오일러 공식
오일러 공식(Euler's formula)은 수학자 레온하르트 오일러의 이름이 붙은 공식으로, 복소수 지수를 정의하는 데에 출발점이 되며, 삼각함수와 지수함수에 대한 관계를 나타낸다. 오일러의 등식은 이 공식의 특수한 경우이다.
오일러 공식은 다음과 같다. 실수 x 에 대해, 허수 지수 ix를 다음과 같이 정의한다.
e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle e^{ix}\,=\,\cos x+i\sin x}
여기서, e는 자연로그의 밑인 상수이고, i {\displaystyle i} 는 제곱하여 -1이 되는( i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} ) 허수단위, sin , cos {\displaystyle \sin ,\cos } 은 삼각함수의 사인과 코사인 함수이다.
x {\displaystyle x} 에 π {\displaystyle \pi } 를 대입하여, e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0} 이라는 오일러의 등식을 구할 수 있다.
오일러 공식은 1714년 로저 코츠가 다음과 같은 형태로 처음 발견하였다.
ln ⁡ ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) = i x {\displaystyle \ln(\cos x+i\sin x)\,=\,ix}
지금과 같은 모양의 오일러 공식은 1748년 오일러가 무한급수의 좌우 극한값이 같음을 증명하면서 발표되었다. 그러나 로저와 오일러 모두 이 공식이 지닌 '복소수를 복소평면 위의 하나의 점으로 볼 수 있다'는 기하학적 의미를 눈치채지는 못하였고, 이것은 약 50년이 지난 후에나 발견되었다. 오일러는 현재의 교육과정에서 보다 훨씬 이른 시기에 학생들에게 복소수를 가르쳤다. 그의 기초 대수학 교재인 (Elements of Algebra)에 보면 교재의 거의 맨 앞부분부터 복소수를 도입하고 있고 교재 전체를 통틀어 자연스럽게 사용하고 있다.
테일러 급수에 따라 실수 범위에서 다음의 식이 성립한다.
e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x n n ! cos ⁡ x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n sin ⁡ x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 {\displaystyle {\begin{array}{rll}e^{x}&{}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots &{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\\\cos x&{}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots &{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\\\sin x&{}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots &{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\\end{array}}}
이때 x {\displaystyle x} 가 복소수일 때에 앞의 무한급수를 각각의 함수로 정의</b>한다. 그러면
e i z = 1 + i z + ( i z ) 2 2 ! + ( i z ) 3 3 ! + ( i z ) 4 4 ! + ( i z ) 5 5 ! + ( i z ) 6 6 ! + ( i z ) 7 7 ! + ( i z ) 8 8 ! + ⋯ = 1 + i z − z 2 2 ! − i z 3 3 ! + z 4 4 ! + i z 5 5 ! − z 6 6 ! − i z 7 7 ! + z 8 8 ! + ⋯ = ( 1 − z 2 2 ! + z 4 4 ! − z 6 6 ! + z 8 8 ! − ⋯ ) + i ( z − z 3 3 ! + z 5 5 ! − z 7 7 ! + ⋯ ) = cos ⁡ z + i sin ⁡ z {\displaystyle {\begin{aligned}e^{iz}&{}=1+iz+{\frac {(iz)^{2}}{2!}}+{\frac {(iz)^{3}}{3!}}+{\frac {(iz)^{4}}{4!}}+{\frac {(iz)^{5}}{5!}}+{\frac {(iz)^{6}}{6!}}+{\frac {(iz)^{7}}{7!}}+{\frac {(iz)^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}=1+iz-{\frac {z^{2}}{2!}}-{\frac {iz^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+{\frac {iz^{5}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}-{\frac {iz^{7}}{7!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}=\left(1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\&{}=\cos z+i\sin z\end{aligned}}}
f ( x ) = e − i x ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) ⋯ ( 1 ) {\displaystyle f(x)=e^{-ix}(\cos x+i\sin x)\cdots (1)} 라면, d d x f ( x ) = − i e − i x ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) + e − i x ( − sin ⁡ x + i cos ⁡ x ) = e − i x ( − i cos ⁡ x + sin ⁡ x − sin ⁡ x + i cos ⁡ x ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=-ie^{-ix}(\cos x+i\sin x)+e^{-ix}(-\sin x+i\cos x)=e^{-ix}(-i\cos x+\sin x-\sin x+i\cos x)=0} ∴ f ( x ) = C {\displaystyle \therefore f(x)=C} (단, C {\displaystyle C} 는 상수)
(1)에 x = 0 {\displaystyle x=0} 을 대입하면,
f ( 0 ) = 1 {\displaystyle f(0)=1} ∴ C = 1 {\displaystyle \therefore C=1} e − i x ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) = 1 {\displaystyle e^{-ix}(\cos x+i\sin x)=1} e i x = ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) {\displaystyle e^{ix}=(\cos x+i\sin x)}
다음과 같은 복소수 z {\displaystyle z} 를 생각하자:
z = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle z=\cos x+i\sin x\,}
양변을 x {\displaystyle x} 에 대해 미분하면:
d z d x = − sin ⁡ x + i cos ⁡ x {\displaystyle {\frac {dz}{dx}}=-\sin x+i\cos x}
i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} 이므로:
d z d x = i 2 sin ⁡ x + i cos ⁡ x = i ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) = i z {\displaystyle {\frac {dz}{dx}}=i^{2}\sin x+i\cos x=i(\cos x+i\sin x)=iz}
양변을 적분하면:
1 z d z d x = i ∫ 1 z d z = ∫ i d x ln ⁡ z = i x + C {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{z}}\,{\frac {dz}{dx}}&=i\\\int {\frac {1}{z}}\,dz&=\int i\,dx\\\ln z&=ix+C\end{aligned}}}
(여기에서 C {\displaystyle C} 는 적분 상수이다.)
