Fungsi gelombang
Fungsi gelombang dalam fisika kuantum adalah suatu persamaan matematis yang menggambarkan keadaan kuantum dari suatu sistem kuantum terisolasi. Fungsi gelombang merupakan suatu amplitudo probabilitas bernilai-kompleks, dan kebolehjadian untuk hasil yang mungkin dari pengukuran yang dibuat oleh sistem dapat diturunkan darinya. Secara umum, fungsi gelombang disimbolkan dengan huruf Yunani atau (psi kecil dan kapital, berturut-turut).
Secara umum, fungsi gelombang suatu sistem dapat dinyatakan dalam berbagai peubah, seperti dalam momentum, posisi, energi, dan sebagainya. Fungsi gelombang dapat pula berupa fungsi waktu, dan dapat pula dinyatakan sebagai fungsi tak-gayut waktu. Menurut prinsip superposisi mekanika kuantum, fungsi gelombang dapat dijumlahkan dan dikali dengan bilangan kompleks untuk menghasilkan fungsi gelombang baru dan suatu ruang Hilbert. Hasil kali antara dua fungsi gelombang merupakan ukuran tumpang-tindih antara keadaan fisika terkait, dan digunakan sebagai dasar interpretasi kebolehjadian pada mekanika kuantum, hukum Born, yang mengaitkan kebolehjadian transisi pada hasil kali tersebut. Persamaan Schrödinger menentukan bagaimana fungsi gelombang berubah terhadap waktu, dan fungsi gelombang berperilaku secara kualitatif sebagaimana gelombang lainnya, seperti gelombang air atau gelombang pada sebuah dawai, karena persamaan Schrödinger secara matematis merupakan jenis persamaan gelombang. Namun, fungsi gelombang dalam mekanika kuantum menjelaskan suatu jenis fenomena fisika, yang secara fundamental berbeda dengan gelombang mekanika klasik.
Dalam interpretasi statistik Born mengenai mekanika kuantum non-relativistik, modulus kuadrat dari fungsi gelombang, |"ψ"|, adalah suatu bilangan riil yang ditafsirkan sebagai rapat kebolehjadian untuk menemukan partikel di titik tersebut. Persyaratan umum yang harus dimiliki oleh suatu fungsi gelombang disebut sebagai "kondisi normalisasi". Karena fungsi gelombang bernilai kompleks, hanya fase dan magnitudo relatifnya saja yang dapat diukur—nilainya tidak dapat diukur; dengan menerapkan operator kuantum, dengan nilai eigen yang menyatakan kebolehjadian dari pengukuran tersebut, pada fungsi gelombang dan menghitung distribusi statistik dari kuantitas yang terukur.
Pada tahun 1905, Einstein mempostulatkan hubungan kesebandingan antara frekuensi formula_1 dari suatu foton dan energinya formula_2, formula_3, dan di tahun 1916 hubungan yang terkait antara momentum formula_4 dan panjang gelombang formula_5 foton, formula_6 , di mana formula_7 adalah konstanta Planck.
Pada tahun 1920-an dan 1930-an, mekanika kuantum dikembangkan menggunakan kalkulus dan aljabar linear. Beberapa yang menggunakan teknik kalkulus diantaranya Louis de Broglie, Erwin Schrödinger, dan lainnya, mengembangkan "mekanika gelombang". Mereka yang menerapkan metode aljabar linear seperti Werner Heisenberg, Max Born, dan lainnya, mengembangkan "mekanika matriks". Schrödinger kemudian menunjukkan bahwa kedua pendekatan tersebut adalah sama.
Pada tahun 1926, Schrödinger menerbitkan persamaan gelombang terkenal yang dinamai dari dirinya, persamaan Schrödinger, yang berdasarkan pada kekekalan energi klasik menggunakan operator kuantum. Namun, tidak ada satupun yang mampu secara jelas "menginterpretasikan" persamaan ini. Awalnya, Schrödinger dan lainnya berpikir bahwa fungsi gelombang mewakili partikel-partikel yang tersebar dengan kebanyakan dari mereka berada pada lokasi dengan fungsi gelombang yang besar. Partikel ini memperlihatkan ketidaksesuaiannya dengan hamburan elastis paket gelombang (yang mewakili partikel) dari target; partikel tersebut menyebar ke segala arah. Saat partikel yang tersebar tersebut mampu menyebar ke segala arah, partikel itu tidak pecah dan lepas landas ke segala arah. Pada tahun 1926, Born memberikan perspektif amplitudo probabilitas. Hal ini menghubungkan perhitungan mekanika kuantum secara langsung terhadap pengamatan kebolehjadian eksperimental. Pada tahun 1927, Hartree dan Fock membuat tahapan pertamanya dalam mencoba menyelesaikan fungsi gelombang "N"-badan, serta mengembangkan "siklus swakonsistensi": suatu algoritma iteratif untuk mendekati penyelesaian. Saat ini, metode ini dikenal sebagai metode Hartree–Fock. Determinan Slater dan permanen (dari suatu matriks) merupakan bagian dari metode ini, yang diperkenalkan oleh John C. Slater.
Keadaan dari sebuah partikel dijelaskan secara lengkap dengan fungsi gelombangnya,
di mana menyatakan posisi dan menyatakan waktu. Fungsi ini adalah fungsi bernilai kompleks dari dua peubah riil, dan .
Berdasarkan interpretasi statistik Born dari suatu fungsi gelombang, modulus kuadrat dari fungsi gelombang,
adalah probabilitas (kebolehjadian) untuk menemukan partikel pada titik , pada suatu waktu . Tanda bintang menunjukkan konjugat kompleks. Jika posisi partikel terukur, lokasinya tidak dapat ditentukan dari fungsi gelombang, tetapi dijelaskan oleh distribusi probabilitas. Kebolehjadian yang berada pada posisi akan berada pada rentang yang merupakan integral dari kerapatan pada rentang ini:
di mana menyatakan waktu ketika partikel terukur. Hal ini mengarah pada kondisi normalisasi:
karena jika partikel tersebut terukur, maka kebolehjadiannya adalah 100% yang berarti partikel harus berada "pada suatu tempat".
Berikut ini adalah penyelesaian persamaan Schrödinger bagi suatu partikel tak memiliki spin nonrelativistik.
Fungsi gelombang bagi osilator harmonik kuantum dapat diekspresikan dalam polinomial Hermite , yaitu
Fungsi gelombang dari elektron dalam suatu atom hidrogen dinyatakan dalam harmonik sferis dan polinomial Laguerre tergeneralisasi.
Fungsi gelombang ini lebih mudah apabila menggunakan koordinat sferis, dan dapat dipisahkan menjadi fungsi dari masing-masing koordinat,
di mana adalah fungsi radial dan adalah harmonik sferis pada derajat dan orde . Ini adalah satu-satunya atom di mana persamaan Schrödinger dapat diselesaikan secara tepat. Atom banyak-elektron memerlukan metode pendekatan. Penyelesaian tersebut adalah: