恐怖指数
恐怖指数(きょうふしすう、)とは、(CBOE)が、S&P500を対象とするオプション取引のボラティリティを元に算出、公表している指数。数値が高いほど投資家が相場の先行きに不透明感を持っているとされる。通常は10から20の間で推移する。1993年より発表されるようになった。
理論的にはVIXは満期までのS&P500のボラティリティの平均値の期待値として解釈される。満期をformula_1 としたVIXは以下の式で算出される。
formula_2
formula_3
ここでformula_4 は金利であり、formula_5 は満期をformula_1 とするオプションのインデックス価格に対して望ましいレベルの先渡価格のインデックスである。formula_7 はオプションの行使価格の水準を表しており、行使価格の小さい方から昇順で番号付けられていて、formula_8 がformula_5 を下回る最も大きな行使価格の値となるようになっている。formula_10 はformula_11 とformula_12 の差分の2分の1formula_13 である。formula_14 は行使価格formula_7、満期formula_1 のオプション価格のビットアスクスプレッドの中点となる。ただし、formula_17 ならばプットオプション、formula_18 ならばコールオプションの価格が用いられている。
第2項は補正としての意味合いが強く、VIXの理論的なバックグラウンドを理解する上で重要なのは第1項の総和である。そこで第2項は無視して、第1項について考えてみる。第1項は積分を離散化したもので、あらゆる水準の行使価格でのオプションが市場で取引可能であるとすれば、次の積分形式での表示が可能である。
formula_19
ここでformula_20 はそれぞれ満期formula_1、行使価格formula_22 のコールオプションとプットオプションの価格を指す。この時、リスク中立確率測度による期待値をformula_23で表すと、リスク中立確率測度の定義から
formula_24
となる。ここでformula_25 は満期formula_1 におけるオプションの原資産の価格である。よって
formula_27
と表されることが分かる。ここでCarr-Madan の展開公式から次の式変形が可能である。
formula_28
formula_29
となる。現時点をformula_30 時点とすると先渡価格の無裁定価格はformula_31 なので次が得られる。
formula_32
ここで原資産価格formula_33 のリスク中立確率測度下での価格変動がボラティリティが変動する幾何ブラウン運動に従うとする。つまり
formula_34
であるとする。ただしformula_35 はリスク中立確率測度下でのブラウン運動で、formula_36 は時間によって変動するボラティリティである。この時、伊藤の公式から
formula_37
となる。これをformula_38 に代入し、整理すれば
formula_39
が得られる。第2項は確率積分の期待値なのでformula_36 に妥当な仮定を課せばその値は0である。つまり次の結果が得られる。
formula_41
formula_42
となる。したがってVIXは満期までの平均ボラティリティにリスク中立確率測度で期待値を取ったものを基準化した指数である。CBOEが発表しているVIXはS&P500を原資産としたオプション価格と先渡価格から計算されるので、VIXはS&P500のボラティリティに対するものとなる。またCBOEが発表しているVIXの満期は30日である。
2003年よりCBOEはゴールドマンサックスと共同して開発したより精度の高い計算方法でのVIXを公表するようになっている。日本では2008年より大阪大学 金融・保険教育研究センターから日経平均オプションの価格を対象としたVIXと同様のボラティリティ指数であるVXJが公表されている。また2010年より日本経済新聞社から日経平均ボラティリティー・インデックスも同じく公表されている。その他海外における同種のボラティリティ指数では、ユーロ・ストックス50指数オプションに対するVSTOXX、イギリスのFTSE100種総合株価指数オプションに対するvFTSE、ドイツのドイツ株価指数(DAX 30)オプションに対するVDAX、フランスのCAC 40オプションに対するCAC 40 volatility index、韓国の韓国総合株価指数200(KOSPI 200)オプションに対するVKOSPIなどがある。さらにVIXを原資産とした派生証券であるVIX optionsやVIX futuresも取引されている。
将来の株価の対数収益率の分散に対する先渡契約をバリアンススワップ()と言う。またバリアンススワップにおける先渡価格をバリアンススワップレートと言い、S&P500に対する満期が30日のバリアンススワップレートはその値が理論上はVIXと同じであるため、近似値としてVIXが使用されることがある。
また実現した株価の対数収益率の分散の平均値(実現ボラティリティ)よりVIXの方が高くなることが統計的に確かめられている。このVIXと実現ボラティリティの差をバリアンスリスクプレミアム()と呼ぶ。