ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (English: Trigonometric function) คือ ฟังก์ชันของมุม ซึ่งมีความสำคัญในการศึกษารูปสามเหลี่ยมและปรากฏการณ์ในลักษณะเป็นคาบ ฟังก์ชันอาจนิยามด้วยอัตราส่วนของด้าน 2 ด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หรืออัตราส่วนของพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วย หรือนิยามในรูปทั่วไปเช่น อนุกรมอนันต์ หรือสมการเชิงอนุพันธ์ รูปสามเหลี่ยมที่นำมาใช้จะอยู่ในระนาบแบบยุคลิด ดังนั้น ผลรวมของมุมทุกมุมจึงเท่ากับ 180° เสมอ
ในปัจจุบัน มีฟังก์ชันตรีโกณมิติอยู่ 6 ฟังก์ชันที่นิยมใช้กันดังตารางข้างล่าง (สี่ฟังก์ชันสุดท้าย<i data-parsoid='{"dsr":[558,567,2,2]}'>นิยาม</i>ด้วยความสัมพันธ์กับฟังก์ชันอื่น แต่ก็สามารถนิยามด้วยเรขาคณิตได้)
ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันเหล่านี้ อยู่ในบทความเรื่อง เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ
ในการนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุม A เราจะกำหนดให้มุมใดมุมหนึ่งในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นมุม A
เรียกชื่อด้านแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมตามนี้
ด้าน<i data-parsoid='{"dsr":[2173,2191,2,2]}'>ตรงข้ามมุมฉาก (hypotenuse) คือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉาก หรือเป็นด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ในที่นี้คือ h ด้าน<i data-parsoid='{"dsr":[2306,2317,2,2]}'>ตรงข้าม (opposite side) คือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมที่เราสนใจ ในที่นี้คือ a ด้าน<i data-parsoid='{"dsr":[2395,2405,2,2]}'>ประชิด (adjacent side) คือด้านที่อยู่ติดกับมุมที่เราสนใจและมุมฉาก ในที่นี้คือ b
1). ไซน์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในที่นี้คือ
sin(A) = ข้าม/ฉาก =
2). โคไซน์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านประชิด ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในที่นี้คือ
cos(A) = ชิด/ฉาก = b/h
3). แทนเจนต์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ต่อความยาวด้านประชิด ในที่นี้คือ
tan(A) = ข้าม/ชิด = a/b
4). โคซีแคนต์ csc(A) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ sin(A) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อความยาวด้านตรงข้าม
csc(A) = ฉาก/ข้าม = h/a
5). ซีแคนต์ sec(A) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ cos(A) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อความยาวด้านประชิด
sec(A) = ฉาก/ชิด = h/b
6). โคแทนเจนต์ cot(A) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ tan(A) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านประชิด ต่อความยาวด้านตรงข้าม
cot(A) = ชิด/ข้าม = b/a
ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้ง 6 ฟังก์ชัน สามารถนิยามด้วยวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งเป็นวงกลมที่มีรัศมียาว 1 หน่วย และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด วงกลมหนึ่งหน่วยช่วยในการคำนวณ และหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่เป็นบวกและลบได้ ไม่ใช่แค่ 0 ถึง π/2 เรเดียนเท่านั้น สมการของวงกลมหนึ่งหน่วยคือ:
x 2 + y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1\,}
