Kuaternion
Dalam matematika, Kuaternion merupakan perluasan dari bilangan-bilangan kompleks yang tidak komutatif, dan diterapkan dalam mekanika tiga dimensi. Kuaternion ditemukan oleh ahli matematika dan astronomi Inggris, William Rowan Hamilton, yang memperpanjang aritmetika kompleks nomor ke kuaternion.
Segera setelah itu penemuan Hamilton, matematikawan Jerman Hermann Grassmann mulai menyelidiki vektor. Meskipun karakter abstrak, fisikawan Amerika JW Gibbs diakui dalam aljabar vektor sistem utilitas besar bagi fisikawan, seperti Hamilton mengakui kegunaan kuaternion. Pengaruh luas dari pendekatan abstrak yang dipimpin George Boole untuk menulis Hukum Thought (1854), perawatan aljabar dasar logika.
Sebagai himpunan, kuaternion, berlambang H, sama dengan R yang merupakan ruang vektor bilangan riil empat dimensi. H memiliki tiga macam operasi: pertambahan, perkalian skalar dan perkalian kuaternion. Elemen-elemen kuaternion ditandakan sebagai "1", "i", "j" dan "k" ("i", "j" dan "k" adalah komponen imaginer), dan dapat ditulis sebagai kombinasi linear, "a" + "bi" + "cj" + "dk" ("a", "b", "c", dan "d" adalah bilangan riil).
Kuaternion formula_1 bisa dituliskan sebagai formula_2 di mana formula_3 adalah vektor 3 bilangan imaginer, formula_4.
Persamaan elemen kuaternion "i", "j", dan "k" adalah:
Karena
jika dua sisi dikalikan dengan "k", maka
Persamaan-persamaan yang lainnya juga bisa didapatkan dengan tahap aljabar:
Persamaan-persamaan ini lalu bisa ditampilkan dengan tabel di bawah ini:
formula_9
formula_10
formula_11
Bila kuaternion dituliskan dengan bentuk formula_2, maka:
formula_13
formula_14
di mana
formula_15
Suatu kuaternion "p" = "a" + "bi" + "cj" + "dk" memiliki konjugat "p*", dan didapatkan dengan rumus berikut:
formula_16
Persamaan-persamaan konjugasi kuaternion adalah:
formula_17
Dengan fungsi Norma formula_18, bila formula_19, maka:
formula_20
formula_21
Kuaternion, seperti bilangan kompleks, bisa ditulis dalam bentuk matriks, yaitu matriks kompleks 2x2 atau matriks riil 4x4.
Bentuk matriks kompleks 2x2 untuk kuaternion "a" + "bi" + "cj" + "dk" adalah:
Bentuk matriks riil 4x4 untuk kuaternion "a" + "bi" + "cj" + "dk" adalah:
Selain itu juga terdapat bentuk matriks 3x3 yang digunakan dalam grafika komputer. Berikut adalah bentuk matriks kolom-utama (column-major) yang digunakan di OpenGL. (Matriks baris-utama (row-major) yang digunakan di DirectX sama dengan transposa matriks kolom-utama)
formula_24
formula_25
formula_26
formula_27
formula_28
Meskipun tertetap sangat sederhana, fungsi yang hasilnya adalah bagiannya bilangan riil kuaternion ini memiliki kegunaannya tersendiri.
formula_29
formula_30
Dari kuaternion formula_31
Maka: formula_32
formula_33
formula_34
Fungsi ekponensial: formula_35
Logaritma natural: formula_36
Pangkat: formula_37
Kuaternion satuan: formula_47
formula_48
formula_49
formula_50
Fungsi rotasi vektor dapat menggunakan operasi kuaternion daripada operasi matriks riil 4x4, dengan rumus:
dan "A" adalah posisi benda yang dirotasikan, "v" adalah vektor poros rotasi, dan "α" adalah sudut rotasi berlawanan arah jarum jam.