ルーシェの定理
ルーシェの定理 ('、')は、フランスの数学者である (1832年-1920年) が1862年に発表した複素解析における定理であり、留数定理および偏角の原理と密接な関係がある。
定理の主張は、直観的にはやや意味がわかりにくいが、応用面ではかなり強力なツールであり、代数学の基本定理の証明もかなり簡単にできてしまう(後述)。
formula_1 を複素平面（ガウス平面）のある単連結な開集合（領域）、formula_2 をその境界 （ただし、連続曲線であるなど、十分にものとする）、formula_3 を formula_1 の閉包 （= formula_5） とし、formula_6 および formula_7 をformula_3 上で定数でない正則な複素関数で、formula_9上で、formula_10 を満たすとすれば、 formula_1 内での formula_12 と formula_6 の零点の個数 （ただし位数"n"の零点は"n"個として数える）は一致する。
まず、
であることに注目する。
formula_6 および formula_7 は formula_1 で極を持たないので偏角の原理 から formula_12 の formula_1 内における零点の個数を"n"とすれば、
ここで formula_22 を、formula_23 で定義する。formula_9 上では formula_10 という条件から、formula_9 上では formula_27 であり、formula_6 および formula_7 はformula_3 上で正則であるから、formula_31 は formula_9 上で正則である。従って formula_33 による formula_9 の像を formula_35 とすれば、 formula_35 も (連続曲線であるなど) 十分に良い性質を持った曲線である。
上の式の右辺第2項の積分を考えれば、
である。結局この式の値は formula_38 を formula_35 上のある点を始点として formula_35 に沿って一周した場合の増分になるが、formula_9 上では formula_10 という条件から formula_35 上では formula_44 は正であり、 formula_35 は formula_38 の分岐点である formula_47 = 0 を一周しないので、その値は 0 である。従って、
が成り立ち、定理の主張のとおりとなる。
を最高次数の係数が 1 の任意の "n" 次複素数係数多項式とした場合、formula_6 が複素平面上で "n" 個の零点を持つことを証明する。
formula_51 を正の実数とし、formula_52 と置く。また、
と置く。formula_51 を十分大きく取れば formula_9 上で formula_57 が成立するので、 formula_1 内における formula_59 と formula_60 (= formula_6 ) の零点の個数は一致し、 formula_59 の形から明らかなように、その値は "n" となる。