กฎผลคูณ
ในคณิตศาสตร์ กฎผลคูณของแคลคูลัส ซึ่งเราอาจเรียกว่า กฎของไลบ์นิซ (ดูการอนุพัทธ์) ควบคุมอนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้
ซึ่งอาจเขียนได้ดังนี้
หรือด้วยสัญกรณ์ไลบ์นิซดังนี้
ไลบ์นิซได้ชื่อว่าเป็นผู้ค้นพบกฎนี้ ซึ่งพิสูจน์โดยใช้คณิตศาสตร์ดิฟเฟอเรนเชียล สมมุติให้ "u" ("x") และ "v" ("x") เป็นฟังก์ชันซึ่งหาอนุพันธ์ได้ของ "x" ดิฟเฟอเรนเชียลของ "uv" คือ
แต่เนื่องจากเทอม ("du") ("dv") มีค่าน้อย (ในรูปควาดราติกของ "du" และ "dv") ไลบ์นิซสรุปว่า
และนี่คือกฎผลคูณในรูปของดิฟเฟอเรนเชียล ถ้าเราหารตลอดด้วยดิฟเฟอเรนเชียล "dx" เราจะได้
ซึ่งสามารถเขียนอีกรูปหนึ่งได้เป็นความผิดพลาดของผู้ที่เริ่มศึกษาแคลคูลัสบ่อย ๆ คือการสมมุติว่าอนุพันธ์ของ "uv" เท่ากับ ("u) ("v) (ไลบ์นิซก็คิดเช่นนั้นในตอนแรก) แต่ว่าเราสามารถหาตัวอย่างมาโต้แย้งได้ง่าย ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน "f" ซึ่งมีอนุพันธ์ "f" ' ("x") ฟังก์ชันนี้สามารถเขียนได้อีกรูปหนึ่งเป็น "f" ("x") · 1 เพราะ 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ ถ้าสมมุติฐานข้างบนซึ่งผิดพลาดเป็นจริง กล่าวคือได้ ("u) ("v) ซึ่งก็คือ ผลคูณ "f"' ("x") · 0 มีค่าเป็น ศูนย์ เนื่องจากอนุพันธ์ของค่าคงที่ (เช่น 1) เป็นศูนย์เสมอ
กฎผลคูณสามารถพิสูจน์ได้โดยอาศัยคุณสมบัติของลิมิต และนิยามของอนุพันธ์จากผลหารผลต่างของนิวตัน:
สมมุติว่า
และสมมุติต่อไปว่า "g" และ "h" หาอนุพันธ์ได้ที่จุด "x" ดังนั้น
เนื่องจาก "h" มีค่าต่อเนื่องที่จุด "x" เราได้
และอาศัยนิยามของอนุพันธ์ และการหาอนุพันธ์ได้ของ "h" และ "g" ที่จุด "x" จะได้ว่า
จบการพิสูจน์