逆三角関数
数学において、逆三角関数（ぎゃくさんかくかんすう、、時折 ）は（関数の定義域を適切に制限した）三角関数の逆関数である。具体的には、それらは正弦 、余弦 、正接 、余接 、正割 、余割 関数の逆関数である。それらは角度の三角比の任意から角度を得るために使われる。逆三角関数は工学、航法、物理学、幾何学において広く使われる。
逆三角関数に対して用いられるたくさんの表記がある。表記 , , , etc. はしばしば使われるが、この慣習は関数の合成ではなく冪乗を意味する のような表現の一般的なセマンティクスと論理的には相反し、それゆえ乗法逆元と合成的逆の間の混乱を起こすかもしれない。三角関数の各逆数はそれ自身の名前を持っている、例えば =、という事実によって混乱は幾分改善される。著者によっては別の慣習が使われる。最初の文字を −1 の右上添え字とともに用いるのである。例えば , , etc. これは , , etc. によって表現されるべき乗法逆元との混乱を避ける。ところが語頭の大文字を主値を取ることを意味するために使う著者もいる。また別の慣習は接頭辞に arc- を用いることであり、右上の の添え字の混乱は完全に解消される、例えば、, , etc. この慣習は記事全体において用いられる。コンピュータプログラミング言語において逆三角関数は通常 asin, acos, atan と呼ばれる。
ラジアンで測るとき、 ラジアンの角度は長さが の弧 (arc) に対応する。ただし は円の半径である。従って、単位円において、"コサインが の arc" は "コサインが である角度"と同じである、なぜならば単位円の弧長はラジアンによって角度を測ったものと同じだからである。
6つの三角関数はいずれも単射でないから、逆関数を持つように制限される。それゆえ逆関数の値域はもとの関数の定義域の真の部分集合である。
例えば、多価関数の意味で"関数"を用いて、平方根関数 が から定義できるのとちょうど同じように、関数 は であるように定義される。 であるような数 は複数存在する； 例えば、 であるが、, etc. でもある。ただ 1 つだけの値が望まれているとき、関数はその主枝に制限される。この制限とともに、定義域の各 に対して表現 はその主値と呼ばれるただ 1 つの値だけを返す。これらの性質はすべての逆三角関数についても同様に当てはまる。
主逆関数は以下の表にリストされる。
（注意： arcsecant 関数の終域を と定義する著者もいる、なぜならば tangent 関数がこの定義域上非負だからである。これによっていくつかの計算がより首尾一貫したものになる。例えば、この終域を用いて、 と表せる。一方で終域 を用いる場合、 と書かねばならない、なぜならば tangent 関数は 上は負でないが 上は正でないからである。類似の理由のため、同じ著者は arccosecant 関数の終域を と定義する。）
逆三角関数の三角関数を以下の表に示す。表にある関係を導くには、単純には幾何学的な考察から、直角三角形の一辺の長さを 1 とし、他方の辺の長さを にとってピタゴラスの定理と三角比の定義を適用すればよい（表中の図を参照）。このような幾何学的な手段を用いない、純代数学的導出はより長いものとなる。
余角：
負角：
逆数：
表から の項目を参照すれば：
ここでは複素数の平方根を、正の実部（あるいは平方が負の実数であれば正の虚部）を持つように選ぶ。
これはタンジェントの加法定理
とすることで導かれる。
の複素数値の導関数は次の通りである：
逆三角関数は直角三角形の残りの 2 つの角度を決定しようとするときに三角形の辺の長さが知られているときに有用である。例えば の直角三角形による定義を思い出すと
が従う。しばしば、斜辺 は未知であり や を使う前にピタゴラスの定理を使って計算される必要がある：, ただし は 斜辺の長さである。アークタンジェントはこの状況で重宝する、なぜなら斜辺の長さは必要ないからだ。
例えば、7 メートル行くと 3 メートル下がる屋根を考えよう。この屋根は水平線と角度 をなす。このとき は次のように計算できる：
関数は 2 つの引数を取り、与えられた と に対して のアークタンジェントを計算する関数だが、その返り値は の範囲に定める。言い換えると、 は平面の正の -軸とその上の点 の間の角度に反時計回りの角度（上半平面、）に対して正の符号をつけて時計回りの角度（下半平面、）には負の符号をつけたものである。 関数は最初多くのコンピュータプログラミング言語において導入されたが、今日では他の科学や工学の分野においても一般的に用いられている。尚、マイクロフトのEXCELでは引数の順番が逆になっている。
それはまた複素数 の偏角の主値にも等しい。
この関数はを用いて次のようにも定義できる： あるいは ならば
しかしながらこれは かつ が与えられると成り立たないので、計算機で用いる定義としては適切ではない。
上の引数の順序 は最も一般的のようであり、特にC言語のようなISO規格において用いられるが、少数の著者は逆の慣習 を用いているため、注意が必要である。これらのバリエーションは に詳しい。
x, y 共に 0 の場合、インテルの CPU の FPATAN 命令、Javaプラットフォーム、.NET Framework などは下記ルールに従っている。
多くの応用において方程式 の解 は与えられた値 にできるだけ近い値を取るべきである。適切な解はパラメータ修正アークタンジェント関数
によって得られる。丸め関数 formula_25 は引数に最も近い整数を与える 。
と の近くの角度に対して、アークコサインは であり、計算機において角度計算の実装に用いると精度が落ちてしまう（桁数の制限のため）。同様に、アークサインは と の近くの角度に対して精度が低い。すべての角度に対して十分な精度を達成するには、実装ではアークタンジェントあるいは を使うべきである。