స్నెల్ నియమం
స్నెల్ నియమంను స్నెల్స్ - డెస్కాటెస్ నియమము, వక్రీభవన నియమము అని కూడా అంటారు. స్నెల్స్ నియమము యొక్క ఫార్ములా సంభవ కోణాలు మరియు వక్ర్రీభవనము మధ్య వున్న సంబంధాన్ని కాంతిని సూచించునప్పుడు (లేదా) రెండు వివిధ సమధర్మి మాధ్యమాల (ఉదా: నీళ్ళు, గాలి, అద్దము) సరిహద్దుల నుండి సాగే తరంగాలను వివరించునప్పుడు ఉపయోగపడుతుంది.[1]
కాంతి శాస్త్రంలో ఈ నియమాన్ని కిరణముల జాడలు కనుగొని దాని ద్వారా సంభవ కోణం (లేదా) వక్రీభవ కోణం కనుక్కొంటారు. ప్రయోగాత్మక కాంతి శాస్త్రంలో ఒక పదార్ధము యొక్క వక్రీభవన గుణకము కనుగొనడానికి ఉపయోగపడుతుంది. ఈ నియమం అధిభౌతిక పద్దార్ధాలు, అనగా యే పదార్ధాలు కాంతిని ఒక ప్రతికూల వక్రీభవన కోణంతో వక్రీభవనం యొక్క ప్రతికూల కోణంలో వంగి అనుమతించేవి, కూడా పనికొస్తుంది.
ఈ నియమాన్ని డచ్ ఖగోళశాస్త్రజ్ఞుడు అయిన Willebrord Snellius (1580-1626) పేరు పెట్టినప్పటికి ఈ నియమాన్ని ఇబ్న్ సాహ్ల్ అనే శాస్త్రవేత్త బాగ్ద్దాద్ కోర్టు అనే ప్రదేశంలో 984 లో ప్రతిపాదించాడు.On Burning Mirrors and Lenses అనే రాతప్రతిలో సాహ్ల్ రేఖాగణిత భ్రాంతులతో కాంతి దృష్టి లెన్స్ ఆకారాలు ఉత్పాదించడానికి ఈ చట్టం ఉపయోగించారు.
స్నెల్స్ నియమం -- సంభవ మరియు వక్రీభవన కోణాల సైన్ నిష్పత్తి రెండు మాధ్యమాల ఫేజ్ వెలాసిటీల నిష్పత్తికి సమానము, రెండు మాధ్యమాల వక్రీభవనగుణకములకు అన్యోన్య సమానంగా ఉంటుంది. sin ⁡ θ 1 sin ⁡ θ 2 = v 1 v 2 = n 2 n 1 {\displaystyle {\frac {\sin \theta _{1}}{\sin \theta _{2}}}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}} ఇక్కడ θ {\displaystyle \theta } అనేది లంబకిరణానికి అనుగుణంగా కాంతి ప్రసరించే కోణం, v {\displaystyle v} అనేది ఫేజ్ వెలాసిటీ, n {\displaystyle n} అనేది మాధ్యమపు వక్రీభవనగుణకము.
ఈ నియమం Fermat's principle of least time ను అనుసరిస్తుంది. Fermat's principle of least time అనే నియమం తరంగాలుగా కాంతి ప్రసరించే తీరును వివరిస్తుంది.
టాలమీ అనే గ్రీకు దేశస్తుడు ఈజిప్టు లోని అలెగ్జాండ్రియా అనే నగరంలో వుండేవాడు. టాలమీ వక్రీభవన కోణాల మధ్య సంబంధాన్ని కనుగొన్నాడు, కాని ఆ సిద్ధాంతము చిన్న కోణాలకు సరికాలేదు. వక్రీభవన సిద్ధాంతము గురించి మొదటగా బాగ్దాద్ కు చెందిన ఇబ్న్ శాల్, తన పుస్తకం "ఆన్ బర్నింగ్ మిర్రర్స్ అండ్ లెన్సెస్" లో వివరించాడు.అతను ఈ సిద్ధాంతాన్ని కటకముల ఆకారలని తెలుసుకొనదానికి ఉపయోగించాడు.1621 లో, Willebrord Snellius (Snell) అనే శాస్త్రవేత్త గణిత శాస్త్ర ప్రకారంగా స్నెల్స్ నియమాన్ని రాశాడు.ఫ్రెంచ్ లో స్నెల్స్ నియమాన్ని "la loi de Descartes" or "loi de Snell-Descartes " అని అంటారు.1678 లో స్నెల్స్ నియమాన్ని క్రిస్టియాన్ హుయ్గేన్స్ అనే శాస్త్రవేత్త సంపూర్ణంగా వివరించాడు.
