Bilangan imajiner
Bilangan imajiner (English: imaginary number) adalah bilangan yang mempunyai sifat i 2 = −1. Bilangan ini biasanya merupakan bagian dari bilangan kompleks. Secara definisi, (bagian) bilangan imajiner i {\displaystyle i} ini diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadratik:
x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0\ }
x 2 = − 1 {\displaystyle x^{2}=-1\ }
atau juga sering dituliskan sebagai
x = − 1 {\displaystyle x={\sqrt {-1}}} .
Bilangan imajiner dan/atau bilangan kompleks ini sering dipakai di bidang teknik elektro dan elektronika untuk menggambarkan sifat arus AC (listrik arus bolak-balik) atau untuk menganalisa gelombang fisika yang menjalar ke arah sumbu x mengikuti:
e i ( k x − ω t ) = e j ( ω t − k x ) {\displaystyle e^{i(kx-\omega t)}=e^{j(\omega t-kx)}\,} ), dengan j = −i.
Dalam geometri, bilangan imajiner dilambangkan sebagai titik-titik pada sumbu vertikal pada bidang bilangan kompleks, digambarkan secara tegak lurus terhadap sumbu bilangan real. Satu cara untuk melihat bilangan-bilangan imajiner adalah dengan membayangkan suatu garis bilangan, bertambah secara positif ke sebelah kanan dan bertambah negatif ke sebelah kiri, kemudian pada titik nol "O" garis yang dapat dipandang sebagai sumbu-x, suatu sumbu-y dapat digambarkan sebagai suatu garis tegak lurus yang bertambah "positif" (bilangan imajiner bertambah positif) ke arah atas, dan bertambah negatif (demikian pula dengan bilangan imajiner) ke arah bawah. Sumbu vertikal ini sering disebut "sumbu bilangan imajiner" dan dilambangkan dengan i</i>ℝ, I {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {I} } , atau ℑ.
Dalam representasi ini, perkalian dengan–1 berhubungan dengan suatu rotasi 180 derajat mengelilingi titik nol. Perkalian dengan i berhubungan dengan rotasi 90 derajat pada arah "positif" (yaitu, berlawanan dengan jarum jam), dan persamaan i2 = −1 ditafsirkan sebagai pernyataan bahwa jika diterapkan dua rotasi 90 derajat mengelilingi titik nol, maka hasil akhirnya adalah suatu rotasi tunggal 180 derajat. Perhatian bahwa rotasi 90 derajat pada arah "negatif" (yaitu searah jarum jam) juga memenuhi penafsiran ini. Hal ini mencerminkan fakta bahwa −i juga memecahkan persamaan x2 = −1. Pada umumnya, perkalian dengan suatu bilangan kompleks sama dengan rotasi mengelilingi titik nol oleh argument bilangan kompleks itu, diikuti dengan perubahan skala besarannya.
Perkalian akar kuadrat bilangan negatif perlu perhatian khusus. Misalnya,[1] pemikiran berikut ini salah:
− 1 = i 2 = − 1 − 1 = ( − 1 ) ( − 1 ) = 1 = 1 {\displaystyle -1=i^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)(-1)}}={\sqrt {1}}=1}
Kekeliruan (fallacy) yang diperbuat adalah penggunaan aturan √x√y = √xy, di mana nilai prinsip akar kuadrat dihitung setiap kali, sebenarnya hanya valid jika x dan y dibatasi dengan sepatutnya.[note 1] Tidak mungkin untuk mengembangkan definisi nilai prinsip akar kuadrat pada semua bilangan kompleks dengan cara aturan perkalian biasa. Jadi √−1 dalam konteks ini harus dianggap "tidak berarti", atau sebagai ekspresi bernilai ganda dengan kemungkinan nilai i dan −i.
Bilangan asli Bilangan bulat Bilangan cacah Bilangan kompleks Bilangan riil Bilangan rasional Bilangan irasional Bilangan prima Bilangan komposit Pecahan