代数体
数学の体論・代数的整数論における代数体（だいすうたい、）とは、有理数体の有限次代数拡大体のことである。代数体 "K" の有理数体上の拡大次数 formula_1 を、"K" の次数といい、次数が "n" である代数体を、"n" 次の代数体という。
特に、2次の代数体を二次体、1のベキ根を添加した体を円分体という。
"K" を "n" 次の代数体とすると、"K" は単拡大である。つまり、"K" の元 "θ" が存在して、"K" の任意の元 "α" は、以下の様に表される。
このとき "θ" は "n" 次の代数的数であるので、"K" を formula_2 上のベクトル空間とみたとき、formula_3 は基底となる。
"n" 次の代数体 "K" に含まれる代数的整数全体の集合を formula_4 とすると、以下のことが成立する。
代数体 "K" の基本単数を formula_11 とし、
とおくと、先に述べた基本単数系になる条件から、formula_12 は基本単数系によらず一定の値である。この値を "K" の単数基準 (regulator) またはレギュレータという。
代数体 "K" のイデアル類群 formula_13 は有限群であるが、イデアル類群の位数のことを類数 (class number) という。
一般の代数体に対して、類数を求める公式があり、それを一般に類数公式 (class number formula)という。しかし、与えられた代数体の類数を求めることは大変難しい。二次体の類数公式や円分体の類数公式を見れば、類数を求めることがいかに難しいかがわかるであろう。
"n"次代数体 formula_19 に対して、θ の共役数を以下の様に並べる：
formula_20 は実数で、formula_21 に対して、formula_22 は複素共役とする。但し、formula_23 とする。
formula_24 に対して、"K" 上のアルキメデス付値 formula_25 を
とおく。但し、formula_26 は、実数または複素数の絶対値を "K" に制限したものである。
すると、これら formula_27 個の乗法付値は互いに同値ではない。これらを正規付値 (normal valuation)という。
formula_24 に対して、正規付値 formula_25 に同値な "K" の乗法付値全体の集合を formula_30 とおいたとき、 formula_31 を無限素点 (infinite prime/infinite place)または無限素因子という。特に、 formula_32 を実素点 (real prime/real place)、実無限素点または実素因子といい、formula_33 を複素素点 (complex prime/complex place)、複素無限素点または虚素因子という。
formula_34 を代数体 "K" の素イデアルとする。"K" の 0 でない元 "α" に対して
但し、formula_35 を formula_34 と互いに素な分数イデアル、"μ" を有理整数と表したとき、
によって、"K" 上の非アルキメデス付値を定める。
すると、formula_34 と formula_38 が相異なる素イデアルとすれば、formula_39 と formula_40 は同値ではない。
この乗法付値を formula_34 に対する正規付値という。
formula_39 と同値な "K" の乗法付値全体の集合を formula_43 としたとき、これを有限素点 (finite prime/finite place)または有限素因子という。
無限素点と有限素点を合わせて素点 (prime/place)または素因子という。
formula_44 を素点の1つとし、formula_45 を formula_44 に含まれる正規付値とする。
このとき、"K" の 0 でない任意の元 "α" に対して
が成立する。但し、積は "K" の素点全てを動くものとする。
つまり、任意の代数体に対して、付値の集合を正規付値全体の集合とすれば、積公式が成立する。