Teorema Green
Dalam matematika, Teorema Green memberikan hubungan antara sebuah integral garis pada kurva tertutup sederhana "C" dan integral ganda pada daerah di bidang "D" yang dibatasi oleh "C". Teorema ini mendapatkan namanya dari George Green dan merupakan kasus khusus dua dimensi dari Teorema Stokes yang lebih umum.
Misalkan "D" daerah pada bidang dan C kurva tertutup di D yang tidak memotong dirinya sendiri, dan mulus bagian per bagian. Misalkan pula "P"("x","y") dan "Q"("x","y") dua fungsi yang didefinisikan pada D dengan turunan parsialnya kontinu. Maka:
"R" adalah daerah tertutup yang dibatasi oleh "C".
Perlu diperhatikan bahwa fungsi "P" dan "Q" adalah saling bebas, artinya salah satu dapat kita ambil sebagai nol. Kita dapat menulis:
Untuk membuktikan Teorema Green kita cukup membuktikan kedua belah persamaan di atas. Selanjutnya kita meninjau perhitungan integral pada daerah sederhana pada dua tipe. Daerah tipe pertama adalah daerah yang dibatasi oleh dua garis vertikal dan dua kurva fungsi kontinu (seperti yang ditunjukkan oleh gambar), sedangkan tipe kedua adalah daerah yang dibatasi oleh dua garis horizontal dan dua kurva fungsi kontinu. Semua daerah sembarang dapat dibagi menjadi daerah-daerah yang tergolong ke dua tipe ini.
Misalkan kita memiliki daerah sederhana tipe I, yang dibatasi oleh garis vertikal "x" = "a", "x" = "b", "p"("x") dan "q"("x"). Kita akan membuktikan bahwa Teorema Green berlaku di daerah tersebut. Pertama kita hitung integral lipatnya:
Kemudian kita hitung integral garisnya:
Terlihat bahwa integral lipatnya sama dengan integral garis.