방정식
방정식(方程式, )은 미지수가 포함된 식에서, 그 미지수에 특정한 값을 주었을 때만 성립하는 등식이다. 이때, 방정식을 참이 되게 하는(성립하게 하는) 특정 문자의 값을 해 또는 근이라 한다. 방정식의 해는 없을 수도 있고, 여러 개일 수도 있고, 모든 값일 수도 있다. 전자의 경우는 불능이라고 하고, 중자의 경우는 방정식, 후자의 경우는 항등식(부정)이라 한다. 부정방정식은 해가 무수히 많지만, 항등식은 아니다.
( x + 1 ) 2 = x 2 + 2 x + 1 {\displaystyle \,{(x+1)}^{2}=x^{2}+2x+1}
은 문자 x {\displaystyle x} 가 어떤 값이든 항상 등호가 성립하므로 항등식인 반면,
x 2 − 5 x + 6 = 0 {\displaystyle \,x^{2}-5x+6=0}
은 방정식이고, 그 해는 2 {\displaystyle \ 2} 와 3 {\displaystyle \ 3} 이다. 또한,
0 x = 7 {\displaystyle 0x=7} 은 x {\displaystyle x} 가 어떤 값이든 항상 등호가 성립하지 못하므로, 이 경우는 방정식 중에서도 불능의 경우이다.
방정식의 방정(方程)은 고대 중국의 산학서인 구장산술의 여덟 번째 장의 제목인 方程에서 유래하였다. 여기서 方은 연립방정식의 계수를 직사각형 모양으로 배열한다는 뜻이고, 程은 이렇게 배열한 계수를 조작하여 해를 구하는 과정을 뜻한다. 이 해법은 약 1500년 뒤에 등장하는 가우스 소거법에 해당한다. 고대 중국의 수학자들은 이 과정에서 음수의 계산도 자유자재로 할 수 있었다.
방정식에서 해를 구하려는 문자, 즉 미지수로는 보통 x {\displaystyle x} 를 사용한다. 미지수로 알파벳의 뒤쪽 문자 x , y , z , w {\displaystyle x,y,z,w} 를 사용하는 것은 프랑스의 수학자겸 철학자인 데카르트로부터 비롯되었다.
다항 방정식과 분수 방정식을 통틀어 유리 방정식이라 한다.
일차방정식, 이차방정식, 삼차방정식, 고차방정식 등과 같이 미지수에 대한 다항식으로만 이루어진 방정식을 다항 방정식이라고 한다. 다항 방정식(多項方程式)은
∑ i = 0 n a i x i = 0 {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=0}
과 같은 꼴로 나타낼 수 있는 방정식을 말한다.( x {\displaystyle x} 는 변수, a i {\displaystyle a_{i}} 는 상수) 이 때, a n ≠ 0 {\displaystyle a_{n}\neq 0} 이면 이를 n차 방정식이라 한다.
∑ i = 0 n a i x i = 0 {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=0}
의 해는 다음과 같이 구한다.
∑ i = 0 n a i x i {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}} 를 인수 분해하여 a n ∏ j = 1 n ( x − b j ) {\displaystyle a_{n}\prod _{j=1}^{n}(x-b_{j})} 와 같은 꼴로 만든다.
a n ∏ j = 1 n ( x − b j ) = 0 {\displaystyle a_{n}\prod _{j=1}^{n}(x-b_{j})=0} 의 해집합은
{ b k {\displaystyle b_{k}} | k {\displaystyle k} 는 n {\displaystyle n} 이하의 음 아닌 정수}
이므로, 위 방정식의 해도 이와 같다.
일차 방정식(一次方程式)은 최고차항의 차수가 1인 방정식을 뜻한다. 선형방정식으로도 불린다.
일차방정식의 풀이</b><br data-parsoid='{"stx":"html","selfClose":true,"dsr":[1745,1751,6,0]}'/> 일차방정식은 등식의 성질을 이용하여 풀 수 있다.
이차 방정식</b>이란, 최고차항의 차수가 2인 다항 방정식을 뜻한다. 일반적인 모양은
a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} (단, a ≠ 0 ) {\displaystyle \quad a\neq 0)}
와 같고, 여기에서 a {\displaystyle \ a} 와 b {\displaystyle \ b} 는 각각 x 2 , x {\displaystyle \ x^{2},x} 의 계수라고 한다. c {\displaystyle \ c} 는 상수항이라고 부른다.
복소수 범위에서 이차방정식은 두 복소수 해를 갖는다. 이 두 해는 서로 같을 수 있고, 이런 경우는 중근</b>이라고 한다.
이차방정식의 풀이</b><br data-parsoid='{"stx":"html","selfClose":true,"dsr":[2145,2151,6,0]}'/> 이차 방정식은 인수 분해, 완전제곱식, 근의 공식을 이용하여 풀 수 있다.
분모에 미지수를 포함하는 분수식으로 이루어진 방정식을 분수방정식이라 한다. 방정식에서 모든 항을 좌변으로 이항하여
f ( x ) = 0 {\displaystyle \ f(x)=0}
과 같은 꼴로 정리하였을 때,
1 x + 2 ( x + 1 ) = 0 , 1 x − 1 − 2 x 2 − 1 − 3 = 0 {\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\frac {2}{(x+1)}}=0,\quad {\frac {1}{x-1}}-{\frac {2}{x^{2}-1}}-3=0}
등과 같이 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 가 분모에 미지수를 포함하는 분수식으로 이루어지는 방정식이다. 분수방정식을 풀 때에는 각 항의 분모의 최소공배수를 양변에 곱하여 다항방정식으로 고쳐서 푼다. 여기서 나온 해 중에서 분모를 0 {\displaystyle 0} 으로 만드는 근을 무연근이라고 하며, 무연근은 해집합에서 제외한다.
방정식의 항에 무리수(루트)를 포함하는 다항식으로 이루어진 방정식을 무리 방정식이라 한다.
x + x + 1 − 1 = 0 {\displaystyle x+{\sqrt {x+1}}-1=0} x − 1 = − x + 1 {\displaystyle x-1=-{\sqrt {x+1}}} ( x − 1 ) 2 = ( − x + 1 ) 2 {\displaystyle (x-1)^{2}=(-{\sqrt {x+1}})^{2}} ( x − 1 ) ( x − 1 ) = x + 1 {\displaystyle (x-1)(x-1)=x+1} x 2 − 2 x + 1 = x + 1 {\displaystyle x^{2}-2x+1=x+1} x 2 − 2 x + 1 − ( x + 1 ) = 0 {\displaystyle x^{2}-2x+1-(x+1)=0} x 2 − 2 x + 1 − x − 1 = 0 {\displaystyle x^{2}-2x+1-x-1=0} x 2 − 3 x = 0 {\displaystyle x^{2}-3x=0} x ( x − 3 ) = 0 {\displaystyle x(x-3)=0}
( x ) ( x − 3 ) = 0 {\displaystyle (x)(x-3)=0} ∴ x = 0 , x − 3 = 0 {\displaystyle \therefore \;x=0,x-3=0} x = 0 , x = 3 {\displaystyle x={0},x={3}}
그러나, 무리방정식은 해에 대해서 무연근 검사로 마무리검산을 해야하므로,
위의 두 근인 x = 0 , x = 3 {\displaystyle x={0},x={3}} 을 원래의 식인 x + x + 1 − 1 = 0 {\displaystyle x+{\sqrt {x+1}}-1=0} 에 대입해보면,
우선 양변으로 놓으면, x − 1 = − x + 1 {\displaystyle x-1=-{\sqrt {x+1}}}
이어서, x = 0 {\displaystyle x={0}} 일때, ( 0 ) − 1 = − ( 0 ) + 1 {\displaystyle (0)-1=-{\sqrt {(0)+1}}}
− 1 = − 1 {\displaystyle -1=-1} 이므로 방정식이 성립되므로, 무연근이 아니고, x = 3 {\displaystyle x={3}} 일때, x − 1 = − x + 1 {\displaystyle x-1=-{\sqrt {x+1}}} ( 3 ) − 1 = − ( 3 ) + 1 {\displaystyle (3)-1=-{\sqrt {(3)+1}}} 2 = − 4 {\displaystyle 2=-{\sqrt {4}}} 2 ≠ − 2 {\displaystyle 2\neq -2} ∴ x = 3 {\displaystyle \therefore x=3} 은 무연근이다.
따라서, x + x + 1 − 1 = 0 {\displaystyle x+{\sqrt {x+1}}-1=0} 방정식의 근은 x = 0 {\displaystyle x={0}} 이 되겠다.
삼차방정식과 사차방정식 그리고 그 이상을 고차방정식이라고 한다.
인수 분해를 해서 해를 구한다.
오차 이상의 일반적 방정식은 대수적 해법이 존재하지 않는다. 이는 아벨이 증명하였다.
A가 B보다 크다고 하면 A>B, A가 B보다 작다고 하면 A<B, 이와 같이 두 수, 두 식 등의 크기를 어떠한 기호를 통해 비교하는 것을 부등식이라하고 그 어떠한 기호는 부등호라고 한다. 이 부등식에서 크기를 비교하는 기호인 부등호에는 ＞ , ＜ , ≥ , ≤ 등이 있다. 부등식은 평균값 부등식, 코시-슈바르츠 부등식, 재배열 부등식 , ﻿베르누이의 부등식 , 슈르 부등식, 홀더 부등식 , 민코스키 삼각부등식 등 여러 종류가 있다.
s i n x 2 + c o s x 2 = 1 {\displaystyle sinx^{2}+cosx^{2}=1}
s i n x = c o s x × t a n x {\displaystyle sinx=cosx\times tanx}
연립 방정식은 서로 다른 2개의 미지수가 주어진 방정식들에 모두 적합할 때 이 방정식의 쌍을 의미한다. 연립 방정식도 미지수의 차수에 따라 일차 연립 방정식, 이차 연립 방정식 등으로 나뉜다. 일차 연립 방정식에선 y=ax+b와 같이 한 미지수를 어떠한 값으로 나타내어 이 값을 그 미지수에 대입하는 방법인 대입법과 미지수의 계수를 같게 곱하여 둘을 더하거나 빼서 그 미지수를 없애는 가감법, 그리고 행렬을 이용한 가우스 소거법이 주로 사용된다.
방정식은 2x+3=0과 같이 x(미지수)의 값에 따라 등식이 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 한다. 방정식은 중국의 구장산술이라는 산학서에서부터 유래되었다고 한다. 이 방정식에도 원 방정식, 직선의 방정식, 미분 방정식 등 여러가지가 있고, 또, 미지수의 차수에 따라 일차 방정식, 이차 방정식, 삼차 방정식, 고차 방정식... 등으로 나뉜다. 특히 이차 방정식에는 미지수의 값을 구하는 근의 공식이라는 식이 있다. 이차방정식 ax^2+bx+c=0(a≠0) 의 근의 공식은 -b±√b^2-4ac/2a 이고, ax^2+2b'x+c=0(a≠0) 의 근의 공식은 -b'±√b'^2-ac/a 이다. 삼차 방정식과 사차 방정식은 특수한 경우에 성립하는 근의 공식이 있다. 오차 방정식부턴 근의 공식이 존재하지 않는다. (아벨이 증명)
이항방정식 디오판토스 방정식 다항식 수식 항등식 부등식 가우스 소거법