関数の極限
関数の極限（かんすうのきょくげん）とは、ある関数において、変数がある値に限りなく近づくとき、それに応じて、関数の値が一定の値に限りなく近づく場合、この一定の値のことである。
このとき、関数は収束するという。
極限を表す記号として、次のような lim (英語：limit、リミット、ラテン語：limes)という記号が一般的に用いられる。
"f"("x") を実関数とし、"c" を実数とする。式
は "x" の値を "c" に“十分に近づければ” "f"("x") の値を "L" に望む限りいくらでも近づけることができることを意味する。このとき「"x" を "c" に近づけたときの "f"("x") の極限は "L" である」という。これはイプシロン-デルタ論法により
という形で厳密に定義される。このとき、この極限と関数 "f"("x") の "x" = "c" における値は無関係であり、"f"("c") ≠ "L" であることもあれば "f" が "c" において定義されている必要もないのである。
このことを理解するために次の例を挙げる。
formula_3 が formula_4 に近づくときの formula_5 の値を考える。
この場合、formula_6 は formula_3 が formula_4 のときに定義されており、値は formula_9 である。formula_3 が 2 に近づくにつれて formula_6 が formula_9 に近づいていく。したがって、 formula_16 である。このように formula_17 であるとき、formula_6 は formula_19 で連続であるという。しかし、このようなことが常に成り立つとは限らない。
例として、
を考える。
formula_3 が formula_4 に近づくときの formula_22 の極限は formula_9 であるが、formula_24 である。このとき formula_22 は formula_26 で連続でないという。
また、formula_27のとき、f(x)の値が限りなく大きくなることを、「xがcに限りなく近づくとき関数f(x)は正の無限大に発散する」といい、
と表す。このことは次のように厳密に定義される。
逆に、formula_27のとき、f(x)の値が限りなく小さくなることを、「xがcに限りなく近づくとき関数f(x)は負の無限大に発散する」といい、
と表す。これは次のように厳密に定義される。
連続な実関数 "f"("x") が "x" → "c" とする極限において発散するならば、"f"("x") は "x" = "c" において定義できない。なぜなら、定義されていたとすると "x" = "c" は不連続点となるからである。
一般には formula_3 がある有限の値に近づくときを考えることが多いが、 formula_3 が正か負の無限に近づくときの関数の極限を定義することもできる。
ある無限区間formula_31（もしくはformula_32やformula_33でもよい）で定義される関数"f"("x")において、"x"が限りなく大きくなると関数"f"("x")の値がある値"L"に近づくとき、「"x"が限りなく大きくなるとき"f"("x")は"L"に収束する」といい、
と表す。
これは次のように定義される。
例えば、 formula_34 を考える。
"x" が十分大きくなるにつれて、formula_6 は formula_4 に近づく。このとき、 formula_40 と表す。
また、ある無限区間formula_41（もしくはformula_42やformula_33でもよい）で定義される関数f(x)において、"x"が限りなく小さくなると関数"f"("x")の値がある値"L"に近づくとき、「"x"が限りなく小さくなるとき"f"("x")は"L"に収束する」といい、
と表す。
これは次のように定義される。
関数の無限における極限においても、関数の発散を考えることができる。
ある無限区間formula_31（もしくはformula_32やformula_33でもよい）で定義される関数"f"("x")において、"x"が限りなく大きくなると関数"f"("x")の値も限りなく大きくなるとき、「"x"が限りなく大きくなるとき"f"("x")は正の無限大に発散する」といい、
と表す。
これは次のように定義される。
また、ある無限区間formula_41（もしくはformula_48やformula_33でもよい）で定義される関数"f"("x")において、"x"が限りなく小さくなると関数"f"("x")の値が限りなく大きくなるとき、「"x"が限りなく小さくなるとき"f"("x")は正の無限大に発散する」といい、
と表す。
これは次のように定義される。
同様に、formula_50やformula_51における負の無限大への発散を定義することができる。
formula_50やformula_51において、関数"f"("x")が収束もせず、また正の無限大にも負の無限大にも発散しない場合、その関数は数列と同様に振動するという。