เมทริกซ์ (คณิตศาสตร์)
ในคณิตศาสตร์ เมทริกซ์ หรือ เมตริกซ์ (English: matrix) คือตารางสี่เหลี่ยมที่แต่ละช่องบรรจุจำนวนหรือโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่สามารถนำมาบวกและคูณกับตัวเลขได้
เราสามารถใช้เมทริกซ์แทนระบบสมการเชิงเส้น การแปลงเชิงเส้น และใช้เก็บข้อมูลที่ขึ้นกับตัวแปรต้นสองตัว เราสามารถบวก คูณ และแยกเมทริกซ์ออกเป็นผลคูณของเมทริกซ์ได้หลายรูปแบบ เมทริกซ์เป็นแนวความคิดที่มีความสำคัญยิ่งของพีชคณิตเชิงเส้น โดยทฤษฎีเมทริกซ์เป็นสาขาหนึ่งของพีชคณิตเชิงเส้นที่เน้นการศึกษาเมทริกซ์
ในบทความนี้ แต่ละช่องของเมทริกซ์จะบรรจุจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน หากไม่ได้ระบุเป็นอย่างอื่น
เมทริกซ์ คือกลุ่มของจำนวนหรือสมาชิกของริงใดๆ เขียนเรียงกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือจัตุรัส กล่าวคือเรียงเป็นแถวในแนวนอน และเรียงเป็นแถวในแนวตั้ง เรามักเขียนเมทริกซ์เป็นตารางที่ไม่มีเส้นแบ่งและเขียนวงเล็บคร่อมตารางไว้ (ไม่ว่าจะเป็นวงเล็บโค้งหรือวงเล็บเหลี่ยม) เช่น
[ 1 56 3 0 15 4 5 − 31 − 4 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&56&3\\0&15&4\\5&-31&-4\end{bmatrix}}}
เราเรียกแถวในแนวนอนของเมทริกซ์ว่า แถว เรียกแถวในแนวตั้งของเมทริกซ์ว่า หลัก และเรียกจำนวนแต่ละจำนวนเในเมทริกซ์ว่า สมาชิก ของเมทริกซ์ การกล่าวถึงสมาชิกของเมทริกซ์ จะต้องระบุตำแหน่งให้ถูกต้อง เช่น จากตัวอย่างข้างบน
สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 3 คือเลข 4 สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 2 คือเลข 15 สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 3 หลักที่ 1 คือเลข 5
เราเรียกเมทริกซ์ที่มี m {\displaystyle m} แถว และ n {\displaystyle n} หลัก เรียกว่า เมทริกซ์ m × n {\displaystyle m\times n} เราเรียกจำนวน m {\displaystyle m} และ n {\displaystyle n} ว่า มิติ หรือ ขนาด ของเมทริกซ์
เราใช้สัญญลักษณ์ A = ( a i , j ) m × n {\displaystyle A=(a_{i,j})_{m\times n}} เพื่อหมายถึง เมทริกซ์ A {\displaystyle A} ซึ่งมี m {\displaystyle m} แถว และ n {\displaystyle n} หลัก โดยที่ a i , j {\displaystyle a_{i,j}} (หรือ a i j {\displaystyle a_{ij}} ) หมายถึง สมาชิกที่อยู่ในตำแหน่ง แถว i {\displaystyle i} และ หลัก j {\displaystyle j} ของเมทริกซ์
A = A m × n = [ a 11 a 12 ⋯ ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ ⋯ a 2 n ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ ⋯ a m n ] {\displaystyle A=A_{m\times n}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &\cdots &a_{2n}\\\vdots &&\ddots &&\vdots \\\vdots &&&\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}}
ให้ A = ( a i , j ) m × n {\displaystyle A=(a_{i,j})_{m\times n}} และ B = ( b i , j ) m × n {\displaystyle B=(b_{i,j})_{m\times n}} เป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากันสองเมทริกซ์ เราสามารถนิยาม ผลรวม หรือ ผลบวก A + B {\displaystyle A+B} ว่าเป็นเมทริกซ์ขนาด m × n {\displaystyle m\times n} ที่คำนวณโดยการบวกสมาชิกที่มีตำแหน่งตรงกัน กล่าวคือ หาก C = ( c i , j ) m × n = A + B {\displaystyle C=(c_{i,j})_{m\times n}=A+B} แล้ว c i , j = a i , j + b i , j {\displaystyle c_{i,j}=a_{i,j}+b_{i,j}} ยกตัวอย่างเช่น