స్నెల్స్ నియమం ద్వారా కాంతి కిరణాల యొక్క దిశను వివిధ వక్రీభవన గుణకములు కలిగిన వక్రీభవన మాధ్యమము ద్వారా నిర్ణయిస్తారు. మాధ్యమము యొక్క వివిధ వక్రీభవన సూచీలను n1, n2 మరియు అనంతం, వీటిని గాజు లేదా నీళ్లు వంటి ఒక వక్రీకరణ మాధ్యమం ద్వారా కాంతి ప్రయాణిస్తున్నప్పుడు ఒక శూన్యంలో దాని వేగం వ్యతిరేకంగా ఒక కాంతి కిరణం యొక్క వేగం తగ్గుతుంది, దీని ద్వారా కారకం ప్రాతినిధ్యం ఉపయోగిస్తారు.కాంతి కిరణం ఎప్పుడైతే మాధ్యమాల మధ్య వున్న సరిహద్దు దాటుతుందో, ఆ రెండు మాధ్యమాల సాపేక్ష వక్రీభవన గుణకముల పై ఆధారపడి కాంతి కిరణం తక్కువ కోణం లేదా ఎక్కువ కోణానికి వక్రీభవించబదుతుంది. ఈ కోణాలను వాటి లంబ కిరణముల బట్టి కొలుస్తారు.కాంతి కిరణం గాలి నుండి నీటిలోకి ప్రయాణిస్తునప్పుడు, ఆ కిరణం దాని యొక్క లంబ కిరణం వైపునకు వంగుతుంది ఎందుకంటే కాంతి యొక్క వేగం నీటిలో తగ్గుతుంది. కాంతి కిరణం నీటిలో నుండి గాలిలోకి ప్రయాణిస్తునప్పుడు, ఆ కిరణం దాని యొక్క లంబ కిరణం నుండి దూరంగా వెళుతుంది.
స్నెల్స్ నియమం కేవలం సమధర్మి మాధ్యమాలకు మాత్రమే వర్తిస్తుంది .విషమ దిశాత్మక మాధ్యమాలు (ఉదా: స్ఫటికం, ద్వివక్రీభవనం కిరణాన్ని రెండుగా చేసి, o-కిరణం స్నెల్స్ నియమాన్ని పాటిస్తే, e-కిరణం సంఘటన కిరణంతో సహ సమతలం కాకపోవచ్చు.
కాంతి కిరణాలు లేదా అలలు ఏకవర్ణం లేదా పౌనఃపున్యంలో వున్నప్పుడు స్నెల్ యొక్క నియమం కూడా రెండు మాధ్యమాలను, λ1 మరియు λ2 తరంగదైర్ఘ్యం ఒక నిష్పత్తి పరంగా వ్యక్తం చేయవచ్చు.
