水素原子におけるシュレーディンガー方程式の解
本項、水素原子におけるシュレーディンガー方程式の解（すいそげんしにおけるシュレーディンガーほうていしきのかい）では、ハミルトニアンが
と書ける二粒子系の時間非依存なシュレーディンガー方程式の厳密解を解く（式中の記号の意味は後述）。
物理学的にはこれは、
粒子の波動関数を決定する事を意味する。正の電荷をもつ粒子と負の電荷がそれぞれ陽子と電子だとすればこの系は水素原子に相当するが、一般の価数の原子核を持つ1電子系多価イオン（水素様原子）の系も同一の方程式から解を導ける。この方程式は様々な教科書で取り上げられている。
なお、微細構造、超微細構造、ラムシフトなどの効果は、いずれも相対論的な量子力学を必要とする為、本項の対象外である。
本項の目的は、時間非依存なシュレディンガー方程式
でハミルトニアンが
と書ける場合の厳密解を求める事である。ここで
はの元であり、、、は正の定数であり、
であり、formula_4は換算プランク定数である。
前述した物理的状況においては、２つの粒子の電荷をそれぞれ、とし、真空の誘電率をformula_5とすれば、
であるが、本項では一般の正の定数に対して解を導くので、必ずしもが上述の形である事を仮定しない。
()、()により定義される方程式は、重心系に書き直す事により、より簡単な式に還元できる。２つの粒子の重心
と２つの粒子の位置の差
と換算質量
を使うと、ハミルトニアン()は
と書ける。
このハミルトニアンは
の和である。
()のハミルトニアンはよく知られた自由粒子のハミルトニアンであり、その連続スペクトルは
であり、点スペクトルは
である。したがって後は非自明な部分である()のスペクトルを求めれば良いことになる。そこで以下()のみ焦点を当てる。
適切な値と定数を選び、長さとエネルギーをそれぞれ、が1となるように座標変換
してやると、()のハミルトニアンに関する時間非依存なシュレディンガー方程式は
と無次元化される
簡単な計算により、の具体的な値は
である事が分かる。
特に、陽子の質量が電子の質量より遥かに重いと仮定した場合の水素原子の系における、は
より、
である。ここでは電気素量である。この場合のをボーア半径といい、を基準としたエネルギーの単位をハートリーという
本節では()のハミルトニアンを無次元した
のスペクトルを求める。なお、本節ではまず変数分離解を求めるが、後述するように実はこのハミルトニアンは変数分離解しか持たない。
()を解く基本的アイデアは、無次元化した座標系formula_13を球面座標formula_22に変換するというものだが、直接球面座標を用いると、計算が複雑になる。そこで計算を楽にするため、以下の事実に着目する。
()のハミルトニアンは球対称なポテンシャルを持っており、しかもラプラシアンは回転不変である事が知られているので、()のハミルトニアンは回転不変である。よって()のハミルトニアンは軌道角運動量演算子formula_23と可換である：
よって特に、軌道角運動量演算子の自乗formula_25とも可換である：
よってformula_27はformula_25と同時対角化できるはずである、さらに
である事から、formula_27、formula_25、formula_32の３つを同時対角化できるはずである。
そこでまず、formula_25、formula_32の同時固有関数を求め、これを利用してformula_27の固有関数を求める。
formula_25とformula_32の同時固有関数の求め方は「軌道角運動量」の項目に書いてあるので、結論だけを言えば、formula_40、formula_41に対し、
を満たす固有関数が存在し、は極座標で
という形で書ける。ここでは任意の自乗可積分関数であり、formula_45はルジャンドルの陪多項式
である。
後はを決定するだけである。を決定するには()を()のハミルトニアンに入れてシュレディンガー方程式()を解けば良い。（）を式変形すると、
である。ラプラシアンを球面座標formula_22で書き表し、動径方向と球面方向にわけると、
と書ける。ここで
であり、formula_25は軌道角運動量演算子の自乗である。()のラプラシアンを極座標表示した上で()に()の波動関数を代入すると、()がformula_53の固有値formula_54に対応する固有関数であった事から、
束縛状態ではは負の値しか取らないので、記号を簡単にするため
と定義し、をの関数とみなすと、
が成立する。
この方程式を解くのは複雑な計算を必要とするので後の章にまわし、ここでは結論のみを述べる。
()の方程式を解くことで各formula_60に対し、（()のを単位とした）エネルギー
に対する解が見つかる。に対応する固有関数は、
formula_62　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…()
に対してのみ存在し、そのときのはラゲールの陪関数
に一致する。ここで
である。
3次元空間における体積要素formula_66は動径方向の線素と球面方向の面素formula_67を用いて
と書けるので、()におけるのノルム
も
と「変数分離」する。ここで
であり、
