ノイマン級数
関数解析学において、ノイマン級数（ノイマンきゅうすう、）とは、無限級数によって定義される逆作用素。定理の名はドイツの数学者C. ノイマンに由来する。
"A" をバナッハ空間"X" での有界な線形作用素とする（"A" ∈ B("X" ））。このとき、"A" の作用素ノルム||"A" ||が||"A" ||<1を満たすならば、恒等作用素"I" との差で与えられる"I" -"A" は1対1で("I" -"A" )が有界作用素として存在するとともに、
が成り立つ。この級数をノイマン級数と呼ぶ。また、このとき、ノルムは
と評価される。
これは、|"x" |<1なる"x"　∈ Cについての無限級数
の作用素への拡張になっている。
特に"z" ∈ Cと有界作用素"A" について、|"z" |>||"A" ||であれば、レゾルベント作用素("z" "I" -"A" )が存在し、
が成り立つ。
バナッハ空間"X" の元"u"、"v" と線形作用素"A"　で与えられる方程式
を考える。ここで、"v" は既知の変数とし、"u" を未知の変数とする。この方程式は
と変形できることから、逆作用素("I" -"A" )が存在し、それが求まれば、問題は解ける。
一方、元の方程式において、逐次代入を繰り返せば、
となる。従って、"A""u" の項が無視できるとすると
で定義される"u"が逐次近似解となる。ノイマン級数は、一定の条件が満たされば、n→∞で逐次近似解"u"が真の解となり、
となることを意味している。ノイマン級数の結果から、逐次近似解"u"の誤差評価を行うこともでき、
バナッハ空間"X" を有限区間["a","b" ]上の連続関数からなる関数空間C(["a", "b" ])とし、
"K" ("x", "y" )を["a", "b" ]×["a", "b" ]で定義された連続関数、"f" ("x" )を["a", "b" ]上の連続関数（"f" ∈ C(["a", "b" ])）とする。このとき、C(["a", "b" ])）において、フレドホルム型積分方程式
を考える。ここで、
としたときに、|λ|・||"K" || < 1の条件が満たされるならば、上記の積分方程式の解"u" が一意的に存在し、ノイマン級数によって、
と表すことができる。