sin ⁡ θ 1 sin ⁡ θ 2 = v 1 v 2 = λ 1 λ 2 {\displaystyle {\frac {\sin \theta _{1}}{\sin \theta _{2}}}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}={\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}}
స్నెల్స్ నియమం ఫెర్మాట్స్ నియమం నుండి నిర్వచించవచ్చు. ఫెర్మాట్స్ నియమం ఏం చెబుతుందంటే కాంతి కిరణం దాని ప్రయాణానికి తక్కువ సమయం పట్టే దారి లోనే వెళుతుంది. స్నెల్స్ నియమాన్ని విద్యుదయస్కాంత వికిరణానికి సంబంధించిన మాక్స్వెల్ సమీకరణాల సాధారణ హద్దు పరిస్థితులు నుండి రాబట్టవచ్చు.ఇంకా స్నెల్ యొక్క నియమాన్ని అనువాదం సౌష్టవం పరిగణనలు ఆధారంగా ఉత్పాదించవచ్చు.ఉదాహరణకు z దిశలో లంబంగా ఉన్న ఒక సజాతీయ ఉపరితలం మొమెంటం అడ్డంగా మార్చలేదు. ఎందుకంటే విస్తరణ సదిశ రాశి k → {\displaystyle {\vec {k}}} ఫోటాన్ల ఉరవడికి అనురూపముగా ఉంది, కనుక రెండు ప్రాంతాలలో అడ్డంగా వ్యాప్తిచెందడం ( k x , k y , 0 ) {\displaystyle (k_{x},k_{y},0)} ఒకే రకంగా ఉంటుంది.సాధారణత కోల్పోకుండా ఒక z సమతలాన్ని ఊహిస్తే, x సమతలం </math> plane k x Region 1 = k x Region 2 {\displaystyle k_{x{\text{Region}}_{1}}=k_{x{\text{Region}}_{2}}} .మాధ్యమం యొక్క వక్రీభవన గుణకము ల అల సంఖ్య పై ఆధారపడిన సంబంధాన్ని ఉపయోగించి స్నెల్స్ నియమాన్ని నిర్వచించవచ్చు.
k x Region 1 = k x Region 2 {\displaystyle k_{x{\text{Region}}_{1}}=k_{x{\text{Region}}_{2}}\,}
n 1 k 0 sin ⁡ θ 1 = n 2 k 0 sin ⁡ θ 2 {\displaystyle n_{1}k_{0}\sin \theta _{1}=n_{2}k_{0}\sin \theta _{2}\,}
n 1 sin ⁡ θ 1 = n 2 sin ⁡ θ 2 {\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}\,}
వీటిలో k 0 = 2 π λ 0 = ω c {\displaystyle k_{0}={\frac {2\pi }{\lambda _{0}}}={\frac {\omega }{c}}} అనేది శూన్యం యొక్క అల సంఖ్యను సూచిస్తుంది. ఏ ఉపరితలం కూడా కనీసం అణుస్థాయిలో సజాతీయం కాదు అని గమనించాలి.కాని ఎప్పుడైతే కాంతి తరంగ దైర్ఘ్యం యొక్క స్థాయిలో సజాతీయత ఉందో అప్పుడు, పూర్తి మార్చుకోగలిగిన అనురూపత ఒక అద్భుతమైన అంచనాగా ఉంటుంది.
ఒక సాధారణ సదిశరాశి l మరియు సాధారణ సమతలము సాధారణ సదిశరాశి n (ఉపరితలం వైపు కాంతి మూలం నుండి గురిపెట్టి) ఉపయోగించి ఎవరైనా సాధారణ పరావృత్తకిరణము మరియు వక్రీభూతకిరణములను, పతనకిరణకోణము θ 1 {\displaystyle \theta _{1}} , వర్తన కోణముల θ 2 {\displaystyle \theta _{2}} యొక్క కొసైన్ల ద్వారా కనుక్కోవచ్చు.
cos ⁡ θ 1 = − n ⋅ l {\displaystyle \cos \theta _{1}=-\mathbf {n} \cdot \mathbf {l} }
గమనిక: ఎప్పుడైతే n అనేది సాధారన సదిశరాశి, ఉపరితలం నుండి ప్రక్కకు ఎక్కడ నుండైతే కాంతి వస్తోందో ఆ వైపుకు చూపిస్తుంటే, అప్పుడు cos ⁡ θ 1 {\displaystyle \cos \theta _{1}} కచ్చితంగా ధనాత్మక విలువ . అలా కాకుండా n అనేది సాధారన సదిశరాశి, ప్రక్కకు ఎక్కడ నుండైతే కాంతి రాదో ఆ వైపుకు చూపిస్తుంటే, అప్పుడు cos ⁡ θ 1 {\displaystyle \cos \theta _{1}} కచ్చితంగా ఋణాత్మక విలువ అవుతుంది.
v r e f l e c t = l + 2 cos ⁡ θ 1 n {\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {reflect} }=\mathbf {l} +2\cos \theta _{1}\mathbf {n} }
ఈ పరావర్తిత దిశలో నుండి వచ్చిన సదిశ రాశి కాంతి వచ్చే ఉపరితలం వైపు చూపిస్తుంది. ఇప్పుడు స్నెల్స్ నియమాన్ని ఉపయోగిస్తే
sin ⁡ θ 2 = ( n 1 n 2 ) sin ⁡ θ 1 = ( n 1 n 2 ) 1 − ( cos ⁡ θ 1 ) 2 {\displaystyle \sin \theta _{2}=\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)\sin \theta _{1}=\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right){\sqrt {1-\left(\cos \theta _{1}\right)^{2}}}} cos ⁡ θ 2 = 1 − sin ⁡ θ 2 2 = 1 − ( n 1 n 2 ) 2 ( 1 − ( cos ⁡ θ 1 ) 2 ) {\displaystyle \cos \theta _{2}={\sqrt {1-\sin \theta _{2}^{2}}}={\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)^{2}\left(1-\left(\cos \theta _{1}\right)^{2}\right)}}} v r e f r a c t = ( n 1 n 2 ) l + ( n 1 n 2 cos ⁡ θ 1 − cos ⁡ θ 2 ) n {\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {refract} }=\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)\mathbf {l} +\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2}\right)\mathbf {n} }
ఈ సూత్రం సరళమైన భాషలో r = n 1 / n 2 {\displaystyle r=n_{1}/n_{2}} and c = − n ⋅ l {\displaystyle c=-\mathbf {n} \cdot \mathbf {l} } , ట్రిగనామెట్రి ఫంక్షన్లు కనిపించకుండా ఈ క్రింది విధంగా రాయచ్చు
v r e f r a c t = r l + ( r c − 1 − r 2 ( 1 − c 2 ) ) n {\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {refract} }=r\mathbf {l} +\left(rc-{\sqrt {1-r^{2}\left(1-c^{2}\right)}}\right)\mathbf {n} }
l = { 0.707107 , − 0.707107 } , n = { 0 , 1 } , r = n 1 n 2 = 0.9 {\displaystyle \mathbf {l} =\{0.707107,-0.707107\},~\mathbf {n} =\{0,1\},~r={\frac {n_{1}}{n_{2}}}=0.9} c = cos ⁡ θ 1 = 0.707107 , 1 − r 2 ( 1 − c 2 ) = cos ⁡ θ 2 = 0.771362 {\displaystyle c=\cos \theta _{1}=0.707107,~{\sqrt {1-r^{2}\left(1-c^{2}\right)}}=\cos \theta _{2}=0.771362} v r e f l e c t = { 0.707107 , 0.707107 } , v r e f r a c t = { 0.636396 , − 0.771362 } {\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {reflect} }=\{0.707107,0.707107\},~\mathbf {v} _{\mathrm {refract} }=\{0.636396,-0.771362\}}
కొసైన్ విలువలను ఫ్రెనెల్ సమీకరణము లలో వాడతారు. సంపూర్ణ అంతఃప్రతిబింబమును cos ⁡ θ 2 {\displaystyle \cos \theta _{2}} సమీకరణములో ఋణాత్మక రాడికెండ్ తో సూచిస్తారు.
ఒక కాంతి కిరణం ఎక్కువ వక్రీభవనగుణకము కలిగిన మాధ్యమము నుండి తక్కువ వక్రీభవనగుణకము కలిగిన మాధ్యమములోకి ప్రయాణిస్తున్నప్పుడు, స్నెల్ నియమానికి కొన్ని సందర్భాలలో వర్తన కోణము యొక్క సైన్ విలువ 1 కంటే యెక్కువ ఉండాలి. కాని అది అసాధ్యం ఎందుకంటే కాంతి ఇటువంటి సందర్భాలలో సరిహద్దు నుండి పూర్తిగా పరావర్తించబడుతుంది.ఈ విధానాన్ని సంపూర్ణ అంతఃప్రతిబింబము అంటారు. వక్రీభూతకిరణము నకు అతి పెద్ద పతనకిరణకోణమును క్లిష్టమైన కోణం అంటారు.