復号手法
復号手法（ふくごうしゅほう、）は、符号理論における復号の手法であり、受信したメッセージを所定の符号の符号語の並びに変換する手法である。本項目では、主な復号手法を解説する。これらの手法は2元対称通信路などの通信路上を転送されるメッセージの復号に使われる。
以降の記述において、formula_1 は長さ formula_2 の符号、formula_3 は formula_4 の元、formula_5 は formula_3 間のハミング距離を表す。なお、formula_7 は線型符号とは限らない。
メッセージ formula_8 を受信したとき、最適復号（Ideal Observer Decoding）では、
が最大となるような符号語 formula_10 を選択する。すなわち、メッセージ formula_11 の解釈として最適と考えられる符号語 formula_12 を選択する。
各符号語の確率はユニークではない。受信メッセージの解釈として複数の符号語が同じ確率となる場合もある。その場合、送信側と受信側の間で復号に関する規定を定めておく。一般的な規定は次のどちらかである。
メッセージ formula_8 を受信したとき、最尤復号（Maximum Likelihood Decoding）では、
が最大となるような符号語 formula_10 を選択する。すなわち、formula_11 を受信したときの条件付き確率の最も高い符号語 formula_12 を選択する。なお、全ての符号語の出現確率が同じである場合、これは「最適復号」と等価である。
最終行ではformula_19 が固定されていることと、 formula_20がformula_21 依存性を持たないことを使っている。なお「最適復号」と同様、確率が同じ符号語がある場合の規定をしておく必要がある。
メッセージ formula_8 を受信したとき、最小距離復号（Minimum Distance Decoding）ではハミング距離
が最小となる符号語 formula_10 を選択する。すなわち、なるべく formula_11 に近い符号語 formula_12 を選択する。
（履歴記憶のない）離散通信路における誤り発生確率 formula_27 が2分の1未満の場合、「最小距離復号」と「最尤復号」は同じである。なぜなら
となり（"p" が2分の1未満なので）、"d" を最小化することで値が最大になる。
最小距離復号は「最近傍復号（Nearest Neighbour Decoding）」とも呼ぶ。標準配列を使うと容易または自動的に行える。最小距離復号は、以下の条件が成り立つ場合に使いやすい。これらの条件は2元対称通信路では妥当である。しかし例えばDVDの場合、ある箇所に傷が付くと、その周辺のシンボルや符号語で誤りが発生する確率が高くなり、誤り同士が相互に関係し、かつシンボルの位置が関係してくる。
他の復号手法と同様、復号が一意に定まらない場合の規定を予め決めておく必要がある。
シンドローム復号（Syndrome Decoding）は、ノイズのある（誤りが発生する）通信路での線型符号の高効率な復号手法である。シンドローム復号は基本的には「最小距離復号」だが、小さな参照テーブルを使う。参照テーブルは符号の線型性を利用して小さくできる。
長さ formula_2 で最小ハミング距離 formula_31 の線型符号 formula_32 のパリティ検査行列を formula_33 とする。すると、formula_7 は明らかに
までの通信路で発生した誤りを訂正できる（formula_36 個以下の誤りであれば、最小距離復号で問題なく復号可能である）。
符号語 formula_8 が送られ、誤りパターン formula_38 が発生したとする。すると受信されるメッセージは formula_39 となる。通常の最小距離復号では、ベクトル formula_40 を大きさ formula_41 のテーブル上で検索し、最もよく一致するものを選ぶ。すなわち、全ての formula_10 について
となる formula_44 を選択する（ユニークとは限らない）。シンドローム復号では、パリティ検査行列の持つ、全ての formula_45 について
となる性質を利用する。受信した formula_39 のシンドロームは次のように定義される。
formula_36 個を越える誤りが発生しない前提で、受信側にサイズ
の（2元符号の）テーブルを用意しておき、全ての誤りパターン formula_38 について値 formula_52 を事前に求めておく。そこから値 formula_52 を参照して誤りパターン formula_54 が得られるので、formula_11 は以下のように簡単に求められる。
formula_57 であるときのみ
となるので、この方法で常に一意な復号が得られる（ただし、正確とは限らない）。これは、パリティ検査行列 formula_33 が双対符号 formula_60 の生成行列になっているためであり、その階数はフルである（正方行列）。