デデキントゼータ関数
デデキントゼータ関数（-かんすう、）とは、
代数体 "K" に対して
で表される関数のことをいう。但し、和は "K" の整イデアル全てを動き、formula_1 は整イデアル formula_2 のノルムである。従って、デデキントゼータ関数は、ヘッケのL関数の特別な場合である。
特に、"K" が有理数体のとき、リーマンゼータ関数になる。
与えられた整数 "n" に対して、ノルムが "n" である整イデアルは有限個しかなく、ノルムは正整数であるので、
デデキントゼータ関数は、
と、ディリクレ級数の形で表すことが出来る。
デデキントゼータ関数は、formula_3 に対して、絶対かつ一様収束する。従って、formula_3 で、formula_5 は正則関数である。
"n" 次代数体 "K" に対して、デデキントゼータ関数は次の関数等式を満たす：
但し、formula_6 は "K" の実共役体、虚共役体の個数とする。
特に、"K" を有理数体にすれば、よく知られたリーマンゼータ関数の関数等式
が成立する。
さらに、formula_5 に対する、代数体 "K" の完全ゼータ関数を
とおけば、関数等式
を満たし、formula_8 に解析接続できる。従って、formula_5 は formula_8 まで解析接続できる。
解析接続できない formula_11 では、デデキントゼータ関数は 1 位の極で、留数は
である。つまり、
ただし、formula_6 は "K" の実共役体、虚共役体の個数、"w" は、"K" に含まれる 1 のベキ根の個数、formula_13 は、それぞれ "K" の類数、単数基準とする。
(1) 自明な零点
(2) 非自明な零点
"s" が、formula_18 である零点とすれば、formula_19 であると予想されている。これを拡張されたリーマン予想という。リーマンゼータ関数に対するリーマン予想をその特別な場合として含む予想であり、現在でも未解決である。
任意の整イデアルは、素イデアルの積で表すことができるので、デデキントゼータ関数は、以下のオイラー積表示を持つ。
formula_3 のとき、
ただし、積は "K" の素イデアル全てを動くものとする。
デデキントゼータ関数のオイラー積表示により、素イデアルのノルムの値からデデキントゼータ関数を具体的に計算することができる。素イデアルのノルムは、有理素数の素イデアル分解の結果から求めることができるが、"K" が一般の代数体の場合、素イデアル分解が複雑であるので、具体的に計算することは大変難しい。
しかし、"K" が二次体または円分体であれば、素イデアル分解の様子がよく分かっているので、オイラー積を計算することができ、その結果、デデキントゼータ関数をディリクレのL関数を用いて表現することができることが知られている。
(1) "K" が二次体の場合
"K" の判別式を "D" とし、formula_21 を法 "D" に関するクロネッカー指標とすると、
が成立する。
(2) "K" が円分体の場合
formula_22 formula_23 とする。
が成立する。ここで、最初の積は、法 "m" に関する原始的ディリクレ指標全てにわたる積とし、二番目の積は、法 "m" に関する原始的ディリクレ指標のうち、単位指標以外のもの全てにわたる積である。
さらに、任意の有理数体のアーベル拡大体 "K" は、ある円分体の部分体であるので(クロネッカー＝ウェーバーの定理)、上のことから、formula_5 は、いくつかのディリクレL関数の積で表すことができる。
デデキントゼータ関数を用いた応用例として、2つの平方数の和で表す方法の数を求めてみることにする。
これはヤコビの二平方定理として知られ、いろいろな証明方法が知られているが(ヤコビの二平方定理の証明を参照)、ここでは、デデキントゼータ関数を使った方法で証明してみる。
formula_25 とおき、"K" 上のデデキントゼータ関数 formula_5 を二通りの方法で計算する。
まずは、ディリクレ級数の形でデデキントゼータ関数を表し、その係数を求めてみる。
とおくと、
が成立するので、formula_28 は、"n" を2つの平方数の和で表す方法の数の4倍に等しい。慣例に従って、2つの平方数の和で表す方法の数を formula_29 と書くと、
と表される。
さて、"K" は二次体であるので、formula_5 は、リーマンゼータ関数と、クロネッカー指標からなるディリクレL関数の積で表される。formula_25 のクロネッカー指標を具体的に求めることにより、
\!\!\!\!\!\!\!\left(1-(-1)^{(p-1)/2}p^{-s}\right)
が成立する。二通りに表された formula_5 を比較することにより、
が成立する。これはヤコビの二平方定理に他ならない。
さらなる応用として、"K" を別の二次体 formula_33 にすることで、上と同じ方法で、formula_34 の形での表し方の数を求めることができる。