సంఖ్య
అంకె లేదా సంఖ్య (number) అనేది లెక్కించడానికీ, కొలవడానికీ ఉపయోగించే ఒక అంశం. భౌతికంగా అంకెలు అనేవి ప్రకృతిలో లేవు. ఇవి మానవుల మనసులో ఏర్పడిన విషయాలు. ప్రతి సంఖ్యకూ ఒక గుర్తును వాడుతారు. మానవజాతి నాగరికత, విజ్ఞానం ప్రగతికి మౌలికమైన అంశాలలో అంకెలు, వాటి గుర్తులు చాలా ప్రముఖ పాత్ర వహిస్తున్నాయి.
అంకెలు, వాటి సంబంధాలనూ విస్తృతపరచే విజ్ఞానాన్ని గణితం లేదా గణిత శాస్త్రం అంటారు.
సంఖ్యలలో రకరకాలు ఉన్నాయి. సహజ సంఖ్యలు, పూర్ణ సంఖ్యలు, పూర్ణాంకాలు, కరణీయ సంఖ్యలు, అకరణీయ సంఖ్యలు, వాస్తవ సంఖ్యలు, సంకీర్ణ సంఖ్యలు, లోకాతీత సంఖ్యలు, బీజీయసంఖ్యలు, మొదలైనవి.
లెక్కించటానికి వాడే 1, 2, 3, వగైరాలని సహజ సంఖ్యలు (natural numbers) అంటారు. సహజ సంఖ్యల సమితిని N {\displaystyle \mathbb {N} } తో సూచిస్తాం. సున్నా సహజ సంఖ్య కాదు. కనిష్ఠ సహజ సంఖ్య 1.
సహజ సంఖ్యల చరిత్ర మానవుడి చరిత్ర కంటే పురాతనమైనదని కొందరి నమ్మకం. పక్షులు గూటిలో పెట్టిన గుడ్లలోంచి ఒకటో, రెండో గుడ్లు మనం తీసేస్తే కొన్ని గుడ్లు లోపించాయనే విషయం తల్లి పక్షి గ్రహించగలదని ప్రయోగాత్మకంగా నిరూపించేరు. కనుక లెక్కపెట్టగలగటం అనే పని ఒక్క మానవుడే కాదు, తదితర జీవులు కూడా చెయ్యగలవన్న మాట.
మానవులకి మృగాలకి తేడా ఏమిటంటే, మానవుడు లెక్కించేటప్పుడు భాష వాడతాడు. కాని మనిషి లెక్కించేటప్పుడు వాడే భాషకి, దాని వెనక ఉన్న భావానికి మధ్య ఉండే లంకె తెగడానికి కొంత కాలం పట్టింది.
ఉదాహరణకి, ఫీజీ ద్వీప వాసులు పది పడవల్ని `బోలో` అంటారు, కాని పది కొబ్బరి కాయలని `కోరో` అంటారు. అంటే వారి భాషలో `పది` అనే భావానికి మాట లేదు. మన భాషలలో కూడా వెతికితే ఈ రకం మాటలు దొరుకుతాయి. ఉదాహరణకి ఇంగ్లీషు భాషలో సెంచరి (century) అనే మాట ఉంది. ఈ మాటకి ``నూరు పరుగులు`` అని క్రికెట్ తో పరిచయం ఉన్న ఇండియాలో ఎవరిని అడిగినా చెబుతారు. ఇదే మాట అమెరికాలో వంద సంవత్సరాలని సూచిస్తుంది. అలాగే `కపుల్` (couple) అంటే `జంట`. తెలుగులో `పుంజీ` అంటే నాలుగు. ఇంకా కచ్చితంగా చెప్పాలంటే `నాలుగు చింత పిక్కలు`. ఈ రకం భావంతో లంకె పడ్డ మాటలు ఇంకా చాలా ఉన్నాయి - అన్ని భాషలలోను.
సహజ సంఖ్యలలో సరి సంఖ్యలు (even numbers), బేసి సంఖ్యలు (odd numbers) అని మరొక విభేదం ఉంది. 2, 4, 6, .. వగైరా సరి సంఖ్యలు. 1, 3, 5, ... వగైరా బేసి సంఖ్యలు.