[ 1 3 2 1 0 0 1 2 2 ] + [ 0 0 5 7 5 0 2 1 1 ] = [ 1 + 0 3 + 0 2 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 0 1 + 2 2 + 1 2 + 1 ] = [ 1 3 7 8 5 0 3 3 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}}
การบวกเมทริกซ์อีกแบบหนึ่งที่เป็นที่นิยมน้อยกว่าคือการบวกตรง
กำหนดเมทริกซ์ A = ( a i , j ) m × n {\displaystyle A=(a_{i,j})_{m\times n}} และจำนวน c {\displaystyle c} เราสามารถนิยาม ผลคูณสเกลาร์ c A {\displaystyle cA} ว่าเป็นเมทริกซ์ขนาด m × n {\displaystyle m\times n} ที่คำนวณโดยการนำ c {\displaystyle c} ไปคูณสมาชิกแต่ละตัวของ A {\displaystyle A} กล่าวคือ หาก B = ( b i , j ) m × n = c A {\displaystyle B=(b_{i,j})_{m\times n}=cA} แล้ว b i , j = c a i , j {\displaystyle b_{i,j}=ca_{i,j}} ยกตัวอย่างเช่น
2 [ 1 8 − 3 4 − 2 5 ] = [ 2 × 1 2 × 8 2 × − 3 2 × 4 2 × − 2 2 × 5 ] = [ 2 16 − 6 8 − 4 10 ] {\displaystyle 2{\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\times 1&2\times 8&2\times -3\\2\times 4&2\times -2&2\times 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}}
จะเห็นว่า ปฏิบัติการทั้งสองข้างต้น (การบวกและการคูณด้วยสเกลาร์) ช่วยให้เราสามารถมองเมทริกซ์ขนาด m × n {\displaystyle m\times n} ว่าเป็นเวกเตอร์ที่มีมิติ m n {\displaystyle mn} ด้วยเหตุนี้ เซตของเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากับจึงเป็นปริภูมิเวกเตอร์ชนิดหนึ่ง
ถ้า A = ( a i , j ) m × n {\displaystyle A=(a_{i,j})_{m\times n}} และ B = ( b i , j ) n × p {\displaystyle B=(b_{i,j})_{n\times p}} เป็นเมทริกซ์สองเมทริกซ์โดยที่จำนวนหลักของ A {\displaystyle A} เท่ากับจำนวนแถวของ B {\displaystyle B} แล้ว เราสามารถนิยาม ผลคูณ A B {\displaystyle AB} ว่าเป็นเมทริกซ์ C = ( c i , j ) m × p {\displaystyle C=(c_{i,j})_{m\times p}} โดยที่
c i , j = a i , 1 b 1 , j + a i , 2 b 2 , j + ⋯ + a i , n b n , j = ∑ k = 1 n a i , k b k , j {\displaystyle c_{i,j}=a_{i,1}b_{1,j}+a_{i,2}b_{2,j}+\cdots +a_{i,n}b_{n,j}=\sum _{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j}}
กล่าวคือสมาชิกในแถว i {\displaystyle i} หลัก j {\displaystyle j} ของผลคูณ A B {\displaystyle AB} คำนวณได้จากการนำสมาชิกของหลัก i {\displaystyle i} ของ A {\displaystyle A} และสมาชิกของคอลัมน์ B {\displaystyle B} ในตำแหน่ง "เดียวกัน" มาคูณกัน แล้วนำผลคูณทั้ง n {\displaystyle n} ผลคูณนั้นมาบวกกัน
การคูณนี้อาจทำให้เข้าใจได้ง่ายขึ้นถ้ามองเมทริกซ์เป็นเวกเตอร์ของเวกเตอร์ โดยถ้าเราให้ a i = ( a i , 1 , a i , 2 , … , a i , n ) {\displaystyle a_{i}=(a_{i,1},a_{i,2},\ldots ,a_{i,n})} เป็นเวกเตอร์ที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกในแถว i {\displaystyle i} ของ A {\displaystyle A} และให้ b j = ( b 1 , j , b 2 , j , … , b n , j ) {\displaystyle b_{j}=(b_{1,j},b_{2,j},\ldots ,b_{n,j})} เป็นเวกเตอร์ที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกในหลัก j {\displaystyle j} ของ B {\displaystyle B} แล้ว เราจะได้ว่า c i , j = a i ⋅ b j {\displaystyle c_{i,j}=a_{i}\cdot b_{j}} เมื่อ a i ⋅ b j {\displaystyle a_{i}\cdot b_{j}} คือผลคูณจุดของ a i {\displaystyle a_{i}} และ b j {\displaystyle b_{j}} เช่น
