등차수열
수학에서, 등차수열(等差數列, , )은 연속하는 두 항의 차이가 모두 일정한 수열을 뜻한다. 예를 들어 1, 3, 5, 7, 9, ...은 등차수열이다. 이때 두 항의 차이는 이 수열의 모든 연속하는 두 항들에 대해서 공통적으로 나타나는 차이므로, 공차()라고 한다. 예를 들어, 앞의 수열의 공차는 2이다.
수열의 첫항을 formula_1, 공차를 formula_2라고 할 때, 일반항을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
formula_4번째 항을 formula_5, 공차를 formula_2라 하면
등차수열의 일반항은 다음과 같다.
물론 여기에 formula_8을 대입하면 잘 알려진 일반항으로 다음을 얻는다.
이를테면 제5번째 항이 9이고, 공차가 2라면
등차수열에서 연속하는 두 수의 차이를 공차(公差)라고 한다. 보통 formula_2로 표시한다.
예시를 들면 다음과 같다.
세 수 formula_20, formula_21, formula_22가 이 순서로 등차수열을 이룰때, formula_21를 formula_20와 formula_22의 등차중항이라고 한다.
세 수 formula_20, formula_21, formula_22에 대하여 formula_21가 formula_20와 formula_22의 등차중항이면 등차수열의 정의에 의해서 formula_32 이므로 다음이 성립한다.
등차중항은 두 수를 1:1로 내분하는 등분점이라고 생각하면 쉽다. 세 수 formula_20, formula_21, formula_22가 이 순서로 등차수열을 이룰때, formula_21는 formula_20와 formula_22의 이등분점이다. 네 수 formula_20, formula_21, formula_22 formula_2가 이 순서로 등차수열을 이룰때, formula_21는 formula_20와 formula_2의 1:2 내분점이고 formula_22는 formula_20와 formula_2의 2:1 내분점이다. 즉, formula_21와 formula_22는 삼등분점이 된다.
수열의 정의상 함수처럼 생각하면 이를 내분점, 혹은 외분점의 의미로 받아 들일 수 있다. 항의 비로 표현이 가능하다.
등차급수(, )는 등차수열의 합이다. 초항부터 n번째 항까지의 합 formula_52는 다음과 같은 공식으로 나타난다.
이것은 다음과 같은 방법으로 증명할 수 있다.
결론적으로 등차급수는 {formula_60}의 평균값 x {formula_60}의 항의 개수로 정리 할 수 있다.(단, {formula_60}은 유한수열)
등차급수의 공식은 실생활에서는 도형의 넓이(ex-사다리꼴의 넓이)를 구하는데 주로 사용된다.
사람들은 다음과 같은 형태의 합을 쉽게 계산 할 수 있다.
S = -5-4-3-2-1+0+1+2+3+4+5
S = 0임을 쉽게 알 수 있다.
등차수열의 합도 이와같은 방법을 이용할 수 있다.
즉 양끝의 합이 0이 되도록 양끝의 합의 평균을 구해 항의 갯수만큼 빼주는 것이다.
그 평균값을 m이라 하면
양변 m을 n개 빼주면 우변은 위와 같은 형태로 쉽게 0이 되어버린다.
S - m * n = 0
S = m * n
S = (a + a)/2 * n
S = n(a+a)/2