กฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์
กฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเคปเลอร์ () คือกฎทางคณิตศาสตร์ 3 ข้อที่กล่าวถึงการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ในระบบสุริยะ นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อ โยฮันเนส เคปเลอร์ (พ.ศ. 2114 – พ.ศ. 2173) เป็นผู้ค้นพบ
เคปเลอร์ได้ศึกษาการสังเกตการณ์ของนักดาราศาสตร์ผู้มีชื่อเสียงชาวเดนมาร์กชื่อ"ไทโค บราห์" () โดยประมาณ พ.ศ. 2148 เคปเลอร์พบว่าการสังเกตตำแหน่งของดาวเคราะห์ของบราห์เป็นไปตามกฎง่ายๆ ทางคณิตศาสตร์
กฎของเคปเลอร์ท้าทายดาราศาสตร์สายอริสโตเติลและสายทอเลมีและกฎทางฟิสิกส์ในขณะนั้น เคปเลอร์ยืนยันว่าโลกเคลื่อนที่เป็นวงรีมากกว่าวงกลม และยังได้พิสูจน์ว่าความเร็วการเคลื่อนที่มีความผันแปรด้วย ซึ่งเป็นการเปลี่ยนแปลงความรู้ทางดาราศาสตร์และฟิสิกส์ อย่างไรก็ดี คำอธิบายเชิงฟิสิกส์เกี่ยวกับพฤติกรรมของดาวเคราะห์ก็ได้ปรากฏชัดเจนได้ในอีกเกือบศตวรรษต่อมา เมื่อไอแซก นิวตันสามารถสรุปกฎของเคปเลอร์ได้ว่าเข้ากันกับกฎการเคลื่อนที่และกฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตันเองโดยใช้วิชาแคลคูลัสที่เขาคิดสร้างขึ้น รูปจำลองแบบอื่นที่นำมาใช้มักให้ผลผิดพลาดกฎของเคปเลอร์ได้แสดงไว้ข้างล่าง และเป็นกฎที่มาจากกฎของนิวตันที่ใช้พิกัดขั้วศูนย์สุริยะ ( ) formula_1 อย่างไรก็ตาม กฎของเคปเลอร์ยังสามารถเขียนอย่างอื่นได้โดยใช้พิกัดคาร์ทีเซียน ()
กฎข้อแรกกล่าวว่า “วงโคจรของดาวเคราะห์ทุกดวงเป็นรูปวงรีที่มีดวงอาทิตย์เป็นจุดโฟกัสจุดหนึ่ง"
คณิตศาสตร์ของวงรีเป็นดังนี้
สมการคือ
โดยที่ "p" คือ กึ่งเลตัสเรกตัม (semi latus rectum) และ "ε" คือ ความเยื้องศูนย์กลาง (eccentricity) ซึ่งมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ และน้อยกว่าหนึ่ง
เมื่อ "θ"=0° ดาวเคราะห์จะอยู่ที่จุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด
เมื่อ "θ"=90°: "r"="p" และเมื่อ "θ"=180° ดาวเคราห์จะอยู่ที่จุดไกลดวงอาทิตย์ที่สุด:
กึ่งแกนเอกของวงรี "a" คือมัชฌิมเลขคณิตของ "r" และ "r":
กึ่งแกนโทของวงรี "b" คือมัชฌิมเรขาคณิตของ "r" และ "r":
นอกจากนี้ยังเป็นมัชฌิมเรขาคณิตระหว่างกึ่งแกนเอกกับกึ่งเลตัสเรกตัม
กฎข้อที่ 2 “เส้นตรงที่เชื่อมระหว่างดาวเคราะห์กับดวงอาทิตย์ กวาดพื้นที่เท่า ๆ กันในระยะเวลาเท่ากัน”
กฎนี้รู้จักในอีกชื่อหนึ่งที่ว่ากฎพื้นที่เท่า ซึ่งเป็นผลสืบเนื่องโดยตรงจากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม ()
โปรดดูการการอนุพัทธ์ดังภาพ
การคำนวณมี 4 ขั้นดังนี้
กฎข้อที่ 3 “กำลังสองของคาบการโคจรของดาวเคราะห์เป็นสัดส่วนโดยตรงกับกำลังสามของกึ่งแกนเอกของวงโคจร” ดังนั้น ไม่เพียงความยาววงโคจรจะเพิ่มด้วยระยะทางแล้ว ความเร็วของการโคจรจะลดลงด้วย การเพิ่มของระยะเวลาการโคจรจึงเป็นมากกว่าการเป็นสัดส่วน
ดังนั้น "P"·"a" มีค่าเหมือนกันสำหรับดาวเคราะห์ทุกดวงในระบบสุริยะรวมทั้งโลก เมื่อหน่วยหนึ่งถูกเลือก เช่น "P" ที่วัดเป็นปีดาราคติ () และ "a" ในหน่วยดาราศาสตร์ (astronomical unit) "P"·"a" มีค่า 1 สำหรับดาวเคราะห์ทุกดวงในระบบสุริยะ
ในหน่วยเอสไอ: formula_15
ปัญหาเคปเลอร์อนุมานการโคจรวงรีและจุด 4 จุด:
และ
ปัญหาคือการคำนวณพิกัดเชิงขั้ว ("r","ν") ของดาวเคราะห์จากเวลานับตั้งแต่ดาวเคราะห์ผ่านจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด, "t"
formula_21
formula_22
และ
formula_24 ,
โดย "T" คือคาบการโคจร
Division by "a"²/2 gives Kepler's equation
to get
จะได้
คูณด้วย (1+ε)/(1−ε) และใส่รากที่สอง จะได้ผลลัพธ์
ในขั้นที่สามนี้เราจะได้ความเชื่อมโยงกันระหว่างเวลากับตำแหน่งในวงโคจร
ขั้นที่สี่คือการคำนวณระยะห่างศูนย์สุริยะ r จากมุมกวาดจริง ν ด้วยกฎข้อแรกของเคปเลอร์:
where formula_39 is the tangential unit vector, and
So the position vector
is differentiated twice to give the velocity vector and the acceleration vector
Note that for constant distance, formula_44, the planet is subject to the centripetal acceleration, formula_45, and for constant angular speed, formula_46, the planet is subject to the coriolis acceleration, formula_47.
Inserting the acceleration vector into Newton's laws, and dividing by "m", gives the vector equation of motion
Equating component, we get the two ordinary differential equations of motion, one for the radial acceleration and one for the tangential acceleration:
formula_51
and integrate:
where formula_54 is a constant of integration, and exponentiate:
This says that the specific angular momentum formula_56 is a constant of motion, even if both the distance formula_44 and the angular speed formula_46 vary.
The area swept out from time "t" to time "t",
depends only on the duration "t"−"t". This is Kepler's second law.
and get
and
Differentiate
twice:
Substitute into the radial equation of motion
and get
Divide by formula_70
These solutions are
where formula_75 and formula_76 are arbitrary constants of integration. So the result is
Choosing the axis of the coordinate system such that formula_78, and inserting formula_79, gives:
If formula_81 this is Kepler's first law.
where: