กฎลูกโซ่
ในวิชาแคลคูลัส กฎลูกโซ่ () คือสูตรสำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันคอมโพสิต
เห็นได้ชัดว่า หากตัวแปร "y" เปลี่ยนแปลงตามตัวแปร "u" ซึ่งเปลี่ยนแปลงตามตัวแปร "x" แล้ว อัตราการเปลี่ยนแปลงของ "y" เทียบกับ "x" หาได้จากผลคูณ ของอัตราการเปลี่ยนแปลงของ "y" เทียบกับ "u" คูณกับ อัตราการเปลี่ยนแปลงของ "u" เทียบกับ "x"
สมมติให้คนหนึ่งปีนเขาด้วยอัตรา 0.5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง อุณหภูมิจะลดต่ำลงเมื่อระดับความสูงเพิ่มขึ้น สมมติให้อัตราเป็น ลดลง 6 °F ต่อกิโลเมตร ถ้าเราคูณ 6 °F ต่อกิโลเมตรด้วย 0.5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง จะได้ 3 °F ต่อชั่วโมง การคำนวณเช่นนี้เป็นตัวอย่างของการประยุกต์ใช้กฎลูกโซ่
ในทางพีชคณิต กฎลูกโซ่ (สำหรับตัวแปรเดียว) ระบุว่า ถ้าฟังก์ชัน "f" หาอนุพันธ์ได้ที่ "g(x)" และฟังก์ชัน "g" หาอนุพันธ์ได้ที่ "x" คือเราจะได้ formula_1 ดังนั้น
นอกจากนี้ ด้วยสัญกรณ์ของไลบ์นิซ กฎลูกโซ่เขียนแทนได้ดังนี้:
เมื่อ formula_4 ระบุว่า "f" เปลี่ยนแปลงตาม "g" เหมือนเป็นตัวแปรหนึ่ง.
ในการหาปริพันธ์ ส่วนกลับของกฎลูกโซ่คือการหาปริพันธ์โดยการแทนค่า
กฎเลขยกกำลังทั่วไปสามารถนำมาใช้กับกฎลูกโซ่ได้
พิจารณา formula_5. formula_6 เทียบได้กับ formula_7 โดยที่ formula_8 และ formula_9 ดังนั้น
ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
เราสามารถเขียน formula_11 ด้วย formula_12 และ formula_13 จากกฎลูกโซ่ จะได้
เนื่องจาก formula_15 และ formula_16
กฎลูกโซ่ใช้ได้กับฟังก์ชันหลายตัวแปรเช่นกัน ตัวอย่างเช่น ถ้าเรามีฟังก์ชัน formula_17 โดยที่
ดังนั้น
ให้ "f" และ "g" เป็นฟังก์ชัน และให้ "x" เป็นจำนวนที่ "f" สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ "g(x)" และ "g" หาอนุพันธ์ได้ที่ "x" ดังนั้น จากนิยามของการหาอนุพันธ์ได้ จะได้
ในทำนองเดียวกัน
ซึ่ง formula_27
จะเห็นว่าขณะที่ formula_28 นั้น formula_29 และ formula_30 ดังนั้น
กฎลูกโซ่นั้นเป็นคุณสมบัติพื้นฐานของนิยามของอนุพันธ์ทั้งหมด เช่น ถ้า "E" "F" และ "G" เป็น ปริภูมิบานาค (รวมไปถึงปริภูมิยูคลิดด้วย) และ "f" : "E" → "F" และ "g" : "F" → "G" เป็นฟังก์ชัน และถ้า "x" เป็นสมาชิกของ "E" ซึ่ง "f" หาอนุพันธ์ได้ที่ "x" และ "g" หาอนุพันธ์ได้ที่ "f"("x") แล้ว อนุพันธ์ (อนุพันธ์เฟรเชต์) ของฟังก์ชันคอมโพสิต "g" o "f" ที่ "x" จะเป็นดังนี้
สังเกตว่าอนุพันธ์นี้เป็นการแปลงเชิงเส้น ไม่ใช่ตัวเลข ถ้าการแปลงเชิงเส้นแทนด้วยเมทริกซ์ (จาโคเบียนเมทริกซ์) การรวมทางด้านขวาจะกลายเป็นการคูณเมทริกซ์
การกำหนดกฎลูกโซ่ที่ชัดเจนสามารถทำได้จากวิธีที่เป็นทั่วไปมากที่สุด คือ ให้ "M" "N" และ "P" เป็นแมนิโฟลด์ "C" (หรือบานาคแมนิโฟลด์) และให้
เป็นการแปลงที่หาอนุพันธ์ได้ อนุพันธ์ของ "f" แทนด้วย d"f" จะเป็นการแปลงจากปมสัมผัสของ "M" ไปยังปมสัมผัสของ "N" และสามารถเขียนแทนด้วย
ด้วยวิธีนี้ รูปแบบของอนุพันธ์และปมสัมผัสจะถูกมองเห็นในรูปฟังก์เตอร์บน Category ของแมนิโฟลด์ "C" โดยมีการแปลง "C" เป็นสัณฐาน
ดู สนามเทนเซอร์ สำหรับคำอธิบายเกี่ยวกับบทบาทพื้นฐานของกฎลูกโซ่ในธรรมชาติทางเรขาคณิตของเทนเซอร์