コンウェイのチェーン表記
コンウェイのチェーン表記とは、1995年にイギリスの数学者ジョン・ホートン・コンウェイによって導入された巨大数の表記法の一つである。
加法を反復すると乗法、乗法を反復すると累乗が得られる。このとき累乗を上向き矢印によって と表して、さらに の反復を （テトレーション）、 の反復を （ペンテーション）、というように矢印を増やしていくことで累乗の先の演算を表せるようにしたものをクヌースの矢印表記と呼ぶ。
コンウェイのチェーン表記は、このクヌースの矢印表記の一般化である。以下チェーンの各項はすべて正の整数であるものとする。
コンウェイはまず長さが のチェーンを、クヌースの矢印表記を用いて次のように与えた。
このチェーンによって式 (3) を書き換えると次のような式になる。これは末尾 のチェーンを末尾 のチェーンに分解する式となっている。
この式の を部分チェーン に置き換えることで、長さが 以上のチェーンに対する式が得られる。
さらにコンウェイはチェーン末尾の は無視されるとした。従って式 (5), (6) を繰り返して末項を にすることで、長さが 短いチェーンへと分解することができる。
また、この規則から長さが のチェーンは累乗となる。
次のようにチェーンを定義する。さらに を正の整数、 を部分チェーンとするとき、チェーンについて以下が成り立つ。ここで関数 を とおくと、最後の二つの条件は次のようにも述べられる。但し は の 回反復合成である。
以下、項（正の整数）を小文字 、チェーン（および部分チェーン）を大文字 で表す。以下は長さが のチェーンの計算例である。
以下は長さが のチェーンのクヌースの矢印表記による展開例である。
アッカーマン関数はコンウェイのチェーン表記へ置き換えられる:
グラハム数 formula_15 それ自体を、コンウェイのチェーン表記を用い簡潔に表す事は出来ない。が、仲介させる関数を formula_16 と定義することで formula_17 と表記できる。(写像の冪を参照。)又、 formula_18 である。
コンウェイのチェーン表記を用いれば上記の数よりも非常に大きい数を表記する事は、とても容易い。次にその例を記す。
formula_23
数formula_24 = g(1)は65よりもはるかに大きいので、formula_19はグラハム数よりはるかに大きい。
さらに末尾の数字を増やしたりチェーンを伸ばしたりすることで極めて巨大な数を表記可能である。
コンウェイとに制作された単純な単一引数関数は、下記の様に表記法全体にわたって対角化する様定義されていた:
formula_26
その出力を順に並べると:
cg(1) = 1
cg(2) = 2 → 2 = 2 = 4
cg(3) = 3 → 3 → 3 = 3↑↑↑3 = 3↑↑3↑↑3 = 3↑↑3↑3↑3 = 3↑↑7625597484987
cg(4) = 4 → 4 → 4 → 4 = 4 → 4 →(4 → 4 →(4 → 4 →(4 → 4)→ 3)→ 3)→ 3 = 4 → 4 →(4 → 4 + 2)→ 3 = 4 → 4 → 258 → 3
cg(5) = 5 → 5 → 5 → 5 → 5 = 5 → 5 → 5 →(5 → 5 → 5 →(5 → 5 → 5 →(5 → 5 → 5 →(5 → 5 → 5)→ 4)→ 4)→ 4)→ 4 = 5 → 5 → 5 →( 5 → 5 → 5 + 3)→ 4
cg(6) = 6 → 6 → 6 → 6 → 6 → 6 = 6 → 6 → 6 → 6 →(6 → 6 → 6 → 6 + 4)→ 5
この関数は予測されるように、とても急速に増大する。
Webデベロッパーで統計学者のピーター・ハーフォードは、この表記法の拡張を定義した。
formula_27
formula_28は既に cg(a) と同等であり、関数formula_29は cg(n) よりも大きな増加速度を持つ。
彼は上記以外の規則は変更しなかった。（ひとつのチェーンにおいては1種類の矢印のみを使用できた。つまりb≠dの際formula_30は規則違反になる）
もし更に規則を若干訂正し
formula_31
とすると、formula_30は規則違反では無くなる上に表記法が更に強くなる。
タワー表記やチェーン表記の拡張版として回転矢印表記というものもあり、その矢印の回転を繰り返すことにより恐ろしく巨大な数が表記可能となる。