ウォード＝高橋恒等式
場の量子論において、ウォード＝高橋恒等式(Ward–Takahashi identity)は、理論の大域的や局所的対称性から来る分配函数と繰り込みの後で有効となる分配函数の間の恒等式である。
量子電磁力学のウォード＝高橋恒等式は、原型では(John Clive Ward)と高橋康(Yasushi Takahashi)により、電子の(wave function renormalization)と形状因子 F(0) とを関係つけるために使った。この恒等式は摂動論のすべてのオーダーにおいて(ultraviolet divergence)をキャンセルすることを保証する。後日、使い方として、すべての摂動論のの証明の拡張を含む。
ウォード・高橋恒等式は、古典的ネーターの定理の量子バージョンであり、量子場理論のすべての対称性は相関函数の運動方程式より導くことができる。この一般化された意味は、例えば、(Michael Peskin)と(Daniel Schroeder)の教科書 "An Introduction to Quantum Field Theory"（参考文献参照）のような文献を読む際には、もとのウォード・高橋恒等式の意味とは区別されている。
ウォード＝高橋恒等式を運動量空間(momentum space)の相関函数へ適用すると、すべての外部運動量のオンシェルを持つ必要がないことが分る。
は、運動量 formula_2 の "n" 個の初期状態と運動量 formula_3 の終了状態をもつ運動量 k を持つ外部光子の量子電磁力学(QED)での相関函数である（ここに formula_4 は光子の(polarization)ベクトルであり、和は formula_5=0...,3 を渡ることとする）。さらに、formula_6 を元の振幅から運動量 k をもつ光子を取り除くことにより得られるより単純な(amplitude)となる。すると、ウォード＝高橋恒等式は、
となる。ここに "−e" は電子の電荷である。formula_9 が外部電子のオンシェルを持つことに注意すると、この等式の右辺の振幅はそれぞれ外部粒子のオフシェルを持ち、従って、S-行列要素に寄与することはない。
ウォードの恒等式は、ウォード＝高橋恒等式をS-行列要素へ特殊化した恒等式であり、物理的に可能な散乱過程を記述するので、すべてのが外部粒子のオンシェルを持つ。繰り返すが、formula_10 を、運動量 formula_11 の外部光子を持つ QED 過程の振幅とする。ここに formula_12 は、光子の(polarization)ベクトルである。すると、ウォードの恒等式は、
である。物理的には、この恒等式の意味は、で起きる光子の縦方向の偏光は物理的ではなく、S-行列から消える。
この使い方の例は、QED の真空偏極と電子の頂点函数のテンソル構造を拘束することを意味する。
経路積分の定式化において、ウォード＝高橋恒等式は、ゲージ変換の下での汎函数測度の不変量の反映である。詳しく言うと、formula_14 で ε によるゲージ変換を表すと（加えて、ε を系の物理的対称性が大域的である場合や大域的対称性が存在しない場合でも、汎函数測度の不変性についてのみ心配するだけでよい）、
は、汎函数測度の不変性を表す。ここに S は作用であり、formula_16 は量子場の汎函数である。ゲージ変換が理論の大域的対称性に対応すると、（場 φ の汎函数として）ある(current) J に対し、(surface term)を無視することを仮定した部分積分により、
すると、ウォード＝高橋恒等式は、
となる。この等式のネーターの連続方程式の QFT における類似物は formula_19 である。
ゲージ変換が実際のゲージ対称性に対応すると、
となる。ここに S はゲージ不変は作用であり、S はゲージ不変ではない(gauge fixing)項である。
しかし、たとえ大域的対称性が存在しない（対称性が破れている）場合でも、ウォード＝高橋恒等式はチャージの非保存の率を記述する。
汎函数測度がゲージ不変でないが、λ を場 φ の汎函数としたときには
を満すとすると、アノマリーウォード＝高橋恒等式を得る。このことの例は(chiral anomaly)がある場合である。