ヘロンの公式
ヘロンの公式（ヘロンのこうしき、英：Heron's formula）は任意の三角形の3辺"a", "b", "c" の長さから面積 "S" を求める公式。アレクサンドリアのヘロンが彼の著書『"Metrica"』の中で証明を与えていることから彼に帰せられる。
この公式はアレクサンドリアのヘロンが彼の著書『Metrica』の中で証明を与えていることから彼に帰せられるが、現代ではこれ自体はシラクサのアルキメデスにも既知であったと考えられていて、さらにそれ以前から知られていた可能性もある。
一般化として、円に内接する四角形の面積を辺の長さから求めるブラーマグプタの公式があり、さらには円に内接するという条件を外し、角度も用いて四角形の面積を求めるブレートシュナイダーの公式がある。ヘロンの公式はこれらの公式の特別な場合となっている。
また、以下のような "s" を用いない表記もある。
三角比、余弦定理、因数分解を用いた証明。
△ABC において、A, B, C の対辺 BC, CA, AB の長さをそれぞれ "a", "b", "c" とし、A から辺 BC に下ろした垂線の長さを "h" とする。
このとき△ABCの面積を "S" とすると、
となる。ここで、
とすると、
が得られる。
△ABC において、A, B, C の対辺 BC, CA, AB の長さをそれぞれ "a", "b", "c" とし、A から辺 BC に下ろした垂線 AH の長さを ｈ とする。
この時△ABC の面積を S とすると h は、
formula_7
formula_8 (1)
と表せる。
適当な符号で、
formula_9 (2)
は自明であり、
ピタゴラスの定理より、
formula_10 (3)
formula_11 (4)
と表せるので、(3)(4)の式に(1)を代入し、(2)の式に(3)(4)を代入すると、
formula_12
この式を S について解いた正の方が解である。
ヘロンの公式の3次元版として，四面体の体積を6辺の長さから求める公式を紹介する。
ヘロンの公式のn次元版はCayley-Menger Determinantとして知られている。
\end{array} \right|.ただし，formula_13は頂点formula_14と頂点formula_15を結ぶ辺の長さ。