จากรูป เราจะวัดมุมในหน่วยเรเดียน โดยให้มุมเป็นบวกในทิศทวนเข็มนาฬิกา และมุมเป็นลบในทิศตามเข็มนาฬิกา ลากเส้นให้ทำมุม θ กับแกน x ด้านบวก และตัดกับวงกลมหนึ่งหน่วย จะได้ว่าพิกัด x และ y ของจุดตัดนี้จะเท่ากับ cos θ และ sin θ ตามลำดับ เหตุผลเพราะว่ารูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นนั้น จะมีความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ยาวเท่ากับรัศมีวงกลม นั่นคือยาวเท่ากับ 1 หน่วย เราจะได้ sin θ = y/1 และ cos θ = x/1 วงกลมหนึ่งหน่วยช่วยให้เราหากรณีที่สามเหลี่ยมมีความสูงเป็นอนันต์ (เช่น มุม π/2 เรเดียน) โดยการเปลี่ยนความยาวของด้านประกอบมุมฉาก แต่ด้านตรงข้ามมุมฉากยังยาวเท่ากับ 1 หน่วย เท่าเดิม
สำหรับมุมที่มากกว่า 2π หรือต่ำกว่า −2π เราสามารถวัดมุมได้ในวงกลม ด้วยวิธีนี้ ค่าไซน์และโคไซน์จึงเป็นฟังก์ชันเป็นคาบที่มีคาบเท่ากับ 2π:
sin ⁡ θ = sin ⁡ ( θ + 2 π k ) {\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2\pi k\right)} cos ⁡ θ = cos ⁡ ( θ + 2 π k ) {\displaystyle \cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right)}
เมื่อ θ เป็นมุมใดๆ และ k เป็นจำนวนเต็มใดๆ
คาบที่เป็นบวกที่<i data-parsoid='{"dsr":[4917,4931,2,2]}'>เล็กที่สุด</i>ของฟังก์ชันเป็นคาบ เรียกว่า คาบปฐมฐาน</i>ของฟังก์ชัน คาบปฐมฐานของไซน์, โคไซน์, ซีแคนต์ หรือโคซีแคนต์ จะเท่ากับวงกลมหนึ่งวง นั่นคือเท่ากับ 2π เรเดียน หรือ 360 องศา คาบปฐมฐานของแทนเจนต์ หรือโคแทนเจนต์ จะเท่ากับครึ่งวงกลม นั่นคือเท่ากับ π เรเดียน หรือ 180 องศา
จากข้างบนนี้ ค่าไซน์และโคไซน์ถูกนิยามจากวงกลมหนึ่งหน่วยโดยตรง แต่สี่ฟังก์ชันตรีโกณมิติที่เหลือจะถูกนิยามโดย
tan ⁡ θ = sin ⁡ θ cos ⁡ θ {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}} sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ {\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}} csc ⁡ θ = 1 sin ⁡ θ {\displaystyle \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}} cot ⁡ θ = cos ⁡ θ sin ⁡ θ {\displaystyle \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}}
ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน<i data-parsoid='{"dsr":[5708,5719,2,2]}'>ทั้งหมด สามารถนิยามจากวงกลมหนึ่งหน่วยได้โดยใช้วงกลมหนึ่งหน่วย ที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด O (ตามรูปทางขวา) ซึ่งคล้ายกับการนิยามเชิงเรขาคณิตที่ใช้กันมาในสมัยก่อน ให้ AB เป็นคอร์ดของวงกลม ซึ่ง θ เป็นครึ่งหนึ่งของมุมที่รองรับคอร์ดนั้น จะได้
sin(θ) คือ ความยาว AC (ครึ่งหนึ่งของคอร์ด) นิยามนี้เริ่มใช้โดยชาวอินเดีย cos(θ) คือระยะทางตามแนวนอน OC versin(θ) = 1 − cos(θ) คือ ความยาว CD tan(θ) คือ ความยาวของส่วน AE ของเส้นสัมผัสที่ลากผ่านจุด A จึงเป็นที่มาของคำว่าแทนเจนต์นั่นเอง (tangent = สัมผัส) cot(θ) คือ ส่วนของเส้นสัมผัสที่เหลือ คือความยาว AF sec(θ) = OE และ csc(θ) = OF เป็นส่วนของเส้นซีแคนต์ (ตัดวงกลมที่จุดสองจุด) ซึ่งสามารถมองว่าเป็นภาพฉายของ OA ตามแนวเส้นสัมผัสที่จุด A ไปยังแกนนอนและแกนตั้ง ตามลำดับ exsec(θ) = DE = sec(θ) − 1 (ส่วนของซีแคนต์ด้านนอก)
ด้วยวิธีสร้างเหล่านี้ ทำให้เห็นภาพฟังก์ชันซีแคนต์และแทนเจนต์ลู่ออก เมื่อ θ เข้าใกล้ π/2 (90 องศา) และโคซีแคนต์และโคแทนเจนต์ลู่ออก เมื่อ θ เข้าใกล้ศูนย์ (เราสามารถพิสูจน์เอกลักษณ์ตรีโกณมิติด้วยรูปภาพได้)
