三角形の内接円と傍接円
初等幾何学において三角形の内接円（さんかくけいのないせつえん、）とは、その三角形の内部にあり3辺に接する円である。三角形の内部にある円の中で最も面積が大きい円である。内接円の中心を内心 ("triangle incenter") と呼ぶ。
傍接円（ぼうせつえん、）は、三角形の外側にあり1辺と他の2辺の延長線に接する円である。傍接円の中心を傍心 ("triangle excenter") と呼ぶ。全ての三角形は、各辺に接する合計3つの傍接円を持つ。
内心は、3つの角の二等分線上にある。傍心は、1つの角の二等分線と他の2つの角の外角の2等分線上にある。内心と傍心は「三角形の3つの頂点と垂心」という位置関係にある。
内接円と傍接円の半径は、三角形の面積に関係している。
"S" を三角形の面積、"a", "b", "c" を3辺の長さとしたとき、ヘロンの公式から、
ただし、"s" = ("a" + "b" + "c")/2 とする。
内接円の半径は、
辺 "a" に対する傍接円の半径は、
となる。
他の2辺に対する傍接円の半径は同様に
となる。
これらの式から、傍接円は内接円より大きいことと最も長い辺に対応する傍接円が最も大きいことが分かる。
内接円と傍接円は、九点円と接する。この接点をフォイエルバッハ点という。
頂点を "A", "B", "C" とし、内接円が各辺と接する点を "T", "T", "T" とする（"T" は "A" の対辺上にあるとする）。⊿"TTT" をジェルゴンヌ三角形という。元の三角形の内接円はこの三角形の外接円になる。3直線 "AT", "BT", "CT" は1点で交わる。この点をジェルゴンヌ点という。
"AT", "BT", "CT" が1点で交わることから、⊿ABC が不等辺三角形のとき「AB と TT の交点」「CA と TT の交点」「BC と TT の交点」は同一直線上にある。この線をジェルゴンヌ線という。⊿ABC が二等辺三角形のときは上記の辺の組のうち1つが平行になるが、残りの2点を結ぶことで直線が定義できる。⊿ABC が正三角形の場合はこの直線は定義できない。
座標平面における内心の座標は、3頂点の重み付き平均の値として求めることができる。
3頂点の座標を (x,y), (x,y), (x,y)、3辺の長さを a, b, c としたとき、
となる。
x : y : z を三線座標であらわしたときの点の座標は、u = cos"(A/2)", v = cos"(B/2)", w = cos"(C/2)" とすると、円上の点に対して以下の式が成り立つ。