一般ディリクレ級数
一般ディリクレ級数（いっぱんでぃりくれきゅうすう、）とは、
複素数列 formula_1、無限大に発散する狭義の単調増加列 formula_2 および複素数 "s" に対して、
で表される級数のことをいう。指数型のディリクレ級数または広義のディリクレ級数ともいう。
特に、formula_3 のとき、
であり、(通常)ディリクレ級数となる。
また、formula_4、formula_5 とすると、
と、ベキ級数になる。
"s" を変数とみなし、一般ディリクレ級数の収束性を問わないとき、形式的一般ディリクレ級数 (formal general Dirichlet series)という。
任意の一般ディリクレ級数に対して、次のいずれかが成り立つ。
この formula_8 を一般ディリクレ級数の収束軸 (line of convergence)または収束座標 (abscissa of convergence)という。
収束軸について、一般ディリクレ級数が常に収束するときは formula_10、常に発散する場合は formula_11 と定める。
収束軸の値の求め方
一般ディリクレ級数
の収束軸 formula_8 の値は、以下の様に求められる。
という式も知られている。
一般の級数のときと同じく、
が収束するとき、一般ディリクレ級数
は絶対収束するという。
絶対収束する複素数 "s" に対する、formula_17 の下限を絶対収束軸 (line of absolute convergence)または絶対収束座標 (abscissa of absolute convergence)という。
絶対収束軸について、一般ディリクレ級数がすべての点で絶対収束するときは formula_10、常に絶対収束しない場合は formula_11 と定める。
ディリクレ級数の場合、ある点で収束すれば絶対収束する点が存在するが(ディリクレ級数の絶対収束性を参照)、ある点で収束しても、すべての点で絶対収束しない一般ディリクレ級数が存在する。
例えば
は、すべての複素数 "s" に対して収束するが、絶対収束することはない。
一般に、収束軸が有限の値 formula_8 を持ち、
が有限の値 α をとるならば、絶対収束軸 formula_21 は有限の値を持ち、formula_22 であることが知られている。
絶対収束軸は、先に述べた収束軸の値を求める公式を用いて、以下の様に与えられる。
一般ディリクレ級数
の絶対収束軸 formula_21 の値は、以下の様に求められる。
が成り立つ。
一般ディリクレ級数を
として、"s" を変数とする関数とみなすと、formula_28 の一様収束性が問題となる。
一般ディリクレ級数の一様収束性について、収束軸 formula_8 および絶対収束軸 formula_21 が有限の値であるならば、
このとき、
を満たす実数 formula_31 が存在して、formula_32 を満たす複素数 "s" に対して、formula_28 は一様収束するが、formula_34 を満たす複素数 "s" に対して、formula_28 は一様収束しない。
この formula_31 を、一様収束軸 (line of uniform convergence)または一様収束座標 (abscissa of uniform convergence)という。
一様収束軸について、一般ディリクレ級数がすべての点で一様収束するときは formula_10、常に一様収束しない場合は formula_11 と定める。
一様収束軸の値は、収束軸・絶対収束軸とは異なる方法で求められる。
ディリクレ級数
の一様収束軸 formula_31 の値は、以下の様に求められる。
一般ディリクレ級数
は、formula_40 で収束するならば、formula_40 で正則である。さらに、formula_28 の微分は
で与えられる。
formula_40 で正則である様な σ の下限を formula_44 とおくと。
2つのディリクレ級数
が、ある開領域内で収束し、そこで、formula_45 が成立するならば、すべての "n" に対して、formula_46 である。
収束軸 formula_8 が有限の値もしくは formula_10である、一般ディリクレ級数
に対して、ω を formula_49 を満たす様にとり、formula_50 とする。このとき
が成立する。但し、積分路は、すべての formula_51 を通らない様にとる。
さらに、formula_52 であるならば、
ε、 δ、"T" を任意の正数とする。
収束軸 formula_8 が有限の値である一般ディリクレ級数
に対して、formula_54 を満たす複素数 formula_55 のうち、formula_56 を満たすものの個数を formula_57 とおくと、
formula_57 は有限の値であり、
が成立する。