ఇవే కాకుండా సంఖ్యలలో ధన సంఖ్యలు (positive numbers), రుణ సంఖ్యలు (negative numbers) అని ఇంకొక విభేదం ఉంది. ఆర్జన ధన సంఖ్య అనుకుంటే, అప్పు రుణ సంఖ్య. ఆర్జన ధన సంఖ్య అనుకుంటే ఖర్చు రుణ సంఖ్య. రుణ సంఖ్యలనేవి ఉన్నాయనే విషయం బీజగణితానికి బీజం పోసిన భాస్కరాచార్యకి కూడా తెలుసు: 2x + 7 = 3 వంటి బీజగణిత సమీకరణాన్ని పరిష్కరించ వలసిన సందర్భంలో తప్పకుండా రుణ సంఖ్యల అవసరం కనిపిస్తుంది. ధన సంఖ్య అని చెప్పటానికి సంఖ్య ముందు + గుర్తు వేసినా వెయ్యచ్చు, మానేసినా మానెయ్యవచ్చు. కాని రుణ సంఖ్య అని చెప్పటానికి సంఖ్య ముందు - గుర్తు తప్పకుండా వాడాలి. కనుక 7 {\displaystyle 7\,} ధన సంఖ్య, − 7 {\displaystyle -7\,} రుణ సంఖ్య.
ధన సహజ సంఖ్యలు, సున్న కలిపి పూర్ణాంకాలు (Whole numbers) అంటారు. పూర్ణాంకాల సమితిని W {\displaystyle \mathbb {W} } తో సూచిస్తాం. పూర్ణాంకాల సమితిలో సహజ సంఖ్యల సమితి ఒక శుద్ధ ఉప సమితి (proper subset) అవుతుంది. అంటే N ⊂ W {\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {W} } .
ధన సహజ సంఖ్యలు, సున్న, రుణ సహజ సంఖ్యలు - ఈ మూడింటిని కలిపి పూర్ణ సంఖ్యలు (integers) అంటారు. పూర్ణ సంఖ్యల సమితిని Z {\displaystyle \mathbb {Z} } తో సూచిస్తాం. పూర్ణ సంఖ్యల సమితిలో సహజ సంఖ్యల సమితి మరియు పూర్ణాంకాల సమితులు శుద్ధ ఉప సమితులు అవుతాయి. అంటే N ⊂ Z {\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} } మరియు W ⊂ Z {\displaystyle \mathbb {W} \subset \mathbb {Z} }
పూర్ణాంకాల తరువాత మనకి తరచుగా తారసపడేవి భిన్న సంఖ్యలు. వీటిని ఇంగ్లీషులో `ఫ్రేక్షన్ (fraction)లు అంటారు. తెలుగులో కాని, సంస్కృతంలో కాని `భిన్నం` అంటే మామూలుగా కాకుండా మరొక విధంగా ఉండటం; ఇక్కడ `భాగం` అనే సూచనే లేదు. కాని ఇంగ్లీషులో మాత్రం `ఫ్రేక్షన్` అంటే భాగం అనే అర్థం. భిన్న సంఖ్యలకు అకరణీయ సంఖ్యలు అని కాని నిష్ప సంఖ్యలు అని కాని మరోపేరు ఉంది. లవము, హారము ఉండి, లవములో పూర్ణాంకము ఉండి, హారములో ధన పూర్ణాంకము ఉన్నప్పుడు వాటిని అకరణీయ సంఖ్యలు (rational numbers) అంటాము. నిష్ప సంఖ్యలు అంటే నిష్పత్తి రూపంలో రాయడానికి వీలయిన సంఖ్యలు అని అర్థం.
భిన్నాలు ఎవరు ఎప్పుడు కనుక్కున్నారో తెలియదు. కాని `భిన్నం` అనే భావం మానవుడి పుర్రెలో పుట్టినదే. క్రీస్తు పూర్వం 1650 ప్రాంతాలదైన `రిండ్ పపైరస్’ (Rhind papyrus) లో 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 వంటి ఏకలవ భిన్నాలకి (అంటే లవంలో 1 ఉన్న భిన్నాలు), 2/3 కి ప్రత్యేకమైన మాటలు కనిపిస్తాయి. హిందీలో అరకి 'ఆదా' అనీ, ఒకటిన్నరకి 'అఢాయీ' అనీ, రెండున్నరకి 'డేడ్' అనీ ప్రత్యేకమైన మాటలు ఉన్నాయి. తెలుగులో 1/2 ని అర అనీ, 1/4 ని పావు అనీ అంటాం. మూడు పావులు అని చెప్పాలంటే సంధి చేసి ముప్పావు అంటాం. తెలుగులో 2/3 కి గానీ, తదితర భిన్నాలకి గాని ప్రత్యేకమైన పేర్లు ఉన్నట్లు లేదు. ముప్పేట అంటే 3/4 అనే అర్థం వస్తుంది, కాని ఈ మాట కొబ్బరి కాయ ఎంత ముదిరిందో చెప్పడానికే వాడటం కనబడుతుంది. అకరణీయ సంఖ్యల సమితిని Q {\displaystyle \mathbb {Q} } తో సూచిస్తాం. అకరణీయ (నిష్ప) సంఖ్యల సమితిలో పూర్ణాంకాల సమితి ఒక శుద్ధ ఉపసమితి. అంటే Z ⊂ Q {\displaystyle \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} } . దశాంశ బిందువు తరువాత వచ్చే అంకెలన్నియు అంతం లేకుండా ఆవర్తనం అవుతూంటే అటువంటి దశాంశాన్ని "శుద్ద ఆవర్తన దశాంశం"అంటారు. ఉదా: 10/11=0.909090..... ఆవర్తనమయ్యె అంకె లేదా అంకె సముదాయం దశాంశ బిందువు తరువాత వచ్చే కొన్ని అంకెలు ఆవర్తనం కావు. అటువంటి దశాంశాన్ని "మిశ్రమ ఆవర్తన దశాంశం" అంటారు. ఉదా: 52/15= 3.4666........
పూర్ణాంకాలు, భిన్న సంఖ్యలు తరువాత వచ్చే భావాలు మన అనుభవ పరిధికి కొంచెం అతీతంగా ఉంటాయి. ఒక నిష్పత్తి రూపంలో వ్రాయగలిగే సంఖ్యలు నిష్ప సంఖ్యలు లేదా అకరణీయ సంఖ్యలు. అకరణీయ సంఖ్యలు అన్నా, భిన్నాలు అన్నా ఒక్కటే! ఒక సంఖ్యను నిష్పత్తి రూపంలో వ్రాయలేని పక్షంలో ఆ సంఖ్యను కరణీయ సంఖ్య లేదా అనిష్ప సంఖ్య (irrational number) అంటాము. పూర్ణ సంఖ్యలు కానివీ, అకరణీయ (నిష్ప) సంఖ్యలు కానివీ అయిన సంఖ్యలు కూడా ఉన్నాయనే విషయం యవనులకి అవగతం అయేసరికి వారి ఆశ్చర్యానికి మితి లేదు.
ఒక చతురస్రంలో కర్ణం యొక్క పొడుగుని లెక్క కట్టాలంటే భుజం పొడుగు (అకరణీయ సంఖ్య) ను ఏ అకరణీయ సంఖ్యతో గుణించినా సరి అయిన సమాధానం రాదని పైథాగొరస్ కనుక్కున్నాడు. ఇదే విషయం మరొక విధంగా చెప్పుకోవచ్చు. ఒక చతురస్రంలో కర్ణం పొడుగుకి, భుజం పొడుగుకి మధ్య ఉండే నిష్పత్తిని పూర్ణాంకాలతో వ్యక్త పరచ లేము. మన చతురస్రం యొక్క భుజం పొడుగు ఒక అంగుళం అనుకుంటే, కర్ణం పొడుగు 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} (అంటే 2 యొక్క వర్గమూలం) అంగుళాలు. ఈ 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} అనే సంఖ్యని మనం సౌలభ్యం కొరకు 1414/1000 అని వ్రాస్తాం. కాని నిజానికి 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ని ఏ విధమైన భిన్నంగా వ్రాసినా అది ఉరమర లెక్కే!. కనుక కరణీయ (అనిస్ప) సంఖ్యకు 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ఒక ఉదాహరణ. పైథాగొరస్ కి కరణీయ సంఖ్యకు మధ్య ఉన్న బాదరాయణ సంబంధాన్ని పురస్కరించుకుని 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} కి పైథాగొరస్ సంఖ్య అని పేరు పెట్టేరు.
కరణీయ (అనిష్ప) సంఖ్యలు ఉన్నాయనే విషయం మొట్టమొదట పైథాగొరస్ మనోవీధి లోనే మెరిసి ఉండుంటుందని కొందరి సిద్ధాంతం. ఇది నిజమో కాదో ఇదమిత్థంగా ఎవ్వరికీ తెలియదు. ఎందుకంటే బాబిలోనియా లోని మట్టి పలకల మీద చూపిన ఒక లెక్కలో 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} యొక్క విలువ 14 దశాంశ స్థానాల వరకు తప్పు లేకుండా కట్టబడి ఉంది. కాని పైథాగొరస్ శిష్యులు తమ కూటమే ఈ ఘన విజయం మొట్టమొదటగా సాధించిందన్న అపోహతో 'శత వృషభ శిరచ్చేద యాగం' (అంటే వంద ఎద్దులని బలి ఇచ్చేరని) చేసేరని ఒక ఐతిహ్యం ఉంది.
ఒక్కొక్క బాహువు పొడుగు ఒక్కొక్క అంగుళం చొప్పున ఉన్న (సమబాహు) చతురస్రం యొక్క కర్ణం 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} కరణీయసంఖ్య కదా.కరణీయ సంఖ్యకు మరో ఉదాహరణ సువర్ణ సంఖ్య. రెండు సంఖ్యల నిష్పత్తి వాటి మొత్తానికి, వాటిలో ఒక సంఖ్యకు గల నిష్పత్తికి సమానమైతే (అంటే x, y ధన సంఖ్యలకు, x / y = ( x + y ) / x {\displaystyle x/y=(x+y)/x} అయితే ఆ నిష్పత్తి కూడా కరణీయ సంఖ్యే. దీనిని ముద్దుగా సువర్ణ నిష్పత్తి (golden ratio) లేదా సువర్ణ సంఖ్య అని పిలుస్తారు. దీని విలువ, ఎప్పుడూ ( 1 + 5 ) / 2 {\displaystyle (1+{\sqrt {5}})/2} . ఒక దీర్ఘ చతురస్రం పొడుగు వెడల్పులకి మధ్య ఉండే నిష్పత్తి ఈ సువర్ణ సంఖ్యకి దగ్గరగా ఉంటే ఆ దీర్ఘ చతురస్రం కంటికి ఎంతో ఇంపుగా కనిపిస్తుందని చిత్రకారులు అంటారు. అందంగా ఉన్న వాళ్ళ ముఖాలు కొంచెం పరిశీలించి చూడండి. అవి గుండ్రంగా చంద్రబింబాన్ని పోలి ఉంటే చలివిడి ముద్దలాగో, బోర్లించిన సిబ్బిలాగో ఉందంటారు. కోలగా, పొడుగ్గా ఉంటే గజం బద్దలా ఉందంటారు. ముఖం పొడవు, వెడల్పు మధ్య ఉండే నిష్పత్తి సువర్ణ సంఖ్యకి దగ్గరగా ఉన్నప్పుడు ఆ ముఖం అందంగా కనిపిస్తుందిట. ఇలా చెప్పుకుంటూ పోతే, కరణీయ సంఖ్యలకు ఉదాహరణలు కొల్లలుగా దొరుకుతాయి.
పైన ఉదహరించిన సంఖ్యలన్నిటి సముదాయాన్ని వాస్తవ సంఖ్యలు అని కాని నిజ సంఖ్యలు అని కాని అంటారు. నిడివిని నిక్కచ్చిగా కొలవటానికి వాడే సంఖ్యలే వాస్తవ సంఖ్యలు. దశాంశ పద్ధతిలో వాస్తవ సంఖ్యలను వ్రాసేటప్పుడు సర్వసాధారణంగా దశాంశ బిందువును ఉపయోగించి వ్రాస్తారు. అలా వ్రాసినప్పుడు ఆ దశాంశ బిందువును ఒకట్ల స్థానంలో ఉన్న అంకెకు కుడిపక్కన ఉంచుతారు. ఉదాహరణకి 123.456 {\displaystyle 123.456\,} లో బిందువుకి ఎడమ పక్కన ఉన్న 3 ఒకట్ల స్థానము, 2 పదుల స్థానము, 1 వందల స్థానము అయితే బిందువుకి కుడి పక్క ఉన్న 4 పదింట 4 భాగాలనీ, 5 వందింట 5 భాగాలని, 6 వెయ్యింట 6 భాగాలనీ సూచిస్తుంది. ఐరోపాలో కొన్ని చోట్ల బిందువుకి బదులు కామా (, ) వాడతారు.
