電磁テンソル
電磁テンソルとは、電磁場を相対性理論にもとづいた形式で記述したものである。以後、相対論と言えば、特に断りがなければ特殊相対性理論を指す。
電磁場の強度（） F は二階のテンソル
と定義される。
A は相対論的な4元ベクトルの電磁ポテンシャル
である。
微分も相対論的な4元ベクトル
定義から電磁場テンソルは明らかに反対称テンソルである。従って独立成分は6つある。
これは3次元空間のベクトル場である電場の強度 E と磁束密度 B の各成分に対応する。
電場の強度と磁束密度は3次元空間の電磁ポテンシャルによって
と表される。
あるいは各成分毎に
と書くことが出来る。
具体的には
である。上付きの
formula_1 は
となる。それぞれ行列の形で表せば
媒質中での電磁場を表す電束密度 D と磁場の強度 H は二階のテンソル G によって相対論的な形式で記述される。
それぞれの成分は具体的には
である。G はサブ電磁テンソルとも呼ばれる。
サブ電磁テンソル G と電磁場の強度 F は
と関係付けられる。ここで M は磁化テンソルである。
その成分は誘電分極 P と磁化 M である。
行列の形で表せば
である。
完全反対称テンソル ε を用いれば、電磁場の強度 F に双対なテンソル
が定義される。
具体的には
であり、行列の形で表せば
電磁場テンソルによって、相対論的な形でマクスウェルの方程式を記述することができる。
定義からBianch恒等式
が成り立つ。
完全反対称テンソルを用いれば
と表すことも出来る。
この式は添え字 σ=0,1,2,3 についての4つの方程式であり、それぞれ
真空中の電磁場の運動方程式は
と表される。
ここで j は4元電流密度である。
この式は添え字 ν=0,1,2,3 についての4つの方程式であり、それぞれ
媒質中の運動方程式は
と表される。
成分ごとにそれぞれ
電磁テンソルは、荷電粒子に作用するローレンツ力を相対論的に記述した式の中に現れる。
電荷 q を持ち、相対論的な位置 を運動する荷電粒子に作用する相対論的なローレンツ力は以下のようになる。
p は相対論的な運動量である。ドットは運動のパラメータによる微分である。