Eliminasi Gauss-Jordan
Dalam aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah algoritme versi dari eliminasi Gauss. Pada metode eliminasi Gauss-Jordan kita membuat nol elemen-elemen di bawah maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan (Semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya nol).
Metode eliminasi Gauss-Jordan kurang efisien untuk menyelesaikan sebuah SPL, tetapi lebih efisien daripada eliminasi Gauss jika kita ingin menyelesaikan SPL dengan matriks koefisien sama.
Motede tersebut dinamai Eliminasi Gauss-Jordan untuk menghormati Carl Friedrich Gauss dan Wilhelm Jordan.
Jika eliminasi Gauss-Jordan diterapkan dalam matriks persegi, metode tersebut dapat digunakan untuk menghitung invers dari matriks. Eliminasi Gauss-Jordan hanya dapat dilakukan dengan menambahkan dengan matriks identitas dengan dimensi yang sama, dan melalui operasi-operasi matriks:
[ A I ] ⟹ A − 1 [ A I ] ⟹ [ I A − 1 ] {\displaystyle [AI]\Longrightarrow A^{-1}[AI]\Longrightarrow [IA^{-1}]}
Jika A contoh matriks persegi yang diberikan:
A = [ 2 − 1 0 − 1 2 − 1 0 − 1 2 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{bmatrix}}}
Kemudian, setelah ditambahkan dengan matriks identitas:
[ A I ] = [ 2 − 1 0 1 0 0 − 1 2 − 1 0 1 0 0 − 1 2 0 0 1 ] {\displaystyle [AI]={\begin{bmatrix}2&-1&0&1&0&0\\-1&2&-1&0&1&0\\0&-1&2&0&0&1\end{bmatrix}}}
Eliminasi Gauss-Jordan pada [ A I ] {\displaystyle [AI]} menghasilkan bentuk yang tereduksi:
[ I A − 1 ] = [ 1 0 0 3 4 1 2 1 4 0 1 0 1 2 1 1 2 0 0 1 1 4 1 2 3 4 ] . {\displaystyle [IA^{-1}]={\begin{bmatrix}1&0&0&{\frac {3}{4}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}\\0&1&0&{\frac {1}{2}}&1&{\frac {1}{2}}\\0&0&1&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {3}{4}}\end{bmatrix}}.}
Dengan melakukan operasi baris dasar pada matriks [ A I ] {\displaystyle [AI]} sampai A menjadi matriks identitas, maka didapatkan hasil akhir:
I = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] A − 1 = [ 3 4 1 2 1 4 1 2 1 1 2 1 4 1 2 3 4 ] {\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad A^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {3}{4}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {1}{2}}&1&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {3}{4}}\end{bmatrix}}}
Lipschutz, Seymour, and Lipson, Mark. "Schaum's Outlines: Linear Algebra". Tata McGraw-hill edition. Delhi 2001. pp. 69-80. Strang, Gilbert (2003). Introduction to Linear Algebra, 3rd edition, Wellesley, Massachusetts: Wellesley-Cambridge Press, 74-76. Sahid. Pengantar Komputasi Numerik dengan MATLAB. 2005. Yogyakarta:ANDI