ให้ A = [ a 1 , 1 a 1 , 2 a 1 , 3 a 2 , 1 a 2 , 2 a 2 , 3 ] = [ a 1 a 2 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\end{bmatrix}}} และ B = [ b 1 , 1 b 1 , 2 b 2 , 1 b 2 , 2 b 3 , 2 b 3 , 2 ] = [ b 1 b 2 ] {\displaystyle B={\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\b_{3,2}&b_{3,2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}\\\end{bmatrix}}}
แล้ว A × B = [ a 1 ⋅ b 1 a 1 ⋅ b 2 a 2 ⋅ b 1 a 2 ⋅ b 2 ] {\displaystyle A\times B={\begin{bmatrix}a_{1}\cdot b_{1}&a_{1}\cdot b_{2}\\a_{2}\cdot b_{1}&a_{2}\cdot b_{2}\\\end{bmatrix}}}
[ 1 0 2 − 1 3 1 ] × [ 3 1 2 1 1 0 ] = [ ( 1 × 3 + 0 × 2 + 2 × 1 ) ( 1 × 1 + 0 × 1 + 2 × 0 ) ( − 1 × 3 + 3 × 2 + 1 × 1 ) ( − 1 × 1 + 3 × 1 + 1 × 0 ) ] = [ 5 1 4 2 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&1\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(1\times 3+0\times 2+2\times 1)&(1\times 1+0\times 1+2\times 0)\\(-1\times 3+3\times 2+1\times 1)&(-1\times 1+3\times 1+1\times 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&1\\4&2\\\end{bmatrix}}}
การคูณเมทริกซ์มีสมบัติต่อไปนี้
สมบัติการเปลี่ยนหมู่: ( A B ) C = A ( B C ) {\displaystyle (AB)C=A(BC)} สำหรับเมทริกซ์ A {\displaystyle A} ขนาด k × m {\displaystyle k\times m} , B {\displaystyle B} ขนาด m × n {\displaystyle m\times n} , และ C {\displaystyle C} ขนาด n × p {\displaystyle n\times p} ใดๆ ("สมบัติการเปลี่ยนหมู่") สมบัติการแจกแจงทางขวา: ( A + B ) C = A C + B C {\displaystyle (A+B)C=AC+BC} สำหรับเมทริกซ์ A {\displaystyle A} และ B {\displaystyle B} ขนาด m × n {\displaystyle m\times n} และ C {\displaystyle C} ขนาด n × p {\displaystyle n\times p} ใดๆ สมบัติการแจกแจงทางซ้าย: C ( A + B ) = C A + C B {\displaystyle C(A+B)=CA+CB} สำหรับเมทริกซ์ A {\displaystyle A} และ B {\displaystyle B} ขนาด m × n {\displaystyle m\times n} และ C {\displaystyle C} ขนาด k × m {\displaystyle k\times m} ใดๆ
คำเตือน: การคูณเมทริกซ์นั้นไม่เหมือนกับการคูณจำนวนโดยทั่วไป เนื่องจากไม่มีสมบัติสลับที่ กล่าวคือ สำหรับเมทริกซ์ A {\displaystyle A} ขนาด m × n {\displaystyle m\times n} และ B {\displaystyle B} ขนาด n × p {\displaystyle n\times p} ใดๆ
ถ้า m ≠ p {\displaystyle m\neq p} แล้ว ผลคูณ B A {\displaystyle BA} ไม่มีนิยาม แม้ m = p {\displaystyle m=p} แต่ถ้า m ≠ n {\displaystyle m\neq n} แล้ว A B {\displaystyle AB} เป็นเมทริกซ์ขนาด m × m {\displaystyle m\times m} ส่วน B A {\displaystyle BA} เป็นเมทริกซ์ขนาด n × n {\displaystyle n\times n} ผลคูณทั้งสองจึงมีค่าไม่เท่ากันอย่างเห็นได้ชัด แม้ m = n = p {\displaystyle m=n=p} แต่ส่วนมากแล้ว A B {\displaystyle AB} มักจะมีค่าไม่เท่ากับ B A {\displaystyle BA} ยกตัวอย่างเช่น
