群のコホモロジー
数学、とくにホモロジー代数学において、群のコホモロジー（）とは代数的トポロジーに由来する技法であるコホモロジー論を使って群を研究するために使われる数学的な道具立てである。群の表現のように、群のコホモロジーは群 の 加群への作用をみることで、その群の性質を明らかにする。 加群を の元が 単体を表す位相空間のように扱うことで、コホモロジー群 などの位相的な性質が計算できる。コホモロジー群は群 や 加群 の構造に関する洞察を与える。群のコホモロジーは加群や空間への群作用の固定点や群作用に関する商加群や商空間を研究において一定の役割を果たす。群のコホモロジーは群論そのものへの応用はもちろん、抽象代数・ホモロジー代数・代数的トポロジー・代数的整数論などの分野でも用いられている。代数的トポロジーには、群のホモロジーと呼ばれる双対理論がある。
これらの代数的な概念は位相的な概念と密接に関連している。離散群 の群のコホモロジーは を基本群とする適当な空間——つまり対応する——の特異コホモロジーである。したがって のコホモロジーは円 の特異コホモロジーと思うことができ、同様に のコホモロジーは の特異コホモロジーと思うことができる。
群のコホモロジーについては非常に多くのこと——低次コホモロジーの解釈・関手性・群の変更——が知られている。群のコホモロジーに関する主題は1920年代に始まり、1940年代後半に発達し、現在でも活発に研究が続いている。
群 はその表現を通じて研究されるべきであるという群論における一般的なパラダイムがある。このような表現をわずかに一般化したものに 加群がある： 加群とは群 の各元が自己同型として作用するアーベル群 である。われわれは は乗法的に、 は加法的に書くことにする。
を考えるのは自然である。いま が の 部分加群（つまり、 による作用で閉じている の部分群）であるとすると、一般に「 の不変な元は の不変な元の の不変な元による商として得られる」というのは正しくない： を法として不変であることの方が広い。群の1次コホモロジー はこの差をきちんと測ることを目的とする。
一般に群のコホモロジー関手 は不変な元をとる関手がどれほど完全でないかを測っている。これは長完全列によって表される。
すべての 加群からなるクラスは圏である。（その射は群準同型 であって、すべての と に対して を満たすものである。）各 加群 に を対応させることで 加群の圏からアーベル群の圏 への関手が得られる。この関手は左完全であるが右完全とは限らない。したがって右導来関手をとることができる。その値はアーベル群であり、 と表され、 に係数をもつ群の 次コホモロジー群と呼ばれる。
導来関手を使った定義は概念的には極めて明快であるが、実際に利用するには一部の著者が定義としている、次の計算法が役に立つことが多い。 に対して を から への関数全体からなる群とする。これはアーベル群であり、その元を（非斉次） 次の双対鎖という。双対境界作用素を
で定めると が成り立つので、これはコホモロジーが計算可能な双対鎖複体を定める。上述の導来関手を使った群のコホモロジーの定義はこの複体のコホモロジー
と同型であることを示すことができる。ここで 次の双対輪体群、 次の双対境界群はそれぞれ次のように定義される。
加群を群環 上の加群とみると
であることに注意する。つまり の 不変な元からなる部分群は ——これは自明な 加群（ のすべての元が単位元として作用する）と見做す——から への準同型からなる群と同一視される。したがって 関手は 関手の導来関手であるから、自然同型
がある。これらの 群は の射影分解から計算することもでき、そのような分解は のみに依存し、 には依存しないという利点がある。
群のコホモロジーの構成と双対になる群のホモロジー（）が次のように定義できる： 加群 が与えられたとき、 を から生成される部分加群とする。 に対して、いわゆるcoinvariantsと呼ばれる商
を与える対応は右随伴関手である。その左導来関手
が群のホモロジーである。 に を対応させる反変関手は を に送る関手と同型である。したがってTor関手を使って群のホモロジーの表示
を得ることもできる。ここでコホモロジー・ホモロジーにおける上付き・下付きの規約は群のinvariants・coinvariantsの規約と一致していることに注意せよ。つまり"co-"は
を入れ替える。
具体的にはホモロジー群 は次のように計算できる。まず自明な 加群 の射影分解
からはじめる。共変関手 を の各項ごとに適用して鎖複体
を得る。 はこの鎖複体のホモロジー群 である。
1次コホモロジー群はいわゆる微分（）——つまり写像（の集合） ですべての に対して を満たすもの——のいわゆる内部微分（）——つまり写像 である固定された に対して で与えられるもの——による商である。これは双対鎖などの定義から従う。
もし の への作用が自明ならば、これは群準同型 からなる群 となる。
上の例において、 の による拡大は無限二面体群に限るので である。
ブラウアー群は2次コホモロジー群の例である：それは体 の絶対ガロア群の分離閉包における可逆元への作用に関するコホモロジー
である。
以下では は 加群とする。
実際には次の事実を使ってコホモロジー群を計算することがしばしばある。つまり 加群の短完全列
は長完全列
を誘導する。いわゆる連結準同型
は非斉次双対鎖のことばで次のように記述できる。もし が の 次の双対鎖 に代表される元ならば、 は に代表される。ここで は を「持ち上げて」（つまり が と全射 の合成となるようにして）得られる 次の双対鎖 である。
群のコホモロジーは次の意味で群 に反変的に依存している：つまり群準同型 は自然な射 を誘導する。（ここで後者の は を介して 加群としてみる。）これを制限写像（）という。もし の における指数が有限ならば、逆向きの移送写像（）と呼ばれる写像
がある。次数 0 のところでは、この写像は
で与えられる。 加群の射 が与えられたとき、コホモロジー群の射 を得ることができる。
位相幾何学や微分幾何学における他のコホモロジー論（たとえば特異コホモロジーやド・ラーム・コホモロジー）などと同様に群のコホモロジーも積構造を持っている。どんな 加群 と に対してもカップ積（）と呼ばれる自然な写像
がある。これは formula_22 に次数つき反可換環の構造を与える。ここで は や などの環である。有限群 に対して、このコホモロジー環の標数 における偶数次部分 formula_23 は の群構造に関する多くの情報を持っている。たとえばこの環のクルル次元はアーベル部分群 の最大ランクに等しい。
となる。これは の胞体コホモロジー環だからである。
を体とすると は次数つき 多元環であり、群の直積のコホモロジーはそれぞれの群のコホモロジーとKünneth公式
によって関連づけられる。たとえば を階数 の基本アーベル2群、 とするとKünneth公式は のコホモロジーが に属する 個の類によって生成される 上の多項式環であることを示している。