ヘヴィサイドの階段関数
ヘヴィサイドの階段関数（ヘヴィサイドのかいだんかんすう、）は、正負の引数に対しそれぞれ 1, 0 を返す階段関数
である。名称はオリヴァー・ヘヴィサイドにちなむ。ヘヴィサイド関数と呼ばれることもある。通常、"H"("x") や "Y"("x") などで表されることが多い。
単位ステップ関数と似ているが、こちらは
と "x" = 0 の時も1の値を持つものとして定義される。切断冪関数の0乗。
階段関数は、"x" < 0 または "x" > 0 の範囲で連続であるが, "x" = 0 で値 "c" をとるものとして階段関数
を実数全体の集合 formula_1 上の関数 formula_2 と考えるならば、"c" をどのように定めても原点 "x" = 0 で不連続である。"c" の値は必要に応じて都合のよい値を選ぶことができるが、"c" = 0, 1/2 などがしばしば用いられ、それぞれ
と表すことができる。関数 sgn は符号関数である。
ディラックのデルタ関数 δと区間 formula_3 の定義関数 formula_4 に対し
とおくと、これは "x" < 0 のとき区間 formula_3 は 0 を含まず、"x" ≥ 0 のとき区間 formula_3 が 0 を含むことから
となる。つまり
と表される。この意味でヘヴィサイドの階段関数はディラックのデルタ関数を密度関数とするときの分布関数に相当する。