普遍係数定理
代数トポロジーにおいて、普遍係数定理（ふへんけいすうていり、）はホモロジー論とコホモロジー論の間の関係を確立する。例えば、位相空間 の"整係数ホモロジー論"と、任意のアーベル群 に"係数をもつホモロジー"は以下のように関連する。整係数ホモロジー群 は群 を完全に決定する。ここで はあるいはより一般の特異ホモロジー論でもよい： 結果自体は自由アーベル群のチェイン複体についてのホモロジー代数の純粋な成果である。結果の形は、Tor関手を使うという代償を払って、他の係数 を使うことができる形である。
例えば を に取って係数が modulo 2 であるようにすることは一般的である。これはホモロジーに 2-捩れがないことによって straightforward になる。極めて一般的に、結果は のベッチ数 と体 に係数をもつベッチ数 の間に成り立つ関係を示す。これらは異なるかもしれないが、 の標数がホモロジーに -捩れがある素数 であるときのみである。
加群のテンソル積 を考えよう。定理は短完全列
が存在すると述べている。さらに、この列は、自然にではないが、分裂する。ここで は双線型写像 によって誘導される写像である。
係数環 が であれば、これはの特別な場合である。
一般に、 を単項イデアル整域とする。 を 加群の鎖複体、 を 加群とし、任意の に対して が捩れなし加群であるとする。このとき、任意の に対して次の完全列が存在する：
さらに、任意の に対して が自由加群ならばこの完全列は分裂する。
を主イデアル整域 （例えば や体）上の加群とする。
Ext関手に関係するコホモロジーに対する普遍係数定理もある。これは自然な短完全列
が存在することを述べている。ホモロジーの場合のように、列は自然にではないが分裂する。
実際、
とし、次のように定義する：
このとき上の はカノニカルな写像
である。代替的な視点はを経由してコホモロジーを表現することに基づくことができる。ここで写像 は から への写像のホモトピー類をホモロジーに誘導される対応する写像に写す。したがって、アイレンバーグ・マックレーン空間はホモロジー関手の"弱右随伴" (weak right ) である。
 をとしよう。 に係数をもつ の特異コホモロジーを計算する。
整数ホモロジーは以下で与えられることを知っている：
を生む。実は全コホモロジー環構造は
定理の特別な場合は整数コホモロジーを計算する。有限 CW 複体 に対して、 は有限生成であり、したがって以下の分解がある。
ただし は のベッチ数で formula_10 は formula_11 の捩れ部分である。次をチェックできる。
これは整数コホモロジーに対する以下のステートメントを与える：
向き付け可能な閉連結 -多様体 に対して、この系はポワンカレ双対と合わせて を与える。