Akar kuadrat dari 2
Akar kuadrat dari dua, juga dikenal sebagai konstanta Pythagoras, sering ditulis sebagai formula_1, merupakan bilangan riil yang positif, yang apabila dikalikan dengan nilai itu sendiri akan mendapatkan nomor 2. Nilai berangkanya dekat 65 tempat titik desimal adalah:
Akar kuadrat dari 2 adalah bilangan irasional yang pertama diketahui. Secara geometris, ia merupakan kepanjangan diagonal melintasi segi empat sama dengan sisinya memiliki panjang 1 unit; ini menurut teorema Pythagoras. Bagi pengiraan asas tanpa fungsi kendali, penganggaran formula_2 bagi akar kuadrat lebih elok dibandingkan penganggaran formula_3 bagi pi, yang merupakan bilangan irasional paling lazim digunakan.
Rasio peraknya adalah:
Tablet tanah liat Babel YBC 7289 (c. 1800-1600 SM) memberikan perkiraan √2 dalam empat angka sexagesimal, 1 24 51 10, yang akurat untuk sekitar enam angka desimal, dan yang paling dekat mungkin tiga tempat representasi sexagesimal dari √2:
Anggaran awal yang hampir lain untuk nomor ini diberi dalam teks matematika India kuno, Sulbasutra (kk. 800-200 SM) seperti berikut: "Tambahkan panjang [sisi] dengan sepertiganya dan sepertiga ini dengan seperempatnya kurang sepertiga-puluh-empat bagi seperempat itu" Itu adalah,
Anggaran India purba ini merupakan urutan ketujuh bagi anggaran tepat untuk jujukan bilangan Pell, yang boleh diterbitkan dari kembangan pecahan lanjutan untuk formula_1
Temuan dari nomor tak rasio sering berkontribusi Hippasus of Metapontum Pythagoras, yang memperkenalkan bukti ketidaknisbahan (hampir ke geometri) untuk akar kuadrat. Menurut legenda, Pythagoras percaya pada kemutlakan nomor-nomor dan tidak dapat menerima nomor tak rasio. Dia tidak bisa memalsukannya melalui logika, tetapi keyakinannya tidak dapat menerima keberadaan nomor tak rasio, maka dia menghukum Hippasus untuk mati lemas.  Legenda lain menyatakan yang dilemaskan Hippasus oleh pengikut Pythagoras
, atau diusir dari golongan itu.
Banyak algoritme yang membuat estimasi akar kuadrat dari 2, baik dalam pernyataan rasio bilangan bulat atau dalam bentuk desimal. Algoritme paling umum untuk kasus ini, apakah menggunakannya dalam banyak komputer atau mesin penghitung, adalah metode Babylon untuk perhitungan kendali 2 yang merupakan salah satu dari metode menghitung sumber listrik. Hal itu adalah seperti berikut:
Pertama, ambil setiap tebakan, formula_8; tebakan itu tidak penting karena dugaan itu hanya mempengaruhi berapa banyak iterasi yang diperlukan untuk mencapai perkiraan pendekatan untuk akurasi tertentu. Kemudian, dengan menggunakan tebakan itu, lelarkannya melalui perhitungan rekursif tersebut:
Lebih banyak iterasi dalam algoritme ini (yaitu banyak perhitungan dilakukan dan "n" lebih besar), lebih elok anggaran akar kuadrat dari 2 yang dapat dicapai.
Nilai √2 dihitung sampai 137,438,953,444 tempat desimal oleh tim Yasumasa Kanada pada 1997.
Pada Februari 2006, catatan perhitungan √2 telah diganti dengan penggunaan komputer rumah. Shigeru Kondo menghitung sampai 200,000,000,000 tempat desimal dalam lebih kurang 13 hari dan 14 jam menggunakan 3.6GHz PC yang memiliki 16GB memori.
Dalam banyak-banyak konstanta dengan ekspansi desimal tidak berulang, hanya pi telah dihitung lebih akurat.
