アインシュタインテンソル
微分幾何学において、アインシュタインテンソル(Einstein tensor)（アルベルト・アインシュタインの名前に因んでいて、逆トレースリッチテンソルとしても知られている）は、擬リーマン多様体の曲率を表現することに使われる。一般相対論において、アインシュタインテンソルは、エネルギーと整合性を持つような方法で、時空の曲率を記述する重力のアインシュタイン方程式の中で発生する。
アインシュタインテンソル formula_1 は、擬リーマン多様体上に定義されたランク 2 のテンソルであり、添字のない記法では、
として定義される。ここに formula_3 はリッチテンソルであり、formula_4 は計量テンソルであり、formula_5 はスカラー曲率である。成分を持つ形で表すと、上記方程式は、
アインシュタインテンソルは、対称であり、
となり、ストレス・エネルギーテンソルは、発散がなく、
である。
リッチテンソルは計量テンソルへ依存しているので、アインシュタインテンソルは直接、計量テンソルで定義することができる。しかしながら、この表現は複雑で、教科書を引用するだけである。この表現の複雑さは、クリストッフェル記号のことばでリッチテンソルの公式を使い示すことができる。
ここに、formula_10 はクロネッカーのテンソルでクリスとフェル記号 formula_11 は、
と定義される。
キャンセレーションの前に、この公式は、formula_13 個の個別な項となる。キャンセレーションはこの数をいくらかは小さくする。
一点の近くの局所慣性座標系の特殊な場合には、計量テンソルの一階微分が 0 となり、アインシュタインテンソルの成分による表示はかなり単純化される。
ここに、鍵括弧は伝統的に括弧付き添字上で反対称性を表す。つまり
である。
アインシュタインテンソルのトレースは、計量テンソル formula_16 をその定義の中に持つ方程式を縮約(contract)することにより計算される。（任意符号の） formula_17 次元では、