Logaritma
Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan (atau invers) dari eksponen atau pemangkatan.
a b = c ⟺ a log ⁡ c = b {\displaystyle a^{b}=c\ \Longleftrightarrow \ ^{a}\log {c}=b} dengan syarat a > 0 dan a ≠ 1.
Pada rumus ini, a adalah basis atau pokok dari logaritma tersebut.
Beberapa buku dan karya ilmiah menuliskan a log ⁡ x {\textstyle ^{a}\log {x}} sebagai log a ⁡ x {\textstyle \log _{a}{x}} . Notasi yang kedua umumnya ditemukan pada buku dan karya ilmiah yang berbahasa inggris.
Logaritma yang paling umum digunakan adalah 2 log ⁡ x {\displaystyle ^{2}\log {x}} , e log ⁡ x {\displaystyle ^{e}\log {x}} atau ln ⁡ x {\displaystyle \ln {x}} , dan 10 log ⁡ x {\displaystyle ^{10}\log {x}} . Fungsi-fungsi tersebut memiliki basis 2, e, dan 10.
Logaritma dengan basis e juga disebut 'logaritma natural', di mana:
e = lim x → ∞ ( 1 + 1 x ) x {\displaystyle e=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}}
e ≈ 2.718281828459045 ⋯ {\displaystyle e\approx 2.718281828459045\cdots }
Di Indonesia, kebanyakan buku pelajaran Matematika menggunakan notasi blog a daripada logba. Buku-buku Matematika berbahasa Inggris menggunakan notasi logba Beberapa orang menulis ln a sebagai ganti elog a, log a sebagai ganti 10log a dan ld a sebagai ganti 2log a. Pada kebanyakan kalkulator, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis 10 dan LN menunjuk kepada logaritma berbasis e. Pada beberapa bahasa pemrograman komputer seperti C,C++, Java dan BASIC, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis e. Terkadang Log x (huruf besar L) menunjuk kepada 10log x dan log x (huruf kecil L) menunjuk kepada elog x.
Cara untuk mencari nilai logaritma antara lain dengan menggunakan:
Tabel Kalkulator (yang sudah dilengkapi fitur log)
Logaritmaac = b → ª log b = ca = basisb = bilangan yang dilogaritmac = hasil logaritmaSifat-sifat Logaritmaª log a = 1ª log 1 = 0ª log aⁿ = nª log bⁿ = n • ª log bª log b • c = ª log b + ª log cª log b/c = ª log b – ª log cªˆⁿ log b m = m/n • ª log bª log b = 1 ÷ b log aª log b • b log c • c log d = ª log dª log b = c log b ÷ c log a
Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari integral. Dalam persamaan bn = x, b dapat dicari dengan pengakaran, n dengan logaritma, dan x dengan fungsi eksponensial.
Dalam sains, terdapat banyak besaran yang umumnya diekspresikan dengan logaritma. Sebabnya, dan contoh-contoh yang lebih lengkap, dapat dilihat di skala logaritmik.
Negatif dari logaritma berbasis 10 digunakan dalam kimia untuk mengekspresikan konsentrasi ion hidronium (pH). Contohnya, konsentrasi ion hidronium pada air adalah 10−7 pada suhu 25°C, sehingga pH-nya 7.
Satuan bel (dengan simbol B) adalah satuan pengukur perbandingan (rasio), seperti perbandingan nilai daya dan tegangan. Kebanyakan digunakan dalam bidang telekomunikasi, elektronik, dan akustik. Salah satu sebab digunakannya logaritma adalah karena telinga manusia mempersepsikan suara yang terdengar secara logaritmik. Satuan Bel dinamakan untuk mengenang jasa Alexander Graham Bell, seorang penemu di bidang telekomunikasi. Satuan desibel (dB), yang sama dengan 0.1bel, lebih sering digunakan.
Skala Richter mengukur intensitas gempa bumi dengan menggunakan skala logaritma berbasis 10.
Dalam astronomi, magnitudo yang mengukur terangnya bintang menggunakan skala logaritmik, karena mata manusia mempersepsikan terang secara logaritmik.
