RSA暗号
RSA暗号とは、桁数が大きい合成数の素因数分解問題が困難であることを安全性の根拠とした公開鍵暗号の一つである。
暗号とデジタル署名を実現できる方式として最初に公開されたものである。
1977年に発明され、発明者であるロナルド・リベスト、アディ・シャミア、レオナルド・エーデルマンの原語表記の頭文字をつなげてこのように呼ばれる。当時、ディフィーとヘルマンによって発表されたばかりの公開鍵暗号という新しい概念に対し、秘匿や認証を実現できる具体的なアルゴリズムを与えた。発明者3氏は、この功績によって2002年のチューリング賞を受賞した。この暗号はフェルマーの小定理に基づいている。
RSA暗号は次のような方式である：
鍵ペア（公開鍵と秘密鍵）を作成して公開鍵を公開する。まず、適当な正整数 "e"（通常は小さな数。65537 (= 2 + 1) がよく使われる）を選択する。また、大きな2つの素数 {"p", "q"} を生成し、それらの積 "n" (="pq") を求めて、{"e", "n"} を平文の暗号化に使用する鍵（公開鍵）とする。2つの素数 {"p", "q"} は、暗号文の復号に使用する鍵（秘密鍵）"d" の生成にも使用し (formula_1)、秘密に保管する。ここで、暗号化（"e" 乗）は、{"e", "n" } があれば容易に計算できるのに対して、復号（"e" 乗根）は、「"n" の素因数を知らないと難しい（大きい合成数の素因数分解も難しい）」と考えられている。つまり秘密鍵を用いずに暗号文から平文を得ることは難しい、と信じられている。これがRSA暗号の安全性の根拠である。
RSA暗号のアルゴリズムは、1983年9月20日にアメリカ合衆国で特許（4,405,829号）を取得し、RSA Security 社がライセンスを独占していたが、特許期間満了に伴って2000年9月6日からは誰でも自由に使用できるようになった。
暗号の用語については、暗号の用語、暗号理論の用語を参照。
歴史的見解を正すのであれば、暗号に革命を起こしたこの理論の最初の発案者はである。彼らはイギリス最高機密機関、英国政府通信本部 (GCHQ) の職員であり、その独創的な先見の明は内部文書として長い間公開されなかった。また実用にはコンピュータの性能等から機が熟していなかった。以下はその概要である。
エリスは1969年にこの理論を発見しているが、専門の数学者ではなかったため、具体的な方法を発見できなかった。幾人ものGCHQの優秀な数学者が挑戦したが、具体的な方法を提示する事はできなかった。1973年、突拍子もない暗号のアイデアとしてエリスの「一方向関数（非対称性鍵の概念）・公開鍵」を用いた暗号論の話を聞かされ、わずか30分程度でモジュラー算術と素因数を用いた具体的な方法を考案したのは、GCHQ所属の若き数学者である（コックスは上記のリベストの計算式と同じものを発見した）。しかしエリスとコックスの業績は機密事項とされたため、1997年までは世に知られることはなかった。
鍵生成、暗号化、復号の3つのアルゴリズムで定義される。
formula_4 をセキュリティパラメータとする。
formula_5、formula_6 (ただし formula_7) を formula_8 ビットの素数とし、formula_9 とする。formula_10 を formula_11 未満の正の整数で、formula_11 と互いに素な数とし、formula_13 を、formula_11 を法とした formula_10 の逆数（formula_16）とする。
ただしここで formula_17 は オイラーのφ関数で、この場合は formula_18 である。formula_13 は、formula_10、formula_11 が既知のときには拡張されたユークリッドの互除法を使えば容易に求まる（formula_22 を formula_11 で割った整数商を formula_24 とした場合、formula_25 が成り立ち、かつ formula_10 の取り方から formula_27 であるのでこれを解けば良い）。formula_13 を秘密鍵とし、formula_29、formula_10 を公開鍵とする (formula_5とformula_6が漏れると formula_13 が計算で求まるため、formula_5とformula_6は安全に破棄すること)
以下では、formula_36 以上 formula_29 未満の整数の集合を formula_38 で表すことにする。
平文空間および暗号文空間は formula_38。
formula_40 を平文空間 formula_38 の元とする。formula_42（formula_29 を法とする剰余）を計算し、formula_44 を出力する。
formula_44 を暗号文とする。formula_46 を計算し、formula_47 を出力する。ここで formula_48 となり復号できる。
以下に証明を示す。ここで formula_47 は、formula_50 をさらに formula_13 乗したものの formula_29 を法とする剰余で、formula_53 であるから、ある formula_24 が存在して
ここでオイラーの定理により、formula_29 と互いに素な整数 formula_40 については formula_57 であるため、
formula_58 である整数 formula_40 については、
となるから中国の剰余定理により、formula_60 なる整数 formula_61 と formula_62 を用いて
となる（formula_63 である整数についても同様）。ここで、formula_47 も formula_40 も formula_29 を法とした剰余なので、