โดยการใช้เรขาคณิตและคุณสมบัติของลิมิต เราแสดงได้ว่าอนุพันธ์ของไซน์คือโคไซน์ และอนุพันธ์ของไคโซน์คือค่าลบชองไซน์ เราสามารถใช้อนุกรมเทย์เลอร์สำหรับแสดงเอกลักษณ์ต่อไปนี้สำหรับทุกจำนวนจริง x:
sin ⁡ x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! {\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}
cos ⁡ x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! {\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}}
เอกลักษณ์เหล่านี้มักใช้เป็น นิยาม ของฟังก์ชันไซน์ และโคไซน์ ซึ่งนำไปใช้เป็นจุดเริ่มต้นแบบเข้มของฟังก์ชันตรีโกณมิติ และการประยุกต์ของมัน (เช่น อนุกรมฟูรีเย) เพราะว่ามันมีพื้นฐานอยู่บนระบบจำนวนจริง ไม่ขึ้นกับการตีความทางเรขาคณิตใดๆ การหาอนุพันธ์ได้และความต่อเนื่องของฟังก์ชันก็มาจากนิยามนี้
ดูบทความหลักที่ เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ
sin ⁡ ( x + y ) = sin ⁡ x cos ⁡ y + cos ⁡ x sin ⁡ y {\displaystyle \sin \left(x+y\right)=\sin x\cos y+\cos x\sin y}
sin ⁡ ( x − y ) = sin ⁡ x cos ⁡ y − cos ⁡ x sin ⁡ y {\displaystyle \sin \left(x-y\right)=\sin x\cos y-\cos x\sin y}
cos ⁡ ( x + y ) = cos ⁡ x cos ⁡ y − sin ⁡ x sin ⁡ y {\displaystyle \cos \left(x+y\right)=\cos x\cos y-\sin x\sin y}
cos ⁡ ( x − y ) = cos ⁡ x cos ⁡ y + sin ⁡ x sin ⁡ y {\displaystyle \cos \left(x-y\right)=\cos x\cos y+\sin x\sin y}
sin ⁡ x + sin ⁡ y = 2 sin ⁡ ( x + y 2 ) cos ⁡ ( x − y 2 ) {\displaystyle \sin x+\sin y=2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)}
sin ⁡ x − sin ⁡ y = 2 cos ⁡ ( x + y 2 ) sin ⁡ ( x − y 2 ) {\displaystyle \sin x-\sin y=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sin \left({\frac {x-y}{2}}\right)}
cos ⁡ x + cos ⁡ y = 2 cos ⁡ ( x + y 2 ) cos ⁡ ( x − y 2 ) {\displaystyle \cos x+\cos y=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)}
cos ⁡ x − cos ⁡ y = − 2 sin ⁡ ( x + y 2 ) sin ⁡ ( x − y 2 ) {\displaystyle \cos x-\cos y=-2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sin \left({\frac {x-y}{2}}\right)}
tan ⁡ x + tan ⁡ y = sin ⁡ ( x + y ) cos ⁡ x cos ⁡ y {\displaystyle \tan x+\tan y={\frac {\sin \left(x+y\right)}{\cos x\cos y}}}
tan ⁡ x − tan ⁡ y = sin ⁡ ( x − y ) cos ⁡ x cos ⁡ y {\displaystyle \tan x-\tan y={\frac {\sin \left(x-y\right)}{\cos x\cos y}}}
cot ⁡ x + cot ⁡ y = sin ⁡ ( x + y ) sin ⁡ x sin ⁡ y {\displaystyle \cot x+\cot y={\frac {\sin \left(x+y\right)}{\sin x\sin y}}}
cot ⁡ x − cot ⁡ y = − sin ⁡ ( x − y ) sin ⁡ x sin ⁡ y {\displaystyle \cot x-\cot y={\frac {-\sin \left(x-y\right)}{\sin x\sin y}}}
ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ที่ใช้ในปัจจุบันพัฒนามาจากยุคกลาง แต่การศึกษาตรีโกณมิติในยุคแรกๆ
สามารถย้อนไปถึงคอร์ดฟังก์ชัน ที่ค้นพบโดย ฮิปปาร์คัส (180 - 125 ก่อนคริสตกาล) และ ปโตเลมี (ค.ศ. 90-165)
หนังสือฉบับแรกที่มีการใช้ 'sin' 'cos' 'tan' ปรากฏในศตวรรษที่ 16 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส อัลเบิรต์ จีลาด
ในฉบับที่พิมพ์ในปี ค.ศ. 1682 กอทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ ได้พิสูจน์ว่า sin x ไม่ใช่ ฟังก์ชันพีชคณิต ของ x[1]
หมวดหมู่:ตรีโกณมิติ หมวดหมู่:ฟังก์ชันพิเศษมูลฐาน