コレスキー分解
コレスキー分解（コレスキーぶんかい、）とは、正定値エルミート行列 を下三角行列 と の共役転置 との積に分解することをいう。
エルミート対称行列 が正定値であることと、 のコレスキー分解が存在することは同値になる。
コレスキー法はガウスの消去法の改良版である。
ガウスの消去法は の左方から順次 を作用させ前進消去（LU分解に対応）するが、
コレスキー法は を順次 と で挟んで前進消去していくと考えればよい。
このとき のエルミート性は保たれる。
詳細は以下の解説を参照。"A"が実行列の場合は単純に、エルミート→対称、共役転置→転置と読み替えればよい。
コレスキー分解の再帰的アルゴリズムでは、まず最初に を下のように置く（定義する）。
以下、 回目のステップを説明する。エルミート性を保ちながら の 行と 列を前進消去して を生成することを考える。 は 行・列まで前進消去されたエルミート行列であるので、下式のように書ける。
ここで、 は 次の単位行列、 は 番目の対角要素、 は 列目の下三角部、 は、 のi+1行・列以降の部分でやはりエルミートである。次に、 を
と定義するとAは、
と書ける（より）。ここで、 は
である（ 注.ここで は、行列の積 )。
以上が、 回目のステップである。これにより、 から が計算出来たことになる。 を の次数として、このステップを 回繰り返すと = となりコレスキー分解は終了する。
であり、
と置くと、（これが最終的に求める である。）
であることが確認できる。
コレスキー・バナキエヴィッツ法 は直接下三角行列 の各エントリを計算するための式を与える。行列 の左上隅から始め行ごとに計算を進める。
コレスキー・クラウト法 はコレスキー・バナキエヴィッツ法とは少し異なる方法で、下三角行列 の各エントリを計算する。すなわち、行列 の左上隅から始め列ごとに計算を進める。使用する計算式はコレスキー・バナキエヴィッツ法と同一である。
上述した分解法では、計算に平方根演算を用いるため，分解後の行列Lに無理数が現れることが普通であり、コレスキー分解の結果を利用した後の計算が面倒となる。特にが実対称の場合にも、正定値でなければ平方根の中に負の数が現れうるので，単純に適用すると複素数の演算が必要になる．そこで、この欠点を解消するために考え出された方法が修正コレスキー分解である（改訂コレスキー分解と呼ぶことがある）．平方根演算を使わずに四則演算だけで計算を行う．行列が実対称ならば計算は実数の四則演算だけを用いてできる．
修正コレスキー分解では，
の形に分解の計算を行なう．ここで、 は対角行列で，行列 の対角成分はすべて1とする．
ただし分解の途中で零ピボットによる割り算が生じてしまい計算が破綻して分解が存在しない可能性もある．
注意：修正コレスキー分解は行列が正則でも存在しない場合がある（たとえば対角要素が0で非対角要素が1である2次の対称行列は正則であるが修正コレスキー分解が存在しない例である）。行列が正定値であるならば必ず分解が存在する。
対称なピボット交換により零による割り算の困難を回避することができる場合もあるが，上記の2次の対称行列の例のように回避が不可能な場合がある．
不完全コレスキー分解とは、修正コレスキー分解では行列 を
と分解するところを、行列 を後の計算が簡略化されるよう、
と分解する手法である。ここで、行列 は残差と呼ばれる。
共役勾配法（傾斜法）の前処理の1つとして採用されることがある。