クラマース・クローニッヒの関係式
クラマース・クローニッヒの関係式(—かんけいしき、Kramers-Kronig relation)とは線形応答における周波数応答関数の実部と虚部がヒルベルト変換で関係づけられていることを示した式である。
1926年に、1927年にヘンドリック・アントニー・クラマースによって電磁波の分散現象に対して導かれた。
周波数応答関数"H(ω)=H(ω)+i H(ω)"に対して(ただし、"H" はHの実部、"H" はHの虚部である。)
がクラマース・クローニッヒの関係式である。（formula_2はコーシーの主値をとることを表す。)
後述するインパルス応答"h(t)" が恒に実数であるという条件を付けると、周波数応答関数の実部は偶関数、虚部は奇関数になる。
これを用いて積分範囲を正の部分にするようにクラマース・クローニッヒの関係式を変形すると
クラマース・クローニッヒの関係式は、刺激よりも前に応答は起こりえないという因果律から導かれる。
線形応答においてはt=0におけるインパルスδ(t)に対する応答h(t)が決まれば、任意の刺激に対する応答が決定される。h(t)を偶関数h(t)と奇関数h(t)の和の形
に分解すると、因果律よりt<0でh(t)=0なのでh(t)=h(t)·sgn(t)、h(t)=h(t)·sgn(t)となる。
インパルス応答をフーリエ変換して周波数応答関数を求めると、
となり、偶関数部h(t)のフーリエ変換は周波数応答関数の実部、奇関数部h(t)のフーリエ変換は周波数応答関数の虚部にあたることが分かる。
それぞれに対して積関数のフーリエ変換が畳み込みになることを使えば、クラマース・クローニッヒの関係式が導かれる。ここで、formula_3は符号関数のフーリエ変換を表す。
 また"H(ω)" を複素平面に解析接続した複素関数"H(z)" が、実軸より上側で正則かつ"|z|→∞" で一様に"H(z)→0" であるときには"H(ω)" がクラマース・クローニッヒの関係式を満たすことを示すことができる。
"H(z)/(z-ω)" を複素平面上で、以下の4つの区間からなる閉曲線上で複素積分する。
実軸より上側で正則であるという条件から、コーシーの積分定理によりこの閉曲線上の積分は0になる。
ここで"R→∞"、"r→0"の極限をとると区間4の積分は"|z|→∞"で一様に"H(z)→0"の条件より0となる。
区間2の積分はr→0で-iπH(ω)となる。
したがって区間1と3の積分の和はR→∞、r→0の極限で
この式の実部と虚部を比較することでクラマース・クローニッヒの関係式が導出される。
クラマース・クローニッヒの関係式を用いることで周波数応答関数の実部か虚部の一方からもう一方を計算で求めることが可能になる。これをクラマース・クローニッヒ解析という。