ఒక వాస్తవ సంఖ్యను నిష్పత్తిగా వ్రాయలేని యెడల దానిని అనిష్ప (కరణీయ) సంఖ్య అంటారు. ప్రతి వాస్తవ సంఖ్య అకరణీయ సంఖ్య కాని, కరణీయ సంఖ్య కాని అయి తీరాలి. వాస్తవ సంఖ్యల సమితిని R {\displaystyle \mathbb {R} } తో సూచిస్తాం. వాస్తవ సంఖ్యల సమితిలో అకరణీయసంఖ్యల సమితి ఒక శుద్ధ ఉప సమితి. అంటే Q ⊂ R {\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} } . వాస్తవ సంఖ్యల సమితిలో కరణీయ సంఖ్యల సమితి కూడా ఒక శుద్ధ ఉపసమితి యే.
బీజగణితం ధర్మమా అని లభించిన సంఖ్యలలో మరొక జాతివి సంకీర్ణ సంఖ్యలు లేదా "జంట సంఖ్యలు" (complex numbers). ఒక రుణ సంఖ్యకి వర్గమూలం కట్టవలసి వచ్చినప్పుడు సంకీర్ణ సంఖ్యల అవసరం అవగతమవుతుంది. ఈ సందర్భం లోనే -1 యొక్క వర్గమూలాన్ని సూచించటానికి ఒక కొత్త సంఖ్య కనిపెట్టవలసి వచ్చింది. దానినే i {\displaystyle i\,} అని కాని j {\displaystyle j\,} అని కాని వ్రాస్తారు. ఇలా వ్రాసినప్పుడు, దీనిని ఊహాత్మక ఏకకము (imaginary unit) అంటారు. గణితంలో సాధారణంగా సంకీర్ణ సంఖ్యలను a + i b {\displaystyle a+ib} అని కాని (a, b) అనే జంటగా కాని వ్రాస్తారు. ఇలా వ్రాసినప్పుడు a {\displaystyle a} వాస్తవ భాగం (real part), b {\displaystyle b} ఊహాత్మక భాగం (imaginary part) అవుతుంది. ఆర్గాండ్ తలముగా పిలువబడే సంకీర్ణ తలము మీద నున్న బిందువులకు సంకీర్ణ సంఖ్యలను అనుసంధానించవచ్చును.
వాస్తవ సంఖ్యల సమితి సంకీర్ణ సంఖ్యల సమితిలో ఒక అంతర్భాగం. సంకీర్ణ సంఖ్యల సమితిని C {\displaystyle \mathbb {C} } తో సూచిస్తాం. అప్పుడు R ⊂ C {\displaystyle \mathbb {R} \subset \mathbb {C} } అన్న మాట. పైన చెప్పిన సంఖ్యా వ్యవస్థలలో ప్రతీదీ తరువాతి దానిలో శుద్ధ ఉపసమితి అవుతుంది.అంటే, సంకేతరూపంలో, N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C . {\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} .}
సంఖ్యలను లిఖిత రూపంలో చిత్రించడానికి ఉపయోగించే గుర్తులు సంఖ్యారూపాలు. దశాంశ పద్ధతిలో, హిందూ-అరబిక్ విధానంలో, ఐదు సంఖ్యారూపం '5'; రోమను సంఖ్యారూపం 'V'. సంఖ్యలను చిత్రించడానికి ఉపయోగించే సంకేతాల గురించి సంఖ్యారూప వ్యవస్థ విభాగంలో చర్చించబడింది.
Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, 1972. Whitehead and Russell, Principia Mathematica to *56, Cambridge University Press, 1910.