パウリ行列
パウリ行列（パウリぎょうれつ, ）、パウリのスピン行列（パウリのスピンぎょうれつ, ）とは、下に挙げる3つの2×2複素行列の組みのことである。（シグマ）で表記されることが多い。量子力学のスピン角運動量や、部分偏極状態の記述方法に関連が深い。1927年に物理学者ヴォルフガング・パウリによって、スピン角運動量の記述のために導入された。
添字は数学では 1, 2, 3 が使われるが物理学では が使われる。また、座標系によって添字と3つの行列の対応が違ったり、あるいは符号が違ったり、さらには一見全く違って見えることもあるが、本質的な性質は変わらない。
上記3つに単位行列 を加えた4つの行列をパウリ行列と呼ぶこともある。
パウリ行列は次の性質を満たす。
パウリ行列の自乗は単位行列に等しい。
また相異なるパウリ行列同士の積は次の関係を満たす。
すなわち について
が成り立つ。ここで クロネッカーのデルタ とエディントンのイプシロン を用いれば、これらをまとめて
と書くことができる。
パウリ行列の交換関係と反交換関係は
それぞれのパウリ行列は、固有値とを持つ。それぞれの規格化された固有ベクトルは、
パウリ行列はエルミート行列であり、ユニタリー行列でもある。
また、パウリ行列 のトレース (Tr) はゼロとなり、行列式 (det) は−1となる。
（2×2単位行列）を含めた場合、
任意の2×2複素行列 は単位行列を含むパウリ行列 の線形結合として、次の形で書ける。
ここで複素係数 は
で与えられる。
また、任意の2×2エルミート行列 は単位行列を含むパウリ行列の線形結合で書いたとき、係数 は実数になる。
部分偏極状態を表現するコヒーレンス行列はエルミート行列であるが、これをパウリ行列で展開した係数を要素とするベクトル(実ベクトル)はストークスベクトルと呼ばれる。ストークスベクトルは、ある種の射影空間であるポアンカレ球の座標系を作る。
パウリ行列の性質
から、その行列指数関数はオイラーの公式の類似である関係式
を満たす。
さらに実ベクトル とパウリ行列の組 に対し、
が成り立つ。但し、 は
で与えられる単位ベクトルである。
パウリ行列は行列式を１とするユニタリ行列がなす2次特殊ユニタリ群 に対応するリー代数 の生成子である。パウリ行列に を乗じた
は の基底であり、交換関係
を満たす。 はトレースがゼロかつ反エルミート
である元 から構成されるが、 はこの性質を満たす。コンパクトで連結な線形リー群である
の形で与えることができる。
量子力学において、パウリ行列はスピン1/2の角運動量演算子の表現に現れる。角運動量演算子 、、 は交換関係
を満たす。但し、 は換算プランク定数である。エディントンのイプシロン を用いれば、この関係式は
と表すことができる。ここで、
を導入すると、これらは上記の角運動量演算子の交換関係を満たしている。、、 の交換関係はゼロではないため、同時に対角化できないが、この表現は を選び対角化している。 の固有値は であり、スピン1/2の状態を記述する。
パウリ行列はガンマ行列の特定の表現を構成するのに用いられる。ガンマ行列 () は反交換関係
を満たすものとして、定義される。但し、 は単位元であり、() は4次元時空のミンコフスキー計量 である。
このとき、単位行列 とパウリ行列により、行列
を導入すると、これらは上記の反交換関係を満たし、ガンマ行列の表現を与える。これをガンマ行列のディラック表現と呼ぶ。これは次の直積に対する行列表現である。
パウリ行列は順時固有ローレンツ群 とその普遍被覆群である2次特殊線形群 を対応づけるのに用いられる。ローレンツ群 は一般線形群 の元 で4次元時空のミンコフスキー計量 () に対し、 を満たし、ミンコフスキー内積を保つものから成る。
一方、順時固有ローレンツ群 はローレンツ群の連結な正規部分群であり、00成分と行列式の符号についての条件から
として、定義される。ここで4元ベクトル に対し、パウリ行列により、行列
を導入する。その行列式は
であり、ミンコフスキー内積 を与える。ここで の元 により、変換
を定義すると、
であり、ミンコフスキー内積を保ち、順時固有ローレンツ変換 を与える。さらに、は同じローレンツ変換 を与えることから、これは から への2対１の準同型写像を与える。その核は }であり、群の同型対応
が成り立つ。
パウリ行列によって、四元数の行列表現を与えることができる。
を導入すると、関係式
を満たす。これは四元数の基底元 が満たす関係式
と対応する。四元数環 から複素行列環 への線形写像
は和と積と保ち、四元数の行列表現を与える。この像は
であり、 と は多元環として同型である。