が成り立ち formula_44 は formula_13 と formula_29 を用いて formula_40 に復号できることが分かる。
formula_71 の場合、formula_29 は1024ビットサイズという大きな数となり、formula_13 もほぼ formula_29 と同サイズの数となる。
formula_75 を計算するには、バイナリ法というアルゴリズムを用いると、剰余乗算 (formula_76) を、1500回程繰り返すことで実現できる。
これには相当の計算時間を要するため、中国の剰余定理を用いて、
として求めることがある。
桁数が大きい場合、確実に素数であると保証できる整数を見つけることは容易ではない。このため実際には、素数であるとは断言できないものの、素数である可能性が非常に高い自然数を用いる。こういった自然数の生成はMiller–Rabinテストなどの確率的素数判定法によって高速に行える。確率的素数判定法をパスした自然数を確率的素数 (probable prime) という。確率的素数には、素数の他に擬素数が含まれるが、その確率は判定回数を増やすことで極めて低くすることができる。
(なお、拡張リーマン予想が正しければ、Miller–Rabinテストは素数かどうかを正しく判定する、という事実が知られている)。
2002年8月、インド工科大学 のアグラワルらが素数判定を多項式時間で行うAKS素数判定法を発表したが、これは多項式の次数が高すぎて遅いので未だRSAの鍵生成に実用するには足らない。
RSA暗号は、安全性が素因数分解問題と同値であると期待されている暗号方式であるが、本当に両者が同値であるかどうかについては分かっていない。
素因数分解を解けるオラクルを用いれば、formula_29 から formula_5 および formula_6 が計算でき鍵生成と同様にして、秘密鍵 formula_13 を知ることが出来る。即ち、RSA暗号が解読出来る。従って、RSA仮定が証明できれば素因数問題の困難性が示せる。しかし、逆が成立するかどうかはよく分かっていない。ある条件下では否定的な結果もでている。
RSA暗号が選択平文攻撃に対して完全解読できない、ということとRSA仮定とは同値である。
RSA問題を解く方法として、現在知られている有力な方法は、素因数分解問題を解くことに使える方法だけである。
素因数分解問題を解く方法として、楕円曲線法や数体篩法などのアルゴリズムが知られているが、これらの方法はどれも準指数時間アルゴリズムであり、多項式時間で素因数分解問題を解く方法は知られていない。
暗号理論の世界では、多項式時間で解読することができない暗号方式を安全であると定義することがある（計算量的安全性）。
この意味で、RSA暗号の安全性について、現在知られている範囲では、安全であると期待されていて、その反証がない、と言える。
RSA問題や素因数分解問題はNP問題であるので、これらの問題が (決定性のある) 多項式時間では解けないことが証明できれば、P≠NP予想が肯定的に解決することになる。 但し、ハミルトン閉路問題など他のNP問題（NPかつNP困難なNP完全問題を含む）が多項式時間で解けることが証明されればP=NPとなってしまう。
2004年現在、インターネットで公募した数多くのPCを用いると512ビット程度の数なら素因数分解できる。
したがって、現在では、RSA暗号に使用する法 "n" を1024-4096ビット（10進数で300-1000桁程度）にすることが推奨されている。
しかしShamirは、RSA問題を解くための専用装置 ("TWIRL") を作成すれば、1024ビットの "n" に関するRSA問題ですら解くことができると主張している。
RSA社は「」を1991年から2007年まで実施し、最新の計算機環境でどの程度のビット数の整数が素因数分解可能かを調べた。以下は未踏
RSA暗号は選択暗号文攻撃を行なえば完全解読できる。また、RSA暗号は選択平文攻撃に対してすらindistinguishable（識別不能）ではない。よってRSA暗号は選択平文攻撃に対してnon-malleable（頑強性）でも semantic secure（強秘匿性）でもない。 と の定義は公開鍵暗号に記されている。RSA暗号の安全性が素因数が不明な法formula_29での冪根を求めるのが難しい事実に基づいていることから、その最大の攻撃が素因数分解であることは明白である。
しかし平文によっては、それ以外の攻撃方法でも暗号文から平文を入手することが可能である。
これは公開鍵暗号全般に言えることであるが、確定的暗号であれば、例えば平文が「はい」か「いいえ」のどちらかしか有り得ないなら、それぞれを暗号化したものと暗号文とを比較すれば平文を知ることができる。
実際の暗号への応用においてはフォーマットとして formula_95 の一部に毎回生成する乱数を挿入することでこの攻撃を回避している(復号側で後半の乱数を無視するよう機械を設定すればよい)
もしも平文 "m" が、"n" の "e" 乗根よりも小さかったら、暗号文 formula_96 となるから、通常の冪根演算によって "c" の "e" 乗根を計算するだけで平文 "m" が復元できてしまう。
実際の暗号への応用においてはフォーマットの一部として、"m" の比較的高位のビットに1を挿入することでこの攻撃を回避している。
法 formula_29 における formula_10 乗根が計算できれば、暗号文を復号できる。
当然これは（法 formula_29 の素因数がわからない限り）非常に難しいと考えられていて、RSA暗号の安全性の重要な根拠の一つになっている。
しかし、まったく同一の平文を、異なる法において同一の formula_10 を用いて暗号化した暗号文を formula_10 個以上集めることで、各々の法に関して中国の剰余定理を用いれば通常の冪根演算によって平文を復元できる。これが同報通信の誤用である。
