ไซคลอยด์
ไซคลอยด์ () คือเส้นโค้งชนิดหนึ่ง นิยามจากรอยเคลื่อนที่ของจุดจุดหนึ่งบนเส้นรอบรูปวงกลม (ล้อกลม) ซึ่งรูปวงกลมนั้นกลิ้งไปตามเส้นตรง ทำให้เกิดเส้นโค้งนูนเป็นลอนเป็นระยะ
ไซคลอยด์เป็นตัวอย่างหนึ่งของรูเลตต์ (roulette) ซึ่งเกิดจากกลิ้งล้อกลมบนเส้นโค้งอื่น และเป็นกรณีหนึ่งของโทรคอยด์ (trochoid) ซึ่งจุดไม่จำเป็นต้องอยู่บนเส้นรอบรูปวงกลม
ไซคลอยด์ที่ลากผ่านจุดกำเนิด ซึ่งสร้างขึ้นโดยรูปวงกลมรัศมี "r" ที่กลิ้งบนแกน x มีสมการอิงตัวแปรเสริมดังนี้
เมื่อ "t" เป็นจำนวนจริง คือมุมในหน่วยเรเดียนที่รูปวงกลมกลิ้งไป (บางครั้งอาจใช้ "θ" แทน "t")
เส้นโค้งชนิดนี้สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกตำแหน่งยกเว้น "บัพแหลม" (cusp)
เนื่องจากไซคลอยด์หนึ่งรอบ ที่สร้างโดยรูปวงกลมรัศมี "r" จากสมการอิงตัวแปรเสริมด้านบน จะได้ค่าของตัวแปรเสริม "t" ที่มีค่าอยู่ในช่วง [0, 2π]
เราสามารถคำนวณหาพื้นที่ใต้กราฟของไซคลอยด์หนึ่งรอบโดยการหาปริพันธ์ดังนี้
นั่นคือเท่ากับสามเท่าของพื้นที่ของรูปวงกลม
ความยาวของเส้นโค้งไซคลอยด์หนึ่งรอบ สามารถหาได้จากความยาวของส่วนย่อยๆ บนเส้นโค้ง ซึ่ง "t" มีค่าในช่วง [0, 2π]
นั่นคือเท่ากับแปดเท่าของรัศมีของรูปวงกลม