キリングベクトル場
キリングベクトル場（Killing vector field、別名：キリング場、Killing field）は、(Wilhelm Killing)の名前に因んだ名称で、計量を保存するリーマン多様体や擬リーマン多様体上のベクトル場であり、計量テンソルを保存する。キリング場は、等長(isometry)なリー群に付随するリー代数の無限小生成子である。すなわち、キリング場により生成されるフロー (幾何学)(flow)であり、多様体の(continuous isometries)写像である。さらに単純化すると、フローは、各々の点をキリングベクトル場の方法へ同じ距離にある対象上の各々の点を動かすことが、距離を曲げないという意味の対称性を生成する。
特に、X の計量 g に関してリー微分が 0 となる、つまり、
であるとき、ベクトル場 X をキリングベクトル場という。
レヴィ・チヴィタ接続のことばでは、これは、すべてのベクトル X と Y について、
である。局所座標では、この考え方はキリング方程式
この条件は共変形式で表されるので、すべての座標系で保たれることを示すためには、元々の座標系で確立するだけで充分である。
キリング場は、ある点でのベクトルとその勾配（つまり、点における場のすべての共変微分により決定される。
2つのキリング場のリーブラケットもまたキリング場であるので、多様体 M 上のキリング場は、M 上のベクトル場のリー代数を形成する。M が完備であれば、この代数は多様体の(isometry group)のリー代数となる。
コンパクトな多様体に対し、
すべてのキリングベクトル場の発散は 0 となる。
formula_16 がキリングベクトル場で formula_17 が調和ベクトル場であれば、formula_18 は調和函数である。
formula_16 がキリングベクトル場で formula_20 が調和 p-形式であれば、formula_21 である。
各々のキリングベクトルは、(geodesics)に沿って保存される量に対応する。この保存量はキリングベクトルと測地線の接ベクトルとの間の計量積である。すなわち、同じアフィンパラメータ formula_22 の測地線に沿って、方程式 formula_23 が成立する。これは、対称性をもつ時空の運動を解析的に研究する目的を持っている。