ここから中国の剰余定理によって上記式を満たす
を求めることができる。このとき formula_102 であり、また formula_95 はどの法 formula_29 よりも小さいため formula_105 であることから、
この formula_106 の formula_10 乗根を求めることで平文 formula_95 が求められる。
これは formula_10 として特に formula_91 や formula_92 は、formula_112進数表示したときにformula_113の個数が少ないために暗号化処理を高速化できるという理由から好んで用いられるために発生しうる問題である。実際の暗号への応用においてはフォーマットとして、formula_95 の一部に毎回生成する乱数を挿入することでこの攻撃を回避している。
RSA暗号の入力は、モジュラスを formula_29 とすると formula_36 から (formula_117) の範囲の整数である。formula_29 以上の値の平文を暗号化する際には、平文を分割して処理することになる。
この時に留意しなければならない点として、例えば、formula_29 がformula_120ビット（formula_121バイト）であるとき、平文を同じformula_120ビット毎に分割処理するのでは十分ではないという点がある。これは、formula_29 と formula_95 が共にformula_120ビットであったとしても、formula_126 の場合には、結果として出力されるのは、formula_127 に対応する暗号文であり、復号しても formula_95 は出力されないためである。
平文をビット単位（やバイト単位）で分割する際には、まず、formula_29 の下限を定めたうえで、平文の全ビットを formula_113 に（全バイトを formula_131 に）しても formula_29 より小さくなるビット数（バイト数）で分割しなければならない。例えば、formula_29 の下限を formula_134 とした場合、平文は formula_135 ビットごとに分割する。こうすることで formula_136 の条件が常に満たされる。
一方で、出力となる暗号文は formula_36 から (formula_117) の範囲の整数になるため、先の例で（formula_29 の下限より小さいビット数）formula_135ビット毎に分割された formula_95 に対応する暗号文の中には、formula_120ビットが必要となるものがある。つまり、平文をビット単位で分割する場合には暗号化によってメッセージサイズが増加するといえる。これを回避するにはビット単位で分割するのではなく、平文 formula_95 を formula_29 進数表示したときの各桁毎に分割すればよい。
RSA暗号方式は、
などの脆弱性があり、RSA暗号方式をそのまま利用することは好ましくない。このため、実際のRSA暗号の実装では、暗号化する前に適切なパディングを行っている。代表的なパディングとしてOAEPがあり、公開鍵暗号標準であるPKCS#1（バージョン1.5以降）もこれを採用している。OAEPは確率的なパディングであり、すなわち、元の平文が同じであっても、パディングされた平文は時によって異なる（ランダムに選ばれた値に依存）。
OAEPパディングとRSA暗号の併用をRSA_OAEPと呼ぶことがある。（これに対して、パディング処理を行わない素のRSA暗号方式を生RSA、教科書的RSAということがある。）RSA_OAEPは、公開鍵暗号における最も高い安全性である「適応的選択暗号文攻撃に対する識別不可能性」を持つことが示されている。
RSA暗号が実現した公開鍵暗号方式は、従来の暗号方式（共通鍵暗号）とは異なり、暗号化は公開鍵を使って誰でもできるが、復号は秘密鍵を持つ本人だけしかできない方式である。この復号は「本人だけしかできない」という性質を利用すると、デジタル署名（あるいは認証機能）が実現できる。
そのためには、公開鍵・秘密鍵を次のように使用する。
公開鍵と秘密鍵の役割は通常の場合においては上記の通り、公開鍵は暗号化に使われ、秘密鍵は復号に用いられるが、RSA暗号においては平文と暗号文の定義域が同じ（平文空間＝暗号文空間である）ため、任意の文書（メッセージ）を暗号文とみなして復号することができる。つまり秘密鍵を用いて任意の文書について署名値を生成でき、公開鍵を用いてその署名値を"暗号化"して元の文書と一致するかを調べることで署名の検証ができる。
ただし、RSA暗号と同様に、生RSAでは、署名の潜在的偽造等の好ましくない性質があるため、パディングなどが必要である。また、暗号文空間よりも大きなメッセージを扱うためにハッシュ関数と組み合わせて使用する。
このようなパディングなども含めたものとして、などがある。
1977年、マーティン・ガードナーがコラムを連載していたサイエンティフィック・アメリカン誌に129桁の鍵を使ったRSA方式で暗号化されたメッセージを掲載。解読が成功したものにマサチューセッツ工科大学から100米ドルを与えるという懸賞金問題を掲載。当時、解読には2万年は必要だろうと予測されていたが掲載から17年後、オックスフォード大、アイオワ州立大マイケル・グラフ、マサチューセッツ工科大学デレク・アトキンス、らで、二次ふるい法とインターネット（600名からなる有志）を使いRSA-129に対する大規模攻撃を開始。8ヶ月で800万以上の下位問題が解かれ、スーパーコンピューターで解析、解読に成功。答えは“codice_1”［ossifrage（ヒゲワシ）はジョークで「骨折り」の意］。
RSA暗号をサポートしているライブラリは以下の通り。