ลิมิตของฟังก์ชัน
ในวิชาคณิตศาสตร์ ลิมิตของฟังก์ชัน เป็นแนวคิดพื้นฐานของ คณิตวิเคราะห์ (ภาคทฤษฎีของแคลคูลัส)
ถ้าเราพูดว่า ฟังก์ชัน "f" มีลิมิต "L" ที่จุด "p" หมายความว่า ผลลัพธ์ของ "f" จะเข้าใกล้ "L" ที่จุดใกล้จุด "p"
สำหรับนิยามอย่างเป็นทางการนั้น มีการกำหนดขึ้นครั้งแรก ช่วงปลายของคริสต์ศตวรรษที่ 19 มีรายละเอียดอยู่ข้างล่าง
ดูที่ ข่ายลำดับ (topology) สำหรับนัยทั่วไปของแนวคิดของลิมิต
ดูที่ คณิตวิเคราะห์
กำหนดให้ "f" : ("M",d) -> ("N",d) เป็นการส่งค่าระหว่าง (เป็นฟังก์ชันที่นิยามบน) ปริภูมิอิงระยะทาง สองปริภูมิ, และกำหนดให้ "p" ∈"M" และ "L" ∈"N", เราจะกล่าวว่า "ลิมิตของ "f" ที่ "p" คือ "L"" และเขียนว่า:formula_1ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกค่าของ ε > 0 จะมี δ > 0 ที่ "สำหรับทุกๆ" "x" ∈"M" "และ" d("x", "p") < δ "แล้ว", d("f"("x"), "L") < ε
เซตของจำนวนจริงหรือเส้นจำนวนจริง โดยทั่วไปสามารถมองเป็นปริภูมิอิงระยะทางได้ โดยมี formula_2. เช่นเดียวกับ เส้นจำนวนจริงขยาย (เส้นจำนวนจริงที่เพิ่ม +∞ และ -∞ เข้าไปด้วย) ก็สามารถมองเป็นปริภูมิอิงระยะทางได้ โดยมี formula_3
ให้ "f" เป็นฟังก์ชันค่าจริง แล้วเราจะเขียน
formula_4 ก็ต่อเมื่อ
สำหรับทุกค่าของ ε > 0 (ไม่ว่าจะเล็กเท่าใด) จะต้องมี δ > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ "สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง" "x" "ที่" 0 < |"x"-"p"| < δ, |"f"("x")-"L"| < ε
ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทาง ที่มีทั้ง "M" และ "N" เป็นเซตของจำนวนจริง และ "d(x,y) = |x-y|".
หรือเราจะเขียน
formula_5 ก็ต่อเมื่อ
สำหรับทุกค่าของ "R" > 0 (ไม่ว่าจะใหญ่เท่าใด) จะต้องมี δ > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ "สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง" "x" "ที่" 0 < |"x"-"p"| < δ, "f"("x") > "R";
หรือจะเขียนว่า
formula_6 ก็ต่อเมื่อ
สำหรับทุกค่าของ "R" < 0 จะต้องมี δ > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ "สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง" "x" "ที่" 0 < |"x"-"p"| < δ, "f"("x") < "R".
ถ้าในนิยาม เราใช้ "x"-"p" แทน |"x"-"p"| เราก็จะได้ "ลิมิตขวา" เขียนแทนโดย :formula_7 และถ้าใช้ "p"-"x" แทน ก็จะได้ "ลิมิตซ้าย" เขียนแทนโดย :formula_8
ให้ "f"("x") เป็นฟังก์ชันค่าจริง เราจะพิจารณาลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ "x" เพิ่มขึ้น หรือลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด
เราจะเขียน
ระนาบเชิงซ้อน ที่มีตัววัด (metric) เป็น formula_2 จะเป็นปริภูมิอิงระยะทาง (metric space) ด้วยเช่นกัน
จะมีลิมิตสองประเภทเมื่อเราพูดถึงฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน
สมมติให้ "f" เป็นฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน แล้วเราจะเขียนว่า
ได้ ก็ต่อเมื่อ
นี่เป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทางที่มีทั้ง "M" และ "N" เป็นระนาบเชิงซ้อน
เราจะเขียน
ได้ ก็ต่อเมื่อประโยค "ลิมิตของฟังก์ชัน "f" ที่ "p" คือ "L"" เหมือนกับประโยค
ในกรณีที่ "f" เป็นฟังก์ชันค่าจริง จะได้ว่า ประโยคนั้นเหมือนกับ "ทั้งลิมิตซ้ายและลิมิตขวาของ "f" ที่ "p" คือ "L""
ฟังก์ชัน "f" ต่อเนื่อง ที่ "p" ก็ต่อเมื่อ เราสามารถหาค่าของลิมิตของ "f"("x") เมื่อ "x" เข้าใกล้ "p" และค่านั้นเท่ากับ "f"("p")
หรืออีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชัน "f" แปลงลำดับใดๆ ใน "M" ซึ่งสู่เข้าหา "p" ไปเป็นลำดับ "N" ซึ่งลู่เข้าหา "f"("p")