Satu pembuktian nomor tak rasio adalah pembuktian dengan penurunan tak terhingga. Ini juga pembuktian melalui kontradiksi, yang membawa makna pernyataan dibuktikan dengan menganggap bahwa jika apa bertentangan dengan pernyataan itu adalah benar dan dengan menunjukkan yang anggapan ini adalah salah akan memberi makna bahwa pernyataan asli itu adalah benar.Mengingat adanya kontradiksi, anggapan (1) yaitu √2 nomor rasio adalah salah. Maka, bertentangan dengan pernyataan itu adalah dibuktikan benar: √2 tidak rasio.
Pembuktian ini dapat digunakan untuk setiap kendali bilangan asli untuk menunjukkan apakah nomor itu nomor asli atau nomor tidak rasio.
Pembuktian lain menggunakan pendekatan yang sama dengan teorema pemfaktoran unik:Satu lagi pembuktian melalui kontradiksi menunjukkan yang √2 adalah nomor tak rasio adalah tidak berapa diketahui. Ia juga contoh pembuktian penurunan tak terhingga. Konsep ini menggunakan konstruksi kompas dan sisi lurus klasik, membuktikan teorema ini dengan metode yang sama yang digunakan anggota geometri Yunani kuno.
Biarkan "ABC" segitiga sama kaki tegak dengan panjang miring "m" dan kaki "n". Dengan menggunakan teorema Pythagoras, "m" / "n" = √2. Katakan "m" dan "n" adalah bilangan bulat. Biarkan "m":"n" menjadi rasio yang diberikan melalui sebutan terendah.
Lukis lengkungan "BD" dan "CE" berpusat "A". Hubungkan "DE". Kemudian "AB" = "AD", "AC" = "AE" serta sudut "BAC" dan sudut "DAE" adalah sama. Maka segitiga "ABC" dan "ADE" adalah kongruen melalui SAS.
Mengingat sudut "EBF" adalah sudut tegak dan sudut "BEF" setengah sudut tegak, "BEF" juga segitiga sama kaki tegak. Maka "BE" = "m" - "n" menandai "BF" = "m" - "n". Melalui simetri, "DF" = "m" - "n", dan "FDC" juga segitiga sama kaki tegak. Juga "FC" = "n" - ("m" - "n") = 2"n" - "m".
Mengingat kita memiliki segitiga sama kaki tegak yang lebih kecil, dengan panjang miring 2"n" - "m" dan kaki "m" - "n". Nilai ini adalah integer yang lebih kecil dari "m" dan "n" dan dalam rasio yang sama, bertentangan dengan hipotesis yang menunjukkan bahwa "m":"n" adalah sebutan terkecil. Maka "m" dan "n" tidak mungkin integer, maka √2 adalah bukan rasio.
separuh √2, sekitar 0.707106781186548, merupakan kuantitas lazim dalam geometri dan trigonometri, karena kenyataan yang vektor unit membuat sudut 45° dengan sumbu pada bidang yang memiliki koordinat
Nomor ini bertepatan dengan
Satu sifat menarik bagi akar kuadrat dari dua ialah:
Ini merupakan hasil dari sifat rasio perak.
√2 juga dapat dinyatakan dalam hal salinan satuan imajiner "i" hanya menggunakan akar kuadrat dan operasi aritmetika:
Pengenalan cos(p/4) = sin(p/4) = √2/2, bersama perwakilan hasil perkalian tak terhingga bagi sinus dan kosinus menyebabkan hasil perkalian seperti
atau setara dengan
Nomor tersebut dapat dinyatakan dengan mengambil deret Taylor untuk fungsi trigonometri. Misalnya, seri untuk cos(p/4) adalah:
Seri Taylor untuk √(1+"x") dengan "x" = 1 memberikan
Konvergensi seri ini bisa dicepatkan dengan konversi Euler, menghasilkan
Tidak diketahui apakah √2 dapat diwakilikan dengan rumus BBP-type. Rumus BBP-type digunakan untuk π√2 dan √2 ln (1 + √2).
Akar kuadrat dari dua memiliki perwakilan pecahan lanjutan seperti berikut: