대수학
대수학(代數學, 독일어,영어: Algebra)은 일련의 공리들을 만족하는 수학적 구조들의 일반적인 성질을 연구하는 수학의 한 분야이다. 이렇게 일련의 추상적인 성질들로 정의되는 구조들을 대수 구조라고 하며, 반군•군•환•가군•체•벡터 공간•격자 등이 있다. 대수학은 취급하는 구조에 따라서 반군론, 군론, 환론, 선형대수학, 격자론, 정수론 등으로 분류된다.
대수학이란 용어는 학생 또는 전문 수학자에 따라, 다음 2가지 중 하나의 의미를 가진다. 학교 대수는 중학교와 고등학교에서 배우는 대수를 말하는 것으로, "산술"이라고도 하며, 문자를 이용해 수의 관계, 수의 법칙등을 연구하는 학문이며, 방정식이나 함수, 그래프등이 포함된다. 그러나 수학자들은 군, 환, 불변량 이론과 같이, 수 체계 및 그 체계 내에서의 연산에 대한 추상적 연구와 관련해서 "대수학"이라는 용어를 자주 사용한다.
기하학, 해석학, 정수론과 함께 대수학은 수학의 한 분야라고 볼 수 있다.
대수학은 페르시아의 저명한 수학자인 콰리즈미(783~850)가 쓴 <<알 자브르 왈 무카발라>>라는 책 제목에 그 기원을 두고 있다. 이 책에서 그는 대수적 방법들의 근거에 대해서 설명하고 있으며, 책의 제목은 "이항과 약분"으로 번역되기도 한다.
대수학은 대수(代數, 수를 대신함)라는 명칭 그대로, 수를 대신해서 문자를 사용하는 방법으로, 방정식을 푸는 방법을 연구하는 학문에서 시작되었다. 대수(algebra)의 어원은 9세기의 페르시아의 수학자 콰리즈미의 저서인 《약분·소거 계산론》(, 820년)에서 비롯되었다. 이 책의 원 제목에 있는 는 (흩어진 것을) 묶음을 의미하며, 방정식에서 항들을 묶어서 소거함을 뜻한다. 이 책은 체스터의 로버트 또는 배스의 아델라드(en:Adelard_of_Bath)가 《알게브라와 알무카발라의 서(書)》()란 제목으로 라틴어로 번역하여, 이후 500년 간에 걸쳐서 유럽의 대학에서 사용되었다. 여기서 "알게브라"()와 "알무카발라"()는 해당하는 아랍어 단어를 음역한 것이다. 또한 콰리즈미의 저서인 "인도 수의 계산법"이 라틴어로 번역되면서 2차 방정식, 사칙연산, 십진법, 0 등의 개념이 소개되었다.
19세기 이후에는 에바리스트 갈루아가 대수 방정식을 연구하기 위해서 군이라는 대수적 구조를 도입하였고, 조지 불은 논리학을 연구하기 위해서 불 대수라는 대수적 구조를 정의하였다. 이후 현대 수학에서는 다비트 힐베르트의 공리 주의나 니콜라 부르바키 스타일에서 찾아볼 수 있듯이, 고전적인 대수학에서 상당히 거리가 추상화되어 있으며, 방정식의 해법은 "방정식론"(대수방정식론)이라는 대수학의 일부분에 불과하다.
군론 환론 체론 정수론 대수기하학 추상대수학 선형대수학