Relasi biner
Relasi biner dalam matematika, singkatnya relasi, adalah hubungan antara dua elemen himpunan. Hubungan ini bersifat abstrak, dan tidak perlu memiliki arti apapun baik secara konkret maupun secara matematis.
Jika terdapat himpunan "A" dan himpunan "B" ("A" bisa sama dengan "B"), maka relasi "R" dari "A" ke "B" adalah subhimpunan dari "A"×"B".
Sebuah relasi dapat dikaitkan dengan sebuah fungsi proposisi atau kalimat terbuka yang himpunan penyelesaiannya tidak lain adalah relasi tersebut.
Sebagai contoh, pandang himpunan "B" = { "apel, jeruk, mangga, pisang" } dengan himpunan "W" = { "hijau, kuning, orange"}. Suatu relasi "R" dari "A" ke "B" didefinisikan sebagai "R" = {("apel, hijau"), ("jeruk, orange"), ("mangga, hijau"), ("pisang, kuning")}. Terdapat fungsi proposisi "w"("x, y") = ""x" berwarna "y"", yang himpunan penyelesaiannya adalah {("apel, hijau"), ("jeruk, orange"), ("mangga, hijau"), ("pisang, kuning")}, yang tidak lain adalah relasi "R".
Sebuah relasi "A"×"A", yaitu relasi dari himpunan "A" kepada "A" sendiri, dapat memiliki sifat-sifat berikut:
Kita menyebut relasi "R" dari "A" kepada "A" sebagai relasi "R" dalam "A".
Sebuah relasi "R" dalam "A" disebut memiliki sifat refleksif, jika setiap elemen "A" berhubungan dengan dirinya.
atau
Contoh relasi yang memiliki sifat seperti ini adalah relasi “"x" selalu bersama "y".”, dengan "x" dan "y" adalah anggota himpunan seluruh manusia. Jelas sekali bahwa setiap orang pasti selalu bersama dengan dirinya sendiri.
Relasi "R" dalam "A" disebut memiliki sifat irefleksif, jika setiap elemen "A" tidak berhubungan dengan dirinya sendiri.
atau
Contoh relasi irefleksif adalah relasi “"x" mampu mencukur rambut "y" dengan rapi sempurna.”, dengan "x" dan "y" adalah setiap pemotong rambut. Diandaikan bahwa setiap orang hanya dapat mencukur rambut orang lain dengan rapi sempurna, maka relasi ini adalah irefleksif, karena tidak ada seorang tukang cukur "a" yang mampu mencukur rambutnya sendiri.
Contoh lain dalam himpunan bilangan bulat adalah, relasi < dan > adalah irefleksif.
Relasi "R" dalam "A" disebut memiliki sifat simetrik, jika setiap pasangan anggota "A" berhubungan satu sama lain. Dengan kata lain, jika "a" terhubung dengan "b", maka "b" juga terhubung dengan "a". Jadi terdapat hubungan timbal balik.
atau
Sebuah relasi “formula_8 genap” adalah relasi simetrik, karena untuk sembarang "x" dan "y" yang kita pilih, jika memenuhi relasi tersebut, maka dengan menukarkan nilai "y" dan "x", relasi tersebut tetap dipenuhi. Misalnya untuk pasangan (5, 3) relasi tersebut dipenuhi, dan untuk (3, 5) juga.
Jika setiap "a" dan "b" yang terhubung hanya terhubung salah satunya saja (dengan asumsi "a" dan "b" berlainan), maka relasi macam ini disebut relasi anti-simetrik.
atau
Dalam kebanyakan literatur biasanya ditulis sebagai kontraposisinya seperti di bawah ini. Keuntungan bentuk ini adalah tidak mengandung negasi, dan hanya mengandung satu implikasi.
atau
Relasi formula_13 bersifat anti-simetrik, karena formula_14 mengakibatkan formula_15. Demikian juga jika ada "p" dan "q" yang terhadap mereka berlaku formula_16 dan formula_17 berarti formula_18.
Sebuah relasi disebut transitif jika memiliki sifat, jika "a" berhubungan dengan "b", dan "b" berhubungan dengan "c", maka "a" berhubungan dengan "c" secara langsung.
Sebagai contoh, relasi dua transitif. Misalnya untuk 5, 6, dan 7, berlaku 5 < 6, 6 < 7, dan 5 < 7.
Sebuah relasi disebut sebagai relasi ekivalen jika relasi tersebut bersifat:
Relasi ekuivalen memiliki hubungan erat dengan partisi, yang merupakan alasan mengapa partisi dari sebuah himpunan disebut kelas ekivalen atau kelas kesetaraan.
Orde parsial adalah relasi yang bersifat: