดยังถูกใช้งานอย่างกว้างขวางในสาขาวิชาเชิงปริมาณ ตัวอย่างเช่นฟิสิกส์หรือวิทยาการคอมพิวเตอร์
อนุกรมสามารถสร้างขึ้นได้จากเซตหลายประเภทรวมทั้งจำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน ฟังก์ชัน ฯลฯ นิยามต่อไปนี้จะถูกกำหนดบนจำนวนจริง แต่ก็สามารถทำให้เป็นกรณีทั่วไปได้
กำหนดให้ลำดับไม่จำกัดของจำนวนจริง { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} เรานิยามให้
S N = ∑ n = 0 N a n = a 0 + a 1 + a 2 + ⋯ + a N {\displaystyle S_{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{N}}
เราเรียก S N {\displaystyle S_{N}} ว่าเป็น ผลรวมบางส่วน N พจน์ ของลำดับ { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} หรือ ผลรวมบางส่วนของอนุกรม อนุกรมคือลำดับของผลรวมบางส่วนเข้าด้วยกัน { S N } {\displaystyle \{S_{N}\}}
เมื่อพูดถึงอนุกรม เราอาจหมายถึงลำดับ { S N } {\displaystyle \{S_{N}\}} ของผลรวมบางส่วน หรือหมายถึง ผลรวมของอนุกรม อย่างใดอย่างหนึ่ง ขึ้นอยู่กับบริบท
∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}
เพื่อที่จะแยกแยะความแตกต่างของทั้งสองความหมายนี้ จึงมีการซ่อนขอบเขตบนและล่างเครื่องหมายผลรวม เช่น
∑ a n {\displaystyle \sum a_{n}}
หมายถึงผลรวมของอนุกรม ซึ่งอาจจะมีหรือไม่มีผลรวมจริงๆ ก็ได้
อนุกรม ∑ a n {\displaystyle a_{n}} จะเรียกว่า ลู่เข้า (converge) เมื่อลำดับ { S N } {\displaystyle \{S_{N}\}} ของผลรวมบางส่วนมีลิมิตที่ไม่เป็นอนันต์ แต่ถ้าลิมิตของ S N {\displaystyle S_{N}} เป็นอนันต์หรือไม่มีลิมิต อนุกรมนั้นจะเรียกว่า ลู่ออก (diverge) และเมื่อผลรวมบางส่วนมีลิมิต เราเรียกลิมิตนั้นว่าเป็น ผลรวมของอนุกรม
∑ n = 0 ∞ a n = lim N → ∞ S N = lim N → ∞ ∑ n = 0 N a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\lim _{N\to \infty }S_{N}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=0}^{N}a_{n}}
วิธีที่ง่ายที่สุดที่จะทำให้อนุกรมไม่จำกัดเป็นอนุกรมลู่เข้า นั่นคือ a n {\displaystyle a_{n}} ทุกพจน์มีค่าเป็นศูนย์ ซึ่งสังเกตได้จากผลรวมบางส่วนของอนุกรม ส่วนการลู่เข้าของอนุกรมที่พจน์ต่างๆ ไม่เป็นศูนย์ เป็นสาระสำคัญของการศึกษาอนุกรม ลองพิจารณาตัวอย่างนี้
1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + ⋯ + 1 2 n + ⋯ {\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}+\cdots }
อนุกรมนี้อาจ มองว่า เป็นอนุกรมลู่เข้าบนเส้นจำนวนจริง เราอาจจินตนาการถึงเส้นตรงยาว 2 หน่วย และมีขีดกำกับแบ่งครึ่งไว้ที่ความยาว 1 หน่วย, ½ หน่วย, ¼ หน่วย ฯลฯ ซึ่งเราจะมีที่ว่างเสมอสำหรับขีดกำกับครั้งถัดไป เพราะว่าความยาวของเส้นที่เหลือจะยังคงมีอยู่เหมือนกับขีดกำกับก่อนหน้า เช่น เมื่อกำกับขีดไว้ที่ ½ หน่วย ก็ยังคงเหลือที่ว่างอีก ½ หน่วยที่ยังไม่มีขีด ดังนั้นเราจึงสามารถขีดกำกับที่ ¼ หน่วยลงไปได้อีก เช่นนี้เรื่อยไป คำอธิบายข้างต้นมิได้เป็นข้อพิสูจน์ว่าผลรวมดังกล่าว เท่ากับ 2 (ถึงแม้ว่าจะเป็นเช่นนั้น) แต่เป็นการพิสูจน์ว่าผลรวมนั้นมีค่า มากที่สุด คือ 2 หรือกล่าวอีกทางหนึ่งคือ อนุกรมนี้มีขอบเขตบนที่ 2
นักคณิตศาสตร์ได้นำวิธีเดียวกันนี้ไปใช้อธิบายสิ่งอื่นๆ เป็นแนวความคิดแบบอนุกรม เช่นเมื่อเราพูดถึงทศนิยมซ้ำจำนวนนี้
x = 0.111 … {\displaystyle x=0.111\dots }
เหมือนว่าเรากำลังพูดถึงอนุกรม 0.1 + 0.01 + 0.001 + . . . {\displaystyle 0.1+0.01+0.001+...} แต่เมื่ออนุกรมเหล่านี้ลู่เข้าบนจำนวนจริงเสมอ การอธิบายอนุกรมก็เหมือนกับการอธิบายค่าที่แท้จริงของจำนวนนั้น (ดูเพิ่มที่ 0.999...)
อนุกรมเรขาคณิต เป็นอนุกรมที่พจน์ต่างๆ ถูกสร้างขึ้นโดยการคูณพจน์ก่อนหน้าด้วยค่าคงตัวค่าหนึ่ง นั่นคือมาจากลำดับเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น
1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ 1 2 n {\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}}
และโดยทั่วไป อนุกรมเรขาคณิต
∑ n = 0 ∞ z n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}}
จะเป็นอนุกรมลู่เข้าก็ต่อเมื่อ | z | < 1 {\displaystyle |z|<1}
อนุกรมฮาร์มอนิก คืออนุกรมดังนี้
1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ 1 n {\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}}
อนุกรมฮาร์มอนิกเป็นอนุกรมลู่ออก
อนุกรมสลับเครื่องหมาย เป็นอนุกรมที่พจน์ต่างๆ มีเครื่องหมายบวกลบสลับกัน ตัวอย่างเช่น
1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − ⋯ = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 1 n {\displaystyle 1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{1 \over n}}
∑ n = 1 ∞ 1 n r {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{r}}}}
จะเป็นอนุกรมลู่เข้าเมื่อ r > 1 และเป็นอนุกรมลู่ออกเมื่อ r ≤ 1 ในฐานะฟังก์ชันของ r ผลรวมของอนุกรมนี้คือฟังก์ชันซีตาของรีมันน์
∑ n = 1 ∞ ( b n − b n + 1 ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(b_{n}-b_{n+1})}
จะเป็นอนุกรมลู่เข้า ถ้าลำดับ b n {\displaystyle b_{n}} ลู่เข้าไปยังขอบเขต L ค่าหนึ่ง เมื่อ n มีค่าเข้าใกล้อนันต์ และค่าของอนุกรมนี้จะเท่ากับ b 1 − L {\displaystyle b_{1}-L}
อนุกรมมิได้ถูกแบ่งเพียงว่าจะลู่เข้าหรือลู่ออก อนุกรมยังสามารถแบ่งออกไปได้อีกโดยขึ้นอยู่กับสมบัติของพจน์ a n {\displaystyle a_{n}} (ลู่เข้าสัมบูรณ์หรือลู่เข้าตามเงื่อนไข) ประเภทของการลู่เข้าของอนุกรม (ลู่เข้ารายจุดหรือลู่เข้าสม่ำเสมอ) ประเภทของพจน์ a n {\displaystyle a_{n}} (ไม่ว่าจะเป็นจำนวนจริง ลำดับเรขาคณิต ฟังก์ชันตรีโกณมิติ) และอื่นๆ อีกมากมาย
เมื่อ a n {\displaystyle a_{n}} เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบสำหรับทุกค่าของ n ดังนั้นลำดับ S N {\displaystyle S_{N}} ของผลรวมบางส่วนจึงมีค่าที่ไม่ลดลง อนุกรม ∑ a n {\displaystyle a_{n}} ซึ่งพจน์ไม่เป็นลบจะลู่เข้าก็ต่อเมื่อลำดับ S N {\displaystyle S_{N}} ของผลรวมบางส่วนถูกจำกัดขอบเขต
∑ n ≥ 1 1 n 2 {\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{2}}}}
เป็นอนุกรมลู่เข้า เนื่องจากอสมการ
1 n 2 ≤ 1 n − 1 − 1 n , n ≥ 2 {\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}}\leq {\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}},\quad n\geq 2}
และผลรวมเทเลสโคปทำให้สามารถสรุปได้ว่า ผลรวมบางส่วนถูกจำกัดขอบเขตไว้ที่ 2
∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}
จะเรียกว่าลู่เข้าสัมบูรณ์ ถ้าหากอนุกรมของค่าสัมบูรณ์
∑ n = 0 ∞ | a n | {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|}
ลู่เข้าค่าใดค่าหนึ่งด้วย ซึ่งเป็นค่าเดียวกันกับอนุกรมแรก
อนุกรมของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนจะเรียกว่าลู่เข้าตามเงื่อนไข (หรือกึ่งลู่เข้า) ถ้าอนุกรมนั้นลู่เข้า แต่ไม่ได้ลู่เข้าสัมบูรณ์ ตัวอย่างที่เห็นได้ชัดคืออนุกรมสลับเครื่องหมาย เช่น
∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − ⋯ {\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n}=1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots }
เป็นอนุกรมลู่เข้า (และมีผลรวมเท่ากับ ln 2) แต่อนุกรมของค่าสัมบูรณ์กลายเป็นอนุกรมฮาร์มอนิกซึ่งลู่ออก ทฤษฎีบทอนุกรมของรีมันน์กล่าวไว้ว่า อนุกรมลู่เข้าตามเงื่อนไข สามารถจัดเรียงให้กลายเป็นอนุกรมลู่ออก และยิ่งไปกว่านั้น ถ้า a n {\displaystyle a_{n}} เป็นจำนวนจริง และ S ก็เป็นจำนวนจริง เราสามารถจัดเรียงใหม่เพื่อให้อนุกรมนั้นลู่เข้าและมีผลรวมเท่ากับ S
การทดสอบของอาเบล (Abel's test) เป็นเครื่องมือสำคัญสำหรับอนุกรมลู่เข้าตามเงื่อนไข ถ้าหากอนุกรมนั้นอยู่ในรูปแบบ
∑ a n = ∑ λ n b n {\displaystyle \sum a_{n}=\sum \lambda _{n}b_{n}}
เมื่อผลรวมบางส่วน B N = b 0 + . . . + b N {\displaystyle B_{N}=b_{0}+...+b_{N}} ถูกจำกัดขอบเขต, λ n {\displaystyle \lambda _{n}} เป็นตัวจำกัดความแปรผัน และ λ n B n {\displaystyle \lambda _{n}B_{n}} มีลิมิต
sup N | ∑ n = 0 N b n | < ∞ , ∑ | λ n + 1 − λ n | < ∞ and λ n B n converges {\displaystyle \sup _{N}{\Bigl |}\sum _{n=0}^{N}b_{n}{\Bigr |}<\infty ,\ \ \sum |\lambda _{n+1}-\lambda _{n}|<\infty \ {\text{and}}\ \lambda _{n}B_{n}\ {\text{converges}}}
แล้วอนุกรม ∑ a n {\displaystyle a_{n}} จะลู่เข้า สิ่งนี้เป็นจริงในการลู่เข้ารายจุดของอนุกรมตรีโกณมิติ อาทิ
∑ n = 2 ∞ sin ⁡ ( n x ) ln ⁡ n {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\sin(nx)}{\ln n}}}
โดยที่ 0 < x < 2 π {\displaystyle 0<x<2\pi } วิธีการของอาเบลประกอบด้วยการเขียน b n + 1 = B n + 1 − B n {\displaystyle b_{n+1}=B_{n+1}-B_{n}} และกระทำการแปลงอย่างหนึ่งซึ่งคล้ายกับการหาปริพันธ์เป็นส่วน (เรียกว่าผลรวมเป็นส่วน) ซึ่งทำให้อนุกรม ∑ a n {\displaystyle a_{n}} เปลี่ยนเป็นอนุกรมลู่เข้าสัมบูรณ์ได้ดังนี้
∑ ( λ n − λ n + 1 ) B n {\displaystyle \sum (\lambda _{n}-\lambda _{n+1})\,B_{n}}
Bromwich, T.J. An Introduction to the Theory of Infinite Series MacMillan & Co. 1908, revised 1926, reprinted 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.