超越数
超越数（ちょうえつすう、）とは、代数的数でない数、すなわちどんな有理係数の代数方程式
のにもならないような複素数のことである。有理数は一次方程式の解であるから、超越的な実数はすべて無理数になるが、無理数  は の解であるから、逆は成り立たない。超越数論は、超越数について研究する数学の分野で、与えられた数の超越性の判定などが主な問題である。
よく知られた超越数にネイピア数（自然対数の底）や円周率がある。ただし超越性が示されている実数のクラスはほんの僅かであり、与えられた数が超越数であるかどうかを調べるのは難しい問題だとされている。例えば、ネイピア数と円周率はともに超越数であるにもかかわらず、それをただ足しただけの すら超越数かどうか分かっていない。
代数学の標準的な記号 formula_2 で有理数係数多項式全体を表し、代数的数全体の集合を、代数的数 algebraic number の頭文字を使って と書けば、超越数全体の集合は
なお、本稿では を自然対数とする。
最初に証明した人を括弧内に記述するが、特別な条件の場合に対しては、別な人が既に証明しているものも多々ある。ただしそれらの詳細についてはここの一覧では触れない。詳細は、各記事ならびに参考文献などを参照のこと。
(1) 超越数となる定数の例
(2) 初等関数の特殊値が超越数となる例
(3) 特殊関数の特殊値が超越数となる例
(4) ベキ級数で表される関数の特殊値が超越数となる例
(5) 逆数和からなる級数が超越数となる例
以下において、formula_5 はフィボナッチ数列とする。
formula_106
などの円周率 や自然対数の底 "e" の大抵の和、積、べき乗は、有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない。一方で、
formula_107（"n" は正の整数）
は、超越的であると証明されている。
複数の超越数が代数的独立である例を挙げる。代数的独立性には、シャヌエルの予想 (Schanuel's conjecture)と呼ばれる有名な予想があり、現在でも解決されていない。(formula_131のときでさえも、未解決である。)
シャヌエルの予想
formula_108 を有理数体上線形独立な複素数としたとき、
注意： formula_108 が代数的数のときは、リンデマン＝ワイエルシュトラスの定理である。
この予想が解決すると、様々な数が代数的独立になることが知られている。
そのなかの一例を挙げる：
以下の 17 個の数は、代数的独立である：
formula_134。
注意：上記の数のうち、formula_135 は、それ自身が超越数であるかについても今のところ未解決である。
複素数 formula_55 に対して、
として、formula_137 を定める。このとき、formula_138 が成立する。
また、formula_139 とする。但し、formula_140 の場合、formula_141 とする。
この formula_142 を用いて、マーラーは、複素数を以下の様に分類した。これをマーラーの分類(Mahler's classification) と呼ぶ。
以下の様な性質がある。
また、いくつかの具体的な超越数に対して、どのクラスに属するかについては、例えば、以下のことが知られている。
超越数 formula_55 に対して、formula_163 を、formula_164 で定義された実数を値にとる関数とする。
次数が formula_47 以下で、各係数の絶対値が formula_166 以下である、0 以外の整数係数多項式に対して、
が、任意の formula_164 で成立するとき、formula_163 を formula_55 の超越測度 (transcendence measure) という。
マーラーの分類のところで与えられた、formula_170 は、超越測度の１つであり、その定義から、最良の評価を与えるものである。
リウヴィルは、1844年に超越数の最初の例を与えた（リウヴィル数）。さらに1873年にシャルル・エルミートによって、自然対数の底 "e" が超越数であることが証明された。
カントールは1874年に、実数全体の集合が非可算集合である一方で代数的数全体の集合が可算無限集合であることを示すことにより、ほとんどの実数や複素数は超越数であることを示した。
その後、リンデマンは、1882年に円周率 formula_159 が超越数であることを証明した。これによって古代ギリシャ数学以来の難問であった円積問題が否定的に解かれた。また、彼は、任意の0でない代数的数 "a" に対する "e" が超越数であることも証明した（リンデマンの定理）。
ヒルベルトは、1900年にパリで行われた国際数学者会議において、ヒルベルトの23の問題と呼ばれる23個の問題を提出したが、そのうちの 7番目の問題「"a" が 0 でも 1 でもない代数的数で、"b" が代数的無理数であるとき、"a" は超越数であるか」は、1934-1935年にゲルフォントとシュナイダーによって肯定的に解決された（ゲルフォント＝シュナイダーの定理）。
1968年ベイカーは、ゲルフォント＝シュナイダーの定理を含む、代数的数の1次形式の超越性および、1次形式の値が計算可能な下限で与えられることを証明した(ベイカーの定理を参照)。特に後者の結果は、ディオファントス方程式の整数解の上限を求めるための基本的な定理として重要なものである。この功績により、彼は、1970年、フィールズ賞を受賞した。
1996年、ネステレンコにより、長い間懸案であった、formula_159と、formula_173 （ゲルフォントの定数） の代数的独立性が証明された。