()のノルムを1にする規格化定数の値は「軌道角運動量」の項目に書いてあり、
である。
()のノルムを1にする規格化定数の値の計算は後述するが、結論から言えば規格化定数は
である。
無次元化した()をベースにしたこれまでの議論を通常の単位系に戻すことで以下の結論が得られる。
とし、を自然数、を以下を満たす整数とする：
formula_62　　　　　　　　　　…(、再掲)
このとき()のハミルトニアンはエネルギー
に対し、
を満たす固有関数
を持つ。ここで
であり、規格化定数は
である。
以上では変数分離により発見的に解を求めたため、()、()に書いたものが解である事は間違いないものの、それ以外に解があるかどうかは不明である。しかし実はこれ以外に解がない事が知られている。)=(0,\infty)
と点スペクトル
を持ち、
formula_87に対する固有関数は()、()で書かれた関数で貼られる次元空間である。|name=定理}}連続スペクトルに相当する部分は、物理的にいえば水素原子がイオン化している状態であり、したがって電子が陽子から逃れていってしまっている。なお、固有関数の和
の形に書けるのは、formula_90の負のスペクトルに対応するベクトルだけで、正のスペクトルに対応するベクトルはこの方法では表記できない。
ハミルトニアン()の固有関数()に登場する２つの変数は以下のように呼ばれる：
なお、formula_95は、動径方向の波動関数の節の数を表している。
3つの量子数のうち、formula_96には以下のような化学的意味がある：
水素原子において、s軌道,p軌道,d軌道,f軌道…のエネルギー準位は縮退している。これはエネルギー固有値が、
formula_97
となり、"l"や"m"に依存しないためである。なお、水素原子に磁場をかけると、これらのエネルギー準位は、スピン部分を無視して考えた場合、磁気量子数"m"の違いにより分裂する(→ゼーマン効果)。電場をかけた場合も、シュタルク効果によって分裂する。このとき、異なるlの軌道同士の線形結合をとった混成軌道がハミルトニアンの固有状態となる。
エネルギー準位がにある電子がエネルギー準位がに落ちると、
のエネルギーが
を満たす波長の光となって放出される。したがって
水素原子の場合、すなわち
の場合の上式右辺の定数、もしくはその定数に対して近似
を行ったときの値をリュードベリ定数という。
本節の目的は、微分方程式()を解き、()、()を導出することである。
本節では式()をさらに式変形することで、()をラゲールの陪方程式（詳細後述）で書き表せる事を示す。ラゲールの陪方程式の解は特殊関数で書けることが知られているので、これにより式()が解けることになる。この目標に達するため、以下の3ステップを踏む。
()におけるの係数は"ρ"が十分小さいところではformula_103と近似できるので、()は
と近似できる。
この形の方程式はオイラーの微分方程式の解法に準ずる方法で解ける。その解は
の形で書ける。
()式をで割った上で"ρ"を∞に飛ばすことで、"ρ"が十分大きいところでは()は
となる事がわかる。簡単な計算から上記の方程式の一般解は
もしくはこれらの線形和である。formula_107は発散する不適切な解となるので、
()、()を参考に、()の厳密解R(ρ)を
の形に変数変換する。一般に3つの関数の積の微分は公式
を満たすので、()の第一項、および第二項は、
である。上式を()に代入すると、すべての項にformula_110が掛かっていることがわかる。よって各項をformula_110で割った上で式を整理して、
を得る。この式の両辺をformula_112で割ると、
となる。こうして得た式(6.12)は下記の式(6.13)に示したラゲールの陪方程式（ラゲール陪関数）の形になっている。
ラゲールの陪方程式の解formula_114はラゲールの陪多項式（ラゲール陪関数）と呼ばれる形の定数倍になることが知られている。ラゲールの陪多項式（ラゲール陪関数）formula_115は下記のように定義される。
を満たす整数である。
よって()の解は
となる。これを変数変換の式()に代入して
を得る。
ラゲール陪多項式の係数の条件式()から、formula_121は
を満たす整数でなければならない。
規格化定数をとすると、規格化条件
ラゲールの陪多項式（ラゲール陪関数）は下記の直交性を満たすことが知られている
ので、後者の式を()に対して用いる事で、
これが()の左辺である1と等しいことから、規格化定数について解く事で
が得られる。
なお、無次元化する前のハミルトニアン()に対する規格化定数は、変数変換
の分だけ()のものとはずれるので、()に対する規格化定数は、
水素原子の波動関数の"l"=0～3における角因子は以下のようになる。ここでformula_130、formula_131はそれぞれ、動径方向の関数
の右辺の積の第一成分と第二成分を規格化したものである。なお、formula_131の指数関数の虚数部分はオイラーの公式により一対のformula_131関数の一次結合で書き換えられる。
原子番号Zの水素様原子の動径関数は以下のようになる。
動径関数を2乗しrの2乗を掛けた動径分布は、核の中心からのある距離における電子の存在確率に相当する。
詳しくは電子配置の項を参照のこと。