BEAF
BEAF (Bowers Exploding Array Function) とは、Jonathan Bowersによって考案された、巨大数を表すための表記法の一つである。
まず、BEAFの元になった、クヌースの矢印表記について記す。詳細はクヌースの矢印表記を参照。
乗算は、加算の反復によって定義できる。
同様に、冪乗は、乗算の反復によって定義できる。
ドナルド・クヌースは、冪乗を上向き矢印「↑」を使って次のように表した。
クヌースは、二本の上向き矢印を、冪乗の繰り返しを表す演算子として再帰的に定義した。
ここで、formula_5である。これを、テトレーション、またはその見た目からタワー表記とも呼ぶ。同様に、三本の上向き矢印も次のように定義できる。
ここで、formula_7である。さらに、n本の上向き矢印に対して再帰的に定義すると、次のようになる。
ここで、"a", "b", "n" は整数であり、"a" ≥ 1,　"b" ≥ 0,　"n" ≥ 1である。ただし、formula_9は、n本のformula_10を意味する。
formula_11
formula_12
formula_13
formula_14
formula_15
formula_16
formula_17
formula_18
このように、矢印の本数を増やすと、値が爆発的に増加することがわかる。これにより、非常に大きな自然数を表現する事が可能である。
formula_19
からもわかるように、複数の演算子が並んでいるときは、右から順に計算していく。すなわち、
formula_20
formula_21
Jonathan Bowersは、まず矢印表記を一般化した、括弧を使った演算子表記を開発した。
formula_22
例えば、formula_23である。この表記法は、単に矢印表記を書き換えたに過ぎないが、Bowersは{}を1重から2重に増やすことで、更に拡張した。
formula_24
ここで、bは一番内側から外側までのaの個数である。Bowersはこれを、aのb重膨張と呼んだ。
の中を増やしていくと、次のようになる。
formula_25
formula_26
formula_27
formula_28
formula_29
formula_30
と書いて圧縮することができる。すなわち、
formula_31
formula_32
formula_32
と書き換えることが可能である。