形式的冪級数
数学において、形式的冪級数（けいしきてきべききゅうすう、）とは、（形式的）多項式の一般化であり、多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい。例えば、（ を不定元として）
は（多項式ではない）冪級数である。
"A" を可換とは限らない環とする。"A" に係数をもち "X" を変数（不定元）とする（一変数）形式的冪級数 (formal power series) とは、各 "a" ("i" = 0, 1, 2, ...) を "A" の元として、
の形をしたものである。ある "m" が存在して "n" ≥ "m" のとき "a" = 0 となるようなものは多項式と見なすことができる。
形式的冪級数全体からなる集合 "A""X" に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という。和と積の定義は以下のようにする。
すなわち和と積は形式的に定義し、環の元と不定元は可換であるとする。
N を非負整数全体の集合とし、集合 "A" すなわち N から "A" への関数（"A" に値を持つ数列）全体を考える。この集合に対し
によって演算を定めると、"A" は環になることが確かめられる。これが形式的冪級数環 "A""X" である。
ここでの ("a") は上の Σ"aX" と対応する。
定数項が 0 の形式的冪級数は、別の冪級数に代入することができる。すなわち、formula_7 とすると、{"g"("X")} は "n" − 1 次以下の項をもたないので、合成
が意味をもつ。例えば
は形式的冪級数としても正しい等式である。
以下では "A" を単位元をもつ可換環とし、formula_10 とする。
formula_11 に対し、formula_12 を "f" の形式微分という。"a", "b" ∈ "A", "f", "g" ∈ "A""X" に対し、("af" + "bg")′ = "af′" + "bg′", ("fg")′ = "f′g" + "fg′" などが成り立つ。
これは（複素あるいは実の）収束冪級数と考えると項別微分に相当するものである。
有限個の負冪も許したものは形式的ローラン級数と呼ばれる。正確には次の形のものである。"N" を自然数、各 "a" を可換環 "A" の元として、
このような元全体は環をなし、形式的ローラン級数環といい、"A"(("X")) と表記する。とくに "A" が体 "k" であるとき、"k"(("X")) も体であり、これは "k""X" の商体でもある。
任意の個数（無限個でもよい）の不定元をもった形式的冪級数を定義することができる。"Λ" が添え字集合であり "X" を "λ"∈"Λ" に対し不定元 "X" 全体の集合とすれば、単項式 "X" は "X" の元の任意の有限個の（重複を許した）積である。係数を環 "A" にもつ "X" の形式的冪級数は単項式 "X" の集合から対応する係数 "c" への任意の写像によって決定され、formula_14 と表記される。すべてのそのような形式的冪級数からなる集合を "A" "X" と表記し、以下のように環の構造を与える。
一変数の場合と同様に、"A" ["X"] ⊂ "A" "X" である。
"Λ" = { 1, 2, ..., "n" } の場合には、"A" "X" = "A" "X", "X", ..., "X" とも書かれる。"A" "X", ..., "X" ="A" "X", ..., "X" "X" である。