[ 1 0 0 2 ] [ 3 4 5 6 ] = [ 3 4 10 12 ] ≠ [ 3 8 5 12 ] = [ 3 4 5 6 ] [ 1 0 0 2 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3&4\\5&6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&4\\10&12\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}3&8\\5&12\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&4\\5&6\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&2\end{bmatrix}}}
เรากล่าวว่าเมทริกซ์ A {\displaystyle A} แอนติคอมมิวต์ (anticommute) กับเมทริกซ์ B {\displaystyle B} ถ้า A B = − B A {\displaystyle AB=-BA} เมทริกซ์ที่แอนติคอมมิวต์ซึ่งกันและกันมีความสำคัญมากในการเป็นตัวแทนของพีชคณิตลีและพีชคณิตคลิฟฟอร์ด
ข้อสังเกต i = แถว หรือ row และ j = แถวตั้ง หรือ column
เมทริกซ์สลับเปลี่ยนคือเมทริกซ์ที่ได้จากการสลับสมาชิก จากแถวเป็นหลัก และจากหลักเป็นแถว ของเมทริกซ์ต้นแบบ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนของของเมทริกซ์ A ขนาด m × n คือ AT ขนาด n × m ( หรือเขียนอยู่ในรูปแบบ Atr, หรือ tA, หรือ A' ) ซึ่ง AT[ i, j ] = A[ j, i ] ยกตัวอย่างเช่น
[ 1 2 3 4 ] T = [ 1 3 2 4 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}}
เมทริกซ์จัตุรัส คือเมทริกซ์ที่มีขนาดแถวและหลักเท่ากัน โดยเขียนอยู่ในรูปเมทริกซ์ขนาด n × n ยกเว้น n = 1
เมทริกซ์เอกลักษณ์ หรือ เมทริกซ์หน่วย In ขนาด n คือเมทริกซ์ขนาด n × n ที่มีตัวเลขบนเส้นทแยงมุมเป็น 1 ซึ่งสมมติให้เส้นทแยงมุมนั้นลากจากสมาชิกบนซ้ายไปยังสมาชิกขวาล่าง (เฉียงลง) ส่วนสมาชิกที่เหลือเป็น 0 ทั้งหมด มีคุณสมบัติ MIn=M และ InN= N สำหรับทุกๆเมทริกซ์ M ขนาด m × n และเมทริกซ์ N ขนาด n × k เช่นเมื่อ n = 3:
I 3 = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] {\displaystyle \mathbf {I} _{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}
เมทริกซ์สมมาตร คือเมทริกซ์จัตุรัสที่เมื่อสลับเปลี่ยน (transpose) แล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ตัวเอง นั่นก็คือ A T = A {\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} } หรือ a i , j = a j , i {\displaystyle a_{i,j}=a_{j,i}} สำหรับทุกดัชนีที่ i และ j เมทริกซ์สมมาตรเสมือน คือเมทริกซ์จัตุรัสที่เมื่อสลับเปลี่ยน (transpose) แล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ที่สมาชิกทุกตัวมีเครื่องหมายตรงข้ามจากเดิม นั่นคือ A T = − A {\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=-\mathbf {A} } หรือ a i , j = − a j , i {\displaystyle a_{i,j}=-a_{j,i}} สำหรับทุกดัชนีที่ i และ j เมทริกซ์เอร์มีเชียนคือเมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อน และเมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค (conjugate transpose) ของเมทริกซ์นั้นเท่ากับตัวเดิม นั่นหมายความว่าสมาชิกในแถวที่ i หลักที่ j กับสมาชิกในแถวที่ j หลักที่ i จะต้องเป็นสังยุคซึ่งกันและกัน ดังนี้ a i , j = a ¯ j , i {\displaystyle a_{i,j}={\overline {a}}_{j,i}} หรือเขียนแทนด้วยการสลับเปลี่ยนสังยุคของเมทริกซ์ จะได้ว่า A ∗ = A {\displaystyle \mathbf {A} ^{\ast }=\mathbf {A} } เมทริกซ์โทพลิทซ์ คือเมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมหลักเป็นค่าเดียวกัน และแนวขนานเส้นทแยงมุมหลักเป็นค่าเดียวกันในแต่ละแนว นั่นคือ a i , j = a i + 1 , j + 1 {\displaystyle \,\!a_{i,j}=a_{i+1,j+1}}