이제 C = 0 {\displaystyle C=0} 이라는 것을 증명한다. x = 0 {\displaystyle x=0} 일 경우를 계산해보면
ln ⁡ z = C z = cos ⁡ x + i sin ⁡ x = cos ⁡ 0 + i sin ⁡ 0 = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\ln z&=C\\z&=\cos x+i\sin x=\cos 0+i\sin 0=1\end{aligned}}}
ln ⁡ 1 = C C = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\ln 1&=C\\C&=0\end{aligned}}}
따라서 다음과 같은 식이 성립한다:
ln ⁡ z = i x z = e i x e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle {\begin{aligned}\ln z&=ix\\z&=e^{ix}\\e^{ix}&=\cos x+i\sin x\end{aligned}}}
함수 g ( x ) {\displaystyle g(x)} 를 다음과 같이 정의한다.
g ( x ) = e i x {\displaystyle g(x)=e^{ix}}
허수단위 i {\displaystyle i} 는 상수이므로 g ( x ) {\displaystyle g(x)} 의 도함수와 이계도함수는 다음과 같다.
g ′ ( x ) = i e i x g ″ ( x ) = i 2 e i x = − e i x {\displaystyle {\begin{aligned}g'(x)&=ie^{ix}\\g''(x)&=i^{2}e^{ix}=-e^{ix}\end{aligned}}}
g ″ ( x ) = − g ( x ) {\displaystyle g''(x)=-g(x)\ } 또는 g ″ ( x ) + g ( x ) = 0 {\displaystyle g''(x)+g(x)=0\ } 라는 2차 선형 미분방정식이 만들어지고,
일차 독립인 두 해가 발생한다.
g 1 ( x ) = cos ⁡ x g 2 ( x ) = sin ⁡ x {\displaystyle {\begin{aligned}g_{1}(x)&=\cos x\\g_{2}(x)&=\sin x\end{aligned}}}
한편, 차수가 같은 미분방정식의 어떤 선형 결합도 해가 될 수 있으므로 위의 미분방정식의 일반적인 해는 다음과 같다.
g ( x ) = A g 1 ( x ) + B g 2 ( x ) = A cos ⁡ x + B sin ⁡ x g ′ ( x ) = − A sin ⁡ x + B cos ⁡ x {\displaystyle {\begin{aligned}g(x)&=Ag_{1}(x)+Bg_{2}(x)\\&=A\cos x+B\sin x\\g'(x)&=-A\sin x+B\cos x\end{aligned}}} ( A {\displaystyle A} 와 B {\displaystyle B} 는 상수)
그리고 여기에 함수 g ( x ) {\displaystyle g(x)} 의 초기 조건
g ( 0 ) = e i 0 = 1 g ′ ( 0 ) = i e i 0 = i {\displaystyle {\begin{aligned}g(0)&=e^{i0}&=1\\g'(0)&=ie^{i0}&=i\end{aligned}}} 을 대입하면,
g ( 0 ) = − A cos ⁡ 0 + B sin ⁡ 0 = A g ′ ( 0 ) = − A sin ⁡ 0 + B cos ⁡ 0 = B {\displaystyle {\begin{aligned}g(0)&={\color {White}-}A\cos 0+B\sin 0&=A\\g'(0)&=-A\sin 0+B\cos 0&=B\end{aligned}}}
g ( 0 ) = A = 1 g ′ ( 0 ) = B = i {\displaystyle {\begin{aligned}g(0)&=A&=1\\g'(0)&=B&=i\end{aligned}}}
g ( x ) = e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle g(x)\,=\,e^{ix}=\cos x+i\sin x} 이다.
cis 함수 또는 복소 지수 함수</b>는 오일러 공식으로부터 바로 유도되는 함수로, 다음과 같이 정의되는 것이다.
cis ⁡ ( θ ) = e i θ = cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ {\displaystyle \operatorname {cis} (\theta )=e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }
이 함수는 푸리에 변환이나 페이저 등에서 복소수와 관련된 연산을 할 때 흔히 사용되는 것이다.
겔폰드 상수 오일러의 등식
분류:복소해석학 분류:항등식 분류:사람 이름을 딴 낱말 분류:레온하르트 오일러 분류:복소해석학 정리