Logaritma memindahkan fokus penghitungan dari bilangan normal ke pangkat-pangkat (eksponen). Bila basis logaritmanya sama, maka beberapa jenis penghitungan menjadi lebih mudah menggunakan logaritma::
Penghitungan dengan angkaPenghitungan dengan eksponenIdentitas Logaritma a b {\displaystyle \!\,ab} A + B {\displaystyle \!\,A+B} log ⁡ ( a b ) = log ⁡ ( a ) + log ⁡ ( b ) {\displaystyle \!\,\log(ab)=\log(a)+\log(b)} a b {\displaystyle \!{\frac {a}{b}}} A − B {\displaystyle \!\,A-B} log ⁡ ( a b ) = log ⁡ ( a ) − log ⁡ ( b ) {\displaystyle \!\,\log({\frac {a}{b}})=\log(a)-\log(b)} a b {\displaystyle \!\,a^{b}} A b {\displaystyle \!\,Ab} log ⁡ ( a b ) = b log ⁡ ( a ) {\displaystyle \!\,\log(a^{b})=b\log(a)} a b {\displaystyle \!\,{\sqrt[{b}]{a}}} A b {\displaystyle \!\,{\frac {A}{b}}} log ⁡ ( a b ) = log ⁡ ( a ) b {\displaystyle \!\,\log({\sqrt[{b}]{a}})={\frac {\log(a)}{b}}}
Sifat-sifat di atas membuat penghitungan dengan eksponen menjadi lebih mudah, dan penggunaan logaritma sangat penting, terutama sebelum tersedianya kalkulator sebagai hasil perkembangan teknologi modern.
Untuk mengkali dua angka, yang diperlukan adalah melihat logaritma masing-masing angka dalam tabel, menjumlahkannya, dan melihat antilog jumlah tersebut dalam tabel. Untuk mengitung pangkat atau akar dari sebuah bilangan, logaritma bilangan tersebut dapat dilihat di tabel, lalu hanya mengkali atau membagi dengan radix pangkat atau akar tersebut.
d d x log b ⁡ ( x ) = d d x ln ⁡ ( x ) ln ⁡ ( b ) = 1 x ln ⁡ ( b ) = log b ⁡ ( e ) x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{b}(x)={\frac {d}{dx}}{\frac {\ln(x)}{\ln(b)}}={\frac {1}{x\ln(b)}}={\frac {\log _{b}(e)}{x}}}
di mana ln adalah logaritma natural, yaitu logaritma yang berbasis e. Jika b = e, maka rumus di atas dapat disederhanakan menjadi
d d x ln ⁡ ( x ) = 1 x . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}.}
∫ log b ⁡ ( x ) d x = x log b ⁡ ( x ) − x ln ⁡ ( b ) + C = x log b ⁡ ( x e ) + C {\displaystyle \int \log _{b}(x)\,dx=x\log _{b}(x)-{\frac {x}{\ln(b)}}+C=x\log _{b}\left({\frac {x}{e}}\right)+C}
Integral logaritma berbasis e adalah
∫ ln ⁡ ( x ) d x = x ln ⁡ ( x ) − x + C {\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C\,}
Nilai logaritma dengan basis b dapat dihitung dengan rumus dibawah ini.
log b ⁡ ( x ) = log e ⁡ ( x ) log e ⁡ ( b ) atau log b ⁡ ( x ) = log 2 ⁡ ( x ) log 2 ⁡ ( b ) {\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\log _{e}(x)}{\log _{e}(b)}}\qquad {\mbox{ atau }}\qquad \log _{b}(x)={\frac {\log _{2}(x)}{\log _{2}(b)}}}
Sedangkan untuk logaritma berbasis e dan berbasis 2, terdapat prosedur-prosedur yang umum, yang hanya menggunakan penjumlahan, pengurangan, pengkalian, dan pembagian.
Logaritma natural Logaritma biner Fungsi eksponensial
Media related to Screenshots of Wikipedia Main Page at Wikimedia Commons The dictionary definition of main page at Wiktionary
Kategori:Matematika Kategori:Persamaan diferensial Kategori:Persamaan matematika Kategori:Persamaan