軌道角運動量
軌道角運動量（きどうかくうんどうりょう、）とは、特に量子力学において、位置とそれに共役な運動量の積で表される角運動量のことである。
例えば原子の中で電子は、原子核が周囲に作る軌道を運動する。電子の全角運動量のうち、電子がその性質として持つスピン角運動量を除く部分が軌道角運動量である。
軌道角運動量演算子は以下のように定義される：formula_1
この定義は、古典力学における角運動量の定義において、位置 と運動量 を形式的に位置演算子formula_2（「」は を乗じる事を意味する）と運動量演算子の組formula_3に置き換える事で得られたものである。
より一般に、3次元空間の単位ベクトル に対し、内積formula_4を を回転軸とする軌道角運動量演算子という。
formula_5と表記すると、軌道角運動量は以下の交換関係を満たす：formula_6formula_7formula_8ここで はエディントンのイプシロンである。特に最後の軌道角運動量同士の交換関係の形は角運動量代数と呼ばれている。
球面座標 を用いると、 はformula_9と書ける。
さらに球面座標表示した曲線 、、 の原点における接線方向の単位ベクトルを とするとき、 方向の軌道角運動量演算子 とすると、以下が成立する：formula_10formula_11formula_12
軌道角運動量の二乗を
と定義する。
この演算子は軌道角運動量の各成分と可換である：formula_13
極座標で書き表すと：
実はこれはラプラシアンの極座標表示と関係がある。すなわちラプラシアンを極座標表示して
と動径方向と球面方向にわけると、
が成立する。
3次元空間 における回転行列全体の集合をformula_183次元実数係数行列で、 formula_19とし（ここで は単位行列であり、 は の転置行列である）、
回転行列 に対し、波動関数の全体の空間 formula_20 上にユニタリ演算子formula_21formula_22を定義すると、これは波動関数の「回転」とみなせる。
単位ベクトル に対 し、 を を軸として右手系に ラジアンだけ回転する行列とすると、以下が成立する：formula_23formula_24ここでformula_25は を回転軸とする軌道角運動量演算子である。
本節ではformula_25が 軸の周りの軌道角運動量 の場合のみ証明するがそれ以外の場合も同様である。
既に述べたようには球面座標系 を用いてと表記できるので、任意の波動関数 に対し、を極座標表示すれば、formula_27formula_28formula_29formula_30となり、主張が証明できた。
の微分を計算すると、formula_31 となる。
関数 を、formula_32が任意の波動関数 と に値を取る任意の に対して成立するよう定義する（詳細は省くがこのような関数はwell-definedに定義可能である）と、formula_33が成立する事が知られている。よって
すなわち軌道角運動量の交換関係は、 の交換関係から導かれたものである。
は以下を満たす事が知られている。ここで「」はクロス積である：formula_35 よって軌道角運動量の交換関係は
である。これは前の節で述べた交換関係と一致する。他の軸に関する軌道角運動量の交換関係も同様にして求めることができる。
後の節で述べるように、軌道角運動量演算子の固有関数は球面調和関数で記述可能なので、本節ではその準備として、球面調和関数の定義と性質を述べる。
なお、球面調和関数の定義は数学と物理学とで異なるので、本節では両方の定義を紹介し、両者の関係も述べる。
３次元空間における多項式でformula_37を満たすものを調和多項式といい、調和多項式がformula_38次の斉次多項式であるとき、
を球面formula_39に制限したものをformula_38次の球面調和関数という。
3次元空間 の場合、 を球面座標 で表す。下記の関数 formula_41 を（物理学における）球面調和関数という：
ここで
であり、formula_45 はルジャンドルの陪多項式
である。すなわち formula_45 はルジャンドルの陪微分方程式
の解である。なお formula_41 の定義における係数は、後述する内積から定義されるノルムが 1 になるよう選んだものである。
関数 を
と定義すると、（を直交座標で書いたもの）は数学におけるformula_38次の球面調和関数になる。
また、を数学におけるformula_38次の球面調和関数とすると、の極座標は必ず
という形の線形和で書ける。
これらの事実の証明は球面調和関数の項目を参照されたい。
3次元空間の球面座標 に対し、
が成立する。そこで、 上の関数 と次元空間 の単位球面
上のつの可積分関数 に対し、内積を以下のように定義する：
このとき次の定理が成立する（定理の導出の詳細は球面調和関数の項目を参照）。 =
数学における球面調和関数はformula_58の固有関数である：formula_60　　　…()ここでformula_38は球面調和関数の次数である。なお、formula_62を動径方向の任意の自乗可積分関数とすると、上式から明らかにformula_63であるので、formula_64もformula_58の固有関数である。
既に述べたように数学における球面調和関数は物理学における球面調和関数formula_66の線形和で書けるので、より、formula_58の固有関数は上述の形のものに限られる。
既に述べたようにラプラシアンの極座標表示は、
と動径方向と球面方向にわけると、
が成立するので、をformula_38次の球面調和関数とすると、
ベクトルは動径方向
と球面方向
に分解でき、しかもはformula_38次の斉次多項式であるので、
formula_81に物理学における球面調和関数 formula_66 を作用させると
これまでの記述から分かるように
を満たすformula_90が存在し、必要ならformula_90を定数倍すれば、
が成立する。
formula_43 を軌道角運動量量子数（方位量子数）、 は軌道磁気量子数という。前節で述べたように、
を満たす。
昇降演算子を
により定義する。以下この２つを合わせて
と略記する。
簡単な計算から交換関係
を満たすので、を固有値formula_100に対するformula_81の固有関数とすると、
なので、formula_103は固有値formula_104に対するformula_81の固有関数である。
すなわち、昇降演算子はformula_100に対応する固有関数をformula_107に対応する固有関数に移す。
よって特に
が成立する。
とすると、交換関係
が成立することが簡単な計算から分かる。
最後の式だけ確認すると、